Глава 2. Матрицы вероятности.

Исходя из определения элементарного события, для его математического описания достаточно описать его вероятность. В теории вероятности, для этого обычно используются вещественные числа в интервале от нуля до единицы. Но если мы попробуем  сложить две вероятности различных событий, то мы увидим, что они складываются не совсем как обычные числа.

Обозначим  два события как : (А) и (В). И назначим каждому из них свою вероятность Р(А) и Р(В).

При описании событий вещественными числами, вероятность суммарного события должна быть равна сумме исходных вероятностей.

P
(
A
B
# )
P
(
A
)
P
(
B
)

2.1.

{\displaystyle P(A+B)=P(A)+P(B)\qquad \qquad 2.1.}

Но из теории вероятности, мы знаем, что такое соотношение работает только в случае сложения несовместимых событий, а в общем случае формула сложения вероятностей значительно усложнится.

P
(
A
B
# )
P
(
A
)
P
(
B
)
−
P
(
A
B
)

2.2.

{\displaystyle P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)\qquad \qquad 2.2.}

Где:  – Вероятность одновременного наступления событий (А) и (В)

Получается, что для описания составных событий, обычных вещественных чисел недостаточно т.к. мы не можем получить правильный закон сложения.

В процессе поиска наиболее подходящей математической конструкции, описывающей вероятность, были рассмотрены комплексные числа, двумерные вектора и эрмитовы матрицы размера 2Х2. Наиболее красивый результат получился при использовании матриц в качестве базовой математической сущности. Не будем останавливаться на менее удачных попытках и перейдем сразу к выбранному варианту.

Для этого, припишем нашим событиям квадратные матрицы размером 2Х2. Вероятность описываемого события будет равна определителю соответствующей матрицы.

(
A
# )

(

a

11

a

12

a

21

a

22

)

{\displaystyle (A)={\begin{pmatrix}a\_{11}&a\_{12}\\a\_{21}&a\_{22}\\\end{pmatrix}}}

P
(
A
# )

A

=

a

11

⋅

a

22

−

a

12

⋅

a

21

2.3.

{\displaystyle P(A)=|A|=a\_{11}\cdot a\_{22}-a\_{12}\cdot a\_{21}\qquad \qquad 2.3.}

(
A
# )

(

b

11

b

12

b

21

b

22

)

{\displaystyle (A)={\begin{pmatrix}b\_{11}&b\_{12}\\b\_{21}&b\_{22}\\\end{pmatrix}}}

P
(
B
# )

B

=

b

11

⋅

b

22

−

b

12

⋅

b

21

{\displaystyle P(B)=|B|=b\_{11}\cdot b\_{22}-b\_{12}\cdot b\_{21}}

Теперь найдем вероятность суммарного события (А+В) Для этого посчитаем определитель суммы матриц

(
A
# )

(

a

11

b

11

a

12

b

12

a

21

b

21

a

22

b

22

)

2.4.

{\displaystyle (A)={\begin{pmatrix}a\_{11}+b\_{11}&a\_{12}+b\_{12}\\a\_{21}+b\_{21}&a\_{22}+b\_{22}\\\end{pmatrix}}\qquad \qquad 2.4.}

P
(
A
B
# )

A
B

=
(

a

11

b

11

)
(

a

22

b

22

)
−
(

a

12

b

12

)
(

a

21

b

21

)
)

{\displaystyle P(A+B)=|A+B|=(a\_{11}+b\_{11})(a\_{22}+b\_{22})-(a\_{12}+b\_{12})(a\_{21}+b\_{21}))}

Раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые, можно получить следующее выражение.

P
(
A
B
# )

A

B

−
(

a

12

⋅

b

21

b

12

⋅

a

21

−

a

11

⋅

b

22

−

a

22

⋅

b

11

)
)

2.5.

Данное выражение можно считать совпадающим с законом сложения вероятностей при условии, что  вероятность одновременного наступления событий будет выражаться следующей  формулой:

P
(
A
B
# )
(

a

12

⋅

b

21

b

12

⋅

a

21

−

a

11

⋅

b

22

−

a

22

⋅

b

11

)

2.6.

{\displaystyle P(AB)=(a\_{12}\cdot b\_{21}+b\_{12}\cdot a\_{21}-a\_{11}\cdot b\_{22}-a\_{22}\cdot b\_{11})\qquad 2.6.}

Получается, что для описания событий, имеющих вероятностную природу, можно использовать матрицы размером 2Х2.

Теперь, учтем требование к понятию вероятности, заключающееся в том, что она должна выражаться положительным вещественным числом. Из линейной алгебры, известно, что аналогом вещественных чисел являются Эрмитовы матрицы. Следовательно мы можем ограничится рассмотрением только Эрмитовых матриц для описания событий.

Следует отметить, что на данный момент не удалось получить строгое математическое доказательство того, что Эрмитовы матрицы являются единственно правильным описанием случайных событий, но такое предположение позволило получить очень интересные результаты, хорошо сочетающиеся с представлениями современной физики. Все наши дальнейшие рассуждения завязаны на свойствах Эрмитовых матриц, и как мы увидим в дальнейшем, ничего другого не потребуется вводить для построения физической картины.