חוקי קפלר

חוקי קפלר הם שלושה חוקים שפותחו מתצפיות על ידי קפלר ומתארים את תנועת כוכבי הלכת סביב השמש.

## החוקים

### חוק ראשון

>  מסלולי הפלנטות הם אליפסות והשמש נמצאת במוקד
>
>

למעשה מסלול יכול להיות כל חתך חרוט (אליפסה פרבולה והיפרבולה), אבל רק אליפסה היא מסלול סגור (מסלול שלא בורח).

### חוק שני

>  בזמנים שווים הקטע בין השמש לכוכב הלכת מכסה שטחים שווים
>
>

### חוק שלישי

>  זמן המחזור של הסיבוב בריבוע פרופורציוני לחצי הציר הראשי בשלישית
>
>

## פיתוח החוק השלישי למסלול מעגלי

במסלול מעגלי שני החוקים הראשונים ברורים מאליהם (מעגל במהירות קבועה).

נפתח את החוק השלישי,

לשם פיתוח החוקים נניח את ההנחות הבאות:

* כוכב לכת שמסתו

m

{\displaystyle m}

 מקיף שמש שמסתה

M

{\displaystyle M}

.
* קבוע הכבידה הוא

G

{\displaystyle G}

.
* M
≫
m

{\displaystyle M \gg m }

, ולכן השמש לא נעה.
* רדיוס המסלול

R

{\displaystyle R}

.
* מהירות מסלולית

v

{\displaystyle v}

אז נשווה את הכוח הצנטריפטלי לכוח הכבידה:

m

v
2

r

=

G
M
m

r
2

{\displaystyle \frac{mv^2}{r}=\frac{GMm}{r^2}}

לכן

v

2

r

2

=

G
M

r

3

{\displaystyle \frac{v^{2}}{r^{2}}=\frac{GM}{r^{3}} }

זמן המחזור הוא:

# T

2
π
r

v

{\displaystyle T=\frac{2\pi r}{v} }

ולכן

T

2

=

4

π

2

r

3

G
M

{\displaystyle T^{2}=\frac{4\pi^{2}r^{3}}{GM} }

וזהו החוק השלישי של קפלר.

## פיתוח

לשם פיתוח החוקים נניח את ההנחות הבאות בנוסף לקודמות:

* האנרגייה המכנית של כוכב הלכת היא

E

{\displaystyle E}
* התנע הזוויתי שלו הוא

L

{\displaystyle L}

.

נשתמש בתצוגה פולארית כאשר

ω

{\displaystyle \omega}

 היא המהירות הזוויותית והיא פונקציה של הזמן.

# L
m
ω

r

2

{\displaystyle L=m\omega r^{2} }

לכן

# ω

L

m

r

2

{\displaystyle \omega=\frac{L}{mr^{2}} }

והתנע הזוויתי קבוע

בנוסף האנרגיה היא

# E

1
2

m
(

r
˙

2

ω

2

r

2

)
−

G
M
m

r

{\displaystyle E=\frac{1}{2}m(\dot{r}^{2}+\omega^{2}r^{2})-\frac{GMm}{r} }

ואם נציב את הנוסחה הקודמת נקבל

# E

m
2

(

r
˙

2

L

2

m

2

r

2

)

−

G
M
m

r

{\displaystyle E=\frac{m}{2}\left(\dot{r}^{2}+\frac{L^{2}}{m^{2}r^{2}}\right)-\frac{GMm}{r} }

