cabang-cabang geometri diferensial
difeomorfisma yang mengawetkan jarak antara lipatan-lipatan riemannian disebut isometri.
gagasan ini dapat pula didefinisikan secara lokal, yaitu untuk lingkungan titik-titik yang kecil.
dua kurva beraturan sembarang adalah isometris secara lokal.
tetapi, theorema egregium yang diajukan carl friedrich gauss menunjukkan bahwa untuk permukaan, keujudan suatu isometri lokal memaksakan kondisi-kondisi kompatibilitas yang kuat pada metrik-metrik mereka: kurvatur gaussian pada titik-titik yang bersesuaian pastilah sama.
dalam dimensi yang lebih tinggi, tensor kurvatur riemann adalah suatu invarian titik-demi-titik yang penting yang berasosiasi dengan lipatan riemannian yang mengukur seberapa dekat ia untuk dikatakan datar/rata.
sebuah kelas penting lipatan riemannian adalah ruang simetris riemannian, yang kurvaturnya tidak harus konstan.
hal ini adalah analog terdekat dengan bidang dan ruang "biasa" yang diperhatikan dalam geometri euklides dan non-euklides.
geometri riemaniann semu
geometri riemannian semu memperumum geometri riemannian kepada kasus di mana tensor metrik tidak harus definit positif.
sebuah kasus khusus hal ini adalah "lipatan lorentzian", yakni basis matematika untuk teori relativitas umum tentang gravitasi-nya einstein.
geometri finsler memiliki lipatan finsler sebagai objek kajian utama.
ini adalah lipatan diferensial dengan suatu metrik finsler, yaitu norma banach yang terdefinisi pada tiap-tiap ruang tangen.
metrik finsler adalah struktur yang jauh lebih umum daripada metrik riemannian.
struktur finsler pada suatu lipatan m adalah fungsi f : tm  [0,) sedemikian sehingga:
f(x, my) = (x,y) untuk setiap x, y pada tm,
f adalah terdiferensialkan secara tak-hingga pada tm  {0},
hessian vertikal dari f2 adalah definit positif.
difeomorfisma antara dua lipatan simplektis yang mengawetkan bentuk symplektis disebut simplektomorfisma.
bentuk bilinear asimetris non-degenerat hanya dapat ujud pada ruang vektor berdimensi genap, sehingga lipatan simplektis haruslah berdimensi genap.
dalam dimensi 2, lipatan simplektis hanyalah permukaan yang disertai dengan sebentuk luasan, dan simplektomorfisma adalah difeomorfisma yang mengawetkan luas.
ruang fasa suatu sistem mekanik adalah lipatan simplektis dan mereka hadir secara tersirat dalam karya joseph louis lagrange tentang mekanika analitik dan kemudian dalam mekanika hamiltonian karya carl gustav jacobi dan william rowan hamilton.
berbeda dengan geometri riemannian, di mana kurvatur menyediakan invarian lokal dari lipatan riemannian, teorema darboux menyatakan bahwa semua lipatan simplektis adalah isomorfik secara lokal.
invarian-invarian suatu lipatan simplektis adalah global pada sifatnya dan aspek-aspek topologi menainkan peran yang penting dalam geometri simplektis.
hasil pertama dalam topologi simplektis adalah (barangkali) teorema poincar-birkhoff, yang diperdugakan oleh henri poincar dan kemudian dibuktikan oleh g.d. birkhoff pada tahun 1912.
teorema ini mendaku bahwa jika suatu luasan yang mengawetkan peta dari suatu anulus melilit tiap-tiap komponen perbatasan dalam arah yang bertentangan, maka peta tersebut memiliki paling sedikit dua titik tetap.adalah mudah untuk membuktikan bahwa luasan itu mengawetkan syarat (atau syarat lilit) tidak dapat dihilangkan.
dengan catatan bahwa jika seseorang berupaya memperluas teorema ini ke dimensi yang lebih besar, maka orang tersebut mungkin akan menduga bahwa suatu volume yang mengawetkan peta suatu jenis tertentu mestilah memiliki titik tetap.
ini gagal untuk dimensi yang lebih besar daripada 3.
geometri kontak berurusan dengan lipatan tertentu yang berdimensi ganjil.
geometri kontak ini dekat dengan geometri simplektis dan seperti yang belakangan, geometri kontak mulai dipertanyakan dalam mekanika klasik.
