Explicação do Sistema de Tiers

## Introdução

A seguir é esta uma explicação dos limites superiores do Sistema de Tiers desta wiki, abrangendo as partes abordadas pelo Tier 1-A Inferior e acima, embora os conceitos aqui apresentados tenham grande influência no funcionamento de níveis muito mais baixos. Para obter informações sobre a principal medida usada para categorizá-los, consulte esta página.

## Terminologia

Axioma: Uma afirmação primitiva e evidente que é postulada e automaticamente considerada verdadeira no contexto de uma determinada teoria e sua linguagem, da qual declarações e teoremas mais gerais podem ser derivados. Um exemplo disso é o Axioma do Infinito, que pode ser resumido como sendo essencialmente a simples afirmação de que existe um conjunto infinito, algo que não pode ser provado ou construído a partir das ferramentas da aritmética padrão e, portanto, deve ser adicionado como uma afirmação separada, inteiramente.

Embora inicialmente tentasse ser descrita usando uma linguagem natura e informal, a teoria dos conjuntos rapidamente provou ser a base para o surgimento de muitos paradoxos e contradições em seus fundamentos e, portanto, precisou ser colocada sob a estrutura de uma linguagem formal com termos e postulados bem estabelecidos, "axiomatizando" por assim dizer. A Teoria dos Conjuntos conforme descrita pela linguagem natural é chamada de "Teoria Ingênua dos Conjuntos ou Naive Set Theory".

Conjunto de potências: O conjunto de todos os subconjuntos de um determinado conjunto X, comumente denotado como 2X ou P(X). Um exemplo é o conjunto de potências de {1, 3, 4}, que é igual a {∅, {1}, {3}, {4), {1, 3}, {1, 4}, {3, 4}, {1, 3, 4}}

κ: Espaço reservado para cardeais infinitos.

## Números cardinais

O vídeo acima é uma breve explicação do conceito de conjuntos infinitos contáveis e incontáveis, um elemento muito fundamental na Teoria dos Conjuntos, e que é de grande importância para a compreensão da maioria dos conceitos introduzidos na explicação a seguir. Portanto, é altamente recomendável que você assista caso as ideias apresentadas aqui não sejam familiares (Ative as Legendas em PTBR).

Este vídeo também oferece uma explicação mais detalhada da ideia mais geral dos números cardinais e também é altamente recomendado.

Em primeiro lugar, para introduzir adequadamente tamanhos maiores de infinito, é extremamente importante estabelecer uma distinção crucial, nomeadamente, aquela entre Números Cardinal e Números Ordinais.

Em essência, os números cardinais são usados para denotar a quantidade exata de objetos contidos em um determinado conjunto, formalmente chamado de cardinalidade do conjunto, por exemplo, a cardinalidade de um conjunto de quatro maçãs é 4.

Por outro lado, os números ordinais podem ser definidos como sendo usados para denotar números como conjuntos bem ordenados ou em termos leigos, coleções que possuem um menor elemento definido. Sob a construção padrão de ordinais, formalizada por John Von Neumann, qualquer número natural é um ordinal, e o conjunto bem ordenado de todos os ordinais é menor que ele mesmo. Por exemplo:

4 = {0, 1, 2, 3}

7 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

Ao abordar conjuntos finitos de objetos, essas duas noções andam de mãos dadas e não há distinção prática entre elas. No entanto, ao lidar com coleções infinitas, estes dois são divididos, e acaba por haver uma diferença muito palpável entre denotar a ordem em conjuntos e denotar a quantidade de objetos contidos neles.

