טרנספורמציית השדה האלקטרומגנטי

מיחסות פרטית נובע שהשדה האלקטרו מגנטי עובר טרנספורמציה מסוימת במעבר מערכות יחוס.

## פיתוח הטרנספורציה

נתחיל בקביעת סימנים לפיתוח זה:

ישנה מערכת יחוס

S

{\displaystyle S}

 שבה השדות החשמלי והמגנטי נתונים.

נרצה למצוא אותם במערכת יחוס חדשה

S
′

{\displaystyle S' }

 הנעה במהירות

v

{\displaystyle v}

 בכיוון

x

{\displaystyle x}

.

נסמן את המימדים של וקטור באינדקס כך:

E
x

,

E
y

,

E
z

{\displaystyle E\_x, E\_y, E\_z }

ונסמן את הערך החדש שמקבל גודל במערכת

S
′

{\displaystyle S' }

 בתג.

### טרנספומציית כוחות

לשם הפיתוח נעזר בטרנספורמצייה שעוברים כוחות, ובטרנספורמציות שימושיות נוספות של 4-וקטורים.

בפיתוח זה נסתכל על היחס בין הכוח שפועל על גוף, לכוח שפועל עליו במערכת היחוס העצמית.

בכיוון התנועה:

F

x

=

d

p

x

d
t

=

γ
(
d

p

x
,
s
e
l
f

m
v
)
−
γ
m
v

γ
d

t

s
e
l
f

=

d

p

x
,
s
e
l
f

d

t

s
e
l
f

=

F

x
,
s
e
l
f

{\displaystyle F\_{x}=\frac{dp\_{x}}{dt}=\frac{\gamma(dp\_{x,self}+mv)-\gamma mv}{\gamma dt\_{self}}=\frac{dp\_{x,self}}{dt\_{self}}=F\_{x,self} }

ובמאונך:

F

y

=

d

p

y

d
t

=

d

p

y
,
s
e
l
f

γ
d

t

s
e
l
f

=

F

y
,
s
e
l
f

γ

{\displaystyle F\_{y}=\frac{dp\_{y}}{dt}=\frac{dp\_{y,self}}{\gamma dt\_{self}}=\frac{F\_{y,self}}{\gamma} }

### שדה אלקטרומגנטי

בכדי לפתח את הנוסחאות נשתמש במטען בוחן

q

{\displaystyle q}

, שנמקם באופנים שונים.

#### שדה חשמלי

נסתכל על מטען בוחן שנע במהירות

v

{\displaystyle v}

בכיוון ציר

x

{\displaystyle x}

, כלומר נמצא במנוחה במערכת

S
′

{\displaystyle S' }

. אז במערכת

S
′

{\displaystyle S' }

הכוח שפועל עליו הוא:

F
′

→

=
q

E
′

→

{\displaystyle \vec{F'}=q\vec{E'} }

ובמערכת

S

{\displaystyle S}

פועל כוח לורנץ:

F
→

=
q
(

E
→

v
→

×

B
→

)

{\displaystyle \vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})}

כאשר

v
→

=
v
⋅

x
^

{\displaystyle \vec{v}=v\cdot\hat{x} }

.

אז בכיוון התנועה:

E

x

′

=

F

x

′

q

=

F

x

q

=

q
(

E

x

)

q

=

E

x

{\displaystyle E'\_{x}=\frac{F'\_{x}}{q}=\frac{F\_{x}}{q}=\frac{q(E\_{x})}{q}=E\_{x} }

ובמאונך:

E

y

′

=

F

y

′

q

=

γ
F

y

q

=

γ
q
(

E

y

−
v

B

z

)

q

=
γ
(

E

y

−
v

B

z

)

{\displaystyle E'\_{y}=\frac{F'\_{y}}{q}=\frac{\gamma F{}\_{y}}{q}=\frac{\gamma q(E\_{y}-vB\_{z})}{q}=\gamma(E\_{y}-vB\_{z}) }

E

z

′

=

F

z

′

q

=

γ
F

z

q

=

γ
q
(

E

z

v

B

y

)

q

=
γ
(

E

z

v

B

y

)

{\displaystyle E'\_{z}=\frac{F'\_{z}}{q}=\frac{\gamma F{}\_{z}}{q}=\frac{\gamma q(E\_{z}+vB\_{y})}{q}=\gamma(E\_{z}+vB\_{y}) }

#### שדה מגנטי

נתחיל בלהשתמש בהפיכות הטרנספורמציה, כלומר בעובדה שעל ידי היפוך סימן המהירות, נקבל האת הטרנספורמציה שמחזירה ממערכת

S
′

{\displaystyle S' }

 למערכת

S

{\displaystyle S}

.

