Bashicu矩陣系統

**Bashicu矩陣系統** (Bashicu matrix system;BMS) 是一種生成 bashicu 在2014年發明的巨大數字的算法。

單行矩陣 (原始數列系統, Primitive Sequence System, PrSS) 具有 \(f\_{\epsilon\_0}(n)\) 強度。
雙行矩陣 (對數列系統, Pair Sequence System, PSS) 大於TREE(n)，具有 \(f\_{\psi(\Omega\_{\omega})}(n)\) 強度。
３行矩陣(三重數列系統)大於SCG(n)，
n 行矩陣的增加率未知哪個序數對應。該函數被認為弱於Loader數的函數。

記法
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**Bashicu 矩陣** 是一個矩陣，其元素是非負整數，如

\(\begin{pmatrix} a\_{11} & a\_{12} & a\_{13}\\ a\_{21} & a\_{22} & a\_{23} \end{pmatrix}\)
通過排列像 \((a\_{11},a\_{21})(a\_{12},a\_{22})(a\_{13},a\_{23})\) 這樣的列向量的轉置矩陣來表示這是 Bashicu 矩陣的**數列表示法**。Bashicu 矩陣 \({\boldsymbol S}[n]\) 作從自然數 \(n\) 到自然數 \({\boldsymbol S}[n]\) 的函數起作用並並寫成 \((0,0)(1,1)(2,2)(3,3)(3,2)[n]\)。

定義
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Bashicu 通過編程語言 BASIC 的偽語言使用 Bashicu 矩陣系統定義了**Bashicu 矩陣數**。

由於 Bashicu 創建的程序並非用於執行，因此Fish創建了一個程序 “Bashicu 矩陣計算機”，顯示計算過程，該計劃由 Bashicu 驗證。因此，　Bashicu 矩陣的形式定義在 Bashicu 矩陣計算機源代碼中描述。

## 數學定義

如果您將 Bashicu 矩陣數作為公式編寫，它將如下所示。

\begin{eqnarray\*}
\mathrm{Bashicu 矩陣數:}~K&=&\mathrm{Bm}^{10}(9)\\
\mathrm{大函數:}~\mathrm{Bm}(n)&=&\mathrm{expand}((\underbrace{0,0,\cdots,0}\_{n+1})(\underbrace{1,1,\cdots,1}\_{n+1})[n])\\
\mathrm{擴張規則:}~\mathrm{expand}([n])&=&n\\
\mathrm{expand}({\boldsymbol S}[n])&=&\left\{\begin{array}{ll}
\mathrm{expand}({\boldsymbol S}\_0\cdots{\boldsymbol S}\_{X-2}[f(n)])&(\mathrm{if}~\forall y~S\_{(X-1)y}=0)\\
\mathrm{expand}({\boldsymbol G}{\boldsymbol B}^{(0)}{\boldsymbol B}^{(1)}{\boldsymbol B}^{(2)} \cdots {\boldsymbol B}^{(f(n))}[f(n)])&(\mathrm{otherwise})\\
\end{array}\right.\\
\mathrm{激活函數:}~f(n)&=&n^2\\
\mathrm{矩陣:}~{\boldsymbol S}&=&{\boldsymbol S}\_0{\boldsymbol S}\_1\cdots{\boldsymbol S}\_{X-1}\\
\mathrm{列:}~{\boldsymbol S}\_x&=&(S\_{x0},S\_{x1},\cdots,S\_{x(Y-1)})\\
\mathrm{好的部分:}~{\boldsymbol G}&=&{\boldsymbol S}\_0{\boldsymbol S}\_1\cdots{\boldsymbol S}\_{r-1}\\
\mathrm{壞的部分:}~{\boldsymbol B}^{(a)}&=&{\boldsymbol B}\_0^{(a)}{\boldsymbol B}\_1^{(a)}\cdots{\boldsymbol B}\_{X-2-r}^{(a)}\\
\mathrm{壞的部分的列:}~{\boldsymbol B}\_x^{(a)}&=&(B\_{x0}^{(a)},B\_{x1}^{(a)},\cdots,B\_{x(Y-1)}^{(a)})\\
\mathrm{壞的部分的元素:}~B\_{xy}^{(a)}&=&S\_{(r+x)y}+a\Delta\_{y}A\_{xy}\\
\mathrm{增加量:}~\Delta\_{y}&=&\left\{\begin{array}{ll}
S\_{(X-1)y}-S\_{ry}&(\mathrm{if}~y\lt t)\\
0 &(\mathrm{if}~y\geq t)
\end{array}\right.\\
\mathrm{增加矩陣:}~A\_{xy}&=&\left\{\begin{array}{ll}
1 &(\mathrm{if}~ \exists a( r=(P\_{y})^a(r+x)))\\
0 &(\mathrm{否則})
\end{array}\right.\\
\mathrm{非零最下行:}~t&=&\max\{y|S\_{(X-1)y}\gt 0\}\\
\mathrm{壞根:}~r &=& P\_t(X-1)\\
S\_{xy}~\mathrm{的親}:~P\_{y}(x)&=&\left\{\begin{array}{ll}
\max\{p|p\lt x \land S\_{py} \lt S\_{xy} \land \exists a( p=(P\_{y-1})^a(x))\} & (\mathrm{if}~y\gt 0)\\
\max\{p|p\lt x \land S\_{py} \lt S\_{xy} \} & (\mathrm{if}~y=0)\\
\end{array}\right.\\
\end{eqnarray\*}

## 計算示例

根據上述規則計算 \((0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(4,2,0)[2]\) 。
\begin{eqnarray\*}{\boldsymbol S} &=& {\boldsymbol S}\_0{\boldsymbol S}\_1{\boldsymbol S}\_2{\boldsymbol S}\_3{\boldsymbol S}\_4\\
&=&(S\_{00},S\_{01},S\_{02})(S\_{10},S\_{11},S\_{12})(S\_{20},S\_{21},S\_{22})(S\_{30},S\_{31},S\_{32})(S\_{40},S\_{41},S\_{42})\\
&=&(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(4,2,0)
\end{eqnarray\*}

* 第１行的**親**:最右邊的元素小於第１行的最右列 \(S\_{40} = 4\) 左邊是 \(S\_{30}=3\)。因此，小於第一行和左邊元素的最右邊元素稱為**親**。

\(S\_{xy}\) 的親的列是 \(P\_y(x)\) 。

* **直接祖先**: 直接祖先的父母，或者你自己稱為那個元素的**直接祖先**。在這種情況下、\(S\_{40} = 4\) 的直接祖先是 \(S\_{40}=4,~S\_{30}=3,~S\_{20}=2,~S\_{10}=1,~S\_{00}=0\) 。
* 第二行和後續行的親: 第二行和後續行、對於給定的元素 \(S\_{xy}\)，與元素的直接祖先相同的序列 \((P\_{y-1})^a(x)\) 高於該元素它在並且小於元素 \(S\_{xy}\) 並且在左邊，最右邊的元素是親。
* **壞根**: 最右列 \(X-1\) 的非零最下行 \(t\) 的親的列 \(P\_t(X-1)\) 是 **壞根** \(r\), 壞根將成為好的部分沒有復制 \({\boldsymbol G}\) 和壞部分複制 \({\boldsymbol B}^{(0)}\)的邊界。在這種情況下、第２行是非零最下行，壞根是第２行的最右列 \(S\_{41} = 2\) 的親,換句話說,是\(S\_{11}=1\),壞根是第２列 (\(r=1\))。
* **好的部分**,**壞的部分**: 它變成\({\boldsymbol S}\_r = (1,1,1)\) 並變成 \({\boldsymbol G} = (0,0,0), {\boldsymbol B}^{(0)} = (1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)\) 。
* **增加量**: 使用壞根 \({\boldsymbol S}\_r = (1,1,1)\) 和修剪後的孩子的值 \({\boldsymbol S}\_{X-1} = (4,2,0)\) 計算增加量為 \((\Delta\_0, \Delta\_1, \Delta\_2) = (3,0,0)\)。
* **增加矩陣** 是一個矩陣，其中壞根作為直接祖先的元素是1。在這種情況下、\(A\_{xy}=(1,1,1)(1,1,1)(1,1,1)\) 。
* **壞部分複制**: 由此壞部分 \({\boldsymbol B}^{(a)}\) 成 \({\boldsymbol B}^{(0)} = (1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)\), \({\boldsymbol B}^{(1)} = (4,1,1)(5,2,2)(6,3,3)\), \({\boldsymbol B}^{(2)} = (7,1,1)(8,2,2)(9,3,3)\), \({\boldsymbol B}^{(3)} = (10,1,1)(11,2,2)(12,3,3)\), \({\boldsymbol B}^{(4)} = (13,1,1)(14,2,2)(15,3,3)\)。
* 由 **擴張規則**, \({\boldsymbol S}[2] = {\boldsymbol G}{\boldsymbol B}^{(0)}{\boldsymbol B}^{(1)}{\boldsymbol B}^{(2)}{\boldsymbol B}^{(3)}{\boldsymbol B}^{(4)}[4]\) 那是 (0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(4,2,0)[2] = (0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(4,1,1)(5,2,2)(6,3,3)(7,1,1)(8,2,2)(9,3,3)(10,1,1)(11,2,2)(12,3,3)(13,1,1)(14,2,2)(15,3,3)[4] 。如果以矩陣的形式表示，它將變為這樣。

