recursal/Fanatic-Fandom huggingface dataset:
Bandit

After the Scratch-rail Science Lab brought him back to full Operating Capacity, Bandit is a kind and intelligent engine that likes to take goods trains up hills, like his friend Casey Jr, if his confidence would let him. He is the only engine to use Cheese as a fuel type. He also knows how to cook Hot Dogs and make Grilled-Cheese Sandwiches upon command! He is the number 2 on the Wildomar and Norco Railway Traction Company Limited Railroad. Bandit had a Brother called Smokey, who was a troublesome engine that got sent packing by Joey the Police Engine. Bandit is a Farming Locomotive, because of being part Border Collie. He also likes to play in the snow, and has no trouble with his snowplow. Fun Fact: Bandit's Whistle Sound is actually Spencer's Whistle Sound, just lowered 5 steps in pitch.

Audio Files

Bell

Whistle
Ссора влюблённых

**Ссора влюблённых** - двадцать пятая серия мультсериала.

## Сюжет

### Кратко

Харли Квинн и Кайтмен подключают механический глаз Сая Боргмана к телевизору, чтобы загрузить его цифровую версию. Сай помогает Кайтмену создать устройство против контроля разума. Тем временем «Лига Справедливости» побеждает парадемонов и берёт в плен Айви, которая в последний момент использует свои феромоны, делая супергероев недееспособными. Ядовитый Плющ доставляет Харли в торговый центр к Доктору Психо, куда уже прибыл Дарксайд. Психо заставляет подруг сражаться друг с другом. Харли своим поцелуем возвращает Айви в сознание, а затем девушки побеждают самого Доктора Психо. Впечатлённый Дарксайд предлагает Харли править Землёй, но та отвечает, что уже не хочет быть суперзлодеем. Психо использует свои силы, чтобы показать всему городу постельную сцену между Харли и Айви, оставляя Кайтмена в недоумении.
Lightning McQueen

"Mater, I need your help. I need you to hook onto my cock and balls and pull really tight. Can you do that?" - Lightning McQueen (On Various Occasions)

Lightning McQueen is a very fast red express tank engine from Radiator Springs. He knows that there is more to racing then just winning. He believes that Friendship is more important than any old trophy. In other words, at the end of a day without your friends, it's just an empty cup. Lightning McQueen is based on the E2 Locomotive, Most of Thomas's Brothers share this basis, The only difference is that McQueen's build was modified with Race Car Pistons, and a Turbo-Charged V8 Steam-Powered Engine inside his Boiler. His top Speed is 200 Miles Per Hour. Lightning McQueen is based on the same Character from the same name from the Disney Cars Franchise. Fun Fact: His horn sound is used from the Character Milo from Mighty Express.

Audio Files:

Horn
Шоссе Харли Квинн

**Шоссе Харли Квинн** - одиннадцатая серия мультсериала.

## Сюжет

### Кратко

Невзирая на свои прошлые обиды команда Харли воссоединяется, когда узнаёт, что Айви попала в беду. Выясняется, что Пугалу были нужны феромоны Ядовитого Плюща для создания на их основе биологического оружия. Харли же с удивлением узнаёт, что для Айви она является основным страхом. Невзирая на отчаянную борьбу, биологическое оружие попадает в атмосферу и заражает деревья, которые сходят с ума и начинают нападать на людей.
Chugs

Chugs is a very small Yellow tender engine from The Easter Railway. He is kind, and smart. He knows every hill like it's a personal landmark, he is able to get over these hills without trouble. When Easter is in session, He gets really busy with The Easter Preparations. If it's not Easter, He usually is seen working at the quarry. Chugs originates from The Movie "The Easter Bunny is Coming to Town", But this Standard-Gauge version of Chugs has a few changes made to him, For Example: The Additions of a Buffer and Chain System Compatibility, A Thomas and Friends Design, and the Power Couplings and Cylinders were Updated.

Audio Files:

Whistle
is Coming to Town
is Coming to Town
(Alternative)
Asriel

"Howdy, It's me your friend Azzy." - Asriel (Undertale and Thomas Meet-up)

Asriel is an Edgy Goat Locomotive from The Hotlands, the same place where Toriel, Frisk, and Chara work at. He has the ability to touch his tongue to his eyes, speak in a southern accent, and pull trains with Duck. He may be a bit edgy at times, but has a very zen attitude when it comes to him meditating. He likes to meditate before pulling a train, because it lowers his boiler pressure, and cools him down on a hot day. However, His Train Body wasn't assembled properly, This can cause him to be a bit of a "Drip-Tank", causing his water tank to leak, leaving a slippery trail behind him, leading to a break-down. He likes to pull the Hotlands Special with his friend from childhood Chara. Asriel has the same basis as Duck. Fun Fact: His Whistle sound is the Same one Duck has, just 8 steps lower pitched.

Audio Files:

Whistle
Showcase Files
4.2.64(a)

Derivar

f
(
x
# )
3

x

5

−
4

x

4

5

x

2

−
6
x
7

{\displaystyle f(x)=3x^{5}-4x^{4}+5x^{2}-6x+7}

Como sabemos que

[
f
(
x
)
g
(
x
)

]
′

=

f
′

(
x
)

g
′

(
x
)

{\displaystyle [f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)}

podemos reescribir la función como pequeños sumandos.

Por la propiedad A, los índices se pueden sacar de la derivada de

x
n

{\displaystyle x^n}

de cada sumando.

Para cada

x

{\displaystyle x}

 de la suma utilizamos el teorema:

Si

n
∈

Z

{\displaystyle n\in Z^{+}}

y si

f
(
x
# )

x
n

{\displaystyle f(x) = x^n}

Entonces

f
′

(
x
# )
n
⋅

x

n
−
1

{\displaystyle f'(x)=n\cdot x^{n-1}}

que aprendimos en 4.2.63(d)

Aplicando todo lo anterior tenemos:

f
′

(
x
# )
(
3
×
5
)

x

5
−
1

−
(
4
×
4
)

x

4
−
1

(
5
×
2
)

x

2
−
1

−
(
6
×
1
)

x

1
−
1

{\displaystyle f'(x)=(3\times 5)x^{5-1}-(4\times 4)x^{4-1}+(5\times 2)x^{2-1}-(6\times 1)x^{1-1}}

f
′

(
x
# )
15

x

4

−
16

x

3

10
x
−
6

{\displaystyle f'(x)=15x^{4}-16x^{3}+10x-6}
Server kingdom

sam became the "benevolent" ruler of evancord, the server got renamed to SAMCORD and everyone was given new roles

Sam was Benevolent Ruler

Evan and Nannerman were "😏" (sex slaves)

Siegraas was "Magic cat"

Maiyo and Daniel were "Court Jester"

cactose was "Coordinator of Cornfield Crop🌽"

and the rest were converted from homys->nobles, epic->knights and everyone else-> peasamts.

if you ever displayed poopophobic traits, you would be "banished"

the bots were "robot slaves"

the kingdoms main food sources were corn, managed by cactose, and human flesh, which would come from regularly putting peasamts in pits and then killing and eating them. (very tasty)

APPRENTLY, SAM BETRAYED ALL OF US, AND STARTED BANGING THE GREEN ORANGE ORANGE KING, WHO IS A MORTAL ENEMY, and the server was turned back into EVANCORD. now though, the KING is ruling and we are forming the green revolution to overthrow him.
Spacelessvoid

"aj" allegedly , but actually applejack

"you either smoke the weed or the weed smokes you." -applejack mlp

here is his pixilart

## **Fun Facts**

* he has his own wiki applejack.fandom.com

* Literally just my little pony
* ~~he showed me his underwear~~ no I didn’t
* ~~he watches james charles~~ false information 🙄🙄🙄
* ~~he~~ alex doesn’t wipe his ass ~~shit on a blanket~~
* pronounces joe biden like joe bidden

## ajs mic

hic mic never works, it just . doesnt . related: [./https://lazarakis.fandom.com/wiki/Jayevrd evans mic], [./https://lazarakis.fandom.com/wiki/Capsquid caps background noise], [./https://lazarakis.fandom.com/wiki/Maiyosauze maiyos singing]
Bots

## rythm bot

### origins

originally added to the server for song listening purposes, but later devolved into finding the weirdest videos having to do with cum, shit, piss and farts with the !p action. rythm bot is still used for songs now, but many users have it muted, mainly for big chungus reasons.

