נגזרת

**נגזרת** היא אופרטור המופעל על פונקציה ונותן את השיפוע שלה בכל נקודה כפונקציה. הוא מתאר את **קצב השינוי** של הפונקציה ביחס למשתנה שלה. פיזיקה, בשל היותה מתארת תהליכים שיש בהם שינוי, משתמשת באופן טבעי בנגזרות ע"מ לתאר תופעות וחוקי טבע רבים, כך שחשוב להכיר ולהבין טוב את משמעות הנגזרת.

## הגדרת הנגזרת ואינטואיציה

### אינטואיציה

בהנתן פונקציה

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}

, ניתן לדבר על פונקציה אחרת

f
′

(
x
)

{\displaystyle f'(x)}

 המתארת את **שיפוע המשיק לפונקציה**

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}

 **בכל נקודה.** פונקציה זו (הנקראת **פונקציית הנגזרת**) מתארת בעצם את קצב השינוי של הפונקציה - עד כמה הפונקציה

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}

משתנה כשמשנים את

x

{\displaystyle x}

. הנגזרת תהיה גדולה באיזורים תלולים של הפונקציה, היכן ששינוי קטן ב-

x

{\displaystyle x}

 גורר שינוי גדול ב-

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}

, וקטנה באיזורים המתונים יותר. היא תהיה חיובית היכן שהפונקציה עולה, כיוון שבאיזורים אלו שינוי חיובי ב-

x

{\displaystyle x}

 גורר שינוי חיובי ב-

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}

 (ולהיפך), ושלילית היכן שהפונקציה יורדת.

### הגדרת הנגזרת

הנגזרת של פונקציה

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}

 מוגדרת כך:

f
′

(
x
# )

lim

h
→
0

f
(
x
h
)
−
f
(
x
)

h

{\displaystyle f'(x)=\lim\_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} }

כלומר הגבול של השיפוע בין הנקודה

x

{\displaystyle x}

 לנקודה אחרת, כשמשאיפים את המרחק בין הנקודות ל-

0

{\displaystyle 0}

.

מה זה אומר בכלל?

ניתן עבור שתי נקודות שונות לשאול מה שיפוע הפונקציה ביניהן. לדוגמא, עבור הנקודות

x

{\displaystyle x}

 ו

x
h

{\displaystyle x + h}

 השיפוע הוא

f

(

x
h

)

−
f

(
x
)

h

{\displaystyle \frac{ f \left ( x+h \right ) -f \left ( x \right ) }{h}}

.

אינטואיטיבית ככל ש

h

{\displaystyle h}

 קטן יותר והנקודות קרובות יותר, התוצאה תתקרב יותר ויותר לשיפוע האמיתי של הפונקציה בנקודה

x

{\displaystyle x}

.

נהוג לסמן גם

d
f

(
x
)

d
x

{\displaystyle \frac{df \left ( x \right ) }{dx}}

 או בקיצור

d
f

d
x

{\displaystyle \frac{d f}{d x}}

 , כאשר

d

{\displaystyle d}

 מסמל "שינוי קטן ב-", כלומר היחס בין שינוי קטן בערך הפונקצייה לבין שינוי קטן במשתנה

x

{\displaystyle x}

.

## נגזרות חשובות

הנה כמה נגזרות שחשוב להכיר:

f
(
x
# )

x

n

⇒

f
′

(
x
# )
n

x

n
−
1

{\displaystyle f(x)=x^{n}\Rightarrow f'(x)=nx^{n-1} }

f
(
x
# )

e

x

⇒

f
′

(
x
# )

e

x

{\displaystyle f(x)=e^{x}\Rightarrow f'(x)=e^{x} }

f
(
x
# )
ln
⁡
(
x
)
⇒

f
′

(
x
# )

1
x

{\displaystyle f(x)=\ln(x)\Rightarrow f'(x)=\frac{1}{x} }

f
(
x
# )
sin
⁡
(
x
)
⇒

f
′

(
x
# )
cos
⁡
(
x
)

{\displaystyle f(x)=\sin(x)\Rightarrow f'(x)=\cos(x) }

f
(
x
# )
cos
⁡
(
x
)
⇒

f
′

(
x
# )
−
sin
⁡
(
x
)

