om dağılımının limit şekli yaklaşım olarak gösterilmiştir. De Moivre'in bu sonucu Laplace tarafından 1812'de bastırılan "Analytical Theory of Probabilities (Olasılıklar İçin Analitik Teori)" geliştirilmiştir ve bu sonuç şimdi de Moivre-Laplace teoremi olarak isimlendirilmektedir.

Laplace normal dağılımı incelemkte olduğu deneylemelerde hataların analizi konusunda uygulamıştır. 1805'de Legendre çok önemli olan en küçük kareler yöntemini ortaya atmıştır. Gauss, bu yöntemi1794'ten beri kullandığını iddia etmiştir ama en kesin surette hataların normal dağılımı varsayımı ile birlikte yayınladığı eser 1809'dadır.

"Çan eğrisi" teriminin ilk kullanılışı Jouffret tarafından 1875'te bir bağımsız parçalardan oluşan ikideğişirli normal hakkında yazıda "çan yüzeyi" teriminin kullanmasına kadar götürülebilir. "Normal dağılım" sözcüğü iseCharles S. Peirce, Francis Galton ve Wilhelm Lexis tarafından ayrı ayrı 1875 civarlarında ortaya atılmıştır.

Bu dağılıma normal adı vermek bazen hatalı görülmektedir; çünkü bazı hallerde diğer dağılımlar pratiğe çok daha uygunluk göstermektedirler.

Bir olasılık dağılımını çeşitli şekilde matematiksel ifadelerle karakterize etmek mümkündür. Bunlar arasında göze en iyi hitap edeni olasılık yoğunluk fonksiyonu ile olur. Dağılımın özellikleri ayrıca birikimli dağılım fonksiyonu,momentler, kümülantlar, karakteristik fonksiyon, moment üreten fonksiyon, kümülant üreten fonksiyon ve Maxwell'in teoremi vasıtasıyla da belirtilebilir. Bu kavramların ayrıntıları için olasılık dağılımları maddesine bakınız.

Matematiksel notasyon kullanılması ile, "X" rassal değeri için ortalama değeri "μ" ve varyansı "σ"² ≥ 0, olan bir normal dağılımın bulunduğu şöyle ifade edilir:

Normal dağılım için fazla kullanılmayan bir değişik parametreleme şekli de bulunmaktadır. Bu (bir üssü varyans yani 1/ "σ"²), değerine eşit olan kesinlik parametresi "τ" kullanılarak yapılır. Bunun avantajı sıfır değerine çok yakın varyans ("σ"²) değerlerinin böler olmalarından doğan limit problemlerinden ayrılma imkânı sağlaması ve normal dağılımı bir üstel ailesi bireyi olarak kullanılması gerektiği halde ortaya çıkar.

Bazı merkezsel limit teoremleri için (örneğin kestirimlerin asimtotik normalliği) Gauss tipi süreçler teorisi kullanışlı olmakla beraber, tüm olasılığı "μ" etrafında konsantre eden ve bir normal dağılıma benzer olarak ortalama "μ" ve varyans "σ"² = 0 değerleri bulunan Dirac ölçümü bir normal dağılım olarak kabul edilmemektedir; buna matematiksel açıklama bu ölçümde Lebesque ölçümü kurallarına göre gereken yoğunluğun bulunmamasıdır.

Normal dağılım için sürekli olasılık yoğunluk fonksiyonu şu Gauss-tipi fonksiyondur:

Burada "σ" > 0 standart sapmadır; bir reel parametre olan "μ" beklenen değerdir; ve

ifadesi standart normal dağılım için yoğunluk fonksiyonudur. Standart normal dağılım "μ" = 0 ve "σ" = 1 parametreleri olan bir normal dağılımdır.
ifadesinin reel doğru üzerindeki entegral değeridir. (Ayrıtıları için Gauss-tipi entegral maddesine bakınız.)

