Egalité entre deux fonctions par les dérivées des ln

## Illustraction de l'idée avec un exemple

Le but est de trouver une expression simple de la fonction

f
:
x
⟼
cos
⁡
(
arctan
⁡
(
x
)
)

{\displaystyle f:x\longmapsto\cos(\arctan(x))}

.

* On commence par dériver

f

{\displaystyle f}

. On a que

f
′

:
x
⟼
−

arctan
′

⁡
(
x
)
×
sin
⁡
(
arctan
⁡
(
x
)
)

{\displaystyle f':x\longmapsto -\arctan'(x)\times\sin(\arctan(x))}

.

On sait que

arctan
′

:
x
⟼

1

1

x

2

{\displaystyle \arctan':x\longmapsto\frac{1}{1+x^{2}}}

. Ainsi donc on obtient que

f
′

:
x
⟼
−

1

1

x

2

×
sin
⁡
(
arctan
⁡
(
x
)
)

{\displaystyle f':x\longmapsto -\frac{1}{1+x^{2}}\times\sin(\arctan(x))}

.

* On applique le

ln

{\displaystyle \ln}

 à

f

{\displaystyle f}

, ce qui nous donne une fonction

g
:
x
⟼
ln
⁡
[
f
(
x
)
# ]
ln
⁡
[
cos
⁡
(
arctan
⁡
(
x
)
)
]

{\displaystyle g:x\longmapsto \ln[f(x)]=\ln[\cos(\arctan(x))]}

.

* On dérive

g

{\displaystyle g}

 ce qui nous donne

g
′

:
x
⟼

f
′

(
x
)

f
(
x
)

=

−

1

1

x

2

×
sin
⁡
(
arctan
⁡
(
x
)
)

cos
⁡
(
arctan
⁡
(
x
)
)

=
−

1

1

x

2

sin
⁡
(
arctan
⁡
(
x
)
)

cos
⁡
(
arctan
⁡
(
x
)
)

=
−

1

1

x

2

tan
⁡
(
arctan
⁡
(
x
)
# )

−
x

1

x

2

{\displaystyle g':x\longmapsto\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{-\frac{1}{1+x^{2}}\times\sin(\arctan(x))}{\cos(\arctan(x))} = -\frac{1}{1+x^{2}}\frac{\sin(\arctan(x))}{\cos(\arctan(x))} = -\frac{1}{1+x^{2}}\tan(\arctan(x)) = \frac{-x}{1+x^{2}}}

On a donc que

g
′

:
x
⟼

−
x

1

x

2

{\displaystyle g':x\longmapsto\frac{-x}{1+x^{2}}}

* On cherche une primitive de

g
′

{\displaystyle g'}

 qui n'est pas la même expression que celle de départ. On remarque que

g
′

{\displaystyle g'}

 est de la forme

k
×

u
′

u

{\displaystyle \frac{k\times u'}{u}}

 avec

k
∈

R

{\displaystyle k \in \R}

.

Une primitive sera donc

g

2

:
x
⟼
k
ln
⁡
(
u
(
x
)
)

{\displaystyle g\_{2}:x\longmapsto k\ln(u(x))}

. Il nous faut prendre ici

u
:
x
⟼
1

x

2

{\displaystyle u:x\longmapsto1+x^{2}}

. Donc

u
′

:
x
⟼
2
x

{\displaystyle u':x\longmapsto2x}

 et donc

# k

−
1

2

{\displaystyle k=\frac{-1}{2}}

.

Ainsi donc

g

2

:
x
⟼

−
1

2

ln
⁡
(
1

x

2

# )
ln
⁡

[

(
1

x

2

)

−
1

2

]

=
ln
⁡

(

1

(
1

x

2

)

1
2

)

=
ln
⁡

(

1

1

x

2

)

{\displaystyle g\_{2}:x\longmapsto\frac{-1}{2}\ln(1+x^{2})=\ln\left[(1+x^{2})^{\frac{-1}{2}}\right]=\ln\left(\frac{1}{(1+x^{2})^{\frac{1}{2}}}\right)=\ln\left(\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\right)}

.

Donc

g

2

:
x
⟼
ln
⁡

(

1

1

x

2

)

{\displaystyle g\_{2}:x\longmapsto\ln\left(\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\right)}

.

* On sait que

g

{\displaystyle g}

 et

g

2

{\displaystyle g\_{2}}

 sont deux primitives de

g
′

{\displaystyle g'}

. Evaluons la constance qui les sépare. Pour cela, calulons

g
(
0
)

{\displaystyle g(0)}

 et

g

2

(
0
)

{\displaystyle g\_{2}(0)}

.

