, fakat bunların hiçbirisi bir sonuca varamamıştır. Sayılar Teorisi'nin en önemli uğraşısı asal sayılar hakkındaki bu tür sorulardır. Asal sayılar ayrıca kriptografi alanında yapı taşlarıdır.

1 sayısı günümüzde ne asal ne de bileşik kabul edilir ve özel bir durumu vardır. Geçmişte pek çok matematikçi 1'i asal sayı olarak kabul ediyordu. 1'in asal olarak kabul edilmesine dayanarak yapılan birçok çalışma geçerliliğini hâlâ sürdürmektedir: Stern ve Zeisel'in çalışmaları gibi. Henri Lebesgue, çalışmalarında 1'i asal olarak ele alan son profesyonel matematikçi olarak bilinir. 1 asal olarak ele alındığında bâzı teoremlerde değişikliğe gidilmesi gerekir. Örneğin tüm pozitif tam sayıların "yalnız bir şekilde" asal sayıların çarpımları şeklinde yazılabileceğini söyleyen aritmetiğin temel teoremi, geçmişteki asal sayı tanımına göre geçerli değildir.

Aritmetiğin temel teoremi 1'den büyük tüm tam sayıların asal sayıların çarpımları şeklinde yazılabileceğini, üstelik yazımın da (asal çarpanların değişik sıralanması hariç) yalnız bir şekilde (teklik) olacağını söyler. Bir sayının asal çarpanlara ayrılmasında bir asal sayı birden fazla tekrar edebilir. Dolayısıyla asal sayılar, doğal sayıların "temel inşa taşları" olarak düşünülebilir.

Örneğin, 23244'ü şu şekilde asal çarpanlarına ayırabiliriz:23244 = 2 × 3 × 13 × 149

ve 23244'ün diğer asal çarpanlara ayırış şekilleri yukarıdaki ile aynıdır, fakat asal sayıların sıralaması değişik olabilir. Büyük sayılar için değişik asal çarpanlara ayırma algoritmaları vardır.

Aralarındaki fark iki olan asal sayılar hakkındaki İkiz Asallar konjektürü.


Asal sayıların doğal sayılar içerisindeki dağılımı hakkındaki hipotezdir.

Asal sayılarla ilgili Goldbach hipotezi, görünürde doğru gözükse de halen ispatlanamamıştır. ""Her çift sayı iki asal sayının toplamı mıdır?""

""'Örneğin:

Asal bir a sayısı için (2 – 1) biçiminde yazılan sayılara Mersenne sayıları denir.

Örneğin:





İkiz asallar

İkiz asallar, aralarındaki fark 2 olan asal sayılar. Örneğin 3-5, 5-7, 11-13 ikiz asallardır. 2-3 çifti hariç iki asal sayı arasındaki fark da zaten en az 2 olabilir.

İkiz asalların sonsuz tane olmasına ilişkin soru, sayılar kuramının yıllardır çözülememiş en büyük problemlerinden birisidir ve "ikiz asallar sanısı ( varsayımı, kestirimi) olarak adlandırılır. "Hardy-Littlewood sanısı" ikiz asalların dağılımı üzerine "asal sayılar teoremi" ne benzer bir varsayımda bulunur.

Viggo Brun, ünlü " eleme metoduyla" bir x sayısından küçük ikiz asal sayıların sayısının, x/(log) den küçük olduğunu göstermiştir. Bu sonuç da bütün ikiz asal sayı çiftler toplamının yakınsak olduğunu göstermektedir (bakınız Brun sabiti). Bu tüm asal sayı çiftlerinin toplamının ıraksadığına terstir (p ve p' asal sayılar ve k bir doğal sayı olmak üzere p-p'=2k, bu genellemeden k=1 için ikiz asallar varsayımına gidilir; bahsi geçen tüm asal sayı çiftlerin toplamı k değişken olmak üzere p ve p'lerin toplamıdır). Brun ayrıca her çift sayının, en fazla 9 tane asal çarpanı olan iki tane sayının farkı olarak sonsuz biçimde ifade edilebileceğini göstermiştir. Chen Jingrun'un ünlü teoremi göstermektedir ki herhangi bir m çift sayısı için m ile aralarında en fazla 2 tane asal çarpanı olan bir sayı kadar fark olan asal sayılardan sonsuz tane vardır.

3'ten büyük her ikiz asal sayı çifti, bazı n doğal sayıları için, (6n-1 , 6n +1) şeklinde ifade edilir.

