תנע זוויתי

**תנע זוויתי** (**Angular momentum** באנגלית) הוא גודל וקטורי המשמש מעין אנלוגיה לתנע קווי עבור תנועות סיבוביות - במקום למדוד כמה "נטייה לתנועה" יש למערכת, הוא מודד כמה "נטייה לסיבוב" סביב נקודה מסוימת יש למערכת. כפי שנראה בהמשך, התנע הזוויתי מציית לחוק שימור, מה שהופך אותו למאוד שימושי בתיאור וניתוח מגוון רחב של בעיות.

## הגדרה

   ראשית, חשוב להבין שכיוון שהתנע הזוויתי מודד סיבוביות **סביב נקודה מסוימת**, הוא מוגדר תמיד **ביחס לנקודה ספציפית**. לכן באופן כללי אין משמעות לתנע זוויתי מבלי לציין סביב איזו נקודה הוא מחושב.

בהינתן גוף נקודתי במסה

m

{\displaystyle m}

 הנמצא במיקום

r
→

{\displaystyle \vec{r}}

 ביחס לראשית הצירים ואשר נע במהירות

v
→

{\displaystyle \vec{v}}

, התנע הזוויתי שלו מוגדר להיות:

L
→

≡
m

r
→

×

v
→

{\displaystyle \vec{L} \equiv m \vec{r} \times \vec{v}}

כאשר הסימן

×

{\displaystyle \times}

 מייצג מכפלה וקטורית, כלומר, הגודל של וקטור התנע הזוויתי הוא

# L
m
r
v
sin
⁡

α

{\displaystyle L = mrv \sin{\alpha}}

 כאשר

α

{\displaystyle \alpha}

 היא הזווית בין וקטורי המיקום והמהירות, וכיוונו מאונך לשני הוקטורים האלו, לפי כלל יד ימין.

## חוק שימור התנע הזוויתי

### **פיתוח**

נתבונן במערכת המורכבת מ-

n

{\displaystyle n}

 גופים נקודתיים בעלי מסות

m
1

,

m
2

,
.
.
.
,

m
n

{\displaystyle m\_1, m\_2,...,m\_n}

. נניח כי ברגע מסויים הגופים נמצאים במיקומים

r
→

1

,

r
→

2

,
.
.
.
,

r
→

n

{\displaystyle \vec{r}\_1,\vec{r}\_2, ..., \vec{r}\_n}

 ונעים במהירויות

v
→

1

,

v
→

2

,
.
.
.
,

v
→

n

{\displaystyle \vec{v}\_1, \vec{v}\_2,...,\vec{v}\_n}

 בהתאמה.

נניח גם כי במערכת פועלים כוחות - כוחות חיצוניים על כל אחד מהגופים -

F
→

1

,

F
→

2

,
.
.
.
,

F
→

n

{\displaystyle \vec{F}\_1, \vec{F}\_2,...,\vec{F}\_n}

 בהתאמה, וכן כוחות הדדיים בין החלקיקים (נסמן ב-

F
→

i
j

{\displaystyle \vec{F}\_{ij}}

 את הכוח שמפעיל הגוף ה-

i

{\displaystyle i}

 על הגוף ה-

j

{\displaystyle j}

).

לפי ההגדרה, התנע הזוויתי הכולל של המערכת יהיה:

L
→

t
o
t

=

∑

# i
1

n

m
i

r
→

i

×

v
→

i

=

m
1

r
→

1

×

v
→

1

.
.
.

m
n

r
→

n

×

v
→

n

{\displaystyle \vec{L}\_{tot} = \sum\_{i=1}^{n}{ m\_i \vec{r}\_i \times \vec{v}\_i } = m\_1 \vec{r}\_1 \times \vec{v}\_1 + ... + m\_n \vec{r}\_n \times \vec{v}\_n }

נרצה לדעת איך גודל זה משתנה לאורך זמן. המסות נשארות קבועות, אך המיקומים והמהירויות משתנים עם הזמן. נגזור לפי הנגזרת של מכפלה וקטורית ונקבל:

L
→

˙

t
o
t

=

∑

# i
1

n

m
i

d

d
t

(

r
i

→

×

v
i

→

)

=

{\displaystyle \dot{\vec{L}}\_{tot} = \sum\_{i=1}^{n}{ m\_i \frac{d}{dt}\left ( \vec{r\_i} \times \vec{v\_i} \right ) } = }

=

∑

# i
1

n

m
i

(

r
i

→

˙

×

v
i

→

r
i

→

×

v
→

˙

i

)

=

{\displaystyle = \sum\_{i=1}^{n}{ m\_i ( \dot{\vec{r\_i}} \times \vec{v\_i} + \vec{r\_i} \times \dot{\vec{v}}\_i )} = }

=

∑

# i
1

n

m
i

(

v
i

→

×

v
i

→

⏟

0

r
i

→

×

a
i

→

)

