ANÁLISIS COMBINATORIO

**I. Principio de Multiplicación:**

Si el suceso “A” se puede realizar de “p” maneras y el suceso B se puede realizar de “q” maneras entonces los sucesos A y B se pueden realizar en forma conjunta de  maneras siempre que se efectué uno después del otro.

**Nota:** Este principio se puede generalizar para más de sucesos.

***Ejemplo 1***

Un artículo debe pasar por 3 controles de calidad, en cada uno se inspecciona cierta particularidad y se anota su conformidad; en el primer control hay 3 exámenes y en los otros dos hay 4 exámenes en cada uno.

¿De cuántas maneras se puede controlar la calidad a su producto?

Si el suceso A Puede realizarse de “p” maneras y el suceso B de “q” maneras, entonces el suceso A o el suceso B se pueden realizar de (p+q) maneras.

**Nota:** Para que se cumpla el principio de adición se debe verificar que no sea posible por los sucesos A y B ocurran juntos.

***Ejemplo 2***

Proyectamos un viaje y decidimos ir en tren o en ómnibus, si hay tres rutas para el tren y 2 para el ómnibus. ¿Cuántos números tenemos para decidir nuestro viaje?

Se puede realizar el suceso A o el suceso B de “p+q” maneras

***Rpta.***

**VARIACIÓN:**

Supongamos un conjunto de “n” elementos de los cuales tomamos “r”  elementos tales que  y ordenamos estos “r” elementos de cualquier forma, tenemos así una variación de “n” elementos tomando “r” a la vez ( de “r” en “r” )

Las variaciones serían

Si tomamos de 2 en 2; r=2

Se tiene:

Si tomamos de 3 en 3; r=3

Se tiene:

Número de variaciones

Calcular el número de palabras de 3 letras diferentes que pueden formarse con las letras.

a, b, c, d, e, f

Donde cada casillero  representa una letra de los posibles que se pueden hacer. En el primer casillero tenemos 6 posibilidades una por cada una de las letras que dispongo.

               En el segundo casillero 5 , pues no se pueden repetir en el primer casillero por condición del problema y en el tercer casillero tenemos 4 posibilidades, ya que no se pueden utilizar aquellas letras puestas en los casilleros anteriores.

***Rpta.***

**Método Alternativo:**

Lo que ase pide en el problema es calcular:

**PERMUTACIONES**

Son aquellas sucesiones de tipo:

en donde

***Ejemplo 1:***

De cuantas manera se pueden sentarse 5 personas en 5 asientos uno a continuación del otro.

***Ejemplo 2:***

Cuantas palabras de 4 letras se puede hacer con las letras a, b, c, d.

***Resolución***

**PERMUTACIÓNES CON REPETICIÓN**

En donde:

**Ejemplo 01**

Cuantas palabras de 5 letras se puede hacer con las letras de la palabra BABAS

**Resolución:**

( la letra “A” se repite 2 veces)

(la letra “B” se repite 2 veces)

**Ejemplo 02**

Calcular cuantas palabras de 7 letras se puede formar con las letras de la palabra ROBERTO.

**Resolución:**

**PRUEBAS ORDENADAS**

Experimentos en los cuales de un conjunto dado extraemos objetos uno después de otro con los cuales realizamos cierta ordenación.

**A) Con Sustitución:** De un conjunto inicial de “n” elementos, sacamos un objeto y luego de anotarlo, lo regresamos al conjunto de cuantas maneras puedo extraer “r” elementos.

***Resolución:***

Cada elemento se puede sacar de “n” maneras por lo que los “r” elementos se podrán sacar de “n” maneras.

**B) Sin Sustitución:** De un conjunto inicial de “n” elementos sacamos un objeto y no lo volvemos a introducir en el conjunto. ¿De cuántas maneras se pueden sacar “r” elementos?

***Resolución:***

El primer elemento se puede sacar de “n” maneras, el segundo de  maneras, el tercero de  y asi sucesivamente, el último se pude sacar de  maneras de tal manera que los “r” elementos se puede sacar de:

Por lo que:

**PERMUTACIÓN CIRCULAR**

El número de permutaciones que hacen “n” elementos alrededor de un círculo es .

**Ejemplo:**

De cuantas maneras pueden sentarse 5 personas alrededor de una mesa circular.

**COMBINACIONES**

Si tenemos un conjunto de “n” elementos de los cuales tomamos “r” tendremos  un subconjunto al cual se llamará una combinación de “n” elementos tomados de “r” en “r”.

**Nota:** La diferencia entre combinaciones y variaciones, está en que las primeras se diferencian por sus elementos y las segundas por el orden de los mismos.

**Ejemplo:** Dado el conjunto

Calcular las variaciones y las combinaciones de los elementos de “A” tomando 3 a la vez

abc ; abd ; acd ; bcd

Dos condiciones son diferentes sólo si difieren por lo menos en un elemento.

Variaciones:

abc,acb,bac,bca,cab,cba,aba,adb,bad,bda,dab,dba,acd,adc,cad,cda,dac,dca,bcd,bdc,cbd,cdb,dbc,dcb.

Si cambiamos el orden de los elementos se puede decir de una variación distinta de la anterior.

Nótese que:

Fórmula para calcular el número de combinaciones de “m” elementos tomados “n” a la vez. O expresado de otra manera:

Así por ejemplo:

Números combinatorios complementan, esto al observar los ejemplos anteriores.

Es decir, buscando una relación

En general se puede afirmar:

Para que se pueda demostrar fácilmente expresando cada número combinatorio en función de sus factoriales.

Ejemplo: Calcular:

Tenemos una urna con 7 bolas numeradas y se quiere saber de cuantas maneras podemos sacar primero 2 bolas, luego 3 y finalmente 2.

***Ejemplo:***

Se saca de una urna que contiene 7 bolas numeradas, primero 2, luego 3 bolas, una a continuación de otra y luego finalmente 2. De cuantas maneras puede realizarse este suceso.

***Resolución:***

Respecto a las primeras 2 bolas no se dice que se saque una a continuación de otra, luego supondremos que se sacan 3 una a continuación de otra, por lo que tendremos que si importa el orden en que se saquen demaneras, después del suceso quedan 2 bolas en la urna las que entendemos se sacaran a la vez por lo que este suceso se puede realizar de maneras, luego será:

Se tiene una urna de 5 bolas numeradas de cuantas maneras  se puede extraer por lo menos una bola.