Računanje i analiza matrične funkcije drugi korijen/2

A
∈

C

n
×
n

{\displaystyle A \in C^{n \times n}}

regularna i neka f(A) označava bilo

koji primarni korijen od A. Za danu Schurovu dekompoziciju

# A
Q
T

Q
∗

{\displaystyle A = QTQ^\*}

gdje je Q unitarna matrica i T gornjetrokutasta dobijemo

f
(
A
# )
Q
f
(
T
)

Q
∗

{\displaystyle f(A) = Qf(T)Q^\*}

Iz toga vidimo da se računanje drugih korijena od A svodi na računanjedrugih korijena od

# U
f
(
T
)

{\displaystyle U = f(T)}

 što je jednostavnije jer je T gornjetrokutasta pa je i U također trokutasta.

Za jednadžbu

U
2

=
T

{\displaystyle U^2 = T}

 vrijedi:

u

i
i

2

=

t

i
i

(

u

i
i

u

j
j

)

u

i
j

=

t

i
j

−

∑

# k
i
1

j
−
1

u

i
k

u

k
j

,
j
>
i

{\displaystyle \begin{align} & u^ 2\_ {ii } = t\_ {ii} \\ & (u\_ {ii} + u\_ {jj}) u\_ {ij} = t\_ {ij} - \sum\_{k=i+1}^ {j-1} u\_ {ik}u\_ {kj}, j > i \\ \end{align}}

Nemoguće je da bude

# 0

u

i
i

u

j
j

=
f
(

t

i
i

)
f
(

t

j
j

)

{\displaystyle 0 = u\_ {ii} + u\_ {jj} = f(t\_ {ii}) + f(t\_ {jj})}

 zbog

t

i
i

≠
0

{\displaystyle t\_ {ii} \neq 0}

 jer se radi o gornjetrokutastim regularnim matricama pa su

f
(

t

i
i

)
≠
0

{\displaystyle f(t\_ {ii}) \neq 0}

, a f kao primarna matrična funkcija iz dfinicije 1.22 preslikava iste tii u istu vrijednost. Stoga možemo izračunati dijagonalne elemente od U te nakon toga i uij tako da prvo računamo elemente iznad glavne dijagonale (na superdijagonali) pa elemente iznad superdijagonale i tako dalje prema posljednjem elementu u prvom redu.

Taj izračun nam pokazuje slijedeći algoritam

Algoritam 3.1 Za danu regularnu

A
∈

C

n
×
n

{\displaystyle A \in C^{n \times n}}

 ovaj algoritam računa

# X

A

{\displaystyle X = \sqrt{A}}

 pomoću Schurove dekompozicije. (

A

{\displaystyle \sqrt{A}}

 označava bilo koji primaran drugi korijen matrice A).

1. Izračunaj Schurovu dekompoziciju

# A
Q
T

Q
∗

{\displaystyle A = QTQ^\*}
2. for

# i
1
:
n

{\displaystyle i = 1 : n }

u

i
i

=

t

i
i

{\displaystyle u\_ {ii} = \sqrt{t\_ {ii}} }
3. for

# j
2
:
n
{

{\displaystyle j = 2 : n\{}

 for

{\displaystyle \text{ for}}

# i
j
−
1
:
−
1
:
1
{

}

}

{\displaystyle \begin{alignat}{5} & i = j - 1 : - 1 : 1 \{ \\ & \} \\ & \} \\ &
\\ \end{alignat}}
4. =
Q
U

Q
∗

{\displaystyle = QUQ^\*}

Algoritam koristi

25

n
3

{\displaystyle 25n^3}

 operacija za izračun Schurove dekompozicije plus

n
3

3

{\displaystyle \frac{n^3}{3}}

 operacija za izračun U te još

3

n
3

{\displaystyle 3n^3}

 operacija za izračun X što je

85
3

n
3

{\displaystyle \frac{85}{3}n^3}

operacija ukupno. Dakle, složenost algoritma je

O
(

n
3

)

{\displaystyle O(n^3)}

Za A singularnu: Neka je A singularna matrica sa svojstvenom vrijednosti nula koja ima jednaku algebarsku i geometrijsku kratnost k. Tada se algoritam 3.1 može prilagoditi tako da Schurova dekompozicija bude takva da u matrici T svojstvene vrijednosti 0 budu na posljednjih k dijagonalnih mjesta. T bi tada izgledala ovako:

