la_5 üçgenin iç açılarıdır.

Yukarıda anlatılan biçimiyle (Öklit düzleminde) üçgen, Riemann geometrisinde daha genel bir nesnenin özel bir durumudur. X bir Riemann uzayı ve A, B ve C de bu uzayın birbirine doğrusal olmayan üç noktası olsun. Bu üç noktanın her bir çifti arasında birer kesel (jeodezik) seçilsin. Bu üç keselin birleşimine ABC üçgeni denir. Örneğin bir Riemann yüzeyi olarak Dünya yüzeyinde, kuzey kutbundan 0 meridyeniyle ekvatora, ekvator boyunca 90. doğu meridyenine, bu meridyen boyunca geri kuzey kutbuna çıkan eğri bir üçgen oluşturur. Bu üçgenin iç açılarının toplamı 270°'dir.

Daha genel olarak, bir topolojik uzayda verilen herhangi üç noktayı birleştiren herhangi üç eğrinin birleşimine üçgen denir. İki boyutlu bir çokkatlı bu tür üçgenlerin (belli özellikleri sağlayan) birleşimi olarak ifade edildiğinde, bu üçgenler topluluğuna çokkatlının üçgenlenmesi denir.

Aşağıdaki özellikler, Öklit düzlemindeki üçgenlere aittir.

BAC, ABC ve ACB üçgenin içaçılarıdır.

formula_6, formula_7 ve formula_8
formula_9

Bir ABC üçgenine A tepe noktasından teğet geçecek şekilde ve BC'ye paralel olacak şekilde bir doğru çizildiğinde, BC doğru parçasının açıları, iç ters açılar kuralından dolayı tepe açısının yanına gelerek bir doğru parçasının yarısını kaplarlar.

Bir ABD üçgenine D tepe noktasından teğet geçecek ve taban olan BC'ye paralel olacak şekilde bir doğru çizilip kenarlar uzatıldığında yöndeş açılar kuralı yardımıyla bu önerme kanıtlanabilir.

Üçgenler, kendilerini oluşturan parçaların (köşe, kenar, açılar vb.) aynı düzlemde olup olmadığına göre sınıflandırılabilir. Eğer üçgenin tamamı tek bir düzlemdeyse düzlemsel, diğer durumlarda da örneğin küresel ya da Hiperbolik üçgen terimleri kullanılır.

Tüm kenarları eşit olan üçgen olup iç açılarının her biri 60°'dir. Tabanlara indirilen dikmeler hem açıortay, hem de kenarortaydır.

İki kenarı eşit olan üçgenlerdir. Ayrıca iki açısı birbirine eşittir. Eşit olmayan kenara indirilen dikme hem açıortay, hem kenarortay özelliği gösterir.

Her kenarının uzunluğu ve açısı farklıdır. Çeşitkenar üçgenin simetrisi yoktur.

Açıları 90 dereceden küçük olan üçgenlere dar açılı üçgen denir.

Bir açısı dik (yani 90°) olan üçgenlerdir. Bu üçgenlerde yükseklik dik kenarlardan biridir. En uzun kenarına hipotenüs denir.

Açılarından biri 90°den büyük olan üçgenlerdir. Sadece bir tek açısı geniş açı olabilir. Tabana ait yükseklik tabanın uzantısı ile kesişir.

Bir dik üçgenin dik kenarlarına 'a' ve 'b' dersek hipotenüs'ün karesi bu kenarların uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir. Buna Pisagor Teoremi denir. Yani:

formula_10.

Bir üçgenin alanı, taban ve tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır:

formula_11

Bir üçgenin alanı, herhangi iki kenarı ile aralarında kalan açının sinüsünün çarpımının yarısıdır.
formula_12

Çevre uzunluğuna '2u', yarısına 'u' dersek alan:

formula_13

Herhangi bir üçgende a, b, c kenarlarını alalım. a ve b arasında kalan açı da formula_14 olsun. c kenarını bulmak için kullanılacak formül:

formula_15

Bir dik üçgende hipotenüse "a" diğer iki kenara "b" ve "c", hipotenüs uzunluğunun yüksekliğine "h", bu yüksekliğin ikiye böldüğü "c" kenarıyla ortak köşeye sahip olan parçaya "p", "b" kenarıyla ortak köşeye sahip olan parçaya "k" dersek,

formula_16

formula_17

formula_18

formula_19

Bir açıyı iki eş açıya bölen doğru veya doğru parçasına açıortay denir. Açıortayların kesiştiği nokta, üçgenin içteğet çemberinin merkezidir..

formula_20
formula_21

Bir üçgende bir köşeden karşısındaki kenara uzatılan doğru bu kenarı iki eş parçaya bölüyorsa buna kenarortay denir.Bir üçgende kenarortayların kesiştiği noktaya ağırlık merkezi denir. G harfi ile gösterilir.

