תנע

במכניקה ניוטונית, **תנע** (**Momentum** באנגלית) של גוף (לעתים מכונה "תנע קווי", ע"מ להבדיל מתנע זוויתי) הוא גודל וקטורי המתאר את "עוצמת התנועה" של הגוף. הוא נמדד ב-

[

k
g
⋅
m

s

]

=

[

N
⋅
s

]

{\displaystyle \left [ \frac{kg\cdot m}{s} \right ] = \left [ N \cdot s \right ]}

. גודל זה הוא בעל חשיבות רבה מכיוון שהוא מקיים חוק שימור.

## הגדרה

עבור גוף במסה

m

{\displaystyle m}

 הנע במהירות

v
→

{\displaystyle \vec{v}}

, התנע

p
→

{\displaystyle \vec{p}}

 של הגוף מוגדר לפי:

p
→

≡
m

v
→

{\displaystyle \vec{p} \equiv m\vec{v}}

תנע הוא גודל אדטיבי, כלומר, בהנתן שני גופים עם תנעים

p
→

2

{\displaystyle \vec{p}\_2}

,

p
→

1

{\displaystyle \vec{p}\_1}

, ניתן לומר שהתנע הכולל של שני הגופים יחד הוא

p
→

t
o
t

=

p
→

1

p
→

2

{\displaystyle \vec{p}\_{tot}=\vec{p}\_1+\vec{p}\_2}

כיוון שהחיבור הוא וקטורי, נובע מכך שלמערכת גופים יכול להיות תנע כולל השווה לאפס גם אם כל אחד מהגופים בנפרד נמצא בתנועה (מערכת של שתי מסות זהות הנעות באותה מהירות לכיוונים מנוגדים, למשל).

## חוק שימור התנע

### **פיתוח**

נתבונן במערכת המורכבת מ-

n

{\displaystyle n}

 גופים נקודתיים בעלי מסות

m
1

,

m
2

,
.
.
.
,

m
n

{\displaystyle m\_1, m\_2,...,m\_n}

. נניח שהגופים נעים במהירויות

v
→

1

,

v
→

2

,
.
.
.
,

v
→

n

{\displaystyle \vec{v}\_1, \vec{v}\_2,...,\vec{v}\_n}

 בהתאמה.

נניח גם כי במערכת פועלים כוחות - כוחות חיצוניים על כל אחד מהגופים -

F
→

1

,

F
→

2

,
.
.
.
,

F
→

n

{\displaystyle \vec{F}\_1, \vec{F}\_2,...,\vec{F}\_n}

 בהתאמה, וכן כוחות הדדיים בין החלקיקים (נסמן ב-

F
→

i
j

{\displaystyle \vec{F}\_{ij}}

 את הכוח שמפעיל הגוף ה-

i

{\displaystyle i}

 על הגוף ה-

j

{\displaystyle j}

).

לפי ההגדרה, התנע הכולל של המערכת יהיה:

p
→

t
o
t

=

∑

# i
1

n

m
i

v
→

i

=

m
1

v
→

1

m
2

v
→

2

.
.
.

m
n

v
→

n

{\displaystyle \vec{p}\_{tot}=\sum\_{i=1}^{n}{m\_i\vec{v}\_i}=m\_1\vec{v}\_1+m\_2\vec{v}\_2+...+m\_n\vec{v}\_n}

נרצה לדעת איך גודל זה משתנה לאורך זמן. כיוון שהמסות נשארות קבועות, נצטרך רק לראות איך משתנות המהירויות לאורך זמן. לפי החוק השני של ניוטון:

∑

F
→

=

m
i

a
→

i

=

m
i

v
→

˙

i

{\displaystyle \sum{\vec{F}}=m\_i\vec{a}\_i = m\_i\dot{\vec{v}}\_i}

v
→

˙

i

=

1

m
i

(

∑

F
→

)

=

1

m
i

(

F
→

i

∑

# j
1

n

F
→

j
i

)

{\displaystyle \dot{\vec{v}}\_i = \frac{1}{m\_i} \left ( \sum{\vec{F}} \right ) = \frac{1}{m\_i} \left ( \vec{F}\_i + \sum\_{j = 1}^{n}{\vec{F}\_{ji}}\right )}

(כאשר

F
→

i
i

{\displaystyle \vec{F}\_{ii}}

 מוגדר להיות שווה ל-

0

{\displaystyle 0}

 לכל

i

{\displaystyle i}

).

מכאן נוכל למצוא את השינוי של התנע לאורך זמן:

p
→

˙

t
o
t

=

∑

# i
1

n

m
i

v
→

˙

i

=

{\displaystyle \dot{\vec{p}}\_{tot}=\sum\_{i=1}^{n}{m\_i \dot{\vec{v}}\_i} = }

=

∑

# i
1

n

m
i

1

m
i

(

F
→

i

∑

# j
1

n

F
→

j
i

)

=

{\displaystyle = \sum\_{i=1}^{n}{m\_i \frac{1}{m\_i} \left ( \vec{F}\_i + \sum\_{j = 1}^{n}{\vec{F}\_{ji}}\right ) } = }

=

∑

# i
1

n

(

F
→

i

∑

# j
1

n

F
→

j
i

)

=

{\displaystyle = \sum\_{i=1}^{n}{\left ( \vec{F}\_i + \sum\_{j = 1}^{n}{\vec{F}\_{ji}} \right ) } = }

