r gözlem çerçevesinde ise başka bir momentum değerine sahip olabilir. Örneğin, hareketli bir nesne, yere göre sabit bir noktaya göre seçilen bir gözlem çerçevesinde momentumu olmasına rağmen, kütle merkezine iliştirilen bir gözlem çerçevesinde ise sıfır momentumu vardır.

Bir nesnenin sahip olduğu momentumun miktarı, iki fiziksel büyüklüğe bağlıdır: Kütlesi ve o gözlem çerçevesindeki hızı. Fizikte, momentum için kullanılan sembol genellikle kalın p harfidir (kalın yazılmasının nedeni vektör olmasındandır.); böylece şöyle ifade edilebilir;

burada p momentum, "m" kütle ve v hızdır.

Örnek: kuzeye doğru yere paralel düz bir rotada 1 m/s hızına ve 1 kg kütleye sahip model bir uçağın momentumu yere göre ölçüldüğünde, kuzey yönünde 1 kg•m/s ‘dir. Kokpitin içindeki bir pilot, kokpit gözlem çerçevesine göre uçağın hızını sıfır ölçeceğinden, momentumunu da sıfır ölçer.

Newton’un ikinci yasasına göre, bir parçacığın momentumunun değişim hızı, parçacık üzerine etki eden net kuvvetle doğru orantılıdır ve yönü ise bu net kuvvetin yönündedir. Net kuvvetin, momentumdan türetilmesi aşağıdaki gibidir.

Eğer kütle zaman içinde sabitse, türevin ikinci terimi (thrust terimi denir) (formula_3). Böylece şunu yazabiliriz:

Ya da daha basit olarak,

burada F’nin net kuvvet olduğu anlaşılmalıdır.

Örnek: yine bir model uçak, 1 kg kütleli, 1 s içinde kuzeye doğru sıfır hızdan 1 m/s hızına ivmelensin. Bu ivmelenme için gerekli kuvvet 1 newtondur. Momentumdaki değişim 1 kg•m/s’dir. Kokpitteki pilot için ise momentumda bir değişim yoktur. İvmelenme sırasında pilotun sırtının koltuğa yapışması, bu itme'ye tepki kuvvetine karşı dengelenmedir.

Çok-parçacık sisteminin çizgisel momentumu, sistem içindeki ayrı ayrı tüm nesnelerin momentalarının vektörel toplamlarına eşittir.

burada p parçacık sisteminin toplam momentumu, "m" vev "i"’inci nesnenin sırasıyla kütlesi ve hızı, ve "n" ise sistemdeki nesnelerin sayısıdır..

Gösterilebilir ki, kütle merkezi çerçevesinde herhangi bir sistemin momentumu sıfırdır. Dahası, bu kütle merkezi çerçevesine göre hızı v olan başka bir çerçevedeki momentum basitçe aşağıdaki gibidir:

burada:

Bu Euler'in ilk yasası olarak bilinir.

Birçok-parçacıklı sistemin çizgisel momentumu, toplam kütle "m" ile kütle merkezi hızı v’nin çarpımı olarak da tanımlanabilir.

Bu Newton'un ikinci yasasının özel bir halidir (eğer kütle sabitse).

Tensörler kullanılarak yapılacak daha genel bir türetim için, bir "t" anında, "V" hacmini kaplayan, bir "S" yüzey alanına sahip, stres vektörü formula_10 ile temsil edilen birim yüzey alanı başına yüzey kuvvetinin ettiği, "V" hacmi içinde her noktadaki birim hacim başına olan "F" gövde kuvvetinin etkidiği, cismin gövdesi boyunca belirlenmiş "v" hız alanı ile belirlenmiş, sürekli bir ortam olduğu varsayılan, hareket halindeki bir cismi düşünelim(şekile bakın).

