recursal/Fanatic-Fandom huggingface dataset:
6.10.106

Una casa de inversiones calcula su comisión de acuerdo al saldo promedio de una cuenta en el año. Si una está a interés compuesto continuo de tal manera que su saldo se describe con la función

s
(
t
# )
1.5

e

0.23
t

{\displaystyle s(t)=1.5e^{0.23t}}

 (t es el tiempo en meses) millones de dólares, ¿cuál es el saldo promedio que debe usar la casa de inversiones?

Para sacar el promedio de una función usamos la misma idea para el promedio que conocemos:

Para sacar el promedio de una función

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}

en

[
a
,
b
]

{\displaystyle [a, b]}

 tenemos que tomar todos los puntos entre a y b, sumarlos y dividirlos entre n.

P
r
o
m
e
d
i
# o

todos los puntos
n

{\displaystyle Promedio={\frac {\text{todos los puntos}}{n}}}

Vamos a hacer que n tienda a infinito para tomar todos los puntos entre a y b, entonces:

# n

b
−
a

Δ
x

(
n
→
∞
)

{\displaystyle n={\frac {b-a}{\Delta x}}\;(n\to \infty )}

, donde

Δ
x

{\displaystyle \Delta x }

es el grosor de cada segmento que tomamos para sacar el promedio

P
r
o
m
e
d
i
# o

f
(

x

1

)
f
(

x

2

)
.
.
.
f
(

x

n

)

n

=

f
(

x

1

)
f
(

x

2

)
.
.
.
f
(

x

n

)

b
−
a

Δ
x

{\displaystyle Promedio={\frac {f(x\_{1})+f(x\_{2})+...+f(x\_{n})}{n}}={\frac {f(x\_{1})+f(x\_{2})+...+f(x\_{n})}{\frac {b-a}{\Delta x}}}}

=

f
(

x

1

)
f
(

x

2

)
.
.
.
f
(

x

n

)
Δ
x

b
−
a

=

1

b
−
a

f
(

x

1

)
f
(

x

2

)
.
.
.
f
(

x

n

)
Δ
x

{\displaystyle ={\frac {f(x\_{1})+f(x\_{2})+...+f(x\_{n})\Delta x}{b-a}}={\frac {1}{b-a}}f(x\_{1})+f(x\_{2})+...+f(x\_{n})\Delta x}

=

1

b
−
a

∫

a

b

f
(
x
)

d
x

{\displaystyle ={\frac {1}{b-a}}\int \_{a}^{b}f(x)\;dx}

1
12

∫

0

12

1.5

e

0.23
t

d
# t

1
12

6.52174

e

0.23
∗
12

−

1
12

# 6.52174
8.04339

{\displaystyle {\frac {1}{12}}\int \_{0}^{12}1.5e^{0.23t}\;dt={\frac {1}{12}}6.52174e^{0.23\*12}-{\frac {1}{12}}6.52174=8.04339}

mdd
88(b)

Calcular

(

e
t

e

3
cos
⁡
(
t
)

)
′

{\displaystyle (e^te^{3\cos(t)})'}

Derivada de una multiplicación:

h
(
x
# )
f
(
x
)
⋅
g
(
x
)

{\displaystyle h(x)=f(x)\cdot g(x)}

h
′

(
x
# )

f
′

(
x
)
⋅
g
(
x
)
f
(
x
)
⋅

g
′

(
x
)

{\displaystyle h'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)}

Derivada de un exponencial:

(

e
u

)
′

=

e
u

⋅
d
x
u

{\displaystyle (e^u)'=e^u\cdot dx u}

 donde

u

{\displaystyle u}

 es una función derivable de

x

{\displaystyle x}

Calculamos las derivadas de cada factor

(

e
t

)
′

=

e
t

{\displaystyle (e^t)'=e^t}

(

e

3
cos
⁡
(
t
)

)
′

=

e

3
cos
⁡
(
t
)

⋅
−
3
sin
⁡
(
t
)

{\displaystyle (e^{3\cos(t)})'=e^{3\cos(t)}\cdot-3\sin(t)}

Sustituimos

(

e
t

e

3
cos
⁡
(
t
)

)
′

=

e
t

e

3
cos
⁡
(
t
)

(

e
t

e

3
cos
⁡
(
t
)

⋅
−
3
sin
⁡
(
t
)
)

{\displaystyle (e^te^{3\cos(t)})'=e^te^{3\cos(t)}+(e^te^{3\cos(t)}\cdot-3\sin(t))}
6.1.95

¿Para qué número entre 0 y 1 la diferencia de su cuadrado con su cubo da como resultado el valor más grande?

Es decir: encontrar el valor máximo de

f
(
x
# )

x

2

−

x

3

{\displaystyle f(x)=x^{2}-x^{3}}

 en el intervalo

[
0
,
1
]

{\displaystyle [0,1]}

Derivamos la función

f
′

(
x
# )
2
x
−
3

x

2

{\displaystyle f'(x)=2x-3x^{2}}

Igualamos a 0 para encontrar los puntos críticos

2
x
−
3

x

2

=
0

{\displaystyle 2x-3x^{2}=0}

**Opción 1**. Chicharronera

−
2
±

(
−
2

)

2

−
4
(
0
)
(
3
)

2
(
3
)

=

2
±
√
4

6

{\displaystyle {\frac {-2\pm {\sqrt {(-2)^{2}-4(0)(3)}}}{2(3)}}={\frac {2\pm \surd 4}{6}}}

x

1

=

2
2

6

=

4
6

=

2
3

{\displaystyle x\_{1}={\frac {2+2}{6}}={\frac {4}{6}}={\frac {2}{3}}}

x

2

=

2
−
2

6

=

0
6

=
0

{\displaystyle x\_{2}={\frac {2-2}{6}}={\frac {0}{6}}=0}

**Opción 2.** Como sabemos que 0 no puede ser un máximo, podemos simplemente despejar

x

{\displaystyle x}

de la ecuación

2
# x
3

x

2

{\displaystyle 2x=3x^{2}}

 e igual obtenemos el valor de

2
3

{\displaystyle \frac{2}{3}}

Se evalúa la función en los puntos críticos

f
(
0
# )

0

2

−

0

3

=
0

{\displaystyle f(0)=0^{2}-0^{3}=0}

f
(

2
3

# )
(

2
3

)

2

−
(

2
3

)

3

=
0.148148

{\displaystyle f({\frac {2}{3}})=({\frac {2}{3}})^{2}-({\frac {2}{3}})^{3}=0.148148}

Se evalúa la función en los límites del intervalo

f
(
1
# )

1

2

−

1

3

=
0

{\displaystyle f(1)=1^{2}-1^{3}=0}

La respuesta final es que el número misterioso es

2
3

{\displaystyle \frac{2}{3}}

 aka 0.666666666...
4.1.62(b)

Cálcula el siguiente límite (argumente)

l
i

m

x
→
0

x

2

−
1

x
−
1

{\displaystyle lim\_{x\to 0}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}}

Para calcular el límite evaluaremos la función en el punto x=0

0

2

−
1

0
−
1

=

−
1

−
1

=
1

{\displaystyle {\frac {0^{2}-1}{0-1}}={\frac {-1}{-1}}=1}

Como se puede ver en la gráfica este es el valor al que se apróxima la función en el punto x=0
1.1.3 (a))

**Problema 3.** Encuentre las fórmulas de las funciones lineales que cumplen que:

**(b)**

f
(
2
# )
2

{\displaystyle f(2)=2}

 y

f
(
−
10
# )
0

{\displaystyle f(-10)=0}

1.- Lo que se nos esta dando son dos puntos en la recta de la función que estamos buscando. Debemos identificarlos:

Punto 1:

(
2
,
2
)

{\displaystyle (2,2) }

Punto 2:

(
−
10
,
0
)

{\displaystyle (-10,0)}

2.- Vamos buscar la forma

# y
m
x
b

{\displaystyle y=mx+b}

 de la función, para ello debemos encontrar la pendiente de dicha recta con la formula

# m

y

2

−

y

1

x

2

−

x

1

{\displaystyle m={\frac {y\_{2}-y\_{1}}{x\_{2}-x\_{1}}}}

Sustituimos:

# m

0
−
2

−
10
−
2

=

−
2

−
12

=

1
6

{\displaystyle m={\frac {0-2}{-10-2}}={\frac {-2}{-12}}={\frac {1}{6}}}

3.- Lo siguiente que debemos encontrar es

b

{\displaystyle b}

, para ello vamos a tomar cualquiera de los 2 puntos para despejar la forma

# y
m
x
b

{\displaystyle y=mx+b}

Despeje de

b

{\displaystyle b}

:

# y

1
6

x
b

{\displaystyle y={\frac {1}{6}}x+b}

# 2

1
6

2
b

{\displaystyle 2={\frac {1}{6}}2+b}

2
−

2
6

=
b

{\displaystyle 2-{\frac {2}{6}}=b}

10
6

=
b

{\displaystyle {\frac {10}{6}}=b}

4.- Finalmente tenemos la función que quedaría como:

# y

1
6

x

10
6

{\displaystyle y={\frac {1}{6}}x+{\frac {10}{6}}}

Si queremos comprobar tomaremos el segundo punto:

# 0

1
6

(
−
10
)

10
6

{\displaystyle 0={\frac {1}{6}}(-10)+{\frac {10}{6}}}

# 0

−
10

6

10
6

{\displaystyle 0={\frac {-10}{6}}+{\frac {10}{6}}}

# 0
0

{\displaystyle 0 = 0}

 por lo tanto, efectivamente tenemos la función correcta.
⭐️The Golden Gojiverse of Gojirowan!⭐️ Wiki

**Welcome to the ⭐️The Golden Gojiverse of Gojirowan!⭐️ Wiki!**
We're a collaborative community website about ⭐️The Golden Gojiverse of Gojirowan!⭐️ that anyone, including you, can build and expand. Wikis like this one depend on readers getting involved and adding content. Click the "ADD NEW PAGE" or "EDIT" button at the top of any page to get started!

**✨This Wiki is about the adventures/comic/movies of Golden Gojira12 and his friend’s (such as Your Personal Floatation Device, Yodazilla the Kaiju Lord Newhouse, The Michel Channel) characters. This Wiki will reveal hidden backstories, unknown details and special facts about these lovable Kaiju creatures. Without further explanation, enjoy your swim in the golden pool of creativity.**

## Just some photos with Gojirowan!

Jhon-Õ-Saur and Company in “Mock-Turtle Soup!”✨The Goji Gang! (canon members)Team Selfie!

*Need help building out this community?*

* Rules of this wiki
* Getting Started
* How to Contribute
* Managing your new community
* Guides
* All Help articles

You can also be part of the larger Fandom family of communities. Visit Fandom's Community Central!

*Community Founders*: Write a good and paragraph-length description for your welcome section about your topic. Let your readers know what your topic is about and add some general information about it. Then you should visit the admin dashboard for more tips.
6.1.96

Se tienen 50 metro de alambre de púas para cercar un terreno rectangular pegado a una pared (se va a usar

la pared como uno de sus lados). ¿Qué dimensiones debe tener mi terreno para que sea lo más grande posible?

Sabemos que el área esta dada por

# 50
2
a
l

{\displaystyle 50=2a+l}

 (donde a es ancho y l es largo), entonces

50
−
l

2

=
a

{\displaystyle {\frac {50-l}{2}}=a}

.

Para el área tenemos A = b a entonces

# A
l
⋅
2
(

50
−
l

2

)

{\displaystyle A=l\cdot 2({\frac {50-l}{2}})}

=
l
⋅
(
50
−
l
)

{\displaystyle =l\cdot (50-l)}

=
50
l
−

l

2

{\displaystyle =50l-l^{2}}

A
′

=

{\displaystyle A'=}

50
−
2
l

{\displaystyle 50-2l}

Sacamos un punto critico para ver el máximo .

# 0
50
−
2
l

{\displaystyle 0=50-2l}

2
# l
50

{\displaystyle 2l=50}

# l
25

{\displaystyle l=25}

Entonces debe tener 25 de largo y 12.5 ancho.
Внутренние (пара) демоны

**Внутренние (пара) демоны** - двадцать первая серия мультсериала.

## Сюжет

### Кратко

Прежде чем Готэм будет снова включён в состав Соединённых Штатов, Президент даёт комиссару Гордону задание покончить с Харли Квинн. Харли в это время переживает смешанные чувства к Айви, возникшие после их недавнего поцелуя. Ядовитый Плющ идёт знакомиться с родителями Кайтмена, в то время как Харли готовится к битве с комиссаром Гордоном. Её команда похищает Материнский Ящик у Мистера Чудо и отправляется через портал на планету Апоколипс. Там при помощи Доктора Психо Харли побеждает Бабулю, чем заслуживает уважение Дарксайда, который даёт ей армию парадемонов. Между армиями Харли и Гордона завязывается жестокий бой, пока не появляется Ядовитый Плющ и не объясняет Харли, что это всё не то, чего она на самом деле хочет. Харли Квинн отступает. Она решается рассказать Айви о своих чувствах, но их прерывает Кайтмен. Доктор Психо покидает команду Харли.
5.78

Un cubo de hielo de 3 cm de lado se comienza a derretir, el tamaño de su lado se va achicando de acuerdo a la función

l
(
t
# )
−
3
√
(
t
)
27

{\displaystyle l(t)=-3\surd (t)+27}

centímetros. Cuál es la razón a la que se está derritiendo (la razón a la que está perdiendo volumen, asuma que siempre sigue siendo un cubo).

l
(
t
# )
−
3
√

t

27

{\displaystyle l(t)=-3\surd {t}+27}

Usamos la fórmula para el volúmen de un cubo

# v

l

3

{\displaystyle v=l^{3}}

Y por composición de

v

{\displaystyle v}

 con

l
(
t
)

{\displaystyle l(t)}

obtenemos

v
(
l
(
t
)
# )

(

−
3
√

t

27

)

3

{\displaystyle v(l(t))={\bigl (}-3\surd {t}+27{\bigr )}^{3}}

Derivamos por regla de la cadena:

d
v

d
l

=
3
(
−
3
√

t

27

)

2

⋅

d
l

d
t

{\displaystyle {dv \over dl}=3(-3\surd {t}+27)^{2}\cdot {dl \over dt}}

y para obtener

d
l

d
t

{\displaystyle {dl \over dt}}

 derivamos nuestra función

l
(
t
)

{\displaystyle l(t)}

l
(
t
# )
−
3

t

1
2

27

{\displaystyle l(t)=-3t^{\frac {1}{2}}+27}

l
′

(
t
# )

1
2

(
−
3
)

t

−
1

2

{\displaystyle l'(t)={\frac {1}{2}}(-3)t^{\frac {-1}{2}}}

l
′

(
t
# )

−
3

2
√

t

{\displaystyle l'(t)={\frac {-3}{2\surd {t}}}}

Nuestra derivada final queda:

d
v

d
t

=
3
(
−
3
√

t

27

)

2

(

−
3

2
√

t

)

{\displaystyle {dv \over dt}=3(-3\surd {t}+27)^{2}{\bigl (}{\frac {-3}{2\surd {t}}}{\bigr )}}
4.7.82(c)

82c

Resuelve

∫

0

π
8

2
s
e

c

2

(
2
x
)
d
x

{\displaystyle \int \limits \_{0}^{\frac {\pi }{8}}2sec^{2}(2x)dx}

Primero indico que lo que está siendo integrado es una función derivada, para posteriormente poder realizar la antiderivación. Así:

f
′

(
x
# )
2
s
e

c

2

(
2
x
)

{\displaystyle f'(x)=2sec^{2}(2x)}

[
f
(
x
)

]
′

=
2
s
e

c

2

(
2
x
)

{\displaystyle [f(x)]'=2sec^{2}(2x)}

[
?

