Démonstration des propriétés de la borne supérieure et de la borne inférieure

## Propriété 3

Soient

A

{\displaystyle A}

 et

B

{\displaystyle B}

 deux parties non vide de

R

{\displaystyle \R}

 telles que

A
⊂
B

{\displaystyle A \subset B}

.

* Si

B

{\displaystyle B}

 est majorée, alors

A

{\displaystyle A}

 et majorée et

sup
(
A
)
≤
sup
(
B
)

{\displaystyle \sup(A) \leq \sup(B)}

.

* Si

B

{\displaystyle B}

 est minorée, alors

A

{\displaystyle A}

 est minorée et

inf
(
A
)
≥
inf
(
B
)

{\displaystyle \inf(A)\geq\inf(B)}

.

## Démonstration 3

* Si

B

{\displaystyle B}

 est majorée, alors par l'axiome de la borne supérieure,

sup
(
B
)

{\displaystyle \sup(B)}

 existe.

Ainsi, pour tout élément

b

{\displaystyle b}

 de

B

{\displaystyle B}

,

b
≤
sup
(
B
)

{\displaystyle b\leq\sup(B)}

 par définition de

sup
(
B
)

{\displaystyle \sup(B)}

.

Or,

A
⊂
B

{\displaystyle A \subset B}

, donc pour tout élément

a

{\displaystyle a}

 de

A

{\displaystyle A}

,

a

{\displaystyle a}

 appartient à

B

{\displaystyle B}

.

Donc pour tout élément

a

{\displaystyle a}

 de

A

{\displaystyle A}

,

a
≤
sup
(
B
)

{\displaystyle a \leq \sup(B)}

.

Donc

sup
(
B
)

{\displaystyle \sup(B)}

 majore

A

{\displaystyle A}

.

Donc

A

{\displaystyle A}

 est majorée. **CQFD**

Or,

A

{\displaystyle A}

 est non vide, donc d'après l'axiome de la borne supérieure,

sup
(
A
)

{\displaystyle \sup(A)}

 existe.

Par définition de

sup
(
A
)

{\displaystyle \sup(A)}

, pour tout réel

M

{\displaystyle M}

 majorant

A

{\displaystyle A}

, on a

sup
(
A
)
≤
M

{\displaystyle \sup(A)\leq M}

.

Or,

sup
(
B
)

{\displaystyle \sup(B)}

 majore

A

{\displaystyle A}

.

Donc

sup
(
A
)
≤
sup
(
B
)

{\displaystyle \sup(A) \leq \sup(B)}

. **CQFD**

* Si

B

{\displaystyle B}

 est minorée, alors d'après la propriété de la borne inférieure,

inf
(
B
)

{\displaystyle \inf(B)}

 existe.

Ainsi, pour tout élément

b

{\displaystyle b}

 de

B

{\displaystyle B}

,

b
≥
sup
(
B
)

{\displaystyle b \geq \sup(B)}

 par définition de

inf
(
B
)

{\displaystyle \inf(B)}

.

Or,

A
⊂
B

{\displaystyle A \subset B}

, donc pour tout élément

a

{\displaystyle a}

 de

A

{\displaystyle A}

,

a

{\displaystyle a}

 appartient à

B

{\displaystyle B}

.

Donc pour tout élément

a

{\displaystyle a}

 de

A

{\displaystyle A}

,

a
≥
sup
(
B
)

{\displaystyle a \geq \sup(B)}

.

Donc

inf
(
B
)

{\displaystyle \inf(B)}

 minore

A

{\displaystyle A}

.

Donc

A

{\displaystyle A}

 est minorée. **CQFD**

Or,

A

{\displaystyle A}

 est non vide, donc d'après la propriété de la borne inférieure,

inf
(
A
)

{\displaystyle \inf(A)}

 existe.