=

{\displaystyle = \sum\_{i=1}^{n}{ m\_i ( \underbrace{\vec{v\_i} \times \vec{v\_i}}\_{0} + \vec{r\_i} \times \vec{a\_i} )} = }

=

∑

# i
1

n

m
i

(

r
i

→

×

a
i

→

)

=

{\displaystyle = \sum\_{i=1}^{n}{ m\_i ( \vec{r\_i} \times \vec{a\_i} )} = }

=

∑

# i
1

n

r
i

→

×

(

∑

F
i

→

)

{\displaystyle = \sum\_{i=1}^{n}{\vec{r\_i} \times \left ( \sum{\vec{F\_i}} \right ) } }

כאשר

a
→

i

{\displaystyle \vec{a}\_i}

 היא התאוצה של הגוף ה-

i

{\displaystyle i}

, ו-

∑

F
i

→

{\displaystyle \sum{\vec{F\_i}}}

 הוא הכוח הכולל הפועל על הגוף ה-

i

{\displaystyle i}

.

הגודל

r
→

×

F
→

{\displaystyle \vec{r} \times \vec{F}}

 נקרא מומנט כוח. הוא מהווה מעין אנלוגיה לכוח עבור תנועה מעגלית ומקובל לסמנו ב-

τ

{\displaystyle \tau}

. מתקיים כי בדיוק כמו כוחות, גם מומנטי כוח מקיימים חוק הדומה לחוק השלישי של ניוטון, וכך כל המומנטים הנובעים מהכוחות הפנימיים מבטלים זה את זה (פיתוח מפורט בערך על מומנט כוח). לכן נקבל:

L
→

˙

t
o
t

=

∑

# i
1

n

r
i

→

×

F
i

→

=

τ
→

e
x
t

{\displaystyle \dot{\vec{L}}\_{tot} = \sum\_{i=1}^{n}{\vec{r\_i} \times \vec{F\_i}} = \vec{\tau}\_{ext} }

כאשר

τ
→

e
x
t

{\displaystyle \vec{\tau}\_{ext}}

 הוא מומנט הכוח החיצוני השקול הפועל על המערכת.

מה שאנחנו רואים כאן הוא שהתנע הזוויתי של מערכת משתנה אך ורק כשמופעל עליה מומנט מבחוץ. זה דומה מאוד לחוק שימור התנע הקווי, הקובע כי התנע של מערכת משתנה אך ורק תחת כוח חיצוני. יחד עם חוק שימור האנרגיה, שלושת החוקים האלו מהווים חלק חשוב מאוד מארגז הכלים שלנו בבעיות במכניקה.

## תנע זוויתי של גוף קשיח

**גוף קשיח** הוא מערכת בה המרחק בין כל שתי נקודות נותר קבוע לאורך התנועה, כלומר, הגוף שומר על צורה קבועה. עבור גוף כזה הביטוי עבור התנע הזוויתי מקבל צורה פשוטה יותר:

יהי גוף קשיח המסתובב במהירות זוויתית

ω

{\displaystyle \omega}

 מסביב לציר

z

{\displaystyle z}

. המשמעות של זה היא שכל נקודה בגוף מבצעת תנועה מעגלית סביב הציר. התנע הזוויתי סביב ציר

z

{\displaystyle z}

של אלמנט מסה

m
i

{\displaystyle m\_i}

 הנמצא במרחק

r
i

{\displaystyle r\_i}

 מציר

z

{\displaystyle z}

 ייתנן לפי:

L

z
,
i

=

m
i

r
i

v
i

{\displaystyle L\_{z,i}=m\_ir\_iv\_i}

.

נשתמש בקשר

v
i

=
ω

r
i

{\displaystyle v\_i=\omega r\_i}

 ונקבל שהתנע הזוויתי של אלמנט מסה הוא:

L

z
,
i

=
ω

m
i

r
i
2

{\displaystyle L\_{z,i}=\omega m\_ir\_i^2}

.

סכימה על פני כל אלמנטי המסה מהם מורכב הגוף תיתן את התנע הזוויתי הכולל לפי:

L
z

=

∑

i

N

ω

m
i

r
i
2

=

(

∑

i

N

m
i

r
i
2

)

# ω
I
ω

{\displaystyle L\_z = \sum\_{i}^N \omega m\_ir\_i^2 = \left ( \sum\_{i}^N m\_ir\_i^2 \right )\omega=I \omega }

.

כאשר

I

{\displaystyle I}

 נקרא מומנט ההתמד של הגוף סביב ציר

z

{\displaystyle z}

, והוא גודל שתלוי לחלוטין במבנה של הגוף, ולא בתנועה שלו. הקשר שקיבלנו הוא הקשר האנלוגי לקשר

p
→

=
m

v
→

{\displaystyle \vec{p}=m\vec{v}}

.

