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Granovia

**Granovia**, (official name **Granovian Republic**; Italian: *Repubblica Granoviana*) is an archipelago located in the Tyrrhenian Sea, near the Italian Peninsula.

It has a population of 1,400,000 and its capital city is Casale.

The nation is a semi-presidential republic, with the President being Giacomo Rizzoli and the PM being Alessandro Rossi.

## Geography

Granovia is composed of four islands: Grande Scoglio, Gravidola, Castiglio and Isola Novo.

The nation is located near the Italian Peninsula and the Island of Ponza.

## History

A sultanate in Granovia was born in 1037, after the successful invasion of Byzantine-controlled Granovia by the Muslims. The Sultanate ceased to exist in 1293, following the ejection of the Muslim rulers by the Republic of Genoa. It was replaced by the Duchy of Granovia, established by the Piezzano family.

In 1605, the Spanish Empire conquered the Duchy.

In 1816, the territory of Granovia was handed over to the Kingdom of the Two Sicilies, which controlled the nation until 17 March 1861. Following the Italian unification, the three islands became Italian territory.

Granovia was established on 13 May 1893, following the secession of Grande Scoglio, Castiglio and Gravidola from the Kingdom of Italy.

The country had economic and military links with Italy until 1939 (although diplomatic alliance and some other exchanges were interrupted in 1922), when the World War II started.

In 1943, Italy invaded Granovia and established a fascist regime, which lasted until 1945.

In 2003, a new city was planned to be built. The edification of the area started in 2005 and finished in the summer of 2015.

## Administrative divisions

Granovia is divided into 7 regions (*regioni*), which are in turn divided into districts (*distretti*), divided into counties (*contee*).

1. Scoglio Dallari (Rizzo)
2. Cinquepini (Brigliano)
3. Barigno (Litora Aura)
4. Magliuzza (Scagliara)
5. Treborghi (Casale)
6. Gravidola (La Pozza)
7. Castiglio (Caprata)

## Major cities

1. Casale (300,000)
2. Caprata (200,000)
3. Treviano (170,000)
4. La Pozza (110,000)
5. Rizzo (105,000)
6. Scagliara (75,000)
7. Brigliano (TBD)
擴展E系統

**擴展E系統**（英語：**Extensible-E System**，簡稱ExE）是由Sbiis Saibian所發明的一種數陣記號。目前包含以下幾種記號，每種均是前種記號擴展而來，未來還有可能繼續擴展：

* 超E符號（E#）
* 擴展超E符號（xE#）
* 連鎖E符號（E^）
* 擴展連鎖E符號（xE^）
* 超擴展連鎖E符號（#xE^）

ExE也可以被稱為SAN（Saibian's Array Notation），這相當類似BAN（Bird's Array Notation，即鳥數陣記號）和HAN（Hyperfactorial Array Notation或Hollom's Array Notation，即超階乘數陣記號）。

基礎
--

每個ExE記號的形式均為Ea&a&...&a&a，其中每個a均為正整數，&為分隔符。分隔符是由給定的記號所定義的特殊字符串：

* 超E的分隔符只能為#
* 擴展超E允許一個或多個#
* 連鎖E添加^\*()
* 擴展連鎖E添加>+
* 超擴展連鎖E添加{}

其中較後面的符號為了釐清某些分隔符的定義，還介紹了它們對應的*基本序列*。

所有ExE記號均按照五條基本規則運作。這些基本規則是按照順序排的，先從第一條開始，如果不符合上條規則才應用這條規則。這五條規則分別為：

**1.基礎情形**
如果只有一個參數：En = 10^n

**2.分解情形**
如果最後一個分隔符是decomposable：@m&n = @m&[n]m

**3.終止情形**
如果最後一個參數 = 1：@&1 = @

**4.擴展情形**
如果最後一個分隔符不是原始海柏利昂：@m&\*#n = @m&m&\*#(n-1)

**5.遞迴情形**
@m#n = @(@m#(n-1))

這些規則有某些隱含條件，例如應用分解情形的前提是必須要有兩個以上的參數。這是因為如果要應用分解情形，基礎情形的條件必須不成立，而這代表會有兩個以上的參數。因此，雖然最後的規則沒有條件，但它事實上必須要有一些前提，即必須至少有兩個參數、最後一個參數大於1、最後的分隔符是原始海柏利昂。

對於某些較前級的符號，一些規則可能永遠不適用。如在xE#裡，沒有decomposable的分隔符，所以第2條永遠不適用。在E#裡，只有proto-hyperion分隔符，因此第2條和第4條永遠不適用。
《數沙術》

《數沙術》（英文名： The Sand Reckoner）是一個由阿基米德創造的作品，此作品是關於宇宙中可以塞進多少粒沙。

## 《數沙術》的大數字

首先，阿基米德要發明大數字的系統。那時候，可以表達數字最大只能到1萬， 即是可以延伸到1萬萬（即1億）。阿基米德就將1至1億定為第一序，將1億定為第二序的單位。將第二序乘1億，就變成第三序，如此類推，推到第1億序，等於\(10^{8 \times 10^{8}}\)。

然後，阿基米德將之前的序定為第一期的序，將\(10^{8 \times 10^{8}}\)定為第二期的單位。將第二期的第一序乘1億，就變成第二期的第二序，第二期的第1億序的單位，就變成第三期的單位，如此類推，推到第1億期，就是阿基米德定義的最大的數字，他稱作為「第一萬萬期的第一萬萬序的一萬萬單位」，這數字等於\(10^{8 \times 10^{16}}\)。

參考
--

1. ↑ http://www.lix.polytechnique.fr/Labo/Ilan.Vardi/sand\_reckoner.ps
Land Arts

**Land Arts** are a category of black magic on Sphera. These arts involve manipulation of earth and fire. They are associated with Terranok.

### **Effects and spells:**

#### **Fire:**

* Fireballs

* Lava blast
* Resistance to fire and/or high temperature
* Torchlight

**Earth:**

* Earthquakes
* Rock explosion
* Mountain Carving
* Levitate rocks/boulders
* Stoneshield

### **Regions practiced:**

* Vesper
* Geburah
* Hosh
* Tiphareth
* Malkuth
秈

**秈**（舊稱**咸**，讀音xiān，ㄒㄧㄢ，英語：unexian）是Misali式六進制系統中的一個數字。它等於1,296 = 1 00006。

## 參考來源

1. ↑ https://www.seximal.net/words/
2. ↑ https://www.seximal.net/mandarin

Misali式六進制系統

**少於秈：** 六 · 二六 · 三六 · 四六 · 五六 · 尼 · 六尼/tarumba
**秈系列:** **秈** · 乙秈 · 丙秈 · 丁秈 · 戊秈 · 甲無秈 · 甲甲秈 · 甲乙秈 · 甲丙秈 · 甲丁秈 · 甲戊秈 · 乙無秈
**秈系列擴展：** 乙甲秈 · 乙乙秈 · 乙丙秈 · 乙丁秈 · 乙戊秈 · 丙無秈 · 丁無秈 · 戊無秈 · 甲無無秈 · 乙無無秈 · 丙無無秈 · 丁無無秈 · 戊無無秈 · 甲無無無秈 · 甲無無無無秈
不可思議

**不可思議**（注音ㄅㄨˋ ㄎㄜˇ ㄙ ㄧˋ，漢語拼音bù kě sī yì），佛教用語，通常指的是1064，為那由他的一萬倍，無量大數的萬分之一。

中國元朝由朱世傑撰寫的《算學啟蒙》就有記載不可思議，當時代表的值為10120，也就是採用中國古代的中數表示法，億以後每過億進一次位。

日本的《塵劫記》也有記載，不過最早是採用極以下下數（每過十就進位），極以上中數（每過億進一次位）的方法，算出不可思議為1047。到了寬永8年，改成極之前萬進，極之後中數制，結果變成1080。寬永11年改成現行方法，統一改採萬進制，因此就變成1064了。

短級差系統命名和長級差系統命名：

* 短級差系統命名：ten vigintillion
* 長級差系統命名：ten decilliard

中文數字單位

一 · 十 · 百 · 千 · 萬 · 億 · 兆 · 京 · 垓 · 秭 · 穰 · 溝 · 澗 · 正 · 載 · 極 · 恆河沙 · 阿僧祇 · 那由他 · **不可思議** · 無量大數
Tritethrato-tethraduliath

Tritethrato-tethraduliath等于 E100#^^#^^#^^(#^^#)^(#^^#)100，约等于 \(\{100,100 [1 [1 [1 [1 [1 [1 [1 \backslash 2] 3 \neg 2] 2] 2 \neg 2] 2] 2 \neg 2] 2] 2\}\)（鸟之记号）或者\(f\_{\phi\_{\phi\_{\phi\_{\varepsilon\_0^2}(0)}(0)}(0)}(100)\)（FGH），用Madore‘s OCF可以表示为 \(f\_{\psi(\Omega^{\psi(\Omega^{\psi(\Omega^{\psi(0)^2})})})}(100)\)。

来源：https://sites.google.com/view/mtrgbmovies-tethrathoth/home
一

*這是一篇小作品。 你可以透過擴充來幫助大數學 维基。*

**等级0**

* \(0 \leq n \leq 6\)
* 仅需阿拉伯数字表示
* 生活常见

1（一／壹）是0与2之间的自然数，是最小的正奇数。

对于任何 \(a\):

\(a = a \times 1\) ,

对于任何 \(a \geq 0\) 和 对于任何 \(n \geq 0\)

\(a \underbrace{\uparrow\uparrow\ldots\uparrow\uparrow}\_n 1 = a\) (上箭號表示法) ,

对于任何 \(a > 0\) 和 对于任何 \(n > 0\)

\(a \underbrace{\uparrow\uparrow\ldots\uparrow\uparrow}\_n 0 = 1\).

