mez.Aynı boyutta fakat farklı birimle ifade edilmiş iki büyüklüğü birbirine eklediğimizde, aslında 1'e eşit olan uygun dönüşüm faktörü, büyüklüklerin sayısal değerleri toplanabilsin veya çıkarılabilsin diye,birimleri özdeşleştirmek için dönüşüm yapmakta kullanılır.
Sadece bu yolla farklı birimlerdeki büyüklükler birbirleriyle toplanabilirler.

Boyut analizi ayrıca birinin anlamak ve karakterize etmek istediği özel kavramların içinde bulunan fiziksel büyüklüklerin arasındaki ilişkileri türetmekte kullanılır.İlk kez 1872 yılında, gökyüzünün neden mavi olduğunu anlamaya çalışan Lord Rayleigh tarafından kullanılmıştır.

Yerçekimi kuvveti formula_5 dolayısıyla asılı kalan, formula_6 sabitli yaya bağlı formula_7 kütlesinin salınımının periyodu formula_8 nedir? 
Bu dört büyüklüğün boyutları şöyledir: formula_8 [T]; formula_7 [M]; formula_6 [M/T^2]; ve formula_5 [L/T^2].Buradan seçilen değişkenlerin kuvvetlerinin çarpımı olan boyutsuz tek bir sonuç elde ederiz, formula_13 = formula_14.Değişkenlerin kuvvetlerinin çarpımı olan bu boyutsuz sonuç bazen boyutsuz değişken grubu olarak adlandırılır, fakat bu grup, formula_13, matematiksel bir grup olmaktan çok bir "topluluk" anlamındadır.Sık sık boyutsuz sayılar olarak da adlandırılırlar.

formula_5'nin k, m, T, ile veya sadece g ile kuvvetlerinin çarpımlarını içeren başka boyutsuz çarpımların oluşturulamayacağına dikkat ediniz, çünkü g sadece L'yi içermektedir.Boyut analizi bazen bir problemdeki bazı büyüklüklerin alakasızlığı ile ilgili veya ek değişkenler ekleme ile ilgili güçlü ifadeleri açığa vurur.Problemi doğru şekilde tanımlamak için yeterli değişken seçtiysek, bu argümandan yola çıkarak yay üzerindeki kütlenin periyodunun "g"'den bağımsız olduğu sonucuna varabiliriz: Dünya'da ve Ay'da sonuç aynıdır.Problemimiz için kuvvetlerin çarpımının varlığını gösteren denklem eşdeğer bir yolla şöyle yazılabilir: formula_17, bir boyutsuz sabit formula_18 için.

Analizimizin durumun fiziksel tanımına ait olduğuna emin olduğumuz bir değişkeni reddetmesi ile karşılaştığımızda(burada g), reddedilen değişkenin durumla alakalı olduğunu ve bizim durumla alakalı başka değişkenleri, reddedilen değişkenle beraber bir kombinasyonla boyutsuz bir büyüklük oluşturabilecek, sildiğimiz ihtimalini düşünebiliriz.Ancak burada durum o şekilde değildir.

Sadece kuvetlerin bir boyutsuz çarpımını içeren problemlerde boyut analizi ile sonuca ulaştığımızda, burada olduğu gibi, bilinmeyen fonksiyon yoktur ve çözüm "tamam"dır denir.

l [formula_19] uzunluğunda ve A [formula_19] genliğiyle titreyen bir teli gözönüne alalım. Telin lineer yoğunluğu ρ'dur [formula_21] ve s [formula_22] gerilimine maruzdur ve bizde tel üzerindeki enerji, E'yi bulmak istiyoruz.Şimdi kolayca seçilen değişkenlerin kuvvetlerinin çarpımları olan iki boyutsuz çarpım elde edebiliriz, formula_23 ve formula_24.Belki şaşırtıcı bir şekilde, yukarıda verilen g ile ilgili basit örnekte, lineer yoğunluk söz konusu değildir. 
Bulunan bu iki grup aşağıdaki denkleme dönüştürülebilir

burada "F" bilinmeyen bir fonksiyondur, veya, eşit şekilde

burada "f" bilinmeyen başka bir fonksiyondur.Burada bilinmeyen fonksiyon çözümümüzün tamamlanmadığı anlamına gelir, fakat boyut analizi bize açık olmayan bazı şeylerde vermişti:Enerji gerilmenin ilk kuvvetiyle orantılıdır.Daha ileri analitik analiz haricinde, bilinmeyen f fonksiyonunu bulmak için deney de yapabiliriz.Fakat deney yapmak eğer boyut analizi mümkün değilse daha kolaydır.Enerjinin gerilmeyle orantılı olduğunu kanıtlamak için hiçbir şey yapamazdık. Veya belki enerjinin formula_27'e orantılı olduğunu tahmin edebilirdik, ve şu sonuca varabilirdik formula_28.Boyut analizinin deneylere yardımcı olma ve hipotez yaratma gücü kanıtlıdır.

