fraktal adalah benda geometris yang kasar pada segala skala, dan terlihat dapat "dibagi-bagi" dengan cara yang radikal.
beberapa fraktal bisa dipecah menjadi beberapa bagian yang semuanya mirip dengan fraktal aslinya.
fraktal dikatakan memiliki detail yang tak hingga dan dapat memiliki struktur serupa diri pada tingkat perbesaran yang berbeda.
pada banyak kasus, sebuah fraktal bisa dihasilkan dengan cara mengulang suatu pola, biasanya dalam proses rekursif atau iteratif.
bahasa inggris dari fraktal adalah fractal.
istilah fractal dibuat oleh benot mandelbrot pada tahun 1975 dari kata latin fractus yang artinya "patah", "rusak", atau "tidak teratur".
sebelum mandelbrot memperkenalkan istilah tersebut, nama umum untuk struktur semacamnya (misalnya bunga salju koch) adalah kurva monster.
berbagai jenis fraktal pada awalnya dipelajari sebagai benda-benda matematis.
geometri fraktal adalah cabang matematika yang mempelajari sifat-sifat dan perilaku fraktal.
fraktal bisa membantu menjelaskan banyak situasi yang sulit dideskripsikan menggunakan geometri klasik, dan sudah cukup banyak diaplikasikan dalam sains, teknologi, dan seni karya komputer.
dulu ide-ide konseptual fraktal muncul saat definisi-definisi tradisional geometri euklides dan kalkulus gagal menganalisis objek-objek kurva monster tersebut.
kontribusi dari analisis klasik
benda-benda yang sekarang disebut fraktal sudah ditemukan dan dipelajari jauh sebelum kata fraktal muncul.
pada tahun 1872 karl theodor wilhelm weierstrass menemukan contoh fungsi dengan sifat yang tidak intuitif yaitu kontinyu di manapun namun tidak terdiferensiasi di manapun  grafik dari fungsi tersebut akan disebut fraktal pada masa sekarang.
pada tahun 1904 helge von koch, tidak puas dengan definisi weierstrass yang sangat abstrak dan analitis, memberikan definisi yang lebih geometris untuk fungsi yang mirip, yang sekarang disebut bunga salju koch. ide mengenai kurva-kurva serupa diri dikembangkan lebih jauh oleh paul pierre lvy, yang mengenalkan kurva fraktal baru bernama kurva lvy c dalam tulisannya pada tahun 1938 berjudul plane or space curves and surfaces consisting of parts similar to the whole.
georg cantor memberi contoh tentang berbagai himpunan bagian dari garis riil dengan sifat yang tidak wajar  himpunan cantor tersebut juga sekarang dikenal sebagai fraktal.
fungsi teriterasi di bidang kompleks telah diselidiki pada akhir abad 19 dan awal abad 20 oleh henri poincar, felix klein, pierre fatou, dan gaston julia.
namun tanpa bantuan grafika komputer modern, mereka tidak dapat melihat keindahan visual benda-benda yang mereka temukan.
aspek dari deskripsi himpunan
dalam usahanya untuk memahami benda-benda seperti himpunan cantor, matematikawan seperti constantin carathodory dan felix hausdorff menggeneralisasi konsep intuitif dimensi agar memungkinkan nilai nonbulat.
ini termasuk bagian dari gerakan di pertengahan awal abad kedua puluh yang bertujuan menciptakan teori himpunan deskriptif, yaitu kelanjutan dari arah riset cantor yang dapat mengklasifikasi himpunan titik-titik pada ruang euclid.
definisi dimensi hausdorff secara alami adalah geometris, walaupun didasarkan pada perkakas dari analisis matematis.
pendekatan ini digunakan oleh beberapa orang termasuk besicovitch, yang berbeda dengan investigasi logis yang membangun sebagian besar teori himpunan deskriptif masa 1920-an dan 1930-an.
kedua bidang tersebut ditelusuri selama beberapa waktu setelahnya, terutama oleh para spesialis.
pada tahun 1960-an benot mandelbrot mulai menyelidiki keserupa dirian dalam berbagai tulisannya seperti how long is the coast of britain?
statistical self-similarity and fractional dimension.
penyelidikannya merupakan pengembangan dari penelitian lewis fry richardson.
