U函数（UAN）

U函数（Ultra- Array Notation）是由百度贴吧用户”五年高考💯“自创的一个大数表示法，极限增长率未知，但超过ψ(ψI(0))。

规则
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本数阵分为5个部分

1、基本数阵和括号数阵

2、线性数阵

3、多维数阵

4、嵌套数阵

5、超嵌套数阵

aU0=a!

aUk+1=aUkUk...Uk（左结合，共a个U）

[0]=a

[k+1]=[k][k]...[k]（a个[k]）

当中括号里还有中括号时，先展开最里面的中括号

eg：

3U[[2]]

=3U[[1][1][1]]

=3U[[1][1][0][0][0]]

=3U[[1][1][0][0]3]

=3U[[1][1][0][0]2][[1][1][0][0]2][[1][1][0][0]2]

[#,m+1]=[#,m][#,m]...[#,m]（共a个中括号）

[#,m+1,0,$]=[#,m,[#,m,...[#,m,a,$]...,$],$]（共a个中括号）

[0,#]=[#]

eg:3U[2,0]

=3U[1,[1,[1,0]]]

=3U[1,[1,[0,[0,[0,0]]]]]

=3U[1,[1,[[[0]]]]]

=3U[1,[1,[[3]]]]

=3U[1,[1,[[2][2][2]]]]

=...

定义多维分隔符(m)

则线性数阵规则改为：

[#(x)m+1]=[#(x)m][#(x)m]...[#(x)m]（共a个中括号）

[#(x)m+1(y)0,$]=[#(x)m(y)[#(x)m(y)...[#(x)m(y)a,$]...,$],$]（共a个中括号）

[0(x)#]=[#]

其中(x),(y)为分隔符

子规则：(m)$(n)=(m)0(s)0(s)...(s)0(n)（共a个0），其中$中没有维度高于s的分隔符(s=min(m,n)-1)

eg：[2(3)0(4)0]=[2(3)0(2)0(2)0(4)0]=[2(3)0(1)0(1)0(2)0(2)0(4)0]=[2(3)0,0,0(1)0(1)0(2)0(2)0(4)0]

=[1(3)[1(3)[1(3)3,0,0(1)0(1)0(2)0(2)0(4)0],0,0(1)0(1)0(2)0(2)0(4)0],0,0(1)0(1)0(2)0(2)0(4)0]（a=3）

### 嵌套数阵

**Part1：数阵分隔符**

几个定义：

若干个数阵连写叫数组列

若数组列的最后一个数阵为数，则称这个数组列是后继的，否则称其为极限的

eg：[1,5][5,6][0]是极限的，[2]53是后继的

数阵（数组列）等级：

空项(可看作0)<常数项<数阵(数组列)

两个数组列A=A1A2..An和B=B1B2..Bm比较时

先找出它们最大的数阵Ai和Bj

若Ai>Bj,则A>B;若Ai<Bj则A**[9(6)5,4(2)5]**

**[#(x)m+1(y)0(z)$]=[#(x)m(y)[#(x)m(y)...[#(x)m(y)a(z)$]...(z)$](z)$]（共a个中括号）（z<y且z是极限的)**

**子规则：(m)$1(n)$2=(m)0(s)0(s)...(s)0(n)$2（共a个0）（n>m），其中$1中没有等级高于m的分隔符**

**s的定义如下：**

**若m是后继的，设m为Ar+1，则s=Ar**

**若m是极限的，则按照普通数阵规则将m展开直到m恰好为后继的**

**其余同多维数阵**

**极限[1([1(...[1([1(n)0])0]...)0])0]=[1(1,0)0]**

****Part2：分隔符数阵****

**数阵分隔符长这样：3U[1([2,3])4,5]**

**分隔符数阵长这样：3U[1(2,3)4,5]**

**极限性：若分隔符数阵的最后一项是极限的或为0，则分隔符数阵是极限的**

**等级比较：将整个分隔符看成一个数阵（注意，是整个分隔符）**

**eg:(2,3)>([2,3])=(0,[2,3])**

**[#1(#2(x)m+1(y)0(z)$2)$1]**

**=[#1(#2(x)m(y)[#1(#2(x)m(y)[#1(#2(x)m(y)...[#1(#2(x)m(y)a(z)$2)$1]...(z)$2)$1](z)$2)$1](z)$2)$1]（共a个中括号）（(z)<(y)且(z)是极限的)**

