Taller Sesión 2B. Series de Fourier

Serie de Fourier
**1.** Se busca hallar la representación en series de Fourier de las siguientes señales:
**a.** Se tiene la siguiente señal, de la cual se requiere representar mediante las series de Fourier:

x
(
t
# )
s
e

n

2

(
2
π

f

0

t
)

{\displaystyle x(t)=sen^{2}(2\pi f\_{0}t)}

Para poder representar esta señal en series de Fourier, debemos de tener en cuenta la siguiente identidad, la cual facilitara el manejo de la señal para su representación:

s
e

n

2

(
θ
# )

1
−
c
o
s
(
2
θ
)

2

{\displaystyle sen^{2}(\theta )={\frac {1-cos(2\theta )}{2}}}

Por lo tanto aplicamos la identidad antes mencionada en la señal, y queda de la siguiente forma:

x
(
t
# )

1
−
c
o
s
(
4
π

f

0

t
)

2

{\displaystyle x(t)={\frac {1-cos(4\pi f\_{0}t)}{2}}}

Se observa que ya se tiene una señal que se puede representar mas fácilmente, por lo tanto se debe de tener en cuenta la siguiente relación de Euler para el Coseno, la cual facilitara hallar los coeficientes correspondientes para la representación:

c
o
s
(
ψ
# )

e

j
ψ

e

−
j
ψ

2

{\displaystyle cos(\psi )={\frac {e^{j\psi }+e^{-j\psi }}{2}}}

Ya teniendo en cuanta la anterior relación, se procede a reemplazarla en la señal:

x
(
t
# )

1
−

e

4
j
π

f

0

t

e

−
4
j
π

f

0

t

2

2

{\displaystyle x(t)={\frac {1-{\frac {e^{4j\pi f\_{0}t}+e^{-4j\pi f\_{0}t}}{2}}}{2}}}

Al realizar el reemplazo, todavía no se observa de forma clara los coeficientes de la representación, por lo tanto se realiza las diferentes operaciones para ver una ecuación mas sencilla:

x
(
t
# )

1
2

−

e

4
j
π

f

0

t

4

−

e

−
4
j
π

f

0

t

4

{\displaystyle x(t)={\frac {1}{2}}-{\frac {e^{4j\pi f\_{0}t}}{4}}-{\frac {e^{-4j\pi f\_{0}t}}{4}}}

Lo ultimo que falta para poder realizar la representación, es aplicar la siguiente sustitución:

w

0

=
2
π

f

0

{\displaystyle w\_{0}=2\pi f\_{0}}

Se puede observar mas claramente los coeficientes que acompañan a los Euler:

x
(
t
# )

1
2

−

1
4

e

2
j

w

0

t

−

1
4

e

−
2
j

w

0

t

{\displaystyle x(t)={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}e^{2jw\_{0}t}-{\frac {1}{4}}e^{-2jw\_{0}t}}

Los coeficientes que se observan, son los siguientes y por lo tanto son los que se van a graficar:

a

−
2

=
−

1
4

;

a

0

=

1
2

;

a

2

=
−

1
4

{\displaystyle a\_{-2}=-{\frac {1}{4}};a\_{0}={\frac {1}{2}};a\_{2}=-{\frac {1}{4}}}

**b.** Se tiene la siguiente señal, de la cual se requiere representar mediante las series de Fourier:

g
(
t
# )
c
o
s
(
2
π

f

0

t
)
s
e
n
(
4
π

f

0

t
)

{\displaystyle g(t)=cos(2\pi f\_{0}t)+sen(4\pi f\_{0}t)}

Se observa que ya se tiene una señal que se puede representar mas fácilmente, por lo tanto se debe de tener en cuenta las siguientes relaciones, la de Euler para el Coseno y la de Euler para el Seno, las cuales facilitaran hallar los coeficientes correspondientes para la representación:

c
o
s
(
ψ
# )

e

j
ψ

e

−
j
ψ

2

{\displaystyle cos(\psi )={\frac {e^{j\psi }+e^{-j\psi }}{2}}}

s
e
n
(
ψ
# )

