adlandırılan u d"m"/d"t" ifadesi, kuvvet (değişen kütle nedeniyle cisim üzerine uygulanan kuvvet, roket egzozu gibi) olarak tanımlanır ve F niceliğine dahil edilir. İvmenin tanımının da yerine koyulması ile eşitlik,

halini alır.


Bu eşitliğin elde edilmesinde enerjinin meşhur formula_10 ifadesi kullanılmıştır. (formula_11) Dikkat edilmesi gereken nokta bu eşitliğin yaklaşık bir eşitlik olduğudur. (Bir cismin toplam enerjisi formula_12
olarak ifade edilir. formula_13 Lorentz faktörü olup ışık hızından çok daha yavaş hareket eden cisimler için yaklaşık olarak birdir.) Aşağıdaki eşitlik bir kuvvet tarafından birim zamanda yapılan işi ifade eder:

Burada F·v, vektörel skaler çarpımdır.

Bu denklem genişletilmiş bir kuvvet yasası için tekrar düzenlenebilir:

Bu eşitlik "momentum değişiminin" kuvvet doğrultusunda olmasına rağmen, bir kütlenin "ivmesinin" genel olarak kuvvetin doğrultusunda "olmadığını" göstermektedir. Buna rağmen eğer hareket eden bir cismin hızı ışık hızından çok düşükse, yukarıdaki eşitlik bilindik F="m"a eşitliğine dönüşür.

Kütlesi değişen sistemler kapalı sistemler değildir. Örneğin yaktığı yakıtları dışarı püskürterek hareket eden bir roket için, Newton'ın ikinci yasasında kütleyi doğrudan zamanın bir fonksiyonu olarak alarak işe koyulamayız. Bunun nedeni, Kleppner ve Kolenkow 'un "An Introduction to Mechanics" adlı kitabında ve diğer modern metinlerde verildiği üzere Newton'ın ikinci yasasının temel olarak sadece "parçacıklara" uygulanabilir olmasıdır. Klasik mekanikte parçacıklar sabit kütleli olarak tanımlanır. Parçacıklar "iyi tanımlanmış" sistemleri oluşturduğu takdirde, Newton'ın yasası tüm parçacıklar üzerinden bir toplam alınarak genişletilebilir. Bu durumda sistemi oluşturan tüm parçacıklar kütle merkezinde bulunan, kütlesi tüm parçacıkların kütleleri toplamına eşit bir tek parçacıkmış gibi ele alınabilir. İkinci yasayı böylesi genişletilmiş cisimlere uygularken, yasa tamamıyla cismin iyi tanımlanmış parçacıklardan meydana geldiğini kabul eder. Buna rağmen bir roket gibi değişken kütleli sistemler belli sayıdaki parçacıklardan oluşmaz. Böyle sistemler "iyi tanımlanmış" sistemler değildir. Bu nedenle böyle sistemlere Newton'ın ikinci yasasını doğrudan uygulayamayız. Böyle durumlarda F = dp/d"t" eşitliğinin dikkatsizce kullanılması yanlış sonuçlar verecektir. Buna rağmen, momentumun korunumunu tüm sisteme uyguladığımızda (örneğin roket "ve" yakıtı) elde ettiğimiz sonuçlar kesinlikle doğru olacaktır.

Son cümlede kullanılan "tüm sistem" ifadesi genişletilmiş, sabit kütleli ve tüm parçacıkları belirli bir sisteme karşılık gelir. Bu durum, F = dp/d"t" ifadesinin sadece sabit kütleli sistemler için doğru olduğu anlamına gelir. Buna rağmen yasa F = "m"a şeklinde ifade edildiğinde, bileşke kuvvet sisteme giren veya çıkan kütlenin ikisini de içerecek şekilde alındığında, kütlenin değişimine aldırmaksızın herhangi bir parçacığın veya sistemin hareketini doğrulukla açıklar.

Daha doğrudan bir çeviri şu şekilde yapılabilir:

Alışılmış olduğu üzere Newton yukarıdaki çeviride momentumdan "hareket" olarak bahsetmiş, "hız" ile "hareket" arasındaki farka dikkat çekmiştir.