****Part3：高阶分隔符数阵****

**(A)\_B称为高阶分隔符，其中A为分隔符数阵，B为阶数阵（默认为1）**

**[]的阶数阵为0**

**极限性：和A的最后一项相同**

**等级比较：先比较阶数阵，再比较分隔符数阵**

**eg:(999(999)999)\_[4(1)4]3<(1)\_[1(2)1]**

**(1,2,3,4,5,6)\_7<(3,4,5,6,1,2)\_7**

**新增展开规则：**

**从右往左看，当你看到# a+1(b)\_c 0(d)\_e$时((b)\_c>(d)\_e且(d)是极限的)①**

**找到在它外面的，阶数阵等于s的分隔符**

**记为(#1 # a+1(b)\_c 0(d)\_e$ #2)\_s**

**其中s的定义如下：**

**若c是后继的且，设c为Ar+1，则s=Ar**

**若c是极限的，则按照普通数阵规则将c展开直到c恰好为后继的,此时c=c'=Bt+1,则s=Bt**

**则①=a(b)\_c z^n(n)(d)\_e$ (n为基数)**

**其中字符串函数z(x)=a+1(#1 # a(b)\_c x(d)\_e$ #2)\_s 0”**

**如果没有这样的分隔符，就直接在外面加上1 ()\_s 0**

**### 超嵌套数阵****Part1：双逗号,,**

直接减一：

若数阵s,c满足：

若c是后继的，设c为Ar+1，则s=Ar

若c是极限的，则以a为底数，按照普通数阵规则将c展开直到c恰好为后继的,此时c=c'=Bt+1,则s=Bt

则称s是c的“以a为底直接减一”，记作s=c'(a)

eg:

以下均以3为底

[5(2)0]13'(3)=[5(2)0]12

∵[3,3][1]=[3,3][0][0][0]=[3,3][0][0]3

∴[3,3][1]'(3)=[3,3][0][0]2

我们把(A)\_B记作(B,,A)

于是我们可以往B中加入数阵，如：(1,3,,3)

展开规则同高阶分隔符数阵

从右往左看，当你看到# a+1(c,,b)0(e,,d)$时((c,,b)>(e,,d)且(d)是极限的)

先将c展开成后继的

找到在它外面的，阶数阵等于c'(n)（n为底数）的分隔符

（可能没有了）

**数字
--**UAN functions:

xU[1([1(...[1([1(x)0])0]...)0])0]（x组小括号）=Ul(x)

xU[1([1(...(1(1(x)0)0)...)0)0]（x组小括号）=Um(x)

xU[1(1,0)\_{[1(1,0)\_{[1(1,0)...\_{[1(1,0)0]}...0]}0]}0]（x组小括号）=UU(x)

最终极限：xU[1(1(1...(x,,1,0)...0,,1,0)0,,1,0)0]（共x个,,）=Ux(x)

UAN numbers:

ultrasin=100U[100]增长率级别w^w

ultralin=100U[100,100,...,100](共100个100)增长率级别φ(w,0)

ultramult=100U[100(100)100]增长率级别LVO

ultranest=100U[100(100(...(100(100)100)...)100)100]（共100组小括号）增长率BHO

hyperult=100U[100(100)\_100 100]增长率级别ψ(Ω\_ω)

hyper-hyper=UU(100)增长率级别ψ(ψ\_I(0))