Ланцюгова стрілочна нотація

**Нотація зі ланцюжковою стрілкою** є узагальненням нотації зі стрілкою вгору, розробленої Дж. Х. Конвеєм і Р. К. Гаєм.

Натан Хо та Воджову показали, що ланцюгова нотація зі стрілками завершується — тобто її вихід існує для всіх вхідних послідовностей.

Згідно з пташиним доказом , ланцюгова нотація зі стрілками приблизно порівнюється з масивами з 4 записами в нотації лінійного масиву Джонатана Бауерза , але набагато перевершує масиви з 5 або більше записів.

## Визначення

a
→
# b

a
b

{\displaystyle a \rightarrow b = a^b}

a
→
b
→
# c
a

c

# b
a

…

⏟

c

b

{\displaystyle a \rightarrow b \rightarrow c = a\uparrow^cb = a\underbrace{\uparrow\ldots\uparrow}\_cb}

 (у якому використовується позначення зі стрілкою вгору ) = a[c+2]b (у якому використовується позначення гіпероператора в дужках)

a
→
…
→
b
→
# 1
a
→
…
→
b

{\displaystyle a \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow 1 = a \rightarrow\ldots\rightarrow b}

 Коли останній запис дорівнює 1, він буде проігнорований.

a
→
…
→
b
→
(
c
1
)
→
(
d
1
# )
a
→
…
→
b
→
(
a
→
…
→
b
→
c
→
(
d
1
)
)
→
d

{\displaystyle a \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow (c + 1) \rightarrow (d + 1) = a \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow (a \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow c \rightarrow (d + 1) ) \rightarrow d}

Зверніть увагу, що стрілка

→

{\displaystyle \rightarrow}

 не є оператором у загальноприйнятому розумінні;

a
→
b
→
c

{\displaystyle a \rightarrow b \rightarrow c}

 не дорівнює жодному

a
→
(
b
→
c
)

{\displaystyle a \rightarrow (b \rightarrow c)}

 або

(
a
→
b
)
→
c

{\displaystyle (a \rightarrow b) \rightarrow c}

 . Весь ланцюжок (який можна розглядати як масив ) представляє одну операцію.

## Приклади

Ось кілька невеликих прикладів позначення ланцюгом зі стрілками в дії:

2
→
2
→
2
→
2

{\displaystyle 2 \rightarrow 2 \rightarrow 2 \rightarrow 2}

=

2
→
2
→
(
2
→
2
→
1
→
2
)
→
1

{\displaystyle 2 \rightarrow 2 \rightarrow (2 \rightarrow 2 \rightarrow 1 \rightarrow 2) \rightarrow 1}

=

2
→
2
→
4
→
1

{\displaystyle 2 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 1}

=

2
↑↑↑↑
2

{\displaystyle 2\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 2}

=4

3
→
3
→
# 2
3
↑↑
# 3
7
,
625
,
597
,
484
,
987

{\displaystyle 3 \rightarrow 3 \rightarrow 2 = 3\uparrow\uparrow3 = 7,625,597,484,987}

3
→
3
→
2
→
2

{\displaystyle 3 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 2}

=
3
→
3
→
(
3
→
3
→
1
→
2
)
→
1

{\displaystyle = 3 \rightarrow 3 \rightarrow (3 \rightarrow 3 \rightarrow 1 \rightarrow 2) \rightarrow 1}

=
3
→
3
→
(
3
→
3
→
1
→
2
)

{\displaystyle = 3 \rightarrow 3 \rightarrow (3 \rightarrow 3 \rightarrow 1 \rightarrow 2)}

=
3
→
3
→
(
3
→
3
)

{\displaystyle = 3 \rightarrow 3 \rightarrow (3 \rightarrow 3)}

=
3
→
3
→
27

{\displaystyle = 3 \rightarrow 3 \rightarrow 27}

=
3

27

3

{\displaystyle = 3 \uparrow^{27} 3}

## CG функція

Використовуючи ланцюгові стрілки, Конвей і Гай написали: «Перші три з нашої швидко зростаючої послідовності чисел 1,

2
→
2

{\displaystyle 2 \rightarrow 2}

,

3
→
3
→
3

{\displaystyle 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3}

,

4
→
4
→
4
→
4

{\displaystyle 4 \rightarrow 4 \rightarrow 4 \rightarrow 4}

, ...", що означає, що вони визначили функцію, подібну до чисел Аккермана.

c
g
(
n
# )

n
→
n
→
…
→
n
→
n

⏟

n

{\displaystyle cg(n) = \underbrace{n \rightarrow n \rightarrow \ldots \rightarrow n \rightarrow n}\_n}

.Хоча воно дорівнює числам Аккермана для *n* від 1 до 3,

c
g
(
4
# )
4
→
4
→
4
→
4
>
{
4
,
4
,
3
,
2
}

{\displaystyle cg(4) = 4\rightarrow 4\rightarrow 4\rightarrow 4 > \lbrace 4,4,3,2 \rbrace}

, використовуючи Bird's Proof . Отже, cg(4) набагато, набагато більше, ніж знамените число Грема (насправді, те саме можна сказати про набагато менший тетратрі Конвея ).