Olasılık yoğunluk fonksiyonunun özellikleri arasında şunlar başta gelenlerdir:

Bir olasılık dağılımı için birikimli dağılım fonksiyonu, bir rassal değişken X için olay olasılığının dağılımının "x" sayısına eşit veya daha düşük olmasına kadar değerlendirilmesiden ortaya çıkar. Normal dağılım için birikimli dağılım fonksiyonu (yoğunluk fonksiyonunda kullanılan ayn terimlerle) şöyle ifade edilir:

Burada, parametreleri "μ" = 0 ve "σ" = 1 olan standart normal dağılımı için birikimli dağılım fonksiyonu, Φ, ile ifade edilmiştir ve bu fonksiyon şudur:

Standart normal birikimli dağılım fonksiyonu aynı zamanda hata fonksiyonu adı verilen bir özel fonksiyon ifade edilebilir. Hata fonksiyonu şöyle ifade edilir:

Böylece hata fonksiyonu terimleri ile standart normal dağılımı için birikimli dağılım fonksiyonu şöyle yazılır:

Standart normal dağılım için birikimli dağılım fonksiyonunun tamlayıcı fonksiyonu (yani formula_17), çok kere"Q-fonksiyonu" olarak isimlendirilir ve özellikle bu kavram mühendislik kitaplarında büyük önemle yer almaktadır.

Standart normal birikimli dağılım fonksiyonunun tersine kuantil fonksiyonu adı verilir. Bunun formülünü ifade için önce şu ters hata fonksiyonu bulunur:

ve bu fonksiyon kullanılarak şu ters birikimli dağılım fonksiyonu ortaya çıkartılır:

Bu "kuantil fonksiyonu"na bazan probit fonksiyonu adı da verilir. Bir probit fonksiyonu için bir elemanter basit entegralbulunamayacağı matematiksel olarak ispat edilmiştir. Normal dağılım için çok iyi sonuçlar verdiği anlaşılan yaklaşık fonksiyonlar ve yöntemler ortaya çıkarılmıştır. Bunlar arasında sayısal entegrasyon, Taylor serileri, asimtotik seriler vedevam eden kesirler yöntemlerinin kullanılması anılabilir.

Büyük değerde bir "x" sayısı için standart normal dağılım birikimli dağılım fonksiyonun formula_20 değerinin bire,"1", yakınsalandığı ve formula_21ın ise sıfıra,"0", yakınsaladığı aşikardır. Yoğunlukformula_22 terimleri kullanılarak, şu basit üst sınır

ifadesi yeterlidir.

"Yerine koymak" suretiyle entegresyon yöntemi kullanarak, üst sınır şöyle ortaya çıkartılabilir:

Aynı şekilde formula_25 ifadesini ve bölüm kuralını kullanarak

ifadesi ortaya çıkartılır. Bunun formula_27 terimleri ile çözümlenmesı yukarıda ifade edilen üst sınırı verir.

Genel olarak moment üreten fonksiyon, exp("tX") için beklenen değer olarak tanımlanır. Bir normal dağılım için moment üreten fonksiyonu şu olur:

Bu ifade, tanımda verilen üssel değerin, karesini tamamlamak yöntemi dönüştürülmesi ile elde edilmiştir.

Kümülant üreten fonksiyon, moment üreten fonksiyonun logaritmasidir: 
Bu "t" terimleri ile bir kuadratik polinom olduğu için yalnız ilk iki kümülant için sıfır olmayan değer bulunabilinir.

Karakteristik fonksiyon, formula_29 sanal birim ile gösterilen formula_30 ifadesinin beklenen değersi olarak tanımlanmıştır. Bu nedenle karakteristik fonksiyon, moment üreten fonksiyon içindeki formula_31 terimininformula_32 ile değiştirilmesi ile elde edilir.

Bir normal dağılımı için karakteristik fonksiyonu şudur:

Normal dağılımın şu özellikleri vardır:


Yukarıda verilen 1. özellik sonucu olarak tüm normal rassal değişkenleri standart normale dönüştürmek imkânı vardır: 
Eğer formula_52 ~ formula_53 ise, bu halde

bir standart normal rassal değişken olur; yani formula_55 ~ formula_56.

Bunun bir önemli sonucu birikimli olasılık fonksiyonun bir genel normal dağılımı olmasıdır:

Tersini ele alırsak, eğer formula_55 bir standart normal dağılım ise, yani formula_55 ~ formula_56 ise o halde

ifadesi de beklenen değeri formula_2 ve varyansı formula_5 olan bir normal rassal değişkendir.

