圆锥曲线

File:Secciones Conicas.svg
**圆锥曲线**（英語：conic section），又稱**圓錐截痕**、**圓錐截面**、**二次平面曲线**，是数学、幾何學中透过平切圆锥（嚴格為一个正圆锥面和一个平面完整相切）得到的曲线，包括圆，椭圆，抛物线，双曲线及一些退化类型。

圆锥曲线在約西元前200年時就已被命名與研究，其發現者為古希臘的數學家阿波羅尼奥斯，當时阿波羅尼阿斯已对它们的性质做過系统性的研究。

圆锥曲线应用最广泛的定义为（椭圆，抛物线，双曲线的统一定义）：动点到一定点（焦点）的距离与其到一定直线（准线）的距离之比为常数（離心率

e

{\displaystyle e}

）的点的集合是圆锥曲线。对于

0
<
e
<
1

{\displaystyle 0<e<1}

得到椭圆，对于

# e
1

{\displaystyle e = 1}

得到抛物线，对于

e
>
1

{\displaystyle e>1}

得到双曲线。

定义
--

设

F

{\displaystyle F}

为定点，

l

{\displaystyle l}

为定直线，

e

{\displaystyle e}

为正常数，称满足

P
F

P
l

=
e

的动点

P

{\displaystyle P}

的轨迹为**圆锥曲线**。

其中

F

{\displaystyle F}

为其焦点，

l

{\displaystyle l}

为准线，

e

{\displaystyle e}

为离心率。

由此可知，圆锥曲线的极坐标参数方程为

# ρ
e
(
d
−
ρ
cos
⁡
θ
)

{\displaystyle \rho=e(d-\rho\cos\theta)}

或

# ρ

e
d

1
±
e
cos
⁡
θ

{\displaystyle \rho=\frac{ed}{1\pm e\cos\theta}}

（正负号由所选焦点与定直线所处的位置不同而引起）。
其中

θ

{\displaystyle \theta}

为

P
F

{\displaystyle PF}

与极轴的夹角，

d

{\displaystyle d}

为定直线

# x
d

{\displaystyle x=d}

，即准线到焦点的距离。

将参数方程转换成直角坐标方程易得，

当

# e
1

{\displaystyle e = 1}

时，曲线为抛物线。
当

e
≠
1

{\displaystyle e\neq 1}

时，
当

0
<
e
<
1

{\displaystyle 0<e<1}

时，曲线为椭圆。
当

e
>
1

{\displaystyle e>1}

时，曲线为双曲线。
## 圆锥曲线的类型

 File:Conic sections with plane.svg
椭圆，圆：当平面只与圆锥面一侧相交，交截线是闭合曲线的时候，且不过圆锥顶点，结果为近似椭圆。如果截面与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。

抛物线：截面仅与圆锥面的一条母线平行，结果为抛物线。

双曲线：截面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线。

在平面通过圆锥的顶点的时候，有一些退化情况。交截线可以是一个直线、一个点、或一对直线。

## 几何性质

### 离心率

 File:Eccentricity.svg
对于椭圆和双曲线，可以采用两种焦点-准线组合，每个都给出同样完整的椭圆或双曲线。从中心到准线的距离是

a

/

e

{\displaystyle a/e \ }

，这里的

a

{\displaystyle a \ }

是椭圆的半长轴，或双曲线的半实轴。从中心到焦点的距离是

a
e

{\displaystyle ae \ }

。

在圆的情况下，

# e
0

{\displaystyle e = 0}

且准线被假想为离中心无限远。这时声称圆由距离是到L的距离的e倍的所有点组成是没有意义的。

圆锥曲线的离心率因此是对它偏离于圆的程度的度量。

对于一个给定的

a

{\displaystyle a \ }

，

e

{\displaystyle e \ }

越接近于1，半短轴就越小。

## 笛卡尔坐标

在笛卡尔坐标系内，二元二次方程的圖像可以表示圓錐曲線，并且所有圓錐曲線都以這種方式引出。方程有如下形式

Q
(
x
,
y
# )
A

x
2

B
x
y
C

y
2

D
x
E
y
# F
0

{\displaystyle
Q(x,y) = Ax^2+Bx y+Cy^2+Dx+Ey+F=0 }

此處參數

A

{\displaystyle A\,}

，

B

{\displaystyle B\,}

和

C

{\displaystyle C\,}

不得皆等於

0

{\displaystyle 0\ }

。
### 矩陣表示

上述方程可以使用矩陣表示爲

[

x

y

]

