Group

**群**的基本术语主题。

词汇
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group
nc.
**群**
设有一个非空集合

G

{\displaystyle G}

，其上定义了一个二元运算

⋅

{\displaystyle \cdot }

。我们称

(
G
,
⋅
)

{\displaystyle (G,\cdot )}

是一个群，如果
1. 结合性：

∀
a
,
b
,
c
∈
G
,
(
a
⋅
b
)
⋅
# c
a
⋅
(
b
⋅
c
)
;

{\displaystyle \forall a,b,c\in G,(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c);}
2. 单位元：

∃
e
∈
G
,
∀
a
∈
G
,
a
⋅
# e
e
⋅
# a
a
;

{\displaystyle \exists e\in G,\forall a\in G,a\cdot e=e\cdot a=a;}
3. 逆元：

∀
a
∈
G
,
∃
b
∈
G
,
a
⋅
# b
b
⋅
# a
e
.

{\displaystyle \forall a\in G,\exists b\in G,a\cdot b=b\cdot a=e.}

群

(
G
,
⋅
)

{\displaystyle (G,\cdot )}

在不引起混淆的情况下也记作

G

{\displaystyle G}

[例句]

multiplication
n.
**（群上的）乘法**
群

(
G
,
⋅
)

{\displaystyle (G,\cdot )}

上的运算运算

⋅

{\displaystyle \cdot }

也称作群

G

{\displaystyle G}

上的“乘法”。
[例句]

trivial group

**平凡群，当然群**
只有一个元素

e

{\displaystyle e}

的群，它的乘法是

e
⋅
# e
e

{\displaystyle e\cdot e=e}

，常记作

{
e
}

{\displaystyle \{e\}}

[例句]

group homomorphism

群同态，见 homomorphism
[例句]

subgroup
nc.
**子群**
设有一群

(
G
,
⋅
)

{\displaystyle (G,\cdot )}

，另有一集合

H

{\displaystyle H}

满足

H
⊆
G

{\displaystyle H\subseteq G}

，且嵌入的集合映射

ι
:
H
→
G

{\displaystyle \iota :H\to G}

是一个群同态，即

ι
(
a
⋅
b
# )
ι
(
a
)
⋅
ι
(
b
)
,
∀
a
,
b
∈
H
.

{\displaystyle \iota (a\cdot b)=\iota (a)\cdot \iota (b),\forall a,b\in H.}

那么我们就称

(
H
,
⋅
)

{\displaystyle (H,\cdot )}

是

(
G
,
⋅
)

{\displaystyle (G,\cdot )}

的一个子群，记作

H
⩽
G

{\displaystyle H\leqslant G}

[例句]

normal subgroup

**正规子群**
对任意群

G

{\displaystyle G}

而言，称它的子群

N

{\displaystyle N}

是一正规子群，如果

∀
a
∈
G
,
∀
n
∈
N

{\displaystyle \forall a\in G,\forall n\in N}

有

a
n

a

−
1

∈
N
.

{\displaystyle ana^{-1}\in N.}

[例句]

subgroup N of G generated by S

**由

S

{\displaystyle S}

生成的

G

{\displaystyle G}

的子群

N

{\displaystyle N}**
设

S

{\displaystyle S}

是群

G

{\displaystyle G}

的子集，令

⟨
S
⟩

{\displaystyle \langle S\rangle }

是包含

S

{\displaystyle S}

的所有

G

{\displaystyle G}

的子群的交，它是

G

{\displaystyle G}

的子群，我们称其为

S

{\displaystyle S}

生成的

G

{\displaystyle G}

的子群
[例句]

underlying set

**底集，生成集**
若

# G
⟨
S
⟩

{\displaystyle G=\langle S\rangle }

，我们就说

G

{\displaystyle G}

是由

S

{\displaystyle S}

生成的，集合

S

{\displaystyle S}

称为

G

{\displaystyle G}

的底集，或生成集
[例句]

Abelian group,
commutative group

**阿贝尔群，交换群**
满足交换律的群

G

{\displaystyle G}

，即

∀
a
,
b
∈
G
,
a
# b
b
a

{\displaystyle \forall a,b\in G,ab=ba}

[例句]

order of a group/element

**群/元素的阶**
在一个群

G

{\displaystyle G}

中，元素

a
∈
G

{\displaystyle a\in G}

，如果

∃
n
∈

N

{\displaystyle \exists n\in \mathbb {N} ^{+}}

，使得

a

n

=
e

{\displaystyle a^{n}=e}

，我们取最小的正整数

n

{\displaystyle n}

，将其称作元素

a

{\displaystyle a}

在群

G

{\displaystyle G}

中的阶，记作

a

{\displaystyle |a|}

，如果

∀
n
∈

N

,

a

n

≠
e

{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{+},a^{n}\neq e}

，我们就称元素

a

{\displaystyle a}

在群

G

{\displaystyle G}

中的阶为无穷，记作

a

=
∞
.

{\displaystyle |a|=\infty .}

一个群

G

{\displaystyle G}

的阶被定义为其中元素的数量，用

G

{\displaystyle |G|}

表示，若群的元素无限，记作

G

=
∞
.

{\displaystyle |G|=\infty .}

[例句]

multiplication table of a group

**群的乘法表，群表**
一个群

(
G
,
⋅
)

{\displaystyle (G,\cdot )}

的表是如下形式

⋅

e

a

1

⋯

a

n

⋯

e

e

a

1

⋯

a

n

⋯

a

1

a

1

a

1

⋅

a

1

⋯

a

1

⋅

a

n

⋯

a

2

a

2

a

2

⋅

a

1

⋯

a

2

⋅

a

n

⋯

⋮

⋮

⋮

⋱

⋮

a

n

a

n

a

n

⋅

a

1

⋯

a

n

⋅

a

n

⋯

⋮

⋮

⋮

⋮

[例句]

symmetric group

对称群，详见 permutation
[例句]

cyclic group

**循环群**
循环群一个元素

a
∈
G

{\displaystyle a\in G}

的不同“次冪”所构成，

# G
⟨
a
# ⟩
{
e
,

a

±
1

,

a

±
2

,
⋯
}
.

{\displaystyle G=\langle a\rangle =\{e,a^{\pm 1},a^{\pm 2},\cdots \}.}

[例句]

free group

**自由群**
详见w:c:zh.math:自由群
[例句]

quotient group

**商群**
详见w:c:zh.math:商群
[例句]

group action

**群作用**
详见 group action、w:c:zh.math:群作用
[例句]

词源
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例句
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1. A group

G

{\displaystyle G}

 is finitely generated if there exists a finite subset

A

{\displaystyle A}

 such that

# G
⟨
A
⟩
.

{\displaystyle G=\langle A\rangle .}

一个群

G

{\displaystyle G}

是有限生成的，如果存在一个

G

{\displaystyle G}

的子集

A

{\displaystyle A}

使得

# G
⟨
A
⟩
.

{\displaystyle G=\langle A\rangle .}

参见
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