Par définition de

inf
(
A
)

{\displaystyle \inf(A)}

, pour tout réel

m

{\displaystyle m}

 minorant

A

{\displaystyle A}

, on a

inf
(
A
)
≥
m

{\displaystyle \inf(A)\geq m}

.

Or,

inf
(
B
)

{\displaystyle \inf(B)}

 minore

A

{\displaystyle A}

.

Donc

inf
(
A
)
≥
inf
(
B
)

{\displaystyle \inf(A)\geq\inf(B)}

. **CQFD**

## Propriété 4

Soit

A

{\displaystyle A}

 une partie non vide de

R

{\displaystyle \R}

. Notons

−
A

{\displaystyle -A}

 l'ensemble

{

−
a
,
a
∈
A

}

{\displaystyle \left\{-a,a\in A\right\}}

.

* Si

A

{\displaystyle A}

 est majorée, alors

−
A

{\displaystyle -A}

 est minorée et

inf
(
−
A
# )
−
sup
(
A
)

{\displaystyle \inf(-A)=-\sup(A)}

.

* Si

A

{\displaystyle A}

 est minorée, alors

−
A

{\displaystyle -A}

 est majorée et

sup
(
−
A
# )
−
inf
(
A
)

{\displaystyle \sup(-A)=-\inf(A)}

.

## Démonstration 4

* Supposons que

A

{\displaystyle A}

 soit majorée.

Comme

A

{\displaystyle A}

 est non vide, alors d'après l'axiome de la borne supérieure,

sup
(
A
)

{\displaystyle \sup(A)}

 existe.

Donc pour tout élément

a

{\displaystyle a}

 de

A

{\displaystyle A}

, on ait

a
≤
sup
(
A
)

{\displaystyle a\leq\sup(A)}

.

Donc pour tout élément

a

{\displaystyle a}

 de

A

{\displaystyle A}

, on ait

−
sup
(
A
)
≤
−
a

{\displaystyle -\sup(A) \leq -a}

.

Donc pour tout élément

x

{\displaystyle x}

 de

−
A

{\displaystyle -A}

, on ait

−
sup
(
A
)
≤
x

{\displaystyle -\sup(A) \leq x}

.

Donc

−
A

{\displaystyle -A}

 est minorée. **CQFD**.

Et

−
sup
(
A
)

{\displaystyle -\sup(A)}

 est un minorant de

−
A

{\displaystyle -A}

.

Donc, comme

−
A

{\displaystyle -A}

 est non vide, d'après la propriété de la borne inférieure,

inf
(
−
A
)

{\displaystyle \inf(-A)}

 existe.

Donc

−
sup
(
A
)
≤
inf
(
A
)

(
1
)

{\displaystyle -\sup(A)\leq\inf(A)~~(1)}

* Soit

m

{\displaystyle m}

 un minorant de

−
A

{\displaystyle -A}

.

Alors pour tout

x

{\displaystyle x}

 appartenant à

−
A

{\displaystyle -A}

, on a

m
≤
x

{\displaystyle m\leq x}

.

Donc pour tout

x

{\displaystyle x}

 appartenant à

−
A

{\displaystyle -A}

, on a

−
x
≤
−
m

{\displaystyle -x\leq-m}

.

Donc pour tout

a

{\displaystyle a}

 appartenant à

A

{\displaystyle A}

, on a

a
≤
−
m

{\displaystyle a\leq-m}

.

Donc, d'après la définition de

sup
(
A
)

{\displaystyle \sup(A)}

, on a

sup
(
A
)
≤
−
m

{\displaystyle \sup(A)\leq-m}

.

Donc

m
≤
−
sup
(
A
)

{\displaystyle m \leq -\sup(A)}

.

Or,

inf
(
−
A
)

{\displaystyle \inf(-A)}

 est un minorant de

−
A

{\displaystyle -A}

 par définition.

Donc

inf
(
−
A
)
≤
−
sup
(
A
)

(
2
)

{\displaystyle \inf(-A) \leq -\sup(A)~~(2)}

.

