Računanje i analiza matrične funkcije drugi korijen/ 1

## Matrična funkcija drugi korijen

Kao što sam i prije spomenula, matrične funkcije se uglavnom primjenjuju za rješavanje nelinearnih sustava jednadžbi,

f
(
X
# )
A

{\displaystyle f(X) = A}

 U mom slučaju funkcija je

f

=
2

{\displaystyle f=^ 2}

 . Svako rješenje od

X
2

=
A

{\displaystyle X^2 = A}

 ćemo zvati drugim korijenom od A.

Razliku primarnih i neprimarnih matričnih funkcija spomenutih u definicijama 1.22 i 1.23 ću pokazati na slijedećem primjeru.

Primjer 2.1 Pretpostavimo da želimo naći druge korijene od

# A

I
2

=

[

1

0

0

1

]

{\displaystyle A=I\_ 2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}}

Rješavamo jednadžbu

X
2

=
A

{\displaystyle X^2 = A}

. Dvostruka svojstvena vrijednost matrice A je 1.

Kada uzmemo

f
(
t
# )

t

{\displaystyle f(t) =\sqrt{t}}

 interpolacijski uvjeti iz definicije 1.18 gdje je s = 1 i n1 = 1 daju

p
(
1
# )

1

{\displaystyle p(1) = \sqrt{1}}

. Interpolacijski polinom je ondali

p
(
t
# )
1

{\displaystyle p(t) = 1}

 ili

p
(
t
# )
−
1

{\displaystyle p(t) = -1}

, što se odnosi na dva druga korijena od 1 te daje

I

{\displaystyle I}

 i

−
I

{\displaystyle - I}

 kao druge korijene od A. Primijetimo, oba ova druga korijena su polinomi od A.

Pogledamo li definiciju 1.16, matrica A je već u Jordanovoj formi sa dva

1
×
1

{\displaystyle 1 \times 1}

 Jordanova bloka svojstvene vrijednosti 1. Dakle, imamo

f
(
A
# )
Z
d
i
a
g
(
f
(

J
i

)
)

Z

−
1

=
d
i
a
g
(
f
(
1
)
)

Z

−
1

{\displaystyle f(A) = Zdiag(f(J\_ i))Z^{ - 1} = diag(f(1))Z^{ - 1}}

iz ćega slijedi

f
(
A
# )

{

Z
I

Z

−
1

,

 f(1) = 1

Z
(
−
I
)

Z

−
1

,

f(1) = - 1

=

{

I
,

 f(1) = 1

−
I
,

f(1) = - 1

{\displaystyle f(A) = \begin{cases} ZIZ^ {-1}, & \text{ f(1) = 1 } \\Z( - I)Z^ {-1} , & \text{f(1) = - 1} \end{cases} = \begin{cases} I , & \text{ f(1) = 1 } \\ - I , & \text{f(1) = - 1} \end{cases} }

pa ta definicija također daje prethodno izračunata dva druga korijena. Ovdje smo koristili primarnu matričnu funkciju.

No, to ipak nisu sva rješenja. Koristeći neprimarnu matričnu funkciju dobivamo još neka rješenja. Pogledajmo još dva druga korijena naše matrice

[

−
1

0

0

1

]

,

[

1

0

0

−
1

]

{\displaystyle \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0& -1 \end{bmatrix}}

Njih dobijemo kada funkcija od dvije svojstvene vrijednosti 1 daje različite druge korijene - 1 i 1. Po definiciji 1.16, jer je

# A
Z
I

Z

−
1

{\displaystyle A= ZIZ^ {-1}}

 Jordanova kanonska forma za proizvoljnu regularnu matricu Z, postoje drugi korijeni oblika

Z

[

−
1

0

0

1

]

Z

−
1

,
Z

[

1

0

0

−
1

]

Z

−
1

{\displaystyle Z \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} Z^ {-1}, Z \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{bmatrix} Z^ {-1} }

Vidimo da drugih korijena zapravo ima beskonačno mnogo.

