Гіпотеза Берча-Свіннертон-Дайєра.

## Тема: Гіпотеза Берча - Свінерстон-Дайєра

### Мета проекту:

**Розповісти про одну з невирішених "проблем тисячоліття", її авторів та спроби доказу**

### Проблема проекту:

**Як виглядає одна з "проблем тисячоліття"?**

## Історія та формулювання гіпотези

Ця гіпотеза пропонує критерій, при якому еліптична крива має кінцеве кількість раціональних точок.

Гіпотезу Берча-Свіннертон-Дайєра, як і кілька інших задач тисячоліття, складно навіть сформулювати. (А ви думали, що можна отримати мільйон доларів, зробивши щось просте?) Проте наполегливість завжди окупається, адже у процесі роботи ми усвідомлюємо глибину та оцінюємо давні історичні традиції теорії чисел. Якщо ви уважно подивіться на назву гіпотези, то помітите, що одне тире в ньому довше за інше. Справа в тому, що цю гіпотезу висунули не математики Берч, Свіннертон і Даєр, а Браян Берч і Пітер Свіннертон-Дайєр. Її повне формально-математичне формулювання складне для непосвячених, але йдеться про фундаментальне питання діофантових рівнянь — алгебраїчних рівнянь , розв'язання яких шукаються у цілих чи раціональних числах. Питання це дуже просте: за яких умов ці рівняння мають рішення?

Раціональні розв'язки рівнянь еліптичних кривих мають одну разючу властивість: завдяки геометричній конструкції, вони утворюють групу. Структура, що вийшла, називається групою Морделла-Вейля, і фахівці з теорії чисел дуже хотіли б мати можливість обчислювати її. Для цього потрібно знайти систему генераторів: раціональних рішень, з яких за допомогою оператора групи можуть бути отримані всі решта. Якщо це не вдається, то хотілося б щонайменше мірою визначити основні характеристики групи, хоча б її величину. Тут, проте, багато чого ще незрозуміло. Іноді група нескінченна і породжує нескінченно багато раціональних рішень, іноді кінцева, і тоді число раціональних рішень теж звісно. Було б корисно мати можливість визначити, якої категорії належить конкретний випадок. Але що нам по-справжньому хотілося б знати, то це абстрактну структуру групи.

## Спроби доказу

Доказ Морделла, що кінцевий список генерує всі рішення, свідчить, що група має бути з кінцевої групи та гратчастої групи. Гратчаста група включає всі списки цілих чисел конкретної кінцевої довжини. Якщо довжина чисел, наприклад, три, група складається з усіх списків (m1, m2, m3) цілих чисел, і ці списки складаються очевидним образом:

(m1, m2, m3) + (n1, n2, n3) = (m1 + n1, m2 + n2, m3 + n3).

Довжина списку називається рангом групи (і геометрично є розмірність решітки). Якщо ранг групи 0, група кінцева. Якщо ранг не дорівнює нулю, група нескінченна. Тому, щоб зрозуміти, скільки існує рішень, не обов'язково знати повну структуру групи. Достатньо знати її ранг. Саме про це говорить гіпотеза Берча- Свіннертон-Дайєра.

Можливо, найпростіший спосіб продемонструвати, що гіпотеза Берча-Свіннертон-Дайєра має сенс і значення – це згадати у тому, що максимальний відомий ранг дорівнює 28.

Іншими словами, існує еліптична крива з набором із 29 раціональних рішень, що дозволяє отримати всі інші раціональні рішення. Більш того, меншого набору раціональних рішень, який дозволяв би це зробити, немає. Хоча відомо, що криві такого рангу є, конкретних прикладів досі не знайдено.

Максимальний ранг, для якого є конкретний приклад, дорівнює 18. Відповідну криву знайшов у 2006 р. Ноам Елкіс і виглядає так:

y2 + xy = x3 – 2617596009270588409631170178770120390355 6438969515x + 51069381476131486489742177100373772089779103253890567848326.

Доведено безліч теорем, що мають відношеннядо гіпотези Берча-Свіннертон-Дайєра (зазвичай з дуже серйозними формальними обмеженнями), але це поки що мало допомогло в просуванні до повного вирішення цього завдання.

У 1976 р.Коутс і Уайлс виявили перші вказівки на те, що ця гіпотеза може бути вірною. Вони довели, що один окремий випадокеліптичної кривої має ранг 0, якщо L-функція Діріхле не звертається в нуль у точці 1. Для такої еліптичної кривої число рішень пов'язаного з нею діофантового рівняння звичайно, можливо, дорівнює нулю, і визначити це можна за відповідною L-функцією. Після цього моменту вдалося зробити кілька технічних кроків, як і раніше обмежених переважно рангами 0 і 1. У 1990 р. Віктор Коливагін довів, що гіпотеза Берча-Свіннертон-Дайєра вірно для рангів 0 та 1.

## Корисні матеріали

Гіпотеза Берча-Свінерстон-Дайєра

Ієн Стюарт "Найвеличніші задачі математики"