BEAF

## **Функція розширення масиву Бауерса**

**Функція розширення масиву Бауерса** ( **BEAF** ) — це позначення для дуже великих чисел, винайдене Джонатаном Бауерсом , подібне до нотації зі ланцюжковою стрілкою , але набагато сильніше. Це надмножина нотації масиву та нотації розширеного масиву , винайдених Бауерсом.  Він став досить відомим у гугології завдяки своїй простоті та швидкості зростання, не кажучи вже про величезну кількість химерних імен чисел, визначених функцією (таких як golapulus та легендарна meameamealokkapoowa oompa, одна з найбільших цифр Бауера). Однак узгодженого визначення нотації над тетраційними масивами немає. Тому, строго кажучи, BEAF поза тетраційними масивами є погано визначеним, хоча BEAF перед тетраційними масивами є чітко визначеним.

Хоча Кріс Берд і Джон Спенсер (друг Бауерса) допомагали в будівництві BEAF, Бауерсу зазвичай приписують виключну функцію.

Sbiis Saibian зазначив, що існування нотації, яка повністю задовольняє правила Бауерса, є **відкритою проблемою в гугології** . Хоча він лише прямо згадує пентаційні масиви, це, ймовірно, також відноситься до інших рівнів BEAF.

## Визначення

Ось приблизний ескіз того, як це приблизно має працювати. Як ми пояснювали вище, не існує узгодженого визначення оригінального BEAF за межами тетраційних масивів, і, отже, це не повне визначення.

* «База» ( *b* ) є першим записом у масиві.
* "Простий" ( *p* ) є другим записом у масиві.
* "Пілот" - це перший запис не з 1 після простого числа. Це може бути вже з третього входу.
* "Другий пілот" - це запис безпосередньо перед пілотом. Другий пілот не існує, якщо пілот є першим записом у його рядку.
* «Структура» — це частина масиву, яка складається з групи нижчих розмірів. Це може бути запис (письмовий ), рядок (письмовий ), площина ( ), область ( ) або канал ( ), не кажучи вже про високовимірні структури ( , тощо) і тетраційні структури, наприклад . Ми також можемо продовжити з пентаційними , шестигранними , ..., розширеними , ... структурами.
* «Попередній запис» — це запис, який відбувається перед пілотним записом, але знаходиться в тому ж рядку, що й усі інші попередні записи. «Попередній рядок» — це рядок, який знаходиться перед пілотним рядком, але знаходиться на тій самій площині, що й усі інші попередні рядки. «Попередня площина» — це площина, яка виникає перед площиною пілота, але знаходиться в тій самій сфері, що й усі інші попередні площини тощо. Вони називаються «попередніми структурами».
* "Простий блок" структури обчислюється шляхом заміни всіх екземплярів на . Наприклад, якщо , простий блок дорівнює , або куб зі стороною довжини . Основним блоком структури є , -гіперкуб з довжиною сторони .
* «Літак» включає пілота, усі попередні записи та основний блок усіх попередніх структур.
* "Пасажири" - це записи в літаку, які не є пілотом або другим пілотом.
* Значення масиву позначається , де *A* – масив.

# p
1

{\displaystyle p = 1}

,

v
(
A
# )
b

{\displaystyle v(A) = b}

.
2. *Початкове правило* : якщо немає пілота,.
3. *Катастрофічне правило* : якщо ні 1, ні 2 не застосовуються, тоді:

v
(
A
# )

b
p

{\displaystyle v(A) = b^p}

	1. пілот зменшується на 1,
	2. другий пілот стає вихідним масивом зі зменшеним штрихом на 1,
	3. кожен пасажир стає *b* ,
	4. а решта масиву залишається незмінною.

## Типи масивів

### Лінійні масиви

*Основна стаття: Нотація масивів*
**Лінійні масиви** є найменшим і найпростішим типом масиву. Лінійний масив складається з одновимірного ряду чисел, напр

{
5
,
8
,
7
,
2
,
4
}

{\displaystyle \{5,8,7,2,4\}}

. Незважаючи на те, що це найменші масиви BEAF, лінійні масиви з більш ніж чотирма елементами ростуть набагато, набагато швидше, ніж ланцюгові стрілочні нотації (теорема, відома як Bird's Proof ). Позиції в лінійних масивах можна описати одним числом, наприклад, четвертим записом.

