recursal/Fanatic-Fandom huggingface dataset:
Leçon 213

Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.

## Plan indicatif

### Espaces préhilbertiens

* Définition d'un espace préhilbertien, exemples de *l*2 et *L* 2, caractérisation du produit scalaire par l'identité du parallélogramme.
* Définition de l'orthogonalité, d'une famille orthogonale ou orthonormée, orthogonal d'une partie, propriétés algébriques : théorème de Pythagore, double orthogonal d'une partie, somme directe orthogonale.

### Espaces de Hilbert

* Définition d'un espace de Hilbert, exemple de *l*2, *L*2 et des espaces préhilbertiens de dimension finie.
* Projection sur un convexe fermé, caractérisation par le produit scalaire, opérateur de projection sur un sous-espace vectoriel fermé, somme directe d'un sous-espace vectoriel fermé et de son orthogonal, application au critère de densité d'un sous-espace vectoriel (l'orthogonal est réduit à {0}).
* Théorème de représentation de Riesz-Fréchet, réflexivité d'un espace de Hilbert, opérateur adjoint, théorème ergodique de von Neumann.
* Théorèmes de Stampacchia et de Lax-Milgram, application à l'existence et unicité d'une solution faible à une équation différentielle.

### Bases hilbertiennes

* Inégalité de Bessel, définition d'une base hilbertienne, condition suffisante de séparabilité pour l'existence d'une telle base, égalité de Parseval, application à des sommes issues de séries de Fourier.
* Famille de polynômes orthogonaux associée à un poids, application à l'interpolation.

### Convergence faible

* Définition de la convergence faible, liens avec la convergence forte, compacité de la boule unité faible, application à l'existence et unicité d'une solution faible à une équation différentielle.

### Opérateurs compacts autoadjoints

* Définition d'un opérateur compact, caractérisation par la convergence faible, stabilité de la compacité par composition.
* Spectre d'un opérateur linéaire, alternative de Fredholm, caractérisation du spectre d'un opérateur compact en dimension infinie.
* Diagonalisation des opérateurs compacts autoadjoints, application à la diagonalisation d'opérateurs différentiels.

## Développements

* Théorème ergodique de von Neumann
* Famille de polynômes orthogonaux
* Diagonalisation des opérateurs compacts autoadjoints
* Construction du (pré) Mouvement brownien
* Théorème de Stampacchia
* Théorème de Féjer
Tremaine's True Love

**Tremaine's True Love** is the first book in the Regency set The True Gentlemen, and was published in 2015.

## Back Cover Summary

Tremaine St. Michael is firmly in trade and seeks only to negotiate the sale of some fancy sheep with the Earl of Bellefonte. The earl’s sister, Lady Nita, is pragmatic, hard-working, and selfless, though Tremaine senses she’s also tired of her charitable obligations and envious of her siblings’ marital bliss.

Tremaine, having been raised among shepherds, can spot another lonely soul, no matter how easily she fools her own family. Neither Tremaine nor Nita is looking for love, but love comes looking for them.

## Characters

### Main characters

* Tremaine St. Michael
* Nita Haddonfield

### Supporting characters

* Nicholas Haddonfield, Earl of Bellefonte
* George Haddonfield

### Minor characters

* Della Haddonfield
* Leah Lindsey, Countess of Bellefonte
* Susannah Haddonfield
* Kirsten Haddonfield
* Edward Nash - suitor of Susannah
* Mrs. Elsie Nash - Edward's widowed sister-in-law
* Digby Nash - Elsie's young son

### Mentioned characters

* Beckman Haddonfield
* Adolphus Haddonfield
* Reynaud (René) St. Michael - Tremaine's deceased brother
* Polonaise (Polly) Hunt
* David Worthington, Viscount Fairly
* Daniel Banks - selected vicar for Haddondale

## Locations

* Kent:
	+ Belle Maison, Haddonfield family seat
	+ Stonebridge - the Nash home
	+ Haddondale - nearby village

? Fairly home

(See Estate titles and locations for all known property names, owners and locations)
Leçon 182

Applications des nombres complexes à la géométrie. Homographies.

## Plan indicatif

Les nombres complexes permettent une approche algébrique de la géométrie et dressent ainsi un pont entre géométrie plane, algèbre et analyse.

### Plan complexe

* Structure de ***R*** algèbre de dimension 2, parties réelle et imaginaire, conjugaison.
* Exponentielle, groupe des complexes de module 1, forme polaire d'un complexe, application à la caractérisation algébrique de π.

### Utilisation en géométrie affine ou euclidienne

* Structure de plan affine, module d'un nombre complexe, structure euclidienne.
* Angle dans le plan complexe, caractérisation géométrique des fonctions holomorphes.
* Similitudes, homographies, inversions.

### Utilisation en géométrie inversive

* Sphère de Riemann et projection stéréographique.
* Birapport de quatre complexes, critère de cocyclicité.
* Groupe circulaire
Leçon 207

Prolongement de fonctions. Exemples et applications.

## Plan indicatif

### Prolongement continu

* Prolongement uniformément continu d'une application uniformément continue sur une partie dense d'un espace complet, le module de continuité est conservé, application au prolongement de la transformée de Fourier à *L*2/sup> et à l'intégrale de Riemann de fonctions réglées.
* Lemme d'Urysohn, théorème de Tietze, application à l'existence de fonctions plateau, application à la densité des fonctions continues à support compact dans *Lp* (1<=*p*<∞).
* Théorèmes de Hahn-Banach, critère de densité par les formes linéaires continues.

### Prolongement dérivable

* Prolongement par continuité en un point où la dérivée admet une limite, exemple de exp(-1/*x*2), contre-exemple de *x*sin(1/*x*).
* Suites régularisantes, limite uniforme d'une fonction régularisée, application à la densité de *C∞c* dans *Lp* (1<=*p*<∞).
* Équations différentielles : théorème de Cauchy-Lipschitz local, existence et unicité d'une solution maximale, théorème des bouts, lemme de Gronwall et critère de globalité.

### Prolongement analytique

* Prolongement d'une fonction holomorphe en un point régulier, théorème de prolongement analytique, application à la fonction Γ

## Développements

* Théorème de Tietze
* Fonction Γ
* Série de Taylor aléatoire : théorème de Steinhaus
Glenys St. David

Glenys St. David is the sister to the Duke of Haverford. Due to the family finances, she is a bit sheltered.