### relationships

married to la alex, this ship is canon.

related to cap somehow too..

### notable audio

* sexo - residente
* BIG CHUNGUS | Official Main Theme | Song by Endigo
* Your Cum Won't Last [Official Music Video]
* purple guy death sound 1 hr
* la creatura
* femur breaker
* I GOTTA POOP
* Alphabet with Mayo! [Version 2.0]
1.3.17

Encuentra el dominio de la siguiente función:

f
(
x
# )

x

4

x

2

x
−
6

{\displaystyle f(x)={\frac {x^{4}}{x^{2}+x-6}}}

Como sabemos f es una función racional, por lo tanto el denominador no puede ser 0, entonces:

x

2

x
−
6
≠
0

{\displaystyle x^{2}+x-6\neq 0}

Ahora escribiremos x como

3
x
−
2
x

{\displaystyle 3x-2x}

**Error al representar (Error de conversión. El servidor ("https://services.fandom.com/mathoid-facade/") informó: "Cannot get mml. HTTP 404 Not Found"): {\displaystyle x^{2}+3x-2x-6\neq 0}**

Ahora agruparemos los términos:

x
(
x
−
2
)
3
(
x
−
2
)
≠
0

{\displaystyle x(x-2)+3(x-2)\neq 0}

factorizamos (x-2)

(
x
−
2
)
(
x
3
)
≠
0

{\displaystyle (x-2)+(x+3)\neq 0}

Por propiedad del producto 0:

x
≠
2

{\displaystyle x\neq 2}

 y

x
≠
−
3

{\displaystyle x\neq -3}

Entonces esta función esta definida para todo los valores de x en el conjunto de los números reales excepto por 2 y -3.

Ahora, el dominio de la función seria:

**Error al representar (Error de conversión. El servidor ("https://services.fandom.com/mathoid-facade/") informó: "Cannot get mml. HTTP 404 Not Found"): {\displaystyle (-\infty ,-3)\cup (-3,2)\cup (2,+\infty )}**
Tom-Moss

"Hahahahaha! Hahahaha!" - Tom Moss (Laughing)

Tom-Moss is your Original Prankster Engine that has the will power to pull pranks, jokes, or any other silly ideas. Sometimes, it lands him in a heap of trouble, other times it's funny. April Fools Day is his favorite day. He lives in Henry's Forest, where his top secret hideout is. Surprisingly, he lives next door to Zecora. Another weird thing to know is the rain is really good for his Mossy Paint. Tom-Moss is painted Mossy Green with Leaves, Broken Branches and Moss all over him, hence the name. His full name is Tom-Moss the Prank Engine. He (like Chara) Holds the "Blocky's Funny Doings International" Sponsorship. Fun Fact: Tom's Whistle Sound is a Weird and Distorted version of Thomas's Whistle Sound that was used in "Wonky Whistle". It sounds so wonky, because his whistle is covered in moss. Tom-Moss is based on the character of the same name that YouTuber ToyTrains4U invented to add a lot more humor to his series.

Audio Files:

Whistle
Tom-Moss!
Mater

"Daddy Cum in my Lemons!" - Mater (After Being Laughed at by the Diesels)

Mater is a Rusty Saddle Tank Locomotive from the Radiator Springs Railway. He is silly, but is very smart. He once went out on a spy mission, He has been around the world, and he is a professional when it comes to driving backwards. He shares his basis with various other saddle tanks, however he has a towing cable installed, meaning that he is used by the Sodor search and rescue center for Rescuing an Immobile Engine. He likes to go Tractor Tipping with his friend Lightning McQueen. Fun Fact: His Whistle Sound is the same one used for the character Brock The Builder from Mighty Express.

Audio Files:

Whistle
Dumbo

"We have Lift-off!!" - Dumbo (When Flying)

Dumbo is a Flying Elephant engine that works at the Medici Bros circus with Casey Jr. He is the only engine powered by Peanut Butter. He loves to pretend to be a rocketship, this is why he says "We Have Lift-off" whenever he takes off. He uses his ears as perfect wings. He was the only engine to be an Elephant. When Henry met him, Henry had flashbacks of his first encounter with an Elephant, causing him to run away in fear. Dumbo frowned upon this, but Henry later apologized to him for cowering away from the massive mastodon machine. Dumbo is based on the short-lived J50 locomotive, the same basis that his friends Daxton, Jock, and Toriel share. However, Toriel's J50 Wheels were modified. Dumbo's Whistle Sound was recorded from Tweetsie Railroad Number 12, it was also used for Shane the Australian Engine in "The Great Race".

Audio Files:

Whistle
Тающие сердца

**Тающие сердца** - семнадцатая серия мультсериала.

## Сюжет

### Кратко

Харли Квинн вместе со своей командой проникает в логово Мистера Фриза, однако тут же попадает к нему в плен. Мистер Фриз рассказывает о своей смертельно больной жене Норе и о своих безуспешных попытках найти для неё лекарство. Он хочет испытать свою новую разработку на Харли, но та предлагает позвать Ядовитого Плюща, которая является хорошим учёным. Айви действительно создаёт лекарство, но из-за очень редкой группы крови Норы кто-то другой должен принять его, затем перелить Норе свою кровь и погибнуть. Мистер Фриз жертвует собой ради своей любимой, чем поражает Харли и возвращает ей веру в любовь. Попутно Айви и Кайтмен готовятся к своей свадьбе, но им мешает заклятый враг Кайтмена Король Приправ.
1.3.21

La siguiente grafica describe la distancia a la que se encuentra un vendedor de su casa a lo largo del día. Describe con palabras lo que indica sobre el movimiento del vendedor a lo largo del día.

* 8 a 9 A.M. -. Avanza cada vez mas rápido.
* 9 a 10 A.M -. No avanza.
* 10 A.M. a 12 P.M. -. Avanza.
* 12 a 1 P.M. -. No avanza.
* 1 a 3 P.M. -. Se acerca a su casa cada vez mas lento.
* 3 a 5 P.M. -. Avanza cada vez mas rápido.
* 5 a 6 P.M. -. No avanza.
* 6 a 7 P.M. -. Regresa a su casa.
Jayevrd

## The magnis files

evan is blonde, and really thats all i know about him, he wears glasses

* evan
* evan jayevrd
* sharkboat
* oven
* ebin
* Even
* Ebven
* Ebvan

## user name misspellings

evans name is super confusing and terrible so everyone keeps spelling it wrong

* jayvird
* jayvrd
* jayverd
* jayeverd

## evans mic

evan uses his ipad for everything, but still has no idea where his mic is, sometimes he covers it, sometimes he bumps it, sometimes he does both, so you end up with his audio either being way to quiet or hearing a loud ass noise every 30 seconds OR BOTH. Related: maiyos singing, caps background noise

## obsessed wit hmichael

A page regarding Michael and his whereabouts

I LIKE MICHAEL!!!!!!!!!!! I LIKE HIM💕

dreaming about Frau Otus
Geefs

no hard vs soft g discourse. only geef

## la creatura

Feral beast that probably has rabies

there are like 5000 different la creaturas

all of them

### naming

if your nickname starts with "la" on the discord server, it is assumed you know what(or who) la creatura is, most "homys" have this prefix. n Spanish, el is the male counterpart to la, some users have opted to use this instead of la, for seemingly no reason

## more

tuesday got me like

flood grandma

lets dance
Черта

**Черта** - седьмая серия мультсериала.

## Сюжет

### Кратко

Чтобы впечатлить «Легион Смерти» Харли Квинн собирается выкрасть из лаборатории машину управления погодой, которую сами члены «Легион Смерти» похитить не смогли. Для этого сложного дела Харли освобождает из заточения Королеву Сказок. Королева на деле оказывается слишком жестокой. Она без зазрения совести убивает невинных людей направо и налево, что не нравится Харли. Ядовитый Плющ в это время идёт на свидание с Кайтменом.
EVANCORD Wiki

