וקטורים

**וקטור** הוא שם כולל לגדלים פיזיקליים שיש להם גודל וכיוון, כדוגמת מהירות. זאת בניגוד לגדלים ללא כיוון, כדוגמת טמפרטורה, הנקראים **סקלרים**.

## וקטורים וסקלרים

בפיזיקה מבדילים לרוב בין שני סוגי גדלים: וקטורים וסקלרים.

גדלים סקלריים הם גדלים חסרי כיוון, לדוגמה: טמפרטורה, לחץ, מסה, מטען וכו'.

לעומתם לגדלים וקטוריים יש כיוון, לדוגמה: מיקום, מהירות, כוח, זרם וכו'.

מקובל לסמן וקטורים בעזרת חץ מעל הסימון כך

v
→

{\displaystyle \vec{v}}

, או לעתים על ידי הדגשת הכתוב כך

v

{\displaystyle \mathbf{v} }

.

## ייצוג בשרטוט

בשרטוטים מקובל לסמן וקטורים כחיצים, כאינדיקציה לכיוון במרחב אליו מכוון הוקטור, כאשר אורך החץ פרופורציוני לגודל של הוקטור. לעתים יש צורך לסמן וקטורים שאינם מצביעים במישור הדף, אלא במאונך לו. במקרה כזה, מקובל לסמן ב-

⨀

{\displaystyle \bigodot}

 וקטורים היוצאים מהדף (מצביעים מהדף אל הקורא), וב-

⨂

{\displaystyle \bigotimes}

 וקטורים הנכנסים לדף (מצביעים מהקורא אל הדף).

## ייצוג פולרי וקרטזי

ניתן לייצג גדלים וקטוריים בכמה דרכים, שתי הדרכים הנפוצות מובאות להלן:

### תצוגה פולרית (קוטבית)

תצוגה פולרית מציגה ווקטור כגודל וכיוון. בדו-מימד הכיוון לרוב מיוצג בעזרת הזווית שהוקטור יוצר עם כיוון ידוע כלשהו ("הוקטור יוצר זווית של

30

∘

{\displaystyle 30^{\circ}}

 עם ציר ה-

x

{\displaystyle x}

...").

עבור וקטור כללי

r
→

{\displaystyle \vec{r}}

 נהוג לסמן את הגודל ב

r
→

{\displaystyle \left\vert \vec{r} \right\vert}

, או לעתים פשוט ב-

r

{\displaystyle r}

. את הכיוון (זווית מציר נבחר כלשהו, לרוב ציר

x

{\displaystyle x}

) מסמנים לרוב ב-

θ

{\displaystyle \theta}

. הסימון לגודל משתנה לפי הגודל שהוקטור מייצג (מהירות ב

v

{\displaystyle v}

 וכו')

דוגמה:

# v
3

m
s

,
# θ

30

∘

{\displaystyle v=3\frac{m}{s},\theta=30^{\circ} }

היתרון של תצוגה זו הוא שקל להבין ממנה את המאפיינים הבסיסיים של הוקטור - גודל וכיוון, אך החיסרון שלה הוא שקשה לבצע פעולות מתמטיות על וקטורים בתצוגה הזו.

### תצוגה קרטזית

ניתן לייצג וקטורים גם לפי גודל ההיטל על כל אחד מהצירים.

לעיתים כותבים תצוגה זו בסוגריים כאשר הגדלים במימדים השונים מופיעים לפי הסדר (

x
,
y
,
z
…

{\displaystyle x,y,z\ldots }

) מלמעלה למטה

דוגמה:

v
→

=

(

3

3

2

m
s

3
2

m
s

)

{\displaystyle \vec{v}=\left(\begin{array}{c}
3\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{m}{s}\\
\frac{3}{2}\frac{m}{s}
\end{array}\right) }

### המרה בין התצוגות

ניתן להעביר בין התצוגות לפי הנוסחאות הבאות:

