llerin önemli olduğuna inandı. İyi simgelerin geliştirilmesine çok önem verdi ve bu simgeleri matematik üzerine yaptığı buluşlarına atfetti. Sonsuz küçükler hesabı için geliştirdiği simge, bu konudaki yeteneği üzerine örnek gösterilebilir. 19. Yüzyıl’da göstergebilimin öncüsü C.S. Peirce Leibniz’in sembol ve simge tutkusunu paylaştı ve bunların matematik ve mantıkta esas olduğuna inandı.

Fakat Leibniz spekülasyonlarını daha da ileriye götürdü. Karakteri herhangi bir şekilde yazılmış sembol olarak tanımlarken, “gerçek” karakteri bir düşünceyi direkt olarak temsil eden sembol olarak tanımladı ve bu bir kelimenin düşünceyi somutlaştırması kadar basit değildi. Mantık simgeleri gibi gerçek karakterler muhakemeyi kolaylaştırmaya hizmet eder. Onun zamanında iyi bilinen Mısır hiyeroglifleri, Çin karakterleri, astronomi ve kimya sembollerini’nin gerçek karakterler olmadığını varsaydı. Ayrıca, Leibniz her düşüncenin bir “gerçek” karakter ile ifade edilebileceği insan düşünce alfabesi, "characterica universalis’in "veya “genel karakteristik” in yaratılmasını önerdi. 

Eğer insan düşüncelerini tam anlamıyla ifade edebilecek karakterler bulunursa, aritmetik ve geometride yapılabilecek herhangi bir işlem bu semboller ile insan muhakemesi üzerine yapılabileceği açıktı. İnsan muhakemesine yapılabilecek tüm araştırmalar bu karakterler transpoze edilerek ve bunun matematiğin bir kolu olması sağlanarak yapılabilirdi.

Karışık fikirler karakterler kombine edilerek basitleştirebilir ve ifade edilebilirdi. Leibniz, Gödel numaralamasının çarpıcı öngörüsü olarak asal çarpanlara ayırma yönteminin eşsizliğinin  asal sayılar için genel karakteristikte çok önemli bir rolü olduğunu gördü. Bunu varsayarak, asal sayıları kullanarak basit kavramları numaralandırmanın sezgisel ve belleksel bir yolu yoktu. Leibniz’in muhakeme üzerine evrensel dil ve semboller kullanarak hesaplamalar yapılabileceğine dair düşüncesi, ölçümlerin evrensel dilleri tanımladığı Turing tamlığında olduğu gibi 20. yüzyılda bu tür formal sistemlerdeki gelişmelerin belirtisiydi. (bknz:Turing testi)

Leibniz’in karakteristik üzerine ilk yazılarında henüz matematikte acemi olduğundan dolayı başlangıçta bunun cebir yerine evrensel bir dil ya da alfabe olduğunu düşünüyordu. 1676’da “düşüncenin cebiri”ni kavradı, geleneksel cebiri ve onun simgesini de ekleyerek modelledi. Sonuç olarak karakteristik; mantıksal kalkulus, bazı kombinasyonlar, cebir, onun durum analizi (durumun geometrisi), bir evrensel kavram dili ve fazlasını içeriyordu.  

Leibniz’i "characteristica "universalis ve calculus ratiocinator’u tasarlarken neyin itkilediği ve modern resmi mantığın kalkuluse yaptığı hakkaniyetin kapsamı muhtemelen asla belirlenemeyecek.

Leibniz Aristoteles’in öldüğü dönemden 1847’ye George Boole ve Augustus De Morgan modern genel mantık üzerine kitaplarını yazdığı süreye kadar en önemli mantıkçıydı. Leibniz bizim şu an telaffuz ettiğimiz; bağlaşım, ayrışım, olumsuzlama, özdeşlik, içinde bulunma ve boş küme gibi temel ilkeleri ortaya attı. Leibniz’in mantık ilkeleri ve tüm felsefesi muhtemelen ikiye indirgenir :

            1. Tüm fikirlerimiz insan düşüncesinin alfabesini oluşturan çok küçük sayıda basit fikirlerden oluşur.

            2. Karmaşık fikirler aritmetik çarpmaya benzer olarak, basit düşüncelerin homojen ve simetrik kombinasyonuyla oluşur.

Genel mantık 20. yüzyılın başlarında oluşmuştur ve minimum düzeyde tek bileşenli olumsuzlama ve nicel değişkenlerin genel söylemlerin üzerinde yayılmasını gerektirir.

