archimedes dan liu hui menggunakan teknik-teknik geometris yang didasarkan pada poligon untuk memperkirakan nilai deret tak terhingga merevolusi perhitungan nilai madhava dari sangamagrama, isaac newton, leonhard euler, carl friedrich gauss, dan srinivasa ramanujan.
pada abad ke-20 dan ke-21, para matematikawan dan ilmuan komputer menemukan pendekatan baru yang apabila digabungkan dengan daya komputasi komputer yang tinggi, mampu memperpanjang representasi desimal 13) digit.superkomputer dan algoritma perkalian presisi tinggi.
karena definisi trigonometri dan geometri, terutama yang menyangkut lingkaran, elips, dan bola.
kosmologi, teori bilangan, statistika, fraktal, termodinamika, mekanika, dan elektromagnetisme.
keberadaan hari pi
simbol yang digunakan oleh para matematikawan untuk mewakilkan rasio keliling suatu lingkaran terhadap diameternya adalah huruf yunani "pi menggunakan huruf latin., p. xi.
huruf kecil sans-serif) berbeda dengan huruf besar perkalian barisan.
pemilihan simbol  didiskusikan pada seksi penggunaan simbol
digit-digit keacakan statistis meliputi uji normalitas; sebuah bilangan dengan panjang tak terhingga dikatakan normal apabila keseluruhan barisan digitnya muncul sama banyaknya.
hipotesis bahwa sejak ditemukannya komputer, sejumlah besar digit yasumasa kanada telah menganalisis secara detail digit-digit desimal titik feynman, yang merupakan barisan enam angka 9 secara beruruan yang dimulai dari desimal ke-762
konstanta mosaik di luar gedung matematika di universitas teknik berlin.
retrieved 12 april 2012.
matematikawan telah menemukan beberapa pecahan kontinu generalisasi yang memiliki pola tertentu, misalnya:
beberapa aproksimasi pi meliputi:
bilangan bulat: 3
fraksi: fraksi aproksimasi meliputi (diurutkan berdasarkan kenaikan akurasi)
desimal: limapuluh desimal pertama adalah
biner: aproksimasi basis 2 hingga 48 digit adalah
heksadesimal: aproksimasi basis 16 hingga 20 digit adalah
seksagesimal: aproksimasi basis 60 hingga lima digit seksagesimal adalah 3;8,29,44,0,47.ptolemaeus menggunakan aproksimasi tiga-digit-seksagesimal, dan jamshd al-ksh mengembangkan ini hingga sembilan digit; lihat .
piramida giza mesir yang dibangun pada tahun 25892566 sm, dibangun dengan kelilingnya sekitar 1760 kubit dan tinggi sekitar 280 kubit.
perbandingan antara keliling dengan tinggi piramida ini adalah pendekatan tertulis terhadap nilai babilonia, dengan nilai pendekatan berselisih lebih kurang 1 persen dari nilai sebenarnya.
sebuah lempeng liat dari babilonia tahun 1900-1600 sm memuat penyataan mengenai geometri yang mengasumsikan = 3,1250.
di mesir, papirus rhinddi india sekitar tahun 600 sm, catatan sutra shulba dalam bahasa sanskertadua ayat dalam alkitab ibrani (yang ditulis antara abad ke-8 dan ke-3 sm) medeskripsikan sebuah kolam seremonial dalam bait salomo yang berdiameter 10 kubit dan kelilingnya 30 kubit; ayat ini menyiratkan bahwa ayat tersebut adalah dan , .gagasan bahwa kolam ini berbentuk heksagonal telah diberikan sebagai penjelasan terhadap disparitas ini.
lihat , pp. 103, 136, 137.
rabbi nehemiah menjelaskan bahwa diskrepansi ini diakibatkan oleh ketebalan pinggiran kolam.
