recursal/Fanatic-Fandom huggingface dataset:
Копатель

## Капаленд

Капаленд - независимое государство ММ. Наряду с Изгоями одна из сильнейших стран Мемного Мира. Появилось после окончания Первой Мемной и до сих пор развивается, набирая авторитет.

## Краткая информация

Правитель: Даниил Синицов

Дата появления: 23 апреля 2015 года

Кол-во рипов: 3

Политическое устройство: тоталитаризм

Планета: МК

Население: 130

Валюта: Капаш

## История

### Создание

23 апреля под руководством Даниила Синицова была создана деревушка "Капаленд". До 24 апреля она мирно развивалась.

### Вторая Мемная Война

24 апреля копатели объявили войну Беляшами Пердуньям. Впервые они пошли на беляшей. Фруддисы в этой неравной войне приняли сторону беляша, как и пердунья. Также стоит упомянуть, что во время второй мемной была создана группа "ПЕП", которая защищала беляшей и их союзников, но через кое-какой срок рипнулась.

Война продлилась до 31 апреля, когда копатели пали (их первый рип). На следующий день они возродились уже в новой группе и заключили со всеми бывшими врагами союз.

### По настоящее время

Сейчас Капаленд развивается, завоевывает территории и процветает. За это время они пережили множество войн (туда входят: Кековая-гражданская война, ВМВ, ТМВ/беляше-копательская (третья мемная пока не признана всеми), война с НМК, кеко-беляшиснкая война), оправились после трех рипов (первый описан выше,

второй был совершен Ильей Ленином, третий - Анонимом Анонимовым, к счастью после двух последних мы сумели восстановить группу).

## Описание

### Контент

Группа более склонна к военным и политическим постам с начала июня-июля, так как мемы тотально приводят к деградации и вымиранию здравомыслящего населения страны (по мнению их правителя, мемы должны быть в меру).
Гульман

Гульмания-независимое государство ММ.Ведёт мирную политику и почти не вступает в дипломатическе отношения,за исключением стран-союзников.

## Краткая информация

Правитель:Дед Пигхасик(с 3 сентября 15 года),Еремей Ульянов(с 31 июля по 28 августа),Артём Сабалев(с 20 июня по 31 июля и с 28 августа по 3 сентября)

Дата основания:10 июня(создание группы),20 июня(провоглашение государственности)

Кол-во РИПов:0

Политическое устройство:Либерализм с элементами фашизма

Планета:МК

Население:54 человека(по переписи 5 сентября)

Валюта:Капаш

## История

### Ост-Орден

10 июня Гореловым был создан Ост-Орден,который был небольшим аббатством на территории Мюлостана.До 16 июня занималась изучением магии,наподобие изгойской гильдии.

### Третья Мемная

В войне Ост-Орден воевал на стороне НКИ и устраивал атаки на города изгоев.Однако,16 июня Орден был сожжён и на его территории основались небольшие поселения.Даже после становления Гульманией он воевал с Изгоями.

### Гульмания-становление

Во время разрухи в стране была анархия и однажды появился пост про Гульмана,который репостнули в оф.Группу.20 июня была провозглашена Гульмания.Она очень быстро набирала популярность.Ослабление роста пришло,когда в группе набралось 47 подписчиков.Также были программы по колонизации Северного Аутизма(севера острова,где находилась страна),которой руководил Еремей Ульянов.

### Гульмания сегодня

Это группа с населением в 54 человека,очень редко вмешивается в мировые отношения,держась в войнах отстранёно.3 сентября власть перешла в руки Деда Пингхасика,после того,как группа месяц находилась под властью Еремея Ульянова,который ничего не делал и замедлил развитие страны.Устраивались выборы,однако,все желали видеть Горелова лидером.Он выбрал приемником Пингхасика.

## Описание

### Контент

Группа является по большей части мемной,так что мемес есть почти каждый день в количестве нескольких штук.Военные посты почти не встречаются,а дипломатических единицы.В группе разрешены любые высказывания,критика группы,работы администрации и мема,однако оскорбления запрещены.Это позволяло до правления Еремея поддерживать стену активной.Сейчас это одна из немногих групп,где можно высказывать мнение.

### Управление

Ныне в группе правит Дед Пингхасик.Ему с мемами помогает Даниил Синицов.Горелов занимается командованием войсками.
Александр Чернышевский

Александр Чернышевский - одна из самых значимых фигур в истории Мира Мемов.

## история

Александр чернышевский (он же Чернышев, Чернуха, Черный и т. д.) - тот, кого несомненно должны помнить все олдфаги. Этот человек - основатель самой крупной и мощной империи за всю историю Мира Мемов.

Начало его история берёт в далёких временах, когда была создана обычная группа, которая к моменту основания Мира Мемов (28 марта 2015, начало ПМВ) имела население в 5 тыс. и постила мемы про кека.

Во время ПМВ Александр не командовал войсками, все приказы раздавали генералы с Евгенем Хандожко во главе. Чернышевский лишь давал или не давал разрешения на все политические действия.

По окончанию ПМВ Александр окончательно обленился. Из-за его безучастной позиции группой заговорщиков были предприняты тайные попытки свергнуть Чернышевского и посадить на трон Хандожко, однако, они не увенчались успехом.

К мае 2015 группа скатилась, уподобилась пабликам вроде форчана. Всех членов управления, не согласных с политикой Андеря, он репрессировал через бан. 14 мая Чернышевский лишился последнего помощника - военачальника Хандожко.

После ухода группы из ММ Андрей продолжал управление группой, дальнейшая его судьба не известна.

## Общественное мнение

Александр Чернышевский запомнился всем как самодовольный и властолюбивый монарх. Из-за его постоянного безучастия и лени многие возненавидели Александра. Однако, после ухода его группы из ММ про Александра все забыли.
Kekmpson KT

Kekmpson KT - самое известное оружие кеков. Изобретеный во времена ПМВ, этот автомат отличался высокой пробивной способностью и потрясающей надежностью.

## История

 Скорострельность,
 Максимальная
дальность, м:

Этот автомат был разработан на заводе KEK TECKNOLOGY Кекской Империей незадолго до начала ПМВ. Когда Беляшинск вторгся в Кекляндию, вооруженные силы кеков были почти полностью укомплектованы новым оружием. Автомат имел некоторые преимущества перед оружием беляшей, что не раз помогало кекам на поле боя.

После окончания ПМВ оружие разошлось во все концы Мемного Мира и было задействовано во многих конфликтах.

К началу Второй Мемной Войны автомат считался уже полностью устаревшим, однако всё ещё использовались некоторыми партизанскими отрядами.
Euclides' Propositie 1

Euclides' propositie 1 is de constructie van een gelijkbenige driehoek op een willekeurig lijnstuk

A
B

{\displaystyle AB}

. De volledige stelling is:
*Voor elke twee punten

A
,

B

{\displaystyle A,\;B}

 bestaat er een punt

C

{\displaystyle C}

 zodat

△
A
B
C

{\displaystyle \triangle ABC}

 een gelijkbenige driehoek is.*
Er zit echter al meteen een fout in het bewijs, doordat Euclides impliciet aannames doet die niet vermeld zijn.

