_60 ilişkilerinin olduğu görülür. formula_60 ilişkisi gurubun değişmeli olduğunu gösterir. Ayrıca, formula_57 ve formula_58 tarafından üretilen serbest grup formula_64 nin kelimelerinin, bu ilişkilere göre sadeleştirilmiş halleri formula_56 grubunun elemanlarını ifade ederler.

Gruplar, sonlu gösterimli ve sonsuz gösterimli olmak üzere iki sınıfa ayrılırlar. Sonlu gösterimli gruplar formula_51 kümesi sonlu olan en az bir gösterimi kabul eden gruplardır. Hiçbir gösterimi sonlu olmayan gruplar ise gösterimi sonsuz sınıfına düşerler.

Sonlu gösterimli grupların Descartes çarpımları da serbest çarpımları da sonlu gösterimlidir. formula_67 ve formula_68 olsun. formula_69 nin bir gösterimi formula_70 dir. formula_71 nin bir gösterimi ise formula_72 dir.

4) formula_39 üzerinde tanımlanan ikili işlemin, yine formula_39 üzerinde tanımlanmış bir topolojiye göre sürekli olup olmaması önemli grup sınıfları oluşturur. Eğer, bu ikili işlem formula_75 in topolojisine göre sürekli ise, formula_39 grubuna topolojik grup denir. Benzer şekilde, formula_39 üzerinde bir topoloji ve ayrıca gerçel analitik yapı var ise, mesela formula_39 bir çokkatlı olabilir, ve ikili işlem gerçel analitik ise, formula_39 grubuna Lie grubu denir. Örnek olarak, 2 boyutlu tersinir kare matris grubu,bir gerçel 4 boyutlu tıkız olmayan bağlantısız Lie gruptur. Eğer gerçel yapı karmaşık yapıyla değiştirilirse, karmaşık Lie grubu elde edilir.

5) Gruplar ayrıca, hiperbolik gruplar, uyumlu grup lar (amenable group), T-özelliğine sağlayan veya sağlamayan gruplar gibi ana sınıflara ayrılırlar.

Her gruba bir formula_80 çizgesi tayin edilerek, çizge teorisinin kombinatorik sonuçları, grup teorisinde kullanılabilir . Bu özel çizgeye Cayley çizgesi denir ve şöyle inşa edilir: formula_39 grubunu üreten formula_41 kümesi seçildikten sonra, formula_41 nin her formula_84 elemanına formula_85 ile gösterilen bir renk atanır. Uçlar kümesi, yani formula_86, olarak formula_39 kümesi seçilir. formula_88 için formula_89 şeklinde formula_90 var ise, formula_91 ucundan formula_92 ucuna formula_85 renkli kenar çizilir. Elde edilen renki yönlendirilmiş çizge formula_80 dir.


Grupların Cayley çizgeleri formula_117 e her zaman gömülebilirler. Ayrıca, her yönlü çizge bir Cayley çizgesi değildir. Cayley çizgesi kullanılarak, grubun tekil Laplace operatörü tanımlanır.

Grup gösterimleri kullanılarak, her gruba karşılık bir hücre kompleksi inşa edilir. Bu teknik, geometrik grup teorisinde sıklıkla kullanılır. formula_54 gibi bir gösterimin verildiğini kabul edelim. formula_119 ile tek noktası olan topolojik uzayı gösterelim. formula_41 kümesinin her elemanı için, 1-boyutlu bir kenar, bu tekil noktaya uç noktalarından yapıştırılsın. Oluşan uzayı formula_121 ile gösterelim. formula_51 kümesinin elemanları, formula_39 içinde birim elemana denk gelen kelimeler olduklarından, bu tür her kelimeye karşılık, 2-boyutlu bir disk, topolojik sınırı 1-boyutlu kenarlara denk gelecek şekilde yapıştırılabilir. Oluşan 2-boyutlu formula_124 uzayı, formula_39 nin hücre kompleksi dir. Bu hücre kompleksinin temel grubu formula_39 nin kendisi olup, topolojik evrensel örtüsünün 1-boyutlu iskeleti formula_39 nin Cayley çizgesidir.

Örnek: formula_128 in gösterim kompleksi torustur. 

Grup teorisi cebirin en sık kullanılan yapısı olduğundan, matematiğin diğer dallarında pek sık kullanılır. Aşağıda, bu ilişkilerin birkaçı açıklanmıştır.


Aşağıda bazı önemli uygulamar verilmiştir. 




