ormula_16
Yazılan ilk terim kütle merkezinin açısal momentumudur. Bu sonuç tek bir M kütleli cisim için kütle merkezinde v hızı ile hareket etmiş olsa idi aynı açısal momentum olurdu. Yazılan ikinci terim ise her bir parçacığın kendi içerisindeki açısal momentumlarıdır. İkinci terim daha da basitleştirilebilir. Kütle merkezindeki parçacıkların eylemsizlikleri ve açısal hızları dönüş hareketinden dolayı toplanır ve açısal momentumu verir.

Eğer bir sistemde sadece dönüş ile ilgileniyorsak, cismin açısal momentumunu skaler bir birimmiş gibi inceleyebiliriz ve bunun için saat yönünün tersinde hareket ettiği zamanları incelemeliyiz. Bunu yapabilmek için formülümüzde vektör çarpımının yerine birim vektörü ekleriz ve açısal momentum böylelikle son halini alır;
formula_17
"θ" r ve p noktaları arasındaki hesaplanmış açıdır.

formula_18
formula_19 p’ye göre kaldıraç kol uzaklığıdır.
İşlem kolaylığı açısından düşünmemiz gereken kaldıraç kol uzaklığını merkeze ve p noktasından geçen bir çizgi üzerinde almamızdır. Bu tanımla beraber p noktasının yönünü (saat yönünü yoksa tersi mi) belirlenirse "L" nin işareti bulunabilir;
formula_20
formula_21 p nin r üzerindeki dik bileşenidir. Görüldüğü gibi açısal momentumun işareti dönüş yönüne göre belirlenir.
Sabit kütleli ve sabit bir eksen üzerinde dönüş yapan cisimlerin açısal momentumu eylemsizliğin bir ürünü olarak kabul edilebilir ve açısal hız vektörü;
formula_4
"I" cismin anlık eylemsizliğidir ve ω açısal hızdır. Büyük kütleli bir cismin kinetik enerjisi "T";
formula_23
formülü ile bulunabilir ve görüldüğü gibi açısal hızı karesi, kinetik enerji ile orantılıdır. Tıpkı ötelenimsel enerji ve ötelenimsel hız gibi. Genellikle açısal hız vektörü dönüş ekseni yönünde iken, açısal momentum bu yönde değildir. Bunun sebebi cisim üzerindeki kütle dağılımının nasıl olduğunu bilmememizdendir. Genellikle yönler ve büyüklükler arasındaki bağlantılar ω ve L yönleri eylemsizliğin ikinci dereceden gergisinden bulunur;
formula_24
gergi tanımlaması uygulanır ve toplam işlemleri yapılırsa ("i", "j" = 1, 2, 3)
Kinetik enerjinin genel tanımı;
formula_25

