4.29(a)

29. Evalúe la integral

∬

E

x
y

d
A

{\displaystyle \iint \_{E}xy\ dA}

donde

E

{\displaystyle E}

es las siguientes regiónes:

Para resolver este problema usaremos el método de cambio de variable con la fórmula dada como:

∬

R

f
(
x
,
y
)
d
x
d
# y

∬

S

f
[
x
(
u
,
v
)
,
y
(
u
,
v
)
]

∂
(
x
,
y
)

∂
(
u
,
v
)

d
u
d
v

{\displaystyle \iint \_{R}f(x,y)dxdy=\iint \_{S}f[x(u,v),y(u,v)]{\Bigg |}{\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}{\Bigg |}dudv}

Para poder conocer la región

E

{\displaystyle E}

que está ilustrando la imagen, podemos sacarlo obteniendo las ecuaciones de las 4 líneas que traza el rectángulo. Pero para poder hacer eso necesitamos obtener las coordenadas de los 4 puntos denotados como

A
,
B
,
C
,
D

{\displaystyle A, B, C, D}

.

Como la inclinación con respecto al eje

x

{\displaystyle x}

es

π
6

{\displaystyle \frac{\pi}{6}}

y longitud del lado O del rectángulo es 4, podemos sacar las siguientes medidas P y Q con las leyes de Sohcahtoa

Digamos que O = hipotenusa, P = opuesto, Q = adyacente. Entonces:

s
i
n

π
6

=

P
4

⇒

4
(

1
2

# )
P

⇒

# P
2

{\displaystyle sin{\frac {\pi }{6}}={\frac {P}{4}}\ \Rightarrow \ 4({\frac {1}{2}})=P\ \Rightarrow \ P=2}

c
o
s

π
6

=

Q
4

⇒

4
(

3

2

# )
Q

⇒

# Q
2

3

{\displaystyle cos{\frac {\pi }{6}}={\frac {Q}{4}}\ \Rightarrow \ 4({\frac {\sqrt {3}}{2}})=Q\ \Rightarrow \ Q=2{\sqrt {3}}}

Por lo tanto

A
(
2

3

,
2
)

{\displaystyle A(2{\sqrt {3}},2)}

Ahora sacaremos las coordenadas de B, para obtenerla nada más necesitamos sumar el valor de

P

{\displaystyle P}

a la coordenada de

x

{\displaystyle x}

y sumar el valor de

Q

{\displaystyle Q}

a la coordenada de

y

{\displaystyle y}

Sabemos que el ángulo que se forma entre O y Q es

π
6

{\displaystyle \frac{\pi}{6}}

ya que el triángulo que se forma con A, B y el punto de 90 grados es similar a la de A, D y su punto de 90 grados. Por lo que podemos calcular

P

{\displaystyle P}

y

Q

{\displaystyle Q}

de la siguiente manera:

s
i
n

π
6

=

P
2

⇒

2
(

1
2

# )
P

⇒

# P
1

{\displaystyle sin{\frac {\pi }{6}}={\frac {P}{2}}\ \Rightarrow \ 2({\frac {1}{2}})=P\ \Rightarrow \ P=1}

c
o
s

π
6

=

Q
2

⇒

2
(

3

2

# )
Q

⇒

# Q

3

{\displaystyle cos{\frac {\pi }{6}}={\frac {Q}{2}}\ \Rightarrow \ 2({\frac {\sqrt {3}}{2}})=Q\ \Rightarrow \ Q={\sqrt {3}}}

Por lo que al agregar estos valores al punto

A

{\displaystyle A}

obtenemos las coordenadas de

B

{\displaystyle B}

Por lo tanto,

B
(
2

3

−
1
,
2

3

)

{\displaystyle B(2{\sqrt {3}}-1,2+{\sqrt {3}})}

Para obtener los valores de

C

{\displaystyle C}

necesitamos solamente restar los valores de

A

{\displaystyle A}

desde

B

{\displaystyle B}

ya que la longitud de

B
C

{\displaystyle BC}

es igualmente 4 y es paralela a

D
A

{\displaystyle DA}

Por lo que

C
(
2

3

−
1
−
2

3

,
2

3

−
2
)

{\displaystyle C(2{\sqrt {3}}-1-2{\sqrt {3}},2+{\sqrt {3}}-2)}

Que es equivalente a

C
(
−
1
,

3

)

{\displaystyle C(-1,{\sqrt {3}})}

Finalmente para obtener

D

{\displaystyle D}

solamente restamos los valores de

C

{\displaystyle C}

ya que la longitud de

C
D

{\displaystyle CD}

es igualmente 2 y es paralela a

A
B

{\displaystyle AB}

Por lo que

D
(
−
1
1
,

3

−

3

)

{\displaystyle D(-1+1,{\sqrt {3}}-{\sqrt {3}})}

Que es equivalente a

D
(
0
,
0
)

{\displaystyle D(0,0)}

Ahora que tenemos los puntos

A
(
2

3

,
2
)
,

B
(
2

3

−
1
,
2

3

)
,

C
(
−
1
,

3

)
,

D
(
0
,
0
)

{\displaystyle A(2{\sqrt {3}},2),\ B(2{\sqrt {3}}-1,2+{\sqrt {3}}),\ C(-1,{\sqrt {3}}),\ D(0,0)}

podemos usar estos para sacar las ecuaciones de las 4 líneas que forman la región

E

{\displaystyle E}

Usaremos las fórmulas

# m

y

2

−

y

1

x

2

−

x

1

{\displaystyle m={\frac {y\_{2}-y\_{1}}{x\_{2}-x\_{1}}}}

y

y

1

=
m

x

1

b

{\displaystyle y\_{1}=mx\_{1}+b}

para poder sacar la pendiente

m

{\displaystyle m}

y el valor constante

b

{\displaystyle b}

para poder obtener la ecuación de la forma

# y
m
x
b

{\displaystyle y=mx+b}

A
# D

2
−
0

2

3

−
0

=

3

3

=
m

{\displaystyle AD={\frac {2-0}{2{\sqrt {3}}-0}}={\frac {\sqrt {3}}{3}}=m}

# 0

3

3

(
0
)
b
⇒
# b
0

{\displaystyle 0={\frac {\sqrt {3}}{3}}(0)+b\Rightarrow b=0}

Por lo que la primera ecuación es

# y

3

3

x
0

{\displaystyle y={\frac {\sqrt {3}}{3}}x+0}

A
# B

2
−
(
2

3

)

2

3

−
(
2

3

−
1
)

=

−

3

1

=
−

3

=
m

{\displaystyle AB={\frac {2-(2+{\sqrt {3}})}{2{\sqrt {3}}-(2{\sqrt {3}}-1)}}={\frac {-{\sqrt {3}}}{1}}=-{\sqrt {3}}=m}

# 2
−

3

(
2

3

)
b

{\displaystyle 2=-{\sqrt {3}}(2{\sqrt {3}})+b}

# 2
−
6
b

{\displaystyle 2=-6+b}

# b
8

{\displaystyle b=8}

Por lo que la segunda ecuación es

# y
−

3

x
8

{\displaystyle y=-{\sqrt {3}}x+8}

B
# C

3

−
(
2

3

)

−
1
−
(
2

3

−
1
)

=

−
2

−
2

3

=

3

3

=
m

{\displaystyle BC={\frac {{\sqrt {3}}-(2+{\sqrt {3}})}{-1-(2{\sqrt {3}}-1)}}={\frac {-2}{-2{\sqrt {3}}}}={\frac {\sqrt {3}}{3}}=m}

3

=

3

3

(
−
1
)
b

{\displaystyle {\sqrt {3}}={\frac {\sqrt {3}}{3}}(-1)+b}

# b

4

3

3

{\displaystyle b={\frac {4{\sqrt {3}}}{3}}}

Por lo que la tercera ecuación es

# y

3

3

x

4

3

3

{\displaystyle y={\frac {\sqrt {3}}{3}}x+{\frac {4{\sqrt {3}}}{3}}}

C
# D

3

−
0

−
1
−
0

=

−

3

1

=
−

3

=
m

{\displaystyle CD={\frac {{\sqrt {3}}-0}{-1-0}}={\frac {-{\sqrt {3}}}{1}}=-{\sqrt {3}}=m}

