A explicação --- Teoria analítica dos números

Segundo a wikipédia em português " **Teoria analítica dos números** é o ramo da teoria dos números que usa métodos para análises matemáticas. Seu primeiro maior resultado terá sido na aplicação de Dirichlet na análise para comprovar o teorema de Dirichlet sobre a progressão aritmética, confirmando a existência de infinitos números primos nas progressões aritméticas no formato *a+nb*, onde *a* e *b* são primos relativos. As provas do teorema dos números primos são baseadas na função zeta de Riemann e outros marcos importantes na história da matemática.

O esboço da tese permanece similar ao apogeu das teses na década de 1930. A teoria multiplicativa dos números partilha com a distribuição dos números primos, aplicando as séries de Dirichlet como funções generalizadoras. Isso assume a forma dos métodos que irá eventualmente para a geral função L, ainda que a teoria remanesce amplamente conjetural. A teoria aditiva dos números teve um típico problema com as conjeturas de Goldbach e os problemas de Waring.

Houve pequenas mudanças nos métodos. O método cíclico de Godfrey Harold Hardy e Jonh Edenson Littlewood foi concebido como uma aplicação às séries de potências próximas da unidade cíclica no plano complexo; está agora sendo pensada em termos de soma exponencial finita (na unidade cíclica isto é; mas na unidade cíclica é incompleto). As necessidades da aproximação diofantina são para as funções auxiliares é tudo aquilo que não são as funções generalizantes - seus coeficientes são construídos pelo uso do princípio da casa dos pombos, e envolvem diversas e complexas variáveis. Os campos da aproximação diofantina e a teoria da transcendência têm-se expandido ao ponto em que as técnicas estão sendo aplicadas às conjeturas de Mordell.

A grande mudança técnica após a década de 1950 tem permitido desenvolver os métodos de crivo como uma ferramenta auxiliar particular para os problemas multiplicativos. É muito citada a teoria das probabilidades numéricas - as formas igualitárias da afirmação dos números primos, como exemplo: aqueles que não receberam uma forma definida. O extremo ramo da teoria combinatória tem em retorno recebendo muitos dos valores definidos na teoria analítica dos números, que têm frequentemente recebido muitos avanços."

Segundo a wikipédia em Francês a **teoria analítica dos números** é um ramo da teoria dos números que usa métodos de análise matemática para resolver problemas envolvendo números inteiros 1 . É frequentemente considerado ter começado em 1837, com a introdução por Peter Gustav Lejeune Dirichlet de suas funções G para dar a primeira prova de seu teorema de progressão aritmética 1 , 2 . Ela é conhecida por seus resultados em números primos (envolvendo o teorema dos números primos e oFunção zeta de Riemann ) e teoria aditiva dos números (como a conjectura de Goldbach e o problema de Waring ).

A teoria analítica dos números pode ser dividida em dois ramos principais, mais pelo tipo de problemas que tentam resolver do que pelas diferenças fundamentais em suas técnicas.

* A teoria dos números multiplicativos lida com a distribuição de números primos , ou o número estimado de números em um primeiro intervalo, e inclui o teorema dos números primos e o teorema de Dirichlet sobre progressões aritméticas .
* A teoria aditiva dos números está interessada na estrutura aditiva dos inteiros, por exemplo, a conjectura de Goldbach de que todo inteiro par maior que 3 é a soma de dois primos. Um dos principais resultados da teoria aditiva é a solução do problema de Waring .

## Contents

* Precursores
* Dirichlet
* Chebyshev
* Riemann

### Precursores

Muito da teoria analítica dos números foi inspirada pelo teorema dos números primos . Seja π ( *x* ) a função de contagem de números primos que fornece o número de números primos menor ou igual a *x* , para qualquer número real *x* . Por exemplo, π (10) = 4 porque há quatro números primos (2, 3, 5 e 7) menores ou iguais a 10. O teorema dos números primos indica que *x* / ln ( *x* ) é uma boa aproximação de π ( *x* ) , no sentido de que o limite do quociente das duas funções π ( *x*) e *x* / ln ( *x* ) conforme *x se aproxima do* infinito é 1:

Adrien-Marie Legendre conjecturou em 1797 que π ( *a* ) é aproximado pela função *a* / (A ln ( *a* ) + *B* ) , onde *A* e *B* são constantes não especificadas. Na segunda edição de seu livro sobre a teoria dos números (1808), ele então fez uma conjectura mais precisa , com *A* = 1 e *B* = -1,08366. Carl Friedrich Gauss já havia considerado esta questão: em 1792 ou 1793, segundo sua própria lembrança, quase sessenta anos depois, em uma carta a Encke (1849), ele escreveu em seutabela de logaritmos (ele tinha então 15 ou 16 anos) a nota curta "  *Primzahlen unter*  " Mas Gauss nunca publicou essa conjectura. Em 1838, Peter Gustav Lejeune Dirichlet propôs sua própria função de aproximação, o logaritmo integral li ( *x* ) . Ambas as fórmulas de Legendre e Dirichlet envolvem a mesma equivalência assintótica conjecturada de π ( *x* ) e *x* / ln ( *x* ) mencionada acima, embora a aproximação de Dirichlet seja consideravelmente melhor ao considerar as diferenças, ao invés do que os quocientes.

### Dirichlet

Artigo principal: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet .

Geralmente é Dirichlet o responsável pela criação da teoria analítica dos números 3 , uma área na qual ele demonstrou vários resultados profundos e introduziu ferramentas fundamentais, muitas das quais foram posteriormente nomeadas em sua homenagem. Em 1837, ele publicou o Teorema da Progressão Aritmética , usando conceitos de análise matemática para abordar um problema de álgebra e, assim, criar o ramo da teoria analítica dos números. Ao provar este teorema, ele introduz seus caracteres e funções L 3 , 4 . Em 1841, ele generalizou seu teorema sobre progressões aritméticas para o anelde inteiros gaussianos 5 .

### Chebyshev

Artigo principal: Pafnouti Chebyshev .

Em dois artigos de 1848 e 1850, o matemático russo Pafnouti Chebyshev tentou provar o teorema dos números primos. Seu trabalho é notável pelo uso da função zeta ζ ( *s* ) (para *s* reais, como o trabalho de Leonhard Euler , em 1737) precedendo o famoso livro de memórias de Riemann de 1859, e ele consegue provar uma forma ligeiramente mais fraca do teorema, ou seja, se o limite de π ( *x* ) / ( *x* / ln ( *x* )) quando *x se aproxima do* infinito existe, então ele é necessariamente igual a 1 6e dando um enquadramento assintótica deste quociente entre duas constantes de muito perto de um 7 . Embora o artigo de Chebyshev não prove o teorema dos números primos, suas estimativas de π ( *x* ) foram fortes o suficiente para provar o postulado de Bertrand , de que existe um número primo entre *n* e 2 *n* para qualquer inteiro *n* ≥ 2 .

### Riemann

Artigos principais: função zeta de Riemann e hipótese de Riemann .

Na teoria dos números , Legendre conjeturou a lei da reciprocidade quadrática , posteriormente provada por Gauss; em conexão com isso, o símbolo de Legendre é nomeado após ele. Ele também fez um trabalho pioneiro na distribuição de números primos e na aplicação da análise à teoria dos números. Sua conjectura de 1798 do teorema dos números primos foi rigorosamente provada por Hadamard e de la Vallée-Poussin em 1896.