Cálculo infinitesimal

Nota: Próximamente nuevas ediciones.

### Introducción

A continuación se muestra una nueva notación creada por Jorge Chaves Román ((o también Jorge Ch. (apodo)) el creador de la Supramegapedia).

Se estudiará y analizará la estandarización y la formalización de dicha notación, que es una extensión de la actual. En concreto, se estudiará el conjunto de los números reales, los surreales y los hiperreales, aparte de los conjuntos de los finitos, infinito-infinitesimales y trans-infinito-trans-infinitesimales.

### Conceptos básicos

#### Notación

Sistema de signos y símbolos para la representación de conceptos, que permiten crear una estructuración de la información.

#### Dos notaciones distintas/diferentes/alternativas

Dos sistemas alternativos de signos y símbolos para la representación de un mismo concepto, que permiten crear una estructuración de la información.

### Cuerpo del estudio

#### Parte 1

Nota importante: Debido a la representación en procesadores de texto y debido a la codificación de texto habrá dos variaciones de la misma notación que significa y expresan el mismo concepto.

Sean a, n ∈ N. La expresión

a
⏞

n

{\displaystyle \overbrace{a}^{n}}

 o

n

a
^

{\displaystyle \begin{matrix} n \\ \widehat{a} \end{matrix}}

 representa el número a repetido n veces. Es decir

a
⏞

n

{\displaystyle \overbrace{a}^{n}}

 =

a
a
a
⋯
a

⏟

n

v
e
c
e
s

{\displaystyle \underbrace{ aaa \cdots a }\_{ n\,veces }}

.

Sean a ∈ N, (n ∈ N) o (n ∈ ∞) . La expresión

a
⏞

n

{\displaystyle \overbrace{a}^{n}}

 o

n

a
^

{\displaystyle \begin{matrix} n \\ \widehat{a} \end{matrix}}

 representa el número a repetido n veces. Es decir

a
⏞

n

{\displaystyle \overbrace{a}^{n}}

 =

a
a
a
⋯
a

⏟

n

v
e
c
e
s

{\displaystyle \underbrace{ aaa \cdots a }\_{ n\,veces }}

.

Variación 1:

a
⏞

n

{\displaystyle \overbrace{a}^{n}}

. Sean a, n ∈ N. La expresión

a
⏞

n

{\displaystyle \overbrace{a}^{n}}

 representa el número a repetido n veces. Es decir

a
⏞

n

{\displaystyle \overbrace{a}^{n}}

 =

a
a
a
⋯
a

⏟

n

v
e
c
e
s

{\displaystyle \underbrace{ aaa \cdots a }\_{ n\,veces }}

.

Variación 2:

n

a
^

{\displaystyle \begin{matrix} n \\ \widehat{a} \end{matrix}}

. Sean a, n ∈ N. La expresión

n

a
^

{\displaystyle \begin{matrix} n \\ \widehat{a} \end{matrix}}

 representa el número a repetido n veces. Es decir

n

a
^

{\displaystyle \begin{matrix} n \\ \widehat{a} \end{matrix}}

 =

a
a
a
⋯
a

⏟

n

v
e
c
e
s

{\displaystyle \underbrace{ aaa \cdots a }\_{ n\,veces }}

.

Se añadirá la dicha notación:

a
⏞

n

=

a
a
a
⋯
a

⏟

n

v
e
c
e
s

{\displaystyle \overbrace{a}^{n} = \underbrace{ aaa \cdots a }\_{ n\,veces }}

A partir de aquí se volverá a editar para volver a hacer una nueva edición actualizada.

n

a
^

=
a
a
a
.
.
.

(
a

r
e
p
e
t
i
d
o

n

v
e
c
e
s
)

{\displaystyle \begin{matrix} n \\ \widehat{a} \end{matrix} = aaa... \,(a\,repetido\,n\,veces)}

La notación

n

a
^

=
a
a
a
.
.
.

(
a

r
e
p
e
t
i
d
o

n

v
e
c
e
s
)

{\displaystyle \begin{matrix} n \\ \widehat{a} \end{matrix} = aaa... \,(a\,repetido\,n\,veces)}

 es parte principal y/o fundamental de la nueva notación descubierta e inventada por Jorge Ch.

Ejemplos con letras:

1

a
^

=
a

(
a

r
e
p
e
t
i
d
o

1

v
e
z
)

{\displaystyle \begin{matrix} 1 \\ \widehat{a} \end{matrix} = a \,(a\,repetido\,1\,vez)}

2

a
^

=
a
a

(
a

r
e
p
e
t
i
d
o

2

v
e
c
e
s
)

{\displaystyle \begin{matrix} 2 \\ \widehat{a} \end{matrix} = aa\,(a\,repetido\,2\,veces)}

3

a
^

=
a
a
a

(
a

r
e
p
e
t
i
d
o

3

v
e
c
e
s
)

{\displaystyle \begin{matrix} 3 \\ \widehat{a} \end{matrix} = aaa \,(a\,repetido\,3\,veces)}

4

a
^

=
a
a
a
a

(
a

r
e
p
e
t
i
d
o

4

v
e
c
e
s
)

{\displaystyle \begin{matrix} 4 \\ \widehat{a} \end{matrix} = aaaa \,(a\,repetido\,4\,veces)}

5

a
^

=
a
a
a
a
a

(
a

r
e
p
e
t
i
d
o

5

v
e
c
e
s
)

{\displaystyle \begin{matrix} 5 \\ \widehat{a} \end{matrix} = aaaaa \,(a\,repetido\,5\,veces)}

10

a
^

=
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a

(
a

r
e
p
e
t
i
d
o

10

v
e
c
e
s
)

{\displaystyle \begin{matrix} 10 \\ \widehat{a} \end{matrix} = aaaaaaaaaa \,(a\,repetido\,10\,veces)}

11

a
^

=
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a

(
a

r
e
p
e
t
i
d
o

11

v
e
c
e
s
)

{\displaystyle \begin{matrix} 11 \\ \widehat{a} \end{matrix} = aaaaaaaaaaa \,(a\,repetido\,11\,veces)}

12

a
^

=
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a

(
a

r
e
p
e
t
i
d
o

12

v
e
c
e
s
)

{\displaystyle \begin{matrix} 12 \\ \widehat{a} \end{matrix} = aaaaaaaaaaaa \,(a\,repetido\,12\,veces)}