# T

[

T

11

T

12

0

0

]

∈

M

(
n
−
k
)
k
×
(
n
−
k
)
k

{\displaystyle T= \begin{bmatrix} T\_ {11} & T\_ {12} \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \in M^ {(n-k)+k\times (n-k)+k}}

Vrijedi da je

r
a
n
g
(
T
# )
n
−
k

{\displaystyle rang(T) = n - k}

 , pa je i T11 regularna. Ako bi neki elementi od

k
×
k

{\displaystyle k \times k}

 bloka bili različiti od nule tada bi rang od T bio veći od

n
−
k

{\displaystyle n-k}

, a zbog toga što je nula svojstvena vrijednost kratnosti k, to se ne može dogoditi nego je r

r
a
n
g
(
T
# )
n
−
k

{\displaystyle rang(T) = n - k}

. Iz teorema 1.21 6) zaključujemo da matrica

# U
f
(
T
)

{\displaystyle U = f(T)}

 ima istu strukturu kao i T. Algoritam 3.1 u tom slučaju računa drugi korijen, sa jedinom promjenom da stavimo

u

i
j

=
0

{\displaystyle u\_ {ij} = 0}

 za

i
,
j
>
n
−
k

{\displaystyle i, j > n - k}

 pa te uij neće trebati računati te se neće dogodii da moramo podijeliti s nulom.

Za A realnu sa nerealnim svojstvenim vrijednostima: Ako je A realna matrica s nekim nerealnim svojstvenim vrijednostima, tada Algoritam 3.1 koristi kompleksnu aritmetiku. Koristeći realnu Schurovu dekompoziciju možemo izbjeći to složenije računanje.

Neka

A
∈

C

n
×
n

{\displaystyle A \in C^{n \times n}}

 ima realnu Schurovu dekompoziciju

# A
Q
R

Q

T

{\displaystyle A=QRQ^{T}}

, gdje je Q ortogonalna matrica i R je gornje blok trokutasta (matrica sa dijagonalnim blokovima

1
×
1

{\displaystyle 1 \times 1}

 koje su realne svojstvene vrijednosti od A i

2
×
2

{\displaystyle 2 \times 2}

 koje imaju par kompleksno konjugiranih svojstvenih vrijednosti od A) . Tada je

f
(
A
# )
Q
f
(
R
)

Q

T

{\displaystyle f(A)=Qf(R)Q^{T}}

, pa je

# U
f
(
R
)

{\displaystyle U=f(R)}

 gornje blok trokutasta matrica sa istom strukturom blokova kao i R (teorem 1.21 6)).

Za jednadžbu

U

2

=
R

{\displaystyle U^{2}=R}

vrijedi:

U

i
i

U

i
j

U

i
j

U

j
j

=
R
−

∑

# k
i
1

j
−
1

U

i
k

U

k
j
,
j

>
i

{\displaystyle U\_{ii}U\_{ij}+U\_{ij}U\_{jj}=R-\sum \_{k=i+1}^{j-1}U\_{ik}U\_{kj,j}>i}

(
3.1
)

{\displaystyle (3.1)}

U slučaju da

U

i
i

{\displaystyle U\_{ii}}

 i

U

j
j

{\displaystyle U\_{jj}}

nisu skalari, izraz (3.1) se može riješiti tako da ga napišemo, pomoću propozicije 1.8, u formi

(
I
⊗

U

i
i

U

j
j

T

⊗
I
)
v
e
c
(

U

i
j
)

=
v
e
c
(

R

i
j

−

∑

# k
i
1

j
−
1

U

i
k

U

k
j

)

{\displaystyle (I\otimes U\_{ii}+U\_{jj}^{T}\otimes I)vec(U\_{ij)}=vec(R\_{ij}-\sum \_{k=i+1}^{j-1}U\_{ik}U\_{kj})}

što je linearan sustav

A
# x
b

{\displaystyle Ax=b}

.

Lema 3.2 Neka

A
∈

C

2
×
2

{\displaystyle A\in C^{2\times 2}}

 ima različite kompleksne konjugirane svojstvene vrijednosti. Tada A ima 4 druga korijena koja su primarne funkcije od A. Dva od njih su realni drugi korijeni, sa kompleksno konjugiranim svojstvenim vrijednostima, a dva su čisto imaginarni, sa svojstvenim vrijednostima koje nisu kompleksno konjugirane.