חשוב מאוד לשים לב שכל הפיתוח פה נעשה **סביב ציר**

z

{\displaystyle z}

. המשמעות של זה היא שבהחלט יכולים להיות לגוף רכיבי תנע זוויתי נוספים בכיוונים אחרים, **אפילו שהוא מסתובב סביב ציר**

z

{\displaystyle z}

! התייחסות לתנע הזוויתי בכללותו היא מסובכת יחסית ומעבר לחומר הנדרש לאולימפיאדה. היא דורשת הרחבה של מושג מומנט ההתמד והפיכתו ל"גודל טנזורי".

## "משפט שטיינר" לתנע זוויתי

כאמור לעיל, תנע זוויתי הוגדר סביב נקודת ייחוס מסויימת. ניתן לעבור בין נקודות ייחוס שונות ואף בין מערכות ייחוס שונות. הדבר המעניין הוא שתנע זוויתי של גופים קשיחים עובר טרנספורמציות מסוג זה בדרך יחסית אלגנטית. כדי להתחיל לדון בפיתוח, י

נתחיל בהגדרת התנע הזוויתי, כאמור:

L
i

→

=

m
i

R
→

i

×

V
→

i

{\displaystyle \vec{L\_i} = m\_i \vec{R}\_i \times \vec{V}\_i}

.

המיקום של כל אלמנט יכול להיכתב כ:

R
→

i

=

R
→

r
→

i

{\displaystyle \vec{R}\_i = \vec{R} + \vec{r}\_i}

כאשר

R
→

{\displaystyle \vec{R}}

 הוא המיקום של מרכז המסה ו

r
→

i

{\displaystyle \vec r\_i }

 הוא המיקום של האלמנט ביחס למרכז המסה. כנ"ל לגבי המהירות של כל אלמנט (גזירה לפי זמן):

V
→

i

=

V
→

v
→

i

{\displaystyle \vec{V}\_i = \vec{V} + \vec{v}\_i}

. כעת התנע הזוויתי של כל אלמנט מקבל את הצורה:

L
i

→

=

m
i

(

R
→

r
→

i

)
×
(

V
→

v
→

i

# )

m
i

R
→

×

V
→

m
i

R
→

×

v
→

i

m
i

r
→

i

×

V
→

m
i

r
→

i

×

v
→

i

{\displaystyle \vec{L\_i} = m\_i (\vec{R} + \vec{r}\_i)\times (\vec{V} + \vec{v}\_i)=m\_i \vec{R} \times \vec{V}+m\_i \vec{R}\times\vec{v}\_i+m\_i \vec{r}\_i\times \vec{V}+m\_i \vec{r}\_i\times \vec{v}\_i}

הדבר המפתיע הוא שכאשר סוכמים על כל האלמנטים בגוף מקבלים שחלק מהאיברים מתבטלים. הסיבה היא שהביטוי

∑

i

m
i

r
→

i

{\displaystyle \sum\_{i}
m\_i \vec{r}\_i}

מתאר את מיקום מרכז המסה ביחס למרכז המסה, שהתשובה היא כמובן 0. באופן דומה החישוב של

∑

i

m
i

v
→

i

{\displaystyle \sum\_{i}
m\_i \vec{v}\_i}

 נותן את מהירות מרכז המסה ביחס למרכז המסה שהיא גם כמובן 0.

הביטוי לאחר הסכימה הוא:

L
→

=

∑

i

L
i

=

∑

i

m
i

R
→

×

V
→

∑

i

m
i

r
→

i

×

v
→

i

=
M

R
→

×

V
→

∑

i

m
i

r
→

i

×

v
→

i

{\displaystyle \vec{L}=\sum\_{i} L\_i=\sum\_{i}m\_i \vec{R} \times \vec{V}+\sum\_{i}m\_i \vec{r}\_i\times \vec{v}\_i=M\vec{R} \times \vec{V}+\sum\_{i}m\_i \vec{r}\_i\times \vec{v}\_i}

אפשר לזהות בביטוי את התנע הזוויתי של הגוף המסתובב במערכת מרכז המסה ואת התנע הזוויתי שהיה לגוף אילו הוא לא היה מסתובב בכלל. "סופרפוזיציה" כזו של תנועה סיבובית ותנועה קווית מופיעה בעוד מקומות במכניקה של גוף קשיח (לדוגמא אנרגיה). משתמשים בתוצאה הזאת כל פעם שרוצים לחשב תנע זוויתי של גוף קשיח ביחס לנקודת ייחוס נעה לאחר שחישבנו כבר את התנע הזוויתי במערכת מרכז המסה.

תוצאה נוספת היא שלכל גוף מסתובב יש "תנע זוויתי פנימי", זה המחושב במערכת מרכז המסה. התוצאה הזאת מאפשרת, בהקשרים מסויימים, לדבר על "התנע הזוויתי של גוף X" במקום לדבר על "התנע הזוויתי של גוף X ביחס לנק Q".