persamaan kuadrat adalah suatu persamaan polinomial berorde dua.
bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah
huruf-huruf a, b dan c disebut sebagai koefisien: koefisien kuadrat a adalah koefisien dari , koefisien linier b adalah koefisien dari x, dan c adalah koefisien konstan atau disebut juga suku bebas.
arti nilai a, b, dan c
nilai-nilai a, b dan c menentukan bagaimana bentuk parabola dari fungsi persamaan kuadrat dalam ruang xy.
a menentukan seberapa cekung/cembung parabola yang dibentuk oleh fungsi kuadrat.
nilai a > 0 akan menyebabkan parabola terbuka ke atas, sedangkan nilai a < 0 akan menyebabkan parabola terbuka ke bawah.
b menentukan kira-kira posisi x puncak parabola, atau sumbu simetri cermin dari kurva yang dibentuk.
posisi tepatnya adalah -b/2a.
c menentukan titik potong fungsi parabola yang dibentuk dengan sumbu y atau saat x = 0.
ilustrasi grafik-grafik persamaan kuadrat dengan berbagai variasi nilai a. b dan c dapat dilihat pada gambar di atas.
rumus kuadratis (rumus abc)
rumus kuadratis dikenal pula dengan nama rumus abc karena digunakan untuk menghitung akar-akar persamaan kuadrat yang tergantung dari nilai-nilai a, b dan c suatu persamaan kuadrat.
rumus yang dimaksud memiliki bentuk
rumus ini digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat apabila dinyatakan bahwa
dari rumus tersebut akan diperoleh akar-akar persamaan, sehingga persamaan semula dalam bentuk
dapat dituliskan menjadi
dari persamaan terakhir ini dapat pula dituliskan dua hubungan yang telah umum dikenal, yaitu
ilustrasi dapat dilihat pada gambar.
pembuktian rumus persamaan kuadrat
dari bentuk umum persamaan kuadrat,
bagi kedua ruas untuk mendapatkan
pindahkan ke ruas kanan
sehingga teknik melengkapkan kuadrat bisa digunakan di ruas kiri.
pindahkan ke ruas kanan
lalu samakan penyebut di ruas kanan.
kedua ruas diakar (dipangkatkan setengah), sehingga tanda kuadrat di ruas kiri hilang, dan muncul tanda plus-minus di ruas kanan.
pindahkan ke ruas kanan
sehingga didapat rumus kuadrat
dalam rumus kuadrat di atas, terdapat istilah yang berada dalam tanda akar:
yang disebut sebagai diskriminan atau juga sering disebut determinan suatu persamaan kuadrat.
kadang dinotasikan dengan huruf d.
suatu persamaan kuadrat dengan koefisien-koefisien riil dapat memiliki hanya sebuah akar atau dua buah akar yang berbeda, di mana akar-akar yang dimaksud dapat berbentuk bilangan riil atau kompleks.
dalam hal ini diskriminan menentukan jumlah dan sifat dari akar-akar persamaan kuadrat.
terdapat tiga kasus yang mungkin:
jika diskriminan bersifat positif, akan terdapat dua akar berbeda yang kedua-duanya merupakan bilangan riil.
untuk persamaan kuadrat dengan koefisien berupa bilangan bulat, apabila diskriminan merupakan suatu kuadrat sempurna, maka akar-akarnya merupakan bilangan rasional -- sebaliknya dapat pula merupakan bilangan irrasional kuadrat.
jika diskriminan bernilai nol, terdapat eksak satu akar, dan akar yang dimaksud merupakan bilangan riil.
hal ini kadang disebut sebagai akar ganda, di mana nilainya adalah:
jika diskriminan bernilai negatif, tidak terdapat akar riil.
sebagai gantinya, terdapat dua buah akar kompleks (tidak-real), yang satu sama lain merupakan konjugat kompleks:
jadi akar-akar akan berbeda, jika dan hanya jika diskriminan bernilai tidak sama dengan nol, dan akar-akar akan bersifat riil, jika dan hanya jika diskriminan bernilai tidak negatif.
akar riil dan kompleks
persamaan kuadrat dapat memiliki sebuah akar (akar ganda) atau dua buah akar yang berbeda, yang terakhir ini dapat bersifat riil atau kompleks bergantung dari nilai diskriminannya.
akar-akar persamaan kuadrat dapat pula dipandang sebagai titik potongnya dengan sumbu x atau garis y = 0.
titik potong dengan garis y = d
dengan cara pandang ini, rumus persamaan kuadrat dapat digunakan apabila diinginkan untuk mencari titik potong antara suatu persamaan kuadrat () dengan suatu garis mendatar (). hal ini dapat dilakukan dengan mengurangi persamaan kuadrat tersebut dengan persamaan garis yang titik potong antar keduanya ingin dicari dan menyamakannya dengan nol.
intepretasi yang sama pun berlaku, yaitu bila:
diskriminan positif, terdapat dua titik potong antara dan ,
diskriminan nol, terdapat hanya satu titik potong antara dan , dan
diskriminan negatif, tidak terdapat titik potong antara kedua kurva, dan .
akar-akar suatu persamaan kuadrat menentukan rentang x di mana nilai-nilai y berharga positif atau negatif.
harga-harga ini ditentukan oleh nilai konstanta kuadrat a:
dengan merupakan akar-akar persamaan kuadrat.
dalam tabel di atas, apabila bersifat kompleks, maka yang dimaksud adalah (nilai riil)-nya.
akar-akar dari persamaan kuadrat adalah juga pembuat nol dari fungsi kuadrat tersebut:
dikarenakan akar-akar tersebut merupakan nilai yang memberikan
jika a, b, dan c adalah bilangan riil, dan domain dari adalah himpunan bilangan riil, maka pembuat nol dari adalah eksak koordinat-x di saat titik-titik tersebut menyentuh sumbu-x.
mengikuti pernyataan di atas, bahwa jika diskriminan berharga positif, kurva persamaan kuadrat akan menyentuh sumbu-x pada dua buah titik (dua buah titik potong), jika berharga nol, akan menyentuh di satu titik dan jika berharga negatif, kurva tidak akan menyentuh sumbu-x.
rumus fungsi kuadrat
persamaan fungsi kuadrat :
dimana f(x) = y maka titik balik (titik puncak) fungsi kuadrat adalah ( , ).
dari bentuk umum persamaan kuadrat,
anggapan bahwa adalah 0 maka:
maka titik balik adalah ( , ).
persamaan pangkat tiga