[

A

B

/

2

B

/

2

C

]

[

x

y

]

[

D

E

]

[

x

y

]

# F
0

{\displaystyle \left [\begin{matrix}x & y \end{matrix}\right] \left[ \begin{matrix}A & B/2\\B/2 & C\end{matrix}\right] \left[ \begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right] + \left[\begin{matrix}D & E \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right] +F= 0 }

亦可以寫作

[

x

y

1

]

[

A

B

/

2

D

/

2

B

/

2

C

E

/

2

D

/

2

E

/

2

F

]

[

x

y

1

]

=
0

{\displaystyle \left[\begin{matrix}x & y & 1\end{matrix}\right] \left[ \begin{matrix}A & B/2 & D/2\\B/2 & C & E/2\\D/2&E/2&F\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}x\\y\\1\end{matrix}\right] = 0 }

這是在射影幾何中使用的齊次形式的一個特例。 (参见齐次坐标)

下文中記

A

3
3

=

[

A

B

/

2

B

/

2

C

]

{\displaystyle A\_{3 3} = \left[ \begin{matrix}A & B/2\\B/2 & C\end{matrix}\right] }

，記

A
Q

=

[

A

B

/

2

D

/

2

B

/

2

C

E

/

2

D

/

2

E

/

2

F

]

{\displaystyle
A\_Q =
\begin{bmatrix}
 A & B/2 & D/2 \\
 B/2 & C & E/2 \\
 D/2 & E/2 & F
\end{bmatrix}
}

