Математика - це цікаво. 50 ідей математики.

## Автори

Вороніна Єлизавета (теорія хаосу), Воронін Олег (логіка), Чубенко Ксенія(трикутник паскаля), Перова Поліна (Числа Фібоначчі) , Шиліна Анна(Шифри), Глеб Ніхода(-)

## Тема: Математика - це цікаво. 50 ідей математики

### **Проблематика:**

Незацікавленість людей у математиці, багато хто вважає її нудною

### **Гіпотеза:**

Люди не мають потягу до математику через малу кількість цікавих фактів, і "сухий" фактаж у літературі

### **Мета:**

Зацікавити людей у математиці, і розповісти цікаві факти

## Теорія хаосу

### **Ефект Метелика**

Найвідоміший вислів про  цю теорію зроблене асторономом  **Едвардом Лоренцом**

> *«Пророцтво: Помах крил метелика в Бразилії викличе торнадо в штаті Техас»*
>
>

Він записав математичну модель погоди: просту систему трьох диференційних рівнянь. На подив Лоренца, проста система демонструвала складну поведінку. Так, динаміка модельної системи була чутлива до невеликої зміни початкових умов в математичній моделі. Тобто невелика зміна початкових умов спричинює непередбачувані наслідки. Для тих людей, хто не дуже гарно розуміє астрономію він порівняв зміни в повітряних потоках до помаху крила метелика, він назвав це явище ефектом метелика. Простими словами ефект метелика - це коли незначне, на перший погляд, рішення призводить до непропорційно масштабних наслідків. Але теорія хаосу не обмежується метеликами

### **Вільний і подвійний маятник**

Вільний маятник – одна з найпростіших для аналізу механічні системи. Качаючись з боку на бік, маятник поступово втрачає енергію. Зсув від вертикалі та (кутова) швидкість вантажу зменшуються, поки маятник не зупиниться остаточно. Все інакше у подвійного маятника: вантаж у ньому прикріплений до послідовно з'єднаних ланок. Якщо усунення невелике, рух подвійного. маятника схоже на рух простого, проте, якщо зсув великий, вантаж розгойдується, обертається і бовтається так і так, а зсув від середньої точки — ніби випадковий. Якщо рух відбувається без впливу зовнішньої сили, вантаж зрештою прийде до спокою, але крива, що описує його рух, зовсім не така смирна, як спіраль простого маятника.

### **Дивні атрактори**

Є уявлення, що фазові діаграми динамічних систем містять «атрактори». У разі простого маятника атрактора - єдина точка на початку координат, до якої спрямовується рух вантажу. З подвійним маятником все складніше, але й у його випадку фазовий малюнок покаже деяку впорядкованість: тягар тяжітиме до кількох точок на фазовій діаграмі. Для таких систем безліч точок може утворювати фрактал, званий дивним атрактором, з чіткою математичною структурою. Так що не все втрачено. У новій теорії хаос не такий хаотичний — швидше, «упорядкований».

## Логіка

**Дві посилки, один висновок**

Давайте для початку розглянемо що простіше і звернемося до досвіду грецького філософа Арістотеля Стагірита, якого вважають батьком науки логіки. Його підхід заснований на різних формах силогізму - способу ведення спору,заснованого на трьох твердженнях: двох посилках та одному висновку. Наприклад:

Над горизонтальною межею розташовуються посилки, а під ним -висновок. У цьому прикладі висновок має безперечний характер,без жодного зв'язку з тим, який сенс ми вкладаємо в поняття «спанієлі», «собаки» та «тварини». Подібний же силогізм,але в інших словах виглядає так:

У цьому випадку кожне окреме висловлювання — нонсенс, якщо ми вкладаємо приний сенс у знайомі слова. Проте обидва приклади силогізмів мають одинакову структуру, і саме ця структура повідомляє силогізму обґрунтованоність. У межах такої структури неможливо вигадати приклад A, B і C,для яких посилки були б вірні, а висновок – хибно. Це і робить аргумент корисним.

## Трикутник Паскаля

### **Означення**

**Трикутник Паскаля** — це геометрично, на зразок трикутника, розміщені біноміальні коефіцієнти (пов'язані з біномом Ньютона). 11^0 = 1 , 11 × 1 = 11, 11 × 11 = 121, 11 × 11 × 11 = 1331, а 11 × 11 × 11 × 11 = 14641. Якщо викласти числа пірамідою (чи трикутником), то вийде:

Це перші строки трикутника Паскаля.