]
′

=
2
s
e

c

2

(
2
x
)

{\displaystyle [?]'=2sec^{2}(2x)}

Por regla de la cadena, sé que lo que está dentro de una función trigonométrica se mantendrá ahí, y aparecerá su derivada multiplicando, entonces:

[
?
(
2
x
)

]
′

=
(
2
x

)
′

?
(
2
x
# )
2
?
(
2
x
# )
2
s
e

c

2

(
2
x
)

{\displaystyle [?(2x)]'=(2x)'?(2x)=2?(2x)=2sec^{2}(2x)}

Previamente conocíamos que la derivada de tangente del ángulo es la secante cuadrara del mismo ángulo, así que:

[
t
a
n
(
2
x
)

]
′

=
t
a

n
′

(
2

x
′

# )
s
e

c

2

(
2

x
′

# )
s
e

c

2

(
2
x
)
∗
(
2
x

)
′

=
2
s
e

c

2

(
2
x
)

{\displaystyle [tan(2x)]'=tan'(2x')=sec^{2}(2x')=sec^{2}(2x)\*(2x)'=2sec^{2}(2x)}

Así, obtengo que:

f
(
x
# )
t
a
n
(
2
x
)

{\displaystyle f(x)=tan(2x)}

f
′

(
x
# )
[
t
a
n
(
2
x
)

]
′

=
2
s
e

c

2

(
2
x
)

{\displaystyle f'(x)=[tan(2x)]'=2sec^{2}(2x)}

Ahora evalúo la expresión para obtener el valor de la integral:

∫

a

b

f
′

(
x
)
d
# x
f
(
b
)
−
f
(
a
)

{\displaystyle \int \limits \_{a}^{b}f'(x)dx=f(b)-f(a)}

∫

0

π
8

2
s
e

c

2

(
2
x
)
d
# x
t
a
n
(
2

π
8

)
−
t
a
n
(
2
∗
0
# )
t
a
n
(

π
4

)
−
t
a
n
(
0
# )
1
−
# 0
1

{\displaystyle \int \limits \_{0}^{\frac {\pi }{8}}2sec^{2}(2x)dx=tan(2{\frac {\pi }{8}})-tan(2\*0)=tan({\frac {\pi }{4}})-tan(0)=1-0=1}
Toriel

"Which one do You want? Cinnamon or Butterscotch?" - Toriel (Happy Pi Day!)

Toriel is a Nanny Goat that was built into a Steam Engine by the TTTE Institute of Innovation's Science Labs. She is Sensitive and Bubbly. She likes to make food with her Multi-Purpose Furnace. She may be a great Motherly Figure toward the smaller engines, but she might be a bit of a loose-cannon toward the bigger engines, if they ever try to make fun of her. Her passion for others is never-ending, and she would do anything to keep them protected. Toriel is based on the character of the same name from the game Undertale, and unbelievably is the same character that was built into a train alongside Asriel, Chara, and Frisk. Fun Fact: Her Whistle Sound is recycled from Big Freighter Pete from the 1991 adaptation of "The Little Engine That Could". It was recorded off of Rio Grande engine number 484.

Audio Files:

Bell
Showcase Files

Whistle
Run From The Blast!
Run From The Blast!
4.7.84(b)

Calcule el área delimitada en cada uno de los siguientes dibujos de una gráfica de una función.

f
(
x
# )
−
sen
⁡
(
x
)

{\displaystyle f(x)=-\operatorname {sen}(x)}

∫

0

π

−
sen
⁡
(
x
)
d
# x

{\displaystyle \int \limits \_{0}^{\pi }-\operatorname {sen}(x)dx=}

cos
⁡
(
x
)

(

π
0

)

=

{\displaystyle \cos(x){\tbinom {\pi }{0}}=}

cos
⁡
(
π
)
−
cos
⁡
(
0
# )
−
2

{\displaystyle \cos(\pi )-\cos(0)=-2}
4.10.90(b)

90-. Determine reglas de derivación para:

f
(
x
# )
log
⁡
(
x
)

{\displaystyle f(x) = \log(x)}

Si

# y
log
⁡
(
x
)

{\displaystyle y=\log(x)}

, entonces

10

y

=
x

{\displaystyle 10^{y}=x}

, ahora le aplicamos logaritmo natural a ambos lados:

ln
⁡
(

10

y

# )
ln
⁡
(
x
)

{\displaystyle \ln(10^{y})=\ln(x)}

Ocupamos propiedades de logaritmos:

y
ln
⁡
(
10
# )
ln
⁡
(
x
)

{\displaystyle y\ln(10)=\ln(x)}

# y

ln
⁡
(
x
)

ln
⁡
(
10
)

{\displaystyle y={\frac {\ln(x)}{\ln(10)}}}

Ahora podemos derivar:

f
′

(
x
# )

(

ln
⁡
(
x
)

ln
⁡
(
10
)

)

′

{\displaystyle f'(x)={\Bigl (}{\frac {\ln(x)}{\ln(10)}}{\Bigr )}'}

Separamos la constante de la derivada:

f
′

(
x
# )

1

ln
⁡
(
10
)

(
ln
⁡
(
x
)

)
′

{\displaystyle f'(x)={\frac {1}{\ln(10)}}(\ln(x))'}

Derivamos:

f
′

(
x
# )

1

ln
⁡
(
10
)

⋅

1
x

{\displaystyle f'(x)={\frac {1}{\ln(10)}}\cdot {\frac {1}{x}}}

f
′

(
x
# )

1

x
ln
⁡
(
10
)

{\displaystyle f'(x)={\frac {1}{x\ln(10)}}}

Ahora podemos derivar

log

a

⁡
(
x
)

{\displaystyle \log \_{a}(x)}

:

(

log

a

⁡
(
x
)

)
′

=

1

x
ln
⁡
(
a
)

{\displaystyle (\log \_{a}(x))'={\frac {1}{x\ln(a)}}}

Para

a
>
0

{\displaystyle a>0}
6.6.99(a)

99.- a) Bosqueje un segmento de la gráfica de una función

f
(
x
)

{\displaystyle f(x)}

(al rededor de a) si se sabe que en el punto a cumple:

a
>
0
,
f
(
a
)
>
0
,

f
′

(
a
)
>
0
,

f
″

(
a
)
>

{\displaystyle a>0,f(a)>0,f'(a)>0,f''(a)>0.}

Sea:

# a
1

{\displaystyle a = 1}

f
(
x
# )

x
4

6

{\displaystyle f(x)= {x^4\over 6}}

f
′

(
x
# )

2

x
3

3

{\displaystyle f'(x)={2x^3\over 3}}

f
″

(
x
# )

2

x
2

{\displaystyle f''(x)={2x^2}}

f
(
a
# )
0.16666666

{\displaystyle f(a)= 0.16666666
}

f
′

(
a
# )
0.666666666

{\displaystyle f'(a)= 0.666666666}

f
″

(
a
# )
2

{\displaystyle f''(a)=2}
4.7.82(b)

Explicación en video: https://youtu.be/kldABwHOrzw

Resuelve la siguiente integral:

∫

2

4

7
(
2

t

2

−
3
t
5
)
d
t

{\displaystyle \int \_{2}^{4}7(2t^{2}-3t+5)dt}

Primero debemos de calcular la integral indefinida.

∫
7
(
2

t

2

−
3
t
5
)
d
t

{\displaystyle \int 7(2t^{2}-3t+5)dt}

Ahora utilizamos las propiedades de la integral, moviendo el 7.

7
∗
∫
2

t

2

−
3
t
5
d
t

{\displaystyle 7\*\int 2t^{2}-3t+5dt}

Al multiplicar toda la integral, encerramos en paréntesis.

7
(
∫
2

t

2

−
3
t
5
d
t
)

{\displaystyle 7(\int 2t^{2}-3t+5dt)}

Y ahora por propiedades de la integral.

7
(
∫
2

t

2

d
t
−
∫
3
t
d
t
∫
5
d
t
)

{\displaystyle 7(\int 2t^{2}dt-\int 3tdt+\int 5dt)}

Calculamos la integral de cada parte.

7
(

2

t

3

3

−

3

t

2

2

5
t
)

{\displaystyle 7({\frac {2t^{3}}{3}}-{\frac {3t^{2}}{2}}+5t)}

Multiplicamos por 7.

14

t

3

3

−

21

t

2

2

35
t

{\displaystyle {\frac {14t^{3}}{3}}-{\frac {21t^{2}}{2}}+35t}

Sustituimos los limites de integración.

