Trygonometria

**Trygonometria** - czyli praktycznie wszystko co dotyczy kątów trójkąta i czego pierdoło nie jesteś w stanie ogarnąć, a bez tego luja wafla zrobisz.

Jeżeli potrzebujesz pomocy przy trójkącie prostokątnym, to dobrze trafiłeś, postaram się zrobić co w mojej mocy. Jeśli jednak przyszedłeś tu z innym trójkątem, to jesteś w ciemnej dupie, nawet JA nie jestem w stanie tu wiele poradzić. Chyba, że spojrzysz jeszcze raz na swój marny trójkąt i podzielisz go na trójkąty prostokątne. Tylko nie podziel mi ścian czy kątów, których wymiary znasz, bo nie dość że nic nie policzysz, to jeszcze wyjdziesz na idiotę.

Zacznijmy od tego, że trygonometria swoje początki ma w starożytnej Grecji. Dokładnie nawet te stare dziadki z łysą glancą i długą brodą, które jedyny sens życia widziały w wypełnianiu swoich uczniów najwyższą miłością, były w stanie lepiej zrozumieć trójkąt od Ciebie. Możliwe, że dlatego, że taka miłość nie była wtedy zakazana.

## Funkcje - czyli 4 filary, których i tak nie ogarniesz

Diabeł w apogeum swojego okrucieństwa stworzył sinusy, cosinusy, tangensy i cotangensy. Opisują one zależności pomiędzy długościami boków, każda zależność jest wartością stałą przypisaną pojedynczemu kątowi. Na całe szczęście Allah, będąc łaskawym, stworzył tabelę z wartościami funkcji i przykazał nam znać te wartości tylko dla kątów 30°, 45° i 60°. Co bardziej ortodoksyjni matematycy znają wartości dla kątów 0° i 90° oraz wyznają je gorliwie.

**Sinus** - pierwszy filar, władca nędzy i rozpaczy.

sin
⁡
# α

a
c

{\displaystyle \sin \alpha = \frac{a}{c}}

Jego wartość to: *przyprostokątna naprzeciwległa względem omawianego kąta* dzielona przez *przeciwprostokątną.*

**Cosinus** - bliźniaczy brat Sinusa (ten mniej kochany), śmierć i wojna to jego krwiożercze kanie domowe na smyczy.

cos
⁡
# α

b
c

{\displaystyle \cos \alpha = \frac{b}{c}}

Jego wartość to: *przyprostokątna przyległa względem omawianego kąta* dzielona przez *przeciwprostokątną.*

**Tangens** - czarna owca w rodzinie, popiera homoseksualistów, jego domena to choroby weneryczne.

tg
⁡
# α

a
b

{\displaystyle \operatorname{tg} \alpha = \frac{a}{b}}

Przyjmuje wartość: *przyprostokątna naprzeciwległa względem omawianego kąta* dzielona przez *przyprostokątną przyległą względem omawianego kąta.*

**Cotangens** - jedyna kobieta, zajmuje się truciznami i mrocznymi kultami.

ctg
⁡
# α

b
a

{\displaystyle \operatorname{ctg} \alpha = \frac{b}{a}}

Jej wartość to: *przyprostokątna przyległa względem omawianego kąta* dzialona przez *przyprostokątną naprzeciwległą względem omawianego kąta.*

## Podstawowe wzory, czyli wszystko co umiem

### Jedynka trygonometryczna

sin
2

⁡
α

cos
2

⁡
# α
1

{\displaystyle \sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha = 1}

tg
⁡
α
⋅
ctg
⁡
# α
1

{\displaystyle \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1}

Jedne z ważniejszych wzorów. Przydatny do wyliczania wartości innych funkcji trygonometrycznych.

Z tych wzorów wynikają poniższe:

#### Sinus, cosinus

sin
⁡
# α

1
−

cos
2

⁡
α

{\displaystyle \sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha}}

cos
⁡
# α

1
−

sin
2

⁡
α

{\displaystyle \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha}}

#### Tangens, cotangens

tg
⁡
# α

1

ctg
⁡
α

{\displaystyle \operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{ctg} \alpha}}

tg
⁡
# α

sin
⁡
α

cos
⁡
α

{\displaystyle \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}

ctg
⁡
# α

1

tg
⁡
α

{\displaystyle \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha}}

ctg
⁡
# α

cos
⁡
α

sin
⁡
α

{\displaystyle \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}}

### Twierdzenie sinusów

Jeden ze wzorów, którego potrzebowali fanatycy władcy nędzy i rozpaczy. Oczywiście, że nie mogli zostawić nam normalnych metod, bez maksymalnie trzech liter z wyłącznie jednego alfabetu we wzorze.

a

sin
⁡
α

=

b

sin
⁡
β

=

c

sin
⁡
γ

=
2
R

{\displaystyle \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R }

a
,
b
,
c

{\displaystyle a,b,c}

 to oczywiście kolejne boki trójkąta

α
,
β
,
γ

{\displaystyle \alpha, \beta, \gamma}

 to oczywiście przeciwległe kąty kolejnych boków

R

{\displaystyle R}

 to, jak się domyślasz, promień okręgu opisanego na trójkącie.

### Twierdzenie cosinusów

 *Poniższa teoria jest tylko dla prawdziwych twardzieli, którym nie wystarcza znajomość podstawowych, użytecznych wzorów.*

a
2

=

b
2

c
2

−
2
b
⋅
c
⋅
cos
⁡
α

{\displaystyle a^2= b^2+c^2-2b \cdot c \cdot \cos \alpha}

b
2

=

a
2

c
2

−
2
a
⋅
c
⋅
cos
⁡
β

{\displaystyle b^2= a^2+c^2-2a \cdot c \cdot \cos \beta}

c
2

=

a
2

b
2

−
2
a
⋅
b
⋅
cos
⁡
γ

{\displaystyle c^2= a^2+b^2-2a \cdot b \cdot \cos \gamma}