20

a
^

=
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a

(
a

r
e
p
e
t
i
d
o

20

v
e
c
e
s
)

{\displaystyle \begin{matrix} 20 \\ \widehat{a} \end{matrix} = aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa \,(a\,repetido\,20\,veces)}

Ejemplos con números naturales, parte 1:

1

2
^

=
2

(
2

r
e
p
e
t
i
d
o

1

v
e
z
)

{\displaystyle \begin{matrix} 1 \\ \widehat{2} \end{matrix} = 2\ (2\ repetido\ 1\ vez)}

2

2
^

=
22

(
2

r
e
p
e
t
i
d
o

2

v
e
c
e
s
)

{\displaystyle \begin{matrix} 2 \\ \widehat{2} \end{matrix} = 22\ (2\ repetido\ 2\ veces)}

3

2
^

=
222

(
2

r
e
p
e
t
i
d
o

3

v
e
c
e
s
)

{\displaystyle \begin{matrix} 3 \\ \widehat{2} \end{matrix} = 222\ (2\ repetido\ 3\ veces)}

4

2
^

=
2222

(
2

r
e
p
e
t
i
d
o

4

v
e
c
e
s
)

{\displaystyle \begin{matrix} 4 \\ \widehat{2} \end{matrix} = 2222\ (2\ repetido\ 4\ veces)}

5

2
^

=
22222

(
2

r
e
p
e
t
i
d
o

5

v
e
c
e
s
)

{\displaystyle \begin{matrix} 5 \\ \widehat{2} \end{matrix} = 22222\ (2\ repetido\ 5\ veces)}

10

2
^

=
2222222222

(
2

r
e
p
e
t
i
d
o

10

v
e
c
e
s
)

{\displaystyle \begin{matrix} 10 \\ \widehat{2} \end{matrix} = 2222222222\ (2\ repetido\ 10\ veces)}

11

2
^

=
22222222222

(
2

r
e
p
e
t
i
d
o

11

v
e
c
e
s
)

{\displaystyle \begin{matrix} 11 \\ \widehat{2} \end{matrix} = 22222222222\ (2\ repetido\ 11\ veces)}

12

2
^

=
222222222222

(
2

r
e
p
e
t
i
d
o

12

v
e
c
e
s
)

{\displaystyle \begin{matrix} 12 \\ \widehat{2} \end{matrix} = 222222222222\ (2\ repetido\ 12\ veces)}

20

2
^

=
22222222222222222222

(
2

r
e
p
e
t
i
d
o

20

v
e
c
e
s
)

{\displaystyle \begin{matrix} 20 \\ \widehat{2} \end{matrix} = 22222222222222222222\ (2\ repetido\ 20\ veces)}

Ejemplos con números naturales, parte 2

1

23
^

=
23

(
23

r
e
p
e
t
i
d
o

1

v
e
z
)

{\displaystyle \begin{matrix} 1 \\ \widehat{23} \end{matrix} = 23\ (23\ repetido\ 1\ vez)}

2

23
^

=
2323

(
23

r
e
p
e
t
i
d
o

2

v
e
c
e
s
)

{\displaystyle \begin{matrix} 2 \\ \widehat{23} \end{matrix} = 2323\ (23\ repetido\ 2\ veces)}

3

23
^

=
232323

(
23

r
e
p
e
t
i
d
o

3

v
e
c
e
s
)

{\displaystyle \begin{matrix} 3 \\ \widehat{23} \end{matrix} = 232323\ (23\ repetido\ 3\ veces)}

2

23
^

=
23232323

(
2

r
e
p
e
t
i
d
o

4

v
e
c
e
s
)

{\displaystyle \begin{matrix} 2 \\ \widehat{23} \end{matrix} = 23232323\ (2\ repetido\ 4\ veces)}

5

23
^

=
2323232323

(
23

r
e
p
e
t
i
d
o

5

v
e
c
e
s
)

{\displaystyle \begin{matrix} 5 \\ \widehat{23} \end{matrix} = 2323232323\ (23\ repetido\ 5\ veces)}

10

23
^

=
23232323232323232323

(
23

r
e
p
e
t
i
d
o

10

v
e
c
e
s
)

{\displaystyle \begin{matrix} 10 \\ \widehat{23} \end{matrix} = 23232323232323232323\ (23\ repetido\ 10\ veces)}

11

23
^

=
2323232323232323232323

(
23

r
e
p
e
t
i
d
o

11

v
e
c
e
s
)

{\displaystyle \begin{matrix} 11 \\ \widehat{23} \end{matrix} = 2323232323232323232323\ (23\ repetido\ 11\ veces)}

12

23
^

=
232323232323232323232323

(
23

r
e
p
e
t
i
d
o

12

v
e
c
e
s
)

{\displaystyle \begin{matrix} 12 \\ \widehat{23} \end{matrix} = 232323232323232323232323\ (23\ repetido\ 12\ veces)}

20

23
^

=
2323232323232323232323232323232323232323

(
23

r
e
p
e
t
i
d
o

20

v
e
c
e
s
)

{\displaystyle \begin{matrix} 20 \\ \widehat{23} \end{matrix} = 2323232323232323232323232323232323232323\ (23\ repetido\ 20\ veces)}

Ejemplos con números naturales, parte 3

2

4

2
^

=
22222

(
1

d
o
s

s
e
g
u
i
d
o

d
e

2

r
e
p
e
t
i
d
o

4

v
e
c
e
s
)

{\displaystyle 2 \begin{matrix} 4 \\ \widehat{2} \end{matrix} = 22222\ (1 \, dos \, seguido \, de \, 2\ repetido\ 4\ veces)}

4

5

2
^

=
422222

(
1

c
u
a
t
r
o

s
e
g
u
i
d
o

d
e

2

r
e
p
e
t
i
d
o

5

v
e
c
e
s
)

{\displaystyle 4 \begin{matrix} 5 \\ \widehat{2} \end{matrix} = 422222\ (1 \, cuatro \, seguido \, de \, 2\ repetido\ 5\ veces)}

4

3
^

2

4

2
^

=
333322222

(
3

r
e
p
e
t
i
d
o

4

v
e
c
e
s

s
e
g
u
i
d
o

d
e

1

d
o
s

s
e
g
u
i
d
o

d
e

2

r
e
p
e
t
i
d
o

4

v
e
c
e
s
)

