Phân số

Một **phân số** là một số được biểu diễn dưới dạng thương của hai biểu thức toán học, thường là số nguyên. Phân số được viết dưới dạng

a
b

{\displaystyle \frac{a}{b}}

, trong đó

a

{\displaystyle a}

 gọi là tử số và

b

{\displaystyle b}

 gọi là mẫu số.

## Biến đổi phân số

### Nhân hai phân số

Để nhân hai phân số với nhau, lấy tử số của phân số này nhân với tử số của phân số kia, và làm tương tự với mẫu số.

a
b

⋅

c
d

=

a
⋅
c

b
⋅
d

{\displaystyle \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}}

Với

a
≠
0

{\displaystyle a\ne0}

,

a
a

=
1

{\displaystyle \frac{a}{a}=1}

, ta có hằng đẳng thức sau:

a
b

=

a
b

⋅

c
c

=

a
⋅
c

b
⋅
c

{\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{c}=\frac{a\cdot c}{b\cdot c}}

### Cộng hai phân số

Nếu hai hạng tử đều có cùng một mẫu số, có thể sử dụng tính chất phân phối.

a
b

c
b

=
a
⋅

1
b

c
⋅

1
b

=
(
a
c
)
⋅

1
b

=

a
c

b

{\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{c}{b}=a\cdot\frac1b+c\cdot\frac1b=(a+c)\cdot\frac1b=\frac{a+c}{b}}

Nếu hai hạng tử không có cùng mẫu số, cần quy đồng mẫu số của các hạng tử bằng cách nhân tử số và mẫu số của từng hạng tử với bội chung nhỏ nhất của hai mẫu số. Ví dụ:

2
9

5
6

=

4
18

15
18

=

19
18

{\displaystyle \frac29+\frac56=\frac4{18}+\frac{15}{18}=\frac{19}{18}}

Ở ví dụ trên, BCNN của hai mẫu số là 18, vì vậy cần nhân hạng tử đầu tiên với

2
2

{\displaystyle \frac{2}{2}}

 và hạng tử thứ hai với

3
3

{\displaystyle \frac{3}{3}}

 để hai hạng tử có chung mẫu số là 18.

## Hỗn số, phân số lớn hơn 1 và các phép biến đổi

Có thể chuyển một **hỗn số** thành một phân số lớn hơn 1 bằng 3 bước. Lấy ví dụ hỗn số là

5

4
5

{\displaystyle 5\frac45}

:

1. Nhân phần nguyên (

5

{\displaystyle 5}

) với mẫu số (

5

{\displaystyle 5}

) của phần phân số. Trong ví dụ này,

5
⋅
# 5
25

{\displaystyle 5 \cdot 5=25}
2. Cộng tử số của phần phân số với tích được tính ở bước 1. Trong ví dụ này,

4
# 25
29

{\displaystyle 4+25=29}
3. Tổng tạo thành từ bước 2 là tử số của phân số mới, còn mẫu số của phân số mới là mẫu số của phần phân số của hỗn số (mẫu số được giữ nguyên). Trong ví dụ này,

5

4
5

=

29
5

{\displaystyle 5\frac45=\frac{29}{5}}

.

Ngược lại, cũng có thể chuyển một phân số lớn hơn 1 thành hỗn số bằng 3 bước sau:

1. Chia tử số với mẫu số. Ví dụ với phân số

32
7

{\displaystyle \frac{32}{7}}

,

32
:
# 7
4

{\displaystyle 32:7=4}

 (dư 4)
2. Thương (không tính dư) từ bước 1 là phần nguyên của hỗn số mới. Số dư trở thành tử số của phần phân số của hỗn số mới. Trong ví dụ này, 4 là phần nguyên của hỗn số mới và 4 là tử số của phần phân số của hỗn số mới.
3. Mẫu số của hỗn số mới chính là mẫu số của phân số cũ (giữ nguyên). Trong ví dụ này, mẫu số là 7. Ta được kết quả:

32
7

=
4

4
7

{\displaystyle \frac{32}{7}=4\frac47}

.

## Trục căn thức ở mẫu

Trong đại số sơ cấp, có một dạng bài yêu cầu *trục căn thức ở mẫu* của một biểu thức giống như sau:

1

5

11

−

7

{\displaystyle \frac{1+\sqrt5}{\sqrt{11}-\sqrt7}}

Trục căn thức ở mẫu là biến đổi để tạo thành một phân số mới bằng phân số trên, với mẫu số là số nguyên.

Để trục căn thức ở mẫu, ta nhân cả tử và mẫu với **biểu thức liên hợp** của mẫu, và sử dụng hằng đẳng thức hiệu của hai bình phương (

(
a
−
b
)
(
a
b
# )

a
2

−

b
2

{\displaystyle (a-b)(a+b)=a^2-b^2}

). Ta có thể biến đổi

11

−

7

{\displaystyle \sqrt{11}-\sqrt7}

 thành một số nguyên bằng cách nhân với

11

7

{\displaystyle \sqrt{11}+\sqrt7}

:

(

11

−

7

)
(

11

7

# )

11

2

−

7

2

=
11
−
# 7
4

{\displaystyle (\sqrt{11}-\sqrt7)(\sqrt{11}+\sqrt7)=\sqrt{11}^2-\sqrt7^2=11-7=4}

Nhân phân số trên với

11

7

11

7

{\displaystyle \frac{\sqrt{11}+\sqrt7}{\sqrt{11}+\sqrt7}}

, ta được 4 ở mẫu:

1

5

11

−

7

=

1

5

11

−

7

⋅

11

7

11

7

=

(
1

5

)
(

11

7

)

(

11

−

7

)
⋅
(

11

7

)

=

11

7

55

35

4

{\displaystyle \frac{1+\sqrt5}{\sqrt{11}-\sqrt7}=\frac{1+\sqrt5}{\sqrt{11}-\sqrt7}\cdot\frac{\sqrt{11}+\sqrt7}{\sqrt{11}+\sqrt7}=\frac{(1+\sqrt5)(\sqrt{11}+\sqrt7)}{(\sqrt{11}-\sqrt7)\cdot(\sqrt{11}+\sqrt7)}=\frac{\sqrt{11}+\sqrt7+\sqrt{55}+\sqrt{35}}{4}}