saymak ve sayısını belirlemek için kullanırız. (bakınız: Peano Aksiyomları). Sayma sayıları formula_1 şeklinde tanımlıdır.




Matematiksel sabit

En çok kullanılan matematiksel sabitler pi sayısı, e sayısı (doğal logaritma tabanı) ve i sayısıdır.

pi sayısı bir çemberin çevresinin çapına oranı ya da bir dairenin alanının yarıçap karesine oranı olarak ifade edilir.

"e" sayısı, Leonard Euler'in isminden gelir ve kabaca tanımı f(x) = 1/x fonksiyonunun eğrisi altında bir birim karelik alan sınırlanabilmesi için x=1 doğrusunun sağında seçilecek doğrunun x eksenini kestiği noktadır. Yani doğru x = e olarak seçilirse altta kalan şekil bir birim kare olacaktır. Bu eşitlik integral ile :

formula_1 şeklinde ifade edilir.

e sayısının başka bir tanımıysa bir dizi limiti tarafından verilir (integral Riemann toplamına açıldığında aslında iki tanımın özdeş olduğu ortaya çıkar.)

formula_2

"Pi" ve "e" sayıları reel sayılardır.

"i" sayısı ise karmaşık sayıların tanımlanmasında kullanılan bir sabittir ve formula_3 olarak tanımlıdır.

Bunlar temel sabitler olup, bunların haricinde pek çok sabit bulunmaktadır.

Kullanılan kısaltmalar:




Mathcad

Mathcad yazılımı, bir kelime işlemcisi gibi (örneğin Microsoft Word) belgeler oluştururken aynı anda matematik işlemler yapabilmenize olanak tanır. Mathcad yazılımı, Microsoft Excel'e benzer şekilde, sayfa içinde yaptığınız değişiklikleri anında bütün hesaplamalara yansıtır. Mathcad yazılımının bir diğer önemli özelliği ise, işlemlerde birim kullanımına izin vermesidir. Böylece, hesaplamalarınızda boyutsal homojenliği kontrol edebilir ve sonuçlarınızı istediğiniz birimlerle gösterebilirsiniz.




Önerme

Mantıkta, öne sürülen bir ifadenin, değeri ya doğru ya da yanlış olmak zorunda olan içeriğine önerme denir. Kesin olan cümleler yanlış veya doğru da olsa önermedir. Ayrıca cümlenin yanlış veya doğru olduğunun bilinmesi gerekmez. Önerme arasına bir cümlede kesinlikle soru ekleri (mi?, mı?) olmaz.

Mantığın önermelerle ilgilenen dalı önermeler mantığıdır.

Tanımdan anlaşılacağı gibi, aynı önerme olmaları için ifadelerin aynı şekilde dile getirilmesi gerekmez. Aşağıdaki önermelerin hepsi aynı önermedir ve değerleri aynıdır (hepsi doğrudur).







Sembolik mantık

Sembolik Mantık' ın anlaşılması için ilk olarak önerme kavramının açıklaması gerekir. 
"Önerme"; Bir yargı belirten, doğru veya yanlış olan cümlelere denir. Örneğin; "Ankara, Türkiye'nin güneyindedir." cümlesi bir önermedir ve bu önerme yanlıştır. "1 Ocak, yeni bir yılın başlangıcıdır." önermesi ise doğru bir önermedir.
Önermeler mantığında basit önermeler p, q, r, s, t, v, z... gibi önerme
sembolleriyle gösterilir.

Önerme eklemlerinin sembolik mantıkta kullanımı aşağıdaki tablodaki gibidir.

Değilleme eklemi:
Olumlu bir ifadeyi olumsuz hale, olumsuz bir ifadeyi ise olumlu hale getirir. 

Önerme iki defa değillenirse tekrar kendine döner. Yani ~[~(p)]=p

Ve eklemi:
İki basit önermenin "ve eklemi" ile bağlanmasıyla oluşan bileşik önermeye "Tümel evetleme önermesi" denir.Tümel evetleme önermesinde bileşik önermenin doğruluğu, bu bileşik
önermeyi oluşturan bütün bileşenlerin aynı anda doğru olmasına bağlıdır.

Veya eklemi:
İki basit önermenin "veya eklemi" ile bağlanmasıyla oluşan önermeye "tikel evetleme önermesi" denir. Bu önermenin doğru olabilmesi için, önermelerden yalnızca birtanesinin doğru olması gerekli ve yeterdir.

