Теплопроводность

**Теплопрово́дность** — способность материальных тел проводить тепловую энергию от более нагретых частей тела к менее нагретым частям тела путём хаотического движения частиц тела (атомов, молекул, электронов и т. п.). Такой теплообмен может происходить в любых телах с неоднородным распределением температур, но механизм переноса теплоты будет зависеть от агрегатного состояния вещества.

Различают стационарный и нестационарный процессы теплопроводности в твердом теле. Стационарный процесс характеризуется неизменными во времени параметрами процесса. Такой процесс устанавливается при длительном поддержании температур теплообменивающихся сред на одном и том же уровне. Нестационарный процесс представляет собой неустановившийся тепловой процесс в телах и средах, характеризуемый изменением температуры в пространстве и во времени.

Теплопроводностью называется также количественная характеристика способности тела проводить тепло. В сравнении тепловых цепей с электрическими это аналог проводимости.

Количественно способность вещества проводить тепло характеризуется *коэффициентом теплопроводности*. Эта характеристика равна количеству теплоты, проходящему через однородный образец материала единичной длины и единичной площади за единицу времени при единичной разнице температур (1 К). В Международной системе единиц (СИ) единицей измерения коэффициента теплопроводности является Вт/(м·K).

Исторически считалось, что передача тепловой энергии связана с перетеканием гипотетического теплорода от одного тела к другому. Однако с развитием молекулярно-кинетической теории явление теплопроводности получило своё объяснение на основе взаимодействия частиц вещества. Молекулы в более нагретых частях тела движутся быстрее и передают энергию посредством столкновений медленным частицам в более холодных частях тела.

## Закон теплопроводности Фурье

В установившемся режиме плотность потока энергии, передающейся посредством теплопроводности, пропорциональна градиенту температуры:

q
→

=
−
ϰ

g
r
a
d

⁡
T

{\displaystyle \vec{q}=-\varkappa\mathop{\mathrm{grad}}T}

где

q
→

{\displaystyle \vec{q}}

 — вектор плотности теплового потока — количество энергии, проходящей в единицу времени через единицу площади, перпендикулярной каждой оси,

ϰ

{\displaystyle \varkappa}

 — **коэффициент теплопроводности** (удельная теплопроводность),

T

{\displaystyle T}

 — температура. Минус в правой части показывает, что тепловой поток направлен противоположно вектору

grad

⁡
T

{\displaystyle \mathop{\textrm{grad}}T}

 (то есть в сторону скорейшего убывания температуры). Это выражение известно как **закон теплопроводности *Фурье***.

В интегральной форме это же выражение запишется так (если речь идёт о стационарном потоке тепла от одной грани параллелепипеда к другой):

# P
−
ϰ

S
Δ
T

l

,

{\displaystyle P=-\varkappa\frac{S\Delta T}{l}, }

# P
−

Вт

м
⋅
К

⋅

м
2

⋅
К

м

=
Вт

{\displaystyle P=-{{\text{Вт}} \over {\text{м} \cdot \text{К}}} \cdot {{\text{м}^2 \cdot \text{К}} \over {\text{м}}} = \text{Вт} }

где

P

{\displaystyle P}

 — полная мощность тепловой передачи,

S

{\displaystyle S}

 — площадь сечения параллелепипеда,

Δ
T

{\displaystyle \Delta T}

 — перепад температур граней,

l

{\displaystyle l}

 — длина параллелепипеда, то есть расстояние между гранями.

### Связь с электропроводностью

Связь коэффициента теплопроводности

ϰ

{\displaystyle \varkappa}

 с удельной электрической проводимостью

σ

{\displaystyle \sigma}

 в металлах устанавливает закон Видемана — Франца:

ϰ
σ

=

π
2

3

(

k
e

)

2

T
,

{\displaystyle \frac{\varkappa}{\sigma}=\frac{\pi^2}{3}\left(\frac{k}{e}\right)^2T,}

где

k

{\displaystyle k}

 — постоянная Больцмана,

e

{\displaystyle e}

 — заряд электрона,

T

{\displaystyle T}

 — абсолютная температура.
### Коэффициент теплопроводности газов

В газах коэффициент теплопроводности может быть найден по приближённой формуле

ϰ
∼

1
3

ρ

c
v

λ

v
¯

,

{\displaystyle \varkappa \sim \frac{1}{3} \rho c\_v \lambda \bar{v},}

где

ρ

{\displaystyle \rho}

 — плотность газа,

c
v

{\displaystyle c\_v}

 — удельная теплоёмкость при постоянном объёме,

λ

{\displaystyle \lambda}

 — средняя длина свободного пробега молекул газа,

v
¯

{\displaystyle \bar{v}}

 — средняя тепловая скорость. Эта же формула может быть записана как

# ϰ

i
k

3

π

3

/

2

d

2

R
T

μ

,

{\displaystyle \varkappa = \frac{ik}{3\pi^{3/2}d^{2}} \sqrt{\frac{RT}{\mu}},}

где

i

{\displaystyle i}

 — сумма поступательных и вращательных степеней свободы молекул (для двухатомного газа