e

j
ψ

−

e

−
j
ψ

2
j

{\displaystyle sen(\psi )={\frac {e^{j\psi }-e^{-j\psi }}{2j}}}

Por lo tanto aplicamos las identidades antes mencionadas en la señal, y queda de la siguiente forma:

g
(
t
# )

e

2
j
π

f

0

t

e

−
2
j
π

f

0

t

2

e

4
j
π

f

0

t

−

e

−
4
j
π

f

0

t

2
j

{\displaystyle g(t)={\frac {e^{2j\pi f\_{0}t}+e^{-2j\pi f\_{0}t}}{2}}+{\frac {e^{4j\pi f\_{0}t}-e^{-4j\pi f\_{0}t}}{2j}}}

Lo ultimo que falta para poder realizar la representación, es aplicar la siguiente sustitución:

w

0

=
2
π

f

0

{\displaystyle w\_{0}=2\pi f\_{0}}

Como se puede observar, algunos de los coeficientes que acompañan a el Euler, son divididos por *j* (imaginario), entonces para evitar esto, realizamos la multiplicación y división por *j:*

j
j

{\displaystyle {\frac {j}{j}}}

g
(
t
# )

1
2

e

j

w

0

t

1
2

e

−
j

w

0

t

1

2
j

e

2
j

w

0

t

−

1

2
j

e

−
2
j

w

0

t

{\displaystyle g(t)={\frac {1}{2}}e^{jw\_{0}t}+{\frac {1}{2}}e^{-jw\_{0}t}+{\frac {1}{2j}}e^{2jw\_{0}t}-{\frac {1}{2j}}e^{-2jw\_{0}t}}

Al realizar la anterior operación, se puede observar de forma mas fácil los coeficientes que acompañan:

g
(
t
# )

1
2

e

j

w

0

t

1
2

e

−
j

w

0

t

−

1
2

j

e

2
j

w

0

t

1
2

j

e

−
2
j

w

0

t

{\displaystyle g(t)={\frac {1}{2}}e^{jw\_{0}t}+{\frac {1}{2}}e^{-jw\_{0}t}-{\frac {1}{2}}je^{2jw\_{0}t}+{\frac {1}{2}}je^{-2jw\_{0}t}}

Los coeficientes que se observan, son los siguientes y por lo tanto son los que se van a graficar:

a

−
2

=

1
2

;

a

−
1

=

1
2

;

a

0

=
0
;

a

1

=

1
2

;

a

2

=
−

1
2

{\displaystyle a\_{-2}={\frac {1}{2}};a\_{-1}={\frac {1}{2}};a\_{0}=0;a\_{1}={\frac {1}{2}};a\_{2}=-{\frac {1}{2}}}

**c.** Se tiene la siguiente señal, de la cual se requiere representar mediante las series de Fourier:

m
(
t
# )
c
o
s
(
4
π

f

0

t
)
s
e
n
(
4
π

f

0

t
)

{\displaystyle m(t)=cos(4\pi f\_{0}t)sen(4\pi f\_{0}t)}

Para poder representar esta señal en series de Fourier, debemos de tener en cuenta la siguiente identidad, la cual facilitara el manejo de la señal para su representación:

s
e
n
(
2
θ
# )
2
c
o
s
(
θ
)
s
e
n
(
θ
)

{\displaystyle sen(2\theta )=2cos(\theta )sen(\theta )}

De la cual se realiza el siguiente despeje, el cual será el mas apropiado para el manejo de la señal:

s
e
n
(
2
θ
)

2

=
c
o
s
(
θ
)
s
e
n
(
θ
)

{\displaystyle {\frac {sen(2\theta )}{2}}=cos(\theta )sen(\theta )}

Por lo tanto aplicamos la identidad antes mencionada en la señal, y queda de la siguiente forma:

m
(
t
# )

s
e
n
(
8
π

f

0

t
)

