Taller Sesión 4. Transmisión sin distorsión y filtrado

Como se mencionaba en la sesión anterior, es importante las herramientas utilizadas para la manipulación de las señales desde el dominio del tiempo hacía el dominio de la frecuencia. Con respecto a esto, se realizarán ejercicios con la intención de comprender los métodos de transmisión sin que las señales se distorsionen e introducir estas mismas en un filtro para la caracterización de una señal en particular.

Una vez realizado los ejercicios, se indentificará cuál es el comportamiento final de la señal de salida, es decir, si presenta distorsión, en caso de ser afirmativo, como se distorsión, que tipos de filtros se pueden aplicar, para que sirve ese filtro, y demás preguntas que se esperan contestar con la resolución de los ejercicios propuestos.

Inicialmente, se tiene el siguiente ejercicio:

**Punto 1.**

x
(
t
# )

e

−
3
t

u
(
t
)

{\displaystyle x(t)=e^{-3t}u(t)}

Esta señal, debe ingresar a un filtro con respuesta impulsiva H(f):

H
(
f
# )

2

4
2
π
f

{\displaystyle H(f)=\frac{2}{4+2\pi f} }

Entonces, se tiene inicialmente una señal x(t), donde se multiplica un exponencial con un exponente (-3t) y todo se multiplica por un escalón unitario en el origen. Como en las sesiones anteriores, el escaló unitario obtiene la forma del exponencial, en esta ocasión con pendiente negativa, entonces, con respecto a esta señal, ¿Qué pasaría si se le introduce a un filtro que tiene como respuesta impulsiva H(f)?

Para ello, haremos uso del programa MATLAB para el procesamiento digital de señales y observar el comportamiento final. El código que se implementó y se utilizó es el siguiente:

En la parte inicial, se define el eje correspondiente al tiempo, que irá desde -20 hasta 20 con 402 puntos, después, se procede a crear el escalón unitario; primero se debe crear un vector que vaya desde -20 hasta 0, avanzando de a 0.1, luego se crea el segundo vector que corresponde a los puntos de 0 hasta 20, avanzando de igual manera de a 0.1, para finalmente crear el vector correspondiente al escalón completo, llenando con el comando zeros la parte izquierda (-20 a -0) con ceros y llenando la parte derecha (0 a 20) con unos.

Después, se crea la función x(t) que es la multiplicación del exponencial con el escalón unitario.

Teniendo esto resuelto, el enunciado nos indica que H(f) es la respuesta impulsiva del filtro al que se va a introducir, por ende, hay varias formas de proceder, pero para nuestro caso aprovecharemos el hecho de que ya está en el plano de la frecuencia para después operarse con la transformada de Fourier de x(t), la forma de relacionar estos sería multiplicándolos en el dominio del tiempo (por aquí hubiese sido la otra opción, aplicar la transformada inversa de Fourier, multiplicar x(t) con h(t) y aplicar la transformada nuevamente, pero resulta mas dispendioso y no es necesario), que corresponde a una convolución entre X(f) y H(f) según la propiedad de multiplicación para las transformadas de Fourier. Entonces, procediendo de esa manera se calcula la transformada de Fourier para x(t) con el código de MATLAB y se gráfica su magnitud:

Se aplica el código correspondiente a la transformada de Fourier (fft) y se le aplica la transformada rápida de Fourier (fftshift) para acomodar en el medio la señal. Esta señal se representará con el color azul, con la respectiva representación de los ejes para facilitar la comprensión al lector. Se obtiene entonces lo siguiente:

Se puede observar que tiene un comportamiento como la sink pero sin los rizados laterales, con una alta similitud con el espectro del primer punto de la sesión anterior de transformada de Fourier.

