recursal/Fanatic-Fandom huggingface dataset:
The Third Wave

The Third wave is the Third Outbreak of the Bog Virus and, for now, the last one. It stretches from the Infection of the Chad Faction's Leader to the Dance Revolution of the Byrne Republic.

### **Beginning**

The Third wave began mysteriously. Nobody knew how it managed to infect the whole Chad Church so silently and then also all of them. It also managed to hack itself into the Internet and turned itself from a Biological Virus, into a Computer Virus. The Virus learned from its past Mistakes and this time tried to take a totally different Route. It began infecting the whole Chad Church Faction silently. However it was spotted after a slight mess up by the Chad Church Leader, Elon Muscular.

### **Progress**

After it was called out, the Virus went into Defense. It has to be noted here that, over the entire course of the Third wave the Virus did NOT manage to infect any more people after it was called out. The Virus utilised the Strength of the Chad Church Members and made them invincible. Whatever the other Factions did, they were not able to kill them. Nor cure them. Some Factions reacted to this by launching Nukes straight at them, however they did not get killed or even slightly damaged. Everytime the Factions tried to attack, they retalliated even stronger. The Factions escaped to a different Planet, however they were out of Ideas to resist the Virus.

### **Fourth Wall break & Ending**

The Infected Chad church was invincible. The other Factions had enough of the War. And well, broke the Fourth Wall, dear Reader. And yes, I am breaking the fourth wall here too. The Factions gave up the Fighting, and instead united under one banner. Known as the Byrne Republic. They did not care about the Virus anymore. They just danced. Soon enough, the Virus lowered its Weapons and embraced the new World Order as the new World.

*Sometimes, you just have to realise that everything needs to have an End. Nothing is infinite.*
3.2.38(9)

Dibuje un campo de pendientes correspondiente a los puntos selectos en f':

Lo que hice fue identificar el valor de la pendiente (el cual obtuve aproximando a ojo los puntos a un valor), y lo extendí por 2 unidades de la variable independiente. Entonces rellené esa sección con líneas correspondientes a esa pendiente, y ya que terminé de hacer esas líneas, noté que se unian en los extremos, con lo que, ahora con un color (naranja) marqué por encima de las líneas que se unían, y así obtuve una gráfica de las f que cumplen ser correspondientes a los valores de f'
4.10.92(c)

Integrar:

∫

q
−
5

2
q

d
q

{\displaystyle \int {q-5 \over 2q}dq}

Reducimos la expresión.

* Sacamos de la integral las constantes.

1
2

∫

q
−
5

q

d
q

{\displaystyle {1 \over 2}\int {q-5 \over q}dq}

* Simplificamos

q

q

{\displaystyle q \over q}

1
2

∫

q
q

−

5
q

d
q

{\displaystyle {1 \over 2}\int {{q \over q}-{5 \over q}}dq}

Integramos

1
2

∫
1
−

5
q

d
q

{\displaystyle {1 \over 2}\int 1-{5 \over q}dq}

1
2

(
∫
1
d
q
−
∫

5
q

d
q
)

{\displaystyle {1 \over 2}(\int 1dq-\int {5 \over q}dq)}

1
2

(
q
−
∫

5
q

d
q
)

{\displaystyle {1 \over 2}(q-\int {5 \over q}dq)}

Usamos

∫

a
x

d
# x
a
ln
⁡

x

C

{\displaystyle \int {a \over x}dx=a\ln \left\vert x\right\vert +C}

 para integrar

∫

5
q

d
q

{\displaystyle \int {5 \over q}dq}

1
2

(
q
−
5
ln
⁡

q

)
C

{\displaystyle {1 \over 2}(q-5\ln \left\vert q\right\vert )+C}

1
2

q
−
5
ln
⁡

q

C

{\displaystyle {1 \over 2}q-5\ln \left\vert q\right\vert +C}
3.1..42

8. Calcule la derivada:

f
(
t
# )

t
1

1
−
3
t

,
# t
2
,
Δ
# t
0.001

{\displaystyle f(t)={\frac {t+1}{1-3t}},t=2,\Delta t=0.001}

f
′

(
2
)
≈

(
2.001
)
1

1
−
3
(
2.001
)

−

(
2
)
1

1
−
3
(
2
)

0.001

{\displaystyle f'(2)\approx {\frac {{\frac {(2.001)+1}{1-3(2.001)}}-{\frac {(2)+1}{1-3(2)}}}{0.001}}}

=

3.001

−
5.003

−

3

−
5

0.001

{\displaystyle ={\frac {{\frac {3.001}{-5.003}}-{\frac {3}{-5}}}{0.001}}}

= 0.599040576
6.8.94(b)

94-. Con ayuda de la gráfica de la siguiente función, determina un intervalo en el que se puedan invertir , y de ser así encuentre la inversa y su derivada en dicho intervalo.

b)

f
(
x
# )

1
−

x

2

{\displaystyle f(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}

El intervalo en el que podemos invertir la función es

[
0
,
1
]

{\displaystyle [0,1]}

Para conseguir la función inversa de

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}

:

f
(
x
# y

1
−

x

2

{\displaystyle f(x)=y={\sqrt {1-x^{2}}}}

y

2

=
1
−

x

2

{\displaystyle y^{2}=1-x^{2}}

x

2

=
1
−

y

2

{\displaystyle x^{2}=1-y^{2}}

# x

1
−

y
2

{\displaystyle x=\sqrt{1-y^2}}

f

−
1

(
x
# )

1
−

x

2

{\displaystyle f^{-1}(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}

Para encontrar su derivada podríamos ocupar

(

f

−
1

)
′

(
c
# )

1

f
′

(
d
)

{\displaystyle (f^{-1})'(c)={\frac {1}{f'(d)}}}

, pero la función inversa es la misma que la original, así que podemos derivar directamente:

(

f

−
1

)
′

(
x
# )
(

1
−

x

2

)
′

=

1
2

(
1
−

x

2

)

1
2

−
1

(
1
−

x

2

)
′

=

(
1
−

x

2

)
′

2

1
−

x

2

=

−
2
x

2

1
−

x

2

{\displaystyle (f^{-1})'(x)=({\sqrt {1-x^{2}}})'={\frac {1}{2}}(1-x^{2})^{{\frac {1}{2}}-1}(1-x^{2})'={\frac {(1-x^{2})'}{2{\sqrt {1-x^{2}}}}}={\frac {-2x}{2{\sqrt {1-x^{2}}}}}}

(

f

−
1

)
′

(
x
# )
−

x

1
−

x

2

{\displaystyle (f^{-1})'(x)=-{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
2.2.23

83.-

La gráfica refleja el peso de una persona en función de la edad. Describe en palabras como le peso de esta persona ha variado con el tiempo. ¿Qué piensas que pasó cuando esta persona tenía 30 años?

El peso de esta persona fue incrementando según se iba haciendo mayor, en algunos momentos de su vida incrementó más como es el caso de 10 a 20 años o de 35 a 40, en otros caso aumento mucho menos como de 20 a 30.

En el caso de os 30 años parece ser que perdió una cantidad considerable de peso en poco tiempo pero después lo recuperó.
4.10.91(a)

Derivar:

f
(
h
# )

e

l
n
(

h

2

)
−
l
n
(
h
)

{\displaystyle f(h)=e^{ln(h^{2})-ln(h)}}

Expandimos la expresión usando una de las propiedades de los exponentes

a

m
n

=

a

m

a

n

{\displaystyle a^{m+n}=a^{m}+a^{n}}

f
(
h
# )

e

l
n
(

h

2

)

(

e

−
l
n
(
h
)

)

{\displaystyle f(h)=e^{ln(h^{2})}(e^{-ln(h)})}

Sabemos que

e

l
n
(
x
)

=
x

{\displaystyle e^{ln(x)} = x}

, entonces:

f
(
h
# )

h

2

(

e

−
l
n
(
h
)

)

{\displaystyle f(h)=h^{2}(e^{-ln(h)})}

Utilizando

x
l
n
(
a
# )
l
n
(

a

x

)

{\displaystyle xln(a)=ln(a^{x})}

f
(
h
# )

h

2

(

e

l
n
(

h

−
1

)

)

{\displaystyle f(h)=h^{2}(e^{ln(h^{-1})})}

f
(
h
# )

h

2

(

h

−
1

)

{\displaystyle f(h)=h^{2}(h^{-1})}

f
(
h
# )
h

{\displaystyle f(h)=h}

Calculamos la derivada:

f
′

(
h
# )
1

{\displaystyle f'(h)=1}
Mech Junkie DS

Mech Junkie DS, aka DS, is a man who poses great danger to those in the KoC Society. It was reported that DS has the mental capacity of a hundred men combined, this has caused DS' brain to fragment itself into different personalities in order to shield itself. If DS' mind was still intact, it would not only cause the destruction of astronomical girth to the citizens of KoC but to DS himself.