(

14

t

3

3

−

21

t

2

2

35
t
)

2

4

{\displaystyle ({\frac {14t^{3}}{3}}-{\frac {21t^{2}}{2}}+35t)|\_{2}^{4}}

Y ahora restamos los valores de f(4) - f(2).

14
∗

4

3

3

−

21
∗

4

2

2

35
∗
4
−
(

14
∗

2

3

3

−

21
∗

2

2

2

35
∗
2
)

{\displaystyle {\frac {14\*4^{3}}{3}}-{\frac {21\*4^{2}}{2}}+35\*4-({\frac {14\*2^{3}}{3}}-{\frac {21\*2^{2}}{2}}+35\*2)}

Y simplificamos la expresión.

616
3

{\displaystyle {\frac {616}{3}}}
2.2.27

Ejercicio 12

a) Al momento que suelto mi libro de cálculo no se está moviendo (Sea

s
(
t
)

{\displaystyle s(t)}

la velocidad del libro

t

{\displaystyle t}

 segundos después de soltarlo).

s
′

(
t
# )
0

{\displaystyle s'(t)=0}

 ya que al no haber movimiento su velocidad es igual a

0

{\displaystyle 0}

b) A medida que el libro cae, aumenta su velocidad.

s
″

(
t
)
>

s
′

(
0
# )
0

{\displaystyle s''(t)>s'(0)=0}

 ya que la aceleración inicia justo después de soltar el libro en el segundo

0

{\displaystyle 0}
2.2.30

Traduzca las expresiones en ecuaciones:

a) El volumen de la masa de pan (

V
(
t
)

{\displaystyle V(t)}

 ) creció más entre las 6:00 y las 6:30 que de 5:00 a 6:00

∫

5
:
00

6
:
00

V
′

(
t
)
<

∫

6
:
00

6
:
30

V
′

(
t
)

{\displaystyle \int\limits\_{5:00}^{6:00} V'(t) < \int\limits\_{6:00}^{6:30} V'(t)}

b) El volumen de la masa de pan crecía más a las 6:00 que a las 5:30

V
′

(
5
:
30
)
<

V
′

(
6
:
00
)

{\displaystyle V'(5:30) < V'(6:00)}

c) El volumen de la masa de pan era mayor a las 6:30 que a las 6:00

V
(
6
:
00
)
<
V
(
6
:
30
)

{\displaystyle V(6:00) < V(6:30)}

d) Después de las 8:00, el volumen de la masa de pan fue constante

V
′

(
t
# )
0
↔
8
:
00
≤
t

{\displaystyle V'(t)=0 \leftrightarrow 8:00 \leq t}

e) El volumen de la masa de pan creció constantemente de las 6:00 a las 8:00

V
″

(
t
# )
0
↔
6
:
00
≤
t
≤
8
:
00

{\displaystyle V''(t)=0 \leftrightarrow 6:00 \leq t \leq 8:00}
Casey Jr.

All Aboard! Let's Go! - Casey Jr (On Multiple Occasions)

Casey Jr. is an Exchange Student Zebra Locomotive from The Medici Bros Circus. He is a example of a Class-Clown on the Scratch Island of Sodor. He was built in 1925 at the Baldwin Locomotive Works. He had proved himself to the Medici Circus by going up Steep Grades, we thought he could. He has made appearances at his home turf, and wherever he goes. He even travelled around the world, just like Thomas, one of his closest friends. After 78 years in service, Casey Jr was retired from his job as a Circus Train in 2019. He ended up at Runnamuck Park and was given a new driver, Goofy. At some point. Casey Jr and Goofy met Mickey and Minnie at the park for a picnic. Casey Jr has been in 2 crashes or wrecks. The first one happened when he tried to jump over a Broken Viaduct. The second one happened when a Butterscotch-Cinnamon Pie that Toriel made for Pluto got lodged up his funnel, causing him to swell up and his boiler to explode, KA-BLAMMERS! Luckily, no one was hurt. However, Casey Jr was badly damaged, causing Goofy to have to use a second locomotive. After weeks of Repair, Little Number 41 arrived at the Zebra Railway, and was given an Overhaul at the Dreemurr Society Works, where he was given a special treatment, saying that most engines that have Boiler Explosions don't last long after their systems are forced to shut down. After a Successful Rebuild, Casey Jones Jr chuffed his way to Sodor, and when he got to The Island, he regained his face! But it's not just any face, A ZEBRA FACE! It was Ralsei's Idea. Casey Jones Jr is now a happy engine that has been making Circus and Mail deliveries ever since. He's also good friends with Asgore, who is willing to pass down his knowledge of the Broad Oaks and Tall Pines to the happy little engine. Casey Jr is powered by Wood and Orange Juice. Which means he is 50% Steam and 50% Carbon Neutral. Fun Fact: Casey Jr is a Charismatic Engine, and a celebrity. His persona is almost equivalent to Loser from Battle for Dream Island.

   Audio Files

Bell

Whistle
Soundboard
1.3.16 (b)

Hallar el dominio de la siguiente función:

g
(
x
)
:

√
(
1
−
3
x
)

x

{\displaystyle g(x):{\frac {\surd (1-3x)}{x}}}

Para que la raíz cuadrada de 1-3x tenga solución dentro de los reales

x
⩽
1

/

3

{\displaystyle x\leqslant 1/3}

y para que la división sea posible

x
≠
0

{\displaystyle x \neq 0}

Por lo tanto el dominio de la función son todas las

x
⩽
1

/

3

{\displaystyle x\leqslant 1/3}

 exceptuando el 0

D
:

(

−
∞
,
0

)

⋃

(

0
,
1

/

3
]

{\displaystyle D:{\bigl (}-\infty ,0{\bigr )}\bigcup {\bigl (}0,1/3]}
3.3.51

2

2.-Encuentra

f
′

(
t
)

{\displaystyle f'(t)}

en el punto

# t
−
2

{\displaystyle t = -2}

y da una ecuación tangente a

f
(
t
)

{\displaystyle f(t) }

f
(
t
# )

t
2

{\displaystyle f(t)= t^2}

f
′

(
t
# )
2
t

{\displaystyle f'(t)=2t}

f
′

(
−
2
# )
2
(
−
2
# )
−
4

{\displaystyle f'(-2) = 2(-2) = -4}

La ecuación de la recta tangente a

t
2

{\displaystyle t^2}

es:

4
x
y
# 4
0

{\displaystyle 4x+y+4=0 }
1.1.1.1

*Problema 1.1.1.1*
Encontrar las ecuaciones de las siguientes rectas.

a) A simple vista podemos identificar dos puntos que definen la recta así como su pendiente (porque la pendiente se ve, guiño, guiño). Las coordenadas de los puntos son (0, 4) y (4, 0), siendo la ordenada al origen (0, 4). Solo observando la cuadrícula de la gráfica podemos darnos cuenta que la razón de cambio corresponde a una unidad o a un cuadrito, así que la pendiente tendría un valor de 1. Para comprobarlo y precisar la dirección de la pendiente utilizarémos la fórmula

# m

y

2

−

y

1

x

2

−

x

1

{\displaystyle m={\frac {y\_{2}-y\_{1}}{x\_{2}-x\_{1}}}}

Sustituimos

# m

4
−
0

0
−
4

=
−
1

{\displaystyle m={\frac {4-0}{0-4}}=-1}

La dirección es negativa, pierde una unidad.

Para la obtener la ecuación de la recta, como conocemos la ordenada al origen utilizaremos la fórmula

# y
m
x
b

{\displaystyle y=mx+b}

Sustituimos y ya tenemos la ecuación de la recta:

# y
−
x
4

{\displaystyle y=-x+4}

En este segundo problema, se hace algo similar, tenemos que la recta pasa por los puntos (0, -3) & (2, 0)

Usamos la fórmula anterior para sacar la pendiente de esta nueva recta lo que nos daría como resultado: 3/2 = 1.5

De igual manera conocemos la ordenada al origen por lo que al sustituir en la fórmula obtenemos: y = 1.5x -3. Que es la ecuación de la recta.
Goldy

"Count your lucky stars, because trucks can be trouble." - Goldy (giving a warning about Troublesome Trucks.)

