Series y sucesiones matemáticas

# Introducción

Tanto las sucesiones como las series matemáticas están implícitas en nuestra vida cotidiana, ya sea en una actividad diaria o intercalada.

A continuación se hará presente un documento en donde se mencionara la aplicación de las series y sucesiones matemáticas,resaltando los puntos más importantes.

# Sucesiones  Matemáticas

Una sucesión matemática es un conjunto ordenado de objetos matemáticos, generalmente números. Cada uno de ellos es denominado término (también elemento o miembro) de la sucesión y al número de elementos ordenados (posiblemente infinitos) se le denomina la longitud de la sucesión.

## Tipos de sucesiones

### Sucesiones estrictamente crecientes

Se dice que una sucesión es estrictamente creciente sicada término es mayor que el anterior.

**an+1 > an**

2,5, 8, 11, 14, 17,...

5> 2; 8 > 5; 11 > 8; ...

### **Sucesiones crecientes**

Se dice que una sucesión es creciente si cada término es mayor o igual que el anterior.

**an+1 ≥ an**

2,2 , 4, 4, 8, 8,...

2≥ 2; 4 ≥ 2; 4 ≥ 4; ...

### **Sucesiones estrictamente decrecientes**

Se dice que una sucesión es estrictamente decreciente si cada término de la sucesión es menor que el anterior.

**an+1 < an**

1,1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6,...

1/2< 1; 1/3 < 1/2 ; 1/4 < 1/3; ...

### **Sucesiones decrecientes**

Se dice que una sucesión es decreciente si cada término de la sucesión es menor o igual que el anterior.

**an+1 ≤ an**

### **Sucesiones constantes**

Se
dice que una sucesión es constante si todos su términos son iguales, an= k.

**an = an+1**

5,5, 5, 5, ...

### **Sucesiones acotadas**

Una sucesión se dice acotada si está acotada superior e inferiormente. Es decir si hay un número k menor o igual que todos los términos de la sucesión y otro K' mayor o igual que todos los términos de la sucesión. Por lo que todos los términos de la sucesión están comprendidos entre k y K'.

**k ≤ an ≤ K'**

### **Sucesiones convergentes**

Límite = 0

Límite= 1

### **Sucesiones divergentes**

Las sucesiones divergentes son las sucesiones que no tienen límite finito.

Límite= ∞

**APLICACIÓN**

### **Sucesiones aplicadas a la biología (Sucesión de  Fibonacci)**

Si alguien coloca una pareja de conejos en un sitio rodeado por paredes.

¿Cuántas parejas de conejos generaran la pareja inicial durante un año si se supone que cada mes una nueva pareja es engendrada por cada pareja que a partir de su segundo mes deviene productiva?

= Número de parejas de conejos al tiempo t.

-Ya que hay una sola pareja al inicio.

-Ya que la primera pareja será reproductora hasta el segundo mes

Al final del segundo mes (Comienzo del tercero) se tendrá a la primera pareja y su primera progenie:

-Estas dos más, son la progenie de la primera:

La sucesión de las parejas de conejos será: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,34.

### **Sucesiones aplicadas al deporte**

2 ciclistas se preparan para una competencia: El primero comienza con 1000 metros, y todos los días agrega 1000 metros más, en tanto el segundo ciclista  empieza con 200 metros y cada día duplica lo hecho del día anterior ¿Cuántos metros habrán recorrido cada uno de los ciclistas el décimo día?

Solución:

El primer ciclista aumenta el recorrido según una progresión aritmética, por lo tanto:

=10000 metros

El segundo ciclista aumenta su recorrido en progresión geométrica:

Una pelota se deja caer desde una altura inicial de 15 pies sobre una plancha de concreto. Cada vez que rebota, alcanza una altura de 2/3 de su altura precedente ¿A qué altura llegara en su tercer rebote? ¿En su enésimo rebote?

Una pelota, que cae desde una gran altura, recorre 16 pies durante e primer segundo, 48 pies durante el segundo, 80 pies durante el tercero, y así sucesivamente, ¿Cuál es la altura en el sexto segundo?

Un paciente toma 15 mg de un fármaco cada día. Suponga que 80% del fármaco acumulado es excretado cada día por las funciones corporales. Escriba los primeros seis términos de la sucesión {An}.Donde An es la cantidad de fármaco presente en el cuerpo del paciente inmediatamente después de la dosis n-esima.