。

### 類別

藉由

A
Q

{\displaystyle A\_Q}

，我們可以判定圓錐曲線是否退化。

* 若

det
(

A
Q

# )
0

{\displaystyle \det (A\_Q) = 0}

，則圓錐曲線

Q

{\displaystyle Q}

退化。
* 若

det
(

A
Q

)
≠
0

{\displaystyle \det (A\_Q) \neq 0}

，則圓錐曲線

Q

{\displaystyle Q}

未退化。

若圓錐曲線未發生退化，則

* 若

det
(

A

3
3

)
>
0

{\displaystyle \det (A\_{3 3}) > 0}

, 方程表示一個橢圓；
	+ 對於橢圓，當

	(
	A
	C
	)
	det
	(

	A
	Q

	)
	<
	0

	{\displaystyle (A + C) \det (A\_Q) < 0}

	時，

	Q

	{\displaystyle Q}

	爲一個實橢圓；當

	(
	A
	C
	)
	det
	(

	A
	Q

	)
	>
	0

	{\displaystyle (A + C) \det (A\_Q) > 0}

	時

	Q

	{\displaystyle Q}

	爲一個虛橢圓。（例如，

	2

	x
	2

	y
	2

	10
	=
	0

	{\displaystyle 2x^2 + y^2 + 10 = 0 }

	沒有任何實值解，是一個虛橢圓）
	+ 特別的，若

	A
	=
	C

	{\displaystyle A = C}

	 ，

	B
	=
	0

	{\displaystyle B = 0}

	且

	D
	2

	E
	2

	−
	4
	A
	F
	>
	0

	{\displaystyle D^2+E^2-4AF>0\,}

	，作爲橢圓的特殊情況，

	Q

	{\displaystyle Q}

	表示一個圓。
* 若

det
(

A

3
3

# )
0

{\displaystyle \det (A\_{3 3}) = 0 }

，

Q

{\displaystyle Q}

表示一條拋物線；
* 若

det
(

A

3
3

)
<
0

{\displaystyle \det (A\_{3 3}) < 0 }

，

Q

{\displaystyle Q}

表示一條雙曲線；
	+ 若

	A
	C
	=
	0

	{\displaystyle A+C=0}

	 ，

	Q

	{\displaystyle Q}

	表示一條直角雙曲線。

若圓錐曲線發生退化，則

* 若

det
(

A

3
3

)
>
0

{\displaystyle \det (A\_{3 3}) > 0}

，作爲橢圓的退化，

Q

{\displaystyle Q}

爲一個點。
* 若

det
(

A

3
3

# )
0

{\displaystyle \det (A\_{3 3}) = 0 }

，作爲拋物線的退化，

Q

{\displaystyle Q}

爲兩條平行直線。
	+ 若

	D
	2

	E
	2

	>
	4
	(
	A
	C
	)
	F

	{\displaystyle D^2+E^2>4(A+C)F}

	，

	Q

	{\displaystyle Q}

	爲兩條不重合的平行直線。
	+ 若

	D
	2

	E
	2

	=
	4
	(
	A
	C
	)
	F

	{\displaystyle D^2+E^2=4(A+C)F}

	，

	Q

	{\displaystyle Q}

	爲兩條重合的平行直線。（特別的，此時

	A
	Q

	{\displaystyle A\_Q}

	的秩爲1）
	+ 若

	D
	2

	E
	2

	<
	4
	(
	A
	C
	)
	F

	{\displaystyle D^2+E^2<4(A+C)F}

	，

	Q

	{\displaystyle Q}

	直線不存在與實平面中。
* 若

det
(

A

3
3

)
<
0

{\displaystyle \det (A\_{3 3}) < 0 }

，作爲雙曲線的退化，

Q

{\displaystyle Q}

爲兩條相交直線。（同時，也是雙曲線的漸近線）

在此處的表達中，

A

{\displaystyle A}

和

B

{\displaystyle B}

爲多項式係數，而非半長軸

A

{\displaystyle A}

和半短軸

B

{\displaystyle B}

。

### 不變量

矩陣

A
Q

{\displaystyle A\_Q}

、

A

3
3

{\displaystyle A\_{3 3} }

的行列式，以及

A
C

{\displaystyle A+C}

（

A

3
3

{\displaystyle A\_{3 3} }

的跡）在任意的旋轉和座標軸的交換中保持不變。 Template:Rp 常數項

F

{\displaystyle F}

以及

D
2

E
2

{\displaystyle D^2+E^2}

僅在旋轉中保持不變。Template:Rp

### 離心率

Q

{\displaystyle Q}

的離心率可被寫作關於

Q

{\displaystyle Q}

係數的函數。 若

det
(

A

3
3

# )
0

{\displaystyle \det (A\_{3 3}) = 0 }

，

Q

{\displaystyle Q}

爲 拋物線，其離心率爲1。其它情況下，假設

Q

{\displaystyle Q}

表達一個未退化的橢圓或雙曲線，那麼

# e

2

(
A
−
C

)
2

B
2

η
(
A
C
)

(
A
−
C

)
2

B
2

,

{\displaystyle e=\sqrt{\frac{2\sqrt{(A-C)^2 + B^2}}{\eta (A+C) + \sqrt{(A-C)^2 + B^2}}},}

此處若

det
(

A
Q

)

{\displaystyle \det (A\_Q) }

爲負則

# η
1

{\displaystyle \eta=1}

；若

det
(

A
Q

)

{\displaystyle \det (A\_Q) }

爲正則

# η
−
1

{\displaystyle \eta=-1}

。

此外，離心率

e

{\displaystyle e}

也是下述方程的一個正根Template:Rp

Δ

e
4

[
(
A
C

)
2

−
4
Δ
]

e
2

−
[
(
A
C

)
2

−
4
Δ
# ]
0
,

{\displaystyle \Delta e^4+[(A+C)^2-4\Delta]e^2-[(A+C)^2-4\Delta]=0,}

此處

# Δ
det
(

A

3
3

)

{\displaystyle \Delta =\det (A\_{3 3}) }

 。對於橢圓或拋物線，該方程只有一個正根，即其離心率；對於雙曲線，其有兩個正根，其中的一個爲其離心率。

### 轉換爲標準方程

對於橢圓或雙曲線，

Q

{\displaystyle Q}

可用變換後的變量

x
′

,

y
′

{\displaystyle x',y'}

表示爲如下所示的標準形式

x

′
2

−
S

/

λ
1
2

λ
2

y

′
2

−
S

/

λ
1

λ
2
2

=
1
,

{\displaystyle \frac{x'^2}{-S / \lambda\_1^2\lambda\_2}+\frac{y'^2}{-S / \lambda\_1\lambda\_2^2}=1,}

或等價的

x

′
2

−
S

/

λ
1

Δ

y

′
2

−
S

/

λ
2

Δ

=
1
,

{\displaystyle \frac{x'^2}{-S / \lambda\_1\Delta}+\frac{y'^2}{-S / \lambda\_2\Delta}=1,}

此處，

λ
1

{\displaystyle \lambda\_ 1}

和

λ
2

{\displaystyle \lambda\_2}

爲

A

3
3

{\displaystyle A\_{3 3} }

的特徵值，也即下述方程的兩根：

λ
2

−
(
A
C
)
λ
(
A
C
−
(
B

/

2

)
2

# )
0

{\displaystyle \lambda^2-(A+C)\lambda +(AC-(B/2)^2) =0}

同時，

# S
det
(

A
Q

)

