okta boyunca geçiş yapan tüm hareketli parçacıkların hızını ölçerken, ikinci durumda bahsedilen aygıt akışkan ile beraber hareket ederken hızdaki değişimi ölçer.

Aynı durumda, yoğunluk, sıcaklık vb. değişimler de ölçümü etkileyecektir. Bu nedenle, bu iki hal için bir ayrım yapılmalıdır. Bir alanın boşluktaki sabit bir pozisyona göre türevi "uzaysal (spatial)" veya "Euleryen türev (Eulerian derivative)" olarak adlandırılır. Hareketli bir parçacığın izlenmesi türevi "gerçek (substantive)", "Lagrangyan (Lagrangian)" veya "maddi (material)" türev olarak adlandırılır.

Gerçek türev şu şekilde tanımlanır:

Burada formula_4 akışkanın hızıdır. Denklemin sağ tarafındaki ilk terim alışılmış Euleryen türevi (sabit bir referans üzerindeki türev) iken, ikinci terim akışkan hareketi ile oluşan değişiklikleri ifade eder. Bu etki adveksiyon olarak adlandırılır.

"Navier-Stokes denklemleri", aşağıdaki korunum kanunlarından türetilir:


Ek olarak, akışkan için bir durum denklemi bağıntısı kabulu yapılması gereklidir

En genel biçimde, bir korunum kanunu şunu ifade eder, bir kontrol hacmi üzerinde tanımlanmış hacim özelliği (bulk property) değişiminin oranı formula_5 hacim sınırları boyunca hareket eden akışkanın dışarı taşıdığı kayıp ve artı kontrol hacminin iç tarafındaki kazançlar ve kayıplara eşit kabul edilir. Bu, aşağıdaki integral denklemi ile ifade edilir.

Bu denklemde v akışkanın hızı ve formula_7 akışkan içindeki kazançlar ve kayıplar olarak ifade edilir.

Eğer kontrol hacmi boşluk içinde sabitlenmiş ise bu integral denkleminden aşağıdaki şekilde bir ifade yazılabilir.

Ayrıca, kontrol hacminin içinde, bu son denklemde elde edilmiş olan sağ taraftaki ilk terimin ifade edilmesi için diverjans teoremi kullanılmıştır. Böylece:

Yukarıdaki ifade boşlukta sabit kalan bir kontrol hacminde formula_1 için geçerlidir. Çünkü formula_1 zaman içinde sabittir, değişmez. Bu sayede "formula_12" ve "formula_13" ifadeleri birbirinin yerine yazılabilir. Böylece ifade "tüm" alanlar için geçerli olur, ve integral çıkartılabilir.

Gerçek türev , formula_14 olduğunda (kazanç ve kayıp yokken) elde edilir.

Kütlenin korunumu şu şekilde yazılır:

Burada formula_19 kütle yoğunluğu (birim hacim başına kütle), v akışkanın hızıdır.

Sıkıştırılamaz bir akışkan için formula_19 akış hattı boyunca değişmez ve denklem şu hale indirgenir:

Momentumun korunumu, yoğunluk yerine momentumun vektör bileşenleri ve akışkan üzerine etkiyen kuvvetler ile, süreklilik denklemine benzer bir yaklaşım yapılarak ifade edilir. Süreklilik denkleminde formula_19 yerine belirli bir yönde birim hacim başına net momentum yazılır, formula_23, burada formula_24 hızın formula_25 bileşenidir. (hız "x", "y" veya "z" yönleri boyunca olmak üzere)

formula_27 , akışkan üzerine etkiyen kuvvetin formula_25 bileşenidir (her birim hacim başına gerçek kuvvet). Genel kuvvetler yerçekimi ve basınç gradyenlerini kapsar. Bu şu şekilde de ifade edilebilir:

Ayrıca, formula_30 bir tensor'dür, formula_31 tensor çarpımını ifade eder.

Süreklilik denkleminin kullanımı daha da basitleştirilebilir ve şu hale gelir:

Genel kullanımda aşağıdaki gibi de yazılabilir

Bu bağlamda F=ma ifadesi doğrulanmış olur.