İse eklemi:
İki basit önermenin "ise eklemi" ile bağlanmasıyla oluşan ekleme "koşul önermesi" denir.Koşul önermesinde ön bileşen doğru, sonraki bileşen yanlış değer almışsa bileşik
önerme yanlış değer alır. Diğer durumlarda önerme doğru değer alır.

Ancak ve Ancak Eklemi:
İki basit önerme "ancak ve ancak...ise" ile birleştirilmişse, ortaya çıkan bileşik önermeye
karşılıklı koşul önermesi adı verilir. Bu önerme türünde, bileşenlerin hepsi de aynı
değeri almışsa önerme doğru, diğer hallerde yanlıştır. Dolayısıyla, karşılıklı koşul
ekleminin doğru olabilmesi için, bileşenlerden ikisi de doğru ya da ikisi de yanlış
olmalıdır.

Önermelerin doğruluk değeri D ve Y harfleri ile belirtilir. Önerme doğru ise doğruluk değeri D, yanlış ise doğruluk değeri Y olur. Bu önerme çeşileri tek yargı belirttiği için basit önermedir. Bileşik önermeler iki veya daha çok yargıyı birleştiren önermelerdir. Bu önermelerdeki yargılar mantık eklemleri -ise, ve, veya, ancak ve ancak- ile birbirine bağlanır. Örneğin; " Ali öğretmen veya öğrencidir." Bu cümlede " Ali öğretmendir." ifadesi ile "Ali öğrencidir." önermeleri "veya" eklemi ile birbirine bağlanmıştır.




Açık önerme

Açık önerme, doğruluk değeri değişkenlere bağlı olarak değişen önermelerdir.

Örnek olarak:

x) ≡ x < 3 (Önerme tek değişkenli bir açık önermedir, x in tanım kümesi Doğal Sayılar olması durumunda; x = 1 ve x = 2 değerleri icin P(1) in ve P(2) nin değeri doğru diğer x değerleri için yanlıştır)

Q(x,y) ≡ x + 2 = y (İki değişkenli açık önerme, y lerin x ten farkı iki oldugu her x,y değeri için Q(x,y) doğru önermedir)




Pi sayısı

Pi sayısı (formula_1), bir dairenin çevresinin çapına bölümü ile elde edilen irrasyonel matematik sabiti'dir. İsmini, Yunanca "περίμετρον" "(çevre)" sözcüğünün ilk harfi olan π den alır. Pi sayısı, Arşimet sabiti ve Ludolph sayısı olarak da bilinir.

Fabrice Bellard, 2010 yılında Chudnovsky algoritması kullanarak sayının ilk 2.699.999.990.000 basamağını bulmuştur. Arşimet, 3 tam 1/7 ile 3 tam 10/71 arasında bir sayı olarak hesapladı. Mısırlılar 3,1605, Babilliler 3.1/8, Batlamyus 3,14166 olarak kullandı. İtalyan Lazzarini 3,1415926, Fibonacci ise 3.141818 ile işlem yapıyordu.

Pi sayısının bazı yaklaşık değerleri şu şekildedir:

Pi(π) formüllerinden başlıcaları şunlardır.
Nilakantha Somayaji:
Franciscus Vieta:
Gregory–Leibniz:
Isaac Newton:
Leonhard Euler:
Bailey-Borwein-Plouffe:
Fabrice Bellard:
Adamchik-Wagon:






Fonksiyon

Fonksiyon (Fransızca ya da "fonksiyon") matematikte değişken sayıları girdi olarak kabul edip bunlardan bir çıktı sayısı oluşmasını sağlayan kurallardır. Bir işlem türüdür. Dört işlemden sonra gelir.

Fonksiyonun matematiksel yani biçimsel ve kuramsal tanımı şu şekildedir:

formula_1 ve formula_2 iki küme olsun. formula_3, formula_4 kartezyen çarpımının şu özelliği sağlayan bir altkümesi olsun:

Bu durumda formula_8 üçlüsüne "fonksiyon" adı verilir. İki tanım daha: formula_1, formula_8 fonksiyonunun tanım kümesidir, formula_2 ise varış kümesidir.

formula_8 fonksiyonuna formula_13 adını verirsek, verilen bir formula_5 için formula_2'nin formula_16 ilişkisini sağlayan yegane formula_17 elemanı formula_18 olarak gösterilir. Kimi zaman formula_18 yerine formula_20 yazıldığı da olur. Demek ki, her formula_21 için formula_22 olur. Ayrıca formula_3 kümesine formula_13 fonksiyonunun grafiği adı verilir.