Tarihöncesi

Tarih öncesi veya Prehistorya (Latince, præ = önce + Yunanca, ιστορία = tarih), insanlığın yazının bulunmasından önceki dönemi.

Tarih öncesi dönemler arkeoloji tarafından araştırılır. Tarih öncesi dönemin uzunluğu bölgelere göre değişiklik gösterir. Kimi bölgelerde 2 milyon yıl öncesinde yaşanmaya başlayan bu dönem, insanlığın geçirdiği en uzun aşamadır.

İlk yazı Mezopotamya'da ve Mısır'da yaklaşık olarak aynı sıralarda, M.Ö. 3. binin başlarında kullanılmaya başlanmıştır.





Seyşeller

Seyşeller (Seyşeller Kreyolu: "Sesel"; İngilizce: "Seychelles"; Fransızca: "Seychelles") ya da resmî adıyla Seyşeller Cumhuriyeti, Afrika kıtasına bağlı ada ülkesidir. Seyşeller, Hint Okyanusu'ndaki 115'in üzerinde kurulu bir ülke olup, Afrika ana kıtasının doğusunda, Madagaskar'ın ise kuzeydoğusunda yer almaktadır. Ülkenin başkenti Victoria'dır.

Adaların, 1505 yılında Portekizliler tarafından bulunduğu sanılmaktadır. 1768'de Fransızlar tarafından işgâl edildi. 1794'te Büyük Britanya Krallığı yönetimi altına girdi. 1810'da bir İngiliz kolonisiydi. 1814'te Paris Antlaşması'yla tam olarak Birleşik Krallık'a verildi. 1903'te Birleşik Krallık'a bağlı bir koloni hâline geldi. 1976 yılında bağımsızlığını elde etti. Bir yıl sonra askerî bir darbe yapıldı ve France-Albert René yönetimi ele geçirdi. 1979'da ilan edilen yeni anayasa ile tek partili bir devlet oldu. France Albert René 1989 seçimlerini de kazanarak üçüncü defa başkan oldu. 1977'deki darbeden sonraki ilk çok partili seçim 23-26 Temmuz 1992'de yapıldı. Seçimin amacı anayasa taslağını hazırlamakla vazifeli 23 kişilik bir komisyonun üyelerini tespit etmekti. Anayasa teklifi 15 Kasım 1992'de halk oylamasına sunuldu ise de %60 barajını aşamadığı için kabul edilmedi.

Mevkii itibarıyla Hint Okyanusunda ve Madagaskarın 1200 km kadar kuzeydoğusunda ve Zengibar'ın yaklaşık 1600 km doğusundadır. Yüzölçümü yaklaşık 493 km2dir. Bu yüzölçümüne 92 ada ve adacık, mercan ve granit ada ve kayalıkları dâhildir. Bu adaların en büyüğü 142 km2lik Mahé Adasıdır. Diğer önemli adalar; Praslin, La Digue, Silhouette, Destroches ve Aldabradır.
Adalar, granit ve genellikle volkanik türde olup, dağlık bir arâziye sâhiptir. En yüksek nokta Mahé Adasındaki Morne Seychellors Tepesi olup, yaklaşık 900 metredir.

Takımadalar ekvatora çok yakın olmasına rağmen, iklim, güneydoğu alizeler sebebiyle ılımandır. Hazirandan kasım ayına kadar bu ılık iklim devam eder. Mahé Adasında sıcaklık aşağı yukarı 24 °C ilâ 29 °C arasında değişir. Başşehir Victoria ve çevresine düşen yıllık yağış miktarı yaklaşık 2300 mm kadardır. Bu rakam yüksek bölgelere gelince artar ve hemen hemen 3550 mmye kadar ulaşır. Ülkede genellikle kaplumbağa, guano ve kıyılarda da köpekbalığı bulunur.

Ülkenin nüfûsu yaklaşık 71.000'dir. Nüfus yoğunluğu 157'dir. Yıllık nüfus artışı %2 dolayındadır. Nüfûsun %60'tan fazlası gençtir ve şehirlerde yaşayanlar aşağı yukarı %37 civarındadır. Nüfusun etnik yapısını Creoller meydana getirir. Creoller, Fransız asıllı olup Louisianada ve İspanyol asıllı olup Karaip Adalarında doğmuş ve buralarda yaşamış kimseler demektir. Bunlar esas îtibâriyle Fransız, İspanyol, Asyalı ve Afrikalı insanların birbirleriyle kaynaşması netîcesi meydana gelen melez insanlardır. Halkın çoğu katoliktir. Ayrıca bir miktar Müslüman, Protestan ve Hindu da mevcuttur.

