Іерархія Hardy

## Ієрархія **Харді**

Ієрархія **Харді** — це певна ієрархія, що відображає порядкові номери

α

{\displaystyle {\alpha}}

 до набору функцій

H

α

{\displaystyle H\_{\alpha}}

 створені з **функцій Харді**

H
α

:

N

→

N

{\displaystyle H\_\alpha: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}}

 . Для великих порядкових чисел,

H

α

{\displaystyle H\_{\alpha}}

 росте надзвичайно швидко. Ієрархія Харді названа на честь Г. Х. Харді. Однак інколи це може бути кориснішим, ніж швидкозростаюча ієрархія; наприклад, її можна легше пов’язати з числами, отриманими з послідовностей Гудштейна , і вона краще аналізує системи послідовностей, такі як матрична система Башіку та послідовність Y , ніж швидкозростаюча ієрархія .

## Визначення

Функції Харді визначаються таким чином :

* H
0

(
n
# )
n

{\displaystyle H\_0(n) = n}
* H

α
1

(
n
# )

H
α

(
n
1
)

{\displaystyle H\_{\alpha + 1}(n) = H\_\alpha(n + 1)}
* H
α

(
n
# )

H

α
[
n
]

(
n
)

{\displaystyle H\_\alpha(n) = H\_{\alpha[n]}(n)}

 якщо

α

{\displaystyle \alpha}

 є граничним порядковим номером

тут,

α
[
n
]

{\displaystyle \alpha[n]}

 позначає

n

{\displaystyle n}

 ий член фіксованої фундаментальної послідовності, присвоєний порядковому номеру

α

{\displaystyle \alpha}

.

## Функції

Нижче наведено список порівнянь між функціями Харді щодо невизначених фундаментальних послідовностей та інших гугологічних нотацій. Тому це обчислення не обов’язково виконується для конкретного вибору фундаментальних послідовностей.

H
0

(
n
# )
n

{\displaystyle H\_0(n) = n}

H
1

(
n
# )
n
1

{\displaystyle H\_1(n) = n+1}

H
2

(
n
# )
n
2

{\displaystyle H\_2(n) = n+2}

H
m

(
n
# )
n
m

{\displaystyle H\_m(n) = n+m}

H
ω

(
n
# )
2
n

{\displaystyle H\_\omega(n) = 2n}

H

ω
1

(
n
# )
2
(
n
1
# )
2
n
2

{\displaystyle H\_{\omega+1}(n) = 2(n+1) = 2n+2}

H

ω
2

(
n
# )
2
(
n
2
# )
2
n
4

{\displaystyle H\_{\omega+2}(n) = 2(n+2) = 2n+4}

H

ω
m

(
n
# )
2
(
n
m
# )
2
n
2
m

{\displaystyle H\_{\omega+m}(n) = 2(n+m) = 2n + 2m}

H

ω
2

(
n
# )
4
n

{\displaystyle H\_{\omega 2}(n) = 4n}

H

(
ω
2
)
m

(
n
# )
4
(
n
m
# )
4
n
4
m

{\displaystyle H\_{(\omega 2)+m}(n) = 4(n+m) = 4n + 4m}

H

ω
3

(
n
# )
8
n

{\displaystyle H\_{\omega 3}(n) = 8n}

H

(
ω
3
)
m

(
n
# )
8
(
n
m
# )
8
n
8
m

{\displaystyle H\_{(\omega 3)+m}(n) = 8(n+m) = 8n + 8m}

H

ω
m

(
n
# )
(

2
m

)
n

{\displaystyle H\_{\omega m}(n) = (2^m)n}

H

ω
m
x

(
n
# )

2
m

(
n
x
# )
(

2
m

)
n
(

2
m

)
x

{\displaystyle H\_{\omega m+x}(n) = 2^m(n+x) = (2^m)n + (2^m)x}

H

ω
2

(
n
# )

2
n

∗
n

{\displaystyle H\_{\omega^2}(n) = 2^n\*n}

H

ω
2

1

(
n
# )

2

n
1

∗
(
n
1
)

{\displaystyle H\_{\omega^2+1}(n) = 2^{n+1}\*(n+1)}

H

ω
2

2

(
n
# )

