אינטגרל

**אינטגרציה** היא פעולה שניתן לבצע על פונקציה, והיא המקבילה הרציפה של סכימה. זו פעולה חשובה והיא מופיעה הרבה בפיזיקה, בכל פעם שיש רצון לסכום גודל מסויים לאורך טווח רציף כלשהו.

## האינטגרל כשטח וכסכום

האינטגרל של פונקציה

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}

 בין

a

{\displaystyle a}

ל-

b

{\displaystyle b}

מתאר את **השטח המסומן** הכלוא בין הפונקציה לבין ציר ה-

x

{\displaystyle x}

בין הנקודות

a

{\displaystyle a}

ל-

b

{\displaystyle b}

(ראה איור). המשמעות של "שטח מסומן" היא ששטח שנמצא מעל ציר ה-

x

{\displaystyle x}

נחשב ל"חיובי" ואילו שטח שנמצא מתחתיו נחשב ל"שלילי". כך אינטגרל יכול גם להתאפס או לקבל ערכים שליליים. הסימון המקובל לאינטגרל כנ"ל הוא:

∫

a

b

f
(
x
)
d
x

{\displaystyle \int \_{a}^{b}{f(x)dx}}

ה-

d
x

{\displaystyle dx}

 שמופיע באינטגרל מספר לנו מה המשתנה לפיו נעשית האינטגרציה (

x

{\displaystyle x}

 במקרה הזה), אך יש לו משמעות עמוקה יותר: של ה-

d
x

{\displaystyle dx}

שמופיע באינטגרל מייצג "שינוי קטן ב-

x

{\displaystyle x}

". כדי להבין למה זה טוב, נתבונן בדרך לקרב את האינטגרל ע"י סכימה של מלבנים:

**דוגמא - חישוב נפח של חרוט בעזרת אינטגרל**

נניח שיש לנו חרוט בעל גובה

H

{\displaystyle H}

 ורדיוס

R

{\displaystyle R}

. נרצה למצוא ביטוי לנפח החרוט. על מנת לעשות זאת, נפרק את החרוט להמון חלקים **קטנים בעלי נפח ידוע** כך:
נסתכל על החרוט כעל ערימה של דיסקאות דקות בעלות רדיוסים הולכים וקטנים ונסכום את הנפחים שלהן.
הרדיוס של דיסקה הנמצאת בגובה

h

{\displaystyle h}

 מעל בסיס החרוט הוא:

r
(
h
# )
R
(
1
−

h
H

)

{\displaystyle r(h)=R(1-{\frac {h}{H}})}

לכן הנפח של פרוסה דקה שנמצאת בגובה הזה הוא:

d
# V
π

r

2

d
# h
π

R

2

(
H
−
h

)

2

H

2

d
h

{\displaystyle dV=\pi r^{2}dh=\pi {\frac {R^{2}(H-h)^{2}}{H^{2}}}dh}

הפרמטר שלנו,

h

{\displaystyle h}

, נע בין

0

{\displaystyle 0}

 ל-

H

{\displaystyle H}

 ומכאן, הנפח של כל החרוט יהיה:

# V

∫

0

H

π

R

2

(
H
−
h

)

2

H

2

d
h

{\displaystyle V=\int \_{0}^{H}{\pi {\frac {R^{2}(H-h)^{2}}{H^{2}}}dh}}

איך מחשבים את האינטגרל הזה? לשם כך צריך את **המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי**. המשך הדוגמא מופיע בחלק הבא.

נפרק את הקטע שבין

a

{\displaystyle a}

ל-

b

{\displaystyle b}

למלא-מלא חלקים קטנים, כל אחד מהם באורך dx.על כל קטע קטן שכזה, נבנה מלבן שמגיע עד לפונקציה בנקודה הזו. השטח המסומן של כל מלבן שכזה יהיה, אם כך,

f
(
x
)
d
x

{\displaystyle f(x)dx}

 (שימו לב שזה ייסתדר גם עבור המקומות בהם הפונקציה יורדת אל מתחת לציר ה-

x

{\displaystyle x}

). כדי לקבל את השטח הכולל יש לבצע סכימה של כל שטחי המלבנים, וזו בדיוק המשמעות של אינטגרל - הגבול של סכום כאשר המחוברים שואפים להיות ממש ממש קטנים וממש ממש רבים בהתאמה.

## המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי

אנחנו רגילים לשמוע את השם "חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי", אבל מה בין דיפרנציאל (נגזרת), שמייצגת את אופן השינוי של פונקציה ביחס לשינוי במשתנה שלה, לבין אינטגרל, שמייצג סכימה רציפה?

ובכן, המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי אומר לנו ששתי הפעולות הלכאורה בלתי קשורות הללו הן למעשה **פעולות הופכיות זו לזו**.

