On

On

{\displaystyle \textrm{On}}

 (также обычно обозначается как

Ord

{\displaystyle \textrm{Ord}}

) обозначает класс всех ординалов.

## Свойства

* Класс

On

{\displaystyle \textrm{On}}

 является собственным классом, т.е. не является множеством согласно парадоксу Бурали-Форти.
* Класс

On

{\displaystyle \textrm{On}}

 транзитивен, т.е. для любых

x
∈

On

{\displaystyle x \in \textrm{On}}

,

x
⊂

On

{\displaystyle x \subset\textrm{On}}

.
* Класс

On

{\displaystyle \textrm{On}}

 упорядочен относительно

∈

{\displaystyle \in}

, т.е. ограничение

∈

{\displaystyle \in}

 на

On

{\displaystyle \textrm{On}}

 является строгой суммой упорядочения и каждый непустой подкласс

On

{\displaystyle \textrm{On}}

 допускает наименьший элемент относительно

∈

{\displaystyle \in}

.
* Равенство

On

=
ω

{\displaystyle \textrm{On} = \omega}

, т.е. утверждение "каждый ординал конечен", не зависит от теории множеств

ZF

{\displaystyle \textrm{ZF}}

 за вычетом аксиомы бесконечности, пока оно непротиворечиво, хотя это противоречит теории множеств

ZF

{\displaystyle \textrm{ZF}}

.
* Равенство

On

=
ω
ω

{\displaystyle \textrm{On} = \omega + \omega}

, т.е. утверждение "каждый ординал конечен или сумма

ω

{\displaystyle \omega}

 и конечного ординала", не зависит от теории множеств

ZF

{\displaystyle \textrm{ZF}}

 без аксиомы замены, если она непротиворечива, хотя она противоречит теории множеств

ZF

{\displaystyle \textrm{ZF}}

.

## Приложение

Ввиду обоснованности

On

{\displaystyle \textrm{On}}

 относительно

∈

{\displaystyle \in}

, трансфинитная индукция продолжается до

On

{\displaystyle \textrm{On}}

. Поэтому нам не нужно находить достаточно большой ординал, чтобы проверить утверждение о ординале с помощью трансфинитной индукции. У нас есть много примеров отображений в гугологии, определяемых трансфинитной индукцией по

On

{\displaystyle \textrm{On}}

:

* Сложение, умножение и степень ординалов
* Функция Веблена
* Функция свёртывания ординала
* Иерархии во вселенной фон Неймана

V

{\displaystyle V}

 и конструируемая вселенная

L

{\displaystyle L}

## Теорема Клини о неподвижной точке

Хорошо известно, что теорема Клини о неподвижной точке распространяется на

On

{\displaystyle \textrm{On}}

. Например, пусть

f
:

On

→

On

{\displaystyle f \colon \textrm{On} \to \textrm{On}}

 — нормальная функция. Возьмём произвольный

α
∈

On

{\displaystyle \alpha \in \textrm{On}}

. По аксиоме замены класс

{

f
n

(
α
)
∣
n
∈

N

}

{\displaystyle \{f^n(\alpha)\mid n \in \mathbb{N}\}}

 является множеством и, следовательно, допускает верхнюю границу

β

{\displaystyle \beta}

. Ввиду нормальности

f

{\displaystyle f}

,

β

{\displaystyle \beta}

 является неподвижной точкой

f

{\displaystyle f}

. Этот факт используется для показа всей совокупности функции Веблена.

Новичкам следует очень внимательно относиться к состоянию нормальности, потому что гугологи часто необоснованно его опускают. Например, перечисление

α
↦

I
α

{\displaystyle \alpha\mapsto I\_\alpha}

 слабо недостижимых кардиналов в предположении совокупности на

On

{\displaystyle \textrm{On}}

 не является нормальным, и его итерация

I

I

⋅

⋅

⋅

I
0

{\displaystyle I\_{I\_ {\cdot\_{\cdot\_{\cdot\_{I\_0}}}}}}

 не даёт своей фиксированной точки, поскольку она имеет кофинальность

ω

{\displaystyle \omega}

.

## Примечания

1. ↑ K. Кунен, *Теория множеств: Введение в доказательства независимости* , Исследования по логике и основам математики, Том 102, Северная Голландия, 1983.