## Bewijs

Teken twee cirkels, beide met straal

A
B

{\displaystyle AB}

, en middelpunten

A

{\displaystyle A}

 en

B

{\displaystyle B}

. Laat

C

{\displaystyle C}

 een snijpunt zijn van die twee cirkels. Dan geldt dat

‖
A
C
# ‖
‖
A
B
# ‖
‖
B
C
‖

vanwege de eigenschappen van een cirkel. Nu is

△
A
B
C

{\displaystyle \triangle ABC}

 dus gelijkzijdig.

## Discussie

Wat is het probleem van dit bewijs? Het probleem zit erin dat het punt

C

{\displaystyle C}

 niet noodzakelijk hoeft te bestaan. Kijkend naar Euclides' Axioma's is dat intuïtief duidelijk. Dit probleem kun je oplossen door een coördinatenstelsel in te voeren, of gebruik te maken van de sterkere axioma's van Hilbert.
Churki

by laurelhach23

Our community needs more information on this page! Can you help out? Click here to add more.

### 1810

from *Crucible of Gold*

Scion of Curicuillor, with four decades of fighting experience. She is given the task of escorting Temeraire and his compatriots to the capitol. She takes a liking to Arthur Hammond. Having many dragons but few humans, she leaves her native country upon hearing how large Hammonds family is and goes with him on his travels.

### 1813

from *League of Dragons*

Churki tries to matchmake Hammond with a local Lithuanian girl so he will marry and start having babies.

After the French attack in Dresden Churki met with Temeraire, congratulating him for keeping his army in one piece. They spoke for a bit, and the Incan dragon questioned if it was sensible that Hammond and the Tsar were near danger, specially since they didn't have wives or children of their own, after which she expressed her disapproval since Laurence remained unmarried.

Later, when the war is over, Temeraire receives a letter from Churki, where Churki mentions how big of a family Hammond has and how she is building them a bigger house and also helped to plow their fields since so many young men never returned from the fighting.

## References

1. ↑ Novik, Naomi. League of Dragons (Temeraire) (p. 369). Random House Publishing Group. Kindle Edition.
Евгений Хандожко

Евгений Хандожко - важная фигура в истории Мира Мемов.

## Краткая информация

Текущее место работы: Кротониум

Должность: канцлер

Олдфажность: 100% (Участник Мира Мемов с самого первого дня его существования)

## Карьера

### Кекская Империя

Евгений был первым участником Первой Мемной Войны со стороны Кеков. По его инициативе были собраны военные силы Кекляндии. Прошел всю войну в должности главного военачальника. Участвовал в небольшом вооруженном конфликте с КЕК ВВС. Когда Кекская Империя скатилась и уподобилась форчану, Евгений покинул пост и на длительное время ушел из Мира Мемов. Он был последним приспешником Чернышева, кто ушел из Кекской Империи.

### KEK SCP

15 июня 2015 Евгений вернулся в Мир Мемов и получил должность редактора в группе КЕК SCP, впоследствии став главным научным сотрудником. Лишился поста, когда лидер KEK SCP уничтожил свою группу (впоследствии она была возрождена)

### Новая Кекская Империя

Короткое время Евгений был редактором в НКИ и выкладывал мемы.

### Кротониум

30 июля 2015 Евгений совместно с Pukan Bomba создал группу Крота - она же Кротониум. На данный момент является канцлером Кротониума.
Артём Горелов

Артём Сабалев(Горелов)-политический деятель ММ,основатель ФОФ и Гульмании.

## Краткая информация

Место работы:Гульмания

Должность:Верховный Маршал Гульмании.До 3 сентября 15 года лидер Гульмании(2 срока).

Олдфажность:Приход 11 апреля 15 года в ММ.

## История

### ФОФ

11 апреля был создан мем ФОФ,и до мая группа находилась в изоляции от мира.Познакомившись с Богданом Шведовым,тогда малоизвестным лидером Спуди,Горелов разгромил Свунов.После неудачной атаки на Кек-ВВС,Горелов заявил о централизации власти и стал президентом ФОФ.

Ой не ври мне тут я Киря Прост и яточно такой же был правитель ФОФ как и ты!1!!!1!

### Илья Ленин

Большое влияние на политику Горелова оказал Ленин,с которым они сошлись после войны с ВВС.Фоф был уничтожен,а после неудачного возрождения был создан СОР,который также был уничтожен.Далее Ленин был начальником тайной полиции Реххии.Реххия была уничтожена их совместными силами и Горелов покинул ММ в первый раз,вместе с Лениным.

### Гульмания

Горелов был назначен лидером Мальдарии в ВИ,а после ушёл и основал Ост-Орден,который впоследствии стал Гульманией.Артём хотел построить из неё утопичную группу,где будут мемы и свобода.31 июля он ушёл в отставку и назначил приемником Еремея Ульянова.28 августа он вернулся в кресло лидера и сместил Ульянова.3 сентября его приемником стал Дед Пингхасик.
Свун

## Свунния

Свунния-Государство которое не первый раз возрождается.

## Краткая Информация

Правитель: Максим Беленец

Дата появления: ???

Кол-во рипов: 7

Политическое устройство: Страна

Планета: базиравалась на ММ.

Население: было 25

Валюта: Её нет.

## История

Свуны были созданы для помощи Гогам.Позже к ним пресоеденились Теры.Их первой смертью послужила атака Пердуньялэнда.После этого Максим Беленец возродил его.И благодоря Кикте в ММ прошлась фраза "Не Свун а Вунс".Свун одно из самых влиятельных стран.После того как в ММ появилась "База Даши Беленец" Максим Беленец ушёл из ММ на месяц.На нынешний момент (13.09.2015) он возродился седьмой раз.
Великая Империя Гопатыча

Гопатыч-государство ММ

Уже третье по счету государство с таким названием

Действующие лица-

Андрей Андреев - владелец

Данил Ракушин - модератор

Валюта-Гопареон

Основание - 24 сентября 2015

Рипы:0

Участников - 100(на 26.10.15)

Часто обвиняется в накрутке,но дело в том,что там еще периодически выходят комиксы с игрушками.

Государственный строй:социализм

с (???) октября в орде,до 20 октября

Стремится в альянс,но имеет с этим некоторые проблемы

Колонизировал Чебургена,но земель не давали.

Одно из известнейших,и в то же время ньюфажных государств ММ

Союзники:

Пепе(пакт о ненападении)

Пер(очень близкие контакты)

Кеки ополченцы

Республика домашних денег

Керш(ныне рипнут)

Альянс(под вопросом)

СуперКек(взаимная защита границ)
Арсений Контарев

Арсений Контарев - основатель фонда KEK SCP. Его роль в истории очень важна, так как самое наи мощнейшее оружие массового поражения произведено именно на заводах КЕК SCP. Так же является лучшим другом Игоря Василенко.

## Краткая информация

Место работы: KEK SCP

Должность: глава фонда

Олдфажность: приход в ММ в начале июня 2015

## Карьера

### КЕК SCP

В начале июля 2015 Арсений создал группу КЕК SCP. Группа была интересна, быстро развивалась и набирала подписчиков. Арсений старался как можно больше союзничать с другими и помогать НКИ. Однако, к концу того же месяца активность в групе снизилась, а потом и вовсе исчезла. По этой причине Арсений принял решение рипнуть группу.