{\displaystyle \begin{matrix} 4 \\ \widehat{3} \end{matrix} 2 \begin{matrix} 4 \\ \widehat{2} \end{matrix} = 333322222\ (3 \, repetido \, 4 \, veces \, seguido \, de \, 1 \, dos \, seguido \, de \, 2\ repetido\ 4\ veces)}

5

2
^

4

5

2
^

# 12
2222242222212

(
2

r
e
p
e
t
i
d
o

5

v
e
c
e
s

s
e
g
u
i
d
o

d
e

1

c
u
a
t
r
o

s
e
g
u
i
d
o

d
e

2

r
e
p
e
t
i
d
o

5

v
e
c
e
s

s
e
g
u
i
d
o

d
e

d
e

1

u
n
o

s
e
g
u
i
d
o

d
e

u
n

d
o
s
)

{\displaystyle \begin{matrix} 5 \\ \widehat{2} \end{matrix} 4 \begin{matrix} 5 \\ \widehat{2} \end{matrix} 12 = 2222242222212 \,(2\,repetido\,5\,veces\,seguido\,de\,1\,cuatro\,seguido\,de\,2\,repetido\,5\,veces\,seguido\,de\,de\,1\,uno\,seguido\,de\,un\,dos)}

Ejemplos con números enteros:

4

2
^

=
2222

(

s
e
g
u
i
d
o

d
e

2

r
e
p
e
t
i
d
o

4

v
e
c
e
s
)

{\displaystyle + \begin{matrix} 4 \\ \widehat{2} \end{matrix} = +2222 \,(+\,seguido\,de\,2\,repetido\,4\,veces)}

2

4

2
^

=
22222

(

s
e
g
u
i
d
o

d
e

1

d
o
s

s
e
g
u
i
d
o

d
e

2

r
e
p
e
t
i
d
o

4

v
e
c
e
s
)

{\displaystyle +2 \begin{matrix} 4 \\ \widehat{2} \end{matrix} = +22222 \,(+\,seguido\,de\,1 \,dos\,seguido\,de\,2\,repetido\,4\,veces)}

−

4

2
^

=
−
2222

(
−

s
e
g
u
i
d
o

d
e

2

r
e
p
e
t
i
d
o

4

v
e
c
e
s
)

{\displaystyle -\begin{matrix} 4 \\ \widehat{2} \end{matrix} = -2222\ (- \, seguido \, de \, 2\ repetido\ 4\ veces)}

4

2
^

# 3
22223

(

s
e
g
u
i
d
o

d
e

2

r
e
p
e
t
i
d
o

4

v
e
c
e
s

s
e
g
u
i
d
o

d
e

1

t
r
e
s
)

{\displaystyle + \begin{matrix} 4 \\ \widehat{2} \end{matrix} 3 = +22223\ (+ \, seguido \, de \, 2\ repetido\ 4 \ veces \, seguido \, de \, 1 \, tres)}

−

4

2
^

# 3
−
22223

(
−

s
e
g
u
i
d
o

d
e

2

r
e
p
e
t
i
d
o

4

v
e
c
e
s

s
e
g
u
i
d
o

d
e

1

t
r
e
s
)

{\displaystyle - \begin{matrix} 4 \\ \widehat{2} \end{matrix} 3 = -22223\ (- \, seguido \, de \, 2\ repetido\ 4 \ veces \, seguido \, de \, 1 \, tres)}

Ejemplos con números decimales, parte 1:

1

2
^

,
# 0
2
,
0

(
2

r
e
p
e
t
i
d
o

1

v
e
z

s
e
g
u
i
d
o

d
e

c
o
m
a

y

1

c
e
r
o
)

{\displaystyle \begin{matrix} 1 \\ \widehat{2} \end{matrix} , 0 = 2,0\ (2\ repetido\ 1\ vez \, seguido \, de \, coma \, y \, 1 \, cero)}

2

2
^

,
# 0
22
,
0

(
2

r
e
p
e
t
i
d
o

2

v
e
c
e
s
,

s
e
g
u
i
d
o

d
e

c
o
m
a

y

1

c
e
r
o
)

{\displaystyle \begin{matrix} 2 \\ \widehat{2} \end{matrix} , 0 = 22,0 \,(2\,repetido\,2\,veces,\,seguido\,de\,coma\,y\,1\,cero)}

3

2
^

,
# 0
222
,
0

(
2

r
e
p
e
t
i
d
o

3

v
e
c
e
s

s
e
g
u
i
d
o

d
e

c
o
m
a

y

1

c
e
r
o
)

{\displaystyle \begin{matrix} 3 \\ \widehat{2} \end{matrix} , 0 = 222,0 \,(2\,repetido\,3\,veces\,seguido\,de\,coma\,y\,1\,cero)}

4

2
^

,
# 0
2222
,
0

(
2

r
e
p
e
t
i
d
o

4

v
e
c
e
s

s
e
g
u
i
d
o

d
e

c
o
m
a

y

1

c
e
r
o
)

{\displaystyle \begin{matrix} 4 \\ \widehat{2} \end{matrix} , 0 = 2222,0\ (2\ repetido\ 4\ veces \, seguido \, de \, coma \, y \, 1 \, cero)}

5

2
^

,
# 0
22222
,
0

(
2

r
e
p
e
t
i
d
o

5

v
e
c
e
s

s
e
g
u
i
d
o

d
e

c
o
m
a

y

1

c
e
r
o
)

{\displaystyle \begin{matrix} 5 \\ \widehat{2} \end{matrix} , 0 = 22222,0\ (2\ repetido\ 5\ veces \, seguido \, de \, coma \, y \, 1 \, cero)}

10

2
^

,
# 0
2222222222
,
0

(
2

r
e
p
e
t
i
d
o

10

v
e
c
e
s

s
e
g
u
i
d
o

d
e

c
o
m
a

y

1

c
e
r
o
)

{\displaystyle \begin{matrix} 10 \\ \widehat{2} \end{matrix} , 0 = 2222222222,0\ (2\ repetido\ 10\ veces \, seguido \, de \, coma \, y \, 1 \, cero)}

11

2
^

,
# 0
22222222222
,
0

(
2

r
e
p
e
t
i
d
o

11

v
e
c
e
s

s
e
g
u
i
d
o

d
e

c
o
m
a

y

1

c
e
r
o
)

