recursal/Fanatic-Fandom huggingface dataset:
5.51(b)

Diga si el siguiente campo es conservativo y por qué:

# F
(
3

x

2

ln
⁡
x

x

2

,

x

3

y

−
1

)

{\displaystyle F=(3x^{2}\ln x+x^{2},x^{3}y^{-1})}

Realicemos un análisis del campo primero; vemos que la componente

P

{\displaystyle P}

 tiene que su dominio debe ser para todo

x
∈

R

>
0

{\displaystyle x\in \mathbb {R} >0}

pues así se define el logaritmo natural. En la componente

Q

{\displaystyle Q}

 tenemos

y

−
1

{\displaystyle y^{-1}}

, o bien

1
y

{\displaystyle \frac{1}{y}}

, por lo que esta
componente no está definida cuando

# y
0

{\displaystyle y=0}

.

Si dibujamos el campo tenemos:

Ahora, como en el ejercicio anterior, si calculamos su rotacional (dado que estamos en

R

2

{\displaystyle \mathbb R^{2}}

) tenemos:

Rot

(
F
)

=

∂
Q

∂
x

−

∂
P

∂
y

=

∂
(

x

3

y

−

1
)

∂
x

−

∂
(
3

x

2

ln
⁡
x

x

2

)

∂
y

=

3

x

2

y

−
0

=

3

x

2

y

{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Rot}}(F)&={\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\\\\&={\frac {\partial (x^{3}y^{-}1)}{\partial x}}-{\frac {\partial (3x^{2}\ln x+x^{2})}{\partial y}}\\\\&={\frac {3x^{2}}{y}}-0\\\\&={\frac {3x^{2}}{y}}\end{aligned}}}

Vemos que

Rot

(
F
)
≠
0

{\displaystyle {\text{Rot}}(F)\neq 0}

, lo que hace que el campo **no** sea conservativo.
30(c)

Sean a, b, c, d, e, f constantes considere la función T : (u, v) =

(

(

a

b

c

d

)

(

u
v

)

)

T

(
e
,
f
)

{\displaystyle {\biggl(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\binom{u}{v}\biggr)}^T +(e,f)}

(no se espante, lo primero es una multiplicación de matrices y el resultado se traspone para que quede un vector renglon y no uno columna y al final se suman los vectores).

(a) Encuentre explicitamente las funciones coordenadas x(u, v) y y(u, v)

(b) Describa (con un dibujito) que le hace esta función al cuadrado unitario cuyos lados son los vectores de la base canónica.

(c) Calcule el jacobiano

∂

(
x
,
y
)

∂

(
u
,
v
)

{\displaystyle \frac{\partial{(x,y)}}{\partial{(u,v)}}}

 de T

Solución inciso c):

Considerando las coordenadas

x
(
u
,
v
# )
a
u
b
v
e

{\displaystyle x(u,v)=au+bv+e}

y
(
u
,
v
# )
c
u
d
v
f

{\displaystyle y(u,v)=cu+dv+f}

Entonces el Jacobiano sería:

∂

(
x
,
y
)

∂

(
u
,
v
)

=

∂

x

∂

u

∂

x

∂

v

∂

y

∂

u

∂

y

∂

v

=

∂

x

∂

u

∂

y

∂

v

−

∂

y

∂

u

∂

x

∂

v

{\displaystyle \frac{\partial{(x,y)}}{\partial{(u,v)}}=\begin{vmatrix} \frac{\partial{x}}{\partial{u}} & \frac{\partial{x}}{\partial{v}} \\ \frac{\partial{y}}{\partial{u}} & \frac{\partial{y}}{\partial{v}} \end{vmatrix}=\frac{\partial{x}}{\partial{u}}\frac{\partial{y}}{\partial{v}}-\frac{\partial{y}}{\partial{u}}\frac{\partial{x}}{\partial{v}} }

=
(

∂

∂

u

(
a
u
b
v
e
)

∂

∂

v

(
c
u
d
v
f
)
−
(

∂

∂

u

(
c
u
d
v
f
)
−

∂

∂

v

(
a
u
b
v
e
)
)

{\displaystyle =(\frac{\partial}{\partial{u}}(au+bv+e)\frac{\partial}{\partial{v}}(cu+dv+f)-(\frac{\partial}{\partial{u}}(cu+dv+f)-\frac{\partial}{\partial{v}}(au+bv+e)) }

=
(
a
d
−
c
b
)

{\displaystyle =(ad-cb)}

Si reescribimos como matriz, entonces:

J
(
T
# )

(

a

b

c

d

)

{\displaystyle J(T)=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}

Así que el determinante de la matriz es ella misma :)
2.12

**Descripción:** Haz un bosquejo del volumen relacionado con la siguiente integral iterada (no es necesario que lo calcule).

∫

0

1

∫

0

1
−

x

2

(
1
−
x
)
d
y
d
x

{\displaystyle \int \limits \_{0}^{1}\int \limits \_{0}^{1-x^{2}}(1-x)dydx}

Primero veamos como se vería la superficie D sobre el plano XY; si seguimos al pie de la letra la notación que nos presentan en la integral iterada:

Sin embargo, también podemos ver a D como un área de tipo II; correspondiente a la integral iterada

∫

0

1

∫

0

−
(
y
−
1
)

(
1
−
x
)
d
x
d
y

{\displaystyle \int \limits \_{0}^{1}\int \limits \_{0}^{\sqrt {-(y-1)}}(1-x)dxdy}

 :

Ahora vamos como se comporta la función

f
(
x
,
y
# )
1
−
x

{\displaystyle f(x,y)=1-x}

:

Finalmente, con toda esta información podemos darnos una idea bastante clara de como quedaría el volumen relacionado a esta integral iterada:

Resultado de las integrales iteradas usando área D (tipo I y II):
1.2a

Calcula la siguiente integral de manera exacta por medio de su relación con el volumen:

∫

∫
R

(
4
−
2
y
)
d
A

{\displaystyle \int \int\_R (4 - 2y)dA }

donde

# R
[
0
,
5
]
×
[
0
,
3
]

{\displaystyle R = [0,5] \times [0,3]}

* Primero delimitemos R dentro del plano **XY**:

* Si observamos ahora el plano **YZ**; las alturas de la función se vuelven negativas a partir de 2.

Con esta información podemos calcular el volumen de ambas secciones:

* Para la sección positiva (morada) calculamos *Área de la base*

# a
5
×
# 2
10

{\displaystyle a = 5 \times 2 = 10}

y ahora el volumen

# V

10
×
4

2

=
20

{\displaystyle V = \frac{10 \times 4}{2} = 20}
* Para la sección negativa (gris) calculamos *Área de la base*

# a
5
×
# 1
5

{\displaystyle a = 5 \times 1 = 5}

y el volumen

# V

5
×
(
−
2
)

2

=
−
5

{\displaystyle V = \frac{5 \times (-2)}{2} = -5}
* Finalmente, calculamos el volumen total

V
T

=
20
(
−
5
# )
15

{\displaystyle V\_T = 20 + (-5) = 15}
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5.43(a)

Considere el campo F(x,y)= (x-y)**i** + xy**j**

a) Dibuje el campo auxiliándose de software algebráico , y describa el movimiento de que debe tener un una partícula en el círculo

x
2

y
2

=
4

{\displaystyle x^2 + y^2 = 4}

para que el trabajo del campo sea positivo, negativo o cero.

θ

{\displaystyle \theta}

. Donde los valores máximos están determinados por el coseno: coseno es máximo cuando el ángulo es 0°, es decir que a y b están en la misma recta con la misma dirección. Y es mínimo cuando el ángulo es igual a 90°, es decir, cuando son perpendiculares a y b.