Но примерно через неделю после этого, в августе группа была возрождена. Арсений начал развивать группу заново.

20 августа 2015 Арсением было принято решение о переселении фонда в НМК.
Тральмания

Тральмания - на данный момент одно из (да вообще единственное) нормальных ньюфажских государств.

## Информация

Правитель: Владимир Пахно

Дата появления: 4 мая 2016 года.

Кол-во Рипов: 1.

Политическое устройство: Диктатура.

Население: 183 (17.12.16).

Валюта: Ютрань.

## История

### Основание

Несмотря на то, что с момента основания прошло 6 месяцев, история у страны небольшая. Тральмания была основана 4 мая 2016 года и не отличалась от массы других государств того времени. Но с июня начинает набирать популярность своими годными мемами.

### ССН

В июне Дигидаево-Пузиковый Союз (ныне - ГПД), Лулленд, Империя Поцыка и Ьль объединились в Союз Северных Наций (слово, указывающее на сторону горизонта говорило о принадлежности ССН к маня-мирку, где, соответственно, ССН был на севере). ССН мог количеством задавить некоторые страны того маня-мирка, но глава ССН Владимир Пахимович этим не воспользовался, и развалил ССН по своему желанию. После развала у Тральмании осталась автономия: Лулленд.

### Империя Мемов

Попытка Пахима пересоздать ССН. Воспользовавшись хайпом вокруг тралей, он начал делать дочерние мемы, аля "Трули", "Трили", "Трыли" и прочее. Страны, взявшие эти мемы объединились в Империю Мемов (ИМ), но через 3 недели Пахим её развалил.

## Войны

Тральмания участвовала в 5 войнах:

1. **Траль-Реканская война.** Итог: *Фактическая Победа Тральмании.*заспамлено 8 тысяч записей на стену Рекана.
2. **Траль-Селендская война.** Итог: *Официальная Победа Тральмании*. заспамлено 8 тысяч записей на стену Сесленда, Сесленд стал вассалом Тральмании.
3. **Война ССН и Гуссии.** Итог: *Официальная Победа ССН*. после 2 тысяч записей спама Гуссия сдалась.
4. **Война ГИ и Анти-ГИ-коалицией.** Итог: Фактическая *Победа Анти-ГИ- Коалиции*. Глава ГИ, Елхов Данил, удалил собравшийся спам, который насчитывал 9 тысяч записей, закрыл стену и начал утвеждать, что ГИ выйграла оборону. Безусловно, это был грандиозный слив.
5. **Трильско-Тральская война.** Итог: *Ничья*.На стену Тральмании наспамлено 2700 записей, но атакующие страны получили отдачу в сумме ~200 записей. Но в самом конце половина порипали друг-друга, другие вышли из войны.
Яйцо

Яйцо - одно из средних государств ММ. Сначала называлась База Квадрята

## Краткая информация

Правитель: Влад Ракушин

Дата появления: Май 2015

Кол-во рипов: 4 раза

Кол-во жителей: 30

Валюта: Яйлар

## История

Однажды Влад Ракушин впервые увидел ММ и решил сделать свой мем. Через неделю он всё-таки сделал его. В начале было довольно-таки одновременно хорошей группой но и плохой. Где-то за неделю его рипнули Копатели . Потом где-то через недели 2 Яйцо опять вернулось и правитель его сам уничтожил. Где-то в июне оно вернулось без нормальных мемов. Были только про военные действия. Опять же рип от правителя. В июле пытался заново возродить, но опять же рипнул сам создатель очень быстро. За 2 дня.

## Описание

Группа была довольно простая. В основном были одни мемы и всё. Иногда же и оскорбления там в сторону Нан. После 2-го рипа быстро начал рипать все группы, которые были намного хуже, чем Яйцо.

## Управление

Влад Ракушин - единственный там главный всегда был. Почти. Очень сильно привязан к Яйцу.

Никита Федосеев - правая и левая рука всегда была в Яйце. Пилил мало мемов и сам однажды признался, что не хочет быть правителем.

Алексей Шубин - просто однажды запилил 1 мем. Был редактором.
Polynomen

Een polynoom is een soort functie. Polynomen zijn erg handig om mee te werken, omdat ze eigenlijk zo simpel zijn: je hoeft alleen maar te kunnen optellen en vermenigvuldigen om ze te snappen.

## Definitie

Een polynoom heeft de volgende algemene vorm:

P
(
x
# )

a
n

x
n

a

n
−
1

x

n
−
1

…

a
1

x

a
0

{\displaystyle P(x) =a\_nx^n+a\_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a\_1x+a\_0}

De getallen

a
0

,
…
,

a
n

{\displaystyle a\_0, \ldots, a\_n}

 zijn hier constanten en heten de coëfficiënten van

P

{\displaystyle P}

. Je kan bijvoorbeeld zeggen dat alle coëfficiënten geheel moeten zijn, of rationaal, of wat je maar leuk vindt. In dat geval zeg je dat

P

{\displaystyle P}

 een polynoom over

Z

{\displaystyle \mathbb{Z}}

, of

Q

{\displaystyle \mathbb{Q}}

 is.

## Stellingen

De hoofdstelling van de algebra zegt dat elk polynoom met complexe coëfficiënten een complex nulpunt heeft.
Крот

## **Кротониум**

   Кротониум - молодое государство, посвященное мему Кроту.

## Краткая информация

Правитель: Евгений Хандожко

Дата появления: 30 июля 2015

Кол-во рипов: 0

Политическое устройство: республика

Планета: базируется на обоих планетах

Население: 67

Валюта: Кронта

## История

### Создание

30 июля 2015 Евгений Хандожко, ветеран Первой Мемной Войны, бывший военачальник Кекской Империи и Pukan Bomba, правитель Империи Фруддиса накурились спайса и создали группу Крота.

### Войны

14 сентября 2015 кротониум объявил войну Миму и Кершу. Не смотря на победы в самом начале, война все еще продолжается.

## Описание

### Контент

Кротониум отличается от других гос-в Мира Мемов тем, что старается как можно меньше походить на реальные страны. Поэтому большая часть контента группы составляют мемосы.Так же на данный момент Кротониум - единственное государство, выпускающее современную политическую карту ММ.

### Управление

Евгений Хандожко - канцлер Кротониума. Главный военачальник республики. Фатажопир и мемодел.

Pukan Bomba - заместитель канцлера. Фатажопир и мемодел.мемодел.
Verzamelingenleer

Verzamelingenleer is een tak van de wiskunde die zich bezig houdt met verzamelingen. Verzamelingenleer werkt meestal vanuit een formeel systeem, zoals ZFC, maar de meeste mensen gebruiken verzamelingen "gewoon", zonder moeilijk te doen over formele axioma's.