### Relationships

* Husband - Cedric, Marquess of Radnor
* Siblings - Griffin St. David and Julian St. David, Duke of Haverford
* In-laws include - Bridget "Biddy" Bowen, Elizabeth Windham
* Niece - Charity St. David
* Other family - Hugh and Delphine St. David

### Books

Secondary character in: No Other Duke Will Do.

Appears in: A Rogue of Her Own.
Leçon 122

Anneaux principaux. Exemples et applications.

## Plan indicatif

### Propriétés fondamentales

* Définition d'un anneau principal, exemple de **Z**, identité entre les éléments premiers, irréductibles et maximaux, exemple des nombres premiers.
* pgcd dans un anneau principal, éléments premiers entre eux, lemmes de Gauss et d'Euclide, ppcm dans un anneau principal.
* Factorisation dans un anneau factoriel, caractérisations. Un anneau principal est factoriel.
* pgcd dans un anneau factoriel, théorème de transfert du caractère factoriel.
* Définition d'un anneau euclidien, un anneau euclidien est principal. Algorithme d'Euclide étendu.
* Exemples de **Z**, de *k[X]* et des séries formelles sur un corps (c'est un anneau local).
* Anneau principal non euclidien.

### Modules libres de type fini sur un anneau principal

* Théorème de la base adaptée, structure des module de type fini sur un anneau principal, application aux groupes abéliens.
* Application à la réduction des endomorphismes : réduction de Frobenius.

### Application : anneaux d'entiers quadratiques

* Définition d'une extension de corps quadratique, conjugué, norme, trace et entiers sur une extension quadratique.
* Structure de l'anneau des entiers quadratiques selon les valeurs de l'élément pimitif, caractérisation des anneaux d'entiers quadratiques euclidiens et principaux pour un élément primitif complexe.
* Théorème des deux carrés.
* Équation de Pell-Fermat

## Développements

* Anneau principal non euclidien
* Théorème des deux carrés
* Équation de Pell-Fermat
* Anneau des séries formelles est un anneau de valuation discrète
* Théorème des zéros de Hilbert (faible)
Leçon 222

Exemples d'équations aux dérivées partielles linéaires.

## Plan indicatif

### Équation de tranport

* Cas du coefficient de transport constant, définition des courbes caractéristiques, solution explicite.
* Cas du coefficient de transport non constant, impossibilité de résolution en général et exemples.
* Cas d'un domaine borné : problème des caractéristiques sortant du domaine et conditions aux limites.

### Équation elliptique avec condition de Dirichlet

* Définition du problème elliptique, d'une solution classique, d'une solution faible.
* Existence et unicité d'une solution faible.

### Équation des ondes

* Domaines de dépendance et d'influence, solution explicite.

### Équation de la chaleur

* Noyau de la chaleur sur ***R**n* et sur le tore, solution explicite.
* Méthode des différences finies, définition d'un schéma consistant, d'un schéma stable, d'un schéma convergent, théorème de Lax.
* Schéma explicite pour l'équation de la chaleur

## Développements

* Équation de la chaleur
* Schéma explicite pour l'équation de la chaleur
The Duke and the April Flowers

## "The Duke and the April Flowers" novella

**The Duke and the April Flowers** is a novella. It was originally published April 2019 in the *Dukes by the Dozen* anthology. It is now available as a standalone on Grace's website here.↗️

## Publisher's description

The Duke of Clonmere must marry one of the Earl of Falmouth's three giggling younger daughters, but Lady Iris -- Falmouth's oldest, who is not at all inclined to giggling -- catches Clonmere's eye, and his heart!

## Characters

### Main characters

* Henning Perseus Mendel St. John Dunning Quayle Whitcomb, Duke of Clonmere
* Lady Iris Fallon

### Minor characters

* Earl of Falmouth - John Fallon, Iris' father
* Lily, Hyacinth, Holly - Iris' half-sisters
* Annis - Henning's sister
* Harriet "Hattie" West - distant cousin and chaperone to Iris

### Mentioned characters

* Greymoor - Andrew Alexander, Earl of Greymoor
* Duke of Quimbey
Dylan Powell

Captain Dylan Powell is a main character in Miss Dignified, the third book of Mischief in Mayfair Series. He is a former soldier who longs to return to his home in Wales, but feels he must stay in London to care for his cousins and former subordinates.

### Relationships

* Wife - Lydia Lovelace (Glover)
* Sisters - Marged, Tegan, and Bronwen Powell
* Cousins - Colonel Orion Goddard; Major Alasdhair MacKay; Jeanette, Marchioness of Tavistock
* Brother-in-law - Marcus Glover, Lord Tremont

### Books

Main character in Miss Dignified.

Secondary character in: Miss Delightful, Miss Delectable
The Traitor

**The Traitor** is the second book in The Captive Hearts Series. It was published in 2014.

## Publisher Summary

Sebastian St. Clair is stranded in France as a boy, and joins the French Army rather than face imprisonment. His knowledge of the English peerage means he’s put in a position of having to torture men he might otherwise have called friends. After the war, though Sebastian is permitted to resume a life in England, his former captives insist on challenging him to duels.

Milly Danforth joins Sebastian’s London household as companion to his aging aunt Freddy. Milly is protective of Sebastian, rather than judgmental regarding his role during the war. Sebastian does not want to endanger Milly—to whom he is prodigiously attracted—but accepts that he has a duty to the succession, and hopes English officers will not begrudge him an heir before they eventually kill him on the field of honor.

He offers Milly marriage, and she accepts, but Milly but quickly understands that her husband will not defend himself against those seeking revenge for a war that has ended. Sebastian must choose between the demands of honor, and the demands of his heart, and find away to hold on to both his marriage and his life.

## Characters

### Main Characters

* Sebastian St. Clair
* Milly Danforth

### Major Characters

* Lady Frederica "Freddy" St. Clair - Sebastian's Aunt
* Michael Brodie - Sebastian's valet and bodyguard
* Hamish MacHugh - former captive of Sebastian
* Henri Anduvoir - Sebastian's former superior officer
* Captain Prentice Anderson - former captive of Sebastian
* Alcorn Upton - Milly's cousin

### Minor Characters

* Christian Severn, Duke of Mercia - Former captive of Sebastian
* Gillian, Countess Greendale
* Arthur, Duke of Wellington
* Dr. Baumgartner - Freddy's beau

### Mentioned characters

* Millicent and Hyacinth Hathaway (deceased) - Milly's aunts
* Frieda Upton - Milly's cousin
* Valentine Windham (by description only)
Leçon 162

Systèmes d'équation linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.

