Парадокс Лжеца

Жак Буридан

Хаскелл Карри

Стефан Ябло

И другие.

**Парадокс лжеца** — семейство логических парадоксов, смысл коих при удалении разнообразия формулировок можно заключить в утверждении: "Я лгу" или "Данное утверждение ложно". Если предположить, что утверждение истинно, то, поскольку оно гласит свою ложность, оно ложно, что является противоречием. Напротив, если предположить его ложность, то оно соответствует тому, что само гласит, а потому истинно, что также является противоречием. Парадокс образуется благодаря указанию предложения на самого себя с соответствующим отрицанием (самореференции).

## Первоначальная формулировка

### Формулировка Эпименида.

Самое ранняя формулировка, приписываемая полумифическому критскому философу Эпименида: просто (Говорит Эпиминид. Эпиминид - критянин) "Все критяне лжецы" или "Все критяне лжецы. Я критянин", датирующаяся VII в. до н.э.

Вероятно, именно эта формулировка парадокса лжеца даётся в Новом Завете у апостола Павла в Тит. 1:12-13: "Из них же самих один стихотворец сказал: «Критяне всегда лжецы, злые звери, утробы ленивые». Свидетельство это справедливо…."

### Формулировка Евбулида.

Сам парадокс лжеца был известен в Древней Греции IV века до н. э. Евбулид Милетский включил его в список своих семи софизмов в следующей формулировке: "Человек говорит, что он лжёт. То, что он говорит — истина или ложь?". Является возможной первоначальной формулировкой.

## Подсемейства

### Классический парадокс

Рассмотрим следующее утверждение: "А: Утверждение А ложно"

Если утверждение истинно, то утверждение ложно, противоречие. Если же оно ложно, то утверждение не ложно, а значит истинно, противоречие. Последний шаг опирается на закон исключённого третьего, гласящий, что любое логическое утверждение или истинно, или ложно. Естественное решение — отрицание закона исключённого третьего — не работает в других вариантах парадокса лжеца.

### Закон исключённого третьего

Рассмотрим следующее утверждение: "А: Утверждение А не является истинным"

Если утверждение истинно, то утверждение не истинно, противоречие. Если же оно не истинно, то утверждение истинно, противоречие. Такой вариант не использует закон исключённого третьего, тем не менее, утверждение ссылается само на себя.

Другая формулировка предполагает, что третий вариант, отличный от истинности или ложности — это бессмысленность: "А: Утверждение А ложно или бессмысленно"

### Логический цикл

Рассмотрим следующие утверждения:

А: Утверждение Б ложно.

Б: Утверждение А истинно.

Если истинно, то ложно и не истинно, противоречие. Если ложно, то не ложно и истинно, противоречие. Исправление ложности на неистинность и исправляет необходимость закона исключённого третьего аналогично предыдущему примеру. Такой вариант не использует отсылки утверждения к самому себе, но использует отсылку к полностью взаимосвязанной смысловой системе.

Возможны и циклы большей длины, например, такой:

А: Утверждение Б ложно.

Б: Утверждение В ложно.

В: Утверждение А ложно.

### Парадокс Карри (Доказательство Санто-Клауса)

Сначала рассмотрим утверждение: "А: Если утверждение А (можно заменить на это утверждение) является истинным, 1 равен 0, если утверждение А является ложным, 1 не равен 0"

В таком случае, если А истинно, 1=0 истинно, что невозможно. Значит истинность утверждения А невозможна"

Если А ложно, то 1 не = 0. Но, одновременно, 1=0, ибо утверждение А ложно, а значит, по правилу исключённого третьего, истина такова: "А: Если утверждение А является истинным, 1 не равно 0, если утверждение А является ложным, 1 равно 0". Из этого следует, что а) мы получили классический парадокс лжеца (Ибо тогда утверждение истинно, так как 1 не может быть равен 0. Но если оно истинно, то 1=0 и т.д.), б) независимо от истинности или ложности утверждения, 1=0.

