recursal/Fanatic-Fandom huggingface dataset:
1.1.14

14. Una llave de 30cm de largo está en posición paralela al eje-Y y está sujeta a un tornillo en el origen. Si se le

quiere aplicar una fuerza (por determinar) en dirección paralela a (0, 3, −4) en el extremo de la llave. ¿Qué

magnitud debe de tener esa fuerza para logra un torque de 100 (N · m) en el tornillo?

Sabemos que:

τ

=

r

F

sen
⁡
θ

n

# θ
tan
⁡

3
4

=
36.87

{\displaystyle \theta =\tan {3 \over 4}=36.87}

90
−
# 36.87
53.13

{\displaystyle 90-36.87=53.13}

Para que el análisis de unidades concuerde, sabiendo que

# τ
N
.
m

{\displaystyle \tau =N.m}

, debemos convertir los 30 cm a metros.

30cm=0.3 metros

Entonces:

100
N
.
# m
0.3
m

F

sen
⁡
53.13

{\displaystyle 100N.m=0.3m|F|\operatorname {sen} 53.13}

F

=

100

0.3
sen
⁡
(
53.13
)

=

100
0.239999

=
416.6672249

{\displaystyle |F|={100 \over 0.3\operatorname {sen}(53.13)}={100 \over 0.239999}=416.6672249}

F

=
416.6672249

{\displaystyle |F|=416.6672249}

Comprobación:

τ

=
0.3
∗
416.6672249
sin
⁡
# 53.13
100

{\displaystyle |\tau |=0.3\*416.6672249\sin 53.13=100}
1.1.31c

Determine que le ocurre al cuadrado formado por los vértices (0, 0), (1, 0), (1, 1) y (0, 1) cuando se le aplica cada una de las funciones f, g, h y l del ejercicio 29 y haga un dibujo con cada una de las figuras resultantes (sus vértices y lados después de que se aplique la función).

**c) función h**

h
:

R

2

→

R

2

;
h
(
x
,
y
# )
(
x
5
,
y
−
2
)

{\displaystyle h:\R^2 \rightarrow \R^2;h(x,y) = (x+5,y-2)}

El cuadrado se ve desplazado 5 unidades positivas en el eje x, y 2 unidades negativas en el eje y.
1.1.58(d)

∂
y

=
(
−
1
,
0
)

{\displaystyle {\partial f \over \partial y}=(-1,0)}

Notamos que el punto rojo

(
−
1
,
0
)

{\displaystyle (-1,0)}

, el cual es de nuestro interés, está rodeado por la curva que representa el valor 2 para la función

f
(
x
,
y
)

{\displaystyle f(x, y)}

. Por lo que los valores más próximos y dentro de los cuales nos moveremos sobre la recta fija

# y
−
1

{\displaystyle y=-1}

, serán representados por el vector morado (o púrpura). Si duplicamos la flecha veremos que su valor apróximado es de

6
5

{\displaystyle {6 \over 5}}

, acarreándola a un margen auxiliar.

Por lo que nos queda

∂
f

∂
y

=

0

(
6

/

5
)

=

5
(
0
)

6

=
0

{\displaystyle {\partial f \over \partial y}={0 \over (6/5)}={5(0) \over 6}=0}

, con lo que hemos terminado el ejercicio. Ya que todo valor queda igual a 0.
1.1.31(a)

Determine que le ocurre al cuadrado formado por los vértices (0, 0), (1, 0), (1, 1) y (0, 1) cuando se le aplica cada una de las funciones f, g, h y l del ejercicio 29 y haga un dibujo con cada una de las figuras resultantes (sus vértices y lados después de que se aplique la función).

## *Cuadrado Original:*

Vértices: (0, 0), (1, 0), (1, 1) y (0, 1)

Notamos que éste cuadrado es un cuadrado unitario, que nos muestra el área total entre un "pequeño sector" entre las unidades del eje x y el eje y, que coincide con las aristas de nuestro pequeño cuadrado azul.

## Cuadrado después de la función:

> ***f(*0,0) -> (0,0):**
> f(0,0) = (2·0,0-0) = (0,0)
>
>

> ***f*(1,0) -> (2,1):**
> f(1,0) = (2·1,1-0) = (2,1)
>
>

> ***f*(1,1) -> (2,0):**
> f(1,1) = (2·1,1-1) = (2,0)
>
>

> ***f*(0,1) -> (0,-1):**
> f(0,1) = (2·0,0-1) = (0,-1)
>
>

*Denotamos **A** (letra mayúscula), como el punto **a** después de la función. Lo mismo para b,c,d.*

Este nuevo cuadrilátero ha perdido sus esquinas de ángulo recto, además de que se invirtieron los puntos que le daban forma.

El área se ha multiplicado por 8, podemos comprobar esto fácilmente al partir nuestro paralelogramo a través del eje X y desplazando el triángulo superior resultante hasta que su hipotenusa coincida con la hipotenusa del triángulo inferior. A través de esta nueva figura podemos asumir que todos los "pequeños sectores" del plano original han cambiado su forma en la misma proporción, invirtiéndose, expandiendo sus bordes y aumentando la distancia de sus aristas.
1.1.48(a)

## Dibuje en el plano los siguentes conjuntos descritos en coordenadas polares:

(
a
)
.
−
(
0
≤
r
<
4
)
,
(
−
π

/

2
≤
θ
<
π

/

6
)

{\displaystyle (a).-(0\leq r<4),(-\pi /2\leq \theta <\pi /6)}

Observamos que el intervalo de *r* incluye al 0, pero se acerca sin incluir al 4. Por lo que el borde del radio será una línea punteada que no incluirá al valor 4. De la misma manera, sabemos que **π = 180º**, así que *-π/2 = -90º*, y *π/6= 30º*. Nuestro ángulo comprende el valor -90º, pero se acerca sin llegar a 30º. Una línea continua indicara que un valor se incluye, y una punteada muestra que nos acercamos todo lo que queramos sin tocar un valor. Recordamos que el signo negativo implica la dirección que se toma a partir del **Eje Polar**. Al usar todos estos datos nuestro conjunto en coordenadas polares quedaría así:
Vectores

1.1.1

1.1.2a

1.1.2b

1.1.2c

1.1.2d

1.1.3

1.1.4a

1.1.4b

1.1.5

1.1.6

1.1.7a-7b

1.1.7c-7d

1.1.7e-7f

1.1.7g-7h

1.1.8a-8b

1.1.8c-8e

1.1.9b-9c

1.1.10a

1.1.10b

1.1.11

1.1.12a

1.1.12(b)

1.1.12(c)

1.1.12d

1.1.12e

1.1.12f

1.1.12(g)

1.1.13

1.1.14

1.1.15a

1.1.15b

1.1.15c

1.1.16

1.1.17a

1.1.17b

1.1.17c

1.1.17d

1.1.18a

1.1.18(b)

1.1.18(c)

1.1.18(e)

1.1.19 (a)

1.1.19 (b)

1.1.21 (a)

1.1.22(a)

1.1.22(b)

1.1.23(a)

1.1.23(b)

1.1.23(c)

1.1.24

1.1.25(a)

1.1.25(b)

1.1.25(c)

1.1.26a

1.1.26(b)

1.1.27(a)

1.2.27(b)

1.2.27(c)

1.1.28(a)

1.1.28(b)

1.1.28(c)

1.1.28(c) (versión equipo 1)

1.1.28(d)

1.1.29(a)

1.1.29b

1.1.29c

1.1.30(a)

1.1.30(b)

1.1.31(a)

31.b

1.1.31c

1.1.31(d)

1.1.32(a)

1.1.32b

1.32.c

1.1.32(d)

1.1.32(e)

1.1.34(a)

1.1.34(b)

1.1.34(c)

1.1.34(d)

1.1.35

1.1.36

1.1.37a

1.1.37b

1.1.37(c)

1.1.37(d)

1.1.37(e)

1.1.38a

1.38.b

1.1.39

1.1.40

1.1.41a

1.1.41(b)

1.1.42(a)

1.1.42(b)

1.1.43(b)

1.1.43(c)

