Числови редици и други

## Определение

Числовата редица е функция от вида:

a
:
B
→

R

{\displaystyle a:B\rightarrow \mathbb {R} }

където

# B
{
x

x
<
n
,
x
∈

N

,
n
∈

N

}

{\displaystyle B=\{x|x<n,x\in \mathbb {N} ,n\in \mathbb {N} \}}

 или

# B

N

{\displaystyle B=\mathbb {N} }

, а

N

{\displaystyle \mathbb{N}}

 е множеството на естествените числа и

R

{\displaystyle \R}

 е множеството на реалните числа.

* Определение: Функция с дефиниционна област множеството на първите n естествени числа се нарича крайна числова редица.

## Ограничени редици

* Определение: Редицата

{

a

n

}

# n
1

inf

{\displaystyle \{a\_{n}\}\_{n=1}^{\inf }}

е **ограничена отгоре**, ако съществува число

M
∈

R

{\displaystyle M\in \mathbb {R} }

, такова, че за всяко

n
∈

N

{\displaystyle n \in \N}

 е в сила

a

n

≤
M

{\displaystyle a\_{n}\leq M}

.
* Определение: Ако членовете на редицата

{

a

n

}

# n
1

inf

{\displaystyle \{a\_{n}\}\_{n=1}^{\inf }}

 образуват ограничено отгоре множество, то редицата също е ограничена отгоре.
* Аналогично за ограничена отдолу редица.
* Една редица наричаме **ограничена** изобщо, ако е ограничена и отдолу, и отгоре.
* Една редица е **неограничена**, ако не е ограничена нито отдолу, нито отгоре.

## Сходящи редици

* Определение: Казваме, че редицата

{

a

n

}

# n
1

inf

{\displaystyle \{a\_{n}\}\_{n=1}^{\inf }}

е **сходяща**, ако за всяко

ξ
>
0

{\displaystyle \xi >0}

 съществува индекс на член от редицата

ν
,

{\displaystyle \nu ,}

 зависещ от

ξ
,

{\displaystyle \xi ,}

такъв че винаги когато

n
>
ν

{\displaystyle n>\nu }

 да е изпълнено

a

n

−
a

<
ξ

{\displaystyle |a\_{n}-a|<\xi }

. Числото а се нарича граница на редица и съществува само ако

{

a

n

}

# n
1

inf

{\displaystyle \{a\_{n}\}\_{n=1}^{\inf }}

 е сходяща. Границата на редицата се бележи:

lim

n
→
∞

a

n

=
a

{\displaystyle \lim \_{n\rightarrow +\infty }a\_{n}=a}

Смисълът на определението е, че ако вземем някакво число

ν
,

{\displaystyle \nu ,}

 на което по правило можем да съпоставим числото

ξ
,

{\displaystyle \xi ,}

 то ние определяме някаква околност около границата а. Тъй като във всяка околност около границата има безкрайно много елементи, то можем да намерим такова

n
>
ν

{\displaystyle n>\nu }

 (по правилото, по което задаваме редицата), че това

a
n

{\displaystyle a\_n}

, което сме съпоставили от n, да се съдържа в тази околност.

* Определение: Казваме, че редицата

{

a

n

}

# n
1

inf

{\displaystyle \{a\_{n}\}\_{n=1}^{\inf }}

е сходяща и има граница а, ако съществува реално число а такова, че извън всяка

ξ
−

{\displaystyle \xi -}

околност на а има най-много краен брой членове на редицата.

* Ако редицата

{

a

n

}

# n
1

inf

{\displaystyle \{a\_{n}\}\_{n=1}^{\inf }}

не е сходяща, то тя е **разходяща**.

* Твърдение: Редицата

{

a

n

}

# n
1

inf

{\displaystyle \{a\_{n}\}\_{n=1}^{\inf }}

, където

a
n

=
a

{\displaystyle a\_n=a}

за всяко

n
∈

N

{\displaystyle n \in \N}

, има граница а.

## Свойства на сходящите редици

* Ако към една редица прибавим или извадим краен брой елементи, то това не влияе на нейната сходимост.

Това твърдение е вярно, защото ако от една редица извадим краен брой елементи, тоест ограничена редица, ще получим нова редица, която има същата граница.

* Ако

a
n

{\displaystyle a\_n}

 е сходяща, то тя е ограничена.