On a

g
(
0
# )
ln
⁡
[
cos
⁡
(
arctan
⁡
(
0
)
)
# ]
ln
⁡
[
cos
⁡
(
0
)
# ]
l
n
(
1
# )
0

{\displaystyle g(0) = \ln[\cos(\arctan(0))]=\ln[\cos(0)] = ln(1)=0}

et

g

2

(
0
# )
ln
⁡

(

1

1
0

)

=
ln
⁡

(

1

1

)

=
ln
⁡

(

1
1

)

=
ln
⁡
(
1
# )
0

{\displaystyle g\_{2}(0) = \ln\left(\frac{1}{\sqrt{1+0}}\right)=\ln\left(\frac{1}{\sqrt{1}}\right)=\ln\left(\frac{1}{1}\right)=\ln(1) = 0}

Donc

g
(
0
# )

g

2

(
0
)

{\displaystyle g(0) = g\_{2}(0)}

 donc ce sont les mêmes fonctions donc

g
:
x
⟼
ln
⁡
[
cos
⁡
(
arctan
⁡
(
x
)
)
# ]
ln
⁡

(

1

1

x

2

)

{\displaystyle g:x\longmapsto\ln[\cos(\arctan(x))]=\ln\left(\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\right)}

donc

cos
⁡
(
arctan
⁡
(
x
)
# )

1

1

x

2

{\displaystyle \cos(\arctan(x))=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}}

.

## Généralisation

Soit toute fonction de la forme

frac

(
x
# )

num

(
x
)

denom

(
x
)

{\displaystyle \mbox{frac}(x)=\frac{\mbox{num}(x)}{\mbox{denom}(x)}}

 telle que

denom

′

(
x
# )
k
×

num

(
x
)

{\displaystyle \mbox{denom}'(x) = k\times\mbox{num}(x)}

 avec

k
∈

R

{\displaystyle k \in \R}

.

Notons

arcfrac

(
x
)

{\displaystyle \mbox{arcfrac}(x)}

 la fonction réciproque de la fonction

frac

(
x
)

{\displaystyle \mbox{frac}(x)}

.

On a donc forcément que

frac

[

arcfrac

(
x
)
# ]
x

{\displaystyle \mbox{frac}[\mbox{arcfrac}(x)] = x}

.

Au final, si on dérive la fonction composée

denom

[
a
r
c
f
r
a
c
(
x
)
]

{\displaystyle \mbox{denom}[arcfrac(x)]}

, on obtient

k
×

arcfrac

′

(
x
)
×

num

(
x
)

{\displaystyle k\times\mbox{arcfrac}'(x)\times\mbox{num}(x)}

.

On applique le

ln

{\displaystyle \ln}

 à

denom

[

arcfrac

(
x
)
]

{\displaystyle \mbox{denom}[\mbox{arcfrac}(x)]}

 ce qui nous donne

ln
⁡
(

denom

[

arcfrac

(
x
)
]
)

{\displaystyle \ln(\mbox{denom}[\mbox{arcfrac}(x)])}

.

Dérivons à présent cette nouvelle fonction obtenue: on obtient

k
×

arcfrac

′

(
x
)
×

num

[

arcfrac

(
x
)
]

denom

[

arcfrac

(
x
)
]

=
k
×

arcfrac

′

(
x
)
×

num

[

arcfrac

(
x
)
]

denom

[

arcfrac

(
x
)
]

=
k
×

arcfrac

′

(
x
)
×

frac

[

arcfrac

(
x
)
# ]
k
×

arcfrac

′

(
x
)
×
x

{\displaystyle \frac{k\times\mbox{arcfrac}'(x)\times\mbox{num}[\mbox{arcfrac}(x)]}{\mbox{denom}[\mbox{arcfrac}(x)]} = k\times\mbox{arcfrac}'(x)\times\frac{\mbox{num}[\mbox{arcfrac}(x)]}{\mbox{denom}[\mbox{arcfrac}(x)]} = k\times\mbox{arcfrac}'(x)\times\mbox{frac}[\mbox{arcfrac}(x)] = k\times\mbox{arcfrac}'(x)\times x}

.

La dérivée de cette fonction est donc

k
×

arcfrac

′

(
x
)
×
x

{\displaystyle k\times\mbox{arcfrac}'(x)\times x}

.

On veut maintenant que cette dérivée soit la dérivée d'une fonction assez simple, donc polynomiale, à laquelle on appliquerait un

ln

{\displaystyle \ln}

.

Il nous faut donc avoir:

k
x

{\displaystyle kx}

 soit la dérivée de la fonction polynomiale (à un facteur multiplicatif près)à laquelle on applique le

ln

{\displaystyle \ln}

: ainsi

arcfrac

′

(
x
# )

2
a

a

x

2

b

{\displaystyle \mbox{arcfrac}'(x) = \frac{2a}{ax^{2}+b}}

 avec

a
∈

R

∗

,
b
∈

R

{\displaystyle a\in\mathbb{R}^{\*}, b\in\mathbb{R}}

.

Ainsi, on aura

k
×

arcfrac

′

(
x
)
×
# x
k

2
a
x

a

x

2

b

{\displaystyle k\times\mbox{arcfrac}'(x)\times x = k\frac{2ax}{ax^{2}+b}}