Lemme n°1 pour aider à la page "Existence et conjonction

## But

On veut montrer que

(
2
)

¬

(

[
∃
x
,
P
(
x
)
]
∧
[
∃
x
,
Q
(
x
)
]

)

⇒
¬

(

∃
x
,
[
P
(
x
)
∧
Q
(
x
)
]

)

{\displaystyle (2)~~~~\neg {\Big (}[\exists x,P(x)]\wedge [\exists x,Q(x)]{\Big )}\Rightarrow \neg {\Big (}\exists x,[P(x)\wedge Q(x)]{\Big )}}

⟺

(
3
)

(

¬
[
∃
x
,
P
(
x
)
]
∨
¬
[
∃
x
,
Q
(
x
)
]

)

⇒
¬

(

∃
x
,
[
P
(
x
)
∧
Q
(
x
)
]

)

{\displaystyle \iff (3)~~~~{\Big (}\neg [\exists x,P(x)]\vee \neg [\exists x,Q(x)]{\Big )}\Rightarrow \neg {\Big (}\exists x,[P(x)\wedge Q(x)]{\Big )}}

## Preuve

### Première implication

D'après la première loi de De Morgan, on a l'équivalence

¬

(

[
∃
x
,
P
(
x
)
]
∧
[
∃
x
,
Q
(
x
)
]

)

⟺

(

¬
[
∃
x
,
P
(
x
)
]
∨
¬
[
∃
x
,
Q
(
x
)
]

)

{\displaystyle \neg {\Big (}[\exists x,P(x)]\wedge [\exists x,Q(x)]{\Big )}\iff {\Big (}\neg [\exists x,P(x)]\vee \neg [\exists x,Q(x)]{\Big )}}

Donc par symétrie de l'équivalence, on a

(

¬
[
∃
x
,
P
(
x
)
]
∨
¬
[
∃
x
,
Q
(
x
)
]

)

⟺

¬

(

[
∃
x
,
P
(
x
)
]
∧
[
∃
x
,
Q
(
x
)
]

)

{\displaystyle {\Big (}\neg [\exists x,P(x)]\vee \neg [\exists x,Q(x)]{\Big )}\iff \neg {\Big (}[\exists x,P(x)]\wedge [\exists x,Q(x)]{\Big )}}

En particulier, d'après la définition de l'équivalence, on a

(

¬
[
∃
x
,
P
(
x
)
]
∨
¬
[
∃
x
,
Q
(
x
)
]

)

⇒
¬

(

[
∃
x
,
P
(
x
)
]
∧
[
∃
x
,
Q
(
x
)
]

)

{\displaystyle {\Big (}\neg [\exists x,P(x)]\vee \neg [\exists x,Q(x)]{\Big )}\Rightarrow \neg {\Big (}[\exists x,P(x)]\wedge [\exists x,Q(x)]{\Big )}}

Donc par transitivité de l'implication, on a l'implication

¬

(

[
∃
x
,
P
(
x
)
]
∧
[
∃
x
,
Q
(
x
)
]

)

⇒
¬

(

∃
x
,
[
P
(
x
)
∧
Q
(
x
)
]

)

{\displaystyle \neg {\Big (}[\exists x,P(x)]\wedge [\exists x,Q(x)]{\Big )}\Rightarrow \neg {\Big (}\exists x,[P(x)\wedge Q(x)]{\Big )}}

⇒

[

(

¬
[
∃
x
,
P
(
x
)
]
∨
¬
[
∃
x
,
Q
(
x
)
]

)

⇒
¬

(

∃
x
,
[
P
(
x
)
∧
Q
(
x
)
]

)

]

{\displaystyle \Rightarrow {\Big [}{\Big (}\neg [\exists x,P(x)]\vee \neg [\exists x,Q(x)]{\Big )}\Rightarrow \neg {\Big (}\exists x,[P(x)\wedge Q(x)]{\Big )}{\Big ]}}

Ceci prouve

(
2
)
⇒
(
3
)

{\displaystyle (2)\Rightarrow (3)}

### Deuxième implication

D'après la première loi de De Morgan, on a l'équivalence

¬

(

[
∃
x
,
P
(
x
)
]
∧
[
∃
x
,
Q
(
x
)
]

)

⟺

(

¬
[
∃
x
,
P
(
x
)
]
∨
¬
[
∃
x
,
Q
(
x
)
]

)

{\displaystyle \neg {\Big (}[\exists x,P(x)]\wedge [\exists x,Q(x)]{\Big )}\iff {\Big (}\neg [\exists x,P(x)]\vee \neg [\exists x,Q(x)]{\Big )}}

En particulier, d'après la définition de l'équivalence, on a

¬

(

[
∃
x
,
P
(
x
)
]
∧
[
∃
x
,
Q
(
x
)
]

)

⇒

(

¬
[
∃
x
,
P
(
x
)
]
∨
¬
[
∃
x
,
Q
(
x
)
]

)

{\displaystyle \neg {\Big (}[\exists x,P(x)]\wedge [\exists x,Q(x)]{\Big )}\Rightarrow {\Big (}\neg [\exists x,P(x)]\vee \neg [\exists x,Q(x)]{\Big )}}

Donc par transitivité de l'implication, on a l'implication

(

¬
[
∃
x
,
P
(
x
)
]
∨
¬
[
∃
x
,
Q
(
x
)
]

)

⇒
¬

(

∃
x
,
[
P
(
x
)
∧
Q
(
x
)
]

)

{\displaystyle {\Big (}\neg [\exists x,P(x)]\vee \neg [\exists x,Q(x)]{\Big )}\Rightarrow \neg {\Big (}\exists x,[P(x)\wedge Q(x)]{\Big )}}

⇒

[

¬

(

[
∃
x
,
P
(
x
)
]
∧
[
∃
x
,
Q
(
x
)
]

)

⇒
¬

(

∃
x
,
[
P
(
x
)
∧
Q
(
x
)
]

)

]

{\displaystyle \Rightarrow {\Big [}\neg {\Big (}[\exists x,P(x)]\wedge [\exists x,Q(x)]{\Big )}\Rightarrow \neg {\Big (}\exists x,[P(x)\wedge Q(x)]{\Big )}{\Big ]}}

Ceci prouve

(
3
)
⇒
(
2
)

{\displaystyle (3)\Rightarrow (2)}

### Conclusion

On a donc prouvé que

(
2
)
⇒
(
3
)

{\displaystyle (2)\Rightarrow (3)}

 et que

(
3
)
⇒
(
2
)

{\displaystyle (3)\Rightarrow (2)}

.

Donc d'après la définition de l'équivalence, on a prouvé que

(
2
)

⟺

(
3
)

{\displaystyle (2)\iff (3)}

.