對數列系統

**對數列數** 是一個巨大的數字，Bashicu 於2014年設計並於2018年更新， 它是關於\(f\_{\vartheta(\Omega\_\omega）+1}(10)\)大小。
該算法稱為**對數列系統**。 該程序是 Bashicu 原始數列系統 程序的擴展。

該對數列是非負整數對的有限長度序列，例如 (0,0)(1,1)(2,2)(3,3)(3,2) 對數列 \(P\) 作為從自然數 \(n\) 到自然數 \(P[n]\) 的函數，例如 (0,0)(1,1)(2,2)(3,3)(3,2)[n] 寫。
假設函數 P[n] 近似於 Hardie層次 的增長率，訂單號是 \(\alpha\)， 對數列 P 讓它代表序數\(\alpha\)。 也就是說，它可以寫成 \((0,0)(1,1)(2,2)(3,3)(3,2)=\psi(\psi\_1(\Omega\_2))\)。

我們目前正在驗證 Bashicu矩陣系統， 它是對數列系統的擴展。 雖然對序列是由程序定義的，但它類似地由basicu矩陣系統的 2 行矩陣定義。

定義
--

原始定義用大数搜索吧10編寫，如下所示：

（原始定義： 發表於大数搜索吧於2014年8月18日）

````
dim A(Infinity):dim B(Infinity):C=9
for D=0 to 9
  for E=0 to C
    A(E)=E:B(E)=E
  next
  for F=C to 0 step -1
    C=C*C
    if B(F)=0 then G=1 else G=0
    for H=0 to F*G
      if A(F-H)<A(F) or A(F)=0 then I=H:H=F*G
    next
    for J=1 to C*G*I
      A(F)=A(F-I):B(F)=B(F-I):F=F+1
    next
    G=1-G
    for K=1 to F*G
      if A(F-K)<A(F) and B(F-K)<B(F) then L=A(F)-A(F-K):M=K:K=F*G
    next
    for N=1 to C*G*M
      A(F)=A(F-M)+L:B(F)=B(F-M):F=F+1
    next
  next
next
print C

````

（更正後：作者本人於2018年5月26日更新，計算內容與原始版本不同）

````
dim A[∞],B[∞]:C=9
for D=0 to 9
 for E=0 to C
  A[E]=E:B[E]=E
 next
 for F=C to 0 step -1
  C=C*C
  for G=0 to F
   if A[F]=0 | A[F-G]<A[F]-H  then
    if B[F]=0 then
     I=G:G=F
    else
     H=A[F]-A[F-G]
     if B[F-G]<B[F] then I=G:G=F
    endif
   endif
  next
  for J=1 to C*I
   A[F]=A[F-I]+H:B[F]=B[F-I]:F=F+1
  next
  H=0
 next
next
print C

````

從 for D=0 to 9 到 next 循環計算\(C=f\_{\vartheta(\Omega\_\omega)}(C)\)，並通過重複此計算10次來計算對數 \(f\_{\vartheta(\Omega\_\omega)+1}(10)\)。

創建該程序的目的是根據 Bignum Bakeoff 大賽的規則，減少字符數。 278個字符，不包括空格和換行代碼。

````
#define A a[f]
#define B b[f]
 #define M = malloc(9),
#define W while (
main(f) {
   int *a M *b M c = 9, d = 10, h, i, k;
   W d--) {
       f = h = c + 1;
      W h--) a[h] = b[h] = h;
      W f--) {
          c *= c;
         h = f + 1;
         W h--)
            (k = B ? A - a[h]: 0, i = f - h, h = 0): 0;
         h = f + c * i; a = realloc(a, h); b = realloc(b, h);
         W f < h) A = a[f-i] + k, B = b[f-i], f++;
      }
    }
    return c;
 }

