Juegos de estrategias aleatorizadas

La teoría de juegos abarca una gran cantidad de situaciones en las que se busca obtener el mejor resultado posible, teniendo una serie de alternativas que se pueden tomar, tomando en cuenta que existe un contrincante, con sus propias estrategias, y que igual que nosotros, sabe jugar, y buscará jugar de tal forma que el obtenga la mejor ganancia posible. Dentro de esa “batalla” se genera un punto de equilibrio, también llamado equilibrio de Nash por su descubridor John Nash.

Un equilibrio de Nash es una situación en la cual todos los jugadores han puesto en práctica, y saben que lo han hecho, una estrategia que maximiza sus ganancias dadas las estrategias de los otros. Consecuentemente, ningún jugador tiene ningún incentivo para modificar individualmente su estrategia. Es importante tener presente que un equilibrio de Nash no implica que se logre el mejor resultado conjunto para los participantes, sino sólo el mejor resultado para cada uno de ellos considerados individualmente. Es perfectamente posible que el resultado fuera mejor para todos si, de alguna manera, los jugadores coordinaran su acción.

En términos económicos, es un tipo de equilibrio de competencia imperfecta que describe la situación de varias empresas compitiendo por el mercado de un mismo bien y que pueden elegir cuánto producir para intentar maximizar su ganancia.

Para este caso, abordaremos un tipo de juego en el cual el equilibrio de Nash no se puede determinar aplicando estrategia puras. Esto sucede cuando no existe el llamado punto silla en una matriz de pagos. Es por ello que se deben asignar probabilidades a cada estrategia de los jugadores con el fin de obtener el punto de equilibrio donde ambos jugadores están aplicando de la mejor manera sus estrategias.

### Estructura matemática

Matemáticamente se expresa de la siguiente manera:

Xi: probabilidad de que el jugador 1 juegue la estrategia i=1,2,3,...,m

Yi: probabilidad de que el jugador 2 juegue la estrategia i=1,2,3,...,n

Donde el pago esperado o punto de equilibrio viene dado por:

Este tipo de modelo matemático es aplicable a una gran cantidad de situaciones en las que se está compitiendo de alguna manera con otro individuo y se quiere determinar el mejor curso de acción dadas las acciones del contrincante. Tiene mucha aplicación en campañas políticas, competencias entre empresas, tácticas de guerra, entre muchas otras aplicaciones.

### Teorema minimax

Si se permiten estrategias mixtas, el par de estrategias que es óptimo de acuerdo con el criterio minimax proporciona una solución estable, en la cual ningún jugador puede mejorar el valor de juego a su favor cambiando unilateralmente de estrategia.

Dependiendo de la cantidad de estrategias que existan en la matriz de pagos, el problema se puede resolver por medio del método gráfico o aplicando método simplex.

### Para el ejemplo práctico se tomará un juego entre dos políticos, cuyos pagos por estrategia se encuentran en la siguiente tabla:

 Jugador 1
 X2

Buscamos los puntos maximin y minimax para verificar que exista o no un punto silla. El punto maximin se determina con respecto al jugador 1, y se busca la mínima ganancia por fila y luego seleccionamos el valor máximo. El punto minimax se determina con respecto al jugador 2, buscando la máxima perdida por columna y luego seleccionando el valor más pequeño de ellos.

 Jugador 1
 Minimax

Los puntos maximin y minimax no son iguales, por lo tanto el juego está desbalanceado y se convierte en un juego de estrategias mixtas, donde el punto de equilibrio está entre el 2 y el -2. Se hallará el punto de equilibrio por medio del método gráfico. Primero estableceremos que X2=1-X1, ya que la suma de las probabilidades debe ser igual a 1. Se trabajará con respecto al jugador 1 ya que, al solo tener dos estrategias, se facilitan los cálculos.

Buscaremos los pagos esperados por el jugador 1, de acuerdo a las estrategias del jugador 2.

 (0,1,0)
 (0,0,1)

Asignamos valores de 0 y 1 para obtener los pagos del jugador 2 con respecto al jugador 1.

 X1=1

Procedemos a graficar con los puntos obtenidos:

Se toma la intersección entre las rectas 2 y 3, porque es la más cercana al punto maxmin hallado en la matriz de pagos. Intersectando las rectas obtenemos:

4-6X1=-3+5X1 -->> X1=7/11; X2=4/11

Sustituyendo X1 en cualquiera de las rectas intersectadas, obtenemos que el valor de juego o punto de equilibrio es igual a 2/11, y como es un valor positivo, se dice que gana el jugador número 1.

Para obtener las probabilidades del jugador 2 se realizan las siguientes operaciones:

Y1[5-5X1]+Y2[4-6X1]+Y3[-3+5X1]=2/11

Como la recta 1 no está en el punto de equilibrio, la misma no se toma en cuenta, y si le damos valores de 0 y 1 a X1 obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

X1=0: 4Y2-3Y3=2/11

X1=1: -2Y2+2Y3=2/11

Resolviendo el sistema de ecuaciones, se obtiene que el jugador 2 juega de la siguiente manera: Y1=0, Y2=5/11 y Y3=6/11.

### Véase También

Toma de decisiones bajo incertidumbre

Proceso de Poisson

Análisis de Varianza

Modelos de colas

Técnica de Evaluación y Revisión de Programas (PERT)

Toma de decisiones bajo certidumbre

## Referencias

Hillier, F y Lieberman, G. (s/f). Investigación de operaciones.

Taha, H. (2012) Investigación de operaciones

Teoría de juegos