* D'après

(
1
)

{\displaystyle (1)}

 et

(
2
)

{\displaystyle (2)}

, on a

inf
(
−
A
# )
−
sup
(
A
)

{\displaystyle \inf(-A)=-\sup(A)}

. **CQFD**

* Supposons que

A

{\displaystyle A}

 soit minorée.

Comme

A

{\displaystyle A}

 est non vide, alors d'après la propriété de la borne inférieure,

inf
(
A
)

{\displaystyle \inf(A)}

 existe.

Donc pour tout élément

a

{\displaystyle a}

 de

A

{\displaystyle A}

, on ait

inf
(
A
)
≤
a

{\displaystyle \inf(A) \leq a}

.

Donc pour tout élément

a

{\displaystyle a}

 de

A

{\displaystyle A}

, on ait

−
a
≤
−
inf
(
A
)

{\displaystyle -a \leq -\inf(A)}

.

Donc pour tout élément

x

{\displaystyle x}

 de

−
A

{\displaystyle -A}

, on ait

x
≤
−
inf
(
A
)

{\displaystyle x \leq -\inf(A)}

.

Donc

−
A

{\displaystyle -A}

 est majorée. **CQFD**.

Et

−
inf
(
A
)

{\displaystyle -\inf(A)}

 est un majorant de

−
A

{\displaystyle -A}

.

Donc, comme

−
A

{\displaystyle -A}

 est non vide, d'après l'axiome de la borne supérieure,

sup
(
−
A
)

{\displaystyle \sup(-A)}

 existe.

Donc

sup
(
−
A
)
≤
−
inf
(
A
)

(
1
)

{\displaystyle \sup(-A)\leq-\inf(A)~~(1)}

* Soit

M

{\displaystyle M}

 un majorant de

−
A

{\displaystyle -A}

.

Alors pour tout

x

{\displaystyle x}

 appartenant à

−
A

{\displaystyle -A}

, on a

x
≤
M

{\displaystyle x\leq M}

.

Donc pour tout

x

{\displaystyle x}

 appartenant à

−
A

{\displaystyle -A}

, on a

−
M
≤
−
x

{\displaystyle -M\leq-x}

.

Donc pour tout

a

{\displaystyle a}

 appartenant à

A

{\displaystyle A}

, on a

−
M
≤
a

{\displaystyle -M\leq a}

.

Donc, d'après la définition de

inf
(
A
)

{\displaystyle \inf(A)}

, on a

−
M
≤
inf
(
A
)

{\displaystyle -M\leq\inf(A)}

.

Donc

−
inf
(
A
)
≤
M

{\displaystyle -\inf(A) \leq M}

.

Or,

sup
(
−
A
)

{\displaystyle \sup(-A)}

 est un majorant de

−
A

{\displaystyle -A}

 par définition.

Donc

−
inf
(
A
)
≤
sup
(
−
A
)

(
2
)

{\displaystyle -\inf(A) \leq \sup(-A)~~(2)}

.

* D'après

(
1
)

{\displaystyle (1)}

 et

(
2
)

{\displaystyle (2)}

, on a

sup
(
−
A
# )
−
inf
(
A
)

{\displaystyle \sup(-A)=-\inf(A)}

. **CQFD**

## Propriété 5

Soient

A

{\displaystyle A}

 et

B

{\displaystyle B}

 deux parties non vides de

R

{\displaystyle \R}

.

* Si

A

{\displaystyle A}

 et

B

{\displaystyle B}

 sont toutes les deux majorées, alors

A
B

{\displaystyle A + B}

 est majorée et

sup
(
A
B
# )
sup
(
A
)
sup
(
B
)

{\displaystyle \sup(A+B) = \sup(A)+\sup(B)}

.

