微分积分表

本页面提供一些常用的微分和积分公式，以供查阅。

注意：本页面大量使用**解析失败 (未知函数“\LaTeX”): {\displaystyle \mathrm{\LaTeX}}**
，公式渲染可能需要等待一段时间。若出现显示“*[Math Processing Error]*”的情况，请刷新页面。

若无特殊说明，

f

{\displaystyle f}

、

g

{\displaystyle g}

、

u

{\displaystyle u}

、

v

{\displaystyle v}

 均是可微函数、

D

{\displaystyle D}

是函数的定义域、

c

{\displaystyle c}

、

c
~

{\displaystyle \tilde{c}}

、

c
n

(
n
∈

N

)

{\displaystyle c\_n\ (n\in\mathbb{N\_+})}

 是常数或常值函数。

## 微分和导数运算法则

* d

(
c

f
# )
c

d

f

{\displaystyle \mathrm{d}(c\,f)=c\,\mathrm{d}f}
* d

(
f
±
g
# )

d

f
±

d

g

{\displaystyle \mathrm{d}(f\pm g)=\mathrm{d}f\pm\mathrm{d}g}
* d

(
f

g
# )
g

d

f
f

d

g

{\displaystyle \mathrm{d}(f\,g)=g\,\mathrm{d}f+f\,\mathrm{d}g}
* d

(

f
g

)

=

g

d

f
−
f

d

g

g
2

{\displaystyle \mathrm{d}\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{g\,\mathrm{d}f-f\,\mathrm{d}g}{g^2}}
* ∀
x
∈
D
,

f
(

x
0

)
≠
0

⇒

d

(

1
f

)

=
−

d

f

f
2

{\displaystyle \forall x\in D,\ f(x\_0)\not=0\ \Rightarrow\ \mathrm{d}\left(\frac{1}{f}\right)=-\frac{\mathrm{d}f}{f^2}}

链式法则：

* d

d

x

(
f
∘
g
)
(
x
)
≡

d

d

x

(
f
(
g
(
x
)
)
# )

d

f

d

g

⋅

d

g

d

x

{\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f\circ g)(x)\equiv\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f(g(x)))=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}g}\cdot\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x}}

劈形算子（

∇

{\displaystyle \nabla }

## ）相关

* ∇
≡

(

∂

∂

x
i

)

{\displaystyle \nabla\equiv\left(\frac{\partial}{\partial x\_i}\right)}
* ∇
2

≡
Δ
≡

(

∂
2

∂

x
i
2

)

{\displaystyle \nabla^2\equiv\Delta\equiv\left(\frac{\partial^2}{\partial x\_i^2}\right)}
* ∇
⋅
≡

d
i
v

≡

∑

i

∂

∂

x
i

{\displaystyle \nabla\cdot\equiv\mathrm{div}\equiv\sum\limits\_{i}\frac{\partial}{\partial x\_i}}

## 常用导数表

* (
c

)
′

=
0

{\displaystyle (c)'=0}
* (

x
k

)
′

=
k

x

k
−
1

{\displaystyle (x^k)'=k\,x^{k-1}}
* (

log
k

⁡
x

)
′

=

1

x

ln
⁡
k

{\displaystyle (\log\_k x)'=\frac{1}{x\,\ln k}}

	+ (
	ln
	⁡
	x

	)
	′

	=

	1
	x

	{\displaystyle (\ln x)'=\frac{1}{x}}
* (

k
x

)
′

=

k
x

ln
⁡
k

{\displaystyle (k^x)'=k^x\,\ln k}

	+ (

	e

	x

	)
	′

	=

	e

	x

	{\displaystyle (\mathrm{e}^x)'=\mathrm{e}^x}

### 三角函数

* (
sin
⁡
x

)
′

=
cos
⁡
x

{\displaystyle (\sin x)'=\cos x}
* (
cos
⁡
x

)
′

=
−
sin
⁡
x

{\displaystyle (\cos x)'=-\sin x}
* (
tan
⁡
x

)
′

=

sec
2

⁡
x

{\displaystyle (\tan x)'=\sec^2 x}
* (
cot
⁡
x

)
′

=
−

csc
2

⁡
x

{\displaystyle (\cot x)'=-\csc^2 x}
* (
arcsin
⁡
x

)
′

=

1

1
−

x
2

{\displaystyle (\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}
* (
arccos
⁡
x

)
′

=
−

1

1
−

x
2

{\displaystyle (\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}
* (
arctan
⁡
x

)
′

=

1

1

x
2

{\displaystyle (\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}}
* (
arccot
⁡
x

)
′

=
−

1

1

x

2

{\displaystyle (\operatorname {arccot} x)'=-{\frac {1}{1+x^{2}}}}

### 双曲函数

* (
sinh
⁡
x

)
′

=
cosh
⁡
x

{\displaystyle (\sinh x)'=\cosh x}
* (
cosh
⁡
x

)
′

=
sinh
⁡
x

{\displaystyle (\cosh x)'=\sinh x}
* (
tanh
⁡
x

)
′

=

s
e
c
h

2

x

{\displaystyle (\tanh x)'=\mathrm{sech}^2\, x}
* (
coth
⁡
x

)
′

=
−

c
s
c
h

2

x

{\displaystyle (\coth x)'=-\mathrm{csch}^2\, x}
* (

a
r
c
s
i
n
h

x

)
′

=

1

1

x
2

{\displaystyle (\mathrm{arcsinh}\, x)'=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}}
* (

a
r
c
c
o
s
h

x

)
′

=

1

x
2

−
1

{\displaystyle (\mathrm{arccosh}\, x)'=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}}
* (

a
r
c
t
a
n
h

x

)
′

=

1

1
−

x
2

(

x

<
1
)

