Розширення

**Розширення** відноситься до двійкової функції

a
{
{
1
}
}
# b
a
{
a
{
⋯
{
a
}
⋯
}
a
}
a

{\displaystyle a\{\{1\}\}b=a\{a\{\cdots \{a\}\cdots \}a\}a}

 , де *b a* від центру назовні. Це так

{
a
,
b
,
1
,
2
}

{\displaystyle \{a,b,1,2\}}

 у BEAF і *a* {X+1} *b* у гіперекспоненціальній нотації X-Sequence . Позначення *a* { *c* } *b* означає { *a* , *b* , *c* }, яке є " *c + 2" -поєднаним* з *b* за допомогою оператора дужок.

Зрештою функція домінує над будь-яким гіпероператором , таким як тетрація , пентація чи навіть центрування , а також над вкладеними гіпероператорами. Число Грема визначається за допомогою дуже близького варіанту розкладання. Це є

3
{
{
1
}
}
65

{\displaystyle 3\{\{1\}\}65}

 із заміною центральної 3 на 4.

a
{
{
1
}
}
b

{\displaystyle a\{\{1\}\}b}

 точно дорівнює [a,a,a,b-1] в нотації масиву Грема.

За пташиним доказом,

a
{
{
1
}
}
b
>
a
→
a
→
(
b
−
1
)
→
2

{\displaystyle a\{\{1\}\}b>a\rightarrow a\rightarrow (b-1)\rightarrow 2}

 використовуючи ланцюгову стрілку .

## Приклади

2

{
{
1
}
}

2

{\displaystyle 2\ \{\{1\}\}\ 2}

 = 4

2

{
{
1
}
}

# 3
2
{
2
{
2
}
2
}
# 2
2
{
4
}
# 2
2
{
3
}
# 2
2
{
2
}
# 2
2
{
1
}
# 2
4

{\displaystyle 2\ \{\{1\}\}\ 3=2\{2\{2\}2\}2=2\{4\}2=2\{3\}2=2\{2\}2=2\{1\}2=4}

* Насправді, якщо основа дорівнює 2, а просте число ≥ 2, то результат завжди буде 4.

3

{
{
1
}
}

# 2
{
3
,
2
,
1
,
2
# }
3
{
3
}
# 3
3
↑↑↑
3

{\displaystyle 3\ \{\{1\}\}\ 2=\{3,2,1,2\}=3\{3\}3=3\uparrow \uparrow \uparrow 3}

 ( тритрі )

a

{
{
1
}
}

# 2
{
a
,
2
,
1
,
2
# }
a
{
a
}
# a
a

↑↑
⋯
↑↑

⏟

a

a

{\displaystyle a\ \{\{1\}\}\ 2=\{a,2,1,2\}=a\{a\}a=a\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow } \_{a}a}

3

{
{
1
}
}

# 3
{
3
,
3
,
1
,
2
# }
3
{
3
{
3
}
3
}
# 3
3
{

tritri

}
# 3
3

↑↑
⋯
↑↑

⏟

tritri

3

{\displaystyle 3\ \{\{1\}\}\ 3=\{3,3,1,2\}=3\{3\{3\}3\}3=3\{{\text{tritri}}\}3=3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow } \_{\text{tritri}}3}

4

{
{
1
}
}

# 3
{
4
,
3
,
1
,
2
# }
4
{
4
{
4
}
4
}
# 4
4
{

tritet

}
# 4
4

↑↑
⋯
↑↑

⏟

tritet

4

{\displaystyle 4\ \{\{1\}\}\ 3=\{4,3,1,2\}=4\{4\{4\}4\}4=4\{{\text{tritet}}\}4=4\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow } \_{\text{tritet}}4}

a

{
{
1
}
}

# 3
{
a
,
3
,
1
,
2
# }
a
{
a
{
a
}
a
}
# a
a

↑↑
⋯
↑↑

⏟

a
{
a
}
a

a

{\displaystyle a\ \{\{1\}\}\ 3=\{a,3,1,2\}=a\{a\{a\}a\}a=a\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow } \_{a\{a\}a}a}

3

{
{
1
}
}

# 4
{
3
,
4
,
1
,
2
# }
3
{
3
{
3
{
3
}
3
}
3
}
# 3
3
{
3
{

tritri

}
3
}
# 3
3
{

{
3
,
3
,
1
,
2
}

}
# 3
3

↑↑
⋯
↑↑

⏟

{
3
,
3
,
1
,
2
}

3

{\displaystyle 3\ \{\{1\}\}\ 4=\{3,4,1,2\}=3\{3\{3\{3\}3\}3\}3=3\{3\{{\text{tritri}}\}3\}3=3\{\ \{3,3,1,2\}\ \}3=3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow } \_{\{3,3,1,2\}}3}

a

{
{
1
}
}

# 4
{
a
,
4
,
1
,
2
# }
a
{
a
{
a
{
a
}
a
}
a
}
# a
a

↑↑
⋯
↑↑

⏟

a
{
a
{
a
}
a
}
a

a

{\displaystyle a\ \{\{1\}\}\ 4=\{a,4,1,2\}=a\{a\{a\{a\}a\}a\}a=a\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow } \_{a\{a\{a\}a\}a}a}

10
{
{
1
}
}
# 100
{
10
,
100
,
1
,
2
# }
{
10
,
10
,
{
10
,
99
,
1
,
2
}
# }
10

↑↑
⋯
↑↑

⏟

{
10
,
99
,
1
,
2
}

10

{\displaystyle 10\{\{1\}\}100=\{10,100,1,2\}=\{10,10,\{10,99,1,2\}\}=10\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow } \_{\{10,99,1,2\}}10}

 ( капрал )

a
{
{
1
}
}
# b
{
a
,
b
,
1
,
2
# }
{
a
,
a
,
{
a
,
b
−
1
,
1
,
2
}
# }
a

↑↑
⋯
↑↑

⏟

{
a
,
b
−
1
,
1
,
2
}

a

{\displaystyle a\{\{1\}\}b=\{a,b,1,2\}=\{a,a,\{a,b-1,1,2\}\}=a\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow } \_{\{a,b-1,1,2\}}a}

## Псевдокод

Нижче наведено приклад псевдокоду для розширення.

```
function expansion(a, b):
    result := a
    repeat b - 1 times:
        result := hyper(a, a, result + 2)
    return result

        return a + b
    result := a
    repeat b - 1 times:
        result := hyper(a, result, n - 1)
    return result

```

## Позначення в інших нотаціях

E

a
#
#
a
#
b

{\displaystyle {\textrm {E}}a\#\#a\#b}
 Ланцюгова нотація

a
→
a
→
b
→
2

{\displaystyle a\rightarrow a\rightarrow b\rightarrow 2}
 Гіперекспоненціальна нотація Х-послідовності

a
{
X
1
}
b

{\displaystyle a\{X+1\}b}

 Швидко зростаюча ієрархія

f

ω
1

(
b
)

{\displaystyle f\_{\omega +1}(b)}
 Ієрархія Харді

H

ω

ω
1

(
b
)

{\displaystyle H\_{\omega ^{\omega +1}}(b)}
 Повільно зростаюча ієрархія

g

Γ

0

(
b
)

{\displaystyle g\_{\Gamma \_{0}}(b)}

## Джерела

1. ↑ http://www.polytope.net/hedrondude/array.htm