Conceptos de Cálculo Wiki

Asignatura
 Periodo
 Programa académico
 Profesor
 Alumno
2           MONDRAGON CASTRO JONATHAN
3           MONTES CHAVEZ            OMAR
4           ORTIZ RAMIREZ NORMA LETICIA
5           RUIZ BENITEZ     CRISTIAN IVAN
6           SILVA ORTEGA  LESLY YAZMIN
7           SOLANO NIETO ERICK ALEXIS
8           SOTO HERNANDEZ   EDGAR IVAN
 Número de cuenta
 Fecha

**¡Bienvenidos a Conceptos de Cálculo Wiki!**
Somos una comunidad web colaborativa sobre Conceptos de Cálculo en la que cualquiera, incluyéndote a ti, puede contribuir. Los wikis como este dependen de que los lectores se involucren y añadan contenido.

**Clasificación de los números**

Se tiene un conjunto de elementos llamados números, estos dan sentido a las operaciones fundamentales mejor conocidos como suma, resta, división, multiplicación, etc.

El número también tiene otra tarea importante, con ella podemos medir cantidades, longitudes, áreas, volúmenes, etc.

**Propiedades de los números reales**

Existen diferentes tipos de propiedades elementales dentro de los números reales, mediante las cuales llegamos a hacer combinaciones para obtener otros números de igual naturaleza que los reales:

Propiedad transitiva de la igualdad, en donde *a = b y b = c entonces a = c* Si 2 igualdades tienen un elemento en común, otros dos elementos también serán iguales.

Ejemplo: *Si 9/3 = 3 y 3 = 9/3 entonces 9/3 = 3*

Propiedad conmutativa de la suma y la multiplicación, en donde *a + b = b +a y (a)(b) = (b)(a)* Dado el resultado final no depende del orden en que estén acomodados los elementos es decir el orden de los factores no altera el producto.

Ejemplo: *9/3 + 3 = 3 + 9/3*

Propiedad Asociativa de la suma y multiplicación, en donde *a + (b+c) = (a+b) + c* Si se aplican dos tipos de operaciones donde existan tres o mas elementos, el resultado no dependerá de la manera en que estén agrupados.

Ejemplo: *5 + (3+4) =  (5+3) + 4*

Propiedad Inversa, en donde cada numero real existirá un número real negativo *(-a),  tal que a + (-a) = 0* pero a cada número real a excepción del cero tendrá un numero real denotado por a-1

Propiedad Distributiva, en donde *a (b+c) = (a)(b) + (a)(c)* Se realiza la multiplicación de un elemento por la suma de dos elementos nos dará el mismo resultado si se suman ambas multiplicaciones por ese mismo elemento.

Ejemplo: *3 (4+5) = (3)(4) + (3)(5)*

En matemáticas, cuando el valor de una magnitud depende de otra, decimos que la primera ***está en función*** de la segunda. Fue el físico y matemático suizo *Leonhard Euler* quien introdujo la noción de **función matemática**, refiriéndose a ella como *f(x)*. En este apartado vamos a presentar el **concepto de función matemática**, a través de los siguientes puntos:

* Variables dependientes e independientes
* La definición de función
* Qué es el dominio y la imagen

* Qué es el codominio

* Representación de funciones
* Fórmula
* Gráfica
* Tabla de pares ordenados
* Algoritmo
* Conclusiones

Una vez comprendido este concepto, estarás en disposición de empezar a estudiar las funciones reales de variable real, con las que trabajaremos, sobre todo, en este nivel educativo. Pero, empecemos por el principio...

Variables independientes y dependientes

Piensa...

1. ¿De qué *depende* la longitud de una circunferencia?
2. ¿De qué *depende* la cantidad de lluvia recogida en un recipiente durante 1 hora?
3. ¿De qué *depende* la distancia recorrida durante un minuto por un móvil que sigue un movimiento rectilíneo uniforme?
4. ¿De qué *depende* el precio de la factura de la luz de tu casa?