Можем да го изведем от определението за сходяща редица. След като една редица е сходяща, то тя има граница, следователно е ограничена.

* Ако

{

a
n

}

{\displaystyle \{ a\_n \}}

 и

{

b
n

}

{\displaystyle \{ b\_n \}}

 са сходящи и имат граници съответно А и В, тогава:
	+ {

	a

	n

	b

	n

	}
	⟶
	(
	A
	B
	)

	{\displaystyle \{a\_{n}+b\_{n}\}\longrightarrow (A+B)}
	+ {

	a

	n

	−

	b

	n

	}
	⟶
	(
	A
	−
	B
	)

	{\displaystyle \{a\_{n}-b\_{n}\}\longrightarrow (A-B)}
	+ {

	a

	n

	.

	b

	n

	}
	⟶
	(
	A
	.
	B
	)

	{\displaystyle \{a\_{n}.b\_{n}\}\longrightarrow (A.B)}
	+ Ако

	B
	≠
	0
	⟹

	{

	a

	n

	b

	n

	}

	⟶

	A
	B

	{\displaystyle B\neq 0\Longrightarrow \left\{{\frac {a\_{n}}{b\_{n}}}\right\}\longrightarrow {\frac {A}{B}}}

Първото твърдение следна от свойствата на лимеса:

lim

n
⟶
∞

{

a

n

}

lim

n
⟶
∞

{

b

n

# }
A
B

{\displaystyle \lim \_{n\longrightarrow +\infty }\{a\_{n}\}+\lim \_{n\longrightarrow +\infty }\{b\_{n}\}=A+B}

lim

n
⟶
∞

(
{

a

n

}
{

b

n

}
# )
A
B

{\displaystyle \lim \_{n\longrightarrow +\infty }(\{a\_{n}\}+\{b\_{n}\})=A+B}

Знаем, че ако към една редица добавим друга редица, то получаваме нова редица, чиято граница е

A
B

{\displaystyle A + B}

. Новата редица е сходяща. Аналогично за останалите.

* Нека

a

n

≤

b

n

,
∀
n
∈

N

.

{\displaystyle a\_{n}\leq b\_{n},\forall n\in \mathbb {N} .}

Нека

a
n

{\displaystyle a\_n}

и

b
n

{\displaystyle b\_n}

 са сходящи и

lim

n
→
∞

a

n

=
A
,

lim

n
→
∞

b

n

=
B
.

{\displaystyle \lim \_{n\rightarrow +\infty }a\_{n}=A,\lim \_{n\rightarrow +\infty }b\_{n}=B.}

 То тогава

A
≤
B

{\displaystyle A \leq B}

.

Знаем, че редиците

{

a
n

}
,
{

b
n

}

{\displaystyle \{ a\_n \}, \{ b\_n \}}

са сходящи и имат граници. Можем да образуваме разликата от границите им:

lim

n
→
∞

b

n

−

lim

n
→
∞

a

n

=
B
−
A

{\displaystyle \lim \_{n\rightarrow +\infty }{b\_{n}}-\lim \_{n\rightarrow +\infty }a\_{n}=B-A}

⟺

lim

n
→
∞

(

b

n

−

a

n

# )
B
−
A

{\displaystyle \Longleftrightarrow \lim \_{n\rightarrow +\infty }(b\_{n}-a\_{n})=B-A}

Знаем от зададеното по условие неравенство, че

b

n

≥

a

n

⇔

b

n

−

a

n

≥
0

{\displaystyle b\_{n}\geq a\_{n}\Leftrightarrow b\_{n}-a\_{n}\geq 0}

. Нека разликата от двете редица ни дава нова редица

c
n

{\displaystyle c\_n}

,

c

n

≥
0

{\displaystyle c\_{n}\geq 0}

. От свойствата на лимеса знаем, че ако една редица е положителна за всички елементи, то границата й трябва да е неотрицателна. Следователно имаме:

lim

n
→
∞

c

n

≥
0
,

lim

n
→
∞

c

n

=
B
−
A

{\displaystyle \lim \_{n\rightarrow +\infty }c\_{n}\geq 0,\lim \_{n\rightarrow +\infty }c\_{n}=B-A}

⇒
B
−
A
≥
0
⇒
B
≥
A

{\displaystyle \Rightarrow B-A\geq 0\Rightarrow B\geq A}

* Нека

a
n

{\displaystyle a\_n}

 е сходяща и има граница l и

c
n

{\displaystyle c\_n}

 е сходяща и има граница l. Нека

a

n

≤

b

n

≤

c

n

,
n
≥
ν
,
ν
∈

N

{\displaystyle a\_{n}\leq b\_{n}\leq c\_{n},n\geq \nu ,\nu \in \mathbb {N} }

. Тогава

b
n

{\displaystyle b\_n}

 е сходяща и има граница l. Това свойство се нарича **Лема за двамата полицаи**.

