MPSI: Chapitre 4 - Technique de dérivation - Propriété de la relation d'ordre sur R

x

{\displaystyle x}

, on note

x

=

x
2

{\displaystyle |x| = \sqrt{x^2}}

* Pour tout réel

x

{\displaystyle x}

, on note

x

=
m
a
x
(
−
x
;
x
)

{\displaystyle |x|=max(-x;x)}

* Pour tout réel

x

{\displaystyle x}

, on note

x

=

{

x

si

x
≥
0

−
x

si

x
<
0

{\displaystyle |x|=\left\{\begin{array}{cc}x&\mbox{si }x\geq0\\-x&\mbox{si }x<0\end{array}\right.}

### **Le maximum et le minimum**

* Pour tous réels

a

{\displaystyle a}

 et

b

{\displaystyle b}

, on note

m
a
x
(
a
;
b
# )

a
b

a
−
b

2

{\displaystyle max(a;b)=\frac{a+b+|a-b|}{2}}

.

* Pour tous réels

a

{\displaystyle a}

 et

b

{\displaystyle b}

, on note

m
i
n
(
a
;
b
# )

a
b
−

a
−
b

2

{\displaystyle min(a;b)=\frac{a+b-|a-b|}{2}}

.

### **L'inégalité triangulaire sur les réels**

* Pour tous réels

a

{\displaystyle a}

 et

b

{\displaystyle b}

, on a l'inégalité

a
b

≤

a

b

.

* On a l'égalité

a
b

=

a

b

 si et seulement si

a

{\displaystyle a}

 et

b

{\displaystyle b}

 sont de même signe.

**Démonstration:**

* Pour tous réels

a

{\displaystyle a}

 et

b

{\displaystyle b}

,on remarque tout d'abord que

a
b

2

=

(

(
a
b

)

2

)

2

=
(
a
b

)

2

=

a

2

2
a
b

b

2

{\displaystyle |a+b|^{2}=\left(\sqrt{(a+b)^{2}}\right)^{2} = (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}

- Comme pour tout

x
∈

R

{\displaystyle x \in \R}

, on a

x
≤

x

{\displaystyle x \leq |x|}

.

On va forcément avoir

a
b
≤

a
b

=

a

b

Et donc on va avoir la suite d'équivalence suivante:

a
b

≤

a

b

⇔

a
b

2

≤

(

a

b

)

2

⇔

a

2

2
a
b

b

2

≤

a

2

2

a

b

b

2

⇔
a
b
≤

a

b

.

Comme cette dernière inégalité est toujours vraie, la toute première est forcément vraie. CQFD.

### **La partie positive et la partie négative d'un réel**

* Pour tout réel

x

{\displaystyle x}

 on note

x

=
m
a
x
(
x
;
0
# )
−
m
i
n
(
−
x
;
0
)

{\displaystyle x^{+}=max(x;0)=-min(-x;0)}

, ce que l'on appelle la **partie positive** de

x

{\displaystyle x}

.

* Pour tout réel

x

{\displaystyle x}

 on note

x

−

=
m
a
x
(
−
x
;
0
# )
−
m
i
n
(
x
;
0
)

{\displaystyle x^{-}=max(-x;0)=-min(x;0)}

, ce que l'on appelle la **partie négative** de

x

{\displaystyle x}

.

On a donc pour tout réel

x

{\displaystyle x}

 que

# x

x

−

x

−

{\displaystyle x=x^{+}-x^{-}}

,

x

=

x

x

−

{\displaystyle |x|=x^{+}+x^{-}}

x

=

x

x

2

{\displaystyle x^{+}=\frac{|x|+x}{2}}

,

x

−

=

x

−
x

2

{\displaystyle x^{-} = \frac{|x|-x}{2}}

.

### **La distance entre deux réels**

* Pour tous réels

x

{\displaystyle x}

 et

y

{\displaystyle y}

, on note

d
(
x
;
y
# )

y
−
x

{\displaystyle d(x;y)=|y-x|}

 la distance de

x

{\displaystyle x}

 à

y

{\displaystyle y}

.

