recursal/Fanatic-Fandom huggingface dataset:
Leçon 261

Fonction caractéristique et transformée de Laplace d'une variable aléatoire. Exemples et applications.

## Plan indicatif

### Définitions et propriétés fondamentales

* Définition des fonctions caractéristique et de Laplace, exemple pour les lois classiques.
* Propriétés de base de la fonction caractéristique et de la transformée de Laplace.

### Loi, indépendance, problème des moments

* Caractérisation de la loi par la fonction caractéristique, formule d'inversion, caractérisation par la transformée de Laplace.
* Fonction caractéristique de deux variables indépendantes, application à la caractérisation de l'indépendance de deux variables normales par la covariance.
* Fonction caractéristique de la somme de deux variables indépendantes, application aux lois classiques.
* Expression des moments par la fonction caractéristique et le transformée de Laplace.

### Théorèmes de convergence et de grandes déviations

* Définition de la convergence en loi, théorème de Lévy.
* Théorème central limite, application à la formule de Stirling.
* Inégalité de Hoeffding

## Développements

* Théorème de Lévy
* Processus de branchement de Bienaymé-Galton-Watson : cas critique
* Formule de Stirling
* Inégalité de Hoeffding
Leçon 243

Convergence de séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.

## Plan indicatif

### Séries entières

* Définition d'une série entière, rayon de convergence et lemme d'Abel, exemple de la série géométrique.
* Calcul du rayon de convergence : règle de d'Alembert, formule de Hadamard.
* Somme et produits de deux séries entières, comportement du rayon de convergence.

### Fonction somme d'une série

* Dérivabilité de la fonction somme, lien avec les formules de Taylor, contre-exemple de exp(-1/*x*2).
* Développement en série entière, exemples des fonctions classiques.
* Comportement au bord du disque de convergence : théorème d'Abel, théorème de Hardy-Littlewood.
* Cas des fonctions analytiques : théorèmes des zéros isolés, de Parseval, principe du maximum, application au théorème de d'Alembert-Gauss.

### Applications

* Généralisation dans les algèbres de Banach : exemples de la série géométrique et de l'exponentielle de matrices.
* Fonctions génératrices, application aux nombres de Catalan, aux nombres de Bell, processus de Galton-Watson.

## Développements

* Théorème de Hardy-Littlewood
* Processus de branchement de Bienaymé-Galton-Watson : cas critique
* Nombres de Bell
* Théorème de Cauchy-Kovalevski
* Série de Taylor aléatoire : théorème de Steinhaus
Leçon 260

Espérance, variance et moments d'une variable aléatoire.

## Plan indicatif

### Définition et propriétés fondamentales

* Définition de l'espérance d'une variable aléatoire, théorème de transfert, exemple pour les lois classiques, moments d'ordre *p*, les moments ne caractérisent pas la loi, contre-exemple de la loi log-normale.
* Inégalité de Jensen, application à l'existence des moments inférieurs à un moment existant donné, inégalité de Hölder.
* Variance d'une variable aléatoire, exemple pour les lois classiques, covariance de deux variables aléatoires.

### Grandes déviations et convergence d'une variable aléatoire

* Inégalité de Markov, inégalité de Bienaymé-Tchebychev, inégalité de Hoeffding.
* Lois des grands nombres, théorème central limite.
* Fonction génératrice, processus de Galton-Watson.

## Développements

* Inégalité de Hoeffding
* Processus de branchement de Bienaymé-Galton-Watson : cas critique
* Inégalité de Gross
Leçon 107

Représentations et caractères d'un groupe fini sur un ***C***-espace vetoriel.

## Plan indicatif

### Généralités

* définition d'un e représentation et d'un morphisme de représentations, exemple de ***Z**/n**Z*** et des racines *n*-ièmes de l'unité, exemple de la représentation régulière d'un groupe.
* définition d'un sous-représentation, d'une somme directe de représentations, d'une représentation quotient, exemple de la représentation Hom.
* Théorème de Maschke, représentations irréductibles, décomposition d'une représentation en irréductibles.
* Lemme de Schur.

### Caractères

* Définition d'un caractère, propriétés de base d'un caractère, centralité.
* Corollaires du lemme de Schur : orthonormalité des caractères irréductibles, formule des degrés.
* Les caractères irréductibles forment une base orthonormale des fonctions centrales

### Tables de caractères

* Définition d'une table de caractères, exemple de la table de ***Z**/n**Z***.
* Tables de caractères et groupes distingués.
* Table des caractères de S4, tables de caractères de petits groupes.

## Développements

* Famille des caractères irréductibles
* Tables des caractères de S4
* Théorème de Maschke
Leçon 153

Polynômes d'endomorphismes en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.

## Plan indicatif

### Algèbre *k[u]*

* Algèbre des polynômes en un endomorphisme, polynôme minimal, application au calcul des itérées d'un endomorphisme.
* Définition du polynôme caractéristique, cas des endomorphismes cycliques, matrice compagnon, théorème de Cayley-Hamilton, application à la majoration du degré du polynôme minimal.

### Réduction

* Lemme de décomposition des noyaux, application à la caractérisation des endomorphismes trigonalisables, diagonalisables, décomposition de Dunford.
* Invariants de similitude, réduction de Frobenius, bicommutant d'un endomorphisme.
* Réduction de Jordan, caractérisation des classes de similitudes des endomorphismes nilpotents.

### Applications

* Structure de ***GL*** : racine carrée d'un endomorphisme symétrique positif, décomposition polaire.
* Exponentielle de matrice, surjection sur ***GL(C)***, connexité par arcs de ***GL(C)***, homéomorphisme entre les endomorphismes autoadjoints et les endomorphismes autoadjoints définis positifs.

## Développements

* Décomposition de Dunford
* Bicommutant d'un endomorphisme
Leçon 230

Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.

## Plan indicatif

### Séries à termes positifs

* Comparaison somme-intégrale, application à la fonction ζ.
* Comparaison entre deux séries par équivalents ou domination, application à la série harmonique.
* Comparaison logarithmique, règle de Cauchy, formule de Hadamard, critère de d'Alembert, règle de Raab-Duhamel.

### Séries à termes complexes

* Séries télescopiques, séries alternées.
* Transformation d'Abel.
* Produit de convolution, théorème de Mertens, application à l'exponentielle.
* Sommation par paquets.

