אופרטורים וקטוריים

**האופרטורים הוקטוריים** גרדיאנט, דיברגנס וקרל (רוטור) הם פעולות מתמטיות ומהווים מעין הרחבה של גזירה עבור שדות סקלריים ווקטוריים.

## שדות סקלריים ושדות וקטוריים

### **שדות סקלריים**

שדה סקלרי הוא אובייקט מתמטי אשר מתאים מספר (סקלר) לכל נקודה במרחב, כלומר, פונקציה בשלושה מימדים

F
(
x
,
y
,
z
)

{\displaystyle F(x, y, z)}

. דוגמה אחת לכך היא טמפרטורה - במקרה הכללי לכל נקודה במרחב יכולה להיות טמפרטורה משלה כך שלא יהיה נכון לתאר את הטמפרטורה באמצעות מספר אחד

T

{\displaystyle T}

, אלא באמצעות פונקציה של המרחב

T
(
x
,
y
,
z
)

{\displaystyle T(x,y,z)}

 המתאימה לכל נקודה במרחב מספר המייצג את הטמפרטורה באותה נקודה. דוגמאות נוספות לשדות סקלריים יכולות להיות צפיפות מסה/מטען, לחץ, פוטנציאל ועוד.

### **שדות וקטוריים**

בניגוד לשדה סקלרי אשר מתאים סקלר לכל נקודה במרחב, שדה וקטורי

F
→

(
x
,
y
,
z
)

{\displaystyle {\vec {F}}(x,y,z)}

 מתאים לכל נקודה במרחב וקטור משלה. דוגמה לשדה כזה היא למשל שדה זרימה של נוזל או גז - ברגע מסויים, בכל נקודה במרחב יש לאוויר מהירות שונה. לכן, לא יהיה נכון לומר שלכל האוויר במרחב יש מהירות אחת

v
→

{\displaystyle \vec{v}}

, אלא יש להתאים לכל נקודה במרחב את המהירות של האוויר בנקודה הזו

v
→

(
x
,
y
,
z
)

{\displaystyle {\vec {v}}(x,y,z)}

. דוגמאות נוספות לשדות סקלריים יכולות להיות שדה חשמלי, שדה מגנטי, שדה כבידה ועוד.

על שדות אלו ניתן להגדיר אופרטורים, כלומר פעולות. האופרטורים שנגדיר יקבלו כקלט שדה אחד ויחזירו כפלט שדה אחר הקשור אל השדה הראשון. זאת בדומה לאופרטור הנגזרת, המקבל כקלט פונקציה אחת ומחזיר כפלט פונקציה אחרת (הנגזרת), אשר יש קשר הדוק בינה לבין הפונקציה המקורית.

## נָבְּלָה

לצורך הצגת האופרטורים, מקובל להגדיר את הסימון הבא:

∇
→

=

∂

∂
x

x
^

∂

∂
y

y
^

∂

∂
z

z
^

{\displaystyle {\vec {\nabla }}={\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {x}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\hat {y}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\hat {z}}}

היצור הזה נקרא נבלה (nabla), והוא מעין מקבילה תלת מימדית לנגזרת. זה סימון שיכול להראות קצת מוזר - הוא מכיל נגזרות חלקיות של שום דבר. זה מכיוון שהנבלה היא לא וקטור שעומד בפני עצמו - היא חסרת משמעות לבד. היא מקבלת משמעות רק בשילוב עם שדות סקלריים או וקטוריים, כפי שנראה מיד.

## גרדיאנט

הגרדיאנט (מַנְסֵק בעברית) הוא אופרטור אשר מקבל שדה סקלרי ומחזיר שדה וקטורי. הגרדיאנט של שדה סקלרי

f
(
x
,
y
,
z
)

{\displaystyle f(x,y,z)}

 מוגדר לפי:

∇
→

f
(
x
,
y
,
z
# )

(

∂

∂
x

x
^

∂

∂
y

y
^

∂

∂
z

z
^

)

f
(
x
,
y
,
z
# )

{\displaystyle {\vec {\nabla }}f(x,y,z)=\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {x}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\hat {y}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\hat {z}}\right)f(x,y,z)=}

=

∂
f
(
x
,
y
,
z
)

∂
x

x
^

∂
f
(
x
,
y
,
z
)

∂
y

y
^

∂
f
(
x
,
y
,
z
)

∂
z

z
^

{\displaystyle ={\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}{\hat {x}}+{\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial y}}{\hat {y}}+{\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial z}}{\hat {z}}}

לדוגמא, הגרדיאנט של השדה הסקלרי

f
(
x
,
y
,
z
# )
x

y

2

−
2
y
sin
⁡
z

{\displaystyle f(x,y,z)=xy^{2}-2y\sin z}

 יהיה:

∇
→

f
(
x
,
y
,
z
# )

{\displaystyle {\vec {\nabla }}f(x,y,z)=}

=

∂
(
x

y

2

−
2
y
sin
⁡
z
)