Son ejemplos de tu día a día en los que se establecen relaciones entre distintas magnitudes. Así:

1. La longitud *L* de una circunferencia *depende* de radio *R* (recuerda, *L = 2·π·R* )
2. La cantidad de lluvia recogida durante una hora en el recipiente *depende* de la intensidad con la que caiga la misma (esta se suele medir en litros por metro cuadrado )
3. La distancia recorrida durante un minuto por el móvil *depende* de la velocidad que lleve (recuerda, *s=v·t* )
4. Finalmente, el precio de la factura de la luz *depende*, al menos, de la cantidad de energía consumida

Observa que, en los ejemplos anteriores, existe:

* una **variable independiente**: El radio de la circunferencia, la intensidad con la que cae la lluvia, la velocidad del móvil o la cantidad de energía consumida de nuestros ejemplos:
* una **variable dependiente**, que *es función* del valor o valores de las anteriores: la longitud de la circunferencia, la cantidad de lluvia recogida en el recipiente, la distancia recorrida por el cuerpo o el precio final de la factura de la luz

Para expresar matemáticamente la dependencia entre variables, y poder así describir fenómenos reales, utilizamos las **funciones**.

**Concepto de Desigualdad**

Una **desigualdad** es una relación de orden que se da entre dos valores cuando estos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad).

 Propiedad de antisimetría
 Propiedad transitiva
* si *x* < *y* y *y* < *z* , entonces *x* < *z* .
 Propiedad de la suma
 Propiedad de la resta
 Propiedad de la multipicación
* si *x* < *y* , entonces

**Clasificación de desigualdades**

Para las desigualdades, los criterios clasificadores que se toman en cuenta son: la ubicación de la variable, el número de variables, el grado y la existencia o no de valor absoluto.

1) Por la ubicación de la variable:                              de 1er grado

                           Sin variable en el denominador     de 2do grado

Desigualdades                                                           de 1er grado

                           Con variable en el dominador        de 2do grado

2) Por el número de variables:

                           Con una variable

Desigualdades

                          Con dos variables

3) Respecto del valor absoluto:

                           Sin valor absoluto

Desigualdades

                         Con valor absoluto

**Concepto de Función**

Conceptualmente puedes pensar que una función es una especie de máquina transformadora que, a partir de una variable de entrada, ofrece una salida única determinada. Así, en nuestro ejemplo de la longitud de la circunferencia, cuando la función recibe el valor del radio *R* (variable independiente), la "máquina" nos devuelve el valor de la longitud *L* (variable dependiente).

En este nivel educativo nos centraremos, sobre todo, en funciones con una sola variable independiente y una variable dependiente, aunque debes tener presente que, en el futuro podrás encontrar también funciones varias variables independientes.

Definición

De manera general, una **función**, también conocida en ocasiones como **aplicación** o **mapeo**, es una regla entre dos conjuntos A y B de manera que a cada elemento del conjunto A (conjunto original o de partida) le corresponde ***un único*** elemento del conjunto B (conjunto final o de llegada). Matemáticamente se suelen expresar:

f:Aa→↦Bb=f(a)

Donde:

* *a* : Es un elemento *cualquiera* del conjunto inicial A
* *b* : Es un elemento del conjunto final B, resultante de aplicar sobre *a* la función concreta *f*

Aunque la definición anterior puede parecer bastante abstracta, no te asustes. La siguiente imagen te ayudará a aclarar estas ideas.

**Función como relación entre conjuntos**

En nuestra imagen, el conjunto A está formado por personas y el conjunto B está formado por pesos. La función *f*, representada por la máquina en el centro, es la encargada de asociar a cada persona su peso. Además, en la definición anterior llamábamos *a* a cada elemento del conjunto inicial y *b* a cada elemento del conjunto final. El valor de *b* se obtiene aplicando la regla *f*  "peso de la persona" al elemento *a*. ¿Se te ocurre qué aparato de tu día a día podría representar en este caso el funcionamiento de la máquina?

Observa que, *en general*, ***los conjuntos A y B no tienen por qué ser numéricos*** (en nuestro ejemplo solo el conjunto B lo es). Veamos otros **ejemplos de funciones**:

1. Una función que relaciones un conjunto A formado por personas, con un conjunto B formado por colores, a través de la regla "a cada persona su color de ojos"

1. Una función que relaciona el conjunto A formado por los números naturales *ℕ* con un subconjunto de los reales *ℝ* tales que:

f:Nn→↦Ry=f(n)=n−−√

Así, al elemento *n=1* les correspondería y=1–√, y al elemento *n=2* le correspondería y=2–√.