### Semi-convergence

* Définition d'une série semi-convergente, réarrangement de Riemann.

### Méthodes de sommation

* Sommes de Cesàro, application au produit de convolution.
* Sommes de Poisson, théorème d'Abel, théorème de Hardy-Littlewood

## Développements

* Processus de branchement de Bienaymé-Galton-Watson : cas critique
* Réarrangement de Riemann
* Théorème de Hardy-Littlewood
Leçon 109

Exemples et représentations de groupes finis de petit cardinal.

## Plan indicatif

### Préliminaires

* Définition d'une représentation, d'une somme directe de représentations, d'un morphisme de représentations, d'un caractère.
* Définition de l'algèbre d'un groupe.

### Représentation des groupes finis

* Définition de la représentation régulière, qui contient toute l'information sur les représentations irréductibles, exemple de la représentation triviale, de la représentation signature.
* Représentation des groupes cycliques, d'un produit de groupes cycliques.
* Définition du groupe dérivé, de l'abélanisé. Toute représentation de degré 1 est une représentation de l'abélanisé.
* Représentation géométrique des groupes diédraux.
* Représentations algébriques de ***S**n* : par le nombre de points fixes d'un permutation, par conjugaison selon les *p*-Sylow.
* Orthonormalité des caractères irréductibles, formule des degrés, exemple d'utilisation dans une table de caractère.

### Représentations de ***S**n*

* Propriétés de l'algèbre d'un groupe : c'est un anneau principal dont les idéaux sont des sous-espaces vectoriels.
* Action de ***S**n* sur les tableaux de Young de taille *n*, symétriseur de Young, correspondance avec les représentations irréductibles.

## Développements

* Table des caractères de S4, Table des caractères de H8, Tables des caractères de D4
* Symétriseur de Young
ФНЛ.

1. Тамбов. 3
2. Волгарь. 3
3. Нефтехимик. 3
4. Спартак-Н. 3
5. Енисей. 3
6. Мордовия. 3
7. Тосно. 3
8. Сокол. 3
9. Химки. 1
10. Динамо. 1
11. Факел. 1
12. Шинник. 1
13. СКА. 0
14. Зенит-2. 0
15. Луч. 0
16. Тюмень. 0
17. Кубань. 0
18. Балтика. 0
19. Сибирь. 0
20. Спартак-2. 0

2 тур

1. Сокол. 6
2. Тамбов. 4
3. Нефтехимик. 4
4. Спартак-Н. 4
5. Химки. 4
6. Факел. 4
7. Волгарь. 3
8. Енисей. 3
9. Мордовия. 3
10. Тосно. 3
11. Луч. 3
12. Кубань. 3
13. Балтика. 3
14. СКА. 1
15. Зенит-2. 1
16. Тюмень. 1
17. Шинник. 1
18. Динамо. 1
19. Сибирь. 0
20. Спартак-2. 0

3 тур

1. Тамбов. 7
2. Факел. 7
3. Сокол. 6
4. Волгарь. 6
5. Мордовия. 6
6. Кубань. 6
7. Химки. 5
8. Нефтехимик. 4
9. Спартак-Нальчик. 4
10. Тюмень. 4
11. Шинник. 4
12. Луч. 4
13. Енисей. 3
14. Тосно. 3
15. СКА. 2
16. Зенит-2. 1
17. Сибирь. 1
18. Динамо. 1
19. Спартак-2. 1
20. Балтика. 1

4 тур

1. Тамбов. 10
2. Факел. 10
3. Волгарь. 9
4. Мордовия. 7
5. Кубань. 7
6. Химки. 6
7. Сокол. 6
8. Нефтехимик. 5
9. Спартак-Нальчик. 5
10. Луч. 5
11. Тюмень. 4
12. Шинник. 4
13. Енисей. 4
14. Балтика. 4
15. Тосно. 3
16. СКА. 3
17. Зенит-2. 2
18. Сибирь. 2
19. Динамо. 1
20. Спартак-2. 1

5 тур

1. Тамбов. 13
2. Волгарь. 10
3. Факел. 10
4. Мордовия. 10
5. Кубань. 8
6. Нефтехимик. 8
7. Тюмень. 7
8. Химки. 6
9. Сокол. 6
10. Луч. 6
11. Спартак-Нальчик. 5
12. Шинник. 5
13. Енисей. 5
14. Балтика. 4
15. Динамо. 4
16. Тосно. 3
17. СКА. 3
18. Сибирь. 3
19. Зенит-2. 2
20. Спартак-2. 2

Рест оф Европ

Патчерс - Анжи - 0 - 2 ( 0 - 2 )

Андерлехт - Бестикас - 3 - 2 ( 1 - 0 )

Брага - Лиеде - 1 - 0 ( 0 - 0 )

Динамо К - Шахтер - 0 - 1 ( 0 - 0 )

Фернебадзе - ЦСКА - 3 - 2 ( 0 - 0 )

Спортинг Либсон - Порто - 0 - 2 ( 0 - 1 )

Рубин - Галатасарай - 1 - 0 ( 0 - 0 )

2 тур

ЦСКА - Андерлехт - 0 - 1 ( 0 - 0 )

Анжи - Спортинг Либсон - 1 - 0 ( 0 - 0 )

Фернебадзе - Порто - 0 - 1 ( 0 - 1 )

Галатасарай - Бешикташ - 1 - 3 ( 1 - 1)

Шахтер - Рубин - 1 - 2

Лиеде - Брага - 1 - 0

Патчерс - Динамо К - 0 - 1

1. Анжи. 3
2. Порто. 3
3. Андерлехт. 3
4. Брага. 3
5. Шахтер. 3
6. Фернебадзе. 3
7. Рубин. 3
8. Галатасарай. 0
9. ЦСКА. 0
10. Динамо К. 0
11. Лиеде. 0
12. Бешикташ. 0
13. Спортинг Л. 0
14. Патчерс. 0

2 тур

1. Андерлехт. 6
2. Анжи. 6
3. Порто. 6
4. Рубин. 6
5. Фернебадзе. 3
6. Бешикташ. 3
7. Шахтер. 3
8. Лиеде. 3
9. Брага. 3
10. Динамо К. 3
Leçon 220

Équations différentielles *X'=f(t,X)*. Exemple d'étude des solutions en dimension 1 et 2.