dengan pendekatan yang sangat visual, mandelbrot mendapatkan hubungan dari berbagai topik matematika yang sebelumnya tidak berkaitan.
pada tahun 1975, mandelbrot menggunakan kata fractal untuk mendeskripsikan benda-benda serupa diri yang tidak memiliki dimensi yang jelas.
dia menurunkan kata fractal dari kata latin fractus yang artinya "patah", "rusak", atau "tidak teratur".
kata fractal bukan diturunkan dari kata fractional (pecahan), seperti yang dipercaya banyak orang.
kata fractional sendiri juga diturunkan dari fractus.
setelah visualisasi komputer diaplikasikan pada geometri fraktal, dapat disajikan argumen-argumen visual nan ampuh untuk menunjukkan bahwa geometri fraktal menghubungkan banyak bidang matematika dan sains, jauh lebih besar dan luas dari yang sebelumnya diperkirakan.
bidang-bidang yang terhubungkan oleh geometri fraktal terutama adalah dinamika nonlinier, teori chaos, dan kompleksitas.
salah satu contoh adalah menggambar metode newton sebagai fraktal yang ternyata menunjukkan bahwa batas antara penyelesaian yang berbeda adalah fraktal dan penyelesaiannya sendiri adalah atraktor aneh.
geometri fraktal juga telah digunakan untuk kompresi data dan memodel sistem geologis dan organis yang kompleks, seperti pertumbuhan pohon dan perkembangan lembah sungai.
120px 120px himpunan mandelbrot yang diperbesar 350 kali menunjukkan detail yang mirip dengan himpunan utuhnya.
fraktal bisa dikelompokkan menjadi tiga kategori luas.
pengelompokan berikut didasarkan pada cara pendefinisian atau pembuatannya.
sistem fungsi teriterasi  contohnya adalah himpunan cantor, karpet sierpinski, kurva peano, bunga salju koch, kurva naga harter-heighway, kotak t, dan spons menger.
fraktal waktu lolos  contohnya adalah himpunan mandelbrot dan fraktal lyapunov.
fraktal acak  dihasilkan melalui proses stokastik, misalnya landskap fraktal dan penerbangan lvy.
fraktal juga bisa dikelompokkan berdasarkan keserupa diriannya.
ada tiga tingkat keperupadirian pada fraktal:
serupa diri secara persis  ini adalah keserupa dirian yang paling kuat.
fraktalnya terlihat sama persis pada berbagai skala.
fraktal yang didefinisikan oleh sistem fungsi teriterasi biasanya bersifat serupa diri secara persis.
serupa diri secara lemah  ini adalah keserupa dirian yang tidak terlalu ketat.
fraktalnya terlihat mirip (tapi tidak persis sama) pada skala yang berbeda.
fraktal jenis ini memuat salinan dirinya sendiri dalam bentuk yang terdistorsi maupun rusak.
serupa diri secara statistik  ini adalah kererupadirian yang paling lemah.
fraktalnya memiliki ukuran numeris atau statistik yang terjaga pada skala yang berbeda.
kebanyakan definisi fraktal yang wajar secara trivial mengharuskan suatu bentuk keserupa dirian statistik.
dimensi fraktal sendiri adalah ukuran numeris yang nilainya terjaga pada berbagai skala.
fraktal acak adalah contoh fraktal yang serupa diri secara statistik, tetapi tidak serupa diri secara persis maupun lemah.
perlu dicatat bahwa tidak semua benda yang serupa diri adalah fraktal  misalnya garis riil (garis euclid lurus) bersifat serupa diri, tetapi argumen bahwa benda-benda euclid adalah fraktal merupakan minoritas.
mandelbrot berargumen bahwa definisi "fraktal" sepatutnya menyertakan tidak hanya fraktal "sebenarnya", namun juga benda-benda euclid tradisional, karena bilangan irasional di garis bilangan memiliki sifat-sifat kompleks dan tidak berulang.
karena fraktal memiliki detail yang tak terhingga, tidak ada benda alami yang merupakan fraktal.
namun pada skala yang terbatas benda-benda alam bisa menampakkan sifat-sifat fraktalnya.
karakteristik fraktal, walaupun mudah dimengerti secara intuitif, ternyata sangat susah untuk dibuat definisi matematisnya.
mandelbrot mendefinisikan fraktal sebagai "himpunan yang dimensi hausdorff besicovitchnya lebih besar dari dimensi topologisnya".