ניתן לחשוב על אינטגרל כהופכי לנגזרת, כך למשל המיקום מוגדר לפי המהירות כפונקציה של הזמן:

∫
v
d
# t
x

{\displaystyle \int vdt=x }

מהגדרה זו של האינטגרל נובעים כללים חשובים רבים

### שקילות ההגדרות

קל לראות שההגדרות שקולות, אם נסמן

F
(
x
# )
∫
f
(
x
)
d
x

{\displaystyle F(x) = \int f(x)dx }

 אז לאורך שינוי קטן

d
x

{\displaystyle dx}

, השינוי בערך האינטגרל הוא:

d
# F
f
(
x
)
d
x

{\displaystyle dF=f(x)dx }

כלומר רוחב השינוי הקטן, כפול גובה הפונקציה בנקודה זו.

ולכן הנגזרת של האינטגרל היא:

F
′

(
x
# )

d
F

d
x

=
f
(
x
)

{\displaystyle F'(x)=\frac{dF}{dx}=f(x) }

כלומר הפונקציה המקורית

**דוגמא - חישוב נפח של חרוט בעזרת אינטגרל (המשך)**

בחלק הראשון קיבלנו שהנפח של חרוט בעל גובה

H

{\displaystyle H}

 ורדיוס <mtah>R</math> מתקבל ע"י האינטגרל:

# V

∫

0

H

π

R

2

(
H
−
h

)

2

H

2

d
h

{\displaystyle V=\int \_{0}^{H}{\pi {\frac {R^{2}(H-h)^{2}}{H^{2}}}dh}}

כעת נרצה לחשב את האינטגרל. משתנה האינטגרציה שלנו הוא

h

{\displaystyle h}

, כלומר, הפונקציה שלה עלינו לחשב אינטגרל היא פולינום ממעלה שנייה:

# V

∫

0

H

π

R

2

(
H
−
h

)

2

H

2

d
h

=

∫

0

H

π

R

2

H

2

(

h

2

−
2
H
h

H

2

)
d
h

{\displaystyle V=\int \_{0}^{H}{\pi {\frac {R^{2}(H-h)^{2}}{H^{2}}}dh}=\int \_{0}^{H}{{\frac {\pi R^{2}}{H^{2}}}(h^{2}-2Hh+H^{2})dh}}

אנחנו יודעים שהפונקציה שיש לגזור על מנת לקבל פולינום ריבועי היא פולינום ממעלה שלישית. נקבל:

# V

∫

0

H

π

R

2

H

2

(

h

2

−
2
H
h

H

2

)
d
h

=

{\displaystyle V=\int \_{0}^{H}{{\frac {\pi R^{2}}{H^{2}}}(h^{2}-2Hh+H^{2})dh}=}

=

π

R

2

H

2

(

h

3

3

−
H

h

2

H

2

h
)

0

H

=

{\displaystyle ={\frac {\pi R^{2}}{H^{2}}}({\frac {h^{3}}{3}}-Hh^{2}+H^{2}h){\Bigg \vert }\_{0}^{H}=}

=

π

R

2

H

2

(

H

3

3

−

H

3

H

3

)

−

π

R

2

H

2

(

0
3

−
0
0
# )

{\displaystyle ={\frac {\pi R^{2}}{H^{2}}}({\frac {H^{3}}{3}}-H^{3}+H^{3})\ \ -\ \ {\frac {\pi R^{2}}{H^{2}}}({\frac {0}{3}}-0+0)=}

=

π

R

2

H

3

{\displaystyle ={\frac {\pi R^{2}H}{3}}}

וזו הנוסחא לנפח חרוט.

## אינטגרלים חשובים

כמה אינטגרלים שחשוב לזכור, ונובעים ישירות מההגדרה כהופכי לנגזרת:

∫

x

α

d
# x

x

α
1

α
1

c

{\displaystyle \int x^{\alpha}dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+c }

∫

d
x

x

=
ln
⁡
(
x
)
c

{\displaystyle \int\frac{dx}{x}=\ln(x)+c }

∫

e

x

d
# x

e

x

c

{\displaystyle \int e^{x}dx=e^{x}+c }

∫
sin
⁡
(
x
)
d
# x
−
cos
⁡
(
x
)
c

{\displaystyle \int\sin(x)dx=-\cos(x)+c }

∫
cos
⁡
(
x
)
d
# x
sin
⁡
(
x
)
c

{\displaystyle \int\cos(x)dx=\sin(x)+c }

∫

d
x

cos

2

⁡
(
x
)

=
tan
⁡
(
x
)
c

{\displaystyle \int\frac{dx}{\cos^{2}(x)}=\tan(x)+c }

שימו לב לקבוע בסוף כל אינטגרל, מכיוון שהנגזרת של קבוע היא

0

{\displaystyle 0}

 ניתן לקבוע ערך לאינטגרל רק עד כדי קבוע זה.