Yukarıdakilere benzemeyen, daha kompleks, içerdiği değişkenlerin belirsiz olduğu ve temel denklemlerinin umutsuzca karmaşık olduğu durumlara uygulandığında; boyut analizinin gücü gerçekten belirginleşir.Örneğin, bir nehir yatağındaki küçük bir çakıl taşını düşünelim.Eğer nehir yeterince hızlı akıyorsa, çakıltaşı yükselir ve su içinde yüzer.Peki kritik hız nedir?Tahmin edilen değişkenleri çözmek daha öncekiler kadar kolay değildir.Fakat boyut analizi bunun gibi problemleri anlamakta yardımcı olabilir ve temel denklemlerin zr anlaşıldığı, karmaşık problemlerde uygulanacak ilk elemandır.

Huntley (Huntley, 1967) boyut kavramımızı zaman zaman rafine etmemizin verimli olacağını iddia etmiştir.İki olası rafinasyon şunlardır:


İlk rafinasyonun kullanışlılığının bir örneği olarak, dikey formula_30 ve yatay formula_31 hızıyla fırlatılan bir topun(topun yatay bir yüzeyden ateşlendiğini düşünelim) uçuş mesafesini hesap etmek istediğimizi varsayalım.Yönlü uzunlukları kullanmadığımızı düşünürsek, ilgilendiğimiz büyüklükler formula_31, formula_30'dir ve ikisinin de boyutu formula_34'dir, "R", topun gittiği mesafe,boyutu "L" ve "g" aşağıya doğru yerçekimi ivmesidir, boyutu formula_35'dir.

Bu dört büyüklükle, "R" menzille ilgili aşağıdaki denkleme ulaşabiliriz:

veya boyutsal olarak

buradan bir katsayıyı tanımsız bırakan formula_38 ve formula_39'yi çıkarabiliriz.Bu beklenmelidir çünkü iki temel büyüklük "L" ve "T"'miz var ve bir denklemde dört değişkenimiz var.

Bunula birlikte eğer yönlü uzunluk boyutlarını kullanırsak, o zaman formula_31'in boyutu formula_41, formula_30'nin boyutu formula_43, "R"'nin boyutu formula_29 ve "g"nin boyutu da formula_45 olur.Boyutsal denklem şu hale gelir:

ve şu sonuca varırız formula_47, formula_48 ve formula_49.Yönlü boyutlar kullanılarak elde edilen çıkarım gücü açıkça görülmektedir.

Benzer şekilde, ataletsel kütle ile maddesel kütleyi birbirinden ayırmak(örneğin akışkanlar mekaniği ve termodinamikte) zaman zaman kullanışlı bulunabilir.Örneğin, Poiseuille Yasası'nın türetilmesini düşünelim.Silindirik bir boru içinde viskoz bir akışkanın kütle akış oranını bulmak istiyoruz.Eğer ataletsel ve maddesel kütleyi birbirinden ayırmazsak ilgili şu değişkenleri seçebiliriz


Üç temel değişken vardır bu yüzden yukarıdaki beş eşitlik iki boyutsuz değişkene uyum sağlar; formula_60 ve formula_61 ve boyut denklemini şöyle ifade edebiliriz

burada "C" ve "a" belirsiz sabitlerdir.Eğer ataletsel kütle(boyutu formula_63) ve maddesel kütle(boyutu formula_64) arasındaki farkı düşünürsek, kütle akış oranı ve yoğunluk maddesel kütleyi kütle parametresi olarak kullanırve burada basınç gradyanı ve viskozite katsayısı ataletsel kütleyi kullanır.Şimdi dört temel parametremiz var ve bir tane de boyutsuz sabitimiz var, böylece boyutsal denklemi şöyle yazabiliriz:

burada "C" belirsiz sabittir(boyut analizi dışındaki metotlarla formula_66 olarak bulunur). Bu denklem Poiseuille Yasası kullanılarak kütle akış oranı için çözülebilir.

