lan Keçiören'de, Mustafa Kemal Atatürk'ün özel kalem müdür muavinlerinden Sabit Şevki Şeren ile öğretmenlik yapan Münevver Şeren'in ikinci erkek çocuğu olarak doğdu. İsmi, Atatürk tarafından Türkay olarak konuldu. İlkokul dördüncü sınıfa kadar Çorlu'da okudu. İstanbul'daki Galatasaray Lisesi'ndeki parasız yatılı sınavlarını kazanmasının ardından eğitimine parasız yatılı olarak devam ederken annesi de Çorlu'da yaşayan anne ve babasının yanında öğretmenlik hayatını sürdürmekteydi. Lise üçüncü sınıfında öğrenim gördüğü sırada babası vefat etti. Lise hayatında gerek öğretmenleri gerekse arkadaşlarının adını Turgay diye telaffuz etmesinin ardından Turgay adını kullanmaya başladı. 1952 yılında liseden mezun oldu.

Liseden mezun olmasının hemen ardından, İstanbul Futbol Ligi'nde mücadele eden Galatasaray'da futbolculuk kariyerine başladı. Lisedeyken forvet pozisyonunda futbol oynayan Şeren, Galatasaray teknik direktörü Peter Molloy'un yönlendirmesiyle kaleci pozisyonuna geçti. 30 Ekim 1949'da, Vefa ile oynanan ve takımının 1-0 kazandığı İstanbul Ligi karşılaşmasında ilk kez A takım formasıyla bir lig maçına çıktı. 6 Kasım 1949'daki 1-0 kaybettikleri Fenerbahçe maçında ilk derbisine çıktı. Bu maç, aynı zamanda Şeren'in Galatasaray'da oynadığı resmî maçlarda yediği ilk goldü. İstanbul Futbol Ligi'nin 1949-50 sezonunda 9 maça çıkarken kalesinde 7 gol görürken takımı Galatasaray ligi 3. sırada tamamladı ve Millî Eğitim Kupası'nda oynamaya hak kazandı. Takımının bu organizasyonda oynadığı 14 maçın 13'ünde koruduğu kalede 5 gol gördü. Şeren, sakatlığı sebebiyle 23 Nisan'daki Fenerbahçe maçında oynayamamıştı. Ligde en az gol yiyen takım olan Galatasaray, ligi Fenerbahçe'nin ardından ikinci sırada tamamladı. Şeren, sezonu toplamda 22 lig maçıyla tamamladı ve bu maçlarda toplam 11 gol yerken 11 maçta kalesinde gol görmedi.

30 Eylül 1950'de, Kasımpaşa karşısında oynadıkları ve 2-0 kazandıkları maçta yer alarak 1950-51 sezonundaki ilk resmî maçına çıktı. 5 Kasım'daki Vefa deplasmanında rakip takımdan gelen beş gole engel olamadı ve maç 5-1'lik Vefa galibiyetiyle sona erdi. 17 Şubat 1951'de Beşiktaş ile oynanan hazırlık karşılaşmasında yaşadığı sakatlık sonrasında iki lig maçında oynayamadı. 3-0 kazandıkları 18 Mart'taki Vefa maçıyla sahalara dönen Şeren, takımının geri kalan tüm lig maçlarında görev aldı. Sezonu 12 lig maçıyla tamamlarken kalesinde toplam 12 gol gördü. Bu maçların yarısında kalesini gole kapatmıştı.

1951-52 sezonu öncesindeki Eylül ayında, kulübün futbol şube sorumlusu Mehmet Leblebi ile yaşadığı anlaşmazlıklar sebebiyle kulüpten ayrılmak istediğini açıklasa da kulüp yönetimiyle yaptığı görüşmeler sonrasında kararını değiştirerek kulüpte kaldı. 1952 yılında ilk kez düzenlenen İstanbul Profesyonel Ligi öncesinde ligdeki takımların bazı oyuncuları profesyonelliğe geçerken Şeren amatör olarak kalmayı tercih eden futbolcular arasındaydı. 5 Ocak 1952'de oynanan ve 0-2 kazandıkları Kasımpaşa maçıyla birlikte sezonun ilk resmî maçına çıktı. Takımın en son profesyonel olan oyuncusu olan Şeren, Millî Eğitim Bakanlığının Ocak ayında yayımladığı genelge gereğince, lise öğrencisi olduğundan sezonu amatör olarak tamamladı. 30 Mart'taki 0-0'lık Beşiktaş ile 1 Mayıs'taki 0-0'lık Beykoz maçları arasındaki beş maç boyunca kalesini gole kapatan Şeren, takımının ligde oynadığı 14 maçın tamamında görev aldı. Bu maçlarda 9 gol yiyen Galatasaray ligin en az gol yiyen takımı olurken 7 maçı gol yemeden geçirdi.

