二次函数

File:Polynomialdeg 2.svg
在数学中，**二次函数**（英語：quadratic function）表示形为

f
(
x
# )
a

x
2

b
x
c

{\displaystyle f(x) = a x^2 + b x + c \,\!}

（

a
≠
0

{\displaystyle a \ne 0 \,\!}

，且

a

{\displaystyle a}

、

b

{\displaystyle b}

、

c

{\displaystyle c}

是常数）的多项式函数，其中，

x

{\displaystyle x}

为自变量Template:Efn，

a

{\displaystyle a}

、

b

{\displaystyle b}

、

c

{\displaystyle c}

分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。二次函数的图像是一条主轴平行于

y

{\displaystyle y}

轴的抛物线。

二次函数表达式

a

x
2

b
x
c

{\displaystyle ax^2+bx+c}

的定义是一个二次多项式，因为

x

{\displaystyle x}

的最高冪次是2。

如果令二次函数的值等于零，则可得一个一元二次方程式、二次方程式。该方程的解称为方程的根或函数的零点。

历史
--

大约在公元前480年，古巴比伦人和中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根，但是并没有提出通用的求解方法。公元前300年左右，欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。

7世纪印度的婆罗摩笈多是第一位懂得用使用代数方程的人，它同时容许有正负数的根。Template:Efn

11世纪阿拉伯的花拉子米独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚（亦以拉丁文名字萨瓦索达著称）在他的著作*Liber embadorum*，首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。Template:Efn

根

更多信息：二次方程‌和‌韦达定理

二次方程

a

x
2

b
x
# c
0

{\displaystyle ax^2+bx+c=0\,\!}

 的两个根为：

# x

−
b
±

b

2

−
4
a
c

2
a

{\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}}

解方程后，我们会得到两个根：

x
1

{\displaystyle x\_1}

和

x
2

{\displaystyle x\_2}

。则点

(

x
1

,
0
)

{\displaystyle (x\_1,0)}

和

(

x
2

,
0
)

{\displaystyle (x\_2,0)}

就是二次函数与

x

{\displaystyle x}

轴的交点。根的类型（英语：types）如下：

* 设

# Δ

b
2

−
4
a
c

{\displaystyle \Delta = b^2-4ac \,}

為一元二次方程式的判別式，又記作D。
* 當

Δ
>
0

{\displaystyle \Delta > 0\,\!}

，则方程有两个不相等的根，也即与

x

{\displaystyle x}

轴有两个不重疊（英语：superimpose）的交点，因为

Δ

{\displaystyle \sqrt{\Delta}}

是正数。
* 當

# Δ
0

{\displaystyle \Delta = 0\,\!}

，则方程有两个相等的根，也即与

x

{\displaystyle x}

轴有一个切点，因为

Δ

{\displaystyle \sqrt{\Delta}}

是零。
* 當

Δ
<
0

{\displaystyle \Delta < 0\,\!}

，则方程没有實數根，也即与

x

{\displaystyle x}

 轴没有交点，因为

Δ

{\displaystyle \sqrt{\Delta}}

是共軛複數。

设

r
1

=

−
b

b
2

−
4
a
c

2
a

{\displaystyle r\_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a} }

和

r
2

=

−
b
−

b
2

−
4
a
c

2
a

{\displaystyle r\_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a} }

，我们可以把

a

x
2

b
x
c

{\displaystyle a x^2 + b x + c \,\!}

因式分解为

a
(
x
−

r
1

)
(
x
−

r
2

)

{\displaystyle a(x - r\_1)(x - r\_2)\,\!}

。

## 二次函数的形式

二次函数可以表示成以下三种形式：

* f
(
x
# )
a

x
2

b
x
c

{\displaystyle f(x) = a x^2 + b x + c \,\!}

 称为**一般形式**或**多项式形式**。
* f
(
x
# )
a
(
x
−

r
1

)
(
x
−

r
2

)

{\displaystyle f(x) = a(x - r\_1)(x - r\_2)\,\!}

 称为**因子形式**或**交点式**，其中

r
1

{\displaystyle r\_1 }

和

r
2

{\displaystyle r\_2 }

是二次方程的两个根，

(

r
1

,
0
)

{\displaystyle (r\_1,0)}

,

(

r
2

,
0
)

{\displaystyle (r\_2,0)}

 是抛物线与

x

{\displaystyle x}

轴的两个交点。
* f
(
x
# )
a
(
x
−
h

)
2

k

{\displaystyle f(x) = a(x - h)^2 + k \,\!}

 称为**标准形式**或**顶点形式**，

(
h
,
k
)

{\displaystyle (h,k)}

即為此二次函數的頂點。

把一般形式转换成因子形式时，我们需要用求根公式来算出两个根

r
1

{\displaystyle r\_1 }

和

r
2

{\displaystyle r\_2 }

，或是利用十字交乘法（適用於有理數）。把一般形式转换成标准形式时，我们需要用配方法。把因子形式转换成一般形式时，我们需要把两个因式相乘并展开。把因子形式轉換成標準形式有特殊的方法。

h

{\displaystyle h}

代表了二次函數的對稱軸，因此兩根的平均數即為

h

{\displaystyle h}

* k

{\displaystyle k}

展開後比較後可得

# k
−
a

(

r
1

−

r
2

2

)

2

{\displaystyle k=-a\left(\frac{|r\_1-r\_2|}{2}\right)^2}

不通過

r
1

{\displaystyle r\_1 }

和

r
2

{\displaystyle r\_2 }

求

k

{\displaystyle k}

及

h

{\displaystyle h}

公式：

# * h
−

b

2
a

{\displaystyle h = - \frac{b}{2a}}
# * k
−

b
2

−
4
a
c

4
a

{\displaystyle k = -\frac{b^2-4ac}{4a}}

 (也作

# k

4
a
c
−

b
2

4
a

{\displaystyle k = \frac{4ac-b^2}{4a}}

)

而在三種形式中皆出現的

a

{\displaystyle a}

為此二次函數的領導係數，決定二次函數圖像開口的大小與方向。

图像
--

 File:Function ax^2.jpg
 File:Function x^2+(1 to 4)x.jpg
 File:Function x^2-(1 to 4)x.jpg
* 系数

a

{\displaystyle a}

控制了二次函数从顶点的增长（或下降）速度，即二次函数开口方向和大小。

a

{\displaystyle |a|}

越大，开口越小，函数就增长得越快。
* 系数

b

{\displaystyle b}

和

a

{\displaystyle a}

控制了抛物线的对称轴（以及顶点的

x

{\displaystyle x}

坐标）。
* 系数

b

{\displaystyle b}

控制了抛物线穿过

y

{\displaystyle y}

轴时的倾斜度（导数）。
* 系数

c

{\displaystyle c}

控制了抛物线最低点或最高点的高度，它是抛物线与

y

{\displaystyle y}

轴的交点。

### *x* 截距

当函数与

x

{\displaystyle x}

轴有两个交点时，设这两个交点分别为

A
(

x
1

,
0
)
,

B
(

x
2

,
0
)

{\displaystyle A(x\_1,0),\, B(x\_2,0)}

，由根与系数的关系得出Template:Efn：

x
1

x
2

=
−

b
a

{\displaystyle x\_1+x\_2=-\frac{b}{a} }

和

x
1

x
2

=

c
a

{\displaystyle x\_1x\_2=\frac{c}{a}}

∴
A
B

=

x
2

−

x
1

=

(

x
2

−

x
1

)
2

=

(

x
1

x
2

)
2

−
4

x
1

x
2

=

(

−

b
a

)

2

−

4
c

a

=

b
2

a
2

−

4
a
c

a
2

=

b
2

−
4
a
c

a
2

=

b
2

−
4
a
c

a

或

Δ

a

{\displaystyle
\begin{align}\therefore AB&=|x\_2-x\_1| \\
&=\left|\sqrt{(x\_2-x\_1)^2}\right| \\
&=\left|\sqrt{(x\_1+x\_2)^2-4x\_1x\_2}\right| \\
&=\left|\sqrt{\left(-\frac{b}{a}\right)^2-\frac{4c}{a}}\right| \\
&=\left|\sqrt{\frac{b^2}{a^2}-\frac{4ac}{a^2}}\right| \\
&=\left|\sqrt{\frac{b^2-4ac}{a^2}}\right| \\

### 顶点

抛物线的顶点是它转弯的地方，也称为驻点。如果二次函数是标准形式，则顶点为

(
h
,
k
)

{\displaystyle (h, k)\,\!}

。用配方法，可以把一般形式

f
(
x
# )
a

x
2

b
x
c

{\displaystyle f(x) = a x^2 + b x + c \,\!}

化为：

f
(
x
# )
a

(

x

b

2
a

)

2

4
a
c
−

b
2

4
a

{\displaystyle f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac-b^2}{4 a}}

因此在一般形式中，抛物线的顶点是：

(

−

b

2
a

,
−

Δ

4
a

)

{\displaystyle \left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4 a}\right)}

如果二次函数是因子形式

f
(
x
# )
a
(
x
−

r
1

)
(
x
−

r
2

)

{\displaystyle f(x) = a(x - r\_1)(x - r\_2)\,\!}

，则两个根的平均数

r
1

r
2

2

{\displaystyle \frac{r\_1 + r\_2}{2} \,\!}

就是顶点的

x

{\displaystyle x}

坐标，因此顶点位于

(

r
1

r
2

2

,
f
(

r
1

r
2

2

)

)

{\displaystyle \left(\frac{r\_1 + r\_2}{2}, f(\frac{r\_1 + r\_2}{2})\right)\!}

a
<
0

{\displaystyle a<0\,\!}

时，顶点也是最大值；

a
>
0

{\displaystyle a > 0 \,\!}

时，则是最小值。
经过顶点的竖直线

# h
−

b

2
a

{\displaystyle x=h=-\frac{b}{2a} }

又称为抛物线的对称轴。

### 最大值和最小值

函数的最大值和最小值总是在驻点（又称临界点，稳定点）取得。以下的方法是用导数法来推导相同的事实，这种方法的好处是适用于更一般的函数。

设有函数

f
(
x
# )
a

x
2

b
x
c

{\displaystyle f(x) = a x^2 + b x + c \,\!}

，寻找它的極值时，我们必须先求出它的导数：

f
(
x
# )
a

x
2

b
x
c
⇔

f
′

(
x
# )
2
a
x
b

{\displaystyle f(x)=ax^2+bx+c \Leftrightarrow \,\! f'(x)=2ax+b \,\!}

然后，求出

f
′

(
x
)

{\displaystyle f'(x)\,\!}

的根：

2
a
x
# b
0
⇒

2
a
# x
−
b
⇒

# x
−

b

2
a

{\displaystyle 2ax+b=0 \Rightarrow \,\! 2ax=-b \Rightarrow\,\! x=-\frac{b}{2a}}

因此，

−

b

2
a

{\displaystyle -\frac{b} {2a}}

是

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)\,\!}

的

x

{\displaystyle x\,\!}

值。现在，为了求出

y

{\displaystyle y\,\!}

，我们把

# x
−

b

2
a

{\displaystyle x = -\frac{b} {2a}}

代入

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)\,\!}

：

# y
a

(

−

b

2
a

)

2

b

(

−

b

2
a

)

c
⇒
# y

a

b
2

4

a
2

−

b
2

2
a

c
⇒
# y

b
2

4
a

−

b
2

2
a

c
⇒
# y

b
2

−
2

b
2

4
a
c

4
a

⇒
# y

−

b
2

4
a
c

4
a

⇒
# y
−

(

b
2

−
4
a
c
)

4
a

⇒
# y
−

Δ

4
a

{\displaystyle y=a \left (-\frac{b}{2a} \right)^2+b \left (-\frac{b}{2a} \right)+c\Rightarrow y= \frac{ab^2}{4a^2} - \frac{b^2}{2a} + c \Rightarrow y= \frac{b^2}{4a} - \frac{b^2}{2a} + c \Rightarrow y= \frac{b^2 - 2b^2 + 4ac}{4a} \Rightarrow y= \frac{-b^2+4ac}{4a} \Rightarrow y= -\frac{(b^2-4ac)}{4a} \Rightarrow y= -\frac{\Delta}{4a}}

所以，最大值或最小值的坐标为：

(

−

b

2
a

,
−

Δ

4
a

)

{\displaystyle \left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4 a}\right)}

## 二次函数的平方根

二次函数的平方根的图像要么是椭圆，要么是双曲线。如果

a
>
0

{\displaystyle a > 0 \,\!}

，则方程

# y
±

a

x
2

b
x
c

{\displaystyle y = \pm \sqrt{a x^2 + b x + c} }

描述了一条双曲线。该双曲线的轴由对应的抛物线

y
p

=
a

x
2

b
x
c

{\displaystyle y\_p = a x^2 + b x + c \,\!}

的最小值决定。如果最小值是负数，则双曲线的轴是水平的。如果是正数，则双曲线的轴是竖直的。如果

a
<
0

{\displaystyle a<0\,\!}

，则方程

# y
±

a

x
2

b
x
c

{\displaystyle y = \pm \sqrt{a x^2 + b x + c} }

的图像要么是一个椭圆，要么什么也没有。如果对应的抛物线

y
p

=
a

x
2

b
x
c

{\displaystyle y\_p = a x^2 + b x + c \,\!}

的最大值是正数，则它的平方根描述了一个椭圆。如果是负数，则描述了一个空集。

## 二元二次函数

二元二次函数是以下形式的二次多项式：

f
(
x
,
y
# )
A

x
2

B

y
2

C
x
D
y
E
x
y
F

{\displaystyle f(x,y) = A x^2 + B y^2 + C x + D y + E x y + F \,\!}

这个函数描述了一个二次曲面。把

f
(
x
,
y
)

{\displaystyle f(x,y)\,\!}

设为零，则描述了曲面与平面

# z
0

{\displaystyle z=0\,\!}

的交线，它是一条圆锥曲线。

### 最小值/最大值

如果

4
A
B
−

E
2

<
0

{\displaystyle 4AB-E^2 <0 \,}

，则函数没有最大值或最小值，其图像是双曲抛物面。

如果

4
A
B
−

E
2

>
0

{\displaystyle 4AB-E^2 >0 \,}

，则当

A
>
0

{\displaystyle A > 0}

时函数具有最小值，当

A
<
0

{\displaystyle A<0}

具有最大值。其图像是椭圆抛物面。

二元二次函数的最大值或最小值在点

(

x
m

,

y
m

)

{\displaystyle (x\_m, y\_m) \,}

 取得，其中：

x
m

=
−

2
B
C
−
D
E

4
A
B
−

E
2

{\displaystyle x\_m = -\frac{2BC-DE}{4AB-E^2}}

y
m

=
−

2
A
D
−
C
E

4
A
B
−

E
2

{\displaystyle y\_m = -\frac{2AD-CE}{4AB-E^2}}

如果

4
A
B
−

E
2

=
0

{\displaystyle 4AB- E^2 =0 \,}

且

D
E
−
2
C
# B
2
A
D
−
C
E
≠
0

{\displaystyle DE-2CB=2AD-CE \ne 0 \,}

，则函数没有最大值或最小值，其图像是抛物柱面。
如果

4
A
B
−

E
2

=
0

{\displaystyle 4AB- E^2 =0 \,}

且

D
E
−
2
C
# B
2
A
D
−
C
# E
0

{\displaystyle DE-2CB=2AD-CE =0 \,}

，则函数在一条直线上取得最大值/最小值。当

A
>
0

{\displaystyle A > 0}

时取得最大值，

A
<
0

{\displaystyle A<0}

时取得最小值。其图像也是抛物柱面。

註釋
--

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## 参考资料

1. ↑ 数学. 北京: 北京师范大学出版社. 2014. ISBN 9787303136933.  使用`|accessdate=`需要含有`|url=` (帮助)
2. ↑ 贾士代. 初中代数41讲. 北京: 首都师范大学出版社. : 49–55. ISBN 7-81039-028-7.
3. ↑ WebGraphing.com 用配方法解一元二次方程. Retrieved on 8月 6, 2015.

### 参考书目

* 《代数1》， Glencoe, ISBN 0-07-825083-8
* 《代数2》，Saxon, ISBN 0-939798-62-X

參見
--

* 抛物线

## 外部連結

* Template:MathWorld

Template:多項式