suatu struktur kontak pada lipatan m berdimensi (2n+1) diberikan oleh sebuah lapangan bidang-hiper mulus h dalam bundel tangen, yakni sejauh mungkin berasosiasi dengan himpunan level fungsi terdiferensialkan pada m (istilah teknisnya adalah "distribusi bidang-hiper tak-terintegralkan lengkap ").
di dekat titik p, distribusi bidang-hiper ditentukan oleh bentuk-1 yang tidak menghilang di manapun , yang unik terhadap perkalian oleh sebuah fungsi yang tidak menghilang di manapun:
bentuk-1 lokal pada m adalah bentuk kontak jika batasan turunan eksterior terhadap h adalah bentuk-dua non-degenerat dan dengan demikian menginduksi struktur simplektis pada hp di tiap-tiap titik.
jika distribusi h dapat didefinisikan oleh bentuk-satu global , maka bentuk ini adalah kontak jika dan hanya jika bentuk berdimensi-puncak
adalah sebuah bentuk volume pada m, yaitu tidak menghilang di manapun.
sebuah analog kontak dari teorema darboux menyatakan: semua struktur kontak pada lipatan berdimensi-ganjil adalah isomorfik secara lokal dan dapat dibawa ke bentuk normal lokal tertentu oleh suatu sistem koordinat terpilih yang sesuai.
geometri kompleks dan geometri khler
geometri diferensial kompleks adalah kajian lipatan kompleks.
suatu lipatan hampir kompleks adalah lipatan real , yang diperlengkapi dengan tensor berjenis (1, 1), yaitu endomorfisma bundel vektor (disebut struktur hampir kompleks)
, sedemikian sehingga
berdasarkan definisi berikut ini, suatu lipatan hampir kompleks adalah berdimensi genap.
lipatan hampir kompleks dikatakan kompleks jika , di mana adalah tensor berjenis (2, 1) yang berhubungan dengan , yang disebut tensor nijenhuis (atau kadang-kadang torsi).
lipatan hampir kompleks adalah kompleks jika dan hanya jika ia mengizinkan koordinat atlas holomorfik.
struktur hampir hermitian diberikan oleh struktur hampir kompleks j, bersama-sama dengan metrik riemannian g, memenuhi syarat kompatibilitas
struktur hampir hermitian mendefinisikan secara natural suatu bentuk-dua diferensial
dua syarat berikut ini adalah ekivalen:
di mana adalah koneksi levi-civita dari .
dalam kasus ini, disebut struktur khler, dan lipatan khler adalah lipatan yang diperlengkapi dengan struktur khler.
secara khusus, lipatan khler adalah lipatan simplektis dan kompleks.
kelas yang lebih besar dari lipatan khler (kelas lipatan hodge) diberikan oleh semua varietas projektif kompleks mulus.
geometri cr adalah kajian geometri intrinsik dari batas-batas domain di dalam lipatan kompleks.
topologi diferensial adalah kajian invarian geometris (global) tanpa bentuk metrik atau simplektis.
topologi diferensial bermula dari operasi-operasi natural, seperti turunan lie dari bundel vektor natural dan diferensial de rham dari bentuk diferensial.
selain algebroid lie, juga algebroid courant mulai memainkan peran yang lebih penting.
grup lie adalah grup di dalam kategori lipatan mulus.
di samping sifat-sifat aljabar, grup lie juga memanfaatkan sifat-sifat geometri diferensial.
konstruksi yang paling jelas adalah bahwa aljabar lie yakni ruang tangen pada unit yang diperlengkapi dengan kurung lie di antara lapangan-lapangan vektor invarian-kiri.
di samping teori struktur, terdapat juga lapangan luas teori representasi.
bundel dan koneksi
intrinsik versus ekstrinsik
differential geometry handouts, stanford university
michael murray's online differential geometry course, 1996
a modern course on curves and surface, richard s palais, 2003
richard palais's 3dxm surfaces gallery
balzs csiks's notes on differential geometry
n. j. hicks, notes on differential geometry, van nostrand.
mit opencourseware: differential geometry, fall 2008
kategori:geometriproses castner-kellner adalah metode elektrolisis dari larutan alkali klorida (biasanya larutan natrium klorida) untuk memproduksi alkali hidroksida yang bersesuaian.pauling, linus; general chemistry 1970 ed. pp. 539541 dover publishing proses ini ditemukan oleh hamilton castner (warga amerika serikat) dan karl kellner (warga austria) pada tahun 1890-an.
