Series y Sucesiones

== Introducción == En este nuevo tema nos damos cuenta de cómo se utilizan tanto las series y las sucesiones en la vida del hombre, como benefician para la demostración de algún resultado deseados, y algunos ejemplos de cada tema que se mencionara. == Sucesiones == Definición.- Es una lista de números tales que pueden encontrarse uno a uno a través de una regla. Cada uno de los números que forma la sucesión se conoce como término de la sucesión.  Por ejemplo, los números: 2, 4, 6, 8, 10, · · ·porque forman una sucesión. Para encontrar el siguiente número sumamos dos al que tenemos por último término. En este caso tenemos la sucesión de los números pares. Existen muchos tipos de sucesiones (Sucesiones convergentes, divergentes, oscilantes, alternadas, monótonas, estrictamente crecientes, crecientes, estrictamente decrecientes, decrecientes, constantes). Por ejemplo, la sucesión: , etc. podemos calcular el siguiente número sumando 6 al último término. Observa que una sucesión siempre tiene un primer término. Supongamos que ese primer término es el número . En el ejemplo anterior  . Para encontrar el siguiente término sumamos un número para hacer el caso general, vamos a considerar que sumamos el número d. Entonces, los siguientes términos serán:

    === Sucesión Aritmética === Es una sucesión que cumple con que cualesquiera dos términos consecutivos tienen una diferencia constante. El primer término de una sucesión aritmética se denota por a1, la diferencia constante de cualesquiera dos términos consecutivos por d, y el n−ésimo término por an. Para encontrar el n−ésimo término, utilizamos la siguiente fórmula:. an = a1+d(n-1) **Ejemplo 1:** Las siguientes son ejemplos de sucesiones aritméticas: ⇒1, 3, 5, 7, 9, 11, · · · Donde el primer término es a1  = 1 y la diferencia constante entre cualesquiera dos términos consecutivos es d = 2 ⇒3, 7, 11, 15, 19, · · ·  Donde a1 = 3 y d = 2  ⇒ 7, 10, 13, 16, 19, 22, · · · Donde a1  = 7 y d = 3. Para verificar que la sucesión es aritmética podemos elegir cualesquiera dos términos consecutivos am,am+1 y encontrar su diferencia: am-1 − am  = d. Si esta diferencia cambia con distintos pares de términos consecutivos, entonces, la sucesión no es aritmética. En la vida diaria encontramos muy frecuentemente oportunidades de aplicar las sucesiones aritméticas. **Ejemplo 2:**

    **Ejemplo 3:**

    === Sucesión Convergente === Las sucesiones convergentes son las sucesiones que tienen límite finito.

     Limite = **0**

     Limite = **1** === Sucesión Divergente === Las sucesiones divergentes son las sucesiones que tienen límite infinito.

     Limite = **∞** === Aplicación de Sucesiones en la Biología Sucesión de Fibonacci ===

     == Series == Definición.- En matemáticas, una serie es la generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión infinita. Informalmente, es el resultado de sumar los términos:

     lo cual suele escribirse en forma más compacta con el símbolo de sumatorio:

     === Tipos de series === ==== Series Geométricas ==== xd Una serie geométrica es una serie en la cual cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante, llamada razón r. En este ejemplo, con r = 1/2):

     En general, una serie geométrica es convergente, sólo si |*r*| < 1 ==== Series Armónica ==== Se llama así porque la longitud de onda de los armónicos de una cuerda que vibra es proporcional a su longitud según la serie de fracciones unitarias: 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7...