2

n
2

∗
(
n
2
)

{\displaystyle H\_{\omega^2+2}(n) = 2^{n+2}\*(n+2)}

H

ω
2

ω

(
n
# )

2

2
n

∗
(
2
n
)

{\displaystyle H\_{\omega^2+\omega}(n) = 2^{2n}\*(2n)}

H

ω
2

ω
2

(
n
# )

2

4
n

∗
(
4
n
)

{\displaystyle H\_{\omega^2+\omega 2}(n) = 2^{4n}\*(4n)}

H

(

ω
2

)
2

(
n
# )

2

2
n

∗
n

∗
(

2
n

∗
n
)

{\displaystyle H\_{(\omega^2) 2}(n) = 2^{2^n\*n}\*(2^n\*n)}

H

(

ω
2

)
3

(
n
# )

2

2

2
n

∗
n

∗
(

2
n

∗
n
)

∗
(

2

2
n

∗
n

∗
(

2
n

∗
n
)
)

{\displaystyle H\_{(\omega^2) 3}(n) = 2^{2^{2^n\*n}\*(2^n\*n)}\*(2^{2^n\*n}\*(2^n\*n))}

H

(

ω
2

)
m

(
n
# )

2

H

(

ω
2

)
m
−
1

(
n
)

∗
(

H

(

ω
2

)
m
−
1

(
n
)
)

{\displaystyle H\_{(\omega^2) m}(n) = 2^{H\_{(\omega^2) m-1}(n)}\*(H\_{(\omega^2) m-1}(n))}

H

ω

3

(
n
)
≈
n
↑↑
n

{\displaystyle H\_{\omega^{3}}(n) \approx n \uparrow\uparrow n}

H

(

ω
3

)
2

(
n
)
≈
n
↑↑
(
n
↑↑
n
)

{\displaystyle H\_{(\omega^3) 2}(n) \approx n \uparrow\uparrow (n \uparrow\uparrow n)}

H

ω

4

(
n
)
≈
n
↑↑↑
n

{\displaystyle H\_{\omega^{4}}(n) \approx n \uparrow\uparrow\uparrow n}

H

ω

5

(
n
)
≈
n
↑↑↑↑
n

{\displaystyle H\_{\omega^{5}}(n) \approx n \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow n}

H

ω

m

(
n
)
≈
{
n
,
n
,
m
−
1
}

{\displaystyle H\_{\omega^{m}}(n) \approx \{n,n,m-1\}}

H

ω

ω

(
n
)
≈
{
n
,
n
,
n
−
1
}

{\displaystyle H\_{\omega^{\omega}}(n) \approx \{n,n,n-1\}}

H

ω
ω

1

(
n
)
≈
{
n
,
n
,
n
}

{\displaystyle H\_{\omega^\omega+1}(n) \approx \{n,n,n\}}

H

ω

ω

2

(
n
)
≈
{
n
,
n
,
n
1
}

{\displaystyle H\_{\omega^{\omega}+2}(n) \approx \{n,n,n+1\}}

H

ω

ω

ω

(
n
)
≈
{
n
,
n
,
2
n
}

{\displaystyle H\_{\omega^{\omega}+\omega}(n) \approx \{n,n,2n\}}

H

ω
ω

ω
2

(
n
)
≈
{
n
,
n
,

2
n

∗
n
}

{\displaystyle H\_{\omega^\omega+\omega^2}(n) \approx \{n,n,2^n\*n\}}

H

(

ω

ω

)
2

(
n
)
≈
{
n
,
n
,
{
n
,
n
,
n
}
}

{\displaystyle H\_{(\omega^{\omega}) 2}(n) \approx \{n,n,\{n,n,n\}\}}

H

(

ω

ω

)
3

(
n
)
≈
{
n
,
n
,
{
n
,
n
,
{
n
,
n
,
n
}
}
}

{\displaystyle H\_{(\omega^{\omega}) 3}(n) \approx \{n,n,\{n,n,\{n,n,n\}\}\}}

H

ω

ω
1

(
n
)

