Монотонни редици

## Определения

* Определение: Казваме, че редицата

{

a
n

}

# n
1

∞

{\displaystyle \{ a\_n \}\_{n=1}^\infty}

 е **монотонно растяща**, ако за всяко

n
∈

N

{\displaystyle n \in \N}

 е изпълнено:

a
n

≤

a

n
1

{\displaystyle a\_n \leq a\_{n+1}}

.
* Определение: Казваме, че редицата

{

a
n

}

# n
1

∞

{\displaystyle \{ a\_n \}\_{n=1}^\infty}

 е **строго монотонно растяща**, ако за всяко

n
∈

N

{\displaystyle n \in \N}

 е изпълнено:

a
n

<

a

n
1

{\displaystyle a\_n < a\_{n+1}}

.
* Определение: Казваме, че редицата

{

a
n

}

# n
1

∞

{\displaystyle \{ a\_n \}\_{n=1}^\infty}

 е **монотонно намаляваща**, ако за всяко

n
∈

N

{\displaystyle n \in \N}

 е изпълнено:

a
n

≥

a

n
1

{\displaystyle a\_n\ge a\_{n+1}}

.
* Определение: Казваме, че редицата

{

a
n

}

# n
1

∞

{\displaystyle \{ a\_n \}\_{n=1}^\infty}

 е **строго монотонно намаляваща**, ако за всяко

n
∈

N

{\displaystyle n \in \N}

 е изпълнено:

a
n

>

a

n
1

{\displaystyle a\_n > a\_{n+1}}

.

## Твърдения

* Всяка ограничена отгоре (отдолу) монотонно растяща (намаляваща) редица е сходяща.
* Нека

{

a
n

}

{\displaystyle \{ a\_n \}}

 е монотонно растяща редица и нека

a
n

→
a

{\displaystyle a\_n \rightarrow a}

. Тогава

a
n

≤
a

{\displaystyle a\_n \leq a}

.
* Нека

{

a
n

}

{\displaystyle \{ a\_n \}}

 е монотонно намаляваща редица и нека

a
n

→
a

{\displaystyle a\_n \rightarrow a}

. Тогава

a
n

≥
a

{\displaystyle a\_n \geq a}

.

## Теореми и следствия

* **Теорема на Щолц**: Нека

{

a
n

}

# n
1

∞

{\displaystyle \{ a\_n \}\_{n=1}^\infty}

 и

{

b
n

}

# n
1

∞

{\displaystyle \{ b\_n \}\_{n=1}^\infty}

 са две редици от числа, като

b
n

→
∞

{\displaystyle b\_n \rightarrow \infin}

 и

{

b
n

}

# n
1

∞

{\displaystyle \{ b\_n \}\_{n=1}^\infty}

 е строго растяща. Тогава ако

lim

n
→
∞

a

n
1

−

a
n

b

n
1

−

b
n

=
l

{\displaystyle \lim\_{n \rightarrow \infin} \frac{ a\_{n+1}-a\_n}{ b\_{n+1}-b\_n} = l}

, то съществува

lim

n
→
∞

a
n

b
n

{\displaystyle \lim\_{n \rightarrow \infin} \frac{a\_n}{b\_n}}

и

lim

n
→
∞

a
n

b
n

=
l

{\displaystyle \lim\_{n \rightarrow \infin} \frac{a\_n}{b\_n} = l}

.

От свойствата на лимеса можем да напишем следното равенство:

lim

n
→
∞

a

n
1

−

a
n

b

n
1

−

b
n

=

lim

n
→
∞

(

a

n
1

−

a
n

)

lim

n
→
∞

(

b

n
1

−

b
n

)

=
l

{\displaystyle \lim\_{n \rightarrow \infin} \frac { a\_{n+1} - a\_n}{ b\_{n+1} - b\_n} =\frac { \lim\_{n \rightarrow \infin} (a\_{n+1} -a\_n) }{ \lim\_{n \rightarrow \infin} (b\_{n+1} - b\_n)} = l
}

По условие имаме, че:

b
n

→
∞
⇒

lim

n
→
∞

b
n

=
∞

{\displaystyle b\_n \rightarrow \infin \Rightarrow \lim\_{n \rightarrow \infin } b\_n = \infin
}

. От определенията знаем и че

lim

n
→
∞

1

b
n

=
0

{\displaystyle \lim\_{n \rightarrow \infin} \frac{1}{b\_n} = 0
}

. Следователно можем да направил следното преобразувание, което е позволено при число, клонящо към безкрайност:

lim

n
→
∞

a

n
1

−

lim

n
→
∞

a
n

lim

n
→
∞

b

n
1

−

lim

n
→
∞

b
n

=

lim

n
→
∞

b
n

.

