aljabar linear adalah bidang studi matematika yang mempelajari sistem persamaan linear dan solusinya, vektor, serta transformasi linear.
matriks dan operasinya juga merupakan hal yang berkaitan erat dengan bidang aljabar linear.
persamaan linear dengan matriks
persamaan linear dapat dinyatakan sebagai matriks.
3x1 + 4x2  2x3 = 5
x1  5x2 + 2x3 = 7
2x1 + x2  3x3 = 9
dapat dinyatakan dalam matriks teraugmentasi sebagai berikut
penyelesaian persamaan linier dalam bentuk matriks dapat dilakukan melalui beberapa cara, yaitu dengan eliminasi gauss atau dapat juga dengan cara eliminasi gauss-jordan.
namun, suatu sistem persamaan linier dapat diselesaikan dengan eliminasi gauss untuk mengubah bentuk matriks teraugmentasi ke dalam bentuk eselon-baris tanpa menyederhanakannya.
cara ini disebut dengan substitusi balik.
penyelesaian persamaan linear dengan matriks
bentuk eselon-baris (m=rumus ideal)
matriks dapat dikatakan eselon-baris apabila memenuhi persyaratan berikut :
di setiap baris, angka pertama selain 0 harus 1 (leading 1).
jika ada baris yang semua elemennya nol, maka harus dikelompokkan di baris akhir dari matriks.
jika ada baris yang leading 1 maka leading 1 di bawahnya, angka 1-nya harus berada lebih kanan dari leading 1 di atasnya.
jika kolom yang memiliki leading 1 angka selain 1 adalah nol maka matriks tersebut disebut eselon-baris tereduksi
syarat 1: baris pertama disebut dengan leading 1
syarat 2: baris ke-3 dan ke-4 memenuhi syarat 2
syarat 3: baris pertama dan ke-2 memenuhi syarat 3
syarat 4: matriks di bawah ini memenuhi syarat ke 4 dan disebut eselon-baris tereduksi
operasi eliminasi gauss
eliminasi gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana (ditemukan oleh carl friedrich gauss).
caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang eselon-baris.
ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks.
caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya.
setelah menjadi matriks eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.
diketahui persamaan linear
tentukan nilai x, y dan z
bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:
operasikan matriks tersebut
b1 x 1 , untuk mengubah a11 menjadi 1
b2 - 1.b1 , untuk mengubah a21 menjadi 0
b3 - 2.b1 , untuk mengubah a31 menjadi 0
b2 x 1 , untuk mengubah a22 menjadi 1
b3 + 3.b2 , untuk mengubah a32 menjadi 0
b3 x 1/3 , untuk mengubah a33 menjadi 1 (matriks menjadi eselon-baris)
maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitu
kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan:
jadi nilai dari , ,dan
operasi eliminasi gauss-jordan
eliminasi gauss-jordan adalah pengembangan dari eliminasi gauss yang hasilnya lebih sederhana.
caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi gauss sehingga menghasilkan matriks yang eselon-baris tereduksi.
ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks.
caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya.
setelah menjadi matriks eselon-baris tereduksi, maka langsung dapat ditentukan nilai dari variabel-variabelnya tanpa substitusi balik.
diketahui persamaan linear
tentukan nilai x, y dan z
bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:
operasikan matriks tersebut
b3/8 dan b2/-1
b1-2.b2 (matriks menjadi eselon-baris tereduksi)
maka didapatkan nilai dari , ,dan
sistem persamaan linear homogen
yaitu sistem persamaan linear (spl) yang semua suku konstan atau nilai ruas kanannya adalah nol.
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = 0
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = 0
sistem persamaan linear homogen 3 persamaan dan 3 variabel
a11x1 + a12x2 + a13x3 = 0
a21x1 + a22x2 + a23x3 = 0
a31x1 + a32x2 + a33x3 = 0
spl homogen dapat diselesaikan dengan metode operasi baris elementer.
maka, spl homogen tersebut diubah menjadi matriks:
spl homogen ini mempunyai dua kemungkinan solusi, yaitu solusi trivial dan non trivial.
b2 - b1, b3 - 2b1
b3 + 3b2
det = 1 x 1 x 3 = 3
karena det  0, solusi spl homogen tersebut trivial yaitu x1 = x2 = x3 = 0.
