örün de normalize olduğu durumda, bu iki vektörün skaler çarpımı iki vektörün arasındaki açının kosinüs değerini verir. İki vektör arasındaki açının kosinüsü difüz aydınlatmada kullanılır.

Vektörel çarpım işlemini x sembolüyle temsil edersek V1 ve V2 vektörlerinin vektörel çarpımı aşağıdaki gibi hesaplanır: 
V x V = [ VY* VZ - VZ* VY VZ* VX - VX* VZ VX* VY - VY* VX ] (2.6)

Vektörel çarpım, ışın izleme yönteminde üçgenlerin normalini bulmak için kullanılır. Yansıyan veya kırılan ışınların yeni doğrultularının hesaplanması için yüzeye dik olan vektörün, yani yüzey normalinin, bilinmesi gerekir.

Difüz ve speküler aydınlatma yapılırken de yüzey normali kullanılır. Ayrıca arka yüzey kaldırmada da hangi yüzün arka yüzey olduğunu belirlerlerken yüzey normali esas alınır. Bakış noktası ile arasında 90°’den daha büyük açı bulunan yüzeyler, arka yüzey kabul edilir.

Tüm bu işlemlerde kullanılacak olan yüzey normalinin birim vektör olması, yeni normalize olması, gerekir.

Üçgenin bir köşesinden başlanıp, kenarları belli katsayılarla çarparak başlangıçta alınan köşeye eklenirse, üçgen içinde istenen bir noktaya ulaşmak mümkündür. Kenarların çarpıldığı katsayılara Barisentrik Koordinatlar denir. Üçgen içindeki herhangi bir noktanın barisentrik koordinatlar cinsinden gösterimi aşağıdaki gibidir :

t ( u , v ) = V + u ( V – V ) + v ( V – V) (2.7)

Bu ifadedeki u ve v değerleri barisentrik koordinatlardır ve aşağıdaki şartları sağlamalıdır:

u ≥ 0 ve v ≥ 0 için u + v ≤ 1

Barisentrik koordinatlar bu çalışmada hızlı kesişim testleri gerçekleştirilirken kullanılmıştır. Tomas – Möller kesişim testinde Barisentrik koordinatlardan faydalanılarak daha kısa sürede kesişim testi yapılabilmektedir.

Orijine olan uzaklığı D olan, P = [ A B C ] normaline sahip olan P yüzeyini denklemi aşağıdaki gibidir :

A + B + C + D = 0 (2.8)

Köşe koordinatları V ( X , Y , Z ) olan üçgenin oturduğu yüzeyin denklemi aşağıdaki gibi hesaplanabilir :

A * V + B * V + C * V + D = 0 (2.9)

2.9 ifadesinden D değeri bulunur. Eğer P yüzeyi ile R ışını kesişiyorsa, R’nin o noktaya karşılık gelen t değeri için yüzey denklemi sağlanmalıdır.

A * (X + tX) + B * (Y + tY) + C * (Z + tZ) + D = 0 (2.10)

2.10 ifadesi t’ye göre yeniden düzenlenirse, başlangıç noktası ile yüzey arasındaki uzaklık belirlenmiş olur :

t = - ( A * X + B * Y + C * Z ) / ( A * X + B * Y + C * Z ) (2.11)

Eğer t  0 ise kesişim vardır ve kesişim noktası I aşağıdaki gibi hesaplanabilir :

I ( X , Y , Z) = (X + tX , Y + tY , Z0 + tZ ) (2.12)
3B nesneler genellikle üçgenlerden oluşacak şekilde modellenir. Bu sebeple kesişim testi algoritmalarının çoğu üçgenler üzerine yoğunlaşmıştır.

Bu yöntem, ışın – üçgen kesişim testleri arasından en basit olanıdır. Öncelikle ışın – yüzey kesişim testi yapılmalıdır. Daha sonra ışın ve yüzeyi oluşturan üçgenin köşe noktaları görüntü düzlemine perspektif olarak izdüşürülür. Kesişim noktası ile üçgenin ikişer noktası sıra ile alınarak üç tane alt üçgen elde edilir. Bu üçgenlerin alanları hesaplanarak toplanır. Elde edilen toplam alan, kesişim testi yapılan üçgenin alanına bir ε kadar yakınsa ışın üçgenin içindedir yani ışın ile üçgen kesişmektedir denir.