**WELCOME TO JAYEVRDISM!!**

invite

what the fuck

## HELLO im homophonic

fun fact when u join this server u are automatically marrying all of the members. youre married now. if u want to divorce any of us the only way to do so is to leave the server

DEMARCUS ACCORD2007 Honda Accord2007 Honda Accord2007 Honda Accord2007 Honda Accord2007 Honda Accord2007 Honda Accord2007 Honda Accord2007 Honda Accord2007 Honda Accord2007 Honda Accord2007 Accord2007 Honda Accord2007 Honda Accord2007 Honda Accord2007 Honda Accord2007 Honda Accord2007 Honda Accord2007 Honda Accord2007 Honda Accord2007 Honda Accord2007 Honda Accord2007 Honda Accorddemarcus accord demarcus accord 19 Dollar 2007 Honda Demarcus 19 Dollar Accord 19 Dollar Honda Accord 19 dollar 2007 Honda Accord 2007 Honda AccordHonda Accord2007 Honda Accord2007 Honda Accord2007 Honda Accord2007 Honda Accord2007 Honda Accord2007 Honda Accord2007 Honda Accord2007 Honda Accord2007 Honda Accord2007 Honda Accord2007 Honda  19 Fortnite Card 19 Dollar 2007 Honda Accord Who want si t ! Who wants it! Thats right, I' m DEMmarcus Accord Demarcus Accord

## Previous server stuff

icons

names

LAZARAKIS

LEGO PANKTON

piggle fan club

MONKEY STACK

SAMCORD
✨Golden Gojirowan!/Goji/Golden!

**Golden Gojirowan is a African Golden Gojirasuchuses and proclaimed Leader of the Goji Gang. He is the peacemaker and one of the more friendly members of the bunch but he is a bit grumpy, especially when it comes to something he doesn’t want to fo nor enjoy doing. He is a decent fighter and a extremely fast and incredible swimmer. But despite all his talents, Goji remains humble. He doesn’t know why he should considering he likes a lot about himself, his heritage, his evolution-based power and especially his swimming (which is something he legitimately is proud of boasting about when the time is right), it appears he was just born humble.**

Personality: **He is the big brother of the group (kinda like Clay the Mudwing from “Wings of Fire”) despite the fact he is younger then some of the members prominent (like Moodix and Alec). He is always that guy that tries to be reasonable, sadly people don’t try to be reasonable with him. He loves nature but despises humans, which is something that is sadly more relatable today.**

Design: **He has smooth Golden skin with a brown belly with brown flipper-like-hands. He has a loooong Yellow horn and bright yellow back-plates. He has a orange bandanna and a great black top-hat upon his black black hair like scales.**

Relationships...

**Sabrosa, the Fruit Beast**-(Girlfriend, Sparring Partner, Trainer and Battle Allie)

**Moodix the BookWyrm**-(Best Friend and Fellow Artist)

**Alec the Kaiju Lord**-(Half-Cousin, Close Friend and Battle Allie)

**Yeezyfoot**-(Good Friend and Battle Allie and Fellow Weirdo)

**Ashley the Sea Leviathan**-(Half-Cousin three times removed, Good Friend)

**zak randall**-(annoyance but friend overall)

**Grandpa Goji**-(Caring Grandfather)

**The Doolansuchus**-(His loving adoptive parents)

**Rex and his siblings (Cream, Coal and Silver)**-(Not exactly adoptive kids but more like students that are treated like family)

**Ghostly Mist**-(Mother in law and Trainer)-(not referenced in a Movie yet, but she’ll show up)

Not exactly canon YET relationships...

**Ghostly Mist**-(Mother in law and Trainer)

**Red Lemon**-(Eldest Daughter)

**Spike-**(Middle-Child Daughter)

**Scrap**-(Son)

**Skull**-(Youngest Daughter)
2.2.34

Dibuje una gráfica de la derivada de la función (f'):

Como no tengo más que la gráfica de la función original, y está dibujada de forma que no puedo obtener datos completamente precisos de algún punto, procedí a realizarla por aproximaciones intuitivas, siguiendo el procedimiento recomendado por el libro (dibujar la gráfica de la derivada directamente debajo de la de la función original, e interpretar a ojo la pendiente en el punto tomado)
4.7.82(a)

Resolver:

∫

0

2

−
4

2
w

d
w

{\displaystyle \int \_{0}^{2}-4{\sqrt {2w}}\;dw}

Primero debemos encontrar la antiderivada:

∫
−
4

2
w

d
# w
−
4

2

∫

w

d
# w
−
4

2

(

2

w

3

/

2

3

)
# C
−

8

2

w

3

3

C

{\displaystyle \int -4{\sqrt {2w}}\;dw=-4{\sqrt {2}}\int {\sqrt {w}}\;dw=-4{\sqrt {2}}({\frac {2w^{3/2}}{3}})+C=-{\frac {8{\sqrt {2w^{3}}}}{3}}+C}

Ahora podemos encontrar la derivada definida de 0 a 2:

−

8

2
(
2

)

3

3

8

2
(
0

)

3

3

=
−

32
3

{\displaystyle -{\frac {8{\sqrt {2(2)^{3}}}}{3}}+{\frac {8{\sqrt {2(0)^{3}}}}{3}}=-{\frac {32}{3}}}
1.3.16 (a)

**Encuentre el dominio de la función:

f
(
x
# )

1
x

x

2

−
5
x
6

{\displaystyle f(x)={\frac {1+x}{x^{2}-5x+6}}}**

Considerando que el dominio sean todos los valores que x puede tomar. Considerando que la función es una fracción se puede decir que x tiene las siguientes características:

El numerador puede tomar cualquier valor de un numero real

1
# x
ℜ

{\displaystyle 1+x=\Re }

 entonces podemos decir que x puede tomar el valor de un numero real cualquiera

x
∈
ℜ

{\displaystyle x\in \Re }

En cuanto al denominador, por características de una fracción, podemos decir que el único valor que no se puede tomar es 0. Entonces

x

2

−
5
x
6
≠
0

{\displaystyle x^{2}-5x+6\neq 0}

Para despejar

x

{\displaystyle x}

 primero factorizamos

x
2

−
5
x
6

{\displaystyle x^2-5x+6}

 como

(
x
−
2
)
(
x
−
3
)

{\displaystyle (x-2)(x-3)}

Luego tomamos factores por casos individuales

x
−
2
≠
0

{\displaystyle x-2\neq 0}

 y

x
−
3
≠
0

{\displaystyle x-3\neq 0}

Y haciendo un despeje simple tenemos que

x
≠
2

{\displaystyle x\neq 2}

 y

x
≠
3

{\displaystyle x\neq 3}

Con esto concluimos que

x

{\displaystyle x}

 tiene un dominio de números reales en los intervalos

(
−
∞
,
2
)
∪
(
2
,
3
)
∪
(
3
,
∞
)

{\displaystyle (-\infty ,2)\cup (2,3)\cup (3,\infty )}

Graficando la función se puede confirmar que fuera de los valores de

# x
2

{\displaystyle x = 2 }

 y

# x
3

{\displaystyle x = 3}

 no hay otra interrupción n los valores de

x

{\displaystyle x}
3.2.43

Δ
t

{\displaystyle {\Delta f} \over \Delta t}

y los tres pasos vistos en clase para determinar la “formula de la derivada” de las siguientes funciones.

a)

f
(
t
# )

1

1
−
t

{\displaystyle f(t)={1 \over 1-t}}

f
′

(
t
)
≈

Δ
f

Δ
t

=

f
(
t
Δ
t
)
−
f
(
t
)

Δ
t

=

1

(
1
−
t
Δ
t
)