{\displaystyle f(x)=\cos(x)\Rightarrow f'(x)=-\sin(x) }

f
(
x
# )
tan
⁡
(
x
)
⇒

f
′

(
x
# )

1

cos

2

⁡
(
x
)

{\displaystyle f(x)=\tan(x)\Rightarrow f'(x)=\frac{1}{\cos^{2}(x)} }

(

x
n

)
′

=
n

x

n
−
1

{\displaystyle (x^n)' = nx^{n-1}}

. את ההוכחות לזהות הזאת ולכל השאר אפשר למצוא בקלות באינטרנט, ואין צורך להכיר אותן עבור האולימפיאדה.

## חוקי נגזרות

קיימים חוקים שמאפשרים לחשב נגזרות מורכבות, לפי נגזרות פשוטות יותר.

### חיבור

עבור שתי פונק'

f

{\displaystyle f}

 ו

g

{\displaystyle g}

 מתקיים

(
f
g

)
′

=

f
′

g
′

{\displaystyle (f+g)'=f'+g' }

### כפל בסקלר

עבור פונק'

f

{\displaystyle f}

 וסקלר

λ

{\displaystyle \lambda}

 מתקיים

(
λ
f

)
′

=
λ
(

f
′

)

{\displaystyle (\lambda f)'=\lambda(f') }

### כפל

עבור שתי פונק'

f

{\displaystyle f}

 ו

g

{\displaystyle g}

 מתקיים

(
f
⋅
g
# )
f
⋅

g
′

f
′

⋅
g

{\displaystyle (f\cdot g)=f\cdot g'+f'\cdot g }

### הרכבה

עבור שתי פונק'

f

{\displaystyle f}

 ו

g

{\displaystyle g}

 מתקיים

(
f
∘
g

)
′

=
(

f
′

∘
g
)
⋅

g
′

{\displaystyle (f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g' }

כאשר

(
f
∘
g
)
(
x
# )
f
(
g
(
x
)
)

{\displaystyle (f \circ g)(x)=f(g(x))}

## אינטואיציה לחוקי נגזרות

(הערה: מוסבר בצורה טובה יותר בלינק שיש למטה. מוזמנים לראות)

### חיבור

דמיינו מוט באורך

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}

 שבקצה שלו מחובר מוט באורך

g
(
x
)

{\displaystyle g(x)}

 .

אם כעבור

d
x

{\displaystyle dx}

 ,

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}

 גדלה ב

d
f

{\displaystyle df}

 ו

g
(
x
)

{\displaystyle g(x)}

 גדלה ב

d
g

{\displaystyle dg}

 אז קל לראות ש

d
(
f
(
x
)
g
(
x
)
(

d
x

=

d
f

d
x

d
g

d
x

{\displaystyle \frac{d(f(x)+g(x)(}{dx} = \frac{df}{dx} + \frac{dg}{dx}}

.

### כפל בסקלר

דמיינו מלבן עם אורך צלע אחת שווה ל

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}

 וצלע שנייה עם אורך

λ

{\displaystyle \lambda}

.

הנגזרת של המכפלה היא בעצם היחס בין השינוי בשטח המלבן לבין שינוי (מזערי) בשתנה שלפיו גוזרים. קל לראות שאם הפונקצייה גדלה ב

d
f

{\displaystyle df}

 עבור כל יחידת שינוי של

d
x

{\displaystyle dx}

 אז שטח המלבן גדל ב

λ
⋅
d
f

{\displaystyle \lambda \cdot df}

 עבור כל

d
x

{\displaystyle dx}

 כלומר

d
(
λ
⋅
f
(
x
)
)

d
x

=
λ
⋅

d
f

d
x

{\displaystyle \frac{d (\lambda \cdot f(x))}{dx} = \lambda\cdot \frac{df}{dx}}

 .

### כפל

דמיינו מלבן עם צלעות באורכים

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}

ו

g
(
x
)

{\displaystyle g(x)}

.