Es importante que te percates de que *no todas las relaciones entre variables pueden ser consideradas funciones*. Para que lo sean, a cada valor del conjunto inicial A le tiene que corresponder ***un único*** valor del conjunto final B, esto es, *la función debe ser **univaluada***. Aunque un valor del conjunto B puede estar asociado a varios valores del conjunto A.

**No todas las relaciones son funciones**

En una función, a cada elemento de B pueden llegar varias flechas de A, pero de un elemento de A no pueden salir varias flechas. Así, dada una correspondencia que sea una función (ilustración izquierda), la correspondencia inversa (ilustración derecha) no tiene por qué serlo también.

Dominio e imagen

El **dominio de definición**, **campo de existencia**, o simplemente **dominio** de una función, es el *conjunto* de valores que puede tomar la **variable independiente**, es decir, "lo que puede *entrar* en una función". De acuerdo a la definición anterior de función matemática, el **dominio** es el conjunto original o inicial de la misma. Normalmente se denota Dom(f), Domf, o simplemente *D*.

Así, por ejemplo:

1. El domino de la función anterior que relacionaba a cada persona con su color de ojos es el conjunto formado por las personas
2. El domino de la función que relacionaba los números naturales con su raíz cuadrada es precisamente el conjunto de números naturales *ℕ*

El **conjunto imagen**, también llamado **rango**, **recorrido**, o, simplemente, **imagen** de una función, es el *conjunto* de valores que toma la **variable dependiente**, es decir, "lo que *sale* de una función". Normalmente se denota Im(f), Imf, Rec(f), Recf, o simplemente *R*.

Cada elemento concreto del conjunto imagen es la **imagen** de algún elemento particular del conjunto dominio, que denominaremos su **antiimagen**. Es habitual denotar a esta imagen por *y*, y a su antiimagen por *x*. Decimos entonces que *y* es la imagen de *x* a través de *f*. Volviendo a nuestros ejemplos:

1. El recorrido de la función que relacionaba a cada persona con su color de ojos es el conjunto formado por los colores de ojos que realmente tienen las personas del dominio. Además, decimos que cada color de ojos concreto del conjunto imagen es la imagen de uno (o varios) elementos del dominio.

Así, el azul es la imagen de nuestra pequeña amiga Sofía; el verde es la imagen de Carlos, el oficinista grandullón que parece no prestar demasiada atención a su dieta; El negro es la imagen de Roberto, el profe de Física de camiseta verde; y, finalmente, el marrón es la imagen de Rosa, la directora del instituto en el que trabaja Roberto, vestida también de verde.

Por otro lado, cada persona concreta sería una *antiimagen* de algún color. Así Sofía es la antiimagen del azul, Carlos lo es del verde, Roberto es la antiimagen del negro y Rosa es la antiimagen del marrón.

1. El recorrido de la función que relacionaba los números naturales con su raíz cuadrada es el subconjunto de los números reales que resulta de aplicar a cada número natural su raíz cuadrada. Decimos que cada número real del conjunto imagen es la imagen de un número natural.

Así, el 1 ( 1–√ ) es la imagen del 1, el 2–√ es la imagen del 2, el 3–√ es la imagen del 3, el 2 ( 4–√ ) es la imagen del 4 y así sucesivamente.

Por otro lado, cada número natural concreto sería una *antiimagen* de algún real. Así, el 1 sería la antiimagen del 1 (1–√), el 2 la antiimagen de 2–√ y así sucesivamente

Puede que te estés preguntando por qué son importantes el dominio y la imagen. La respuesta es que a veces nos interesa decir qué valores pueden entrar y qué valores salen de una función.

Así, el rango depende del dominio, pero nosotros definimos el dominio cuando definimos la función. No tendría sentido aplicar la función del color de ojos vista anteriormente sobre figuras geométricas, o sobre frutas y hortalizas. El dominio debe ser un conjunto de personas.

¿Y el codominio?

