deki ile aynıdır.

Not: Bu sayfada adım adım matematik temellerden bahsedilmemektedir, fakat titreşim analizindeki önemli eşitlikler ve konseptlerden bahsedilecektir. Daha detaylı matematik için sayfanın sonundaki referanslara bakınız. 

Kütle-yay-sönüm modelini incelemek için sönümün göz ardı edilebilir olduğunu ve kütleye hiçbir dış kuvvetin etkimediğini varsayıyoruz. (örnek: serbest tireşim)

Yay tarafından kütleye uygulanan kuvvet yayın uzaması “x” ile orantılıdır (Yayın kütlenin ağırlığı dolayısıyla sıkıştırıldığını varsayıyoruz). Orantı sabiti, k, yayın direngenliğidir ve birimi kuvvet/uzama cinsindendir.(Örneğin: lbf/in veya N/m)

Kütle tarafından üretilen kuvvet ise Newton’un ikinci hareket kanununda verilen kütlenin ivmesiyle orantılıdır:

Kütle üzerindeki kuvvetleri toplayıp aşağıdaki adi diferansiyel denkleme ulaşırız:

Eğer sistemi, yayı “A” çekerek titreşime başlattığımızı ve sonra serbest bıraktığımızı varsayarsak, kütlenin hareketini tanımlayan yukarıdaki denklemin çözümü şöyle olur:

Bu çözüm şu anlamdadır: kütle “A” genliğinde ve formula_5 frekansında salınmaktadır, burada formula_5 titreşim analizindeki en önemli değerlerden biridir ve sönümsüz “doğal frekans” olarak adlandırılır.

formula_5 basit kütle-yay sistemi için aşağıdaki gibi tanımlanır:

Not: Açısal frekans formula_9 (formula_10) (birimi rad/sn) sıklıkla denklemlerde kullanılır çünkü denklemleri kolaylaştırır, fakat sistemin frekansından bahsederken standart frekansa(birimi Hz veya devir/sn) dönüştürülür.

Eğer sistemin kütlesini ve yay sabitini biliyorsanız, sisteme bir ilk hareket verildiğinde hangi frekansta titreyeceğini yukarıdaki formülü kullanarak bulabilirsiniz. Titreyen her sistem, tahrik edildiğinde titreşeceği bir veya daha fazla doğal frekansa sahiptir. Genel olarak bu basit ilişki daha kompleks bir sisteme bir kütle veya direngenlik eklediğimizde ne olduğunu açıklar. Örneğin, yukarıdaki formül bir arabanın veya bir kamyonun tamamıyla yüklü olduğunda neden daha yumuşak hissettirdiğini açıklar; çünkü kütle artmıştır ve bu yüzden sistemin doğal frekansı düşmüştür.

Bu formüller sistemin son hareketini tanımlamakla beraber sistemin neden salındığını açıklamazlar. Bu salınım(osilasyon) enerjinin korunumundan kaynaklanmaktadır. Yukarıdaki örnekteki yayı “A” kadar uzattık ve böylece yayda bir potansiyel enerji (formula_11) depoladık. Serbest bıraktığımızda ise yay uzatılmamış durumuna dönmek ister ve bu yüzden kütleyi ivmelendirir. Yayın uzatılmamış ilk haline döndüğü nokta artık depolanmış enerjiye sahip değildir fakat kütle maksimum hızına ulaşmıştır ve bu yüzden tüm enerji kinetik enerjiye dönmüştür (formula_12). Ardından kütle ivmesini kaybetmeye başlar çünkü şimdi yayı sıkıştırıyor ve kinetik enerjisini potansiyel enerjiye dönüştürüyordur. Kütledeki kinetik enerjinin yaydaki potansiyel enerjiye ve yaydaki potansiyel enerjinin kütledeki kinetik enerjiye dönüşümü salınıma sebep olmaktadır.

Basit modelimize göre kütle sonsuza kadar aynı genlikte salınacaktır, gerçek sistemde daima sönüm denen enerjiyi harcayan ve en sonunda sistemin durmasına neden olan etkiler vardır.

Şimdi sisteme kütlenin hızıyla orantılı olarak kuvvet üreten viskoz bir sönümleyici ekliyoruz.Sönümleme viskoz olarak adlandırılmaktadır çünkü bir akışkanın içindeki bir objeyi modellemektedir. Orantı sabiti “c” sönüm katsayısı olarak adlandırılır ve kuvvet/hız birimindedir(lbf s/ in veya N s/m).

