tarafından 1806'da verilmiştir ve ilk defa burada cebirin temel teoremi gerçel katsayılı polinomlardan değil de karmaşık katsayılı polinomlardan bahsederek ifade edilmiştir. Gauss, daha sonra biri 1816'da ve diğeri de ilk verdiği kanıtın değişik bir hali olmak üzere 1849'da iki kanıt daha yayımlamıştır.

Teoremi ve kanıtını içeren ilk kitap Cauchy'nin Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique (1821) adlı kitabıdır. Argand'ın kanıtını içermektedir; ancak Argand'a herhangi bir atıf yapılmamıştır.

Bu bölümde dahil edilen kanıtların neredeyse hepsi bir şekilde analizden en azından gerçel ve karmaşık fonksiyonların sürekliliğini kullanacak derecede faydalanmaktadır. Bazı kanıtlar türevi ve hatta analitik fonksiyonları kullanmaktadır. Bu yüzden, aslında cebirin temel teoreminin ne temel ne de tamamen cebirsel bir özelliği mevcuttur.

Teoremin bazı kanıtları sabit olmayan ve gerçel katsayılara sahip polinomların karmaşık bir köke sahip olacağını kanıtlamaktadır. Ancak, bu tür kanıtlar yine de teoremin en genel halini kanıtlamakta yeterlidir; çünkü "p"("z") karmaşık katsayılara sahip sabit olmayan bir polinomsa

polinomunun sadece gerçel katsayıları olacaktır. Dahası, "z" eğer "q"("z") 'yi sıfır yapan bir sayıysa yani "q"("z") 'nin köküyse, o zaman ya "z" ya da "z" 'nin eşleniği "p"("z") 'nin kökü olacaktır.

Teoremin cebirsel yöntemleri kullanmayan kanıtlarının büyük bir kısmı "büyüme önsavı" da denilen şu gerçeğe dayanmaktadır: baskın katsayısı 1 olan "n" 'yinci dereceden bir polinom |"z"| yeterince büyükken aslında "z" gibi davranır. Daha kesin bir ifade ise şöyle verilebilir: öyle bir "R" sayısı vardır ki |"z"| > "R" iken şu eşitsizlik sağlanır:

Kanıt 1: |"z"| ≥ "r" iken |"p"("z")| > |"p"(0)| olacak şekilde orijin merkezli ve "r" yarıçaplı bir kapalı "D" diski alalım. "D" tıkız olduğu için |"p"("z")| fonksiyonunun minimumum "D" üzerinde vardır ve dahası bu minimum "D" 'nin sınır üzerinde değildir. Minimumun var olduğu nokta "z" ise, o zaman minimum mutlak değer ilkesi kullanılarak "p"("z") = 0 elde edilir. Başka bir deyişle, "z" "p"("z") 'nin bir sıfırıdır.

Kanıt 2: Kanıt 1'in biraz daha değiştirilmiş haliyle teorem yine kanıtlanabilir. Kanıt minimum mutlak değer teoremi kullanmadan yapılabilir (bu tür kanıtların birçoğu Cauchy integral teoremini veya sonuçlarını kullanır); ancak bu kez yapılan şey minimum mutlak değer teoreminin polinomlar için basit adımlarla kanıtlanmasıdır. Daha kesin bir ifadeyle, çelişki yoluyla kanıt yapmaya çalışırsak, formula_14 olsun. O zaman, formula_15 'yi formula_16'ın kuvvetleri halinde açıp şu şekilde yazabiliriz:

Burada, formula_18'ler formula_19 polinomunun katsayılarıdır ve formula_20 de sabit terimden sonra sıfır olmayan ilk terimin indeksini temsil etmektedir. Ama, formula_21 'a yeteri kadar yakın formula_22'ler için bu polinomun asimptotik olarak formula_23 polinomuna benzer davrandığını gözlemleyebiliriz. Başka bir deyişle, 
formula_24
ifadesi formula_21 noktasının belli bir komşuluğunda pozitif bir formula_26 sabiti tarafından sınırlandırılmıştır. Bu yüzden, formula_27 tanımlarsak ve formula_28 alırsak, o zaman yeteri kadar küçük pozitif formula_29 sayısı için üçgen eşitsizliğini de kullanarak

elde ederiz. "r", 0'a yeteri kadar yakın olduğunda, üstte |"p"("z")| için bulunan bu üst sınır |"a"| 'dan kesinlikle daha küçük olacaktır ve bu da "z" 'ın tanımıyla çelişmektedir.