2

{\displaystyle m(t)={\frac {sen(8\pi f\_{0}t)}{2}}}

Se observa que ya se tiene una señal que se puede representar mas fácilmente, por lo tanto se debe de tener en cuenta la siguiente relación de Euler para el Seno, la cual facilitara hallar los coeficientes correspondientes para la representación:

s
e
n
(
ψ
# )

e

j
ψ

−

e

−
j
ψ

2
j

{\displaystyle sen(\psi )={\frac {e^{j\psi }-e^{-j\psi }}{2j}}}

Ya teniendo en cuanta la anterior relación, se procede a reemplazarla en la señal:

m
(
t
# )

e

8
j
π

f

0

t

−

e

−
8
j
π

f

0

t

2
j

2

{\displaystyle m(t)={\frac {\frac {e^{8j\pi f\_{0}t}-e^{-8j\pi f\_{0}t}}{2j}}{2}}}

Al realizar el reemplazo, todavía no se observa de forma clara los coeficientes de la representación, por lo tanto se realiza las diferentes operaciones para ver una ecuación mas sencilla:

m
(
t
# )

e

8
j
π

f

0

t

4
j

−

e

−
8
j
π

f

0

t

4
j

{\displaystyle m(t)={\frac {e^{8j\pi f\_{0}t}}{4j}}-{\frac {e^{-8j\pi f\_{0}t}}{4j}}}

Lo ultimo que falta para poder realizar la representación, es aplicar la siguiente sustitución:

w

0

=
2
π

f

0

{\displaystyle w\_{0}=2\pi f\_{0}}

Como se puede observar, algunos de los coeficientes que acompañan a el Euler, son divididos por *j* (imaginario), entonces para evitar esto, realizamos la multiplicación y división por *j:*

j
j

{\displaystyle {\frac {j}{j}}}

m
(
t
# )

1

4
j

e

4
j

w

0

t

−

1

4
j

e

−
4
j

w

0

t

{\displaystyle m(t)={\frac {1}{4j}}e^{4jw\_{0}t}-{\frac {1}{4j}}e^{-4jw\_{0}t}}

Al realizar la anterior operación, se puede observar de forma mas fácil los coeficientes que acompañan:

m
(
t
# )
−

1
4

j

e

4
j

w

0

t

1
4

j

e

−
4
j

w

0

t

{\displaystyle m(t)=-{\frac {1}{4}}je^{4jw\_{0}t}+{\frac {1}{4}}je^{-4jw\_{0}t}}

Los coeficientes que se observan, son los siguientes y por lo tanto son los que se van a graficar:

a

−
4

=

1
8

;

a

0

=
0
;

a

4

=
−

1
4

{\displaystyle a\_{-4}={\frac {1}{8}};a\_{0}=0;a\_{4}=-{\frac {1}{4}}}

d. Se tiene la siguiente señal, de la cual se requiere representar mediante las series de Fourier:

d
(
t
# )
c
o
s
(
2
π

f

0

t
)
c
o

s

2

(
4
π

f

0

t
)

{\displaystyle d(t)=cos(2\pi f\_{0}t)cos^{2}(4\pi f\_{0}t)}

Para poder representar esta señal en series de Fourier, debemos de tener en cuenta la siguiente identidad, la cual facilitara el manejo de la señal para su representación:

c
o

s

2

(
θ
# )

1
c
o
s
(
2
θ
)

2

{\displaystyle cos^{2}(\theta )={\frac {1+cos(2\theta )}{2}}}

Por lo tanto aplicamos la identidad antes mencionada en la señal, y queda de la siguiente forma:

d
(
t
# )
c
o
s
(
2
π

f

0

t
)

1
c
o
s
(
8
π

f

0

t
)

2

{\displaystyle d(t)=cos(2\pi f\_{0}t)+{\frac {1+cos(8\pi f\_{0}t)}{2}}}

Para poder realizar la representación, se aplicar la siguiente sustitución:

w

0

=
2
π

f

0

{\displaystyle w\_{0}=2\pi f\_{0}}

Al realizar el reemplazo, todavía no se observa de forma clara los coeficientes de la representación, por lo tanto se realiza las diferentes operaciones para ver una ecuación mas sencilla:

d
(
t
# )

(

1
2

e

j

w

0

t

1
2

e

−
j

w

0

t

)

