diberikan manifold riemannian dengan tensor metrik , kita dapat menghitung tensor ricci , yang menghimpun rerata kelengkungan bagian ke dalam "trace" dari tensor kelengkungan riemann.
jika kita meninjau tensor metrik (dan tensor ricci terkait) menjadi fungsi peubah yang biasanya disebut "waktu", maka alir ricci dapat didefinisikan dengan persamaan evolusi geometri
alir ricci ternormalisasi memiliki makna untuk manifold kompak dan diberikan oleh persamaan
dimana adalah kelengkungan skalar rata-rata (yang diperoleh dari tensor ricci dengan mengambil trace) dan adalah dimensi manifold.
persamaan ternormalisasi ini mengekalkan volume metrik.
faktor 2 tak begitu signifikan, karena ia dapat diubah menjadi sembarang bilangan riil tak nol dengan cara menskala t.
namun, tanda minus menjamin bahwa alir ricci terdefinisi baik untuk waktu positip yang cukup kecil; jika tanda berubah maka alir ricci akan terdefinisi untuk waktu negatip kecil.
(hal ini serupa dengan cara dimana persamaan panas dapat mengalir maju dalam waktu, namun tidak mengalir mundur dalam waktu.)
secara informal, alir ricci cenderung mengekspansi daerah melengkung negatip dari manifold, dan mengontraksi daerah melengkung positip.
hubungan alir ricci dengan difusi
untuk melihat mengapa persamaan evolusi yang mendefinisikan alir ricci adalah sungguh-sungguh suatu jenis persamaan difusi nonlinier, kita dapat meninjau kasus khusus manifold-dua (riil) secara lebih rinci.
sembarang tensor metrik pada manifold-dua dapat ditulis berhubungan dengan peta koordinat isotermal eksponensial dalam bentuk
(koordinat ini memberi contoh peta koordinat pemetaan konformal karena sudut, bukan jarak, terwakilkan dengan benar.)
cara yang paling mudah menghitung tensor ricci dan operator laplace-beltrami untuk manifold-dua riemannian adalah dengan cara menggunakan metode bentuk diferensial lie cartan.
ambil medan koframe
sehingga tensor metrik menjadi
kemudian, diberikan sembarang fungsi halus , hitung turunan eksterior
ambil dual hodge
ambil turunan eksterior yang lain
(dimana kita menggunakan sifat anti-komutatif dari perkalian eksterior.
ambil dual hodge yang lain memberikan
yang memberikan pernyataan yang diperlukan untuk operator laplace/beltrami
untuk menghitung tensor kelengkungan, kita mengambil turunan eksterior dari medan kovektor pembuat koframe:
dari ekspresi ini, kita dapat membacakan hanya satu-bentuk hubungan tak gayut
ambil turunan eksterior yang lain
hal ini memberi dua-bentuk kelengkungan
darimana kita dapat membacakan hanya komponen tak gayut linier dari tensor riemann menggunakan
darimana hanya komponen tak nol dari tensor ricci adalah
dari sini, kita menemukan komponen berhubungan dengan kobasis koordinat, katakanlah
namun, tensor metrik adalah juga diagonal, dengan
dan setelah beberapa manipulasi dasar, kita memperoleh pernyataan yang elegan untuk alir ricci:
hal ini adalah perwujudan yang analog dengan ketenaran persamaan difusi, persamaan kalor
dimana sekarang adalah laplacian biasa pada bidang euklidean.
pembaca dapat berkeberatan bahwa persamaan kalor adalah tentunya persamaan turunan parsial linier---dimana nonlinieritas yang dijanjikan dalam persamaan turunan parsial mendefinisikan alir ricci?
jawabannya adalah bahwa nonlinieritas ada karena operator laplace-beltrami gayut pada fungsi yang sama p yang kita gunakan untuk mendefinisikan metrik.
namun, nyatakan bahwa bidang euklidean datar diberikan dengan mengambil . sehingga jika adalah kecil dalam ukuran, kita dapat meninjaunya untuk mendefinisikan deviasi kecil dari geometri bidang datar, dan jika kita menahan hanya suku-suku orde pertama dalam perhitungan eksponensial, alir ricci pada dua-dimensi hampir seluruhnya manifold riemann datar menjadi persamaan kalor dua dimensi.
kategori:persamaan diferensial parsial