dalam kalkulus, teorema taylor memberikan barisan pendekatan sebuah fungsi yang diferensiabel pada sebuah titik menggunakan suku banyak (polinomial).
koefisien polinomial tersebut hanya tergantung pada turunan fungsi pada titik yang bersangkutan.
teorema ini juga memberikan estimasi besarnya galat dari pendekatan itu.
teorema ini mendapat nama dari matematikawan brook taylor, yang menyatakannya pada tahun 1712, meskipun hasilnya sudah ditemukan pertama kali tahun 1671 oleh james gregory
teorema taylor dalam satu variabel
teorema taylor menyatakan sembarang fungsi mulus dapat dihampiri dengan polinomial.
contoh sederhana penerapan teorema taylor adalah hampiran fungsi eksponensial ex di dekat x = 0:
hampiran ini dinamakan hampiran taylor orde ke-n terhadap ex karena menghampiri nilai fungsi eksponensial menggunakan polinomial derajat n.
hampiran ini hanya berlaku untuk x mendekati nol, dan bila x bergerak menjauhi nol, hampiran ini menjadi semakin buruk.
kualitas hampiran dinyatakan oleh suku sisa':
lebih umum lagi, teorema taylor berlaku untuk setiap fungsi yang dapat diturunkan , dengan hampiran untuk x di dekat titik a, dalam bentuk:
suku sisa adalah perbedaan antara fungsi dan polinomial hampirannya:
meskipun rumus eksplisit untuk suku sisa ini jarang digunakan, teorema taylor juga memberikan estimasi nilai sisanya.
dengan kata lain, untuk x cukup dekat terhadap a, suku sisa haruslah cukup kecil.
teorema taylor memberikan informasi persis seberapa kecil suku sisa tersebut.
pernyataan cermat teorema ini adalah sebagai berikut: bila n  0 adalah bilangan bulat dan f adalah fungsi yang terturunkan kontinu pada selang tertutup [a, x] dan terturunkan na, x), maka
di sini n! melambangkan n faktorial dan rn(x) adalah suku sisa, melambangkan beda antara polinomial taylor derajat-n terhadap fungsi asli.
suku sisa rn(x) tergantung pada x, dan kecil bila x cukup dekat terhadap a.
ada beberapa pernyataan untuk suku sisa ini.
bentuk lagrangeklein (1998) 20.3; apostol (1967) 7.7. dari suku sisa menyatakan bahwa terdapat bilangan  antara a dan x sedemikian sehingga
ini mengungkapkan teorema taylor sebagai perampatan teorema nilai rata-rata.
sebenarnya, teorema nilai rata-rata digunakan untuk membuktikan teorema taylor dengan suku sisa bentuk lagrange.
bentuk cauchyapostol (1967) 7.7. suku sisa menyatakan bahwa terdapat bilangan  antara a dan x sehingga
secara umum, bila g(t) adalah fungsi kontinu pada selang tertutup [a,x], yang terturunkan dengan turunan tidak nol pada (a,x), maka ada suatu bilangan  antara a dan x sehingga
ini mengungkapkan teorema taylor sebagai generalisasi teorema nilai rata-rata cauchy.
bentuk di atas terbatas pada fungsi riil.
namun bentuk integralapostol (1967) 7.5. dari suku sisa juga berlaku untuk fungsi kompleks, yaitu:
dengan syarat, seperti yang biasa ditemui, fn kontinu mutlak dalam a, x]teorema dasar kalkulus.
secara umum, suatu fungsi tidak perlu sama dengan deret taylor-nya, karena mungkin saja deret taylor tersebut tidak konvergen, atau konvergen menuju fungsi yang berbeda.
namun, untuk banyak fungsi f(x), kita dapat menunjukkan bahwa suku sisa rn mendekati nol saat n mendekati .
fungsi-fungsi tersebut dapat dinyatakan sebagai deret taylor pada persekitaran titik a, dan disebut sebagai fungsi analitik.
estimasi suku sisa
versi umum teorema taylor lainnya berlaku pada selang versi yang cermat untuk teorema taylor dalam bentuk ini adalah sebagai berikut.
misalkan  adalah fungsi yang terturunkan kontinu n kali pada selang tertutup a - r, a + r]na  r, a + rmn sedemikian sehingga n+1)(x)mn untuk semua x  a  r, a + r
di mana fungsi sisa rn memenuhi ketidaksamaan (dikenal sebagai estimasi cauchy)
untuk semua x  a  r, a + rgalat pada polinomial taylor yang terpusat pada a, karena ini berlaku seragam untuk setiap x dalam selang.
bila  adalah fungsi mulus pada as
maka  adalah fungsi analitik pada
pembuktian: satu variabel
berikut adalah bukti teorema taylor dengan suku sisa integralperhatikan bahwa bukti ini mensyaratkan bahwa fn kontinu mutlak pada sehingga teorema dasar kalkulus berlaku.
kecuali pada bagian akhir saat teorema nilai rata-rata diterapkan, keterdiferensialan fn tidak perlu diasumsikan, karena kekontinan mutlak menyiratkan keterdiferensialan hampir di mana saja, serta kesahihan teorema dasar kalkulus, dengan syarat integral yang terlibat dipahami sebagai integral lebesgue.
sebagai akibatnya, bentuk integral suku sisa berlaku dengan pelemahan asumsi terhadap f.
teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa
yang dapat disusun ulang menjadi:
sekarang kita dapat melihat bahwa penerapan integrasi parsial menghasilkan
persamaan pertama diperoleh dengan memisalkan danbila integrasi parsial ini diteruskan didapatkan:
dengan mengulangi proses ini, kita dapat menurunkan teorema taylor untuk nilai n yang lebih tinggi.
proses ini dapat diformalkan dengan menerapkan teknik induksi matematika.
jadi misalkan teorema taylor berlaku unutk n tertentu, yaitu, misalkan
kita dapat menulis ulang integral dengan integrasi parsial.
mensubstitusikan ini dalam (*) membuktikan teorema taylor untuk suku sisa dalam bentuk lagrange dapat diturunkan dengan teorema nilai rata-rata untuk integral dengan cara berikut:
di mana  adalah suatu bilangan dari selang [a, x].
integral terakhir dapat dievaluasi langsung, yang menghasilkan
secara lebih umum, untuk tiap fungsi g(t), teorema nilai rata-rata menjamin eksistensi  dalam selang [a,x] yang memenuhi