1.1.29c

En las siguientes funciones determine si son lineales, si lo son busque su matriz (en las bases canónicas correspondientes del dominio y en codominio).

**c)

h
:

R

2

→

R

2

;
h
(
x
,
y
# )
(
x
5
,
y
−
2
)

{\displaystyle h:\R^2 \rightarrow \R^2;h(x,y) = (x+5,y-2)}**

Primero determinemos si nuestra función h es lineal. Para que nuestra función sea lineal tiene que cumplir con dos propiedades:

I)

h
(
r

v
→

# )
r
h
(

v
→

)

{\displaystyle h(r{\vec {v}})=rh({\vec {v}})}

 Donde r es un escalar y

v
→

→

{\displaystyle {\vec {\vec {v}}}}

un vector.

II)

h
(

v
→

w
→

# )
h
(

v
→

)
h
(

w
→

)

{\displaystyle h({\vec {v}}+{\vec {w}})=h({\vec {v}})+h({\vec {w}})}

Veamos si cumple con I), tomemos un vector cualquiera, por ejemplo (1,2) y ahora un escalar cualquiera, por ejemplo 2.

Teniendo la siguiente entrada, veamos cual es el resultado de nuestra función h:

h
(
2
(
1
,
2
)
# )
h
(
(
2
,
4
)
)

{\displaystyle h(2(1,2))=h((2,4))}

Recordamos como se definió nuestra función y encontramos el resultado:

h
(
x
,
y
# )
(
x
5
,
y
−
2
)

{\displaystyle h(x,y)=(x+5,y-2)}

h
(
(
2
,
4
)
# )
(
2
5
,
4
−
2
# )
(
7
,
2
)

{\displaystyle h((2,4))=(2+5,4-2)=(7,2)}

Ahora veamos si obtenemos (7,2) aplicando la primer propiedad:

h
(
2
(
1
,
2
)
# )
2
h
(
(
1
,
2
)
)

{\displaystyle h(2(1,2))=2h((1,2))}

Desarrollamos h:

2
h
(
(
1
,
2
)
# )
2
(
1
5
,
2
−
2
# )
2
(
6
,
0
# )
(
12
,
0
)

{\displaystyle 2h((1,2))=2(1+5,2-2)=2(6,0)=(12,0)}

Notemos que (7,2) es diferente a (12,0). **Como la función h no cumple una propiedad, no es lineal.**

-------------------- EXTRA --------------------

Recordando el video "Transformaciones lineales y matrices | Esencia del álgebra lineal, capítulo 3", si vemos la transformación (que se refiere a la función) de una manera gráfica, es lineal si t**odas las líneas permanecen rectas**, es decir, no se curvan y **el origen permanece en el mismo sitio**.

La propiedad de permanecer en el origen se puede demostrar usando las propiedades antes mencionadas, usemos la primer propiedad para demostrarlo. Sea

f

{\displaystyle f}

una función lineal que va de

R

n

→

R

n

{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}

.

P.D.

f
(

0
→

# )

0
→

{\displaystyle f({\vec {0}})={\vec {0}}}

El vector

0
→

{\displaystyle \vec{0}}

lo podemos expresar como

0

v
→

{\displaystyle 0{\vec {v}}}

 donde

v
→

{\displaystyle \vec{v}}

es cualquier vector,

f
(

0
→

# )
f
(
0

v
→

)

{\displaystyle f({\vec {0}})=f(0{\vec {v}})}

 , aplicamos la propiedad I):

f
(

0
→

# )
0
f
(

v
→

)

{\displaystyle f({\vec {0}})=0f({\vec {v}})}

 Y como

f
(

v
→

)

{\displaystyle f({\vec {v}})}

es un vector, al multiplicarlo por 0 obtenemos el vector

0
→

{\displaystyle \vec{0}}

:

f
(

0
→

# )

0
→

{\displaystyle f({\vec {0}})={\vec {0}}}

Conociendo esta propiedad podemos saber rápidamente si una función no es lineal si le pasamos el vector

0

→

{\displaystyle {\ce {\vec {0}}}}

. Veámoslo con este inciso:

Si h es lineal se cumplirá que h(0,0) = (0,0).

Para ello, tomamos x = 0 y y = 0. Aplicamos nuestra función h:

**h(0,0)** = (0 + 5, 0 -2) = **(5,-2)**

Aquí vemos que no se cumple, por lo tanto **h no es una función lineal.**