Primjer 2.2 Nije moguće sve neprimarne matrične funkcije izraziti iz Jordanove forme kao gore. Npr

# A

[

0

0

0

0

]

{\displaystyle A= \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}}

ima drugi korijen

# X

[

0

1

0

0

]

{\displaystyle X= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}}

a X je Jordanov blok veći od

1
×
1

{\displaystyle 1 \times 1}

 Jordanovih blokova od A. Ovaj primjer također pokazuje da neprimarne funkcije mogu imati isti spektar kao i primarne pa neprimarna funkcija ne može biti prepoznata gledajući samo spektar.

### Postojanje drugog korijena

Ako je A regularna ili singularna sa svojstvenom vrijednosti nula koja ima istu algebarsku i geometrijsku kratnost, tada je funkcija drugi korijen definirana na spektru od A te primarni drugi korijen postoji. Primijetimo da ako svojstvena vrijednost ima istu algebarsku i geometrijsku kratnost onda se pojavljuje jedino u Jordanovim blokovima veličine

1
×
1

{\displaystyle 1 \times 1}

Ako je A singularna sa svojstvenom vrijednosti nula koja nema istu algebarsku i geometrijsku kratnost, tada, iako ne mora imati primarnih drugih korijena, može imati neprimarnih.

Postojanje drugog korijena bilo koje vrste može biti okarakterizirano preko jezgre potencija matrice A. Slijede dva iskaza teorema o postojanju drugog korijena.

Teorem 2.3 Matrica

A
∈

2

n
×
n

{\displaystyle A \in 2^ {n \times n } }

 ima drugi korijen ako i samo ako u nizu cijelih brojeva

d
1

,

d
2

,
.
.
.
.

{\displaystyle d\_ 1, d\_ 2,....}

 definirani kao

d
i

=
d
i
m
(
K
e
r
(

A
i

)
)
−
d
i
m
(
K
e
r
(

A

i
−
1

)
)

{\displaystyle d\_i = dim(Ker(A^i)) - dim(Ker(A^{i - 1}))}

niti jedna dva broja nisu isti neparan cijeli broj.

Primjer 2.4 Neka je

J
∈

C

m
×
m

{\displaystyle J \in C^{m \times m}}

Jordanov blok svojstvene vrijednosti nula.

# A

[

0

1

0

0

0

.

.

0

.

.

0

.

.

1

.

.

0

0

]

{\displaystyle A= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \\ 0 & 0 & \begin{matrix} . & \\ & . \end{matrix} & 0 \\ \begin{matrix} . & \\ . & \end{matrix} & 0 & \begin{matrix} . & \\ & . \end{matrix} & 1 \\ & \begin{matrix} . & .\end{matrix} & 0 & 0\end{bmatrix}}

,

J
2

=

[

0

0

1

0

0

.

.

1

.

.

0

.

.

0

.

.

0

0

]

{\displaystyle J^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & \\ 0 & 0 & \begin{matrix} . & \\ & . \end{matrix} & 1 \\ \begin{matrix} . & \\ . & \end{matrix} & 0 & \begin{matrix} . & \\ & . \end{matrix} & 0 \\ & \begin{matrix} . & .\end{matrix} & 0 & 0\end{bmatrix}}

,
.
.
.
,

J
m

=

[

0

0

.

1

0

0

.

.

0

.

.

0

.

.

0

.

.

0

0

]

{\displaystyle , ..., J^ m = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \begin{matrix} . & \end{matrix} & 1 \\ 0 & 0 & \begin{matrix} . & \\ & . \end{matrix} & 0 \\ \begin{matrix} . & \\ . & \end{matrix} & 0 & \begin{matrix} . & \\ & . \end{matrix} & 0 \\ & \begin{matrix} . & .\end{matrix} & 0 & 0\end{bmatrix}}

d
i
m
(
K
e
r
(

J
0

)
# )
0
,
d
i
m
(
K
e
r
(

J
1

)
# )
1
,
.
.
.
d
i
m
(
K
e
r
(

J
m

)
# )
m

{\displaystyle dim(Ker(J^ 0)) = 0, dim(Ker(J^ 1)) = 1, ... dim(Ker(J^ m)) = m}

Slijedi da je niz cijelih brojeva

d
i

{\displaystyle d\_i}

 jednak

1
1
.
.
.
.
.
1
0
0
0
.
.
.

