מתח פנים

**מתח פנים** (באנגלית **Surface Tension**) הינו תופעה שנובעת מכוחות משיכה מיקרוסקופיים בין מולקולות בשפה של נוזל. לכל מפגש בין נוזל כלשהוא לבין מוצק או נוזל אחר, יש מקדם שמסומן באות

γ

{\displaystyle \gamma}

 ושמו מתח הפנים של המפגש (Interface) בין החומרים. היחידות של גמא הן אנרגיה ליחידת שטח, והוא מייצג כמה אנרגיה יש להשקיע על מנת להגדיל את שטח המגע:

Δ

E

s
u
r
f
a
c
e

=
γ
Δ
A

{\displaystyle \Delta E\_{surface}=\gamma \Delta A}

## אינטואיציה

המפגש בין נוזל לחומר הוא איזושהי יריעה במרחב. האינטואיציה למתח פנים היא שהיריעה הזאת מתנהגת בדיוק כמו יריעת גומי מתוחה שהשטח הרפוי שלה הוא אפס (בניגוד לפני בלון, אשר יש להם שטח רפוי גדול מאפס, ולכן לא מתנהג בדיוק כמו בועת מים). **חשוב לזכור**, הכח הישיר שמשוייך למתח הפנים של יריעה תמיד משיק ליריעה, בדיוק כמו שהמתיחות של חוט או קפיץ תמיד משיקה לחוט או לקפיץ. החלקיקים על פני הנוזל מפעילים כוחות משיקיים בלבד אחד על השני כחות אלו מתורגמים לכוחות בכיוון הנורמלי ליריעת פני הנוזל בגלל העקמומיות של המשטח. לכן, למשל באקווריום גדול מלא מים לא תהיה קפיצה בלחץ בין שני הצדדים של פני המים, זאת בגלל שפני המים שטוחים, ולכן אין עקמומיות שתתרגם את הכח המשיקי של מתח הפנים לכח נורמלי.

## קפיצה בלחץ

משני צידיה של היריעה המתוחה שמתוארת בפסקת האינטואיציה, לפעמים ישנם לחצים שונים, (בדיוק כמו ששני הלחצים בפנים ומחוץ לבלון שונים). הפרש הלחצים מקיים:

Δ
# P
γ

(

1

R

y

1

R

x

)

{\displaystyle \Delta P=\gamma \left({\frac {1}{R\_{y}}}+{\frac {1}{R\_{x}}}\right)}

כאשר היריעה תמיד קעורה כלפי האזור שבו הלחץ גדול יותר, ו-

R

x

,

R

y

{\displaystyle R\_{x},R\_{y}}

 הרדיוסים של העיגולים בעלי אותה קעירות כמו של היריעה לאורך הצירים x,y בנפרד. חשוב להבין שלא משנה באיזה צד של היריעה נמצאים המים, כל מה שחשוב זה לאיזה צד קעורה היריעה. המקרה הכללי הזה פחות מעניין אותנו בהקשר של האולימפיאדה, אותנו יותר מעניין המקרה בו

R

x

=

R

y

{\displaystyle R\_{x}=R\_{y}}

, נפתח כעת למקרה הזה:

עבור יריעה כללית הפרש הלחצים בין שני צידיה לא יהיו תלויים בצורה של היריעה כולה, אלא רק באיך היא נראית בסביבה של הנקודה שבה אנחנו רוצים למצוא את הפרש הלחצים. בעצם מה שמעניין אותנו זה רק העקמומיות הלוקאלית של היריעה בנקודה המדוברת. לכן נפתח עבור טיפת מים כדורית, ולוקאלית המסקנה שנקבל תהיה נכונה לכל יריעה שבסביבה של הנקודה המדוברת מספיק דומה לכדור. החלק החשוב בפיתוח הוא שכמעט ולא נתייחס כלל לעובדה שמדובר בטיפת מים, החלק היחיד שמעניין אותנו זה היריעה שמקיפה את טיפת המים, בפרט נתענין בשטח ובאנרגיה שלה.