salt manufacturers' association: salt and the chemical revolution
aparatus yang ditampilkan pada gambar dibagi menjadi 2 jenis sel yang dipisahkan oleh dinding sabak.
sel jenis pertama, selanjutnya disebut sel bagian luar, ditampilkan di sebelah kanan dan kiri diagram, menggunakan elektrolit larutan natrium klorida, sebuah anoda grafit (a), dan sebuah katoda raksa (m).
sel jenis lain, selanjutnya disebut sel bagian tengah, ditampilkan di tengah diagram, menggunakan sebuah elektrolit larutan natrium hidroksida, sebuah anoda raksa (m), dan sebuah katoda besi (d).
perhatikan bahwa elektroda raksa dipakai bersama oleh tiga sel tersebut.
hal ini dicapai dengan membuat dinding memisahkan sel namun tetap memungkinkan raksa mengalir di bawahnya.newell, lyman c.; descriptive chemistry p. 291; d. c. heath and company, 1903
reaksi di anoda (a) adalah:
2cl  cl2 + 2e
gas klorin yang dihasilkan diventilasi keluar ke bagian atas sel bagian luar di mana gas tersebut diperoleh sebagai produk sampingan proses ini.
reaksi di katoda raksa di sel bagian luar adalah:
2na+ + 2e  2na
logan natrium yang dibentuk dari reaksi ini larut dalam raksa untuk membentuk sebuah amalgam, senyawa yang dibentuk dari reaksi raksa dengan logam lainnya.
raksa mengalirkan arus dari sel bagian luar ke sel bagian tengah.
sebagai tambahan, mekanisme penggoyangan (b ditunjukkan oleh titik tumpu di sebelah kiri dan berputar secara eksentrik di sebelah kanan) membuat raksa membawa logam natrium yang terlarut dari sel bagian luar ke sel bagian tengah.
reaksi anoda di sel bagian tengah yang terjadi di antara raksa dan larutan natrium hidroksida:
2na (amalgam)  2na+ + 2e
pada akhirnya, pada katoda besi (d) di sel bagian tengah, reaksinya adalah:
2h2o + 2e  2oh + h2
efek keseluruhan adalah konsentrasi natrium klorida di sel bagian luar berkurang dan konsentrasi natrium hidroksida di sel bagian tengah meningkat.
sewaktu proses berlangsung, beberapa larutan natrium hidroksida diambil dari sel bagian tengah sebagai produk output dan digantikan dengan air.
natrium klorida ditambah di sel bagian luar untuk menggantikan apa yang telah dielektrolisis.
paten pertama untuk mengelektrolisis air garam (brine) diberikan di inggris pada 1851 ke charles watt. prosesnya adalah sebuah cara yang tidak ekonomis untuk memproduksi natrium hidroksida karena prosesnya tidak dapat mencegah klorin yang terbentuk di larutan air garam bereaksi dengan zat lain di dalam proses tersebut.
hamilton castner menyelesaikan masalah pencampuran tersebut dengan penemuan sel raksa dan castner diberikan paten amerika serikat pada tahun 1892.
kimiawan austria, karl kellner mencapai penyelesaian masalah yang sama hampir pada waktu yang sama.
untuk mencegah konflik hukum, mereka menjadi rekan pada tahun 1895, mendirikan "perusahaan alkali castner-kellner" (castner-kellner alkali company), dan membangun pabrik di seluruh eropa yang melakukan proses castner-kellner.
proses sel raksa masih digunakan sekarang.
chemistry chronicles operasional pabrik sel raksa sekarang dikritik karena pembuangan limbah raksa chlorine plants: major, overlooked source of mercury pollution, oceana yang menyebabkan keracunan raksa seperti yang terjadi pada wabah minamata ontario, yang terjadi di ontario, kanada, pada tahun 1970.
dikarenakan hal-hal tersebut, pabrik sel raksa mulai tidak dipakai lagi, dan usaha sedang dilakukan untuk mengurangi emisi raksa dari pabrik yang masih operasional.
wcc submission to united nations environment program on reduction of mercury in the chlor-alkali sector
diagram beranimasi yang menunjukkan proses elektrolisis dengan proses ini
now a health issue