Импликация

**Импликация** (материальная импликация, материальный кондиционал; если..., то...; material conditional, material implication, material consequence, implication, conditional, implies) - логическая операция, по смыслу приближенная к конструкции "если..., то...". Утверждение

φ
→
ψ

{\displaystyle \varphi \to \psi}

 означает "если

φ

{\displaystyle \varphi}

 верно, то

ψ

{\displaystyle \psi}

 тоже верно".

## Обозначения и кодировка

Импликацию утверждения

ψ

{\displaystyle \psi}

 из утверждения

φ

{\displaystyle \varphi}

 записывают как

φ
→
ψ

{\displaystyle \varphi \to \psi}

 или

ψ
←
φ

{\displaystyle \psi \leftarrow \varphi}

.

Часто используется также запись

φ
⇒
ψ

{\displaystyle \varphi \Rightarrow \psi}

 (

ψ
⇐
φ

{\displaystyle \psi \Leftarrow \varphi}

 соответственно), но вообще

⇒

{\displaystyle \Rightarrow}

 - символ умозаключения, а не импликации. То есть, формально запись

φ
⇒
ψ

{\displaystyle \varphi \Rightarrow \psi}

 значит не просто что если выполняется

φ
,

{\displaystyle \varphi,}

 то выполняется

ψ
,

{\displaystyle \psi,}

 а что из утверждения

φ

{\displaystyle \varphi}

 *естественно следует* утверждение

ψ

{\displaystyle \psi}

. (Ввиду неизученности мной формальной логики для более формального определения "*естественного следования*" перейдите сюда. Я, однако, буду пользоваться этим обозначением и этим понятием, как очевидным, пока не дойду до изучения формальной логики.)

Кроме того, может использоваться запись

φ
⊃
ψ

{\displaystyle \varphi \supset \psi}

 (

ψ
⊂
φ

{\displaystyle \psi \subset \varphi}

 соответственно), однако это может создать путаницу ввиду обыкновенного использования символа

⊃

{\displaystyle \supset}

 в качестве обозначения вложенности в теории множеств.

### Кодировка в LaTeX

→

{\displaystyle \to}

```
\to

←

{\displaystyle \leftarrow}

```
\leftarrow

⇒

{\displaystyle \Rightarrow}

```
\Rightarrow

⇐

{\displaystyle \Leftarrow}

```
\Leftarrow

⊃

{\displaystyle \supset}

```
\supset

⊂

{\displaystyle \subset}

```
\subset
```

## Таблица истинности

Таблица истинности импликации имеет следующий вид:

φ

{\displaystyle \varphi}

ψ

{\displaystyle \psi}

φ
→
ψ

{\displaystyle \varphi \to \psi}

⊤

{\displaystyle \top}

⊤

{\displaystyle \top}

⊤

{\displaystyle \top}

⊥

{\displaystyle \bot}

⊤

{\displaystyle \top}

⊤

{\displaystyle \top}

⊤

{\displaystyle \top}

⊥

{\displaystyle \bot}

⊥

{\displaystyle \bot}

⊥

{\displaystyle \bot}

⊥

{\displaystyle \bot}

⊤

{\displaystyle \top}

## Последовательность импликаций или следований с эквивалентностями

При записи решения задачи удобна и применяется запись

φ
1

⊠
1

⋯

⊠
n

φ

n
1

{\displaystyle \varphi\_1 \boxtimes\_1 \dots \boxtimes\_n \varphi\_{n + 1}}

, где либо каждое из

⊠
1

,
…
,

⊠
n

{\displaystyle \boxtimes\_1, \dots, \boxtimes\_n}

→
,
←

{\displaystyle \to, \leftarrow}

 или равнозначный одному из этих двух символ, либо каждое из

⊠
1

,
…
,

⊠
n

{\displaystyle \boxtimes\_1, \dots, \boxtimes\_n}

⇒
,
⇐
,
⇔

{\displaystyle \Rightarrow, \Leftarrow, \Leftrightarrow}

 или равнозначный одному из этих символ. Эта знапись означает

⋀

1
⩽
i
⩽
n

(

φ
i

⊠
i

φ

i
1

)

{\displaystyle \bigwedge\_{1 \leqslant i \leqslant n} \left( \varphi\_i \boxtimes\_i \varphi\_{i + 1} \right)}

.

## Смотрите также

Правда

Ложь

Логическая арифметика