Cubología

Bienvenido a la Wiki Secreta de Cubología (WSC). La cubología es una ciencia que estudia el funcionamiento y la lógica del cubo de rubik. Aquí la resumo toda por capítulos:

## ¿Cuántas combinaciones tiene un 3x3?

Créditos: Youtube: @MatesMike

Primero debemos diferenciar 3 partes (para más información tienes la definición del Wiki Diccionario Speedcubing:

 Aristas | 12
 Esquinas | 8

Ahora, para calcular el número de combinaciones no tenemos en cuenta los centros porque solo rotan. Ahora, para las aristas (12) solo tenemos que calcular **12 factorial** (12x11x10x9x8x7...) **= 479001600**. PERO! Esto nos da el número de combinaciones según el espacio en el que están, pero también pueden estar giradas. Como son 2 posiciones calculamos **12! x 2^12 = 1961990553600**, es decir: 12 factorial por 2 elevado a 12. Ahora vienen las esquinas. Es lo mismo, de hecho podríamos hacer una fórmula: **n =** **a! x b^a**. a es igual a cuántas piezas hay de ese tipo y b es igual a cuántos colores tiene cada pieza. Así que si la aplicamos a las esquinas como dice en la tabla es **8! x 3^8 = 264539520**. Por último multiplicamos: **1961990553600 x 264539520 = 519 024 039 293 878 272 000**. Esto se lee quinientos diecinueve trillones veinticuatro mil billones treinta y nueve billones doscientos noventa y tres mil millones ochocientos setenta y ocho millones doscientos setenta y dos mil. PEROOO!! Si eres un cubero experimentado sabrás que hay posiciones prohibidas que no se pueden lograr con ningún algoritmo. Esto nos deja con **43 252 003 274 489 856 000**. Son 2 posiciones prohibidas de aristas y 1 de esquinas. Entonces le dividimos al número el valor b de cada una, es decir: **519 024 039 293 878 272 000/2x2x3 = 519 024 039 293 878 272 000/12 = 43 252 003 274 489 856 000**. Este sería el resultado. Lo que hicimos contando todas las operaciones fue:

**(12! x 2^12) x (8! x 3^8) / 12**

## El número de Dios y el algoritmo del Diablo

Créditos: de nuevo, Youtube: @MatesMike

Comencemos por el número de Dios. El número de Dios es el 20. Significa que cualquier cubo de rubik en cualquiera de los 43 trillones de estados se puede resolver con 20 movimientos o menos. El algoritmo del diablo es un algoritmo o secuencia de movimientos que pasa por TOOOOOODOS los estados del cubo de rubik sin repetir absolutamente ninguno. Se empieza con el cubo resuelto y se termina de nuevo así.

## Signos básicos

Lee esto antes que lo demás.

* **-A** - Inversión total de "A".
* **α** - Inversión parcial a.
* **β** - Inversión parcial b.
* **/x/** - Convertir a opuesto, Cambia las L por R, las D por U, las F por B y todo viceversa. Las capas M, E y S se quedan igual.
* **ξ** - Rotación x. Adapta un algoritmo de forma que tenga el mismo efecto que si hicieras una rotación x.
* **ξ₂** - Rotación x doble. Adapta un algoritmo de forma que tenga el mismo efecto que si hicieras dos rotaciones x.
* **Υ** - Rotación y. Adapta un algoritmo de forma que tenga el mismo efecto que si hicieras una rotación y.
* **Υ₂** - Rotación y doble. Adapta un algoritmo de forma que tenga el mismo efecto que si hicieras dos rotaciones y.
* **Θ**- Rotación z. Adapta un algoritmo de forma que tenga el mismo efecto que si hicieras una rotación z.
* **Θ₂** - Rotación z doble. Adapta un algoritmo de forma que tenga el mismo efecto que si hicieras dos rotaciones z.

## Inversiones

Las inversiones son formas de invertir un algoritmo. Hay 3 tipos:

1. Inversión total.
2. Inversión parcial a.
3. Inversión parcial b.

La inversión total se lleva a cabo mediante 2 sencillos pasos. Cuando haces un algoritmo y justo después ejecutas su inversión el cubo queda en el estado inicial. La inversión total se indica con una tau minúscula (τ): **-(R U R' U') = (U R U' R')**

Puedes intentar hacer el primer algoritmo y luego el segundo, comprobarás que el cubo vuelve a su estado original. Vamos a tomar como ejemplo sune τ (R U R' U R U2 R') Pasos:

1. Ordena las letras del final al principio: R' U2 R U R' U R
2. Cámbiale el signo a cada letra, es decir, | R' U2 R U R' U R | (mira el cap. 3): R U2 R' U' R U' R'

Así que -(R U R' U R U2 R') = R U2 R' U' R U' R' esto si te das cuenta es antisune.

Después tenemos las inversiones parciales. La inversión parcial a de R U R' U R U2 R' sería como la anterior pero quitando el paso 1. Sería:

Y la inversión parcial b es como la total pero quitando el paso 2.

β (R U R' U R U2 R') = R' U2 R U R' U R

## Rotaciones

Ya habrás visto en el cap. 2 lo que son. Aquí os enseñaremos como hacerlas.

