비르팅거의 증명 시도하기

비르팅거의 부등식

∫

0

2
π

(
f
(
θ
)
−

f
¯

)
2

d
θ
≤

∫

0

2
π

(

f
′

(
θ

)
2

)
d
θ

{\displaystyle \int\_{0}^{2\pi} ( f ( \theta) - \bar{f})^2 d \theta \le \int\_{0}^{2 \pi} (f'(\theta)^2 )d \theta }

단, 등호는 적당한 실수

a
,
b

{\displaystyle a, b}

에 대하여

f
(
θ
# )

f
¯

a
c
o
s
θ
b
s
i
n
θ

{\displaystyle f(\theta) = \bar{f} + a cos \theta + b sin \theta}

일 때 성립한다.

다음에 비르팅거의 부등식의 증명을 올려주세요

g
(
θ
# )
f
(
θ
)
−

f
¯

(
θ
)

{\displaystyle g(\theta )=f(\theta )-{\bar {f}}(\theta )}

 라고 하자

f
¯

(
θ
)

{\displaystyle {\bar {f}}(\theta )}

 의 정의에 의해

∫

0

2
π

g
(
θ
)
d
# θ
0

{\displaystyle \int \_{0}^{2\pi }g(\theta )d\theta =0}

 이다.

g
′

(
θ
# )

f
′

(
θ
)

{\displaystyle g'(\theta )=f'(\theta )}

 이므로

∫

0

2
π

(

g
′

(
θ

)

2

)
d
θ

{\displaystyle \int \_{0}^{2\pi }(g'(\theta )^{2})d\theta }

≥

{\displaystyle \geq}

∫

0

2
π

(
g
(
θ

)

2

)
d
θ

{\displaystyle \int \_{0}^{2\pi }(g(\theta )^{2})d\theta }

 임을 보이면 된다.

디리클렛 조건을 만족하면,

g
(
θ
# )

1
2

a

0

∑

n
≥
1

∞

(

a

n

s
i
n
n
x

π

b

n

c
o
s
n
x

π

)

{\displaystyle g(\theta )={\frac {1}{2}}a\_{0}+\sum \_{n\geq 1}^{\infty }(a\_{n}{\frac {sinnx}{\sqrt {\pi }}}+b\_{n}{\frac {cosnx}{\sqrt {\pi }}})}

 이다.

여기서

∫

0

2
π

g
(
θ
)
d
# θ
0

{\displaystyle \int \_{0}^{2\pi }g(\theta )d\theta =0}

 임을 통해

a
0

{\displaystyle a\_0}

 가 0임을 알 수 있다.

따라서,

∫

0

2
π

(
g
(
θ

)

2

)
d
# θ

∑

n
≥
1

∞

(

a

n

2

b

n

2

)

{\displaystyle \int \_{0}^{2\pi }(g(\theta )^{2})d\theta =\sum \_{n\geq 1}^{\infty }(a\_{n}^{2}+b\_{n}^{2})}

 이다.

마찬가지로 하면

∫

0

2
π

(

g
′

(
θ

)

2

)
d
# θ

∑

n
≥
1

∞

n

2

(

a

n

2

b

n

2

)

{\displaystyle \int \_{0}^{2\pi }(g'(\theta )^{2})d\theta =\sum \_{n\geq 1}^{\infty }n^{2}(a\_{n}^{2}+b\_{n}^{2})}

 이다.

따라서,

∫

0

2
π

(

g
′

(
θ

)

2

)
d
θ

{\displaystyle \int \_{0}^{2\pi }(g'(\theta )^{2})d\theta }

 는

∫

0

2
π

(
g
(
θ

)

2

)
d
θ

{\displaystyle \int \_{0}^{2\pi }(g(\theta )^{2})d\theta }

이상이고, 등호는

n
≥
2

{\displaystyle n\ge 2}

 일때

a

n

=

b

n

=
0

{\displaystyle a\_{n}=b\_{n}=0}

 성립한다.

스님 작성

등주정리를 이용한다.
C를

# x

∫

0

t

f
(
s
)
d
s

,
# y
f
(
t
)
,
0
≤
t
≤
2
π

{\displaystyle x=\int \_{0}^{t}{f(s)ds},y=f(t),0\leq t\leq 2\pi }

로 정의. C가 폐곡선임을 보인다.
f에서 상수를 빼도 미분은 변하지 않으므로 일반성을 잃지 않고

∫

0

2
π

f
(
θ
)
d
θ

=
0

{\displaystyle \int\_{0}^{2\pi} {f(\theta) d\theta}=0}

 라 가정.

