Taller sesión X - Modulación AM.

Para afianzar los conocimientos recibidos en la sesión acerca de la modulación AM, les sugerimos resolver el siguiente taller, donde se presentan dos ejercicios y se desea concluir en base a la resolución de los mismos.

Para ello, nos entregan una señal x(t) que se desea modular en AM con una portadora p(t), que tiene un índice de modulación igual a 0.85, el objetivo de este es que seamos capaces de determinar la relación de potencias entre las componentes laterales y la portadora.

x
(
t
# )
3
c
o
s
(
200
π
t
)
s
i
n
(
600
π
t
)

{\displaystyle x(t)=3cos(200\pi t)+sin(600\pi t)}

p
(
t
# )
c
o
s
(
2
∗

10

5

t
)

{\displaystyle p(t)=cos(2\*10^{5}t)}

Donde, x(t) corresponde a la señal de información y p(t) corresponde a la portadora, además:

# k
0.85

{\displaystyle k=0.85}

Y K significa el índice de modulación.

A partir de estas debemos hallar la potencia, es por ello que es conveniente entender que tenemos en estos momentos con la información que nos brindan, entonces, mediante la evaluación directa sabemos que la amplitud de la carry (o portadora) es igual a 1, ya que es el coeficiente que multiplica al coseno, además, se puede ver la frecuencia fc correspondiente a la frecuencia portadora:

A

c

=
1
,

f

c

=

2
∗

10

5

2
π

H
z

{\displaystyle A\_{c}=1,\ f\_{c}={\frac {2\*10^{5}}{2\pi }}Hz}

Teniendo entonces la frecuencia portadora y su amplitud, hemos terminado de desglosar la portadora, es pertinente recordar la forma de la señal modulada en AM, que es muy parecida a la que teníamos en DSB:

S

A
M

=
A
c
(
1
k
m
(
t
)
)
c
o
s
(
2
π

f

c

t
)

{\displaystyle S\_{AM}=Ac(1+km(t))cos(2\pi f\_{c}t)}

Lo que nos haría falta conocer sería el índice de modulación K? No, ese ya lo tenemos, pero nos serviría para encontrar la magnitud de la señal de información, ya que la forma en como está actualmente (una suma de coseno y seno), no es muy sencillo de visualizar, recordando a k:

# K

A

m

A

c

→
# 0.85

A

m

1

→

A

m

=
0.85

{\displaystyle K={\frac {A\_{m}}{A\_{c}}}\rightarrow 0.85={\frac {A\_{m}}{1}}\rightarrow A\_{m}=0.85}

Tenemos finalmente la siguiente expresión:

S

A
M

=
(
1
0.85
∗
(
3
c
o
s
(
200
π
t
)
s
i
n
(
600
π
t
)
)
)
c
o
s
(
2
∗

10

5

t
)

{\displaystyle S\_{AM}=(1+0.85\*(3cos(200\pi t)+sin(600\pi t)))cos(2\*10^{5}t)}

Pero en el enunciado nos solicitan que encontremos la potencia o la relación de potencias, por lo que debemos hallar la potencia de la portadora y de las laterales, para eso podemos basarnos en lo aprendido de la sesión, donde por definición sabemos que:

P

c

=

1
2

A

c

2

,

P
o
t
e
n
c
i
a

d
e

l
a

p
o
r
t
a
d
o
r
a

{\displaystyle P\_{c}={\frac {1}{2}}A\_{c}^{2},\ Potencia\ de\ la\ portadora}

P

c

=
0.5

{\displaystyle P\_{c}=0.5}

Teniendo la potencia portadora, ahora debemos hallar las potencias laterales, teniendo en cuenta que se está modulando con una portadora coseno, eso corresponde a 2 impulsos en el espectro. Teniendo entonces una señal modulante de un coseno y un seno, entonces en el espectro corresponde a 4 impulsos, lo que al realizar la convolución con la señal portadora entonces corresponde nuevamente a 4 impulsos pero en las frecuencias de la portadora, entonces este ejercicio puede salir conociendo las amplitudes de dichos impulsos. Entonces podemos saber que la amplitud de cada impulso para el coseno de la señal de información, al tener una amplitud de 3, entonces al llevarlo al espectro tendría una amplitud de 3/2, para el caso del seno, al tener una amplitud de 1, entonces en el espectro el impulso tendrá 1/2j. De este modo, con el coseno de la portadora tendremos dos veces los impulsos del coseno y dos veces los impulsos del seno, a los que podemos entonces aplicarle la fórmula de la potencia Pm vista en la sesión:

P

m

=

∑

# n
−
∞

∞

M
(
t
)

2

{\displaystyle P\_{m}=\sum \_{n=-\infty }^{\infty }|M(t)|^{2}}

Entonces, para hallar las potencias laterales, debemos sumar la potencia que tiene cada impulso que habíamos definido anteriormente:

P

m

=
(

3
2

2

)
(

3
2

2

)
(

1
2

2

)
(

1
2

2

)

{\displaystyle P\_{m}=({\frac {3}{2}}^{2})+({\frac {3}{2}}^{2})+({\frac {1}{2}}^{2})+({\frac {1}{2}}^{2})}

P

m

=
5

{\displaystyle P\_{m}=5}

Conociendo entonces ambas potencias, podemos ahora definir la potencia total en AM con la ecuación proporcionada por el libro, que está presente en la sesión y brindamos nuevamente:

P

A
M

=

1
2

∗

A

c

(
1
2
<
m
(
t
)
>
<
m
(
t

)

2

>
)

{\displaystyle P\_{AM}={\frac {1}{2}}\*A\_{c}(1+2<m(t)>+<m(t)^{2}>)}

Donde <> se refiere al valor medio. Para ello, se puede hacer uso del prorama de cómputo MATLAB, donde ingresamos la señal de información m(t) y le aplicamos el comando "*mean*", con eso obtenemos el valor medio y obteniendo lo siguiente:

P

A
M

=

1
2

(
1
0.0297
5.04
# )
3.035

W

{\displaystyle P\_{AM}={\frac {1}{2}}(1+0.0297+5.04)=3.035\ W}

Teniendo ambas potencias, podemos realizar entonces la relación entre las potencias laterales y la portadora:

P

m

P

c

=
10

{\displaystyle {\frac {P\_{m}}{P\_{c}}}=10}

Finalizando así el ejercicio número 1.
Procediendo con el segundo punto, se nos requieren varios puntos a partir de una señal modulada en AM:

x
(
t
# )
[
20
2
c
o
s
(
3
∗

10

3

π
t
)
10
c
o
s
(
6
∗

10

3

∗
π
t
)
]
∗
c
o
s
(
2
∗

10

5

π
t
)

{\displaystyle x(t)=[20+2cos(3\*10^{3}\pi t)+10cos(6\*10^{3}\*\pi t)]\*cos(2\*10^{5}\pi t)}

A partir de esta, debemos primero graficar su espectro, después encontrar la potencia de cada componente del espectro, también debemos hallar el índice de modulación y finalmente calcular la razón entre las potencias de las bandas laterales y a la potencia total, además de la razón entre la potencia portadora y la potencia total. Para ello, debemos recordar las transformadas de los cosenos para poder graficarlos, al igual que la transformada de una constante. Pero antes, es necesario re acomodar la señal modulada x(t) para facilitar la obtención de las amplitudes, de evaluación directa, la portadora corresponde a la siguiente:

x

c

(
t
# )
c
o
s
(
2
∗

10

5

t
)

{\displaystyle x\_{c}(t)=cos(2\*10^{5}t)}

Pero, si extraemos de la primer componente la constante al multiplicar y dividir todo entre 20, se obtendría lo siguiente:

x
(
t
# )
20
[
1
0.1
c
o
s
(
3
∗

10

3

∗
π
t
)
0.5
c
o
s
(
6
∗

10

3

∗
π
t
)
]
∗
c
o
s
(
2
∗

10

5

π
t
)
,

A

c

=
20

{\displaystyle x(t)=20[1+0.1cos(3\*10^{3}\*\pi t)+0.5cos(6\*10^{3}\*\pi t)]\*cos(2\*10^{5}\pi t),\ A\_{c}=20}

De esta forma, podemos encontrar directamente Ac, que es 20. Ahora si, veamos como serían las transformadas para el coseno y una constante:

F
[
c
o
s
(
2
π

f

c

t
)
# ]

1
2

[
δ
(
f
−

f

c

)
δ
(
f

f

c

)
]

{\displaystyle F[cos(2\pi f\_{c}t)]={\frac {1}{2}}[\delta (f-f\_{c})+\delta (f+f\_{c})]}

F
[
x
(
t
# ]
δ
(
f
)

{\displaystyle F[x(t)=1]=\delta (f)}

Habiendo recordado esto, pasemos a ver la transformada de x(t):

X
(
f
# )

20
2

[
δ
(
f
)

0.1
2

(
δ
(
f
−

3
∗

10

3

π

2
π

)
δ
(
f

3
∗

10

3

π

2
π

)
)
.
.
.

{\displaystyle X(f)={\frac {20}{2}}[\delta (f)+{\frac {0.1}{2}}(\delta (f-{\frac {3\*10^{3}\pi }{2\pi }})+\delta (f+{\frac {3\*10^{3}\pi }{2\pi }}))+...}

.
.
.

