Diferença entre os volumes do cone e da piramide, formula

Pode-se inscrever em um cone uma piramide de

n

{\displaystyle n}

lados r se obter um volume que que é a diferença entre os volumes do cone e da piramide. para tento deve-se levar em consideração o raio da base do cone o numero de lados da base da piramide e a altura

h

{\displaystyle h}

, compartilhada entre o cone e a piramide.

Sabemos que para toda pirâmide vale:

# V
B
.
h

/

3

{\displaystyle V=B.h/3}

O primeiro passo para resolver nosso problema é obter uma fórmula para a área da base da pirâmide de modo que dependa apenas do raio da circunferência à qual está inscrita.

O polígono que representa a base da pirâmide, está inscrito ao círculo que representa a base do cone, pode ser qualquer polígono, dividido em triângulos, tantos quantos forem o número de lados da base da piramide. Nestes triângulos dois lados iguais são os raios que tem uma angulação

O ângulo  pode ser obtido pela fórmula:

# a

360
∘

/

n

{\displaystyle a=360^\circ/n}

onde  é o número de lados do polígono.

os triângulos são isósceles, o apótema  divide o ângulo  em duas partes iguais, pois é sua bissetriz, e também divide o segmento lado ao meio, de modo que o ângulo  será obtido fazendo:

a

/

# 2

180
∘

/

n

{\displaystyle a/2=180^\circ/n}

Então, do triângulo  temos triângulos retângulos

Utilizando um pouco de trigonometria no triângulo , obtemos as relações para o lado  do polígono e para seu apótema , em função do raio  da base do cone:

c
o
s
# θ
a

/

r

{\displaystyle cos\theta=a/r}

# a
r
.
c
o
s
θ

{\displaystyle a=r.cos\theta}

a
−
r
.
c
o
s
(
180

/

n
)

{\displaystyle a-r.cos(180/n)}

s
e
n
# θ
l

/

2

/

r

{\displaystyle sen\theta=l/2/r}

# l
2
r
.
s
e
n
θ

{\displaystyle l=2r.sen\theta}

# l
2
r
.
s
e
n
(
180

/

n
)

{\displaystyle l=2r.sen(180/n)}

A área de um polígono regular de  lados, pode ser obtida através da fórmula:

# A
p
.
a

{\displaystyle A=p.a}

onde

p

{\displaystyle p}

  é o semiperímetro do polígono, dado por:

# p
n
.
l

/

2

{\displaystyle p=n.l/2}

onde

n

{\displaystyle n}

  é o número de lados do polígono e  é a medida do lado. Então, a fórmula  pode ser reescrita como:

Aplicando as relações obtidas acima, obtemos:

# A
n
;
l

/

a

{\displaystyle A=n;l/2.a}

A área da base piramidal, aplicando as relações para o lado e apótema será:

# A
n

/

2.2
r
.
s
e
n
(
180

/

n
)
.
c
o
s
.
r
(
180

/

n
)

{\displaystyle A=n/2.2r.sen(180/n).cos.r(180/n)}

Agora, temos uma fórmula para a área da base da pirâmide de  lados inscrita na base do cone, que depende apenas do número de lados da pirâmide e do raio da base do cone.

Assim, o volume da pirâmide inscrita no cone é dado pela fórmula:

# V
n

/

2.2
r
.
s
e
n
(
180

/

n
)
.
c
o
s
.
r
(
180

/

n
)
.
h

/

3

{\displaystyle V=n/2.2r.sen(180/n).cos.r(180/n).h/3}

# V
n
.

r
2

.
s
e
n
(
180

/

n
)
.
c
o
s
(
180

/

n
)

{\displaystyle V=n.r^2.sen(180/n).cos(180/n)}

Já obtivemos informações suficientes para determinarmos uma fórmula que expresse a diferença entre os volumes de um cone e uma pirâmide inscrita.

Lembrando que um cone pode ser considerado uma pirâmide de infinitos lados. A fórmula para seu volume é

# V
π
.

r
2

.
h

/

3

{\displaystyle V=\pi.r^2.h/3}

:

E se subtraírmos o volume da pirâmide do volume do cone, obtemos:

# V

V
c

−

V
p

{\displaystyle V=V\_c-V\_p}

# V
π
.

r
2

.
h

/

3
−
n
.

r
2

.
s
e
n
(
180

/

n
)
.
c
o
s
(
180

/

n
)
.
h

/

3

{\displaystyle V=\pi.r^2.h/3-n.r^2.sen(180/n).cos(180/n).h/3}

# V

r
2

h
.
[
π
−
n
.
s
e
n
(
180

/

n
)
.
c
o
s
(
180

/

n
)
]

{\displaystyle V=r^2h.[\pi-n.sen(180/n).cos(180/n)]}

## Autor do artigo e fórmula

Jonatas Fabiano Da Silva Ferreira

https://www.facebook.com/jonatasfabiano.dasilvaferreira.96