כעת נרצה להיפטר מהזמן, לכן נרצה במקום להשתמש בנגזרת לפי

θ

{\displaystyle \theta}

 ואז

r
˙

=
ω

d
r

d
θ

=
ω

r
′

=

L

r
′

m

r

2

{\displaystyle \dot{r}=\omega\frac{dr}{d\theta}=\omega r'=\frac{Lr'}{mr^{2}} }

לכן

# E

L

2

2
m

r

4

(

r

′

2

r

2

)
−

G
M
m

r

{\displaystyle E=\frac{L^{2}}{2mr^{4}}(r'^{2}+r^{2})-\frac{GMm}{r} }

כעת נחליף את המשתנה

r

{\displaystyle r}

 במשתנה

# s

1
r

{\displaystyle s=\frac{1}{r} }

 ואז

r
′

=

s
′

d
r

d
s

=
−

s
′

1

s

2

=
−

s
′

s

2

{\displaystyle r'=s'\frac{dr}{ds}=-s'\frac{1}{s^{2}}=-\frac{s'}{s^{2}} }

ולכן

# E

L

2

s

4

2
m

(

s

′

2

s

4

1

s

2

)
−
G
M
m
# s

L

2

s

′

2

2

L

2

s

2

2

−
G
M
m
s

{\displaystyle E=\frac{L^{2}s^{4}}{2m}(\frac{s'^{2}}{s^{4}}+\frac{1}{s^{2}})-GMms=\frac{L^{2}s'^{2}}{2}+\frac{L^{2}s^{2}}{2}-GMms }

נגזור את האנרגיה ולפי שימור אנרגיה נקבל

0

{\displaystyle 0}

# 0

E
′

=

L

2

2
m

2

s
′

s
″

L

2

2

2

s
′

s
−
G
M
m

s
′

=

s
′

(

L

2

m

s
″

L

2

m

s
−
G
M
m

)

{\displaystyle 0=E'=\frac{L^{2}}{2m}2s's''+\frac{L^{2}}{2}2s's-GMms'=s'\left(\frac{L^{2}}{m}s''+\frac{L^{2}}{m}s-GMm\right) }

ולכן

s
″

=

G
M

m

2

L

2

−
s

{\displaystyle s''=\frac{GMm^{2}}{L^{2}}-s }

נציב

# l

L

2

G
M

m

2

{\displaystyle l=\frac{L^{2}}{GMm^{2}} }

 ו

# x
s
−

1
l

{\displaystyle x=s-\frac{1}{l} }

 ונקבל

x
″

=

s
″

{\displaystyle x''=s'' }

 ולכן

x
″

=
−
x

{\displaystyle x''=-x }

פתרון המשוואה הוא

# x
A
cos
⁡
(
θ
ϕ
)

{\displaystyle x=A\cos(\theta+\phi) }

ולכן

# s
x

1
l

=
A
cos
⁡
(
θ
ϕ
)

1
l

{\displaystyle s=x+\frac{1}{l}=A\cos(\theta+\phi)+\frac{1}{l} }

נסמן

# ε
A
l

{\displaystyle \varepsilon=Al }

 ונציב

1
r

=

ε
cos
⁡
(
θ
ϕ
)
1

l

{\displaystyle \frac{1}{r}=\frac{\varepsilon\cos(\theta+\phi)+1}{l} }

ולכן

# r

l

1
ε
cos
⁡
(
θ
ϕ
)

{\displaystyle r=\frac{l}{1+\varepsilon\cos(\theta+\phi)} }

זו תצוגה פולארית של חתך חרוט, זאת מכיוון שעם נציב

x

{\displaystyle x}

 ו

y

{\displaystyle y}

 (תצוגה קרטזית) נקבל

# r

l

1
ε

x
r

=

l
r

r
ε
x

{\displaystyle r=\frac{l}{1+\varepsilon\frac{x}{r}}=\frac{lr}{r+\varepsilon x} }

ולכן

r
ε
# x
l

{\displaystyle r+\varepsilon x=l }

נעביר אגף ונעלה בריבוע ונקבל משוואה ריבועית:

x

2

y

2

=
(
l
−
ε
x

)

2

{\displaystyle x^{2}+y^{2}=(l-\varepsilon x)^{2} }

כלומר משוואת חתך חרוט.

### חוק שני

נסמן ב

S

{\displaystyle S}

 את השטח שמכוסה אז

d
# S

r

2

d
θ

2

=

r

2

ω

2

d
# t

L
2

d
t

{\displaystyle dS=\frac{r^{2}d\theta}{2}=\frac{r^{2}\omega}{2}dt=\frac{L}{2}dt }

הוא השטח המכוסה בזמן קצר

d
t

{\displaystyle d t}

 ולכן

# S
∫
d
# S
∫

L

2
m

d
# t

L

2
m

t
c

{\displaystyle S=\int dS=\int\frac{L}{2m}dt=\frac{L}{2m}t+c }

### חוק שלישי

חוק זה תקף רק למסלול סגור, כלומר, אליפסה.

נסמן:

* a

{\displaystyle a}

 חצי הציר הראשי (הציר הארוך)
* b

{\displaystyle b}

 חצי הציר המשני (הקצר, מאונך לראשי)
* c

{\displaystyle c}

 חצי המרחק בין מוקדי האליפסה.

אז שטח המסלול הוא:

π
a
# b

S

o
r
b

=

L
T

2
m

{\displaystyle \pi ab=S\_{orb}=\frac{LT}{2m} }

חצי הציר הראשי הוא (חצי הקוטר הארוך):

# a

max
(
r
)
min
(
r
)

2

=

r
(
cos
⁡
(
θ
ϕ
# )
−
1
)
r
(
c
o
s
(
θ
ϕ
# )
1
)

2

=

1
2

(

l

1
−
ε

l

1
ε

)

=

{\displaystyle a=\frac{\max(r)+\min(r)}{2}=\frac{r(\cos(\theta+\phi)=-1)+r(cos(\theta+\phi)=1)}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{l}{1-\varepsilon}+\frac{l}{1+\varepsilon}\right)= }

=

l
2

1
ε
1
−
ε

1
−

ε

2

=

l

1
−

ε

2

{\displaystyle =\frac{l}{2}\frac{1+\varepsilon+1-\varepsilon}{1-\varepsilon^{2}}=\frac{l}{1-\varepsilon^{2}} }

וחצי המרחק בין המוקדים, לפי סימטריה נקבל שזה חצי ההפרש בין המרחקים לנקודות הקיצוניות:

# c

max
(
r
)
−
min
(
r
)

2

=

r
(
cos
⁡
(
θ
ϕ
# )
−
1
)
−
r
(
c
o
s
(
θ
ϕ
# )
1
)

2

=

1
2

(

l

1
−
ε

−

l

1
ε

)

=

{\displaystyle c=\frac{\max(r)-\min(r)}{2}=\frac{r(\cos(\theta+\phi)=-1)-r(cos(\theta+\phi)=1)}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{l}{1-\varepsilon}-\frac{l}{1+\varepsilon}\right)= }

=

l
2

1
ε
−
1
ε

1
−

ε

2

=

l
ε

1
−

ε

2

{\displaystyle =\frac{l}{2}\frac{1+\varepsilon-1+\varepsilon}{1-\varepsilon^{2}}=\frac{l\varepsilon}{1-\varepsilon^{2}} }

לכן חצי הציר המשני הוא

# b

a

2

−

c

2

=

l

2

(
1
−

ε

2

)

2

−

l

2

ε

2

(
1
−

ε

2

)

2

=

l

2

1
−

ε

2

=

l
a

{\displaystyle b=\sqrt{a^{2}-c^{2}}=\sqrt{\frac{l^{2}}{(1-\varepsilon^{2})^{2}}-\frac{l^{2}\varepsilon^{2}}{(1-\varepsilon^{2})^{2}}}=\sqrt{\frac{l^{2}}{1-\varepsilon^{2}}}=\sqrt{la} }

התנע הזוויתי הוא

# L

l
G
M

m

2

{\displaystyle L=\sqrt{lGMm^{2}} }

לכן נציב ונקבל

π
a

l
a

=

T

l
G
M

m

2
m

{\displaystyle \pi a\sqrt{la}=\frac{T\sqrt{lGM}m}{2m} }

ולכן

a

3

T

2

=

G
M

4

π

2

{\displaystyle \frac{a^{3}}{T^{2}}=\frac{GM}{4\pi^{2}} }

## האקסצנטריות

הפרמטר שקיבלנו קודם

ε

{\displaystyle \varepsilon}

 נקרא האקסצנטריות של המסלול, הוא קובע כמה המסלול "ארוך וצר".