(

1
2

1
4

e

4
j

w

0

t

1
4

e

−
4
j

w

0

t

)

{\displaystyle d(t)={\Bigl (}{\frac {1}{2}}e^{jw\_{0}t}+{\frac {1}{2}}e^{-jw\_{0}t}{\Bigr )}{\Bigl (}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}e^{4jw\_{0}t}+{\frac {1}{4}}e^{-4jw\_{0}t}{\Bigr )}}

Al realizar las operaciones correspondientes, se puede observar de forma mas fácil los coeficientes que acompañan:

d
(
t
# )

1
8

e

−
5
j

w

0

t

1
8

e

−
3
j

w

0

t

1
4

e

−
j

w

0

t

1
4

e

j

w

0

t

1
8

e

3
j

w

0

t

1
8

e

5
j

w

0

t

{\displaystyle d(t)={\frac {1}{8}}e^{-5jw\_{0}t}+{\frac {1}{8}}e^{-3jw\_{0}t}+{\frac {1}{4}}e^{-jw\_{0}t}+{\frac {1}{4}}e^{jw\_{0}t}+{\frac {1}{8}}e^{3jw\_{0}t}+{\frac {1}{8}}e^{5jw\_{0}t}}

Los coeficientes que se observan, son los siguientes y por lo tanto son los que se van a graficar:

a

−
5

=

1
8

;

a

−
3

=

1
8

;

a

−
1

=

1
4

;

a

0

=
0
;

a

1

=

1
4

;

a

3

=

1
8

;

a

5

=

1
8

{\displaystyle a\_{-5}={\frac {1}{8}};a\_{-3}={\frac {1}{8}};a\_{-1}={\frac {1}{4}};a\_{0}=0;a\_{1}={\frac {1}{4}};a\_{3}={\frac {1}{8}};a\_{5}={\frac {1}{8}}}

**2.** Ahora pasaremos a analizar las características de la representación en series de Fourier para una señal real, por lo tanto se realiza lo siguiente:

Teniendo una señal real x(t) con la representación en serie de Fourier de la siguiente manera:

a

k

=

a

k

e

a

k

{\displaystyle a\_{k}=|a\_{k}|e^{a\_{k}}}

se demostrara lo siguiente:

**a.** El modulo y la fase de ak tienen simetría par e impar, respectivamente.
Sugerencia: Si una señal es real, ella es igual a su conjugado.

Partiendo de la sugerencia dada para el ejercicio, se procede a realizar la demostración:

x
(
t
# )
x
(
t

)

∗

{\displaystyle x(t)=x(t)^{\*}}

X

n

=

X

n

e

i
∠

X

n

{\displaystyle X\_{n}=|X\_{n}|e^{i\angle {X\_{n}}}}

X

n

=

1

T

0

∫

t

0

t

0

T

0

x
(
t
)

e

−
i
n

w

0

t

d
t

{\displaystyle X\_{n}={\frac {1}{T\_{0}}}\int \_{t\_{0}}^{t\_{0}+T\_{0}}x(t)e^{-inw\_{0}t}dt}

Si reemplazamos en la integral la señal x(t) conjugada, obtenemos lo siguiente:

X

n

∗

=

1

T

0

∫

t

0

t

0

T

0

(
x
(
t
)

e

−
i
n

w

0

t

)

∗

d
t

{\displaystyle X\_{n}^{\*}={\frac {1}{T\_{0}}}\int \_{t\_{0}}^{t\_{0}+T\_{0}}(x(t)e^{-inw\_{0}t})^{\*}dt}

El cambio que vemos en la formula para los coeficientes de Fourier es el signo de la exponencial compleja, ya que el cambio visto es el de la conjugación, afectando el ángulo pero dejando igual la magnitud, por lo tanto, podemos deducir lo siguiente:

X

n

∗

=

X

−
n

{\displaystyle X\_{n}^{\*}=X\_{-n}}

∠

X

n

=
∠

−

X

−
n

{\displaystyle \angle {X\_{n}}=\angle {-X\_{-n}}}

X

n

=

X

n

Conjugando los coeficientes obtenemos la variable negativa de n, por lo tanto resulta de la simetría y magnitud impar.

