התנגשויות

**התנגשות** היא מקרה בו שני גופים, שנמצאים במצב התחלתי, עוברים אינטרקציה ביניהם, ומגיעים למצב סופי. לרוב נוח להתייחס להתנגשות כרגעית, ובמקרה כזה ניתן לטעון לשימור תנע בין המצב ההתחלתי למצב הסופי (שכן כל כוח חיצוני מפעיל מתקף זניח ביחס לכוחות בין הגופים בזמן ההתנגשות).

על מנת לחשב את המצב הסופי, יש למצוא את המהירות הסופית של כל גוף, כלומר צריך 2 משוואות. משוואה אחת היא שימור התנע, והשנייה תלויה בתנאי ההתנגשות. נוח להתייחס לשני סוגי התנגשויות מרכזיים, שמגדירים את תנאי ההתנגשות ואת אותה משוואה שנייה: **התנגשות פלסטית** ו**התנגשות אלסטית**. במציאות, רוב ההתנגשויות אינן בדיוק פלסטיות או אלסטיות, אלא נמצאות ביניהן.

## התנגשות פלסטית

בהתנגשות פלסטית, נדרוש שהמהירות הסופית של שני הגופים תהיה שווה, כלומר שלאחר ההתנגשות הם ישארו "דבוקים" אחד לשני. דוגמא להתנגשות כזאת היא גוש פלסטלינה שנזרק ונדבק לקיר. אך יש לשים לב - אותה "הידבקות" היא רגעית בלבד, אלא אם כן נתון אחרת, כלומר יתכן שכבר כעבור שבריר שנייה, או כעבור זמן סופי, הגופים יפרדו.

עבור התנגשות חד-מימדית, ננסח את מערכת המשוואות ונפתור אותה:

m
1

v
1

m
2

v
2

=

m
1

u
1

m
2

u
2

{\displaystyle m\_1 v\_1 + m\_2 v\_2 = m\_1 u\_1 + m\_2 u\_2}

u
1

=

u
2

{\displaystyle u\_1 = u\_2}

כאשר

m
1

{\displaystyle m\_1 }

 ו-

m
2

{\displaystyle m\_2 }

 הם מסות הגופים,

v
1

{\displaystyle v\_1}

 ו-

v
2

{\displaystyle v\_2}

 הם מהירויות הגופים במצב ההתחלתי, ו-

u
1

{\displaystyle u\_1}

 ו-

u
2

{\displaystyle u\_2}

 הם מהירויות הגופים במצב הסופי. אם נפתור את מערכת המשוואות נקבל:

u
1

=

u
2

=

m
1

v
1

m
2

v
2

m
1

m
2

=

v

c
.
m
.

{\displaystyle u\_1 = u\_2 = \frac{m\_1 v\_1 + m\_2 v\_2}{m\_1 + m\_2} = v\_{c.m.} }

נשים לב שהביטוי שקיבלנו זהה לביטוי המתאר את מהירות מרכז המסה של המערכת, כפי שאכן מסתדר עם ההיגיון.

מערכת המשוואות, ולכן גם הביטוי הסופי, תקפים גם בהתנגשות רב-מימדית:

u
→

1

=

u
→

2

=

m
1

v
→

1

m
2

v
→

2

m
1

m
2

=

v
→

c
.
m
.

{\displaystyle \vec{u}\_1 = \vec{u}\_2 = \frac{m\_1 \vec{v}\_1 + m\_2 \vec{v}\_2}{m\_1 + m\_2} = \vec{v}\_{c.m.} }

## התנגשות אלסטית

בהתנגשות אלסטית, נדרוש שימור אנרגיה, שלרוב תתייחס רק לאנרגיה הקינטית של הגופים לפני ואחרי ההתנגשות. זו התנגשות אידאלית, שלא ניתן למצוא לה דוגמא מדויקת מהמציאות, אך דוגמאות קרובות להתנגשות אלסטית הן קפיצה של כדור גומי על הרצפה, או התנגשות בין כדורים התלויים על חוטים (מה שידוע בשם "העריסה של ניוטון").