{\displaystyle 1 1 ..... 1 0 0 0 ...}

pa po teoremu 2.3 zaključujemo da ne postoji drugi korijen ove matrice osim ako nije

# m

{\displaystyle m=1.}

Primjer 2.5 Neka je zadana matrica

# A

[

0

1

0

0

0

0

0

0

0

]

{\displaystyle A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}}

 Slijedi

A
i

=

[

0

0

0

0

0

0

0

0

0

]

,
# i
2
,
3
,
.
.
.

{\displaystyle A^i = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, i = 2,3 ,...}

Niz cijelih brojeva

d
I

{\displaystyle d\_ I}

i je

2
1
0
0
.
.
.

{\displaystyle 2 1 0 0 ...}

 pa po teoremu zaključujemo da postoji drugi korijen matrice A.

Teorem 2.6   Matrica

A
∈

R

n
×
n

{\displaystyle A \in R^{n\times n} }

 ima realan drugi korijen ako i samo ako zadovoljava uvjet teorema 2.3 i A ima paran broj Jordanovih blokova svake veličine za svaku negativnu svojstvenu vrijednost.

Korolar 2.7 Ako

A
∈

R

n
×
n

{\displaystyle A \in R^{n\times n} }

 ima neku negativnu svojstvenu vrijednost, onda je primaran drugi korijen nerealan.

Dokaz

Promotrimo realnu Schurovu dekompoziciju matrice

A
,

Q
T

A
# Q
R

{\displaystyle A, Q ^TAQ = R}

 gdje

Q

{\displaystyle Q}

 je ortogonalna, a

R

{\displaystyle R}

 gornje blok trokutasta. Slijedi da je

f
(
A
)

{\displaystyle f(A)}

 realna ako i samo ako

Q
T

f
(
A
)
# Q
f
(
R
)

{\displaystyle Q^T f(A)Q = f(R)}

 je realna, i primarna matrična funkcija

f
(
R
)

{\displaystyle f(R)}

 je blok gornje trokutasta sa blokovima na dijagonali

f
(

R

i
i

)

{\displaystyle f(R\_ {ii})}

. Ako A ima negativnu svojstvenu vrijednost, tada je i neki

R

i
i

{\displaystyle R\_ {ii}}

 veličine

1
×
1

{\displaystyle 1 \times 1}

 negativan te je onda

f
(

R

i
i

)

{\displaystyle f(R\_ {ii})}

 nerealna za funkciju f drugi korijen.

Definicija 2.8 Za funkciju drugi korijen

f

{\displaystyle f}

 i

λ
k

≠
0

{\displaystyle \lambda\_ k \neq 0}

 pišemo

L
k

(
j
k
)

=

L
k

(
j
k
)

(

λ
k

# )
f
(

J
k

(

λ
k

)
)

{\displaystyle L^ {(jk)}\_ k =L^ {(jk)}\_ k (\lambda\_ k) = f(J\_ k(\lambda\_ k))}

gdje je

f
(

J
k

(

λ
k

)
)

{\displaystyle f(J\_ k(\lambda\_ k))}

 objašnjen u definiciji 1.16 i gdje jk = 1 ili 2 označava granu od f. Vrijedi

L
k

(
1
)

=
−

L
k

(
2
)

{\displaystyle L^ {(1)}\_ k = - L^ {(2)}\_ k }

Teorem 2.9 Neka regularna matrica

A
∈

C

n
×
n

{\displaystyle A \in C^{n \times n}}

ima Jordanovu kanonsku formu

# A
Z
J

Z

−
1

{\displaystyle A = ZJZ^{-1}}

. Tada su sva rješenja od

X
2

=
A

{\displaystyle X^2 = A}

 dana sa

# X
Z
U
d
i
a
g
(

L
1

(

j
1

)

,

L

(

j
2

)

.
.
.

