Mathématiques

# **Seconde**

On considère deux points A et B du plan

La **translation qui transforme A en B** est appelée **translation de vecteur**

A
B

→

{\displaystyle \overrightarrow{A B}}

Si les points A et B sont confondus, on parle alors de vecteur nul, noté

0
→

{\displaystyle \overrightarrow{0}}

Remarque :

* Lorsque A et B sont distincts, le vecteur

A
B

→

{\displaystyle \overrightarrow{A B}}

 est représenté par une flèche d'origine A et d'extrémité B

**Définition**

Le vecteur

A
B

→

{\displaystyle \overrightarrow{A B}}

 est défini par :

* sa **direction** (celle de la droite (AB))
* son **sens** (de A vers B)
* sa **norme** (la longueur du segment [AB])

**Définition**

Deux vecteurs ayant même direction, même sens et même longueur sont égaux

**Définition**

Lorsque

A
B

→

{\displaystyle \overrightarrow{A B}}

 =

C
D

→

{\displaystyle {\overrightarrow {CD}}}

 =

E
F

→

{\displaystyle {\overrightarrow {EF}}}

, on dit que

A
B

→

{\displaystyle \overrightarrow{A B}}

,

C
D

→

{\displaystyle {\overrightarrow {CD}}}

 et

E
F

→

{\displaystyle {\overrightarrow {EF}}}

 sont des **représentants** d'un même vecteur que l'on peut également noter avec une seule lettre minuscule indépendamment des deux points, on peut prendre par exemple

u
→

{\displaystyle \overrightarrow{u}}

. D'où

u
→

{\displaystyle \overrightarrow{u}}

 =

A
B

→

{\displaystyle \overrightarrow{A B}}

 =

C
D

→

{\displaystyle {\overrightarrow {CD}}}

 =

E
F

→

{\displaystyle {\overrightarrow {EF}}}

Remarque :

* La norme du vecteur

u
→

{\displaystyle \overrightarrow{u}}

A
B

→

{\displaystyle \overrightarrow{A B}}

A
B

→

{\displaystyle \overrightarrow{A B}}

A
B

→

{\displaystyle \overrightarrow{A B}}

**Propriété**

ABDC est un **parallélogramme** (éventuellement aplati) si et seulement si

A
B

→

{\displaystyle \overrightarrow{A B}}

 =

C
D

→

{\displaystyle {\overrightarrow {CD}}}

Remarque :

* Il faut bien faire attention à l'ordre des points dans lequel on nomme le parallélogramme : ici ABDC (et non ABCD)

**Propriété**

I est le **milieu** de [AB] si et seulement si

A
I

→

{\displaystyle {\overrightarrow {AI}}}

 =

I
B

→

{\displaystyle {\overrightarrow {IB}}}

## **Chapitre 6 - Vecteurs & coordonnées**

### **I - Repère du plan**

**Définition**

On appelle base tout couple (

i
→

{\displaystyle \overrightarrow i}

;

j
→

{\displaystyle \overrightarrow j}

) de vecteurs non colinéaires

Un repère du plan est un triplet (0;

i
→

{\displaystyle \overrightarrow i}

;

j
→

{\displaystyle \overrightarrow j}

) ou O est un point du plan (appelé origine du repère) et (

i
→

{\displaystyle \overrightarrow i}

;

j
→

{\displaystyle \overrightarrow j}

) une base

### **II - Coordonnées d’un vecteur**

**Définition**

Le plan est muni d’un repère (0;

i
→

{\displaystyle \overrightarrow i}

;

j
→

{\displaystyle \overrightarrow j}

). Soit

u
→

{\displaystyle \overrightarrow{u}}

 un vecteur. On appelle coordonnées du vecteur

u
→

{\displaystyle \overrightarrow{u}}

 les coordonnées du point 𝑀(𝑥;𝑦) dans le repère (0;

i
→

{\displaystyle \overrightarrow i}

;

j
→

{\displaystyle \overrightarrow j}

) tel que

O
M

→

{\displaystyle \overrightarrow{OM}}

 =

u
→

{\displaystyle \overrightarrow{u}}

. On note

u
→

{\displaystyle \overrightarrow{u}}

(𝑥;𝑦)

