ıkarımsal istatistik analizi bakımından, t-dağılımı istatistik bilimi için çok önemlidir.

t-dağılımının momentleri şunlardır:

Bir diğer işlemle de 0 < "k" < ν terimi, "k" çift sayı ise, Gamma fonksiyonunun özellikleri kullanılarak daha basitleştirilebilinir:

Gosset'in sonuçlarının daha da genelleştirilmesi mümkündür.

Z, standart normal dağılıma ve V ise, formula_10 serbestlik derecesi ile ki-kare dağılımına sahip olsun, Z ve V bağımsız ise, Cochran'in teoremine göre, şu orantı

ν serbestlik derecesi olan bir "t"-dağılımı olur.

Serbestlik derecesi ν olan bir "t"-dağılımı için beklenen değer 0 dır ve varyans 
Çarpıklık 0 olur ve basıklık eğer "ν" > 4 ise.
olur. Yığmalı dağılım fonksiyonu bir tamamlanmamış beta fonkiyonu olup

ifadesi ile verilir ve burada

olur.

"t"-dağılımı ile F-dağılımı ilişkisi şöyle açıklanabilir; "ν" serbestlik derecesi olan "t" için kare değeri serbestlik derecesi 1 ve "ν" olan bir F-dağılımıdır.

"t"-dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonunu grafik şekli, ortalaması 0 ve varyansı 1 olan standart normal dağılımı grafik şekline benzerlik gösterir. Ancak t-dağılımı daha yaygındır ve biraz daha basıktır. Serbestlik derecesi büyüdükce, t-dağılımı standart normal dağılımına yaklaşım göstermektedir. Serbestlik derecesi 30 olduğu zaman t-dağılımı ve standart normal dağılım nerede ise aynı şekildedirler.

Aşağıdaki gösterimler "ν" serbestlik derecesi artış gösterirse "t"-dağılımı yoğunluk fonksiyonunun nasıl değiştiğini gösterirler. Karşılaştırma sağlamak için normal dağılım mavi çizgi ile gösterilmiştir. "t"-dağılımını gösteren kırmızı çizginin "ν" değeri artıkça normal dağılıma yakınlaşma gösterdigi açıkca gözlenebilmektedir. Eğer "ν"=30 "t"-dağılımı hemen hemen normal dağılım ile aynı olmaktadır.

Serbestlik derecesini "ν" için belli değerler özellikle basit olan bazı şekilleri verirler:

Dağılım fonksiyonu şu olur:

Yoğunluk fonksiyonu şudur:

Yoğunluk fonksiyonu şudur:

Bir sayı olan "A" öyle şekilde seçilsin ki

olsun. Burada "T" "n" - 1 serbestlik derecesi bulunan bir "t"-dağılımı göstersin. Bu ifade

ifadesi ile aynı olup "A" bu olasılık dağılımının "95inci yüzdebirlik" değeridir veya 
Bu halde

olmaktadır ve bu da

ifadesine aynen eşittir. Bunun için uç-noktaları

olan açıklık μ için bir %90 güven aralığıdır.

Böylece eğer normal dağılım gösterdiğine epeyce emin olabilaceğimiz bir grup gözlem için ortalama değeri bulursak, "t"-dağılımını kullanarak bulunan ortalama için güvenlik limitlerinin (belki bir sıfır hipotez için tahmin edilmiş değerin) yahut daha önce teorik olarak tahmin edilmiş bir değerin, bu limitlerin arasında bulunup bulunmadığı araştırılabilir.

Bu sonuc Student'in t-testlerinde kullanılmaktadır. İki normal dağılımdan alınan örneklemlerin ortalamalarının farkı da normal dağılım gösterdiği için, anakütle ortalamalarının arasındaki farkın sıfıra eşit olduğuna dair bir sonuç çıkarmanın makul olup olmadığını incelemede kullanılabilir.

Eğer veriler normal olarak dağılım gösterirlerse, ortalama için tek taraflı bir (1-a)-üst güvenlik limiti (UGL), şu verilen denklemi kullanarak hesaplanabilir.