{\displaystyle \begin{matrix} 11 \\ \widehat{2} \end{matrix} , 0 = 22222222222,0 \,(2\,repetido\,11\,veces\,seguido\,de\,coma\,y\,1\,cero)}

12

2
^

,
# 0
222222222222
,
0

(
2

r
e
p
e
t
i
d
o

12

v
e
c
e
s

s
e
g
u
i
d
o

d
e

c
o
m
a

y

1

c
e
r
o
)

{\displaystyle \begin{matrix} 12 \\ \widehat{2} \end{matrix} , 0 = 222222222222,0\ (2\ repetido\ 12\ veces \, seguido \, de \, coma \, y \, 1 \, cero)}

20

2
^

,
# 0
22222222222222222222
,
0

(
2

r
e
p
e
t
i
d
o

20

v
e
c
e
s

s
e
g
u
i
d
o

d
e

c
o
m
a

y

1

c
e
r
o
)

{\displaystyle \begin{matrix} 20 \\ \widehat{2} \end{matrix} , 0 = 22222222222222222222,0\ (2\ repetido\ 20\ veces \, seguido \, de \, coma \, y \, 1 \, cero)}

Ejemplos con números decimales, parte 2:

1

2
^

,
# 3
2
,
3

(
2

r
e
p
e
t
i
d
o

1

v
e
z

s
e
g
u
i
d
o

d
e

c
o
m
a

y

1

t
r
e
s
)

{\displaystyle \begin{matrix} 1 \\ \widehat{2} \end{matrix} , 3 = 2,3\ (2\ repetido\ 1\ vez \, seguido \, de \, coma \, y \, 1 \, tres)}

2

2
^

,
# 3
22
,
3

(
2

r
e
p
e
t
i
d
o

2

v
e
c
e
s

s
e
g
u
i
d
o

d
e

c
o
m
a

y

1

t
r
e
s
)

{\displaystyle \begin{matrix} 2 \\ \widehat{2} \end{matrix} , 3 = 22,3\ (2\ repetido\ 2\ veces \, seguido \, de \, coma \, y \, 1 \, tres)}

3

2
^

,
# 3
222
,
3

(
2

r
e
p
e
t
i
d
o

3

v
e
c
e
s

s
e
g
u
i
d
o

d
e

c
o
m
a

y

1

t
r
e
s
)

{\displaystyle \begin{matrix} 3 \\ \widehat{2} \end{matrix} , 3 = 222,3\ (2\ repetido\ 3\ veces \, seguido \, de \, coma \, y \, 1 \, tres)}

4

2
^

,
# 3
2222
,
3

(
2

r
e
p
e
t
i
d
o

4

v
e
c
e
s

s
e
g
u
i
d
o

d
e

c
o
m
a

y

1

t
r
e
s
)

{\displaystyle \begin{matrix} 4 \\ \widehat{2} \end{matrix} , 3 = 2222,3 \, (2\, repetido\, 4\, veces \, seguido \, de \, coma \, y \, 1 \, tres)}

5

2
^

,
# 3
22222
,
3

(
2

r
e
p
e
t
i
d
o

5

v
e
c
e
s

s
e
g
u
i
d
o

d
e

c
o
m
a

y

1

t
r
e
s
)

{\displaystyle \begin{matrix} 5 \\ \widehat{2} \end{matrix} ,3 = 22222,3 \, (2 \, repetido \, 5\, veces \, seguido \, de \, coma \, y \, 1 \, tres)}

10

2
^

,
# 3
2222222222
,
3

(
2

r
e
p
e
t
i
d
o

10

v
e
c
e
s

s
e
g
u
i
d
o

d
e

c
o
m
a

y

1

t
r
e
s
)

{\displaystyle \begin{matrix} 10 \\ \widehat{2} \end{matrix} , 3 = 2222222222,3\ (2\ repetido\ 10\ veces \, seguido \, de \, coma \, y \, 1 \, tres)}

11

2
^

,
# 3
22222222222
,
3

(
2

r
e
p
e
t
i
d
o

11

v
e
c
e
s

s
e
g
u
i
d
o

d
e

c
o
m
a

y

1

t
r
e
s
)

{\displaystyle \begin{matrix} 11 \\ \widehat{2} \end{matrix} , 3 = 22222222222,3\ (2\ repetido\ 11\ veces \, seguido \, de \, coma \, y \, 1 \, tres)}

12

2
^

,
# 3
222222222222
,
3

(
2

r
e
p
e
t
i
d
o

12

v
e
c
e
s

s
e
g
u
i
d
o

d
e

c
o
m
a

y

1

t
r
e
s
)

{\displaystyle \begin{matrix} 12 \\ \widehat{2} \end{matrix} , 3 = 222222222222,3\ (2\ repetido\ 12\ veces \, seguido \, de \, coma \, y \, 1 \, tres)}

20

2
^

,
# 3
22222222222222222222
,
3

(
2

r
e
p
e
t
i
d
o

20

v
e
c
e
s

s
e
g
u
i
d
o

d
e

c
o
m
a

y

1

t
r
e
s
)

{\displaystyle \begin{matrix} 20 \\ \widehat{2} \end{matrix} , 3 = 22222222222222222222,3\ (2\ repetido\ 20\ veces \, seguido \, de \, coma \, y \, 1 \, tres)}

Ejemplos con números decimales, parte 3:

1

2
^

,
3

1

5
^

=
2
,
35

(
2

r
e
p
e
t
i
d
o

1

v
e
z

s
e
g
u
i
d
o

d
e

c
o
m
a

y

1

t
r
e
s

s
e
g
u
i
d
o

d
e

5

r
e
p
e
t
i
d
o

1

v
e
z
)

{\displaystyle \begin{matrix} 1 \\ \widehat{2} \end{matrix} , 3 \begin{matrix} 1 \\ \widehat{5} \end{matrix} = 2,35\, (2\, repetido\, 1\, vez \, seguido \, de \, coma \, y \, 1 \, tres\, seguido\,de\,5\,repetido\,1\,vez)}

2

2
^

,
3

1

5
^

=
22
,
35

(
2

r
e
p
e
t
i
d
o

2

v
e
z

s
e
g
u
i
d
o

d
e

c
o
m
a

y

1

t
r
e
s

s
e
g
u
i
d
o

d
e

5

r
e
p
e
t
i
d
o

1

v
e
z
)

{\displaystyle \begin{matrix} 2 \\ \widehat{2} \end{matrix} , 3 \begin{matrix} 1 \\ \widehat{5} \end{matrix} = 22,35\, (2\, repetido\, 2\, vez \, seguido \, de \, coma \, y \, 1 \, tres\, seguido\,de\,5\,repetido\,1\,vez)}

Teoría:

a
^

=
a
a
a
.
.
.