1.1.44

1.1.45

1.1.46

1.1.47(a)

1.1.47(b)

1.1.47(c)

1.1.48(a)

1.1.48(b)

1.1.49a

1.1.49(b)

1.1.50(a)

1.1.50(b)

1.1.51(b)

1.1.52

1.1.55(a)

1.1.55(b)

1.1.55(c)

1.1.55(d)

1.1.55(e)

1.1.55(f)

1.1.56(b)

1.57.(a)

1.1.57(b)

1.57(c)

1.1.58(a)

1.58(b)

1.1.58(c)

1.1.58(d)

59. (a)

1.1.59(b)

1.1.59(c)

1.1.59(d)

1.1.60(a)

1.1.60(b)

1.1.61a

1.1.61(b)

1.61.c

1.1.62

1.1.63

1.1.65

1.1.66

1.1.67

1.1.68

1.1.69(a) y (b)

1.1.64
41a

Encuentre la intersección de los siguientes planos

2
x
−
y
3
# z
1

{\displaystyle 2x-y+3z=1}

3
x
2
y
−
# z
5

{\displaystyle 3x+2y-z=5}

5
x
−
y
2
# z
6

{\displaystyle 5x-y+2z=6}

(

2

−
1

3

1

3

−
2

−
1

5

5

−
1

2

6

)

{\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-1&3&1\\3&-2&-1&5\\5&-1&2&6\end{pmatrix}}}

Intercambiar R2 y R3

(

2

−
1

3

1

5

−
1

2

6

3

−
2

−
1

5

)

{\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-1&3&1\\5&-1&2&6\\3&-2&-1&5\end{pmatrix}}}

-1(R3)

(

2

−
1

3

1

5

−
1

2

6

−
3

2

1

−
5

)

{\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-1&3&1\\5&-1&2&6\\-3&2&1&-5\end{pmatrix}}}

R1- 3(R3) y R2-2(R3)

(

11

−
7

0

16

11

−
5

0

16

−
3

2

1

−
5

)

{\displaystyle {\begin{pmatrix}11&-7&0&16\\11&-5&0&16\\-3&2&1&-5\end{pmatrix}}}

R2-R1

(

11

−
7

0

16

0

2

0

0

−
3

2

1

−
5

)

{\displaystyle {\begin{pmatrix}11&-7&0&16\\0&2&0&0\\-3&2&1&-5\end{pmatrix}}}

1/11(R1) y 1/2(R2)

(

1

−
7

11

0

16
11

0

1

0

0

−
3

2

1

−
5
)

)

{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&{\frac {-7}{11}}&0&{\frac {16}{11}}\\0&1&0&0\\-3&2&1&-5)\end{pmatrix}}}

R1-(-7/11)R2

(

1

0

0

16
11

0

1

0

0

−
3

2

1

−
5

)

{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&{\frac {16}{11}}\\0&1&0&0\\-3&2&1&-5\end{pmatrix}}}

R3+3(R1) y R3-2(R2)

(

1

0

0

16
11

0

1

0

0

0

0

1

−
7

11

)

{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&{\frac {16}{11}}\\0&1&0&0\\0&0&1&{\frac {-7}{11}}\end{pmatrix}}}

Solución:

# x

16
11

,
# y
0
,
# z

−
7

11

{\displaystyle x={\frac {16}{11}},y=0,z={\frac {-7}{11}}}

La intersección se encuentra en el punto:

# i
(

16
11

,
0
,

−
7

11

)

{\displaystyle i=({\frac {16}{11}},0,{\frac {-7}{11}})}
1.1.7e-7f

Demuestra las siguiente propiedades vistas en clase:

e)

r
(

a
¯

b
¯

# )
r

a
¯

r

b
¯

{\displaystyle r({\bar {a}}+{\bar {b}})=r{\bar {a}}+r{\bar {b}}}

Primero definiremos a

a
→

{\displaystyle \vec{a}}

 y

b
→

{\displaystyle \vec{b}}

 como vectores de n entradas, tal que:

a
→

=
(

x

1

,

y

1

,

z

1

,
.
.
.
,

n

1

)

{\displaystyle {\vec {a}}=(x\_{1},y\_{1},z\_{1},...,n\_{1})}

b
→

=
(

x

2

,

y

2

,

z

2

,
.
.
.
,

n

2

)

{\displaystyle {\vec {b}}=(x\_{2},y\_{2},z\_{2},...,n\_{2})}

y a **r** como un número dentro de los reales.

Ahora empezamos a hacer las operaciones de vectores:

r
(

a
→

b
→

# )
r
(
(

x

1

,

y

1

,

z

1

,
.
.
.
,

n

1

)
(

x

2

,

y

2

,

z

2

,
.
.
.
,

n

2

)
)

{\displaystyle r({\vec {a}}+{\vec {b}})=r((x\_{1},y\_{1},z\_{1},...,n\_{1})+(x\_{2},y\_{2},z\_{2},...,n\_{2}))}

Sumamos los componentes de los vectores:

=
r
(

x

1

x

2

,

y

1

y

2

,

z

1

z

2

,
.
.
.
,

n

1

n

2

)

{\displaystyle =r(x\_{1}+x\_{2},y\_{1}+y\_{2},z\_{1}+z\_{2},...,n\_{1}+n\_{2})}

Multiplicamos cada suma por **r**

=
(
r
(

x

1

x

2

)
,
r
(

y

1

y

2

)
,
r
(

z

1

z

2

)
,
.
.
.
,
r
(

n

1

n

2

)
)

{\displaystyle =(r(x\_{1}+x\_{2}),r(y\_{1}+y\_{2}),r(z\_{1}+z\_{2}),...,r(n\_{1}+n\_{2}))}

**Error al representar (Error de conversión. El servidor ("https://services.fandom.com/mathoid-facade/") informó: "Cannot get mml. HTTP 404 Not Found"): {\displaystyle =(rx\_{1}+rx\_{2},ry\_{1}+ry\_{2},rz\_{1}+rz\_{2},...,rn\_{1}+rn\_{2})}**

=
(
r

x

1

,
r

y

1

,
r

z

1

,
.
.
.
,
r

n

1

)
(
r

x

2

,
r

y

2

,
r

z

2

,
.
.
.
,
r

n

2

)

{\displaystyle =(rx\_{1},ry\_{1},rz\_{1},...,rn\_{1})+(rx\_{2},ry\_{2},rz\_{2},...,rn\_{2})}

Factorizamos a **r** de los dos vectores

=
r
(

x

1

,

y

1

,

z

1

,
.
.
.
,

n

1

)
r
(

x

2

,

y

2

,

z

2

,
.
.
.
,

n

2

# )
r

a
→

r

b
→

{\displaystyle =r(x\_{1},y\_{1},z\_{1},...,n\_{1})+r(x\_{2},y\_{2},z\_{2},...,n\_{2})=r{\vec {a}}+r{\vec {b}}}

Concluyendo que:

**Error al representar (Error de conversión. El servidor ("https://services.fandom.com/mathoid-facade/") informó: "Cannot get mml. HTTP 404 Not Found"): {\displaystyle r({\vec {a}}+{\vec {b}})=r{\vec {a}}+r{\vec {b}}}**
1.1.12a

Encontrar el resultado de:

(
1
,
1
,
−
1
)
×
(
2
,
4
,
6
)

{\displaystyle (1,1,-1)\times (2,4,6)}

Por (una) definición de producto cruz:

# a
⟨

a

1

,

a

2

,

a

3

⟩

{\displaystyle a=\langle a\_{1},a\_{2},a\_{3}\rangle }

 y

# b
⟨

b

1

,

b

2

,
b

3

⟩

{\displaystyle b=\langle b\_{1},b\_{2},b{3}\rangle }

a
×
# b
⟨

a

2

,

b

3

−

a

3

b

2

,

a

3

b

1

−

a

1

b

3

,

a

1

b

2

−

a

2

b

1

⟩

{\displaystyle a\times b=\langle a\_{2},b\_{3}-a\_{3}b\_{2},a\_{3}b\_{1}-a\_{1}b\_{3},a\_{1}b\_{2}-a\_{2}b\_{1}\rangle }

