3차원상의 이중벡터들은 2-블레이드임의 증명

3차원상의 이중벡터는 다음의 형태로 나타낼 수 있다.

# B

b

1

x
^

y
^

b

2

y
^

z
^

b

3

x
^

z
^

{\displaystyle B=b\_{1}{\hat {x}}{\hat {y}}+b\_{2}{\hat {y}}{\hat {z}}+b\_{3}{\hat {x}}{\hat {z}}}

이 때 위의 이중벡터를 두 벡터의 쐐기곱으로 나타낼 수 있으면 된다.

여기서 각 성분 중 하나라도 0인 성분이 있게 되면, 남은 성분들을 분배법칙을 이용해 적당히 쐐기곱으로 묶어낼 수 있음은 쉽게 보일 수 있다. 따라서, 각 성분들이 0이 아닌 경우를 보기로 하자. 쐐기곱하면

B

{\displaystyle B}

가 되는 3차원상의 어떤 두 벡터를

# u

u

1

x
^

u

2

y
^

u

3

z
^

,
# v

v

1

x
^

v

2

y
^

v

3

z
^

{\displaystyle u=u\_{1}{\hat {x}}+u\_{2}{\hat {y}}+u\_{3}{\hat {z}},v=v\_{1}{\hat {x}}+v\_{2}{\hat {y}}+v\_{3}{\hat {z}}}

라고 두자. 즉,

u
∧
# v
B

{\displaystyle u\wedge v=B}

이다. 양변을 풀어 써 보면,

(

u

1

x
^

u

2

y
^

u

3

z
^

)
∧
(

v

1

x
^

v

2

y
^

v

3

z
^

)

=
(

u

1

v

2

−

u

2

v

1

)

x
^

y
^

(

u

1

v

3

−

u

3

v

1

)

x
^

z
^

(

u

2

v

3

−

u

3

v

2

)

y
^

z
^

=

b

1

x
^

y
^

b

2

y
^

z
^

b

3

x
^

z
^

{\displaystyle {\begin{aligned}(u\_{1}{\hat {x}}+u\_{2}{\hat {y}}+u\_{3}{\hat {z}})\wedge (v\_{1}{\hat {x}}+v\_{2}{\hat {y}}+v\_{3}{\hat {z}})&=(u\_{1}v\_{2}-u\_{2}v\_{1}){\hat {x}}{\hat {y}}+(u\_{1}v\_{3}-u\_{3}v\_{1}){\hat {x}}{\hat {z}}+(u\_{2}v\_{3}-u\_{3}v\_{2}){\hat {y}}{\hat {z}}\\&=b\_{1}{\hat {x}}{\hat {y}}+b\_{2}{\hat {y}}{\hat {z}}+b\_{3}{\hat {x}}{\hat {z}}\end{aligned}}}

가 된다. 여기에서 항별로 세 개의 방정식을 얻을 수 있는데, 다음과 같이 행렬을 쓸 수 있다.

(

−

u

2

u

1

0

−

u

3

0

u

1

0

−

u

3

u

2

)

(

v

1

v

2

v

3

)

=

(

b

1

b

2

b

3

)

{\displaystyle {\begin{pmatrix}-u\_{2}&u\_{1}&0\\-u\_{3}&0&u\_{1}\\0&-u\_{3}&u\_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v\_{1}\\v\_{2}\\v\_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b\_{1}\\b\_{2}\\b\_{3}\end{pmatrix}}}

여기서 왼쪽 행렬의 행렬식이 0이기 때문에 역행렬을 곱해서 변수 값을 구할 수는 없다. 대신 각 행에 적당한 상수를 곱해주면,

(

−

u

2

u

3

u

1

u

3

0

−

u

2

u

3

0

u

1

u

2

0

−

u

1

u

3

u

1

u

2

)

(

v

1

v

2

v

3

)

=

(

b

1

u

3

b

2

u

2

b

3

u

1

)

{\displaystyle {\begin{pmatrix}-u\_{2}u\_{3}&u\_{1}u\_{3}&0\\-u\_{2}u\_{3}&0&u\_{1}u\_{2}\\0&-u\_{1}u\_{3}&u\_{1}u\_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v\_{1}\\v\_{2}\\v\_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b\_{1}u\_{3}\\b\_{2}u\_{2}\\b\_{3}u\_{1}\end{pmatrix}}}

이 되며 좌변 행렬의 1행+3행=2행이 되므로, 다음의 관계식을 얻을 수 있다.

