Sucesiones, series y Series de potencia / Jose Manuel Garcia de la O

Instituto Tecnológico de Durango

Ingeniería en Sistemas Computacionales

**Materia:** Calculo Integral **Hora:** 13:00 a 14:00

Tema: Series, Sucesiones y Series de potencia

N°Control 14041278
García de la O José Manuel

Tel.: 8269991    Email: JoczManueL@hotmail.com

Cel. 6181020927

Durango, Dgo. Mexico     junio 2015

Series de potencias: una serie cuyos términos son monomios de potencias enteras, positivas y ascendentes de una variable, digamos x de la forma
(1)
En donde los coeficientes son independientes de x, se llama una serie de potencia en x. Tales series son de la mayor importancia en el análisis matemático.
Una serie de potencias de x puede converger para todos los valores de x, o para ningún valor con excepción de x = 0, o puede converger para algunos valores x distintos de cero y ser divergente para otros valores.
Vamos a examinar la serie (1) solo para el caso de ser los coeficientes tales que

Siendo L un número determinado. Para ver el motivo de esto apliquemos el criterio de D´Alembert a la serie (1), omitiendo el primer termino. Entonces tenemos

Luego, para cualquier valor fijo de x,

Tenemos dos casos:
I. Si L = 0, la serie (1) será convergente para todos los valores de x, puesto que Ï± = 0.
II. Si L no es cero, la serie será convergente cuando xL (= Ï±) es numéricamente menor que 1, es decir, para valores de x en el intervalo

Que se llama intervalo de convergencia o campo de convergencia, y será divergente para valores de xfuera de este intervalo.
Los extremos de intervalo deben examinarse separadamente. Para toda serie dada debe formarse la razón de D´Alembert y determinarse el intervalo de convergencia.

Ejemplo 1. Hallar el intervalo de convergencia de la serie
(2)
Solución. Aquí la razón de D´Alembert es . Según el artículo 18,
Luego Ï± = -x, y la serie converge cuando x es numéricamente menor que 1, y diverge cuando x es numéricamente mayor que 1.
Ahora examinemos los extremos del intervalo. Sustituyendo en (2) x = 1, obtenemos

Que es una serie alternada convergente. Sustituyendo en (2) x = -1, obtenemos

Que es convergente por comparación de la serie p ( p > 1 ).
La serie del ejemplo dado tiene [-1, 1] como intervalo de convergencia.
Esto puede escribirse o puede indicarse gráficamente

x´ -1 0 1 x
Ejemplo 2. Determinar el intervalo de convergencia para la serie

Solución. Prescindiendo del primer termino, la razón de D´Alembert es

Además Luego la serie converge para todos los valores de x.

Sucesiones
Definición de sucesión.
Se llama sucesión a la secuencia ordenada de términos, regidos por una ley de
formación.
Una sucesión es una función cuyo dominio son los números enteros positivos.
Pueden describirse como una lista de números de la siguiente manera: {x1, x2,
x3, …. xn}
Generados a partir de una función f. Así que la sucesión es un conjunto
ordenado de números: f(1), f(2), f(3), …, f(n)
Por lo cual los términos de una sucesión tienen una regla o patrón de
aparición.
Ejemplo 1. De la lista siguiente: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17… etc. La regla
de aparición es 2n -1.
Ejemplo 2. De la lista siguiente: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18…. Etc. La
regla de aparición es 2n.
En matemáticas, la palabra “sucesión” se usa en un sentido muy parecido al
lenguaje usual. Decir que una colección de objetos o eventos está en sucesión
significa generalmente que la colección esta ordenada de manera que tiene un
primer miembro, un segundo miembro, un tercer miembro y así sucesivamente.
Matemáticamente, una sucesión se define como una función cuyo dominio es el
conjunto de los enteros positivos. Aunque una sucesión es una función, es común
de la función.
Operaciones con sucesiones.
Una propiedad de los números reales, muy importante en lo sucesivo es la
siguiente:
La desigualdad triangular: Si a, b, c ∈ R,
entonces
La desigualdad triangular se demuestraconsiderando todos los casos:
a) a, b ≥ 0,
b) a ≥ 0 y b < 0,
c) b ≥ 0 y a < 0
d) a, b < 0.
Subsucesiones.
Ya sea {yn} una sucesión y {Pn : n ∈ N}
una sucesión estrictamente creciente de
enteros positivos (es decir, Jn+1 > Pn para cada n ∈ N). Si se deï¬ne yn = xPn
se obtiene una sucesión {yn} y la llamamos una subsucesión de {yn}.
\* Ejemplo.
Si xn = 1/n y Pn = 2n entonces {yn} es la sucesión, {Pn} es la sucesión. { 1, ½
, 1/3, ¼ , …} y la su sucesión {yn} así determinada consiste en los términos
pares de la
sucesión {xn} es decir {x2, x4, x6, x8 . . . , x2n, . . . }

