ebilir.

Bunun gibi, formula_2 kümesi değişirse, o zaman fonksiyon da değişir; mesela formula_74 ise, kare alma kuralı formula_1'dan formula_76'e giden bir fonksiyon tanımlar ve bu fonksiyon, yukardakilerle karışmasın diye, formula_13 ya da formula_72 ile değil, bir başka sembolle, mesela formula_79 ile gösterilir.

Aynı şekilde formula_70'den formula_76'e giden bir fonksiyon, formula_82 ya da formula_79 ile değil, mesela formula_84 ile gösterilmelidir.

Yukarda koyu renkle yazılı kelimeler şu nedenle önemlidir: Bir formula_51 fonksiyonu, formula_1 kümesinin her elemanını formula_2'nin bir elemanına götürür, yani formula_1'nın bazı elemanlarını unutmuş olamaz. Mesela, karekök alma kuralı, gerçel sayılar kümesi formula_89'den formula_89'ye giden bir fonksiyon tanımlamaz, çünkü negatif sayıların gerçel sayılarda karekökü yoktur. Ya da formula_91 (doğal sayılar kümesi) ise, formula_92 kuralı, formula_1'dan formula_2'ye giden bir fonksiyon tanımlamaz çünkü formula_95'dir ve formula_96 olmasına karşın formula_97 sayısı formula_2'de değildir. Öte yandan bu formula_92 kuralı, formula_100'den tam sayılar kümesi formula_101'ye giden bir fonksiyon tanımlar.

İkinci koyu renkli kısmın önemi ise şu şekildedir: Bir formula_51 fonksiyonu, formula_1'nın her elemanını formula_2'nin bir ve bir tek elemanına götürür, yani formula_1'nın aynı elemanı formula_2'nin iki ayrı elemanına gidemez. (Yukarda verilen kardeş misali hatırlanmalı.) Mesela formula_107 ise, formula_1'nin bir formula_109 elemanını formula_110 denkleminin formula_17 çözümlerine götüremez, çünkü eğer formula_112 değilse, bu denklemin R'de iki değişik formula_17 çözümü vardır, nitekim formula_110 denkleminin çözümleri formula_115 ve formula_116'tir. Burada, formula_109'in formula_109'e mi yoksa formula_119'e mi gideceği belirtilmemiştir ve bu, bir fonksiyon yaratmada sorun teşkil eder. Bir formula_51 fonksiyonunda, formula_1'nın her elemanını formula_2'nin bir ve bir tek elemanına gitmelidir, iki ya da daha fazla elemana gidemez. (Birkaç yüzyıl önce bu tür fonksiyonlar kabul ediliyordu ama bugün bunlara fonksiyon denmiyor.)

Bir formula_51 fonksiyonunda, formula_1'ya tanım kümesi ya da kalkış kümesi denir. formula_2'ye de değer kümesi ya da varış kümesi denir.

Eğer formula_5 ise formula_18'e formula_109'in formula_13 altında görüntüsü adı verilir. formula_2'nin

altkümesi formula_132 olarak gösterilir ve bu kümeye formula_13'nin görüntü kümesi adı verilir. (Kimi formula_132 yerine formula_2'ye görüntü kümesi demeyi yeğliyor ama her zaman görüntü kümesi değer kümesine eşit olmak zorunda değildir.)

Mesela formula_43 kuralıyla tanımlanan formula_137 (-3,5) formula_138 R fonksiyonunun görüntü kümesi formula_139 aralıkıdır.

formula_13 ve formula_72 fonksiyonlarının birbirine eşit olması için, 1) tanım kümelerinin eşit olması, 2) değer kümelerinin eşit olması ve 3) tanım kümesindeki her formula_109 için formula_143 olması gerekmektedir. Bu üç şarttan biri eksikse fonksiyonlar eşit olmaz. (Genellikle liselerde sadece üçüncü şart üzerinde durulur.) Gene de eşitlikte en önemli şart (3) şartıdır. Ardından (1) şartı gelir. (2) şartının gözden kaçtığı olur.

formula_1 ve formula_2 iki küme olsun ve formula_146 olsun. formula_1'nın her elemanını formula_2'nin bu formula_149 elemanına götüren fonksiyona sabit fonksiyon adı verilir. formula_149 değerini alan sabit fonksiyonu formula_151 olarak gösterirsek, o zaman formula_152 fonksiyonu, her formula_5 için formula_154 kuralıyla tanımlanır. Not: formula_1 ve formula_2 kümelerinin önemini ortaya çıkarmak istiyorsak, formula_151 yerine formula_158 yazmak gerekebilir. Bu fonksiyona "sabit formula_149 fonksiyonu" adı verilir.

