Théorème des deux carrés

## Énoncé et démonstration

>
> **Théorème** : Soit
>
>
>
> Σ
> =
>
> {
>
> n
> ∈
>
> N
>
> :
> n
> =
>
> a
>
> 2
>
>
> +
>
> b
>
> 2
>
>
> ,
>
> a
> ,
> b
> ∈
>
> N
>
>
> }
>
>
>
> {\displaystyle \Sigma =\left\{n\in \mathbf {N} :n=a^{2}+b^{2},\,a,b\in \mathbf {N} \right\}}
>
> . Si
>
>
>
> n
> =
>
> ∏
>
> p
> ∈
>
>
> P
>
>
>
>
>
> p
>
>
> v
>
> p
>
>
> (
> n
> )
>
>
> ∈
>
> N
>
>
>
> {\displaystyle n=\prod \_{p\in {\mathcal {P}}}p^{v\_{p}(n)}\in \mathbf {N} }
>
> , alors *n* est dans *Σ* si et seulement si pour tout nombre *p* premier tel que
>
>
>
> p
> ≡
> 3
>
>
> mod
>
>
> 4
>
>
> {\displaystyle p\equiv 3\,{\text{mod}}\,4}
>
> , *vp(n)* est pair.
>
>
>
>

**Démonstration**

La démonstration repose sur trois lemmes et deux théorèmes. il n'est pas possible de tous les faire en 15 minutes, mais en choisir trois parmi ces cinq paraît raisonnable.

Remarquons pour commencer que

# Σ

{

n
∈

N

:
# n
N
(
z
)

z
∈

Z

[
i
]

}

{\displaystyle \Sigma =\left\{n\in \mathbf {N} :n=N(z)\,z\in \mathbf {Z} [i]\right\}}

>
> **Lemme 1** : si *n* et *n'* sont deux éléments de *Σ*, alors *nn'* est dans *Σ*
>
>
>
>

La démonstration est immédiate : *n=N(z), n'=N(z')* donc *nn'=N(zz')* est dans *Σ*.

>
> **Lemme 2** : Un nombre premier *p* est dans *Σ* si et seulement si *p* est réductible dans **Z**[*i*]
>
>
>
>

* La condition est nécessaire : supposons *p* dans *Σ*, alors *p=a2+b2=(a+ib)(a-ib)*. Comme *p* est premier, on doit avoir *a* et *b* non nuls. Ainsi, *N(a+ib),N(a-ib)>1* et *p* est le produit de deux éléments non inversibles.

* La condition est suffisante : Supposons *p=zz'* avec *z* et *z'* deux entiers de Gauss non inversibles. Alors *p2=N(p)=N(z)N(z')*. Or, *N(z),N(z')>1*, donc *p=N(z)=N(z')* et *p* est dans *Σ*.

>
> **Lemme 3** : Soit **F***q* un corps fini et **F***q*(2) (resp. **F***q*\*(2)) l'ensemble de ses carrés (resp. carrés non nuls). Alors
>
>
>
> * Si car **F***q*=2, **F***q*(2)=**F***q*
> * Sinon
>
>
>
>
>
> F
>
>
> q
>
>
> ∗
> (
> 2
> )
>
>
> =
>
> {
>
> x
> ∈
>
>
> F
>
>
> q
>
>
> :
>
> x
>
>
>
> q
> −
> 1
>
> 2
>
>
>
> =
> 1
>
> }
>
>
>
> {\displaystyle \mathbf {F} \_{q}^{\*(2)}=\left\{x\in \mathbf {F} \_{q}:x^{\frac {q-1}{2}}=1\right\}}
>
>
>

En caractéristique 2, le résultat découle de l'automorphisme de Frobenius. Sinon, on remarque que **F***q*\*(2) est un sous groupe de **F***q*, et que l'application

x
↦

x
2

{\displaystyle x \mapsto x^2}

 amène la suite exacte

1
→
{
±
1
}
→

F

q

→

F

q

∗
(
2
)

→
1

{\displaystyle 1\to \{\pm 1\}\to \mathbf {F} \_{q}\to \mathbf {F} \_{q}^{\*(2)}\to 1}

Par suite, **F***q*\*(2) est de cardinal *(q-1)/2*.