−

1

1
−
t

Δ
t

{\displaystyle f'(t)\approx {\Delta f \over \Delta t}={f(t+\Delta t)-f(t) \over \Delta t}={{1 \over (1-t+\Delta t)}-{1 \over 1-t} \over \Delta t}}

 =

1

1
−
t
−
Δ

−

1

1
−
t

Δ
t

=

(
1
−
t
)
−
(
1
−
t
−
Δ
t
)

(
1
−
t
−
Δ
t
)
(
1
−
t
)

Δ
t

{\displaystyle {{{1 \over 1-t-\Delta }-{1 \over 1-t}} \over {\Delta t}}={{{(1-t)-(1-t-\Delta t)} \over (1-t-\Delta t)(1-t)} \over \Delta t}}

 =

Δ
t

(
1
−
t
−
Δ
t
)
(
1
−
t
)

Δ
t

1

=

Δ
t

Δ
t
(
1
−
t
−
Δ
t
)
(
1
−
t
)

{\displaystyle {{{\Delta t \over (1-t-\Delta t)(1-t)} \over \Delta t} \over 1}={{\Delta t} \over \Delta t(1-t-\Delta t)(1-t)}}

1

(
1
−
t
−
Δ
t
)
(
1
−
t
)

=

1

(
1
−
t
)
(
1
−
t
)

=

1

(
1
−
t

)

2

{\displaystyle {1 \over (1-t-\Delta t)(1-t)}={1 \over (1-t)(1-t)}={1 \over (1-t)^{2}}}
4.3.74

Derive la función:

a)

f
(
u
# )

56

u
2

−
5
c
o
s
(
u
)

9
u

{\displaystyle f(u) = \frac{56u^2 - 5cos(u)}{9u}}

f
(
u
# )

56

u
2

−
5
c
o
s
(
u
)

9
u

=

56

u
2

9
u

−

5
c
o
s
(
u
)

9
u

=

56
u

9

−

5
c
o
s
(
u
)

9
u

{\displaystyle f(u) = \frac{56u^2 - 5cos(u)}{9u} = \frac{56u^2}{9u} - \frac{5cos(u)}{9u} = \frac{56u}{9}-\frac{5cos(u)}{9u}
}

a
(
u
# )

56
u

9

,
b
(
u
# )

5
c
o
s
(
u
)

9
u

{\displaystyle a(u)=\frac{56u}{9} , b(u) = \frac{5cos(u)}{9u}}

f
(
u
# )
a
(
u
)
−
b
(
u
)

{\displaystyle f(u) = a(u)-b(u)}

f
′

(
u
# )

a
′

(
u
)
−

b
′

(
u
)

{\displaystyle f'(u) = a'(u)-b'(u)}

a
(
u
# )

56
u

9

=

56
9

u

{\displaystyle a(u)=\frac{56u}{9}=\frac{56}{9}u}

a
′

(
u
# )
(

56
9

u

)
′

=

56
9

u
′

=

56
9

×
# 1

56
9

{\displaystyle a'(u)= (\frac{56}{9}u)'=\frac{56}{9}u'=\frac{56}{9}\times1=\frac{56}{9}}

b
(
u
# )

5
c
o
s
(
u
)

9
u

=
b
(
u
# )
5
c
o
s
(
u
)
÷

9
u

=
c
(
u
)
÷
d
(
u
)

{\displaystyle b(u)=\frac{5cos(u)}{9u}=
b(u)=5cos(u)\div{9u} = c(u)\div d(u)}

c
(
u
# )
5
c
o
s
(
u
)

{\displaystyle c(u)= 5cos(u)}

c
′

(
u
# )
−
5
s
e
n
(
u
)

{\displaystyle c'(u)= -5sen(u)}

d
(
u
# )
9
u

{\displaystyle d(u) = 9u}

d
′

(
u
# )
9

{\displaystyle d'(u)=9}

b
′

(
u
# )

c
′

(
u
)
d
(
u
)
−
c
(
u
)

d
′

(
u
)

(
d
(
u
)

)
2

=

−
5
s
e
n
(
u
)
9
u
−
5
c
o
s
(
u
)
9

(
9
u

)
2

=

(
−
5
s
e
n
(
u
)
9
u
)
−
(
5
c
o
s
(
u
)
9
)

9
2

u
2

=

−
5
s
e
n
(
u
)
−

5
c
o
s
(
u
)

u

9
u

=

−
5
s
e
n
(
u
)

9
u

−

5
c
o
s
(
u
)

9

u
2

{\displaystyle b'(u) = \frac{c'(u)d(u) - c(u)d'(u)}{(d(u))^2} =
\frac{-5sen(u)9u - 5cos(u)9}{ (9u)^2 } =
\frac{ (-5sen(u)9u) - (5cos(u)9) }{ 9^2u^2 } =
\frac{ -5sen(u) - \frac{5cos(u)}{u} }{ 9u } =
\frac{-5sen(u)}{9u} - \frac{5cos(u)}{9u^2} }

f
′

(
u
# )

a
′

(
u
)
−

b
′

(
u
# )

56
9

−
(
−

5
s
e
n
(
u
)

9
u

−

5
c
o
s
(
u
)

9

u
2

# )

56
9

5
s
e
n
(
u
)

9
u

5
c
o
s
(
u
)

9

u
2

)

{\displaystyle f'(u)=
a'(u)-b'(u)=
\frac{56}{9}-(-\frac{5sen(u)}{9u} - \frac{5cos(u)}{9u^2})=
\frac{56}{9} + \frac{5sen(u)}{9u} + \frac{5cos(u)}{9u^2}) }

b)

f
(
x
# )

tan
⁡
(
x
)
−

x
2

x
2

7

{\displaystyle f(x) = \frac{\tan (x) - x^2}{x^2 + 7}}
4.7.89

Una tasa de café se enfría con una razón que depende de la diferencia de temperatura con el ambiente.

F
′

(
t
# )
k
F
(
t
)

{\displaystyle F'(t)=kF(t)}

 donde F es la diferencia de temperatura (en grados Fahrenheit) y t es el tiempo en minutos. Sabiendo que t=-0.22 y que la diferencia inicial es de 80 grado. ¿Cuál es la diferencia de temperatura de la tasa con el ambiente después de 20 minutos?

Sabemos 3 cosas:

F
′

(
t
# )
k
F
(
t
)

{\displaystyle F'(t)=kF(t)}

, k=-0.22 y que la diferencia inicial es de 80 grados. Es importante notar que en la fórmula que se nos da F'(t) es igual a su antiderivada por una constante. Por esto podemos deducir que F(t) está en forma de

e
x

{\displaystyle e^x}

dada sus propiedades únicas cuando es derivada. También podemos deducir que x = -0.22 dado que la derivada de F debe tener una k multiplicando y esto se consigue por la regla de la cadena. Entonces tenemos:

F
(
t
# )

e

−
0.22
t

{\displaystyle F(t)=e^{-0.22t}}

, F(t) es la diferencia de temperatura y la diferencia inicial, en t=0, es de 80 grados, entonces

F
(
t
# )
80

e

−
0.22
t

{\displaystyle F(t)=80e^{-0.22t}}

.

F
′

(
t
# )
k
F
(
t
)
→

F
′

(
t
# )
−
0.22
(
80

e

−
0.22
t

)
→
80

e

−
0.22

∗
−
# 0.22
−
0.22
(
80

e

−
0.22
t

)

{\displaystyle F'(t)=kF(t)\to F'(t)=-0.22(80e^{-0.22t})\to 80e^{-0.22}\*-0.22=-0.22(80e^{-0.22t})}

Y derivando podemos verificar que ambos lados son iguales.

Ahora encontremos F(20):

F
(
20
# )
80

e

−
0.22
∗
20

=
.982187

g
r
a
d
o
s

F
a
h
r
e
n
h
e
i
t

{\displaystyle F(20)=80e^{-0.22\*20}=.982187\;grados\;Fahrenheit}
1.1.7

Se sabe que el trino de ciertas especies de grillos esta relacionado con la temperatura, esta relación aparenta
ser lineal. Un grillo trina 120 veces por minuto a 70°F y 168 veces por minuto a 80°F

(a) Encuentre la función lineal que relacione la temperatura t con el número de trínos por minuto n.