Işın düzlem kesişim testinden elde edilen kesişim noktasının üçgenin içerisinde olup olmadığının kontrolü için kullanılan diğer bir yöntem de açı testidir. Yine ilk olarak ışın – yüzey kesişim testi yapılmalıdır. Daha sonra ışın ve yüzeyi oluşturan üçgenini köşe noktaları görüntü düzlemine perspektif olarak izdüşürülür. Kesişim noktası ile üçgenin ikişer noktası sıra ile alınarak üç tane üçgen elde edilir. Bu üçgenlerin I noktasını merkez nokta kabul eden açıları hesaplanarak toplanır. Elde edilen toplam açı 360° ise ışın üçgenin içindedir yani ışın ile üçgen kesişmektedir denir.

Yukarıda anlatılan tekniklerin her ikisi de kesişim testi yapmadan önce ışın – yüzey kesişim testi yapılmakta, daha sonra perspektif izdüşümü yapılmaktadır. Böylece problem 3B’dan 2B’a indirgenmekte ve test esnasında 2B noktanın 2B üçgenin içinde olup olmadığı araştırılmaktadır. Ancak tüm bu işlemler için öncelikle yüzey denkleminin belirlenmesi, dolayısı ile normalin hesaplanması gerekmektedir. Elbette ki kesişim testine geçilmeden önce yapılan bu işlemler algoritmanın yavaş çalışmasına neden olmaktadır.
Bunun yerine kullanılan Tomas – Möller kesişim testinde yüzey normalinin hesaplanması gerekmemektedir.

Başlangıç noktası R olan ve R doğrultusu boyunca ilerleyen R vektörünü aşağıdaki gibi tanımlamıştık

R = R + t R , t > 0 (2.1)

Kesişim testi yapılacak olan üçgenin köşeleri V ise, üçgen üzerindeki herhangi bir t ( u , v ) noktasının barisentrik koordinatlarını aşağıdaki gibi ifade etmiştik:

t ( u , v ) = V + u ( V – V ) + v ( V – V) (2.7)

R ışını, verilen üçgeni bir t ( u , v ) noktasında kesiyorsa, aşağıdaki ifade sağlanmalıdır :

R + t R = V + u ( V – V ) + v ( V – V) (2.13)

2.13 ifadesi düzenlenirse, u, v ve t’ye bağlı bir lineer denklem sistemi elde edilir. Bu sistemin çözülmesi halinde u, v ve t bulunur. Görüldüğü gibi bu yöntemde yüzey normali ve perspektif izdüşüme gerek yoktur.

Tomas – Möller yöntemine ilişkin yalancı dil kodu (pseudocode) aşağıda verilmiştir:

IşınÜçgenKesişimi ( o , d, vo , v1 , v2 )

Bir yüzeye ışığın gelmesini engelleyen başka bir yüzey varsa, ışığın ulaşamadığı yüzey gölgede kalmış olur. Gölge testi için, kesişim noktasından ışık kaynağına yollanan ışınlar ile diğer nesnelerin kesişimleri araştırılır. Eğer kesişim tespit edilirse yüzey gölgelenir.

Gölgelemenin gerçekleşmesi için, test için gönderilen ışından elde edilen kesişim noktası ile testi yapılan yüzey arasındaki uzaklığın, yüzeyin ışık kaynağına olan uzaklığından daha küçük olması gerekir.
Diğer yöntemlerde çok zor tanımlanmasına rağmen, ışın izleme yönteminde yansıyan ve kırılan ışınlar mükemmel şekilde modellenebilir. Böylece son derece gerçekçi görüntüler elde edilebilir.

Eğer bir yüzeyin yansıtıcılık özelliği varsa, bu yüzeye çarparak yansıyan ışın diğer bir yüzeye çarptığında, bu yüzeyin rengi yansıtıcılık özelliği bulunan yüzey üzerinde görülür. Elbette bu işlem için de derinliği belirlenmiş özyinelemeli bir algoritma koşulmalıdır.

Yansıma değerinin belirlenmesi oldukça kolay bir işlemdir. Gerekli olan bir nokta ve bir doğrultudur. Nokta, ışın ile yansıtıcı yüzeyin kesişim noktasıdır ki artık yeni bir başlangıç noktası olmuştur. Bu noktadan yansıyacak olan ışının doğrultusu , gelen ışının doğrultusuna ve normale bağlıdır. Zira gelen ışın ile normal arasındaki açı, yansıyan ışın ile normal arasındaki açıya eşit olmalıdır. N ilgili yüzeyin normali, I gelen ışının olmak üzere Rref yansıma doğrultusu aşağıdaki gibi hesaplanır :

R = I – 2 ( I * N ) * N (2.14)

POV-Ray gibi ışın izleme programları ise simüle edilen bir kamera ile başlarlar ve ışık ışınlarını sahneye yollarlar. Kullanıcı kameranın, ışık kaynaklarının, nesnelerin yerini ve bunların yüzey özelliklerini belirler, eğer isterse sahneye sis, duman, ateş gibi atmosferik etkiler de ekleyebilir.

Sonuç görüntüdeki her piksel için bir ya da daha çok ışın kameradan sahneye yöneltilir ve sahnedeki bir nesne ile kesişip kesişmediğine bakılır. Kameradan çıkan bu ışının bir nesneyi kestiği her noktadaki yüzey rengi hesaplanır. Bunun için ışınlar sahnedeki her ışık kaynağına da yönlendirilir ve böylece kaynaklardan gelen ışık miktarı da hesaplanır. Benzer şekilde her yüzey noktasının gölgede kalıp kalmadığı hesaplanır. Yüzeyin şeffaf olup olmamasına göre de ne kadar ışığı geçirdiği ve ne kadar ışık kırılmasına yol açtığı da hesaplanarak nihai renk belirlenir.







Almanya'daki Türk Günü

Türkgünü; 22 Mayıs 2004 tarihinde, Almanya’nın en önemli tarihi mekanlarından biri ve Berlin’in simgesi olan Brandenburger Tor önündeki alanda gerçekleşmiş, bir şenlik havasında kutlanan özel bir gün.

Yarım yüzyıla yaklaşan bir süredir, toplumun genel dokusuna uyumlu olarak Almanya’da yaşamakta olan Türkler, günümüzde sanattan spora, edebiyattan medyaya, Alman ekonomik, kültürel, sosyal ve siyasal yaşamına önemli katkılarda bulunan, dinamizm getiren bir unsur haline gelmişlerdir. Türkiye’nin AB üyeliği bakımından belirleyici önemi haiz 2004 yılı içinde, bu olumlu yönlerin daha fazla gündeme getirilmesi, sadece Türkiye'nin etkin tanıtımı olmayacak, aynı zamanda Almanya’da yaşayan 2.5 milyonu aşkın Türk yurttaşına da moral ve özgüven vermştir.

Bu anlayışla, geçtiğimiz yıllarda yürüyüş şeklinde gerçekleşen Türkgünü, edinilen tecrübeler ışığında 2004 yılında yeni bir anlayışla, genç ve profesyonel bir ekip tarafından tasarlanmıştır.

Türkiye’nin Berlin Büyükelçisi Mehmet Ali İrtemçelik’in himayesinde ve çok sayıda dernek ve kuruluşun etkin olarak yürüttüğü hazırlıklar çerçevesinde düzenlenmiştir.

“Biz Avrupalıyız” temasının işlendiği şenliğin Alman ve Türk medyasında layıkıyla yer bulması için basın ve reklam çalışmaları iki aydan fazla sürmüştür.

Dünyanın en büyük şirketlerinden T-Com ve Ford büyük maddi desteğin yanı sıra alan faaliyetlerine de promosyon ekipleriyle katkı sağlayarak ziyaretçilere renkli bir program sunmuştur.

Ayrıca Öger Tours başta olmak üzere Almanya’da faaliyet gösteren pek çok Türk şirketi Türkgünü’ne destek vermiştir. Örneğin: Akbank, Denizbank, Türkiye İş Bankası, Oyak Anker Bank, Vakıfbank, Ziraat Bankası İnternational, ADA Immobilien, AS Steuerbüro, CABA İmmobilien, Concept Verlag, Gargi GmbH.





Reşadiye, Tokat

Reşadiye, Karadeniz'in orta kesiminde Kızılırmak yayı içinde kalan Kapadokya arazisi içerisinde yer alan bir Tokat ilçesidir. Kelkit Çayı'nın kenarında, karayolu üzerindedir.

Eski Kapadokya arazisi elden ele geçmiş, değişik milletler bu arazide medeniyetler kurmuşlardır. Sırasıyla Hititliler, Persler, Makedonyalılar, Pontus Krallığı, Romalılar, Bizanslılar, Selçuklular, Danişmendliler, Kadı Burhanettin ve Akkoyunlular bu bölgede hüküm sürmüşlerdir. Sonraları da bu arazi Osmanlı İmparatorluğu'nun hakimiyetine geçmiş Reşadiye'nin eski ismi olarak bilinen "İskefser"in tarihi 15. yüzyıla kadar gitmektedir. Bu bölgeden geçerek Erzurum’a giden yine aynı güzerga