Map

**映射**的基本术语主题。

术语
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map
nc.
**映射**
主要代指集合间的映射，也称函数（function），设两个非空集合

A

{\displaystyle A}

和

B

{\displaystyle B}

，若存在一个对应关系

f

{\displaystyle f}

，使得对每个

A

{\displaystyle A}

中的元素

x
∈
A

{\displaystyle x \in A}

，在

B

{\displaystyle B}

中都有唯一一个元素

y
∈
B

{\displaystyle y \in B}

和它对应，我们称

f

{\displaystyle f}

是

A

{\displaystyle A}

到

B

{\displaystyle B}

的一个映射，记作

f
:
A

→
B

x

↦
# y
f
(
x
)

{\displaystyle \begin{align}
f: A & \to B \\
x & \mapsto y = f(x)
\end{align}}

[例句]

image
nc.
**像**
上式中

# y
f
(
x
)

{\displaystyle y=f(x)}

的

y

{\displaystyle y}

称为

x

{\displaystyle x}

对应的像
[例句]

inverse image

**原像**
上式中

# y
f
(
x
)

{\displaystyle y=f(x)}

的

y

{\displaystyle y}

称为

x

{\displaystyle x}

对应的像，

x

{\displaystyle x}

称为

y

{\displaystyle y}

的原像
[例句]

domain of f

**f

{\displaystyle f}

的定义域**

A

{\displaystyle A}

称为

f

{\displaystyle f}

的定义域或原像集，也记作

D
(
f
)

{\displaystyle D(f)}

[例句]

codomain of f

**f

{\displaystyle f}

的值域**

B

{\displaystyle B}

称作

f

{\displaystyle f}

的值域、到达域或变程，记作

R
(
f
)

{\displaystyle R(f)}

[例句]

image set

**像集**

f
(
A
# )
{
y

# y
f
(
x
)
,
x
∈
A
}

{\displaystyle f(A) = \{ y | y = f(x), x \in A \}}

称为

A

{\displaystyle A}

在

f

{\displaystyle f}

下的像集，也记作

Im
⁡
f

{\displaystyle \operatorname{Im} f}

[例句]

identity function

**恒等映射**

f
(
x
# )
x
,
∀
x
∈
A

{\displaystyle f(x) = x, \forall x \in A}

，

A

{\displaystyle A}

上的恒等映射常记作

id
A

{\displaystyle \text{id}\_A}

[例句]

inclusion
nc.
**嵌入，嵌入映射**
设有

A

{\displaystyle A}

上的恒等映射

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}

，

A
⊆
B

{\displaystyle A \subseteq B}

，构造这样的映射：定义域

A

{\displaystyle A}

，对应关系

f

{\displaystyle f}

，值域为

B

{\displaystyle B}

，这样的映射就是嵌入
[例句]

restriction
nc.
**限制**
设有

A
→
B

{\displaystyle A \to B}

的映射

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}

，

S
⊆
A

{\displaystyle S \subseteq A}

，构造这样的映射：定义域

S

{\displaystyle S}

，对应关系

f

{\displaystyle f}

，值域为

B

{\displaystyle B}

，这样的映射就是

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}

在

S

{\displaystyle S}

上的限制，记作

f

S

(
x
)

{\displaystyle f|\_S (x)}

。
[例句]

injection
nc.
**单射**
若

∀

x
1

,

x
2

∈
A
,

x
1

≠

x
2

{\displaystyle \forall x\_1, x\_2 \in A, x\_1 \ne x\_2}

均有

f
(

x
1

)
≠
f
(

x
2

)

{\displaystyle f(x\_1) \ne f(x\_2)}

，则称

f

{\displaystyle f}

是一个单射，形容词为 injective，单的，也称作 one to one（1-1 的）
[例句]

surjection
nc.
**满射**
若

∀
y
∈
B
,
∃
x
∈
A

{\displaystyle \forall y \in B, \exists x \in A}

，使得

# y
f
(
x
)

{\displaystyle y=f(x)}

，则称

f

{\displaystyle f}

是一个满射，形容词为 surjective，满的，也称作 onto（到上的）
[例句]

bijection
nc.
**双射**
既单又满的映射称为双射，也称作 one-to-one correspondence，一一对应，形容词为 bijective，双的
[例句]

projection
nc.
**投射**
定义域为一个笛卡尔积

A
→
B

{\displaystyle A \to B}

，值域为

A

{\displaystyle A}

，对应关系是

A
×
B

{\displaystyle A \times B}

的恒等映射限制在

A

{\displaystyle A}

上，通常记作

π
A

{\displaystyle \pi\_A}

，这样定义的投射有时也称为是自然的，即 natural projection
[例句]

词源
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例句
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1. More generally, the inclusion of any subset

S

{\displaystyle S}

 of a set

A

{\displaystyle A}

 determines a function

S

{\displaystyle S}

 to

A

{\displaystyle A}

, simply sending every element s of S to ‘itself’ in A.
更一般的，集合

A

{\displaystyle A}

到任意一个子集

S

{\displaystyle S}

的嵌入映射确定了一个

S

{\displaystyle S}

到

A

{\displaystyle A}

的函数关系，它把

S

{\displaystyle S}

中的每个元素映成

A

{\displaystyle A}

中的“自己”。

参见
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