Soit alors

# X

{

x
∈

F

q

∗

:

x

q
−
1

2

=
1

}

{\displaystyle X=\left\{x\in \mathbf {F} \_{q}^{\*}:x^{\frac {q-1}{2}}=1\right\}}

. Comme cet ensemble est l'ensemble des racines d'un polynôme, il est de cardinal au plus *(q-1)/2*. Or, si *x* est un carré non nul, *x=y2* et donc

x

q
−
1

2

=

y

q
−
1

=
1

{\displaystyle x^{\frac {q-1}{2}}=y^{q-1}=1}

donc

F

q

∗
(
2
)

⊂
X

{\displaystyle \mathbf {F} \_{q}^{\*(2)}\subset X}

 et on a l'égalité pour une raison de cardinal.

>
> **Théorème 1** : **Z**[*i*] est un anneau euclidien
>
>
>
>

Soient *z,z'* deux entiers de Gauss non nuls, et posons

# u

z

z
′

=
x
i
y
∈

C

{\displaystyle u={\frac {z}{z'}}=x+iy\in \mathbf {C} }

. On approche *x* et *y* à ½ près avec deux entiers *a* et *b* :

x
−
a

,

y
−
b

≤

1
2

.

Soient alors *q=a+ib* et *r=z-qz',* on vérifie sans peine que *N(r)<N(z')* donc **Z**[*i*] admet une division euclidienne.

>
> **Théorème 2** : *p*, un nombre premier, est dans *Σ* si et seulement si *p*=2 ou
>
>
>
> p
> ≡
> 1
>
>
> mod
>
>
> 4
>
>
> {\displaystyle p\equiv 1\,{\text{mod}}\,4}
>
>
>
>
>
> * La condition est nécessaire : si
>
>
>
> p
> ≡
> 3
>
>
> mod
>
>
> 4
>
>
> {\displaystyle p\equiv 3\,{\text{mod}}\,4}
>
> , il ne peut être la somme de deux carrés puisqu'une telle somme vaut 0,1 ou 2 modulo 4.
> * La condition est suffisante : 2=1+1. Considérons donc *p* sous la forme 4*m*+1. on a alors *(p-1)/2* qui est pair, donc (lemme 3) -1 est un carré dans **F***p*, donc le polynôme *X2+1* est réductible dans **F***p**[X]* donc
>
>
>
>
>
>
>
>
> F
>
>
> p
>
>
> [
> X
> ]
>
> /
>
> (
>
> X
>
> 2
>
>
> +
> 1
> )
> ≃
>
> Z
>
> [
> X
> ]
>
> /
>
> (
> p
> ,
>
> X
>
> 2
>
>
> +
> 1
> )
> ≃
>
> Z
>
> [
> i
> ]
>
> /
>
> (
> p
> )
>
>
> {\displaystyle \mathbf {F} \_{p}[X]/(X^{2}+1)\simeq \mathbf {Z} [X]/(p,X^{2}+1)\simeq \mathbf {Z} [i]/(p)}
>
>
> sont non intègres.
>
>
> Ainsi, *(p)* est un idéal non premier de **Z**[*i*], qui étant euclidien est factoriel, donc *p* est réductible et on conclut avec le lemme 2.
>
>
> Pour la fin de la démonstration, montrons l'équivalence du théorème :
>
>
>
> * Nécessité de la condition : si *n=a2+b2* et
>
>
>
> p
> ≡
> 3
>
>
> mod
>
>
> 4
>
>
> {\displaystyle p\equiv 3\,{\text{mod}}\,4}
>
> . Si *vp(n)=0* il n'y a rien à faire, sinon *p* divise *n* donc (dans **Z**[*i*]) *p* divise *(a+ib)(a-ib)* et est irréductible (lemme 2) donc *p* divise *a* et *b*, et *p2* divise *n*. Par le principe de descente, *vp(n)* doit être pair.
>
>
> * Suffisance de la condition : pour chaque *p* facteur de *n* on puet résoudre le problème des deux carrés, en effet soit *p* est dans *Σ* soit il a un exposant pair, *2a* et donc *p2a=(pa)2+0*. On conclut avec le lemme 1 que *n* est dans *Σ*.
>
>
> Références
> ----------
>
>
> 1. ↑ D. Perrin, Cours d'Algèbre, pp.56-58
>