Ekvivalencija

Ekvivalencija je tehnički matematički termin kojem odgovara izraz iz svakodnevnog jezika,” takođe je kao". U učenju matematike djeca se često susreću sa situacijama u kojima moraju prepoznati da jesu sve stvari u datoj grupi na neki način" isto". Ovaj proces prepoznavanja" istog" na skupovima matematički objekti su važan način razmišljanja u matematici.

Pogledajmo to detaljnije. Prepoznavanje sličnosti i razlika je fundamentalni kognitivni proces uz pomoć kojih organiziramo i osmišljavamo svoja iskustva. Ovaj proces je značajan u većini slučajeva oblasti ljudske aktivnosti, od društvene interakcije do nauke. Stoga ne čudi što ima posebnu primjenu u učenju matematike, u smislu ekvivalencije (šta je isto?) i transformacije (šta je inače?). U ranim fazama učenja djeca uče da prepoznaju da postoji nešto" isto" između njih dvoje grupe predmeta: jedan se sastoji od tri čokolade, a drugi tri medvjeda. Ove dvije grupe objekata razlikuju se jedni od drugih (medi se razlikuju od čokolade), ali postoji nešto veoma značajno isto o njima. Obje grupe, i medvjediće i čokoladne, opisuju se pridjevom " tri". Činjenica da oboje pojmovi dijele zajedničku imovinu mogu se prikazati podudaranjem " jedan na jedan", tj spajanjem jednog medvjedića i jedne čokolade. Svojstvo da su dva skupa ekvivalentna jer oba sadrže tri stvari, što nas dovodi do pojma kardinalnog broja. Ovo je samo jedan primjer toga ilustruje koliko je apstraktnih matematičkih koncepata stvoreno identifikacijom ekvivalenata. Geometrija nudi mnogo takvih primjera. Na primjer, naučite koncept " kvadrat", djeca mogu bavi se sortiranjem skupa geometrijskih figura koji uključuje niz kvadrata različitih veličina. Kada grupirati sve kvadrate u podskup jer " sve u istom obliku", koriste se zaključivanjem na osnovu ekvivalencije. Oblici nisu svi isti jer se, na primjer, mogu razlikovati po veličini ili boji. Ali svi jesu na neki način isti, dijele isto svojstvo, tj. postoji ekvivalencija.

To je jedan od razloga zašto je ova vrsta razmišljanja tako moćna i fundamentalna u matematici. Omogućava studentima da zadrže konceptualnu ideju u svom umu (kao " tri" ili " kvadrat"), što je apstrakcija njihovog iskustva na mnogim konkretnim primjerima, od kojih su neki ekvivalentna metoda. Istovremeno, student kombinuje niz individualnih iskustava na određenim primjerima, koji se u nekom smislu prepoznaju kao isti, u jednu apstrakciju.

Učenici mogu doći do koncepta ekvivalentnih klasa, na primjer, istražujući ostatke prilikom dijeljenja prirodnih brojeva od 1 do 20 sa brojem 3. Rješavajući ovaj matematički problem, otkrivaju da postoje tri podskupa sa brojevima koji daju ostatke 0, 1 i 2

1. {
3
,
6
,
9
,
12
,
15
,
18
}

{\displaystyle \{3, 6, 9, 12, 15, 18\}}
2. {
1
,
4
,
7
,
10
,
13
,
16
,
19
}

{\displaystyle \{1, 4, 7, 10, 13, 16, 19\}}
3. {
2
,
5
,
8
,
11
,
14
,
17
,
30
}

{\displaystyle \{2, 5, 8, 11, 14, 17, 30\}}

Unutar svakog od ova tri podskupa, brojevi imaju zajedničko svojstvo.

1. Svi su djeljivi sa 3.
2. Prilikom dijeljenja sa 3, svako daje ostatak od 1.
3. Prilikom dijeljenja sa 3, svako daje ostatak od 2.

Tako dobijena tri podskupa nazivaju se " klase ekvivalencije".