Para el trabajo en una curva se hace producto punto de la curva (un vector tangente a la curva en algún punto) con los vectores del gradiente. Entonces, el trabajo es positivo cuando el ángulo es mayor a 0º y menor a 90º, y es máximo cuando la curva va con la dirección del gradiente: ángulo de 0º. (Que el trabajo sea positivo significa que el sistema realiza un trabajo, que puede hacer trabajo). El trabajo es nulo (cero) cuando la curva es perpendicular al gradiente. Ahí no se realiza ni se aplica trabajo al sistema. Y el trabajo es negativo cuando el ángulo es mayor a 90° hasta 180° porque a y b están en la misma recta pero con diferente dirección. (Significa que se le debe aplicar trabajo al sistema)

\*Nota: el trabajo total de un ciclo (trayectoria cerrada) es igual a cero cuando el campo vectorial es conservativo. Este campo no es conservativo.

En este campo, si lo recorremos en sentido horario, partimos de trabajo nulo, una parte de trabajo negativo al curzar el eje y, un cachito de trabajo nulo y después positivo hasta cruzar el eje x donde se vuelve negativo sobre casi todo el eje x hasta llegar al mismo punto.

Si se recorre en sentido antihorario, las partes que eran negativas ahora son positivas y viceversa, el trabajo nulo se mantiene igual por ser perpendicular.
3.24

Rescriba (no tiene que calcularla) la integral iterada

∫

0

2

∫

2
x

4

∫

0

y

2

−
4

x

2

x

2

y

2

z

2

{\displaystyle \int \_{0}^{2}\int \_{2x}^{4}\int \_{0}^{\sqrt {y^{2}-4x^{2}}}x^{2}+y^{2}+z^{2}}

d
z

{\displaystyle dz}

d
y

{\displaystyle dy}

d
x

{\displaystyle dx}

como otra integral equivalente en el orden

d
x

{\displaystyle dx}

d
y

{\displaystyle dy}

d
z

{\displaystyle dz}

Para encontrar la figura 3D a partir de los límites originales, tomamos en el orden:

# z

y

2

−
4

x

2

{\displaystyle z={\sqrt {y^{2}-4x^{2}}}}

,

# y
4

{\displaystyle y=4}

 y

# x
0

{\displaystyle x = 0}

.

Y obtenemos la imagen 3D:

Para cambiar los límites al nuevo orden, primero despejamos x.

# z

y

2

−
4

x

2

{\displaystyle z={\sqrt {y^{2}-4x^{2}}}}

z

2

=

y

2

−
4

x

2

{\displaystyle z^{2}=y^{2}-4x^{2}}

z

2

−

y

2

=
−
4

x

2

{\displaystyle z^{2}-y^{2}=-4x^{2}}

z

2

−

y

2

−
4

=

x

2

{\displaystyle {{z^{2}-y^{2}} \over -4}=x^{2}}

z

2

−

y

2

−
4

=
x

{\displaystyle {\sqrt {{z^{2}-y^{2}} \over -4}}=x}

Después, al bajar a 2D, nos queda el plano (y,z) por lo que:

# x
0

{\displaystyle x = 0}

# z

y

2

{\displaystyle z={\sqrt {y^{2}}}}

 =

z

2

=

y

2

{\displaystyle z^{2}=y^{2}}

 =

z

=

y

Después, notamos que z toma valores de 0 a 4, pues se interseca con y=4

Para visualizar como sería el integrar:

Al final, el nuevo orden nos queda de la siguiente manera:

∫

0

4

∫

z

4

∫

0

z

2

−

y

2

−
4

x

2

y

2

z

2

{\displaystyle \int \_{0}^{4}\int \_{z}^{4}\int \_{0}^{\sqrt {z^{2}-y^{2} \over -4}}x^{2}+y^{2}+z^{2}}

d
x

{\displaystyle dx}

d
y

{\displaystyle dy}

d
z

{\displaystyle dz}
5.34(a)

Encuentre campo vectorial dado por el gradiente de las siguientes funciones (es decir F = ∇f). Luego encuentre las curvas de nivel de f con algún software computaciones y en base a ellas dibuje el campo vectorial gradiente correspondiente

f
(
x
,
y
# )

x

2

−
y

{\displaystyle f(x,y)=x^{2}-y}

Calculamos el gradiente de f:

∂

∂
x

# f
2
x

{\displaystyle {\partial \over \partial x}f=2x}

∂

∂
y

# f
−
1

{\displaystyle {\partial \over \partial y}f=-1}

lo que nos da entonces que

∇
# f
(
2
x
,
−
1
)

{\displaystyle \nabla f=(2x,-1)}

Ahora vemos el campo vectorial de

▽
f

{\displaystyle \bigtriangledown f}

Aquí vemos las Curvas de Nivel de la función f

Y aqui sobreponemos una con la otra, obteniendo el Campo Vectorial con las Cuervas de Nivel
33 (a)

F
(
x
,
y
# )
x

i

2
y

j

{\displaystyle F(x,y)=x{\textbf {i}}+2y{\textbf {j}}}

Primero veamos como se comportan los vectores de un cuadrado unitario al transformarlos.

F
(
0
,
1
# )
(
0
,
2
)

{\displaystyle F(0,1)=(0,2)}

F
(
0
,
0
# )
(
0
,
0
)

{\displaystyle F(0,0)=(0,0)}

F
(
1
,
0
# )
(
1
,
0
)

{\displaystyle F(1,0)=(1,0)}

F
(
1
,
1
# )
(
1
,
2
)

{\displaystyle F(1,1)=(1,2)}

Agreguemos unos cuantos vectores más para visualizar el campo mejor:

F
(
1
,
2
# )
(
1
,
4
)

{\displaystyle F(1,2)=(1,4)}

F
(
1
,
3
# )
(
1
,
6
)

{\displaystyle F(1,3)=(1,6)}

F
(
2
,
1
# )
(
2
,
2
)

{\displaystyle F(2,1)=(2,2)}

F
(
3
,
1
# )
(
3
,
2
)

{\displaystyle F(3,1)=(3,2)}

Con estas coordenada podemos concluir como se comportan los vectores en este campo:

Ahora, con esta imagen ya podemos predecir como se comportan los vectores; si el punto de origen del vector se aleja del eje X entonces dicho vector se inclina más y más al eje Y; igual pasa cuando el punto se aleja del eje Y (se inclina para X). La cuestión está en que la proporción de inclinación crece mucho más rapido cuando se aleja del eje X a cuando se aleja de Y.
Otro punto importante a considerar es que como F en este caso no modifica en ningún momento los signos que recibe por lo que podríamos concluir que los otros tres segmentos del plano podremos ver algún tipo de 'reflejo' en el comportamiento de los vectores al que analizamos arriba.
5.50(a)

50-. Calcule

∫
Γ

F
⋅
d
γ

{\displaystyle \int\limits\_\Gamma F\cdot d \gamma}

 para los siguientes campos y curvas:

a)

# F
(
x
−

1
2

y
,

1
2

x
y
)

{\displaystyle F = (x-\frac{1}{2}y,\frac{1}{2}x+y)}

 en el circulo unitario en sentido horario.

