기하곱

기하곱(영어: Geometric Product)은 기하대수학에서 정의하는 새로운 연산 중의 하나로, 두 다중벡터들을 하나의 다중벡터로 대응시키는 연산이다.

기호
--

기하곱은 특별히 기호가 있지 않고, 단순히 두 다중벡터들을 붙여서 둘의 기하곱을 표현한다. 즉, 임의의 다중벡터

a
,
b

{\displaystyle a, b}

에 대하여, 다중벡터

M

{\displaystyle M}

 이

a

{\displaystyle a}

 기하곱

b

{\displaystyle b}

를 만족한다면 이를 다음과 같이 표기한다.

# M
a
b

{\displaystyle M=ab}

## 연산의 정의 및 성질

기하곱은 일반적으로 교환법칙이 성립이 되지 않는 연산이다. 만족하는 성질에는 다음이 있다.

1. 결합 법칙. 임의의 다중벡터

a
,
b
,
c

{\displaystyle a,b,c}

에 대하여,

(
a
b
)
# c
a
(
b
c
)

{\displaystyle (ab)c = a(bc) }

를 만족한다.
2. 덧셈에 대한 좌/우 분배법칙. 임의의 다중벡터

a
,
b
,
c

{\displaystyle a,b,c}

와 다중벡터에서 정의된 덧셈 연산에 대하여,

a
(
b
c
# )
a
b
a
c

{\displaystyle a(b+c)=ab+ac}

 및

(
a
b
)
# c
a
c
b
c

{\displaystyle (a+b)c=ac+bc}

를 만족한다.
3. 항등원. 임의의 다중벡터

a

{\displaystyle a}

에 대하여, 항등원 1이 존재하여

a
# a
1
a

{\displaystyle a1=a=1a}

를 만족한다.

여기서 기하곱을 정의할 때는 결합법칙과 덧셈에 대한 좌/우 분배법칙을 사용할 수 있다.(참고자료 필요)

## 두 벡터의 기하곱과 내적, 쐐기곱의 관계

두 벡터의 기하곱은 아래와 같이, 항상 교환법칙이 성립하는 부분(**교환법칙, 가환부**)과 교환 시 음의 부호가 붙는 부분(**반교환법칙, 역가환부**)의 두 부분의 합으로 분해할 수 있다. 각 항이 교환법칙 및 반교환법칙이 성립하는지는 벡터

a

{\displaystyle a}

와

b

{\displaystyle b}

의 위치를 바꾸어 확인할 수 있다.

a
# b

1
2

(
a
b
a
b
# )

1
2

(
(
a
b
b
a
)
(
a
b
−
b
a
)
# )

1
2

(
a
b
b
a
)

1
2

(
a
b
−
b
a
)

{\displaystyle ab={\frac {1}{2}}(ab+ab)={\frac {1}{2}}((ab+ba)+(ab-ba))={\frac {1}{2}}(ab+ba)+{\frac {1}{2}}(ab-ba)}

이로부터 두 벡터의 내적과 쐐기곱을 정의할 수 있다. 즉, 교환법칙이 성립하는 부분을 둘의 내적으로, 반교환법칙이 성립하는 부분을 둘의 쐐기곱으로 정의하게 된다. 식으로 쓰면 다음과 같다.

다중벡터의 내적:

a
⋅
# b

1
2

(
a
b
b
a
)

{\displaystyle a\cdot b={\frac {1}{2}}(ab+ba)}

다중벡터의 쐐기곱:

a
∧
# b

1
2

(
a
b
−
b
a
)

{\displaystyle a\wedge b={\frac {1}{2}}(ab-ba)}

## 역원의 존재성

기하곱에 항등원이 존재한다는 점에서 역원 또한 존재하는지 확인할 수 있을 것이다. 다중벡터의 차원에 따라서 이들을 살펴보자.

### 이차원 다중벡터

다중벡터의 표준기저를

x
^

,

y
^

{\displaystyle \hat{x},\hat{y}}

로 표시할 때, 임의의 이차원 다중벡터

M
→

{\displaystyle \vec{M}}

은 스칼라

s

{\displaystyle s}

와 벡터

v
→

{\displaystyle \vec{v}}

 및 이중벡터

B
→

{\displaystyle \vec{B} }

의 합으로 나타내어짐을 확인할 수 있을 것이다. 즉, 다음과 같이 표현된다.

