Sesión 2B - Series de Fourier.

## **Un poco de historia**

Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768 - 1830) fue un matemático y físico francés, conocido por sus trabajos en la descomposición de funciones periódicas en series trigonométricas que se conocen como Series de Fourier, y fue de una notable importancia para el posterior desarrollo del análisis matemático, usada para diferentes aplicaciones a la resolución de varios problemas en la física. Para 1922 publico la Teoría Analítica del calor, donde trataba una ecuación diferencial parcial que gobierna la difusión del calor, aplicando la solución mediante el uso de series infinitas de funciones trigonométricas. Esto fue de inspiración para los razonamientos sobre el flujo eléctrico. Esta herramienta ha sido sumamente importante y útil para el desarrollo de la teoría matemática abstracta, incluyendo su aplicación en análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, compresión de datos, etc. A sus 30 años, Napoleón lo designo como consejero científico en una expedición a Egipto, donde durante 4 años mantuvo el puesto de secretario del Instituto de Egipto, estableciendo la egiptología como una ciencia separada. Falleció en Paris el 16 de mayo de 1830, y en reconocimiento un cráter lunar y un asteroide lleva el nombre de Fourier.

## **Serie de Fourier**

Estas se refieren a una serie infinita que converge a una función periódica y continua por trozos. Estas constituyen el análisis de funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones sinusoidales de forma mas simple.

Si es una función de variable real , que es integrable en el intervalo , se puede obtener el desarrollo en serie de Fourier de ese intervalo, y fuera de ese intervalo la serie es periódica, con periodo T.

Si  es periódica en el eje real, la aproximación por series de Fourier también se volverá valida en todos los valores de

La serie de Fourier asociada a

f
(
t
)

{\textstyle f(t)}

 es:

Donde

a

0

,

a

n

,

b

n

{\textstyle a\_{0},a\_{n},b\_{n}}

son los coeficientes de Fourier que toman los siguientes valores:

También se pude definir la serie de Fourier de la siguiente manera:

w

n

=
n
w

{\displaystyle w\_{n}=nw}

  y

# w
2
π
# f

2
π

T

{\displaystyle w=2\pi f={\frac {2\pi }{T}}}

 , resultando:

donde a esta forma se le conoce como serie trigonométrica de Fourier.

Hay que tener en cuenta que tanto

a

n

{\textstyle a\_{n}}

 y

b

n

{\textstyle b\_{n}}

 se refieren a infinitos términos.

## **Aplicación**

Es importante considerar la aplicación de las series de Fourier, ya que estas sirven mucho en el procesamiento digital de señales, la cual es una área de las ciencias e  ingeniería que se ha desarrollado rápidamente en los últimos 30 años.

Este rápido desarrollo es resultado de avances tecnológicos tanto en los ordenadores digitales como en la fabricación de circuitos integrados. Estos circuitos digitales baratos y relativamente rápidos han hecho posible construir sistemas digitales altamente sofisticados, capaces de realizar funciones y tareas del procesado de señales que convencionalmente se realizaban analógicamente, se realicen hoy mediante hardware digital, mas barato y a menudo más fiable.

Es relevante diferencie entre una señal analógica y digital para comprender mejor el procesamiento de señales, el nombre de una señal analógica se deriva del hecho de que es una señal análoga a la señal física que se representa .La magnitud de una señal analógica pude tomar cualquier valor, esto es, la amplitud de una señal analógica exhibe una variación continua sobre su campo de actividad. La gran mayoría de señales en el mundo que hay a nuestro alrededor son analógicas. Los circuitos que procesan estas señales se conocen como circuitos analógicos. Una forma alternativa de representación de señal es la de una secuencia de números, cada uno de los cuales representa la magnitud de señal en un instante determinado. La señal resultante se llama señal digital, esta a diferencia de la señal analógica es una señal que es discreta en el tiempo y cuantificada en magnitud. El procesamiento de señales se correlaciona con las series de Fourier ya que esta nos permite expresar una función periódica de tiempo como la suma de un numero infinito de senoides cuyas frecuencias están armónicamente relacionadas La importancia de esto radica en que la serie de Fourier nos facilita el arduo trabajo del manejo con señales, ya que para que nosotros podamos procesar estas señales es necesario expresarlas como una combinación lineal de términos, lo cual nos lo proporciona la serie de Fourier.

Si deseas seguir profundizando en los fundamentos del procesamiento de señales, te recomendamos la siguiente lectura: Roger Ziemer and William Tranter. Principles of Communications. Wiley, 6th edition (2008). ISBN: 978-0470252543. Pp 26-34. Que es de donde principalmente se estudió para la comprensión de este tema y son las lecturas guías del curso, con explicaciones muy adecuadas y sencillas para facilitar el entendimiento.

Teniendo entonces la teoría entendida y como desarrollar los teoremas, es momento de afianzar el conocimiento con un taller con ejercicios propuestos de Series de Fourier y en donde se aplicarán los métodos y lo más importante, se realizará una conclusión y reflexión acerca de lo aprendido y el por qué es importante este estudio, para ello, puedes dar clic en el siguiente enlace Taller Sesión 2B. Series de Fourier que te redireccionará al taller.

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