# 0
−

3

(
0
)
b

{\displaystyle 0=-{\sqrt {3}}(0)+b}

# b
0

{\displaystyle b=0}

Por lo que la cuarta ecuación es

# y
−

3

x
0

{\displaystyle y=-{\sqrt {3}}x+0}

Como ya tenemos las 4 ecuaciones, ahora usaremos el cambio de variable para simplificar la integral. Denotemos

# u
y
−

3

3

x

{\displaystyle u=y-{\frac {\sqrt {3}}{3}}x}

y

# v
y

3

x

{\displaystyle v=y+{\sqrt {3}}x}

por lo que con las 4 ecuaciones que obtuvimos tenemos que:

# y

3

3

x

⇒

y
−

3

3

# x
0

⇒

# u
0

{\displaystyle y={\frac {\sqrt {3}}{3}}x\ \Rightarrow \ y-{\frac {\sqrt {3}}{3}}x=0\ \Rightarrow \ u=0}

# y

3

3

x

4

3

3

⇒

y
−

3

3

# x

4

3

3

⇒

# u

4

3

3

{\displaystyle y={\frac {\sqrt {3}}{3}}x+{\frac {4{\sqrt {3}}}{3}}\ \Rightarrow \ y-{\frac {\sqrt {3}}{3}}x={\frac {4{\sqrt {3}}}{3}}\ \Rightarrow \ u={\frac {4{\sqrt {3}}}{3}}}

# y
−

3

x
8

⇒

y

3

# x
8

⇒

# v
8

{\displaystyle y=-{\sqrt {3}}x+8\ \Rightarrow \ y+{\sqrt {3}}x=8\ \Rightarrow \ v=8}

# y
−

3

x

⇒

y

3

# x
0

⇒

# v
0

{\displaystyle y=-{\sqrt {3}}x\ \Rightarrow \ y+{\sqrt {3}}x=0\ \Rightarrow \ v=0}

Con esto podemos decir que

0
≤
u
≤

4

3

3

{\displaystyle 0\leq u\leq {\frac {4{\sqrt {3}}}{3}}}

y

0
≤
v
≤
8

{\displaystyle 0\leq v\leq 8}

Por lo que la nueva región que llamaremos

S

{\displaystyle S}

será denotado como

# S
{
(
u
,
v
)
∣
0
≤
u
≤

4

3

3

,
0
≤
v
≤
8
}

{\displaystyle S=\{(u,v)\mid 0\leq u\leq {\frac {4{\sqrt {3}}}{3}},0\leq v\leq 8\}}

Ahora recordando que

# u
y
−

3

3

x

{\displaystyle u=y-{\frac {\sqrt {3}}{3}}x}

y

# v
y

3

x

{\displaystyle v=y+{\sqrt {3}}x}

calculemos la transformación Jacobiana:

∂
(
u
,
v
)

∂
(
x
,
y
)

=

∂
u

∂
x

∂
u

∂
y

∂
v

∂
x

∂
v

∂
y

=

∂
(
y
−

3

3

x
)

∂
x

∂
(
y
−

3

3

x
)

∂
y

∂
(
y

3

x
)

∂
x

∂
(
y

3

x
)

∂
y

=

−

3

3

1

3

1

=
−

3

3

−

3

=

−
4

3

3

{\displaystyle {\frac {\partial (u,v)}{\partial (x,y)}}={\begin{vmatrix}{\frac {\partial u}{\partial x}}&{\frac {\partial u}{\partial y}}\\{\frac {\partial v}{\partial x}}&{\frac {\partial v}{\partial y}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}{\frac {\partial (y-{\frac {\sqrt {3}}{3}}x)}{\partial x}}&{\frac {\partial (y-{\frac {\sqrt {3}}{3}}x)}{\partial y}}\\{\frac {\partial (y+{\sqrt {3}}x)}{\partial x}}&{\frac {\partial (y+{\sqrt {3}}x)}{\partial y}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}-{\frac {\sqrt {3}}{3}}&1\\{\sqrt {3}}&1\end{vmatrix}}=-{\frac {\sqrt {3}}{3}}-{\sqrt {3}}={\frac {-4{\sqrt {3}}}{3}}}

