Глава 4. Пространство-время.

В предыдущей главе мы показали, что Эрмитовы матрицы можно отобразить как вектора четырехмерного псевдоэвклидова пространства, у которого одна ось координат является вещественной, а остальные три - мнимыми. Теперь рассмотрим эти вектора подробнее.

Из теории вероятности известно, что вероятность является вещественной величиной и может принимать значения от нуля до единицы. В нашем случае, вероятность равна определителю матрицы события и требование вещественности мы уже учли, когда выбрали для рассмотрения только Эрмитовы матрицы. Теперь учтем тот факт, что вероятность должна быть больше нуля. Для комплексного вектора это означает, что квадрат вещественной компоненты должен быть больше суммы квадратов мнимых компонент.

P
(
A
# )

A
→

>
0
⇒

a
0
2

>

a
1
2

a
2
2

a
3
2

>
0

4.1.

{\displaystyle P(A)=|\overrightarrow{A}|>0 \Rightarrow a\_0^2>a\_1^2+a\_2^2+a\_3^2>0 \qquad\qquad\qquad\qquad4.1.}

На рисунке 4.1. изображено двумерное комплексное пространство, в котором вертикальная ось является вещественной, а по горизонтальной оси откладывается модуль комплексной части. Такое упрощение четырехмерного пространства удобно для отображения на бумаге.

Если модуль вектора должен быть больше нуля, то на нашем рисунке разрешенная область будет располагаться в верхнем и нижнем конусах, которые расходятся из начала координат под углом сорок пять градусов. В теории относительности данные области пространства называются световым конусом и также являются разрешенными областями для событий.

Теперь нужно еще учесть, что вероятность не может быть больше единицы и это добавит дополнительное ограничение на область разрешенных значений. На нашем рисунке, ограничение сверху означает, что вектора событий должны располагаться ниже гиперболы единичного радиуса.

Объединив оба ограничения мы получим область разрешенных значений для векторов событий, которая изображена на рисунке закрашенными частями.

Получается, что в комплексном пространстве существует некоторая область, точки которой описывают события с положительной вероятностью, не превышающей единицу. В дальнейшем будем называть эту область**пространством событий**.

Если сравнить  данную картинку со световым конусом теории относительности, то видна разница в области возможных значений. При уменьшении масштаба, наше пространство событий является только поверхностью светового конуса, и не включает его внутреннюю область. Кроме того, если проводить аналогии с пространством-временем, то у нас получается обратная картина. Чем ближе событие находится к началу отсчета, тем меньше его вероятность и наоборот. В реальности, как правило, все происходит по другому и ближние события имеют более высокую вероятность.

Такие размышления наводят на мысль, что нам нужно перейти к обратным величинам, чтоб оказаться в привычном пространстве. Такой переход можно осуществить, перейдя к рассмотрению **обратных матриц событий**.

S
R

=

A

−
1

4.2.

{\displaystyle S\_R=A^{-1}\qquad\qquad\qquad\qquad 4.2.}

S
R

=

1

A

−
1

{\displaystyle |S\_R|=\frac{1}{A^{-1}}}

Вероятность события А можно вычислить через определитель обратной матрицы по следующему закону:

P
(
A
# )

A

=

S
R

−
1

=

1

S
R

−
1

4.3.

Теперь рассмотрим область разрешенных значений для обратных матриц. Из выражения 4.3. вытекает, что диапазон вероятности от нуля до единицы будет соответствовать диапазону обратных векторов от единицы до бесконечности. Данная область изображена на рисунке 4.2. и лежит внутри гиперболы единичного радиуса.При уменьшении масштаба такая картинка будет выглядеть очень похожей на световой конус у которого вырезали маленький кусочек в центральной части.(Рисунок 4.3)

Подводя итог наших рассуждений, можно сказать, что введенные нами элементарные события можно отобразить точками в пространстве Минковского, которые лежат внутри светового конуса. Это означает, что события описываемые матрицами вероятности полностью совпадают с понятиями событий в Специальной теории относительности. Кроме того, для построения данной картины, нам не пришлось вводить дополнительных постулатов в виде ограничения скорости света, а достаточно было воспользоваться математическим определением понятия вероятности.
Такие результаты являются очень большим достижением в построении фундаментальной физической теории и если они у нас получились в самом начале, то это означает что мы движемся в правильном направлении.