Huntley toplamının bazı ciddi engelleri vardır.Ne çapraz çarpım içeren vektör denklemleri ile uğraşır ve ne de açıları fiziksel değişkenler olarak iyi şekilde kullanır.Ayrıca genellikle ilgilenilen problemlerde L'yi, formula_29, formula_68, formula_69 olarak göstermek de oldukça zordur.Huntley fiziksel problemlerde "simetri"'yi içeren bir prosedürü hatırlatmaktadır.Bu ise genellikle güvenilir şekilde uygulamak için çok zordur: "simetri" kavramını içeren problemin hangi parçasının çağrılacağı açık değildir.Bu kuvvetlerin üzerine etkidiği fiziksel gövdenin simetrisi midir veya kuvvetlerin uygulandığı noktaların, çizgilerin veya alanların simetrisi midir?Peki ya farklı simetrilerde birden fazla gövde işin içindeyse?Silindirik tüpe eklenmiş küresel bir balonu düşünelim, burada havanın akış oranını basınç değişiminin bir fonksiyonu olarak iki parçada isteriz. Bağlı parçalarda taşınan havanın viskozitesinin genişletilmiş Huntley boyutları nelerdir?Bu iki parçanın basıncının genişletilmiş boyutları nelerdir?Bu zorluklar Huntley toplamının gerçek problemlere uygulamasındaki kısıtlamalardan sorumludur.

Açılar geleneksel olarak boyutsuz değişkenler olarak düşünülmektedirler ve bu yüzden boyut analizinde açıların fiziksel değişken olarak kullanımı daha az anlamlı sonuçlar verir.Örneğin, yukarıdaki top örneğini düşünelim.Düşünün ki, "x"- ve "y"- ilk hız bileşenleri yerine, hızın büyüklüğü "v" ve fırlatılış açısı formula_70'yı seçelim.Açı geleneksel olarak boyutsuz olarak düşünülür ve bir vektörün büyüklüğü yönle ilgili bir bilgi taşımamaktadır, bu yüzden "g", "v", "R", ve θ değişkenlerindenhiçbir boyutsuz değişken oluşturulamaz. Geleneksel analiz doğru şekilde "g" ve "v"'nin kuvvetlerini verir, fakat boyutsuz açı θ ile ilgili hiçbir bilgi vermez.

Siano (Siano, 1985-I, 1985-II) Huntley'in yönlü boyutlarının, vektörlerin yönlerini ve yönelimsiz sembol formula_71'i ifade etmek için "yönelimsel semboller" formula_72'i önermiştir.Böylece Huntley'in formula_29'si "L"&nbsp ile formula_74 haline gelir; uzunluk boyutunu belirtir ve formula_75'de yönelimi belirtir.Siano daha sonra yönelimsel sembollerin kendi cebirleri olduğunu göstermiştir.formula_76 gerekliliği ile birlikte, aşağıda yönelim sembollerinin çarpım tablosu gösterilmiştir:

Yönelimsel sembollerin matematiksel grup oluşturduğuna dikkat edin.Bu sistemde, skalerler, "problemin simetrisi"nden bağımsız olarak, daima aynı yönelimi tanımlayıcı eleman olarak bulundurur.Vektör olan fiziksel büyüklükler ise şu yönelimlere sahiptirler: x-yönlü bir kuvvetin veya hızın yönelimi formula_75'dir.Açılar için, z düzleminde bir θ açısı düşünün.z düzleminde açılarından biri θ olan bir dik üçgen çizin.Dik üçgenin açımızın yanındaki kenarının yönelimi formula_75 olur ve diğer kenarında yönelimi formula_80 olur.Sonra, tan(θ) = ly/lx = θ + ... olduğundan xy düzlemindeki bir açının formula_80/formula_75 = formula_83 yönelimine sahip olduğu sonucuna varırız ki bu da oldukça mantıklıdır.Benzer şekilde sin(θ)'nın yönelimi formula_83 ve cos(θ)'nın yönelimi de formula_85'dır.Bunlar farklıdır, bu yüzden a ve b skalerken a sin(θ) + b cos(θ) şeklindeki fiziksel eşitlklerin çözümü olmadığı sonucuna varan biri doğru bir sonuç bulmuş olur.

Fiziksel büyüklüklerin yönelimsel sembollerinin görevleri ve fiziksel denklemlerin yönelimsel ola