ספרות דיוק

> - *"בן כמה המאובן הזה?"*
>
>

> *- "מאה מליון שנה ויומיים!"*
>
>

> *- "וואו! איך אתה יודע?"*
>
>

> *- "אה, זה קל, שלשום היה פה מדריך והוא אמר אז שהמאובן בן מאה מליון שנה..."*
>
>

**ספרות דיוק** או **ספרות משמעותיות** (**Significant figures**באנגלית) הן הספרות של גודל מסוים שיש ביטחון לגביהן. מאחר ובפיזיקה אין משמעות לציון של גודל ללא שגיאה, הקפדה על כתיבת כמות נכונה של ספרות דיוק היא מאוד חשובה. באולימפיאדה אפשר אף לאבד נקודות רבות על כתיבה לא נכונה של ספרות דיוק.

## דוגמא

אם, למשל, אדם אומר שהגובה שלו הוא 1.68 מטר, אין הוא מתכוון שהגובה שלו הוא בדיוק 1,680,000,000 ננומטר. ההבדל בין צורות הכתיבה הוא ברמת הביטחון בתוצאה - צורת הכתיבה הראשונה מבטאת ביטחון ברמה של סנטימטר לכאן או לכאן, שהיא רמה סבירה לגובה של בן אדם, אך צורת הכתיבה בננומטרים מבטאת ביטחון גבוה בהרבה - ביטחון שהגובה הוא בוודאות פחות מ-1,680,000,004 ננומטרים, למשל. כמובן שאדם לא יכול לדעת את גובהו ברמת דיוק כזו.

## כתיבה מדעית

צורת הכתיבה הרגילה שלנו לא מאפשרת לכתוב מספרים גדולים עם מעט ספרות דיוק - למשל, אם אני רוצה לומר שלאדם יש מליון שקלים, הכתיבה המספרית 1,000,000 לא מבטאת נכון את רמת הביטחון שלי במספר. לא ברור באילו מהאפסים האלו אני באמת בטוח ואילו נמצאים שם סתם כדי למלא מקום. לשם כך קיימת קונבנציה מדעית לכתיבת מספרים:

a

0

.

a

1

a

2

a

3

.
.
.
⋅

10

n

{\displaystyle a\_{0}.a\_{1}a\_{2}a\_{3}...\cdot 10^{n}}

כאשר

a

0

,

a

1

,

a

2

.
.
.

{\displaystyle a\_{0},a\_{1},a\_{2}...}

 הן ספרות שיש ביטחון לגביהן ו-

n

{\displaystyle n}

 נותן את סדר הגודל של המספר. לדוגמא, אם אני יודע שרדיוס כדור הארץ הוא בערך ששת אלפים ק"מ, אני יכול לכתוב

R

e
a
r
t
h

=
6
⋅

10

3

k
m

{\displaystyle R\_{earth}=6\cdot 10^{3}\ km}

, אך אם אני יודע אותו בדיוק רב יותר, אני יכול לכתוב

R

e
a
r
t
h

=
6.371
⋅

10

3

k
m

{\displaystyle R\_{earth}=6.371\cdot 10^{3}\ km}

.

יתרון נוסף של השיטה הזו הוא שהיא מאפשרת מאוד בקלות לראות את סדר הגודל של המספר. במבט מהיר אפשר לראות שרדיוס כדור הארץ הוא מסדר גודל של

10

3

k
m

{\displaystyle 10^{3}\ km}

, כלומר אלפי קילומטרים.

שימו לב שבשיטת כתיבה זו, יש הבדל גדול בין

1
⋅

10
6

{\displaystyle 1\cdot10^6}

 ל-

1.000
⋅

10

6

{\displaystyle 1.000\cdot 10^{6}}

 - שני אלו מבטאים גודל של מליון, אבל הראשון מבטא ביטחון ברמה של מאה-אלף ואילו השני ברמה של מאה.

## פעולות עם ספרות דיוק

### **חיבור וחיסור**

בחיבור או חיסור של שני גדלים, השגיאה בתוצאה היא מסדר גודל של השגיאה הגדולה מבין שתי השגיאות המקוריות. לכן כמות הספרות המשמעותיות בתוצאה תקבע לפי הגודל הפחות מדויק מבין השניים. הכוונה כאן היא לשגיאה **אבסולוטית** ולא יחסית, כך שיש לשים לב לסדר הגודל של המספרים. לדוגמא:

1.52
⋅

10

5

1.683
⋅

10

7

=

{\displaystyle 1.52\cdot 10^{5}+1.683\cdot 10^{7}=}

=
0.0152
⋅

10

7

1.683
⋅

10

7

=

{\displaystyle =0.0152\cdot 10^{7}+1.683\cdot 10^{7}=}

=
1.698
⋅

10

7

{\displaystyle =1.698\cdot 10^{7}\ }

שימו לב שהמספר

1.52
⋅

10

5

{\displaystyle 1.52\cdot 10^{5}}

הוא הגודל עם השגיאה הקטנה יותר על אף שיש לו פחות ספרות דיוק, מאחר והוא קטן בשני סדרי גודל מהמספר השני.

### **כפל וחילוק**

בכפל וחילוק של גדלים, השגיאה הרלוונטית היא דווקא השגיאה **היחסית**, כלומר, כמות ספרות הדיוק בתוצאה תהיה כמו זו של הגורם שהיו לו פחות ספרות משמעותיות ללא קשר לסדרי הגודל של המספרים. לדוגמא:

2.6
⋅

10

−
6

×
4.905
⋅

10

2

=
1.3
⋅

10

−
3

{\displaystyle 2.6\cdot 10^{-6}\times 4.905\cdot 10^{2}=1.3\cdot 10^{-3}}

### **חזקות ושורשים**

בהעלאת גודל בחזקה (או בהוצאת שורש ממנו, שזה בעצם אותו הדבר), כמות הספרות המשמעותיות נשמרת, בדיוק כמו בכפל וחילוק:

2.00
⋅

10

4

=
1.41
⋅

10

2

{\displaystyle {\sqrt {2.00\cdot 10^{4}}}=1.41\cdot 10^{2}}