2.17

Hallar el centro de masa de una lámina de forma parabólica dada determinada por las desigualdades

0
≤
y
≤

4
−

x

2

{\displaystyle 0\leq y\leq {4-x^{2}}}

si la densidad en (x,y) es directamente proporcional a la distancia de este punto con el eje y

Para hallar el centro de masa se utilizan las siguientes integrales que parten de la definición de momento y densidad:

x
¯

=

1

∬

D

ρ
(
x
,
y
)
d
A

∬

D

x
ρ
(
x
,
y
)
d
A

{\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{\iint \limits \_{D}\rho (x,y)dA}}\iint \limits \_{D}x\rho (x,y)dA}

y
¯

=

1

∬

D

ρ
(
x
,
y
)
d
A

∬

D

y
ρ
(
x
,
y
)
d
A

{\displaystyle {\bar {y}}={\frac {1}{\iint \limits \_{D}\rho (x,y)dA}}\iint \limits \_{D}y\rho (x,y)dA}

La función

ρ
(
x
,
y
)

{\displaystyle \rho(x,y)}

es igual a

K

x

{\displaystyle K\left\vert x\right\vert }

debido a que la coordenada x del cada par ordenado nos brinda la distancia respecto al eje Y, y por el enunciado sabemos que es proporcional.

Como el área es simétrica respecto al eje Y, eso significa que el centro de masa estará sobre ese eje, por lo tanto su coordenada

x
¯

{\displaystyle \bar{x}}

será 0 y solo necesitamos saber la coordenada

y
¯

{\displaystyle \bar{y}}

y
¯

=

1

∫

−
2

0

∫

0

4
−

x

2

(
−
K
x
)
d
y
d
x

∫

0

2

∫

0

4
−

x

2

(
K
x
)
d
y
d
x

∫

−
2

0

∫

0

4
−

x

2

y
(
−
K
x
)
d
y
d
x

∫

0

2

∫

0

4
−

x

2

y
(
K
x
)
d
y
d
x

{\displaystyle {\bar {y}}={\frac {1}{\int \_{-2}^{0}\int \_{0}^{4-x^{2}}(-Kx)dydx+\int \_{0}^{2}\int \_{0}^{4-x^{2}}(Kx)dydx}}\int \_{-2}^{0}\int \_{0}^{4-x^{2}}y(-Kx)dydx+\int \_{0}^{2}\int \_{0}^{4-x^{2}}y(Kx)dydx}

Primero la parte de la división

K

∫

−
2

0

∫

0

4
−

x

2

(
−
x
)
d
y
d
x
K

∫

0

2

∫

0

4
−

x

2

(
x
)
d
y
d
x

{\displaystyle K\int \_{-2}^{0}\int \_{0}^{4-x^{2}}(-x)dydx+K\int \_{0}^{2}\int \_{0}^{4-x^{2}}(x)dydx}

K

∫

−
2

0

(
−
x
y

0

4
−

x

2

)
d
x
K

∫

0

2

(
x
y

0

4
−

x

2

)
d
x

{\displaystyle K\int \_{-2}^{0}(-xy{\big |}\_{0}^{4-x^{2}})dx+K\int \_{0}^{2}(xy{\big |}\_{0}^{4-x^{2}})dx}

k

∫

−
2

0

−
4
x

x

3

d
x
K

∫

0

2

4
x
−

x

3

d
x

{\displaystyle k\int \_{-2}^{0}-4x+x^{3}dx+K\int \_{0}^{2}4x-x^{3}dx}

K
(
−
2

x

2

1
4

x

4

−
2

0

)
K
(
2

x

2

−

1
4

x

4

0

2

)

{\displaystyle K(-2x^{2}+{\frac {1}{4}}x^{4}{\big |}\_{-2}^{0})+K(2x^{2}-{\frac {1}{4}}x^{4}{\big |}\_{0}^{2})}

K
(
0
−
(
−
2
(
−
2

)

2

1
4

(
−
2

)

4

)
)
K
(
2
(
2

)

2

−

1
4

(
2

)

