קינמטיקה

קינמטיקה זהו תחום במכניקה המתאר תנועה של גופים במרחב בעזרת וקטורים בלי התעסקות בכוחות ובדינמיקה של הגופים.

שלושת הווקטורים העיקריים בהם משתמשים:

**ההעתק:** ההעתק של גוף מסוים בנקודת זמן מסוימת הוא הוקטור שמחבר את מיקומו ההתחלתי של הגוף למיקומו של הגוף באותה נקודת זמן. מכיוון שההעתק הוא וקטור המחבר בין שתי נקודות במרחב, היחידות שלו הן יחידות של אורך כגון מטרים, סנטימטרים או קילומטרים. מסומן לרוב על ידי

x
→

{\displaystyle \vec{x}}

 או על ידי

r
→

{\displaystyle \vec{r}}

.

**המהירות:** המהירות היא השינוי של ההעתק לפי זמן, כאשר ניתן לחשב את המהירות הממוצעת של גוף לפי ההעתק שלו בטווח זמן מסוים לחלק למשך הזמן. מהגדרה זו של מהירות ממוצעת ניתן להגיע להגדרה של מהירות רגעית על ידי שימוש בדיפרנציאלים, כאשר מניחים שמשך הזמן הוא קטן מאוד ומקבלים שוקטור המהירות הוא הנגזרת לפי זמן של וקטור ההעתק:

v
→

=

d

r
→

d
t

{\displaystyle \vec{v} = \frac{d \vec{r}}{dt} }

 .

**התאוצה:** התאוצה מוגדרת בצורה דומה למהירות אך במקום להוות השינוי לפי זמן של ההעתק היא מוגדרת כשינוי לפי זמן של המהירות. את התאוצה הרגעית ניתן לחשב גם כן על ידי שימוש בדיפרנציאלים ולקבל שוקטור התאוצה הוא הנגזרת לפי זמן של וקטור המהירות. אם משתמשים גם בהגדרה של המהירות, אזי מקבלים שהתאוצה היא גם הנגזרת השנייה לפי זמן של וקטור ההעתק: .

a
→

=

d

v
→

d
t

=

d
2

r
→

d

t
2

{\displaystyle \vec{a} = \frac{d \vec{v}}{dt} =\frac{d^2 \vec{r}}{dt^2} }

באותה מידה ניתן להגיד את הקשרים ההופכיים כלומר המהירות היא האינטגרל של התאוצה לפי הזמן והמיקום הוא האינטגרל של המהירות לפי הזמן.

## מהירות קבועה

תנועה במהירות קבועה הינה התנועה הכי קלה לתיאור מתמטי ולהבנה אינטואיטיבית. תנועה כזאת קוראת כאשר סכום הכוחות הפועל על גוץ הוא אפס. תנועה זאת מתאפיינת בכך שבפרקי זמן קבועים הגוף עובר מרחקים קבועים. בשביל למצוא את המיקום כתלות בזמן לפי הקשר שצוין למעלה עושים אינטגרל על פונקציה קבועה כך שיוצא

r
→

=

r
0

→

v
→

# t

r
1

→

v
→

(
t
−

t
1

)

{\displaystyle \vec{r} =\vec{r\_0} + \vec{v} t =\vec{r\_1} + \vec{v} (t-t\_1 ) }

(בזמן אפס הגוף נמצא במיקום r0 ובזמן t1 הגוף נמצא במיקום r1)

## תאוצה קבועה

תאוצה קבועה מתרחשת כאשר על גוף פועל כח קבוע למשך זמן מתמשך. בשביל למצוא את משוואות המהירות של גוף לפי הזמן נעשה אינטגרציה לתאוצה קבועה ובכדי למצוא את המיקום לפי הזמן נעשה אינטגרציה למהירות שמצאנו ונקבל:

v
→

=

v
0

→

a
→

t
,

r
→

=

r
0

→

v
0

→

t

1
2

a
→

t
2

{\displaystyle \vec{v} =\vec{v\_0} + \vec{a} t , \vec{r} = \vec{r\_0} + \vec{v\_0} t + \frac{1}{2} \vec{a} t^2 }

