Видове движения на флуиди. Основни величини и закони.

## Методи за описание на движението на флуид.

* Метод на Лагранж:

Описва движението на всяка една частица от флуида:

R
→

=

R
→

(
t
)

{\displaystyle {\vec {R}}={\vec {R}}(t)}

 - субстанционална променлива.

v
→

=

v
→

(

R
→

(
t
)
)

{\displaystyle {\vec {v}}={\vec {v}}({\vec {R}}(t))}

.

* **Метод на Ойлер:**

При този метод фиксираме точка (област, повърхнина) и измерваме скоростта на частиците преминали през нея. Дефинира се поле на скоростите (векторно поле):

v
→

=

v
→

(

r
→

,
t
)

{\displaystyle {\vec {v}}={\vec {v}}({\vec {r}},t)}

 .

## Видове движения на флуид.

Спрямо метода на Ойлер:

* **Стационарно движение** - полето на скоростите не зависи от времето, а само от мястото:

v
→

=

v
→

(

r
→

)

{\displaystyle {\vec {v}}={\vec {v}}({\vec {r}})}

. Частиците, преминаващи през областта, имат еднакви скорости. Те могат да бъдат различни на друго място във флуида, но точно там са равни.
* **Нестационарно движение** - полето на скоростите зависи и от мястото, и от времето:

v
→

=

v
→

(

r
→

,
t
)

{\displaystyle {\vec {v}}={\vec {v}}({\vec {r}},t)}

. Частиците в различни моменти имат различни скорости.

Спрямо метода на Лагранж:

* **Ламинарно движение** - частиците се движат в отделни слоеве, които не се смесват помежду си. Имат близки траектории и скоростта им може да се изменя с времето.
* **Турбулентно движение** - частиците се движат хаотично с бързо изменящи се траектории, които се пресичат. Нямо отделни слоеве. Понякога се образуват и вихри - макроскопични въртения.

## Основни понятия при полето на скоростите.

1. **Токова линия** - мислена линия в полето на скоростите, във всяка точка на която скоростта е по допирателната към тази линия. При стационарното движение тази линия не се изменя и съвпада с траекторията на частицата.

2. **Токова тръба** - група от токови линии, оградени от две напречни сечения с площи

S
1

{\displaystyle S\_1}

 и

S
2

{\displaystyle S\_2}

. При стационарно движение токовата тръба не се изменя.

3. **Елементарен масов поток** - количеството маса флуид, преминало за единица време през

d
S

{\displaystyle dS}

, където

d
S

{\displaystyle dS}

 безкрайно малка повърхност с лицев вектор

d

S
→

{\displaystyle d{\vec {S}}}

. Нека за време

d
t

{\displaystyle d t}

 през

d
S

{\displaystyle dS}

 преминава флуид с формата на кос цилиндър с дължина

d
l

{\displaystyle dl}

 и обем

d
V

{\displaystyle dV}

. Плътността на флуида е

ρ

{\displaystyle \rho}

.

d

Φ

m

=

d
m

d
t

=

ρ
d
V

d
t

=

ρ
d
S
c
o
s
α
d
l

d
t

=
ρ
v
c
o
s
α
d
S

{\displaystyle d\Phi \_{m}={\frac {dm}{dt}}={\frac {\rho dV}{dt}}={\frac {\rho dScos\alpha dl}{dt}}=\rho vcos\alpha dS}

⟺
d

Φ

m

=
ρ

v
→

d

S
→

{\displaystyle \Longleftrightarrow d\Phi \_{m}=\rho {\vec {v}}d{\vec {S}}}

4. **Елементарен обемен поток** - обемът флуид, преминал през

d
S

{\displaystyle dS}

 за единица време:

d

Φ

V

=

d
V

d
t

⇔
d
# Φ

v
→

d

S
→

{\displaystyle d\Phi \_{V}={\frac {dV}{dt}}\Leftrightarrow d\Phi ={\vec {v}}d{\vec {S}}}

5. Връзка между елементарен обемен и масов поток:

d

Φ

m

=
ρ
.
d

Φ

V

{\displaystyle d\Phi \_{m}=\rho .d\Phi \_{V}}

6.**Общ масов поток** - масата на флуида, преминала през повърхнината S за единица време:

Φ

m

=

∫

S

d

Φ

m

=

∫

S

ρ
.

v
→

.
d

S
→

{\displaystyle \Phi \_{m}=\int \limits \_{S}d\Phi \_{m}=\int \limits \_{S}\rho .{\vec {v}}.d{\vec {S}}}

7. **Общ обемен поток (дебит)** - обема на флуида, преминал през S за единица време:

Φ

V

=

∫

S

d

Φ

V

=

∫

S

v
→

.
d

S
→

{\displaystyle \Phi \_{V}=\int \limits \_{S}d\Phi \_{V}=\int \limits \_{S}{\vec {v}}.d{\vec {S}}}

## Уравнение на непрекъснатост при движение на флуид:

1. Частен случай:

Даден е несвиваем флуид (

# ρ
c
o
n
s
t

{\displaystyle \rho = const}

), който се движи стационарно

v
→

=

v
→

(

r
→

)

{\displaystyle {\vec {v}}={\vec {v}}({\vec {r}})}

. Разглеждаме безкрайно тънка токова тръба, при която скоростта на флуида който влиза е

v

1

→

(

v

1

→

⇈
d

S

1

→

)

{\displaystyle {\vec {v\_{1}}}({\vec {v\_{1}}}\upuparrows d{\vec {S\_{1}}})}

, а на флуида, който излиза е

v

2

→

(

v

2

→

⇈
d

S

2

→

)

{\displaystyle {\vec {v\_{2}}}({\vec {v\_{2}}}\upuparrows d{\vec {S\_{2}}})}

.

⟹
d

Φ

m
1

=
d

Φ

m
2

⟹
ρ
.

v

1

.
d

S

1

=
ρ
.

v

2

.
d

S

2

,
v
d
# S
c
o
n
s
t

{\displaystyle \Longrightarrow d\Phi \_{m1}=d\Phi \_{m2}\Longrightarrow \rho .v\_{1}.dS\_{1}=\rho .v\_{2}.dS\_{2},vdS=const}

https://www.flowvis.org/2018/01/30/7640/

Учебник по физика - проф. д-р М. Надолийски, доц. д-р З. Пейков