klaşık alanıdır. Bu toplama, Alman matematikçi Bernhard Riemann'ın soyadı verilmiştir.

Toplama işlemi, bölgenin farklı şekillere bölünüp (dikdörtgenler ya da yamuklar) birlikte, fonksiyonun ölçülen bölgesine benzer bir alan çıkartılması, ardından da her bir şeklin alanının hesaplanması ve son olarak bütün bu küçük alanların toplanmasından oluşur. Böyle bir yaklaşım belirli integrallerin sayısal hesaplanmasında kullanılabilir. Ayrıca hesabın temel teoremi kapalı tür integral yazımına izin vermediği zaman da kullanılabilir.

Küçük şekillerle doldurulmuş bölgenin alanı tam olarak, ölçülmek istenen alana eşit olmadığı için Riemann toplamı gerçek alandan daha farklı çıkar. Bu hata, bölgeyi daha da küçük şekillere bölmekle giderilebilir. Şekiller küçüldükçe toplam, Riemann integraline yaklaşır.

"f" : "D" → R fonksiyonunu reel sayılar, R, kümesinin "D" altkümesinde tanımlayalım. "I" = ["a", "b"] ise "D" altkümesinde tanımlı kapalı bir aralık olsun ve 
olarak "I" aralığının bir kesiti olsun, ve de
"f" fonksiyonun "I" altkümesindeki "P" kesiti Riemann toplamı şöyle tanımlanır:
Burada şuna dikkat edilmelidir ki, formula_4 değeri, formula_5 aralığında isteğe bağlı bir değerdir, yani herhangi bir "f" fonksiyonu için farklı Riemann toplamları üretilebilir, yeter ki formula_6 şartı sağlansın.

Örnek: formula_4nin değişik seçimleri, farklı Riemann toplamları verir:

Verilen bir kesitteki herhangi bir Riemann toplamı (yani, formula_4 için formula_17 ve formula_18 aralığındaki istenilen değeri) üstten ve alttan Rieman toplamlarının arasında kalır. "Riemann integrallenmesi" için kesit daraldıkça alttan ve üstten Riemann toplamlarının birbirine hep yaklaşması gerekir. Bu bilgi sayısal integral hesabı için kullanılabilir.

Riemann toplamının dört ana yöntemi, eşit kesit boyutları kullanılarak daha iyi anlaşılabilir. Yani, ["a", "b"] aralığı "n" alt aralığa bölünür ve her bir aralığın uzunluğu
bağıntısıyla bulunur.
Kesitlerdeki noktalar da

ile gösterilir.

Sol toplam, dikdörtgenlerin sol uç noktalarının kullanılması ve Δ"x" taban uzunluğu ile "f"("a" + "i"Δ"x") dikdörtgen uzunluğu kullanılmasıyla hesaplanır. Bunu "i" = 0, 1, ..., "n" − 1 için yapıp, çıkan alanları toplamak şu sonucu verir:

Eğer "f" fonksiyonu bu aralıkta monoton azalan bir şekildeyse sol Riemann toplamı gerçek değerden fazla bir sonuca götürür, fakat monoton artan ise gerçek değerden daha düşük bir sonuç çıkartır.

Burada "f" fonksiyonun sağ sınır noktaları kullanılır. Bu da tabanı Δ"x" olan ve yüksekliği "f"("a" + "i"Δ"x") olan dikdörtgenler verir. Bu işlemi bütün "i" = 1, ..., "n" değerleri için yapmak ve çıkan sonuçları toplamak şunu verir

Eğer "f" fonksiyonu monoton azalansa sağ Riemann toplamı gerçek değerden daha düşük bir sonuç verir, eğer monoton artansa da gerçek değerden daha büyük bir değer verir.
Bu formüldeki hata şöyle bulunur

burada formula_24, formula_25 fonksiyonun mutlak değerinin o aralıktaki maksimum değeridir.

"f" fonksiyonunu, aralığın orta noktalarını kullanarak, boyları, birinci aralık için "f"("a" + "Q"/2), ikincisi için "f"("a" + 3"Q"/2) olan ve "f"("b" − "Q"/2) kadar giden dikdörtgenler verir. Bunların alan toplamları şöyledir

Bu formülün hatası şöyledir

burada formula_28, formula_29 fonksiyonun mutlak değerinin o aralıktaki maksimum değeridir.