M
→

=
s

v
→

B
→

=

a

1

a

2

x
^

a

3

y
^

a

4

x
^

y
^

{\displaystyle {\vec {M}}=s+{\vec {v}}+{\vec {B}}=a\_{1}+a\_{2}{\hat {x}}+a\_{3}{\hat {y}}+a\_{4}{\hat {x}}{\hat {y}}}

이 때

M
→

{\displaystyle \vec{M}}

의 역수를 구하기 위해서는 다음을 만족하는 다중벡터

M
~

{\displaystyle \tilde{M}}

를 찾아야 한다.

M

M
~

=
# 1

M
~

M
⋯
(
1
)

{\displaystyle M{\tilde {M}}=1={\tilde {M}}M\cdots (1)}

다중벡터

M
~

=

b

1

b

2

x
^

b

3

y
^

b

4

x
^

y
^

{\displaystyle {\tilde {M}}=b\_{1}+b\_{2}{\hat {x}}+b\_{3}{\hat {y}}+b\_{4}{\hat {x}}{\hat {y}}}

또한 표준기저를 이용하여 풀어쓴 다음, 표준기저들의 분배법칙을 이용해 (1)의 왼쪽 등식을 풀어 쓰면 다음의 식이 나온다.

(

a

1

b

1

a

2

b

2

a

3

b

3

−

a

4

b

4

)

(

a

2

b

1

a

1

b

2

a

4

b

3

−

a

3

b

4

)

x
^

(

a

3

b

1

−

a

4

b

2

a

1

b

3

a

2

b

4

)

y
^

(

a

4

b

1

−

a

3

b

2

a

2

b

3

a

1

b

4

)

x
^

y
^

=
1
0

x
^

0

y
^

0

x
^

y
^

{\displaystyle {\begin{array}{lcl}(a\_{1}b\_{1}+a\_{2}b\_{2}+a\_{3}b\_{3}-a\_{4}b\_{4})\\+(a\_{2}b\_{1}+a\_{1}b\_{2}+a\_{4}b\_{3}-a\_{3}b\_{4}){\hat {x}}\\+(a\_{3}b\_{1}-a\_{4}b\_{2}+a\_{1}b\_{3}+a\_{2}b\_{4}){\hat {y}}\\+(a\_{4}b\_{1}-a\_{3}b\_{2}+a\_{2}b\_{3}+a\_{1}b\_{4}){\hat {x}}{\hat {y}}\\=1+0{\hat {x}}+0{\hat {y}}+0{\hat {x}}{\hat {y}}\end{array}}}

이는

M

{\displaystyle M}

을 주어진 값으로 보고

M
~

{\displaystyle \tilde{M}}

의 각 성분들을 변수로 볼 때, 식 네 개, 변수 네 개의 일차연립방정식이 되며 행렬로 표현한 후 역행렬을 곱해 각 변수들의 값을 다음과 같이 구할 수 있다.

[

b

1

b

2

b

3

b

4

]

=

1

a

1

2

−

a

2

2

−

a

3

2

a

4

2

[

a

1

−

a

2

−

a

3

−

a

4

]

if

a

1

2

−

a

2

2

−

a

3

2

a

4

2

≠
0

{\displaystyle {\begin{bmatrix}b\_{1}\\b\_{2}\\b\_{3}\\b\_{4}\end{bmatrix}}={\frac {1}{a\_{1}^{2}-a\_{2}^{2}-a\_{3}^{2}+a\_{4}^{2}}}{\begin{bmatrix}a\_{1}\\-a\_{2}\\-a\_{3}\\-a\_{4}\end{bmatrix}}\quad {\textbf {if}}\ a\_{1}^{2}-a\_{2}^{2}-a\_{3}^{2}+a\_{4}^{2}\neq 0}

이 때 앞에 붙은 분수는 스칼라값으로, 이 부분은 단순히 스칼라값을 1로 만들어주는 정규화 상수라고 볼 수 있다. 따라서 앞쪽 분수의 역수를 다중벡터

M

{\displaystyle M}

의 모듈러스의 제곱

M

2

으로 잡고,

M

{\displaystyle M}

의 **켤레다중벡터**를

M

†

=

a

1

−

a

2

x
^

−

a

3

y
^

−

a

4

x
^

y
^

{\displaystyle M^{\dagger }=a\_{1}-a\_{2}{\hat {x}}-a\_{3}{\hat {y}}-a\_{4}{\hat {x}}{\hat {y}}}

로 정의하기로 한다. 그러면

M

{\displaystyle M}

의 **모듈러스**는 다음과 같이 정의될 수 있다.

