4.30(d)

Evalúe la integral

∬

E

x
y
d
A

{\displaystyle \iint\_{E}xy dA}

 donde

E

{\displaystyle E}

 es:

De manera similar al problema 29(a), usaremos cambio de variable, por lo que primero debemos obtener las ecuaciones de las rectas

A
b

¯

,

B
C

¯

,

C
D

¯

,

D
A

¯

{\displaystyle \overline{Ab},\overline{BC},\overline{CD},\overline{DA}}

 para conocer correctamente la región

E

{\displaystyle E}

.

Ya conocemos las coordenadas de cada punto (dado que podemos obeservalos en el plano y sus coordenadas se comportan *correctamente*):

A
(
−
1
,
3
)

C
(
−
5
,
3
)

B
(
−
3
,
5
)

D
(
−
3
,
1
)

{\displaystyle
\begin{align}
A(-1,3) && C(-5,3)\\
B(-3,5) && D(-3,1)
\end{align}
}

Obtenemos entonces las ecuaciones de cada recta con:

# m

y
2

−

y
1

x
2

−

x
1

y
1

=
m

x
1

b

{\displaystyle
\begin{align}
m = \frac{y\_2-y\_1}{x\_2-x\_1} && y\_1 = mx\_1+b
\end{align}
}

A
B

¯

:

m

=

5
−
3

−
3
1

=
# m

2

−
2

=
−
1

⇒
3

=
−
1
(
−
1
)
b
⇒
# b
2

∴
y

=
−
x
2

{\displaystyle
\begin{align}
\overline{AB}:\\
m &= \frac{5-3}{-3+1} = m = \frac{2}{-2} = -1\\\\
\Rightarrow 3 &= -1(-1) + b \Rightarrow b = 2\\\\
\therefore y &= -x+2
\end{align}
}

B
C

¯

:

m

=

3
−
5

−
5
3

=
# m

−
2

−
2

=
1

⇒
5

=
1
(
−
3
)
b
⇒
# b
2

∴
y

=
x
8

{\displaystyle
\begin{align}
\overline{BC}:\\
m &= \frac{3-5}{-5+3} = m = \frac{-2}{-2} = 1\\\\
\Rightarrow 5 &= 1(-3) + b \Rightarrow b = 2\\\\
\therefore y &= x+8
\end{align}
}

C
D

¯

:

m

=

1
−
3

−
3
5

=
# m

−
2

1

=
−
1

⇒
3

=
−
1
(
−
5
)
b
⇒
# b
−
2

∴
y

=
−
x
−
2

{\displaystyle
\begin{align}
\overline{CD}:\\
m &= \frac{1-3}{-3+5} = m = \frac{-2}{1} = -1\\\\
\Rightarrow 3 &= -1(-5) + b \Rightarrow b = -2\\\\
\therefore y &= -x-2
\end{align}
}

D
A

¯

:

m

=

3
−
1

−
1
3

=
# m

2
2

=
1

⇒
1

=
1
(
−
3
)
b
⇒
# b
−
2

∴
y

=
x
4

{\displaystyle
\begin{align}
\overline{DA}:\\
m &= \frac{3-1}{-1+3} = m = \frac{2}{2} = 1\\\\
\Rightarrow 1 &= 1(-3) + b \Rightarrow b = -2\\\\
\therefore y &= x+4
\end{align}
}

Entonces tenemos:

Ahora realizamos un cambio de variable considerando

# u
y
x

{\displaystyle u = y+x}

 y

# v
y
−
x

{\displaystyle v=y-x}

:

y

=
−
x
2
⇒
y
# x
2
⇒
# u
2

y

=
−
x
−
2
⇒
y
# x
−
2
⇒
# u
−
2

y

=
x
8
⇒
y
−
# x
8
⇒
# v
8

y

=
x
4
⇒
y
−
# x
4
⇒
# v
4

{\displaystyle
\begin{align}
y &= -x+2 \Rightarrow y+x = 2 \Rightarrow u = 2\\\\
y &= -x-2 \Rightarrow y+x = -2 \Rightarrow u = -2\\\\
y &= x+8 \Rightarrow y-x = 8 \Rightarrow v = 8\\\\
y &= x+4 \Rightarrow y-x = 4 \Rightarrow v = 4\\\\
\end{align}
}

En el plano

u
v

{\displaystyle uv}

 tenemos:

Pues esta nueva región, a la que llamamos

S

{\displaystyle S}

 se define por:

{
(
u
,
v
)

−
2
≤
u
≤
2
,
4
≤
v
≤
8
}

{\displaystyle
\begin{align}
\{(u,v) | -2 \leq u \leq 2, 4\leq v \leq 8\}
\end{align}
}

