Taller Sesión 2A. Clasificación de señales y señales singulares

## **Propiedades del Impulso y del Doblete unitario**

El primer punto a realizar consta de integraciones con respecto a funciones en el tiempo y el impulso unitario, utilizando las propiedades de los anteriores mencionados.

∫

−
∞

∞

[

t
2

e

−
2
t

]
δ
(
2
t
−
5
)
d
t

{\displaystyle \int\_{-\infty}^{\infty} [t^2+e^{-2t}]\delta(2t-5)dt}

En este caso, se presenta una integral en la que se multiplica una función x(t) con el impulso unitario, entonces la función x(t) significará un escalar cuándo se evalúe en los límites de integración y le dará la amplitud al impulso unitario.

Con respecto al impulso unitario, se procede a realizar la definición formal para facilitar la comprensión del ejercicio:

δ
(
t
# )

{

1
,

Si
# t
0

0
,

otherwise

{\displaystyle \delta(t) = \begin{cases} 1, & \text{Si } t=0 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}}

Entonces, se puede replantear la integral entre las sumas de las integrales replanteando los límites:

∫

−
∞

−
2

/

5

0

∫

−
2

/

5

−
2

/

5

[

t
2

e

−
2
t

]
δ
(
2
t
−
5
)
d
t

∫

−
2

/

5

∞

0

{\displaystyle \int\_{-\infty}^{-2/5} 0 + \int\_{-2/5}^{-2/5} [t^2+e^{-2t}]\delta(2t-5)dt + \int\_{-2/5}^{\infty} 0}

Como esto corresponde a la integral en un punto (que es el único momento en el tiempo en el que la multiplicación no se hace cero), entonces se evalúa directamente en la función y la integral desaparece:

t
2

e

−
2
t

# t
−
2

/

5

=
2.38

{\displaystyle t^2+e^{-2t}|\_{t = -2/5} = 2.38}

Obteniendo como valor del área bajo la curva, en este caso, la amplitud del impulso es de 2.38.

Ahora continuamos con el segundo ejercicio:

∫

−
10

10

[

t
2

1
]

∑

# n
−
∞

∞

δ
(
t
−
5
n
)
d
t

{\displaystyle \int\_{-10}^{10} [t^2+1] \sum\_{n=-\infty}^\infty \delta(t-5n) dt}

La sumatoria lo que nos indica es que cada t = 5n habrá un impulso desde el menos infinito hasta el infinito, es decir, cada multiplo de 5 habrá un nuevo impulso, pero como la integral nos converge únicamente entre -10 y 10, entonces los posibles impulsos que pueden haber en ese rango son 5, lo que significa que en la sumatoria se avanza desde -2 hasta 2, de la siguiente manera:

Por ende, esto se puede ver como la suma de integrales en los únicos puntos donde hay una función (los impulsos unitarios), o para temas de entendimiento, la única área en el eje de coordenadas es la que hay en los impulsos, por ende se sumará el área que corresponde a cada impulso. OJO, la amplitud de los impulsos no son iguales, ya que depende de la posición en el tiempo, solo se realizó de dicha manera para comprender lo que significa la sumatoria de impulsos acotada por los límites de integración.

∫

−

10
−

−

10

[

t
2

1
]
δ
(
t
10
)
d
t

∫

−

5
−

−

5

[

t
2

1
]
δ
(
t
5
)
d
t

∫

0
−

0

[

t
2

1
]
δ
(
t
)
d
t

{\displaystyle \int\_{-10^-}^{-10^+} [t^2+1] \delta(t+10)dt+\int\_{-5^-}^{-5^+} [t^2+1] \delta(t+5)dt+\int\_{0^-}^{0^+} [t^2+1] \delta(t)dt}

∫

5
−

5

[

t
2

1
]
δ
(
t
−
5
)
d
t

∫

10
−

10

[

t
2

1
]
δ
(
t
−
10
)
d
t

{\displaystyle +\int\_{5^-}^{5^+} [t^2+1] \delta(t-5)dt+\int\_{10^-}^{10^+} [t^2+1] \delta(t-10)dt}

Lo que se realizó fue básicamente realizar la sumatoria de integrales en los puntos especificos, lo que significa que la integral desaparece y se evalúa la función x(t) en el punto presentes en los límites de integración.

