טנזור מומנט התמד

###  פיתוח עם טנזור אינרציה

תהי התפלגות מסה צפידה (קשיחה, המבנה המרחבי נשמר ורק המיקום והאוריינטציה משתנים). המסתובבת במהירות זוויתית

ω
→

{\displaystyle \vec{\omega}}

 מסביב לראשית. אנו נרצה לחשב את התנע הזווית של הגוף. נעשה זאת על ידי סכימה של התנעים הזוויתיים של כל אלמנט מסה המרכיב את הגוף.

כעת לחישוב תנע זוויתי של אלמנט מסה:

מיקום האלמנט הוא

r
→

{\displaystyle \vec{r}}

 וידוע שהוא מסתובב במהירות זוויתית

ω
→

{\displaystyle \vec{\omega}}

 ביחס לראשית, מסתו היא

d
m

{\displaystyle dm}

. ניתן להסיק את המהירות של האלמנט לפי:

v
→

=

ω
→

×

r
→

{\displaystyle \vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r}}

. חישוב התנע הזוויתי (האינפיניטיסימלי) של האלמנט יעשה לפי הגדרה:

d

L
→

=
d
m

r
→

×

v
→

=
d
m

r
→

×
(

ω
→

×

r
→

)

{\displaystyle d{\vec {L}}=dm{\vec {r}}\times {\vec {v}}=dm{\vec {r}}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}})}

. כעת ניתן להפעיל את הזהות הוקטורית:

A
→

×
(

B
→

×

C
→

# )

B
→

(

A
→

⋅

C
→

)
−

C
→

(

A
→

⋅

B
→

)

{\displaystyle {\vec {A}}\times ({\vec {B}}\times {\vec {C}})={\vec {B}}({\vec {A}}\cdot {\vec {C}})-{\vec {C}}({\vec {A}}\cdot {\vec {B}})}

שתיתן את התוצאה:

d

L
→

=
d
m
(

ω
→

(

r
→

⋅

r
→

)
−

r
→

(

ω
→

⋅

r
→

)
)

{\displaystyle d{\vec {L}}=dm({\vec {\omega }}({\vec {r}}\cdot {\vec {r}})-{\vec {r}}({\vec {\omega }}\cdot {\vec {r}}))}

לאחר אינטגרציה ומעבר לייצוג קרטזי מקבלים את התוצאה:

L
→

=

(

ω

x

(

I

x
x

I

x
y

I

x
z

)

ω

y

(

I

y
y

I

x
y

I

y
z

)

ω

z

(

I

z
z

I

y
z

I

x
z

)

)

=
[
I
]

ω
→

{\displaystyle {\vec {L}}={\begin{pmatrix}\omega \_{x}(I\_{xx}+I\_{xy}+I\_{xz})\\\omega \_{y}(I\_{yy}+I\_{xy}+I\_{yz})\\\omega \_{z}(I\_{zz}+I\_{yz}+I\_{xz})\end{pmatrix}}=\lbrack I\rbrack {\vec {\omega }}}

כאשר

[
I
]

{\displaystyle \lbrack I\rbrack }

 נקרא טנזור האינרציה והוא למעשה מטריצה דו מימדית.

[
I
# ]

(

I

x
x

I

x
y

I

x
z

I

y
x

I

y
y

I

y
z

I

z
x

I

z
y

I

z
z

)

{\displaystyle \lbrack I\rbrack ={\begin{pmatrix}I\_{xx}&I\_{xy}&I\_{xz}\\I\_{yx}&I\_{yy}&I\_{yz}\\I\_{zx}&I\_{zy}&I\_{zz}\end{pmatrix}}}

רכיבי טנזור האינרציה מוגדרים להלן:

I

x
x

=

d
e
f

∭

V

(

y

2

z

2

)

ρ
(
v
)

d
v

{\displaystyle I\_{xx}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \iiint \_{V}(y^{2}+z^{2})\,\rho (v)\,dv\!}

I

y
y

=

d
e
f

∭

V

(

x

2

z

2

)

ρ
(
v
)

d
v

{\displaystyle I\_{yy}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \iiint \_{V}(x^{2}+z^{2})\,\rho (v)\,dv\!}

I

z
z

=

d
e
f

∭

V

(

x

2

y

2

)

ρ
(
v
)

d
v

{\displaystyle I\_{zz}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \iiint \_{V}(x^{2}+y^{2})\,\rho (v)\,dv\!}

I

x
y

=

I

y
x

=

d
e
f

−

∭

V

x
y

ρ
(
v
)

d
v

{\displaystyle I\_{xy}=I\_{yx}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\iiint \_{V}xy\,\rho (v)\,dv\!}

I

x
z

=

I

z
x

=

d
e
f

−

∭

V

x
z

ρ
(
v
)

d
v

{\displaystyle I\_{xz}=I\_{zx}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\iiint \_{V}xz\,\rho (v)\,dv\!}

I

y
z

=

I

z
y

=

d
e
f

−

∭

V

y
z

ρ
(
v
)

d
v

{\displaystyle I\_{yz}=I\_{zy}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\iiint \_{V}yz\,\rho (v)\,dv\!}

כאשר:

* V

{\displaystyle \ V}

 - הוא נפח הגוף
* ρ

{\displaystyle \ \rho }

 - הוא פונקציית הצפיפות החומר|צפיפות של הגוף
* x
,
y
,
z

{\displaystyle \ x,y,z}

 - הן הקואורדינטות של יחידת מסה של הגוף במערכת צירים קרטזית

מהתוצאה הזאת משתמע שהתנע הזוויתי הוא לא תמיד בכיוון

ω
→

{\displaystyle \vec{\omega}}

.

בנוסף, ניתן לראות שתחת התנאים המתאימים (מהירות זוויתי רק בציר אחד) אכן ההיטל של התנע הזוויתי על אותו ציר מקבל את הביטוי מהפיתוח הבסיסי.