solusi non trivial
b2 - b1, b3 - 2b1
b3 + 3b2
det = 1 x 1 x 0 = 0
b1 - 2b2
maka, = t
operasi dalam matriks
dua buah matriks dikatakan sama apabila matriks-matriks tersebut mempunyai ordo yang sama dan setiap elemen yang seletak sama.
jika a dan b adalah matriks yang mempunyai ordo sama, maka penjumlahan dari a + b adalah matriks hasil dari penjumlahan elemen a dan b yang seletak.
begitu pula dengan hasil selisihnya.
matriks yang mempunyai ordo berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.
jumlah dari k buah matriks a adalah suatu matriks yang berordo sama dengan a dan besar tiap elemennya adalah k kali elemen a yang seletak.
didefinisikan: jika k sebarang skalar maka ka = a k adalah matriks yang diperoleh dari a dengan cara mengalikan setiap elemennya dengan k.
negatif dari a atau -a adalah matriks yang diperoleh dari a dengan cara mengalikan semua elemennya dengan -1.
untuk setiap a berlaku a + (-a) = 0.
hukum yang berlaku dalam penjumlahan dan pengurangan matriks :
a.) a + b = b + a
b.) a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
c.) k ( a + b ) = ka + kb = ( a + b ) k , k = skalar
hasil kali matriks a yang ber-ordo m x p dengan matriks b yang berordo p x n dapat dituliskan sebagi matriks c = [ cij ] berordo m x n di mana
cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ... + aip bpj
matriks diagonal, segitiga, dan matriks simetris
sebuah matriks bujursangkar yang unsur-unsurnya berada di garis diagonal utama dari matriks bukan nol dan unsur lainnya adalah nol disebut dengan matriks diagonal.
secara umum matriks n x n bisa ditulis sebagai
matriks diagonal dapat dibalik dengan menggunakan rumus berikut :
jika d adalah matriks diagonal dan k adalah angka yang positif maka
matriks segitiga adalah matriks persegi yang di bawah atau di atas garis diagonal utama nol.
matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang di bawah garis diagonal utama nol.
matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang di atas garis diagonal utama nol.
matriks segitiga bawah
transpos pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga atas, dan transpose pada matriks segitiga atas adalah segitiga bawah.
produk pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, dan produk pada matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas.
matriks segitiga bisa di-inverse jika hanya jika diagonalnya tidak ada yang nol.
inverse pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, dan inverse pada matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas.
matriks segitiga yang bisa di invers
matriks yang tidak bisa di invers
matriks kotak a disebut simetris jika
contoh matriks simetris
jika a dan b adalah matriks simetris dengan ukuran yang sama, dan jika k adalah skalar maka
a + b dan a - b adalah simetris
ka adalah simetris
jika a adalah matriks simetris yang bisa di invers, maka adalah matriks simetris.
asumsikan bahwa a adalah matriks simetris dan bisa di inverse, bahwa maka :
yang mana membuktikan bahwa adalah simetris.
a adalah matriks 2 x 3
jika a adalah matriks yang bisa di inverse, maka dan juga bisa di inverse
yang dimaksud dengan transpos dari suatu matriks adalah mengubah komponen-komponen dalam matriks, dari yang baris menjadi kolom, dan yang kolom di ubah menjadi baris.
a = ditranspose menjadi at =
b = ditranspose menjadi bt =
rumus-rumus operasi transpose sebagai berikut:
3. di mana k adalah skalar
determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks bujursangkar.