中文數字單位

**一** · 十 · 百 · 千 · 萬 · 億 · 兆 · 京 · 垓 · 秭 · 穰 · 溝 · 澗 · 正 · 載 · 極 · 恆河沙 · 阿僧祇 · 那由他 · 不可思議 · 無量大數

基本數字

**一** · 二 · 三 · 四 · 五 · 六 · 七 · 八 · 九 · 十
快速增長層級

快速增長層級（FGH）是函數的層級（还有一个函数的层级：緩慢增長的層次結構）。用可算序數\(\alpha\)和基本列系
\begin{eqnarray\*}
[ \ ] \colon \{(\beta,n) \in \textrm{On} \times \mathbb{N} \mid \beta \leq \alpha \land \textrm{cof}(\beta) = \aleph\_0\} & \to & \textrm{On} \\
(\beta,n) & \mapsto & \beta[n],
\end{eqnarray\*}
快速增長層級
\begin{eqnarray\*}
(\alpha+1) \times \mathbb{N} & \to & \mathbb{N} \\
(\beta,n) & \mapsto & f\_{\beta}(n)
\end{eqnarray\*}
被定義為:

* 如果\(\beta = 0\)、\(f\_{\beta}(n) = n + 1\)
* 如果\(\beta = \beta'+1\)對於某些\(\beta' \in \textrm{On}\)、\(f\_{\beta}(n) = f^n\_{\beta'}(n)\)
* 如果\(\beta\)是極限序號、\(f\_{\beta}(n) = f\_{\beta[n]}(n)\)

## 更加易懂的解释

第二条的解释可能不易懂，但是：

\(f\_{\beta+1}(n)=f\_\beta^n(n)\)

示例
--

**警告：讀者應注意互聯網上對快速增長層級的許多解釋是不准確的。如果網頁在沒有固定基本列系的情況下引用快速增長層級的近似值或比較，請懷疑結果。（參考：en:fast-growing hierarchy#Warning）**例如、如果你發現著者寫"\(f\_{\omega}(n) = f\_n(n)\)"但沒有固定基本列系、請注意著者不理解快速增長層級的精確定義。
\begin{eqnarray\*}
f\_0(n) &=& n + 1 \\
f\_1(n) &=& f\_0^n(n) = ( \cdots ((n + 1) + 1) + \cdots + 1) = n + n = 2n \\
f\_2(n) &=& f\_1^n(n) = 2(2(\ldots 2(2n))) = 2^n n > 2^n
\end{eqnarray\*}
冪次

**冪次**是一個基本的二元運算符，記號為^。a和b進行冪次，可以寫成a^b、\(a^b\)、\(a \uparrow b\)，讀作a的b次方，或是a的b次冪。它的定義為重複相乘：

\(a^b = a \times a \times \cdots \times a\)（有b個a）

舉例：\(4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64\)。

不像加法和乘法，冪次不具有交換律和結合律 \(a^b \neq b^a\) 和 \(a^{(b^c)} \neq {(a^b)}^c\)。

在大數學中，冪次是超-3運算，即超運算中的第三個運算。

## 其余的特性

* 0n = 0(n≠0)
* n0 = 1
* 1n = 1
* n1 = n
* n-1=

1
n

{\displaystyle {\frac{1}{n}}}

## 分数指数幂

如果指数是分数，则计算方法为：

\(a^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{a^n}\)

计算等级

* 一级运算
* 二级运算
* 三级运算
* 四级运算
* 小数级别运算（暂时无解释）
Fzgoogolplex

*這是一篇小作品。 你可以透過擴充來幫助大數學 维基。*
**Fzgoogolplex**等於古戈爾普勒克斯的古戈爾普勒克斯次方=\(\text{googolplex}^{\text{googolplex}} = 10^{10^{10^{100}+100}}\)，他比古戈爾度普勒克斯稍微大一點

古戈爾和相關數字

**古戈爾-n-普勒克斯：**古戈爾 · 古戈爾普勒克斯 · 古戈爾度普勒克斯 · 古戈爾特利普勒克斯 · -quadriplex · -quinplex · -sextiplex · -septiplex · -octiplex · -noniplex · -deciplex · -centiplex
**古戈爾-103*n*-普勒克斯:** googolmilliplex · -megaplex · -gigaplex · -teraplex · -petaplex · -exaplex · -zettaplex · -yottaplex
**鮑爾斯的擴展：**吉戈爾 · gaggol · geegol · boogol · goobol · more...
**Saibian的擴展：**古戈爾弓 · grangol · greagol · gigangol · more...
**Cockburn的擴展:** gargoogolplex · **fzgoogolplex** · fugagoogolplex
**其他:** googolteen · googolty · great googol(plex) · 古戈爾邦 · zootzootplex
緩慢增長的層次結構

緩慢增長的層次結構是函數的層級。用可算序數\(\alpha\)和基本列系
\begin{eqnarray\*}
[ \ ] \colon \{(\beta,n) \in \textrm{On} \times \mathbb{N} \mid \beta \leq \alpha \land \textrm{cof}(\beta) = \aleph\_0\} & \to & \textrm{On} \\
(\beta,n) & \mapsto & \beta[n],
\end{eqnarray\*}
快速增長層級
\begin{eqnarray\*}
(\alpha+1) \times \mathbb{N} & \to & \mathbb{N} \\
(\beta,n) & \mapsto & g\_{\beta}(n)
\end{eqnarray\*}
被定義為:

* 如果\(\beta = 0\)、\(g\_{\beta}(n) = 0\)
* 如果\(\beta = \beta'+1\)對於某些\(\beta' \in \textrm{On}\)、\(g\_{\beta}(n) = g\_{\beta'}(n)+1\)
* 如果\(\beta\)是極限序號、\(g\_{\beta}(n) = g\_{\beta[n]}(n)\)

## 更加易懂的解释

第二条的解释可能不易懂，但是对于\(\beta\in\mathbb{N}\)：

\(g\_\beta(n)=\beta\)

示例
--

**警告：讀者應注意互聯網上對緩慢增長的層次結構的許多解釋是不准確的。如果網頁在沒有固定基本列系的情況下引用緩慢增長的層次結構的近似值或比較，請懷疑結果。（參考： en:Slow-growing hierarchy#Warning 和 en:Fast-growing hierarchy#Warning）**

\begin{eqnarray\*}
g\_0(n) &=& 0 \\
g\_1(n) &=& 1 \\
g\_2(n) &=& 2
\end{eqnarray\*}
古戈爾

**古戈爾**（英語：**googol**），又譯**古高爾**，代表10100，十進制寫法為「1後面有100個0」，即10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000
,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000。

歷史
--

這個詞是在1938年由美國數學家愛德華·卡斯納（Edward Kasner）的九歲侄子米爾頓·西羅蒂（Milton Sirotta）所創造出來的。同時被創造的數還有古戈爾普勒克斯（即10古戈爾）。

屬性
--

利用中文數字表示的話，相當於「一穰大數」，也就是1028 x 1072；不過現在既然有古戈爾了，通常就不會使用「一穰大數」了。

大小
--

古戈爾比可觀測宇宙中所有基本粒子加起來的總和還來得大，因為可觀測宇宙粒子的上界也大概只有1087。

但是對於階乘來講就不是這麼一回事了，光是70個人排成一列的方法數，也就是70!，就比古戈爾來的大一點了，其值大約是1.197857倍的古戈爾，也就是1.197857 x 10100。

應用
--

網路公司Google的名字正是從古戈爾（googol）來的，目的是希望能夠組織網路上無盡的信息資源。Google的總部Googleplex，則是從古戈爾普勒克斯（googolplex）來的。

## 參考來源

1. ↑ Googol（Wolfram Mathworld頁面）
2. ↑ [1]

**古戈爾**和相關數字

**古戈爾-n-普勒克斯：****古戈爾** · 古戈爾普勒克斯 · 古戈爾度普勒克斯 · 古戈爾特利普勒克斯 · -quadriplex · -quinplex · -sextiplex · -septiplex · -octiplex · -noniplex · -deciplex · -centiplex
**古戈爾-103*n*-普勒克斯:** googolmilliplex · -megaplex · -gigaplex · -teraplex · -petaplex · -exaplex · -zettaplex · -yottaplex
**鮑爾斯的擴展：**吉戈爾 · gaggol · geegol · boogol · goobol · more...
**Saibian的擴展：**古戈爾弓 · grangol · greagol · gigangol · more...
**Cockburn的擴展:** gargoogolplex · fzgoogolplex · fugagoogolplex
**其他:** googolteen · googolty · great googol(plex) · 古戈爾邦 · zootzootplex
James Nesbitt

## About

James Nesbitt portrays Tony Hughes in The Missing.

## Background

Born and raised in County Antrim, Northern Ireland, James moved to London to study at the Central School of Speech and Drama. After graduating, he embarked on a career in stage before making a successful film debut as talent agent ‘Fintan O’Donnell’ in Hear My Song (1991).

James later worked with celebrated British director Michael Winterbottom in Go Now (1995), Jude (1996) and Welcome to Saravejo (1997), and starred in the film Waking Ned Devine (1998) as pig farmer ‘Pig Finn’, a role that brought him international recognition.

He went on to star in Lucky Break (2001), and played the lead role of activist ‘Ivan Cooper’ in Paul Greengrass’s critically acclaimed film Bloody Sunday (2002). The film won the Audience Award at the Sundance Film Festival and the Golden Bear at the Berlin International Film Festival. James’s performance also earned him a BAFTA award nomination and the Best Actor Award at both the British Independent Film Awards and the Stockholm Film Festival.

James’s other film credits include roles in Danny Boyle’s film Millions (2004) and in Woody Allen’s 2005 film Match Point. In 2010 he starred in Matching Jack and appeared alongside Martin Sheen in Emilio Estevez’s The Way. More recently, he appeared in Coriolanus (2011), directed by Ralph Fiennes and co-starring Gerard Butler. He also appeared as ‘Bolfur’ Peter Jackson’s trilogy, The Hobbit (2012-14).

James has long been a familiar face to British television, appearing as’ Leo McGarvey’ in Ballykissangel (1996-8) and starring in Playing the Field (1998-9). His breakthrough television role, however, came when he played ‘Adam Williams’ in the ground-breaking Cold Feet (1997-2003) appearing alongside Helen Baxendale. James’s performance in Cold Feet earned him a British Comedy Award and a UK National Television Award.

He also played the title role of ‘Tommy Murphy’ in Murphy’s Law, and lead character ‘Nick’ in a BBC adaptation of The Millers Tale (2003), the second of Geoffrey Chaucer’s Canterbury Tales. In 2004, he played the lead in two television films Passer By, directed by David Morrissey and written by Tony Marchant, and Wall of Silence. In 2008 he played Pontius Pilate in the BBC mini-series The Passion and a year later starred with Liam Neeson in BBC Film’s Five Minutes of Heaven. He also starred in the BAFTA Award-winning series Occupation (2009) and in the feature length pilot of Danny Boyle’s Babylon, which will return to Channel 4 as a six-part series in late 2014.
Steven

Steven was the leader of a group of survivors Daniel met and went to the city with.