(b) Si un grillo trina 150 veces por minuto estime la temperatura del ambiente.

Primero calcularemos la pendiente que tendrá la función. Para esto tendremos los puntos (70,120) y (80,168)

# m

y
2

−

y
1

x
2

−

y
1

{\displaystyle m=\frac{y\_2 - y\_1}{x\_2 - y\_1}}

Al cambiar los valores en la formula nos quedaría así:

# m

168
−
120

80
−
70

=
4.8

{\displaystyle m=\frac{168 - 120}{80 - 70} = 4.8}

(a)Ahora conseguiremos la ecuación para los trinos por minuto.

# m

n
−

n
1

t
−

t
1

{\displaystyle m=\frac{n\_ - n\_1}{t - t\_1}}

Entonces lo que haremos sera remplazar los valores:

# 4.8

n
−

120

t
−
70

=

{\displaystyle 4.8=\frac{n\_ - 120}{t - 70}= }

# n
4.8
t
−
216

{\displaystyle n=4.8t-216}

(b) Para n=150

# 150
4.8
t
−
216

{\displaystyle 150=4.8t-216}

# t
76.25

{\displaystyle t=76.25}

Entonces las respuestas de los incisos serian:

(a)

# n
4.8
t
−
216

{\displaystyle n=4.8t-216}

(b)

# t
76.25

{\displaystyle t=76.25}
4.3.72

# g
4

{\displaystyle g = 4}

△
# g
.1

{\displaystyle \vartriangle g = .1}

# f
3

{\displaystyle f = 3}

△
# f
.25

{\displaystyle \vartriangle f = .25}

△
# h
4
(
.25
)
3
(
.1
)
(
.25
)
(
.1
)

{\displaystyle \vartriangle h = 4 (.25) + 3 (.1) + (.25)(.1)}

△
# h
1
.3
.025

{\displaystyle \vartriangle h = 1 + .3 + .025}

△
# h
1.325

{\displaystyle \vartriangle h = 1.325}
3.6.58(A)

Aproxime las siguientes integrales con unas sumas de Riemman (en el libro le llaman sumas de Euler) con

∆t = 1/2 y ∆t = 1/4. Luego determine exactamente el valor de la integral usando geometría (tip grafiqué

las funciones). Por último use Maple (o cualquier otra cosa computacional) para aproximar las integrales con

∆t = 1/100 y comparé sus resultados.

a)

∫

−
2

3

(
4
−
4
t
)
d
t

{\displaystyle \int \limits \_{-2}^{3}(4-4t)dt}

Primero vemos la parte geométrica de la función graficándola.

Al graficarla nos damos cuenta que podemos obtener el área utilizando 2 triángulos separados entonces lo calculamos.

El primer triangulo tiene de altura 12 y base 3 entonces

12
∗
3

2

=
18

{\displaystyle {\frac {12\*3}{2}}=18}

 es el área de ese triángulo .

El segundo va de 1 a 3 entonces tiene base 2 y altura 8 entonces

8
∗
2

2

=
8

{\displaystyle {\frac {8\*2}{2}}=8}

 es el área del segundo triángulo.

y si restamos el área de arriba menos la de abajo nos da 10.

Para hacer la suma de Euler de ∆t = 1/2 tenemos que hacer la operación :

(
f
(
−
2
)
∗
.5
)
(
f
(
−
1.5
)
∗
.5
)
(
f
(
−
1
)
∗
.5
)
(
f
(
−
.5
)
∗
.5
)

{\displaystyle (f(-2)\*.5)+(f(-1.5)\*.5)+(f(-1)\*.5)+(f(-.5)\*.5)+}

(
f
(
0
)
∗
.5
)
(
f
(
.5
)
∗
.5
)
(
f
(
1
)
∗
.5
)
(
f
(
1.5
)
∗
.5
)
(
f
(
2
)
∗
.5
)
(
f
(
2.5
)
∗
.5
)

{\displaystyle (f(0)\*.5)+(f(.5)\*.5)+(f(1)\*.5)+(f(1.5)\*.5)+(f(2)\*.5)+(f(2.5)\*.5)}

=
.5
∗
(
12
10
8
6
4
2
0
−
2
−
4
−
6
# )
30
∗
# .5
15

{\displaystyle =.5\*(12+10+8+6+4+2+0-2-4-6)=30\*.5=15}

para ∆t = 1/4 la operación final es:

.25
∗
(
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
−
1
−
2
−
3
−
4
−
5
−
6
−
7
)

{\displaystyle .25\*(12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1+0-1-2-3-4-5-6-7)}

= 50 \* .25 = 12.5

para ∆t = 1/100 tenemos usando código:
4.4.76

Los miembros de la Sociedad Matemática siempre se reparten el costo del picnic anual. Actualmente, el costo del picnic es de $1,100 dólares y la Sociedad tiene 90 miembros. El costo incrementa a una tasa de $100 dólares/año , y la Sociedad incrementa por 8 miembros cada año. ¿Cuál es la tasa de cambio de cuánto tiene que pagar cada miembro cada año?

f
(
x
# )

1100
100
x

90
8
x

{\displaystyle f(x)={\frac {1100+100x}{90+8x}}}

, esta es la fórmula que representa cuanto tiene que pagar cada miembro cada año, y su derivada nos dirá la tasa de cambio de cuánto tiene que pagar cada miembro al año, entonces la derivamos:

d

d
x

f
(
x
# )

100
(
90
8
x
)
−
8
(
1100
100
x
)

(
90
8
x

)

2

=

200

(
90
8
x

)

2

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)={\frac {100(90+8x)-8(1100+100x)}{(90+8x)^{2}}}={\frac {200}{(90+8x)^{2}}}}
4.1.61(b)

Determinar si el límite existe y cuál es su valor:

lim

x
→
0

f
(
x
)

{\displaystyle \lim \_{x\to 0}f(x)}

Si analizamos la gráfica nos damos cuenta que cuando

# x
0

{\displaystyle x = 0}

entonces

# y
2

{\displaystyle y=2}

Como sabemos por la definición de límite, no podemos considerar el valor exacto de

x

{\displaystyle x}

pero sí podemos determinar el límite evaluándolo por la derecha y por la izquierda obteniedo que por ambos lados se aproxima a

2

{\displaystyle 2}

Por lo tanto el límite existe y

lim

x
→
0

f
(
x
# )
2

{\displaystyle \lim \_{x\to 0}f(x)=2}
4.5.79

Cual es la formula de la velocidad en la componente vertical de el movimiento de la rueda de la fortuna de la

tarea 2a (1). (Es decir la razón de cambio instantánea de su altura con respecto al tiempo. Y calcule dicha

velocidad en los tiempos t = 0, 5, 10, 15 e interprete estos resultados.

Tenemos la función:

h
(
t
# )
15
s
e
n
(

π
t

10

−

π
2

)
15

{\displaystyle h(t)=15sen({\frac {\pi t}{10}}-{\frac {\pi }{2}})+15}

Usando la regla de la cadena sacamos la derivada.

h
′

(
t
# )
15
c
o
s
(

π
t

10

−

π
2

)

π
10

{\displaystyle h'(t)=15cos({\frac {\pi t}{10}}-{\frac {\pi }{2}}){\frac {\pi }{10}}}

calculamos:

h
′

(
0
# )
0

{\displaystyle h'(0)=0}

h
′

(
5
# )

3
π

2

{\displaystyle h'(5)={\frac {3\pi }{2}}}

h
′

(
10
# )
0

{\displaystyle h'(10)=0}

h
′

(
15
# )

−
3
π

2

{\displaystyle h'(15)={\frac {-3\pi }{2}}}

La interpretación es que ya que h' nos da la velocidad de la altura en el momento de t, en el momento 0 y 10 es 0 pues llega a su punto máximo y mínimo de altura por lo que ya no tiene velocidad ni hacia arriba ni abajo en esos momentos, en el 5 la velocidad hacia arriba es positiva pues va subiendo y en el lado exactamente opuesto tiene la misma velocidad pero hacia abajo y por eso es negativa.
3.6.58(B)

Aproxime las siguientes integrales con unas sumas de Riemman (en el libro le llaman sumas de Euler) con

∆t = 1/2 y ∆t = 1/4. Luego determine exactamente el valor de la integral usando geometría (tip grafiqué

las funciones). Por último use Maple (o cualquier otra cosa computacional) para aproximar las integrales con

∆t = 1/100 y comparé sus resultados

b)

∫

−
1

1

(

1
−

t

2

−
2
)
d
t

{\textstyle \int \limits \_{-1}^{1}({\sqrt {1-t^{2}}}-2)dt}

Lo primero que haremos es graficar la función, esto gracias a GeoGebra, tomaremos cada 0.5 cm un punto, después mas adelante tomaremos cada 0.25 y evaluaremos sus valores en x en la función como t.

