Sesión 6 - Transformada de Hilbert.

## **Un poco de historia**

David Hilbert (1862 – 1943) fue un matemático alemán, influyente entre los siglos XIX y XX, destacándose como un gran matemático y científico, en donde ha desarrollado grandes ideas como la teoría de invariantes, la axiomatización de la geometría y la noción de espacio de Hilbert, fundamento usado en el análisis funcional. Pero su gran reputación no solo se debe a él mismo, sino que ha trabajado junto a sus estudiantes para proporcionar una importante infraestructura matemática usada para la mecánica cuántica y la relatividad general. Para 1899, en su gusto y atención dada a la geometría, proporciono a la geometría euclidiana una fundamentación estrictamente axiomática, ejerciendo gran influencia sobre el desarrollo de la matemática en el siglo XX, realizando un gran esfuerzo sistemático y global para conformar una geométrica puramente formal que ya había adquirido el análisis aritmético y matemático.

En el año de 1904 Hilbert empezó a desarrollar un programa para dotar de una base axiomática a la lógica, la aritmética y la teoría de conjuntos, con el objetivo de axiomatizar toda la matemática conocida. Esto resulto del desarrollo de la llamada metamatemática, método para establecer la consistencia de cualquier sistema formal. Esto resulto para el año de 1920 una base para la maduración de la lógica matemática y el surgimiento de teorías de computación.

## **La transformada de Hilbert**

Las funciones y señales se definen en el dominio del tiempo o de la frecuencia, y la transformada de Fourier realiza el cambio de un dominio a otro. Pero la transformada de Hilbert conforma la señal en dos partes, una con la mitad de la información en el dominio del tiempo, y la otra mitad en el dominio de la frecuencia, en donde se define con la siguiente función:

que es equivalente a una rotación de 90◦ en la fase de cada componente armónica de la señal. Esto también lo vemos como la convolución de una función

s
(
t
)

{\displaystyle s(t)}

 con

1
t

{\displaystyle {\frac {1}{t}}}

. También existen varias formas en donde se puede calcular la transformada de Hilbert:

* En el caso de tener una función, como por ejemplo una función armónica, es posible realizar la aplicación directamente de la transformada de Hilbert
* Realización una determinación a partir de

s
(
t
)

{\displaystyle s(t)}

aplicando el operador de convolución de la forma

s
(
t
)
∗
h
(
t
)

{\displaystyle s(t)\*h(t)}

, lo que resulta equivalente a aplicar un filtro:

* Utilizando la transformada discreta:

* Partiendo de la transformada de Fourier, pasando al dominio de la frecuencia la señal analítica,

F

(

s

∗

(
t
)
)

{\displaystyle F^{+}(s^{\*}(t))}

con

s

∗

(
t
)

{\displaystyle s^{\*}(t)}

de la forma

s

∗

(
t
# )
s
(
t
)
i
0

{\displaystyle s^{\*}(t)=s(t)+i0}

 , luego multiplicando por una función de escalón unitario (eliminando la parte negativa de

w

{\displaystyle w}

 en el dominio de la frecuencia) y finalmente aplicando la transformación inversa de Fourier, obteniendo

s

∗

(
t
# )
s
(
t
)
i

s

∗

(
t
)

{\displaystyle s^{\*}(t)=s(t)+is^{\*}(t)}

.

Si desea continuar con el estudio de la transformada de Hilbert, te recomendamos la siguiente lectura para que los próximos temas de modulación que tienen una alta relación con el trabajo por Hilbert puedas entenderlos de manera rápida y sencilla: Roger Ziemer and William Tranter. Principles of Communications. Wiley, 6th edition (2008). ISBN: 978-0470252543. Pp 82-88. Además, también puedes acceder a la siguiente presentación donde presentan didácticamente el tema [1].

Acabamos de finalizar la sesión de teoría acerca de la Transformada de Hilbert, para continuar aprendiendo acerca de ella, te invitamos a que accedas al taller correspondiente a este tema y así resolver un ejercicio con el que podrás demostrar si quedó comprendido o no, es un ejercicio con solución y que si lo resuelve y reflexiona basándose en sus resultados, lograras la comprensión del tema. Puedes acceder directamente desde el siguiente link Taller Sesión 6. Transformada de Hilbert o puedes acceder desde el botón en la parte inferior que dice taller.

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