Tanım gereği stres vektörü formula_12’dir, o halde

Gauss'un diverjans teoremini kullanarak , yüzey integrali hacim integraline çevrilirse, (burada formula_14 ile diferansiyel işlemci belirtilmektedir), bu bize şunu verir:

Artık sadece bu eşitliğin sağ tarafıyla ilgilenebiliriz. Bu noktada dikkat etmemiz gereken, diferansiyel işlemciyi sadece integranda uygulamamaktır. Çünkü bu sürekli ortama sahip gövdenin hareketi esnasında, gövde katı bir cisim olmak zorunda olmadığından, integre ettiğimiz hacim de zaman içinde değişebilir. O halde yukarıdaki integral şu hali alır:

Birinci kısımda türev alınır ve ikinci kısma diverjans teoremi uygulanırsa:

Artık integralin içindeki ikinci terim şudur: formula_18 Bunu önceki denklemde yerine koyup, terimleri düzenledikten sonra, şunu elde ederiz:

Yukarıdaki denklemlerdeki iki integral terimini kolayca tanıyabiliriz. İlk integral hız alanının konvektif türevini ve ikinci integral ise kütlenin zaman içindeki akışını ve değişimini ihtiva eder. Şimdi ise sistemde ne bir kaynak (source) ne de bir gider (sink) olduğunu varsayalım, yani kütle korunuyor olsun, o halde bu ikinci terim sıfırdır.Böylece şunu elde ederiz:

Bunu orijinal denkleme geri koyarsak:

Herhangi bir hacim için integrand sıfır olması gerektiğinden, Cauchy hareket denklemlerini elde ederiz

Görüldüğü gibi bunu elde etmek için sadece hiçbir kütle kaynağı veya kütle giderinin olmadığını, yani kütlenin korunduğu varsayımını yaptık. O halde bu denklem herhangi bir sürekli sistem için, akışkan sistemlerde dahi geçerlidir. Eğer yalnızca elastic sürekliliği inceliyorsak, konvektif türevin ikinci terimi ihmal edilebilir ve bu durumda bize hız alanının sıradan zaman türevi kalır.
Bir sistem dengede ise, ivmesi olmayacağından, momentumunun zamana göre değişimi sıfırdır.

Ya da tensör gösterimiyle,

Bunlar, çizgisel elastisite problemlerini çözmek için katılar mekaniğinde kullanılan denge denklemleridir.
Mühendislik gösteriminde, denge denklemleri kartezyen koordinatlarda şöyle ifade edilirler:

Çizgisel momentumun korunumu yasası doğanın temel bir yasası olup, eğer kapalı bir sisteme etkiyen hiçbir dış kuvvet mevcut değilse, o kapalı sistemin momentumunun sabit kalacağını söyler. Bu yasanın sonuçlarından bir tanesi ise; herhangi bir nesneler sisteminin kütle merkezi, sistem dışı bir kuvvete maruz kalmadığı sürece, her zaman aynı bir hız ile hareketini sürdürecektir.

Momentumun korunumu, matematiksel bir özellik olan uzayın homojen olmasının bir sonucudur (bir nesnenin uzay içindeki konumu, momentumuna kanonik olarak eşleniktir). O halde momentumun korunduğu bir sistemin içinde fiziksel olarak ne olup bittiği, o sistemin uzaydaki konumunun nerede olduğu ile bir ilgisi bulunmamaktadır.

Analitik mekanikte momentumun korunumu, Lagranjiyenin, ötelemeler altında değişmez kalmasının bir sonucudur. Toplam momentumun hareket sabiti olduğu, Lagranjiyene sonsuz küçük bir öteleme yapılıp, bunu ötelenmemiş Lagranjiyenle eşitlenerek ispatlanabilir. Bu Noether teoreminin özel bir halidir

Kapalı bir sistem için (eğer dış kuvvetler yoksa) toplam momentumun korunumu aslında, Newton'un birinci hareket yasasıdır. Newton'un üçüncü yasası olan, alt sistemler arasında etkiyen kuvvetlerin büyüklükleri aynı ve yönleri zıttır şeklinde ifade edilen, etkiye tepki yasası ise momentum korunumunun bir sonucudur.

Uzaydaki konum, vektörel bir nicelik olduğundan, konuma kanonik eşlenik olan momentum da vektörel bir niceliktir—bir yöne sahiptir. O halde, bir silah ateşlendiğinde, sistemin (silah ve merminin) toplam momentumu, bu iki cismin momentumlarının vektörel toplamlarıdır. Ateşlemeden hemen öncesinde silah ve merminin duruyor oldukları farzedilirse (ki bu sistemin başlangıç momentumunun sıfır olmasıdır), sistemin son toplam momentumu da sıfır olmalıdır.
Sadece iki nesneye sahip kapalı bir sistemde, nesnelerden birindeki momentum değişimi, diğerinkine büyüklük olarak eşit ve yön olarak ters olmalıdır. Matematiksel olarak,

Momentum, yine kapalı bir sistemde, çarpışmalarda ve iç patlamaların sebep verdiği ayrılmalarda dahi korunur. Kinetik enerji, öte yandan, çarpışmalar esnek değilse, korunmaz. Momentum korunduğundan dolayı, bu bir çarpışma ya da ayrılmayı takip eden durumda bilinmeyen bir hızı, eğer diğer kütle ve hızların bilinmesi durumunda, hesap edilebilir.