## Plan indicatif

La résolution des systèmes linéaires se retrouve partout dans la science moderne : en statistiques (régression linéaire), en probabilités (probabilité stationnaire pour une chaîne de Markov), en géométrie analytique (équations cartésiennes d'espaces affines), en optimisation...

### Généralités

* Définition d'un système linéaire, d'un système linéaire homogène, critère d'existence d'une solution, structure affine de l'espace des solutions.
* Formule de Cramer pour un système ayant une solution unique, théorème de Rouché-Fontené.

### Pivot de Gauss

* Algorithme du pivot, systèmes échelonnés, inconnues principales, complexité de l'algorithme.
* Opérations élémentaires, interprétation matricielle.
* Utilisation de la forme échelonnée pour le calcul du rang, de l'inverse, du déterminant.
* Application : engendrement de ***GL*** par les transvections et les dilatations, équation d'un sous-espace vectoriel, d'un sous-espace affine.
* Décompositions *LU*, de Cholesky (application à l'inégalité de Hadamard), de Bruhat (application à l'action de ***GL*** sur les drapeaux).

### Méthodes itératives

* Définition d'une méthode convergente, critère de convergence par le rayon spectral.
* Méthodes de Jacobi, de Gauss-Seidel, de la relaxation.
* Méthodes du gradient à pas constant, de la balle pesante.

## Développements

* Décomposition de Bruhat
* Méthode de Gauss-Seidel
Leçon 232

Méthodes d'approximation des solutions d'une équation *F(X)*=0. Exemples.

## Plan indicatif

À la suite des travaux d'Évariste Galois au XIXe qui démontrent l'impossibilité de déterminer les racines d'un polynôme par radicaux en général, les méthodes d'approximation se trouvent pleinement justifiées.

### Le cas réel

* Algorithme de dichotomie : algorithme simple ne faisant pas intervenir de dérivée. L'erreur n'est pas décroissante, la méthode n'est pas d'ordre 1, la convergence est globale.
* Méthodes de point fixe : théorème de Picard, points fixes attractif, superattractif et répulsif.
* Applications : méthode de la corde (ordre 1), méthode de la sécante (ordre le nombre d'or), méthode de Newton (ordre 2, nécessite de calculer une dérivée) ; à chaque fois la convergence est locale (la méthode ne converge pas pour toute valeur initiale).
* Cas des polynômes : méthode de Newton pour les polynômes, chaîne de Sturm.

### Le cas vectoriel

* Méthode de Newton multidimensionnelle.
* Systèmes linéaires : méthodes itératives de Jacobi, de Gauss-Seidel, de la relaxation, méthode du gradient à pas optimal

## Développements

* Méthode de Newton
* Méthode de Gauss-Seidel
Leçon 125

Extensions de corps. Exemples et applications.

## Plan indicatif

### Définitions et propriétés fondamentales

* Définition d'une extension, structure d'espace vectoriel, degré et formule multiplicative.
* Éléments algébriques et transcendants, extensions algébriques, exemple des extensions de degré fini, polynôme minimal.

### Construction d'extensions

* Corps de rupture et de décomposition, notion de *k*-morphisme, unicité du corps de décomposition, extensions finies d'un corps de caractéristique nulle
* Définition d'un corps algébriquement clos, clôture algébrique.

### Exemples

* Construction des corps finis, dénombrement des irréductibles de FqX.
* Polynômes et extensions cyclotomiques.

### Constructions à la règle et au compas

* Définition des points constructibles, théorème de Wantzel.
* Impossibilité des trois problèmes grecs, construction des polygones réguliers.

## Développements

* Extensions finies d'un corps de caractéristique nulle
* Dénombrement des irréductibles de FqX
Leçon 226

Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence *un+1=f(un)*. Exemples et applications.

## Plan indicatif

### Suites réelles

* Suites arithmético-géométriques, suites homographiques.
* Théorème du point fixe de Picard, application au processus de Galton-Watson.
* Points fixes attractifs, superattractifs et répulsifs, exemple de la méthode de Newton.

### Suites vectorielles

* Critère d'attractivité d'un point fixe sur le rayon spectral de la différentielle de la fonction de récurrence.
* Récurrence linéaire : structure de l'espace des solution et forme explicite.

### Applications

* Méthodes itératives pour la résolution d'un système linéaire, méthode de Gauss-Seidel
* Méthode de la puissance pour diagonaliser une matrice.
* Méthode de Newton, convergence quadratique, point fixe superattractif.

## Développements

* Processus de branchement de Bienaymé-Galton-Watson : cas critique
* Méthode de Gauss-Seidel
* Méthode de Newton
Leçon 155

Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

## Plan indicatif

### Généralités

* Éléments propres d'un endomorphisme, polynôme caractéristique et polynôme annulateur.
* Théorème de Cayley-Hamilton, application à la majoration du degré du polynôme annulateur, caractérisation des valeurs propres comme racine de tout polynôme annulateur.
* Lemme des noyaux.
* Sous-espaces caractéristiques, endomorphismes diagonalisables, caractérisation par le polynôme minimal, application aux projections et aux symétries.
* Diagonalisabilité de l'endomorphisme induit sur un sous-espace stable, dimension des sous-espaces propres.

### Application à la réduction des endomorphismes

* Diagonalisation simultanée d'une famille d'endomorphisme commutant, diagonalisabilité de la somme et de la composée, applications aux sous-groupes abéliens finis de **GL(C)** (conjugués à un groupe de matrices diagonales) et à l'isomorphisme **Gl***n*~**GL***m* si et seulement si *n=m*.
* Endomorphismes normaux, diagonalisation en base orthonormée dans **C**, diagonalisation des endomorphismes symétriques en base orthonormée dans **R**, application à la racine carrée d'une matrice, décomposition polaire.
* Décomposition de Dunford, exemple.

### Compléments et applications

* Topologie de l'ensemble des matrices diagonalisables, application au théorème de Cayley-Hamilton, connexité des matrices symétriques (hermitiennes) définies positives, de **U** et composantes connexes de **O**, application à la connexité ou non de **GL**.
* Suites à récurrence linéaire dans le cas où la matrice compagnon est diagonalisable.
* Exponentielle de matrices et décomposition de Dunford, exponentielle et diagonalisation.

## Développements

* Décomposition de Dunford
* Exponentielle et diagonalisation
Leçon 229

Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

## Plan indicatif

### Fonctions monotones

* Définition d'une fonction monotone, exemple d'une fonction affine, d'une fonction de répartition.
* Caractérisation des fonctions croissantes dérivables par le signe de leur dérivée.
* Points de discontinuité d'une fonction monotone, construction d'une fonction monotone discontinue sur toute valeur d'une suite.
* Caractérisation des fonctions monotones continues par l'image d'un intervalle, continuité de la réciproque d'une bijection monotone continue.
* Théorèmes de Dini, une fonction monotone est donc réglée.

### Fonctions convexes

* Définition d'une fonction convexe, exemple d'une fonction affine, d'une norme.
* Caractérisation des fonctions convexe par leur épigraphe, par la croissance de leur taux d'accroissement, application à l'inégalité des trois pentes.
* Dérivées à droite et à gauche d'une fonction convexe, continuité d'une fonction convexe.
* Caractérisation des fonctions convexes dérivables et deux fois dérivables.
* Inégalités classiques : arithmético-géométrique, de Hölder, de Minkowski, de Jensen.

### Applications

* Monotonie d'une suite définie par récurrence par une fonction croissante, caractère attractif ou répulsif des points fixes d'une fonction croissante.
* Concavité de ln

∘

{\displaystyle \circ}

dét sur les matrices symétriques définies positives, ellipsoïde de John-Loewner.
* Processus de Galton-Watson, théorème de Glivenko-Cantelli, application au test de Kolmogorov.
* Extremums d'une fonction convexe, application à l'optimisation, méthode du gradient.

## Développements

* Processus de branchement de Bienaymé-Galton-Watson : cas critique
* Intégrale de log Γ
* Ellipsoïde de John-Loewner
* Théorème de Glivenko-Cantelli
* Méthode du gradient
Elijah Harrison, Earl of Bernward

Elijah Harrison, Earl of Bernward, is a main character in Lady Jenny's Christmas Portrait, the eighth book of the Windham Series. A talented portraitist, he is the heir to the Marquess of Flint. However, after a fight with his father, he has not been home in nearly a decade.

## Relationships

* Wife - Jenny Windham
* Parents - Tristan Harrison, Marquess of Flint and Charlotte Harrison
* Siblings - 5 brothers and 6 sisters

## Books

Main character in Lady Jenny's Christmas Portrait

First appears in Lady Louisa's Christmas Knight.
Leçon 246

Séries de Fourier. Exemples et applications.

## Plan indicatif

### Définitions et propriétés fondamentales

* Définition des espaces de fonctions périodiques, polynômes trigonométriques, produit de convolution, suites régularisantes.
* Définition des coefficients de Fourier d'une fonction, sommes partielles de la série d'une fonction, lien avec le produit de convolution.
* Exemple du signal carré, des dents de scie.
* Théorème de Riemann-Lebesgue, application à l'injectivité des coefficients de Fourier.
* Lien en régularité de la fonction et coefficients de Fourier.
* Noyaux de Dirichlet et de Féjer, expression trigonométrique, norme 1.

### Résultats de convergence

* Théorème de Dirichlet, application à quelques sommes de séries de Fourier, existence d'un ensemble dense de fonctions dont la série de Fourier diverge en 0.
* Théorème de Féjer, application au théorème de Weierstrass.
* Théorie *L*2 : identité de Parseval, exemples de sommes de séries.

### Applications

* Équation de la chaleur.
* Inégalité isopérimétrique.
* Critère d'équirépartition de Weyl.

## Développements

* Ensemble dense de fonctions dont la série de Fourier diverge en 0
* Équation de la chaleur
Leçon 124

Anneau des séries formelles. Applications.

### Applicaions algébriques

* Lien entre séries formelles et fractions rationnelles, application aux suites récurrentes, théorème de Christol

### Applications

* Utilisation en combinatoire, nombre de renversements, nombre de solutions d'une équation diophantienne, nombres de Catalan, nombres de Bell
* Utilisation en analyse : séries de Taylor, théorèmes de transfert et de Joris.

## Développements

* Théorème de Christol
* Théorème de transfert
* Dénombrement diophantien
* Nombres de Bell
* Théorème de Cauchy-Kovalevski
Leçon 101

Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

## Plan indicatif

### Définition et vocabulaire

* Définition d'une action de groupe, exemple de l'action de ***S**n* sur {1,...,*n*}.
* Définition d'une orbite, exemple de l'orbite d'une permutation pour la décomposition en cycles disjoints.
* Définition d'une orbite libre, fidèle, transitive, exemple de l'action libre et transitive du groupe affine sur les triplets de points du plan.
* Théorème de Cayley vu comme action d'un groupe sur lui-même par translation.

### Action de groupes finis=

* Définition du stabilisateur et du fixateur.
* Mise en évidence d'une bijection entre *G*/Stab(*x*) et l'orbite *Gx*.
* Formules des classes et de Burnside, exemple du centre d'un *p*-groupe.

### Théorèmes utilisant des actions de groupes

* **Théorème de Cauchy** : Un *p*-groupe admet un élément d'ordre *p*.
* **Théorèmes de Sylow** : Il existe des *p*-sous-groupes de tous ordres, et les *p*-sous-groupes maximaux, les *p*-Sylow, sont conjugués.
* **Théorème de Brauer** : Deux matrices de permutation sont conjuguées si et seulement si les permutations le sont.
* **Théorème de Wedderburn** : Un anneau intègre fini est un corps.
* **Classification des sous-groupes finis de *SO*(3)** :

> Il existe à isomorphisme près quatre familles (dont une infinie) de sous-groupes finis dans les isométries linéaires directes.
>
>
> * Les groupes cycliques (isométries directes d'un polygône régulier)
> * ***A***4 (isométries directes du tétraèdre)
> * ***S***4 (isométries directes du cube et de l'octaèdre)
> * ***A***5 (isométries directes du dodécaèdre et de l'icosaèdre)
>

## Développements

* Théorèmes de Sylow
* Théorème de Brauer
* Théorème de Wedderburn
* A5 seul groupe simple d'ordre 60
* Domaine fondamental du groupe modulaire
Leçon 154

Sous-espaces stables par un endomorphisme ou par une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

## Plan indicatif

### Généralités

* Définition d'un sous-espace stable par un endomorphisme ou une famille, cas de deux endomorphismes commutant, exemple du noyau d'un polynôme en un endomorphisme.
* Définition de l'endomorphisme induit, conséquences algébriques sur les polynômes minimal et caractéristique (divisibilité), application à la dualité : stabilité de l'espace orthogonal pour l'endomorphisme transposé.

