Sesión 22 - Delimitación del ancho de banda y ruido

Un canal de banda limitada, de la cual podemos ejemplificarla con una línea fija telefónica, es caracterizada como un filtro lineal con una respuesta al impulso. Todo medio de transmisión existente tiene un canal de banda limitada, pero es de aclarar que no todas son iguales, ya que las características para la banda limitada se definen de acuerdo a los parámetros con los cuales han sido elaborados. Por otro lado, si se retoma el ejemplo de la línea telefónica teniendo en cuenta que existe ruido, debido a otros intentos de comunicación telefónica, suponemos que el ancho de banda sigue siendo limitado dado que el filtro que se requiere para transmitir la señal de información debe estar ubicado en un espacio espectral que no abarque las señales no deseadas. Dando ejemplos, es posible encontrar a la fibra óptica, un par trenzado, cables coaxiales, etc., en donde estos tienen diferente banda limitada.

Existen dos respuestas en frecuencia, una plana y otra no plana:

Se puede inferir que, aunque un canal plano para la respuesta en frecuencia no afecte a la señal con ruido, distorsión, etc., si dará como resultado que la señal varié su amplitud a lo largo del tiempo cuando es introducida por este tipo de canal. Si hay un canal no plano por el cual pasa una señal, esta si tendrá modificación en cuanto a la presentación de distorsión a la salida del canal, pero tratándose de sistemas de comunicación digital, mas adelante se explicara porque esto no presenta grandes problemas. De igual forma, mantener la forma de onda resulta de algo necesario debido a que en esta es donde se encuentra la información.

Si se desea realizar la limitación del ancho de banda, existen diferentes maneras de lograrlo de las cuales se tiene:

**- Ancho de banda absoluto:** Este se define como el rango de frecuencias en el que la densidad espectral de potencia es distinta de cero.

**- Ancho de banda de nulo a nulo:** Este ancho de banda consta de mantener la ocupación espectral entre sus primeros valores nulos en ambas bandas, lo que significa mantener el ancho del lóbulo de espectro principal.

**- Ancho de banda de media potencia:** Esta se define como el intervalo entre frecuencias en las que la densidad espectral de potencia cae a la mitad de la potencia, o 3dB por debajo del valor pico. Esta también puede definirse como Ancho de banda de 3dB. Esta representa la limitación del menor ancho de banda posible.

**- Ocupación de ancho de banda según la FCC:** La Comisión federal de comunicaciones define al ancho de banda ocupado como la banda que deja exactamente el 0.5% de la señal por encima de la banda superior e inferior. Es decir, el 99% de la potencia de la señal esta contenida por dentro del ancho de banda ocupado. Esta representaría a la limitación con el mayor ancho de banda posible.

**- Potencia fuera de banda (45dB o 60dB):** Un método comúnmente aplicado para especificar el ancho de banda, es indicar que en cualquier componente por fuera de la banda especificada, la densidad espectral de potencia está por debajo de un nivel establecido, típicamente especificando una atenuación de 45dB a 60dB.

Por ejemplo, si la señal de información requiere de la gran mayoría de sus componentes espectrales, siendo por ejemplo una melodía, se requeriría usar una ocupación de ancho de banda según la FCC, ya que nos mantiene el 99% de la potencia que es el adecuado para hacer una limitación del ancho de banda sin alterar significativamente la señal original, mientras que si se hiciera por el ancho de banda de 3dB, no seria factible ya que se reduce la potencia a la mitad, alterando completamente la señal de información.

Por otro lado, si se quiere mantener las componentes espectrales de menor potencia se podría hacer uso del ancho de banda absoluto ya que permite mantener todas las componentes espectrales, mientras que si se lo compara con un ancho de banda de nulo a nulo, se estaría restringiendo la banda ignorando las componentes de baja potencia.