(
a

r
e
p
e
t
i
d
o

i
n
f
i
n
i
t
a

v
e
c
e
s
)

{\displaystyle \widehat{a} = aaa...\, (a\, repetido\, infinita\, veces)}

∞

a
^

=

a
^

{\displaystyle \begin{matrix} \infin \\ \widehat{a} \end{matrix} = \widehat{a}}

Ejemplos con números naturales:

2
^

=
222...

(
2

r
e
p
e
t
i
d
o

∞

v
e
c
e
s
)

{\displaystyle \widehat{2} = 222... \,(2\,repetido\,\infin\,veces)}

23
^

=
232323...

(
23

r
e
p
e
t
i
d
o

∞

v
e
c
e
s
)

{\displaystyle \widehat{23} = 232323...\, (23\, repetido\, \infin\, veces)}

5

2
^

=
5222...

(
1

c
i
n
c
o

s
e
g
u
i
d
o

d
e

2

r
e
p
e
t
i
d
o

∞

v
e
c
e
s
)

{\displaystyle 5\widehat{2} = 5222...\, (1\,cinco\,seguido\,de\,2\, repetido\, \infin\, veces)}

5

23
^

=
5232323...

(
1

c
i
n
c
o

s
e
g
u
i
d
o

d
e

23

r
e
p
e
t
i
d
o

∞

v
e
c
e
s
)

{\displaystyle 5\widehat{23} = 5232323...\, (1\,cinco\,seguido\,de\,23\, repetido\, \infin\, veces)}

Ejemplos con algunas operaciones:

4

2
^

# 1
2222
# 1
2223

(
2

r
e
p
e
t
i
d
o

(
4
−
1
)

v
e
c
e
s

s
e
g
u
i
d
o

d
e

1

t
r
e
s
)

{\displaystyle \begin{matrix} 4 \\ \widehat{2} \end{matrix}+1 = 2222+1=2223\,(2\,repetido\,(4-1)\,veces\,seguido\,de\,1\,tres)}

4

2
^

# 11
2222
# 11
2233

(
2

r
e
p
e
t
i
d
o

(
4
−
2
)

v
e
c
e
s

s
e
g
u
i
d
o

d
e

2

t
r
e
s
)

{\displaystyle \begin{matrix} 4 \\ \widehat{2} \end{matrix}+11 = 2222+11=2233\,(2\,repetido\,(4-2)\,veces\,seguido\,de\,2\,tres)}

Teoría:

1

1

n

0
^

=
0
,

n
−
1

0
^

# 1

1

(
10

)
n

{\displaystyle \frac{1}{1\begin{matrix} n \\ \widehat{0} \end{matrix}} = 0,\begin{matrix} n-1 \\ \widehat{0} \end{matrix}1 = \frac{1}{(10)^n}}

Axioma:

1

n

0
^

=
(
10

)
n

{\displaystyle 1 \begin{matrix} n \\ \widehat{0} \end{matrix} = (10)^n}

Ejemplos:

1
10

=
0
,
# 1

1

(
10

)
1

{\displaystyle \frac{1}{10} = 0 , 1 = \frac{1}{(10)^1}}

1
100

=
0
,
# 01

1

(
10

)
2

{\displaystyle \frac{1}{100} = 0 , 01 = \frac{1}{(10)^2}}

1
1000

=
0
,
# 001

1

(
10

)
3

{\displaystyle \frac{1}{1000} = 0 , 001 = \frac{1}{(10)^3}}

Ejemplo específico:

1

1

∞

0
^

=
0
,

∞
−
1

0
^

# 1

1

(
10

)
∞

{\displaystyle \frac{1}{1\begin{matrix} \infin \\ \widehat{0} \end{matrix}} = 0,\begin{matrix} \infin-1 \\ \widehat{0} \end{matrix}1 = \frac{1}{(10)^\infin}}

Axioma, ejemplo específico:

1

∞

0
^

=
(
10

)
∞

{\displaystyle 1 \begin{matrix} \infin \\ \widehat{0} \end{matrix} = (10)^\infin}

Teoría y Axioma:

n

a
^

1

n

0
^

=

n

a
^

(
10

)

n

=
0
,

n

a
^

,

s
i

a
<
10

{\displaystyle \frac{\begin{matrix} n \\ \widehat{a} \end{matrix}}{1\begin{matrix} n \\ \widehat{0} \end{matrix}} = \frac{\begin{matrix} n \\ \widehat{a} \end{matrix}}{(10)^{n}} = 0,\begin{matrix} n \\ \widehat{a} \end{matrix} ,\,si\,a < 10 }

Axioma:

n

1
^

1

n

0
^

=

n

1
^

(
10

)

n

=
0
,

n

1
^

{\displaystyle \frac{\begin{matrix} n \\ \widehat{1} \end{matrix}}{1\begin{matrix} n \\ \widehat{0} \end{matrix}} = \frac{\begin{matrix} n \\ \widehat{1} \end{matrix}}{(10)^{n}} = 0,\begin{matrix} n \\ \widehat{1} \end{matrix} }

n

2
^

1

n

0
^

=

n

2
^

(
10

)

n

=
0
,

n

2
^

{\displaystyle \frac{\begin{matrix} n \\ \widehat{2} \end{matrix}}{1\begin{matrix} n \\ \widehat{0} \end{matrix}} = \frac{\begin{matrix} n \\ \widehat{2} \end{matrix}}{(10)^{n}} = 0,\begin{matrix} n \\ \widehat{2} \end{matrix} }

Ejemplos:

1
10

=
0
,
# 1

1

(
10

)

1

=

1

1
^

10

=

1

1
^

(
10

)

1

{\displaystyle \frac{1}{10} = 0,1 = \frac{1}{(10)^{1}} = \frac{\begin{matrix} 1 \\ \widehat{1} \end{matrix}}{10} = \frac{\begin{matrix} 1 \\ \widehat{1} \end{matrix}}{(10)^{1}} }

11
100

=
0
,
# 11

11

(
10

)

2

=

2

1
^

100

=

2

1
^

(
10

)

2

{\displaystyle \frac{11}{100} = 0,11 = \frac{11}{(10)^{2}} = \frac{\begin{matrix} 2 \\ \widehat{1} \end{matrix}}{100} = \frac{\begin{matrix} 2 \\ \widehat{1} \end{matrix}}{(10)^{2}} }

111
1000

=
0
,
# 111

111

(
10

)

3

=

3

1
^

1000

=

3

1
^

(
10

)

3

{\displaystyle \frac{111}{1000} = 0,111 = \frac{111}{(10)^{3}} = \frac{\begin{matrix} 3 \\ \widehat{1} \end{matrix}}{1000} = \frac{\begin{matrix} 3 \\ \widehat{1} \end{matrix}}{(10)^{ 3 }} }

Ejemplo específico:

∞

1
^

1

∞

0
^

=

∞

1
^

(
10

)

∞

=
0
,

∞

1
^

{\displaystyle \frac{\begin{matrix} \infty \\ \widehat{1} \end{matrix}}{1\begin{matrix} \infty \\ \widehat{0} \end{matrix}} = \frac{\begin{matrix} \infty \\ \widehat{1} \end{matrix}}{(10)^{ \infty }} = 0,\begin{matrix} \infty \\ \widehat{1} \end{matrix} }

∞

a
^

1

∞

0
^

=

∞

a
^

(
10

)

∞

=
0
,

∞

a
^

,

s
i

a
<
10

{\displaystyle \frac{\begin{matrix} \infty \\ \widehat{a} \end{matrix}}{1\begin{matrix} \infty \\ \widehat{0} \end{matrix}} = \frac{\begin{matrix} \infty \\ \widehat{a} \end{matrix}}{(10)^{\infty }} = 0,\begin{matrix} \infty \\ \widehat{a} \end{matrix} ,\,si\,a < 10 }

Más:

n

9
^

# 1
1

n

0
^

{\displaystyle \begin{matrix} n \\ \widehat{ 9 } \end{matrix}+1= 1 \begin{matrix} n \\ \widehat{ 0 } \end{matrix}}

n

9
^

=
1

n

0
^

−
1

{\displaystyle \begin{matrix} n \\ \widehat{ 9 } \end{matrix}= 1 \begin{matrix} n \\ \widehat{ 0 } \end{matrix}-1}

n

9
^

<
1

n

0
^

{\displaystyle \begin{matrix} n \\ \widehat{ 9 } \end{matrix}<1 \begin{matrix} n \\ \widehat{ 0 } \end{matrix}}

1

9
^

# 1
1

1

0
^

{\displaystyle \begin{matrix} 1 \\ \widehat{ 9 } \end{matrix}+1= 1 \begin{matrix} 1 \\ \widehat{ 0 } \end{matrix}}

1

9
^

=
1

1

0
^

−
1

{\displaystyle \begin{matrix} 1 \\ \widehat{ 9 } \end{matrix}= 1 \begin{matrix} 1 \\ \widehat{ 0 } \end{matrix}-1}

1

9
^

<
1

1

0
^

{\displaystyle \begin{matrix} 1 \\ \widehat{ 9 } \end{matrix}<1 \begin{matrix} 1 \\ \widehat{ 0 } \end{matrix}}

2

9
^

# 1
1

2

0
^

{\displaystyle \begin{matrix} 2 \\ \widehat{ 9 } \end{matrix}+1= 1 \begin{matrix} 2 \\ \widehat{ 0 } \end{matrix}}

2

9
^

=
1

2

0
^

−
1

{\displaystyle \begin{matrix} 2 \\ \widehat{ 9 } \end{matrix}= 1 \begin{matrix} 2 \\ \widehat{ 0 } \end{matrix}-1}

2

9
^

<
1

2

0
^

{\displaystyle \begin{matrix} 2 \\ \widehat{ 9 } \end{matrix}<1 \begin{matrix} 2 \\ \widehat{ 0 } \end{matrix}}

3

9
^

# 1
1

3

0
^

{\displaystyle \begin{matrix} 3 \\ \widehat{ 9 } \end{matrix} +1= 1 \begin{matrix} 3 \\ \widehat{ 0 } \end{matrix}}

3

9
^

=
1

3

0
^

−
1

{\displaystyle \begin{matrix} 3 \\ \widehat{ 9 } \end{matrix}= 1 \begin{matrix} 3 \\ \widehat{ 0 } \end{matrix}-1}

3

9
^

<
1

3

0
^

{\displaystyle \begin{matrix} 3 \\ \widehat{ 9 } \end{matrix}<1 \begin{matrix} 3 \\ \widehat{ 0 } \end{matrix}}

∞

9
^

# 1
1

∞

0
^

{\displaystyle \begin{matrix} \infty \\ \widehat{ 9 } \end{matrix}+1= 1 \begin{matrix} \infty \\ \widehat{ 0 } \end{matrix}}

∞

9
^

=
1

∞

0
^

−
1

{\displaystyle \begin{matrix} \infty \\ \widehat{ 9 } \end{matrix}= 1 \begin{matrix} \infty \\ \widehat{ 0 } \end{matrix}-1}

∞

9
^

<
1

∞

0
^

{\displaystyle \begin{matrix} \infty \\ \widehat{ 9 } \end{matrix}<1 \begin{matrix} \infty \\ \widehat{ 0 } \end{matrix}}

∞

9
^

1

1

∞

0
^

=

1

∞

0
^

1

∞

0
^

=
1

{\displaystyle \frac{\begin{matrix} \infty \\ \widehat{ 9 } \end{matrix}+1}{1\begin{matrix} \infty \\ \widehat{0} \end{matrix}}= \frac{1 \begin{matrix} \infty \\ \widehat{ 0 } \end{matrix}}{1\begin{matrix} \infty \\ \widehat{0} \end{matrix}} = 1}

∞

9
^

1

∞

0
^

=

1

∞

0
^

−
1

1

∞

0
^

=
0
,

∞

9
^

{\displaystyle \frac{\begin{matrix} \infty \\ \widehat{ 9 } \end{matrix}}{1\begin{matrix} \infty \\ \widehat{0} \end{matrix}}= \frac{1 \begin{matrix} \infty \\ \widehat{ 0 } \end{matrix}-1}{1 \begin{matrix} \infty \\ \widehat{0} \end{matrix}} = 0, \begin{matrix} \infty \\ \widehat{ 9 } \end{matrix} }

