"Series y sucesiones"

## **Datos del alumno**

Nombre: Raúl Gibrán Valentín Guereca Ortega

No.Control: 14041281

Ing. Sistemas computacionales

## **Introducción**

Las series y sucesiones son un tema de las matemáticas bastante interesante. En este articulo se pretende facilitar información detallada sobre el funcionamiento y propiedades de estas, así como algunos ejemplos de su uso en la vida cotidiana.

## **Sucesiones**

Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales tomado generalmente sin el cero y cuyo recorrido es un conjunto cualquiera de números reales.

La imagen de cualquier número natural “n” se denota por F (n)= an y se le llama término n-ésimo de la sucesión. La sucesión es un conjunto ordenado de números que puede expresarse por extensión o por comprensión.

Ejemplo: Las sucesiones siguientes están expresadas por extensión.

1) 1, 3, 5, 7, 9…

2) 3, 6, 9, 12, 15…

Las sucesiones siguientes están expresadas por comprensión pues solo está dada la regla de correspondencia de la función, es decir:

1) f (n) = n + 2 ∀n ∈N
2) T (n) = 3n ∀n ∈N

## **Tipos de sucesiones**

### -**Sucesiones Convergentes**

Las **sucesiones convergentes** son las sucesiones que tienen **límite finito.**

Límite = 0

Límite = 1

### -**Sucesiones Divergentes**

Las **sucesiones divergentes** son las sucesiones que **no** tienen **límite finito**.

Límite = ∞

### -**Sucesiones oscilantes**

Las **sucesiones oscilantes no** son **convergentes** **ni** **divergentes**. Sus términos alternan de mayor a menor o viceversa.

1, 0, 3, 0, 5, 0, 7, ...

## **Sucesiones alternadas**

Las **sucesiones alternadas** son aquellas que **alternan** los **signos** de sus términos. Pueden ser:

#### Convergentes

1, −1, 0.5, −0.5, 0.25, −0.25, 0.125, −0.125,..

Tanto los términos pares como los impares tienen de límite 0.

#### Divergentes

1, 1, 2, 4, 3, 9, 4, 16, 5, 25, ...

Tantos los términos pares como los impares tienen de límite +∞.

## **Sucesiones monótonas**

Las sucesiones monótonas se clasifican en 4 tipos.

### -**Sucesiones estrictamente crecientes**

Se dice que una **sucesión es estrictamente creciente** si **cada término es mayor que el anterior**.

**an+1 > an**

2, 5, 8, 11, 14, 17,...

5 > 2; 8 > 5; 11 > 8; ...

### **-Sucesiones crecientes**

Se dice que una **sucesión es creciente** si **cada término es mayor o igual que el anterior**.

**an+1 ≥ an**

2, 2 , 4, 4, 8, 8,...

2 ≥ 2; 4 ≥ 2; 4 ≥ 4; ...

### **-Sucesiones estrictamente decrecientes**

Se dice que una **sucesión es etrictamente decreciente** **si cada término de la sucesión es menor que el anterior.**

**an+1 < an**

1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6,...

1/2 < 1; 1/3 < 1/2 ; 1/4 < 1/3; ...

### **-Sucesiones decrecientes**

Se dice que una **sucesión es decreciente** si c**ada término de la sucesión es menor o igual que el anterior.**

**an+1 ≤ an**

## **Sucesiones constantes**

Se dice que una **sucesión** es **constante** si **todos su términos son iguales, an= k.**

**an = an+1**

5, 5, 5, 5, ...

## **Sucesiones acotadas inferiormente**

Una **sucesión** está **acotada inferiormente** si **todos sus términos son mayores o iguales que un cierto número K,** que llamaremos **cota inferior** de la **sucesión**.

**an ≥ k**

A la mayor de las cotas inferiores se le llama**extremo inferior o ínfimo**.

Si el **ínfimo** de una **sucesión**es uno de sus términos se le llama **mínimo**.

