Računanje i analiza matrične funkcije drugi korijen

### Uvod

matrica se danas naširoko primjenjuju u znanosti i tehnici. Ovaj rad će približiti jednu takvu matričnu funkciju, a to je funkcija drugi korijen.Matrični drugi korijen je jedna od najčešće korištenih matričnih funkcija. Najviše se koristi u kontekstu simetričnih pozitivno definitnih matrica, kod problema svojstvenih vrijednosti ili polarne dekompozicije. Susrećemo ju i kod rješavanja diferencijalnih jednadžbi drugog reda, kod rješavanja nelinearnih matričnih jednadžbi te kod rješavanja nekih linearnih krutih rubnih problema.

U slijedećem primjeru ju vidimo kao rješenje diferencijalne jednadžbe drugoga reda. Problem

d
2

y

d

t
2

A
# y
0

{\displaystyle {\operatorname{d^2}\!y\over\operatorname{d}\!t^2} + Ay=0}

y
(
0
# )

y
0

{\displaystyle y(0)=y\_0}

y
′

(
0
# )

y
0
′

{\displaystyle y'(0) =y'\_0}

ima rješenje

y
(
t
# )
cos
⁡
(

A

t
)

y
0

)
(

A

)

−
1

s
i
n
(

A

t
)

y
0
′

{\displaystyle y(t)= \cos(\sqrt{A}t) y\_0)+ (\sqrt{A})^{-1} sin( \sqrt{A}t)y'\_0}

gdje

A

{\displaystyle \sqrt{A}}

 označava bilo koji drugi korijen matrice A. Ovo rješenje postoji za bilo koju matricu A.

Drugi primjer bih izdvojila gdje koristimo matrični drugi korijen za rješavanje nelinearnih matričnih jednadžbi. Npr. uzmimo specijalan slučaj Riccatijeve jednadžbe

X
A
# X
B

{\displaystyle XAX = B}

A
;
B
∈

C

n
x
n

{\displaystyle A;B \in C^{nxn}}

 Ona ima rješenje

# X
B
(
A
B

)

−
1

/

2

{\displaystyle X = B(AB)^{ -1/2}}

 ako AB nema svojstvenih vrijednosti na R-1:

Prvi dio mog rada je sastavljen od manjih poglavlja koja će definirati važna svojstva ili rezultate za moj rad. Sve objašnjene pojmove iz uvoda ću koristiti kasnije u daljnjim poglavljima. Većinu pojmova sam susretala na raznim kolegijima na studiju kao što su *Linearna algebra*, *Matematička analiza,* *Vektorski prostori*, *Numerička matematika* te *Numeričke metode u financijskoj matematici,* *dok sam druge pronašla u literaturi koju sam koristila te ih tako definirala.*

*U nastavku rada sam objasnila definiciju općenite matrične funkcije te se orijentirala baš na funkciju drugi korijen. Veliki je izbor metoda za izračun matričnog drugog korijena, sa širokim spektrom različitih svojstava numeričke stabilnosti. U ovom radu sam predstavila 2 metode za izračun matričnog drugog korijena. To su Schurova metoda i Newtonova metoda sa nekim svojim verzijama. Osim samih metoda, dala sam analizu stabilnosti i točnosti za te metode te algoritme za izračun funkcije drugi korijen pomoču tih metoda.*

*Na kraju sam dala uvid u nekoliko specijalnih matrica koje su, zbog svojih svojstava dobre za izračun matričnog drugog korijena. Objasnila sam zašto su one dobre i kako se pomoću njih računa drugi korijen na nešto jednostavniji način.*

### Osnovni pojmovi

Prilikom definiranja općenite matrične funkcije te, specijalno, matrične funkcije drugi korijen trebat će nam, prvenstveno, znanje o matricama i funkcijama, a s time i o ostalim pojmovima koje ćemo susretati. Neka takva svojstva i definicije ću spomenuti i objasniti u narednom tekstu te ću ih kao takve koristiti u daljnjem pisanju. Definicije i rezultati koje ću koristiti u ovom radu su:

* Kažemo da je

λ
0

{\displaystyle \lambda\_0}

 svojstvena vrijednost matrice A, ako postoji vektor

v
≠
0

{\displaystyle v \ne 0}

 takav da vrijedi Av = 0v

A
# v

λ
0

v

{\displaystyle Av =\lambda\_0v}

. Taj v se zove svojstveni vektor za pripadnu vrijednost

λ
0

{\displaystyle \lambda\_0}
* Karakteristični polinom matrice A je definiran s

k
A

(
λ
# )

{\displaystyle k\_ A(\lambda)= }

(
λ
I
−
A
)

{\displaystyle (\lambda I- A)}

Nultočke karakterističnog polinoma su svojstvene vrijednosti matrice A.
* Skup svih svojstvenih vrijednosti nazivamo spektar matrice A, a označavamo ga sa

σ
(
A
)

{\displaystyle \sigma (A)}
* Minimalni polinom matrice A je normirani polinom najmanjeg stupnja koji poniŠtava A, tj.

m
(
A
# )
0

{\displaystyle m(A) = 0}
* Minimalni polinom m od A dijeli karakteristični polinom

k
A

{\displaystyle k\_A}

.
* Minimalni polinom m od A dijeli bilo koji polinom r kojeg poništava A tj. za kojeg vrijedi

r
(
A
# )
0

{\displaystyle r(A) =0}
* Algebarska kratnost svojstvene vrijednosti

λ
0

{\displaystyle \lambda\_0}

 je kratnost

λ
0

{\displaystyle \lambda\_0}

 u karakterističnom polinomu

k
A

(
λ
)

{\displaystyle k\_A (\lambda)}

, tj. l takav da

k
A

(
λ
# )
(
λ
−

λ
0

)
l

,
p
(
λ
)
)

{\displaystyle k\_A (\lambda) = (\lambda -\lambda\_ 0 )^l,

 p(\lambda)) }

p
(

λ
0

)
≠
0

{\displaystyle p (\lambda\_ 0)\neq 0}
* Geometrijska kratnost svojstvene vrijednosti

λ
0

{\displaystyle \lambda\_0}

 je dimenzija prostora

K

e
r

(
A
# )

{\displaystyle K\_ {er}(A) = }

(
A
−

λ
0

I
)

{\displaystyle (A - \lambda\_ 0 I ) }

 gdje

K

e
r

{\displaystyle K\_ {er} }

označava jezgru tj.

K

e
r

(
A
# )

{\displaystyle K\_ {er}(A) = }

{
v
∈

C
n

:
A
# v
0
}

{\displaystyle \{v \in C^n :Av=0\} }
* Algebarska kratnost od

λ
0

{\displaystyle \lambda\_0}

 je suma dimenzija od Jordanovih blokova u kojima se

λ
0

{\displaystyle \lambda\_0}

 pojavljuje.
* Matrica A se može dijagonalizirati ako i samo ako su geometrijska i algebarska kratnost svih svojstvenih vrijednosti matrice A jednake.
* Desna poluravnina kompleksne ravnine označava dio ravnine s desne strane imaginarne osi tj. dio ravnine gdje je realni dio kompleksnog broja pozitivan.
* Matrica

A
∈

R

n
x
n

{\displaystyle A \in R^{nxn} }

 je ortogonalna ako vrijedi

A

A
T

=

A
T

# A
I

{\displaystyle AA^T = A^TA = I }

 gdje je

A
T

{\displaystyle A^T}

 transponirana matrica.
* Matrica

A
∈

C

n
x
n

{\displaystyle A \in C^{nxn} }

 je unitarna ako vrijedi

A

A
∗

=
I

{\displaystyle AA^\*= I }

 gdje je

A
∗

{\displaystyle A^\*}

 adjungirana matrica (transponirana i konjugirana).
* Za dvije matrice

A
,
B
∈

C

n
x
n

{\displaystyle A,B \in C^{nxn} }

 kazemo da su slične ako postoji neka regularna matrica

S
∈

C

n
x
n

{\displaystyle S \in C^{nxn} }

 takva da vrijedi

# A

S
1

B
S
.

{\displaystyle A = S^1BS. }
* Slične matrice imaju jednak rang, defekt, karakteristični i minimalni polinom te svojstvene vrijednosti s jednakim algebarskim kratnostima.
* Ako je

A
∈

C

n
x
n

{\displaystyle A \in C^{nxn} }

 Hermitska pozitivno definitna matrica, onda vrijedi

x
T

A
x
>
0

{\displaystyle x^TAx > 0 }

 za

x
≠
0

{\displaystyle x \neq 0}

 te

# A

A
∗

{\displaystyle A= A^\* }

Neke stvari su preopširne da bi ih stavila pod gorčke tako da slijedi par poglavlja u kojima definiram ostale važne pojmove. U njima ću osim nekih definicija, dati i teoreme koji će nam pomoći u daljnjem razumijevanju

#### Podijeljene razlike

Definicija 1.1 Podijeljene razlike funkcije f u točkama xk su definirane kao:

f
[
k
# ]
f
(

x
k

)

{\displaystyle f [ k] = f(x\_ k )}

f
[

x
k

,

x

k
1

# ]

{\displaystyle f [ x\_k, x\_ {k+1}] = }

{

f
(

x

k
1

)
−
f
(

x
k

)

x

k
1

−

x
k

z
a

x
k

≠

x

k
1

f

k
1

′

z
a

x
0

=

x

k
1

{\displaystyle \begin{cases} \begin{alignat}{2} & \frac{ f(x\_ {k+1 }) -f(x\_ k) }{ x\_ {k+1} -x\_k} za \quad x\_ k\neq x\_ {k 1}\\ & f'\_ {k +1} za \quad x\_ 0 = x\_ {k 1}\\ \end{alignat} \end{cases}}

f
[

x
0

,
.
.
.
.
.
,

x

k
1

# ]

{\displaystyle f [ x\_0,....., x\_ {k+1}] = }

{

f
(

x
1

,
.
.
.
.
,

x

k
1

)
−
f
(

x
0

.
.
.
,

x
k

)

x

k
1

−

x
k

z
a

x
k

≠

x

k
1

f

x
k

1

(
k
1
)

(
k
1
)
!

z
a

x
0

=

x

k
1

{\displaystyle \begin{cases} \begin{alignat}{2} & \frac{ f(x\_ 1,....,x\_ {k+1 }) -f(x\_ 0...,x\_ k) }{ x\_ {k+1} -x\_k} za \quad x\_ k\neq x\_ {k 1}\\ & \frac{f^{(k+1)}\_ {x\_k + 1}}{(k+1)!} za \quad x\_ 0 = x\_ {k 1}\\ \end{alignat} \end{cases}}

#### Schurova dekompozicija

Zbog svojstava sličnih matrica, razumno je za računanje svojstvenih vrijednosti i drugih karakteristika matrice A naći neke transformacije sličnosti kojima ćemo dobiti matricu B takvog oblika iz kojeg ćemo lakše izračunati svojstvene vrijednosti. Unitarna transformacija

# A

S
∗

B
S

{\displaystyle A = S^\*BS}

 je dobra u tom slučaju jer se inverz unitarne matrice lako računa i numerički je stabilna.Schurovom dekompozicijom možemo pojednostaviti matricu A.

Teorem 1.2 Neka je

A
∈

C

n
x
n

{\displaystyle A \in C^{nxn} }

i neka su

λ
1

,
.
.
.
.
.
λ
n

{\displaystyle \lambda\_ 1 ,.....\lambda n}

 svojstvene vrijednosti od A. Tada postoji unitarna matrica

Q
∈

C

n
x
n

{\displaystyle Q \in C^{n x n}}

 i gornje trokutasta matrica

T
∈

C

n
x
n

{\displaystyle T \in C^{n x n}}

 takve da vrijedi

# A
Q
T

Q
∗

{\displaystyle A = QTQ^\*}

i

t

i
i

=

λ
i

,
# i
1
,
.
.
.
.
n

{\displaystyle t\_ { ii} = |\lambda\_ i ,i= 1,....n}

. Ako je

A
∈

R

n
x
n

{\displaystyle A \in R^{nxn} }

 i ako su sve svojstvene vrijednosti od A realne, onda je T također realna i U se može odabrati da bude ortogonalna. Dekompoziciju

# A
Q
T

Q
∗

{\displaystyle A = QTQ^\*}

zovemo Schurova dekompozicija od A, a T zovemo Schurova forma od A.

Dokaz

Dokazujemo matematičkom indukcijom po n.

Baza: za n = 1 imamo A = QTQ\* koja je skalar jer je T 1 x 1 matrica pa je i gornje trokutasta te postoji Q = 1 koja je unitarna matrica (1\* = 1).Pretpostavka: Neka je

A
∈

C

n
x
n

{\displaystyle A \in C^{nxn} }

 i pretpostavimo da tvrdnja teorema vrijedi za (n - 1) x (n - 1) matricu.

Korak: Promatramo svojstvenu vrijednost

λ
1

{\displaystyle \lambda\_ 1}

 i njen svojstveni vektor

q
1

{\displaystyle q\_1}

 tako da vrijedi

A

q
1

=

λ
1

q
1

,
‖

q
1

‖
2

=
1

{\displaystyle Aq\_ 1 =\lambda\_ 1 q\_ 1, \lVert q\_ 1 \rVert \_ 2 = 1}

Skup {q1 } nadopunimo do ortonormirane baze {q1; q2;...... qn} za Cn. Definirajmo ortonormiranu matricu

U
2

=
[

q
1

,
.
.
.
.

q
n

]

{\displaystyle U\_ 2 = [q\_ 1, .... q\_ n]}

: Tada je matrica

Q
1

=
[

q
1

U
2

]
∈

C

n
x
n

{\displaystyle Q\_ 1 = [q\_ 1 U\_ 2] \in C^{n x n }}

 unitarna za koju vrijedi

Q
1
∗

A

Q
1

=

[

q
1
∗

U
1
∗

]

{\displaystyle Q^ \*\_ 1 A Q\_ 1 =\begin{bmatrix} q^ \*\_ 1 \\ U^ \*\_ 1 \end{bmatrix}}

[
A

q
1

A

U
2

# ]

[

q
1
∗

U
1
∗

]

{\displaystyle [Aq\_ 1 A U\_ 2 ]= \begin{bmatrix} q^ \*\_ 1 \\ U^ \*\_ 1 \end{bmatrix}}

[

λ
1

q
1

A

U
2

]

=

{\displaystyle \begin{bmatrix} \lambda\_ 1 q\_ 1 & AU\_ 2 \end{bmatrix}= }

[

λ
1

q
1
∗

A

U
2

0

A
2

]

{\displaystyle \begin{bmatrix} \lambda\_ 1 & q\_ 1^\*AU\_ 2 \\
0 & A\_ 2 \end{bmatrix}}

 gdje je

A
2

=

U
2
∗

A

U
2

∈

C

(
n
−
1
)
x
(
n
−
1
)

{\displaystyle A\_ 2 = U^\*\_ 2AU\_ 2 \in C^{(n -1) x (n -1 )} }

slijedi da su

λ
2

,
.
.
.
.
.
.

λ
n

{\displaystyle \lambda\_ 2,......\lambda\_ n }

 svojstvene vrijednosti od A2. Po pretpostavci indukcije postoji unitarna matrica

Q
2

∈

C

(
n
−
1
)
x
(
n
−
1
)

{\displaystyle Q\_ 2\in C^{(n -1) x (n -1 )} }

 i gornje trokutasta matrica

T
2

=

U
2
∗

A

U
2

∈

C

(
n
−
1
)
x
(
n
−
1
)

{\displaystyle T\_ 2 = U^\*\_ 2AU\_ 2 \in C^{(n -1) x (n -1 )} }

 sa

λ
2

,
.
.
.
.
.
.

λ
n

{\displaystyle \lambda\_ 2,......\lambda\_ n }

 na dijagonali takve da

A
2

=

Q
2

T
2

Q
2
∗

{\displaystyle A\_2 = Q\_ 2T\_2Q\_ 2^ \* }

Definirajmo sada

# Q

Q
1

{\displaystyle Q =Q\_ 1 }

[

1

0

0

Q
2

]

∈

C

n
x
n

{\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & Q\_ 2 \end{bmatrix} \in C^{n x n} }

 za koju vrijedi sljedeće:

Q
∗

# Q

[

1

0

0

Q
2
∗

]

Q
1
∗

Q
1

[

1

0

0

Q
2

]

=

{\displaystyle Q^\* Q =\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & Q\_ 2^\* \end{bmatrix} Q\_ 1^\* Q\_ 1 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & Q\_ 2 \end{bmatrix} =}

[

1

0

0

Q
2
∗

Q
2

]

=

I
n

{\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & Q\_ 2^\*Q\_ 2 \end{bmatrix} = I\_n}

Stoga je Q unitarna matrica sa svojstvom:

Q
∗

A
# Q

[

1

0

0

Q
2
∗

]

Q
1
∗

A

Q
1

[

1

0

0

Q
2

]

=

{\displaystyle Q^\* A Q = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & Q\_ 2^ \* \end{bmatrix} Q^\* \_ 1 A Q\_ 1
\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & Q\_ 2 \end{bmatrix} =}

[

1

0

0

Q
2
∗

]

{\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & Q\_ 2^ \* \end{bmatrix} }

[

λ
1

q
1
∗

A

U
2

0

Q
2

]

{\displaystyle \begin{bmatrix} \lambda\_ 1 & q\_ 1^\* AU\_2 \\ 0 & Q\_2 \end{bmatrix} }

[

1

0

0

Q
2

]

=

{\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & Q\_ 2 \end{bmatrix} = }

[

1

0

0

Q
2
∗

]

{\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & Q\_ 2^ \* \end{bmatrix} }

[

λ
1

q
1
∗

A

U
2

Q
2

0

A
2

Q
2

]

=

{\displaystyle \begin{bmatrix} \lambda\_ 1 & q\_ 1^ \* AU\_2 Q\_2\\ 0 & A\_2 Q\_2 \end{bmatrix} = }

[

λ
1

q
1
∗

A

U
2

Q
2

0

Q
2
∗

A
2

Q
2

]

=

{\displaystyle \begin{bmatrix} \lambda\_ 1 & q\_ 1^ \* AU\_2 Q\_2\\ 0 & Q\_ 2^ \* A\_2 Q\_2 \end{bmatrix} = }

[

λ
1

q
1
∗

A

U
2

Q
2

0

T

]

=
T

{\displaystyle \begin{bmatrix} \lambda\_ 1 & q\_ 1^ \* AU\_2 Q\_2\\ 0 & T \end{bmatrix} =T }

pa tvrdnja vrijedi za

n
×
n

{\displaystyle n \times n}

 matricu što smo i trebali pokazati.

#### Newtonova metoda

Newtonova metoda je metoda za pronalaženje najboljih aproksimacija nultočaka neke funkcije f. U slučaju jedne dimenzije promatramo

f
:
R
→
R

{\displaystyle f : R\rightarrow R }

 . Izaberemo početnu aproksimaciju

x
0

{\displaystyle x\_0}

te razvijemo funkciju f u Taylorov red u okolini točke

x
0

{\displaystyle x\_0}

:

f
(
x
# )
f
(

x
0

)

f
′

(

x
0

)
(
x
−

x
0

)

f
″

(

x
0

)

2
!

(
x
−

x
0

)
2

.
.
.
.
.
.

{\displaystyle f(x) = f(x\_ 0)+ f'(x\_ 0)(x - x\_ 0)\frac{f''(x\_ 0)}{2!} (x -x\_ 0)^2 +......+ }

f

(
n
)

(

x
0

)

n
!

(
x
−

x
0

)
n

{\displaystyle \frac{f^ {(n)}(x\_ 0) }{n!} (x - x\_ 0)^n }

Zadržimo se na linearnom članu. Tako smo funkciju f aproksimirali linearnom funkcijom

f
1

(
x
# )
f
(

x
0

)
(
x
−

x
0

)

f
′

(

x
0

)

{\displaystyle f\_ 1(x )= f(x\_ 0) + (x - x\_ 0)f'(x\_ 0) }

 čiji graf je tangenta na graf funkcije f u x0. Rješenje jednadžbe

f
1

(
x
# )
0

{\displaystyle f\_ 1( x ) = 0 }

 označimo s x1 i definiramo

x
1

:=

x
0

−

f
(

x
0

)

f
′

(

x
0

)

{\displaystyle x\_ 1 := x\_ 0 -\frac{f(x\_ 0)}{f'(x\_ 0)} }

 Ponavljajući postupak dobivamo niz x0, x1, .............. zadan rekurzivno sa

x

n
1

:=

x
n

f
(

x
n

)

f
′

(

x
n

)

{\displaystyle x\_ {n + 1} : = x\_ n + \frac{f(x\_ n)}{f'(x\_ n)} }

# n
0
,
1
.
.
.
.
.
.

{\displaystyle n = 0,1 ...... }

Neka je

α

{\displaystyle \alpha}

 jednostruka nultočka od f i neka je

f
∈

C
2

(
I
)

{\displaystyle f \in C^2(I) }

 na nekom segmentu I koji sadrži nultočku

α

{\displaystyle \alpha}

. Ako je početna točka x0 dovoljno blizu nultočke

α

{\displaystyle \alpha}

, onda je Newtonova metoda dobro definirana

(

f
′

(

x
n

)
≠
0
)

{\displaystyle (f'(x\_ n) \neq 0) }

niz xn konvergira prema

α

{\displaystyle \alpha}

 i to (barem) kvadratno.

Newtonova metoda za sustave nelinearnih jednadžbi, se kao i kod jednodimenzionalnog slučaja, dobiva pronalaženjem nultočaka afine aproksimacije funkcije

F
:

R
n

→

R
n

{\displaystyle F : R^n \rightarrow R^ n }

 u trenutnoj točki xk. Promotrimo jednakost

F
(

x
k

p
# )
F
(

x
k

)

∫

x
k

x

k
p

J
(
z
)
d
z

{\displaystyle F(x\_ k + p)=F(x\_ k) +\textstyle \int\_{x\_ k}^{x\_ {k + p}} \displaystyle J(z) dz }

 .

Ako je

# J
D
F

{\displaystyle J = DF }

 Jacobijeva matrica tj. za

# F
(
f
1
;
.
.
.
.
;

f
n

)
T

{\displaystyle F = (f 1; .... ; f\_ n)^T }

 je

J
(
x

)

i
j

=

{\displaystyle J(x)\_ {ij} = }

∂

f
i

∂

x
j

(
x
)

{\displaystyle {\partial f\_ i\over\partial x\_j}(x) }

i
;
# j
1
;
.
.
.
.
.
;
n

{\displaystyle i; j = 1;..... ; n }

 U prethodnom izrazu integral aproksimiramo sa linearnim izrazom

J
(

x
k

)
p

{\displaystyle J(x\_ k) p}

 čime dobijemo afinu aproksimaciju M od F u perturbaciji p točke xk,

M
k

(

x
k

p
# )
F
(

x
k

)
J
(

x
k

)
p

{\displaystyle M\_ k(x\_ k + p)=F(x\_ k)+J(x\_ k)p}

Zatim tražimo korak sk za koji je

M
k

(

x
k

s
k

# )
0

{\displaystyle M\_ k (x\_ k + s\_ k) = 0}

 te na taj način dobivamo Newtonovu iteraciju za naš sustav jednadžbi. Dakle, počevši od točke x0, u svakoj iteraciji računamo

J
(

x
k

)

s
k

=
−
F
(

x
k

)

{\displaystyle J(x\_ k)s\_ k = - F(x\_ k)}

x

k
1

=

x
k

s
k

{\displaystyle x\_ {k+1} = x\_ k + s\_ k}

sve dok nismo našli zadovoljavajuću aproksimaciju nultočke. Ovdje metoda, također, kvadratno konvergira ako izaberemo početnu točku x0 dovoljno blizu nultočke

α

{\displaystyle \alpha}

 i ako je

J
(
α
)

{\displaystyle J(\alpha )}

 regularna.