Primero veamos la rotación y2. Tenemos de ejemplo sune de nuevo (R U R' U R U2 R'):

1. Haz la inversión parcial b: **β (R U R' U R U2 R') = R' U2 R U R' U R**
2. Conviértelo a opuestos: **/ R' U2 R U R' U R / = L' U2 L U L' U L**
3. Cámbiale el signo a todas las letras: **|L' U2 L U L' U L| = L U2 L' U' L U' L'**
4. Por último haz la inversión total: **τ (L U2 L' U' L U' L') = L U L' U L U2 L'**

**Υ₂(A) =** **-(|/β (A)/|)**

Puedes comprobar que si haces esto te dará el mismo resultado que si giraras el cubo verticalmente 2 veces.

Rotación z2:

1. Conviértelo a opuestos: **/R U R' U R U2 R'/ = L D L' D L D2 L'**

**Θ₂(A) = /A/**

Rotación x2

1. Haz la rotación y2: **Υ₂(R U R' U R U2 R') = L U L' U L U2 L'**
2. Haz la rotación z2: **Θ₂(L U L' U L U2 L') = R D R' D R D2 R'**

**ξ₂(A) = Θ₂(Υ₂(A))**

## Matemáticas con algoritmos.

Vamos a establecer unas normas para poder hacer matemáticas con un algoritmo, al que llamaremos "A". Primero, la suma de varios algoritmos indica que se ejecuten uno seguido de otro y las restas lo contrario. Aunque no podemos restar cualquier algoritmo de momento:

R U R' U' + R' U' = R U R' U' R' U' --> R U R' U' R' U' - R U' = R U R' U'

Y la multiplicación implica repetir el algoritmo determinado número de veces:

(R U R' U')3 = R U R' U' R U R' U' R U R' U'

Para dividir tienes que fijarte en que se repitan patrones, y entonces ver cuál es ese patrón:

R
U

R
′

U
′

R
U

R
′

U
′

R
U

R
′

U
′

3

=
R
U

R
′

U
′

{\displaystyle {\frac {RUR'U'RUR'U'RUR'U'}{3}}=RUR'U'}

Esto implica que para dividir 2 algoritmos debes contar cuántas letras tiene el de arriba

(

A

1

)

∘

{\displaystyle (A\_{1})^{\circ }}

 entre cuantas letras tiene el de abajo

(

A

1

)

∘

{\displaystyle (A\_{1})^{\circ }}

A

1

A

2

=

(

A

1

)

∘

(

A

2

)

∘

{\displaystyle {\frac {A\_{1}}{A\_{2}}}={\frac {(A\_{1})^{\circ }}{(A\_{2})^{\circ }}}}

Esto último ya no se inventa, se descubre, porque que

R
U

R
′

U
′

R
U

R
′

U
′

R
U

R
′

U
′

3

=
R
U

R
′

U
′

{\displaystyle {\frac {RUR'U'RUR'U'RUR'U'}{3}}=RUR'U'}

 implica que

# 3

R
U

R
′

U
′

R
U

R
′

U
′

R
U

R
′

U
′

R
U

R
′

U
′

{\displaystyle 3={\frac {RUR'U'RUR'U'RUR'U'}{RUR'U'}}}

, y con la multiplicación llegamos a la misma conclusión. Ahora iremos extendiendo cada operación.

## Ciclos y grados de ciclo

Cuando repites un algoritmo un determinado número de veces y el cubo llega a su estado original se dice que se ha completado un ciclo. Pues ese determinado número de veces es el grado del ciclo. Vamos a poner de ejemplo R U R' U'. Este algoritmo hay que repetirlo 6 veces. El grado del ciclo se denota con una G. Entonces G(RUR'U') = 6. De momento no se sabe como calcularlo, pero aquí pondré todas las normas que hay:

G
(
A
# )
G
(
−
A
# )
G
(
α
(
A
)
# )
G
(
β
(
A
)
)

{\displaystyle G(A)=G(-A)=G(\alpha (A))=G(\beta (A))}

, es decir, el grado de ciclo de un algoritmo es igual al grado de ciclo de todas sus inversiones y rotaciones.

Además es igual a cada uno de los componentes de su círculo cíclico. Pero eso da igual. He escrito esto mucho tiempo después, y ya tengo un método para calcular el grado de ciclo de cualquier algoritmo. Elegante pero díficil de calcular. Simple pero tomó mucho esfuerzo. Admirad esta belleza (abajo para no spoiler).

G
(
A
# )
lcm
⁡
(
P
)

{\displaystyle G(A)=\operatorname {lcm} (P)}

Para quien no lo sepa lcm es mcm (mínimo común múltiplo). Y "P" es el conjunto de permutaciones que hay. Esto ya es más difícil de entender. Pensemos en sexi move, R U R' U'. Ve a esta página para visualizar la explicación. Empezamos viendo el ciclo que forman las aristas:

Como vemos aquí 3 aristas permutan entre sí, al igual que una U perm. Así que el primer elemento de "P" es 3. P = {3}. En este caso, con este ciclo de 3 se resolverían las aristas, pero si no hay que seguir buscando ciclos. Ahora vamos con las esquinas:

Las esquinas permutan la verde-rojo-amarillo con la verde-blanco-rojo y las otras dos lo mismo. Así que permutan los dos pares de esquinas de la forma 2. Porque una va con la otra. Así nos queda que P = {3,2,2}. El mínimo común múltiplo es 6, así que G(RUR'U') = 6.