ığını saptamak için bu değerler çok kullanışlıdır:

Bu tabloda sol taraftaki sütun bilinen bir aralığa düşecek değerlerin oranı verilmekte ve soldaki n sütunu ise aralığın genişliğinin kaç tane standart sapma birimini ihtiva ettiğini göstermektedir.

Normal dağılım bir iki parametreli üstel ailesi elemanıdır. İki tane doğal parametresi μ ve 1/σ olur ve doğal istatistikleri "X" ve "X" dir. Kanonik şeklinin parametreleri formula_71 ve formula_72 olup yeterli istatistikleri formula_73 ve formula_74 olur.

için formula_86 ise, o zaman formula_87 bir Cauchy dağılımıdır. 
Burada formula_97 olur ve formula_98 bir standart normal rassal değişken için bir olasılık yoğunluk fonksiyonu olur.

Puan verme çeşitlerinin çoğu normal dağılıma bağlı olarak ortaya çıkarılmıştır. Değişik puanlama yöntemleri arasında yüzbirliklerle sıralamalar, normal eğri eşitliklikleri, staninler, z puanı ve T-puanlaması vb. sayılabilir. Davranışsal bilimlerde kullanılan birçok istatistiksel yordamlar puanların normal dağılım gösterdiği varsayımına dayanılarak geliştirilmiştir. Örneğin çok kişiye uygulanan imtihan veya zeka testleri için bir çan eğrisine dayanan not verilip imtihan veya test sonuçlarının gruplanması veya sıralanması imtihan veya test notlarının normal dağılım gösterdiği varsayımına dayandırılır.

Normallik sınamaları, verilmiş bir veri dizisinin normal dağılıma benzerliğinin incelenmesidir. Bu sınamalarda sıfır hipoztez veri dizisinin normal dağılıma benzer olmasıdır. Bu nedenle normal olmayan veri için yeter derecede küçük bir p-değeri (yani genellikle %0,05'ten veya 0,01den küçük) ortaya çıkacak ve sıfır hipotez olan veri dizisinin normal dağılıma benzerliği hipotezinin ret edilmesine neden olacaktır.


Bir düşünce denemesi olarak, bir seri normal dağılım için

ifadesinin her biri diğerinden bağımsız olduğu düşünülsün. Her bir ifade beklenen değersi "μ" ve varyansı "σ">0 olan normal dağılımlar göstermektedir. İstatistikçiler bu "n" rassal değişkenin gözümlenen değerlerinin normal dağılım gösteren bir anakütleden ortaya çıkan bir "n" büyüklüğüde bir örneklem olduğunu kabul etmektedirler. Bu örneklemden gözlenen değerlere dayanarak "anakütle ortalaması" "μ" ve "anakütle standart sapması" kestirimcilerini bulmak arzu edilmektedir. Bu "n" sayıdaki bağımsız rassal değişken için sürekli ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyle verilir:

"μ" ve "σ" fonksiyonları olarak, "X", ..., "X" gözlemlerine dayanan olabilirlilik fonksiyonuşudur:

Burada "C">0 herhangi bir sabittir. Bunun genellikle "X"...,"X" değişkenlerine bile dayanarak bağlandığı kabul edilmektedir; ama hesaplanan parametrelere göre log-olabilirlilik fonksiyonların kısmî türevleri bulunduğu zaman sabit oldukları için elimine edilmektedirler.

Maksimum olabilirlilik yöntemine göre olabilirlilik fonksiyonu maksimize eden "μ" ve "σ" değerleri, teorik anakütle parametreleri olan "μ" ve "σ" için kestirim oldukları kabul edilmektedir. Genel olarak iki değişkenli bir fonksiyonun maksimum değerini hesaplanmaktayken kısmî türevler kullanılır. Ancak burada maksimum hesaplama daha kolaylaşmaktadır çünkü olabilirlilik fonksiyonunu maksimize eden "μ" değeri bulunmakta iken "σ" anakütle parametresi olan "σ"ya bağımlı olmayan bir sabittir. Bundan dolayı ilk olarak"μ" değeri bulunur; bu değer olabilirlilik fonsiyonundaki "μ" değişkeni yerine konulur ve bu yeni tek değişkenli fonksiyonu maksimize eden "σ" değeri bulunur.