אם נציב את 2 הנוסחאות אחד בשני נקבל גם עוד נוסחא חשובה :

לפי הנוסחא של מהירות לפי זמן נקבל:**הפענוח נכשל (שגיאת תחביר): {\displaystyle t = \frac{v – v\_0 }{a} }**

נציב זאת בנוסחא של מיקום לפי זמן

**הפענוח נכשל (שגיאת תחביר): {\displaystyle r = r\_0 + v\_0 (\frac{v – v\_0 }{a} ) + \frac{1}{2} a(\frac{v – v\_0 }{a}) ^2 = r\_0 + (\frac{v v\_0 – v\_0 ^2 }{a} ) + \frac{v^2 –2v v\_0 +v\_0 ^2 }{2a} =r\_0 + \frac{v^2 –v\_0 ^2}{2a} }**

ומכאן נקבל:

2
a
(
r
−

r
0

# )

v
2

−

v
0
2

{\displaystyle 2a(r- r\_0 )=v^2- v\_0 ^2 }

זאת תוצאה שימושית שכדאי להכיר.

כאן פיתחנו זאת לגדלים סקאלרים כלומר לתנועה בציר אחד, אך אם דבר זה נכון לכל ציר ניתן לכתוב שמתקיים גם:

**הפענוח נכשל (שגיאת תחביר): {\displaystyle 2 \vec{a}\*(\vec{r} – \vec{r}\_0 )= \vec{v}\* \vec{v} - \vec{v\_0} \* \vec{v\_0} }**

## תנועה מעגלית

### תאוצה בתנועה מעגלית

נדמיין חלקיק הנע בתנועה מעגלית ברדיוס r מסביב לראשית הצירים. נגדיר v גודל המהירות בזמן כלשהו ו- V כיוון המהירות באותו זמן. הזווית טטא היא הזווית שמגדירה את הכיוון V ביחס לציר ה x. ננסה לחשב את תאוצת החלקיק:

a
→

=

d

v
→

d
t

=

d

d
t

(
v
V
# )

d
v

d
t

V

d
V

d
t

v

{\displaystyle \vec{a}= \frac{d \vec{v}}{dt}= \frac{d}{dt} (vV) = \frac{dv}{dt} V + \frac{dV}{dt} v }

החלק הראשון יחסית ברור אך החלק השני לא לכן נסתכל על הכיוון V במערכת צירים קרטזית:

# V
c
o
s
(
θ
)
x
s
i
n
(
θ
)
y

{\displaystyle V=cos(\theta )x + sin(\theta )y }

נגזור את הביטוי ונקבל:

d
V

d
t

=

d
θ

d
t

(
−
s
i
n
(
θ
)
x
c
o
s
(
θ
)
y
# )
ω
(
c
o
s
(
θ
90
)
x
s
i
n
(
θ
90
)
y
)

{\displaystyle \frac{dV}{dt} = \frac{d \theta}{dt} (-sin(\theta )x + cos(\theta )y) =\omega (cos(\theta +90)x +sin(\theta +90)y) }

ניתן לראות שהווקטור שקיבלנו גודלו אומגה וכיוונו לכיוון מרכז המעגל. נקרא לכיוון זהR. עכשיו נגדיר:

a
→

=

a
t

V

a
N

R

{\displaystyle \vec{a}=a\_t V+a\_N R}

ובנוסף נשים לב לקשר הבא:

# v
ω
r

{\displaystyle v = \omega r}

ולבסוף נקבל

a
t

=

d
v

d
t

=
α
r
,

a
N

=
ω
# v

v
2

r

=

ω
2

r

{\displaystyle a\_t = \frac{dv}{dt}= \alpha r , a\_N = \omega v = \frac{v^2}{r} = \omega ^2 r }

נוסחאות אילו מאוד חשוב להבין ולזכור.