hasil kerja paling awal rabbi nehemiah mishnat ha-middot yang ditulis sekitar tahun 150 mengambil nilai
zaman pendekatan poligon
astronom india aryabhata menggunakan nilai 3,1416 dalam ryabhaya (tahun 499).
fibonacci pada tahun 1220 menghitung nilai
astronom persia jamshd al-ksh menghasilkan 16 digit nilai 28,.
ini kemudian menciptakan rekor untuk 180 tahun.
matematikawan perancis franois vite pada tahun 1579 mencapai 9 digit menggunakan poligon bersisi 3217.
matematikawan flandria mencapai 15 digit desimal pada tahun 1593.
pada tahun 1596, matematikawan belanda ludolph van ceulen mencapai 20 digit, dan rekor ini dipecahkan oleh dirinya sendiri mencapai 35 digit.
ilmuwan belanda willebrord snellius mencapai 34 digit pada tahun 1621, dan astronom austria christoph grienberger mencapai 38 digit pada tahun 1630,nilai evaluasinya sebesar 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4196 < < 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4199.
adalah nilai terakurat yang didapatkan secara perhitungan manual menggunakan pendekatan poligon.
deret tak terhingga
perhitungan deret tak terhingga pada abad ke-16 dan 17.
deret tak terhingga merupakan penjumlahan deretan suku-suku yang tak terhingga banyaknya.
hal ini mengizinkan matematikawan menghitung nilai archimedes.
walaupun metode deret tak terhingga utamanya digunakan oleh matematikawan eropa untuk menghitung nilai india antara tahun 1400 dan 1500.
deskripsi tertulis pertama mengenai deret tak terhingga yang dapat digunakan untuk menghitung nilakantha somayaji dalam buku tantrasamgraha sekitar tahun 1500.
deret ini diberikan tanpa pembuktian, walaupun pembuktian ini kemudian diberikan kemudian dalam yuktibh sekitar tahun 1530.
nilakantha memberi kredit penemuan deret ini kepada matematikawan india madhava dari sangamagrama yang hidup antara tahun 1350  c. 1425.
beberapa deret tak terhingga dijelaskan, meliputi deret untuk sinus, tangen, dan kosinus, yang dikenal sebagai deret madhava atau deret gregory-leibniz.
madhava menggunakan deret tak terhingga untuk memperkirakan nilai jamshd al-ksh pada tahun 1430 menggunakan algoritma poligon.
deret tak terhingga kedua yang ditemukan di eropa oleh john wallis pada tahun 1655 juga merupakan perkalian tak terhingga.
penemuan kalkulus oleh isaac newton dan gottfried wilhelm leibniz.
newton quoted by arndt.
di eropa, rumus madhava ditemukan ulang oleh matematikawan skotlandia james gregory pada tahun 1671, dan oleh leibniz pada tahun 1674:
rumus ini, yang disebut deret gregory-leibniz, sama dengan ketika dievaluasi bersama dengan pada tahun 1706, john machin menggunakan deret gregory-leibniz untuk menghasilkan algoritme yang berkonvergen lebih cepat:
machin mencapai 100 digit beberapa matematikawan kemudian menciptakan beberapa varian yang digunakan untuk memecahkan rekor digit
matematikawan britania william shanks terkenal akan usahanya selama 15 tahun untuk menghitung nilai
beberapa deret tak terhingga untuk deret tak terhingga untuk deret gregory-leibniz:
deret yang lebih cepat berkonvergen adalah (digunakan oleh nilakantha pada abad ke-15):(formula 16.10).
perhatikan bahwa (n  1)n(n + 1) = n3  n.
perbandingan konvergensi kedua deret di atas adalah sebagai berikut:
deret tak terhingga untuk setelah suku ke-1 setelah suku ke-2 setelah suku ke-3 setelah suku ke-4 setelah suku ke-5 berkonvergen ke:
deret machin dan deret chudnovsky.
deret chudnovsky mampu menghasilkan 14 digit desimal yang benar setiap suku.
