문제 1-4의 풀이

```

 lim

 x
 −
 >
 0

 sin
 ⁡
 (
 3
 x
 )

 3
 x

 =
 1

 {\displaystyle \lim \_{x->0}{\frac {\sin(3x)}{3x}}=1}

 따라서 어떤 양수 c가 존재해서

 −
 c
 <
 x
 <
 c

 {\displaystyle -c<x<c}

 인 임의의 x에 대해서

```

0.5
<

s
i
n
(
3
x
)

/

3
x

<
1.5

{\displaystyle 0.5<{sin(3x)}/{3x}<1.5}

 가 만족된다. 따라서

−
c
<
x
<
c

{\displaystyle -c<x<c}

 인 임의의 x에 대해서

s
i
n
(
3
x
)

/

x

3

=

s
i
n
(
3
x
)

/

3
x

∗

3

/

x

2

>

0.5

∗

3

/

x

2

{\displaystyle {sin(3x)}/{x^{3}}={{sin(3x)}/{3x}}\*{{3}/{x^{2}}}>{0.5}\*{{3}/{x^{2}}}}

 인 것이다.

```
x가 0으로 수렴할 때

 3

 /

 x

 2

 {\displaystyle {3}/{x^{2}}}

는 양의 무한으로 발산
 따라서 x가 0으로 수렴할 때

 s
 i
 n
 (
 3
 x
 )

 /

 x

 3

 {\displaystyle {sin(3x)}/{x^{3}}}

는 양의 무한으로 발산한다.

```

--웅지팍 (talk) 06:39, May 30, 2015 (UTC)

로피탈의 정리를 이용하면

l
i

m

x
→
0

s
i
n
3
x

x

3

=
l
i

m

x
→
0

c
o
s
3
x

x

2

=
−

3
2

l
i

m

x
→
0

s
i
n
3
x

x

=
−

3
2

(
3
# )
−

9
2

{\displaystyle lim\_{x\to 0}{\frac {sin3x}{x^{3}}}=lim\_{x\to 0}{\frac {cos3x}{x^{2}}}=-{\frac {3}{2}}lim\_{x\to 0}{\frac {sin3x}{x}}=-{\frac {3}{2}}(3)=-{\frac {9}{2}}}

--Ss2003 (talk) 07:40, May 31, 2015 (UTC)

# L
l
i

m

x
→
0

s
i
n
3
x

x

3

{\displaystyle L=lim\_{x\to 0}{\frac {sin3x}{x^{3}}}}

이라고 하자.

# L
l
i

m

x
→
0

3
s
i
n
x
−
4
s
i

n

3

x

x

3

{\displaystyle L=lim\_{x\to 0}{\frac {3sinx-4sin^{3}x}{x^{3}}}}

=
3
l
i

m

x
→
0

s
i
n
x

x

3

−
4
l
i

m

x
→
0

(

s
i
n
x

x

)

3

{\displaystyle =3lim\_{x\to 0}{\frac {sinx}{x^{3}}}-4lim\_{x\to 0}\left({\frac {sinx}{x}}\right)^{3}}

=
3
l
i

m

t
→
0

s
i
n
(
3
t
)

(
3
t

)

3

−
4

{\displaystyle =3lim\_{t\to 0}{\frac {sin(3t)}{(3t)^{3}}}-4}

=

1
9

l
i

m

t
→
0

s
i
n
3
t

t

3

−
4

{\displaystyle ={\frac {1}{9}}lim\_{t\to 0}{\frac {sin3t}{t^{3}}}-4}

=

1
9

L
−
4

{\displaystyle ={\frac {1}{9}}L-4}

∴
# L
−

9
2

{\displaystyle \therefore L=-{\frac {9}{2}}}

--Xlot (talk) 08:38, May 31, 2015 (UTC)

f
(
x
# )

s
i
n
3
x

x

3

{\displaystyle f(x)={\frac {sin3x}{x^{3}}}}

 이라고 하자.