La respuesta al impulso la podemos denotar por c(t), y una respuesta en frecuencia que podemos denotarla como C(f) siendo esta la transformada de Fourier de la respuesta impulsiva del canal, en donde:

C
(
f
# )

∫

−
∞

∞

c
(
t
)

e

−
j
2
π
f
t

d
t

{\displaystyle C(f)=\int\_{-\infin}^{\infin} c(t)e^{-j2\pi ft}dt}

Es necesario aclarar que cualquier sistema en frecuencia se lo puede modelar como un filtro. Ahora, si el canal se lo ve como un canal de banda base que se encuentra con una banda limitada a Bc, entonces C(f) será igual a cero para todo valor de magnitud de frecuencia que supere el valor limite de Bc. Cualquier componente de frecuencia que vaya por la entrada del canal que sea mas alto que Bc no será considerado para el paso por el canal. También, se debe tener en cuenta que el ruido hace parte del canal, en donde se introduce normalmente un ruido térmico o un ruido blanco, por lo tanto, se considera para el procesamiento de señales.

Como observamos en la anterior figura, es necesario hacer la consideración del diseño de una señal que será transmitida mediante un canal de banda limitado por W = Bc.

Ahora, supongamos que en la entrada de un canal de banda limitada tendremos una forma de onda de señal g(t). Si queremos obtener la respuesta del canal a la señal que se le ha introducido, podemos ver esto como una convolución de c(t), la respuesta al impulso del canal junto con g(t) que es la señal que se ha ingresado. Para simplificar la operación matemática, podemos ver esto como una multiplicación de las correspondientes transformadas de Fourier para cada una de las variables:

H
(
f
# )
C
(
f
)
G
(
f
)

{\displaystyle H(f)=C(f)G(f)}

G(f) representa el espectro de la señal g(t), y H(f) representa el espectro de h(t), es decir, la salida resultante de la convolución planteada, dando como resultado que la forma de onda de la señal transmitida por canal ha sufrido una distorsión.

A partir de esto asumimos que la señal en la salida del canal esta siento corrompida por un AWGN, ya que en la practica siempre se tienen que tener en cuenta las corrupciones que puede sufrir una señal al ser transmitida, por lo cual, tendremos una señal r(t) que será el resultado de la suma de la señal h(t) que corresponde a la convolución de g(t) y c(t) junto con el ruido agregado que lo podemos denotar con n(t).

Es necesario aclarar que ruido e interferencia presentan diferencias: el ruido hace parte de perturbaciones que vienen del entorno, cualquier variable que se produzca en la comunicación ocasionando distorsiones o que se oculte el mensaje; y la interferencia representa señales que se agregan al mensaje original las cuales puedan ser agregadas de manera intencional o no, y tal es el ejemplo de la señal pasando por el canal en donde se genera una interferencia de la señal. Para poder combatir contra este tipo de efectos, el uso de diferentes componentes como un amplificador, en el cual se aumente la potencia, reduce significativamente el ruido presente en el mensaje.

Definiendo al ruido térmico, este se genera por el movimiento aleatorio de los electrones que se origina de la energía térmica, dando lugar a una corriente aleatoria y por lo tanto una señal de ruido. Esta tiene que ver en una relación directamente proporcional con la temperatura, es decir, a mayores niveles de temperatura existirá mas ruido térmico, y por eso, existe una fuerte relación entre el cero absoluto y la entropía. Si existe un cero absoluto, es decir, un cero en la escala absoluta de temperatura, la entropía es nula y por lo tanto la potencia del ruido térmico será de un valor de cero.

La magnitud del ruido que se genera por un componente electrónico, ya sea un amplificador, puede expresarse como el factor de ruido, el cual resulta de dividir la relación señal/ruido de la entrada por la relación señal/ruido de la salida, expresándose en un valor de decibelios ya que en la entrada y salida existirán expresiones logarítmicas las cuales normalmente suelen ser decibelios. Esto es sumamente importante en los sistemas de transmisión, ya que aunque un ruido externo no se pueda eliminar de forma total, reducir el ruido generado por los equipos depende del cuidadoso diseño que se ha empleado.