#### Kroneckerov produkt, suma i Sylvesterova jednakost

Definicija 1.3 Kroneckerov produkt od

A
∈

C

m
x
n

{\displaystyle A \in C^{m x n }}

 i

B
∈

C

p
x
q

{\displaystyle B \in C^ {p x q} }

 je blok matrica

A
⊗
# B

{\displaystyle A \otimes B = }

[

a

11

B

.
.
.
.

a

1
n

B

.

.

.

.

.

.

a

m
1

B

a

m
n

B

]

{\displaystyle \begin{bmatrix} a\_{11}B & .... & a\_{1n}B\\ . & & . \\ . & & . \\ . & & .\\ a\_{m1}B & & a\_{mn}B
 \end{bmatrix}}

∈

C

m
p
×
n
q

{\displaystyle \in C^{ mp\times nq }}

 onda je

v
e
c
(
A
# )

{\displaystyle vec(A) =}

[

a

11

.

.

.

a

m
1

a

12

.

.

.

a

m
2

.

.

.

a

1
n

.

.

.

a

m
n

]

{\displaystyle \begin{bmatrix} a\_{11} & \\ . & \\.& \\ . &\\ a\_{m1} & \\ a\_{12} & \\ . & \\.& \\ . & \\ a\_{m2} & \\ . & \\.& \\ . & \\ a\_{1n} \\ . & \\.& \\ . & \\ a\_{mn} \end{bmatrix}}

Vrijedi:

v
e
c
(
A
X
B
# )
(

B
T

⊗
A
)
v
e
c
(
X
)

{\displaystyle vec(A X B) = (B^T\otimes A)vec(X) }

Propozicija 1.5 Ako

A
∈

C

n
x
n

{\displaystyle A \in C^{nxn} }

 ima svojstvene vrijednosti

λ
r

{\displaystyle \lambda\_r}

 , a

B
∈

C

m
x
m

{\displaystyle B\in C^ {mx m }}

μ
s

{\displaystyle \mu\_ s}

tada vrijedi

σ

(

∑

i
# j
1

k

c

i
,
j

A
i

⊗

B
j

)

=

{\displaystyle \sigma\Bigl( \sum\_{ij=1}^k c\_ {i,j}A^ i\otimes B^j \biggr) = }

∑

i
# j
1

k

c

i
,
j

λ
r
i

μ
s
j

{\displaystyle \sum\_{ij=1}^k c\_{i,j}\lambda\_ r^i \mu\_ s^j }

# r
1
,
.
.
.
n
,
# s
1
,
.
.
.
.
.
m

{\displaystyle r = 1,...n, s = 1,.....m}

Definicija 1.6 Kroneckerova suma od

A
∈

C

m
x
m

{\displaystyle A\in C^ {m x m }}

 i

B
i
n

C

n
x
n

{\displaystyle B in C^ {n x n }}

 je

A
⊗
# B
A
⊗

I
n

I
m

⊗
B

{\displaystyle A\otimes B =A\otimes I\_ n + I\_ m\otimes B}

Definicija 1.7 Sylvesterova jednakost je linearna matrična jednakost

A
X
−
X
# B
C

{\displaystyle A X - XB = C}

 gdje su

A
∈

R

m
x
m

{\displaystyle A\in R^ {mx m }}

,

B
∈

R

n
x
n

{\displaystyle B\in R^ {n x n }}

,

C
∈

R

m
x
n

{\displaystyle C\in R^{m x n }}

dane, dok

X
∈

R

m
x
n

{\displaystyle X\in R^ {m x n }}

treba odrediti.

Propozicija 1.8 Primjenimo li

v
e
c

{\displaystyle vec}

 operator na Sylvesterovu jednakost, možemo ju pisati i kao

(

I
n

⊗
A
−

B
T

⊗

I
m

)
v
e
c
(
X
# )
v
e
c
(
C
)
:

{\displaystyle (I\_ n\otimes A - B^T\otimes I\_ m) vec(X) = vec(C):}

Dokaz:

Zbog

v
e
c
(
A
X
B
# )
(

B
T

⊗
A
)
v
e
c
(
X
)

{\displaystyle vec(A X B) = (B^T\otimes A)vec(X) }

mamo

v
e
c
(
X
B
# )
v
e
c
(

I
m

X
B
# )

{\displaystyle vec( XB) = vec(I\_ mXB) =}

(
B
T
⊗

I
m

)
v
e
c
(
X
)

{\displaystyle (BT \otimes I\_ m)vec(X)}

,iz čega slijedi

A
X
−
X
# B
C

/

v
e
c

{\displaystyle AX - XB = C / vec}

v
e
c
(
A
X
)
−
v
e
c
(
X
B
# )
v
e
c
(
C
)

{\displaystyle vec(AX) - vec(XB) = vec(C)}

(

I
n
T

⊗
A
)
v
e
c
(
X
)
−

{\displaystyle (I^T\_ n\otimes A)vec(X) - }

(

B
T

⊗

I
m

)
v
e
c
(
X
# )
v
e
c
(
C
)

{\displaystyle (B^ T\otimes I \_m)vec(X)= vec(C) }

#### Matrična norma

1.9 Matrična norma na

C

m
×
n

{\displaystyle C\_ {m \times n} }

 je funkcija

‖

‖

:

C

m
×
n

→
R

{\displaystyle \begin{Vmatrix} \end{Vmatrix} : C^ { m\times n} \rightarrow R}

 koja zadovoljava slijedeće uvijete:

1. ‖
A
‖
≥
0

{\displaystyle \|A \| \geq 0}
2. ‖
A
# ‖
0

{\displaystyle \|A \| = 0}

 ako i samo ako

# A
0

{\displaystyle A = 0}
3. ‖
α
A
‖
=∣
α
∣
‖
A
‖

 za sve

α
∈
R

{\displaystyle \boldsymbol{\alpha} \in R }

 i

A
∈

C

m
×
n

{\displaystyle A \in C^{m \times n} }
4. ‖
A
B
‖
⩽
‖
A
‖
‖
B
‖

{\displaystyle \lVert A + B \rVert \leqslant \lVert A \rVert +\lVert B \rVert }

 za sve

A
,
B
∈

C

m
×
n

{\displaystyle A,B \in C^{m \times n} }

Definicija 1.10 Neka je

A
∈

C

m
×
n

{\displaystyle A \in C^{m \times n} }

‖
A

‖
1

=

{\displaystyle \lVert A \rVert\_ 1 = }

1
≤
i
⩽
n

⏞

m
a
x

{\displaystyle \overbrace{ 1 \leq i \leqslant n }^{max}}

∑

# i
1

n

a

i
j

{\displaystyle \sum\_{i= 1}^ n |a\_{ij}|}
* Spektralna (2- norma):

‖
A

‖
2

=

σ
(

A
∗

A
)

{\displaystyle \lVert A \rVert \_ 2 = \sqrt{ \sigma (A^\*A)}}

gdje je

ρ
(
A
# )
m
a
x
{

λ

:
λ
∈
σ
(
A
}

{\displaystyle \rho (A) = max\{ |\lambda|: \lambda \in \sigma (A \}}
* Frobeniusova norma:

‖
A

‖
F

=

{\displaystyle \lVert A \rVert\_F =}

t
r
(

A
∗

A
)

{\displaystyle \sqrt{tr(A^\*A)}}
* ∞

{\displaystyle \infty}

norma:

‖
A

‖
∞

=

{\displaystyle \lVert A \rVert\_ \infty = }

1
≤
i
⩽
m

⏞

m
a
x

{\displaystyle \overbrace{ 1 \leq i \leqslant m}^{max}}

∑

# i
1

n

a

i
j

{\displaystyle \sum\_{i= 1}^ n |a\_{ij}|}

Definicija 1.11 Neka su

A
∈

C

m
×
m

{\displaystyle A \in C^{ m \times m}}

 i

B
∈

C

n
×
p

{\displaystyle B \in C^{ n \times p}}

 Ako vrijedi

‖
A
B
‖
≤
‖
A
‖
‖
B
‖

{\displaystyle \lVert AB \rVert \leq \lVert A \rVert + \lVert B \rVert}

 za sve matrice A; B onda je ta norma konzistentna.

Norme iz definicije 1.10 su konzistentne, a međusobno su ekvivalentne s nekim konstantnim faktorom

(
‖
a
‖

)
p

≤

α

p
q

‖
A

‖
q

)

{\displaystyle ( \lVert a \rVert)\_ p \leq \alpha\_{pq}\lVert A \rVert\_ q )}

α

p
q

=
c
o
n
s
t

{\displaystyle \alpha\_{pq} = const}

. Zbog toga vrijede slijedeće propozicije.

Propozicija 1.13 Za bilo koju normu i matrice

A
∈

C

m
×
m

{\displaystyle A \in C^{ m \times m}}

 i

B
∈

C

n
×
n

{\displaystyle B\in C^ {n\times n}}

 vrijedi

‖
A
⊗
B
# ‖
‖
A
‖
‖
B
‖

{\displaystyle \lVert A \otimes B \rVert = \lVert A \rVert + \lVert B \rVert}

 i

‖
A
⊗
B
‖
≤
‖
A
‖
‖
B
‖

{\displaystyle \lVert A \otimes B \rVert \leq \lVert A \rVert + \lVert B \rVert}

Norma

‖
‖

{\displaystyle \lVert \rVert}

 se odnosi na neku od normi opisanih u definiciji 1.10. Dok nije točno naznačeno o kojoj normi se radi, smatramo da ta tvrdnja vrijedi za bilo koju od tih opisanih.

#### Definicija matrične funkcije

Definicija 1.14 Neka je

A
∈

C

n
×
n

{\displaystyle A \in C^{n \times n}}

, Z regularna matrica, n, p prirodni brojevi te

# n

m
1

.
.
.

m
p

{\displaystyle n = m\_ 1 +... + m\_ p}

 . Matrica A izražena u Jordanovoj kanonskoj formi je

# A
Z
J

Z

−
1

=
Z
d
i
a
g
(

J
1

,
.
.
.
.
,

J
p

)

Z

−
1

{\displaystyle A = ZJZ^ {-1} = Zdiag(J\_ 1,...., J\_ p)Z^
 { -1}}

 gdje je

J
i

=

J
i

(

λ
i

# )

{\displaystyle J\_ i = J\_ i (\lambda\_ i) =}

[

λ
i

0

0

0

λ
i

.

.

.

0

.

.

.

0

.

.

.

1

.
.
.

0

λ
i

]

{\displaystyle \begin{bmatrix}\lambda\_ i & 0 & 0 \\ 0 & \lambda\_ i & \begin{matrix} . & \\ & .\\ & & .\end{matrix} & 0\\ \begin{matrix} . & \\ . & \\ . & \end{matrix} & 0 & \begin{matrix} . & \\ & .\\ & & .\end{matrix}& 1\\ & & ...& 0
& \lambda\_ i
\end{bmatrix}}

∈

C

m
i

×

m
i

,
# i
1
,
.
.
.
p

{\displaystyle \in C^ {m\_ i\times m\_ i} , i = 1, ... p }

Ji se naziva Jordanov blok, a J je jedinstvena do na raspored blokova Ji

Definicija 1.15 Neka su svojstvene vrijednosti

λ
1

.
.
.
.