Öyle ki n, 1'e eşit değildir ve 0, 2, 3, 5, 7 ile sonlanmak zorundadır.

m ve m+2 sayı çifti ancak ve ancak

2005 yılına gelindiğinde bilinen en büyük ikiz asal sayı çifti 16869987339975 · 2 ± 1 dir. Macar Zoltán Járai, Gabor Farkas, Timea Csajbok, Janos Kasza ve Antal Járai tarafından 2005 yılında bulunmuş olup 51779 haneli sayılardır.

4,35 · 10 e değin yapılan tüm asal sayı çiflerin deneysel analizi göstermektedir ki x den az çift sayısı x·f(x)/(log x) dir. Burada f(x) küçük değerli x ler için yaklaşık 1,7 dir ve x sonsuza giderken yaklaşık 1,3 e kadar azalır. f(x) 'in limit değeri "ikiz asal sabiti" ne eşit olduğu varsayılmaktadır.

Bu varsayım ikiz asallar sanısını gerektirmektedir ki hâlâ çözümsüzdür.Türk bilim adamlarından Cem Yalçın Yıldırım'ın da aralarında bulunduğu bir grup bilim adamı bu konu ile ilgili önemli araştırma çalışmaları yapmaktadırlar.





Cebirin temel teoremi

Matematikte cebirin temel teoremi karmaşık değişkenli polinomların köklerinin varlığıyla ilgili temel bir sonuçtur. D'Alembert-Gauss teoremi olarak da anılmaktadır.

Teoremin açık bir ifadesi şöyledir:

Sonuç olarak, katsayıları tamsayı, rasyonel sayı veya gerçel sayı olan ve sabit olmayan her polinomun en az bir karmaşık kökü vardır; çünkü tam sayılar, rasyonel sayılar ve gerçel sayılar da aslında birer karmaşık sayıdır. Bu sonuç elde edildikten sonra, her polinomun karmaşık sayılar cismi olan formula_1 'de çarpanlarına ayrılabileceği görülebilir; yani daha doğru bir şekilde dile getirilirse, her polinom derecesi kadar sayıda doğrusal fonksiyonların çarpımı şeklinde yazılabilir. Bu doğrusal fonksiyonların üniter olması isteniyorsa bu çarpımın başına bir karmaşık sayı eklenir. Polinom bu son anlatılan şekilde çarpanlarına ayrılmaya çalışılırsa, böyle bir ayırma tek bir şekilde yapılabilir. Matematiksel bir dille şu ifade edilmektedir: Eğer formula_2 ise ve

"n" dereceli bir polinomsa,

eşitliği yazılabilir ve bu eşitliğin bu şekilde yazılabilmesi sadece tek bir şekilde yapılabilir. Bu şekilde yazıldıktan sonra, polinomun köklerinin formula_5 olacağı açıktır. Burada polinomun köklerinin birbirinden farklı olmak zorunda olmayacağına dikkat edilmelidir.

Cebirin temel teoremi, her ne kadar cebirin ve teoremin kanıtlanmasından sonra üretilmiş matematiğin büyük bir bölümünün geliştirilmesinde önemli bir yere sahipse de, isminin içerdiği "cebir" kelimesi teoremi dar bir alana sokmamalıdır. Zira, bu teoremin tamamen cebirsel olan bir kanıtı bile yok gibidir. Teoremin bu isimle anılmasının sebebi teoremin kanıtlandığı dönemde cebirin kendini "denklemler kuramı" yani polinomların çözümüyle uğraşan bir kuram olarak tanımlamasıdır. Ancak, kanıtın yapıldığı zamandan bu yana cebirin kapsamına giren fikirler artmışsa da teoremin ismi değişmeden kalmıştır.

Teorem, kendine matematiğin içinde oldukça geniş bir uygulama bulmuştur. Örneğin, doğrusal cebirde özyapı dönüşümlerinin indirgenmesinde önemli bir yere sahiptir. Yine analizde, rasyonel fonksiyonların ayrışımında ve daha birçok teoremin kanıtında kullanılmaktadır.

