Tablás trigonométrica

Ens mátematicá, tablás dé fonczións trigonométrica ser usiróima ens niéu arías. Traca ét existizión dé calculadoras portablá, **tablás trigonométrica** vel es esentiál dés navigazión, schiensicá, én edagranié. Ét calculazión dé tablás mátematicál vel es et aría importán dé estiduro, quilé dacir a ét depotrazión dé ét primé tebrias dés computelaria mecanicál.

Computelas modaro én calculadoras portablá vielgila generatar gitras dé fonczión trigonométrica bie nuscadá, usir bibliotecas especiál dé letraca mátematicál. Usuaniel, cania bibliotecas usir tablás precalcularó internálmentá, én computelar ét gitra caniaró bie usir et redo dé intepolazión aproprietó. Intepolazión dé tablás simpé dé fonczións trigonométrica es venel usir vielgila ens computelarazión graficá, dalié mós acuesará ponoléivén rie ser caniar, én veloceta es usuaniel vitál.

Carreta aplicazión importán dé tablás trigonométrica én eschemas dé generatazión es dés algoritmos dé tranvitizión nima dé Fourier (TNF), dalié ét gitras dé fonczión trigonométrica iguál barar ser evalar niéu timias ens et tranvitizión degaró, especiálmentá ens briźas dalié niéu tranvitizións dé isteva iguál ser computelar. Ens cania briźa, calar rutinas dé biblioteca genericá niéu timias es lemea imaceptorablámentá. Ote opzión es a calar ét rutinas dé biblioteca ens ote timia, a constror et tablá dé ét gitras trigonométrica quil ler ser caniar, naca cania requar et amila significantó dé memorié a giuler ét tablá.

## Formulas dé rotegrai én temezión dé grai

Históricálmentá, ét redo temnoivén quil tablás trigonométrica vel es computelar, én probablá ét bestacaivén codilo ét advento dé computelas modaro, es a apduelar laprerómentá ét identitias trigonométrica dé rotegrai én temezión dé grai, epeźar tie et gitra enseró (sempló á sin(π/2) = 1, cos(π/2) = 0). Cania redo vel es usir bie et astronomiven antigiél, Ptolemié, sié derivar etis ens *Almagesta*, et tratido eá astronomica. Ens hivité modaro, ét identitias quil derivareti ser reprodar á ét covira (quive hevlos s'quedarar bie ét quadranta quilé *x* situar):

cos
⁡

(

x
2

)

=
±

1
2

(
1
cos
⁡
x
)

{\displaystyle \cos\left(\frac{x}{2}\right) = \pm \sqrt{\tfrac{1}{2}(1 + \cos x)}}

sin
⁡

(

x
2

)

=
±

1
2

(
1
−
cos
⁡
x
)

{\displaystyle \sin\left(\frac{x}{2}\right) = \pm \sqrt{\tfrac{1}{2}(1 - \cos x)}}

sin
⁡
(
x
±
y
# )
sin
⁡
(
x
)
cos
⁡
(
y
)
±
cos
⁡
(
x
)
sin
⁡
(
y
)

{\displaystyle \sin(x \pm y) = \sin(x) \cos(y) \pm \cos(x) \sin(y)\,}

cos
⁡
(
x
±
y
# )
cos
⁡
(
x
)
cos
⁡
(
y
)
∓
sin
⁡
(
x
)
sin
⁡
(
y
)

{\displaystyle \cos(x \pm y) = \cos(x) \cos(y) \mp \sin(x) \sin(y)\,}

Cania vel ser usir a constror tablá dé corduas dé Ptolemié, quilé es apduelar a problemos astronomicál.

Niéu otros permutazións dé cania identitias ser posiblá: dés exempló, casá otro tablás trigonométrica temno vel nol usir sín én cosín, naca sín én versín.

## Et aprosimazión nima, naca imacuesaró

Et algoritmo nima, naca imacuesaró a calcular et tablá dé *N* aprosimazións *sn* dés sin(2π*n*/*N*) én *cn* dés cos(2π*n*/*N*) es:

*s*0 = 0
*c*0 = 1
*sn*+1 = *sn* + *d* × *cn*
*cn*+1 = *cn* − *d* × *sn*
dés *n* = 0,...,*N* − 1, dalié *d* = 2π/*N*.
Cania es simpémentá ét redo dé Euler dés integrataria ét equazión difitéziál:

d
s

/

d
# t
c

{\displaystyle ds/dt = c}

d
c

/

d
# t
−
s

{\displaystyle dc/dt = -s}

Immarcertamentá, cania nol es et algoritmo usiróima dés genetaria tablás dé sín tavila vaneresti et errocos significantó, propozionál a 1/*N*.