## Back from Oblivion

Daniel finds Steven and his group after escaping from Fort Benny. Steven asks Daniel whether he should be helping the rest of the army protect the city. But Daniel warns them not to go there telling the group that they were sent to kill all civilians. Steven invites Daniel into their base to help fix their radio. After fixing it, they hear a distress signal coming from the city, inside a warehouse. Steven takes Daniel and one of his men Chris to the city in a warthog.

Upon arrival they are chased through the city by a horde of zombies. But Steven believes that Chris was killed, but in fact he managed to avoid the zombies when foolishly deciding to unpack his belongings from his car. The zombies continue after Steven and Daniel until they trick the zombies into running in the wrong direction. A large military tank then arrives and is soon surrounded by zombies. Daniel accidentally attracts the zombies by firing his sniper and they are soon surrounded. They are saved however by Chris, who rams into them with his car. But the tank then aims at the car and kills Chris. Steven runs ahead to escape whilst Daniel destroys the tank with a rocket launcher. Steven is unfortunately killed by a large horde of zombies and Daniel arrives after to only watch in dismay.
Grangol

*這是一篇小作品。 你可以透過擴充來幫助大數學 维基。*
**Grangol**(Grand googol的簡稱)是由Sbiis Saibian所命名的，它等於\(\underbrace{10 \uparrow...\uparrow 10}\_{100個10} \uparrow 100\)，用超E符號表示即E100#100．

古戈爾和相關數字

**古戈爾-n-普勒克斯：**古戈爾 · 古戈爾普勒克斯 · 古戈爾度普勒克斯 · 古戈爾特利普勒克斯 · -quadriplex · -quinplex · -sextiplex · -septiplex · -octiplex · -noniplex · -deciplex · -centiplex
**古戈爾-103*n*-普勒克斯:** googolmilliplex · -megaplex · -gigaplex · -teraplex · -petaplex · -exaplex · -zettaplex · -yottaplex
**鮑爾斯的擴展：**吉戈爾 · gaggol · geegol · boogol · goobol · more...
**Saibian的擴展：**古戈爾弓 · **grangol** · greagol · gigangol · more...
**Cockburn的擴展:** gargoogolplex · fzgoogolplex · fugagoogolplex
**其他:** googolteen · googolty · great googol(plex) · 古戈爾邦 · zootzootplex

## 相關連結

1. ↑ Sbiis Saibian, Hyper-E numbers, Large Numbers, Google site.
鸟之记号

定义
--

[2],[3]...[1,2],[2,2]...[1,3]...[1,4]...[m,n],[1,1,2],[2,1,2]...[1,2,2],[2,2,2]...
[1,3,2]...[1,4,2]...[1,1,3]...[m,n,3],[1,1,4]...[m,n,q]...[1,1,1,2]...[m,n,q,r]...
[1[2]2],[2[2]2]...[1,2[2]2]...[1[2]3],[2[2]3]...[1[2]4]...[1[2]1,2]...[1[2]m,n]...
[1[2]1[2]2]...[1[3]2]...[m,n[2]q,r[3]2]...[1[3]3]...[1[3]1[3]2]...[1[4]2]...
[1[1,2]2]...[3[5]4[1,2]2]...[1[1,2]1[1,2]2]...[1[2,2]2]...[1[m,n]2]...[1[1,1,2]2]...
[1[1,1,1,2]2]...[1[1[2]2]2]...[1[1[3]2]2]...[1[1[1,2]2]2]...鸟之记号的运算遵循

下面的规则(按 M1、M2、M3 的顺序执行):
M1.如果指数 p 为 1,那么数阵的值为底数 b
M2.如果没有驾驶员,那么数阵的值为 bp
M3.把驾驶员减 1,把副驾驶(如果有的话)变成"整个数阵把指数减去 1 之后的值",乘客中
以分隔符[A]分隔的部分全都变成 b<A'>p(其中 A'除了第一个数比 A 小 1 外,其它部分与
A 相同)

规则 M3 中出现了尖角括号"<>",它是一个有拼接属性的二元算子,它的应用

规则如下.(其中#表示任意的分隔符、数字序列或空序列)
A1.b<0>p=b
A2.b<n+1#>p=b<n #>p[n+1#]b<n #>p[n+1#]......b<n #>p[n+1#]b<n #>p(p 个"b<n#>p")

 "<>"算子中,第一个数为 0 称作默认值,其它数为 1 称作默认值(在[]中只有 1
是默认值).我们把算子中第一个不是默认值的数称作算子驾驶员,把算子驾驶
员前面的所有东西称作算子乘客(注意,没有"算子副驾驶"这种东西).如下面的
算子中,红字为算子驾驶员,蓝字为算子乘客.

 <0,1,2,3> <1,2,3,4,2,1> <0[2,3]1[1,2]1[1,2]1[5]1,2,1,2>
现在,算子的规则 A1 可以认为是在"没有算子驾驶员"的情况下执行的,而规

 则 A2 可以认为是在"没有算子乘客"的情况下执行的,而有算子乘客的情况下,

 我们执行规则 A3.
A3.把算子驾驶员减 1,算子乘客中以分隔符[A]分隔的部分全都变成 p<A'>p(其中 A'除
了第一个数比 A 小 1 外,其它部分与 A 相同)

 鸟之记号有下面的性质:
性质 1

性质 2
性质 3

{A[M]1[N]B}={A[M]B}(等级[M]<[N])
<A[M]1[N]B>=<A[M]B>(等级[M]<[N])
{a,b,c}=a↑cb=a→b→c

性质 4(Bird's Proof)

对任意 a≥3,b≥2,d≥2,{a,b,c,d}>a→a→...a→(b-1)→(c+1)(d 个"a")

{a,b,c,d}<a→a→...a→b→(c+1)(d 个"a")

 实际上,如果是线性的一行数阵,鸟之记号与 BEAF 实际上是完全相同的,这

 也是性质 3 和 4 的一个来由.现在我们用几个例子说明上面的规则.
"b<1>p"="b<0>p[1]b<0>p[1]...b<0>p[1]b<0>p"(p 个"b<0>p")

 ="b,b,...b,b"(p 个"b"),这意味着 b<1>p 和 p&b 是等效的.
"b<2>p"="b<1>p[2]b<1>p[2]...b<1>p[2]b<1>p"(p 个"b<0>p")

="b,b,...b,b[2]b,b,...b,b[2]......b,b,...b,b[2]b,b,...b,b"(p2 个"b")

这意味着 b<2>p 和 p2&b 是等效的,[2]和(1)是等效的.
我们不难得出,"b<n>p"和 pn&b 是等效的,[n+1]和(n)是等效的

举例：

{3,2,2[2]2}={3,{3,1,2[2]2},1[2]2}={3,3[2]2}={3<1>3[2]1}={3,3,3}=tritri
{3,3,2[2]2}={3,{3,2,2[2]2},1[2]2}={3,tritri[2]2}={3<1>tritri[2]1}={3,3,...3,3}(tritri
个"3")=dupertri
{3,2,2[1,2]2}={3,{3,1,2[1,2]2},1[1,2]2}={3,3[1,2]2}={3<0,2>3[1,2]1}={3<3,1>3}
={3<3>3}={3,3,3[2]3,3,3[2]3,3,3[3]3,3,3[2]3,3,3[2]3,3,3[3]3,3,3[2]3,3,3[2]3,3,3}
=dimentri
{4,3[1,2]2}={4‹0,2›3[1,2]1}={4<3›3}

={4‹2›3[3]4‹2›3[3]4‹2›3}
={4,4,4[2]4,4,4[2]4,4,4[3]4,4,4[2]4,4,4[2]4,4,4[3]4,4,4[2]4,4,4[2]4,4,4}
={A}

 {4,3[3,2]2}={4<2,2>3[3,2]1}={4<1,2>3[2,2]4<1,2>3[2,2]4<1,2>3}
={A[1,2]A[1,2]A[2,2]A[1,2]A[1,2]A[2,2]A[1,2]A[1,2]A}={B}

 {4,3[1,3]2}={4<0,3>3}={4<3,2>3}={4<2,2>3[3,2]4<2,2>3[3,2]4<2,2>3}
={B[3,2]B[3,2]B}={C}

 {4,3[3,3]2}={4<2,3>3}={4<1,3>3[2,3]4<1,3>3[2,3]4<1,3>3}
={C[1,3]C[1,3]C[2,3]C[1,3]C[1,3]C[2,3]C[1,3]C[1,3]C}={D}

 {4,3[1,1,2]2}={4<0,1,2>3}={4<3,3,1>3}={4<3,3>3}
={4<2,3>3[3,3]4<2,3>3[3,3]4<2,3>3}

 ={D[3,3]D[3,3]D}={E}
Googolsextiplex

*這是一篇小作品。 你可以透過擴充來幫助大數學 维基。*
Googolsextiplex，是等於\(10^{10^{...^{100}}}\)  ，其中有7個10。此數字是由Googol (\(10^{100}\)) ， -sexti- (\(6\)) 和 -plex (\(10^{n}\)) 的後綴結合起來的。

古戈爾和相關數字

**古戈爾-n-普勒克斯：**古戈爾 · 古戈爾普勒克斯 · 古戈爾度普勒克斯 · 古戈爾特利普勒克斯 · -quadriplex · -quinplex · **-sextiplex** · -septiplex · -octiplex · -noniplex · -deciplex · -centiplex
**古戈爾-103*n*-普勒克斯:** googolmilliplex · -megaplex · -gigaplex · -teraplex · -petaplex · -exaplex · -zettaplex · -yottaplex
**鮑爾斯的擴展：**吉戈爾 · gaggol · geegol · boogol · goobol · more...
**Saibian的擴展：**古戈爾弓 · grangol · greagol · gigangol · more...
**Cockburn的擴展:** gargoogolplex · fzgoogolplex · fugagoogolplex
**其他:** googolteen · googolty · great googol(plex) · 古戈爾邦 · zootzootplex
阿克曼序

*這是一篇小作品。 你可以透過擴充來幫助大數學 维基。*
**阿克曼序**（英語：**Ackermann ordinal**）等於\(\varphi(1,0,0,0)\)（凡勃倫函數），\(\vartheta(\Omega^3)\)（Weiermann的theta函數），\(\theta(\Omega^2)\)（鳥的theta函數）和\(\psi\_0(\Omega^{\Omega^2})\)（布克霍爾茲的psi函數）。參見序符號。

