Group action

**群作用**的相关术语主题。

词汇
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group action

**群作用**
一个群作用在某范畴的对象上，是从外部研究群结构的手段。特别地群作用在集合上，设

G

{\displaystyle G}

是一群，

S

{\displaystyle S}

是一个非空集合，

g
∈
G

{\displaystyle g\in G}

，称如下定义的映射

σ
(
g
)
:
G
×
S

→
S
,

(
g
,
s
)

↦
σ
(
g
)
(
s
)
=:

σ

g

(
s
)
.

{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma (g):G\times S&\to S,\\(g,s)&\mapsto \sigma (g)(s)=:\sigma \_{g}(s).\end{aligned}}}

为群中

g

{\displaystyle g}

在集合

S

{\displaystyle S}

上的作用
定义如下映射

σ
:
G

→

Aut

S
e
t

⁡
(
S
)
,

g

↦
σ
(
g
)
=:

σ

g

.

{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma :G&\to \operatorname {Aut} \_{\mathsf {Set}}(S),\\g&\mapsto \sigma (g)=:\sigma \_{g}.\end{aligned}}}

为群

G

{\displaystyle G}

在

S

{\displaystyle S}

上的作用，如果满足

1. ∀
g
,
h
∈
G
,
∀
s
∈
S
,

σ

g

(

σ

h

(
s
)
# )

σ

g
h

(
s
)
;

{\displaystyle \forall g,h\in G,\forall s\in S,\sigma \_{g}(\sigma \_{h}(s))=\sigma \_{gh}(s);}
2. ∀
s
∈
S
,

σ

e

(
s
# )
s
.

{\displaystyle \forall s\in S,\sigma \_{e}(s)=s.}

其中

e

{\displaystyle e}

是

G

{\displaystyle G}

的单位元，

Aut

S
e
t

⁡
(
S
)

{\displaystyle \operatorname {Aut} \_{\mathsf {Set}}(S)}

是

S

{\displaystyle S}

上所有双射的集合。
[例句]

left-multiplicaction,
right-multiplication
nc.
**左乘作用，右乘作用**
一般情况下，我们所说的群作用是左乘作用。即以上定义的群作用中

∀
g
∈
G
,
∀
s
∈
S
,

σ

g

(
s
# )
g
s

{\displaystyle \forall g\in G,\forall s\in S,\sigma \_{g}(s)=gs}

，此处并无乘法意义。右乘作用可以对应定义：

σ

g

(
s
# )
s
g

{\displaystyle \sigma \_{g}(s)=sg}

[例句]

conjugation action

**共轭作用**

σ
(
g
)
(
s
# )
g
s

g

−
1

{\displaystyle \sigma (g)(s)=gsg^{-1}}

形式定义的

σ
:
G
×
S
→
S

{\displaystyle \sigma :G\times S\to S}

[例句]

orbit
nc.
**轨道**
有一群作用

G
×
S
→
S

{\displaystyle G\times S\to S}

，我们称如下集合

O

G

(
a
)
:=
{

σ

g

(
a
)
,
g
∈
G
}

{\displaystyle O\_{G}(a):=\{\sigma \_{g}(a),g\in G\}}

为元素

a
∈
S

{\displaystyle a\in S}

经过群作用

G
×
S
→
S

{\displaystyle G\times S\to S}

的轨道
[例句]

transitive action

**传递的群作用**
群作用对于集合

S

{\displaystyle S}

中的元素

a
,
b

{\displaystyle a,b}

来说是传递的作用指如下等式成立

∃
g
∈
G
,

σ

g

(
a
# )
b
.

{\displaystyle \exists g\in G,\quad \sigma \_{g}(a)=b.}

[例句]

stabilizer

**稳定子**

a
∈
S

{\displaystyle a\in S}

，我们称如下群

Stab

G

⁡
(
a
)
:=
{
g
∈
G

σ

g

(
a
# )
a
}

{\displaystyle \operatorname {Stab} \_{G}(a):=\{g\in G|\sigma \_{g}(a)=a\}}

为

G

{\displaystyle G}

的稳定子群，其中的元素称为

a
∈
S

{\displaystyle a\in S}

的稳定子
[例句]

fixed point

**不动点**

a
∈
S

{\displaystyle a\in S}

是不动点是指

∀
g
∈
G
,

σ

g

(
a
# )
a

{\displaystyle \forall g\in G,\sigma \_{g}(a)=a}

，一个群作用中，任意元素作用在不动点上相当于单位元作用在不动点上。所有不动点的集合称为不动点集，记作

Z

{\displaystyle Z}

[例句]

center
nc.
**（群的）中心**
依照共轭群作用

σ

{\displaystyle \sigma }

来定义，群的中心就是

Z
(
G
)
:=
ker
⁡
σ

=
{
g
∈
G
:
∀
a
∈
G
,

σ

g

(
a
# )
a
}

=
{
g
∈
G
:
∀
a
∈
G
,
a
# g
g
a
}

{\displaystyle {\begin{aligned}Z(G):=\ker \sigma &=\{g\in G:\forall a\in G,\sigma \_{g}(a)=a\}\\&=\{g\in G:\forall a\in G,ag=ga\}\end{aligned}}}

[例句]

centralizer, normalizer
nc.
**中心化子，正规化子**
两者同一个概念，

a
∈
G

{\displaystyle a\in G}

的中心化子

Z

G

(
a
)

{\displaystyle Z\_{G}(a)}

是指共轭群作用下

a

{\displaystyle a}

的稳定子，

a
∈
G

{\displaystyle a\in G}

的所有正规化子组成正规化子群即

Z

G

(
a
)
:=
{
g
∈
G
:
a
# g
g
a
}

{\displaystyle Z\_{G}(a):=\{g\in G:ag=ga\}}

[例句]

conjugacy class

**共轭类**
共轭群作用下

a
∈
G

{\displaystyle a\in G}

的轨道就称为

a

{\displaystyle a}

的共轭类
[例句]

Class Formula

**类方程**
设

G

{\displaystyle G}

是有限群，以下公式称为类方程：

G

=

Z
(
G
)

∑

a
∈
A

[
G
:

Z

G

(
a
)
]

其中

A

{\displaystyle A}

是非平凡轨道的共轭类
[例句]

词源
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例句
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参见
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