Ascending Primitive Sequence System

This is similar to Hyper Primitive Sequence System, but the parent condition is slightly different

## Definition

A sequence in this notation is

(

a
i

)

0
≤
i
≤
l

{\displaystyle (a\_i)\_{0\le i\le l}}

 where

l
∈

N

{\displaystyle l\in\mathbb{N}}

 and

a
0

=
0

{\displaystyle a\_0=0}

.

For a nonzero index i with

0
<
i
≤
l

{\displaystyle 0<i\le l}

, define its parent index

P
(
i
)

{\displaystyle P(i)}

as

max
(
{
k
<
i
:

a
k

<

a
i

}
)

{\displaystyle \text{max}(\{k<i:a\_k<a\_i\})}

 (the same as PrSS)

For a nonempty sequence

(

a
i

)

0
≤
i
≤
l

{\displaystyle (a\_i)\_{0\le i\le l}}

 and a natural number n, define a sequence

Expand
(
(

a
i

)

0
≤
i
≤
l

,
n
)

{\displaystyle \text{Expand}((a\_i)\_{0\le i\le l},n)}

:

1. If

a
l

=
0

{\displaystyle a\_l=0}

, then define

Expand
(
(

a
i

)

0
≤
i
≤
l

,
n
)
:=
(

a
i

)

0
≤
i
≤
n
−
1

{\displaystyle \text{Expand}((a\_i)\_{0\le i\le l},n):=(a\_i)\_{0\le i\le n-1}}
2. Else

a
l

≠
0

{\displaystyle a\_l\neq 0}

, then:
	1. Put

	d
	:=

	a
	l

	−

	a

	P
	(
	l
	)

	−
	1

	{\displaystyle d:=a\_l-a\_{P(l)}-1}
	2. Put

	g
	:=
	(

	a
	i

	)

	0
	≤
	i
	<
	P
	(
	l
	)

	{\displaystyle g:=(a\_i)\_{0\le i<P(l)}}
	3. For

	0
	≤
	j
	≤
	n

	{\displaystyle 0\le j\le n}

	, put

	b
	j

	:=
	(

	a
	i

	j
	×
	d

	)

	P
	(
	l
	)
	≤
	i
	<
	l

	{\displaystyle b\_j:=(a\_i+j\times d)\_{P(l)\le i<l}}
	4. Define

	Expand
	(
	(

	a
	i

	)

	0
	≤
	i
	≤
	l

	,
	n
	)
	=
	g
	⌢

	b
	0

	⌢

	b
	1

	⌢
	⋯
	⌢

	b
	n

	{\displaystyle \text{Expand}((a\_i)\_{0\le i\le l},n)=g\frown b\_0\frown b\_1\frown\cdots\frown b\_n}

	, where

	⌢

	{\displaystyle \frown}

	 denotes sequence concatenation

## Analysis

This is BM4 (Bashicu Matrix System version 4)