Newton'ın üçüncü yasası, tüm kuvvetlerin etkileşimler olduğunu söyler -yani tek yönlü kuvvet diye bir şey yoktur. Eğer bir A cismi, bir B cismi üzerine bir kuvvet uyguluyorsa B cismi de aynı anda A üzerine aynı büyüklükte bir kuvvet uygular; öyle ki uygulanan bu kuvvetler aynı doğru üzerinde yer alır. Şekilden görüleceği üzere, patenciler birbirlerine büyüklükleri aynı fakat yönleri ters olan kuvvetler uygular. Uygulanan kuvvetler eşit olmasına rağmen ivmelenmeler eşit değildir: Newton'ın ikinci yasasına göre daha zayıf olan patenci daha büyük bir ivme kazanacaktır. Burada dikkat edilmesi gereken konu etki/tepki çiftinin farklı nesneler üzerine etkidiği ve birbirini yok etmediğidir. Newton'ın üçüncü yasasındaki iki kuvvet aynı tiptedir, örneğin, eğer yol, ivmelenen bir araba lastiği üzerinde ileri yönlü bir sürtünme kuvveti uyguluyorsa (ki bu kuvvet, arabanın hareket etmesini sağlayan kuvvettir), bu sürtünme kuvveti Newton'ın üçüncü yasasına göre aynı zamanda lastikleri yol üzerinde geri iter.

Newton üçüncü yasayı, momentumun korunumu yasasını türetmek için kullanmıştır; buna rağmen daha derin bir bakış açısı ile momentumun korunumu, daha temel bir fikirdir (Galileo) dönüşümlerinden Noether teoremi aracılığıyla ispatlanır) ve Newton'ın üçüncü yasasının geçerli olmadığı durumlarda da geçerliliğini korur (örneğin parçacıkların momentum taşıdığı gibi kuvvet alanlarının da momentum taşıması durumunda veya kuantum mekaniğinde).

Newton yasaları 200 yıldır çeşitli deneyler ve gözlemler ile doğrulanmıştır ve gündelik yaşantımızdaki hızlar ve ölçekler için mükemmel birer yaklaşımdırlar. Newton'un hareket yasaları, yine onun bulduğu evrensel kütleçekim yasası ve kalkülüs'ün matematiksel yöntemleri ile birlikte, ilk kez geniş çaptaki fiziksel olaylar için niceliksel bir açıklama sağlamıştır.

Bu üç yasa, gündelik koşullarda makroskopik cisimlerin hareketi için iyi bir yaklaşıklık ile geçerlidirler. Buna rağmen, çok küçük ölçeklerde, çok yüksek hızlarda veya çok güçlü kütleçekimsel alanların varlığında geçerliliklerini yitirirler. Bu nedenle yasalar, bir yarı iletkendeki elektrik iletimi, maddelerin optik özellikleri, relavite hesaba katılmadan düzenlenen GPS sistemlerindeki hatalar ve süper iletkenlik gibi olayları açıklamakta kullanılamazlar. Bu tip olayların açıklanabilmesi, Genel Görelilik ve Relativistik Kuantum Mekaniği gibi daha karmaşık fiziksel teorileri gerektirir.

Kuantum mekaniğinde kuvvet, momentum veya konum gibi kavramlar, bir kuantum durumu üzerine işlem yapan, doğrusal operatörler ile tanımlanır. Işığın hızından çok düşük olan hızlarda, bu operatörler Newton yasalarına indirgenir. Işık hızına yaklaşık hızlarda, bir cisim için kuvvetin o cismin momentumunun zamana göre türevi olduğunu söyleyen ikinci yasa orijinal halini ("F = d (p) / dt") korusa da, ikinci yasanın bazı yeni sürümleri (yukarıdaki sabit kütle yaklaşımı gibi) geçerliliklerini koruyamamaktadırlar.





Henry Mancini

Henry Mancini, asıl adı Enrico Nicola Mancini. (16 Nisan 1924, Cleveland, Ohio – 14 Haziran 1994, Los Angeles, Kaliforniya). 
ABD'li besteci ve aranjör.

Çok sayıda televizyon ve film müziği yapan besteci, 1995 yılında aldığı Grammy ömür boyu başarı ödülü dahil pek çok ödüle sahiptir. Aralarında Peter Gunn, Midnight Cowboy ("Geceyarısı Kovboyu"), A Hard Day's Night, Pink Panther (" Pembe Panter "), Breakfast at Tiffany's ("Tiffany'de Kahvaltı") 'nin de bulunduğu pek çok klasikleşmiş ve müzikleriyle akıllarda yer edinmiş filmin bestecisidir. 70 yaşında pankreas kanserinden ölmüştür.






