Задача о чотирьох фарбах.

## Тема: **Задача о чотирьох фарбах**

### Мета проекту:

**Детально розповісти про задачу чотирьох фарб, її походження та спроби вирішення**

### Проблема проекту:

Чим же так зацікавило фахівців з топології проста задача з фарбами?

## Походження задачі

Походження задачі про чотири фарби відомо, і воно не математичне.

У 1852 р. молодий південноафриканський математик і ботанік Френсіс Гутрі, що готувався до отримання вченого ступеня з юриспруденції, спробував розфарбувати графства на карті Англії. Він хотів бути впевненим, що будь-які два суміжні графства можна буде розфарбувати у різні кольори, щоб межі між ними були добре помітні.

Гутрі з'ясував, що для виконання завдання йому буде достатньо чотирьох різних кольорів, і після деякого кількості експериментів переконав себе в тому, що ця заява буде вірною для абсолютно будь-якої карти. Говорячи про «суміжні» графства, він мав на увазі, що ці графства мають спільну межу ненульової довжини; якщо ж два графства стикалися в точці або, наприклад, у кількох ізольованих точках, їх можна було при необхідності розфарбувати в один і той самий колір.

Без цього застереження число кольорів може бути нескінченним, оскільки в одній точці може зустрітися необмежену кількість регіонів (див. рис. 1).

Зацікавившись, чи не є його висновок відомою математичною теоремою, Гутрі поставив це питання своєму братові Фредеріку, який вивчав у той час математику під керівництвом. відомого, але ексцентричного вченого Огастеса де Моргана в Університетському коледжі Лондона. Де Морган не знав відповіді це питання, тому написав ще більш відомому математику - ірландцю серу Вільяму Гамільтону:

«Один мій студент [пізніше з'ясувалося, що це був Фредерік Гутрі] попросив мене сьогодні пояснити один факт, про який мені нічого не було відомо, — і я досі досі не впевнений, що це справді факт. Він каже, якщо якась фігура розділена на частини будь-яким способом і її частини розфарбовані по-різному, так що фігури із загальним кордоном у вигляді лінії будь-якої довжини пофарбовані у різні кольори, то для цього може знадобитися чотири фарби, але не більше... Питання: чи не можна вигадати випадок для п'яти чи більше фарб... Що скажете? І чи був цей факт, якщо це правда, помічено раніше?»

Фредерік пізніше згадував якийсь «доказ», запропонований його братом, але говорив також, що основною ідеєю там був малюнок, що приблизно відповідав рис. 1, а він доводить лише, що менше, ніж чотирма фарбами, не обійдешся.

Відповідь Гамільтона була короткою: "Я навряд займуся найближчим часом вашим "кватерніоном" фарб". У той час Гамільтон працював над системою алгебри, якій судилося було на все життя стати його пунктиком та улюбленою фішкою.

Де Морган, зазнавши невдачі в пошуку доказу, розповів про завдання всім своїм знайомим математикам в надії на те, що хтось зможе запропонувати корисну ідею.

## Спроби вирішення

Наприкінці 1860-х років американський логік, математик і філософ Чарльз Пірс заявив, що знайшов вирішення завдання про чотири фарби, а також відповіді на аналогічні питання про карти на складніших поверхнях. Передбачуваний доказ так і не був опублікований, але навряд чи доступні йому Методи були адекватні задачі.

Кеннет Аппель і Вольфганг Хакен 1976 року показали це, надавши доведення теореми, що складалося з двох частин. В першій показувалося, що достатньо перевірити 1936 варіантів мап, щоб визначити, що таке розфарбовування можливе для будь-якої мапи. В другій наводився алгоритм, що перевіряв усі ці мапи. Це доведення викликало змішані почуття в математичної спільноти. І перша, і друга частини були дуже великими і складними для розуміння, а результат дії алгоритму взагалі не міг бути перевіреним людиною.

За описом авторів, доведення включало в себе 50 сторінок тексту та діаграм, 85 сторінок з майже 2500 додатковими діаграмами, 400 сторінок мікрофільмів, що містили ще діаграми, 24 леми і тисячі окремих тверджень. До того ж, перевірка деяких з тверджень зайняла 1200 годин машинного часу. Тому деякий час, хоча ніхто і не міг знайти помилок у викладках, багато математиків не вважали доведення правильним.

В подальшому з'ясувалося, що деякі варіанти були пропущені, і вже в 90-х надали виправлений варіант доведення, що, втім, залишався майже неможливим для перевірки.

## Проблема задачі

Хоча в задачі про чотири фарби йдеться як би про карти, сама вона не має застосування в картографії. Практика розмальовки карт відображає в основному політичні відмінності, і якщо при цьому сусідні регіони повинні мати один колір, то їх і фарбують однаково. Сенс цього завдання лежить в області чистої математики - нової області, яка тоді тільки почала розвиватися - топології. Це «геометрія на гумовому аркуші», в якій фігури можна безперервно деформувати будь-яким способом. Але навіть там завдання про чотири фарби не вкладалася в основне русло досліджень, а представлялася лише дивиною.

## Корисні матеріали

Проблема чотирьох фарб(Wiki)

Ієн Стюарт "Найвеличніші задачі математики"