Ahora calculamos el Jacobiano para nuestra integral:

∂
(
u
,
v
)

∂
(
x
,
y
)

=

∂
(
u
)

∂
(
x
)

∂
(
u
)

∂
(
y
)

∂
(
v
)

∂
(
x
)

∂
(
v
)

∂
(
y
)

=

∂
(
y
x
)

∂
(
x
)

∂
(
y
x
)

∂
(
y
)

∂
(
y
−
x
)

∂
(
x
)

∂
(
y
−
x
)

∂
(
y
)

=

1

1

−
1

1

=
1
# 1
2

{\displaystyle
\begin{align}
\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} &=
\begin{vmatrix}
\frac{\partial(u)}{\partial(x)} & \frac{\partial(u)}{\partial(y)}\\
\frac{\partial(v)}{\partial(x)} & \frac{\partial(v)}{\partial(y)}
\end{vmatrix} =
\begin{vmatrix}
\frac{\partial(y+x)}{\partial(x)} & \frac{\partial(y+x)}{\partial(y)}\\
\frac{\partial(y-x)}{\partial(x)} & \frac{\partial(y-x)}{\partial(y)}
\end{vmatrix} =
\begin{vmatrix}
1 & 1 \\ -1 & 1
\end{vmatrix} = 1+1 = 2
\end{align}
}

Luego, el valor absoluto de este Jacobiano es:

∂
(
u
,
v
)

∂
(
x
,
y
)

=

(

∂
(
u
,
v
)

∂
(
x
,
y
)

)

−

=

=

∂
(
u
,
v
)

∂
(
x
,
y
)

=

1
2

=

1
2

{\displaystyle
\begin{vmatrix}
\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}
\end{vmatrix} =
\begin{vmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}
\end{pmatrix}^- =
\end{vmatrix} =
\begin{vmatrix}
\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}
\end{vmatrix} =
\begin{vmatrix}
\frac{1}{2}
\end{vmatrix} = \frac{1}{2}
}

y nuestro diferencial es, entonces:

d
# A
d
x
d
# y

∂
(
u
,
v
)

∂
(
x
,
y
)

d
u
d
# v

1
2

d
u
d
v

{\displaystyle
dA = dxdy =
\begin{vmatrix}
\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}
\end{vmatrix} dudv =
\frac{1}{2}dudv
}

Ahora, obtenemos los valores de

x

{\displaystyle x}

 y

y

{\displaystyle y}

 en términos de

u

{\displaystyle u}

 y

v

{\displaystyle v}

,
recordando que

# u
y
x

{\displaystyle u = y+x}

 y

# v
y
−
x

{\displaystyle v=y-x}

. Si despejamos en términos de

y

{\displaystyle y}

 e igualamos:

# y
u
−
x

# y
v
x

⇒
u
−
x

=
x
v

⇒
(
u
−
v
)

=
2
x

⇒
x

=

u
−
v

2

{\displaystyle
\begin{align}
y = u-x && y = v+x\\\\
\Rightarrow u-x &= x+v\\
\Rightarrow (u-v) &= 2x\\
\Rightarrow x &= \frac{u-v}{2}\\
\end{align}
}

Sustituyendo en

# y
u
−
x

{\displaystyle y = u-x}

:

# y
u
−
x
⇒
u
−

u
−
v

2

=

u
v

2

{\displaystyle
y = u - x \Rightarrow u - \frac{u-v}{2} = \frac{u+v}{2}
}

Calculamos

x
y

{\displaystyle xy}

:

x
# y

(

u
−
v

2

)

(

u
v

2

)

=

u
2

−

v
2

4

{\displaystyle xy = \left( \frac{u-v}{2} \right)\left( \frac{u+v}{2} \right) = \frac{u^2-v^2}{4} }

Con todos los elementos, construimos la intergal doble:

∬
E

x
y
d
x
d
y

⇒

∬
S

u
2

−

v
2

4

1
2

d
u
d
v

⇒

∫

4

8

∫

−
2

2

u
2

−

v
2

4

1
2

d
u
d
v

=

1
2

∫

4

8

∫

−
2

2

u
2

−

v
2

4

d
u
d
v

⇒

∫

−
2

2

u
2

−

v
2

4

d
u

=

1
4

∫

−
2

2

u
2

−

v
2

d
u

=

1
4

∫

−
2

2

u
2

d
u
−

∫

−
2

2

v
2

d
u

=

1
4

(

[

1
3

u
3

# u
−
2

# u
2

]

−

v
2

[

u

# u
−
2

# u
2

]

)

=

1
4

(

16
3

−
4

v
2

)