∂
x

x
^

∂
(
x

y

2

−
2
y
sin
⁡
z
)

∂
y

y
^

∂
(
x

y

2

−
2
y
sin
⁡
z
)

∂
z

z
^

=

{\displaystyle ={\frac {\partial (xy^{2}-2y\sin z)}{\partial x}}{\hat {x}}+{\frac {\partial (xy^{2}-2y\sin z)}{\partial y}}{\hat {y}}+{\frac {\partial (xy^{2}-2y\sin z)}{\partial z}}{\hat {z}}=}

=
(

y

2

)

x
^

(
2
x
y
−
2
sin
⁡
z
)

y
^

(
−
2
y
cos
⁡
z
)

z
^

=

{\displaystyle =(y^{2}){\hat {x}}+(2xy-2\sin z){\hat {y}}+(-2y\cos z){\hat {z}}=}

### **משמעות גיאומטרית**

ניתן להראות כי השדה הוקטורי שמתקבל מהגרדיאנט מצביע תמיד לכיוון בו השדה הסקלרי משתנה הכי מהר. למשל, אם ניקח את פני השטח של איזור הררי בתור שדה סקלרי דו מימדי (המתאים לכל נקודה במישור את גובה פני השטח באותה נקודה), הגרדיאנט ייתן שדה וקטורי אשר בכל נקודה מצביע לכיוון בו פני השטח מטפסים הכי הרבה (כלומר, בדיוק בכיוון ההפוך מהכיוון בו כדור המונח באותה נקודה היה מתגלגל). גודל הוקטור בכל נקודה הוא קצב השינוי של הפונקציה הסקלרית בכיוון זה.

דוגמה לשימוש בגרדיאנט היא בהגדרת האנרגיה הפוטנציאלית

U

{\displaystyle U}

 המושרה ע"י שדה כוח

F
→

{\displaystyle \vec F}

: על גופים תמיד פועל כוח אשר דוחף אותם לכיוון אנרגיה פוטנציאלית נמוכה יותר, כלומר, הכוח תמיד מכוון בדיוק בכיוון ההפוך מהגרדיאנט של האנרגיה הפוטנציאלית -

−

F
→

=

∇
→

U

{\displaystyle -{\vec {F}}={\vec {\nabla }}U}

.

## דיברגנס

הדיברגנס (מַסְעֵף בעברית) הוא אופרטור אשר מקבל שדה וקטורי ומחזיר שדה סקלרי. הדיברגנס של שדה וקטורי

F
→

(
x
,
y
,
z
)

{\displaystyle {\vec {F}}(x,y,z)}

 מוגדר לפי:

∇
→

⋅

F
→

(
x
,
y
,
z
# )

(

∂

∂
x

x
^

∂

∂
y

y
^

∂

∂
z

z
^

)

⋅

(

F

x

x
^

F

z

z
^

F

z

z
^

)

=

{\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {F}}(x,y,z)=\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {x}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\hat {y}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\hat {z}}\right)\cdot \left(F\_{x}{\hat {x}}+F\_{z}{\hat {z}}+F\_{z}{\hat {z}}\right)=}

=

∂

F

x

∂
x

∂

F

y

∂
y

∂

F

y

∂
y

{\displaystyle ={\frac {\partial F\_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F\_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F\_{y}}{\partial y}}}

לדוגמא, הדיברגנס של השדה הוקטורי

F
→

(
x
,
y
,
z
# )

(

x

2

y

,

x
y
z

,

2
x
y
z
4
y

z

2

)

{\displaystyle {\vec {F}}(x,y,z)=\left(x^{2}y\ ,\ xyz\ ,\ 2xyz+4yz^{2}\right)}

 יהיה:

∇
→

⋅

F
→

(
x
,
y
,
z
# )

{\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {F}}(x,y,z)=}

=

∂

x

2

y

∂
x

∂
x
y
z

∂
y

∂

(

2
x
z
4
y

z

2

)

∂
z

=

{\displaystyle ={\frac {\partial x^{2}y}{\partial x}}+{\frac {\partial xyz}{\partial y}}+{\frac {\partial \left(2xz+4yz^{2}\right)}{\partial z}}=}

=
2
x
y
x
z
2
x
y
8
y
# z
4
x
y
x
z
8
y
z

{\displaystyle =2xy+xz+2xy+8yz=4xy+xz+8yz}

### **משמעות גיאומטרית**

הדיברגנס של שדה מודד בכל נקודה במרחב כמה מהשדה הוקטורי "יוצא" מהנקודה הזו (או "נכנס" אליה, מה שייתן דיברגנס שלילי בנקודה). אם נדמיין את השדה הוקטורי כקווי זרימה של מים במרחב, הדיברגנס ייתן לנו את המיקום של כל הברזים וחורי הניקוז שמוסיפים או גורעים מים מהמערכת. מסיבה זו הדיברגנס מופיע באופן טבעי במשוואת הרציפות המתארת זרימה של נוזלים.