Bileşke mümkün olduğunda formula_160'dir. Ama formula_161'dir.

Eğer formula_1 ya da formula_2'nin tek bir elemanı varsa, o zaman formula_1'dan formula_2'ye giden her fonksiyon sabit olmak zorundadır.

Eğer formula_166 ve formula_167 ise, formula_1'dan formula_2'ye giden bir fonksiyon yoktur.

Eğer formula_26 ise, formula_2 hangi küme olursa olsun, formula_1'dan formula_2'ye giden bir ve bir tek fonksiyon vardır: boş fonksiyon. Pek de önemli olmayan bu olgu, birazdan, fonksiyonun matematiksel tanımı verdiğimizde bariz olacak.

Eğer formula_1 bir kümeyse, her formula_5 için Idformula_176 kuralıyla tanımlanan Idformula_177 fonksiyonuna formula_1'nın özdeşlik fonksiyonu adı verilir. Özdeşlik fonksiyonu bileşkenin sağdan ve soldan etkisiz elemanıdır.

Eğer formula_51 bir fonksiyonsa ve formula_180, formula_1'nın bir altkümesiyse, o zaman formula_13 fonksiyonunu formula_70 altkümesine kısıtlayabiliriz, yani formula_13'nin sadece formula_70 kümesinin elemanlarında alacağı değerlerle ilgilenilebilir. Bu yeni fonksiyon

olarak yazılır ve bu fonksiyona formula_13'nin formula_70'e kısıtlanmışı adı verilir. Elbette eğer formula_189 ise formula_190 eşitliği geçerlidir.

Bir fonksiyonun varış kümesini de değiştirilebilir: formula_51 bir fonksiyon olsun. formula_76, formula_13'nin görüntü kümesi formula_132'yı altküme olarak içeren herhangi bir küme olsun. O zaman formula_1 tanım kümesini ve formula_13 kuralını değiştirmeden yeni bir formula_197 fonksiyonu elde edilebilir. Bu fonksiyon - daha önceki paragraftaki gibi - özel bir sembolle gösterilmez.

formula_198 ve formula_199 iki fonksiyon olsun. formula_1 üzerinde formula_13 olan, formula_2 üzerinde formula_72 olan ve formula_204'den formula_205'ye giden bir formula_206 fonksiyonu tanımlamak istiyoruz. Eğer formula_207 ise hiç kuşku yok ki formula_208 olmalı. Eğer formula_209 ise gene hiç kuşku yok ki formula_210 olmalı. Ama formula_211 olduğunda, formula_212 için formula_18 ya da formula_214 arasında bir seçim yapmalıyız, özellikle eğer formula_215 ise... Bu durumda hangi seçimi yapılırsa yapılsın istediğimiz iki şarttan birini çiğnemek zorunda kalacağız. Ama diyelim ki, her formula_211 için formula_143, yani formula_13 ve formula_72 fonksiyonları formula_220 kesişiminde aldıkları değer aynı, bir başka deyişle formula_221. O zaman formula_222 fonksiyonunu herhangi bir seçime gerek kalmadan şöyle tanimlayabiliriz:

Bu fonksiyona formula_13 ve formula_72 fonksiyonlarının birleşimi ya da yapıştırılması adı verilir ve yukarda gösterildiği gibi bu fonksiyon formula_206 olarak yazılır.

Mesela formula_230 fonksiyonu formula_231 olarak tanımlanmışsa ve formula_232 fonksiyonu formula_233 olarak tanımlanmışsa, o zaman formula_234 fonksiyonu aynen mutlak değer fonksiyonudur: formula_235.

Elbette formula_236 ve formula_237.

Gene doğal olarak formula_206 diye bir fonksiyon varsa formula_239 diye bir fonksiyon de vardır ve bu iki fonksiyon birbirine eşittir.

