Треугольник

Эта страница также доступна на украинском языке. Посмотрите: Трикутник

**Ошибка Lua: expandTemplate: template "Карточка/строка" does not exist.**

**Треуго́льник** (в евклидовом пространстве) — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Указанные три точки называются *вершинами* треугольника, а отрезки — *сторонами* треугольника. Часть плоскости, ограниченная сторонами, называется *внутренностью* треугольника: нередко треугольник рассматривается вместе со своей внутренностью (например, для определения понятия площади).

Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла, поэтому треугольник можно также определить как многоугольник, у которого имеется ровно три углаШаблон:Sfn. Треугольник является одной из важнейших геометрических фигур, повсеместно используемых в науке и технике, поэтому глубокое исследование его свойств проводилось начиная с глубокой древности.

Понятие треугольника допускает различные обобщения. Можно определить это понятие в неевклидовой геометрии (например, на сфере): на таких поверхностях треугольник определяется как три точки, соединённые геодезическими линиями. В n-мерной геометрии аналогом треугольника является n-й мерный симплекс.

Иногда рассматривают *вырожденный* треугольник, три вершины которого лежат на одной прямой. Если не оговорено иное, треугольник в данной статье предполагается невырожденным.

### Вершины и углы

Традиционно вершины треугольника обозначаются заглавными буквами латинского алфавита:

A
,
B
,
C

{\displaystyle A, B, C}

, а противолежащие им стороны — теми же строчными буквами (см. рисунок). Треугольник с вершинами *A*, *B* и *C* обозначается как

Δ
A
B
C
.

{\displaystyle \Delta ABC.}

 Стороны можно также обозначать буквами ограничивающих их вершин:

A
# B
c
;
B
# C
a
;
C
# A
b
.

{\displaystyle AB=c; BC=a;CA=b.}

Треугольник

Δ
A
B
C

{\displaystyle \Delta ABC}

 имеет следующие углы:

* угол

∠
# A
∠
B
A
C

{\displaystyle \angle A=\angle BAC}

 — угол, образованный сторонами

A
B

{\displaystyle AB}

 и

A
C

{\displaystyle AC}

 и противолежащий стороне

B
C

{\displaystyle BC}

;
* угол

∠
# B
∠
A
B
C

{\displaystyle \angle B=\angle ABC}

 — угол, образованный сторонами

A
B

{\displaystyle AB}

 и

B
C

{\displaystyle BC}

 и противолежащий стороне

A
C

{\displaystyle AC}

;
* угол

∠
# C
∠
A
C
B

{\displaystyle \angle C=\angle ACB}

 — угол, образованный сторонами

B
C

{\displaystyle BC}

 и

A
C

{\displaystyle AC}

 и противолежащий стороне

A
B

{\displaystyle AB}

.

Величины углов при соответствующих вершинах традиционно обозначаются греческими буквами (α, β, γ).

 Файл:Remint3.svg
*Внешним углом DCA* плоского треугольника *ABC* при данной вершине *C* называется угол, смежный *внутреннему углу ACB* треугольника при этой вершине (см. рис.). Если *внутренний угол* при данной вершине треугольника образован двумя сторонами, выходящими из данной вершины, то *внешний угол* треугольника образован одной стороной, выходящей из данной вершины и продолжением другой стороны, выходящей из той же вершины. Внешний угол может принимать значения от 0 до 180°.

Периметром треугольника называют сумму длин трёх его сторон, а половину этой величины называют полупериметром.

## Типы треугольников

ОстроугольныйТупоугольныйПрямоугольныйРазностороннийРавнобедренныйРавносторонний

#### По величине углов

Поскольку в евклидовой геометрии сумма углов треугольника равна 180°, то не менее двух углов в треугольнике должны быть острыми (меньшими 90°). Выделяют следующие виды треугольников:

* Если все углы треугольника острые, то треугольник называется **остроугольным**;
* Если один из углов треугольника тупой (больше 90°), то треугольник называется **тупоугольным**;
* Если один из углов треугольника прямой (равен 90°), то треугольник называется **прямоугольным**. Две стороны, образующие прямой угол, называются **катетами**, а сторона, противолежащая прямому углу, называется **гипотенузой**.

#### По числу равных сторон

* **Разносторонним** называется треугольник, у которого все три стороны не равны.
* **Равнобедренным** называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются **боковыми**, третья сторона называется **основанием**. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
* **Равносторонним** или **правильным** называется треугольник, у которого все три стороны равны. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°, а центры вписанной и описанной окружностей **совпадают**. Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника.

### Медианы, высоты, биссектрисы

*Основная статья: **Замечательные прямые треугольника***
*Основная статья: **Замечательные точки треугольника***
 Файл:Triangle.Centroid.svg
**Медианой** треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с **серединой** противолежащей стороны (основанием медианы). Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка пересечения называется **центроидом** или центром тяжести треугольника. Последнее название связано с тем, что у треугольника, сделанного из однородного материала, центр тяжести находится в точке пересечения медиан. Центроид делит каждую медиану в отношении 1:2, считая от основания медианы. Треугольник с вершинами в серединах медиан называется **срединным треугольником**. Основания медиан данного треугольника образуют так называемый **дополнительный треугольник**.
Длину медианы

m
c

,

{\displaystyle m\_c,}

 опущенной на сторону

c
,

{\displaystyle c,}

 можно найти по формулам:

m
c

=

1
2

2
(

a
2

b
2

)
−

c
2

=

1
2

a
2

b
2

2
a
b
cos
⁡
γ

;

{\displaystyle m\_c = {1 \over 2}\sqrt{2(a^2+b^2)-c^2} = {1 \over 2}\sqrt{a^2+b^2+2ab \cos \gamma};}

 Шаблон:Nbsp для других медиан аналогично.
Шаблон:-

Высота треугольника.svgВысота в треугольниках различного типаTriangle.Orthocenter.svgВысоты пересекаются в ортоцентре
**Высотой** треугольника, проведённой из данной вершины, называется перпендикуляр, опущенный из этой вершины на противоположную сторону или её продолжение. Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой **ортоцентром** треугольника. Треугольник с вершинами в основаниях высот называется ортотреугольником.

Длину высоты

h
c

,

{\displaystyle h\_c,}

 опущенной на сторону

c
,

{\displaystyle c,}

 можно найти по формулам:

h
c

=
b
sin
⁡
# α
a
sin
⁡
β
;

{\displaystyle h\_c = b\sin\alpha = a\sin\beta;}

 Шаблон:Nbsp для других высот аналогично.
Длины высот, опущенных на стороны. можно также найти по формулам:Шаблон:Rp

h
c

=
a
b

/

(
2
R
)
,

h
a

=
b
c

/

(
2
R
)
,

h
b

=
c
a

/

(
2
R
)
.

{\displaystyle h\_c=ab/(2R), \, \, h\_a=bc/(2R), \, \, h\_b=ca/(2R).}

 Файл:Triangle ABC with bisector AD.jpg
**Биссектрисой** (**биссéктором**) треугольника, проведённой из данной вершины, называют отрезок, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне и делящий угол при данной вершине пополам. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром вписанной окружности (**инцентром**).

Если треугольник разносторонний (не равнобедренный), то биссектриса, проведённая из любой его вершины, лежит между медианой и высотой, проведёнными из той же вершины. Ещё одно важное свойство биссектрисы: она делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим к ней сторонамШаблон:Sfn.