0
,

∞

9
^

<
1

{\displaystyle 0, \begin{matrix} \infty \\ \widehat{ 9 } \end{matrix} <1}

Axioma:

n

9
^

<
1

n

0
^

{\displaystyle \begin{matrix} n \\ \widehat{ 9 } \end{matrix}<1 \begin{matrix} n \\ \widehat{ 0 } \end{matrix}}

Ejemplos axiomas:

1

9
^

<
1

1

0
^

{\displaystyle \begin{matrix} 1 \\ \widehat{ 9 } \end{matrix}<1 \begin{matrix} 1 \\ \widehat{ 0 } \end{matrix}}

2

9
^

<
1

2

0
^

{\displaystyle \begin{matrix} 2 \\ \widehat{ 9 } \end{matrix}<1 \begin{matrix} 2 \\ \widehat{ 0 } \end{matrix}}

3

9
^

<
1

3

0
^

{\displaystyle \begin{matrix} 3 \\ \widehat{ 9 } \end{matrix}<1 \begin{matrix} 3 \\ \widehat{ 0 } \end{matrix}}

Axioma específico:

∞

9
^

<
1

∞

0
^

{\displaystyle \begin{matrix} \infty \\ \widehat{ 9 } \end{matrix}<1 \begin{matrix} \infty \\ \widehat{ 0 } \end{matrix}}

Axioma específico especial:

0
,

∞

9
^

<
1

{\displaystyle 0, \begin{matrix} \infty \\ \widehat{ 9 } \end{matrix} <1}

Axioma implicación:

0
,

∞

9
^

≠
1

{\displaystyle 0, \begin{matrix} \infty \\ \widehat{ 9 } \end{matrix} \neq 1}

Teoría:

1

o
m
e
g
a

=
e
p
s
i
l
o
n

{\displaystyle \frac{1}{omega} = epsilon}

1

e
p
s
i
l
o
n

=
o
m
e
g
a

{\displaystyle \frac{1}{epsilon} = omega }

Teoría:

1

o
m
e
g
a

≠
0
↔
1
≠
o
m
e
g
a
×
# 0
i
n
d
.

{\displaystyle \frac{1}{omega} \neq 0 \leftrightarrow 1 \neq omega \times 0 =ind.}

1
0

≠
o
m
e
g
a
↔
1
≠
0
×
o
m
e
g
# a
i
n
d
.

{\displaystyle \frac{1}{0} \neq omega \leftrightarrow 1 \neq 0 \times omega =ind.}

Nota: ind.= indefinida, según la antigua notación.

Según la nueva notación:

o
m
e
g
a
×
# 0
0

{\displaystyle omega \times 0 = 0}

0
×
o
m
e
g
# a
0

{\displaystyle 0 \times omega = 0}

Definición concepto:

A esto "

0
,

∞
−
1

0
^

1

{\displaystyle 0,\begin{matrix} \infin-1 \\ \widehat{0} \end{matrix}1}

" se llama épsilon.

A esto "

∞

{\displaystyle \infty}

" se llama omega.

Definición concepto:

La inversa de omega se llama épsilon.

La inversa de épsilon se llama omega.

Ampliación definición concepto:

La inversa de "

∞

{\displaystyle \infty}

" se llama épsilon.

La inversa de "

0
,

∞
−
1

0
^

1

{\displaystyle 0,\begin{matrix} \infin-1 \\ \widehat{0} \end{matrix}1}

" se llama omega.

Ampliación definición concepto:

La inversa de "

∞

{\displaystyle \infty}

" se llama "

0
,

∞
−
1

0
^

1

{\displaystyle 0,\begin{matrix} \infin-1 \\ \widehat{0} \end{matrix}1}

".

La inversa de "

0
,

∞
−
1

0
^

1

{\displaystyle 0,\begin{matrix} \infin-1 \\ \widehat{0} \end{matrix}1}

" se llama "

∞

{\displaystyle \infty}

".

Ampliación definición concepto:

1

∞

0
^

=
(
10

)

∞

=
∞

{\displaystyle 1 \begin{matrix} \infty \\ \widehat{0} \end{matrix} = (10)^{ \infty } = \infty }

Axioma:

(
10

)

∞

=
(
b
a
s
e

)

e
x
p
o
n
e
n
t
e

→
(
(
b
a
s
# e
s
i
s
t
e
m
a
d
e
c
i
m
a
l
(
10
)
)
,
(
e
x
p
o
n
e
n
t
# e
i
n
f
i
n
i
t
o
)
)

{\displaystyle (10)^{ \infty } = (base)^{exponente} \rightarrow ((base = sistema decimal (10)),(exponente = infinito)) }

Ampliación definición concepto:

1

∞

0
^

=
(
10

)

∞

=
∞

{\displaystyle 1 \begin{matrix} \infty \\ \widehat{0} \end{matrix} = (10)^{ \infty } = \infty }

 (omega)

0
,

∞
−
1

0
^

1

{\displaystyle 0,\begin{matrix} \infin-1 \\ \widehat{0} \end{matrix}1}

 (épsilon)

Ampliación definición concepto:

0
,

∞
−
1

0
^

1

{\displaystyle 0,\begin{matrix} \infin-1 \\ \widehat{0} \end{matrix}1}

 (épsilon)

Nota: Épsilon: El número más pequeño (positivo (inclusive fraccionario) distinto y más cercano a cero). También llamado “infinitesimal” o “infinitésimo”.

Teoría:

1

o
m
e
g
a

≠
0
↔
1
≠
o
m
e
g
a
×
# 0
i
n
d
.

{\displaystyle \frac{1}{omega} \neq 0 \leftrightarrow 1 \neq omega \times 0 =ind.}

1
0

≠
o
m
e
g
a
↔
1
≠
0
×
o
m
e
g
# a
i
n
d
.

{\displaystyle \frac{1}{0} \neq omega \leftrightarrow 1 \neq 0 \times omega =ind.}

Nota: ind.= indefinida, según la antigua notación.

