Теория подвига

**Теория подвига** - подраздел аналитической механики, ключевым элементом которого является подвиг - функционал, аналогичный действию, но обладающий расширенной симметрией. Идея подвига впервые появилась в заметке Лития "Альтернативная версия гамильтоновой механики" 7 января 2023 года. Название "подвиг" является каламбуром от выражения "действие, но лучше".

## Операции штриха и кружочка

Введём координаты на расширенном фазовом пространстве:

# z
(
t
,
q
,
E
,
p
)
.

{\displaystyle z = (t, q, E, p).}

Тогда операцией штриха (каноническим сопряжением) будет преобразование следующего вида:

p
´

=
q
,

q
´

=
−
p
,

t
´

=
E
,

E
´

=
−
t
.

{\displaystyle \acute p = q,\quad \acute q = -p,\quad \acute t = E,\quad \acute E = -t.}

Операция кружочка (суперсимметрия) определяется так:

x
∘

=
E
,

E
∘

=
−
x
,

p
∘

=
t
,

t
∘

=
−
p
.

{\displaystyle \overset{\circ} x = E,\quad \overset{\circ} E = -x,\quad \overset{\circ}p = t,\quad \overset{\circ}t = -p.}

Операции штриха и кружочка коммутируют; дважды применённый штрих или кружочек меняет знак координаты. Определим также действие этих операций на функциях как

f
´

(
z
# )
f
(

z
´

)
,

f
∘

(
z
# )
f
(

z
∘

)
.

{\displaystyle \acute f(z) = f(\acute z),\ \overset{\circ} f(z) = f(\overset{\circ}z).}

# S
∫
p
d
q
−
E
d
t
,

# E
H
(
p
,
q
,
t
)

{\displaystyle S = \int pdq - E dt,\quad E = H(p, q, t)}

Заметим, что канонически сопряжённое действие выражается через исходное:

S
´

=
∫
−
q
d
p
t
d
# E
Δ
(
−
p
q
E
t
)
S

{\displaystyle \acute S = \int -qdp + t dE = \Delta(-pq + Et) + S}

где

Δ
(
−
p
q
E
t
)

{\displaystyle \Delta(-pq + Et)}

- разница между значениями в конечной и начальной точках траектории. Так как эта разница не зависит от траектории, то принцип экстремального действия справедлив для любой линейной комбинации действия и сопряжённого действия. Определим тогда *подвиг* как

# Φ
S

S
´

=
∫
p
d
q
−
q
d
p
−
E
d
t
t
d
# E
∫
z
d

z
´

{\displaystyle \Phi = S + \acute S = \int pdq - qdp - Edt + tdE = \int z d\acute z}

Подвиг инвариантен при действии преобразований штриха и кружочка, а также по построению даёт истинную траекторию при нахождении его экстремали.

## Уравнение координатора

Пусть теперь одна из координат фазового пространства - координатор - выражена через другие:

# h
h
(
ζ
,

h
´

)
,

{\displaystyle h = h(\zeta, \acute h),}

где

ζ

{\displaystyle \zeta}

 - все координаты, кроме

{
h
,

h
´

}

{\displaystyle \{h, \acute h\}}

. Тогда подвиг выражается как

# Φ
∫
ζ
d

ζ
´

h
d

h
´

−

h
´

d
# h
∫

(

ζ

ζ
´

˙

h
−

h
´

h
˙

)

d

h
´

,

{\displaystyle \Phi = \int \zeta d\acute \zeta + h d\acute h - \acute h dh = \int\left(\zeta \dot {\acute \zeta} + h - \acute h \dot h\right)d\acute h,}

где точкой над символом обозначено дифференцирование по

h
´

.

{\displaystyle \acute h.}

 Тогда вариационный принцип даёт уравнение координатора:

d

ζ
´

d

h
´

=
−

∂
h

∂
ζ

,

{\displaystyle \frac{d \acute \zeta}{d \acute h} = -\frac{\partial h}{\partial \zeta},}

что переходит в уравнения Гамильтона, если в качестве координатора рассмотрена энергия.

## Уравнение Фейнмана - Лития - Вигнера

В "Путевой заметке про подвиг и Путь интеграл" приведена связь между полуподвигом, функцией Вигнера и интегралом Фейнмана по траекториям:

W
(
p
,
q
,
t
# )

1
4

∫
d

p
0

d

q
0

D

z

[

e

2
i
Θ

(

p
0

2

,
−

q
0

2

)

e

−
2
i
Θ

(

−

p
0

2

,

q
0

2

)

]

W
^

(

p
0

,

q
0

,

t
0

)
,

{\displaystyle W(p, q, t) = \frac{1}{4}\int dp\_0 dq\_0 \mathcal D z\left[e^{2i\Theta\left(\frac{p\_0}{2}, -\frac{q\_0}{2}\right)} + e^{-2i\Theta\left(-\frac{p\_0}{2}, \frac{q\_0}{2}\right)}\right]\hat W(p\_0, q\_0, t\_0),}

где

W
(
p
,
q
,
t
)

{\displaystyle W(p, q, t)}

- функция Вигнера,

Θ
(
a
,
b
# )

∫

p
−
a
,
q
−
b

p
,
q

p
d
q
−
q
d
p
−
2
H
(
p
,
q
)
d
t

{\displaystyle \Theta(a, b) = \int\_{p-a, q-b}^{p, q} pdq - qdp - 2H(p, q)dt}

- полуподвиг, а крышечкой обозначается преобразование Фурье:

W
^

(
P
,
Q
# )

1

(
2
π

)
2

∫
d
a
d
b

W
(
a
,
b
)

e

i
a
Q
i
b
P

.

{\displaystyle \hat W(P, Q) = \frac{1}{(2\pi)^2}\int da db\ W(a, b) e^{iaQ + ibP}.}

Таким образом, временная эволюция функции Вигнера в фазовом пространстве может быть выражена через интеграл по траекториям в фазовом пространстве с помощью полуподвига.