Bu yöntemde ise, "f" fonksiyonunun aralıktaki değerleri sol ve sağ sınır noktalarının ortalamasına denkleştirilir. Yukarıdakilerle aynı olarak, yamuk için alan formülünü kullanarak
"b", "b" paralel kenarlı ve "h" yükseklikli yamukların alanını hesaplayıp şu formülle bütün bu alanları toplamak mümkün olur

Bu formüldeki hata şöyle hesaplanır

burada da formula_28, formula_29 fonksiyonun mutlak değerinin o aralıktaki maksimum değeridir.

Yamuk yöntemiyle hesaplanan olası alan değeri sağ ve sol toplamların ortalamasına eşittir.

Örnek olarak, "y" = "x" fonksiyonunun 0 ile 2 arasındaki eğri altında kalan alanı Riemann toplamı kullanılarak algoritmik bir şekilde hesaplanabilir.

İlk önce, [0, 2] aralığı "n" parçaya bölünür, ve her birinin genişliği formula_35 kadardır; bunlar Riemann dikdörtgenlerinin (bu noktadan sonra "kutu" denilecek) enleridir. Sağ Riemann toplamı kullanılacağı için, kutuların x koordinatları dizisi formula_36 şeklinde olur. Aynı şekilde, kutuların uzunluk dizisi de formula_37 olur. formula_38, formula_39 eşitliklerini göz önünde bulundurmak önemlidir.

Her kutunun alanı formula_40 olur ve de "n"inci sağ Riemann toplamı: 
olur.

Eğer "n" → ∞ iken, yukarıdaki toplama formülünün limiti alınırsa, artan kutuların alan toplamı değerinin, grafiğin altında kalan bölgenin gerçek alanına yaklaştığı fark edilir. Dolayısıyla:

Bu yöntem daha farklı yollarla hesaplanan belirli integral ile de uyuşmaktadır:






İntegral

İntegral veya tümlev, bir fonksiyon eğrisinin altında kalan alan. Fonksiyonun, türevinin tersi olan bir fonksiyon elde edilmesini sağlar.

İntegral, verilen bir "f(x)" fonksiyonunu türev kabul eden "F(x)" fonksiyonunun bulunması olarak yapılabilir. "F(x)" fonksiyonuna "f(x)" fonksiyonunun integrali veya ilkeli denir. İntegral, Latince toplam kelimesinin ("ſumma", "summa") baş harfi s'nin biraz evrim geçirmiş ∫ işareti ile gösterilir. Bu işaret Gottfried Wilhelm Leibniz tarafından tanımlanmıştır.

"c" bir sabiti gösterir ve integralin bir sabit farkı ile bulunabileceğine işaret eder.

Bir eksen takımında gösterilen "f(x)" göndermesinin altında kalan "a < x < b" aralığındaki alan, integral yardımıyla hesaplanabilir. Bu amaçla alan küçük dikdörtgenlere bölünerek, bunların alanı hesap edilip toplanır. Dikdörtgen sayısı arttıkça toplam eğri altındaki alan, alanın değerine yaklaşır ve integralin tam değeri bulunmuş olur.
Bu toplama Riemann toplamı denir. İntegralin Riemann anlamındaki tanımı Riemann toplamındaki bölüntü sayısı olan "n" nin bir limit içerisinde sonsuza götürülmesiyle elde edilir.

Bu şekildeki integral belirli sınırlar arasında hesaplandığı için, belirli İntegral olarak isimlendirilir. Sınırlar göz önüne alınmadan hesaplanan integrale ise belirsiz integral denir. Bazı durumlarda "f(x)" göndermesinin integrali "F(x)" bulunamaz. Bu durumda belirli integral sayısal olarak hesaplanır.

Uzunluk, alan ve hacimlerin hesaplanmasında integral hesabın önemli yeri vardır. Birden fazla değişkene bağlı fonksiyonlarda integral kavramı genişletilebilir ve bu durumda katlı integraller ortaya çıkar.

Riemann'dan sonra soyut kümelerin de integrallenebilmesi amacıyla Lebesgue integrali 
geliştirilmiştir.


Değişken değiştirme, karmaşık problemleri basitleştirmek için kullanılan değişken değiştirme yöntemidir. Bu yöntemde ham (eski) değişken yerine yeni (daha basit) değişken kullanılır. Problem çözüldükten sonra yeni değişken ile elde edilen sonuç, eski değişkende yerine konur.