### Application à la réduction

* Diagonalisation par blocs, lemme des noyaux.
* Critère de trigonalisation, de diagonalisation, théorème de Burnside. Cas d'un famille d'endomorphismes commutant, théorème de Lie-Kolchin, application à l'action de ***GL*** sur les drapeaux.
* Décomposition de Dunford, application à l'exponentielle de matrices.

### Endomorphismes remarquables

* Endomorphismes cycliques, matrice compagnon, réduction de Frobenius, invariants de similitude, application aux endomorphismes nilpotents.
* Endomorphismes semi-simples, définition en terme de supplémentaire stable.
* Endomorphismes normaux, diagonalisation en base orthonormée.

### Représentations de groupes

* Définition d'une représentation linéaire, d'une représentation irréductible, théorème de Maschke.

## Développements

* Théorème de Burnside
* Théorème de Lie-Kolchin
Leçon 221

Équations différentielles linéaires. Systèmes d'équations différentielles linéaires. Exemples et applications.

## Plan indicatif

### Systèmes différentiels généraux

* Définition d'une équation différentielle linéaire, théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire, passage d'une équation linéaire d'ordre *n* à une équation d'ordre 1.
* Équations différentielles linéaires homogènes, structure de l'espace des solutions.
* Wronskien, formule de Liouville, exemple d'application sur l'équation de l'oscillateur amorti.
* Résolvante d'une équation.
* Équations différentielles linéaires non homogènes, structure de l'espace des solutions, formule de Duhamel, variation des constantes.

### Systèmes autonomes

* Exponentielle de matrice, propriétés élémentaires.
* Forme des solutions dans le cas autonome, pour une matrice diagonalisable, pour une matrice non diagonalisable.
* Solutions à l'équation d'ordre 1, application à la transformée de Fourier de la gaussienne, à l'équation d'ordre 2.

### Stabilité et linéarisation

* Définition d'un point d'équilibre stable et asymptotiquement stable, cas d'un système autonome.
* Théorème de Liapunov, théorème de Hartman-Grobman.
Leçon 201

Espaces de fonctions : exemples et applications.

## Plan indicatif

### Espaces de fonctions régulières

* Définition de la convergence simple et de la convergence uniforme, exemple d'une convergence simple non uniforme.
* Espace des fonctions continues sur un compact, norme sup et complétude, application au théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire.
* Théorème d'Arzela-Ascoli, application au théorème de Cauchy-Peano.
* Théorèmes de Dini, application au théorème de Glivenko-Cantelli.
* Théorème de Stone-Weierstrass.
* Espace des fonctions holomorphes sur un ouvert, convergence uniforme sur tout compact et fermeture de l'ensemble (dans l'espace des fonctions continues sur l'ouvert).

### Espaces *Lp*

* Définition, norme *Lp*, densité de *C∞c* pour 1<=*p*<∞, densité de *C0* dans *L∞*.
* Définition du produit de convolution, propriétés de base, suites régularisantes et convergence de la suite régularisée d'une fonction en norme *p*.

### Applications à l'analyse de Fourier

* Séries de Fourier dans *L2*, identité de Parseval, lien entre régularité et décroissance des coefficients.
* Transformation de Fourier dans *L1*, prolongement à *L2*, lien avec la convolution.
* Application aux probabilités : fonctions caractéristiques et théorème central limite.
* Application au traitement du signal : théorème de Shannon.

## Développements

* Théorème de Stone-Weierstrass
* Théorème de Shannon
* Théorème de Prokhorov
* Construction du (pré) Mouvement brownien
Leçon 228

Continuité et dérivabilité des fonctions réelles d'une variable réelle. Exemples et contre-exemples.

## Plan indicatif

### Continuité

* Définition d'une fonction continue en un point et continue, exemple des fonctions classiques, contre exemple de l'indicatrice de ***Q***.
* Stabilité de la continuité par les opérations algébriques et par composition.
* Prolongement par continuité, exemple de *x*sin(1/*x*) et contre-exemple de sin(1/*x*)
* Discontinuités de première et de seconde espèce.
* Théorème des valeurs intermédiaires, fonctions continues sur un compact.
* Théorème de Weierstrass.
* Définition de la continuité uniforme, exemple des fonctions lipschitziennes, contre-exemple de la fonction racine carrée, théorème de Heine.

### Dérivabilité

* Définition de la dérivabilité en un point, exemple des fonctions classiques, contre-exemple de la fonction valeur absolue en 0.
* Stabilité de la dérivabilité par les opérations algébriques et par composition, dérivée d'un produit, d'une composée.
* Dérivable implique continu, contre-exemple de la courbe du blanc-manger.
* Convergence uniforme et continuité ou dérivabilité de la limite, densité des fonctions continues nulle part dérivables.
* Théorème des accroissements finis.
* Continuité de la dérivée, contre-exemple de *x*2sin(1/*x*), continuité de la dérivée sur un ensemble dense, théorème de Darboux.

### Fonctions convexes et fonctions réglées

* Définition d'une fonction convexe, caractérisation par la croissance de la dérivée.
* Définition d'une fonction réglée, caractérisation par l'existence de discontinuités de première espèce seulement, toute fonction monotone est réglée.

### Dérivées d'ordre supérieur

* Formules de Taylor.
* Théorème de Borel

## Développements

* Théorème de Darboux
* Théorème de Borel
Leçon 204

Connexité. Exemples et applications.

## Plan indicatif

### Connexité et connexité par arcs

* Espaces connexes, image d'un connexe par une application continue, théorème des valeurs intermédiaires.
* Théorème de l'arbre et de l'écorce, théorème de Darboux.
* Espaces connexes par arcs, exemple de ***GL(C)***, des ouverts connexes d'un espace vectoriel normé.

### Applications

* Analyse complexe : théorème des zéros isolés, de prolongement analytique et de d'Alembert-Gauss.
* Algèbre : Disques de Gerschgorin
* Passage du local au global : une fonction de différentielle nulle sur un connexe est constante.

