5.45(b)

Calcule

∫
Γ

F
⋅
d
γ

{\displaystyle \int\limits\_\Gamma F\cdot d \gamma}

 de cada uno de los campos vectoriales anteriores donde:

b)

Γ

{\displaystyle \Gamma}

 es una recta que une los puntos

(
−
π
,
0
)

{\displaystyle (-\pi, 0)}

 y

(
π
,
π
)

{\displaystyle (\pi, \pi)}

Primero vamos a recuperar el cómo se van a ver los campos vectoriales al graficar, a la vez que también marcamos en rojo la recta que une los puntos señalados por el planteamiento del ejercicio.

Una vez que hemos visualizado los campos vectoriales y la integral de línea que queremos calcular, haremos una revisión del consejo que brinda el planteamiento del problema donde nos instan a no hacer talacha, dentro de la lectura encontramos que existe la posibilidad de saber la integral de línea de un campo vectorial dado por f usando el punto inicial y el punto final de donde queremos integrar (si es que la curva es suave, f es diferenciable y su vector gradiente es continuo); esto se consigue solamente sustituyendo ambos puntos en la ecuación que nos da el campo vectorial, al restar los valores asociados al punto final los valores asociados al punto inicial.

Esto aparece en la sección "The Fundamental Theorem for Line Integrals" con su respectiva demostración.

Procedemos a hacer lo pertinente con los campos aquí presentados, primero mostramos el campo conservativo/vectorial (F) y después el campo potencial (f), recordamos que los puntos finales e iniciales de nuestro interés son (π,π) y (-π,0), respectivamente:

a
)
F
(
x
,
y
# )
(
2
x
,
−
1
)
,
f
(
x
,
y
# )

x
2

−
y

{\displaystyle a) F(x,y)=(2x,-1), f(x,y) = x^2 - y}

∫
Γ

F
(
x
,
y
)
⋅
d
# γ

∫
Γ

(
2
x
,
−
1
)
⋅
d
# γ
(
(
π

)
2

−
(
π
)
)
−
(
(
−
π

)
2

(
0
)
)

{\displaystyle \int\limits\_\Gamma F(x,y) \cdot d\gamma = \int\limits\_\Gamma (2x,-1) \cdot d\gamma = ((\pi)^2-(\pi)) - ((-\pi)^2+(0))}

=
(
(
π

)
2

−
(
π
)
)
−
(
(
−
π

)
2

(
0
)
# )
(

π
2

−
π
)
−
(

π
2

# )

π
2

−
π
−

π
2

=
−
π

{\displaystyle = ((\pi)^2-(\pi)) - ((-\pi)^2+(0)) = (\pi^2 - \pi) - (\pi^2) =\pi^2 - \pi - \pi^2 = -\pi }

b
)
F
(
x
,
y
# )
(
−
y
s
e
n
(
x
y
)
,
2
y
−
x
s
e
n
(
x
y
)
)
,
f
(
x
,
y
# )

y
2

c
o
s
(
x
,
y
)

{\displaystyle b) F(x,y) = (-ysen(xy),2y-xsen(xy)), f(x,y) = y^2 + cos(x,y)}

∫
Γ

F
(
x
,
y
)
⋅
d
# γ
(
−
y
s
e
n
(
x
y
)
,
2
y
−
x
s
e
n
(
x
y
)
)
⋅
d
# γ
(
(
π

)
2

c
o
s
(
π
π
)
−
(
(
0

)
2

c
o
s
(
0
π
)
)

{\displaystyle \int\limits\_\Gamma F(x,y) \cdot d\gamma = (-ysen(xy),2y-xsen(xy)) \cdot d\gamma = ((\pi)^2 + cos(\pi\pi) - ((0)^2+cos(0\pi))}

=
(
(
π

)
2

c
o
s
(
π
π
)
)
−
(
(
0

)
2

c
o
s
(
0
π
)
# )

π
2

c
o
s
(

π
2

)
−
c
o
s
(
0
)

{\displaystyle = ((\pi)^2 + cos(\pi\pi)) - ((0)^2+cos(0\pi)) = \pi^2 + cos(\pi^2) - cos(0)}

=

π
2

c
o
s
(

π
2

)
−
c
o
s
(
0
# )

π
2

−
0.092
−
# 1

π
2

−
1.092

{\displaystyle = \pi^2 + cos(\pi^2) - cos(0) = \pi^2 -0.092 - 1 = \pi^2 - 1.092}

c
)
F
(
x
,
y
# )
(
−
s
e
n
(
x
y
)
,
−
s
e
n
(
x
y
)
)
,
f
(
x
,
y
# )
c
o
s
(
x
y
)

{\displaystyle c) F(x,y) = (-sen(x+y),-sen(x+y)), f(x,y) = cos(x + y)}

∫
Γ

F
(
x
,
y
)
⋅
d
# γ

∫
Γ

(
−
s
e
n
(
x
y
)
,
−
s
e
n
(
x
y
)
)
⋅
d
# γ
(
c
o
s
(
π
π
)
)
−
(
c
o
s
(
(
−
π
)
0
)
)

{\displaystyle \int\limits\_\Gamma F(x,y) \cdot d\gamma = \int\limits\_\Gamma (-sen(x+y),-sen(x+y)) \cdot d\gamma = (cos(\pi + \pi)) - (cos((-\pi)+0)) }

=
(
c
o
s
(
π
π
)
)
−
(
c
o
s
(
(
−
π
)
0
)
# )
c
o
s
(
2
π
)
−
c
o
s
(
−
π
# )
1
−
(
−
1
# )
2

{\displaystyle = (cos(\pi + \pi)) - (cos((-\pi)+0)) = cos(2\pi)-cos(-\pi) = 1 -(-1) = 2}