Sesión 3 - La transformada de Fourier.

## **¿Qué es la transformada de Fourier?**

Es una transformación matemática empleada para la transformación de señales en el dominio del tiempo y de la frecuencia, aplicada en diversas aplicaciones de la física y la ingeniería. Además de esto, es reversible, es decir, es capaz de transformarse de un dominio a otro.

Suponemos que

x
(
t
)

{\textstyle x(t)}

es no periódica, pero es una señal de energía, por lo tanto, es integrable en el intervalo de

(
−
∞
,
∞
)

{\textstyle (-\infin, +\infin)}

. Para el intervalo de

t

<

T
0

2

{\displaystyle |t| < \frac{T\_0}{2}}

 , podemos representar

x
(
t
)

{\textstyle x(t)}

como una serie de Fourier:

donde

f
0

=

1

T
0

{\displaystyle f\_0 = \frac{1}{T\_0}}

. Para representar

x
(
t
)

{\textstyle x(t)}

 para todo tiempo, simplemente definimos que

T
0

→
∞

{\textstyle T\_0 \rightarrow \infin}

  tal que

n

f
0

=

n

T
0

{\displaystyle nf\_0 = \frac{n}{T\_0}}

 se convierte en la variable continua

f
,

1

T
0

{\displaystyle f, \frac{1}{T\_0}}

representa el diferencial

d
f

{\displaystyle df}

, y la sumatoria pasa a ser una integral. Por lo tanto:

en donde definimos la integral interna como:

y por lo tanto, podemos escribir la ecuación de la siguiente manera:

## **Convolución**

Una convolución es un operador matemático para la transformación de dos señales en una tercera señal, que de cierto modo representa una magnitud mediante la superposición de las dos señales originales, considerando una versión trasladada e invertida de la segunda señal.

Utilizando señales **f** y **g**, podemos denotar la convolución como

f
∗
g

{\displaystyle f \* g}

y se define como la integral del producto de ambas funciones, al desplazar una de ellas una distancia **t**:

El intervalo para la integral dependerá del dominio sobre el cual están definidas las funciones.

La convolución y las operaciones relacionadas se encuentran en muchas aplicaciones de ingeniería y matemáticas:

1. En estadística, como un promedio móvil ponderado.
2. En teoría de la probabilidad, la distribución de probabilidad de la suma de dos variables aleatorias independientes es la convolución de cada una de sus distribuciones de probabilidad.
3. En óptica, muchos tipos de *manchas* se describen con convoluciones. Una sombra (p. ej. la sombra en la mesa cuando se tiene la mano entre esta y la fuente de luz) es la convolución de la forma de la fuente de luz que crea la sombra y del objeto cuya sombra se está proyectando. Una fotografía desenfocada es la convolución de la imagen correcta con el círculo borroso formado por el diafragma del iris.
4. En acústica, un eco es la convolución del sonido original con una función que represente los objetos variados que lo reflejan.
5. En ingeniería eléctrica, electrónica y otras disciplinas, la salida de un sistema lineal (estacionario o bien tiempo-invariante o espacio-invariante) es la convolución de la entrada con la respuesta del sistema a un impulso.
6. En física, allí donde haya un sistema lineal con un principio de superposición, aparece una operación de convolución.

## **Propiedades de la transformada de Fourier**

Se definen unas propiedades a la transformada de Fourier, a las cuales pueden acceder desde el siguiente link.

## **Aplicación**

La transformada de Fourier se utiliza para pasar una señal al dominio de frecuencia para así obtener información que no es evidente en el dominio temporal. Por ejemplo, es más fácil saber sobre qué ancho de banda se concentra la energía de una señal analizándola en el dominio de la frecuencia.

La transformada también sirve para resolver ecuaciones diferenciales con mayor facilidad y, por consiguiente, se usa para el diseño de controladores clásicos de sistemas realimentados, si conocemos la densidad espectral de un sistema y la entrada podemos conocer la densidad espectral de la salida. Esto es muy útil para el diseño de filtros de radio transistores.

La transformada de Fourier también se utiliza en el ámbito del tratamiento digital de imágenes, como por ejemplo para mejorar o definir más ciertas zonas de una imagen fotográfica o tomada con una computadora.

Para continuar con el aprendizaje que este tema tan importante para las comunicaciones y prácticamente toda la electrónica, puedes continuar el aprendizaje con la siguiente lectura: Roger Ziemer and William Tranter. Principles of Communications. Wiley, 6th edition (2008). ISBN: 978-0470252543. Pp 34-50. También puedes encontrar información en el siguiente libro: Oppenheim, A., et. al. Señales y sistemas, 2ª edición. Prentice Hall, 1998. De igual manera, en este último puedes encontrar información para todas las sesiones anteriores, al igual que las siguientes 2.

Con esta contextualización acerca de la sumamente importante herramienta llamada Transformada de Fourier, es momento de que el conocimiento se aplique mediante la resolución de ejercicios, nuevamente, se aclara que lo más importante de resolver dichos ejercicios no es por la metodología o aplicación de las tablas, lo más importante es la reflexión acerca estos y tener la comprensión total del tema. Si te sientes preparado para resolver ejercicios y aprender en base a las conclusiones, te invitamos a que ingreses al taller directamente desde el siguiente link Taller Sesión 3. La Transformada de Fourier.

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