ektör uzayı bir Lie cebri oluşturur.
formula_33 çifti ile birlikte operasyon;

Diyelimki formula_3 bir Lie cebri olsun ve formula_36 idealdir. Eger kurallı gönderim formula_37 bölümü (i.e., admits a section), ise formula_3 formula_36 ìn bir yarıdirek çarpımi ve formula_40, formula_41 oldugu söylenir.

Levi teoremi sonlu-boyutlu bir Lie cebri kökünün bir yarı dogrusal çarpımıdır ve tamamlayici alt cebridir der. (Levi altcebri).



Bu açıkça sergilemektedir ki 3×3 kesinlikle üst üçgen matrislerin uzayı olarak,degismeli matris tarafından verilen Lie braketi ile:


Sonsuz boyutlu gerçek bir Lie cebirlerinin önemli bir sınıfı diferansiyel topolojisinde ortaya çıkar. Bir diferansiyellenebilir manifold "M" ile İlgili düzgün vektör alanının uzayı, bir Lie cebri oluşturur
Lie braketi vektör alanının degismelisi olarak tanımlanır burada Lie braketi ifade etmenin bir yolu Lie türevleri'nin formalizmi yoluyladırki "L" in"X" yönünde fonksiyonu f yönlü türevi sağlayarak düzgün fonksiyonları üzerinde etkili bir birinci dereceden kısmi diferansiyel operatör "L"("f") ile bir vektör alanı "X "tanımlar;Lie braketi ["X","Y"] iki vektör alanı aşağıdaki formül ile fonksiyonlar üzerindeki etkisi aracılığıyla tanımlanan vektör alanıdır:

Lie cebiri bir ölçüde sınıflandırılabilir. Özellikle, bu Lie gruplarının sınıflandırılması için bir uygulama vardır..

Benzer şekilde değişmeli, nilpotent elde edilen alt grupları açısından tanımlanan çözülebilir gruplar, için, bir, değişmeli sıfırın-gücü ve çözülebilir Lie cebiri tanımlayabilirsiniz
Bir Lie cebiri formula_3 abeliandir. Lie braketi yok olur ise,tüm "x" ve "y" için formula_3 içindeki yani ["x","y"] = 0,Değişmeli Lie cebiri değişmeli karşılık gelir (veya değişmeli) Bu vektör uzayları gibi bağlı Lie grupları formula_58 veya tori formula_59 ve formun tümü vardır formula_60 bir anlamı "n"-önemsiz bir Lie braketi boyutlu vektör uzayıdır
Lie Cebirlerin daha genel bir sınıfı verilen tüm verilen uzunluğun degismelilerin kaybolması ile tanımlanır.
Bir Lie cebiri.formula_3 nilpotent Lie cebiridir,eğer Düşük Merkez serisi
ise

eninde sonunda sıfır olur. [[Engel teoremi]] tarafından,Bir Lie cebri ancak ve ancak tüm "u" için ise üstel-sıfırdır. 
formula_3 içinde [[eşlenik endomorfizma]]dır.

nilpotenttir.

Daha genel olarak hala,bir Lie cebrinin formula_3 olduğu söylenir [[solvable Lie algebra|çözülebilir]] [[elde serisi]]:
eğer 

ise eninde sonunda sıfır olur.

Her sonlu boyutlu Lie cebri benzersiz bir maksimal çözülebilir idealdir,[[radical of a Lie algebra|kök]] olarak adlandırılır. Lie yazışmaları altında,sıfırın-gücüne (sırasıyla çözülebilir) bağlı Lie grupları için(sırasıyla,çözülebilir) sıfırın-gücüne karşılık Lie cebiri gelmektedir

Kendisinin önemsiz olmayan idealleri var ve değişmeli değilse bir Lie cebiri "[[Simple Lie algebra|basit]]"tir
bir Lie cebiri formula_3 radikali sıfır ise yarıyalın denir.Herhangi sıfır olmayan değişmeli idealler içermiyorsa eşdeğeri formula_3 yarıyalın olur. Özellikle, basit bir Lie cebiri yarıyalındır.Tersine, herhangi yarıyalın Lie cebirinin kuralli basit Lie cebirlerinin
minimal ideallerin direkt toplamı olduğu ispat edilebilir.Lie cebiri için yarıyalınlık kavramı temsillerinin tam indirgenemezliği ile yakından ilgilidir."F" alanında taban [[characteristic (field)|karakteristik]] sıfır olduğunda,herhangi bir yarıyalın Lie cebirinin sonlu-boyutlu [[Lie algebra representation|gösterimleri]] (indirgenemez temsilleri, yani doğrudan toplam.) yarıyalın olur.Ek temsili yari basit ise genel olarak, bir Lie cebiri [[reductive Lie algebra|indirgeyici]] denir.Böylece,yarıyalın Lie cebiri indirgeyicidir.