sebagai contoh, kita ambil matriks a2x2
a = tentukan determinan a
untuk mencari determinan matrik a maka,
deta = ad - bc
a = tentukan determinan a
det(a) = = 1x5 - 4x2 = -3
determinan dengan ekspansi kofaktor
terbagi tiga jenis yaitu:
dengan minor dan kofaktor
dengan ekspansi kofaktor pada baris pertama
dengan ekspansi kofaktor pada kolom pertama
determinan dengan minor dan kofaktor
a = tentukan determinan a
pertama buat minor dari a11
m11 = = detm = a22a33 - a23a32
kemudian kofaktor dari a11 adalah
c11 = (-1)1+1m11 = (-1)1+1a22a33 - a23a32
kofaktor dan minor hanya berbeda tanda cij=mij untuk membedakan apakah kofaktor pada ij adalah + atau - maka kita bisa melihat matrik di bawah ini
begitu juga dengan minor dari a32
m32 = = detm = a11a23 - a13a21
maka kofaktor dari a32 adalah
c32 = (-1)3+2m32 = (-1)3+2 x a11a23 - a13a21
secara keseluruhan, definisi determinan ordo 3x3 adalah
det(a) = a11c11+a12c12+a13c13
a = tentukan determinan a dengan metode minor dan kofaktor
c11 = (-1)1+1 = 1 (-3) = -3
c12 = (-1)1+2 = -1 (-8) = 8
c13 = (-1)1+3 = 1 (-7) = -7
det(a) = 1 (-3) + 2 (8) + 3 (-7) = -8
determinan dengan ekspansi kofaktor pada baris pertama
misalkan ada sebuah matriks a3x3
maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,
det(a) = a11 - a12 + a13
= a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32
a = tentukan determinan a dengan metode ekspansi kofaktor baris pertama
det(a) = = 1 - 2 + 3 = 1(-3) - 2(-8) + 3(-7) = -8
determinan dengan ekspansi kofaktor pada kolom pertama
pada dasarnya ekspansi kolom hampir sama dengan ekspansi baris seperti di atas.
tetapi ada satu hal yang membedakan keduanya yaitu faktor pengali.
pada ekspansi baris, kita mengalikan minor dengan komponen baris pertama.
sedangkan dengan ekspansi pada kolom pertama, kita mengalikan minor dengan kompone kolom pertama.
misalkan ada sebuah matriks a3x3
maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,
det(a) = a11 - a21 + a31
= a11(a22a33 - a23a32) - a21(a21a33 - a23a31) + a31(a21a32 - a22a31)
= a11a22a33 + a21a23a31 + a31a21a32 - a22(a31)2 - (a21)2a33 - a11a23a32
a = tentukan determinan a dengan metode ekspansi kofaktor kolom pertama
det(a) = = 1 - 4 + 3 = 1(-3) - 4(-4) + 3(-7) = -8
a = tentukan determinan a
untuk mencari determinan matrik a maka,
deta = (aei + bfg + cdh) - (bdi + afh + ceg)
a = tentukan determinan a dengan metode sarrus
det(a) = = (1x5x1 + 2x4x3 + 3x4x2) - (3x5x3 + 2x4x1 + 1x4x2) = 53 - 61 = -8
metode operasi baris elementer
terdapat tiga tipe operasi baris elementer (obe) dan beberapa sifat determinan matriks.
namun, hanya satu tipe obe dan dua sifat determinan yang digunakan untuk menghitung determinan matriks.
jika a adalah matriks segitiga nxn (segitiga atas, segitiga bawah,atau segitiga diagonal) maka adalah hasil kali elemen diagonal utama matriks tersebut.
a = tentukan determinan a dengan metode obe!
det a = 1x(-3)x(8/3) = -8
determinan matriks segitiga atas (multi orde)
jika a adalah matriks segitiga nxn (segitiga atas, segitiga bawah atau segitiga diagonal) maka adalah hasil kali diagonal matriks tersebut
= (2)(-3)(6)(9)(4) = -1296
adjoint matriks (orde 3x3)
bila ada sebuah matriks a3x3
kofaktor dari matriks a adalah
c11 = -12 c12 = 6 c13 = -8
c21 = -4 c22 = 2 c23 = -8
c31 = 12 c32 = -10 c33 = 8
maka matriks yang terbentuk dari kofaktor tersebut adalah
untuk mencari adjoint sebuah matriks, kita cukup mengganti kolom menjadi baris dan baris menjadi kolom
matriks balikan (invers)
jika a dan b matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga a b = b a = i , maka b disebut balikan atau invers dari a dan dapat dituliskan ( b sama dengan invers a ).
matriks b juga mempunyai invers yaitu a maka dapat dituliskan . jika tidak ditemukan matriks b, maka a dikatakan matriks tunggal (singular).
jika matriks b dan c adalah invers dari a maka b = c.
