勾股定理

## **定理**

古中国算学家称直角三角形为**勾股形**，并且短直角边叫勾，长直角边叫股，斜边叫弦。假设

a
,
b
,
c

{\displaystyle a,b,c}

 分别表示一个直角三角形的勾、股、弦三边的长度，**勾股定理**告诉我们两个直角边边长的平方之和等于斜边长的平方：

a
2

b
2

=

c
2

{\displaystyle a^2+b^2=c^2}

古人称勾股定理为**勾股术**或**勾股求弦**。

## **证明**

**《周髀算经》**是中国现存最古老的数理天文学著作，成书大约在公元前100年。该书主要介绍先秦至西汉时期盖天说的宇宙论和天文学应用的测量与计算方法。据《周髀算经》记载，**周公**（公元前11世纪）与西周初期的数学家、天文学家**商高**有讨论到勾股定理以及制造了**“弦图”**。商高说：

**【原文】** 故折矩，以为勾三广，股修四，径隅五，既方之外，半其一矩。环而共盘，得成三四五。

**【今译】**假设折矩，令勾广为三，股修为四，那么径隅[弦]为五，在勾股形之外，以径在边上作正方形，取半个长方形。环绕正方形一周，共同形成一个方盘。由此推得三四五数理关系。

从这里能看出商高使用3-4-5直角三角形来制造“弦图”，所以也有人称这个定理为“商高定理”。

   东汉至三国时期数学家**赵爽**（约公元180年 - 约公元250年）著的《周髀算经注》论“弦图”说明勾股定理的证明：

**【原文】**勾、股各自乘，并之为弦实。开方除之，即弦。案弦图：又可以勾、股相乘为朱实二，倍之，为朱实四。以勾、股之差自乘，为中黄实。加差实，亦成弦实。

**【今译】**勾、股分别自乘，加在一起，等于弦方的面积；将其开方，即得弦长。按照弦图，又可以勾和股相乘为两个朱色三角形面积，加倍得弦方四角的四个朱色三角形面积。同时勾股差的平方，等于弦方中间黄色方块的面积。所以四个朱色三角形面积加上勾股差平方的面积，也得成弦方的面积。

由“弦图”可见大正方形（弦实）的面积等于4个全等的直角三角形（朱实）和中间小正方形（黄实）的面积：

4
×

1
2

a
b

(

b
−
a

)

2

=

c
2

[
5
p
t
]
2
a
b

b
2

−
2
a
b

a
2

=

c
2

[
5
p
t
]

a
2

b
2

=

c
2

{\displaystyle \begin{align}
4 \times \frac{1}{2}ab + \left(b-a\right)^2 = c^2 \\ [5 pt]
2ab + b^2 - 2ab + a^2 = c^2 \\ [5 pt]
a^2 + b^2 = c^2
\end{align}}

三国时期数学家**刘徽**（约公元225年 - 约公元295年）在《九章算术注》应用**出入相补原理**对勾股定理的证明：

**【原文】** 勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也。合成弦方之幂。开方除之，即弦也。

**【今译】**勾自乘为朱色的正方形，股自乘为青色的正方形，使它们按照自己的类别进行出入相补，而使其余的部分不移动，就合成以弦为边长的正方形之面积。对之作开方除法，就得到弦。

## **双矩重迭图**

据赵爽的《周髀算经注》：

**【原文】**两差相乘倍而开之, 所得以股弦差增之为勾。以勾弦差增之为股。两差增之为弦。

**【今译】**两差（“勾弦差”和“股弦差”）相乘，加倍，开方，所得加上股弦差，等于勾；所得加上勾弦差，等于股；所得加上两差，等于弦。

在这段文中，赵爽指出关于勾股形（直角三角形）其中一个恒等式以及应用。

2
(
c
−
a
)
(
c
−
b
)

{\displaystyle \sqrt{2(c-a)(c-b)} }

2
(
c
−
a
)
(
c
−
b
)

(
c
−
b
)

{\displaystyle \sqrt{2(c-a)(c-b)} + (c-b) }

2
(
c
−
a
)
(
c
−
b
)

(
c
−
a
)