* (0,0)(1,1)=(0,2)
* (0,0)(1,1)(0,0)=(0,2,0)
* (0,0)(1,1)(0,0)(1,0)=(0,2,0,1)
* (0,0)(1,1)(0,0)(1,0)(2,0)=(0,2,0,1,2)
* (0,0)(1,1)(0,0)(1,1)=(0,2,0,2)
* (0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)=(0,2,0,2,0,2)
* (0,0)(1,1)(1,0)=(0,2,1)
* (0,0)(1,1)(1,0)(1,0)=(0,2,1,1)
* (0,0)(1,1)(1,0)(2,0)=(0,2,1,2)
* (0,0)(1,1)(1,0)(2,0)(3,0)=(0,2,1,2,3)
* (0,0)(1,1)(1,0)(2,1)=(0,2,1,3)
* (0,0)(1,1)(1,0)(2,1)(1,0)=(0,2,1,3,1)
* (0,0)(1,1)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)=(0,2,1,3,1,2)
* (0,0)(1,1)(1,0)(2,1)(1,0)(2,1)=(0,2,1,3,1,3)
* (0,0)(1,1)(1,0)(2,1)(1,0)(2,1)(1,0)(2,1)=(0,2,1,3,1,3,1,3)
* (0,0)(1,1)(1,0)(2,1)(2,0)=(0,2,1,3,2)
* (0,0)(1,1)(1,0)(2,1)(2,0)(3,0)=(0,2,1,3,2,3)
* (0,0)(1,1)(1,0)(2,1)(2,0)(3,0)(4,0)=(0,2,1,3,2,3,4)
* (0,0)(1,1)(1,0)(2,1)(2,0)(3,1)=(0,2,1,3,2,4)
* (0,0)(1,1)(1,1)=(0,2,2)
* (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)=(0,2,2,1)
* (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,0)=(0,2,2,1,2)
* (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,0)(3,0)=(0,2,2,1,2,3)
* (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)=(0,2,2,1,3)
* (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(1,0)=(0,2,2,1,3,1)
* (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)=(0,2,2,1,3,1,2)
* (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)=(0,2,2,1,3,1,2,3)
* (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(1,0)(2,1)=(0,2,2,1,3,1,3)
* (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(1,0)(2,1)(1,0)(2,1)=(0,2,2,1,3,1,3,1,3)
* (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(2,0)=(0,2,2,1,3,2)
* (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(2,0)(2,0)=(0,2,2,1,3,2,2)
* (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(2,0)(3,0)=(0,2,2,1,3,2,3)
* (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(2,0)(3,0)(4,0)=(0,2,2,1,3,2,3,4)
* (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(2,0)(3,1)=(0,2,2,1,3,2,4)
* (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(2,0)(3,1)(2,0)(3,0)(4,0)=(0,2,2,1,3,2,4,2,3,4)
* (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(2,0)(3,1)(2,0)(3,1)=(0,2,2,1,3,2,4,2,4)
* (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(2,0)(3,1)(3,0)=(0,2,2,1,3,2,4,3)
* (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(2,0)(3,1)(3,0)(3,0)=(0,2,2,1,3,2,4,3,3)
* (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(2,0)(3,1)(3,0)(4,0)=(0,2,2,1,3,2,4,3,4)
* (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(2,0)(3,1)(3,0)(4,0)(5,0)=(0,2,2,1,3,2,4,3,4,5)
* (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(2,0)(3,1)(3,0)(4,1)=(0,2,2,1,3,2,4,3,5)
* (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(2,1)=(0,2,2,1,3,3)
* (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(2,1)(2,0)=(0,2,2,1,3,3,2)
* (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(2,1)(2,0)(3,0)=(0,2,2,1,3,3,2,3)
* (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(2,1)(2,0)(3,0)(4,0)=(0,2,2,1,3,3,2,3,4)
* (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(2,1)(2,0)(3,1)=(0,2,2,1,3,3,2,4)
* (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(2,1)(2,0)(3,1)(2,0)=(0,2,2,1,3,3,2,4,2)
* (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(2,1)(2,0)(3,1)(2,0)(3,0)=(0,2,2,1,3,3,2,4,2,3)
* (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(2,1)(2,0)(3,1)(2,0)(3,1)=(0,2,2,1,3,3,2,4,2,4)
* (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(2,1)(2,0)(3,1)(3,0)=(0,2,2,1,3,3,2,4,3)
* (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(2,1)(2,0)(3,1)(3,0)(4,0)=(0,2,2,1,3,3,2,4,3,4)
* (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(2,1)(2,0)(3,1)(3,0)(4,0)(5,0)=(0,2,2,1,3,3,2,4,3,4,5)
* (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(2,1)(2,0)(3,1)(3,0)(4,1)=(0,2,2,1,3,3,2,4,3,5)
* (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(2,1)(2,0)(3,1)(3,1)=(0,2,2,1,3,3,2,4,4)
* (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(2,1)(2,0)(3,1)(3,1)(3,0)(4,1)(4,1)=(0,2,2,1,3,3,2,4,4,3,5,5)
* (0,0)(1,1)(1,1)(1,1)=(0,2,2,2)
* (0,0)(1,1)(1,1)(1,1)(1,0)=(0,2,2,2,1)