Goldy is a Good-Luck Engine that was discovered in an old mine shaft by some Fun-lings after being made fun of and exiled by the Miners. She is the Tank Engine that was used for the Sudrian Gold Rush. Legend has it that she worked in the mines for so long, that he herself turned Solid Gold after touching a Gold Bar, this is why Spencer and Gordon like calling Goldy by "Queen Midas" but she doesn't seem to mind. When she is needed on Thomas's Branch-line, she is used as a Good-Luck charm by being used as a Back Engine. It is been known that she appeared in "Thomas and the Beanstalk". However, after that fiasco, she got lost in obscurity, and was exiled to the abandoned mine shaft. Fun Fact: ToyTrains4U invented this character before Thomas and the Beanstalk was ever issued. Does this mean that Goldy was borrowed by ToyTrains4U in order to be used in the book? I guess she will never know.

Audio Files:

Whistle
(Podcast)
4.1.61(a)

## Breve introducción al concepto de límite.

En lo llevamos del curso siempre hemos tenido aproximaciones mientras analizamos nuestras gráficas y funciones, bueno, en esta parte estudiaremos una herramienta que nos ayudará a describir de mejor manera las aproximaciones a un punto en la gráfica. Esta poderosísima herramienta tiene por nombre **Límite** y a diferencia de las funciones, su estudio nos permite analiza aproximaciones a un punto en la gráfica, pero no al punto en sí, en éste caso nos enfocaremos más en el comportamiento de la gráfica cuando tiende ir a algún valor en **x.**

###### 61. Use la siguiente gráfica de

f

{\displaystyle f}

para determinar si el límite cuando

x
→
−
4

{\displaystyle x\rightarrow -4}

 existe.

Observemos que cada que nos acercamos al valor de -4 en el eje horizontal, si analizamos la parte de la izquierda no podremos llegar al valor deseado, por otro lado, en la izquierda sí podemos llegar al valor de -4 pero también hay que notar que la gráfica se fragmenta, por lo tanto decimos que el Límite **no existe.**
Zak randall

**Zak is a little spinosaurus-like-pig creature who doesn’t really add anything to the plots of the stories and character developments of the Gojiverse...but despite his annoying and parasite-like actions, he is still technically a friend of Goji’s at the very least and a frenemy of Moodix at the most. But when he’s not doing anything annoying, he’s more of a BOAR to be with...get it?...never mind.**

Personality: **Let’s just say he has a Gollum attitude...except a lot more sane, but that ain’t saying much.**

Design: **He has pink/purple skin, hoof-like claws, big Boar-like head with Boar tusks. He also has a nose like a pig and a sail on his back like any other Spinosaurus relative...although he is much more closely related to Wilber from “Charlotte’s Web” but that would be a insult to Wilbur. But he is a Spinopig/Boar all the same.**

Relationships...

**Golden Gojirowan**-(Best Friend...that’s what he thinks and Scratching Post)

**Sabrosa, the Fruit Beast**-(Acquaintance)

**Alec the Kaiju Lord**-(Old School Friend)

**Yeezyfoot**-(Fellow Weirdo)

**Ashley the Sea Leviathan**-(Good acquaintance)

**Moodix the BookWyrm**-(frenemy)

**The Rossmanosaurs**-(Family Friends)

**Rex and his siblings (Cream, Coal and Silver)**-(No relationship with em, they just like to trip him)

**The Doolansuchus**-(Family Friends)
4.9.88(a)

#### Calcular

d

d
z

e

e

z

{\displaystyle {\frac {d}{dz}}e^{e^{z}}}

Usando la regla de la cadena, enunciada como

[

f
(
g
(
x
)
)

]

′

=

f
′

(
g
(
x
)
)
⋅

g
′

(
x
)

{\displaystyle {\Bigl [}f(g(x)){\Bigr ]}'=f'(g(x))\cdot g'(x)}

o

d
f

d
x

=

d
f

d
u

⋅

d
u

d
x

{\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {df}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}}

tenemos que:

d

d
z

e

e

z

=
(

e

e

z

)
′

⋅
(

e

z

)
′

{\displaystyle {\frac {d}{dz}}e^{e^{z}}=(e^{e^{z}})'\cdot (e^{z})'}

Recordando que la derivada de una función exponencial es

(

e
x

)
′

=

e
x

{\displaystyle (e^x)'=e^x}

nos queda como resultado:

=

e

e

z

⋅

e

z

{\displaystyle =e^{e^{z}}\cdot e^{z}}
3.2.49

En un laboratorio biológico se cultivan células. Parte de mantener el cultivo es alimentarlo con suero cada pocos días. La población de las células crece al principio, pero después, si suero fresco no es añadido o si las células no se dividen en más platillos petri para crear más espacio para nuevas células, las células empiezan a morir. El tamaño de la población de células puede ser representado con la función

C
(
t
# )

10

5

10

6

t
−

10

3

t

2

{\displaystyle C(t)=10^{5}+10^{6}t-10^{3}t^{2}}

, donde C el tamaño de la población después de el tiempo, t, en horas.

a. Encontrar una ecuación que da la tasa de crecimiento de la población cuando t es un valor arbitrario.

Δ
f

Δ
t

=

10

5

10

6

(
t
Δ
t
)
−

10

3

(
t
Δ
t

)

2

−
(

10

5

10

6

t
−

10

3

t

2

)

Δ
t

{\displaystyle {\frac {\Delta f}{\Delta t}}={\frac {10^{5}+10^{6}(t+\Delta t)-10^{3}(t+\Delta t)^{2}-(10^{5}+10^{6}t-10^{3}t^{2})}{\Delta t}}}

=

lim

Δ
→
0

10

6

t

10

6

Δ
t
−

10

3

t

2

−

10

3

2
t
Δ
t
−

10

3

Δ

t

2

−

10

6

t

10

3

t

2

{\displaystyle =\lim \_{\Delta \to 0}{\frac {10^{6}t+10^{6}\Delta t-10^{3}t^{2}-10^{3}2t\Delta t-10^{3}\Delta t^{2}-10^{6}t+10^{3}t^{2}}{}}}

=

lim

Δ
→
0

−

10

3

2
t
Δ
t

10

3

Δ

t

2

10

6

Δ
t

Δ
t

{\displaystyle =\lim \_{\Delta \to 0}{\frac {-10^{3}2t\Delta t+10^{3}\Delta t^{2}+10^{6}\Delta t}{\Delta t}}}

=

lim

Δ
t
→
0

Δ
t
[
−

10

3

2
t

10

3

Δ
t

10

6

]

Δ
t

{\displaystyle =\lim \_{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta t[-10^{3}2t+10^{3}\Delta t+10^{6}]}{\Delta t}}}

=

lim

Δ
t
→
0

−

10

3

2
t

10

3

Δ
t

10

6

=

10

6

−
2
∗

10

3

t

{\displaystyle =\lim \_{\Delta t\to 0}-10^{3}2t+10^{3}\Delta t+10^{6}=10^{6}-2\*10^{3}t}

b. ¿A qué tasa crece el cultivo después de 24 horas?

10

6

−

10

3

∗
# 48
952000

b
a
c
t
e
r
i
a
s

/

h
o
r
a

{\displaystyle 10^{6}-10^{3}\*48=952000\;bacterias/hora}

c. ¿A qué tasa crece el cultivo después de una semana?

10

6

−

10

3

∗
# 168
832000

b
a
c
t
e
r
i
a
s

/

h
o
r
a

{\displaystyle 10^{6}-10^{3}\*168=832000\;bacterias/hora}

d. ¿Cuántas horas se pueden dejar las células sin cuidados hasta que la población empece a encogerse?