Series.
Definición de serie.
En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una
sucesión. Se representa una serie con términos bn como la imagen que
se muestra en el costado izquierdo  donde n es el índice
final de la serie.   En terminología matemática se incluye
sucesión para designar la existencia de elementos encadenados o sucesivos.
Se excluye totalmente la sinonimia con el término serie.
El concepto de sucesión en los números reales se entiende de manera intuitiva
cuando se asocia a un número natural un número real.
Normalmente las sucesiones son infinitas, y por lo general solo se enlistan los
primeros 5 o 10 elementos, lo interesante de las sucesiones es que el
estudiante observe los cambios significativos de un elemento a otro para
encontrar un patrón que me sugiera encontrar la expresiónmatemática que los
genera,  para ello el alumno debe tener la habilidad de
procedimientos algebraicos y de inducción matemática. En textos académicos
se suele llamar simplemente sucesión con el bien entendido que todas son del
mismo tipo. Esto no impide la existencia de sucesiones de diversas entidades
matemáticas.

Finitas.

Las series tienen una características fundamental con respecto a su límite y
esta es un parte aguas para generalizar o discriminar los tipos de series a
grandes rasgos, series finitas o series infinitas, en esta parte en cuestión
las series finitas son objeto de análisis.
Observando la serie que se encuentra al costado izquierdo y mediante un
análisis de sus componentes encontramos el límite superior determinado por “N”,
esto significa que la serie esta superiormente acotada a cualquier numero
natural, y por consecuente se puede deducir que es una serie finita puesto a
que tiene un numero finito de elementos acotados por "N".

Infinitas.
Una parte importante del estudio del Cálculo trata sobre la representación de
funciones como “sumas finitas”. Realizar esto requiere extender la operación
familiar de adición de un conjunto finito de números a la adición de una
infinidad de números. Para llevar a cabo esto, se estudiara un proceso de
límite en el que se consideran sucesiones.
Suponga que asociada a la sucesión
U1, U2, U3,…, Un,…
Se tiene una “suma infinita” denotadapor
U1+ U2 + U3 +…+ Un+…
Pero ¿Qué es lo que significa esta expresión? Esto  es, ¿Qué debe
entenderse por la “suma” de n número infinito de términos, y en qué
circunstancias dicha suma existe?
Teorema.
Para tener una idea intuitiva del concepto de tal suma, suponga que un trozo de
cuerda de 2 pie de longitud se corta a la mitad. Una de estas mitades de 1 pie
de longitud se aparta y el otro y el otro se corta a la mitad otra vez. Uno de
los trozos resultantes de ½ pie de longitud se aparta y el otro se corta a la
mitad obteniéndose dos trozos, cada uno de 1/8 pie de longitud, otra vez, uno de
los trozos se aparta y el otro se corta a la mitad. Si se continúa este
procedimiento en forma indefinida, el número de pies de la suma de las
longitudes de los trozos apartados puede considerarse como la suma infinita
1+ ½ + ¼ + 1/8+ 1/16 +…+ (1)/(2Ë„(N-1))
Como se inicio con un trozo de cuerda de 2 pie de longitud, nuestra intuición
nos indica que la suma infinita (1) debe ser 2. Definiciones preliminares.
A partir de la sucesión
U1, U1, U3,…, Un,…
Se forma una nueva sucesión (Sn) sumando sucesivamente elementos de (Un):
S1=U1
S2=U1+U2
S3=U1+U2+U3
S4=U1+U2´+U3+U
…
Sn=U1+U2+U3+U4+…+Un
L a sucesión (An) obtenida de esta manera a partir de la sucesión (Sn) es una
secesión de sumas parciales llamada serie infinita.

