Sucesiones y series JGEM

## Definición

"Una sucesión es una función cuyo dominio son los números enteros naturales positivos y toma valores reales."

La suma de los términos de una sucesión recibe el nombre de **serie**.

**Se denota por:**

Donde se indica que "n" pertenece a los numeros nautales y que a su vez, como lo indica la definición anterior. "N" (numeros naturales) pertenece a los numeros reales ("R").

## Sucesión aritmética y geométrica

Una sucesion aritmética es aquella en la que se suma el mismo número a cada término para hallar el siguiente término

De modo que:

**an+1=an+d**

 Es la forma de obtener el siguiente término de una sucesión aritmética.

Y esto a su vez nos permite, una vez adaptada su forma, hallar la fórmula para calcular el término n-ésimo o término general:

**an=a+(n-1)\*d**

 donde:

* d: es la diferencia común entre términos.
* n: es el número del término que se busca.
* a: es el primer término

Mientras tanto, una **sucesión geométrica** se forma por multiplicacion entre términos.

**Ejemplo:**

> Si los primeros cinco términos de una sucesión aritmética son: **6, 14, 22, 30 y 38**, calcular el vigésimo noveno término.
>
>

La diferencia común "d" en este caso es de 8, el primer término "a" es 6 y el n-ésimo término que se quiere obtener "an" es 29.

Al sustituir en la fórmula se obtiene lo siguiente:

an=a+(n-1)\*d

a29=6+(29-1)\*8 = 6+(28)\*8 = **230**

El término vigésimo noveno de la sucesión aritmética es **230**.

### Sucesiones convergentes y divergentes

Una sucesión **convergente** es aquella que tiene un límite (a partir de este límite ya no existen mas términos.)

**Ejemplo:**

Su límite es 0 (no se puede dividir entre cero)

Esta sucesión (o en su defecto término de la sucesión) converge con el punto 0 de una gráfica.

Una sucesión **divergente** es aquella que no tiene límite. (Ningún número la interrumpe o la indetermina)

**Ejemplo:**

Esta sucesión no tiene límite ya que todos los valores que pueda tomar n no indeterminan a la función.

## Aplicación de las sucesiones

Sus mayores aplicaciones son en cuestiones monetarias en el cálculo del interés simple y compuesto, en la biología para el cálculo del número de bacterias en un cultivo, el cálculo de la velocidad en física, entre otras.

> "2 ciclistas se preparan para una competencia: el primero comienza con 1000 metros y todos los días agrega 1000 metros más. El segundo empieza con 200 metros y cada día duplica lo hecho el día anteriór. ¿Cuántos metros recorre cada uno el décimo día?"
>
>

El primer ciclista aumenta su recorrido aritméticamente, por lo tanto se resuelve de la siguiente manera:

an=a+(n-1)\*d

a10=1000+(10-1)\*1000 = **10,000** metros.

El segundo ciclista aumenta su recorrido geométricamente. Siendo su solución de esta forma:

an= a\*dn-1

a10= 200\*210 = **102,400** metros.

\*Cabe destacar que el superíndice en la fórmula se usa para calcular a partir del primer término, que sería la potencia 0

## Series

Como se mencionó al principio, una serie es la suma de los términos de una sucesión.

Lo que significa que si nosotros tenemos una sucesión de la forma:

a1,a2,a3,a4,...,an

su serie sería así:

a1+a2+a3+a4+...+an

Cabe destacar que una serie puede denotarse de manera mas compacta escribiendolo a manera de sumatoria:

## Tipos de series

### Series geométricas

Al igual que las sucesiones, una serie geométrica es aquella en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior por una constante llamada "razón" o "r".

En este caso r = 1/2.

### Serie alternada

Es una serie donde cada término tiene un simbolo diferente al anterior (en una serie solo puede haber sumas o restas, así que los signos solo pueden ser "+" y "-")

El resultado de expandir la sumatoria nos quedaría de la siguiente manera (primeros 3 términos):

-a0+a1-a2

## Serie de potencias

Una serie de potencias es una serie de la forma

Multiplicada por un coeficiente elevando a una potencia "n"

Quedando por ejemplo:

Cuando x es un punto cuyo entorno es igual a 0 (no podemos alejarnos del punto)

y quedando como:

Cuando su entorno es igual a C (el centro del punto es C)

### Tipos de series de potencias

#### Serie de Taylor

La serie de Taylor es una serie funcional y surge de una ecuación en la cual se puede encontrar una solución aproximada a una función. Proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto.

* f(n)(a) = derivada de la función original de orden igual a "n" en términos de "a", es decir, si n es igual a 2, f(n)(a) sería la segunda derivada de la función en términos de "a".

n! = factorial en base a "n". Si n fuese igual a 3, n! = 3!, y 3! = 6

#### Serie de McLaurin

La serie de McLaurin varía de la de Taylor en cuanto a que la serie de funciones radican en un punto C o "a" igual a cero, quedando de la siguiente manera:

En el caso de la serie de McLaurin es realmente valiosa para funciones básicas o que no pueden resolverse de maneras mas convencionales como lo son funciones trigonométricas o para valores complejos de X.

##### Radio de convergencia

El radio de convergencia "*r*" es el intervalo (abierto o cerrado) en el que una función de una serie converge absolutamente. Una vez que salimos de el radio de convergencia, la función o serie se vuelve divergente.

Esos valores son determinados mediante el siguiente límite:

Es importante destacar que se utiliza el valor absoluto ya que este tiene dos valores en realidad, uno positivo y uno negativo lo que nos permite crear un intevalo con dos límites.

### Aplicaciones de las series de Taylor-McLaurin

La principal aplicacion o utilidad de las series susodichas es la conveniencia que ofrecen al usar series polinomicas en lugar de resolver funciones de muy alta complejidad o para analizar el comportamiento local de una función.

Otros usos de las series es el cálculo de límites de funciones y los extremos relativos de una función.

A grandes rasgos, las series Taylor-McLaurin nos permiten el manejo de funciones complejas de una manera mas sencilla permitiendonos inclusive llevarlas a un entorno gráfico para su análisis.

**Ejemplo:**

## Referencias

1. ↑ Calculo

Pablo Martín Ordóñez

Delta Publicaciones, 2004

## Datos del alumno

No. de control: 14041272

Nombre: Engels Muñoz Juan Guillermo

Ingeniería en sistemas computacionales

Grupo: Cálculo integral 2Z