M

=

M

M

†

=

a

1

2

−

a

2

2

−

a

3

2

a

4

2

참고로 정규화 상수에 해당하는 부분은

M
~

{\displaystyle \tilde{M}}

에 곱해지는 행렬의 행렬식의 역수에 해당하는 부분임을 확인할 수 있다.

결론적으로, 다중벡터

M

{\displaystyle M}

의 역원은 모듈러스가 0이 아닌 조건에서,

M

−
1

=

M

†

M

M

†

=

1

a

1

2

−

a

2

2

−

a

3

2

a

4

2

M

†

{\displaystyle M^{-1}={\frac {M^{\dagger }}{MM^{\dagger }}}={\frac {1}{a\_{1}^{2}-a\_{2}^{2}-a\_{3}^{2}+a\_{4}^{2}}}M^{\dagger }}

이 됨을 알 수 있다.

### 삼차원 다중벡터

삼차원 다중벡터는 스칼라, 벡터, 이중벡터 및 유사스칼라인 삼중벡터들의 합으로 나타내어진다.

# x
a

v
→

A
β
i

{\displaystyle x=a+{\vec {v}}+A+\beta i}

여기에 Clifford 켤레다중벡터인

x
¯

{\displaystyle \bar{x}}

를 곱해주면,

x

x
¯

=
(
a

v
→

A
β
i
)
(
a
−

v
→

−
A
β
i
)

=

a

2

−

v
→

2

−

A

2

β

2

i

2

−
(
A

v
→

v
→

A
)
2
a
β
i

=

r

0

−
2
(
A
∧

v
→

)
2
a
β
i

=

r

0

r

3

i

{\displaystyle {\begin{aligned}x{\bar {x}}&=(a+{\vec {v}}+A+\beta i)(a-{\vec {v}}-A+\beta i)\\&=a^{2}-{\vec {v}}^{2}-A^{2}+\beta ^{2}i^{2}-(A{\vec {v}}+{\vec {v}}A)+2a\beta i\\&=r\_{0}-2(A\wedge {\vec {v}})+2a\beta i\\&=r\_{0}+r\_{3}i\end{aligned}}}

가 되어 복소수와 같은 형태가 나온다. 이제 여기에 전체의 반전(reverse)인 벡터를 곱해주면

x

x
¯

(
x

x
¯

)

∼

=
(

r

0

i

r

3

)
(

r

0

−
i

r

3

# )
(

r

0

−
i

r

3

)
(

r

0

i

r

3

)
∈

R

{\displaystyle x{\bar {x}}(x{\bar {x}})^{\thicksim }=(r\_{0}+ir\_{3})(r\_{0}-ir\_{3})=(r\_{0}-ir\_{3})(r\_{0}+ir\_{3})\in \mathbb {R} }

가 되어 스칼라값이 나오게 된다. 따라서 3차원 다중벡터의 우역원은

x

r

−
1

=

x
¯

x
^

x
~

x

x
¯

x
^

x
~

,
x

x

r

−
1

=
1

{\displaystyle x\_{r}^{-1}={\frac {{\bar {x}}{\widehat {x}}{\tilde {x}}}{x{\bar {x}}{\widehat {x}}{\tilde {x}}}},xx\_{r}^{-1}=1}

또한 반전인 벡터를 곱할 때 순서를 바꿔도 같은 결과가 나오므로

(
x

x
¯

)
(
x

x
¯

)

∼

=
(
x

x
¯

)

∼

(
x

x
¯

# )

x
^

x
~

x
¯

x
∈

R

{\displaystyle (x{\bar {x}})(x{\bar {x}})^{\thicksim }=(x{\bar {x}})^{\thicksim }(x{\bar {x}})={\widehat {x}}{\tilde {x}}{\bar {x}}x\in \mathbb {R} }

이며,