Тогда уже ничего не стоит заменить 1=0 на факт существования Санта-Клауса, русалок или Деда Мороза, а указание А на себя, на "это предложение", получив классическую формулировку парадокса Карри: *"Если это предложение является истинным, то Санта Клаус существует"* или, при желании, заменив Санта-Клауса Карри на нечто другое, "Если это предложение является истинным, то русалки существуют", или "Если это предложение является истинным, то Дед Мороз существует". Очень наглядное применение парадокса Карри: "Если это утверждение является истинным, то чайник, вращающийся вокруг солнца по эллиптической орбите между Марсом и Землёй" или, ещё наглядней, "Если это утверждение является истинным, то Бог существует" ,что и сделал Буридан, соединив форму Карри с формой Логического Цикла (см. ниже).

### Парадокс Пиноккио

Данное семейство парадоксов лжеца не представляет из себя особого интереса - вся суть такового заключается в переносе парадокса на какой-либо материальный предмет (группу предметов, систему и т.д.), состояние коего/коих зависит от ложности или истинности некого утверждения. Классическим пример:

"У Пиноккио имелось свойство: когда он лгал, его нос тут же заметно увеличивался. Что будет, если Пиноккио скажет: «Сейчас у меня удлинится нос»? Если нос не увеличится — значит, мальчик соврал, и нос будет обязан тут же вырасти. А если нос вырастет — значит, мальчик сказал правду, но тогда почему вырос нос?"

### Парадокс Ябло

Возьмём бесконечное число утверждений:

* (S1): для всех k > 1, Sk есть ложь

* (S2): для всех k > 2, Sk есть ложь
* (S3): для всех k > 3, Sk есть ложь
* …
* …

В частности, следует обратить особое внимание на тот факт, что каждое утверждение ничего не говорит о своей собственной истинности или ложности, даже косвенным способом, так как оно утверждает что-то лишь об утверждениях с большими номерами, и для всех них это тоже верно.

Возьмём любое утверждение Sk. Ложно оно или истинно? Предположим, что истинно. Тогда Sk+1, Sk+2 и т.д. все ложны. Но ложность Sk+2, Sk+3, и т.д. — как раз то, что утверждает Sk+1. Поэтому получаем противоречие: с одной стороны Sk+1 ложно (прямое следствие истинности Sk), с другой стороны истинно (прямо следствие ложности Sk+2, Sk+3, Sk+n). Раз мы достигли противоречия, значит, наше предположение было неверным, и Sk на самом деле ложно. Это верно для любого k.

## Известные частные случаи

### Исторические случаи

Здесь находятся известные *исторические* случаи формулировок Парадокса Лжеца, относящиеся к той или иной описанной или неописанной выше подсемейств. В случае отношения частного случая к описываемому подсемейству, за исключением особенных случаев, описание логической цепочки парадокса смысла приводить нет и потому таковой приводится не будет.

#### Спор Сократа и Платона.

В средневековье была известен такой Логический Цикл, являющийся, возможно, отцом данного подсемейства и его классической иллюстрацией:

*"Платон: Следующие утверждение Сократа будет ложным.*

*Сократ: То, что сказал Платон, истинно."*

#### Доказательство Жака Буридана.

Богослов Жак Буридан использовал парадокс для доказательства Бога: "Бог существует. Ни одно из этих двух утверждений не является истинным." Если первое утверждение ложно, то второе превращается в привычный парадокс Лжеца - значит, дабы избежать парадокса, надо признать истинность первого утверждения и, соответственно, ложность второго. Но подобные изыскания, конечно, легко опровергаются - Бога в первом утверждении легко и без изменения смысла можно заменить на Чайник Рассела, русалок, Деда Мороза, Санта-Клауса и/или совершенных Голубей с лазерными глазами и бутербродами вместо ног. Фактически, Буридан использовал парадокс Карри (см. выше) в форме логического цикла.

