Strongart：我自学数学的非常故事

女士们先生们，我是Strongart。记得在我24岁生日那天，曾经写过一段自学数学的小故事。现在又是一年多过去了，就再介绍一点回到家之后的情况吧，顺便把以前的故事精简一下。

其实我从小启蒙教育就比较好，倒不是有什么专门的培训，只是上小学之前都在家里，有意无意地从爷爷那里学了很多东西。到上小学的时候，我就已经能熟练掌握四则运算，可惜后来进了学校就停滞了，对数字的感觉明明已经非常敏锐了，还得跟他们一起背什么乘法口诀表！直到四年级的时候为准备竞赛，数学老师给我们几个数学好的学生开小灶。在不到一个学期的时间里学完了五六年级的数学，一点都不觉得有什么困难。
此后又是一段长期的停滞，直到一天我偶然发现一本书，是讲如何教育孩子成材的，其中有许多天才成长的故事深深打动了我。记得里面有一句大意是这样的：在孩子成熟之前，只要有一个小小的起点，让他体会到自己独特的价值并为之努力，那么他成年后将远远超过其他一般的人。那时我不知是初一还是初二，只是对这样的语句有一种模糊的体验。
后来，在放假前无意间有个顽皮的同学送了我一本高中的《立体几何》，促使我真正走上了自学数学的道路，再结合家里一些已经发黄了的中等数学教辅，到中考前已经完成相当于高中的数学课程。幸好当时能在大学附近的一个临时的小书店里买到了两本《数学分析》，然后就开始为按定义证明极限苦恼，能问老师吗？我不敢，因为直觉告诉我这是犯规的，可能这就是“潜规则”的压力了。
刚开始看《数学分析》真的很困难，手头只有一本教科书，习题只能做开头的几道。特别是极限初论讲完之后直接进入极限绪论，像有限覆盖定理之类的东西直到后来看到拓扑才真正明白。直到后来看到微分学，又在一堆中高考的辅导书里挖掘到一本微积分词典，才算是稍微送了口气。记得当时“违规”用导数做出道难题，反倒没办法讲给别人听，只轻轻说了“导数”两个字（据说现在高中数学讲导数了，很人性啊！那时的标准答案是用了一个BT的不等式的技巧），惹得他们看外星人一样的看我！
回顾高中以前的经历，运气要占了很大的因素，可后来就没那么巧了。第一年没考上大学，又买不到合适的数学书，就这样看了大半年像什么概率统计、数学物理方法、离散数学之类的东西，然后就是给工科研究生看的近现代数学基础，结果就完全不知所云了（所以又买了一本类似的，还是不行）。最后的一本这样的东西是在上大学之前的暑假里看的，是给工科用的《模糊数学及其应用》（实在很烦最后这四个字），就前几章还有点意思；同时还看了一本《天才引导的历程》，是讲数学家故事的，深受感动！

在那段日子里，我有了一些收获，至少给我后面学习专业的理论打下了一定的基础。可是直到我在图书馆里找到了正规的书籍，自学的生涯才算是真正开始。最早是一拿到书，先看前面是不是数学专业的，如果不是一般就不看；然后就去翻后面，看有没有习题解答。就这样看了不少土著的书：大多是八十年代的自学丛书，现在看来是叙述罗嗦观点陈旧，实在不是什么好东西。下面我就按照学科的顺序来具体谈谈那时的情况，可能专业的东西要多一些了。