# x
r
cos
⁡
θ

{\displaystyle x = r \cos \theta}

# y
r
sin
⁡
θ

{\displaystyle y = r \sin \theta}

# r

x
2

y
2

{\displaystyle r = \sqrt{x^2 + y^2}}

# θ
arctan
⁡

y
x

{\displaystyle \theta=\arctan\frac{y}{x} }

לדוגמה:

# x
3

m
s

cos
⁡

30

∘

=
3

3

2

m
s

{\displaystyle x=3\frac{m}{s}\cos30^{\circ}=3\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{m}{s} }

# y
3

m
s

sin
⁡

30

∘

=

3
2

m
s

{\displaystyle y=3\frac{m}{s}\sin30^{\circ}=\frac{3}{2}\frac{m}{s} }

# r

(
3

3

2

m
s

)

2

(

3
2

m
s

)

2

=
3

m
s

{\displaystyle r=\sqrt{(3\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{m}{s})^{2}+(\frac{3}{2}\frac{m}{s})^{2}}=3\frac{m}{s} }

# θ
arctan
⁡

3
2

m
s

3

3

2

m
s

=

30

∘

{\displaystyle \theta=\arctan\frac{\frac{3}{2}\frac{m}{s}}{3\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{m}{s}}=30^{\circ} }

### חיבור

באופן אינטואיטיבי מה שמבצעים בחיבור וקטורים הוא לחבר זנב של מחובר אחד לראש של מחובר אחר (כאשר מסתכלים עליהם כחצים) והתוצאה היא הווקטור המחבר את הזנב והראש שאינם נוגעים.

בתצוגה קרטזית ניתן לחשב זאת בקלות כך:

(

x

1

y

1

⋮

)

(

x

2

y

2

⋮

)

=

(

x

1

x

2

y

1

y

2

⋮

)

{\displaystyle \left(\begin{array}{c}
x\_{1}\\
y\_{1}\\
\vdots
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}
x\_{2}\\
y\_{2}\\
\vdots
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
x\_{1}+x\_{2}\\
y\_{1}+y\_{2}\\
\vdots
\end{array}\right) }

לדוגמה:

(

4
N

3
N

13
N

)

(

2
N

5
N

9
N

)

=

(

6
N

8
N

22
N

)

{\displaystyle \left(\begin{array}{c}
4N\\
3N\\
13N
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}
2N\\
5N\\
9N
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
6N\\
8N\\
22N
\end{array}\right)
 }

### חיסור

חיסור מתבצע בדומה לחיבור, אך עם היפוך כיוון של הווקטור השני:

(

x

1

y

1

⋮

)

−

(

x

2

y

2

⋮

)

=

(

x

1

−

x

2

y

1

−

y

2

⋮

)

{\displaystyle \left(\begin{array}{c}
x\_{1}\\
y\_{1}\\
\vdots
\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}
x\_{2}\\
y\_{2}\\
\vdots
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
x\_{1}-x\_{2}\\
y\_{1}-y\_{2}\\
\vdots
\end{array}\right)
 }

לדוגמה:

(

4
N

3
N

13
N

)

−

(

2
N

5
N

9
N

)

=

(

2
N

−
2
N

4
N

)

{\displaystyle \left(\begin{array}{c}
4N\\
3N\\
13N
\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}
2N\\
5N\\
9N
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
2N\\
-2N\\
4N
\end{array}\right) }

### כפל בסקלר

ניתן לכפול סקלר ווקטור, אינטואיטיבית הפעולה מכפילה את אורך הווקטור בסקלר זה, ולא משנה את כיוונו.

הפעולה פשוטה חישובית גם במערכת קרטזית:

λ

(

x

y

⋮

)

=

(

λ
x

λ
y

⋮

)

{\displaystyle \lambda\left(\begin{array}{c}
x\\
y\\
\vdots
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
\lambda x\\
\lambda y\\
\vdots
\end{array}\right)
 }

לדוגמה:

5
k
g

(

3

m

s

2

4

m

s

2

13

m

s

2

)

=

(

15
N

20
N

65
N

)

{\displaystyle 5kg\left(\begin{array}{c}
3\frac{m}{s^{2}}\\
4\frac{m}{s^{2}}\\
13\frac{m}{s^{2}}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
15N\\
20N\\
65N
\end{array}\right) }

## פעולות כפל וקטורים

ישנן שתי פעולות כפל וקטורים בהן משתמשים: מכפלה סקלרית (dot product) ומכפלה וקטורית (cross product).

### מכפלה סקלרית

מכפלה סקלרית (מסומנת ב

⋅

{\displaystyle \cdot}

 ולכן נקראת גם dot product) נקראת כך כיוון שתוצאתה היא סקלר.

ערך המכפלה הוא

v

1

→

⋅

v

2

→

=

v

1

v

2

c
o
s
(
α
)

{\displaystyle \vec{v\_{1}}\cdot\vec{v\_{2}}=\vert v\_{1}\vert\vert v\_{2}\vert cos(\alpha) }

כאשר

* α

{\displaystyle \alpha}

 היא הזווית בין שני הווקטורים
v

{\displaystyle \vert v \vert }

 הוא האורך של הווקטור

v
→

{\displaystyle \vec{v}}

או בייצוג קרטזי

(

x

1

y

1

⋮

)

⋅

(

x

2

y

2

⋮

)

=

x

1

x

2

y

1

y

2

…

{\displaystyle \left(\begin{array}{c}
x\_{1}\\
y\_{1}\\
\vdots
\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}
x\_{2}\\
y\_{2}\\
\vdots
\end{array}\right)=x\_{1}x\_{2}+y\_{1}y\_{2}+\ldots }

לדוגמה:

(

3
N

4
N

13
N

)

⋅

(

1
m

2
m

3
m

)

=
3
J
8
J
39
# J
50
J

{\displaystyle \left(\begin{array}{c}
3N\\
4N\\
13N
\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}
1m\\
2m\\
3m
\end{array}\right)=3J+8J+39J=50J
 }

### מכפלה וקטורית

מכפלה וקטורית (מסומנת ב

×

{\displaystyle \times}

 ולכן נקראת גם cross product) נקראת כך כיוון שתוצאתה היא וקטור, ניתן להפעילה רק על וקטורים בתלת מימד.

ערך המכפלה הוא

v

1

→

×

v

2

→

=

v

1

v

2

sin
⁡
(
α
)

n
^

{\displaystyle \vec{v\_{1}}\times\vec{v\_{2}}=\vert v\_{1}\vert\vert v\_{2}\vert\sin(\alpha)\hat{n} }

כאשר

* α

{\displaystyle \alpha}

 היא הזווית בין שני הווקטורים
v

{\displaystyle \vert v \vert }

 הוא האורך של הווקטור

v
→

{\displaystyle \vec{v}}
* n
^

{\displaystyle \hat n}

 הוא וקטור היחידה המאונך לשני הוקטורים המוכפלים לפי כלל היד הימנית.

או במערכת קרטזית:

(

x

1

y

1

z

1

)

×

(

x

2

y

2

z

2

)

=

(

y

1

z

2

−

z

1

y

2

z

1

x

2

−

x

1

z

2

x

1

y

2

−

y

1

x

2

)

{\displaystyle \left(\begin{array}{c}
x\_{1}\\
y\_{1}\\
z\_{1}
\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}
x\_{2}\\
y\_{2}\\
z\_{2}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
y\_{1}z\_{2}-z\_{1}y\_{2}\\
z\_{1}x\_{2}-x\_{1}z\_{2}\\
x\_{1}y\_{2}-y\_{1}x\_{2}
\end{array}\right) }

לדוגמה:

(

1

m
s

2

m
s

3

m
s

)

×

(

4
T

5
T

6
T

)

=

(

12

V
m

−
15

V
m

12

V
m

−
6

V
m

5

V
m

−
8

V
m

)

=

(

−
3

V
m

6

V
m

−
3

V
m

)