Con los puntos cada 0.5 cm tomaremos los valores en x para la función y después lo multiplicaremos por 0.5 y los sumaremos, esto nos dará una aproximación

(
f
(
−
1
)
∗
.5
)
(
f
(
−
.5
)
∗
.5
)
(
f
(
0
)
∗
.5
)
(
f
(
.5
)
∗
.5
)
(
f
(
1
)
∗
.5
)

{\displaystyle (f(-1)\*.5)+(f(-.5)\*.5)+(f(0)\*.5)+(f(.5)\*.5)+(f(1)\*.5)}

=
.5
∗
(
(
−
2
)
(
−
1.13
)
(
−
1
)
(
−
1.13
)
(
−
2
)
# )
−
7.26
∗
# .5
−
3.63

{\displaystyle =.5\*((-2)+(-1.13)+(-1)+(-1.13)+(-2))=-7.26\*.5=-3.63}

Ahora se hará lo mismo pero con un punto cada 0.25 cm para mejorar la aproximación todavía más.

(
f
(
−
1
)
∗
.25
)
(
f
(
−
.75
)
∗
.25
)
(
f
(
−
.5
)
∗
.25
)
(
f
(
−
.25
)
∗
.25
)
(
f
(
0
)
∗
.25
)
(
f
(
.25
)
∗
.25
)
(
f
(
−
.25
)
∗
.25
)
(
f
(
.75
)
∗
.25
)
(
f
(
1
)
∗
.25
)

{\displaystyle (f(-1)\*.25)+(f(-.75)\*.25)+(f(-.5)\*.25)+(f(-.25)\*.25)+(f(0)\*.25)+(f(.25)\*.25)+(f(-.25)\*.25)+(f(.75)\*.25)+(f(1)\*.25)}

=
.25
∗
(
(
−
2
)
(
−
1.34
)
(
−
1.13
)
(
−
1.03
)
(
−
1
)
(
−
1.03
)
(
−
1.13
)
(
−
1.34
)
(
−
2
)
# )

{\displaystyle =.25\*((-2)+(-1.34)+(-1.13)+(-1.03)+(-1)+(-1.03)+(-1.13)+(-1.34)+(-2))=}

−
12
∗
# .25
−
3

{\displaystyle -12\*.25=-3}

Ahora calcularemos el valor de la integral con geometría sobre la gráfica, lo que haremos será formar un cuadrado el cual abarque la función, después de esto calcularemos el área dentro que encierra la función, para esto será que la tomaremos como un medio circulo, así que después de tener ambas restaremos el valor del área del semicírculo al cuadrado que formamos.

Quedaría como:

l
∗
l

{\displaystyle l\*l}

 para el área del cuadrado.

π
∗

r

2

2

{\displaystyle {\frac {\pi \*r^{2}}{2}}}

 para el área del semicírculo

(
l
∗
l
)
−
(

π
∗

r

2

2

)

{\displaystyle (l\*l)-({\frac {\pi \*r^{2}}{2}})}

 Para una aproximación del valor de la integral

Entonces con los valores correspondientes sería:

2
∗
# 2
4

{\displaystyle 2\*2=4}

3.1416
∗

1

2

2

=
1.5708

{\displaystyle {\frac {3.1416\*1^{2}}{2}}=1.5708}

(
2
∗
2
)
−
(

1
∗

r

2

2

# )
4
−
# 1.5708
2.4292

{\displaystyle (2\*2)-({\frac {1\*r^{2}}{2}})=4-1.5708=2.4292}

Entonces el valor aproximado que conseguimos por este método seria 2.4292, pero al estar del lado negativo de las y entonces quedaría con signo negativo, así que seria -2.4292

Ahora lo que haremos 0.01 cm para mejorar mas la aproximación, con esto nos apoyaremos de GeoGebra para calcularlo.

Ahora se ha mejorado todavía mas la aproximación que las ultimas dos gráficas y además se parecen mas entre el área que sacamos anteriormente.
.
6.10.108

La integral definida

∫

0

π
6

c
o
s
(
3
x
)
d
x

{\displaystyle \int \_{0}^{\frac {\pi }{6}}cos(3x)dx}

representa un área y un cambio total.

[
0
,

π
6

]
,

{\displaystyle [0,{\frac {\pi }{6}}],}

eso nos detona el área bajo la curva como se muestra abajo.

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}

tal que

c
o
s
(
3
x
)

{\displaystyle cos(3x)}

es la derivada de dicha función. para calcular esto simplemente tenemos que hacer la antiderivada, o integral indefinida, de

c
o
s
(
3
x
)

{\displaystyle cos(3x)}

:

∫
c
o
s
(
3
x
)
d
# x
s
e
n
(
3
x
)

{\displaystyle \int cos(3x)dx=sen(3x)}

.

Y el intervalo en el que se aplica esta función es

[
0
,

1
2

]

{\displaystyle [0,{\frac {1}{2}}]}
6.8.93

Analiza la funcion

sin
⁡
x

{\displaystyle \sin x}

 para determinar lo siguiente:

a. ¿Esta función tiene inversa en todo su dominio?

Una función sólo tiene inversa si es biyectiva. La función seno no es biyectiva por lo tanto no tiene inversa a menos que restrinjamos el rango.

b. Determina el dominio en el cual se puede invertir

Tenemos que restringir el rango para hacer que lo sea invertible. Generalmente el rango se toma desde

−
π

/

2
,
π

/

2

{\displaystyle -\pi /2,\pi /2}

 pero también podría tomarse de otros lugares

c. Describe la gráfica, el dominio y el rango de la función inversa

Debido a que en la inversa se invierte el dominio y el rango, tiene dominio de -1 a 1 y rango de

−
π

/

2

 a

π

/

2

{\displaystyle -\pi /2{\text{ a }}\pi /2}

d. Calcular la derivada de la función inversa

El Teorema de la Función Inversa dice:

(

f

−
1

(
y
)

)
′

=

1

f
′

(

f

−
1

(
y
)
)

{\displaystyle (f^{-1}(y))'={\frac {1}{f'(f^{-1}(y))}}}

Por definición de función Inversa tenemos:

f

−
1

(
y
# )
x
↔
f
(
x
# )
y

{\displaystyle f^{-1}(y)=x\leftrightarrow f(x)=y}

Entonces tenemos

(

f

−
1

(
y
)

)
′

→

1

f
′

(
x
)

=

1

(
sin
⁡
x

)
′

=

1

cos
⁡
x

{\displaystyle (f^{-1}(y))'\to {\frac {1}{f'(x)}}={\frac {1}{(\sin x)'}}={\frac {1}{\cos x}}}

Pero queremos la función en términos de y. Sabemos que

# 1

sin

2

⁡
x

cos

2

⁡
x

{\displaystyle 1=\sin ^{2}x+\cos ^{2}x}

, entonces:

→

1

1
−
s
i

n

2

x

=

1

1
−

y

2

{\displaystyle \to {\frac {1}{\sqrt {1-sin^{2}x}}}={\frac {1}{\sqrt {1-y^{2}}}}}
1.1.12

Encuentra una ecuación para la línea cuya gráfica se dibuja.

