תנועה הרמונית

**תנועה הרמונית** היא תנועה המאופיינת על ידי תנודות מחזוריות בתדר קבוע. מערכות רבות בטבע מתאפיינות בתנועה הרמונית או הרמונית בקירוב, כגון קפיץ ומטוטלת.

## ניתוח בעזרת כוחות

בתנועה הרמונית גוף בעל מסה

m

{\displaystyle m}

נע בהשפעת כוח פרופורציוני למרחק מנקודה הנקראת נקודת שיווי המשקל:

F
→

=
−
k
⋅

x
→

{\displaystyle {\vec {F}}=-k\cdot {\vec {x}}}

כאשר:

F
→

{\displaystyle \vec F}

הוא הכוח

x
→

{\displaystyle \vec{x}}

הוא ההעתק של הגוף ביחס לנקודת שיווי המשקל

k

{\displaystyle k}

הוא קבוע פרופורציה חיובי

כוח כזה, המחזיר את הגוף לנקודת שיווי המשקל, נקרא **כוח מחזיר**.

מהחוק השני של ניוטון נקבל:

x
¨

=
−

k
m

x

{\displaystyle \ddot x= - \frac k m x }

כאשר

x
¨

{\displaystyle \ddot{x}}

הוא הנגזרת השנייה של

x

{\displaystyle x}

לפי הזמן. פתרון המשוואה הדיפרנציאלית הזו הוא:

x
(
t
# )
A
⋅
cos
⁡

(

k
m

⋅
t
ϕ

)

{\displaystyle x(t)=A\cdot \cos \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}\cdot t+\phi \right)}

* A

{\displaystyle A}

 נקרא משרעת התנועה או אמפליטודה, והוא קובע את המרחק המירבי של הגוף מנקודת שיווי המשקל ("גודל" התנודות)
* ϕ

{\displaystyle \phi}

 נקרא הפאזה ההתחלתית, והוא קובע באיזה חלק של מחזור התנועה הגוף נמצא ברגע

# t
0

{\displaystyle t=0}

.

שני הפרמטרים האלו נקבעים לפי תנאי התחלה, כמו המיקום והמהירות של הגוף ברגע מסויים.

מקובל לסמן ב-

# ω

k
m

{\displaystyle \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}}

את התדירות הזוויתית של התנועה. גודל זה קובע כמה תנודות ליחידת זמן יבצע הגוף (למעשה, התדירות הזוויתית לא מודדת מחזורים שלמים ליחידת זמן אלא רדיאנים ליחידת זמן, כאשר רדיאן הוא

1

2
π

{\displaystyle \frac{1}{2\pi}}

של מחזור שלם). כפי שראינו, גודל זה אינו תלוי בתנאי ההתחלה של התנועה, אלא רק בגדלים פנימיים **של המערכת** עצמה. לכן מקובל לקרוא לה **התדירות הטבעית** **של המערכת**, והיא מייצגת את התדר שהמערכת "אוהבת" להתנדנד בה. מסמנים בנוסף ב-

T

{\displaystyle T}

את זמן המחזור של התנועה, המוגדר לפי:

# T

2
π

ω

=
2
π

m
k

{\displaystyle T={\frac {2\pi }{\omega }}=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}}

גודל זה הוא כמות הזמן שלוקח לגוף להשלים מחזור אחד של התנועה.

## ניתוח בעזרת אנרגיה

את אותה המערכת ניתן לנתח גם בעזרת ניתוח אנרגטי. כמעט תמיד ניתוח זה הוא נוח יותר ומעטים המקרים בהם עדיף להשתמש בכוחות.

בהינתן הכוח

F
→

=
−
k
⋅

x
→

{\displaystyle {\vec {F}}=-k\cdot {\vec {x}}}

, ניתן להתאים לו אנרגיה פוטנציאלית:

# U
−
∫

F
→

⋅

d
x

→

=
∫
k

x
→

⋅

d
→

# x

1
2

k

x

2

{\displaystyle U=-\int {\vec {F}}\cdot {\vec {dx}}=\int k{\vec {x}}\cdot {\vec {d}}x={\frac {1}{2}}kx^{2}}

ולפי שימור אנרגיה:

c
o
n
s
# t
U

E

k

=

1
2

k

x

2

1
2

m

v

2

=

1
2

k

x

2

1
2

m

x
˙

2

{\displaystyle const=U+E\_{k}={\frac {1}{2}}kx^{2}+{\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {1}{2}}kx^{2}+{\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}}

