משוואות דיפרנציאליות

משוואה דיפרנציאלית היא משוואה המתארת קשר בין פונקציה לנגזרות שלה. הפתרון של משוואה כזו אינו מספר, אלא פונקציה או משפחה של פונקציות המקיימות את הקשר. בפיזיקה לעתים קרובות ניתן להגיע לקשר כזה, ולכן חשוב לדעת לפתור אותן.

באולימפיאדה לרוב ינתנו פתרונות אך חשוב לדעת לפתור מקרים פשוטים.

יש לשים לב שלרוב נקבל משפחה של פונקציות, ולכן דרושים גם תנאים נוספים (הנקראים "תנאי התחלה" או "תנאי שפה") ע"מ למצוא פתרון יחיד.

## משוואות פרידות

משוואה דיפרנציאלית נקראת **פרידה** (**Separable**) אם היא מהצורה:

G

(

f
(
x
)

)

d
f

d
x

=
H

(
x
)

{\displaystyle G \left ( f(x) \right ) \frac{df}{dx} = H \left ( x \right ) }

כאשר

G

{\displaystyle G}

 ו-

H

{\displaystyle H}

פונקציות כלשהן.

משוואה כזו נקראת "פרידה" כיוון שניתן לבצע הפרדת משתנים - להעביר את כל התלות ב-

x

{\displaystyle x}

 לאגף אחד ואת כל התלות ב-

f

{\displaystyle f}

לאגף השני, מה שמאפשר לפתור את המשוואה בקלות ע"י אינטגרציה של שני הצדדים.

**דוגמא - פתרון משוואה דיפרנציאלית ע"י הפרדת משתנים**

נתונה המשוואה:

e

x
2

d
f

d
x

=

−
x

f
(
x
)

{\displaystyle e^{x^2} \frac{df}{dx} = \frac{-x}{f(x)} }

.
אם נעביר את כל התלות ב-

x

{\displaystyle x}

 לאגף אחד ואת התלות ב-

f

{\displaystyle f}

 לאגף השני, נקבל:

f
d
# f
−
x

e

−

x
2

d
x

{\displaystyle fdf = -xe^{-x^2}dx }

.
אינטגרציה לשני הצדדים תיתן:

∫

f
d
f

=
∫

−
x

e

−

x
2

d
x

{\displaystyle \int{fdf} = \int{-xe^{-x^2}dx} }

f
2

2

C
1

=
∫

1
2

e

u

d
u

=

1
2

e

u

C
2

=

1
2

e

−

x
2

C
2

{\displaystyle \frac{f^2}{2} + C\_1 = \int{\frac{1}{2}e^{u}du} = \frac{1}{2}e^{u} + C\_2 = \frac{1}{2}e^{-x^2} +C\_2}

ולכן:

f
2

=

e

−

x
2

C
3

{\displaystyle f^2 = e^{-x^2} + C\_3 }

f
(
x
# )

e

−

x
2

C
3

{\displaystyle f(x) = \sqrt{ e^{-x^2} + C\_3 } }

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

{\displaystyle {\color{white}................................................................................................................................................} }

## משוואה לינארית הומוגנית במקדמים קבועים

משוואה נקראת לינארית אם אין בה כפל של הפונקציה או הנגזרות שלה זה בזה.

אומרים שהמקדמים קבועים אם הפונקציה ונגזרותיה אינן מוכפלות בפונקציה של המשתנה אלא רק בקבועים.

משוואה נקראת הומוגנית אם אין מקדם חופשי.

משוואות שמקיימות את כל התכונות האלה נראות כך:

∑

# n
0

N

a

n

f

(
n
)

(
x
# )
0

{\displaystyle \sum\_{n=0}^{N}a\_{n}f^{(n)}(x)=0 }

כאשר

f

(
n
)

(
x
)

{\displaystyle f^{(n)}(x)}

 היא הנגזרת ה

n

{\displaystyle n}

 של

f

{\displaystyle f}

.

נראה שהפיתרון צריך להיות אקספוננציאלי, כמו במשוואה המוכרת:

f
′

(
x
)
−
f
(
x
# )
0

{\displaystyle f'(x)-f(x)=0 }

לכן נניח שהפתרונות הם מהצורה

f
(
x
# )

e

α
x

{\displaystyle f(x)=e^{\alpha x} }

ואז הנגזרות הן

f

(
n
)

(
x
# )

α

n

e

α
x

{\displaystyle f^{(n)}(x)=\alpha^{n}e^{\alpha x} }

ונקבל את המשוואה

e

α
x

∑

# n
0

N

a

n

α

n

=
0

{\displaystyle e^{\alpha x}\sum\_{n=0}^{N}a\_{n}\alpha^{n}=0 }

ומכיוון שהחלק האקספוננציאלי שונה תמיד מ

0

{\displaystyle 0}

 נקבל

∑

# n
0

N

a

n

α

n

=
0

{\displaystyle \sum\_{n=0}^{N}a\_{n}\alpha^{n}=0 }

וזו משוואה פולינומיאלית שלה יש

N

{\displaystyle N}

 פתרונות מרוכבים.