Pues hasta ahora no habíamos hablado de él, pero me alegra que me hagas esa pregunta... Aunque **es habitual que se confundan codominio e imagen**, en realidad hay una sutil diferencia. Tan sutil que solo te recomendamos que sigas leyendo si tienes claro todos los conceptos vistos hasta aquí...

El **codominio**, también conocido como **contradominio**, es el conjunto final o de llegada para el que se define la función, es decir, "lo que ***podría salir*** de una función". Normalmente se denota Cod(f), Codf, o, simplemente, *Codom(f)*.

Bien... esto se parece mucho al recorrido... ¿cierto? No, no del todo. **El recorrido puede coincidir con el codominio, o puede ser un subconjunto de este** ( Cod(f)⊂Rec(f) ). La siguiente ilustración resume estas ideas.

**Dominio, codominio e imagen**

En la ilustración tenemos una función cuyo conjunto imagen es subconjunto del codominio. Así:

* Llamamos dominio, en verde, al conjunto de valores que pueden entrar en una función.
* Llamamos codominio, en azul claro, al conjunto de valores que podrían salir de una función
* Llamamos imagen, en azul oscuro, al conjunto de valores que realmente salen de una función

Ahora que ya has entendido la diferencia entre recorrido y codominio puede que te preguntas... ¿por qué es este último importante? Simplemente porque en ocasiones no nos es posible conocer *a priori* el conjunto concreto de valores de salida de la función (su conjunto imagen), pero si podemos conocer los *posibles* valores de salida (el codominio), y así estudiar algunas propiedades de la función.

Observa que *el dominio (A) y el codominio (B) son parte de la definición formal de una función*:

f:Aa→↦Bb=f(a)

Siguiendo con nuestros ejemplos, en el caso de la función que asociaba a cada persona su color de ojos, definimos el dominio como el conjunto formado por Sofía, Carlos, Roberto y Rosa. Sin ver de cerca los ojos de nuestros amigos no podemos conocer su color, sin embargo sabemos que, sean cuales sean, serán colores (no números, ni figuras geométricas, ni frutas, ni hortalizas). Así pues, a la hora de definir nuestra función podríamos decir que su codominio es (porque así lo definimos nosotros) el conjunto formado por todos los posibles colores. Por otro lado, y como ya sabes, en este ejemplo, la imagen serían los colores azul, verde, negro y marrón.

En la función que asociaba a cada natural su raíz cuadrada, sabemos que dicho valor estará en el conjunto de los reales, pero no podemos saber a priori los valores de las infinitas raíces cuadradas de los infinitos números naturales. Así pues, a la hora de definir nuestra función podríamos decir que su codominio es (porque así lo definimos nosotros) el conjunto formado por todos los números reales, aunque su recorrido sólo sea un subconjunto de este (observa, por ejemplo, que 3.5∈Cod(f)=R, pero  3.5∉Rec(f) ya que no hay ningún número natural cuya raíz cuadrada de 3.5).

Representación

Una vez entendido qué son, conceptualmente, las funciones, cabe preguntarnos exactamente cómo podemos representarlas. Lo fundamental de una representación es que nos permita obtener la imagen a partir de cada elemento del dominio. Para ello se proporciona una **regla de transformación** o **de correspondencia**, que puede estar dada en distintas formas.

*En general*, no es habitual dar de manera explícita los conjuntos inicial (dominio), final (codominio) e imagen. Suelen ser características de las funciones que tendremos que determinar, si es útil para el problema que estamos haciendo, y que dependerán, en cada caso, del tipo de función y de la forma en que la expresemos. En este nivel trabajaremos sobre todo con funciones cuyo dominio y codominio serán los números reales o un subconjunto de este.

Fórmula o ecuación matemática

Damos la regla de correspondencia mediante una fórmula que relaciona algebraicamente varias magnitudes. Implica que tanto el conjunto inicial como el final son numéricos, normalmente números reales.