Leibniz genel mantık üzerine hayatı boyunca herhangi bir şey yayınlamadı, bu konu hakkında yazdıkları yazılı taslaklardan oluşuyordu. Bertrand Russell Batı Felsefesinin Tarihi kitabında Leibniz’in yayınlanmamış yazılarında tasarladığı mantığın 200 yıl önceki seviyede olduğunu iddia etmiştir.

Matematiksel fonksiyon kavramının onun zamanında trigonometik ve logaritmik tablolarda kapalı olmasına rağmen, Leibniz 1692 ve 1694 yılları arasında eğriden türetilen apsis, ordinat, teğet, kiriş ve diklik geometrik kavramlarını kapalı olarak benimseyip, belirten ilk kişidir. 18. Yüzyılda “fonksiyon” bu geometrik birlikteliğini yitirmiştir. Leibniz lineer denklemlerdeki sistemin katsayılarının şu an matris olarak adlandırdığımız bir düzene göre ayarlanarak sistemin sonucunun bulunabileceğini gören ilk insan olmuştur. Bu yöntem daha sonra Gauss eleme yöntemi olarak adlandırılmıştır. Leibniz’in Boole cebiri ve sembolik mantık buluşları ayrıca bir önceki bölümde bahsedildiği gibi matematikle de alakalıdır. Leibniz’in matematik üzerine yazılarının en iyi genel taslağı Bos (1974)’da bulunabilir.

Leibniz Sir Isaac Newton ile beraber sonsuz küçükler hesabını (diferansiyel ve integral kalkulusu kapsayan) bulan kişi olarak bilinir. Leibniz’in defterlerine göre kritik dönüm noktası tarihte ilk defa "y=f(x) "grafiğinin altındaki alanı integral kalkulusu kullanarak bulmaya çalışmasıyla 11 Kasım 1675’te gerçekleşmiştir. Şu an da kullanılan bazı simgeleri tanıttı, Latince kelime "summa’dan "gelen ve" "S harfinin uzatılmış hali gibi görünen ∫ simgesi ve Latince kelime "differentia"’dan gelen ve diferansiyel için kullanılan "d "simgesi bunlara örnek olarak gösterilebilir. Bu kavramları zekice simgelendirmiş olması, muhtemelen matematik için en önemli mirasıdır. Leibniz 1684’e kadar kalkulus üzerine herhangi bir şey yayınlamadı. Diferansiyel kalkulusteki ürün kuralı (the product rule) hala “Leibniz Yasası” olarak adlandırılır. Buna ek olarak, integral işaretinin altında nasıl ve ne zaman diferansiyel alınacağını anlatan teorem Leibniz integral yasası olarak adlandırılır. Leibniz kalkulus’u tasarlarken sonsuz küçüklerden manipulasyon yöntemiyle paradoksal cebirsel özellikleri olduğunu belirterek faydalandı. George Berkeley "The Analyst" ve "De Motu "kitapçıklarında bunu eleştirdi. Şimdiki zamanda yapılmış araştırmalar, Leibniz’in kalkulusunun Berkeley’in deneyci eleştirilerine göre daha sağlam temelli ve çelişkilere açık olduğunu tartışmaktadır. 1711’den ölümüne kadar, Leibniz kalkulusu Newton’dan bağımsız olarak bulmasına rağmen John Keill, Newton ve diğerleri ile ihtilaf içerisindeydi. Bu konu “Leibniz-Newton controversy” adlı makalede daha detaylı bir şekilde ele alınmıştır.

Sonsuz küçükler Karl Weierstrass’ın takipçileri tarafından resmi olarak matematikten çıkarıldı fakat bilimde, mühendislikte ve hatta matematiğin sıkı bir bölümü olarak bilinen temel hesaplama aygıtı diferansiyellerde ayakta kaldı. 1960’ın başlarında Abraham Robinson hiperreel sayılar bağlamında model teorisini kullanarak Leibniz’in sonsuz küçüklerine çalıştı. Bu ölçüm dışı analizin sonucu Leibniz’in matematiksel muhakemesinin gecikmiş bir intikamı olarak görülebilir. Robinson’un transfer prensibi Leibniz’in bulgusal süreklilik yasasının matematiksel uygulamasıyken, standart parça fonksiyonu Leibniz’in türdeşliğin aşkın yasasını sağlar.

