Число Грема

**Число Грема**

G

64

{\displaystyle G\_{64}}

 це відоме велике число , визначене Рональдом Гремом .

Використовуючи позначення зі стрілкою вгору , він визначається як 64-й член такої послідовності:

G

0

=
4

G

1

=
3
↑↑↑↑
3

For

0
≤
k
<
64

,

G

k
1

=
3

↑↑
⋯
↑↑

⏟

G

k

3

Graham's number

=

G

64

{\displaystyle {\begin{array}{l}G\_{0}=4\\G\_{1}=3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3\\{\textrm {For}}\;0\leq k<64{\textrm {,}}\;G\_{k+1}=3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow } \_{G\_{k}}3\\{\text{Graham's number}}=G\_{64}\end{array}}}

g

64

=
64

{

3

↑↑
⋯
↑↑

⏟

3

↑↑
⋯
↑↑

⏟

⋯
⏟

3

↑↑
⋯
↑↑

⏟

3

↑↑
⋯
↑↑

⏟

4

3

3

3

3

{\displaystyle g\_{64}=64\left\{{\begin{array}{ll}3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow } \_{3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow } \_{\underbrace {\cdots } \_{3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow } \_{3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow } \_{4}3}3}}3}3\end{array}}\right.}

Число Грема зазвичай відзначають як найбільше число, яке коли-небудь використовувалося в серйозному математичному доказі, хоча з тих пір на це звання претендували набагато більші числа (такі як TREE(3) і SCG(13) ). Найменший бауеризм , що перевищує число Грема, — капрал , а найменший сайбізм, що перевищує число Грема, — гратаголд .

## Історія

Число Грема виникло внаслідок такої невирішеної проблеми в теорії Рамсі:

> Нехай *N\** — найменший розмір *n* гіперкуба, такий, що якщо лінії, що з’єднують усі пари кутів, є двокольоровими для будь-якого *n* ≥ *N\** , повний граф K 4 одного кольору з копланарними вершинами буде примусово створений. Знайдіть *N\** .
>
>

Щоб зрозуміти, що вимагає ця задача, спочатку розглянемо гіперкуб із будь-якою кількістю вимірів (1 вимір буде лінією, 2 буде квадратом, 3 буде кубом, 4 буде тессерактом (4-вимірним кубом) тощо) і назвіть це число вимірів N. Потім уявіть, що з’єднуєте всі можливі пари вершин лініями та забарвлюєте кожну з них у червоний або синій колір – таким чином ви можете пофарбувати всі пари вершин у 3-вимірний куб показаний праворуч. Яке найменше число розмірів N, щоб усі можливі розмальовки мали монохроматичний повний граф із чотирьох копланарних вершин (тобто набір із чотирьох точок, які з’єднані всіма можливими способами, причому всі лінії мають однаковий колір)?

У 1971 році Грем опублікував статтю, в якій доводив, що відповідь існує, надаючи верхню межу

F

7

(
12
)

{\displaystyle F^{7}(12)}

, де

F
(
n
# )
2

n

3

{\displaystyle F(n)=2\uparrow ^{n}3}

 в нотації зі стрілкою .  Сбііс Сайбіан називає це число « Маленький Грем ». Коли Мартін Гарднер виявив розмір числа, йому було важко пояснити, і він винайшов більше, легше для пояснення число, яке Грем довів у неопублікованій статті 1977 року. Мартін Гарднер написав про це число в *Scientific American* , і воно навіть потрапило до *Книги рекордів Гіннеса* в 1980 році як найбільше число, використане в математичному доказі, хоча через кілька років цю назву було вилучено з Книги рекордів Гіннеса.

У 2013 році верхню межу було зменшено до *N'* = 2↑↑2↑↑(3+2↑↑8) за допомогою теореми Хейлза–Джеветта  та до N" = (2↑↑5138) x ((2↑↑5140)↑↑(2 x (2↑↑5137))) << 2 ↑↑↑5 у 2019 р. Станом на 2014 р. найвідомішою нижньою межею для N\* є 13, показано Джеромом Барклі  2008 *р* .

