1.1.3 (b) y (c)

**Problema 3. Encuentre las fórmulas de las funciones lineales que cumplen que:**

**b) f (1) = -1 y f (-1) = 6**

Fórmula de la pendiente

# m

y

2

−

y

1

x

2

−

x

1

{\displaystyle m={\frac {y\_{2}-y\_{1}}{x\_{2}-x\_{1}}}}

, Ecuación general de la recta **y = mx + b**

* Cómo tenemos **f (1) = -1 ,** significa que **(1, -1)** es un punto en la recta.
* Cómo tenemos **f (-1) = 6 ,** significa que **(-1, 6)** también es un punto en la recta.

* Ahora, con los puntos obtenidos, sustituimos los valores en la fórmula de m, obteniendo:

# m

6
−
(
−
1
)

−
1
−
(
1
)

=
−

7
2

{\displaystyle m={\frac {6-(-1)}{-1-(1)}}=-{\frac {7}{2}}}

* Usando el valor de

# m
−

7
2

{\displaystyle m=-{\frac {7}{2}}}

 y un punto dado **(1, -1),** sustituimos

x
1

{\displaystyle x\_1}

y

y
1

{\displaystyle y\_1}

en la ecuación

en su forma punto pendiente,

y
−

y

1

=
m
(
x
−

x

1

)

{\displaystyle y-y\_{1}=m(x-x\_{1})}

, obteniendo:

y
−
(
−
1
# )
−

7
2

(
x
−
(
1
)
)

{\displaystyle y-(-1)=-{\frac {7}{2}}(x-(1))}

* Procedemos a simplificar conservando la forma punto pendiente y resolvemos.

y
# 1
−

7
2

(
x
−
1
)

{\displaystyle y+1=-{\frac {7}{2}}(x-1)}

⇛

{\displaystyle \Rrightarrow}

y
# 1
−

7
x

2

7
2

{\displaystyle y+1=-{\frac {7x}{2}}+{\frac {7}{2}}}

⇛

{\displaystyle \Rrightarrow}

# y
−

7
x

2

7
2

−
1

{\displaystyle y=-{\frac {7x}{2}}+{\frac {7}{2}}-1}

# y
−

7
x

2

7
2

−
1
∗
2

2

{\displaystyle y=-{\frac {7x}{2}}+{\frac {7}{2}}+{\frac {-1\*2}{2}}}

⇛

{\displaystyle \Rrightarrow}

# y
−

7
x

2

5
2

{\displaystyle y=-{\frac {7x}{2}}+{\frac {5}{2}}}

* Y así obtenemos la fórmula de la función lineal.

# y
−

7
x

2

5
2

{\displaystyle y=-{\frac {7x}{2}}+{\frac {5}{2}}}

⇛

{\displaystyle \Rrightarrow}

f
(
x
# )
−

7
x

2

5
2

{\displaystyle f(x)=-{\frac {7x}{2}}+{\frac {5}{2}}}

**Gráfica del inciso b**

f
(
x
# )
−

7
x

2

5
2

{\displaystyle f(x)=-{\frac {7x}{2}}+{\frac {5}{2}}}

 ,

# m
−

7
2

{\displaystyle m=-{\frac {7}{2}}}

 ,

P
u
n
t
o
s
(
−
1
,
6
)
(
1
,
−
1
)

{\displaystyle Puntos(-1,6)(1,-1)}

**C).**

# m
−

7
2

{\displaystyle m=-{\frac {7}{2}}}

 y

f
(
−
3
# )
−
5

{\displaystyle f(-3)=-5}

* Tenemos **f (-3) = -5,** lo que significa que **(-3, -5)** es un punto en la recta.

Para encontrar la fórmula de la función lineal, usaremos la ecuación punto-pendiente

y
−

y

1

=
m
(
x
−

x

1

)

{\displaystyle y-y\_{1}=m(x-x\_{1})}

* Ahora, procedemos a sustituir los valores y resolvemos la ecuación.

y
−
(
−
5
# )
−

7
2

∗
(
x
−
(
−
3
)
)

{\displaystyle y-(-5)=-{\frac {7}{2}}\*(x-(-3))}

⇛

{\displaystyle \Rrightarrow}

y
# 5
−

7
2

x
−

21
2

{\displaystyle y+5=-{\frac {7}{2}}x-{\frac {21}{2}}}

* Despejamos **y,** y terminamos de resolver la ecuación.

# y
−

7
2

x
−

21
2

−
5

{\displaystyle y=-{\frac {7}{2}}x-{\frac {21}{2}}-5}

⇛

{\displaystyle \Rrightarrow}

# y
−

7
2

x
−

31
2

{\displaystyle y=-{\frac {7}{2}}x-{\frac {31}{2}}}

* De está manera, hemos obtenido la fórmula de la ecuación lineal.

# y
−

7
2

x
−

31
2

{\displaystyle y=-{\frac {7}{2}}x-{\frac {31}{2}}}

⇛

{\displaystyle \Rrightarrow}

f
(
x
# )
−

7
2

x
−

31
2

{\displaystyle f(x)=-{\frac {7}{2}}x-{\frac {31}{2}}}

**Gráfica del inciso c**

f
(
x
# )
−

7
2

x
−

31
2

{\displaystyle f(x)=-{\frac {7}{2}}x-{\frac {31}{2}}}

 ,

# m
−

7
2

{\displaystyle m=-{\frac {7}{2}}}

 ,

P
u
n
t
o
s
(
−
4.4
,
0
)
(
−
3
,
−
5
)

{\displaystyle Puntos(-4.4,0)(-3,-5)}