\[\begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 & 3 & 4\\
0 & 1 & 2 & 3 & 2\\
0 & 1 & 2 & 3 & 0\\
\end{pmatrix}[2] =
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15\\
0 & 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 3 \\
\end{pmatrix}[4]\]

這個結果與 Bashicu 矩陣計算機的計算結果 重合。

擴展的方法有點複雜，但已經表明通過用多行九頭蛇表達它可以很容易地理解它。

起色
--

Hyp cos顯示了一個示例，其中計算未在2016年4月28日的英語版本的談話頁面上完成，與 Bashicu 於2015年8月21日定義的 Bashicu 矩陣（稱為BM1）的第一版相反。之後，Bashicu 在博客文章中發布了Bashicu Matrix矩陣2（BM2）作為Bashichu 數字的 BASIC 程序。此外，Bashicu 創建了一個評論幻燈片。

之後，在2018年6月12日，BM3由 Basicu 定義。但、6月29日Alemagno12未顯示的示例顯示。然後，2018年8月28日Bubby3 展示了一個BM2不會停止的例子。

該定義最終由Basik在2018年9月1日更正，現在是 版本４。

此外，直到BM4出生，許多亞種如BM2.2， BM2.3， BM3.1， BM3.2 被提出。

## 停機的證明

關於 Bashicu 矩陣的計算是否總是結束的問題尚未解決， 黑羽カフカ概述了在某些條件下計算完成到2ch的「大量搜索線程的證據」。但是，根據隨後的檢查，證據並不完整。