### Homotopie, simple connexité

* Définition de l'homotopie, du groupe de Poincaré, de la simple connexité, application à l'intégrale d'une fonction holomorphe sur un ouvert simplement connexe.
* Groupe de Poincaré du cercle, théorème de Brouwer, théorème de Borsuk-Ulam

## Développements

* Théorème de Darboux
* Disques de Gerschgorin
* Théorème de Brouwer
* Théorème de Borsuk-Ulam
A Woman of True Honor

**A Woman of True Honor** is the eighth book in the Regency set The True Gentlemen, and was published in 2020.

## Back Cover Summary

**Valerian Dorning** is handsome, charming, and absolutely pockets to let. He’s hopelessly attracted to heiress **Emily Pepper**, but an honorable man must bring independent means to his marriage.

Emily has been chased by enough fortune hunters to know that the fellow who balks at taking advantage of her wealth is exactly the man she needs, but she’s hiding secrets that Valerian must never learn. He needs a fortune, she needs a miracle. How can true love prevail?

## Characters

### Main characters

* Valerian Dorning
* Emily Pepper

### Supporting characters

* Veronica Briggs - Emily's companion
* Osgood Pepper - Emily's father
* Tobias Granger - Osgood's assistant
* Caleb Booth - Osgood's assistant
* Grey Dorning, Earl of Casriel
* Adam Pepper - Emily's brother

### Minor characters

* Hawthorne Dorning
* Beatitude, Countess of Casriel
* Margaret Summerfield Dorning
* Adriana - Margaret's daughter
* Marie Cummings - widowed tenant farmer
* Mrs. Helen Thelwell - ship passenger

### Mentioned characters

* Oak Dorning
* Jacaranda Dorning Kettering
* Worth Kettering
* Ash Dorning
* Sycamore Dorning
* Daisy Dorning Fromm
* Willow Dorning
* Susannah Haddonfield Dorning
* Greta - Margaret's daughter
* Dougal MacHugh - publisher

## References

1. ↑ Publisher Dougal MacHugh appeared in the novella "Patience for Christmas." He is a cousin to Hamish MacHugh, Duke of Murdoch.
Théorèmes de Chevalley-Warning et de Erdös-Ginzburg-Ziv

## Énoncé et démonstration

Soient *p* un nombre premier et *q=pd*. On considère

P

1

,
⋯
,

P

r

∈

F

q

[

X

1

,
⋯
,

X

n

]

{\displaystyle P\_{1},\cdots ,P\_{r}\in \mathbf {F} \_{q}[X\_{1},\cdots ,X\_{n}]}

 et on note

V
(

P

1

,
⋯
,

P

r

# )

{

x
∈

F

q

n

:

P

1

(
x
# ⋯

P

r

(
x
# )
0

}

{\displaystyle V(P\_{1},\cdots ,P\_{r})=\left\{x\in \mathbf {F} \_{q}^{n}:P\_{1}(x)=\cdots =P\_{r}(x)=0\right\}}

>
> **Théorème** : Si
>
>
>
> ∑
>
> d
>
> o
>
>
>
> P
>
> i
>
>
> <
> n
>
>
> {\displaystyle \sum d^{o}P\_{i}<n}
>
>  on a
>
>
>
>
>
> V
> (
>
> P
>
> 1
>
>
> ,
> ⋯
> ,
>
> P
>
> r
>
>
> )
>
>
> ≡
> 0
>
>
> mod
>
>
> p
>
>
> {\displaystyle \left|V(P\_{1},\cdots ,P\_{r})\right|\equiv 0\,{\text{mod}}\,p}
>
>
>
>
>
>

**Démonstration**

On commence par un lemme sur les monômes.

>
> **Lemme** : Soit
>
>
>
> M
> =
>
> X
>
> 1
>
>
>
> m
>
> 1
>
>
>
>
> ⋯
>
> X
>
> n
>
>
>
> m
>
> n
>
>
>
>
>
>
> {\displaystyle M=X\_{1}^{m\_{1}}\cdots X\_{n}^{m\_{n}}}
>
> . Alors
>
>
>
>
> ∑
>
> x
> ∈
>
>
> F
>
>
> q
>
>
> n
>
>
>
>
> M
> (
> x
> )
> =
> 0
>
>
> {\displaystyle \sum \_{x\in \mathbf {F} \_{q}^{n}}M(x)=0}
>
>  sauf si les *mi* sont tous non nuls et multiples de *q-1*
>
>
>
>

On a

∑

x
∈

F

q

n

M
(
x
# )

∑

x

1

∈

F

q

x

1

m

1

⋯

∑

x

n

∈

F

q

x

n

m

n

{\displaystyle \sum \_{x\in \mathbf {F} \_{q}^{n}}M(x)=\sum \_{x\_{1}\in \mathbf {F} \_{q}}x\_{1}^{m\_{1}}\cdots \sum \_{x\_{n}\in \mathbf {F} \_{q}}x\_{n}^{m\_{n}}}

* Si l'un des *m<i*=0, la somme correspondante est nulle.

* Si l'un des *m<sub<i* est non multiple de *q-1*, soit *y* un générateur de ***F**q\**. Alors

∑

x

i

∈

F

q

x

i

m

i

=

∑

x

i

∈

F

q

(
y

x

i

)

m

i

=

y

m

i

∑

x

i

∈

F

q

x

i

m

i

{\displaystyle \sum \_{x\_{i}\in \mathbf {F} \_{q}}x\_{i}^{m\_{i}}=\sum \_{x\_{i}\in \mathbf {F} \_{q}}(yx\_{i})^{m\_{i}}=y^{m\_{i}}\sum \_{x\_{i}\in \mathbf {F} \_{q}}x\_{i}^{m\_{i}}}

Comme *ymi* est différent de 1, la somme doit être nulle.

* Si tous les *mi* sont non nuls et multiples de *q-1* chaque somme vaut -1 et leur produit est non nul.

On déduit de ce lemme que si *m1+...+mn<n(q-1)* alors la somme

∑

x
∈

F

q

n

M
(
x
# )
0

{\displaystyle \sum \_{x\in \mathbf {F} \_{q}^{n}}M(x)=0}

.

Pour prouver le théorème, on considère

# i
1

r

(
1
−

P

i

q
−
1

)

{\displaystyle S=\prod \_{i=1}^{r}(1-P\_{i}^{q-1})}

. Alors *S* est l'indicatrice de *V(P1,...,Pr)*. En effet,
si *x* appartient à la variété tous les termes du produit valent 1, et sinon ils valent tous 0. De plus,

d

o

# S
∑

d

o

(

P

i

q
−
1

)
<
n
(
q
−
1
)

{\displaystyle d^{o}S=\sum d^{o}(P\_{i}^{q-1})<n(q-1)}

, donc

# 0

∑

x
∈

F

q

n

S
(
x
# )

∑

x
∈
V
(

P

1

,
⋯
,

P

r

)

# 1

V
(

P

1

,
⋯
,

P

r

)

1

{\displaystyle 0=\sum \_{x\in \mathbf {F} \_{q}^{n}}S(x)=\sum \_{x\in V(P\_{1},\cdots ,P\_{r})}1=\left|V(P\_{1},\cdots ,P\_{r})\right|1}

et on conclut en considérant la caractéristique de ***F**q*.

## Application : théorème d'Erdös-Ginzburg-Ziv

Fichier:Théorèmes de Chevalley-Warning et EGZ (B Havret).pdf
Leçon 127

Droite projective et birapport.

## Plan indicatif

### Espaces projectifs

* Définition d'un espace projectif, d'un sous-espace projectif, formule de Grassmann, exemple des droites du plan projectif qui se coupent toutes.
* Repères projectifs.
* Complétion projective d'un espace affine, notion d'hyperplan à l'infini.
* Groupe des homographies, homographie envoyant un repère projectif sur un autre.
* Compacité et connexité par arcs d'un espace projectif réel ou complexe.

### Droite projective

* Définition du birapport, formules, exemple de la division harmonique.
* Droites projectives réelle et complexe, groupe circulaire.
* Demi-plan de Poincaré, expression de la distance hyperbolique par le birapport, groupe modulaire.
* Isomorphismes exceptionnels dans le cas des corps finis.

### Coniques projectives réelles

* Définition d'une conique projective, intersection avec une droite projective, image par une homographie.
* Birapport de quatre points alignés, de quatre droites.
* Identification d'une conique projective et d'une droite projective, birapport de quatre points sur une conique.
* Théorème de Pascal, théorème de Brianchon, théorème de Steiner.

## Développements

* Groupe circulaire
* Engendrement du groupe modulaire
* Théorème de Pascal
Esther Himmelfarb Windham

Esther Louise Windham, neé Himmelfarb, is the Duchess of Moreland, married to Percival Windham, Duke of Moreland.

The Duke is slavishly devoted to her, and he says that he obeys her every wish. She is the only one who can rein in his worst machinations aimed at his children and grandchildren.

Esther bore eight children, and also raised Percival's two illegitimate children (see The Windham Siblings.)

## Relationships

* Husband - Duke of Moreland
* Children - The Windham Siblings
* In-laws - see Senior Windhams
* Nieces - see Windham Brides
* Father - Jacob Himmelfarb
* Cousin - Michael Adelman

## Books

* Main character in
	+ The Courtship (prequel novella)
	+ The Duke and His Duchess (second prequel novella)
	+ The Ducal Gift (novella)
* Minor character in
	+ Douglas, Lord of Heartache
	+ The Heir (Gayle's story)
	+ The Soldier (Devlin's story)
	+ The Virtuoso (Valentine's story)
	+ Lady Sophie's Christmas Wish
	+ Lady Maggie's Secret Scandal
	+ Lady Louisa's Christmas Knight
	+ Lady Eve's Indiscretion
	+ Lady Jenny's Christmas Portrait
	+ The Trouble with Dukes (Windham Brides 1)
	+ Too Scot to Handle (Windham Brides 2)
	+ No Other Duke Will Do (Windham Brides 3)
	+ A Rogue of Her Own (Windham Brides 4)
* Mentioned in
	+ David, Lord of Honor
	+ The Captive
	+ The Duke's Disaster
	+ Daniel's True Desire
	+ Will's True Wish
	+ Kisses and Catnip novella
	+ My Heart's True Delight
	+ Morgan and Archer novella
Leçon 205

Espaces complets. Exemples et applications.

## Plan indicatif

### Complétude

* Définition d'un espace complet, contre-exemple de ***Q***, transport de complétude par les fonctions *uniformément* bicontinues.
* Construction d'espaces complets : parties fermées d'un complet, produit dénombrable de complets, complété d'un espace, exemple des séries formelles.

### Utilisations

* Théorème des fermés emboîtés, théorème de Baire, applications du théorème de Baire : un espace vectoriel à base dénombrable n'est pas complet, densité des fonctions continues nulle part dérivables.
* Théorèmes du point fixe de Picard, application au théorème de Cauchy-Lipschitz, théorème du point fixe à paramètre, application au théorème des fonctions implicites.
* Théorème de prolongement des applications uniformément continues, application à l'intégrale de Riemann des fonctions réglées, à la transformée de Fourier dans *L*2.

### Espaces de Banach et de Hilbert

* Définition d'un espace de Banach, caractérisation par la convergence des séries normalement convergentes, exemple de l'espace des fonction bornées à valeurs dans un espace de Banach muni de la norme sup, théorème de Riesz-Fischer
* Théorème de Banach-Steinhaus, application à l'ensemble des fonctions continues dont la série de Fourier diverge en 0.
* Théorème de l'application ouverte, application à la non-existence d'opérateurs compacts surjectifs sur un espace de Banach de dimension infinie.
* Théorème du graphe fermé.
* Définition d'un espace de Hilbert, théorème de projection sur un convexe fermé, application à l'espérance conditionnelle, théorème de représentation de Riesz-Fréchet.

## Développements

* Théorème de Prokhorov
* Théorème de Cauchy-Lipschitz
* Théorème de Riesz-Fischer
Leçon 110

Caractères d'un groupe abélien fini et transformée de Fourier discrète. Applications.

## Plan indicatif

### Caractères d'un groupe fini, groupe dual

* Définition d'un caractère et du groupe dual. Les éléments du dual sont des racines de l'unité, Le groupe dual est un groupe fini.
* Espace hilbertien **C**[*G*], base des morphismes d'évaluation et dimension.
* Groupe dual d'un groupe cyclique, isomorphisme du groupe et de son dual, base des caractères de **C**[*G*].
* Théorème de prolongement des caractères, application au groupe dual d'un produit direct.
* Structure des groupes abéliens finis, isomorphisme d'un groupe abélien et de son dual, groupe bidual et isomorphisme canonique.
* Relations d'orthogonalité dans un groupe et son dual.

