Inclusion de pseudo-ensembles

E

{\displaystyle E}

 et

F

{\displaystyle F}

 deux pseudo-ensembles.

On dit que E est **inclus** dans F si et seulement si tous les éléments de E sont aussi des éléments de F. Autrement dit,

∀
x
∈
E
,
x
∈
F

{\displaystyle \forall x\in E,x\in F}

, ou encore

∀
x
,

(

x
∈
E
⇒
x
∈
F

)

{\displaystyle \forall x,\Big(x\in E\Rightarrow x\in F\Big)}

.

On note alors

E
⊆
F

{\displaystyle E\subseteq F}

. Dans le cas contraire, on note

E
⊈
F

{\displaystyle E\not\subseteq F}

.

### **Vocabulaire**

On dit aussi que:

* F

{\displaystyle F}

 **inclut**

E

{\displaystyle E}
* E

{\displaystyle E}

 est un **sous-pseudo-ensemble** de

F

{\displaystyle F}
* E

{\displaystyle E}

 est une **partie** de

F

{\displaystyle F}
* F

{\displaystyle F}

 est un **sur-pseudo-ensemble** de

E

{\displaystyle E}

### **Autres notations**

* Certains auteurs, notamment en France, notent

E
⊂
F

{\displaystyle E\subset F}

. Cette notation porte à confusion avec l'inclusion stricte, donc je ne l'utiliserai pas ici.
* On note aussi parfois

F
⊇
E

{\displaystyle F\supseteq E}

.

### **Propriétés de l'inclusion large**

* L'inclusion large est **réflexive**:

∀
E
,
E
⊆
E

{\displaystyle \forall E, E\subseteq E}
* L'inclusion large est **anti-symétrique**:

∀
E
,
∀
F
,

(

[

E
⊆
F
∧
F
⊆
E

]

⇒
# E
F

)

{\displaystyle \forall E,\forall F,\Big(\Big[E\subseteq F\wedge F\subseteq E\Big]\Rightarrow E=F\Big)}
* L'inclusion large est **transitive**:

∀
E
,
∀
F
,
∀
G
,

(

[

E
⊆
F
∧
F
⊆
G

]

⇒
E
⊆
G

)

{\displaystyle \forall E,\forall F,\forall G,\Big(\Big[E\subseteq F\wedge F\subseteq G\Big]\Rightarrow E\subseteq G\Big)}

## **L'inclusion stricte**

### **Définition**

* Soient

E

{\displaystyle E}

 et

F

{\displaystyle F}

 deux pseudo-ensembles.

On dit que

E

{\displaystyle E}

 est **inclus strictement** dans

F

{\displaystyle F}

 si et seulement si

E

{\displaystyle E}

 est inclus (largement) dans

F

{\displaystyle F}

, et que

E

{\displaystyle E}

 est différent de

F

{\displaystyle F}

 (ce qui revient, d'après l'antisymétrie de l'inclusion large, à ce que

F

{\displaystyle F}

 ne soit pas inclus largement dans

E

{\displaystyle E}

).

On note alors

E
⊊
F

{\displaystyle E\subsetneq F}

.

Autrement dit, on a l'équivalence

(

E
⊊
F

)

⟺

(

E
⊆
F
∧
E
≠
F

)

{\displaystyle \Big(E\subsetneq F\Big)\iff\Big(E\subseteq F\wedge E\neq F\Big)}

.

### **Vocabulaire**

On dit aussi que:

* E

{\displaystyle E}

 est un **sous-pseudo-ensemble strict** de

F

{\displaystyle F}

.
* E

{\displaystyle E}

 est une **partie stricte** de

F

{\displaystyle F}

.
* F

{\displaystyle F}

 est un **sur-pseudo-ensemble strict** de

E

{\displaystyle E}

.

### **Remarques**

* Pour un pseudo-ensemble

E

{\displaystyle E}

,

E

{\displaystyle E}

 est sa seule et unique partie non stricte. Toute autre partie est forcément stricte.

### **Propriétés de l'inclusion stricte**

* L'inclusion stricte est transitive:

∀
E
,
∀
F
,
∀
G
,

(

[

E
⊊
F
∧
F
⊊
G

]

⇒

[

E
⊊
G

]

)

{\displaystyle \forall E,\forall F,\forall G,\Big(\Big[E\subsetneq F\wedge F\subsetneq G\Big]\Rightarrow\Big[E\subsetneq G\Big]\Big)}

## **Notations utilisées sur cette page**

* ∧

{\displaystyle \wedge}

 la conjonction
* ⇒

{\displaystyle \Rightarrow}

 l'implication
* ⟺

{\displaystyle \iff}

 l'équivalence
* ∈

{\displaystyle \in}

 l'appartenance
* =

{\displaystyle =}

 l'égalité
* ≠

{\displaystyle \ne}

 différent de
* ∀

{\displaystyle \forall}

 pour tout