Primero tenemos la siguiente integral:

∫
Γ

P
d
x
Q
d
# y

∫
Γ

(

x
−

1
2

y

)

d
x

(

1
2

x
y

)

d
y

{\displaystyle \int\limits\_\Gamma Pdx+Qdy= \int\limits\_\Gamma \Big(x-\frac{1}{2}y\Big) dx + \Big(\frac{1}{2}x+y\Big)dy }

Usando el teorema de Green:

∬
D

(

d
Q

d
x

−

d
P

d
x

)

d
A

{\displaystyle \iint\limits\_D \Big(\frac{dQ}{dx}-\frac{dP}{dx}\Big)dA }

d
Q

d
x

=

1
2

{\displaystyle \frac{dQ}{dx}=\frac{1}{2} }

d
P

d
y

=
−

1
2

{\displaystyle \frac{dP}{dy}=-\frac{1}{2} }

∬
D

(

1
2

−

(

−

1
2

)

)

d
# A

∬
D

1
d
A

{\displaystyle \iint\limits\_D (\frac{1}{2}-\Big(-\frac{1}{2}\Big)\Big)dA = \iint\limits\_D 1 dA }

Ahora como sabemos que la integral doble de 1 sobre un área es igual al área en la que se esta integrando, por lo tanto tenemos que:

∬
D

1
d
# A
π

r
2

=
π

{\displaystyle \iint\limits\_D 1 dA = \pi r^2 = \pi }

Ahora como necesitábamos calcular la integral en sentido horario solo debemos cambiárselo poniendo el resultado en negativo, quedando:

∫
Γ

(

x
−

1
2

y

)

d
x

(

1
2

x
y

)

d
# y
−
π

{\displaystyle \int\limits\_\Gamma \Big(x-\frac{1}{2}y\Big) dx + \Big(\frac{1}{2}x+y\Big)dy = -\pi }
The Alley Cat

**The Alley Cat** or **Miss T's Cat**, is a minor character in Scary Teacher 3D and Vampire: Chained Monster. The Alley Cat is a cat who being abuse by Miss T And captured by Vampire.

## Apparitions

The Alley Cat only appeared in 2 ZNK games: Scary Teacher 3D and Vampire: Chained Monster.

### Scary Teacher 3D

In Scary Teacher 3D, **The Alley Cat** made an appearance on 3 occasions:

* At level 6 of the first chapter "**Free the Cat**" where we have to find it to later free it
* At level 3 of the fourth chapter "**Under my Spell**" where it is locked in a cage in the basement and we have to put a crown on it that will make Miss T act like a cat
* At level 4 of the fourth chapter "**Pop-Tart**" in the intro of the same level where it is pushed into the yard by Miss T

### Vampire: Chained Monster

In Vampire: Chained Monster the **Alley Cat** only appears on level 10 of episode 1, where it is in a cage in the operation room and we have to free it using a crowbar.
1.3b

Explicación: https://youtu.be/CZXhabHxqfY

∬

R

x

2

y

{\displaystyle \iint \limits \_{R}x^{2}y}

d
A

{\displaystyle dA}

 con R=[0,2][1,3]

∫

0

2

∫

1

3

{\displaystyle \int \limits \_{0}^{2}\int \limits \_{1}^{3}}

x

2

y
d
y
d
x

{\displaystyle x^{2}ydydx}

∫

0

2

{

∫

1

3

{\displaystyle \int \limits \_{0}^{2}\{\int \limits \_{1}^{3}}

x

2

y
d
y
}
d
x

{\displaystyle x^{2}ydy\}dx}

∫

0

2

{

x

2

∗

y
2

2

{\displaystyle \int \limits \_{0}^{2}\{x^{2}\*{\frac {y}{2}}^{2}}

]

1

3

}
d
x

{\displaystyle ]\_{1}^{3}\}dx}

∫

0

2

{

x

2

y

2

2

{\displaystyle \int \limits \_{0}^{2}\{{\frac {x^{2}y^{2}}{2}}}

1

3

}
d
x

{\displaystyle |\_{1}^{3}\}dx}

∫

0

2

{

x

2

∗

3

2

2

−

x

2

∗

1

2

2

{\displaystyle \int \limits \_{0}^{2}\{{\frac {x^{2}\*3^{2}}{2}}-{\frac {x^{2}\*1^{2}}{2}}}

}
d
x

{\displaystyle \}dx}

∫

0

2

{

x

2

∗
9

2

−

x

2

2

{\displaystyle \int \limits \_{0}^{2}\{{\frac {x^{2}\*9}{2}}-{\frac {x^{2}}{2}}}

}
d
x

{\displaystyle \}dx}

∫

0

2

{

9

x

2

−

x

2

2

{\displaystyle \int \limits \_{0}^{2}\{{\frac {9x^{2}-x^{2}}{2}}}

}
d
x

{\displaystyle \}dx}

∫

0

2

{

8

x

2

2

{\displaystyle \int \limits \_{0}^{2}\{{\frac {8x^{2}}{2}}}

}
d
x

{\displaystyle \}dx}

∫

0

2

{
4

x

2

}
d
x

{\displaystyle \int \limits \_{0}^{2}\{4x^{2}\}dx}

4
∗
∫
{

x

2

}
d
x

{\displaystyle 4\*\int \limits \{x^{2}\}dx}

4
∗

x

3

3

{\displaystyle 4\*{\frac {x^{3}}{3}}}

4

x

3

3

0

2

{\displaystyle {\frac {4x^{3}}{3}}|\_{0}^{2}}

4
∗

2

3

3

−

4
∗

0

3

3

{\displaystyle {\frac {4\*2^{3}}{3}}-{\frac {4\*0^{3}}{3}}}

32
3

{\displaystyle {\frac {32}{3}}}

10.6

{\displaystyle 10.6}
5.34(b)

Encuentre campo vectorial dado por el gradiente de las siguentes funciónes (es decir F = ∇f). Luego encuentre las curvas de nivel de f con algún software computacionas y en base a ellas dibuje el campo vectorial gradiente correspondiente

**Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle f(x,y) \sen( \sqrt {x^2+y^2})}**

**Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle {\partial \over\partial x}\sen(\sqrt{x^2+y^2}) = \cos(\sqrt{x^2+y^2}){\partial \over\partial x}(\sqrt{x^2+y^2}) ={x\over{\sqrt{x^2+y^2}}}}**

x
cos
⁡
(

x
2

y
2

)

x
2

y
2

{\displaystyle {x\cos(\sqrt{x^2+y^2})\over{\sqrt{x^2+y^2}}}}

**Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle {\partial \over\partial y}\sen(\sqrt{x^2+y^2}) = \cos(\sqrt{x^2+y^2}){\partial \over\partial y}(\sqrt{x^2+y^2}) ={y\over{\sqrt{x^2+y^2}}}}**

y
cos
⁡
(

x
2

y
2

)

x
2

y
2

{\displaystyle {y\cos(\sqrt{x^2+y^2})\over{\sqrt{x^2+y^2}}}}

cos
⁡
(

x
2

y
2

)

x
2

y
2

(
x
,
y
)

{\displaystyle {\cos(\sqrt{x^2+y^2})\over{\sqrt{x^2+y^2}}}(x,y)}
5.44

Relacione columnas de tal manera que cada campo vectorial (conservativo o gradiente) quede asociado a su función potencial (verifique con cuentas que sea correcta su elección, quiero ver esas cuentas)

f
(
x
,
y
# )

y

2

c
o
s
(
x
y
)

{\displaystyle f(x,y)=y^{2}+cos(xy)}
 b)F(x.y) = (−ysen(xy), 2y − xsen(xy))

f
(
x
,
y
# )

x

2

−
y

{\displaystyle f(x,y)=x^{2}-y}
 c)F(x.y) = (−sen(x + y), −sen(x + y))

f
(
x
,
y
# )
c
o
s
(
x
y
)

{\displaystyle f(x,y)=cos(x+y)}

Como tengo las funciones potenciales, con obtener sus gradientes directamente puedo obtener su campo, así que procedo a hacer eso e identificar sus relaciones así.
5.47

Diga si los siguientes campos son conservativos (argumente)

El Campo a no es conservativo, mientras que el b si lo es, esto a simple vista lo podemos notar debido a que se genera una rotación hacia un solo punto.

En el caso a) tenemos algo parecido a un tornado, el campo vectorial nos muestra las velocidades del viento tendría un rotacional diferente de cero en el ojo.

En el caso b) es conexo, esto debido a que no importa en que dirección se intente ir, este siempre nos dará un recorrido de punto a punto con un valor 0, ya que la ida como el regreso valen lo mismo, para simplificar un poco aquí algunos ejemplos.

Podemos notar que en el caso del campo a) el trabajo no es igual a 0, esto debido a que tiene todas las flechas en contra, además de que todas tienden a ir al punto de origen, al no ser igual a cero podemos decir que no es conservativo.

