מומנט התמד

**מומנט התמד** או **מומנט אינרציה** (**Moment of Inertia** באנגלית) הוא גודל המתאר עד כמה קשה לשנות את מהירות הסיבוב של גוף קשיח כלשהו סביב ציר מסוים (כלומר, עד כמה הגוף נוטה להתמיד בתנועה הסיבובית), זאת בדומה למסה בתנועה קווית (ראה אנלוגיה בין תנועה סיבובית ותנועה קווית). גודל זה תלוי בגיאומטריה של הגוף ובהתפלגות המסה שלו סביב ציר הסיבוב. זהו גודל חשוב בניתוח תנועה סיבובית של גוף קשיח.

## מוטיבציה והגדרה

נתבונן בגוף קשיח המורכב ממסות

m
1

,

m
2

,
.
.
.
,

m
n

{\displaystyle m\_1, m\_2,...,m\_n}

 הנמצאות במיקומים

r
→

1

,

r
→

2

,
.
.
.
,

r
→

n

{\displaystyle \vec{r}\_1,\vec{r}\_2, ..., \vec{r}\_n}

. כעת נניח שהגוף מתחיל להסתובב במהירות זוויתית

ω

{\displaystyle \omega}

 סביב ציר

z

{\displaystyle z}

.

נשאל את עצמינו כמה אנרגיה קינטית יש לגוף המסתובב. כיוון שאנרגיה היא גודל אדטיבי, האנרגיה הכוללת היא פשוט סכום האנרגיות של כל הגופים:

E

t
o
t

=

E

1

.
.
.

E

n

=

{\displaystyle E\_{tot}=E\_{1}+...+E\_{n}=}

=

1
2

m

1

v

1

2

.
.
.

1
2

m

n

v

n

2

=

{\displaystyle ={\frac {1}{2}}m\_{1}v\_{1}^{2}+...+{\frac {1}{2}}m\_{n}v\_{n}^{2}=}

=

1
2

m

1

(

ω

R

1

)

2

.
.
.

1
2

m

n

(

ω

R

n

)

2

=

{\displaystyle ={\frac {1}{2}}m\_{1}\left(\omega R\_{1}\right)^{2}+...+{\frac {1}{2}}m\_{n}\left(\omega R\_{n}\right)^{2}=}

=

1
2

(

m

1

R

1

2

.
.
.

m

n

R

n

2

)

ω

2

{\displaystyle ={\frac {1}{2}}\left(m\_{1}R\_{1}^{2}+...+m\_{n}R\_{n}^{2}\right)\omega ^{2}}

כאשר

R
i

{\displaystyle R\_i}

 הוא המרחק של הגוף ה-

i

{\displaystyle i}

 מציר

z

{\displaystyle z}

.

מה שקיבלנו נראה מאוד דומה לביטוי עבור אנרגיה קינטית של גוף נקודתי בתנועה קווית רגילה

E
k

=

1
2

m

v
2

{\displaystyle E\_k = \frac{1}{2} m v^2}

, אבל עם מהירות זוויתית במקום מהירות קווית, ועם ביטוי חדש במקום המסה, שתלוי רק בגיאומטריה של הגוף. הגודל הזה נקרא **מומנט ההתמד של הגוף סביב ציר

z

{\displaystyle z}**:

I

z

=

m

1

R

1

2

.
.
.

m

n

R

n

2

=

∑

i

m

i

R

i

2

{\displaystyle I\_{z}=m\_{1}R\_{1}^{2}+...+m\_{n}R\_{n}^{2}=\sum \_{i}{m\_{i}R\_{i}^{2}}}

שימו לב שכיוון ש-

R
i

{\displaystyle R\_i}

הוא המרחק של כל גוף מציר ה-

z

{\displaystyle z}

, זהו מומנט ההתמד **סביב ציר**

z

{\displaystyle z}

בלבד. **אין משמעות** לדיבור על מומנט התמד של גוף מבלי לומר סביב איזה ציר הוא מחושב.

