recursal/Fanatic-Fandom huggingface dataset:
Transitivité de l'implication

## Proposition

* Soient

P

{\displaystyle P}

,

Q

{\displaystyle Q}

 et

R

{\displaystyle R}

 trois assertions.

L'implication suivante est vraie:

[

(
P
⇒
Q
)
∧
(
Q
⇒
R
)

]

⇒

(
P
⇒
R
)

{\displaystyle {\Big [}(P\Rightarrow Q)\wedge (Q\Rightarrow R){\Big ]}~~\Rightarrow ~~(P\Rightarrow R)}

## Vocabulaire

* Cette implication s'appelle **la transitivité de l'implication**.

* On dit que l'implication est **transitive**.

## Notations utilisées sur cette page

* ⇒

{\displaystyle \Rightarrow}

: l'implication
* ∧

{\displaystyle \wedge}

: la conjonction
Affirmation de l'implication

## Proposition

* Soient

P

{\displaystyle P}

 et

Q

{\displaystyle Q}

 deux assertions.

L'équivalence suivante est vraie:

(
P
⇒
Q
)

⟺

(
¬
P
∨
Q
)

{\displaystyle (P\Rightarrow Q)\iff(\neg P\vee Q)}

## Démonstration

D'après la table de vérité de l'équivalence, il nous suffit de montrer que

(
P
⇒
Q
)

{\displaystyle (P\Rightarrow Q)}

 et

(
¬
P
∨
Q
)

{\displaystyle (\neg P\vee Q)}

 sont vraies en même temps, et fausses en même temps pour avoir l'équivalence: il nous suffit donc de montrer qu'elles ont la même table de vérité.

Nous connaissons déjà la table de vérité de

P
⇒
Q

{\displaystyle P\Rightarrow Q}

: en effet, par définition, on a

Et par définition de la négation et de la disjonction, on a

Les deux tables sont bien les mêmes: on a donc équivalence.

**CQFD**.

## Notations utilisées sur cette page

* ⇒

{\displaystyle \Rightarrow}

: l'implication
* ⟺

{\displaystyle \iff}

: l'équivalence
* ¬

{\displaystyle \neg}

: la négation
* ∨

{\displaystyle \vee}

: la disjonction
Raisonnement par double implications

## Définition

Il s'agit d'un raisonnement qui consiste à prouver une équivalence

P

⟺

Q

{\displaystyle P\iff Q}

 en prouvant les implications

P
⇒
Q

{\displaystyle P\Rightarrow Q}

 et

Q
⇒
P

{\displaystyle Q\Rightarrow P}

.

En effet, il y a équivalence entre les assertions

P

⟺

Q

{\displaystyle P\iff Q}

 et

(
P
⇒
Q
)
∧
(
Q
⇒
P
)

{\displaystyle (P\Rightarrow Q)\wedge(Q\Rightarrow P)}

, d'après la définition de l'équivalence entre deux assertions.

**Cela permet de prouver une équivalence**.

## Notations utilisées sur cette page

* ∧

{\displaystyle \wedge}

: la conjonction
* ⇒

{\displaystyle \Rightarrow}

: l'implication
* ⟺

{\displaystyle \iff}

: l'équivalence
Conjonction de deux assertions

## Définition

* Soient

P

{\displaystyle P}

 et

Q

{\displaystyle Q}

 deux assertions.

On définit alors une nouvelle assertion, appelée **conjonction de**

P

{\displaystyle P}

 **et de**

Q

{\displaystyle Q}

, notée

P
∧
Q

{\displaystyle P\wedge Q}

, et définie par la table de vérité suivante:

Elle n'est donc vraie que dans le cas où

P

{\displaystyle P}

 et

Q

{\displaystyle Q}

 sont vraies toutes les deux.

## Autres notations

* P
 et
Q

{\displaystyle P\text{ et }Q}

## Exemple

(
0
<
x
)
∧
(
x
<
1
)

{\displaystyle (0<x)\wedge(x<1)}

, que l'on écrit généralement

0
<
x
<
1

{\displaystyle 0<x<1}

.
Quantificateur existentiel

## Définition

* Soit

P

{\displaystyle P}

 une assertion dépendant d'un paramètre.
* Soit

E

{\displaystyle E}

 un pseudo-ensemble.

(
1
)

{\displaystyle (1)}

 L'assertion "il existe un pseudo-ensemble

x

{\displaystyle x}

 tel que

P
(
x
)

{\displaystyle P(x)}

 est vraie" se note

∃
x
,
P
(
x
)

{\displaystyle \exists x,P(x)}

.

(
2
)

{\displaystyle (2)}

 L'assertion "dans

E

{\displaystyle E}

, il existe un élément

x

{\displaystyle x}

 tel que

P
(
x
)

{\displaystyle P(x)}

 est vraie" se note

∃
x
∈
E
,
P
(
x
)

{\displaystyle \exists x\in E,P(x)}

## Remarque

* Il y a aussi le quantificateur universel.
* Il y a aussi le quantificateur existentiel avec unicité.
Réunion d'un singleton

## Proposition

* Soit

A

{\displaystyle A}

 un pseudo-ensemble.

On a alors

⋃
{
A
# }
A

{\displaystyle \bigcup\{A\}=A}

.

## Démonstration

Soit

x

{\displaystyle x}

 un pseudo-ensemble.

On a alors les équivalences suivantes:

x
∈
⋃
{
A
}

{\displaystyle x\in\bigcup\{A\}}

⟺

∃
e
∈
{
A
}
,
x
∈
e

{\displaystyle \iff \exists e\in\{A\},x\in e}

 par définition de la réunion

⟺

x
∈
A

{\displaystyle \iff x\in A}

On a donc l'équivalence

∀
x
,

(

x
∈
⋃
{
A
}

⟺

x
∈
A

)

{\displaystyle \forall x,\big(x\in\bigcup\{A\}\iff x\in A\big)}

.

Donc par définition de l'égalité, on a

⋃
{
A
# }
A

{\displaystyle \bigcup\{A\}=A}

.

**CQFD**.

## Notations utilisées sur cette page

* ⟺

{\displaystyle \iff}

 l'équivalence
* ∈

{\displaystyle \in}

 l'appartenance
* =

{\displaystyle =}

 l'égalité
* ∀

{\displaystyle \forall}

 pour tout
* ⋃
E

{\displaystyle \bigcup E}

 la réunion
Idempotence de la disjonction

## Proposition

* Soit

P

{\displaystyle P}

 une assertion.

L'équivalence suivante est vraie:

(
P
∨
P
)

⟺

P

{\displaystyle (P\vee P)\iff P}

## Vocabulaire

* Cette équivalence est appelée **idempotence de la disjonction**.
* On dit que la **disjonction est idempotente**.

## Notations utilisées sur cette page

* ∨

{\displaystyle \vee}

: la disjonction
* ⟺

{\displaystyle \iff}

: l'équivalence
Implication et disjonction

## Proposition

* Soient

P

{\displaystyle P}

,

Q

{\displaystyle Q}

 et

R

{\displaystyle R}

 trois assertions.

L'implication suivante est vraie:

(

(
A
⇒
B
)
∧
(
A
∨
C
)

)

⇒
(
B
∨
C
)

{\displaystyle {\Big (}(A\Rightarrow B)\wedge (A\vee C){\Big )}\Rightarrow (B\vee C)}

## Notations utilisées sur cette page

* ∧

{\displaystyle \wedge}

: la conjonction
* ∨

{\displaystyle \vee}

: la disjonction
* ⇒

{\displaystyle \Rightarrow}

: l'implication
Notations

Retour au sommaire

Voir aussi:
Notations non utilisées sur ce wiki

## Chapitre 1: Éléments de logique

* ¬

{\displaystyle \neg ~~}

la négation
* ∧

{\displaystyle \wedge ~~}

la conjonction
* ∨

{\displaystyle \vee ~~}

la disjonction
* ⇒

{\displaystyle \Rightarrow ~~}

l'implication
* ⟺

{\displaystyle \iff ~~}

l'équivalence

## Chapitre 2: Théorie des pseudos-ensembles

### Généralités

* ∈

{\displaystyle \in~~}

l'appartenance
* ∉

{\displaystyle \notin ~~}

la non-appartenance
* =

{\displaystyle =~~}

l'égalité
* ≠

{\displaystyle \neq ~~}

différent de
* ∃

{\displaystyle \exists ~~}

il existe
* ∀

{\displaystyle \forall~~}

pour tout
* ∃
!