En cambio en el campo b) podemos notar que las flechas por donde se toma el camino se contrarrestan, aunque los tramos naranjas sean mas grandes, la fuerza que se ejerce en las amarillas es mayor por el tamaño de las flechas, así que se compensa.

En estos nuevos ejemplos pasa casi lo mismo:

En el caso a) todas las flechas ayudan al recorrido, por lo cual valdrá diferente de 0, así que este campo no es conservativo, ya que se llega a generar una rotación hacia un solo punto y el trabajo ejercido no es igual a 0.

Por el contrario en el caso b) se llega a notar que son del mismo tamaño los espacios donde se ayudan y donde perjudica al trayecto, así que si los sumáramos y restáramos nos daría que el trabajo ejercido es igual a 0.

En conclusión el campo a) no es conservativo, mientras que el campo b si lo es.
Sporting Rovers AC

**Sporting Rovers AC** is an English football club that competes in the VPESA Premier League, the top flight of VPESA football. A founding member of the VPL, the team name and identity was inspired by Czech forward Radek Soboda, who still plays on the team.

## Club Records

* **Record League victory** –
* **Record VPESA Premier League Cup victory** –
* **Record European victory** –
* **Record League defeat** –
* **Record VPESA Premier League Cup defeat** –
* **Record European defeat** –
* **Most goals scored overall** –
* **Most goals scored in a season** –
* **Record transfer fee paid** –
* **Record transfer fee received** –
Deadpool

*"Maximum effort."*
―Deadpool[src]
**Wade W. Wilson** is a freelance mercenary from Canada, he got his abilities from the Mutant Workshop program.

## Biography

### Requests to Join the X-Men

*"I've given Deadpool every chance to join us. But he's rather act like a child. A heavily armed child. When will he grow up and see benefits of becoming X-Man?"
"Which benefits, the matching unitards? The house that blows up every few years?"
"Please. House blowing up builds character. You ate breakfast, yes? Breakfast is most important meal of day. Here. Protein bar. Good for bones."*
―Colossus and Negasonic Teenage Warhead[src]
Colossus gave many requests to Wade Wilson to join the X-Men, but Wilson acted like "a child," and didn't join.

## Powers and Abilities

### Powers

* **Mutant Physiology**: *To be added*
	+ **Regenerative Healing Factor**: *To be added*
		- **Immortality**: Wade Wilson's regenerative abilities make him immune to aging, death, and disease.

## Equipment

### Other Equipment

*"Wait! You may be wondering, 'Why the red suit?' Well, that's so bad guys can't see me bleed. This guy's got the right idea. He wore the brown pants"*
―Deadpool[src]
* **Suit**: *To be added*

## Relationships

* Uncle - Sexual Abuser

Allies* Sister Margaret's School for Warward Girls - Friends
	+ Jack Hammer/Weasel - Friend
	+ Buck
	+ J. Boothe
	+ R. Liefeld
* Bob - Friend and Situational Enemy
* Gail
* Vanessa Carlyse - Fiancée
* David Cunningham † - Accidental Indirect Victim
* Blind Al - Friend and Former Roommate
* Noelle - Former Roommate
* X-Men - Former Teammates
	+ Piotr Rasputin/Colossus - Friend and Situational Enemy
	+ Ellie Phimister/Negasonic Teenage Warhead - Friend
	+ Yukio - Friend
* Black Tom Cassidy † - Former Enemy
* X-Force - Teammates
	+ Jesse Aaronson/Bedlam †
	+ Axel Cluney/Zeitgeist †
	+ Telford Porter/Vanisher †
	+ Rusty/Shatterstar †
	+ Neena Thurman/Domino
	+ Peter W. - Friend and Former Member
	+ Dopinder - Friend
	+ Nathan Summers/Cable - Former Enemy and Accidental Killer
	+ Russell Collins/Firefist - Situational Enemy
* Adolf Hitler - Former Target
* Jeremy Garrett
* Mutant Workshop
	+ Francis Freeman/Ajax † - Savior, Torturer, and Victim
	+ Recruiter † - Victim
	+ Christina/Angel Dust - Torturer
* James Howlett/Logan/Wolverine † - Rival
* Red Lotus † - Presumed Victim
* Yakuza
	+ Kevin † - Former Ally and Presumed Victim
* Sergei Valishnikov † - Victim
* Department of Mutant Control - Former Allies
* Essex House for Mutant Rehabilitation
	+ Headmaster †
	+ Daniel Frye † - Victim
* Cain Marko/Juggernaut - Idol
* Wade Wilson/Weapon XI † - Target and Victim
* Ryan Reynolds † - Idol, Target, and Victim

## Behind the Scenes

* Wade Wilson is featured in *X-Men Origins: Wolverine*, the fourth film of the *X-Men* film series.

## References

The Deadpool Films Wiki has a collection of images and media of **Deadpool**.

1. ↑ *Deadpool*

## External Links

* Deadpool on Marvel Database
* Deadpool on Wikipedia
5.51(d)

51-. Diga cual de los siguientes campos es conservativo y porque:

d)

# F
(
y
cos
⁡
(
x
y
)
,
x
cos
⁡
(
x
y
)
−
z
sen
⁡
y
,
cos
⁡
y
)

{\displaystyle F=(y\cos(xy),x\cos(xy)-z\operatorname {sen} y,\cos y)}

Explicación en video: https://youtu.be/\_JxwVejKO6U

Lo primero que hacemos es revisar el dominio de la función, en este caso, se llega a notar que cualquier valor que se le de a las variables, no se llegara a indeterminar.

Después de esto seria calcular la rotación, esto con derivadas parciales de la función brindada, esto buscando que nos regrese el vector nulo, así no habrá rotación y podremos decir que es conservativo.

R
o
t
(
F
# )

→

i

→

j

→

k

d

d
x

d

d
y

d

d
z

y
c
o
s
(
x
y
)

x
c
o
s
(
x
y
)
−
z
s
e
n
y

c
o
s
y

=

→

i

d

d
y

d

d
z

x
c
o
s
(
x
y
)
−
z
s
e
n
y

c
o
s
y

−

→

j

d

d
x

d

d
z

y
c
o
s
(
x
y
)

c
o
s
y

→

k

d

d
x

d

d
y

y
c
o
s
(
x
y
)

x
c
o
s
(
x
y
)
−
z
s
e
n
y

{\displaystyle Rot(F)={\begin{vmatrix}{\xrightarrow[{i}]{}}&{\xrightarrow[{j}]{}}&{\xrightarrow[{k}]{}}\\{d \over dx}&{d \over dy}&{d \over dz}\\ycos(xy)&xcos(xy)-zseny&cosy\end{vmatrix}}={\xrightarrow[{i}]{}}{\begin{vmatrix}{d \over dy}&{d \over dz}\\xcos(xy)-zseny&cosy\end{vmatrix}}-{\xrightarrow[{j}]{}}{\begin{vmatrix}{d \over dx}&{d \over dz}\\ycos(xy)&cosy\end{vmatrix}}+{\xrightarrow[{k}]{}}{\begin{vmatrix}{d \over dx}&{d \over dy}\\ycos(xy)&xcos(xy)-zseny\end{vmatrix}}}

Hacemos derivadas parciales:

d

d
z

(
x
c
o
s
(
x
y
)
−
z
s
e
n
(
y
)
# )

d

d
z

(
x
c
o
s
(
x
y
)
)

d

d
z

(
)
−
z
s
e
n
(
y
)
# )
0
−
s
e
n
(
y
)

{\displaystyle {d \over dz}(xcos(xy)-zsen(y))={d \over dz}(xcos(xy))+{d \over dz}()-zsen(y))=0-sen(y)}

d

d
x

(
x
c
o
s
(
x
y
)
−
z
s
e
n
(
y
)
# )

d

d
x

(
x
c
o
s
(
x
y
)
)

d

d
x

(
−
z
s
e
n
(
y
)
# )
c
o
s
(
x
y
)
x
(
−
s
e
n
(
x
y
)
y
)
# 0
c
o
s
(
x
y
)
−
x
y
s
e
n
(
x
y
)

{\displaystyle {d \over dx}(xcos(xy)-zsen(y))={d \over dx}(xcos(xy))+{d \over dx}(-zsen(y))=cos(xy)+x(-sen(xy)y)+0=cos(xy)-xysen(xy)}

d

d
y

(
y
c
o
s
(
x
y
)
# )

d

d
y

(
y
)
c
o
s
(
x
y
)
y

d

d
y

(
c
o
s
(
x
y
)
# )
c
o
s
(
x
y
)
y
(
s
e
n
(
x
y
)
x
# )
c
o
s
(
x
y
)
−
x
y
(
s
e
n
(
x
y
)
)

{\displaystyle {d \over dy}(ycos(xy))={d \over dy}(y)cos(xy)+y{d \over dy}(cos(xy))=cos(xy)+y(sen(xy)x)=cos(xy)-xy(sen(xy))}

Ahora los acomodamos con los vectores los valores conseguidos y restamos los resultados de las derivadas parciales

=

i
→

(
(
−
s
e
n
(
y
)
)
−
(
−
s
e
n
(
y
)
)
)
−

j
→

(
0
−
0
)

k
→

(
(
c
o
s
(
x
y
)
−
x
y
s
e
n
(
x
y
)
)
−
(
c
o
s
(
x
y
)
−
x
y
s
e
n
(
x
y
)
)
# )
0

i
→

0

j
→

0

k
→

=
(
0
,
0
,
0
)

{\displaystyle ={\overrightarrow {i}}((-sen(y))-(-sen(y)))-{\overrightarrow {j}}(0-0)+{\overrightarrow {k}}((cos(xy)-xysen(xy))-(cos(xy)-xysen(xy)))=0{\overrightarrow {i}}+0{\overrightarrow {j}}+0{\overrightarrow {k}}=(0,0,0)}

Ahora que nos regreso el vector nulo, podemos decir que el campo es conservativo.
5.45(c)

Γ

F
⋅
d
γ

{\displaystyle \textstyle \int \_{\Gamma }\displaystyle F\cdot d\gamma }

de cada uno de los campos anteriores donde

Γ

{\displaystyle \Gamma}

 es una espiral parametrizada por

γ
(
t
# )
(
t

c
o
s
(
t
)
,

t

s
e
n
(
t
)
)

con

t
∈
[
0
,
2
π
]

{\displaystyle \gamma (t)=(t\ cos(t),\ t\ sen(t))\ {\text{con }}t\in [0,2\pi ]}

Como ayuda visual, se tiene que calcular la integral de la espiral dentro de los campos vectoriales del las funciones del ejercicio 5.44.

Para

F
(
x
,
y
# )
(
2
x
,
−
1
)

{\displaystyle F(x,y)=(2x,-1)}

:

Como sabemos que es un campo conservativo, ya que tenemos una función potencial que es

f
(
x
,
y
# )

x

2

−
y

{\displaystyle f(x,y)=x^{2}-y}

 pues es cuestión de aplicar el Teorema fundamental de integrales lineales (TFIL para abreviar). En este caso tenemos:

∫

Γ

F
⋅
d
# γ
f
(
γ
(
b
)
)
−
f
(
γ
(
a
)
)

{\displaystyle \textstyle \int \_{\Gamma }\displaystyle F\cdot d\gamma =f(\gamma (b))-f(\gamma (a))}

.

Dada la parametrización, observemos que nuestra variable corre de 0 a

2
π

{\displaystyle 2\pi}

, por lo que tenemos

γ
(
0
# )
(
0
,
0
)

{\displaystyle \gamma (0)=(0,0)}

 y

γ
(
2
π
# )
(
2
π
,
0
)

{\displaystyle \gamma (2\pi )=(2\pi ,0)}

. Esto lo ocuparemos en los dos campos vectoriales sobrantes, por lo que en este campo vectorial tenemos:

∫

Γ

(
2
x
,

−
1
)
⋅
d
# γ
f
(
γ
(
2
π
)
)
−
f
(
γ
(
0
)
)

{\displaystyle \textstyle \int \_{\Gamma }\displaystyle (2x,\ -1)\cdot d\gamma =f(\gamma (2\pi ))-f(\gamma (0))}

=
(
(
2
π

)

2

−
0
)
−
(

0

2

−
0
# )
(
2
π

)

2

−
# 0
2

π

2

{\displaystyle =((2\pi )^{2}-0)-(0^{2}-0)=(2\pi )^{2}-0=2\pi ^{2}}

Para

F
(
x
,
y
# )
(
−
y

s
e
n
(
x
y
)
,

2
y
−
x

s
e
n
(
x
y
)
)

{\displaystyle F(x,y)=(-y\ sen(xy),\ 2y-x\ sen(xy))}

:

De la misma manera, como estamos dentro de un campo conservativo, aplicamos TFIL para nuestro campo vectorial, con una función potencial descrita como

f
(
x
,
y
# )

y

2

cos
⁡
(
x
y
)

{\displaystyle f(x,y)=y^{2}+\cos(xy)}

. En este caso tenemos:

∫

Γ

(
−
y

s
e
n
(
x
y
)
,

2
y
−
x

s
e
n
(
x
y
)
)
⋅
d
# γ
f
(
γ
(
2
π
)
)
−
f
(
γ
(
0
)
)

{\displaystyle \textstyle \int \_{\Gamma }\displaystyle (-y\ sen(xy),\ 2y-x\ sen(xy))\cdot d\gamma =f(\gamma (2\pi ))-f(\gamma (0))}

=
(

0

2

cos
⁡
(
2
π
×
0
)
)
−
(

0

2

cos
⁡
(
0
×
0
)
)

{\displaystyle =(0^{2}+\cos(2\pi \times 0))-(0^{2}+\cos(0\times 0))}

=
cos
⁡
(
0
)
−
cos
⁡
(
0
# )
1
−
# 1
0

{\displaystyle =\cos(0)-\cos(0)=1-1=0}

Para

F
(
x
,
y
# )
(
−
s
e
n
(
x
y
)
,

−
s
e
n
(
x
y
)
)

{\displaystyle F(x,y)=(-sen(x+y),\ -sen(x+y))}

:

Por último tenemos este campo conservativo con una función potencial descrita como

f
(
x
,
y
# )
cos
⁡
(
x
y
)

{\displaystyle f(x,y)=\cos(x+y)}

, de igual manera podemos aplicar TFIL y tenemos:

∫

Γ

(
−
s
e
n
(
x
y
)
,

−
s
e
n
(
x
y
)
)
⋅
d
# γ
f
(
γ
(
2
π
)
)
−
f
(
γ
(
0
)
)

{\displaystyle \textstyle \int \_{\Gamma }\displaystyle (-sen(x+y),\ -sen(x+y))\cdot d\gamma =f(\gamma (2\pi ))-f(\gamma (0))}

=
cos
⁡
(
2
π
0
)
−
cos
⁡
(
0
0
)

{\displaystyle =\cos(2\pi +0)-\cos(0+0)}

=
c
o
s
(
2
π
)
−
cos
⁡
(
0
# )
1
−
# 1
0

{\displaystyle =cos(2\pi )-\cos(0)=1-1=0}
Virginia Emmet

## Career Info

Season 1 - Ezhdehan Ghabr FC

Season 2 - Ezhdehan Ghabr FC

Season 3 - Ezhdehan Ghabr FC

Season 4 - Ezhdehan Ghabr FC

**Virginia Emmet** is an American professional footballer who manages and plays midfielder for VPL club Ezhdehan Ghabr FC.

## Early Life

Not much is known about Emmet's youth, as most of his comments on his childhood are met with 'interdimensional existence', whatever that means. He is a multisport athlete who is physically intelligent, his grasp on sport fundamentals allowed him to become a fast learner in any sport that he comes to learn.

## Professional Career

In the inaugural season of VPESA, Emmet led his club to a VPL win. The team's fortunes kept going strong in season 2, as Ezhdehan won the League Cup (now known as the TVPESA) Trophy. The team, and Emmet's credentials were questioned in Seasons 3 and 4, where in Season 3, Ezhdehan finished 3rd, and in Season 4, Ezhdehan managed to fall to 6th in the VPL and win the League Cup.

Emmet himself is known as a gifted playmaker, and has continuously been one of the better midfielders in the league ever since its inception.
1.8(b)

Dé argumentos geométricos o con sumas de Riemann para argumentar las siguientes propiedades de la integral (R es un rectángulo en el plano).

∬

R

c
f
(
x
,
y
)
d
# A
c

∬

R

f
(
x
,
y
)
d
A

{\displaystyle \iint \limits \_{R}cf(x,y)dA=c\iint \limits \_{R}f(x,y)dA}

 donde c es una constante (no necesariamente positiva)

∬

R

c
f
(
x
,
y
)
d
# A
Σ

Σ

R

c
f
(
x
,
y
)
Δ
A

{\displaystyle \iint \limits \_{R}cf(x,y)dA=\Sigma \Sigma \_{R}cf(x,y)\Delta A}

Por definición

Σ

Σ

R

c
f
(
x
,
y
)
Δ
# A
Σ
c

Σ

R

f
(
x
,
y
)
Δ
A

{\displaystyle \Sigma \Sigma \_{R}cf(x,y)\Delta A=\Sigma c\Sigma \_{R}f(x,y)\Delta A}

Por factor común en suma

Σ
c

Σ

R

f
(
x
,
y
)
Δ
# A
c
Σ

Σ

R

f
(
x
,
y
)
Δ
A

{\displaystyle \Sigma c\Sigma \_{R}f(x,y)\Delta A=c\Sigma \Sigma \_{R}f(x,y)\Delta A}

Por factor común en suma

c
Σ

Σ

R

f
(
x
,
y
)
Δ
# A
c

∬

R

f
(
x
,
y
)
d
A

{\displaystyle c\Sigma \Sigma \_{R}f(x,y)\Delta A=c\iint \limits \_{R}f(x,y)dA}

Por definición
3.27(b)

**Encuentre el área de un petalo de la rosa de cuatro petalos dada por la ecuación polar r = cos 2θ (Tip:¿Qué dibuja la función r(θ) = cos 2θ en el plano polar (r, θ)?)**

Primero veamos como es que nos quedan nuestros petalos.

Como los 4 pétalos son simétricos, podemos usar cualquiera para resolver el problema, por lo que usaremos el pétalo derecho para ello.

Planteando la integral doble tenemos que

∬
D

f
(
x
,
y
)
d
# A

∫

α

β

∫

h
1

θ

h
2

θ

f
(
r
c
o
s
θ
,
r
s
i
n
θ
)
r
d
r
d
θ

{\displaystyle \iint\limits\_D f(x,y)dA = \int\limits\_{\alpha}^{\beta} \int\_{h\_1 \theta}^{h\_2 \theta} f(r cos \theta, r sin \theta)r dr d\theta}

pero si tomamos a

f
(
x
,
y
# )
1

{\displaystyle f(x,y)=1}

y a

h
1

# θ
0
,

h
2

# θ
C
o
s
2
θ

{\displaystyle h\_1\theta=0, h\_2\theta=Cos 2\theta}

entonces podemos reducir todo, ya que nos quedaría entonces

∫

α

β

∫

0

c
o
s
2
θ

r
d
r
d
θ

{\displaystyle \int\limits\_{\alpha}^{\beta} \int\_{0}^{cos2 \theta} r dr d\theta}

 lo que evaluando nos da

1
2

∫

α

β

(
c
o
s
2
θ

)
2

d
θ

{\displaystyle {1 \over 2}\int\_{\alpha}^{\beta} (cos2 \theta)^2 d\theta}

ahora nuestro petalo esta limitado por

π
4

{\displaystyle {\pi \over 4}}

 por arriba y por

−
π

4

{\displaystyle -\pi \over 4}

por debajo por lo que entonces nos queda la siguiente integral:

1
2

∫

−
π

4

π
4

(
c
o
s
2
θ

)
2

d
θ

{\displaystyle {1 \over 2}\int\_{-\pi \over 4}^{\pi \over 4} (cos2 \theta)^2 d\theta}

entonces comenzamos aplicando el cuadrado lo que nos da

1
2

∫

−
π

4

π
4

c
o

s
2

2
θ
d
θ

{\displaystyle {1 \over 2}\int\_{-\pi \over 4}^{\pi \over 4} cos^2 2 \theta d\theta}

, ahora usando una propiedad de Cos cuadrado sabemos que

c
o

s
2

2
# θ

1
c
o
s
2
(
2
θ
)

2

=

1
c
o
s
4
θ

2

{\displaystyle cos^2 2\theta = {1+cos2(2\theta) \over 2} = {1+cos4\theta \over 2}}

entonces sustituyendo tenemos que

1
2

∫

−
π

4

π
4

1
c
o
s
4
θ

2

d
θ

{\displaystyle {1 \over 2}\int\_{-\pi \over 4}^{\pi \over 4} {1+cos4\theta \over 2} d\theta}

, separamos en 2 integrales lo que nos da

1
2

∫

−
π

4

π
4

1
2

d
θ

1
2

∫

−
π

4

π
4

c
o
s
4
θ

2

d
# θ

1
4

∫

−
π

4

π
4

d
θ

1
4

∫

−
π

4

π
4

c
o
s
4
θ

d
θ

{\displaystyle {1 \over 2}\int\_{-\pi \over 4}^{\pi \over 4} {1 \over 2} d\theta+{1 \over 2}\int\_{-\pi \over 4}^{\pi \over 4} {cos4\theta \over 2} d\theta =
{1 \over 4}\int\_{-\pi \over 4}^{\pi \over 4} d\theta+{1 \over 4}\int\_{-\pi \over 4}^{\pi \over 4} {cos4\theta} d\theta}

 ahora integramos, lo que nos da como resultado

[

1
4

θ

1
16

s
i
n
4
θ

d
θ
]

−
π

4

π
4

{\displaystyle [{1 \over 4} \theta + {1 \over 16} {sin4 \theta} d\theta] |\_{-\pi \over 4}^{\pi \over 4}}

pos lo que nos queda entonces

[

1
4

(

π
4

)

1
4

(
s
i
n
4
(

π
4

)
)
]
−
[

1
4

(

−
π

4

)

1
4

(
s
i
n
4
(

−
π

4

)
)
]

{\displaystyle [{1 \over 4}({\pi \over 4}) + {1 \over 4}(sin4({\pi \over 4}))]-
[{1 \over 4}({-\pi \over 4}) + {1 \over 4}(sin4({-\pi \over 4}))]}

donde eliminamos a sin ya que se cancelan entre si, lo que nos queda entonces es

1
16

π

1
16

# π

2
16

# π

1
8

π

{\displaystyle {1 \over 16}\pi + {1 \over 16}\pi = {2 \over 16}\pi = {1 \over 8} \pi}
2.15(B)

Diga que cosa geométrica de D equivale a la integral

∫

∫

D

1
d
A

{\displaystyle \int \int \_{D}1dA}

y de un argumento del porque.

Explicación: https://youtu.be/DLXbwPsCNik

Las integrales dobles son una manera de integrar sobre una región bidimensional. Que entre muchas cosas nos permite calcular el volumen bajo una superficie.

Si se nos piden la integral doble de un circulo entonces lo que se tendrá que hacer es encontrar los limites de la integración los cuales en este caso supuesto serán de -axa. Hallando los limites de integración y formulándolos en la integral quedarían de la siguiente forma:

∫

−
a

a

∫

−
√

a

2

−

x

2

√

a

2

−

x

2

f
(
x
,
y
)
d
y
d
x

{\displaystyle \int \_{-a}^{a}\int \_{-\surd {a^{2}-x^{2}}}^{\surd {a^{2}-x^{2}}}f(x,y)dydx}

El resultado nos daría el volumen bajo la superficie del circulo, pero también el área del circulo que seria a la respuesta de la pregunta.

Esto debido a que mientras f no sea menor o igual a cero la integral anteriormente mencionada dará el volumen mencionado, esto también se cumplen en regiones mas generales como en este caso D.

Ahora si F = 1, entonces como el volumen es el área de la base por la altura, será el área de la región D, esto dado a que se toma F como la altura que tendría la figura.

Tomando en cuenta otra forma, supongamos que tenemos una figura con una forma no definida, en este caso lo que se tendría que hacer es cortarla en rebanadas y mantener constante a una de las variables.

Encontrar como expresar los limites de integración de estas bandas como funciones de otra variable, cuando ya tengamos la doble integral la integral interior deberá corresponder a integrar sobre una de esas bandas.
5.35

**Verifique que

F
(
x
,
y
# )
(
2
x
1
,

y

2

)

{\displaystyle F(x,y)=(2x+1,y^{2})}

 es un campo conservativo buscando (al tanteo) la función

f
:

R

2

→
R

{\displaystyle f:R^{2}\rightarrow R}

 correspondiente que permite verificar eso.**

**Solución:**
Para verificar que

F
(
x
,
y
)

{\displaystyle F(x, y)}

 es campo conservativo basta con verificar que

# F
∇
f

{\displaystyle F = \nabla f}

 para alguna función

f

{\displaystyle f}

 (según lo visto en clase).

Sea

f
:

R

2

→
R

{\displaystyle f:R^{2}\rightarrow R}

 dicha función. Por lo tanto sabemos que:

∂
f

∂
x

=
2
x
1

{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=2x+1}

y

∂
f

∂
y

=

y

2

{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}=y^{2}}

Propongo a la función

f
:

R

2

→
R
,
f
(
x
,
y
# )

x

2

x

y

3

3

{\displaystyle f:R^{2}\rightarrow R,f(x,y)=x^{2}+x+{\frac {y^{3}}{3}}}

. Esta función sale de antiderivar

2
x
1

{\displaystyle 2x+1}

 respecto a

x

{\displaystyle x}

 y a

y
2

{\displaystyle y^2}

 respecto a

y

{\displaystyle y}

 (tomamos la constante de integración como cero, por simplicidad).

Notemos que

∂
f

∂
x

=
2
x
1

{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=2x+1}

 y

∂
f

∂
y

=

y

2

{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}=y^{2}}

. Por tanto podemos decir que

F
(
x
,
y
# )
(
2
x
1
,

y

2

)

{\displaystyle F(x,y)=(2x+1,y^{2})}

 es un campo conservativo puesto que hemos encontrado una función

f

{\displaystyle f}

 tal que

# F
∇
f

{\displaystyle F = \nabla f}

.
Quicksilver

**Peter Maximoff**, also known as **Quicksilver**, is a member of the X-Men with the ability of superhuman speed

## Biography

### Interrupted by Wade Wilson

Peter Maximoff was in the X-Mansion in a meeting with the X-Men. During the meeting Colossus was trying to get Wade Wilson to join the X-Men, Beast closed the door when Wilson ranted to Colossus outside the room.

## Powers and Abilities

### Powers

* **Mutant Physiology**: *To be added*
	+ **Superhuman Speed**: *To be added*

## Relationships

### Family

* Erik Lehnsherr/Magneto
* Ms. Maximoff

### Allies

* X-Men - Teammates
	+ Charles Xavier/Professor X - Leader
	+ Scott Summers/Cyclops
	+ Ororo Munroe/Storm
	+ Kurt Wagner/Nightcrawler
	+ Hank McCoy/Beast

## Trivia

* Quicksilver's only appearance in the Deadpool film franchise is a cameo appearance.

## External Links

* Quicksilver on Marvel Database
* Quicksilver on Wikipedia
1.8c

Si f(x,y)

≥

{\displaystyle \geq}

 g(x,y) para todo punto (x,y)

∈

{\displaystyle \in}

 R, entonces

∫

∫

R

f
(
x
,
y
)
d
A
≥
∫

∫

R

g
(
x
,
y
)
d
A

{\displaystyle \int \int \_{R}f(x,y)dA\geq \int \int \_{R}g(x,y)dA}

Dado que R es un Rectángulo en el plano podemos poner las sumas de la Riemman de f(x,y) y g(x,y) respectivamente.

∫

∫

R

f
(
x
,
y
)
d
# A

lim

m
,
n
→
∞

∑

# i
1

m

∑

# j
1

n

f
(

x

i

,

y

j

)
Δ
A

{\displaystyle \int \int \_{R}f(x,y)dA=\lim \_{m,n\rightarrow \infty }\sum \_{i=1}^{m}\sum \_{j=1}^{n}f(x\_{i},y\_{j})\Delta A}

∫

∫

R

g
(
x
,
y
)
d
# A

lim

m
,
n
→
∞

∑

# i
1

m

∑

# j
1

n

g
(

x

i

,

y

j

)
Δ
A

{\displaystyle \int \int \_{R}g(x,y)dA=\lim \_{m,n\rightarrow \infty }\sum \_{i=1}^{m}\sum \_{j=1}^{n}g(x\_{i},y\_{j})\Delta A}

Ahora sabemos que f(x,y)

≥

{\displaystyle \geq}

g(x,y), por lo que podemos afirmar que

lim

m
,
n
→
∞

∑

# i
1

m

∑

# j
1

n

f
(

x

i

,

y

j

)
Δ
A
≥

lim

m
,
n
→
∞

∑

# i
1

m

∑

# j
1

n

g
(

x

i

,

y

j

)
Δ
A

{\displaystyle \lim \_{m,n\rightarrow \infty }\sum \_{i=1}^{m}\sum \_{j=1}^{n}f(x\_{i},y\_{j})\Delta A\geq \lim \_{m,n\rightarrow \infty }\sum \_{i=1}^{m}\sum \_{j=1}^{n}g(x\_{i},y\_{j})\Delta A}

Esto ocurre ya que cualquier punto arbitrario (x,y) al evaluarlo en las funciones tenemos que f(x,y)

≥

{\displaystyle \geq}

g(x,y)

Y con esto podemos decir que

∫

∫

R

f
(
x
,
y
)
d
A
≥
∫

∫

R

g
(
x
,
y
)
d
A

{\displaystyle \int \int \_{R}f(x,y)dA\geq \int \int \_{R}g(x,y)dA}
5.49(b)

49. Calcule

∫

Γ

F
⋅
d
γ

{\displaystyle \int \_{\Gamma }F\cdot d\gamma }

 para los siguientes campos y curvas (tip: no son talachudas revise sus teoremas)

(b)

# F
x

y

2

i

2

x

2

y

j

{\displaystyle F=xy^{2}{\textbf {i}}+2x^{2}y{\textbf {j}}}

 en el triángulo con vertices en (0,0), (2,2) y (2,4) sentido antihorario.

Podemos representar el problema como

∫

C

x

y

2

d
x
2

x

2

y

d
y

{\displaystyle \int \_{C}xy^{2}\ dx+2x^{2}y\ dy}

 que convertiremos en la forma de

∬

D

(

∂
Q

∂
x

−

∂
P

∂
y

)

d
A

{\displaystyle \iint \_{D}{\bigg (}{\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}{\bigg )}dA}

usando el teorema de Green pero antes de eso necesitamos conocer los intervalos de la región D.

