dalam matematika, konsep limit digunakan untuk menjelaskan sifat dari suatu fungsi, saat argumen mendekati ke suatu titik, atau tak hingga; atau sifat dari suatu barisan saat indeks mendekati tak hingga.
limit dipakai dalam kalkulus (dan cabang lainnya dari analisis matematika) untuk mencari turunan dan kekontinyuan.
dalam pelajaran matematika, limit biasanya mulai dipelajari saat pengenalan terhadap kalkulus, dan untuk memahami konsep limit secara menyeluruh bukan sesuatu yang mudah.
limit sebuah fungsi
berarti f(x) dapat dibuat agar mempunyai nilai sedekat mungkin dengan l dengan cara membuat nilai x dekat dengan c.
dalam contoh ini, "limit dari f(x), bila x mendekati c, adalah l". perlu diingat bahwa kalimat sebelumnya berlaku, meskipun f(c) l. bahkan, fungsi f(x) tidak perlu terdefinisikan pada titik c.
kedua contoh dibawah ini menggambarkan sifat ini.
sebagai contoh, pada saat x mendekati 2.
dalam contoh ini, f(x) mempunyai definisi yang jelas pada titik 2 dan nilainya sama dengan limitnya, yaitu 0.4:
0.41210.40120.4001 0.4 0.39980.39880.3882
semakin x mendekati 2, nilai f(x) mendekati 0.4, dan karena itu .
dalam kasus di mana , f disebut kontinyu pada x = c.
namun, kasus ini tidak selalu berlaku.
limit g(x) pada saat x mendekat 2 adalah 0.4 (sama seperti f(x)), namun ; g tidak kontinyu pada titik x = 2.
atau, bisa diambil contoh di mana f(x) tidak terdefinisikan pada titik x = c.
dalam contoh ini, pada saat x mendekati 1, f(x) tidak terdefinisikan pada titik x = 1 namun limitnya sama dengan 2, karena makin x mendekati 1, f(x) makin mendekati 2:
1.951.991.999 undef 2.0012.0102.10
jadi, x dapat dibuat sedekat mungkin dengan 1, asal bukan persis sama dengan 1, jadi limit dari adalah 2.
sebuah limit didefinisikan secara formal sebagai berikut: bila adalah fungsi yang terdefinisikan pada sebuah interval terbuka yang mengandung titik (dengan kemungkinan pengecualian pada titik ) dan adalah bilangan real, maka
berarti bahwa untuk setiap terdapat yang untuk semua di mana , berlaku .
limit sebuah fungsi pada titik tak terhingga
konsep yang berkaitan dengan limit saat x mendekati sebuah angka adalah konsep limit saat x mendekati tak terhingga, baik positif atau negatif.
ini bukan berarti selisih antara x dan tak terhingga menjadi kecil, karena tak terhingga bukanlah sebuah bilangan.
namun, artinya adalah x menjadi sangat besar (untuk tak terhingga) atau sangat kecil (untuk tak terhingga negatif).
sebagai contoh, lihat .
f(100) = 1.9802
f(1000) = 1.9980
f(10000) = 1.9998
semakin x membesar, nilai f(x) mendekati 2.
dalam contoh ini, dapat dikatakan bahwa
perhatikan barisan berikut: 1.79, 1.799, 1.7999 ... kita dapat mengamati bahwa angka-angka tersebut "mendekati" 1.8, limit dari barisan tersebut.
secara formal, misalkan x1, x2, ... adalah barisan bilangan riil.
kita menyebut bilangan riil l sebagai limit barisan ini dan menuliskannya sebagai
untuk setiap bilangan riil  > 0, terdapat sebuah bilangan asli n0 sehingga untuk semua n > n0, xn  lsecara intuitif ini berarti bahwa pada akhirnya semua elemen barisan tersebut akan mendekat sebagaimana yang kita kehendaki terhadap limit, karena nilai absolut limit barisan dan limit fungsi berkaitan erat.
pada satu sisi, limit barisan hanyalah limit pada tak terhingga dari suatu fungsi yang didefinisikan pada bilangan asli.
di sisi lain, limit sebuah fungsi f pada x, bila ada, sama dengan limit barisan xn = f(x + 1/n).
bacaan lebih lanjut