Sucesionesyseries

**INTRODUCCIÓN**

En el presente trabajo se buscara comprender y conocer las series y sucesiones matemáticas, ademas mostrar diferentes aplicaciones de estas por medio de hojas de calculo

**SUCESIONES**

Si el dominio de una función f es el conjunto de enteros positivos, entonces los elementos f(n) en el rango pueden arreglarse en un orden correspondiente a los valores crecientes de n:

   **Sucesión convergente y divergente**

Si an es unasucesión convergente I an -L  I ‹E, significa que los términos an pueden
haberse arbitrariamente cercanos a L para n suficientemente grande. Se indica
que una sucesión converge a un número L escribiendo

Cuando a n no converge, esto es,

cuando no existe, la sucesión diverge.

**Tipos de sucesiones**

**Sucesiones monótonas:**

**Sucesiones estrictamente crecientes**

Una sucesión es estrictamente creciente si cada término es mayor que el anterior.

**an+1 > an**

**Ejemplo:**

2,4, 6, 8, 10,12,...

4> 2; 6 > 4; 8 > 6; ...

**Sucesiones**
crecientes

Una sucesión es creciente si cada término es mayor o igual que el anterior.

**an+1 ≥ an**

**Ejemplo:**

2, 2 , 4, 4,8, 8,...

2 ≥ 2; 4 ≥ 2; 4 ≥ 4; ...

**Sucesiones estrictamente decrecientes**

Una sucesión es estrictamente decreciente si cada término de la sucesión es menor que el anterior.

**an+1 < an**

**Ejemplo:**

1, 1/4, 1/6, 1/8, 1/10, 1/12,...

1/4 < 1; 1/6 < 1/4 ; 1/8 < 1/6; ...

**Sucesiones**
decrecientes

Una sucesión es decreciente si cada término de la sucesión es menor o igual que el anterior.

**an+1 ≤ an**

**Ejemplo:**

8,8,4,4,2,2,..

8 ≤ 8; 4 ≤ 4; 2 ≤ 2; ...

**Sucesiones**
constantes

Se dice que una sucesión es constante si todos su términos son
iguales, an= k.

**an = an+1**

**Ejemplo:**

5, 5, 5, 5, ...

**Sucesiones acotadas interiormente**

Una sucesión está acotada interiormente si todos sus términos son mayores o iguales que un cierto número K, que llamaremos cota inferior de la sucesión.

an ≥ k

A la mayor de las cotas inferiores se le llama extremo inferior o ínfimo.

Si el ínfimo de una sucesión es uno de sus términos se le llama mínimo.

Toda sucesión acotada interiormente es creciente.

**Sucesiones acotadas superiormente**

Una sucesión está acotada superiormente si todos sus términos son menores o iguales que un cierto número K', que llamaremos cota superior de la sucesión.

an≤ k'

A la menor de las cotas superiores se le llama extremo superior o supremo.

Las sucesiones convergentes son las sucesiones que tienen límite finito.

Si el supremo de una sucesión es uno de sus términos se llama máximo.

Toda sucesión acotada superiormente es monótona decreciente.

**Sucesiones acotadas**

Una sucesión se dice acotada si está acotada superior e interiormente. Es decir si hay un número k menor o igual que todos los términos de la sucesión y otro K' mayor o igual que todos los
términos de la sucesión. Por lo que todos los términos de la sucesión están comprendidos entre k y K'.

k ≤ an ≤ K'

**Sucesiones convergentes**

Toda sucesión que tenga límite se dice que es *convergente*.

Una sucesión (*a*n) que tenga por límite *I*, se dirá que tiende a *I* o que converge a *I*.

**Sucesiones divergentes**

Las sucesiones divergentes son las sucesiones que no tienen límite finito.

Límite = ∞

**Sucesiones oscilantes**

Las sucesiones oscilantes no son convergentes ni divergentes. Sus términos alternan de mayor a menor o viceversa.

