Рівняння Навьє-Стокса.

## Тема: **Рівняння Навьє - Стокса**

### Мета проекту:

**Розповісти про одну з досі невирішених проблем тисячоліття, а саме про рівняння Навьє - Стокса.**

### Проблема проекту:

Що ж привело до того щоб це рівняння занесли до списку "проблем тисячоліття"?

## Історія та пояснення рівняння

Завдання з прикладної математики виникає зі стандартного рівняння для потоку рідини - рівняння Нав'є-Стокса, названого на честь французького інженера та фізика Клода-Луї Нав'є та ірландського математика та фізика Джорджа Стокса. Рівняння Навье-Стокса - це рівняння у приватних похідних; отже, у ньому враховується швидкість зміни характеру потоку як у просторі, так і у часі. Більшість найважливіших рівнянь класичної прикладної математики – це рівняння у приватних похідних (нам уже зустрічалося одне з таких рівнянь — рівняння Лапласа); інші - прості диференціальні рівняння, що враховують швидкість зміни параметрів тільки в часі.

Завдання тисячоліття не просить математиків знайти явні рішення рівняння Навье-Стокса, оскільки це, сутнісно, ​​неможливо. Не має вона відношення і до чисельних методів розв'язання цих рівнянь, незважаючи на всю їхню важливість.

Натомість у завданні потрібно знайти доказ фундаментальної теоретичної властивості: існування рішень. При заданому стані рідини у визначений момент часу — за відомих характеристик її руху — чи існує рішення рівняння Навье–Стокса , правильне для майбутнього часу починаючи з цього моменту? Інтуїція нагадує, що відповідь на це питання має бути «так», тому що це рівняння — дуже точна модель фізики реальної рідини. Проте з погляду математики питання існування рішення не так очевидне, і ця фундаментальна властивість для рівняння Навье-Стокса поки що не доведено. А можливо, відповідь все ж таки «ні», і рішення не існує.

Рівняння Навье-Стокса визначає, як змінюється згодом у заданих умовах розподіл швидкостей рідини. Множинне число відбиває класичний підхід: у тривимірному просторі швидкість складається із трьох компонентів; у класичній теорії на кожен компонент припадає по одному рівнянню, а їх виходить три. З сучасної точки зору існує лише одне рівняння для вектора швидкості (величини, яку характеризує не тільки розмір, але й напрямок), але це рівняння застосовується до кожного з трьох компонентів швидкості.

## Формулювання

Рівняння Навье-Стокса має відмінний фізичний родовід. Воно засноване на законах Ньютона, застосованих до кожної крихітної частинки (невеликої області) рідини, і виражає в даному контексті закон збереження імпульсу. Кожна частка рухається, тому що на неї діють сили, а закон руху Ньютона свідчить, що прискорення частки пропорційно діючої на неї силі. Основними силами є тертя, викликане в'язкістю, та тиск. Є також сили, породжені прискоренням частки. Відповідно до класичної традиції рівняння описує рідину як нескінченно подільну масу. Зокрема, воно ігнорує дискретність атомної структури рідини у мікромасштабі.

Саме цим пояснюється включення рівняння Навье–Стокса до завдань тисячоліття . Його офіційний опис на сайті Інституту Клея складається із чотирьох окремих завдань. Рішення будь-якої з них буде достатньо для отримання призу. У всіх чотирьох завданнях рідина вважається стисливою. Ось ці завдання:

1. Існування та гладкість рішень у трьох вимірах. Тут передбачається, що рідина займає нескінченний простір цілком. При заданому початковому гладкому полі швидкості потрібно довести, що для будь-якого позитивного моменту часу існує гладке рішення рівняння, що збігається із заданим початковим полем.

2. Існування та гладкість рішень на тривимірному плоскому торі. Те саме питання, але тепер у припущенні, що простір є плоским тором - прямокутником із ототожненими протилежними сторонами. У цій версії обходяться потенційні проблеми, пов'язані з нескінченним простором, про який йшлося у першій версії; цей простір не відповідає реальності і може викликати неправильну поведінку системи з причин, що не мають безпосереднього відношення до завдання.

3. Спростування існування рішень у трьох вимірах. Спростувати пункт 1. Іншими словами, знайти початкове поле, для якого немає гладкого рішення у будь-який позитивний момент часу, і довести це твердження.

4. Спростування існування рішень на тривимірному плоский Тор. Довести, що пункт 2 є невірним.

## Корисні матеріали

Рівняння Навьє-Стокса

Ієн Стюарт "Найвеличніші задачі математики"