{\displaystyle S = \det (A\_Q) }

，

# Δ

λ
1

λ
2

=
det
(

A

3
3

)

{\displaystyle \Delta=\lambda\_1\lambda\_2=\det (A\_{3 3}) }

。

透過座標變換，各種類型的圓錐曲線都可以表示爲其標準形式：

x
2

y
2

=

a
2

{\displaystyle {x^2} + {y^2}=a^2 \ }

x
2

a
2

y
2

b
2

=
1

{\displaystyle {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2}=1 \ }

y
2

=
4
a
x

{\displaystyle y^2=4ax \,}

x
2

a
2

−

y
2

b
2

=
1

{\displaystyle {x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2}=1 \ }
 参数方程式

a
cos
⁡
θ
,
a
sin
⁡
θ

{\displaystyle a\cos\theta,a\sin\theta\,}

a
cos
⁡
θ
,
b
sin
⁡
θ

{\displaystyle a\cos\theta,b\sin\theta\,}

a

t
2

,
2
a
t

{\displaystyle a t^2,2 a t\,}

a
sec
⁡
θ
,
b
tan
⁡
θ

{\displaystyle a\sec\theta,b\tan\theta\,}

或

±
a
cosh
⁡
u
,
b
sinh
⁡
u

{\displaystyle \pm a\cosh u,b \sinh u\,}

## 极坐标

 File:Elps-slr.svg
圆锥曲线的**半正焦弦**（semi-latus rectum）通常指示为

ℓ

{\displaystyle \ell}

，是从单一焦点或两个焦点中的一个，到圆锥曲线自身的，沿着垂直于主轴（长轴）的直线度量的距离。它有关于半长轴

a

{\displaystyle a}

，和半短轴

b

{\displaystyle b}

，通过公式

a
# ℓ

b
2

{\displaystyle a\ell=b^2 \ }

或

# ℓ
a
(
1
−

e
2

)

{\displaystyle \ell=a(1-e^2) \ }

。

在极坐标系中，圆锥曲线有一个焦点在原点，如果有另一个焦点的话它在正*x*轴上，给出自方程

# r

ℓ

(
1
−
e
cos
⁡
θ
)

{\displaystyle r = {\ell \over (1 - e \cos \theta) }}

，
或者，

1
r

=

1
ℓ

(
1
−
e
cos
⁡
θ
)

{\displaystyle \frac{1}{r} = \frac{1}{\ell}(1 - e \cos \theta)}

，
如上，对于

# e
0

{\displaystyle e = 0}

得到一个圆，对于

0
<
e
<
1

{\displaystyle 0<e<1}

得到椭圆，对于

# e
1

{\displaystyle e = 1}

得到抛物线，对于

e
>
1

{\displaystyle e>1}

得到双曲线。

## 齐次坐标

在齐次坐标下圆锥曲线可以表示为：

A
1

x
2

A
2

y
2

A
3

z
2

2

B
1

x
y
2

B
2

x
z
2

B
3

y
# z
0

{\displaystyle A\_1x^2 + A\_2y^2 + A\_3z^2 + 2B\_1xy + 2B\_2xz + 2B\_3yz = 0\;}

或表示为矩阵：

[

x

y

z

]

.

[

A
1

B
1

B
2

B
1

A
2

B
3

B
2

B
3

A
3

]

.

[

x

y

z

]

=
0

{\displaystyle \begin{bmatrix}x & y & z\end{bmatrix} . \begin{bmatrix}A\_1 & B\_1 & B\_2\\B\_1 & A\_2 & B\_3\\B\_2&B\_3&A\_3\end{bmatrix} . \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} = 0 }

矩阵

# M

[

A
1

B
1

B
2

B
1

A
2

B
3

B
2

B
3

A
3

]

{\displaystyle M=\begin{bmatrix}A\_1 & B\_1 & B\_2\\B\_1 & A\_2 & B\_3\\B\_2&B\_3&A\_3\end{bmatrix}}

叫做“圆锥曲线矩阵”。

# Δ
d
e
t
(
M
# )

A
1

B
1

B
2

B
1

A
2

B
3

B
2

B
3

A
3

{\displaystyle \Delta = det(M) = \begin{vmatrix}A\_1 & B\_1 & B\_2\\B\_1 & A\_2 & B\_3\\B\_2&B\_3&A\_3\end{vmatrix} }

叫做圆锥曲线的行列式。如果

# Δ
0

{\displaystyle \Delta = 0}

则这个圆锥曲线被称为退化的，这意味着圆锥曲线是两个直线的联合（两相交直线，两平行直线或两重合直线）或一点。。

例如，圆锥曲线

[

x

y

z

]

.

