Le théorème du rang

Soit

E

{\displaystyle E}

 un

K

{\displaystyle \mathbb{K}}

espace vectoriel de dimension finie.

Soit

F

{\displaystyle F}

 un

K

{\displaystyle \mathbb{K}}

espace vectoriel.

Soit

f
∈

L

(
E
;
F
)

{\displaystyle f\in\mathcal{L}(E;F)}

.

On a alors

d
i
m
(
E
# )
d
i
m
[
k
e
r
(
f
)
]
r
a
n
g
(
f
)

{\displaystyle dim(E)=dim[ker(f)]+rang(f)}

.

Soit

E

{\displaystyle E}

 un

K

{\displaystyle \mathbb{K}}

espace vectoriel.

Soit

F

{\displaystyle F}

 un

K

{\displaystyle \mathbb{K}}

espace vectoriel.

Soit

f
∈

L

(
E
;
F
)

{\displaystyle f\in\mathcal{L}(E;F)}

.

Soit

H

{\displaystyle H}

 un supplémentaire de

k
e
r
(
f
)

{\displaystyle ker(f)}

 dans

E

{\displaystyle E}

.

On a alors que la restriction de

f

{\displaystyle f}

 à

H

{\displaystyle H}

 dans

I
m
(
f
)

{\displaystyle Im(f)}

 est un isomorphisme.

f
∼

:
H
⟶
I
m
(
f
)

{\displaystyle \overset{\sim}{f}:H\longrightarrow Im(f)}

u
⟼
f
(
u
)

{\displaystyle u\longmapsto f(u)}

* f

{\displaystyle f}

 étant linéaire,

f
∼

{\displaystyle \overset{\sim}{f}}

 l'est aussi.

* Soit

u
∈
H

{\displaystyle u\in H}

, on a

f
∼

(
u
# )

0

F

⟹
f
(
u
# )

0

F

⟹
u
∈
H
∩
k
e
r
(
f
)

{\displaystyle \overset{\sim}{f}(u)=0\_{F} \Longrightarrow f(u)=0\_{F} \Longrightarrow u\in H\cap ker(f)}

.

Or, comme

H

{\displaystyle H}

 et

k
e
r
(
f
)

{\displaystyle ker(f)}

 sont supplémentaires dans

E

{\displaystyle E}

, on a

H
∩
k
e
r
(
f
# )
{

0

E

}

{\displaystyle H\cap ker(f)=\{0\_{E}\}}

.

Donc

k
e
r

(

f
∼

)

=
{

0

E

}

{\displaystyle ker\left(\overset{\sim}{f}\right)=\{0\_{E}\}}

 donc

f
∼

{\displaystyle \overset{\sim}{f}}

 est injective.

* Soit

y
∈
I
m
(
f
)

{\displaystyle y\in Im(f)}

. Alors il existe

x
∈
E

{\displaystyle x \in E}

 tel que

f
(
x
# )
y

{\displaystyle f(x)=y}

.

Or,

# E
H
k
e
r
(
f
)

{\displaystyle E=H+ker(f)}

 puisque

H

{\displaystyle H}

 et

k
e
r
(
f
)

{\displaystyle ker(f)}

 sont supplémentaires dans

E

{\displaystyle E}

.

Donc il existe

z

H

∈
H

{\displaystyle z\_{H}\in H}

 et

z

k
e
r

∈
k
e
r
(
f
)

{\displaystyle z\_{ker}\in ker(f)}

 tels que

# x

z

H

z

k
e
r

{\displaystyle x = z\_{H}+z\_{ker}}

.

On a donc

# y
f
(
x
# )
f
(

z

H

z

k
e
r

# )
f
(

z

H

)
f
(

z

k
e
r

# )
f
(

z

H

)

0

F

=
f
(

z

H

)

{\displaystyle y = f(x) = f(z\_{H}+z\_{ker}) = f(z\_{H})+f(z\_{ker})=f(z\_{H})+0\_{F}=f(z\_{H})}

.

Donc

∀
y
∈
I
m
(
f
)
,

∃

z

H

∈
H
,

f
(

z

H

# )
y

{\displaystyle \forall y\in Im(f),~\exists z\_{H}\in H,~f(z\_{H})=y}

.

Or, pour tout

z

H

∈
H
,
f
(

z

H

# )

f
∼

(

z

H

)

{\displaystyle z\_{H}\in H, f(z\_{H})=\overset{\sim}{f}(z\_{H})}

.

Donc

∀
y
∈
I
m
(
f
)
,

∃

z

H

∈
H
,

f
∼

(

z

H

# )
y

{\displaystyle \forall y\in Im(f),~\exists z\_{H}\in H,~\overset{\sim}{f}(z\_{H})=y}

.

Donc

f
∼

{\displaystyle \overset{\sim}{f}}

 est surjective.

* Donc

f
∼

{\displaystyle \overset{\sim}{f}}

 est bijective, donc un isomorphisme.

### Démonstration du théorème du rang

Supposons à présent que

E

{\displaystyle E}

 est de type finie.

On a donc que, comme

k
e
r
(
f
)
⊂
E

{\displaystyle ker(f)\subset E}

 et

H
⊂
E

{\displaystyle H\subset E}

,

k
e
r
(
f
)

{\displaystyle ker(f)}

 et

H

{\displaystyle H}

 sont de type finie.

On sait de plus par définition de

H

{\displaystyle H}

 que

H

{\displaystyle H}

 et

k
e
r
(
f
)

{\displaystyle ker(f)}

 sont supplémentaires dans

E

{\displaystyle E}

.

Donc

d
i
m
(
E
# )
d
i
m
[
k
e
r
(
f
)
]
d
i
m
(
H
)

{\displaystyle dim(E)=dim[ker(f)]+dim(H)}

.

Or, on vient de prouver grâce au lemme qu'il existe un isomorphisme entre

H

{\displaystyle H}

 et

I
m
(
f
)

{\displaystyle Im(f)}

.

Donc

I
m
(
f
)

{\displaystyle Im(f)}

 est de type finie et

d
i
m
[
I
m
(
f
)
# ]
d
i
m
(
H
)

{\displaystyle dim[Im(f)] = dim(H)}

.

Donc

d
i
m
(
E
# )
d
i
m
[
k
e
r
(
f
)
]
d
i
m
[
I
m
(
f
)
]

{\displaystyle dim(E)=dim[ker(f)]+dim[Im(f)]}

.

On a l'égalité

r
a
n
g
(
f
# )
d
i
m
[
I
m
(
f
)
]

{\displaystyle rang(f)=dim[Im(f)]}

 par définition du rang d'une application linéaire.

Donc

d
i
m
(
E
# )
d
i
m
[
k
e
r
(
f
)
]
r
a
n
g
(
f
)

{\displaystyle dim(E)=dim[ker(f)]+rang(f)}

. CQFD