1.1.28(d)

Explicación en video:https://youtu.be/vU4EayOufYs

Explicacion (corregida) en video https://youtu.be/-vFRuDn10Ow

Determine cuáles de los siguientes conjuntos son linealmente independientes y cuáles son linealmente dependientes. Y diga cual es una base de

R
3

{\displaystyle R3}

.(tip: no todos requieren cuentas)?

d)

{
(
1
,
0
,
−
1
)
,
(
3
,
12
,
−
3
)
,
(
0
,
−
4
,
3
)
,
(
9
,
−
3
,
10
)
}

{\displaystyle \{(1,0,-1),(3,12,-3),(0,-4,3),(9,-3,10)\}}

(

1

0

−
1

)

{\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}}

(

3

12

−
3

)

{\displaystyle {\begin{pmatrix}3\\12\\-3\end{pmatrix}}}

(

0

−
4

3

)

{\displaystyle {\begin{pmatrix}0\\-4\\3\end{pmatrix}}}

(

9

−
3

10

)

{\displaystyle {\begin{pmatrix}9\\-3\\10\end{pmatrix}}}

v

1

,

v

2

{\displaystyle v\_{1},v\_{2}}

 y

v

3

{\displaystyle v\_{3}}

 son Linealmente independiente si

a

v

1

b

v

2

c

v

3

=
0

{\displaystyle av\_{1}+bv\_{2}+cv\_{3}=0}

 solamente cuando

# c
0

{\displaystyle a=b=c=0}

Multiplicaremos los vectores por un escalar y por la regla anterior la suma de el resultado debería dar 0

a

(

1

0

−
1

)

{\displaystyle a{\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}+}

b

(

3

12

−
3

)

{\displaystyle b{\begin{pmatrix}3\\12\\-3\end{pmatrix}}+}

c

(

0

−
4

3

)

{\displaystyle c{\begin{pmatrix}0\\-4\\3\end{pmatrix}}+}

d

(

9

−
3

10

)

=

{\displaystyle d{\begin{pmatrix}9\\-3\\10\end{pmatrix}}=}

(

0

0

0

)

{\displaystyle {\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}}

El resultado de la multiplicación quedaría de esta manera:

(

a
3
b
9
d

12
b
−
4
c
−
3
d

−
a
−
3
b
3
c
10
d

)

=

{\displaystyle {\begin{pmatrix}a+3b+9d\\12b-4c-3d\\-a-3b+3c+10d\end{pmatrix}}=}

(

0

0

0

)

{\displaystyle {\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}}

Entonces obtenemos un sistema de ecuaciones, el cual lo resolveremos con el metodo de Gauss:

a
3
b
9
# d
0

{\displaystyle a+3b+9d=0}

 \\

12
b
−
4
c
−
3
# d
0

{\displaystyle 12b-4c-3d=0}

 \\

−
a
−
3
b
3
c
10
# d
0

{\displaystyle -a-3b+3c+10d=0}

Archivo:1.1.28.pdf

El resultado nos quedaría de esta manera, así que para obtener los valores que buscamos simplemente despejamos a, b y c

a

41
12

# d
0

{\displaystyle a+{\frac {41}{12}}d=0}

b

67
36

# d
0

{\displaystyle b+{\frac {67}{36}}d=0}

c

19
3

# d
0

{\displaystyle c+{\frac {19}{3}}d=0}

Quedarían de esta manera, así que ahora solo resta cambiar los valores por los que obtuvimos anteriormente:

# a

−
41

12

d

{\displaystyle a={\frac {-41}{12}}d}

# b

−
67

36

d

{\displaystyle b={\frac {-67}{36}}d}

# c

−
19

3

d

{\displaystyle c={\frac {-19}{3}}d}

Ahora podemos ver que todos los demás exponentes dependen del valor de d, esto quiere decir que el sistema tiene infinitas soluciones, lo que la convierte en un conjunto linealmente dependiente

−
41

12

(

1

0

−
1

)

{\displaystyle {\frac {-41}{12}}{\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}+}

−
67

36

(

3

12

−
3

)

{\displaystyle {\frac {-67}{36}}{\begin{pmatrix}3\\12\\-3\end{pmatrix}}+}

−
19

3

(

0

−
4

3

)

{\displaystyle {\frac {-19}{3}}{\begin{pmatrix}0\\-4\\3\end{pmatrix}}+}

1

(

9

−
3

10

)

=

{\displaystyle 1{\begin{pmatrix}9\\-3\\10\end{pmatrix}}=}

(

0

0

0

)

{\displaystyle {\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}}

(

−
41

12

0

41
12

)

{\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {-41}{12}}\\0\\{\frac {41}{12}}\end{pmatrix}}+}

(

−
67

12

−
67

3

67
12

)

{\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {-67}{12}}\\{\frac {-67}{3}}\\{\frac {67}{12}}\end{pmatrix}}+}

(

0

76
3

−
19

)

{\displaystyle {\begin{pmatrix}0\\{\frac {76}{3}}\\-19\end{pmatrix}}+}

(

9

−
3

10

)

=

{\displaystyle {\begin{pmatrix}9\\-3\\10\end{pmatrix}}=}

(

0

0

0

)

{\displaystyle {\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}}

Ahora lo que haremos será multiplicar el valor de d por 2, y podremos ver algo interesante:

Ahora hay una forma más sencilla para poder saber si en este caso seria linealmente independiente o linealmente dependiente, eso es debido a un teorema que dice lo siguiente:

Si un conjunto de vectores

v

1

,

v

2

,
.
.
.
,

v

k

{\displaystyle v\_{1},v\_{2},...,v\_{k}}

 es linealmente independiente en

R

n

{\displaystyle R^{n}}

 entonces

k
≤
n

{\displaystyle k\leq n}

. Equivalentemente, todo conjunto en

R

n

{\displaystyle R^{n}}

con mas de n vectores es linealmente dependiente

Ahora lo demostraremos por contradicción suponiendo que el teorema anterior es falso.

Supongamos que

k
>
n

{\displaystyle k>n}

.Por lo que la matriz formada por

[

v

1

,

v

2

,
.
.
.
,

v

k

]

{\displaystyle [v\_{1},v\_{2},...,v\_{k}]}

 tendrá mas columnas que renglones. Así al ser reducida no podrá tener más de n pivotes, es decir el número de pivotes no será k. Por lo tanto el conjunto de vectores no será linealmente independiente; será linealmente dependiente.