הנגזת של מכפלת הפונקציות היא בעצם הנגזרת של שטח המלבן. כעבור

d
x

{\displaystyle dx}

 המלבן נהיה בגודל

(
f
(
x
)
d
f
)
(
g
(
x
)
d
g
)

{\displaystyle (f(x)+df)(g(x)+dg)}

. רצוי לחשוב על הגודל הזה כסכום השטחים של 4 מלבנים (תציירו את המלבנים ואת השינויים לכל אחת מהצלעות). את הגודל

d
f
⋅
d
g

{\displaystyle df\cdot dg}

 ניתם להזניח בגלל שהוא מכיל מכפלה של שני גדלים ממש קטנים והגודל

f
(
x
)
⋅
g
(
x
)

{\displaystyle f(x) \cdot g(x)}

 מתבטל עם הגודל המקורי (אנחנו מחפשים את השינוי). לכן מה שנשאר הוא:

d
(
f
(
x
)
⋅
g
(
x
)
)

d
x

=
g
(
x
)

d
f

d
x

f
(
x
)

d
g

d
x

{\displaystyle \frac{d(f(x)\cdot g(x))}{dx} = g(x)\frac{df}{dx} + f(x)\frac{dg}{dx}}

.

### הרכבה

כשאנחנו רוצים לחשב את הנגזרת של פונקצייה מורכבת כמו נניח

# f

e

x
2

{\displaystyle f = e^{x^2}}

.

בעצם אפשר לחשוב על תהליך הגזירה כמורכב משני חלקים: כמה משתנה הפונקצייה

e

x
2

{\displaystyle e^{x^2}}

 ביחס לשינוי ב

x
2

{\displaystyle x^2 \ }

 וכמה משתנה

x
2

{\displaystyle x^2 \ }

 ביחס לשינוי ב

x

{\displaystyle x}

.

בשביל הפורמאליזם של הדוגמא נסמן את

x
2

{\displaystyle x^2 \ }

 באות

z

{\displaystyle z}

.

עכשיו קל לראות ש

d

e
z

d
z

=

e
z

{\displaystyle \frac{d e^z}{dz} = e^z}

. לאחר שגילינו איך הפונקציה משתמה ביחס ל

z

{\displaystyle z}

 צריך להכפיל את קצב השינוי הזה בקצב השינוי של

z

{\displaystyle z}

 ביחס ל

x

{\displaystyle x}

.

d
z

d
x

=

d

x
2

d
x

=
2
x

⟹

d
f

d
x

=

e

x
2

⋅
2
x

{\displaystyle \frac{dz}{dx} = \frac{d x^2}{dx} = 2x \implies \frac{df}{dx} = e^{x^2} \cdot 2x}

.

באופן כללי אפשר לכתוב ש

d
f
(
g
(
x
)
)

d
x

=

d
f
(
g
(
x
)
)

d
g
(
x
)

⋅

d
g
(
x
)

d
x

{\displaystyle \frac{d f(g(x))}{dx} = \frac{d f(g(x))}{d g(x)} \cdot \frac{d g(x)}{dx}}

.

## נגזרות חלקיות

נגזרת חלקית היא פשוט הנגזרת של פונקציה לפי פרמטר אחד, כאשר מקבעים את כל השאר, זו כמובן פונקציה מאותו סוג (מס מימדים בפרמטרים ובתוצאה).

נגזרת חלקית מסומנת כך:

∂
f
(
x
,
y
,
z
)

∂
y

{\displaystyle \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial y} }

 היא הנגזרת החלקית של

f

{\displaystyle f}

 לפי

y

{\displaystyle y}

דוגמה:

∂

∂
z

(

x

2

2
x
z

y

z

−
300
z

)

=
2
x
ln
⁡
(
y
)
⋅

y

z

−
300

{\displaystyle \frac{\partial}{\partial z}\left(x^{2}+2xz+y^{z}-300z\right)=2x+\ln(y)\cdot y^{z}-300 }

## קישורים חיצוניים

https://www.youtube.com/watch?v=S0\_qX4VJhMQ&index=3&list=PLZHQObOWTQDMsr9K-rj53DwVRMYO3t5Yr - אינטואיציה לכמה מחוקי הנגזרות (חלק מסדרה על חשבון דפרנציאלי ואינטגרלי)