Po co nam logarytmy?

Kto chodził do szkoły, ten wie, że teoria ma tam zawsze przewagę nad praktyką. Ledwo zdążymy oswoić się z jednym pojęciem, a już mówi się o następnych i idzie dalej i dalej, nie pokazując zastosowań. W podobny sposób działały uniwersytety i szkoły także na przełomie XVI i XVII wieku. Dlatego znaczna część Rewolucji naukowej przebiegała niejako równolegle do systemu edukacji, który nawet owej rewolucji nie zauważył, nadal kształcąc na bazie Arystotelesa.

## **Historia logarytmów**

Jednak logarytmy są wynalazkiem praktycznym, jednym z niewielu ważnych pojęć matematycznych, które powinno się wynosić ze szkoły. I nie chodzi o definicję czy dziwaczne równania z niewiadomymi pod logarytmem, ale o ideę zapisywania bardzo dużych albo bardzo małych liczb w krótki sposób. Logarytmy dziesiętne wprowadził Henry Briggs, profesor w londyńskim Gresham College. Była to szkoła o nastawieniu praktycznym, kształciła mierniczych, inżynierów i nawigatorów (żegluga oceaniczna zmusiła do korzystania z astronomicznych metod wyznaczania położenia, a te wymagały obliczeń matematycznych). Pomysł należał do Szkota Johna Napiera, choć niezależnie od niego wpadł na podobną ideę Jost Bürgi, zegarmistrz i konstruktor przyrządów, zaprzyjaźniony z Johannesem Keplerem. Logarytmy pozwalały znacznie przyspieszyć obliczenia numeryczne, ponieważ mnożenie i dzielenie zastępują dodawaniem i odejmowaniem – działaniami znacznie mniej czasochłonnymi. Mówiono, że dzięki logarytmom życie astronomów wydłużyło się dwukrotnie, tak bardzo skracały one bowiem rachunki. Najważniejsze tablice astronomiczne czasów nowożytnych: *Tablice Rudolfińskie* (1627) Johannesa Keplera zostały obliczone przy wykorzystaniu logarytmów. Johannes Kepler widział wagę logarytmów dla astronomii, zaś Henry Briggs obliczył pierwsze praktyczne tablice logarytmów dziesiętnych.

## **Wykresy - statystyka**

Spróbujmy więc odpowiedzieć na pytanie, do czego w życiu przydają się logarytmy. Są one potrzebne szczególnie wtedy, gdy mamy do czynienia z procesami, w których jakaś wielkość zmienia się bardzo silnie. Np. ludność świata w milionach od czasów prehistorycznych do roku 2020. Widzimy, co znaczy określenie eksplozja demograficzna i dlaczego jest nas dziś więcej niż wszystkich ludzi razem wziętych w minionych epokach. W zaświatach spotkalibyśmy niemal wyłącznie współczesnych. Zastosowanie logarytmu można zobaczyć na poniższych wykresach:

Drugi wykres ma skalę logarytmiczną na osi pionowej: znacznie lepiej widać zmiany szybkości eksplozji demograficznej: nachylenie krzywej (tangens kąta) mierzy wskaźnik przyrostu naturalnego. Stałe nachylenie to stały przyrost procentowy. Nadal widzimy eksplozję w ostatnich stuleciach, ale teraz widać znacznie więcej szczegółów zachowania krzywej.

## **Dźwięk**

Poziom natężenia dźwięku jest logarytmiczną funkcją natężenia dźwięku.

Skala natężenia dźwięku korzysta z Belli, czyli jednostki logarytmicznej. Dokładny wzór to

## **Chemia**

W chemii stosuje się logarytmy przy okazji liczenia pH roztworu wodnego związku chemicznego, czyli stężenia jonów wodorowych w roztworze:

Logarytm - to po prostu wykładnik potęgi, do której podniesiono liczbę 10. Dziesięciokrotna zmiana wartości zmiennej powoduje zmianę wartości jej logarytmu - o jeden... (stukrotna - o dwa; tysiąckrotna - o trzy, itd.)

No, to zadanie. Są dwa roztwory:  I pH = 2 oraz     II pH = 12.

W którym stężenie kwasu jest większe, i ile razy?          [no, szybciutko: 10 razy (12-2),  czy 6 razy (12:2) ?]

Policzmy...         pH = - log [H+]               [H+] = 10-pH

[H+]I = 10-2          [H+]II = 10-12

[H+]I / [H+]II = 10 000 000 000 razy...

## **Odwrotność funkcji wykładniczej**

Logarytm jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej. Dlatego przydaje się wszędzie tam, gdzie rozwiązuje się równanie wykładnicze – np. do przewidzenia liczby rat kredytu albo czasu, kiedy rozpad promieniotwórczy doprowadzi do danego stężenia pierwiastka, itp.

## **Skala Richtera w sejsmologii**

Skala Richtera – skala logarytmiczna określająca wielkość trzęsienia ziemi na podstawie amplitudy drgań wstrząsów sejsmicznych, wprowadzona w 1935 roku przez amerykańskich geofizyków.

Skala Richtera służy do określania siły trzęsień ziemi. Siła ta opisana jest wzorem r=log(A/Ao), gdzie A oznacza amplitudę trzęsienia wyrażoną w centymetrach, Ao=10-4 jest stałą, nazywaną amplitudą wzorcową.