קל לראות שכל כפולה של הפתרון בסקלר, וסכום שני פתרונות גם הם פתרונות של המשוואה, וניתן להראות שסכומים אלו של הפתרונות שהראנו הם כל פתרונותיה למעט המקרה בו שורש של הפולינום חוזר פעמיים, לדוגמה עבור

x
2

=
0

{\displaystyle x^2 = 0}

.

במקרה זה קשה יותר לראות אבל מקבלים ששורש

α

{\displaystyle \alpha}

 שחוזר

r

{\displaystyle r}

 פעמים נותן את הפתרונות

e

α
x

,
x

e

α
x

,
…
,

x

r
−
1

e

α
x

{\displaystyle e^{\alpha x},xe^{\alpha x},\ldots,x^{r-1}e^{\alpha x} }

## משוואות לינאריות לא הומוגניות

משוואה לינארית לא הומוגנית נראית באופן כללי כך:

∑

# n
0

N

p

n

(
x
)

f

(
n
)

(
x
# )
q
(
x
)

{\displaystyle \sum\_{n=0}^{N}p\_{n}(x)f^{(n)}(x)=q(x) }

נסתכל על זוג פתרונות

f

{\displaystyle f}

 ו

g

{\displaystyle g}

 אז הפרשם מקיים:

∑

# n
0

N

p

n

(
x
)
(
f
−
g

)

(
n
)

(
x
# )
0

{\displaystyle \sum\_{n=0}^{N}p\_{n}(x)(f-g)^{(n)}(x)=0 }

וזו משוואה הומוגנית שאותה בדרך כלל קל יותר לפתור, לכן מספיק למצוא פתרון אחד של המשוואה ואת פתרונות המשוואה ההומוגנית.

כדי למצוא את הפתרון הבודד לרוב ננחש שהוא מצורה דומה ל

q
(
x
)

{\displaystyle q(x)}

 ונחשב את הפרמטרים המתאימים, לדוגמה אם

q

{\displaystyle q}

 פולינומיאלית ננחש פתרון פולינומיאלי ממעלה זהה ונחשב את המקדמים המתאימים, ואם היא גל סינוס, ננחש פתרון שגם הוא גל סינוס ונחשב את הפאזה והאמפליטודה.

## משוואות לינאריות מסדר ראשון

סדר של משוואה הוא הנגזרת הגבוהה ביותר שמופיעה בה, משוואות לינאריות מסדר ראשון יראו כך:

d
f
(
x
)

d
x

q
(
x
)
f
(
x
# )
p
(
x
)

{\displaystyle \frac{df(x)}{dx}+q(x)f(x)=p(x) }

לשם פתרונן נרצה לדעת לפתור משוואה כזו:

μ
(
x
)
q
(
x
# )

d
μ
(
x
)

d
x

{\displaystyle \mu(x)q(x)=\frac{d\mu(x)}{dx} }

וזה קל על ידי העברת אגפים:

q
(
x
)
d
# x

d
μ
(
x
)

μ
(
x
)

{\displaystyle q(x)dx=\frac{d\mu(x)}{\mu(x)} }

ולכן

∫
q
(
x
)
d
# x
ln
⁡
(
μ
(
x
)
)

{\displaystyle \int q(x)dx=\ln(\mu(x)) }

ועל ידי העלאת

e

{\displaystyle e}

 בשני האגפים נקבל:

μ
(
x
# )

e

∫
q
(
x
)
d
x

{\displaystyle \mu(x)=e^{\int q(x)dx} }

כעת נרצה לכפול את המשוואה הלינארית בפונקציה המקיימת

μ
(
x
)
q
(
x
# )

d
μ
(
x
)

d
x

{\displaystyle \mu(x)q(x)=\frac{d\mu(x)}{dx} }

ונקבל

d

d
x

(
μ
(
x
)
f
(
x
)
# )
μ
(
x
)

d
f
(
x
)

d
x

d
μ
(
x
)

d
x

f
(
x
# )
μ
(
x
)
q
(
x
)

{\displaystyle \frac{d}{dx}(\mu(x)f(x))=\mu(x)\frac{df(x)}{dx}+\frac{d\mu(x)}{dx}f(x)=\mu(x)q(x) }

ועל ידי אינטגרציה נקבל

μ
(
x
)
f
(
x
# )
∫
μ
(
x
)
q
(
x
)
d
x

{\displaystyle \mu(x)f(x)=\int\mu(x)q(x)dx }

וזו כבר משוואה ללא נגזרות.