Definición de serie infinita.
Si (Un) es una sucesión y Sn=A1+A2+A3+A4+…+UnEntonces ( Sn) es una secesión de
sumas parciales denominada serie infinita y se denota por

Los números A1, A2, A3,…, An,… son los términos de la serie infinita
 Para un ejemplo preciso relacionado con el tema se sugiere el siguiente
video instructivo:

Serie numérica y de convergencia.

\*La serie armónica es la serie

La serie armónica es divergente
\* Una serie alternada es una serie donde los términos alternan el signo.
Ejemplo:

\*Una serie telescópica es la suma  donde an = bn − bn+1.
Se representa de la siguiente manera:

La convergencia de dicha serie y su suma se pueden calcular fácilmente, ya que:

\* Una serie hipergeometrica es una serie de la forma

# Que cumple que
Criterios de convergencia
Clasificar una serie es determinar si converge a un número real o si diverge (
u oscilante). Para esto existen distintos criterios que, aplicados a la serie
en cuestión, mostrarán de qué tipo es (convergente o divergente).
Condición del resto

 Para que una
serie
sea divergente, una condición suficiente es que

Esta afirmación es muy útil, ya que nos ahorra trabajo en los criterios
cuando el límite es distinto de cero.
 Criterio de D'Alembert o Criterio del Cociente (Criterio de la razón)
Tal que ak > 0 ( serie de términos positivos).
Si existe
El Criterio de D'Alembert establece que:
\* Si  L <1, la serie converge.

\* Si L > 1, entonces la serie diverge.

\* Si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la
serie.
Lo primero que miraremos cuando nos encontremos con una serie es si la ‘suma
infinita’ tiene sentido:
La serie converge si lo hace su sucesión de sumas parciales; otra cosa distinta
es que converja su término general.

De la definición y de las conocidas propiedades de los límites de sucesiones se
deduce inmediatamente que si suprimimos, cambiamos o añadimos un numero finito
de términos al principio de una serie, no se altera su carácter de convergencia
o divergencia (aunque si el valor de su suma, si converge), porque las nuevas
sumas parciales diferirán de la inicial solo en un constante. Por eso, cuando
estemos hablando simplemente de convergencia podremos no escribir el n en que
empezamos a sumar; incluso escribiremos solo “sigma” (no olvidando que son
infinitos términos).

Series de potencias.
Las series finitas que se han estudiado, hasta este momento han consistido solo
de términos constantes. Actualmente se trata un tipo importante de series de
términos variables denominadas series de potencias, las cuales pueden
considerarse como una generalización de de una función polinomial.
Definición de una serie de potencias:
Una serie de potencias en x-a es una serie de la forma
Co+C1(x-c)+C2(x-c)Ë„2+…+Cn(x-c)Ë„n+…

Si la serie de potenciasexpuesta anteriormente es convergente para x=
x1(x1diferente de 0), entonces es absolutamente convergente para todos los
valores de x para los cuales [x]<[x1]
Una serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma:

Teorema.
Si la serie de potencias expuesta con anterioridad es divergente para x=x2,
entonces es divergente para todos los valores de x para los que [x]>[x2]
\*Procedimiento para determinar el intervalo de convergencia de una serie de
potencias x-a
1.Aplique el criterio de la razón (o en ocasiones el criterio de la raíz) para
determinar el radio de convergencia R de la serie. Algunas series convergen
absolutamente para todos los valores de x.
2.- Si R>0, la serie converge absolutamente para toda x en el intervalo
(a-R, a+R) y diverge para
 [x-a]>R. Verifique la convergencia en los dos extremos del intervalo
(a-R,a+R), por supuesto, ninguna conclusión acerca de la convergencia en los
extremos puede inferirse del criterio de la razón o del criterio de la raíz.

Serie de Taylor y Maclaurin.

En matemáticas, una serie de Taylor de una
función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un
intervalo abierto  (a-r, a+r) se define como la siguiente suma:

Aquí, n! es el factorial de n, y f (n)(a) indica la
n-ésima derivada de f en el punto a.
Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo
(a-r, a+r) y la suma es igual a f(x),entonces la función f(x) se
llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele
utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es
analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los
coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de
la serie de Taylor.
Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin.
Esta representación tiene tres ventajas importantes:

\* La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término
a término, que resultan operaciones triviales.
\* Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función.
\* Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una
serie de Taylor, es la óptima aproximación posible.
Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen
alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un
desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véase Serie
de Laurent. Por ejemplo f(x) = exp (−1/x²) se puede desarrollar como serie
de Laurent.

