2.14

14. Evalue la siguente integral iterada

∫

0

1

∫

x

1

e

x
y

d
y

d
x

{\displaystyle \int \_{0}^{1}\int \_{x}^{1}e^{\frac {x}{y}}\,dy\,dx}

 (Tips: ¿Ya lo intentaste? ¿Esta dificil? Te doy chance de que le preguntes a “http://wolframalpha.com/” para antiderivar intenta ``int e^(x/y) dy$”  ¿Que tampoco? ¿Y si cambiaramos el orden de integración, integrar

e

x

/

y

{\displaystyle e^{x/y}}

respecto de

x

{\displaystyle x}

 será igual de dificil? ¿Entonces que tal si invertimos el orden de integración, pero para ello primero habria que escribir todo como integral doble (función y región) y luego integrarla en el otro orden? ¿Esto se puede hacer con esa información?)

Primero tratemos que calcular la integral de

∫

x

1

e

x
y

d
y

{\displaystyle \int \_{x}^{1}e^{\frac {x}{y}}dy}

=

∫

x

1

(

e

x

)

1
y

d
y

{\displaystyle =\int \_{x}^{1}(e^{x})^{\frac {1}{y}}dy}

=

∫

x

1

(

e

x
1

y

)

x
y

d
y

{\displaystyle =\int \_{x}^{1}{\frac {(e^{\frac {x+1}{y}})}{\frac {x}{y}}}dy}

=

∫

x

1

(

e

x
1

y

)

(

x
y

)

−
1

d
y

{\displaystyle =\int \_{x}^{1}(e^{\frac {x+1}{y}})}{({\frac {x}{y}})^{-1}dy}

=

∫

x

1

e

x
1

y

d

d
y

[

(

x
y

)

−
1

]

d

d
y

[

e

x
1

y

]

(

x
y

)

−
1

{\displaystyle =\int \_{x}^{1}e^{\frac {x+1}{y}}}{\frac {d}{dy}}{\bigg [}{\Big (}{\frac {x}{y}}{\Big )}^{-1}{\bigg ]}+{{\frac {d}{dy}}{\bigg [}e^{\frac {x+1}{y}}{\bigg ]}\ ({\frac {x}{y}})^{-1}}

De aquí podemos notar que esto no tiene antiderivada en las funciones transcendentes. Por lo tanto, calcularemos de nuevo cambiando el orden de integración.

De acuerdo a la Teorema de Fubini en la página 840 de libro de Stewart, tenemos que:

# R
{
(
x
,
y
)
∣
a
≤
x
≤
b
,

c
≤
y
≤
d
}

{\displaystyle R=\{(x,y)\mid a\leq x\leq b,\,c\leq y\leq d\}}

, y por lo tanto:

∬

R

f
(
x
,
y
)

d
# A

∫

a

b

∫

c

d

f
(
x
,
y
)

d
y

d
# x

∫

c

d

∫

a

b

f
(
x
,
y
)

d
x

d
y

{\displaystyle \iint \_{R}f(x,y)\,dA=\int \_{a}^{b}\int \_{c}^{d}f(x,y)\,dy\,dx=\int \_{c}^{d}\int \_{a}^{b}f(x,y)\,dx\,dy}

Nuestra pregunta corresponde al formato

∫

a

b

∫

c

d

f
(
x
,
y
)

d
y

d
x

{\displaystyle \int \_{a}^{b}\int \_{c}^{d}f(x,y)\,dy\,dx}

, por lo que tenemos

# R
{
(
x
,
y
)
∣
0
≤
x
≤
1
,
x
≤
y
≤
1
}

{\displaystyle R=\{(x,y)\mid 0\leq x\leq 1,x\leq y\leq 1\}}

Aquí podemos ver que el valor de

y

{\displaystyle y}

depende de

x

{\displaystyle x}

por lo que siempre será equivalente con un rango de 0 a 1, por lo que el área de la base se puede representar gráficamente de esta manera ->

Como son

0
≤
x
≤
1

{\displaystyle 0 \leq x \leq 1}

 y

x
≤
y
≤
1

{\displaystyle x\leq y\leq 1}

 podemos decir que

0
≤
x
≤
y
≤
1

{\displaystyle 0\leq x\leq y\leq 1}

 por lo que equivale a

0
≤
y
≤
1

{\displaystyle 0\leq y\leq 1}

 y

0
≤
x
≤
y

{\displaystyle 0\le x\le y}

Entonces podemos escribir el formato

# R
{
(
x
,
y
)
∣
a
≤
x
≤
b
,

c
≤
y
≤
d
}

{\displaystyle R=\{(x,y)\mid a\leq x\leq b,\,c\leq y\leq d\}}

 como:

# R
{
(
x
,
y
)
∣
0
≤
x
≤
y
,

0
≤
y
≤
1
}

{\displaystyle R=\{(x,y)\mid 0\leq x\leq y,\,0\leq y\leq 1\}}

Por lo que podemos reescribir el problema original con el formato

∫

c

d

∫

a

b

f
(
x
,
y
)

d
x

d
y

{\displaystyle \int \_{c}^{d}\int \_{a}^{b}f(x,y)\,dx\,dy}

 como:

∫

0

1

∫

0

y

e

x
y

d
x

d
y

{\displaystyle \int \_{0}^{1}\int \_{0}^{y}e^{\frac {x}{y}}\,dx\,dy}

Primero calculemos

∫

0

y

e

x
y

d
x

{\displaystyle \int \_{0}^{y}e^{\frac {x}{y}}\,dx}

Hagamos el cambio de variable como

# u

x
y

{\displaystyle u={\frac {x}{y}}}

Derivamos el cambio de variable como

d
# u

d
x

y

{\displaystyle du={\frac {dx}{y}}}

Por lo que despejamos y concluimos como

y

d
# u
d
x

{\displaystyle y\,du=dx}

Por lo que sustituimos

d
x

{\displaystyle dx}

 para obtener

∫

0

y

y

e

x
y

d
# u

∫

0

y

y

e

u

d
# u

∫

0

y

y

e

x
y

d

d
u

=

∫

0

y

y

e

x
y

(

x
y

# )

∫

0

y

e

x
y

{\displaystyle \int \_{0}^{y}y\,e^{\frac {x}{y}}\,du=\int \_{0}^{y}y\,e^{u}\,du=\int \_{0}^{y}y\,e^{\frac {x}{y}}\,{\frac {d}{du}}=\int \_{0}^{y}y\,e^{\frac {x}{y}}({\frac {x}{y}})=\int \_{0}^{y}e^{\frac {x}{y}}}

Usamos lo anterior para sustituir

∫

0

y

e

x
y

d
x

{\displaystyle \int \_{0}^{y}e^{\frac {x}{y}}\,dx}

como

∫

0

y

y

e

x
y

d
u

{\displaystyle \int \_{0}^{y}y\,e^{\frac {x}{y}}\,du}

 y obtenemos:

∫

0

1

∫

0

y

y

e

x
y

d
u

d
# y

∫

0

1

[

y

e

x
y

]

0

y

d
y

{\displaystyle \int \_{0}^{1}\int \_{0}^{y}y\,e^{\frac {x}{y}}\,du\,dy=\int \_{0}^{1}\left[y\,e^{\frac {x}{y}}\right]\_{0}^{y}\,dy}

=

∫

0

1

[

(
y

e

y
y

)
−
(
y

e

0
y

)

]

d
y

{\displaystyle =\int \_{0}^{1}\left[(y\,e^{\frac {y}{y}})-(y\,e^{\frac {0}{y}})\right]\,dy}

=

∫

0

1

[

(
y

e

1

−
y

e

0

)

]

d
y

{\displaystyle =\int \_{0}^{1}\left[(y\,e^{1}-y\,e^{0})\right]\,dy}

=

∫

0

1

(
y

e
−
y
)

d
y

{\displaystyle =\int \_{0}^{1}(y\,e-y)\,dy}

=

∫

0

1

[

y
(
e
−
1
)

]

d
y

{\displaystyle =\int \_{0}^{1}\left[y(e-1)\right]\,dy}

=
(
e
−
1
)

∫

0

1

y

d
y

{\displaystyle =(e-1)\int \_{0}^{1}y\,dy}

=
(
e
−
1
)

[

y

2

2

]

0

1

{\displaystyle =(e-1)\left[{\frac {y^{2}}{2}}\right]\_{0}^{1}}

=
(
e
−
1
)

[

1

2

2

−

0

2

2

]

{\displaystyle =(e-1)\left[{\frac {1^{2}}{2}}-{\frac {0^{2}}{2}}\right]}

=
(
e
−
1
)
(

1
2

)

{\displaystyle =(e-1)({\frac {1}{2}})}

=

e
−
1

2

{\displaystyle ={\frac {e-1}{2}}}

∴

∫

0

1

∫

x

1

e

x
y

d
y

d
x

{\displaystyle \therefore \int \_{0}^{1}\int \_{x}^{1}e^{\frac {x}{y}}\,dy\,dx}

se evalua como

e
−
1

2

{\displaystyle {\frac {e-1}{2}}}