# Series Matemáticas

En matemáticas, una serie es la generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión infinita.Informalmente, es el resultado de sumar los términos:

Lo cual suele escribirse en forma más compacta

Con el símbolo de sumatorio:  .

El estudio de las series consiste en la evaluación de la suma de un número finito "n" de términos sucesivos, y mediante un pasaje al límite identificar el comportamiento de la serie a medida que "n" crece indefinidamente.

#### **Sumas parciales**

Para cualquier sucesión matemática {An} de números racionales, reales, complejos, funciones, etc., la serie asociada se define como la suma formal ordenada:

Ejemplo

#### **Serie geométrica**

Aquella cuyos términos forman una progresión geométrica. (Cada término es igual al anterior multiplicado por una constante).

En matemática, una serie geométrica es una serie en la cual la razón entre los términos sucesivos de la serie permanece constante.

Ejemplo:

#### **Serie de potencias**

Una serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma:

Una serie de potencias
alrededor de x=c es una serie de la forma:

En el cual el centro es c, y los coeficientes {an} son los términos de una sucesión.Las series de potencias tienen aplicación en cuanto a la resolución de funciones continuas.

#### **Series de Taylor  y MacLaurin**

En matemáticas, una serie de Taylor es una aproximación de funciones mediante una serie de potencias o suma de potencias enteras de polinomios como (X-a)^n  llamados términos de la serie, dicha suma se calcula a partir de las derivadas de la función para un determinado valor o punto  suficientemente derivable sobre la función y un entorno sobre el cual converja la serie. Si esta serie está centrada sobre el punto cero, , se le denomina serie de McLaurin.

Esta aproximación tiene tres ventajas importantes:

·La derivación e integración de una de estas series
se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales;

·Se puede utilizar para calcular valores aproximados
de funciones;

· Es posible calcular la optimización de la aproximación.

La serie de Taylor de una función f real o compleja ƒ(x) infinitamente diferenciable en el entorno de un número real o complejo a es la siguiente serie de potencias:

Que puede ser escrito de una manera más compacta como la siguiente suma:

donde:

- n! es
el factorial de n

-f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f para el valor a de la variable respecto de la cual se deriva.

La derivada de orden cero de f es definida como la propia f y tanto (x − a)0 como  son ambos definidos como 1 ( = 1). En caso de ser a = 0, como ya se mencionó, la serie se denomina también de MacLaurin.

#### **Aplicaciones**

Además de la aplicación de utilizar funciones polinómicas en lugar de funciones de mayor complejidad para analizar el comportamiento local de una función, las series de Taylor tienen muchas otras aplicaciones.

Algunas de ellas son: análisis de límites y estudios paramétricos de los mismos, estimación de números irracionales acotando su error, teorema de L'Hopital para la resolución de límites indeterminados, estudio de puntos estacionarios en funciones (máximos o mínimos relativos o puntos sillas de tendencia estrictamente creciente o decreciente), estimación de integrales, determinación de convergencia y suma de algunas series importantes, estudio de orden y parámetro principal de infinitésimos, etc.

-Las series de Taylor son aplicables a la ingeniería eléctrica para calcular la continuidad voltaica en los circuitos.

-En finanzas es aplicable en el caso de instrumentos de inversión donde la exposición al factor de riesgo no es lineal.

**Enlaces de descarga de archivos de Math cad:**

Google Drive:

-Aplicación de las sucesiones

https://drive.google.com/file/d/0B9DJoEhebjC0Y09zTjB4d1A1RDQ/view?usp=sharing

-Aplicación de las series de Taylor y MacLaurin

https://drive.google.com/file/d/0B9DJoEhebjC0em1aSXlnYXlHajA/view?usp=sharing

**Bibliografía**

Zill, D. G. (2011). *Matemáticas 2: Calculo Integral.* Mexico,D.F: Mc Graw-Hill.

*Datateca*(s.f.).Obtenidodehttp://datateca.unad.edu.co/contenidos/551104/551104\_Historia\_Matematicas/leccin\_4\_\_\_las\_series\_numricas\_y\_sus\_aplicaciones\_en\_las\_dems\_ciencias.html

*Disfruta las matemáticas*. (2011). Obtenido de http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/sucesiones-series.html

Ferrante, I. J. (2009). *Edutecne*. Obtenido de http://www.edutecne.utn.edu.ar/geptecne/03-GEPTECNE.pdf

*Prezi*. (28 de Enero de 2014). Obtenido de https://prezi.com/flb50cckj1x-/aplicaciones-de-las-sucesiones-en-la-vida-real/