Definición.
La serie de Taylor de una función f de números reales o
complejos que es infinitamente diferenciable en un entrono de números
reales o complejos a, es la serie de potencias:

que puede ser escrito de una manera más compacta como

donde n! es el factorial de n y f (n)(a)
denota la n-ésima derivada de f en elpunto a; la derivada cero de f es
definida como la propia f y (x − a)0 y 0! son
ambos definidos como uno.

Series de Binomio.
Si a y b son números reales y n es un entero positivo, entonces
(a + b)n = k=0nCn,knn-k bk
O expresado de otra forma

Dondenk recibe el nombre de coeficiente binomial y representa el número de
formas deescoger k elementos a partir de un conjunto con n elementos
Usando la fórmula para calcular el valor de nk obtenemos otra representación

Ejemplo
(1+x)-2 = 1 + (-2)x + -2(-3)2!x2+-2-3(-4)3!x3+…
= 1- 2x + 3x2 – 4x3 + …
Por tanto
(1+x)-2 = 1 +2x + 3x2 + 4x3 + …

INTRODUCCIÓN

El propósito principal de este trabajo es mostrar cómo se puede usar las series
y sucesiones en matemáticas.

Es importante mencionar que las series y las sucesiones se encuentran presentes
en nuestra vida diaria, recordemos que las series permiten entender la idea de
querer sumar una cantidad infinita de sumandos (tantos sumandos como números
naturales); esto significa que se le asigna a cada entero positivo n un numero
a una variable, a este número se le llama n-esimo de la sucesión. A medida que
n, la variable tiende a un numero L, por lo que se le llama el límite de la
sucesión esto significa que   entre más incremente la sucesión se
aproximara con mayor probabilidad a su límite; por ejemplo un automovilista
cuando llega al estacionamiento el automóvil entra en una sucesión que es
elrodaje de sus llantas y se aproxima a las líneas que dividen cada espacio.

Las series son las sucesiones formadas mediante la suma de más y más términos
de una sucesión. Un ejemplo común es el recorrido de un automovilista, cundo
recorre varios kilómetros en una pendiente la velocidad va aumentando
constantemente, esto es que a medida que aumenta la velocidad el motociclista
desciende más rápido, por medio de este ejemplo podemos citar la sucesión de
suma a la cual se le denomina serie obtenida de la sucesión.

CONCLUSION.

En este trabajo se llega a la conclusión de que las sucesiones y series, son
parte importante del cálculo, ya que con ellas se pueden llegar a resultados
precisos que con operaciones aritméticas no se pueden llegar, hablando de
aproximaciones polinomiales vemos que son una forma de saber cómo determinar
las funciones logarítmicas, exponenciales y trigonométricas, ya que algunas
veces no pueden evaluarse fácilmente dentro de la aritmética. En las sucesiones
vemos que son conceptos vistos anteriormente en el álgebra, ya que con las
sucesiones podemos enlistar un determinado conjunto de números en orden lógico,
y así poder encontrar el resultado que buscamos, en las series infinitas vemos
que son las sumas parciales de las sucesiones ya que con la cual también son
parte esencial en la búsqueda de dicho resultado parametrito establecido con
anterioridad en un orden lógico.

Serie

Definiciones
y notación.

A la suma de una sucesión de términos se denomina SERIE y el valor de dicha
suma, si es que tiene
alguno, se define como

S = lim S n .
n→∞
Un ejemplo de serie infinita, denominada así debido a que dicha sucesión es
infinita, es la
denominada serie geométrica, la cual se obtiene a partir de un térmno inicial
multiplicado por una cantidad constante, p. ej.
a + ar + ar 2 + ar 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + ar n −1 + ⋅ ⋅ ⋅ . En
este caso la cantidad inicial a es multiplicada por la cantidad constante r
para obtener dicha
serie infinita.
En general una serie infinita significa una expresión de la forma
a1 + a2 + a3 + ⋅ ⋅ ⋅ + an + ⋅ ⋅ ⋅ ,
donde las an son números o funciones dadas por alguna regla o fórmula. Los tres
puntos
significan que la serie nunca termina. Si se tiene duda de cómo es la regla
usada en la
formación e la serie, el término general o término n-ésimo deberá expresarse,
p. ej.
12 + 2 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + n 2 + ⋅ ⋅ ⋅
x − x 2 + x
2
+ ⋅ ⋅ ⋅ +
(− 1)n−1 x n
(n − 1)!
+ ⋅ ⋅ ⋅
También usaremos formas abreviadas para denotar las series, p. ej. para las
series anteriores, la
forma abreviada será

∞
∑
n=1
∞
∑ n 2
n =1
(− 1)n−1 x n
(n − 1)! .

Las aplicaciones de las series infinitas son muchas, pero mencionamos como lo
más importante para
nosotros en este momentos, su uso en la solución de problemas matemáticos que
no pueden resolverse
en términos de funciones elementales ( potencias, raíces,funciones
trigonométricas y sus inversas,
logaritmos y exponenciales y combinaciones de estos), o en caso de que puedan
resolverse, es muy
complicado trabajar con ellos. En estos casos encontramos una respuesta en
función de una serie y
usamos
los términos requeridos de acuerdo a la presición deseada. Las ecuaciones
diferenciales son
resueltas en muchas ocasiones en función de series infinitas. Una integral
definida,
0.1
por ejemplo,
∫ e − x
0
dx , para la cual no hay solución en términos de funciones
elementales, se puede resolver su expandiendo su integrando en una serie e
integrando término a
término dicha serie.

Definición de serie finita
Una diferencia finita es una expresión matemática de la forma f(x+b)-f(x+a). Si
una diferencia se divide por b-a se obtiene una expresión similar al cociente
diferencial, que difiere en que se emplean cantidades finitas en lugar de
infinitesimales. La aproximación de las derivadas por diferencias finitas
desempeña un papel central en los métodos de diferencias finitas del análisis
numérico para la resolución de ecuaciones diferenciales.
La diferencia anterior puede considerarse un operador diferencial que hace
corresponder la función f con âˆ†f. el teorema de Taylor puede expresarse por
la siguiente formula.

Donde D denota el operador derivada, que hace corresponder ``f`` con su
derivada, f`, es decir,

Formalmente, invirtiendo la exponencial,

Esta formula sigue siendo valida en el sentido que ambosoperadores dan el mismo
resultado cuando se aplican a un polinomio. Incluso para funciones analíticas,
las series de la derecha no convergen con seguridad, sino que puede tratarse de
una serie asintótica. Sin embargo, pueden emplearse para obtener aproximaciones
mas precisas de la derivada. Por ejemplo. Los dos primeros términos de la serie
llevan a:

Definición de serie infinita
Criterio de Lembert
El criterio de dAlembert se utiliza para determinar la convergencia o
divergencia de una serie de términos positivos cualquiera.
Definiendo con n a la variable independiente de la sucesión, dicho criterio
establece que si llamamos a L al limite para n tendiendo a infinito de se
obtiene un numero L, con los siguientes
Si L‹1, An converge
Si L›1, An diverge
Si L = 1, el criterio no decide y es necesario calcular el limite de otro modo.
Este criterio se utiliza para clasificar las series numéricas. Podemos
F(n)>0 (o sea una sucesión de términos positivos) y f(n) tienda a cero
cuando n tiende a infinito (condición necesaria de convergencia) se procede de
la siguiente manera:

Con n tendiendo a infinito.
Asi obtendremos L y se clasifica de la siguiente manera:
L<1 la serie converge
L>1 la serie diverge
L=1 el criterio no sirve hay que aplicar otro criterio.

Criterio de Cauchy

Entonces, si:
L<1, la seri es convergente.
L>1 entonces la serie es divergente.
L=1,no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de
raabe, o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión.

Series numéricas

1. Convergencia.
Si {an} es una sucesión de números reales, se define la serie de termino
general an y se escribe    como:

Si este límite de la enésima suma parcial a1 + · · · + an es finito, se dice
que la serie es convergente; si es infinito o no existe, que es divergente.
2. Convergencia absoluta.

Se dice que la serie es absolutamente convergente si la serie  es
convergente. Toda serie absolutamente convergente es convergente.
Si una serie es absolutamente convergente, entonces cualquier reordenación suya
también lo es y tiene el mismo valor.
Se dice que una serie es condicionalmente convergente si es convergente, pero
no absolutamente convergente.
3. Propiedades.
• El carácter (convergente o divergente) de una serie no cambia si se modifica
un número finito de sus términos.
• Para que la serie converja es necesario que lim an = 0.

