Frege (1891), "Function and Concept" (translated by Peter Geach)

프레게 (1891), "함수와 개념". 전체 논문 요약.

## 수학에서 기호와 지시체의 구분

함수(function)란
무엇인가? 한 가지 답변은, x에 대한 함수란 x라는 기호를 포함한 수학적 표현이라는 것이다. 하지만 프레게는 이것이
형태(form)와 내용(content), 말하자면 표현과
그것의 지시체를 구분하지 못한다고 말한다. 수학에서 우리가 주목하고자 하는 것은 수학적 표현들의 형태라기보다는
내용이다. 가령 우리가 ‘2·23+3=18’이라고 할 때, 우리가 주장하는 것은
‘2·23+3’와 ‘18’라는 표현 자체에 대한 것이 아니라, 그것들의 지시체가 동일하다는
것이다.

어떤 사람들은 수(number)가
감각에 의해 지각되지 않다는 이유로, 숫자(numeral)와
수학적 표현들과 구분되는 것으로서의 지시체인 수는 없으며, 숫자와 수는 동일하다고 주장한다. 하지만 프레게는 이와 같은 생각이 잘못되었다고 논증한다. 첫째로, 수가 없고 숫자만 있다면, 수의 산술적 속성에 대한 담론은 신화가
된다. 예를 들어 숫자 ‘1’의 물리적 속성을 아무리 탐구해도, 우리는 1이 곱셈의 항등원이라는 속성을 갖고 있음을 알 수가 없다. 둘째로, 수가 숫자와 동일하다면,
다른 숫자 표기법의 도입은 새로운 수의 도입일 것인데 이는 말도 안 된다. 셋째로, 수가 숫자와 동일하다면, ‘2’, ‘1+1’, ‘3-1’ 등은 모두
다른 숫자이므로, x2=4의 해는 2와
-2 외에도 무수히 많게 될 것인데 이는 부적절하다.

프레게에 따르면 하나의 수는 다양한 수학적 표현들에 의해 지시될 수
있다. 예를 들어 합인 ‘1+1’과 몫인 ‘6/3’은 동일한 수 2에 대한 상이한 표현으로서, 2에 대한 서로 다른 방식의 개념화를 나타내는 것이다.

## 함수와 수의 구분

한편, 프레게는 수학에서
중요한 항목인 함수와 수가 근본적으로 다르다고 주장한다. 수는 그 자체로 완결되고 완전하지만, 함수란 불완전하고(incomplete) 불포화된(unsaturated) 존재자라는 점에서 다르다. 함수는 다른 것을
논항(argument)으로 받아서 완결된 전체를 이루는 종류의 존재자인 것이다. 예를 들어 함수 2x3+1은 논항으로 1을 받으면 3을, 2를
받으면 17을 산출하는데, 이때 변항인 ‘x’ 자체는 함수의 부분이라기보다는 논항이 들어갈 자리를 표시하는 역할을 하는 것으로서, 수를 불확정적으로(indefinitely) 나타낸다.

## 함숫값과 값-범위, 함수의 불확정적 표현

함숫값(value)이란, 어떤 함수가 특정한 논항을 받아서 산출한 결과를 말한다. 위에서
살펴본 사례에서, 논항 2에 대한 함수 2x3+1의 함숫값은 17이 된다. 어떤 함수들은 어떤 논항을 대입하더라도 동일한 값을 산출하지만, 이런
경우에도 함수와 함숫값이 같은 것은 아니다. 예를 들어 함수 2+x-x는
x에 어떤 수를 넣더라도 값이 여전히 2이다. 하지만 함수 2+x-x는 불완전한 반면 2는 완전하기 때문에, 둘은 구분되어야 한다.

한편 함수의 값-범위(value-range)란, 한 함수가 각각의 논항에 대하여 어떤 함숫값을
갖는지를 전체적으로 나타낸 것이다. 만약에 어떤 두 함수가 같은 논항에 대해 늘 같은 함숫값을 갖는다면, 우리는 이 두 함수의 값-범위가 동일하다고 말할 수 있다. 예를 들어 함수 x2-4x와 x(x-4)는, x에 어떤 수를 대입하든 늘 동일한 수를 산출하므로
값-범위가 같다. 프레게는 주어진 함수의 값-범위를 다음과 같은 방식으로 표기한다: 먼저 함수 안의 논항 기호(즉 변항)를 그리스어 모음으로 대치한 뒤, 전체 표현을 괄호치고, 가장 앞에 앞의 그리스어 모음을 쓰고 연기식(smooth breathing) 표기를 한다. 예를 들어 x2-4x의 값-범위는 ἐ(ε2-4ε)이고, x(x-4)의
값-범위는 ἀ(α(α-4))가 된다.

