BIG FOOT

**BIG FOOT** - это аналог числа Райо, основанный на расширенной версии языка теории множеств первого порядка. В результате оно считалось одним из самых больших чисел, а также самым большим чётко определённым именованным числом. Однако BIG FOOT на самом деле является нечётко определённым числом по причине, объяснённой в следующем разделе. Он был определён в октябре 2014 года автором под псевдонимом "Wojowu" или "LittlePeng9", и получил своё название от Сбииса Сайбиана.

Его определение почти идентично числу Райо, другому хорошо известному большому числу, которое диагонализуется по формулам первого порядка во вселенной фон Неймана (которая является вселенной дискурса для теории множеств первого порядка). BIG FOOT расширяет теорию множеств первого порядка, используя уникальную область дискурса, называемую "Вселенная удла", используя язык, называемый "теория множеств первого порядка" (FOOT), и предполагалось, что он обобщит теорию множеств n-го порядка произвольно большого n.

Позволяя

F
O
O
T
(
n
)

{\displaystyle FOOT(n)}

 обозначать наибольшее натуральное число, однозначно определяемое на языке FOOT не более чем в

(
n
)

{\displaystyle (n)}

 символах, мы определяем BIG FOOT как

F
O
O
T

10

(

10

100

)

{\displaystyle {FOOT}^{10}(10^{100})}

, где

F
O
O
T

a

(

n

)

{\displaystyle {FOOT}^{a}({n})}

 - это

F
O
O
T

(

n

)

{\displaystyle {FOOT}({n})}

, повторённый

a

{\displaystyle {a}}

 раз (рекурсия). BIG FOOT, таким образом, равен:

F
O
O
T
(
F
O
O
T
(
F
O
O
T
(
F
O
O
T
(
F
O
O
T
(
F
O
O
T
(
F
O
O
T
(
F
O
O
T
(
F
O
O
T
(
F
O
O
T
(

10

100

)
)
)
)
)
)
)
)
)
)

{\displaystyle FOOT(FOOT(FOOT(FOOT(FOOT(FOOT(FOOT(FOOT(FOOT(FOOT(10^{100}))))))))))}

## Определение FOOT

Язык теории удла первого порядка определяется как язык теории множеств, дополненный символами [ и ]. Вселенная дискурса состоит из "уймы", которая подпадает под тарскианское определение истины для теории множеств. Мы называем ∈-транзитивные удлы "ординалами" и рассматриваем ∈ как отношение упорядочения среди (так что мы можем говорить о "больших" и "меньших" удиналах).

Функция FOOT - это аналог теории удла Функции Райо, где теория удла является расширением теории множеств.

Поскольку все задействованные структуры являются элементами универсума дискурса, FOOT оказался эквивалентен по мощности FOST с одним присоединенным (с предикатом истины).

## Неопределённость

Основная проблема в определении BIG FOOT заключается в отсутствии точного разъяснения аксиом, отличных от аксиом экстенсивности и степенного множества. Чтобы определить невычислимое большое число, нам нужно зафиксировать, в соответствии с какими аксиомами мы его определяем, но Wojowu объяснил, что он предположил, что множество удовлетворяет всем свойствам, которые считаются "естественными" свойствами. В математике мы традиционно опускаем аксиомы только тогда, когда работаем в ТМЦФ. С другой стороны, поскольку в определении FOOT используется существование нескольких удиналов, что не следует из аксиом ТМЦФ, разумно предположить, что Wojowu предполагал более сильные аксиомы.

К сожалению, такая теория множеств противоречит. А именно, для любой теории множеств

T

{\displaystyle T}

, расширяющей ТМЦФ, если FOOT чётко определён в

T

{\displaystyle T}

, то

T

{\displaystyle T}

 противоречива. Следующее доказательство первоначально опубликовано пользователем англоязычной гугология вики p進大好きbot:

Предположим, что трансфинитный ординал

α
0

{\displaystyle \alpha\_0}

, в исходном определении формализован в

T

{\displaystyle T}

 определяющей формулой

φ
(
α
)

{\displaystyle \varphi(\alpha)}

 со свободным вхождением переменного члена

α

{\displaystyle \alpha}

. Тогда существование

α
0

{\displaystyle \alpha\_0}

, удовлетворяющего

φ
(

α
0

)

{\displaystyle \varphi(\alpha\_0)}

 гарантирует наличие

β
<
(

α
0

)

{\displaystyle \beta < (\alpha\_0)}

, удовлетворяющего

φ
(
β
)

{\displaystyle \varphi(\beta)}

 по определению

α
0

{\displaystyle \alpha\_0}

. Под минимальностью

α
0

{\displaystyle \alpha\_0}

 подразумевается

α
0

=
β
<

α
0

{\displaystyle \alpha\_0 = \beta < \alpha\_0}

, что противоречит обоснованности

α
0

{\displaystyle \alpha\_0}

.