````

## 數學的定義

如果您將對數列數作為公式編寫，它將如下所示。

\begin{eqnarray\*}
\mathrm{大数:}~K&=&\mathrm{Pair}^{10}(9)\\
\mathrm{大函数:}~\mathrm{Pair}(n)&=&\mathrm{expand}\left((0,0)(1,1)\cdots (n+1,n+1)[n]\right)\\
\mathrm{擴充規則:}~\mathrm{expand}([n])&=&n\\
\mathrm{expand}({\boldsymbol S}[n])&=&\left\{\begin{array}{ll}
\mathrm{expand}((S\_{00},S\_{01})\cdots(S\_{(X-2)0},S\_{(X-2)1})[f(n)])&(\mathrm{if}~/forall yS\_{(X-1)y}=0) \\
\mathrm{expand}({\boldsymbol G}{\boldsymbol B}^{(0)}{\boldsymbol B}^{(1)}{\boldsymbol B}^{(2)} \cdots {\boldsymbol B}^{(f(n))}[f(n)])&(\mathrm{otherwise})
\end{array}\right.\\
\mathrm{激活函数:}~f(n)&=&n^2\\
\mathrm{對數列:}~{\boldsymbol S}&=&(S\_{00},S\_{01})(S\_{10},S\_{11})\cdots (S\_{(X-1)0},S\_{(X-1)1})\\
\mathrm{好的部分:}~{\boldsymbol G}&=&(S\_{00},S\_{01})(S\_{10},S\_{11})\cdots (S\_{(r-1)0},S\_{(r-1)1})\\
\mathrm{壞的部分:}~{\boldsymbol B}^{(a)}&=&(B\_{00}^{(a)},B\_{01}^{(a)})(B\_{10}^{(a)},B\_{11}^{(a)})\cdots (B\_{(X-2-r)0}^{(a)},B\_{(X-2-r)1}^{(a)})\\
B\_{x0}^{(a)}&=&\left\{\begin{array}{ll}
S\_{(r+x)0}+a(S\_{(X-1)0}-S\_{r0})&~(S\_{(X-1)1}\gt 0)\\
S\_{(r+x)0} &~(\mathrm{otherwise})\\
\end{array}\right.\\
B\_{x1}^{(a)}&=&S\_{(r+x)1}\\
\mathrm{Bad~root:}~r &=& \left\{\begin{array}{ll}
P\_1(X-1) & (S\_{(X-1)1} \neq 0)\\
P\_0(X-1) & (\mathrm{otherwise})
\end{array}\right.\\
S\_{x1}~\mathrm{的親}:~P\_1(x)&=&\max\{p|p\lt x \land S\_{p1} \lt S\_{x1} \land \exists a( p=(P\_0)^a(x))\}\\
S\_{x0}~\mathrm{的親}:~P\_0(x)&=&\max\{p|p\lt x \land S\_{p0} \lt S\_{x0} \}\\
\end{eqnarray\*}

## Bashicu 矩陣計算機

在用於計算Bashicu矩陣系統 的 bashicu矩陣計算機 中，推廣了對數列，可以顯示對數列的計算過程。 此外，可以從 Bashicu 矩陣計算機的站點下載C語言和 BASIC 程序。

以下是計算示例。 這裡，在原始算法中， n 的值在每次計算時是平方的，但是在這裡，計算n的值而不改變 n=2。

* (0,0)(1,1)
* (0,0)(1,1)(1,1)
* (0,0)(1,1)(2,0)
* (0,0)(1,1)(2,1)
* (0,0)(1,1)(2,2)
* (0,0)(1,1)(2,2)(3,3)
* (0,0)(1,1)(2,2)(3,3)(4,4)

## 相應的序數

### 最多 \(\epsilon\_0\)

當第二行為0時，它與原始數列系統相同。 那就是、

\begin{array}{ll}
(0,0) &=& 1 \\
(0,0)(0,0) &=& 2 \\
(0,0)(0,0)(0,0) &=& 3 \\
(0,0)(1,0) &=& \omega \\
(0,0)(1,0)(0,0)(0,0) &=& \omega+2 \\
(0,0)(1,0)(0,0)(1,0) &=& \omega \cdot 2 \\
(0,0)(1,0)(1,0) &=& \omega^2 \\
(0,0)(1,0)(1,0)(0,0)(1,0) &=& \omega^2+\omega \\
(0,0)(1,0)(2,0) &=& \omega^\omega \\
(0,0)(1,0)(2,0)(3,0) &=& \omega^{\omega^\omega} \\
(0,0)(1,0)(2,0)(3,0)(4,0) &=& \omega^{\omega^{\omega^\omega}} \\
\end{array}

