Phép biến hình

**Phép biến hình** là một quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với 1 và chỉ 1 điểm M.

**Kí hiệu:** **f**

Viết f(M) = M' nghĩa là f biến M thành M'; M' là ảnh của M qua f.

## Các dạng phép biến hình

* Phép tịnh tiến
* Phép đối xứng trục
* Phép đối xứng tâm
* Phép quay
* Phép vị tự
* Phép dời hình
* Phép đồng dạng

**Phép tịnh tiến** theo vecto

v
→

{\displaystyle \overrightarrow{v}}

 là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho

M

M
′

→

{\displaystyle \overrightarrow{MM'}}

 =

v
→

{\displaystyle \overrightarrow{v}}

**Kí hiệu:** T

v
→

{\displaystyle \overrightarrow{v}}

**T

v
→

{\displaystyle \overrightarrow{v}}

(M) = M' <->

M

M
′

→

{\displaystyle \overrightarrow{MM'}}

 =

v
→

{\displaystyle \overrightarrow{v}}**

## Nhận xét

* Phép tịnh tiến hoàn toàn được xác định khi biết vecto tịnh tiến của nó.
* Phép tịnh tiến theo

0
→

{\displaystyle \overrightarrow{0}}

 là một phép đồng nhất.

## Biểu thức tọa độ

**M(x; y) --->[T

v
→

{\displaystyle \overrightarrow{v}}

 với

v
→

{\displaystyle \overrightarrow{v}}

(a; b)] M'(x + a; y + b)**

## Tính chất

**Định lí:** Phép tịnh không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

**Hệ quả:**

* Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của các điểm tương ứng
* Biến 1 tia thành 1 tia
* Biến 1 đoạn thẳng thành 1 đoạn thẳng có độ dài bằng nó
* Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó (Nếu vecto chỉ phương của đường thẳng cùng phương với vecto tịnh tiến thì biến đường thẳng thành **đường thẳng trùng với nó**; nếu vecto tịnh tiến không cùng phương với vecto chỉ phương của đường thẳng thì biến thành **đường thẳng song song**)
* Biến 1 tam giác thành 1 tam giác bằng nó (trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp biến thành các điểm tương ứng)
* Biến 1 đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

**Phép biến hình** d là một phép biến hình biến mỗi điểm thuộc d thành chính nó; biến điểm M không thuộc d thành điểm M sao cho d là trung trực của MM'.

Kí hiệu: **Đd(M) = M'**

## Biểu thức tọa độ

* **M(x;y) -->[ĐOx] M'(x;-y)**
* **M(x;y) -->[ĐOy] M'(-x;y)**

## Tính chất

* Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài bằng nó
* Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự giữa chúng
* Biến 1 đường thẳng thành 1 đường thẳng
	+ **Đặc biệt:** nếu trục d // Δ thì Δ' // Δ; nếu trục d trùng Δ thì Δ' trùng với Δ; nếu trục d cắt Δ tại điểm Y thì Δ' cắt Δ tại Y; nếu d giao với Δ nhưng không vuông góc tại Y thì Δ' giao với Δ tại Y; nếu d vuông góc với Δ thì Δ' trùng với Δ)
* Biến tam giác thành tam giác bằng nó
* Biến 1 đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính
* Biến góc thành góc bằng nó

## Định nghĩa trục đối xứng của một hình

* Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình (H) nếu như đối xứng trục d biến (H) thành chính nó

**Phép đối xứng** tâm O là phép biến hình biến điểm O thành chính nó; biến mỗi điểm M khác điểm O thành điểm M' sao cho O là trung điểm của MM'.

**Kí hiệu:** ĐO (M) = M' <=> O là trung điểm của MM'

## Nhận xét

* Điểm O gọi là tâm đối xứng của hình H nếu ĐO biến H thành chính nó.

Ví dụ: hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông, hình tròn có **1** tâm đối xứng
## Biểu thức tọa độ

**M(x;y) -->[ĐO với O(x0;y0)] M'(x';y')** =>
{

(

x
′

=
2
x
0
−
x

y
′

=
2
y
0
−
y

)

{\displaystyle \begin{pmatrix}
{x' = 2x0 - x}\\
{y' = 2y0 - y}
\end{pmatrix}
}

## Tính chất

* Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì
* Biến 1 tia thành 1 tia
* Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của các điểm tương ứng
* Biến 1 đoạn thẳng thành 1 đoạn thẳng có độ dài bằng nó
* Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó (nếu tâm O nằm trên Δ thì Δ' trùng với Δ; nếu tâm O không nằm trên Δ thì Δ' // Δ)
* Biến 1 góc thành góc bằng nó
* Biến 1 tam giác thành tam giác bằng nó (trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp biến thành các điểm tương ứng)
* Biến 1 đường tròn thành đường tròn bằng nó (tâm biến thành tâm)

