Алгебраїчні числа

**Алгебраїчні числа**, також **алгебричні числа,** — підмножина комплексних чисел, кожне з яких є коренем хоча б одного многочлена певного степеня з раціональними коефіцієнтами. Тобто число

α
∈

C

{\displaystyle \alpha \in \C}

 є алгебраїчним, якщо існує многочлен

f
(
x
# )

a
n

x
n

a

n
−
1

x

n
−
1

…

a
1

x

a
0

{\displaystyle \ f(x) = a\_n x^n + a\_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a\_1 x + a\_0}

де

a
k

∈

Q

{\displaystyle a\_k \in \Q}

 і *f(α) = 0*.

У даному визначенні можна було вимагати, щоб коефіцієнти многочлена були цілими числами. Числа, що не є алгебраїчними, називаються трансцендентними.

Якщо число є коренем многочлена

f
(
x
)
∈

Z

[
x
]

{\displaystyle f(x) \in \mathbb{Z}[x]}

 зі старшим коефіцієнтом рівним одиниці, то це число називається цілим алгебраїчним числом.

## Приклади

* Всі раціональні числа є алгебраїчними: число

(

a
b

)

{\displaystyle \left ( \frac{a}{b} \right )}

 є, наприклад, коренем рівняння *b x* - *a* = 0.
* Уявна одиниця, число

# i

−
1

{\displaystyle i=\sqrt{-1}}

 є алгебраїчним, як корінь рівняння *x2* + 1 = 0.
* Числа e, π, eπ є трансцендентними. Статус числа πe невідомий.
* Якщо

α
≠
0
,
1
,

β
∉

Q

{\displaystyle \alpha \neq 0, 1, \, \beta \notin \Q}

 — алгебраїчні числа, тоді

α

β

{\displaystyle \alpha^{\beta}}

 — трансцендентне число.
* Числа

cos
⁡
(
1
)

{\displaystyle \cos (1)}

 і

sin
⁡
(
1
)

{\displaystyle ~ \sin (1)}

 є алгебраїчними (кути в радіанах).

Цей факт випливає з тригонометричної рівності:

cos
⁡
(
(
n
1
)
θ
# )
2
cos
⁡
(
n
θ
)
cos
⁡
θ
−
cos
⁡
(
(
n
−
1
)
θ
)

{\displaystyle \cos ((n+1)\theta) = 2 \cos (n \theta) \cos \theta - \cos ((n-1)\theta)\,}

Тому якщо визначити послідовність многочленів:

g

n
1

(
x
# )
2

g
n

(
x
)
x
−

g

n
−
1

(
x
)
,

{\displaystyle g\_{n+1}(x) = 2g\_n (x)x - g\_{n-1}(x),\,}

то

cos
⁡
(
m
θ
# )

g
m

(
cos
⁡
θ
)
,
m
∈

N

.

{\displaystyle \cos (m \theta) = g\_m (\cos \theta), m \in \N.}

 Звідси одержуємо:

# 0
cos
⁡
(
90
⋅
1
# )

g

90

(
cos
⁡
1
)
,

{\displaystyle 0 = \cos (90 \cdot 1) = g\_{90} (\cos 1),}

 тобто

cos
⁡
(
1
)

{\displaystyle \cos (1)}

 є коренем многочлена

g

90

(
x
)
,

{\displaystyle g\_{90}(x),}

 що й доводить твердження.
Для

sin
⁡
(
1
)

{\displaystyle ~ \sin (1)}

 достатньо зазначити, що всі степені *x* в

g

90

(
x
)

{\displaystyle g\_{90}(x)}

 є парними і що

cos
⁡
(
1
# )

1
−

sin
2

⁡
(
1
)

.

{\displaystyle \cos (1) = \sqrt {1 - \sin ^2 (1)}.}

## Мінімальний многочлен

Якщо

α

{\displaystyle \alpha}

 — алгебраїчне число, то серед всіх многочленів з раціональними коефіцієнтами, для яких

α

{\displaystyle \alpha}

 є коренем, існує єдиний многочлен найменшого степеня із старшим коефіцієнтом, рівним

1

{\displaystyle 1}

. Такий многочлен є незвідним, він називається **мінімальним многочленом** алгебраїчного числа

α

{\displaystyle \alpha}

.