Ortaya çıkarılan UGL değeri, bir verilmiş güvenlik aralığı ve anakütle büyüklüğü için ortaya çıkacak en büyük ortalama değeri olacaktır. Diğer bir terimle, formula_24 değeri bir grup gözlemler için bir ortalama olursa, bu dağılımın ortalamasının formula_25 değerinden daha düşük olmasının olasılığı güvenlik oranına (yani formula_26 ye) eşittir. 
Uygun büyüklükteki örneklemler için t-dağılımlarının ilgili sıfır hipotezi için uygulanabileceği birkaç diğer istatistikler bulunmaktadır. Böylece "t"-dagılımı, yalnizca tek ortalama ve iki ortalama arasındaki fark problemleri için uygulanan sonuç verici istatistik için bir özel teknik olmadığı açıktır. Örneğin Spearman'ın sıralama korelasyon katsayısı için sıfır hipotez bu katsayının 0 olabileceği ise, bu sıfır korelasyon için, eğer örneklem büyüklüğü 20 civarında ise, yaklaşık olarak bir t-dağılımı kullanılabilir.

"t"-dağılımı çok kere veri modeli kurmak için normal dağılıma bir alternatif olarak kullanılır. Çok kere pratik hayattan gelen gerçek veriler normal dağılımın kabul ettiğinden daha fazla ağırlıklı dağılım ("şişman-kuyruklu dağılım") gösterir. Bu halde klasik çözum yolu bu alışılanın çok dışında olan değerleri ("aykırı değerleri") teşhis edip bunların ağırlıklarını özel işlemlerle azaltmaya çaba göstermekle yapılmaktaydı. Ancak "aykırı değer"lerin teşhis edilmesi (özellikle yüksek boyut gösteren veriler arasında) hiç kolay olmamaktadır. Bu nedenle bu türlü verileri modellemek için doğasal seçim konusu olan ve güçlü istatistikler için bir parametrik yaklaşım sağlayan t-dağılımının alternatif olarak kullanılması tavsiye edilmektedir.

Lange ve işbirlikcileri (1989) çeşitli kullanım alanlarında sisman kuyruklu veriler için güçlü modelleme içinde t-dağılımının kullanılması sorunu ayrıntılı olarak incelemişlerdir. Gelman ve işbirlikçilerinin (2003) yazısında bir Bayes-tipi yaklaşım gösterilmektedir. Serbestlik derecesi parametresi dağılımının basıklığını kontrol etmek için kullanılmakta ve bu ölçek parametresi ile korelasyon bağlantısı göstermektedir. Olabilirlilik çok sayıda yerel maksimum değerleri gösterdigi için, çok kere serbestlik derecesini ufak olan değerlerde sabitleştirmek ve bu sabit değer verilmiş gibi diğer parametreler için kestirimde bulunmak gerekmektedir. Bazı araştırıcılar bunun için en uygun değerlerin 3 ile 9 arasında olduğunu beyan etmişlerdir. Venebale ve Ripley (2002) ise 5 değerinin iyi bir seçim olacağını bildirmektedirler.








Varyans

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında varyans bir rassal değişken, bir olasılık dağılımı veya örneklem için istatistiksel yayılımın, mümkün bütün değerlerin beklenen değer veya ortalamadan uzaklıklarının karelerinin ortalaması şeklinde bulunan bir ölçüdür. Ortalama bir dağılımın merkezsel konum noktasını bulmaya çalışırken, varyans değerlerin ne ölçekte veya ne derecede yaygın olduklarını tanımlamayı hedef alır. Varyans için ölçülme birimi orijinal değişkenin biriminin karesidir. Varyansın kare kökü standart sapma olarak adlandırılır; bunun ölçme birimi orijinal değişkenle aynı birimde olur ve bu nedenle daha kolayca yorumlanabilir.

Bir reel sayı halinde olan rassal değişkenin varyansı o rassal değişkenin ikinci merkezsel momenti ve aynı zamanda ikinci kümülantı olur. Eğer varyans değeri var ise, ortalama değeri de vardır. Ama bunun aksi doğru değildir.

