Taller Sesión 3. La Transformada de Fourier

Para afianzar la comprensión conceptual de lo que significa y aporta la transformada de Fourier, se proceden a resolver ejercicios propuestos matemáticamente para después realizar el correspondido análisis de resultados y comprender el verdadero trasfondo de dicha herramienta.

**Relación del dominio del tiempo y de la frecuencia**

Inicialmente, se desea observar la relación que hay entre el dominio del tiempo con el dominio de la frecuencia de una señal real. Para esto, se utiliza la herramienta de computo MATLAB para graficar las señales en ambos dominios y realizar cambios en los parámetros de los ejercicios para observar la variación del comportamiento dependiendo de estos.

Cabe destacar que el uso de esta herramienta también sirve como insumo para desarrollar el pensamiento algoritmico y enriquecer el conocimiento de MATLAB que es tan útil para la ingeniería.

a)

x
(
t
# )
2

e

−
α
t

u
(
t
)

{\displaystyle x(t)=2e^{-\alpha t}u(t)}

Partiendo del conocimiento de que u(t) corresponde a un escalón unitario sin desplazamiento en el tiempo, entonces esto se trata de una multiplicación de 2 por un exponencial con un escalon, que impedirá que para el tiempo negativo haya alguna señal de salida, es decir, solo toma resultados en la parte positiva de la señal; es por esto que la señal escalón es tan importante en el trabajo con las señales y los sistemas, tiene una amplia aplicación para adecuar la señal en el tiempo, como también en la frecuencia como se observará más adelante.

El plan de acción corresponde a modificar los valores de **α** para observar el comportamiento que este genera en las señales para el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia.

Creando el código en MATLAB:

Inicialmente se crea la función con la que se retornará el resultado final, además, se crea el vector correspondientes a la variación de **α** (que iría desde 0.01 hasta 1 avanzando de a 0.01 cada componente del vector) y luego se le asigna a N la cantidad de valores que contiene el vector a.

Esta segunda parte corresponde a la creación de la función x(t), dónde se ingresa a un ciclo desde 1 hasta que se complete el vector de **α,** luego se crea un valor para d que será utilizado más adelante. La asignación de t con un linspace corresponde a la creación del tiempo que irá desde -20 hasta 20, con 402 puntos. Después, se procede a la creación del escalón unitario, donde u0 corresponde a la primera parte, es decir, de -20 a 0, para después crear u1 que irá de 0 a 20; con los límites creados, entonces se crea un vector donde se llenará de ceros con el rango de u0 haciendo uso la función de zeros, y haciendo uso de la función ones, se rellena la segunda parte con 1 entre 0 y 20. Por último, se crea la función correspondiente a la señal que en este caso se le llama y pero corresponde a x(t). La intención de realizar el ciclo y todo esto dentro del mismo, se hace para realizar la variación del **α** con los valores previamente definidos y observar su comportamiento.

Para finalizar con el código, se procede a realizar la graficación de x(t) a la par que se grafica también la magnitud del espectro de x(t) aplicando la transformada de Fourier y después la transformada rápida de Fourier, esto se debe a que el primer comando no acomoda en el eje adecuadamente al espectro de la señal, cosa que con la fftshift es posible; cabe destacar que esto sigue estando dentro del ciclo y por eso se le agrega un pause con 0.005 segundos de espera, para que sea posible la visualización de la transición entre los **α.**

Al aplicar el código completo, se obtuvo lo siguiente:

    Y la respuesta en frecuencia varía de la siguiente forma:

De lo anterior podemos entender varias cosas, inicialmente, al multiplicar un exponencial por un escalón va a obtener su forma para el tiempo mayor a cero como se puede observar de la *Figura 4.* Además, al tener un exponente negativo entonces va a reflejarse con respecto al tiempo ese exponencial, por lo que va a ir incrementando negativamente la pendiente y por eso va tomando esa forma curva con concavidad hacia arriba y va tendiendo a ser casi que un impulso.

Ahora, esta modificación en que afecta al espectro? Como se está multiplicando al tiempo en el exponente, esto genera una modificación de la amplitud del módulo de la respuesta en frecuencia, es decir, como se puede observar en la *Figura 5*, la amplitud del espectro está disminuyendo, a la par que sus rizados laterales van desapareciendo, ya que terminan siendo muy pequeños para ser apreciados.