先从分析谈起，虽然看了两本《数学分析》，但当时有许多地方都不是太明白。进大学之前有幸买到一本相关习题集（只有单变量的情形），把它完成之后果然收获不少。而多变量的情形，我后来看了弗列明的《多元函数》，不过到反函数定理部分没看明白，而切映射和外微分形式知道后来看《微分流形初步》的时候才算弄清楚。而实变函数则是用的那本蓝色的自学书，后来当时没什么感觉，在《多元函数》里也有一点Lebesgue积分，才算是稍微明白一些。后来还看了H-S的《实分析与抽象分析》，可能稍微早了一点，只看了前四大段，却用了一个学期。复变函数因为高中时浏览过那本自学丛书（放暑假的时候赖在手里没还给图书馆），所以就换了一本叫解析函数什么的，接着又看了本选论，但到讲亚纯函数的时候就完全糊涂了。此后，翻过Ahlfors的那本，是为了练习看原版书，不过后来还是直接看中文的了；又看了一点李忠的《复分析导引》，原来是准备作为黎曼曲面的参考书的，没想到被吸引过去了。看泛函分析则最有意思，先看的是《巴拿赫空间引论》（因为后面有详细的习题解答），计划在一个暑假看完的，结果只看了两章。后来看了一本初级的导论（应用的部分略过），虽然是给工科的，但前言中说也可以作为数学专业的入门书。看完它之后，再看剩下的内容，除了像次加泛函这样过于专门的内容外，其他的都大体能看明白，接着又看了这个作者的另一本讲拓扑线性空间的入门书。而在最后的日子里，则看了一点Rudin的《泛函分析》，结果又受到了挫折。同样的挫折也发生在看周民强的《调和分析讲义》上，原来有答案的书也不是太容易读的，可能是之间跳过了Fourier分析。后来就补上一本讲Fourier series的，处理的方式比较现代，到第三章就介绍群代数了，不过看起来不是太困难。
后来到家里看的第一本就是Rudin的《实分析与复分析》，特别是实分析部分看得很有收获，还解决了几个比较困难的习题。然后看了张恭庆的《泛函分析讲义》，主要是前六章的内容，没想到Hilbert空间中还有很多的算子理论，便顺水推舟的看了本讲Banach代数和算子理论的书。如果再下去的话，恐怕是该看算子代数了。不过后来总觉得多复分析比较神秘，恰好买了本Lars Hormander的《多复分析导引》，正在为其中的L^2理论苦恼，感觉和偏微分方程是有点像的，可惜我的理解还不是太深刻。同时也觉得该看调和分析了，主要用Stein的书，尽管有的地方还看不大懂，但能看懂的部分就是一种享受。

再来谈代数，以前高等代数只是在一本大学数学里看了一章，非常想念Jordan标准型。后来看北大的简明教程（只找到下册），算是有一个初步的印象。所以，现在这方面仍然比较薄弱，不过好象也没什么太大影响，感觉高等代数似乎没什么后续的东西，矩阵论仿佛是给工科看的，还是抽象代数要有趣得多。以前看过一本带“及其应用”的近世代数，所以这次选的是武大的（有点深度，也带答案，呵呵！），只可惜没讲模。后来有幸找到一本专门的模论，是内部的翻译的讲义，看的很用心。也就是从那本书开始，我发现只要有提示就可以顺利看完一本书了，好在很多书里的难题大多有提示。接着，有幸找到vander Waerden《代数学I》的习题解答（也是内部讲义哦），因为当时手头借书名额有限（只能借7本书），就先藏在书架中间，等放假前再借回去看。后来，看那本薄薄的《交换代数与同调代数》，前言里说是起点低、坡度大，对后者我是深有体会，看了五节就放弃了。类似的遭遇还在于看一本《有限群导引》，序言里说抽象代数训练不够的人千万别看，硬着头皮看完了上册，下册是不敢再碰的了。记得最后看的是一本GTM的往代数几何方向的交换代数（见下图），第一章居然介绍历史，很是不习惯，囫囵吞枣般看了十章，就离开学校了。早知道就老老实实看 McDonald的那本了，可那时觉得前面模讲得太多，不像是交换代数，呵呵！
到家之后准备找本厚的代数书加强一下，正好看到Rotman的《抽象代数基础教程》，后来发现还有本叫《抽象代数》的要便宜一点，就买了后者（原以为是一样的呢）。没想到买对了，前者只是本first course，后者就是那本Advanced Modern Algebra，弄懂了很多以前没弄懂的东西。接着因为看完一本代数拓扑，自然想到去看同调代数，选了Charles A.weibel的《同调代数导论》，前面遇到了范畴的阻碍，后来买了本中文的《范畴论》算是平息了，可后面看到谱序列就彻底晕了。同时因为后来讲李代数的同调，而李群论也老引用李代数的结论，就又找了Humphreys的小薄书《李代数与表示论导论》，可到后面就晕头转向了，好在是已经基本够用了。此外，就是还想找本交换代数的书看看，可惜一直没有找到合适的。