שטח הפנים של כדור הוא:

4
π

R
2

{\displaystyle 4\pi R^2}

לכן האנרגיה שיש להשקיע במתח הפנים (ולא בדברים אחרים כמו עבודה נגד הפרש הלחצים או משהוא כזה) על מנת לשנות את רדיוס המעטפת היא:

d

E

s
u
r
f
a
c
e

=
γ
d
# A
8
π
γ
R
d
R

{\displaystyle dE\_{surface}=\gamma dA=8\pi \gamma RdR}

מצד שני:

d

E

s
u
r
f
a
c
e

=

P

s
u
r
f
a
c
e

d
# V
4
π

P

s
u
r
f
a
c
e

R

2

d
R

{\displaystyle dE\_{surface}=P\_{surface}dV=4\pi P\_{surface}R^{2}dR}

מכאן:

P

s
u
r
f
a
c
e

R

2

d
# R
2
γ
R
d
R

{\displaystyle P\_{surface}R^{2}dR=2\gamma RdR}

P

s
u
r
f
a
c
e

=
2

γ
R

{\displaystyle P\_{surface}=2{\frac {\gamma }{R}}}

לכן המעטפת של הטיפה מפעילה על הטיפה כח ליחידת שטח

P

s
u
r
f
a
c
e

{\displaystyle P\_{surface}}

 שנובע ממתח הפנים, ו-

P

o
u
t

{\displaystyle P\_{out}}

 שנובע מהלחץ בחוץ. מצד שני, על מנת שהטיפה לא תקרוס לתוך עצמה, הלחץ שמפעילים עליה חייב להיות שווה ללחץ שלה עצמה, ולכן נקבל:

Δ
# P

P

s
u
r
f
a
c
e

=
2

γ
R

{\displaystyle \Delta P=P\_{surface}=2{\frac {\gamma }{R}}}

דבר מאוד חשוב שצריך לשים לב אלי הוא מקרה של בועה באויר. במקרה כזה יש לבועה מעטפת פנימית וגם מעטפת חיצונית ולכן התוצאה היוצאת במקרה זה היא

Δ
# P

P

s
u
r
f
a
c
e

=
4

γ
R

{\displaystyle \Delta P=P\_{surface}=4{\frac {\gamma }{R}}}

## דוגמאות

- במפגש בין מים לאוויר

γ

{\displaystyle \gamma}

 חיובי. ולכן אנרגטית משתלם שמשטח המגע בין המים לאוויר יהיה מינימלי (האנרגיה הפוטנציאלית שמשויכת למתח הפנים של המפגש פרופורציונלית לשטח). הצורה שבה השטח מינימלי בנפח קבוע היא כמובן כדור.

- אם מישהו רוצה להתחכם הוא יכול ללא בעיה להגדיר ממברנה דמיונית שחוצה אקווריום מלא מים לשניים, הממברנה הזאת מתארת את המפגש בין מים למים. מתח הפנים של מפגש כזה הוא 0, מפני שלמולקולת מים לא משנה אנרגטית אם היא על הממברנה או לא. במילים אחרות אין צורך לשלם באנרגיה על המולקולות שנמצאות על המפגש, ולכן כפי שהיינו מצפים, אין שום נטייה של הממברנה הזאת לשאוף למינימום שטח.

    - עקמומיות פני המים בצינור הידרופילי: נתון צינור עם פרופיל עגול ומימדים כמו בציור, השאלה היא, בהנתן שגובה המים בצינור גדול בהרבה מרדיוס הצינור, מה יהיה רדיוס העקמומיות R של פני המגע מים אוויר בצינור? נתונים:

ρ

w
a
t
e
r

,
g
,
r

{\displaystyle \rho \_{water},g,r}

γ

W
a
t
e
r
−
A
i
r

=

γ

w
a

,

γ

W
a
t
e
r
−
T
u
b
e

=

γ

w
t

,

γ

A
i
r
−
T
u
b
e

=

γ

a
t

{\displaystyle \gamma \_{Water-Air}=\gamma \_{wa},\gamma \_{Water-Tube}=\gamma \_{wt},\gamma \_{Air-Tube}=\gamma \_{at}}

**מומלץ לנסות לפתור את הדוגמא הזאת לבד.** *(רמז: חשבו קודם את R בהנתן h, ואז מיצאו ביטוי ל-h מכל הגדלים האחרים)*

דרך א' - פתרון מכוחות וזווית הרטבה:

נסתכל על נקודת המינימום בעקמומיות של המים. היא נמצאת בשיווי משקל, ותחת השפעת שני לחצים -

ρ
∗
g
∗
h

{\displaystyle \rho \*g\*h}

 , ו-

2

γ

w
a

/

R

{\displaystyle 2\gamma \_{wa}/R}

מגיאומטריה מתקבל ש-

# R

r

c
o
s
(
θ
)

{\displaystyle R={\frac {r}{cos(\theta )}}}

 כאשר theta זווית המגע בין המים לצינור (נקראת גם זווית ההרטבה). ושווה ל

c
o
s
(
θ
# )

γ

a
t

−

γ

w
t

γ

w
a

{\displaystyle cos(\theta )={\frac {\gamma \_{at}-\gamma \_{wt}}{\gamma \_{wa}}}}

.

