Простые числа

**Простые числа** — это натуральные числа, большие 1, которые имеют ровно два натуральных делителя (то есть делятся только на 1 и на себя). Числа, которые имеют больше двух делителей, называются составными; число 1 не считается ни простым, ни составным.

**Теорема Эвклида.** Простых чисел в натуральном ряду существует бесконечно много.

Первые простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, …

(Список простых чисел)

## Разложение составных чисел на простые множители

Одной из важных задач является задача представления составного числа в виде произведения простых множителей.

**Основная теорема арифметики.** Всякое натуральное число, большее 1, либо является простым, либо может быть записано в виде произведения простых чисел, причём единственным образом с точностью до порядка множителей.

Такое произведение называется *разложением составного числа на простые множители*.

Чтобы разложить число на простые множители, применяется несложный алгоритм: в ряду простых чисел подбирается по порядку такое число, которое является делителем заданного, затем подбирается наименьший простой делитель для частного и так далее (пример: 132 = 2 • 66 = 2 • 2 • 33 = 2 • 2 • 3 • 11). Как видно из основной теоремы арифметики, конечный результат не зависит от способа разложения числа.

## Поиск простых чисел

Чтобы найти все простые числа в натуральном ряду от 1 до некоторого числа

N

{\displaystyle N}

, можно применить один из существующих алгоритмов. Самым известным из них является ***«решето Эратосфена»***.

Алгоритм определения простых чисел методом решета Эратосфена:

1. выписать все натуральные числа от 2 до

N

{\displaystyle N}

;
2. выбрав первое простое число 2, вычеркнуть все числа кратные 2;
3. выбрав из следующих чисел первое, которое ещё не зачёркнуто, вычеркнуть все кратные числа, большие его;
4. выполнять пункт 3, пока это возможно.

В результате выполнения этого алгоритма можно, «просеивая» все составные числа, получить ряд простых чисел до любого наперёд заданного числа.

### Как проверить число на простоту?

Чтобы определить, является ли заданное число

M

{\displaystyle M}

 простым или составным, следует проверить, существует ли простое число, меньшее

M

{\displaystyle M}

 и являющееся делителем

M

{\displaystyle M}

. Это можно сделать, перебирая по очереди все числа от 2 до

M

{\displaystyle M}

.

Также перебор делителей можно существенно упростить, если воспользоваться утверждением: если среди натуральных чисел, не превосходящих

M

{\displaystyle \sqrt{M}}

, ни одно не является делителем

M

{\displaystyle M}

, то

M

{\displaystyle M}

 — простое число. Это правило позволяет ограничить перебор возможных делителей числом, равным целой части

M

{\displaystyle \sqrt{M}}

 (например, сделать вывод о простоте числа 79 можно, проверив все возможные делители до

[

79

]

{\displaystyle [\sqrt{79}]}

 = 8, а не до 78, как было бы при полном переборе).

### Формулы для простых чисел

Поиск формулы, которая могла бы отделить простые числа от составных — одна из старейших задач теории чисел. В 18 веке от Р.Х. Леонард Эйлер указал многочлен

n
2

−
n
41

{\displaystyle n^2 - n + 41}

, который при всех целых значениях

n

{\displaystyle n}

 от 0 до 40 даёт простые числа.

Примером формулы, которая охватывает все простые числа, может служить выражение

f
(
n
# )
[

1

1
{

(
n
−
1
)
!
1

n

}

]
−
[

1
n

]

{\displaystyle f(n) = [\frac{1}{1 + \{\frac{(n-1)!+1}{n}\}}] - [\frac{1}{n}]}

,
 значение которого равно 1 при простом

n

{\displaystyle n}

 и 0 в остальных случаях.

## Очень простые числа

**очень простые числа** — это числа получаемые следующей операцией: составляем последовательность из простых чисел и даём каждому простому числу номер места среди простых чисел а затем оставляем только те простые числа номера мест которых являются тоже простыми числами

первые очень простые числа — 3 5 11 17 31 41 59 67 83 и 109

## Особенности простых чисел

### 2

* 2 это наименьшее простое число
* 2 это единственное чётное число являющиеся простым
* это первое простое число в записи которого попадается цифра 2

### 3

* Наименьшее очень простое число
* единственное треугольное простое число
* это первое простое число в записи которого попадается цифра 3

### 5

* это первое простое число в записи которого попадается цифра 5

### 7

* наибольшее простое ровное число
* это первое простое число в записи которого попадается цифра 7

### 11

* Наибольшее простое число которое нельзя представить в виде суммы 2 составных чисел (все простые числа до 11 также нельзя представить в виде суммы 2 составных чисел)
* в десятичной системе исчисления это первое число не являющиеся цифрой которое является простым
* Между 11 и 7 (предыдущее простое число) чисел 3 — это первый случай отрезка из 3 цифр где не попадаются простые числа
* это первое простое число в записи которого попадается цифра 1

### 13

* наименьшее простое число которое можно представить в виде суммы 2 составных чисел: 4+9=13 (все последующие простые числа также можно представить в виде суммы 2 составных чисел)

### 19

* это первое простое число в записи которого попадается цифра 9

### 29

* Между 29 и 23 (предыдущее простое число) всего чисел 5 — это первый случай отрезка из 5 чисел где не попадаются простые числа

### 41

* это первое простое число в записи которого попадается цифра 4

### 61

* это первое простое число в записи которого попадается цифра 6

### 83

* это первое простое число в записи которого попадается цифра 8

### 97

* Между 97 и 89 (предыдущее простое число) всего чисел 7 — это первый случай отрезка из 7 чисел где не попадаются простые числа
* 97 это единственное простое число от 91 до 100
* 97 это наибольшее простое двухзначное число

### 101

* это первое простое трёхзначное число
* это первое простое число в записи которого попадается цифра 0

## В десятичной системе исчисления

* Простые числа которые больше 5 могут заканчиваться только на цифры: 1 3 7 и 9
* 2 это единственное простое число начинающиеся на цифру: 2
* 5 это единственное простое число начинающиеся на цифру: 5
* не существует ни единого простого числа которое заканчивается на цифры: 4 6 и 8
* первый отрезок чисел из 10 чисел в котором не попадаются простые числа — 201-210