Propriétés: conjonction et disjonction

## Lois de De Morgan

* Lois de De Morgan (version assertions)

P

{\displaystyle P}

 une assertion.

On a alors les équivalences suivantes:

* (
P
∧
P
)

⟺

P

{\displaystyle (P\wedge P)\iff P}
* (
P
∨
P
)

⟺

P

{\displaystyle (P\vee P)\iff P}

On dit que la conjonction et la disjonction sont **idempotentes**.

Fichier:Propriétés conjonction et disjonction - Table 01.png

On constate que les tables de vérités de

P

{\displaystyle P}

 et de

P
∧
P

{\displaystyle P\wedge P}

 sont identiques: on en conclut donc que

P

{\displaystyle P}

 et

P
∧
P

{\displaystyle P\wedge P}

 sont équivalentes.

De même

Fichier:Propriétés conjonction et disjonction - Table 02.png

On constate que les tables de vérités de

P

{\displaystyle P}

 et de

P
∨
P

{\displaystyle P\vee P}

 sont identiques: on en conclut donc que

P

{\displaystyle P}

 et

P
∨
P

{\displaystyle P\vee P}

 sont équivalentes.

**CQFD**.

P

{\displaystyle P}

 et

Q

{\displaystyle Q}

 deux assertions.

On a alors les équivalences suivantes:

* (
P
∧
Q
)

⟺

(
Q
∧
P
)

{\displaystyle (P\wedge Q)\iff(Q\wedge P)}
* (
P
∨
Q
)

⟺

(
Q
∨
P
)

{\displaystyle (P\vee Q)\iff (Q\vee P)}

On dit que la conjonction et la disjonction sont **symétriques**.

Fichier:Propriétés conjonction et disjonction - Table 03.png

On constate que les tables de vérités de

P
∧
Q

{\displaystyle P\wedge Q}

 et de

Q
∧
P

{\displaystyle Q\wedge P}

 sont identiques: ces deux assertions sont donc équivalentes.

De même,

Fichier:Propriétés conjonction et disjonction - Table 04.png

On constate que les tables de vérités de

P
∨
Q

{\displaystyle P\vee Q}

 et de

Q
∨
P

{\displaystyle Q\vee P}

 sont identiques: ces deux assertions sont donc équivalentes.

**CQFD**.

P

{\displaystyle P}

,

Q

{\displaystyle Q}

 et

R

{\displaystyle R}

 trois assertions.

On a alors les équivalences suivantes:

* (
P
∧
Q
)
∧
R

⟺

P
∧
(
Q
∧
R
)

{\displaystyle (P\wedge Q)\wedge R\iff P\wedge (Q\wedge R)}
* (
P
∨
Q
)
∨
R

⟺

P
∨
(
Q
∨
R
)

{\displaystyle (P\vee Q)\vee R\iff P\vee (Q\vee R)}

On dit que la conjonction et la disjonction sont **associatives**.

Fichier:Propriétés conjonction et disjonction - Table 05.png

On constate que les assertions

(
P
∧
Q
)
∧
R

{\displaystyle (P\wedge Q)\wedge R}

 et

P
∧
(
Q
∧
R
)

{\displaystyle P\wedge (Q\wedge R)}

 ont la même table de vérité: elles sont donc équivalentes.

De même,

Fichier:Propriétés conjonction et disjonction - Table 06.png

On constate que les assertions

(
P
∨
Q
)
∨
R

{\displaystyle (P\vee Q)\vee R}

 et

P
∨
(
Q
∨
R
)

{\displaystyle P\vee (Q\vee R)}

 ont la même table de vérité: elles sont donc équivalentes.

**CQFD**.

### Remarque

On peut ainsi ne pas écrire de parenthèses quand on manipule uniquement des symboles ∧, ou quand on manipule uniquement des symboles ∨ (mais pas les deux en même temps).

Ainsi, si

P

{\displaystyle P}

,

Q

{\displaystyle Q}

 et

R

{\displaystyle R}

 sont trois assertions, alors on défini

P
∧
Q
∧
R

{\displaystyle P\wedge Q\wedge R}

 comme étant

(
P
∧
Q
)
∧
R

{\displaystyle (P\wedge Q)\wedge R}

, (ou bien comme étant

P
∧
(
Q
∧
R
)

{\displaystyle P\wedge (Q\wedge R)}

, on vient de montrer que c'était la même chose).

De même pour la disjonction.

## Distributivité

### Énoncé

Soient

P

{\displaystyle P}

,

Q

{\displaystyle Q}

 et

R

{\displaystyle R}

 trois assertions.

On a alors les équivalences suivantes:

* P
∧
(
Q
∨
R
)

⟺

(
P
∧
Q
)
∨
(
P
∧
R
)

{\displaystyle P\wedge (Q\vee R)\iff (P\wedge Q)\vee (P\wedge R)}
* P
∨
(
Q
∧
R
)

⟺

(
P
∨
Q
)
∧
(
P
∨
R
)

{\displaystyle P\vee (Q\wedge R)\iff (P\vee Q)\wedge (P\vee R)}

On dit que la conjonction est **distributive** sur la disjonction (première équivalence), et que la disjonction est **distributive** sur la conjonction (deuxième équivalence).

### Démonstration

Trop longue avec des tables de vérités, si jamais quelqu'un a le courage de les faire...

Une démonstration similaire est faite sur cette page.

## Propriété n°6

### Énoncé

Soient

P

{\displaystyle P}

,

Q

{\displaystyle Q}

 et

R

{\displaystyle R}

 trois assertions, telles que

Q

{\displaystyle Q}

 et

R

{\displaystyle R}

 soient équivalentes.

On a alors les équivalences suivantes:

* (
P
∧
Q
)

⟺

(
P
∧
R
)

{\displaystyle (P\wedge Q)\iff (P\wedge R)}
* (
P
∨
Q
)

⟺

(
P
∨
R
)

{\displaystyle (P\vee Q)\iff (P\vee R)}

### Démonstration

Utilisons les tables de vérités: en bleues sont les assertions qui sont équivalentes par hypothèses (ce qui explique qu'elles aient la même table de vérité).

Fichier:Propriétés conjonction et disjonction - Table 07.png

Nous constatons que les assertions voulues ont bien leurs tables identiques: ceci prouve les équivalences souhaitées.

**CQFD**.

## Notations utilisées sur cette page

* ∧

{\displaystyle \wedge}

: la conjonction
* ∨

{\displaystyle \vee}

: la disjonction
* ⟺

{\displaystyle \iff}

: l'équivalence