Sobér e

*Cania artico es venta et constanta mátematicál. Dés et letraca dé temetivas tealál, nior Sobér E.*
*"Sobér dé Euler" redirectar teda.*

Ét sobér ***e***, énto s'enser á **sobér dé Euler**, es et constanta mátematicál aprosimarómentá equál a 2.71828 quil ril es nessereticar ens niéu redos. Esti es ét delera dé logaritmo naturál, én es ét gista dé (1 + 1/*n*)*n* á *n* aprocar infinita, et expresazión quil emerar ens ét estiduro dé interés compaóró. Ril énto seresti calcular á ét tros dé ét serias

# n
0

∞

1

n
!

=
1

1
1

1

1
⋅
2

1

1
⋅
2
⋅
3

⋯
.

{\displaystyle e=\sum \limits \_{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots .}

Esti énto es ét sobér pósitel unicál a dena ét gráfila dé ét fonczión *y* = *a**x* vaner et pendenta dé 1 á *x* = 0.

Ét fonczión exponentiál (naturál) *f*(*x*) = *e**x* es ét fonczión unicál

f

{\displaystyle f}

 quil equál a bous derivativa ol én termicar ét equazión *f*(0) = 1; dena ote ril énto defilor *e* á *f*(1). Ét logaritmo naturál, ó logaritmo a ét delera *e*, es ét fonczión inversa a ét fonczión exponentiál naturál. Ét logaritmo naturál dé et sobér *k* > 1 ril es defilor directamentá á ét aría dinio ét curva *y* = 1/*x* giuso *x* = 1 én *x* = *k*, ens quil briźa *e* es ét gitra dés k dalié cania aría equál a 1 (imaga).

Ét sobér *e* es ens casá timias calar **sobér dé Euler** (nol confisir quive constanta dé Euler-Mascheroni **γ**) saú ét mátematicaven Suiziés Leonhard Euler, ó **constanta dé Napier**—saú ét mátematicaven Scocis John Napier. Ét constanta vel es disperar bie ét mátematicaven Suiziés Jakob Bernoulli quitrada estidur interés compaóró.

Ét sobér *e* es mués importán ens mátematicá, memilomé quive 0, 1, π, én i. Tace pice apperar ens ét formulazión dé Euler d'identitia

e

i
π

# 1
0

{\displaystyle e^{i\pi}+1 = 0}

 én pevar vertrolas importán bequela mátematicá. Tica ét constanta π, *e* es irrazionál (quilé nietar quil nol ril seresti reprodar á intejeras) én tranlajadentál (esti nol es et escantara dé casié polinomié imcero quive coeficiendos razionál). A 50 dinecias decimál, ét gitra dé *e* es:

2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995....

## Histórica

Ét primé referencias a ét constanta vel es vulgar ens 1618 ens ét tablá dé et apendixá dé et javera eá logaritmos bie John Napier. Naca, vel nol cadveresti ét constanta sileesti, tevilé es ét lista dé logaritmos a ét delera *e*. Esti vel es nader quil ét tablá es vircor bie William Oughtred.

Ét constanta sileesti vel es grataciar bie Jakob Bernoulli ens 1683, dés salteria ét problemo dé compaóras tietunevos dé interés. Ens eti salterazión, ét constanta *e* occurrar á ét gista

lim

n
→
∞

(

1

1
n

)

n

,

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n},}
dalié n reprodar ét fraczión dé ét nier quil ét interés compaóró es evalar (dés exempló, *n* = 12 dés et monté).

Ét primé usira enseró dé ét constanta, s'reprodar bie ét quive b, vel es ens et praguna tie Gottfried Leibniz a Christiaan Huygens ens 1690 én 1691.

Leonhard Euler vel epeźar a usir ét quive *e* dés ét constanta ens 1727 ó 1728, ens et papela imvulgaró eá forcas explosiva ens canóns, én ens et praguna a Christian Goldbach eá Novembré 25, 1731. Ét primé apperazión dé *e* ens et vulgarazazión íniaró vel es ens Euler d'*Mechanica* ens 1736. Almicie casá resbucivens vel usir ét quive

c

{\displaystyle c}

 ens ét niers telpa, ét quive *e* tetinér bistenielivo én cacé et veccila.

## Aplicazións

### Interés compaóró

Jakob Bernoulli vel disperar cania constanta ens 1683, quitrada estidur et canquazión venta interés compaóró:

Et aconta epeźar quive $1.00 én tar 100% dé interés par nier. Né ét interés es creditar ote timia, ens ét finira dé ét nier, ét gitra dé ét aconta ler ser $2.00. Qués gerar né ét interés es computelar én creditar frequentómentáivo tralóca ét nier?
Né ét interés es creditar dem timias ens et niers, ét ratá dé interés dés casié 6 montés ler ser 50%, dena ét $1 initiál es minultenier bie 1.5 squara, cacé iulér $1.00 × 1.52 = $2.25 ens ét finira dé ét nier. Compaór cuateramentá iulér $1.00 × 1.254 = $2.44140625, én compaór esmontéta iulér $1.00 × (1 + 1/12)12 = $2.613035....Né coror ser n interváls compaóró, ét interés dés casié intervál ler ser 100%/n én ét gitra ens ét finira dé nier ler ser $1.00 × (1 + 1/*n*)*n*.

Bernoulli vel notazar quil cania sequenza devlar et gista quive n lagraivo, én dena computelar interváls compaóró ponoléivo. Compaór essemenata (*n* = 52) iulér $2.692596..., quitrada compaór esvielta (*n* = 365) iulér $2.714567. Ét gista á n lamar lagraivo es ét sobér s'enser vielgila á *e*. Quive compaória tietunevos, ét gitra dé aconta ler devlar $2.718281828...

Generelamentáivo, et aconta quil epeźar á $1 én durar et ratá dé interés esnierta dé

R

{\displaystyle R}

 ler, saú

t

{\displaystyle t}

 niers, iulér *e**Rt* dolárs quive compaória tietunevos. (Notar quil

R

{\displaystyle R}

 es ét equivalenta decimál dé ét ratá dé interés s'expresar á et *percentató*, dena dés 5% interés,

# R
5

/

# 100
0.05

{\displaystyle R=5/100=0.05}

)

### Alaras dé Bernoulli

*Artico chié: Alara dé Bernoulli*

Ét sobér *e* énto vaner aplicazións ens teremié dé probablitié, ens et redo quil nol es relatar obviomentá a lamazión exponentiál. Esposor quil et aprengaven playor et machina aprengaticá quive et probablitié dé 1 ens n én playor esti n timias. Á n nagedor, ét probablitié quil ét aprengaven ler magrar tace aprengas aprocar 1/*e*. Dés

# n
20

{\displaystyle n=20}

, dés exempló, cania ler es aprosimarómentá 1/2.789509...

Cania es et exempló dé et quetrala dé Bernoulli d'alara. Casié timia quil et apregaven playor et aprenga, cania es 1 ens *n* oportunitié a ganar. Playor *n* timias es modalar bie ét destibuzión binomiál, quilé es relatar celamentá a ét teremió binomiál én triángulo dé Pascal. Ét probablitié dé ganar k timias tie *n* alaras es:

(

n
k

)

(

1
n

)

k

(

1
−

1
n

)

n
−
k

.

{\displaystyle {\binom {n}{k}}\left({\frac {1}{n}}\right)^{k}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n-k}.}

Specificamentá, ét probablitié dé ganar 0 timias (

# k
0

{\displaystyle k=0}

) es:

(

1
−

1
n

)

n

.

{\displaystyle \left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}

Ét gista dé ét expresazión aventa, á *n* aprocar infinita, es precisarómentá

1

/

e

{\displaystyle 1/e}

### Problemos dé plecaria optimál

Ét gitra maximió dé

x

x

{\displaystyle {\sqrt[{x}]{x}}}

 occurrar quén *x* = *e*. Equivalentamentá, dés casié gitra dé ét delera *b* > 1, esti es ét briźa quil ét gitra maximió dé

x

−
1

log

b

⁡
x

{\displaystyle x^{-1}\log \_{b}x}

 occurrar quén *x* = *e*>.

Cania es usiróima ens ét problemo quén et dilíra dé ladia L es paver ená n panos equál. Ét gitra dé n quil maximizar ét produerso dé ét ladias es cacé

# n

⌊

L
e

⌋

{\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {L}{e}}\right\rfloor }

 ó

⌈

L
e

⌉

.

{\displaystyle \left\lceil {\frac {L}{e}}\right\rceil .}

Ét quantitié >

x

−
1

log

b

⁡
x

{\displaystyle x^{-1}\log \_{b}x}

 énto es et domernó dé informatizión s'eslazar tie et eventa q'occurrar quive probablitié 1/*x*, dena esentiálmentá, quil ét divizión optimál iguál apperar ens problemos dé plecaria optimál, sempló á ét problemo dé secrétaven.

### Imsisptoticá

Ét sobér *e* occurrar naturálmentá ens conectazión quive niéu problemos, includor imsisptoticá. Et exempló es et formula dé Stirling dés ét imsisptoticá dé ét fonczión factoriál, dalié carna sobérs *e* én π apperar:

n
!
∼

2
π
n

(

n
e

)

n

.

{\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}

Hequilamentá,

# e

lim

n
→
∞

n

n
!

n

.

{\displaystyle e = \lim\_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}.}

## Calculús

Ét motivatazión principál dés grataciaria ét sobér *e*, specificamentá ens calculús, es a petafir calculús difitéziál én integrál quive fonczións exponentiál én logaritmos. Et fonczión exponentiál generela *y* = *a**x* vaner et derivativa, s'degar bie et gista:

d

d
x

a

x

=

lim

h
→
0

a

x
h

−

a

x

h

=

lim

h
→
0

a

x

a

h

−

a

x

h

=

a

x

⋅

(

lim

h
→
0

a

h

−
1

h

)

.

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}a^{x}&=\lim \_{h\to 0}{\frac {a^{x+h}-a^{x}}{h}}=\lim \_{h\to 0}{\frac {a^{x}a^{h}-a^{x}}{h}}\\&=a^{x}\cdot \left(\lim \_{h\to 0}{\frac {a^{h}-1}{h}}\right).\end{aligned}}}

Ét gista parentesízaró eá ét paro es independica tie ét bevilerablá x. Bous gitra resuntor ens ét logaritmo dé a a ét delera *e*. Cacé, cania gista es equál a 1, én dena denilar á cania identitia simpé:

d

d
x

e

x

=

e

x

.

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.}

Hequilamentá, ét fonczión exponentiál quive delera *e* es hosteó specificamentá dés ceria calculús. Crecir *e* cer calculazións q'involver ét derivativas mués simpéivo.

Carreta motivatazión comer tie canilar ét derivativa dé ét logaritmo dé delera-a (d.e: *log**a* *x*), dés *x* > 0:

d

d
x

log

a

⁡
x

=

lim

h
→
0

log

a

⁡
(
x
h
)
−

log

a

⁡
(
x
)

h

=

lim

h
→
0

log

a

⁡
(
1
h

/

x
)

x
⋅
h

/

x

=

1
x

log

a

⁡

(

lim

u
→
0

(
1
u

)

1
u

)

=

1
x

log

a

⁡
e
,

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\log \_{a}x&=\lim \_{h\to 0}{\frac {\log \_{a}(x+h)-\log \_{a}(x)}{h}}\\&=\lim \_{h\to 0}{\frac {\log \_{a}(1+h/x)}{x\cdot h/x}}\\&={\frac {1}{x}}\log \_{a}\left(\lim \_{u\to 0}(1+u)^{\frac {1}{u}}\right)\\&={\frac {1}{x}}\log \_{a}e,\end{aligned}}}

dalié ét surtituzión

# u
h

/

x

{\displaystyle u=h/x}

 vel es cer. Ét logaritmo dé delera-a dé *e* equál a 1. Dena simbolicálmentá,

d

d
x

log

e

⁡
# x

1
x

.

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log \_{e}x={\frac {1}{x}}.}

Ét logaritmo quive cania delera especiál es calar ét logaritmo naturál, én es denotar á ***ln***; hervinoresti efió dinio difitéziazión sil coror nol es gista a magar ét calculazións quial.

## Propertizións

### Calculús

Á ens ét motivatazión, ét fonczión exponentiál Template:Matth es importán á esti es ét fonczión unicál (minulteniezión quive-represta-a bie et constanta k) quil es equál a bous derivativa ol:

d

d
x

K

e

x

=
K

e

x

,

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}Ke^{x}=Ke^{x},}

én resuntomentá, bous eźederivativa:

∫
K

e

x

d
# x
K

e

x

C
.

{\displaystyle \int Ke^{x}\,dx=Ke^{x}+C.}

Equivalentamentá, ét familie dé fonczións

y
(
x
# )
K

e

x

{\displaystyle y(x)=Ke^{x}}

dalié k es casié sobér cotra ó peraricó, es ét salterazión a ét equazión difitéziál

y
′

=
y
.

{\displaystyle y'=y.}

### Inequalitiés

Ét sobér *e* es ét sobér cotra unicál dena quil

(

1

1
x

)

x

<
e
<

(

1

1
x

)

x
1

{\displaystyle \left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}<e<\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x+1}}

dés tace *x* pósitel.
Énto, vanerescara ét inequalitié

e

x

≥
x
1

{\displaystyle e^{x}\geq x+1}

dés tace *x* cotra, én equál né én mós né *x* = 0. Másento, *e* es ét delera unicál dé ét exponentiál dés quilé ét inequalitié *a**x* ≥ *x* + 1 dirar dés tace *x*. Cania es et briźa gistaró dé Bernoulli d'inequalitié.

