Critères de divisibilité

Lorsqu'on souhaite vérifier rapidement si un nombre **X

{\displaystyle \Chi}** est divisible par un autre nombre **A

{\displaystyle \mathrm{A}}**, on peut utiliser des **critères de divisibilité**. Ce sont des méthodes qui permettent de vérifier sans division si

X

{\displaystyle \Chi}

 est divisible par

A

{\displaystyle \mathrm{A}}

.

## Rappel

Un nombre

X

{\displaystyle \Chi}

 est divisible par un nombre

A

{\displaystyle \mathrm{A}}

 s'il peut s'écrire sous la forme

A

B

{\displaystyle \mathrm {A} \mathrm {B} }

 où

B

{\displaystyle \mathrm{B}}

 est un nombre entier.

## Critères de divisibilité par 2

Tout nombre pair est forcément multiple de 2. En effet, les nombres pairs peuvent s'écrire sous la forme

2
k

{\displaystyle 2\Bbbk }

 où

k

{\displaystyle \Bbbk}

 est un nombre entier.

Exemples:

12 est divisible par 2 (12 = 6

×

{\displaystyle \times}

2, ici 6 =

k

{\displaystyle \Bbbk}

)

5 n'est pas divisible par 2 car il ne peut pas s'écrire sous la forme

2
k

{\displaystyle 2\Bbbk }

 avec

k

{\displaystyle \Bbbk}

 étant un entier.

## Critères de divisibilité par 3

Pour déterminer si un nombre

X

{\displaystyle \Chi}

 est divisible par 3, il faut faire la somme des chiffres qui composent ce nombre. Puis, on regarde si le nombre obtenu est divisible par 3. Pour le coup, il faut connaître sa table de multiplication.

Remarque : Cette méthode peut être répétée plusieurs fois jusqu'à ce qu'on arrive à un nombre connu dans la table de 3 (ou pas).

## Critères de divisibilité par 4

Pour déterminer si un nombre

X

{\displaystyle \Chi}

 est divisible par 4, on considère le nombre formé par les deux derniers chiffres. Si celui-ci est divisible par 4, alors

X

{\displaystyle \Chi}

 est divisible par 4. Encore une fois, il faut connaître sa table de multiplication.

Remarque : Cette méthode peut être répétée plusieurs fois jusqu'à ce qu'on arrive à un nombre connu dans la table de 4 (ou pas).

Exemples :

240 -> 40 est divisible par 4 (4

×

{\displaystyle \times}

10) donc 240 l'est aussi

105 -> 5 n'est pas divisible par 4 donc 105 non plus

## Critères de divisibilité par 5

Tout nombre

X

{\displaystyle \Chi}

 divisible par 5 se termine forcément soit par 0, soit par 5 (à l'exception de 0).

## Critères de divisibilité par 10

Tout nombre

X

{\displaystyle \Chi}

 divisible par 10 se termine forcément par 0 (à l'exception de 0).

## Critères de divisibilité par 25

Pour déterminer si un nombre

X

{\displaystyle \Chi}

 est divisible par 25, on considère le nombre formé par les deux derniers chiffres. Si celui-ci vaut 25, 50, 75 ou 00, alors

X

{\displaystyle \Chi}

 est divisible par 25.

## Critères de divisibilité par 50

Pour déterminer si un nombre

X

{\displaystyle \Chi}

 est divisible par 50, on considère le nombre formé par les deux derniers chiffres. Si celui-ci vaut 50 ou 00, alors

X

{\displaystyle \Chi}

 est divisible par 50.

## Critères de divisibilité par 100, 1000, 10000, etc

Tout nombre

X

{\displaystyle \Chi}

 divisible par 100 se termine forcément par 00 (à l'exception de 0) et ainsi de suite pour 1000, 10000, 100000, etc.

Critères de divisibilité pour tout nombre

X

{\displaystyle \Chi}

## non premier

Tout nombre

X

{\displaystyle \Chi}

 non premier est forcément égal à un produit de deux nombres

A

B

{\displaystyle \mathrm {A} \mathrm {B} }

. Ainsi, tout nombre pouvant s'écrire sous la forme

A

B

E

{\displaystyle \mathrm {A} \mathrm {B} \mathrm {E} }

 où

E

{\displaystyle \Epsilon}

 est un nombre entier est multiple de

X

{\displaystyle \Chi}

.
De surcroît, à chaque fois que les nombres

A

{\displaystyle \mathrm{A}}

 et

B

{\displaystyle \mathrm{B}}

 se rencontrent dans la table de multiplication, ce multiple est divisible par

X

{\displaystyle \Chi}

.

Exemple avec 12, multiple de 3 et de 4 :

12 = 3x4

Si on regarde tous les multiples de 12, on a 24 = 12

×

{\displaystyle \times}

2 = 3

×

{\displaystyle \times}

(**4

×

{\displaystyle \times}

2**) ou 4

×

{\displaystyle \times}

(**3

×

{\displaystyle \times}

2**); 144 = 12

×

{\displaystyle \times}

12 = 3

×

{\displaystyle \times}

(**4

×

{\displaystyle \times}

12**) ou 4

×

{\displaystyle \times}

(**3

×

{\displaystyle \times}

12**); 6720 = 12

×

{\displaystyle \times}

560 = 4

×

{\displaystyle \times}

(**3

×

{\displaystyle \times}

560**) ou 3

×

{\displaystyle \times}

(**4

×

{\displaystyle \times}

560**) et ainsi de suite.

Passons à la démonstration :
On a 12 = 3

×

{\displaystyle \times}

4. Cela signifie que tout multiple de 12 peut s'écrire sous la forme

12

A

{\displaystyle 12\mathrm {A} }

. Or, on sait que 12 =

×

{\displaystyle \times}

4. Donc, par développement, on a ainsi

12

A

{\displaystyle 12\mathrm {A} }

=

3

{\displaystyle 3}

×

{\displaystyle \times}

4

{\displaystyle 4}

A

{\displaystyle \mathrm{A}}

. On voit très bien que tout multiple de 12 est un multiple qui appartient aux multiples de 3 et aux multiples de 4.