## הקשר בין מומנט התמד לתנע זוויתי

קיים קשר הדוק בין התנע הזוויתי של גוף קשיח סביב ציר מסויים

L
z

{\displaystyle L\_z}

, למומנט ההתמד

I
z

{\displaystyle I\_z}

 ולמהירות הזוויתית

ω

{\displaystyle \omega}

 של הגוף, בתנאי שהיא **סביב אותו הציר בלבד**:

L

z

=
ω

I

z

{\displaystyle L\_{z}=\omega I\_{z}}

גם הקשר הזה מזכיר מאוד את הקשר בין תנע קווי למסה של גוף ולמהירותו הקווית. (פיתוח של הקשר הזה ניתן למצוא כאן).

חשוב לשים לב שהקשר הזה נכון רק לרכיבי התנע הזוויתי בציר הסיבוב של הגוף. תיאור מלא יותר של התנועה דורש שימוש בטנזור מומנט ההתמד, והוא מעבר לחומר הנדרש לאולימפיאדה.

## משפט שטיינר

משפט שטיינר (נקרא גם "משפט הציר המקביל") הוא משפט המקשר בין מומנט ההתמד של גוף דרך ציר העובר במרכז המסה שלו, למומנט ההתמד של הגוף סביב ציר המקביל לציר הנ"ל. זהו משפט שטוב להכיר כי הוא מאפשר חישוב של מומנט התמד סביב ציר אחד בעזרת מומנט ההתמד סביב ציר אחר.

### **פיתוח המשפט**

יהי גוף קשיח המורכב מאלמנטי מסה קטנים

m

1

,

m

2

,

m

3

,
.
.
.

{\displaystyle m\_{1},m\_{2},m\_{3},...}

אשר נמצאים במיקומים

r
→

1

,

r
→

2

,

r
→

3

,
.
.
.

{\displaystyle {\vec {r}}\_{1},{\vec {r}}\_{2},{\vec {r}}\_{3},...}

בהתאמה. נניח כי מרכז המסה של הגוף נמצא בראשית הצירים ומומנט ההתמד שלו סביב ציר

z

{\displaystyle z}

הוא

I
0

{\displaystyle I\_0}

. נרצה לחשב את מומנט ההתמד של הגוף סביב ציר המקביל לציר

z

{\displaystyle z}

ואשר עובר ב-

(
d
,
0
,
0
)

{\displaystyle (d,0,0)}

.

נרצה לדעת מה המרחק

r
′

→

{\displaystyle \vec{r'}}

 של כל אלמנט מסה מהציר החדש שלנו. עבור האלמנט ה-

i

{\displaystyle i}

 מתקיים:

r
′

→

i

=

r
→

i

−
(
d
,
0
,
0
)

{\displaystyle {\vec {r'}}\_{i}={\vec {r}}\_{i}-(d,0,0)}

לכן ריבוע המרחק יהיה:

(

r
′

→

i

)

2

=

(

r
→

i

)

2

−

2

r
→

i

⋅
(
d
,
0
,
0
)

(
d
,
0
,
0

)

2

{\displaystyle \left({\vec {r'}}\_{i}\right)^{2}={\color {Blue}\left({\vec {r}}\_{i}\right)^{2}}\ -\ {\color {Red}2{\vec {r}}\_{i}\cdot (d,0,0)}\ +\ {\color {OliveGreen}(d,0,0)^{2}}}

מומנט ההתמד הכולל יהיה סכום של ריבועי המרחקים הללו מוכפלים באלמנטי המסות:

# I

∑

i

m

i

(

r
′

→

i

)

2

=

∑

i

m

i

(

(

r
→

i

)

2

−

2

r
→

i

⋅
(
d
,
0
,
0
)

(
d
,
0
,
0

)

2

)

=

{\displaystyle I=\sum \_{i}{m\_{i}\left({\vec {r'}}\_{i}\right)^{2}}=\sum \_{i}{m\_{i}\left({\color {Blue}\left({\vec {r}}\_{i}\right)^{2}}\ -\ {\color {Red}2{\vec {r}}\_{i}\cdot (d,0,0)}\ +\ {\color {OliveGreen}(d,0,0)^{2}}\right)}=}

