4.5.77(c)

77. Calcule las derivadas de las siguientes funciones:

c
)

g
(
t
# )

sen

2

⁡
(
cos
⁡
t
)

{\displaystyle c)\ \ \ g(t)=\operatorname {sen} ^{2}(\cos t)}

Para calcular la derivada de esta función, se mostraran dos formas de hacerlo mediante la regla de la cadena

## Forma 1

La función

g
(
t
# )

sen

2

⁡
(
cos
⁡
t
)

{\displaystyle g(t)=\operatorname {sen} ^{2}(\cos t)}

 es una composición de funciones la cual vamos a simplificar desde la primera función que se realiza hasta la ultima.

Para saber el orden de cual función se realiza primero nos apoyaremos de la variable en la que esta dada la función

g
(
t
)

{\displaystyle g(t)}

, en este caso es

cos
⁡
t

{\displaystyle \cos t}

, la cual la llamaremos por el momento

h
(
t
)

{\displaystyle h(t)}

, quedando:

h
(
t
# )
cos
⁡
t

{\displaystyle h(t)=\cos t}

y sustituyendo en la función principal:

g
(
h
# )

sen

2

⁡
(
h
)

{\displaystyle g(h)=\operatorname {sen} ^{2}(h)}

Realizaremos este proceso hasta que lleguemos a la ultima función que realiza

g
(
t
)

{\displaystyle g(t)}

:

En la función actual la siguiente en actuar es

sen
⁡
(
h
)

{\displaystyle \operatorname {sen}(h)}

:

g
(
h
# )

sen

2

⁡
(
h
)

{\displaystyle g(h)=\operatorname {sen} ^{2}(h)}

Cambiamos la forma de escribir

sen

2

⁡
(
h
)

{\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}(h)}

:

g
(
h
# )
(
sen
⁡
(
h
)

)

2

{\displaystyle g(h)=(\operatorname {sen}(h))^{2}}

Asignamos una nueva forma de llamas a

sen
⁡
(
h
)

{\displaystyle \operatorname {sen}(h)}

x
(
h
# )
sen
⁡
(
h
)

{\displaystyle x(h)=\operatorname {sen}(h)}

Sustituimos en

g
(
h
)

{\displaystyle g(h)}

:

g
(
x
# )
(
x

)

2

{\displaystyle g(x)=(x)^{2}}

Ya que contamos con una función mas simple empezaremos a derivar, ocupando la regla del exponente:

d
g

d
t

=
2

x

2
−
1

{\displaystyle {\frac {dg}{dt}}=2x^{2-1}}

d
g

d
t

=
2
x

{\displaystyle {\frac {dg}{dt}}=2x}

Pero la función aun no esta derivada, ya que la derivada esta en términos de

t

{\displaystyle t}

 , recordemos que

x

{\displaystyle x}

 es también una función y solo lo llamábamos así para simplificar la derivación, aquí empezaremos a ocupar la regla de la cadena hasta que lleguemos a la primera función que simplificamos:

Multiplicamos por la derivada de

x

{\displaystyle x}

d
g

d
t

=
2
x
⋅

x
′

{\displaystyle {\frac {dg}{dt}}=2x\cdot x'}

Regresamos a

x

{\displaystyle x}

a su forma original:

d
g

d
t

=
2
(
sen
⁡
(
h
)
)
⋅
(
s
e
n
(
h
)

)
′

{\displaystyle {\frac {dg}{dt}}=2(\operatorname {sen}(h))\cdot (sen(h))'}

Realizamos la derivada de

sen
⁡
(
h
)

{\displaystyle \operatorname {sen}(h)}

:

d
g

d
t

=
2
(
sen
⁡
(
h
)
)
⋅
(
c
o
s
(
h
)
)

{\displaystyle {\frac {dg}{dt}}=2(\operatorname {sen}(h))\cdot (cos(h))}

Volvemos a aplicar la regla de la cadena, pero ahora con

h

{\displaystyle h}

:

Multiplicamos por la derivada de h:

d
g

d
t

=
2
(
sen
⁡
(
h
)
)
⋅
(
c
o
s
(
h
)
)
⋅
(
h

)
′

{\displaystyle {\frac {dg}{dt}}=2(\operatorname {sen}(h))\cdot (cos(h))\cdot (h)'}

Regresamos a

h

{\displaystyle h}

a su valor original:

d
g

d
t

=
2
(
sen
⁡
(
cos
⁡
(
t
)
)
)
⋅
(
c
o
s
(
cos
⁡
(
t
)
)
)
⋅
(
cos
⁡
(
t
)

)
′

{\displaystyle {\frac {dg}{dt}}=2(\operatorname {sen}(\cos(t)))\cdot (cos(\cos(t)))\cdot (\cos(t))'}