Длину биссектрисы

l
c

,

{\displaystyle l\_c,}

 опущенной на сторону

c
,

{\displaystyle c,}

 можно найти по одной из формул:

l
c

=

a
b
(
a
b
c
)
(
a
b
−
c
)

a
b

=

2

a
b
p
(
p
−
c
)

a
b

{\displaystyle l\_c = {\sqrt{ab(a+b+c)(a+b-c)}\over{a+b}}=\frac{2 \sqrt{abp(p-c)}}{a+b}}

, где

p

{\displaystyle p}

 - полупериметр.

l
c

=

2
a
b
cos
⁡

γ
2

a
b

{\displaystyle l\_c = \frac {2ab\cos\frac{\gamma}{2}}{a+b}}

l
c

=

h
c

cos
⁡

α
−
β

2

;

{\displaystyle l\_c = \frac {h\_c}{\cos \frac {\alpha-\beta}{2}};}

 Шаблон:Nbspздесь

h
c

{\displaystyle h\_c}

 — высота.
Высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника, опущенные на основание, совпадают. Верно и обратное: если биссектриса, медиана и высота, проведённые из одной вершины, совпадают, то треугольник равнобедренный.
Шаблон:-

### Описанная и вписанная окружности

*Основная статья: **Вписанные и описанные фигуры для треугольника***
 Файл:Треугольник АВС и его окружности.png
**Описанная окружность** (см. рис. справа) — окружность, проходящая через все три вершины треугольника. Описанная окружность всегда единственна, её центр совпадает с точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведённых через середины сторон. В тупоугольном треугольнике этот центр лежит вне треугольника.

**Вписанная окружность** (см. рис. справа) — окружность, касающаяся всех трёх сторон треугольника. Она единственна. Центр вписанной окружности называется **инцентром**, он совпадает с точкой пересечения биссектрис треугольника.

Следующие формулы позволяют вычислить радиусы описанной *R* и вписанной *r* окружностей.

# r

S
p

,

{\displaystyle r={S \over p},}

 где

S

{\displaystyle S}

 — площадь треугольника,

p

{\displaystyle p}

 — его полупериметр.

# r

(
−
a
b
c
)
(
a
−
b
c
)
(
a
b
−
c
)

4
(
a
b
c
)

{\displaystyle r = \sqrt{\frac{(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{4(a+b+c)}}}

# R

a

2
sin
⁡
α

=

b

2
sin
⁡
β

=

c

2
sin
⁡
γ

{\displaystyle R = \frac{a}{2\sin \alpha} = \frac{b}{2\sin \beta} = \frac{c}{2\sin \gamma}}

# R

a
b
c

4
S

=

a
b
c

4

p
(
p
−
a
)
(
p
−
b
)
(
p
−
c
)

{\displaystyle R = \frac{abc}{4S} = \frac{abc}{4\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}}

,

1
r

=

1

h
a

1

h
b

1

h
c

{\displaystyle \frac{1}{r} = \frac{1}{h\_a} + \frac{1}{h\_b} + \frac{1}{h\_c}}

где *ha* Шаблон:Итд — высоты, проведённые к соответствующим сторонам;Шаблон:Rp

Ещё два полезных соотношения:

r
R

=

4

S

2

p
a
b
c

=
cos
⁡
α
cos
⁡
β
cos
⁡
γ
−
1
;

{\displaystyle \frac{r}{R} = \frac{4 S^{2}}{pabc} = \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma -1;}

2
R
# r

a
b
c

a
b
c

{\displaystyle 2Rr = \frac{abc}{a+b+c}}

.
## Признаки равенства треугольников

 Файл:Признак 1 равенства треугольников.png   Файл:Признак 2 равенства треугольников.png
 Файл:Признак 3 равенства треугольников.png
Треугольник на евклидовой плоскости однозначно (с точностью до конгруэнтности) можно определить по следующим тройкам основных элементов:

1. *a, b*, γ (равенство по двум сторонам и углу между ними);
2. *a*, β, γ (равенство по стороне и двум прилежащим углам);
3. *a, b, c* (равенство по трём сторонам).

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

1. по катету и гипотенузе;
2. по двум катетам;
3. по катету и острому углу;
4. по гипотенузе и острому углу.

Дополнительный признак: треугольники равны, если у них совпадают две стороны и угол, лежащий против большей из этих сторон.

В сферической геометрии и в геометрии Лобачевского существует признак равенства треугольников по трём углам.

## Признаки подобия треугольников

*Основная статья: **Признаки подобия треугольников***
## Основные свойства элементов треугольника

### Свойства углов

Во всяком треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углыШаблон:Sfn.

Каждый внешний угол треугольника равен разности между 180° и соответствующим внутренним углом. Для внешнего угла также имеет место теорема о внешнем угле треугольника: внешний угол равен сумме двух других внутренних углов, с ним не смежных.

### Неравенство треугольника

В невырожденном треугольнике сумма длин двух его сторон больше длины третьей стороны, в вырожденном — равна. Иначе говоря, длины сторон невырожденного треугольника связаны следующими неравенствами:

* a
<
b
c

{\displaystyle a < b + c}

;
* b
<
c
a

{\displaystyle b < c + a}

;
* c
<
a
b

{\displaystyle c < a + b }

.

Дополнительное свойство: каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон.

### Теорема о сумме углов треугольника

*Основная статья: **Теорема о сумме углов треугольника***
 Файл:Triangle sommeangles.svg
Сумма внутренних углов треугольника всегда равна 180°:

α
β
# γ

180
∘

{\displaystyle \alpha+ \beta+ \gamma = 180^\circ }

В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше 180°, а на сфере — всегда больше.

### Теорема синусов

*Основная статья: **Теорема синусов***

a

sin
⁡
α

=

b

sin
⁡
β

=

c

sin
⁡
γ

=
2
R

{\displaystyle \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R }

,
где

R

{\displaystyle R}

 — радиус окружности, описанной вокруг треугольника.

### Теорема косинусов

*Основная статья: **Теорема косинусов***

c
2

=

a
2

b
2

−
2
a
b
cos
⁡
γ
;

b
2

=

a
2

c
2

−
2
a
c
cos
⁡
β
;

a
2

=

b
2

c
2

−
2
b
c
cos
⁡
α

{\displaystyle c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma ;
 ~b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \beta;
 ~a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha
}

.
Является обобщением теоремы Пифагора.

* *Замечание*. теоремой косинусов также называют следующие две формулы, легко выводимые из основной теоремы косинусов (см. с. 51, ф. (1.11-2))Шаблон:Sfn.

a
2

=
(
b
c

)
2

−
4
⋅
b
⋅
c
⋅

cos
2

⁡
(
α

/

2
)

{\displaystyle a^2 = (b + c)^2 - 4\cdot b \cdot c \cdot \cos^2 (\alpha/2) }

,

a
2

=
(
b
−
c

)
2

4
⋅
b
⋅
c
⋅

sin
2

⁡
(
α

/

2
)

{\displaystyle a^2 = (b - c)^2 + 4\cdot b \cdot c \cdot \sin^2 (\alpha/2) }

.
### Теорема о проекциях

*Основная статья: **Теорема о проекциях***
Источник: Шаблон:Sfn.