DS has developed Young-Onset Dementia, meaning that he frequently changes between his multiple personalities, one such personality, dubbed 'Cringe', has been seen conspiring with the leader of Thought Inquistion, Dank Sidious. One factor remains constant through all of DS' personality, his obsession for Mechs, bi-pedal war machines.

The personality, 'Jew', launched the Mech Manufacturing company, Zeon Corp. DS 'Jew' often supplies other factions with Mech machines for monetary gain.
6.1.105

105.- a) Traduce: "Un tanque de 100,000 galones de agua tiene una fuga. Por la forma, el volumen del tanque es proporcional a su altura. La velocidad a la que el agua se fuga del tanque, es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la altura a la que está el agua sobre la fuga." A lenguaje de cálculo.

La información que nos da el problema es:

Volumen total: 100000 galones

# v
C
h

{\displaystyle v=Ch}

, donde C es una constante de proporcionalidad.

velocidad

v
′

(
t
# )
K

h
(
t
)

{\displaystyle v'(t)=K{\sqrt {h(t)}}}

, donde K es una constante de proporcionalidad.

b) Bosqueja una gráfica que pueda representar la altura en el tanque con el tiempo.

Para que podamos graficar la altura sobre el tiempo, despejamos h de las fórmulas de volumen y velocidad para obtener el campo de direcciones

h
′

=
A

h

{\displaystyle h'=A{\sqrt {h}}}

, donde A es negativa porque debe de ir perdiendo altura.

c) Dado que el nivel del agua es 23 pies y cae a una velocidad de 0.9 pulgadas por hora, aproxima el nivel de agua después de 24 horas.

0.9 pulgadas por hora= 0.075 pies por hora

Como solo es una proximación, consideraremos que la velocidad es constante durante las 24 horas, así que podemos hacer

23
−
0.075
(
24
# )
21.2

{\displaystyle 23-0.075(24)=21.2}

pies

d) Encuentra el nivel del agua exactamente después de 24 horas.

"Ecuaciones separables"
2.1.28

14 a) 4 segundos atrás (t=0) yo sostuve un libro 5 pies sobre el suelo.

b) Ahora, 4 segundos después dejé el libro caer y su velocidad es 0.

c) Durante su caída la velocidad cambió a un rango constante de 32 pies por segundo cada segundo.

a)

f
(
0
# )
5
f
t

{\displaystyle f(0)=5ft}

b)

f
′

(
4
# )
0

f
t

s

{\displaystyle f'(4)=0{\frac {ft}{s}}}

c)

f
″

(
x
# )
32

f
t

s

2

{\displaystyle f''(x)=32{\frac {ft}{s^{2}}}}

con x>4.
1.1.9

**El gerente de una fábrica de muebles encuentra que cuesta $ 2200 fabricar 100 sillas en una día y $ 4800 para producir 300 sillas en un día.**

**a)Suponiendo que la relación entre el costo y la cantidad de sillas producidas es lineal, encuentre una ecuación que expresa esta relación. Luego grafica la ecuación.**Tomaremos los valores de x como el numero de sillas, mientras que y será el precio diario, así que tomaremos el primer punto como (100,2200), también tomaremos (300,4800), sabiendo esto podemos seguir.

# m

y
2
−
y
1

x
2
−
x
1

{\displaystyle m = {y2 - y1 \over x2 - x1}}

 Utilizamos la formula de la pendiente.

# m

4800
−
2200

300
−
100

{\displaystyle m = {4800 - 2200 \over 300 - 100}}

 Sustituimos los valores.

# m

2600
200

{\displaystyle m = {2600 \over 200}}

 Resolvemos.

# m
13

{\displaystyle m=13}

 Valor de la pendiente.

Si usamos la pendiente, y los puntos trazados podemos llegar a la siguiente ecuación y con ella la gráfica:

y
−
y
# 1
m
(
x
−
x
1
)

{\displaystyle y-y1=m(x-x1)}

 Utilizamos la formula punto-pendiente.

y
−
# 2200
13
(
x
−
100
)

{\displaystyle y - 2200 = 13 (x-100)}

 Cambiamos valores.

y
−
# 2200
13
x
−
1300

{\displaystyle y - 2200 = 13x-1300}

 Multiplicamos los valores dentro del paréntesis.

# y
13
x
900

{\displaystyle y = 13x + 900}

 Cambiamos de signo los 2200 y los sumamos

Al graficarlo se comprueba que pasa por ambos puntos de la gráfica.

**b)¿Cuál es la pendiente de la recta del inciso a) y qué representa?**

La y es el costo de las sillas y la x es el numero de sillas, los 13 de la pendiente representa el precio por cada silla adicional construida.

**c)¿Cuál es la intersección con el eje y de esta línea y qué representa?**

la intersección con el eje y se encuentra en 900, esto representa cuando 0 sillas son manufacturadas en el día, los 900 representa el precio de funcionamiento de cada día, lo que sería $900.
4.1.62(d)

Calcule el siguiente limite:

lim

x
→
0

x
2

1
x

{\displaystyle \lim\_{x \rightarrow 0} x^2 + \frac{1}{x}}

Primero comienzo analizando las partes del límite por separado, para poder razonar el comportamiento del límite. Así obtengo:

lim

x
→
0

x
2

1
x

=

lim

x
→
0

x
2

lim

x
→
0

1
x

{\displaystyle \lim\_{x \rightarrow 0} x^2 + \frac{1}{x} =
\lim\_{x \rightarrow 0} x^2 + \lim\_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}}

Con esto, declaro que trataré a este límite como un límite de suma de funciones.

Evaluando por separado los limites obtengo:

lim

x
→
0

x
2

=

0
2

=
0

{\displaystyle \lim\_{x \rightarrow 0} x^2=
0^2 = 0}

Ahora, al evaluar

lim

x
→
0

1
x

{\displaystyle \lim\_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}}

obtengo:

lim

x
→
0

1
x

=

lim

x
→
0

1

lim

x
→
0

x

=

1
0

=

{\displaystyle \lim\_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}=
\frac{\lim\_{x \rightarrow 0}1 }{\lim\_{x \rightarrow 0}x }=
\frac{ 1 }{ 0 }=}

***Limite Indeterminado***

Aquí, al notar el denominador de la expresión llegamos a un gran problema: Cuando

# x
0

{\displaystyle x = 0}

, simplemente el limite no puede darse, y lo muestro haciendo uso de una tabla de valores, para considerar la aproximación al punto por ambos lados:

Se obtiene que

1
x

{\displaystyle \frac{1}{x}}

 se dispara a polos (infinitos) opuestos conforme

x
→
0

{\displaystyle x \rightarrow 0 }

por un lado o por otro, con lo que no puede haber un límite en 0, pues se obtienen 2 candidatos válidos, cosa que NO debe suceder, pues un límite en cualquier punto sólo debe tener un único valor posible.

Finalmente, obtenemos que

lim

x
→
0

x
2

1
x

=

lim

x
→
0

x
2

lim

x
→
0

1
x

=

0
2

1
0

=
0

1
0

=

1
0

{\displaystyle \lim\_{x \rightarrow 0} x^2 + \frac{1}{x} =
\lim\_{x \rightarrow 0} x^2 + \lim\_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} =
0^2 + \frac{1}{0} =
0 + \frac{1}{0} =
\frac{1}{0}}

Como anteriormente indiqué que la división sobre 0 no es operable, así que simplemente concluyo que hay límite indeterminado en x=0 (por existir 2 candidatos igualmente validos, pero en polos de magnitud opuestos, como nos lo muestra la gráfica)
4.3.71

Cálcule la derivada de las siguentes

funciones:

(a) f(x) = (35x − 8 − sen x)(4 − cos x)

(b)

f
(
t
# )
(
a

t

2

b
t
c
)
(
c
o
s
(
t
)
−
s
e
n
(
t
)
)

{\displaystyle f(t)=(at^{2}+bt+c)(cos(t)-sen(t))}

a)

f
′

(
x
# )
(
35
−
c
o
s
(
x
)
)
(
4
−
c
o
s
(
x
)
)
(
35
x
−
8
−
s
e
n
(
x
)
)
(
s
e
n
(
x
)
)

