גז אידאלי

## **מודל גז אידיאלי**

גז אידיאלי הוא מודל בענף המכניקה הסטטיסטית שנועד להסביר התנהגות של גזים בתנאים של טמפרטורה ולחץ משתנים תחת ההנחות של:

1. אין אינטראקציה בין החלקיקים השונים

2. גרדיאנט החום והלחץ הוא 0

3. אין זרמים

## **מושג הלחץ וחוק פסקל**

בשנת 1646 גילה בלז פסקל הצרפתי לראשונה את מושג הלחץ, וגילה שאם נמצא גז (או נוזל) בתוך מערכת סגורה, הוא מפעיל כוח על כל יחידת שטח שבה הוא נמצא במידה שווה.

F
1

F
2

=

A
1

A
2

{\displaystyle \frac{F1}{F2} = \frac{A1}{A2}}

היחס הזה בין הכוח לשטח - שהוא קבוע עבור גז נתון - נקרא "לחץ" (

[
P
# ]
[

F
A

]

{\displaystyle [P] = [\frac{F}{A}]}

)ויש לו יחידות של פסקל (

P
# a

N

m
2

{\displaystyle Pa = \frac{N}{m^2}}

).

## **חוק בויל-מריוט**

בשנת 1662 גילה רוברט בויל האירי שכאשר משנים את הנפח שבו נמצא גז הלחץ שלו עולה באופן יחסי לשינוי בנפח (כאשר שומרים על טמפרטורה קבועה. במציאות גזים מתחמים כשדוחסים אותם, כמו שנלמד בהמשך, לבינתיים אפשר להניח פשוט שבויל חיכה לשיווי משקל בטמפרטורה).

P
∝

1
V

{\displaystyle P \propto \frac{1}{V}}

## **חוק ז'אק שארל**

סביב שנת 1780 ערך ז'אק שארל סדרת ניסויים בגזים שלפיה הגיע למסקנה שנפח של גז בלחץ קבוע עולה באופן לינארי ביחס לטמפרטורה. ההמשך של גרף הקשר שהוא מצא בין הנפח לטמפרטורה היה אמור להגיע לנפח 0 בטמפרטורה של

−

266
o

C

{\displaystyle -266^o C}

, חישוב מאוד מרשים בהתחשב בקרבה שלו לאפס המוחלט (

0
[
K
# ]
−

273.15
o

C

{\displaystyle 0 [K] = -273.15^o C}

).

בהמשך עם גילוי ה-0 המוחלט החוק תוקן לניסוח של

V
∝
T

{\displaystyle V \propto T}

.

## **אבוגדרו**

בשנת 1811 אמדאו אבוגדרו שם לב שבתגובות כימיות בין גזים שונים היחסים בין הנפחים של הגזים המתרכבים ושל התוצרים הם בד"כ יחסים פשוטים בין מספרים טבעיים קטנים - נניח ניתן לקבל יחידת נפח אחת של מים מיחידת נפח אחת של מימן וחצי יחידת נפח של חמצן, ויחידת נפח אחת של אמוניה מ 1.5 יחידות נפח של מימן וחצי יחידה של חנקן.

אבוגדרו העלה את ההשערה שהדבר נובע מהנוסחאות הכימיות של הגזים השונים וכן שכמות מולקולות נתונה של גז מסויים היא בנפח זהה בלי קשר לאיזה גם זה - נפח של גז שמכיל קוודריליון מולקולות של אמוניה יהיה זהה בנפח לגז שמכיל קוודריליון אטומי הליום (עבור גזים אצילים אטום הוא מולקולה).

יחידת המידה של כמות אטומי מימן בגרם אחד ידועה כ"מול" של אטומים, ומספר האטומים בו הוא "מספר אבוגדרו":

N
A

=
6.02
⋅

10

23

[
m
o

l

−
1

]

{\displaystyle N\_A = 6.02 \cdot 10^{23} [mol^{-1}]}

## **התפלגות מקסוול-בולצמן**

מערכת שבה חלקיקים נעים בחופשיות ומתנגשים אחד עם השני כל הזמן תגיע כעבור זמן מה למצב שבו יש כמות אנרגייה דומה בכל דרגת חופש ששווה בתוחלת ל

# E

k
B

T

2

{\displaystyle E=\frac{k\_B T}{2}}

עבור כל חלקיק עבור כל דרגת חופש.

k
B

{\displaystyle k\_B}

, הנקרא קבוע בולצמן, הוא קבוע שניתן להתייחס אליו כיחס המרה בין טמפרטורה (במעלות קלווין) לאנרגייה פר חלקיק.

k
B

=
1.38
⋅

10

−
23

[

J
K

]

{\displaystyle k\_B = 1.38 \cdot 10^{-23} [\frac{J}{K}]}

(זוהי ההגדר של טמפרטורה - גודל פיזיקלי שפרופורציוני לכמות האנרגייה פר רמת חופש של מערכת עם דרגות חופש). כמובן שכמות האנרגייה של כל חלקיק שונה - ניתן לראות את ההתפלגות (שמתקבלת ע"י מכניקה סטטיסטית) בתמונה הבאה:

כמובן שההתפלגות (בניגוד לאפשרות של ערך יחיד) מקשה בהרבה על הפיתוח, ולכן נבצע פיתוח של מודל גז אידילי תחת ההנחה שהאנרגיה הקינטית של החלקיקים לאורך כל ציר היא

E
k

=

k
B

T

2

{\displaystyle E\_k = \frac{k\_B T}{2}}

.למרבה המזל יוצא שפיתוח זה נותן תוצאה זהה ברמת המאקרו לפיתוח האלטרנטיבי המסובך שלוקח בחשבון את ההתפלגויות.

## **פיתוח של המודל**

נדמיין קובייה עם צלע באורך a שמכילה N מולקולות של גז במשקל m כל אחת ובטמפרטורה T. המודל יהיה יהיה לגביי הלחת על הפאה הימנית של הקובייה - כמובן שמשיקולי סימטרייה הלחץ על כל פאה יהיה זהה.

בתוחלת אפשר להגיד ש

E

k
x

=

k
B

T

2

⟹

V
x

=

k
B

T

m

{\displaystyle E\_{kx} = \frac{k\_B T}{2} \implies |V\_x| = \sqrt{\frac{k\_B T}{m}}}

משיקולי סימטרייה חצי מהמולקולות ינועו ימינה במהירות הזו וחצי מהן ינוע שמאלה, לכן יש N/2 מולקולות שנעות ימינה אל עבר הדופן. בפרק זמן קצר (dt) כל המולקולות שנמצאות במרחק שקטן מ

d

m
a
x

=

V
x

d
t

{\displaystyle d\_{max} = V\_x dt}

יפגעו בדופן ויוזרו ממנה בהתנגשות אלסטית, כלומר

N

c
o
l
l
i
s
i
o
n

=

N

d

m
a
x

2
a

{\displaystyle N\_{collision} = \frac{N d\_{max}}{2a}}

מולקולות ישתתפו בהתנגשות ויעבירו אליה תנע של

p

e
a
c
h

=
2
m

V
x

{\displaystyle p\_{each} = 2 m V\_x}

(פאקטור 2 על המהירות - בגלל שפוגעות במהירות Vx בכיוון אחד וחוזרות ב Vx בכיוון השני).

התנע הכולל שעובר הוא

p

t
o
t
a
l

=

p

e
a
c
h

N

c
o
l
l
i
s
i
o
n

=

2
m

V
x
2

N
d
t

2
a

{\displaystyle p\_{total} = p\_{each} N\_{collision} = \frac{2 m V\_x^2 N dt}{2a}}

# F

p

d
t

=

m

k
B

N
T

a
m

{\displaystyle F = \frac{p}{dt} = \frac{m k\_B N T}{a m}}

# P

F
A

=

F

a
2

=

k
B

T
N

a
3

=

k
B

N
T

V

{\displaystyle P = \frac{F}{A} = \frac{F}{a^2} = \frac{k\_B T N}{a^3} = \frac{k\_B N T}{V}}

וקיבלנו

P
# V
N

k
B

T

{\displaystyle P V = N k\_B T }

הפיתוח בוצע במקור בתקופה שבה מס' אבוגדרו לא היה ידוע, לכן קיים לנוסחא ניסוח אלטרנטיבי בו מתחלף קבוע בולצמן בקבוע הגזים R ומספר החלקיקים מתחלף במספר המולים של החלקיקים:

P
# V
n
R
T

{\displaystyle PV = nRT}

# R
8.31
[

J

K
⋅
m
o
l

]

{\displaystyle R = 8.31 [\frac{J}{K \cdot mol}]}

# n

N

N
A

[
m
o
l
]

{\displaystyle n = \frac{N}{N\_A} [mol]}

## חשוב לזכור

בפיתוח המודל יש כמה פקטורי 2 שחשוב לזכור: פקטור 2 של

# E

1
2

k
B

T

{\displaystyle E = \frac{1}{2}k\_B T }

, פקטור 2 של

E

k
x

=

1
2

m

v
x
2

{\displaystyle E\_{k\_x} = \frac{1}{2}m v\_x^2 }

, פקטור 2 של חצי מהמולקולות שמתקרבות לדופן, ופקטור 2 כשכל מולקולה מעבירה לדופן את פעמיים התנע שלה בגלל התנגשות אלסטית.

חשוב לנסות לפתח את המודל לבד כמה פעמים עד שזה בא טבעי.

חשוב לזכור ברמת דיוק סבירה את קבוע בולצמן, את קבוע הגזים R ואת מספר אבוגדרו.

כמו-כן חשוב לזכור את התרגום בין סולם קלווין לסולם צלזיוס (273.15+).