מספרים מרוכבים

**מספרים מרוכבים** הם מספרים המורכבים מסכום של מספר ממשי ומספר מדומה, כלומר, מספרים מהצורה

a
i
b

{\displaystyle a+ib}

 כאשר a,b ממשיים ו-i הוא היחידה המרוכבת המקיימת

i
2

=
−
1

{\displaystyle \ i^2=-1}

.

## הקדמה

יכול להיות שהמשוואה

i
2

=
−
1

{\displaystyle \ i^2=-1}

 נראית במבט ראשון קצת מוזר, וכי אין מספר i שמקיים אותה. אבל אין שום סיבה שיהיה אסור לנו להגדיר i כזה. הדבר דומה לכך שבכיתה ב', למשוואה

4
# x
7

{\displaystyle 4x=7}

 לא היה פתרון, עד שבכיתה ד' הוצג סוג חדש של מספרים הנקרא "שברים", ולאחר מכן, בכיתה ז' הוצגו מספרים שפותרים את המשוואה

x
# 5
3

{\displaystyle x+5=3}

, שלפני כן לא היה לה פתרון. המספרים המרוכבים הם בסך הכל עוד הרחבה למערכת המספרים שלנו.

## פעולות מתמטיות עם מספרים מרוכבים

פעולות החשבון על מספרים מרוכבים מוגדרות בצורה האינטואיטיבית ביותר המתאימה לחוקי האלגברה הרגילים שאנו מכירים:

### חיבור

חיבור של שני מספרים מרוכבים נראה כך:

(
a
i
b
)
(
c
i
d
# )
a
i
b
c
i
# d
(
a
c
)
i
(
b
d
)

{\displaystyle (a+ib) + (c+id) = a + ib + c + id = (a+c) + i(b+d)}

לדוגמא:

(
5
2
i
)
(
7
−
4
i
# )
(
5
7
)
(
2
−
4
)
# i
12
−
2
i

{\displaystyle (5+2i) + (7-4i) = (5+7) + (2-4)i = 12-2i}

### חיסור

בצורה דומה, חיסור מתנהג כך:

(
a
i
b
)
−
(
c
i
d
# )
a
i
b
−
c
−
i
# d
(
a
−
c
)
i
(
b
−
d
)

{\displaystyle (a+ib) - (c+id) = a + ib - c - id = (a-c) + i(b-d)}

לדוגמא:

(
6
−
2
i
)
−
(
1
8
i
# )
(
6
−
1
)
(
−
2
−
8
)
# i
5
−
10
i

{\displaystyle (6-2i) - (1+8i) = (6-1) + (-2-8)i = 5-10i}

### כפל

הכפלה של שני מספרים מרוכבים מתבצעת ע"י פתיחת סוגריים רגילה (ושימוש בהגדרה -

i
2

=
−
1

{\displaystyle \ i^2=-1}

):

(
a
i
b
)
(
c
i
d
# )
a
c
i
b
c
i
a
d

i
2

b
# d
(
a
c
−
b
d
)
i
(
b
c
a
d
)

{\displaystyle (a+ib)(c+id) = ac + ibc + iad + i^2 bd = (ac-bd) + i(bc+ad)}

לדוגמא:

(
3
4
i
)
(
−
1
5
i
# )
−
3
−
4
i
15
i
−
# 20
−
23
11
i

{\displaystyle (3+4i)(-1+5i) =-3+-4i+15i-20 = -23+11i}

### צמוד מרוכב

צמוד מרוכב היא פעולה חדשה שאין לה משמעות עבור מספרים ממשיים. הצמוד המרוכב של

z

{\displaystyle z}

מסומן

z
¯

{\displaystyle \overline{z}}

, והוא מוגדר כך:

a
b
i

¯

=
a
−
b
i

{\displaystyle \overline{a+bi} = a-bi }

תכונה חשובה של הצמוד הוא שלכל

z

{\displaystyle z}

 מרוכב, המספרים

z

z
¯

{\displaystyle z + \overline{z} }

 ו

z
⋅

z
¯

{\displaystyle z \cdot \overline{z} }

 הם ממשיים

לדוגמא:

2
3
i

¯

=
2
−
3
i

{\displaystyle \overline{2+3i} = 2-3i }

(
2
3
i
)

(
2
3
i
)

¯

=
(
2
3
i
)
(
2
−
3
i
# )
4
6
i
−
6
i
−
9

i
2

=
4
# 9
13

{\displaystyle (2+3i)\overline{(2+3i)}=(2+3i)(2-3i)=4+6i-6i-9i^2=4+9=13 }

(
2
3
i
)

(
2
3
i
)

¯

=
(
2
3
i
)
(
2
−
3
i
# )
4

{\displaystyle (2+3i)+\overline{(2+3i)}=(2+3i)+(2-3i)=4 }

### חילוק

חלוקת מספרים מרוכבים מתבצעת על ידי טכניקה הנקראת כפל בצמוד:

a
b
i

c
d
i

=

(
a
b
i
)
(
c
−
d
i
)

(
c
d
i
)
(
c
−
d
i
)

=

(
a
c
b
d
)
(
b
c
−
a
d
)
i

c

2

d

2

=

a
c
b
d

c

2

d

2

b
c
−
a
d

c

2

d

2

i

{\displaystyle \frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^{2}+d^{2}}=\frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}}+\frac{bc-ad}{c^{2}+d^{2}}i }

לדוגמא:

1
3
i

3
4
i

=

(
1
3
i
)
(
3
−
4
i
)

(
3
4
i
)
(
3
−
4
i
)