Lo primero que haremos es calcular la pendiente con su respectiva formula al tomar dos puntos de la recta.

# m

y
2

−

y
1

x
2

−

y
1

{\displaystyle m=\frac{y\_2 - y\_1}{x\_2 - y\_1}}

Entonces tomaremos los puntos (-2,0) y (0,4) como

x
1

{\displaystyle x\_1}

 y

x
2

{\displaystyle x\_2}

Así que quedaría de esta manera al remplazar los valores en la formula dada:

# m

4
−
0

0
−
(
−
2
)

=

4
2

=
2

{\displaystyle m={\frac {4-0}{0-(-2)}}={\frac {4}{2}}=2}

Si usamos la pendiente, y los puntos trazados podemos llegar a la siguiente ecuación y con ella la gráfica:

# m
2
,
(

x

0

,

y

0

# )
(
0
,
4
)

{\displaystyle m=2,(x\_{0},y\_{0})=(0,4)}

y
−
# 4
2
(
x
−
0
)

{\displaystyle y-4=2(x-0)}

y
−
# 4
2
x

{\displaystyle y-4=2x}

2
x
−
y
# 4
0

{\displaystyle 2x-y+4=0}

Si graficamos la función obtenida podemos ver que es la misma grafica que se nos dio al empezar.
2.2.32 (16)

Dada la gráfica de f, haga un bosquejo de f'

Lo primero que vamos a hacer es encontrar los máximos y mínimos de la gráfica, y los marcaremos en el eje de las x, también se tomaran más puntos para hacerlo mas preciso, esto lo lograremos volviendo el punto intermedio entre el máximo y el mínimo de la gráfica el eje de las x, en este caso el 1 del eje de la y.

Ya teniendo esto marcado, esos serán los puntos en los cuales la grafica cruzara el eje de las x, ahora tomando lo anterior solamente tendremos que cambiar la orientación de la recta, eso quiere decir que si en la original aumentaba, en la derivada disminuirá, para un resultado más preciso solamente se tendrán que tomar mas puntos de la gráfica original, esto para que la derivada se aproxime más a la real.

Y Algo así quedaría la forma de la derivada de la función graficada.
7.3.102(a)

Encontrar la derivada indefinida de:

∫

x

ln
⁡

x

d
x

{\displaystyle \int {\sqrt {x}}\ln {x}\;dx}

∫
u

d
# v
u
v
−
∫
v

d
u

{\displaystyle \int u\;dv=uv-\int v\;du}

Ahora asignamos valores a u y v:

# u
ln
⁡
x
,

# v

2

x

3

/

2

3

(

v
′

=

x

)

{\displaystyle u=\ln x,\;v={\frac {2x^{3/2}}{3}}(v'={\sqrt {x}})}

∫

x

ln
⁡
x

d
# x

2
3

x

3

/

2

ln
⁡
x
−
∫

2
3

x

3

/

2

(

1
x

)

d
# x

2
3

x

3

/

2

ln
⁡
x
−

2
3

∫

x

d
x

{\displaystyle \int {\sqrt {x}}\ln x\;dx={\frac {2}{3}}x^{3/2}\ln x-\int {\frac {2}{3}}x^{3/2}({\frac {1}{x}})\;dx={\frac {2}{3}}x^{3/2}\ln x-{\frac {2}{3}}\int {\sqrt {x}}\;dx}

=

2
3

x

3

/

2

ln
⁡
x
−
(

2
3

)

2
3

x

3

/

2

# C

2
3

x

3

/

2

(
ln
⁡
x
−

2
3

)
C

{\displaystyle ={\frac {2}{3}}x^{3/2}\ln x-({\frac {2}{3}}){\frac {2}{3}}x^{3/2}+C={\frac {2}{3}}x^{3/2}(\ln x-{\frac {2}{3}})+C}
Maiyosauze

hi
--

## giga fart

maiyo is blonde and really thats all i know about him

## other names

* maiyo
* mayo
* makyo
* makayla
* makyosauze
* mayo sauce

mayo open casket funeral

## maiyos singing

often times maiyo is singing, hes singing about shitting, yeah yeah, noo noo, poo eyes, lobster chocolate, hamilton songs, any theatre songs, you name it hes singing it. Related: [./https://lazarakis.fandom.com/wiki/Jayevrd evans mic], [./https://lazarakis.fandom.com/wiki/Capsquid caps background noise]
3.3.50

Determine la derivada de

f
(
x
# )

x
3

{\displaystyle f(x)=x^3}

por medio de

Δ
f

Δ
x

{\displaystyle {\frac {\Delta f}{\Delta x}}}

 y después con ayuda de su expresión encuentre la ecuación de la recta tangente en

# x
−
2

{\displaystyle x=-2}

, y

# x
0

{\displaystyle x = 0}

.

Sabemos que la razón de correspondencia de la función es

x
3

{\displaystyle x^3}

, así que al aplicar la aproximación de la derivada, obtenemos:

f
(
x
# )

x
3

{\displaystyle f(x)=x^3}

f
′

(
x
)
≈

Δ
f

Δ
x

=

f
(
x
Δ
x
)
−
f
(
x
)

Δ
x

{\displaystyle f'(x)\approx {\frac {\Delta f}{\Delta x}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}}

f
(
x
Δ
x
)
−
f
(
x
)

Δ
x

=

(
x
Δ
x

)

3

−
(
x

)

3

Δ
x

=
3

x

2

3
x
Δ
x
(
Δ
x

)

2

{\displaystyle {\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}={\frac {(x+\Delta x)^{3}-(x)^{3}}{\Delta x}}=3x^{2}+3x\Delta x+(\Delta x)^{2}}

Por intuición, y en búsqueda de la mayor precisión posible, suponemos que

Δ
x
≈
0

{\displaystyle \Delta x\approx 0}

,

3
x
Δ
x
(
Δ
x

)

2

{\displaystyle 3x\Delta x+(\Delta x)^{2}}

se vuelve irrelevante, con lo que finalmente obtenemos que:

f
′

(
x
# )
3

x

2

{\displaystyle f'(x)=3x^{2}}

La ecuación de la recta es:

# y
m
x
b

{\displaystyle y=mx+b}

La recta Tangente es aquella línea recta que pasa por un punto específico de la función, con la misma pendiente que posee ese mismo punto. Así, la ecuación de la recta tangente es:

# y
m
x
b
≡
(
(

f
′

(
a
)
)
(
x
−
a
)
)
f
(
a
)

{\displaystyle y=mx+b\equiv ((f'(a))(x-a))+f(a)}

.

Ecuación de la recta tangente en

# t
−
2

{\displaystyle t = -2}

:

f
′

(
−
2
# )
3
(
−
2

)

2

=
3
(
4
# )
12

{\displaystyle f'(-2)=3(-2)^{2}=3(4)=12}

Recta tangente:

y

=
(
(

f
′

(
a
)
)
(
x
−
a
)
)
f
(
a
# )
(
12
)
(
x
−
(
−
2
)
)
(
−

2

3

# )

=
12
(
x
2
)
(
−
8
# )
12
x
24
−
# 8
12
x
16

{\displaystyle {\begin{aligned}y&=((f'(a))(x-a))+f(a)=(12)(x-(-2))+(-2^{3})=\\&=12(x+2)+(-8)=12x+24-8=12x+16\end{aligned}}}

Ecuación de la recta tangente en

# t
0

{\displaystyle t=0}

:

f
′

(
0
# )
3
(
0

)

2

=
3
(
0
# )
0

{\displaystyle f'(0)=3(0)^{2}=3(0)=0}

Recta tangente:

# y
(
(

f
′

(
a
)
)
(
x
−
a
)
)
f
(
a
# )
(
0
)
(
x
−
(
0
)
)
(
0
# )
0
(
0
)
(
0
# )
0
# 0
0

{\displaystyle y=((f'(a))(x-a))+f(a)=(0)(x-(0))+(0)=0(0)+(0)=0+0=0}
1.1.4

**4. Una autopista tiene un declive de 6% (lo cual se traduce a una pendiente de −6/100 desde luego). Resulta que se tiene un altímetro que marca que se descendió 1000 pies. ¿Cuánto se habrá avanzado horizontalmente?**

Para sacar el resultado deseado lo que se hizo fue sacar por regla de 3 los valores que tendría al descender los *1000* pies, primero graficamos con los valores de *−6/100*, la cual sería la siguiente:

Luego de esto hay dos formas de sacar el resultado, el primero seria solamente revisar en que punto de la grafica alcanzaría el -*1000*, pero en dado caso de que no se tuviera la graficadora, se podría hacer lo siguiente.