* f(x)=5x+2; Se lee "efe de equis igual a cinco equis más dos". En azul hemos marcado el valor de entrada a la función, en verde el valor de salida, y la regla de transformación sería *5·x+2*
* y=5⋅x+2; En este caso al valor de salida lo llamamos *y*
* g(x)=5⋅x+22x; La particularidad esta vez es que la llamamos *g*, en lugar de *f*
* altura de Alejandro(t)={5050⋅(t−2)si 0⩽t<3si 3≤t<18; En esta ocasión a la variable independiente la hemos llamado *t*; a la función, *"Altura de Alejandro"*. Se trata de una función definida a trozos
* F→g(r)=−G⋅M⋅mr2⋅u→r; Se trata de la fórmula de la fuerza gravitacional con la que se atraen dos cuerpos. En este caso el valor de salida es un vector, y el de entrada lo hemos llamado *r*, que representa la distancia que separa dos cuerpos. Observa que, aunque aparezcan varias letras, la única variable independiente es *r*, que es la que aparece como F→g(r) . El resto de elementos de la ecuación se consideran constantes para dos cuerpos determinados

Cuando queremos ser más precisos e indicar exactamente el dominio y el codominio de la función, utilizamos la notación:

f:Nx→→Ry=f(x)=x−−√

Que también podrás ver como...

f:Nx→↦Rx−−√

Tablas de pares ordenados

A cada pareja de valores entrada-salida correspondientes se le denomina **par ordenado** y se suele denotar por *(x, f(x))*. En ocasiones, sólo son relevantes ciertos valores de la función. Podemos formar una tabla a partir de ellos, con los pares ordenados en la forma:

Por ejemplo, podemos representar los valores de velocidad de un móvil durante los 3 primeros segundos de su recorrido:

A partir de estos datos, ¿sabrías decir de qué tipo de movimiento se trata?

Gráfica

Otra forma muy habitual de dar la regla de correspondencia es mediante una gráfica. Cuenta con unos ejes (habitualmente los ejes cartesianos) que representan las variables de entrada (independientes) y salida (dependientes). Sobre ellos se dibujan los puntos correspondientes a los pares ordenados en el lugar del plano (o del espacio, en el caso de funciones reales de dos variables independientes) que les corresponda. Uniendo estos puntos nos queda un trazo lineal (o una superficie) que representa la función buscada.

Las gráficas son ideales para visualizar y conocer intuitivamente algunas características de las funciones estudiadas, tales como su crecimiento, decrecimiento, máximos, mínimos, etc. Algunos ejemplos:

**Gráficas de funciones**

https://community.fandom.com/wiki/File:GRAFICAS.jpg

En la ilustración puedes ver 4 gráficas de funciones representadas sobre los ejes cartesianos. La 1 se corresponde a la función *f(x)=x*, la segunda *f(x)=x2*. La tercera *f(x)=x3*. La cuarta corresponde a una función de dos variables *f(x,y)=x+y*, con lo que su gráfica es una superficie en el espacio.

La representación gráfica de una función solo tiene sentido para aquellas cuyo conjunto inicial y conjunto final sean valores numéricos. Concretamente cuando el dominio tenga una dimensión obtendremos gráficamente un trazo lineal, y cuando tenga dos dimensiones obtendremos una superficie

Algoritmo

Aunque menos habitual en este nivel educativo, también es posible expresar las funciones matemáticas "explicando" la **regla de correspondencia**. Por ejemplo:

* multiplica el número por dos,
* obtén la última letra de la palabra o...
* ... encuentra el primer número primo mayor que el número natural dado

Existen numerosos lenguajes formales para expresar esta "explicación", que denominamos **algoritmo**, los conjuntos de valores sobre los que puede actuar (ya sabes, el dominio) y los valores que se podrían obtener como salida (el codominio). Los lenguajes de programación son una buena muestra de ello.

Observa este ejemplo, en el que expresamos la regla "obtén la última letra de la palabra" de una manera formal. Para ello convenimos que el dominio sea el conjunto de palabras del castellano, *P={Palabras del castellano}* , y el codominio el conjunto de letras del castellano *L={Letras del castellano}*. Así, la regla de correspondencia vendrá dada por:

f:Pp→↦Lletra final de p

Conclusión

En este apartado hemos estudiado el **concepto de función matemática** y los elementos que la componen. A lo largo del resto del tema vamos a presentar y estudiar en profundidad las **funciones reales de variable real**. Practicaremos ejercicios con ellas, aprenderemos a estudiar sus características, a representarlas gráficamente y a ver sus usos en Física. Visita el resto de apartados del tema para continuar aprendiendo sobre este importante concepto matemático.