{\displaystyle \left(\begin{array}{c}
1\frac{m}{s}\\
2\frac{m}{s}\\
3\frac{m}{s}
\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}
4T\\
5T\\
6T
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
12\frac{V}{m}-15\frac{V}{m}\\
12\frac{V}{m}-6\frac{V}{m}\\
5\frac{V}{m}-8\frac{V}{m}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
-3\frac{V}{m}\\
6\frac{V}{m}\\
-3\frac{V}{m}
\end{array}\right)
 }

## נגזרות של וקטורים

כשיש לנו וקטור המשתנה לפי פרמטר כלשהו (למשל, וקטור המיקום של גוף הנמצא בתנועה משתנה לפי הזמן), ניתן לדבר על הנגזרת של הוקטור לפי אותו פרמטר, שהיא וקטור בעצמה:

d

V
→

(
a
)

d
a

=

lim

Δ
a
→
0

V
→

(
a
Δ
a
)
−

V
→

(
a
)

Δ
a

=

{\displaystyle \frac{d\vec{V}(a)}{da} = \lim\_{\Delta a \to 0} \frac{\vec{V}(a+\Delta a)-\vec{V}(a)}{\Delta a} = }

=

lim

Δ
a
→
0

(

X
(
a
Δ
a
)
,
Y
(
a
Δ
a
)
,
Z
(
a
Δ
a
)

)

−

(

X
(
a
)
,
Y
(
a
)
,
Z
(
a
)

)

Δ
a

=

{\displaystyle = \lim\_{\Delta a \to 0} \frac{\left ( X(a+\Delta a), Y(a+\Delta a), Z(a+\Delta a) \right ) - \left ( X(a), Y(a), Z(a) \right ) }{\Delta a} = }

=

lim

Δ
a
→
0

(

X
(
a
Δ
a
)
−
X
(
a
)

Δ
a

,

Y
(
a
Δ
a
)
−
Y
(
a
)

Δ
a

,

Z
(
a
Δ
a
)
−
Z
(
a
)

Δ
a

)

=

{\displaystyle = \lim\_{\Delta a \to 0} \left ( \frac{X(a+\Delta a)-X(a)}{\Delta a}, \frac{Y(a+\Delta a)-Y(a)}{\Delta a}, \frac{Z(a+\Delta a)-Z(a)}{\Delta a} \right ) = }

=

(

d
X
(
a
)

d
a

,

d
Y
(
a
)

d
a

,

d
Z
(
a
)

d
a

)

{\displaystyle = \left ( \frac{dX(a)}{da}, \frac{dY(a)}{da}, \frac{dZ(a)}{da} \right )}

כלומר, הגזירה מתבצעת לפי כל פרמטר בנפרד.

### **נגזרת של מכפלה סקלרית**

לשם גזירה של ביטויים נרצה לדעת לחשב נגזרות של מכפלות של וקטורים, ולמעשה נרצה להראות שהן מצייתות לנוסחה הרגילה לכפל

לשם כך נפשט את הנגזרת של הביטוי

(

v
→

(
x
)
⋅

u
→

(
x
)

)

′

=

(

v

x

(
x
)

u

x

(
x
)

v

y

(
x
)

u

y

(
x
)

v

z

(
x
)

u

z

(
x
)

)

′

=

{\displaystyle \left(\vec{v}(x)\cdot\vec{u}(x)\right)'=\left(v\_{x}(x)u\_{x}(x)+v\_{y}(x)u\_{y}(x)+v\_{z}(x)u\_{z}(x)\right)'= }

=

v

x

′

(
x
)

u

x

(
x
)

v

x

(
x
)

u

x

′

(
x
)

v

y

′

(
x
)

u

y

(
x
)

v

y

(
x
)

u

y

′

(
x
)

v

z

′

(
x
)

u

z

(
x
)

v

z

(
x
)

u

z

′

(
x
# )

{\displaystyle =v\_{x}'(x)u\_{x}(x)+v\_{x}(x)u\_{x}'(x)+v\_{y}'(x)u\_{y}(x)+v\_{y}(x)u\_{y}'(x)+v\_{z}'(x)u\_{z}(x)+v\_{z}(x)u\_{z}'(x)= }

=

v
→

′

(
x
)
⋅

u
→

(
x
)

v
→

(
x
)
⋅

u
→

′

(
x
)

{\displaystyle =\vec{v}'(x)\cdot\vec{u}(x)+\vec{v}(x)\cdot\vec{u}'(x) }

כלומר ניתן להשתמש בנוסחת הנגזרת לכפל של נגזרת רגילה.

