16平均律

16平均律は正確に75セントで16のパートに、狭いクロマティック半音に分割する。低い整数比の音程はあまり発生しないが、6セントシャープされた7/4と、11セントフラットされた5/4を持つ。4//16は12平均律と同じ短3度の300セントをもち、また12平均律と同じ値の4つのディミニッシュセブンスを持つ。そして同じ大きさの減3和音を持つ。

# 16平均律の音程と近似値

各周波数比の大きさが16以内で表現される純正音程は以下のようになる。これはedjirulerを用いて、[number of equal divisions=16, interval of equivalence=2, integer limit=16, threshold of JI pitch inclusion=0.25]というパラメータで生成したものである。「The “neighborhood” of JI」の一覧はこちら（huygens-fokker）を参照のこと。

# 16音階オクターブ理論

16音階は1/4オクターブをピリオドとして、ディミニッシュドテンペラメントをサポートする。したがってジェネレーターサイズはすべて75セントで、理想より小さい。675セントの3/2はとてもフラットされており、Mavilaテンペラメントをサポートする。メジャーもマイナーもマッピングされたMavilaテンペラメントは、真逆のテンペラメントである。Mavilaテンペラメントは伝統的な300セントの短3度を均等に分割し、150セントの「3/4全音」をもつため人気がある。

16平均律はまた50/49をテンパーアウトする7リミットテンペラメントのno-threesチューニングである（No-threes map: [<2 0 1 1|, <0 0 1 1|]）。またジェネレーターとして長3度フラットをもっており、5*16**で表される。これにより7と10と13のサイズをもつMOS音階となり、また本ページ下部の「マジック音階類」で表される。*

*Easley Blackwoodが以下を書いた：*

*16音：このチューニングは、4つの音からなるディミニッシュセブンスのコンビネーションとみなすのが最もよいと考えられる。なぜなら12平均の音とは、3つのディミニッシュセブンスのコンビネーションと見なすことができるので、2つのチューニングに要素が共通にあることは明らかなためである。2つのチューニングの音色および（work）機能の最も明白な差は、16平均律のトライアドである。認識可能ではあるけど、それはカデンツの終始音としてのハーモニーとして、あまりに不協和過ぎる。キーは、まだオルタードサブドミナントとドミナントハーモニーを継承し成り立っており、エチュードは主にこの特性にもとづいている。使用されている基本的な協和音の響きは、マイナーセブンスが加えられた短3和音である。*

*もう1つの興味深いアプローチは2つの8平均律（狭い12/11中立2度をもつ）を折り合わせたものとして解釈することである。16平均律は2つの長7度をもつ。13*16の、周波数比7/4に近い、6.174セントシャープされたハーモニックセブンスと、11リミットの11/6または中立7度である。11/6は長7度として16番目のMavilaにマッピングされる。もし19倍音の近似（19/16は297.5セント）として300セントの短3度を取るなら、ハーモニックセブンス（7/4）の近似であるもう1つの倍音を加え16:19:28のトライアドを形作る。

28倍音と19倍音の間にある音程、28:19は671.3セントと計算できるが、それは3.7セント16平均律の「狭い5度」から離れている。このもう一つのコードボイシングは、外側の音程として19:14（528.7セント。16平均律では525.0セント）の特徴をもつ14:16:19である。おそらくより協和するオープンボイシングは7:16:19だろう。

# 16音階記譜法

16平均律記譜法は簡単に、キー、名前、それぞれの記譜法に関してゴールドスミスの円を利用できる。6線譜のための名前はWilsonのBetaとEpsilonをAからGに加えたものに切り替えることができる。イタリアのArmodueは16平均律のために4線譜を使っている。

16平均律のダイアトニックスケールは、25セント上がったスーパーフォース（superfourth）と、25セント引かれた5度の近似が結合しているため、不協和であり、「チラチラ光る」。音階は4ステップサイズを要求する16平均律のハーモニックマイナースケールに似ている。

