"m" kütlesinin süratinin ve konumunun şu şekilde olduğuna dikkat edin:

e ve e "M"’den "m"’ye olan vektöre ilişkin yönlendirilen radyal ve teğetsel vektörlerdir. Bunu yerçekiminin yaptığı işin formülünü sadeleştirmede kullanın,

Bu hesaplama

Bu fonksiyon 
yerçekiminin potansiyel enerjisi olarak da bilinen, yerçekiminin potansiyel fonksiyonudur. Negatif işaret bir potansiyel enerji kaybından işin kazanıldığı düzeni takip eder.

Yaylardaki kuvvetler paraleldir.Bir nesnenin nasıl hareket ettiğinden bağımsız olarak "x" yönündeki sapmasına orantısal olan bir yatay F=(-kx, 0, 0) kuvveti uygulayan bir yay göz önüne alın. Bu yayın X(t) = ("x"(t), "y"(t), "z"(t)), eğrisi boyunca hareket eden bir nesne üzerindeki işi 
F sağlamak için v=("v", "v", "v"), sürati kullanılarak hesaplanır.

Kolaylık için, t=0 noktasında yayla oluşan teması dikkate alın, x mesafesindeki sonucun integrali ve sonra da xv, is (1/2)x

"P" basınç, "V" hacim, "a" ve "b" ise önceki ve en son hacimler.

İş ve kinetik enerji ilkesi (iş-enerji ilkesi olarak da bilinir) bir parçacık üzerine etki eden bütün kuvvetler tarafından yapılan işin parçacığın kinetik enerjisindeki değişime eşit olduğunu öne sürer.

Bir parçacık üzerine bileşke kuvvet tarafından yapılan W işi parçacığın kinetik enerjisindeki formula_31,
F değişime eşittir: 

formula_33 ve formula_34 parçacığın değişim öncesi ve sonrasındaki hızları ve "m" kütle.

Eğer bileşke dönme momenti katı bir cisim üzerine etki ederse, tanım bileşke tork tarafından yapılan iş ve katı cismin rotasyonal kinetik enerjisindeki değişimi eşitlemek için genişletilebilir. 
İş-enerji ilkesinin açığa çıkışı Newton’un ikinci kuralı ile ve parçacığa uygulanan kuvvetleri de içeren bileşke kuvvet ve hareketini etkileyen sınırlayıcı kuvvetlerle başlar. Parçacığın sürati ile birlikte kuvvetlerin skaler çarpımlarının ölçümlemesi sisteme eklenen eni gücü değerlendirir. 
Sınırlayıcılar parçacığın hareket yönünü sınırlayıcı kuvvetin yönünde süratin bileşkesi olmamasını sağlayarak belirlerler. Bu aynı zamanda sınırlayıcı kuvvetlerin ani güce katılmadıkları anlamına gelir. Bu skaler denklemin zamana göre türevi ani güçten iş ve sürat ve ivmenin skaler çarpımından kinetik enerji kazancı sağlar. İş-enerji ilkesinin sınırlayıcı kuvvetleri ortadan kaldırdığı gerçeği Lagrange mekaniği altında yatar. 
Bu bölüm iş-enerji ilkesine parçacık dinamiğine uygulanması noktasında odaklanıyor. Daha genel sistemlerde iş bir mekanik aracın potansiyel enerjisini, termal sistemdeki ısı enerjisini ya da bir elektronik aygıttaki elektrik enerjisini değiştirebilir. İş enerjisi bir noktadan diğerine ya da bir formdan diğerine transfer eder.

F bileşke kuvvet'in genlik ve yönde sabit olması ve parçacığın süratine paralel olması durumunda parçacık düz bir hat boyunca sabit bir ivme ile hareket eder. Net kuvvet ve içme arasındaki ilişki "F" = "ma"(Newton’un ikinci kuralı) denklemiyle verilir ve "s" parçacık yerdeğişimi aşağıdaki denklemle ifade edilebilir:

formula_36 sonucu çıkar.