{\displaystyle \exists !~~}

il existe un unique
* ⊆

{\displaystyle \subseteq~~}

l'inclusion
* ⊈

{\displaystyle \not \subseteq ~~}

n'est pas inclus
* ⊊

{\displaystyle \subsetneq ~~}

l'inclusion stricte
* ℘

{\displaystyle \wp ~~}

ensemble des parties

### Opérations sur les pseudo-ensembles

* ⋃
E

{\displaystyle \bigcup E~~}

la réunion
* A
∪
B

{\displaystyle A\cup B~~}

l'union
* ⋂
E

{\displaystyle \bigcap E~~}

l'intersection (d'un seul pseudo-ensemble)
* A
∩
B

{\displaystyle A\cap B~~}

l'intersection
Autre écriture de l'union

## Proposition

* Soient

A

{\displaystyle A}

 et

B

{\displaystyle B}

 deux pseudo-ensembles.

Pour tout pseudo-ensemble

x

{\displaystyle x}

, on a que

x
∈
A
∪
B

{\displaystyle x\in A\cup B}

 si et seulement si

(
x
∈
A

{\displaystyle (x\in A}

 ou

x
∈
B
)

{\displaystyle x\in B)}

.

Autrement dit, pour tout sur-pseudo-ensemble

E

{\displaystyle E}

 de

A

{\displaystyle A}

 et de

B

{\displaystyle B}

, on a

A
∪
# B
{
x
∈
E

x
∈
A
∨
x
∈
B
}

{\displaystyle A\cup B=\{x\in E~|~x\in A\vee x\in B\}}

.

## Démonstration

Soit

x

{\displaystyle x}

 un pseudo-ensemble.

[
⇒
]

{\displaystyle [\Rightarrow ]}

Supposons que

x
∈
A
∪
B

{\displaystyle x\in A\cup B}

.

Alors par définition de l'union, on a

x
∈
⋃
{
A
;
B
}

{\displaystyle x\in \bigcup \{A;B\}}

.

Donc par définition de la réunion, il existe

e
∈
{
A
;
B
}

{\displaystyle e\in \{A;B\}}

 tel que

x
∈
e

{\displaystyle x\in e}

.

Donc

# e
A

{\displaystyle e=A}

 ou

# e
B

{\displaystyle e=B}

.

Donc

x
∈
A

{\displaystyle x \in A}

 ou

x
∈
B

{\displaystyle x \in B}

.

[
⇐
]

{\displaystyle [\Leftarrow ]}

Supposons que

x
∈
A

{\displaystyle x \in A}

 ou

x
∈
B

{\displaystyle x \in B}

.

Dans ces deux cas, il existe

e
∈
{
A
;
B
}

{\displaystyle e\in \{A;B\}}

 tel que

x
∈
e

{\displaystyle x\in e}

.

Donc par définition de la réunion,

x
∈
⋃
{
A
;
B
}

{\displaystyle x\in \bigcup \{A;B\}}

.

Donc par définition de l'union,

x
∈
A
∪
B

{\displaystyle x\in A\cup B}

.

**CQFD**.

## Remarques

Cette nouvelle écriture va nous permettre d'utiliser les propriétés de la conjonction pour démontrer celles de l'union.

## Notations utilisées sur cette page

* ∨

{\displaystyle \vee~~~~}

la disjonction
* ⇒

{\displaystyle \Rightarrow ~~~~}

l'implication
* ∈

{\displaystyle \in~~~~}

l'appartenance
* =

{\displaystyle =~~~~}

l'égalité
* ∃

{\displaystyle \exists ~~~~}

il existe
* ⋃

{\displaystyle \bigcup ~~~~}

la réunion
* ∪

{\displaystyle \cup~~~~}

l'union
Le neutre de la disjonction

## Proposition

Soit

P

{\displaystyle P}

 une assertion. Soit

F

{\displaystyle F}

 une assertion toujours fausse.

L'équivalence

(
P
∨
F
)

⟺

P

{\displaystyle (P\vee F)\iff P}

 est toujours vraie.

On dit que les applications toujours fausses sont les **neutres** de la disjonction.

## Notations utilisées sur cette page

* ∨

{\displaystyle \vee}

: la disjonction
* ⟺

{\displaystyle \iff}

: l'équivalence
Idempotence de la conjonction

## Proposition

* Soit

P

{\displaystyle P}

 une assertion.

L'équivalence suivante est vraie:

(
P
∧
P
)

⟺

P

{\displaystyle (P\wedge P)\iff P}

## Vocabulaire

* Cette équivalence est appelée **idempotence de la conjonction**.
* On dit que **la conjonction est idempotente**.

## Notations utilisées sur cette page

* ∧

{\displaystyle \wedge}

: la conjonction
* ⟺

{\displaystyle \iff}

: l'équivalence
La table de vérité de l'équivalence

## Proposition

* Soient

P

{\displaystyle P}

 et

Q

{\displaystyle Q}

 deux assertions.

La table de vérité de l'équivalence

P

⟺

Q

{\displaystyle P\iff Q}

 est donnée par

## Démonstration

Pour démontrer cela, nous allons utiliser différentes tables de vérités.

Nous savons que par définition,

P

⟺

Q

{\displaystyle P\iff Q}

est l'assertion

(
P
⇒
Q
)
∧
(
Q
⇒
P
)

{\displaystyle (P\Rightarrow Q)\wedge(Q\Rightarrow P)}

. Nous allons démontrer les 4 lignes du tableau.

### **Ligne 1**: quand P et Q sont toutes les deux fausses

D'après la table de vérité de l'implication, on a

De même, d'après la table de vérité de l'implication, on a

Or, d'après la table de vérité de la conjonction, on a

Nous pouvons donc en conclure la première ligne

### **Ligne 2**: quand P est fausse et Q est vraie

D'après la table de vérité de l'implication, on a

De même, d'après la table de vérité de l'implication, on a

Or, d'après la table de vérité de la conjonction, on a

Nous pouvons donc en conclure la deuxième ligne

### **Ligne 3**: quand P est vraie et Q est fausse

D'après la table de vérité de l'implication, on a

De même, d'après la table de vérité de l'implication, on a

Or, d'après la conjonction, on a

Nous pouvons donc en conclure la troisième ligne

### **Ligne 4**: quand P et Q sont toutes les deux vraies

D'après la table de vérité de l'implication, on a

De même, d'après table de vérité de l'implication, on a

Or, d'après la table de vérité de la conjonction, on a

Nous pouvons donc en conclure la quatrième ligne

### Conclusion

Nous avons donc le tableau suivant

Il suffit simplement d'appliquer le fait que

(
P
⇒
Q
)
∧
(
Q
⇒
P
)

{\displaystyle (P\Rightarrow Q)\wedge(Q\Rightarrow P)}

, c'est par définition la même chose que

P

⟺

Q

{\displaystyle P\iff Q}

, pour conclure.