Momentumun korunumu için Navier-Stokes denklemlerinin genel biçimi :

Burada formula_19 akışkan yoğunluğu, v hız vektörü ve f kitle kuvvet vektörüdür.

formula_36 tensörü, akışkan parçacığı üzerine uygulanmış yüzey kuvvetleri olarak tanımlanır (gerilme tensörü). Akışkan girdap gibi bağımsız bir eğme bükme hareketi yapmadıkça, formula_36 simetrik bir tensördür. Genel olarak, biçim:

Burada formula_39 normal gerilmeler, formula_40 teğetsel gerilmeler (kesme gerilmeleri) ve p gerilme tensörünün izotropik parçası ile birleştirilmiş statik basınçtır.

formula_41 matris izi (İng. "trace") "akışkanın dengede olup, olmadığı mutlaka" tanımlanması (hacim vizkozitesi (bulk viscosity) olmadıkça) ile "daima" -3p'dir.

Sonuç olarak:

Burada formula_43, formula_36'nin izsiz (traceless) parçasıdır.

Bu denklemler hala tamamlanmamıştır. Tamamlamak için, formula_36'nin şekli üzerinde bir varsayım yapılmalıdır, şöyle ki, gerilme tensörü için aşağıda gösterildiği gibi bir süreklilik kanununa ihtiyaç vardır.

Akış, sürekli ve diferansiyel kabul edilmiş ve korunum kanunları çerçevesinde kısmi diferansiyel denklemler ile ifade edilmiştir. Akışın sıkıştırılamaz (sabit yoğunluk) olduğu durumda, değişkenler, basınç ve hız bileşenleri için çözülmüştür. Bu değişkenler, "Navier-Stokes denklemlerinin" üç bileşeni, kütlenin korunumu (süreklilik denklemi) ilave edilerek, kapalı bir sistem için kısmi diferansiyel denklemler ile , sınır şartlarına uygun olarak çözülebilir. Sıkıştırılamaz akış durumunda, yoğunluk sistem için diğer bir bilinmeyen haline gelir, sistem için bir durum denklemi ilavesi ile saptanır. Durum denkleminde genelde akışkanın sıcaklığı işin içine girer, o yüzden denklem enerjinin korunumu için de mutlaka çözülmelidir. Bu denklemler non-lineer'dir (yani lineer değildir) ve kapalı formdaki analitik çözümleri sadece çok basit sınır şartları için bilinir.

Denklemler, akım ve girdap fonksiyonu ikinci değişkenleri için Wilkinson denklemlerine dönüştürülebilirdir. Çözüm akışkan özelliklerine (viskozite, özgül ısı ve ısıl iletkenlik gibi) ve çalışma alanındaki sınır şartlarına bağlıdır.

Denklem akışkanlarla ilgili problemlerin çözümü için, genel bazı durumlar için sadeleştirilip, genelleştirilerek kullanılabilir.

Burada

Buradan denklemi türetebilmek için, öncelikle denge hali ifade edilir, p=-pδ. Newtonyen bir akışkan için, bu denge değerinden gerilim tensörünün sapması, hızın gradyeni içinde lineerdir. Galile sabiti (Galilean covariance) nedeni ile açık şekilde hız üzerinde bağımlı değildir. Diğer bir ifade ile, p+pδ, formula_49 de lineerdir. Akışkanların dönme sabiti belirlenir ("sıvı kristal (liquid crystal) olmayanlar"). p+pδ izli ve izsiz simetrik tensörlerine ayrılır. Benzer olarak formula_49 izli, izsiz simetrik ve antisimetrik tensorlere ayrılır. Antisimetrik parça sıfıra gider, izli parça ve izsiz simetrik parçaya uygun iki katsayı vardır. formula_49 nin izsiz simetrik parçası, formula_52 dir, burada d uzaysal ölçü sayısıdır ve izli parça formula_53 dır. Bu nedenle, en genel lineer dönme sabiti şu şekilde verilir;

μ ve μ bazı katsayılardır. μ kesme vizkozitesi (shear viscosity) ve μ hacim vizkozitesi (bulk viscosity) olarak adlandırılır. Bu ampirik (deneysel) bir incelemedir, hacim vizkozitesi çoğu akışkan için ihmal ediliebilirdir, bu nedenle çoğu zaman ihmal edilir.

Denklem içinde −2/3 ile çarpım görünmesi bununla açıklanır. Bu çarpım, 1 veya 2 uzaysal boyut içinde değiştirilebilir.

Burada, "Einstein notasyonu" kullanılmıştır.

Tamamı için yazıldığında, bu karmaşık denklem şu hali alır:

Momentumun korunumu:

Kütlenin korunumu:

"Yoğunluk" bilinmediği zaman, diğer bir denklem gereklidir.