다음과 같은 수열

{

X

n

}

n
≥
1

:

X

1

=
1
,

X

n
1

=

1
2

X

n

(
n
≥
1
)

{\displaystyle \{X\_{n}\}\_{n\geq 1}:X\_{1}=1,X\_{n+1}={\frac {1}{2}}X\_{n}(n\geq 1)}

을 정의하자. 그럼,

l
i

m

n
→
∞

X

n

=
0

{\displaystyle lim\_{n\to \infty }{X\_{n}}=0}

n
≥
1
:
f
(

X

n
1

# )

s
i
n
(

3

X

n

2

)

8

X

n

3

=

s
i
n
(
3

X

n

)

2
c
o
s
(

3

X

n

2

)

8

X

n

3

=

4

c
o
s
(

3

X

n

2

)

f
(

X

n

)
>
2
f
(

X

n

)
(
0
<

X

n

<

π
2

)

{\displaystyle n\geq 1:f(X\_{n+1})={\frac {sin({\frac {3X\_{n}}{2}})}{8X\_{n}^{3}}}={\frac {\frac {sin(3X\_{n})}{2cos({\frac {3X\_{n}}{2}})}}{8X\_{n}^{3}}}={\frac {4}{cos({\frac {3X\_{n}}{2}})}}f(X\_{n})>2f(X\_{n})(0<X\_{n}<{\frac {\pi }{2}})}

f
(

X

1

# )
f
(
1
)
>
0

{\displaystyle f(X\_{1})=f(1)>0}

 이므로

l
i

m

n
→
∞

f
(

X

n

)

{\displaystyle lim\_{n\to \infty }{f(X\_{n})}}

는 양의 무한대로 발산한다.

따라서,

s
i
n
(
3
x
)

/

x

3

{\displaystyle {sin(3x)}/{x^{3}}}

는 양의 무한대로 발산한다.

Ss2003님이 로피탈 정리를 사용하셨는데,

l
i

m

x
→
a

f
(
x
)

g
(
x
)

{\displaystyle lim\_{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}}

에 로피탈 정리를 사용하려면

l
i

m

x
→
a

f
′

(
x
)

g
′

(
x
)

{\displaystyle lim\_{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}

의 극한 값이 존재해야 합니다.

l
i

m

x
→
0

c
o
s
3
x

x

2

{\displaystyle lim\_{x\to 0}{\frac {cos3x}{x^{2}}}}

의 극한값이 존재하지 않으므로 이 문제에서는 로피탈 정리를 쓸 수 없다고 생각합니다.

xlot 님께서는

# L
l
i

m

x
→
0

3
s
i
n
x
−
4
s
i

n

3

x

x

3

=
3
l
i

m

x
→
0

s
i
n
x

x

3

−
4
l
i

m

x
→
0

(

s
i
n
x

x

)

3

{\displaystyle L=lim\_{x\to 0}{\frac {3sinx-4sin^{3}x}{x^{3}}}=3lim\_{x\to 0}{\frac {sinx}{x^{3}}}-4lim\_{x\to 0}\left({\frac {sinx}{x}}\right)^{3}}

이라고 하셨는데,

l
i

m

x
→
0

s
i
n
x

x

3

{\displaystyle lim\_{x\to 0}{\frac {sinx}{x^{3}}}}

의 극한값이 존재하지 않으므로 lim 안의 식을 분해할 수 없습니다.

(

l
i

m

x
→
a

(

α
β

# )
l
i

m

x
→
a

α

l
i

m

x
→
a

β

{\displaystyle lim\_{x\to a}({\alpha +\beta })=lim\_{x\to a}{\alpha }+lim\_{x\to a}{\beta }}

 일 조건은

l
i

m

x
→
a

α

,
l
i

m

x
→
a

β

{\displaystyle lim\_{x\to a}{\alpha },lim\_{x\to a}{\beta }}

 가 존재할 때)--왼손은거들뿐 (talk) 11:27, May 31, 2015 (UTC)

Ss2003의 로피탈 정리를 쓴 게 잘못됬다는 왼손은 거둘뿐의 의견은 틀렸다. 그 이유는 그 값이 존재하지 않기 때문이 아니라,

l
i

m

x
→
0

f
(
x
# )
0

{\displaystyle lim\_{x\to 0}f(x)=0}

이고

l
i

m

x
→
0

g
(
x
# )
0

{\displaystyle lim\_{x\to 0}g(x)=0}

 이기 때문이다

--예다야아몰랑 (talk) 05:45, June 2, 2015 (UTC)