1.1.46

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[EDICION]

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Un empresario tiene 3 máquinas que son empleadas en la faabricación de 4 artículos diferentes. Para utilizar planamente las máquinas, éstas estarán en operación un turno de 8 horas diarias.

El número de horas que cada máquina es usada en la producción de cada producto está dada por la siguiente tabla:

 2
 3

Por ejemplo, en la producción de un artículo "A", la máquina 1 se usa 1 hora, la máquina 2 2 horas, y la máquina 3 1 hora.

Encuentre el número de unidades que se deben producir de cada uno de los productos para usar eficientemente las 8 horas.

Conozco que:

α
(
1
)
β
(
2
)
γ
(
1
)
δ
(
2
# )
8

{\displaystyle \alpha (1)+\beta (2)+\gamma (1)+\delta (2)=8}

α
(
2
)
β
(
0
)
γ
(
1
)
δ
(
1
# )
8

{\displaystyle \alpha (2)+\beta (0)+\gamma (1)+\delta (1)=8}

α
(
1
)
β
(
2
)
γ
(
3
)
δ
(
0
# )
8

{\displaystyle \alpha (1)+\beta (2)+\gamma (3)+\delta (0)=8}

Siendo

α

{\displaystyle \alpha}

la cantidad de dartículos A,

β

{\displaystyle \beta}

artículos B,

γ

{\displaystyle \gamma}

de C, y

δ

{\displaystyle \delta}

 de D, y los números el tiempo que requieren.

Pasandolo a matriz obtengo:

(

1

2

1

2
8

2

0

1

1
8

1

2

3

0
8

)

{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&1&2\vert 8\\2&0&1&1\vert 8\\1&2&3&0\vert 8\end{pmatrix}}}

Que al aplicarle el algoritmo Gauss-Jordan se vuelve:

(

1

0

0

1
4

0

1

0

1
2

0

0

1

−
1
0

0

0

0

0
0

)

{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&1\vert 4\\0&1&0&1\vert 2\\0&0&1&-1\vert 0\\0&0&0&0\vert 0\end{pmatrix}}}

Que al reinterpretar se vuelve:

α
(
1
)
δ
(
1
# )
4

{\displaystyle \alpha (1)+\delta (1)=4}

β
(
1
)
δ
(
1
# )
2

{\displaystyle \beta (1)+\delta (1)=2}

γ
(
1
)
δ
(
−
1
# )
0

{\displaystyle \gamma (1)+\delta (-1)=0}

Lo que me indica:

α
# δ
4

{\displaystyle \alpha +\delta =4}

β
# δ
2

{\displaystyle \beta +\delta =2}

γ
−
# δ
0

{\displaystyle \gamma -\delta =0}

De lo que despejo:

# α
4
−
δ

{\displaystyle \alpha =4-\delta }

# β
2
−
δ

{\displaystyle \beta =2-\delta }

# γ
δ

{\displaystyle \gamma =\delta }

Así, identidico que

δ

{\displaystyle \delta}

se ha vuelto variable libre, y determinará el valor del resto de variables en el sistema, con lo que obtendría infinitas soluciones. Pero ya que quiero que se produzcan todos los artículos en cantidades naturales { 1 , 2 , 3 , 4 , ... } puedo encontrar todas las soluciones que cumplen ésto:

Si

# δ
0
→
# γ
0

{\displaystyle \delta =0\rightarrow \gamma =0}

, con lo que dos de los artículos no se estarían produciendo (D y C). Más aún, si delta fuera una cantidad negativa, obtendría resultados ilógicos respecto lo que el problema plantea, por lo que lo descarto.

Si

δ
⪖
2
→
β
⪕
0

{\displaystyle \delta \eqslantgtr 2\rightarrow \beta \eqslantless 0}

, con lo que el artículo B ya no se estaría produciendo.

Así, determino que:

0
<
δ
<
2

{\displaystyle 0<\delta <2}

De ésto, concluyo que delta sólo puede ser 1, y para finalizar, compruebo con la expresión oiginal:

α
(
1
)
β
(
2
)
γ
(
1
)
δ
(
2
# )
α
β
(
2
)
γ
δ
(
2
# )
(
4
−
1
)
(
2
−
1
)
(
2
)
(
1
)
(
1
)
(
2
# )
3
2
1
# 2
5
# 3
8

{\displaystyle \alpha (1)+\beta (2)+\gamma (1)+\delta (2)=\alpha +\beta (2)+\gamma +\delta (2)=(4-1)+(2-1)(2)+(1)+(1)(2)=3+2+1+2=5+3=8}

α
(
2
)
β
(
0
)
γ
(
1
)
δ
(
1
# )
(
4
−
1
)
(
2
)
(
2
−
1
)
(
0
)
(
1
)
(
1
)
(
1
)
(
1
# )
(
3
)
(
2
)
1
# 1
6
# 2
8

{\displaystyle \alpha (2)+\beta (0)+\gamma (1)+\delta (1)=(4-1)(2)+(2-1)(0)+(1)(1)+(1)(1)=(3)(2)+1+1=6+2=8}

α
(
1
)
β
(
2
)
γ
(
3
)
δ
(
0
# )
(
4
−
1
)
(
1
)
(
2
−
1
)
(
2
)
(
1
)
(
3
)
(
1
)
(
0
# )
3
2
# 3
5
# 3
8

{\displaystyle \alpha (1)+\beta (2)+\gamma (3)+\delta (0)=(4-1)(1)+(2-1)(2)+(1)(3)+(1)(0)=3+2+3=5+3=8}