Dokaz

Pošto A ima različite svojstvene vrijednosti

# θ
±
i
μ

{\displaystyle \theta =\pm i\mu }

, po korolaru 2.10 slijedi da A ima

# 4
(

2

2

)

{\displaystyle 4=(2^{2})}

druga korijena koji su svi funkcije od A. Da ih nađemozapišimo A pomoću Jordanove forme

Z

−
1

A
# Z
d
i
a
g
(
θ
i
μ
,
θ
−
i
μ
# )
θ
I
i
μ
K
,
# K

[

1

0

0

−
1

]

{\displaystyle Z^{-1}AZ=diag(\theta +i\mu ,\theta -i\mu )=\theta I+i\mu K,K={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}

Tada je

# A
θ
I
μ
W

{\displaystyle A=\theta I+\mu W}

 gdje je

# W
i
Z
K

Z

−
1

{\displaystyle W=iZKZ^{-1}}

i jer su

θ
;
μ
∈
R

{\displaystyle \theta ;\mu \in R}

i A je realna slijedi da je

W
∈

R

2
×
2

{\displaystyle W\in R^{2\times 2}}

.

Ako je

(
α
i
β

)

2

=
θ
i
μ

{\displaystyle (\alpha +i\beta )^{2}=\theta +i\mu }

 tada 4 druga korijena od A su dana preko

# X
Z
D

Z

−
1

{\displaystyle X=ZDZ^{-1}}

 (korolar 2.10), gdje je

# D
±
d
i
a
g
(
α
i
β
,
±
(
α
−
i
β
)
)

{\displaystyle D=\pm diag(\alpha +i\beta ,\pm (\alpha -i\beta ))}

 što je

# D
±
(
α
I
i
β
K
)

{\displaystyle D=\pm (\alpha I+i\beta K)}

 ili

# D
±
(
α
K
i
β
I
# )
±
i
(
β
I
−
i
α
K
)

{\displaystyle D=\pm (\alpha K+i\beta I)=\pm i(\beta I-i\alpha K)}

 . Dakle

# X
±
(
α
I
β
W
)

{\displaystyle X=\pm (\alpha I+\beta W)}

 što su dva realna druga korijena sa svojstvenim vrijednostima

±
(
α
i
β
,
α
−
i
β
)

{\displaystyle \pm (\alpha +i\beta ,\alpha -i\beta )}

ili

# X
±
i
(
β
I
−
α
W
)

{\displaystyle X=\pm i(\beta I-\alpha W)}

 što su dva čisto imaginarna druga korijena sa svojstvenim vrijednostima

±
(
α
i
β
,
α
−
i
β
)

{\displaystyle \pm (\alpha +i\beta ,\alpha -i\beta )}

Slijedeći algoritam računa drugi korijen pomoću realne Schurove dekompozicije.

Algoritam 3.3 Dana je

A
∈

R

n
×
n

{\displaystyle A \in R^{n\times n} }

 koja nema svojstvenih vrijednosti na R-1 Algoritam računa

# X

A

{\displaystyle X = \sqrt{A}}

 pomoću realne Schurove dekompozicije (

A

{\displaystyle \sqrt{A}}

 označava bilo koji primaran realan drugi korijen matrice A).

1. Izračunaj realnu Schurovu dekompoziciju

# A
Q
R

Q

T

{\displaystyle A=QRQ^{T}}

 , gdje je R blok dimenzije

m
×
m

{\displaystyle m\times m}
2. for

# i
1
:
m

{\displaystyle i=1:m}

U

i
i

=

R

i
i

{\displaystyle U\_{ii}={\sqrt {R\_{ii}}}}
3. for

# j
2
:
m
{

{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&j=2:m\{\\\end{alignedat}}}

 for

# i
j
−
1
:
−
1
:
1
{

{\displaystyle i = j - 1 : - 1 : 1 \{}

 riješi

U

i
i

U

i
j

U

i
j

U

j
j

=

R

i
j

−

∑

# k
i
1

j
−
1

U

i
k

U

k
j

{\displaystyle U\_{ii}U\_{ij}+U\_{ij}U\_{jj}=R\_{ij}-\sum \_{k=i+1}^{j-1}U\_{ik}U\_{kj}}

 za

U

i
j

{\displaystyle U\_{ij}}

}

{\displaystyle \}}

}

{\displaystyle \}}
# 4. X
Q
U

Q

T

{\displaystyle X=QUQ^{T}}

Algoritam ima takoder

85
3

n
3

{\displaystyle \frac{85}{3}n^3}

 operacija. Složenost algoritma je O(n3). Poglavlje završavamo s teoremom koji objedinjuje rezultate koje smo do sada imali.

