5.40

40. En la casa del señor Stewart hay una cerca de base circular con radio de

10
m

{\displaystyle 10m}

 su altura varía de acuerdo a la siguente función

h
(
x
,
y
# )
4
0.01
(

x

2

−

y

2

)

{\displaystyle h(x,y)=4+0.01(x^{2}-y^{2})}

. Asi la altura varía de

3
m

{\displaystyle 3m}

 hasta

5
m

{\displaystyle 5m}

. La quiere pintar con una pintura en la que cada un litro cubre

100

m

2

{\displaystyle 100m^{2}}

 ¿Cúanta pintura nesesitará para pintar ambos lados de la cerca? (para las antiderivadas puede usar tablas o maple, no es nesesario argumentarlas)

Usaremos la formula para evaluar la integral de linea que es la siguiente:

∫

C

f
(
x
,
y
)

d
# s

∫

a

b

f
(
x
(
t
)
,
y
(
t
)
)

(

d
x

d
t

)

2

(

d
y

d
t

)

2

d
t

{\displaystyle \int \_{C}f(x,y)\ ds=\int \_{a}^{b}f(x(t),y(t)){\sqrt {{\bigg (}{\frac {dx}{dt}}{\bigg )}^{2}+{\bigg (}{\frac {dy}{dt}}{\bigg )}^{2}}}dt}

Sabemos que

C

{\displaystyle C}

es el circulo para

x
2

y
2

=
100

{\displaystyle x^2 + y^2 = 100}

ya que el problema nos da que el radio es de

10
m

{\displaystyle 10m}

Por lo que podemos saber que las ecuaciones paramétricas son los siguientes:

# x
10

c
o
s

t

{\displaystyle x=10\ cos\ t}

# y
10

s
i
n

t

{\displaystyle y=10\ sin\ t}

También sabemos que el intervalo de t es

0
≤
t
≤
2
π

{\displaystyle 0 \leq t \leq 2\pi }

 ya que la cerca tiene un base circular.

Por lo que al aplicar estos valores a la fórmula tenemos que:

∫

C

(
4
0.01
(

x

2

−

y

2

)
)

d
s

{\displaystyle \int \_{C}(4+0.01(x^{2}-y^{2}))\ ds}

=

∫

0

2
π

(
4
0.01
(
100

c
o

s

2

t
−
100

s
i

n

2

t
)
)

(

d
x

d
t

)

2

(

d
y

d
t

)

2

d
t

{\displaystyle =\int \_{0}^{2\pi }(4+0.01(100\ cos^{2}t-100\ sin^{2}t)){\sqrt {{\bigg (}{\frac {dx}{dt}}{\bigg )}^{2}+{\bigg (}{\frac {dy}{dt}}{\bigg )}^{2}}}\ dt}

=

∫

0

2
π

(
4
0.01
(
100

c
o

s

2

t
−
100

s
i

n

2

t
)
)

(

−
10

s
i
n

t

)

2

(

10

c
o
s

t

)

2

d
t

{\displaystyle =\int \_{0}^{2\pi }(4+0.01(100\ cos^{2}t-100\ sin^{2}t)){\sqrt {{\bigg (}-10\ sin\ t{\bigg )}^{2}+{\bigg (}10\ cos\ t{\bigg )}^{2}}}\ dt}

=

∫

0

2
π

(
4
0.01
(
100

c
o

s

2

t
−
100

s
i

n

2

t
)
)

100

s
i

n

2

t
100

c
o

s

2

t

d
t

{\displaystyle =\int \_{0}^{2\pi }(4+0.01(100\ cos^{2}t-100\ sin^{2}t)){\sqrt {100\ sin^{2}\ t+100\ cos^{2}\ t}}\ dt}

Por la identidad pitagoreana que nos dice que

c
o

s

2

x
s
i

n

2

# x
1

{\displaystyle cos^{2}x+sin^{2}x=1}

podemos simplificar lo que está dentro de la raíz cuadrada como:

=

∫

0

2
π

(
4
0.01
(
100

c
o

s

2

t
−
100

s
i

n

2

t
)
)

100

d
t

{\displaystyle =\int \_{0}^{2\pi }(4+0.01(100\ cos^{2}t-100\ sin^{2}t)){\sqrt {100}}\ dt}

Por la identidad de doble ángulo que nos dice que

c
o

s

2

x
−
s
i

n

2

# x
c
o
s

2
x

{\displaystyle cos^{2}x-sin^{2}x=cos\ 2x}

podemos simplificar una vez más de esta manera:

=

∫

0

2
π

(
4
0.01
(
100

c
o
s

2
t
)
)

100

d
t

{\displaystyle =\int \_{0}^{2\pi }(4+0.01(100\ cos\ 2t)){\sqrt {100}}\ dt}

=

∫

0

2
π

(
4
c
o
s

2
t
)
)
10

d
t

{\displaystyle =\int \_{0}^{2\pi }(4+cos\ 2t))10\ dt}

=

∫

0

2
π

(
40
10

c
o
s

2
t
)
)

d
t

{\displaystyle =\int \_{0}^{2\pi }(40+10\ cos\ 2t))\ dt}

Calculemos

∫
(
10

c
o
s

2
t
)

d
t

{\displaystyle \int (10\ cos\ 2t)\ dt}

Usemos cambio de variable

# u
2
t

{\displaystyle u=2t}

d
u

d
t

=
2

{\displaystyle {\frac {du}{dt}}=2}

 que se iguala a

d
u

2

=
d
t

{\displaystyle {\frac {du}{2}}=dt}

Por lo que al sustituir tenemos

∫
10

c
o
s

u

d
u

2

{\displaystyle \int 10\ cos\ u\ {\frac {du}{2}}}

=
∫
(
5

c
o
s

u
)

d
u

{\displaystyle =\int (5\ cos\ u)\ du}

=
5

s
i
n

u

{\displaystyle =5\ sin\ u}

=
5

s
i
n

2
t

{\displaystyle =5\ sin\ 2t}

Por lo tanto regresando a la fórmula original tenemos:

=

[

40
t
5

s
i
n

2
t

]

0

2
π

{\displaystyle ={\bigg [}40t+5\ sin\ 2t{\bigg ]}\_{0}^{2\pi }}

=
40
(
2
π
)
5

s
i
n

2
(
2
π
)

{\displaystyle =40(2\pi )+5\ sin\ 2(2\pi )}

=
80
π
5

s
i
n

4
π

{\displaystyle =80\pi +5\ sin\ 4\pi }

=
251.327
0

{\displaystyle =251.327+0}

=
251.327

m

2

{\displaystyle =251.327m^{2}}

por un lado de cerca

Para tener el area de ambos lados de cerca multiplicamos por dos y obtenemos

251.327
∗
# 2
502.654

m

2

{\displaystyle 251.327\*2=502.654m^{2}}

∴

{\displaystyle \therefore}

Para pintar ambos lados de la cerca necesitamos

5.02

{\displaystyle 5.02}

litros de pintura.