**CQFD**.

## Notations utilisées sur cette page

* ⇒

{\displaystyle \Rightarrow}

: l'implication
* ∧

{\displaystyle \wedge}

: la conjonction
Notations non utilisées sur ce wiki

Retour Notations

## Chapitre 1: Éléments de logique

* non

{\displaystyle {\text{non}}}

: Négation d'une assertion
* P
¯

{\displaystyle \overline{P}}

: Négation d'une assertion
* et

{\displaystyle {\text{et}}}

: Conjonction de deux assertions
* ou

{\displaystyle {\text{ou}}}

: Disjonction de deux assertions
* →

{\displaystyle \rightarrow}

: Implication
* ↔

{\displaystyle \leftrightarrow}

: Équivalence entre deux assertions
* ≡

{\displaystyle \equiv}

: Équivalence entre deux assertions
* ∼

{\displaystyle \sim}

: Équivalence entre deux assertions

## Chapitre 2: Théorie des pseudos-ensembles

* {
}

{\displaystyle \{\}}

: Ensemble vide
* ⊂

{\displaystyle \subset}

: Inclusion de pseudo-ensembles
* ⊄

{\displaystyle \not \subset }

: La non-inclusion de pseudos-ensembles
Pseudo-ensembles recouvrants un autre (simple)

## Définition

* Soient

E

{\displaystyle E}

,

A

{\displaystyle A}

 et

B

{\displaystyle B}

 des pseudo-ensembles.

On dit que

A

{\displaystyle A}

 et

B

{\displaystyle B}

 **recouvrent**

E

{\displaystyle E}

 si et seulement si

E
⊆
A
∪
B

{\displaystyle E\subseteq A\cup B}

.

## Notations utilisées sur cette page

* ⊆

{\displaystyle \subseteq~~}

l'inclusion
* A
∪
B

{\displaystyle A\cup B~~}

l'union
Équivalence entre deux assertions

## Définition

* Soient

P

{\displaystyle P}

 et

Q

{\displaystyle Q}

 deux assertions.

On définit alors une nouvelle assertion, appelée **équivalence** entre

P

{\displaystyle P}

 et

Q

{\displaystyle Q}

, notée

P

⟺

Q

{\displaystyle P\iff Q}

, et définie comme étant l'assertion

(
P
⇒
Q
)
∧
(
Q
⇒
P
)

{\displaystyle (P\Rightarrow Q)\wedge(Q\Rightarrow P)}

.

## Vocabulaire

* On dira que

P

{\displaystyle P}

 est une **condition nécessaire et suffisante** pour montrer

Q

{\displaystyle Q}

.
* On dira que

P

{\displaystyle P}

 **(est équivalente)/(équivaut)** à

Q

{\displaystyle Q}

.

## Autre notation

* P
⟷
Q

{\displaystyle P\longleftrightarrow Q}
* P
≡
Q

{\displaystyle P\equiv Q}
* P
∼
Q

{\displaystyle P\sim Q}
Associativité de la disjonction

## Proposition

* Soient

P

{\displaystyle P}

,

Q

{\displaystyle Q}

 et

R

{\displaystyle R}

 trois assertions.

L'équivalence suivante est vraie:

[

P
∨
(
Q
∨
R
)

]

⟺

[

(
P
∨
Q
)
∨
R

]

{\displaystyle \Big[P\vee(Q\vee R)\Big]\iff\Big[(P\vee Q)\vee R\Big]}

## Vocabulaire

* Cette équivalence est appelée "**associativité** de la disjonction"

* On dit que la disjonction est **associative**.

## Notations utilisées sur cette page

* ∨

{\displaystyle \vee}

: la disjonction
* ⟺

{\displaystyle \iff}

: l'équivalence
Chapitre 2: Théorie des pseudos-ensembles

Retour au cours

## Généralités

### Pseudo-ensemble

* Pseudo-ensemble
* Égalité entre pseudo-ensembles
* Définition par extension d'un pseudo-ensemble

### Quantificateurs

* Quantificateur existentiel
* Quantificateur universel
* Négation des quantificateurs
* Unicité

### Inclusion et sous-pseudo-ensemble

* Inclusion de pseudo-ensembles
* Définition par compréhension d'un pseudo-ensemble
* Pseudo-ensemble des parties

### Ensemble vide

* Ensemble vide
* Ensemble vide et quantificateurs
* Parties triviales d'un pseudo-ensemble

## Opérations sur les pseudo-ensembles

### Réunion

* Réunion d'un pseudo-ensemble
* Réunion d'un singleton
* Union de deux pseudo-ensembles
* Autre écriture de l'union
* Inclusions immédiates dans l'union
* Commutativité de l'union
* Associativité de l'union
* Idempotence de l'union
* Absorbants de l'union
* Neutre de l'union
* Union et inclusion
* Minimalité de l'union
* Pseudo-ensembles recouvrants un autre (simple)

### Intersection

* Unicité de l'intersection d'un pseudo-ensemble
* Intersection d'un pseudo-ensemble
* Intersection de deux pseudo-ensembles
* Intersection et conjonction
* Autres écritures de l'intersection
* Inclusions immédiates de l'intersection
* Commutativité de l'intersection
* Associativité de l'intersection
* Idempotence de l'intersection
* Absorbant de l'intersection
* Neutres de l'intersection
* Maximalité de l'intersection
* Pseudo-ensembles disjoints
* Distributivité de l'union et de l'intersection
* Partition d'un pseudo-ensemble (simple)

## Applications des couples

* recouvrements simples (E inclus dans AUB)
Parties triviales d'un pseudo-ensemble

## Proposition

* Soit

E

{\displaystyle E}

 un pseudo-ensemble.

Alors on a

∅
⊆
E

{\displaystyle \emptyset \subseteq E}

.

Ajouté à la réflexivité de l'inclusion qui nous donne

E
⊆
E

{\displaystyle E\subseteq E}

, on dit que

∅

{\displaystyle \emptyset}

 et

E

{\displaystyle E}

 sont les **parties triviales** de

E

{\displaystyle E}

.

## Idée de preuve

L'assertion

∅
⊆
E

{\displaystyle \emptyset \subseteq E}

 est par définition l'assertion

∀
x
∈
∅
,
x
∈
E

{\displaystyle \forall x\in \emptyset ,x\in E}

, qui est toujours vraie.

## Notations utilisées sur cette page

* ⊆

{\displaystyle \subseteq}

 l'inclusion
* ∅

{\displaystyle \emptyset}

 l'ensemble vide
Les neutres de la disjonction

## Proposition

* Soient

P

{\displaystyle P}

 et

Q

{\displaystyle Q}

 deux assertions.

L'implication suivante est vraie:

¬
P
⇒

[

Q
⇔
(
P
∨
Q
)

]

{\displaystyle \neg P\Rightarrow {\Big [}Q\Leftrightarrow (P\vee Q){\Big ]}}

## Notations utilisées sur cette page

* ∨

{\displaystyle \vee}

: la disjonction
* ⇒

{\displaystyle \Rightarrow}

: l'implication
* ⟺

{\displaystyle \iff}

: l'équivalence
Symétrie de la conjonction

## Proposition

* Soient

P

{\displaystyle P}

 et

Q

{\displaystyle Q}

 deux assertions.

L'équivalence suivante est vraie:

(
P
∧
Q
)

⟺

(
Q
∧
P
)

{\displaystyle (P\wedge Q)\iff(Q\wedge P)}

## Vocabulaire

* Cette équivalence est appelée **symétrie** de la conjonction.
* On dit que la conjonction est **symétrique**.

## Notations utilisées sur cette page

* ∧

{\displaystyle \wedge}

: la conjonction
* ⟺

{\displaystyle \iff}

: l'équivalence
Existence dans un ensemble et implication

## Proposition

* Soit

E

{\displaystyle E}

 un ensemble.
* Soient

P

{\displaystyle P}

 et

Q

{\displaystyle Q}

 deux assertions dépendant d'un paramètre, telles que l'assertion

∀
x
∈
E
,
[
P
(
x
)
⇒
Q
(
x
)
]

{\displaystyle \forall x\in E,[P(x)\Rightarrow Q(x)]}

L'implication suivante est vraie:

[
∃
x
∈
E
,
P
(
x
)
]
⇒
[
∃
x
∈
E
,
Q
(
x
)
]

{\displaystyle [\exists x\in E,P(x)]\Rightarrow [\exists x\in E,Q(x)]}
Intersection de deux pseudo-ensembles

## Définition

* Soient

A

{\displaystyle A}

 et

B

{\displaystyle B}

 des pseudo-ensembles.