它是函數\(\alpha\mapsto\varphi(\alpha,0,0)\)的第一個不動點，也是不能用3參數凡勃倫函數來表示的最小序數。

### 參見

集合論與序分析

**基礎：** 基數 · 普通函數 · 序符號 · 序數
**理論：** Presburger arithmetic · 皮亞諾算術 · 二階算術 · ZFC
**可數序：** \(\omega\) · \(\varepsilon\_0\) · \(\zeta\_0\) · \(\eta\_0\) ·\(\Gamma\_0\) · **\(\varphi(1,0,0,0)\)（阿克曼序）** · \(\psi\_0(\Omega^{\Omega^{\omega}})\)（小凡勃倫序） · \(\psi\_0(\Omega^{\Omega^{\Omega}})\)（大凡勃倫序） · \(\psi\_0(\varepsilon\_{\Omega + 1}) = \psi\_0(\Omega\_2)\)（巴赫曼-霍華德序） · \(\psi\_0(\Omega\_{\omega})\)（用布赫霍爾茨的\(\psi\)函數） · \(\psi\_0(\varepsilon\_{\Omega\_\omega + 1})\)（塔克第-費佛曼-布克霍爾茲序） · \(\omega\_1^\mathfrak{Ch}\) · \(\omega\_1^\text{CK}\)（丘奇-克萊尼序） · \(\lambda,\zeta,\Sigma,\gamma\)
**非可數基數:**  \(\omega\_1\) · omega fixed point · inaccessible cardinal \(I\) · Mahlo cardinal \(M\) · weakly compact cardinal \(K\) · indescribable cardinal · rank-into-rank cardinal
乙秈

**乙秈**（舊稱**比咸**，秈：xiān，ㄒㄧㄢ，英語：biexian）是Misali式六進制系統中的一個數字。它等於1,679,616 = 1 0000 00006 = 68。

## 參考來源

1. ↑ https://www.seximal.net/words/
2. ↑ https://www.seximal.net/mandarin

Misali式六進制系統

**少於秈：** 六 · 二六 · 三六 · 四六 · 五六 · 尼 · 六尼/tarumba
**秈系列:** 秈 · **乙秈** · 丙秈 · 丁秈 · 戊秈 · 甲無秈 · 甲甲秈 · 甲乙秈 · 甲丙秈 · 甲丁秈 · 甲戊秈 · 乙無秈
**秈系列擴展：** 乙甲秈 · 乙乙秈 · 乙丙秈 · 乙丁秈 · 乙戊秈 · 丙無秈 · 丁無秈 · 戊無秈 · 甲無無秈 · 乙無無秈 · 丙無無秈 · 丁無無秈 · 戊無無秈 · 甲無無無秈 · 甲無無無無秈
古戈爾普勒克斯

**古戈爾普勒克斯**（英語：**googolplex**）是指1010100，或者10古戈爾，亦或1010,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000
,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000，十進制寫法為「1後面有古戈爾個0」。這個數字是和古戈爾一起創造的，據說原本的定義是你愛寫幾個0就寫幾個0，直到寫完為止，這樣的數字叫做古戈爾普勒克斯。後來因為太模稜兩可，而改成現今的定義。

因為宇宙中的基本粒子只有1087個，而古戈爾是10100，所以「1後面有古戈爾個0」是不可能寫得出來的。

另外，古戈爾普勒克斯等於1098個古戈爾相乘。因為「1098個古戈爾相乘」 = 古戈爾1098 = (10100)1098 = 10100 x 1098 = 1010100，也就是古戈爾普勒克斯。

古戈爾和相關數字

**古戈爾-n-普勒克斯：**古戈爾 · **古戈爾普勒克斯** · 古戈爾度普勒克斯 · 古戈爾特利普勒克斯 · -quadriplex · -quinplex · -sextiplex · -septiplex · -octiplex · -noniplex · -deciplex · -centiplex
**古戈爾-103*n*-普勒克斯:** googolmilliplex · -megaplex · -gigaplex · -teraplex · -petaplex · -exaplex · -zettaplex · -yottaplex
**鮑爾斯的擴展：**吉戈爾 · gaggol · geegol · boogol · goobol · more...
**Saibian的擴展：**古戈爾弓 · grangol · greagol · gigangol · more...
**Cockburn的擴展:** gargoogolplex · fzgoogolplex · fugagoogolplex
**其他:** googolteen · googolty · great googol(plex) · 古戈爾邦 · zootzootplex
Googolmilliplex

*這是一篇小作品。 你可以透過擴充來幫助大數學 维基。*
Googolmilliplex，是等於\(10^{10^{...^{100}}}\)  ，其中有10^3+1個10。此數字是由Googol (\(10^{100}\)) ， -milli- (\(10^{3}\)) 和 -plex (\(10^{n}\)) 的後綴結合起來的。

古戈爾和相關數字

**古戈爾-n-普勒克斯：**古戈爾 · 古戈爾普勒克斯 · 古戈爾度普勒克斯 · 古戈爾特利普勒克斯 · -quadriplex · -quinplex · -sextiplex · -septiplex · -octiplex · -noniplex · -deciplex · -centiplex
**古戈爾-103*n*-普勒克斯:** **googolmilliplex** · -megaplex · -gigaplex · -teraplex · -petaplex · -exaplex · -zettaplex · -yottaplex
**鮑爾斯的擴展：**吉戈爾 · gaggol · geegol · boogol · goobol · more...
**Saibian的擴展：**古戈爾弓 · grangol · greagol · gigangol · more...
**Cockburn的擴展:** gargoogolplex · fzgoogolplex · fugagoogolplex
**其他:** googolteen · googolty · great googol(plex) · 古戈爾邦 · zootzootplex
加法

**加法**是一個基本的二元運算符，記號為+。a和b相加，可以寫作a + b，讀作a加b。它的一個簡單的定義為在對象a上面增加b個多出來的對象。加法也可以被描述成兩個互斥集合（假設兩集合的基數為a和b）所形成的集合的基數。其中的a和b可稱為項，a+b稱為和。

在大數學中，加法是超-1運算，也就是超運算的第一個運算。

對於所有的a和b，加法具有交換律：a + b = b + a；它也具有結合律：(a + b) + c = a + (b + c)。另外，重複的加法可以被稱為乘法（即下一個超運算）。

零是加法運算的單位元素，也就是說，對於所有的n，0 + n = n。

## 利用後繼數的遞迴定義

加法也可利用後繼數來制定遞迴定義，如下：

* a + 0 = a
* a + b' = (a + b)'

例如2 + 3 = 5，採用上述定義方法，則有以下推導過程：

2 + 3 = 2 + 2' = (2 + 2)' = (2 + 1')' = ((2 + 1)')' = ((2 + 0')')' = (((2 + 0)')')' = ((2')')' = (3')' = 4' = 5

儘管這種方法看似愚笨，其實對於後面超運算的定義是有起到一定的幫助的。因為超運算的遞迴版定義方式其實也類似於上。
Fugagoogolplex

*這是一篇小作品。 你可以透過擴充來幫助大數學 维基。*
Fugagoogolplex是\(\text{古戈尔普勒克斯}\downarrow\downarrow\text{古戈尔普勒克斯}\)，约等于\(f\_2^4(326)\)。

古戈爾和相關數字

**古戈爾-n-普勒克斯：**古戈爾 · 古戈爾普勒克斯 · 古戈爾度普勒克斯 · 古戈爾特利普勒克斯 · -quadriplex · -quinplex · -sextiplex · -septiplex · -octiplex · -noniplex · -deciplex · -centiplex
**古戈爾-103*n*-普勒克斯:** googolmilliplex · -megaplex · -gigaplex · -teraplex · -petaplex · -exaplex · -zettaplex · -yottaplex
**鮑爾斯的擴展：**吉戈爾 · gaggol · geegol · boogol · goobol · more...
**Saibian的擴展：**古戈爾弓 · grangol · greagol · gigangol · more...
**Cockburn的擴展:** gargoogolplex · fzgoogolplex · **fugagoogolplex**
**其他:** googolteen · googolty · great googol(plex) · 古戈爾邦 · zootzootplex
Googolteen

*這是一篇小作品。 你可以透過擴充來幫助大數學 维基。*
Googolteen，等於10^100+10，是從Googol (10^100) 和 -teen (加10) 的後綴結合。

古戈爾和相關數字

**古戈爾-n-普勒克斯：**古戈爾 · 古戈爾普勒克斯 · 古戈爾度普勒克斯 · 古戈爾特利普勒克斯 · -quadriplex · -quinplex · -sextiplex · -septiplex · -octiplex · -noniplex · -deciplex · -centiplex
**古戈爾-103*n*-普勒克斯:** googolmilliplex · -megaplex · -gigaplex · -teraplex · -petaplex · -exaplex · -zettaplex · -yottaplex
**鮑爾斯的擴展：**吉戈爾 · gaggol · geegol · boogol · goobol · more...
**Saibian的擴展：**古戈爾弓 · grangol · greagol · gigangol · more...
**Cockburn的擴展:** gargoogolplex · fzgoogolplex · fugagoogolplex
**其他:** **googolteen** · googolty · great googol(plex) · 古戈爾邦 · zootzootplex
Googolteraplex

*這是一篇小作品。 你可以透過擴充來幫助大數學 维基。*
Googolteraplex，是等於\(10^{10^{...^{100}}}\)  ，其中有10^12+1個10。此數字是由Googol (\(10^{100}\)) ， -tera- (\(10^{12}\)) 和 -plex (\(10^{n}\)) 的後綴結合起來的。

古戈爾和相關數字

**古戈爾-n-普勒克斯：**古戈爾 · 古戈爾普勒克斯 · 古戈爾度普勒克斯 · 古戈爾特利普勒克斯 · -quadriplex · -quinplex · -sextiplex · -septiplex · -octiplex · -noniplex · -deciplex · -centiplex
**古戈爾-103*n*-普勒克斯:** googolmilliplex · -megaplex · -gigaplex · **-teraplex** · -petaplex · -exaplex · -zettaplex · -yottaplex
**鮑爾斯的擴展：**吉戈爾 · gaggol · geegol · boogol · goobol · more...
**Saibian的擴展：**古戈爾弓 · grangol · greagol · gigangol · more...
**Cockburn的擴展:** gargoogolplex · fzgoogolplex · fugagoogolplex
**其他:** googolteen · googolty · great googol(plex) · 古戈爾邦 · zootzootplex
古戈爾特利普勒克斯

*這是一篇小作品。 你可以透過擴充來幫助大數學 维基。*
**古戈爾特利普勒克斯**（英語：**googoltriplex**）為\(10^{10^{10^{10^{100}}}}\)，即10的古戈爾度普勒克斯次方（1後有古戈爾度普勒克斯個0），用超E符號表示為E100#4 = E2#5。

古戈爾和相關數字

**古戈爾-n-普勒克斯：**古戈爾 · 古戈爾普勒克斯 · 古戈爾度普勒克斯 · **古戈爾特利普勒克斯** · -quadriplex · -quinplex · -sextiplex · -septiplex · -octiplex · -noniplex · -deciplex · -centiplex
**古戈爾-103*n*-普勒克斯:** googolmilliplex · -megaplex · -gigaplex · -teraplex · -petaplex · -exaplex · -zettaplex · -yottaplex
**鮑爾斯的擴展：**吉戈爾 · gaggol · geegol · boogol · goobol · more...
**Saibian的擴展：**古戈爾弓 · grangol · greagol · gigangol · more...
**Cockburn的擴展:** gargoogolplex · fzgoogolplex · fugagoogolplex
**其他:** googolteen · googolty · great googol(plex) · 古戈爾邦 · zootzootplex
美卡

**美卡**（英語：**Mega**），在斯坦豪斯-莫澤記號中等於Circle(2) (②)或Pentagon(2)。雨果·斯坦豪斯在他的《數學快照》中定義了這個數，一同被定義的還有美吉斯頓。美卡也可以定義為\(m\_{256}\)，其中m序列的定義為\(m\_0 = 256\)及\(m\_{n + 1} = m\_n^{m\_n}\)。

斯坦豪斯表明它等於Square(256)：

Pentagon(2) = Square(Square(2)) = Square(Triangle(Triangle(2))) = Square(Triangle(4)) = Square(256) = Triangle256(256)
Sbiis Saibian計算出它的最後14位為...93539660742656。

它也是羅伯特·默納福的*Notable Properties of Specific Numbers*中最後一個數字.