Primero al saber que la caída seria de tan solo el 6% de la distancia total recorrida, quiere decir que los 1000 pies que decayó la autopista se transformaría en el 6% de la distancia total.

Así que para sacar la distancia recorrida horizontalmente se tendría que dividir los *1000* pies entre *6*, esto para sacar el valor del *1*% del recorrido, el resultado de esto es *166.666*..., así que ya teniendo ese valor solamente tendría que multiplicar por *100* para conseguir el recorrido horizontal, lo cual sería *16,666.666*. Así que la respuesta a la pregunta de cuanta distancia recorrió horizontalmente seria de *16,666.666* pies.

Al comprobarlo con la grafica, se llego a un mismo resultado.

Valores de los puntos:

A: (0,0)

B: (100,-6)

C: (1000, -60)

D: (16.666,-1000)

Tabla de 3
 1000 pies
 *16,666.666* pies
4.3.73

73-. El año pasado, la Sociedad Matemática uso 1000 lápices por persona, hay 90 miembros activos en la sociedad, y esta crece a una razón de 8 miembros por año. El precio de un lápiz es de 25 centavos. Debido a un descuento por la Ley del Consumidor, el precio del lápiz disminuye 1.75 centavos por año. ¿A qué razón cambia la cantidad de dinero gastado en lápices por año?

# f

{\displaystyle f = }

Cantidad total de lápices que usan los miembros de la sociedad en ese año:

# f
90
(
1000
)

{\displaystyle f=90(1000)}

Δ
# f

{\displaystyle \Delta f=}

Aumento del uso de lápices por los nuevos miembros al año:

Δ
# f
8
(
1000
)

{\displaystyle \Delta f=8(1000)}

# g

{\displaystyle g=}

Valor de un lápiz en dólares de ese año:

# g
0.25

{\displaystyle g=0.25}

Δ
# g

{\displaystyle \Delta g=}

Valor que aumenta el precio del lápiz cada año:

Δ
# g
0.0175

{\displaystyle \Delta g=0.0175}

Δ
# h

{\displaystyle \Delta h=}

 Aumento de la cantidad de dinero gastado en lápices al año:

Δ
# h
0.25
(
8
(
1000
)
)
0.0175
(
90
(
1000
)
)
0.0175
(
8
(
1000
)
)

{\displaystyle \Delta h=0.25(8(1000))+0.0175(90(1000))+0.0175(8(1000))}

Δ
# h
0.25
(
8000
)
0.0175
(
90000
)
0.0175
(
8000
)

{\displaystyle \Delta h=0.25(8000)+0.0175(90000)+0.0175(8000)}

Δ
# h
2000
1575
140

{\displaystyle \Delta h=2000+1575+140}

Δ
# h
3715

{\displaystyle \Delta h=3715}

 **dólares por año aumenta el gasto de lápices**
7.3.102(c)

102-. Resuelva la siguiente integral:

∫

x
2

cos
⁡
(
x
)
d
x

{\displaystyle \int x^2 \cos(x) dx }

Usando

∫
u

v
′

d
# x
u
v
−
∫

u
′

v
d
x

{\displaystyle \int uv'dx= uv - \int u'vdx}

:

Donde:

# u

x
2

u
′

=
2
x

{\displaystyle u = x^2\ \ u' = 2x }

v
′

=
cos
⁡
x

# v
sen
⁡
x

{\displaystyle v'=\cos x\ \ v=\operatorname {sen} x}

∫

x

2

cos
⁡
(
x
)
d
# x

x

2

sen
⁡
(
x
)
−
∫
2
x
sen
⁡
(
x
)
d
x

{\displaystyle \int x^{2}\cos(x)dx=x^{2}\operatorname {sen}(x)-\int 2x\operatorname {sen}(x)dx}

∫

x

2

cos
⁡
(
x
)
d
# x

x

2

sen
⁡
(
x
)
−
2
∫
x
sen
⁡
(
x
)
d
x

{\displaystyle \int x^{2}\cos(x)dx=x^{2}\operatorname {sen}(x)-2\int x\operatorname {sen}(x)dx}

Tenemos que resolver

∫
x
s
e
n
(
x
)
d
x

{\displaystyle \int x sen(x)dx}

usando otra vez

∫
u

v
′

d
# x
u
v
−
∫

u
′

v
d
x

{\displaystyle \int uv'dx= uv - \int u'vdx}

Donde:

# u
x

u
′

=
1

{\displaystyle u = x\ \ u' = 1 }

v
′

=
sen
⁡
x

# v
−
cos
⁡
x

{\displaystyle v'=\operatorname {sen} x\ \ v=-\cos x}

∫
x
sen
⁡
(
x
)
d
# x
−
x
cos
⁡
(
x
)
−
∫
1
(
−
cos
⁡
(
x
)
)
d
x

{\displaystyle \int x\operatorname {sen}(x)dx=-x\cos(x)-\int 1(-\cos(x))dx}

∫
x
sen
⁡
(
x
)
d
# x
−
x
cos
⁡
(
x
)
∫
cos
⁡
(
x
)
d
x

{\displaystyle \int x\operatorname {sen}(x)dx=-x\cos(x)+\int \cos(x)dx}

∫
x
sen
⁡
(
x
)
d
# x
sen
⁡
(
x
)
−
x
cos
⁡
(
x
)

{\displaystyle \int x\operatorname {sen}(x)dx=\operatorname {sen}(x)-x\cos(x)}

Ahora sustituimos en la primera integral:

∫

x

2

cos
⁡
(
x
)
d
# x

x

2

sen
⁡
(
x
)
−
2
(
sen
⁡
(
x
)
−
x
cos
⁡
(
x
)
)

{\displaystyle \int x^{2}\cos(x)dx=x^{2}\operatorname {sen}(x)-2(\operatorname {sen}(x)-x\cos(x))}

x

2

sen
⁡
(
x
)
−
2
sen
⁡
(
x
)
2
x
cos
⁡
(
x
)
C

{\displaystyle x^{2}\operatorname {sen}(x)-2\operatorname {sen}(x)+2x\cos(x)+C}

Comprobando la integral:
Прочный орешек

**Прочный орешек** - двадцать третья серия мультсериала.

## Сюжет

### Кратко

Пытаясь справиться со своим одиночеством, Харли Квинн отправляется в бар в башне Уэйна, где снова встречает Джокера, который работает барменом и по-прежнему не помнит своей прошлой жизни. На бар нападают бандиты, которые берут всех посетителей в заложники. Харли и Джокеру приходится сбегать будучи скованными вместе наручниками. Позже выясняется, что этот налёт был отвлекающим манёвром, чтобы Загадочник, который теперь работает в команде с Доктором Психо, мог выкрасть шлем управления разумом. Психо использует шлем, чтобы управлять парадемонами, которые до сих пор летают по городу, и создать вокруг башни Уэйна силовое поле. Он хочет отомстить Харли Квинн за не уважение к себе. Сбежать девушке помогает Сай Боргман, который жертвует собой, чтобы разрушить это силовое поле. Харли собирается вернуть в город «Лигу Справедливости», которая до сих пор заперта в какой-то из книг сказок. Джокер припоминает, что в каком-то из своих снов он видел эту книгу. Харли Квинн сбрасывает его в кислоту, чтобы вернуть старого Джокера.