1952-53 sezonuna, 27 Eylül 1952'deki 0-1 kazandıkları Emniyet maçıyla başladı. Antrenmanlarda gösterdiği kurallara aykırı hareketleri sebebiyle 4 Ekim'deki 4-2 kaybettikleri İstanbulspor karşılaşmasının kadrosuna alınmadı. 2-0 sonuçlanan 12 Ekim'deki Beykoz ile 18 Ekim'deki Adalet maçlarını da kalesinde gol görmeden tamamladı. 29 Ekim Cumhuriyet Bayramı dolayısıyla 31 Ekim-2 Kasım günleri arasında Ankara 19 Mayıs Stadyumu'nda gerçekleştirilen; Ankara, İstanbul ve İzmir karmalarının birbirleriyle birer maç yaptığı ve Ankara karmasının kazandığı Cumhuriyet Kupası'nda İstanbul karmasında yer aldı. Sezon boyunca Galatasaray'ın ligde oynadığı 18 maçın 16'sında forma şansı bulan Turgay bu maçlarda kalesinde 12 gol görürken 8 maçı gol yemeden tamamladı.

Fenerbahçe'den transfer teklifleri almasına rağmen 1953 Temmuz'unda, kulübüyle beş yıllık profesyonel sözleşme imzaladı. Bu sözleşmeyle birlikte ₺5.000 prim ile ₺500 maaş alacaktı. 18 Ekim 1953'te, yeni sezonun ilk lig maçına Kasımpaşa karşısında çıktı. Maç, 0-1'lik Galatasaray galibiyetiyle sona erdi. 1954 FIFA Dünya Kupası'na katılan millî takım oyuncularıyla birlikte turnuvanın düzenleneceği İsviçre'ye hareket ettiğinden takımının 16 Haziran'da Beyoğluspor ile oynadığı ve 1-2 kazandığı maçta oynama şansı elde edemedi. 14 lig maçında görev aldığı 1953-54 sezonunda kalesinde 19 gol gördü. Maç başına kalesinde gördüğü gol oranı 1,36 olurken bu oran kariyerinde ilk kez 1'in üstüne çıkmıştı. 30 Ekim'de, 6-0 kazandıkları Beyoğluspor mücadelesinde 1954-55 sezonunun ilk lig maçına çıktı. Bu sezon 15 maç boyunca Galatasaray kalesini koruyan Şeren, kalesinde toplam 7 gol görürken Şeren'in oynamadığı üç lig maçında takım 6 gol yemişti. Sezon sonunda ise takımıyla birlikte İstanbul Profesyonel Ligi şampiyonluğuna ulaşan Şeren, futbolculuk kariyerinin ilk kupasını bu sezon kazandı. Sezonun sona ermesinin ardından, ligin ilk beş sırasındaki takımın mücadele ettiği Atatürk Kupası'na katılan Galatasaray'ın kalesini iki maçta korudu. Bu maçlarda kalesinde 5 gol görürken takımı ise turnuvayı dördüncü sırada tamamlamıştı. 9 Ekim 1955'teki 3-0 kazandıkları İstanbulspor maçıyla birlikte 1955-56 sezonuna başlayan Şeren, sezon boyunca oynadığı 15 lig maçında kalesinde 16 gol gördü ve 7 maçı gol yemeden tamamladı. Sezon sonunda ise Galatasaray formasıyla ikinci İstanbul Profesyonel Ligi şampiyonluğunu yaşadı.

Son sezonu şampiyon tamamlamasından ötürü Şampiyon Kulüpler Kupası'nda oynamaya hak kazanan Galatasaray, birinci turundan katıldığı turnuvadaki ilk maçını 26 Ağustos 1956 tarihinde, Romanya ekibi Dinamo București ile oynadı. Takımın Avrupa kupalarındaki ilk maçı olma niteliği taşıyan ve Dinamo București'nin 3-1'lik üstünlüğüyle sona eren maçta Şeren de görev almıştı. Sezonun ilk lig maçı olan 19 Eylül'deki 5-2 kazandıkları Emniyet maçında görev aldı. Galatasaray, Şeren'in de görev yaptığı 30 Eylül'de Dinamo București ile oynanan rövanş maçını 2-1 kazanmasına karşın turnuvaya veda etti. Bu galibiyet, aynı zamanda takımın Avrupa kupaları tarihindeki ilk galibiyetiydi. İstanbul Profesyonel Ligi'nde takımının oynadığı 18 maçın tamamında görev alan Şeren, bu maçlarda kalesinde 19 gol görürken 6 maçı gol yemeden tamamladı. Ligi ikinci sırada bitiren Galatasaray, diğer taraftan da Avrupa kupalarına katılacak takımı belirlemek amacıyla Ankara'dan 12, İstanbul ve İzmir'den 10'ar takımın katıldığı Federasyon Kupası'nda mücadele etti. Elemeleri geçerek final grubuna yükselen ve bu grubu ikinci sırada tamamlayan Galatasaray'ın oynadığı 12 maçta da görev alan Şeren, bu maçlarda 9 gol yemiş ve 5 maçı gol yemeden bitirmişti.

