persamaan diferensial adalah persamaan matematika untuk fungsi satu variabel atau lebih, yang menghubungkan nilai fungsi itu sendiri dan turunannya dalam berbagai orde.
persamaan diferensial memegang peranan penting dalam rekayasa, fisika, ilmu ekonomi dan berbagai macam disiplin ilmu lain.
persamaan diferensial muncul dalam berbagai bidang sains dan teknologi, bilamana hubungan deterministik yang melibatkan besaran yang berubah secara kontinu (dimodelkan oleh fungsi matematika) dan laju perubahannya (dinyatakan sebagai turunan) diketahui atau dipostulatkan.
ini terlihat misalnya pada mekanika klasik, di mana gerakan sebuah benda diperikan oleh posisi dan kecepatannya terhadap waktu.
hukum newton memungkinkan kita mengetahui hubungan posisi, kecepatan, percepatan dan berbagai gaya yang bertindak terhadap benda tersebut, dan menyatakannya sebagai persamaan diferensial posisi sebagai fungsi waktu.
dalam banyak kasus, persamaan diferensial ini dapat dipecahkan secara eksplisit, dan menghasilkan hukum gerak.
contoh pemodelan masalah dunia nyata menggunakan persamaan diferensial adalah penentuan kecepatan bola yang jatuh bebas di udara, hanya dengan memperhitungkan gravitasi dan tahanan udara.
percepatan bola tersebut ke arah tanah adalah percepatan karena gravitasi dikurangi dengan perlambatan karena gesekan udara.
mencari kecepatan sebagai fungsi waktu mensyaratkan pemecahan sebuah persamaan diferensial.
teori persamaan diferensial sudah cukup berkembang, dan metode yang digunakan bervariasi sesuai jenis persamaan.
persamaan diferensial biasa (pdb) adalah persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak diketahui (variabel terikat) adalah fungsi dari variabel bebas tunggal.
dalam bentuk paling sederhana fungsi yang tidak diketahui ini adalah fungsi riil atau fungsi kompleks, namun secara umum bisa juga berupa fungsi vektor maupun matriks.
lebih jauh lagi, persamaan diferensial biasa digolongkan berdasarkan orde tertinggi dari turunan terhadap variabel terikat yang muncul dalam persamaan tersebut.
persamaan diferensial parsial (pdp) adalah persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak diketahui adalah fungsi dari banyak variabel bebas, dan persamaan tersebut juga melibatkan turunan parsial.
orde persamaan didefinisikan seperti pada persamaan diferensial biasa, namun klasifikasi lebih jauh ke dalam persamaan eliptik, hiperbolik, dan parabolik, terutama untuk persamaan diferensial linear orde dua, sangatlah penting.
beberapa pesamaan diferensial parsial tidak dapat digolongkan dalam kategori-kategori tadi, dan dinamakan sebagai jenis campuran.
baik persamaan diferensial biasa maupun parsial dapat digolongkan sebagai linier atau nonlinier.
sebuah persamaan diferensial disebut linier apabila fungsi yang tidak diketahui dan turunannya muncul dalam pangkat satu (hasilkali tidak dibolehkan).
bila tidak memenuhi syarat ini, persamaan tersebut adalah nonlinier.
persamaan diferensial terkenal
hukum kedua newton dalam dinamika
persamaan hamilton dalam dalam mekanika klasik
peluruhan radioaktif dalam fisika nuklir
hukum pendinginan newton in termodinamika
persamaan maxwell dalam elektromagnetisme
persamaan panas dalam termodinamika
persamaan laplace, yang mendefinisikan fungsi harmonik
persamaan medan einstein dalam teori relativitas umum
persamaan schrdinger dalam mekanika kuantum
persamaan navier-stokes dalam dinamika fluida
persamaan lotka-volterra dalam dinamika populasi
persamaan black-scholes equation dalam keuangan
persamaan cauchy-riemann dalam analisis kompleks
persamaan poisson-boltzmann dalam dinamika molekul
d. zwillinger, handbook of differential equations (3rd edition), academic press, boston, 1997.
a. d. polyanin and v. f. zaitsev, handbook of exact solutions for ordinary differential equations (2nd edition), chapman &
hall/crc press, boca raton, 2003.
w. johnson, a treatise on ordinary and partial differential equations, john wiley and sons, 1913, in university of michigan historical math collection
e.l. ince, ordinary differential equations, dover publications, 1956
e.a. coddington and n. levinson, theory of ordinary differential equations, mcgraw-hill, 1955
p. blanchard, r.l. devaney, g.r. hall, differential equations, thompson, 2006
lectures on differential equations mit open courseware video
online notes / differential equations paul dawkins, lamar university
differential equations, s.o.s. mathematics
introduction to modeling via differential equations pengantar terhadap pemodelan menggunakan persamaan diferensial.
differential equation solver applet java untuk memecahkan persamaan diferensial.
mathematical assistant on web symbolic ode tool, using maxima
exact solutions of ordinary differential equations
a bibliography of books about differential equations, dari mathematical association of america
collection of ode and dae models of physical systems model matlab
notes on diffy qs: differential equations for engineers buku ajar pengantar persamaan diferensial oleh jiri lebl of uiuc