500 horas
4.2.63(c)

Primero obtenemos:

h
′

(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
≈

lim

△
x
→
0

△
h

△
x

{\displaystyle h'(f(x)+g(x))\approx \lim \_{\vartriangle x\to 0}{\frac {\vartriangle h}{\vartriangle x}}}

h
′

(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
≈

lim

△
x
→
0

(
x
△
x
)
(
x
△
x
)
−
(
x
x
)

△
x

{\displaystyle h'(f(x)+g(x))\approx \lim \_{\vartriangle x\to 0}{\frac {(x+\vartriangle x)+(x+\vartriangle x)-(x+x)}{\vartriangle x}}}

h
′

(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
≈

lim

△
x
→
0

x
△
x
x
△
x
−
x
−
x

△
x

{\displaystyle h'(f(x)+g(x))\approx \lim \_{\vartriangle x\to 0}{\frac {x+\vartriangle x+x+\vartriangle x-x-x}{\vartriangle x}}}

h
′

(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
≈

lim

△
x
→
0

2
△
x

△
x

{\displaystyle h'(f(x)+g(x))\approx \lim \_{\vartriangle x\to 0}{\frac {2\vartriangle x}{\vartriangle x}}}

h
′

(
f
(
x
)
g
(
x
)
# )
2

{\displaystyle h'(f(x)+g(x))=2}

Despues para comprobar que se cumple la propiedad vamos a obtener

f
′

(
x
)

{\displaystyle f'(x)}

:

f
′

(
x
)
≈

lim

△
x
→
0

△
f

△
x

{\displaystyle f'(x)\approx \lim \_{\vartriangle x\to 0}{\frac {\vartriangle f}{\vartriangle x}}}

f
′

(
x
)
≈

lim

△
x
→
0

x
△
x
−
x

△
x

{\displaystyle f'(x)\approx \lim \_{\vartriangle x\to 0}{\frac {x+\vartriangle x-x}{\vartriangle x}}}

f
′

(
x
)
≈

lim

△
x
→
0

△
x

△
x

{\displaystyle f'(x)\approx \lim \_{\vartriangle x\to 0}{\frac {\vartriangle x}{\vartriangle x}}}

f
′

(
x
# )
1

{\displaystyle f'(x) = 1}

Despues

g
′

(
x
)

{\displaystyle g'(x)}

g
′

(
x
)
≈

lim

△
x
→
0

△
g

△
x

{\displaystyle g'(x)\approx \lim \_{\vartriangle x\to 0}{\frac {\vartriangle g}{\vartriangle x}}}

g
′

(
x
)
≈

lim

△
x
→
0

x
△
x
−
x

△
x

{\displaystyle g'(x)\approx \lim \_{\vartriangle x\to 0}{\frac {x+\vartriangle x-x}{\vartriangle x}}}

g
′

(
x
)
≈

lim

△
x
→
0

△
x

△
x

{\displaystyle g'(x)\approx \lim \_{\vartriangle x\to 0}{\frac {\vartriangle x}{\vartriangle x}}}

g
′

(
x
# )
1

{\displaystyle g'(x) = 1 }

y por ultimo los sumamos:

f
′

(
x
)

g
′

(
x
# )
2

{\displaystyle f'(x)+g'(x)=2}
The man archives

evan pins random shit, unfortunately you can only have 50 pins in a channel, so every time the pins max out the old channel gets put in the **man archives,** and a new channel for the same purpose is made

## man throw up

meaning behind the name:

this

## la poop pee eye

meaning behind the name: --

rat jammin

gaming fungus

gameing

shark sex

the green revolution
4.1.62(c)

Calcula el siguiente límite (argumente)

primero tendremos que evaluarlos limites tanto del denominador como del numerador.

l
i

m

x
→
1

x
2

−
1

{\displaystyle lim\_{x\to 1} x^2-1}

l
i

m

x
→
0

x
−
1

{\displaystyle lim\_{x\to 0} x-1}

Entonces quedaría tal que así:

l
i

m

x
→
1

1
2

−
# 1
0

{\displaystyle lim\_{x\to 1} 1^2-1 = 0}

l
i

m

x
→
0

1
−
# 1
0

{\displaystyle lim\_{x\to 0} 1-1 = 0}

Entonces lo que conseguimos es una indeterminación, así que vamos a factorizar la expresión:

l
i

m

x
→
0

(

(
x
−
1
)
∗
(
x
1
)

x
−
1

)

{\displaystyle
 lim\_{x\to 0} (\frac{(x-1)\* (x+1)}{x-1})
}

A simplificar la fracción obtenemos:

l
i

m

x
→
0

x
# 1
1
# 1
2

{\displaystyle lim\_{x\to 0} x+1 = 1+1 =2}

Y al graficarlo quedaría así:
2.1.25 (D)

A un tanque de agua le caben 10,000 Litros.

* **i) Pero en éste momento solo tiene la mitad de agua, porque tiene una fuga en el fondo**

A
(
t
# )

{\displaystyle A(t) = }

Cantidad de Agua al momento 't'

A
(
0
# )
5
,
000

{\displaystyle A(0) = 5,000}

Litros de Agua al momento actual

(
# t
0
)

{\displaystyle (t = 0)}

* **ii) Ya que el tanque es cilíndrico, se sabe que el volumen contenido en él es proporcional a la altura del agua**

*Se habla de proporcionalidad, así que hay una operación de multiplicación de una variable por una constante de proporcionalidad:*

A(t) = Cantidad de Agua en el momento 't'

Volumen de Agua en el momento 't'

Altura del agua en el momento 't'(variable) \* k , siendo k la representación del área de la base del cilindro(constante)

* **iii) Un hecho conocido es que la velocidad con que se fuga el agua es proporcional a la raíz cuadrada de la altura del agua en el tanque.**

*Se habla de proporcionalidad, así que hay una operación de multiplicación de una variable por una constante de proporcionalidad:*

>
>
>
>
>
> A
> ′
>
> (
> t
> )
> ≤
> 0
>
>
> {\displaystyle A'(t) \leq 0}
>
>  representaría: El cambio del volumen del Agua al momento 't'.
>
>

Que al reinterpretarlo al tomar en cuenta el signo de desigualdad "menor o igual", se convierte en: *"Agua perdida en el momento 't' ".*

>
>
>
>
>
> A
> ′
>
> (
> t
> )
> =
> (
> √
> A
> l
> t
> u
> r
> a
> )
> ×
> n
> =
> n
> √
> A
> l
> t
> u
> r
> a
>
>
> {\displaystyle A'(t) = (\surd Altura) \times n = n\surd Altura}
>
> , siendo **n** la constante de proporcionalidad.
>
>

Como conozco que el resultado de una raíz cuadrada solo puede ser mayor o igual a 0 (por solo poder procesar valores mayores o iguales a 0), y que la altura es de valor positivo. Es seguro asumir que 'n' sea una constante negativa.

Como me termina apareciendo una función que aparenta ser *recursiva* (pues la velocidad de fuga del agua en el momento 't' depende de la altura del agua en 't', que depende a su vez de la cantidad total de agua que se ha fugado) dejo en éste estado la ecuación.
3.2.46

(a) La velocidad se calcula en base a la distancia en función del tiempo, la función que nos dieron sirve para calcular donde se encuentra el birrete sustituyendo t (tiempo), para conseguir la velocidad necesitamos realizar la primera derivada.

f
(
t
# )
30
t
−
16

t

2

5

{\displaystyle f(t)=30t-16t^{2}+5}

f
′

(
t
)
≈

30
(
t
△
t
)
−
16
(
t
△
t

)

2

5
−
(
30
t
−
16

t

2

5
)

△
t

{\displaystyle f'(t)\approx {30(t+\vartriangle t)-16(t+\vartriangle t)^{2}+5-(30t-16t^{2}+5) \over \vartriangle t}}

f
′

(
t
)
≈

30
(
t
△
t
)
−
16
(

t

2

2
t
△
t
(
△
t

)

2

)
5
−
(
30
t
−
16

t

2

5
)

△
t

{\displaystyle f'(t)\approx {30(t+\vartriangle t)-16(t^{2}+2t\vartriangle t+(\vartriangle t)^{2})+5-(30t-16t^{2}+5) \over \vartriangle t}}

f
′

(
t
)
≈

30
t
30
△
t
−
16

t

2

−
32
t
△
t
−
16
(
△
t

)

2

5
−
30
t
16

t

2

−
5
)

△
t

{\displaystyle f'(t)\approx {30t+30\vartriangle t-16t^{2}-32t\vartriangle t-16(\vartriangle t)^{2}+5-30t+16t^{2}-5) \over \vartriangle t}}

f
′

(
t
)
≈

30
△
t
−
32
t
△
t
−
16
(
△
t

)

2

△
t

{\displaystyle f'(t)\approx {30\vartriangle t-32t\vartriangle t-16(\vartriangle t)^{2} \over \vartriangle t}}

f
′

(
t
)
≈
30
−
32
t
−
16
△
t

{\displaystyle f'(t)\approx 30-32t-16\vartriangle t}

f
′

(
t
# )
30
−
32
t

{\displaystyle f'(t)=30-32t}

Con esto tenemos la velocidad en funcion del tiempo y dandole un valor a t obtendremos su velocidad en dicho momento.

