Система координат (Альфiйська)

**Альфíйська систéма координа́т** - система координат, яка була розроблена гравцем AlPhAE у вересні 2019, і є загальноприйнятою на сервері. Складається з широти, довготи і висоти, подібно загальноприйнятій в реальному світі системі координат.

## **Широта**

**Широта́** - координатна вісь, що збігається з координатною віссю z в грі. На відміну від осі z, альфiйська система координат зумовлює спосіб вимірювання широти таким чином, що її значення не перевищують *0.01\*z*. Дана формула сприяє полегшеному взаємодії гравця з координатами світу, допомагаючи йому уникати тисячні і мільйонні значення. Таким чином,

```

 Φ

 =

 Z

 o
 g

 100

 {\displaystyle \Phi ~ = ~ \frac{Z\_{og}}{100}}

```

де *Ф* - широта, *Z* - координати осi z.

Дана інтерпретація широти не може бути цілим числом, так як в протилежному випадку, приведення значення широти до цілого числа могло б сильно вплинути на точність вимірювання координати, особливо, якщо координата по z приймає мільйонні значення.

Наведемо приклад. Припустимо, ви побудували будинок на координаті -1500 по z. Тоді, значення його широти буде *Ф* = -1500/100 = -15,00.

Таким чином, межа світу в 30 000 001,5 блоків матиме значення широти *Ф* = 300 000,015 на пiвночi і стільки ж на пiвднi. Наявність сторін світа в грі дозволяє розділити широту на північну і пiвденну, тобто абревіатура пн. ш. буде використовуватися, якщо *Ф* приймає від'ємні значення, а пд.ш. - якщо позитивні. Це також дозволяє зробити вибір - або використовувати мінус, або використовувати тільки позитивні значення, при цьому вказуючи пн. ш. і пд.ш.

## **Довгота**

**Довгота́** - координатна вісь, що збігається з координатною віссю x в грi. Так само, як і широта, відрізняється від значень осі x в 0.01 раз, тобто для неї також справедлива наступна формула:

```

 Λ

 =

 X

 o
 g

 100

 {\displaystyle \Lambda ~ = ~ \frac{X\_{og}}{100}}

```

де *Λ

{\displaystyle \Lambda}* - довгота, *X* - координати осi x.

Також, як і широта, має дві інтерпретації - або знакова (мінус, плюс), або абревіатури з.д.(якщо має знак мінус), с. д.(якщо має позитивні значення).

## **Висота**

**Висота́** - координатна вісь, що збігається з координатною віссю y в грi. Так само, як і широта, і довгота, відрізняється від значень осі y в 0.01 раз, тобто для неї також справедлива наступна формула:

```

 H

 =

 Y

 o
 g

 100

 {\displaystyle \Eta ~ = ~ \frac{Y\_{og}}{100}}

```

де *H

{\displaystyle \mathrm{H}}* - висота, *Y* - координати осi y.

Однак, на відміну від широти і довготи, в інтерпретаціях не має відсилань до реального світу, тому як і мінус-плюс, значення висоти можуть бути доповнені абревіатурами н.а. (нижче адмiнiмуму(якщо значення висоти негативні)) , в.а. (вище адмiнiмуму(якщо значення висоти позитивні)).

## **Функціональний аналіз системи**

Так як простежується залежність широти, довготи і висоти від координат, значить в деякому просторі функцій однозначно визначені 3 функції:

```

 f
 (
 z
 )

 =

 0.01

 ×

 z

 {\displaystyle f(z) ~ = ~ 0.01 ~ \times ~ z}

 g
 (
 x
 )

 =

 0.01

 ×

 x

 {\displaystyle g(x) ~ = ~ 0.01 ~ \times ~ x}

 h
 (
 y
 )

 =

 0.01

 ×

 y

 {\displaystyle h(y) ~ = ~ 0.01 ~ \times ~ y}

```

На основі даних функцій можна скласти графіки, щоб простежити поведінку цих функцій і поведінку функцій, якi зумовлюють значення X,Y,Z. Розглянемо на прикладі першої функції.

Функція

f
(
z
)

{\displaystyle f(z)}

 є монотонно зростаючою, так як вона зростає на всій області визначення, тобто

```

 ∀
 m
 ,
 k
 ∈

 R

 :
 m
 <
 k
 →
 f
 (

 x
 m

 )
 <
 f
 (

 x
 k

 )

 {\displaystyle \forall m,k\in\R:m < k \rightarrow f(x\_m) < f(x\_k)}

```

Функція є непарною і аперiодичною, так як не існує такого числа Т, при якому було б справедливо

```

 ∀
 T
 ≠
 0
 →
 f
 (
 z
 T
 )
 =
 f
 (
 z
 )

 {\displaystyle \forall T\ne0 \rightarrow f(z+T) = f(z)}

```

але справедливо

```

 f
 (
 −
 z
 )
 =
 −
 f
 (
 z
 )

 {\displaystyle f(-z) = -f(z)}

```

Так як областю визначення функції є відрізок

# E
[
−
30
000
001.5
;
30
000
001.5
]

{\displaystyle E = [-30 000 001.5;30 000 001.5]}

, то справедливо говорити, що

```

 sup
 f
 (
 z
 )
 ≈
 30
 000
 0

 {\displaystyle \sup f(z) \approx 30 000 0}

 inf
 f
 (
 z
 )
 ≈
 −
 30
 000
 0

 {\displaystyle \inf f(z) \approx -30 000 0}