L
(

j
p

)
p

)

U

−
1

Z

−
1

{\displaystyle X = ZUdiag(L^ {(j\_ 1)}\_ 1, L^ {(j\_ 2)}...L^ (jp)\_ p )U^ {-1}Z^ {-1}}

gdje je Z regularna matrica, U proizvoljna regularna matrica koja komutira s J, a

L
k

(
j
k
)

{\displaystyle L^ {(jk)}\_ k}

 su definirane u definiciji 2.8.

Dokaz

Neka je X bilo koji drugi korijen matrice A. Jer je A regularna, slijedi da je i X. Tada svojstvene vrijednosti od X nisu nula pa derivacija funkcije

x
2

# (
2
x
)

{\displaystyle x^2 (= 2x)}

 nije nula u svojstvenim vrijednostima od X. Iz teorema 1.21 svojstvo 3), možemo zaključiti da ako A ima Jordanovu formu

# J
d
i
a
g
(

J
1

(

λ
1

)
,
.
.
.
.
,

J
p

(

λ
p

)
)

{\displaystyle J = diag(J\_ 1(\lambda\_ 1),...., J\_p(\lambda\_ p))}

 onda X ima Jordanovu formu

J
X

=
d
i
a
g
(

J
1

(

μ
1

)
,
.
.
.
,

J
p

(

μ
p

)
)

{\displaystyle J\_ X = diag(J\_ 1(\mu\_ 1),..., J\_ p(\mu\_ p))}

 gdje su

μ
k
2

=

λ
k

,
# k
1
,
.
.
.
,
p

{\displaystyle \mu^2 \_ k = \lambda\_ k,k = 1,...,p}

 Sada pogledajmo matricu

# L
d
i
a
g
(

L
1

(

j
1

)

,

L
2

(

j
2

)

,
.
.
.
,

L
p

(

j
p

)

)

{\displaystyle L = diag(L^{(j\_ 1)}\_ 1 , L^ {(j\_ 2)}\_ 2,..., L^ {(j\_ p)}\_
p )}

 gdje biramo

j
k

{\displaystyle j\_ k}

 takav da

L
k

(

j
k

)

{\displaystyle L^ {(j\_ k)}\_ k}

 ima svojstvenu vrijednost

μ
k

,
∀
k

{\displaystyle \mu\_k, \forall k}

Jer je L drugi korijen od J po definiciji 2.8 za funkciju f drugi korijen, iz istog razloga kao i gore L mora imati Jordanovu kanonsku formu

J
X

{\displaystyle J\_ X}

: Stoga

# X
W
L

W

−
1

{\displaystyle X = WLW^{ - 1}}

za neku regularnu W jer je sličan L.

Iz

X
2

=
A

{\displaystyle X^2 = A}

 imamo

# A
W
L

W

−
1

W
L
W

−
1

=
W

L
2

W

−
1

{\displaystyle A = WLW^ {-1}WLW|^{-1} = WL^ 2W^ {-1} }

 pa vrijedi jer je J Jordanova forma od A

W
J

W

−
1

# 1
W

L
2

W

−
1

=
Z
J

Z

−
1

{\displaystyle WJW^ { -1}1 = WL^2W^ { -1} = ZJZ^ { -1 }}

što možemo pisati u obliku

(

Z

−
1

W
)
# J
J
(

Z

−
1

W
)

{\displaystyle (Z^{ - 1}W)J = J(Z^{ -1}W)}

iz čega slijedi da ako uzmemo

# U

Z

−
1

W

{\displaystyle U = Z^ { - 1}W}

tada U komutira s J.

