Taller Sección 12. Modulación FM.

Para poder afianzar los conocimientos adquiridos en las secciones de Modulación Angular y el Espectro de una Señal Modulada en Ángulo, se tienen los siguientes ejercicios:

- Se modula una señal:

m
(
t
# )
4
c
o
s
(
2
π
4
×

10

3

t
)

{\displaystyle m(t)=4cos(2\pi 4\times 10^{3}t)}

Con un modulador FM, donde se usa una constante de desviación igual a 10kHz/V. Y se quiere saber la desviación máxima de frecuencia, por lo tanto tenemos los siguiente:

k

f

=
10
k
H
z

/

V
;

A

m

=
4
;
# W
8
×

10

3

{\displaystyle k\_{f}=10kHz/V;A\_{m}=4;W=8\times 10^{3}}

Y se aplica siguiente formula:

△

f

=

k

f

A

m

⟶

△

f

=
4
(
10
k
H
z
)
⟶

△

f

=
40
k
H
z

/

V

{\displaystyle \bigtriangleup \_{f}=k\_{f}A\_{m}\longrightarrow \bigtriangleup \_{f}=4(10kHz)\longrightarrow \bigtriangleup \_{f}=40kHz/V}

También se pide hallar el índice de modulación, pero ya teniendo lo anterior solo es reemplazar en la siguiente formula:

β

f

=

△

f

W

⟶

β

f

=

40
k
H
z

/

V

8
×

10

3

⟶

β

f

=
5

{\displaystyle \beta \_{f}={\frac {\bigtriangleup \_{f}}{W}}\longrightarrow \beta \_{f}={\frac {40kHz/V}{8\times 10^{3}}}\longrightarrow \beta \_{f}=5}

- En el segundo punto, se tiene una señal de información:

m
(
t
# )
10
s
i
n
c
(
400
t
)

{\displaystyle m(t)=10sinc(400t)}

La cual se modula en frecuencia con una portadora:

c
(
t
# )
100
c
o
s
(
2
π

f

c

t
)

{\displaystyle c(t)=100cos(2\pi f\_{c}t)}

Y un índice de modulación igual a 6 (

# β
6

{\displaystyle \beta =6}

), y se pide hallar la expresión de la señal modulada, la cual es la siguiente:

S

F
M

(
t
# )
100
c
o
s
(
2
π

f

c

t
2
π

k

f

∫

−
∞

t

10
s
i
n
c
(
400
t
)
d
t
)

{\displaystyle S\_{FM}(t)=100cos(2\pi f\_{c}t+2\pi k\_{f}\int \_{-\infty }^{t}10sinc(400t)dt)}

También se pide hallar la máxima desviación de frecuencia, la cual se halla despejando la siguiente formula:

f

m

# β

Δ

f

⟶

f

m

=

400

2
π

⟶

Δ

f

=

400

2
π

(
6
)
⟶

Δ

f

=
381
,
97

{\displaystyle f\_{m}\beta =\Delta \_{f}\longrightarrow f\_{m}={\frac {400}{2\pi }}\longrightarrow \Delta \_{f}={\frac {400}{2\pi }}(6)\longrightarrow \Delta \_{f}=381,97}

-En este punto se pide calcular el ancho de banda de una señal de información:

m
(
t
# )
20
c
o
s
(
5
t
)

{\displaystyle m(t)=20cos(5t)}

La cual es modulada en frecuencia con una frecuencia portadora igual a 5Krad/s los cuales se convierten a 795,77Hz e índice de modulación igual a 10 (

β

{\displaystyle \beta}

).