在2018年11月11日P進大好きbot證明了對數列系統的停止性質，它將基礎矩陣限制為2行。

## 評估尺寸

單行矩陣(原始數列系統)具有 \(f\_{\epsilon\_0}(n)\) 強度。

\begin{eqnarray\*}
()&=&0\\
(0)&=&1\\
(0)(0)&=&2\\
(0)(0)(0)&=&3\\
(0)(1)&=&\omega\\
(0)(1)(0)&=&\omega+1\\
(0)(1)(0)(0)&=&\omega+2\\
(0)(1)(0)(0)(0)&=&\omega+3\\
(0)(1)(0)(1)&=&\omega2\\
(0)(1)(0)(1)(0)&=&\omega2+1\\
(0)(1)(0)(1)(0)(1)&=&\omega3\\
(0)(1)(0)(1)(0)(1)(0)(1)&=&\omega4\\
(0)(1)(1)&=&\omega^2\\
(0)(1)(1)(0)&=&\omega^2+1\\
(0)(1)(1)(0)(0)&=&\omega^2+2\\
(0)(1)(1)(0)(1)&=&\omega^2+\omega\\
(0)(1)(1)(0)(1)(0)&=&\omega^2+\omega+1\\
(0)(1)(1)(0)(1)(0)(1)&=&\omega^2+\omega2\\
(0)(1)(1)(0)(1)(1)&=&\omega^22\\
(0)(1)(1)(0)(1)(1)(0)(1)(1)&=&\omega^23\\
(0)(1)(1)(0)(1)(1)(0)(1)(1)(0)(1)(1)&=&\omega^24\\
(0)(1)(1)(1)&=&\omega^3\\
(0)(1)(1)(1)(1)&=&\omega^4\\
(0)(1)(1)(1)(1)(1)&=&\omega^5\\
(0)(1)(2)&=&\omega^\omega\\
(0)(1)(2)(0)&=&\omega^\omega+1\\
(0)(1)(2)(0)(0)&=&\omega^\omega+2\\
(0)(1)(2)(1)&=&\omega^{\omega+1}\\
(0)(1)(2)(1)[64]&\gt&\mathrm{葛立恒数}\\
(0)(1)(2)(0)(1)(2)&=&\omega^\omega2\\
(0)(1)(2)(0)(1)(2)(0)(1)(2)&=&\omega^\omega3\\
(0)(1)(2)(1)&=&\omega^\omega\omega=\omega^{\omega+1}\\
(0)(1)(2)(1)(0)(1)(2)(1)&=&\omega^\omega\omega=\omega^{\omega+1}2\\
(0)(1)(2)(1)(0)(1)(2)(1)(0)(1)(2)(1)&=&\omega^{\omega+1}3\\
(0)(1)(2)(1)(1)&=&\omega^{\omega+2}\\
(0)(1)(2)(1)(1)(1)&=&\omega^{\omega+3}\\
(0)(1)(2)(1)(1)(1)(1)&=&\omega^{\omega+4}\\
(0)(1)(2)(1)(2)&=&\omega^{\omega2}\\
(0)(1)(2)(1)(2)(1)(2)&=&\omega^{\omega3}\\
(0)(1)(2)(1)(2)(1)(2)(1)(2)&=&\omega^{\omega4}\\
(0)(1)(2)(2)&=&\omega^{\omega^2} \\
(0)(1)(2)(2)[n]&\gt& \underbrace{n\rightarrow n \rightarrow \cdots \rightarrow n}\_{n \mathrm{个的} n} \\
(0)(1)(2)(2)(2)&=&\omega^{\omega^3}\\
(0)(1)(2)(2)(2)(2)&=&\omega^{\omega^4}\\
(0)(1)(2)(3)&=&\omega^{\omega^\omega}\\
(0)(1)(2)(3)(4)&=&\omega^{\omega^{\omega^\omega}}\\
(0)(1)(2)(3)(4)(5)&=&\omega^{\omega^{\omega^{\omega^\omega}}}\\
(0)(1)(2)(3)(4)(5)...&<&\epsilon\_0
\end{eqnarray\*}