Teorem 3.4 Neka je

A
∈

R

n
×
n

{\displaystyle A \in R^{n\times n} }

 regularna matrica. Ako A ima negativnu realnu svojstvenu vrijednost, tada A nema realnih drugih korijena koji su primarne funkcije od A. Ako A nema negativnih realnih svojstvenih vrijednosti, tada postoji točno 2r+c realnih primarnih drugih korijena od A, gdje je r broj različitih realnih svojstvenih vrijednosti, a c broj različitih kompleksno konjugiranih parova svojstvenih vrijednosti.

Dokaz

Neka A ima realnu Schurovu dekompoziciju

# A
Q
R

Q

T

{\displaystyle A=QRQ^{T}}

. Zbog

f
(
A
# )
Q
f
(
R
)

Q

T

{\displaystyle f(A)=Qf(R)Q^{T}}

zaključujemo da je f(A) realna ako i samo ako je f(R) realna. Ako A ima negativnu realnu svojstvenu vrijednost, tada je f(Rii), gdje je Rii = (rii), nužno nerealna jer drugi korijen iz negativnog broja je imaginaran. Ukoliko A nema negativnih realnih svojstvenih vrijednosti, uzimajući uobzir 2s primarnih drugih korijena od A koji su opisani u korolaru 2.10, imamo

# s
r
2
c

{\displaystyle s=r+2c}

. Pomoću leme 3.2, zaključujemo da od realnih svojstvenih vrijednosti imamo 2r drugih korijena iz r

1
×
1

{\displaystyle 1 \times 1}

 blokova, dok konjugirano kompleksni parovi dolaze u c

2
×
2

{\displaystyle 2 \times 2}

 blokova od kojih svaki daje 2 realna korijena, ukupno 2c. Dakle, ukupno je 2r+c realnih primarnih drugih korijena od A.

### Newtonova metoda za matrični drugi korijen

##### Newtonova iteracija

Newtonova metoda za rješavanje jednadžbe

X
2

=
A

{\displaystyle X^2 = A}

se može izvesti na slijedeći način. Neka je Xk aproksimativno rješenje te jednadžbe u koraku k. Definiramo rješenje u slijedećem koraku kao

X

k
1

:=

X

k

E

k

{\displaystyle X\_{k+1}:=X\_{k}+E\_{k}}

, gdje je Ek perturbacija,

‖

E

k

‖
→
0
,
∀
# x
0
,
1...

{\displaystyle \lVert E\_{k}\rVert \rightarrow 0,\forall x=0,1...}

 Tada slijedi

=

X

k
1

2

=
(

X

k

E

k

)

2

=

X

k

2

X

k

E

k

E

k

X

k

E

k

2

{\displaystyle =X\_{k+1}^{2}=(X\_{k}+E\_{k})^{2}=X\_{k}^{2}+X\_{k}E\_{k}+E\_{k}X\_{k}+E\_{k}^{2}}

Budući da je Ek malen, onda je E2k još manji pa ga možemo zanemariti. Slijedi Newtonova iteracija:

X0 je dano

X

k

E

k

E

k

X

k

=
A
−

X

k

2

{\displaystyle X\_{k}E\_{k}+E\_{k}X\_{k}=A-X\_{k}^{2}}

(
3.2
)

{\displaystyle (3.2)}

X

k
1

=

X

k

E

k
,
# k
0
,
1
,
2
,
.
.
.

{\displaystyle X\_{k+1}=X\_{k}+\_{E}k,k=0,1,2,...}

Svaka iteracija (3.2) mora biti riješena za Ek. Kada bi koristili Schurovu metodu za izračun gornje iteracije, imali bi jako puno operacija. Slijedeća lema nam omogućava da to popravimo.

Lema 3.5 Pretpostavimo da u Newtonovoj iteraciji (3.2) X0 komutira s Ai da su sve iteracije dobro definirane. Tada Xk komutira s A, za svaki k te vrijedi

X

k
1

=

1
2

(

X

k

X

k

−
1

A
)

{\displaystyle X\_{k+1}={\frac {1}{2}}(X\_{k}+X\_{k}^{-1}A)}

Dokaz

Tvrdnja se dokazuje indukcijom. Baza indukcije: Za k = 0 tvrdnja vrijedi jer je pretpostavka da X0 komutira s A. Pretpostavka indukcije: Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za k. Imamo

X

k

# A
A

X

k

{\displaystyle X\_{k}A=AX\_{k}}

i neka je

X

k

=

1
2

(

X

k
−
1

X

k
−
1

−
1

A
)

{\displaystyle X\_{k}={\frac {1}{2}}(X\_{k-1}+X\_{k-1}^{-1}A)}

Korak indukcije: Uzmimo matricu

F

k

=

1
2

(

X

k

−
1

A
−

X

k

)

{\displaystyle F\_{k}={\frac {1}{2}}(X\_{k}^{-1}A-X\_{k})}

 te se lako vidi da ona zadovoljava

X

k

F

k

F

k

X

k

=
A
−

X

k

2

{\displaystyle X\_{k}F\_{k}+F\_{k}X\_{k}=A-X\_{k}^{2}}

X

k

F

k

F

k

X

k

=

1
2

(

X

k

X

k

−
1

A
−

X

k

X

k

)

1
2

(

X

k

−
1

A

X

k

−

X

k

X

k

)

=

1
2

(

X

k

X

k

−
1

A
−

X

k

X

k

)

1
2

(

X

k

−
1

X

k

A
−

X

k

X

k

)

=

1
2

(
A
−

X

k

2

)

1
2

(
A
−

X

k

2

# )
A
−

X

k

2

{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}X\_{k}F\_{k}+F\_{k}X\_{k}&={\frac {1}{2}}(X\_{k}X\_{k}^{-1}A-X\_{k}X\_{k})+{\frac {1}{2}}(X\_{k}^{-1}AX\_{k}-X\_{k}X\_{k})\\&={\frac {1}{2}}(X\_{k}X\_{k}^{-1}A-X\_{k}X\_{k})+{\frac {1}{2}}(X\_{k}^{-1}X\_{k}A-X\_{k}X\_{k})\\&={\frac {1}{2}}(A-X\_{k}^{2})+{\frac {1}{2}}(A-X\_{k}^{2})=A-X\_{k}^{2}\\\end{alignedat}}}

Dakle, slijedi iz Newtonove iteracije (3.2)

F

k

=

E

k

{\displaystyle F\_{k}=E\_{k}}

 i vrijedi za

X

k
1

{\displaystyle X\_{k+1}}

X

k
1

=

X

k

F

k

=

X

k

1
2

(

X

k

−
1

A
−

X

k

# )

1
2

(

X

k

X

k

−
1

A
)
:

{\displaystyle X\_{k+1}=X\_{k}+F\_{k}=X\_{k}+{\frac {1}{2}}(X\_{k}^{-1}A-X\_{k})={\frac {1}{2}}(X\_{k}+X\_{k}^{-1}A):}

Treba još pokazati da Xk+1 komutira s A. Budući da Xk komutira s A po pretpostavci indukcije, slijedi da i

X

k

−
1

{\displaystyle X\_{k}^{-1}}

 komutira s A:

Dakle, vrijedi

X

k
1

A

=

1
2

(

X

k

X

k

−
1

A
)
A

1
2

(

X

k

A

X

k

−
1

)
A

=

1
2

(

X

k

A
A

X

k

−
1

A
)

1
2

A
(

X

k

X

k

−
1

A
)

=
A

X

k
1

{\displaystyle {\begin{alignedat}{6}X\_{k+1}A&={\frac {1}{2}}(X\_{k}+X\_{k}^{-1}A)A\\&{\frac {1}{2}}(X\_{k}+AX\_{k}^{-1})A\\&={\frac {1}{2}}(X\_{k}A+AX\_{k}^{-1}A)\\&{\frac {1}{2}}A(X\_{k}+X\_{k}^{-1}A)\\&=AX\_{k+1}\\\end{alignedat}}}

pa je teorem dokazan.

Računanje i analiza matrične funkcije drugi korijen/3

⇒

{\displaystyle \Rightarrow}