A

m

=
20
;
# β
10
;

f

c

=
795.77

{\displaystyle A\_{m}=20;\beta =10;f\_{c}=795.77}

Por lo tanto, hallamos

f
m

{\displaystyle f\_m}

, la cual seria el ancho de banda y se hace con la siguiente ecuación:

f

m

=

f

c

A

m

β

=

795.77
(
20
)

10

=
1.591
,
54
H
z

{\displaystyle f\_{m}={\frac {f\_{c}A\_{m}}{\beta }}={\frac {795.77(20)}{10}}=1.591,54Hz}

-Se tiene una señal senoidal:

m
(
t
# )
2
s
i
n
(
2
π
0.5
×

10

3

t
)

{\displaystyle m(t)=2sin(2\pi 0.5\times 10^{3}t)}

Y la cual es modulada en frecuencia con una portadora:

c
(
t
# )
4
c
o
s
(
2
π
2
×

10

6

t
)

{\displaystyle c(t)=4cos(2\pi 2\times 10^{6}t)}

Al ya tener estas dos, se encuentra la desviación máxima de frecuencia:

Δ

f

=

k

f

A

m

⟶

k

f

Δ

f

A

m

⟶

k

f

=

1
×

10

6

H
z

2
V

=
500
×

10

3

H
z

V

{\displaystyle \Delta \_{f}=k\_{f}A\_{m}\longrightarrow k\_{f}{\frac {\Delta \_{f}}{A\_{m}}}\longrightarrow k\_{f}={\frac {1\times 10^{6}Hz}{2V}}=500\times 10^{3}{\frac {Hz}{V}}}

Al ya tener la desviación máxima de frecuencia, se realizará la expresión de la nueva señal modulada, la cual será:

S

F
M

(
t
# )
4
c
o
s
(
2
π
2
×

10

6

t
2
π
500
×

10

3

∫

−
∞

t

2
s
i
n
(
2
π
500
t
)
d
t
)

{\displaystyle S\_{FM}(t)=4cos(2\pi 2\times 10^{6}t+2\pi 500\times 10^{3}\int \_{-\infty }^{t}2sin(2\pi 500t)dt)}

Se quiere hacer una señal modulada a partir de una nueva señal de información:

m
(
t
# )
8
s
i
n
(
2
π
1
×

10

3

t
)

{\displaystyle m(t)=8sin(2\pi 1\times 10^{3}t)}

Al tener esta, también se encontrará la máxima desviación estándar para esta nueva:

Δ

f

=

k

f

A

m

⟶

k

f

Δ

f

A

m

⟶

k

f

=

1
×

10

6

H
z

8
V

=
125
×

10

3

H
z

V

{\displaystyle \Delta \_{f}=k\_{f}A\_{m}\longrightarrow k\_{f}{\frac {\Delta \_{f}}{A\_{m}}}\longrightarrow k\_{f}={\frac {1\times 10^{6}Hz}{8V}}=125\times 10^{3}{\frac {Hz}{V}}}

Y la nueva expresión de la señal modulada es:

S

F
M

(
t
# )
4
c
o
s
(
2
π
2
×

10

6

t
2
π
500
×

10

3

∫

−
∞

t

8
s
i
n
(
2
π
1000
t
)
d
t
)

{\displaystyle S\_{FM}(t)=4cos(2\pi 2\times 10^{6}t+2\pi 500\times 10^{3}\int \_{-\infty }^{t}8sin(2\pi 1000t)dt)}

Se tiene una señal:

m
(
t
# )
t
u
(
t
)
(
1
−
t
)
u
(
t
−
1
)
−
2
u
(
t
−
2
)
u
(
t
−
3
)

{\displaystyle m(t)=tu(t)+(1-t)u(t-1)-2u(t-2)+u(t-3)}

Se genera una señal

p
(
t
)

{\displaystyle p(t)}

 modulando

m
(
t
)

{\displaystyle m(t)}

 en fase con constante de desviación de fase

k
p

{\displaystyle k\_p}

 y

f
(
t
)

{\displaystyle f(t) }

 modulante

m
(
t
)

{\displaystyle m(t)}

 en frecuencia constante de desviación de frecuencia

k
f

{\displaystyle k\_f}

.

