Opspansels

Laat

v
1

,
…
,

v
n

∈
V

{\displaystyle v\_1,\ldots,v\_n\in V}

. Het *opspansel* van deze vectoren, notatie

s
p
a
n
(
{

v
1

,
…
,

v
n

}
)
=<

v
1

,
…
,

v
n

>

{\displaystyle span(\{v\_1,\ldots,v\_n\})=<v\_1,\ldots,v\_n>}

 is de verzameling

{

a
1

…

a
n

v
n

a
i

∈

R

}

{\displaystyle \{a\_1+\ldots+a\_nv\_n|\; a\_i\in \mathbb{R}\}}

. Mocht je flauw willen doen en het opspansel willen maken van 0 vectoren, dan is

<
∅
>=
{
0
}

{\displaystyle <\emptyset>=\{0\}}

. Een verzameling vectoren heet *volledig* als zijn opspansel heel

V

{\displaystyle V}

 is. Opspansels zijn belangrijk omdat elke basis een opspansel is. Sterker zelfs, bases zijn gedefinieerd in termen van opspansels.

# V

R

4

{\displaystyle V=\mathbb{R}^4}

, en bekijk de verzameling

v
1

=

[

2

1

0

0

]

,

v
2

=

[

0

1

0

0

]

,

v
3

=

[

0

1

1

0

]

{\displaystyle v\_1= \begin{bmatrix} 2\\1\\0\\0\end{bmatrix}, \; v\_2=\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\end{bmatrix}, \; v\_3=\begin{bmatrix} 0\\1\\1\\0\end{bmatrix}}

Het is makkelijk te controleren dat

<

v
1

,

v
2

,

v
3

>

{\displaystyle <v\_1,v\_2,v\_3>}

 de verzameling is van vectoren met de onderste coördinaat 0.

## Stellingen

Een belangrijke stelling is:

**Stelling 1**: Het opspansel van

v
1

,
…
,

v
n

{\displaystyle v\_1,\ldots,v\_n}

 is een deelruimte van

V

{\displaystyle V}

.

**Bewijs**: We gebruiken de herkenningsstelling om minder te hoeven controleren. Laat

W
=<

v
1

,
…
,

v
n

>

{\displaystyle W=<v\_1,\ldots,v\_n>}

 Stel dat

w
1

,

w
2

∈
W

{\displaystyle w\_1,w\_2\in W}

. Dan weten we dat

w
1

w
2

=
(

a
1

v
1

…

a
n

v
n

)
(

b
1

v
1

…

b
n

v
n

# )
(

a
1

b
1

)

v
1

…
(

a
n

b
n

)

v
n

{\displaystyle w\_1+w\_2=(a\_1v\_1+\ldots+a\_nv\_n)+(b\_1v\_1+\ldots+b\_nv\_n)=(a\_1+b\_1)v\_1+\ldots+(a\_n+b\_n)v\_n}

Dus

w
1

w
2

∈
W

{\displaystyle w\_1+w\_2\in W}

. Daarnaast geldt voor

w
∈
W
,

c
∈

R

{\displaystyle w\in W,\; c\in \mathbb{R}}

c
# w
c
(

a
1

v
1

…

a
n

v
n

# )
(
c

a
1

)

v
1

…
(
c

a
n

)

v
n

{\displaystyle cw=c(a\_1v\_1+\ldots+a\_nv\_n)=(ca\_1)v\_1+\ldots+(ca\_n)v\_n}

Dus

c
w
∈
W

{\displaystyle cw\in W}

. We zien nu dat

0
∈
W

{\displaystyle 0\in W}

, want dan maken we alle coëfficiënten gewoon 0. We concluderen dat het opspansel een deelruimte is van

V

{\displaystyle V}

. Merk op dat de stelling zelfs geldt voor 0 vectoren: de nulruimte is een deelruimte van elke vectorruimte.

**Uitdunlemma**: Stel dat

v
1

,
…
,

v
n

{\displaystyle v\_1,\ldots,v\_n}

 een volledige verzameling vectoren is, en stel dat

v
n

{\displaystyle v\_n}

 een lineaire combinatie is van de overige vectoren. Dan is

v
!

,
…
,

v

n
−
1

{\displaystyle v\_!,\ldots, v\_{n-1}}

 een volledige verzameling.

**Bewijs**: Neem een willekeurige vector

v
∈
V

{\displaystyle v \in V}

 zijn. Dan weten we dat

# v

a
1

v
1

a
2

v
2

…

a
n

v
n

{\displaystyle v=a\_1v\_1+a\_2v\_2+\ldots+a\_nv\_n}

Maar omdat

v
n

{\displaystyle v\_n}

 een lineaire combinatie van de andere vectoren is, geldt:

# v

a
1

v
1

…

a

n
−
1

v

n
−
1

a
n

(

b
1

v
1

…

b

n
−
1

v

n
−
1

)

{\displaystyle v=a\_1v\_1+\ldots+a\_{n-1}v\_{n-1}+a\_n(b\_1v\_1+\ldots+b\_{n-1}v\_{n-1})}

=
(

a
1

a
n

b
1

)

v
1

…
(

a

n
−
1

a
n

b

n
−
1

)

v

n
−
1

{\displaystyle =(a\_1+a\_nb\_1)v\_1+\ldots+(a\_{n-1}+a\_nb\_{n-1})v\_{n-1}}

Dus

v
1

,
…
,

v

n
−
1

{\displaystyle v\_1,\ldots,v\_{n-1}}

 is volledig.