=

∑

# i
1

n

F
→

i

∑

# i
1

n

∑

# j
1

n

F
→

j
i

{\displaystyle = \sum\_{i=1}^{n}{\vec{F}\_i} + \sum\_{i=1}^{n}{\sum\_{j=1}^{n}{\vec{F}\_{ji}}}}

כעת, לפי החוק השלישי של ניוטון, אנחנו יודעים ש-

F
→

i
j

=

−

F
→

j
i

{\displaystyle \vec{F}\_{ij} = {-} \vec{F}\_{ji}}

. כיוון שבסכום מופיעים כל הכוחות ההדדיים פעם אחת בדיוק, הרי שלכל כוח מופיע גם כוח התגובה שלו והסכום שלהם יחד מתבטל, כלומר:

∑

# i
1

n

∑

# j
1

n

F
→

j
i

=
0

{\displaystyle \sum\_{i=1}^{n}{\sum\_{j=1}^{n}{\vec{F}\_{ji}}} = 0}

ולכן:

d

p
→

t
o
t

d
t

=

∑

# i
1

n

F
→

i

{\displaystyle \frac{d\vec{p}\_{tot}}{dt} = \sum\_{i=1}^{n}{\vec{F}\_i}}

### **משמעות**

מהתוצאה שקיבלנו ניתן לראות כי התנע של מערכת משתנה אך ורק בהשפעת **כוחות חיצוניים**. כל הכוחות הפנימיים שהיו בין הגופים במערכת לא שינו את התנע הכולל שלה. ניתן לנסח את התוצאה הזו במילים כך:

> *השינוי בתנע הכולל של מערכת בזמן שווה לכוח השקול הפועל על המערכת **מבחוץ**, ואינו מושפע מכוחות פנימיים של המערכת. **אם** הכוח השקול הפועל על המערכת **שווה ל-0,** התנע הכולל שלה יישאר **קבוע לאורך זמן**.*
>
>

חוק זה נקרא **חוק שימור התנע**, וביחד עם חוק שימור האנרגיה מהווה את אחד העקרונות הבסיסיים והחשובים ביותר במכניקה.

זו תוצאה מאוד חזקה. היא מאפשרת להתבונן במערכת המורכבת מחלקיקים רבים עם אינטראקציות רבות ביניהם (גוף קשיח, למשל) ולחקור אותה "מבחוץ", מבלי לחשוב על כל האינטראקציות הפנימיות.
בנוסף, היותה של התוצאה חוק שימור מאפשרת לנו לעשות משהו שלא יכולנו לעשות קודם - לבחון מערכת ברגע מסויים ומכך לקבל מידע על התנהגות המערכת ברגע אחר בעתיד, מבלי לדעת שום דבר על מה שקורה באמצע. למשל, אם אדם עומד על קרון במנוחה ומחזיק בידו כדור ואז זורק את הכדור קדימה, מתרחשים דברים רבים ומסובכים שמשנים את תנועת הקרון בצורה לא פשוטה בכלל (כאשר האדם לוקח את היד אחורה כדי להתכונן לזריקה, הוא משנה תנוחה ורגליו דוחפות את הקרון קדימה, ואז הוא מתחיל להאיץ את ידו קדימה ושינוי התנוחה משנה כל הזמן את הכוח שהוא מפעיל על הקרון... בקיצור - בלגן גדול). אבל בעזרת חוק שימור התנע, אם נדע רק כמה דברים בסיסיים על המערכת (מסת הכדור, מסת האדם יחד עם הקרון, מהירות זריקת הכדור), נוכל לדעת מה תהיה מהירות הקרון כשכל הבלגן יסתיים והכדור ייזרק: כיוון שהמערכת התחילה במנוחה, הרי שהתנע הכולל שלה היה 0. לאורך כל התנועה, לא פועלים על המערכת כוחות חיצוניים (פרט לכבידה ולכוח נורמלי מהרצפה, אשר שניהם פועלים בציר האנכי ולכן לא משפיעים על תנע בציר האופקי), ולכן גם התנע הסופי חייב להתאפס. אם נדע את מסת הכדור ומהירות הזריקה שלו, נוכל לדעת כמה תנע הוא צבר מהזריקה, וכדי שהתנע הכולל (של הקרון האדם והכדור יחד) אכן יתאפס, לקרון עם האדם חייב להיות את אותו התנע בדיוק, אך בכיוון ההפוך. אם נדע את מסת הקרון והאדם, נוכל מיד לדעת מכאן מה המהירות בה ייזרק הקרון אחורה, וכל זאת מבלי שנאלצנו לנתח שום כוח שפעל במערכת בשום שלב!

## תנע ומהירות מרכז המסה

 **ראה ערך מורחב -**  **מהירות מרכז המסה**

מהגדרת התנע, יחד עם הגדרת מרכז המסה, נובע כי התנע הכולל של מערכת גופים ניתן ע"י הכפלת מהירות מרכז המסה שלהם במסה הכוללת של המערכת:

P
→

t
o
t
a
l

=
M

v
→

c
.
m
.

{\displaystyle \vec{P}\_{total} = M\vec{v}\_{c.m.}}

## ראו גם

שימור אנרגיה

תנע זוויתי

התנגשויות