## Opvattingen van verzamelingenleer

Het begrip "verzameling" is natuurlijk fundamenteel voor een gebied als verzamelingenleer, maar toch heeft verzamelingenleer moeite met het definiëren wat een verzameling nou precies ís. Hoe een verzameling zich gedraagt is een veel makkelijker principe, maar het begrip verzameling zelf wordt ook door filosofen hevig over gediscussieerd. Wat weten we we dan wel? Verzamelingenleer gebruikt het *imperatieve verzamelingsbegrip*. Dat betekent zo veel als: alles is een verzameling. Echt alles. Getallen zijn verzamelingen, en ga zo maar door. Ook alle elementen van verzamelingen zijn andere verzamelingen. Dat is het belangrijkst: want zo kunnen we daar ook operaties op uitvoeren.

## Operaties van verzamelingen

Met verzamelingen kan je een hoop doen. Je kan natuurlijk de bekende operaties doen, zoals vereniging van twee verzamelingen, en de doorsnede van twee verzamelingen. Iets minder bekend is het verschil. Daarnaast kan je het Cartesisch product nemen.
Wiskunde Wikia

## Wat staat er op deze wiki?

Op deze wiki kun je informatie vinden die gerelateerd is aan een studie wiskunde (op de Radboud Universiteit). Als ik verder in mijn studie kom, komt er ook meer informatie op. Het is de bedoeling dat je snel een of andere stelling of definitie op kan zoeken, en daarbij gerelateerde informatie. Bovenaan, onder "snelle links", kan je snel zoeken op onderwerp.

## Ontspanning

Er is de vraag gekomen of je ook iets "leuks" kon doen op deze wiki, en daarom is er ook een ontspanningspagina. Daarnaast zou ik graag willen dat er niet al te veel onzin op de wiki zelf komt, dus gooi al je prut in deze pagina.

## Bijdragen?

Ik zou het leuk vinden als ik niet de enige was die hier dingen op zette. Als je mee wilt helpen, zeg dat dan tegen mij, dan zorg ik dat pagina's kan maken enz. Voor hoe je alles moet typen, kijk op meehelpen.

## Latest activity

Photos and videos are a great way to add visuals to your wiki. Find videos about your topic by exploring Wikia's Video Library.

File:Placeholder
Basis (Vectorruimte)

Een basis voor een vectorruimte

V

{\displaystyle V}

 is een lineair onafhankelijke verzameling

{

v
1

,
…
,

v
n

}

{\displaystyle \{v\_1,\ldots,v\_n\}}

 dat ook volledig is. Bases worden ook wel gebruikt om de dimensie van een vectorruimte aan te geven. Dit kan vanwege de hoofdstelling van de lineaire algebra.

## Voorbeeld

Het stelsel

[

1

0

]

,

[

0

1

]

{\displaystyle \begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix}, \; \begin{bmatrix} 0\\1\end{bmatrix} }

is een basis voor

R

2

{\displaystyle \mathbb R^{2}}

.
Continue functies

Continuïteit is een begrip uit de topologie. Er is echter ook een analytische variant, en deze is iets makkelijker uit te leggen, en nu ook iets relevanter.

## Definitie

Continue functies zijn makkelijk te visualiseren als een (niet noodzakelijk rechte) lijn, die loopt over het vlak. Dit is misschien handig om in gedachten te houden bij het lezen van de definitie van continuïteit. Een functie

f
:

R

→

R

{\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}}

 heet continu in

a

{\displaystyle a}

 als

lim

x
→
a

f
(
x
# )
f
(
a
)

{\displaystyle \lim\_{x\to a} f(x)=f(a)}

. De functie heet continu in het algemeen als hij continu is in alle

a
∈

R

{\displaystyle a \in \R}

.

## Stellingen

Er zijn veel belangrijke stellingen over continue functies, zoals de tussenwaardestelling. In de toekomst komen hier meer bij.
Сергей Соболев

***Сергей Соболев (Сабалев)***

 Один из первых участников ММ, участник Первой Мемной Войны, раньше: беляш. Прошел всю первую мемную, создав несколько государств, таких как Довакины и Пане воители.Первым же его врагом был ~~пидора ножка~~ Евгений Хандожко, в первой группе Кека в самом начале Первой Мемной.

После Первой Мемной вошел в доверие Шашей, вскоре, вместе с Русланом Бикчуриным уничтожил их группу. Позже, присоединился к ПЕПам и был командиром, после же чего ушел и опять вернулся к беляшам.

Недавно ушел из ММ, из-за предательства беляшами, и примерно две-три недели назад, совместно с Русланом Бикчуриным начал вести группу вне ММ "Сабалевчан".
ZFC

ZFC is een systeem voor verzamelingenleer. ZFC is algemeen geaccepteerd als de basis van alle wiskunde. Dit is zo, omdat praktisch alle bekende wiskunde van ZFC afgeleid kan worden. ZFC werkt met het hiërarchische verzamelingenbegrip: elementen van verzamelingen zijn zelf verzamelingen. De taal van ZFC is dan ook het teken

∈

{\displaystyle \in}

, waarbij

x
∈
y

{\displaystyle x\in y }

 gelezen moet worden als "

x

{\displaystyle x}

 is een element van

y

{\displaystyle y}

".

## De Axioma's

We zullen de axioma's één voor één langs gaan.

### Axioma van bestaan

Het eerste is het axioma van bestaan, dat zegt dat minstens één verzameling bestaat.

∃
x

# x
x

{\displaystyle \exists x\; x=x }

Dit axioma heeft geen uitleg nodig, want zonder verzamelingen hebben we geen verzamelingenleer. Het is interessant om op te merken dat het volgt uit het oneindigheidsaxioma.

### Axioma van gelijkheid

Precies zoals je zou denken, zegt dit axioma wanneer twee verzamelingen gelijk zijn.

## Eerste consequenties

Er volgt meteen dat de lege verzameling bestaat.
Макапичу

**Макапичу** (англ. *Makkapitew*) — главный антагонист пролога Until Dawn и основной антагонист всей игры. Чудовищное существо, созданное из злобного духа, он был самым сильным из всех вендиго.

Слово «Макапичу» — алгонкинское слово, означающее «тот, у кого большие зубы». Незнакомец назвал его «самым свирепым из всех».

## История

Как и все вендиго, Макапичу, предположительно, был человеком, прибегнувшим к каннибализму на вершине Блэквуд Пайнс, в результате чего дух вендиго превратил его в чудовище. Дед Незнакомца посвятил свою жизнь охоте на вендиго. Несмотря на все своё мастерство, он не смог победить Макапичу, который, в свою очередь, убил его.

### Пролог

Незнакомец охотился на Макапичу в ту самую ночь, когда Ханна устроила вечеринку в 2014 году. Она и её сестра Бет сбежали из домика после злобной выходки, и Макапичу начал охотиться на них в лесу. Незнакомцу удалось убить Макапичу с помощью огнемёта, но только после того, как вендиго загнал близнецов в угол и сбросил их с обрыва.

### The Inpatient

В игре The Inpatient выясняется, что либо Анна/Гордон Беннет, либо протагонист стали Макапичу в 1952 году. В зависимости от выбора, сделанного во время событий игры, в одного из этих персонажей вселяется дух вендиго, и он превращается в монстра-каннибала. В одной из концовок после титров игра переносится в 2014 год и показывает сцену с вендиго-видениями, когда Ханна и Бет убегают от Макапичу.

