Sesión 30 - Modulación MQAM.

Han sido varias las sesiones en las que se han hablado sobre diferentes métodos de modulación digital, por ejemplo, teníamos la ASK que manipula la amplitud, PSK que manipula la fase, FSK que varía la frecuencia y llegamos hasta este punto, en donde la QAM trabaja con la variación de la amplitud y de la fase a la vez, esto quiere decir que tenemos la combinación entre ASK y PSK para realizar la modulación de señales de información. La modulación MQAM, por sus siglas en inglés, "M-ary Quadrature Amplitude Modulation" se puede entender mejor con el diagrama de constelaciones, supongamos que se tiene definida de la siguiente manera:

La idea es el poder representar esto en las formas de onda a partir de cosenos y senos con sus respectivos desfases, pero entonces con la convención de asignar los grados en contra de las manecillas del reloj, para 001 es 0°, 011 es 90° y así sucesivamente, al igual para la circunferencia interna (000 es 0°, 010 es 90° y así sucesivamente), entonces se tendría de la siguiente forma:

Se entiende que hay 8 niveles necesarios de representación, por lo que se necesitan 4 fases, pero añadiendole en esta ocasión el uso de la amplitud para poder representar los otros 4, algo que nos parece fascinante porque se está enviando una mayor cantidad de información por segundo (bps) en un ancho de banda menor, esto en comparación con la PSK, FSK o ASK, ya que estamos en la capacidad de representar 8 posibles combinaciones al agrupar de a 3 bits. Ahora, veamos como sería la representación en la forma de onda para el siguiente mensaje: 001100010000110111011.

Haciendo el análisis entre la Figura 3 y la Figura 2, se debe agrupar el mensaje de a tres bits y realizando sus posibles combinaciones, teniendo en cuenta las fases asignadas en la Figura 2, además de cumplir con las amplitudes que se especificaron en la Figura 1, obteniendo finalmente la forma de onda de la señal modulada. Esta es una forma muy ilustrativa de obtener la forma de onda, pero válida para comprender el principio de este nuevo tipo de modulación donde se modifica la fase y la amplitud para tener una mayor posibilidad de representación al agrupar más bits en un solo símbolo, mejorando así la eficiencia del ancho de banda.

Definiendo la modulación MQAM formalmente se tiene:

s
i

(
t
# )

2

E

m
i
n

T
s

a
i

c
o
s
(
2
π

f
c

t
)

2

E

m
i
n

T
s

b

i

s
i
n
(
2
π

f
c

t
)
,

# i
1
,
2
,
.
.
.
,
M

{\displaystyle s\_i(t)=\sqrt{\frac{2E\_{min}}{T\_s}}a\_icos(2 \pi f\_ct)+\sqrt{\frac{2E\_{min}}{T\_s}}b\_{i} sin(2 \pi f\_ct), \ i=1,2,...,M}

(1.0)
En comparación con las demás modulaciones, lo que anteriormente era la energía del símbolo, ahora es la energía de la señal con la amplitud más baja y las constantes ai y bi son arbitrarias dependiendo de la localización del símbolo en el diagrama de constelación. Es destacable que para este tipo de modulación no se tiene una energía constante por símbolo ni tampoco la separación entre ellas, por como se puede observar en la figura 1 en el mapa de constelaciones.

Formalizando las coordenadas de los símbolos en base de las constantes, se tiene que para la componente en fase corresponde a:

a
i

E

m
i
n

{\displaystyle a\_i \sqrt{E\_{min}}}

Y la componente en cuadratura corresponde a:

b
i

E

m
i
n

{\displaystyle b\_i \sqrt{E\_{min}}}

Donde los coeficientes ai y bi se extraen de la siguiente matríz:

Y el coeficiente L corresponde a la raíz de M,

M

{\displaystyle \sqrt{M}}

conociendo M como la cantidad de niveles. Por ejemplo, para 16-QAM, M sería 16, de igual modo si fuera 8-QAM, M sería 8.

Se puede conocer también la probabilidad promedio de error en un canal Gaussiano que ya hemos estudiado anteriormente, que tiene la misma distribución de potencia en cada frecuencia, por lo que afecta uniformemente al espectro. La probabilidad se calcula de la siguiente forma:

P
e

≊
4
(
1
−

1

M

)
Q
(

2

E

m
i
n

N
0

)

{\displaystyle P\_e\approxeq 4(1-\frac{1}{\sqrt{M}})Q(\sqrt{\frac{2E\_{min}}{N\_0}})}

Para evidenciar la eficiencia de potencia y del espectro de la modulación MQAM, procederemos a realizar una comparación por la ecuación y el diagrama de constelación. Se define entonces que la Eficiencia de Potencia de una señal MQAM:

P

M
P
S
K

=

E
s

2

[

(

s
i
n
π
(
f
−

f
c

)

T
s

π
(
f
−

f
c

)

T
s

)

2

(

s
i
n
π
(
f
−

f
c

)

T
s

π
(
−
f
−

f
c

)

T
s

)

2

]

{\displaystyle P\_{MPSK}=\frac{E\_s}{2}\left [\Biggl( \frac{sin\pi (f-f\_c)T\_s }{\pi (f-f\_c)T\_s }\Biggr)^2+ \Biggl( \frac{sin\pi (f-f\_c)T\_s}{\pi (-f-f\_c)T\_s } \Biggr)^2 \right ]}

Donde Es es la energía del símbolo y Ts es el tiempo del símbolo definido de la siguiente manera:

T
s

=

T
b

l
o

g
2

(
M
)
,

T
b

=
T
i
e
m
p
o

d
e
l

B
i
t

{\displaystyle T\_s = T\_blog\_2(M), \ T\_b = Tiempo \ del \ Bit}

.