接着回忆几何吧，高等几何和微分几何都用的那套蓝色的自学丛书，特别是微分几何，处理得太陈旧了，习题更是垃圾的计算，强烈建议有兴趣的朋友不要看那本！后来发现几本日本人写的小册子，习题都有提示解答，就看了本黎曼几何和配套的习题集，结果陷到了张量运算的迷宫里，到最后也没分清李导数和协变微分。后来想重温一下微分几何，也是看了本日本人的精致的小书，感觉外微分标架很有意思。同时，补充了一点 doCarmo的内容，特别是很向往整体微分几何的部分，可惜后来有的东西没看明白（现在知道是从黎曼几何里下载的了）。然后看的是《微分流形初步》，感觉比较详细，也可以说是有点罗嗦。不过最后李群那章看得马虎了，因为快放假了，想换一本看看，反正李群是以后专门要看的，结果一直没腾出手来（我一般是三本书一起看的）。最后的那本是AMS的书，也是一个日本人写的，被翻译成英文了，后几章没能真正理解，特别是讲丛的示性类那部分。
到家之后先看了两本黄色的《黎曼几何引论》，里面有不少地方都需要计算（发现自己越来越懒了），而后面的习题解答又太详细。第一本还好，第二本就感觉费力了，对称空间要李群基础，总算腾出手来看李群了，却发现还有李代数的基础，等到李代数的书到手之后，原来激情已经没了：还是就事论事的李代数吧。此外就是代数几何了，Hartshorne的名著到第二章之后带着答案都看不懂,这该算是我到家之后自学数学的最大挫折了。受此影响，Griffiths的《代数几何原理》一直都没敢看，还是先找本讲椭圆曲线的入入门吧。此外，发现AMS里有代数几何书还不错，可惜既买不到也买不起啊！

回过头我们来看拓扑吧，最早对拓扑有感觉是看《多元函数》的第二章，还有H-S里的一大章，后来看北大的《基础拓扑学讲义》，也是因为后面有习题解答（提醒一下：千万别学我，这个习惯很不好！）。后面的单纯同调论就没看明白多少，后来想看专门的代数拓扑，找了W.F.写的GTM教材，对低维处理的非常详细，也很强调群的作用和M-V列（国内的代数拓扑书好象几乎不介绍M-V列），可一样没介绍多少单纯同调。同时，准备看两个日本人写的《拓扑空间论》，记得序言里说习题大都有提示，自学不会有太大困难，结果看到仿紧空间就不之所云了。或许，其中缺了一环专门的点集拓扑，就找了本反例的习题集，看了点网和滤子之类东西，理解也不是在深入。后来，又一直对微分拓扑有兴趣，在图书证注销之后，溜进图书馆看了Minlor的小书《从微分观点看拓扑》，觉得很有意思，可惜天太热，也没时间细读了。
到家之后买了两个日本人写的《拓扑空间论》继续钻研，可看了几段之后是头晕脑胀的，看来太深奥点集拓扑理论就只能是放弃了，还是看代数拓扑吧。看完了Munkres的《代数拓扑基础》是一个很大的收获，发现原来还有这么有意思的同调理论，然后休息了大约半年，到现在开始看Robert M.Switzer的《代数拓扑》，好像是一本Advarced book哦！微分拓扑先看了张筑生的《微分拓扑新讲》，感觉不是太扎实，就又找了本GTM33,结果就不说了吧。

