Sesión X. Modulación AM.

Habiendo estudiado las ténicas de modulación como DBS (Double Side Band) y sus derivantes, se puede proceder al estudio de la Modulación por Amplitud, o por sus siglas en inglés, modulación AM (Amplitude Modulation). Este tipo de modulación continua siendo lineal ya que sigue manejando la misma relación entre la señal y el ruido, además, tiene bastante similitud a lo que es DBS.

Este fue el primer método de modulación en los inicios de la radio y que actualmente sigue siendo de utilidad, pero que se ha visto desplazada por otros métodos de modulación, especialmente por la modulación digital. Se le atribuye la gran capacidad de corbetura de transmisión, que en comparación de FM, requiere de muchos menos puntos de repetición.

Ahora, se mencionó que maneja gran similitud con la modulación DSB, lo cual es correcto, ya que maneja el mismo principio de modulación, lo que le hace diferente a DSB es el hecho de que no se hace necesario reconstruir la señal portadora para la demodulación, es decir, la señal moduladora ya viene incluida en la señal modulada, lo que facilita en gran medida la reconstrucción de la señal de información después de haber pasado por el canal de comunicación. La señal modulada se puede representar de la siguiente manera:

S

A
M

=

A

c

[
1
m
(
t
)
]
c
o
s
(
2
π

f

c

t
)

{\displaystyle S\_{AM}=A\_{c}[1+m(t)]cos(2\pi f\_{c}t)}

Donde,

m
(
t
# )
S
e

n
~

a
l

d
e

i
n
f
o
r
m
a
c
i

o
´

n
,

c
o
s
(
2
π

f

c

t
# )
S
e

n
~

a
l

p
o
r
t
a
d
o
r
a

{\displaystyle m(t)=Se{\tilde {n}}al\ de\ informaci{\acute {o}}n,\ cos(2\pi f\_{c}t)=Se{\tilde {n}}al\ portadora}

A

c

=
A
m
p
l
i
t
u
d

s
e

n
~

a
l

p
o
r
t
a
d
o
r
a

{\displaystyle A\_{c}=Amplitud\ se{\tilde {n}}al\ portadora}

Se puede observar una amplía similitud entre esta señal modulada Sam, en comparación con la presente en DSB, lo único que cambia en este caso es que a la señal de información se le suma 1; esto se puede considerar como un desplazamiento vertical en la señal m(t), pero en realidad, esto se hace para incluir en la señal modulada a la portadora, como se mencionaba anteriormente, esto por que? Bueno, al multiplicar la portadora por (1+m(t)) finalmente quedaría lo siguiente:

S

A
M

=

A

c

c
o
s
(
2
π

f

c

t
)

A

c

m
(
t
)
c
o
s
(
2
π

f

c

t
)

{\displaystyle S\_{AM}=A\_{c}cos(2\pi f\_{c}t)+A\_{c}m(t)cos(2\pi f\_{c}t)}

Se puede observar entonces que queda el primer sumando totalmente independiente de la señal de la información, lo que conlleva a que si m(t) = 0, entonces:

S

A
M

=

A

c

c
o
s
(
2
π

f

c

t
)

{\displaystyle S\_{AM}=A\_{c}cos(2\pi f\_{c}t)}

Es decir, queda la señal portadora únicamente, y siempre va a estar sumando a la señal modulada, por lo que la señal Sam va a estar siempre incluyendo la portadora, como se puede observar en la siguiente gráfica:

En la *Figura 1.* se puede observar la envolvente que corresponde a la señal de información y la portadora es la que tiene una frecuencia muy alta entre la envolvente, entregando así la forma de la señal m(t) que es en realidad lo que corresponde a la información, ahora, cabe destacar el hecho de que cuando la señal de información m(t) = 0, entonces la figura de Sam corresponde a la misma forma y frecuencia de la señal portadora, tal como se suponía inicialmente, es por esto que cuándo la señal m(t) la amplitud va a ser mayor, o de otra manera, la amplitud mínima siempre será la amplitud de la portadora.

Del mismo modo, en el espectro la señal portadora también aparece, sabiendo que la portadora corresponde a un coseno, su representación espectral es sencilla de deducir:

A

c

c
o
s
(
2
π

f

c

t
)
→
F
→

A

c

2

[
δ
(
f

f

c

)
δ
(
f
−

f

c

)
]

{\displaystyle A\_{c}cos(2\pi f\_{c}t)\rightarrow F\rightarrow {\frac {A\_{c}}{2}}[\delta (f+f\_{c})+\delta (f-f\_{c})]}

