istilah kombinasi dalam matematika kombinatorik berarti himpunan objek yang tidak mementingkan urutan.
kombinasi berbeda dengan permutasi yang mementingkan urutan objek.
kombinasi c dari sebuah himpunan s adalah himpunan bagian dari s.
sebagai contoh, misalkan terdapat suatu kumpulan buah: apel, jeruk, mangga, pisang.
maka {apel, jeruk} dan {jeruk, mangga, pisang} adalah merupakan kombinasi dari kumpulan tersebut.
seluruh himpunan bagian yang mungkin dibentuk dari kumpulan buah tersebut adalah:
tidak ada buah apa pun
apel, jeruk, mangga
apel, jeruk, pisang
apel, mangga, pisang
jeruk, mangga, pisang
apel, jeruk, mangga, pisang
kombinasi r dari sebuah himpunan s, berarti dari himpunan s diambil elemen sebanyak r untuk dijadikan sebuah himpunan baru.
dalam hal kumpulan buah di atas, himpunan {apel, jeruk, pisang} adalah sebuah kombinasi 3 dari s, sedangkan {jeruk, pisang} adalah sebuah kombinasi 2 dari s.
banyaknya kombinasi r dari sebuah himpunan berisi n elemen dapat dihitung tanpa harus memperhatikan isi dari himpunan tersebut.
besarnya dinyatakan dengan fungsi:
fungsi dalam banyak literatur dinyatakan juga dengan notasi .
sebagai contoh, tanpa harus mengetahui elemen himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang}, banyaknya kombinasi 3 dari himpunan tersebut dapat dihitung:
sifat rekursif dari kombinasi
kombinasi dapat dibentuk dari dua kombinasi sebelumnya.
ini mengakibatkan banyaknya kombinasi juga bersifat rekursif:
hubungan dengan permutasi
dari himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang} dapat diambil permutasi 3 unsur, yang dapat didaftar sebagai berikut:
apel jeruk mangga
apel mangga jeruk
jeruk apel mangga
jeruk mangga apel
mangga apel jeruk
mangga jeruk apel
apel jeruk pisang
apel pisang jeruk
jeruk apel pisang
jeruk pisang apel
pisang apel jeruk
pisang jeruk apel
apel mangga pisang
apel pisang mangga
mangga apel pisang
mangga pisang apel
pisang apel mangga
pisang mangga apel
jeruk mangga pisang
jeruk pisang mangga
mangga jeruk pisang
mangga pisang jeruk
pisang jeruk mangga
pisang mangga jeruk
perhatikan bahwa dalam susunan ini setiap kolom merupakan permutasi dari kolom pertama.
karena dalam kombinasi urutan tidak dipentingkan, maka cukup salah satu kolom saja yang diambil.
jika kita mengambil kolom pertama saja, maka kita mendapatkan kombinasi 3 dari keempat buah tersebut adalah:
apel, jeruk, mangga
apel, jeruk, pisang
apel, mangga, pisang
jeruk, mangga, pisang
penyusunan tabel seperti di atas akan menghasilkan atau 24 permutasi, dengan kolom, karena untuk setiap baris terdapat permutasi dari kolom pertama.
dengan demikian, jumlah baris dari tabel akan sebesar:
aturan seperti ini dapat digeneralisasikan sehingga untuk setiap n unsur yang dikombinasikan r unsur, berlaku:
yang dapat dengan mudah dibuktikan:
hubungan dengan permutasi berunsur identik
kombinasi juga berhubungan dengan permutasi dengan unsur identik.
kombinasi dari sebuah himpunan s dapat dimengerti sebagai pemilihan unsur-unsur himpunan s. unsur yang terpilih kita tandai dengan 1, dan yang tidak terpilih kita tandai dengan 0.
dengan demikian dari himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang} tersebut, kita dapat mendaftarkan kombinasi-3 nya seperti ini:
apel, jeruk, mangga
apel, jeruk, pisang
apel, mangga, pisang
jeruk, mangga, pisang
dengan demikian, banyaknya kombinasi 3 unsur dari himpunan s yang berisi 4 benda setara dengan banyaknya permutasi terhadap untai 1110, yaitu:
karena untai 1110 memiliki 4 unsur, tetapi ada 3 unsur identik, yaitu 1.
maka total permutasinya adalah 4!
dibagi dengan 3!.
kombinasi r dari n unsur, sesuai dengan pengertian itu, selalu setara dengan permutasi yang terdiri dari r angka 1 dan n - r angka 0.
maka permutasinya menjadi:
yang sesuai dengan rumus kita di awal, untuk menghitung .
dengan menuliskan hanya koefisiennya saja, dari penjabaran binomial dapat kita peroleh:
jika diteruskan, daftar koefisien ini akan membentuk susunan yang disebut sebagai segitiga pascal.
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
kombinasi dan permutasi