Entonces

(
1
,
1
,
−
1
)
×
(
2
,
4
,
6
# )
(
1
⋅
6
−
−
1
⋅
4
,
−
1
⋅
2
−
1
⋅
6
,
1
⋅
4
−
1
⋅
2
# )
(
10
,
−
8
,
2
)

{\displaystyle (1,1,-1)\times (2,4,6)=(1\cdot 6--1\cdot 4,-1\cdot 2-1\cdot 6,1\cdot 4-1\cdot 2)=(10,-8,2)}
1.1.34(a)

(

2

2

−
1

2

−
1

2

−
1

2

2

)

{\displaystyle {\begin{pmatrix}2&2&-1\\2&-1&2\\-1&2&2\end{pmatrix}}}

Observemos que es una matriz de

3
×
3

{\displaystyle 3\times 3}

por lo que tenemos que el dominio del plano se encuentra en

R

3

{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}

, ahora sólo nos falta encontrar la función, esa la sacamos multiplicando la matriz por

(
x
,

y
,

z
)

{\displaystyle (x,\ y,\ z)}

como se observa abajo:

(

2

2

−
1

2

−
1

2

−
1

2

2

)

(

x

y

z

)

=

(

2
x
2
y
−
z

2
x
−
y
2
z

−
x
2
y
2
z

)

{\displaystyle {\begin{pmatrix}2&2&-1\\2&-1&2\\-1&2&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2x+2y-z\\2x-y+2z\\-x+2y+2z\end{pmatrix}}}

Por lo tanto La regla de correspondencia lineal de la matriz es

f
:

R

3

→

R

3

;

f
(
x
,

y
,

z
# )
(
2
x
2
y
−
z
,

2
x
−
y
2
z
,

−
x
2
y
2
z
)

{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3};\ f(x,\ y,\ z)=(2x+2y-z,\ 2x-y+2z,\ -x+2y+2z)}

.
1.1.25(b)

# z
4

{\displaystyle x-3y+2z=4}

Como ya tenemos la ecuación general, lo que tenemos que hacer simplemente es dar vectores en el plano que cumplan con la ecuación, para esto damos 2 valores cuales quiera para cualquiera de las variables y despejamos la variable sobrante. Para el primer vector daré:

A:

# y
0

{\displaystyle y=0}

,

# z
1

{\displaystyle z=1}

x
−
3
y
2
z
−
# 4
0

{\displaystyle x-3y+2z-4=0}

→
x
−
0
2
−
# 4
0

{\displaystyle \rightarrow x-0+2-4=0}

→
# x
4
−
# 2
2

{\displaystyle \rightarrow x=4-2=2}

Por lo que el punto **A = (2, 0, 1)**. Para el segundo punto daré:

B:

# y
−
1

{\displaystyle y=-1}

,

# z
0

{\displaystyle z=0}

→
x
3
0
−
# 4
0

{\displaystyle \rightarrow x+3+0-4=0}

→
# x
4
−
# 3
1

{\displaystyle \rightarrow x=4-3=1}

Por lo que el punto **B = (1, -1, 0)**. Para el tercer punto daré:

C:

# x
−
3

{\displaystyle x=-3}

,

# y
−
1

{\displaystyle y=-1}

→
−
3
3
2
z
−
# 4
0

{\displaystyle \rightarrow -3+3+2z-4=0}

→
2
# z
4
−
3
# 3
4

/

# 2
2

{\displaystyle \rightarrow 2z=4-3+3=4/2=2}

Por lo que el punto **C = (-3, -1, 2)**.

Ahora lo que tenemos que hacer es sacar vectores en el plano con los puntos que ya sacamos, por lo que basta con restar los puntos calculados. Para el primer vector restaré B con A, de la siguiente manera:

v
→

=

A
B

→

=

O
B

→

−

O
A

→

{\displaystyle {\vec {v}}={\vec {AB}}={\vec {OB}}-{\vec {OA}}}

→
(
1
,
−
1
,
0
)
−
(
2
,
0
,
1
# )
(
−
1
,
−
1
,
−
1
)

{\displaystyle \rightarrow (1,-1,0)-(2,0,1)=(-1,-1,-1)}

Para el segundo vector restaré C con A, de la siguiente manera:

w
→

=

A
C

→

=

O
C

→

−

O
A

→

{\displaystyle {\vec {w}}={\vec {AC}}={\vec {OC}}-{\vec {OA}}}

→
(
−
3
,
−
1
,
2
)
−
(
2
,
0
,
1
# )
(
−
5
,
−
1
,
1
)

{\displaystyle \rightarrow (-3,-1,2)-(2,0,1)=(-5,-1,1)}

Y ahora lo que resta es usar la fórmula vectorial del plano, obteniendo

(
x
,
y
,
z
# )
(
2
,
0
,
1
)
α
(
−
1
,
−
1
,
−
1
)
β
(
−
5
,
−
1
,
1
)

{\displaystyle (x,y,z)=(2,0,1)+\alpha (-1,-1,-1)+\beta (-5,-1,1)}

.
1.1.48(b)

## Dibuje en el plano la coordenada polar:

#### b )**Error al representar (Error de conversión. El servidor ("https://services.fandom.com/mathoid-facade/") informó: "Cannot get mml. HTTP 404 Not Found"): {\displaystyle 1\leq r,\pi \leq \theta <2\pi }**

Observemos que el radio empieza desde el **1**, por lo que no podemos tomar valores menores. El ángulo va de **90 a 180** grados, por lo que tenemos la siguiente cuerva:

El área por encima de la curva **no está dentro del rango de las coordenadas aceptadas**, mientras que por debajo de ella están todos los elementos del conjunto de coordenadas que podemos tomar, recordando que podemos ampliar el radio ya que no hay condición que nos lo impida.
1.1.19 (a)

Archivo:19a.pdf

Encuentra el ángulo que forman las rectas:

3
x
−
3
# y
10

{\displaystyle 3x-3y=10}

 y

3
x
4
# y
−
12

{\displaystyle 3x+4y=-12}

}

explicacion: https://youtu.be/25IzPHJ-TvU

Primero tendremos que encontrar la pendiente de las dos rectas:

# ⊖
arctan
⁡
(

m

1

−

m

2

1

m

1

∗

m

2

)

{\displaystyle \ominus =\arctan({\frac {m\_{1}-m\_{2}}{1+m\_{1}\*m\_{2}}})}

La pendiente en la ecuación general es:

# m

−
A

B

{\displaystyle m={\frac {-A}{B}}}

Entonces respectivamente quedarían los valores de a y b como:

a)

3
x
−
3
# y
10

{\displaystyle 3x-3y=10}

A=3 B=-3

b)

3
x
4
# y
−
12

{\displaystyle 3x+4y=-12}

A=3 B=4

Asi que sus pendientes aplicando la formula anterior seria:

a)

m

1

=

−
3

−
3

=
1

{\displaystyle m\_{1}={\frac {-3}{-3}}=1}

m

1

=
1

{\displaystyle m\_{1}=1}

b)a)

m

2

=

−
3

4

=
−
0.75

{\displaystyle m\_{2}={\frac {-3}{4}}=-0.75}

m

2

=
−
0.75

{\displaystyle m\_{2}=-0.75}

Sustituimos por los valores que conseguimos anteriormente:

# ⊖
arctan
⁡
(

1
−
(
−
0.75
)

1
1
∗
(
−
0.75
)

)

{\displaystyle \ominus =\arctan({\frac {1-(-0.75)}{1+1\*(-0.75)}})}

seguimos resolviendo las operaciones dentro del paréntesis:

# ⊖
arctan
⁡
(

1
,
75

1
−
0.75

)

{\displaystyle \ominus =\arctan({\frac {1,75}{1-0.75}})}

y entonces tendríamos una fracción, solamente lo volvemos a enteros:

# ⊖
arctan
⁡
(

1
,
75

0.25

)

{\displaystyle \ominus =\arctan({\frac {1,75}{0.25}})}

El valor nos quedaría el valor de 7:

# ⊖
arctan
⁡
(
7
)

{\displaystyle \ominus =\arctan(7)}

Entonces el valor seria el Arco tangente de 7 que seria igual a:

# ⊖
81.87

{\displaystyle \ominus =81.87}

 grados
1.1.55(b)

Sea

r
∈

Z

 y

u

=
⟨
f
(
t
)
,
g
(
t
)
,
h
(
t
)
⟩

{\displaystyle r\in \mathbb {Z} {\text{ y }}{\textbf {u}}=\langle f(t),g(t),h(t)\rangle }

, demostrar que:

[
r

u

(
t
)

]
′

=
r

u

′

(
t
)

{\displaystyle [r{\textbf {u}}(t)]'=r{\textbf {u}}'(t)}

Sabemos que:

u

′

# t

f
′

(
t
)
i

g
′

(
t
)
j

h
′

(
t
)
# k
⟨

f
′

(
t
)
,

g
′

(
t
)
,

h
′

(
t
)
⟩

{\displaystyle {\textbf {u}}'t=f'(t)i+g'(t)j+h'(t)k=\langle f'(t),g'(t),h'(t)\rangle }

Ahora notemos que

r

u

(
t
# )
⟨
r
f
(
t
)
,
r
g
(
t
)
,
r
h
(
t
)
# ⟩
r
f
(
t
)
i
r
g
(
t
)
j
r
h
(
t
)
k

{\displaystyle r{\textbf {u}}(t)=\langle rf(t),rg(t),rh(t)\rangle =rf(t)i+rg(t)j+rh(t)k}

Entonces

[
r

u

(
t
)

]
′

=
[
r
f
(
t
)
i
r
g
(
t
)
j
r
h
(
t
)
k

]
′

{\displaystyle [r{\textbf {u}}(t)]'=[rf(t)i+rg(t)j+rh(t)k]'}

Aplicando las reglas de derivación que ya sabemos tenemos que:

[
r

u

(
t
)

]
′

=
[
r
f
(
t
)
i
r
g
(
t
)
j
r
h
(
t
)
k

]
′

=
r

f
′

(
t
)
i
r

g
′

(
t
)
j
r

h
′

(
t
)
# k
⟨
r

f
′

(
t
)
,
r

g
′

(
t
)
,
r

h
′

(
t
)
⟩

{\displaystyle [r{\textbf {u}}(t)]'=[rf(t)i+rg(t)j+rh(t)k]'=rf'(t)i+rg'(t)j+rh'(t)k=\langle rf'(t),rg'(t),rh'(t)\rangle }

=
r
⟨

f
′

(
t
)
,

g
′

(
t
)
,

h
′

(
t
)
# ⟩
r

u

′

(
t
)

{\displaystyle =r\langle f'(t),g'(t),h'(t)\rangle =r{\textbf {u}}'(t)}
1.1.22(b)

Encuentre la distancia del plano

3
x
−
2
y
6
z
# 14
0

{\displaystyle 3x-2y+6z+14=0}

 al origen.

La ecuación para la distancia de un punto a un plano es

# D

a

x

1

b

y

1

c

z

1

d

a

2

b

2

c

2

{\displaystyle D={\frac {|ax\_{1}+by\_{1}+cz\_{1}+d|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}}

Donde

n

=
⟨
a
,
b
,
c
⟩

{\displaystyle {\textbf {n}}=\langle a,b,c\rangle }

 es el vector normal al plano y

P

1

=
(

x

1

,

y

1

,

z

1

)

{\displaystyle P\_{1}=(x\_{1},y\_{1},z\_{1})}

 es el punto al que queremos encontrar la distancia.

Entonces

n

=
⟨
3
,
−
2
,
6
⟩

{\displaystyle {\textbf {n}}=\langle 3,-2,6\rangle }

 y

P

1

=
(
0
,
0
,
0
)

{\displaystyle P\_{1}=(0,0,0)}

# D

3
(
0
)
−
2
(
0
)
6
(
0
)
14

3

2

−

2

2

6

2

=

14

49

=

14
7

=
2

{\displaystyle D={\frac {|3(0)-2(0)+6(0)+14|}{\sqrt {3^{2}+-2^{2}+6^{2}}}}={\frac {14}{\sqrt {49}}}={\frac {14}{7}}=2}
1.1.12(b)

Encuentre el resultado de las siguientes operaciones:

b)

(
2
,
4
,
6
)
×
(
1
,
1
,
−
1
)

{\displaystyle (2,4,6)\times (1,1,-1)}

Usando:

a
×
# b

i

j

k

a

1

a

2

a

3

b

1

b

2

b

3

=

a

2

a

3

b

2

b

3

i
−

a

1

a

3

b

1

b

3

j

a

1

a

2

b

1

b

2

k

{\displaystyle a\times b={\begin{vmatrix}i&j&k\\a\_{1}&a\_{2}&a\_{3}\\b\_{1}&b\_{2}&b\_{3}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a\_{2}&a\_{3}\\b\_{2}&b\_{3}\end{vmatrix}}i-{\begin{vmatrix}a\_{1}&a\_{3}\\b\_{1}&b\_{3}\end{vmatrix}}j+{\begin{vmatrix}a\_{1}&a\_{2}\\b\_{1}&b\_{2}\end{vmatrix}}k}

Tenemos:

(
2
,
4
,
6
)
×
(
1
,
1
,
−
1
# )

i

j

k

2

4

6

1

1

−
1

=

4

6

1

−
1

i
−

2

6

1

−
1

j

2

4

1

1

k

{\displaystyle (2,4,6)\times (1,1,-1)={\begin{vmatrix}i&j&k\\2&4&6\\1&1&-1\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}4&6\\1&-1\end{vmatrix}}i-{\begin{vmatrix}2&6\\1&-1\end{vmatrix}}j+{\begin{vmatrix}2&4\\1&1\end{vmatrix}}k}

Sacando las determinantes de cada matriz:

=
(
(
−
4
)
−
6
)
i
−
(
(
−
2
)
−
6
)
j
(
2
−
4
)
# k
−
10
i
8
j
−
2
k

{\displaystyle =((-4)-6)i-((-2)-6)j+(2-4)k=-10i+8j-2k}
1.1.9b-9c

9: Un pájaro vuela en línea recta con un vector de velocidad de (5,3,2) m/s, si en éste instante se encuentra en el punto Po=(1,2,3) respecto a su nido...

b) ¿Dónde se encontrará dentro de un minuto? Pf

v = (5,3,2)

Po es la posición Inicial, es decir, cuando t=0

así, digo que la posición final (Pf) será Po + tv

Se me pide saber la Pf cuando haya pasado un minuto, así que primero, convierto desde minuto hasta segundos:

t = 1 minuto = 60 segundos

Pf = Po + tv = (1,2,3) + 60(5,3,2)

Pf = (1,2,3) + (60\*5 , 60\*3, 60\*2)

= (1,2,3) + (300, 180, 120)

= (301, 182, 123)

c) ¿Cuánto tardará en subir 10 metros? t

Aquí tuve un problema de interpretación, pues no sabía si debía tomar que la altura final sería 3 + 10, o 3 + 7

Pf = Po + tv = (1 + t(5), 2 + t(3), 3 + t(2) )

z de Pf = 13 => 3 + t(2) = 13

=> 10 = 2t

=> 10/2 = t = 5
1.1.57(b)

# )

1

1

x

2

y

2

{\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{1+x^{2}+y^{2}}}}

Lo primero que hice fue hacer la función para el plano en 2D, esto me dio

f
(
x
# )

1

1

x

2

{\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}

, lo que graficado se vería de la siguiente manera:

Como se observa, el pico de la función es 1 y se va acercando al eje de las x. Ahora tengo que graficar y pero para eso necesito el plano 3D para que se pueda observar correctamente. La mecánica es la misma pero ahora para

f
(
0
,
y
# )

1

1

x

2

y

2

{\displaystyle f(0,y)={\frac {1}{1+x^{2}+y^{2}}}}

, donde la gráfica se ve de la siguiente manera:

Como ya se puede ver, pareciera que hay un pequeño bulto que sólo llega hasta 1 en z. Ahora rectifiquemos con el software correspondiente.