Ağırlık merkezi, bir kenarortayı formula_22 ve formula_23 olarak böler. Yani köşeye A, kenarortayın kenarı kestiği noktaya D dersek;
formula_24 olur.

formula_25

Ceva teoremi, üçgenin köşelerinden karşıdaki kenarın herhangi bir noktasına çizilen doğrulardan oluşan şekilde uygulanan bir teoremdir. Uygulaması şu şekildedir:

formula_26

Üçgenle aynı düzlemde olan ve üçgenin köşelerinden geçmeyen herhangi bir doğrunun, üçgenin bir kenarının uzantısıyla kesişim noktalarının üçgenin köşelerine uzaklıkları arasındaki ilişkiyi anlatan teoremdir. Uygulaması:

formula_26

Steward Teoremi, bir üçgende, bir köşeden karşı kenara çizilen herhangi bir doğru ile kenarlar arasındaki bir bağıntıdır. Bağıntı aşağıdaki gibidir:

formula_28

Bir üçgenin iç bölgesinden alınan herhangi bir noktadan kenarlara çizilen dikmelerle kenarlar sırasıyla a, b (ilk kenar) x, y (ikinci kenar) m, n (üçüncü kenar) olmak üzere parçalara ayrılsın.
Benzerlik bağıntılarını kurduğumuzda:

formula_29






Anton Çehov

Anton Pavloviç Çehov (, ; 29 Ocak 1860 – 15 Haziran1904), Rus oyun ve kısa öykü yazarıdır. Kısa öykü alanında tarihteki en büyük yazarları arasında sayılmaktadır. Oyun yazarı olarak kariyerinde dört klasik eser üretmiş ve en iyi kısa öyküleri yazarlar ve eleştirmenler tarafından olumlu eleştiriler almıştır. Henrik Ibsen ve August Strindberg ile birlikte Çehov, çoğu zaman tiyatroda erken modernizmin doğuşundaki üç yaratıcı figürden biri olarak anılmaktadır. Çehov, edebî kariyerinin çoğunda tıp doktoru olarak çalışmış ve "İlaç benim yasal karım, edebiyat benim metresim." sözlerini dile getirmiştir.

Çehov, 1896'daki "Martı" gösteriminden sonra tiyatroyu bırakmıştır fakat oyun, Konstantin Stanislavski'nin Moskova Sanat Tiyatrosu tarafından 1898'de yeniden canlandırılmıştır. Moskova Sanat Tiyatrosu, daha sonra Çehov'un "Vanya Dayı"'sını sahnelemiş ve  Çehov'un son iki oyunu "Üç Kızkardeş" ile "Vişne Bahçesi"'nin galasını yapmıştır. Çehov geleneksel eylem yerine bir "ruh hali tiyatrosu" ve "metinde batık bir yaşam" sunduğu için bu dört eser, hem seyirciye hem oyuncu topluluğuna meydan okumayı sunmaktadır.

Çehov ilk başta sadece maddi kazanç için yazılar yazmış ancak sanatsal hırsları arttıkça modern kısa öykünün evrimini etkileyen biçimsel yenilikler yapmıştır. Okuyuculara verdiği zorluklardan ötürü özür dilememiş ve bir sanatçının rolünün soru sormak olduğunu ve sorulara cevap vermek olmadığını belirtmiştir.