# c
a
cos
⁡
β
b
cos
⁡
α
;

# a
b
cos
⁡
γ
c
cos
⁡
β
;

# b
c
cos
⁡
α
a
cos
⁡
γ

{\displaystyle c= a \cos \beta + b \cos \alpha;\ a= b \cos \gamma + c \cos \beta;\ b= c \cos \alpha + a \cos \gamma }

### Теорема тангенсов

*Основная статья: **Теорема тангенсов***

a
−
b

a
b

=

tg
⁡
[

1
2

(
α
−
β
)
]

tg
⁡
[

1
2

(
α
β
)
]

;

b
−
c

b
c

=

tg
⁡
[

1
2

(
β
−
γ
)
]

tg
⁡
[

1
2

(
β
γ
)
]

;

a
−
c

a
c

=

tg
⁡
[

1
2

(
α
−
γ
)
]

tg
⁡
[

1
2

(
α
γ
)
]

{\displaystyle \frac{a-b}{a+b} = \frac{\operatorname{tg}[\frac{1}{2}(\alpha-\beta)]}{\operatorname{tg}[\frac{1}{2}(\alpha+\beta)]}; \frac{b-c}{b+c} = \frac{\operatorname{tg}[\frac{1}{2}(\beta-\gamma)]}{\operatorname{tg}[\frac{1}{2}(\beta+\gamma)]}; \frac{a-c}{a+c} = \frac{\operatorname{tg}[\frac{1}{2}(\alpha-\gamma)]}{\operatorname{tg}[\frac{1}{2}(\alpha+\gamma)]}}

Другое название: формула Региомонтана.

### Теорема котангенсов

*Основная статья: **Теорема котангенсов***

p
−
a

ctg
⁡
(
α

/

2
)

=

p
−
b

ctg
⁡
(
β

/

2
)

=

p
−
c

ctg
⁡
(
γ

/

2
)

=
r

{\displaystyle \frac{p-a}{\operatorname{ctg}(\alpha/2)} = \frac{p-b}{\operatorname{ctg}(\beta/2)} = \frac{p-c}{\operatorname{ctg}(\gamma/2)} = r}

### Решение треугольников

*Основная статья: **Решение треугольников***
Вычисление неизвестных сторон и углов треугольника, исходя из известных, исторически получило название «решения треугольников». При этом используются приведенные выше общие тригонометрические теоремы, а также *признаки равенства и подобия треугольников*.

## Площадь треугольника

Далее используются обозначения

* h
b

{\displaystyle \ h\_b}

 — высота, проведённая на сторону

b

{\displaystyle \ b}

,
# * p

a
b
c

2

{\displaystyle p=\frac{a+b+c}{2}}

 — полупериметр,
* r

{\displaystyle \ r}

 — радиус вписанной окружности,
* R

{\displaystyle \ R}

 — радиус описанной окружности.

Площадь треугольника связана с его основными элементами следующими соотношениями.
1. S

△
A
B
C

=

1
2

b

h
b

{\displaystyle S\_{\triangle ABC}= \frac {1}{2} bh\_b}

, так как

h
b

=
a
sin
⁡
γ

{\displaystyle \ h\_b = a \sin \gamma}

, то:
2. S

△
A
B
C

=

1
2

a
b
sin
⁡
γ

{\displaystyle S\_{\triangle ABC}=\frac {1}{2} ab \sin \gamma}
3. S

△
A
B
C

=

a
b
c

4
R

{\displaystyle S\_{\triangle ABC}=\frac {abc}{4R}}
4. S

△
A
B
C

=

p
(
p
−
a
)
(
p
−
b
)
(
p
−
c
)

=

1
4

(
a
b
c
)
(
b
c
−
a
)
(
a
c
−
b
)
(
a
b
−
c
)

{\displaystyle S\_{\triangle ABC}= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = {1 \over 4}\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}}

 — формула Герона
5. S

△
A
B
C

=

a
2

sin
⁡
β
sin
⁡
γ

2
sin
⁡
α

{\displaystyle S\_{\triangle ABC}= \frac {a^2\sin\beta\sin\gamma}{2\sin\alpha}}
6. S

△
A
B
C

=

2

R
2

sin
⁡
α
sin
⁡
β
sin
⁡
γ

{\displaystyle S\_{\triangle ABC}= {2R^2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}}
7. S

△
A
B
C

=

c
2

2
(
ctg
⁡
α
ctg
⁡
β
)

{\displaystyle S\_{\triangle ABC}=\frac {c^2}{2(\operatorname{ctg}\alpha+\operatorname{ctg}\beta)}}
8. S

△
A
B
C

=

1
2

(

C
A

→

∧

C
B

→

# )

1
2

(

x
A

−

x
C

)
(

y
B

−

y
C

)
−

1
2

(

x
B

−

x
C

)
(

y
A

−

y
C

)

{\displaystyle S\_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{CA}\wedge \overrightarrow{CB})=\frac 12 (x\_A-x\_C)(y\_B-y\_C)-\frac 12(x\_B-x\_C)(y\_A-y\_C)}

 — ориентированная площадь треугольника.
9. S

△
A
B
C

=

1

(

1

h

a

1

h

b

1

h

c

)
(

1

h

c

1

h

b

−

1

h

a

)
(

1

h

a

1

h

c

−

1

h

b

)
(

1

h

a

1

h

b

−

1

h

c

)

{\displaystyle S\_{\triangle ABC}=\frac{1}{\sqrt{(\frac{1}{h\_{a}}+\frac{1}{h\_{b}}+\frac{1}{h\_{c}})(\frac{1}{h\_{c}}+\frac{1}{h\_{b}}-\frac{1}{h\_{a}})(\frac{1}{h\_{a}}+\frac{1}{h\_{c}}-\frac{1}{h\_{b}})(\frac{1}{h\_{a}}+\frac{1}{h\_{b}}-\frac{1}{h\_{c}})}}}

 — см. Аналоги формулы Герона

Частные случаи
1. S

△
A
B
C

=

a
b

2

{\displaystyle S\_{\triangle ABC}=\frac{ab}{2}}

 — для прямоугольного треугольника
# 2. S

a
2

3

4

{\displaystyle S=\frac {a^2\sqrt{3}}{4}}

 — для равностороннего треугольника

### Другие формулы

* Существуют другие формулы, такие, как например,

# S

tg
⁡
α

4

(

b

2

c

2

−

a

2

)

{\displaystyle S = \frac{\operatorname{tg} \alpha}{4}(b^{2}+c^{2}-a^{2})}

для угла α ≠ 90°.