Kütle üzerindeki kuvvetleri toplayarak aşağıdaki adi diferansiyel denlemi elde ederiz:

Bu denklemin çözümü sönümün miktarına bağlıdır. Eğer sönüm yeterince küçükse sistem titreşecek fakat zaman geçtikçe titremesi sona erecektir. Bu durumda sistem az sönümlü olarak ifade edilir—titreşim analizinin en çok ilgi çeken kısmıdır. Eğer sönümü sistemin artık salınmadığı noktaya kadar arttırırsak kritik sönüme ulaşmış oluruz(eğer sönümü kritik sönümün üzerine de çıkarırsak sistem aşırı sönümlü sistem olarak adlandırılır). Kütle yay sönüm modelinde kritik sönüm için sönüm katsayısının ulaşması gereken değer şudur:

Sistemdeki sönümü tanımlamak için sönüm oranı(sönüm faktörü ve % kritik sönüm de denir) denen bir oran kullanılır. Bu oran sistemdeki gerçek sönümün, kritik sönüme ulaşması için gereken sönüme oranıdır.Kütle yay sönüm modeli için sönüm oranı (formula_16) formülü ise şöyledir:

Örneğin; metal yapılar(uçak gövdeleri, motor krank milleri gibi) 0.05 den daha küçük sönümleme faktörlerine sahipken, otomotiv süspansiyonları 0.2-0.3 aralığındadır.

Az sönümlü kütle yay sönüm sistemi için çözüm aşağıdaki gibidir:

Başlangıç genliği “X” ve faz farkı formula_19 yayın ne kadar sıkıştırıldığına göre değişir. Bu değerlerin formülleri referanslarda bulunabilir.

Bu çözümde fark edilmesi gereken önemli nokta eksponansiyel terim ve kosinüs fonksiyonudur. Eksponansiyel terim sis temin ne kadar hızlı sönümleceğini belirleyen terimdir-sönüm oranı büyüdükçe sistem daha hızlı sönümlenir. Koisinüs fonksiyonu ise çözümün salınım yapan kısmıdır ve salınımın frekansı sönümsüz durumdan farklıdır.

Bu durumdaki frekansa sönümlü doğal frekans, formula_20, denir ve aşağıdaki formüle göre sönümsüz doğal frekansla ilişkilidir:

Sönümlü doğal frekans sönümsüz doğal frekanstan daha düşüktür, fakat birçok pratik durumda sönüm oranı göreceli olarak küçüktür ve bu yüzden aradaki fark göz ardı edilebilir. Bu yüzden sönümlü ve sönümsüz tanımlamalar, doğal frekanstan bahsedildiğinde, büyütülmüş olur. (Örneğin: 0.1 lik sönüm oranında; sönümlü doğal frekans sönümsüz doğal frekanstan %1 küçüktür.)

Yandaki çizimler 0.1 ve 0.3 lük sönüm oranlarının zaman geçtikçe sistemin sönümlenmesini nasıl etkilediğini gösterir. Pratikte sıklıkla yapılan ise bir darbeden sonra (örneğin; bir çekiçle vurduktan sonra) deneysel olarak serbest titreşimi ölçmektir ve bundan sonra salınım oranını ölçerek sistemin doğal frekansı hesaplanır ve düşüş oranı ölçülerek sönüm oranı bulunur. Doğal frekans ve sönüm oranı sadece serbest titreşimde önemli değildir. Aynı zamanda sistemin zorlama altındaki titreşiminde nasıl davranacağını da belirlerler.

Bu bölümde kütle yay sönüm modeline formülü aşağıdaki gibi olan, harmonik değişen bir kuvvet eklediğimizde modelimizin nasıl davranacağına bakacağız. Böyle bir kuvvet örneğin dönmede dengesizlikten kaynaklanabilir.

Eğer yine kütle üzerindeki kuvvetleri toplarsak, aşağıdaki adi diferansiyel denklemleri elde ederiz:

Bu problemin kararlı durum çözümü şu şekilde yazılabilir;

Sonuç, kütlenin uygulanan kuvvetle aynı frekansta, f, salınacağını fakat arada bir faz farkı formula_19 olacağını gösterir.

Titreşimin genliği ”X” ise aşağıdaki formülde olduğu gibi tanımlanır:

Burada “r” harmonik kuvvetin frekansının sönümsüz kütle-yay-sönüm modelinin doğal frekansı olarak tanımlanır.

Faz farkı, formula_28, ise aşağıdaki formülle tanımlanır:

Bu fonksiyonların çizimi, sistemin frekans cevabı denir, zorlamalı titreşmin en önemli özelliklerinden birini gösterir. Zorlama frekansının doğal frekansla hemen hemen aynı olduğu(formula_30) çok az sönümlü sistemlerde titreşimin genliği çok yüksek olabilir. Bu olgu rezonans-mekanik rezonans olarak adlandırılır. (Böyle bir durumda sistemin doğal frekansı sıklıkla rezonans frekansı olarak adlandırılır)

Eğer rezonans mekanik bir sistemde meydana gelirse çok zararlı olabilir—sistemde nihai bir bozulmaya sebep olabilir. Sonuç olarak titreşim analizinin en önemli sebeplerinden biri rezonansın ne zaman meydana geleceğini tahmin etmek ve gerçekleşmesini önlemek için ne gibi önlemlerin alınacağına karar vermektir. Genlik çizimlerinde görüldüğü gibi, sönüm eklemek titreşimin genliğini önemli derecede azaltır. Aynı zamanda genlik, sistemin kütlesi veya direngenliği değiştirilerek doğal frekansın zorlama frekansından uzaklaştırılmasıyla da düşürülebilir. Eğer sistem değiştirilemiyorsa, belki zorlama frekansı değiştirilebilir (örneğin kuvvete sebep olan makinenin dönme hızını değiştirerek).

Aşağıdakiler ise zorlamalı titreşimin frekans cevabı çizimleri ile ilgili diğer noktalardır:


Eğer kütle ve yayı enerji depolama elemanları olarak görürseniz rezonansı anlamak çok kolaydır—kütle kinetik enerji depolarken yay ise potansiyel enerji depolar. Daha önce de bahsedildiği gibi, kütle ve yay üzerinde hiçbir kuvvet yoktur, onlar enerjilerini doğal frekansa eşit oranda bir ileri bir geri dönüştürürler. Diğer bir deyişle eğer enerji verimli bir şekilde kütle ve yayın içerisine pompalansaydı enerji kaynağının doğal frekansa eşit oranda beslenmesi gerekirdi. Bir kütle ve yaya bir kuvvet uygulamak bir çocuğu salıncakta sallamaya benzer, eğer daha yükseğe sallamak istiyorsanız doğru zamanda ittirmek zorundasınız. Salıncak örneğinde olduğu gibi daha büyük bir hareket elde etmek için uygulanan kuvvetin illa ki çok yüksek olması gerekmemektedir. Bu itmeler sadece enerjinin sistemin içine eklenmesini sağlar.

Sönüm ise enerji depolamak yerine enerjiyi harcar.Sönüm kuvveti hızla orantılı olduğundan, hareket büyüdükçe enerji daha fazla sönümlenir. Böylece sönüm elemanı tarafından sönümlenen enerji ile kuvvet tarafından beslenen enerjinin eşit olduğu bir noktaya ulaşılır.Bu noktada sistem kendi maksimum genliğine ulaşır ve uygulanan kuvvet aynı kaldığı sürece bu genlikte titremeye devam eder.Eğer hiç sönüm yoksa, enerji yutacak hiçbir şey yoktur ve böylece hareket teorik olarak sonsuza gider.

Geçmiş bölümde modelimize sadece basit harmonik bir kuvvet uygulanmıştı, fakat bu iki güçlü matematiksel araç kullanılarak epeyce genişletebilinir.Bunlardan birincisi bir sinyalin zaman fonksiyonunu alıp frekansın bir fonksiyonu olarak harmonik bileşenlerine ayıran Fourier analizidir.Örneğin kütle yay sönüm modelimize şu şekilde tekrar eden bir kuvvet uygulayalım—0.5 sn liğine 1N luk bir kuvvet ve ardından 0.5 saniyeliğine hiç kuvvet uygulamayalım.Bu çeşit kuvvet 1 Hz lik kare dalga şekline sahiptir.

Kare dalganın fourier dönüşümü kare dalgayı oluşturan harmoniklerinin genliklerini gösteren bir frekans spektrumu oluşturur(Aynı zamanda faz farkı da oluşur ancak genellikle bunla daha az ilgilenilir