4

)
−
0
# )
4
K
4
# K
8
K

{\displaystyle K(0-(-2(-2)^{2}+{\frac {1}{4}}(-2)^{4}))+K(2(2)^{2}-{\frac {1}{4}}(2)^{4})-0)=4K+4K=8K}

2da parte

∫

−
2

0

∫

0

4
−

x

2

y
(
−
K
x
)
d
y
d
x

∫

0

2

∫

0

4
−

x

2

y
(
K
x
)
d
y
d
x

{\displaystyle \int \_{-2}^{0}\int \_{0}^{4-x^{2}}y(-Kx)dydx+\int \_{0}^{2}\int \_{0}^{4-x^{2}}y(Kx)dydx}

K

∫

−
2

0

∫

0

4
−

x

2

(
−
x
y
)
d
y
d
x
K

∫

0

2

∫

0

4
−

x

2

(
y
x
)
d
y
d
x

{\displaystyle K\int \_{-2}^{0}\int \_{0}^{4-x^{2}}(-xy)dydx+K\int \_{0}^{2}\int \_{0}^{4-x^{2}}(yx)dydx}

K
2

∫

−
2

0

(
−
x

y

2

0

4
−

x

2

)
d
x

K
2

∫

0

2

(
x

y

2

0

4
−

x

2

)
d
x

{\displaystyle {\frac {K}{2}}\int \_{-2}^{0}(-xy^{2}{\big |}\_{0}^{4-x^{2}})dx+{\frac {K}{2}}\int \_{0}^{2}(xy^{2}{\big |}\_{0}^{4-x^{2}})dx}

K
2

∫

−
2

0

−
x
(
16
−
8

x

2

x

4

)
d
x

K
2

∫

0

2

x
(
16
−
8

x

2

x

4

)
d
x

{\displaystyle {\frac {K}{2}}\int \_{-2}^{0}-x(16-8x^{2}+x^{4})dx+{\frac {K}{2}}\int \_{0}^{2}x(16-8x^{2}+x^{4})dx}

K
2

∫

−
2

0

(
−
16
x
8

x

3

−

x

5

)
d
x

K
2

∫

0

2

(
16
x
−
8

x

3

x

5

)
d
x

{\displaystyle {\frac {K}{2}}\int \_{-2}^{0}(-16x+8x^{3}-x^{5})dx+{\frac {K}{2}}\int \_{0}^{2}(16x-8x^{3}+x^{5})dx}

K
2

(
−
8

x

2

2

x

4

−

1
6

x

6

−
2

0

)

K
2

(
8

x

2

−
2

x

4

1
6

x

6

0

2

)

{\displaystyle {\frac {K}{2}}(-8x^{2}+2x^{4}-{\frac {1}{6}}x^{6}{\big |}\_{-2}^{0})+{\frac {K}{2}}(8x^{2}-2x^{4}+{\frac {1}{6}}x^{6}{\big |}\_{0}^{2})}

K
2

(
0
−
(
−
8
(
−
2

)

2

2
(
−
2

)

4

1
6

(
−
2

)

6

)

K
2

(
(
8
(
2

)

2

−
2
(
2

)

4

1
6

(
2

)

6

)
−
0
)

{\displaystyle {\frac {K}{2}}(0-(-8(-2)^{2}+2(-2)^{4}+{\frac {1}{6}}(-2)^{6})+{\frac {K}{2}}((8(2)^{2}-2(2)^{4}+{\frac {1}{6}}(2)^{6})-0)}

K
2

(

32
3

)

K
2

(

32
3

# )

32
K

6

32
K

6

=

64
K

6

{\displaystyle {\frac {K}{2}}({\frac {32}{3}})+{\frac {K}{2}}({\frac {32}{3}})={\frac {32K}{6}}+{\frac {32K}{6}}={\frac {64K}{6}}}

Finalmente

y
¯

=

1

8
K

(

64
K

6

)

=

64
K

48
K

=

64
48

=
1.3333

{\displaystyle {\bar {y}}={\frac {1}{8K}}\left({\frac {64K}{6}}\right)={\frac {64K}{48K}}={\frac {64}{48}}=1.3333}

El centro de masa se encuentra en el punto

(
0
,
1.3333
)

{\displaystyle (0,1.3333)}