Es importante tener claro el concepto de la relación entre el dominio del tiempo con el dominio de la frecuencia, ya que esto nos permitirá en futuras aplicaciones como la modulación de señales (que representará información), la distorsión y el ruido. Entonces, para este caso, se está presentando una distorisión en la señal ya que estamos variando la amplitud de la señal.

**b.**

y
(
t
# )
2

e

α
t

u
(
−
t
)

{\displaystyle y(t)=2e^{\alpha t}u(-t)}

Este es un caso muy similar al anterior, solo que ahora el escalón unitario se encuentra reflejado con respecto al tiempo, por ende, ahora los unos estarán en la parte negativa del tiempo, y los ceros estarán en la parte positiva. De la misma manera, el exponencial entonces se volteara, es decir, tenemos la misma situación anterior con la excepción de que ahora está todo reflejado, esto corresponde a la propiedad de inversión en el tiempo.

Por parte del código, sigue siendo el mismo anterior, con la excepción de que ahora el escalón se códifica de otra manera, y la función x(t) debe adecuarse a la y(t) del enunciado, multiplicando por -1 al tiempo.

Se puede observar entonces que se aplica el comando ones para la primera parte del vector de u(t), que sería desde -20 hasta 0, y con el comando zeros para la derecha, es decir, desde 0 hasta 20.

Cabe resaltar que para este caso también se va a modificar el **α** con los puntos mencionados anteriormente para observar su comportamiento en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia.

Procediendo a graficar y(t):

Ahora, aplicando el código de igual manera que para el anterior ejercicio, aplicando la transformada de Fourier y la transformada rápida de Fourier, se obtiene el espectro de la señal:

De igual manera que para el anterior punto, al ir variando el factor **α** en el dominio del tiempo la pendiente irá incrementando, en este caso si de manera positiva, tendiendo a tomar la forma de un impulso unitario si se siguiera incrementando el valor de **α**. Del mismo modo, en el espectro se va disminuyendo la amplitud de la señal o la magnitud, por lo que el rizado que se presenta en las partes laterales de la onda se disminuyen, presentando una distorsión al modificar la amplitud de y(t).

Para continuar con el análisis de la relación entre el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia, se presenta un último ejercicio:

**c.**

g
(
t
# )
x
(
t
−
θ
)

{\displaystyle g(t)=x(t-\theta )}

En esta ocasión, se nos requiere realizarle un desplazamiento en el tiempo para la señal que vimos en la parte inicial, es decir, del punto **a**, teniendo la siguiente señal:

x
(
t
−
θ
# )
2

e

−
α
(
t
−
θ
)

u
(
t
−
θ
)

{\displaystyle x(t-\theta )=2e^{-\alpha (t-\theta )}u(t-\theta )}

Como se mencionaba entonces, se realiza un desplazamiento en el tiempo de θ, donde dichos valores corresponde desde π/8, avanzando de a 0.01 hasta llegar π, el código que se utiliza en esta ocasión es el mismo que el anterior, con la excepción de que en el escalón unitario se desplazará constantemente theta unidades a medida que se avanza en el tiempo, pero esto solo representa un corrimiento en el tiempo entonces no tiene mayor dilema, a excepción de la función g(t) ya que se está modificando α a la par que se modifica el θ, entonces esto va a representar modificaciones que anteriormente no se podía observar en el dominio del tiempo, a la par que se presenta para el dominio de la frecuencia.
Al aplicar el código, se obtiene entonces la siguiente señal en el dominio del tiempo:

De igual manera, se gráfica la magnitud de g(t):

Este es un ejercicio muy chévere por como se puede observar el comportamiento en base a los cambios por parte de θ y α, inicialmente tiene la variación como en los ejemplos anteriores, es decir, el pequeño ruido de la sink (en el dominio de la frecuencia) se va disminuyendo hasta practicamente todo ese "ruido" desaparezca. Ahora, en el dominio del tiempo, inicialmente la señal únicamente tiende a obtener la forma del exponencial como en la *Figura 5 y 8*, pero luego empieza a incrementar su amplitud cuándo el exponencial aumenta significativamente sus valores, de igual manera, en el dominio de la frecuencia empieza teniendo una amplitud grande, tiende a ser casi cero, y luego vuelve a aumentar al mismo tiempo que g(t) aumenta.

