2.19(b)

Sea un sólido cubico de

2
×
2
×
2

{\displaystyle 2 \times 2 \times 2 }

 con función de densidad

ρ
(
x
,
y
,
z
# )

x

2

y

2

z

2

{\displaystyle \rho (x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}}

.

Tomando como referencia el centro del cubo y los ejes paralelos a sus aristas. Aproxime la masa total de cubo partiéndolo todo en cubos más pequeños de

1
×
1
×
1

{\displaystyle 1 \times 1 \times 1 }

 y asumiendo que cada uno de ellos tiene densidad uniforme.

Primero, formo una representación gráfica de lo indicado:

Ya que tengo la representación, reconozco la estructura del punto medio, tanto por el planteamiento de "tomar el centro del cubo", como de suponer que será uniforme el valor central del cubo.

Asi que en base a esto, recuerdo la notación de las Sumas de Riemann con punto medio, y al reconocer que ahora opero bajo 3 variables independientes, realizo un proceso análogo a la transición, de una suma de Riemann sobre la recta, al plano, al espacio.

Así, obtengo la expresión

∑

# k
1

2

∑

# j
1

2

∑

# i
1

2

ρ
(

x
˙

,

y
˙

,

z
˙

)
Δ
V

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{2}\sum \_{j=1}^{2}\sum \_{i=1}^{2}\rho ({\dot {x}},{\dot {y}},{\dot {z}})\Delta V}

con

ρ
(

x
˙

,

y
˙

,

z
˙

# )

x

2

y

2

z

2

{\displaystyle \rho ({\dot {x}},{\dot {y}},{\dot {z}})=x^{2}+y^{2}+z^{2}}

Al evaluar con los puntos medios (-0.5 y 0.5) obtengo:

ρ

1

(
−
0.5
,
−
0.5
,
−
0.5
# )
(
−
0.5

)

2

(
−
0.5

)

2

(
−
0.5

)

2

=
3
(
0.25
# )
0.75

{\displaystyle \rho \_{1}(-0.5,-0.5,-0.5)=(-0.5)^{2}+(-0.5)^{2}+(-0.5)^{2}=3(0.25)=0.75}

ρ

2

(
−
0.5
,
−
0.5
,
0.5
# )
(
−
0.5

)

2

(
−
0.5

)

2

(
0.5

)

2

=
3
(
0.25
# )
0.75

{\displaystyle \rho \_{2}(-0.5,-0.5,0.5)=(-0.5)^{2}+(-0.5)^{2}+(0.5)^{2}=3(0.25)=0.75}

ρ

3

(
−
0.5
,
0.5
,
−
0.5
# )
(
−
0.5

)

2

(
0.5

)

2

(
−
0.5

)

2

=
3
(
0.25
# )
0.75

{\displaystyle \rho \_{3}(-0.5,0.5,-0.5)=(-0.5)^{2}+(0.5)^{2}+(-0.5)^{2}=3(0.25)=0.75}

ρ

4

(
−
0.5
,
0.5
,
0.5
# )
(
−
0.5

)

2

(
0.5

)

2

(
0.5

)

2

=
3
(
0.25
# )
0.75

{\displaystyle \rho \_{4}(-0.5,0.5,0.5)=(-0.5)^{2}+(0.5)^{2}+(0.5)^{2}=3(0.25)=0.75}

ρ

5

(
0.5
,
−
0.5
,
−
0.5
# )
(
0.5

)

2

(
−
0.5

)

2

(
−
0.5

)

2

=
3
(
0.25
# )
0.75

{\displaystyle \rho \_{5}(0.5,-0.5,-0.5)=(0.5)^{2}+(-0.5)^{2}+(-0.5)^{2}=3(0.25)=0.75}

ρ

6

(
0.5
,
−
0.5
,
0.5
# )
(
0.5

)

2

(
−
0.5

)

2

(
0.5

)

2

=
3
(
0.25
# )
0.75

{\displaystyle \rho \_{6}(0.5,-0.5,0.5)=(0.5)^{2}+(-0.5)^{2}+(0.5)^{2}=3(0.25)=0.75}

ρ

7

(
0.5
,
0.5
,
−
0.5
# )
(
0.5

)

2

(
0.5

)

2

(
−
0.5

)

2

=
3
(
0.25
# )
0.75

{\displaystyle \rho \_{7}(0.5,0.5,-0.5)=(0.5)^{2}+(0.5)^{2}+(-0.5)^{2}=3(0.25)=0.75}

ρ

8

(
0.5
,
0.5
,
0.5
# )
(
0.5

)

2

(
0.5

)

2

(
0.5

)

2

=
3
(
0.25
# )
0.75

{\displaystyle \rho \_{8}(0.5,0.5,0.5)=(0.5)^{2}+(0.5)^{2}+(0.5)^{2}=3(0.25)=0.75}

De la notación, veo que he de sumar, pero como es el mismo término, puedo ir directamente a multiplicar. Con lo que obtengo que:

8
(
0.75
# )
6.00

{\displaystyle 8(0.75)=6.00}

Y de la notación observo que

Δ
V

{\displaystyle \Delta V}

está multiplicando mis términos, pero como mis segmentos son de

1
×
1
×
1

{\displaystyle 1 \times 1 \times 1 }

, el resultado se ve inalterado.

Por lo que determino que esta figura tiene una masa total de 6 unidades de masa