{\displaystyle H\_{\omega^{\omega+1}}(n)}

 або

H

(

ω
ω

)
ω

(
n
)
≈
{
n
,
n
,
1
,
2
}

{\displaystyle H\_{(\omega^\omega) \omega}(n) \approx \{n,n,1,2\}}

H

ω

ω
2

(
n
)
≈
{
n
,
n
,
2
,
2
}

{\displaystyle H\_{\omega^{\omega+2}}(n) \approx \{n,n,2,2\}}

H

ω

ω
m

(
n
)
≈
{
n
,
n
,
m
,
2
}

{\displaystyle H\_{\omega^{\omega+m}}(n) \approx \{n,n,m,2\}}

H

ω

ω
2

(
n
)
≈
{
n
,
n
,
n
,
2
}

{\displaystyle H\_{\omega^{\omega 2}}(n) \approx \{n,n,n,2\}}

H

ω

ω
2
1

(
n
)
≈
{
n
,
n
,
1
,
3
}

{\displaystyle H\_{\omega^{\omega 2+1}}(n) \approx \{n,n,1,3\}}

H

ω

ω
2
2

(
n
)
≈
{
n
,
n
,
2
,
3
}

{\displaystyle H\_{\omega^{\omega 2+2}}(n) \approx \{n,n,2,3\}}

H

ω

ω
m
2

(
n
)
≈
{
n
,
n
,
m
,
3
}

{\displaystyle H\_{\omega^{\omega m+2}}(n) \approx \{n,n,m,3\}}

H

ω

ω
m

(
n
)
≈
{
n
,
n
,
n
,
m
}

{\displaystyle H\_{\omega^{\omega m}}(n) \approx \{n,n,n,m\}}

H

ω

ω
m
x

(
n
)
≈
{
n
,
n
,
x
,
m
1
}

{\displaystyle H\_{\omega^{\omega m+x}}(n) \approx \{n,n,x,m+1\}}

H

ω

ω

2

(
n
)
≈
{
n
,
n
,
n
,
n
}

{\displaystyle H\_{\omega^{\omega^{2}}}(n) \approx \{n,n,n,n\}}

H

ω

ω

3

(
n
)
≈
{
n
,
n
,
n
,
n
,
n
}

{\displaystyle H\_{\omega^{\omega^{3}}}(n) \approx \{n,n,n,n,n\}}

H

ω

ω

m
−
2

(
n
)
≈
{
n
,
m
(
1
)
2
# }
m
&
n

{\displaystyle H\_{\omega^{\omega^{m-2}}}(n) \approx \{n,m (1) 2\} = m \& n}

H

ω

ω

m

(
n
)
≈
{
n
,
m
2
(
1
)
2
}

{\displaystyle H\_{\omega^{\omega^{m}}}(n) \approx \{n,m+2 (1) 2\}}

H

ω

ω

ω

(
n
)
≈
{
n
,
n
2
(
1
)
2
}

{\displaystyle H\_{\omega^{\omega^{\omega}}}(n) \approx \{n,n+2 (1) 2\}}

## Історична довідка

Ієрархія Харді та функції Харді були вперше представлені та визначені Стенлі С. Вейнером у 1972 році  . Ієрархія, яку він спочатку визначив, була лише

ε
0

{\displaystyle \varepsilon\_0}

 страти (це схоже на ієрархію Вейнера ). Вейнер описав ієрархію

{

H

β

}

β
<

ε
0

{\displaystyle \{\mathcal{H}\_\beta\}\_{\beta<\varepsilon\_0}}

 як зручне уточнення ієрархії Вейнера.

Ієрархія була названа на честь Годфері Х. Харді через ідею визначення функцій

h

α

{\displaystyle h\_{\alpha}}

 походить з його статті 1904 року «ТЕОРЕМА ЩОДО НЕСКІНЧЕННИХ КАРДИНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ»  . У статті 1904 року Харді представив набір дійсних чисел із потужністю

ℵ
1

{\displaystyle \aleph\_1}

 , і він показав конструктивні послідовності чисел, параметризованих порядковими номерами до

ℵ
1

{\displaystyle \aleph\_1}

 використовуючи ідею походження. Зауважте, що незважаючи на те, що послідовності сконструйовані, потрібні фундаментальні послідовності *всіх* злічуваних ординалів.