## Порівняння

Оскільки

g

0

{\displaystyle g\_{0}}

 дорівнює 4, а не 3, число Грема не можна ефективно виразити в нотації із ланцюговою стрілкою

g

64

≈
3
→
3
→
64
→
2

{\displaystyle g\_{64}\approx 3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2}

 або BEAF

{
3
,
65
,
1
,
2
}
<

g

64

<
{
3
,
66
,
1
,
2
}

{\displaystyle \{3,65,1,2\}<g\_{64}<\{3,66,1,2\}}

 . Використовуючи G-функції Джонатана Боверса з основою 3, це точно G 64 4. Це також можна точно виразити в нотації масиву Грема як

[
3
,
3
,
4
,
64
]

{\displaystyle [3,3,4,64]}

 .

Тім Чоу довів, що число Грема набагато більше, ніж число Мозера .  Доведення залежить від того факту, що, використовуючи нотацію Штайнгауза-Мозера , *n* у ( *k* + 2)-кутнику менше ніж

n

↑↑
…
↑↑

⏟

2
k
−
1

n

{\displaystyle n\underbrace {\uparrow \uparrow \ldots \uparrow \uparrow } \_{2k-1}n}

 . Він надіслав доказ Сьюзен Степні 7 липня 1998 р.  За збігом обставин Степні надіслав подібний доказ Тодд Сезере через кілька днів.

Японський гуголог Фіш довів, що число Грема менше ніж

f

ω
1

(
64
)

{\displaystyle f\_{\omega +1}(64)}

 у швидкозростаючій ієрархії відносно ієрархії Вейнера .

### Порівняння з функцією зайнятого бобра

* 2010-09-19: Було доведено, що число Грема набагато менше, ніж

Σ
(
64
)

{\displaystyle \Sigma (64)}

 .
* 2016-07-24: За словами Вітагора , він знайшов машину Тьюрінга, яка доводить

Σ
(
18
)
>
G

{\displaystyle \Sigma (18)>G}

 покращивши машину Deedlit11 , і написав короткий ескіз доказу замість суворого доказу.
* У цій спільноті вважалося, що краще верхня межа

Σ
(
17
)

{\displaystyle \Sigma (17)}

 було доведено кимось  до 09.07.2021, але принаймні не було цитованого джерела про результат. Тому читач повинен бути обережним, щоб він або вона не вловили неправильну інформацію.
* 2021-03-18: Даніель Нагадж  стверджує, що його машина Тьюринга з 16 станами реалізує багаторазове розширення та перевершує число Грема,  що означає, що

Σ
(
16
)
>
G

{\displaystyle \Sigma (16)>G}

 . 2022-07-11: С. Лігоцкі підтвердив, що машина Тьюрінга з 16 станами Даніеля Нагаджа перевершила число Грема

## Позначення в інших нотаціях

f

ω
1

(
64
)

{\displaystyle f\_{\omega +1}(64)}
 Ланцюгова нотація

3
→
3
→
64
→
2

{\displaystyle 3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2}
 Іерархія Hardy

H

ω

ω

64

(
4
)

{\displaystyle H\_{\omega ^{\omega }64}(4)}
 BEAF

{
3
,
65
,
1
,
2
}

{\displaystyle \{3,65,1,2\}}
 Розширена Гіпер Е-нотація

E

[
3
]
3
#
#
4
#
64

{\displaystyle {\textrm {E}}[3]3\#\#4\#64}
 Сильна масивна нотація

s
(
3
,
64
,
2
,
2
)

{\displaystyle s(3,64,2,2)}
 Повільно зростаюча іерархія

g

Γ

0

(
65
)

{\displaystyle g\_{\Gamma \_{0}}(65)}
 Нотації масиву Грема

[
3
,
3
,
4
,
64
]

{\displaystyle [3,3,4,64]}