למציאת המצב הסופי של הגופים, ננסח את מערכת המשוואות הנתונות, ונפתור אותה:

m
1

v
1

m
2

v
2

=

m
1

u
1

m
2

u
2

{\displaystyle m\_1 v\_1 + m\_2 v\_2 = m\_1 u\_1 + m\_2 u\_2}

1
2

m

v
1
2

1
2

m

v
2
2

=

1
2

m

u
1
2

1
2

m

u
2
2

{\displaystyle \frac{1}{2}m v\_1^2 + \frac{1}{2}m v\_2^2 = \frac{1}{2}m u\_1^2 + \frac{1}{2}m u\_2^2}

כאשר

m
1

{\displaystyle m\_1 }

 ו-

m
2

{\displaystyle m\_2 }

 הם מסות הגופים,

v
1

{\displaystyle v\_1}

 ו-

v
2

{\displaystyle v\_2}

 הם מהירויות הגופים במצב ההתחלתי, ו-

u
1

{\displaystyle u\_1}

 ו-

u
2

{\displaystyle u\_2}

 הם מהירויות הגופים במצב הסופי.

על מנת לחסוך באלגברה, נעבוד במערכת היחוס של גוף 2 לפני ההתנגשות, כלומר נדרוש

v
2

=
0

{\displaystyle v\_2 = 0 }

:

m
1

v
1

=

m
1

u
1

m
2

u
2

{\displaystyle m\_1 v\_1 = m\_1 u\_1 + m\_2 u\_2}

1
2

m
1

v
1
2

=

1
2

m
1

u
1
2

1
2

m
2

u
2
2

{\displaystyle \frac{1}{2}m\_1 v\_1^2 = \frac{1}{2}m\_1 u\_1^2 + \frac{1}{2}m\_2 u\_2^2}

נציב

u
2

=

m
1

m
2

(

v
1

−

u
1

)

{\displaystyle u\_2 = \frac{m\_1}{m\_2}(v\_1 - u\_1) }

 במשוואת האנרגיות:

v
1
2

=

u
1
2

m
1

m
2

(

v
1

−

u
1

)
2

{\displaystyle v\_1^2 = u\_1^2 + \frac{m\_1}{m\_2}(v\_1 - u\_1)^2 }

(

m
1

m
2

1
)

u
1
2

−
2

m
1

m
2

v
1

u
1

(

m
1

m
2

−
1
)

v
1
2

=
0

{\displaystyle (\frac{m\_1}{m\_2} + 1)u\_1^2 - 2\frac{m\_1}{m\_2}v\_1 u\_1 + (\frac{m\_1}{m\_2} - 1)v\_1^2 = 0 }

u
1

=

m
1

±

m
2

m
1

m
2

v
1

{\displaystyle u\_1 = \frac{m\_1 \pm m\_2}{m\_1 + m\_2}v\_1 }

u
2

=

m
1

∓

m
1

m
1

m
2

v
1

{\displaystyle u\_2 = \frac{m\_1 \mp m\_1}{m\_1 + m\_2}v\_1 }

בחירה באפשרות העליונה תביא תוצאה של

u
1

=
1

v
1

{\displaystyle u\_1 = 1v\_1 }

 ו-

u
2

=
0

v
1

{\displaystyle u\_2 = 0v\_1 }

, כלומר שהמצב הסופי זהה למצב ההתחלתי. ברור שלא זה המצב, ולכן נשארה התוצאה:

u
1

=

m
1

−

m
2

m
1

m
2

v
1

{\displaystyle u\_1 = \frac{m\_1 - m\_2}{m\_1 + m\_2}v\_1 }

u
2

=

2

m
1

m
1

m
2

v
1

{\displaystyle u\_2 = \frac{2m\_1}{m\_1 + m\_2}v\_1 }

נשים לב לכמה מקרים מיוחדים:

כאשר

m
1

=

m
2

{\displaystyle m\_1=m\_2}

 נקבל

u
1

=
0
,

u
2

=

v
1

{\displaystyle u\_1 = 0, u\_2 = v\_1 }

, כלומר שהגוף הפוגע יעצור, ויעביר את כל מהירותו לגוף הנפגע. הדגמה של תוצאה זו ניתן לראות בעריסה של ניוטון.

כאשר

m
1

≪

m
2

{\displaystyle m\_1 \ll m\_2 }

 נקבל

u
1

≈
−

v
1

,

u
2

≈
0

{\displaystyle u\_1 \approx -v\_1, u\_2 \approx 0 }

, כלומר שהגוף הפוגע יחזור עם מהירות בכיוון ההפוך, והגוף הנפגע כמעט ולא יושפע. הדגמה של תוצאה זו ניתן לראות בכדור גומי אידאלי הקופץ מהרצפה, ומבצע התנגשויות אלסטיות עם כדור הארץ.