Observemos que efectivamente se encuentra un "cerrito" que llega hasta el 1.
1.1.7c-7d

Demuestra las siguiente propiedades vistas en clase:

**c)

a
→

0
→

=

a
→

{\displaystyle \vec{a} + \vec{0} = \vec{a}}**

Sea

a
→

=
(
x
,
y
,
z
)

{\displaystyle {\vec {a}}=(x,y,z)}

 y

0
→

=
(
0
,
0
,
0
)

{\displaystyle {\vec {0}}=(0,0,0)}

, con

x
,
y
,
z
∈

R

{\displaystyle x, y, z \in \mathbb{R}}

.

Como nuestras entradas de

a
→

{\displaystyle \vec{a}}

 son números reales, y a su vez 0 tambien lo es, y en los reales sabemos que existe la suma, podemos afirmar lo siguiente:

(
x
,
y
,
z
)
(

x
′

,

y
′

,

z
′

# )
(
x

x
′

,
y

y
′

,
z

z
′

)

{\displaystyle (x, y, z) + (x', y', z') = (x+x', y+y', z+z')}

Entonces,

a
→

0
→

=
(
x
,
y
,
z
)
(
0
,
0
,
0
# )
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)

{\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {0}}=(x,y,z)+(0,0,0)=(x+0,y+0,z+0)}

=
(
x
,
y
,
z
)

{\displaystyle =(x,y,z)}

Recordando como definimos

a
→

{\displaystyle \vec{a}}

, lo anterior equivale a:

=

a
→

{\displaystyle ={\vec {a}}}

Por lo tanto, queda demostrado que

a
→

0
→

=

a
→

{\displaystyle \vec{a} + \vec{0} = \vec{a}}

.

**d)**

a
→

(
−

a
→

# )

0
→

{\displaystyle \vec{a} + (- \vec{a} ) = \vec{0}}

Sea:

a
→

=
(
x
,
y
,
z
)

{\displaystyle {\vec {a}}=(x,y,z)}

con

x
,
y
,
z
∈

R

{\displaystyle x, y, z \in \mathbb{R}}

0
→

=
(
0
,
0
,
0
)

{\displaystyle {\vec {0}}=(0,0,0)}

Recordando el producto de un vector por un escalar, podemos expresar

−

a
→

{\displaystyle -\vec{a}}

 de la siguiente forma:

−

a
→

=
−
1
⋅
(
x
,
y
,
z
)

{\displaystyle -{\vec {a}}=-1\cdot (x,y,z)}

=
(
−
1
⋅
x
,
−
1
⋅
y
,
−
1
⋅
z
)

{\displaystyle =(-1\cdot x,-1\cdot y,-1\cdot z)}

=
(
−
x
,
−
y
,
−
z
)

{\displaystyle =(-x,-y,-z)}

Recordando que

x
,
y
,
z

{\displaystyle x, y, z}

son números reales, y el escalar en particular -1, también es un número real, lo anterior es válido ya que el producto entre dos reales ya lo conocemos y lo usamos para realizar la anterior operación. Realizando el producto (o usualmente conocida "multiplicación") de cada entrada (

x
,
y
,
z

{\displaystyle x, y, z}

) con el escalar involucrado (-1).

Ahora podemos saber a que equivale

a
→

(
−

a
→

)

{\displaystyle {\vec {a}}+(-{\vec {a}})}

:

a
→

(
−

a
→

# )
(
x
,
y
,
z
)
(
−
x
,
−
y
,
−
z
)

{\displaystyle {\vec {a}}+(-{\vec {a}})=(x,y,z)+(-x,-y,-z)}

=
(
x
(
−
x
)
,
y
(
−
y
)
,
z
(
−
z
)
)

{\displaystyle =(x+(-x),y+(-y),z+(-z))}

=
(
x
−
x
,
y
−
y
,
z
−
z
)

{\displaystyle =(x-x,y-y,z-z)}

=
(
0
,
0
,
0
)

{\displaystyle =(0,0,0)}

Recordando como definimos

0
→

{\displaystyle \vec{0}}

, lo anterior equivale a:

=

0
→

{\displaystyle ={\vec {0}}}

Por lo tanto, queda demostrado que

a
→

(

−

a
→

)

=

0

→

{\displaystyle {\ce {{\vec {a}}+(-{\vec {a}})={\vec {0}}}}}

.
1.1.61(b)

Sea la función

f
(
x
,
y
# )

x
4

y
−

x
2

y
3

{\displaystyle f(x,y)=x^4y-x^2y^3}

 auxiliese de la función lineal que aproxima a la función (la determinada por las derivadas parciales) y de varios vectores unitarios para determinar:

¿En qué dirección moviendome a partir del

(
2
,
−
3
)

{\displaystyle (2,-3)}

 la pendiente será mayor?

Primero calculamos las derivadas parciales:

∂
f

∂
x

x

4

y
−

x

2

y

3

=
4

x

3

y
−
2
x

y

3

{\displaystyle {\dfrac {\partial f}{\partial x}}x^{4}y-x^{2}y^{3}=4x^{3}y-2xy^{3}}

∂
f

∂
y

x

4

y
−

x

2

y

3

=

x

4

−
3

x

2

y

2

{\displaystyle {\dfrac {\partial f}{\partial y}}x^{4}y-x^{2}y^{3}=x^{4}-3x^{2}y^{2}}

Entonces,

∇
f
(
x
,
y
# )
(
4

x

3

y
−
2
x

y

3

,

x

4

−
3

x

2

y

2

)

{\displaystyle \nabla f(x,y)=(4x^{3}y-2xy^{3},x^{4}-3x^{2}y^{2})}

Ahora evaluamos las derivadas parciales en el punto

(
2
,
−
3
)

{\displaystyle (2,-3)}

:

∂
f

∂
x

(
2
,
−
3
)

=
4
(
2

)

3

(
−
3
)
−
2
(
2
)
(
−
3

)

3

=
−
96
# 108
12

{\displaystyle {\dfrac {\partial f}{\partial x}}\_{(2,-3)}=4(2)^{3}(-3)-2(2)(-3)^{3}=-96+108=12}

∂
f

∂
y

(
2
,
−
3
)

=
(
2

)

4

−
3
(
2

)

2

(
−
3

)

2

=
16
−
# 108
−
92

{\displaystyle {\dfrac {\partial f}{\partial y}}\_{(2,-3)}=(2)^{4}-3(2)^{2}(-3)^{2}=16-108=-92}

Ahora que tenemos que resolver hacia qué dirección su pendiente es mayor.

(
12
,
−
92
)
⋅
(
x
,
y
)

{\displaystyle (12,-92)\cdot (x,y)}

Para maximizar el resultado del producto punto queremos que x sea positivo para que 12 tenga su mayor valor posible y que y sea negativo para que -92 tenga su mayor valor posible, pero existen infinitas direcciones en las que podría apuntar, ¿entonces como sabemos en que dirección será mayor la pendiente?

Podemos apoyarnos de la definición del producto punto para saber. El producto punto se define como:

u

⋅

v

=

u

v

∗
cos
⁡
a

, donde

a

{\displaystyle a}

 es el angulo que se forma entre los dos vectores. El mayor máximo que puede tener el coseno es cuando

# a
0

{\displaystyle a = 0}

, que pasa cuando ambos vectores apuntan en la misma dirección, entonces queremos que el otro vector apunte en dirección

(
12
,
−
92
)

{\displaystyle (12,-92)}

, pero al dividirlo por su norma tenemos:

(
12
,
−
92
)
⋅
(

12

4

538

,
−

92

4

528

# )
(
12
,
−
92
)
⋅
(

3

538

,
−

23

538

# )

26

538

2116

538

{\displaystyle (12,-92)\cdot ({\dfrac {12}{4{\sqrt {538}}}},-{\dfrac {92}{4{\sqrt {528}}}})=(12,-92)\cdot ({\dfrac {3}{\sqrt {538}}},-{\dfrac {23}{\sqrt {538}}})={\dfrac {26}{\sqrt {538}}}+{\dfrac {2116}{\sqrt {538}}}}

=

2142

538

=
52

2

≈
92.35

{\displaystyle ={\dfrac {2142}{\sqrt {538}}}=52{\sqrt {2}}\approx 92.35}
1.1.6

Un “objeto” en

R

3

{\displaystyle \mathbb R^{3}}

 proyecta una sombra circular en el plano XY cuando es “iluminado” por “rayos” paralelos al eje-z, una sombra cuadrada en XZ cuando se ilumina paralelo al eje-y, y una sombra de un triángulo isosceles en YZ cuando es iluminado paralelo al eje-x.