## 數值與其他符號的近似

Matt Hudelson稱此數為**zelda**。在他使用的變種斯坦豪斯-莫澤記號中，美卡可以寫為Triangle(2)。

在超莫澤記號中，美卡可以寫為M(2,3)，在下箭號表示法中可寫為\(2 \downarrow\downarrow\downarrow 259\)。

美卡可以用箭號表示法定出上下界：

\[10\uparrow\uparrow 257 < \text{Mega} < 10\uparrow\uparrow 258\]

利用超E符號可以更精確地界定：

\[\text{E}619\#256 < \text{Mega} < \text{E}620\#256\]

因此，它位在吉戈爾和吉戈爾普勒克斯間。

美卡在m(n)變換中等於\(m(3)m(2)m(1)(2)\), 在急增加函數中等於\(2^{f\_2^{257}(2)}\)。

## 參考來源

1. ↑ Mega
2. ↑ Mega - Large Numbers
3. ↑ Notable Properties of Specific Numbers (page 22)
4. ↑ Moser
5. ↑ Large numbers by Aarex Tiaokhiao
6. ↑ Googology Wiki Talk:Mega

參見
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* 美吉斯頓
* 莫澤
* 斯坦豪斯-莫澤記號
Googolseptiplex

*這是一篇小作品。 你可以透過擴充來幫助大數學 维基。*
Googolseptiplex，是等於\(10^{10^{...^{100}}}\)  ，其中有8個10。此數字是由Googol (\(10^{100}\)) ， -septi- (\(7\)) 和 -plex (\(10^{n}\)) 的後綴結合起來的。

古戈爾和相關數字

**古戈爾-n-普勒克斯：**古戈爾 · 古戈爾普勒克斯 · 古戈爾度普勒克斯 · 古戈爾特利普勒克斯 · -quadriplex · -quinplex · -sextiplex · **-septiplex** · -octiplex · -noniplex · -deciplex · -centiplex
**古戈爾-103*n*-普勒克斯:** googolmilliplex · -megaplex · -gigaplex · -teraplex · -petaplex · -exaplex · -zettaplex · -yottaplex
**鮑爾斯的擴展：**吉戈爾 · gaggol · geegol · boogol · goobol · more...
**Saibian的擴展：**古戈爾弓 · grangol · greagol · gigangol · more...
**Cockburn的擴展:** gargoogolplex · fzgoogolplex · fugagoogolplex
**其他:** googolteen · googolty · great googol(plex) · 古戈爾邦 · zootzootplex
費佛曼-舒特序

*這是一篇小作品。 你可以透過擴充來幫助大數學 维基。*
費佛曼-舒特序(英語:Feferman–Schütte ordinal) 等於\(\varphi(1,0,0)\)（凡勃倫函數[英語]），\(\vartheta(\Omega^2)\)（Weiermann的theta函數[英語]），\(\theta(\Omega,0)\)（費佛曼的theta函數[英語]）和\(\psi\_0(\Omega^{\Omega})\)（布克霍爾茲的psi函數[英語]）。

它是函數\(\alpha\mapsto\varphi(\alpha,0)\)的第一個不動點，也是不能用2參數凡勃倫函數來表示的最小序數。

费佛曼-舒特序数可以写做\(\Gamma\_0\)，之后是\(\Gamma\_1，\Gamma\_2\)等等。\(\Gamma\_{\Gamma\_{\Gamma\_{.\_{.\_.}}}}\)为\(\beta\_0\)，或者\(\varphi(1,1,0)\)。

參見
--

集合論與序分析

**基礎：** 基數 · 普通函數 · 序符號 · 序數
**理論：** Presburger arithmetic · 皮亞諾算術 · 二階算術 · ZFC
**可數序：** \(\omega\) · \(\varepsilon\_0\) · \(\zeta\_0\) · \(\eta\_0\) ·**\(\Gamma\_0\)** · \(\varphi(1,0,0,0)\)（阿克曼序） · \(\psi\_0(\Omega^{\Omega^{\omega}})\)（小凡勃倫序） · \(\psi\_0(\Omega^{\Omega^{\Omega}})\)（大凡勃倫序） · \(\psi\_0(\varepsilon\_{\Omega + 1}) = \psi\_0(\Omega\_2)\)（巴赫曼-霍華德序） · \(\psi\_0(\Omega\_{\omega})\)（用布赫霍爾茨的\(\psi\)函數） · \(\psi\_0(\varepsilon\_{\Omega\_\omega + 1})\)（塔克第-費佛曼-布克霍爾茲序） · \(\omega\_1^\mathfrak{Ch}\) · \(\omega\_1^\text{CK}\)（丘奇-克萊尼序） · \(\lambda,\zeta,\Sigma,\gamma\)
**非可數基數:**  \(\omega\_1\) · omega fixed point · inaccessible cardinal \(I\) · Mahlo cardinal \(M\) · weakly compact cardinal \(K\) · indescribable cardinal · rank-into-rank cardinal
迭代冪次

迭代幂次相当于第四阶级运算（前三级分别为：加，乘，幂次），迭代幂次相当于幂塔。

例如\(3^3\)，那么迭代幂次可以用23，或者用\(3 \uparrow\uparrow 2\)表示，按着这样看，迭代幂次便变得易懂了。

\(3^{3^3} = 3 \uparrow\uparrow 3 = 7625597484987\)

\(4^{4^{4^4}} = 4 \uparrow\uparrow 4 \approx 10^{8.072 \times 10^{153}}\)

\(m \uparrow\uparrow n = m^{m^{\cdots^{m}}}\)(共n个m）

迭代幂次的增长巨大，下面列出“用3个3结合符号”组成的大数。

\(3+3+3 = 9\)

\(3 \times 3 \times 3 = 27\)

\(3^{3^3} = 7625597484987\)

\(3 \uparrow\uparrow 3 \uparrow\uparrow 3 = 3^{3^{\cdots^{3}}}\)(共7625597484987个3）
鏈式箭號表示法

**鏈式箭號表示法**（英語：**Chained arrow notation**），是康威及蓋伊將上箭號表示法推廣之後而成的箭號表示法。鳥的證明中說明，喬納森·鮑爾斯的數陣記號所表示的值通常比鏈式箭號表示法來得大。

Nathan Ho和Wojowu表明鏈式箭號表示法會終止；也就是說，對於所有輸入，都會有一個對應的輸出。

定義
--

1. \(a \rightarrow b = a^{b}\)
2. \(a \rightarrow b \rightarrow c = a\underbrace{\uparrow\ldots\uparrow}\_cb\)（即為上箭號表示法）
3. \(a \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow 1 = a \rightarrow\ldots\rightarrow b\)（當最後一項為1時，可以直接忽略）
4. \(a \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow 1 \rightarrow c = a \rightarrow\ldots\rightarrow b\)
5. \(a \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow (c + 1) \rightarrow (d + 1) = a \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow (a \rightarrow\ldots\rightarrow b \rightarrow c \rightarrow (d + 1) ) \rightarrow d\)

例子
--

以下是鏈式箭號的一些小例子：

\(3 \rightarrow 3 \rightarrow 2 = 3\uparrow\uparrow3 = 7,625,597,484,987\)

\(3 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 2\)
\(= 3 \rightarrow 3 \rightarrow (3 \rightarrow 3 \rightarrow 1 \rightarrow 2) \rightarrow 1\)
\(= 3 \rightarrow 3 \rightarrow (3 \rightarrow 3 \rightarrow 1 \rightarrow 2)\)
\(= 3 \rightarrow 3 \rightarrow (3 \rightarrow 3)\)
\(= 3 \rightarrow 3 \rightarrow (3^{3})\)
\(= 3 \rightarrow 3 \rightarrow 27\)
\(= 3 \underbrace{\uparrow\ldots\uparrow}\_{27} 3 \)
## CG函數

康威及蓋伊使用鏈式箭號創造了類似阿克曼數的函數，即\(cg(n) = \underbrace{n \rightarrow n \rightarrow \ldots \rightarrow n \rightarrow n}\_n\)。雖然在n等於1至3時都與阿克曼數相同，但\(cg(4) = 4\rightarrow 4\rightarrow 4\rightarrow 4 > \lbrace 4,4,3,2 \rbrace\)（使用鳥的證明），因此cg(4)遠遠大於葛立恆數，更遠遠大於第四個阿克曼數特利德特。

這個函數的增長率為\(f\_{\omega^2}(n)\)，相當於BEAF的4項數陣。

## Peter Hurford的擴展

Peter Hurford擴展了鏈式箭號，並加入下述規則：

\(a \rightarrow\_c b = \underbrace{a \rightarrow\_{c-1} a \rightarrow\_{c-1}\ldots\rightarrow\_{c-1} a \rightarrow\_{c-1}a}\_{b \rightarrow\_{c-1}'s}\)