=

4
3

−

v
2

{\displaystyle
\begin{align}
&\iint\_E xy dxdy\\\\
\Rightarrow& \iint\_S \frac{u^2-v^2}{4} \frac{1}{2}dudv\\\\
\Rightarrow& \int\_{4}^8 \int\_{-2}^2 \frac{u^2-v^2}{4} \frac{1}{2}dudv\\\\
=& \frac{1}{2}\int\_{4}^8 \int\_{-2}^2 \frac{u^2-v^2}{4} dudv\\\\
\Rightarrow& \int\_{-2}^2 \frac{u^2-v^2}{4} du\\\\
=& \frac{1}{4}\int\_{-2}^2 u^2-v^2 du\\\\
=& \frac{1}{4}\int\_{-2}^2 u^2du - \int\_{-2}^2v^2 du\\\\
=& \frac{1}{4}\left( \left[\frac{1}{3}u^3 \big|\_{u=-2}^{u=2} \right] - v^2\left[ u \big|\_{u=-2}^{u=2}\right] \right)\\\\
=& \frac{1}{4}\left( \frac{16}{3} - 4v^2 \right) = \frac{4}{3} - v^2\\\\
\end{align}
}

Ahora realizamos la integral externa:

⇒

1
2

∫

4

8

4
3

−

v
2

d
v

=

1
2

(

∫

4

8

4
3

d
v
−

∫

4

8

v
2

d
v

)

=

1
2

(

4
3

∫

4

8

d
v
−

∫

4

8

v
2

d
v

)

=

1
2

(

4
3

[

v

# v
8

]

−

[

1
3

v
3

# v
8

]

)

=

1
2

(

4
3

[
4
]

−

[

512
3

−

64
3

]

)

=

1
2

(

16
3

−

448
3

)

=

1
2

(

−

432
3

)

=
−

432
6

=
−
72

{\displaystyle
\begin{align}
\Rightarrow& \frac{1}{2} \int\_{4}^8 \frac{4}{3} - v^2 dv\\\\
=&\frac{1}{2}\left( \int\_{4}^8 \frac{4}{3} dv - \int\_{4}^8 v^2 dv \right)\\\\
=&\frac{1}{2}\left( \frac{4}{3} \int\_{4}^8 dv - \int\_{4}^8 v^2 dv \right)\\\\
=&\frac{1}{2}\left( \frac{4}{3} \left[ v\big|\_{v=4}^{v=8} \right] - \left[ \frac{1}{3}v^3\big|\_{v=4}^{v=8} \right] \right)\\\\
=&\frac{1}{2}\left( \frac{4}{3} \left[ 4 \right] - \left[ \frac{512}{3} -\frac{64}{3} \right] \right)\\\\
=&\frac{1}{2}\left( \frac{16}{3} - \frac{448}{3} \right)\\\\
=&\frac{1}{2}\left( - \frac{432}{3}\right) = - \frac{432}{6} = -72 \\\\
\end{align}
}

Ahora, utilicemos lo previamente visto en los incisos anteriores; necesitamos nuestro vector

(
e
,
f
)

{\displaystyle (e,f)}

, pero esto es sencillo de ver:
imaginemos un vector de la siguiente forma

Entonces

(
e
,
f
# )
(
−
3
,
1
)

{\displaystyle (e,f) = (-3,1)}

. Imaginemos nuestro paralelogramo en el orígen, es decir que el punto

D

{\displaystyle D}

 se encuentra en

(
0
,
0
)

{\displaystyle (0,0) }

.
Entonces podemos posicionar dos vectores en los segmentos

D
A

¯

{\displaystyle \overline{DA}}

 y

D
C

¯

{\displaystyle \overline{DC}}

 como sigue:

Estos vectores los podemos pensar como los canónicos

i
,
j

{\displaystyle i,j}

 a los que se les ha aplicado alguna transformación; pero esto es sencillo de deducir y
entonces podemos armar la matriz asociada a la transformación como sigue:

(

2

−
2

2

2

)

{\displaystyle
\begin{pmatrix}
2 & -2\\ 2 & 2
\end{pmatrix}
}

Pero estamos moviendo el paralelogramo fuera del orígen realmente, entonces tenemos que agregar el vector que identificamos al inicio, lo que nos deja con la siguiente
transformación en términos de

u

{\displaystyle u}

 y

v

{\displaystyle v}

:

T
(
u
,
v
# )

(

2

−
2

2

2

)

(

u
v

)

(
−
3
,
1
)

{\displaystyle T(u,v)=\begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}\binom{u}{v} + (-3,1)}

Desarrollando tenemos que:

T
(
u
,
v
)

=

(

2

−
2

2

2

)

(

u
v

)

(
−
3
,
1
)

=
(
2
u
−
2
v
,
2
u
2
v
)
(
−
3
,
1
)