אז בציר

y

{\displaystyle y}

:

E

y

=
γ
(

E

y

′

v

B

z

′

# )
γ
(
γ

E

y

−
γ
v

B

z

v

B

z

′

)

{\displaystyle E\_{y}=\gamma(E'\_{y}+vB\_{z}')=\gamma(\gamma E\_{y}-\gamma vB\_{z}+vB'\_{z}) }

לכן

γ
v

B

z

′

=

γ

2

v

B

z

−

E

y

(

γ

2

−
1
# )

γ

2

v

B

z

−

γ

2

v

2

c

2

E

y

{\displaystyle \gamma vB'\_{z}=\gamma^{2}vB\_{z}-E\_{y}(\gamma^{2}-1)=\gamma^{2}vB\_{z}-\gamma^{2}\frac{v^{2}}{c^{2}}E\_{y} }

ולכן

B

z

′

=
γ
(

B

z

−

v

c

2

E

y

)

{\displaystyle B'\_{z}=\gamma(B\_{z}-\frac{v}{c^{2}}E\_{y}) }

ובדומה לציר

z

{\displaystyle z}

:

E

z

=
γ
(

E

z

′

−
v

B

y

′

# )
γ
(
γ

E

z

γ
v

B

y

−
v

B

y

′

)

{\displaystyle E\_{z}=\gamma(E'\_{z}-vB\_{y}')=\gamma(\gamma E\_{z}+\gamma vB\_{y}-vB'\_{y}) }

γ
v

B

y

′

=

γ

2

v

B

y

E

z

(

γ

2

−
1
# )

γ

2

v

B

y

γ

2

v

2

c

2

E

z

{\displaystyle \gamma vB'\_{y}=\gamma^{2}vB\_{y}+E\_{z}(\gamma^{2}-1)=\gamma^{2}vB\_{y}+\gamma^{2}\frac{v^{2}}{c^{2}}E\_{z} }

B

y

′

=
γ
(

B

y

v

c

2

E

z

)

{\displaystyle B'\_{y}=\gamma(B\_{y}+\frac{v}{c^{2}}E\_{z}) }

כעת נציב מטען בוחן הנע במהירות

u
′

{\displaystyle u'}

 במערכת

S
′

{\displaystyle S' }

 בכיוון ציר

y

{\displaystyle y}

.

אז במערכת

S

{\displaystyle S}

 המהירות היא:

u

x

=

0
v

1

0
v

c

2

=
v

{\displaystyle u\_{x}=\frac{0+v}{1+\frac{0v}{c^{2}}}=v }

u

y

=

u
′

γ
(
1

0
v

c

2

)

=

u
′

γ

{\displaystyle u\_{y}=\frac{u'}{\gamma(1+\frac{0v}{c^{2}})}=\frac{u'}{\gamma} }

ופקטור לורנץ הוא:

γ

u

=
γ

γ

u
′

(
1
−

0
v

c

2

# )
γ

γ

u
′

{\displaystyle \gamma\_{u}=\gamma\gamma\_{u'}(1-\frac{0v}{c^{2}})=\gamma\gamma\_{u'} }

לכן מהטרנספורמציה על הכוח בציר

z

{\displaystyle z}

:

γ

u
′

F

z

′

=

F

z
,
s
e
l
f

=

γ

u

F

z

=
γ

γ

u
′

F

z

{\displaystyle \gamma\_{u'}F'\_{z}=F\_{z,self}=\gamma\_{u}F\_{z}=\gamma\gamma\_{u'}F\_{z} }

אז מכוח לורנץ:

F

z

′

=
γ

F

z

=
γ
q
(

E

z

(

u
→

×

B
→

)

z

# )
γ
q
(

E

z

v

B

y

−

u
′

γ

B

x

)
# )
q
(

E

z

′

−

u
′

B

x

)

{\displaystyle F'\_{z}=\gamma F\_{z}=\gamma q(E\_{z}+(\vec{u}\times\vec{B})\_{z})=\gamma q(E\_{z}+vB\_{y}-\frac{u'}{\gamma}B\_{x}))=q(E'\_{z}-u'B\_{x}) }

ובמערכת

S
′

{\displaystyle S' }

:

F

z

′

=
q
(

E

z

′

−

u
′

B

x

′

)

{\displaystyle F'\_{z}=q(E'\_{z}-u'B'\_{x}) }

ולכן מתקיים:

B

x

′

=

B

x

{\displaystyle B'\_{x}=B\_{x} }

לכן הטרנספורמציה על השדה האלקטרומגנטי היא בכתיב מטריצות:

(

E

x

′

E

y

′

E

z

′

B

x

′

B

y

′

B

z

′

)

=

(

1

0

0

0

0

0

0

γ

0

0

0

−
γ
v

0

0

γ

0

γ
v

0

0

0

0

1

0

0

0

0

γ

v

c

2

0

γ

0

0

−
γ

v

c

2

0

0

0

γ

)

⋅

(

E

x

E

y

E

z

B

x

B

y

B

z

)