31 Ağustos 1957'de, 1-2 kazandıkları Kasımpaşa maçında 1957-58 sezonununda ilk resmî maçına çıktı. Takımının 18 İstanbul Profesyonel Ligi maçının tamamında görev alırken kalesinde toplam 10 gol gördü. Bu sonuçla ligin en az gol yiyen takımı olan Galatasaray, sezonu da şampiyon olarak tamamladı. Şeren 10 maçı ise gol yemeden tamamlamıştı. Diğer yandan Federasyon Kupası'nda da mücadele eden ve organizasyonu ikinci sırada tamamlayan Galatasaray'ın 11 maçının 10'unda görev alan Şeren, bu maçlarda kalesinde 8 gol görmüş ve 5 maçı ise gol yemeden geçirmişti.

İstanbul Profesyonel Ligi'nin son sezonu olan 1958-59 sezonundaki ilk maçına 31 Ağustos 1958'de, İstanbulspor karşısında çıktı. Bu maç 2-0'lık İstanbulspor galibiyetiyle sona ererken Şeren, bu maç sonrasında oynadığı 6 lig maçında kalesini gole kapadı. 2 Kasım günü Romanya ile oynanan millî maçta kaburgasında çatlak oluştu. Bu sakatlığın ardından futbolculuk kariyerini sonlandırma kararı alan Şeren, daha sonra bu kararından vazgeçti. Bir müddet sonra, 14 Kasım'da yapılan yapılan muayenede kaburgasında çatlak değil, kırık olduğu belirlendi. 25 Kasım günü, tedavi için Londra'ya gitti. 18 Aralık'ta Türkiye'ye dönse de lig maçlarında görev alamadı. Galatasaray ile sözleşmesi süren futbolcu, River Plate'te deneme amacıyla oynamak için 1 Şubat 1959 tarihinde Arjantin'e hareket etti. Galatasaray yöneticileri, River Plate'in Şeren'i transfer etmek istemesi durumunda ₺200.000 bonservis bedeli talep edecekleri yönünde açıklamada bulundu. Burada yapılan denemeler sonrasında kendisine $15.000 transfer bedeli, aylık $4.000 maaş, primler ve bir ev teklif edildi. Daha sonra bu teklifteki transfer ücreti $40.000'a yükseltildi. Üç hazırlık maçında River Plate forması giydi ve bu sayede Güney Amerika'da futbol oynayan ilk Türk oldu. River Plate ile 1 senelik sözleşme imzalasa da Galatasaray'ın bonservisini vermemesi üzerine İstanbul'a döndü. Galatasaray yöneticilerinin 9 Mart'ta yaptığı toplantıdan, Şeren'in kulübe ₺60.000 vermesi durumunda sözleşmesinin feshedileceği kararı çıktı. Sözleşme fesih bedelini fazla bulan River Plate, oyuncuya yaptığı teklifi geri çekerek transfer girişimini sonlandırdı. 11 Nisan'da, Demirspor karşısında alınan 1-2'lik mağlubiyette kariyerindeki ilk Millî Lig maçına çıktı. Ligde yer aldığı grubu birinci sırada tamamlayan Galatasaray, diğer grubun birincisi Fenerbahçe ile, ligin şampiyonunun belirlenmesi için iki ayaklı bir final oynadı. Şeren'in görev aldığı 10 Haziran'daki ilk maç 1-0'lık Galatasaray üstünlüğüyle sonuçlansa da, bel kemiğindeki çatlak sebebiyle oynayamadığı 14 Haziran'daki ikinci maçı 4-0 kazanan Fenerbahçe şampiyonluğa ulaşan taraf oldu. Kulüp yönetim kurulu tarafından yapılan toplantıda, Şeren'in sakatlığının maçta oynamasına engel olmamasına rağmen kendisinin bilinçli olarak maçta oynamadığı belirtildi. Bu tespitin ardından kendisinden takım kaptanlığı alındı ve oyuncuya ₺500 ceza verildi. Yaşanan gelişmeleri