### **Коротка історія та основні поняття**

Насправді ж Трикутник Паскаля не є винаходом самого Паскаля, цей цікавий феномен був відомий ще китайським мудрецям  XIII сторіччя. Трикутник  будується зверху в низ, на кінці кожного ряду з обох сторін одиниці, на вершині також, в середині числа утворюються складанням двох сусідніх чисел з верхнього ряду над даним.

### **Трикутник Паскаля в прикладах**

Трикутник Паскаля це чиста математика. Якщо виконати приклад (1+х)^3, то ми отримаємо:

1 + 3х + 3х2 + х3.

(1 + x)^0                         1

(1 + x)^1                      1       1

(1 + x)^2                  1      2     1

(1 + x)^3              1      3     3      1

(1 + x)^4         1     4     6      4     1

(1 + x)^5     1     5     10     10    5     1

Якщо скласти числа в будь-якому рядку трикутника Паскаля, то отримаємо 2 в степені n. Наприклад: 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2^4 (5 ряд).

### **Послідовності**

Трикутник є симетричним, в цьому можна переконатися провівши вертикальну лінію через вершину – всі рядки будуть паліндромами, отже дзеркальними. Через це можна зробити висновки і про так звані «діагоналі», які з обох сторін будуть однаковими:

### **Перехрещення послідовностей**

Якщо ж скласти суму з чисел які йдуть поруч з лініями, що перетинають трикутник, і не є ані діагоналями, ані рядами, отримаємо послідовність 1, 2, 5, 13, 34, ...

Маємо закономірність, що кожне наступне число у тричі більше за попереднє і мінус попереднє.

Між цими «між діагоналевими» послідовностями є ще деякі, з початком 1, 1 + 2 = 3 вони підпорядковуються правилу « у 3 рази більше -1». Якщо чергувати ці послідовності то отримаємо числа Фібоначчі: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

### **Цікаві факти про трикутник Паскаля**

З трикутника Паскаля можна скласти візерунок, замінивши числа. Вийде відомий Серпинський трикутник:

Можна записати трикутник Паскаля так: (х – 1)^-n, тоді трикутник виходить не симетричним відносно центральної осі, а при складанні суми чисел з ряду вони дають нуль.

## Числа Фібоначчі

**Кожне число в послідовності Фібоначчі** - це сума двох чисел, які передують йому. Отже, йде послідовність виглядає так: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 тощо. Математичне рівняння, що описує число Фібоначчі: Xn + 2 = Xn + 1 + Xn. Число Фібоначчі часом називають"секретним кодом природи "і"загальним правилом природи". Кажуть, що дана послідовність керує розмірами всього, в тому числі як Велику піраміду в Гізі, так і багато речей, з якими ми стикаємося кожен день.

**Золотий перетин:** Але яке саме значення має послідовність Фібоначчі? Крім як навчальний інструмент, вона проявляється в багатьох випадках в природі. Однак це не якийсь секретний код, який керує архітектурою Всесвіту.

Це правда, що послідовність Фібоначчі тісно пов'язана з тим, що тепер відомо як "золотий перетин". Простіше кажучи, співвідношення чисел в послідовності, оскільки послідовність йде до нескінченності, наближається до золотого перетину, яке становить 1,6180339887498948482 ... Звідти математики можуть обчислити те, що називається золотою спіраллю, або логарифмічною спіраллю, коефіцієнт зростання якої дорівнює золотому перетину.

**Містифікації і вигадки:** коли люди починають пов'язувати людське тіло, мистецтво та архітектуру, багато вигаданих теорій і містифікацій посилаються на послідовність Фібоначчі.

## Ресурси

### **Теорія хаосу**

Подвійний Маятник

Вільний Маятник

Аттрактори 1

Атрактори 2

Торнадо

Теорія Хаоса

Ефект Метелика

“50 ідей, про які потрібно знати” - Тонні Кріллі стр. 104-108

### **Логіка**

“50 ідей, про які потрібно знати. Математика ” - Тонні Кріллі стр. 64-65. Переклалв Воронін Олег

### **Трикутник Паскаля**

“50 ідей, про які потрібно знати. Математика ” - Тонні Кріллі стр. 52-55. Переклала і доповнила Чубенко Ксенія.

Біном Ньютона

### **Числа Фібоначчі**

Що таке число Фібоначчі (послідовність Фібаначчі)?