{\displaystyle f'(x)=(35-cos(x))(4-cos(x))+(35x-8-sen(x))(sen(x))}

b)

f
(
t
# )
(
2
a
t
b
)
(
c
o
s
(
t
)
−
s
e
n
(
t
)
)
(
a

t

2

b
t
c
)
(
−
s
e
n
(
t
)
−
c
o
s
(
t
)
)

{\displaystyle f(t)=(2at+b)(cos(t)-sen(t))+(at^{2}+bt+c)(-sen(t)-cos(t))}
4.6.81(b)

81-. Derive la siguiente función:

c)

f
(
x
# )
2
sen
⁡
(
x
−
7
)
cos
⁡
(
9

x

8

)

tan

2

⁡
(

1
5

x
)

{\displaystyle f(x)=2\operatorname {sen}(x-7)\cos(9x^{8})+\tan ^{2}({\frac {1}{5}}x)}

Se ocupa la regla de la suma y de la constante:

f
′

(
x
# )
2
(
sen
⁡
(
x
−
7
)
cos
⁡
(
9

x

8

)

)
′

(
(
tan
⁡
(

1
5

x
)

)

2

)
′

{\displaystyle f'(x)=2(\operatorname {sen}(x-7)\cos(9x^{8}))'+((\tan({\frac {1}{5}}x))^{2})'}

Se ocupa la regla del producto y del exponente:

f
′

(
x
# )
2
(
(
sen
⁡
(
x
−
7
)

)
′

cos
⁡
(
9

x

8

)
(
cos
⁡
(
9

x

8

)

)
′

sen
⁡
(
x
−
7
)
)
(
2
tan
⁡
(

1
5

x
)

)

2
−
1

)
(
tan
⁡
(

1
5

x
)

)
′

{\displaystyle f'(x)=2((\operatorname {sen}(x-7))'\cos(9x^{8})+(\cos(9x^{8}))'\operatorname {sen}(x-7))+(2\tan({\frac {1}{5}}x))^{2-1})(\tan({\frac {1}{5}}x))'}

Se ocupa la regla de la cadena en las funciones compuestas:

f
′

(
x
# )
2
(
cos
⁡
(
x
−
7
)
(
x
−
7

)
′

cos
⁡
(
9

x

8

)
(
−
sen
⁡
(
9

x

8

)
)
(
9

x

8

)
′

sen
⁡
(
x
−
7
)
)
2
tan
⁡
(

1
5

x
)

sec

2

⁡
(

1
5

x
)

1
5

(
x

)
′

{\displaystyle f'(x)=2(\cos(x-7)(x-7)'\cos(9x^{8})+(-\operatorname {sen}(9x^{8}))(9x^{8})'\operatorname {sen}(x-7))+2\tan({\frac {1}{5}}x)\sec ^{2}({\frac {1}{5}}x){\frac {1}{5}}(x)'}

Se realizan las ultimas derivadas:

f
′

(
x
# )
2
(
cos
⁡
(
x
−
7
)
(
1
)
cos
⁡
(
9

x

8

)
−
sen
⁡
(
9

x

8

)
)
(
9
(
8
)

x

8
−
1

)
sen
⁡
(
x
−
7
)
)
2
tan
⁡
(

1
5

x
)

sec

2

⁡
(

1
5

x
)

1
5

(
1
)

{\displaystyle f'(x)=2(\cos(x-7)(1)\cos(9x^{8})-\operatorname {sen}(9x^{8}))(9(8)x^{8-1})\operatorname {sen}(x-7))+2\tan({\frac {1}{5}}x)\sec ^{2}({\frac {1}{5}}x){\frac {1}{5}}(1)}

f
′

(
x
# )
2
cos
⁡
(
x
−
7
)
cos
⁡
(
9

x

8

)
−
sen
⁡
(
9

x

8

)
)
(
72

x

7

)
sen
⁡
(
x
−
7
)

2
5

tan
⁡
(

1
5

x
)

sec

2

⁡
(

1
5

x
)

{\displaystyle f'(x)=2\cos(x-7)\cos(9x^{8})-\operatorname {sen}(9x^{8}))(72x^{7})\operatorname {sen}(x-7)+{\frac {2}{5}}\tan({\frac {1}{5}}x)\sec ^{2}({\frac {1}{5}}x)}
1.3.16 (c)

Hallar el dominio de la siguiente función:

h
(
x
# )

1

5

x
2

{\displaystyle h(x) = \frac{1}{\sqrt{5+x^2}}}

Para que la función esté definida en los reales, el número dentro de la raíz no puede ser negativo o 0 (esto porque está dividiendo). Es importante notar que en este caso se estan sumando

5
 y

x
2

{\displaystyle 5 \text{ y } x^2}

.

Ya que cualquier número real al cuadrado es positivo x puede ser cualquier número real. x también puede ser 0 o cualquier número positivo por lo anterior dicho.

Es decir, el dominio de la función es:

(
−
∞
,
∞
)

{\displaystyle (-\infty,\infty)}
1.1.6

El costo mensual de mantener un automovil depende de cuantas millas conduscas al mes. Lynn estimo que
gastó $380 dolares cuando condujo 480 millas en Mayo, y $460 por 800 millas en Junio. Ella asume que esta
relación es lineal.

a)Encuentre la fórmula entre la distancia y el costo mensual:
Representado por el punto (480,380) de igual forma para el costo de $460 por recorrer 800 millas (800,460)

Determinando la pendiente: m=

(

460
−
380

800
−
480

=

80
320

=

1
4

)

{\displaystyle \left({\frac {460-380}{800-480}}={\frac {80}{320}}={\frac {1}{4}}\right)}

Usando la ecuación de punto pendiente (480,380):

y-y1=m(x-x1)= y=m(x-x1)+y1

y=

(

1
4

(
x
−
480
)
380

)

{\displaystyle \left({\frac {1}{4}}(x-480)+380\right)}

y=

(

1
4

(

x
−
480

4

)
380

)

{\displaystyle \left({\frac {1}{4}}({\frac {x-480}{4}})+380\right)}

y=

1
4

x
−
120
380

{\displaystyle {\frac {1}{4}}x-120+380}

y=

1
4

x
260

{\displaystyle {\frac {1}{4}}x+260}

b)Estime el costo por usarlo 1500 millas en un mes.

y=

(

1
4

x
260

)

{\displaystyle \left({\frac {1}{4}}x+260\right)}

donde x=1500

y=

(

1
4

(
1500
)
260

)

{\displaystyle \left({\frac {1}{4}}(1500)+260\right)}

y=

375
# 260
635

{\displaystyle 375+260=635}

c) Dibuje la gráfica

d)¿Qué representa la pendiente y la ordenada al origen en este conxteto?

La intersección con el eje de costos representa el costo por no recorrer ninguna distancia o por tener parado el automóvil durante todo el mes.

y=

(

1
4

x
260

)

{\displaystyle \left({\frac {1}{4}}x+260\right)}

y=

(

1
4

(
0
)
260

)

{\displaystyle \left({\frac {1}{4}}(0)+260\right)}

y=260

e) ¿Es un modelo adecuado el lineal para este problema? ¿Por qué? ¿Qué podría pasar para que fallara?

El modelo lineal es adecuado si el automóvil se encuentra en buen estado. "Suponiendo" lo anterior, el costo para moverlo será proporcional a las millas que recorre más el costo de tener el auto sin mover.
7.3.103(a)

Resuelve:

∫

1

z
l
n
(
z
)

d
z

{\displaystyle \int {\frac {1}{zln(z)}}dz}

Usando sustitución:

# u
l
n
(
z
)

{\displaystyle u=ln(z)}

d
u

d
z

=

1
z

{\displaystyle {\frac {du}{dz}}={\frac {1}{z}}}

d
# u

1
z

d
z

{\displaystyle du={\frac {1}{z}}dz}

Entonces

∫

1
u

d
u

{\displaystyle \int {\frac {1}{u}}du}

=
ln
⁡

u

c

{\displaystyle =\ln |u|+c}

=
l
n
(
l
n
(
z
)
)
c

{\displaystyle =ln(ln(z))+c}

Comprobación:
4.7.83(c)

Explicación en video: https://youtu.be/j\_ctdDgCmyI

Resuelva:

∫

1

(
b
2

)

2

d
b

{\displaystyle \int {\frac {1}{(b+2)^{2}}}db}

Tomaremos

# t
b
2

{\displaystyle t=b+2}

∫

1

t

2

d
t

{\displaystyle \int {\frac {1}{t^{2}}}dt}

Ahora usaremos la siguiente formula para resolver la integral.