=
[
(
−
10

)
2

1
]
[
(
−
5

)
2

1
]
[
(
0

)
2

1
]
[
(
5

)
2

1
]
[
(
10

)
2

1
# ]
255

{\displaystyle =[(-10)^2+1]+[(-5)^2+1]+[(0)^2+1]+[(5)^2+1]+[(10)^2+1] = 255}

Pasando con el tercer punto:

∫

−
∞

∞

[
c
o
s
(
5
π
t
)

e

−
3
t

]

d
2

δ
(
t
−
2
)

d

t
2

d
t

{\displaystyle \int\_{-\infty}^{\infty} [cos(5\pi t)+e^{-3t}]\tfrac{d^2\delta(t-2)}{dt^2}dt}

En este caso, se trata del mismo caso anterior, solo que ahora se presenta el "Doblete Unitario", que consta de ver el impulso unitario curva, como se muestra en la siguiente imagen:

Entonces, lo que corresponde a la derivada del impulso es a lo que se le conoce al Doblete Unitario, en el cuál mediante las propiedades fue posible el desarrollar el ejercicio, dicha propiedad expresa lo siguiente:

Lo que nos indica es que si se está realizando la integral de la multiplicación de una función x(t) con la derivada n-ésima del impulso, el resultado será la multiplicación de menos uno al cuadrado con la derivada n-ésima de la función x(t). Por ende, el desarrollo de la solución de este ejercicio se facilita significativamente al conocer dicha propiedad, ya que básicamente se trata de una derivada de la función x(t) y una multiplicación.

Para el caso del ejemplo:

x
(
t
# )
c
o
s
(
5
π
(
t
−
2
)
)

e

−
3
(
t
−
2
)

{\displaystyle x(t)=cos(5\pi (t-2))+e^{-3(t-2)}}

Entonces se realiza la primera derivada con respecto al tiempo dicha función, la derivada de un sumando se puede dividir en dos, por ende realizamos primero la derivada de la función trigonométrica coseno corresponde al menos seno y mediante la regla de la cadena, se múltiplica por la derivada interna; Procediendo con el exponencial, su derivada es la misma expresión y por regla de la cadena se múltiplica con la derivada interna, es decir, con la derivada del exponente. obteniendo como resultado:

x
′

(
t
# )
−
s
i
n
(
5
π
(
t
−
2
)
)
∗
5
π
−
3

e

−
3
(
t
−
2
)

{\displaystyle x'(t)=-sin(5\pi (t-2))\*5\pi-3e^{-3(t-2)}}

Aplicando las anteriores reglas mencionadas, se procede de la misma manera para realizar la segunda derivada a la función ya derivada la primera vez:

x
″

(
t
# )
−
25

π
2

c
o
s
(
5
π
(
t
−
2
)
)
9

e

−
3
(
t
−
2
)

{\displaystyle x''(t)=-25\pi^2cos(5\pi (t-2))+9e^{-3(t-2)}}

Concluyendo así el ejercicio y el conjunto de ejercicios con respecto a la integración de señales con impulsos unitarios.

## **Señales Periódicas y Aperiódicas**

Se procede a realizar la sección de comprobación de la periodicidad o aperiodicidad de las señales, en este caso nuestro objetivo es poder analizar las señales y sacar una conclusión a partir de su comportamiento.

Se tiene entonces como primer señal:

x
(
t
# )
c
o
s
(
5
π
t
)
s
i
n
(
5
π
t
)

{\displaystyle x(t)=cos(5\pi t)+sin(5\pi t)}

Para resolver esto hay varios métodos, se puede graficar, se puede hallar el periodo y esta última será la que usaremos.