Aplicamos la derivada a

cos
⁡
(
t
)

{\displaystyle \cos(t)}

:

d
g

d
t

=
2
(
sen
⁡
(
cos
⁡
(
t
)
)
)
⋅
(
c
o
s
(
cos
⁡
(
t
)
)
)
⋅
(
−
sen
⁡
(
t
)
)

{\displaystyle {\frac {dg}{dt}}=2(\operatorname {sen}(\cos(t)))\cdot (cos(\cos(t)))\cdot (-\operatorname {sen}(t))}

Resultando en la derivada de

g
(
t
# )

sen

2

⁡
(
cos
⁡
(
t
)
)

{\displaystyle g(t)=\operatorname {sen} ^{2}(\cos(t))}

:

d
g

d
t

=

g
′

(
t
# )
2
(
sen
⁡
(
cos
⁡
(
t
)
)
)
⋅
(
c
o
s
(
cos
⁡
(
t
)
)
)
⋅
(
−
sen
⁡
(
t
)
# )
−
2
sen
⁡
(
cos
⁡
(
t
)
)
cos
⁡
(
cos
⁡
(
t
)
)
sen
⁡
(
t
)

{\displaystyle {\frac {dg}{dt}}=g'(t)=2(\operatorname {sen}(\cos(t)))\cdot (cos(\cos(t)))\cdot (-\operatorname {sen}(t))=-2\operatorname {sen}(\cos(t))\cos(\cos(t))\operatorname {sen}(t)}

## Forma 2

Repitiendo el mismo análisis de que

g
(
t
)

{\displaystyle g(t)}

 es una composición de funciones, empezaremos desde la ultima función que se realiza hasta la primera:

g
(
t
# )

sen

2

⁡
(
cos
⁡
t
)

{\displaystyle g(t)=\operatorname {sen} ^{2}(\cos t)}

iniciando por la potencia al cuadrado, cambiamos su forma de escribirlo:

g
(
t
# )
(
sen
⁡
(
cos
⁡
t
)

)

2

{\displaystyle g(t)=(\operatorname {sen}(\cos t))^{2}}

Ahora empezamos a derivar ocupando la regla del exponente:

g
′

(
t
# )
2
(
sen
⁡
(
cos
⁡
t
)
)

)

2
−
1

{\displaystyle g'(t)=2(\operatorname {sen}(\cos t)))^{2-1}}

g
′

(
t
# )
2
(
sen
⁡
(
cos
⁡
(
t
)
)

)

1

{\displaystyle g'(t)=2(\operatorname {sen}(\cos(t)))^{1}}

g
′

(
t
# )
2
sen
⁡
(
cos
⁡
(
t
)
)

{\displaystyle g'(t)=2\operatorname {sen}(\cos(t))}

Se multiplica por la derivada de

sen
⁡
(
cos
⁡
(
t
)
)

{\displaystyle \operatorname {sen}(\cos(t))}

:

g
′

(
t
# )
2
sen
⁡
(
cos
⁡
t
)
⋅
(
sen
⁡
(
cos
⁡
(
t
)
)

)
′

{\displaystyle g'(t)=2\operatorname {sen}(\cos t)\cdot (\operatorname {sen}(\cos(t)))'}

Se realiza la derivada de

sen
⁡
(
cos
⁡
(
t
)
)

{\displaystyle \operatorname {sen}(\cos(t))}

 y se multiplica por la derivada de

cos
⁡
(
t
)

{\displaystyle \cos(t)}

:

g
′

(
t
# )
2
sen
⁡
(
cos
⁡
t
)
⋅
cos
⁡
(
cos
⁡
(
t
)
)
⋅
(
cos
⁡
(
t
)

)
′

{\displaystyle g'(t)=2\operatorname {sen}(\cos t)\cdot \cos(\cos(t))\cdot (\cos(t))'}

Se realiza la derivada de

cos
⁡
(
t
)

{\displaystyle \cos(t)}

:

g
′

(
t
# )
2
sen
⁡
(
cos
⁡
t
)
⋅
cos
⁡
(
cos
⁡
(
t
)
)
⋅
(
−
sen
⁡
(
t
)
)

{\displaystyle g'(t)=2\operatorname {sen}(\cos t)\cdot \cos(\cos(t))\cdot (-\operatorname {sen}(t))}

Resultando en la derivada de

g
(
t
# )
(
sen
⁡
(
cos
⁡
t
)

)

2

{\displaystyle g(t)=(\operatorname {sen}(\cos t))^{2}}

g
′

(
t
# )
−
2
sen
⁡
(
cos
⁡
t
)
cos
⁡
(
cos
⁡
(
t
)
)
sen
⁡
(
t
)

{\displaystyle g'(t)=-2\operatorname {sen}(\cos t)\cos(\cos(t))\operatorname {sen}(t)}