Entonces el valor absoluto del Jacobiano es:

∂
(
x
,
y
)

∂
(
u
,
v
)

=

(

∂
(
u
,
v
)

∂
(
x
,
y
)

)

−
1

=

1

−
4

3

3

=

3

4

Por lo tanto, la diferencial es:

d
x
d
# y

∂
(
x
,
y
)

∂
(
u
,
v
)

d
u
d
# v

3

4

d
u
d
v

{\displaystyle dxdy={\Bigg |}{\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}{\Bigg |}dudv={\frac {\sqrt {3}}{4}}dudv}

Antes de empezar a calcular la doble integral, necesitamos sacar el valor de

x
y

{\displaystyle xy}

en términos de

u

{\displaystyle u}

y

v

{\displaystyle v}

.

Recordemos que

# u
y
−

3

3

x

{\displaystyle u=y-{\frac {\sqrt {3}}{3}}x}

y

# v
y

3

x

{\displaystyle v=y+{\sqrt {3}}x}

Por lo que al sustituir estos obtenemos

# y
u

3

3

x

{\displaystyle y=u+{\frac {\sqrt {3}}{3}}x}

y

# y
v
−

3

x

{\displaystyle y=v-{\sqrt {3}}x}

Ahora, como las dos son igual a

y

{\displaystyle y}

podemos igualarlos a:

u

3

3

# x
v
−

3

x

{\displaystyle u+{\frac {\sqrt {3}}{3}}x=v-{\sqrt {3}}x}

4

3

3

# x
v
−
u

{\displaystyle {\frac {4{\sqrt {3}}}{3}}x=v-u}

4

3

# x
3
(
v
−
u
)

{\displaystyle 4{\sqrt {3}}x=3(v-u)}

# x

3
(
v
−
u
)

4

3

{\displaystyle x={\frac {3(v-u)}{4{\sqrt {3}}}}}

# x

3

4

(
v
−
u
)

{\displaystyle x={\frac {\sqrt {3}}{4}}(v-u)}

Ahora que tenemos

x

{\displaystyle x}

sustituyamos a la primera ecuación para tener:

# y
u

3

3

(

3

4

(
v
−
u
)

)

{\displaystyle y=u+{\frac {\sqrt {3}}{3}}{\bigg (}{\frac {\sqrt {3}}{4}}(v-u){\bigg )}}

# y
u

3
12

(
v
−
u
)

{\displaystyle y=u+{\frac {3}{12}}(v-u)}

# y
u

(
v
−
u
)

4

{\displaystyle y=u+{\frac {(v-u)}{4}}}

# y

3
u
v

4

{\displaystyle y={\frac {3u+v}{4}}}

Como ya tenemos las 2 ecuaciones, podemos verificar si los puntos de la nueva región son equivalentes a los puntos de la transformación revertido.

Sabemos que los puntos de la nuevas región son

(
0
,
0
)
,

(

4

3

3

,
0

)

,

(
0
,
8
)
,

(

4

3

3

,
8

)

{\displaystyle (0,0),\ {\Big (}{\frac {4{\sqrt {3}}}{3}},0{\Big )},\ (0,8),\ {\Big (}{\frac {4{\sqrt {3}}}{3}},8{\Big )}}

Aplicamos los valores en las funciones obtenidas para ver si obtenemos los puntos de la región original:

Recordemos que

# x

3

4

(
v
−
u
)

{\displaystyle x={\frac {\sqrt {3}}{4}}(v-u)}

 y

# y

3
u
v

4

{\displaystyle y={\frac {3u+v}{4}}}

Punto

(
0
,
0
)

{\displaystyle (0,0) }

:

# x

3

4

(
0
−
0
# )
0

{\displaystyle x={\frac {\sqrt {3}}{4}}(0-0)=0}

# y

3
(
0
)
0

4

=
0

{\displaystyle y={\frac {3(0)+0}{4}}=0}

Por lo que

(
0
,
0
)