Bu gerçeğin gerekli olduğu, fizikte sık raslanan bir problem, iki parçacığın çarpışmalarıdır. Momentum her zaman korunuyor olacağından, çarpışma öncesi momenta toplamı, çarpışma sonrası momenta toplamına eşit olmalıdır:

Burada;
"formula_30" ve "formula_31": Çarpışma öncesi hızlar, formula_32 biriminde.
"formula_33" ve "formula_34": Çarpışma sonrası hızlar, formula_32 biriminde.
"formula_36": Kütle, formula_37 biriminde.

İlk hızlardan, son hızların belirlenmesi (ya da tam tersi), çarpışmanın çeşidine bağlıdır. İki çeşit momentum koruyan çarpışma vardır: Kinetik enerjiyi de koruyan esnek çarpışmalar ve kinetik enerjiyi korumayan esnek olmayan çarpışmalar.

İki bilardo topunun çarpışması, sertliklerinin yüksek olmasından dolayı, “neredeyse” tamamen esnek bir çarpışmaya örnek olarak verilebilir. Tamamen esnek olan çarpışmalar sadece teoride, sertlikleri matematiksel olarak sonsuz olan iki cisim arasında var olabilir. İki topun çarpışması esnasında momentumun korunmasının yanı sıra, çarpışma öncesi kinetik enerjilerin toplamı, çarpışma sonraki toplama eşit olmalıdır:

Başlangıç hızları bilindiğinde, kafa-kafaya olan çarpışmalardaki son hızlar şöyle verilir:

Birinci cismin kütlesinin diğerinkinden çok daha fazla olduğu durumda (yani, ), son hızlar yaklaşık olarak şöyledir:

O halde daha fazla kütleli cisim hızını değiştirmez, ve daha az kütleli cisim, diğerinin hızının iki katı kadar daha hızlı ve kendi orijinal hızı kadar daha yavaş hareket eder.

Eşit kütleli iki cismin kafa-kafaya çarpışmasında (yani, ), son hızlar şöyle verilir

Yani hızlar basitçe değiş tokuş edilirler. Eğer birinci cisim sıfır olmayan u ilk hızına sahip olup ikincisi ise duruyorsa, çarpışmadan sonra birinci cisim duruyor olup, ikincisi u son hızı ile hareketine devam edecektir. Bu fenomenin temsili Newton beşiği ile gösterilebilir.

Merkezi esnek çarpışmalarda hareket doğrultusunda bir değişme olmaz. Bu çarpışmalarda kinetik enerji ve momentum korunur. Aşağıdaki iki formül merkezi esnek çarpışma problemlerinde kullanılır:

Birden daha üst boyutlardaki, kafa-kafaya olmayan çarpışmalardaki gibi çarpışmalarda, hız vektörü, çarpışma düzlemine dik ve çarpışma düzlemine paralel olmak üzere, iki ortogonal bileşenine ayrılır. Çarpışma düzlemine dik hız bileşenleri değişmeden kalırken, çarpışma düzlemindeki hız , bir boyutlu durumdaki gibi hesaplanabilir.
Örneğin, iki-boyutlu bir çarpışmada, momenta "x" ve "y" bileşenlerine ayrıştırılabilir. Bundan sonra her bileşeni ayrı ayrı hesaplayıp, sonuçları vektörel olarak birleştirip hesaplayabiliriz. Bu vektörün büyüklüğü, kapalı sistemin son momentumudur.

Mükemmel esnek-olmayan çarpışmaya verilen ortak bir örnek, iki kartopunun çarpışıp, akabinde birbirlerine yapışmalarıdır. Bu durumda momentumun korunumu denklemi şöyledir:

Mükemmel, esnek-olmayan çarpışmalar, gösterilebilir ki, kinetik enerjinin mak