* עבור

# ε
0

{\displaystyle \varepsilon = 0}

 המסלול עגול.
* עבור

ε
<
1

{\displaystyle \varepsilon < 1}

 המסלול הוא אליפסה, ארוכה יותר ככל שהאקסצנטריות גדולה יותר.
* עבור

# ε
1

{\displaystyle \varepsilon=1}

 המסלול פרבולי, בריחה גבולית.
* עבור

ε
>
1

{\displaystyle \varepsilon>1}

 המסלול היפרבולי.

# E

L

2

2

r

4

m

(

r

′

2

r

2

)
−

G
M
m

r

=

{\displaystyle E=\frac{L^{2}}{2r^{4}m}(r'^{2}+r^{2})-\frac{GMm}{r}= }

=

l
G
M
m

2

l

4

(
1
ε
cos
⁡
(
θ
ϕ
)

)

4

(

l

2

ε

2

sin

2

⁡
(
θ
ϕ
)

(
1
ε
cos
⁡
(
θ
ϕ
)

)

4

l

2

(
1
ε
cos
⁡
(
θ
ϕ
)

)

2

)

−

(
1
ε
cos
⁡
(
θ
ϕ
)
)
G
M
m

l

=

{\displaystyle =\frac{lGMm}{2l^{4}}(1+\varepsilon\cos(\theta+\phi))^{4}\left(\frac{l^{2}\varepsilon^{2}\sin^{2}(\theta+\phi)}{(1+\varepsilon\cos(\theta+\phi))^{4}}+\frac{l^{2}}{(1+\varepsilon\cos(\theta+\phi))^{2}}\right)-\frac{(1+\varepsilon\cos(\theta+\phi))GMm}{l}= }

=
G
M
m

(

ε

2

sin

2

⁡
(
θ
ϕ
)

2
l

(
1
ε
cos
⁡
(
θ
ϕ
)

)

2

2
l

−

1
ε
cos
⁡
(
θ
ϕ
)

l

)

=

{\displaystyle =GMm\left(\frac{\varepsilon^{2}\sin^{2}(\theta+\phi)}{2l}+\frac{(1+\varepsilon\cos(\theta+\phi))^{2}}{2l}-\frac{1+\varepsilon\cos(\theta+\phi)}{l}\right)= }

=

G
M
m

2
l

(

ε

2

sin

2

⁡
(
θ
ϕ
)
1
2
ε
cos
⁡
(
θ
ϕ
)

ε

2

cos

2

⁡
(
θ
ϕ
)
−
2
−
2
ε
cos
⁡
(
θ
ϕ
)

)

=

{\displaystyle =\frac{GMm}{2l}\left(\varepsilon^{2}\sin^{2}(\theta+\phi)+1+2\varepsilon\cos(\theta+\phi)+\varepsilon^{2}\cos^{2}(\theta+\phi)-2-2\varepsilon\cos(\theta+\phi)\right)= }

=

G

2

M

2

m

3

2

L

2

(

1

ε

2

−
2

)

{\displaystyle =\frac{G^{2}M^{2}m^{3}}{2L^{2}}\left(1+\varepsilon^{2}-2\right) }

ולכן

1

2
E

L

2

G

2

M

2

m

3

=

ε

2

{\displaystyle 1+\frac{2EL^{2}}{G^{2}M^{2}m^{3}}=\varepsilon^{2} }

ונקבל שהאקסצנטריות היא

# ε

1

2
E

L

2

G

2

M

2

m

3

{\displaystyle \varepsilon=\sqrt{1+\frac{2EL^{2}}{G^{2}M^{2}m^{3}}} }