以這種方式 可以容易地用\(\omega\) 表示原始數列和下一對數列。

雙行矩陣(對數列系統)具有 \(f\_{\psi(\Omega\_{\omega})}(n)\) 強度用 Buchholz 的 \(\psi\) 函數。

\begin{eqnarray\*}
(0,0)(1,1)&=&\epsilon\_0\\
(0,0)(1,1)(2,1)&=&\zeta\_0\\
(0,0)(1,1)(2,1)(2,1)&=&\eta\_0\\
(0,0)(1,1)(2,1)(2,1)(2,1)&=&\varphi(4,0)\\
(0,0)(1,1)(2,1)(2,1)(2,1)(2,1)&=&\varphi(5,0)\\
(0,0)(1,1)(2,1)(3,0)&=&\varphi(\omega,0)\\
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)&=&\Gamma\_0\\
&=&\varphi(1,0,0)\\
&=&\mathrm{(Feferman-Schutte~ordinal)}
\end{eqnarray\*}
\begin{eqnarray\*}
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(1,1)(2,1)(3,1)&=&\Gamma\_1=\varphi(1,0,1)\\
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(1,1)(2,1)(3,1)(1,1)(2,1)(3,1)
&=&\Gamma\_2=\varphi(1,0,2)\\
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,0)&=&\Gamma\_\omega=\varphi(1,0,\omega)\\
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(1,0)(2,1)(3,1)(4,1)&=&\Gamma\_{\Gamma\_0}=\varphi(1,0,\varphi(1,0,0))\\
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(2,1)&=&\Gamma\_{\Gamma\_{\Gamma\_\vdots}}\\
&=&\varphi(1,1,0)\\
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(2,1)(3,1)&=&\varphi(2,0,0)\\
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(2,1)(3,1)(2,1)(3,1)&=&\varphi(3,0,0)\\
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(2,1)(3,1)(2,1)(3,1)(2,1)(3,1)&=&\varphi(4,0,0)\\
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,0)&=&\varphi(\omega,0,0)\\
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,0)(4,1)(5,1)(6,1)&=&\varphi(\varphi(1,0,0),0,0)\\
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,0)(4,1)(5,1)(6,1)(6,0)(7,1)(8,1)(9,1)&=&\varphi(\varphi(\varphi(1,0,0),0,0),0,0)
\end{eqnarray\*}
\begin{eqnarray\*}
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,1)&=&\varphi(1,0,0,0)\\
&=&\varphi(\varphi(\varphi(\cdots,0,0),0,0),0,0)\\
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,1)(3,1)&=&\varphi(1,0,0,0,0)\\
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(3,1)(3,1)(3,1)&=&\varphi(1,0,0,0,0,0)\\
(0,0)(1,1)(2,1)(3,1)(4,0)&=&\varphi(1,0,0,\cdots,0)\\
&=&\psi(\Omega^{\Omega^\omega})\\
&=&\mathrm{Small~Veblen~Ordinal}
\end{eqnarray\*}

從這裡開始，我不能用 Veblen 函數寫，Bashicu 矩陣功能強大，很難通過快速增加的函數分析3行矩陣（三重數列系統）的增加速度，所以有很多模棱兩可的分析用定義失敗的ψ函數。
(0,0,0)(1,1,1) 以上基于 Username5243 的模棱兩可的分析用定義失敗的ψ函數。在此之後，看看黑色羽毛的分析用Rathjen的ψ函數。

源

1. ↑ 作者:Bashicu
2. ↑ Bashicu 矩陣計算機
3. ↑ BASIC語言的大數概要
4. ↑ Bashicu 矩陣計算機源代碼
5. ↑ Bashicu 矩陣的C語言定義
6. ↑ Bashicu 矩陣的數學定義
7. ↑ 忽略上面模型的九頭蛇圖
8. ↑ BASIC語言中的大量數字摘要
9. ↑ Bashicu 矩陣系統的解釋
10. ↑ Bashicu 矩陣版本3
11. ↑ 不停止BM3的示例
12. ↑ 不停止BM2的示例
13. ↑ Bashicu 矩陣的變體規則的分類
14. ↑ 所有BMS版本及其差異的列表
15. ↑ User:KurohaKafka
16. ↑ 巨大数探索スレッド11.75: 152-155 和 copy
17. ↑ Bashicu矩陣的可計算性證明（評論字段參考）
18. ↑ 對數列系統的停機證明
19. ↑ BM4 Analysis by Username5243
20. ↑ 黑羽カフカ的分析
21. ↑ Bashicu的分析
22. ↑ 黑羽カフカ的分析
23. ↑ Matthew 的分析
24. ↑ Aarex 的分析
25. ↑ Bashicu 矩陣分析的鏈接 by koteitan

## 相關鏈接

* Bashicu 矩陣系統的解釋 by Bashicu
* Bashicu Matrix Calculator by Fish
* Hydra Viewer by koteitan (這顯示了使用 hydra 計算對數列)
* BM4 完整的評論 by koteitan （BM4 的閱讀和評論偽BASIC程序）