Aşağıdaki 6.dereceden bir polinomu ilkel fonksiyon kullanarak çözmek neredeyse imkansızdır. Bunun için değişken değiştirme yöntemini kullanalım:

Bu denklemde "x" = "u" değişken değişimini uygulanırsa aşağıdaki denklem elde edilir:

Böylece denklem ikinci dereceden denklem biçimine dönüştü. Bu denklemin kökleri;

Bu yeni değişkenin sonuçlarını, ham değişkende yerine koyalım:





Doğru (geometri)

Doğru, matematikte mantıksal bir değer. Matematik'te ne olduğu belli olmayan (tanımsız) değerlerden biridir. Hakkında doğru veya doğru değil diye değer yükleyebileceğimiz cümlelerden mümkün olduğu kadar azına "doğru" değeri veririz. Sonra mantıki olarak yeni cümlelerin değerlerini araştırırız.
Ayrıca geometride ifadesi aynı doğrultuda olan ve her iki yönden de sonsuza kadar giden noktalar kümesi diye de tanımlanır. Bir doğru üzerinde en az 2 nokta, dışında da en az 1 nokta mevcuttur.

Matematikte doğrunun değişik ifadeleri vardır:


burada:

Üç boyutluda, bir doğru genellikle parametrik eşitlikler olarak ifade edilir:
burada:

Rde, tüm doğrular "L" ile tanımlanır.





Aksiyom

Başka bir önermeye götürülemeyen ve kanıtlanamayan, böyle bir geri götürme ve kanıtı da gerektirmeyip, kendiliğinden apaçık olan ve böyle olduğu için öteki önermelerin temeli ve ön dayanağı olan temel önermeye belit , aksiyom ya da postulat denir. Ne türlü bir belitten yola çıkılırsa o türlü bir sonuca varılır. Belitlere dayanan bir felsefe, belitlerin yanlışlığı meydana çıkınca çöker.

"belli/açık olan", "usa uygun", "Akla, mantığa uygun düşen", "mantıken açık olan", "koyut" gibi anlamlara gelir. "belge" ve "belir(mek)" sözcüğükleriyle aynı kökten, Eski Türkçe "bel-" kökünden gelir. Muhtemelen, "bel-" sözcüğü "bil-" sözcüğünün bir çeşitlemesi durumundadır.

Latincedeki "axioma" sözcüğü "axiom" olarak İngilizceye geçmiş ve oradan Türkçeye yerleşmiştir. Sözcüğün kaynağı Yunancada "yetke", "değerli veya uygun olduğu düşünülen" anlamlarına gelir. "değerli, ağır, uygun" anlamına gelen αξιος ("axios") sözcüğünden türer. Kökü olan "ag-" sözcüğü; "çekmek" (ağırlık çekmek gibi), "sürmek", "devinmek" gibi anlamlara gelir.

Descartes ve başta Spinoza olmak üzere izdaşları felsefelerini belitlere dayarlar. Örneğin Descartes, felsefesini "düşünüyorum, öyleyse varım" belitinden çıkarak kurmuştur. Spinoza da ünlü Etika'sında örneğin, "başka bir şeyle tasarlanmayan şeyin kendisiyle tasarlanması gerekir" gibi belitlerden yola çıkar. Ne var ki, ne türlü bir belitten yola çıkılırsa o türlü bir sonuca varılır. Bundan başka, bu belitler, "parçalarının toplamı bütüne eşittir" gibi belitler gücünde değildirler. Daha açık bir deyişle, Dekartçıların belitleri öznel, kendilerince belit sayılmış belitlerdir. Nitekim Cogito'nun yüzyıllarca önceki biçimini çürütmek için, "bin altın düşünüyorum, öyleyse bin altınım var" önermesi ileri sürülmüştür.





Fatih

Fatih, Tarihi yarımada (Suriçi) denen İstanbul şehrinin kurulduğu ve geliştiği bölgenin tamamını kaplayan ve valilik, büyükşehir belediye başkanlığı, emniyet müdürlüğü ve şehrin vergi dairesi gibi kurumların yer alıyor olmasıyla İstanbul'un merkezi sayılan ilçe. Güneybatıdan Zeytinburnu, kuzeybatıdan Eyüp ilçeleri ile kuzeyden Haliç, doğudan İstanbul Boğazı ve güneyden Marmara Denizi ile çevrilidir.

Fatih