λ
s

,
s
≤
p

{\displaystyle \lambda\_ 1....\lambda\_ s, s \leq p }

sve međusobno različite te neka nk označava veličinu najvećeg Jordanovog bloka u kojem se pojavljuje

λ
k

{\displaystyle \lambda\_k}

. Za funkciju f kažemo da je definirana na spektru od A ako postoje vrijednosti

f
j

(

λ
j

)
,
# j
0
,
.
.
.

n
k

−
1
,
# k
1
,
.
.
.
,
s

{\displaystyle f^j (\lambda\_ j), j = 0, ...n\_ k -1, k= 1,...,s }

U mom radu pod matričnom funkcijom ću podrazumijevati skalarnu funkciju f koja djeluje na matricu

A
∈

C

n
×
n

{\displaystyle A \in C^{n \times n}}

 i preslikava ju u f(A). Ta f(A) će biti matrica istih dimenzija kao i A. Primarna matrična funkcija je ona koja će slijediti iz slijedeće definicije, dok je neprimarna ona koju nije moguće izraziti preko te definicije. Ima više različitih definicija matričnih funkcija. Ja ću se osloniti na slijedeću definiciju:

Definicija 1.16 Neka je f definirana na spektru od

A
∈
C

n
×
n

{\displaystyle A \in C{n \times n} }

 te neka A ima Jordanovu kanonsku formu. Tada definiramo

f
(
A
)
:=
Z
f
(
J
)

Z

−
1

=
Z
d
i
a
g
(
f
(

J
i

)
)

Z

−
1

{\displaystyle f(A) : = Zf(J)Z^ {-1} = Zdiag(f(J\_ i))Z^ { -1} }

gdje je

f
(

J
i

)
:=

{\displaystyle f(J\_ i) :=}

[

f
(

λ
i

)

f
′

(

λ
i

)

.
.
.

f

(

m
i

(

λ
i

)

(

m
i

−
1
!
)

0

f
(

λ
i

)

.

.

.

0

.

.

.

0

.

.

.

f
′

(

λ
i

)

.
.
.

0

f
(

λ
i

)

]

{\displaystyle \begin{bmatrix}f(\lambda\_ i) & f'(\lambda\_ i) & ... & \frac { f^{(m\_ i } ( \lambda\_ i ) }{(m\_ i -1!)}
 \\ 0 & f(\lambda\_ i) & \begin{matrix} . & \\ & .\\ & & .\end{matrix} & 0\\ \begin{matrix} . & \\ . & \\ . & \end{matrix} & 0 & \begin{matrix} . & \\ & .\\ & & .\end{matrix}& f'(\lambda\_ i) \\ & ...& 0
& f(\lambda\_ i)
\end{bmatrix}}

Napomena 1.17 Primijetimo da ako je A dijagonalizabilna, Jordanova forma od A se reducira na

# A
Z
D

Z

−
1

=
Z
d
i
a
g

{\displaystyle A = ZDZ^ {- 1} = Zdiag}

(

λ
i

)

Z

−
1

{\displaystyle (\lambda\_ i)Z^{-1}}

 gdje stupci od Z predstavljaju svojstvene vektore od A. Tada bi se definicija 1.16 prilagodila kao

f
(
A
)
:=
Z
f
(
D
)

Z

−
1

=

{\displaystyle f(A) := Zf(D)Z^{ -1} = }

Z
d
i
a
g
(
f
(

λ
i

)

Z

−
1

{\displaystyle Zdiag(f(\lambda\_ i)Z^{ -1}}

Nadalje, za dijagonalizabilne matrice, f(A) ima iste svojstvene vektore kao i matrica A i svojstvene vrijednosti od f(A) se računaju tako da se primjeni f na svojstvene vrijednosti od A.

Slijedi alternativna definicija definiciji 1.16.

Definicija 1.18 Neka je funkcija f definirana na spektru od

A
∈

C

n
×
n

{\displaystyle A \in C^{n \times n}}

 i

m
A

{\displaystyle m\_A}

 minimalan polinom od A te neka

n
i

{\displaystyle n\_i}

 označava veličinu najvećeg Jordanovog bloka u kojem se pojavljuje svojstvena vrijednost

λ
i

{\displaystyle \lambda\_i}

 od A. Tada definiramo

f
(
A
)
:=
p
(
A
)

{\displaystyle f(A): = p ( A)}

 gdje je p polinom stupnja manjeg od

d
e
g
(
m
A

# i
1

s

n
i

{\displaystyle deg(mA) = \sum\_{i=1}^s n\_ i}

 koji zadovoljava interpolacijske uvijete

p

(
j
)

(

λ
i

# )

f

(
j
)

(

λ
i

)

{\displaystyle p^{(j)} ( \lambda\_ i) = f^{(j)} (\lambda\_ i)}

# j
0
,
.
.
.
.
,

n
i

−
1
,
# i
1
,
.
.
.
.
,
s

{\displaystyle j = 0,...., n\_ i -1, i = 1,....,s}

 Takav p je jeinstven i zove se Hermitski interpolacijski polinom.

Teorem 1.19 Neka su z i q polinomi te

A
∈

C

n
×
n

{\displaystyle A \in C^{n \times n}}

. Vrijedi:

z
(
A
# )
q
(
A
)

{\displaystyle z(A) = q(A)}

 ako i samo ako z i q poprimaju iste vrijednosti na spektru od A.

Dokaz:

⇒

{\displaystyle \Rightarrow}

 Neka je

z
(
A
# )
q
(
A
)

{\displaystyle z(A) = q(A)}

 . Tada vrijedi

r
(
A
)
:=
z
(
A
)
−
q
(
A
# )
0

{\displaystyle r(A) : = z(A) - q(A) = 0}

 pa je r polinom poništen matricom A. Vrijedi

m
(
t
# )

{\displaystyle m(t) =}

∏

# i
1

s

(
t
−

λ
i

)

n
i

{\displaystyle \prod\_{i=1}^s (t - \lambda\_ i)^{n\_ i}}

 .1)

gdje su za

λ
i

,
# i
1
,
.
.
.
.
s

{\displaystyle \lambda\_ i, i= 1, .... s}

 svojstvene vrijednosti od A, a ni označava veličinu najvećeg Jordanovog bloka u kojem se pojavljuje svojstvena vrijednost

λ
i

{\displaystyle \lambda\_i}

.

Očito je da je m jednak 0 na spektru od A jer

m
(

λ
i

# )
0
;
∀
# i
1
,
.
.
.
.
.
.
s

{\displaystyle m(\lambda\_ i) = 0; \forall i = 1,......s}

 Budući da minimalni polinom m od A dijeli polinom r kojeg poništava A, tada i r poprima vrijednost 0 na spektru od A pa slijedi da z i q poprimaju iste vrijednosti na spektru od A.

Neka z i q poprimaju iste vrijednosti na spektru od A. Definiramo

d
:=
z
−
q

{\displaystyle d := z - q}

 Tada je d jednak 0 na spektru od A jer

d

λ
i

# )
z
(

λ
i

)
−
q
(

λ
i

# )
0

{\displaystyle d \lambda\_ i) = z(\lambda\_ i) - q(\lambda\_ i) = 0}

 pa ga m dan iznad u dokazu (1.1) mora dijeliti.

Vrijedi

z
(
A
)
−
q
(
A
# )
d
(
A
# )
m
(
A
)
p
(
A
# )
0

{\displaystyle z(A)-q(A) = d(A)= m(A)p(A) = 0}

 za neki polinom p pa je

z
(
A
# )
q
(
A
)

{\displaystyle z(A) = q(A)}

Naredni teorem pokazuje da su gornje dvije definicije matrične funkcije ekvivalentne.

Teorem 1.20 Definicija 1.16 i definicija 1.18 su ekvivalentne.

Dokaz

Definicija 1.18 kaže da f(A) = p(A) gdje je p Hermitski interpolacijski polinom koji zadovoljava interpolacijske uvijete

p

(
j
)

(

λ
i

# )

f

(
j
)

(

λ
i

# )
0

{\displaystyle p^ {(j)}( \lambda\_ i) = f^ {(j)}(\lambda\_i)= 0}

# j
0
,
.
.
.
.
.
.
.

n
i

−
1
,
# i
1
,
.
.
.
.
s

{\displaystyle j =
0,.......n\_ i -1, i = 1,....s}

 i svojstvene vrijednosti od A. Ako A ima Jordanovu formu definiranu u 1.14, onda zbog osnovnih svojstava matričnih polinoma vrijedi

f
(
A
# )
p
(
A
# )
p
(
Z
J

Z

−
1
)

=

{\displaystyle f(A) = p(A) = p(ZJZ^{ -1)} =}

Z
p
(
J
)

Z

−
1

=
Z
d
i
a
g
(
p
(

J
i

)
)

Z

−
1

{\displaystyle Zp(J)Z^{-1} = Zdiag(p(J\_ i))Z^{ -1}}

Specijalno, za

p
(
x
# )

x
n

{\displaystyle p(x) = x^ n}

 vrijedi:

p
(

J
i

# )

J
i
n

=

{\displaystyle p(J\_ i) = J^n\_ i = }

[

λ
i
n

n

λ
i
n

.
.
.

n
.
.
.
(
n
−

m
i

2
)

(

m
i

−
1
)
!

λ
i

n
−

m
i

2

0

λ
i
n

.
.
.

n
.
.
.
(
n
−

m
i

3
)

(

m
i

−
2
)
!

λ
i

n
−

m
i

2

.

.

.

.
.
.

.

.

.

.

.

.

0

0

.

.

.

n

λ
i

n
−
1

0

0

.
.
.

λ
i
n

]

=

{\displaystyle \begin{bmatrix} \lambda\_ i^ n & n\lambda\_ i^ n & ...& \frac{n ... (n -m\_ i +2)}{(m\_ i -1)!} \lambda\_ i^ {n - m\_i +2} \\ 0 & \lambda\_ i^ n &... & \frac{n ... (n -m\_ i +3)}{(m\_ i -2)!} \lambda\_ i^ {n - m\_i +2} \\\begin{matrix} . & \\ . & \\ . & \\\end{matrix} & ... &\begin{matrix} . & & \\ & . \\ & & . \end{matrix} &
\begin{matrix} . & \\ . & \\ . & \\\end{matrix}
 \\ 0 & 0&
\begin{matrix} . & & \\ & . \\ & & . \end{matrix}&n\lambda\_ i^ {n - 1} \\ 0 & 0 & ... &\lambda\_ i^ n
 \end{bmatrix} = }

[

p

λ
i

p
′

λ
i

p
′

(

λ
i

)

2

.
.
.

p

m
i

−
1

(

λ
i

)

(

m
i

−
1
)

0

p

λ
i

p
′

λ
i

.
.
.

p

m
i

−
2

(

λ
i

)

(

m
i

−
2
)

.

.

.

.
.
.

.

.

.

.
.
.

.

.

.

0

0

0

.

.

.

p
′

λ
i

0

0

0

.

.