[

lim

n
→
∞

a

n
1

lim

n
→
∞

b
n

−

lim

n
→
∞

a
n

lim

n
→
∞

b
n

]

:

lim

n
→
∞

b
n

.

[

lim

n
→
∞

b

n
1

lim

n
→
∞

b
n

−
1

]

=
l

{\displaystyle \frac{ \lim\_{ n \rightarrow \infin } a\_{n+1} - \lim\_{ n \rightarrow \infin} a\_n}{ \lim\_{n \rightarrow \infin} b\_{n+1} - \lim\_{n \rightarrow \infin} b\_n} =
 \lim\_{ n \rightarrow \infin } b\_n . \left [ \frac { \lim\_{n \rightarrow \infin} a\_{n+1}}{ \lim\_{n \rightarrow \infin } b\_n} - \frac{ \lim\_{n \rightarrow \infin} a\_n}{ \lim\_{n \rightarrow \infin} b\_n} \right ] : \lim\_{ n \rightarrow \infin} b\_n . \left [ \frac{ \lim\_{n \rightarrow \infin} b\_{n+1}}{ \lim\_{ n \rightarrow \infin} b\_n} - 1 \right] = l

}

Правим съкращението и където има горепосочената граница, равна на нула, приравняваме и получаваме:

0
−

lim

n
→
∞

a
n

lim

n
→
∞

b
n

0
−
1

=
l
⇔

lim

n
→
∞

a
n

lim

n
→
∞

b
n

=

lim

n
→
∞

a
n

b
n

=
l

{\displaystyle \frac{ 0 - \frac{\lim\_{n \rightarrow \infin}a\_n }{\lim\_{n \rightarrow \infin}b\_n}}{0-1} = l \Leftrightarrow \frac{ \lim\_{n \rightarrow \infin}a\_n}{\lim\_{n \rightarrow \infin}b\_n} = \lim\_{ n \rightarrow \infin } \frac{a\_n}{b\_n} = l

}

С това доказвам теоремата.

* **Следствие на Коши**: Нека

lim

n
→
∞

a
n

=
a

{\displaystyle \lim\_{n \rightarrow \infin} a\_n = a}

. Тогава

lim

n
→
∞

a
1

a
2

⋯

a
n

n

=
a

{\displaystyle \lim\_{n \rightarrow \infin} \frac{a\_1+a\_2+ \cdots + a\_n}{n} = a

}

.

Знаем, че границата на редицата

a
n

{\displaystyle a\_n}

 е а. Следователно всички елементи ще бъдат по-големи или по-малки от а. Нека редицата е растяща и

a
n

<
a

{\displaystyle a\_n < a}

. Можем да напишем следните неравенства:

a
1

<
a

a
2

<
a

⋯

a
i

<
a

⋯

a
n

<
a

{\displaystyle \begin{matrix} a\_1 < a \\ a\_2 < a \\ \cdots \\ a\_i < a \\ \cdots \\ a\_n < a \end{matrix}}

Сумираме двете страни и получаваме следното неравенство:

a
1

a
2

⋯

a
n

<
n
.
a

{\displaystyle a\_1 + a\_2 + \cdots + a\_n < n.a}

n
∈

N

⇒

a
1

a
2

⋯

a
n

n

<
a

{\displaystyle n \in \mathbb{N} \Rightarrow \frac{a\_1 + a\_2 + \cdots + a\_n}{n} < a}

Можем да напишем границите и от двете страни:

lim

n
→
∞

a
1

a
2

⋯

a
n

n

<

lim

n
→
∞

# a
a

{\displaystyle \lim\_{ n \rightarrow \infin} \frac{a\_1+a\_2+ \cdots + a\_n}{n} < \lim\_{n \rightarrow \infin} a = a}

Когато редицата е намаляваща, ще получим същото неравенство, но с обратен знак, откъдето получаваме, че границата няма какво друго да бъде, освен а:

lim

n
→
∞

a
1

a
2

⋯

a
n

n

=

lim

n
→
∞

# a
a

{\displaystyle \lim\_{ n \rightarrow \infin} \frac{a\_1+a\_2+ \cdots + a\_n}{n} = \lim\_{n \rightarrow \infin} a = a}

* **Следствие**: Нека

a
n

>
0

{\displaystyle a\_n>0 }

 и

lim

n
→
∞

a
n

=
a
.