#### Двойной Лжец (Картонка Джордана).

Эта версия парадокса Лжеца была представлена английским математиком Филиппом Эдвардом Бертраном Джорданом в 1913 году. Лжец Джордана относиться к подсемейству Логических Циклов, являясь почти что полной копией "Спора Сократа и Платона":

"Следующее написано на обоих сторонах карточки:

На обратной стороне: «Утверждение на другой стороне этой карточки верно»

На лицевой стороне: «Утверждение на другой стороне этой карточки неверно»"

### Прочие представители

Здесь приведены всевозможные исторически невесомые и/или придуманные Вами представители этого семейства. В случае, оригинального по Вашему мнению парадокса просим отнести таковой в отдельную статью. Итак,

#### Чтимое, писанное и услышанное

Данные парадоксы повторяют Классический Парадокс Лжеца, но ссылаются лишь на частный способ выражения мыслей, как, например, чтение и слух:

"Всё написанное - ложь", написанное где-либо.

"Всё Вами наблюдаемое - ложь"/"Всё прочитанное - ложь"

"Всё сказанное - ложь", произнесённое.

Данный ряд можно бесконечно долго продолжать, сделав средства выражения ещё более ограниченными и/или реже используемыми, продолжая добавлять:

"Все фразы на русском языке - ложь",

"•−− ••• • •−•−•−   −−•• •− −•− −−− −•• •• •−• −−− •−− •− −• −• −−− •   −• •−   −− −−− •−• −−•• •−•− −• −•− •   −••••−   •−•• −−− •••− −••− ••••••",

"Все сказанное на Тоттепедии - ложь",

"Всё в этой статье - ложь", и т.д.

## Попытки решения, исследования и комментарии

### Исторические

Последователь Аристотеля Теофраст написал о парадоксе три папируса, а ранний стоик Хрисипп — шесть, но до нас они не дошли.

Известны две смерти мыслителей, вызванных попытками решить этот парадокс. Логик Диодор Кронос опрометчиво дал обет воздержания от еды до решения парадокса — и вскоре умер от истощения. Учёный, грамматик и поэт. Филит Косский, отчаявшись найти решение, либо покончил с собой, либо, будучи слабого здоровья, умер от недоедания и бессонницы, слишком увлёкшись проблемой. Надпись на могиле Филита на острове Кос гласит:

"О странник! Я Филит Косский,

И это лжец привёл к моей смерти,

И бессонные ночи из-за него"

Аристотель предлагал вариант своего решения. Он указывал, что софистические доводы («О софистических опровержениях», гл. 25) основаны на том, что «о чем-то [присущем] в собственном смысле утверждают как [о присущем] в каком-то отношении, или где-то, или каким-то образом, или в отношении чего-то, но не вообще» (Arist. Soph. El. 081а 25)[. Поэтому в варианте «человек говорит, что он лжёт» вполне верно рассуждение: «Однако, ничто не мешает, чтобы один и тот же вообще-то говорил неправду, а в каком-то отношении и о чем-то говорил правду или чтобы в чем-то он был правдив, а вообще-то неправдив»  (Arist. Soph. El. 180b 5). Таким образом разделяются лжец как «некто, кто часто лжёт» и «тот, кто лжёт в определённый момент». Но таким образом Аристотель по сути ограничился указанием на причину возникновения парадоксальности, и вариант парадокса в прямом виде «это предложение ложно» таким образом не решается и не «обходится»].

Фрэнк Рамсей парадокс лжеца (в виде «Я сейчас лгу») рассматривал как лингвистический, относил к классу семантических, а не теоретико-множественных:

"…противоречия группы В не являются чисто логическими и не могут быть сформулированы в одних логических терминах, ибо все они содержат некоторую отсылку к мысли, языку или символизму, которые являются не формальными, но эмпирическими терминами. Поэтому своим возникновением они могут быть обязаны не ошибочной логике или математике, но ошибочным идеям, касающимся мысли и языка."