.

p

λ
i

]

{\displaystyle \begin{bmatrix} \begin{matrix} p\lambda\_ i & p'\lambda\_ i &\frac{p'( \lambda\_ i)}{2} & ... & \frac{p^ {m\_i - 1}(\lambda\_ i)}{(m\_ i -1)}\\ 0 & p\lambda\_ i & p'\lambda\_ i & ... &
 \frac{p^ {m\_i - 2}(\lambda\_ i)}{(m\_ i -2)} \\ \end{matrix} \\
\begin{matrix} \begin{matrix} . & \\ . & \\ . & \end{matrix} & ... & \begin{matrix} . & \\ &. & \\ & &. & \end{matrix} & ... & \begin{matrix} . & \\ . & \\ . & \end{matrix} & & \\ \end{matrix} \\
\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & \begin{matrix} . & \\ & . \\ & & . \end{matrix} & p' \lambda\_i \\ 0 & 0 & 0 & \begin{matrix} . & \\ & . \\ & & . & p \lambda\_i \end{matrix} \end{matrix}
\end{bmatrix}}

Budući da gornja jednakost vrijedi za proizvoljan polinom, vrijedi i za
opčeniti Hermiteov polinom. Zbog uvjeta interpolacije zaključujemo da vrijedi

p
(

J
i

# )
f
(

J
i

)

{\displaystyle p(J\_i) = f(J\_ i)}

pa su definicije ekvivalentne.

Teorem 1.21 Neka je funkcija f definirana na spektru od

A
∈

C

n
×
n

{\displaystyle A \in C^{n \times n}}

. Tada vrijedi:

1. f(A) komutira s A
2. f
(

A
T

# )
f
(
A

)
T

{\displaystyle f(A^ T ) = f(A)^ T}
3. f
(
X
A

X

−
1

# )
X
f
(
A
)

X

−
1

{\displaystyle f(XAX^ { -1}) = Xf(A)X^ {-1}}
4. svojstvene vrijednosti od f(A) su

f
(

λ
i

)

{\displaystyle f(\lambda\_ i)}

, gdje su

λ
I

{\displaystyle \lambda\_ I }

 svojstvene vrijednosti od A
5. ako X komutira s A, onda komutira i s f(A)
6. ako je

# A

[

A

i
j

]

{\displaystyle A= \begin{bmatrix} A\_{ij} \end{bmatrix}}

 blok trokutasta matrica, onda je F = f(A) blok trokutasta matrica sa istom strukturom kao i A i vrijedi

F

i
i

=
f
(

A

i
i

)

{\displaystyle F\_{ii} = f(A\_ {ii})}
7. ako je

# A
d
i
a
g
(

A

11

,
.
.
.
.
.
,

A

m
m

)

{\displaystyle A = diag(A\_ {11}, ..... ,A\_ {mm})}

 blok dijagonalna matrica, onda je

f
(
A
# )
d
i
a
g
(
f
(

A

11

)
,
.
.
.
.
,
f
(

A

m
m

)
)

{\displaystyle f(A) = diag(f(A\_{11}), ...., f(A\_{mm}))}
8. f
(

I
m

⊗
A
# )

I
m

⊗
f
(
A
)

{\displaystyle f(I\_ m\otimes A) = I\_ m\otimes f (A)}
9. f
(
A
⊗

I
m

# )
f
(
A
)
⊗

I
m

{\displaystyle f(A\otimes I\_ m) = f(A) \otimes I\_ m}

Dokaz

1. Definicija 1.18 govori da je f(A) polinom od A; p(A). Tada vrijedi f(A)A = p(A)A = Ap(A) = Af(A).
2. f
(
A

)
T

=
p
(
A

)
T

=
p
(

A
T

# )
f
(

A
T

)

{\displaystyle f(A)^ T = p(A)^ T = p(A^ T ) = f(A^ T )}

 gdje zadnja jednakost slijedi iz tvrdnje da su vrijednosti od f na spektru od A iste kao i vrijednosti od f na spektru od AT pa možemo koristiti koristiti definiciju 1.18.
3. Slijedi direktno iz definicije 1.16 jer

f
(
X
A

X

−
1

# )
f
(
X
Z
J

Z

1

X

−
1

# )
X
Z
f
(
J
)

Z

−
1

X

−
1

=
X
f
(
A
)

X

−
1

{\displaystyle f(XAX^ {-1}) = f(XZJZ^ {1}X^ {-1}) = XZf (J)Z^ {-1}X^ {-1} = Xf(A)X^ {-1}}
4. Slijedi direktno iz definicije 1.16 jer je dijagonalna blok matrica u rastavu f(A) definirana sa

f
(

λ
i

)

{\displaystyle f(\lambda\_ i)}

 na dijagonali što daje svojstvene vrijednosti od f(A).
5. Slijedi pomoću definicije 1.18:

X
f
(
A
# )
X
p
(
A
# )
p
(
A
)
# X
f
(
A
)
X

{\displaystyle Xf(A) = Xp(A) = p(A)X = f(A)X}

 gdje druga jednakost vrijedi zbog toga što X komutira s A.
6. f(A) = p(A) je o\_cito blok trokutasta matrica jer je p(A) blok trokutasta i i-ti dijagonalni blok je

p
(

A

i
i

)

{\displaystyle p(A\_{ii})}

 . Jer p interpolira f na spektru od A, interpolira i na spektru od svakog bloka

A

n
i

i

{\displaystyle A\_ {ni} i}

 vrijedi

p
(

A

i
i

# )
f
(

A

i
i

)
.

{\displaystyle p (A\_ {ii}) = f (A\_ {ii}).}
7. Slijedi iz 6) za specijalnu

# A
d
i
a
g
(

A

11

,
.
.
.
.
.
,

A

m
m

)
.

{\displaystyle A = diag(A\_ {11}, .....,A\_ {mm}).}
8. Slijedi iz 7) jer

I
m
⊗
# A
d
i
a
g
(
A
,
.
.
.
.
.
.
,
A
)

{\displaystyle Im \otimes A = diag (A,......,A)}

 pa je

f
(
I
m
⊗
A
# )
f
(
d
i
a
g
(
A
;
.
.
.
.
;
A
)
# )
d
i
a
g
(
f
(
A
)
,
.
.
.
.
,
f
(
A
)
# )

I
m

⊗
f
(
A
)

{\displaystyle f(Im \otimes A) = f(diag(A;.... ;A)) = diag(f(A),...., f(A)) = I\_ m\otimes f(A)}
9. Pomoću 8) imamo

A
⊗
# B
∏
(
B
⊗
A
)

∏

T

{\displaystyle A\otimes B = \prod (B\otimes A)\textstyle \prod\_{}^ T \displaystyle }

 za permutacijsku matricu

∏

{\displaystyle \prod}

 (matrica dobivena tako što su retci jedinične matrice permutirani tako da u svakom retku i stupcu ima točno jednu jedinicu, ostalo su nule) i vrijedi

f
(
A
⊗

I
m

# )
f
(
∏
(
I
m
⊗
A
)

∏
T

# )

{\displaystyle f(A\otimes I\_ m) = f(\prod (Im\otimes A)\textstyle \prod^T \displaystyle ) = }

∏
f
(

I
m

⊗
A
)

∏
T

=

{\displaystyle \prod f( I\_ m\otimes A)\textstyle\prod^T \displaystyle = }

∏
(

I
m

⊗
f
(
A
)
)

∏
T

=
f
(
A
)
⊗

I
m

{\displaystyle \prod (I\_ m\otimes f(A))\textstyle \prod^ T\displaystyle = f(A)\otimes I\_ m }

Matrične funkcije se uglavnom primjenjuju za rješavanje nelinearnih sustava jednadžbi,

g
(
X
# )
A

{\displaystyle g(X) = A }

: Razlikujemo primarne i neprimarne matrične funkcije.

Definicija 1.22 Neka je

λ

{\displaystyle \lambda}

 svojstvena vrijednost algebarske kratnosti k. Označimo ih sa

λ

(
1
)

,
.
.
.
,

λ

(
k
)

{\displaystyle \lambda^ {(1)},...,\lambda^ {(k)} }

 Primarna matrična funkcija f preslikava te svojstvene vrijednosti iz različitih Jordanovih blokova u istu vrijednost tj.

f
(
(

λ

(
1
)

# )
f
(

λ

(
2
)

# )
.
.
.
# .
f
(

λ

(
k
)

)

{\displaystyle f((\lambda^ {(1)}) =f(\lambda^ {(2)}) = .... = f(\lambda^ {(k)}) }

Definicija 1.23   Neka je

λ

{\displaystyle \lambda}

 svojstvena vrijednost algebarske kratnosti k. Označimo ih sa

λ

(
1
)

,
.
.
.
,

λ

(
k
)

{\displaystyle \lambda^ {(1)},...,\lambda^ {(k)} }

. Neprimarna matrična funkcija g preslikava te svojstvene vrijednosti iz različitih Jordanovih blokova u različite vrijednosti za neke

i
≠
j
;
i
;
# j
1
,
.
.
.
,
k

{\displaystyle i \neq j; i; j = 1,..., k }

Primarne matrične funkcije se mogu dobiti iz definicija 1.16 i 1.18. Za razliku od primarnih matričnih funkcija, neprimarne funkcije nije moguće izraziti preko matričnih polinoma, no, moguće je naći neke neprimarne matrične funkcije pomoću definicije 1.16.

U većini slučajeva primarna matrična funkcija je od interesa te se sva teorija i metode oslanjaju na nju. U daljnjem radu, ako se ne kaže drugačije, f(A) označava primarnu matričnu funkciju.

#### Broj uvjetovanosti

Slijedeća definicija nam objašnjava značenje simbola

O
(
‖
E
‖
)

{\displaystyle O( \lVert E\rVert) }

 ) ili

o
(
‖
E
‖
)

{\displaystyle o( \lVert E \rVert)}

 za neku matricu E, što ću koristiti često u daljnjem radu.

Definicija 1.24 Neka su X i E proizvoljne matrice. Tada oznaka

# X
O
(
‖
E
‖
)

{\displaystyle X = O( \lVert E\rVert)}

 označava

‖
X
‖
≤
c
‖
E
‖

{\displaystyle \lVert X \rVert \leq c \lVert E \rVert \ }

 za neku konstantu c i za sve dovoljno male

‖
E
‖

{\displaystyle \lVert E\rVert }

 dok

# X
o
(
‖
E
‖
)

{\displaystyle X = o(\lVert E\rVert)}

označava da

‖
X
‖

‖
E
‖

→
0

{\displaystyle \frac{\lVert X\rVert} {\lVert E \rVert} \rightarrow 0}

E
→
0

{\displaystyle E \rightarrow 0 }

Jedan rezultat koji ću koristiti u daljnjem radu navodim u slijedećoj propoziciji.

Propozicija 1.25 Ako je X regularna i

‖

X

−
1

E
‖
<
1

{\displaystyle \lVert X^ {-1} E \rVert< 1 }

 tada je X + E regularna

(
X
E

)

−
1

=

X

−
1

−

X

−
1

E

X

−
1

O
(
‖
E

‖
2

)

{\displaystyle (X + E)^{-1} = X^ {-1} - X^ {-1}EX^ {-1}+O( \lVert E\rVert^ 2) }

Dokaz

Neka je

X
# E
X
(
I

X

−
1

E
)

{\displaystyle X+E = X(I+X^{-1}E) }

. Vidimo da je regularnost

X
E

{\displaystyle X + E }

 osigurana ako pokažemo da je

I

X

−
1

E

{\displaystyle I + X^ {-1} E }

 regularna matrica. Zbog uvjeta

‖

X

−
1

E
‖
<
1

{\displaystyle \lVert X^ {-1} E \rVert< 1 }

 vrijedi da

σ
(
I

X

−
1

E
# )
1
σ
(

X

−
1

E
)

{\displaystyle \sigma ( I+X^{-1}E ) = 1 + \sigma (X^ {-1}E ) }

 ne sadrži nulu pa možemo zaključiti da je

I

X

−
1

E

{\displaystyle I + X^ {-1} E }

 regularna, a s time i

X
E

{\displaystyle X + E }

Koristeći Taylorov razvoj funkcije

f
(
y
# )

1

1
−
y

{\displaystyle f(y) = \frac{1}{1 -y} }

 dobijemo

1

1
−
y

=

∑

# n
1

∞

y
n

{\displaystyle \frac{1}{1 -y} = \sum\_{n=1}^ \infty y^ n }

 za

y

<
1

{\displaystyle |y| < 1}

Prenesemo li to na matrice, imamo

(
I
−
Y

)

−
1

=

∑

# n
0

∞

Y
n

=
I
Y

Y
2

.
.
.