De estos ejercicios se pueden extraer entonces información muy valiosa, en dónde se exhibe la estrecha relación de la modificación a una señal en el dominio del tiempo, que afectará también en el dominio de la frecuencia, más específicamente para esta ocasión, a la magnitud. Es por esto, que la relación entre ámbos es de suma importancia para la manipulación de señales, como se podrá observar en módulos posteriores con lo que sería la modulación y filtrado, ramas fundamentales para la transmisión de información.

**Propiedad del Desplazamiento en el tiempo y Desplazamiento en la frecuencia**

**Punto 2 a.** Se tiene la siguiente ecuación la cual queremos sacar su TF:

x
(
t
# )
[
u
(
t
−

1
2

)
−
u
(
t
−

3
2

)
]

e

4
π
j
(
t
−
1
)

{\displaystyle x(t)=[u(t-{\frac {1}{2}})-u(t-{\frac {3}{2}})]e^{4\pi j(t-1)}}

Como se puede observar, la señal x(t) es el producto de un pulso cuadrado por una exponencial compleja. Por lo tanto esta señal posee parte imaginaria y parte real como se puede observar a continuación.

Si observamos con detenimiento la ecuación de la señal, podremos observar que la señal se encuentra desplazada en el dominio del tiempo y de la frecuencia. Por lo tanto, podremos realizar su Transformada de Fourier con más facilidad aplicando las siguientes propiedades:

Para continuar, procederemos a aplicar la fórmula de desplazamiento en el tiempo y luego la de desplazamiento en la frecuencia respectivamente.

En primer lugar, conocemos que nuestra señal es un pulso cuadrado desde 0,5 hasta 1,5, es decir que su ancho es de 1. Podemos concluir a partir de ello que, el pulso cuadrado originalmente se ubicaba centrado en 0, desde -0,5 hasta 0,5, y fue desplazado una unidad hacia la derecha. Dado ello, abstraemos la ecuación del pulso originalmente:

x
1
(
t
# )
u
(
t
0
,
5
)
−
u
(
t
−
0
,
5
)

{\displaystyle x1(t)=u(t+0,5)-u(t-0,5)}

En segundo lugar, aplicaremos la Transformada de Fourier a esta señal x1(t), lo cual obtendremos una señal Sink de la forma:

X
1
(
j
w
# )

2
S
e
n
(
0
,
5
w
)

w

{\displaystyle X1(jw)={\frac {2Sen(0,5w)}{w}}}

En tercer lugar, aplicaremos la propiedad de desplazamiento en el tiempo, multiplicando X1(jw) a una exponencial compleja resultando:

X
2
(
j
w
# )

2
S
e
n
(
0
,
5
w
)

w

∗

e

−
j
w

{\displaystyle X2(jw)={\frac {2Sen(0,5w)}{w}}\*e^{-jw}}

x
2
(
t
# )
u
(
t
−

1
2

)
−
u
(
t
−

3
2

)

{\displaystyle x2(t)=u(t-{\frac {1}{2}})-u(t-{\frac {3}{2}})}

En cuarto lugar, aplicaremos la propiedad de desplazamiento en la frecuencia a x2(t), desplazando la señal X2(jw) 2 unidades a la derecha como se ve a continuación:

X
3
(
j
w
# )

2
S
e
n
(
0
,
5
(
w
−
2
)
)

(
w
−
2
)

∗

e

−
j
(
w
−
2
)

{\displaystyle X3(jw)={\frac {2Sen(0,5(w-2))}{(w-2)}}\*e^{-j(w-2)}}

x
3
(
t
# )
u
(
t
−

1
2

)
−
u
(
t
−

3
2

)

e

2
∗
2
π
j
(
t
−
1
)

{\displaystyle x3(t)=u(t-{\frac {1}{2}})-u(t-{\frac {3}{2}})e^{2\*2\pi j(t-1)}}

Como podemos observar, la señal x3(t) es la misma que la señal x(t), por lo que deducimos que X3(jw) es X(jw)

De igual manera, procederemos a graficar la Transformada de Fourier de la señal x(t) obteniendo el mismo resultado obtenido anteriormente, una señal sink desplazada dos hertz a la derecha:

**Punto 2 b.** Se tiene la siguiente ecuación la cual queremos sacar su TF:

y
(
t
# )
[
u
(
t

3
2

)
−
u
(
t

1
2

)
]

e

4
π
j
(
t
1
)

{\displaystyle y(t)=[u(t+{\frac {3}{2}})-u(t+{\frac {1}{2}})]e^{4\pi j(t+1)}}

Esta señal, al igual que la anterior, es una señal desplazada en el tiempo y en la frecuencia. Por lo que procederemos a realizar los mismos pasos hechos en el ejercicio anterior:

Primer paso, definimos la señal original, el pulso cuadrado y definimos su transformada:

y
1
(
t
# )
u
(
t
0
,
5
)
−
u
(
t
−
0
,
5
)

{\displaystyle y1(t)=u(t+0,5)-u(t-0,5)}

Y
1
(
j
w
# )

2
S
e
n
(
0
,
5
w
)

w

{\displaystyle Y1(jw)={\frac {2Sen(0,5w)}{w}}}

Segundo paso, encontramos que el pulso se desplazo un segundo a la izquierda y aplicamos la propiedad de desplazamiento en el tiempo:

Y
2
(
j
w
# )

2
S
e
n
(
0
,
5
w
)

w

∗

e

j
w

{\displaystyle Y2(jw)={\frac {2Sen(0,5w)}{w}}\*e^{jw}}

y
2
(
t
# )
u
(
t

3
2

)
−
u
(
t

1
2

)

{\displaystyle y2(t)=u(t+{\frac {3}{2}})-u(t+{\frac {1}{2}})}

Tercer paso, definimos que el pulso se desplazo 2Hz en el dominio de la frecuencia y aplicamos la propiedad de desplazamiento en la frecuencia:

Y
3
(
j
w
# )

2
S
e
n
(
0
,
5
(
w
−
2
)
)

(
w
−
2
)

∗

e

j
(
w
−
2
)

{\displaystyle Y3(jw)={\frac {2Sen(0,5(w-2))}{(w-2)}}\*e^{j(w-2)}}

y
3
(
t
# )
u
(
t

3
2

)
−
u
(
t

1
2

)

e

2
∗
2
π
j
(
t
−
1
)

{\displaystyle y3(t)=u(t+{\frac {3}{2}})-u(t+{\frac {1}{2}})e^{2\*2\pi j(t-1)}}

Finalmente, como y3(t) es igual a y(t) concluimos que la transformada de y(t) es Y3(jw) y procederemos a verificar graficando en Matlab:

**Punto 2 c.** A continuación confirmaremos que el orden en el cual se aplican las propiedades no importa a la hora se calcular la Transformada de Fourier. Para ello, procederemos a calcular la transformada de los 2 ejercicios anteriores aplicando primero la propiedad de desplazamiento en frecuencia y luego la de desplazamiento en el tiempo:

Primer paso, definimos la señal original, el pulso cuadrado y definimos su transformada:

x
1
(
t
# )
u
(
t
0
,
5
)
−
u
(
t
−
0
,
5
)

{\displaystyle x1(t)=u(t+0,5)-u(t-0,5)}

y
1
(
t
# )
u
(
t
0
,
5
)
−
u
(
t
−
0
,
5
)

{\displaystyle y1(t)=u(t+0,5)-u(t-0,5)}

X
1
(
j
w
# )

2
S
e
n
(
0
,
5
w
)

w

{\displaystyle X1(jw)={\frac {2Sen(0,5w)}{w}}}

Y
1
(
j
w
# )

2
S
e
n
(
0
,
5
w
)

w

{\displaystyle Y1(jw)={\frac {2Sen(0,5w)}{w}}}

Segundo paso, definimos que el pulso se desplazo 2Hz en el dominio de la frecuencia y aplicamos la propiedad de desplazamiento en la frecuencia:

x
1
(
t
# )
[
u
(
t
0
,
5
)
−
u
(
t
−
0
,
5
)
]

e

4
π
j
(
t
)

{\displaystyle x1(t)=[u(t+0,5)-u(t-0,5)]e^{4\pi j(t)}}

y
1
(
t
# )
[
u
(
t
0
,
5
)
−
u
(
t
−
0
,
5
)
]

e

4
π
j
(
t
)