Ряд других авторов часто пытаются решить парадокс именно логико-математическими средствами. Альфред Тарский пытался с помощью своей логико-математической теории переформулировать парадокс с бытового языка на некий формальный язык, имеющий однозначную логическую структуру. Формально можно сказать, что А. Тарский нашёл решение: предикаты «истинно» либо «ложно» он считает терминами метаязыка и их нельзя применять к языку, на котором сформулировано изначальное высказывание. Однако это рассуждение основано на концепции метаязыка, а парадокс «внутри» обычного языка остаётся нерешённым.

К теме «перевода» парадокса на формальный логический язык имеет отношение и первая теорема Гёделя о неполноте:

"Факт, что теорема Гёделя и парадокс Лжеца близко соотносятся, не только хорошо известен, но является даже общим представлением логического сообщества. …сам Гёдель не стал исключением, сделав замечание в статье, анонсируя свой результат. «Аналогия между этим результатом и антиномией Ришара бросается в глаза; есть также близкое родство с антиномией „Лжеца“. здесь мы сталкиваемся с предложением, которое утверждает свою собственную недоказуемость»"

Г. Серени указывает, что эта связь является общепризнанной в среде специалистов, но имеет форму скорее аналогии, внешнего сходства, и существует мало исследований о точной природе этой связи. Ван Хейеноорт указывает, что если перейти от понятия истинности к доказательству, то парадокс исчезает:

"…предложение, утверждающее «Я не истинно»… получаем парадокс… Но если мы как-то сконструируем предложение «Я не доказуемо», парадокс не возникает. Обозначим через g предложение, и в отношении понятия «доказательства» просто предположим, что ничто из доказуемого не может быть ложным. Если бы g было доказуемым, оно было бы ложным, отсюда, оно не доказуемо. Следовательно, оно не доказуемо и истинно (поскольку это именно то, что оно утверждает). Отрицание g, которое устанавливает, что оно доказуемо, ложно, отсюда оно также не доказуемо. Мы скользим вдоль парадокса, никогда не впадая в него истинно. Предложение g недоказуемо и истинно; его отрицание недоказуемо и ложно. Единственное обстоятельство, которое приводит к этому удивительному результату, это введение различия между «истинно» и «доказуемо»"

Проблемы логики, связанные с парадоксом, менялись в зависимости от концепции рассмотрения: является ли он двусмысленностью или же бессмысленностью, или — примером смешения разговорного языка и логического метаязыка, которые в повседневности не разделяются. Если же их дифференцировать, то утверждение «Я лгу» сформулировать невозможно. Вполне возможно, что в будущем этот давний парадокс приведёт к обнаружению других проблем в соответствующей области.

Между тем имеются и попытки отказаться от восприятия парадокса, сделать вид, что его нет. Вдовиченко А.В. предлагает рассмотреть парадокс «как естественный вербальный материал», указывая, что высказывающий этот парадокс «мог вовсе не думать о себе, когда произносил свои слова», т.е. не причислять себя к «критянам», хотя им и являлся (речь именно к «критянской» формулировке): «мог говорить аффективно, имея в ввиду лишь своё отношение к ним, не причисляя к ним себя»

### Неисторические

#### Решения характера позитивизма:

Можно сказать, что все понятия, касающиеся не представляемых объектов и идей, *невозможных к представлению*, являются иррациональными. Самый явный тому пример - идея не представляемой (ненаблюдаемой) бесконечности, невозможной к представлению, бесконечности и вытекающие из неё нерешаемые задачи, вроде бесконечность -/+ 1, решения коих так же иррациональны. Значит, парадокс лжеца, ссылаемый сам на себя, используя самореференцию, являясь тем самым не представляемым "*рекурсивным*" утверждением, является иррациональной идеей. А значит, и все решения его будут иррациональны и бессмысленны, подобно решению задачи о вливании молока в термос, наполненного бесконечным количеством молока. Далее же, согласно заветам логического позитивизма, мы должны просто избавится от его решения.

## Ссылки

Про парадокс Лжеца Вы можете прочитать на Википедии, откуда частично взята данная статья.