{\displaystyle (0,0) }

y es equivalente al punto D

Punto

(

4

3

3

,
0

)

{\displaystyle {\Big (}{\frac {4{\sqrt {3}}}{3}},0{\Big )}}

:

# x

3

4

(

0
−

4

3

3

)

=
−

12
12

=
−
1

{\displaystyle x={\frac {\sqrt {3}}{4}}{\Big (}0-{\frac {4{\sqrt {3}}}{3}}{\Big )}=-{\frac {12}{12}}=-1}

# y

3
(

4

3

3

)
0

4

=

4

3

4

=

3

{\displaystyle y={\frac {3({\frac {4{\sqrt {3}}}{3}})+0}{4}}={\frac {4{\sqrt {3}}}{4}}={\sqrt {3}}}

Por lo que

(
−
1
,

3

)

{\displaystyle (-1,{\sqrt {3}})}

y es equivalente al punto C

Punto

(
0
,
8
)

{\displaystyle (0,8)}

:

# x

3

4

(
8
−
0
# )
2

3

{\displaystyle x={\frac {\sqrt {3}}{4}}(8-0)=2{\sqrt {3}}}

# y

3
(
0
)
8

4

=
2

{\displaystyle y={\frac {3(0)+8}{4}}=2}

Por lo que

(
2

3

,
2
)

{\displaystyle (2{\sqrt {3}},2)}

 y es equivalente al punto A

Punto

(

4

3

3

,
8

)

{\displaystyle {\Big (}{\frac {4{\sqrt {3}}}{3}},8{\Big )}}

:

# x

3

4

(

8
−

4

3

3

)

=
2

3

−
1

{\displaystyle x={\frac {\sqrt {3}}{4}}{\Big (}8-{\frac {4{\sqrt {3}}}{3}}{\Big )}=2{\sqrt {3}}-1}

# y

3
(

4

3

3

)
8

4

=

4

3

8

4

=

3

2

{\displaystyle y={\frac {3({\frac {4{\sqrt {3}}}{3}})+8}{4}}={\frac {4{\sqrt {3}}+8}{4}}={\sqrt {3}}+2}

Por lo que

(
2

3

−
1
,
2

3

)

{\displaystyle (2{\sqrt {3}}-1,2+{\sqrt {3}})}

y es equivalente al punto B

∴

{\displaystyle \therefore}

Las ecuaciones

# x

3

4

(
v
−
u
)

{\displaystyle x={\frac {\sqrt {3}}{4}}(v-u)}

 y

# y

3
u
v

4

{\displaystyle y={\frac {3u+v}{4}}}

 son correctas y la región S y E son revertibles.

Calculemos

x
y

{\displaystyle xy}

:

x
# y

(

3

4

(
v
−
u
)

)

(

3
u
v

4

)

=

(

3

(
v
−
u
)
(
3
u
v
)

16

)

{\displaystyle xy={\Bigg (}{\frac {\sqrt {3}}{4}}(v-u){\Bigg )}{\Bigg (}{\frac {3u+v}{4}}{\Bigg )}={\Bigg (}{\frac {{\sqrt {3}}(v-u)(3u+v)}{16}}{\Bigg )}}

Empezemos a calcular la doble integral ahora:

∬

E

x
y

d
# A

∬

E

x
y

d
x
d
y

{\displaystyle \iint \_{E}xy\ dA=\iint \_{E}xy\ dxdy}

Sabemos que

d
x
d
# y

3

4

d
u
d
v

{\displaystyle dxdy={\frac {\sqrt {3}}{4}}dudv}

por el valor absoluto de Jacobiano, entonces:

∬

E

x
y

d
x
d
# y

∬

S

(

3

(
v
−
u
)
(
3
u
v
)

16

)

(

3

4

)

d
u
d
# v

∫

0

4

3

3

∫

0

8

(

3

(
v
−
u
)
(
3
u
v
)