Нека разделим даденото в условието неравенство на две части:

a

n

≤

b

n

{\displaystyle a\_{n}\leq b\_{n}}

b

n

≤

c

n

{\displaystyle b\_{n}\leq c\_{n}}

Можем да поставим граници:

lim

n
→
∞

a

n

≤

lim

n
→
∞

b

n

{\displaystyle \lim \_{n\rightarrow +\infty }a\_{n}\leq \lim \_{n\rightarrow +\infty }b\_{n}}

lim

n
→
∞

b

n

≤

lim

n
→
∞

c

n

{\displaystyle \lim \_{n\rightarrow +\infty }b\_{n}\leq \lim \_{n\rightarrow +\infty }c\_{n}}

⇔
l
≤

lim

n
→
∞

b

n

{\displaystyle \Leftrightarrow l\leq \lim \_{n\rightarrow +\infty }b\_{n}}

lim

n
→
∞

b

n

≤
l

{\displaystyle \lim \_{n\rightarrow +\infty }b\_{n}\leq l}

Оттук виждаме, че границата на

b
n

{\displaystyle b\_n}

 няма какво друго да бъде освен l. Така получаваме, че

lim

n
→
∞

b

n

=
l

{\displaystyle \lim \_{n\rightarrow +\infty }b\_{n}=l}

.

* Следствие от Лемата за двамата полицаи: Нека

lim

n
→
∞

a
n

=
0

{\displaystyle \lim\_{n\rightarrow +\infty}a\_n=0}

, а

{

b
n

}

{\displaystyle \{ b\_n \}}

 е ограничена редица, тогава

a

n

.

b

n

→
0

{\displaystyle a\_{n}.b\_{n}\rightarrow 0}

. Това следствие може да се докаже чрез използването на свойствата на лимесите.
* Ако

{

a
n

}

{\displaystyle \{ a\_n \}}

 е сходяща и клони към А, то и

{

a

n

}

{\displaystyle \{|a\_{n}|\}}

 е сходяща и клони клони към |A|.

## Определения за граница безкрайност

* Определение: Казваме, че редицата

a
n

{\displaystyle a\_n}

 клони към

∞

{\displaystyle +\infty }

 (

lim

n
→
∞

a

n

=
∞

{\displaystyle \lim \_{n\rightarrow +\infty }a\_{n}=+\infty }

), ако за всяко число М съществува

ν
,

{\displaystyle \nu ,}

 такова че при

n
≥
ν

{\displaystyle n\geq \nu }

 е изпълнено, че

a
n

>
M

{\displaystyle a\_n > M }

.
* Аналогично, когато редицата клони към

−
∞

{\displaystyle -\infty }

.

## Теореми

* Нека е дадена редицата

a
n

{\displaystyle a\_n}

, като

a

n

>
0
,
∀
n

{\displaystyle a\_{n}>0,\forall n}

. Нека съставим редицата

b

n

=

1

a

n

{\displaystyle b\_{n}={\frac {1}{a\_{n}}}}

. Тогава ако:
	+ lim

	n
	→
	∞

	a
	n

	=
	0

	{\displaystyle \lim\_{n\rightarrow +\infty}a\_n=0}

	, то

	lim

	n
	→
	∞

	1

	a

	n

	=
	∞

	{\displaystyle \lim \_{n\rightarrow +\infty }{\frac {1}{a\_{n}}}=+\infty }
	+ lim

	n
	→
	∞

	a

	n

	=
	∞

	{\displaystyle \lim \_{n\rightarrow +\infty }a\_{n}=+\infty }

	, то

	lim

	n
	→
	∞

	1

	a

	n

	=
	0

	{\displaystyle \lim \_{n\rightarrow +\infty }{\frac {1}{a\_{n}}}=0}
* Аналогично същото за редицата при

a
n

<
0

{\displaystyle a\_n < 0}

.