* Степінь мінімального многочлена

α

{\displaystyle \alpha}

 називається **степенем** алгебраїчного числа

α

{\displaystyle \alpha}

.
* Інші корені мінімального многочлена

α

{\displaystyle \alpha}

 називаються **спряженими** до

α

{\displaystyle \alpha}

.
* **Висотою** алгебраїчного числа

α

{\displaystyle \alpha}

 називається найбільша з абсолютних величин коефіцієнтів в незвідному і примітивному многочлені з цілими коефіцієнтами, для якого

α

{\displaystyle \alpha}

 є коренем.

Мінімальний многолен числа

α

{\displaystyle \alpha}

 має коефіцієнти цілі числа тоді і тільки тоді, коли

α

{\displaystyle \alpha}

 — ціле алгебраїчне число.

### Приклади

* Раціональні числа, і лише вони, є алгебраїчними числами 1-го степеня.
* Уявна одиниця

i

{\displaystyle i}

 так само як

2

{\displaystyle \sqrt{2}}

 є алгебраїчними числами 2-го степеня. Спряженими до цих чисел є відповідно

−
i

{\displaystyle \ -i}

 та

−

2

{\displaystyle -\sqrt{2}}

.
* При будь-якому натуральному

n

{\displaystyle n}

,

2
n

{\displaystyle \sqrt[n]2}

 є алгебраїчним числом

n

{\displaystyle n}

-го степеня.

## Поле алгебраїчних чисел

Однією з найважливіших властивостей алгебраїчних чисел є той факт, що вони утворюють поле, тобто якщо α і β — алгебраїчні числа то їх обернені елементи -α і α−1, а також сума α + β і добуток αβ також є алгебраїчними числами.

### Доведення

* Спершу доведемо алгебраїчність -α. Якщо *f(x)* — многочлен з цілими коефіцієнтами для якого α є коренем, то -α буде коренем многочлена *f(−x)*. Тобто -α — алгебраїчне число.

* Якщо α — корінь многочлена

f
(
x

# k
0

n

a
k

x
k

∈

Z

[
x
]
,

{\displaystyle f(x) = \sum\_{k=0}^n a\_k x^k \in \Z[x],}

 то α-1 є коренем многочлена

g
(
x

# k
0

n

a

n
−
k

x
k

∈

Z

[
x
]
,

{\displaystyle g(x) = \sum\_{k=0}^n a\_{n-k} x^k \in \Z[x],}

 отже α-1 теж є алгебраїчним числом.

* Доведемо тепер алгебраїчність α + β. Припустимо α є коренем многочлена

f
(
x
)
∈

Z

[
x
]

{\displaystyle f(x) \in \mathbb{Z}[x]}

 і β є коренем многочлена

g
(
x
)
∈

Z

[
x
]

{\displaystyle g(x) \in \Z[x]}

. Нехай α1= α, α2, ..., αn — всі корені *f(x)* (враховуючи їх кратність, так що степінь *f(x)* рівний *n*) і нехай β1= β, β2, ..., βm — всі корені *g(x)*. Розглянемо многочлен:

F
(
x

# i
1

n

∏

# j
1

m

(
x
−
(

α
i

β
j

)
)
.

{\displaystyle F(x) = \prod\_{i=1}^n \prod\_{j=1}^m (x - (\alpha\_i + \beta\_j)).}

Множина

# R

Z

[

β
1

,
…
,

β
m

]

{\displaystyle R = \Z[\beta\_1, \ldots, \beta\_m]}

 є комутативним кільцем. З теореми Вієта випливає, що коефіцієнти *F(x)* є симетричними многочленами від чисел α1= α, α2, ..., αn. Тому якщо, σ1, σ2, ..., σn — елементарні симетричні многочлени від α1= α, α2, ..., αn і *A* — деякий коефіцієнт (при *xk*) многочлена *F(x)*, тоді з фундаментальної теореми про симетричні многочлени випливає, що A = B(σ1, σ2, ..., σn, β1, β2, ..., βm) для деякого многочлена *B* з цілими коефіцієнтами. Проте коефіцієнти *F(x)* також є симетричними многочленами від чисел β1, β2, ..., βm. Нехай

# R

Z

[

σ
1

,
…
,

σ
n

]