所有其他規則保持不變。因此，它適用於無下標的情況。注意，\(3 \rightarrow\_{2} 3 \rightarrow 3\)是非法的，整個表達式的右箭號必須為單一形式。此外，Hurford表明\(f(n) = n \rightarrow\_n n\)相當於\(f\_{\omega^3}(n)\)（快速增長階層）。如果我們允許表達式混合不同形式的右箭號，增長率可提升為\(f(n) \approx f\_{\omega^\omega}(n)\)。

此外，他還定義了C(n)：

\(C(a) = a \rightarrow\_a a\)
\(C(a,1) = a \rightarrow\_{C(a)} a\)
\(C(a,b) = a \rightarrow\_{C(a,b-1)} a\)
\(C(a,1,1) = C(a,C(a,a))\)
\(C(a,b,1) = C(a,C(a,b-1,1))\)
\(C(a,1,c) = C(a,C(a,a,c-1),c-1)\)
\(C(a,b,c) = C(a,C(a,b-1,c),c-1)\)
函數\(f(n) = C(n,n,n)\)和\(f\_{\omega^3 + \omega}(n)\)（快速增長階層）的增長率相當。

來源
--

1. ↑ *The Book of Numbers*, by J. H. Conway and R. K. Guy
2. ↑ Chained Arrow Notation
3. ↑ http://snappizz.com/termination
4. ↑ Large Numbers, Part 2: Graham and Conway
5. ↑ Large Numbers, Part 3: Functions and Ordinals
小凡勃倫序

*這是一篇小作品。 你可以透過擴充來幫助大數學 维基。*
**小凡勃倫序**（英語：**small Veblen ordinal**）是\(\varphi(1, 0),\varphi(1, 0, 0),\varphi(1, 0, 0, 0),\varphi(1, 0, 0, 0, 0),\ldots\)序列的極限\(\sup\_{n \in \omega} \varphi(1,\underbrace{0,……,0,0}\_{n \textrm{個} 0})\)。如果我們通過將變量移位 1 來解釋 Veblen 的原始定義、它也是\(\varphi(1,\underbrace{0,……,0,0}\_{\omega \textrm{個} 0})\)。其中\(\varphi\)是凡勃倫階層的多參數擴展。使用Weiermann的theta函數可以表示為\(\vartheta(\Omega^\omega)\)。

使用凡勃倫階層的超限擴展，它等於\(\left(\begin{array}{c}1\\ \omega\end{array}\right)\)。我們注意到這是 Schutte Klammersymbolen 符號。我們在這裡不需要 \(\varphi\)。

它在葛立恒数二吧（一个百度贴吧）等中文大数社区经常写作\(\varphi(1@\omega)\)，其中@代表换行，但它并不出自学术论文，而是个人作品《大数入门》。

## 使用其他表示法

 大数入门中带@的φ函数

腳註
--

1. ↑ 最初的符號是\(\varphi(2\_{\omega},\underbrace{……,1\_1,1\_0}\_{\omega \textrm{個} 1})\)。當我們使用 0 時，我們通常寫 \(\left( \begin{array}{c} 1 \\ \omega \end{array} \right)\)而不是\(\varphi(1,\underbrace{0,……,0,0}\_{\omega \textrm{個} 0})\)。

參見
--

集合論與序分析

**基礎：** 基數 · 普通函數 · 序符號 · 序數
**理論：** Presburger arithmetic · 皮亞諾算術 · 二階算術 · ZFC
**可數序：** \(\omega\) · \(\varepsilon\_0\) · \(\zeta\_0\) · \(\eta\_0\) ·\(\Gamma\_0\) · \(\varphi(1,0,0,0)\)（阿克曼序） · **\(\psi\_0(\Omega^{\Omega^{\omega}})\)（小凡勃倫序）** · \(\psi\_0(\Omega^{\Omega^{\Omega}})\)（大凡勃倫序） · \(\psi\_0(\varepsilon\_{\Omega + 1}) = \psi\_0(\Omega\_2)\)（巴赫曼-霍華德序） · \(\psi\_0(\Omega\_{\omega})\)（用布赫霍爾茨的\(\psi\)函數） · \(\psi\_0(\varepsilon\_{\Omega\_\omega + 1})\)（塔克第-費佛曼-布克霍爾茲序） · \(\omega\_1^\mathfrak{Ch}\) · \(\omega\_1^\text{CK}\)（丘奇-克萊尼序） · \(\lambda,\zeta,\Sigma,\gamma\)
**非可數基數:**  \(\omega\_1\) · omega fixed point · inaccessible cardinal \(I\) · Mahlo cardinal \(M\) · weakly compact cardinal \(K\) · indescribable cardinal · rank-into-rank cardinal
葛立恆數

**葛立恆數**（英語：**Graham's number**）由羅納德·葛立恆所創造，是一個相當有名的大數，常被認為是「數學證明中出現過最大的數」，的確有一段時間是這樣，但現在已經不是了。現在數學證明中出現的許多數，如TREE(3)和SCG(13)都比葛立恆數大很多。

它可以使用上箭號表示法來定義：

\begin{eqnarray\*}
g\_0 &=& 4 \\
g\_1 &=& 3 \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 3 \\
g\_2 &=& 3 \underbrace{\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow}\_{g\_1 \text{ 個箭號}} 3 \\
g\_{k + 1} &=& 3 \underbrace{\uparrow\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow\uparrow}\_{g\_k \text{ 個箭號}} 3 \ \ (\forall k \in \mathbb{N})\\
g\_{64} &=& \text{葛立恆數}
\end{eqnarray\*}

近似
--

由於\(g\_0\)是4而不是3，使用鏈式箭號表示法和BEAF都無法準確表達，然而還是可以給出近似值：

\(3 \rightarrow 3 \rightarrow 64 \rightarrow 2 < g\_{64} < 3 \rightarrow 3 \rightarrow 65 \rightarrow 2\) （鏈式箭號表示法）

\(\{3,65,1,2\} < g\_{64} << \{3,66,1,2\}\) （BEAF）

\(g\_{64} = \underbrace{3 \uparrow^{3 \uparrow^{3 \uparrow^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{3 \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3}\cdot}\cdot}\cdot}3}3}3}\_{64\text{ layers}} = \left. 3 \underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow}\_{\displaystyle 3 \underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \uparrow}\_{\displaystyle \underbrace{\qquad \vdots \qquad}\_{\displaystyle 3 \underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \uparrow}\_{\displaystyle 3 \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3}3}}3}3 \right \} 64 \text{ layers}\)

含义
--

葛立恒数公式：

\(g\_{64} = \underbrace{3 \uparrow^{3 \uparrow^{3 \uparrow^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{3 \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3}\cdot}\cdot}\cdot}3}3}3}\_{64\text{ layers}} = \left. 3 \underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow}\_{\displaystyle 3 \underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \uparrow}\_{\displaystyle \underbrace{\qquad \vdots \qquad}\_{\displaystyle 3 \underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \uparrow}\_{\displaystyle 3 \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3}3}}3}3 \right \} 64 \text{ layers}\)

本方法使用高德纳箭头法表示。

首先，第一层（

G
1

{\displaystyle G\_1}

）是

3
↑↑↑↑
3

{\displaystyle 3 \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3}

。

这个数的结果已经非常高了。

第二层（

G
2

{\displaystyle G\_2}

）的**箭头个数**是

G
1

{\displaystyle G\_1}

的结果。

第三层（

G
3

{\displaystyle G\_3}

）的**箭头个数**是

G
2

{\displaystyle G\_2}

的结果。

以此类推。

G
1

{\displaystyle G\_1}

到

G

64

{\displaystyle G\_{64}}

的结果相加则是葛立恒数的数量。
十

*這是一篇小作品。 你可以透過擴充來幫助大數學 维基。*

**等级1**

* \(7 \leq n < 10^6\)
* 需要使用多位数阿拉伯数字
* 生活较为常见,富豪/生产中大量运用此数字

10（十，注音ㄕˊ，漢語拼音shí，英文名: ten），是介於9和11的自然數，等於10^1。

由於10是一個很簡單的數字，所以很多大數學家都用10或者與10相關的數字來創造函數。

中文數字單位

一 · **十** · 百 · 千 · 萬 · 億 · 兆 · 京 · 垓 · 秭 · 穰 · 溝 · 澗 · 正 · 載 · 極 · 恆河沙 · 阿僧祇 · 那由他 · 不可思議 · 無量大數

基本數字

一 · 二 · 三 · 四 · 五 · 六 · 七 · 八 · 九 · **十**
Greagol

*這是一篇小作品。 你可以透過擴充來幫助大數學 维基。*
Greagol是由Sbiis Saibian所命名的，它大約是\(100 \uparrow \uparrow \uparrow 101\)，用超E符號表示即E100#100#100或E100##3
。

古戈爾和相關數字

**古戈爾-n-普勒克斯：**古戈爾 · 古戈爾普勒克斯 · 古戈爾度普勒克斯 · 古戈爾特利普勒克斯 · -quadriplex · -quinplex · -sextiplex · -septiplex · -octiplex · -noniplex · -deciplex · -centiplex
**古戈爾-103*n*-普勒克斯:** googolmilliplex · -megaplex · -gigaplex · -teraplex · -petaplex · -exaplex · -zettaplex · -yottaplex
**鮑爾斯的擴展：**吉戈爾 · gaggol · geegol · boogol · goobol · more...
**Saibian的擴展：**古戈爾弓 · grangol · **greagol** · gigangol · more...
**Cockburn的擴展:** gargoogolplex · fzgoogolplex · fugagoogolplex
**其他:** googolteen · googolty · great googol(plex) · 古戈爾邦 · zootzootplex

## 相關連結

1. ↑ Sbiis Saibian, Hyper-E numbers, Large Numbers, Google site.
伊塔零

\(\eta\_0\), 是一個可數序數 定義為 \(\alpha\mapsto\)\(\,\zeta\)\(\_\alpha\)函數的第一個不動點. 它等於 \(\varphi(3,0)\) 用凡勃倫函數[英語], \(\psi\_0(\Omega^3)=\psi\_0(\psi\_1(\psi\_1(0)+\psi\_1(0)))\) 用 布克霍爾茲的psi函數[英語], 和 \(\psi(\Omega^2)\) 用 馬都爾的psi函數[英語].