# i
5

{\displaystyle i=5}

, для одноатомного

# i
3

{\displaystyle i = 3}

),

k

{\displaystyle k}

 — постоянная Больцмана,

μ

{\displaystyle \mu}

 — молярная масса,

T

{\displaystyle T}

 — абсолютная температура,

d

{\displaystyle d}

 — эффективный (газокинетический) диаметр молекул,

R

{\displaystyle R}

 — универсальная газовая постоянная. Из формулы видно, что наименьшей теплопроводностью обладают тяжелые одноатомные (инертные) газы, наибольшей — легкие многоатомные (что подтверждается практикой, максимальная теплопроводность из всех газов — у водорода, минимальная — у радона, из нерадиоактивных газов — у ксенона).

### Теплопроводность в сильно разреженных газах

Приведённое выше выражение для коэффициента теплопроводности в газах не зависит от давления. Однако если газ сильно разрежен, то длина свободного пробега определяется не столкновениями молекул друг с другом, а их столкновениями со стенками сосуда. Состояние газа, при котором длина свободного пробега молекул ограничивается размерами сосуда называют *высоким вакуумом*. При высоком вакууме теплопроводность убывает пропорционально плотности вещества (то есть пропорциональна давлению в системе):

ϰ
∼

1
3

ρ

c
v

l

v
¯

∝
P

{\displaystyle \varkappa \sim \frac{1}{3}\rho c\_v l \bar v\propto P}

, где

l

{\displaystyle l}

 — размер сосуда,

P

{\displaystyle P}

 — давление.

Таким образом коэффициент теплопроводности вакуума тем ближе к нулю, чем глубже вакуум. Это связано с низкой концентрацией в вакууме материальных частиц, способных переносить тепло. Тем не менее, энергия в вакууме передаётся с помощью излучения. Поэтому, например, для уменьшения теплопотерь стенки термоса делают двойными, серебрят (такая поверхность лучше отражает излучение), а воздух между ними откачивают.

## Обобщения закона Фурье

Закон Фурье не учитывает инерционность процесса теплопроводности, то есть в этой модели изменение температуры в какой-то точке мгновенно распространяется на всё тело. Закон Фурье неприменим для описания высокочастотных процессов (и, соответственно, процессов, чьё разложение в ряд Фурье имеет значительные высокочастотные гармоники). Примерами таких процессов являются распространение ультразвука, ударные волны и т. п. Инерционность в уравнения переноса первым ввел Максвелл, а в 1948 году Каттанео был предложен вариант закона Фурье с релаксационным членом:

τ

∂

q

∂
t

=
−

(

q

ϰ

∇
T

)

.

{\displaystyle \tau\frac{\partial\mathbf{q}}{\partial t}=-\left(\mathbf{q}+\varkappa\,\nabla T\right).}

Если время релаксации

τ

{\displaystyle \tau}

 пренебрежимо мало, то это уравнение переходит в закон Фурье.

## Коэффициент теплопроводности

Коэффициент теплопроводности в 1 Вт/м·К означает, что:

* 1 квадратный метр вещества передаёт за 1 секунду 1 джоуль энергии на расстояние в 1 метр вследствие разницы температур в 1 кельвин.
* 1 квадратный метр вещества передаёт энергию на расстояние в 1 метр со скоростью 1 ватт вследствие разницы температур в 1 кельвин.

### Коэффициенты теплопроводности различных веществ

Также нужно учитывать передачу тепла из-за конвекции молекул и излучения. Например, при полной нетеплопроводности вакуума, тепловая энергия передаётся излучением (Солнце, инфракрасные теплогенераторы). В газах и жидкостях происходит перемешивание разнотемпературных слоёв естественным путём или искусственно (примеры принудительного перемешивания — фены, естественного — электрочайники). Также в конденсированных средах возможно «перепрыгивание» фононов из одного твердого тела в другое через субмикронные зазоры, что способствует распространению звуковых волн и тепловой энергии, даже если зазоры представляют собой идеальный вакуум.

## Примечания

1. ↑ Фурье закон // Естествознание. Энциклопедический словарь (рус.).
2. ↑ *+Д.В. Сивухин
−{{{2}}}* Общий курс физики: термодинамика и молекулярная физика. — М.: Физматлит, 2006. — С. 345.
3. ↑ Исследование теплопроводности газов. (недоступная ссылка) // Методические указания.
4. ↑ J. C. Maxwell, Philos. Trans. Roy. Soc. London **157** (1867) 49.
5. ↑ C. Cattaneo, Atti Seminario Univ. Modena **3** (1948) 33.
6. ↑ Merkblatt 821 Архивная копия от 8 августа 2014 на Wayback Machine (PDF; 614 kB); Сталь нержавеющая, свойства стали (нем.), таблица 9

## Ссылки

* Теплопроводность воды и водяного пара
* Коэффициенты теплопроводности элементов
* Таблица теплопроводности веществ и материалов