en önemlilerindendir.

Su kemeri İstanbul Fatih’te, bugün İstanbul Üniversitesi’nin bulunduğu tepe ile Fatih Camii’nin bulunduğu tepe arasında uzanmaktadır. Valens su kemerinin günümüzde ayakta kalan bölümü orijinal uzunluğundan 50 metre daha kısa olan 921 metrelik bölümüdür. "Atatürk Bulvarı", tıpkı tipik bir viyadükte olduğu gibi su kemerini taşıyan ayakların arasından geçerek devam etmektedir.

O zamanki adı Bizans olan şehrin su rezerv sisteminin inşası İmparator Hadrianus döneminde başladı. I. Konstantin zamanında şehrin yeniden yapılanması ve büyümesiyle birlikte hızla artan nüfusun ihtiyacını karşılamak için sistemin daha da genişletilmesine gerek duyuldu.

Su kemeri, suyunu Kâğıthane ile Marmara Denizi arasında kalan tepelerin yamaçlarından alan ve Trakya’nın tepelik bölgelerinden başkente kadar uzanarak şehrin su ihtiyacını karşılayan geniş su kemeri ve kanallar sisteminin - toplam uzunluğu 250 kilometreye kadar uzanan bu sistem antik dönemde yapılmış benzer sistemlerin en büyüğüdür - en son noktasında yer almaktadır. O zamanlar şehre gelen bu su, toplam kapasitesi 1 milyon metre küpten fazla olan üç açık ve Yerebatan Sarnıcı gibi yüzden fazla yeraltı sarnıcında depolanmaktaydı.

Su kemerinin yapımı kayser I. Konstantin'ín hükmettiği 306 ve 337 yılları arasında başlatılmış, 378 yılında kayser Valens tarafından tamamlanmıştır. Valens su kemerinin adı kendisinden gelmektedir. Su kemeri o zaman Kapitolyum’un bulunduğu üçüncü tepe (bugün İstanbul Üniversitesi’nin bulunduğu yer) ile Havariyun Kilisesi’nin bulunduğu dördüncü tepe (bugün yıkılarak yerine Fatih Camii’sinin inşa edildiği yer) arasındaki vadide uzanmaktadır. Söylentiye göre, Procopius isyanı sırasında çöken Kalkedon duvarının taşları kullanılarak yapılan su kemeri, 373 yılında dönemin valisi Klearchos tarafından Theodosius Forumu’nda , Yunan Mitolojisinde su perisi olarak geçen Nemflere ithaf edilerek törenle hizmete sokulmuştur.

382 yılında yaşanan şiddetli kuraklıktan sonra I. Theodosius tarafından Belgrad Ormanlarından şehre su taşıyan yeni bir su kemeri yaptırdı ("Theodosius Su kemeri" ). II. Theodosius döneminde, Valens su kemerinin suyunun Zeuksippos Banyolarına ve İmparatorluk Sarayına dağıtımı sağlandı. Muhtemelen bir depremde zarar gördükten sonra, Yerebatan ve Binbirdirek Sarnıçlarıyla bağlantılarını da tamamlatan Roma İmparatoru I. Justinianus tarafından restore ettirilen su kemeri son olarak ikinci bir su kemeri yaptıran II. Justinus tarafından 576 yılında tamir ettirilmiştir.

626 yılındaki Avar kuşatması sırasında sur dışında kalan kısmının bir bölümü yıkılarak su iletimi kesilen su kemeri, ancak 758 yılındaki büyük kuraklık zamanında V. Konstantinos tarafından yıkılan yerlerinin onartılmasıyla tekrar su iletilebildi. İmparator şehrin su rezerv sisteminin tamamını, Anadolu’dan ve Yunanistan’dan getirttiği işçiler vasıtasıyla Patrikios’a onarttırdı.

Su kemerinin diğer bakım çalışmaları II. Basileios (1019’da) ve III. Romanos döneminde gerçekleştirilmiştir. Su kemeri ile ilgilenen son Bizans İmparatoru I. Andronikos’tur. Ne Latin İmparatorluğu döneminde ne de Palaiologus hanedanı zamanında herhangi bir bakımdan geçmeyen su kemeri, şehrin nüfusunun 40-50 binlere kadar düşmesi üzerine eski önemini yitirmiştir. Fakat, buna rağmen Kastilyalı bir sefir olan "Ruy Gonzáles de Clavijo"’nun 1403’te Timur’u ziyareti dolayısıyla güzergahında bulunan İstanbul’dan geçerken belirttiğine göre o tarihte su kemeri hâlâ aktif olarak kullanılmaktadır.