{\displaystyle \left(\begin{array}{c}
E'\_{x}\\
E'\_{y}\\
E'\_{z}\\
B'\_{x}\\
B'\_{y}\\
B'\_{z}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & \gamma & 0 & 0 & 0 & -\gamma v\\
0 & 0 & \gamma & 0 & \gamma v & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & \gamma\frac{v}{c^{2}} & 0 & \gamma & 0\\
0 & -\gamma\frac{v}{c^{2}} & 0 & 0 & 0 & \gamma
\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}
E\_{x}\\
E\_{y}\\
E\_{z}\\
B\_{x}\\
B\_{y}\\
B\_{z}
\end{array}\right) }

## הוכחת שימור משוואות מקסוול

הוחכה זו כוללת בעיקר אלגברה, אז רק למי שבאמת מעוניין לראות שיחסות באמת עובדת:

### נגזרת לפי מימדים במערכות שונות

נרצה למצוא איך להמיר נגזרת לפי מימדי המערכת

S
′

{\displaystyle S' }

 לנגזרות לפי מימדי מערכת

S

{\displaystyle S}

.

נסתכל על שינוי קטן במיקום

d

x
′

{\displaystyle dx'}

 במערכת

S
′

{\displaystyle S' }

, אז השינוי במיקום ובזמן במערכת

S

{\displaystyle S}

 הוא:

d
# x
γ
d

x
′

{\displaystyle dx=\gamma dx' }

d
# t
γ

v

c

2

d

x
′

{\displaystyle dt=\gamma\frac{v}{c^{2}}dx' }

אז השינוי בפונקציה

f

{\displaystyle f}

 כלשהי לאורך שינוי זה במיקום הוא

d
# f

d
f

d
x

d
x

d
f

d
t

d
# t
γ
(

d
f

d
x

v

c

2

d
f

d
t

)
d

x
′

{\displaystyle df=\frac{df}{dx}dx+\frac{df}{dt}dt=\gamma(\frac{df}{dx}+\frac{v}{c^{2}}\frac{df}{dt})dx' }

ולכן הנגזרת היא:

d
f

d

x
′

=
γ
(

d
f

d
x

v

c

2

d
f

d
t

)

{\displaystyle \frac{df}{dx'}=\gamma(\frac{df}{dx}+\frac{v}{c^{2}}\frac{df}{dt}) }

בדומה נמצא את הנגזרת לפי הזמן:

d
# x
γ
v
d

t
′

{\displaystyle dx=\gamma vdt' }

d
# t
γ
d

t
′

{\displaystyle dt=\gamma dt' }

d
# f

d
f

d
x

d
x

d
f

d
t

d
# t
γ
(

d
f

d
t

v

d
f

d
x

)
d

t
′

{\displaystyle df=\frac{df}{dx}dx+\frac{df}{dt}dt=\gamma(\frac{df}{dt}+v\frac{df}{dx})dt' }

ולכן

d
f

d

t
′

=
γ
(

d
f

d
t

v

d
f

d
x

)

{\displaystyle \frac{df}{dt'}=\gamma(\frac{df}{dt}+v\frac{df}{dx}) }

### חוק גאוס

נשתמש בצורה הדיפרנציאלית של המשוואות:

∇
→

⋅

E
′

→

=

d

E

x

′

d

x
′

d

E

y

′

d

y
′

d

E

z

′

d

z
′

=
γ

(

d
E

x

d
x

v

c

2

d

E

x

d
t

)

γ

d

E

y

d
y

−
γ
v

d

B

z

d
y

γ

d

E

z

d
z

γ
v

d

B

y

d
z

=

{\displaystyle \vec{\nabla}\cdot\vec{E'}=\frac{dE'\_{x}}{dx'}+\frac{dE'\_{y}}{dy'}+\frac{dE'\_{z}}{dz'}=\gamma\left(\frac{dE{}\_{x}}{dx}+\frac{v}{c^{2}}\frac{dE\_{x}}{dt}\right)+\gamma\frac{dE\_{y}}{dy}-\gamma v\frac{dB\_{z}}{dy}+\gamma\frac{dE\_{z}}{dz}+\gamma v\frac{dB\_{y}}{dz}= }

=
γ

(

d
E

x

d

x
′

d
E

y

d

y
′

d
E

z

d

z
′

−
v

(

d

B

z

d
y

−

d

B

y

d
z

−

1

c

2

d

E

x

d
t

)

)

=

{\displaystyle =\gamma\left(\frac{dE{}\_{x}}{dx'}+\frac{dE{}\_{y}}{dy'}+\frac{dE{}\_{z}}{dz'}-v\left(\frac{dB\_{z}}{dy}-\frac{dB\_{y}}{dz}-\frac{1}{c^{2}}\frac{dE\_{x}}{dt}\right)\right)= }

γ

(

∇
→

⋅

E
→

−
v

(

(

∇
→

×

B
→

)

x

−

ε

0

μ

0

d

E

x

d
t

)

)

=

{\displaystyle \gamma\left(\vec{\nabla}\cdot\vec{E}-v\left((\vec{\nabla}\times\vec{B})\_{x}-\varepsilon\_{0}\mu\_{0}\frac{dE\_{x}}{dt}\right)\right)= }

=
γ
(

ρ

ε

0

−
v

μ

0

J

x

# )

γ

ε

0

(
ρ
−

v

c

2

J

x

# )

ρ
′

ε

0

{\displaystyle =\gamma(\frac{\rho}{\varepsilon\_{0}}-v\mu\_{0}J\_{x})=\frac{\gamma}{\varepsilon\_{0}}(\rho-\frac{v}{c^{2}}J\_{x})=\frac{\rho'}{\varepsilon\_{0}} }

### חוק גאוס לשטף מגנטי

∇
→

⋅

B
′

→

=

d

B

x

′

d

x
′

d

B

y

′

d

y
′

d

B

z

′

d

z
′

=
γ

(

d
B

x

d
x

v

c

2

d

B

x

d
t

)

γ

d

B

y

d
y

γ

v

c

2

d

E

z

d
y

γ

d

B

z

d
z

−
γ

v

c

2

d

E

y

d
z

=

{\displaystyle \vec{\nabla}\cdot\vec{B'}=\frac{dB'\_{x}}{dx'}+\frac{dB'\_{y}}{dy'}+\frac{dB'\_{z}}{dz'}=\gamma\left(\frac{dB{}\_{x}}{dx}+\frac{v}{c^{2}}\frac{dB\_{x}}{dt}\right)+\gamma\frac{dB\_{y}}{dy}+\gamma\frac{v}{c^{2}}\frac{dE\_{z}}{dy}+\gamma\frac{dB\_{z}}{dz}-\gamma\frac{v}{c^{2}}\frac{dE\_{y}}{dz}= }

=
γ

(

d
B

x

d

x
′

d
B

y

d

y
′

d
B

z

d

z
′

v

c

2

(

d

E

z

d
y

−

d

E

y

d
z

d

B

x

d
t

)

)

=
γ

(

∇
→

⋅

B
→

v

c

2

(

(

∇
→

×

E
→

)

x

d

B

x

d
t

)

)

=

{\displaystyle =\gamma\left(\frac{dB{}\_{x}}{dx'}+\frac{dB{}\_{y}}{dy'}+\frac{dB{}\_{z}}{dz'}+\frac{v}{c^{2}}\left(\frac{dE\_{z}}{dy}-\frac{dE\_{y}}{dz}+\frac{dB\_{x}}{dt}\right)\right)=\gamma\left(\vec{\nabla}\cdot\vec{B}+\frac{v}{c^{2}}\left((\vec{\nabla}\times\vec{E})\_{x}+\frac{dB\_{x}}{dt}\right)\right)= }

=
γ

(

0

v

c

2

(

−

d

B

x

d
t

d

B

x

d
t

)

)

=
0

{\displaystyle =\gamma\left(0+\frac{v}{c^{2}}\left(-\frac{dB\_{x}}{dt}+\frac{dB\_{x}}{dt}\right)\right)=0 }

### חוק פאראדי

בציר

x

{\displaystyle x}

:

(

∇
→

×

E
′

→

)

x

=

d

E

z

′

d

y
′

−

d

E

y

′

d

z
′

=
γ

(

d

E

z

d
y

v

d

B

y

d
y

−

d

E

y

d
z

v

d

B

z

d
z

)

=
γ

(

(

∇
→

×

E
→

)

x

v
(

∇
→

⋅

B
→

−

d

B

x

d
x

)

)

=

{\displaystyle (\vec{\nabla}\times\vec{E'})\_{x}=\frac{dE'\_{z}}{dy'}-\frac{dE'\_{y}}{dz'}=\gamma\left(\frac{dE\_{z}}{dy}+v\frac{dB\_{y}}{dy}-\frac{dE\_{y}}{dz}+v\frac{dB\_{z}}{dz}\right)=\gamma\left((\vec{\nabla}\times\vec{E})\_{x}+v(\vec{\nabla}\cdot\vec{B}-\frac{dB\_{x}}{dx})\right)= }

=
γ
(
−

d

B

x

d
t

−
v

d

B

x

d
x

# )
−

d

B

x

d

t
′

=
−

d

B

x

′

d

t
′

{\displaystyle =\gamma(-\frac{dB\_{x}}{dt}-v\frac{dB\_{x}}{dx})=-\frac{dB\_{x}}{dt'}=-\frac{dB'\_{x}}{dt'} }

בציר

y

{\displaystyle y}

:

(

∇
→

×

E
′

→

)

y

=

d

E

x

′

d

z
′

−

d

E

z

′

d

x
′

=

d

E

x

d
z

−
γ

(

d

E

z

′

d
x

v

c

2

d

E

z

′

d
t

)

=

{\displaystyle (\vec{\nabla}\times\vec{E'})\_{y}=\frac{dE'\_{x}}{dz'}-\frac{dE'\_{z}}{dx'}=\frac{dE\_{x}}{dz}-\gamma\left(\frac{dE'\_{z}}{dx}+\frac{v}{c^{2}}\frac{dE'\_{z}}{dt}\right)= }

=

d

E

x

d
z

−

γ

2

(

d
E

z

d
x

v

d
B

y

d
x

v

c

2

d
E

z

d
t

v

2

c

2

d
B

y

d
t

)

=

{\displaystyle =\frac{dE\_{x}}{dz}-\gamma^{2}\left(\frac{dE{}\_{z}}{dx}+v\frac{dB{}\_{y}}{dx}+\frac{v}{c^{2}}\frac{dE{}\_{z}}{dt}+\frac{v^{2}}{c^{2}}\frac{dB{}\_{y}}{dt}\right)= }

=
−

γ

2

(

d
E

z

d
x

v

d
B

y

d
x

v

c

2

d
E

z

d
t

v

2

c

2

d
B

y

d
t

v

2

c

2

d

E

x

d
z

−

d

E

x

d
z

)

=

{\displaystyle =-\gamma^{2}\left(\frac{dE{}\_{z}}{dx}+v\frac{dB{}\_{y}}{dx}+\frac{v}{c^{2}}\frac{dE{}\_{z}}{dt}+\frac{v^{2}}{c^{2}}\frac{dB{}\_{y}}{dt}+\frac{v^{2}}{c^{2}}\frac{dE\_{x}}{dz}-\frac{dE\_{x}}{dz}\right)= }

=
−

γ

2

(

−
(

∇
→

×

E
→

)

y

v

d
B

y

d
x

v

c

2

d
E

z

d
t

v

2

c

2

(

d

E

x

d
z

−
(

∇
→

×

E
→

)

y

)

)

=

{\displaystyle =-\gamma^{2}\left(-(\vec{\nabla}\times\vec{E})\_{y}+v\frac{dB{}\_{y}}{dx}+\frac{v}{c^{2}}\frac{dE{}\_{z}}{dt}+\frac{v^{2}}{c^{2}}\left(\frac{dE\_{x}}{dz}-(\vec{\nabla}\times\vec{E})\_{y}\right)\right)= }

−

γ

2

(

d

B

y

d
t

v

d
B

y

d
x

v

c

2

d
E

z

d
t

v

2

c

2

d

E

z

d
x

)

=
−
γ

(

d

B

y

d

t
′

v

c

2

d

E

z

d

t
′

)

=
−

d

B

y

′

d

t
′

{\displaystyle -\gamma^{2}\left(\frac{dB\_{y}}{dt}+v\frac{dB{}\_{y}}{dx}+\frac{v}{c^{2}}\frac{dE{}\_{z}}{dt}+\frac{v^{2}}{c^{2}}\frac{dE\_{z}}{dx}\right)=-\gamma\left(\frac{dB\_{y}}{dt'}+\frac{v}{c^{2}}\frac{dE\_{z}}{dt'}\right)=-\frac{dB'\_{y}}{dt'} }

ובציר

z

{\displaystyle z}

:

(

∇
→

×

E
′

→

)

z

=

d

E

y

′

d

x
′

−

d

E

x

′

d

y
′

=
−

d

E

x

d
y

γ

(

d

E

y

′

d
x

v

c

2

d

E

y

′

d
t

)

=

{\displaystyle (\vec{\nabla}\times\vec{E'})\_{z}=\frac{dE'\_{y}}{dx'}-\frac{dE'\_{x}}{dy'}=-\frac{dE\_{x}}{dy}+\gamma\left(\frac{dE'\_{y}}{dx}+\frac{v}{c^{2}}\frac{dE'\_{y}}{dt}\right)= }

=
−

d

E

x

d
y

γ

2

(

d
E

y

d
x

−
v

d
B

x

d
x

v

c

2

d
E

y

d
t

−

v

2

c

2

d
B

x

d
t

)

=

{\displaystyle =-\frac{dE\_{x}}{dy}+\gamma^{2}\left(\frac{dE{}\_{y}}{dx}-v\frac{dB{}\_{x}}{dx}+\frac{v}{c^{2}}\frac{dE{}\_{y}}{dt}-\frac{v^{2}}{c^{2}}\frac{dB{}\_{x}}{dt}\right)= }

=

γ

2

(

d
E

y

d
x

−
v

d
B

x

d
x

v

c

2

d
E

y

d
t

−

v

2

c

2

d
B

x

d
t

v

2

c

2

d

E

x

d
y

−

d

E

x

d
y

)

=

{\displaystyle =\gamma^{2}\left(\frac{dE{}\_{y}}{dx}-v\frac{dB{}\_{x}}{dx}+\frac{v}{c^{2}}\frac{dE{}\_{y}}{dt}-\frac{v^{2}}{c^{2}}\frac{dB{}\_{x}}{dt}+\frac{v^{2}}{c^{2}}\frac{dE\_{x}}{dy}-\frac{dE\_{x}}{dy}\right)= }

=

γ

2

(

(

∇
→

×

E
→

)

z

−
v

d
B

x

d
x

v

c

2

d
E

y

d
t

v

2

c

2

(

d

E

x

d
y

(

∇
→

×

E
→

)

z

)

)

=

{\displaystyle =\gamma^{2}\left((\vec{\nabla}\times\vec{E})\_{z}-v\frac{dB{}\_{x}}{dx}+\frac{v}{c^{2}}\frac{dE{}\_{y}}{dt}+\frac{v^{2}}{c^{2}}\left(\frac{dE\_{x}}{dy}+(\vec{\nabla}\times\vec{E})\_{z}\right)\right)= }

=

γ

2

(

−

d

B

y

d
t

−
v

d
B

y

d
x

v

c

2

d
E

y

d
t

v

2

c

2

d

E

y

d
x

)

=
−
γ

(

d

B

z

d

t
′

−

v

c

2

d

E

x

d

t
′

)

=
−

d

B

z

′

d

t
′

{\displaystyle =\gamma^{2}\left(-\frac{dB\_{y}}{dt}-v\frac{dB{}\_{y}}{dx}+\frac{v}{c^{2}}\frac{dE{}\_{y}}{dt}+\frac{v^{2}}{c^{2}}\frac{dE\_{y}}{dx}\right)=-\gamma\left(\frac{dB\_{z}}{dt'}-\frac{v}{c^{2}}\frac{dE\_{x}}{dt'}\right)=-\frac{dB'\_{z}}{dt'} }

### חוק אמפר

בציר

x

{\displaystyle x}

:

(

∇
→

×

B
′

→

)

x

=

d

B

z

′

d

y
′

−

d

B

y

′

d

z
′

=
γ

(

d

B

z

d
y

−

v

c

2

d

E

y

d
y

−

d

B

y

d
z

−

v

c

2

d

E

z

d
z

)

=

{\displaystyle (\vec{\nabla}\times\vec{B'})\_{x}=\frac{dB'\_{z}}{dy'}-\frac{dB'\_{y}}{dz'}=\gamma\left(\frac{dB\_{z}}{dy}-\frac{v}{c^{2}}\frac{dE\_{y}}{dy}-\frac{dB\_{y}}{dz}-\frac{v}{c^{2}}\frac{dE\_{z}}{dz}\right)= }

=
γ

(

(

∇
→

×

B
→

)

x

−

v

c

2

(

∇
→

⋅

E
→

−

d

E

x

d
x

)

)

=

{\displaystyle =\gamma\left((\vec{\nabla}\times\vec{B})\_{x}-\frac{v}{c^{2}}\left(\vec{\nabla}\cdot\vec{E}-\frac{dE\_{x}}{dx}\right)\right)= }

=
γ

(

μ

0

J

x

μ

0

ε

0

d

E

x

d
t

μ

0

ε

0

v

d

E

x

d
x

−

μ

0

ε

0

v

ρ

ε

0

)

=

μ

0

(

γ
(

J

x

−
v
ρ
)

ε

0

(

d

E

x

d
t

v

d

E

x

d
x

)

)

=

{\displaystyle =\gamma\left(\mu\_{0}J\_{x}+\mu\_{0}\varepsilon\_{0}\frac{dE\_{x}}{dt}+\mu\_{0}\varepsilon\_{0}v\frac{dE\_{x}}{dx}-\mu\_{0}\varepsilon\_{0}v\frac{\rho}{\varepsilon\_{0}}\right)=\mu\_{0}\left(\gamma(J\_{x}-v\rho)+\varepsilon\_{0}\left(\frac{dE\_{x}}{dt}+v\frac{dE\_{x}}{dx}\right)\right)= }

=

μ

0

(

J

x

′

ε

0

d

E

x

′

d

t
′

)

{\displaystyle =\mu\_{0}\left(J'\_{x}+\varepsilon\_{0}\frac{dE'\_{x}}{dt'}\right) }

בציר

y

{\displaystyle y}

:

(

∇
→

×

B
′

→

)

y

=

d

B

x

′

d

z
′

−

d

B

z

′

d

x
′

=

d

B

x

d
z

−
γ

(

d

B

z

′

d
x

v

c

2

d

B

z

′

d
t

)

=

{\displaystyle (\vec{\nabla}\times\vec{B'})\_{y}=\frac{dB'\_{x}}{dz'}-\frac{dB'\_{z}}{dx'}=\frac{dB\_{x}}{dz}-\gamma\left(\frac{dB'\_{z}}{dx}+\frac{v}{c^{2}}\frac{dB'\_{z}}{dt}\right)= }

=

d

B

x

d
z

−

γ

2

(

d

B

z

d
x

−

v

c

2

d

E

y

d
x

v

c

2

d

B

z

d
t

−

v

2

c

4

d

E

y

d
t

)

=

{\displaystyle =\frac{dB\_{x}}{dz}-\gamma^{2}\left(\frac{dB\_{z}}{dx}-\frac{v}{c^{2}}\frac{dE\_{y}}{dx}+\frac{v}{c^{2}}\frac{dB\_{z}}{dt}-\frac{v^{2}}{c^{4}}\frac{dE\_{y}}{dt}\right)= }

=

γ

2

(

d

B

x

d
z

−

v

2

c

2

d

B

x

d
z

−

d

B

z

d
x

v

c

2

d

E

y

d
x

−

v

c

2

d

B

z

d
t

v

2

c

4

d

E

y

d
t

)

=

{\displaystyle =\gamma^{2}\left(\frac{dB\_{x}}{dz}-\frac{v^{2}}{c^{2}}\frac{dB\_{x}}{dz}-\frac{dB\_{z}}{dx}+\frac{v}{c^{2}}\frac{dE\_{y}}{dx}-\frac{v}{c^{2}}\frac{dB\_{z}}{dt}+\frac{v^{2}}{c^{4}}\frac{dE\_{y}}{dt}\right)= }

=

γ

2

(

(

∇
→

×

B
→

)

y

v

c

2

d

E

y

d
x

−

v

c

2

d

B

z

d
t

v

2

c

2

(

ε

0

μ

0

d

E

y

d
t

−

d

B

x

d
z

d

B

z

d
x

−

d

B

z

d
x

)

)

=

{\displaystyle =\gamma^{2}\left((\vec{\nabla}\times\vec{B})\_{y}+\frac{v}{c^{2}}\frac{dE\_{y}}{dx}-\frac{v}{c^{2}}\frac{dB\_{z}}{dt}+\frac{v^{2}}{c^{2}}\left(\varepsilon\_{0}\mu\_{0}\frac{dE\_{y}}{dt}-\frac{dB\_{x}}{dz}+\frac{dB\_{z}}{dx}-\frac{dB\_{z}}{dx}\right)\right)= }

=

γ

2

(

μ

0

J

y

ε

0

μ

0

d

E

y

d
t

v

c

2

d

E

y

d
x

−

v

c

2

d

B

z

d
t

−

v

2

c

2

d

B

z

d
x

v

2

c

2

(

ε

0

μ

0

d

E

y

d
t

−
(

∇
→

×

B
→

)

y

)

)

=

{\displaystyle =\gamma^{2}\left(\mu\_{0}J\_{y}+\varepsilon\_{0}\mu\_{0}\frac{dE\_{y}}{dt}+\frac{v}{c^{2}}\frac{dE\_{y}}{dx}-\frac{v}{c^{2}}\frac{dB\_{z}}{dt}-\frac{v^{2}}{c^{2}}\frac{dB\_{z}}{dx}+\frac{v^{2}}{c^{2}}\left(\varepsilon\_{0}\mu\_{0}\frac{dE\_{y}}{dt}-(\vec{\nabla}\times\vec{B})\_{y}\right)\right)= }

=

γ

2

(

μ

0

J

y

(

1
−

v

2

c

2

)

ε

0

μ

0

(

d

E

y

d
t

v

d

E

y

d
x

−
v

d

B

z

d
t

−

v

2

d

B

z

d
x

)

)

=

μ

0

J

y

ε

0

μ

0

γ

(

d

E

y

d

t
′

−
v

d

B

z

d

t
′

)

=

{\displaystyle =\gamma^{2}\left(\mu\_{0}J\_{y}\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)+\varepsilon\_{0}\mu\_{0}\left(\frac{dE\_{y}}{dt}+v\frac{dE\_{y}}{dx}-v\frac{dB\_{z}}{dt}-v^{2}\frac{dB\_{z}}{dx}\right)\right)=\mu\_{0}J\_{y}+\varepsilon\_{0}\mu\_{0}\gamma\left(\frac{dE\_{y}}{dt'}-v\frac{dB\_{z}}{dt'}\right)= }

=

μ

0

J

y

′

ε

0

μ

0

d

E

y

′

d

t
′

{\displaystyle =\mu\_{0}J'\_{y}+\varepsilon\_{0}\mu\_{0}\frac{dE'\_{y}}{dt'} }

ובציר

z

{\displaystyle z}

:

(

∇
→

×

B
′

→

)

z

=

d

B

y

′

d

x
′

−

d

B

x

′

d

y
′

=
γ

(

d

B

y

′

d
x

v

c

2

d

B

y

′

d
t

)