Olabilirlilik fonksiyonunun şu toplam ifadesinin bir azalan fonksiyonu olduğu bilinmektedir:

Bu toplam ifadeyi "minimize" edecek "μ" değerini bulmak istenmektedir. Şu ifade

"n" gözleme dayanan bir "örneklem ortalaması"dır. Böylece

Bu ifadede so terim "μ" değişkenine bağlıdır ve bu terimin minimum değeri şöyle bulunur:

İşte bu ifade "n" sayıda "X"...,"X" gözlem kullanarak "μ"nun maksimum olabilirlilik kestirimidir. Sonuç olarak

elde edilir. Olabilirlilik fonksiyonunun logaritmasi olan "log-olabilirlilik fonksiyonu" matematik notasyona göre küçük harflerle (yaniformula_110, yazılması alışılagelmiştir.

Sonra

olur. Bu türev, "σ" değeri 0 ile

değeri arasında ise pozitif olur; bu değere eşitse türev sıfıra eşittir; bu değerden büyükse türev negatif olur.

Bu analizin sonucu olarak bu bulunan artıklar "n" gözlemli örneklem için "σ" bir maksimum olabilirlilik kestirimidir ve bunun kare kökü "σ" için maksimum olabilirlilik kestirimdir. Bu kestirim yaniformula_114 bir yanlı kestirimdir. Alışılagelen yansız kestirim "n"/("n" - 1) çarpı bu kestirimdir. Ancak yanlı maksimum olabilirlik kestirimi için ortalama hata karesi yansız kestirimden daha küçüktür.

Bir örneklemden elde edilen anakütle ortalamasının maksimum olabilirlilik kestirimcisi, anakütle ortalamasının yansız kestirimcisiolarak bilinir. Aynı şekilde anakütle ortalaması "önsel olarak" bilinirse, varyans için maksimum olabilirlilik kestrimcisi de yansız kestirimcidir. Ancak eğer elimizde bir örneklem bulunuyorsa ama bu örneklemin geldiği anakütlenin ne ortalamasının ne de varyansının değerlerin bilmiyorsak, anakütle varyansının yansız kestrimicisi, formula_5, şöyle ifade edilir:

Eğer tüm "X" birbirinden bağımsız ve aynı şekilde dağılım gösterirlerse, bu "örneklem varyansı" bir Gamma dağılımıgösterir:









İbolar

İbolar, Nijerya'nın güneydoğusunda yaşayan halk.

Nijer-Kongo dil ailesine ait Kva dillerinden birisini konuşan İbolar'ın nüfusu 21 milyon civarındadır. Çoğunlukla tarım ve ticaretle iştigâl eden İbolar, çok eşlidirler ve kabileler halinde yaşarlar. Atalarının ruhlarına ve tabiat güçlerine tapar, kâhinlere ihtiram ederler. Sömürge döneminde bir kısmı Hristiyanlığı kabul eden İbolar, İngilizlerden bağımsızlığın elde edilmesinde büyük rol oynamışlardır. 1966'da ülkenin kuzeyinde yaşayan Fulbeler ve Hausalarla çatışmış, Biafra Cumhuriyeti'ni ilân etmeleri neticesinde çıkan iç savaşta binlercesi ölmüştür.Bir kısmı terekeme olmuş Müslümanlığı seçmiş ve Ardahan ili Çıldır ilçesi Gölbelen köyünde yaşamaktadır.





Asya (şarkıcı)

Tülay Keçialan ya da bilinen adıyla Asya (d. 1 Mart 1965, Eskişehir), Türk şarkıcı.

1 Mart 1965 tarihinde, Ahmet-Şencan Keçialan çiftinin kızı olarak Eskişehir'de dünyaya geldi. Müziğe eğilimi ilkokul yıllarında başlayan, ortaokul yıllarında Eskişehir Halk Eğitim Merkezi'nde müzik eğitimi alan Asya, Eskişehir Ahmet Kanatlı Anadolu Lisesi'nde okurken Milliyet Gazetesi Liseler Arası Müzik Yarışması'nda Türk Halk Müziği dalında solist olarak birinci seçilmiştir.

