Leçon 126

Exemples d'équations diophantiennes.

## Plan indicatif

Une équation diophantienne est une équation polynomiale à coefficients entiers dont on cherche des solutions entières.

### Équations diophantiennes linéaires

>
> **Théorème** : l'équation *ax+by=c* admet des solutions si et seulement si *d*=pgcd*(a,b)|c*. Les solutions sont alors données par
>
>
>
>
>
>
>
> (
> x
> ,
> y
> )
> =
> (
>
> x
>
> 0
>
>
> +
> k
>
>
> b
> d
>
>
> ,
>
> y
>
> 0
>
>
> −
> k
>
>
> a
> d
>
>
> )
>
> k
> ∈
>
> Z
>
>
>
> {\displaystyle (x,y)=(x\_{0}+k{\frac {b}{d}},y\_{0}-k{\frac {a}{d}})\;k\in \mathbf {Z} }
>
>
> où *(x0,y0)* est une solution particulière obtenue par l'identité de Bézout.
>
>
>
>

On peut discuter le nombre de solutions positives à cette équation. Le théorème de Paoli affirme que ce nombre vaut

⌊

c

a
b

⌋

{\displaystyle \lfloor {\frac {c}{ab}}\rfloor }

 ou

⌊

c

a
b

⌋
1

{\displaystyle \lfloor {\frac {c}{ab}}\rfloor +1}

 selon que l'équation *ax+by=r* ait aucune ou une solution (positive), *r* étant le reste de la division de *c* par *ab*.

Le théorème se généralise immédiatement à plus de deux variables, et le théorème de Paoli se généralise par le résultat suivant.

>
> **Proposition** : Soient *a1,...,ar* des entiers naturels premiers entre eux dans leur ensemble. On note *Sn* le nombre de solutions positives de l'équation *a1n1+...+arnr=n*, alors
>
>
>
>
>
>
>
>
> S
>
> n
>
>
> =
>
>
>
> n
>
> r
> −
> 1
>
>
>
>
> a
>
> 1
>
>
> ⋯
>
> a
>
> r
>
>
> (
> r
> −
> 1
> )
> !
>
>
>
> +
> O
> (
>
> n
>
> r
> −
> 2
>
>
> )
>
>
> {\displaystyle S\_{n}={\frac {n^{r-1}}{a\_{1}\cdots a\_{r}(r-1)!}}+O(n^{r-2})}
>
>
>

### Équation diophantiennes quadratiques

* Théorèmes des deux, trois et quatre carrés.

>
> **Théorème des deux carrés** : Soit
>
>
>
> n
> =
>
> ∏
>
> p
> ∈
>
>
> P
>
>
>
>
>
> p
>
>
> v
>
> p
>
>
> (
> n
> )
>
>
> ∈
>
> N
>
>
>
> {\displaystyle n=\prod \_{p\in {\mathcal {P}}}p^{v\_{p}(n)}\in \mathbf {N} }
>
> , alors *n* s'écrit comme la somme de deux carrés si et seulement si *v=(n) est pair pour tout nombre premier
>
>
>
> p
> ≡
> 3
> [
> 4
> ]
>
>
> {\displaystyle p\equiv 3[4]}*
>
>
>
>

>
> **Théorème des trois carrés** : Soit
>
>
>
> n
> ∈
>
> N
>
>
>
> {\displaystyle n\in \mathbf {N} }
>
> , alors *n* s'écrit comme la somme de trois carrés si et seulement s'il n'est pas de la forme
>
>
>
>
> 4
>
> a
>
>
> (
> 8
> m
> +
> 7
> )
>
>
> {\displaystyle 4^{a}(8m+7)}
>
>
>
>
>
>

>
> **Théorème des quatre carrés** : Tout entier naturel peut s'écrire comme la somme de quatre carrés
>
>
>
>

* Équation de Pell-Fermat

>
> **Théorème** : l'équation *x2-dy2=1* admet des solutions non triviales (*ie* différentes de (1,0) et (-1,0)) si *d* n'est pas un carré. Alors il existe une solution non triviale *(x1,y1)* telle que toute solution s'écrit sous la forme *(
>
>
>
> ±
>
>
> {\displaystyle \pm}
>
> xn,
>
>
>
> ±
>
>
> {\displaystyle \pm}
>
> yn)* avec
>
>
>
>
> x
>
> n
>
>
> +
>
>
> d
>
>
>
> y
>
> n
>
>
> =
>
>
> (
>
>
> x
>
> 1
>
>
> +
>
>
> d
>
>
>
> y
>
> 1
>
>
>
> )
>
>
> n
>
>
>
>
> {\displaystyle x\_{n}+{\sqrt {d}}y\_{n}=\left(x\_{1}+{\sqrt {d}}y\_{1}\right)^{n}}
>
>
>
>
>
>

* Équation de Mordell

>
> **Théorème** : L'équation *y2=x3-1* admet pour unique solution (1,0)
>
>
>
>

### Réduction modulo *p*

>
> **Théorème de Chevalley-Warning** : Soient
>
>
>
>
> P
>
> 1
>
>
> ,
> ⋯
> ,
>
> P
>
> r
>
>
> ∈
>
>
> F
>
>
> q
>
>
> [
>
> X
>
> 1
>
>
> ,
> ⋯
> ,
>
> X
>
> n
>
>
> ]
>
>
> {\displaystyle P\_{1},\cdots ,P\_{r}\in \mathbf {F} \_{q}[X\_{1},\cdots ,X\_{n}]}
>
>  (car***F**q=p*) tels que
>
>
>
> ∑
>
> d
>
> o
>
>
>
> P
>
> i
>
>
> <
> n
>
>
> {\displaystyle \sum d^{o}P\_{i}<n}
>
> . Alors
>
>
>
>
>
>
>
>
>
> {
>
> x
> ∈
>
>
> F
>
>
> q
>
>
> n
>
>
> :
>
> P
>
> 1
>
>
> (
> x
> )
> =
> ⋯
> =
>
> P
>
> r
>
>
> (
> x
> )
> =
> 0
>
> }
>
>
> ≡
> 0
>
> mod
>
> p
>
>
> {\displaystyle \left|\left\{x\in \mathbf {F} \_{q}^{n}:P\_{1}(x)=\cdots =P\_{r}(x)=0\right\}\right|\equiv 0{\text{mod}}p}
>
>
>

Application au théorème de Erdös-Ginzburg-Ziv.

## Développements

* Dénombrement diophantien

* Théorème des deux carrés

* Équation de Pell-Fermat

* Théorèmes de Chevalley-Warning et de Erdös-Ginzburg-Ziv