Lo que corresponde a dos impulsos en la frecuencia Fc, de igual modo, se debe hallar el especto de la señal de información, que finalmente se convolucionará con la señal portadora, y es aquí donde entra la novedad con respecto a DSB, se le debe sumar a la convolución el espectro de la portadora, es decir, los dos impulsos, concordando con lo inicialmente mencionado que ahora se debe mantener la señal portadora junto con la señal modulada, esto con el proposito que se hablará más adelante. Supongamos que la señal m(t) tiene la siguiente representación en el espectro:

Un triangulo en la mitad, donde las bandas laterales caen en la frecuencia fm y sumandole el impulso correspondiente a la portadora. Ahora, procediendo a realizar la modulación AM, es decir, convolucionar la portadora con la señal de información y la suma de la misma portadora se representa con la siguiente expresión:

S

A
M

(
f
# )

A

c

2

[
δ
(
f

f

c

)
M
(
f

f

c

)
δ
(
f
−

f

c

)
M
(
f
−

f

c

)
]

{\displaystyle S\_{AM}(f)={\frac {A\_{c}}{2}}[\delta (f+f\_{c})+M(f+f\_{c})+\delta (f-f\_{c})+M(f-f\_{c})]}

Graficando la magnitud de la anterior expresión, se obtendría lo siguiente:

En comparación con el resultado de la señal modulada en DSB, ahora están apareciendo los impulsos correspondiente a la portadora, lo que facilita significativamente en la demodulación, ya que no se hace necesario la generación nuevamente de esa portadora, sino que ya está incluída en el espectro. Entonces, para la demodulación obtendriamos lo siguiente:

Como se puede observar, al haber aplicado la demodulación quedaron los dos triangulos laterales y la que más nos interesa, la que se encuentra en la frecuencia 0, que aplicando un LPF (Low Pass Filter o Filtro pasobajos) podremos obtener la señal de información inicial, la amplitud se ve un tanto afectada al realizar la convolución, pero lo importante de esto es que se logró obtener la forma de la señal que es al fín y al cabo, la información.

Este es basicamente el principio de funcionamiento de la modulación AM, ahora, hay un factor k que corresponde al Indice de Modulación, que se define de la siguiente manera:

# k

A

m

A

c

{\displaystyle k={\frac {A\_{m}}{A\_{c}}}}

Donde,

A

m

=
A
m
p
l
i
t
u
d

m
o
d
u
l
a
n
t
e
,

A

c

=
A
m
p
l
i
t
u
d

p
o
r
t
a
d
o
r
a

{\displaystyle A\_{m}=Amplitud\ modulante,\ A\_{c}=Amplitud\ portadora}

Con amplitud modulante se refiere a la señal que se va a modular. Este indice es la relación entre el valor máximo de la señal de información, con el valor máximo de la señal portadora, este se puede tomar como un porcentaje que indica en que tanto porcentaje varía la amplitud del mensaje con respecto a la de la señal portadora. En el caso de que k > 1, es decir, mayor a un 100% del indice de modulación, significa que habría distorsión de la señal de información, porque la envolvente de la señal AM no estaría definida por [1+km(t)], presentando distorsión, es por esto que k debe menor o igual que 1 siempre. En vista de este posible caso, para que siempra pueda estar definida por [1+km(t)], lo que se hace es dividir la señal de información m(t) entre el valor absoluto del mínimo de m(t), lo que se considera una clase de "normalización" de la señal, es decir:

S

A
M

=
A
c
∗
[
1
k

m
(
t
)

m
i
n
(
m
(
t
)
)

]
c
o
s
(
2
π

f

c

t
)

{\displaystyle S\_{AM}=Ac\*[1+k{\frac {m(t)}{|min(m(t))|}}]cos(2\pi f\_{c}t)}

Lo que permitirá que siempre suceda lo siguiente:

m
(
t
)

m
i
n
(
t
)
)

⩾
−
1

{\displaystyle {\frac {m(t)}{|min(t))|}}\geqslant -1}

Por ende, el sumando va a ser siempre no negativo y no se presentará distorsión. Ahora, como se entiende este indice de modulación, lo que nos dice es que tanta relación tiene la amplitud de la modulada con la amplitud de la portadora, o también, se puede entender como que tan angosta o ancha será la envolvente, esto se puede observar mejor en la siguiente grafica:

Para la grafica de la izquierda el indice de modulación es menor con respecto al indice de modulación de la grafica de la derecha, es así como a mayor indice de modulación aumenta su amplitud, y esto tiene una razón y es que multiplica a la señal de información el factor K que se mencionó anteriormente, y del mismo modo, que si disminuye entonces la amplitud de la info, que del mismo modo al ser modulada, su amplitud va a disminuir. Esto es importante ya que el dependiendo del K se puede modificar la amplitud, teniendo en cuenta que si k = 0 entonces no habría modulación, ya que al multiplicar por la señal de info sería cero lo que se modula, otro punto por el cual es importante es que se puede modificar la potencia de la señal con este factor, que al ser transmitida por el canal de comunicación puede llegar a perder potencia, entonces entre mayor sea la potencia inicial previa al canal, mayor será al final después de haber pasado por el canal.