−

d
B

x

d
y

=

{\displaystyle (\vec{\nabla}\times\vec{B'})\_{z}=\frac{dB'\_{y}}{dx'}-\frac{dB'\_{x}}{dy'}=\gamma\left(\frac{dB'\_{y}}{dx}+\frac{v}{c^{2}}\frac{dB'\_{y}}{dt}\right)-\frac{dB{}\_{x}}{dy}= }

=

γ

2

(

d

B

y

d
x

v

c

2

d

E

z

d
x

v

c

2

d

B

y

d
t

v

2

c

4

d

E

z

d
t

)

−

d
B

x

d
y

=

{\displaystyle =\gamma^{2}\left(\frac{dB\_{y}}{dx}+\frac{v}{c^{2}}\frac{dE\_{z}}{dx}+\frac{v}{c^{2}}\frac{dB\_{y}}{dt}+\frac{v^{2}}{c^{4}}\frac{dE\_{z}}{dt}\right)-\frac{dB{}\_{x}}{dy}= }

=

γ

2

(

d

B

y

d
x

v

c

2

d

E

z

d
x

v

c

2

d

B

y

d
t

v

2

c

4

d

E

z

d
t

−

d

B

x

d
y

v

2

c

2

d

B

x

d
y

)

=

{\displaystyle =\gamma^{2}\left(\frac{dB\_{y}}{dx}+\frac{v}{c^{2}}\frac{dE\_{z}}{dx}+\frac{v}{c^{2}}\frac{dB\_{y}}{dt}+\frac{v^{2}}{c^{4}}\frac{dE\_{z}}{dt}-\frac{dB\_{x}}{dy}+\frac{v^{2}}{c^{2}}\frac{dB\_{x}}{dy}\right)= }

=

γ

2

(

(

∇
→

×

B
→

)

z

v

c

2

d

E

z

d
x

v

c

2

d

B

y

d
t

v

2

c

2

(

ε

0

μ

0

d

E

z

d
t

d

B

x

d
y

−

d

B

y

d
x

d

B

y

d
x

)

)

=

{\displaystyle =\gamma^{2}\left((\vec{\nabla}\times\vec{B})\_{z}+\frac{v}{c^{2}}\frac{dE\_{z}}{dx}+\frac{v}{c^{2}}\frac{dB\_{y}}{dt}+\frac{v^{2}}{c^{2}}\left(\varepsilon\_{0}\mu\_{0}\frac{dE\_{z}}{dt}+\frac{dB\_{x}}{dy}-\frac{dB\_{y}}{dx}+\frac{dB\_{y}}{dx}\right)\right)= }

=

γ

2

(

μ

0

J

z

ε

0

μ

0

d

E

z

d
t

v

c

2

d

E

z

d
x

v

c

2

d

B

y

d
t

v

2

c

2

d

B

y

d
x

v

2

c

2

(

ε

0

μ

0

d

E

z

d
t

−
(

∇
→

×

B
→

)

z

)

)

=

{\displaystyle =\gamma^{2}\left(\mu\_{0}J\_{z}+\varepsilon\_{0}\mu\_{0}\frac{dE\_{z}}{dt}+\frac{v}{c^{2}}\frac{dE\_{z}}{dx}+\frac{v}{c^{2}}\frac{dB\_{y}}{dt}+\frac{v^{2}}{c^{2}}\frac{dB\_{y}}{dx}+\frac{v^{2}}{c^{2}}\left(\varepsilon\_{0}\mu\_{0}\frac{dE\_{z}}{dt}-(\vec{\nabla}\times\vec{B})\_{z}\right)\right)= }

=

γ

2

(

μ

0

J

z

(

1
−

v

2

c

2

)

ε

0

μ

0

(

d

E

z

d
t

v

d

E

z

d
x

v

d

B

y

d
t

v

2

d

B

y

d
x

)

)

=

μ

0

J

z

ε

0

μ

0

γ

(

d

E

z

d

t
′

v

d

B

y

d

t
′

)

=

{\displaystyle =\gamma^{2}\left(\mu\_{0}J\_{z}\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)+\varepsilon\_{0}\mu\_{0}\left(\frac{dE\_{z}}{dt}+v\frac{dE\_{z}}{dx}+v\frac{dB\_{y}}{dt}+v^{2}\frac{dB\_{y}}{dx}\right)\right)=\mu\_{0}J\_{z}+\varepsilon\_{0}\mu\_{0}\gamma\left(\frac{dE\_{z}}{dt'}+v\frac{dB\_{y}}{dt'}\right)= }

=

μ

0

J

z

′

ε

0

μ

0

d

E

z

′

d

t
′

{\displaystyle =\mu\_{0}J'\_{z}+\varepsilon\_{0}\mu\_{0}\frac{dE'\_{z}}{dt'} }