Mavila[7]のようなMOS音階（または「逆ダイアトニック」（Inverse/Anti-Diatonic）と呼ばれるダイアトニックのステップサイズを逆にしたもの。ヘプタトニックバージョンの場合、LLsLLLsからssLsssLにする）は、伝統的なダイアトニックの代わりとして機能する。16平均律の6線譜、Mavila-[9]譜はまさにこれであり、9つの一般的な白鍵にアレンジされた上で（222122221）配置することができる。23平均律キーボードもまたMavila-[9]の6線譜で機能し、16平均律の1/3音として記譜できる。もし9音MOS音階（Nonatonic）を16平均律に適合させるなら、そのときたぶんオクターブを2/1とみなすことに頷ける。この時デカーブ（Decave）と呼ぶのかもしれない（7音音階でオクターブ（8音）になるのだから）。

Paul Erlichが以下を書いた

　慣習的な12平均律ダイアトニックやペンタトニック（ミーントーン）スケールのようなものは、フォッカー（Fokker）の周期的ブロックからうまれた、ユニゾンベクトルのテンパーアウトから上げられている。16平均律だけ、ユニゾンベクトルは81:80の代わりに135:128である。

## Diminished

[8]: 1 3 1 3 1 3 1 3

[12]: 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2

## **Magic**

[7]: 1 4 1 4 1 4 1

[10]: 1 3 1 1 3 1 1 1 3 1

[13]: 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1

## Cynder/Gorgo

[5]: 3 3 4 3 3

[6]: 3 3 1 3 3 3

[11]: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

## Lemba

[6]: 3 2 3 3 2 3

[10]: 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2

Igliashon Jonesが以下を書いた

16平均律の問題は、長3度と4度の間、同様に4度と5度（例えば12//11の近く）に距離があるという事実である。これは135/128（16/15と9/8の間の差）をテンパーアウトすることを意味する。

# 16平均律におけるMavila/Armodueの調和

16平均律が全く3/2に近くないため、3和音の響きは3度重ねを基本的には使用しない。しかしながら、3和音の響きは3度というよりむしろ7度にある。例えば16平均律では、通常3/2を使うところ、代わりに7/4で使えるほど十分に近い。3和音はもう1つのセブンスを加えることで構築される。非対称性のセブンス3和音のため、2つの可能性を生み出す。小さな一つ目は、0-975-1050のハード（hard）と呼ばれるものであり、もう一つの大きい方は0-1050-975のソフト（soft）と呼ばれるものである。2つの対照的な3和音0-975-975と0-1050-1050はまた、明らかにコードの可能性がある。それらの特徴はメタリックトライアド（Metallic triads）と名付けられた金属的な音がすることである。

## MOSはメタリックハーモニーをサポートする

Mavila[7]は音程1と4の上に2つのハード3和音をもつ。また、音程2と6の上に2つのソフト3和音を持つ。他の3つのコードは幅広い対照的な0-1050-1050の3和音である。Mavila[9]はWilson音階が新たに2つのハード3和音を作成する一方、新たに2つのソフト3和音を生成する。

Metallic Harmonyも参照のこと。

# コンマをなだらかにする

16平均律を< 16 25 37 45 55 59 |ヴァルとみなした時、次のリストのコンマをテンパーアウトする。

# Armodue理論（4線譜）

Armodue：16音（esadekaphonic）システムのためのイタリアページ。作曲法も含んでいる。翻訳したものはここを参照。

# 本/文献

Sword, Ronald. "Thesaurus of Melodic Patterns and Intervals for 16-Tones" IAAA Press, USA. First Ed: August, 2011

Sword, Ronald. "Hexadecaphonic Scales for Guitar." IAAA Press, UK-USA. First Ed: Feb, 2010. (superfourth tuning)

Sword, Ronald. "Esadekaphonic Scales for Guitar." IAAA Press, UK-USA. First Ed: April, 2009. (semi-diminished fourth tuning)

# 作品

Prenestyna Highway by Fabrizio Fulvio Fausto Fiale

Enantiodromia (album) by Last Sacrament

Tribute to Armodue by Aeterna

Etude in 16-tone equal tuning play (organ version) by Herman Miller

16-tone steel string acoustic diddle by Ron Sword

Armodue78 by Jean-Pierre Poulin

Palestrina Morta, fantasia quasi una sonata by Fabrizio Fulvio Fausto Fiale

Comets Over Flatland 5 by Randy Winchester

Malathion by Chris Vaisvil

Being of Vesta by Chris Vaisvil

Thin Ice by Chris Vaisvil ; information on the composition

Mavila Jazz Groove by William Lynch

Cold, Dark Night for a Dance by William Lynch