## רוטור

הרוטור (מַסְבֵּב בעברית) של שדה וקטורי מוגדר רק בתלת מימד והוא מוגדר כך:

∇
→

×

F
→

=

(

∂

∂
x

x
^

∂

∂
y

y
^

∂

∂
z

z
^

)

×

(

F

x

x
^

F

y

y
^

F

z

z
^

)

=

{\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}=\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {x}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\hat {y}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\hat {z}}\right)\times \left(F\_{x}{\hat {x}}+F\_{y}{\hat {y}}+F\_{z}{\hat {z}}\right)=}

=

x
^

(

∂

F

z

∂
y

−

∂

F

y

∂
z

)

y
^

(

∂

F

x

∂
z

−

∂

F

z

∂
x

)

z
^

(

∂

F

y

∂
x

−

∂

F

x

∂
y

)

{\displaystyle ={\hat {x}}\left({\frac {\partial F\_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F\_{y}}{\partial z}}\right)+{\hat {y}}\left({\frac {\partial F\_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F\_{z}}{\partial x}}\right)+{\hat {z}}\left({\frac {\partial F\_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F\_{x}}{\partial y}}\right)}

המשמעות של הרוטור דומה למשמעות הדיברגנס אבל עבור לולאה אינפיניטיסימלית.

כלומר האינטגרל לאורך לולאה סגורה של השדה שווה לאינטגרל של הרוטור על משטח שהיא מקיפה.

∮

∂
A

F
→

⋅

d
l

→

=

∬

A

(

∇
→

×

F
→

)

⋅

d
S

→

{\displaystyle \oint \_{\partial A}{\vec {F}}\cdot {\vec {dl}}=\iint \_{A}\left({\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}\right)\cdot {\vec {dS}}}

הרוטור לא משנה את מספר המימדים כלל.

### שימוש

דוגמה לשימוש באופרטורים אלה היא הצורה הדיפרנציאלית של משוואות מקסוול:

∇
→

⋅

E
→

=

ρ

ε

0

{\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}={\frac {\rho }{\varepsilon \_{0}}}}

 חוק גאוס

∇
→

⋅

B
→

=
0

{\displaystyle \vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0}

 חוק גאוס לשדה מגנטי

∇
→

×

E
→

=
−

∂

B
→

∂
t

{\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}}

 חוק פארדיי

∇
→

×

B
→

=

μ

0

(

J
→

ε

0

∂

E
→

∂
t

)

{\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}=\mu \_{0}\left({\vec {J}}+\varepsilon \_{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\right)}

 חוק אמפר המתוקן

ניתן לראות שזה שקול לצורה האינטגרלית לפי המשמעות שהוסברה לעיל על ידי אינטגרציה מתאימה.

## נגזרות שניות ולפלסיאן

ניתן באותו אופן להרכיב אופרטורים של נגזרות שניות, לרוב קוראים להם אופרטורים מסדר ראשון ומסדר שני.

### לפלסיאן

אופרטור הלפלסיאן מוגדר כך:

∇
2

{\displaystyle \nabla^2}

כלומר הוא פועל כך

∇

2

# F

(

∂

∂
x

x
^

∂

∂
y

y
^

∂

∂
z

z
^

)

2

# F

(

∂

2

∂

x

2

∂

2

∂

y

2

∂

2

∂

z

2

)

# F

∂

2

F

∂

x

2

∂

2

F

∂

y

2

∂

2

F

∂

z

2

{\displaystyle \nabla ^{2}F=\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {x}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\hat {y}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\hat {z}}\right)^{2}F=\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)F={\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z^{2}}}}

גם על שדות סקלריים וגם על שדות וקטוריים.

אופרטור זה שימושי עבור משוואת הגלים, שבמספר מימדים נראית כך:

∇

2

# F
k

∂

2

F

∂

2

t

{\displaystyle \nabla ^{2}F=k{\frac {\partial ^{2}F}{\partial ^{2}t}}}

### אופרטורים כפולים

ניתן להפעיל אופרטורים פעמיים ולקבל תוצאות מעניינות הנה כמה מהן:

עבור שדה סקלרי:

∇
×
(
∇
F
# )
0

{\displaystyle \nabla \times (\nabla F)=0}

 מכיוון שגרדיאנט נותן תמיד שדה משמר.

∇
⋅
(
∇
F
# )

∇

2

F

{\displaystyle \nabla \cdot (\nabla F)=\nabla ^{2}F}

ועבור שדה וקטורי:

∇
⋅
(
∇
×
F
# )
0

{\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times F)=0}

 זה מכיוון שהשטף דרך משטח סגור (אינטגרל על הדיברגנס) של הרוטור הוא האינטגרל סביב השפה (מסלול נקודתי) ולכן זה 0.

∇
×
(
∇
×
F
# )
∇
(
∇
⋅
F
)
−

∇

2

F

{\displaystyle \nabla \times (\nabla \times F)=\nabla (\nabla \cdot F)-\nabla ^{2}F}

 זו זהות שימושית למציאת משוואת הגלים ממשואות מקסוול בריק.