Треугольник прямоугольный

Файл:Поле Треугольника Прямоугольного.png
**Треугольник прямоугольный** – треугольник, которого один из углов внутренних есть простой.

Две стороны треугольника определяющие б. с. угла простого называнные есть **припрямоугольными**, третья сторона **противопрямоугольная**.

Общим видом треугольника прямоугольного есть тругольник питегорейский, тж. такой, в котором дляны сторон являются числами натуральными. Наипростейший из них есть **треугольник египский** об отношениях длин сторон 3:4:5.

Треугольник прямоугольный есть фигурой, на которой опираются подставные дефиниции функций тригонометрических углов при противпрямоугольной.

## Свойства геометрические

* центр противпрямоугольной есть центром округа описанного на треугольнике прямоугольном;
* припрямоугольные треугольника прямоугольного являются его высотами;
* симметральные припрямоугольных являются линиями средними;
* серединная опущенная на противпрямоугольную делит треугольник на два треугольники равнобедренные;
* высота треугольника опущенная на противпрямоугольную делит треугольник на два треугольника прямоугольных. Powstałe треугольники подобны так до себя, как и целого треугольника.

## Связи метрические

* Стороны треугольника прямоугольного выполняют теорему Пифагора;
* Высота опущенная на противпрямоугольную имеет длинну

a
b

c

,

{\displaystyle \frac{ab}{c},}

 является она заразом средней геометричной длин отрезков, на которую делит противопрямоугольная середина высоты.
* Поле поверхности треугольника прямоугольного дано есть узорами:

# S

1
2

c

⋅

h

,

{\displaystyle S={\tfrac{1}{2}{c}\cdot{h}},}

# S

1
2

a

⋅

b

,

{\displaystyle S={\tfrac{1}{2}{a}\cdot{b}},}

# S

1
2

b
2

tg
⁡
α

=

1
2

a
2

tg
⁡
β

,

{\displaystyle S={{\tfrac{1}{2} b^2 \operatorname{tg}\alpha}}={{\tfrac{1}{2}a^2\operatorname{tg}\beta}},}

# S

1
4

c
2

sin
⁡
2
α

=

1
4

c
2

sin
⁡
2
β

.

{\displaystyle S={\tfrac{1}{4}c^2 \operatorname{sin}2\alpha}= {\tfrac{1}{4}c^2 \operatorname{sin}2\beta}.}

* Луч окружности описанной выражается формулой:

# R

1
2

c

.

{\displaystyle R ={\tfrac{1}{2} c}.}
* Луч окружности вписанной выражается формулой:

# r

a
b
−
c

2

.

{\displaystyle r=\frac{a+b-c}{2}.}

**Довод**: Согласно формуле на разнице квадратов:

(
a
b
−
c
)
(
a
b
c
# )
(
a
b

)
2

−

c
2

.

{\displaystyle (a+b-c)(a+b+c)=(a+b)^2-c^2.}

Из теоремы Пифагора следует:

(
a
b

)
2

−

c
2

=
2
a
b
.

{\displaystyle (a+b)^2-c^2=2ab.}

Затем с формул на поле треугольника:

# r

1
2

a
# b

a
b
−
c

2

p

{\displaystyle S=pr=\frac{1}{2}ab=\frac{a+b-c}{2} p}

и

# r

a
b
−
c

2

.

{\displaystyle r=\frac{a+b-c}{2}.}

* Пусть

r

1

,

r

2

{\displaystyle r\_{1}, r\_{2}}

 означает лучи округов вписанных в треугольники, на которые делят его высоту. Wówczas zachodzą równości:

r

r
1

r
2

=
h
.

{\displaystyle r+r\_1+r\_2=h.}

**Довод**: С формулы на луч округа вписанного:

# r

a
b
−
c

2

,

{\displaystyle r = \frac{a+b-c}{2},}

r
1

=

y
h
−
a

2

,

{\displaystyle r\_1 = \frac{y+h-a}{2},}

r
2

=

x
h
−
b

2

,

{\displaystyle r\_2 = \frac{x+h-b}{2},}

где

x
,
y

{\displaystyle x, y}

то длины отрезков, на которые высота делит

c
.

{\displaystyle c.}

Затем (

x
# y
c

{\displaystyle x+y=c}

)

a
b
−
c

2

y
h
−
a

2

x
h
−
b

2

=

2
h

2

{\displaystyle \frac{a+b-c}{2}+\frac{y+h-a}{2}+\frac{x+h-b}{2}= \frac{2h}{2}}

r
1
2

r
2
2

=

r
2

,

{\displaystyle r\_1^2+r\_2^2=r^2,}

что следует из теоремы Пифагора и подобия треугольников.

* Пусть

r
a

,

r
b

,

r
c

{\displaystyle r\_a, r\_b, r\_c}

 означает лучи округов дописанных. Wówczas są spełnione:

# r

r
a

r
b

r
c

,

{\displaystyle r=\frac{r\_a r\_b}{r\_c},}

r
c

=
r

r
a

r
b

.

{\displaystyle r\_c=r+r\_a+r\_b.}

## Приписки

1. ↑ Znany był w starożytnym Egipcie (stąd nazwa), w piramidzie Cheopsa znajduje się komnata królewska o wymiarach: 3, 4, 5.

**Ошибка Lua в package.lua на строке 80: module 'Module:Arguments' not found.**