(𝑥;𝑦) sont les coordonnées du point M dans le repère (0;

i
→

{\displaystyle \overrightarrow i}

;

j
→

{\displaystyle \overrightarrow j}

) signifie que

M
→

{\displaystyle {\overrightarrow {M}}}

 =

x
i

→

{\displaystyle {\overrightarrow {xi}}}

y
j

→

{\displaystyle {\overrightarrow {yj}}}

. (𝑥;𝑦) sont les coordonnées du vecteur

u
→

{\displaystyle \overrightarrow{u}}

 dans le repère (0;

i
→

{\displaystyle \overrightarrow i}

;

j
→

{\displaystyle \overrightarrow j}

) signifie que

u
→

{\displaystyle \overrightarrow{u}}

 =

x
i

→

{\displaystyle {\overrightarrow {xi}}}

y
j

→

{\displaystyle {\overrightarrow {yj}}}

. Remarque : Les coordonnées d’un vecteur dépendent du choix du repère.

Exemple : ABCD est un parallélogramme de centre O. Dans le repère (𝐴;

A
B

→

{\displaystyle \overrightarrow{A B}}

;

A
D

→

{\displaystyle \overrightarrow{AD}}

) : 𝐴(0;0), 𝐵(1;0), 𝐶(1;1), 𝐷(0;1),

A
C

→

{\displaystyle \overrightarrow{A C}}

(1;1) et

B
D

→

{\displaystyle {\overrightarrow {BD}}}

(−1;1) Dans le repère (𝑂;

O
A

→

{\displaystyle \overrightarrow{OA}}

;

O
B

→

{\displaystyle \overrightarrow{OB}}

) : 𝐴(1;0), 𝐵(0;1), 𝐶(−1;0), 𝐷(0;−1),

A
C

→

{\displaystyle \overrightarrow{A C}}

(−2;0) et

B
D

→

{\displaystyle {\overrightarrow {BD}}}

(0;−1)

**Propriété**

Soit (0;

i
→

{\displaystyle \overrightarrow i}

;

j
→

{\displaystyle \overrightarrow j}

) un repère du plan,

u
→

{\displaystyle \overrightarrow{u}}

(𝑥;𝑦) et

v
→

{\displaystyle \overrightarrow{v}}

(𝑥′;𝑦′) deux vecteurs :

−
u

→

{\displaystyle {\overrightarrow {-u}}}

 =

0
→

{\displaystyle \overrightarrow{0}}

 équivaut à 𝑥 = 0 et 𝑦 = 0 ;

−
u

→

{\displaystyle {\overrightarrow {-u}}}

 =

v
→

{\displaystyle \overrightarrow{v}}

 équivaut à 𝑥 = 𝑥′ et 𝑦 = 𝑦′ ;

* le vecteur

u
→

{\displaystyle \overrightarrow{u}}

v
→

{\displaystyle \overrightarrow{v}}

 a pour coordonnées (𝑥+𝑥′; 𝑦+𝑦′);
* pour tout réel 𝑘, le vecteur

k
u

→

{\displaystyle {\overrightarrow {ku}}}

 a pour coordonnées (𝑘𝑥;𝑘𝑦).

## **Chapitre 7 - Fonctions de références**

### **I - Fonction carré**

**Définition**

La fonction carré est la fonction ƒ définie sur R par ƒ(

x

{\displaystyle x}

) =

x

{\displaystyle x}

²

La fonction carré associe à chaque nombre réel son carré

Un tableau de valeurs de la fonction carré est :

x

{\displaystyle x}

 ƒ(

x

{\displaystyle x}

)

Sa courbe représentative est appelée **parabole** de sommet 0

**Propriété**

La fonction carré (définie sur R) est **paire**

La courbe représentative de la fonction carré est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées

**Démonstration de la parité**

ƒ(-

x

{\displaystyle x}

) = (-

x

{\displaystyle x}

)² =

x

{\displaystyle x}

² = ƒ(

x

{\displaystyle x}

)