Ako se dva matematička objekta smatraju istim u nekom smislu, tj. ekvivalentnim u pod odgovarajućim okolnostima, jedan član klase ekvivalencije može se zamijeniti bilo kojim drugim član. Na primjer, razlomci se mogu sortirati u skupove ekvivalentnih razlomaka, kao što su su { 1/ 4 , 2/ 8 , 3 /12, 4 /16, . . . }. Razlomak 2/ 8 nije u svakom smislu isto što i razlomak 1/ 4 ,

na primjer

jedan komad torte isečen na četiri jednaka dela nije u svakom pogledu identičan sa dva dela kolač iseći na 8 jednakih delova. Međutim, radi se o istoj količini kolača. Ovdje postoji ekvivalentnost koju učenici moraju naučiti prepoznati i zatim koristiti.

Na primjer,

kod sabiranje razlomaka 3/ 8 i 1/ 4 zgodno je i korisno da se može zamijeniti 1/ 4 ekvivalentni razlomak 2/ 8 .

### Primjeri ekvivalencije u nastavi matematike u osnovnoj školi

#### Usklađivanje ” jedan na jedan"

Mala djeca dobijaju odgovarajuće iskustvo ” jedan na jedan" postavljanjem stola za šest osoba, gde svako mesto ima po jedan nož, jednu viljušku, jedan tanjir, jednu šolju, jedan tanjir i jednu supenu kašiku. Nastavnik i učenici prvo zajedno izbroje koliko komada svakog predmeta ima na stolu, a zatim ih rasporedite na različite načine kako bi podudarnost bila eksplicitna. Nastavnik u srednjoj školi povremeno koristi izraze poput " jedan od ovih za jedan od onih" i " broj ovih je jednak broju onih“.

#### Obrasci: Koje je moje pravilo?

Nastavnik i grupa učenika zajedno gledaju grupu geometrijskih tijela. Nastavnik se obraća učenicima da postoji pravilo za sortiranje ovih oblika. Ako određeno geometrijsko tijelo zadovoljava pravilo, ulazi u grupu" da", a inače za grupu" ne". Nastavnik pokazuje učenicima nekoliko primjera kako sortirati geometrijska tijela, a zatim zamoliti učenike da sami sortiraju ostala geometrijska tijela svrstavaju se u te dvije grupe, iako im on nije rekao pravilo. Kada je sortiranje završeno, od od učenika se traži da kažu šta je isto za grupu geometrijskih tijela i koje je pravilo zadato od strane nastavnika korišteno? Nakon toga ponavljaju ovu aktivnost uz drugačija pravila. Tada će učenici imati 7 mogućnost korištenja vlastitih pravila za sortiranje oblika. Svaki put kada to urade, grupa” to" će pokazati ekvivalentnost. Na primjer, ako se koristi pravilo " onda su svi uglovi pravi uglovi". je skup ekvivalentnih oblika, skup kuboida.

#### Brojevi: Koje je moje pravilo?

Ovu aktivnost možemo raditi s cijelim brojevima, a ne samo prirodnim brojevima. Nastavnik govori učenicima da predlože neke brojeve koje on zatim zapisuje na tabli u dva seta, skup " da" ili set" ne". Djeca moraju pogoditi pravilo i reći koji je isti za sve brojeve u skupu. to". Primjeri pravila mogu biti " između 9 i 100" (skup dvocifrenih brojeva) ili " zadnja cifra je 6 ili 1". 7.1.4 Šta je isto? ˇ Učenici imaju dvije geometrijske figure (kao one na slici 1) ili dva broja (kao što su 16 i 36) i oni su dodijeljeni da pronađu što više elemenata po kojima su dva broja ili dva znaka ista. Učenici treba da formulišu rečenice koje počinju rečima: oba znaka..." ili " oba broja..." Na primjer, za mogu reći likove" oba znaka imaju četiri strane" ili za brojeve mogu reći " oba broja su kvadrati neki h brojeva