irasionalitas dan transendensi
masalah basel pada tahun 1735, ia berhasil menurunkan hubungan antra bilangan prima yang kemudian berkontribusi pada berkembangnya kajian mengenai fungsi zeta riemann:
ilmuwan swiss johann heinrich lambert pada tahun 1761 membuktikan bahwa irasional, yang berarti ia bukanlah hasil dari pembagian dua bilangan bulat manapun.
pembuktian lambert menggunakan representasi pecahan kontinu dari fungsi tangen.lambert, johann, "mmoire sur quelques proprits remarquables des quantits transcendantes circulaires et logarithmiques", reprinted in matematikawan perancis adrien-marie legendre pada tahun 1794 membuktikan bahwa 2 jugalah irasional.
pada tahun 1882, matematikawan jerman ferdinand von lindemann membuktikan bahwa transendental, yang kemudian berhasil mengonfirmasi konjektur yang dibuat oleh legendre dan euler.
setelah jones memperkenalkan penggunaan huruf yunani euler yang mulai menggunakannya pada karya tahun 1736-nya, mechanica.
sebelumnya, matematikawan kadang-kadang menggunakan simbol c atau p.
karena euler memiliki banyak koneksi dengan matematikawan-matematikawan lainnya di eropa, penggunakan huruf pada tahun 1748, euler menggunakan simbol introductio in analysin infinitorum (dia menulis:
pencarian digit yang lebih banyak pada zaman modern
zaman komputer dan algoritma iteratif
perkembangan komputer yang pesat pada pertengahan abad ke-20 merevolusi perhitungan digit desimal john wrench dan levi smith berhasil menghitung nilai pi sampai dengan 1.120 digit menggunakan kalkulator meja.
dengan menggunakan deret tak terhingga invers tangen (arctan), sekelompok tim yang dipimpin oleh george reitwiesner dan john von neumann pada tahun yang sama berhasil mencapai 2.037 digit menggunakan komputer eniac dengan lama perhitungan selama 70 jam..
see also .
rekor ini terus dipecahkan menggunakan deret arctan (7.480 digit pada tahun 1957; 10.000 digit pada tahun 1958; 100.000 digit pada tahun 1961), sampai dengan 1 juta digit pada tahun 1973.
perkembangan lebih jauh sekitar tahun 1980 kemudian mempercepat kemampuan komputasi algoritma iteratif baru yang lebih cepat daripada deret tak terhingga; dan kedua, penemuan algoritma perkalian cepat yang mampu mengalikan bilangan besar dengan sangat cepat.
algoritma ini sangat penting karena waktu yang dihabiskan oleh komputasi komputer kebanyakan berkutat pada perkalian.
algoritma seperti ini contohnya algoritma karatsuba, perkalian toom-cook, dan metode berbasis transformasi fourier.
algoritma iteratif secara independen dipublikasikan pada tahun 1975-1976 oleh fisikawan amerika eugene salamin dan ilmuwan australia richard brent.
algoritma ini membuat komputasi digit pi bebas dari deret tak terhingga.
algoritma iteratif mengulangi perhitungan tertentu dengan tiap iterasi menggunakan hasil iterasi sebelumnya sebagai input dan setahap demi setahap menghasilkan nilai perhitungan yang berkonvergen ke nilai yang kita inginkan.
algoritma iteratif digunakan secara meluas setelah tahun 1980 karena algoritma ini lebih cepat daripada algoritma deret tak terhingga.
manakala algoritma deret tak terhingga meningkatkan jumlah digit yang benar setiap suku, algoritma iteratif pada umumnya melipatgandakan jumlah digit yang benar pada setiap iterasi.
sebagai contohnya, algoritma brent-salamin menggandakan jumlah digit yang benar pada tiap iterasi.
pada tahun 1984, john dan peter borwein berhasil menemukan algoritma iteratif yang menggandaempatkan jumlah digit pada tiap iterasi; dan pada tahun 1987 berhasil menggandalimakan jumlah digit pada tiap iterasi..
untuk detail algoritma.
metode iteratif digunakan oleh matematikawan yasumasa kanada untuk memecahkan beberapa rekor komputasi konvergensi yang sangat cepat ini memiliki kelemahannya sendiri, yakni memerlukan memori komputer yang jauh lebih besar daripada yang diperlukan oleh deret tak terhingga.
kosmologi, karena ini merupakan jumlah digit yang diperlukan untuk menghitung volume alam semesta sampai dengan satu atom..