Cabe resaltar que tiene la siguiente forma:

x
(
t
# )
c
o
s
(
A
t
)
s
i
n
(
A
t
)

{\displaystyle x(t)=cos(At)+sin(At)}

La periodicidad del coseno y del seno corresponde a 2\*pi, pero como se está multiplizando a la variable t, entonces el periodo de ámbas cambian. Para hallar el nuevo periodo se aplica lo siguiente:

P
e
r
i
o
d
o
C
o
s
e
n
o

C
o
n
s
t
a
n
t
e
A

=

2
π

5
π

=

2
5

{\displaystyle \frac{PeriodoCoseno}{ConstanteA} = \frac{2\pi}{5\pi} = \frac{2}{5}}

Esto corresponde para el Coseno y el seno, por ende, ámbos tienen periodo 2/5. Ahora, para comprobar que es periodica entonces se debe cumplir la siguiente propiedad:

x
(
t
# )
x
(
t
T
)

{\displaystyle x(t)=x(t+T)}

 donde T es el periodo de x(t):

x
(

2
5

# )
c
o
s
(
5
π
(

2
5

)
)
s
i
n
(
5
π
(

2
5

)
# )
1

{\displaystyle x(\frac{2}{5})=cos(5\pi (\frac{2}{5}))+sin(5\pi (\frac{2}{5}))=1}

x
(

2
5

2
5

# )
c
o
s
(
5
π
(

2
5

2
5

)
s
i
n
(
5
π
(

2
5

2
5

# )
1

{\displaystyle x(\frac{2}{5}+\frac{2}{5})=cos(5\pi (\frac{2}{5}+\frac{2}{5})+sin(5\pi (\frac{2}{5}+\frac{2}{5}) =1}

Por ende,

x
(

2
5

# )
x
(

2
5

2
5

)

{\displaystyle x(\frac{2}{5})=x(\frac{2}{5}+\frac{2}{5})}

Y se puede concluir que x(t) es periodica, podemos verificarlo gráficamente mediante la herramienta de graficación Geogebra también:

En la primera figura se tiene que el punto está ubicado en el punto (0.05,1.412) y en la segunda figura el punto corresponde a (0.45,1.412), es decir, diferencia de 0.4 entre un punto a otro, eso corresponde al periodo, tal como lo comprobamos por el método teórico y en la gráficamente.

Se presenta ahora el segundo punto:

m
(
t

# n
−
∞

∞

[
(
t
1
−
2
n
)
u
(
t
1
−
2
n
)
(
t
−
1
−
2
n
)
u
(
t
−
1
−
2
n
)
−
2
u
(
t
−
2
n
)
]

{\displaystyle m(t)=\sum\_{n=-\infty}^\infty [(t+1-2n)u(t+1-2n)+(t-1-2n)u(t-1-2n)-2u(t-2n)]}

En este caso se está trabajando con escalones unitarios, que es lo que representa la "u" y como queremos observar si es periódica o no, se averiguará por el método gráfico, para ellos, debemos asignarle valores a la n y graficar los escalones, se recomienda empezar desde n = -1 hasta n = 1, como se observa la siguiente imagen:

Entonces, lo que se propone para desarrollar el ejercicio es realizar primero los impulsos con sus respectivas amplitudes y pendientes, para después desplazar todo 2 unidades como lo dicta el factor -2u(t-2n), en los 3 instantes de n mencionados anteriormente, n = -1, n = 0 y n = 1, obteniendo como resultado la siguiente gráfica:

En este caso están de manera independiente, es decir, no se ha realizado la suma para los tres instantes, pero con esto es suficiente para darnos cuenta de la aperiodicidad de la señal; Y, ¿Por qué podemos afirmar esto? Bueno, pues al ser una suma, esas 3 rectas infinitas en el tiempo lo que harán será ir escalando hacía el infinito, es decir, supongamos que la primera es la azul, entonces la recta que tiende al infinito se sumará con toda la verde y se escalonará unas unidades hacía arriba, luego se sumará con la recta infinita verde y así sucesivamente pasará con todas las demás tendiendo al infinito en el eje vertical mientras se avanza en el tiempo, por ende, es posible concluir que la señal es aperiódica en el tiempo.