Procediendo ahora para dibujar H(f), se aplica el código:

Como se mencionó anteriormente, el enunciado ya entregaba H(f), por lo que no era había función en el dominio del tiempo correspondiente al filtro para aplicarle la transformada de Fourier, en la *Figura 4* se muestra como sería el procedimiento aplicándole la transformada inversa de Fourier a H(f) pero no era necesario. Se gráfica H(f) en color verde y se le asignan los correspondientes ejes con sus labels para la facilidad de comprensión del lector. Se obtuvo entonces lo siguiente:

Mediante la grafica del módulo de H(f), se puede observar que esta mantiene el comportamiento que presenta X(f) con la excepción de que la amplitud es 6 veces menor, pero igual sigue sin presentar rizados laterales como se esperaría al aplicarle la transformada de Fourier a un exponencial.

Ahora, se procede entonces a realizar la convolución entre X(f) y H(f) para observar el comportamiento que tiene en la magnitud al ingresar x(t) al filtro, para ello, se hace uso del siguiente código:

Primero, se realiza la convolución como se mencionó entre X(f) y H(f), donde Y = X(f) y H(f) = H, este es posible con el comando proporcionado por MATLAB llamado **conv**, que nos entrega un vector resultante de la convolución entre estas dos señales. Después, se le saca el valor absoluto con **abs** para hallar la magnitud de la convolución y es esto lo que se grafica con color rojo, además de añadirle los labels para facilitar la comprensión al lector, obteniendo la siguiente señal:

La señal resultante de salida mantiene características de las entradas, principalmente la forma de onda, y la amplitud al realizar la operación se afectó disminuyendo un poco, en estos casos es donde se puede concluir entonces que presenta distorsión, ya que conserva la forma de onda pero se ve afectada su amplitud, por lo que la energía de la señal al inicio no es la misma que al pasar por el filtro, es decir, su eficiencia no es del 100%.

Ahora, para observar otro comportamiento que se produce al ingresar la señal al filtro, se graficará la fase de las 3 señales generadas. Para ello, basta con aplicar el código **angle** a la transformada rápida de Fourier y graficar. Haciendo uso del siguiente código:

En este, se grafican entonces la fase para los ya mencionados haciendo uso de **angle** e ingresando sus respectivos labels y límites para facilitar el entendimiento del lector, se presentan entonces los resultados de los 3 caso directamente (se conserva el azul para X(f), verde para H(f) y rojo para X(f)\*H(f)):

Se puede observar que, la forma para la fase de X(f) es igual a la de H(f), a excepción de cuándo ya se ingresa x(t) al filtro, se puede decir que se conserva la forma de onda con ciertas modificaciones, como si se repitiera la forma dos veces en la mitad.

Entonces, reuniendo las conclusiones de ambos resultados, al ingresar la señal x(t) al filtro con respuesta impulsiva H(f) se presenta una distorsión en la señal de salida X(f)\*H(f), ya que se conserva la forma de onda, pero se ha visto disminuida su amplitud (de manera mínima, pero igual se ha disminuido), además los rizados laterales no se presentan lo cuál es bueno. En cuánto a la fase, se presenta también una modificación, pero no se ha presentando ningún desfase significativo con respecto a la señal de entrada x(t) inicial.

**Punto 2.**

Ahora, para continuar con el análisis de la transmisión sin distorsión y los filtros, se presentará un ejercicio bastante ilustrativo y con el que se podrán resolver varias inquietudes acerca de este tema, esperamos que lo disfruten tanto como nosotros lo hicimos al resolverlo y analizarlo. Se tiene la siguiente señal:

y
(
t

# k
1

4

c
k

s
e
n
(
k

f
0

t

θ
k

)

{\displaystyle y(t)=\sum\_{k=1}^4c\_ksen(kf\_0t+\theta\_k)}

Donde,

c
k

=
[
0.8
,
0.4
,
0.2
,
1
]
,

θ
k

=
[

3
π

4

,

π
3

,
0
,

π
5

]

{\displaystyle c\_k=[0.8, 0.4, 0.2, 1], \theta\_k=[\frac{3\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, 0, \frac{\pi}{5}]}

Entonces, en un principio para este ejercicio, la señal de entrada está compuesta por la sumatoria de varias señales, es decir, al haber una sumatoria desde 1 hasta 4, se va a ir variando el Ck, el factor que multiplica la frecuencia fundamental y se le añade una fase θk, que iran cambiando progresivamente dependiendo del valor en que se encuentre k y que corresponda a la posición de los vectores. Resumiendo lo anterior, hay una señal total que se desglosa en la suma de otras 4 señales con diferente amplitud y fase.