Se desea que

p
(
t
)

{\displaystyle p(t)}

 y

f
(
t
)

{\displaystyle f(t) }

 tengan la misma desviación máxima de fase, por lo tanto la razón entre

k
p

{\displaystyle k\_p}

 y

k
f

{\displaystyle k\_f}

 es:

k

f

=

β

f

W

A

m

;

k

θ

=

β

p

W

A

m

⟶

k

f

k

θ

=

B

f

W

B

p

{\displaystyle k\_{f}={\frac {\beta \_{f}W}{A\_{m}}};k\_{\theta }={\frac {\beta \_{p}W}{A\_{m}}}\longrightarrow {\frac {k\_{f}}{k\_{\theta }}}={\frac {B\_{f}W}{B\_{p}}}}

Como podemos observar, la razón depende de los índices de modulación y el ancho de banda.

Entonces al tener ambas constantes igual a 1, podemos tener que la frecuencia instantánea máxima para cada señal va ha ser igual entre las dos señales

p
(
t
)

{\displaystyle p(t)}

 y

f
(
t
)

{\displaystyle f(t) }

.

- Se tiene una señal modulada:

S
(
t
# )
100
c
o
s
(
2
π
×

10

6

t
4
s
i
n
(
2
×

10

3

π
t
)
)

{\displaystyle S(t)=100cos(2\pi \times 10^{6}t+4sin(2\times 10^{3}\pi t))}

De cual se pide encontrar la potencia transmitida promedio, y la fórmula es:

P

A
V

=

A

c

2

2

⟶

P

A
V

=

100

2

2

=
5000

{\displaystyle P\_{AV}={\frac {A\_{c}^{2}}{2}}\longrightarrow P\_{AV}={\frac {100^{2}}{2}}=5000}

Se encuentra a desviación pico de fase, la cual se saca a ojo y es:

Δ
# θ
4

{\displaystyle \Delta \theta =4}

También se pide encontrar la desviación pico de frecuencia, la cual se saca de acuerdo con la ecuación:

# β
4
;

f

m

=
1
×

10

3

⟶
Δ
# f
β

f

m

⟶
Δ
# f
(
4
)
1
×

10

3

=
4
×

10

3

{\displaystyle \beta =4;f\_{m}=1\times 10^{3}\longrightarrow \Delta f=\beta f\_{m}\longrightarrow \Delta f=(4)1\times 10^{3}=4\times 10^{3}}

Para poder concluir, podemos decir que la señal es modulada en frecuencia, ya que la estructura de la señal modulada con la concuerda con la misma expresión de una FM, y ya que la señal del mensaje es una señal senoidal, la cual es igual a la una señal de mensaje de FM. Esto anterior se puede observar, viendo las dos al mismo tiempo:

S
(
t
# )
100
c
o
s
(
2
π
×

10

6

t
4
s
i
n
(
2
×

10

3

π
t
)
)

{\displaystyle S(t)=100cos(2\pi \times 10^{6}t+4sin(2\times 10^{3}\pi t))}

S

F
M

(
t
# )

A
c

cos
⁡

[

2
π

f
c

t

k
f

A
m

f
m

sin
⁡
(
2
π

f
m

t
)

]

{\displaystyle S\_{FM}(t)=A\_c \cos\left[ 2 \pi f\_c t + \frac{k\_f A\_m}{f\_m} \sin( 2 \pi f\_m t ) \right ] }

-Para poder dibujar el espectro de un sistema de telefonía móvil celular US AMPS, tenemos los siguientes parámetros:

# β
3
;

f

m

=
4
k
H
z

{\displaystyle \beta =3;f\_{m}=4kHz}

Por lo tanto, la siguiente ecuación:

ϕ
(
t
# )
3
s
i
n
(
2
π
4
k
H
z
t
)

{\displaystyle \phi (t)=3sin(2\pi 4kHzt)}

Y el espectro es:

Mediante la regla de Carlson tenemos los siguientes valores de las bandas:

B

T

=
2
(

β

f

1
# )
2
(
3
1
)
4
k
H
# z
32
k
H
z

{\displaystyle B\_{T}=2(\beta \_{f}+1)=2(3+1)4kHz=32kHz}

B

T

=
2
Δ
# f
2
(

β

f

f

m

# )
2
[
3
(
4
k
H
z
)
# ]
24
k
H
z

{\displaystyle B\_{T}=2\Delta f=2(\beta \_{f}f\_{m})=2[3(4kHz)]=24kHz}