## Интересные факты

* Хотя это никогда не было официально подтверждено, вероятно, что Макапичу в следующий раз вселился в Ханну Вашингтон. В то время как Бет погибла осенью, Ханна получила лишь серьёзные травмы, а после того, как она боролась с голодом более месяца, в неё вселился дух вендиго и прибег к каннибализму. Во время событий 2014 года на горе Блэквуд не было известно о других потерявшихся или голодающих людях, поэтому Ханна — вероятная цель бродячего духа. На то, что Ханна принадлежит Макапичу, указывают её размеры, сила и доминирование над другими вендиго. С другой стороны, это может быть связано и с тем, что она превратилась в вендиго совсем недавно, чем шахтёры в санатории.
	+ Не исключено, что Джош может стать следующим Макапичу, если доживёт до рассвета, поскольку он — следующий известный человек на горе, ставший жертвой каннибализма в шахтах. Однако в этом нет уверенности, поскольку во время событий Until Dawn было выпущено несколько духов вендиго, и он может стать одержимым любым из них.
Lineaire functies

Lineaire functies zijn de homomorfismes van lineaire algebra. Het zijn functies tussen vectorruimtes die de bewerkingen van optellen en vermenigvuldigen bewaren.

## Definitie

Stel dat

V

{\displaystyle V}

 en

W

{\displaystyle W}

 vectorruimtes zijn. Een lineaire afbeelding is dan een functie

T
:
V
→
W

{\displaystyle T:V\to W}

 zodat voor alle

v
,
w
∈
V

{\displaystyle v,w\in V}

 geldt dat

T
(
v
w
# )
T
(
v
)
T
(
w
)

{\displaystyle T(v+w)=T(v)+T(w)}

, en voor vectoren

v
∈
V

{\displaystyle v \in V}

 een scalars

c

{\displaystyle c}

 geldt dat

T
(
c
v
# )
c
T
(
v
)

{\displaystyle T(cv)=cT(v)}

.
Functies

Een functie is een speciaal soort relatie tussen twee verzamelingen.

## Definitie

Stel dat

A
,
B

{\displaystyle A, B}

 verzamelingen zijn. Dan is

f
⊆
A
×
B

{\displaystyle f\subseteq A\times B}

 een functie als geldt dat wanneer

⟨
x
,
y
⟩
,
⟨
x
,
z
⟩
∈
f

{\displaystyle \langle x,y\rangle , \langle x,z\rangle\in f}

, dan

# y
z

{\displaystyle y = z}

. In andere woorden, voor elke

x
∈
A

{\displaystyle x \in A}

 is er een unieke

y
∈
B

{\displaystyle y \in B}

 zodat

x
f
y

{\displaystyle xfy}

. Deze

y

{\displaystyle y}

 wordt ook wel geschreven als

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}

. De verzameling

A

{\displaystyle A}

 heet in dit geval het domein, en

B

{\displaystyle B}

 is het codomein. Merk op dat niet elk element in

B

{\displaystyle B}

 ook daadwerkelijk "bereikt" moet worden door

f

{\displaystyle f}

. De elementen die w\'el bereikt worden heten het bereik van

f

{\displaystyle f}

, genoteerd met

im
(
f
)

{\displaystyle \text{im}(f)}

 of

f
(
A
)

{\displaystyle f(A)}

.

## Functie vs. Afbeelding

Functies worden ook wel afbeeldingen genoemd. Sommigen vinden dat functies altijd

R

{\displaystyle \R}

 als domein of codomein moeten hebben, maar ik vind dat niet, dus ik gebruik gewoon functie. Let dus op dat soms functie en afbeelding door elkaar gebruikt wordt.

## ...jectief

Sommige functies hebben speciale eigenschappen. Een functie

f
:
A
→
B

{\displaystyle f:A \to B}

 heet surjectief als het bereik daadwerkelijk het codomein is, dus

f
(
A
# )
B

{\displaystyle f(A)=B}

. Dit hangt dus af van het codomein: we kunnen van elke functie het codomein uitbreiden zodat de functie sowieso niet surjectief is.

Een tweede eigenschap is injectiviteit. We noemen een functie injectief, of 1-op-1 als twee verschillende elementen van

A

{\displaystyle A}

 naar verschillende elementen van

B

{\displaystyle B}

 gestuurd worden.

Een functie heet bijectief als hij zowel injectief als surjectief is.
Kwantoren

In de predicatenlogica worden naast de connectieven die in de propositielogica worden gebruikt ook nog twee kwantoren gebruikt. De predicatenlogica is dan ook een uitbreiding op de propostielogica. Er zijn twee kwantoren, de existensiële kwantor, en de universele kwantor.

## Existentiële kwantor

De existensiële kwantor moet je lezen als "er is een". Hierna komt een argument, of formule (e.g.

∃
x
P

{\displaystyle \exists x P }

 betekent "er is een x waarvoor geldt P). Een voorbeeld is:

∃
x
(
x
⋅
# x
2
)

{\displaystyle \exists x (x\cdot x=2)}

, een formule die aangeeft dat

2

{\displaystyle \sqrt{2}}

 bestaat.

## Universele kwantor

∀
x

{\displaystyle \forall x}

 betekent "voor alle x", het argument dat hierna komt geldt dus voor alle x. Een voorbeeld is

∀
x
(
x
−
# x
0
)

{\displaystyle \forall x (x-x=0)}

.
Vereniging

Verenigingen zijn een operatie op verzamelingen. Het bestaan van verenigingen wordt gegarandeerd door het axioma van vereniging.

## Precieze operatie

De vereniging van twee verzamelingen

A

{\displaystyle A}

 en

B

{\displaystyle B}

 is de verzameling genoteerd met

A
∪
B

{\displaystyle A \cup B}

 waar alle verzamelingen in zitten die óf in

A

{\displaystyle A}

 óf in

B

{\displaystyle B}

 zitten (of beide).

Er is ook een variant voor meer verzamelingen, mogelijk oneindig veel. Als

A
i

,
i
∈
I

{\displaystyle A\_i, i\in I}

 een geïndexeerde familie is, dan is

⋃

i
∈
I

A
i

{\displaystyle \bigcup\_{i\in I}A\_i}

 de verzameling

{
x

∃
i
∈
I

x
∈

A
i

}

{\displaystyle \{x| \;\exists i\in I\; x\in A\_i\}}

.
Limieten

Limieten zijn een manier om een waarde in een functie in te vullen die eigenlijk niet kan. Zo bestaat de functie

sin
⁡
(
x
)

x

{\displaystyle \frac{\sin(x)}{x}}

 niet voor

# x
0

{\displaystyle x = 0}

. Als je naar de grafiek van deze functie kijkt, zul je zien dat het lijkt of deze functie de y-as snijdt met y-coördinaat 1. Alleen op dit punt bestaat de functie niet. Met behulp van limieten kunnen we toch wat zeggen over de "waarde" op dat punt. Merk op dat de limiet die je wilt onderzoeken niet altijd bestaat, zoals wanneer de functie "naar oneindig gaat", of een limiet gewoon helemaal nergens op slaat.

