Series y Sucesiones.

**Sucesiones**

Es un conjunto ordenado, de objetos matemáticos, generalmente números. Cada uno de ellos es denominado *término* (también *elemento*) de la sucesión y al número de elementos ordenados (posiblemente infinitos) se le denomina la *longitud* de la sucesión. No debe confundirse con una serie, que es la suma de los términos de la sucesión.

**Notación y términos**

En lugar de la notación de función usual *f*(*n*), una sucesión suele denominarse mediante {a*n*} o {a*n*}*n*=1.El entero *n* algunas veces recibe el nombre de ***índice*** de an. Los ***términos*** de la sucesión se forman dejando que el incide *n* tome los valores 1, 2, 3…; el numero a1 es el *primer termino*, a2 es el *segundo termino*, y así en lo sucesivo.

El termino a*n* se denomina el *término* n-*ésimo* o el ***término general*** de la sucesión. De tal modo, {an} es equivalente a

a1, a2, a3,…, an,…<---- números del rango

1,  2,  3,...,  n      <---- números en el dominio

**Sucesión Finita**

Una **sucesión finita** {***an***} (de longitud r) con elementos pertenecientes a un conjunto S, se define como una función:

***f***(n): {1, 2, … , r} ---->S.

Y en este caso el elemento ***an*** corresponde a ***f***(***n***).

Por ejemplo, la sucesión finita, (de longitud 4) de números primos menores a 10:

2, 3, 5, 7

Corresponde a la función f:{1, 2, 3, 4}---> P (donde P es el conjunto de números primos) definida por:

*f*(1)= 2, *f*(2)= 3, *f*(3)=5, *f*(4)=7

**Sucesión Infinita**

Una **sucesión infinita** {an} con elementos correspondientes a un conjunto S, se define como una función:

*f* :  N --->S

En donde, de forma análoga, an corresponde a *f*(*n*).

**Sucesión Convergente**

Se dice que una sucesión {an} converge a un numero real *L* si para todo €>0 existe un entero positivo N tal que

El numero *L* se llama el limite de sucesión.

Ejemplo:

{1/2n} tenemos sus primeros cuatro términos

1/2,1/4, 1/8, 1/16,…

Aquí vemos que la
sucesión se vuelve progresivamente mas grande, los valores an = 1/2n no se incrementan por limite. Observamos que cuando n-->inf., los términos

1/2,1/4,1/8,1/16,1/32,1/64,…

Se aproximan al valor limite 0 y esto se afirma que la sucesión antes dicha converge a 0.

**Sucesión Divergente**

Si {an} es una sucesión convergente, |an – *L*|<€ siempre que n>N, significa que los términos an pueden hacerse arbitrariamente cercanos a L para n suficientemente grande. Se indica que una sucesión converge a un número L escribiendo

Lim an = L.

Cuando {an} no converge, esto es, cuando Lim an no existe, se dice que la sucesión diverge.

Ejemplo:

{n2 + n}

Sus sucesiones

2, 6, 12, 20,…

No se aproxima a un valor límite cuando n --->inf, entonces se dice que diverge a infinito, ya que

lim (n2+n)=inf.

**Series**

Es la generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión infinita. Informalmente, es el resultado de sumar los términos:

a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6…

Lo cual suele escribirse en forma mas compacta con el símbolo de la sumatoria

   El estudio de las series consiste en la evaluación de la suma de un número finito n de términos sucesivos, y mediante un pasaje al límite identificar el comportamiento de la serie a medida que n crece indefinidamente.
Una secuencia o cadena «finita», tiene un primer y último término bien definidos; en cambio en una serie infinita, cada uno de los términos suele obtenerse a partir de una determinada regla o fórmula, o por algún algoritmo. Al tener infinitos términos, esta noción suele expresarse como serie infinita, pero a diferencia de las sumas finitas, las series infinitas requieren de herramientas del análisis matemático para ser debidamente comprendidas y manipuladas. Existe una gran cantidad de métodos para determinar la naturaleza de convergencia o no-convergencia de las series matemáticas, sin realizar explícitamente los cálculos.

**Suma Parcial**

Para cualquier sucesión matemática {*an*} de números racionales, reales, complejos, funciones, etc., la serie asociada se define como la suma formal ordenada:

La sucesión de sumas parciales {*Sk*} asociada a una sucesión {*an*} está definida para cada *k*como la suma de la sucesión {an}  desde *a0* hasta

*ak*:

Muchas de las propiedades generales de las series suelen enunciarse en términos de las sumas parciales asociadas.

**Convergencia**

Por definición, la serie

Converge al límite *L* si y solo si la sucesión de sumas parciales asociada *Sk* converge a *L*. Esta definición suele escribirse como:

**Serie Geométrica**

Es aquella en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante, llamada razón r.

**Serie Alternada**

Es una serie donde los términos cambian de signo:

**Serie de Taylor**

Es una aproximación de funciones mediante una serie de potencias o suma de potencias enteras de polinomios como (*x-a*)*n* llamados términos de la serie, dicha suma se calcula a partir de las derivadas de la función para un determinado valor o punto *a* suficientemente derivable sobre la función y un entorno sobre el cual converja la serie. Si esta serie está centrada sobre el punto cero, *a=0*, se le denomina serie de McLaurin.

Esta aproximación tiene tres ventajas importantes:

La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales;

Se puede utilizar para calcular valores aproximados de funciones;

Es posible calcular la optimidad de la aproximación.

Ejemplo:

Calcular la serie de Taylor de f(x)=ex

  f´(x)=ex
  f´´(x)=ex
  f´´´(x)=ex

Entonces la formula es:

ex = e0 + ea (x – a)/1! + ea (x – a)2/2! + ea (x – a)3/3! +… + ea (x – a)n/n!...

Tomamos un punto(“a”), de fácil calculo y con el que existan las derivadas; en este caso escogemos a=0.

ex = e0 + ea (x – a)/1! + ea (x – a)2/2! + ea (x – a)3/3! +… + ea (x – a)n/n!…

ex = 1+ 1(x)/1! + (x)2/2! + (x)3/3! +… +(x)n/n!...

De tal modo la serie para f(x)=ex, es:

ex = 1+ x/1! + x2/2! + x3/3! + x4/4! + x5/5! +… +(x)n/n!...

De forma más simple:

La sumatoria de ex = xn/n!

Es decir evaluar f(x)=ex

 Resulta igual evaluar el polinomio infinito xn/n!; por ejemplo

*f*(1)=e1 = 1n/ n! = 1/n!

Desarrollando el polinomio hasta el 5to grado quedaría:

e = 1+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+1/5! = 2.716

Su Grafica

Elaborado por: Michel Solis Nery

No.de Control:14040473