On appelle **intersection** de

A

{\displaystyle A}

 et de

B

{\displaystyle B}

 le pseudo-ensemble

⋂
{
A
;
B
}

{\displaystyle \bigcap\{A;B\}}

, que l'on va noter

A
∩
B

{\displaystyle A \cap B}

.

## Notations utilisées sur cette page

* ⋂
E

{\displaystyle \bigcap E~~}

l'intersection (d'un seul pseudo-ensemble)
Réciproque d'une implication

## Définition

* Soient

P

{\displaystyle P}

 et

Q

{\displaystyle Q}

 deux assertions.

L'implication

Q
⇒
P

{\displaystyle Q\Rightarrow P}

 est appelée **réciproque** de l'implication

P
⇒
Q

{\displaystyle P\Rightarrow Q}

.

## Exemple

* La réciproque de "Si c'est une pomme, alors c'est un fruit." est "Si c'est un fruit, alors c'est une pomme."
* La réciproque de

x
≥
1
⇒

x

2

≥
1

{\displaystyle x\geq 1\Rightarrow x^{2}\geq 1}

 est

x

2

≥
1
⇒
x
≥
1

{\displaystyle x^{2}\geq 1\Rightarrow x\geq 1}

.

## Attention

Ce n'est pas parce qu'une implication est vraie que sa réciproque est vraie. (voir les exemples ci-dessus).

Il ne faut pas confondre la réciproque avec la contraposée.

## Notations utilisées sur cette page

* ⇒

{\displaystyle \Rightarrow}

 l'implication
Cours

Retour au sommaire

## Partie 1: Introduction

* Chapitre 1: Éléments de logique
* Chapitre 2: Théorie des pseudos-ensembles
* Chapitre 3: Applications et fonctions
* Chapitre 4: Relations d'équivalence

## Partie 2: nombres et analyse élémentaire

* Chapitre 5: Arithmétique dans N
* Chapitre 6: Arithmétique dans Z
* Chapitre 7: Arithmétique de Q, R et C
* Chapitre 8: Analyse réel (niveau L1-L2, intégrale de Riemann, séries et équations différentielles)
* Chapitre 9: Analyse complexe élémentaire (dont théorème de D'Alembert-Gauss)

## Partie 3: structures algébriques

* Chapitre 10: Théorie des catégories
* Chapitre 11: Relations d'ordre
* Chapitre 12: Nombres ordinaux et cardinaux
* Chapitre 13: Théorie des groupes
* Chapitre 14: Théorie des anneaux et des corps
* Chapitre 15: Polynômes et fractions rationnelles

## Partie 4: espaces particuliers

* Chapitre 16: Espaces topologiques
* Chapitre 17: Espaces métriques
* Chapitre 18: Espaces vectoriels
* Chapitre 19: Espaces préhilbertiens
* Chapitre 20: Espaces euclidiens
* Chapitres 21: Espaces hermitiens
* Chapitre 22: Espaces hilbertiens
* Chapitre 23: Espaces affines
* Chapitre 24: Espaces projectifs

## Partie 5: algèbre avancée

* Chapitre 25: Extension de corps
* Chapitre 26: Algèbre tensorielle
* Chapitre 27: Théorie de Galois
* Chapitre 28: Algèbre de Lie

## Partie 5: analyse avancée

* Chapitre 29: Théorie de la mesure
* Chapitre 30: Analyse complexe avancée
* Chapitre 31: Analyse de Fourier
* Chapitre 32: Analyse fonctionnelle
* Chapitre 33: Équations différentielles
* Théorie des nombres
* Théorie spectrale
* Analyse non standard
* Mathématiques de Wildberger

## Partie 6: Topologie et géométrie avancées

* Géométrie différentielle
* Géométrie algébrique
* Topologie algébrique
* Topologie différentielle

## Partie 7: Probabilités et statistiques

* Probabilités
* Statistiques

## Partie 8: Mathématiques appliquées

* Approximations
* Mécanique Newtonnienne
* Relativité restreinte
* Relativité générale
* Thermodynamique
* Physique quantique
* Théorie des cordes
* Informatique

## Partie 9: Logique mathématique

* Logique mathématique
* Théorie des types
Assertion dépendant d'un paramètre

## Définition

Parfois, le sens de certaines assertions dépend d'un objet. Par exemple, "*il est grand*" dépend de qui est "*il*".

Ces assertions dont le sens dépend d'un objet seront appelées "**assertions dépendant d'un paramètre**".

## Notations

Pour insister sur le fait que l'assertion

P

{\displaystyle P}

 dépend de l'objet

x

{\displaystyle x}

, on notera

P
(
x
)

{\displaystyle P(x)}

.

## Exemples

Soit

P
(
x
)

{\displaystyle P(x)}

 l'assertion définie par

x
≤
2

{\displaystyle x\leq 2}

.

La véracité de

P
(
x
)

{\displaystyle P(x)}

 dépend de

x

{\displaystyle x}

. Ainsi,

P
(
0
)

{\displaystyle P(0)}

 est vraie, et

P
(
10
)

{\displaystyle P(10)}

 est fausse.

## Autres notations

Dans certains cours,

P
(
x
)

{\displaystyle P(x)}

 est notée

P
x

{\displaystyle P\_x}

.
Associativité de l'union

## Proposition

* Soient

A

{\displaystyle A}

,

B

{\displaystyle B}

 et

C

{\displaystyle C}

 des pseudo-ensembles.

On a

A
∪
(
B
∪
C
# )
(
A
∪
B
)
∪
C

{\displaystyle A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C}

.

On dit que l'union est **associative**.

## Démonstration

Soit

x

{\displaystyle x}

 un pseudo-ensemble.

On a alors les équivalences suivantes:

x
∈
A
∪
(
B
∪
C
)

⟺

x
∈
A
∨
x
∈
B
∪
C

{\displaystyle x\in A\cup (B\cup C)~~~~\iff ~~~~x\in A\vee x\in B\cup C}

 d'après cette proposition

x
∈
A
∨
(
x
∈
B
∨
x
∈
C
)

{\displaystyle x\in A\vee (x\in B\vee x\in C)}

 toujours d'après cette proposition

(
x
∈
A
∨
x
∈
B
)
∨
x
∈
C

{\displaystyle (x\in A\vee x\in B)\vee x\in C}

 par associativité de la disjonction

x
∈
A
∪
B
∨
x
∈
C

{\displaystyle x\in A\cup B\vee x\in C}

 toujours d'après cette proposition

x
∈
(
A
∪
B
)
∪
C

{\displaystyle x\in (A\cup B)\cup C}

 toujours d'après cette proposition

Ainsi,

∀
x
,

(

x
∈
A
∪
(
B
∪
C
)

⟺

x
∈
(
A
∪
B
)
∪
C

)

{\displaystyle \forall x,{\Big (}x\in A\cup (B\cup C)\iff x\in (A\cup B)\cup C{\Big )}}

.

Donc par définition de l'égalité, on a

A
∪
(
B
∪
C
# )
(
A
∪
B
)
∪
C

{\displaystyle A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C}

.

**CQFD**.

## Notations utilisées sur cette page

* ⟺

{\displaystyle \iff}

 l'équivalence
* ∈

{\displaystyle \in}

 l'appartenance
* =

{\displaystyle =}

 l'égalité
* ∀

{\displaystyle \forall}

 pour tout
* A
∪
B

{\displaystyle A \cup B}

 l'union
Involution de la négation

## Proposition

* Soit P une assertion.

L'équivalence suivante est vraie:

¬
(
¬
P
)

⟺

P

{\displaystyle \neg(\neg P)\iff P}

On dit que la négation est **involutive**. Cette équivalence s'appelle **l'involution de la négation**.

## Démonstration

D'après la table de vérité de l'équivalence, il suffit de montrer que

¬
(
¬
P
)

{\displaystyle \neg(\neg P)}

 et

P

{\displaystyle P}

 ont la même table de vérité (puisqu'alors elles sont vraies en même temps, et fausses en même temps).

Les deux colonnes concernées sont bien identiques: il y a donc équivalence.