Kanıt 3: Bu bağlamda elde edilen bir başka kanıt ise, "D"'nin dışında|"p"("z")| > |"p"(0)| olduğunu gözlemlenmesine ve bu yüzden |"p"("z")| 'nin karmaşık düzlemdeki minimumunun "z" gerçekleşmesine dayanmaktadır. |"p"("z")| > 0 ise, o zaman 1/"p" karmaşık düzlemin tümünde sınırlı bir holomorf fonksiyon olur. Karmaşık düzlemin tümünde sınırlı olan holomorf bir fonksiyonun sabit olması gerektiğini belirten Liouville teoremi kullanılarak 1/"p" 'nin sabit olduğu sonucuna ulaşılır. Bu yüzden "p" de sabit olur. Ama bu çelişkidir ve bu yüzden "p"("z") = 0 olmalıdır.

Kanıt 4: Bir diğer kanıt ise arguman ilkesini kullanmaktadır. Pozitif bir "R" gerçel sayısı seçelim öyle ki "p"("z") 'nin köklerinin mutlak değerinin her biri bu "R" sayısından küçük olsun. Böyle bir "R" sayısı vardır; çünkü sabit olmayan ve derecesi "n" olan bir polinomun en fazla "n" tane sıfırı olduğunu biliyoruz. "r" > "R" koşulunu sağlayan her "r" için

sayısını ele alalım. Burada, "c"("r") 0 merkezli, "r" yarıçaplı ve saatin tersi yöndeki çemberdir. O zaman, arguman ilkesi kullanılarak bu sayının "p"("z") 'nin 0 merkezli ve "r" yarıçaplı açık daire içinde sahip olduğu sıfır sayısı N'ye eşit olduğu elde edilir. "r" > "R" olduğu için bu aynı zamanda "p"("z") 'nin toplam sıfır sayısına eşittir. Diğer taraftan, "n"/"z" 'nin "c"("r") boyunca alınan integralinin 2π"i" 'ye bölünmesiyle "n" sayısı elde edilir. Ama, o zaman bu iki sayı arasındaki fark şöyle olur:

Sağdaki integralin içinde bulunan rasyonel ifadenin payını derecesi en fazla "n" − 1 iken, paydanın derecesi ise "n" + 1 dir. Bu sebeple, yukarıdaki ifadedeki farkı temsil eden sayı, "r" sonsuza giderken 0'a yaklaşmaktadır. Ancak, bu sayı aynı zamanda "N" − "n" sayısına eşittir. O zaman, "N" = "n" olmalıdır.

Kanıt 5: Bir başka kanıt ise doğrusal cebir ve Cauchy integral teoreminin birleştirilmesinden elde edilir. Derecesi "n" > 0 olan her karmaşık polinomun bir tane sıfırı olduğunu göstermek için "n"x"n" lik her karmaşık matrisin karmaşık bir özdeğerinin olduğunu göstermek yeterlidir. Çelişki yöntemiyle tartışalım:

"A", "n"x"n" lik karmaşık bir kare matris olsun ve "I" de "n"x"n" lik birim matris olsun.

resolvent fonksiyonunu ele alalım. "R(z)" karmaşık düzlemde tanımlı ve matrislerin vektör uzayında değerler olan bir meromorf fonksiyondur. "A" 'nın özdeğerleri, kesinlikle "R(z)" 'nin kutuplarıdır. Varsayımımızdan dolayı "A" 'nın özdeğeri olmadığı için, o zaman "R(z)" tam fonksiyon olur ve Cauchy integral teoremi sayesinde

elde ederiz. Diğer taraftan, "R(z)" 'yi geometrik seri olarak açarsak

elde ederiz. Bu formül, yarıçapı ||"A"|| ("A"'nın operatör normu) olan kapalı diskin dışında geçerlidir. Bu halde, "r" > ||"A"|| alalım. O zaman,

elde edilir. Burada sadece toplamdaki indeksin "k" = 0 olduğu durumda integralin değeri 0 olmaz. Bu bir çelişkidir. O yüzden, "A"'nın özdeğeri vardır.




P ile NP arasındaki ilişki

P harfi "polynomial", NP harfleri ise "non-deterministic polynomial" ifadelerini temsil eder, Türkçe karşılıkları "polinom" ve "belirleyici olmayan polinom"dur. "P eşittir NP?" ise hesaplama teorisi'nin en temel ve meşhur problemidir.