{\displaystyle (I - Y )^ {-1}= \sum\_{n=0}^ \infty Y^ n = I + Y + Y^2 + ... }

 za

‖
Y
‖
<
1

{\displaystyle \lVert Y \rVert < 1 }

Sada dobijemo

X
E

)

−
1

=
(
X
(
I

X

−
1

E
)

)

−
1

=
(
I

X

−
1

E

)

−
1

X

−
1

{\displaystyle X + E)^ {-1} = (X(I + X^ {-1} E))^ {-1}
= (I + X^ {-1} E)^ {-1}X^ {-1} }

X
E

)

−
1

=
(
X
(
I

X

−
1

E
)

)

−
1

=
(
I

X

−
1

E

)

−
1

X

−
1

=
I
−
(
−

X

−
1

E
)

)

−
1

X

−
1

=
(
I
−

X

−
1

E
(
−

X

−
1

E

)
2

.
.
.
)

X

−
1

{\displaystyle \begin{alignat}{5} X + E)^ {-1} & = (X(I + X^ {-1} E))^ {-1} \\ & = (I + X^ {-1} E)^ {-1}X^ {-1} \\ & = I -(- X^ {-1} E))^ {-1} X^ {-1}\\& = (I - X^ {-1}E + (- X^ {-1} E)^ 2 + ... )X^ {-1} \\ &

\end{alignat} }

Razlikujemo relativni i apsolutni broj uvjetovanosti. Ukoliko je broj uvjetovanosti velik kažemo da je funkcija loše uvjetovana, u suprotnom je dobro uvjetovana

Definicija 1.26 Relativni broj uvjetovanosti za funkciju

f
:
R
→
R

{\displaystyle f : R\rightarrow R }

 R definiramo kao

c
o
n

d

r
e
l

(
f
,
x
)
:

lim

ϵ
→
0

s
u

p

△
x

≤
ϵ

x

f
(
x
△
x
)
−
f
(
x
)

ϵ
f
(
x
)

On računa koliko neke male promjene u ulaznim podacima mogu utjecati na vrijednost funkcije, a da su pri tome obje veličine mjerene u relativnim veličinama.

Da bi pojednostavili definiciju, pretpostavimo da je f dva puta diferencijablina.

Iz teorema srednje vrijednosti slijedi, za

θ
∈
⟨
0
,
1
⟩

{\displaystyle \theta \in \langle 0, 1 \rangle}

f
(
x
△
x
)
−
f
(
x
# )

f
′

(
x
)
△
x

f
″

(
x
θ
△
x
)

2
!

△

x
2

{\displaystyle f(x + \bigtriangleup x) - f(x) = f'(x)\vartriangle x + \frac{f'' (x + \theta \vartriangle x)}{2!}\vartriangle x^ 2}

f
(
x
△
x
)
−
f
(
x
# )

f
′

(
x
)
△
x
O
(

x
2

)

{\displaystyle f(x + \bigtriangleup x) - f(x) = f'(x)\vartriangle x + O( x^ 2)}

f
(
x
△
x
)
−
f
(
x
)

f
(
x
)

=
(

x

f
′

(
x
)

f
(
x
)

)

△
x

x

O
(

x
2

)

{\displaystyle \frac{f(x + \bigtriangleup x) - f(x) }{f(x)} = (\frac{ xf'(x)}{f(x)})\frac{\vartriangle x}{x} + O( x^ 2)}

f
(
x
△
x
)
−
f
(
x
)

f
(
x
)
ϵ

=
(

x

f
′

(
x
)

f
(
x
)

)

△
x

x
ϵ

O
(
△

x
2

)

ϵ

{\displaystyle \frac{f(x + \bigtriangleup x) - f(x) }{f(x)\epsilon} = (\frac{ xf'(x)}{f(x)})\frac{\vartriangle x}{x\epsilon} +
\frac{O ( \bigtriangleup x^ 2)}{\epsilon} }

f
(
x
△
x
)
−
f
(
x
)

f
(
x
)
ϵ

=

(

x

f
′

(
x
)

f
(
x
)

)

△
x

x
ϵ

O
(
△

x
2

)

ϵ

≤

(

x

f
′

(
x
)

f
(
x
)

)

△
x

x
ϵ

O
(
△

x
2

)

ϵ

≤

(

x

f
′

(
x
)

f
(
x
)

)

ϵ
ϵ

O
(

ϵ
2

)

ϵ

≤

(

x

f
′

(
x
)

f
(
x
)

)

O
(
ϵ
)

{\displaystyle \begin{align} | \frac{f(x + \bigtriangleup x) - f(x) }{f(x)\epsilon} | & =| (\frac{ xf'(x)}{f(x)})\frac{\vartriangle x}{x\epsilon} +
\frac{O (\epsilon^ 2)}{\epsilon} \\ & \leq |(\frac{ xf'(x)}{f(x)})| + O( \epsilon )

\end{align}}

gdje prva nejednakost vrijedi zbog nejednakosti trokuta, druga jer je

ϵ

{\displaystyle \epsilon}

 jednak

sup

△
x

≤
ϵ

x

△
x

x

 a zadnja jednakost jer je

O
(

ϵ
2

)

ϵ

=
O
(
ϵ
)

{\displaystyle \frac{O (\epsilon^ 2)}{\epsilon} = O (\epsilon ) }

Dakle, vrijedit će

c
o
n

d

r
e
l

(
f
,
x
)
:

lim

ϵ
→
0

s
u

p

△
x

≤
ϵ

x

f
(
x
)
△
x
)
−
f
(
x
)

ϵ
f
(
x
)

=

(

x

f
′

(
x
)

f
(
x
)

)

Definicija 1.27 Neka je

f
:

C

n
×
n

→

C

n
×
n

{\displaystyle f : C^ {n \times n} \rightarrow C^ {n \times n}}

matrična funkcija. Relativni broj uvjetovanosti za matričnu funkciju f definiramo kao

c
o
n

d

r
e
l

(
f
,
x
)
:

lim

ϵ
→
0

s
u

p

‖
E
‖
≤
ϵ
‖
X
‖

{\displaystyle cond\_{rel}(f, x):\lim\_{\epsilon \rightarrow 0}sup\_ {\lVert E \rVert\leq \epsilon\lVert X \rVert} }

‖
f
(
X
E
)
−
f
(
X
)
‖

ϵ
‖
f
(
X
)
‖

{\displaystyle \frac{\lVert f(X + E )- f(X) \rVert}
{ \epsilon\lVert f(X) \rVert} }

gdje je norma u izrazu bilo koja matrična norma.

Kao što sam definirala relativni broj uvjetovanosti, prvo za običnu funkciju pa nakon toga za matričnu, isto mogu učiniti i za apsolutni broj uvjetovanosti.

No, pošto se u radu orijentiram na matrične funkcije iznosim definiciju primijenjenu na matrične funkcije

Definicija 1.28 Neka je

f
:

C

n
×
n

→

C

n
×
n

{\displaystyle f : C^ {n \times n} \rightarrow C^ {n \times n}}

 Apsolutni broj uvjetovanosti za matričnu funkciju f definiramo kao

c
o
n

d

r
e
l

(
f
,
x
)
:

lim

ϵ
→
0

s
u

p

‖
E
‖
≤
ϵ

{\displaystyle cond\_{rel}(f, x):\lim\_{\epsilon \rightarrow 0}sup\_ {\lVert E \rVert\leq \epsilon} }

‖
f
(
X
E
)
−
f
(
X
)
‖

ϵ

{\displaystyle \frac{\lVert f(X + E )- f(X) \rVert}
{ \epsilon} }

On računa koliko neke male promjene u ulaznim podacima mogu utjecati na vrijednost funkcije, a da su pri tome obje veličine mjerene u apsolutnim veličinama.

c
o
n

d

r
e
l

(
f
,
x
)
:

lim

ϵ
→
0

s
u

p

‖
E
‖
≤
ϵ

{\displaystyle cond\_{rel}(f, x):\lim\_{\epsilon \rightarrow 0}sup\_ {\lVert E \rVert\leq \epsilon} }

‖
f
(
X
E
)
−
f
(
X
)
‖

ϵ

{\displaystyle \frac{\lVert f(X + E )- f(X) \rVert}
{ \epsilon} }

Napomena 1.29 Primijetimo da vrijedi

c
o
n

d

r
e
l

(
f
,
x
)

=

lim

ϵ
→
0

s
u

p

‖
E
‖
≤
ϵ
‖
E
‖

‖
f
(
X
E
)
−
f
(
X
)
‖

ϵ

=

lim

ϵ
→
0

s
u

p

‖
E
‖
≤
ϵ
‖
E
‖

‖
f
(
X
E
)
−
f
(
X
)
‖

ϵ

1

‖
X
‖

=

lim

ϵ
→
0

s
u

p

‖
E
‖
≤
ϵ
‖
E
‖

‖
f
(
X
E
)
−
f
(
X
)
‖

ϵ
‖
X
‖

‖
X
‖

‖
f
(
X
)
‖

{\displaystyle \begin{align} cond\_{rel}(f, x) & = \lim\_{\epsilon \rightarrow 0}sup\_ {\lVert E \rVert\leq \epsilon \lVert E \rVert
 }\frac{\lVert f(X + E )- f(X) \rVert}

{ \epsilon}

 \\& = \lim\_{\epsilon \rightarrow 0}sup\_ {\lVert E \rVert\leq \epsilon \lVert E \rVert
 }\frac{\lVert f(X + E )- f(X) \rVert}
{ \epsilon} \frac{ 1}{\lVert X \rVert}
 \\& = \lim\_{\epsilon \rightarrow 0}sup\_ {\lVert E \rVert\leq \epsilon \lVert E \rVert
 }\frac{\lVert f(X + E )- f(X) \rVert}
{ \epsilon\lVert X \rVert} \frac{ \lVert X \rVert}{\lVert f(X) \rVert}
\end{align}}

=

lim

ϵ
→
0

s
u

p

‖
E
‖
≤
ϵ
‖
E
‖

‖
f
(
X
E
)
−
f
(
X
)
‖

μ

‖
X
‖

‖
f
(
X
)
‖

=
c
o
n

d

a
b
s

(
f
;
X
)

‖
X
‖

‖
f
(
X
)
‖

{\displaystyle \begin{align} & \\& = \lim\_{\epsilon \rightarrow 0}sup\_ {\lVert E \rVert\leq \epsilon \lVert E \rVert
 }\frac{\lVert f(X + E )- f(X) \rVert}
{ \mu} \frac{ \lVert X \rVert}{\lVert f(X) \rVert}
\\ & = cond\_{abs}(f;X) \frac{\lVert X \rVert}{\lVert f(X) \rVert}\\ \end{align}}

pa se ova dva broja razlikuju samo za neki konstantni faktor.

Obično je relativni broj uvjetovanosti zanimljiviji za proučavanje, no rezultati se uglavnom izražavaju preko apsolutnog broja. Spomenimo još jednu mjeru koju ćemo koristiti kako bi odredili koliko je neka funkcija osjetljiva na promjene

pa se ova dva broja razlikuju samo za neki konstantni faktor.