{\displaystyle (\mathrm{arctanh}\, x)'=\frac{1}{1-x^2}\quad(|x|<1)}
* (

a
r
c
c
o
t
h

x

)
′

=

1

1
−

x
2

(

x

>
1
)

{\displaystyle (\mathrm{arccoth}\, x)'=\frac{1}{1-x^2}\quad(|x|>1)}

### 其他

* (

x
x

)
′

=
(
ln
⁡
x
1
)

x
x

{\displaystyle (x^x)'=(\ln x+1)\,x^x}

## 一些经过定义的非初等函数

Beta 函数

* B

(
x
)
≡

∫
0
1

x

a
−
1

(
1
−
x

)

b
−
1

d

x

(
a
,
b
∈

R

)

{\displaystyle \mathrm{B}(x)\equiv\int\_0^1x^{a-1}(1-x)^{b-1}\mathrm{d}x\quad(a,b\in\mathbb{R}\_+)}

Gamma 函数

* Γ
(
x
)
≡

∫
0

∞

t

x
−
1

e

−
t

d

t

{\displaystyle \Gamma(x)\equiv\int\_0^{+\infty}t^{x-1}\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d}t}

正弦积分

* S
i

(
x
)
≡

∫
0
x

sin
⁡
t

t

d

t

(
x
>
0
)

{\displaystyle \mathrm{Si}(x)\equiv\int\_0^x\frac{\sin t}{t}\mathrm{d}t\quad(x>0)}

Euler 对数积分

* L
i

(
x
)
≡

∫
2
x

1

ln
⁡
t

d

t

(
x
∈

R

)

{\displaystyle \mathrm{Li}(x)\equiv\int\_2^x\frac{1}{\ln t}\mathrm{d}t\quad(x\in\mathbb{R})}

指数积分

* E

n

(
x
)
≡

∫
1

∞

exp
⁡
(
x

t
)

t
n

d

t

{\displaystyle \mathrm{E}\_n(x)\equiv\int\_1^{\infty}\frac{\exp(x\,t)}{t^n}\mathrm{d}t}

误差函数

* e
r
f

(
x
)
≡

∫
0
x

2

π

e

−

t
2

d

t

{\displaystyle \mathrm{erf}(x)\equiv\int\_0^x\frac{2}{\sqrt{\pi}}\mathrm{e}^{-t^2}\mathrm{d}t}

### 椭圆积分

一般形式：

* ∫

A
(
x
)
B
(
x
)

P
(
x
)

C
(
x
)
D
(
x
)

P
(
x
)

d

x

{\displaystyle \int\frac{A(x)+B(x)\,\sqrt{P(x)}}{C(x)+D(x)\,\sqrt{P(x)}}\mathrm{d}x}

其中

A
(
x
)
,

B
(
x
)
,

C
(
x
)
,

D
(
x
)
,

{\displaystyle A(x),\ B(x),\ C(x),\ D(x),\ }

 是

x

{\displaystyle x}

 的多项式；

P
(
x
)

{\displaystyle P(x)}

 是

x

{\displaystyle x}

 的三次或四次多项式。

## 广义 Stokes 定理

一般形式：

* ∫

∂
M

# ω

∫

M

d

ω

{\displaystyle \int\_{\partial M}\omega=\int\_{M}\mathrm{d}\omega}

特殊形式1（Stokes 定理）：

* ∫

∂
Σ

F

⋅

d

r

=

∬

Σ

∇
×

F

⋅

d

Σ

{\displaystyle \int\_{\partial\Sigma}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=\iint\_{\Sigma}\nabla\times\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{\Sigma}}

特殊形式2（Gauss–Остроградский 定理）:

* ∬

∂
V

F

⋅

d

σ

=

∭

V

∇
⋅

F

⋅

d

V

{\displaystyle \iint\_{\partial V}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{\mathbf{\sigma}}=\iiint\_{V}\nabla\cdot\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}V}

## 常见的棘手定积分

* ∫

−
∞

∞

e

−

x
2

d

# x

π

{\displaystyle \int\_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{-x^2}\,\mathrm{d}x=\sqrt{\pi}}
* ∫

0

∞

e

−
a

x
2

x

n

d

x
≡
I
(
n
)

{\displaystyle \int\_{0}^{\infty}\mathrm{e}^{-a\,x^2}\,x^{n}\,\mathrm{d}x\equiv I(n)}

	+ I
	(
	0
	)
	=

	π

	2

	a

	{\displaystyle I(0)=\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{a}}}
	+ I
	(
	1
	)
	=

	1

	2

	a

	{\displaystyle I(1)=\frac{1}{2\,a}}