L'espace vectoriel des suites réelles

Soit

F

(

N

;

R

)

{\displaystyle \mathcal{F}(\mathbb{N};\mathbb{R})}

.

Il s'agit par définition des suites réelles **de l'ensemble des suites réelles.**

Pour la suite, on le notera

S

{\displaystyle S}

.

Le but de cette page wiki est de prouver que, muni de sa loi de composition interne

{\displaystyle +}

 et de sa loi de composition externe

.

{\displaystyle .}

 de domaine

R

{\displaystyle \R}

,

S

{\displaystyle S}

 est un

R

{\displaystyle \R}

 espace vectoriel.

## La loi de composition interne

### Définition

Soient

(

u

n

)

n
∈

N

{\displaystyle (u\_{n})\_{n\in\mathbb{N}}}

 et

(

v

n

)

n
∈

N

{\displaystyle (v\_{n})\_{n\in\mathbb{N}}}

 deux suites réelles.

On définie la nouvelle suite formée par l'addition de ces deux précédents, de cette manière:

∀
n
∈

N

,

(
u
v

)

n

=

u

n

v

n

{\displaystyle \forall n\in\mathbb{N},~(u+v)\_{n}=u\_{n}+v\_{n}}

La loi de composition interne est alors l'application suivante, notée

{\displaystyle +}

:

:

S

2

⟶
S

{\displaystyle +:S^{2}\longrightarrow S}

(
(

u

n

)

n
∈

N

;
(

v

n

)

n
∈

N

)
⟼
(
(
u
v

)

n

)

n
∈

N

{\displaystyle ((u\_{n})\_{n\in\mathbb{N}};(v\_{n})\_{n\in\mathbb{N}})\longmapsto ((u+v)\_{n})\_{n\in\mathbb{N}}}

### Commutativité de la loi de composition interne

Soient

(

u

n

)

n
∈

N

{\displaystyle (u\_{n})\_{n\in\mathbb{N}}}

 et

(

v

n

)

n
∈

N

{\displaystyle (v\_{n})\_{n\in\mathbb{N}}}

 deux suites réelles.

On a lors que

∀
n
∈

N

,

(
u
v

)

n

=

u

n

v

n

=

v

n

u

n

=
(
v
u

)

n

{\displaystyle \forall n\in\mathbb{N},~(u+v)\_{n}=u\_{n}+v\_{n}=v\_{n}+u\_{n}=(v+u)\_{n}}

 par commutativité de l'addition de deux réels.

Il vient donc que

(
(
u
v

)

n

)

n
∈

N

=
(
(
v
u
)

)

n

)

n
∈

N

{\displaystyle ((u+v)\_{n})\_{n\in\mathbb{N}}=((v+u))\_{n})\_{n\in\mathbb{N}}}

 car les deux suites associent les mêmes valeurs aux mêmes entiers naturels.

Donc la loi

{\displaystyle +}

 des suites réelles est commutative.

### Associativité de la loi de composition interne

Soient

(

u

n

)

n
∈

N

{\displaystyle (u\_{n})\_{n\in\mathbb{N}}}

;

(

v

n

)

n
∈

N

{\displaystyle (v\_{n})\_{n\in\mathbb{N}}}

 et

(

w

n

)

n
∈

N

{\displaystyle (w\_{n})\_{n\in\mathbb{N}}}

 trois suites réelles.

On a alors

∀
n
∈

N

,
(

u

n

v

n

)

w

n

=

u

n

(

v

n

w

n

)

{\displaystyle \forall n\in\mathbb{N}, (u\_{n}+v\_{n})+w\_{n}=u\_{n}+(v\_{n}+w\_{n})}

 par associativité de l'addition des réelles.

Donc on a

(
(
[
u
v
]
w

)

n

)

n
∈

N

=
(
(
u
[
v
w
]

)

n

)

n
∈

N

{\displaystyle (([u+v]+w)\_{n})\_{n\in\mathbb{N}}=((u+[v+w])\_{n})\_{n\in\mathbb{N}}}

 par définition de l'égalité entre deux suites réelles.

Donc la loi

{\displaystyle +}

 est associative.

### Existence d'un élément neutre par la loi de composition interne

Soit la suite réelle

(

0

n

)

n
∈

N

{\displaystyle (0\_{n})\_{n\in\mathbb{N}}}

 définie

∀
n
∈

N

,

0

n

=
0

{\displaystyle \forall n\in\mathbb{N},~0\_{n}=0}

.

On a alors que pour toute suite réelle

(

u

n

)

n
∈

N

{\displaystyle (u\_{n})\_{n\in\mathbb{N}}}

,

∀
n
∈

N

,

u

n

0

n

=

u

n

# 0

u

n

{\displaystyle \forall n\in\mathbb{N},~u{n}+0\_{n}=u\_{n}+0=u\_{n}}

et que donc

(
(
u
0

)

n

)

n
∈

N

=
(

u

n

)

n
∈

N

{\displaystyle ((u+0)\_{n})\_{n\in\mathbb{N}}=(u\_{n})\_{n\in\mathbb{N}}}

.

Donc

(

0

n

)

n
∈

N

{\displaystyle (0\_{n})\_{n\in\mathbb{N}}}

 est un élément neutre pour l'ensemble des suites réelles par la loi de composition interne.

Donc l'ensemble des suites réelles admet un élément neutre par sa loi de composition interne.