İngilizce ve Fransızca resmî dillerdir. Bunun yanı sıra Fransızcanın değişik bir şekli olan Créole dili de yaygındır. Başkenti Victoria'dır. Okuma-yazma oranı %60 civarındadır.

Tek partili yönetim sistemine dayalı bir cumhuriyettir. 1979 anayasasına göre ülke, tek parti diktatörlüğünde sosyalist bir devlettir. Devlet başkanı 1977'de işbaşına gelen başkan France Albert René'dir (1993).

Ülke ekonomisi esas olarak tarım ve turizme dayanır. Ayrıca tüketim malları ihracatı da önemli bir gelir kaynağıdır. Ülkede yetişen başlıca tarım ürünleri; muz, tatlı patates, manyok ve bunun ürünü nişasta, kokonat ve vanilyadır.

Ülkenin en önemli endüstrisi gıda endüstrisidir. Ayrıca deniz ürünleri önemli bir gelir kaynağıdır. İşçi gücünün %19'u tarımda, %20'si mâdencilik ve inşaatçılıkta, %14'ü kamu sektöründe ve sosyal hizmetlerde, %11'i de lokanta ve hotel işletmeciliğinde istihdam edilir.

İthâlat ve ihrâcatını daha çok Birleşik Krallık, Fransa, Güney Afrika, Yemen ve Pakistan ile yapar. Başlıca ihraç ürünleri şunlardır: Kurutulmuş hindistancevizi içi, tarçın, sabun ve parfüm yağı, vanilya ve balık. Diğer önemli gelir getiren kaynaklar ise guano, kaplumbağa kabuğu, köpekbalığı yüzgeci ve balık ürünleridir.

Ulaşım sistemi yeterli olup ülkenin en gelişmiş şehri ve limanı başkenti Victoria'dır.





İlahiyat

İlâhiyat ya da teoloji (Yunanca: "θεος, "theos", "Tanrı" + λογος, "logos", "bilim"") ya da tanrıbilim, "tanrı" kavramı ve din olgusunu inceleyen bilim dalı.

Günümüzde sıklıkla, "din ile ilgilenen bilim" anlamında kullanılmaktadır. Teoloji ile ilgilenen kişilere "teolog", "ilâhiyatçı", "dinbilimci" veya "tanrıbilimci" denir.

Modern dönem öncesi kurulan pek çok üniversite, kilise okullarından ve manastır kurumlarından dönüştürülmüştür. Bu sebeple, Orta Çağ'da teoloji, üniversitelerin temel araştırma alanlarının en ön sıralarında gelmekte ve teolojiye "bilimlerin kraliçesi" (The Queen of the Sciences) adı verilmekteydi. Bu önceliğinden ötürü bu okulların müfredatlarında, "kilise kanunları" gibi dersler yer almakta ve bu dersler ile kiliseye hizmet edecek gençlerin yetişmeleri amaçlanmakta idi. Hatta bu üniversitelerin duâ etme, vâaz verme veya âyinleri de içeren şapelleri de bulunmaktaydı.

Aydınlanma ile birlikte üniversiteler değişmeye ve hümanist bir perspektifle farklı alanlardaki konuları öğretmeye başladılar. Teoloji, artık üniversitelerde öğretilen ana konular arasında yer almıyordu. Üniversiteler, kiliselere din adamı yetiştirmenin dışında da amaçlar edinmeye başlamışlardı. Sonuç olarak teoloji, inancı ele alış şeklinin inancın içinden olması farkı ile aynı konuyu ele alan diğer akademik disiplinlerden ayrıldı. Çoğu "kilise babası", teoloğu ""hakiki olarak duâ eden kişi"" olarak tanımlamaktadır. Dindar olmayan teologlar bu görüşle uyuşmasa da teoloji aşağıdaki disiplinlerden ayırt edilmelidir. Din bilimleri şu beş başlık altında incelenir:

Tüm bu disiplinler, dine hümanist varsayımlarla yaklaşır ve teolojiden farklı olarak, dinî inanç ve deneyimin tek biçimliliğini öne sürerler.


İslam felsefesindeki temel sorgu mekanizmalarını ve aklî delillendirme metodolojilerini ilke edinerek eşyanın hakikatini elde etme güdüsü sonucu ortaya çıkmış dinbilimsel yaklaşımların "İsl