그린정리를 이용한 등주정리의 기술

둘레의 길이 L, 넓이가 A인 폐곡선을 C라 하자. 폐곡선 C의 xy 평면에서의 정의역을 [a,b]라고 할 때, -x축 방향으로

a
b

2

{\displaystyle \frac{a+b}{2}}

만큼 평행 이동 시킨 폐곡선 C'을 생각하자. C'의 정의역은

[
−
r
,
r
]
(
# r

a
b

2

)

{\displaystyle [-r,r] (r=\frac{a+b}{2})}

이 된다. 이제, 폐곡선 C'에 대해 등주정리가 성립함을 보이면 충분하다.

폐곡선 C를 호의 길이로 매개화하여

C
:
(
x
(
s
)
,
y
(
s
)
)
(
0
≤
s
≤
L
)

{\displaystyle C : (x(s),y(s)) (0 \leq s \leq L)}

 로 표현하자. 호의 길이로 매개화하였기 때문에

# 1
(

x
′

(
s
)

)
2

(

y
′

(
s
)

)
2

.
.
.
[
1
]

{\displaystyle 1=(x'(s))^2+(y'(s))^2 ...[1]}

이 성립한다.

원점을 중심으로 하고 반지름이 r인 원 D를 폐곡선 C의 호의 길이 s로 매개화하여

D
:
(
x
(
s
)
,
z
(
s
)
)
(
0
≤
s
≤
L
)

{\displaystyle D : (x(s),z(s)) (0 \leq s \leq L)}

와 같이 표현하자.

(
x
(
s
)
,
z
(
s
)
)

{\displaystyle (x(s),z(s))}

는 원 D 위의 점이므로

x
(
s

)
2

z
(
s

)
2

=

r
2

.
.
.
[
2
]

{\displaystyle x(s)^2+z(s)^2=r^2 ...[2]}

한편, Green's Theorem에 의해 폐곡선 C의 넓이는

# A

∫

C

x
d
y

=

∫

0

L

x
(
s
)

y
′

(
s
)
d
s

{\displaystyle A=\int\_{C} {xdy}=\int\_{0}^{L} {x(s)y'(s)ds}}

로 나타낼 수 있다.

원 D의 넓이 또한 Green's Theorem에 의해

π

r
2

=
−

∫

D

z
d
x

=
−

∫

0

L

z
(
s
)

x
′

(
s
)
d
s

{\displaystyle \pi r^2=-\int\_{D} {zdx}=-\int\_{0}^{L} {z(s)x'(s)ds}}

이다.

따라서,

A
π

r
2

=

∫

0

L

x
(
s
)

y
′

(
s
)
d
s

−

∫

0

L

z
(
s
)

x
′

(
s
)
d
s

=

∫

0

L

(
x

y
′

−
z

x
′

)
d
s

{\displaystyle A+\pi r^2=\int\_{0}^{L} {x(s)y'(s)ds}-\int\_{0}^{L} {z(s)x'(s)ds}=\int\_{0}^{L} {(xy'-zx')ds}}

cauchy-schwarz 부등식에 의해

(
x

y
′

−
z

x
′

)
2

≤
(

x
2

z
2

)
(
(

y
′

)
2

(

x
′

)
2

)

{\displaystyle (xy'-zx')^2 \leq (x^2+z^2)((y')^2+(x')^2)}

이며, [1]과 [2]에 의해

(
x

y
′

−
z

x
′

)
≤
r

{\displaystyle (xy'-zx') \leq r}

 이에 적분을 적용하면

∫

0

L

(
x

y
′

−
z

x
′

)
d
s

≤

∫

0

L

r
d
s

=
r
L
.
.
.
[
3
]

{\displaystyle \int\_{0}^{L} {(xy'-zx')ds} \leq \int\_{0}^{L} {r ds}=rL ...[3]}

또한, 산술 기하 부등식에 의해

A
π

r
2

≥
2
r

A
π

.
.
.
[
4
]

{\displaystyle A+\pi r^2 \geq 2r \sqrt{A \pi} ...[4]}

이 성립한다.

[3]과 [4]에 의해

2
r

A
π

≤
r
L

{\displaystyle 2r \sqrt{A \pi} \leq rL}

A
≤

L
2

4
π

{\displaystyle A \le \frac{L^2}{4 \pi }}

부등식이 성립할 등호조건은 사용한 cauchy-schwarz 부등식

(
x

y
′

−
z

x
′

)
2

≤
(

x
2

z
2

)
(
(

y
′

)
2

(

x
′

)
2

)

{\displaystyle (xy'-zx')^2 \leq (x^2+z^2)((y')^2+(x')^2)}

과 산술 기하 부등식

A
π

r
2

≥
2
r

A
π

{\displaystyle A+\pi r^2 \geq 2r \sqrt{A \pi}}

의 등호를 만족시킬 조건이다.

즉,

# A
π

r
2

{\displaystyle A = \pi r^2 }

이고

x
(
s
)

x
′

(
s
# )

y
′

(
s
)
z
(
s
)
.
.
.
[
5
]

{\displaystyle x(s)x'(s)=y'(s)z(s)...[5]}

원 D를 표현하는 식

x
(
s

)
2

z
(
s

)
2

=

r
2

{\displaystyle x(s)^2+z(s)^2=r^2}

의 양변을 s에 대해 미분하면

2
x
(
s
)

x
′

(
s
)
2
z
(
s
)

z
′

(
s
# )
0

{\displaystyle 2x(s)x'(s)+2z(s)z'(s)=0}

x
(
s
)

x
′

(
s
# )
−
z
(
s
)

z
′

(
s
)

{\displaystyle x(s)x'(s)=-z(s)z'(s)}

따라서, [5]와 비교시

y
′

(
s
# )
−

z
′

(
s
)

{\displaystyle y'(s)=-z'(s)}

이고

y
(
s
# )
−
z
(
s
)
c

{\displaystyle y(s)=-z(s)+c}

(c는 상수)

C
:
(
x
(
s
)
,
−
z
(
s
)
c
(
0
≤
s
≤
L
)

{\displaystyle C : (x(s),-z(s)+c (0 \leq s \leq L)}

x
(
s

)
2

(
y
(
s
)
−
c

)
2

=

r
2

{\displaystyle x(s)^2+(y(s)-c)^2=r^2}

폐곡선 C가 반지름이

L

2
π

{\displaystyle \frac{L}{2\pi}}

인 원일 때에만 등호가 성립한다.
등주정리가 증명됨.

--112.152.55.208 11:07, July 4, 2015 (UTC)
--왼손은거들뿐 (talk) 13:26, July 8, 2015 (UTC) 아 ㅠㅠ 제가 한건데 싸인이 안되있었어요 다시 수정합니당