Prirodni brojevi

**Prirodni brojevi** su cijeli brojevi veći od nule. To su prvi brojevi koje djeca nauče i najlakše ih je zapamtiti. Postoje dvije glavne svrhe ovih brojeva: mogu se koristiti za nabrajanje (vidio sam 3 aviona) ili za određivanje reda (to je moja treća lutka).

## Sabiranje u skupu prirodnih brojeva

Neka su dati konačni skupovi A i B i neka je kA=a i kB=b i neka je A∩B= =ø. Broj k(AUB)= predstavlja **zbir (sumu)** brojeva a i b, koji su **sumandi** **(adendi, pribrojnici).** Računska operacija koju pri tom obavljamo je **sabiranje (adicija).** Za sabiranje prirodnih brojeva važi

1. Zakon zatvorenosti a+b je prirodan broj
2. zakon komutacije a+b=b+a
3. zakon asocijacije (a+b)+c=a+(b+c)
4. zakon trihotonomije a=b ili a+c=b a=b+d Za a + c=b =>a < b,za a = b + d => a > b
5. zakon kancelacije skračivanja

ako je a+c=b+c onda je a=b

Teorema 1

a=b <= > a+c= b+c.

Pod a1+ a2 + a3, podrazunjevamo (a1+ a2)+ a3. Pod a1 + a2+ a3 + a4 podrazunjevamo (a1 + a2 + a3 )+ a4 . uopštano je a1+ a2+ a3+....+ an= (a1+ a2+...+ am)+(.. a(m+1+...+ + an).

Teorema 3

a < b=> a+c< b+c

dokaz

a < b < => a+d=b< => a+d +c= b+c< => (a+c)+d = b+c< => a+c<b+c.

Teorema 4

(a < b & b<c) => a<c

 Množenje prirodnih brojeva

Neka je kA=a i kB=b , broj k(AxB) zovemo proizvod ( produkt, umnožnik) brojeva a i b koji su faktori (činioci) . Proizvod označavamo sa ab.

Za množenje prirodnih brojeva važi

1. Zakon zatvorenosti ab je prirodan broj
2. zakon komutacije ab= ba
3. zakon asocijacije (ab)c=a(bc)
4. zakon kancelacije skračivanja ako je ac=bc onda je a=b
5. zakon distribucije množenja u odnosu na sabiranje

(a+b)c=ac +bc.

Broj b+b+b+....+b gdje pribrojnik b dolazi a puta zove se proizvod brojeva a i b .

Teorema 5

a = b => ac=bc a < b => ac < bc

Arhimedova teorema

Za svaka dva prirodna broja a i b postoji prirodni broj n takav da je an > b.

## Algebarske operacije

Posmatrajmo operacije sabiranja i množenja u skupu N. Očito je to preslikavanje skupa NxN u skup N definisano sa

(a,b)→ a + b i analogno

a(a,b)→ab.

Neka je S neprazan skup. Binarna algebarska operacija (kompozicija) na skupu S je svako preslikavanje f:SxS→ S. Za algebarske operacije vrijedi

1. Zakon komutacije ako je a\*b=b\*a
2. Zakon asocijacje ako je a\*(b\*c)= a\*b)\*c

Ovi zakoni ne moraju važiti uvijek.

Primjer

(a,b)= 2a + 2b

a\*b= 2a+2b= 2b + 2a= b\*a

(a\*b)\*c = (2a+2b)\*c= 2(2a + 2b) + 2c= 4a+4b+2c

a\*(b\*c)= 2a+2(2b+2c) = 2a+4b + 4c

tj ne važi asocijativnost.

Neka su date dvije operacije \* i ○ kažemo da je operacija lijevo distributivna u odnosu na ○ ako vrijedi a\*(b○c)=(a\*b) ○(a\*c).

Ako su A, B,C neprazni skupovi tada svako preslikavanje skupa AxB u C zovemo binarnom algebarskom operacijom sa AxB u C. Specijalno je A=B=C.

Sam skup i skup na koji se preslikava algebarska operacija nije isto. Razlika je velika. U drugom slučaju sa elementima skupa možemo računati.

Skup zajedno sa algebarskom operacijom nazivamo **grupoid.** Uređen par (S,\*) koji čini neprazni skup S i algebarska operacija \* definisana na skupu S zove se grupoid(monoid). Ako je (S\* ) grupoid i e iz S onda je

1. e lijevi neutralni element u odnosu na operaciju\* akoje e\*a=a
2. e desnii neutralni element u odnosu na operaciju\* akoje a\*e=a
3. e dvostruki neutralni element u odnosu na operaciju\* akoje e\*a=a\*e=a.

Neutralni element za operaciju množenja u skupu N je e=1, a za sabiranje u skupu N0 je e=0.

Grupoid može biti asocijativan i komutativan. Asocijativan grupoid nazivamo **polugrupa.**Polugrupa može imati inverzni element.

1. x je desni inverzni element u odnosu na operaciju \* akoje a \* x = e
2. x je lijevi inverzni element u odnosu na operaciju \* akoje x \* a = e
3. x je dvostruki inverzni element u odnosu na operaciju \* akoje a \* x =x \* a = e

Grupa je polugrupa koja ima neutralni i inverzni ewlement.

Polugrupa (S, \*) s dvostrukim inverznim elementom ima najviše jedan inverzni element

Dokaz

x1= x1 \* e = x1 (a \* x0) = (x1 \* a )\* = x0

Neka je (S,○) polugrupa i neka je ≤ linearno uređajna relacija sa osobinom: Ako je a < b onda je a ○ c < b ○ c, tada sistem (S,○,<) zovemo uređenom polugrupom. Primjer Polugrupe (N,+) i (N,\*) su uređene polugrupe u odnosu na relaciju ≤. Za (S,○) i (S1 , °) grupidi . Za grupoid (S,○) kažemo da je izomorfan ( izos + morphe →istog oblika) grupoidu (S1, °) ako i samo ako postoji f:S→ S1 tako da je f(a ○ b ) → a ° b.

 Oduzimanje prirodnih brojeva

Od broja a oduzeti broj b znači naći broj d takav da je a = b+d.

Broj a je **razlika** ili diferencija brojeva a i b, broj a minuend ili umanjenik, a b suptrahend ili umanjitelj.

Očigledno u skupu N ne vrijedi zakon zatvorenosti tj a-b nije iz N za svaki par a i b.

Primjer 2-3 nije iz N

 Dijeljenje u skupu prirodnih brojeva

Podijeliti broj a brojem b znači naći broj q takav da je a = bq. N. Broj a je kvocijent ili količnik brojeva a i b, broj a je dividend ili djeljenik, a b je divizor ili djelitelj.

U skup N ne vrijedi zakon zatvorenosti za dijeljenje tj za svaki par a i b nije a / b iz N.

Primjer

5 / 3 nije iz N