matriks a =
dapat di-invers apabila ad - bc  0
dengan rumus =
apabila a dan b adalah matriks seordo dan memiliki balikan maka ab dapat di-invers dan
a = dan b =
ab = = = i (matriks identitas)
ba = = = i (matriks identitas)
maka dapat dituliskan bahwa (b merupakan invers dari a)
a = dan b =
ab = =
ba = =
karena ab  ba  i maka matriks a dan matriks b disebut matriks tunggal.
tentukan nilai dari a1
a = , b = , ab =
dengan menggunakan rumus, maka didapatkan
ini membuktikan bahwa
kemudian hitung kofaktor dari matrix a
c11 = 12 c12 = 6 c13 = -16
c21 = 4 c22 = 2 c23 = 16
c31 = 12 c32 = -10 c33 = 16
menjadi matrix kofaktor
cari adjoint dari matrix kofaktor tadi dengan mentranspose matrix kofaktor di atas, sehingga menjadi
dengan metode sarrus, kita dapat menghitung determinan dari matrix a
penyelesaian persamaan linier dengan menggunakan matriks (orde 3x3)
jika ax = b adalah sebuah sistem linear n yang tidak di ketahui dan det(a) 0 maka persamaan tersebut mempunyai penyelesaian yang unik
di mana a j adalah matrik yang didapat dengan mengganti kolom j dengan matrik b
gunakan metode cramer untuk menyelesaikan persoalan di bawah ini
x1 + 2x3 = 6
-3x1 + 4x2 + 6x3 = 30
-x1 - 2x2 + 3x3 = 8
bentuk matrik a dan b
a = b =
kemudian ganti kolom j dengan matrik b
a1 = a2 = a3 =
dengan metode sarrus kita dapat dengan mudah mencari determinan dari matrik-matrik di atas
r=er...e2 e1 a
jika a dapat di-invers, maka sesuai dengan teorema equivalent statements , maka r = i, jadi det(r) = 1  0 dan det(a)  0.
sebaliknya, jika det(a)  0, maka det(r)  0, jadi r tidak memiliki baris yang nol.
sesuai dengan teorema r = i, maka a adalah dapat di-invers.
tapi jika matrix bujur sangkar dengan 2 baris/kolom yang proposional adalah tidak dapat diinvers.
contoh soal :
karena det(a) = 0.
maka a adalah dapat diinvers.
sistem linear dalam bentuk ax = x
dalam sistem aljabar linear sering ditemukan
ax = x ; di mana  adalah skalar
sistem linear tersebut dapat juga ditulis dengan x-ax=0, atau dengan memasukkan matrix identitas menjadi
(i - a) x = 0
diketahui persamaan linear
x1 + 3x2 = x1
4x1 + 2x2 = x2
dapat ditulis dalam bentuk
yang kemudian dapat diubah
a =dan x =
yang kemudian dapat ditulis ulang menjadi
sehingga didapat bentuk
i - a =
namun untuk menemukan besar dari  perlu dilakukan operasi
det ( i - a) = 0 ; adalah eigenvalue dari a
dan dari contoh diperoleh
det ( i - a) = = 0
atau ^2 - 3 - 10 = 0
dan dari hasil faktorisasi di dapat 1 = -2 dan 2 = 5
dengan memasukkan nilai  pada persamaan ( i - a) x = 0, maka eigenvector bisa didapat
bila  = -2 maka diperoleh
dengan mengasumsikan x2 = t maka didapat x1 = t
vektor dalam ruang euklidian
euklidian dalam n-ruang
vektor di dalam n-ruang
definisi : jika n adalah sebuah integer positif, sebuah n- grup topel adalah sekuens dari n bilangan real (a1.a2.....an).
set dari semua grup yang terdiri dari n- grup topel dinamakan n-ruangdan dituliskan sebagai rn.
jika n = 2 atau 3, sudah menjadi kebiasaan untuk menggunakan istilah grup pasangan dan grup dari tiga secara respektif, daripada 2-grup topel atau 3- grup topel.
keitka n = 1, setiap n  grup topel terdiri dari satu bilangan real, sehingga r1 bisa dilihat sebagai set dari bilangan real.
kita akan menuliskan r daripada r1 pada set ini.
mungkin kita telah mmepelajari dalam bahan 3-ruang symbol dari (a1, a2, a3) mempunyai dua interpretasi geometris yang berbeda : ini bisa diinterpretasikan sebagai titik, yang dalam kasus ini a2, a2, a3 merupakan koordinat, atau ini bisa diinterpretasikan sebagai vector, di mana a1, a2, a3 merupakan komponen vector.