### **נגזרת של מכפלה וקטורית**

פיתוח כזה עובד גם לנגזרת של מכפלה וקטורית

(

v
→

(
x
)
×

u
→

(
x
)

)

′

=

(

v

y

(
x
)

u

z

(
x
)
−

v

z

(
x
)

u

y

(
x
)

v

z

(
x
)

u

x

(
x
)
−

v

x

(
x
)

u

z

(
x
)

v

x

(
x
)

u

y

(
x
)
−

v

y

(
x
)

u

x

(
x
)

)

′

=

(

(

v

y

(
x
)

u

z

(
x
)
−

v

z

(
x
)

u

y

(
x
)

)

′

(

v

z

(
x
)

u

x

(
x
)
−

v

x

(
x
)

u

z

(
x
)

)

′

(

v

x

(
x
)

u

y

(
x
)
−

v

y

(
x
)

u

x

(
x
)

)

′

)

=

{\displaystyle \left(\vec{v}(x)\times\vec{u}(x)\right)'=\left(\begin{array}{c}
v\_{y}(x)u\_{z}(x)-v\_{z}(x)u\_{y}(x)\\
v\_{z}(x)u\_{x}(x)-v\_{x}(x)u\_{z}(x)\\
v\_{x}(x)u\_{y}(x)-v\_{y}(x)u\_{x}(x)
\end{array}\right)'=\left(\begin{array}{c}
\left(v\_{y}(x)u\_{z}(x)-v\_{z}(x)u\_{y}(x)\right)'\\
\left(v\_{z}(x)u\_{x}(x)-v\_{x}(x)u\_{z}(x)\right)'\\
\left(v\_{x}(x)u\_{y}(x)-v\_{y}(x)u\_{x}(x)\right)'
\end{array}\right)= }

=

(

v

y

′

(
x
)

u

z

(
x
)
−

v

z

′

(
x
)

u

y

(
x
)

v

y

(
x
)

u

z

′

(
x
)
−

v

z

(
x
)

u

y

′

(
x
)

v

z

′

(
x
)

u

x

(
x
)
−

v

x

′

(
x
)

u

z

(
x
)

v

z

(
x
)

u

x

′

(
x
)
−

v

x

(
x
)

u

z

′

(
x
)

v

x

′

(
x
)

u

y

(
x
)
−

v

y

′

(
x
)

u

x

(
x
)

v

x

(
x
)

u

y

′

(
x
)
−

v

y

(
x
)

u

x

′

(
x
)

)

=

v
→

′

(
x
)
×

u
→

(
x
)

v
→

(
x
)
×

u
→

′

(
x
)

{\displaystyle =\left(\begin{array}{c}
v\_{y}'(x)u\_{z}(x)-v\_{z}'(x)u\_{y}(x)+v\_{y}(x)u\_{z}'(x)-v\_{z}(x)u\_{y}'(x)\\
v\_{z}'(x)u\_{x}(x)-v\_{x}'(x)u\_{z}(x)+v\_{z}(x)u\_{x}'(x)-v\_{x}(x)u\_{z}'(x)\\
v\_{x}'(x)u\_{y}(x)-v\_{y}'(x)u\_{x}(x)+v\_{x}(x)u\_{y}'(x)-v\_{y}(x)u\_{x}'(x)
\end{array}\right)=\vec{v}'(x)\times\vec{u}(x)+\vec{v}(x)\times\vec{u}'(x) }

שימו לב שסוג המכפלה נשמר בנוסחה לנגזרת של מכפלה.