Дизъюнкция

**Дизъю́нкция** (логическое или, логическое сложение, включающее или, или, logical disjunction, logical or, disjunction, inclusive disjunction, alternation) - это логическая операция, приближаемая обыкновенным "или". Утверждение

φ
∨
ψ

{\displaystyle \varphi \vee \psi}

эквивалентно утверждению "хотя бы одно из утверждений

φ
,
ψ

{\displaystyle \varphi, \psi}

верно".

## Обозначения и кодировка

Дизъюнкция утверждений

φ

{\displaystyle \varphi}

и

ψ

{\displaystyle \psi}

обозначается одним из следующих способов:

φ
∨
ψ
,
φ

ψ
,
φ

ψ

{\displaystyle \varphi \vee \psi, \varphi \, | \, \psi, \varphi \, || \, \psi}

В мире (который кроме России) дизъюнкция утверждений

φ

{\displaystyle \varphi}

 и

ψ

{\displaystyle \psi}

 может также обозначаться одним из способов

φ
ψ
,
φ
 or
ψ

{\displaystyle \varphi + \psi, \varphi \text{ or } \psi}

, в то время как в России могут также применяться обозначения

φ
 OR
ψ
,
max

(

φ
,
ψ

)

{\displaystyle \varphi \text{ OR } \psi, \max \! \left( \varphi, \psi \right)}

. Дизъюнкция большего конечного числа утверждений обозначается соответствующе. Например, дизъюнкция утверждений

φ
1

,

φ
2

,

φ
3

{\displaystyle \varphi\_1, \varphi\_2, \varphi\_3}

 может обозначаться

φ
1

∨

φ
2

∨

φ
3

{\displaystyle \varphi\_1 \vee \varphi\_2 \vee \varphi\_3}

. Дизъюнкция большего числа утверждений может заменить квантор существования и обозначается

⋁
x

φ

(
x
)

{\displaystyle \bigvee\_x \varphi \! \left( x \right)}

 или, соответственно,

⋁

ψ

(
x
)

φ

(
x
)

{\displaystyle \bigvee\_{\psi \left( x \right)} \varphi \! \left( x \right)}

.

### Кодировка в LaTeX

∨

{\displaystyle \vee}

```
\vee
```

```
\lor

{\displaystyle \, | \,}

```
\, | \,

{\displaystyle \, || \,}

```
\, || \,

 or

{\displaystyle \text{ or }}

```
\text{ or }

 OR

{\displaystyle \text{ OR }}

```
\text{ OR }

max

{\displaystyle \max}

```
\max

⋁

ψ

{\displaystyle \bigvee\_{\psi}}

```
\bigvee_{\psi}
```

## Таблица истинности

Таблица истинности бинарной дизъюнкции имеет следующий вид:

φ

{\displaystyle \varphi}

ψ

{\displaystyle \psi}

φ
∨
ψ

{\displaystyle \varphi \vee \psi}

⊤

{\displaystyle \top}

⊤

{\displaystyle \top}

⊤

{\displaystyle \top}

⊥

{\displaystyle \bot}

⊤

{\displaystyle \top}

⊤

{\displaystyle \top}

⊤

{\displaystyle \top}

⊥

{\displaystyle \bot}

⊤

{\displaystyle \top}

⊥

{\displaystyle \bot}

⊥

{\displaystyle \bot}

⊥

{\displaystyle \bot}

## *n*-арная дизъюнкция

Терна́рная дизъюнкция, то есть, дизъюнкция трёх операндов, определяется так:

φ
1

∨

φ
2

∨

φ
3

=

(

φ
1

∨

φ
2

)

∨

φ
3

{\displaystyle \varphi\_1 \vee \varphi\_2 \vee \varphi\_3 = \left( \varphi\_1 \vee \varphi\_2 \right) \vee \varphi\_3}

. *n*-арная дизъюнкция определяется аналогично по индукции:

φ
1

∨

φ
2

∨
⋯
∨

φ
n

=

(

φ
1

∨

φ
2

∨
⋯
∨

φ

n
−
1

)

∨

φ
n

{\displaystyle \varphi\_1 \vee \varphi\_2 \vee \dots \vee \varphi\_n = \left( \varphi\_1 \vee \varphi\_2 \vee \dots \vee \varphi\_{n - 1} \right) \vee \varphi\_n}

.

