Ірраціональні числа

**Ірраціональні числа** — числа, що не є раціональними, тобто не можуть бути виражені відношенням цілих чисел. Таким чином, ірраціональні числа утворюють множину

I

=

R

∖

Q

{\displaystyle \mathbb I =\R\backslash \mathbb Q}

, де

R

{\displaystyle \R}

 — множина дійсних чисел, а

Q

{\displaystyle \mathbb{Q}}

 — множина раціональних чисел.

Уперше виникли в геометрії при вивченні довжин. Геометрично ірраціональне число виражає собою довжину відрізка, неспільномірного з відрізком одиничної довжини. За легендою, піфагорці відкрили несумірність деяких геометричних величин, але оскільки це суперечило їх філософії, цілком побудованій на натуральних числах, вони утримували це відкриття у найсуворішій таємниці і навіть покарали[1] одного з членів свого братства, який (за різними джерелами) чи першим знайшов, чи розголосив цей факт.

## Відмінності в записі раціональних та ірраціональних чисел

Раціональні числа при записі їх у десятковий дріб мають періодично повторювану частину. Наприклад,

1
3

=
0
,
(
3
)

{\displaystyle {1 \over 3}=0,(3)}

, де

(
3
)

{\displaystyle (3)}

 означає, що трійка повторюється нескінчену кількість раз, довжина періоду — один.

22
7

=
3
,
(
142857
)

{\displaystyle {22 \over 7}=3,(142857)}

, довжина періоду — шість.
Періодичність дробу можна вважати за критерій приналежності числа до раціональних чисел. При розкладанні ірраціональних чисел у десятковий дріб не спостерігається такої періодичності. Наприклад, відомо, що число пі

# π
3
,
1415926
…

{\displaystyle \pi =3,1415926\ldots }

 — ірраціональне, і навіть трансцендентне. Тому, хоча в його десятковому записі окремі цифри та комбінації цифр повторюються, **не існує** групи цифр, яка б нескінченно повторювалася, утворюючи період.

Існує інший спосіб задання додатних дійсних чисел: за допомогою ланцюгових дробів. У цьому разі, різниця між раціональними та ірраціональними числами полягає в тому, що ланцюгові дроби раціональних чисел скінченні, а ірраціональних нескінченні, хоча для квадратичних ірраціональностей ланцюговий дріб періодичний.

**Приклади**.

355
113

=
3

1

7

1

16

,

{\displaystyle {\frac {355}{113}}=3+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{16}}}},}

скінченний;

2

=
1

1

2

1

2

1

2
…

=
[
1
;
2
,
2
,
2
…
# ]
[
1
;
(
2
)
]
,

{\displaystyle {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ldots }}}}}}=[1;2,2,2\ldots ]=[1;(2)],}

з періодом довжини один;

3

=
1

1

1

1

2

1

1

1

2
…

=
[
1
;
1
,
2
,
1
,
2
…
# ]
[
1
;
(
1
,
2
)
]

{\displaystyle {\sqrt {3}}=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+\ldots }}}}}}}}=[1;1,2,1,2\ldots ]=[1;(1,2)]}

,
з періодом довжини два;

# π
3

1

7

1

15

1

1

1

292
…

=
[
3
;
7
,
15
,
1
,
292
,
1
,
1
,
1
,
2
,
…
]

{\displaystyle \pi =3+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{15+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{292+\ldots }}}}}}}}=[3;7,15,1,292,1,1,1,2,\ldots ]}

(A001203 в енциклопедії цілих послідовностей) — неперіодичний.

## Філософське значення

Про існування неспівмірних відрізків знали вже древні математики: їм була відома, наприклад, неспівмірність діагоналі та сторони квадрата, що рівносильно ірраціональності числа

2

{\displaystyle \sqrt{2}}

 (перше знайдене ірраціональне число).

Піфагорове твердження, що всі речі є числа, відображало метафізичні уявлення стародавніх греків. Всесвіт є місцем гармонії, а гармонію, в свою чергу, можна описати відношенням натуральних чисел. Так поєднання двох звуків, відношення частот яких є раціональне число, дає приємне для вуха звучання. Відкриття того, що довжина діагоналі квадрата зі сторонами довжиною 1, тобто

2

≈
1
,
4142135

{\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1,4142135}

, не є раціональним числом, призвело до глибокої кризи давньогрецької математики.

Криза полягала в усвідомлені факту існування математичних величин, які не можуть бути виражені числами. Але ті самі математичні величини можуть бути виражені через геометричні побудови. Як наслідок — давньогрецька математика відмовилась від алгебраїчного підходу, на користь геометричного.

## Властивості

* Всяке дійсне число може бути записане нескінченим десятковим дробом, при цьому ірраціональні числа і тільки вони записуються неперіодичними десятковими дробами.
* Кожне ірраціональне число визначає такий переріз Дедекінда у множині раціональних чисел, для якого в нижньому класі немає найбільшого, а у верхньому класі немає найменшого раціонального числа.
* Кожне ірраціональне число є або алгебраїчним, або трансцендентним, а кожне трансцендентне число є ірраціональним.
* Множина ірраціональних чисел скрізь щільна на числовій прямій, тобто між будь-якими двома дійсними (і навіть раціональними) числами є ірраціональне число (і навіть нескінченно багато ірраціональних чисел).
* Множина ірраціональних чисел — незліченна множина другої категорії.

### Топологічні властивості

Підпростір

R

∖

Q

{\displaystyle \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}}

 евклідового простору

R

{\displaystyle \R}

 має наступні властивості:

* R

{\displaystyle \R}

\

Q

{\displaystyle \mathbb{Q}}

 є Gδ-множиною, але не Fσ-множиною в

R

{\displaystyle \R}

. Фактично,

R
∖

Q

=

⋂

α
∈
Q

(
R
∖
{
α
}
)

{\displaystyle R\setminus \mathbb {Q} =\bigcap \_{\alpha \in Q}(R\setminus \{\alpha \})}

.
* Евклідова метрика перетворює

R

∖

Q

{\displaystyle \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}}

 на метричний простір. Тому

R

∖

Q

{\displaystyle \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}}

 є цілком нормальним та паракомпактним.
* Повний метричний простір

R

{\displaystyle \R}

\

Q

{\displaystyle \mathbb{Q}}

 є простором другої категорії.
* R

{\displaystyle \R}

\

Q

{\displaystyle \mathbb{Q}}

 сепарабельний, бо ірраціональні числа π+q, де

q
∈

Q

{\displaystyle q\in \mathbb {Q} }

 утворюють скрізь щільну множину в

R

∖

Q

{\displaystyle \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}}

.
* R

{\displaystyle \R}

\

Q

{\displaystyle \mathbb{Q}}

 задовольняє другу аксіому зліченності.
* R

{\displaystyle \R}

\

Q

{\displaystyle \mathbb{Q}}

 не локально-компактний і не σ-локально компактний.
* R

{\displaystyle \R}

\

Q

{\displaystyle \mathbb{Q}}

 цілком відокремлений.
* R

{\displaystyle \R}

\

Q

{\displaystyle \mathbb{Q}}

 щільний у собі.
* R

{\displaystyle \R}

\

Q

{\displaystyle \mathbb{Q}}

 не розсіяний.
* R

{\displaystyle \R}

\

Q

{\displaystyle \mathbb{Q}}

 нульвимірний.

Версія № 2171