(b) La aceleracion se calcula en base a la velocidad en funcion del tiempo, ahora que tenemos la primera derivada, volvemos a derivar para obtener una nueva funcion

f
′

(
t
# )
30
−
32
t

{\displaystyle f'(t)=30-32t}

f
″

(
t
)
≈

30
−
32
(
t
△
t
)
−
(
30
−
32
t
)

△
t

{\displaystyle f''(t)\approx {30-32(t+\vartriangle t)-(30-32t) \over \vartriangle t}}

f
″

(
t
)
≈

30
−
32
t
−
32
△
t
−
30
32
t

△
t

{\displaystyle f''(t)\approx {30-32t-32\vartriangle t-30+32t \over \vartriangle t}}

f
″

(
t
)
≈

−
32
△
t

△
t

{\displaystyle f''(t)\approx {-32\vartriangle t \over \vartriangle t}}

f
″

(
t
# )
−
32

{\displaystyle f''(t)=-32}

(c) Para obtener la velocidad al segundo 2, sustituimos en nuestra función de velocidad el tiempo.

f
′

(
2
# )
30
−
32
(
2
)

{\displaystyle f'(2)=30-32(2)}

f
′

(
2
# )
−
34

{\displaystyle f'(2)=-34}

(d) Para obtener la aceleracion al segundo 2 usamos nuestra funcion de aceleracion ya obtenida

f
″

(
2
# )
−
32

{\displaystyle f''(2)=-32}
2.2.33

Dada la gráfica de f, haga un bosquejo de f'

Lo primero que se tendría que hacer seria identificar los máximos y los mínimos de la grafica de la función, en este caso quedarían en el 0 y el 8 del eje de las x, en estos puntos serian donde la derivada cruzara por el eje de las x, ahora solamente seria el saber en donde aumenta y disminuye la gráfica. en este caso aumentaría del 0 al 4, de ahí disminuiría del 4 al 8, pero en este caso quedaría en un pico en el 4.

Esto después de tomar los puntos mas importantes de la gráfica, y a partir de esos puntos se puede llegar a hacer una aproximación de como sería la derivada de la grafica

Así que algo así quedaría la derivada de la gráfica
6.6.99(d)

Bosqueje un segmento de la gráfica de una función f(x) (al rededor de a) si se sabe que en el punto a cumple:a < 0, f(a) < 0, f'(a)<0 y f''(a) < 0

Primero, como la variable independiente debe ser negativa, conozco que la gráfica de la función debe estar en el cuadrante Segundo o Tercero.

Como la función de la variable independiente 'a' debe ser negativo, sé que debe estar en el Tercer cuadrante.

La primera derivada de la función es negativa, con lo que sé que conforme aumenta el valor de la variable independiente, la función reduce cada vez más su valor.

La segunda derivada de la función también es negativa, con lo que sé que conforme la derivada va bajando, se vuelve cada vez más pronunciada su 'inclinación' (haciendo la analogía con una linea recta).

La función que encontré que hace todo ello, es la función

f
(
a
# )

1
a

{\displaystyle f(a)=\frac{1}{a} }
1.1.2

Dibuje unas líneas que pasen por el (0, 0) con pendientes, 1, 0, 1/2, 2, -1, -1/3.

Para poder dibujar las líneas se puso en la grafica el punto (0,0) y después nos fijamos que si buscábamos el punto en y cuando x valía 1 entonces solamente teníamos que buscar en y el punto que se pedía, es decir para 1 en el caso del 1, 0 en el caso del 0, 1/2 en el caso de un medio y así sucesivamente.
3.2.40 (a)

Aproxime (numéricamente) por medio jede medio jede

△
f

△
t

{\displaystyle {\frac {\triangle f}{\triangle t}}}

 las siguientes derivadas

f
′

(
t
)

{\displaystyle f'(t)}

 en el punto dado y con el ∆t

f
(
t
# )
7
t
−

t

2

,
# t
4
,
△
# t
−
0.01

{\displaystyle f(t)=7t-t^{2},t=4,\triangle t=-0.01}

 (recuerde que tambíen podia aproximar “regresando en el tiempo”)

f
′

(
t
)
≈

f
(
t
Δ
t
)
−
f
(
t
)

Δ
(
t
)

{\displaystyle f'(t)\approx {\frac {f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta (t)}}}

f
′

(
4
)
≈

f
(
4
−
0.01
)
−
f
(
4
)

−
0.01

{\displaystyle f'(4)\approx {\frac {f(4-0.01)-f(4)}{-0.01}}}

f
′

(
4
)
≈

12.0099
−
12

−
0.01

{\displaystyle f'(4)\approx {\frac {12.0099-12}{-0.01}}}

f
′

(
4
)
≈

0.0099

−
0.01

{\displaystyle f'(4)\approx {\frac {0.0099}{-0.01}}}

f
′

(
4
)
≈
−
0.099

{\displaystyle f'(4)\approx -0.099}
Capsquid

cap is blonde and really thats all i know about him

fuck you

## Other names

* captainsquidtastic
* capernicus squidtastic
* cap
* captainsquid

## fun facts

* 7 siblings fuck you
* man of faith
* lives on da lake
* knows how 2 boat driving 😂
* married to evan
* im 15 now bitches
* avatar of da fog

## caps background noise

for some reason cap is always sitting right next to his 7 siblings, all singing and playing videogames and commenting on said videogames, sometimes his dad enters, sometimes he has to go and come back, sometimes hes discussing dinner plans. Related: evans mic, maiyos singing
1.3.18

Encuentre el dominio de la función

g
(
x
# )

√
(
2
x
)

3
−
x

{\displaystyle g(x)={\frac {\surd (2+x)}{3-x}}}

g
(
x
# )

√
(
2
x
)

3
−
x

⇒
(
0
≤
2
x
)
∧
(
3
−
x
≠
0
)
⇒
(
−
2
≤
x
)
∧
(
3
≠
x
)

{\displaystyle g(x)={\frac {\surd (2+x)}{3-x}}\Rightarrow (0\leq 2+x)\land (3-x\neq 0)\Rightarrow (-2\leq x)\land (3\neq x)}

⇒
D
o
m
(
g
# )
[
−
2
,
∞
)
∖
3

{\displaystyle \Rightarrow Dom(g)=[-2,\infty )\setminus 3}
1.3.24

Tres corredores compiten en una carrera de 100 metros. La gráfica demuestra la distancia recorrida como una función del tiempo para cada corredor. Describe con palabras lo que la gráfica nos dice de la carrera.

¿Quién ganó?

Como se ve en la gráfica todos los corredores terminaron la carrera, pero lo hicieron en diferentes tiempos. El corredor A llegó primero dado que recorrió los 100 metros en el menor tiempo como se indica en la gráfica.

¿Todos los corredores terminaron la carrera?

Sí (todos recorrieron los 100 metros)

¿Qué crees que le pasó al corredor B?

Se paró por unos instantes (quizá se cansó o tropezó) y después siguió corriendo
4.10.92(a)

Explicación en video:https://youtu.be/64zOugqRu8E

Resuelva:

∫

1

x
2

d
x

{\displaystyle \int {\frac {1}{x+2}}dx}

Primero lo que haremos será sustituir el denominador.

∫

1
t

d
t

{\displaystyle \int {\frac {1}{t}}dt}

Aplicamos la siguiente formula para que quede resuelta la integral.