Mediante observación directa, se puede detectar que esta corresponde a la misma definición de potencia para BPSK, por ende, la relación de eficiencia de potencia continua siendo la misma a la que se vio en la sesión 28 de Modulación BPSK Sesión 28 - Modulación BPSK., por ende, se conserva también la ecuación de eficiencia del ancho de banda. Teniendo presentes estas dos ecuaciones, se presenta ambas eficiencias para M-aryQAM:

Donde Rb corresponde a la velocidad de transmisión, B es el ancho de banda, Eb es la energía del bit y No es la densidad de potencia, y esta eficiencia de potencia se mide para una BER de 10^-6, es decir, una determinada tasa de error por bit de 10^-6. Se puede observar de la tabla que a medida que la M o la cantidad de niveles a representar aumenta, entonces incrementa la eficiencia espectral nb, y la eficiencia de potencia también aumenta. La eficiencia espectral mejora porque ahora se puede representar una mayor cantidad de niveles con símbolos más grandes, agrupando con una cantidad de bits mayor; de igual manera con la eficiencia de potencia, ya que puede preservar la integridad de la señal de información con niveles de señales bajos, porque la onda de la señal se reduce y no hay que transferir una gran cantidad de energía. Esto también es posible de observar con las constelaciones, que se resuelven como se observa en las siguientes imagenes:

Para esta ocasión y por simplicidad, se escogió una energía de símbolo igual 1, de esta forma, podemos unicamente representar 4 combinaciones o cuatro niveles mediante la agrupación de dos bits en un solo símbolo, es decir, que se requiere una onda correspondiente a 00, 01, 10 y 11. Procedamos a compararlo para el caso de M = 16:

Es posible visualizar que para la 16-QAM se tiene una mayor cantidad de estrellas en la constelación, es decir, requiere de una menor cantidad de ondas para representar una mayor cantidad de niveles, 16 en este caso; ya que para la 4-QAM necesita de 2 estrellas para representar una única de la 16-QAM, lo que significa una mayor eficiencia espectral (ya que ocupa menos ancho de banda) y por medio de la distancia mínima del código o distancia Hamming, para la 16-QAM no suele tener una distancia Hamming muy elevada, ya que la probabilidad de error disminuye cuándo se incrementa el valor de M como se puede observar en la ecuación de probabilidad de error (teniendo en cuenta que por distancia Hamming se define a la cantidad de bits erroneos de un mensaje). La idea consta de mantener una relación armónica entre la eficiencia espectral y la eficiencia de potencia, que es finalmente lo que se encuentra en la tabla proporcionada por la lectura. Además, entre un diagrama de constelación esté mas copado por estrellas, esto significa que su eficiencia en el ancho de banda será mayor que una modulación con pocas estrellas, es decir, el 16-QAM tiene un ancho de banda mayor que la 4-QAM y 8-QAM por tener una constelación más copada.

Para finalizar, se entiende que al incrementar la cantidad de bits agrupados por símbolo se requiere de una menor cantidad de ocupación espectral, como se ha podido evidenciar en las sesiones pasadas, y que, para este caso, si se hubiera modulado el mensaje para BPSK o QPSK seguramente hubiese sido el triple o doble de largo respectivamente, ya que se está reduciendo el largo de la onda. Otro factor importante a tener en cuenta es que ahora se modula realizando variaciones en amplitud, como en fase, y el proceso de demodulación puede llegar a complicarse, teniendo en cuenta que hay dos parámetros a evaluar y no solamente uno, es decir, ahora hay que tener en cuenta que el ruido puede afectar a la amplitud y hacer que el valor medido sea erróneo, dependiendo de si está muy alejado del punto que le correspondía en la constelación, de igual forma puede ocurrir con la fase, ya que los puntos no están separados una distancia constante, como se puede observar en la figura 1. A pesar de los posibles problemas mencionados anteriormente, esta técnica es usada para módems de velocidades superiores a los 2.4 kbps, por ejemplo, el V.22 bis y V.32; también es la base de los módems ADSL ("Asymmetric Digital Suscriber Line") que trabajan a frecuencias situadas entre 24KHz y 1104KHz, pudiendo obtener velocidades de hasta 9Mbps, modulando en QAM diferentes portadoras.

Si desea seguir aprendiendo sobre la modulación MQAM, le recomendamos que observe el siguiente vídeo, que explica el principio de la modulación QAM y los diferentes M-ary posibles de manera muy didáctica: [1]. También le recomendamos ingresar a la siguiente página: [2], donde podrá encontrar varias secciones donde explican la modulación QAM con aplicaciones y la teoría necesaria. Por último, le invitamos a completar el taller correspondiente a todas las modulaciones, BPSK, QPSK y MQAM, para afianzar su aprendizaje adquirido con la última sección de la modulación digital.