함수가 값-범위가 동일하다는
것을 표현하는 데는 두 가지 방식이 존재한다:

x2-4x=x(x-4)

ἐ(ε2-4ε)= ἀ(α(α-4))

위쪽의 표기법은 ‘x’를 사용하여 수를 불확정적으로 나타내어, 논항에 어떤 수를 대입하든
두 함수의 값 사이의 동일성이 일반적으로(genrally) 성립함을 나타낸다. 이때 두 함수에 대입된 논항은 동일해야 하므로, 등호 양편의 변항은
동일해야 한다. 한편 아래쪽의 표기법은 직접적으로 두 함수의 값-범위가
동일하다고 말해주고 있으며, 반드시 동일한 그리스어 모음을 사용할 필요는 없다.

우리는 앞에서 ‘x’와
‘y’ 등의 변항들이 수를 불확정적으로 나타낸다고 했다. 이제
프레게를 함수를 불확정적으로 나타낼 수 있는 표현으로 ‘f(x)’와 ‘F(x)’를
또한 도입한다. 따라서, ἐf(ε)는 불확정적으로 나타낸
함수의 값-범위다.

## 함수 개념의 확장

프레게는 함수 개념에 두 방향의 확장이 이루어져 왔다고 말한다. 첫째로, 함수를 구축하는 데 사용되는 연산(operation)이 더하기, 빼기,
곱하기 외에 극한 등이 추가되었다. 둘째로, 함수의
논항 및 값으로 허용되는 수의 범위가 복소수로 확장되었다. 여기서 프레게는 두 방향의 보다 급진적인
확장을 꾀한다. 첫째로, 그는 함수를 구축하는 재료로서
=, <, > 등의 수학적 관계뿐만 아니라 아니라 일반적 문장에서 술어가 가리키는 존재자로
여겨지는 개념(concept)을 추가한다(여기서 프레게의
‘개념’은 거칠게 말해 속성을 의미하는 것으로 이해하면 된다). 둘째로, 그는 가능한 논항 및 값에 수 외에도 진리치를 포함하여
모든 대상들을 허용한다.

프레게에 따르면 기존의 연산들 +,
- 등으로 만든 함수는 수를 함숫값으로 갖지만, =, >, <를 통해 구축된
수학 함수들은 진리치를 함숫값으로 산출한다. 다른 말로 하자면, =,
>, <로 만들어진 함수에 수를 논항으로 대입한 표현들은 진리치를 지시한다는 것이다. 예를
들어 ‘22=4’와 ‘2>1’은
참을 지시하고, ‘22=1’은 거짓을 지시한다. 따라서, (22=4)=(2>1)이다. 앞의 두 표현은
동일한 지시체 즉 참을 공유하지만, 서로 다른 사고(thought) 또는
뜻(sense)을 표현한다.

## 진리치만을 값으로 갖는 함수로서의 개념

프레게는 더 나아가 함수와 개념의 밀접한 상관관계를 밝힌다. -1이 함수 x2=1에 논항으로 대입되어 참을
산출한다는 것은, 다시 말하면 -1이 1의 제곱근 개념 하에 떨어진다는 것과 같다. 프레게는 이것이 개념이란
늘 진리치만을 값으로 갖는 함수임을 보여준다고 말한다. (뒷부분에서 프레게는 진리치만을 값으로
갖는 함수들 중에서 단일 논항을 취하는 것을 개념, 두 개의 논항을 취하는 것을 관계(relation)라고 하는데, 우리는 프레게를 따라서 단일 논항을
갖는 함수만을 일단 고려해 보자.) 한편, 함수의 값-범위와 개념의 외연 사이에도 밀접한 관계가 성립한다. 어떤 두
개념의 외연이 같다는 것은, 그 개념 함수의 값-범위가 동일하다는
것이다. 왜냐하면 개념의 외연이란 곧 그 개념 함수에 대입되어 참을 산출하는 대상들이기에, 외연이 같으면 정확히 동일한 대상에 대해 동일한 진리치를 산출하게 되기 때문이다.

한편, 프레게는 수학적
진술(statement)인 등식과 부등식을 넘어, 언어적
진술 일반에 대해 자신의 분석을 적용하려고 한다. 프레게에 따르면 진술은 완전한 부분과 불완전한 부분이라는
두 종류의 부분으로 분절될 수 있다. 예를 들어 “카이사르는
갈리아 지방을 정복했다”는 고유명사인 ‘카이사르’와 술어 ‘~는 갈리아 지방을 정복했다’로 분절되는데, 이때 전자는 포화된 존재자인 대상을, 후자는 불포화된 존재자인 개념을 지시한다. 이를 함수의 견지에서
바라보면, ‘카이사르’의 지시체인 대상 카이사르는, 논항으로서 ‘~는 갈리아 지방을 정복했다’가 표현하는 함수에 대입되어 참을 산출하는 것이 된다.

