2.22

# )
x
y
z

{\displaystyle f(x,y,z)=xyz}

 en un cubo con aristas de longitud 2, donde un vértice está en el origen, dos de sus aristas se encuentran sobre la parte positiva de los ejes X y Y; y otra se encuentra sobre la parte negativa del eje Z. (Haga un dibujo del cubo para determinar los límites de integración).

Primero empecemos haciendo el bosquejo del cubo a analizar. Observemos que tenemos que el cubo tiene volumen

2
3

{\displaystyle 2^3}

ya que todas las aristas tienen magnitud 2, además tenemos un punto de partida que es el origen, por lo cual el cubo se ve de mas o menos así:

Ahora, tenemos que calcular un promedio de los volúmenes de los prismas dentro del volumen del cubo de arriba, por lo que ya tenemos las herramientas para poder dar un promedio.

Recordando que, para sacar el promedio de algo, se hace una división del tipo

Σ

todos los valores

Número total de valores

{\displaystyle {\frac {\Sigma \ {\text{todos los valores}}}{\text{Número total de valores}}}}

, observemos que, para este problema, tenemos que sumar todos los posibles valores que pueden tomar las variables

x
,

y
,

z

{\displaystyle x,\ y,\ z}

, por lo que la suma que tenemos que efectuar es:

∑

1

n

f
(

x

∗

,

y

∗

,

z

∗

)

{\displaystyle \sum \_{1}^{n}f(x^{\*},y^{\*},z^{\*})}

, donde n es el número total de sumas a efectuar, por lo que también es el divisor para, ahora sí, poder sacar el promedio, teniendo entonces

∑

1

n

f
(

x

∗

,

y

∗

,

z

∗

)

n

{\displaystyle {\frac {\sum \limits \_{1}^{n}f(x^{\*},y^{\*},z^{\*})}{n}}}

. Recordando el dividendo se parece mucho a una suma de Riemann, y, como estamos hablando sobre el promedio de un volumen, así que dentro de la notación que se maneja, el \* representa todos los valores dentro del rango en el que nuestro cubo está, así que

f
(

x

∗

,

y

∗

,

z

∗

)

{\displaystyle f(x^{\*},y^{\*},z^{\*})}

son puntos dentro del cubo que denotan una

Δ
v

{\displaystyle \Delta v}

 , pues sólo nos falta multiplicar nuestra suma de Riemann por un

Δ
v

{\displaystyle \Delta v}

, sólo que en la parte inferior de la división también multiplicamos por

Δ
v

{\displaystyle \Delta v}

teniendo ahora sí

lim

n
→
∞

∑

1

n

f
(

x

∗

,

y

∗

,

z

∗

)
Δ
v

n
Δ
v

{\displaystyle \lim \limits \_{n\rightarrow \infty }{\frac {\sum \limits \_{1}^{n}f(x^{\*},y^{\*},z^{\*})\Delta v}{n\Delta v}}}

, dónde

n
Δ
# v

Volumen total del cubo

{\displaystyle n\Delta v={\text{Volumen total del cubo}}}

.

Teniendo así que, el límite nos converge a una integral triple y sabiendo que el volumen del cubo es 8, tenemos

∫
∫

∫

c
u
b
o

f
(
x
,
y
,
z
)
d
v

8

{\displaystyle {\frac {\int \int \int \_{cubo}f(x,y,z)dv}{8}}}

.

Primero desarrollemos las integrales iteradas para después hacer la división. Tenemos que:

∫
∫

∫

c
u
b
o

f
(
x
,
y
,
z
)
d
v

{\displaystyle \int \int \int \_{cubo}f(x,y,z)dv}

donde

cubo

=
[
0
,
2
]
×
[
0
,
2
]
×
[
0
,
−
2
]

{\displaystyle {\text{cubo}}=[0,2]\times [0,2]\times [0,-2]}

, por las aristas del cubo, teniendo así

∫

−
2

0

∫

0

2

∫

0

2

(
x
y
z
)
d
x
d
y
d
z

{\displaystyle \int \_{-2}^{0}\int \_{0}^{2}\int \_{0}^{2}(xyz)dxdydz}

.