## Дизъюнкция большего числа утверждений

"Всеобщая дизъюнкция" ("термин" придуман лично мной, не ожидайте его в других местах), или, что то же, дизъюнкция вариантов утверждения, зависящего от х, определяется через квантор существования:

⋁
x

φ

(
x
)

⇔
∃
x
:
φ

(
x
)

{\displaystyle \bigvee\_x \varphi \! \left( x \right) \Leftrightarrow \exists x \colon \varphi \left( x \right)}

. При этом на *x* могут накладываться ограничения с помощью конъюнкции:

⋁

ψ

(
x
)

φ

(
x
)

⇔

⋁
x

(

φ

(
x
)

∧
ψ

(
x
)

)

{\displaystyle \bigvee\_{\psi \left( x \right)} \varphi \! \left( x \right) \Leftrightarrow \bigvee\_x \left( \varphi \! \left( x \right) \wedge \psi \left( x \right) \right)}

.

## Согласованность *n*-арной дизъюнкции и дизъюнкции большего числа утверждений

Что важно, всеобщая дизъюнкция и *n*-арная дизъюнкция согласованы, то есть

для любого натурального *n*, большего 2, для любого набора

φ
1

,
…
,

φ
n

{\displaystyle \varphi\_1, \dots, \varphi\_n}

 из *n* утверждений

(

φ
1

∨
⋯
∨

φ
n

)

⇔

⋁

1
⩽
i
⩽
n

φ
i

{\displaystyle \left( \varphi\_1 \vee \dots \vee \varphi\_n \right) \Leftrightarrow \bigvee\_{1 \leqslant i \leqslant n} \varphi\_i}

### Доказательство

Докажем по индукции.

* База индукции
При

# n
2

{\displaystyle n=2}

φ
1

∨

φ
2

⇔
∃
i
:
1
⩽
i
⩽
2
∧

φ
i

⇔

⋁

1
⩽
i
⩽
2

φ
i

{\displaystyle \varphi\_1 \vee \varphi\_2 \Leftrightarrow \exists i \colon 1 \leqslant i \leqslant 2 \wedge \varphi\_i \Leftrightarrow \bigvee\_{1 \leqslant i \leqslant 2} \varphi\_i}
* Шаг индукции
Пусть мы доказали при

# n
k

{\displaystyle n=k}

. Докажем при

# n
k
1

{\displaystyle n=k+1}

:

φ
1

∨
⋯
∨

φ

k
1

⇔

(

φ
1

∨
⋯
∨

φ
k

)

∨

φ

k
1

{\displaystyle \varphi\_1 \vee \dots \vee \varphi\_{k + 1} \Leftrightarrow \left(\varphi\_1 \vee \dots \vee \varphi\_k \right) \vee \varphi\_{k + 1}}

. По предположению индукции

φ
1

∨
⋯
∨

φ
k

⇔

⋁

1
⩽
i
⩽
k

φ
i

{\displaystyle \varphi\_1 \vee \dots \vee \varphi\_k \Leftrightarrow \bigvee\_{1 \leqslant i \leqslant k} \varphi\_i}

. Следовательно,

(

φ
1

∨
⋯
∨

φ
l

)

∨

φ

k
1

⇔

φ

k
1

∨

⋁

1
⩽
i
⩽
k

φ
i

⇔

φ

k
1

∨
∃
i
:
1
⩽
i
⩽
k
∧

φ
i

⇔
∃
i
:
1
⩽
i
⩽

{\displaystyle \left( \varphi\_1 \vee \dots \vee \varphi\_l \right) \vee \varphi\_{k + 1} \Leftrightarrow \varphi\_{k + 1} \vee \bigvee\_{1 \leqslant i \leqslant k} \varphi\_i \Leftrightarrow \varphi\_{k + 1} \vee \exists i \colon 1 \leqslant i \leqslant k \wedge \varphi\_i \Leftrightarrow \exists i \colon 1 \leqslant i \leqslant}

⩽
k
1
∧

φ
i

⇔

⋁

1
⩽
i
⩽
k
1

φ
i

{\displaystyle \leqslant k + 1 \wedge \varphi\_i \Leftrightarrow \bigvee\_{1 \leqslant i \leqslant k + 1} \varphi\_i}

. Следовательно,

φ
1

∨
⋯
∨

φ

k
1

⇔

⋁

1
⩽
i
⩽
k
1

φ
i

{\displaystyle \varphi\_1 \vee \dots \vee \varphi\_{k + 1} \Leftrightarrow \bigvee\_{1 \leqslant i \leqslant k + 1} \varphi\_i}

.

Ч.т.д.

## Смотрите также

Правда

Ложь

Логическая арифметика