Тема 1: Множества и други

## Множества

Множеството представлява съвкупност, област от обекти, наречени елементи на множеството. Даден елемент се среща точно един път, като елементите нямат специална подредба. Казваме, че елементът

X

{\displaystyle X}

 принадлежи на множеството

M

{\displaystyle M}

, и бележим:

X
∈
M

{\displaystyle X\in M}

. Аналогично

X
∉
M

{\displaystyle X \notin M}

. Можем да кажем, че елементите на едно множество са подбрани под някакъв критерий, който е валиден за всеки елемент от множеството.

Примери за множества:

* Множеството на естествените числа

N

{\displaystyle \mathbb{N}}

;
* Множеството на комплексните числа

C

{\displaystyle \mathbb{C}}

;
* Множеството на всички четни числа;

В математиката има и забележителни множества:

* Множество на Манделброт;
* Множество на Джулия;
* Размито множество и други.

### Някои означения при работа с множества:

* Когато говорим за единичен елемент или за набор от краен брой елементи, казваме, че елементът принадлежи на множеството:

∈

{\displaystyle \in}

 и

∉

{\displaystyle \notin}

.
* Когато говорим за област, казваме, че областта се съдържа (

⊂

{\displaystyle \subset}

 ) или може да се съдържа изцяло (

⊆

{\displaystyle \subseteq}

 ), или аналогично -

⊈

{\displaystyle \nsubseteq}

.
* Когато говорим за обединение на две области:

∪

{\displaystyle \cup}
* Когато говорим за сечение на две области:

∩

{\displaystyle \cap}
* Когато изброяваме елементи от множеството:

# M
{
a
,
b
,
c
,
.
.
.
,
n
}

{\displaystyle M = \{ a, b, c, ..., n \}}
* Когато има поставено условие за множеството:

# M
{
x
∈
B

# x
2
k
,
k
∈

N

}

{\displaystyle M = \{ x \in B | x = 2k, k \in \mathbb{N} \}}
* Когато искаме да кажем, че множество от елементи принадлежат да дадено множество, но с изключение на един елемент:

x
∈

M

/

/

{
0
}

{\displaystyle x \in \mathbb{M} // \{ 0 \}}

. Чете се: всички хиксове лежат в множеството

M

{\displaystyle \mathbb{M}}

, без числото 0.
* Празното множество

∅

{\displaystyle \emptyset}

 е подмножество на всяко множество.

### Определения:

* Ако

∀
x
∈
A
⇒
x
∈
B

{\displaystyle \forall x \in A \Rightarrow x \in B}

, казваме, че

A

{\displaystyle A}

 е подмножество на

B

{\displaystyle B}

, и бележим:

A
⊆
B

{\displaystyle A \subseteq B}

.

- В първи случай казваме, че множеството A e **собствено подмножество** на множеството В, тъй като не съвпада с В и се съдържа изцяло в него:

A
⊂
B
,
A
≠
B

{\displaystyle A \subset B, A\neq B}

.

- Във втория случай имаме, че всеки елемент на В е елемент на А и обратното:

# A
B

{\displaystyle A = B}

.

- Казваме, че А е **съществено подмножество** на В, ако

A
≠
∅
,
A
≠
B

{\displaystyle A \neq \emptyset, A \neq B}

.

* Празното множество е сечението на всеки две множества, които нямат нито един общ елемент.

## Операции с множества

* **Обединение** (събиране) на две или повече множества: това е множество, което се състои от елементите на двете множества. Бележим:

A
∪
B

{\displaystyle A \cup B}

. Можем да кажем, че ако искаме да изберем елемент от новото множество, то той принадлежи или на едното, или на другото сечение.

A
∪
# B
{
x

x
∈
A

x
∈
B
}

{\displaystyle A \cup B = \{ x| x \in A || x \in B\}}

.

* **Сечение** на множества: наричаме такова множество C, което съдържа елементи, принадлежащи едновременно на двете множества A и В. Представлява областта, обща и за двете множества:

A
∩
# B
C

{\displaystyle A \cap B = C}

.

A
∩
# B
{
x

x
∈
A
∧
x
∈
B
}

{\displaystyle A \cap B = \{ x|x \in A \and x \in B \}}

.

* **Разлика** на две множества: наричаме множество, което съдържа всички елементи от едно множество, но не съдържа нито един елемент от множеството, което изваждаме:

A

/

# B
{
x

x
∈
A
∧
x
∉
B
}

{\displaystyle A/B = \{ x| x \in A \and x \notin B \}}

. Аналогично ако от В вадим А:

B

/

# A
{
x

x
∈
B
∧
x
∉
A
}

{\displaystyle B/A = \{ x| x \in B \and x \notin A \}}

.

* Симетрична разлика на две множества: множество, което съдържа всички елементи от А, които не са елементи от В и обратното. Казано по друг начин - извадено е сечението на двете множества. Бележим:

A
△
# B
C

{\displaystyle A\triangle B = C}

.

## Свойства

* A
∪
# B
B
∪
A

{\displaystyle A \cup B = B \cup A}

Доказателство: Нека

x
∈
(
A
∪
B
)
⇒
(
C
⊂
A
)
∧
(
x
∈
B
)
⇔
(
x
∈
B
)
∧
(
x
∈
A
)
⇔
B
∪
A

{\displaystyle x \in (A \cup B) \Rightarrow (C \subset A) \and (x \in B) \Leftrightarrow (x \in B)\and (x \in A) \Leftrightarrow B \cup A}

. Вярно е и в обратната посока, когато имаме

B
∪
A

{\displaystyle B \cup A}

.

* (
A
∪
B
)
∪
# C
A
∪
(
B
∪
C
)

{\displaystyle (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)}
* A
∪
# ∅
A

{\displaystyle A \cup \emptyset = A}
* A
∪
# A
A

{\displaystyle A\cup A = A}
* A
∩
# B
B
∩
A

{\displaystyle A \cap B = B \cap A}
* (
A
∩
B
)
∩
# C
A
∩
(
B
∩
C
)

{\displaystyle (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)}
* A
∩
# ∅
∅

{\displaystyle A \cap \emptyset = \emptyset}
* A
∩
# A
A

{\displaystyle A \cap A = A}
* (
A
∪
B
)
∩
# C
(
A
∩
C
)
∪
(
B
∩
C
)

{\displaystyle (A \cup B) \cap C = (A \cap C)\cup (B\cap C)}
* (
A
∩
B
)
∪
# C
(
A
∪
C
)
∩
(
B
∪
C
)

{\displaystyle (A \cap B) \cup C = (A \cup C)\cap (B \cup C)}
* A

/

(
B
∩
C
# )
(
A

/

B
)
∪
(
A

/

C
)

{\displaystyle A/(B \cap C) = (A/B) \cup (A/C)}
* A

/

(
B
∪
C
# )
(
A

/

B
)
∩
(
A

/

C
)

{\displaystyle A/(B \cup C) = (A/B) \cap (A/C)}

## Множество на комплексните числа

**Имагинерна единица

(
i
)

{\displaystyle (i)}** представлява решение на уравнението:

x
2

# 1
0

{\displaystyle x^2+1=0}

. Решението е:

x

1
,
2

=
±

−
1

=
±
i

{\displaystyle x\_{1,2} = \plusmn \sqrt {-1} = \plusmn i}

. Следователно

i

=

−

1

{\displaystyle \ce{i = \sqrt {-1}}}

. Това решение в множеството на реалните числа не е възможно, затова казваме, че уравнението има комплексно решение в множеството на комплексните числа

C

{\displaystyle \mathbb{C}}

.

**Комплексно число** - това е число, състоящо се от реална част (реално число) и имагинерна част (имагинерно число). Реалната част се обозначава

R
e

{\displaystyle Re}

, а имагинерната част -

I
m

{\displaystyle Im}

. Общият вид на имагинерното число е:

a
.
i
b

{\displaystyle a.i+b}

, където

a
,
b
∈

R

{\displaystyle a,b\in \mathbb{R}}

.

**Множество на комплексните числа**

C

{\displaystyle \mathbb{C}}

- множество, към което се счита, че принадлежат комплексните числа. Най-често се представя, че множеството на реалните числа е собствено подмножество на това на комплексните.

Съществува клон от математическия анализ, наречен **комплексен анализ**, който разглежда всички свойства на числата, функциите им, производните им и т.н. За комплексния анализ е специфично разглеждането на сложни функции от вида

(
R
e
f
,
I
m
f
)

{\displaystyle (Re f, Im f)}

. Изобразяването на комплексни множества се осъществява с фрактали (множество на Манделброт, на Джулия) или чрез графики с оцветявания - графика на цветното колело, оцветяване на домейни и т.н.