C에서

x
(
0
# )
x
(
2
π
# )
0
,
y
(
0
# )
f
(
0
# )
f
(
2
π
# )
y
(
2
π
)

{\displaystyle x(0)=x(2\pi)=0, y(0)=f(0)=f(2\pi)=y(2\pi)}

성립.

곡선 C에 등주정리를 적용하면,

∫

0

2
π

f
(
t

)
2

d
t

≤

{

∫

0

2
π

{

f
(
t
)

}

2

{

f
′

(
t
)

}

2

d
t

}

2

4
π

{\displaystyle \int\_{0}^{2\pi} {f(t)^2 dt} \leq \frac{\left\{\int\_{0}^{2\pi} {\sqrt{\left\{f(t)\right\}^2+\left\{f'(t)\right\}^2}dt}\right\}^2}{4\pi}}

Cauchy-Schwartz 부등식

{

∫

0

2
π

{

f
(
t
)

}

2

{

f
′

(
t
)

}

2

d
t

}

2

4
π

≤

(

∫

0

2
π

{

f
(
t
)

}

2

{

f
′

(
t
)

}

2

d
t

)

(

∫

0

2
π

1

d
t

)

4
π

{\displaystyle {\frac {\left\{\int \_{0}^{2\pi }{{\sqrt {\left\{f(t)\right\}^{2}+\left\{f'(t)\right\}^{2}}}dt}\right\}^{2}}{4\pi }}\leq {\frac {\left(\int \_{0}^{2\pi }{\left\{f(t)\right\}^{2}+\left\{f'(t)\right\}^{2}dt}\right)\left(\int \_{0}^{2\pi }1{dt}\right)}{4\pi }}}

따라서,

∫

0

2
π

f
(
t

)
2

d
t

≤

∫

0

2
π

{

f
(
t
)

}

2

{

f
′

(
t
)

}

2

d
t

2

{\displaystyle \int\_{0}^{2\pi} {f(t)^2 dt} \leq \frac{\int\_{0}^{2\pi} {\left\{f(t)\right\}^2+\left\{f'(t)\right\}^2 dt}}{2}}

이고

∫

0

2
π

f
(
t

)
2

d
t

≤

∫

0

2
π

{

f
′

(
t
)

}

2

d
t

{\displaystyle \int\_{0}^{2\pi} {f(t)^2 dt} \leq \int\_{0}^{2\pi} {\left\{f'(t)\right\}^2 dt}}

등호조건은 C가 등주 정리의 등호조건을 만족하며, 부등식의 등호조건에서

(

f
(
x
)

)

2

(

f
′

(
x
)

)

2

{\displaystyle \left(f(x)\right)^2+\left(f'(x)\right)^2}

가 상수일 때이다. 즉,

(

∫

0

2
π

f
(
x
)

)

2

(

f
(
x
)

)

2

=

C

1

,

(

f
(
x
)

)

2

(

f
′

(
x
)

)

2

=

C

2

{\displaystyle \left(\int \_{0}^{2\pi }{f(x)}\right)^{2}+\left(f(x)\right)^{2}=C\_{1},\left(f(x)\right)^{2}+\left(f'(x)\right)^{2}=C\_{2}}

등호조건:

2
f
(
x
)

(

f
′

(
x
)

∫

0

2
π

f
(
x
)

)

=
0

{\displaystyle 2f(x)\left(f'(x)+\int\_{0}^{2\pi} {f(x)}\right)=0}

따라서,

f
(
x
# )
−

f
″

(
x
)

{\displaystyle f(x)=-f''(x)}

이므로

f
(
θ
# )
a
c
o
s
(
θ
b
)

{\displaystyle f(\theta)=acos(\theta+b)}

앞서 상수를 빼주는 과정이 있었으므로

f
(
θ
# )
a
c
o
s
(
θ
ϕ
)
b

{\displaystyle f(\theta )=acos(\theta +\phi )+b}

--Mijukmijuk (talk) 14:33, December 1, 2015 (UTC)