Nadalje, imamo

Z

−
1

X
# Z

Z

−
1

W
L

W

−
1

# Z
U
L

U

−
1

{\displaystyle Z^ { - 1}XZ = Z^{ - 1}WLW^{ -1}Z = ULU^{-1}}

# X
Z
U
L

U

−
1

Z

−
1

{\displaystyle X = ZULU^{ -1}Z^{-1}}

što je i tvrdnja teorema. Iz prethodnog teorema će slijediti:

Korolar 2.10 Neka regularna matrica

A
∈

C

n
×
n

{\displaystyle A \in C^{n \times n}}

 ima Jordanovu kanonsku formu sa p blokova te neka je s broj različitih svojstvenih vrijednosti matrice

A
;
s
≤
p

{\displaystyle A; s \leq p}

Tada A ima točno  2s drugih korijena koji su primarne matrične funkcije od A. To su

X
j

=
Z
d
i
a
g
(

L
(

j
1

)
1

,

L
(

j
2

)
2

,
.
# .
1
,
.
.
.
.
,

2
s

{\displaystyle X\_ j = Zdiag(L^ (j\_ 1)\_ 1 , L^ (j\_ 2)\_ 2,..= 1,...., 2^ s}

 koji odgovaraju svim mogućim odabirima

j
1

,

j
2

;
.
.
.
,

j
p

{\displaystyle j\_ 1, j\_ 2; ..., j\_ p}

gdje je jk = 1 ili 2, te se podrazumijeva da ji = jk kad je

λ
i

=

λ
k

{\displaystyle \lambda\_ i = \lambda\_ k}

Ako je s < p, A ima neprimarne druge korijene te oni čine parametrizirane familije  gdje je jk = 1 ili 2, U je proizvoljna regularna matrica koja komutira s J i za svaki j, postoje i; k koji ovise o j takvi da vrijedi je

λ
i

=

λ
k

{\displaystyle \lambda\_ i = \lambda\_ k}

 dok

j
i

≠

j
k

.

{\displaystyle j\_ i \neq j\_ k.}

Napomena 2.11  Korolar pokazuje da se drugi korijen regularne matrice dijeli u dvije klase.

Prva klasa sadrži konačno mnogo primarnih drugih korijena koji su izoliranii okarakterizirani s time da zbroj bilo koje dvije njihove svojstvenevrijednosti nije nula.

Druga klasa može biti i prazna, no, ako nije, onda sadrži konačan broj parametriziranih familija matrica, od kojih svaka familija sadrži beskončno mnogo drugih korijena koji dijele isti spektar

### Glavni drugi korijen

Neka R-1 označava zatvorenu realnu negativnu os.

Teorem 2.12 Neka matrica

A
∈

C

n
×
n

{\displaystyle A \in C^{n \times n}}

 nema svojstvenih vrijednosti na R -. Tada postoji jedinstven drugi korijen X od A, čije sve svojstvene vrijednosti leže u otvorenoj desnoj poluravnini i to je primarna matrična funkcija od A. Smatramo X glavnim drugim korijenom od A te pišemo

# X

A

1

/

2

{\displaystyle X = A^ {1/2}}

Dokaz

Primijetimo prvo da, ako postoji, neprimaran drugi korijen od A mora imati svojstvene vrijednosti

μ
i

{\displaystyle \mu\_i}

 i

μ
j

{\displaystyle \mu\_ j}

 takve da vrijedi

μ
i

=
−

μ
j

(

μ
i
2

=

λ
i

⇒
±

μ
i

=

λ
i

)

{\displaystyle \mu\_ i = - \mu\_ j ( \mu\_ i^ 2 = \lambda\_ i\Rightarrow \pm \mu\_ i = \sqrt{\lambda\_ i} ) }

 te tako ne mogu sve ležati u otvorenoj desnoj poluravnini. Slijedi da samo primaran drugi korijen može imati spektar u otvorenoj desnoj poluravnini. Jer A nema svojstvenih vrijednosti na R-1 , jasno je iz korolara 2.10 da A ima 1 = (20) drugi korijen koji je primarna funkcija od A i kojem sve svojstvene vrijednosti leže u desnoj poluravnini. Time je pokazana egzistencija i jedinstvenost.