**Propriété**

La fonction est décroissante sur ]-∞;0] et croissante sur [0;+∞[

Tableau de variations :

x

{\displaystyle x}

x
↦
x

{\displaystyle x \mapsto x}

²

↘

{\displaystyle \searrow}

↗

{\displaystyle \nearrow}

La fonction carré admet 0 pour minimum et il est atteint

x

{\displaystyle x}

 = 0. Elle n'admet pas de maximum

**Démonstration des variations**

Soit

x
1

{\displaystyle x\_1}

 et

x
2

{\displaystyle x\_2}

 deux réels et ƒ :

x

{\displaystyle x}

 →

x

{\displaystyle x}

²

On a : ƒ(

x
2

{\displaystyle x\_2}

) - ƒ(

x
1

{\displaystyle x\_1}

) =

x

2

2

{\displaystyle x\_{2}^{2}}

x

2

1

{\displaystyle x\_{2}^{1}}

 = (

x
2

{\displaystyle x\_2}

x
1

{\displaystyle x\_1}

)(

x
2

{\displaystyle x\_2}

x
1

{\displaystyle x\_1}

)

**Si

x
1

{\displaystyle x\_1}

 ≤

x
2

{\displaystyle x\_2}

 ≤ 0 :**

x
2

{\displaystyle x\_2}

x
1

{\displaystyle x\_1}

 ≥ 0 car

x
1

{\displaystyle x\_1}

 ≤

x
2

{\displaystyle x\_2}

x
2

{\displaystyle x\_2}

x
1

{\displaystyle x\_1}

 ≤ 0 car il s'agit d'une somme de nombre négatifs
ƒ(

x
2

{\displaystyle x\_2}

) - ƒ(

x
1

{\displaystyle x\_1}

) est le produit d'un nombre positif par un nombre négatif. Ainsi ƒ(

x
2

{\displaystyle x\_2}

) - ƒ(

x
1

{\displaystyle x\_1}

) ≤ 0, c'est à dire ƒ(

x
2

{\displaystyle x\_2}

) ≤ ƒ(

x
1

{\displaystyle x\_1}

)

La fonction est donc décroissante sur ]-∞;0]

**Si 0 ≤

x
1

{\displaystyle x\_1}

 ≤

x
2

{\displaystyle x\_2}

:**

x
2

{\displaystyle x\_2}

x
1

{\displaystyle x\_1}

 ≥ 0 car

x
1

{\displaystyle x\_1}

 ≤

x
2

{\displaystyle x\_2}

x
2

{\displaystyle x\_2}

x
1

{\displaystyle x\_1}

 ≥ 0 car il s'agit d'une somme de nombre positifs
ƒ(

x
2

{\displaystyle x\_2}

) - ƒ(

x
1

{\displaystyle x\_1}

) est le produit d'un nombre positif par un nombre positif. Ainsi ƒ(

x
2

{\displaystyle x\_2}

) - ƒ(

x
1

{\displaystyle x\_1}

) ≥ 0, c'est à dire ƒ(

x
2

{\displaystyle x\_2}

) ≥ ƒ(

x
1

{\displaystyle x\_1}

)

La fonction est donc croissante sur [0;+∞[

### **II - Fonction racine carré**

**Définition**

La fonction racine carré est la fonction ƒ définie sur [0;+∞[ par ƒ(

x

{\displaystyle x}

) =

x

{\displaystyle \sqrt{x}}

La fonction racine carrée associe à chaque nombre réel positif sa racine carrée

Un tableau de valeurs de la fonction racine carrée est :

x

{\displaystyle x}

 ƒ(

x

{\displaystyle x}

)

2

{\displaystyle \sqrt{2}}

 ≈ 1.41

3

{\displaystyle \sqrt{3}}

 ≈ 1.73

5

{\displaystyle \sqrt5}

 ≈ 2.24

**Propriété**

La fonction racine carrée est croissante sur [0;+∞[

Tableau de variations :

x

{\displaystyle x}

x
↦

x

{\displaystyle x\mapsto {\sqrt {x}}}

↗

{\displaystyle \nearrow}

La fonction racine carrée admet 0 pour minimum et il est atteint pour

x

{\displaystyle x}

 = 0. Elle n'admet pas de maximum

**Démonstration des variations**

Soit

x
1

{\displaystyle x\_1}

 et

x
2

{\displaystyle x\_2}

 deux réels positifs et ƒ :

x

{\displaystyle x}

 →

x

{\displaystyle \sqrt{x}}

On considère 0 ≤

x
1

{\displaystyle x\_1}

 <

x
2

{\displaystyle x\_2}

 :