**CQFD**.

## Notations utilisées sur cette page

* ¬

{\displaystyle \neg}

: la négation
* ⟺

{\displaystyle \iff}

: l'équivalence
Négation à gauche

## Proposition

* Soient

P

{\displaystyle P}

,

Q

{\displaystyle Q}

 et

R

{\displaystyle R}

 trois assertions.

L'implication suivante est vraie:

(
P
⇒
[
Q
∨
R
]
)

⇒

(
[
P
∧
¬
Q
]
⇒
R
)

{\displaystyle (P\Rightarrow[Q\vee R])~~\Rightarrow~~([P\wedge\neg Q]\Rightarrow R)}

## Démonstration

Montrons à l'aide de tables de vérités que cette implication est toujours vraie.

Raisonnons en plusieurs étapes: tout d'abord, la table de vérité de

P
⇒
[
Q
∨
R
]

{\displaystyle P\Rightarrow[Q\vee R]}

Puis la table de vérité de

[
P
∧
¬
Q
]
⇒
R

{\displaystyle [P\wedge\neg Q]\Rightarrow R}

Elles disposent de la même table de vérité: a fortiori, il y a implication.

**CQFD**.

## Notations utilisées sur cette page

* ∧

{\displaystyle \wedge}

: la conjonction
* ∨

{\displaystyle \vee}

: la disjonction
* ⇒

{\displaystyle \Rightarrow}

: l'implication
* ¬

{\displaystyle \neg}

: la négation
Égalité entre pseudo-ensembles

## Définition

* Soient

E

{\displaystyle E}

 et

F

{\displaystyle F}

 deux pseudo-ensembles.

On dira que

E

{\displaystyle E}

 est égal à

F

{\displaystyle F}

 si et seulement s'ils ont exactement les mêmes éléments, c'est-à-dire que tous les éléments de

E

{\displaystyle E}

 sont aussi dans

F

{\displaystyle F}

, et que tous les éléments de

F

{\displaystyle F}

 sont aussi dans

E

{\displaystyle E}

.

On notera alors

# E
F

{\displaystyle E=F}

. Dans le cas contraire, on notera

E
≠
F

{\displaystyle E\neq F}

.

## Propriétés de l'égalité

* L'égalité est **réflexive**: pour tout ensemble

E

{\displaystyle E}

, on a

# E
E

{\displaystyle E=E}

.
* L'égalité est **symétrique**: pour tout ensembles

E

{\displaystyle E}

 et

F

{\displaystyle F}

, si

# E
F

{\displaystyle E=F}

, alors

# F
E

{\displaystyle F=E}

.
* L'égalité est **transitive**: pour tout ensembles

E

{\displaystyle E}

,

F

{\displaystyle F}

 et

G

{\displaystyle G}

, si

# E
F

{\displaystyle E=F}

 et

# F
G

{\displaystyle F=G}

, alors

# E
G

{\displaystyle E=G}

.

## Remarques

* Si E=F, alors on peut remplacer E par F partout où il apparait, sans changer la véracité des assertions.
Unicité

## Définition

* Soit

P

{\displaystyle P}

 une assertion dépendant d'un paramètre.
* Soit

E

{\displaystyle E}

 un pseudo-ensemble.

L'assertion "Il existe dans E un unique x tel que P(x) est vraie" se note

∃
!
x
∈
E
,
P
(
x
)

{\displaystyle \exists !x\in E,P(x)}

.

Cela traduit deux choses:

* ∃
x
∈
E
,
P
(
x
)

{\displaystyle \exists x\in E,P(x)}

* ce

x

{\displaystyle x}

 est unique, c'est-à-dire que si l'on en prend deux, alors ils sont égaux:

∀
x
∈
E
,
∀
y
∈
E
,

(

[

P
(
x
)
∧
P
(
y
)

]

⇒
# x
y

)

{\displaystyle \forall x\in E,\forall y\in E,{\Big (}{\Big [}P(x)\wedge P(y){\Big ]}\Rightarrow x=y{\Big )}}

## Notations utilisées sur cette page

* ∧

{\displaystyle \wedge}

: la conjonction
* ⇒

{\displaystyle \Rightarrow}

: l'implication
* ∈

{\displaystyle \in}

: l'appartenance
* =

{\displaystyle =}

: l'égalité
* ∃

{\displaystyle \exists}

: il existe
* ∀

{\displaystyle \forall}

: pour tout
Intersection et conjonction

## Proposition

* Soient

A

{\displaystyle A}

 et

B

{\displaystyle B}

 deux pseudo-ensembles.

On a alors pour tout pseudo-ensemble

x

{\displaystyle x}

, l'équivalence

x
∈
A
∩
B

⟺

(
x
∈
A
 et
x
∈
B
)

{\displaystyle x\in A\cap B\iff(x\in A\text{ et }x\in B)}

.

Autrement dit, pour tout sur-ensemble

E

{\displaystyle E}

 de

A
∩
B

{\displaystyle A \cap B}

, on a

A
∩
# B
{
x
∈
E

x
∈
A
 et
x
∈
B
}

{\displaystyle A\cap B=\{x\in E~|~x\in A\text{ et }x\in B\}}

.
Pseudo-ensemble des parties

## Définition

* Soit

E

{\displaystyle E}

 un pseudo-ensemble.

On note

℘
(
E
)

{\displaystyle \wp(E)}

 le pseudo-ensemble dont les éléments sont les parties de

E

{\displaystyle E}

.

Ainsi, on a l'équivalence

∀
A
,

(

A
∈
℘
(
E
)

⟺

A
⊆
E

)

{\displaystyle \forall A, \Big(A\in\wp(E)\iff A\subseteq E\Big)}

.

## Autres notations

A la place de

℘
(
E
)

{\displaystyle \wp(E)}

, certains auteurs utilisent parfois:

* P

(
E
)

{\displaystyle \mathcal{P}(E)}
* P

(
E
)

{\displaystyle \mathfrak{P}(E)}
* 2

E

{\displaystyle 2^{E}}

(celle-ci se justifiant à l'aide des cardinaux, que nous verrons plus tard)

## Notations utilisées sur cette page

* ⟺

{\displaystyle \iff}

 l'équivalence
* ∈

{\displaystyle \in}

 l'appartenance
* ∀

{\displaystyle \forall}

 pour tout
Book of Magnus

The ***Book of Magnus***, also referred to as the ***Book of the Thousand Sons***, is a massive tome containing the collected knowledge of psychic sorcery as dictated by Magnus the Red, the Primarch of the Thousand Sons Legion, during the Great Crusade in the late 30th and early 31st Millennia.

It is one of the most complete treatises on psykers, witchcraft and sorcery in the galaxy, a compilation of all the knowledge and experiments gathered by Magnus during the conquests the Thousand Sons made for the Imperium during the Great Crusade. This esoteric tome was copied down from the Primarch's own words by the Remembrancer Mahavastu Kallimakus, a meticulous recorder of data and a fastidious observer of details.

He had recorded much about the earliest days of the Great Crusade as he had been one of the first Remembrancers to be chosen to accompany the Thousand Sons. His reputation had preceded him, and he was immediately assigned to Magnus the Red as his personal scribe, recording the Primarch's every thought and deed. He had stood at his master's side since the restored XV Legion had departed Prospero to be a part of the Emperor's Crusade to reunite the disparate human worlds into a single Imperium of Man.

It is a tome of unfathomable knowledge and power and can even store souls and realities within its' pages.
Inclusions immédiates dans l'union

## Proposition

* Soient

A

{\displaystyle A}

 et

B

{\displaystyle B}

 des pseudo-ensembles.

On a alors

A
⊆
A
∪
B

{\displaystyle A\subseteq A\cup B}

 et

B
⊆
A
∪
B

{\displaystyle B\subseteq A\cup B}

.

## Démonstration

[
A
⊆
A
∪
B
]

{\displaystyle [A\subseteq A\cup B]}

Soit

x
∈
A

{\displaystyle x \in A}

.