**Propiedades generales**

**DOMINIO DE UNA FUNCIÓN** es el conjunto de los valores que puede tomar la variable independiente, es decir, aquellos valores para los que la función está definida.

§  Si la función es del tipo f(x) = P(x), su dominio es todo los reales

§  Si la función es del tipo f(x) = P(x)/Q(x), su dominio será el conjunto de todos los valores tales que Q(x)≠ x

§  Si la función es del tipo f=(x) =√p(x)

﻿﻿si n impar, entonces su dominio es todo el conjunto de los números reales ﻿﻿ ﻿si n par, el dominio estará formado por los valores que hacen que el radicando sea positivo o cero.

**IMAGEN DE UNA FUNCIÓN** el conjunto de los valores que toma la función

**CRECIMIENTO**

§  CRECIENTE si al aumentar x, la y también aumenta

§  DECRECIENTE si al aumentar el valor de x, el valor de y se de disminuido

§  CONSTANTE al variar x, y se mantiene igual

**MÁXIMO** es el punto en el cual la variable dependiente toma el valor más alto

**MÍNIMO** es el punto en el cual la variable dependiente toma el valor más bajo

**CONTINUIDAD** Se dice que una función es continua, si al dibujarla no hay que levantar el lápiz del papel

**PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES**

Con el eje de ordenadas (OY) son aquellos puntos que tienen su abscisa nula (0,f(0))

Con el eje de abscisas (OX) son aquellos puntos que tienen su ordenada nula (x0,0)

Hay otros autores que denominan funciones elementales fundamentales,​ que tampoco consideran a la función constante como función elemental fundamental. Hay distintos procedimientos para representar las funciones. Sin embargo, asume peculiar importancia el procedimiento de representarlas por fórmulas. Esto se ve en las que se denominan funciones elementales o bien simples, entre​ ellas:

Función constante:

f
(
x
# )
c

{\displaystyle f(x)=c}

Función identidad:

f
(
x
# )
x

{\displaystyle f(x)=x}

Función Cuadrática:

f
(
x
# )

x
2

{\displaystyle f(x)=x^2}

Función Cúbica:

f
(
x
# )

x
3

{\displaystyle f(x)=x^3}

Función raíz o función irracional:

f
(
x
# )
√
x

{\displaystyle f(x)=\surd x}

 , con x ≥ 0.

Función Potencial:

f
(
x
# )

x
n

{\displaystyle f(x) = x^n}

 , n ∈ ℝ con n ≠ 0. Notemos que la función cuadrática, la función cúbica son casos particulares de esta función.

Función exponencial:

f
(
x
# )

x

x

{\displaystyle f(x)={x^{x}}}

, x ∈ ℝ y a ∈ ℝ+.

Función logarítmica:

f
(
x
# )

log

a

⁡
(
x
)

{\displaystyle f(x)=\log\_{a} (x)}

 , x ∈ ℝ+; a ∈ ℝ+ con a ≠ 1.

**Funciones trigonométricas**

Función seno:

f
(
x
# )
sin
⁡
(
x
)

{\displaystyle f(x) = \sin(x)}

Función coseno:

f
(
x
# )
cos
⁡
(
x
)

{\displaystyle f(x) = \cos(x)}

Función tangente:

f
(
x
# )
tan
⁡
(
x
# )
sin
⁡
(
x
)

/

cos
⁡
(
x
)

{\displaystyle f(x)=\tan (x)=\sin (x)/\cos (x)}

 , con x ≠ (2k + 1)π/2; k ∈ ℤ.

Función secante:

f
(
x
# )
sec
⁡
(
x
)

{\displaystyle f(x)=\sec (x)}

 , con x ≠ (2k + 1)π/2; k ∈ ℤ.

Función cosecante:

f
(
x
# )
csc
⁡
(
x
)

{\displaystyle f(x)=\csc(x)}

, con x ≠ kπ; k ∈ ℤ.