* Si

A

{\displaystyle A}

 et

B

{\displaystyle B}

 sont toutes les deux minorées, alors

A
B

{\displaystyle A + B}

 est minorée, et

inf
(
A
B
# )
inf
(
A
)
inf
(
B
)

{\displaystyle \inf(A+B) = \inf(A)+\inf(B)}

.

## Démonstration 5

* D'après l'axiome de la borne supérieure,

sup
(
A
)

{\displaystyle \sup(A)}

 et

sup
(
B
)

{\displaystyle \sup(B)}

 existent.

On a donc que pour tout

a

{\displaystyle a}

 de

A

{\displaystyle A}

,

a
≤
sup
(
A
)

{\displaystyle a\leq\sup(A)}

 et pour tout

b

{\displaystyle b}

 de

B

{\displaystyle B}

,

b
≤
sup
(
B
)

{\displaystyle b\leq\sup(B)}

.

Donc

a
b
≤
sup
(
A
)
sup
(
B
)

{\displaystyle a+b\leq\sup(A)+\sup(B)}

.

Donc

sup
(
A
)
sup
(
B
)

{\displaystyle \sup(A)+\sup(B)}

 est un majorant de

A
B

{\displaystyle A + B}

.

Donc

A
B

{\displaystyle A + B}

 est majoré. **CQFD**.

Donc d'après l'axiome de la borne supérieure,

A
B

{\displaystyle A + B}

 admet une borne supérieure.

Comme

sup
(
A
)
sup
(
B
)

{\displaystyle \sup(A)+\sup(B)}

 est un majorant de

A
B

{\displaystyle A + B}

,

on a par définition que

sup
(
A
B
)
≤
sup
(
A
)
sup
(
B
)

{\displaystyle \sup(A+B)\leq\sup(A)+\sup(B)}

.

Soit

M

{\displaystyle M}

 un majorant de

A
B

{\displaystyle A + B}

.

Donc pour tout

a

{\displaystyle a}

 de

A

{\displaystyle A}

 et tout

b

{\displaystyle b}

 de

B

{\displaystyle B}

, on a

a
b
≤
M

{\displaystyle a+b\leq M}

.

Donc pour tout

a

{\displaystyle a}

 de

A

{\displaystyle A}

 et tout

b

{\displaystyle b}

 de

B

{\displaystyle B}

, on a

a
≤
M
−
b

{\displaystyle a\leq M-b}

.

Donc pour tout

b

{\displaystyle b}

 de

B

{\displaystyle B}

,

M
−
b

{\displaystyle M-b}

 est un majorant de

A

{\displaystyle A}

.

Donc pour tout

b

{\displaystyle b}

 de

B

{\displaystyle B}

,

sup
(
A
)
≤
M
−
b

{\displaystyle \sup(A)\leq M-b}

.

Donc pour tout

b

{\displaystyle b}

 de

B

{\displaystyle B}

,

b
≤
M
−
sup
(
A
)

{\displaystyle b\leq M-\sup(A)}

.

Donc

M
−
sup
(
A
)

{\displaystyle M-\sup(A)}

 est un majorant de

B

{\displaystyle B}

.

Donc

sup
(
B
)
≤
M
−
sup
(
A
)

{\displaystyle \sup(B)\leq M-\sup(A)}

.

Donc

sup
(
A
)
sup
(
B
)
≤
M

{\displaystyle \sup(A)+\sup(B)\leq M}

.

Or, par définition,

sup
(
A
B
)

{\displaystyle \sup(A+B)}

 est un majorant de

A
B

{\displaystyle A + B}

.

Donc \

s
u
p
(
A
)
sup
(
B
)
≤
sup
(
A
B
)

(
2
)

{\displaystyle sup(A)+\sup(B)\leq\sup(A+B)~~(2)}

.

* D'après

(
1
)

{\displaystyle (1)}

 et

(
2
)

{\displaystyle (2)}

, il vient

sup
(
A
B
# )
sup
(
A
)
sup
(
B
)

{\displaystyle \sup(A+B) = \sup(A)+\sup(B)}

. **CQFD**.