## Analytische definitie

Deze definitie is volgens de analyse, er is ook een topologische definitie. Stel dat we een functie

f
:

R

→

R

{\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}}

 hebben, en willen weten of de limiet bestaat als

x

{\displaystyle x}

 naar

a

{\displaystyle a}

 gaat. Een getal

L

{\displaystyle L}

 heet de limiet van de functie als voor elk getal

ϵ
>
0

{\displaystyle \epsilon > 0}

 er een

δ
>
0

{\displaystyle \delta > 0}

 bestaat zodat wanneer

x
−
a

<
δ

{\displaystyle |x-a|<\delta}

, dan

f
(
x
)
−
L

<
ϵ

{\displaystyle |f(x)-L|<\epsilon}

.

Hoe lees je dit? Je moet het zien als een soort *challenge*. Hoe dicht kan ik bij

L

{\displaystyle L}

 komen, als

x

{\displaystyle x}

 dicht bij

a

{\displaystyle a}

 komt? Het antwoord moet zijn: zo dicht als je wil! Dus als ik aan jou vraag of je dichter dan

ϵ

{\displaystyle \epsilon}

, bij

L

{\displaystyle L}

 kan komen, dan moet je dat kunnen! De

x

{\displaystyle x}

 die je invult, moeten steeds dichter bij

a

{\displaystyle a}

 liggen. Hoe dicht bij je bij

a

{\displaystyle a}

 moet komen om dat voor elkaar te krijgen maakt me niet zo veel uit, dat moet je zelf maar kiezen. Dus als jij zegt dat een afstand

δ

{\displaystyle \delta}

 van

a

{\displaystyle a}

 genoeg is om binnen de

ϵ

{\displaystyle \epsilon}

 van

L

{\displaystyle L}

 te komen, dan vind ik dat helemaal goed. Als je mijn "challenges" niet kan halen, dan is

L

{\displaystyle L}

 blijkbaar geen limiet.
Kapitel 7

**Kapitel 7** des Mangas Charlotte.

## Handlung

Das Kapitel beginnt damit, dass Yu, Nao und Jojiro an einer Akademie ankommen, um zu untersuchen, wer derjenige mit übermenschlichen Fähigkeiten ist. Yu sieht, wie Nao und Jojiro sich verhalten und denkt, sie seien verrückt.  Plötzlich kommt ein Junge vorbei, den sie für verdächtig halten, er bemerkt dies und rennt weg, während Yu mit ihm den Körper wechselt. Sobald er den Körper gewechselt hat, beginnt er, die Sachen zu überprüfen und ein paar Augenblicke später kehrt der Junge in seinen Körper zurück.

Als der Junge zurückkommt, schlägt Nao ihn und macht ein Foto von einem Mädchen in ihrer Unterwäsche. Als er das Bild sieht, erkennt er, dass es ein geistiges Bild ist und fragt ihn, woher er das Bild hat, worauf er antwortet, dass er es von Udo sei. Die Szene wechselt zum Bogenschießclub, Udo droht Nao, dass er allen ein mentales Bild von ihr in ihrer Unterwäsche zeigen wird, wenn sie nicht geht, aber Yu betritt seinen Körper und gibt Nao das Bild, dann droht er, sie mit einem Pfeil zu erschießen, aber als er schießt, geht Jōjirō mit voller Geschwindigkeit und fängt den Pfeil, dann erklärt Nao über die Wissenschaftler und Udō fällt auf die Knie, dann fragt Yu ihn, was genau mit seinem Bruder passiert ist und antwortet, dass sie am nächsten Tag zu ihm gehen würden.

## Charaktere

* Yū Otosaka
* Nao Tomori
* Jōjirō Takajō
* Nanba Akademie Schüler
* Udō
Basis

Een basis voor een vectorruimte

V

{\displaystyle V}

 is een verzameling vectoren die volledig en lineair onafhankelijk is. Bases zijn belangrijk binnen de lineaire algebra, want je kunt vectorruimtes heel goed karakteriseren met behulp van bases.

## Het bestaan van bases

Een logische vraag die je kan stellen is: heeft elke vectorruimte een basis? Het antwoord is ja, maar deze stelling is equivalent aan het keuzeaxioma. We gebruiken Zorn's lemma, een equivalent van het keuzeaxioma.

**Stelling:** Als

S
⊆
V

{\displaystyle S\subseteq V}

 een lineair onafhankelijke verzameling is, dan is er een basis

B
⊆
B

{\displaystyle B\subseteq B}

 met

S
⊆
B

{\displaystyle S\subseteq B}

.

**Bewijs:** Laat

X

{\displaystyle X}

 de verzameling zijn van lineair onafhankelijke verzamelingen

Y

{\displaystyle Y}

 met

S
⊆
Y

{\displaystyle S\subseteq Y}

. We merken op dat als

A
1

⊆

A
2

⊆
…
>⊆

A
α

⊆
…

{\displaystyle A\_1\subseteq A\_2\subseteq \ldots>\subseteq A\_\alpha\subseteq \ldots}

lineair onafhankelijke verzamelingen zijn, dan is

# A
⋃

A
i

{\displaystyle A=\bigcup A\_i}

 ook lineair onafhankelijk. Stel namelijk dat

A

{\displaystyle A}

 lineair afhankelijk is, dus dat er

a
1

,
…
,

a
n

∈
A

{\displaystyle a\_1,\ldots,a\_n\in A}

 zijn met

c
1

a
1

…

c
n

a
n

=
0

{\displaystyle c\_1a\_1+\ldots+c\_na\_n=0}

,

en niet alle

c
i

=
0

{\displaystyle c\_i = 0}

. Omdat er maar eindig veel

a
i

{\displaystyle a\_i}

 zijn, is er op een gegeven moment een

A
α

{\displaystyle A\_\alpha}

 waar deze vectoren ook in zitten. Deze verzameling is nu lineair afhankelijk, een tegenspraak.

De conclusie is dat elke ketting

A
1

⊆

A
2

⊆
…

{\displaystyle A\_1\subseteq A\_2\subseteq \ldots}

 een bovengrens heeft, namelijk,

A

{\displaystyle A}

, en Zorn's lemma vertelt ons nu dat er een maximaal element

Z

{\displaystyle Z}

 is. Wegens deze stelling is

Z

{\displaystyle Z}

 een basis.
Charlotte Wiki/Hilfe

**Hilf uns!**

Alle Seiten können bearbeitet werden und du bist herzlich dazu eingeladen uns beizutreten und in diesem Wiki etwas beizutragen.<createbox>
width=24
break=no
buttonlabel=Neuen Artikel erstellen
</createbox>

* Wenn du komplett neu bist, was Wikis betrifft, könnte dir folgendes Tutorial weiterhelfen.
* Wenn du ein gutes Bild hast, füge es dem Wiki hinzu.
* Eine andere hilfreiche Aktivität wäre das Überprüfen der gewünschten Seiten für kürzlich verlinkte Artikel, die noch nicht existieren.
Ермей Ульянов

Еремей Ульянов-политический деятель ММ.Правитель Гульмании с 31 июля 15 года. Гей и любитель пофапать на баб с мужскими членами. Жид, но недавно начал отрицать это.

