Dimensiones

6/05/2023 Como sabemos, existen 3 dimensiones en nuestro mundo. 1 dimensión = línea. 2 dimensiones = cuadrado. 3 dimensiones = cubo. Pero existen enésimas dimensiones.

Como ves para hacer una figura de 2 dimensiones (d) se necesitan 4 figuras de 1 dimension (n). Para saber cuantas figuras de la dimensión d-1 necesitas para la dimensión d es tan simple como esta fórmula:

**n = 2d**

Ejemplo. Quiero saber cuántas líneas (1 dimensión) necesito para un cuadrado (2 dimensiones). D = 2 **n = 2•2 = 4.**

Pero también podemos hacer al revés, para saber cuántas figuras de la dimensión d necesitamos para d+1

**n = 2(d+1)**

Usaremos el otro ejemplo. Para saber cuántas figuras de la dimensión 4 necesitamos para la 3 (D = 3) haremos **n = 3•2+2 = 8.**

13/07/2023 Para dar saltos hacia delante podemos usar un productorio, que es básicamente un

sumatorio pero que en vez de sumar multiplica.

∏

# n
d
1

D

2
n

{\displaystyle \prod \_{n=d+1}^{D}2n}

d = Dimensión en la que estás.

D = dimensión a la que vas.

Vamos a hacer un ejemplo en el que d = 4 y D = 8, es decir, quieres saber cuántos teseractos (4 dimensiones) necesitas para crear un hipercubo de 8 dimensiones.

∏

# n
4
1

8

2
n
(
1
⋅
2
)
(
2
⋅
2
)
(
3
⋅
2
)
(
4
⋅
2
)
.
.
.
(
8
⋅
2
)

{\displaystyle \prod \_{n=4+1}^{8}2n(1\cdot 2)(2\cdot 2)(3\cdot 2)(4\cdot 2)...(8\cdot 2)}

El resultado es 26.880. Si no entiendes el concepto del productorio puedes ver este vídeo.

Vale, pero... ¿Cómo comprobamos esto? Bien, esta fórmula no es más que una generalización 2(d+1). Si d = 2, por ejemplo, "D" siempre va a ser igual a d+1. Nosotros sabemos el resultado, 8.

∏

# n
3
1

4

2
# n
(
4
⋅
2
# )
8

{\displaystyle \prod \_{n=3+1}^{4}2n=(4\cdot 2)=8}

Efectivamente funciona. Ahora voy a explicar por qué. Bueno, creo que entenderás que si queremos calcular cuántas líneas (1 dimensión) necesitamos para hacer un cubo (3 dimensiones) lo más intuitivo es saber cuántas líneas necesitamos para un cuadrado y luego multiplicarlo por el número de cuadrados que necesitas para un cubo. Eso es exactamente lo que hace. Pero ahora te preguntarás por qué sumamos 1. Cuando multiplicamos por 2 obtenemos información sobre la dimensión anterior, pero en este caso no nos interesa, así que para empezar la multiplicación excluyendo el primer valor simplemente empezamos en d+1.

25/07/2023

Pero aquí viene lo bueno: El productorio es bueno, pero no queremos hacer 1 millón de multiplicaciones, y además queremos utilizar números **reales** además de naturales. Después de medio año intentando descubrirla, aquí está:

**FUNCIÓN DELTA GAMMA**

δ

γ

(
D
,
d
# )

Γ
(
D
1
)

2

D
−
1

Γ
(
d
1
)

2

d
−
1

{\displaystyle \delta \_{\gamma }(D,d)={\frac {\Gamma (D+1)2^{D-1}}{\Gamma (d+1)2^{d-1}}}}

El símbolo gamma se refiere a la Función Gamma de Euler.

Os pondré un ejemplo para que veáis lo divertida que es esta función. Vamos a ver cuántas líneas necesitamos para un Copo de Nieve de Koch. Esto tal vez no sea correcto, pero veamos que nos dice delta gamma. Su dimensión es

l
n
4

l
n
3

{\displaystyle {\frac {ln4}{ln3}}}

, y vamos a poner que queremos saber cuantas líneas necesitamos:

δ

γ

(
1.26...
,
2
# )

Γ
(

l
n
4

l
n
3

1
)

2

l
n
4

l
n
3

−
1

Γ
(
d
1
)

2

d
−
1

=
1.08396074573

{\displaystyle \delta \_{\gamma }(1.26...,2)={\frac {\Gamma ({\frac {ln4}{ln3}}+1)2^{{\frac {ln4}{ln3}}-1}}{\Gamma (d+1)2^{d-1}}}=1.08396074573}

Curioso, ¿verdad? Pero talvez no tiene mucho mérito descubrirla sin saber por qué funciona. Bien, pues a eso me dediqué ayer después de descubrirla. Vamos a empezar con la función Gamma de Euler:

La fórmula de abajo relaciona la función Gamma con el factorial.

Γ
(
z
# )
(
z
−
1
)
!

{\displaystyle \Gamma (z)=(z-1)!}

Que para quien no lo sepa, el factorial es multiplicar todos los naturales desde ese número hasta 1. Por ejemplo: 5! = 5x4x3x2x1 = 120

Entonces

5
# !
Γ
(
5
1
)

{\displaystyle 5!=\Gamma (5+1)}

 . Nosotros lo que queremos es multiplicar el doble de todos los números naturales desde d hasta D. Vamos a empezar por hacer una función que funciona para d = 1. Lo único que hay que hacer es multiplicar 2 tantas veces como factores tenga la multiplicación. Para multiplicar 2 varias veces utilizamos la potencia. y, por lógica, el número de factores es igual a "D". La función quedaría

Γ
(
D
1
)

2

D

{\displaystyle \Gamma (D+1)2^{D}}

. Pero a esa "D" del exponente hay que restarle 1, por la misma razón que vimos en el productorio de antes:

Γ
(
D
1
)

2

D
−
1

{\displaystyle \Gamma (D+1)2^{D-1}}

. Ya tenemos la mitad, ahora nos falto considerar el valor de inicio de la multiplicación: "d". Imagina que tenemos 10!, o

Γ
(
11
)

{\displaystyle \Gamma (11)}

. Esto es: 1x2x3x4x5x6x7x8x9x10. Pero si queremos empezar por 4 debemos dividir por los factores anteriores, es decir:

10
!

4
!

{\displaystyle {\frac {10!}{4!}}}

. Pues vamos a hacer exactamente lo mismo con gamma delta:

δ

γ

(
D
,
d
# )

Γ
(
D
1
)

2

D
−
1

Γ
(
d
1
)

2

d
−
1

{\displaystyle \delta \_{\gamma }(D,d)={\frac {\Gamma (D+1)2^{D-1}}{\Gamma (d+1)2^{d-1}}}}

¡Y listo! Ahora voy a mencionar rápidamente una cosa, D siempre debe ser mayor que d.

Bien, ahora voy a hablar sobre otra cosa que tiene que ver con esta función pero no con las dimensiones, así que ve aquí.