* La distance vérifie

∀
(
x
;
y
;
z
)
∈

R

3

{\displaystyle \forall(x;y;z)\in\mathbb{R}^{3}}

:

d
(
x
;
y
)
≥
0

{\displaystyle d(x;y)\geq 0}

d
(
x
;
y
# )
0
⇔
# x
y

{\displaystyle d(x;y) = 0 \Leftrightarrow x=y}

d
(
x
;
y
)
≤
d
(
x
;
z
)
d
(
z
;
y
)

{\displaystyle d(x;y) \leq d(x;z) + d(z;y)}

 (l'égalité a lieu quand on a

x
≤
z
≤
y

{\displaystyle x \leq z \leq y}

)

d
(

x

;

y

)
≤
d
(
x
;
y
)

 (c'est la deuxième partie de l'inégalité triangulaire)

**Démonstration**

On veut donc montrer que pour tous réels

x

{\displaystyle x}

 et

y

{\displaystyle y}

, on a

x

−

y

≤

x
−
y

Pour cela, on part de la première partie de l'inégalité triangulaire.

On sait que

a
b

≤

a

b

Dans cette égalité, on pose

# a
x

{\displaystyle a=x}

 et

# b
y
−
x

{\displaystyle b=y-x}

.

On a donc

x
(
y
−
x
)

≤

x

y
−
x

donc

y

≤

x

y
−
x

donc

y

−

x

≤

y
−
x

=

x
−
y

(
1
)

Maintenant, on pose

# a
x
−
y

{\displaystyle a=x-y}

 et

# b
y

{\displaystyle b=y}

On a donc

(
x
−
y
)
y

≤

x
−
y

y

donc

x

≤

x
−
y

y

donc

x

−

y

≤

x
−
y

(
2
)

D'après

(
1
)

{\displaystyle (1)}

 et

(
2
)

{\displaystyle (2)}

, on a donc

x

−

y

≤

x
−
y

.

## Parties majorées, minorées et bornées

Soit

A

{\displaystyle A}

 une partie de

R

{\displaystyle \R}

 éventuellement vide.

### **Définition de la partie majorée**

On dit qu'un réel

M

{\displaystyle M}

 **majore**

A

{\displaystyle A}

 si pour tout élément

a

{\displaystyle a}

 de

A

{\displaystyle A}

, on a

M
≥
a

{\displaystyle M \geq a}

.

On dit que

A

{\displaystyle A}

 est **majorée** si l'ensemble de ses majorants est non vide.

### **Définition de la partie minorée**

On dit qu'un réel

m

{\displaystyle m}

 **minore**

A

{\displaystyle A}

 si pour tout élément

a

{\displaystyle a}

 de

A

{\displaystyle A}

, on a

m
≤
a

{\displaystyle m \leq a}

.

On dit que

A

{\displaystyle A}

 est **minorée** si l'ensemble de ses majorants est non vide.

### **Définition de la partie bornée**

On dit que

A

{\displaystyle A}

 est **bornée** si elle est à la fois majorée et minorée.

### **Différentes remarques**

* Toute partie finie de

R

{\displaystyle \R}

 est bornée. Ainsi, l'ensemble vide est aussi borné.

* Si on pose

−
# A

{

−
a
,
a
∈
A

}

{\displaystyle -A=\left\{-a,a\in A\right\}}

, alors:

A

{\displaystyle A}

 est majorée si et seulement si

−
A

{\displaystyle -A}

 est minorée

A

{\displaystyle A}

 est minorée si et seulement si

−
A

{\displaystyle -A}

 est majorée.

### **Définition de l'élément maximum**

On dit qu'un élément

α

{\displaystyle \alpha}

 de

A

{\displaystyle A}

 est le **maximum** de

A

{\displaystyle A}

 si

α
≥
x

{\displaystyle \alpha\geq x}

 pour tout

x

{\displaystyle x}

 de

A

{\displaystyle A}

.

Si un tel élément existe, alors il est unique. On note alors

# α
m
a
x
(
A
)

{\displaystyle \alpha=max(A)}

.

### **Définition de l'élément minimum**

On dit qu'un élément

α

{\displaystyle \alpha}

 de

A

{\displaystyle A}

 est le **minimum** de

A

{\displaystyle A}

 si

α
≤
x

{\displaystyle \alpha\leq x}

 pour tout

x

{\displaystyle x}

 de

A

{\displaystyle A}

.

