3.27(a)

Demuestre la famosa fórmula del área del circulo de radio R (note que pongo un R mayúscula para que no se confunda con la r del cambio de variable).

Explicación: https://youtu.be/3vyilAN10zI

Explicación integrales dobles: https://youtu.be/plCaWgfsuPs

Lo primero que tenemos que hacer es calcular la ecuación cartesiana de la circunferencia, como sabemos una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos que están a la misma distancia de un punto fijo llamado centro, la distancia constante de cualquier punto de la circunferencia le llamamos radio.

Ahora supondremos que el centro llamado C tendrá coordenadas(a,b) y tomaremos un punto cualquiera de la circunferencia llamado X que tendrá unas coordenadas (x,y), tendremos que la distancia de C a X será el radio de la circunferencia.

d
i
s
t
(
C
,
X
# )
R

{\displaystyle dist(C,X)=R}

Ahora tendremos que la distancia entre dos puntos es igual a la distancia del modulo del vector que une ambos puntos, por tanto el modulo del vector CX es igual a R.

→

c
x

=
R

{\displaystyle |{\xrightarrow[{cx}]{}}|=R}

Construimos el vector CX.

→

c
x

=
X
−
# C
(
x
,
y
)
−
(
a
,
b
# )
(
x
−
a
,
y
−
b
)

{\displaystyle {\xrightarrow[{cx}]{}}=X-C=(x,y)-(a,b)=(x-a,y-b)}

Ahora calculamos su modulo, sabemos por Pitágoras que esto seria raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus coordenadas.

(
x
−
a

)

2

(
y
−
b

)

2

=
R

{\displaystyle {\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}}=R}

Elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación para desaparecer la raíz.

(

(
x
−
a

)

2

(
y
−
b

)

2

)

2

=

R

2

{\displaystyle ({\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}})^{2}=R^{2}}

Y así obtenemos la ecuación cartesiana de una circunferencia de centro (a,b) y radio R.

(
x
−
a

)

2

(
y
−
b

)

2

=

R

2

{\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}}

Para hacer las cosas más sencillas tomaremos que el centro de la circunferencia esta ubicada en el origen de coordenadas(0,0).

(
x
−
0

)

2

(
y
−
0

)

2

=

R

2

{\displaystyle (x-0)^{2}+(y-0)^{2}=R^{2}}

x
2

y
2

=

R
2

{\displaystyle x^2 + y^2 = R^2}

Esta circunferencia corta a los ejes de coordenadas en (R,0),(0,R),(-R,0),(0,-R)

Ahora necesitaremos el área sobre la curva, como sabemos si una función Y=f(x) es positiva en un intervalo a,b el área de la region determinada por esta función se calcula con la siguiente integral

∫

a

b

f
(
x
)
d
x

{\displaystyle \int\_{a}^{b}f(x)dx}

Ahora solo despejamos la y

y

2

=

R

2

−

x

2

{\displaystyle y^{2}=R^{2}-x^{2}}

aplicamos raíz

# y
±

R
2

−

x
2

{\displaystyle y=\pm\sqrt{R^2-x^2} }

El mas representaría la circunferencia que va por arriba del eje x y el menos la parte por debajo, nos quedaremos con la positiva, enntonces
nuestra función f(x) a integrar es:

f
(
x
# )

R

2

−

x

2

{\displaystyle f(x)={\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}

Esto quiere dicir que la integral del medio circulo será:

∫

−
R

R

R

2

−

x

2

d
x

{\displaystyle \int \_{-R}^{R}{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}dx}

Por comodidad integraremos de 0 a R así nos dará un cuarto de circulo y después se multiplica por 4.

∫

0

R

R

2

−

x

2

d
x

{\displaystyle \int \_{0}^{R}{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}dx}

La resolveremos aplicando un cambio de variable:

# x
R
s
e
n
t

{\displaystyle x=Rsent}

ahora derivamos:

d
# x
R
c
o
s
t
d
t

{\displaystyle dx=Rcostdt}

Y ahora sustituimos en la integral

∫

0

R

R

2

−
(
R
s
e
n
t

)

2

R
c
o
s
t
d
t

{\displaystyle \int \_{0}^{R}{\sqrt {R^{2}-(Rsent)^{2}}}Rcostdt}

Si x=0 entonces 0= R sen t entonces sent = 0 entonces t = 0

Si x=R entonces R= R sen t entonces sen t = 1 entonces t =

π
2

{\displaystyle \frac{\pi}{2}}

Ahora:

∫

0

π
2

R

2

−
(
R
s
e
n
t

)

2

R
c
o
s
t
d
t

{\displaystyle \int \_{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {R^{2}-(Rsent)^{2}}}Rcostdt}

Quitamos el parentesis

∫

0

π
2

R

2

−
R
s
e

n

2

t

R
c
o
s
t
d
t

{\displaystyle \int \_{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {R^{2}-Rsen^{2}t}}Rcostdt}

Sacamos R como factor comun:

∫

0

π
2

R

2

(
1
−
s
e

n

2

t
)

R
c
o
s
t
d
t

{\displaystyle \int \_{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {R^{2}(1-sen^{2}t)}}Rcostdt}

Sacamos

R

2

{\displaystyle R^{2}}

 como R de la raiz

∫

0

π
2

R

1
−
s
e

n

2

t

R
c
o
s
t
d
t

{\displaystyle \int \_{0}^{\frac {\pi }{2}}R{\sqrt {1-sen^{2}t}}Rcostdt}

Calculamos la raiz

∫

0

π
2

R
c
o
s
t
R
c
o
s
t
d
t

{\displaystyle \int \_{0}^{\frac {\pi }{2}}RcostRcostdt}

Multiplicamos:

∫

0

π
2

R

2

c
o
s

t

2

d
t

{\displaystyle \int \_{0}^{\frac {\pi }{2}}R^{2}cost^{2}dt}

Sacamos R por ser una constante

R

2

∫

0

π
2

c
o
s

t

2

d
t

{\displaystyle R^{2}\int \_{0}^{\frac {\pi }{2}}cost^{2}dt}

Nos apoyamos en el coseno del ángulo mitad:

R

2

∫

0

π
2

1
c
o
s
2
t

2

d
t

{\displaystyle R^{2}\int \_{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1+cos2t}{2}}dt}

Sacamos el 2 dividiendo:

R

2

2

∫

0

π
2

(
1
c
o
s
2
t
)
d
t

{\displaystyle {\frac {R^{2}}{2}}\int \_{0}^{\frac {\pi }{2}}(1+cos2t)dt}

Calculamos la integral:

R

2

2

(
t

1
2

s
e
n
2
t
)

]

0

π
2

{\displaystyle {\frac {R^{2}}{2}}(t+{\frac {1}{2}}sen2t)]\_{0}^{\frac {\pi }{2}}}

Sustituimos por los limites y restamos:

R

2

2

[
(

π
2

1
2

s
e
n
2

π
2

)
−
(
0

1
2

s
e
n
2
∗
0
)
]

{\displaystyle {\frac {R^{2}}{2}}[({\frac {\pi }{2}}+{\frac {1}{2}}sen2{\frac {\pi }{2}})-(0+{\frac {1}{2}}sen2\*0)]}

Al operar nos quedaría

π

R

2

4

{\displaystyle {\frac {\pi R^{2}}{4}}}

Calculamos el área de un cuarto del circulo, así que se tendrá que multiplicar por cuatro para ser el área completa

π

R
2

{\displaystyle \pi R^2}

Demostración con integrales dobles:

Lo único que debemos de hacer es calcular la integral sobre la circunferencia, pasamos a coordenadas polares para que sea mas sencillo.

Colocamos los limites, el interior es con respecto a

Θ

{\displaystyle \Theta}

. Por lo que reflejan el rango completo que recorre de 0 a

Θ

{\displaystyle \Theta}

 y la exterior conforme al radio

∫

∫

S

d
x
d
# y

∫

0

R

∫

0

2
π

r
d
Θ
d
# r
2
∗
π

∫

0

R

r
d
# r
2
∗
π
∗

R

2

2

=
π
∗

R

2

{\displaystyle \int \int \_{S}dxdy=\int \_{0}^{R}\int \_{0}^{2\pi }rd\Theta dr=2\*\pi \int \_{0}^{R}rdr=2\*\pi \*{\frac {R^{2}}{2}}=\pi \*R^{2}}

Transformamos de coordenadas cartesianas a coordenadas polares:

Utilizamos el jacoviano, utilizando las derivadas parciales de x y y con respecto a r y theta, lo cual es igual al determinante de las derivadas parciales de x y y con respecto a r y theta

j
(
r
,
θ
# )

δ
(
x
,
y
)

δ
(
r
,
θ
)

=

x

r

x

θ

y

r

y

θ

{\displaystyle j(r,\theta )={\frac {\delta (x,y)}{\delta (r,\theta )}}={\begin{vmatrix}x\_{r}&x\_{\theta }\\y\_{r}&y\_{\theta }\end{vmatrix}}}

Colocamos derivadas parciales.(Al multiplicar para arriba se vuelve menos y hacia abajo mas)

C
o
s
θ

−
r
S
e
n
θ

S
e
n
θ

r
C
o
s
θ

=
r
C
o

s

2

θ
r
S
e

n

2

θ

{\displaystyle {\begin{vmatrix}Cos\theta &-rSen\theta \\Sen\theta &rCos\theta \end{vmatrix}}=rCos^{2}\theta +rSen^{2}\theta }

Factorizamos r

r
(
C
o

s

2

θ
S
e

n

2

θ
# )
r

{\displaystyle r(Cos^{2}\theta +Sen^{2}\theta )=r}

El jacobiano para coordenadas polares es igual a r

integramos como una constante

∫

0

2
π

r
d
θ

{\displaystyle \int \_{0}^{2\pi }rd\theta }

Evaluamos la integral.

∫
r
d
θ

{\displaystyle \int rd\theta }

reordenamos los términos y calculamos el limite

r
# θ
θ
r

{\displaystyle r\theta =\theta r}

θ
r

0

2
π

{\displaystyle \theta r|\_{0}^{2\pi }}

Evaluamos la expresión

2
π
r
−
0
r

{\displaystyle 2\pi r-0r}

y tendríamos

2
π
r

{\displaystyle 2 \pi r}

Obtenemos

∫

0

R

2
π
r
d
r

{\displaystyle \int \_{0}^{R}2\pi rdr}

Sacamos la constante.

2
π

∫

0

R

r
d
r

{\displaystyle 2\pi \int \_{0}^{R}rdr}

Ahora resolvemos la siguiente integral, sacamos :

∫

0

R

r
d
# r
[

r

1
1

1
1

]

0

R

=
[

r

2

2

]

0

R

{\displaystyle \int \_{0}^{R}rdr=[{\frac {r^{1+1}}{1+1}}]\_{0}^{R}=[{\frac {r^{2}}{2}}]\_{0}^{R}}

Evaluamos limites:

R

2

2

−
# 0

R

2

2

{\displaystyle {\frac {R^{2}}{2}}-0={\frac {R^{2}}{2}}}

y después lo juntamos

2
π

R

2

2

=
π

R

2

{\displaystyle 2\pi {\frac {R^{2}}{2}}=\pi R^{2}}