"39 digit cukup untuk menghitung volume alam semesta sampai dengan taraf atom."
dengan mempertimbangkan digit tambahan yang diperlukan untuk mengkompensasikan pembulatan, arndt menyimpulkan bahwa beberapa ratus digit sudah mencukupi untuk perhitungan-perhitungan ilmiah apapun.
walau demikian, banyak orang telah bekerja keras untuk mengkomputasi usaha ini sebagian dikarenakan dorongan manusia untuk memecahkan rekor, dan biasanya pencapaian seperti ini sering masuk ke dalam tajuk berita seluruh dunia.
perhitungan seperti ini juga memiliki kegunaan praktisnya, yaitu untuk menguji superkomputer, menguji algoritma analisis numeris; dan dalam lingkup matematika murni sendiri, data yang dihasilkan dapat digunakan untuk mengevaluasi keacakan digit-digit
deret konvergen cepat
pada tahun 2006, matematikawan kanada simon plouffe menggunakan algoritme relasi integer pslqpslq singkatan dari partial sum of least squares.
untuk menghasilkan beberapa rumus baru untuk :
dua algoritma baru yang ditemukan pada tahun 1995 membuka jalan baru bagi riset algoritma keran, karena seperti air yang menetes dari sebuah keran, algoritma ini menghasikan satu digit tunggal gibbons, jeremy, "unbounded spigot algorithms for the digits of pi", 2005.
gibbons produced an improved version of wagon's algorithm.
algoritma ini berbeda dari algoritma-algoritma deret tak terhingga dan iteratif yang menyisakan dan menggunakan semua digit-digit intermediat sampai penyelesaian akhirnya dihasilkan.
matematikawan amerika stan wagon dan stanley rabinowitz menemukan algoritma keran sederhana pada tahun 1995.sebuah program komputer juga telah diciptakan untuk mengimplementasikan algoritma keran wagon tersebut hanya dalam perangkat lunak berjumlah karakter 120.
kecepatan konvergensi algoritma ini sebanding dengan algoritma arctan, namun tidak secepat algoritma iteratif.
algoritma keran lainnya, algoritma ekstraksi digit bbp ditemukan pada tahun 1995 oleh simon plouffe:
rumus ini, tidak seperti rumus lainnya, dapat menghasilkan digit heksadesimal individu tanpa menghitung digit-digit sebelumnya.
digit-digit individu oktal maupun biner dapat diektraksi dari digit-digit heksadesimal.
variasi algoritme ini telah ditemukan, namun tiada satupun algoritme ekstraksi digit yang dapat menghasilkan digit desimal dengan cepat..plouffe sebenarnya juga menemukan algoritma ektraksi digit desimal, namun algoritma ini lebih lambat daripada komputasi langsung semua digit-digit .
antara tahun 1998 dan 2000, proyek komputasi terdistribusi pihex menggunakan rumus bellard (modifikasi algoritme bbp) untuk mengkomputasi bit ke-kuadriliun (ke-1015) bellards formula in: pada bulan september 2010, seorang karyawan yahoo!
menggunakan aplikasi hadoop perusahaan dalam seribu komputer selama 23 hari untuk menghitung 256 bit
geometri dan trigonometri
sehingga untuk sudut  apapun dan bilangan bulat k
metode monte carlo
bilangan dan analisis kompleks
etitik-titik pada satuan lingkaran yang berpusat pada pusat bidang kompleks dinyatakan oleh formula euler.