Con este ejercicio lo que se busca es observar la variación o que tanto puede llegar a afectar a la señal al multiplicar un factor Ck a toda la señal y a la vez que se modifica la fase, para hacer esto mencionado más visible y ameno para el lector, entonces la fase θk va a ir variando incluso los mismos valores ya estipulados, esto que quiere decir? Para cada valor de θ se va a multiplicar por su valor porcentual, por ejemplo, cojamos el valor π/3:

π
3

∗
(

π
3

∗
0
%
)
,

π
3

∗
(

π
3

∗
1
%
)
,

π
3

∗
(

π
3

∗
2
%
)
.
.
.

π
3

∗
(

π
3

∗
100
%
)

{\displaystyle {\frac {\pi }{3}}\*({\frac {\pi }{3}}\*0\%),{\frac {\pi }{3}}\*({\frac {\pi }{3}}\*1\%),{\frac {\pi }{3}}\*({\frac {\pi }{3}}\*2\%)...{\frac {\pi }{3}}\*({\frac {\pi }{3}}\*100\%)}

Y así mismo, para los 4 posibles valores del vector θk, esto con el propósito de observar la variación de la señal con una animación. Para ello, haremos uso nuevamente de la herramienta MATLAB, tanto para calcular los espectros como para la graficación con el siguiente código:

En esta parte inicial del código se define el eje con base a la frecuencia fundamental que es de 1x10^3, además de definir los vectores Ck y θk, además de que vamos a realizar una suma de varias señales de entrada y(t), entonces se debe inicializar llenándolo de ceros.

Consideramos que para explicar el código en esta ocasión es ingresar completa la parte de los ciclos, para comprender que se está haciendo uso de ciclos anidados. Entonces, en el primer ciclo (línea 10 del código) lo que se hace es sacar la señal y(t) inicial, es decir, variando los Ck y los θk, sumar las señales para cada valor de k y guardar la y(t) completa en y0.

El siguiente ciclo (línea 13 del código) encierra todo lo que es la variación de θk porcentualmente como se mencionaba antes, entonces el primer ciclo es para recorrer la matriz de θk, dentro hay otro ciclo (línea 15 del código) que irá desde 0.01 avanzando de a 0.01 hasta llegar a 1, es decir, esto corresponde a la variación desde 1% -> 100%. Esta variación se va guardando en una variable temp, que luego se irá acumulando en cada componente del vector theta, que será el que se opere ya en la función.

Ahora, en el siguiente ciclo (línea 20 del código) ya se operará la señal y(t) con la nueva variación de theta y para cada valor Ck y se irá sumando, recordando que la señal y(t) está compuesta por la suma de otras 4 señales, no olvidar ese detalle.

A partir de la línea 23 se realiza la debida justificación de ejes, asignación de colores y graficación de ambas señales y0(t) y y(t), donde la y0(t) o la señal inicial sin la variación porcentual corresponde al color azul, y la señal y(t) con la variación porcentual de θ tendrá el color verde. Se presenta entonces la animación correspondiente a y0(t) y y(t):

Se puede observar que para cada valor de θk va variando la señal modificada, es decir, se presenta una distorsión de la señal, esto es debido a la variación de fase θk, ya que al estar haciendo una sumatoria de varias señales, de las cuales va a ir variando su fase y porcentualmente, entonces varias amplitudes de las diferentes señales se están sumando constantemente, es decir, en el t = 3 presenta una amplitud particular para cada señal, pero como se está variando la fase entonces es como si se estuvieran interponiendo una sobre otra constantemente, por lo que genera una señal diferente.