Anton Çehov, Rusya'nın güneyindeki Azak Denizi'ne bağlı bir liman şehri olan Taganrog'ta 29 Ocak 1860 ( 17 Ocak) tarihinde Büyük St. Anthony bayramında altı çocuklu bir ailenin üçüncü çocuğu olarak dünyaya gelmiştir. Eski bir serf ile Ukraynalı bir kadının oğlu olan babası Pavel Yegorovich Çehov, Kobeliaky (günümüz Ukrayna'sında Poltava Oblastı) yakınlarındaki Vilkhovatka köyündendi ve bir bakkal işletiyordu. Kilise korosu şefi, dindar Ortodoks Hristiyan ve fiziksel istismarda bulunan babası Pavel Çehov, bazı tarihçiler tarafından oğlunun iki yüzlülükle ilgili birçok portresi için bir model olarak görülmüştür. Çehov'un annesi Yevgeniya (Morozova), Rusya'nın her yerinde kumaş tüccarı babasıyla yaptığı yolculukların hikâyeleriyle çocukları eğlendiren mükemmel bir hikâye anlatıcısıydı. Çehov, "Bizim yeteneklerimiz babamızdan aldık ama ruhumuz annemizden." diye belirtmiştir. Yetişkinlik döneminde Çehov, erkek kardeşinin Alexander'ın karısı ve çocuklarına karşı davranışını kendisine Pavel'ın tiranlığını hatırlatarak eleştirdi: "Annenizin gençliğini mahvettiğiniz despotizm ve yalan olduğunu hatırlamanızı rica ediyorum. Despotizm ve yalan söylemek, hakkında düşünmenin tiksindirici ve korkutucu olduğu çocukluğumuzu oldukça bozdu. Çorbanın çok fazla tuzlu olması üzerine sinir krizi geçirdiği ve anneye aptal dediği zaman hissettiğimiz korku ve iğrenmeyi hatırlayın."

Çehov, Taganrog'daki Yunan Okulu ile Taganrog Gymnasium'da (daha sonra Çehov Gymnasium olarak değiştirildi) eğitim aldı ve Taganrog Gymnasium'da Eski Yunanca dersinin bir sınavında geçemeyince on beş yaşındayken sınıfta kaldı. Taganrog'taki Yunan Ortodoks manastırında ve babasının korolarında şarkı söyledi. 1892 tarihli bir mektubunda çocukluğunu tanımlamak için "ıstırap" kelimesini kullandı ve şunları belirtmiştir:

"Kardeşlerim ve ben kilisenin ortasında dururken "May my prayer be exalted" ya da "The Archangel's Voice" triosunu söylerken herkes bize duygulu bir şekilde bakıyor ve ailelerimizi kıskanıyordu ama biz o sırada kendimizi küçük mahkûmlar gibi hissediyorduk."

Çehov daha sonra ateist oldu.

1876'da, Çehov'un babası yeni bir ev inşa etmek için yaptığı harcamalar ve Mironov adında bir müteahhit tarafından aldatılma sonucu iflasını ilan etti. Borcundan ötürü hapishaneye girmemek için üniversitede okuyan en büyük iki oğlu Alexander ve Nikolay'ın yanına, Moskova'ya, kaçtı. Aile, Moskova'da yoksulluk içinde yaşadı ve Çehov'un annesi bu olayla birlikte fiziksel ve duygusal olarak çöktü. Çehov ailesinin mallarını satmak ve eğitimini bitirmek için geride kaldı.

Çehov, üç yıl daha Taganrog'ta yaşadı ve "Vişne Bahçesi"'ndeki Lopakhin gibi Selivanov adında bir adamla pansiyoner olarak kaldı ve evlerinin bedelini aileden kurtarmıştı. Çehov, özel öğretmenler tutarak icabına baktığı eğitiminin parasını ödemek için saka kuşu yakalayıp sattı ve diğer işlerin yanı sıra gazetelere kısa skeçler sattı. Moskova'daki ailesine yollayabileceği her rubleyi onları neşelendirebilecek mizahi mektuplar eşliğinde gönderdi. Bu süre boyunca Miguel de Cervantes, İvan Turgenyev, İvan Gonçarov ve Arthur Schopenhauer gibi kişilerin eserlerini iyice ve çözümsel bir şekilde okudu ve "Babasızlık "adında komedi drama yazdı fakat erkek kardeşi Alexander, "masum [bir] uydurma olsa da affedilmez" olduğu için oyunu reddetti. Çehov ayrıca bir dizi aşk işlerinin de tadını çıkarıyordu ki bunlardan biri, bir öğretmenin karısıyla olan ilişkisiydi.

1879'da Çehov okulunu bitirdi, ailesinin yanına, Moskova'ya, gitti ve burada I. S. Sechenov Moskova Devlet Tıp Üniversitesi'nin tıp fakültesine kabul edildi.

Chekhov, artık bütün ailenin sorumluluğunu üstlenmişti. Ailesini desteklemek ve harç ücretlerini ödemek için "Antoşa Çehonte" (Антоша Чехонте) and "Dalaksız Adam" (Человек без селезенки) gibi takma isimler altında çağdaş Rus hayatına dair günlük kısa, komik skeçler ve vinyetler yazdı. Olağanüstü çı