[

1

0

0

0

−
1

0

0

0

0

]

.

[

x

y

z

]

=
0

{\displaystyle \begin{bmatrix}x & y & z\end{bmatrix} . \begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\0 & -1 & 0\\0&0&0\end{bmatrix} . \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} = 0 }

退化为两相交直线：

{

x
2

−

y
2

=
0
# }
{
(
x
y
)
(
x
−
y
# }
{
x
# y
0
}
∪
{
x
−
# y
0
}

{\displaystyle \{ x^2 - y^2 = 0\} = \{(x+y)(x-y)=0\} = \{x+y=0\} \cup \{x-y=0\}}

。

类似的，圆锥曲线有时退化为两重合直线（两直线重合成一条）:

{

x
2

2
x
y

y
2

=
0
# }
{
(
x
y

)
2

=
0
# }
{
x
# y
0
}
∪
{
x
# }
{
x
# y
0
}

{\displaystyle \{x^2+2xy+y^2 = 0\} = \{(x+y)^2=0\}=\{x+y=0\} \cup \{x+y=0\} = \{x+y=0\}}

。

# δ

A
1

B
1

B
1

A
2

{\displaystyle \delta = \begin{vmatrix}A\_1 & B\_1\\B\_1 & A\_2\end{vmatrix} }

被称为圆锥曲线的判别式。如果

# δ
0

{\displaystyle \delta = 0}

则圆锥曲线是抛物线，如果

δ
<
0

{\displaystyle \delta<0 }

则是双曲线，如果

δ
>
0

{\displaystyle \delta > 0}

则是椭圆。如果

δ
>
0

{\displaystyle \delta > 0}

且

A
1

=

A
2

{\displaystyle A\_1=A\_2}

，圆锥曲线是圆；如果

δ
<
0

{\displaystyle \delta<0 }

且

A
1

=
−

A
2

{\displaystyle A\_1=-A\_2}

，它是直角双曲线。可以证明在複射影平面

C
P

2

{\displaystyle \mathbb{CP}^2}

中，两个圆锥曲线共有四个点（如果考虑重根），所以永不多于4个交点并总有1个交点（可能性：4个不同的交点，2个单一交点和1个双重交点，2个双重交点，1单一交点和1个三重交点，1个四重交点）。如果存在至少一个重根

>
1

{\displaystyle >1}

的交点，则两个圆锥曲线被称为相切的。如果只有一个四重交点，两个圆锥曲线被称为是共振的。

进一步的，每个直线与每个圆锥曲线相交两次。如果两交点是重合成一点，则这个线被称为切线。因为所有直线交圆锥曲线两次，每个圆锥曲线有两个点在无穷远（与无穷远线的交点）。如果这些点是实数的，圆锥曲线必定是双曲线；如果它们是虚共轭，圆锥曲线必定是椭圆，如果圆锥曲线有双重点在无穷远，则它是抛物线。如果在无穷远的点是

(
1
,
i
,
0
)

{\displaystyle (1,i,0)}

和

(
1
,
−
i
,
0
)

{\displaystyle (1,-i,0)}

，则圆锥曲线是圆。如果圆锥曲线有一个实数点和一个虚数点在无穷远，或它有两个不共轭的虚数点，它不是抛物线、不是椭圆、不是双曲线。

## 参考文献

1. ↑ Template:Harvnb
2. ↑ 2.0 2.1 Template:Harvnb
3. ↑ Template:Harvnb
4. ↑ Pettofrezzo, Anthony, *Matrices and Transformations*, Dover Publ., 1966, p. 110.
5. ↑ 5.0 5.1 5.2 Spain, Barry, *Analytical Conics*, Dover, 2007 (originally published 1957 by Pergamon Press).
6. ↑ Ayoub, Ayoub B., "The eccentricity of a conic section," *The College Mathematics Journal* 34(2), March 2003, 116–121.
7. ↑ Ayoub, A. B., "The central conic sections revisited", *Mathematics Magazine* 66(5), 1993, 322–325.

## 外部链接

* Conic sections（页面存档备份，存于互联网档案馆） at Special plane curves（页面存档备份，存于互联网档案馆）.
* Template:MathWorld
* Template:MathWorld
* Template:MathWorld
* Determinants and Conic Section Curves
* Occurrence of the conics. Conics in nature and elsewhere.

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