### Розмірні масиви

*Основна стаття: Нотація розширеного масиву*
**Розмірні масиви** – це масиви, для представлення яких потрібні 2 або більше вимірів. Щоб записати ці масиви в один рядок, потрібно використовувати числа в дужках замість ком, щоб позначити розриви в кількох вимірах. (1) означає, що наступні числа знаходяться в наступному рядку, (2) означає наступну площину, (3) означає наступну область (3-пробіл), (4) означає наступну канавку (4-пробіл) і так далі. Наприклад

{
3
,
3
,
3
(
1
)
3
,
3
,
3
(
1
)
3
,
3
,
3
}

{\displaystyle \{3,3,3 (1) 3,3,3 (1) 3,3,3\}}

 ,означає квадрат трійки 3 на 3. Для представлення позицій у розмірних масивах потрібні лінійні масиви. Наприклад

(
5
,
6
,
8
,
2
)

{\displaystyle (5,6,8,2)}

 ,означає п'ятий запис у шостому рядку на восьмому рівні у другій сфері. Ці структури також можна назвати експоненціальними масивами.

### Тетраційні масиви

**Тетраційні масиви** — це масиви, для представлення яких потрібні тетраційні простори. Вони є найбільшою частиною BEAF із узгодженим визначенням у гугологічній спільноті, і тому вони, можливо, є найбільшою чітко визначеною частиною BEAF. Тетраційні простори складаються з надвимірного простору, тривимірного простору, чотиривимірного простору тощо.

Надвимірні масиви складаються не тільки з розмірних просторів, а й з розмірних груп, розмірних просторів груп, груп груп, груп (наступного після групи рівня структури) тощо.

Позиції в надвимірних масивах потребують розмірних масивів для представлення, позиції в тривимірних масивах потребують надвимірних масивів для представлення тощо.

### Пентаційні масиви

У **пентаційних масивах** степені сортуються в групи, наприклад

X
{
X
X
X
}
{
X
X
X
}
{
{
X
X
X
}
{
X
X
X
}
{
X
X
X
}
}

{\displaystyle X \uparrow \{X\uparrow X\uparrow X\} \uparrow \{X\uparrow X\uparrow X\} \uparrow \{ \{X\uparrow X\uparrow X\} \uparrow \{X\uparrow X\uparrow X\} \uparrow \{X\uparrow X\uparrow X\}\}}

 або

X
↑↑
(
X
2
2
X
1
)

{\displaystyle X \uparrow\uparrow ( X \uparrow 2+2X+1)}

де X оцінюється як 3. {} не розв’язуються, як звичайні дужки, а використовуються для групування експонент у тетраційні блоки (тому, якщо змінюється простий запис, кількість X або {X^...^X} у кожному блоці також буде змінено на простий запис).

Користувачі Googology Wiki Deedlit11  та Ikosarakt1  визначили пентаційні масиви за допомогою методу без сходження — кожен окремим способом — і прийшли до однакових результатів, які узгоджуються з початком цієї роботи Бауерсом, але обидва мають розбіжності з правилом «A&n має A(n) записів», і тому не можуть вважатися дійсними спробами.

### Більші масиви не легіонів

Існують більші масиви, такі як hexational , heptational , expandal , multiexpandal , powerexpandal , explodal , multiexplodal , detonational тощо. Зрештою ми створюємо дійсно великий масив, простір у якому має бути представлений за допомогою нотації масиву (лінійної, розмірної, тетраційної тощо).

Джонатан Боуерз коментує ці масиви: «Як з ними працювати? Лише Богу відомо, але вони повинні сформувати якісь величезні масиви — і, коли їх розв’язати, цілковито невимовні числа».

Deedlit11 також визначив масиви «стрілок»  (гексаційні, гептаційні та інші, які визначені в термінах масивів Кнута), і вони, ймовірно, підтверджують результати Бауерса, але підтвердження цих результатів ще не існує.