=
(
2
u
−
2
v
−
3
,
2
u
2
v
1
)

{\displaystyle
\begin{align}
T(u,v) &= \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}\binom{u}{v} + (-3,1)\\\\
 &= (2u-2v, 2u+2v) + (-3,1)\\\\
 &= (2u-2v-3, 2u+2v+1)\\\\
\end{align}
}

Para poder desarrollar nuestra integral por cambio de variable, debemos obtener el jacobiano de la función; por lo visto en incisos anteriores, para este tipo de funciones
lineales, este es su determinante, entonces:

J
(
T
# )

det

(

2

−
2

2

2

)

=
(
2
)
(
2
)
−
(
2
)
(
−
2
# )

8

=
8

Así, considerando que trabajamos con el prisma unitario, entonces la región

S

{\displaystyle S}

 de integración es

{
(
u
,
v
)

0
≤
u
≤
1
,
0
≤
v
≤
1
}

{\displaystyle \{(u,v) | 0 \leq u \leq 1, 0\leq v \leq 1\}}

 y entonces
nuestra integral se ve de la forma:

∬

E

x
y
d
A

⇒

∬

S

(
2
u
−
2
v
−
3
)
(
2
u
2
v
1
)
J
(
T
)
d
u
d
v

=

∫

0

1

∫

0

1

(
2
u
−
2
v
−
3
)
(
2
u
2
v
1
)
8
d
u
d
v

=
8

∫

0

1

∫

0

1

4

u
2

4
u
v
2
u
−
4
u
v
−
4

v
2

−
2
v
−
6
u
−
6
v
−
3
d
u
d
v

=
8

∫

0

1

∫

0

1

4

u
2

−
4

v
2

−
4
u
−
8
v
−
3
d
u
d
v

⇒

∫

0

1

4

u
2

−
4

v
2

−
4
u
−
8
v
−
3
d
u

=

∫

0

1

4

u
2

d
u
−

∫

0

1

4

v
2

d
u
−

∫

0

1

4
u
d
u
−

∫

0

1

8
v
d
u
−

∫

0

1

3
d
u

=

4
3

u
3

−
4

v
2

u
−
2

u
2

−
8
v
u
−
3
u

0

1

=

4
3

−
4

v
2

−
2
−
8
v
−
3

=
−

11
3

−
4

v
2

−
8
v

⇒

∫

0

1

−

11
3

−
4

v
2

−
8
v
d
v

=
8

∫

0

1

−

11
3

d
v
−

∫

0

1

4

v
2

d
v
−

∫

0

1

8
v
d
v

=
8

[

−

11
3

v
−

4
3

v
3

−
4

v
2

0

1

]

=
8

[

−

11
3

−

4
3

−
4

]

=
8

[

−
9

]

=
−
72

{\displaystyle
\begin{align}
\iint\_{E}xy dA &\Rightarrow \iint\_{S}(2u-2v-3)(2u+2v+1) J(T) dudv\\\\
&= \int\_{0}^1 \int\_{0}^1 (2u-2v-3)(2u+2v+1) 8 dudv\\\\
&= 8 \int\_{0}^1 \int\_{0}^1 4u^2+4uv+2u-4uv-4v^2-2v-6u-6v-3 dudv\\\\
&= 8 \int\_{0}^1 \int\_{0}^1 4u^2-4v^2-4u-8v-3 dudv\\\\
&\Rightarrow \int\_{0}^1 4u^2-4v^2-4u-8v-3 du\\\\
&= \int\_{0}^1 4u^2 du - \int\_{0}^1 4v^2 du -\int\_{0}^1 4u du - \int\_{0}^1 8v du - \int\_{0}^1 3 du\\\\
&= \frac{4}{3}u^3 - 4v^2u - 2u^2 - 8vu - 3u \big|\_{0}^1 \\\\
&= \frac{4}{3} - 4v^2 - 2 - 8v - 3 \\\\
&= -\frac{11}{3} - 4v^2 - 8v \\\\
&\Rightarrow \int\_{0}^1 -\frac{11}{3} - 4v^2 - 8v dv\\\\
&= 8\int\_{0}^1 -\frac{11}{3} dv - \int\_{0}^1 4v^2 dv - \int\_{0}^1 8v dv\\\\
&= 8\left[ -\frac{11}{3}v - \frac{4}{3}v^3 - 4v^2 \big|\_{0}^1 \right]\\\\
&= 8\left[ -\frac{11}{3} - \frac{4}{3} - 4 \right]\\\\
&= 8\left[ -9 \right]\\\\
&= -72
\end{align}
}

Podemos ver que obtenemos el mismo resultado que el procedimiento anterior. :)