Bir Lie cebiri [[Cartan's ölçütü]] koşullarını vermesi için nilpotent, çözünebilir, ve yarı basit olmalıdır. [[Killing formu]], nun gösterim tabanı [[simetrik çiftdoğrusal form]] olarak formula_3 şu formulle tanımlanır
burada tr [[Trace (linear algebra)|bir doğrusal operatörün izi]] ifadesidir. Bir Lie cebri formula_3 ancak va ancak Killing formu [[nondegenerate form|dejenere olmayan]] ise yarı basittir. Bir Lie cebri formula_3 ancak ve ancak formula_73 ise çözünebilirdir

[[Levi bozunumu]] keyfi bir Lie cebri olarak çözünebilir kök ve bir yarıyalın Lie cebirinde [[yarıdoğrusal toplam]]ı anlatırken kullanılır, Neredeyse kurallı bir şekilde. Ayrıca, bir cebirsel kapalı bir alan üzerinde yarıbasit Lie cebiri tamamen kendi [[kök sistemi]] ile sınıflandırılmıştır. Ancak, çözülebilir Lie cebiri sınıflandırma 'vahşi' bir sorundur, ve genel olarak başarılı olmaz.

Lie cebri sıklıkla kendi başına bir çalışma olsa da tarihsel olarak Lie gruplarını incelemek için bir araç olarak ortaya çıkmıştır
a
Lie'nin temel teoremleri [[Lie grupları]] ve Lie cebri arasında bir ilişki tanımlar. özel olarak, herhangi bir Lie grubu bir kurallı belirlenen Lie cebrine yol açar (somut olarak, "tanjant uzayına eş olarak"); ve, tersine, herhangi Lie cebri için burada Lie grup ([[Lie'nin üçüncü teoremi]] bağlantısına karşılık gelir; bakınız [[Baker–Campbell–Hausdorff formülü]]). Bu Lie grubu belirlenemeyen eşitsizliktir; bununla beraber, herhangi iki Lie grubu bağlantısı ile aynı Lie cebri "yerel izomorfik"tir, ve özel olarak, aynı [[evrensel örtü]] var. örneğin, [[özel ortogonal grup]] [[SO(3)]] ve [[özel birimsel grup]] [[SU(2)]] aynı Lie cebrine yol açar, bu R ye çapraz-çarpım ile izomorfiktir , oysaki SU(2) SO(3)ün bir sade-bağlanmış ikikat örtüktür.
Bir Lie grubu göz önüne alındığında, bir Lie cebiri eş haritasının diferansiyeli ile kimliğe tanjant uzay donatarak, ya da örneklerde belirtildiği gibi sol-değişmeyen vektör alanları dikkate alınarak,bunlar ilişkilendirilebilir.
Gerçek matris grupları durumunda, Lie cebiri formula_74 bu matrisler oluşur exp Üstel tüm reel sayılar t için "X ki exp (tX) ∈ G için".
Lie gruplarına tekabül eden Lie cebirinin bazı örnekler şunlardır:
Lie cebiri "formula_12 için formula_86" çarpık-Hermitsel, iz bırakmadan karmaşık cebir" için ".
Yukarıdaki örneklerde, Lie [X, Y] (formula_87 ve Lie cebir formula_88 matrisler için),formula_89. olarak tanımlanır.
verilen bir üreteçlerin kümesi,yani, kümeden üreteçlerin doğrusal bileşimleri olarak üreteçlerin çiftinin Lie braketleri [[yapı sabitleri]] ifadesidir.Lie cebrinin ögelerinin Lie braketleri yapı sabitlerini belirler, ve sonuç olarak neredeyse tamamen Lie grubun grup yapısı belirlenir. Lie grup yapısının yakın özdeş öge [[Baker–Campbell–Hausdorff formülü]] ile açıkça gösterilir,Lie cebri ögeleri içinde bir açılım ve burada Lie braketleri, tek bir üs içinde bir arada iç içe, dir.