1, 0, 3, 0 ,5, 0, 7, ...

**Sucesiones alternadas**

Las sucesiones alternadas son aquellas que alternan los signos de sus términos. Pueden ser:

**Convergentes**

1, −1, 0.5, −0.5, 0.25, −0.25, 0.125, −0.125,..

Tantos los términos pares como los impares tienen de límite 0.

**Divergentes**

1, 1, 2, 4, 3, 9, 4, 16, 5, 25, ...

Tantos los términos pares como los impares tienden de límite +∞.

**Oscilantes**

−1, 2, −3, 4 ,−5, ..., (−1)nn

**Sucesión de Fibonacci:**

**1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597,2584, ...**

Los dos primeros términos son unos y los demás se obtienen sumando los

dos términos anteriores.

    **Serie:**

Es la sumatoria de una sucesión

**Tipos de series**

**Serie geométrica**

Cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante, llamada razón r

En esta serie solo es convergente si IrI ‹1

**Serie armónica**

**Serie alternada**

Es una serie donde los términos cambian de signos

**Serie telescópica**

**Series de potencia**

**¿Qué son?**

Cuando una serie  de esta forma

Esta ordenada por potencias enteras no negativas de manera  crecientes en la variable x y que tiene los coeficientes a0,a1,a2,a3 ....an constantes, independientes de x, recibe el nombre de serie de potencias en x.

La podemos ver de manera más general la serie de potencias centrada en a (o que tienen centro en a) en una expresión de la siguiente forma

En esta “a” es una constante y reciben el nombre de series de potencias en x-a

**¿Para que sirven?**

La serie de potencias te permite estudiar el comportamiento de una función entorno del centro, es decir, en puntos "cercano" al Xo que has seleccionado.

**Series de Taylor y Maclaurin**Serie de Taylor para una función f: una función f infinitamente diferencial sobre un intervalo (a-R,a+R) puede representarse mediante una serie de potencias  sobre ese intervalo .En ese caso es relativamente fácil determinar cuales deben ser los coeficientes ck. La derivación repetida de

La serie anterior se denomina serie de Taylor de f en a , o centrada en a .

La serie de Maclaurin centrada en a =0

    **Aplicaciones de series y sucesiones**

Las series y sucesiones nos permiten tienen algunas aplicaciones dentro de la ingeniería y la informática, por ejemplo en el campo de las comunicaciones el manejo de las señales se hace mediante las series de fourier, la series de fibonacci sirve en el campo de la informática para generar números aleatorios.

En general las series y sucesiones además de servir para reprobar gente nos ayudan a aproximarnos a números, a lo largo de la historia se ha querido saber el valor del numero *pi* este se obtiene mediante una serie de números, asi como el número e. También nos sirve para analizar funciones o señales por medio de funciones conocidas como el seno y el coseno en el caso de la serie de fourier.

también se utilizan para demostrar los teoremas y las propiedades de la topología matemática y predecir fenomenos

## Link de Descarga de aplicación de sucesiones y series en hoja de calculo

http://www.mediafire.com/download/4fk01b89q722gax/sucesionesejemplos.mcd

Santes Palacios Ana Victoria 14041320 grupo:"2z"

# Bibliografía

G.Zill, D., &
 Warren, S. (2011). *Matemáticas 2 "Cálculo integral".* México D.F: Mc Graw-Hill.

*jesiikabetancu*. (s.f.). Recuperado el
 14 de junio de 2015, de jesiikabetancur: http://jesiikabetancur.blogspot.mx/2011/04/tipos-de-sucesiones.html

*matedoscalculointegra*. (s.f.). Recuperado el
 14 de junio de 2015, de http://matedoscalculointegral.blogspot.mx/2012/06/tipos-de-series.html

*oswando-investigacion*. (s.f.). Recuperado el
 14 de junio de 2015, de
 http://oswando-investigacion.blogspot.mx/p/unidad-4.html