Sistema dinámico

Un **sistema dinámico** es un sistema cuyo estado evoluciona con el tiempo. Los sistemas físicos en situación no estacionaria son ejemplos de sistemas dinámicos, pero también existen modelos económicos, matemáticos y de otros tipos que son sistemas abstractos que son, además, sistemas dinámicos. El comportamiento en dicho estado se puede caracterizar determinando los límites del sistema, los elementos y sus relaciones; de esta forma se pueden elaborar modelos que buscan representar la estructura del mismo sistema.

Al definir los límites del sistema se hace, en primer lugar, una selección de aquellos componentes que contribuyan a generar los modos de comportamiento, y luego se determina el espacio donde se llevará a cabo el estudio, omitiendo toda clase de aspectos irrelevantes.

## Elementos a tener en cuenta

En cuanto a la elaboración de los modelos, los elementos y sus relaciones, se debe tener en cuenta:

1. Un sistema está formado por un conjunto de elementos en interacción.
2. El comportamiento del sistema se puede mostrar a través de diagramas causales.
3. Hay varios tipos de variables: variables exógenas (son aquellas que afectan al sistema sin que este las provoque) y las variables endógenas (afectan al sistema pero este sí las provoca).

## Ejemplo de sistema dinámico

Un ejemplo de un sistema dinámico se puede ver en una especie de peces que se reproduce de tal forma que este año la cantidad de peces es  X k {\displaystyle X\_{k}} *, el año próximo será  X k + 1 {\displaystyle X\_{k+1}} . De esta manera podemos poner nombres a las cantidades de peces que habrá cada año, así: año inicial  X 0 {\displaystyle X\_{0}} , año primero  X 1 {\displaystyle X\_{1}} ,........... ......, año* k  *X k {\displaystyle X\_{k}} .*

Como se puede observar : x k + 1 = f ( x k ) {\displaystyle x\_{k+1}=f(x\_{k})\,\!} , se cumple para cualquier año *k*; lo cual significa que la cantidad de peces se puede determinar si se sabe la cantidad del año anterior. Por consiguiente esta ecuación representa un sistema dinámico.

## Tipos de sistemas dinámicos

Los sistemas dinámicos se dividen en sistemas *discretos* en el tiempo y *continuos* en el tiempo. Un sistema dinámico se dice *discreto* si el tiempo se mide en pequeños lapsos; estos son modelados como relaciones recursivas, tal como la ecuación logística:
 x t + 1 = a x t ( 1 − x t ) {\displaystyle x\_{t+1}=ax\_{t}(1-x\_{t})\,\!}
donde *t* denota los pasos discretos del tiempo y *x* es la variable que cambia con éste. Un sistema dinámico discreto determinista general puede modelarse mediante una ecuación abstracta del tipo:

Si el tiempo es medido en forma continua, el sistema dinámico *continuo* resultante es expresado como una ecuación diferencial ordinaria; por ejemplo:

 d x d t = a x ( 1 − x ) {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=ax(1-x)}
donde *x* es la variable que cambia con el tiempo *t*. La variable cambiante *x* es normalmente un número real, aunque también puede ser un vector en **R***k*.

## Sistemas lineales y no lineales

Se distingue entre *sistemas dinámicos lineales* y *sistemas dinámicos no lineales*. En los sistemas lineales, el segundo miembro de la ecuación es una expresión que depende en forma lineal de *x*, tal como:

 x n + 1 = 3 x n {\displaystyle x\_{n+1}=3x\_{n}\,\!}
Si se conocen dos soluciones para un sistema lineal, la suma de ellas es también una solución; esto se conoce como *principio de superposición*. En general, las soluciones provenientes de un espacio vectorial permiten el uso del álgebra lineal y simplifican significativamente el análisis. Para sistemas lineales continuos, el método de la transformada de Laplace también puede ser usado para transformar la ecuación diferencial en una ecuación algebraica; así mismo que para los sistemas lineales discretos, el método de la transformada Z también puede ser usado para transformar la ecuación diferencial en una ecuación algebraica.

Los sistemas no lineales son mucho más difíciles de analizar y a menudo exhiben un fenómeno conocido como caos, con comportamientos totalmente impredecibles.