קירובים

פעמים רבות פתרון בעיה פיזיקלית נותן תוצאה מסובכת שקשה (או בלתי אפשרי) לעבוד איתה במדוייק. לשם כך במקרים רבים נחליף את הביטוי שהתקבל בביטוי פשוט יותר, שתחת תנאים מסויימים מתנהג "מספיק דומה" לביטוי המדוייק. ביטוי זה נקרא **קירוב** של הביטוי המקורי.

## פיתוח טיילור

הקירוב העיקרי שמקובל להשתמש בו הוא קירוב פולינומיאלי. קירוב זה לוקח פונקציה

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}

ומחליף אותה בפונקציה פולינומיאלית, שהיא לרוב פשוטה יותר לעבודה. קירוב של פונקציה ע"י פולינום ממעלה n נקרא "קירוב טיילור מסדר n".

### דוגמא - פונקציית האקספוננט

נבנה קירוב כזה לפונקציית האקספוננט

f
(
x
# )

e
x

{\displaystyle f(x)= e^x}

שלב אחר שלב:

   נתחיל מקירוב מסדר 0. פולינום ממעלה 0 הוא פשוט קבוע. איזה קבוע נבחר? כדי לענות על השאלה הזו, חשוב להבין נקודה מאוד חשובה - **קירובים הם לוקאליים**, כלומר, הם מהווים קירוב של הפונקציה רק באיזור מאוד מצומצם. מחוץ לאיזור הזה הקירוב יכול להיות רחוק מאוד מהפונקציה המקורית. לכן, קודם כל עלינו לבחור את האיזור שאנחנו רוצים לקרב. נבחר למשל לקרב את הפונקציה סביב x=0. בנקודה זו

f
(
0
# )

e

0

=
1

{\displaystyle f(0)=e^{0}=1}

, אז נשמע הגיוני לבחור את הקבוע שלנו להיות 1:

e

x

≈

P

0

(
x
# )
1

{\displaystyle e^{x}\approx P\_{0}(x)=1}

אם נסתכל על הגרפים של שת הפונקציות האלו ביחד, נוכל לראות שלמרות שהן משתוות ב-x=0, הקירוב מאוד מהר מאבד אחיזה בפונקציה המקורית.

ננסה סדר גבוה יותר. פונקציה מסדר 1 היא קו ישר. איזה קו ישר הכי "דומה" לפונקציה באיזור של-x=0? כדאי שהישר יעבור דרך הנקודה (0,1), אבל אפשר לדרוש יותר מזה - אפשר לדרוש גם שלישר יהיה את אותו השיפוע של הפונקציה המקורית כך שהוא ימשיך עם הפונקציה "באותו כיוון", לפחות עד שהפונקציה תתעקם מספיק ותתרחק מהישר. לכן השיפוע של הישר ייקבע להיות

f
′

(
0
# )

e

0

=
1

{\displaystyle f'(0)=e^{0}=1}

, ואז:

e

x

≈

P

1

(
x
# )
1
x

{\displaystyle e^{x}\approx P\_{1}(x)=1+x}

זה כבר נראה יותר טוב, אבל אפשר לשפר עוד אם נמשיך לקירוב מסדר 2 - שתי הפונקציות מקבלות את אותו ערך ב-0 ויש להן את אותו שיפוע (נגזרת), אבל אין להן את אותה עקמומיות (נגזרת שנייה). ננסה להתאים גם את זה:

f
″

(
0
# )

e

0

=
1

{\displaystyle f''(0)=e^{0}=1}

. לכן הפולינום ממעלה שנייה שהכי קרוב לפונקציה שלנו יהיה:

e

x

≈

P

2

(
x
# )
1
x

x

2

2

{\displaystyle e^{x}\approx P\_{2}(x)=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}}

(החלוקה ב-2 נמצאת שם כדי שאחרי הגזירה, נקבל נגזרת שנייה השווה ל-1). כמובן שניתן להמשיך כך לסדרים גבוהים יותר ויותר.

### המקרה הכללי

פיתוח טיילור מסדר

n

{\displaystyle n}

 של פונקציה

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}

 סביב הנקודה

x
0

{\displaystyle x\_0}

 ייראה כך:

P

n

(
x

# k
0

n

f

(
k
)

(
x
)

k
!

(
x
−

x

0

)

k

{\displaystyle P\_{n}(x)=\sum \_{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(x)}{k!}}(x-x\_{0})^{k}}

כאשר

f

(
k
)

(
x
)

{\displaystyle f^{(k)}(x)}

 היא הנגזרת ה

k

{\displaystyle k}

 של

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}

.

ניתן לראות שכל הנגזרות של הקירוב עד הנגזרת ה-n-ית שוות לנגזרות המתאימות של הפונקציה המקורית בנקודה

x
0

{\displaystyle x\_0}

.

ברוב המקרים קירוב מסדר ראשון יהיה מספיק מדוייק לצרכים שלנו. לעתים נזדקק לקירוב מסדר שני, וכמעט אף פעם לסדר שלישי.

## קירובים חשובים

בעזרת פיתוח טיילור, ניתן לפתח קירובים להרבה פונקציות חשובות. אלו מספר קירובים שחשוב להכיר ולזכור טוב. תרגיל טוב יהיה לנסות לפתח אותם בעזרת טור טיילור:

כאשר

x
≪
1

{\displaystyle x\ll 1}

 (כלומר

x

{\displaystyle x}

 קטן מאוד ביחס ל

1

{\displaystyle 1}

), לכל

α

{\displaystyle \alpha}

 ממשי המקיים

α
x
≪
1

{\displaystyle \alpha x\ll 1}

, מתקיים הקירוב:

(
1
x

)

α

≈
1
α
x

{\displaystyle (1+x)^{\alpha }\approx 1+\alpha x}

מקרים פרטיים של הקירוב הזה:

(
1
x

)

−
1

=

1

1
x

≈
1
−
x

{\displaystyle (1+x)^{-1}={\frac {1}{1+x}}\approx 1-x}

(
1
x

)

1

/

2

=

1
x

≈
1

x
2

{\displaystyle (1+x)^{1/2}={\sqrt {1+x}}\approx 1+{\frac {x}{2}}}

בנוסף, כאשר

x
≪
1

{\displaystyle x\ll 1}

מתקיים גם:

e

x

≈
1
x

{\displaystyle e^{x}\approx 1+x}

ln
⁡
(
1
x
)
≈
x

{\displaystyle \ln(1+x)\approx x}

## קירובי זוויות קטנות

קירובים נוספים שכדאי לזכור הם קירובי זוויות קטנות, כלומר קירובים של פונקציות טריגונומטריות ב

x
≪
1

{\displaystyle x\ll 1}

:

tan
⁡
(
x
)
≈
sin
⁡
(
x
)
≈
x

{\displaystyle \tan(x)\approx \sin(x)\approx x}

cos
⁡
(
x
)
≈
1
−

x

2

2

{\displaystyle \cos(x)\approx 1-{\frac {x^{2}}{2}}}

קירובים אלו שימושיים במקרים רבים מאוד ולכן יש להכיר אותם טוב.