## Plan indicatif

### Généralités

* Définition d'une équation différentielle, définition d'une solution, relation d'ordre sur les solutions, théorème de Cauchy-Peano-Arzela, théorème de Cauchy-Lipschitz global.
* Lemme de Gronwall, inégalité fondamentale.
* Théorème des bouts et critère de globalité.

### Équations différentielles linéaires

* Structure affine de l'espace des solution, forme des solutions dans le cas autonome.
* Classification des trajectoires d'une équation différentielle linéaire autonome en dimension 2.

### Étude qualitative en dimension 1

* Définition d'une isocline, d'une barrière supérieure (inférieure), d'un (anti-)entonnoir (cf. Hubbard-West), exemple d'étude.

### Étude qualitative de systèmes autonomes

* Définition d'une loi de conservation, caractérisation par orthogonalité du gradient au champ de vecteur.
* Définition d'un point d'équilibre stable et asymptotiquement stable.
* Fonctions de Liapunov, théorème de stabilité de Liapunov.
* Modèle de Lotka-Volterra

## Développements

* Théorème de Liapunov
* Modèle de Lotka-Volterra
* Théorème de Cauchy-Kovalevski
Leçon 245

Fonctions holomorphes sur un ouvert de **C**. Exemples et applications.

## Plan indicatif

### Holomorphie

* Définition de la **C**-dérivabilité, équations de Cauchy-Riemann, espace des fonctions holomorphes sur un ouvert, exemple de 1/*z*, contre-exemple de |z|.
* Fonctions développables en série entière : holomorphes sur leur disque de convergence, exemple de l'exponentielle.
* Logarithme : détermination principale, détermination sur un ouvert connexe, application à la fonction racine *k*-ième, développement en série du logarithme principal.

### Intégration et théorème de Cauchy

* Intégrale d'une fonction holomorphe sur un chemin, critère d'existence d'une primitive par l'intégrale sur des lacets d'un ouvert convexe, lemme de Goursat et théorème de Cauchy sur un ouvert convexe.
* Indice d'un lacet, théorème de Jordan, formule de Cauchy.
* Équivalence entre holomorphe et analytique, application au théorème de prolongement de Riemann, critère de Morera.
* Limite uniforme de fonctions holomorphes, holomorphie sous le signe

∫

{\displaystyle \int}

.
* Estimées de Cauchy, théorème de Liouville, application au théorème de d'Alembert -Gauss.
* Estimées de Cauchy uniformes, application à l'holomorphie sous le signe

∫

{\displaystyle \int}

 pour le cas général.

### Zéros et singularités

* Théorème des zéros isolés, théorème de prolongement analytique, application aux familles de polynômes orthogonaux.
* Singularités effaçables, pôles et singularités essentielles.

### Séries de Laurent, théorème des résidus

* Définitions des séries de Laurent, caractérisation des types de singularités par la série de Laurent.
* Résidu d'une fonction holomorphe, théorème des résidus.

## Développements

* Théorème de Jordan
* Famille de polynômes orthogonaux
* Série de Taylor aléatoire : théorème de Steinhaus
Leçon 151

Dimension (finie) d'un espace vectoriel. Rang. Exemples et applications.

## Plan indicatif

### Espaces vectoriels, bases et dimension

* Définition d'une famille libre, génératrice, d'une base, définition d'un espace vectoriel de typer fini.
* Bases d'un espace vectoriel de type fini, définition de la dimension, théorème de la base incomplète.
* Sous-espaces vectoriels, existence du supplémentaire, formule de Grassmann, action de ***GL*** sur les drapeaux.

### Applications linéaires, rang

* Définition d'une application linéaire, de son noyau et son image, définition du rang, théorème du rang.
* Matrices d'une application linéaire, application au calcul du rang.
* Normes d'application linéaires, continuité de toute application linéaire en dimension finie.
* Dualité et isomorphisme canonique au bidual.
* Suite des images et noyaux des itérés.
Leçon 152

Déterminant. Exemples et applications.

## Plan indicatif

### Formes multilinéaires alternées

* Définition d'une forme multilinéaire alternée, dimension 1 de l'espace des formes *n*-linéaires alternées, définition du déterminant par rapport à une base donnée.
* Expression du déterminant comme somme sur les permutations, déterminant d'un endomorphisme, déterminant comme morphisme dans *k\**, endomorphismes inversibles.

### Déterminant d'une matrice carrée

* Définition comme somme sur les permutations, invariance par transposition, cas des matrices triangulaires, continuité du déterminant.
* Lien avec le déterminant d'un endomorphisme.
* Développement selon les lignes ou les colonnes, comatrice et produit d'une matrice par sa comatrice, exemple du déterminant de Vandermonde, du déterminant circulant.

### Déterminant et géométrie

* Déterminant de Gram et distance à un espace vectoriel, théorème de Müntz.
* Orientation d'un espace, produit vectoriel, utilisation pour définir un angles, volume d'un parallélotope, inégalité de Hadamard.
* Ellipsoïde de John-Loewner et maximalité de ***O***.

### Applications

* Différentielle du déterminant, wronskien, ***SL*** est une sous-variété de dimension *n*2-1.
* Résolution des systèmes linéaires par la formule de Cramer.
* Jacobien d'un difféomorphisme, théorème de changement de variables.
* Polynôme caractéristique d'un endomorphisme, application à la réduction d'un endomorphisme, théorème de Cayley-Hamilton, Algorithme de Faddeev.

## Développements

* Théorème de Müntz
* Ellipsoïde de John-Loewner
Leçon 254

Espaces de Schwartz *S(**R**d)* et distributions tempérées. Transformation de Fourier dans *S(**R**d)* et *S'(**R**d)*.

## Plan indicatif

### Espace de Schwartz et transformée de Fourier

* Définition de l'espace de Schwartz, exemple d'éléments : gaussienne et espace *C∞0*.
* Structure d'espace de Fréchet pour les normes de Schwartz, densité de *C∞0*, densité de *S* dans *Lp*.
* Définition de la transformée de Fourier, stabilité de *S* par transformée de Fourier.
* Transformée de Fourier et dérivation, application à la transformée de Fourier de la gaussienne.
* Inversion de Fourier.
* Extension par densité à *L*2, formule de Plancherel, transformée de Fourier d'une convolution, formule sommatoire de Poisson.
* Transformée de Fourier partielle (en espace et non en temps), liens avec la dérivation.

