State-Space Representation

# สัญลักษณ์ปริภูมิสถานะของระบบพลวัตแบบสถานะต่อเนื่อง (State-space Notation of Continuous-state Dynamical System)

## ตัวแปรของระบบพลวัตแบบสถานะต่อเนื่อง

ระบบพลวัตแบบlสถานะต่อเนื่อง (Continuous-state Dynamical System) เป็นระบบที่มีเอาต์พุต (outputs) ซึ่งขึ้นอยู่กับสถานะ (states) ที่เปลี่ยนไปตามเวลา(time) ซึ่่งระบบอาจจะมีอินพุต (inputs) มากระทำให้สถานะเปลี่ยนแปลงไป เช่น แรงดันไฟฟ้าที่จ่ายให้มอเตอร์ หรือ แรงที่กระทำกับระบบ Mass-Damper-Spring ส่วนพารามิเตอร์ (parameters) ของระบบจะเป็นค่าคงที่ ยกตัวอย่างเช่น มวล ความเฉื่อย ความต้านทาน ฯลฯ

เนื่องจากระบบอาจมีหลายสถานะ อินพุต หรือ เอาท์พุต ตัวแปรของระบบเหล่านี้จะถูกเขียนในรูปของเวกเตอร์ โดยที่ให้

x
→

{\displaystyle \vec{x}}

 เรียกว่าเวกเตอร์สถานะ (state vector)

u
→

{\displaystyle \vec{u}}

 เรียกว่าเวกเตอร์อินพุต (input vector) และ

y
→

{\displaystyle \vec{y}}

 เรียกว่าเวกเตอร์เอาต์พุต (output vector)

หากระบบมีจำนวนสถานะทั้งหมด

n

{\displaystyle n}

 สถานะ เวกเตอร์สถานะสามารถแจกแจงในรูปของเวกเตอร์ได้โดยใช้ตัวห้อย (Subscript) ระบุอันดับของสถานะในเวกเตอร์ดังสมการ (1) เช่นเดียวกัน เวกเตอร์inputและเวกเตอร์outputสามารถเขียนอยู่ในรูปแบบ (2) และ (3) ซึ่งก็ขึ้นอยู่กับจำนวนของinputและoutputในระบบ

x
→

=

[

x
1

x
2

⋮

x
n

]

=

[

x
1

x
2

⋯

x
n

]

T

{\displaystyle \vec{x}=\begin{bmatrix} x\_1 \\ x\_2 \\ \vdots \\ x\_n \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x\_1 & x\_2 & \cdots & x\_n \end{bmatrix}^T}

 (1)

u
→

=

[

u
1

u
2

⋮

u
n

]

=

[

u
1

u
2

⋯

u
n

]

T

{\displaystyle \vec{u}=\begin{bmatrix} u\_1 \\ u\_2 \\ \vdots \\ u\_n \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} u\_1 & u\_2 & \cdots & u\_n \end{bmatrix}^T}

 (2)

y
→

=

[

y
1

y
2

⋮

y
n

]

=

[

y
1

y
2

⋯

y
n

]

T

{\displaystyle \vec{y}=\begin{bmatrix} y\_1 \\ y\_2 \\ \vdots \\ y\_n \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} y\_1 & y\_2 & \cdots & y\_n \end{bmatrix}^T}

 (3)

ไม่ว่าระบบจะเป็นในลักษณะไหนก็ตาม ตัวแปรเดียวที่เปลี่ยนโดยอิสระคือ เวลา โดยกำหนดให้ตัวแปรเป็น

t

{\displaystyle t}

 และมีค่าอย่างต่อเนื่อง (

t
∈

R

{\displaystyle t \in \mathbb{R} }

)

## มิติของตัวแปรต่างๆในระบบ

มิติ (dimension)ของเวกเตอร์ตัวแปรของระบบขึ้นอยู่กับจำนวนของตัวแปรนั้นๆ กำหนดให้ระบบพลวัตแบบสถานะต่อเนื่องมีจำนวนตัวแปรต่างๆตามนี้

x
→

∈

R

n

{\displaystyle \vec{x}\in\mathbb{R}^n}

u
→

∈

R

m

{\displaystyle \vec{u}\in\mathbb{R}^m}

y
→

∈

R

p

{\displaystyle \vec{y}\in\mathbb{R}^p}

## การจำลองเชิงปริภูมิสถานะของระบบพลวัตแบบสถานะต่อเนื่อง

ระบบพลวัตแบบสถานะต่อเนื่องสามารถถูกอธิบายโดยใช้หลักการจำลองเชิงปริภูมิสถานะ (state-space representation) 2 ส่วน ส่วนแรกคือส่วนของอัตราการเปลี่ยนแปลงของสถานะซึ่งอาจขึ้นอยู่กับ เวลา สถานะ และ input ณ ขณะนั้น

สมการที่อธิบายอัตราการเปลี่ยนแปลงของสถานะนนี้เรียกว่า สมการสถานะ (state equation) ซึ่งสามารถเขียนเป็นแบบจำลองเชิงคณิตศาสตร์ให้อยู๋ในรูปของระบบสมการเชิงอนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง (system of first-order differential equations) ดังสมการ (4)

x
→

˙

=
f
(
t
,

x
→

,

u
→

)

{\displaystyle \dot{\vec{x}}=f(t,\vec{x},\vec{u})}

 (4)

โดยที่

f
:

R

×

R

n

×

R

m

→

R

n

{\displaystyle f:\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n}

 เป็นฟังก์ชันที่อธิบายอัตราการเปลี่ยนแปลงของแต่ละสถานะ

ส่วนที่สองของการจำลองเชิงปริภูมิสถานะคือ สมการเอาต์พุต (output equation) ซึ่งสามารถอธิบายค่าของoutputที่อาจขึ้นอยู่กับ เวลา สถานะ และ input ณ ขณะนั้น สมการoutput สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของสมการ (5)

y
→

=
g
(
t
,

x
→

,

u
→

)

{\displaystyle \vec{y}=g(t,\vec{x},\vec{u})}

 (5)

โดยที่

g
:

R

×

R

n

×

R

m

→

R

p

{\displaystyle g:\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^p}

 เป็นฟังก์ชันที่อธิบายค่าของoutput

# การแปลงระบบพลวัตให้อยู่รูปของปริภูมิสถานะจากสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสูง (Formulation of State-space Representation from Higher-order Differential Equations)

## การหาตัวแปรและพารามิเตอร์

ตัวแปรในสมการประกอบไปด้วย 4 ชนิดด้วยกัน ตัวแปรชนิดแรกคือ ตัวแปรอิสระ (independent variable) เนื่องจากระบบที่วิเคราะห์เป็นระบบพลวัตทางกายภาพ ตัวแปรเดียวที่เป็นตัวแปรอิสระก็คือ เวลา

t

{\displaystyle t}

ตัวแปรชนิดที่สองคือ ตัวแปรควบคุม (control variable) ซึ่งเป็นตัวแปรที่ถูกกำหนดโดยตัวแปรอื่นที่นอกเหนือจากที่ระบุในสมการ
ตัวแปรชนิดที่สามคือ ตัวแปรตาม (dependent variable) ตัวแปรชนิดนี้แปรเปลี่ยนไปตามเวลาและสามารถเขียนในสมการให้อยู่ในรูปของอนุพันธ์(derivative)ได้ ยกตัวอย่างเช่น

y
¨

# y
2
t
u

{\displaystyle \ddot{y}+y=2t+u}

โดยกำหนดให้

u

{\displaystyle u}

เป็นตัวแปรควบคุม

t

{\displaystyle t}

 เป็นตัวแปรอิสระ และ

y

{\displaystyle y}

เป็นตัวแปรตาม

ระบบสามารถมีตัวแปรตามมากกว่า 1 ตัว หากตัวแปรตามมีทั้งหมด

k

{\displaystyle k}

 ตัว จำนวนสมการที่ใช้อธิบายระบบพลวัตนั้นก็ต้องมีทั้งหมด

k

{\displaystyle k}

 สมการ โดยที่แต่ละสมการจะต้อง Linearly Independent ต่อกันและกัน ตัวอย่างเช่น

J
˙

=
−
b
R

{\displaystyle \dot{J}=-bR}

R
˙

=
a
J

{\displaystyle \dot{R}=aJ}

โดยที่

J

{\displaystyle J}

 และ

R

{\displaystyle R}

 เป็นตัวแปรตามที่ขึ้นอยู่กับตัวแปรอิสระ

t

{\displaystyle t}

ตัวแปรชนิดสุดท้ายคือ พารามิเตอร์ (parameter) ซึ่งเป็นตัวแปรที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามตัวแปรใดๆ จากตัวอย่างสมการก่อนหน้านี้ ตัวแปรที่เป็น พารามิเตอร์คือ

a

{\displaystyle a}

 และ

b

{\displaystyle b}

หากสมการถูกกำหนดมาอย่างเดียว จะไม่สามารถแยกความแตกต่างระหว่าง ตัวแปรควบคุมและพารามิเตอร์ได้ จำเป็นที่จะต้องระบุให้ชัดว่าตัวแปรไหรในสมการเป็นตัวแปรควบคุม

## อันดับของระบบ

อันดับของระบบพลวัต (Order of the system) บ่งบอกถึงอันดับของอนุพันธ์ อันดับของทั้งระบบสามารถคำนวนได้จากการนำอันดับของอนุพันธ์ที่สูงที่สุดของแต่ละตัวแปรตามมารวมกัน (sum of number of highest-order derivative of each dependent variables) ยกตัวอย่างเช่น

2

x
˙

−

y

(
3
)

−
2

t
2

# y
3
sin
⁡

t

{\displaystyle 2\dot{x}-y^{(3)}-2t^2y=3\sin{t}}

 (6)

y
¨

=

x
2

x
¨

{\displaystyle \ddot{y}=x^2+\ddot{x}}

 (7)

จากสมการ (6) และ (7) อันดับของระบบพลวัตนี้คือ 5 เนื่องจากอันดับของอนุพันธ์ที่สูงที่สุดของ

x

{\displaystyle x}

 และ

y

{\displaystyle y}

 เท่ากับ 2 และ 3 ตามลำดับ

## การกำหนดตัวแปรสถานะ

การกำหนดตัวแปรสถานะของระบบพลวัตไม่ได้มีแค่วิธีเดียว แต่บางวิธีทำให้ตัวแปรที่ถูกกำหนดนำไปใช้คำนวณต่อได้สะดวก จะด้วยวิธีใดก็ตาม การเลือกตัวแปรสถานะจะต้องเป็นไปตามข้อกำหนดต่อไปนี้

```
  1. ตัวแปรสถานะต้องไม่เป็นพารามิเตอร์
  2. ตัวแปรสถานะทุกตัวต้อง linearly independent ซึ่งกันและกัน หมายความว่า ตัวแปรสถานะนั้นต้องไม่สามารถเขียนเป็น linear combination ของตัวแปรสถานะตัวอื่นได้
  3.ตัวแปรสถานะทุกตัวต้องสามารถถูกอธิบายโดยสมการระบบพลวัตที่กำหนด

```

หนึ่งในวิธีการกำหนดตัวแปรสถานะคือการเลือกจากอนุพันธ์เนื่องจากอนุพันธ์ใดๆก็ตามสามารถแปลงเป็นอัตราการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรสถานะได้ เพราะฉะนั้นหากสมการประกอบไปด้วยพจน์

w
˙

{\displaystyle \dot{w}}

 หนึ่งในตัวแปรสถานะที่ควรกำหนดก็คือ

w

{\displaystyle w}

### ตัวอย่างที่ 1

กำหนดให้ระบบพลวัตถูกอธิบายโดยสมการ (8)

a

q
˙

p
# q
sin
⁡

t

{\displaystyle a\dot{q}+pq=\sin{t}}

 (8)

สมการนี้ประกอบไปด้วยตัวแปรอิสระ

t

{\displaystyle t}

 พารามิเตอร์

a

{\displaystyle a}

 และ

p

{\displaystyle p}

 และตัวแปรตาม

q

{\displaystyle q}

เนื่องจากระบบพลวัตเป็นอันดับที่หนึ่งจึงทำให้ระบบต้องมีตัวแปรสถานะ 1 ตัว หากสังเกตที่อนุพันธ์ในสมการ พจน์ที่มีอนุพันธ์คือพจน์

q
˙

{\displaystyle \dot q}

 เพราะฉะนั้น สามารถที่จะเลือก

q

{\displaystyle q}

 เป็นสถานะของระบบได้

x
1

=
q

{\displaystyle x\_1=q}

อัตราการเปลี่ยนแปลงของ

x
1

{\displaystyle x\_1}

 สามารถเขียนจากสมการ (8) ได้ดังนี้

x
1

˙

=

−
p

x
1

sin
⁡

t

a

{\displaystyle \dot{x\_1}=\frac{-px\_1+\sin{t}}{a}}

จะอย่างไรก็ตาม ตัวแปรสถานะสามารถถูกเลือกเป็นค่าอื่นได้ตราบใดที่
ยังถูกตามข้อกำหนดที่ระบุข้างต้นทั้ง 3 ข้อ