Швидкість зростання цієї функції становить близько

f

ω
2

(
n
)

{\displaystyle f\_{\omega^2}(n)}

у швидко зростаючій ієрархії . Це можна порівняти з лінійними масивами з 4 входами в нотації масиву BEAF або Bird . У Notation Array Notation функцію CG можна записати як (n{3,n}n).

## Означення

Конвей писав, що число Грема = G знаходиться між 3→3→64→2 і 3→3→65→2, а отже, менше 3→3→3→3.  Це можна підтвердити наступним чином.  Нехай g(x) =, а G = g 64 (4).

* 3→3→1→2 = 3→3→1 = g(1) = 27
* 3→3→2→2 = 3→3→(3→3→1→2)→1 = 3→3→(3→3→1) = g(g(1)) = g 2 (1) = 3→3→27 = g( 27 )
* 3→3→3→2 = 3→3→(3→3→2→2) = g 3 (1) = g 2 (27)
* 3→3→n→2 = g n (1) = g n-1 (27)
* 3→3→64→2 = g 64 (1) < g 64 (4) = G
* 3→3→65→2 = g 64 (27) > g 64 (4) = G
* 3→3→3→3 = 3→3→(3→3→2→3)→2 > 3→3→65→2 > G

Використовуючи це наближення, Мозер є,

* 3→3→2→2 < Мозер < 3→3→3→2

Позначення зі ланцюжковою стрілкою можна апроксимувати функцією Аккермана Таро з багатьма змінними наступним чином для x=1, y>1 або x>1, y+z>0.

Його можна апроксимувати за допомогою швидкозростаючої ієрархії з фундаментальною послідовністю ієрархії Вейнера наступним чином.

3
→
3
→
n
∼

f
ω

(
n
)

{\displaystyle 3 \rightarrow 3 \rightarrow n \sim f\_\omega (n)}

3
→
3
→
2
→
# 2
3
→
3
→
(
3
→
3
→
1
)
∼

f
ω

(
27
)

{\textstyle 3 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 2 = 3 \rightarrow 3 \rightarrow (3 \rightarrow 3 \rightarrow 1) \sim f\_\omega (27) }

3
→
3
→
3
→
# 2
3
→
3
→
(
3
→
3
→
2
→
2
)
∼

f
ω
2

(
27
)

{\displaystyle 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 2 = 3 \rightarrow 3 \rightarrow (3 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 2) \sim f^2\_\omega (27)}

3
→
3
→
4
→
# 2
3
→
3
→
(
3
→
3
→
3
→
2
)
∼

f
ω
3

(
27
)

{\displaystyle 3 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 2 = 3 \rightarrow 3 \rightarrow (3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 2) \sim f^3\_\omega (27) }

3
→
3
→
(
n
1
)
→
2
∼

f

ω
1

(
n
)

{\displaystyle 3 \rightarrow 3 \rightarrow (n+1) \rightarrow 2 \sim f\_{\omega +1} (n) }

3
→
3
→
2
→
# 3
3
→
3
→
(
3
→
3
→
1
)
→
2
∼

f

ω
1

(
26
)

{\displaystyle 3 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 3 = 3 \rightarrow 3 \rightarrow (3 \rightarrow 3 \rightarrow 1) \rightarrow 2 \sim f\_{\omega +1} (26) }

3
→
3
→
3
→
# 3
3
→
3
→
(
3
→
3
→
2
→
3
)
→
2
∼

f

ω
1

2

(
26
)

{\displaystyle 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 = 3 \rightarrow 3 \rightarrow (3 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 3) \rightarrow 2 \sim f^2\_{\omega +1} (26) }

3
→
3
→
4
→
# 3
3
→
3
→
(
3
→
3
→
3
→
3
)
→
2
∼

f

ω
1

3

(
26
)

{\displaystyle 3 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 3 = 3 \rightarrow 3 \rightarrow (3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3) \rightarrow 2 \sim f^3\_{\omega +1} (26) }

3
→
3
→
(
n
1
)
→
3
∼

f

ω
2

(
n
)

{\displaystyle 3 \rightarrow 3 \rightarrow (n+1) \rightarrow 3 \sim f\_{\omega +2} (n) }

3
→
3
→
2
→
# 4
3
→
3
→
(
3
→
3
→
1
)
→
3
∼

f

ω
2

(
26
)

{\displaystyle 3 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 4 = 3 \rightarrow 3 \rightarrow (3 \rightarrow 3 \rightarrow 1) \rightarrow 3 \sim f\_{\omega +2} (26) }

3
→
3
→
3
→
# 4
3
→
3
→
(
3
→
3
→
2
→
4
)
→
3
∼

f

ω
2

2

(
26
)