### Distributions tempérées

* Définition de l'espace des distributions tempérées, exemple de la distribution de Dirac et inclusion de *Lp* dans *S'*.
* Convergence dans *S'*, exemple du peigne de Dirac, support d'une distribution et espace des distributions à support borné.
* Dérivation dans *S'*, produit de convolution d'une distribution tempérée et d'une distribution à support compact, produit tensoriel de deux distributions tempérées.
* Transformée de Fourier (partielle) dans *S'*, liens avec la dérivation et le produit de convolution.

### Application à la résolution d'équation aux dérivées partielles

* Résolution de l'équation de la chaleur par transformée de Fourier partielle dans *S*.
* Solution élémentaire d'une équation aux dérivées partielles, application à l'équation de la chaleur.

## Développements

* Transformée de Fourier de la gaussienne
Gladys Holsopple Windham

Gladys Windham, neé Holsopple, is married to Anthony "Tony" Windham, younger brother of Percival Windham, Duke of Moreland.

Anthony's mother, Agatha Drysdale Windham, secretly chose Gladys for Tony because she was very proper, and because boys run in her family.

Fortunately, Tony and Gladys had already fallen in love. Apparently Gladys wasn't that proper, as they became intimate. Gladys got pregnant before any wedding plans.

She also foiled Agatha's expectations by giving birth to four daughters. (See the Windham Brides.)

## Relationships

* Husband - Anthony "Tony" Windham
* Brothers-in-law - Peter Windham, Marquess of Pembroke, Percival Windham, Duke of Moreland
* Sisters-in-law - Arabella Windham, Esther Himmelfarb Windham
* Children - see the Windham Brides
* Nieces and Nephews - see The Windham Siblings

## Books

* Mentioned in
	+ "The Courtship" (novella)
	+ "The Duke and His Duchess" (novella)
	+ Lady Eve's Indiscretion
Leçon 263

Variables aléatoires à densité. Exemples et applications.

## Plan indicatif

### Généralités

* Définition d'une densité pour une variable ou un vecteur aléatoire, exemple des lois classiques, exemple des lois marginales, contre-exemple d'une loi à fonction de répartition discontinue.
* Lien entre densité et fonction de répartition.
* Expression des moments d'une variable à densité, lien avec la décroissance de la densité, contre-exemple de la loi de Cauchy, caractérisation de la loi par les moments pour les densités à support compact.
* Fonction caractéristique d'une variable à densité, lien entre régularité de la fonction caractéristique et moments.
* Théorème de Lévy.
* Factorisation de la densité d'un couple de variables indépendantes, densité d'une somme de variables indépendantes, densité conditionnelle.

### Loi normale

* Somme de lois normales indépendantes, théorème de Cramer.
* Vecteurs gaussiens, matrice de covariance et expression de la densité, théorème de Cochran, théorème de Student.
* Théorème central limite.
* Test de Pearson et test du chi-deux.
* Simulation de variables gaussiennes : méthode de Box-Müller.

### Applications

* Méthode de rejet pour simuler une loi.
* Méthode de Monte-Carlo pour le calcul d'une intégrale.

## Développements

* Construction du (pré) Mouvement brownien
* Inégalité de Gross
* Série de Taylor aléatoire : théorème de Steinhaus
* Théorème de Lévy
* Théorème de Cramer
* Théorème de Cochran, Test de Pearson
Leçon 190

Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.

## Plan indicatif

### Généralités

* Cardinal d'un ensemble, formules de base pour le calcul des cardinaux, exemple du cardinal du groupe des permutations, de l'ensemble des parties, de l'ensemble des applications d'un ensemble dans un autre.
* Lien entre cardinal et probabilités discrètes, formule des probabilités totales.
* Coefficients binomiaux, formules classiques et interprétation combinatoire.
* Applications : nombre d'applications strictement croissantes, croissantes, injectives et surjectives d'un ensemble dans un autre, formule du crible, formule d'inversion de Pascal.

### Méthodes combinatoires

* Principe des tiroirs, application à l'existence de suites croissantes ou décroissantes de longueur donnée dans un ensemble de réels de taille donnée.
* Double décompte, exemple de la formule de Burnside.

### Séries génératrices

* Série génératrice d'une suite, structure d'algèbre, exemple des nombres de Catalan et des nombres de Bell

### Applications algébriques

* Groupes finis : formule des classes, applications aux *p*-groupes.
* Corps finis : cardinaux de ***GL***, de ***PGL***, Cyclicité de SO2(Fq), dénombrement des irréductibles de FqX

## Développements

* Nombres de Bell
* Cyclicité de SO2(Fq)
* Dénombrement des irréductibles de FqX
Leçon 236

Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables réelles.

## Plan indicatif

### Calcul de primitives

* Théorème fondamental de l'analyse, exemple de l'intégration d'une fonction puissance.
* Intégration par parties, exemple de la formule *Γ(x+1)=xΓ(x)*.
* Décomposition en éléments simples.
* Changement de variables, exemple de l'intégrale d'une fonction (im)paire sur un domaine symétrique.
* Fractions rationnelles trigonométriques, règles de Bioche, exemple des intégrales de Wallis.
* Utilisation des symétries de l'intégrale, exemple de l'intégrale de log Γ.

### Intégrale de Lebesgue et théorèmes d'inversion

* Intégrales multiples : théorème de Fubini, théorème de changement de variables, exemple des coordonnées polaires, application à l'intégrale de Gauss.
* Développement en série entière.
* Théorème de convergence dominée et conséquence sur les intégrales à paramètres, exemples de l'intégrale de Dirichlet et de la transformée de Fourier de la gaussienne.

### Formule des résidus

* Intégrale d'une fonction holomorphe sur un lacet d'un ouvert simplement connexe, indice d'un lacet, théorème des résidus, application au calcul de l'intégrale de Dirichlet.
Leçon 156

Exponentielle de matrices. Applications.