對於(0,0)(1,1)，我們得到以下基本序列： 這裡，假設\(f(n)=n\)。

\begin{array}{ll}
(0,0)(1,1)[1] &=& (0,0)(1,0)[1] \\
(0,0)(1,1)[2] &=& (0,0)(1,0)(2,0)[2] \\
(0,0)(1,1)[3] &=& (0,0)(1,0)(2,0)(3,0)[3] \\
(0,0)(1,1)[4] &=& (0,0)(1,0)(2,0)(3,0)(4,0)[4] \\
\end{array}

即 \(\{\omega, \omega^\omega, \omega^{\omega^\omega}, \omega^{\omega^{\omega^\omega}}, \ldots\}\)。因此，它變成了

\begin{array}{ll}
(0,0)(1,1) &=& \epsilon\_0 \\
\end{array}

### 最多 \(\epsilon\_1\)

接下來，考慮 (0,0)(1,1)(1,0) 、
\[(0,0)(1,1)(1,0)[4] = (0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)[4]\]
獲得以下基本序列。

\begin{array}{ll}
(0,0)(1,1) &=& \epsilon\_0 \\
(0,0)(1,1)(0,0)(1,1) &=& \epsilon\_0 \cdot 2 \\
(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1) &=& \epsilon\_0 \cdot 3 \\
(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1) &=& \epsilon\_0 \cdot 4 \\
(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1) &=& \epsilon\_0 \cdot 5 \\
\end{array}

因此，它變成了
\[(0,0)(1,1)(1,0) = \epsilon\_0 \cdot \omega\]

接下來，考慮 (0,0)(1,1)(1,0)(1,0)、
\[(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)[2] = (0,0)(1,1)(1,0)(0,0)(1,1)(1,0)(0,0)(1,1)(1,0)[2]\]
，獲得以下基本序列。

\begin{array}{ll}
(0,0)(1,1)(1,0) &=& \epsilon\_0 \cdot \omega \\
(0,0)(1,1)(1,0)(0,0)(1,1)(1,0) &=& \epsilon\_0 \cdot \omega \cdot 2 \\
(0,0)(1,1)(1,0)(0,0)(1,1)(1,0)(0,0)(1,1)(1,0) &=& \epsilon\_0 \cdot \omega \cdot 3 \\
\end{array}
它變成了
\[(0,0)(1,1)(1,0)(1,0) = \epsilon\_0 \cdot \omega^2 \]
因此，通過在數字序列的末尾添加(1,0)，序數乘以 \(\omega\)。 接下來，考慮在數字序列的末尾添加 (1,0)(2,0)。

喜歡

\[(0,0)(1,1)(1,0)(2,0)[4] = (0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(1,0)(1,0)(1,0)[4]\]

，這對應於將序數乘以 \(\omega^\omega\)，因為有一個基本序列，其中逐個添加(1,0),獲得

\[(0,0)(1,1)(1,0)(2,0) = \epsilon\_0 \cdot \omega^\omega\]

。接下來，考慮(0,0)(1,1)(1,1)、
\[(0,0)(1,1)(1,1)[4] = (0,0)(1,1)(1,0)(2,1)(2,0)(3,1)(3,0)(4,1)(4,0)(5,1)[4]\]
，獲得以下基本序列。

\begin{array}{ll}
(0,0)(1,1) &=& \epsilon\_0 \\
(0,0)(1,1)(1,0)(2,1) &=& \epsilon\_0^2 \\
(0,0)(1,1)(1,0)(2,1)(2,0)(3,1) &=& \epsilon\_0^{\epsilon\_0} \\
(0,0)(1,1)(1,0)(2,1)(2,0)(3,1)(3,0)(4,1) &=& \epsilon\_0^{\epsilon\_0^2} \\
(0,0)(1,1)(1,0)(2,1)(2,0)(3,1)(3,0)(4,1)(4,0)(5,1) &=& \epsilon\_0^{\epsilon\_0^{\epsilon\_0}} \\
\end{array}
因此，它變成了
\[(0,0)(1,1)(1,1) = \epsilon\_1 = \psi(1) \]
。

