등주정리를 이용한 비르팅거 부등식의 증명

f
(
θ
)

{\displaystyle f(\theta)}

를

C

1

(
R
)

{\displaystyle C^{1} (R)}

이며 주기가

2
π

{\displaystyle 2\pi}

이고

∫

0

2
π

f
(
θ
)
d
θ

=
0

{\displaystyle \int\_{0}^{2\pi} {f(\theta) d\theta}=0}

를 만족하는 함수라고 하면 다음 부등식이 성립한다.

∫

0

2
π

{

f
(
θ
)

}

2

d
θ

≤

∫

0

2
π

{

f
′

(
θ
)

}

2

d
θ

{\displaystyle \int\_{0}^{2\pi} {\left\{f(\theta)\right\}^2 d\theta} \leq \int\_{0}^{2\pi} {\left\{f'(\theta)\right\}^2 d\theta}}

단, 등호는 적당한 실수 a와 b에 대하여

f
(
θ
# )
a
c
o
s
(
θ
b
)

{\displaystyle f(\theta)=acos(\theta+b)}

일 때 성립한다.

pf)

등주 정리(isoperimetric inequality)는 다음과 같다.

C
:
# x
x
(
t
)
,
# y
y
(
t
)
,
a
≤
t
≤
b

{\displaystyle C : x=x(t), y=y(t), a \leq t \leq b}

이

C
1

{\displaystyle C^1}

 폐곡선일 때, 곡선 C로 둘러싸인 영역의 넓이를 A, 곡선 C의 길이를 L이라 하자. 이 때,

A
≤

L
2

4
π

{\displaystyle A \le \frac{L^2}{4 \pi }}

이 성립한다. 등호는 곡선 C가 원일 때만 성립한다.

곡선 C의 길이는

∫

a

b

{

x
′

(
t
)

}

2

{

y
′

(
t
)

}

2

d
t

{\displaystyle \int\_{a}^{b} {\sqrt{\left\{x'(t)\right\}^2+\left\{y'(t)\right\}^2}dt}}

, 그린 정리를 적용하면 곡선 C가 둘러싼 넓이 A를

# A

∫

a

b

y
(
t
)

x
′

(
t
)
d
t

{\displaystyle A=\int\_{a}^{b} {y(t)x'(t) dt}}

와 같이 나타낼 수 있다.

등주 정리를 다시 표현하면

∫

a

b

y
(
t
)

x
′

(
t
)
d
t

≤

{

∫

a

b

{

x
′

(
t
)

}

2

{

y
′

(
t
)

}

2

d
t

}

2

4
π

{\displaystyle \int\_{a}^{b} {y(t)x'(t) dt} \leq \frac{\left\{\int\_{a}^{b} {\sqrt{\left\{x'(t)\right\}^2+\left\{y'(t)\right\}^2}dt}\right\}^2}{4\pi}}

이다.

Wirtinger's Inequality를 증명하기 위해 곡선 C를 다음과 같이 정의한다.

C
:
# x

∫

0

t

f
(
s
)
d
s

,
# y
f
(
t
)
,
0
≤
t
≤
2
π

{\displaystyle C : x=\int\_{0}^{t} {f(s) ds}, y=f(t), 0 \leq t \leq 2\pi}

함수 f는 주기가

2
π

{\displaystyle 2\pi}

이며

∫

0

2
π

f
(
θ
)
d
θ

=
0

{\displaystyle \int\_{0}^{2\pi} {f(\theta) d\theta}=0}

를 만족하므로 정의한 곡선 C에서

x
(
0
# )
x
(
2
π
# )
0
,
y
(
0
# )
f
(
0
# )
f
(
2
π
# )
y
(
2
π
)

{\displaystyle x(0)=x(2\pi)=0, y(0)=f(0)=f(2\pi)=y(2\pi)}

가 성립한다. 즉, 곡선 C는 폐곡선이 된다.

곡선 C에 등주정리를 적용하면,

∫

0

2
π

f
(
t

)
2

d
t

≤

{

∫

0

2
π

{

f
(
t
)

}

2

{

f
′

(
t
)

}

2

d
t

}

2

4
π

{\displaystyle \int\_{0}^{2\pi} {f(t)^2 dt} \leq \frac{\left\{\int\_{0}^{2\pi} {\sqrt{\left\{f(t)\right\}^2+\left\{f'(t)\right\}^2}dt}\right\}^2}{4\pi}}

코시-슈바르츠 부등식으로 인해

{

∫

0

2
π

{

f
(
t
)

}

2

{

f
′

(
t
)

}

2

d
t

}

2

4
π

≤

(

∫

0

2
π

{

f
(
t
)

}

2

{

f
′

(
t
)

}

2

d
t

)

(

∫

0

2
π

d
t

)

4
π

{\displaystyle \frac{\left\{\int\_{0}^{2\pi} {\sqrt{\left\{f(t)\right\}^2+\left\{f'(t)\right\}^2}dt}\right\}^2}{4\pi} \leq \frac{\left(\int\_{0}^{2\pi} {\left\{f(t)\right\}^2+\left\{f'(t)\right\}^2 dt}\right)\left(\int\_{0}^{2\pi} {dt}\right)}{4\pi}}

따라서,

∫

0

2
π

f
(
t

)
2

d
t

≤

∫

0

2
π

{

f
(
t
)

}

2

{

f
′

(
t
)

}

2

d
t

2

{\displaystyle \int\_{0}^{2\pi} {f(t)^2 dt} \leq \frac{\int\_{0}^{2\pi} {\left\{f(t)\right\}^2+\left\{f'(t)\right\}^2 dt}}{2}}

이고

∫

0

2
π

f
(
t

)
2

d
t

≤

∫

0

2
π

{

f
′

(
t
)

}

2

d
t

{\displaystyle \int\_{0}^{2\pi} {f(t)^2 dt} \leq \int\_{0}^{2\pi} {\left\{f'(t)\right\}^2 dt}}

Wirtinger's Inequality의 등호조건은 곡선 C가 등주 정리의 등호조건을 만족하며, 코시-슈바르츠 부등식의 등호조건에서

(

f
(
x
)

)

2

(

f
′

(
x
)

)

2

{\displaystyle \left(f(x)\right)^2+\left(f'(x)\right)^2}

가 상수일 때이다.

즉,

(

∫

0

2
π

f
(
x
)

)

2

(

f
(
x
)

)

2

=

C
1

.
.
.
.
(
1
)
,

(

f
(
x
)

)

2

(

f
′

(
x
)

)

2

=

C
2

.
.
.
.
(
2
)

{\displaystyle \left(\int\_{0}^{2\pi} {f(x)}\right)^2+\left(f(x)\right)^2=C\_1 ....(1) , \left(f(x)\right)^2+\left(f'(x)\right)^2=C\_2....(2)}

(1)식을 x에 대해 미분하면

2
f
(
x
)

(

f
′

(
x
)

∫

0

2
π

f
(
x
)

)

=
0

{\displaystyle 2f(x)\left(f'(x)+\int\_{0}^{2\pi} {f(x)}\right)=0}

따라서,

f
(
x
# )
−

f
″

(
x
)

{\displaystyle f(x)=-f''(x)}

이므로

f
(
θ
# )
a
c
o
s
(
θ
b
)

{\displaystyle f(\theta)=acos(\theta+b)}

--왼손은거들뿐 (talk) 11:45, July 14, 2015 (UTC)