Obično je relativni broj uvjetovanosti zanimljiviji za proučavanje, no rezultatise uglavnom izražavaju preko apsolutnog broja. Spomenimo još jednu mjeru koju ćemo koristiti kako bi odredili koliko je neka funkcija osjetljiva na promjene.

Definicija 1.30 Uzmimo matricu

X
∈

C

n
×
n

{\displaystyle X \in C^ {n \times n}}

i pertubiramo ju kao

X
~

=
X
E

{\displaystyle \tilde{X} = X +E}

 za

‖
E
‖
→
0

{\displaystyle \lVert E \rVert \rightarrow 0}

. Relativni rezidual definiramo kao

‖
f
(
X
)
−
f
(

X
~

)
‖

‖
f
(
X
)
−
‖

{\displaystyle \frac{\lVert f(X) - f ( \tilde{X}) \rVert}{\lVert f(X) - \rVert}}

za bilo koju normu.

#### Fre’chetova derivacija

Definicija 1.31 Fre’chetova derivacija matrične funkcije

f
:

C

n
×
n

→

C

n
×
n

{\displaystyle f : C^ {n \times n} \rightarrow C^ {n \times n}}

 u točki

X
∈

C

n
×
n

{\displaystyle X \in C^ {n \times n}}

 je linearno preslikavanje iz

C

n
×
n

→

C

n
×
n

,
E
→
L
(
X
;
E
)
,

{\displaystyle C^ {n \times n} \rightarrow C^ {n \times n}, E \rightarrow L(X;E),}

 takvo da za svaki

E
∈

C

n
×
n

{\displaystyle E \in C^ {n \times n}}

 vrijedi;

>
>
>
>
> f
> (
> X
> +
> E
> )
> −
> f
> (
> X
> )
> −
> L
> (
> X
> ,
> E
> )
> =
> o
> (
> ‖
> E
> ‖
> )
>
>
> {\displaystyle f(X + E) - f(X) - L(X,E) = o( \lVert E \rVert)}
>
>
>
>
>
>
> L
> (
> X
> ,
> E
> )
>
>
> {\displaystyle L(X,E)}
>
>  se čita kao Fre’chetova derivacija od f u X u smjeru E. Ako ne izražavamo određen smjer pišemo samo L(X). U slučaju n = 1 imamo trivijalno
>
>
>
> L
> (
> x
> ,
> e
> )
> =
>
> f
> ′
>
> (
> x
> )
> e
>
>
> {\displaystyle L(x, e) = f' (x)e}
>
>
>
>

Definicija 1.32 Definiramo normu Fre’chetove derivacije kao

>
>
>
>
> ‖
> L
> (
> X
> )
> ‖
>
> max
>
> z
> ≠
> 0
>
>
>
>
> ‖
> L
> (
> X
> ,
> Z
> )
> ‖
>
>
> ‖
> Z
> ‖
>
>
>
>
> {\displaystyle \lVert L(X) \rVert\max\_ {z \neq 0} \frac{\lVert L(X,Z)\rVert}{\lVert Z \rVert}}
>
>
>
>

jTeorem 1.33 Apsolutni i relativni broj uvjetovanosti je dan kao:

j

c
o
n

d

a
b
s

(
f
,
X
# )
‖
L
(
X
)
‖

{\displaystyle cond\_{abs}(f,X) = \lVert L(X) \rVert}

c
o
n

d

r
e
l

(
f
,
X
# )

‖
L
(
X
)
‖
‖
X
‖

‖
f
(
X
)
‖

{\displaystyle cond\_{rel}(f,X) = \frac{\lVert L(X) \rVert \lVert X \rVert}{\lVert f(X) \rVert}}

Dokaz

Iz definicije apsolutnog broja uvjetovanosti 1.28 i definicije Fre’chetove derivacije 1.31 te korištenja linearnosti preslikavanja L slijedi

c
o
n

d

a
b
s

(
f
,
X
)

=
(

lim

ϵ
→
0

s
u

p

‖
E
‖
≤
ϵ

‖
f
(
X
E
)
−
f
(
X
)
‖

ϵ

=

lim

ϵ
→
0

s
u

p

‖
E
‖
≤
ϵ

‖

L
(
X
,
E
)
−
o
(
‖
E
‖
)

ϵ

‖

=

lim

ϵ
→
0
y

s
u

p

‖
E
‖
≤
ϵ

‖
L
(
X
,

E
ϵ

)

o
(
‖
E
‖
)

ϵ

‖

=

lim

‖
z
‖
≤
1

‖
L
(
X
,
Z
)

=

max

‖
z
‖
≤
1

‖
L
(
X
,
Z
)
‖

{\displaystyle \begin{align} cond\_ {abs}(f,X) & = (\lim\_{\epsilon \to 0}sup\_ { \lVert E \rVert \leq \epsilon} \frac{\lVert f(X + E) - f(X) \rVert}{ \epsilon}\\ & = \lim\_{\epsilon \to 0}sup\_ { \lVert E \rVert \leq \epsilon} \lVert \frac{ L(X , E) - o( \lVert E \rVert) }{ \epsilon} \rVert \\ & = \lim\_ {\epsilon \to 0y}sup\_ { \lVert E \rVert \leq \epsilon} \lVert L (X,\frac{E}{\epsilon}) + \frac{ o( \lVert E \rVert)}{ \epsilon} \rVert
 \\& = \lim\_{\lVert z \rVert \leq 1}\lVert L(X,Z ) \\& = \max\_ {\lVert z \rVert \leq 1}\lVert L(X,Z ) \rVert
\end{align}}

Superior može biti zamijenjen s maksimum jer radimo na kompaktnom skupu, a maksimum će se postići na rubu u

‖
z
# ‖
1

{\displaystyle \lVert z \rVert = 1}

 iz čega pomoću definicije norme Fre’chetove derivacije 1.32 slijedi tvrdnja za apsolutni broj. Sada iz napomene 1.29 lako dobijemo tvrdnju za relativni broj:

c
o
n

d

r
e
l

(
f
,
X
# )
c
o
n

d

a
b
s

(
f
,
X
)

‖
X
‖

‖
f
(
X
)
‖

=
‖
L
(
X
)
‖

‖
X
‖

‖
f
(
X
)
‖

{\displaystyle cond\_{rel}(f,X) = cond\_ {abs}(f,X)\frac{\lVert X \rVert}{\lVert f(X) \rVert} = \lVert L(X) \rVert\frac{ \lVert X \rVert}{\lVert f(X) \rVert} }

Svojstva Fre’chetove derivacije:

1. Ako su g i h Fre’chet diferencijabilne u A, tada je i

# f
α
f
β
h

{\displaystyle f = \alpha f + \beta h}

 Fre’chet diferencijabilna u A i vrijedi

L
f

(
A
,
E
# )
α

L
g

(
A
,
E
)
β

L
h

(
A
,
E
)

{\displaystyle L\_f (A,E) =\alpha L\_ g(A,E) +\beta L\_ h(A,E) }
2. Ako su g i h Fre’chet diferencijabilne u A, tada je i

# f
g
h

{\displaystyle f = gh}

 Fre’chet diferencijabilna u A i vrijedi

L
f

(
A
,
E
# )

L
g

(
A
,
E
)
h
(
A
)
g
(
B
)

L
h

(
A
,
E
)

{\displaystyle L\_ f (A,E) = L\_ g(A,E)h(A) + g(B)L\_h(A,E)}
3. Neka su h i g Fre’chet diferencijabilne u A i h(A), respektivno te neka je

# f
g
∘
h

{\displaystyle f = g\circ h}

. Tada je f Fre’chet diferencijabilna u A i vrijedi

L
f

=

L
g

∘

L
h

{\displaystyle L\_f = L\_g\circ L\_h}

 Što je

L
f

(
A
,
E
# )

L
g

(
h
(
A
)
,

L
h

(
A
,
E
)
)

{\displaystyle L\_ f(A,E) = L\_ g(h(A), L\_ h(A,E))}
4. Neka f i f-1 obje postoje i neprekidne su u okolini X i f(X), respektivno i neka Lf postoji i regularna je u X. Tada postoji i

L

f

−
1

{\displaystyle L\_ {f^{-1}} }

 u

# Y
f
(
X
)

{\displaystyle Y = f(X)}

 i vrijedi

L

f

−
1

(
Y
,
E
# )

L
f

−
1

(
X
,
E
)

{\displaystyle L\_ {f^{-1}}(Y,E) = L\_ f^ {-1}(X,E)}

 što je ekvivalentno

L
f

(
X
,

L

f

−
1

(
Y
,
E
)
# )
E

{\displaystyle L\_ f (X, L\_ {f^{-1}}(Y,E)) = E}

 Nadalje, vrijedi

‖

L

f

−
1

(
Y
# ‖
‖

L
f

−
1

(
X
)
‖

{\displaystyle \lVert L\_ {f^ {-1}}(Y \rVert =\lVert L\_ f^ {-1}(X) \rVert}
5. Neka je f 2n-1 puta neprekidno diferencijabilna na D. Za

X
∈

C

n
×
n

{\displaystyle X \in C^ {n \times n}}

 sa spektrom na D, Fre’chetova derivacija

L
f

(
X
,
E
)

{\displaystyle L\_ f (X,E)}

 postoji i neprekidna je u varijablama X i E.
6. Svojstvene vrijednosti Fre’chetove derivacije Lf u X su dane kao

f
[

α
i

,

α
j

]
,

{\displaystyle f[\alpha\_ i,\alpha\_ j ],}

i
,
# j
1
,
.
.
.
,
n

{\displaystyle i, j = 1, ..., n}

 gdje su

α

i

{\displaystyle \alpha\_{i}}

 svojstvene vrijednosti od X.

Pretpostavljajući da vrijede gornja svojstva Fre’chetove derivacije možemo istaknuti neka ograničenja za brojeve uvjetovanosti.
Definicija 1.34 Neka je

λ

{\displaystyle \lambda}

 svojstvena vrijednost i E odgovarajući svojstveni vektor od L(X). Tada je

L
(
X
,
E
# )
λ
E

{\displaystyle L(X,E) = \lambda E}

i vrijedi (iz definicije 1.32)

‖
L
(
X
)
‖
≥
λ

{\displaystyle \lVert L ( X) \rVert \geq \lambda}

Teorem 1.35 Za bilo koju normu vrijedi:

c
o
n

d

a
b
s

(
f
,
X
)
≥

max

λ
,
μ
∈
σ
(
X
)

f
[
λ
,
μ
]

{\displaystyle cond\_ {abs}(f,X) \geq \max\_ {\lambda, \mu \in \sigma(X) } |f [\lambda, \mu ]|}

Dokaz
Iz teorema 1.33 slijedi da je

c
o
n

d

a
b
s

(
f
,
X
# )
‖
L
X
)
‖

{\displaystyle cond\_ {abs} (f,X) =\lVert L X) \rVert
}

pa iz definicije 1.34 vidimo da je apsolutni broj uvjetovanosti ograničen odozdo svojstvenom vrijednošću Fre’chetove derivacije

c
o
n

d

a
b
s

(
f
,
X
# )
‖
L
X
)
‖
≥
α

{\displaystyle cond\_ {abs} (f,X) =\lVert L X) \rVert \geq \alpha
}

Nakon što djelujemo apsolutnom vrijednošću na izraz te maksimiziramo po svim svojstvenim vrijednostima Fre’chetove derivacije

λ
i

,
# i
1
,
.
.
.
.
,
n

{\displaystyle \lambda\_ i, i = 1,...., n
}

i na kraju iskoristimo svojstvo 6) iz gornjih svojstava Fre’chetove derivacije dobijemo

c
o
n

d

a
b
s

(
f
,
X
)
≥

max

α
1

∈
σ
(
L
(
X
)
)

α
1

=

max

λ
,
μ
∈
σ
(
X
)

f
[
λ
,
μ
]

}

i na kraju iskoristimo svojstvo 6) iz gornjih svojstava Fre’chetove derivacije dobijemo

c
o
n

d

a
b
s

(
f
,
X
# )

max

λ
,
μ
∈
σ
(
X
)

f
[
λ
,
μ
]

}

No, to vrijedi samo za neke odredene matrice pa nije praktično za korištenje

#### Stabilnost iteracija i granica točnosti

Sa

L
′

(
X
)

{\displaystyle L'(X) }

 ) označavamo i-tu kompoziciju Fre’chetove derivacije L u X. (npr.