```

або

```

 lim

 z
 →
 sup
 E

 f
 (
 z
 )
 =
 sup
 f
 (
 z
 )

 {\displaystyle \lim\_{z \to \sup E} f(z) = \sup f(z)}

```

А тепер розберемося з прирощенням функції

f
(
z
)

{\displaystyle f(z)}

. Так як функція монотонна і зростає, то її приріст на всій області значень буде позитивним. Що щодо диференціала функції, який є лінійною частиною приросту функції, то в деякій точці

x
0

{\displaystyle x\_0}

 він буде дорівнює

```

 d

 x
 0

 f
 (
 z
 )
 =

 f
 ′

 (

 x
 0

 )
 z

 {\displaystyle \mathrm{d}\_{x\_0}f(z) = f'(x\_0)z}

```

де

f
′

(

x
0

)

{\displaystyle f'(x\_0)}

 позначає похідну

f

{\displaystyle f}

 в точці

x
0

{\displaystyle x\_0}

, а z -приріст аргументу при переході від

x
0

{\displaystyle x\_0}

 к

x
0

z

{\displaystyle x\_0 + z}

. Таким чином, підставляючи значення, отримаємо

```

 d

 f
 (
 z
 )
 =
 (
 0.01
 ×
 z

 )
 ′

 =
 0.01

 {\displaystyle \mathrm{d}f(z) = (0.01 \times z)' = 0.01}

```

Це означає, що диференціали вихідної функції

f
(
z
# )
z

{\displaystyle f(z)=z}

 і функції

f
(
z
# )
0.01
z

{\displaystyle f(z) = 0.01z}

 відрізняються також в 100 разів або в 0.01:

```

 d

 f
 (
 z
 )
 =

 z
 ′

 =
 1

 {\displaystyle \mathrm{d}f(z) = z' = 1}

```

Таким чином, знайдені

sup
f
(
z
)
,
inf
f
(
z
)
,
lim
f
(
z
)
,

d

f
(
z
)

{\displaystyle \sup f(z),\inf f(z),\lim f(z), \mathrm{d}f(z)}

 для функції

f
(
z
# )
0.01
×
z

{\displaystyle f(z) = 0.01 \times z}

 відрізняються від цих же значень вихідної функції

f
(
z
# )
z

{\displaystyle f(z)=z}

 в 0.01 раз, а значить справедливо вважати, що функція відрізняється від вихідної в 0.01 рази.

## **Загальні відомості**

Альфійська система координат ефективно організовує звичайну систему координат в грі, що дозволяє працювати з більш великими значеннями. Однак, це призводить і до ряду незручностей, а саме - разом із зростанням значень X,Y,Z, ростуть і дробові частини широти, довготи і висоти, що призводить до більш кропіткої роботи з математичними обчисленнями даних осей, так як доводиться працювати з дробовими частинами, довжина яких іноді може досягати 10 і навіть 20 символів. Ця проблема і наштовхнула визначити такі значення широти, довготи і висоти, які були б формальними, тобто наближеними до істинного - наближенi значення широти, довготи і висоти, або просто **наближенi широта**, **довгота** і **висота**, тобто

* **Наближена широта** (н.ш.) - округлене значення широти. При записі пд.ш. і пн.ш. використовуються пд.н.ш. і пн.н.ш.
* **Наближена довгота** (н.д.) - округлене значення довготи. При записі с.д. і з.д. використовуються с.н.д. і з.н.д.
* **Наближена висота** (н.в.) - округлене значення висоти. При записі н.а. і в.а. використовуються н.н.а. і в.н.а.

Коротко кажучи, якщо координати вашого міста - 14.45 с.д., 5.67 пн.ш., 0.91 в.а., то його наближені координати будуть 14 с.н.д., 6 пн.н.ш., 1 в.н.а.
Однак, наближені значення можуть бути іноді менш об'єктивними, ніж якщо б ми відкинули у них дробову частину, тому можна ввести зворотні наближеним значенням - **абсолютні**.

* **Абсолютна широта** (а.ш.) - значення широти без дробової частини. При записі пд.ш. і пн.ш. використовуються пд.а.ш. і пн.а.ш.
* **Абсолютна довгота** (а.д.) - значення довготи без дробової частини. При записі с.д. і з.д. використовуються с.а.д. і з.а.д.
* **Абсолютна висота** (а.ш.) - значення висоти без дробової частини. При записі н.а. і в.а. використовуються н.а.а. і в.а.а.

У цьому прикладі,якщо координати вашого міста - 14.45 с.д., 5.67 пн.ш., 0.91 в.а., то його наближені координати будуть 14 с.а.д., 5 пн.а.ш., 0 в.а.а.
Це дозволяє зрозуміти, хто знаходиться поруч з вами, що зумовлює такі поняття, як **географічне сусідство** і **географічна спорідненість**.

* **Географічне сусідство** - явище, що виникає між двома об'єктами, коли їх абсолютні або наближені координати збігаються.
* **Географічна спорідненість** - окремий випадок географічного сусiдства, коли і абсолютні, і наближені координати двох об'єктів збігаються.

Коротко кажучи, якщо у одного об'єкта координати 10 с.а.д, 15 пн.а.ш. 0 в.а.а, а у другого такi ж, але при цьому їх наближені координати - 1)11 с.н.д, 16 пн.н.ш., 1 в.н.а,2)10 с.н.д, 16 пн.н.ш, 0 пн.н.ш, то вони є географічними сусідами. Якби всі координати співпали, то можна було б сказати, що два об'єкти - географічні родичі.

Подальше застосування Альфійської Системи Координат буде розглянуто в статті про Альфійську Iнтерпретацію Світу.