* Обозначим через

r

{\displaystyle \ r}

 — радиус вписанной окружности, а через

r
a

{\displaystyle \ r\_a}

,

r
b

{\displaystyle \ r\_b}

 и

r
c

{\displaystyle \ r\_c}

 — радиусы **вневписанных окружностей**, касающихся соответственно сторон и

a

{\displaystyle \ a}

,

b

{\displaystyle b}

 и

c

{\displaystyle c}

. Тогда имеем

# S

r

r
a

r
b

r
c

{\displaystyle S = \sqrt{rr\_ar\_br\_c}}

или по формуле:
Шаблон:Rp

# S

r
a

(
p
−
a
# )

r
b

(
p
−
b
# )

r
c

(
p
−
c
)

{\displaystyle S=r\_a(p-a)=r\_b(p-b)=r\_c(p-c)}

* В 1885, Бейкер (Baker) предложил список более ста формул площади треугольника. Он, в частности, включает:

# S

1
2

[
a
b
c

h
a

h
b

h
c

]

1

/

3

,

{\displaystyle S = \frac{1}{2}[abch\_ah\_bh\_c]^{1/3},}

# S

1
2

a
b

h
a

h
b

,

{\displaystyle S = \frac{1}{2} \sqrt{abh\_ah\_b},}

# S

a
b

2
(

h
a

−
1

h
b

−
1

)

,

{\displaystyle S = \frac{a+b}{2(h\_a^{-1} + h\_b^{-1})},}

# S

R

h
b

h
c

a

{\displaystyle S = \frac{Rh\_bh\_c}{a}}

.
### Неравенства для площади треугольника

Для площади справедливы неравенства:

* 27

r
2

⩽
S
⩽

27

4

R
2

{\displaystyle \sqrt{27}r^2\leqslant S\leqslant \frac{\sqrt{27}}{4}R^2}

, причём оба равенства достигаются.
* S
⩽

1
4

(

a
2

b
2

)

{\displaystyle S\leqslant \frac{1}{4}(a^2+b^2)}

, где равенство достигается для равнобедренного прямоугольного треугольника.
* Площадь треугольника с периметром *p* меньше или равна

p
2

12

3

,

{\displaystyle \tfrac{p^2}{12\sqrt{3}},}

. Равенство достигается тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний (правильный треугольник)Шаблон:Rp.
* Другие границы для площади *S* даются формуламиШаблон:Rp

4

3

S
≤

a
2

b
2

c
2

{\displaystyle 4\sqrt{3}S \leq a^2+b^2+c^2}

и

4

3

S
≤

9
a
b
c

a
b
c

,

{\displaystyle 4\sqrt{3}S \leq \frac{9abc}{a+b+c}, }

где в обоих случаях равенство достигается тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний (правильный).

## Дополнительные сведения

Все факты, изложенные в этом разделе, относятся к евклидовой геометрии.

* Отрезок, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне, называется **чевианой**. Обычно под чевианой понимают не один такой отрезок, а один из трёх таких отрезков, проведённых из трёх разных вершин треугольника и **пересекающихся в одной точке**. Они удовлетворяют условиям теоремы Чевы.
* **Средней линией** треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника. Три средние линии треугольника разделяют его на четыре равных треугольника в 4 раза меньшей площади, чем площадь исходного треугольника.
* *Серединные перпендикуляры (медиатриссы)* к сторонам треугольника также пересекаются в одной точке, которая совпадает с центром описанной окружности.
* Чевианы, лежащие на прямых, симметричных медианам относительно биссектрис, называются симедианами. Они проходят через одну точку — **точку Лемуана**.
* Чевиана, лежащие на прямых, изотомически сопряжённых биссектрисам относительно оснований медиан, называются антибиссектрисами. Они проходят через одну точку — центр **антибиссектрис**.
* Кливер треугольника — это отрезок, одна вершина которого находится в середине одной из сторон треугольника, вторая вершина находится на одной из двух оставшихся сторон, при этом кливер разбивает периметр пополам.

* Некоторые точки в треугольнике — «парные». Например, существует две точки, из которых все стороны видны либо под углом в 60°, либо под углом в 120°. Они называются **точками Торричелли**. Также существует две точки, проекции которых на стороны лежат в вершинах правильного треугольника. Это — **точки Аполлония**. Точки

P

{\displaystyle P}

 и

Q

{\displaystyle Q}

 такие, что

∠
A
B
# P
∠
B
C
# P
∠
C
A
P

{\displaystyle \angle ABP = \angle BCP = \angle CAP}

 и

∠
B
A
# P
∠
C
B
# P
∠
A
C
P

{\displaystyle \angle BAP = \angle CBP = \angle ACP}

 называются **точками Брокара**.

### Некоторые замечательные прямые треугольника

*Основная статья: **Замечательные прямые треугольника***
* В любом треугольнике центр тяжести, ортоцентр, центр описанной окружности и центр окружности Эйлера лежат на одной прямой, называемой **прямой Эйлера**.
* В любом треугольнике центр тяжести, центр круга, вписанного в него (инцентр), его точка Нагеля и центр круга, вписанного в дополнительный треугольник A′B′C′ (или Центр Шпикера), лежат на одной прямой, называемой **второй прямой Эйлера** (*теорема Хузеля*).
* Прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку Лемуана, называется **осью Брокара**. На ней лежат точки Аполлония.
* Также на одной прямой лежат точки Торричелли и точка Лемуана.
* Если на описанной окружности треугольника взять точку, то её проекции на стороны треугольника будут лежать на одной прямой, называемой **прямой Симсона** данной точки. Прямые Симсона диаметрально противоположных точек описанной окружности перпендикулярны.

### Трилинейные поляры (прямые) треугольника

 Файл:Line at infinity ru.svg
 Файл:Construction of central lines ru.svg
* Трилинейная поляра точки *P* (полюса) относительно невырожденного треугольника это - прямая линия, определяемая следующим построением. Если продолжить стороны чевианного треугольника некоторой точки и взять их точки пересечения с соответствующими сторонами, то полученные точки пересечения будут лежать на одной прямой, называемой *трилинейной полярой* исходной точки (на рис. дано построение трилинейной поляры *EDF* красной точки *Y*).
* Трилинейной полярой *центроида* является *бесконечно удаленная прямая* — (см. рис.)

 Файл:Lemoine Axis ru.svg
* Трилинейная полярой *точки Лемуана* служит **ось Лемуана** (см. рис.)

 Файл:Antiorthic Axis ru.svg
* Все три основания *D*, *E* и *F* трех внешних биссектрис соответственно *AD*, *CE* и *BF* внешних углов треугольника *ABC* лежат на одной прямой, называемой **осью внешних биссектрис** или *антиортовой осью* *DEF* (antiorthic axis) (см. рис.). Эта ось также является трилинейной полярой *центра вписанной окружности* (инцентра).

 Файл:Orthic Axis ru.svg
* **Ортоцентрическая ось** *DEF* (Orthic axis) — трилинейная поляра *ортоцентра* (см. рис.)

### Вписанные и описанные фигуры для треугольника

*Основная статья: **Вписанные и описанные фигуры для треугольника***
### Преобразования

Ниже описаны 3 вида преобразований: 1) Изогональное сопряжение, 2) Изотомическое сопряжение, 3) Изоциркулярноое преобразование.

#### Изогональное сопряжение

* Если прямые, проходящие через вершины и некоторую точку, не лежащую на сторонах и их продолжениях, отразить относительно соответствующих биссектрис, то их образы также пересекутся в одной точке, которая называется **изогонально сопряжённой** исходной (если точка лежала на описанной окружности, то получившиеся прямые будут параллельны).
* *Изогонально сопряжёнными* являются многие пары замечательных точек:
	+ Центр описанной окружности и ортоцентр (точка пересечения высот),
	+ Центроид (точка пересечения *медиан*) и точка Лемуана (точка пересечения *симедиан*),
	+ Центр девяти точек и Шаблон:Не переведено 5 треугольника, связанная с Шаблон:Не переведено 5.
	+ Две точки Брокара,
	+ Точки Аполлония и точки Торричелли,
* Точка Жергонна и центр отрицательной гомотетии вписанной и описанной окружности.
* Точка Нагеля и центр положительной гомотетии вписанной и описанной окружности (точка Веррьера).
* Описанные окружности подерных треугольников изогонально сопряжённых точек совпадают.
* Фокусы вписанных эллипсов изогонально сопряжены.
* Изогональное сопряжение имеет ровно четыре неподвижные точки (то есть точки, которые сопряжены самим себе): центр вписанной окружности и центры вневписанных окружностей треугольника.