−

1
t

{\textstyle -{\frac {1}{t}}}

Volvemos a sustituir a los valores originales

−

1

b
2

{\displaystyle -{\frac {1}{b+2}}}

y Ahora simplemente agregamos a la constante de integración.

−

1

b
2

C
,
C
∈
R

{\displaystyle -{\frac {1}{b+2}}+C,C\in R}
4.6.81(c)

Derive la siguiente función

f
(
x
# )

(
x
−
sin
⁡
(
x
)

)

11

cos
⁡
(
x
)

5

{\displaystyle f(x)={\sqrt[{5}]{\frac {(x-\sin(x))^{11}}{\cos(x)}}}}

Para simplificar la regla de la cadena, vamos a reescribir la función utilizando propiedades de los radicales y exponentes

f
(
x
# )

(
x
−
sin
⁡
(
x
)

)

11

5

cos
⁡
(
x
)

5

{\displaystyle f(x)={\frac {\sqrt[{5}]{(x-\sin(x))^{11}}}{\sqrt[{5}]{\cos(x)}}}}

=

f
(
x
# )

(
x
−
sin
⁡
(
x
)

)

11
5

(
cos
⁡
(
x
)

)

1
5

{\displaystyle f(x)={\frac {(x-\sin(x))^{\frac {11}{5}}}{(\cos(x))^{\frac {1}{5}}}}}

Derivamos por la fórmula para división

f
′

(
x
# )

(
x
−
sin
⁡
(
x
)

)

11
5

′
⋅
(
cos
⁡
(
x
)

)

1
5

−
(
x
−
sin
⁡
(
x
)

)

11
5

⋅
(
cos
⁡
(
x
)

)

1
5

′

(
(
cos
⁡
(
x
)

)

1
5

)

2

{\displaystyle f'(x)={\frac {(x-\sin(x))^{\frac {11}{5}}\prime \cdot (\cos(x))^{\frac {1}{5}}-(x-\sin(x))^{\frac {11}{5}}\cdot (\cos(x))^{\frac {1}{5}}\prime }{((\cos(x))^{\frac {1}{5}})^{2}}}}

Resolvemos las cadenas de los numeradores

g
(
x
# )
(
x
−
sin
⁡
(
x
)

)

11
5

{\displaystyle g(x)=(x-\sin(x))^{\frac {11}{5}}}

g
′

(
x
# )

11
5

(
x
−
sin
⁡
(
x
)

)

6
5

⋅
(
1
−
cos
⁡
(
x
)
)

{\displaystyle g'(x)={\frac {11}{5}}(x-\sin(x))^{\frac {6}{5}}\cdot (1-\cos(x))}

h
(
x
# )
(
cos
⁡
(
x
)

)

1
5

{\displaystyle h(x)=(\cos(x))^{\frac {1}{5}}}

h
′

(
x
# )

1
5

(
cos
⁡
(
x
)

)

−
4

5

⋅
(
−
sin
⁡
(
x
)
)

{\displaystyle h'(x)={\frac {1}{5}}(\cos(x))^{\frac {-4}{5}}\cdot (-\sin(x))}

Sustituimos en la derivada

f
′

(
x
# )

11
5

(
x
−
sin
⁡
(
x
)

)

6
5

(
1
−
cos
⁡
(
x
)
)
(
cos
⁡
(
x
)

)

1
5

−
(
x
−
sin
⁡
(
x
)

)

11
5

1
5

(
cos
⁡
(
x
)

)

−
4

5

(
−
sin
⁡
(
x
)
)

(
cos
⁡
(
x
)

)

2
5

{\displaystyle f'(x)={\frac {{\frac {11}{5}}(x-\sin(x))^{\frac {6}{5}}(1-\cos(x))(\cos(x))^{\frac {1}{5}}-(x-\sin(x))^{\frac {11}{5}}{\frac {1}{5}}(\cos(x))^{\frac {-4}{5}}(-\sin(x))}{(\cos(x))^{\frac {2}{5}}}}}
6.6.99(b)

Bosqueja un segmento de la gráfica de una función f(x) (alrededor de a) si se sabe que en el punto se cumple:

a
>
0
,

f
(
a
)
>
0
,

f
′

(
a
)
>
0
,

f
″

(
a
)
<
0

{\displaystyle a>0,\;f(a)>0,\;f'(a)>0,\;f''(a)<0}

Tomé a = 3

f
″

(
a
# )
x
−
5

{\displaystyle f''(a)=x-5}

f
′

(
a
# )

x

2

2

−
5
x
20

{\displaystyle f'(a)={\frac {x^{2}}{2}}-5x+20}

f
(
a
# )

x

3

6

−

5
2

x

2

20
x

{\displaystyle f(a)={\frac {x^{3}}{6}}-{\frac {5}{2}}x^{2}+20x}
1.3.20

Se da la gráfica de una función g.\\

(a)Encuentra g(-4),g(-2),g(0),g(2) y g(4)
\\

(b)Encuentra el dominio y el rango de g

Primero lo que se tendría que hacer es tomar los valores de y en los valores que se nos dieron, asi que seria

g(-4)= 3

g(-2)= 2

g(0)= -2

g(2)= 1

g(4)= 0

Entonces para obtener el dominio y el rango revisamos los puntos en los que se encuentran las x y las y. El dominio se obtiene a partir del valor de las x, mientras que el rango se obtiene a partir del valor de las y

Así que se toma el valor mínimo de x y el máximo, así que el dominio quedaría como:

Dominio: [ -4,4]

De la misma forma, tomamos los valores mínimos y máximos en la y para obtener el rango

Rango: [ -2,3]
4.7.88(f)

Calcule:

f)

∫

0

2

v

2

e

2
v

d
w

{\displaystyle \int \limits \_{0}^{2}v^{2}+e^{2v}dw}

TFC

Anti derivada:

v

2

e

2
v

=
(

v

2

e

2
v

)
# w
(

v

2

e

2
v

)
w

0

2

{\displaystyle v^{2}+e^{2v}=(v^{2}+e^{2v})w=(v^{2}+e^{2v})w|\_{0}^{2}}

Evaluamos:

(

v

2

e

2
v

)
w

0

2

=
2
(

v

2

e

2
v

)
−
0
(

v

2

e

2
v

# )

{\displaystyle (v^{2}+e^{2v})w|\_{0}^{2}=2(v^{2}+e^{2v})-0(v^{2}+e^{2v})=}

2
(

v

2

e

2
v

)

{\displaystyle 2(v^{2}+e^{2v})}
4.2.70

70.- Demuestre que

x

−
n

=
−
n

x

−
n
−
1

{\displaystyle x^{-n}=-nx^{-n-1}}

por medio de la regla del cociente.

Sabemos que:

x

−
n

=

1

x

n

{\displaystyle x^{-n}={1 \over x^{n}}}

Y también si

f
(
x
# )

g
(
x
)

h
(
x
)

{\displaystyle f(x)={g(x) \over h(x)}}

entonces

f
′

(
x
# )

h
(
x
)

g
′

(
x
)
−
g
(
x
)

h
′

(
x
)

h
(
x

)

2

{\displaystyle f'(x)={h(x)g'(x)-g(x)h'(x) \over h(x)^{2}}}

Entonces :

1

x

n

=

(
(

x

n

)
(
0
)
)
−
(
(
1
)
(
n

x

n
−
1

)
)

x

2
n

=

−
n

x

n
−
1

x

2
n

{\displaystyle {1 \over {x^{n}}}={{((x^{n})(0))-((1)(nx^{n-1}))} \over x^{2n}}={{-nx^{n-1}} \over x^{2n}}}

=
−
n

x

n
−
1

x

−
2
n

{\displaystyle =-nx^{n-1}x^{-2n}}

=
−
n

x

−
n
−
1

◼

{\displaystyle =-nx^{-n-1}\blacksquare }
4.2.64(B)

Derive las siguentes funciónes (con las reglas de derivación vistas)

h
(
x
# )

1
3

(

x

7

2
x
−
9

)
2

{\displaystyle h(x)= \frac{1}{3}(x^{7}+2x-9)^2}

h
(
x
# )

1
3

(

x

14

4

x

8

18

x

7

4

x

2

−
36
x
81
)

{\displaystyle h(x)= \frac{1}{3}(x^{14}+4x^{8}+18x^{7}+4x^{2}-36x+81)}

Y usando [cf(x)]'=cf'(x) y [f(x)+g(x)]' = f(x)'+g(x)'

h
′

(
x
# )

1
3

(
14

x

13

32

x

7

126

x

6

8
x
−
36
)

{\displaystyle h'(x)=\frac{1}{3} (14x^{13}+32x^{7}+126x^{6}+8x-36)}
3.2.36(15)

{\displaystyle f'}

, haga un bosquejo de

f

{\displaystyle f}

.