### Легіони

Перш ніж обговорювати легіони, ми повинні спочатку визначити масив операторів. *масив* b *,* записаний *a* & *b* , визначається як { *b* , *b* , *b , ...}, у* якому є *b* . Якщо *a* є експонентою або масивом, це вказує на розміри отриманого масиву. Наприклад

3
2

&
# 3
{
3
,
3
,
3
(
1
)
3
,
3
,
3
(
1
)
3
,
3
,
3
}

{\displaystyle 3^2 \& 3 = \{ 3, 3, 3 (1) 3, 3, 3 (1) 3, 3, 3 \}}

 , це 3 на 3

=

3
2

{\displaystyle = 3^2}

масив із 3-х.

Далі Бауерс розширює BEAF, використовуючи **масиви легіонів** (у своїй старій нотації він використовував термін « **розірвані масиви** »). В масиві

{
a
,
b
,
c
,
⋯

/

2
}

{\displaystyle \{ a, b, c, \cdots / 2\}}

 , ми говоримо, що число 2 знаходиться у другому легіоні. У такому випадку ми розв’язуємо масив у першому легіоні нормально, але в початковому правилі ми говоримо це

v
(
A
# )
b
&
b
&
b
&
b
&
⋯
b
&
b
&
b
&
b

{\displaystyle v(A) = b \& b \& b \& b \& \cdots b \& b \& b \& b}

 *p* разів, розв’язуючи зліва направо. Наприклад,

{
3
,
3

/

2
# }
3
&
3
&
# 3
{
3
,
3
,
3
}
&
3

{\displaystyle \{ 3, 3 / 2\} = 3 \& 3 \& 3 = \{3, 3, 3\} \& 3}

(п'ятизначний масив із записами tritri , відомий як triakulus ).

У загальному випадку

{
b
,
p

/

x
}

{\displaystyle \{b, p / x\}}

,є

x

{\displaystyle x}

 пілотом. Основним блоком легіону є

b
&
b
&
.
.
.
&
b
&
b

{\displaystyle b \& b \& ... \& b \& b}

 разів, даючи нам загальний випадок:

{
b
,
p

/

x
1
# }
{
b
&
b
&
b
⋯
b
&
b
&
b

/

x
}

{\displaystyle \{ b, p / x + 1\} = \{ b \& b \& b \cdots b \& b \& b / x\}}

Наприклад:

{
3
,
3

/

3
# }
{
3
&
3
&
3

/

2
}

{\displaystyle \{ 3,3 / 3\} = \{ 3 \& 3 \& 3 / 2\}}

Тепер перший легіон містить a

3
↑↑↑
3

{\displaystyle 3\uparrow\uparrow\uparrow3}

 масив трійок, який потім потрібно вирішити на другому рівні масивів легіонів.

Ми також можемо мати кілька масивів у другому легіоні, наприклад

{
3
,
3

/

3
,
3
}

{\displaystyle \{3, 3 / 3, 3\}}

 . Кожен легіон може бути вимірним, тетраційним, пентаційним, розширювальним тощо. Масив також може мати більше двох легіонів, напр.

{
3
,
4

/

5
,
6

/

7
,
8
}

{\displaystyle \{ 3, 4 / 5, 6 / 7, 8\}}

 . Структура легіонів може бути багатовимірною, використовуючи (/ *n* ) для позначення *n* -вимірного розриву легіону, наприклад

{
3
,
4
(

/

6
,
2
)
9
,
4
}

{\displaystyle \{ 3, 4 (/6, 2) 9, 4\}}

 це масив тетраційного легіону.

