C Тарановского

C

{\displaystyle \textrm C}

 Тарановского - это серия рекурсивно упорядоченных множеств, описанных Дмитрием Тарановским на самостоятельно опубликованной веб-странице. Следующая общая работа по построению двоичной функции

C

{\displaystyle C}

 из хорошо упорядоченного множества

(
S
,
<
)

{\displaystyle (S,<)}

, оснащённого дополнительной структурой

D
⊂
S
×
S

{\displaystyle D \subset S \times S}

, удовлетворяющее подходящему условию, объясняется позже. **Существуют ли рекурсивно упорядоченные множества в ординальных нотациях или нет, т.е. хорошо-обоснованные, является нерешённой проблемой в математике.** Однако, согласно личному общению C7X с Kingarthur и Hyp cos, одна из таких нотаций Тарановского, т.е. основная система с сквозным доступом, как было показано, является необоснованной.

## Объяснение

Пусть

0
S

{\displaystyle 0\_S}

 обозначает наименьший элемент из

(
S
,
<
)

{\displaystyle (S,<)}

. Для

a
∈
S

{\displaystyle a \in S}

 мы помещаем

C
a

:=
{
c
∈
S
:
(
c
,
a
)
∈
D
}

{\displaystyle C\_a := \{c \in S : (c,a) \in D\}}

,

a
1
:=
min
{
c
∈
S
:
a
<
c
}

{\displaystyle a+1 := \min \{c \in S : a < c\}}

 (предположим существование), и

(
a
)
:=
{
c
∈
S
:
c
<
a
}

{\displaystyle (a) := \{c \in S : c < a\}}

. Для

S
′

⊂
S

{\displaystyle S' \subset S}

 мы обозначаем через

lim
(

S
′

)
⊂
S

{\displaystyle \lim(S') \subset S}

 подмножество пределов элементов

S
′

{\displaystyle S' }

 в

(
S
,
<
)

{\displaystyle (S,<)}

. Мы говорим, что

D

{\displaystyle D}

 является *степенью* для

(
S
,
<
)

{\displaystyle (S,<)}

, если выполняется следующее:

* C

0

S

=
S

{\displaystyle C\_{0\_{S}} = S}
* ∀
a
∈
S
:
a
≠

0
S

⇒

0
S

∉

C
a

{\displaystyle \forall a \in S: a \neq 0\_S \Rightarrow 0\_S \notin C\_a}
* ∀
a
∈
lim
(
S
)
:

C
a

=

⋃

b
<
a

C
b

{\displaystyle \forall a \in \lim(S): C\_a = \bigcup\_{b < a} C\_b}

.
* ∀
a
∈
S
:

C

a
1

=
lim
(

C
a

)
∨
∃
d
∈
lim
(
S
)
∩
(
a
1
)
∧

C

a
1

=
lim
(

C
a

)
∪
(
d
1
)

{\displaystyle \forall a \in S: C\_{a+1} = \lim(C\_a) \lor \exists d \in \lim(S) \cap (a+1) \land C\_{a+1} = \lim(C\_a) \cup (d+1)}

Если

D

{\displaystyle D}

 - это степень для

(
S
,
<
)

{\displaystyle (S,<)}

, то установите

C
(
a
,
b
)
:=
min
{
c
∈

C
a

:
b
<
c
}

{\displaystyle C(a,b) := \min \{c \in C\_a : b < c\}}

. В частности, эта конструкция работает для предельного ординала

η

{\displaystyle \eta }

, снабжённого степенью

D
⊂
η
⋅
η

{\displaystyle D \subset \eta \cdot \eta}

 для

(
η
,
∈
)

{\displaystyle (\eta, \in)}

. Поскольку

D

{\displaystyle D}

 не уникален, результирующая функция

C

{\displaystyle C}

 сильно зависит от выбора

D

{\displaystyle D}

. Тарановский привёл несколько явных примеров степеней.

Определите *частичную ординальную нотацию*

O

{\displaystyle O}

 как частичное отображение из ординалов ниже

η

{\displaystyle \eta }

 в конечные строки, состоящие из символов и ординалов, таким образом, что

O
(
a
)

{\displaystyle O(a)}

 не определено, если

a

{\displaystyle a}

 встречается в строке в диапазоне

O

{\displaystyle O}

. Учитывая частичную ординальную нотацию

O

{\displaystyle O}

 и степень

D

{\displaystyle D}

 для

(
η
,
∈
)

{\displaystyle (\eta, \in)}

, мы определяем нотацию Тарановского для

a

{\displaystyle a}

:

* Если

O
(
a
)

{\displaystyle O(a)}

 определено, то мы просто используем строку

O
(
a
)

{\displaystyle O(a)}

 для нотации

a

{\displaystyle a}

.
* В противном случае пусть

b
,
c

{\displaystyle b, c}

 будут ординалами, так что

# a
C
(
b
,
c
)
∧

b
′

>
b
⇒
C
(

b
′

,
c
)
>
C
(
b
,
c
)
∧

c
′

<
c
⇒
C
(
b
,

c
′

)
<
C
(
b
,
c
)

{\displaystyle a = C(b, c) \wedge b' > b \Rightarrow C(b', c) > C(b, c) \wedge c' < c \Rightarrow C(b, c') < C(b, c)}

. Затем мы используем строку "

C
(
b
,
c
)

{\displaystyle C(b,c)}

".

## Большие числа

Хотя Тарановский не ввёл конкретное большое число, пользователь англоязычной гугология вики Денис Максудов ввёл несколько больших чисел на основе

C

{\displaystyle C}

 Тарановского, известного как **серия Тар**, используя быстрорастущую иерархию с фундаментальными последовательностями Тарановского для нотации Тарановского. **Определение сильно зависит от обоснованности

C

{\displaystyle C}

 Тарановского, и, следовательно, чёткость этих чисел неизвестна.** Если они действительно чётко определены, то ожидается, что они будут очень большими.

## Вычислительные программы

* rpakr, TON Стандартность, Github. (Базовая программа для определения стандартности выражения.)

## Примечания

1. ↑ Taranovsky, Dmytro. Ordinal Notation. Retrieved 2014-09-26.
2. ↑ Личная связь C7X с Kingarthur и Hyp cos: для струн

a
,
b
,
c

{\displaystyle a,b,c}

 с

b

{\displaystyle b}

 подстрок из

a

{\displaystyle a}

 (различение различных позиций), позволяет

R
(
a
,
b
,
c
)

{\displaystyle R(a,b,c)}

 детонировать

a

{\displaystyle a}

 с самой правой подстрокой из

b

{\displaystyle b}

 заменённой строкой

c

{\displaystyle c}

. Поставив

a
0

:=
``
00

Ω
2

Ω
2

C

0

Ω
2

0

Ω
2

Ω
2

CC

Ω
2

CCCC

0

Ω
2

0

Ω
2

Ω
2

CC

0

Ω
2

Ω
2

C

0

Ω
2

0

Ω
2

Ω
2

CC

Ω
2

CCCCCCCCCCC

``

{\displaystyle a\_0:= \text{``} 00 \Omega\_2 \Omega\_2 \textrm C0 \Omega\_2 0 \Omega\_2 \Omega\_2 \textrm {CC} \Omega\_2 \textrm {CCCC}0 \Omega\_2 0 \Omega\_2 \Omega\_2 \textrm {CC}0 \Omega\_2 \Omega\_2 \textrm C0 \Omega\_2 0 \Omega\_2 \Omega\_2 \textrm {CC} \Omega\_2 \textrm {CCCCCCCCCCC} \text{``}}

 и

a

i
1

:=
R
(

a
i

,
``
0

Ω
2

0

Ω
2

Ω
2

CC

Ω
2

CCCC

``
,
``
0

Ω
2

0

Ω
2

Ω
2

CC

0

Ω
2

Ω
2

C

0

Ω
2

0

Ω
2

Ω
2

CC

Ω
2

CCCCCCCC

Ω
2

0

Ω
2

Ω
2

CC

0

Ω
2

Ω
2

C

0

Ω
2

0

Ω
2

Ω
2

CC

Ω
2

CCCCCCCCC

``

{\displaystyle a\_{i+1}:=R(a\_i, \text{``}0 \Omega\_20\Omega\_2\Omega\_2\textrm {CC}\Omega\_2\textrm {CCCC} \text{``}, \text{``}0\Omega\_20\Omega\_2\Omega\_2\textrm {CC}0\Omega\_2\Omega\_2\textrm C0\Omega\_20\Omega\_2\Omega\_2\textrm {CC}\Omega\_2\textrm {CCCCCCCC}\Omega\_20\Omega\_2\Omega\_2\textrm {CC}0\Omega\_2\Omega\_2\textrm C0\Omega\_20\Omega\_2\Omega\_2\textrm {CC}\Omega\_2\textrm {CCCCCCCCC} \text{``}}

; множество, данное Kingarthur, не имеющее ни малейшего элемента в соответствии с лексикографическим соотношением Тарановского, является

{

a
i

:
i
∈
ω
}

{\displaystyle \{a\_i:i\in\omega\}}
3. ↑ Моя система числовых названий (FGS) - Путешествие в бесконечность