Funkcja liniowa

**Funkcja liniowa** - upośledzony brat funkcji kwadratowej i całej bandy wielomianów. Z tego powodu nie jest poddany wpływom tajnych organizacji i łatwo go rozgryźć, wystarczy policzyć jak normalne równanie czy nierówność.

Wykresem funkcji liniowej jest właśnie linia prosta. Chyba nie spodziewałeś się tutaj niewiadomo czego?

## Definicja funkcji

### Wzór

f
(
x
# )
a
x
b

{\displaystyle f(x)=ax+b}

*a* - to **współczynnik kierunkowy**, bo on określa pochylenie tej prostej na wykresie

*b* - to **wyraz wolny** i w sumie dzięki niemu określisz miejsce przecięcia z osią OY

### Monotoniczność

Monotoniczność określa współczynnik kierunkowy, czyli *a*.

***a* > 0** to funkcja jest **rosnąca**

***a* < 0** to funkcja jest **malejąca**

***a* = 0** to funkcja jest **stała**

### Miejsce zerowe

Jest to punkt przecięcia się wykresu z osią OX

x

0

=
−

b
a

{\displaystyle x\_{0}=-{\frac {b}{a}}}

Czyli punkt

(

x

0

,
0
)

{\displaystyle (x\_{0}, 0)}

 jest miejscem zerowym. Współrzędną *y* jest 0, ponieważ przecięcie występuje na wysokości 0 - inaczej nie zetkniemy się z osią poziomą.

### Punkt przecięcia z OY

Jest to punkt, w którym wykres dojdzie do *x* = 0. Wtedy *y* = b.

Stąd wiemy, że punktem przecięcia jest

(
0
,
b
)

{\displaystyle (0,b)}

### Dziedzina

Jest to zbiór wszystkich argumentów, jakie przyjmuje funkcja.

Oznacza się zazwyczaj

x
∈

R

{\displaystyle x\in {\textbf {R}}}

### Zbiór wartości

Inaczej jest to zbiór wszystkich *y,* czyli współrzędnych osi OY, które są wartościami funkcji.

Gdy funkcja nie jest stała, to zbiorem wartości są wszystkie liczby rzeczywiste. W przeciwnym przypadku zbiorem wartości jest *y* = *b*.

Uwaga! Zbiór wartości można ograniczyć, zazwyczaj wtedy trzeba podać dziedzinę.

## Problemy funkcji

### Kąt nachylenia

Uzyskujemy go ze współczynnika kierunkowego. W funkcji liniowej zachodzi zawsze równość:

# a
tg
⁡
α

{\displaystyle a=\operatorname {tg} \alpha }

W taki sposób możemy uzyskać także wzór funkcji liniowej o danym kącie nachylenia.

Przykładowo:

Wiemy, że

# α

120

∘

{\displaystyle \alpha =120^{\circ }}

, a do wykresu należy punkt

A
(
−
1
,
1
)

{\displaystyle A(-1,1)}

.

f
(
x
# )
a
x
b

{\displaystyle f(x)=ax+b}

P
(
x
,
y
# )
A
(
−
1
,
1
)
∈
f
(
x
)

{\displaystyle P(x,y)=A(-1,1)\in f(x)}

# a
tg
⁡

30

∘

=

3

{\displaystyle a=\operatorname {tg} 30^{\circ }={\sqrt {3}}}

# y

3

x
b

{\displaystyle y={\sqrt {3}}x+b}

Wykorzystując to, że punkt *A* należy do wykresu, podstawiamy jego współrzędne pod x i y, czyli kolejno -1 i 1.

# 1

3

⋅
−
1
b

{\displaystyle 1={\sqrt {3}}\cdot -1+b}

# b
1

3

{\displaystyle b=1+{\sqrt {3}}}

Mamy już wszystkie niewiadome, podstawiamy pod wzór funkcji liniowej.

f
(
x
# )

3

x
1

3

{\displaystyle f(x)={\sqrt {3}}x+1+{\sqrt {3}}}

### Równoległość

Dwie funkcje liniowe są równoległe, gdy ich

a

{\displaystyle a}

 jest takie same. Nie jest to trudne do zapamiętania - chodzi o założenie, że jeżeli mają ten sam kąt nachylenia, to nie mogą się przeciąć.

a

1

=

a

2

⇒

f

1

(
x
)
∥

f

2

(
x
)

{\displaystyle a\_{1}=a\_{2}\Rightarrow f\_{1}(x)\parallel f\_{2}(x)}

### Prostopadłość

Aby dwie funkcje były prostopadłe, iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy -1. Wynika to z tego, że dwa przeciwne tangensy kąta świadczą o prostopadłości prostych.

a

1

⋅

a

2

=
−
1
⇒

f

1

(
x
)
⊥

f

2

(
x
)

{\displaystyle a\_{1}\cdot a\_{2}=-1\Rightarrow f\_{1}(x)\perp f\_{2}(x)}