Ahora, podemos obtener el siguiente diagrama, que representa un modelo de un filtro lineal para un canal de banda limitada:

Recordando el aprendizaje anterior, si hay la presencia de un ruido, en este caso un AWGN, el demodulador que hace uso de un filtro que se adapta con la señal h(t) hace que se maximice la relación señal-ruido(SNR) en su salida. Esto se refiere a un filtro acoplado, el cual tiene la función de detectar la presencia de una señal conocida dentro de una señal recibida, siendo un sistema optimo para el aumento de la SNR cuando hay presencia de un ruido blanco, pero para su implementación es necesario conocer el ancho de banda de la señal que ha entrado a ser procesada, debido a que se tendra un mejor manejo de los diferentes ruidos que se incluyen a lo largo del proceso. Hay que tener en cuenta al SNR y el CNR. Estos se diferencian en que: el SNR se refiere a una relación de la señal ruido proveniente de la señal recibida, mientras que el CNR lo realiza con la señal portadora. Si se quisiera encontrar ambas relaciones en una señal modulada AM, se partiría de la demodulación, esto para encontrar la señal original la cual se realiza a partir de la señal portadora, con esto se podría encontrar la potencia para cada una de las señales mencionadas, y queriendo simular un ruido, bastaría con tener un canal, ya que este al presentar siempre un ruido modificaría la señal y por lo tanto, se encontraría la potencia del ruido. Haciendo la relación de esta potencia con cada una de las señales mencionadas, encontraría el valor de SNR y CNR.

Si deseáramos conocer la intensidad de potencia recibida, es conveniente el uso de la SNR, ya que esta es la que permite relacionar la potencia de la señal que se transmitió con el nivel de ruido que se le ha adicionado.

Si pasamos la señal obtenida r(t) a través de un filtro que tiene una respuesta en frecuencia se obtiene lo siguiente:

G

R

(
f
# )

H

∗

e

−
j
2
π
f

t

0

{\displaystyle G\_{R}(f)=H^{\*}e^{-j2\pi ft\_{0}}}

El subíndice que acompaña a G hace relación a que el filtro adaptado esta en el receptor, y además, observamos un valor t0, el cual representa un retardo de tiempo nominal en el que se muestrea la salida del filtro.

## **Ancho de banda y densidad espectral de potencia de señales digitales**

La definición del ancho de banda de una señal varia con el contexto, y no hay una definición única que se pueda adaptar a todas las aplicaciones. Sin embargo, para todas las definiciones, estas están basadas en alguna medida de densidad espectral de potencia (PDS) de la señal. Para una señal aleatoria w(t), el PDS se define como:

P

w

(
f
# )

lim

T
→
∞

(

W

T

(
f
)

2

¯

T

)

{\displaystyle P\_{w}(f) = \lim\_{T \to \infty} (\frac{\overline{|W\_{T}(f)|^2}}{T})}

en la cual la barra denota un promedio ensamblado, y

W

T

(
f
)

{\displaystyle W\_{T}(f)}

es la transformada de Fourier de la señal

w

T

(
t
)

{\displaystyle w\_{T}(t)}

, que es una versión truncada de la señal w(t), definida como:

w

T

(
t
# )

{

w
(
t
)
,

−
T

2

<
t
<

T
2

0
,

En otra parte

{\displaystyle w\_{T}(t) = \begin{cases} w(t), & \frac{-T}{2}<t<\frac{T}{2} \\ 0, & \text{En otra parte} \end{cases}}

Ahora, a partir de las definiciones de PSD, se puede encontrar una definición de promedio ensamblado, el cual se refiere al modulo promedio del espectro de una señal, y se realiza a partir de la observación del canal en un cierto tiempo para obtener diferentes datos de una señal.

Teniendo una PSD, es posible relacionarlo con el ancho de banda absoluto, ya que este escoge un rango de frecuencias donde la densidad espectral de potencia es diferente de 0, y a partir de la modificación del ancho de banda de un canal usando este tipo de limitación, también habrá una modificación del PDS, de donde depende su espectro así como la magnitud de la señal, y la energia se vera afectada en cuando a una reducción considerable.