* (0,0)(1,1)(1,1)(1,1)(1,0)(2,0)=(0,2,2,2,1,2)
* (0,0)(1,1)(1,1)(1,1)(1,0)(2,0)(3,0)=(0,2,2,2,1,2,3)
* (0,0)(1,1)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)=(0,2,2,2,1,3)
* (0,0)(1,1)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(2,1)=(0,2,2,2,1,3,3)
* (0,0)(1,1)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(2,1)(2,1)=(0,2,2,2,1,3,3,3)
* (0,0)(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)=(0,2,2,2,2)
* (0,0)(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)=(0,2,2,2,2,2)
* (0,0)(1,1)(2,0)=(0,2,3)
* (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)=(0,2,3,1)
* (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,0)=(0,2,3,1,2)
* (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,0)(3,0)=(0,2,3,1,2,3)
* (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,1)=(0,2,3,1,3)
* (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,1)(2,0)=(0,2,3,1,3,2)
* (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,1)(2,0)(3,0)=(0,2,3,1,3,2,3)
* (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,1)(2,0)(3,1)=(0,2,3,1,3,2,4)
* (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,1)(2,0)(3,1)(3,0)(4,1)=(0,2,3,1,3,2,4,3,5)
* (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,1)(2,1)=(0,2,3,1,3,3)
* (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,1)(2,1)(1,0)=(0,2,3,1,3,3,1)
* (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,1)(2,1)(1,0)(2,1)=(0,2,3,1,3,3,1,3)
* (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,1)(2,1)(1,0)(2,1)(1,0)=(0,2,3,1,3,3,1,3,1)
* (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,1)(2,1)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)=(0,2,3,1,3,3,1,3,1,2)
* (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,1)(2,1)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)=(0,2,3,1,3,3,1,3,1,2,3)
* (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,1)(2,1)(1,0)(2,1)(1,0)(2,1)=(0,2,3,1,3,3,1,3,1,3)
* (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,1)(2,1)(1,0)(2,1)(1,0)(2,1)(1,0)(2,1)=(0,2,3,1,3,3,1,3,1,3,1,3)
* (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,1)(2,1)(1,0)(2,1)(2,0)=(0,2,3,1,3,3,1,3,2)
* (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,1)(2,1)(1,0)(2,1)(2,0)(3,0)=(0,2,3,1,3,3,1,3,2,3)
* (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,1)(2,1)(1,0)(2,1)(2,0)(3,1)=(0,2,3,1,3,3,1,3,2,4)
* (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,1)(2,1)(1,0)(2,1)(2,0)(3,1)(3,0)(4,1)=(0,2,3,1,3,3,1,3,2,4,3,5)
* (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,1)(2,1)(1,0)(2,1)(2,1)=(0,2,3,1,3,3,1,3,3)
* (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,1)(2,1)(1,0)(2,1)(2,1)(1,0)(2,1)(2,1)=(0,2,3,1,3,3,1,3,3,1,3,3)
* (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,1)(2,1)(2,0)=(0,2,3,1,3,3,2)
* (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,1)(2,1)(2,0)(3,1)(3,1)=(0,2,3,1,3,3,2,4,4)
* (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,1)(2,1)(2,1)=(0,2,3,1,3,3,3)
* (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,1)(2,1)(2,1)(2,1)=(0,2,3,1,3,3,3,3)
* (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,1)(3,0)=(0,2,3,1,3,4)
* (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,1)(3,0)(2,0)=(0,2,3,1,3,4,2)
* (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,1)(3,0)(2,0)(3,0)(4,0)=(0,2,3,1,3,4,2,3,4)
* (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,1)(3,0)(2,0)(3,1)=(0,2,3,1,3,4,2,4)
* (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,1)(3,0)(2,0)(3,1)(4,0)=(0,2,3,1,3,4,2,4,5)
* (0,0)(1,1)(2,0)(1,1)=(0,2,3,2)
* (0,0)(1,1)(2,0)(1,1)(1,1)?=(0,2,3,2,2)
* (0,0)(1,1)(2,0)(1,1)(1,1)(1,1)=(0,2,3,2,2,2)
* (0,0)(1,1)(2,0)(1,1)(2,0)=(0,2,3,2,3)
* (0,0)(1,1)(2,0)(2,0)=(0,2,3,3)
* (0,0)(1,1)(2,0)(3,0)=(0,2,3,4)
* (0,0)(1,1)(2,0)(3,0)(4,0)=(0,2,3,4,5)
* (0,0)(1,1)(2,0)(3,1)=(0,2,4)
* (0,0)(1,1)(2,0)(3,1)(1,0)=(0,2,4,1)
* (0,0)(1,1)(2,0)(3,1)(1,0)(2,1)=(0,2,4,1,3)
* (0,0)(1,1)(2,0)(3,1)(1,0)(2,1)(3,0)=(0,2,4,1,3,4)
* (0,0)(1,1)(2,0)(3,1)(1,0)(2,1)(3,0)(4,1)=(0,2,4,1,3,5)
* (0,0)(1,1)(2,0)(3,1)(1,1)=(0,2,4,2)