#### Изогональные сопряжения линий треугольника

* Под действием изогонального сопряжения прямые переходят в описанные коники, а описанные *коники* — в прямые.
* Так, изогонально сопряжены:
	+ гипербола Киперта и ось Брокара,
	+ гипербола Енжабека и прямая Эйлера,
	+ гипербола Фейербаха и линия центров вписанной и описанной окружностей.
* Некоторые известные кубики — например, кубика Томсона — изогонально самосопряжены в том смысле, что при изогональном сопряжении всех их точек в треугольнике снова получаются кубики.

Шаблон:См. также

#### Изотомическое сопряжение

Если вместо симметричной *чевианы* брать *чевиану*, основание которой удалено от середины стороны так же, как и основание исходной, то такие чевианы также пересекутся в одной точке. Получившееся преобразование называется **изотомическим сопряжением**. Оно также переводит прямые в описанные *коники*.

* *Изотомически сопряжены* следующие точки:
	+ точка Жергонна и Нагеля,
	+ точка пересечения биссектрис (инцентр) и точка пересечения антибиссектрис,
	+ Точке Лемуана (точке пересечения симедиан) треугольника *изотомически сопряжена* его точка Брокара,
	+ Центроид (точка пересечения медиан) изотомически сопряжён сам себе.

При аффинных преобразованиях изотомически сопряжённые точки переходят в изотомически сопряжённые. При *изотомическом сопряжении* в бесконечно удалённую прямую перейдёт описанный эллипс Штейнера.

#### Композиция *изогонального* (или *изотомического*) *сопряжения* и трилинейной поляры

* Композиция *изогонального* (или *изотомического*) *сопряжения* и трилинейной поляры является *преобразованием двойственности*. Это означает то, что если точка, *изогонально* (*изотомически*) сопряжённая точке

X

{\displaystyle X}

, лежит на трилинейной поляре точки

Y

{\displaystyle Y}

, тогда *трилинейная поляра* точки, *изогонально* (*изотомически*) *сопряжённой* точке

Y

{\displaystyle Y}

 лежит на *трилинейной поляре* точки

X

{\displaystyle X}

.
* Трилинейная поляра точки *Y*, изогонально сопряженной для точки *X* треугольника, называется центральной линией точки *X* .

#### Изоциркулярное преобразование

Если в сегменты, отсекаемые сторонами треугольника от описанного круга, вписать окружности, касающиеся сторон в основаниях *чевиан*, проведённых через некоторую точку, а затем соединить точки касания этих окружностей с описанной окружностью с противоположными вершинами, то такие прямые пересекутся в одной точке. Преобразование плоскости, сопоставляющее исходной точке получившуюся, называется *изоциркулярным преобразованием*. Композиция изогонального и изотомического сопряжений является композицией *изоциркулярного преобразования* с самим собой. Эта композиция — проективное преобразование, которое стороны треугольника оставляет на месте, а ось внешних *биссектрис* переводит в бесконечно удалённую прямую.

### Трилинейные поляры треугольника

Если продолжить стороны чевианного треугольника некоторой точки и взять их точки пересечения с соответствующими сторонами, то полученные точки пересечения будут лежать на одной прямой, называемой **трилинейной полярой** исходной точки. *Ортоцентрическая ось* — трилинейная поляра *ортоцентра*; трилинейной полярой *центра вписанной окружности* служит ось *внешних биссектрис*. Трилинейные поляры точек, лежащих на описанной конике, пересекаются в одной точке (для описанной окружности это — точка Лемуана, для описанного эллипса Штейнера — центроид).

### Тригонометрические тождества только с углами

Три положительных угла *α*, *β* и *γ*, каждый из которых меньше 180°, являются углами треугольника тогда и только тогда, когда выполняется любое одно из следующих соотношений:

tg
⁡
α
tg
⁡
β
tg
⁡
# γ
tg
⁡
α
tg
⁡
β
tg
⁡
γ
,

{\displaystyle \operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta + \operatorname{tg}\gamma = \operatorname{tg}\alpha \operatorname{tg}\beta \operatorname{tg}\gamma, }

 (*первое тождество для тангенсов*)
**Замечание**. Соотношение выше применимо только тогда, когда ни один из углов не равен 90° (в таком случае функция тангенса всегда определена).

tg
⁡

α
2

tg
⁡

β
2

tg
⁡

β
2

tg
⁡

γ
2

tg
⁡

γ
2

tg
⁡

α
2

=
1
,

{\displaystyle \operatorname{tg}{\frac{\alpha}{2}}\operatorname{tg}{\frac{\beta}{2}}+\operatorname{tg}{\frac{\beta}{2}}\operatorname{tg}{\frac{\gamma}{2}}+\operatorname{tg}{\frac{\gamma}{2}}\operatorname{tg}{\frac{\alpha}{2}}=1,}

(*второе тождество для тангенсов*)

sin
⁡
(
2
α
)
sin
⁡
(
2
β
)
sin
⁡
(
2
γ
# )
4
sin
⁡
(
α
)
sin
⁡
(
β
)
sin
⁡
(
γ
)
,

{\displaystyle \sin(2\alpha) + \sin(2\beta) + \sin(2\gamma) = 4\sin(\alpha)\sin(\beta)\sin(\gamma),}

 (*первое тождество для синусов*)

sin
2

⁡

α
2

sin
2

⁡

β
2

sin
2

⁡

γ
2

2
sin
⁡

α
2

sin
⁡

β
2

sin
⁡

γ
2

=
1
,

{\displaystyle \sin^2{\frac{\alpha}{2}}+\sin^2{\frac{\beta}{2}}+\sin^2{\frac{\gamma}{2}}+2\sin{\frac{\alpha}{2}}\sin{\frac{\beta}{2}}\sin{\frac{\gamma}{2}}=1,}

 (*второе тождество для синусов*)

cos
2

⁡
α

cos
2

⁡
β

cos
2

⁡
γ
2
cos
⁡
(
α
)
cos
⁡
(
β
)
cos
⁡
(
γ
# )
1
,

{\displaystyle \cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma+2\cos(\alpha)\cos(\beta)\cos(\gamma)=1,}

 (*тождество для косинусов*)

r
R

=
4
sin
⁡

α
2

sin
⁡

β
2

sin
⁡

γ
2

=
cos
⁡
α
cos
⁡
β
cos
⁡
γ
−
1

{\displaystyle \frac {r}{R} = 4\sin\frac {\alpha}{2}\sin\frac {\beta}{2}\sin\frac {\gamma}{2} = \cos\alpha + \cos\beta + \cos\gamma - 1}

 (*тождество для отношения радиусов*)
### Разные соотношения

Метрические соотношения в треугольнике приведены для

△
A
B
C

{\displaystyle \triangle ABC}

:

* a
b

=

a
L

b
L

{\displaystyle {a\over b}={a\_L\over b\_L}}
* l
c

=

a
b
(
a
b
c
)
(
a
b
−
c
)

a
b

=

a
b
−

a
L

b
L

=

2
a
b
cos
⁡

γ
2

a
b

{\displaystyle l\_c = {\sqrt{ab(a+b+c)(a+b-c)}\over{a+b}} = \sqrt{ab-a\_Lb\_L}
= \frac {2ab\cos\frac{\gamma}{2}}{a+b}}
* m
c

=

1
2

2
(

a
2

b
2

)
−

c
2

=

1
2

a
2

b
2

2
a
b
cos
⁡
γ

{\displaystyle m\_c = {1 \over 2}\sqrt{2(a^2+b^2)-c^2} = {1 \over 2}\sqrt{a^2+b^2+2ab \cos \gamma}}
* h
c

=
b
sin
⁡
# α
a
sin
⁡
# β

2
S

c

{\displaystyle h\_c = b\sin\alpha = a\sin\beta = \frac {2S}{c}}
* d
2

=
R
(
R
−
2
r
)

{\displaystyle \ d^2 = R(R - 2r)}

 — формула Эйлера
* r
R

=
4
sin
⁡

α
2

sin
⁡

β
2

sin
⁡

γ
2

=
cos
⁡
α
cos
⁡
β
cos
⁡
γ
−
1

{\displaystyle \frac {r}{R} = 4\sin\frac {\alpha}{2}\sin\frac {\beta}{2}\sin\frac {\gamma}{2} = \cos\alpha + \cos\beta + \cos\gamma - 1}
* a
2

b
2

c
2

=
4
S
(
ctg
⁡
α
ctg
⁡
β
ctg
⁡
γ
# )
2

R
2

(
3
−
(
cos
⁡
2
α
cos
⁡
2
β
cos
⁡
2
γ
)
)

{\displaystyle a^2 + b^2 + c^2 = 4S(\operatorname{ctg}\alpha + \operatorname{ctg}\beta + \operatorname{ctg}\gamma) = 2R^2(3 - (\operatorname{cos}2\alpha + \operatorname{cos}2\beta + \operatorname{cos}2\gamma)) }
* 3
4

(

a

2

b

2

c

2

# )

m
a

2

m
b

2

m
c

2

{\displaystyle \frac{3}{4}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=m\_a^{2}+m\_b^{2}+m\_c^{2}}

Шаблон:Rp

**Где:**

* a

{\displaystyle a}

,

b

{\displaystyle b}

 и

c

{\displaystyle c}

 — стороны треугольника,
* a
L

,

b
L

{\displaystyle a\_L, b\_L}

 — отрезки, на которые биссектриса

l
c

{\displaystyle \ l\_c}

 делит сторону

c

{\displaystyle \ c}

,
* m
a

,

m
b

,

m
c

{\displaystyle m\_a, m\_b, m\_c}

 — медианы, проведённые соответственно к сторонам

a

{\displaystyle a}

,

b

{\displaystyle b}

 и

c

{\displaystyle c}

,
* h
a

,

h
b

,

h
c

{\displaystyle h\_a, h\_b, h\_c}

 — высоты, опущенные соответственно на стороны

a

{\displaystyle a}

,

b

{\displaystyle b}

 и

c

{\displaystyle c}

,
* r

{\displaystyle r}

 — радиус вписанной окружности,
* R

{\displaystyle R}

 — радиус описанной окружности,
# * p

a
b
c

2

{\displaystyle p=\frac{a+b+c}{2}}

 — полупериметр,
* S

{\displaystyle S}

 — площадь,
* d

{\displaystyle d}

 — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей.
* Для любого треугольника, у которого стороны связаны неравенствами

a
≥
b
≥
c

{\displaystyle a \geq b \geq c}

, а площадь равна

S

{\displaystyle S}

, длины срединных перпендикуляров или медиатрис, заключенных внутри треугольника, опущенных на соответствующую сторону (отмеченную нижним индексом), равныШаблон:Rp:

p
a

=

2
a
S

a
2

b
2

−

c
2

,

{\displaystyle p\_a=\tfrac{2aS}{a^2+b^2-c^2},}

p
b

=

2
b
S

a
2

b
2

−

c
2

,

{\displaystyle p\_b=\tfrac{2bS}{a^2+b^2-c^2},}

 and

p
c

=

2
c
S

a
2

−

b
2

c
2

.

{\displaystyle p\_c=\tfrac{2cS}{a^2-b^2+c^2}.}

## Формулы площади треугольника в декартовых координатах на плоскости

Обозначения
* (

x
A

,

y
A

)
;
(

x
B

,

y
B

)
;
(

x
C

,

y
C

)

{\displaystyle \ (x\_A,y\_A) ; (x\_B,y\_B) ; (x\_C,y\_C) }

 — координаты вершин треугольника.

### Общая формула площади треугольника в декартовых координатах на плоскости

S

△
A
B
C

=

1
2

x
A

y
A

1

x
B

y
B

1

x
C

y
C

1

=

x
A

(

y
B

−

y
C

)

x
B

(

y
C

−

y
A

)

x
C

(

y
A

−

y
B

)

2

=

(

x
B

−

x
A

)
(

y
C

−

y
A

)
−
(

x
C

−

x
A

)
(

y
B

−

y
A

)

2

В частности, если вершинаШаблон:Nbsp*A* находится в начале координат (0,Шаблон:Nbsp0), а координаты двух других вершин есть Шаблон:Nowrap и Шаблон:Nowrap, то площадь может быть вычислена в виде Шаблон:Frac от абсолютного значения определителя

# T

1
2

det

(

x
B

x
C

y
B

y
C

)

=

1
2

x
B

y
C

−

x
C

y
B

.

Последнюю формулу площади треугольника в английской литературе именуют формулой площади, заключенной внутри ломаной натянутого на гвозди шнурка (Шаблон:Lang-en2), или геодезической формулой (Шаблон:Lang-en2), или формулой площади Гаусса.

### Вычисление площади треугольника в пространстве с помощью векторов

Пусть вершины треугольника находятся в точках

r

A

(

x
A

,

y
A

,

z
A

)

{\displaystyle \ \mathbf{r}\_A (x\_A,y\_A,z\_A)}

,

r

B

(

x
B

,

y
B

,

z
B

)

{\displaystyle \ \mathbf{r}\_B (x\_B,y\_B,z\_B)}

,

r

C

(

x
C

,

y
C

,

z
C

)

{\displaystyle \ \mathbf {r}\_C (x\_C,y\_C,z\_C)}

.