Cabe destacar que, dependiendo del valor de θ esta va a variar mas o menos, por ejemplo, para θ = 3π/4 varia significativamente la señal en amplitud y en forma, para θ = π/4 la variación son mayoritariamente en los picos negativos de la señal, donde la y(t) (verde) hace un poco más grande su amplitud negativamente, para el caso de θ = 0 es entendible que no haya ninguna modificación ya que no se está aplicando ningún desfase, es decir, y0(t) = y(t), para θ = π/5 es la que mejor se puede utilizar para observar el concepto de desfase, ya que no se ha modificado prácticamente en nada la amplitud de ambas señales, pero la verde se adelantó un poco con respecto a la azul.

La frecuencia tiene que ver en como la fase puede llegar a afectar a la señal, ya que no es lo mismo que se sume una fase de π cuándo se tiene una frecuencia del orden de los GHz a cuándo está en el orden Hz, en este caso, al ser una señal sinusoidal no se nota la diferencia ya que se trata de una señal sinusoidal, pero en el dominio de la frecuencia si varía y tiene mucha relación el orden de la frecuencia y cuántos ciclos de la señal hace por unidad de tiempo.

Para que haya un vector de θ capaz entonces la señal debe ser un vector de ceros, ya que si se modifica la fase siempre habrá una distorsión teniendo en cuenta que son varias señales que se están sumando con diferentes amplitudes y fases para formar una sola, entonces si se modifica la fase no puede llegar a dar la misma señal si no es con θ = 0.

Como se mencionó anteriormente, para que el filtro realice efectivamente su propósito, entonces debe hacer que la fase se conserve igual a la inicial, o que se mantenga constante para todos los casos y que no haya una señal modificada, es decir, para que el filtro permita que no haya un tipo de distorsión, debe ser capaz de reconocer el desfase que se está generando para anularlo y recuperar la señal inicial sin distorsión.

Este ejercicio fue muy beneficioso para el aprendizaje de lo que puede entenderse por distorsión y cómo los diferentes factores tanto de amplitud (valores Ck) o las fases (valores θk) pueden llegar a afectar una señal de entrada, relacionando lo que en el dominio del tiempo puede suponer una modificación de la forma y desplazamiento, en el dominio de la frecuencia también se puede observar estos comportamientos. Del mismo modo, como los filtros están en la capacidad de resolver este tipo de problemas que se generan y son vitales para la reconstrucción o manutención de la señal inicial que se pueda ver afectada por factores de fase o amplitud.

**Punto 3. Una señal cosenoidal rectificada con frecuencia de 20MHz se introduce a un filtro paso bajo con frecuencia de corte igual a 30MHz.**

**a Encuentra una expresión de la señal de salida del filtro.**

**b Compara las gráficas de las señales de entrada y salida en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia. ¿Qué ocurrió?.**

**c Utilizando el teorema de Parseval, calcula la energía de las señales de entrada y de salida.**

Lo primero que tenemos que tener en cuenta para poder resolver el problema es tener presente la teoría de filtros que dice:

y
(
t
# )
x
(
t
)
∗
h
(
t
)
⇔
Y
(
j
w
# )
X
(
j
w
)
H
(
j
w
)

{\displaystyle y(t) = x(t)\*h(t) \Leftrightarrow Y(jw) = X(jw)H(jw)}

Teniendo en cuenta que H(jw) es nuestro filtro en el dominio de la frecuencia, lo que tenemos que hacer es hacer la transformada de nuestra señal x(t) y multiplicarla por muestro filtro para obtener la salida del sistema en el dominio de la frecuencia. Nótese que si queremos obtener el resultado en el dominio del tiempo aplicaremos la transformada inversa de fourier.

