Clasificación de las funciones.

***Funciones***

Una función (f)
es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio)
y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a
cada elemento x del dominio le corresponde un único
elemento f(x) del codominio (los que forman
el recorrido, rango o ámbito).

De manera más simple: Una función es una relación entre dos
magnitudes, de tal manera que a cada valor de
la primera corresponde un único valor de la segunda.

La función se puede ilustrar mediante un diagrama usando
flechas para indicar la forma en que se asocian los elementos de los dos conjuntos.

Básicamente, hay tres formas para expresar una función: mediante
una tabla de valores (como
el ejemplo anterior), mediante una expresión algebraica o, como veremos
luego, mediante una gráfica.

Tipos de funciones

Dependiendo de ciertas características que tome la expresión algebraica
o notación de la función f en x, tendremos distintos tipos de funciones:

***Función constante***

Una función de la forma f(x) = b, donde b es una
constante, se conoce como una función constante.

Por ejemplo, f(x) = 3, (que corresponde al valor de y) donde
el dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es {3}, por
tanto y = 3. La gráfica de abajo muestra que
es una recta horizontal.

***Función lineal***

Una función de la forma f(x) = mx + b se conoce como una función lineal,
donde m representa la pendiente y b representa el intercepto en y. La
representación gráfica de una función lineal es una recta. Las funciones
lineales son funciones polinómicas.

Ejemplo:

F(x) = 2x - 1

Es una función lineal con pendiente m = 2 e intercepto en y en (0, -1).
Su gráfica es una recta ascendente.

Para trazar la gráfica de una función lineal solo es necesario
conocer dos de sus puntos.

La ecuación matemática que
representa a esta función, como ya vimos, es f(x) = ax + b,
donde f(x) corresponde al valor de y, entonces

y = ax + b

Donde "a" es la pendiente de la recta, y "b" es la
ordenada al origen.

La pendiente indica la inclinación de la recta, cuanto sube o baja y
cuanto avanza o retrocede. Esto depende del signo que tenga.

El valor de "a" siempre es una fracción (si no tiene nada
abajo, es porque tiene un 1), donde el numerador (p) me indica cuanto
sube o baja, y el denominador (q) indica cuanto avanzo o retrocedo.

Aprendido esto, y según el signo de la fracción, la pendiente se marca de
la siguiente forma:

La ordenada al origen (b) es el valor donde la recta corta
al eje y.

La recta siempre va a pasar por el punto (0; b)

Representación gráfica de una función lineal o función afín

Para graficar una recta, alcanza con los datos que
da la ecuación matemática de la función, y se opera de la siguiente manera:

·
1. Se marca sobre el eje y la ordenada al origen, el
punto por donde la recta va a cortar dicho eje.

·
2. Desde ese punto, subo o bajo según sea el valor de "p"
y avanzo o retrocedo según indique el valor de "q". En ese nuevo
lugar, marco el segundo punto de la recta.

·
3. Se podría seguir marcando puntos con la misma pendiente, pero
con 2 de ellos ya es suficiente como para poder graficar
la recta.

·
4. Teniendo ya los dos puntos, con regla se traza la recta que pasa
por los mismos.

La ordenada al origen (3) me indica que me debo parar sobre el
eje y en el 3.

También podemos graficar una función dando valores a x y obteniendo dos
puntos en las coordenadas.

Ejemplo:

Graficar  la función dada por  f(x) = 2x – 1

Solución

Como la función es lineal se buscan dos puntos de la recta; para ello,
se le dan valores a  x  y se encuentran sus imágenes respectivas,
esto es:

Si  x = 0, se tiene que  f (0) = 2(0) – 1 = - 1

Si  x = 2, se tiene que f (2) = 2(2) – 1 = 3

Así, los puntos obtenidos  son (0, -1) y (2, 3), por los cuales se
traza la gráfica  correspondiente.

***Función polinómica***

El dominio de todas estas funciones polinómicas es el conjunto
de los números reales (porque el elemento x puede ser cualquier
número real).

***Función cuadrática***

Una función de la forma f(x) = ax2 + bx + c,
donde a, b y c son constantes y a es
diferente de cero, se conoce como una función cuadrática.

La representación gráfica de una función cuadrática es
una parábola. Una parábola abre hacia arriba si a > 0 y abre
hacia abajo si a < 0.  El vértice de una parábola se
determina por la fórmula:

Las funciones cuadráticas son funciones polinómicas.

Ejemplo:

 arriba con vértice en **(0,0**).

***Función racional***

Una función racional es el cociente de dos funciones
polinómicas. Así es que q es una función racional si para
todo x en el dominio, se tiene:

Nota: El dominio de una función polinómica son los números reales;
sin embargo, el dominio de una función racional consiste de todos los números
reales excepto los ceros del polinomio en el denominador (ya que la división
por cero no está definida).

Función  de potencia

Una función de potencia es
toda función de la forma  f(x) = xr, donde r es
cualquier número real.

Las funciones f(x) = x4/3 y  h(x) =
5x3/2 son funciones de potencia.

Ejercicios y ejemplos con funciones en general:

Expresar mediante una fórmula la función que asocia a cada número:

a) Su cuádruplo.

La función es: f (x) = 4x.

b) Un número 2 unidades mayor.

La función es: f (x) = x
+ 2.

c) Su mitad menos 1.

La función es: f (x) = x/2 - 1.

d) El cuadrado del número que es una unidad menor.

La función es: f (x) = (x - 1)2

Veamos algunos otros ejemplos de funciones:

1) El volumen de
un gas está
determinado por la presión (a temperatura constante),
esta relación viene dada por la ley de
Boyle-Mariotte:

Donde v representa el volumen del gas en
litros, p es la presión en atmósferas
y c es una constante de proporcionalidad.

Se observa que al variar la presión a la que está sometido el gas varía
el volumen; es decir, los valores del
volumen dependen de los valores de la presión del gas y para cada valor de la
presión existe un único valor del volumen.

2) El área  A del círculo depende de la longitud de su radio r y
está dada por la fórmula:

Si se conoce el valor del radio se puede conocer el valor del área del
círculo.

3) Dada la función  f(x) = 5x2 + 2

Encontrar el valor de la función para cuando x = 2.

Para calcular la imagen de
un elemento bajo la función  f, se reemplaza dicho elemento en el
lugar de la variable, así para  x = 2

F
(2) = 5(2)2  + 2

F
(2) = 22

Por lo tanto cuando x = 2, se tiene que  f (2) = 22.

Ejemplo:

El precio de
arrendar un auto es de 15 dólares más 0,20 de dólar por kilómetro recorrido.

·
a) Hallar la fórmula que expresa el costo del
arriendo en función del número de los kilómetros recorridos.

·
b) ¿Cuánto hay que pagar si se han recorrido 50 kilómetros?

c) Si han cobrado 53 dólares ¿cuántos kilómetros se han recorrido?

Veamos:

a) Si llamamos x al número de kms recorridos, la fórmula de la
función es f (x) = 15 + 0,2x.

b) x = 50  entonces

F (50) = 15 + 0,2 • 50 = 25

Hay que pagar 25 dólares.

c) f (x) = 53  entonces

15 + 0,2x = 53 entonces x = 190

Se han recorrido 190 km.

Álgebra de funciones

Suma, resta, multiplicación y división de funciones

Sean f y g dos funciones cualesquiera.

Ejemplos:

Suma de funciones

Sean las funciones