## Plan indicatif

### Définition et propriétés

* Définition de l'exponentielle, exemple pour une matrice diagonale, une matrice nilpotente.
* Exponentielle de la somme de deux matrices commutant, propriétés algébriques : déterminant, inverse, transposée, conjugaison par une matrice inversible.
* Calcul effectif : décomposition de Dunford, la difficulté est l'obtention du spectre de la matrice.

### Image, effet sur les groupes classiques

* Surjection des matrices sur les matrices inversibles dans ***C***, application à la connexité de ***GL(C)***.
* Définition du logarithme par sa série, théorème de Campbell-Hausdorff.
* Homéomorphisme de ***S*** sur ***S***++ (resp. ***H*** sur ***H***++), application à la connexité de ***S***++, décomposition polaire.

### Systèmes d'équations différentielles linéaires

* Expression des solution d'un système différentiel linéaire autonome grâce à l'exponentielle.
* Théorème de Liapunov

### Sous-groupes à un paramètre de ***GL***

* Définition d'un sous-groupe à un paramètre et théorème de structure.

## Développements

* Décomposition de Dunford
* Homéomorphisme de S sur S++
* Théorème de Liapunov
Leçon 105

Groupe de permutations d'un ensemble fini. Applications.

* Propriétés élémentaires des cycles, décomposition en cycles disjoints, critère de conjugaison de deux permutations.
* Décomposition en transpositions et engendrement de ***S**n* par des transpositions.

### Groupe alterné

* Définition de la signature, calcul de la signature, exemple d'utilisation pour le déterminant.
* Théorème de Frobenius-Zolotarev
* Définition du groupe alterné, ordre du sous-groupe, engendrement par les 3-cycles, simplicité pour *n*>4.

### Applications

* définition des matrices de permutation, action sur ***M**n*.
* Théorème de Bruhat et application à l'action sur les drapeaux.
* Isométries de polyèdres, action de ***S***4 sur les diagonales d'un cube, Table de caractères de S4.
* Action de ***S**n* sur *k*[X1,...,X*n*], polynômes symétriques, formules de Newton.

## Développements

* Théorème de Frobenius-Zolotarev
* Simplicité de An
* Table des caractères de S4
* Théorème de Brauer
Leçon 209

Approximation d'une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.

## Plan indicatif

### Interpolation

* Polynômes d'interpolation de Lagrange, polynômes d'interpolation de Hermite, erreur d'interpolation.
* Constante de Lebesgue et équivalents pour des points équidistants et les points de Tchebychev, convergence du polynôme d'interpolation sur les points de Tchebychev pour les fonctions lipschitziennes.
* Application : méthode de quadrature de Newton-Cotes, ordre de la méthode.

### Approximation uniforme

* Existence du polynôme de meilleure approximation uniforme, théorème de Stone-Weierstrass.
* Module de continuité, théorème de Bernstein, théorème de Jackson.

### Approximation quadratique

* Polynôme de meilleure approximation quadratique, polynômes orthogonaux.
* Application : méthode de Gauss.

### Approximation par des polynômes trigonométriques

* Définition des coefficients de Fourier, théorème de Riemann-Lebesgue.
* Convergence de la série de Fourier : théorème de Dirichlet, existence d'un Gẟ dense où la série de Fourier diverge en 0, théorème de Féjer, injectivité de la transformée de Fourier, application à la densité des polynômes trigonométriques dans *Lp*, cas particulier de *L*2 et identité de Parseval.
* Résolution de l'équation de la chaleur

## Développements

* Théorème de Stone-Weierstrass
* Théorème de Bernstein
* Équation de la chaleur
Leçon 244

Fonctions développables en série entière, fonctions analytiques. Exemples.

## Plan indicatif

### Fonctions analytiques réelles

* Unicité des coefficients d'un développement en série entière, caractérisation des fonctions développables, contre-exemples de exp(-1/*x*2) (série de Taylor nulle) et de

∫

R

e

−
t

x
t

{\displaystyle \int \_{\mathbf {R} \_{+}}{\frac {e^{-t}}{x+t}}}

 (rayon de convergence nul), ou utilisation du théorème de Borel pour créer des contre-exemples de rayon de convergence nul.
* Critères d'analycité : par majoration, théorème de Bernstein.
* Exemples de base : polynômes, développements en série entière classiques.

### Applications

* Fonctions génératrices : dénombrement diophantien, processus de Galton-Watson.
* Équations différentielles : théorème de Cauchy-Kowaleski.

### Fonctions analytiques complexes

* Théorème des zéros isolés, principe du maximum, formules de Cauchy, théorème de Liouville.
* Fonctions holomorphes (***C***-dérivables), équivalence avec le caractère analytique, application à la composition de fonctions analytiques.

### Étude sur le cercle de convergence

* Théorème de prolongement analytique, points singuliers.
* Théorème d'Abel, théorème de Hardy-Littlewood, Théorème des lacunes de Hadamard.

## Développements

* Dénombrement diophantien
* Processus de branchement de Bienaymé-Galton-Watson : cas critique
* Théorème de Cauchy-Kovalevski
* Théorème de Hardy-Littlewood
* Théorème des lacunes de Hadamard
* Série de Taylor aléatoire : théorème de Steinhaus
Leçon 262

Modes de convergence d'une suite de variables aléatoires. Exemples et applications.

## Plan indicatif

### Convergence en probabilité et convergence presque sûre

* Définition de la convergence en probabilité et de la convergence presque sûre, la convergence presque sûre implique la convergence en probabilité, contre-exemple de la suite *B(1/n)*.
* D'une suite convergeant en probabilité, on peut extraire une sous-suite convergeant presque sûrement.
* Convergence presque sûre (en probabilité) d'une somme, d'un produit...

### Convergence *Lp*

* Définition de la convergence *Lp*, théorème de Riesz-Fischer.
* La convergence en norme 1<=*p*<∞ implique la convergence en probabilité, la convergence en norme ∞ implique la convergence presque sûre, pour *p<q* la convergence en norme *p* implique celle en norme *q*.
* Contre-exemple de la suite *B(1/n)*.
* Lois des grands nombres, application au théorème de Weierstrass.

### Convergence en loi

* Définition de la convergence en loi, caractérisation par les fonctions de répartition.
* La convergence en probabilité implique celle en loi, contre-exemple de la suite indépendante de *B(1/2)*.
* Lemme de Slutsky.
* Théorème central limite, application aux intervalles de confiance.