=

∑

i

m

i

(

r
→

i

)

2

−

2

∑

i

m

i

r
→

i

⋅
(
d
,
0
,
0
)

∑

i

m

i

(
d
,
0
,
0

)

2

=

{\displaystyle ={\color {Blue}\sum \_{i}{m\_{i}\left({\vec {r}}\_{i}\right)^{2}}}\ -\ {\color {Red}2\sum \_{i}{m\_{i}{\vec {r}}\_{i}\cdot (d,0,0)}}\ +\ {\color {OliveGreen}\sum \_{i}{m\_{i}(d,0,0)^{2}}}=}

=

I

0

−

2

(

∑

i

m

i

r
→

i

)

⋅
(
d
,
0
,
0
)

M

d

2

=

{\displaystyle ={\color {Blue}I\_{0}}\ -\ {\color {Red}2\left(\sum \_{i}{m\_{i}{\vec {r}}\_{i}}\right)\cdot (d,0,0)}\ +\ {\color {OliveGreen}Md^{2}}=}

שימו לב מה יש לנו כאן בתוך הסוגריים -

∑

i

m

i

r
→

i

{\displaystyle {\color {Red}\sum \_{i}{m\_{i}{\vec {r}}\_{i}}}}

 הוא מיקום מרכז המסה. אבל מרכז המסה נמצא בראשית הצירים, כך שזהו וקטור האפס. זה אומר שכל החלק האדום למעשה שווה ל-0. קיבלנו, אם כך:

# I

I

0

M

d

2

{\displaystyle I=I\_{0}+Md^{2}}

אפשר לחשוב על התוצאה הזו כך: מומנט ההתמד של גוף סביב ציר שאינו עובר במרכז המסה, הוא סכום של מומנט ההתמד שלו סביב ציר מקביל שכן עובר שם, יחד עם מומנט ההתמד שהיה לגוף סביב הציר החדש אילו כל המסה שלו הייתה מרוכזת במרכז המסה.

**טעות נפוצה** היא שימוש במשפט שטיינר ע"מ לעבור בין שני צירים **שאף אחד** מהם אינו עובר דרך מרכז המסה. על מנת לבצע מעבר כזה, אין ברירה אלא לחשב ראשית את מומנט ההתמד סביב ציר מרכז המסה **ורק ממנו** לחשב את מומנט ההתמד סביב הציר החדש.

## דוגמאות: חישוב מומנטי התמד של גופים שונים

**דוגמא - מומנט התמד של מוט אחיד**

נניח שיש לנו מוט באורך

L

{\displaystyle L}

 ומסה

m

{\displaystyle m}

. נחשב את מומנט ההתמד שלו סביב ציר סיבוב העובר במרכזו ומאונך למוט. נעשה זאת על ידי חלוקה של המוט לאלמנטי מסה אינפניטסימליים וסכימה של מומנטי ההתמד של כולם.
ניקח אלמנט מסה באורך קטן

d
x

{\displaystyle dx}

 הנמצא במרחק

x

{\displaystyle x}

 מציר הסיבוב. מומנט ההתמד שלו סביב הציר שלנו יהיה, לפי ההגדרה:

d
# I

x

2

d
# m

x

2

m
L

d
x

{\displaystyle dI=x^{2}dm=x^{2}{\frac {m}{L}}dx}

כיוון שהציר עובר במרכז המוט, הסכימה תתבצע בתחום

−

L
2

<
x
<

L
2

{\displaystyle -{\frac {L}{2}}<x<{\frac {L}{2}}}

:

# I

∫

−
L

/

2

L

/

2

x

2

m
L

d
x

=

1
12

m

L

2

{\displaystyle I=\int \_{-L/2}^{L/2}{x^{2}{\frac {m}{L}}dx}={\frac {1}{12}}mL^{2}}