Table de vérité d'une assertion

## Table de vérité à une arité

Parfois, si l'on dispose d'une assertion

P

{\displaystyle P}

, on peut vouloir construire une nouvelle assertion

f
(
P
)

{\displaystyle f(P)}

 dont la véracité dépendra de celle de

P

{\displaystyle P}

. Il suffit pour cela de simplement expliciter la véracité de

f
(
P
)

{\displaystyle f(P)}

 dans chacun des deux cas de véracité.

Voici un exemple: définissons l'assertion

f
(
P
)

{\displaystyle f(P)}

 comme ceci

1. si

P

{\displaystyle P}

 est vraie, alors

f
(
P
)

{\displaystyle f(P)}

 est fausse
2. si

P

{\displaystyle P}

 est fausse, alors

f
(
P
)

{\displaystyle f(P)}

 est vraie

Une manière plus synthétique de le faire est d'utiliser une représentation graphique dite **table de vérité**.

La première ligne sera représentée ainsi

et la deuxième ligne sera représentée ainsi

On peut synthétiser les deux lignes en un seul tableau, ce qui va donner

Les deux traits verticaux au milieu sont là pour symboliser le fait que la véracité de la colonne de droite **se déduit** de la véracité de la colonne de gauche.

Il est alors possible de réappliquer le même raisonnement pour obtenir la table de

f
(
f
(
P
)
)

{\displaystyle f(f(P))}

.

On obtient alors la table de vérité suivante: la colonne de

f
(
f
(
P
)
)

{\displaystyle f(f(P))}

 se déduit de celle de

f
(
P
)

{\displaystyle f(P)}

, qui elle-même se déduit de celle de

P

{\displaystyle P}

.

Comme cette table de vérité s'est déduite d'une seule assertion initiale, on dira que c'est une **table de vérité à une seule arité**.

## Table de vérité à deux arités

Il est possible d'appliquer le même genre de construction, cette fois dépendamment de la véracité de deux assertions en simultanéité.

Voici un exemple: munissons-nous de deux assertions

P

{\displaystyle P}

 et

Q

{\displaystyle Q}

, et construisons l'assertion

g
(
P
;
Q
)

{\displaystyle g(P;Q)}

 comme ceci:

1. si

P

{\displaystyle P}

 est fausse et

Q

{\displaystyle Q}

 est fausse, alors

g
(
P
;
Q
)

{\displaystyle g(P;Q)}

 est fausse
2. si

P

{\displaystyle P}

 est fausse et

Q

{\displaystyle Q}

 est vraie, alors

g
(
P
;
Q
)

{\displaystyle g(P;Q)}

 est fausse
3. si

P

{\displaystyle P}

 est vraie et

Q

{\displaystyle Q}

 est fausse, alors

g
(
P
;
Q
)

{\displaystyle g(P;Q)}

 est fausse
4. si

P

{\displaystyle P}

 est vraie et

Q

{\displaystyle Q}

 est vraie, alors

g
(
P
;
Q
)

{\displaystyle g(P;Q)}

 est vraie

La table de vérité qui synthétise toutes ces informations est alors la suivante

La première colonne et la deuxième colonne ne sont pas séparées par un double trait vertical, car l'une et l'autre sont indépendantes. En revanche, le double trait entre la deuxième et la troisième colonne est là pour mettre l'accent sur le fait qu'elle dépend des deux assertions précédentes.

Comme la véracité de

g
(
P
;
Q
)

{\displaystyle g(P;Q)}

 dépend de deux assertions, on dira qu'il s'agit d'une **table de vérité à deux arités**.

## L'intérêt des tables de vérités

L'intérêt est triple:

1. permettre de visualiser rapidement la règle de construction de certaines assertions qui dépendraient d'autres assertions.
2. permettre de comparer facilement deux assertions, et parfois comparer qu'elles sont vraies en même temps, et fausses en même temps.
3. permettre de constater facilement que certaines assertions sont tout le temps vraies, ou tout le temps fausses.