=

(
3
12
)
(
9
−
4
)
i

3

2

4

2

=

15
25

5
25

# i

3
5

1
5

i

{\displaystyle \frac{1+3i}{3+4i}=\frac{(1+3i)(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)}=\frac{(3+12)+(9-4)i}{3^{2}+4^{2}}=\frac{15}{25}+\frac{5}{25}i=\frac{3}{5}+\frac{1}{5}i }

## מספרים מרוכבים כוקטורים במישור

דרך נוחה להסתכל על מספרים מרוכבים היא כוקטורים במישור עם קואורדינטות המייצגות את החלק הממשי והחלק המדומה של המספר בהתאמה. החלקים האלו מסומנים לרוב ע"י:

R
e
(
a
i
b
# )
a
,

I
m
(
a
i
b
# )
b

{\displaystyle Re(a+ib) = a, \qquad Im(a+ib) = b }

בהצגה זו, חיבור וחיסור מספרים מרוכבים שקול לחיבור וחיסור הוקטורים המתאימים להם. הצגה זו גם מובילה באופן טבעי להצגה נוספת של מספרים מרוכבים: במקום לפרק אותם לחלק ממשי וחלק מדומה, ניתן להציג מספר מדומה בעזרת הגודל שלו והזווית שהוא יוצר עם הציר הממשי (הארגומנט של המספר המרוכב):

a
i
b

=

a
2

b
2

,

a
r
g
(
a
i
b
# )
t
a

n

−
1

(

b
a

)

{

0

a
>
0

π

a
<
0

{\displaystyle |a+ib| = \sqrt{a^2+b^2}, \qquad arg(a+ib) = tan^{-1}(\frac{b}{a})+\begin{cases}
0 & a>0\\
\pi & a<0
\end{cases}
 }

## נוסחת אוילר והמשמעות הגיאומטרית של כפל וחילוק

### חזקה

חזקה היא הפעולה היחידה עבורה אין לנו אינטואיציה כלל, ולרוב היא אינה שימושית בפיזיקה פרט למקרה אחד: חזקות של

e

{\displaystyle e}

, והן מוגדרות כך:

e

a
b
i

=

e

a

(

cos
⁡
(
b
)
i
⋅
s
i
n
(
b
)

)

{\displaystyle e^{a+bi}=e^{a}\left(\cos(b)+i\cdot sin(b)\right) }

כאשר

cos
⁡
(
b
)

{\displaystyle \cos(b) }

 ו

sin
⁡
(
b
)

{\displaystyle \sin(b) }

 מחושבים ברדיאנים

לדוגמא:

e

1
π
i

=

e

1

(

cos
⁡
(
π
)
i
⋅
s
i
n
(
π
)

)

=
e
(
−
1
0
i
# )
−
e

{\displaystyle e^{1+\pi i}=e^{1}\left(\cos(\pi)+i\cdot sin(\pi)\right)=e(-1+0i)=-e }

e

π
2

i

=

e

0

(

cos
⁡
(

π
2

)
i
⋅
s
i
n
(

π
2

)

)

=
0
1
# i
i

{\displaystyle e^{\frac{\pi}{2}i}=e^{0}\left(\cos(\frac{\pi}{2})+i\cdot sin(\frac{\pi}{2})\right)=0+1i=i }

### תצוגה פולרית

לפיכך כל מספר מרוכב

a
b
i

{\displaystyle a+bi}

 ניתן לייצוג בתצוגה פולרית (מרחק וזווית) כך:

r
⋅

e

θ
i

{\displaystyle r \cdot e^{\theta i} }

כאשר

r
cos
⁡
(
θ
# )
a

{\displaystyle r \cos(\theta) = a }

r
sin
⁡
(
θ
# )
b

{\displaystyle r \sin(\theta) = b }

לכן יראו במישור גאוס כוקטור באורך

r

{\displaystyle r}

 ובזווית

θ

{\displaystyle \theta}

 מציר ה-

x

{\displaystyle x}

### משמעות גיאומטרית של כפל וחילוק

נסתכל על שני מספרים מרוכבם

z
1

=

r
1

⋅

e

θ
1

i

{\displaystyle z\_1 = r\_1 \cdot e^{\theta \_1 i} }

 ו

z
2

=

r
2

⋅

e

θ
2

i

{\displaystyle z\_2 = r\_2 \cdot e^{\theta \_2 i} }

אזי

z

1

z

2

=

r

1

e

θ

1

i

r

2

e

θ

2

i

=
(

r

1

r

2

)

e

(

θ

1

θ

2

)
i

{\displaystyle z\_{1}z\_{2}=r\_{1}e^{\theta\_{1}i}r\_{2}e^{\theta\_{2}i}=(r\_{1}r\_{2})e^{(\theta\_{1}+\theta\_{2})i} }

z

1

z

2

=

r

1

e

θ

1

i

r

2

e

θ

2

i

=
(

r

1

r

2

)

e

(

θ

1

−

θ

2

)
i

{\displaystyle \frac{z\_{1}}{z\_{2}}=\frac{r\_{1}e^{\theta\_{1}i}}{r\_{2}e^{\theta\_{2}i}}=(\frac{r\_{1}}{r\_{2}})e^{(\theta\_{1}-\theta\_{2})i} }

כלומר בכפל מרוכבים מכפלת האורכים היא אורך המכפלה וסכום הזוויות הוא זווית הסכום, בדומה לכפל בחילוק מרוכבים מנת האורכים היא אורך המנה והפרש הזוויות הוא זווית המנה.