b

1

u

3

b

3

u

1

=

b

2

u

2

⋯
(
1
)

{\displaystyle b\_{1}u\_{3}+b\_{3}u\_{1}=b\_{2}u\_{2}\cdots (1)}

또 이번엔

u
i

{\displaystyle u\_i}

를 열벡터로 하여 방정식을 쓴 후 위와 비슷한 방식으로 정리해주면 다음의 관계식을 얻을 수 있다.

b

1

v

3

b

3

v

1

=

b

2

v

2

⋯
(
2
)

{\displaystyle b\_{1}v\_{3}+b\_{3}v\_{1}=b\_{2}v\_{2}\cdots (2)}

이렇게 되면 위의 식 (1), (2)와 행렬 방정식의 식 중 두 개가 유효한 식이 된다. 행렬에서 1행과 3행을 뽑는다면,

{

b

1

v

3

b

3

v

1

=

b

2

v

2

b

1

u

3

b

3

u

1

=

b

2

u

2

u

1

v

2

−

u

2

v

1

=

b

1

u

2

v

3

−

u

3

v

2

=

b

3

{\displaystyle {\begin{cases}b\_{1}v\_{3}+b\_{3}v\_{1}=b\_{2}v\_{2}\\b\_{1}u\_{3}+b\_{3}u\_{1}=b\_{2}u\_{2}\\u\_{1}v\_{2}-u\_{2}v\_{1}=b\_{1}\\u\_{2}v\_{3}-u\_{3}v\_{2}=b\_{3}\end{cases}}}

이 된다. 만족하는 해 하나만 구하면 되기 때문에, 첫 번째 식에서

v

1

=

1
2

b

1

b

2

,

v

2

=

1
2

b

1

b

3

,

v

3

=

1
2

b

2

b

3

{\displaystyle v\_{1}={\frac {1}{2}}b\_{1}b\_{2},v\_{2}={\frac {1}{2}}b\_{1}b\_{3},v\_{3}={\frac {1}{2}}b\_{2}b\_{3}}

로 잡아준다. 식 1개를 사용하였고 문자 6개 중 3개를 임의로 지정했으므로, 나머지 변수 3개는 식 3개에 의해 자동 결정된다. 연립해보면

u

1

=

2

b

3

,

u

2

=
−

2

b

2

,

u

3

=

2

b

1

{\displaystyle u\_{1}={\frac {2}{b\_{3}}},u\_{2}=-{\frac {2}{b\_{2}}},u\_{3}={\frac {2}{b\_{1}}}}

가 나오며, 앞에서

b
i

{\displaystyle b\_i}

가 0이 아니라는 조건이 있었으므로 해가 유효함을 확인할 수 있다. 벡터의 성분마다 공통인 계수는 묶어줄 수 있음을 감안한다면, 조금 더 간단한 해인

(

u

1

,

u

2

,

u

3

,

v

1

,

v

2

,

v

3

# )
(

1

b

3

,
−

1

b

2

,

1

b

1

,

b

2

b

3

,

b

1

b

3

,

b

1

b

2

)

{\displaystyle (u\_{1},u\_{2},u\_{3},v\_{1},v\_{2},v\_{3})=({\frac {1}{b\_{3}}},-{\frac {1}{b\_{2}}},{\frac {1}{b\_{1}}},b\_{2}b\_{3},b\_{1}b\_{3},b\_{1}b\_{2})}

를 얻을 수 있다. 즉,

(

1

b

3

x
^

−

1

b

2

y
^

1

b

1

z
^

)
∧
(

b

2

b

3

x
^

b

1

b

3

y
^

b

1

b

2

z
^

# )

b

1

x
^

y
^

b

2

x
^

z
^

b

3

y
^

z
^

{\displaystyle ({\frac {1}{b\_{3}}}{\hat {x}}-{\frac {1}{b\_{2}}}{\hat {y}}+{\frac {1}{b\_{1}}}{\hat {z}})\wedge (b\_{2}b\_{3}{\hat {x}}+b\_{1}b\_{3}{\hat {y}}+b\_{1}b\_{2}{\hat {z}})=b\_{1}{\hat {x}}{\hat {y}}+b\_{2}{\hat {x}}{\hat {z}}+b\_{3}{\hat {y}}{\hat {z}}}

로 두 벡터의 쐐기곱으로 원하던 이중벡터가 나옴을 확인할 수 있으며, 따라서 3차원 상의 모든 이중벡터는 2-블레이드임을 확인할 수 있다.