כאשר

x
˙

{\displaystyle \dot x}

הוא הנגזרת של

x

{\displaystyle x}

לפי הזמן. כיוון שהאנרגיה הכוללת היא קבוע, נוכל לגזור לפי הזמן ולקבל:

k
x

x
˙

m

x
˙

x
¨

=
0

{\displaystyle kx{\dot {x}}+m{\dot {x}}{\ddot {x}}=0}

ולכן:

−

k
m

# x

x
¨

{\displaystyle -{\frac {k}{m}}x={\ddot {x}}}

כלומר, אותה משוואה דפרנציאלית שקיבלנו משיקולי כוחות.

## דוגמא: מטוטלת מתמטית

נסתכל על מטוטלת מתמטית, כלומר משקולת נקודתית בעלת מסה

m

{\displaystyle m}

המחוברת בחוט באורך

l

{\displaystyle l}

לנקודה קבועה ונעה בהשפעת כוח הכובד.

### **פתרון משיקולי כוחות**

כיוון שתנועת המשקולת מוגבלת לתנועה לאורך קשת מעגל, הכוחות היחידים שרלוונטיים לתנועה הם אלו המכוונים לאורך כיוון התנועה, כלומר במשיק לקשת המעגל. הכוחות המאונכים לכיוון התנועה ישפיעו אך ורק על כיוון התנועה, כלומר הם אלו שישמרו את הגוף במסלולו הקשתי. הכוח הפועל בכיוון זה הוא רכיב של כוח הכובד:

# F
−
m
g
s
i
n
(
θ
)

{\displaystyle F=-mgsin(\theta )}

אם נניח שהגוף הוסט בזווית קטנה, נוכל לקרב את הביטוי הזה:

F
≈
−
m
g
# θ
−
m
g

x
l

{\displaystyle F\approx -mg\theta =-mg{\frac {x}{l}}}

זה בדיוק מתאים להגדרה שלנו של כוח מחזיר. נקבל:

x
¨

=
−

g
l

x

{\displaystyle \ddot x = -\frac{g}{l}x}

ומכיוון ש-

θ
∝
x

{\displaystyle \theta \propto x}

, נוכל להעביר את המשוואה למונחי הזווית:

θ
¨

=
−

g
l

θ

{\displaystyle {\ddot {\theta }}=-{\frac {g}{l}}\theta }

### **פתרון משיקולי אנרגיה**

האנרגיה הפוטנציאלית של הגוף היא האנרגיה הפוטנציאלית הכובדית שלו:

# U
g
m
# h
m
g
l

(

1
−
c
o
s
(
θ
)

)

≈
m
g
l
⋅

θ

2

2

{\displaystyle U=gmh=mgl\left(1-cos(\theta )\right)\approx mgl\cdot {\frac {\theta ^{2}}{2}}}

E

k

=

1
2

m

v

2

=

1
2

m

(

l

θ
˙

)

2

{\displaystyle E\_{k}={\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {1}{2}}m\left(l{\dot {\theta }}\right)^{2}}

כאשר

* θ

{\displaystyle \theta}

 היא הזווית של המטוטלת מציר ה

y

{\displaystyle y}
* v

{\displaystyle v}

 היא מהירות הגוף
* h

{\displaystyle h}

 הוא גובה המטוטלת
* U

{\displaystyle U}

 היא האנרגיה הפוטנציאלית
* E
k

{\displaystyle E\_k}

 היא האנרגיה הקינטית

ולכן

1
2

m
g
l

θ

2

1
2

m

(

l

θ
˙

)

2

=
c
o
n
s
t

{\displaystyle {\frac {1}{2}}mgl\theta ^{2}+{\frac {1}{2}}m\left(l{\dot {\theta }}\right)^{2}=const}

גזירה של המשוואה הזו לפי הזמן נותנת:

m
g
l
θ

θ
˙

m

l

2

θ
˙

θ
¨

=
0

{\displaystyle mgl\theta {\dot {\theta }}+ml^{2}{\dot {\theta }}{\ddot {\theta }}=0}

g
θ
l

θ
¨

=
0

{\displaystyle g\theta +l{\ddot {\theta }}=0}

θ
¨

=
−

g
l

θ

{\displaystyle {\ddot {\theta }}=-{\frac {g}{l}}\theta }

וזו אותה המשוואה שקיבלנו משיקולי כוחות.