Fatih Sultan Mehmet'in, İstanbul'u fethinden(1453) sonra, Eski Saray’a ve daha sonra Topkapı Sarayı’na da su sağlayacak olan rezerv sisteminin tamamı onarıldı ve kuzeydoğudan çekilen yeni bir hatla birleştirildi. 1509’da meydana gelen Büyük İstanbul Depreminde Şehzade Camii yakınlarındaki bölümü zarar gören su kemeri yıkılan kısımları kısa bir süre sonra tekrar inşa edildi. Aslına uygun bir restorasyon yapılmadığı için bu olay daha sonra caminin görünümünü engellediği için su kemerinin kısaltıldığı iddialarına neden oldu. II. Bayezid dönemi boyunca tamiratına devam edilen su rezerv sistemine yeni bir hat daha eklendi.
16. yüzyılın ortalarında, Kanuni Sultan Süleyman döneminde Şehzade Camii'nin yanında bulunan 47-51’inci su kemerleri gotik tarzda yeniden restore edildi ve yine aynı dönemde Mimar Sinan tarafından Belgrad Ormanlarından gelen su su kemerine bağlatılarak kullanılmaya devam edildi. Artan su miktarıyla birlikte Haliç kıyısında bulunan "Kırkçeşme" bölgesine su iletimi sağlandı ve yine bu bölgeye birçok çeşme yaptırıldı.

II. Mustafa zamanında 41 - 45’inci su kemerleri asıllarına uygun biçimde restore ettirilmiştir. Eserde bulunun 1696/1697 tarihli bir kitabede bu olay yad edilmektedir. II.Mustafa’nın halefi III. Ahmet döneminde şehrin su rezerv sistemi tekrar tamirattan geçirilmiştir. 1912’de Fatih Camii tarafında kalan kısmında 50 metrelik bir bölüm çökmüştür. Aynı dönemde su kemerlerinin doğu ucuna bir dağıtım merkezi yaptırılmıştır.

Deniz seviyesinden 63 metre yukarıda bulunan Bozdoğan Su kemerinin uzunluğu 971 metre, yüksekliğinin maksimuma ulaştığı noktanın yerden yüksekliği 29 metre ve eğimi 1:1000’dir. 1 - 40’ıncı, 46 - 51’inci su kemerleri İmparator Valens döneminde tamamlanmış, 41 - 45. kemerler Sultan II. Mustafa ve 52 - 56. kemerler Kanuni Sultan Süleyman dönemlerinde eklenmiştir. 18 - 73. kemerler çift, diğerleri ise tek katlıdır.

Bozdoğan Kemeri'nin temelleri günümüz yer seviyesinin yaklaşık 5.4 - 6.0 m. altında bulunmaktadır. Ayrıca yeni gerçekleştirilen jeofizik ölçümler sonucunda Bozdoğan Kemeri’nin Atatürk Bulvarı'nı kestiği yaklaşık 40 m.’lik kısımda ortalama 3 metre derinlikte kemer ayağına bağlı pervazların bulunduğu da kanıtlanmıştır.

Dümdüz bir yol şeklinde uzanan kemerlerin orijinal yapısı, Fatih Camii’sinin inşası sırasında bilinmeyen nedenlerden dolayı bükülmüştür. Düzenli bir duvarcılığa sahip olmayan yapıda kesme taşlar ve tuğlalar kullanılmıştır. İlk katında düzgün dörtgen taş blokların kullanıldığı yapının üst katları 4 - 7’gen taşların çimento ve demir mengeneler vasıtasıyla birbirlerine kenetlenmesi ile oluşturulmuştur. kemerlerin genişliği 7.75 metre ile 8.24 metre arasında değişmektedir. Sütunların kalınlığı 3.70 metre ve kavisler 4 metre genişliğindedir.

Kuzeydoğu ve kuzeybatıdan gelen sular surun dışında Edirnekapı yakınlarında birleşmekteydi. Su kemerlerinin doğu ucunda dağıtım tesisi bulunmakta ve Ayasofya’ya kadar uzanarak İmparatorluk Sarayı civarını beslemekteydi. 1950’lerde kemerdeki günlük su debisi 6.120 metreküptü ve Bizans döneminde şehir için önemli sayılan iki yol, kemerlerin doğu bölümünde kesişmekteydi.