De la gráfica anterior se puede intuir los valores en los que f' se encuentra, por ejemplo:

f
′

(
1
# )
0.5

{\displaystyle f'(1)=0.5}

f
′

(
3
# )
0.75

{\displaystyle f'(3)=0.75}

f
′

(
4
# )
1.5

{\displaystyle f'(4)=1.5}

f
′

(
5
# )
0.75

{\displaystyle f'(5)=0.75}

f
′

(
8
# )
0.5

{\displaystyle f'(8)=0.5}

Para poder sacar la gráfica dado los valores anteriores tendríamos que sacar la tasa de cambio entre cada uno de los puntos, pero se puede observar a simple vista los valores de la tasa de cambio, dándonos la siguiente gráfica:

Observemos que en la gráfica anterior, empezamos a graficar desde el punto (0,0) del plano, pero realmente la gráfica original

(

f
′

)

{\displaystyle (f')}

no nos da algún tipo de información a cerca del punto inicial para empezar graficar la función. de esta manera podemos tener el punto de referencia (**y**) que queramos. Con esta primera referencia podemos crear un mapa dentro del plano para poder insertar la gráfica resultante iniciando en el mismo punto en **x**, pero en una diferente **y** cómo se muestra en la imagen siguiente.

A la gráfica anterior le llamamos *Campo de direcciones.* Ya que al pasar de

f
′

→
f

{\displaystyle f'\rightarrow f}

no tenemos un punto fijo, en esta gráfica representamos los posibles lugares en donde puede estar situada nuestra gráfica en el plano.

En caso de que no tengamos tan visible la tasa de cambio, lo que tenemos que hacer es tomar dos puntos de la gráfica (el intervalo a estudiar) y sacar el promedio de un punto a otro con la fórmula

f
(
x
# )

y
2

y
1

x
2

x
1

{\displaystyle f(x)={\operatorname {y2\ -\ y1} \over \operatorname {x2\ -\ x1} }}

.
4.5.77

Calcule la derivada de la siguiente funcion:

d

d
x

c
o
s
(
2
s
e
n
(
5

x

2

)
)

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}cos(2sen(5x^{2}))}

Usaremos la regla de la cadena donde

# g
2
s
e
n
(
5

x

2

)

{\displaystyle g=2sen(5x^{2})}

d

d
g

c
o
s
(
g
)
∗

d

d
x

(
2
s
e
n
(
5

x

2

)
)

{\displaystyle {\frac {d}{dg}}cos(g)\*{\frac {d}{dx}}(2sen(5x^{2}))}

Calculamos la derivada de la primera parte.

−
s
e
n
(
g
)
∗

d

d
x

(
2
s
e
n
(
5

x

2

)
)

{\displaystyle -sen(g)\*{\frac {d}{dx}}(2sen(5x^{2}))}

Calculamos la derivada de la función compuesta.

−
s
e
n
(
g
)
∗
2
c
o
s
(
5

x

2

)
∗
5
∗
2
x

{\displaystyle -sen(g)\*2cos(5x^{2})\*5\*2x}

Sustituimos la g por su valor

−
s
e
n
(
2
s
e
n
(
5

x

2

)
)
∗
2
c
o
s
(
5

x

2

)
∗
5
∗
2
x

{\displaystyle -sen(2sen(5x^{2}))\*2cos(5x^{2})\*5\*2x}

Ahora solo calcularemos el producto de todo.

−
20
x
∗
s
e
n
(
2
s
e
n
(
5

x

2

)
)
c
o
s
(
5

x

2

)

{\displaystyle -20x\*sen(2sen(5x^{2}))cos(5x^{2})}
6.6.100

Dada la gráfica

f
″

(
x
)

{\displaystyle f''(x)}

de encuentra el punto de inflexión y concavidades de

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}

La información que nos da la gráfica de

f
″

(
x
)

{\displaystyle f''(x)}

 es que los valores positivos significan que la primera derivada está creciendo por lo tanto la función es cóncava hacia arriba, en cambio los valores negativos significan que la derivada decrece y la función es cóncava hacia abajo. El punto donde los valores de

f
″

(
x
)

{\displaystyle f''(x)}

 cambian de signo es el punto de inflexión.

Así que observando nuestra gráfica podemos ver que

Puntos de inflexión en

f
(
−
1
)

{\displaystyle f(-1)}

y

f
(
9.5
)

{\displaystyle f(9.5)}

Concavidad:

x
<
−
1

{\displaystyle x<-1}

Concavidad hacia abajo

−
1
<
x
<
9.5

{\displaystyle -1<x<9.5}

Concavidad hacia arriba

9.5
<
x

{\displaystyle 9.5<x}

Concavidad hacia abajo
3.3.41 (5)

Aproximar el valor de la derivada de

f
(
t
# )
sin
⁡
(
2
t
)
cos
⁡
(
t
)

{\displaystyle f(t)=\sin(2t)+\cos(t)}

considerando que

# t
π

/

2

{\displaystyle t=\pi /2}

,

Δ
(
t
# )
−
0.1

{\displaystyle \Delta (t)=-0.1}

f
′

(
t
# )

f
(
(
t
)
Δ
(
t
)
)
−
f
(
t
)

Δ
(
t
)

{\displaystyle f'(t)={\frac {f((t)+\Delta (t))-f(t)}{\Delta (t)}}}

f
′

(
π

/

2
# )

f
(
π

/

2
−
0.1
)
−
f
(
π

/

2
)

−
0.1

{\displaystyle f'(\pi /2)={\frac {f(\pi /2-0.1)-f(\pi /2)}{-0.1}}}

f
′

(
π

/

2
# )

f
(
1.47
)
−
f
(
π

/

2
)

−
0.1

{\displaystyle f'(\pi /2)={\frac {f(1.47)-f(\pi /2)}{-0.1}}}

f
(
1.47
# )
sin
⁡
(
2
×
1.47
)
cos
⁡
(
1.47
# )
0.30

{\displaystyle f(1.47)=\sin(2\times 1.47)+\cos(1.47)=0.30}

f
(
π

/

2
# )
sin
⁡
(
2
×
π

/

2
)
cos
⁡
(
π

/

2
# )
0

{\displaystyle f(\pi /2)=\sin(2\times \pi /2)+\cos(\pi /2)=0}

f
′

(
π

/

2
# )

0.30
−
0

−
0.1

{\displaystyle f'(\pi /2)={\frac {0.30-0}{-0.1}}}

f
′

(
π

/

2
# )
−
3

{\displaystyle f'(\pi /2)=-3}
2.2.35(33)

Elegir de las tres gráficas que se presentan, cuál corresponde a

f

{\displaystyle f}

, cuál a

f
′

{\displaystyle f'}

y cuál a

f
″

{\displaystyle f''}

Elegí que c) es

f

{\displaystyle f}

, b) es

f
′

{\displaystyle f'}

y a) es

f
″

{\displaystyle f''}

haciendo los dibujitos de la derivada o la función de cada una de las gráficas.
The Reposr Alliance

The Reposr Alliance is an Alliance that was created by the U.A.B..

#### Name creation

The name of the Reposr Alliance was created by the famous Rap god Tone Steak. The Name was taken from one of his messages that he had sent with an accidental grammar error. However the Faction of the Kek or Cringe Lands loved the name, Especially the U.A.B. Faction who started creating Alliances with other Factions under the Reposr name.

#### First Alliance

The first Alliance underneath the Reposr name was made between the U.A.B. Faction and the Thought Inquisition. Back then the Alliance between the two was made as an Opposition against the A.R.M. Faction who, back then, seemed a much larger Threat than previously thought. However, the U.A.B. faction shared similar goals with the A.R.M. Faction instead of the Thought Inquisition, and soon Tensions were starting to rise between the two.

#### Second Alliance

The second Alliance underneath the Reposr name was made between the U.A.B. Faction and the A.R.M Faction. The two Factions shared similar Ideals and Goals, so they were in pretty good conditions. The A.R.M. faction however, at first, denied the Alliance and did not want to ally with anyone, until they realised how important it can be to have a partner in the war.

This realisation would much later prove even more useful at the final showdown where the spirit of the Reposr Alliance shined one last time before dissapearing forever.