Введём вектор площади

S

=

1
2

[

r

B

−

r

A

,

r

C

−

r

A

]

{\displaystyle \ \mathbf{S} =\frac12 [\mathbf{r}\_B-\mathbf{r}\_A,\mathbf{r}\_C-\mathbf{r}\_A]}

. Длина этого вектора равна площади треугольника, а направлен он по нормали к плоскости треугольника:

S

=

1
2

i

j

k

x
B

−

x
A

y
B

−

y
A

z
B

−

z
A

x
C

−

x
A

y
C

−

y
A

z
C

−

z
A

{\displaystyle
 \mathbf{S} =\frac12
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
x\_B - x\_A & y\_B - y\_A & z\_B - z\_A \\
x\_C - x\_A & y\_C - y\_A & z\_C - z\_A
\end{vmatrix}
}

Положим

S

=

S
x

i

S
y

j

S
z

k

{\displaystyle \mathbf{S} =S\_x \mathbf{i}+ S\_y \mathbf{j}+ S\_z \mathbf{k}}

, где

S
x

{\displaystyle S\_x}

,

S
y

{\displaystyle S\_y}

,

S
z

{\displaystyle S\_z}

 — проекции треугольника на координатные плоскости. При этом

S
x

=

1
2

y
B

−

y
A

z
B

−

z
A

y
C

−

y
A

z
C

−

z
A

=

1
2

1

y
A

z
A

1

y
B

z
B

1

y
C

z
C

{\displaystyle
S\_x =\frac12
\begin{vmatrix}
y\_B - y\_A & z\_B - z\_A \\
y\_C - y\_A & z\_C - z\_A
\end{vmatrix} = \frac12
\begin{vmatrix}
1 & y\_A & z\_A \\
1 & y\_B & z\_B \\
1 & y\_C & z\_C
\end{vmatrix}
}

и аналогично

S
y

=

1
2

x
A

1

z
A

x
B

1

z
B

x
C

1

z
C

,

S
z

=

1
2

x
A

y
A

1

x
B

y
B

1

x
C

y
C

1

{\displaystyle
S\_y =\frac12
\begin{vmatrix}
x\_A & 1 & z\_A \\
x\_B & 1 & z\_B \\
x\_C & 1 & z\_C
\end{vmatrix}, \qquad
S\_z =\frac12
\begin{vmatrix}
x\_A & y\_A & 1 \\
x\_B & y\_B & 1 \\
x\_C & y\_C & 1
\end{vmatrix}
}

Площадь треугольника равна

# S

S
x
2

S
y
2

S
z
2

{\displaystyle S=\sqrt{S\_x^2+S\_y^2+S\_z^2}}

.

Альтернативой служит вычисление длин сторон (по теореме Пифагора) и далее по формуле Герона.

### Вычисление площади треугольника через комплексные декартовы координаты его вершин

Если обозначить комплексные декартовы координаты (на комплексной плоскости) вершин треугольника соответственно через Шаблон:Nowrap, Шаблон:Nowrap и Шаблон:Nowrap и обозначить их комплексно сопряженные точки соответственно через

a
¯

{\displaystyle \bar{a}}

,

b
¯

{\displaystyle \bar{b}}

 и

c
¯

{\displaystyle \bar{c}}

, тогда получим формулу:

# T

i
4

a

a
¯

1

b

b
¯

1

c

c
¯

1

,

{\displaystyle T=\frac{i}{4}\begin{vmatrix}a & \bar a & 1 \\ b & \bar b & 1 \\ c & \bar c & 1 \end{vmatrix}, }

что эквивалентно формуле площади, заключенной внутри ломаной натянутого на гвозди шнурка (*shoelace formula*), или геодезической формуле (*surveyor’s formula*), или формуле площади Гаусса.

## Треугольник в неевклидовых геометриях

### На сфере

*Основная статья: **Сферический треугольник***
 Файл:Spherical triangle 3d opti.png
Свойства треугольника со сторонами *a*, *b*, *c* и углами *A*, *B*, *C*.

Сумма углов (невырожденного) треугольника строго больше

π

{\displaystyle \pi }

.

Любые подобные треугольники равны.

Теорема синусов (здесь и далее сторону сферического треугольника принято измерять не линейной мерой, а величиной опирающегося на неё центрального угла):

sin
⁡
A

sin
⁡
a

=

sin
⁡
B

sin
⁡
b

=

sin
⁡
C

sin
⁡
c

,

{\displaystyle \frac{\sin A}{\sin a} = \frac{\sin B}{\sin b} = \frac{\sin C}{\sin c},}

Теоремы косинусов:

cos
⁡
# c
cos
⁡
a
cos
⁡
b
−
sin
⁡
a
sin
⁡
b
cos
⁡
C
,

{\displaystyle \cos c=\cos a\cos b-\sin a\sin b \cos C,}

cos
⁡
# C
−
cos
⁡
A
cos
⁡
B
sin
⁡
A
sin
⁡
B
cos
⁡
c
,

{\displaystyle \cos C= -\cos A\cos B+\sin A\sin B \cos c,}

### На плоскости Лобачевского

*Основная статья: **плоскость Лобачевского***
Для треугольника со сторонами *a*, *b*, *c* и углами *A*, *B*, *C*.

Сумма углов (невырожденного) треугольника строго меньше

π

{\displaystyle \pi }

.

Как и на сфере, любые подобные треугольники равны.

Теорема синусов

sin
⁡
A

sinh
⁡
a

=

sin
⁡
B

sinh
⁡
b

=

sin
⁡
C

sinh
⁡
c

,

{\displaystyle \frac{\sin A}{\sinh a} = \frac{\sin B}{\sinh b} = \frac{\sin C}{\sinh c},}

Теоремы косинусов

cosh
⁡
# c
cosh
⁡
a
cosh
⁡
b
−
sinh
⁡
a
sinh
⁡
b
cos
⁡
C
,

{\displaystyle \cosh c=\cosh a\cosh b-\sinh a\sinh b \cos C,}

cos
⁡
# C
−
cos
⁡
A
cos
⁡
B
sin
⁡
A
sin
⁡
B
cosh
⁡
c
,

{\displaystyle \cos C= -\cos A\cos B+\sin A\sin B \cosh c,}

### Связь суммы углов с площадью треугольника

Значение для суммы углов треугольника во всех трёх случаях (евклидова плоскость, сфера, плоскость Лобачевского) является следствием формулы Гаусса — Бонне

∫

Ω

K
d
σ

∑
i

ϕ
i

=
2
π
χ

{\displaystyle \int\limits\_{\Omega} K d \sigma + \sum\_i \phi\_i = 2 \pi \chi }

В случае треугольника эйлерова характеристика χ=1. Углы φi — это внешние углы треугольника. Значение величины *K* (гауссовой кривизны) — это *K=0* для евклидовой геометрии, *K=1* для сферы, *K=-1* для плоскости Лобачевского.

Шаблон:В планах

## История изучения

*Основная статья: **История тригонометрии***
Свойства треугольника, изучающиеся в школе, за редким исключением, известны с ранней античности. Зачатки тригонометрических знаний можно найти в математических рукописях Древнего Египта, Вавилона и Древнего Китая. Главным достижением этого периода стало соотношение, позже получившее имя теоремы Пифагора; Ван дер Варден считает, что вавилоняне открыли его между 2000 и 1786 годами до н. э.

Общая и достаточно полная теория геометрии треугольников (как плоских, так и сферических) появилась в Древней ГрецииШаблон:Sfn. В частности, во второй книге «Начал» Евклида теорема 12 представляет собой словесный аналог теоремы косинусов для тупоугольных треугольниковШаблон:Sfn. Следующая за ней теорема 13 — вариант теоремы косинусов для остроугольных треугольников.

В IV веке, после упадка античной науки, центр развития математики переместился в Индию. Сочинения индийских математиков (сиддханты) показывают, что их авторы были хорошо знакомы с трудами греческих астрономов и геометровШаблон:Sfn. Чистой геометрией индийцы интересовались мало, но их вклад в прикладную астрономию и расчётные аспекты тригонометрии очень значителен.

