Démonstration de l'existence et de l'unicité de la partie entière d'un réel

## Enoncé

Soit

x

{\displaystyle x}

 un nombre réel.

Alors il existe un unique entier relatif

m

{\displaystyle m}

 tel que

m
≤
x
<
m
1

{\displaystyle m\leq x<m+1}

.

m

{\displaystyle m}

 est alors appelé partie entière de

x

{\displaystyle x}

, et notée

⌊
x
⌋

{\displaystyle \lfloor x \rfloor}

.

x

{\displaystyle x}

 est un entier, alors il suffit de prendre

⌊
x
# ⌋
x

{\displaystyle \lfloor x\rfloor =x}

.

* Si

x

{\displaystyle x}

 n'est pas un entier et **est positif**, on utilise le fait que R est archimédien.

On a donc que pour tout

a

{\displaystyle a}

 strictement positif, il existe un entier naturel non nul

n

{\displaystyle n}

 tel que

x
<
n
a

{\displaystyle x<na}

.

On l'applique à

# a
1

{\displaystyle a = 1}

. Il existe donc un entier naturel non nul

n

{\displaystyle n}

 tel que

x
<
n

{\displaystyle x<n}

.

Ainsi, l'ensemble des entiers naturels non nuls supérieurs à

x

{\displaystyle x}

 est non vide.

D'après l'un des axiomes de

N

{\displaystyle \mathbb{N}}

, il contient donc un plus petit élément.

En le notant

p

{\displaystyle p}

, on a donc que

x
<
p

{\displaystyle x<p}

 et

p
−
1
≤
x

{\displaystyle p-1\leq x}

,

Il suffit alors de prendre

⌊
x
# ⌋
p
−
1

{\displaystyle \lfloor x\rfloor =p-1}

.

* Si

x

{\displaystyle x}

 n'est pas un entier et est **négatif**, on applique le raisonnement précédent sur

−
x

{\displaystyle -x}

.

On aboutit alors à l'existence d'un entier naturel

⌊
−
x
⌋

{\displaystyle \lfloor -x\rfloor }

 tel que

⌊
−
x
⌋
≤
−
x
<
⌊
−
x
⌋
1

{\displaystyle \lfloor -x\rfloor \leq -x<\lfloor -x\rfloor +1}

.

Et donc

−
⌊
−
x
⌋
−
1
<
x
≤
⌊
−
x
⌋

{\displaystyle -\lfloor -x\rfloor -1<x\leq \lfloor -x\rfloor }

.

Comme

x

{\displaystyle x}

 n'est pas entier, on a même

−
⌊
−
x
⌋
−
1
<
x
<
⌊
−
x
⌋

{\displaystyle -\lfloor -x\rfloor -1<x<\lfloor -x\rfloor }

.

On prend alors

⌊
x
# ⌋
−
⌊
−
x
⌋
−
1

{\displaystyle \lfloor x\rfloor =-\lfloor -x\rfloor -1}

.

### Unicité de la partie entière

Soit

x

{\displaystyle x}

 un réel.

Soit

n
1

{\displaystyle n\_1}

 et

n
2

{\displaystyle n\_2}

 deux entiers tels que

{

n

1

≤
x
<

n

1

1

n

2

≤
x
<

n

2

1

{\displaystyle \left\{{\begin{array}{c}n\_{1}\leq x<n\_{1}+1\\n\_{2}\leq x<n\_{2}+1\end{array}}\right.}

Alors on a

{

n

1

≤
x
<

n

1

1

−

n

2

−
1
<
−
x
≤
−

n

2

{\displaystyle \left\{{\begin{array}{c}n\_{1}\leq x<n\_{1}+1\\-n\_{2}-1<-x\leq -n\_{2}\end{array}}\right.}

En additionnant chacune des inégalités, on a donc

n

1

−

n

2

−
1
<
0
<

n

1

−

n

2

1

{\displaystyle n\_{1}-n\_{2}-1<0<n\_{1}-n\_{2}+1}

* En prenant l'inégalité de gauche, on a donc

n

1

−

n

2

−
1
<
0

{\displaystyle n\_{1}-n\_{2}-1<0}

donc

n

1

−

n

2

<
1

{\displaystyle n\_{1}-n\_{2}<1}

donc, comme il s'agit d'entiers

n

1

−

n

2

≤
0

(
1
)

{\displaystyle n\_{1}-n\_{2}\leq 0~~~~(1)}

* En prenant l'inégalité de droite, on a donc

0
<

n

1

−

n

2

1

{\displaystyle 0<n\_{1}-n\_{2}+1}

donc

−
1
<

n

1

−

n

2

{\displaystyle -1<n\_{1}-n\_{2}}

donc, comme il s'agit d'entiers

0
≤

n

1

−

n

2

(
2
)

{\displaystyle 0\leq n\_{1}-n\_{2}~~~~(2)}

* Donc d'après

(
1
)

{\displaystyle (1)}

 et

(
2
)

{\displaystyle (2)}

, on a

0
≤

n

1

−

n

2

≤
0

{\displaystyle 0\leq n\_{1}-n\_{2}\leq 0}

donc

n

1

−

n

2

=
0

{\displaystyle n\_{1}-n\_{2}=0}

donc

n

1

=

n

2

{\displaystyle n\_{1}=n\_{2}}

donc la partie entière est unique.