5.37

Demuestre que un campo (con parciales continuas) en el espacio F(x, y, z) = (P, Q, R) que sea conservativo

Necesariamente satisface que:

∂
P

∂
y

=

∂
Q

∂
x

{\displaystyle {\partial P \over \partial y} = {\partial Q \over \partial x}}

 ,

∂
P

∂
z

=

∂
R

∂
x

{\displaystyle { \partial P \over \partial z} = { \partial R \over \partial x} }

&

∂
Q

∂
z

=

∂
R

∂
y

{\displaystyle { \partial Q \over \partial z} = { \partial R \over \partial y} }

Por definición, un campo vectorial de la forma F(x,y,z) puede expresarse en términos de “funciones componentes” P,Q,R tales que:

F
(
x
,
y
,
z
# )
P
(
x
,
y
,
z
)
i
Q
(
x
,
y
,
z
)
j
R
(
x
,
y
,
z
)
k

{\displaystyle F(x,y,z)= P(x,y,z)i + Q(x,y,z)j + R(x,y,z)k}

 (Siendo i,j,k vectores canónicos)

Las funciones P,Q,R, evalúan a escalar, así que podemos simplificar la expresión, de lo que obtenemos:

F
(
x
,
y
,
z
# )
P
i
Q
j
R
k

{\displaystyle F(x,y,z)= Pi + Qj + Rk}

Y continuando de ésta noción, se determina que F será continua si y sólo sí sus *funciones componentes* también lo son.

Un campo vectorial es llamado conservativo si es gradiente de alguna función escalar, es decir:

∃
f

{\displaystyle \exist f }

 tq

# F
∇
f

{\displaystyle F = \nabla f}

Esto nos indica que debe existir una función *f*, tal que F(x,y,z) =

F
(
x
,
y
,
z
# )
P
i
Q
j
R
# k
∇
f

{\displaystyle F(x,y,z)= Pi + Qj + Rk = \nabla f}

∇
# f

∂
f

∂
x

i

∂
f

∂
y

j

∂
f

∂
z

k

{\displaystyle \nabla f = \frac{\partial f}{\partial x}i + \frac{\partial f}{\partial y}j + \frac{\partial f}{\partial z}k}

De éste modo, al haber expresado al campo en sus *funciones componente*, y a partir de la definición del gradiente, noto 3 igualdades que han de cumplirse: (para asegurar que la combinación lineal no se rompa):

P
(
x
,
y
,
z
)
:=
# P

∂
f

∂
x

{\displaystyle P(x,y,z) := P = \frac{\partial f}{\partial x}}

Q
(
x
,
y
,
z
)
:=
# Q

∂
f

∂
y

{\displaystyle Q(x,y,z) := Q = \frac{\partial f}{\partial y}}

R
(
x
,
y
,
z
)
:=
# R

∂
f

∂
z

{\displaystyle R(x,y,z) := R = \frac{\partial f}{\partial z}}

Recordemos la demostración anterior:

*Un campo (con parciales continuas) en el espacio F(x, y) = (P, Q) que sea conservativo*

*necesariamente satisface que:*

∂
P

∂
y

=

∂
Q

∂
x

{\displaystyle {\partial P \over \partial y} = {\partial Q \over \partial x}}

Considerando lo que he dicho hasta ahora, quiere decir que

∂

∂
f

∂
x

∂
y

=

∂

∂
f

∂
y

∂
x

{\displaystyle { \partial \frac{\partial f}{\partial x} \over \partial y} = { \partial \frac{\partial f}{\partial y} \over \partial x} }

¿Ésto como influye en R³?

Resulta ser que, justamente es la primera de las igualdades que ha de cumplirse en la demostración actual.

Pero no se queda solo ahí, pues al analizar lo que sucede, la demostración anterior( la de R² ) me indica lo que sucede... En el plano *xy.*

Como sabemos, R³ cuenta con el espacio, que al ser visto conforme las parciales, puede ser considerado como 3 planos perpendiculares entre sí, nombrados *xy , yz ,* xz  .

Tomemos las igualdades que habría que demostrar, y notemoslas explícitamente:

Así, la igualdad

∂
P

∂
y

=

∂

∂
f

∂
x

∂
y

=

∂

∂
f

∂
y

∂
x

=

∂
Q

∂
x

{\displaystyle { \partial P \over \partial y} = { \partial \frac{\partial f}{\partial x} \over \partial y} = { \partial \frac{\partial f}{\partial y} \over \partial x} = { \partial Q \over \partial x} }

 ,

corresponde al eje *xy*, al ser las dos variables presentes en la igualdad, y al ser xy el plano que procede directamente de R2... (cita requerida).

Ya que indiqué que la expresión

∂
P

∂
y

=

∂
Q

∂
x

{\displaystyle {\partial P \over \partial y} = {\partial Q \over \partial x}}

Corresponde a uno de los planos (xy), y si la misma proposición la aplico al resto de planos (sustituyendo con los parámetros correspondientes), debería continuar cumpliéndose, pues como he indicado, la proposición funciona en planos, que forman en conjunto al espacio al actuar a la vez.

Así,

∂
P

∂
y

=

∂

∂
f

∂
x

∂
y

=

∂

∂
f

∂
y

∂
x

=

∂
Q

∂
x

{\displaystyle { \partial P \over \partial y} = { \partial \frac{\partial f}{\partial x} \over \partial y} = { \partial \frac{\partial f}{\partial y} \over \partial x} = { \partial Q \over \partial x} }

Adecuado al plano *xz* debería volverse:

∂

∂
f

∂
X

∂
z

=

∂

∂
f

∂
z

∂
x

{\displaystyle { \partial \frac{\partial f}{\partial X} \over \partial z} = { \partial \frac{\partial f}{\partial z} \over \partial x} }

Que es igual a

∂
P

∂
z

=

∂

∂
f

∂
X

∂
z

=

∂

∂
f

∂
z

∂
x

=

∂
R

∂
x

{\displaystyle { \partial P \over \partial z} = { \partial \frac{\partial f}{\partial X} \over \partial z} = { \partial \frac{\partial f}{\partial z} \over \partial x} = { \partial R \over \partial x} }

Y la forma adecuada para el plano *yz es*

∂

∂
f

∂
y

∂
z

=

∂

∂
f

∂
z

∂
y

{\displaystyle { \partial \frac{\partial f}{\partial y} \over \partial z} = { \partial \frac{\partial f}{\partial z} \over \partial y} }

Que nos presenta la igualdad.

∂
Q

∂
z

=

∂

∂
f

∂
y

∂
z

=

∂

∂
f

∂
z

∂
y

=

∂
R

∂
y

{\displaystyle { \partial Q \over \partial z} = { \partial \frac{\partial f}{\partial y} \over \partial z} = { \partial \frac{\partial f}{\partial z} \over \partial y} = { \partial R \over \partial y} }

Así, concluyo que

∂
P

∂
y

=

∂
Q

∂
x

{\displaystyle {\partial P \over \partial y} = {\partial Q \over \partial x}}

 ,

∂
P

∂
z

=

∂
R

∂
x

{\displaystyle { \partial P \over \partial z} = { \partial R \over \partial x} }

&

∂
Q

∂
z

=

∂
R

∂
y

{\displaystyle { \partial Q \over \partial z} = { \partial R \over \partial y} }

Es consecuencia en R³ que se cumpla

∂
P

∂
y

=

∂
Q

∂
x

{\displaystyle {\partial P \over \partial y} = {\partial Q \over \partial x}}

En R²