Dijeljenje

U elementarnoj aritmetici, **dijeljenje** je artimetička operacija koja je obrnuta množenju.

Posebno, ako je *c* puta *b* jednako *a*, a piše se:

c
×
# b
a

{\displaystyle c \times b = a\,}

gdje *b* nije nula, tada je *a* podijeljeno sa *b* jednako *c*, a piše se:

a
b

=
c

{\displaystyle \frac{a}{b}=c}

Na primjer,

6
3

=
2

{\displaystyle \frac{6}{3}=2}

jer je

2
×
# 3
6

{\displaystyle 2 \times 3 = 6\,}

.
Dijeljenje se često prikazuje pomoću razlomka. Djeljenik i djelitelj se tada nazivaju brojnikom i nazivnikom. Npr. *a* podjeljeno s *b* se piše:

a
b

{\displaystyle \frac{a}{b}}

Dijeljenje se može prikazati i sa kosom crtom između djeljenika i djelitelja:

a

/

b

{\displaystyle a/b\,}

Najčešći način prikazivanja dijeljenja je dvotačkom između djeljenika i djelitelja:

a
:
b

{\displaystyle a:b}

## Osobine

a
:
# 1
a

{\displaystyle a:1=a}

Djeljenje sa

−
1

{\displaystyle -1}

 daje suprotni broj

a
:
(
−
1
# )
−
a

{\displaystyle a: (-1)=-a}

Nula podijeljena s prirodnim brojem je 0.

0
:
# a
0

{\displaystyle 0:a=0}

Broj podijeljen samim sobom daje broj 1.

a
:
# a
1

{\displaystyle a:a=1}

Proširivanje količnika

a
:
# b
c
=>
(
a
∗
d
)
:
(
b
∗
d
# )
c

{\displaystyle a:b=c =>(a\*d) : (b\*d)=c}

Skračivanje količnika

a
:
# d
c
=>
(
a
:
b
)
:
(
d
:
b
# )
c

{\displaystyle a:d=c => (a:b) : (d:b)=c}

 za

d
≠
0

{\displaystyle d\ne 0}

Količnik negativnog i pozitivnog cijelog broja je negativni broj čija je apsolutna vrijednost jednaka količniku apsolutnih vrijednosti zadanih brojeva.

(
−
a
)
:
# b
−
(
a
:
b
)

{\displaystyle (-a):b=-(a:b)}

Količnik dva negativna cijela broja je pozitivan broj čija je apsolutna vrijednost jednaka količniku apsolutnih vrijednosti djeljenika i djelitelja.

(

−
a
)
:
(
−
b
# )

−
a

:

−
b

=
a
:
b

Dijeljenje možemo prikazati preko sabiranja i oduzimanja brojeva

a
b

c

=
(
a
b
)
÷
# c

a
c

b
c

{\displaystyle \frac{a + b}{c} = (a + b) \div c = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}}

Kao i kod množenja važi zakon distribucije dijeljenja u odnosu na sabiranje

a
b

c

=
(
a
b
)
÷
# c

a
c

b
c

{\displaystyle \frac{a + b}{c} = (a + b) \div c = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}}

Ali zakon distributivnosti ne važi u slučaju

a

b
c

=
a
÷
(
b
c
)
≠

a
b

a
c

{\displaystyle \frac{a}{b + c} = a \div (b + c) \ne \frac{a}{b} + \frac{a}{c}}

## Dvojni razlomak

Dvojni razlomak je razlomak oblika

p

/

q

r

/

s

{\displaystyle {p/q \over r/s}}

On se rješava na sljedeći način

p

/

q

r

/

s

=

p
q

×

s
r

=

p
s

q
r

.

{\displaystyle {p/q \over r/s} = {p \over q} \times {s \over r} = {ps \over qr}.}

## Dijeljenje s nulom

Dijeljenje bilo kojeg broja sa nulom (gdje je nula djelioc) **nije definisano**.

## Dijeljenje cijelih brojeva

Dijeljenje cijelih brojeva nije zatvorena računska operacija. Količnik brojeva neće biti cijeli broj ako djeljenik nije višekratnik djelitelja.

Primjer
26 se ne može podijeliti sa 10 i dati cijeli broj kao količnik. U tom slučaju postoji četiri pristupa:

1. Recimo da se 26 ne može podijeliti sa 10; dijeljenje postaje djelomična funkcija.
2. Zapisivanje količnika kao decimalni razlomak ili mješoviti broj, dakle

26
10

=
2
,
6

{\displaystyle \tfrac{26}{10} = 2,6}

 ili

26
10

=
2

3
5

.

{\displaystyle \tfrac{26}{10} = 2 \tfrac 35.}

 Ovo je najčešći pristup u matematici.
3. Zapisati rješenje kao razliku i ostatak, dakle

26
10

=
2

 i ostatak

{\displaystyle \tfrac{26}{10} = 2 \mbox{ i ostatak } 6.}
4. Zapisati razliku kao cijeli broj (približni broj), dakle

26
10

=
2

{\displaystyle \tfrac{26}{10} = 2}

## Dijeljenje kompleksnih brojeva

Količnik dva kompleksna broja od kojih drugi nije jednak nuli definisano je na sljedeći način.

p
i
q

r
i
s

=

(
p
i
q
)
(
r
−
i
s
)

(
r
i
s
)
(
r
−
i
s
)

=

p
r
q
s
i
(
q
r
−
p
s
)

r
2

s
2

=

p
r
q
s

r
2

s
2

i

q
r
−
p
s

r
2

s
2

.