     La serie armónica es divergente jaja salu2. ==== Serie Alternada ==== Una serie alternada es una serie donde los términos cambian de signo

     ====== ==== Serie Telescópica ==== Una serie telescópica es la suma

     , donde *an* = *bn* − *bn*+1:

     La convergencia de dicha serie y su suma se pueden calcular fácilmente, ya que:

     ====== ==== Serie Hipergeometrica ==== Una serie hipergeométrica es una serie de la forma:

     ==== Series de Potencias ==== Una serie del tipo:

     ordenada por potencias enteras crecientes de la variable x y con coeficientes

     constantes, independientes de x , recibe el nombre de serie de potencias. A menudo consideramos la serie de potencias en una forma más general:

     donde a es otra constante. De hecho, sabemosque este tipo de series reciben el nombre de series de MacLaurin y de Taylor, respectivamente. Una serie de Taylor puede ser reducida a una de MacLaurin mediante el siguiente cambio de variable:

     ==== Series de Taylor y MacLaurin ==== La serie de Taylor es una serie funcional y surge de una ecuación en la cual se puede encontrar una solución aproximada a una función. **Para que sirve una serie de Taylor?** La serie de Taylor proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto. Por supuesto, para hacer esta aproximación sólo se pueden tomar unas cuantas expresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en un error conocido como el término residual, es a criterio del que aplica la serie en numero de términos que ha de incluir la aproximación. Pueden resolver por aproximación funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas etc... **Como funciona?** La serie de Taylor se basa en ir haciendo operaciones según una ecuación general y mientras mas operaciones tenga la serie mas exacto será el resultado que se esta buscando. Dicha ecuación es la siguiente:

     o expresado de otra forma

     Donde *n!* es el factorial de *n* *F(n)* es la enésima derivada de *f* en el punto *a* Como se puede observar en la ecuación, hay una parte en la cual hay que desarrollar un binomio (x-a) n por lo que para simplificar el asunto se igualara a "a" siempre a 0. Para fines prácticos no afecta mucho en el resultado si se hacen muchas operaciones en la serie. **Cuántos términos se requieren para obtener una “aproximación razonable”?** La ecuación para el término residual se puede expresar como:

     Significa que el error de truncamiento es de orden hn+1. El error es proporcional al tamaño del paso h elevado a la (n+1)-ésima potencia.

     ==== **Aplicaciones** ==== Por ejemplo en matemáticas hay algo que se llama el teorema fundamental del calculo, el cual dice que la integral definida en el intervalo a2). Para buscar la integral definida de esta función se recurre a las series de Taylor. Otras aplicaciones e matemáticas es entender el crecimiento de funciones y resolver ecuaciones diferenciales. Además de la obvia aplicación de utilizar funciones polinómicas en lugar de funciones de mayor complejidad para analizar el comportamiento local de una función, las series de Taylor tienen muchas otras aplicaciones. Algunas de ellas son: análisis de límites y estudios paramétricos de los mismos, estimación de números irracionales acotando su error, teorema de L'Hopital para la resolución de límites indeterminados, estudio de puntos estacionarios en funciones (máximos o mínimos relativos o puntos sillas de tendencia estrictamente creciente o decreciente), estimación de integrales, determinación de convergencia y suma de algunas series importantes, estudio de orden y parámetro principal de infinitésimos, etc. == Archivos MathCad == Ejemplo 2 - Sucesiones https://drive.google.com/file/d/0B82gfsqbbqpOYWhEMlVicVVvX28/view?usp=sharing Ejemplo 3 - Sucesiones https://drive.google.com/file/d/0B82gfsqbbqpOTHJGQm5US1dTS28/view?usp=sharing Sucesion de Fibonacci https://drive.google.com/file/d/0B82gfsqbbqpOVWdJdnY4dWxDT0U/view?usp=sharing == Fuentes Bibliograficias == http://es.slideshare.net/yolajica/sucesiones-aplicadas-a-la-biologia http://www.aprendematematicas.org.mx/notas/algebra/DGB1\_1\_5.pdf http://matedoscalculointegral.blogspot.mx/2012/06/tipos-de-series.html http://www.tonahtiu.com/notas/metodos/serie\_taylor.htm == Datos del Alumno == No. Control: 14041315 Nombre: Randy David Rojo Quintero Investigación "Series y Sucesiones" Ing. Sistemas Computacionales