{\displaystyle \sqrt{2(c-a)(c-b)} + (c-a) }

2
(
c
−
a
)
(
c
−
b
)

(
c
−
a
)
(
c
−
b
)

{\displaystyle \sqrt{2(c-a)(c-b)} + (c-a) + (c-b) }

这些公式是从哪里来的？中国古代数学家习惯用图来解析几何公式。用于推导以上公式的图叫作**“勾股双矩重迭图”** 。

根据 “勾股双矩重迭图”，勾方的面积为

a
2

{\displaystyle a^2}

，股方的面积为

b
2

{\displaystyle b^2}

，弦方的面积为

c
2

{\displaystyle c^2}

；黄方部分为勾方和股方相重迭的正方形，其面积为

(
a
b
−
c

)
2

{\displaystyle (a+b-c)^2 }

；相对的两个青矩形的面积都是

(
c
−
a
)
(
c
−
b
)

{\displaystyle (c-a)(c-b) }

。由图可见弦方减去两个青矩形面积等于勾方与股方之和减去黄方：

c
2

−
2
(
c
−
a
)
(
c
−
b
# )

a
2

b
2

−
(
a
b
−
c

)
2

{\displaystyle c^2 - 2(c-a)(c-b) = a^2 + b^2 -(a+b-c)^2 }

根据勾股定理

a
2

b
2

=

c
2

{\displaystyle a^2+b^2=c^2}

，得

(
a
b
−
c

)
2

=
2
(
c
−
a
)
(
c
−
b
)

{\displaystyle (a+b-c)^2 = 2(c-a)(c-b) }

开方即得

a
b
−
# c

2
(
c
−
a
)
(
c
−
b
)

{\displaystyle a+b-c = \sqrt{2(c-a)(c-b)} }

《九章算术》第九卷 “勾股” 第十二题也有使用这些公式。

今有户不知高、广，竿不知长短。横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出。问：户高、广、袤各几何？

答曰：广六尺，高八尺，袤一丈。

术曰：从、横不出相乘，倍，而开方除之。所得加从不出，即户广；加横不出，即户高，两不出加之，得户袤。
假设有一门户，不知道它的高和广，有一根竹竿，不知道它的长短。将竹竿横着，有4尺出不去，竖起来有2尺出不去，将它斜着恰好能出门。问：门户的高、广、斜各是多少？

答案：广是6尺，高是8尺，斜是1丈。

解法：将竖着、横着出不去的长度相乘，加倍，而对之开方除法。所得的结果加竖着出不去的长度，即是门户的广；加上横着出不去的长度，即是门户的高；加上两个出不去的长度，即得到门户的斜。

这道题的 “横之不出” 和 “从之不出” 就是 “勾弦差” 与 “股弦差”。

## **勾股数**

**勾股数**是满足勾股定理的三个正整数组成的数组，比如《周髀算经》提出的勾三股四弦五

(
3
,
4
,
5
)

{\displaystyle (3, 4, 5)}

。不过，古中国最早描述勾股数

今有二人同所立。甲行率七，乙行率三。乙东行，甲南行十步而邪东北与乙会。问：甲、乙行各几何？

答曰：乙东行一十步半；甲邪行一十四步半及之。
术曰：令七自乘，三亦自乘，并而半之，以为甲邪行率。邪行率减于七自乘，余为南行率。以三乘七为乙东行率。置南行十步，以甲邪行率乘之，副置十步，以乙东行率乘之，各自为实。实如南行率而一，各得行数。
假设有二人站在同一个地方。甲走的率是7，乙走的率是3。 乙向东走，甲向南走10步，然后斜着向东北走，恰好与乙相会。问：甲、乙。各走多少步?

答案：乙向东走 10.5 步；甲斜着走 14.5 步与乙会合。
解法：令7自乘，3也自乘，两者相加，除以2，作为甲斜着走的率。从7自乘中减去甲斜着走的率，其余数作为甲向南走的率。以3乘7作为乙向东走的率。布置甲向南走的10步，以甲斜着走的率乘之，在旁边布置10步，以乙向东走的率乘之，各自作为实。实除以甲向南走的率，分别得到甲斜着走的及乙向东走的步数。