4.32

El señor Stewart quiere construir una barda circular de radio 1 metro, para cercar un arbolito, pero caprichoso como es quiere que su altura este dada por la función f(x, y) = (y^2) + 1, tomando como referencia el centro del círculo (para que se vea bien linda).

El problema es que el albañil no sabe cuanto cobrarle, porque el cobra por metro cuadrado de material.

(a) Dé una aproximación del area para el albañil.

Primero, pienso que la pared, aunque esta sobre una circunferencia, podría llegar a imaginarla como una pared sobre una linea. Haciendo una analogía con papel, pasaría de una corona de papel a simplemente la forma plana de la corona.

Ya que cambia bastante conforme la perspectiva, debo obtener una representación que logre tener ambas a la vez, así, termino con la representación:

Pero parece ser una función muy difícil para calcular su área. Así que la aproximare con otra más sencilla (aprovechando que, justamente se pide una aproximación en éste inciso)

En ambas, la base es la circunferencia. Y ya que tenemos el radio, podemos calcularla con la formula Pi\*diámetro = Pi\*(1\*2) = 2Pi

A partir de la función f(x,y)=y² +1 , identifiqué que el mínimo valor posible de la función es 1, y el máximo 2 (porque al trabajar con valores entre 0 y 1 ese es el rango de resultados disponible)

Así, viendo que la figura puede dividirse en 2 partes, las calculo por separado:

La primer parte, es el rectángulo inferior. De base 2Pi y altura 1, con lo que su área es de 2Pi metros²

La segunda parte, identifico que se conforma de 4 rectángulos rectángulos, de base 2Pi/4 y altura 1, con lo que el area de uno de esos triángulos es

Pi/4 metros²

Que al ser multiplicado por 4 (para obtener el area total de esa sección) nos da: Pi

Así, al sumar las dos regiones, obtenemos 3Pi, que sería el área total de la barda, así que debería cobrarle aproximadamente 3Pi metros cuadrados de barda

**Aproximadamente 3Pi metros cuadrados**

(b) Dé el área exacta de la cerca descrita.

Primero, vuelvo a analizar la función, para darme mejor idea de cómo proceder; con lo que obtengo la gráfica de la función:

f
(
x
,
y
# )

y
2

1

{\displaystyle f(x,y) = y^2 +1 }

Como se puede ver, es un área colocada sobre el perímetro de un círculo, con lo que obtengo la idea de utilizar coordenadas polares.

Hasta ahora, hemos visto que la transición, de coordenadas rectangulares a polares se da de la siguiente forma:

∬
R

f
(
x
,
y
)
d
# A

∫

α

β

∫

a

b

f
(
r
c
o
s
θ
,
r
s
e
n
θ
)
r
d
t
d
θ

{\displaystyle \iint\limits\_R f(x,y) dA = \int\_{\alpha}^{\beta}\int\_{a}^{b} f( r cos\theta, r sen\theta)r dtd\theta}

Pero comúnmente las integrales dobles se asocian a la noción de volumen, y lo que estoy buscando es un área, así que debe ocurrir una modificación...

Aquí es donde noto que r es constante, con lo que a=b, con lo que puedo hacer caso omiso de la integral en ese intervalo, con lo que quedo con la expresión:

θ

∫

α

β

f
(
r
c
o
s
θ
,
r
s
e
n
θ
)
r
d
θ

{\displaystyle \theta \int\limits\_{\alpha}^{\beta} f(r cos\theta , r sen\theta) rd\theta}

 con

0
≤
α
≤
β

{\displaystyle 0 \leq \alpha \leq \beta}

 tal que

0
≤
β
−
α
≤
2
π

{\displaystyle 0 \leq \beta - \alpha \leq 2\pi}

como r sigue siendo constante, y es 1, puede simplificarse la expresión, con lo que se obtiene:

θ

∫

α

β

f
(
c
o
s
θ
,
s
e
n
θ
)
d
θ

{\displaystyle \theta \int\limits\_{\alpha}^{\beta} f(cos\theta , sen\theta) d\theta}

Que al aplicar la función nos devuelve:

θ

∫

0

2
π

(
s
e

n
2

θ
1
)
d
θ

{\displaystyle \theta \int\limits\_{0}^{2 \pi} (sen^2\theta +1) d\theta}

De lo que puedo desarrollar el procedimiento:

θ

∫

0

2
π

(
s
e

n
2

θ
1
)
d
# θ

3
θ

2

−

sin
⁡
(
2
θ
)

4

{\displaystyle \theta \int\limits\_{0}^{2 \pi} (sen^2\theta +1) d\theta = \frac{3\theta}{2}-\frac{\sin(2\theta)}{4}}

Evaluada de 0 a 2

(

3
(
2
π
)
)

2

−

sin
⁡
(
2
(
2
π
)
)

4

)
−
(

3
(
0
)
)

2

−

sin
⁡
(
2
(
0
)
)

4

# )
(
3
π
−

sin
⁡
(
4
π
)

4

)
−
(
0
−

sin
⁡
(
0
)

4

)

{\displaystyle (\frac{3(2\pi))}{2}-\frac{\sin(2(2\pi))}{4}) - (\frac{3(0))}{2}-\frac{\sin(2(0))}{4}) =
(3\pi-\frac{\sin(4\pi)}{4}) - (0-\frac{\sin(0)}{4})}

(
3
π
−

sin
⁡
(
4
π
)

4

)
−
(
0
−

sin
⁡
(
0
)

4

# )
(
3
π
−
0
)
−
(
0
# )
3
π

{\displaystyle (3\pi-\frac{\sin(4\pi)}{4}) - (0-\frac{\sin(0)}{4}) = (3\pi - 0) - (0) = 3\pi}

**Así, determino que el area total de la barda es de 3Pi metros cuadrados**