Series de potencias
“Una serie de potencias en torno al punto z0, es una serie funcional de la
forma:
C ”

Se trata de discutir su convergencia y estudiar propiedades de la suma como
función de z.
Como de se pasa a la por un simple cambio de origen, se estudiará
exclusivamente esa segunda serie.

Definición: Llamamos serie de potencias a toda expresión deltipo
, en donde
Es decir

Por ejemplo

en donde todos los valen 1, o

Y todos sus .
Es interesante saber cuáles son los valores de x R para los que las respectivas
series funcionales se convierten en series numéricas convergentes. Por ejemplo
si en la primera de las dos series anteriores hacemos x=0, es 1 + 0 + 0 +....+
0 +... y esta serie es obviamente convergente. En cambio si x = 1, se convierte
en 1 + 1 +... +... que es divergente.

Pero para x = 1/2 es

Que es una serie geométrica de razón y su suma con lo que la serie es
convergente. Más aún, es una serie geométrica de razón x y será convergente si
, es decir si ,
Siendo .
Si se cumple esta condición:

Entonces bajo ciertas condiciones, una serie de potencias describe exactamente
a una función. En este caso a , pero solo en el intervalo (-1;1).

Gráficamente

1

Sólo definida en la parte marcada gruesa por la serie

Si en el segundo ejemplo tomamos x =1, se convierte en

Ejemplos:
Para estudiar la convergencia puntual, fijaremos la x y la trataremos como una
serie normal. Al no tratarse de una serie de términos positivos, utilizaremos
la convergencia absoluta
Ejemplos:
Luego bn es convergente
Portanto la serie original es absolutamente convergente.

El caso general de una serie de potencias se expresa:
. A los términos an se les llama coeficientes de la serie.
Si hacemos t=x-a la reducimos al tipo anterior.

TEOREMA:
1) Si converge puntualmente en x10 entonces es absolutamente convergente si
Demostración:
1) convergente

Por tanto es una mayorante a partir de n0 de

es una serie geométrica de razón
Luego si entonces es una mayorante convergente de , luego la original es
convergente a partir de n0 y por tanto a partir de n=0. Debido a ello es
absolutamente convergente si
2) Reducción al absurdo:
Supongamos que existe y absolutamente convergente. Por 1) la serie seria
convergente si , luego sería convergente en , lo que es contradictorio.

De lo anterior se deduce que existe tal que es absolutamente convergente , y
divergente si . Si puede ocurrir cualquier cosa. A r le llamaremos radio de
convergencia de la serie de potencias.

Calculo del radio de convergencia.
.
Gráficamente, la convergencia de una serie de potencias se resume en el dibujo
siguiente:
.

Figura 2.1:  Intervalo de convergencia de   ,  para   .
Las series de potencias     y     tienen el mismo
radio de convergencia,   ,  pero un comportamiento distinto en el
extremo   .
.
Las animaciones siguientes muestran gráficamente el comportamiento local
deambas series en las proximidades del punto.
.

Animación 2.2:  La serie    en   .
       Animación  2.3:  La serie
   en   .
El radio de convergencia de la serie obtenida al derivar o integrar una serie
de potencias es el mismo que el de la serie de potencias original.
El intervalo de convergencia, por lo contrario, puede diferir al comportamiento
en sus puntos terminales.
EJEMPLOS: Sea una serie de potencias con radio de convergencia r:
Si si
Si si
No solo no es absolutamente convergente, sino que es divergente: si , luego la
serie es divergente.

Serie de Taylor
La serie de Taylor es una serie funcional y surge de una ecuación en la cual se
puede encontrar una solución aproximada a una función, proporciona una buena
forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de
la función y sus derivadas en otro punto.
Por supuesto, para hacer esta aproximación sólo se pueden tomar unas cuantas
expresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en un error conocido
como el término residual, es a criterio del que aplica la serie en numero de
términos que ha de incluir la aproximación.
La serie de Taylor se basa en ir haciendo operaciones según una ecuación
general y mientras mas operaciones tenga la serie mas exacto será el resultado
que se esta buscando. Dicha ecuación es la siguiente: