מטריצות

מטריצה היא טבלה של ערכים מספריים, על מטריצות ניתן לבצע מספר פעולות.

## סימון

מטריצות לרוב מסמנים כטבלה מוקפת בסוגריים כך:

# A

(

a

1
,
1

a

1
,
2

⋯

a

1
,
m

a

2
,
1

a

2
,
2

⋯

a

2
,
m

⋮

⋮

⋱

⋮

a

n
,
1

a

n
,
2

⋯

a

n
,
m

)

{\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}
a\_{1,1} & a\_{1,2} & \cdots & a\_{1,m}\\
a\_{2,1} & a\_{2,2} & \cdots & a\_{2,m}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a\_{n,1} & a\_{n,2} & \cdots & a\_{n,m}
\end{array}\right) }

דוגמא למטריצה בגודל 3X3:

# A

(

2

7

6

9

5

1

4

3

8

)

{\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}
2 & 7 & 6\\
9 & 5 & 1\\
4 & 3 & 8
\end{array}\right) }

## פעולות בסיסיות

ניתן לבצע שתי פעולות בסיסיות על מטריצות: חיבור וכפל בסקלר. שתיהן פועלות בדומה לוקטורים:

### חיבור

חיבור מטריצות מתבצע איבר-איבר כלומר:

(

a

1
,
1

a

1
,
2

⋯

a

1
,
m

a

2
,
1

a

2
,
2

⋯

a

2
,
m

⋮

⋮

⋱

⋮

a

n
,
1

a

n
,
2

⋯

a

n
,
m

)

(

b

1
,
1

b

1
,
2

⋯

b

1
,
m

b

2
,
1

b

2
,
2

⋯

b

2
,
m

⋮

⋮

⋱

⋮

b

n
,
1

b

n
,
2

⋯

b

n
,
m

)

=

(

a

1
,
1

b

1
,
1

a

1
,
2

b

1
,
2

⋯

a

1
,
m

b

1
,
m

a

2
,
1

b

2
,
1

a

2
,
2

b

2
,
2

⋯

a

2
,
m

b

2
,
m

⋮

⋮

⋱

⋮

a

n
,
1

b

n
,
1

a

n
,
2

b

n
,
2

⋯

a

n
,
m

b

n
,
m

)

{\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}
a\_{1,1} & a\_{1,2} & \cdots & a\_{1,m}\\
a\_{2,1} & a\_{2,2} & \cdots & a\_{2,m}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a\_{n,1} & a\_{n,2} & \cdots & a\_{n,m}
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cccc}
b\_{1,1} & b\_{1,2} & \cdots & b\_{1,m}\\
b\_{2,1} & b\_{2,2} & \cdots & b\_{2,m}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
b\_{n,1} & b\_{n,2} & \cdots & b\_{n,m}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}
a\_{1,1}+b\_{1,1} & a\_{1,2}+b\_{1,2} & \cdots & a\_{1,m}+b\_{1,m}\\
a\_{2,1}+b\_{2,1} & a\_{2,2}+b\_{2,2} & \cdots & a\_{2,m}+b\_{2,m}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a\_{n,1}+b\_{n,1} & a\_{n,2}+b\_{n,2} & \cdots & a\_{n,m}+b\_{n,m}
\end{array}\right)
 }

### כפל בסקלר

גם כפל בסקלר מתבצע על כל איבר בנפרד, כלומר:

λ

(

a

1
,
1

a

1
,
2

⋯

a

1
,
m

a

2
,
1

a

2
,
2

⋯

a

2
,
m

⋮

⋮

⋱

⋮

a

n
,
1

a

n
,
2

⋯

a

n
,
m

)

=

(

λ

a

1
,
1

λ

a

1
,
2

⋯

λ

a

1
,
m

λ

a

2
,
1

λ

a

2
,
2

⋯

λ

a

2
,
m

⋮

⋮

⋱

⋮

λ

a

n
,
1

λ

a

n
,
2

⋯

λ

a

n
,
m

)

