6.1.98

Un pequeño lago tiene su extremo a 256 pies (ft) de la autopista Guadalajara – Tepic y a 108 (ft) de la autopista
Guadalajara - Morelia, como indica la figura. Hallar la inclinación y la longitud del camino recto más corto
que une las dos autopistas y pasa por el borde del lago.

Primero, identificamos que realmente tenemos poquísima información del triangulo, así que lo subdividimos en 2 triángulos:

Uno con:

* 108 ft de altura (cateto opuesto a theta)
* Un ángulo de 90°

Y otro con:

* 256 ft de largo (cateto adyacente a theta)
* Un ángulo de 90°

Lo que se nos pide es encontrar el ángulo theta con el que obtenemos la hipotenusa más corta. Así que:

Primero defino que la suma de las hipotenusas formarán la hipotenusa total:

h

T

=

h

1

h

2

{\displaystyle h\_{T}=h\_{1}+h\_{2}}

Con identidades trigonométricas obtengo:

c
o

h

=
cos
⁡
(
a
# )

256

h

1

⇒

h

1

cos
⁡
(
a
# )
256
⇒

h

1

=

256

cos
⁡
(
a
)

{\displaystyle {\frac {co}{h}}=\cos(a)={\frac {256}{h\_{1}}}\Rightarrow h\_{1}\cos(a)=256\Rightarrow h\_{1}={\frac {256}{\cos(a)}}}

c
a

h

=
sin
⁡
(
a
# )

108

h

2

⇒

h

2

sin
⁡
(
a
# )
108
⇒

h

2

=

108

sin
⁡
(
a
)

{\displaystyle {\frac {ca}{h}}=\sin(a)={\frac {108}{h\_{2}}}\Rightarrow h\_{2}\sin(a)=108\Rightarrow h\_{2}={\frac {108}{\sin(a)}}}

Entonces

h

T

=

h

1

h

2

=

256

cos
⁡
(
a
)

108

sin
⁡
(
a
)

{\displaystyle h\_{T}=h\_{1}+h\_{2}={\frac {256}{\cos(a)}}+{\frac {108}{\sin(a)}}}

Ahora puedo representar la hipotenusa total como una función, dependiente del ángulo 'a':

**Error al representar (Error de conversión. El servidor ("https://services.fandom.com/mathoid-facade/") informó: "Cannot get mml. HTTP 404 Not Found"): {\displaystyle h(a)={\frac {256}{\cos(a)}}+{\frac {108}{\sin(a)}}}**

Ahora, siguiendo la idea tras un problema de optimización, buscaré los puntos críticos de la función tras derivar la expresión:

h
′

(
a
# )
256

sen
⁡
(
a
)

cos

2

⁡
(
a
)

−
108

cos
⁡
(
a
)

sin

2

⁡
(
a
)

{\displaystyle h'(a)=256{\frac {\operatorname {sen}(a)}{\cos ^{2}(a)}}-108{\frac {\cos(a)}{\sin ^{2}(a)}}}

Como conozco que si fueran 0 o 90 grados exactos, aparecería una división sobre 0, con lo que ya no sería posible indicar siquiera la longitud de la hipotenusa. Comprendo que los puntos críticos se encuentran al igualar la derivada a 0, así que eso haré.

**Error al representar (Error de conversión. El servidor ("https://services.fandom.com/mathoid-facade/") informó: "Cannot get mml. HTTP 404 Not Found"): {\displaystyle h'(a)=0=256{\frac {\operatorname {sen}(a)}{\cos ^{2}(a)}}-108{\frac {\cos(a)}{\sin ^{2}(a)}}\Rightarrow 256\operatorname {sen} ^{3}(a)=108\cos ^{3}(a)\Rightarrow 256{\frac {\operatorname {sen} ^{3}(a)}{\cos ^{3}(a)}}=108\Rightarrow {\frac {\operatorname {sen} ^{3}(a)}{\cos ^{3}(a)}}={\frac {108}{256}}\Rightarrow \tan ^{3}(a)={\frac {27}{64}}\Rightarrow {\tan ^{3}(a)}^{1/3}=\tan(a)}**

=
(

27
64

)

1

/

3

=

27

1

/

3

64

1

/

3

=

3
4

⇒
t
a

n

−
1

(
t
a
n
(
a
)
# a
t
a

n

−
1

(

3
4

# )

36.86989765

∘

{\displaystyle =({\frac {27}{64}})^{1/3}={\frac {27^{1/3}}{64^{1/3}}}={\frac {3}{4}}\Rightarrow tan^{-1}(tan(a))=a=tan^{-1}({\frac {3}{4}})=36.86989765^{\circ }}

°

Esta es la inclinación del camino más corto posible, cuya longitud es:

h
(
a
# )

256

cos
⁡
(
a
)

108

sin
⁡
(
a
)

=

256

cos
⁡
(

36.86989765

∘

)

108

sin
⁡
(

36.86989765

∘

)

=

256

4
5

108

3
5

=

1280
4

540
3

=
320
# 180
500

{\displaystyle h(a)={\frac {256}{\cos(a)}}+{\frac {108}{\sin(a)}}={\frac {256}{\cos(36.86989765^{\circ })}}+{\frac {108}{\sin(36.86989765^{\circ })}}={\frac {256}{\frac {4}{5}}}+{\frac {108}{\frac {3}{5}}}={\frac {1280}{4}}+{\frac {540}{3}}=320+180=500}

ft