Standart normal dağılım için çeşitli tablolar bulunmaktadır. Çok kere bu tablolar birikimli dağılım fonksiyonu, Φ şeklindedirler. Diğer normal dağılımlar basit bir dönüşüm ile standart normal dağılıma dönüştürülüp bu tablolardan biri kullanılabilir.

Normal dağılım için ilk birkaç momentleri şunlardır:

Normal dağılım için ilk iki kümülant dışındaki kümülant değerler hep sıfıra eşittir.

Daha büyük sayıya bağlı (formula_64 derecede ve formula_65) merkezsel momenti şu formül kullanılarak elde edilebilir:

formula_66

Bilgisayarla simulasyon yapılmakta iken, çok kere bir normal dağılım için değerlerin üretilmesi gerekir. Bunun için birkaç değişik yöntem kullanılabilir. En basit şekilde bir standart normal dağılım birikimli olasılık fonksiyonunun tersini almak suretiyle elde edilir. Daha etkin yöntemler de geliştirilmiştir.

Çok popüler olarak kullanılan yöntem Box-Muller dönüşümüdür. Box-Muller algoritması kullanılması, [0,1] arasında bulunan sürekli tekdüze dağılım gösteren iki sayı "a" ve "b" ile başlar; bunlardan şu formüllere göre iki standart normal dağılım gösteren "c" ve "d" sayıları şöyle elde edilir:

Bunların elde edilmesi, dönüşümün bazında (yukarıda 4. özellikte gösterilen) 2 serbestlik derecesi olan bir ki-kare dağılımının kolayca üretilebilinen bir üstel rassal değişken olması gerçeğine dayandırılır.

Halen en etkin şekilde normal dağılımı simulasyonu için, ziggurat algoritması kullanılmaktadır.

Sonlu varyansları olan bağımsız ve aynı dağılımlı rassal değişkenler ve benzeri koşullar altında, büyük sayıda rassal değişkenlerin toplamı yaklaşık olarak normal dağılım gösterir. Bu merkezsel limit teoremidir.

Merkezsel limit teoreminin pratik önemi normal birikimli dağılım fonksiyonunun bazı diğer birikimli dağılım fonksiyonunun yaklaşıkı olarak kullanabilmesindedir. Örneğin


Bu yaklaşımların yeter derecede doğru olup olmayacağı, sonuçların ne maksatlarla kullanacaklarına ve
normal dağılımın yakınsalama oranına bağlıdır. Bu tip yaklaşımlar dağılımın kuyruk değerlerine yaklaştıkça gittikce daha çok hatalı olacaklardır. Berry-Essen teoremi birikimli dağılım fonksiyonu için yaklaşım hatası için genel üst sınırları gösterir.

Normal dağılımlar sonsuz olarak bölünebilen olasılık dağılımlarıdır: Bir ortalama değeri "μ", bir varyans değeri "σ"≥ 0, ve bir doğal sayı değeri "n" verildiği zaman, "n" bağımsız rassal değişkenlerin toplamı olan 'X" + . . . +"X' şu normal dağılımı gösterir:

Normal dağılımlar kesinlikle dengelilik gösteren olasılık dağılımlarıdır.

Bir normal dağılımdan seçilmiş değerlerin %68i ortalama olan μ'in bir standart sapma σ > 0
uzaklığındaki noktalar arasındadır; değerlerin neredeye %95i μ'den iki standart sapma uzaklıklar aralığında; ve %99,7 üç standart sapma uzaklıklar aralıgında bulunur. Buna empirik kural veya 68-95-99.7 kuralı adı da verilir.

Daha doğru bir kesin ifadeyle μ - "n"σ ve μ + "n"σ arasındaki çan eğrisinin altında kalan alanın birikimli normal dağılım fonksiyonu şöyle verilir:

Burada erf hata fonsiyonudur. Ondalık sayılarla 12 basamak kullanılarak 1-, 2- .. 6- sigma noktalarına kadar değerler soyle verilir:

İkinci tablo çan eğrisinin altındaki alan için değerlerin bulunmasını sağlamak üzere, çok zaman kullanılan katsayı değerlerindeki, sigma çarpanlarının ters ilişkisini gösterir. Normal dağılım gösteren veya asimtotda normal olan kestirimler için belirtilmiş olan seviyelerde (asimtotik) güvenlik aral