В VIII веке учёные стран Ближнего и Среднего Востока познакомились с трудами древнегреческих и индийских математиков и астрономов. Их астрономические трактаты, аналогичные индийским сиддхантам, назывались «зиджи»; типичный зидж представлял собой сборник астрономических и тригонометрических таблиц, снабжённый руководством по их использованию и (не всегда) изложением общей теорииШаблон:Sfn. Сравнение зиджей периода VIII—XIII веков показывает быструю эволюцию тригонометрических знаний. Самые ранние из сохранившихся трудов принадлежат ал-Хорезми и ал-Марвази (IX век).

Сабит ибн Курра (IX век) и ал-Баттани (X век) первыми открыли фундаментальную теорему синусов для частного случая прямоугольного сферического треугольника. Для произвольного сферического треугольника доказательство было найдено (разными способами и, вероятно, независимо друг от друга) Абу-л-Вафой, ал-Худжанди и ибн Ираком в конце X векаШаблон:Sfn. В другом трактате ибн Ирака сформулирована и доказана теорема синусов для плоского треугольникаШаблон:Sfn. Сферическая теорема косинусов в общем виде сформулирована в странах ислама не была, однако в трудах Сабита ибн Курры, ал-Баттани и других астрономов имеются эквивалентные ей утвержденияШаблон:Sfn.

Фундаментальное изложение тригонометрии как самостоятельной науки (как плоской, так и сферической) дал персидский математик и астроном Насир ад-Дин ат-Туси в 1260 году. Его «Трактат о полном четырёхстороннике» содержит практические способы решения типичных задач, в том числе труднейших, решенных самим ат-Туси — например, построение сторон сферического треугольника по заданным трём углам. Таким образом, к концу XIII века были открыты базовые теоремы, необходимые для практической работы с треугольниками.

В Европе развитие тригонометрической теории стало чрезвычайно важным в Новое время, в первую очередь для артиллерии, оптики и навигации при дальних морских путешествиях. В 1551 году появились 15-значные тригонометрические таблицы Ретика, ученика Коперника, с шагом 10"Шаблон:Sfn. Потребность в сложных тригонометрических расчётах вызвала в начале XVII века открытие логарифмов, причём первые логарифмические таблицы Джона Непера содержали только логарифмы тригонометрических функций. Среди других открытий Непера — эффективный алгоритм решения сферических треугольников, получивший название «формулы аналогии Непера».

Изучение свойств треугольника продолжилось в XVII веке: была доказана теорема Дезарга (1636], открыты некоторые свойства точки Торричелли (1659). В XVIII веке была обнаружена прямая Эйлера и окружность шести точек (1765). В 1828 году была доказана теорема Фейербаха. В начале XIX века была открыта точка Жергонна. Алгебраизация тригонометрии, начатая Франсуа Виетом, была завершена Леонардом Эйлером в XVIII веке.

Многие факты, связанные с треугольником, были открыты в конце XIX века. К этому времени относится творчество Эмиля Лемуана, Анри Брокара, Жозефа Нойберга, Пьера Сонда́.

## См. также

Дополнительные статьи о геометрии треугольника можно найти в категориях:

* Категория:Геометрия треугольника.
* Категория:Теоремы евклидовой геометрии
* Глоссарий планиметрии

## Примечания

1. ↑ Шаблон:Книга
2. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег `<ref>`; для сносок `SEM218` не указан текст
3. ↑ 3,0 3,1 3,2 Altshiller-Court, Nathan, *College Geometry*, Dover, 2007.
4. ↑ Ошибка цитирования Неверный тег `<ref>`; для сносок `SEM221` не указан текст
5. ↑ 5,0 5,1 Longuet-Higgins, Michael S., «On the ratio of the inradius to the circumradius of a triangle», *Mathematical Gazette* 87, March 2003, 119—120.
6. ↑ 6,0 6,1 6,2 Ошибка цитирования Неверный тег `<ref>`; для сносок `SEM219` не указан текст
7. ↑ Mitchell, Douglas W., "The area of a quadrilateral, " *Mathematical Gazette* 93, July 2009, 306—309.
8. ↑ Pathan, Alex, and Tony Collyer, "Area properties of triangles revisited, " *Mathematical Gazette* 89, November 2005, 495—497.
9. ↑ Sa ́ndor Nagydobai Kiss, "A Distance Property of the Feuerbach Point and Its Extension", *Forum Geometricorum* 16, 2016, 283–290. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201634.pdf
10. ↑ Baker, Marcus, "A collection of formulae for the area of a plane triangle, " *Annals of Mathematics*, part 1 in vol. 1(6), January 1885, 134—138; part 2 in vol. 2(1), September 1885, 11-18. The formulas given here are #9, #39a, #39b, #42, and #49. The reader is advised that several of the formulas in this source are not correct.
11. ↑ Chakerian, G. D. «A Distorted View of Geometry.» Ch. 7 in *Mathematical Plums* (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979: 147.
12. ↑ Rosenberg, Steven; Spillane, Michael; and Wulf, Daniel B. «Heron triangles and moduli spaces», *Mathematics Teacher* 101, May 2008, 656—663.
13. ↑ Posamentier, Alfred S., and Lehmann, Ingmar, *The Secrets of Triangles*, Prometheus Books, 2012.
14. ↑ *Rigby, John* (1997), Brief notes on some forgotten geometrical theorems. Mathematics and Informatics Quarterly, volume 7, pages 156-158 (as cited by Kimberling).
15. ↑ Шаблон:Книга
16. ↑ Шаблон:Cite journal
17. ↑ Шаблон:Cite book
18. ↑ 18,0 18,1 Vardan Verdiyan & Daniel Campos Salas, «Simple trigonometric substitutions with broad results», *Mathematical Reflections* no 6, 2007.
19. ↑ Mitchell, Douglas W. (2013), «Perpendicular Bisectors of Triangle Sides», *Forum Geometricorum* 13, 53-59.
20. ↑ 20,0 20,1 Шаблон:Cite journal
21. ↑ Шаблон:Книга
22. ↑ *Туси Насирэддин*. Трактат о полном четырёхстороннике. Баку, Изд. АН АзССР, 1952.
23. ↑ Шаблон:Книга
24. ↑ Шаблон:Книга

## Литература

* *Адамар Ж.* Элементарная геометрия. Часть 1: Планиметрия. Изд. 4-е, М.: Учпедгиз, 1957. 608 с.
* Шаблон:Книга
	+ Переиздание: М.: АСТ, 2006, ISBN 5-17-009554-6, 509 с.
* *Ефремов Дм.* Новая геометрия треугольника. Одесса, 1902.
* Шаблон:Книга
* Шаблон:Книга:Коксетер. Грейтцер. Новые встречи с геометрией
* Шаблон:Книга
* Шаблон:Книга
* Шаблон:Книга:Элементарная геометрия. Понарин

История
* Шаблон:Книга
* История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М.: Наука.
	+ Шаблон:Книга
	+ Шаблон:Книга
	+ Шаблон:Книга
* Шаблон:Книга

## Ссылки

Шаблон:Викисловарь

* Расчёт элементов треугольника
* Расчёт параметров треугольника по координатам его вершин

**Ошибка Lua в package.lua на строке 80: module 'Module:Arguments' not found.**