## Développements

* Théorème de Prokhorov ou théorème de Lévy
* Processus de branchement de Bienaymé-Galton-Watson : cas critique
* Construction du (pré) Mouvement brownien
* Théorème de Riesz-Fischer
* Théorème de Weierstrass
Leçon 218

Application des formules de Taylor.

## Plan indicatif

### Fonctions d'une variable réelle

* Formules de Taylor-Young, de Taylor-Lagrange et de Taylor avec reste intégral.
* Développements limités : développements usuels (exp, sin, arctan...) et utilisation pour la levée de formes indéterminées, critères d'existence du développement à l'ordre 0 (continuité) et 1 (dérivabilité), application au développement de la série harmonique, au théorème central limite poissonien.
* Développement en série entière : coïncidence de la formule de Taylor et de la série partielle d'une fonction analytique, contre-exemple de la fonction exp(-1/*x*2).
* Applications : inégalités de Kolmogorov.

### Fonctions d'une variable vectorielle

* Formules de Taylor-Young, de Taylor avec reste intégral, inégalité de Taylor-Lagrange.
* Applications : lemme de Hadamard, lemme de division, lemme de Morse et application à l'inégalité de Hadamard.
* Conditions d'existence d'un extremum local.

### Applications

* Étude locale d'une courbe ou d'une surface.
* Méthode de Newton et convergence quadratique, schéma d'Euler explicite, calcul approché d'intégrales.

## Développements

* Inégalités de Kolmogorov
* Lemme de Morse
Leçon 234

Espaces *Lp*, 1<=*p*<=∞.

## Plan indicatif

### Définitions et propriétés fondamentales

* Définition des espaces *Lp*, inégalités de Hölder et de Minkowski, théorème de Riesz-Fischer, exemple de la structure d'espace de Hilbert de *L*2.
* Convergence *Lp*, existence d'une sous-suite convergeant presque partout, théorème de convergence dominée *Lp*, contre-exemples du stroboscope et de *n1/p**1**[0,1/N]*.
* Densité dans *Lp* : des fonctions étagées, des fonctions continues à support compact (des fonctions continues nulles au bord du domaine pour *p*=∞), suites régularisantes et densité de *C∞c*.
* Dual de l'espace *Lp*, réflexivité pour 1<*p*<∞.
* Caractérisation des compacts : théorème de Riesz-Fréchet-Kolmogorov.

### Inégalités et interpolation

* Inégalité de Hölder généralisée, inégalité d'interpolation, injections et cas particulier d'une mesure finie.
* Théorème de Riesz-Thorin, théorème de Cavalieri.
* Application : inégalité d'Young.

### Transformée de Fourier et espaces de Sobolev

* Définition de la transformée de Fourier, lien avec le produit de convolution, formule d'inversion, théorème de Plancherel.
* Applications : théorème de Hausdorff-Young, transformée de Hilbert, lien avec la dérivation.
* Définition des espaces de Sobolev inhomogènes, injections de Sobolev.

## Développements

* Théorème de Riesz-Fischer
* Théorème de Riesz-Thorin
* Injections de Sobolev
* Construction du (pré) Mouvement brownien
Leçon 123

Corps finis. Applications.

* Morphisme de Frobenius, application au théorème de Fermat, corps de décomposition.
* Unicité des corps finis.
* Théorème de Wedderburn

### Éléments de structure

* Structure d'espace vectoriel sur le sous-corps premier.
* Cyclicité de ***F**q\**, racines et éléments primitifs.
* Sous-corps des corps finis.

### Construction effective

* Dénombrement des irréductibles de FqX
* ***F**q* vu comme corps de décomposition de *Xq-X*.

### Applications

* Algorithme de Berlekamp
* Codes correcteurs.

## Développements

* Théorème de Wedderburn
* Dénombrement des irréductibles de FqX
* Algorithme de Berlekamp
* Théorèmes de Chevalley-Warning et de Erdös-Ginzburg-Ziv
Leçon 208

Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.

## Plan indicatif

### Généralités

* Définition d'un espace vectoriel normé, espace des applications linéaires continues, norme subordonnée.
* Illustrations : une application linéaire continue sur une partie dense d'un espace vectoriel normé à valeurs dans un espace de Banach se prolonge par une application linéaire continue de même norme ; rayon spectral comme infimum sur les normes subordonnées.

### Espaces de Banach

* Définition d'un espace de Banach, exemple théorème de Riesz-Fischer.
* Théorème de Banach-Steinhaus, théorème de l'application ouverte, application à l'inverse d'une bijection linéaire continue (qui est continue).
* Théorème du graphe fermé, application théorème de Grothendieck.

### Formes linéaire et dualité

* Définition du dual topologique, caractérisation des formes linéaires continues : le noyau doit être fermé.
* Complétude du dual topologique, application à l'existence du complété par injection canonique continue dans le bidual.
* Théorème de Hahn-Banach analytique, application au critère de densité.
* Convergence faible.
* Exemple d'espace dual : dual de *Lp* (1<=*p*<∞).

### Dimension finie

* Équivalence de toutes les normes, continuité de toute application linéaire, complétude, théorème de Riesz.
* Isomorphisme (non canonique) avec le dual, caractérisation de l'enveloppe convexe par les formes linéaires, application à l'enveloppe convexe de On

## Développements

* Théorème de Riesz-Fischer
* Théorème de Grothendieck
* Enveloppe convexe de On
Leçon 223

Suites numériques. Convergence, valeurs d'adhérence. Exemples et applications.

## Plan indicatif

### Généralités

* Définition d'une suite convergente ou divergente, exemple avec les suites géométriques.
* Équivalence de suites, notation *o(.)*, théorème des gendarmes et théorème de comparaison.
* Suites adjacentes, application à la convergence de sommes de séries alternées.
* Valeurs d'adhérence d'une suite, théorème de Bolzano-Weierstrass.
* Suites de Cauchy, complétude de ***R***.
* Limites inférieure et supérieure.

### Application aux fonctions continues

* Caractérisation séquentielle de la continuité, application au non prolongement par continuité de sin(1/*x*)
* Suites définies par une relation de récurrence, théorème de point fixe sur un compact, méthode de Newton.
* Suites équiréparties et critère d'équirépartition.

