向心力

**向心力**是當物体沿着圓周或者曲線軌道運動時，指向圆心（曲率中心）的合外力作用力。“向心力”一词是从这种合外力作用所产生的效果而命名的。這種效果可以由弹力、重力、摩擦力等任何一力而产生，也可以由几个力的合力或其分力提供。

因为圆周运动属于曲线运动，在做圆周运动中的物体也同時會受到與其速度方向不同的合外力作用。对于在做圆周运动的物体，向心力是一種拉力，其方向隨著物體在圆周轨道上的运动而不停改变。此拉力沿着圆周半径指向圆周的中心，所以得名“向心力”。向心力指向圆周中心，且被向心力所控制的物体是沿着切线的方向运动，所以向心力必与受控物体的运动方向垂直，仅产生速度法线方向上的加速度。因此向心力只改变所控物体的运动方向，而不改变运动的速率，即使在非匀速圆周运动中也是如此。非匀速圆周运动中，改变运动速率的切向加速度并非由向心力产生。

向心力的大小与物体的质量（*m*）、物体运动圆周半径的长度（*r*）和角速度（*ω*）有着密切关系。

# F
m

ω
2

r

{\displaystyle F = m\omega^2 r}

2. 欲知向心力与线速度大小的关系,可以将

# ω

v
r

{\displaystyle \omega = \frac{v}{r} }

代入

# F
m

ω
2

r

{\displaystyle F = m\omega^2 r}

,也就是物体的线速度与其角速度的关系:

# F
m

ω
2

r

{\displaystyle F = m\omega^2 r}

# F
m

v
2

r

{\displaystyle F = m \frac{v^2} {r}}

定义：做匀速圆周运动的物体受到指向圆心的合外力作用，这个合外力叫做向心力。
方向：向心力的方向时刻指向圆心。做匀速圆周运动的物体具有向心加速度，根据牛顿第二定律，这个加速度一定是由于它受到了指向圆心的合外力。
公式：根据牛顿第二定律F合=ma，把向心加速度的公式代入可得：

F
c

=
−

m

v
2

r

r

^

=
−

m

v
2

r

r

r

=
−
m

ω
2

r

=
m
ω
×
(
ω
×
r
)

{\displaystyle
\mathbf{F\_c} = -\frac{m v^2}{r} \hat{\mathbf{r}} = -\frac{m v^2}{r} \frac{\mathbf{r}}{r} = -m \omega^2 \mathbf{r} = m \boldsymbol\omega \times (\boldsymbol\omega \times \boldsymbol r )
}

* 注：

r

^

{\displaystyle \hat{\mathbf{r}}}

表示

r

{\displaystyle \mathbf{r}}

方向的单位向量。

3. 因此由上方的公式表述，從牛頓定律的帶入可得知，

向心加速度為

# a

v
2

r

=

ω
2

r

{\displaystyle a = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r}

## 向心加速度之推導(畢氏三角證法)

向心加速度指示图

設

R

{\displaystyle \mathbf{R}}

 =

r
d

{\displaystyle \boldsymbol{r + d}}

(半徑加上物體瞬間之掉落距離)
所以

d

{\displaystyle \mathbf{d}}

 =

R
−
r

{\displaystyle \boldsymbol{R-r}}

由於

d

{\displaystyle \mathbf{d}}

 =

1
2

a
Δ

t
2

{\displaystyle \frac{1}{2}\boldsymbol{a \Delta t^2}}

;
則

a

{\displaystyle \mathbf{a}}

=

(

2
d

Δ

t
2

)

{\displaystyle \left( \frac{2d}{\Delta t^2} \right)}

從畢氏定理知道

R
2

=

r
2

D
2

{\displaystyle \boldsymbol{R^2 = r^2 + D^2}}

，
且

d

=

r
2

D
2

−
r

{\displaystyle \mathbf{d} = \sqrt{r^2+D^2} - r }

且定

D

{\displaystyle \mathbf{D}}

 =

v
Δ
t

{\displaystyle \mathbf{v \Delta t}}

而在瞬間的情況之下之向心加速度：

# a

lim

Δ
t
→
0

2
d

Δ

t
2

{\displaystyle a = \lim\_{\Delta t \to 0} \frac{2d}{\Delta t^2} }

把已知

d

{\displaystyle \boldsymbol{d}}

 代入,

# a

lim

Δ
t
→
0

2
(

r
2

D
2

−
r
)

Δ

t
2

{\displaystyle a = \lim\_{\Delta t \to 0} \frac {2(\sqrt{r^2+D^2}-r)}{\Delta t^2}}

再把

# D
v
Δ
t

{\displaystyle \boldsymbol{D = v\Delta t}}

 代入,

# a

lim

Δ
t
→
0

2
(

r
2

(
v
Δ
t

)
2

−
r
)

Δ

t
2

{\displaystyle a = \lim\_{\Delta t \to 0} \frac {2(\sqrt{r^2+(v\Delta t)^2}-r)}{\Delta t^2}}

分子、分母同乘

(

r
2

v
2

Δ

t
2

r
)

{\displaystyle (\sqrt{r^2+v^2 \Delta t^2}+r)}

 用以去根號，

# a

lim

Δ
t
→
0

2
(

r
2

(

v
2

)
(
Δ

t
2

)
−

r
2

)

Δ

t
2

(

r
2

(

v
2

)
(
Δ

t
2

)

r
)

{\displaystyle a = \lim\_{\Delta t \to 0} \frac{2(r^2+(v^2)(\Delta t^2)-r^2)}{\Delta t^2(\sqrt{r^2+(v^2)(\Delta t^2)}+r)}}

此時

r
2

{\displaystyle \boldsymbol{r^2}}

 和

r
2

{\displaystyle \boldsymbol{r^2}}

 相抵銷，

# a

lim

Δ
t
→
0

2
(

v
2

)
(
Δ

t
2

)

Δ

t
2

(

r
2

(

v
2

)
(
Δ

t
2

)

r
)

{\displaystyle a = \lim\_{\Delta t \to 0} \frac{2(v^2)(\Delta t^2)}{\Delta t^2(\sqrt{r^2+(v^2)(\Delta t^2)}+r)}}

此時

t
2

{\displaystyle \boldsymbol{t^2}}

 和

t
2

{\displaystyle \boldsymbol{t^2}}

 上下相抵銷為

1

{\displaystyle \boldsymbol{1}}

，

# a

lim

Δ
t
→
0

2
(

v
2

)

r
2

(

v
2

)
(
Δ

t
2

)

r

{\displaystyle a = \lim\_{\Delta t \to 0} \frac {2(v^2)}{\sqrt{r^2+(v^2)(\Delta t^2)}+r}}

# a

2
(

v
2

)

r
2

r

{\displaystyle a = \frac{2(v^2)}{\sqrt{r^2}+r}}

# a

2
(

v
2

)

2
r

{\displaystyle a = \frac{2(v^2)}{2r}}

因此

# a

v
2

r

{\displaystyle a=\frac{v^2}{r}}