Composición de Funciones.

**Introducción**

¿Qué es una función? En cada momento de nuestras vidas hay eventos que anteceden a otros digamos tienen una relación previa y alguna posterior supongamos que vamos en el trasporte público de la CDMX y en eso se sube un personaje de dudosa procedencia, entonces por automático reaccionamos a que esta persona nos va asaltar, pero como puede que no, pero por que reaccionamos así ya tuvimos una experiencia anterior similar o que partes del momento nos llevan a tomar esa conclusión.

## Composición de funciones y función inversa.

La composición de funciones no es la multiplicación de funciones es una operación que se establece entre funciones, Supongamos que tenemos 2 funciones como f y g es posible combinarlas y crear una nueva función.

Entonces la composición de funciones se define así:

Dos funciones f(x) y g(x) se define la Composición de funciones como: (f o g) =f(g(x)) por lo que el Dominio de (f o g) es el conjunto de todas las x en el de g así que g(x) está en el dominio de f. A su vez (f o g) es el conjunto de todas las x en el de g tales que g de x esta en el dominio de f.

**Ejemplo 1:**

Entendiendo una composición así se escribe 2 funciones

* f(x)=5x+3
* g(x)=2x-1

Empezamos (f o g )(x)  la composición equivale a lo siguiente =f(g(x)) lo que quiere decir que en cada una de las x de la f se va sustituir lo que vale g es decir lo escribiríamos de esta forma  5(2x-1)+3  ya solo quedaría hacer las operaciones multiplicaciones y sumas  y seria así:

* 5(2x-1)+3=10x-5 +3 reducimos términos semejantes = 10x-2 asi que la composición quedaría así: ( fo g)(x)=10x-2

Ahora la composición (g o f )(x)=g(f(x))  esto quieres decir que en cada x de la g vamos a sustituir la f.

g(f(x))= 2 (5x+3 ) -1  lo que sigue hacer las operaciones resultaría así 2 (5x+3 )-1=10x 6-1 =10x+5

Ahora la composición  (fof)(x)=f(f(x))=5(5x+3)+3= y realizamos las operaciones y quedaría así = 25x +15 +3=25x+18

Entonces la composición de (fof)(x)=25x+18

Ahora calcularemos (g o g)(x)=g(g(x))=2( 2x-1 )-1=4x-2-1=4x-3

(g o g)(x)=  4x-3

**Ejemplo 2:**

* f(x) = x2 g (x)= x- 3

Determinar las funciones (f o g) y (g o f)

Calculas (f o g) (3) y (g o f) (4)

Solución

Para hallar (f o g) a partir de la definición (f o g) (x) = (x - 3)^2

Para hallar (f o g) a partir de la definición (f o g)(x)= x^2-3

**Función Inversa**

Para entender una función inversa se debe aprender que es una función uno a uno, si cada elemento del dominio tiene uno y solo un elemento en el rango o que no lo comparte.

Una función de Dominio A se conoce de uno a uno si no hay dos elementos de A

La función es una función lineal e inyectiva como puede observarse si analizamos su gráfica. Para calcular la inversa seguiremos los siguientes pasos:

1. Intercambiamos las variables
2. Despejamos la variable y
3. Se obtiene la inversa

**Propiedades**

1.Si realizamos la función inversa de una composición de funciones obtenemos la composición de sus inversas permutando el orden de la composición

2.Si hacemos la inversa de la inversa de una función, obtenemos la función inicial

3.La composición de una función y su inversa nos da la función identidad

4.La función inversa no siempre existe

5.Si una función es continua también lo es su inversa y viceversa, si la inversa es derivable también lo será la función inicial

6.Análogamente, si una función es derivable su inversa también lo es y viceversa

Definición:

Si f como función uno a uno con Dominio A y Rango B entonces la función inversa f\_^(-1)que tiene por dominio B y rango a A

Proceso para determinar la función Inversa:

Remplace f(x) por y

Despejar la variable “x” utilizando métodos de algebra

Cambio de variable x por y e y por x

La función determinada será la inversa de f

**Ejemplo:**

Determine la función inversa de : f(x)=4x-1

Solución:  y=4x-1 Cambiamos f(x) por y

                (y+1)/4=x Luego de Despejar x

                  (x+1)/4=y  Cambio de Variables

                 (x+4)/4=f\_((x))^(-1) Asi obtenemos la función inversa de f(x)