Преобразование треугольника

**Преобразование треугольника** - система правил, сопоставляющая комплексному треугольнику его косинусы. Преобразование треугольника выводится из теоремы косинусов и имеет следующий вид:

# x

−

a
2

b
2

c
2

2
b
c

{\displaystyle x = \frac{-a^2+b^2+c^2}{2bc}}

# y

−

b
2

c
2

a
2

2
c
a

{\displaystyle y = \frac{-b^2+c^2+a^2}{2ca}}

# z

−

c
2

a
2

b
2

2
a
b

{\displaystyle z = \frac{-c^2+a^2+b^2}{2ab}}

Элементы получившегося треугольника удовлетворяют тождеству косинусов, из чего следует, что треугольник, получающийся в результате преобразования треугольника, является каноническим. Легко заметить, что преобразования подобия треугольника-аргумента не изменяют треугольник-результат, так как числитель и знаменатель выражений преобразования треугольника являются однородными полиномами степени 2.

## Обратное преобразование треугольника

*Обратным преобразованием треугольника* называется система правил, сопоставляющих одному треугольнику множество других, для которых элементы исходного треугольника являются косинусами. В силу особенностей преобразования треугольника (все подобные треугольники преобразуются в один) обратное преобразование треугольника в качестве результата имеет множество подобных треугольников, или точку в *проективном пространстве треугольников* (ППТ) - пространстве, где все точки

(
λ
x
,
λ
y
,
λ
z
)

{\displaystyle (\lambda x, \lambda y, \lambda z)}

для произвольных

λ

{\displaystyle \lambda}

отождествлены друг с другом. Обратное преобразование треугольника проще всего получить, используя выражение для теоремы синусов:

a
b

=

sin
⁡
α

sin
⁡
β

{\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{\sin\alpha}{\sin\beta}}

Используя основное тригонометрическое тождество и альтернативную форму тождества косинусов, можно провести следующее преобразование:

a
b

=

1
−

x
2

1
−

y
2

=

(
1
−

x
2

)
(
1
−

z
2

)

(
1
−

y
2

)
(
1
−

z
2

)

=
±

y
z
x

x
y
z

{\displaystyle \frac{a}{b} = \sqrt{\frac{1-x^2}{1-y^2}} = \sqrt{\frac{(1-x^2)(1-z^2)}{(1-y^2)(1-z^2)}} = \pm\frac{y+zx}{x+yz}}

Аналогично,

b
c

=
±

z
x
y

y
z
x

,

c
a

=
±

x
y
z

z
x
y

{\displaystyle \frac{b}{c} = \pm\frac{z+xy}{y+zx}, \frac{c}{a} = \pm\frac{x+yz}{z+xy}}

Выбор знака (+ или -) определяется преобразованием косинусов, которое должно выдавать косинусы с верным знаком при подстановке в него полученных нами отношений. Элементарными вычислениями получаем, что единственный непротиворечивый вариант выбора знака - плюс во всех трёх случаях. Также можно заметить, что, введя константу пропорциональности *f*, можно привести обратное преобразование треугольника к симметричному виду:

# a

f

x
y
z

{\displaystyle a = \frac{f}{x+yz}
}

# b

f

y
z
x

{\displaystyle b = \frac{f}{y+zx}
}

# c

f

z
x
y

{\displaystyle c = \frac{f}{z+xy}
}

## Биективность

Преобразование треугольника можно считать биекцией, если оно действует из ППТ в ПКТ:

1) преобразование треугольника однозначно сопоставляет множеству подобных треугольников в пространстве треугольников (точке в ППТ) единственную точку на ПКТ;

2) обратное преобразование треугольника однозначно сопоставляет точке на ПКТ множество подобных треугольников (точку в ППТ).

Таким образом, каждой точке ППТ соответсвует единственная точка в ПКТ, и наоборот.