Programación lineal

La Programación Lineal (PL) es una herramienta para la ayuda en la toma de decisiones, permitiéndonos plantear un tipo particular de modelo matemático, donde representamos en forma  simplificada el  problema de decisión, las variables de decisión, el objetivo y las restricciones mediante símbolos matemáticos y ecuaciones.

La PL es un procedimiento que encuentra su aplicación práctica en casi todas las facetas de los negocios, desde la publicidad hasta la planificación de la producción, problemas de transporte, distribución, y planificación global de la producción son los objetos más comunes del análisis de PL.

Un modelo de PL se estructura usando un conjunto de variables de decisión con la que se forma una función que describe lo que se quiere alcanzar, que por lo general recibe el
nombre de función objetivo, y un conjunto de restricciones. El modelo considera
que las variables de decisión tienen un comportamiento lineal, tanto en la función objetivo como en las restricciones del problema.

El modelo se construye con tres elementos: variables, restricciones y función objetivo. Una vez obtenido todos estos elementos se procede a presentar el modelo usando una estructura
estándar, donde la función objetivo y las restricciones se presentan de forma lineal y todos los términos que contengan variables se colocan al lado izquierdo del operador, siguiendo el orden del subíndice de las variables.

## Componentes y estructura de un modelo de PL

### Función objetivo

La función objetivo tiene una estrecha
relación con la pregunta general que se desea responder. Sí en un modelo
resultasen distintas preguntas, la función objetivo se relacionaría con la
pregunta del nivel superior, es decir, la pregunta fundamental. Así por
ejemplo, si en una situación se desean minimizar los costos, es muy probable
que la pregunta de mayor nivel sea la que se relacione con aumentar la utilidad
en lugar de un interrogante que busque hallar la manera de disminuir los
costos.

### Variables de decisión

Similar a la relación que existe entre
objetivos específicos y objetivo general se comportan las variables
de decisión respecto a la función objetivo, puesto que estas se identifican
partiendo de una serie de preguntas derivadas de la pregunta fundamental. Las
variables de decisión son en teoría factores controlables del sistema que se
está modelando, y como tal, estas pueden tomar diversos valores posibles,
de los cuales se precisa conocer su valor óptimo, que contribuya con la
consecución del objetivo de la función general del problema.

### Restricciones

Cuando hablamos de las
restricciones en un problema de programación lineal, nos referimos a todo
aquello que limita la libertad de los valores que pueden tomar las variables de
decisión.

La mejor manera de hallarlas consiste
en pensar en un caso hipotético en el que decidiéramos darle un valor infinito
a nuestras variables de decisión, por ejemplo, ¿qué pasaría si en un problema
que precisa maximizar sus utilidades en un sistema de producción de calzado
decidiéramos producir una cantidad infinita de zapatos? Seguramente ahora nos
surgirían múltiples interrogantes, como por ejemplo:

* ¿con cuánta materia prima cuento para producirlos?

* ¿con cuánta mano de obra cuento para fabricarlos?

* ¿pueden las instalaciones de mi empresa albergar tal cantidad de producto?

* ¿podría mi fuerza de mercadeo vender todos los zapatos?

* ¿puedo financiar tal empresa?

Pues bueno, entonces
habríamos descubierto que nuestro sistema presenta una serie de limitantes,
tanto físicas, como de contexto, de tal manera que los valores que en un
momento dado podrían tomar nuestras variables de decisión se encuentran
condicionados por una serie de restricciones.