Korolar 2.13 Hermitska pozitivno definitna matrica

A
∈

C

n
×
n

{\displaystyle A \in C^{n \times n}}

 ima jedinstveni Hermitski pozitivno definitni drugi korijen.

Dokaz

Budući da je matrica A Hermitska pozitivno definitina, slijedi da ima sve svojstvene vrijednosti pozitivne. Stoga, po teoremu 2.12, jedini mogući jedinstven Hermitski pozitivno definitni drugi korijen matrice A je A1/2 . Neka je

# A
Q
D

Q
∗

{\displaystyle A= QDQ^\* }

spektralna dekompozicija tj. Q je unitarna, a D dijagonalna sa pozitivnim svojstvenim vrijednostima matrice A na dijagonali. Tada A1/2 možemo napisati

A

1

/

2

=
Q

D

1

/

2

Q
∗

{\displaystyle A^ {1/2}= QD^ {1/2}Q^\* }

po teoremu 1.21 4) i to je Hermitska pozitivno definitna matrica jer je A takva. U principu ćemo koristiti glavni drugi korijen i označavat ćemo ga s A1/2 S druge strane, sa

A

{\displaystyle \sqrt{A}}

 ćemo označavati proizvoljan drugi korijen koji ne mora biti glavni.
### Osjetljivost matričnog drugog korijena

Za analizu osjetljivosti matričnog drugog korijena, pretpostavljat ćemo da u okolini svojstvenih vrijednosti matrice koju promatramo funkcija drugog korijena ima fiksiran odabir grana korijena, jer je u protivnom drugi korijen prekidan. Mi ćemo promatrati primarne druge korijene, s obzirom na to da neprimarni pripadaju parametriziranoj familiji drugih korijena (korolar 2.10) te se smatraju beskrajno osjetljivim.

Neka je

g
(
X
# )

X
2

{\displaystyle g(X) = X^ 2}

 Tada vrijedi

g
(
X
E
)
−
g
(
X
# )
(
X
E

)
2

−

X
2

=

X
2

X
E
E
X

E
2

−

X
2

=
X
E
E
X

E
2

{\displaystyle g(X+E) - g(X) = (X+E)^ 2 - X^2 = X^ 2 +XE+EX+E^2 - X^2 = XE + EX+E^ 2}

iz čega slijedi

L
g

(
X
,
E
# )
g
(
X
E
)
−
g
(
X
)
−
o
(
‖
E
‖
# )
X
E
E
X

{\displaystyle L\_ g(X, E) = g(X + E) - g(X) - o( \lVert E \rVert ) = XE + EX}

(
2.1
)

{\displaystyle (2.1)}

S druge strane, pogledajmo Fre'chetovu derivaciju

L
f

=

L
f

(
A
,
E
)

{\displaystyle L\_ f = L\_ f (A,E)}

 od

# X
f
(
A
# )

A

{\displaystyle X = f(A) = \sqrt{A}
}

. Lf je inverz Fre'chetove derivacije od Lg od funkcije

g
(
X
# )

X
2

{\displaystyle g(X) = X^ 2}

 i vrijedi po svojstvu 4) Fre'chetove derivacije

L
f

(
A
,
E
# )

L
g

−
1

(
X
,
E
)

{\displaystyle L\_ f (A, E) = L\_ g^ { -1 } (X, E)
}

 odnosno

L
g

(
X
,

L
f

(
A
,
E
)
# )
E

{\displaystyle L\_ g(X, L\_ f (A , E)) = E
}

Sada iskoristimo izraz (2.1) pa dobijemo

# E

L
g

(
X
,

L
f

(
A
,
E
)
# )
X

L
f

(
A
,
E
)

L
f

(
A
,
E
)
X

{\displaystyle E = L\_ g(X, L\_ f (A,E)) = XL\_ f (A, E) + L\_ f (A,E)X
}

tj. Fre'chetova derivacija Lf je rješenje jednadžbe ,

>
>
>
>
> X
>
> L
> f
>
> +
>
> L
> f
>
> X
> =
> E
>
>
> {\displaystyle XL\_ f + L\_ fX = E
> }
>
>
>
>

