Граница на функция и други

## Точка на сгъстяване

* Определение: Казваме, че

x
0

{\displaystyle x\_0}

 е точка на сгъстяване за множеството

X

{\displaystyle X}

 от реални числа, ако във всяка околност на точката

x
0

{\displaystyle x\_0}

 имаме елементи от множеството

X

{\displaystyle X}

, различни от

x
0

{\displaystyle x\_0}

.

* Твърдение: Ако

x
0

{\displaystyle x\_0}

 е точка на сгъстяване на

D

{\displaystyle D}

, то съществува редица от елементи

x
n

{\displaystyle x\_n}

 на

D

{\displaystyle D}

(

x

n

≠

x

0

)

{\displaystyle (x\_{n}\neq x\_{0})}

, такава че

x
n

→

x
0

{\displaystyle x\_n \rightarrow x\_0}

. Обратното е също вярно.

## Граница

* **Определение на Коши**: Нека

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}

 е функция с дефиниционна област

D

{\displaystyle D}

 и нека

x
0

{\displaystyle x\_0}

 е точка на сгъстяване за

D

{\displaystyle D}

. Ще казваме, че числото l е граница на

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}

 при

x
→

x
0

{\displaystyle x \rightarrow x\_0}

 (

f
(
x
)
→
l

{\displaystyle f(x)\rightarrow l}

) , записваме:

lim

x
→

x

0

f
(
x
# )
l

{\displaystyle \lim \_{x\rightarrow x\_{0}}f(x)=l}

, ако при всеки избор на положителното число

ξ
,

{\displaystyle \xi ,}

 може да се намери такова число

δ
>
0

{\displaystyle \delta > 0}

, че от условията

x
∈
D
,
x
≠

x

0

{\displaystyle x\in D,x\neq x\_{0}}

 и

x
−

x
0

<
δ

{\displaystyle | x - x\_0 | < \delta}

 да следва неравенството

f
(
x
)
−
l

<
ξ

{\displaystyle |f(x)-l|<\xi }

.

* **Определение на Хайне**: Нека

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}

е дефинирана в множеството

M

{\displaystyle M}

 и нека

x
0

{\displaystyle x\_0}

 е точка на сгъстяване за

M

{\displaystyle M}

. Ще казваме, че

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}

 има граница, равна на

L

{\displaystyle L}

, когато каквато и клоняща към

x
0

{\displaystyle x\_0}

 редица

{

x
n

}

# n
1

∞

{\displaystyle \{ x\_n \}\_{n=1}^\infty}

от точки от

M

{\displaystyle M}

 да изберем

(
x
≠

x

0

)

{\displaystyle (x\neq x\_{0})}

, съответната редица от функционални стойности

{
f
(

x
n

)
}

{\displaystyle \{ f(x\_n) \}}

 да клони към

L

{\displaystyle L}

.

## Свойства на границите

- Нека

lim

x
→

x

0

f
(
x
# )
A

{\displaystyle \lim \_{x\rightarrow x\_{0}}f(x)=A}

 и

lim

x
→

x

0

g
(
x
# )
B

{\displaystyle \lim \_{x\rightarrow x\_{0}}g(x)=B}

, то:

* lim

x
→

x

0

(
f
(
x
)
±
g
(
x
)
# )
A
±
B

{\displaystyle \lim \_{x\rightarrow x\_{0}}(f(x)\pm g(x))=A\pm B}
* lim

x
→

x

0

f
(
x
)
.
g
(
x
# )
A
.
B

{\displaystyle \lim \_{x\rightarrow x\_{0}}f(x).g(x)=A.B}
* lim

x
→

x

0

f
(
x
)

g
(
x
)

=

A
B

,
g
(
x
)
≠
0
,
B
≠
0

{\displaystyle \lim \_{x\rightarrow x\_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {A}{B}},g(x)\neq 0,B\neq 0}

- Нека

f
(
x
)
≤
g
(
x
)

{\displaystyle f(x)\leq g(x)}

 за

x
∈
D
(
f
)
∩
D
(
g
)

{\displaystyle x\in D(f)\cap D(g)}

. Ако

lim

x
→

x

0

f
(
x
# )
A

{\displaystyle \lim \_{x\rightarrow x\_{0}}f(x)=A}

 и

lim

x
→

x

0

g
(
x
# )
B

{\displaystyle \lim \_{x\rightarrow x\_{0}}g(x)=B}

, то

A
≤
B

{\displaystyle A \leq B}

.

- Нека

f
:
D
→

D

1

{\displaystyle f:D\rightarrow D\_{1}}

 и

g
:

D

1

→

R

{\displaystyle g:D\_{1}\rightarrow \mathbb {R} }

. Нека

lim

x
→

x

0

f
(
x
# )

y

0

{\displaystyle \lim \_{x\rightarrow x\_{0}}f(x)=y\_{0}}

, като

f
(
x
)
≠

y

0

{\displaystyle f(x)\neq y\_{0}}

 и

lim

y
→

y

0

g
(
y
# )
A

{\displaystyle \lim \_{y\rightarrow y\_{0}}g(y)=A}

. Тогава

lim

x
→

x

0

g
(
f
(
x
)
# )
A

{\displaystyle \lim \_{x\rightarrow x\_{0}}g(f(x))=A}

.

## Лява и дясна граница

* **Определение по Хайне**: Числото *b* се нарича дясна (лява) граница на функцията

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}

 в точката

# x
a

{\displaystyle x=a}

, ако за всяка сходяща редица

x

1

,

x

2

,
⋯
,

x

n

,
⋯

{\displaystyle x\_{1},x\_{2},\cdots ,x\_{n},\cdots }

 от стойности на аргумента *х*, елементите

x
n

{\displaystyle x\_n}

 на която са по-големи (по-малки) от а, съответната редица от функционални стойности е сходяща и има граница b. За дясна граница означаваме:

lim

x
→

a

0

f
(
x
# )

lim

x
→

a

f
(
x
# )

lim

x
→
a

x
>
a

f
(
x
# )
b

{\displaystyle \lim \_{x\rightarrow a^{+0}}f(x)=\lim \_{x\rightarrow a^{+}}f(x)=\lim \_{\begin{matrix}x\rightarrow a\\x>a\end{matrix}}f(x)=b}

За лява граница аналогично имаме същия запис:

lim

x
→

a

−
0

f
(
x
# )

lim

x
→

a

−

f
(
x
# )

lim

x
→
a

x
<
a

f
(
x
# )
b

{\displaystyle \lim \_{x\rightarrow a^{-0}}f(x)=\lim \_{x\rightarrow a^{-}}f(x)=\lim \_{\begin{matrix}x\rightarrow a\\x<a\end{matrix}}f(x)=b}

Лявата и дясната граница на функция се наричат *едностранни граници*, докато обикновената граница се нарича *двустранна*.

* **Определение по Коши**: Числото *b* се нарича лява граница (дясна граница) на функцията

# y
f
(
x
)

{\displaystyle y=f(x)}

 в точката

# x
a
,

{\displaystyle x=a,}

 ако за всяко число

ξ
>
0

{\displaystyle \xi >0}

 съществува такова число

# δ
δ
(
ξ
)
>
0

{\displaystyle \delta =\delta (\xi )>0}

, че за всяко *х*, удовлетворяващо условието:

a
−
δ
<
x
<
a

{\displaystyle a-\delta <x<a}

 (съответно условието:

a
<
x
<
a
δ

{\displaystyle a<x<a+\delta }

), е изпълнено неравенството:

f
(
x
)
−
b

<
ξ

{\displaystyle |f(x)-b|<\xi }
* **Теорема**:
	+ Нека функцията

	f
	(
	x
	)

	{\displaystyle f(x)}

	 има граница b в точката a. Тогава в точката а съществуват двете едностранни граници

	f
	(
	a
	−
	0
	)

	{\displaystyle f(a-0)}

	 и

	f
	(
	a
	0
	)

	{\displaystyle f(a+0)}

	, които също са равни на b. Ако

	∃

	lim

	x
	→
	a

	f
	(
	x
	)
	=
	b

	{\displaystyle \exists \lim \_{x\rightarrow a}f(x)=b}

	, то

	∃
	(
	f
	(
	a
	0
	)

	{\displaystyle \exists (f(a+0)}

	 и

	f
	(
	a
	0
	)
	)

	{\displaystyle f(a+0))}

	, при това

	f
	(
	a
	0
	)
	=
	f
	(
	a
	0
	)
	=

	lim

	x
	→
	a

	f
	(
	x
	)

	{\displaystyle f(a+0)=f(a+0)=\lim \_{x\rightarrow a}f(x)}

	.
	+ Нека за функцията

	f
	(
	x
	)

	{\displaystyle f(x)}

	 съществуват двете едностранни граници в точката *а* и те имат обща стойност *b*. Тогава в точката *а* функцията има граница, също равна на *b*.

## Правило за смяна на променливата при граница на функция

* **Теорема**: Нека съществуват границите

lim

x
→
a

f
(
x
# )
b

{\displaystyle \lim \_{x\rightarrow a}f(x)=b}

 и

lim

y
→
b

F
(
y
)

{\displaystyle \lim \_{y\rightarrow b}F(y)}

, като имаме, че при

x
≠
a
→
f
(
x
)
≠
b

{\displaystyle x\neq a\rightarrow f(x)\neq b}

. Тогава при

x
→
a

{\displaystyle x \rightarrow a}

 съществува границата на сложната функция

F
[
f
(
x
)
]

{\displaystyle F[f(x)]}

 и е в сила равенството:

lim

x
→
a

F
[
f
(
x
)
# ]

lim

y
→
b

F
(
y
)

{\displaystyle \lim \_{x\rightarrow a}F[f(x)]=\lim \_{y\rightarrow b}F(y)}