Alors perte d'information en disjonction, on a

x
∈
A

{\displaystyle x \in A}

 ou

x
∈
B

{\displaystyle x \in B}

.

Donc d'après cette proposition, on a

x
∈
A
∪
B

{\displaystyle x\in A\cup B}

.

Ainsi,

∀
x
∈
A
,
x
∈
A
∪
B

{\displaystyle \forall x\in A,x\in A\cup B}

.

Donc par définition de l'inclusion, on a

A
⊆
A
∪
B

{\displaystyle A\subseteq A\cup B}

.

[
B
⊆
A
∪
B
]

{\displaystyle [B\subseteq A\cup B]}

Soit

x
∈
B

{\displaystyle x \in B}

.

Alors perte d'information en disjonction, on a

x
∈
B

{\displaystyle x \in B}

 ou

x
∈
A

{\displaystyle x \in A}

.

Donc par symétrie de la disjonction, on a

x
∈
A

{\displaystyle x \in A}

 ou

x
∈
B

{\displaystyle x \in B}

.

Donc d'après cette proposition, on a

x
∈
A
∪
B

{\displaystyle x\in A\cup B}

.

Ainsi,

∀
x
∈
B
,
x
∈
A
∪
B

{\displaystyle \forall x\in B,x\in A\cup B}

.

Donc par définition de l'inclusion, on a

B
⊆
A
∪
B

{\displaystyle B\subseteq A\cup B}

.

**CQFD**.

## Notations utilisées sur cette page

* ∈

{\displaystyle \in~~~~}

l'appartenance
* ∀

{\displaystyle \forall~~~~}

pour tout
* ⊆

{\displaystyle \subseteq~~~~}

l'inclusion
* ∪

{\displaystyle \cup~~~~}

l'union
Absorbants de l'union

## Proposition

* Soit

Ω

{\displaystyle \Omega}

 un pseudo-ensemble.
* Soit

A

{\displaystyle A}

 une partie de

Ω

{\displaystyle \Omega}

.

On a alors

Ω
∪
# A
Ω

{\displaystyle \Omega \cup A=\Omega}

## Démonstration

D'après cette proposition, on a l'inclusion

Ω
⊆
Ω
∪
A

{\displaystyle \Omega\subseteq\Omega\cup A}

.

Montrons l'inclusion réciproque. Soit

x

{\displaystyle x}

 un pseudo-ensemble.

Si

x
∈
Ω
∪
A

{\displaystyle x\in\Omega\cup A}

, alors d'après cette proposition, on a

x
∈
Ω

{\displaystyle x\in\Omega}

 ou

x
∈
A

{\displaystyle x \in A}

.

Or, par définition,

A
⊆
Ω

{\displaystyle A\subseteq\Omega}

.

Donc

x
∈
Ω

{\displaystyle x\in\Omega}

 ou

x
∈
Ω

{\displaystyle x\in\Omega}

.

Donc par idempotence de la disjonction,

x
∈
Ω

{\displaystyle x\in\Omega}

.

Ainsi,

∀
x
,

(

x
∈
Ω
∪
A
⇒
x
∈
Ω

)

{\displaystyle \forall x,\Big(x\in\Omega\cup A\Rightarrow x\in\Omega\Big)}

.

Donc par définition de l'inclusion, on a

Ω
∪
A
⊆
Ω

{\displaystyle \Omega\cup A\subseteq\Omega}

.

Et donc

Ω
∪
# A
Ω

{\displaystyle \Omega \cup A=\Omega}

.

**CQFD**.

## Notations utilisées sur cette page

* ⇒

{\displaystyle \Rightarrow}

 l'implication
* ∈

{\displaystyle \in}

 l'appartenance
* =

{\displaystyle =}

 l'égalité
* ∀

{\displaystyle \forall}

 pour tout
* ⊆

{\displaystyle \subseteq}

 l'inclusion
* A
∪
B

{\displaystyle A \cup B}

 l'union
Ensemble vide

## Définition

Le pseudo-ensemble qui ne contient aucun élément est appelé **ensemble vide** et est noté

∅

{\displaystyle \emptyset}

.

Ainsi,

∀
x
,
x
∉
∅

{\displaystyle \forall x,x\notin\emptyset}

.

Il est unique par définition de l'égalité entre pseudo-ensembles (puisque deux pseudo-ensembles vont être égaux si et seulement s'ils ont exactement les mêmes éléments).

## Notations utilisées sur cette page

* ∉

{\displaystyle \notin}

la non-appartenance
* ∀

{\displaystyle \forall}

pour tout
Démonstration

## Définition

* Soit

P

{\displaystyle P}

 une assertion.

On dit que

P

{\displaystyle P}

 est **démontrée** lorsqu'au moins une des deux conditions suivantes est vérifiée

1. P

{\displaystyle P}

 est un axiome
2. ou bien on peut trouver une assertion

Q

{\displaystyle Q}

 qui elle-même est **démontrée**, et telle que l'implication

Q
⇒
P

{\displaystyle Q\Rightarrow P}

 est **démontrée**.

## Notations utilisées sur cette page

* ⇒

{\displaystyle \Rightarrow}

: l'implication
Distributivité de la conjonction sur la disjonction

## Proposition

* Soient

P

{\displaystyle P}

,

Q

{\displaystyle Q}

 et

R

{\displaystyle R}

 trois assertions.

L'équivalence suivante est vraie:

[

P
∧
(
Q
∨
R
)

]

⟺

[

(
P
∧
Q
)
∨
(
P
∧
R
)

]

{\displaystyle \Big[P\wedge(Q\vee R)\Big]~~\iff~~\Big[(P\wedge Q)\vee(P\wedge R)\Big]}

## Vocabulaire

* Cette équivalence est appelée "**distributivité de la conjonction sur la disjonction**".

* On dit que la conjonction est **distributive** sur la disjonction.

## Notations utilisées sur cette page

* ∧

{\displaystyle \wedge}

: la conjonction
* ∨

{\displaystyle \vee}

: la disjonction
* ⟺

{\displaystyle \iff}

: l'équivalence
Raisonnement par contraposition

## Définition

* Soient

P

{\displaystyle P}

 et

Q

{\displaystyle Q}

 deux assertions.

Prouver l'implication

P
⇒
Q

{\displaystyle P\Rightarrow Q}

 **par contraposition**, c'est prouver sa contraposée

¬
Q
⇒
¬
P

{\displaystyle \neg Q\Rightarrow\neg P}

. Comme il y a équivalence entre les deux implications, prouver l'une, c'est prouver l'autre.

**Cela permet de prouver une implication**.

## Exemple

Pour prouver que

n

2

 est pair
⇒
n
 est pair

{\displaystyle n^{2}\text{ est pair }\Rightarrow n\text{ est pair}}

, on peut montrer que

n
 est impair
⇒

n

2

 est impair

{\displaystyle n\text{ est impair }\Rightarrow n^{2}\text{ est impair}}

.

## Notations utilisées sur cette page

* ¬

{\displaystyle \neg}

 la négation
* ⇒

{\displaystyle \Rightarrow}

 l'implication
Associativité de la conjonction

## Proposition

* Soient

P

{\displaystyle P}

,

Q

{\displaystyle Q}

 et

R

{\displaystyle R}

 trois assertions.

L'équivalence suivante est vraie:

[

P
∧
(
Q
∧
R
)

]

⟺

[

(
P
∧
Q
)
∧
R

]

{\displaystyle {\Big [}P\wedge (Q\wedge R){\Big ]}~~\iff ~~{\Big [}(P\wedge Q)\wedge R{\Big ]}}

## Vocabulaire

* Cette équivalence est appelée "**associativité de la conjonction**".

* On dit que la conjonction est "**associative**".

## Notations utilisées sur cette page

* ∧

{\displaystyle \wedge}

: la conjonction
* ⟺

{\displaystyle \iff}

: l'équivalence
Raisonnement par série d'implications

## Définition

Il s'agit d'un raisonnement qui consiste à enchainer des implication, puis à utiliser transitivité de l'implication pour conclure que la première assertion et la dernière assertion sont équivalentes.