{\displaystyle R = \Z[\sigma\_1, \ldots, \sigma\_n]}

 і σ1', σ2', ..., σm' — елементарні симетричні многочлени від β1= β, β2, ..., βm тому з фундаментальної теореми про симетричні многочлени A = B'(σ1, σ2, ..., σn, σ1', σ2', ..., σm') для деякого многочлена *B'* з цілими коефіцієнтами. З теореми Вієта випливає, що всі σ1, σ2, ..., σn, σ1', σ2', ..., σm' є раціональними і тому раціональним є також коефіцієнт A. Тому

F
(
x
)
∈

Q

[
x
]

{\displaystyle F(x) \in \Q[x]}

 і оскільки α + β є коренем *F(x)* це число є алгебраїчним.
* Алгебраїчність числа αβ доводиться аналогічно до випадку α + β, розглядаючи многочлен:

F
(
x

# i
1

n

∏

# j
1

m

(
x
−
(

α
i

β
j

)
)
.

{\displaystyle F(x) = \prod\_{i=1}^n \prod\_{j=1}^m (x - (\alpha\_i \beta\_j)).}

## Властивості

* Множина алгебраїчних чисел є зліченною (Теорема Кантора).
* Множина алгебраїчних чисел є щільною в комплексній площині.
* Корінь многочлена коефіцієнтами якого є алгебраїчні числа, теж є алгебраїчним числом, тобто поле алгебраїчних чисел є алгебраїчно замкнутим.
* Для довільного алгебраїчного числа

α

{\displaystyle \alpha}

 існує таке натуральне

N

{\displaystyle N}

, що

N
α

{\displaystyle N\alpha}

 — ціле алгебраїчне число.
* Алгебраїчне число

α

{\displaystyle \alpha}

 степеня

n

{\displaystyle n}

 має

n

{\displaystyle n}

 різних спряжених чисел (включаючи саме число

α

{\displaystyle \alpha}

 ).
* α

{\displaystyle \alpha}

 і

β

{\displaystyle \beta}

 спряжені тоді і тільки тоді, коли існує автоморфізм поля

A

{\displaystyle \mathbb{A}}

, що переводить

α

{\displaystyle \alpha}

 у

β

{\displaystyle \beta}

.
* В певному розумінні алгебраїчні числа, що не є раціональними не можуть бути достатньо добре наближені раціональними числами. Два результати, що прояснюють суть цього твердження
	+ Теорема Ліувіля: якщо

	α
	∈

	Q

	{\displaystyle \alpha \in \Q}

	 є коренем многочлена

	f
	(
	x
	)
	∈

	Z

	[
	x
	]

	{\displaystyle f(x) \in \mathbb{Z}[x]}

	 степінь якого рівний *n*, тоді існує число *A* залежне від α, що

α
−

(

a
b

)

>

(

A

b
n

)

,

{\displaystyle \left| \alpha - \left (\frac{a}{b} \right)\right | > \left (\frac{A}{b^n} \right),}

 для довільного раціонального числа

(

a
b

)

.

{\displaystyle \left (\frac{a}{b} \right).}

* + Теорема Туе — Зігеля — Рота: якщо

	α
	∈

	Q

	{\displaystyle \alpha \in \Q}

	 є алгебраїчним числом, тоді для довільного ε > 0 існує лише скінченна кількість пар цілих чисел *(a, b)* де *b > 0* для яких:

α
−

(

a
b

)

<

(

1

b

(
2
ε
)

)

.

{\displaystyle \left| \alpha - \left (\frac{a}{b} \right)\right | < \left (\frac{1}{b^{(2 + \varepsilon)}} \right).}

## Див. також

* Ціле алгебраїчне число
* Алгебраїчне розширення

## Посилання

* *Нестеренко Ю.В.* Лекции об алгебраических числах // Конспект курсу лекцій.
* M. Filaseta Algebraic number theory. Instructors notes

## Література

* Шаблон:Айленд.Розен.Введение в современную теорию чисел
* *Алгебраическая теория чисел* / Под ред. Касселса Дж., Фрелиха А. — М., 1969.
* Боревич 3. И.. И. Г. Шафаревич. *Теория чисел*. — М., 1985.
* Вейль Г. *Алгебраическая теория чисел*. — М., 1947.
* Гекке Э. *Лекции по теории алгебраических чисел*. М.:Л., 1940.
* Дринфельд Г.И. *Трансцендентность чисел пи и е*, — Харків, — 1952
* Ленг С, *Алгебраические числа*, пер. с англ., М., 1966.
* Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990), *A Classical Introduction to Modern Number Theory*, Graduate Texts in Mathematics, 84 (Second ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97329-X