Aquí los bosquejos
1.1.35

Resuelva la siguiente ecuación vectorial:

Al multiplicar las mátrices nos queda el siguiente sistema de ecuaciones:

2
x
−
# y
5

{\displaystyle 2x-y=5}

x
# y
1

{\displaystyle x + y = 1}

Que podemos resolver fácilmente sumando ambas ecuaciones

x
(
2
1
)
y
(
1
−
1
# )
5
1

{\displaystyle x(2+1)+y(1-1)=5+1}

3
# x
6

{\displaystyle 3x=6}

# x
2

{\displaystyle x = 2 }

Y ahora sustituimos

# x
2

{\displaystyle x = 2 }

 en cualquiera de las ecuaciones, en este caso en la segunda

2
# y
1

{\displaystyle 2+y=1}

Entonces,

# y
−
1

{\displaystyle y=-1}
Peter Dawson

**Real Name**: Peter Dawson

**Identity/Class**: Human mutant

**Occupation**: Unemployed - formerly security guard

**Affiliations**: Member of the Specials

**Enemies:** Critical Maas, Flagg

**Known Relatives**: None

**Aliases**: None

**Base of Operations**: Unknown

**First Appearance**: Rising Stars

**Powers/Abilities**: Peter Dawson was invulnerable, to the point that eating was the only thing that bought him pleasure, as he had no sense of touch.

**History**: Peter Dawson was one of the Specials, a group of children exposed to strange radiation while in the womb and subsequently born with incredible powers. In Peter's case, his power isolated him from the world, until he became an overweight recluse. Supposedly invulnerable, he was found murdered by the police. He had been asphixiated, his limbs bound and his head covered by a plastic bag. His death marked the start of a terrible new chapter in the lives of the surviving Specials.
Christopher Robinson

This page is for Chris Robinson who was Star the longest. Other people who have worn the costume are Peter Klaptin and William Jonson.

## Origin

Chris and Charles Robinson grew up in Chicago. They got mixed up with a gang that had ties to Vicious Circle. Chris manged to get out of that live and joined marines, but his brother was hooked on drugs and got pulled further in.

## Major Story Arcs

### Image Universe

After Peter Klaptin failed to be the hero he wanted, he sulked on the streets where he was attacked by a gang. Chris saw it and went to the rescue, and single-handedly beat all the thugs. Peter then offered a job as his bodyguard and also as the hero Star. Chris agreed and became the Star. One time Vicious Circle wanted to find out who Star was and since Peter Klaptin always disappeared when Star showed up they kidnapped him and tortured him for a confession. Chris showed up and saved Peter, but was fired for it, because he revealed to the world that Peter is not the Star.

Chris needed a new job and he joined the Chicago police Department, he also continued to be the hero Star. Savage Dragon found out his secret and suggested he drop one of those lives, he is either hero or a police officer. Chris decided to hang up his costume to be with Alex Wilde.

After Chris and Alex split up, Chis left the police and took up his Star persona once again. This time he joined a government sponsored superhero team Special Operations Strikeforce. Darklord sent Bludgeon, Chris' brother, to fight with Zeek, but in the struggle Bludgeon was thrown into a mountain and Chris was killed by a falling rubble. Star was unmasked and Bludgeon learned that he was responsible for his brother's death. Bludgeon decided to remove his powers with the help of Negate.

### Savage World Universe

In this world everything happened like in Image universe up until the breakout at Stronghold Penitentiary where Star's was injured and taken to hospital where parts of his costume was taken off. Peter was angry that his pretense was over and fired Chris. peter donned Star costume himself, but was soon killed by possessed Dragon.Chris lived an ordinary life and even got married. Alex Wilde tracked him down in hopes to reunite with her former lover, but Chris had never even met her in this reality.

When Mister Glum’s took over the world, Chris' wife died due to heart condition, and his children were killed by a mine foreman, since they couldn't keep up the workload. Chris decided to take up the Star costume once again. but it was a temporary thing. He started dating Alex Wilde and they eventually moved away from Chicago after Glum was defeated.

## Powers & Abilities

### Unarmed Combat

Star is an expert hand-to-hand combatant. He is extremely agile and skilled in acrobatics.

### Equipment

He uses various gadgets, including star-shaped shrunken fired from his gauntlet.
1.1.37(e)

Video: https://youtu.be/TqzLpDfYM7s

Resuelva el siguiente sistema por el método den Gauss-Jordan:

2
x
−
3
y
4
# z
0

{\displaystyle 2x-3y+4z=0}

3
x
−
2
y
2
# z
0

{\displaystyle 3x-2y+2z=0}

x
−
4
y
6
# z
0

{\displaystyle x-4y+6z=0}

Archivo:37(e).pdf

Entonces obtenemos:

# x

2
5

z

{\displaystyle x={\frac {2}{5}}z}

# y

8
5

z

{\displaystyle y={\frac {8}{5}}z}

# z
z

{\displaystyle z=z}
1.1.8a-8b

Versión 1.

Ejercicio 8a. Demuestre que

a
¯

.

a
¯

=
(
‖
a
‖

)

2

{\displaystyle {\bar {a}}.{\bar {a}}=(\lVert a\rVert )^{2}}

a
¯

.

a
¯

=

x

2

y

2

z

2

{\displaystyle {\bar {a}}.{\bar {a}}=x^{2}+y^{2}+z^{2}}

 por definición

=
(

x

2

y

2

z

2

)

2

{\displaystyle =({\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}})^{2}}

observando que

x

2

y

2

z

2

≥
0

{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 0}

esto es igual a

(
‖
a
‖

)

2

{\displaystyle (\lVert a\rVert )^{2}}

 que es lo que queríamos obtener

Ejercicio 8b. Demuestre que

a
¯

.

b
¯

=

b
¯

.

a
¯

{\displaystyle {\bar {a}}.{\bar {b}}={\bar {b}}.{\bar {a}}}

Sea

a
¯

=
(

a

1

,

a

2

,

a

3

)

{\displaystyle {\bar {a}}=(a\_{1},a\_{2},a\_{3})}

 y

b
¯

=
(

b

1

,

b

2

,

b

3

)

{\displaystyle {\bar {b}}=(b\_{1},b\_{2},b\_{3})}

Entonces

a
¯

.

b
¯

=

a

1

b

1

a

2

b

2

a

3

b

3

{\displaystyle {\bar {a}}.{\bar {b}}=a\_{1}b\_{1}+a\_{2}b\_{2}+a\_{3}b\_{3}}

 y dado que

a

1

,

b

1

,

a

2

,

b

2

,

a

3

,

b

3

∈
ℜ

{\displaystyle a\_{1},b\_{1},a\_{2},b\_{2},a\_{3},b\_{3}\in \Re }

entonces se cumple que

b

1

a

1

b

2

a

2

b

3

a

3

=

b
¯

.

a
¯

{\displaystyle b\_{1}a\_{1}+b\_{2}a\_{2}+b\_{3}a\_{3}={\bar {b}}.{\bar {a}}}
61a

Sea la función

f
(
x
,
y
# )

x
4

y
−

x
2

y
3

{\displaystyle f(x,y)=x^4y-x^2y^3}

auxíliese de la función lineal que aproxima a la función (determinada por las derivadas parciales) y de varios vectores unitarios para determinar:

a) La pendiente de la superficie en (2,-3) si camino en la dirección (-1,1) \*Nota: el profe dijo que (-1,1) es el vector dirección que parte del origen.

Primero calcular las parciales.

