Конъюнкция

**Конъю́нкция** (логическое и, логическое умножение, и, logical conjunction, logical and) - логическая операция, буквально означающая "и". То есть, утверждение

φ
∧
ψ

{\displaystyle \varphi \wedge \psi}

означает "оба утверждения

φ
,
ψ

{\displaystyle \varphi, \psi}

верны".

## Обозначения и кодировка

Конъюнкция утверждений

φ

{\displaystyle \varphi}

и

ψ

{\displaystyle \psi}

обозначается одним из следующих способов:

φ
∧
ψ
,
φ
⋅
ψ
,
φ
ψ
,
φ
&
ψ
,
φ
&
&
ψ

{\displaystyle \varphi \wedge \psi, \varphi \cdot \psi, \varphi \psi, \varphi \& \psi, \varphi \&\& \psi}

В мире (который за пределами России) конъюнкцию утверждений

φ

{\displaystyle \varphi}

и

ψ

{\displaystyle \psi}

могут обозначать также следующими способами:

φ
×
ψ
,
φ
 and
ψ

{\displaystyle \varphi \times \psi, \varphi \text{ and } \psi}

, в то время как в России применяются также обозначения

φ
 AND
ψ
,
min

(

φ
,
ψ

)

{\displaystyle \varphi \text{ AND } \psi, \min \! \left( \varphi, \psi \right)}

. Конъюнкция большего конечного числа утверждений обозначается соотвествующе. Например, конъюнкция утверждений

φ
1

,

φ
2

{\displaystyle \varphi\_1, \varphi\_2}

и

φ
3

{\displaystyle \varphi\_3}

может обозначаться как

φ
1

∧

φ
2

∧

φ
3

{\displaystyle \varphi\_1 \wedge \varphi\_2 \wedge \varphi\_3}

. Конъюнкция большего числа утверждений может заменять собой квантор всеобщности и обозначается

⋀

x

φ

(
x
)

{\displaystyle \bigwedge\_{x} \varphi \! \left( x \right)}

или, соответственно,

⋀

ψ

(
x
)

φ

(
x
)

{\displaystyle \bigwedge\_{\psi \left( x \right)} \varphi \! \left( x \right)}

### Кодировка в LaTeX

∧

{\displaystyle \wedge}

```
\wedge
```

```
\land

⋅

{\displaystyle \cdot}

```
\cdot

&

{\displaystyle \&}

```
\&

&
&

{\displaystyle \&\&}

```
\&\&

×

{\displaystyle \times}

```
\times

 and

{\displaystyle \text{ and }}

```
\text{ and }

 AND

{\displaystyle \text{ AND }}

```
\text{ AND }

min

{\displaystyle \min}

```
\min

⋀

ψ

{\displaystyle \bigwedge\_{\psi}}

```
\bigwedge_{\psi}
```

## Таблица истинности

Таблица истинности бинарной конъюнкции имеет следующий вид:

φ

{\displaystyle \varphi}

ψ

{\displaystyle \psi}

φ
∧
ψ

{\displaystyle \varphi \wedge \psi}

⊤

{\displaystyle \top}

⊤

{\displaystyle \top}

⊤

{\displaystyle \top}

⊤

{\displaystyle \top}

⊥

{\displaystyle \bot}

⊥

{\displaystyle \bot}

⊥

{\displaystyle \bot}

⊤

{\displaystyle \top}

⊥

{\displaystyle \bot}

⊥

{\displaystyle \bot}

⊥

{\displaystyle \bot}

⊥

{\displaystyle \bot}

## *n-*арная конъюнкция

Терна́рная конъюнкция, то есть, конъюнкция трёх операндов, определяется как

φ
1

∧

φ
2

∧

φ
3

=

(

φ
1

∧

φ
2

)

∧

φ
3

{\displaystyle \varphi\_1 \wedge \varphi\_2 \wedge \varphi\_3 = \left( \varphi\_1 \wedge \varphi\_2 \right) \wedge \varphi\_3}

. *n-*арная конъюнкция определяется аналогично по индукции

φ
1

∧

φ
2

∧
⋯
∧

φ
n

=

(

φ
1

∧

φ
2

∧
⋯
∧

φ

n
−
1

)

∧

φ
n

{\displaystyle \varphi\_1 \wedge \varphi\_2 \wedge \dots \wedge \varphi\_n = \left( \varphi\_1 \wedge \varphi\_2 \wedge \dots \wedge \varphi\_{n - 1} \right) \wedge \varphi\_n}

## Конъюнкция большего числа утверждений

"Всеобщая конъюнкция" ("термин" мой, не ожидайте его в других местах), или, что то же, конъюнкция вариантов утверждения, зависящего от *x*, определяется через квантор всеобщности