### Transformée de Fourier

* Définition des coefficients de Fourier, transformée de Fourier et transformée inverse, formule de Plancherel.
* Convolution dans **C**[*G*], lien avec la transformée de Fourier.

### Transformée de Fourier discrète et FFT

* Transformée de Fourier dans **Z**/*N***Z**, expression particulière de l'inversion et de la formule de Plancherel.
* Algorithme de Cooley-Tukey et application à la multiplication rapide de polynômes.

## Développement

* Théorème de prolongement des caractères
* Algorithme de Cooley-Tukey
The Lord Julian Mysteries

Lord Julian Caldicott has returned from the war against France a shadow of his former self. He discovers that his skills as a reconnaissance officer lend themselves to solving mysteries.

1. A Gentleman Fallen on Hard Times
2. A Gentleman of Dubious Reputation
3. A Gentleman in Challenging Circumstances
4. A Gentleman in Pursuit of Truth
5. A Gentleman in Search of a Wife

## Note

The events of this series begin right after the war. In book 1, Lord Julian meets up with Devlin St. Just, who is still suffering badly from PTSD, before the events of The Captive and The Heir. The Lord Julian series has not yet been added to the "Chronological Order" of book events listing of Grace's regencies.
Leçon 102

Groupe des complexes de module 1 et racines de l'unité.

## Plan indicatif

### Définition et formules générales

* L'ensemble ***U*** des complexes de module 1 est un groupe multiplicatif connexe et compact. C'est le plus grand sous-groupe borné de ***C***\*.
* L'exponentielle réalise un morphisme entre ***R*** et ***U***, dont le noyau est 2π***Z***
* Il existe un isomorphisme entre ***U*** et ***SO***(2).
* Formules d'Euler et de de Moivre, application à la linéarisation des polynômes trigonométriques, existence des polynômes de Tchebychev.

### Racines de l'unité

* Les sous-groupes de ***U*** sont denses ou finis, puisque ceux de ***R*** sont denses ou monogènes.
* Il existe un unique sous-groupe de cardinal *n* pour chaque entier *n*, isomorphe à ***Z**/n**Z***, c'est le sous-groupe des racines *n*-ièmes de l'unité.
* Les générateurs du sous-groupe des racines *n*-ièmes forment un sous-groupe, isomorphe aux inversibles de ***Z**/n**Z***

### Polynômes cyclotomiques

* Définition, degré, factorisation

>
>
>
>
>
> X
>
> n
>
>
> −
> 1
> =
>
> ∏
>
> d
>
>
> n
>
>
>
> ϕ
>
> d
>
>
>
>
> {\displaystyle X^{n}-1=\prod \_{d|n}\phi \_{d}}
>
>
>
>

* Irréductibilité des polynômes cyclotomiques, application à la formule [***Q**[ω]:**Q**]=φ(n)* et à la détermination des polygones constructibles.
* Unitarité, application au théorème de Dirichlet.
* Théorème de Wedderburn

## Développements

* Irréductibilité des polynômes cyclotomiques
* Théorème de Dirichlet
* Théorème de Wedderburn
* Théorème de Kronecker
* Loi de réciprocité quadratique avec somme de Gauss
Leçon 214

Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications.

## Plan indicatif

### Résultats principaux

* Théorème d'inversion locale et théorème des fonctions implicites, exemples dans le plan.
* Théorème d'inversion globale, théorème de Hadamard-Lévy, théorèmes d'immersion et de submersion.
* Théorème d'inversion globale holomorphe.

### Applications

* Théorème des extréma liés, application à l'inégalité de Hadamard.
* Théorème du rang constant, lemme de Morse.
* Exponentielle de matrice, application à la non existence de sous-groupes arbitrairement petits de ***GL(R)***
* Racines *k*-ièmes de matrices proches de l'unité, application à la régularité d'une racine simple d'un polynôme.

### Sous-variétés de ***R***n

* Définition d'une sous-variété, théorème des sous-variétés.
* Exemples : sphère unité, matrices orthogonales, groupe spécial linéaire.

## Développements

* Théorème de Brouwer
* Simplicité de SO(E)
* Théorème des extréma liés
* Lemme de Morse
Astrid Worthington

**Astrid Worthington Allen** is the daughter of a viscount. Unfortunately for her and her sister, her father died without an apparent heir, sending the title into escheat. This left them struggling to maintain their household with no income. Their fortunes improved when her sister Felicity married Gareth Alexander, Marquess of Heathgate, and her brother David returned and claimed the title.

Felicity's mother-in-law arranged Astrid's come out and she had two seasons, after which she married Herbert Allen, Viscount Amery. They had a cordial marriage until he died in a hunting accident two years into her marriage, leaving her as a pregnant widow.

## Relationships

* Husbands - Herbert Allen, Viscount Amery, deceased; Andrew Alexander, Earl of Greymoor
* Siblings - Felicity Worthington, David Worthington
* In-laws include - Gareth Alexander, Marquess of Heathgate; Douglas Allen, Viscount Amery; Henry Allen; Urania Dupres Allen, Dowager Viscountess Amery; Lady Arabella Antoinette Hollister Alexander, Dowager Marchioness of Heathgate; Letty Banks
* Cousin - Callista Hemmings, deceased

## Books

* Main character in Andrew, Lord of Despair
* Major character in
	+ Gareth, Lord of Rakes
* Minor character in:
	+ Douglas, Lord of Heartache
* Cameo in:
	+ David, Lord of Honor
	+ Ethan, Lord of Scandals
* Referenced in
	+ The Duke's Disaster
	+ Trenton, Lord of Loss

## Secrets

(Click expand to see spoilers.)Before his arranged marriage, Astrid's father Fredrick had quietly married Beverly Holbrook and sired a son, David Holbrook. Thus, David is their brother and Astrid and Felicity are illegitimate. David stayed out of the country so that their legitimacy would not be questioned.
Astrid's husband's death was not an accident. Her brother-in-law Henry killed both his father and brother in hopes of getting the title. When he learned that she was carrying the possible next Viscount Amery, he arranged multiple accidents for her as well.