Teremió dé cotangentas

Ens trigonométria, ét **teremió dé cotangentas** es et relaziónegá giuso ét ladia dé et triángulo d'bretas én ét cotangentas dé traí grais d'rotes.

Silusé a ét traí quantitiés quiél equalitié es expresar bie ét teremió dé síns ser equál a ét diagalo dé tione circuscribaró dé triángulo. Ét teremió dé tangentas énto relatar a ét radia dé tione inscribaró dé et triángulo (ét radia dé tione inscribaró) a bous bretas én grais.

## Tinivazión

Usir ét notazión usuál dés et triángulo, dalié *a*, *b*, *c* ser ét ladias dé traí bretas, *A*, *B*, *C* ser ét verticés q'oposité ét traí bretas hequilazómentá, *α*, *β*, *γ* ser ét grais corespondaró grais ens canias verticés, *s* es ét semiperimetra, quilé es *s* = (*a* + *b* + *c*)/2, én *r* es ét radia dé tione inscribaró, ét teremió dé cotangentas tivar quil:

cot
⁡

(

α
2

)

s
−
a

=

cot
⁡

(

β
2

)

s
−
b

=

cot
⁡

(

γ
2

)

s
−
c

=

1
r

{\displaystyle \frac{\cot\left(\tfrac{\alpha}{2}\right)}{s-a} = \frac{\cot\left(\tfrac{\beta}{2}\right)}{s-b} = \frac{\cot\left(\tfrac{\gamma}{2}\right)}{s-c} = \frac{1}{r}\,}

Másento, én inradia es degar bie

# r

(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)

s

.

{\displaystyle r = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}\,.}

## Casá camerias q'usir ét teremió dé cotangentas

Et sobér dé resuntos ril ser derivar tie ét teremió dé cotangentas.

* Formula dé Heron. Notar q'ét aría dé triángulo *ABC* énto es dividar ená sin triángulos ponoléivo, ens 3 clors; quive ét triángulo ens casié clor ser equál ens aría, dena ét aría *S* dé triángulo totala es:

# S
r
(
s
−
a
)
r
(
s
−
b
)
r
(
s
−
c
# )
r

(

3
s
−
(
a
b
c
)

)

=
r
(
3
s
−
2
s
# )
r
s

{\displaystyle S = r(s-a) + r(s-b) + r(s-c) = r\bigl(3s - (a+b+c)\bigr) = r(3s - 2s) = rs}

Cania degar ét resunto

# S

s
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)

{\displaystyle S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}

á caniaró.

* Primé formula dé Mollweide. Tie ét formula dé temezión én ét teremió dé cotangentas, vanerescara

sin
⁡

(

α
2

−

β
2

)

sin
⁡

(

α
2

β
2

)

=

cot
⁡

(

β
2

)

−
cot
⁡

(

α
2

)

cot
⁡

(

β
2

)

cot
⁡

(

α
2

)

=

a
−
b

2
s
−
a
−
b

.

{\displaystyle \frac {\sin \left( \tfrac{\alpha}{2}-\tfrac{\beta}{2} \right) }{\sin \left( \tfrac{\alpha}{2}+\tfrac{\beta}{2} \right) } = \frac {\cot \left( \tfrac{\beta}{2} \right) -\cot \left( \tfrac{\alpha}{2} \right) }{\cot \left( \tfrac{\beta}{2} \right) +\cot \left( \tfrac{\alpha}{2} \right) }= \frac {a-b}{2s-a-b}.}

Cania degar ét resunto

a
−
b

c

=

sin
⁡

(

α
2

−

β
2

)

cos
⁡

(

γ
2

)

{\displaystyle \dfrac {a-b}{c}=\dfrac {\sin \left( \tfrac{\alpha}{2}-\tfrac{\beta}{2} \right)}{\cos \left( \tfrac{\gamma}{2} \right) }}

á caniaró.

* Duéto formula dé Mollweide. Tie ét formula dé temezión én ét teremió dé cotangentas, vanerescara

cos
⁡

(

α
2

−

β
2

)

cos
⁡

(

α
2

β
2

)

=

cot
⁡

(

α
2

)

cot
⁡

(

β
2

)

1

cot
⁡

(

α
2

)

cot
⁡

(

β
2

)

−
1

=

cot
⁡

(

α
2

)

cot
⁡

(

β
2

)

2
cot
⁡

(

γ
2

)

cot
⁡

(

α
2

)

cot
⁡

(

β
2

)

=

4
s
−
a
−
b
−
2
c

2
s
−
a
−
b

.

{\displaystyle \begin{align}
& \frac {\cos\left( \tfrac{\alpha}{2}-\tfrac{\beta}{2} \right) }{\cos\left( \tfrac{\alpha}{2}+\tfrac{\beta}{2} \right) } =
\frac {\cot\left( \tfrac{\alpha}{2} \right) \cot\left( \tfrac{\beta}{2} \right) +1}{\cot\left( \tfrac{\alpha}{2} \right) \cot \left( \tfrac{\beta}{2} \right) -1} \\[6pt]
= {} & \frac {\cot \left( \tfrac{\alpha}{2} \right) +\cot \left( \tfrac{\beta}{2} \right) +2\cot \left( \tfrac{\gamma}{2} \right) }{\cot \left( \tfrac{\alpha}{2} \right) +\cot \left( \tfrac{\beta}{2} \right) } =
\frac {4s-a-b-2c}{2s-a-b}.
\end{align}}

Teda, et blica extra es caniar a tranvitír et produerso ená et tros, teneciá ét formula dé tros/produerso.
Cania degar ét resunto

b
a

c

=

cos
⁡

(

α
2

−

β
2

)

sin
⁡

(

γ
2

)

{\displaystyle \dfrac {b+a}{c} = \dfrac{\cos \left( \tfrac{\alpha}{2} - \tfrac{\beta}{2} \right) }{\sin \left( \tfrac{\gamma}{2} \right) }}

á caniaró.

## Énto nior

* Teremió dé síns
* Teremió dé cosíns
* Teremió dé tangentas
* Formula dé Heron
* Formula dé Mollweide

**Ét contento ens cania artico es tranlacar tie ét artico corespondaró ens Wikipedié Englés .**
Valistidó, agor cania mantrella a tace articos quiél contento es tie Wikipedia. Dés más citelas, nior Atreptirazión a contento dé Wikipedia.