{\displaystyle \lambda\left(\begin{array}{cccc}
a\_{1,1} & a\_{1,2} & \cdots & a\_{1,m}\\
a\_{2,1} & a\_{2,2} & \cdots & a\_{2,m}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a\_{n,1} & a\_{n,2} & \cdots & a\_{n,m}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}
\lambda a\_{1,1} & \lambda a\_{1,2} & \cdots & \lambda a\_{1,m}\\
\lambda a\_{2,1} & \lambda a\_{2,2} & \cdots & \lambda a\_{2,m}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
\lambda a\_{n,1} & \lambda a\_{n,2} & \cdots & \lambda a\_{n,m}
\end{array}\right)
 }

## כפל מטריצות

כפל מטריצות יותר מסובך, הוא מוגדר לכל שתי מטריצות שעבורן הרוחב של הראשונה שווה לגובה של השנייה והתוצאה היא מטריצה שגובהה כגובה המטריצה הראשונה ורוחבה כרוחב המטריצה השניה.

הכפל מוגדר כך: כל איבר בשורה ה

i

{\displaystyle i}

 ובעמודה ה

j

{\displaystyle j}

 במכפלה מוגדר להיות המכפלה הסקלרית של השורה ה

i

{\displaystyle i}

 במטריצה הראשונה עם העמודה ה

j

{\displaystyle j}

 במטריצה השנייה

(

a

1
,
1

a

1
,
2

⋯

a

1
,
m

a

2
,
1

a

2
,
2

⋯

a

2
,
m

⋮

⋮

⋱

⋮

a

n
,
1

a

n
,
2

⋯

a

n
,
m

)

⋅

(

b

1
,
1

b

1
,
2

⋯

b

1
,
k

b

2
,
1

b

2
,
2

⋯

b

2
,
k

⋮

⋮

⋱

⋮

b

m
,
1

b

m
,
2

⋯

b

m
,
k

)

=

(

∑

# i
1

m

(

a

1
,
i

b

i
,
1

)

⋯

∑

# i
1

m

(

a

1
,
i

b

i
,
k

)

⋮

⋱

⋮

∑

# i
1

m

(

a

n
,
i

b

i
,
1

)

⋯

∑

# i
1

m

(

a

n
,
i

b

i
,
k

)

)

{\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}
a\_{1,1} & a\_{1,2} & \cdots & a\_{1,m}\\
a\_{2,1} & a\_{2,2} & \cdots & a\_{2,m}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a\_{n,1} & a\_{n,2} & \cdots & a\_{n,m}
\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cccc}
b\_{1,1} & b\_{1,2} & \cdots & b\_{1,k}\\
b\_{2,1} & b\_{2,2} & \cdots & b\_{2,k}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
b\_{m,1} & b\_{m,2} & \cdots & b\_{m,k}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
\sum\_{i=1}^{m}(a\_{1,i}b\_{i,1}) & \cdots & \sum\_{i=1}^{m}(a\_{1,i}b\_{i,k})\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
\sum\_{i=1}^{m}(a\_{n,i}b\_{i,1}) & \cdots & \sum\_{i=1}^{m}(a\_{n,i}b\_{i,k})
\end{array}\right) }

לדוגמה:

(

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

)

⋅

(

1

2

3

4

5

6

)

=

(

1
6
15

2
8
18

4
15
30

8
20
36

7
24
45

14
32
54

10
33
60

20
44
72

)

=

(

22

28

49

64

76

100

103

136

)

{\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
7 & 8 & 9\\
10 & 11 & 12
\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cc}
1 & 2\\
3 & 4\\
5 & 6
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
1+6+15 & 2+8+18\\
4+15+30 & 8+20+36\\
7+24+45 & 14+32+54\\
10+33+60 & 20+44+72
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
22 & 28\\
49 & 64\\
76 & 100\\
103 & 136
\end{array}\right) }

## קישורים חיצוניים

https://www.youtube.com/watch?v=kYB8IZa5AuE - הסבר ויזואלי על הכפלת מטריצה בוקטור (חלק מסדרה על אלגברה לינארית)