參見
--

集合論與序分析

**基礎：** 基數 · 普通函數 · 序符號 · 序數
**理論：** Presburger arithmetic · 皮亞諾算術 · 二階算術 · ZFC
**可數序：** \(\omega\) · \(\varepsilon\_0\) · \(\zeta\_0\) · **\(\eta\_0\)** ·\(\Gamma\_0\) · \(\varphi(1,0,0,0)\)（阿克曼序） · \(\psi\_0(\Omega^{\Omega^{\omega}})\)（小凡勃倫序） · \(\psi\_0(\Omega^{\Omega^{\Omega}})\)（大凡勃倫序） · \(\psi\_0(\varepsilon\_{\Omega + 1}) = \psi\_0(\Omega\_2)\)（巴赫曼-霍華德序） · \(\psi\_0(\Omega\_{\omega})\)（用布赫霍爾茨的\(\psi\)函數） · \(\psi\_0(\varepsilon\_{\Omega\_\omega + 1})\)（塔克第-費佛曼-布克霍爾茲序） · \(\omega\_1^\mathfrak{Ch}\) · \(\omega\_1^\text{CK}\)（丘奇-克萊尼序） · \(\lambda,\zeta,\Sigma,\gamma\)
**非可數基數:**  \(\omega\_1\) · omega fixed point · inaccessible cardinal \(I\) · Mahlo cardinal \(M\) · weakly compact cardinal \(K\) · indescribable cardinal · rank-into-rank cardinal
Googoloctiplex

*這是一篇小作品。 你可以透過擴充來幫助大數學 维基。*
Googoloctiplex，是等於\(10^{10^{...^{100}}}\)  ，其中有9個10。此數字是由Googol (\(10^{100}\)) ， -octi- (\(8\)) 和 -plex (\(10^{n}\)) 的後綴結合起來的。

古戈爾和相關數字

**古戈爾-n-普勒克斯：**古戈爾 · 古戈爾普勒克斯 · 古戈爾度普勒克斯 · 古戈爾特利普勒克斯 · -quadriplex · -quinplex · -sextiplex · -septiplex · **-octiplex** · -noniplex · -deciplex · -centiplex
**古戈爾-103*n*-普勒克斯:** googolmilliplex · -megaplex · -gigaplex · -teraplex · -petaplex · -exaplex · -zettaplex · -yottaplex
**鮑爾斯的擴展：**吉戈爾 · gaggol · geegol · boogol · goobol · more...
**Saibian的擴展：**古戈爾弓 · grangol · greagol · gigangol · more...
**Cockburn的擴展:** gargoogolplex · fzgoogolplex · fugagoogolplex
**其他:** googolteen · googolty · great googol(plex) · 古戈爾邦 · zootzootplex
Geegol

*這是一篇小作品。 你可以透過擴充來幫助大數學 维基。*
Geegol，在BEAF，是等於\(\{10,100,4\}\)，或者\(10 \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 100\)。

古戈爾和相關數字

**古戈爾-n-普勒克斯：**古戈爾 · 古戈爾普勒克斯 · 古戈爾度普勒克斯 · 古戈爾特利普勒克斯 · -quadriplex · -quinplex · -sextiplex · -septiplex · -octiplex · -noniplex · -deciplex · -centiplex
**古戈爾-103*n*-普勒克斯:** googolmilliplex · -megaplex · -gigaplex · -teraplex · -petaplex · -exaplex · -zettaplex · -yottaplex
**鮑爾斯的擴展：**吉戈爾 · gaggol · **geegol** · boogol · goobol · more...
**Saibian的擴展：**古戈爾弓 · grangol · greagol · gigangol · more...
**Cockburn的擴展:** gargoogolplex · fzgoogolplex · fugagoogolplex
**其他:** googolteen · googolty · great googol(plex) · 古戈爾邦 · zootzootplex
Googolpetaplex

*這是一篇小作品。 你可以透過擴充來幫助大數學 维基。*
Googolpetaplex，是等於\(10^{10^{...^{100}}}\)  ，其中有10^15+1個10。此數字是由Googol (\(10^{100}\)) ， -peta- (\(10^{15}\)) 和 -plex (\(10^{n}\)) 的後綴結合起來的。

古戈爾和相關數字

**古戈爾-n-普勒克斯：**古戈爾 · 古戈爾普勒克斯 · 古戈爾度普勒克斯 · 古戈爾特利普勒克斯 · -quadriplex · -quinplex · -sextiplex · -septiplex · -octiplex · -noniplex · -deciplex · -centiplex
**古戈爾-103*n*-普勒克斯:** googolmilliplex · -megaplex · -gigaplex · -teraplex · **-petaplex** · -exaplex · -zettaplex · -yottaplex
**鮑爾斯的擴展：**吉戈爾 · gaggol · geegol · boogol · goobol · more...
**Saibian的擴展：**古戈爾弓 · grangol · greagol · gigangol · more...
**Cockburn的擴展:** gargoogolplex · fzgoogolplex · fugagoogolplex
**其他:** googolteen · googolty · great googol(plex) · 古戈爾邦 · zootzootplex
康托爾序

*這是一篇小作品。 你可以透過擴充來幫助大數學 维基。*
康托尔序数是\(\zeta\_0\)。或者\(\sup\_{n \in \mathbb{N}} \underbrace{\varepsilon\_{\varepsilon\_{\cdot\_{\cdot\_{\cdot\_{\varepsilon\_0}}}}}}\_{n \textrm{个} \varepsilon}\)，在Madore的ψ函数中。康托尔序数则是\(\psi(\Omega)\)或\(\psi(\psi(\psi(…\psi(0)…)))\)。康托尔序数也可写作\(\varphi(2,0)\)(凡勃倫函數[英語]) 。

集合論與序分析

**基礎：** 基數 · 普通函數 · 序符號 · 序數
**理論：** Presburger arithmetic · 皮亞諾算術 · 二階算術 · ZFC
**可數序：** \(\omega\) · \(\varepsilon\_0\) · **\(\zeta\_0\)** · \(\eta\_0\) ·\(\Gamma\_0\) · \(\varphi(1,0,0,0)\)（阿克曼序） · \(\psi\_0(\Omega^{\Omega^{\omega}})\)（小凡勃倫序） · \(\psi\_0(\Omega^{\Omega^{\Omega}})\)（大凡勃倫序） · \(\psi\_0(\varepsilon\_{\Omega + 1}) = \psi\_0(\Omega\_2)\)（巴赫曼-霍華德序） · \(\psi\_0(\Omega\_{\omega})\)（用布赫霍爾茨的\(\psi\)函數） · \(\psi\_0(\varepsilon\_{\Omega\_\omega + 1})\)（塔克第-費佛曼-布克霍爾茲序） · \(\omega\_1^\mathfrak{Ch}\) · \(\omega\_1^\text{CK}\)（丘奇-克萊尼序） · \(\lambda,\zeta,\Sigma,\gamma\)
**非可數基數:**  \(\omega\_1\) · omega fixed point · inaccessible cardinal \(I\) · Mahlo cardinal \(M\) · weakly compact cardinal \(K\) · indescribable cardinal · rank-into-rank cardinal
Googolgigaplex

*這是一篇小作品。 你可以透過擴充來幫助大數學 维基。*
Googolgigaplex，是等於\(10^{10^{...^{100}}}\)  ，其中有10^9+1個10。此數字是由Googol (\(10^{100}\)) ， -giga- (\(10^{9}\)) 和 -plex (\(10^{n}\)) 的後綴結合起來的。

古戈爾和相關數字

**古戈爾-n-普勒克斯：**古戈爾 · 古戈爾普勒克斯 · 古戈爾度普勒克斯 · 古戈爾特利普勒克斯 · -quadriplex · -quinplex · -sextiplex · -septiplex · -octiplex · -noniplex · -deciplex · -centiplex
**古戈爾-103*n*-普勒克斯:** googolmilliplex · -megaplex · **-gigaplex** · -teraplex · -petaplex · -exaplex · -zettaplex · -yottaplex
**鮑爾斯的擴展：**吉戈爾 · gaggol · geegol · boogol · goobol · more...
**Saibian的擴展：**古戈爾弓 · grangol · greagol · gigangol · more...
**Cockburn的擴展:** gargoogolplex · fzgoogolplex · fugagoogolplex
**其他:** googolteen · googolty · great googol(plex) · 古戈爾邦 · zootzootplex
Giggolplex

*這是一篇小作品。 你可以透過擴充來幫助大數學 维基。*
吉戈尔普勒克斯（英語：Giggolplex）是\(10\uparrow\uparrow10\uparrow\uparrow100\)。值得注意的是，吉戈尔普勒克斯并不是\(10^{10\uparrow\uparrow100}\)，这可能是因为它是由古戈爾普勒克斯演变过来的，即乘方变成迭代冪次。

古戈爾和相關數字

**古戈爾-n-普勒克斯：**古戈爾 · 古戈爾普勒克斯 · 古戈爾度普勒克斯 · 古戈爾特利普勒克斯 · -quadriplex · -quinplex · -sextiplex · -septiplex · -octiplex · -noniplex · -deciplex · -centiplex
**古戈爾-103*n*-普勒克斯:** googolmilliplex · -megaplex · -gigaplex · -teraplex · -petaplex · -exaplex · -zettaplex · -yottaplex
**鮑爾斯的擴展：**吉戈爾 · gaggol · geegol · boogol · goobol · more...
**Saibian的擴展：**古戈爾弓 · grangol · greagol · gigangol · more...
**Cockburn的擴展:** gargoogolplex · fzgoogolplex · fugagoogolplex
**其他:** googolteen · googolty · great googol(plex) · 古戈爾邦 · zootzootplex
Hod

**Hod** is a smaller northern located in the southern foot of the Massif mountains. Many people avoid traveling to the city because of its harsh weather conditions, mountainous terrain and the danger from the war with its neighboring city, Yesod.