Koristeći propoziciju 1.8 za Sylvesterovu jednakost, možemo pisati gornju jednadžbu u formi

(
I
⊗
X

X
T

⊗
I
)
v
e
c
(
L
# )
v
e
c
(
E
)

v
e
c
(
L
# )
(
I
⊗
X

X
T

⊗
I

)

−
1

v
e
c
(
E
)

{\displaystyle \begin{alignat}{2} & (I \otimes X + X^T \otimes I)vec(L) = vec(E) \\ & vec(L) = (I \otimes X + X^ T \otimes I)^{ -1} vec(E) \\ \end{alignat}}

iz čega možemo izvesti, koristeći definiciju norme Fre'chetove derivacije 1.32 i činjenicu

‖
v
e
c
(
X
)

‖
2

=
‖
X

‖
F

{\displaystyle \lVert vec(X) \rVert\_ 2 = \lVert X \rVert\_ F}

za neku matricu X,

‖
L
(
A
)

‖
F

=

max

E
≠
0

‖
L
(
A
,
E
)

‖
F

‖
E
)

‖
F

=

max

E
≠
0

‖
v
e
c
L
(
A
,
E
)

‖
2

‖
v
e
c
E
)

‖
2

=
‖
(
I
⊗
X

X
T

⊗
I

)

−
1

‖
2

{\displaystyle \lVert L(A) \rVert\_F =\max\_{E \neq 0}\frac{ \lVert L(A,E) \rVert\_F }{\lVert E) \rVert\_F} =\max\_{E \neq 0}\frac{ \lVert vec L(A,E) \rVert\_2 }{\lVert vec E) \rVert\_2} =\lVert ( I \otimes X +X^ T\otimes I)^{-1} \rVert\_ 2}

Po teoremu 1.33, relativni broj uvjetovanosti matričnog drugog korijena od A preko Frobeniusove norme je

K

s
q
r
t

(
X
# )

‖
(
I
⊗
X

X
T

⊗
I

)

−
1

‖
2

‖
A

‖
F

‖
X

‖
F

{\displaystyle \Kappa\_ {sqrt}(X) = \frac{\lVert (I\otimes X + X^T \otimes I)^{-1} \rVert\_ 2 \lVert A \rVert\_ F }{\lVert X \rVert\_ F}}

gdje argument od

K

s
q
r
t

{\displaystyle \Kappa\_ {sqrt}}

 označava drugi korijen koji promatramo. Slijedi da je

K

s
q
r
t

(
X
)
≥

1

m
i

n

i
,
# j
1
,
.
.
.
,
n

μ
i

μ
j

∗

‖
A

‖
F

‖
X

‖
F

{\displaystyle \Kappa\_ {sqrt} (X)\geq\frac{1 }{min\_ {i,j=1,...,n} |\mu\_ i +\mu\_ j | }\* \frac{ \lVert A \rVert\_ F}{ \lVert X \rVert\_ F} }

gdje su

μ
j

{\displaystyle \mu\_ j}

 svojstvene vrijednosti od

# X

A

{\displaystyle X = \sqrt{A}}

. Ona je zanimljiva jer otkriva dvije različite situacije kada

K

s
q
r
t

{\displaystyle \Kappa\_ {sqrt}}

mora biti velik tj. kada je funkcija loše uvjetovana.