{\displaystyle {p+iq \over r+is} = {(p+iq)(r-is) \over (r+is)(r-is)} = {pr+qs + i(qr-ps) \over r^2+s^2} = {pr+qs \over r^2+s^2} + i{qr-ps \over r^2+s^2}.}

za *p*, *q*, *r*, *s* realne brojeve *r* , *s* razičiti od 0

Jednostavnije j dijeljenje kompleksnih brojeva izraženo na sljedeći način

p

e

i
q

r

e

i
s

=

p

e

i
q

e

−
i
s

r

e

i
s

e

−
i
s

=

p
r

e

i
(
q
−
s
)

{\displaystyle {p e^{iq} \over r e^{is}} = {p e^{iq} e^{-is} \over r e^{is} e^{-is}} = {p \over r}e^{i(q - s)} }

za *p*, *q*, *r*, *s* realne brojeve *r* različito od 0.

## Dijeljenje decimalnih brojeva

Decimalni broj dijeli se s prirodnim brojem kao da nema decimalnog zareza , ali se u količniku naznačava decimalni zarez kad se završi s dijeljenjem cijelog dijela djeljenika.

15
,
5
:
# 5
3
,
1

{\displaystyle 15,5:5=3,1}

Decimalni broj djeli se s decimalnim brojem tako da djeljenik i djelitelj pomnožimo s dekadskom jedinicom koja ima toliko nula koliko djelitelj decimala.

7
,
842
:
2
,
# 4
78
,
42
:
# 24
3
,
2675

{\displaystyle 7,842:2,4=78,42:24=3,2675}

Decimalni broj dijeli se s dekadskom jedinicom tako da mu decimalni zarez pomićemo ulijevo za onoliko decimalnih mjesta koliko nula ima ta dekadska jedinica.

423
,
10
:
# 10
42
,
310

{\displaystyle 423,10:10=42,310}

51
,
24
:
# 100
0.5124

{\displaystyle 51,24:100=0.5124}

## Pravila dijeljenja

Pravila dijeljenja mogu pomoći pri brzom određivanju da li se jedan cijeli broj može podijeliti u drugi cijeli broj.

Djeljivost sa brojem 2
Broj je djeljiv brojem 2 ako je paran odnosno ako je njegova posljednja cifra paran broj: 0, 2, 4, 6, 8

24

/

# 2
12

{\displaystyle 24/2 =12}

Djeljivost sa brojem 3
Broj je djeljiv brojem 3 ako je zbir njegovih cifara djeljiv sa 3.

27

/

# 3
9

{\displaystyle
27/3=9}

 ..........

2
# 7
9

{\displaystyle 2+7= 9}

(
9

/

# 3
3
)

{\displaystyle (9/3=3)}

Djeljivost sa brojem 4
Broj je djeljiv sa 4 ako je dvocifreni broj koji čine 2 posljednje cifre tog broja djeljiv sa 4

324

/

# 4
81

{\displaystyle 324/4=81}

 jer je

24

/

# 4
6

{\displaystyle 24/4=6}

Djeljivost sa brojem 5
Broj je djeljiv sa 5 ako je njegova posljednja cifra 0 ili 5

25

/

# 5
5

{\displaystyle 25/5=5}

40

/

# 5
8

{\displaystyle 40/5=8}

Djeljivost sa brojem 6
Broj je djeljiv sa 6 ako je sa 2 i sa 3

36

/

# 6
6

{\displaystyle 36/6=6}

 jer je

36

/

# 2
18

{\displaystyle 36/2=18}

 i

36

/

# 3
12

{\displaystyle 36/3=12}

Djeljivost sa brojem 8
Broj je djeljiv sa 8 ako je trocifreni broj koji cine 3 posljednje cifre tog broja djeljiv sa 8

3120

/

# 8
390

{\displaystyle
 3120 / 8 = 390}

 jer je

120

/

# 8
15

{\displaystyle 120 / 8 = 15}

Djeljivost sa brojem 9
Broj je djeljiv sa 9 ako je zbir cifara djeljiv sa 9.

2817

/

# 9
313

{\displaystyle 2817/9=313}

 jer je

2
8
1
# 7
18
=>
18

/

# 9
2

{\displaystyle 2+8+1+7=18 => 18/9=2}

Djeljivost sa brojem 10
Broj je djeljiv sa 10 ako je djeljiv brojevima 2 i 5 odnosno završava cifrom 0

30

/

# 10
3

{\displaystyle 30/10=3}

 jer je

30

/

# 2
10

{\displaystyle 30/2=10}

30

/

# 5
6

{\displaystyle 30/5=6}

## Dijeljenje i kalkulus

Derivacija količnika dvije funkcije data je pravilom derivacije količnika:

(

f
g

)

′

=

f
′

g
−
f

g
′

g
2

.

{\displaystyle {\left(\frac fg\right)}' = \frac{f'g - fg'}{g^2}.}

Ne postoji općenita metoda integracije količnika dvije funkcije.

## Reference

1. ↑ tablica
2. ↑ Djeljivost brojem 2, brojem 3, brojem 4, brojem 5, brojem 6, brojem 8, brojem 9, brojem 10