Si un tel élément existe, alors il est unique. On note alors

# α
m
i
n
(
A
)

{\displaystyle \alpha=min(A)}

.

## Borne supérieure et borne inférieur dans R

### **Axiome de la borne supérieure**

Soit

A

{\displaystyle A}

 une **partie non vide et majorée** de

R

{\displaystyle \R}

.

Alors l'ensemble des majorants de

A

{\displaystyle A}

 possède un élément minimum.

Cet élément est appellé **borne supérieure** de

A

{\displaystyle A}

, et est notée

sup
(
A
)

{\displaystyle \sup(A)}

.

### Remarque sur l'axiome de la borne supérieure

* La réel

sup
(
A
)

{\displaystyle \sup(A)}

 est un majorant de

A

{\displaystyle A}

.

* Il n'existe pas de réel strictement inférieur à

sup
(
A
)

{\displaystyle \sup(A)}

 qui soit un majorant de

A

{\displaystyle A}

.

* L'ensemble des majorant de

A

{\displaystyle A}

 est donc

[
sup
(
A
)
;
∞
[

{\displaystyle [\sup(A);+\infty[}

.

### **Propriété de la borne inférieure**

Soit

A

{\displaystyle A}

 une partie non vide et minorée de

R

{\displaystyle \R}

.

Alors l'ensemble des minorants de

A

{\displaystyle A}

 possède un élément maximum.

Cet élément est appelé **borne inférieure** de

A

{\displaystyle A}

 et est noté

inf
(
A
)

{\displaystyle \inf(A)}

.

Démonstration de la propriété de la borne inférieure

### Remarque sur la propriété de la borne inférieure

* Le réel

inf
(
A
)

{\displaystyle \inf(A)}

 est un minorant de

A

{\displaystyle A}

.

* Il n'existe pas de réel strictement supérieur à

inf
(
A
)

{\displaystyle \inf(A)}

 qui soit minorant de

A

{\displaystyle A}

.

* L'ensemble des minorants de

A

{\displaystyle A}

 est donc

]
−
∞
;
inf
(
A
)
]

{\displaystyle ]-\infty;\inf(A)]}

.

### Quelques propriétés de la borne supérieure et de la borne inférieure

(
1
)

{\displaystyle (1)~~}

Soit

A

{\displaystyle A}

 une partie non-vide et majorée de

R

{\displaystyle \R}

, donc telle que

sup
(
A
)

{\displaystyle \sup(A)}

 existe.

* Dire qu'un réel

x

{\displaystyle x}

 majore

A

{\displaystyle A}

 c'est dire que

x
≥
sup
(
A
)

{\displaystyle x\geq\sup(A)}

.

* Dire que

max
(
A
)

{\displaystyle \max(A)}

 existe, c'est dire que

sup
(
A
)

{\displaystyle \sup(A)}

 appartient à

A

{\displaystyle A}

 et que

max
(
A
# )
sup
(
A
)

{\displaystyle \max(A)=\sup(A)}

.

(
2
)

{\displaystyle (2)~~}

 Soit

A

{\displaystyle A}

 une partie non-vide et minorée de

R

{\displaystyle \R}

, donc telle que

inf
(
A
)

{\displaystyle \inf(A)}

 existe.

* Dire qu'un réel

x

{\displaystyle x}

 minore

A

{\displaystyle A}

 c'est dire que

x
≤
inf
(
A
)

{\displaystyle x\leq\inf(A)}

.

* Dire que

min
(
A
)

{\displaystyle \min(A)}

 existe, c'est dire que

inf
(
A
)

{\displaystyle \inf(A)}

 appartient à

A

{\displaystyle A}

 et que

min
(
A
# )
inf
(
A
)

{\displaystyle \min(A)=\inf(A)}

.

(
3
)

{\displaystyle (3)~~}

 Soient

A

{\displaystyle A}

 et

B

{\displaystyle B}

 deux parties non vide de

R

{\displaystyle \R}

 telles que

A
⊂
B

{\displaystyle A \subset B}

.