**b.** Si x(t) es tambien par, ak es real y par.
Sugerencia: combina las condiciones para x(t) real (usada arriba) y x(t) par ( x(t) = x(-t)).

Partiendo de la sugerencia, podemos pensar en la demostración a partir de la aplicación de la relación de Euler en la formula de los coeficientes de Fourier, utilizando un periodo que posibilite realizar la integral de la señal x(t).

x
(
t
# )
x
(
t

)

∗

{\displaystyle x(t)=x(t)^{\*}}

X

n

=

1

T

0

∫

t

0

t

0

T

0

x
(
t
)

e

−
i
n

w

0

t

d
t

{\displaystyle X\_{n}={\frac {1}{T\_{0}}}\int \_{t\_{0}}^{t\_{0}+T\_{0}}x(t)e^{-inw\_{0}t}dt}

Podemos realizar la integral en un periodo t0 = -(T0/2), por lo cual obtenemos

X

n

=

1

T

0

∫

−

T

0

2

T

0

2

x
(
t
)
c
o
s
(
n

w

0

t
)
d
t
−

i

T

0

∫

−

T

0

2

T

0

2

x
(
t
)
s
e
n
(
n

w

0

t
)
d
t

{\displaystyle X\_{n}={\frac {1}{T\_{0}}}\int \_{\frac {-T\_{0}}{2}}^{\frac {T\_{0}}{2}}x(t)cos(nw\_{0}t)dt-{\frac {i}{T\_{0}}}\int \_{\frac {-T\_{0}}{2}}^{\frac {T\_{0}}{2}}x(t)sen(nw\_{0}t)dt}

Del resultado obtenido a partir de la relación de Euler aplicada a la parte interna de la integral, se puede observar que la integral que contiene al seno la podemos convertir en 0 debido a que se encuentra multiplicándose con un x(t), dando como resultado una señal de simetria impar que al integrar en un periodo se convierte en 0.

X

n

=

1

T

0

∫

−

T

0

2

T

0

2

x
(
t
)
c
o
s
(
n

w

0

t
)
d
t

{\displaystyle X\_{n}={\frac {1}{T\_{0}}}\int \_{\frac {-T\_{0}}{2}}^{\frac {T\_{0}}{2}}x(t)cos(nw\_{0}t)dt}

Podemos observar que Xn es una señal real y par debido a la parte interna de la integral, donde x(t) es real y par.

**c.** Si x(t) es tambien impar, ak es puramente imaginaria e impar.
Sugerencia: igual que en el apartado anterior, combina las condiciones: para x(t) real y x(t) impar ( x(t) = x(-t) ).

Para realizar la demostracion, se utilizaran las propiedades para las series de Fourier, en este caso, la definicion de simetria impar, por lo cual se obtiene lo siguiente:

a

k

=

a

k

e

∠

a

k

{\displaystyle a\_{k}=|a\_{k}|e^{\angle {a\_{k}}}}

Si tenemos una señal x(t) que es impar, obtenemos un ak imaginario e impar, por lo tanto:

Si x(t) es impar, entonces:

x
(
t
# )
−
x
(
−
t
)

{\displaystyle x(t)=-x(-t)}

Si x(t) es real, entonces:

a

k

=

a

−
k

∗

{\displaystyle a\_{k}=a\_{-k}^{\*}}

Si x(t) es impar, entonces:

a

k

=
−

a

−
k

{\displaystyle a\_{k}=-a\_{-k}}

a

−
k

=
−

a

k

∗

{\displaystyle a\_{-k}=-a\_{k}^{\*}}

Como podemos ver, obtenemos coeficientes imaginarios. Ademas, observando la integral de Xn, y sabiendo que x(t) es impar, la integral que contiene al coseno dara como resultado una parte impar, dando asi una integral con valor 0, mientras que la integral que contiene al seno dara como resultado una parte par, dando asi una integral con valor diferente de 0, dando asi un componente imaginario, determinando una serie que es puramente imaginaria.

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