Açısal momentumun korunum yasası: kapalı bir sistemdeki cisme dışarıdan herhangi bir tork etki etmediği sürece açısal momentumda bir değişiklik olmayacağını tanımlar. Herhangi bir olay öncesinde cisim üzerinde sadece iç torklar etki ettiği için açısal momentumda bir dış tork olmadığı sürece değişme görülmez. Bu korunum yasası matematiksel olarak yönbağımsızlıktan bulunur ve sonsuz yön kabul edildiği için hiçbir yön bir diğerinden farklı değildir. Noether teoreminde de görüldüğü gibi açısal momentumun zamana göre türevi torktur;
formula_26
Hız ve momentumun vektör çarpımı sıfırdır çünkü vektörler paraleldir. Sistemin kapalı olduğu kabul edilirse ve matematiksel olarak sıfır kabul edilirse dışarıdan etki edebilecek sıfır tork;
formula_27
formula_28 sistemdeki parçacıklara etki eden torktur. Sistem içindeki kuvvetlerin Newton’unun üçüncü yasasına uyduğu kabul edilir. Bu demektirki parçacıkların birbirlerine uyguladığı kuvvetler birbirlerine eşittir. Yörüngelerde ise açısal momentum gezegenin hem kendi etrafında hem de yörüngesi etrafındaki dönüşüne dağılmıştır.
formula_29;
Eğer bir gezegenin beklenildiğinden daha yavaş hareket ettiği gözlemlenirse bunun sebebi gezegenin etrafında bir uydusu olmasıdır ve toplam açısal momentum gezegen ve uydusu arasında bölüşülür. 
Açısal momentum genellikle kütle çekim kuvvetinin incelenmesinde kullanılmıştır. Eğer net kuvvet bir cismin sürekli olarak merkezine uygulanıyorsa bu cismin merkezine göre torku yoktur ve bu sebeple cismin açısal momentumu sabittir. Açısal momentumun sabit olması gezegenlerin yörüngelerini incelerken ve Bohr atom modelleri incelirken çok kullanışlıdır.
Açısal momentumun korunumunun en kolay açıklanabildiği olaylardan biri bir buz patencisinin hareketleridir. Kollarını dikey dönüş eksenine göre kapattığı zaman hızlanmaktadır. Kollarını kendine doğru çektiği zaman gövdesinin anlık eylemsizliğini düşürmektedir ve açısal momentum sabit olduğu için dışarıdan bir tork etki etmediği sürece açısal hız artacaktır. 
Aynı olay çok hızlı dönmekte olan yıldızlar içinde geçerlidir (beyaz cüce, nötron yıldızları, kara delikler). Bu cisimler oluşurken kendilerinde daha büyük ve daha yavaş dönüş yapan yıldızlardan meydana gelmişlerdir (bir cismin boyutunun 10 azaltılması, açısal hızının 10 kat artmasına neden olur.
Dünya ve Ay arasındaki açısal momentumun korunumu aralarındaki açısal momentum transferleriyle gerçekleşir. Dünya ve Ay arasındaki bu geçişler dalga torklarında kaynaklanır. Bu olaylar dünyanın dönüş hızını yaklaşık 42 ns/day azaltır ve Ay’ın yörüngesinin ~4.5 cm/year rate artmasına neden olur.

Modern (20.yüzyılda teoremsel fizik ve açısal momentum bir iç açısal momentum olarak kabul edilmemiştir) fizikte açısal momentum daha farklı bir yolla formülüze edilmiştir. 
Bu formülde açısal momentum Noether birimlerini ikinci formu olarak kabul edilir. Sonuç olarak açısal momentum uzay zamanda genellikle korunmaz ta ki asimptotik olarak dönüşü değiştirilmez ise.
Klasik mekanikte bir parçacığın açısal momentumu bir düzlem elemanı olarak tanımlanabilir;
formula_30
bu formülde dış çarpım& ve vektör çarpımı x in yerini alır. Bu daha basit bir geometrik düzlem oluşturulmasını saglar ve x ile p vektörleri kullanılır. İşlemler iki veya daha fazla boyutlar için geçerlidir. Kartezyen koordinatlarda;
formula_31
veya daha detaylı iç gösterim ile;
formula_32
Bu açısal hız tanımı anti simetrik ikinci dereceden gergi olarak da tanımlanabilir birimleri; "ω". Bu iki anti simetrik gerginin arasındaki bağıntı eylemsizlikle açıklanabilir ve gergi dördüncü dereceden olmalıdır;

Bu denklemdeki L ve ω herhangi bir boyutta doğruluğunu korur. Bu denklem geometrik matematiksel işlemlerde de görülür L ve ω bu sefer ortak vektörlerdir ve eylemsizlik arasında bir bağlantı oluşturur.
Göreceli mekanik ve göreceli açısal momentumda parçacıklar antisimetrik ikinci dereceden gergi ile ifade edilirler;
formula_34
Dört vektör dilinde dört yer "X" ve dört momentum "P" yukarıda ifade edilen L yi parçacıkların kütle merkezi hareketiyle yok ederler. Yukarıda anlatılmış olan her durum için çoklu parçacıkların olduğu bir sistemdeki açısal momentum oradaki her parçacığın ayrı açısal momnetumunun toplamına eşittir.