0.5
2

(
δ
(
f
−

6
∗

10

3

π

2
π

)
δ
(
f

6
∗

10

3

π

2
π

)
)
]
⋆
[
δ
(
f
−
2
∗

10

5

)
δ
(
f
2
∗

10

5

)
]

{\displaystyle ...+{\frac {0.5}{2}}(\delta (f-{\frac {6\*10^{3}\pi }{2\pi }})+\delta (f+{\frac {6\*10^{3}\pi }{2\pi }}))]\star [\delta (f-2\*10^{5})+\delta (f+2\*10^{5})]}

Como se puede observar, se trata de varios impulsos ubicados en las frecuencias fm1 y fm2 (para el caso de la señal de información), que se convolucionan con dos impulsos ubicados en una frecuencia mayor fc (correspondiente a la portadora), que se ubicarían en el espectro de la siguiente manera:

Como se puede observar en la grafica de la parte superior, se hace la ubicación de los impulsos correspondientes de la primera y segunda componente convolución, donde la primera está en color gris y la segunda está de color rojo, ubicados en sus correspondientes frecuencias. De ahí es posible visualizar más fácil la convolución, donde ubicamos los dos impulsos de la portadora a la derecha y empezamos a realizar el barrido y ubicar en la grafica inferior. Si el lector no recuerda como realizar la convolución, le invitamos a revisar las primeras sesiones de repaso de Señales y Sistemas, donde se han realizado ejercicios donde se aplica la convolución y se explica más detalladamente.

Conociendo el espectro, ahora podemos proceder a calcular las potencias que se nos requieren en el enunciado, para ello, usamos el recurso utilizado anteriormente, para hallar la potencia de la portadora:

P

c

=

1
2

A

c

2

=

20

2

2

=

200

W

{\displaystyle P\_{c}={\frac {1}{2}}A\_{c}^{2}\ =\ {\frac {20^{2}}{2}}\ =\ 200\ W}

Nuevamente, haciendo uso de la ecuación para la potencia total Pam:

P

A
M

=

1
2

∗

A

c

(
1
2
<
m
(
t
)
>
<
m
(
t

)

2

>
)

{\displaystyle P\_{AM}={\frac {1}{2}}\*A\_{c}(1+2<m(t)>+<m(t)^{2}>)}

P

A
M

=
200
∗
(
1
0.00035
0.1323
# )
226.53

W

{\displaystyle P\_{AM}=200\*(1+0.00035+0.1323)=226.53\ W}

Y de aquí es posible despejar Pm:

P

A
M

=

P

c

(
1

P

m

)

{\displaystyle P\_{AM}=P\_{c}(1+P\_{m})}

226.53
200

−
# 1

P

m

{\displaystyle {\frac {226.53}{200}}-1=P\_{m}}

P

m

=
0.13

{\displaystyle P\_{m}=0.13}

Que este ya corresponde a la potencia de las bandas laterales con respecto al total de la potencia, es decir, un 13% de la potencia total corresponde al mensaje. Ahora, debemos calcular el índice de modulación, que se puede definir de la siguiente manera:

K

2

2

=

P

m

{\displaystyle {\frac {K^{2}}{2}}=P\_{m}}

# K

2

P

m

=
0.51

{\displaystyle K={\sqrt {2P\_{m}}}=0.51}

Finalmente, calculemos la relación de potencia solicitada, entre la portadora y la total:

P

c

P

A
M

=

200
226.53

=
0.883

{\displaystyle {\frac {P\_{c}}{P\_{AM}}}={\frac {200}{226.53}}=0.883}

Como conclusión de este punto, se pudo observar que el porcentaje de la potencia correspondiente a la señal de información es muy bajito, ya que solamente corresponde a un 13% de la potencia total de toda la señal, mientras que la potencia de la portadora corresponde a un 0.883 con respecto al total, esto es algo esperado, puesto que la portadora se mantiene en el espectro al tratarse de la modulación AM, y debe corresponderle en gran medida la potencia de la señal total.

Al haber realizado estos ejercicios hay varios puntos que se han podido fortalecer, principalmente el entendimiento del método de modulación AM, se pudo evidenciar en la graficación del espectro como la portadora se mantiene directamente en el espectro, facilitando así el método de demodulación al momento de la implementación circuital del mismo. También, la importancia del índice de modulación, ya que es finalmente del que depende la cantidad en como se modula la señal de información y por ende, puede variar la amplitud, tal como se explicó en la sesión de modulación AM, donde si el índice es grande, entonces su amplitud será mayor y caso contrario si es menor, esto no afecta en la señal de información o lo que esta contiene, pero se puede utilizar para asuntos de transmisión y la potencia de transmisión, ya que si lo aumentamos, habrá mas potencia para transmitir, tal como se evidenció en el calculo de la última potencia del mensaje, que depende del índice de modulación K.

De esta forma, esperamos que le haya quedado una mayor claridad de la modulación AM y de su tan significativa forma de trabajar la señal de información que ha promovido de los mayores avances en la historia de las comunicaciones. Si lo desea, puede continuar estudiando las próximas sesiones, donde continuaremos hablando de las modulaciónes lineales y proseguiremos con la modulación angular.