Net kuvvetin yaptığı iş genliğin ve parçacık yerdeğişiminin çarpımı olarak hesaplanır. Yukarıdaki denklemlere alternatif olarak:

Doğrusual hareket durumunda genelde, F net kuvveti yönde sabit fakat genlikte sabit olmadığında ve sürate paralel olduğunda, iş parçacığın yolu boyunca birleştirilmiş olmalıdır:

Eğrisel bir yol boyu hareket eden bir parçacık üzerine etki eden bir net kuvvet için, kuvvetinin parçacığın kinetik enerjisindeki değişime eşit olduğu yukardaki denkleme basit bir türev analoguyla gösterilebilir. Bazı yazarlar bu sonuca iş enerji ilkesi der fakat yaygın olarak iş enerji teoremi olarak bilinir:

formula_40 özdeşliği biraz cebir gerektirir.
formula_41 özdeşliğinden ve formula_42 tanımından şu sonuç ortaya çıkar:

Yukardaki türevin kalan kısmı sadece önceki doğrusal durumda olduğu gibi basit matematiktir.

Parçacık dinamiğinde, bir sisteme uygulanan işi kinetik enerjisindeki değişime eşitleyen bir formül Newton’un ikinci hareket yasasının ilk integrali olarak sağlanır. Newton’un yasalarında kullanılan bileşke kuvvet'in parçacığa uygulanan kuvvetler ve parçacığın hareketindeki sınırlayıcılara maruz kalan kuvvetler olarak ayrılabileceğini fark etmek gerekir. Sınırlayıcı kuvvetin işi sıfırdır, dolayısıyla yalnızca kuvvetlere uygulanan işin iş-enerji ilkesinde değerlendirilmesi gerekir.

Bunu görmek için, P parçacığının X(t) gidim izini üzerine etki eden F kuvvetiyle takip ettiğini göz önüne alın. Parçacığı Rsınırlayıcı kuvveti uygulamak için ortamından ayırın, o zaman Newton yasaları 
"m" parçacık kütlesi.

Bir vektörün üzerindeki noktaların onun zamana göre n’inci türevini gösterdiğine dikkat edin. Sürat vektörü ile birlikte Newton’un yasalarının her iki yanının skaler çarpımı da 

Çünkü sınırlayıcı kuvvetler parçacık süratine dikeydir. Bu denklemi X(t) noktasından X(t) noktasına olan gidişatı boyunca 
Bu denklemin sol tarafı t zamanından t zamanına kadar olan gidişatı boyunca paracık üzerine etki ederken uygulanan kuvvetin yaptığı iştir. Bu aynı zamanda

Bu integral parçacığın X(t) gidim izi boyunca hesaplanmış ve dolayısıyla bağımlı opsiyondur.
Newton’un denklemlerinin ilk integralinin sağ kısmı aşağıdaki ifade kullanılarak sadeleştirilebilir:

Şimdi kinetik enerjideki değişimi elde etmek için açıkça integrali alınmış oldu,
parçacığın kinetik enerjisi skaler büyüklük olarak tanımlanmıştır.

Sürat ve ivme vektörlerini X(t) gidim izi boyunca teğetsel ve normal bileşenlerine şu şekilde ayırmak faydalı olacaktır:
Bu durumda, Newton’un ikinci yasasında ivmeyle süratin skaler çarpımı 
Parçacığın kinetik enerjisi skaler büyüklük olarak tanımlanmış. 
Sonuç parçacık dinamiği için iş-enerji ilkesidir.
Bu türev rastlantısal katı cisim sistemlerine genellenebilir.

F toplamını veren bir itme kuvveti ve yerçekimi kuvveti etkisi altında bir düz yatay gidim izi boyunca hareket eden bir aracı düşünün. Araç ve yol arasındaki sınırlayıcı kuvvetler R olarak tanımlanır ve

Kolaylık için, gidim izini X ekseni boyunca alın böyleceX=(d,0) ve sürat V=(v, 0) olur, dolayısıyla da R.V=0 ve and F.V=Fv (F x ekseni boyunca F’in bileşeni) olur. Yani,

İki tarafın integrali 

Eğer F gidişat boyunca sabit ise o zaman sürat integrali mesafedir, yani

Örnek olarak kayarak duran bir arabayı göz önüne alın ("k"sürtünme katsayısı ve "W" arabanın ağırlığı). Bu durumda gidim izi boyunca kuvvet F =-kW olur. Arabanın sürati "v" iş-enerji ilkesi kullanılarak kaymanın "s" uzunluğundan belirlenebilir.

Bu formülün aracın kütlesinin "m"="W/g" olduğu gerçeğini kullandığına dikkat edin.

Bir aracın hareketsiz olarak başladığı ve bir dağ yolundan aşağıya doğru gittiğini düşünün, iş-enerji ilkesi aracın "V"süratine ulaşmak için gittiği minimum mesafeyi hesaplamaya yardım eder. Yuvarlanma direnci ve hava direnci aracı yavaşlatacaktır yani asıl mesafe kuvvetler ihmal edildiği durumdan daha az olacaktır.