**Cela permet de prouver une implication**.

## Exemple

Voir la démonstration de la proposition "Universalité et équivalence".
Réunion d'un pseudo-ensemble

## Définition

* Soit

E

{\displaystyle E}

 un pseudo-ensemble.

Alors on appelle **réunion** de

E

{\displaystyle E}

 l'ensemble qui contient exactement les éléments des éléments de

E

{\displaystyle E}

.

On le note

⋃
E

{\displaystyle \bigcup E}

.

Ainsi, pour tout pseudo-ensemble

x

{\displaystyle x}

, on a

x
∈
⋃
E

{\displaystyle x\in\bigcup E}

 si et seulement s'il existe

e
∈
E

{\displaystyle e \in E}

 tel que

x
∈
e

{\displaystyle x\in e}

.

# E
{
{
1
;
2
}
;
{
2
;
3
;
4
}
}

{\displaystyle E=\{\{1;2\};\{2;3;4\}\}}

, alors

⋃
# E
{
1
;
2
;
3
;
4
}

{\displaystyle \bigcup E=\{1;2;3;4\}}

.

## Notations utilisées sur cette page

* ∈

{\displaystyle \in}

 l'appartenance
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Sommaire

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Fichier:Placeholder
Implication et conjonction

## Proposition

* Soient

P

{\displaystyle P}

,

Q

{\displaystyle Q}

 et

R

{\displaystyle R}

 trois assertions.

L'implication suivante est vraie:

(

(
A
⇒
B
)
∧
A
∧
C

)

⇒
(
B
∧
C
)

{\displaystyle {\Big (}(A\Rightarrow B)\wedge A\wedge C{\Big )}\Rightarrow (B\wedge C)}

## Notations utilisées sur cette page

* ∧

{\displaystyle \wedge}

: la conjonction
* ⇒

{\displaystyle \Rightarrow}

: l'implication
Symétrie de l'équivalence entre deux assertions

## Proposition

* Soient

P

{\displaystyle P}

 et

Q

{\displaystyle Q}

 deux assertions.

L'équivalence suivante est vraie:

(
P

⟺

Q
)

⟺

(
Q

⟺

P
)

{\displaystyle (P\iff Q)\iff (Q\iff P)}

## Vocabulaire

* Cette équivalence est appelée "**symétrie de l'équivalence entre deux assertions**".
* On dit que l'équivalence entre deux assertions est **symétrique**.

## Notations utilisées sur cette page

* ⟺

{\displaystyle \iff}

: l'équivalence
Kyle x Nichole

Kyle x Nichole to ship z serialu ,,South Park".

Nichole była zainteresowana relacją z Kyle'em na początku "Cartman Finds Love". Cartman powiedział Nichole, że Kyle jest jego chłopakiem, co zrozumiała i zaakceptowała. Ze względu na interwencję Erica Cartmana, Nichole zdecydowała się na związek z Token Black.

Po tym, jak związek Nichole z Tokenem się skończył, tymczasowo Kyle zabrał ją na grę Denver Nuggets, aby spróbować nawiązać relacje. Zostało to szybko udaremnione przez Cartmana, który ogłosił swoją miłość do Kyle'a podczas meczu koszykówki.
Définition par compréhension d'un pseudo-ensemble

## Définition

* Soit

P

{\displaystyle P}

 une assertion dépendant d'un paramètre.
* Soit

E

{\displaystyle E}

 un pseudo-ensemble.

On notera

{

x
∈
E

P
(
x
)

}

{\displaystyle \Big\{x\in E~\Big|~P(x)\Big\}}

 la partie de

E

{\displaystyle E}

 qui contient exactement les éléments

x

{\displaystyle x}

 qui vérifient

P
(
x
)

{\displaystyle P(x)}

.

Ainsi,

∀
x
,

(

x
∈

{

x
∈
E

P
(
x
)

}

⟺

[

x
∈
E
∧
P
(
x
)

]

)

{\displaystyle \forall x,\Big(x\in\Big\{x\in E~\Big|~P(x)\Big\}\iff\Big[x\in E\wedge P(x)\Big]\Big)}

.

## Exemple

* L'ensemble des entiers naturels pairs peut se noter

{
n
∈

N

∃
k
∈

N

,
# n
2
k
}

{\displaystyle \{n\in\mathbb{N}~|~\exists k\in\mathbb{N},n=2k\}}

## Notations utilisées sur cette page

* ∧

{\displaystyle \wedge}

 la conjonction
* ⟺

{\displaystyle \iff}

 l'équivalence
* ∈

{\displaystyle \in}

 l'appartenance
* ∀

{\displaystyle \forall}

 pour tout
Unicité de l'intersection d'un pseudo-ensemble

## Proposition

* Soit

E

{\displaystyle E}

 un pseudo-ensemble **non vide**.
* Soient

A
1

{\displaystyle A\_1}

 et

A
2

{\displaystyle A\_2}

 des éléments de

E

{\displaystyle E}

 (potentiellement égaux, ça n'a pas d'importance).

Alors on a l'égalité

{

x
∈

A

1

∀
B
∈
E
,
x
∈
B

}

=

{

x
∈

A

2

∀
B
∈
E
,
x
∈
B

}

{\displaystyle {\Big \{}x\in A\_{1}~|~\forall B\in E,x\in B{\Big \}}={\Big \{}x\in A\_{2}~|~\forall B\in E,x\in B{\Big \}}}

.

## Remarques

Cette proposition permet de définir l'intersection d'un pseudo-ensemble.

## Démonstration

Commençons par noter

A

1

:=

{

x
∈

A

1

∀
B
∈
E
,
x
∈
B

}

{\displaystyle {\mathcal {A}}\_{1}:={\Big \{}x\in A\_{1}~|~\forall B\in E,x\in B{\Big \}}}

 et

A

2

:=

{

x
∈

A

2

∀
B
∈
E
,
x
∈
B

}

{\displaystyle {\mathcal {A}}\_{2}:={\Big \{}x\in A\_{2}~|~\forall B\in E,x\in B{\Big \}}}

.

Soit

x

{\displaystyle x}

 un pseudo-ensemble.

Si

x
∈

A

1

{\displaystyle x\in {\mathcal {A}}\_{1}}

, alors par définition, on a

x

i

n

A

1

{\displaystyle x\_{i}nA\_{1}}

 et

∀
B
∈
E
,
x
∈
B

{\displaystyle \forall B\in E,x\in B}

.

Mais

A

1

∈
E

{\displaystyle A\_{1}\in E}

 donc on peut simplement écrire

∀
B
∈
E
,
x
∈
B

{\displaystyle \forall B\in E,x\in B}

.

Mais

A

2

∈
E

{\displaystyle A\_{2}\in E}

, donc on n'apporte aucune information supplémentaire à dire que

x
∈

A

2

{\displaystyle x\in A\_{2}}

 et

∀
B
∈
E
,
x
∈
E

{\displaystyle \forall B\in E,x\in E}

.

Donc

x
∈

A

2

{\displaystyle x\in {\mathcal {A}}\_{2}}

.

Donc

∀
x
,

(

x
∈

A

1

⇒
x
∈

A

2

)

{\displaystyle \forall x,{\Big (}x\in {\mathcal {A}}\_{1}\Rightarrow x\in {\mathcal {A}}\_{2}{\Big )}}

.

Donc

A

1

⊆

A

2

{\displaystyle {\mathcal {A}}\_{1}\subseteq {\mathcal {A}}\_{2}}

.

Par un raisonnement similaire, on prouve que

A

2

⊆

A

1

{\displaystyle {\mathcal {A}}\_{2}\subseteq {\mathcal {A}}\_{1}}

.

Et donc par antisymétrie de l'inclusion,

A

1

=

A

2

{\displaystyle {\mathcal {A}}\_{1}={\mathcal {A}}\_{2}}

.

**CQFD**.

## Notations utilisées sur cette page

* ⇒

{\displaystyle \Rightarrow ~~}

l'implication
* ∈

{\displaystyle \in~~}

l'appartenance
* =

{\displaystyle =~~}

l'égalité
* ∀

{\displaystyle \forall~~}

pour tout
* ⊆

{\displaystyle \subseteq~~}

l'inclusion
Minimalité de l'union

## Proposition

* Soit

Ω

{\displaystyle \Omega}

 un pseudo-ensemble.
* Soit

A

{\displaystyle A}

 et

B

{\displaystyle B}

 deux parties de

Ω

{\displaystyle \Omega}

.

On a alors

A
∪
B
⊆
Ω

{\displaystyle A\cup B\subseteq \Omega }

.

On dit que l'union de deux pseudo-ensembles est **minimale** parmi les sur-pseudo-ensembles qui contiennent à la fois

A

{\displaystyle A}

 et

B

{\displaystyle B}

.

## Démonstration

On sait que

A
⊆
Ω

{\displaystyle A\subseteq\Omega}

 et que

B
⊆
Ω

{\displaystyle B\subseteq \Omega }

.

Donc d'après cette proposition,

A
∪
B
⊆
Ω
∪
Ω

{\displaystyle A\cup B\subseteq \Omega \cup \Omega }

.

Or, par idempotence de l'union, on a

Ω
∪
# Ω
Ω

{\displaystyle \Omega \cup \Omega =\Omega }

.

Donc

A
∪
B
⊆
Ω

{\displaystyle A\cup B\subseteq \Omega }

.

**CQFD**.

## Notations utilisées sur cette page

* =

{\displaystyle =~~}

l'égalité
* ⊆

{\displaystyle \subseteq~~}

l'inclusion
* A
∪
B

{\displaystyle A\cup B~~}

l'union
Idempotence de l'union

## Proposition

* Soit

A

{\displaystyle A}

 un pseudo-ensemble.

On a

A
∪
# A
A

{\displaystyle A\cup A = A}

.

On dit que l'union est **idempotente**.

x

{\displaystyle x}

 un pseudo-ensemble.

On a les équivalences suivantes:

x
∈
A
∪
A

{\displaystyle x\in A\cup A}

⟺

x
∈
A

 ou

x
∈
A

{\displaystyle \iff x\in A{\text{ ou }}x\in A}

 d'après cette proposition

⟺

x
∈
A

{\displaystyle \iff x\in A}

 par idempotence de la disjonction

Ainsi, on a

∀
x
,

(

x
∈
A
∪
A

⟺

x
∈
A

)

{\displaystyle \forall x,{\big (}x\in A\cup A\iff x\in A{\big )}}

.

Donc par définition de l'égalité,

A
∪
# A
A

{\displaystyle A\cup A = A}

.

**CQFD**

### **Avec la définition**

On sait que par définition de l'égalité, deux pseudo-ensembles sont égaux si et seulement s'ils ont exactement les mêmes éléments.

Donc

{
A
;
A
# }
{
A
}

{\displaystyle \{A;A\}=\{A\}}

. Il s'en suit alors que

A
∪
# A
⋃
{
A
;
A
# }
⋃
{
A
# }
A

{\displaystyle A\cup A=\bigcup \{A;A\}=\bigcup \{A\}=A}

, la dernière égalité provenant de cette proposition.

**CQFD**.

## Notations utilisées sur cette page

* ⟺

{\displaystyle \iff}

 l'équivalence
* ∈

{\displaystyle \in}

 l'appartenance
* =

{\displaystyle =}

 l'égalité
* ∀

{\displaystyle \forall}

 pour tout
* ⋃
E

{\displaystyle \bigcup E}

 la réunion
* A
∪
B

{\displaystyle A \cup B}

 l'union
Neutre de l'union

## Proposition

* Soit

A

{\displaystyle A}

 un pseudo-ensemble.

On a alors

A
∪
# ∅
A

{\displaystyle A \cup \emptyset = A}

.

On dit que

∅

{\displaystyle \emptyset}

 est le **neutre de l'union**.

## Démonstration

On sait que

∅
⊆
A

{\displaystyle \emptyset \subseteq A}

.

Donc d'après cette proposition,

A
∪
# ∅
A

{\displaystyle A \cup \emptyset = A}

.

**CQFD**.

## Notations utilisées sur cette page

* =

{\displaystyle =}

 l'égalité
* ⊆

{\displaystyle \subseteq}

 l'inclusion
* ∅

{\displaystyle \emptyset}

 l'ensemble vide
* A
∪
B

{\displaystyle A \cup B}

 l'union
Craig x Red

Craig x Red to ship z serialu ,,South Park".

Craig i Red są sparowani w „Follow That Egg!” gdzie oboje wydają się cieszyć swoim towarzystwem. Można je zobaczyć, jak rozmawiają ze sobą i odchodzą razem w "Funnybot" i są razem w chórze dziecięcym w "Części miasta". Craig i Red można zobaczyć razem w odcinku "Fat Butt and Pancake Head" i siadają obok siebie w autobusie w "Basic Cable". Często można je również zobaczyć siedzących obok siebie w klasie.
Pseudo-ensemble

## Définition

En dehors des assertions, tous les objets que nous utiliserons dans ce cours seront appelés des **pseudos-ensembles**.

### Intuition

Les pseudos-ensembles représentent des sacs dans lesquels on peut mettre des objets.

#### Attention

**Cette dénomination n'est pas standard**: a priori, elle n'est utilisée que dans ce cours ! Si je l'utilise, c'est que je n'ai trouvé nul part mention d'un autre terme équivalent, et que je trouve qu'utiliser ce concept est le mieux à faire dans un cours qui voudrait faire la même chose. La dénomination standard est celle d'**ensemble**. Je réserve cette dénomination pour autre chose, d'où ce choix.

## Appartenance

Pour dire qu'un pseudo-ensemble

x

{\displaystyle x}

 se trouve dans un autre pseudo-ensemble

E

{\displaystyle E}

, on notera

x
∈
E

{\displaystyle x \in E}

, et on dira

* que

x

{\displaystyle x}

 **appartient** à

E

{\displaystyle E}
* que

x

{\displaystyle x}

 est un **élément** de

E

{\displaystyle E}

Dans le cas contraire, on notera

x
∉
E

{\displaystyle x \notin E}

.
Clyde x Bebe

Clyde x Bebe to ship z serialu ,,South Park".

W odcinku „Clubhouses” Bebe musi przekazać Kyle'owi wiadomość, że mogą być tylko przyjaciółmi, a następnie Bebe mówi „Dobra, chodźmy Clyde”. Bebe używa również skorumpowanej listy w „Liście”, aby uczynić Clyde'a popularnym, aby mogła z nim umówić się i usprawiedliwić zdobycie darmowych butów ze sklepu obuwniczego, który ma tata Clyde'a w South Park Mall.
Tom x Tord

Tom x Tord to ship z serialu na yt o nazwie ,,Eddsworld

## Kanon

Kiedy poznajemy tą dwójkę widać, że nawet ledwo, ale się jakoś dogadują. Nie raz było widać, że rywalizują o przyjaźń Edda i trochę, ale bez przesady nie przepadają za sobą (chodziaż słabo się dogadują... to chyba masło maślane racja?). Kiedy Tord odszedł to widać, że o nim zapomniał i nawet czuł się lepiej bez niego. Jednak jak dobrze wiemy Tord po raz pierwszy od bardzo dawna powrócił w the end part 1, żeby wziąć giant robot (btw zajebista nazwa). Tom od początku go nie cierpiał i kiedy się pojawił to jego stara nienawiść narosła niż kiedykolwiek. Mimo iż to jest jeden z najpopularniejszych shipów to wróg x wróg... jakoś nie pasi zbytnio...

## Opinia innych

### Emtix

*UGH gorszego być nie mogło?! Za dużo by gadać, prócz tego, że NIENAWIDZE GO.*

NIE MAM POMYSŁU NA NICK

No co za p\*jebany fandom bo ma ukochanna postać (Tord) z nim???????????????!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! p\*jebane