Función cotangente

f
(
x
# )
cot
⁡
(
x
)

{\displaystyle f(x)=\cot(x)}

: , con x ≠ kπ; k ∈ ℤ.

**Funciones trigonométricas inversas**

Función arcoseno:

f
(
x
# )
arcsin
⁡
(
x
)

{\displaystyle f(x)=\arcsin(x)}

 , con x ∈ [-1, 1]

Función arcocoseno:**Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://mathoid-facade/v1/»:): {\displaystyle f(x)=\arccsc(x)}**
 , con x ∈ [-1, 1]

Función arcotangente:

f
(
x
# )
arctan
⁡
(
x
)

{\displaystyle f(x)=\arctan(x)}

**Generación de funciones elementales**

Si las funciones anteriores se combinan, pudiendo usar, un número finito de veces, las operaciones de adición, resta, multiplicación, división y composición de funciones, se consiguen, nuevamente, funciones elementales. Ciertamente, más complicadas que las de la lista precedente

El dominio de esta última función no incluye ningún número real.

Un ejemplo de una **función que *no* es elemental** es la función error:

hecho que no puede ser reconocido a simple vista a partir de la definición de la función elemental pero que se puede demostrar mediante el algoritmo de Risch.

El concepto de funciones elementales fue desarrollado por Joseph Liouville en una serie de trabajos entre 1833 y 1841. Durante la década de 1930 Joseph Fels Ritt fue pionero en el tratamiento algebraico de las funciones elementales.

Álgebra diferencial

En el contexto del álgebra diferencial se define matemáticamente una **función elemental**, o una función expresada en forma elemental. Un álgebra diferencial es un álgebra sobre un cuerpo con la operación adicional de derivada (versión algebraica de la diferenciación). Utilizando la operación derivación se pueden escribir nuevas ecuaciones y sus soluciones pueden ser usadas en extensiones de cuerpos del álgebra. Las funciones elementales son una extensión de las funciones racionales, se pueden añadir dos tipos de extensiones trascendentales (los logaritmos y las exponenciales).

Un **cuerpo diferenciable** *F* es un campo *F*0 (las funciones racionales sobre los números racionales, por ejemplo) en el que se ha definido una aplicación de diferenciación *u* → ∂*u* (donde ∂*u* es una nueva función, de tal manera que para dos elementos del campo *F*0, la operación de diferenciación es lineal:

{\displaystyle \partial (u+v)=\partial u+\partial v}

y satisface la regla del producto:

{\displaystyle \partial (u\cdot v)=\partial u\cdot v+u\cdot \partial v\,.}

Un elemento *h* es una constante si *∂h = 0*. Una función *u* de extensión diferencial *F*[*u*] de un campo diferencial *F* es una **función elemental** sobre *F* si la función *u*

·        es algebraica en *F*, o

·        es una **exponencial**, que es, ∂*u* = *u* ∂*a* para *a* ∈ *F*, o

·        es un **logaritmo**, que es, ∂*u* = ∂*a* / a para *a* ∈ *F*.

(esto es el ).

**Bibliografía**

* ·        Maxwell Rosenlicht (1972). «Integration in finite terms». *American Mathematical Monthly* **79**: 963-972.
* ·        Joseph Ritt, *Differential Algebra*, AMS, 1950.
* FUNCIONES ELEMENTALES, matematicasiesoja.files.wordpress.com › 2020/04 › fun...
* Garcia, Y. (s. f.). PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES. Recuperado 14 de junio de 2020, de https://www.geogebra.org/m/bc7ofLb3
* Fisicalab, Funcion matemática, https://www.fisicalab.com/apartado/concepto-funcion
* Cole, M. (2011, 15 mayo). Funciones elementales. Recuperado 14 de junio de 2020, de https://es.slideshare.net/marisol\_cole/funciones-elementales-7968757
* Camacho, A. (2009). *Cálculo diferencial*

*Fundadores de la comunidad*: Escribid un buen párrafo describiendo el tema de la comunidad aquí. Permitid que vuestros lectores sepan más del tema sobre el que trata este wiki y algo de información general sobre el mismo. Luego visitad el panel de administración para más consejos.