Propiedades de las desigualdades

Las desigualdades están gobernadas por las siguientes propiedades. Notar que, para las propiedades transitividad, adición, sustracción, multiplicación y división, la propiedad también se mantiene si los símbolos de desigualdad estricta (< y >) son reemplazados por sus correspondientes símbolos de desigualdad no estricta (≤ y ≥).

Transitividad
* Para números reales arbitrarios *a*,*b* y *c*:

* Si *a > b* y *b > c* entonces *a > c*.
* Si *a < b* y *b < c* entonces *a < c*.
* Si *a > b* y *b = c* entonces *a > c*.
* Si *a < b* y *b = c* entonces *a < c*.

Adición y sustracción
* Para números reales arbitrarios *a*,*b* y *c*:

* Si *a < b* entonces *a + c < b + c* y *a − c < b − c*.
* Si *a > b* entonces *a + c > b + c* y *a − c > b − c*.

Multiplicación y división
* Para números reales arbitrarios *a* y *b*, y *c* diferente de cero:

* Si *c* es positivo y *a < b* entonces *ac < bc* y *a/c < b/c*.
* Si *c* es negativo y *a < b* entonces *ac > bc* y *a/c > b/c*.

Opuesto
* Para números reales arbitrarios *a* y *b*:

* Si *a < b* entonces *−a* > *−b*.
* Si *a > b* entonces *−a* < *−b*.

Recíproco
* Para números reales *a* y *b* distintos de cero, ambos positivos o negativos a la vez:

* Si *a < b* entonces *1/a* > *1/b*.
* Si *a > b* entonces *1/a* < *1/b*.

* Si a y b son de distinto signo:

* Si *a < b* entonces *1/a* < *1/b*.
* Si *a > b* entonces *1/a* > *1/b*.

### Función monótona[editar]

Al aplicar una función monótona creciente a ambos lados, la desigualdad se mantiene. Si se aplica una función monótona decreciente, la desigualdad se invierte.

Ejemplo

al aplicar la función exponencial a ambos miembros de la desigualdad, esta se mantiene.

### Valor absoluto[editar]

Se puede definir el valor absoluto por medio de desigualdades:

## Cuerpo ordenado[editar]

Si (*F*, +, ×) es un cuerpo y ≤ es un orden total sobre *F*, entonces (*F*, +, ×, ≤) es un *cuerpo ordenado* si y solo si:

* *a* ≤ *b* implica *a* + *c* ≤ *b* + *c*;
* 0 ≤ *a* y 0 ≤ *b* implica 0 ≤ *a* × *b*.

Los cuerpos (**Q**, +, ×, ≤) y (**R**, +, ×, ≤) son ejemplos comunes de cuerpo ordenado, pero ≤ no puede definirse en los complejos para hacer de (**C**, +, ×, ≤) un cuerpo ordenado.

Las desigualdades en sentido amplio ≤ y ≥ sobre los números reales son relaciones de orden total, mientras que las desigualdades estrictas < y > sobre los números reales son relaciones de orden estricto.

## Notación encadenada[editar]

La notación **a < b < c** establece que a < b (a menor que b) y que b < c (b menor que c) y aplicando la propiedad transitiva anteriormente citada, puede deducirse que a < c (a menor que c). Obviamente, aplicando las leyes anteriores, puede sumarse o restarse el mismo número real a los tres términos, así como multiplicarlos o dividirlos todos por el mismo número (distinto de cero) invirtiendo las inecuaciones según su signo. Así, *a < b + e < c* es equivalente a *a - e < b < c - e*.

Esta notación se puede extender a cualquier número de términos: por ejemplo, **a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an** establece que ai ≤ ai+1 para i = 1, 2, ..., n−1. Según la propiedad transitiva, esta condición es equivalente a *ai ≤ aj* para cualesquiera *1 ≤ i ≤ j ≤ n*.

Ocasionalmente, la notación encadenada se usa con inecuaciones en diferentes direcciones. En ese caso el significado es la conjunción lógica de las desigualdades entre los términos adyacentes. Por ejemplo:

a < b = c ≤ d
significa que a < b, b = c, y c ≤ d (y por transitividad: a < d). Esta notación es utilizada en algunos lenguajes de programación tales como Python.