I
n
(

t

)

{\displaystyle In(|t|)}

Devolvemos a los valores sustituidos anteriormente.

I
n
(

x
2

)

{\displaystyle In(|x+2|)}

}

Agregamos la constante de integración.

I
n
(

x
2

)
C
,
C
∈
R

{\displaystyle In(|x+2|)+C,C\in R}
3.3.52

Construye una linea tangente a la derivada de la función en un punto dado.

f
(
t
# )
2
t
1
,
# t
2

{\displaystyle f(t)=2t+1,t=2}

# y

f
′

(
t
)
(
x
−
t
)
f
(
t
)

{\displaystyle y=f'(t)(x-t)+f(t)}

=
2
(
x
−
t
)
2
t
1

{\displaystyle =2(x-t)+2t+1}

=
2
(
x
−
(
2
)
)
2
(
2
)
1

{\displaystyle =2(x-(2))+2(2)+1}

=
2
(
x
−
2
)
5

{\displaystyle =2(x-2)+5}

=
2
x
1

{\displaystyle =2x+1}

Ahora graficamos y observamos que efectivamente es su tangente.
3.2.36(16)

Esbozar un bosquejo de

f

{\displaystyle f}

 a partir de la gráfica de

f
′

{\displaystyle f'}

f
′

(
0
# )
1

{\displaystyle f'(0)=1}

, donde

1

{\displaystyle 1}

es la pendiente de

f

{\displaystyle f}

f
′

(
2
# )
0

{\displaystyle f'(2)=0}

f
′

(
4
# )
−
1

{\displaystyle f'(4)=-1}

f
′

(
6.2
# )
0

{\displaystyle f'(6.2)=0}

f
′

(
8
# )
1

{\displaystyle f'(8)=1}

Trazamos las rectas tangentes y elegimos nuestra gráfica:
4.4.75

75.-Actulamente el producto interno bruto (PIB) de un país es de 5 billones de dólares (nota: investigue cuánto

es un billón de dólares, hay un lio ahí con los ceros), el cual crece a razón de 1.5% al año. Su población es

actualmente de 20 millones y crece a razón de 3%. ¿Cuál es la razón de cambio del producto interno bruto

per cápita (investigue qué es eso) de ese país?

**1 billón = 1,000,000,000**

**PIB per cápita: Relación entre el valor total de todos los bienes y servicios finales generados durante un año por la economía de una nación o estado y el número de sus habitantes en ese año.**

1.-

f
(

x

2

)
−
f
(

x

1

)

x

2

−

x

1

=

5
b
(
1
t
0.015
)
−
5
b

t
−
0

=

{\displaystyle {f(x\_{2})-f(x\_{1}) \over {x\_{2}-x\_{1}}}={{5b(1+t0.015)-5b} \over {t-0}}=}

5
b
⋅
0.015
⋅
t

t

=

(
75
m
m
)
t

t

=
75
,
000
,
000

{\displaystyle {{5b\cdot 0.015\cdot t} \over {t}}={(75mm)t \over {t}}=75,000,000}

2.-

f
(

x

2

)
−
f
(

x

1

)

x

2

−

x

1

=

20
m
(
1
t
0.03
)
−
20
m

t
−
0

=

{\displaystyle {f(x\_{2})-f(x\_{1}) \over {x\_{2}-x\_{1}}}={{20m(1+t0.03)-20m} \over {t-0}}=}

20
m
⋅
0.03
⋅
t

t

=

(
600
,
000
)
t

t

=
600
,
000

{\displaystyle {{20m\cdot 0.03\cdot t} \over {t}}={(600,000)t \over {t}}=600,000}

(

P
I
B

P
o
b
l
a
c
i
o
n

)
′

=

(
P
I
B

)
′

(
P
o
b
)
−
(
P
I
B
)
(
P
o
b

)
′

P
o

b

2

{\displaystyle ({PIB \over Poblacion})'={(PIB)'(Pob)-(PIB)(Pob)' \over Pob^{2}}}

(
75
,
000
,
000
)
(
20
,
000
,
000
)
−
(
5
,
000
,
000
,
000
)
(
600
,
000
)

20
,
000
,

000

2

=
−
3.75

{\displaystyle {(75,000,000)(20,000,000)-(5,000,000,000)(600,000) \over 20,000,000^{2}}=-3.75}
3.2.37(7)

Esbozar un bosquejo de

f

{\displaystyle f}

 a partir de la gráfica de

f
′

{\displaystyle f'}

f
′

(
0
# )
2

{\displaystyle f'(0)=2}

f
′

(
2
# )
1

{\displaystyle f'(2)=1}

f
′

(
4
# )
0

{\displaystyle f'(4)=0}

f
′

(
6
# )
1

{\displaystyle f'(6)=1}

f
′

(
8
# )
2

{\displaystyle f'(8)=2}

Algo así quedaría la gráfica de la función original, tomando en cuenta los puntos dados anteriormente y sacando la pendiente de la gráfica
4.10.92(b)

Integrar

∫

2
x

x

2

−
3

d
x

{\displaystyle \int {\frac {2x}{x^{2}-3}}dx}

Simplificamos la expresión:

Sacamos la constante de la integral

∫

2
x

x

2

−
3

d
# x
2
∫

x

x

2

−
3

d
x

{\displaystyle \int {\frac {2x}{x^{2}-3}}dx=2\int {\frac {x}{x^{2}-3}}dx}

Aplicamos el teorema del cambio de variable donde

# u

x

2

−
3

{\displaystyle u=x^{2}-3}

, y derivamos la nueva variable para simplificar la expresión original, entonces tenemos:

u
′

=
2
x

{\displaystyle u'=2x}

De esta manera podemos aplicar un poco de álgebra para que podamos sustituir (y cambiar la variable) del diferencial, quedando así:

d
u

d
x

=
2
x

{\displaystyle {\frac {du}{dx}}=2x}

(Notación de Leibniz)

d
# u
(
2
x
)
d
x

{\displaystyle du=(2x)dx}

Como queremos el cambio de variable, necesitamos despejar

d
x

{\displaystyle dx}

 para posteriormente poder sustituirla en la antiderivada, simplemente dividimos entre

2
x

{\displaystyle 2x}

quedándonos

d
u

2
x

=

(
2
x
)
d
x

2
x

=
d
x

{\displaystyle {\frac {du}{2x}}={\frac {(2x)dx}{2x}}=dx}

.

Ahora sólo sustituimos en la expresión original y tenemos:

2
∫

x

x

2

−
3

d
# x
2
∫

x
u

⋅

d
u

2
x

{\displaystyle 2\int {\frac {x}{x^{2}-3}}dx=2\int {\frac {x}{u}}\cdot {\frac {du}{2x}}}

Volvemos a sacar la constante de la integral:

=
2
⋅

1
2

(

∫

x
d
u

u
x

)

=
2
⋅

1
2

(

∫

d
u

u

)

{\displaystyle =2\cdot {\frac {1}{2}}{\Bigl (}\int {\frac {xdu}{ux}}{\Bigl )}=2\cdot {\frac {1}{2}}{\Bigl (}\int {\frac {du}{u}}{\Bigl )}}

=
2
⋅

1
2

(

∫

1
u

d
u

)

{\displaystyle =2\cdot {\frac {1}{2}}{\Bigl (}\int {\frac {1}{u}}du{\Bigl )}}

Simplificamos

=

2
1

⋅

1
2

(

∫

1
u

d
u

)

=
1

(

∫

1
u

d
u

)

{\displaystyle ={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {1}{2}}{\Bigl (}\int {\frac {1}{u}}du{\Bigl )}=1{\Bigl (}\int {\frac {1}{u}}du{\Bigl )}}

Recordemos que

∫

1
x

d
# x
ln
⁡

x

C

{\displaystyle \int {\frac {1}{x}}dx=\ln |x|+C}

tenemos que

=
∫

1
u

d
# u
ln
⁡

u

C

{\displaystyle =\int {\frac {1}{u}}du=\ln |u|+C}

Como cambiamos la variable, sólo sustituimos y nos queda:

ln
⁡

x

2

−
3

C

{\displaystyle \ln |x^{2}-3|+C}

.