## Краткая Информация

Место работы:Гульмания,Колонии Гульмании на Северном Аутизма

Должности:Колониальный губернатор-Северный Аутизм(3 июля),Лидер Гульмании(31 июля).

Олдфажность:3 июля 15 года Приход в ММ

## Карьера

3 июля он из числа рядовых жителей Гульмании стал губернатором Северного Аутизма и помогал колонизировать этот остров,изготавливая карты и снаряжая экспедиции.В середине июля им заинтересовался Горелов,и 31 июля Еремей получил должность приемника,а вскоре возглавил группу после ухода Горелова.За время его правления группа находилась в стадии заморозки и практически не обновлялась,из-за чего поднялись восстания.После возвращения Горелова он был скинут с этой должности и лишился прав на Северный Аутизм.

29 августа он стал редко появляться в ММ.
Meetkunde

Meetkunde is de tak van de wiskunde die zich bezig houdt met figuren, en de transformaties daarvan. Meetkunde is ook een van de oudste takken van de wiskunde, die al ontdekt was in het oude Griekenland. Met name Euclides was een van de belangrijke figuren, en zijn Euclidische meetkunde zou vele jaren daarna nog steeds de belangrijkste meetkunde zijn.
Meehelpen?

Als je wilt meehelpen, dan zou dat fijn zijn! Hier staan ongeveer instructies over hoe je "wiskundig" kan schrijven op een computer. Het idee is ongeveer als volgt: je kan. als je gewoon typt geen wiskundige formules maken (of andere fancy dingen). Daarvoor moet je naar de "source editor". Om daar te komen klik je op het menu linksboven (als je een pagina aan het editen bent). Dan klik je op source editor.

## Kopjes

Om een kopje te maken, zet je het tussen ='en, dus ==Kopjes==. Meer ='en levert kleinere kopjes.

## Wiskunde

Om wiskunde te typen, moet je iets typen als <math>formule</math>. Een overzicht van hoe je speciale tekens maakt vindt je meestal door te googelen op "LaTeX [teken]" (spreek uit Latech).
Differentiëren

Differentiëren is een operatie op functies

f
:

R

→

R

{\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}}

. Het betreft het uitrekenen van een zeker differentiaalquotiënt, een zekere limiet. Het is niet zo dat deze limiet altijd bestaat, en in dat geval heet een functie *niet-differentieerbaar.* Functies die je kan differentiëren zijn heel belangrijk binnen de calculus.

## Definitie

Stel dat

f
:

R

⊇
D
→

R

{\displaystyle f:\mathbb{R}\supseteq D\to \mathbb{R}}

 een functie is, en

a
∈
D

{\displaystyle a\in D}

. Dan is de volgende uitdrukking het differentiaalquotiënt, of het Newtonquotiënt:

lim

h
→
0

f
(
a
h
)
−
f
(
a
)

h

{\displaystyle \lim\_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}}

Als deze limiet bestaat dan heet

f

{\displaystyle f}

 differentieerbaar in

a

{\displaystyle a}

. Als de limiet voor alle

a
∈
D

{\displaystyle a\in D}

 bestaat, dan is deze limiet, die de afgeleide wordt genoemd, ook een functie van

D

{\displaystyle D}

 naar

R

{\displaystyle \R}

, en deze wordt genoteerd met

f
′

{\displaystyle f'}

.

## Standaardafgeleides

Er zijn heel veel functies die een bekende afgeleide hebben die je mag gebruiken. Met alleen deze afgeleides, en de regels voor afgeleides kom je meestal een heel eind met afgeleides berekenen. Een overzicht:

[
c

]
′

=
0

{\displaystyle [c]'=0}

, waar

c

{\displaystyle c}

 een constante is.

[

x
n

]
′

=
n

x

n
−
1

{\displaystyle [x^n]'=nx^{n-1}}

, voor alle reële

n

{\displaystyle n}

.

[
sin
⁡
(
x
)

]
′

=
cos
⁡
(
x
)

{\displaystyle [\sin(x)]'=\cos (x)}

, en

[
cos
⁡
(
x
)

]
′

=
−
sin
⁡
(
x
)

{\displaystyle [\cos (x)]'=-\sin(x)}

.

## Regels voor afgeleides

De belangrijkste regels voor afgeleides zijn de productregel en de somregel. Daarnaast is de kettingregel een handige hulp. Met behulp van deze regels is het bijvoorbeeld makkelijk om polynomen te differentiëren. Een andere belangrijke eigenschap van differentieerbare functies is dat ze altijd continu zijn, een bewijs staat hier. Een andere stelling over afgeleides is de middelwaardestelling. Een overzicht van alle stellingen staat op deze pagina.

## Impliciet differentiëren

Soms wil je een grafiek differentiëren die je eigenlijk helemaal niet kan differentiëren. Bijvoorbeeld de grafiek van een cirkel. Deze grafieken heten impliciete functies. Ze worden dus gegeven door een vergelijking

F
(
x
,
y
# )
0

{\displaystyle F(x, y) = 0}

, en alle

x
,
y

{\displaystyle x, y}

 die aan deze vergelijking voldoen teken je in de grafiek. In het geval van de cirkel is de relatie

x
2

y
2

−
# 1
0

{\displaystyle x^2+y^2-1=0}

. We gebruiken de methode van het zogeheten *rechtstreeks afleiden*. Je doet net of

y

{\displaystyle y}

 een functie is van

x

{\displaystyle x}

, en je kan dan gewoon

y
′

{\displaystyle y'}

 opschrijven als afgeleide.
Inverse functies

Inverse functies zijn precies wat de naam zegt: ze kunnen toegepast worden om andere functies ongedaan te maken.

## Definitie

Laat

f
:
A
→
B

{\displaystyle f:A \to B}

 een functie zijn. Dan is

g
:
B
→
A

{\displaystyle g:B \to A}

 een inverse functie als

g
(
f
(
a
)
# )
a

{\displaystyle g(f(a))=a}

 en

f
(
g
(
b
)
# )
b

{\displaystyle f(g(b))=b}

. Een functie heet inverteerbaar als hij een inverse heeft.

## Bijectieve functies

**Stelling:** De inverteerbare functies zijn precies de bijectieve functies.

**Bewijs:** Stel dat

f

{\displaystyle f}

 inverteerbaar is, en laat

g

{\displaystyle g}

 een inverse zijn. Dan geldt dat

g
∘
# f

Id
A

{\displaystyle g\circ f=\text{Id}\_A}

. Maar de identiteitsfunctie is bijectief. Omdat hij surjectief is, volgt dat

f

{\displaystyle f}

 ook wel surjectief moet zijn. Omdat hij injectief is, moet

g

{\displaystyle g}

 ook wel injectief zijn. Analoog kunnen we deze redenatie omkeren voor

f
∘
g

{\displaystyle f \circ g}

, en er volgt dat

f

{\displaystyle f}

 en

g

{\displaystyle g}

 bijectief zijn.