### Comportement asymptotique

* Séries et équivalents, critère de convergence par équivalents, exemple de la série harmonique.
* Moyenne de Césaro d'une suite.
* Formule de Stirling, application à un équivalent de la factorielle.

### Récurrence linéaire

* Structure affine de l'espace des solutions vérifiant une relation de récurrence linéaire, forme explicite des solutions, exemple de la suite de Fibonacci.

## Développements

* Méthode de Newton
* Formule de Stirling
Leçon 141

Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.

## Plan indicatif

### Définitions et propriétés fondamentales

* Définition d'un polynôme irréductible, exemples de polynômes réductibles avec ou sans racine (*X*4+1 sur ***R***) et irréductibles.
* Décomposition d'un polynôme en produit d'irréductibles, application à la décomposition en éléments simples, exemple du lemme des noyaux, du polynôme minimal d'un élément algébrique.

### Corps de rupture, de décomposition

* Définition du corps de rupture d'un polynôme, minimalité et unicité à isomorphisme près.
* Définition du corps de décomposition, d'un corps algébriquement clos.

### Tests d'irréductibilité

* Caractérisation pour ***R*** et ***C***, cas des polynômes quadratiques et cubiques.
* Polynômes entiers : définition du contenu, irréductibilité dans ***Q***, réduction modulo *p*, critère d'Eisenstein, polynômes cyclotomiques.
* Cas des corps finis : existence d'irréductibles de degré arbitraire, algorithme de Berlekamp, dénombrement des irréductibles de FqX.

### Applications

* Décomposition en éléments simples : utilisation pour l'intégration, théorème de Gauss-Lucas.
* Endomorphismes semi-simples : le polynôme caractéristique est sans facteurs carrés.
* Constructions à la règle et au compas : le polynôme minimal d'un point constructible est de degré une puissance de 2, polygones constructibles.

## Développements

* Algorithme de Berlekamp
* Dénombrement des irréductibles de FqX
* Irréductibilité des polynômes cyclotomiques
Leçon 180

Coniques. Applications.

## Plan indicatif

### Formes quadratiques réelles

* Définition d'une forme quadratique réelle, de son rang, son noyau, son cône isotrope.
* Bases orthogonales, algorithme de mise sous carrés de Gauss, loi d'inertie de Sylvester, signature d'une forme quadratique.

### Coniques projectives

* Définition du plan projectif réel, notion de droite à l'infini.
* Classification des coniques projectives réelles par leur signature.
* Polaires et pôles associés à une conique, théorème de réciprocité polaire, tangentes à une conique, intérieur et extérieur d'une conique.
* Structure de droite projective d'une conique projective, birapport sur une conique, théorème de Pascal, théorème de Brianchon.

### Coniques affines

* Complétion projective d'un espace affine, interprétation du groupe affine comme sous-groupe du groupe projectif.
* Classification affine des coniques affines par leur position par rapport à la droite à l'infini.
* Caractérisation affine des coniques (donnée d'une forme quadratique, d'une forme linéaire et d'un scalaire), équation barycentrique d'une conique.
* Centre d'une conique.

### Coniques euclidiennes

* Classification euclidienne des coniques.
* Foyers d'une ellipse, caractérisation d'une ellipse par le construction du jardinier, tangente à une ellipse et bissectrice.
* Ellipse de Steiner, critère de cocyclicité sur une ellipse, cercle orthoptique à une ellipse.

## Développements

* Théorème de Pascal
* Ellipse de Steiner
Leçon 158

Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.

## Plan indicatif

### Généralités

* Sous-espaces vectoriels des matrices (anti-)symétriques, (anti-)hermitiennes, exemple de la hessienne d'une fonction *C*2.
* Somme directe des matrices symétriques et antisymétriques.

### Formes quadratiques

* Lien avec les formes bilinéaires (sesquilinéaires) symétriques, matrice d'une telle forme, relation de congruence sur les matrices.
* Classification par congruence : loi d'inertie de Sylvester, signature d'une matrice symétrique, algorithme de mise sous carrés de Gauss.

### Endomorphismes autoadjoints d'un espace euclidien ou hermitien

* Définition de l'endomorphisme adjoint, calcul de sa matrice, définition des endomorphismes autoadjoints.
* Théorème spectral sur ***R***, sur ***C***, diagonalisation simultanée de deux formes quadratiques définies.

### Applications

* Analyse numérique : décomposition polaire, décomposition de Cholesky, méthode de Gauss-Seidel, méthode du gradient.
* Géométrie : caractérisation des sous-groupes compacts de ***GL***, classification des coniques.
* Calcul différentiel : lemme de Morse

## Développements

* Méthode de Gauss-Seidel
* Sous-groupes de GL
* Lemme de Morse
Leçon 181

Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.

## Plan indicatif

### Barycentres

* Définition du barycentre d'un ensemble de points, associativité du barycentre, caractérisation des applications affines.
* Calcul barycentrique : coordonnées barycentriques, équations de droites, critère de parallélisme, d'alignement, de concours de trois droites.
* Coordonnées barycentriques de points remarquables du triangle, théorèmes de Ménélaüs et de Ceva, théorème de Pascal.

### Convexité

* Définition d'une partie convexe, points extrémaux, exemple des matrices bistochastiques.
* Enveloppe convexe d'une partie, théorème de Carathéodory.
* Théorème de Krein-Millman, projection sur un convexe fermé, théorème géométrique de Hahn-Banach, théorème de Helly.
* Fonctions convexes, sous-groupes compacts de ***GL***.

## Développements

* Théorème de Pascal
* Sous-groupes compacts de GL(E)
Leçon 103

Sous-groupes distingués et groupes quotients. Exemples et applications.

## Plan indicatif

### Définition

* Définition de la relation modulo un sous-groupe, définition d'un sous-groupe distingué, exemple des sous-groupes d'un groupe abélien, du noyau d'un morphisme, du centre d'un groupe, du groupe dérivé.
* Stabilité du caractère normal par intersection, définition du normalisateur d'une partie.
* Définition des groupes quotients, exemple de ***Z**/n**Z***, de l'abelanisé.