∂

f

∂

x

(

x
4

y
−

x
2

y
3

# )

∂

f

∂

x

(

x
4

y
)
−

∂

f

∂

x

(

x
2

y
3

)

{\displaystyle \frac{\partial{f}}{\partial{x}}(x^4y-x^2y^3)=\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(x^4y)-\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(x^2y^3)}

∂

f

∂

x

=
4

x
3

y
−
2
x

y
3

{\displaystyle \frac{\partial{f}}{\partial{x}}=4x^3y-2xy^3}

∂

f

∂

y

(

x
4

y
−

x
2

y
3

# )

∂

f

∂

y

(

x
4

y
)
−

∂

f

∂

y

(

x
2

y
3

)

{\displaystyle \frac{\partial{f}}{\partial{y}}(x^4y-x^2y^3)=\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(x^4y)-\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(x^2y^3)}

∂

f

∂

y

=

x
4

−
3

x
2

y
2

{\displaystyle \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=x^4-3x^2y^2}

∇

f

(
x
,
y
# )
(
4

x
3

y
−
2
x

y
3

,

x
4

−
3

x
2

y
2

)

{\displaystyle \nabla{f}(x,y)=(4x^3y-2xy^3,x^4-3x^2y^2)}

Evaluar parciales en el punto (2,-3)

∂

f

∂

x

(
2
,
−
3
)

=
4
(
2

)
3

(
−
3
)
−
2
(
2
)
(
−
3

)
3

=
12

{\displaystyle {\frac{\partial{f}}{\partial{x}}}\_{(2,-3)}=4(2)^3(-3)-2(2)(-3)^3=12}

∂

f

∂

y

(
2
,
−
3
)

=
(
2

)
4

−
3
(
2

)
2

(
−
3

)
2

=
−
92

{\displaystyle {\frac{\partial{f}}{\partial{y}}}\_{(2,-3)}=(2)^4-3(2)^2(-3)^2=-92}

De dónde obtenemos la matriz lineal

(

12

−
92

)

(

x
y

)

{\displaystyle \bigl( \begin{smallmatrix} 12 & -92\end{smallmatrix} \bigr)\binom{x}{y}}

O

(
12
,
−
92
)
⋅
(
x
,
y
)

{\displaystyle (12,-92)\cdot (x,y)}

y el gradiente:

∇

f
(
2
,
−
3
)

=
(
12
,
−
92
)

{\displaystyle \nabla{f(2,-3)}=(12,-92)}

\*En nuestro caso no es necesario escribir la ecuación del plano tangente, solo necesitamos el gradiente.\*

Para calcular la pendiente en dirección (-1,1) haremos producto punto de

∇

f
(
2
,
−
3
)

{\displaystyle \nabla{f(2,-3)}}

con el vector de dirección (-1,1) convertido a vector unitario.

Para el vector unitario dividimos el vector entre su norma:

‖
(
−
1
,
1
)
# ‖

(
−
1

)
2

(
1

)
2

=

2

{\displaystyle \|(-1,1)\|=\sqrt{(-1)^2+(1)^2}=\sqrt{2}}

1

2

(
−
1
,
1
# )
(

−
1

2

,

1

2

)

{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}(-1,1)= (\frac{-1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})}

Ahora el producto punto:

(
12
,
−
92
)
⋅
(

−
1

2

,

1

2

# )
(

−
12

2

−
92

2

# )

−
104

2

=
−
73.53910

{\displaystyle (12,-92)\cdot(\frac{-1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})=(\frac{-12}{\sqrt{2}}+\frac{-92}{\sqrt{2}})=\frac{-104}{\sqrt{2}}=-73.53910}

La pendiente de la superficie en el punto (2,-3) en dirección (-1,1) es de -73.53910
1.1.12e

Encuentre el resultado de las siguientes operaciones:

**e)

a
×
b

{\displaystyle a \times b}

con

# a
2
j
−
6
i

{\displaystyle a=2j-6i}

 y

# b
3
i
−
k
−
2
k

{\displaystyle b=3i-k-2k}**

Podemos expresar a y b como:

# a
−
6

i
^

2

j
^

0

k
^

{\displaystyle a=-6{\hat {i}}+2{\hat {j}}+0{\hat {k}}}

y

# b
3

i
^

0

j
^

−
3

k
^

{\displaystyle b=3{\hat {i}}+0{\hat {j}}-3{\hat {k}}}

Podemos recordar el uso de determinantes para obtener el resultado del producto cruz:

a
×
# b

(

i
^

j
^

k
^

−
6

2

0

3

0

−
3

)

{\displaystyle a\times b={\begin{pmatrix}{\hat {i}}&{\hat {j}}&{\hat {k}}\\-6&2&0\\3&0&-3\end{pmatrix}}}

Recordando que lo anterior no es una igualdad válida, pero podemos tomarla de referencia para construir la formula correcta, tenemos:

a
×
# b

2

0

0

−
3

i
^

−

−
6

0

3

−
3

j
^

−
6

2

3

0

k
^

{\displaystyle a\times b={\begin{vmatrix}2&0\\0&-3\end{vmatrix}}{\hat {i}}-{\begin{vmatrix}-6&0\\3&-3\end{vmatrix}}{\hat {j}}+{\begin{vmatrix}-6&2\\3&0\end{vmatrix}}{\hat {k}}}

=

i
^

(
(
2
)
(
−
3
)
−
(
0
)
(
0
)
)
−

j
^

(
(
−
6
)
(
−
3
)
−
(
0
)
(
3
)
)

k
^

(
(
−
6
)
(
0
)
−
(
2
)
(
3
)
)

{\displaystyle ={\hat {i}}((2)(-3)-(0)(0))-{\hat {j}}((-6)(-3)-(0)(3))+{\hat {k}}((-6)(0)-(2)(3))}

=

i
^

(
−
6
−
0
)
−

j
^

(
18
−
0
)

k
^

(
0
−
6
)

{\displaystyle ={\hat {i}}(-6-0)-{\hat {j}}(18-0)+{\hat {k}}(0-6)}

=

i
^

(
−
6
)
−

j
^

(
18
)

k
^

(
−
6
)

{\displaystyle ={\hat {i}}(-6)-{\hat {j}}(18)+{\hat {k}}(-6)}

Así, nuestro resultado es:

**a
×
b

=

−

6

i
^

−

18

j
^

−

6

k
^

{\displaystyle {\ce {a\times b=-6{\hat {i}}-18{\hat {j}}-6{\hat {k}}}}}**
1.1.59(c)

59-. Encuentre el vector gradiente

∇
f

{\displaystyle \nabla f}

 de las siguiente función:Archivo:59c.pdf

Gradiante de

f
(
x
,
y
,
z
# )
(
x
z
−
5

x

2

y

3

z

4

)
:

{\displaystyle f(x,y,z)=(xz-5x^{2}y^{3}z^{4}):}

(
(
z
−
10

z

4

y

3

x
)
,
(
−
15

x

2

z

4

y

2

)
,
(
x
−
20

x

2

y

3

z

3

)
)

{\displaystyle ((z-10z^{4}y^{3}x),(-15x^{2}z^{4}y^{2}),(x-20x^{2}y^{3}z^{3}))}

Para un vector dado

f
(
x
,
y
,
z
)

{\displaystyle f(x,y,z)}

 el vector gradiante esta indicado por

▾
(
f
)

{\displaystyle \blacktriangledown (f)}

 es

∇
# f
(

∂
f

∂
x

,

∂
f

∂
y

,

∂
f

∂
z

)

{\displaystyle \nabla f=({\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}})}

Hay que calcular las derivadas parciales:

(

∂

∂
x

(
x
z
−
5

x

2

y

3

z

4

)
,

∂

∂
y

(
x
z
−
5

x

2

y

3

z

4

)
,

∂

∂
z

(
x
z
−
5

x

2

y

3

z

4

)
)

{\displaystyle ({\frac {\partial }{\partial x}}(xz-5x^{2}y^{3}z^{4}),{\frac {\partial }{\partial y}}(xz-5x^{2}y^{3}z^{4}),{\frac {\partial }{\partial z}}(xz-5x^{2}y^{3}z^{4}))}

Regla de la diferencia:

∂

∂
x

(
x
z
)
−

∂

∂
x

(
5

x

2

y

3

z

4

)

{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}(xz)-{\frac {\partial }{\partial x}}(5x^{2}y^{3}z^{4})}

∂

∂
x

(
x
z
)

{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}(xz)}

Sacamos la constante:

∂

∂
x

(
x
z
)

{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}(xz)}

 =

z

∂

∂
x

(
x
)

{\displaystyle z{\frac {\partial }{\partial x}}(x)}

z

∂

∂
x

(
x
)

{\displaystyle z{\frac {\partial }{\partial x}}(x)}

 = z\*1 (por la regla de derivación)

Simplificamos:

∂

∂
x

(
x
z
)

{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}(xz)}

 =

z

{\displaystyle z}

Ahora pasamos con el otro lado de la diferencia:

∂

∂
x

(
5

x

2

y

3

z

4

)

{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}(5x^{2}y^{3}z^{4})}

Sacamos la constante:

∂

∂
x

(
5

x

2

y

3

z

4

# )
5

y

3

z

4

∂

∂
x

(

x

2

)

{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}(5x^{2}y^{3}z^{4})=5y^{3}z^{4}{\frac {\partial }{\partial x}}(x^{2})}

Aplicamos la regla de la potencia:

∂

∂
x

(
5

x

2

y

3

z

4

# )
5

y

3

z

4

∗
2
x

{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}(5x^{2}y^{3}z^{4})=5y^{3}z^{4}\*2x}

Y simplificamos:

10

z

4

y

3

x

{\displaystyle 10z^{4}y^{3}x}
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Vector

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2. es hijo de Pou
3. el tiene un canal de youtube llamado invictor y no les recomiendo solo si es que se odian

galeria
1.1.17d

Encuentre por medio de operaciones vectoriales la ecuación general de una recta que:

d) Pasa por (-10,5) y es perpendicular a la recta -3x-2 = 5y

Primero expresamos la ecuación de la recta dada de la siguiente forma:

-3x -2 -5y = 0

**-3x - 5y = 2**

Analicemos el problema, queremos obtener una recta paralela a la recta que ya conocemos, y tenemos un punto que pasa por dicha recta. Como esa recta a obtener es perpendicular a la que ya tenemos, podemos partir por encontrar un vector normal a esa recta. Ese vector puede existir en la ecuación que ya conocemos, por que vamos a calcularlo.

Obtenemos dos puntos de la recta **-3x - 5y = 2** tal que al sustituir las entradas x y y de esos puntos se cumpla 2=2.

Esos puntos pueden ser:

**P1 = (1,-1)** Comprobemos: -3(1) - 5(-1) = -3 + 5 = 2

**P2 = (-4,2)** Comprobemos: -3(-4) -5(2) = +12 - 10 = 2

Y para obtener un vector podemos hacer la resta de P1 y P2 para obtener el vector anclado al origen:

P1-P2 = (1,-1)-(-4,2) = (1 -(-4), -1 - (2)) = (1+4, -1-2) = **(5,-3)**

El vector (5,-3) es el vector normal a la recta que queremos obtener. Y sabemos que podemos obtener la ecuación de dicha recta con ayuda del producto punto, tal que:

**n
→

(

x
→

−

a
→

# )
0

{\displaystyle {\vec {n}}({\vec {x}}-{\vec {a}})=0}** Donde **n
→

=
(
−
5
,
3
)

{\displaystyle {\vec {n}}=(-5,3)}**es el vector normal a la recta,

x
→

=
(
x
,
y
)

{\displaystyle {\vec {x}}=(x,y)}

es un punto cualquiera de la recta y

a
→

=
(
−
10
,
5
)

{\displaystyle {\vec {a}}=(-10,5)}

es el punto que ya conocemos de la recta.

Esta formula funciona porque al ser un producto punto, sabemos que si hay un ángulo de 90º entre los vectores, el resultado será 0, y es justamente eso lo que buscamos (que sea perpendicular). Y al momento de multiplicar ese vector normal por cada punto de la recta, habremos definido la recta como tal. Y ese punto de la recta lo obtenemos haciendo una resta de cualquier punto con uno que ya conocemos.

Así, solo nos resta sustituir nuestros datos y obtener el resultado:

n
→

(

x
→

−

a
→

# )
0

{\displaystyle {\vec {n}}({\vec {x}}-{\vec {a}})=0}

(
5
,
−
3
)
[
(
x
,
y
)
−
(
−
10
,
5
)
# ]
0

{\displaystyle (5,-3)[(x,y)-(-10,5)]=0}

Usamos distributividad (sabiendo por las propiedades vistas en clase que se cumple):

(
5
,
−
3
)
(
x
,
y
)
−
(
5
,
−
3
)
(
−
10
,
5
# )
0

{\displaystyle (5,-3)(x,y)-(5,-3)(-10,5)=0}

Pasamos del otro lado el producto punto negativo:

(
5
,
−
3
)
(
x
,
y
# )
(
5
,
−
3
)
(
−
10
,
5
)

{\displaystyle (5,-3)(x,y)=(5,-3)(-10,5)}

Desarrollamos ambos productos:

5
x
−
3
# y
−
50
−
15

{\displaystyle 5x-3y=-50-15}

**5x -3y =-65**

Llegamos a nuestro resultado. A continuación una imagen para que se vea con mayor facilidad los elementos trabajados.
Call of gruty

call of gruty es un juego de la saga tu ya sabes XD

* Lista con viñetas

1. historia
2. https://call-of-gruty-fans.fandom.com/es/wiki/Gru
3. curiosidades
4. el juego tiene peli
5. el verdadero villano es pou
6. posiblemente para el pase de batalla de call of gruty warzone habra una skin de vector
7. hay un cameo de shrek
8. galeria
Rex Dexter

Rex Dexter was a brilliant scientist whose radical experiments allowed him to develop a powerful suit of armor that would allow him to fight crime. Taking the name Battle Tank, Rex joined forces with a number of superheroes to form the Fighting Force. This young group of heroes was led by the WWII veteran superhero SuperPatriot and their accomplishments soon brought them to the attention of the United States government. Unfortunately, a clash of egos occurred between SuperPatriot and Battle Tank which resulted in the Liberty League losing it’s leader. This ultimately led to the disbanding of the team and the fading to obscurity of Battle Tank. Rex Dexter had continued his research, remaining in relative obscurity but helping out the world where possible. He had trained a replacement for himself in Sterling Mason, the second man to take on the identity of Battle Tank.
Berzerkers

## History

Greylore, a mute with superhuman strength; Hatchet, an axe-wielding warrior woman; Psi-Storm, a telekinetic; Cross, master of most weapons; and Wildmane, a feral fighter. These five were falsely imprisoned and became inmates of the infamous prison Blackrot. They manage to escape and take the fight across the galaxy to the one responsible for their captivity, Darkthornn. They called themselves the Berzerkers and seek revenge and freedom.
Jack O’Lantern

Jack O'Lantern: The mysterious and enigmatic guardian of the barrier between the mortal world and the world of the supernatural, Jack O'Lantern is a powerful spirit with control over fire and plant life, who has used various hosts throughout history to allow himself to interact with the mortal world. His current host is Kent Curtis, a police detective shot and left for dead by corrupt cops he had gathered evidence against.
Hunter-Killer

Fictional team history

During the Cold War, in response to the concern that a nuclear war would destroy the world, the United States government began a project to create living super-weapons. These beings were referred to as "Ultra Sapiens". However, there was a breakout, and most of the Ultra Sapiens went underground, hiding their gifts. Some went back to work for the government, tracking their rogue brethren and dealing with "situations" – they are the eponymous hunter-killers of the story.

However, something else was also created by the project, capable of tracking and neutralising any Ultra Sapiens, anywhere. No one knows what it is, what it looks like, or where it is. However, a married couple in rural Montana might have some ideas, and their strangely gifted twenty-year-old son would be very surprised at the answer...

As they soon find out, their son is the long lost object created by the project that could track the other Ultra Sapiens, purposely named the catalog...