One все ще є стандартними в масивах legion:

{
A

/

1
# }
{
A
}

{\displaystyle \{ A / 1\} = \{A\}}

### Кілька легіонів, легіатичні масиви

Щоб продовжити це далі, потрібно пояснити символ «масив легіону»: &&. Він працює як стандартний символ «масиву», але для масивів легіонів, наприклад, 3 && 3 = {3,3 (/1) 2} = {3 & 3 & 3 / 3 & 3 & 3 / 3 & 3 & 3} (тут / працює як коми в стандартних масивах), і Бауерс визначає знак подвійного легіону (наприклад, {3,3 // 2}) як повторюваний символ «масиву» легіону:

{
a
,
b

/

/

2
# }
a
&
&
a
&
&
a
⋯
a
&
&
a
&
&
a

{\displaystyle \lbrace a,b // 2\rbrace = a\&\&a\&\&a\cdots a\&\&a\&\&a}

 (b разів)

Звичайно, масиви подвійних легіонів можуть бути багатовимірними, тетраційними та іншими, аж до самих подвійних легіонів. Має сенс визначити масиви потрійних легіонів як повторювані знаки подвійного легіону, чотирикратні як повторювані знаки потрійного легіону тощо.

Окрім цього, потрібно визначити нову структуру:

{
a
,
b
(
1
)

/

2
# }
{
a
,
b

/

/

/

.
.
.

/

/

/

2
}

{\displaystyle \{ a,b (1)/ 2\} = \{ a,b ///.../// 2 \}}

 (б's) (знак легіону в наступному рядку знаків легіону займає під основним блоком попередній ряд знаків легіону). Знаки Легіону можуть бути самими масивами, структурними конструкціями

{
a
,
b

/

/

/

(
2
)

/

(
3
)

/

/

(
4
)

/

(
1
,
2
)

/

2
}

{\displaystyle \{ a,b ///(2)/(3)//(4)/(1,2)/ 2 \}}

 .

Щоб розширити це ще далі, Бауерс визначає нову нотацію:

{
L
,
1

}

a
,
b

=
{
a
,
b

/

2
}
,
{
L
,
2

}

a
,
b

=
{
a
,
b

/

/

2
}
,
{
L
,
X

}

a
,
b

=
{
a
,
b
(
1
)

/

2
}

{\displaystyle \{ L,1\}\_{a,b} = \{ a,b / 2\}, \{ L,2\}\_{a,b} = \{ a,b // 2\}, \{ L,X\}\_{a,b} = \{ a,b (1)/ 2\}}

.

Це лише невеликі приклади легіатичних масивів або масивів «знаків легіону», які існують

{
L
,
X
↑↑↑
X

}

a
,
b

{\displaystyle \{ L,X \uparrow\uparrow\uparrow X \}\_{a,b}}

, пентаційний легіатичний масив. Є також такі масиви

{
L
,
L

}

a
,
b

{\displaystyle \{ L,L \}\_{a,b}}

 , легіон легіатичний масив, легіонні знаки на легіонних знаках. Є такі речі

{
L
,
L
,
L

}

a
,
b

{\displaystyle \{L,L,L\}\_{a,b}}

,

{
L
,
L
,
L

}

a
,
b

{\displaystyle \{L,L,L\}\_{a,b}}

,

{
L
,
L
(
1
)
2

}

a
,
b

{\displaystyle \{L,L (1) 2\}\_{a,b}}

. Доцільно визначити легіатичну марку «масив»:(b L)

Наприклад, (між а і b @)

a
# b
{
L
,
L
,
L
,
.
.
.
,
L
,
L
,
L

}

a
,
b

{\displaystyle a b = \{L,L,L,...,L,L,L\}\_{a,b}}

a

2

# b
{
L
,
L
,
L
,
.
.
.
,
L
,
L
,
L
(
1
)
L
,
L
,
L
,
.
.
.
,
L
,
L
,
L
(
1
)
.
.
.
(
1
)
L
,
L
,
L
,
.
.
.
,
L
,
L
,
L
(
1
)
L
,
L
,
L
,
.
.
.
,
L
,
L
,
L

}

a
,
b

{\displaystyle a^{2} b = \{L,L,L,...,L,L,L(1)L,L,L,...,L,L,L(1)...(1)L,L,L,...,L,L,L(1)L,L,L,...,L,L,L\}\_{a,b}}

(між

3
3

{\displaystyle 3^3}

і

3

{\displaystyle 3}

 @)

3

3

# 3
{
L
,
L
,
L
(
1
)
L
,
L
,
L
(
1
)
L
,
L
,
L
(
2
)
L
,
L
,
L
(
1
)
L
,
L
,
L
(
1
)
L
,
L
,
L
(
2
)
L
,
L
,
L
(
1
)
L
,
L
,
L
(
1
)
L
,
L
,
L

}

a
,
b

{\displaystyle 3^{3} 3 = \{L,L,L(1)L,L,L(1)L,L,L(2)L,L,L(1)L,L,L(1)L,L,L(2)L,L,L(1)L,L,L(1)L,L,L\}\_{a,b}}

.