#### Failed Alliances

1. The Fragment Faction was invited to the reposr Alliance but just after one minuted they were kicked out again.
2. The Chad Faction was invited to the reposr Alliance but it failed shortly after.
4.2.63(d)

Demuestre mediante la definición de la derivada y el proceso de limite las siguientes propiedades y reglas:

d) Si

f
(
x
# )

x
4

{\displaystyle f(x) = x^4}

entonces

f
′

(
x
# )
4

x
3

{\displaystyle f'(x) = 4x^3}

Mediante la formula de la derivada tenemos que:

Si

f
′

(
x
# )

lim

Δ
x
→
0

Δ
f

Δ
x

=

lim

Δ
x
→
0

f
(
x
Δ
x
)
−
f
(
x
)

Δ
x

{\displaystyle f'(x) = \lim\_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim\_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x + \Delta x) -f(x)}{\Delta x}}

,

entonces

f
′

(
x
# )

lim

Δ
x
→
0

Δ
f

Δ
x

=

lim

Δ
x
→
0

(
x
Δ
x

)
4

−
(
x

)
4

Δ
x

{\displaystyle f'(x) = \lim\_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim\_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x + \Delta x)^4 -(x)^4}{\Delta x}}

Elevando a la cuarta el binomio:

lim

Δ
x
→
0

(

x
4

4

x

3

Δ
x
6

x

2

Δ

x

2

4
x
Δ

x

3

Δ

x

4

)
−

x
4

Δ
x

{\displaystyle \lim\_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x^4 + 4x^{3}\Delta x + 6x^{2}\Delta x^{2} + 4x\Delta x^{3} + \Delta x^{4}) -x^4}{\Delta x}}

Acomodando y reduciendo términos:

lim

Δ
x
→
0

4

x

3

Δ
x
6

x

2

Δ

x

2

4
x
Δ

x

3

Δ

x

4

Δ
x

{\displaystyle \lim\_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{4x^{3}\Delta x + 6x^{2}\Delta x^{2} + 4x\Delta x^{3} + \Delta x^{4}}{\Delta x}}

Dividiendo todo por

Δ
x

{\displaystyle \Delta x }

:

lim

Δ
x
→
0

4

x

3

6

x

2

Δ
x
4
x
Δ

x

2

Δ

x

3

{\displaystyle \lim\_{\Delta x \rightarrow 0} 4x^{3} + 6x^{2}\Delta x + 4x\Delta x^{2} + \Delta x^{3}}

Evaluando el limite en

0

{\displaystyle 0}

:

4

x

3

6

x

2

(
0
)
4
x
(
0

)

2

(
0

)

3

{\displaystyle 4x^{3} + 6x^{2}(0) + 4x(0)^{2} + (0)^{3}}

f
′

(
x
# )
4

x
3

{\displaystyle f'(x) = 4x^3}
6.10.11.104

104-. Recordemos de la primaria que el trabajo(

W

{\displaystyle W}

) realizado por una fuerza(

F

{\displaystyle F}

) a lo largo de una distancia (

x

{\displaystyle x}

) se calcula con la fórmula:

# W
F
⋅
x

{\displaystyle W=F\cdot x}

para una fuerza aplicada de manera constante, en el mundo real es muy raro que las fuerzas se apliquen sin variación, uno aplica más o menos fuerza. Es natural pensar que la fuerza es una función del desplazamiento

F
(
x
)

{\displaystyle F(x)}

 que cambia de acuerdo al lugar en el que estés. argumenta lo mejor que puedas por qué el trabajo realizado por la fuerza

F
(
x
)

{\displaystyle F(x)}

a lo largo de una distancia x en la linea recta desde el punto a al punto b (

i
.
e

∈
[
a
,
b
]

{\displaystyle i.e\ \ \in [a,b]}

) es exactamente:

∫

a

b

F
(
x
)
d
x

{\displaystyle \int \_{a}^{b}F(x)dx}

Calcule el trabajo realizado al ir levantando una cadena de 6 metros (que está enrollada en el piso) por su extremo (cargando todo el peso de lo ya levantado), si la cadena tiene un peso de 5 Newtons por cada metro de la cadena.
4.7.85

Una partícula en un campo magnético es acelerada, su velocidad está descrita por la función

v
(
t
# )
2

t
3

m

/

s

{\displaystyle v(t)=2t^3 \; m/s}

a. ¿Cuánta distancia recorrerá en 2 segundos?
Básicamente nos están pidiendo su integral definida de 0 a 2, pero primero necesitamos saber la antiderivada:

∫
2

t
3

d
# t
2
∫

t
3

d
# t
2
(

t
4

4

)
# C

t
4

2

C

{\displaystyle \int 2t^3 \; dt = 2\int \; t^3\; dt = 2(\frac{t^4}{4})+C = \frac{t^4}{2}+C}

Ahora comprobamos si esa es la antiderivada derivando el resultado:

d

d
t

(

t
4

2

C
# )
4
(

t
3

2

# )
2

t
3

{\displaystyle \frac{d}{dt}(\frac{t^4}{2}+C) = 4(\frac{t^3}{2}) = 2t^3}

Ahora saquemos la derivada de 0 a 2:

∫

0

2

2

t
3

d
# t

2
4

2

−

0
4

2

=
8

m
e
t
r
o
s

{\displaystyle \int\_{0}^{2} 2t^3 \; dt = \frac{2^4}{2} - \frac{0^4}{2} = 8 \; metros }

b. ¿Cuándo estara a 12 metros de su partida?

∫

0

x

2

t
3

d
# t
12

m
e
t
r
o
s
→

x
4

2

=
12
→

x
4

=
24
→

x
4

4

=

24
4

→
# x
2.21336

s
e
g
u
n
d
o
s

{\displaystyle \int\_{0}^{x}2t^3\; dt = 12\; metros \to \frac{x^4}{2}= 12 \to x^4=24 \to \sqrt[4]{x^4} = \sqrt[4]{24} \to x = 2.21336 \; segundos }
1.1.13

Da la ecuación de la línea que cumpla las condiciones:

-Que uno de sus puntos sea (1,7)

-Que sea paralela a la línea que pasa por los puntos (2,5) y (-2,1)

# m

Δ
y

Δ
x

=

5
−
1

2
−
(
−
2
)

=

4
4

=
1

{\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {5-1}{2-(-2)}}={\frac {4}{4}}=1}

P
# a
(
1
,
7
)
⇒
P
# b
(
0
,
6
)

{\displaystyle Pa=(1,7)\Rightarrow Pb=(0,6)}

# y
f
(
x
# )
m
x
# b
1
x
# b
x
# b
0
# b
b

{\displaystyle 6=y=f(x)=mx+b=1x+b=x+b=0+b=b}

# b
6

{\displaystyle b=6}

f
(
x
# )
x
6

{\displaystyle f(x)=x+6}
4.7.88(d)

Explicación en video: https://youtu.be/8ehWbnUGsMg

Calcule:

∫

e

4
r
2

d
r

{\displaystyle \int e^{4r+2}dr}

Sustituimos

# s
4
r
2

{\displaystyle s=4r+2}

 y le ponemos 4 de denominador debido a las 4r del exponente.

∫

e

s

4

d
s

{\displaystyle \int {\frac {e^{s}}{4}}ds}

Por propiedades de la integral podemos mover el sobre 4 y multiplicar toda la integral.

1
4

∗
∫

e

s

d
s

{\displaystyle {\frac {1}{4}}\*\int e^{s}ds}

La integral de

e

s

d
s

{\displaystyle e^{s}ds}

 es simplemente

e

s

{\displaystyle e^{s}}

1
4

e

s

{\displaystyle {\frac {1}{4}}e^{s}}

Volvemos a los valores originales.

1
4

e

4
r
2

{\displaystyle {\frac {1}{4}}e^{4r+2}}

Ahora solo multiplicamos por el un cuarto

e

4
r
2

4

{\displaystyle {\frac {e^{4r+2}}{4}}}

Y agregamos la constante de integración.

e

4
r
2

4

C
,
C
∈
R

{\displaystyle {\frac {e^{4r+2}}{4}}+C,C\in R}
7.2.101(d)

Integrar

∫
t
a
n
x
d
x

{\displaystyle \int tanxdx}

Usamos la entidad trigonométrica

t
a
n
# x

s
e
n
x

c
o
s
x

{\displaystyle tanx={senx \over cosx}}

, reescribimos la integral:

∫

s
e
n
x

c
o
s
x

d
x

{\displaystyle \int {senx \over cosx}dx}

# u
c
o
s
x

{\displaystyle u=cosx}

d
# u
−
s
e
n
x
d
x

{\displaystyle du=-senxdx}

−
d
# u
s
e
n
x
d
x

{\displaystyle -du=senxdx}

Sustituimos en la integral.

