Vectorruimtes

Vectorruimtes zijn algebraïsche structuren, die bestaan uit vectoren. Deze vectoren kan je bij elkaar optellen, en "opschalen", of "neerschalen". Dat betekent dat je de vectoren kunt vermenigvuldigen met een element van een vast lichaam. Vectorruimtes zijn het onderwerp van de lineaire algebra. Sommige vectorruimtes hebben nog meer structuur, zoals een inproduct.

Vectorruimtes over

R

## {\displaystyle \R}

Een vector over

R

{\displaystyle \R}

 is het makkelijkst te visualiseren als een

n

{\displaystyle n}

-dimensionale pijl, die vanuit de oorsprong naar een bepaald punt wijst. Twee handige eigenschappen van die pijlen is dat je ze kan optellen, met de bekende "parallellogramconstructie", en je kan hun lengte veranderen door de pijl te "vermenigvuldigen" met een zeker reëel getal. Het optellen van twee vectoren

v

{\displaystyle v}

 en

w

{\displaystyle w}

 schrijf je als

v
w

{\displaystyle v+w}

, en het vermenigvuldigen met een getal

x

{\displaystyle x}

 wordt geschreven als

x
v

{\displaystyle xv}

. Merk op dat het getal altijd vóór de vector staat, en vectoren vermenigvuldigen heeft geen betekenis, net zoals een vector met een getal vermenigvuldigen (andersom kan dus wel). In het bijzonder voldoen optellen en vermenigvuldigen aan de volgende regels:

* + associatief en commutatief is, dus

(
u
v
)
# w
u
(
v
w
)

{\displaystyle (u+v)+w=u+(v+w)}

, en

v
# w
w
v

{\displaystyle v+w=w+v}

.
* Er is een

0
∈
V

{\displaystyle 0 \in V}

 zodat voor alle vectoren

v

{\displaystyle v}

 geldt dat

v
# 0
v

{\displaystyle v+0=v}

. Dit is de "nulpijl", die naar de oorsprong zelf wijst.
* Voor elke vector

v

{\displaystyle v}

 bestaat een vector

−
v

{\displaystyle -v}

 zodat

v
(
−
v
# )
0

{\displaystyle v+(-v)=0}

. Dit is de pijl die "precies de andere kant op wijst".
* (
a
b
)
# v
a
(
b
v
)

{\displaystyle (ab)v=a(bv)}

. Merk op dat je links twee getallen met elkaar vermenigvuldigt, en die weer met een vector, en rechts een getal met een vector vermenigvuldigt, en dan een getal met de uitkomst vermenigvuldigt, in het bijzonder zijn er twee soorten vermenigvuldigingen.
* 1
# v
v

{\displaystyle 1v=v}

.
* ⋅

{\displaystyle \cdot}

 distribueert over de + van zowel de vectorruimte als van

R

{\displaystyle \R}

, in formules

(
a
b
)
(
v
w
# )
a
v
a
w
b
v
b
w

{\displaystyle (a+b)(v+w)=av+aw+bv+bw}

.

Merk op dat in de laatste regel er twee verschillende +'en zijn; in het linkerlid tellen we getallen op, en vermenigvuldigen we die met een som van vectoren, en in het rechterlid tellen we alleen vectoren op. Deze regels hierboven zijn heel belangrijk; ze zijn de definitie van een vectorruimte. Een vectorruimte (over

R

{\displaystyle \R}

) is dan ook een verzameling, waar van je de elementen bij elkaar kan optellen, en je de elementen kan vermenigvuldigen met een reëel getal zodat de bovenstaande regels gelden. Er zijn dus ook vectorruimtes die niet bestaan uit

n

{\displaystyle n}

-dimensionale pijlen. Daarom het volgende voorbeeld: we nemen als verzameling

V

{\displaystyle V}

 alle mogelijke functies

f
:

R

→

R

{\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}}

. Dit is een vectorruimte, omdat de som van twee functies

h
(
x
# )
f
(
x
)
g
(
x
)

{\displaystyle h(x)=f(x)+g(x)}

 weer een functie van reële getallen is, en

(
c
f
)
(
x
# )
c
⋅
f
(
x
)

{\displaystyle (cf)(x)=c\cdot f(x)}

 weer een functie van reële getallen is. Het is gemakkelijk te controleren dat alle punten hierboven gelden.

