MPSI: Chapitre 4 - Technique de dérivation - Généralités sur les fonctions numériques

Pour la suite, on considère la fonction

f

{\displaystyle f}

 et un réel

a

{\displaystyle a}

.

x

{\displaystyle x}

 par

f

a

(
x
# )
f
(
x
)
a

{\displaystyle f\_{a}(x)=f(x)+a}

.

Pour chaque point

M
(
x
;
f
(
x
)
)

{\displaystyle M(x;f(x))}

, le point

N
(
x
;

f

a

(
x
)
)

{\displaystyle N(x;f\_{a}(x))}

 s'obtient par translation de

M

{\displaystyle M}

 par le vecteur

(
0
;
a
)

{\displaystyle (0;a)}

.

Ainsi, le graphe de la fonction est décalé vers le haut de

a

{\displaystyle a}

.

x

{\displaystyle x}

 par

f

a

(
x
# )
f
(
x
a
)

{\displaystyle f\_{a}(x)=f(x+a)}

.

Pour chaque point

M
(
x
;
f
(
x
)
)

{\displaystyle M(x;f(x))}

, le point

N
(
x
;

f

a

(
x
)
)

{\displaystyle N(x;f\_{a}(x))}

 s'obtient par translation de

M

{\displaystyle M}

 par le vecteur

(
−
a
;
0
)

{\displaystyle (-a;0)}

.

Ainsi, le graphe de la fonction est décale vers la gauche de

a

{\displaystyle a}

.

x

{\displaystyle x}

 par

f

a

(
x
# )
f
(
a
−
x
)

{\displaystyle f\_{a}(x)=f(a-x)}

.

Pour chaque point

M
(
x
;
f
(
x
)
)

{\displaystyle M(x;f(x))}

, le point

N
(
x
;

f

a

(
x
)
)

{\displaystyle N(x;f\_{a}(x))}

 s'obtient par symétrie par rapport à l'axe x=\frac{a}{2}.

Homotéthie de rapport

1
a

{\displaystyle \frac{1}{a} }

 en abscisse uniquement.

Homotéthie de rapport

a

{\displaystyle a}

 en ordonnée uniquement.

Soit

f

{\displaystyle f}

 une fonction définie sur

D

f

{\displaystyle \mathcal{D}\_{f}}

.

Soit

g

{\displaystyle g}

 une fonction définie sur

D

g

{\displaystyle \mathcal{D}\_{g}}

.

f
g

{\displaystyle f+g}

 et

f
g

{\displaystyle f g}

 est

D

f

∩

D

g

{\displaystyle \mathcal{D}\_{f}\cap\mathcal{D}\_{g}}

.

g
o
f

{\displaystyle g o f}

 est

{

x
∈

D

f

;
f
(
x
)
∈

D

g

}

{\displaystyle \left\{x\in\mathcal{D}\_{f};f(x)\in\mathcal{D}\_{g}\right\}}

.

f

{\displaystyle f}

 une fonction définie sur

D

{\displaystyle \mathcal{D}}

, une partie de

R

{\displaystyle \R}

 qui est symétrique par rapport à

0

{\displaystyle 0}

.

Alors

f

{\displaystyle f}

 peut s'écrire de manière unique sous la forme

# f

f

p

f

i

{\displaystyle f=f\_{p}+f\_{i}}

 où

* ∀
x
∈

D

,

f

p

(
x
# )

f
(
x
)
f
(
−
x
)

2

{\displaystyle \forall x\in\mathcal{D}, f\_{p}(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}}

 est une fonction paire.

* ∀
x
∈

D

,

f

i

(
x
# )

f
(
x
)
−
f
(
−
x
)

2

{\displaystyle \forall x\in\mathcal{D}, f\_{i}(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}}

 est une fonction impaire.

On dira que

f

p

{\displaystyle f\_{p}}

 est la **partie paire** de

f

{\displaystyle f}

, et que

f
i

{\displaystyle f\_i}

 est la **partie impaire** de

f

{\displaystyle f}

.

Démonstration

On remarquera que la partie paire de l'exponentielle est **cosinus hyperbolique**, et que la partie impaire de l'exponentielle est le **sinus hyperbolique**.

### Produit et somme de fonctions paires ou impaires

Soit

f

{\displaystyle f}

 et

g

{\displaystyle g}

 deux fonctions définie sur un domaine

D

{\displaystyle \mathcal{D}}

 possédant chacune une parité.

* Si

f

{\displaystyle f}

 et

g

{\displaystyle g}

 ont la même parité, alors

f
g

{\displaystyle f g}

 est paire.

* Si

f

{\displaystyle f}

 et

g

{\displaystyle g}

 n'ont pas la même parité, alors

f
g

{\displaystyle f g}

 est impaire.

* Si

f

{\displaystyle f}

 et

g

{\displaystyle g}

 ont la même parité, alors

∀

(

α
;
β

)

∈

R

2

,
α
f
β
g

{\displaystyle \forall\left(\alpha;\beta\right)\in\mathbb{R}^{2}, \alpha f+\beta g}

 est de même parité que

f

{\displaystyle f}

 et que

g

{\displaystyle g}

.

Démonstration

### Composition de fonctions paires ou impaires

Soient

f

{\displaystyle f}

 et

g

{\displaystyle g}

 deux fonctions telles que

g
o
f

{\displaystyle g o f}

 est définie sur un domaine

D

{\displaystyle \mathcal{D}}

 symétrique par rapport à

0

{\displaystyle 0}

.

* Si

f

{\displaystyle f}

 est paire, alors peu importe

g

{\displaystyle g}

, la fonction

g
o
f

{\displaystyle g o f}

 est paire.

* Si

f

{\displaystyle f}

 est impaire, et si

g

{\displaystyle g}

 possède une parité, alors

g
o
f

{\displaystyle g o f}

 est de la même parité que

g

{\displaystyle g}

.

Démonstration

### Quelques formules supplémentaires sur les fonctions paires ou impaires

* Soit

n
∈

N

{\displaystyle n \in \N}

. Si

f

{\displaystyle f}

 est paire, alors

f
n

{\displaystyle f^n}

 est paire.

* Soit

n
∈

N

{\displaystyle n \in \N}

. Si

f

{\displaystyle f}

 est impaire, alors

f
n

{\displaystyle f^n}

 est de la même parité que

n

{\displaystyle n}

.

* Si

f

{\displaystyle f}

 est paire ou impaire, alors

f

{\displaystyle |f |}

 est paire.

* Si

f

{\displaystyle f}

 est paire ou impaire et ne s'annule pas, alors

1

/

f

{\displaystyle 1/f}

 est de même parité que

f

{\displaystyle f}

.

* Si

f

{\displaystyle f}

 est impaire et est bijective de

D

{\displaystyle D}

 vers

D
′

{\displaystyle D'}

, alors

f

−
1

{\displaystyle f^{-1}}

 est impaire.

Démonstration