Proceso de Poisson

Un proceso de Poisson es aquel en el cual, se contabilizan las veces que sucede un mismo evento a lo largo del tiempo, tomando en cuenta que el intervalo de tiempo entre ocurrencia ocurre al azar. Cada ocurrencia del evento es totalmente independiente de otra. Un ejemplo de esto se puede ver en un cajero automático de un banco, se pueden contabilizar cuantas personas utilizaron el cajero durante el día, sin embargo el tiempo de uso entre clientes no va a depender del usuario anterior, sino que es independiente. Así como también es independiente el tiempo de llegada entre clientes. Es llamado así por el matemático Siméon Poisson.

El proceso de Poisson se caracteriza por seguir una distribución exponencial con un parámetro λ que indica la media del proceso. Este tipo de distribución se caracteriza por no tener memoria, fenómeno que viene dado por la independencia entre sucesos antes mencionada.

### Campo de aplicación

El proceso de Poisson también se puede aplicar a un gran conjunto de eventos, a continuación están unos ejemplos de sus aplicaciones:

1. Número de accidentes de tránsito (o heridos/fallecidos) en una zona específica.

2. Goles anotados en un partido de futbol.

3. Solicitudes individuales de documentos en un servidor de Internet.

4. Emisión de partículas debido a la desintegración radiactiva de una sustancia inestable; en este caso el proceso de Poisson es no homogéneo de una manera predecible; la tasa de emisión declina conforme las partículas se emiten.

5. Potenciales de acción emitidos por una neurona.

6. L. F. Richardson demostró que el estallido de la guerra se presentó como un proceso de Poisson entre 1820 y 1850.

7. El conteo de fotones que llegan a un fotodiodo, en particular en ambientes con baja luminosidad; este fenómeno está relacionado con el llamado ruido de disparo.

8. Las oportunidades para que las empresas ajusten los precios de nómina.

9. La llegada de innovaciones en investigación y desarrollo.

10. La solicitud de llamadas telefónicas en conmutadores.

11. En teoría de colas, la tasa de llegadas de los clientes al servidor sigue un proceso de Poisson.

12. La cantidad de clientes que entran a una tienda.

13. El número de coches que pasan por una autopista.

14. La llegada de personas a una fila de espera.

15. La evolución de Internet en general.

### Caso práctico

Una empresa de distribución de energía eléctrica ha decidido enfrentar el invierno venidero con un Plan de Solución de Fallas Criticas. De las estadísticas recopiladas de los años anteriores, se puede concluir que las fallas críticas tienen dos orígenes posibles: Domiciliario y de Alumbrado Público. Ambas fallas se presentan según procesos de Poisson independientes, de tasa λD[fallas/día] para fallas domiciliarias y λA[fallas/día] para fallas de Alumbrado Público. Como parte del diseño del plan, se conformó un equipo de empleados altamente capacitados en la reparación de fallas en redes eléctricas. Este equipo acude a reparar las fallas reportadas demorándose un tiempo exponencialmente distribuido de media T[hrs] por cada una, incluyendo en este lapso el tiempo de transporte al lugar de la falla.

a) Si durante el primer mes de funcionamiento del Plan se han reportado F fallas, ¿Cuál es el número esperado de fallas para el segundo mes?

Como los meses son intervalos disjuntos de tiempo estas probabilidades son independientes. La esperanza del número de fallas en un mes será igual a:

Fallas esperadas=30\*(λA+ λD)

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera falla que se registre en un mes sea domiciliaria?

La respuesta a esta interrogante viene dada por un evento condicionado, es decir, se evalúa la probabilidad de que pase un evento, con respecto a la probabilidad de que suceda otro. Si TD es el tiempo en que ocurre la primera falla domiciliaria y TA es el tiempo en que ocurre la primera falla de alumbrado público sabemos que TD sigue una distribución exponencial de media λD y TA sigue una distribución exponencial de media λA

P[TD<TA]=λD/(λA+ λD)

c) El equipo de reparación está trabajando en la solución de una falla de Alumbrado Público. En promedio, ¿Cuántas fallas de cada tipo ocurrirán antes de que la reparación en curso sea finalizada?

Una manera de verlo es darse cuenta que los 3 procesos involucrados son independientes, y proceder a calcular directamente la esperanza. Otra manera es calcular la esperanzas de las fallas condicionado al tiempo que dure la reparación y luego calcular lo que nos piden. Si Tr es el tiempo que dura la reparación en meses:

Se está estudiando la posibilidad de dejar la reparación de fallas de Alumbrado Público en manos de una empresa contratista. Los términos del contrato indican que mensualmente se pagará como costo fijo un equivalente a R reparaciones a un costo unitario s1, mientras que el precio de cada reparación por sobre este mínimo será de s2, con s2 > s1.

d) Como Ingeniero de Estudios de la empresa distribuidora, plantee el problema de optimización que permita encontrar el valor R∗ que minimiza los costos mensuales esperados del contrato de reparación de fallas de Alumbrado Público.

En este caso los costos están divididos en 2 tramos: Si NA = Número de fallas de Alumbrado público son menores que R se pagará s1\*R, mientras que si NA > R se pagará s1\*R+s2\*(NA −R). Así el problema de minimización queda:

### Véase También

Toma de decisiones bajo incertidumbre

Análisis de Varianza

Juegos de estrategias aleatorizadas

Modelos de colas

Técnica de Evaluación y Revisión de Programas (PERT)

Toma de decisiones bajo certidumbre

## Referencias

Modelo probabilístico.

Proceso de Poisson.

Procesos de Poisson - Universidad de Chile