## **Sucesiones acotadas superiormente**

Una **sucesión** está **acotada superiormente** si todos sus términos son **menores o iguales** que un cierto número **K'**, que llamaremos **cota superior**de la **sucesión**.

**an≤ k'**

A la **menor** de las **cotas superiores** se le llama **extremo superior** o **supremo**.

Si el **supremo** de una **sucesión** es uno de sus términos se llama **máximo**.

## **Sucesiones acotadas superiormente**

Una **sucesión** está **acotada superiormente** si todos sus términos son **menores o iguales** que un cierto número **K'**, que llamaremos **cota superior**de la **sucesión**.

**an≤ k'**

A la **menor** de las **cotas superiores** se le llama **extremo superior** o **supremo**.

Si el **supremo** de una **sucesión** es uno de sus términos se llama **máximo**.

## **Sucesiones acotadas**

**Una sucesión se dice acotada si está acotada superior e inferiormente**. Es decir si hay un número **k** menor o igual que todos los términos de la sucesión y otro **K'** mayor o igual que todos los términos de la sucesión. Por lo que **todos los términos de la sucesión están comprendidos entre k y K'**.

**k ≤ an ≤ K'**

### **Aplicación de Sucesiones en la Biología – Sucesión de Fibonacci**

    Ejemplo en MathCad:

https://drive.google.com/file/d/0B82gfsqbbqpOVWdJdnY4dWxDT0U/view?usp=sharing

## **Series**

Definición.- En matemáticas, una serie es la generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión infinita. Informalmente, es el resultado de sumar los términos:

    lo cual suele escribirse en forma más compacta con el símbolo de sumatorio:

### Tipos de series

#### Series Geométricas

Una serie geométrica es una serie en la cual cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante, llamada razón r. En este ejemplo, con r = 1/2):

En general, una serie geométrica es convergente, sólo si |*r*| < 1

#### Series Armónica

La serie armónica es la serie

Se llama así porque la longitud de onda de los armónicos de una cuerda que vibra es proporcional a su longitud según la serie de fracciones unitarias: 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7...

La serie armónica es divergente.

#### Serie Alternada

Una serie alternada es una serie donde los términos cambian de signo

###

#### Serie Telescópica

Una serie telescópica es la suma

    , donde *an* = *bn* − *bn*+1:

    La convergencia de dicha serie y su suma se pueden calcular fácilmente, ya que:

###

#### Serie Hipergeometrica

Una serie hipergeométrica es una serie de la forma:

#### Series de Potencias

Una serie del tipo:

 ordenada por potencias enteras crecientes de la variable x y con coeficientes

    constantes, independientes de x , recibe el nombre de serie de potencias.
A menudo consideramos la serie de potencias en una forma más general:

donde a es otra constante. De hecho, sabemosque este tipo de series reciben el nombre de series de MacLaurin y de Taylor, respectivamente. Una serie de Taylor puede ser reducida a una de MacLaurin mediante el siguiente cambio de variable:

¿Qué es?

La serie de Taylor es una serie funcional y surge de una ecuación en la cual se puede encontrar una solución aproximada a una función.

¿Para que sirve?

La serie de Taylor proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto.

Por supuesto, para hacer esta aproximación sólo se pueden tomar unas cuantas expresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en un error conocido como el término residual, es a criterio del que aplica la serie en numero de términos que ha de incluir la aproximación.

Pueden resolver por aproximación funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas etc...

¿Cómo funciona?

La serie de Taylor se basa en ir haciendo operaciones según una ecuación general y mientras mas operaciones tenga la serie mas exacto será el resultado que se esta buscando. Dicha ecuación es la siguiente:

o expresado de otra forma:

Donde *n!* es el factorial de *n*

*F(n)* es la enésima derivada de *f* en el punto *a*

Como se puede observar en la ecuación, hay una parte en la cual hay que desarrollar un binomio (x-a) n por lo que para simplificar el asunto se igualara a "a" siempre a 0. Para fines prácticos no afecta mucho en el resultado si se hacen muchas operaciones en la serie.