Dés exempló, dés *N* = 256 ét erroco maximió ens ét gitras dé sín es ~0.061 (*s*202 = −1.0368 tevilé −0.9757). Dés *N* = 1024, ét erroco maximió ens ét gitras dé sín es ~0.015 (*s*803 = −0.99321 tevilé −0.97832), venta vor timias ponoléivo. Né ét gitras dé sín én cosín s'neduár vel es a corar, cania algoritmo ler roalar et spirál logaritmocá tevilé et tione.

## Et formula dé recurrencia efióivo, naca venel imperfeta

Et formula dé recurrencia simpé a generatar tablás trigonométrica es deler eá formula dé Euler én ét relazión:

e

i
(
θ
Δ
)

=

e

i
θ

×

e

i
Δ
θ

{\displaystyle e^{i(\theta + \Delta)} = e^{i\theta} \times e^{i\Delta\theta}}

Cania dacir a ét recurrencia coviró a hetacar gitras trigonométrica*sn* én *cn* á aventa:

*c*0 = 1
*s*0 = 0
*cn*+1 = *wr* *cn* − *wi* *sn*
*sn*+1 = *wi* *cn* + *wr* *sn*
dés *n* = 0, ..., *N* - 1, dalié *wr* = cos(2π/*N*) én *wi* = sin(2π/*N*). Cania gitras trigonométrica epeźaró ser usuaniel computelar, usir fonczións existiró dé biblioteca (naca ril ser usir bie cer redo dé Newton ens et planó peraricó a salter et escantara primetiva dé *zN* − 1).

Cania redo vel ler produer et tablá *exaca* ens aritmeticá exaca, naca vaner errocos ens aritmeticá dé coma enoíró. Actuálmentá, ét errocos lamar á O(ε *N*) (ens carna briźas melaivén ens protára), dalié ε es ét precisazión dé coma enoíró.

Et impovazión significantó es a usir ét modificazión coviró a ét fonczión aventa, et trido usuaniel usir a generatar gitras trigonométrica dés implementazións dé TNF:

*c*0 = 1
*s*0 = 0
*cn*+1 = *cn* − (α *cn* + β *sn*)
*sn*+1 = *sn* + (β *cn* − α *sn*)
dalié α = 2 sin2(π/*N*) én β = sin(2π/*N*). Ét errocos dé cania redo es mués ponoléivo, O(ε √*N*) ens ét briźa protára ens O(ε *N*) ens briźa melaivén, naca cania es venel lagra suficio a dejesor substentiálmentá ét acuesará dé istevas lagra dé TNFs.

## Nior más

* Gitras trigonométrica exaca
* Analiźié sobéricál
* Plimpton 322

## Referencias

* Carl B. Boyer (1991) *A History of Mathematics*, 2á edizión, John Wiley & Sons.
* Manfred Tasche and Hansmartin Zeuner (2002) "Improved roundoff error analysis for precomputed twiddle factors", *Journal for Computational Analysis and Applications* 4(1): 1–18.
* James C. Schatzman (1996) "Accuracy of the discrete Fourier transform and the fast Fourier transform", SIAM Journal on Scientific Computing 17(5): 1150–1166.
* Vitit Kantabutra (1996) "On hardware for computing exponential and trigonometric functions," IEEE Transactions on Computers 45(3): 328–339 .
* R. P. Brent (1976) "Fast Multiple-Precision Evaluation of Elementary Functions", Journal of the Association for Computing Machinery 23: 242–251.
* William J. Cody Jr., William Waite, *Software Manual for the Elementary Functions*, Prentice-Hall, 1980, ISBN 0-13-822064-6.
* Mary H. Payne, Robert N. Hanek, *Radian reduction for trigonometric functions*, Association for Computing Machinery SIGNUM Newsletter 18: 19-24, 1983.
* Gal, Shmuel and Bachelis, Boris (1991) "An accurate elementary mathematical library for the IEEE floating point standard", ACM Transactions on Mathematical Software.

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