∫

−
d
u

u

{\displaystyle \int {-du \over u}}

−

∫

d
u

u

{\displaystyle -{\int {du \over u}}}

Utilizamos

∫

1
x

d
# x
ln
⁡

x

C

{\displaystyle \int {1 \over x}dx=\ln \left\vert x\right\vert +C}

=
−
l
n

u

C

{\displaystyle =-ln\left\vert u\right\vert +C}

=
−
l
n

c
o
s
x

C

{\displaystyle =-ln\left\vert cosx\right\vert +C}
3.2.45

Estimar la derivada de la función

k
(
y
# )
(
3
−
y

)
2

{\displaystyle k(y) = (3 - y)^2}

sobre un punto arbitrario *y* para un valor arbitrario de

Δ
y
.

{\displaystyle \Delta y.}

Simplificar la expresión cuando

Δ
y

{\displaystyle \Delta y }

se aproxima a cero.

Sustituimos la función en la fórmula de la derivada descrita como

f
(
t
Δ
t
)
−
f
(
t
)

Δ
t

{\displaystyle \frac{f(t + \Delta t) - f(t)}{\Delta t}}

quedándonos con la siguiente fórmula:

f
(
t
Δ
t
)
−
f
(
t
)

Δ
t

→

k
(
y
Δ
y
)
−
k
(
y
)

Δ
y

=

(
3
Δ
y
y

)
2

−
(
3
−
y

)
2

Δ
y

{\displaystyle \frac{f(t + \Delta t) - f(t)}{\Delta t} \rightarrow \frac{k(y + \Delta y) - k(y)}{\Delta y}
= \frac{(3 + \Delta y + y)^2 - (3 - y)^2}{\Delta y}}

Juntamos términos y simplificamos:

=

(
9
3
Δ
y
−
3
y
3
Δ
y
Δ

y
2

−
Δ
y
y
−
3
y
−
Δ
y
y

y
2

)
−
(
9
−
3
y
−
3
y

y
2

)

Δ
y

{\displaystyle = \frac{(9 + 3 \Delta y - 3 y + 3 \Delta y + \Delta y^2 - \Delta yy - 3 y - \Delta yy + y^2) - (9 - 3 y - 3 y + y^2)}{\Delta y}}

=

(
9
6
Δ
y
−
6
y
Δ

y
2

−
2
Δ
y
y

y
2

)
−
(
9
−
6
y

y
2

)

Δ
y

{\displaystyle = \frac{(9 + 6 \Delta y - 6 y + \Delta y^2 - 2 \Delta yy + y^2) - (9 - 6 y + y^2)}{\Delta y}}

Simplificamos y factorizamos:

=

6
Δ
y
Δ

y
2

−
2
Δ
y
y

Δ
y

=

Δ
y
(
6
Δ
y
−
2
y
)

Δ
y

{\displaystyle = \frac{6 \Delta y + \Delta y^2 - 2 \Delta yy}{\Delta y}
= \frac{\Delta y(6 + \Delta y - 2 y)}{\Delta y}}

=
6
Δ
y
−
2
y

{\displaystyle = 6 + \Delta y - 2y}
4.6.81 (a)

Derive:

f
(
x
# )

(

x

2

−
4
x
5

)

2

3

−

s
e
n
x
−
3

x

{\displaystyle f(x)={\frac {(x^{2}-4x+5)^{2}}{3}}-{\frac {senx-3}{x}}}

f
(
x
# )

1
3

(

x

2

−
4
x
5

)

2

−

s
e
n
x
−
3

x

{\displaystyle f(x)={\frac {1}{3}}(x^{2}-4x+5)^{2}-{\frac {senx-3}{x}}}

f
′

(
x
# )

2
3

(

x

2

−
4
x
5
)
(
2
x
−
4
)
−

(
c
o
s
x
)
(
x
)
−
(
s
e
n
x
−
3
)
(
1
)

x

2

{\displaystyle f'(x)={\frac {2}{3}}(x^{2}-4x+5)(2x-4)-{\frac {(cosx)(x)-(senx-3)(1)}{x^{2}}}}

f
′

(
x
# )

2
3

(
2

x

3

−
8

x

2

10
x
−
4

x

2

16
x
−
20
)
−

x
c
o
s
x
−
(
s
e
n
x
−
3
)

x

2

{\displaystyle f'(x)={\frac {2}{3}}(2x^{3}-8x^{2}+10x-4x^{2}+16x-20)-{\frac {xcosx-(senx-3)}{x^{2}}}}

f
′

(
x
# )

2
3

(
2

x

3

−
12

x

2

26
x
−
20
)
−

c
o
s
x

x

s
e
n
x
3

x

2

{\displaystyle f'(x)={\frac {2}{3}}(2x^{3}-12x^{2}+26x-20)-{\frac {cosx}{x}}+{\frac {senx+3}{x^{2}}}}

f
′

(
x
# )

4

x

3

3

−
16

x

2

104
x

3

−

80
3

s
e
n
x
3

x

2

−

c
o
s
x

x

{\displaystyle f'(x)={\frac {4x^{3}}{3}}-16x^{2}+{\frac {104x}{3}}-{\frac {80}{3}}+{\frac {senx+3}{x^{2}}}-{\frac {cosx}{x}}}
4.7.84(a)

84 a) Calcular el área delimitada por el intervalo [1,5] de la gráfica de la función

f
(
x
# )

3

x

2
3

2

{\displaystyle f(x)={\frac {3x^{\frac {2}{3}}}{2}}}

Una vez sacada la gráfica de la función delimitamos el área que queremos calcular y aplicamos la integral definida, dándonos el siguiente resultado:

∫

1

5

(

3

x

2
3

2

)

d
# x

{\displaystyle \int \_{1}^{5}\left({\frac {3x^{\frac {2}{3}}}{2}}\right)dx=}

Calculamos la integral propuesta del cual nos queda:

∫

1

5

(

3

x

2
3

2

)

d
x

{\displaystyle \int \_{1}^{5}\left({\frac {3x^{\frac {2}{3}}}{2}}\right)dx}

=

3
2

∫

1

5

x

2
3

d
# x

3
2

(

x

2
3

1

2
3

1

)

1

2

{\displaystyle ={\frac {3}{2}}\int \_{1}^{5}x^{\frac {2}{3}}dx={\frac {3}{2}}{\Biggl (}{\frac {x^{{\frac {2}{3}}+1}}{{\frac {2}{3}}+1}}{\Biggr )}\_{1}^{2}}

Simplificamos la expresión resultante dándonos:

=

3
2

(

x

5
3

5
3

)

→

{\displaystyle ={\frac {3}{2}}{\biggl (}{\frac {x^{\frac {5}{3}}}{\frac {5}{3}}}{\biggr )}\rightarrow }

aplicando ley del sandwitch

=

3
2

(

3

x

5
3

5

)

=

9
10

x

5
3

{\displaystyle ={\frac {3}{2}}{\biggl (}{\frac {3x^{\frac {5}{3}}}{5}}{\biggr )}={\frac {9}{10}}x^{\frac {5}{3}}}

Usando el Teorema Fundamental del Cálculo, podemos calcular el área bajo la curva de la expresión anterior, de la siguiente manera:

f
(
b
)
−
f
(
a
# )

(

9
10

(
5

)

5
3

)

−

(

9
10

(
1

)

5
3

)

{\displaystyle f(b)-f(a)={\Bigl (}{\frac {9}{10}}(5)^{\frac {5}{3}}{\Bigr )}-{\Bigl (}{\frac {9}{10}}(1)^{\frac {5}{3}}{\Bigr )}}

Donde *a* y *b* representan los intervalos iniciales de la integral.