กำหนดให้

x
1

=
q
2

{\displaystyle x\_1=q+2}

 อัตราการเปลี่ยนแปลงของ

x
1

{\displaystyle x\_1}

 สามารถเขียนได้ดังต่อไปนี้

x
1

˙

=

−
p
(

x
1

−
2
)
sin
⁡

t

a

{\displaystyle \dot{x\_1}=\frac{-p(x\_1-2)+\sin{t}}{a}}

ตัวอย่างนี้แสดงได้เห็นถึงการเขียนแบบจำลองเชิงปริภูมิสถานะในรูปแบบที่แตกต่างกันของระบบพลวัตเดียวกัน

### ตัวอย่างที่ 2

กำหนดให้ระบบพลวัตถูกอธิบายโดยสมการ (9)

m

z
¨

k
# z
A
sin
⁡

ω
t

{\displaystyle m\ddot{z}+kz=A\sin{\omega t}}

ระบบนี้มีพารามิเตอร์ 4 ตัว ตัวแปรอิสระ 1 ตัว และตัวแปรตาม 1 ตัว

เนื่องจากระบบเป็นอันดับที่สอง ระบบจำเป็นต้องมีตัวแปรสถานะ 2 ตัว แต่สมการมีตัวแปรตามแค่ 1 ตัว หากจะเลือกตัวแปรสถานะตามพจน์ที่เป็นอนุพันธ์ที่อยู่ในสมการ (9) เราสามารถเลือก

z
˙

{\displaystyle \dot{z}}

 เป็นหนึ่งในตัวแปรสถานะเพราะอัตราการเปลี่ยนแปลงของ

z
˙

{\displaystyle \dot{z}}

 สามารถถูกอธิบายได้โดยสมการ (9) เพราะฉะนั้น ถึงแม้จะมีแค่สมการพลวัตตั้งต้นแค่สมการเดียวแต่ตัวแปรสถานะที่สองก็สามารถหาได้จาก

z
˙

{\displaystyle \dot{z}}

 ที่เราเลือกตอนแรก เนื่องจาก

z
˙

{\displaystyle \dot{z}}

 คืออัตราการเปลี่ยนของ

z

{\displaystyle z}

 เราสามารถกำหนดให้

z

{\displaystyle z}

 เป็นตัวแปรสถานะอีกตัว ตัวแปรสถานะของระบบนี้สรุปได้ดังต่อไปนี้

[

x
1

x
2

]

=

[

z

z
˙

]

{\displaystyle \begin{bmatrix}x\_1 \\ x\_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}z\\ \dot{z}\end{bmatrix} }

 (10)

## การเขียนสมการสถานะ

จุดสำคัญในการเขียนสมการสถานะคือการหาสมการที่อธิบายอัตราการเปลี่ยนแปลงของแต่ละตัวแปรสถานะในรูปของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง กระบวนการเขียนสมการสถานะจะถูกอธิบายโดยตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ตัวแปรสถานะเป็นดังสมการ (10) หากหาอนุพันธ์ของสมการ (10) จะได้สมการดังต่อไปนี้

[

x
˙

1

x
˙

2

]

=

[

z
˙

z
¨

]

{\displaystyle \begin{bmatrix}\dot{x}\_1 \\ \dot{x}\_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\dot{z} \\ \ddot{z}\end{bmatrix} }

ซึ่งทำให้อัตราการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรสถานะทั้งสองสามารถเขียนในรูปของตัวแปรสถานะได้ดังต่อไปนี้

[

x
˙

1

x
˙

2

]

=

[

x
2

1
m

(
−
k

x
1

A
sin
⁡

ω
t

)

]

{\displaystyle \begin{bmatrix}\dot{x}\_1 \\ \dot{x}\_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x\_2\\ \frac{1}{m}(-kx\_1+A\sin{\omega t})\end{bmatrix} }

## การกำหนดoutputและเขียนสมการoutput

สมการoutputไม่ได้มีข้อกำหนดมากเหมือนสมการสถานะ โดยปกติตัวแปรoutputจะถูกเลือกตามเซนเซอร์ที่วัดในระบบ และสมการoutputจะเขียนอยู่ในรูปของตัวแปรสถานะ ยกตัวอย่างเช่น

y
1

=

x
1

{\displaystyle y\_1 = x\_1}