Prva je kad A (pa s njom i

A

{\displaystyle \sqrt{A}}

 ima svojstvenu vrijednost malog modula jer će tada prvi nazivnik biti jako malen. Druga situacija je kad je drugi korijen glavni i realna A ima par kompleksno konjugiranih svojstvenih vrijednosti koje su blizu negativne realne osi. Neka su to

# λ
r

e

i
(
π
−
ϵ
)

{\displaystyle \lambda = re^{i(\pi - \epsilon)}}

,

0
<
ϵ
≪
1

{\displaystyle 0 < \epsilon \ll1 }

i

λ
¯

=
r

e

i
(
π
−
ϵ
)

{\displaystyle \bar{\lambda} = re^{i(\pi - \epsilon)}}

: Koristeći

e

i
θ

=
c
o
s
θ
i
s
i
n
θ

{\displaystyle e^{i \theta} = cos\theta +isin \theta}

 i

x
y
i

=

x
2

y
2

{\displaystyle |x+yi| = \sqrt{x^2 + y^2}}

 vrijedi:

λ

1

/

2

λ

−
1

/

2

=
(

r

1

/

2

e

i
(
π
−
ϵ
)

2

)

r

1

/

2

e

−

i
(
π
−
ϵ
)

2

=

r

1

/

2

e

i
(
π
−
ϵ
)

2

)

e

−

i
(
π
−
ϵ
)

2

=

r

1

/

2

e

i
π

2

e

−
i
θ

2

e

−
i
π

2

e

i
θ

2

=

r

1

/

2

(
cos
⁡

π
2

i
sin
⁡

π
2

)

e

−
i
θ

2

(
cos
⁡

−
π

2

i
sin
⁡

−
π

2

)

e

i
θ

2

=

r

1

/

2

i

e

−
i
θ

2

−
i

e

i
θ

2

r

1

/

2

i

e

−
i
θ

2

−

e

i
θ

2

=

r

1

/

2

cos
⁡

−
ϵ

2

i
sin
⁡

−
ϵ

2

−
cos
⁡

ϵ
2

−
i
sin
⁡

ϵ
2

=

r

1

/

2

−
2
i
sin
⁡

ϵ
2

=

r

1

/

2

2
sin
⁡

ϵ
2

=

r

1

/

2

O
(
ϵ
)

r^ {1/2} |e^ {\frac{i\pi}{2}}e^ {\frac{-i\theta}{2}}+ e^ {\frac{-i\pi}{2}}e^ {\frac{i\theta}{2}} |\\ & =
\end{alignat}}

tako da je nazivnik opet jako malen.

Neka je

X
~

=
X
E

{\displaystyle \tilde{X} = X +E}

aproksimacija drugog korijena X od A, gdje je

‖
E
‖
≤
ϵ
‖
X
‖

{\displaystyle \lVert E \rVert \leq \epsilon \lVert X \rVert}

. Tada je

X
2

¯

=
A
X
E
E
X

E
2

{\displaystyle \bar{X^ 2} = A +XE + EX + E^2}

što nas vodi do granice za rezidual (definicija 1.30)

‖
A
−

X
2

~

‖

‖
A
‖

=

‖
−
X
E
−
E
X
−

E
2

‖

‖
A
‖

≤

‖
X
E
‖
‖
E
X
‖
‖

E
2

‖

‖
A
‖

≤
(
2
ϵ

ϵ
2

)
α
(
X
)

{\displaystyle \begin{align} \frac{\lVert A - \tilde{X^ 2} \rVert}{\lVert A \rVert} & = \frac{\lVert - XE - EX - E^ 2 \rVert}{\lVert A \rVert} \\ & \leq\frac{\lVert XE \rVert +\lVert EX \rVert + \lVert E^ 2 \rVert}{\lVert A \rVert} \\ & \leq (2 \epsilon + \epsilon^ 2 )\alpha(X)
 \\ \end{align}}

gdje je

α
(
X
# )

‖
X

‖
2

‖
A
‖

=

‖
X

‖
2

‖

X
2

‖

)
≥
1

{\displaystyle \alpha (X)= \frac{\lVert X \rVert^ 2}{\lVert A \rVert} = \frac{\lVert X \rVert^ 2}{\lVert X^ 2 \rVert}) \geq 1}

Ukoliko je

α
(
X
)

{\displaystyle \alpha (X)}

 velik, tada i mala perturbacija od X može imati relativni rezidual puno veći nego veličinu relativne perturbacije.

Računanje i analiza matrične funkcije drugi korijen/ 2

⇒

{\displaystyle \Rightarrow}