### Théorème d'isomorphisme

* Théorème d'isomorphisme, application à la formule *(G/N)/(H/N)*~*G/H*.
* **Théorème de Frobenius-Zolotarev**.
* Définition d'une suite exacte, application au produit semi-direct, exemple de ***S**n* avec la signature et du groupe diédral avec les rotations.
* Présentation des groupes.

### Groupes simples et résolubles

* Définition d'un groupe simple, exemple de ***Z**/p**Z***, de ***A**n* pour *n*>4, sous-groupe simple d'ordre 60.
* Définition d'un groupe résoluble, exemple d'un groupe abélien, contre-exemple de ***S**n* pour *n*>4

## Développements

* Théorème de Frobenius-Zolotarev
* Sous-groupe simple d'ordre 60
* Simplicité de SO(E)
Leçon 104

Groupes finis. Exemples et applications.

## Plan indicatif

### Définitions et théorèmes de cardinalités

* Définition de l'ordre d'un groupe, de l'ordre de l'élément d'un groupe, de l'exposant d'un groupe, exemples de ***Z**/n**Z***, de ***GL(F**p)*.
* Définition de l'indice d'un sous-groupe, théorème de Lagrange, exemple du théorème d'Euler, du théorème de Burnside.
* Définition d'un sous-groupe distingué et d'un quotient, théorème d'isomorphisme.
* Définition d'une action de groupe, formules des classes et de Burnside.
* Théorèmes de Sylow : Les *p*-sous-groupes maximaux, les *p*-Sylow, sont tous conjugués.

### Groupes abéliens

* Définition d'un groupe cyclique, d'un générateur, exemple des racines *n*-ièmes de l'unité, cardinal du sous-groupe des générateurs.
* Homomorphismes entre des groupe cycliques, automorphismes de ***Z**/n**Z***.
* Caractérisation des sous-groupes d'un groupe cyclique, produit de deux groupes cyclique
* Structure des groupes abéliens finis
* *p*-groupes, exemple des groupes d'ordre *p* (cyclique et simple) et *p*2 (abélien).

### Groupes non abéliens

* ***S**n* : théorème de Cayley, décomposition d'une permutation en cycles, engendrement de ***S**n*, signature.
* ***A**n* : Simplicité de ***A**n* pour *n*>4.
* Définition des groupes diédraux, caractérisation des groupes d'ordre *2p*.

### Liste de groupes de petit cardinal

* Groupes abéliens

>
> * 2 : ***Z***/2***Z***
> * 3 : ***Z***/3***Z***
> * 4 : ***Z***/4***Z***, ***Z***/2***Z***2
> * 5 : ***Z***/5***Z***
> * 6 : ***Z***/6***Z***
> * 7 : ***Z***/7***Z***
> * 8 : ***Z***/8***Z***, ***Z***/4***Z***x***Z***/2***Z***, ***Z***/2***Z***3
> * 9 : ***Z***/9***Z***, ***Z***/3***Z***2
> * 10 : ***Z***/10***Z***, ***Z***/5***Z***x***Z***/2***Z***
>
>
>

* Groupes non abéliens

>
> * 6 : ***S***3~***D***3
> * 8 : ***D***4, ***H***8
> * 10 : ***D***5
>
>
>

## Développements

* Théorème de Burnside
* Simplicité de An
Leçon 160

Endomorphismes remarquables d'un espace euclidien (de dimension finie).

## Plan indicatif

### Endomorphismes normaux

* Définition de l'adjoint d'un endomorphisme, définition d'un endomorphisme normal, endomorphismes symétriques, antisymétriques, orthogonaux, espaces associés.
* Somme directe de ***S*** et ***A***, produit scalaire sur les endomorphismes et orthogonalité de ces deux espaces.
* Compacité de ***O***.
* Stabilité de l'orthogonal d'un sous-espace pour l'adjoint, théorème de Maschke.
* Caractérisation des endomorphismes normaux : diagonalisation par blocs en base orthonormée, exemple pour les endomorphismes orthogonaux.

### Endomorphismes autoadjoints

* Diagonalisation en base orthonormée, exemple de la hessienne d'une fonction *C*2.
* Endomorphismes (définis) positifs, espaces ***S***+ et ***S***++, caractérisation par les mineurs fondamentaux.
* Racine d'un endomorphisme positif, homéomorphisme entre ***S*** et ***S***++, exemple des matrices de Gram.
* Projecteurs orthogonaux vus comme les projecteurs autoadjoints.
* Propriétés spectrales : théorème du minimax et entrelacement de Cauchy.

### Automorphismes orthogonaux

* Groupes des automorphismes orthogonaux, déterminant, groupe spécial orthogonal, transitivité de l'action de ***SO*** sur les sous-espaces de dimension donnée.
* Engendrement de ***O*** par les réflexions, de ***SO*** par les retournements.
* Aspects topologiques : sous-groupes compacts de ***GL***, composantes connexes de ***O***, sous-variété ***SO***, simplicité de ***SO***.
* Décomposition polaire, décomposition *QR*

## Développements

* Sous-groupes compacts de GL(E)
* Simplicité de SO(E)
Leçon 161

Isométries d'un espace affine euclidien de dimension finie. Applications en dimensions 2 et 3.

## Plan indicatif

### Généralités

* Définition d'une isométrie, groupe des isométries, sous-groupe des déplacements, exemples : translations, rotations, réflexions, retournements.
* Classification des isométries, décomposition d'une isométrie comme une translation et une isométrie fixant au moins un point.
* Engendrement des isométries par les réflexions, connexité par arcs des déplacements, engendrement des déplacements par les retournements.

### Cas des dimensions 2 et 3

* Isométries planes, classification par le nombre de points fixes.
* Angle entre deux vecteurs du plan, entre deux droites.
* Classification des déplacements en dimension 3, théorème de point fixe pour les isométries

### Isométrie préservant une partie

* Sous-groupes des isométries fixant une partie de l'espace, exemple des groupes diédraux.
* Orbites de l'action des isométries sur les *k*-uplets de droites paramétrées par les distances entre les paires de points, exemple du groupe des isométries (directes) d'un polyèdre régulier.
* Définition des drapeaux d'un polyèdre, définition d'un polyèdre régulier.
* Caractérisation des polyèdres réguliers

## Développements

* Théorème de point fixe pour les isométries
* Caractérisation des polyèdres réguliers