Hesaplama teorisinde, bazı tip problemlerin çözümü için en etkili algoritmaların çalışma süresinin girilen verinin büyüklüğüne bir polinom cinsinden bağlı olduğu bilinmektedir (buna polinomsal zamanda çalışan algoritma adı verilir), bu tür problemler P kategorisindeki problemlerdir. Mesela verilen formula_1 basamaklı bir sayının asal olup olmadığını kontrol etmek için çalışma süresi formula_2 mertebesinde bir polinomla hesaplanabilen bir algoritma vardır. Dolayısıyla verilen bir sayının asal olup olmadığının araştırılması P kategorisinde bir problemdir.

Buna karşılık bir diğer grup problem vardır ki bunlar için sorulan soruya girilen verinin büyüklüğüne polinom mertebesinde bağımlı bir sürede cevap verecek bir algoritma bilinmemektedir. Fakat bu tür bazı problemler için eğer bir şekilde cevabı tahmin edebiliyorsak, tahminimizin doğruluğunu sınamak için veri büyüklüğüne polinom mertebesinde bağımlı sürelerde çalışacak algoritmalar vardır. Bu tür problemler, yani bir tahminin doğruluğunun kontrolü için çalışma süresi verinin büyüklüğüne polinom cinsinden bağımlı bir algoritma olan problemler de NP kategorisini oluştururlar. Örnek olarak verilen formula_1 basamaklı bir sayının asal çarpanlarının neler olduğu sorusunu düşünebiliriz. Bu sorunun cevabı için bilinen en iyi algoritmanın çalışma süresi formula_1 sayısına bir polinom cinsinden değil de eksponansiyel fonksiyonlar cinsinden (formula_5 misali) bağımlıdır (buna üstel zamanda çalışan algoritma denir), fakat bu problem için eğer bir şekilde cevabı tahmin edebiliyorsak tahminimizin doğruluğunu sınamak için formula_1 sayısına polinom mertebesinde bağımlı bir sürede çalışacak bir algoritma mevcuttur. Dolayısıyla verilen bir formula_7 basamaklı sayının asal çarpanlarının neler olduğu sorusu NP kategorisindedir.

Bu iki kategoriden NP'nin P'yi içerdiğini görmek kolaydır. Eğer bir sorunun cevabını verinin büyüklüğüne polinom mertebesinde bağımlı sürede çalışacak bir algoritmayla bulabiliyorsak, bu soruya cevap olarak üretilmiş bir tahminin doğruluğunu da verinin büyüklüğüne polinom mertebesinde bağımlı sürede çalışacak bir algoritmayla kontrol edebiliriz. Bunun için verilen sorunun cevabını verecek algoritmayı çalıştırıp, onun verdiği cevabı kendi tahminimizle karşılaştırmak yeterlidir. "P=NP?" problemi bunun tersinin de doğru olup olmadığını sorar. Yani NP kategorisinde olup da P kategorisinde olmayan problemler var mıdır? Veya diğer bir dille asal çarpanların bulunması için polinom mertebesinde bir sürede çalışacak bir algoritma gerçekten yok mu yoksa var da biz mi bulamıyoruz? Bu alanın uzmanlarının çoğunun görüşü bu tür algoritmaların gerçekten de var olmadıkları için bulunamadığı (yani P nin NP'ye eşit olmadığı) şeklinde ancak bu soruya kesin bir cevap verilebilmesi şimdilik çok zor gözüküyor.





Süreklilik hipotezi

Bütün sonsuzlar eşit değildir. 19. yüzyılın sonunda Alman matematikçi Georg Cantor'un ispatından beri gerçel sayılar'ın sayısının doğal sayılar'ınkinden fazla olduğu biliniyor. Daha da doğrusu gerçel sayılar'ın sayısının doğal sayılar'ın alt kümelerinin sayısına eşit olduğu. Genelde formula_1 ile doğal sayılar'ın sayısı ifade edilirken, bu durumda gerçel sayılar'ın sayısının formula_2 olduğunu görüyoruz. Süreklilik hipotezi bu iki sonsuzluk arasında başka mertebelerde sonsuzluk olup olmadığı sorusunu sorar.

Avusturyalı matematikçi Kurt Gödel bu soruya verilecek negatif bir cevabın kümeler teorisi ile tutarlı olduğunu, ABD'li matematikçi Paul Cohen ise bu soruya verilece