1.1.39

Realice lo siguiente:

***(a) Determine si la matriz

A

{\displaystyle A}

es invertible (tip. resuelva los sistemas de ecuaciones que se plantean, por gauss-jordan) y de ser el caso calcule su inversa y verifique que lo es.***

# A

(

1

2

3

4

)

{\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}}

Para determinar si la matriz es invertible basta con obtener su determinante, si este es *distinto de cero es invertible* y si es cero no es invertible.

d
e
t
(
A
# )

(

1

2

3

4

)

=
(
1
)
(
4
)
−
(
3
)
(
2
# )
4
−
# 6
−
2

{\displaystyle det(A)={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}=(1)(4)-(3)(2)=4-6=-2}

d
e
t
(
A
# )
−
2

{\displaystyle det(A)=-2}

Vemos que

−
2
≠
0

{\displaystyle -2\neq 0}

por lo tanto es invertible.

La inversa de la matriz

A

{\displaystyle A}

 es aquella que al multiplicarse por

A

{\displaystyle A}

 da la matriz identidad, y se denota como

A

−
1

{\displaystyle A^{-1}}

.

Podemos obtenerla de dos formas distintas:

Forma uno, con formula:

Formula: Sea

# X

[

a

b

c

d

]

{\displaystyle X={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}

una matriz invertible,

X

−
1

=

1

a
d
−
b
c

⋅

[

d

−
b

−
c

a

]

{\displaystyle X^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}\cdot {\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}}}

A

−
1

=

1

d
e
t
(
A
)

[

4

−
2

−
3

1

]

{\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{det(A)}}{\begin{bmatrix}4&-2\\-3&1\end{bmatrix}}}

=

1

−
2

[

4

−
2

−
3

1

]

{\displaystyle ={\frac {1}{-2}}{\begin{bmatrix}4&-2\\-3&1\end{bmatrix}}}

A

−
1

=

[

−
2

1

3
2

−

1
2

]

{\displaystyle A^{-1}={\begin{bmatrix}-2&1\\{\frac {3}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}

Forma dos, metodo de gauss-jordan:

Para usar el método de gauss-jordan expresamos nuestra matriz

A

{\displaystyle A}

junto a la matriz identidad, como se muestra a continuación:

(

1

2

1

0

3

4

0

1

)

{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&|1&0\\3&4&|0&1\end{pmatrix}}}

Deberemos conseguir que la parte izquierda se convierta en la matriz identidad por medio del método de gauss-jordan, pero dichas operaciones tambien afectaran a la matriz identidad que tenemos ahora (derecha), la matriz en la que se convierta esta identidad que tenemos ahora será la inversa.

Procedamos con el método:

f

2

[
(
−
3
)

f

1

]
→

f

2

{\displaystyle f\_{2}+[(-3)f\_{1}]\rightarrow f\_{2}}

3

4

0

1

−
3

−
6

−
3

0

−

−

−

−

0

−
2

−
3

1

{\displaystyle {\begin{matrix}3&4&0&1\\-3&-6&-3&0\\-&-&-&-\\0&-2&-3&1\end{matrix}}}

(

1

2

1

0

0

−
2

−
3

1

)

{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&|1&0\\0&-2&|-3&1\end{pmatrix}}}

f

2

−
2

→

f

2

{\displaystyle {\frac {f\_{2}}{-2}}\rightarrow f\_{2}}

0

−
2

−
2

−
2

−
3

−
2

1

−
2

0

1

3
2

−

1
2

{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {0}{-2}}&{\frac {-2}{-2}}&{\frac {-3}{-2}}&{\frac {1}{-2}}\\0&1&{\frac {3}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{matrix}}}

(

1

2

1

0

0

1

3
2

−

1
2

)

{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&|1&0\\0&1&|{\frac {3}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}}

f

1

−
2

f

2

→

f

1

{\displaystyle f\_{1}-2f\_{2}\rightarrow f\_{1}}

1

2

1

0

0

−
2

−
3

1

−

−

−

−

1

0

−
2

1

{\displaystyle {\begin{matrix}1&2&1&0\\0&-2&-3&1\\-&-&-&-\\1&0&-2&1\end{matrix}}}

(

1

0

−
2

1

0

1

3
2

−

1
2

)

{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&|-2&1\\0&1&|{\frac {3}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}}

Con esto ya logramos obtener la matriz identidad del lado izquierdo, por lo que:

A

−
1

=

[

−
2

1

3
2

−

1
2

]

{\displaystyle A^{-1}={\begin{bmatrix}-2&1\\{\frac {3}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}

Ahora falta comprobar que efectivamente sea la matriz inversa:

A

A

−
1

=

[

1

2

3

4

]

[

−
2

1

3
2

−

1
2

]

=

[

−
2
3

1
−
1

−
6
6

3
−
2

]

=

[

1

0

0

1

]

{\displaystyle AA^{-1}={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-2&1\\{\frac {3}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-2+3&1-1\\-6+6&3-2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}

***(b) Encuentre la función inversa de la función lineal

L

A

{\displaystyle L\_{A}}

por medio de la matriz inversa de

A

{\displaystyle A}

.***

L

A

=

[

1

2

3

4

]

[

x

y

]

=

[

x
2
y

3
x
4
y

]

{\displaystyle L\_{A}={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x+2y\\3x+4y\end{bmatrix}}}

L

A

:

R

2

→

R

2

:

L

A

(
x
,
y
# )
(
x
2
y
,
3
x
4
y
)

{\displaystyle L\_{A}:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}:L\_{A}(x,y)=(x+2y,3x+4y)}

L

A

−
1

=

[

−
2

1

3
2

−

1
2

]

[

x

y

]

=

[

−
2
x
y

3
2

x
−

1
2

y

]

{\displaystyle L\_{A^{-1}}={\begin{bmatrix}-2&1\\{\frac {3}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-2x+y\\{\frac {3}{2}}x-{\frac {1}{2}}y\end{bmatrix}}}

L

A

−
1

:

R

2

→

R

2

:

L

A

−
1

(
x
,
y
# )
(
−
2
x
y
,

3
2

x
−

1
2

y
)

{\displaystyle L\_{A^{-1}}:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}:L\_{A^{-1}}(x,y)=(-2x+y,{\frac {3}{2}}x-{\frac {1}{2}}y)}