## History

The origin of the city used to be the same as Yesod. The two cities had a good time fucking on the reg
恆河沙

**恆河沙**（注音ㄏㄥˊ ㄏㄜˊ ㄕㄚ，漢語拼音héng hé shā），佛教用語，通常指的是1052。為極的一萬倍，阿僧祇的萬分之一。

中國元朝由朱世傑撰寫的《算學啟蒙》就有記載恆河沙，當時代表的值為1096，也就是採用中國古代的中數表示法，億以後每過億進一次位。

日本的《塵劫記》也有記載，不過最早是採用極以下下數（每過十就進位），極以上中數（每過億進一次位）的方法，算出恆河沙為1023。到了寬永8年，改成極之前萬進，極之後中數制，結果變成1056。寬永11年改成現行方法，統一改採萬進制，因此就變成1052了。

短級差系統命名和長級差系統命名：

* 短級差系統命名：ten sexdecillion
* 長級差系統命名：ten octilliard

中文數字單位

一 · 十 · 百 · 千 · 萬 · 億 · 兆 · 京 · 垓 · 秭 · 穰 · 溝 · 澗 · 正 · 載 · 極 · **恆河沙** · 阿僧祇 · 那由他 · 不可思議 · 無量大數
Sbiis Saibian

**Sbiis Saibian**（據說於1983年出生）是一位大數研究者，他寫了一本在大數社區中非常有名的網路電子書，即從一到無窮大：有限數的指南。在這本書中，他介紹了各種大數記號，以及他自己的擴展-E系統。該網站於2008年12月9日公開推出，正好是在英文版Googology Wiki被創造的四天之後。

Saibian創造的數字總數遠遠多於其他大數研究者，截至2015年5月，他已創造了15,610個數名（不含測試版）。

「Sbiis Saibian」是一個化名，他說這是在鍵盤上隨機打出來的字母組合。

## Saibian發明的各種符號

* 擴展-E系統（ExE）
	+ 多巢記號（PcN）
		- 堆棧記號（StN）
		- 菱形記號（DiN）
		- 五巢記號（5cN）
		- 六巢記號（6cN）
		- ...
	+ 超E符號（E#）
	+ 擴展超E符號（xE#）
	+ 連鎖E符號（E^）
		- 極限延伸連鎖E符號（LECEN）
	+ 擴展連鎖E符號（xE^）
	+ 超擴展連鎖E符號（#xE^）
		- 超超擴展連鎖E符號（##xE^）
		- 斜線擴展連鎖E符號（/xE^）
* Saibian的逆時針箭號：b↑↑↑p = p←b，b↑↑↑↑p = b→p，等等。
上箭號表示法

**上箭號表示法**（英語：**Up-arrow notation**），也可直接稱**箭號表示法**，為高德納於1976年發明的大數表示法。這種表示法以超運算為基礎，定義如下：

* \(a \uparrow^1 b = a^b\)
* \(a \uparrow^n 1 = a\)
* \(a \uparrow^n b = a \uparrow^{n-1} (a \uparrow^n (b-1))\)

\(a \uparrow^n b\) 為 \(a \uparrow\uparrow...\uparrow b\) 的縮寫（其中 \(\uparrow\) 有n個，n為正整數）。例如 \(a \uparrow^2 b = a \uparrow\uparrow b\) 。

這種表示法符合右結合律，不符合左結合律，例如 \(2 \uparrow 3 \uparrow 4 = 2 \uparrow (3 \uparrow 4) \neq (2 \uparrow 3) \uparrow 4\) 。

以超運算而言， \(a \uparrow b\) 相當於超-3運算（即冪）， \(a \uparrow\uparrow b\) 相當於超-4運算（即迭代冪次），依此類推。在ASCII中，這些符號分別寫成a^b, a^^b, ...

使用箭號的表示法還有鏈式箭號表示法。

例子
--

* \(2 \uparrow 3 = 2^3 = 8\)
* \(5 \uparrow 6 = 5^6 = 15625\)
* \(10 \uparrow 100 = 10^{100} =\) 古戈爾
* \(3 \uparrow\uparrow 4 = 3 \uparrow 3 \uparrow 3 \uparrow 3 = 3 \uparrow 3 \uparrow 27 = 3^{7625597484987}\)
* \(5 \uparrow\uparrow 3 = 5 \uparrow 5 \uparrow 5 = 5^{5^5}\)
* \(2 \uparrow\uparrow\uparrow 2 = 2 \uparrow\uparrow 2 = 2 \uparrow 2 = 2^2 = 4\)
* \(3 \uparrow\uparrow\uparrow 2 = 3 \uparrow\uparrow 3 = 3 \uparrow 3 \uparrow 3 = 3^{3^3} = 3^{27} = 7625597484987\)
* \(2 \uparrow\uparrow\uparrow 3 = 2 \uparrow\uparrow 2 \uparrow\uparrow 2 = 2 \uparrow\uparrow 4 = 2 \uparrow 2 \uparrow 2 \uparrow 2 = 2 \uparrow 2 \uparrow 4 = 2 \uparrow 16 = 65536\)
* \(3 \uparrow\uparrow\uparrow 3 = 3 \uparrow\uparrow 3 \uparrow\uparrow 3 = 3 \uparrow\uparrow 7625597484987 =\) 特利特利
Googolexaplex

*這是一篇小作品。 你可以透過擴充來幫助大數學 维基。*
Googolexaplex，是等於\(10^{10^{...^{100}}}\)  ，其中有10^18+1個10。此數字是由Googol (\(10^{100}\)) ， -exa- (\(10^{18}\)) 和 -plex (\(10^{n}\)) 的後綴結合起來的。

古戈爾和相關數字

**古戈爾-n-普勒克斯：**古戈爾 · 古戈爾普勒克斯 · 古戈爾度普勒克斯 · 古戈爾特利普勒克斯 · -quadriplex · -quinplex · -sextiplex · -septiplex · -octiplex · -noniplex · -deciplex · -centiplex
**古戈爾-103*n*-普勒克斯:** googolmilliplex · -megaplex · -gigaplex · -teraplex · -petaplex · **-exaplex** · -zettaplex · -yottaplex
**鮑爾斯的擴展：**吉戈爾 · gaggol · geegol · boogol · goobol · more...
**Saibian的擴展：**古戈爾弓 · grangol · greagol · gigangol · more...
**Cockburn的擴展:** gargoogolplex · fzgoogolplex · fugagoogolplex
**其他:** googolteen · googolty · great googol(plex) · 古戈爾邦 · zootzootplex
鳥數

**鳥數**（英語：**Bird's number**）由克里斯·鳥使用他的老擴展數陣記號所定義。它有另個使用旋轉鏈式箭號的定義。

## 旋轉箭頭記號

旋轉箭頭記號是鏈式箭號表示法的擴展。使用它所定義的鳥數約相當於\(f\_{\omega^3+\omega+2}(3)\)。

## 鳥的老數陣記號

截至嵌套數陣，鳥的老數陣記號與新數陣記號幾乎相同。

在這之後，鳥使用否定符號（由於英國鍵盤可直接打出它）來擴展他的記號。舊分隔符\([1\neg2]\)與新的[1\2]和[1/2]相同。舊分隔符\([1\neg3]\)與新的[1\3]和[1/3]相同。一般來說，對於任意數陣A來說，舊分隔符\([1\neg\text{A}]\)與[1\A]和[1/A]相同。事實上，舊分隔符\([1\neg1\neg2]\)與新的[1\1\2]有相同的水平，而舊分隔符[[2]]對角化否定符號正如[2]對角化逗號，因此它與新的分隔符\([1[2\neg2]2]\)相同。

一般情況下，[[...[[A]]...]]（n個括號）與新分隔符\([1[A\neg n]2]\)相同。而< >符號則是對應於這些數陣的尖括號。

鳥數
--

我們定義

\(N = \{\underbrace{3<<<...<<<3>>>...>>>3}\_{\{3<<<<<<<3>>>>>>>3\}}\}\)

\(\text{X}(0) = N\)

\(\text{X}(n) = \{\underbrace{3<<<...<<<3>>>...>>>3}\_{\text{X}(n-1)}\}\)

鳥數是\(\underbrace{\text{X}(\text{X}(...\text{X}(\text{X}(N))...))}\_{\text{X}(N)}\)

## 其他符號的近似值

 慢速增長階層 | \(f\_{\vartheta(\Omega\_2^{\Omega}+1)}(f\_{\vartheta(\Omega\_2^{\Omega})}(f\_{\vartheta(\Omega\_2^{\omega})}(f\_{\vartheta(\Omega\_2^{\omega})}(7))))\)

## 參考來源

1. ↑ Chris Bird's Array Notations for Super Huge Numbers
2. ↑ Expressing Exceptionally Large Numbers
3. ↑ 旧バード数（巨大数資料wiki）
4. ↑ 使用特殊記法\(\{a,b (A) 2\} = A \&\ a\)，其中指數為b。
不可达基数

不可达基数是不可数常规极限基数，如果\(\alpha\)是一个（强）不可达基数，\(\alpha\)必须：

* 不可数：\(\alpha\ge\omega\_1\)。
* 常规：\(\alpha\)不能被小于\(\alpha\)的序数表示出来。
* 强极限：\(\alpha=\beth\_\gamma\)（\(\gamma\)是极限序数）

其中\(\beth\)是这样定义的：

* \(\beth\_0=\aleph\_0\)
* \(\beth\_{n+1}=2^{\beth\_n}\)
* \(\beth\_{\alpha}=\mathrm{sup}\{\beta<\alpha:\beth\_\beta\}\)

如果我们把\(\beth\)换成\(\aleph\)，我们就会得到弱不可达基数。第n个不可达基数可以表示为\(I\_n\)，第一个不可达基数还可以表示为\(I\)。

## 多元I函数

\(I(1,0)\)不是\(\alpha\mapsto I\_\alpha\)的第一个不动点，第1+n个\(\alpha\mapsto I\_\alpha\)不动点其实是\(\psi\_{I(1,0)}(n)\)（定义不明）。\(I(1,0)\)和\(I\_x\)的关系叫做“容许点”，我们可以把凡勃倫函數的“不动点”改成“容许点”，就能得到多元I函数了。

1. ↑ T. Jech, *Set Theory* (p.51).
大數學 維基

这是googology Wiki，这里有着很多的大数。

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大數學維基是一個關於大數的維基計劃。

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## 古戈爾新聞

（以UTC時間為準）

* 2022年2月25日：自本維基開設起至此天已滿七週年！
* 2021年11月22日：本維基的domain已從".org"更改為".com"。
* 2021年5月31日：條目數達到150條。
* 2021年2月25日：自本維基開設起至此天已滿六週年！
* 2020年2月25日：自本維基開設起至此天已滿五週年！
* 2019年7月9日：條目數達到100條。
* 2019年2月25日：自本維基開設起至此天已滿四週年！
* 2018年2月25日：自本維基開設起至此天已滿三週年！
* 2017年2月25日：自本維基開設起至此天已滿兩週年！
* 2016年3月26日：條目數達到50條。
* 2016年2月25日：自本維基開設起至此天已滿一週年！
* 2015年7月30日：嵌入MathJax語法。
* 2015年2月25日：本維基開設。

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我们也定义了小目标

100个、10000个、10万个。

10000个条目，目前完成了大约1%。但这只是近似数。

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* Sbiis Saibian的網站（警告：已知有幾個描述是不正確的。）
* Robert Munafo的網站
* Cookie Fonster的網站
* 大數入門（警告：已知有**很多**描述是不正確的。）
* 百度百科（警告：**可能**有部分内容不正确。）
* 百度学术（有效参考来源页面）