Dándonos como resultado

12.2580

u

2

{\displaystyle 12.2580u^{2}}

como el área de la gráfica.
4.2.67

(A)

C
′

(
t
# )

lim

△
t
→
0

−
0.8
(
t
△
t

)

2

50
(
t
△
t
)
−
(
−
0.8

t

2

50
t
)

△
t

{\displaystyle C'(t)=\lim \_{\vartriangle t\to 0}{\frac {-0.8(t+\vartriangle t)^{2}+50(t+\vartriangle t)-(-0.8t^{2}+50t)}{\vartriangle t}}}

C
′

(
t
# )

lim

△
t
→
0

−
0.8
(

t

2

2
t
△
t
(
△
t

)

2

)
50
(
t
△
t
)
−
(
−
0.8

t

2

50
t
)

△
t

{\displaystyle C'(t)=\lim \_{\vartriangle t\to 0}{\frac {-0.8(t^{2}+2t\vartriangle t+(\vartriangle t)^{2})+50(t+\vartriangle t)-(-0.8t^{2}+50t)}{\vartriangle t}}}

C
′

(
t
# )

lim

△
t
→
0

−
0.8

t

2

−
1.6
t
△
t
−
0.8
(
△
t

)

2

50
t
50
△
t
0.8

t

2

−
50
t

△
t

{\displaystyle C'(t)=\lim \_{\vartriangle t\to 0}{\frac {-0.8t^{2}-1.6t\vartriangle t-0.8(\vartriangle t)^{2}+50t+50\vartriangle t+0.8t^{2}-50t}{\vartriangle t}}}

C
′

(
t
# )

lim

△
t
→
0

−
1.6
t
△
t
−
0.8
(
△
t

)

2

50
△
t

△
t

{\displaystyle C'(t)=\lim \_{\vartriangle t\to 0}{\frac {-1.6t\vartriangle t-0.8(\vartriangle t)^{2}+50\vartriangle t}{\vartriangle t}}}

C
′

(
t
# )

lim

△
t
→
0

−
1.6
t
−
0.8
△
t
50

{\displaystyle C'(t)=\lim \_{\vartriangle t\to 0}-1.6t-0.8\vartriangle t+50}

C
′

(
t
# )
−
1.6
t
50

{\displaystyle C'(t)=-1.6t+50}

(B)

# 0
−
1.6
t
50

{\displaystyle 0=-1.6t+50}

# t

−
50

−
1.6

{\displaystyle t={\frac {-50}{-1.6}}}

# t
31.25
s

{\displaystyle t=31.25s}

# t
31.25
s

{\displaystyle t=31.25s}

es el tiempo de subida, ya que nuestra velocidad llega a 0 cuando esta en el punto mas alto

Al ser tiro vertical sabemos que el tiempo de subida y de bajada es el mismo, podemos comprobar esto reemplazando 62.5 en la ecuacion de la distancia, este debe darnos 0 ya que estaria en el suelo.

# 0
−
0.8
(
62.5

)

2

50
(
62.5
)

{\displaystyle 0=-0.8(62.5)^{2}+50(62.5)}

# 0
−
3125
3125

{\displaystyle 0=-3125+3125}

# 0
0

{\displaystyle 0 = 0}

(C)

Ahora que sabemos cual es el tiempo de subida podemos sustituir en la ecuacion de la distancia este para obtener la altura maxima del proyectil

h
m
a
# x
−
0.8
(
31.25

)

2

50
(
31.25
)

{\displaystyle hmax=-0.8(31.25)^{2}+50(31.25)}

h
m
a
# x
781.25
m
e
t
r
o
s

{\displaystyle hmax=781.25metros}

(D)

C
′

(
t
# )
−
1.6
t
50

{\displaystyle C'(t)=-1.6t+50}

C
″

(
t
# )

lim

△
t
→
0

−
1.6
(
t
△
t
)
50
−
(
−
1.6
t
50
)

△
t

{\displaystyle C''(t)=\lim \_{\vartriangle t\to 0}{\frac {-1.6(t+\vartriangle t)+50-(-1.6t+50)}{\vartriangle t}}}

C
″

(
t
# )

lim

△
t
→
0

−
1.6
t
−
1.6
△
t
50
1.6
t
−
50

△
t

{\displaystyle C''(t)=\lim \_{\vartriangle t\to 0}{\frac {-1.6t-1.6\vartriangle t+50+1.6t-50}{\vartriangle t}}}

C
″

(
t
# )

lim

△
t
→
0

−
1.6
△
t

△
t

{\displaystyle C''(t)=\lim \_{\vartriangle t\to 0}{\frac {-1.6\vartriangle t}{\vartriangle t}}}

C
″

(
t
# )
−
1.6

{\displaystyle C''(t)=-1.6}

(E)

De la ecuacion resultante que nos da la aceleracion podemos decir que se trata de la aceleracion de la gravedad ejercida por la luna, hacia el cohete, por eso es negativa y por ello la ecuacion es constante.
7.2.101(c)

101-. Resuelva la siguiente integral:

∫
cos
⁡
(
x
)
sen
⁡
(
x
)
d
x

{\displaystyle \int \cos(x)\operatorname {sen}(x)dx}

Cambiamos

sen
⁡
x

{\displaystyle \operatorname {sen} x}

# u
sen
⁡
(
x
)

{\displaystyle u=\operatorname {sen}(x)}

Ocupando la derivada hallamos

d
x

{\displaystyle dx}

d
u

d
x

=
cos
⁡
(
x
)

{\displaystyle {du \over dx}=\cos(x)}

d
# u
cos
⁡
(
x
)
d
x

{\displaystyle du=\cos(x)dx}

d
u

cos
⁡
(
x
)

=
d
x

{\displaystyle {du \over \cos(x)}=dx}

Sustituimos en términos de u:

∫
cos
⁡
(
x
)
u

d
u

cos
⁡
(
x
)

{\displaystyle \int \cos(x)u{du \over \cos(x)}}

∫
u
d
u

{\displaystyle \int udu}

Resolvemos la integral:

u

1
1

1
1

=

u

2

2

=

sen

2

⁡
(
x
)

2

C

{\displaystyle {\frac {u^{1+1}}{1+1}}={\frac {u^{2}}{2}}={\frac {\operatorname {sen} ^{2}(x)}{2}}+C}

Derivamos la función para comprobar:

(

sen

2

⁡
(
x
)

2

)

′

=

1
2

(
(
sen
⁡
x

)

2

)
′

=

1
2

2
(
sen
⁡
x
)
(
sen
⁡
x

)
′

=
sen
⁡
(
x
)
cos
⁡
(
x
)

{\displaystyle {\Bigr (}{\frac {\operatorname {sen} ^{2}(x)}{2}}{\Bigr )}'={1 \over 2}((\operatorname {sen} x)^{2})'={1 \over 2}2(\operatorname {sen} x)(\operatorname {sen} x)'=\operatorname {sen}(x)\cos(x)}

Comprobando en Wólfram:

Aquí Wólfram en vez de sustituir

sen

{\displaystyle \operatorname{sen}}

 sustituye

cos

{\displaystyle \cos}

Comprobando por otro software:
1.1.5

Problema 5. Una computadora se compró nueva a 4000 dólares, se espera que en cuatro años su valor será de 200 dólares. Para facilidad la empresa considera que se deprecia linealmente.

a) Encuentre la función lineal que relaciona el tiempo

(
t
)

{\displaystyle (t)}

y el valor

(
V
)

{\displaystyle (V) }

de la computadora.

La función lineal que buscamos debe tener la forma

# V
m
t
b

{\displaystyle V=mt+b}

; donde

m

{\displaystyle m}

y

b

{\displaystyle b}

son constantes. Cuando

# t
0

{\displaystyle t=0}

sabemos que

# V
4000

{\displaystyle V=4000}

, por lo que:

# 4000
m
(
0
)
b

{\displaystyle 4000=m(0)+b}

# b
4000

{\displaystyle b=4000}

* *Para encontrar*

m

{\displaystyle m}

 El descenso de

V

{\displaystyle V}

de la computadora a través de

t

{\displaystyle t}

es la razón de cambio de la diferencia correspondiente:

Δ
V

Δ
t

=

200
−
4000

4

=
−
950

{\displaystyle {\Delta V \over \Delta t}={200-4000 \over 4}=-950}

La tasa de cambio de la relación es negativa porque el precio de la computadora disminuye conforme pasa el tiempo.

Por lo tanto tenernos que la función que buscamos es:

# V
−
950
t
4000

{\displaystyle V=-950t+4000}

b)

c) ¿Qué representa la pendiente y la ordenada al origen en este contexto?

La pendiente

(
m
)

{\displaystyle (m)}

 indica el decremento del valor de la computadora conforme transcurren los años. Mientras que la ordenada de origen

(
b
)

{\displaystyle (b)}

indica el valor original de la computadora.

d) Con el modelo de la empresa calcule el valor de la computadora en 2 años con 6 meses.

# V
−
950
(
2.5
)
4000

{\displaystyle V=-950(2.5)+4000}

=
1625

{\displaystyle =1625}