Yolu takip eden aracın gidim izinin üç boyutlu uzayda bir eğim olan X(t) olarak alın. Araç üzerine etkiyen ve onu aşağıya doğru iten kuvvet sabit yerçekimi kuvvetiyken, yolun araç üzerindeki kuvveti X(t) sınırlayıcı kuvvetidir. Newton’un ikinci yasası

Bu denklemin V=(v, v,v) vektörüyle sakler çarpımı :formula_62 sonucunu verir.
"V" V’nin genliği. Araç ve yol arasındaki sınırlayıcı kuvvetler bu denklemi geçersiz kılar çünküR.V=0 ve bu iş yapmadıkları anlamına gelir. İki tarafın da :formula_63 elde etmek için integralini alalım.

W ağırlık kuvveti gidim izi boyunca sabittir ve dikey süratin integrali dikey uzaklıktır, yani,

V(t)=0 olduğunu hatırlayın. Bu sonucun araç tarafından gidilen yolun şekline bağlı olmadığına dikkat edin. 
Yol boyu uzaklığı belirlemek için eğimin %6 yani dik bir yol olduğunu varsayalım. Bu –açılar için sin ve tan fonksiyonları neredeyse eşit- rakım her 100 fitte 6 fit azalıyor demektir. Dolayısıyla, %6 eğimli bir yolda V süratine ulaşmak için s mesafesi en azından

Bu formül aracın ağırlığının "W"="mg" olduğu gerçeğini kullanmıştır.
Tek bir katı cisim üzerine çeşitli noktalardan etki eden kuvvetlerin yaptığı iş bileşke kuvvet ve tork'un işinden hesaplanabilir. Bunu görmek için F,F ... F kuvvetlerini bir katı cisme X, X ... X noktalarından uygulayalım. X, i=1...,n gidim izleri katı cismin hareket tarafından tanımlanır. Bu hareket [A(t)] rotasyonlar seti ve cisim üzerindeki referans noktanın d(t) gidim izi tarafından verilir.x i=1...,n koordinatları hareket eden cismin M referans çerçevesi içindeki bu noktaları tanımlasın. Böylece "F" sabit çerçevesindeki izlenen gidim izleri şu şekilde verilir:
Gidişatları boyunca X noktalarının süratleri
ωters simetrik matriksten elde edilen açısal sürat vektörüdür. 
Açısal sürat matriksi olarak bilinir.

Küçük δr yer değişimleri üzerindeki kuvvetler tarafından yapılan az miktarda iş yaklaşık olarak δr=vδt yerdağişimi tarafından belirlenebilir.

Ya da 

Bu formül 
F ve T katı cismin M hareket çerçevesindeki d referans noktasına uygulanan bileşke kuvvet ve dönme momentinin sonuçlarıdır.





Özel okul

Özel okul, yerel veya merkezi hükümetler tarafından işletilmeyen okullardır. Bu şekilde kendi öğrencilerini seçme hakları vardır. Bu okullarda eğitim-öğretim genellikle belli bir ücret karşılığında verilmektedir. Bunun yanı sıra bazı başarılı öğrenciler burs alarak bu okullara ücretsiz olarak devam etme şansı da yakalayabilirler. Ayrıca devlet tarafından sağlanan katkı payı ile çocuklarını özel okullara göndermek isteyen velilere maddi destek sağlamaktadır.




Selbu

Selbu, Norveç'in Sør-Trøndelag eyâletine bağlı şehridir. 1 Ocak 2004 sayımlarına göre 3,944 kişi Selbu'da yaşamaktadır. Şehrin idari merkezi Mebond'dur.

Şehir 1,254 km²'lik alana sahiptir. Şunlardan oluşur:

En büyük gölü: Selbusjø Gölü(Selbusjøen) - 58.26 km² - deniz seviyesinden 160 metre yüksekte
En yüksek dağı: Fongen - 1,441 m

Selbu dokuz şehirle komşudur:


Geleneksel olarak Selbu halkı bir tarım ve ormancılık toplumudur. Bu bölge özel örgü teknikleriyle de bilinir.




Ahlar, Saruhanlı

Ahlar , Manisa ilinin Saruhanlı ilçesine bağlı bir mahalledir.

Merkez Kurtuluş Mahallesi ve Mütev