⋀
x

φ

(
x
)

⇔
∀
x

(

φ

(
x
)

)

{\displaystyle \bigwedge\_x \varphi \! \left( x \right) \Leftrightarrow \forall x \left( \varphi \left(x \right) \right)}

 При этом на *x* могут ставиться ограничения с помощью дизъюнкции и отрицания:

⋀

ψ

(
x
)

φ

(
x
)

⇔

⋀
x

(

φ

(
x
)

∨
¬
ψ

(
x
)

)

{\displaystyle \bigwedge\_{\psi \left( x \right)} \varphi \! \left( x \right) \Leftrightarrow \bigwedge\_x \left( \varphi \! \left( x \right) \vee \neg \psi \left( x \right) \right)}

## Согласованность *n*-арной дизъюнкции и дизъюнкции большего числа утверждений

Что важно, *n*-арная конъюнкция и конъюнкция большего количества утверждений согласованы, то есть,

для любого натурального *n*, большего 1, для любого набора утверждений

φ
1

,
…
,

φ
n

{\displaystyle \varphi\_1, \dots, \varphi\_n}

φ
1

∧
⋯
∧

φ
n

⇔

⋀

1
⩽
i
⩽
n

φ
i

{\displaystyle \varphi\_1 \wedge \dots \wedge \varphi\_n \Leftrightarrow \bigwedge\_{1 \leqslant i \leqslant n} \varphi\_i}

### Доказательство

Докажем по индукции:

* База индукции
При

# n
2

{\displaystyle n=2}

φ
1

∧

φ
2

⇔
∀
i
∈

N

:
1
⩽
i
⩽
2

(

φ
i

)

⇔

⋀

1
⩽
i
⩽
2

φ
i

{\displaystyle \varphi\_1 \wedge \varphi\_2 \Leftrightarrow \forall i \in \mathbb{N} \colon 1 \leqslant i \leqslant 2 \left( \varphi\_i \right) \Leftrightarrow \bigwedge\_{1 \leqslant i \leqslant 2} \varphi\_i}
* Шаг индукции
Пусть мы доказали при

# n
k

{\displaystyle n=k}

. Докажем при

# n
k
1

{\displaystyle n=k+1}

:

φ
∧
⋯
∧

φ

k
1

⇔

(

φ
1

∧
⋯
∧

φ

k

)

∧

φ

k
1

{\displaystyle \varphi \wedge \dots \wedge \varphi\_{k + 1} \Leftrightarrow \left( \varphi\_1 \wedge \dots \wedge \varphi\_{k} \right) \wedge \varphi\_{k + 1}}

. По предположению индукции

φ
1

∧
⋯
∧

φ
k

⇔

⋀

1
⩽
i
⩽
k

φ
i

{\displaystyle \varphi\_1 \wedge \dots \wedge \varphi\_k \Leftrightarrow \bigwedge\_{1 \leqslant i \leqslant k} \varphi\_i}

. Следовательно,

(

φ
1

∧
⋯
∧

φ
k

)

∧

φ

k
1

⇔

φ

k
1

∧

⋀

1
⩽
i
⩽
k

φ
i

⇔

φ

k
1

∧
∀
i
∈

N

:
1
⩽
i
⩽
k

(

φ
i

)

⇔
∀
i
∈

N

:
1
⩽
i
⩽

{\displaystyle \left( \varphi\_1 \wedge \dots \wedge \varphi\_k \right) \wedge \varphi\_{k + 1} \Leftrightarrow \varphi\_{k + 1} \wedge \bigwedge\_{1 \leqslant i \leqslant k} \varphi\_i \Leftrightarrow \varphi\_{k + 1} \wedge \forall i \in \mathbb{N} \colon 1 \leqslant i \leqslant k \left( \varphi\_i \right) \Leftrightarrow \forall i \in \mathbb{N} \colon 1 \leqslant i \leqslant}

⩽
k
1

(

φ
i

)

⇔

⋀

1
⩽
i
⩽
k
1

φ
i

{\displaystyle \leqslant k + 1 \left( \varphi\_i \right) \Leftrightarrow \bigwedge\_{1 \leqslant i \leqslant k + 1} \varphi\_i}

. Следовательно,

φ
1

∧
⋯
∧

φ

k
1

⇔

⋀

1
⩽
i
⩽
k
1

φ
i

{\displaystyle \varphi\_1 \wedge \dots \wedge \varphi\_{k + 1} \Leftrightarrow \bigwedge\_{1 \leqslant i \leqslant k + 1} \varphi\_i}

Ч.т.д.

## Смотрите также

Правда

Ложь

Логическая арифметика