## חוקי אינטגרציה

חוקי אינטגרציה הם כללים שנובעים מחוקי נגזרות:

### חיבור

∫
f
(
x
)
g
(
x
)
d
# x
∫
f
(
x
)
d
x
∫
g
(
x
)
d
x

{\displaystyle \int f(x)+g(x)dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx }

### כפל בסקלר

∫
λ
f
(
x
)
d
# x
λ
∫
f
(
x
)
d
x

{\displaystyle \int\lambda f(x)dx=\lambda\int f(x)dx }

### הרכבת פונקציות (החלפת משתנה)

∫
f
(
g
(
x
)
)

g
′

(
x
)
d
# x
∫
f
(
g
)
d
g

{\displaystyle \int f(g(x))g'(x)dx=\int f(g)dg }

### אינטגרציה בחלקים

זו למעשה וריאציה על נגזרת של מכפלה:

(
f
(
x
)
g
(
x
)

)
′

=

f
′

(
x
)
g
(
x
)

g
′

(
x
)
f
(
x
)

{\displaystyle (f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+g'(x)f(x) }

על ידי אינטגרציה והעברת אגפים נקבל

∫

f
′

(
x
)
g
(
x
)
d
# x
f
(
x
)
g
(
x
)
−
∫

g
′

(
x
)
f
(
x
)
d
x

{\displaystyle \int f'(x)g(x)dx=f(x)g(x)-\int g'(x)f(x)dx }

## אינטגרלים שטחיים ומסלוליים

לעיתים מבצעים אינטגרל על שטח, או נפח, אז נתייחס לרוב לדמיון בין האינטגרל לסכום,

ניתן לדוגמא לחשב מסה או מטען, לפי אינטגרל על צפיפות משטחית:

∬
σ
(
x
)
d
S

{\displaystyle \iint\sigma(x)dS }

או צפיפות נפחית (רגילה):

∭
ρ
d
V

{\displaystyle \iiint\rho dV }

כלומר מחשבים סכום על פני כל חלק קטן במשטח, או בנפח, של גודל החלק הקטן כפול ערך הפונקציה בו.

אינטגרלים כאלה ניתן לחשב לפי פירוקם למימדים, לדוגמא נית לפרק את האינטגרל לחישוב נפח כדור בצפיפות אחידה כך:

# m
∭
ρ
d
# V
ρ

∫

−
R

R

∫

−

R

2

−

x

2

R

2

−

x

2

∫

−

R

2

−

x

2

−

y

2

R

2

−

x

2

−

y

2

d
z
d
y
d
# x

3
4

π
ρ

R

3

{\displaystyle m=\iiint\rho dV=\rho\int\_{-R}^{R}\int\_{-\sqrt{R^{2}-x^{2}}}^{\sqrt{R^{2}-x^{2}}}\int\_{-\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}}^{\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}}dzdydx=\frac{3}{4}\pi\rho R^{3} }

אם כי אין זה בהכרח הפירוק המומלץ.

### שטף ואינטגרל מסלולי

ניתן לחשב גם את העוצמה של גודל וקטורי מסוים לאורך מסלול, כלומר נסכום לכל קטע קטן במסלול את האורך שלו כפול גודל הפונקציה הווקטורית בכיוון המסלול:

∫

f
→

(

x
→

)
⋅

d
x

→

{\displaystyle \int\vec{f}(\vec{x})\cdot\vec{dx} }

שימו לב שהמכפלה שתוארה לעיל (אורך קטע כפול גודל וקטור בכיוון המסלול) היא מכפלה סקלרית.

אינטגרל כזה נקרא אינטגרל מסלולי או אניטגרל לאורך מסלול.

דוגמא לכך היא הגזרת העבודה, כאינטגרל מסלולי של הכוח.

ניתן גם לסכום את הגודל שדה וקטורי שחודר דרך משטח, על ידי כך שלכל אלמנט שטח קטן, ניתן וקטור שגודלו כגודל השטח, וכיוונו מאונך.

אינטגרל לפי וקטור כזה נקרא שטף, לדוגמא נפוץ להשתמש בשטף חשמלי או מגנטי:

∬

E
→

(
x
)
⋅

d
S

→

{\displaystyle \iint\vec{E}(x)\cdot\vec{dS} }

### משטח או מסלול סגור

אינטגרל לאורך מסלול סגור, כלומר מסלול שמתחיל ומסתיים באותה נקודה מסומן לרוב כך:

∮

E
→

⋅

d
l

→

{\displaystyle \oint\vec{E}\cdot\vec{dl} }

קיים סימן כזה גם למשטח סגור, כלומר משטח שתוחם נפח מסוים.