Como última definición, se tiene la Potencia en AM, que se define de la siguiente manera:

P

A
M

=

1
2

∗

A

c

[
1
2
∗
<
m
(
t
)
>
<

m

2

(
t
)
>
]

{\displaystyle P\_{AM}={\frac {1}{2}}\*A\_{c}[1+2\*<m(t)>+<m^{2}(t)>]}

D
o
n
d
e
,

<>

e
s

e
l

v
a
l
o
r

m
e
d
i
o

{\displaystyle Donde,\ <>\ es\ el\ valor\ medio}

Donde el sumando "1" corresponde a la potencia a la portadora, que es la que no lleva información. El sumando "2\*<m(t)>" corresponde a una componente D.C, es decir, si la señal de información m(t) tiene un comportamiento sinusoidal, entonces m(t) es cero ya que es una componente completamente de corriente directa, es por esto que concuerda con el valor medio, ya que el valor medio de una señal sinusoidal (ya sea coseno o seno) es igual a cero. Y finalmente, el tercer sumando que si tiene un valor, y usualmente es el mismo que la potencia de la señal modulada, recordando que esto se cumple para cuándo m(t) tiene un comportamiento sinusoidal.

Ahora, conociendo las potencias se puede hallar la relación de potencias, que corresponde a la eficiencia de modulación.

# E

P

i
n
f
o

P

p
o
r
t

{\displaystyle E={\frac {P\_{info}}{P\_{port}}}}

Donde el numerador corresponde a la potencia de la señal de información y el denominador corresponde a la potencia de la portadora, lo que nos quiere indicar este valor es que tanto porcentaje de la señal de información se está modulando con la portadora que se está usando, entre mas se acerque a 1, es mejor. Es por esto que en la modulación DSB era máxima, ya que la potencia de la portadora era casi que mínima (esto antes del filtrado pasabajos, ya que después del filtro no era máxima la eficiencia).

Ahora, por que es tan importante la modulación AM y por que ha sido tan trascendental, como se ha ido mencionando a través de la sesión, la implementación de los dispositivos capaces de realizar la modulación de señales analogicas a AM sale bastante economica en comparación de otras, de hecho, es por este motivo que se desarrolló la AM, ya que no es necesario generar nuevamente la señal portadora, sino que debe recuperarse de la misma modulación, reduciendo significativamente los costos. Al ser un tipo de modulación tan barata, ha permitido que las implementaciones y desarrollos domesticos hayan aumentado, ya que cualquiera puede aplicarlo con una poca cantidad de dinero.

También, a pesar de que es un tipo de modulación no muy eficiente, la simplicidad que maneja en el receptor mejora significativamente la facilidad de implementación, además de que las condiciones de propagación en esas bandas que trabaja AM permiten tener un amplío espacio de cobertura sin necesidad de retransmisores.

Entre sus principales aplicaciones en el mundo en general es muy usada en la radiofonía, es decir, la famosa radio AM, que se basa en este principio y maneja diferentes longitudes de onda, y con usualmente bajas frecuencias que albergan una gran extensión de cobertura, siendo así la primera forma de transmisión de audio cuándo se creo la radio AM, que después se ha visto desplazada por la radio FM por la mejora significativa de la calidad de audio. Otra aplicación es en las comunicaciones entre aviones y las torres de control de los aeropuertos, que es por esto que piden el apagar los celulares o ponerlos en modo avión, para que no interfieran las comunicaciones por estar utilizando la misma banda de frecuencia.

Si desea continuar aprendiendo acerca de la modulación AM y de la gran importancia que ha tenido esto en las comunicaciones analogicas en el mundo desde hace más de un siglo, le invitamos a que revise la siguiente lectura: [1] Donde puede encontrar información de historia, aplicaciones y desarrollo matematico. Además, la lectura principal guía del curso: Theodore Rappaport. 2001. Wireless Communications: Principles and Practice (2nd. ed.). Prentice Hall PTR, USA. pp. 257-259.

De igual forma, puede revisar el taller realizado con la teoría aprendida sobre modulación AM, donde le presentaremos ejercicios suficientes para afianzar el concepto de lo que este significa, que cabe resaltar, es la parte mas vital o sustancial del estudio de esta sesión, más allá de ser capaz de resolver mediante ecuaciones matematicas, que usted esté en la capacidad de comprender el trasfondo de esas ecuaciones y lo que significan en la realidad. Para esto, puede ir directamente al taller con el botón que está en la parte inferior de la sesión.