### Лугіони, лагіони, лігіони, логіони і далі

По-перше, Бауерс визначає {a,b \ 2} = a @ a @ a ... a @ a @ a (b a's), де \ — це *позначка* . Немає проблем розширити його далі, ми можемо створити

{
3
,
4
,
5
(
∖
1
,
2
)
7
,
8
(
∖
3
)
2
}

{\displaystyle \{3,4,5 (\backslash 1,2) 7,8 (\backslash 3) 2\}}

 (розмірний люгіонний масив),

{
5
,
5
,
5
∖
∖
∖
∖
∖
∖
3
}

{\displaystyle \{5,5,5 \backslash\backslash\backslash\backslash\backslash\backslash 3\}}

(шестикратний люгіонний масив). Простір Лугіона є простором L2, тому {L2,X} a,b = {a,b (1)\ 2}. Звідси легко перейти до лугіаттичних масивів, або масивів «міток люгіону». Лугіатичний «масив» знаків становить %, а повторювані лугіатичні «масиви» позначок називаються *лагіонами* : {a,b | 2} = a % a % a ... a % a % a (b a). Повторювані лагіатичні «масиви» позначок, які називаються *лігіями* : {a,b - 2} = a # a # a ... a # a # a (b a). Ми можемо мати «лігіатичні» масиви, використовуючи $, а повторювані лігіатичні «масиви» позначок називатимуться *логіонами* або {a, b?2}

Тоді зверніть увагу, що простір легіону – це L1, простір лугіону – це L2, простір лагіону – це L3, простір лігіону – це L4, простір логіону – це L5, ми можемо продовжити до просторів L6, L7,... і таких структур, як LX, L(X+1), L(X+2), L(2X), L(X^^^X), LL, LLL.

L можуть самі формувати масив, наприклад {LLL(1)LLL(2)LLL(1)LLL,10} 3,3 , і {(1)L,10} 3,3 = {LLL,10} 3,3 . L-масиви (не плутати з легіатичними масивами) можуть бути вимірними, надвимірними, тривимірними, тетраційними, ... , легіатичними, лугіаттичними, лагіаттичними, лігіатичними, L100-аттичними, LL-аттичними тощо. L-масиви можуть бути достатньо великими, щоб бути представлені нижчими L-масивами, які потім представлені нижчими L-масивами... і це межа BEAF.

## Аналіз

Навіть низькорівневий BEAF легко передає функцію Аккермана , стрілочну нотацію Кнута (до якої вона є розширенням), ланцюгову стрілкову нотацію Конвея та гіпер - E нотацію Саібіана . BEAF має лише узгоджене визначення до тетраційних масивів (які потрапляють на порядковий рівень

ε
0

{\displaystyle \varepsilon\_0}

 у швидкозростаючій ієрархії ). Користувач Googology Wiki hyp cos зробив неофіційний аналіз того, наскільки потужним «має» бути BEAF. Його можна знайти тут , тут і тут . Однак цей аналіз не слід сприймати надто серйозно, оскільки він призначає темпи зростання нечітко визначеним частинам BEAF.

Оскільки BEAF має бути обчислюваною функцією , її, природно, перевершують Функція працьовитих бобрів

Σ
(
n
)

{\displaystyle \Sigma(n)}

,Функція Ксі

Ξ
(
n
)

{\displaystyle \Xi(n)}

 , функція Райо тощо. Однак, оскільки BEAF є **неформалізованим** і існування його формалізації **залишається важливою відкритою проблемою в гугології** , навіть його обчислюваність не має математично сенсу.