Depois de esgotados todos os números ordinais finitos, surge o primeiro número ordinal infinito: ω, que pode ser definido matematicamente como equivalente ao conjunto de todos os números naturais, ou mais precisamente:

ω = {0, 1, 2, 3, 4, 5...}

Exatamente depois de ω, vem ω+1, que é definido como:

ω+1 = {0, 1, 2, 3, 4, 5... ω}

Então ω+2:

ω+2 = {0, 1, 2, 3, 4, 5... ω, ω+1}

E assim por diante, até que quaisquer outras operações sejam aplicadas sobre ω (veja estas páginas para mais informações). No entanto, é importante saber que, embora todos esses números ordinais venham depois de ω e sejam por tecnicidade, "maiores" que ele, os conjuntos que eles representam possuem cada um, a mesma quantidade de objetos e, portanto a mesma cardinalidade. Na verdade, eles são conjuntos contáveis e, portanto são todos representados pelo mesmo número cardinal: Aleph-Naught, denotado como ℵ0.

Depois de ℵ0, vem o menor número cardinal incontável: ℵ1, que é indexado pelo número ordinal ω1, o conjunto de todos os números ordinais contáveis. Para efeitos do Sistema de Camadas, é aceito como um Axioma que ℵ1 é a cardinalidade do conjunto de todos os números reais e, portanto, igual ao conjunto de potências de ℵ0, e o mesmo princípio é generalizado para qualquer número cardinal superior.

Esta hierarquia é então estendida aos Números Aleph cujo subscrito pode ser definido como sendo correspondente a qualquer número superior, seja ele finito ou infinito: ℵ2, ℵ3, ℵ4... ℵω, ℵω+1, ℵω+2, e assim por diante e assim por diante. em diante, com cada cardeal sucessivo sendo igual ao conjunto de potências do anterior.

**Pontos Fixos**

Matematicamente falando, um ponto fixo da hierarquia aleph é essencialmente um dado cardinal κ tal que κ = ℵκ. Em linguagem simples, isso significa essencialmente que um ponto fixo em aleph é um número cardinal infinito cujo tamanho é tão grande que é imutável através da transformação.

Matematicamente falando, um ponto fixo da hierarquia aleph é essencialmente um dado cardinal κ tal que κ = ℵκ. Em linguagem simples, isso significa essencialmente que um ponto fixo em aleph é um número cardinal infinito cujo tamanho é tão grande que é imutável por meio de transformações e igual à quantidade de cardeais abaixo dele.

Para elaborar mais sobre isso: é útil pensar em pontos fixos cardeais pensando na quantidade exata de cardeais que precedem qualquer número infinito e associá-lo ao seu subscrito: Ou seja, não há cardeais infinitos abaixo de ℵ0, um abaixo de ℵ1, dois abaixo de ℵ2... ℵ0 muitos cardeais infinitos abaixo de ℵω, e assim por diante, e assim por diante.

Agora, suponha que exista um cardeal infinito cujo subscrito seja essencialmente uma cascata infinita de alephs, reiterando-se incessantemente para baixo. Como o próprio subscrito contém infinitos alephs, remover um deles não alteraria o número em si de forma alguma, tornando este cardeal em um número cujo tamanho é tal que o número de infinitos cardeais menor que ele é igual ao próprio cardeal.

**Cardinais Grandes**

Cardinais grandes são a grosso modo, certos números cardinais com a propriedade de serem muito “grandes”. Ou seja, são números cardinais cuja existência não é demonstrável a partir dos axiomas padrão da maioria das teorias de conjuntos e portanto, devem ser explicitamente definidos neles pela adição de outro axioma que postula sua existência, da mesma forma que um conjunto infinito (ω) não pode ser obtido a partir das ferramentas e operações padrão da aritmética e, portanto, sua existência precisa ser adicionada separadamente.

A Hierarquia de Grandes Cardeais é bastante extensa e contém muitos números com nomes exóticos, mas o ponto de entrada mais convencional e facilmente compreendido são os Cardeais Inacessíveis: números cardinais infinitos que são incontáveis, regulares (não podem ser definidos como a união de quantidades menores). do que eles próprios) e limite forte (não pode ser alcançado através de operações repetidas de conjunto de poder), o que, em termos leigos, significa que eles não podem ser alcançados a partir de cardeais menores de qualquer forma, estando totalmente fora de seu escopo. O seguinte é uma boa ilustração da relação de um Cardeal Inacessível com números menores: