內射維度、投射維度與同調維度

**投射維度**、**內射維度**與**同調維度**（又稱**整體維度**）是交換代數中考慮的重要不變量。

定義
--

以下設

A

{\displaystyle A}

 為交換環，而

M

{\displaystyle M}

 為

A

{\displaystyle A}

-模。

M

{\displaystyle M}

 的**內射維度**

i
d

A

(
M
)

{\displaystyle \mathrm{id}\_A(M)}

 定義為其內射分解的最短長度（當

# M
(
0
)

{\displaystyle M=(0)}

 時置

i
d

A

(
0
# )
−
∞

{\displaystyle \mathrm{id}\_A(0) = -\infty}

）。**投射維度**

p
d

A

(
M
)

{\displaystyle \mathrm{pd}\_A(M)}

 則定義為其投射分解的最短長度。

利用同調代數的工具，可以進一步得到下述刻劃：

**命題一**. 設

n
≥
0

{\displaystyle n\geq 0}

 為整數，下述條件等價：

* i
d

A

(
M
)
≤
n

{\displaystyle \mathrm{id}\_A(M) \leq n}

。
* 對所有

A

{\displaystyle A}

-模

N

{\displaystyle N}

，有

i
>
n
⇒

E
x
t

A
i

(
N
,
M
# )
0

{\displaystyle i>n \Rightarrow \mathrm{Ext}^i\_A(N,M)=0}

。
* 對所有理想

I
⊂
A

{\displaystyle I \subset A}

，有

E
x
t

A

n
1

(
A

/

I
,
M
# )
0

{\displaystyle \mathrm{Ext}^{n+1}\_A(A/I, M)=0}

。
* 對所有正合序列

0
→
M
→

I
0

→
⋯
→

I

n
−
1

→
Q
→
0

{\displaystyle 0 \to M \to I^0 \to \cdots \to I^{n-1} \to Q \to 0}

，若每個

I

{\displaystyle I}

 都是內射模，則

Q

{\displaystyle Q}

 也是內射模。

**命題二**. 設

n
≥
0

{\displaystyle n\geq 0}

 為整數，下述條件等價：

* p
d

A

(
M
)
≤
n

{\displaystyle \mathrm{pd}\_A(M) \leq n }

。
* 對所有

A

{\displaystyle A}

-模

N

{\displaystyle N}

，有

i
>
n
⇒

E
x
t

A
i

(
M
,
N
# )
0

{\displaystyle i>n \Rightarrow \mathrm{Ext}^i\_A(M, N)=0}

。
* 對所有正合序列

0
→
K
→

P

n
−
1

→
⋯
→

P
0

→
M
→
0

{\displaystyle 0 \to K \to P\_{n-1} \to \cdots \to P\_0 \to M \to 0}

，若每個

P

{\displaystyle P}

 都是投射模，則

K

{\displaystyle K}

 也是投射模。

當

A

{\displaystyle A}

 為諾特環而

M

{\displaystyle M}

 為有限生成

A

{\displaystyle A}

-模時，上述條件更等價於

* 對所有極大理想

m

⊂
A

{\displaystyle \mathfrak{m} \subset A}

，有

E
x
t

A

n
1

(
M
,
A

/

m

# )
0

{\displaystyle \mathrm{Ext}\_A^{n+1}(M, A/\mathfrak{m}) = 0}
* 對所有極大理想

m

⊂
A

{\displaystyle \mathfrak{m} \subset A}

，有

T
o
r

n
1

A

(
M
,
A

/

m

# )
0

{\displaystyle \mathrm{Tor}^A\_{n+1}(M, A/\mathfrak{m}) = 0}

由此可定義環

A

{\displaystyle A}

 的**同調維度**

h
d

(
A
)

{\displaystyle \mathrm{hd}(A)}

為：

* sup
M

p
d

A

(
M
)

{\displaystyle \sup\_M \; \mathrm{pd}\_A(M)}
* sup
M

i
d

A

(
M
)

{\displaystyle \sup\_M \; \mathrm{id}\_A(M)}
* 存在

A

{\displaystyle A}

-模

M
,
N

{\displaystyle M, N}

 使得

E
x
t

A
n

(
M
,
N
)
≠
0

{\displaystyle \mathrm{Ext}\_A^n(M,N) \neq 0}

 的最大整數

n

{\displaystyle n}

（可能是無窮大）。

性質
--

內射維度、投射維度與同調維度對局部化有下述關係：

i
d

A

(
M
# )

sup

p

i
d

A

p

(

M

p

)

{\displaystyle \mathrm{id}\_A(M) = \sup\_{\mathfrak{p}}\; \mathrm{id}\_{A\_\mathfrak{p}} (M\_\mathfrak{p})}

p
d

A

(
M
# )

sup

p

p
d

A

p

(

M

p

)

{\displaystyle \mathrm{pd}\_A(M) = \sup\_{\mathfrak{p}}\; \mathrm{pd}\_{A\_\mathfrak{p}} (M\_\mathfrak{p})}

其中的

p

{\displaystyle \mathfrak{p}}

 取遍

A

{\displaystyle A}

 的所有素理想（或極大理想），而投射維度給出

S
p
e
c

A
→

Z

∪
{
±
∞
}

{\displaystyle \mathrm{Spec} A \to \Z \cup \{\pm \infty\}}

 的上半連續函數。事實上，僅須考慮

M

{\displaystyle M}

 的支撐集中的素理想。

由此立刻得到

h
d

(
A
# )

sup

p

h
d

(
A
)

{\displaystyle \mathrm{hd}(A) = \sup\_\mathfrak{p}\; \mathrm{hd}(A)}

。

此外，它們與模的深度也有密切的關係，例如：

**定理** （Auslander-Buchsbaum）：設

A

{\displaystyle A}

 為局部諾特環，

M

{\displaystyle M}

 為有限生成

A

{\displaystyle A}

-模，而且其投射維度有限，則

p
d

A

(
M
)

d
e
p
t
h

A

(
M
# )

d
e
p
t
h

(
A
)

{\displaystyle \mathrm{pd}\_A(M) + \mathrm{depth}\_A(M) = \mathrm{depth}(A)}

**定理**：設

A

{\displaystyle A}

 為局部諾特環，

M

{\displaystyle M}

 為有限生成

A

{\displaystyle A}

-模，而且其內射維度有限，則

i
d

A

(
M
# )

d
e
p
t
h

(
A
)

{\displaystyle \mathrm{id}\_A(M) = \mathrm{depth}(A)}

最後，同調維度為正則局部環給出了一個完全內在的刻劃：

**定理**（Serre）：一個局部諾特環

A

{\displaystyle A}

 是正則局部環的充要條件是

h
d

(
A
)
<
∞

{\displaystyle \mathrm{hd}(A) < +\infty}

，此時

h
d

(
A
# )
dim
⁡
A

{\displaystyle \mathrm{hd}(A) = \dim A}

。

文獻
--

* N. Bourbaki, *Algèbre commutative, chapitre 10* (1998), Masson. ISBN 3-540-34394-6