Классы вероятности

При рассмотрении бытовых явлений часто бывает сложно определить априорную вероятность того или иного события. Для этого можно ввести *классы вероятности*, на которые разбиваются события в зависимости от возможности их возникновения:

* класс А (

P
≈
0.98

{\displaystyle P \approx 0.98}

): события, которые произойдут почти достоверно; вероятность того, что они не случатся, пренебрежимо мала;
* класс В (

P
≈
0.82

{\displaystyle P \approx 0.82}

): событие скорее произойдёт, чем нет, однако вероятность неудачи при этом стоит принимать во внимание (в отличие от класса А);
* класс С (

P
≈
0.5

{\displaystyle P \approx 0.5}

): невозможно оценить, что вероятнее - произойдёт событие или нет, так как вероятности обоих исходов приблизительно равны или равны;
* класс D (

P
≈
0.18

{\displaystyle P \approx 0.18}

): вероятность события мала, но ею нельзя пренебречь;
* класс Е (

P
≈
0.02

{\displaystyle P \approx 0.02}

): вероятность события пренебрежимо мала, в быту возможность этих событий обычно не учитывается при принятии решений.

Оценочные вероятности для классов были получены с помощью нормального распределения. При этом одним из важнейших свойств классов вероятности является их дополняемость: вероятность того, что событие класса А не случится, относится к классу Е, и наоборот; то же самое верно для событий класса В и D.

Классы вероятности впервые введены Литием в сентябре 2021 года.

## Построение классов вероятности

   Как известно, с помощью теоремы Байеса можно рассчитывать вероятности некоторых событий, которые могут быть неверно оценены интуицией. Однако, как уже упоминалось, в быту численные значения вероятностей зачастую неизвестны, что усложняет работу с теоремой Байеса или лишает метод его преимуществ. Соответственно, одна из главных проблем работы с теоремой - проблема перевода интуитивных представлений об априорных вероятностях в численные значения.

Однако, влияние этой проблемы можно существенно уменьшить, если заметить, что результат теоремы Байеса для работы подвергается интуитивной оценке. Например, вероятность в 15,73% оценивается человеком как довольно низкая, без особых отличий от, например, значения 19,01. Таким образом, погрешность оценки вероятности характерными значениями классов может не оказывать сильного влияния за счёт погрешности обратной операции - перевода численного значения в интуитивно понятный класс.

Оценим разброс результирующего значения в теореме Байеса, переписав её следующим образом:

P
(
S

I
# )

1

1

P
(
I

⌝
S
)
P
(
⌝
S
)

P
(
I

S
)
P
(
S
)

{\displaystyle P(S|I) = \frac{1}{1+\frac{P(I|\urcorner S)P(\urcorner S)}{P(I|S)P(S)}}}

Оценим все вероятности классом С с разбросом

0.5
±
0.16

{\displaystyle 0.5 \pm 0.16}

 и посчитаем среднюю и крайние результирующие вероятности:

P
(
S

I

)
сред

=

1

1

0.5
∗
0.5

0.5
∗
0.5

=
0.5

{\displaystyle P(S|I)\_\text{сред} = \frac{1}{1 + \frac{0.5\*0.5}{0.5\*0.5}} = 0.5}

P
(
S

I

)
макс

=

1

1

0.34
∗
0.34

0.66
∗
0.66

=
# 0.79
0.5
0.29

{\displaystyle P(S|I)\_\text{макс} = \frac{1}{1 + \frac{0.34\*0.34}{0.66\*0.66}} = 0.79 = 0.5 + 0.29}

P
(
S

I

)
мин

=

1

1

0.66
∗
0.66

0.34
∗
0.34

=
# 0.21
0.5
−
0.29

{\displaystyle P(S|I)\_\text{мин} = \frac{1}{1 + \frac{0.66\*0.66}{0.34\*0.34}} = 0.21 = 0.5 - 0.29}

Как можно видеть, при использовании значений, близких к границам между классами, погрешность результата увеличивается. Поэтому для анализа результата можно также использовать *упрощённые классы:*

* класс I (

P
≈
0.9

{\displaystyle P \approx 0.9}

);
* класс II (

P
≈
0.5

{\displaystyle P \approx 0.5}

);
* класс III (

P
≈
0.1

{\displaystyle P \approx 0.1}

).

## Пример применения

Рассмотрим следующий пример. не относящийся к бытовым ситуациям (все числа известны), но довольно показательный. Допустим, существует некоторое количество учёных - 1% из их общего числа - которые считаются самыми уважаемыми учёными на планете. При этом известно, что 90% из них учились в некоем институте под названием CIST. Известно также, что 10% людей, которые не стали в итоге уважаемыми учёными, тоже окончили этот институт. Вопрос: насколько хорошей идеей окажется окончить CIST, если есть цель стать уважаемым учёным? Для ответа на этот вопрос предлагается посчитать условную вероятность по формуле Байеса:

P
(
S

I
# )

P
(
S
)

P
(
I
)

P
(
I

S
# )

P
(
I

S
)
P
(
S
)

P
(
I

S
)
P
(
S
)
P
(
I

⌝
S
)
P
(
⌝
S
)

,

где *S -* достижение выдающихся успехов, а *I* - наличие диплома CIST. Оценим известные вероятности через классы:

P
(
S
# )
E

{\displaystyle P(S) = E}

P
(
I

S
# )
B

{\displaystyle P(I|S) = B}

P
(
I

⌝
S
# )
D

{\displaystyle P(I|\urcorner S) = D}

Тогда искомая вероятность равна

P
(
S

I
# )

B
E

B
E
D
A

=

1

1

D
A

B
E

=

1

1

D
E

=

1

1

0.18
0.02

=
0.1

{\displaystyle P(S|I) = \frac{BE}{BE+DA} = \frac{1}{1+\frac{DA}{BE}} = \frac{1}{1+\frac{D}{E}} = \frac{1}{1+\frac{0.18}{0.02}} = 0.1}

Легко удостовериться, подставив необходимые числа, что истинная вероятность с хорошей точностью совпадает с оценочной:

P
(
S

I
# )

1

1

0.1
∗
0.99

0.9
∗
0.01

=
0.08

{\displaystyle P(S|I) = \frac{1}{1 + \frac{0.1\*0.99}{0.9\*0.01}} = 0.08}