{\displaystyle y1(t)=[u(t+0,5)-u(t-0,5)]e^{4\pi j(t)}}

X
1
(
j
w
# )

2
S
e
n
(
0
,
5
(
w
−
2
)
)

(
w
−
2
)

{\displaystyle X1(jw)={\frac {2Sen(0,5(w-2))}{(w-2)}}}

Y
1
(
j
w
# )

2
S
e
n
(
0
,
5
(
w
−
2
)
)

(
w
−
2
)

{\displaystyle Y1(jw)={\frac {2Sen(0,5(w-2))}{(w-2)}}}

Tercer paso, definimos que el pulso se desplazo +1 y -1 para y(t) y x(t) respectivamente y aplicamos la propiedad de desplazamiento en la frecuencia:

x
3
(
t
# )
u
(
t
−

1
2

)
−
u
(
t
−

3
2

)

e

2
∗
2
π
j
(
t
−
1
)

{\displaystyle x3(t)=u(t-{\frac {1}{2}})-u(t-{\frac {3}{2}})e^{2\*2\pi j(t-1)}}

y
3
(
t
# )
u
(
t

3
2

)
−
u
(
t

1
2

)

e

2
∗
2
π
j
(
t
−
1
)

{\displaystyle y3(t)=u(t+{\frac {3}{2}})-u(t+{\frac {1}{2}})e^{2\*2\pi j(t-1)}}

X
3
(
j
w
# )

2
S
e
n
(
0
,
5
(
w
−
2
)
)

(
w
−
2
)

∗

e

−
j
(
w
−
2
)

{\displaystyle X3(jw)={\frac {2Sen(0,5(w-2))}{(w-2)}}\*e^{-j(w-2)}}

Y
3
(
j
w
# )

2
S
e
n
(
0
,
5
(
w
−
2
)
)

(
w
−
2
)

∗

e

j
(
w
−
2
)

{\displaystyle Y3(jw)={\frac {2Sen(0,5(w-2))}{(w-2)}}\*e^{j(w-2)}}

Finalmente, podemos comprobar que el orden de aplicación de las propiedades no afecta la transformada.

**Características de la Transformada de Fourier**

3. Para poder declarar a simple ojo, si la transformada de Fourier de una señal es real, solo imaginaria o compleja, y por otra parte es par, impar o sin simetría, debemos tener muy presentes los diferentes casos para la transformada de Fourier, como el caso del escalón, del impulso, de la multiplicación o de la convolución, etc..., ya que al saber las cualidades de la transformada de Fourier para estos casos, no debemos de llegar hasta la expresión de la transformada, sino que con solo saber las características podemos hacer declaraciones, como que la transformada de Fourier de un impulso es compleja, y al sumarla con otra transformada, el resultado de esta suma seguirá siendo compleja, así la otra transformada sea solo real. En los siguientes casos observaremos como a simple ojo, determinaremos si una transformada es real, solo imaginaria o compleja, y por otra parte si es par, impar o sin simetría.

a. Lo primero que debemos de observar de una señal, son las diferentes partes que la componen, he identificar si es un coseno, seno escalón, etc... Y en este caso se puede observar, que esta compuesto por tres escalones, los cuales se sitúan en -1, 0 y 1, y como mencionaba anteriormente, se debe de tener presentes las diferentes transformadas de Fourier, la cual para este caso seria la transformada de Fourier para un escalón, la cual seria un impulso con parte real e imaginario, por lo tanto seria una transformada de Fourier compleja. Y con respecto a si es simétrica o no, lo podemos observar en los signos que se anteponen a los escalos, los cuales darían un impulso positivo en -1, un impulso negativo en 0 y un impulso positivo 1, dando una señal con simetría par.

x
(
t
# )
u
(
t
1
)
−
2
u
(
t
)
u
(
t
−
1
)

{\displaystyle x(t)=u(t+1)-2u(t)+u(t-1)}

b. Como se pudo ver en el punto anterior, pudimos mostrar que una señal compuesta solo de impulsos, su transformada de Fourier da compleja, y con respecto a su simetría, se hace el mismo análisis que el punto anterior, y se observan que puntos se anteponen a los diferentes escalones, los cuales al transformar darían un impulso positivo en -1 con tamaño 1, un impulso positivo en -1/2 con tamaño 1/2, un impulso negativo en 1/2 con tamaño 1/2 y por ultimo un impulso negativo en 1 con tamaño 1, dando asi una transformada de Fourier con simetría impar.

