Espectro de una Señal Modulada en Ángulo

Al momento de hacer la derivación del espectro de una señal modulada en ángulo, suele ser muy complicado, pero si la señal del mensaje es sinusoidal y la desviación de fase instantánea de la portadora modulada es sinusoidal tanto para FM como para PM, el espectro se puede adquirir de una forma fácil, por lo tanto, podemos asumir la siguiente señal de mensaje sinusoidal:

ϕ
(
t
# )
β
sin
⁡
(
2
π

f
m

t
)

{\displaystyle \phi(t)=\beta \sin(2 \pi f\_m t )}

Donde se tiene el parámetro

β

{\textstyle \beta}

, el cual es el índice de modulación y también es la máxima desviación de fase. El cual se remplaza en la ecuación:

x
c

(
t
# )

A
c

cos
⁡

[

2
π

f
c

t
ϕ
(
t
)

]

{\displaystyle x\_c(t)=A\_c \cos\left[ 2 \pi f\_c t + \phi (t) \right ]}

x
c

(
t
# )

A
c

cos
⁡

[

2
π

f
c

t
β
sin
⁡
(
2
π

f
m

t
)

]

{\displaystyle x\_c(t)=A\_c \cos\left[ 2 \pi f\_c t + \beta \sin(2 \pi f\_m t ) \right ]}

Se saca la parte real de la señal, y el coseno y el seno se representan mediante la exponencial:

x
c

(
t
# )
R
e

[

A
c

e

j
β
sin
⁡
(
2
π

f
m

t
)

e

j
2
π

f
c

]

{\displaystyle x\_c (t) = Re\left [ A\_c e^{j \beta \sin(2 \pi f\_m t)}e^{j 2 \pi f\_c} \right ]}

En este momento se puede hacer una representación en series de Fourier, en los cuales los coeficientes de Fourier quedan de la siguiente forma:

f
m

∫

−
1

/

2

f
m

1

/

2

f
m

e

j
β
sin
⁡
(
2
π

f
m

t
)

e

−
j
2
π
n

f
m

t

d
# t

1

2
π

∫

−
π

π

e

−

[

j
n
x
−
β
s
i
n
(
x
)

]

d
x

{\displaystyle f\_m \int\_{-1/2 f\_m}^{1/2 f\_m} e^{j \beta \sin(2 \pi f\_m t)}e^{-j 2 \pi n f\_m t}dt = \frac{1}{2 \pi} \int\_{- \pi}^{ \pi } e^{ - \left [ jnx- \beta sin(x) \right ]} dx}

Al observar la anterior representación, se puede observar que el espectro tiene componentes a la frecuencia de la portadora y tiene un número infinito de bandas laterales separadas de la frecuencia de la portadora por múltiplos enteros de la frecuencia de modulación

f
m

{\textstyle f\_m}

.

De acuerdo con lo anterior, la amplitud de cada componente espectral se puede determinar a partir de una tabla de valores de la función de Bessel. Estas tablas se basan en

J
n

(
β
)

{\textstyle J\_n ( \beta )}

 para valores positivos de

n

{\displaystyle n}

, y para la señal que se viene trabajando, esta función de Bessel funciona de la siguiente forma:

e

j
β
sin
⁡
(
2
π

f
m

t
)

=
j
(
β
)

e

j
2
π
n

f
m

t

{\displaystyle e^{j \beta \sin(2 \pi f\_m t)} = j ( \beta ) e^{j 2 \pi n f\_m t}}

Al tener la función anterior, se realiza el reemplazo en la tercera ecuación, donde se adquiere la parte real, al hacer este se reemplazó, se hace el procesamiento de forma que los exponentes se pueden cambiar por un coseno, y del cual se toma el rendimiento de la parte Real.

x
c

(
t
# )

A
c

∑

# n
−
∞

∞

J
n

(
β
)
c
o
s

[

2
π
(

f
c

n

f
m

)
t

]

{\displaystyle x\_c (t) = A\_c \sum\_{n= -\infty }^\infty J\_n(\beta)cos\left [ 2 \pi (f\_c + n f\_m ) t \right ]}

Con la formula anterior, se puede pasar a una recursión, quedando de la siguiente forma:

J

n
1

(
β
# )

2
n

β

J
n

(
β
)

J

n
−
1

(
β
)

{\displaystyle J\_{n+1} (\beta) = \frac{2n}{\beta}J\_n(\beta) + J\_{n-1} (\beta)}

En la figura anterior se observa el efecto de la recursión, tanto para la Amplitud como para la Fase.

Con todas las ecuaciones anteriores de las señales y con la representación gráfica de la recursión, podemos ver el efecto del índice de modulación en la siguiente gráfica, y con esto se puede dar unas conclusiones de cómo afecta el índice de modulación (

β

{\displaystyle \beta}

) a la frecuencia moduladora (

f
m

{\displaystyle f\_m}

).

Al observar las tres graficas anteriores, se observa que en la primera grafica la

f
m

{\displaystyle f\_m}

 es de 200Hz, en la segunda la

f
m

{\displaystyle f\_m}

 es de 100Hz y en la tercera la

f
m

{\displaystyle f\_m}

 es igual a 20Hz. Y por lo tanto, podemos ver al incrementar

β

{\displaystyle \beta}

 disminuye

f
m

{\displaystyle f\_m}

.