Modelos de Colas

Son modelos de sistemas que proporcionan servicio. Como modelo, pueden representar cualquier sistema en donde los trabajos o clientes llegan buscando un servicio de algún tipo y salen después de que dicho servicio haya sido atendido. Podemos modelar los sistemas de este tipo tanto como colas sencillas o como un sistema de colas interconectadas formando una red de colas.

### Origen

El origen de la Teoría de Colas está en el esfuerzo de Agner Kraup Erlang (Dinamarca, 1878 - 1929) en 1909 para analizar la congestión de tráfico telefónico con el objetivo de cumplir la demanda incierta de servicios en el sistema telefónico de Copenhague. Sus investigaciones acabaron en una nueva teoría denominada teoría de colas o de líneas de espera. Esta teoría es ahora una herramienta de valor en negocios debido a que un gran número de problemas pueden caracterizarse, como problemas de congestión llegada-salida.

### Campo de aplicación

Las colas suelen ocurrir cuando la demanda real de un servicio es superior a la capacidad que existe para dar dicho servicio. Ejemplos reales de esa situación son: los cruces de dos vías de circulación, los semáforos, el peaje de una autopista, los cajeros automáticos, la atención a clientes en un establecimiento comercial, la avería de electrodomésticos u otro tipo de aparatos que deben ser reparados por un servicio técnico, etc.

Todavía más frecuentes, si cabe, son las situaciones de espera en el contexto de la informática, las telecomunicaciones y, en general, las nuevas tecnologías. Así, por ejemplo, los procesos enviados a un servidor para ejecución forman colas de espera mientras no son atendidos, la información solicitada, a través de Internet, a un servidor Web puede recibirse con demora debido a congestión en la red o en el servidor propiamente dicho, podemos recibir la señal de líneas ocupadas si la central de la que depende nuestro teléfono móvil está colapsada en ese momento, etc.

### Estructura

Elementos existentes en un modelo de colas

Fuente de entrada o población potencial: Es un conjunto de individuos (no necesariamente seres vivos) que pueden llegar a solicitar el servicio en cuestión. Podemos considerarla finita o infinita. Aunque el caso de infinitud no es realista, sí permite (por extraño que parezca) resolver de forma más sencilla muchas situaciones en las que, en realidad, la población es finita pero muy grande. Dicha suposición de infinitud no resulta restrictiva cuando, aún siendo finita la población potencial, su número de elementos es tan grande que el número de individuos que ya están solicitando el citado servicio prácticamente no afecta a la frecuencia con la que la población potencial genera nuevas peticiones de servicio.

Cliente: Es todo individuo de la población potencial que solicita servicio. Suponiendo que los tiempos de llegada de clientes consecutivos son 0<t1<t2<..., será importante conocer el patrón de probabilidad según el cual la fuente de entrada genera clientes. Lo más habitual es tomar como referencia los tiempos entre las llegadas de dos clientes consecutivos: consecutivos: clientes consecutivos: T{k} = tk - tk-1,  fijando su distribución de probabilidad. Normalmente, cuando la población potencial es infinita se supone que la distribución de probabilidad de los Tk (que será la llamada distribución de los tiempos entre llegadas) no depende del número de clientes que estén en espera de completar su servicio, mientras que en el caso de que la fuente de entrada sea finita, la distribución de los Tk variará según el número de clientes en proceso de ser atendidos.

Capacidad de la cola: Es el máximo número de clientes que pueden estar haciendo cola (antes de comenzar a ser servidos). De nuevo, puede suponerse finita o infinita. Lo más sencillo, a efectos de simplicidad en los cálculos, es suponerla infinita. Aunque es obvio que en la mayor parte de los casos reales la capacidad de la cola es finita, no es una gran restricción el suponerla infinita si es extremadamente improbable que no puedan entrar clientes a la cola por haberse llegado a ese número límite en la misma.

Disciplina de la cola: Es el modo en el que los clientes son seleccionados para ser servidos. Las disciplinas más habituales son:

La disciplina FIFO (first in first out), también llamada FCFS (first come first served): según la cual se atiende primero al cliente que antes haya llegado.

La disciplina LIFO (last in first out), también conocida como LCFS (last come first served) o pila: que consiste en atender primero al cliente que ha llegado el último.

La RSS (random selection of service), o SIRO (service in random order), que selecciona a los clientes de forma aleatoria.

Mecanismo de servicio: Es el procedimiento por el cual se da servicio a los clientes que lo solicitan. Para determinar totalmente el mecanismo de servicio debemos conocer el número de servidores de dicho mecanismo (si dicho número fuese aleatorio, la distribución de probabilidad del mismo) y la distribución de probabilidad del tiempo que le lleva a cada servidor dar un servicio. En caso de que los servidores tengan distinta destreza para dar el servicio, se debe especificar la distribución del tiempo de servicio para cada uno.

La cola propiamente dicha, es el conjunto de clientes que hacen espera, es decir los clientes que ya han solicitado el servicio pero que aún no han pasado al mecanismo de servicio.

El sistema de la cola: Es el conjunto formado por la cola y el mecanismo de servicio, junto con la disciplina de la cola, que es lo que nos indica el criterio de qué cliente de la cola elegir para pasar al mecanismo de servicio. Estos elementos pueden verse más claramente en la siguiente figura:

   Un modelo de sistema de colas debe especificar la distribución de probabilidad de los tiempos de servicio para cada servidor.