Öngörü aralığı

İstatistikte tahmin aralığı, gözlemlenemeyen anakütle parametresinin tahmininde kullanılan güven aralığı yaklaşımından esinlenir.

Örnek

Normal dağılımlı anakütleden bir örnek elde edildiğini varsayalım. Anakütlenin ortalaması ve satandart sapması örnekleme dayalı olarak tahmin edilmediği sürece belirsizdir. Bir sonraki gözlemin tahmin edilmesi arzulanmaktadır. "n" örneklem boyutu; μ ve σ sırasıyala örneklemin gözlemlenemeyen ortalaması ve standart sapması olsun. "X", ..., "X", örneklem; "X" tahmin edilecek ilerki zamandaki gözlem olsun:

formula_1

ve

formula_2 
olduğu için,

formula_3 gösteriminin n-1 serbestlik derecesinde t dağılımı gösterdiği ortaya konulabilir.

Sonuçta "A", 100(1 - (p/2))inci persentili (yüzdeliği) göstermek üzere 




Student'in t dağılımı

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında t-dağılımı ya da Student'in t dağılımı genel olarak örneklem sayısı veya sayıları küçük ise ve anakütle normal dağılım gösterdiği varsayılırsa çıkartımsal istatistik uygulaması için çok kullanılan bir sürekli olasılık dağılımıdır. Çok popüler olarak tek bir anakütle ortalaması için güven aralığı veya hipotez sınaması ve iki anakütle ortalamasının arasındaki fark için güven aralığı veya hipotez sınamasında, yani çıkarımsal istatistik analizlerde, uygulama görmektedir.

t-dağılımı ilk olarak 1908'de Dublin'de Guinness Bira Fabrikası'nda çalışan William Sealy Gosset tarafından yayımlanan bir makale ile ortaya konmuştur. Guinness'in, şirket sırlarının yayımlanmasını önlemek amacıyla çalışanlarının bilimsel yayın yapmasını yasaklamasından ötürü, bu yayının yazarı Student (öğrenci) olarak belirtilmişti. Gosset bu makalesinde "t" yerine "z" harfini kullanmıştır fakat sonradan "z" harfinin standart normal dağılım bağlamında kullanılmaya başlanmasıyla Student'in dağılımı "t" harfiyle anılmaya başlanmıştır. "t"-sınamaları ve ilişkili teori R.A. Fisher tarafından geliştirilmiş ve bu dağılım "Student'in t dağılımı" adıyla tanınmıştır.

Çıkarımsal istatiksel çalışmalarda normal dağılımın yerine küçük orneklem bulunan problemler için kullanılmakla (ve bu nedenle normal dağılımın bir özel hali olarak yanlış intiba vermekle) beraber "Student'in t-dağılımı" teorik bakımdan genelleştirilmiş hiperbolik dağılımının bir özel halidir.

Farz edelim ki "X", ..., "X" istatistiksel olarak birbirlerinden bağımsız rassal değişkenlerdir ve beklenen değer μ ile dağılma σ değerleri ile normal dağılmaktadırlar.

örneklem ortalaması ve

Bu "Z" den, kesin standart sapma ifadesi olan formula_3 yerine bir rassal değişken olan formula_4 konulması suretiyle değişiklik gösterir. Teknik olarak :formula_5 
Cochran'ın teoremine göre bir ki-kare dağılımı gösterir. Gosset yazısında "T"nin şu olasılık yoğunluk fonksiyonu gösterdiğini ispat etmiştir:

Burada ν, "n" - 1 ifadesine eşittir ve Γ bir Gamma fonksiyonudur.

Bu ifade şöyle de yazılabilir:

Burada "B" bir Beta fonksiyonudur.

Sonradan "T" dağılımı "t-"dağılımı olarak anılmaya başlanmıştır. ν parametresi 
serbestlik derecesi olarak anılmaktadır. Dikkat edilirse t-dağılımı sadece ν parametresine dayanır ve (çıkarımsal istatistik analizi için bilinmeyen anakütle değerleri olan) μ veya σ t-dağılımı için parametre değildirler. İşte bu gerçek (yani μ ve σ nin parametre olmaması) hem teorik bakımdan ve daha belirgin olarak pratik ç