P-адичне число

**P-адичне число** — в математиці є поповненням поля раціональних чисел відмінним від дійсних чисел. Поповнення відбувається не щодо звичайної евклідової норми, як у випадку дійсних чисел, а щодо так званої p-адичної норми. P-адичні числа особливо широко застосовуються в теорії чисел.

## Елементарне означення

Нехай *p* — деяке просте число. Тоді, як відомо кожне ціле число може бути записано:

∑

# i
0

n

a
i

p
i

{\displaystyle \sum\_{i=0}^n a\_i p^i}

де числа ai належать до множини {0, …, *p* − 1}.
Загальновідомим є розширення даних чисел до множини дійсних чисел, кожне з яких може бути записане так:

±

∑

# i
−
∞

n

a
i

p
i

.

{\displaystyle \pm\sum\_{i=-\infty}^n a\_i p^i.}

де *n* — деяке ціле число.

P-адичні числа натомість можуть бути записані у виді:

∑

# i
k

∞

a
i

p
i

{\displaystyle \sum\_{i=k}^{\infty} a\_i p^i}

де *k* — деяке ціле число.

Наприклад, взявши *p=5*, ми матимемо:

−
# 1
…

444444444
5

.

{\displaystyle -1=\dots 444444444\_5.}

1
3

=
…

131313132
5

.

{\displaystyle \frac{1}{3}=\dots 131313132\_5.}

Обчислення відбуваються за звичайними правилами для чисел з основою 5.
Числа для яких *ai=0* для *i<0* називаються p-адичними цілими числами.

## Аналітична побудова

### p-адична норма

Нехай маємо деяке

x
∈

Z

{\displaystyle x \in \mathbb{Z}}

  — ціле число. Назвемо ординалом цього числа по відношенню щодо деякого простого *p*:

ord
p

⁡
# x
max
{
r
:

p
r

x
}

{\displaystyle \operatorname{ord}\_p x = \max\{r : p^r|x\}\,}

Далі для

a
b

∈

Q

{\displaystyle \frac{a}{b}\in \mathbb{Q}}

 визначимо:

ord
p

⁡

a
b

=

ord
p

⁡
a
−

ord
p

⁡
b

{\displaystyle \operatorname{ord}\_p \frac{a}{b}= \operatorname{ord}\_p a - \operatorname{ord}\_p b}

Еквівалентно, якщо

# x

p
n

a
b

,

{\displaystyle x=p^n\frac{a}{b},}

 де *a, b* не діляться на *p* то

ord
p

⁡
# x
n
.

{\displaystyle \operatorname{ord}\_p x = n.}

Вважатимемо також, що ординал нуля рівний безмежності.
Визначимо p-адичну норму для

x
∈

Z

{\displaystyle x \in \mathbb{Z}}

 таким чином:

x

p

=

{

p

−

ord
p

⁡
x

,

a
≠
0

p

−
∞

,

# a

{\displaystyle |x|\_p =\begin{cases} p^{-\operatorname{ord}\_p x}, & \mbox{ } a \ne 0 \\ p^{-\infty}, & \mbox{ } a = 0. \end{cases}}

Визначена подібним чином функція справді є нормою оскільки:

x

p

=
0

{\displaystyle |x|\_p = 0}

 тоді й лише тоді, коли *x=0*

Справді 0 єдине число ординал якого рівний нескінченності і відповідно єдине, для якого виконується дана рівність.

x
y

p

=

x

p

y

p

Справді, нехай

# x

p
n

a
b

,

{\displaystyle x=p^n\frac{a}{b},}

 а

# y

p
n

c
d

,

{\displaystyle y=p^n\frac{c}{d},}

 де жодне з чисел *a, b, c, d* не ділиться на *p.* Тоді

x
# y

p

n
m

a
c

b
d

{\displaystyle xy = p^{n+m}\frac{ac}{bd}}

 і *ac, bd* не діляться на *p.*
За означеннями маємо:

x

p

=

1

p
n

,

{\displaystyle |x|\_p=\frac{1}{p^n},}

y

p

=

1

p
m

,

{\displaystyle |y|\_p=\frac{1}{p^m},}

x
y

p

=

1

p

n
m

,

{\displaystyle |xy|\_p=\frac{1}{p^{n+m}},}

 що й доводить наше твердження.

x
y

p

≤
max
{

x

p

,

y

p

}

Нехай знову

# x

p
n

a
b

,

{\displaystyle x=p^n\frac{a}{b},}

 а

# y

p
n

c
d

,

{\displaystyle y=p^n\frac{c}{d},}

 де жодне з чисел *a, b, c, d* не ділиться на *p.* Нехай також

n
≤
m
.