selanjutnya kita bisa melihat bahwa n  grup topel (a1, a2, ...., an) bisa dilihat sebagai antara sebuah poin umum atau vector umum- perbedaan antara keduanya tidak penting secara matematis.
dan juga kita bisa menjelaskan 5- topel (-2, 4, 0 ,1 ,6) antara poin dalam r5 atau vector pada r5.
u2 = v2
un = vn
penjumlahan u + v didefinisikan oleh
dan jika k adalah konstanta scalar, maka perkalian scalar ku didefinisikan oleh
operasi dari pertambahan dan perkalian scalar dalam definisi ini disebut operasi standar untuk rn
vektor nol dalam rn didenotasikan oleh 0 dan difenisikan ke vektor
jika u = (u1, u2, ...., un) dalam setiap vector dalam rn, maka negative (atau invers aditif) dari u dituliskan oleh u dan dijelaskan oleh
perbedaan dari vector dalam rn dijelaskan oleh
atau, dalam istilah komponen,
sifat-sifat dari vektor dalam
jika , , dan adalah vektor dalam sedangkan k dan m adalah skalar, maka :
(a) u + v = v + u
(b) u + 0 = 0 + u = u
(c) u + (v + w) = (u + v) + w
(d) u + (-u) = 0 ; berarti, u - u = 0
(e) k (m u) = (k m) u
(f) k (u + v) = k u + k v
(g) (k + m) u = k u + m u
(h) 1u = u
perkalian dot product didefinisikan sebagai
contoh penggunaan vektor dalam ruang dimensi tinggi
data eksperimen  ilmuwan melakukan experimen dan membuat n pengukuran numeris setiap eksperimen dilakukan.
hasil dari setiap experiment bisa disebut sebagai vector dalam dalam setiap adalah nilai yang terukur.
penyimpanan dan gudang  sebuah perusahaan transportasi mempunyai 15 depot untuk menyimpan dan mereparasi truknya.
pada setiap poin dalam waktu distribusi dari truk dalam depot bisa disebut sebagai 15-topel dalam setiap adalah jumlah truk dalam depot pertama dan adalah jumlah pada depot kedua., dan seterusnya.
rangkaian listrik  chip prosesor didesain untuk menerima 4 tegangan input dan mengeluarkan 3 tegangan output.
tegangan input bisa ditulis sebagai vector dalam dan tegangan output bisa ditulis sebagai.
lalu, chip bisa dilihat sebgai alat yang mengubah setiap vektor input dalam ke vector keluaran dalam.
analisis citra  satu hal dalam gambaran warna dibuat oleh layar komputer dibuat oleh layar komputer dengan menyiapkan setiap [pixel] (sebuah titik yang mempunyai alamat dalam layar) 3 angka yang menjelaskan hue, saturasi, dan kecerahan dari pixel.
lalu sebuah gambaran warna yang komplet bisa diliahat sebgai 5-topel dari bentuk dalam x dan y adalah kordinat layar dari pixel dan h,s,b adalah hue, saturation, dan brightness.
ekonomi  pendekatan kita dalam analisis ekonomi adalah untuk membagi ekonomidalam sector (manufaktur, pelayanan, utilitas, dan seterusnya ) dan untuk mengukur output dari setiap sector dengan nilai mata uang.
dalam ekonomi dengan 10 sektor output ekonomi dari semua ekonomi bisa direpresentasikan dngan 10-topel dalam setiap angka adalah output dari sektor individual.
sistem mekanis  anggaplah ada 6 partikel yang bergerak dalam garis kordinat yang sama sehingga pada waktu t koordinat mereka adalah dan kecepatan mereka adalah .
informasi ini bisa direpresentasikan sebagai vector
fisika - pada teori benang komponen paling kecil dan tidak bisa dipecah dari jagat raya bukanlah partikel tetapi loop yang berlaku seperti benang yang bergetar.
di mana jagat waktu einstein adalah 4 dimensi, sedangkan benang ada dalam dunia 11-dimensi
menemukan norm dan jarak
menghitung panjang vektor u dalam ruang
jika u =
maka panjang vektor u
dan menghitung jarak antara vektor u dengan vektor v
interpolasi polinominal p(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 adalah bentuk standar.