La distribución más usada para los tiempos de servicio es la exponencial, aunque es común encontrar la distribución degenerada o determinística (tiempos de servicio constantes) o la distribución Erlang (Gamma).

### Notación de Kendall

Por convención los modelos que se trabajan en teoría de colas se etiquetan como \_/\_/\_, donde en el primer espacio se denota la distribución de tiempos de llegada, en el espacio del medio se denota la distribución de tiempos de servicio y en el último el número de servidores.

Las distribuciones que se utilizan son:

• M: Distribución exponencial (markoviana)

• D : Distribución degenerada (tiempos constantes)

• E k : Distribución Erlang

• G : Distribución general

M / M / s : Modelo donde tanto los tiempos entre llegada como los tiempo de servicio son exponenciales y se tienen s servidores.

M / G / 1: Tiempos entre llegada exponenciales, tiempos de servicio general y 1 sólo servidor

### Terminología

Usualmente siempre es común utilizar la siguiente terminología estándar:

• Estado del sistema : Número de clientes en el sistema.

• Longitud de la cola: Número de clientes que esperan servicio. LQ

• N : Número de clientes en el sistema de colas en el tiempo.

• Pn (t): Probabilidad de que exactamente n clientes estén en el sistema en el tiempo t, dado el número en el tiempo cero.

• s : Número de servidores en el sistema de colas.

• λ: Tasa media de llegadas (número esperado de llegadas por unidad de tiempo) de nuevos clientes cuando hay n clientes en el sistema.

• µ: Tasa media de servicio para todo el sistema (número esperado clientes que completan su servicio por unidad de tiempo) cuando hay n clientes en el sistema.

Nota: λµ representa la tasa combinada a la que todos los servidores ocupados logran terminar sus servicios

λ: Cuando λ  es constante para toda n

µ: Cuando µ es constante para toda n

### Ejemplo practico de terminología

𝜌: Número promedio de personas siendo atendidas

Número promedio = 0 \* P0 + 1 \* P1

Número promedio = P1

Número promedio =  1/m  /  1/l

Número promedio = 𝜌

La siguiente notación supone la condición de estado estable:

• Pn : Probabilidad de que haya exactamente n clientes en el sistema

• L: Número esperado de clientes en el sistema.

• Lq : Longitud esperada de la cola (excluye los clientes que están en servicio).

• W: Tiempo de espera en el sistema para cada cliente

• W: E(W )

• W q: Tiempo de espera en la cola para cada cliente.

• Wq: E (Wq )

Relaciones entre L , W , Lq y Wq

Supongamos que  λ es una constante λ para toda n:

L = l W             Lq = l Wq

Supongamos que el tiempo medio de servicio es una constante 1/m para toda n ³ 1

W = Wq + 1/ µ          L = Lq+ 𝜌

Estas relaciones son fundamentales pues permiten determinar las cuatro cantidades fundamentales L, W, Lq, Wq, en cuanto se encuentra analíticamente el valor de una de ellas.

### Caso práctico

Un promedio de 10 automóviles por hora llegan a un cajero con un solo servidor que proporciona servicio sin que uno descienda del automóvil. Suponga que el tiempo de servicio promedio por cada cliente es 4 minutos, y que tanto los tiempos entre llegadas y los tiempos de servicios son exponenciales.

Conteste las preguntas siguientes:

a. ¿Cuál es la probabilidad que el cajero esté ocioso?

b. ¿Cuál es el número promedio de automóviles que están en la cola del cajero? (se considera que un automóvil que está siendo atendido no está en la cola esperando)

c. ¿Cuál es la cantidad promedio de tiempo que un cliente pasa en el estacionamiento del banco, (incluyendo el tiempo de servicio)?

d. ¿Cuántos clientes atenderá en promedio el cajero por hora?

Se conoce la siguiente información:

λ= 10 clientes/hora (media de llegada de los clientes) = 1/6 clientes/minutos

µ= 1 clientes/4minutos (media de servicio de los clientes)=1/4 cliente/minuto

a) Por tanto 𝜌 = 𝜆 𝜇 =(1/6)/(1/4) = 2/3 = 66.67% factor de utilización del sistema. Es decir que el sistema permanece ocioso el 33.33%.

b) 𝑳𝒒 = 𝝀 (𝝁−𝝀) = 𝟏/𝟔 𝟏/𝟒( 𝟏 𝟒 − 𝟏 𝟔 ) = 𝟒 𝟑 = 𝟏. 𝟑𝟑𝟑 Puede haber 2 autos en la cola.

c) Nos preguntan por el tiempo promedio que el cliente pasa en el sistema.

Ws. 𝑊𝑆 = 1 𝜇 − 𝜆 = 1 1 4 − 1/6 = 1 1/12 = 12 minutos pasa el cliente en el sistema

d) Si el cajero siempre estuviera ocupado, atendería un promedio de μ=15 clientes por hora. Según la solución encontrada en el inciso a (1/4\*60=15), el cajero está ocupado 2/3 del tiempo. Por tanto dentro de cada hora, el cajero atenderá un promedio de (2/3)(15)= 10 clientes. Esto es ρ\*µ= 2/3 \* 15 = 10 clientes.

### Véase También

Toma de decisiones bajo incertidumbre

Proceso de Poisson

Análisis de Varianza

Juegos de estrategias aleatorizadas

Técnica de Evaluación y Revisión de Programas (PERT)

Toma de decisiones bajo certidumbre

## Referencias

Hillier, F y Lieberman, G. (s/f). Investigación de operaciones.

Taha, H. (2012) Investigación de operaciones