Complexe getallen

Complexe getallen zijn een uitbreiding van de reële getallen. Complexe getallen zijn van de vorm

a
b
i

{\displaystyle a+bi}

, waar

i

{\displaystyle i}

 de zogeheten *imaginaire eenheid* is, en

a
,
b
∈

R

{\displaystyle a,b\in \mathbb{R}}

. Deze imaginaire eenheid heeft de eigenschap dat

i
2

=
−
1

{\displaystyle i^2=-1}

. Daardoor kan je vergelijkingen oplossen die eerder geen oplossing hadden.

## Rekenen met complexe getallen

Rekenen met complexe getallen is redelijk simpel. We hebben dat

(
a
b
i
)
(
c
d
i
# )
(
a
c
)
(
b
d
)
i

{\displaystyle (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i}

 en

(
a
b
i
)
(
c
d
i
# )
(
a
c
−
b
d
)
(
a
d
b
c
)
i

{\displaystyle (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i}

. Omdat optellen en vermenigvuldigen redelijk veel lijkt op optellen van reële getallen, hebben complexe getallen de volgende eigenschappen:

* z
# y
y
z

{\displaystyle z+y=y+z}
* z
# y
y
z

{\displaystyle zy=yz}
* z
(
x
y
# )
z
x
z
y

{\displaystyle z(x+y)=zx+zy}
* z
(
−
1
)
# z
0

{\displaystyle z+(-1)z=0}

, waar

−
# 1
−
1
0
i

{\displaystyle -1=-1+0i}

. In het algemeen zullen we

0
i

{\displaystyle 0i}

 weglaten bij complexe getallen. Deze getallen zijn eigenlijk ook gewoon reëel.

Deze eigenschappen kun je makkelijk controleren

door

# z
a
b
i

{\displaystyle z=a+bi}

 en vergelijkbare dingen voor de andere variabelen in te vullen, en de haakjes uit te werken. In het bijzonder gelden alle rekenregels voor reële getallen ook voor complexe getallen. Merk op dat aftrekken meteen gedefinieerd is:

z
−
# y
z
(
−
1
)
y

{\displaystyle z-y=z+(-1)y}

. Dit werkt hetzelfde als aftrekken bij reële getallen.

Voordat we verder gaan, gaan we het eerst hebben over de *complex geconjugeerde*. Voor een getal

# z
a
b
i

{\displaystyle z=a+bi}

 is de complex geconjugeerde gelijk aan

z
¯

=
a
−
b
i

{\displaystyle \overline{z}=a-bi}

. Deze geconjugeerde heeft een leuke eigenschap: stel dat we een complex getal met zijn geconjugeerde vermenigvuldigen. We krijgen dan

z

z
¯

=
(
a
b
i
)
(
a
−
b
i
# )

a
2

b
2

{\displaystyle z\overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2}

Maar

a
2

b
2

{\displaystyle a^2+b^2}

 komt ons bekend voor: de stelling van Pythagoras zegt dat dit gelijk is aan de afstand van

z

{\displaystyle z}

 tot de oorsprong in het kwadraat. Deze afstand heet de *norm* van

z

{\displaystyle z}

. en wordt genoteerd met

‖
z
‖

{\displaystyle \|z\|}

. In het bijzonder is de norm een reëel getal. We vinden dus dat

z

z
¯

=
‖
z

‖
2

{\displaystyle z\overline{z}=\|z\|^2}

Gewapend met deze kennis kunnen we gaan delen. We weten namelijk dat

y
z

=

y
⋅

z
¯

z
⋅

z
¯

=

y
⋅

z
¯

‖
z

‖
2

{\displaystyle \frac{y}{z}=\frac{y\cdot \overline{z}}{z\cdot \overline{z}}=\frac{y\cdot \overline{z}}{\|z\|^2}}

Maar het vermenigvuldigen van twee complexe getallen konden we al, en een complex getal delen door een reëel getal is niet zo moeilijk.

## Poolcoördinaten

We hebben complexe getallen eigenlijk gedefinieerd aan de hand van een reële coördinaat en een complexe coördinaat. Er zijn ook andere mogelijkheden. De poolcoördinaten werken als volgt: we nemen de hoek die het complexe getal maakt met de x-as, en nemen dan de afstand tot de oorsprong, we hadden hierboven al gezien dat deze afstand

‖
z
‖

{\displaystyle \|z\|}

 was. De hoek noemen we het *argument*. Stel dat we een complex getal hebben met modulus

r

{\displaystyle r}

 en hoek

ϕ

{\displaystyle \phi}

. Wat zijn dan zijn coördinaten? Als we naar het plaatje kijken, en een beetje goniometrie erbij halen, zien we dat

# z
r
(
cos
⁡
ϕ

i
sin
⁡
ϕ
)

{\displaystyle z=r(\cos \phi\;+\;i\sin \phi)}

. We hebben hier een nieuwe notatie voor:

cos
⁡
ϕ

i
sin
⁡
# ϕ

e

i
ϕ

{\displaystyle \cos\phi\;+\;i\sin\phi=e^{i\phi}}

. We krijgen dan

# z
‖
z
‖
⋅

e

i
ϕ

{\displaystyle z=\|z\|\cdot e^{i\phi}}

. Deze formule kan je bewijzen met machtreeksen. Je kan alsnog laten zien dat vermenigvuldigen op de gewone manier werkt. We hebben dat

(

r

e

i
ϕ

)

(

s

e

i
ψ

)

=
r
(
cos
⁡
ϕ

i
sin
⁡
ϕ
)
s
(
cos
⁡
ψ

i
sin
⁡
ψ
)

{\displaystyle \left(re^{i\phi}\right)\left(se^{i\psi}\right)=r(\cos \phi\;+\; i\sin \phi)s(\cos\psi\;+\;i\sin\psi) }

=
(
cos
⁡
ϕ
cos
⁡
ψ

−

sin
⁡
ϕ
sin
⁡
ψ
)
(
cos
⁡
ϕ
sin
⁡
ψ

sin
⁡
ϕ
cos
⁡
ψ
)
i

{\displaystyle =(\cos\phi\cos\psi\;-\;\sin\phi\sin\psi)+(\cos\phi\sin\psi\;+\;\sin\phi\cos\psi)i}

=
r
s
(
cos
⁡
(
ϕ
ψ
)
i
sin
⁡
(
ϕ
ψ
)
# )
r
s

e

i
(
ϕ
ψ
)

{\displaystyle =rs(\cos(\phi+\psi)+i\sin(\phi+\psi))=rse^{i(\phi+\psi)}}

Dit laat zien dat vermenigvuldigen ook op de gewone manier werkt. Een ander handig ding aan de poolcoördinaten, is dat

z
¯

=
r

e

−
i
ϕ

{\displaystyle \overline{z}=re^{-i\phi}}

.

## Complexe polynomen

Een complex polynoom is een polynoom waarvan de coëfficiënten complexe getallen zijn. Zo is

(
3

2

i
)

z
3

(
π
−
i
)
z
(
802
−

2
5

i
)

{\displaystyle (3+\sqrt{2}i)z^3+(\pi-i)z+(802-\frac{2}{5}i)}

een complex polynoom. Er is een belangrijke stelling over deze polynomen, namelijk de hoofdstelling van de algebra, die zegt dat deze polynomen altijd een nulpunt hebben.