1.2c

2. Calcule las siguentes integrales de manera exacta por medio de su relación con el volumen (no use iteradas).

 c)

∬

R

π
d
A

 con

# R
[
−
2
,
0
]
×
[
−
3
,
0
]

{\displaystyle \iint \_{R}\pi dA{\text{ con }}R=[-2,0]\times [-3,0]}

 Usando la Definición 5 del libro de Stewart en la página 832 tenemos que

∬

R

f
(
x
,
y
)
d
# A

lim

m
,
n
→
∞

∑

# i
1

m

∑

# j
1

n

f
(

x

i
j

∗

,

y

i
j

∗

)
Δ
A

{\displaystyle \iint \_{R}f(x,y)dA=\lim \_{m,n\to \infty }\sum \_{i=1}^{m}\sum \_{j=1}^{n}f(x\_{ij}^{\*},y\_{ij}^{\*})\Delta A}

 Por lo que se puede sustituir

f
(
x
,
y
)

{\displaystyle f(x, y)}

 con

π

{\displaystyle \pi }

 y obtenemos:

lim

m
,
n
→
∞

∑

# i
1

m

∑

# j
1

n

π
Δ
A

{\displaystyle \lim \_{m,n\to \infty }\sum \_{i=1}^{m}\sum \_{j=1}^{n}\pi \Delta A}

 Sabemos que

Δ
A

{\displaystyle \Delta A}

 equivale a

Δ
x
Δ
y

{\displaystyle \Delta x\Delta y}

 y además:

Δ
# x

(
b
−
a
)

m

{\displaystyle \Delta x={\frac {(b-a)}{m}}}

 con valores

a
,
b

{\displaystyle a, b}

siendo los valores de

[
−
2
,
0
]

{\displaystyle [-2,0]}

respectivamente.

Δ
# y

(
d
−
c
)

n

{\displaystyle \Delta y={\frac {(d-c)}{n}}}

 con valores

c
,
d

{\displaystyle c,d}

 siendo los valores de

[
−
3
,
0
]

{\displaystyle [-3,0]}

respectivamente.

∴
Δ
# x

0
−
(
−
2
)

m

=

2
m

,
Δ
# y

0
−
(
−
3
)

n

=

3
n

{\displaystyle \therefore \Delta x={\frac {0-(-2)}{m}}={\frac {2}{m}},\Delta y={\frac {0-(-3)}{n}}={\frac {3}{n}}}

 Por lo que

Δ
x
Δ
# y

2
m

⋅

3
n

=

6

m
n

{\displaystyle \Delta x\Delta y={\frac {2}{m}}\cdot {\frac {3}{n}}={\frac {6}{mn}}}

∴
Δ
# A

6

m
n

{\displaystyle \therefore \Delta A={\frac {6}{mn}}}

 Por lo anterior tenemos:

lim

m
,
n
→
∞

∑

# i
1

m

∑

# j
1

n

π

6

m
n

=

lim

m
,
n
→
∞

π

∑

# i
1

m

6
n

m
n

{\displaystyle \lim \_{m,n\to \infty }\sum \_{i=1}^{m}\sum \_{j=1}^{n}\pi {\frac {6}{mn}}=\lim \_{m,n\to \infty }\pi \sum \_{i=1}^{m}{\frac {6n}{mn}}}

=

lim

m
,
n
→
∞

π

6
m
n

m
n

{\displaystyle =\lim \_{m,n\to \infty }\pi {\frac {6mn}{mn}}}

=

lim

m
,
n
→
∞

6
π

{\displaystyle =\lim \_{m,n\to \infty }6\pi }

=
6
π

{\displaystyle =6\pi }

 Verificamos:

 Sabemos que para cada

Δ
# A
1

{\displaystyle \Delta A=1}

 el volumen equivale a

π

{\displaystyle \pi }

 Si

# m
2

{\displaystyle m = 2}

 y

# n
3

{\displaystyle n = 3}

Δ
# A

6

m
n

=

6

2
⋅
3

=
1

{\displaystyle \Delta A={\frac {6}{mn}}={\frac {6}{2\cdot 3}}=1}

 por lo que el volumen total será la suma de

z
Δ
A

{\displaystyle z\Delta A}

m
n

{\displaystyle mn}

veces. (Son

m
n

{\displaystyle mn}

particiones).

 Como

z

{\displaystyle z}

 es constante

(
π
)

{\displaystyle (\pi) }

 el resultado de

f
(
x
,
y
)

{\displaystyle f(x, y)}

siempre va a ser

π

{\displaystyle \pi }

 Por lo anterior,

z
Δ
# A
π

{\displaystyle z\Delta A=\pi }

y como

m
# n
6

{\displaystyle mn=6}

, el volumen total es de

6
π

{\displaystyle 6\pi}

 Ahora si

# m
4

{\displaystyle m=4}

y

# n
6

{\displaystyle n = 6}

 entonces

Δ
# A

6

m
n

=

6

4
⋅
6

=
0.25

{\displaystyle \Delta A={\frac {6}{mn}}={\frac {6}{4\cdot 6}}=0.25}

    Usando lo anterior, tenemos

z
Δ
# A
0.25
π

{\displaystyle z\Delta A=0.25\pi }

y como

m
# n
24

{\displaystyle mn=24}

, el volumen total es

0.25
π
⋅
# 24
6
π

{\displaystyle 0.25\pi \cdot 24=6\pi }

Una representación gráfica del cálculo geométrico por volumen seria así ->

 Por lo que se puede observar, la base tiene un volumen de

Δ
# A
2
⋅
# 3
6

{\displaystyle \Delta A=2\cdot 3=6}

y como la altura

f
(
x
,
y
# )
π

{\displaystyle f(x,y)=\pi }

el volumen se concluye como

z
Δ
# A
6
π

{\displaystyle z\Delta A=6\pi }