ƒ(

x
2

{\displaystyle x\_2}

) - ƒ(

x
1

{\displaystyle x\_1}

) =

x

2

{\displaystyle {\sqrt {x\_{2}}}}

x

1

{\displaystyle {\sqrt {x\_{1}}}}

=

(

x

2

−

x

1

)
(

x

2

x

1

)

(

x

2

x

1

)

{\displaystyle {({\sqrt {x\_{2}}}-{\sqrt {x\_{1}}})({\sqrt {x\_{2}}}+{\sqrt {x\_{1}}}) \over ({\sqrt {x\_{2}}}+{\sqrt {x\_{1}}})}}

=

(

x

2

)

2

−
(

x

1

)

2

(

x

2

x

1

)

{\displaystyle {({\sqrt {x\_{2}}})^{2}-({\sqrt {x\_{1}}})^{2} \over ({\sqrt {x\_{2}}}+{\sqrt {x\_{1}}})}}

=

x

2

−

x

1

(

x

2

x

1

)

{\displaystyle {x\_{2}-x\_{1} \over ({\sqrt {x\_{2}}}+{\sqrt {x\_{1}}})}}

x
2

{\displaystyle x\_2}

x
1

{\displaystyle x\_1}

 > 0 car

x
1

{\displaystyle x\_1}

 <

x
2

{\displaystyle x\_2}

x

2

{\displaystyle {\sqrt {x\_{2}}}}

x

1

{\displaystyle {\sqrt {x\_{1}}}}

 > 0 car il s'agit d'une somme de deux nombres strictement positifs

ƒ(

x
2

{\displaystyle x\_2}

) - ƒ(

x
1

{\displaystyle x\_1}

) > 0 car le quotient de deux nombres strictement positifs

Donc ƒ(

x
1

{\displaystyle x\_1}

) < ƒ(

x
2

{\displaystyle x\_2}

) si

x
1

{\displaystyle x\_1}

 <

x
2

{\displaystyle x\_2}

La fonction racine carrée est donc croissante sur R+

### **III - Fonction Cube**

**Définition**

La fonction cube est la fonction ƒ définie sur R par ƒ(

x

{\displaystyle x}

) =

x
3

{\displaystyle x^3}

La fonction cube associe à chaque nombre réel son cube

Un tableau de valeurs de la fonction cube est :

x

{\displaystyle x}

 ƒ(

x

{\displaystyle x}

)

**Propriété**

La fonction cube est impaire

La courbe représentative de la fonction cube est symétrique par rapport à l'origine

Démonstration de la parité :

ƒ(-

x

{\displaystyle x}

) = (-

x

{\displaystyle x}

)

3

{\displaystyle ^3}

 = -

x
3

{\displaystyle x^3}

 = -ƒ(

x

{\displaystyle x}

)

**Propriété**

La fonction cube est croissante sur R

Tableau de variations :

x

{\displaystyle x}

x
↦

x

3

{\displaystyle x\mapsto x^{3}}

↗

{\displaystyle \nearrow}

La fonction cube n'admet ni minimum ni maximum

### **IV - Fonction inverse**

**Définition**

La fonction inverse est la fonction ƒ définie sur R\* par ƒ(

x

{\displaystyle x}

) =

1

x

{\displaystyle 1 \over x}

La fonction inverse associe à chaque nombre réel non nul son inverse

Un tableau de valeurs de la fonction inverse est :

x

{\displaystyle x}

 ƒ(

x

{\displaystyle x}

)

Sa courbe représentative, tracée dans le repère ci-contre, est appelée **hyperbole**

**Propriété**

La fonction inverse définie sur R\* est impaire

La courbe représentative de la fonction inverse est symétrique par rapport à l'origine

Démonstration de la parité :

L'ensemble de définition R\* est symétrique par rapport à l'origine 0

De plus, pour tout réel

x

{\displaystyle x}

 non nul, ƒ(-

x

{\displaystyle x}

) =

1

−
x

{\displaystyle 1 \over -x}

 = -

1

x

{\displaystyle 1 \over x}

 = -ƒ(

x

{\displaystyle x}

)