1.1.47(c)

Haga un bosquejo a mano de las siguientes curvas dadas por la paramentrización indicada. Luego grafique las curvas por computadora y verifique su intuición (prueve varios intervalos basados en las funciones coordenadas y selecciones uno en el que se vea bien el comportamiento) que parametrizan las siguientes funciones y haga un pequeño comentario de por qué tendran esa forma basado en sus funciónes coordenadas (es decir que tiene que ver el signo el tamaño y las caracteristicas de cada una de las funciones coordenadas con la curva, pero de manera informal).

c)

α
(
t
# )
(
cos
⁡
t
,
sen
⁡
t
,
sen
⁡
(
5
t
)

{\displaystyle \alpha (t)=(\cos t,\operatorname {sen} t,\operatorname {sen}(5t)}

Lo primero que podemos hacer es limitar nuestra visión a dos dimensiones y ver como se comporta, es decir, en el plano xy. Para hacer eso, basta con fijar la tercer coordenada a 0, para que solo sean dos dimensiones tal que:

α
(
t
# )
(
cos
⁡
t
,
sen
⁡
t
,
0
)

{\displaystyle \alpha (t)=(\cos t,\operatorname {sen} t,0)}

Ahora, para ver como se comporta la función en esta dimensión debemos tomar puntos clave para notarlo. Ya conocemos a seno y coseno, y sabemos que el rango de ambos va 1 a -1. Sabiendo esto, veamos algunos puntos:

# A
α
(

π
2

# )
(
0
,
1
,
0
)

{\displaystyle A=\alpha ({\frac {\pi }{2}})=(0,1,0)}

# B
α
(
π
# )
(
−
1
,
0
,
0
)

{\displaystyle B=\alpha (\pi )=(-1,0,0)}

# C
α
(

3
π

2

# )
(
0
,
−
1
,
0
)

{\displaystyle C=\alpha ({\frac {3\pi }{2}})=(0,-1,0)}

# D
α
(
2
π
# )
(
1
,
0
,
0
)

{\displaystyle D=\alpha (2\pi )=(1,0,0)}

Y graficando esto tanto en nuestro plano 2D y 3D tenemos:

Ahora, notemos que esto pareciera formar **un circulo en un sentido (ABCD)**, y lo podemos mostrar graficando un punto P (que ya está en la anterior imagen), y las coordenadas de P las podemos obtener mediante cos y sen. Veamos como hacer eso último.

Primero, veamos que la hipotenusa del triangulo propuesto es 1, ya que, como mencionamos, sen y cos tiene un rango de a lo más 1 unidad. Dicho eso, tenemos:

cos
⁡
(
θ
# )

c
a

h

=

x
1

{\displaystyle \cos(\theta )={\frac {ca}{h}}={\frac {x}{1}}}

cos
⁡
(
θ
# )
x

{\displaystyle \cos(\theta )=x}

Y también:

sen
⁡
(
θ
# )

c
o

h

=

y
1

{\displaystyle \operatorname {sen}(\theta )={\frac {co}{h}}={\frac {y}{1}}}

sen
⁡
(
θ
# )
y

{\displaystyle \operatorname {sen}(\theta )=y}

Y vemos que justamente las coordenadas x y y están dadas por

cos
⁡
(
θ
)

 y

sen
⁡
(
θ
)

{\displaystyle \cos(\theta ){\text{ y }}\operatorname {sen}(\theta )}

, y ¿quién podría ser theta? pues nuestra "t" de la función alpha(

α

{\displaystyle \alpha}

). Y así estariamos definiendo toda esa circunferencia, por lo tanto, **en el plano xy se forma un circulo de radio 1 con un sentido opuesto a las manecillas del reloj.**

Ahora, ¿qué pasa con la coordenada z? Recoordemos que z le estaría dando "altura" a lo que está en nuestro plano xy. Primero veamos que comportamiento tiene la función sen(5t).

Notemos que si multiplciamos t por un valor positivo la longitud de onda de sen será menor, tal como mostramos en la siguiente imagen para 5t:

Entonces, lo que podríamos intuír es que nuestro circulo en el plano xy, si lo "aplastamos" sobre esta función, estaríamos obteniendo **una serie de curvas oscilando de arriba a abajo (de -1 a 1, por el rango de sen) en circulo**, ya que esta función le esta diciendo a lo que está en xy la altura que estaran teniendo sus puntos, algo como lo que se muestra en la imagen a continuación:

Ahora, veamoslo graficado por computadora y notemos aquellas cosas que nos faltaron identificar:

Y si lo vemos desde arriba notamos que efectivamente se forma un circulo:

Y si vemos de lado esta figura, vemos que justamente tiene un rango de 1 a -1.

Ahora, podemos notar que la **cantidad de picos coincide con el 5 que multiplicamos a t.** Esto se debe a que realmente sen(t) estaría definiendo un periodo de la función, y si este lo repetimos 5 veces (mutliplicando a t cinco veces) esto nos dará como resultado a la función sen con 5 ciclos o visto en nuestro problema con 5 picos.