最后，做一个补遗吧。数论只看了最初等的，感觉没什么东西，到二次互反律才稍微有点意思，好象北大的书在序言里就批评了我这样的观点。集合论方面也看了一本入门的《公理集论》，开始的感觉真的很震惊。之所以要把它们放到一起，是因为这两个领域虽然很边缘化，但却是妖怪出没的地方，没有天分的话还是不要过多得去深入。微分方程方面，常微先看得是自学丛书，后来找了本阿诺尔德的《常微分方程》，看了一点之后就被偷了，此后就再也没碰过。偏微分方程的书似乎很少，只是走马观花般看了本John的那本，后来发现数学物理方程也有给数学系看的！概率论嘛，因为想看得正宗一点，就找了一本《分析概率论》，或许还是因为先找到习题解答的缘故。后来，才知道要先看测度论，随机过程也看过一本，不过忘得差不多了。至于计算数学，仿佛从未看过，也没什么大不的了。
到家之后，分支的内容就很少看了，主要是看了一本讲偏微分方程现代理论的，前1/3的Sobolev空间似乎讲得比Rudin的《泛函分析》还详细。此外，看了拉卡托斯的《猜想与反驳》，是介绍数学思想的。现在已经离开了图书馆，幸好还可以在网上买书，也有电子书可以查阅。对于未来的方向吧，其实也没什么特别的规定，只是顺着喜欢看的书看罢了。也许就像一个多级的火箭一样，渐渐放弃一些东西，剩下来的就是精华啦！

如果是对数学有兴趣的朋友看到这里一定也心痒了吧，那就赶快行动起来吧。网上有一份很有名的书单（点击此处阅读），建议想自学的朋友带着这份书单去图书馆找合适的书，千万别像我那样误打误撞的了。如果只想大致了解一下呢，可以看一些比较高级的科普读物，这样的书还很少，不过在数学总论的部分应该还是能找到的。若希望认真学一点呢，这里我特别指出一定要看正宗的数学书，什么是正宗的呢？就是数学专业的了，给理工科用的太应用的就不用看了，八十年代的自学丛书可以在初期做参考，但却不宜精读，而什么考研辅导之类的垃圾读物还是算了吧。等看习惯之后就尽量去看外国书（中译本或原版），档次明显是不一样的。其实，直接看原版也未尝不可，就那么几个单词，只要注意一下术语和常用的连接词，远没有想象的那么困难。看的时候不要像我当时那样去对照中文版，这样反而更累。精读几本优秀的书很重要，不要太担心习题，因为和我当时不一样，你可以去问别人。

也许有人会对我写自传有所不满，但我还是要来发几句牢骚。据说在美国这样的文明国家，像我这样的人的生活都是由国家来补贴的，因为我将要为人类精神做出贡献，所以社会就有义务帮我解决一些基本问题，只可惜我们的民族仿佛太自私，不会去照顾人类精神。文明国家里的教授都是靠自己努力得来的，所以只要对得起自己的走过的道路就可以了；但我们的教授是组织赐予的，因此就知道为自己的组织服务。幸好，我还有一个比较可爱的家庭，在我一再坚持之下以2比1的投票决定来勇敢的承担起社会没有承担的责任，但要是想继续发展，恐怕就比较困难了。再往后要看的一些资料恐怕就只能在大学图书馆里才能方便的查到，而我也已经有近两年没和有头脑的活人说过话了，有时心里总会莫名的产生一种愤懑。我想，即使你们不能看到我是怎么获得成功的，至少也能看到我是怎么在这些愚昧的人群中因为追求崇高的精神而走向没落的。
最后，我要提醒电脑前有心自学数学朋友们，这样的路非常艰难。不仅是数学本身很难自学，还有来自你身边的种种压力，甚至是要先把几乎所有的人都看做是自己的敌人。我们这样民族是仇视任何纯粹精神的，我们的大多数人也不可能像文明国家的孩子们那样，可以轻轻松松的喊出一句：I love this game.