Liseden mezun olduktan sonra müzik hayatına Bodrum'da başlayan ve daha sonra Ankara'da devam eden Tülay Keçialan, Nilüfer'in prodüktörlüğünde hazırladığı ilk solo albümüne kadar sahne adı olarak "Tülay Saygın" isimini kullanmıştır. Müzik kariyerine Bodrum'da başlayan Tülay Saygın, burada kendisini dinleyen müzisyen İlhan Feyman'ın teklifini değerlendirerek Ankara'ya gitmiştir. Ankara'da Grup Angora'nın solisti olarak çalıştığı dönemde İngilizce ağırlıklı repertuvarıyla çoğunlukla otellerin rooflarında sahneye çıkmıştır. Ayrıca Başkent ve Altınnal Gazinoları'nda Kadınlar matinesinde sahne almıştır. 1986 yılında Pazar günleri TRT Ankara Televizyonu'nda yayınlanan bir çocuk programında Grup Angora ile birlikte müzik yapmıştır. Ankara'da müzik çalışmalarını sürdürdüğü dönemde Eurovision Şarkı Yarışması Türkiye Finali'ne katılması yönünde gelen teklife olumlu yanıt veren Tülay Saygın, 24 Şubat 1990 tarihinde düzenlenen 1990 Eurovision Şarkı Yarışması Türkiye Finali'ne "Zamanda Gezinti" isimli şarkı ile katılmıştır. 1990 senesinde yarışan şarkıların diğer solistleri ise; İzel Çeliköz, Sibel Tüzün, Sevingül Bahadır, Sertab Erener, Oya Küçümen, Kayahan, Demet Sağıroğlu, Rüya Ersavcı, Candan Erçetin ve Fatih Erkoç gibi günümüzün önemli yorumcularıdır.

Tülay Saygın'ın, vokalistleri Adalet Güzey, Elif Öztürk ve Çelik Erişçi ile birlikte seslendirdiği bir Selmi Andak bestesi olan "Zamanda Gezinti" isimli şarkı 12 puan alarak onbeş şarkı arasında onuncu olmuştur. 1990 Eurovision Şarkı Yarışması Türkiye Finali'ni ise Kayahan ile Demet Sağıroğlu ikilisinin seslendirdikleri "Gözlerinin Hapsindeyim" kazanmıştır. "Zamanda Gezinti" daha sonra "Bir Dünya Doğuyor" ismiyle Nilüfer tarafından "Sen Mühimsin" isimli albümünde yorumlanmıştır. Tülay Saygın'ın Eurovision Şarkı Yarışması'ndaki performansını çok beğenen Nilüfer, Ankara'da bulunduğu bir gece kendisi ile tanışmak üzere şarkıcının çalıştığı Roof'a gitmiştir. Tülay Saygın'ın orkestra eşliğinde o yılların en meşhur şarkılarından Stop!'ı yorumladığı sırada içeri giren Nilüfer, solistin sesini çok beğenmiştir. Tülay Saygın'ın sahnesini de çok başarılı bulan Nilüfer, program bitiminde kendisine vokalistlik teklifinde bulunmuştur. Sekiz yıl Ankara'da Grup Angora'nın solistliğini yaptıktan sonra İstanbul'a taşınan Tülay Saygın müzik kariyerine Nilüfer ile devam etmeye başlamıştır. Nilüfer'in albümlerinde ve konserlerinde dört yıl boyunca kendisine vokalist olarak eşlik eden Tülay Saygın, zaman zaman da diğer önemli sanatçıların albüm çalışmalarında vokalist olarak yer almıştır.

Tülay Saygın, 1992 yılında ise sözü Mutlu Yuluğ'a müziği Önder Bilge'ye ait olan "Haykır Sevda Dağlarına" isimli şarkıyı yorumlayarak İstanbul Beyaz Güvercin Müzik Yarışması'nda birincilik kazanmıştır. Aynı yarışmada ikinciliği Suat Suna, üçüncülüğü ise İzel-Çelik-Ercan (İzel Çeliköz, Çelik Erişçi ve Ercan Saatçi) grubu elde etmiştir. 1992 senesinde yarışan şarkıların diğer solistleri ise; Coşkun Demir, Gülay Eralp, Meltem Taşkıran, Ersan Erdura'dır. Yine Tülay Saygın, Nisan 1994'te müzik marketlerdeki yerini alan ve bir Nilüfer prodüksyonu olan "Asya" isimli ilk albüm çalışması öncesinde yapılan imaj çalışması çerçevesinde ismini Asya olarak değiştirmiştir. Bu albümün en önemli hiti Onno Tunç bestesi "Vurulmuşum Sana" olmuş hemen hemen her müzik listesinde bir numaraya kadar yükselmiştir. Albümün diğer hitleri ise Sinan Bökesoy bestesi "Yoksun Sen" ve Klev Diamanti bestesi "Romantik Aşk"tır.

Asya'nın ikinci albümü 1996 Mayıs'ında yayınlanmış ve ilk klip Mustafa Sandal bestesi "Beni Aldattın"a çekilmiştir. Bu şarkının öneml