Leibniz "analysis situs"(konumun analizi) terimini ilk kullanan insandır, daha sonra 19. Yüzyılda topolojiyi ifade etmek için kullanılmıştır. Bu konuda iki tane alıntı vardır. Bir taraftan, 1954’te Jakob Freudenthal almanca kaleme aldığı yazısında :

Leibniz’e göre nokta dizilerinin konumları tamamı ile aralarındaki mesafeyle belirlenmesine ve konumlar değiştiğinde aralarındaki mesafe de değişmesine rağmen, onu takdir eden Euler ünlü 1736 Konigsberg Köprü Problemi ve onun genellemelerinde konumun topolojik deformasyonlarda değişmeden kaldığı "geometria situs" terimini kullandı. Bu kavramı oluştururken Leibniz’e yanlışlıkla atfetti…Leibniz’in bu terimi tamamı ile farklı bir amaç için kullandığı ve böylelikle az bir olasılıkla matematiğin bu kısmının bulucusu olduğu kimi zaman fark edilmez.

Fakat Hideaki Hirano Mandelbrot’tan alıntılayarak bu konuya daha farklı bakar :

Leibniz’in bilimsel çalışmalarını örneklemek ayıltıcı bir deneyimdir.  Kalkulus’un yanında ve tamamlanmayı sürdüren diğer düşünceler ile uyarıcı baskıların sayısı ve çeşitliliği bunaltıcıdır. ‘paketleme’ içerisinde bazı örnekler gördük. Leibniz’e olan düşkünlüğüm bir an için geometrik ölçeklemeye gerekli önemi verince fazlasıyla pekişti. Öklid’in aksiyomlarını sağlamlaştırma girimi olan “Euclidis Prota”da şunu ifade eder,… :’Düz doğru için elimde çeşitli tanımlar var. Düz doğru bir eğridir, herhangi bir parçası bütüne benzerdir ve yalnızca bu özelliğe sahiptir, sadece eğrileriniçine değil ayrıca setlerin içinedir.’ Bu iddia bugün kanıtlanabilir.  

Böylelikle fraktal geometrisi Mandelbrot’un Leibniz’in kavramları özbenzeşlik ve süreklilik prensibi üzerine çizimleriyle desteklendi : "natura non saltum facit". Ayrıca Leibniz’in metafizik bir unsur olarak ele aldığı “düz doğru bir eğridir, herhangi bir parçası bütüne benzerdir” fikri topolojiyi 2 yüzyıl önceden sezdiğini gösterir. “paketleme” için, Leibniz arkadaşı ve yazıştığı Des Bosses’e bir çember, sonra içine üç tane eş ve maksimum yarıçaplı çember hayal etmesini söyledi; küçük çemberler aynı prosedürle üç tane daha küçük çemberlerle doldurulabilirdi. Bu süreç
sonsuza dek devam edebilir ve özbenzeşlik üzerine iyi bir fikir ortaya çıkarır. Leibniz’in Öklid’in aksiyomunun gelişimi aynı kavramı içerir. 

Leibniz’in yazıları, sadece yarattıkları beklentiler için ve henüz keşfedilmemiş icatlar için değil, gelişmekte olan günlük bilgi için, günümüzde tartışılıyor. Fizik üzerine yazdığı çoğu yazı  Gerhardt'ın "Matematiksel "yazılar"’ına dahil edilmiştir"

Leibniz, statiğe ve dinamiğe makul miktarda katkıda bulundu. O, kinetik enerji ve potansiyel enerji üzerine kurulu uzayı göreceli olarak belirleyen yeni bir dinamik teorisi tasarlamıştır, Oysaki Newton uzayın mutlak olduğuna tamamen ikna olmuştu. Onun fizik açısından olgunluğunun en önemli örneği onun 1695’in "Specimen Dynamicum’u". Atomaltı parçacıklar ve quantum mekaniğinin keşfine kadar, Leibniz’in doğanın yönleri hakkında statik’e ve dinamik’e indirgenemeyecek türden spekülatif fikirleri anlam kazanmıştı. Örneğin Albert Einstein’ı öngörerek,  Newton’a karşı uzay, zaman ve hareketin mutlak değil göreceli olduğunu savundu: "B