Eğer beklenen değer varsa, bir olasılık dağılımı için varyans dağılımın kendi ortalamasından sapmasının karesinin beklenen değeridir. Varyans kavramı dağılıma ait her bir değerin dağılımın ortalamasından ne kadar uzak olduğuyla ilgilidir. Varyans söz konusu sapmaların ortalama değerini ölçmektedir.
"X" değişkeninin beklenen değeri μ = E("X") olmak üzere, varyans şöyle tanımlanır:
Matematik notasyon kullanılarak bir rassal değişken "X" için varyans ya Var(X) ya formula_2 ya da daha basitce σ olarak gösterilir..

Bu tanımlama, eğer beklenen değer varsa, hem ayrık rassal değişkenler hem sürekli rassal değişkenler hem de karışık değişkenler için genel olarak doğrudur. Bu tanımdan ve beklenen değerlerin doğrusal olma niteliğinden varyans için şu formül çıkartılabilir: 

Buna hesaplama formülü adı da verilir. Bu formüle göre

Bir "X" ayrık rassal değişkeni için, "x" değerleri olasılığa eşit olan olasılık kütle fonksiyonu bulunur; yani "x"↦"p", ..., "x"↦"p", olur. Bu halde aralıklı olasılık dağılımları için varyans şöyle de ifade edilebilir:

Buna göre varyans "X"in kendi ortalamasından sapma karesinin beklenen değeri olur. Daha basit bir ifade ile
Bir "X" sürekli rassal değişkeni için beklenen değer E(X) operatörü yerine olasılık yoğunluk fonksiyonu yani formula_7i kapsayan ve entegrasyon gereken formül konulursa, varyans şu şekilde ifade edilebilir:

Ancak bazı olasılık dağılımları (örnegin Cauchy dağılımı) için beklenen değer anlamsızdır ve bu halde varyans da anlamlı değildir. Diğer bazı olasılık dağılımlarında ise beklenen değer bulunmakla beraber sonlu sayılı bir varyans bulunamaz, çünkü sürekli değişkenler için varyans değeri bulmak için gereken entegral yakınsama göstermez (örneğin Pareto dağılımı).

Varyans; verilerin aritmetik ortalamadan sapmalarının karelerinin aritmetik ortalaması olduğuna göre,

2,2,3,5,3 serisinin varyansı şu şekilde bulunur;

1) Verilerin aritmetik ortalaması (A.O) hesaplanır. 
2) 1. maddedeki ortalamadan,verilerin sapmalarının karelerinin aritmetik ortalaması alınarak varyans bulunur.

Bu örnekte bir X rastlantı değişkeninin i=1,2,3 için aldığı değerler ve X in bu değerleri alması olasılığı bir tablo olarak verilmiştir. 
Beklenen değer şöyle hesaplanır:

Genel formülle, varyans şöyle bulunur:

Hesaplama formülu ile ise varyans şöyle hesaplanır ve aynı sonuç verir:

Sürekli rassal değişken "X" için olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyle verilmiştir:

Beklenen değer E(X) şöyle hesaplanır:

Varyans değeri Var(X) şöyle bulunur:

Teorik olasılık kuramı incelemeleri için varyans: 
formula_16 
formülü kullanılarak tanimlanir.

Sonlu bir anakütlenin varyansı aşağıdaki şekilde gösterilir:

formula_17. Bu özel bir varyans tanımı olarak sonlu anakütlelere özgü bir tanımdır.

Örneklem varyansı ise şu şekilde tanımlanmaktadır:

formula_18

Örneklem varyansı, anakütle varyansının yansız bir kestirmicisidir. İspatı ise aşağıdaki şekilde gösterilir:

Bu özellikten faydalanılarak örneklem varyansının hesaplanması ile anakütle varyansına ilişkin kestirimlerde bulunulabilir. Bu durumda örneklemin rastsal bir örneklem olması önemlidir. Aksi takdirde örnekleme dayalı kestirimler sağlıklı sonuçlar vermeyecektir.

Varyansın şu özellikleri bulunmaktadır:

Varyansin diğer istatistiksel yayılım ölçülerine kıyasla tercihli olarak kullanılmasına nedenlerden birisi, birbirleri arasinda korelasyon olmayan rassal değişkenlerin toplamının (veya farkının) varyansının, her bir rassal değişkenin tek başına olan varyanslarının toplamına (veya farkına) eşit olmasıdır; yani 
Bu öneri çok kere korelasyon yerine daha güçlü bir