Cebirin temel teoreminin birbirine denk olan değişik ifadeleri mevcuttur:

Örneğin, 1+i karmaşık sayısı formula_6 polinomunun bir köküdür. Bu halde, teorem "P"(X) polinomunun bir kökünün varolduğunu ifade eder; ancak bu kökün nasıl bulunacağını açıklamaz. Köklerin varlığı ilgili bu ifade aslında karmaşık sayılar cisminin bir özelliğini de tanımlamaktadır. Katsayılarını bir "F" cisminden alan, tek değişkenli ve derecesi en az 1 olan her polinomun yine bu "F" cismi içinde bir kökü varsa, "F" cismine cebirsel kapalı cisim adı verilir. . Teorem bu yüzden şu şekilde de ifade edilebilir:
Bu sonuç, aynı zamanda bir polinomun bölünmesi bağlamında da, yani karmaşık katsayılı çarpanlarının çarpımına eşit olması anlamında da ifade edilebilir:

Teorem, derecesi n olan ve karmaşık katsayılı "a""X" +... + "a""X" + "a" şeklindeki polinomların 
"a"("X" - α)...("X" - α) halinde de yazılabileceğini işaret eder. Burada, 1'den k'ye kadar değişen her α polinomun bir köküdür. Burada, farklı k'ler için α'ler eşit olabilir. Bu durumda, α'ye "katlı kök" adı verilir.

Cebirin temel teoremi, katsayıları gerçel sayı olan polinomlar ele alındığında şu dengi ifadelere karşılık gelmektedir:

Peter Rothe (Petrus Roth), 1608'de yayımlanan "Arithmetica Philosophica" adlı kitabında gerçel katsayılara sahip n'yinci dereceden bir polinom denkleminin n tane çözümünün "olabileceğini" yazmıştır. Albert Girard, 1629'da yayımlanan "L'invention nouvelle en l'Algèbre" adlı kitabında n'yinci dereceden bir polinom denkleminin n tane çözümünün olduğunu yazmıştır. Dahası, bu ifadesinin "denklem eksikli olmadıkça" geçerli olduğunu ifade etmiştir. Ancak, ne demek istediğini detaylı bir şekilde açıkladığında, aslında ifade ettiği önermenin her zaman geçerli olduğuna inandığı ortaya çıkmaktadır. Mesela, x4 = 4x − 3 eksikli değildir; ancak yine de 4 kökü vardır:1 (iki kere), −1 + i√2, ve −1 − i√2.

Yukarıdaki dengi ifadelerde de ifade edildiği gibi cebirin temel teoremini izleyen ifadelerden biri de sabit olmayan ve gerçel katsayılara sahip bir polinomun derecesi bir veya 2 olan, gerçel katsayılı polinomların çarpımı şeklinde yazılabileceğidir. Ancak, 1702'de Leibniz a'nın reel olduğu ve sıfıra eşit olmadığı x4 + a4 türündeki hiçbir polinomun bu şekilde yazılamadığını şöylemiştir. Sonraları, Bernoulli yine aynı ifadeyi bu sefer x4 − 4x3 + 2x2 + 4x + 4 polinomunu kastederek vermiştir. Ancak, 1742'de Euler'den bahsi geçen polinomun

şeklinde yazılabildiğini belirten bir mektup almıştır (Burada α, 4 + 2√7 sayısının kareköküdür.). Euler, ayrıca

olduğundan da bahsetmiştir.

Teoremi ilk kanıtlama girişimi 1746'da d'Alembert tarafından yapılmıştır; ancak kanıtı eksikti. Kanıtın sorunlarından biri de Puiseux teoremi olarak da bilinen bir teoremi varsaymasıdır ki bu teorem bu kanıtın yapılmaya tarihten 100 yıl sonra kanıtlanmıştır. Dahası, bu kanıt da cebirin temel teoremini varsayar. Teoremi kanıtlama girişimi euler tarafından (1749'da), de Foncenex tarafından (1759'da), Lagrange tarafından (1795'te) yapılmıştır. Bu dört girişimin hepsi de Girard'ın ifadesine dayanmaktadır.

18inci yüzyıl sonunda, köklerin varlığını varsaymayan iki kanıt yayınlandı. Bunlardan biri James Wood tarafından verilmişti ve genel çerçevede cebirsel bir kanıttı; ancak zamanında pek de önemsenmedi. Wood'un verdiği kanıtın aynı zamanda cebirsel bir açığı vardı. Diğer kanıt ise Gauss tarafından 1799'da verilen kanıttı ve genel çerçevede geometrik bir kanıttı; ancak topolojik bir açığı vardı. Bu açık, Alexander Ostrowski tarafından 1920'de kapatılmıştır. Tamamen titizce hazılanmış bir kanıt Argand