Hilbert'in uçlar aritmetiği

Alman matematikçi David Hilbert'in 1871'deki bir makalesinde incelemiş olduğu hiperbolik geometri'nin Poincaré modeli için verdiği cebirsel geometrik yapı. Doğruların uçlarının oluşturduğu bir cisim ve bu cisim üzerinde tanımlı bir çarpımsal uzaklık fonksiyonu içeriyor. Öklit geometrisine ters olarak, doğruların koordinatları ve noktaların denklemleri bulunuyor.

Hiperbolik geometride her paralel ışın, hiperbolik düzlemin dışında bulunan bir noktada kesişir (bknz. izdüşümsel geometri). Ayrıca her yakınsak paralel ışın sınır çember denilen ideal noktalarda kesişir. Bu yüzden Hilbert, her ışının barındırdığı ideal noktaya "uç" terimini kullanarak her doğrunun tam iki uç ile tanımlanmasını sağlar. Noktayı da bir doğru demeti denklemiyle elde eder.

Bu şekilde yapılanmış cebirsel geometrinin üzerine bir hiperbolik analitik goemetri veya bir hiperbolik trigonometri inşa edilebilir. Böylece geometrik her problem uçların üzerine tanımlı bir cisim ile cebirsel bir probleme indirgenmiş olur.

Öncelikle, toplama tanımında toplamın varlığını veren "üç yansıma teoremi"ni vermek gerekir.


Şimdi buna dayanarak bir toplama tanımı verilebilir. Eğer yukarıdaki savda formula_5, "n=0" ve formula_6 alınırsa formula_7 olarak tanımlanabilir:
ki burada herhangi bir formula_9 için, formula_10 o ucun formula_11 doğrusundaki yansımasını ifade eder.


Toplama, iyi tanımlıdır ve "(H,+)" kümesini birim ögesi "0" olan Abelci bir öbek yapar. Eğer formula_20 kümesi tanımlanırsa, her "uç" düzlemdeki yakınsak paralel ışınların bir denklik sınıfı olduğundan, bu küme düzlemdeki tüm uçların kümesi olacaktır. Bu kümedeki her iki uç bir doğruyu temsil ettiğinden, toplama için birim öge niyetine bir doğruyu sabitleyip onu formula_15 uçlarına eşleyebiliriz.

Çarpmayı tanımlamak için öncelikle formula_15 doğrusuna "O" noktasında dik, birim öge niyetine bir doğru çekilebilir. Bu doğrunun bir ucuna "1" ve diğer ucuna da "-1" denir. Bu şekilde formula_15 doğrusunu "A" ve "B" noktalarında dik kesen doğruların uçları çarpımı; Öklitçi doğru parçaları cinsinden
eşitliğini sağlayan C noktasındaki dikmenin ucu olarak tanımlanır. Bu tanım aslında, paralel doğruların orijinle olan Öklitçi uzaklıklarının toplamı kadar uzaklıktaki paraleli üretmek sezgisidir. Daha matematiksel olarak,


Bu tanımın, formula_28 kümesini birim ögesi "1" olan değişmeli bir öbek yaptığı kanıtlanabilir. Artık bu iki işlemle birlikte formula_29 kümesi, birimleri "1" ve "0" olan değişmeli bir cisim olur.




Hiperbolik geometri

Hiperbolik geometri Öklid geometrisinden bir belitle ayrılır. Öklit'in paralellik belitinin tersini doğru olarak kabul eden geometride bir doğrunun dışındaki bir noktadan birden çok (sonsuz) tane paralel doğru geçebilir. Ayrıca bir üçgenin iç açıları toplamı her zaman iki tane dik açıdan küçüktür.

Hiperbolik geometri alanındaki ilk araştırmacılar paralellik beliti çevresinde bir tutarsızlık bulmaya çalışanlardan oluşuyordu: Proclus, Ömer Hayyam[1], Nasir al-Din al-Tusi, ve sonradan Giovanni Gerolamo Saccheri , John Wallis, Lambert, ve Legendre [2]. On dokuzuncu yüzyılda János Bolyai ve Nikolai Ivanovich Lobachevsky'ın çalışmaları çok etkili oldu, öyle ki Hiperbolik Geometri'nin bazı parçaları onların isimleriyle anılıyor. Karl Friedrich Gauss da bu alanda çalıştı, ancak çalışmalarını gizli tuttu. Sonrasında Eugenio Beltrami modeller sağladı, ve bu modeller