Kuantum mekaniğindeki açısal momentum klasik fizikte anlatılmış olan açısal momentumdan biraz daha farklıdır. Göreceli kuantum mekaniğinde ise neredeyse bağlantıları kalmaz hale gelir çünkü açısal momentum artık tensörel çarpım haline gelmistir.

klasik açısal momentum tanımı;
formula_3
kuantum mekaniği ile daha ileriye taşınabilir. r nin yerine kuantum yer işlemcisi, p nin yerine momentum işlemcisi konulur. L ise bir işlemci haline dönüşür ve orbital açısal momentum işlemcisi adını alır.
Ancak, kuantum fiziğinde bir başka açısal momentum türü vardır ve ismi dönüş açısal momentumudur ve S ile gösterilir. Neredeyse her element parçacığın dönüşü vardır. Dönüş genel olarak bir eksen üzerinde dönüş yapma olarak tanımlanır ancak bu eksik ve yanlış anlaşılma yaratan bir resimdir. Dönüş parçacıkların doğası olan bir olaydır ve orbital açısal momentumdan farklıdır. Her element parçacığın kendine ait dönüş özelliği vardır örneğin elektronların dönüşü her zaman 1/2 dir. Fotonların ise 1 dir. 
Sonuç olarak toplam açısal momentum J, dönüş ve orbital açısal momentumun her parçacık için toplamını ifade eder. (bir parçacık için J= L + S). Açısal momentumun korunumu J için geçerlidir ancak L veya S e işlemez. Toplam korunduğu sürece açısal momentum S ve L arasında artıp azalabilir.

Kuantum (nicem) mekaniğinde açısal momentum nicem bir yapıya sahiptir, yani sürekli olarak değişime uğrayamaz yalnız istenilen miktarlarda kuantum sıçramaları yapabilir. Herhangi bir sistem için aşağıda verilmiş uygulamalar her zaman geçerlidir. formula_36 düşürülmüş Planck sabiti, formula_37 herhangi bir yön vektörüdür x, y, z gibi.
Düşürülmüş Planck sabiti formula_36 normal standartlarda 10 J s dir. Bu sebepten ötürü açısal momentumu nicem oranı makroskopik cisimleri etkileyemeyecek kadar küçüktür. Ancak mikroskopik sistemlerde oldukça önemlidir.Örneğin kimyada işlenen elektron katman ve tabakalarında açısal momentumun nicemlenimlenmesi çok önemlidir. Açısal momentumun nicemlenimlenmesi ilk olarak Niels Bohr tarafından Bohr atom modelinde ortaya sunulmuştur.

formula_3 formülünde altı adet işlem elemanı bulunmaktadır. Bunlar; yer işlemcileri formula_40, formula_41, formula_42 ve momentum işlemcileri formula_43, formula_44, formula_45. Heisenberg belirsizlik kuramlarına göre formülümüzde bulunan altı işlem elemanının kesin değerlerinin hepsi için aynı anda bulunması mümkün değildir. Bu sebeple bir parçacığın açısal momentumunu bulurken bazı kısıtlamalarla karşılaşırız. Yapılabilecek en tutarlı hesaplamalar tek bir eksen ve düzlem üzerindeki açısal momentum vektörünün yön ve değerini bulmaktır. Belirsizlik yasasının ifade ettiği gibi açısal momentum işlemcisinin değişik bileşenleri bir arada bulunamaz örneğin formula_46.

Yukarıda anlatıldığı gibi klasik mekanikteki açısal momentum L formula_3 ile ifade edilir ancak toplam açısal momentum J daha farklı ve basit bir yolla dönüş yaratan olarak ifade edilir ve işlemcisi;
formula_48
dönüş işlemcisidir ve her sistemde dönüşü ifade eder formula_49 açısı ile formula_50 ekseninde.
Açısal momentum işlemcisi ve dönüş işlemcisi arasındaki bağıntı lie matematiği ve lie grupları ile ifade edilebilir. Açısal momentum ve dönüş arasındaki bağıntı Noether teoreminde gösterilmiştir ve açısal momentumun fizik kuralları gereğince korunduğunu ispatlamıştır.

Yüklü bir parçacığın elektromagnetik alandaki hareketleri standart kabul edilen momentuma uymaktadır P. Standart açısal momentum L = r × P momentumu değişmez ölçülü değildir. Hatta fiziksel momentum olarak kabul edilen kinetik momentumUN SI birimi;
formula_51
"e" parçacığın elektrik yükü, A ise elektromagnetik alanın magnetik vektör potansiyelidir. Değişmez ölçülü açısal momentum, kin