64

)

d
v
d
u

{\displaystyle \iint \_{E}xy\ dxdy=\iint \_{S}{\Bigg (}{\frac {{\sqrt {3}}(v-u)(3u+v)}{16}}{\Bigg )}{\Bigg (}{\frac {\sqrt {3}}{4}}{\Bigg )}dudv=\int \_{0}^{\frac {4{\sqrt {3}}}{3}}\int \_{0}^{8}{\Bigg (}{\frac {{\sqrt {3}}(v-u)(3u+v)}{64}}{\Bigg )}dvdu}

Primero calculemos

∫

0

8

3
(
v
−
u
)
(
3
u
v
)

64

d
v

{\displaystyle \int \_{0}^{8}{\frac {3(v-u)(3u+v)}{64}}dv}

∫

0

8

3
(
v
−
u
)
(
3
u
v
)

64

d
# v

∫

0

8

3
(
3
u
v

v

2

−
3

u

2

−
u
v
)

64

d
# v

∫

0

8

6
u
v
3

v

2

−
9

u

2

64

d
v

{\displaystyle \int \_{0}^{8}{\frac {3(v-u)(3u+v)}{64}}dv=\int \_{0}^{8}{\frac {3(3uv+v^{2}-3u^{2}-uv)}{64}}dv=\int \_{0}^{8}{\frac {6uv+3v^{2}-9u^{2}}{64}}dv}

Expandemos:

∫

0

8

6
u
v

64

d
v

∫

0

8

3

v

2

64

d
v

−

∫

0

8

9

u

2

64

d
v

{\displaystyle \int \_{0}^{8}{\frac {6uv}{64}}dv\ +\int \_{0}^{8}{\frac {3v^{2}}{64}}dv\ -\int \_{0}^{8}{\frac {9u^{2}}{64}}dv}

=

6
u

64

∫

0

8

v

d
v

3
64

∫

0

8

v

2

d
v

−

9

u

2

64

∫

0

8

1

d
v

{\displaystyle ={\frac {6u}{64}}\int \_{0}^{8}v\ dv\ +{\frac {3}{64}}\int \_{0}^{8}v^{2}dv\ -{\frac {9u^{2}}{64}}\int \_{0}^{8}1\ dv}

=

(

6
u

64

)

(

v

2

2

)

0

8

(

3
64

)

(

v

3

3

)

0

8

−

(

9

u

2

64

)

(

v

)

0

8

{\displaystyle ={\Bigg (}{\frac {6u}{64}}{\Bigg )}{\Bigg (}{\frac {v^{2}}{2}}{\Bigg )}{\Bigg |}\_{0}^{8}+{\Bigg (}{\frac {3}{64}}{\Bigg )}{\Bigg (}{\frac {v^{3}}{3}}{\Bigg )}{\Bigg |}\_{0}^{8}-{\Bigg (}{\frac {9u^{2}}{64}}{\Bigg )}{\Bigg (}v{\Bigg )}{\Bigg |}\_{0}^{8}}

=

(

3
u

v

2

64

)

0

8

(

v

3

64

)

0

8

−

(

9

u

2

v

64

)

0

8

{\displaystyle ={\Bigg (}{\frac {3uv^{2}}{64}}{\Bigg )}{\Bigg |}\_{0}^{8}+{\Bigg (}{\frac {v^{3}}{64}}{\Bigg )}{\Bigg |}\_{0}^{8}-{\Bigg (}{\frac {9u^{2}v}{64}}{\Bigg )}{\Bigg |}\_{0}^{8}}

=

(

3
u
(
8

)

2

64

)

(

(
8

)

3

64

)

−

(

9

u

2

(
8
)

64

)

{\displaystyle ={\Bigg (}{\frac {3u(8)^{2}}{64}}{\Bigg )}+{\Bigg (}{\frac {(8)^{3}}{64}}{\Bigg )}-{\Bigg (}{\frac {9u^{2}(8)}{64}}{\Bigg )}}