Lie cebirine Lie gruplarından gönderme [[funktör]]iyeldir, bu Lie cebirlerinin homomorfizmine yükseltilen Lie gruplarının homomorfizmini ima eder , ve çeşitli özellikleri bu yükseltme ile uygundur: bunun bileşim ile sırabağımszlığı, bunun Lie altgrupları göndermeleri, çekirdekleri,Lie alt gruplarına Lie gruplarının bölümleri ve eşçekirdekleri , çekirdekleri,Lie cebirlerinin bölümleri ve eşçekirdekleri, sıralanır.

[[funktor]] L bu alınan bu Lie cebrine her Lie grupları ve bu diferansiyele her homomorfizm [[faithful functor|bağlı]] ve [[exact functor|tam]]dır. Bu is bununla birlikte bir [[kategorilerin eşdeğeri]] değildir: different Lie grupları izomorfik Lie cebirleri olabilir (örneğin [[SO(3)]]ve [[special unitary group|SU(2)]] ), ve burada (sonsuz boyutlu) bu Lie cebirleri herhangi Lie grupları ile ilişkili değildir.

Bununla birlikte, eğer Lie cebri formula_3 sonlu-boyutlu ve bu bir [[simply connected space|basit bağlantılı]] Lie grubuna bağlantılanabilir Lie cebiri olarak formula_3 var. Daha kesin bir ifadeyle,Lie cebiri funktor L has bir [[adjoint functors|sol eşlenik funktor]] Γ Lie gruplarına sonlu-boyutlu (gerçek) Lie cebirinden,Lie grupları basit bağlantılarının tam altkategorileri aracılığı ile bölümleme var. In other words, there is a natural isomorphism of bifunctors

Eklenti formula_93 ( formula_94 üzerinde özdeşine karşılık) bir isomorfizmdir ve diğer eklenti formula_95 'ya 'nın özdeş bileşenlerinin [[evrensel örtük]] gruplarından izdüşüm homomorfizmidir. Bu hemen aşağıda bu eğer , ise Lie cebri funktorü bir örten Lie group homomorfizmleri ve Lie cebiri homomorfizmleri ne karşılık basit bağlantı kurar.

Evrensel örtük grup yukarıda [[üstel gönderme]] altında Lie cebirinin görüntüsü olarak inşa edilebilir. daha genel ,elimizde bu Lie cebirine özdeşin bir [[neighborhood (mathematics)|yakın komşuluğu]]na [[homomorfik]] vardır. fakat küresel olarak şu durumlarda, eğer Lie grubu sıkı ve üstel [[birebir]] olamayacak,ve eğer Lie grubu bağlantılı değil, [[basit bağlantılı]] veya [[compact space|sıkı]], üstel gönderme [[örten]] olması gerekmez.

Eğer Lie cebiri sonsuz-boyutlu,ise sorun daha hassastır. Birçok durumda, üstel gönderme hatta yerel bir [[homoorfizm]] değildir (örneğin Diff(S içinde),bu özdeşe keyfi yakınlıkta bulunabilen tek difeomorfizm üstelin görüntüsü içinde değildir). Ayrıca, bazı sonsuz-boyutlu Lie cebirleri herhangi grupun Lie cebiri değildir.

Lie cebiri ve Lie grupları arasında iletişim birkaç yol içinde kullanılıyor,[[list of simple Lie groups|Lie gruplarının sınıflandırılması]] içinde yer alır ve Lie gruplarının [[gösterim teorisi]]nin maddesiyle ilişkilidir.Bağlantı karşılığının bir gösterimine eşsiz yükseltilen bir Lie cebirinin her gösterimi, basit bağlantılı Lie grupları, ve Lie cebiri gruplarının herhangi bir Lie grubunun tersine her gösterimini uyarır ; gösterim birebir karşılığı içindedir.Bunun için, Lie grupların gösteriminin sorgusu çerçevesinde bir Lie cebirinin gösterimi biliniyor .

sınıflandırmak için,verilen bir Lie cebiri ile herhangi bağlantılı Lie grupları gösterilebilen evrensel örtük mod bir ayrık merkez altgruba izomorfiktir.[[Center (algebra)|merkez]]in ayrık altgrubu sayımının basit bir maddesi alınarak Lie grupları böylece sınıflandırılıyor, Lie cebirinin ilk kez sınıflandırması biliniyor([[Élie Cartan|Cartan]] ve diğerleri tarafından [[Semisimple Lie algebra|yarıbasit]] durumu içinde çözüldü).

Bir Lie cebri [[kategori teori]] dili kullanılarak Vec içinde bir "A" nesnesi olarak,karakteristi