Llegado a este punto, definiremos nuestras funciones:

x
(
t
# )
cos
⁡
(
20
M
H
z
∗
t
)

{\displaystyle x(t) = \cos(20MHz \* t)}

H
(
j
w
# )
u
(
w
−
30
M
h
z
)
−
u
(
w
30
M
m
h
z
)

{\displaystyle H(jw) = u(w-30Mhz) - u(w+30Mmhz)}

Posteriormente, realizaremos la transformada de nuestra señal coseno:

c
o
s
(
20
M
H
z
∗
t
)
⟹

1
2

[
δ
(
w
−
20
M
H
h
z
)
d
e
l
t
a
(
w
20
M
H
h
z
)
]

{\displaystyle cos(20MHz\*t)\Longrightarrow\frac{1}{2}[\delta(w-20MHhz) + delta(w+20MHhz)]}

A continuación, graficaremos nuestras señales en el dominio de la frecuencia y deduciremos como será el resultado de la multiplicación:

Nótese que el filtro pasa bajos captura todo el espectro de frecuencias desde menos su frecuencia de corte hasta su frecuencia de corte, formando un pulso cuadrado como se observa en la gráfica azul, además se puede encontrar la transformada del coseno que es dos impulsos unitarios ubicados en la frecuencia del coseno positiva y negativa.

Como los impulsos se encuentran dentro de la señal cuadrada deducimos que el filtro pasa bajos no afecta de ninguna manera al coseno, dado que al multiplicar estas dos señales el resultado es el siguiente:

La gráfica Y(jw) es igual a X(jw) por lo tanto concluimos que y(t) es igual a x(t) quedando:

Acto seguido, calcularemos la energía de la señal de entrada y de salida. Sin embargo, como estas dos señales son las mismas entonces la energía no cambia al pasar por el filtro y queda:

# E

∫

−
∞

∞

c
o
s
(
20
M
H
z
∗
t
)

2

d
t

{\displaystyle E = \int\_{-\infin}^{\infin} |cos(20MHz\*t)|^2 dt}

Si observamos bien la integral nos daremos cuenta que su resultado diverge, por lo que es necesario el uso de teorema de Parseval que dice:

∫

−
∞

∞

x
(
t
)

2

d
# t

1

2
π

∫

−
∞

∞

X
(
j
w
)

2

d
w

Entonces deberíamos calcular la energía de la salida/entrada a partir de:

# E

1

2
π

∫

−
∞

∞

1
2

[
δ
(
w
−
20
M
H
h
z
)
d
e
l
t
a
(
w
20
M
H
h
z
)
]

2

d
w

{\displaystyle E = \frac{1}{2\pi}\int\_{-\infin}^{\infin} |\frac{1}{2}[\delta(w-20MHhz) + delta(w+20MHhz)]|^2 dw}

Procedemos a elevar la señal al cuadrado:

# E

1

2
π

∫

−
∞

∞

1
4

δ
(
w
−
20
M
H
h
z
)

1
4

δ
(
w
20
M
H
h
z
)
d
w

{\displaystyle E = \frac{1}{2\pi}\int\_{-\infin}^{\infin} \frac{1}{4}\delta(w-20MHhz) + \frac{1}{4} \delta(w+20MHhz) dw}

Podemos cambiar los pulsos unitarios por 1 gracias a la definición de pulso unitario y así conseguiremos quitar la integral quedando:

# E

1

2
π

(

1
4

1
4

)

=

1

4
π

{\displaystyle E = \frac{1}{2\pi}\left ( \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \right ) =\frac{1}{4\pi}}

**Punto 4. Un filtro con respuesta en frecuencia igual a:**

H
(
j
w
# )
2
u
(
f
100
∗

10
6

)
u
(
f
50
∗

10
6

)
−
u
(
f
−
50
∗

10
6

)
−
2
u
(
f
−
100
∗

10
6

)

{\displaystyle H(jw) = 2u(f + 100\*10^6 ) + u(f + 50\*10^6)-u(f-50\*10^6)-2u(f-100\*10^6)}

**Se utiliza para procesar las siguientes señales:**

x
(
t
# )
c
o
s
(
60
π
t
)
2
c
o
s
(
120
π
t
)

{\displaystyle x(t) = cos(60\pi t) + 2cos(120\pi t)}

g
(
t
# )
c
o
s
(
120
π
t
)
3
c
o
s
(
180
π
t
)

{\displaystyle g(t) = cos(120\pi t) + 3cos(180\pi t)}

m
(
t
# )
c
o
s
(
30
π
t
)

