동시성의 상대성

개요
--

동시성의 상대성은 한 관성계에서 동시에 일어난 서로 다른 두 사건은 다른 관성계에서는 동시에 일어나지 않는 현상이다. 대부분의 학생들이 어려워하는 개념이다. 특수상대론이 예측한 3가지 현상 중 시험 문제에 등장한다면 가장 어려울 수 있다. 얼마든지 다양한 응용이 가능하기 때문이다.

증명
--

광속 불변 원리로부터 동시성의 상대성을 정성적으로 유도해보자.

그림 1은 지구에 정지한 관찰자(이하

K

{\displaystyle K}

)에 대하여

v

{\displaystyle v}

의 일정한 속력으로 등속 직선 운동하는 우주선을 간략히 나타낸 것이다. 길이가

2
L

{\displaystyle 2L}

인 우주선의 양 벽에는 거울이 장치되어 있고, 그 중앙에 광원이 설치되어 있다.

이제 광원에서 빛을 쏜 후, 왼쪽 벽에 빛이 도달하는 사건

A

{\displaystyle A}

와 오른쪽 벽에 빛이 도달하는 사건

B

{\displaystyle B}

가 관찰자(우주선과 지구)에 따라 어떻게 관측되는지 살펴보자.

그림 2는 우주선의 좌표계(= 우주선에 대하여 정지한 관찰자)에서 관측한 모습을 나타낸 것이다. 우주선의 좌표계에서 우주선은 자명하게 정지해 있고, 지구와

K

{\displaystyle K}

는 왼쪽으로 움직인다.

(광원의 위치, 빛을 쏜 시점)을 원점으로 두면 사건

A

{\displaystyle A}

와

B

{\displaystyle B}

를 각각

(
−
L
,

L
c

)

{\displaystyle (-L, \frac{L}{c})}

,

(
L
,

L
c

)

{\displaystyle (L, \frac{L}{c})}

로 나타낼 수 있다. 일어난 시각이 동일하므로

A

{\displaystyle A}

와

B

{\displaystyle B}

는 우주선의 좌표계에서는 '동시'이다.

그림 3은 지구의 좌표계(

K

{\displaystyle K}

)에서 관측한 모습을 나타낸 것이다. 빛의 궤적을 추적해보면, 빛이 광원에서 출발한 후 왼쪽 벽에 먼저 도달함을 알 수 있다. (비슷한 다른 경우에도 이렇게 빛의 궤적을 그려 전후를 확인할 수 있다.)

마찬가지로 (광원의 위치, 빛을 쏜 시점)을 원점으로 두면 빛의 속력이 좌표계에 무관하게

c

{\displaystyle c}

이어야 하므로 사건

A

{\displaystyle A}

와

B

{\displaystyle B}

를 각각

(
−

c

L
′

c
v

,

L
′

c
v

)

{\displaystyle (-\frac{cL'}{c+v}, \frac{L'}{c+v})}

,

(

c

L
′

c
−
v

,

L
′

c
−
v

)

{\displaystyle (\frac{cL'}{c-v}, \frac{L'}{c-v})}

로 나타낼 수 있다.

L
′

c
v

<

L
′

c
−
v

{\displaystyle \frac{L'}{c+v} < \frac{L'}{c-v}}

이므로

A

{\displaystyle A}

가 먼저 발생한다는 사실을 알 수 있다. (여기서

L
′

{\displaystyle L'}

은

L

{\displaystyle L}

이 길이 수축된 것을 나타낸다.

L
′

=

L
γ

=
L

1
−

v
2

/

c
2

{\displaystyle L' = \frac{L}{\gamma} = L\sqrt{1-{v^2/c^2}}}

이다.)

왼쪽 벽으로 빛이 이동한 궤적을 나타낸 것이다. 여기서

v
t
c
# t

L
′

{\displaystyle vt + ct = L'}

이므로

# t

L
′

c
v

{\displaystyle t = \frac{L'}{c + v}}

이다.

오른쪽 벽으로 빛이 이동한 궤적을 나타낸 것이다. 여기서

c

t
′

−
v

t
′

=

L
′

{\displaystyle ct' - vt' = L'}

이므로

t
′

=

L
′

c
−
v

{\displaystyle t' = \frac{L'}{c - v}}

이다.

이처럼 양 쪽 벽에 빛이 도달하는 시각이 달라지는 이유는 빛이 방출되는 순간에는 광원과 왼쪽 벽, 오른쪽 벽 사이의 거리가 동일하지만 이후 왼쪽 벽은 빛에 다가가고 오른쪽 벽은 빛에서 멀어지기 때문이다. 지금 관심을 갖는 사건이 '빛이 벽에 도달하는 사건'이므로 빛의 이동거리와 광원은 관계가 없지만 '벽'이 다가가느냐 멀어지느냐는 영향을 주므로 도달 시각에도 차이가 생기게 된다. 그림 3에서 빛의 궤적을 살펴보면 쉽게 이해할 수 있다.

따라서 사건

A

{\displaystyle A}

와

B

{\displaystyle B}

는 우주선의 좌표계에서는 동시이지만 지구의 좌표계에서는 동시가 아니다.

A

{\displaystyle A}

와

B

{\displaystyle B}

 중 어느 사건이 먼저 일어나는가는 두 좌표계의 상대적인 운동 방향에 달려있다. 일반적으로 한 관성계에서 동시인 서로 다른 두 사건은 이 관성계에 대해 상대적으로 운동하는 관성계에서는 동시가 아니다.

사건
--

※ 특수 상대성 이론 항목의 내용과 동일함.

물리학에서 사건은 시공간 상의 한 지점으로 나타낸다. 예를 들어 위치

s

{\displaystyle s}

에 있던 전구가 시각

t

{\displaystyle t}

일 때 빛을 방출했다면, 이 빛을 방출한 사건은

(
s
,
t
)

{\displaystyle (s, t)}

로 나타낼 수 있다.

사건의 값 자체는 (위치, 시각)이기 때문에 원점에 따라 변한다. 그러나 두 사건 사이의 공간 간격, 또는 시간 간격은 원점에 무관하다. 특수상대론에서는 관심을 갖는 두 사건이 무엇인가, 두 사건 사이의 간격이 관찰자에 따라 어떻게 달라지는가가 중요하다. 이때, 두 사건 사이의 시간 간격이 증가하는 현상을 시간 팽창이라고 하고, 두 사건 사이의 공간 간격이 감소하는 현상을 길이 수축이라고 한다.

예시
--

동시성의 상대성의 예시에는 여러가지가 있다.

1. 기차/우주선 중앙의 전구에서 양 쪽으로 빛을 쏘는 예시, 시계의 동기화 예시
2. 기차/우주선 양 쪽에 번개/운석이 떨어지는 예시, 화산 2개가 폭발하는 예시, 격납고의 양 쪽 문이 동시에 닫히는 예시
3. 빛이 동시에 앙 쪽 벽에 도달하면 폭발하는 예시, 빛이 동시에 가운데 벽에 도달하면 폭발하는 예시

1번 예시는 본 항목의 '예시'에 등장하는 부류이다. 같은 유형으로 시계의 동기화 문제가 있다.

2번 예시는 역으로 두 광원에서 출발한 빛이 한 점에 모이는 부류이다. 구조가 상당히 복잡하지만 1번과 동치이다.

3번 예시는 동시성의 상대성뿐만 아니라 사건에 대한 이해가 필요한 부류이다.

### 시계의 동기화 문제

시계의 동기화는 서로 다른 위치에서 서로에 대해 정지해 있는 두 시계를 같은 시각으로 맞추는 것을 말한다. 여기서의 시계는 일상적인 의미에서의 시계보다는 하나의 사건이나 관찰자를 의미한다고 생각해야 한다.

시계를 한 지점에서 맞춘 후 하나를 다른 쪽으로 옮기면 그 과정에서 가속이 일어나므로 일반 상대론적 효과에 의해 가속을 겪은 쪽의 시계가 느리게 가게 된다. 따라서 시계를 알맞게 동기화 하기 위해서는 두 시계의 중앙에서 양 쪽으로 빛을 쏘아 빛이 도달하는 순간부터 시계가 가게 하는 방법 등을 사용해야 한다. 그러나 다른 관성계에서 이 두 시계를 관측하면 두 시계가 동기화되지 않은 것으로 관측된다. 그림으로 살펴보면 다음과 같다.

위 그림은 지면의 좌표계에서 관측한 것을 나타낸 것이다. 중앙의 광원에서 방출된 빛이 왼쪽 시계와 오른쪽 시계에 동시에 도달한다. 즉, 왼쪽 시계와 오른쪽 시계는 동시에 움직이기 시작한다.

아래 그림은 우주선의 좌표계에서 관측한 것을 나타낸 것이다. 중앙의 광원에서 방출된 빛이 왼쪽 시계에 먼저 도달한다. 즉, 왼쪽 시계가 먼저 돌아가기 시작하고 오른쪽 시계가 나중에 돌아가기 시작한다.

이런 현상은 두 시계를 빛을 이용해서 맞추었기 때문만은 아니다. 한 가지 사고 실험을 통해 얻은 결과는 다른 경우에도 적용된다. 어떤 방법을 써서 두 시계를 동기화하더라도 동시에 중앙의 광원에서 빛을 쏘았다고 '가정'할 수 있고, 그렇다면 위와 같은 결과를 얻어야만 모순이 없게 된다.

### 기차와 번개 문제

기차와 번개 문제는 광원이 2개인 경우를 뜻한다. [기차에 탄 관찰자]와 [지면에 선 관찰자]가 동등하다는 것을 순간적으로 잊지 않도록 주의한다. 광원이 기차에 달려있는 경우도 있고 지면에 달려있는 경우도 있다. 또는 어디에 달려있는지 명확하게 구분할 수 없는 경우도 있다. 그러나 이 모든 경우는 동일하다. (심지어 이전의 예시와도 동일하다.)