טרנספורמציית לורנץ

ביחסות פרטית, **טרנספורמציית לורנץ** היא טרנספורמציה המעבירה אירוע במרחב-זמן במערכת יחוס אחת, מרחב-זמן במערכת יחוס אחרת.

## הטרנספורמציה

טרנספורמציית לורנץ המעבירה את מרחב הזמן במערכת

S

{\displaystyle S}

 למרחב הזמן במערכת

S
′

{\displaystyle S' }

 הנעה במהירות

v

{\displaystyle v}

 ביחס ל

S

{\displaystyle S}

 בכיוון ציר

x

{\displaystyle x}

 נראית בכתיב מטריצות כך:

(

γ

−
γ
v

0

0

−

γ
v

c

2

γ

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

)

(

t

x

y

z

)

=

(

t
′

x
′

y
′

z
′

)

{\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}
\gamma & -\gamma v & 0 & 0\\
-\frac{\gamma v}{c^{2}} & \gamma & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
t\\
x\\
y\\
z
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
t'\\
x'\\
y'\\
z'
\end{array}\right)
 }

או בכתיב רגיל כך:

t
′

=
γ
(
t
−

v

c

2

x
)

{\displaystyle t'=\gamma(t-\frac{v}{c^{2}}x)
 }

x
′

=
γ
(
x
−
v
t
)

{\displaystyle x'=\gamma(x-vt)
 }

y
′

=
y

{\displaystyle y'=y }

z
′

=
z

{\displaystyle z'=z }

כאשר סימון עם

′

{\displaystyle '}

 מייצג את הערך במערכת

S
′

{\displaystyle S' }

 וסימון ללא

′

{\displaystyle '}

 מייצג את הערך במערכת

S

{\displaystyle S}

.

γ

{\displaystyle \gamma}

 הוא פקטור לורנץ המוגדר לפי:

# γ

1

1
−

v

2

c

2

{\displaystyle \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}}

## שמורת לורנץ

שמורת(בלעז: אינווריאנט) לורנץ היא תכונה חשובה של ווקטור במרחב-זמן ומוגדרת כך:

# L
(
c
t

)

2

−

x

2

−

y

2

−

z

2

{\displaystyle L=(ct)^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2} }

תכונה זו נשמרת תחת טרנספורמציית לורנץ:

L
′

=
(
c

t
′

)

2

−

x

′

2

−

y

′

2

−

z

′

2

=

γ

2

(

c

2

t

2

−
2
t
v
x
(

v
c

x

)

2

)
−

γ

2

(

x

2

−
2
x
v
t

v

2

t

2

)
−

y

2

−

z

2

=

{\displaystyle L'=(ct')^{2}-x'^{2}-y'^{2}-z'^{2}=\gamma^{2}(c^{2}t^{2}-2tvx+(\frac{v}{c}x)^{2})-\gamma^{2}(x^{2}-2xvt+v^{2}t^{2})-y^{2}-z^{2}= }

=

γ

2

(
c
t

)

2

(
1
−

v

2

c

2

)
−

γ

2

x

2

(
1
−

v

2

c

2

)
−

y

2

−

z

2

−
2

γ

2

v
t
x
2

γ

2

v
t
# x
(
c
t

)

2

−

x

2

−

y

2

−

z

2

=
L

{\displaystyle =\gamma^{2}(ct)^{2}(1-\frac{v^{2}}{c^{2}})-\gamma^{2}x^{2}(1-\frac{v^{2}}{c^{2}})-y^{2}-z^{2}-2\gamma^{2}vtx+2\gamma^{2}vtx=(ct)^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}=L }

ולכן משתמשים בה להגדרת תכונות כגון מסת מנוחה וזמן עצמי.

זמן עצמי של גוף, כלומר הזמן במערכת הייחוס שלו, מוגדר כך

(
d
τ

)

2

=
d
t

2

−

d

x

2

d

y

2

d

z

2

c

2

{\displaystyle (d\tau)^{2}=dt{}^{2}-\frac{dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{c^{2}} }

קל לראות שהוא אכן שווה לזמן במערכת הייחוס של הגוף, כאשר השינוי במרחב שווה ל-0, ומכיוון שזו שמורת לורנץ היא נשמרת בכל מערכות הייחוס.

## התארכות הזמן

נסתכל על גוף שנע במהירות

v

{\displaystyle v}

 במערכת יחוס של צופה כלשהו.

כאשר במערכת הייחוס של הגוף עובר זמן

Δ
t

{\displaystyle \Delta t}

 ניתן לראות לפי טרנספורמציית לורנץ כי בדומה להתכווצות האורך, במערכת הייחוס השל הצופה עובר זמן

Δ

t
′

=
γ
Δ
t

{\displaystyle \Delta t'=\gamma\Delta t }

. כלומר, גוף הנע במהירות כלשהי חווה זמן קצר יותר מהצופה הנייח פי

γ

{\displaystyle \gamma}

.

## התכווצות האורך

נסתכל על מוט באורך

l

{\displaystyle l}

 הנע במהירות

v

{\displaystyle v}

 במערכת ייחוס של צופה.

הקצה הראשון של המוט נמצא במיקומים בזמן מרחב מהצורה הבאה במערכת הייחוס של המוט:

t

0

{\displaystyle \begin{array}{c}
t\\
0
\end{array} }

לכן במערכת הייחוס של הצופה הוא ימצא במקומות מהצורה:

γ

(

t

v
t

)

{\displaystyle \gamma\left(\begin{array}{c}
t\\
vt
\end{array}\right) }

הקצה השני ימצא במערכת המוט במיקומים מהצורה:

(

t

l

)

{\displaystyle \left(\begin{array}{c}
t\\
l
\end{array}\right) }

לכן לצופה הוא יראה במיקומים מהצורה:

γ

(

v
l

c

2

t

l
v
t

)

{\displaystyle \gamma\left(\begin{array}{c}
\frac{vl}{c^{2}}+t\\
l+vt
\end{array}\right) }

הקו של הקצה הראשון במערכת הצופה עובר דרך הראשית, נרצה למצוא את אורך המוט כפי שיראה לצופה, לכן נרצה למצוא את

t

{\displaystyle t}

 שעבורו הקצה השני יהיה וקטור בעל מימד מרחב בלבד, כלומר:

v
l

c

2

# t
0
⇒
# t
−

v
l

c

2

{\displaystyle \frac{vl}{c^{2}}+t=0\Rightarrow t=-\frac{vl}{c^{2}} }

לכן אורך המוט יהיה הגודל הזה של מימד המרחב:

l
′

=
γ
(
l
v
t
# )
γ
(
l
−
v

v
l

c

2

# )
γ
l
(
1
−

v

2

c

2

# )

γ

γ

2

# l

l
γ

{\displaystyle l'=\gamma(l+vt)=\gamma(l-v\frac{vl}{c^{2}})=\gamma l(1-\frac{v^{2}}{c^{2}})=\frac{\gamma}{\gamma^{2}}l=\frac{l}{\gamma} }

כלומר גוף הנע במהירות כלשהי מתקצר פי

γ

{\displaystyle \gamma}

.