L
3

(
X
,
E
# )
L
(
X
,
L
(
X
,
L
(
X
,
E
)
)
)
)

{\displaystyle L^ 3(X,E) = L( X, L(X, L(X,E))) )}

Definicija 1.36 Neka je

X

k
1

=
g
(

X
k

)

{\displaystyle X\_ {k+1} = g(X\_ k)}

 iteracija sfiksnom točkom X. Pretpostavimo da je g Fr’echet diferencijabilna u X. Iteracija je stablina u okolini od X ako je Fre’chetova derivacija

L
g
i

(
X
)

{\displaystyle L^i\_g(X)}

 ograničena, tj. postoji konstanta takva da

‖

L
g
i

(
X
)
‖
≤
c
,
∀
i

{\displaystyle \lVert L^i\_ g(X) \rVert \leq c , \forall i}

 Ako je E odreden, onda vrijedi

‖

L
g
i

(
X
,
E
)
‖
≤
c
‖
E
‖
,
∀
i

{\displaystyle \lVert L^i\_ g(X , E ) \rVert \leq c \lVert E \rVert, \forall i}

Neka je

X
0

=
X

E
0

{\displaystyle X\_ 0 = X + E\_ 0}

 gdje je

E
0

{\displaystyle E\_0}

 proizvoljan s dovoljno malom normom te neka su zadani kao

E
k

:=

X
k

−
X

{\displaystyle E\_ k : = X\_ k - X}

Tada po definiciji Fre’chetove derivacije 1.31 slijedi

X
k

=
g
(

X

k
−
1
)

=
g
(
X

E

k
−
1
)

=
g
(
X
)
L
g
(
X
;

E

k
−
1

)
o
(
‖

E

k
−
1

‖
)

{\displaystyle X\_ k = g(X\_ {k-1)} = g(X + E\_ {k-1)} = g(X) + Lg(X;E\_ {k - 1}) + o(\lVert E\_ {k - 1} \rVert)}

Za fiksnu točku

X
(
g
(
X
# )
X
)

{\displaystyle X (g(X) = X)}

 vrijedi

E
k

=

X
k

−
# X
g
(
X
)

L
g

(
X
;

E

k
−
1

)
o
(
‖

E

k
−
1

‖
)
−
# X

L
g

(
X
,

E

k
−
1

)
o
(
‖

E

k
−
1

# ‖

L
g

(
X
,

E

k
−
1

)
o
(
‖

E

k
−
1

‖
)

{\displaystyle E\_ k = X\_ k - X = g(X)+L\_ g(X;E\_ {k - 1} ) + o(\lVert E\_ {k-1} \rVert) - X = L\_ g(X,E\_ {k-1})+o(\lVert E\_ { k -1} \rVert = L\_g(X,E\_ {k-1})+o( \lVert E\_ {k -1} \rVert) }

iz čega slijedi

E
k

=

L
g

(
X
;

E

k
−
1

)
o
(
‖

E

k
−
1

‖
)

=

L
g

(
X
,

L
g

(
X
,

E

k
−
2
)

o
(
‖

E

k
−
2

‖
)
o
(
‖

E

k
−
1

‖
)

=

L
g

(
X
,

L
g

(
X
,

E

k
−
2

)

L
g

(
X
,
o
(
‖

E

k
−
2

‖
)
o
(
‖

E

k
−
1

‖
)

=

L
g
2

(
X
,

E

k
−
2

)

L
g

(
X
,
o
(

E

k
−
2

‖
)
o
(

E

k
−
1

‖
)

=

L
g
k

(
X
,

E
0

)

∑

# i
0

k
−
1

L
g
i

(
X
,
o
(
‖

E

k
−
1
−
i

‖
)

{\displaystyle \begin{alignat}{4} E\_ k & = L\_ g(X;E\_ {k - 1}) + o(\lVert E\_ {k-1} \rVert) \\ & = L\_ g (X, L\_ g(X, E\_ {k -2)} + o(\lVert E\_ {k -2} \rVert) + o(\lVert E\_ {k - 1} \rVert) \\ & = L\_ g (X, L\_ g(X,E\_ {k -2}) + L\_g (X, o(\lVert E\_ { k -2} \rVert) o(\lVert E\_ {k - 1} \rVert) \\ & = L^2\_ g (X,E\_ {k- 2}) + L\_g (X, o(\ E\_ {k -2} \rVert) + o(\ E\_ {k - 1} \rVert) \\ & = L^ k\_ g(X, E\_ 0) + \sum\_{i=0}^{k -1} L^ i\_ g(X, o ( \lVert E\_ {k- 1 - i } \rVert) \end{alignat} }

pa za stablinu iteraciju vrijedi

‖

E
k

‖
≤
‖

L
g
k

(
X
,

E
0

)
‖

∑

# i
0

k
−
1

‖

L
g
i

(
X
,
o
(
‖

E

k
−
1
−
i

)
‖
)
)
‖

=
‖

L
g
k

(
X
)
‖
‖

E
0

‖

∑

# i
0

k
−
1

‖

L
g
i

(
X
)
‖
‖
o
(
‖

E

k
−
1
−
i

)

≤
‖

E
0

‖

∑

# i
0

k
−
1

c
o
(
‖

E

k
−
1
−
i

‖
)
‖

≤
‖

E
0

‖
k
c
o
(
‖

E
0

‖
)

{\displaystyle \begin{align} & \lVert E\_ k \rVert \leq \lVert L^ k\_ g (X,E\_ 0) \rVert + \sum\_{i =0}^ {k -1} \lVert L^i\_ g( X, o(\lVert E\_ {k -1- i }) \rVert )) \rVert \\ & = \lVert L^ k\_ g (X) \rVert
 \lVert E\_ 0 \rVert + \sum\_{i =0}^ {k -1} \lVert L^i\_ g( X ) \rVert \lVert o(\lVert E\_ {k -1- i })\\ & \leq \lVert E\_ 0 \rVert + \sum\_{i =0}^ {k -1} co (\lVert E\_ {k -1 - i } \rVert) \rVert \\ & \leq \lVert E\_ 0 \rVert + kco (\lVert E\_ 0 \rVert) \\ \end{align} }

Dakle, definicija 1.36 osigurava da u stabilnoj iteraciji dovoljno male greške (definirane kao odmak od fiksne točke) ograničene. Slijedeća propozicija nam daje korisnu činjenicu za stabilnu iteraciju.

Propozicija 1.37 Linearni operator na

C

n
×
n

{\displaystyle C^ {n \times n} }

 ima ograničene potencije ako je njegov spektralni radijus manji od 1.

Dokaz

Neka je

δ

−
1

# A
X
J

X

−
1

=
X
(

δ

−
1

D
M
)

X

−
1

{\displaystyle \delta^ {-1} A = XJX^ {-1} = X(\delta^{-1}D+M)X^{-1} }

 Jordanova kanonska forma od

δ

−
1

A

{\displaystyle \delta^{-1}A }

, gdje je

δ
>
0
,
# D
d
i
a
g
(

λ
i

)
,

λ
i

{\displaystyle \delta > 0, D = diag(\lambda\_ i), \lambda\_ i }

 svojstvene vrijednosti matrice A i M nedijagonalan dio Jordanove forme. Tada

# A
X
(
D
δ
M
)

X

−
1

{\displaystyle A = X(D + \delta M)X^ {-1} }

pa je

A
k

=
X
(
D
δ
M

)
k

X

−
1

{\displaystyle A ^ k = X(D + \delta M)^ k X^ {-1} }

vrijedi

‖

A
k

‖
p

=
‖
X
(
D
δ
M

)
k

X

−
1

‖
p

=
‖
X

‖
p

‖

X

−
1

‖
p

‖
D
δ
M

‖
p
k

≤

κ
p

(
X
)
(
ρ
(
A
)
δ

)
k

{\displaystyle \lVert A^ k \rVert\_ p = \lVert X(D + \delta M)^ k X^{-1} \rVert\_ p = \lVert X \rVert\_ p \lVert X^{-1} \rVert\_ p \lVert D+ \delta M \rVert^ k\_ p \leq \kappa\_ p(X)(\rho (A)+ \delta)^ k }

 za bilo koju

# p
1
,
2

{\displaystyle p = 1,2 }

i

∞

{\displaystyle \infty}

 normu. Ako je

ρ
(
A
)
<
1

{\displaystyle \rho(A) < 1}

 možemo izabrati

δ
>
0

{\displaystyle \delta > 0}

takav da

ρ
(
A
)
δ
<
1

{\displaystyle \rho (A) + \delta < 1 }

i

‖

A
k

‖
p

{\displaystyle \lVert A^ k \rVert\_ p }

 je ograničen za svaki k.

Definicija 1.38 Za Fre’chetovu derivaciju

L
g

(
X
)

{\displaystyle L\_ g(X) }

 kažemo da je idempotentna ako vrijedi

L
g
2

(
X
;
E
# )

L
g

(
X
,

L
g

(
X
,
E
)
# )

L
g

(
X
,
E
)

{\displaystyle L^ 2\_ g(X;E) = L\_ g(X, L\_ g(X,E)) = L\_ g(X,E) }

Napomena 1.39 Ukoliko je Fre’chetova derivacija idempotentna, tada je svaka i-ta kompozicija jednaka baš

L
g

(
X
,
E
)

{\displaystyle L\_ g(X, E) }

 iz čega slijedi da je norma svake i-te kompozicije ograničena

‖

L
g

(
X
)
‖

{\displaystyle \lVert L\_ g(X) \rVert }

Definicija 1.40 Neka je

X

k
1

=
g
(

X
k

)

{\displaystyle X\_ {k+1} = g(X\_ k)}

 iteracija s fiksnom točkom X i pretpostavimo da je g Fre’chet diferencijabilna u X. Relativna granica točnosti te iteracije je definirana kao

u
‖

L
g

(
X
)
‖

{\displaystyle u \lVert L\_ g(X) \rVert }

 j, gdje u označava jedinicu zaokruživanja greške.

Granicu točnosti možemo smatrati kao najmanju pogrešku koju možemo očekivati da ćemo postići u aritmetici pomične točke jednom kada iteracija ude u O(u) okolinu fiksne točke. Ona je asimptotičko svojstvo.

Dok se stabilnost podudara sa ograničenosti potencija od

L
g

(
X
)

{\displaystyle L\_ g(X) }

 što ovisi jedino o svojstvenim vrijednostima od

L
g

(
X
)

{\displaystyle L\_ g(X) }

, granica točnosti ovisi o normi

L
g

(
X
)

{\displaystyle L\_ g(X) }

 pa dvije stabilne iteracije mogu imati dosta različitu granicu točnosti.

Nestabilna iteracija može nikad ne postići svoju granicu točnosti jer ju nestabilnost može spriječiti da dosegne područje oko rješenja čiju veličinu mjeri granica točnosti

.Računanje i analiza matrične funkcije drugi korijen/1

⇒

{\displaystyle \Rightarrow}