{\displaystyle 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 4 = 3 \rightarrow 3 \rightarrow (3 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 4) \rightarrow 3 \sim f^2\_{\omega +2} (26)}

3
→
3
→
4
→
# 4
3
→
3
→
(
3
→
3
→
3
→
4
)
→
3
∼

f

ω
2

3

(
26
)

{\displaystyle 3 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 4 = 3 \rightarrow 3 \rightarrow (3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 4) \rightarrow 3 \sim f^3\_{\omega +2} (26) }

3
→
3
→
(
n
1
)
→
4
∼

f

ω
3

(
n
)

{\displaystyle 3 \rightarrow 3 \rightarrow (n+1) \rightarrow 4 \sim f\_{\omega +3} (n) }

3
→
3
→
(
n
1
)
→
5
∼

f

ω
4

(
n
)

{\displaystyle 3 \rightarrow 3 \rightarrow (n+1) \rightarrow 5 \sim f\_{\omega +4} (n) }

3
→
3
→
(
n
1
)
→
6
∼

f

ω
5

(
n
)

{\displaystyle 3 \rightarrow 3 \rightarrow (n+1) \rightarrow 6 \sim f\_{\omega +5} (n) }

3
→
3
→
3
→
(
n
1
)
∼

f

ω
2

(
n
)

{\displaystyle 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow (n+1) \sim f\_{\omega 2} (n) }

3
→
3
→
3
→
2
→
# 2
3
→
3
→
3
→
(
3
→
3
→
3
)
∼

f

ω
2

(

f
4

(
3
)
)

{\displaystyle 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 2 = 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow (3 \rightarrow 3 \rightarrow 3) \sim f\_{\omega 2} (f\_4 (3)) }

3
→
3
→
3
→
3
→
# 2
3
→
3
→
3
→
(
3
→
3
→
3
→
2
→
2
)
∼

f

ω
2

2

(

f
4

(
3
)
)

{\displaystyle 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 2 = 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow (3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 2) \sim f^2\_{\omega 2} (f\_4 (3)) }

3
→
3
→
3
→
4
→
# 2
3
→
3
→
3
→
(
3
→
3
→
3
→
3
→
2
)
∼

f

ω
2

3

(

f
4

(
3
)
)

{\displaystyle 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 2 = 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow (3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 2) \sim f^3\_{\omega 2} (f\_4 (3)) }

3
→
3
→
3
→
(
n
1
)
→
2
∼

f

ω
2
1

(
n
)

{\displaystyle 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow (n+1) \rightarrow 2 \sim f\_{\omega 2 +1} (n) }

3
→
3
→
3
→
(
n
1
)
→
3
∼

f

ω
2
2

(
n
)

{\displaystyle 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow (n+1) \rightarrow 3 \sim f\_{\omega 2 +2} (n) }

3
→
3
→
3
→
(
n
1
)
→
4
∼

f

ω
2
3

(
n
)

{\displaystyle 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow (n+1) \rightarrow 4 \sim f\_{\omega 2 +3} (n) }

3
→
3
→
3
→
3
→
(
n
1
)
∼

f

ω
3

(
n
)

{\displaystyle 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow (n+1) \sim f\_{\omega 3} (n) }

3
→
3
→
3
→
3
→
(
n
1
)
→
2
∼

f

ω
3
1

(
n
)

{\displaystyle 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow (n+1) \rightarrow 2 \sim f\_{\omega 3 +1} (n) }

3
→
3
→
3
→
3
→
(
n
1
)
→
3
∼

f

ω
3
2

(
n
)

{\displaystyle 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow (n+1) \rightarrow 3 \sim f\_{\omega 3 +2} (n) }

3
→
3
→
3
→
3
→
(
n
1
)
→
4
∼

f

ω
3
3

(
n
)

{\displaystyle 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow (n+1) \rightarrow 4 \sim f\_{\omega 3 +3} (n) }

3
→
3
→
3
→
3
→
3
→
(
n
1
)
∼

f

ω
4

(
n
)

{\displaystyle 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow (n+1) \sim f\_{\omega 4} (n) }

3
→
3
→
3
→
3
→
3
→
3
→
(
n
1
)
∼

f

ω
5

(
n
)

{\displaystyle
3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow (n+1) \sim f\_{\omega 5} (n) }

3
→
3
→
3
→
3
→
3
→
3
→
3
→
(
n
1
)
∼

f

ω
6

(
n
)

{\displaystyle 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow (n+1) \sim f\_{\omega 6} (n) }

3
→
3
→
…
→
3
→
3

⏟

n
2

∼

f

ω
2

(
n
)

{\displaystyle \underbrace{3 \rightarrow 3 \rightarrow \ldots \rightarrow 3 \rightarrow 3}\_{n+2} \sim f\_{\omega^2}(n)}