y
(
t
# )
u
(
t
1
)

1
2

u
(
t

1
2

)
−

1
2

u
(
t
−

1
2

)
−
u
(
t
1
)

{\displaystyle y(t)=u(t+1)+{\frac {1}{2}}u(t+{\frac {1}{2}})-{\frac {1}{2}}u(t-{\frac {1}{2}})-u(t+1)}

c. La siguiente señal se puede analizar en dos partes, la primera es la resta de los impulsos, de la cual ya tenemos un análisis anterior, donde concluimos que la transformada de Fourier de estos dos impulsos es compleja y su simetría es impar, ya que se ubican en -1/2 y 1/2 y tienen la misma amplitud. Y por otra parte, esta la multiplicación entre la resta de los escalones y el Seno, lo cual en la transformada de Fourier, esta representada mediante una convolución, y en lo que ya se sabe es que la Transformada de Fourier de un Seno son, dos impulsos con simetría impar y con solo parte imaginaria, por lo tanto al realizar la convolución, ya no habría parte imaginaria, y al realizar la convolución de dos señales con la misma forma, dará que la convolución es simétrica par, por lo tanto podemos afirmar que la transformada de Fourier de esta señal, solo tiene parte real y es simétrica par.

g
(
t
# )
[
u
(
t

1
2

)
−
u
(
t
−

1
2

)
]
sin
⁡
(
2
π
t
)

{\displaystyle g(t)=[u(t+{\frac {1}{2}})-u(t-{\frac {1}{2}})]\sin(2\pi t)}

d. El análisis de la transformada de Fourier de esta señal, se hace de la misma forma que la anterior, lo que cambia es que la transformada de Fourier para un Coseno es solo Real y tiene simetría par, por lo tanto al realizar la convolución nos va dar que la transformada de Fourier para la señal completa es Imaginaria y tiene simetría impar.

d
(
t
# )
[
u
(
t

1
2

)
−
u
(
t
−

1
2

)
]
cos
⁡
(
2
π
t
)

{\displaystyle d(t)=[u(t+{\frac {1}{2}})-u(t-{\frac {1}{2}})]\cos(2\pi t)}

e. El análisis de esta señal se hace de la misma forma que los dos ejercicios anteriores.

s
(
t
# )
[
u
(
t

1
2

)
−
u
(
t
−

1
2

)
]
sin
⁡
(
2
π
t

π
4

)

{\displaystyle s(t)=[u(t+{\frac {1}{2}})-u(t-{\frac {1}{2}})]\sin(2\pi t+{\frac {\pi }{4}})}

Solo que se debe de aplicar la identidad trigonométrica de la suma de dos ángulos para el Seno:

sin
⁡
(
θ
±
β
# )
sin
⁡
θ
cos
⁡
β
±
sin
⁡
β
cos
⁡
θ

{\displaystyle \sin(\theta \pm \beta )=\sin \theta \cos \beta \pm \sin \beta \cos \theta }

Al aplicar esta identidad nos va a quedar la suma de los ejercicios anteriores y los cuales tendrán la amplitud de Seno(pi/4) y Coseno(pi/4):

s
(
t
# )
[
u
(
t

1
2

)
−
u
(
t
−

1
2

)
]
sin
⁡
(
2
π
t
)
cos
⁡
(

π
4

)
[
u
(
t

1
2

)
−
u
(
t
−

1
2

)
]
cos
⁡
(
2
π
t
)
sin
⁡
(

π
4

)

{\displaystyle s(t)=[u(t+{\frac {1}{2}})-u(t-{\frac {1}{2}})]\sin(2\pi t)\cos({\frac {\pi }{4}})+[u(t+{\frac {1}{2}})-u(t-{\frac {1}{2}})]\cos(2\pi t)\sin({\frac {\pi }{4}})}

Por lo tanto, podemos decir que la transformada de Fourier de la señal es compleja, ya que por un lado tenemos una transformada Real y por el otro lado una transformada Impar, y al hacer la suma nos da una transformada compleja. Y por el lado de la simetría, tenemos que no tiene simetría, ya que por un lado tenemos una transformada con simetría par y por el otro lado una transformada con simetría impar.

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