* Si

B

{\displaystyle B}

 est majorée, alors

A

{\displaystyle A}

 et majorée et

sup
(
A
)
≤
sup
(
B
)

{\displaystyle \sup(A) \leq \sup(B)}

.

* Si

B

{\displaystyle B}

 est minorée, alors

A

{\displaystyle A}

 est minorée et

inf
(
A
)
≥
inf
(
B
)

{\displaystyle \inf(A)\geq\inf(B)}

.

(
4
)

{\displaystyle (4)~~}

 Soit

A

{\displaystyle A}

 une partie non vide de

R

{\displaystyle \R}

. Notons

−
A

{\displaystyle -A}

 l'ensemble

{

−
a
,
a
∈
A

}

{\displaystyle \left\{-a,a\in A\right\}}

.

* Si

A

{\displaystyle A}

 est majorée, alors

−
A

{\displaystyle -A}

 est minorée et

inf
(
−
A
# )
−
sup
(
A
)

{\displaystyle \inf(-A)=-\sup(A)}

.

* Si

A

{\displaystyle A}

 est minorée, alors

−
A

{\displaystyle -A}

 est majorée et

sup
(
−
A
# )
−
inf
(
A
)

{\displaystyle \sup(-A)=-\inf(A)}

.

(
5
)

{\displaystyle (5)~~}

 Soient

A

{\displaystyle A}

 et

B

{\displaystyle B}

 deux parties non vides de

R

{\displaystyle \R}

.

* Si

A

{\displaystyle A}

 et

B

{\displaystyle B}

 sont toutes les deux majorées, alors

A
B

{\displaystyle A + B}

 est majorée et

sup
(
A
B
# )
sup
(
A
)
sup
(
B
)

{\displaystyle \sup(A+B) = \sup(A)+\sup(B)}

.

* Si

A

{\displaystyle A}

 et

B

{\displaystyle B}

 sont toutes les deux minorées, alors

A
B

{\displaystyle A + B}

 est minorée, et

inf
(
A
B
# )
inf
(
A
)
inf
(
B
)

{\displaystyle \inf(A+B) = \inf(A)+\inf(B)}

.

Démonstration

## Partie entière d'un nombre réel

### R est archimédien

Soit

x

{\displaystyle x}

 un nombre réel et

a

{\displaystyle a}

 un nombre réel strictement positif.

Alors il existe un entier

n

{\displaystyle n}

 tel que

n
a
>
x

{\displaystyle na > x}

.

On exprime cette propriété en distant que

R

{\displaystyle \R}

 est archimédien.

Démonstration

### Axiomes sur N

* Toute partie non vide de

N

{\displaystyle \mathbb{N}}

 possède un élément inférieur à tous les autres, dit "**plus petit élément**".

* Toute partie non vide de

N

{\displaystyle \mathbb{N}}

 et majorée possède un élément supérieur à tous les autres, dit "**plus grand élément**".

* N

{\displaystyle \mathbb{N}}

 lui-même n'est pas majoré. En particulier, il ne possède pas de plus grand élément.

### La partie entière d'un nombre réel

* Soit

x

{\displaystyle x}

 un nombre réel.

Alors il existe un unique entier relatif

m

{\displaystyle m}

 tel que

m
≤
x
<
m
1

{\displaystyle m\leq x<m+1}

.

m est alors appelé partie entière de

x

{\displaystyle x}

, et notée

⌊
x
⌋

{\displaystyle \lfloor x \rfloor}

.

Démonstration

* On remarquera, en relisant la démonstration ci-dessus, que pour tout

x

{\displaystyle x}

 réel non entier, on a

⌊
−
x
# ⌋
−
⌊
x
⌋
−
1

{\displaystyle \lfloor-x\rfloor=-\lfloor x\rfloor-1}

## Droite numérique achevée

On note

R

¯

{\displaystyle \overline{\R}}

 l'ensemble

R

∪

{

−
∞
;
∞

}

{\displaystyle \mathbb{R}\cup\left\{-\infty;+\infty\right\}}

.

Ce nouvel ensemble s'appelle la **droite numérique achevée**.

Les règles d'addition et de multiplications sont les mêmes que celles des limites.