{\displaystyle n \leq m.}

 Тоді

x
y

p

=

p
n

(

a
d

p

m
−
n

b
c

b
d

)
.

{\displaystyle |x+y|\_p=p^n(\frac{ad+p^{m-n}bc}{bd}).}

Тож очевидно ординал *x+y* не може бути меншим *n.* Окрім того у випадку коли *n* строго менше *m* ординал є рівним *n* адже в такому випадку чисельник і знаменник у розписі суми очевидно не діляться на *p.*
Таким чином ми довели, що *| |p* є неархімедовою нормою на полі раціональних чисел.
Наприклад для числа *x* = 63/550 = 2−1 32 5−2 7 11−1

x

2

=
2

{\displaystyle \displaystyle|x|\_2=2 \,\!}

x

3

=
1

/

9

{\displaystyle \displaystyle|x|\_3=1/9 \,\!}

x

5

=
25

{\displaystyle |x|\_5=25 \,\!}

x

7

=
1

/

7

{\displaystyle \displaystyle|x|\_7=1/7 \,\!}

x

11

=
11

{\displaystyle |x|\_{11}=11 \,\!}

x

p

=
1
,

{\displaystyle |x|\_{p}=1, \,\!}

 для інших простих чисел.
### Фундаментальні послідовності і нуль-послідовності

Послідовність *(ai)* називається збіжною до

a
∈

Q

{\displaystyle a\in \mathbb{Q}}

 за нормою

p

,

{\displaystyle | |\_p,}

 якщо

lim

n
→
∞

a
i

−
a

p

=

{\displaystyle \lim\_{n \to +\infty}|a\_i - a|\_p = 0.}

Якщо *a=0* то така послідовність називається нуль-послідовністю.

Послідовність *(ai)* називається фундаментальною, якщо:

∀
ϵ
>
0

∃
M
∈

Z

{\displaystyle \forall \epsilon > 0 \, \exists M\in \mathbb{Z}}

 таке що

m
,
n
>
M
⇒

a
m

−

a
n

p

<
ϵ
.

{\displaystyle m,n > M \Rightarrow |a\_m-a\_n|\_p <\epsilon.}

Із збіжності послідовності випливає її фундаментальність. Зворотне твердження у множині раціональних чисел є невірним.

### Побудова чисел

Введемо на множині фундаментальних послідовностей раціональних чисел щодо p-адичної норми відношення еквівалентності: фундаментальні послідовності *an* і *bn* є еквівалентні тоді й лише тоді коли їх різниця є нуль-послідовнісю.
Позначатимемо клас еквівалентності послідовності *(ai)* через *{ai}.*
На множині класів еквівалентності визначимо арифметичні операції:

*{an}+{bn}={an + bn},{an}{bn}={anbn}*
Дані означення є несуперечливими оскільки сума двох нуль-послідовностей є нуль-послідовністю і добуток фундаментальної послідовності на нуль-послідовність є нуль-послідовністю.
Визначимо також загальну p-адичну норму:

a
i

p

=

lim

n
→
∞

a
i

p

Таким чином сконструйовано поле, що є повним відносно p-адичної норми. Воно і називається полем p-адичних чисел. Раціональні числа є щільним підполем даного поля. Числа *x* для яких

x

p

≤
1

{\displaystyle |x|\_p\le 1}

 називаються p-адичними цілими числами.

## Властивості

* Кожне p-адичне число можна єдиним чином подати у виді:

∑

# i
k

∞

a
i

p
i

.

{\displaystyle \sum\_{i=k}^{\infty} a\_i p^i.}

Цим дані числа відрізняються від дійсних, для яких може бути кілька варіантів запису через суму степенів. Наприклад:

# 1
0
,
999999999
…

{\displaystyle 1=0,999999999\dots }

* Сума

∑

# i
k

∞

a
i

{\displaystyle \sum\_{i=k}^{\infty} a\_i}

 p-адичних чисел збіжна тоді й лише тоді коли *(ai)* є нуль-послідовністю.
* Топологічний простір p-адичних цілих чисел з метричною топологією гомеоморфний множині Кантора, а простір p-адичних чисел з метричною топологією гомеоморфний множині Кантора з вирізаною точкою.

## Література

* *Боревич З. И., Шафаревич И. Р.* Теория чисел, — М.: Наука, 1985.
* *Коблиц Н.* р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции, — М.: Мир, 1982.
* *Серр Ж.-П.* Курс арифметики, — М.: Мир, 1972.