נציב:

2

γ

w
a

c
o
s
(
θ
)

/

# r
ρ
g
h

{\displaystyle 2\gamma \_{wa}cos(\theta )/r=\rho gh}

# h
2

γ

w
a

c
o
s
(
θ
)

/

ρ
g
r

{\displaystyle h=2\gamma \_{wa}cos(\theta )/\rho gr}

נקבל בסוף:

# h
2

γ

a
t

−

γ

w
t

ρ
g
r

{\displaystyle h=2{\frac {\gamma \_{at}-\gamma \_{wt}}{\rho gr}}}

# R
r

γ

w
a

γ

a
t

−

γ

w
t

{\displaystyle R=r{\frac {\gamma \_{wa}}{\gamma \_{at}-\gamma \_{wt}}}}

דרך ב' - פתרון מאנרגיות:

ראשית מהידרוסטטיקה נקבל שהפרש הלחצים בין פני המים בצינור לבין פני המים מחוץ לצינור הוא

ρ
g
h

{\displaystyle \rho g h}

. בגלל שמחוץ לצינור מספיק רחוק לחץ פני המים הוא לחץ האוויר, ולחץ האוויר הוא אותו דבר בכל מקום. לכן נקבל שהקפיצה בלחץ בין המים לאוויר בצינור היא

ρ
g
h

{\displaystyle \rho g h}

. שימו לב, הסימן הוא כזה שעבור h חיובי הלחץ באוויר גדול מלחץ המים שבצינור.כעת אם נציב את הקפיצה הזאת בלחץ בביטוי

Δ
# P
2

γ
R

{\displaystyle \Delta P=2{\frac {\gamma }{R}}}

 נקבל ביטוי לR

# R

2

γ

A
W

ρ
g
h

{\displaystyle R={\frac {2\gamma \_{AW}}{\rho gh}}}

.

נשאר למצוא את h: נכתוב מה השינוי באנרגייה הפוטנציאלית של הכבידה ושל מתח הפנים כפונקצייה של שינוי קטן ב- h:

d

E

g
r
a
v
i
t
y

=
d

m

w
a
t
e
r

g
# h
(
ρ
π

r

2

d
h
)
g
h

{\displaystyle dE\_{gravity}=dm\_{water}gh=(\rho \pi r^{2}dh)gh}

d

E

S
u
r
f
a
c
e
T
e
n
s
i
o
n

=
d

E

W
t
r
−
T
u
b
e

d

E

A
i
r
−
T
u
b
e

=

γ

w
t

d

S

W
T

γ

a
t

d

S

A
T

=

γ

w
t

2
π
r
d
h

γ

a
t

(
−
2
π
r
d
h
)

{\displaystyle dE\_{SurfaceTension}=dE\_{Wtr-Tube}+dE\_{Air-Tube}=\gamma \_{wt}dS\_{WT}+\gamma \_{at}dS\_{AT}=\gamma \_{wt}2\pi rdh+\gamma \_{at}(-2\pi rdh)}

בדיקת שפיות: עבור

γ

w
t

<

γ

a
t

{\displaystyle \gamma \_{wt}<\gamma \_{at}}

 הצינור דוחף את המים למעלה וכוח המשיכה דוחף למטה.

.נדרוש שהאנרגיה הכוללת מתאפסת, זאת אומרת שסכום הגדלים הללו מתאפס:

ρ
π

r

2

g
h
d
# h
−
(

γ

w
t

−

γ

a
t

)
2
π
r
d
h

{\displaystyle \rho \pi r^{2}ghdh=-(\gamma \_{wt}-\gamma \_{at})2\pi rdh}

נקבל בסוף:

# h
2

γ

a
t

−

γ

w
t

ρ
g
r

{\displaystyle h=2{\frac {\gamma \_{at}-\gamma \_{wt}}{\rho gr}}}

נציב בביטוי לR ונקבל:

# R
r

γ

w
a

γ

a
t

−

γ

w
t

{\displaystyle R=r{\frac {\gamma \_{wa}}{\gamma \_{at}-\gamma \_{wt}}}}

לקריאה נוספת: https://en.wikipedia.org/wiki/Jurin%27s\_law#Derivation

## פיתוח מאקרוסקופי

ראשית נראה שאם לאוסף חלקיקים מתקיים שהאנרגיה הפוטנציאלית של החלקיקים בשפה שונה מהאנרגיה הפוטנציאלית  של החלקיקים שלא בשפה, וגם הצפיפות המשטחית של החלקיקים בשפה לא משתנה, אז יש תופעה של מתח פנים, זאת אומרת מתקיים:

E

t
o
t
p
o
t
e
n
t
i
a
l

=
γ
A
C
o
n
s
t

{\displaystyle E\_{totpotential}=\gamma A+Const}

סימונים:

N

i
n
t

{\displaystyle N\_{int}}

 מספר החלקיקים באזור הפנימי של האוסף,

N

s
u
r

{\displaystyle N\_{sur}}

 מספר החלקיקים על שפת האוסף,

N

T
o
t

{\displaystyle N\_{Tot}}

 מספר החלקיקים הכולל באוסף,

E

i
n
t

{\displaystyle E\_{int}}

 אנרגיה פוטנציאלית של חלקיק באזור הפנימי של האוסף,

E

s
u
r

{\displaystyle E\_{sur}}

  אנרגיה פוטנציאלית של חלקיק על שפת האוסף.

מתקיים:

E

T
o
t

=
∑

E

i

=

E

s
u
r

N

s
u
r

E

i
n
t

N

i
n
t

{\displaystyle E\_{Tot}=\sum E\_{i}=E\_{sur}N\_{sur}+E\_{int}N\_{int}}

N

T
o
t

=

N

s
u
r

N

i
n
t

{\displaystyle N\_{Tot}=N\_{sur}+N\_{int}}

ולכן:

E

T
o
t

=

E

s
u
r

N

s
u
r

E

i
n
t

(

N

T
o
t

−

N

s
u
r

# )
(

E

s
u
r

−

E

i
n
t

)

N

s
u
r

E

i
n
t

N

T
o
t

{\displaystyle E\_{Tot}=E\_{sur}N\_{sur}+E\_{int}(N\_{Tot}-N\_{sur})=(E\_{sur}-E\_{int})N\_{sur}+E\_{int}N\_{Tot}}

מספר החלקיקים הכולל באוסף קבוע ולכן:

E

T
o
t

=

N

s
u
r

Δ
E
C
o
n
s
t

{\displaystyle E\_{Tot}=N\_{sur}\Delta E+Const}

אם נעבור לצפיפות המשטחית של השפה, נקבל:

E

T
o
t

=
A
(
n
Δ
E
)
C
o
n
s
t

{\displaystyle E\_{Tot}=A(n\Delta E)+Const}

כשאר n מייצג את מספר החלקיקים ליחידת שטח. לכן לסיכום הגענו לתובנה ש

γ

{\displaystyle \gamma}

 הוא בעצם, באופן לא מפתיע הפרש האנרגיה הפוטנציאלית בין חלקיק בשפה לאנרגיית החלקיקים הפנימיים.

לבסוף, נסביר איכותית למה התנאים למעלה מתקיימים בנוזל:

בגלל כוחות אלקטרוסטטיים כל שני חלקיקים בנוזל נמשחים אחד לשני. עבור כל זוג חלקיקים, ניתן לשייך אנרגיה פוטנציאלית שמתאימה למשיחה חשמלית זאת, ובגלל שמדובר באינטראקציה דיפול דיפול, האנרגיה הזאת דועכת מהר מאוד עם המרחק. לכן ניתן לקרב אותה בצורה טובה לפונקציית מדרגה, זאת אומרת האנרגיה הפוטנציאל של חלקיק מסוים שווה לקבוע כלשהו כפול מספר החלקיקים שמקיפים אותו. לכן בשיווי משקל הנוזל ינסה ליצור צורה צפופה ומוגדרת שבה לכל חלקיק מספר מקסימלי של שחנים. לחלקיקים שעל שפתה של הצורה הזאת, יש אנרגיה גבוה יותר מאשר לחלקיקים שלא על השפה, מפני שיש להם פחות שחנים. וכן הסיבה שצפיפות החלקיקים על שפת הנוזל קבוע היא שצפיפות החלקיקים על שפת הנוזל תלויה רק בדברים שאני מתייחסים אליהם כקבועים בפיתוח זה, כמו לחץ וטמפרטורה. בכל מיקרה, עבור נוזלים, גם אם הלחץ והטמפרטורה משתנים, הצפיפות כמעת ולא משתנה. אם הצפיפות תשתנה מאוד, אז סביר להניח שגם מתח הפנים ישתנה.