1
2

c
o
s
(
80
π
t
)

{\displaystyle m(t) = cos(30\pi t) + \frac{1}{2}cos(80\pi t)}

d
(
t
# )
c
o
s
(
120
π
t
)
−
c
o
s
(
160
π
t
)

{\displaystyle d(t) = cos(120 \pi t)-cos(160 \pi t)}

**Determina cual(es) señal(es) pasan por el filtro sin ser distorsionadas. ¿Cómo determinas si hay o no distorsión?**

Para empezar, debemos conocer la naturaleza del filtro antes de determinar cuáles señales se distorsionan o no. Para ello, procederemos a graficar el filtro en el espació de la frecuencia, obteniendo:

Luego, observaremos el comportamiento del filtro y concluimos que:

* Entre -100 y -50 MHz la señal se amplifica el doble de su amplitud original.
* Entre -50 y 50 MHz la señal se amplifica el triple de su amplitud original.
* Entre 50 y 100 MHz la señal se amplifica el doble de su amplitud original.
* Los demás valores de frecuencia se mitigan.

Entonces deducimos que, para que una señal no tenga distorsión debe ser amplificada uniformemente por el mismo factor.

Llegado a este punto, precederemos a calcular las frecuencias de las señales

Primero, para la señal a:

x
(
t
# )
c
o
s
(
60
π
t
)
2
c
o
s
(
120
π
t
)

{\displaystyle x(t) = cos(60\pi t) + 2cos(120\pi t)}

encontraremos que consta de la suma de dos cosenos, uno a frecuencia de 30MHz con uno de 60MHz, por lo que los ubicaremos dentro de los rangos de frecuencia anteriormente comentados. Observaremos que el coseno de 30MHz se amplifica el triple de su amplitud y el coseno de 60MHz se amplifica el doble de su amplitud original, por lo tanto al no amplificarse por el mismo factor toda la señal se concluye que la señal a se distorsiona.

Segundo, para la señal b:

g
(
t
# )
c
o
s
(
120
π
t
)
3
c
o
s
(
180
π
t
)

{\displaystyle g(t) = cos(120\pi t) + 3cos(180\pi t)}

encontraremos que consta de la suma de dos cosenos, uno a frecuencia de 60MHz con uno de 90MHz, por lo que los ubicaremos dentro de los rangos de frecuencia anteriormente comentados. Observaremos que el coseno de 60MHz se amplifica el doble de su amplitud y también el coseno de 90MHz se amplifica el doble de su amplitud original, por lo tanto al amplificarse por el mismo factor toda la señal se concluye que la señal b no se distorsiona.

Tercero, para la señal c:

m
(
t
# )
c
o
s
(
30
π
t
)

1
2

c
o
s
(
80
π
t
)

{\displaystyle m(t) = cos(30\pi t) + \frac{1}{2}cos(80\pi t)}

encontraremos que consta de la suma de dos cosenos, uno a frecuencia de 15MHz con uno de 40MHz, por lo que los ubicaremos dentro de los rangos de frecuencia anteriormente comentados. Observaremos que el coseno de 15MHz se amplifica el triple de su amplitud y también el coseno de 40MHz se amplifica el triple de su amplitud original, por lo tanto al amplificarse por el mismo factor toda la señal se concluye que la señal c no se distorsiona.

Cuarto, para la señal d:

d
(
t
# )
c
o
s
(
120
π
t
)
−
c
o
s
(
160
π
t
)

{\displaystyle d(t) = cos(120 \pi t)-cos(160 \pi t)}

encontraremos que consta de la resta de dos cosenos, uno a frecuencia de 60MHz con uno de 80MHz, por lo que los ubicaremos dentro de los rangos de frecuencia anteriormente comentados. Observaremos que el coseno de 60MHz se amplifica el doble de su amplitud y también el coseno de 80MHz se amplifica el triple de su amplitud original, por lo tanto al amplificarse por el mismo factor toda la señal se concluye que la señal d no se distorsiona.

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