Perimetro de una Elipse II

P ≈ π(a+b)c

donde:

c = [(2^20) + (2^18)(h^2) + (2^14)(h^4) + (2^12)(h^6) + (2^6)(5^2)(h^8) + (2^4)(7^2)(h^10) + (3^2)(7^2)(h^12)]/(2^20)

La formula es mas exacta mientras mas se asemeja a un circulo

**En resumen:**

**La primera formula** se puede usar si no se necesita un resultado muy exacto:

P ≈ π\*[sqrt(2\*c²)]\*[sin(d)/d]

donde:

a = semieje mayor

b = semieje menor

c² = a² + b²

c = sqrt(a² + b²)

d = π\*(a-b)/(4a)

π = 3.141592653589793238462643383279...

4/π = 1.27323954473516...

**La segunda:**

P ≈ 4(pi\*c + d²)/e - (c\*d²)/(2\*e\*[pi\*c + e²])

donde:

c = (a\*b)

d = (a-b)

e = (a+b)

Se ve muy simple pero lo malo es que el denominador del segundo termino es irracional, ya que contiene pi, y dividir entre pi es muy complejo

**La tercera**

P ≈ π\*(a+b)\*c

c = [f(0)\*(h^0) + f(1)\*(h^2) + f(2)\*(h^4) + f(3)\*(h^6) + f(4)\*(h^8) + f(5)\*(h^10) + f(6)\*(h^12) + ... + f(n)\*(h^[2n]) + ...]

h = (a-b)/(a+b)

sqrt[f(n)] = (1/2)!/[(1/2 - n)!\*(n!)]

luego, para convertirlo en potencia de 2

(2^x)(1/2)!/[(1/2 - n)!\*(n!)], hasta que nos salga un numero exacto, ese numero inicalmente es 1 pero luego cambia

supongamos que el numero entero es d

(2^x)(1/2)!/[(1/2 - n)!\*(n!)] = d

(2^x)\*sqrt[f(n)] = d

sqrt[f(n)] = [d/(2^x)]

F(n) = [(d^2)/(2^[2x])]

En este ejemplo hay 2 fomulas

Una 'sencilla' y otra 'compleja'

En la sencilla n = 6

En la compleja n = 8

Sencilla:

c = [(2^20) + (2^18)(h^2) + (2^14)(h^4) + (2^12)(h^6) + (2^6)(5^2)(h^8) + (2^4)(7^2)(h^10) + (3^2)(7^2)(h^12)]/(2^20)

Compleja:
c = [(2^30) + (2^28)(h^2) + (2^24)(h^4) + (2^22)(h^6) + (2^16)(5^2)(h^8) + (2^14)(7^2)(h^10) + (2^10)(3^2)(7^2)(h^12) + (2^8)(3^2)(11^2)(h^14) + (3^2)(11^2)(13^2)(h^16)]/(2^30)

Cantidad de terminos de "c" = n + 1

En la sencilla tenemos 7 terminos, en la compleja 9

Pero aqui hay una 'muy sencilla', facilitara el calculo (pero con un resultado menos exacto)

c = [(2^14) + (2^12)(h^2) + (2^8)(h^4) + (2^6)(h^6) + (5^2)(h^8)]/(2^14)

***Su error aumenta mientras b/a ≈ 0, (es decir mientras b/a se acerca a 0, mayor es el error)***

**Cuarta Formula**

Conocida como '**Rivera II'**, por su desarrollador. Esta formula es la mas conveniente, porque no lleva un denominador irracional (pi), ***su peor error positivo (+103.72 o +103.73 ppm) es cuando b/a ≈ 1/16.3***

c = (a\*b)

d = (a-b)

e = (a+b)

P ≈ 4(π\*c + d²)/e - 89[(√[b\*c] - √[a\*c])²]/(146\*[e²])

P ≈ 4(π\*c + d²)/e - (32 - 10π)[(√[b\*c] - √[a\*c])²]/[e²]

**Quinta Formula**

Conocida como ramanujan II

h = (a-b)/(a+b)

c = h²

P ≈ π(a+b)[1 + (3c)/(10 + sqrt[4 - (3 + [(c)^(5 + c)]/[25])\*(c)])]

Una variante es:

P ≈ π(a+b)[1 + (3c)/(10 + sqrt[4 - (3 + [(c)^(5c + 2)]/[25])\*(c)])]

P ≈ π(a+b)[1 + (3c)/(10 + sqrt[4 - (3 + [(c)^(4c + 3)]/[25])\*(c)])]

Ejemplo: si a = 6; b = 1

El perimetro se aproxima a π(7)[1 + (3\*25/49)/(10 + sqrt[4 - (3 + [(25/49)^(5.215)]/[25])\*(25/49)])]

O mas generalizado:

P ≈ π(a+b)[1 + (3c)/(10 + sqrt[4 - (3 + [(c)^(d)]/[25])\*(c)])]

En a = 16.3 b = 1; d = 6.641

En a = 6 b = 1; d = 5.215

En a = 3 b = 2; d podria tomar casi cualquier valor

Pero al tener un exponente decimal, es algo compleja esta formula en la practica

Preferimos la tradicional Ramanujan II

P ≈ π(a+b)[1 + (3c)/(10 + sqrt[4 - 3c])]

O una variante con "d" entera