### 最多 菲弗曼-舒特序數 = \(\Gamma\_0\)

以相同的方式，計算如下。
\begin{array}{ll}
(0,0)(1,1)(2,0) &=& \epsilon\_{\omega} = \psi(\omega) \\
(0,0)(1,1)(2,0)(2,0) &=& \epsilon\_{\omega^2} = \psi(\omega^2) \\
(0,0)(1,1)(2,0)(3,0) &=& \epsilon\_{\omega^\omega} = \psi(\omega^\omega) \\
(0,0)(1,1)(2,0)(3,1) &=& \epsilon\_{\epsilon\_0} = \psi(\psi(0)) \\
(0,0)(1,1)(2,0)(3,1)(4,0)(5,1) &=& \epsilon\_{\epsilon\_{\epsilon\_0}} = \psi(\psi(\psi(0))) \\
(0,0)(1,1)(2,1) &=& \zeta\_0 = \varphi(2,0) = \psi(\Omega) \\
(0,0)(1,1)(2,1)(1,1) &=& \varepsilon\_{\zeta\_0+1} \\
(0,0)(1,1)(2,1)(1,1)(2,1) &=& \zeta\_1= \varphi(2,1) \\
(0,0)(1,1)(2,1)(2,0) &=& \zeta\_\omega = \varphi(2,\omega) \\
(0,0)(1,1)(2,1)(2,1) &=& \eta\_0= \varphi(3,0) \\
(0,0)(1,1)(2,1)(2,1)(2,1) &=& \varphi(4,0) \\
(0,0)(1,1)(2,1)(3,0) &=& \varphi(\omega,0) \\
(0,0)(1,1)(2,1)(3,0)(3,0) &=& \varphi(\omega,\omega) = \psi(\Omega^\omega\omega)\\
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1) &=& \Gamma\_0 = \varphi(1,0,0) = \psi(\Omega^\Omega) \\
\end{array}

這已經超過了 TREE(n)。

### 最多 大韋伯倫序數 = \(\psi(\Omega^{\Omega^\Omega})\)

以相同的方式，計算如下。
\begin{array}{ll}
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(1,1) &=& \varepsilon\_{\Gamma\_0+1} \\
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(1,1)(2,1) &=& \zeta\_{\Gamma\_0+1} \\
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(1,1)(2,1)(3,1) &=& \Gamma\_1 = \varphi(1,0,1) \\
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(2,0) &=& \Gamma\_\omega = \varphi(1,0,\omega) \\
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(2,1) &=& \varphi(1,1,0) \\
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(2,1)(1,1)(2,1)(3,1)(2,1) &=& \varphi(1,1,1) \\
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(2,1)(2,0) &=& \varphi(1,1,\omega) \\
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(2,1)(2,1) &=& \varphi(1,2,0) \\
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(2,1)(3,1) &=& \varphi(2,0,0) \\
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,0) &=& \varphi(\omega,0,0) \\
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,1) &=& \varphi(1,0,0,0) \\
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,1)(1,1)(2,1)(3,1)(3,1) &=& \varphi(1,0,0,1) \\
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,1)(2,1) &=& \varphi(1,0,1,0) \\
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,1)(2,1)(3,1) &=& \varphi(1,1,0,0) \\
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,1)(2,1)(3,1)(2,1)(3,1) &=& \varphi(1,2,0,0) \\
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,1)(2,1)(3,1)(3,1) &=& \varphi(2,0,0,0) \\
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,1)(2,1)(3,1)(3,1)(2,1)(3,1)(3,1) &=& \varphi(3,0,0,0) \\
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,1)(3,0) &=& \varphi(\omega,0,0,0) \\
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,1)(3,1) &=& \varphi(1,0,0,0,0) = \psi(\Omega^{\Omega^3}) \\
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,1)(3,1)(3,1) &=& \varphi(1,0,0,0,0,0) = \psi(\Omega^{\Omega^4}) \\
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,0)&=& \psi(\Omega^{\Omega^\omega}) \text{(小韋伯倫序数)} \\
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,0)(3,1) &=& \psi(\Omega^{\Omega^{\omega+1}}) \\
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,0)(4,0) &=& \psi(\Omega^{\Omega^{\omega^2}}) \\
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,0)(5,0) &=& \psi(\Omega^{\Omega^{\omega^\omega}}) \\
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,0)(5,1) &=& \psi(\Omega^{\Omega^{\varepsilon\_0}}) \\
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,1) &=& \psi(\Omega^{\Omega^\Omega}) \text{(大韋伯倫序数)}
\end{array}

### 最多 巴克曼霍华德序數 \(\psi(\epsilon\_{\Omega+1})\)

\begin{array}{ll}
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(4,0) &=& \psi(\Omega^{\Omega^{\Omega \cdot \omega}}) \\
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(4,1) &=& \psi(\Omega^{\Omega^{\Omega^2}}) \\
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,0) &=& \psi(\Omega^{\Omega^{\Omega^\omega}}) \\
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1) &=& \psi(\Omega^{\Omega^{\Omega^\Omega}}) \\
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1) &=& ψ(\Omega^{\Omega^{\Omega^{\Omega^\Omega}}}) \\
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)(7,1) &=& ψ(\Omega^{\Omega^{\Omega^{\Omega^{\Omega^\Omega}}}}) \\
(0,0)(1,1)(2,2) &=& \psi(\epsilon\_{\Omega+1}) = \psi(\psi\_1(0)) \\
\end{array}

### 最多 \(\vartheta(\Omega\_\omega)\)

\begin{array}{ll}
(0,0)(1,1)(2,2)(0,0) &=& \psi(\psi\_1(0))+1 \\
(0,0)(1,1)(2,2)(1,0) &=& \psi(\psi\_1(0)) \omega \\
(0,0)(1,1)(2,2)(2,0) &=& \psi(\psi\_1(0) \omega) \\
(0,0)(1,1)(2,2)(3,0) &=& \psi(\psi\_1(\omega)) \\
(0,0)(1,1)(2,2)(3,0)(4,0) &=& \psi(\psi\_1(\omega^\omega)) \\
(0,0)(1,1)(2,2)(3,0)(4,1) &=& \psi(\psi\_1(\psi(0)))=\psi(\psi\_1(\epsilon\_0)) \\
(0,0)(1,1)(2,2)(3,1) &=& \psi(\psi\_1(\Omega)) \\
(0,0)(1,1)(2,2)(3,2) &=& \psi(\psi\_1(\Omega\_2)) \\
(0,0)(1,1)(2,2)(3,3) &=& \psi(\psi\_1(\psi\_2(0))) \\
(0,0)(1,1)(2,2)(3,3)(4,4) &=& \psi(\psi\_1(\psi\_2(\psi\_3(0)))) \\
(0,0)(1,1)(2,2)(3,3)...(9,9) &=& \psi(\psi\_1(\psi\_2(\psi\_3(\psi\_4(\psi\_5(\psi\_6(\psi\_7(\psi\_8(0))))))))) \\
\end{array}

換句話說，如果\(\textrm{Pair}(n) = (0,0)(1,1) \ldots (n,n)[n]\) 是
\[\textrm{Pair}(n) \approx f\_{\vartheta(\Omega\_\omega)}(n)\]
。序數 \(\vartheta(\Omega\_\omega)\) 是 \(\textrm{PTO}(\Pi\_1^1{-}\textrm{CA}\_0)\)，小於 \(\textrm{PTO}(\Pi\_1^1{-}\textrm{CA}{+}\textrm{BI})\)。所以 \(\textrm{SCG}(n)\) 也許超越 \(\textrm{Pair}(n)\)。

## 終止證明

P進大好きbot定義標準形式的概念（比普通意義上的正常形式更寬）， 而 Buchholz 的 \(\psi\) 用於證明對序列系統的終止。

## 九頭蛇表示法

Bashicu 顯示該對序列由標記的九頭蛇(hydra)表示。

koteitan 還將 Buchholz 的 hydra (也用標記的 hydra 代表)與一對標記的水印進行了比較。 我還創建了一個程序來繪製帶有標籤的九頭蛇。

源

1. ↑ 作者粉絲帳號
2. ↑ 大数搜索吧10: 第一版的定義
3. ↑ 大数搜索吧10: 修改版本定義
4. ↑ 大数搜索吧１０: 計算
5. ↑ 大数論
6. ↑ Purely mathematical definition of BMS
7. ↑ User:P進大好きbot
8. ↑ 用戶博客：P進大好きbot/終止對數列
9. ↑ Bashicu 矩陣的解釋2
10. ↑ User:Koteitan
11. ↑ 用戶博客：koteitan/Bashicu 矩陣的九頭蛇符號
12. ↑ 用户博客:Koteitan/對數列系統的九頭蛇表示法

## 相關鏈接

* Bashicu Matrix Calculator by Fish
* Hydra Viewer by koteitan