=

192
u

64

512
64

−

72

u

2

64

{\displaystyle ={\frac {192u}{64}}+{\frac {512}{64}}-{\frac {72u^{2}}{64}}}

=

−
72

u

2

192
u
512

64

{\displaystyle ={\frac {-72u^{2}+192u+512}{64}}}

Por lo que ahora nos queda

∫

0

4

3

3

−
72

u

2

192
u
512

64

d
u

{\displaystyle \int \_{0}^{\frac {4{\sqrt {3}}}{3}}{\frac {-72u^{2}+192u+512}{64}}du}

Expandemos:

∫

0

4

3

3

−
72

u

2

64

d
u

∫

0

4

3

3

192
u

64

d
u

∫

0

4

3

3

512
64

d
u

{\displaystyle \int \_{0}^{\frac {4{\sqrt {3}}}{3}}{\frac {-72u^{2}}{64}}du\ +\int \_{0}^{\frac {4{\sqrt {3}}}{3}}{\frac {192u}{64}}du\ +\int \_{0}^{\frac {4{\sqrt {3}}}{3}}{\frac {512}{64}}du}

=

−
9

8

∫

0

4

3

3

u

2

d
u

3

∫

0

4

3

3

u

d
u

8

∫

0

4

3

3

1

d
u

{\displaystyle ={\frac {-9}{8}}\int \_{0}^{\frac {4{\sqrt {3}}}{3}}u^{2}\ du\ +3\int \_{0}^{\frac {4{\sqrt {3}}}{3}}u\ du\ +8\int \_{0}^{\frac {4{\sqrt {3}}}{3}}1\ du}

=

(

−
9

8

)

(

u

3

3

)

0

4

3

3

(
3
)

(

u

2

2

)

0

4

3

3

(
8
)
(
u
)

0

4

3

3

{\displaystyle ={\Bigg (}{\frac {-9}{8}}{\Bigg )}{\Bigg (}{\frac {u^{3}}{3}}{\Bigg )}{\Bigg |}\_{0}^{\frac {4{\sqrt {3}}}{3}}+(3){\Bigg (}{\frac {u^{2}}{2}}{\Bigg )}{\Bigg |}\_{0}^{\frac {4{\sqrt {3}}}{3}}+(8)(u){\Bigg |}\_{0}^{\frac {4{\sqrt {3}}}{3}}}

=

−
9

u

3

24

0

4

3

3

3

u

2

2

0

4

3

3

8
u

0

4

3

3

{\displaystyle ={\frac {-9u^{3}}{24}}{\Bigg |}\_{0}^{\frac {4{\sqrt {3}}}{3}}+{\frac {3u^{2}}{2}}{\Bigg |}\_{0}^{\frac {4{\sqrt {3}}}{3}}+8u{\Bigg |}\_{0}^{\frac {4{\sqrt {3}}}{3}}}

=

−
9

(

4

3

3

)

3

24

3

(

4

3

3

)

2

2

8

(

4

3

3

)

{\displaystyle ={\frac {-9{\Big (}{\frac {4{\sqrt {3}}}{3}}{\Big )}^{3}}{24}}+{\frac {3{\Big (}{\frac {4{\sqrt {3}}}{3}}{\Big )}^{2}}{2}}+8{\Big (}{\frac {4{\sqrt {3}}}{3}}{\Big )}}

=

−
9

(

64

3

9

)

24

3

(

16
(
3
)

9

)

2

32

3

3

{\displaystyle ={\frac {-9{\Big (}{\frac {64{\sqrt {3}}}{9}}{\Big )}}{24}}+{\frac {3{\Big (}{\frac {16(3)}{9}}{\Big )}}{2}}+{\frac {32{\sqrt {3}}}{3}}}

=

−
8

3

3

8

32

3

3

{\displaystyle ={\frac {-8{\sqrt {3}}}{3}}+8+{\frac {32{\sqrt {3}}}{3}}}

=
8

24

3

3

{\displaystyle =8+{\frac {24{\sqrt {3}}}{3}}}

=
8
8

3

{\displaystyle =8+8{\sqrt {3}}}

≈
21.856

{\displaystyle \approx 21.856}

∴

{\displaystyle \therefore}

La evaluación de la doble integral

∬

E

x
y

d
A

{\displaystyle \iint \_{E}xy\ dA}

es aproximadamente

21.856

{\displaystyle 21.856}