  ‘2x3+1’
  ‘22=4’

위에서 알 수 있듯이, 프레게는
카이사르와 같은 대상까지 논항으로 허용한다. 그는 더 나아가 일반적인 대상들을 함숫값으로도 허용한다. 예를 들어 ~의 수도라는 함수는 독일을 논항으로 받아서 베를린을
산출한다. (다만 ~의 수도라는 함수는 진리치만을 값으로
갖지 않으므로 개념은 아니다.)

## 대상과 진리치

대상이란 어떤 종류의 존재자인가? 이에
대해 프레게는 이것이 너무 단순한 개념이라서 논리적으로 분석할 수는 없다고 말한다. 하지만 한 가지
말할 수 있는 것은, 대상이란 빈 자리(empty space)를
포함하지 않은 표현이 나타내는 것, 함수가 아닌 것, 포화되고
완전한 존재자라는 것이다.

프레게는 이 기준에 따라서 (a) 진리치와
(b) 값-범위, 그리고
(c) 개념의 외연 모두 대상이라고 말한다. 먼저 프레게는
(a) 진술은 빈 자리를 포함하지 않은 언어 표현이고, 따라서
대상을 지시체로 갖는데, 진술의 지시체는 진리치이기 때문에 진리치가 대상이라고 논증한다. (여기서 프레게는 진술의 지시체가 진리치라고 전제하고 있는데, 이는
그의 다른 논문 “On Sense and Reference”에 나온다.)
한편, (b) 값-범위를 나타내는 표현, 가령 ‘ἐ(ε2-4ε)’는 빈 자리가 없다. 그러므로, 값-범위는 대상이다. 마찬가지로, (c) 개념의 외연 또한 대상이다. (특별한 논증은 없음.)

## 지시체 없는 표현의 배제와 개념의 명확한 경계지어짐에 대한 요구

프레게는 과학적 엄밀성을 위해서는 각각의 표현이 반드시 지시체를 가져야
한다고 말한다.
예를 들어,
우리는 태양을 가리키는 ‘⊙’와 ‘+’, ‘1’을 토대로 구축한 표현 ‘⊙+1’도 지시체를 가질 수 있도록 규칙을 세워야 한다. 이를 위해서는
모든 함수가 임의의 논항을 받았을 때 값으로 어떤 대상을 산출할 수 있어야 한다. 이를 개념에 적용하면
이는 모든 개념이 임의의 대상에 대해 그것이 해당 개념 하에 떨어지는지 아닌지가 분명히 결정되어 있어야 한다는, 분명한 경계지어짐(sharp delimitation)에 대한 요구가
된다.

## 진리치를 논항으로 갖는 함수들

여기까지 프레게는 진리치를 값으로 갖는 함수들을 논하였지만, 그는 진리치를 논항으로 받는 함수들도 도입한다. 예를 들어 그가
내용 스트로크(content stroke)로 표기하는 함수(---x)는, 참을 논항으로 받을 때 참을 산출하고, 그 외의 대상을 논항으로
받을 때는 거짓을 산출한다. 한편 부정 스트로크(negation stroke)로
표기하는 함수는, ---x의 값이 거짓인 논항을 받을 때 참을 산출하고 그 외에는 거짓을 산출한다. 보다 현대적으로 설명하자면, 프레게는 지금 논리학에서 문장에
대해 적용되는 부정(negation), 조건(conditional),
연언, 선언 등의 연산을, 문장의 진리치에 대한
함수로 간주하고 있는 것이다. 예컨대 부정은 거짓을 받으면 참을, 참을 받으면 거짓을 산출하는 함수이며, 조건은 전건 논항이 거짓이거나
후건 논항이 참이면 참을, 그 외에는 거짓을 산출하는 함수가 된다.

그런데 논리학에서 복합문을 만드는 방법에는 이 외에도 양화가 있다. 프레게는 보편 양화를 예시로 들면서, 이것이 위의 다른 연산들과는
달리 문장이 아닌 함수에 적용되는 2차 함수라고 지적한다. 즉
보편 양화 함수란, 어떤 1차 함수 또는 개념을 논항으로
받아서, 해당 함수의 함숫값이 늘 참인 경우 참을 산출하는 함수다. 이러한
2차 함수들은 대상이 아닌 오직 함수들만을 논항으로 허용한다는 점에서,
우리가 이전까지 논의했던 1차 함수들과는 근본적으로 구분된다.

## 참고 문헌

1. ↑ Frege, G. (1891). "Funktion und Begriff", Vortrag, gehalten in der Sitzung vom 9. Januar 1891 der Jenaischen Gesellschaft für Medizin und Naturwissenschaft, Jena: Hermann Pohle (translated as "Function and Concept" by Peter Geach in Geach and Black (eds. and trans.) 1980, 21–41.