### **פתרון המשוואה הדפרנציאלית**

כפי שראינו, הפתרון של המשוואה הזו הוא מהצורה:

θ
(
t
# )
A
c
o
s
(

g
l

t
ϕ
)

{\displaystyle \theta (t)=Acos({\sqrt {\frac {g}{l}}}t+\phi )}

הקבועים

A

{\displaystyle A}

ו-

ϕ

{\displaystyle \phi}

נקבעים לפי תנאי התחלה. כך למשל, אם המטוטלת מתחילה במנוחה ב-

# θ

θ
0

{\displaystyle \theta=\theta\_0}

, נקבל ש-

# A

θ

0

{\displaystyle A=\theta \_{0}}

ו-

# ϕ
0

{\displaystyle \phi=0}

.

זמן המחזור של התנועה יהיה:

# T
2
π

l
g

{\displaystyle T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}}

תכונה מעניינת של מטוטלת הנובעת מחישוב זה היא שזמן המחזור אינו תלוי במסת הגוף (למרות שאת התכונה הזו ניתן היה להסיק משיקולי יחידות).

## תנועה הרמונית מרוסנת

משוואת התנועה ההרמונית שקיבלנו מתארת תנועה נצחית במשרעת קבועה, אך במציאות מטוטלת לא מתנדנדת לנצח, אלא מאבדת אנרגיה לאורך התנועה. נרצה לדון במערכת שבנוסף לכוח המחזיר ההרמוני, פועל בה גם כוח ריסון מתכונתי למהירות הגוף (כמו התנגדות אוויר, למשל):

F
→

d

=
−
b

v
→

{\displaystyle {\vec {F}}\_{d}=-b{\vec {v}}}

כאשר

b

{\displaystyle b}

הוא קבוע חיובי כלשהו. משוואת התנועה שתתקבל כעת היא:

F
→

=
−
k

x
→

−
b

v
→

{\displaystyle {\vec {F}}=-k{\vec {x}}-b{\vec {v}}}

ומכאן נקבל את המשוואה הדפרנציאלית:

m

x
¨

b

x
˙

k
# x
0

{\displaystyle m{\ddot {x}}+b{\dot {x}}+kx=0}

פתרון המשוואה הזו הוא:

x
(
t
# )
A
c
o
s

(

ω

0

t
ϕ

)

e

−
t

/

τ

{\displaystyle x(t)=Acos\left(\omega \_{0}t+\phi \right)e^{-t/\tau }}

כאשר:

ω

0

=

k
m

−

b

2

4

m

2

,

# τ

2
m

b

{\displaystyle \omega \_{0}={\sqrt {{\frac {k}{m}}-{\frac {b^{2}}{4m^{2}}}}},\qquad \tau ={\frac {2m}{b}}}

וכאשר

A

{\displaystyle A}

ו-

ϕ

{\displaystyle \phi}

נקבעים מתנאי ההתחלה.

נשים לב ש-

ω

{\displaystyle \omega}

מוגדרת בצורה הזאת רק אם

k
m

>

b

2

4

m

2

{\displaystyle {\frac {k}{m}}>{\frac {b^{2}}{4m^{2}}}}

. כאשר תנאי זה מתקיים, אומרים שיש **ריסון חלש (Under-damping)**. במקרה זה מתקבלות תנודות דועכות. ניתן לראות שתדירות התנודות

ω
0

{\displaystyle \omega\_0}

**קטנה** יותר באשר במקרה הלא מרוסן, וכי היא נהיית קטנה יותר ככל שמגדילים את הריסון. הקבוע

τ

{\displaystyle \tau}

הוא זמן הדעיכה האופייני של התנועה (זהו פרק הזמן שלוקח למשרעת התנועה לדעוך פי

e

{\displaystyle e}

). המקרה בו

k
m

=

b

2

4

m

2

{\displaystyle {\frac {k}{m}}={\frac {b^{2}}{4m^{2}}}}

נקרא **ריסון קריטי (Critical-damping)**. במקרה זה התדירות מתאפסת ומתקבלת תנועה דועכת ללא תנודות:

x
(
t
# )
(
A
B
t
)

e

−
t

/

τ

{\displaystyle x(t)=(A+Bt)e^{-t/\tau }}

המקרה בו

k
m

<

b

2

4

m

2

{\displaystyle {\frac {k}{m}}<{\frac {b^{2}}{4m^{2}}}}

נקרא **ריסון חזק (Over-damping)**. גם במקרה זה לא יתקבלו תנודות, dfאך התנועה תדעך לאט יותר בשל ההתנגדות הרבה יותר. אופי הדעיכה הוא של סכום של שני אקספוננטים דועכים:

x
(
t
# )
A

e

−

γ

−

t

B

e

−

γ

t

{\displaystyle x(t)=Ae^{-\gamma \_{-}t}+Be^{-\gamma \_{+}t}}

כאשר:

γ

±

=

b

4
m

±

b

2

4

m

2

−

k
m

{\displaystyle \gamma \_{\pm }={\frac {b}{4m}}\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4m^{2}}}-{\frac {k}{m}}}}}

וכאשר

A

{\displaystyle A}

ו-

B

{\displaystyle B}

נקבעים מתנאי ההתחלה.

## תנועה הרמונית מאולצת

סוג נוסף של תנועה הרמונית שמקובל לחקור היא כזו שמקבלת נדנוד חיצוני באופן אקטיבי. דוגמא לכך היא ילד שמתנדנד על נדנדה בהשפעת הורה שמנדנד אותו. הכוח החיצוני הזה נקרא **כוח מאלץ** (**Driving force**) כיוון שכפי שנראה מיד, הוא מאלץ את המערכת להתנדנד בתדירות מסוימת. כוח זה ממודל ככוח המשתנה בזמן לפי:

F
→

e
x
t

=

F

0

c
o
s
(
ω
t
)

{\displaystyle {\vec {F}}\_{ext}=F\_{0}cos(\omega t)}

כאשר

ω

{\displaystyle \omega}

הוא תדר כלשהו **שאינו בהכרח** התדר הטבעי

ω
0

{\displaystyle \omega\_0}

של המערכת. המשוואה הדיפרנציאלית שתתקבל בתוספת האילוץ והריסון תהיה, אם כן:

m

x
¨

b

x
˙

k
# x

F

0

c
o
s
(
ω
t
)

{\displaystyle m{\ddot {x}}+b{\dot {x}}+kx=F\_{0}cos(\omega t)}

פתרון המשוואה הזו הוא מהצורה:

x
(
t
# )
A
c
o
s

(

ω

0

t

ϕ

0

)

e

−
t

/

τ

B
(
ω
)
c
o
s

(

ω
t
ϕ
(
ω
)

)

{\displaystyle x(t)=Acos\left(\omega \_{0}t+\phi \_{0}\right)e^{-t/\tau }\quad +\quad B(\omega )cos\left(\omega t+\phi (\omega )\right)}

(פתרון מפורט ניתן למצוא כאן)

החלק הראשון זהה לחלוטין למקרה הלא מאולץ. חלק זה תלוי בתנאי ההתחלה והוא דועך ל-0 עם הזמן, כך שלרוב הוא החלק הלא מעניין. הוא התוצאה של המצב ההתחלתי ומייצג את פרק הזמן שלוקח למערכת להתייצב על תנועה סדירה.

החלק השני נקרא **הפתרון העמיד** (**Stable solution**) והוא אינו דועך. הוא מייצג את תנועת המערכת לאחר שכל זכר מתנאי ההתחלה דעך ל-0. הוא נראה כמו תנועה הרמונית פשוטה, שהתדר שלה הוא **התדר המאלץ**

ω

{\displaystyle \omega}

. מה שמעניין בחלק הזה הוא שהאמפליטודה והפאזה אינם נקבעים מתנאי ההתחלה, אלא הם פונקציה של התדר המאלץ:

B
(
ω
# )

F

0

b

2

ω

2

(

ω

0

2

−

ω

2

)

2

,

ϕ
(
ω
# )
t
a

n

−
1

(

ω
b

m

(

ω

2

−

ω

0

2

)

)

{\displaystyle B(\omega )={\frac {F\_{0}}{\sqrt {b^{2}\omega ^{2}+(\omega \_{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}}}},\quad \phi (\omega )=tan^{-1}\left({\frac {\omega b}{m\left(\omega ^{2}-\omega \_{0}^{2}\right)}}\right)}

## רזוננס

ניתן לראות שהאמפליטודה הסופית של תנועה הרמונית עם כח מאולץ משתנה לפי התדר. הגיוני לרצות שבהשקעת כח נתון למערכת האמפליטודה שנייצר לו תהיה מקסימלית. לתדירות שבה מצב זה קורה קוראים תדירות רזוננס.