untuk fraktal yang serupa diri secara persis, dimensi hausdorffnya sama dengan dimensi minkowsi bouligandnya.
masalah-masalah yang dihadapi saat mendefinisikan fraktal termasuk:
tidak ada definisi matematis dari "terlalu tidak teratur".
tidak ada definisi tunggal mengenai "dimensi".
suatu benda dapat bersifat serupa diri dengan berbagai cara.
tidak setiap fraktal didefinisikan secara rekursif.
contoh yang relatif sederhana adalah himpunan cantor, di mana selang terbuka yang pendek dan semakin pendek tersebar pada selang dasar [0, 1], menyisakan himpunan yang mungkin serupa diri, dan mungkin memiliki dimensi d yang memenuhi 0 < d < 1.
suatu resep sederhana, yaitu menghilangkan digit 7 dari ekspansi desimal, menghasilkan himpunan cantor yang serupa diri pada perbesaran lipat 10.
secara umum fraktal bentuknya tidak teratur (tidak halus), jadi bukan termasuk benda yang terdefinisikan oleh geometri tradisional.
ini berarti bahwa fraktal cenderung memiliki detail yang signifikan, terlihat dalam skala berapapun; saat ada keserupa dirian, ini bisa terjadi karena memperbesar fraktal tersebut akan menunjukkan gambar yang mirip.
himpunan-himpunan tersebut biasanya didefinisikan dengan rekursi.
sebagai perbandingan, ambil benda euklid biasa, misalnya lingkaran.
lengkung pada lingkaran akan terlihat semakin datar jika diperbesar.
pada perbesaran tak terhingga tidak mungkin lagi terlihat perbedaan antara lengkung lingkaran dengan garis lurus.
fraktal tidak seperti ini.
ide konvensional kurvatur, yang merupakan resiprokal dari jari-jari lingkaran aproksimasi, tidak bisa digunakan.
pada fraktal, meningkatkan perbesaran akan menunjukkan detail yang tidak terlihat sebelumnya.
beberapa contoh fraktal yang umum adalah himpunan mandelbrot, fraktal lyapunov, himpunan cantor, segitiga sierpinski, karpet sierpinski, spons menger, kurva naga, kurva peano, dan kurva koch. fraktal bisa deterministik maupun stokastik.
sistem dinamikal chaotis sering (bahkan mungkin selalu) dihubungkan dengan fraktal.
benda-benda yang mendekati fraktal bisa ditemukan dengan mudah di alam.
benda-benda tesebut menunjukkan struktur frakral yang kompleks pada skala tertentu.
contohnya adalah awan, gunung, jaringan sungai, dan sistem pembuluh darah.
harrison meluaskan kalkulus newtonian ke domain fraktal, termasuk teorema gauss, green, dan stokes.
fraktal biasanya digambar oleh komputer dengan perangkat lunak fraktal.
lihat daftarnya di bawah.
fraktal acak memiliki kegunaan praktis yang terbesar sebab dapat digunakan untuk mendeskripsikan banyak benda di alam.
contohnya adalah awan, gunung, turbulensi, garis pantai, dan pohon.
teknik-teknik fraktal juga telah digunakan pada kompresi gambar fraktal dan berbagai disiplin sains.
berkas:julia_set_(indigo).png|suatu [[himpunan julia]], fraktal yang berhubungan dengan himpunan mandelbrot.berkas:glue1_800x600.jpg|fraktal alami yang dibuat dengan cara memisahkan lembaran akrilik yang telah dilem.berkas:square1.jpg|keretakan karena voltase tingga pada akrilik setebal 4 inci menghasilkan [[gambar lichtenberg]].berkas:microwaved-dvd.jpg|percabangan fraktal pada [[dvd]] yang terkena radiasi gelombang mikro.berkas:fractal broccoli.jpg|brokoli yang merupakan fraktal alami.berkas:flower3.jpg|fraktal yang mirip bunga.
fraktal banyak diaplikasikan pada bidang:
klasifikasi slide histopatologi di ilmu kedokteran
pembuatan musik jenis baru
pembuatan berbagai bentuk karya seni baru
kompresi data dan sinyal
ktaza: freeware by s. ferguson
daftar publikasi matematika#geometri fraktal
bacaan lebih lanjut