## De vectorruimteaxioma's

We kunnen vectorruimtes ook beschrijven over een willekeurig lichaam, in plaats van alleen over

R

{\displaystyle \R}

. We krijgen dan dat een *vectorruimte over een lichaam

F

{\displaystyle F}* een verzameling

V

{\displaystyle V}

 met een operatie +, en een functie

⋅
:
F
×
V
→
V

{\displaystyle \cdot: F\times V\to V}

 zodat

* + associatief en commutatief is.
* Er is een

0
∈
V

{\displaystyle 0 \in V}

 zodat voor alle vectors

v

{\displaystyle v}

 geldt dat

v
# 0
v

{\displaystyle v+0=v}
* Voor elke vector

v

{\displaystyle v}

 bestaat een vector

−
v

{\displaystyle -v}

 zodat

v
(
−
v
# )
0

{\displaystyle v+(-v)=0}
* (
a
b
)
# v
a
(
b
v
)

{\displaystyle (ab)v=a(bv)}
* 1
# v
v

{\displaystyle 1v=v}

, waar 1 de multiplicatieve identiteit van

F

{\displaystyle F}

 is.
* ⋅

{\displaystyle \cdot}

 distributeert over de + van zowel de vectorruimte als het onderliggende lichaam, in formules

(
a
b
)
(
v
w
# )
a
v
a
w
b
v
b
w

{\displaystyle (a+b)(v+w)=av+aw+bv+bw}

.

Het is altijd belangrijk om een aantal voorbeelden van vectorruimtes te hebben. Een voorbeeld is de zogeheten *nulruimte*, de ruimte die alleen bestaat uit de nulvector. Het is makkelijk te controleren dat dit een vectorruimte is, omdat toch alles gelijk is aan de nulvector.

## Basisregels in vectorruimtes

We bewijzen hier een aantal stellingen over vectorruimtes, die erg basis zijn, maar toch erg handig.

**Stelling 1**: het element

0

{\displaystyle 0}

 in de vectorruimte is uniek: als er een ander element

0
′

{\displaystyle 0'}

 is zodat

0
′

# v
0

{\displaystyle 0'+v=0}

 voor alle

v

{\displaystyle v}

, dan geldt

# 0

0
′

{\displaystyle 0=0'}

**Bewijs**: We weten dat

0

0
′

=
0

{\displaystyle 0+0'=0}

, vanwege de "nuleigenschap" van

0
′

{\displaystyle 0'}

. Daarnaast geldt ook

0

0
′

=

0
′

{\displaystyle 0+0'=0'}

, vanwege de "nuleigenschap" van 0. We concluderen dat

# 0
0

0
′

=

0
′

{\displaystyle 0=0+0'=0'}

.

**Stelling 2**: als

v
# w
v
u

{\displaystyle v+w=v+u}

, dan geldt

# w
u

{\displaystyle w=u}

.

**Bewijs**: We weten dat er een element

a

{\displaystyle a}

 zodat

v
# a
0

{\displaystyle v+a=0}

 bestaat. Nu weten we dat geldt dat

a
(
v
w
# )
a
(
v
u
)

{\displaystyle a+(v+w)=a+(v+u)}

, en omdat optellen associatief is, kunnen we de haakjes verschuiven en vinden dat

# w
0
# w
(
a
v
)
# w
(
a
v
)
# u
0
# u
u

{\displaystyle w=0+w=(a+v)+w=(a+v)+u=0+u=u}

, dit geldt omdat

a

{\displaystyle a}

 een inverse is van

v

{\displaystyle v}

.

**Stelling 3**: voor elke vector

v

{\displaystyle v}

 is er een unieke vector

w

{\displaystyle w}

 zodat

v
# w
0

{\displaystyle v+w=0}

.

**Bewijs**: Stel dat

w
,
a

{\displaystyle w,a}

 beide inverses van

v

{\displaystyle v}

 zijn. Dan geldt dat

v
# 0
v
a

{\displaystyle v+w=0=v+a}

, en met stelling 2 concluderen we dat

# w
a

{\displaystyle w=a}

.

We zullen de inverse van

v

{\displaystyle v}

 vanaf nu schrijven als

−
v

{\displaystyle -v}

; dit mag omdat de inverse uniek is.

**Stelling 4**: Voor alle vectoren geldt

0
# v
0

{\displaystyle 0v=0}

**Bewijs**: Er geldt dat

0
v
0
# v
(
0
0
)
# v
0
v
0

{\displaystyle 0v+0v=(0+0)v=0v=0v+0}

. Dit geldt vanwege de distributie. Met stelling 2 concluderen we dat

0
# v
0

{\displaystyle 0v=0}

**Stelling 5**: Er geldt dat

−
# v
(
−
1
)
v

{\displaystyle -v=(-1)v}

**Bewijs**: Er geldt dat

v
(
−
1
)
# v
1
v
(
−
1
)
# v
(
1
(
−
1
)
)
# v
0

{\displaystyle v+(-1)v=1v+(-1)v=(1+(-1))v=0v=0}

. We hebben hier de distributieregel en de regel dat

1
# v
v

{\displaystyle 1v=v}

 gebruikt, samen met stelling 4. Er volgt dat

(
−
1
)
v

{\displaystyle (-1)v}

 een inverse is van

v

{\displaystyle v}

, en die moet dus wel gelijk zijn aan de unieke inverse volgens stelling 3.

## Deelruimtes

Zie hiervoor de pagina hierover: deelruimtes