**Phép quay** tâm O góc α là một phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho OM = OM' và (OM, OM') = α

**Kí hiệu:** Q(O; α) (M) = M' <=>

{

O

M
′

=
O
M

(
O
M
,
O

M
′

# )
α

{\displaystyle \begin{cases}
OM' = OM\\
(OM, OM') = \alpha
\end{cases}
}

## Biểu thức của phép quay

M(x;y), M'(x';y')

Q(0; α) (M) = M'

=>

{

x
′

=
x
.
cos
⁡
α
−
y
.
sin
⁡
α

y
′

=
x
.
sin
⁡
α
y
.
cos
⁡
α

{\displaystyle
\begin{cases}
x' = x.\cos\alpha - y.\sin\alpha \\
y' = x.\sin\alpha + y.\cos\alpha
\end{cases}
}

## Nhận xét

* Phép quay hoàn toàn xác định khi biết tâm và góc quay
* chiều (+) của phép quay trùng với chiều (+) của đường tròn lượng giác
* Phép quay với góc α = k2π là phép đồng nhất (biến mọi điểm M thành chính nó)
* Phép quay với góc α = π + k2π là phép đối xứng tâm O

## Tính chất

* Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài bằng nó
* Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự giữa chúng
* Biến tam giác thành tam giác bằng nó
* Biến 1 đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính
* Biến góc thành góc bằng nó

**Phép vị tự** tâm O tỉ số k là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho

O

M
′

→

{\displaystyle \overrightarrow{OM'}}

 bằng k lần

O
M

→

{\displaystyle \overrightarrow{OM}}

**Kí hiệu:** **V(O;k) (M) = M' <=>

O

M
′

→

{\displaystyle \overrightarrow{OM'}}

=k.

O
M

→

{\displaystyle \overrightarrow{OM}}**

## Biểu thức tọa độ

Nếu O(x0;y0), M(x;y), I(a;b) thì V(0;k) (M) = M'(x';y')

<=>

{

x
′

−
x
# 0
k
.
(
x
−
x
0
)

y
′

−
y
# 0
k
.
(
y
−
y
0
)

{\displaystyle \begin{cases}
x' - x0 = k.(x - x0)\\
y' - y0 = k.(y - y0)
\end{cases}
}

 <=>

{

x
′

=
k
.
(
x
−
x
0
)
x
0

y
′

=
k
.
(
y
−
y
0
)
y
0

{\displaystyle \begin{cases}
x' = k.(x - x0) + x0\\
y' = k.(y - y0) + y0
\end{cases}
}

**Đặc biệt:** Nếu O(0;0) thì {

(

x
′

=
k
.
x

y
′

=
k
.
y

)

{\displaystyle \begin{pmatrix}
x' = k.x\\
y' = k.y
\end{pmatrix}
}

## Tính chất

* Phép vị tự tâm O tỉ số k biến M thành M', N thành N' thì

M
′

N
′

→

{\displaystyle \overrightarrow{M'N'}}

=

k

M
N

→

{\displaystyle k\overrightarrow{MN}}

. Đoạn M'N'=|k|.MN
* Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không thay đổi thứ tự giữa chúng
* Biến 1 đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó (nếu tâm vị tự 0 ∈ Δ hoặc tỉ số k=1 thì Δ' trùng với Δ)
* Biến 1 tia thành 1 tia
* Biến một tam giác thành tam giác đồng dạng với nó
* Biến góc thành góc bằng nó

**Phép dời hình** là một phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

## Nhận xét

Các phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay là những phép dời hình.

## Tính chất

* Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài bằng nó
* Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự giữa chúng
* Biến tam giác thành tam giác bằng nó
* Biến 1 đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính
* Biến góc thành góc bằng nó
* Khi thực hiện liên tiếp hai phép dời hình thì được một phép dời hình

Phép biến hình f gọi là **phép đồng dạng** tỉ số k (k>0) nếu với hai điểm M và N bất kì và ảnh M' và N' của chúng, ta có đoạn M'N'=k.MN

## Nhận xét

* Phép đồng dạng không phải phép dời hình. Khi k=1 thì nó sẽ là phép dời hình

## Tính chất

-**Định lí**: Mọi phép dồng dạng đều là hợp thành của một phép vị tự và một phép dời hình

-**Hệ quả**:

* Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự giữa chúng
* Biến đường thẳng thành đường thẳng
* Biến 1 tia thành 1 tia
* Biến 1 đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài được nhân lên k lần
* Biến một tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số k
* Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn có bán kính R'=k.R

## Định nghĩa hai hình đồng dạng

* Hai hình được gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng dạng biến hình này thành hình kia

## Tính chất

* Phép tịnh tiến và phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó
* Phép đối xứng trục và phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng
* Phép đối xứng tâm là phép vị tự có tỉ số k=-1
* Phép vị tự là phép đồng nhất có tỉ số k=1
* Mọi phép dời hình đều là phép đồng dạng với tỉ số k=1