Empezando a integrar con el orden x-y-z, pues tenemos que integrar a x tal que

∫

0

2

(
x
y
z
)
d
x

{\displaystyle \int \_{0}^{2}(xyz)dx}

de manera que:

∫

0

2

(
x
y
z
)
d
# x
y
z

∫

0

2

x

d
x

{\displaystyle \int \_{0}^{2}(xyz)dx=yz\ \int \_{0}^{2}x\ dx}

Aplicamos el teorema fundamental del cálculo 2: (Las dos barras en los laterales no significan valor absoluto, sólo es notación del rango de evaluación de la integral definida.)

y
z

∫

0

2

x

d
# x

x

2

2

y
# z

1
2

x

2

y
z

0

2

{\displaystyle \left\vert yz\ \int \_{0}^{2}x\ dx={\frac {x^{2}}{2}}\ yz={\frac {1}{2}}x^{2}yz\right\vert \_{0}^{2}}

1
2

x

2

y
z

0

2

=

1
2

×

2

2

y
z

−

1
2

×

0

2

y
# z
2
y
z

{\displaystyle \left\vert {\frac {1}{2}}x^{2}yz\right\vert \_{0}^{2}={\frac {1}{2}}\times 2^{2}yz\ -\ {\frac {1}{2}}\times 0^{2}yz=2yz}

Por lo que

∫

−
2

0

∫

0

2

∫

0

2

(
x
y
z
)
d
x
d
y
d
# z

∫

−
2

0

∫

0

2

(
2
y
z
)

d
y

d
z

{\displaystyle \int \_{-2}^{0}\int \_{0}^{2}\int \_{0}^{2}(xyz)dxdydz=\int \_{-2}^{0}\int \_{0}^{2}(2yz)\ dy\ dz}

, de tal manera que ahora podemos integrar con respecto de y, entonces tenemos:

∫

0

2

(
2
y
z
)
d
# y
z

∫

0

2

2
y

d
y

{\displaystyle \int \_{0}^{2}(2yz)dy=z\int \_{0}^{2}2y\ dy}

Aplicando, de nuevo, el teorema fundamental del cálculo 2:

z

∫

0

2

2
y

d
# y

2

y

2

2

# z

y

2

z

0

2

{\displaystyle z\int \_{0}^{2}2y\ dy=\left\vert 2{\frac {y^{2}}{2}}z=y^{2}z\right\vert \_{0}^{2}}

2

y

2

2

# z

y

2

z

0

2

=

2

2

z

−

0

2

# z
4
z

{\displaystyle \left\vert 2{\frac {y^{2}}{2}}z=y^{2}z\right\vert \_{0}^{2}=2^{2}z\ -\ 0^{2}z=4z}

De esta manera nos queda que

∫

−
2

0

∫

0

2

∫

0

2

(
x
y
z
)
d
x
d
y
d
# z

∫

−
2

0

(
4
z
)

d
z

{\displaystyle \int \_{-2}^{0}\int \_{0}^{2}\int \_{0}^{2}(xyz)dxdydz=\int \_{-2}^{0}(4z)\ dz}

. Resolviendo nuestra última integral, se tiene:

∫

−
2

0

(
4
z
)

d
# z
4

∫

−
2

0

z

d
z

{\displaystyle \int \_{-2}^{0}(4z)\ dz=4\int \_{-2}^{0}z\ dz}

. Aplicando una vez más el teorema fundamental del cálculo 2:

4

∫

−
2

0

z

d
# z

4

z

2

2

=

4
1

×

z

2

2

=
2

z

2

−
2

0

{\displaystyle 4\int \_{-2}^{0}z\ dz=\left\vert 4{\frac {z^{2}}{2}}={\frac {4}{1}}\times {\frac {z^{2}}{2}}=2z^{2}\right\vert \_{-2}^{0}}

2

z

2

−
2

0

=
2
×

0

2

−

(
−
2

)

2

=
−
8

{\displaystyle \left\vert 2z^{2}\right\vert \_{-2}^{0}=2\times 0^{2}\ -\ (-2)^{2}=-8}

Por lo que

∫

−
2

0

∫

0

2

∫

0

2

(
x
y
z
)
d
x
d
y
d
# z
−
8

{\displaystyle \int \_{-2}^{0}\int \_{0}^{2}\int \_{0}^{2}(xyz)dxdydz=-8}

. De esta manera, nuestro promedio es

∫
∫

∫

c
u
b
o

f
(
x
,
y
,
z
)
d
v

8

=

−
8

8

=
−
1

{\displaystyle {\frac {\int \int \int \_{cubo}f(x,y,z)dv}{8}}={\frac {-8}{8}}=-1}

. Por lo tanto el promedio de la función

f
(
x
,
y
,
z
# )
x
y
z

{\displaystyle f(x,y,z)=xyz}

en un cubo de aristas de longitud 2 con altura en la parte negativa de z es de -1.