Fonksiyonu matematiksel olarak tanımlamak için "kural"dan söz etmediğimize dikkatinizi çekeriz. Ama formula_3'nin bir küme olması gerekliliği matematikçiler açısından can alıcı noktadır.

Eğer formula_26 ise formula_8 üçlüsünün bir fonksiyon olması için formula_3'nin boşküme olması gerektiği açıktır, işte bu formula_29 üçlüsü boş fonksiyondur.
Çizgileri düşey doğruları hepsi grafiği yalnız bir noktada kestiği için f (x) fonksiyonudur.

formula_1 ve formula_2 iki küme olsun. formula_1'nın her elemanını bir şekilde formula_2'nin bir ve bir tek elemanıyla ilişkilendirilmiş olsun. (Koyu renkle yazılmış kelimeler önemlidir; ilerde bunların üstünde durulacaktır.) Mesela formula_34 (gerçel sayılar kümesi), formula_2 de -3'ten büyük gerçel sayılar kümesi olsun, yani formula_36 olsun. İlişkilendirme de şöyle yapılmalı: formula_1'nın her elemanını (yani her gerçel sayıyı), o elemanın karesiyle ilişkilendirilmiş olsun. Böylece ilişkilendirmeyi bir formülle tanımlamış olduk. Bu örnekteki ilişkilendirmeyi formula_38 olarak yazarız, her sayı karesiyle ilişkilendirilmiştir, mesela -3 sayısı 9'la, formula_39 sayısı 2'yle ilişkilendirilmiştir. İşte formula_1'dan formula_2'ye giden fonksiyon böyle bir şeydir. Fonksiyon formula_13 sembolüyle ifade edilir. Verilen örnek için formula_43 yazılır.

formula_1 yaşamış ya da şu anda yaşayan insanlar kümesi olsun. formula_13 fonksiyonu her insanı annesine götürsün. Matematiksel olmasa da bu, formula_1'dan formula_1'ya giden bir fonksiyondur, çünkü her insanın bir annesi vardır. Ama her insanı kardeşine götüren bir fonksiyon yoktur çünkü bazı insanların kardeşi olmadığı gibi bazı insanların birden çok kardeşi vardır. Öte yandan, her insanı en büyük kardeşine götüren kural, kardeşi olan insanlar kümesinden formula_1 kümesine giden bir fonksiyondur.

formula_1'dan formula_2'ye giden bir formula_51 fonksiyonu, formula_1 kümesinin her elemanını formula_2'nin bir ve bir tek elemanına götüren/elemanıyla ilişkilendiren bir "kural"dır. (Burada biraz yalan var, ama pek önemli değil: Kuralın ne demek olduğunu söylemediğimiz gibi, bir fonksiyonun tanımlanması için herhangi bir kurala da aslında gerek yoktur! İlerde, yazının sonunda, fonksiyonun gerçek matematiksel tanımını verdiğimizde bu pembe yalana ihtiyacımız kalmayacak.)

Özet olarak, verilmiş bir formula_51 fonksiyonu, formula_1'nın her elemanını bir şekilde formula_2'nin bir ve bir tek elemanına götürür/elemanıyla ilişkilendirir.

Yukardaki örnekte, kural, formula_43 olarak verilmiştir. Ama bir fonksiyon bir formül ya da bir kuraldan öte bir şeydir. Bir fonksiyon, sadece bir kural değildir; bir fonksiyonu tanımlamak için, kural dışında, bir de ayrıca formula_1 ve formula_2 kümeleri de gerekmektedir. Formül ya da kural aynı kalsa bile formula_1 ve formula_2 kümeleri değişirse fonksiyon da değişir. Yukardaki örnek üzerinden gidelim:

Yukarda formula_62 R ve formula_63 almış ve fonksiyonu formula_64 kuralıyla tanımlanmıştı. Şimdi formula_1 yerine formula_66 alırsak ve formülü ve formula_2 kümesini aynı tutarsak, o zaman elde edilen formula_68 fonksiyonunu gene formula_13 ile göstermek yanlış olur, çünkü bu iki fonksiyon değişik fonksiyonlardır. formula_70'den formula_2'ye giden ve kare alma kuralıyla tanımlanan fonksiyonu mesela formula_72 ile gösteril