De acuerdo a la imagen podemos saber que

# D
{
(
x
,
y
)
∣
0
≤
x
≤
2
,

x
≤
y
≤
2
x
}

{\displaystyle D=\{(x,y)\mid 0\leq x\leq 2,\ x\leq y\leq 2x\}}

Por lo tanto podemos representar el problema como

∫

0

2

∫

x

2
x

(
4
x
y
−
2
x
y
)
d
y
d
x

{\displaystyle \int \_{0}^{2}\int \_{x}^{2x}(4xy-2xy)dydx}

 ya que

∂
Q

∂
x

=
4
x
y

{\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial x}}=4xy}

 y

∂
P

∂
y

=
2
x
y

{\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial y}}=2xy}

Calculamos:

∫

0

2

∫

x

2
x

(
2
x
y
)
d
y
d
# x

∫

0

2

2
x

y

2

2

x

2
x

d
# x

∫

0

2

x

y

2

x

2
x

d
x

{\displaystyle \int \_{0}^{2}\int \_{x}^{2x}(2xy)dydx=\int \_{0}^{2}{\frac {2xy^{2}}{2}}{\Bigg |}\_{x}^{2x}\ dx=\int \_{0}^{2}xy^{2}{\Bigg |}\_{x}^{2x}\ dx}

=

∫

0

2

(

x
(
2
x

)

2

)

−

(

x
(
x

)

2

)

d
# x

∫

0

2

4

x

3

−

x

3

d
x

{\displaystyle =\int \_{0}^{2}{\Big (}x(2x)^{2}{\Big )}-{\Big (}x(x)^{2}{\Big )}\ dx=\int \_{0}^{2}4x^{3}-x^{3}\ dx}

=

∫

0

2

3

x

3

d
# x

3

x

4

4

0

2

=

3
(
2

)

4

4

−

3
(
0

)

4

4

=

48
4

=
12

{\displaystyle =\int \_{0}^{2}3x^{3}\ dx={\frac {3x^{4}}{4}}{\Bigg |}\_{0}^{2}={\frac {3(2)^{4}}{4}}-{\frac {3(0)^{4}}{4}}={\frac {48}{4}}=12}
Zeitgeist

*"I'm Zeitgeist."
"Cool. I'd like to say you have the power to put your finger on the... pulse of society?"
"No... No, I spit acidic vomit."*
―Zeitgeist and Deadpool[src]
**Axel Cluney** was a Mutant known as **Zeitgeist**. He was a member of the X-Force.

## Biography

### The X-Force

##### Shredded to Death

*"I got you, buddy!"
"This is not good, man!"
"You got this, big guy! Here we go, Peter!"
"Look at me. We're X-Force, right?"
"Yeah, we're X-Force."
"We're X-Force."*
―Peter W., Zeitgeist, and Deadpool[src]
*To be added*

## Powers and Abilities

### Powers

*"Oh, my God! What the fuck?! Fucking acidic vomit!"*
―Deadpool[src]
* **Mutant Physiology**: *To be added*
	+ **Acidic Vomit**: Zeitgeist is a Mutant with the ability to spit acidic vomit. This is shown when Peter W. tries to save him but Zeitgeist vomits on him accidentally.

## Relationships

### Allies

* X-Force - Teammates
	+ Wade Wilson/Deadpool - Leader
	+ Jesse Aaronson/Bedlam †
	+ Telford Porter/Vanisher †
	+ Gaveedra Seven/Rusty/Shatterstar †
	+ Neena Thurman/Domino
	+ Peter W. - Attempted Savior and Accidental Victim
* Jack Hammer/Weasel

## References

The Deadpool Films Wiki has a collection of images and media of **Zeitgeist**.
1. ↑ *Deadpool 2*
Deadpool 3

## Deadpool Film Series

***Deadpool 3*** is an upcoming superhero film, based on the Marvel Comics antihero of the same name. The film is a sequel to *Deadpool* and *Deadpool 2*. It is the thirty-seventh film in the Marvel Cinematic Universe and the third film in the *Deadpool* film series. The film is set to be released on November 8, 2024.

## Cast

* Ryan Reynolds as Wade Wilson/Deadpool
* Hugh Jackman as Logan/Wolverine

## Videos

### Other

Deadpool UpdateDeadpool Update, Part Hugh
List of Marvel Comics Characters

The following is a list of all characters and teams, who originally appeared in Marvel Comics, and were later adapted to the *Deadpool* film franchise.

## Characters

### Introduced in *Deadpool*

* Wade Wilson/Deadpool
* Francis Fanny/Ajax
* Peter Rasputin/Colossus
* Ellie Phimister/Negasonic Teenage Warhead
* Jack Hammer/Weasel
* Vanessa Carlysle/Copycat
* Althea/Blind Al
* Christina/Angel Dust

### Introduced in *Deadpool 2*

* Nathan Summers/Cable
* Russell Collins/Firefist
* Neena Thurman/Domino
* Yukio
* Jesse Aaronson/Bedlam
* Gaveedra Seven/Rusty/Shatterstar
* Axel Cluney/Zeitgeist
* Telford Porter/Vanisher
* Charles Xavier/Professor X
* Hank McCoy/Beast
* Scott Summers/Cyclops
* Pietro Maximoff/Quicksilver
* Ororo Munroe/Storm
* Kurt Wagner/Nightcrawler
* Paul Hark/Red Lotus
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No Good Deed

## Deadpool Film Series

*"Not on my watch, motherfucker."*
―Wade Wilson
***No Good Deed*** is a 2017 superhero short film, based on the Marvel Comics antihero Deadpool. It is the first and only short film in the *X-Men* and the *Deadpool* film series. The short film was released in the United States on March 3, 2017 in front of the film *Logan* and was released one day later by Ryan Reynolds on YouTube.

The short film is directed by David Leitch, director of *Deadpool 2*, and stars Ryan Reynolds as Wade Wilson/Deadpool.

## Synopsis

Wade and the other girls from the Sisterhood of the Traveling Pants plan a trip to Cabot Cove.

## Plot

As Wade Wilson is strolling on the streets he witnesses an old man being mugged by someone in an alley. Wilson runs to a phone booth and starts changing into his suit. He hears a gunshot and Stan Lee compliments his suit. Wilson runs to the alley and finds the old man dead on the floor, he lies down on the old man's body and starts eating his ice cream.

## Cast

* Ryan Reynolds as Wade Wilson/Deadpool
* Stan Lee as Himself (online version)
* Unknown Actor as Old Man
* Unknown Actor as Mugger

## Appearances

### Locations

* United States of America
	+ New York

### Items

* Deadpool's Suit
* Deadpool's Katanas

### Mentioned

* Nathan Summers
* Laird
* Logan (picture)
* Laura (picture)
* *Firefly* (picture)
* *Logan* (picture)
* Ben & Jerry's
* Ariana Grande (graffiti)

## Music

 St. Elmo's Fire (Man in Motion) | John Parr | * Wade Wilson listens to this song on his headphones. (online version)
 You're So Cool | Hans Zimmer | * Deadpool examines and lies down on the old man's body.
Vanisher

* Vanished
* Visible

*"This, is the Vanisher."
"But... Vanisher! Ha ha! Nice!"
"Right?"
"He's not here, is he?"
"He may be running late."*
―Weasel and Deadpool[src]
**Telford Porter**, more commonly known as the **Vanisher**, was a Mutant who has the power of invisibility who joined the X-Force.

## Biography

### X-Force

#### Skydive

*"Vanisher! Maybe the wind can't blow what it can't see."*
―Deadpool[src]
*To be added*

##### Electrocuted to Death

*"Really! Alright, we can do this with four."*
―Deadpool[src]
*To be added*

## Powers

* **Invisibility**: The Vanisher stayed invisible at all time. The only time he was not seen invisible was when he was electrocuted.

## External Links

* Vanisher on Marvel Database
* Vanisher on Wikipedia