Stel dat

f

{\displaystyle f}

 bijectief zijn. Dan volgt dat er, voor alle

b
∈
B

{\displaystyle b\in B}

 precies een

a
∈
A

{\displaystyle a \in A}

 is met

f
(
a
# )
b

{\displaystyle f(a)=b}

. Laat

g
(
a
)

{\displaystyle g(a)}

 die unieke

a

{\displaystyle a}

 zijn. Het is duidelijk dat

g
(
f
(
a
)
# )
a

{\displaystyle g(f(a))=a}

, vanwege de definitie van

g

{\displaystyle g}

. Andersom is

f
(
g
(
b
)
# )
b

{\displaystyle f(g(b))=b}

, ook vanwege de definitie van

g

{\displaystyle g}

. Dus

f

{\displaystyle f}

 is inverteerbaar.
Tussenwaardestelling

De tussenwaardestelling is een handige stelling uit de calculus. Hij gaat over continue functies, die onder bepaalde voorwaarden een waarde moeten aannemen. Er is ook een topologische variant van deze stelling, die gek genoeg misschien wel makkelijker te bewijzen is.

## Stelling

Laat

a
,
b
∈

R

{\displaystyle a,b\in \mathbb{R}}

 en laat

# I
[
a
,
b
]

{\displaystyle I=[a,b]}

 het gesloten interval zijn, en laat

f
:
I
→

R

{\displaystyle f:I \to \R}

 een continue functie zijn. Laat dan

r

{\displaystyle r}

 een getal zijn tussen

f
(
a
)

{\displaystyle f(a)}

 en

f
(
b
)

{\displaystyle f(b)}

. Dan is er een

c
∈
I

{\displaystyle c\in I}

 met

f
(
c
# )
r

{\displaystyle f(c)=r}

.
Kettingregel

De kettingregel is een regel bij het differentiëren. De kettingregel definieert de afgeleide van de compositie van twee functies, om precies te zijn: als

f
,
g
:

R

→

R

{\displaystyle f,g: \mathbb{R}\to \mathbb{R}}

,

g

{\displaystyle g}

 is differentieerbaar in

x

{\displaystyle x}

, en

f

{\displaystyle f}

 is differentieerbaar in

g
(
x
)

{\displaystyle g(x)}

, dan is

f
(
g
(
x
)
)

{\displaystyle f(g(x))}

 differentieerbaar in

x

{\displaystyle x}

, en de afgeleide is gelijk aan

f
′

(
g
(
x
)
)
⋅

g
′

(
x
)

{\displaystyle f'(g(x))\cdot g'(x)}

.

## Bewijs van de kettingregel

Dit is het bewijs uit het calculusboek van Adams en Essex.

Stel dat de voorwaarden van de kettingregel waar zijn. Definieer dan een nieuwe functie

E
(
k
)

{\displaystyle E(k)}

 door

E
(
0
# )
0

{\displaystyle E(0)=0}

 en

E
(
k
# )

f
(
g
(
x
)
k
)
−
f
(
g
(
x
)
)

k

−

f
′

(
g
(
x
)
)

{\displaystyle E(k)=\frac{f(g(x)+k)-f(g(x))}{k}-f'(g(x))}

. Het leuke aan deze functie is dat de limiet

lim

k
→
0

E
(
k
# )

f
′

(
g
(
x
)
)
−

f
′

(
g
(
x
)
# )
0

{\displaystyle \lim\_{k\to 0} E(k)=f'(g(x))-f'(g(x))=0}

.

Dus

E
(
k
)

{\displaystyle E(k)}

 is continu in

0

{\displaystyle 0}

. Dit hebben we zo nog nodig. Daarnaast hebben we de volgende gelijkheid, deze geldt als

# k
0

{\displaystyle k=0}

, en ook als dat niet zo is:

f
(
g
(
x
)
k
)
−
f
(
g
(
x
)
# )
(

f
′

(
g
(
x
)
)
E
(
k
)
)
k

{\displaystyle f(g(x)+k)-f(g(x))=(f'(g(x))+E(k))k}

We vullen nu in

# k
g
(
x
h
)
−
g
(
x
)

{\displaystyle k=g(x+h)-g(x)}

. We krijgen dan

f
(
g
(
x
h
)
)
−
f
(
g
(
x
)
# )
(

f
′

(
g
(
x
)
)
E
(
g
(
x
h
)
−
g
(
x
)
)
)
(
g
(
x
h
)
−
g
(
x
)
)

{\displaystyle f(g(x+h))-f(g(x))=(f'(g(x))+E(g(x+h)-g(x)))(g(x+h)-g(x))}

.

Het plan is straks om

h

{\displaystyle h}

 naar

0

{\displaystyle 0}

 te laten gaan. We berekenen daarom

l
i

m

h
→
0

E
(
g
(
x
h
)
−
g
(
x
)
)

{\displaystyle lim\_{h\to 0} E(g(x+h)-g(x))}

. Omdat differentieerbare functies altijd continu zijn, geldt dat

lim

h
→
0

g
(
x
h
)
−
g
(
x
# )
0

{\displaystyle \lim\_{h\to 0} g(x+h)-g(x)=0}

. Omdat

E
(
k
)

{\displaystyle E(k)}

 continu was in

0

{\displaystyle 0}

, kunnen we nu concluderen wegens de compositie van limieten dat

lim

h
→
0

E
(
g
(
x
h
)
−
g
(
x
)
# )

lim

k
→
0

E
(
k
# )
0

{\displaystyle \lim\_{h\to 0}E(g(x+h)-g(x))=\lim\_{k\to 0} E(k)=0}

. Dus er geldt nu dat de afgeleide van

f
(
g
(
x
)
)

{\displaystyle f(g(x))}

 in

x

{\displaystyle x}

 gelijk is aan

[

f
(
g
(
x
)
)

]

′

=

lim

h
→
0

f
(
g
(
x
h
)
)
−
f
(
g
(
x
)
)

h

{\displaystyle \left[ f(g(x))\right]'=\lim\_{h\to 0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}}

=

lim

h
→
0

g
(
x
h
)
−
g
(
x
)

h

⋅
(

f
′

(
g
(
x
)
)
E
(
g
(
x
h
)
−
g
(
x
)
)
)

{\displaystyle =\lim\_{h\to 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h}\cdot (f'(g(x))+E(g(x+h)-g(x)))}

Wegens de formule hierboven die we bewezen hebben. We splitsen de limieten volgens het product van limieten, en vinden dan dat dit hetzelfde is als

(

f
′

(
g
(
x
)
)
0
)

g
′

(
x
)

{\displaystyle (f'(g(x))+0)g'(x)}

Dit bewijst de kettingregel.
Charlotte Wiki/Welcome

**Willkommen im Charlotte Wiki!**

Dieses Wiki ist eine Wikia Community für die laufende Anime-Serie "Charlotte"!
Hilfe und Beiträge sind willkommen! Ob eine deutsche Synchronisation für Charlotte erscheinen wird, ist bisher noch nicht bekannt.

Lerne mehr über den Anime und dessen Produktion!
Halte mit den neusten Episoden mit!
Lerne mehr über deine absoluten Lieblingscharaktere!
Lerne mehr über die 4-Koma Adaption!