**Punto 3.**

Se tiene la siguiente señal:

g
(
t

# n
−
∞

∞

u
(
t

1
2

−
3
n
)
−
u
(
t
−

1
2

−
3
n
)

{\displaystyle g(t)=\sum\_{n=-\infty}^\infty u(t+\frac{1}{2} -3n) -u(t- \frac{1}{2} -3n)}

En primer lugar, antes de descifrar que tipo de señal es se sugiere primero graficar las siguientes expresiones:

--Señal A--

u
(
t

1
2

3
)
−
u
(
t
−

1
2

3
)

{\displaystyle u(t+\frac{1}{2} +3) -u(t- \frac{1}{2} +3) }

--Señal B--

u
(
t

1
2

)
−
u
(
t
−

1
2

)

{\displaystyle u(t+\frac{1}{2} ) -u(t- \frac{1}{2}) }

--Señal C--

u
(
t

1
2

−
3
)
−
u
(
t
−

1
2

−
3
)

{\displaystyle u(t+\frac{1}{2} -3) -u(t- \frac{1}{2} -3) }

En donde se obtiene las siguientes gráficas:

Como se puede observar, las tres señales anteriores eran restas de dos funciones escalón unitario desplazado en el tiempo. Hay que tener en cuenta que a medida que al escalón se le agregue un término que está operando al tiempo, este se desplaza a la derecha o a la izquierda dependiendo del signo de la constante. Las observaciones de las gráficas fueron las siguientes:

* Para empezar, la Señal A da como resultado un pulso cuadrado de ancho de 1 segundos y ubicado en -3.
* En segundo lugar, la Señal B da como resultado un pulso cuadrado de ancho 1 y ubicado en 0.
* En tercer lugar, la Señal C da como resultado un pulso cuadrado de ancho 1 y ubicado en 3.

Finalmente, se puede deducir que la señal A, B y C son términos de la sumatoria del ejercicio, cuando n es igual a -1, 0 y 1 respectivamente. Por lo que se deduce que la señal de este ejercicio es un tren de impulsos que va desde menos infinito hasta infinito. Sin embargo, para afirmar esa hipótesis es necesario analizar la suma de estas tres señales.

En conclusión, como los tres pulsos encuentran espaciados podemos confirmar que los siguientes pulsos resultantes de la sumatoria se encontrarán espaciados equidistantemente formando un tren de pulsos, una señal periódica con periodo 3.

## Potencia y Energía normalizada

**Punto 1.**

Se tiene la siguiente señal:

x
(
t
# )
cos
⁡
(
4
π
t

2
π

3

)

{\displaystyle x(t)=\cos(4\pi t + \frac{2\pi}{3})}

En primer lugar, dado la señal que vamos a analizar es un coseno, entonces podemos afirmar que la señal tiene energía infinita al ser periódica. Es decir, el resultado diverge.

# E

∫

−
∞

∞

cos
⁡
(
4
π
t

2
π

3

)

2

d
# t
∞

{\displaystyle E = \int\_{-\infty}^{\infty} |\cos(4\pi t + \frac{2\pi}{3})|^2dt = \infty}

Ya que la energía es infinita, podríamos decir que la señal como una señal de potencia, sin embargo necesitaremos encontrar su potencia normalizada. Por lo que procederemos a calcularla a través de la fórmula.