Даже если мы проигнорируем проблему, описанную выше, у нас есть другая проблема. Wojowu требовал, чтобы для любой формулы

φ
(
α
)

{\displaystyle \varphi(\alpha)}

 со свободным вхождением переменного члена

α

{\displaystyle \alpha}

, для любого

A
∈

V

O
r
d

{\displaystyle A \in V\_{Ord}}

, тогда

φ
(
A
)

{\displaystyle \varphi(A)}

 является истинным

V

{\displaystyle V}

 тогда и только тогда, когда оно находится в

V

O
r
d

{\displaystyle V\_{Ord}}

. Это подразумевает, что для любой замкнутой формулы

φ

{\displaystyle \varphi}

,

V

O
r
d

⊨
φ

{\displaystyle V\_{Ord} \models \varphi}

 эквивалентно

φ

{\displaystyle \varphi}

. Пусть

φ

{\displaystyle \varphi}

 обозначает существование

(

α
n

)

n
<
ω

{\displaystyle (\alpha\_n)\_{n < \omega}}

, что верно при

T

{\displaystyle T}

 по предположению. Тогда

V

O
r
d

{\displaystyle V\_{Ord}}

 удовлетворяет

φ

{\displaystyle \varphi}

, и, следовательно,

,
(

α
n

V

O
r
d

)

n
<
ω

{\displaystyle ,(\alpha\_n^{V\_{Ord}})\_{n < \omega}}

, чётко определено. С другой стороны,

(

α
n

V

O
r
d

)

{\displaystyle (\alpha\_n^{V\_{Ord}})}

 удовлетворяет тому же свойству, что и

α
0

{\displaystyle \alpha\_0}

. Действительно, для любой формулы без параметров

ϕ

{\displaystyle \phi}

,

(

ϕ

V

O
r
d

)

{\displaystyle (\phi^{V\_{Ord}})}

 эквивалентно

p
h
i

{\displaystyle phi}

 при

T

{\displaystyle T}

. Поскольку многие формулы, например

β
∈
α

{\displaystyle \beta \in \alpha}

, "

α

{\displaystyle \alpha}

 - это множество", "

n

{\displaystyle n}

 - число формулы Гедёля" и так далее, является абсолютным по отношению к включению

V

O
r
d

↪
V

{\displaystyle V\_{Ord} \hookrightarrow V}

, это подразумевает

α
n

V

O
r
d

=

α
n

{\displaystyle \alpha\_n^{V\_{Ord}} = \alpha\_n}

 для любого

n
<
ω

{\displaystyle n<\omega}

. Мы получаем

O
r

d

V

O
r
d

=
O
r
d

{\displaystyle Ord^{V\_{Ord}} = Ord}

, что противоречит малости

O
r
d

{\displaystyle Ord}

.

В заключение можно сказать, что FOOT и BIG FOOT плохо определены. В частности, салатные числа, содержащие их, нечётко определены.

## Альтернативная формулировка

Как показано выше, первоначальное определение BIG FOOT противоречит разумным теориям множеств. Первая проблема заключается в нечёткости

α
0

{\displaystyle \alpha\_0}

, свойство отражения которого универсально количественно определяет (числа Гёделя) формулы

φ
(
α
)

{\displaystyle \varphi(\alpha)}

 со свободным вхождением переменного члена

α

{\displaystyle \alpha}

. С другой стороны, если мы рассмотрим теорию

T
0

{\displaystyle T\_0}

, заданную добавлением символа постоянного термина

a
0

{\displaystyle a\_0}

 к языку теории удла первого порядка и схеме

a
0

∈

On

∧
(
(
∃
β
∈

On

,
Φ
(
β
)
)
→
(
∃
β
<

a
0

,
Φ
(
β
)
)
)

{\displaystyle a\_0 \in \textrm{On} \land ((\exists \beta \in \textrm{On}, \Phi(\beta)) \to (\exists \beta < a\_0, \Phi(\beta)))}

 по формулам

Φ
(
α
)

{\displaystyle \Phi(\alpha)}

 со свободным вхождением переменного члена

α

{\displaystyle \alpha}

 в исходную неопределённую аксиому, вариант

α
0

{\displaystyle \alpha\_0}

 определяется как

a
0

{\displaystyle a\_0}

 в

T
0

{\displaystyle T\_0}

. Здесь

On

{\displaystyle \textrm{On}}

 обозначает класс удиналов. Хотя

a
0

{\displaystyle a\_0}

 не формализует исходный

α
0

{\displaystyle \alpha\_0}

, он может играть аналогичную роль. Аналогично, вариант

a
n

{\displaystyle a\_n}

α
n

{\displaystyle \alpha\_n}

 определяется в теории

T
n

{\displaystyle T\_n}

, построенной аналогичным образом для любого метатеоретического натурального числа

n

{\displaystyle n}

.

Здесь натуральное число в наименьшем общем расширении

T

∞

{\displaystyle T\_ {\infty}}

 башни

(

T
n

)

n
∈

N

{\displaystyle (T\_n)\_{n \in \mathbb{N}}}

 теории Удла первого порядка не обязательно равно метатеоретическому натуральному числу

n

{\displaystyle n}

, т.е. натуральное число, определяющая формула которого синтаксически теоретически задана как "

n

{\displaystyle n}

-я правопреемница из

0

{\displaystyle 0}

". Следовательно, построение

a
n

{\displaystyle a\_n}

 для каждого метатеоретического натурального числа

n

{\displaystyle n}

 не даёт четко определённой последовательности

(

a
n

)

n
∈

N

{\displaystyle (a\_n)\_ {n \in \mathbb{N}}}

 в

T

∞

{\displaystyle T\_ {\infty}}

. Для того, чтобы построить вариант

Ord

{\displaystyle \textrm{Ord}}

, нам нужны дополнительные аргументы.

Можно определить вариант BIG FOOT в таком направлении, но результирующее число будет полностью отличаться от BIG FOOT.

## Смотрите также

* Число Райо
* Забвение
* Полное Забвение
* Невычислимая функция
* Маленький Бигеддон
* Снежный человек
* Наибольший допустимый гуголизм

## Примечания

1. ↑ Воджову и Натан Хо. Теория Удла первого порядка. *snappizz.com*. Retrieved 2014-11-11. [мёртвая ссылка]
2. ↑ "FOOT не так мощен, как я думал", блог пользователя LittlePeng9
3. ↑ Смотрите оригинальный комментарий p進大好きbot к этому посту