bilangan kompleks apapun, sebut saja dengan dengan tetapan adalah basis logaritma natural.
formula ini menghasilkan hubungan antara daya imajiner sebanyak formula integral cauchy mengelola fungsi integral kompleks dan menghasilkan hubungan penting antara integrasi dan diferensiasi, termasuk kenyataan bahwa nilai fungsi kompleks dalam suatu batas tertutup seluruhnya ditentukan oleh nilai pada batasan:.
teori bilangan dan fungsi zeta riemann
fungsi zeta riemannmenemukan penyelesaian sederhana untuk deret tak hingga ini merupakan masalah populer dalam matematika yang disebut masalah basel.
leonhard euler memecahkannya pada tahun 1735 ketika ia menunjukkan bahwa itu sama dengan
probabilitas ini dapat digunakan bersamaan dengan generator bilangan acak untuk memperkirakan
probabilitas dan statistik
freukensi besar probabilitas dan statistik menggunakan distribusi normal sebagai model sederhana untuk fenomena kompleks; sebagai contoh, ilmuwan umumnya berasumsi bahwa kesalahan observasi dalam kebanyakan percobaan diikuti sebuah distribusi normal.feller, w. an introduction to probability theory and its applications, vol. 1, wiley, 1968, pp 174190.
wilayah di bawah grafik kurva distribusi normal didapat dari integral gaussian:
sementara integral terkait untuk distribusi cauchy adalah
rumus dengan
keliling lingkaran dengan jari-jari r dan diameter d
luas lingkaran dengan jari-jari r dan diameter d
volume bola dengan jari-jari r atau diameter d
luas permukaan bola dengan jari-jari r atau diameter d
volume silinder setinggi h dan berjari-jari r
luas permukaan silinder setinggi h dan berjari-jari r
volume kerucut setinggi h dan berjari-jari r
luas permukaan kerucut setinggi h dan berjari-jari r
di luar matematika
penggambaran fenomena fisika
meskipun bukan konstanta fisikasistem koordinat sferis.
rumus sederhana dari bidang mekanika klasik memberikan aproksimasi periode salah satu rumus kunci dalam mekanika kuantum adalah prinsip ketidakpastian heisenberg, yang menunjukkan bahwa ketidakpastian dalan pengukuran posisi suatu partikel (dalam ranah kosmologi, persamaan medan einstein, suatu formula fundamental yang menjadi dasar teori relativitas umum dan menjelaskan interaksi fundamental gravitasi sebagai hasil pelengkungan ruang waktu oleh materi dan energi:..
dengan adalah tensor lengkungan ricci, hukum coulomb, dari disiplin ilmu elektromagnetisme, menjelaskan medan listrik antara dua muatan listrik (fakta bahwa nilai ortopositronium dalam waktu yang relatif panjang.
kebalikannya hingga orde paling rendah dalam tetapan struktur halusbidang dinamika fluida menyertakan hukum stokes, yang mengaproksimasi gaya friksitransformasi fourier, dijelaskan di bawah, adalah operasi matematika yang menyatakan waktu sebagai fungsi dari frekuensi, dikenal karena spektrum frekuensinya.
ini mempunyai banyak aplikasi dalam fisika dan rekayasa, terutama dalam pemrosesan sinyal..
rekor mengingat digit guinness world records, adalah 70.000 digit, dibacakan di india oleh rajveer meena selama 9 jam 27 menit pada tanggal 21 maret 2015.
"most pi places memorized", guinness world records.
pada tahun 2006, akira haraguchi, seorang pensiunan insinyur jepang, mengklaim telah membacakan 100.000 desimal guinness world records.
peraturan rekor pengingat metode loci.
beberapa penulis telah menggunakan digit tulisan terbatas (
program dalam pascal tentang pemakaian
sejarah singkat tentang