# P

lim

T
→
∞

1

2
T

∫

−
T

T

x
(
t
)

2

d
t

{\displaystyle P = \lim\_{T \to \infty}\frac{1}{2T}\int\_{-T}^{T} |x(t)|^2 dt}

Como es una señal periódica podemos tomar un periodo dentro de la integral resultando:

# P

lim

T
→
∞

∫

0

1

/

2

cos
2

⁡
(
4
π
t

2
π

3

)
d
# t
0.125

{\displaystyle P = \lim\_{T \to \infty}\int\_{0}^{1/2}\cos^2(4\pi t + \frac{2\pi}{3})dt = 0.125}

En conclusión, como la energía de esta señal es infinita y su potencia es un valor positivo que no diverge podemos clasificar con firmeza que la señal es una señal de potencia.

**Punto 2.**

Se tiene la siguiente señal:

m
(
t
# )

e

−
2
t

∗
u
(
t
)

{\displaystyle m(t)=e^{-2t}\*u(t)}

Como podemos observar, la señal m es el resultado de una multiplicación de un escalón unitario con una exponencial negativa, por lo que podemos concluir que es una señal derecha y tiende a 0 en infinito. Como se puede observar en la siguiente gráfica:

Por lo tanto, al no ser una señal periódica, la energía de la señal no diverge. Por esta razón, procederemos a calcular la energía de acuerdo a la fórmula:

# E

∫

−
∞

∞

e

−
2
t

∗
u
(
t
)

2

d
t

{\displaystyle E = \int\_{-\infty}^{\infty} |e^{-2t}\*u(t)|^2dt}

Dado que a señal es derecha, podemos cambiar los límites de la integral desde 0 hasta infinito y así eliminaremos el escalón unitario de la integral como se puede ver a continuación:

# E

∫

0

∞

e

−
2
t

2

d
t

{\displaystyle E = \int\_{0}^{\infty} |e^{-2t}|^2dt}

Si resolvemos la integral la energía nos dará:

# E

∫

0

∞

e

−
2
t

2

d
# t

1
4

{\displaystyle E = \int\_{0}^{\infty} |e^{-2t}|^2dt = \frac{1}{4}}

Posteriormente, procederemos a calcular la potencia normalizada, para ello emplearemos la ecuación:

# P

lim

T
→
∞

1

2
T

∫

−
T

T

e

−
2
t

∗
u
(
t
)

2

d
t

{\displaystyle P = \lim\_{T \to \infty}\frac{1}{2T}\int\_{-T}^{T} |e^{-2t}\*u(t)|^2 dt}

Dado que en una señal no periódica el periodo es infinito, se deduce que la potencia es 0 porque en la ecuación anterior tendríamos multiplicando a la integral una fracción con denominador infinito que es igual a 0 y cancela la integral.

Por lo tanto, al ser una señal con energía finita y potencia 0 se concluye que es una señal de Energía.

**Punto 3.**
Se tiene la siguiente señal:

g
(
t
# )

e

−
3

t

{\displaystyle g(t)=e^{-3|t|}}

Como podemos observar, la señal g es una señal bilateral, el cuál se haya mediante la suma de las siguientes señales:

g
1
(
t
# )

e

−
3
t

{\displaystyle g1(t)=e^{-3t}}

Cuando t va desde 0 hasta infinito

g
2
(
t
# )

e

3
t

{\displaystyle g2(t)=e^{3t}}

Cuando t va desde menos infinito hasta 0
Como se puede observar en la siguiente gráfica:

Ya que sabemos que la señal del ejercicio pasado es una señal de Energía al ser una señal no periódica, procedemos a concluir que la potencia normalizada de esta señal es 0 y posteriormente hallamos su energía de la misma manera que se explicó anteriormente:

# E

∫

−
∞

∞

e

−
3

t

2

d
t

Se separa la exponencial de acuerdo a las propiedades del valor absoluto:

# E

∫

0

∞

e

−
3
t

2

d
t

∫

−
∞

0

e

3
t

2

d
t

Se calcula finalmente el resultado:

# E

∫

0

∞

e

−
3
t

2

d
t

∫

−
∞

0

e

3
t

2

d
# t

1
3

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