ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Sabemos que una ecuación es una relación matemática entre números y letras. Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que sólo hay una letra, llamada incógnita , que suele ser la x .

Resolver la ecuación consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por la incógnita, haga que sea cierta la igualdad.

Ese valor es la solución de la ecuación.

Ejemplo: Resolver la ecuación x − 1 = 0

El número que hace que esa ecuación sea cierta es el 1, ya que 1 – 1 = 0 , por lo tanto, 1 es la solución de la ecuación.

Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es una ecuación de segundo grado (llamadas también ecuaciones cuadráticas) , que se caracterizan porque pueden tenerdos soluciones (aunque también una sola, e incluso ninguna).

Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la siguiente forma:

ax 2 + bx + c = 0

Donde a , b y c son unos parámetros que habrá que sustituir por los números reales que corresponda en cada caso particular.

#### Solución de ecuaciones cuadráticas

Hemos visto que una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax 2 + bx + c = 0 , donde a, b , y c son números reales.

Pero este tipo de ecuación puede presentarse de diferentes formas:

Ejemplos:

9x 2 + 6x + 10 = 0 a = 9, b = 6, c = 10

3x 2 – 9x + 0 = 0 a = 3, b = –9, c = 0 (el cero, la c , no se escribe, no está)

–6x 2 + 0x + 10 = 0 a = -6, b = 0 , c = 10 (el cero equis, la b , no se escribe)

Para resolver la ecuación cuadrática de la forma ax 2 + bx + c = 0 (o cualquiera de las formas mostradas), puede usarse cualquiera de los siguientes métodos:

Solución por factorización

En toda ecuación  cuadrática uno  de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, tenemos que convertirlo en un producto de binomios.

Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno.

Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos a cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos, o ambos, es igual a cero.

Ejemplos

1) Resolver

(x + 3)(2x − 1) = 9

Lo primero es igualar la ecuación a cero.

Para hacerlo, multiplicamos los binomios:

Ahora, pasamos el 9, con signo contrario, al primer miembro para igualar a cero:

Ahora podemos factorizar esta ecuación:

(2x − 3)(x + 4) = 0

Ahora podemos igualar a cero cada término del producto para resolver las incógnitas:

Si

2x − 3 = 0

2x = 3

Si

x + 4 = 0

x = −4

Esta misma ecuación pudo haberse presentado de varias formas:

(x + 3)(2x − 1) = 9

2x 2 + 5x − 12 = 0

2x 2 + 5x = 12

2x 2 − 12 = − 5x

En todos los casos la solución por factorización es la misma:

2) Halle las soluciones de

La ecuación ya está igualada a cero y solo hay que factorizar e igualar sus factores a cero y luego resolver en términos de x :

Ahora, si

x = 0

o si

x− 4 = 0

x = 4

Algunos ejercicios: Resolver cada ecuación por el método de factorización:

Soluciones:

Solución por completación de cuadrados

Se llama método de la completación de cuadrados porque se puede completar un cuadrado geométricamente, y porque en la ecuación cuadrática se pueden realizar operaciones algebraicas que la transforman en una ecuación del tipo:

(ax + b) 2 = n

en la cual el primer miembro de la ecuación (ax + b) 2 , es el cuadrado de la suma de un binomio .

Partiendo de una ecuación del tipo

x 2 + bx + c = 0

por ejemplo, la ecuación

x 2 + 8x = 48 , que también puede escribirse x 2 + 8x − 48 = 0

Al primer miembro de la ecuación (x 2 + 8x) le falta un término para completar el cuadrado de la suma de un binomio del tipo
(ax + b) 2

Que es lo mismo que

(ax + b) (ax + b)

Que es lo mismo que

(ax) 2 + 2axb + b 2

En nuestro ejemplo

x 2 + 8x = 48 , el 8 representa al doble del segundo número del binomio, por lo tanto, ese número debe ser obligadamente 8 dividido por 2 (8/2), que es igual a 4, y como en el cuadrado de la suma de un binomio ( a 2 + 2ab + b 2 ) el tercer término corresponde al cuadrado del segundo término (4 2 = 16) amplificamos ambos miembros de la ecuación por 16, así tenemos

x 2 + 8x + 16 = 48 + 16

x 2 + 8x + 16 = 64

la cual, factorizando, podemos escribir como sigue:

(x + 4) (x + 4) = 64

Que es igual a

(x + 4) 2 = 64

Extraemos raíz cuadrada de ambos miembros y tenemos

Nos queda

x + 4 = 8

Entonces

x = 8 − 4

x = 4

Se dice que "se completó un cuadrado" porque para el primer miembro de la ecuación se logró obtener la expresión (x + 4) 2 , que es el cuadrado perfecto de un binomio.