Enerjinin korunumu:

Burada: 

formula_63 yüksek süpersonik ve hipersonik uçuşlar gibi sıradışı örnekler hariç, çoğunlukla ihmal edilebilirdir.

İdeal gaz kabul edilir:

Altı bilinmeyen (u, v, w, T, e and formula_19) ve altı denklemden oluşan yukarıdaki gibi bir çözüm sistemi elde edilmiş olur.

Bingham akışkanlarında, bazı yerlerde durum biraz daha farklıdır:

Bunlar, akış başlamadan önce bir miktar kesme dayanım kabiliyetleri olan akışkanlardır. Örnek olarak, "diş macunu" verilebilir.

Bu akışkan, kesme gerilimi için, ideal hal almış akışkandır, formula_40 şu şekilde verilir;

Bu form, hemen hemen genel akışkanların tüm çeşitlerine uygulanır.

Navier-Stokes denklemleri,
momentumun korunumu ve
kütlenin korunumu için

Burada

Eğer, formula_46 akışkan üzerinde eşit dağılmış ise, momentum denklemi üzerinde şu basitleştirmeler yapılır:

Ek olarak, eğer formula_19 sabit farzedilirse şu sistem elde edilir:

Süreklilik denklemi (sıkıştırılamazlık kabulu ile):

Navier-Stokes Süreklilik denklemi silindirik koordinatlar için şöyledir:

Silindirik koordinatlar için Navier-Stokes denklemleri de şu şekilde yazılır:

r momentum:

formula_91 momentum:

z momentum:

Şunu ifade etmek gerekir ki, Navier-Stokes denklemleri akışkan akışını sadece yaklaşık olarak tanımlayabilir ve çok küçük ölçeklerde veya sıradışı şartlarda, gerçek akışkanlar diğer maddeleri ve molekülleri içeren karışımlardır, Navier-Stokes denklemleri ile homojen ve sürekli akışlar modellenmiş ve bunun üzerinden sonuçlar elde edilmiştir. Bununla beraber Navier-Stokes denklemleri pratikteki problemlerin çözümü için, geniş bir aralıkta faydalı olur.






TCG Berk (D-358)

TCG Berk (D-358), 1971 yapımı "Berk sınıfı" bir refakat muhribidir.

Berk sınıfı, ABD Claud Johes sınıfı benzeri bir refakat muhribi sınıfıdır.




Ef (Kiril)

Latin abecesindeki "F"'ye eşdeğer Kiril Abecesi harfi. (Ф : Büyük Harf. ф : Küçük Harf)

Örneğin;

Rusça : Франция : Frantsiya (Franciya) (Fransa : tr)




Çuvaşça

Çuvaşça (Çuvaşça: Чӑвашла / "Çavaşla"), Rusya'nın orta kesiminde, Ural Dağları’nın batısında konuşulan çağdaş dönem Türk yazı dillerinden biridir. Türk dillerinin Ogur-Bolgar grubu öbeğinden varlığını korumuş tek dilidir. Çuvaşça, Çuvaşların anadili ve Çuvaşistan’ın resmî dilidir. Yaklaşık iki milyon kişi tarafından konuşulur. 2002 verilerine göre Çuvaşistan’da bu dili konuşan nüfusun % 92 etnik olarak Çuvaş, % 8’i ise başka etnik kökenlidir.

Çuvaşça, okullarda eğitim dili olmasına ve medyada kullanılmasına karşın, Rusçanın yaygın kullanımından dolayı tehlike altında olan bir dildir.

Volga dirseğindeki Kazan'da, ileride -Tatarlar ve Başkırlar arasında dağılmış olarak- Volga ve Ural arasındaki bölgede, nispeten az olan sayılarına rağmen (1959 sayımına göre 1.470.000) dil bilim ve etnoloji açısından en ilgi çekici ve en önemli Türk halklarından biri olan Çuvaşlar (Çavaş) yaşar. Hem farklı etnik hususiyetleri hem de ağız hususiyetlerine göre Çuvaşlar iki ana gruba ayrılırlar: Kozmodem'jansk, Çeboksary, Jadrin ve Kurmyş kasabalarında Yukarı Çuvaşlar (viryal < *üz el "yukarı memleket, yukarı halk") ve Aşağı Çuvaşlar (anatri < *enet ôegi ? 'aşağıda [Volga ve devamında] bulunanlar'