* D'après la propriété de la borne inférieure,

inf
(
A
)

{\displaystyle \inf(A)}

 et

inf
(
B
)

{\displaystyle \inf(B)}

 existent.

On a donc que pour tout

a

{\displaystyle a}

 de

A

{\displaystyle A}

,

a
≥
inf
(
A
)

{\displaystyle a\geq\inf(A)}

 et pour tout

b

{\displaystyle b}

 de

B

{\displaystyle B}

,

b
≥
inf
(
B
)

{\displaystyle b\geq\inf(B)}

.

Donc

a
b
≥
inf
(
A
)
inf
(
B
)

{\displaystyle a+b\geq\inf(A)+\inf(B)}

.

Donc

inf
(
A
)
inf
(
B
)

{\displaystyle \inf(A)+\inf(B)}

 est un minorant de

A
B

{\displaystyle A + B}

.

Donc

A
B

{\displaystyle A + B}

 est minoré. **CQFD**.

Donc d'après la propriété de la borne inférieure,

A
B

{\displaystyle A + B}

 admet une borne inférieure.

Comme

inf
(
A
)
inf
(
B
)

{\displaystyle \inf(A)+\inf(B)}

 est un minorant de

A
B

{\displaystyle A + B}

,

on a par définition

inf
(
A
)
inf
(
B
)
≥
inf
(
A
B
)

(
1
)

{\displaystyle \inf(A)+\inf(B)\geq\inf(A+B)~~(1)}

Soit

m

{\displaystyle m}

 un minorant de

A
B

{\displaystyle A + B}

.

Donc pour tout

a

{\displaystyle a}

 de

A

{\displaystyle A}

 et tout

b

{\displaystyle b}

 de

B

{\displaystyle B}

, on a

a
b
≥
m

{\displaystyle a+b\geq m}

.

Donc pour tout

a

{\displaystyle a}

 de

A

{\displaystyle A}

 et tout

b

{\displaystyle b}

 de

B

{\displaystyle B}

, on a

a
≥
m
−
b

{\displaystyle a\geq m-b}

.

Donc pour tout

b

{\displaystyle b}

 de

B

{\displaystyle B}

,

m
−
b

{\displaystyle m-b}

 est un minorant de

A

{\displaystyle A}

.

Donc pour tout

b

{\displaystyle b}

 de

B

{\displaystyle B}

,

inf
(
A
)
≥
m
−
b

{\displaystyle \inf(A)\geq m-b}

.

Donc pour tout

b

{\displaystyle b}

 de

B

{\displaystyle B}

,

b
≥
m
−
inf
(
A
)

{\displaystyle b\geq m-\inf(A)}

.

Donc

m
−
inf
(
A
)

{\displaystyle m-\inf(A)}

 est un minorant de

B

{\displaystyle B}

.

Donc

inf
(
B
)
≥
m
−
inf
(
A
)

{\displaystyle \inf(B)\geq m-\inf(A)}

.

Donc

inf
(
A
)
inf
(
B
)
≤
m

{\displaystyle \inf(A)+\inf(B)\leq m}

.

Or, par définition,

inf
(
A
B
)

{\displaystyle \inf(A+B)}

 est un minorant de

A
B

{\displaystyle A + B}

.

Donc

inf
(
A
)
inf
(
B
)
≤
inf
(
A
B
)

(
2
)

{\displaystyle \inf(A)+\inf(B)\leq\inf(A+B)~~(2)}

.

* D'après

(
1
)

{\displaystyle (1)}

 et

(
2
)

{\displaystyle (2)}

, il vient

inf
(
A
B
# )
inf
(
A
)
inf
(
B
)

{\displaystyle \inf(A+B) = \inf(A)+\inf(B)}

. **CQFD**.