Yukardaki yapıştırmayı yapabilmemiz için formula_13 ve formula_72 fonksiyonlarının varış kümeleri aynı olmak zorunda değildi. Nitekim, eğer formula_242 ve formula_199 iki fonksiyon ise ve bu fonksiyonların formula_220 kümesinde aldıkları değer eşitse, o zaman formula_1 üzerinde formula_13 olan, formula_2 üzerinde formula_72 olan bir formula_249 fonksiyonunu gene tanımlayabiliriz.

İkiden çok, hatta sonsuz tane fonksiyonu da yapıştırabiliriz eğer gerekli şartlar sağlanıyorsa: formula_250 bir fonksiyon ailesi olsun. Ayrıca her formula_251 göstergeçleri (endisleri) için formula_252 ve formula_253 fonksiyonlarının formula_254 kesişiminde aldıkları değerler eşit olsun. O zaman her formula_255 ve her formula_256 için formula_257 eşitliğini sağlayan bir formula_258 fonksiyonu,

kuralıyla tanımlanabilir. Bu tür yapıştırmalar topolojide ve analizde sık sık kullanılır.

Bir fonksiyonun altkümeler kümesinde neden olduğu fonksiyon. formula_261 bir fonksiyon olsun. formula_1'nın her formula_263 altkümesi için, formula_2'nin formula_265 altkümesi şöyle tanımlanır:

Bu formula_265 yazılımı ender de olsa soruna yol açabilir, çünkü formula_1'nın formula_263 altkümesi bal gibi de aynı zamanda formula_1'nın bir elemanı olabilir, o zaman formula_265 ifadesinin formula_51 fonksiyonunun formula_263'te aldığı değer mi olduğu, yoksa yukardaki gibi formula_2'nin altkümesi olarak mı tanımlandığı anlaşılamaz. Mesela, formula_275 olsun. formula_276 olsun. formula_261 fonksiyonu, formula_278, formula_279 olarak tanımlansın. Ve son olarak formula_280 olsun. formula_263, hem formula_1'nın bir elemanı hem de bir altkümesidir. formula_263 eleman olarak görüldüğünde formula_284 olur ama altküme olarak görüldüğünde formula_285 olur. Belki bu yüzden

tanımı yerine,

tanımını yapmak daha yerinde olur.

Eğer formula_288, formula_263'in altkümeleri kümesiyse, yukardaki formula_290 kuralı, formula_288'ten formula_292'ye giden bir fonksiyon tanımlar. Bu formula_290 fonksiyonu altküme olma ilişkisine saygı duyar.



= Tanım =
A'dan B'ye tanımlı bir gönderme (f), (A,B,F) şeklinde gösterilebilen bir üçlüdür. Burada F, aşağıdaki özelliklere sahip sıralı ikili kümesidir.
formula_299
formula_300

Başka bir deyişle, bir bağıntının gönderme olabilmesi için, A kümesindeki herhangi bir ögenin B kümesinden en fazla bir ögeyle eşleşmesi gerekmektedir.

Gönderme, daha soyut matematiksel anlamda bir kümedir ve tanımı şu şekildedir:
formula_301 göndermesi için,
formula_302

Yukarıdaki resmi tanımlama, her zaman kullanışlı olmadığından genelde göndermeler farklı tanımlanır.

En yaygın tanımlama biçimi, örneklerde görüldüğü gibi sağ tarafı girdilere (parametrelere) dayalı formül, sol tarafı göndermenin ve bağımsız girdilerin belirtildiği bir eşitliktir.

Göndermeler aşağıda örnekte görüldüğü gibi parçalı şekilde de tanımlanabilir.

formula_304

Tümevarımla yakın ilişkisi olan ilginç bir tanımlama biçimi de yinelgedir. Mesela Fibonacci Serisi'nin üretici göndermesi şu şekilde tanımlanabilir.

formula_305

Boylece formula_100'den formula_100'ye giden bir formula_308 fonksiyonu tanımlanır.

formula_309 şeklinde tanımlı bir gönderme,
Matematiksel olarak; her y € B için en az bir x€A vardır öyle ki; f(x)=y'dir.

Bilgisayarda göndermelere Türkçede genellikle fonksiyon adı verilir.





Riemann toplamı

Matematikte, Riemann toplamı genellikle fonksiyon eğrisinin altında kalan bölgenin ya