{\displaystyle \lim\_{n \rightarrow \infin} a\_n = a.}

 Тогава

lim

n
→
∞

n

1

a
1

1

a
2

⋯

1

a
n

=
a

{\displaystyle \lim\_{ n \rightarrow \infin} \frac{n}{ \frac{1}{a\_1} + \frac{1}{ a\_2} + \cdots + \frac{1}{a\_n}} = a}

.

От системата неравенства, написани по-горе, можем да напишем следните еквивалентни неравенства:

1

a
1

>

1
a

1

a
2

>

1
a

⋯

1

a
n

>

1
a

{\displaystyle \begin{matrix} \frac{1}{a\_1} >\frac{1}{a} \\ \frac{1}{a\_2} >\frac{1}{a} \\ \cdots \\ \frac{1}{a\_n} >\frac{1}{a} \end{matrix}}

Събираме всичките неравенства и получаваме неравенството:

1

a
1

1

a
2

⋯

1

a
n

>

n
a

{\displaystyle \frac{1}{a\_1}+ \frac{1}{a\_2}+ \cdots + \frac{1}{a\_n} > \frac{n}{a}}

Можем да разделим на n, тъй като е естествено число и да вземем границите от двете страни:

lim

n
→
∞

1

a
1

1

a
2

⋯

1

a
n

n

>

lim

n
→
∞

1
a

{\displaystyle \lim\_{n \rightarrow \infin} \frac{ \frac{1}{a\_1} + \frac{1}{a\_2} + \cdots + \frac{1}{a\_n}}{n} > \lim\_{n \rightarrow \infin} \frac{1}{a}}

Когато редицата е намаляваща, ще получим същото неравенство, но с обратен знак. За границата не остава нищо друго, освен да бъде а:

⇔

lim

n
→
∞

n

1

a
1

1

a
2

⋯

1

a
n

=

lim

n
→
∞

# a
a

{\displaystyle \Leftrightarrow \lim\_{n \rightarrow \infin} \frac{n}{ \frac{1}{a\_1} + \frac{1}{a\_2} + \cdots + \frac{1}{a\_n}} = \lim\_{n \rightarrow \infin} a = a}

Тук се намира границата на средно хармоничното на елементите на една числова редица.

* **Следствие**: Нека

a
n

>
0

{\displaystyle a\_n>0 }

 и

lim

n
→
∞

a
n

=
a

{\displaystyle \lim\_{n \rightarrow \infin} a\_n = a}

. Тогава

lim

n
→
∞

a
1

.

a
2

.
⋯
.

a
n

n

=
a

{\displaystyle \lim\_{n \rightarrow \infin} \sqrt[n]{a\_1.a\_2. \cdots .a\_n} = a}

.

От неравенството за средно- хармонично, геометрично и аритметично:

n

1

a
1

1

a
2

⋯

1

a
n

≤

a
1

.

a
2

.
⋯
.

a
n

n

≤

a
1

a
2

⋯

a
n

n

{\displaystyle \frac{n}{ \frac{1}{a\_1} + \frac{1}{a\_2} + \cdots + \frac{1}{a\_n}} \leq \sqrt[n]{a\_1.a\_2. \cdots . a\_n} \leq \frac{ a\_1+a\_2+ \cdots + a\_n}{n} }

Обаче ние намерихме, че:

lim

n
→
∞

n

1

a
1

1

a
2

⋯

1

a
n

=

lim

n
→
∞

a
1

a
2

⋯

a
n

n

=
a

{\displaystyle \lim\_{n \rightarrow \infin} \frac{n}{ \frac{1}{a\_1} + \frac{1}{a\_2} + \cdots + \frac{1}{a\_n}} =\lim\_{ n \rightarrow \infin} \frac{a\_1+a\_2+ \cdots + a\_n}{n} = a}

Оттук следва, че границата на средно геометричното няма какво друго да бъде освен а:

lim

n
→
∞

a
1

.

a
2

.
⋯
.

a
n

n

=
a

{\displaystyle \lim\_{n \rightarrow \infin} \sqrt[n]{a\_1.a\_2. \cdots .a\_n} = a}

.

* **Следствие**: Нека

a
n

>
0

{\displaystyle a\_n>0 }

 и

lim

n
→
∞

a

n
1

a
n

=
a

{\displaystyle \lim\_{n \rightarrow \infin} \frac{a\_{n+1}}{a\_n} = a }

. Тогава

lim

n
→
∞

a
n

n

=
a

{\displaystyle \lim\_{n \rightarrow \infin} \sqrt[n]{a\_n} = a }

.