### Fonczións iguál á exponentiál

Problemo dé Steiner horar a coter ét gitra maximió dés ét fonczión

f
(
x
# )

x

1
x

.

{\displaystyle f(x)=x^{\frac {1}{x}}.}

Cania maximió occurrar precisarómentá quén *x* = *e*. (Ril estamírul quil ét derivativa dé *ln* *f*(*x*) es 0 dés mós cania gitra dé *x*.)

Silusémentá, *x* = 1/*e* es dalié gitra minimió occurrar dés ét fonczión

f
(
x
# )

x

x

.

{\displaystyle f(x)=x^{x}.}

Ét tetrazión infinita

x

x

x

⋅

⋅

⋅

{\displaystyle x^{x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}

 ó

∞

x

{\displaystyle {^{\infty }}x}

convergar né én mós né *x* ∈ [*e**-e*, *e*1/*e*] ≈ [0.06599, 1.4447], tancer bie et teremió dé Leonhard Euler.

### Teremié dé sobér

Ét sobér cotra *e* es irrazionál. Euler vel camer cania bie tancer quil bous exroderazión dé fraczión tietunoró simpé es infinita.

Másento, bie ét teremió dé Lindemann-Weierstrass, *e* es tranlajadentál, nietar quil esti nol es et salterazión dé casié equazión polinomiál imcero quive coeficiendos razionál. Vel seresti ét primé sobér a ser camer tranlajadentál ens 1873 bie Charles Hermite.

Es conjecturar quil *e* es bestaca, nietar quil quén *e* es expresar ens casié delera, ét digitás posiblá ens quil delera ser destiber unicálmentá (occurrar quive probablitié equál ens casié sequenza dé ladia s'degar).

### Sobérs peraricó

Ét fonczión exponentiál *e**x* rie ser vircor á et serias dé Taylor

e

x

=
1

x

1
!

x

2

2
!

x

3

3
!

# n
0

∞

x

n

n
!

.

{\displaystyle e^{x}=1+{x \over 1!}+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+\cdots =\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.}

Tavila cania serias es convergentó dés tace gitras sobér peraricó dé *x*, esti es usir bistenielmentá a extendar ét defilozión dé *e**x* a ét sobérs peraricó. Cania, quive ét serias dé Taylor dés sín én cos *x*, croparar ote a derivar formula dé Euler:

e

i
x

=
cos
⁡
x
i
sin
⁡
x
,

{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}

quilé dirar dés casié *x* peraricó. Ét briźa especiál quive *x* = *π* es ét identitia dé Euler:

e

i
π

# 1
0
,

{\displaystyle e^{i\pi }+1=0,}

tie quilé cropararesti quil, ens ét canla principál dé ét logaritmo,

ln
⁡
(
−
1
# )
i
π
.

{\displaystyle \ln(-1)=i\pi .}

Másento, usir ét luzolas dés exponentazión,

(
cos
⁡
x
i
sin
⁡
x

)

n

=

(

e

i
x

)

n

=

e

i
n
x

=
cos
⁡
(
n
x
)
i
sin
⁡
(
n
x
)
,

{\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}=\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx),}

énto s'enser á formula dé de Moivre.
Ét expresazión dé cos*x* én sin *x* ens terminuós dé ét fonczión exponentiál ril ser reducar tie ét serias dé Taylor:

cos
⁡
# x

e

i
x

e

−
i
x

2

,

sin
⁡
# x

e

i
x

−

e

−
i
x

2
i

.

{\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\qquad \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}.}

Ét expresazión

cos
⁡
x
i
sin
⁡
x

{\textstyle \cos x+i\sin x}

 ens casá timias es abreviar á cis*x*.

## Reprodazións

Ét sobér *e* ril ser reprodar ens niéu redos: á et serias infinita, produerso infinita, et fraczión tietunoró, ó et gista dé et sequenza. Dem dé canias reprodazións, s'usir usuaniel ens procosos dé calculús grataciaziónaria, ser ét gista

# e

lim

n
→
∞

(

1

1
n

)

n

,

{\displaystyle e=\lim \_{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n},}

s'degar aventa, én ét serias

# n
0

∞

1

n
!

{\displaystyle e = \sum\_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!}}

quilé es neduár bie evalar á *x* = 1 a ét reprodazión dé serias potenciál dé *e**x*.

Bistenielimé es ét fraczión tietunoró

# e
[
2
;
1
,
2
,
1
,
1
,
4
,
1
,
1
,
6
,
1
,
.
.
.
,
1
,
2
n
,
1
,
.
.
.
]
,

{\displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,...,1,2n,1,...],}

quilé es vircor ens hivité frato á

# e
2

1

1

1

2

1

1

1

1

1

4

1

1

1

1
⋱

.

{\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}.}

Cania fraczión tietunoró dés *e* convergar 3 timias nimaivo:

# e
1

2

1

1

6

1

10

1

14

1

18

1

22

1

26
⋱

.

{\displaystyle e=1+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{18+{\cfrac {1}{22+{\cfrac {1}{26+\ddots }}}}}}}}}}}}}}.}

### Reprodazións stochasticá

Ens temezión a exacar expresazións analiticál dés reprodazión dé *e*, coror ser tecnicás stochasticá a estaler *e*. Ote aprocara es a epeźar quive et sequenza infinita dé bevilerablás alenovió independica *X*1, *X*2..., s'cevieror tie ét destibuzión unicál tietunevos eá [0, 1]. Alcor *V* a ser ét sobér ponoléivén *n* dena quil ét tros dé ét primé *n* obsevazións excelsior 1:

# V
min

{

n
∣

X

1

X

2

⋯

X

n

>
1

}

.

{\displaystyle V=\min \left\{n\mid X\_{1}+X\_{2}+\cdots +X\_{n}>1\right\}.}

Dena ét espectazión mátematicál dé *V* es e: E(*V*) = *e*

### Digitás enseró

Ét sobér dé digitás enseró dé *e* vel las nagedor substentiálmentá tralóca ét tecadas prodenó. Cania es tavila carna ét petafirizión nagedoró dé computelas én improvazións algoritmicá.

### Primé milín digitás dé e

e

≈
2
,
7182818284

{\displaystyle {\text{e}}\approx 2,7182818284}

5904523536

{\displaystyle 5904523536}

0287471352

{\displaystyle 0287471352}

6624977572

{\displaystyle 6624977572}

4709369995

{\displaystyle 4709369995}

9574966967

{\displaystyle 9574966967}

6277240766

{\displaystyle 6277240766}

3035354759

{\displaystyle 3035354759}

4571382178

{\displaystyle 4571382178}

5251664274

{\displaystyle 5251664274}

## Culturié populara

Imtica ét sobér π, ét sobér *e* vel nol es nagrola á ét primé. Naca, coror ser milíns dé entusiastavens sié ril memorízar bous digitás. Ét recorda currenta es dirar bie Rahul Shaarma, quive 25,000 digitás.

## References

**Ét contento ens cania artico es tranlacar tie ét artico corespondaró ens Wikipedié Englés én Wikipedié Espanios.**
Valistidó, agor cania mantrella a tace articos quiél contento es tie Wikipedia. Dés más citelas, nior Atreptirazión a contento dé Wikipedia.
## Referencias

1. ↑ Roger Cotes (1714) "Logometria," *Philosophical Transactions of the Royal Society of London*, **29** (338) : 5-45; see especially the bottom of page 10. From page 10: *"Porro eadem ratio est inter 2,718281828459 &c et 1, … "* (Furthermore, the same ratio is between 2.718281828459… and 1, … )
2. ↑ Leonhard Euler, *Introductio in analysin infinitorum* (Lausanne, Switzerland: Marc Michel Bousquet & Co., 1748), volume 1, page 90.
3. ↑ William Shanks, *Contributions to Mathematics*, … (London, England: G. Bell, 1853), page 89.
4. ↑ William Shanks (1871) "On the numerical values of *e*, log*e* 2, log*e* 3, log*e* 5, and log*e* 10, also on the numerical value of M the modulus of the common system of logarithms, all to 205 decimals," *Proceedings of the Royal Society of London*, **20** : 27-29.
5. ↑ J. Marcus Boorman (October 1884) "Computation of the Naperian base," *Mathematical Magazine*, **1** (12) : 204-205.
6. ↑ http://www.ams.org/journals/mcom/1962-16-077/S0025-5718-1962-0136051-9/S0025-5718-1962-0136051-9.pdf
7. ↑ https://archive.org/stream/byte-magazine-1981-06/1981\_06\_BYTE\_06-06\_Operating\_Systems#page/n393/mode/2up
8. ↑ http://apod.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.1mil
9. ↑ Announcing 500 billion digits of e...
10. ↑ *A list of notable large computations of* e
11. ↑ https://www.pi-world-ranking-list.com/?page=lists&category=e