tetapi ada juga yang menggunakan bentuk lain .
contohnya , kita mencari interpolasi titik dari data (x0,y0),(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3).
jika kita tuliskan p(x)=a3x3+a2x2+a1x+a0
bentuk equivalentnya : p(x)=a3(x-x0)3+p(x)=a2(x-x0)2+p(x)=a1(x-x0)+a0
dari kondisi interpolasi p(x0)=yo maka didapatkan a0=yo , sehingga dapat kita tuliskan menjadi
inilah yang disebut newton form dari interpolasi , sehingga kita dapatkan :
sehingga jika kita tuliskan dalam bentuk matrix:
berdasarkan operator t:r2 -> r2 yang memetakan tiap vektor dalam gambaran simetris terhadap sumbu y, dimisalkan w=t(x), maka persamaan yang berhubungan dengan x dan w adalah:
x1 = -x = -x + 0y
x2 = y = 0x + y
atau dalam bentuk matrik :
secara umum, operator pada r2 dan r3 yang memetakan tiap vektor pada gambaran simetrinya terhadap beberapa garis atau bidang datar dinamakan operator refleksi.
operator ini bersifat linier.
berdasarkan operator t:r2 -> r2 yang memetakan tiap vektor dalam proyeksi tegak lurus terhadap sumbu x, dimisalkan w=t(x), maka persamaan yang berhubungan dengan x dan w adalah:
x1 = x = x + 0y
x2 = 0 = 0x + 0y
atau dalam bentuk matrik :
persamaan tersebut bersifat linier, maka t merupakan operator linier dan matrikx t adalah:
secara umum, sebuah operator proyeksi pada r2 dan r3 merupakan operator yang memetakan tiap vektor dalam proyeksi ortogonal pada sebuah garis atau bidang melalui asalnya.
sebuah operator yang merotasi tiap vektor dalam r2 melalui sudut  disebut operator rotasi pada r2. untuk melihat bagaimana asalnya adalah dengan melihat operator rotasi yang memutar tiap vektor searah jarum jam melalui sudut  positif yang tetap.
unutk menemukan persamaan hubungan x dan w=t(x), dimisalkan  adalah sudut dari sumbu x positif ke x dan r adalah jarak x dan w. lalu, dari rumus trigonometri dasar x = r cos  ; y = r cos  dan w1 = r cos ( + ) ; w2= r sin ( + )
menggunakan identitas trigonometri didapat:
w1 = r cos  cos  - r sin  sin
w2 = r sin  cos  + r cos  sin
kemudian disubtitusi sehingga:
w1 = x cos  - y sin
w2 = x sin  + y cos
persamaan di atas merupakan persamaan linier, maka t merupakan operator linier sehingga bentuk matrik dari persamaan di atas adalah:
dengan menganggap masalah pada interpolasi polinomial untuk deret n + 1 di titik (x0,y0)...., (xn,yn).
maka, kita diminta untuk menemukan kurva p(x) = am + am-1 + ... + a1x + a0 dari sudut minimum yang melewati setiap dari titik data.
kurva ini harus memenuhi
karena xi diketahui, ini akan menuju pada sistem matrik di bawah ini
ingat bahwa ini merupakan sistem persegi di mana n = m. dengan menganggap n = m memberikan sistem di bawah ini untuk koefisien interpolasi polinomial p(x):
matrix di atas diketahui sebagai matrix vandermonde; kolom j merupakan elemen pangkat j-1.
sistem linier pada (1) disebut menjadi sistem vandermonde.
cari interpolasi polinomial pada data (-1,0),(0,0),(1,0),(2,6) menggunakan sistem vandermonde.
bentuk sistem vandermonde(1):
untuk data di atas, kita mempunyai
untuk mendapatkan solusinya, digunakan gaussian elimination
baris ke-2, ke-3, dan ke-4 dikurangi baris pertama
baris ke-3 dibagi dengan 2, sedangkan baris ke-4 dibagi dengan 3
baris ke-3 dikurangi baris ke-2
baris ke-4 dikurangi baris ke-2
baris ke-4 dibagi dengan 2
baris ke-4 dikurangi baris ke-3
didapatkan persamaan linier dari persamaan matrix di atas
jadi, interpolasinya adalah