Ejemplo:

1

1

∞

0
^

=
0
,

∞
−
1

0
^

1

{\displaystyle \frac{1}{1\begin{matrix} \infin \\ \widehat{0} \end{matrix}} = 0,\begin{matrix} \infin-1 \\ \widehat{0} \end{matrix}1}

1

o
m
e
g
a

=
e
p
s
i
l
o
n
→

1
∞

=
0
,

∞
−
1

0
^

1

{\displaystyle \frac{1}{omega} = epsilon \rightarrow \frac{1}{\infin} = 0,\begin{matrix} \infin-1 \\ \widehat{0} \end{matrix}1 }

1

e
p
s
i
l
o
n

=
o
m
e
g
a
→

1

0
,

∞
−
1

0
^

1

=
∞

{\displaystyle \frac{1}{epsilon} = omega \rightarrow \frac{1}{0,\begin{matrix} \infin-1 \\ \widehat{0} \end{matrix}1} = \infin }

Definición concepto:

La inversa de la inversa de omega se llama omega.

La inversa de la inversa de épsilon se llama épsilon.

Ampliación definición concepto:

La inversa de la inversa de "

∞

{\displaystyle \infty}

" se llama omega.

La inversa de la inversa de "

0
,

∞
−
1

0
^

1

{\displaystyle 0,\begin{matrix} \infin-1 \\ \widehat{0} \end{matrix}1}

" se llama épsilon.

Ampliación definición concepto:

La inversa de la inversa de "

∞

{\displaystyle \infty}

" se llama "

∞

{\displaystyle \infty}

".

La inversa de la inversa de "

0
,

∞
−
1

0
^

1

{\displaystyle 0,\begin{matrix} \infin-1 \\ \widehat{0} \end{matrix}1}

" se llama "

0
,

∞
−
1

0
^

1

{\displaystyle 0,\begin{matrix} \infin-1 \\ \widehat{0} \end{matrix}1}

".

(Nota: se está actualizando poco a poco nuevas ediciones para complementar los datos inacabados para que se complete.).

#### Parte 2

##### Conceptos base

###### Infinito u omega

Infinito=Omega

Infinito u omega: El número más grande.

###### Infinitesimal o infinitésimo, o también épsilon

Infinitesimal=Infinitésimo=Épsilon

Infinitesimal o infinitésimo, o también épsilon: El número más pequeño (positivo (inclusive fraccionario) ***distinto*** y más cercano a cero).

Nota: El infinitesimal o infinitésimo, o también épsilon tiene que ser **obligatoriamente** ***distinto*** a **cero**, por lo tanto **obligatoriamente** **nunca** puede ser **cero**.

###### Notación

Representación de ideas mediante símbolos (simbología) para crear una estructuración de información (sobre las ideas).

###### Diferente/Distinta notación

Representación alternativa de ideas mediante símbolos (simbología) alternativos para crear una estructuración alternativa de información (sobre las ideas).

###### Conjuntos, en teoría de conjuntos

El conjunto de los ultrareales se dividen en los conjuntos: hiperreales y trans-infinito-trans-infinitesimales.

El conjunto de los hiperreales se dividen en los conjuntos: finitos e infinitos-infinitesimales.

El conjunto de los finitos son los números que se acaban (que se pueden finilizar/se) (ej: 5, 15, 27, 11000).

El conjunto de los infinitos son los números que no se pueden finilizar/se (ej: ∞, ∞-1, ∞-2, ∞-5, ∞-15, ∞-27, ∞-11000) y se dividen en infinito (u omega) (ej/solamente: ∞) y el conjunto sub-infinitos (ej: ∞-1, ∞-2, ∞-5, ∞-15, ∞-27, ∞-11000).

El conjunto de los sub-infinitos son los números que se obtiene de restar al infinito (u omega) un número finito (ej: ∞-1, ∞-2, ∞-5, ∞-15, ∞-27, ∞-11000).

El conjunto de los trans-infinitos son los números que se obtiene de sumar al infinito (u omega) un número finito o infinitos (ej: ∞+1, ∞+2, ∞+5, ∞+15, ∞+27, ∞+11000, ∞+∞, ∞+∞+1, ∞+∞+2, ∞+∞+5, ∞+∞+15, ∞+∞+27, ∞+∞+11000,).

El conjunto de los infinitesimales son los números extremadamente pequeños (ej: épsilon, épsilon+1, épsilon+2, épsilon·10, épsilon·100, épsilon·1000, épsilon·(10^n) siendo n finito).

El conjunto de los trans-infinitesimales que se obtiene de dividir épsilon entre otro número finito o infinitos (ej: épsilon/10, épsilon/100, épsilon/1000, épsilon/(10^n) siendo n finito o infinitos, épsilon/n).

#### Parte 3

o
m
e
g

a

−
1

=

1

o
m
e
g
a

=
e
p
s
i
l
o
n

{\displaystyle omega^{-1} = \frac{1}{omega} = epsilon}

(
o
m
e
g

a

−
1

)

−
1

=

1

(

1

o
m
e
g
a

)

=
o
m
e
g
a

{\displaystyle (omega^{-1})^{-1} = \frac{1}{ (\frac{1}{omega}) } = omega}

e
p
s
i
l
o

n

−
1

=

1

e
p
s
i
l
o
n

=
o
m
e
g
a

{\displaystyle epsilon^{-1} = \frac{1}{epsilon} = omega}

(
e
p
s
i
l
o

n

−
1

)

−
1

=

1

(

1

e
p
s
i
l
o
n

)

=
e
p
s
i
l
o
n

{\displaystyle (epsilon^{-1})^{-1} = \frac{1}{ (\frac{1}{epsilon}) } = epsilon}

o
m
e
g
a
−
o
m
e
g
# a
0

{\displaystyle omega-omega = 0}

e
p
s
i
l
o
n
−
e
p
s
i
l
o
# n
0

{\displaystyle epsilon-epsilon = 0}

o
m
e
g
a

o
m
e
g
a

=
1

{\displaystyle \frac{omega}{omega} = 1}

e
p
s
i
l
o
n

e
p
s
i
l
o
n

=
1

{\displaystyle \frac{ epsilon}{ epsilon} = 1}

o
m
e
g
a
∗
e
p
s
i
l
o
# n
1

{\displaystyle omega\*epsilon = 1}

e
p
s
i
l
o
n
∗
o
m
e
g
# a
1

{\displaystyle epsilon\*omega = 1}

10

o
m
e
g
a

=
o
m
e
g
a

{\displaystyle 10^{omega} = omega}

10

−
o
m
e
g
a

=

1

10

o
m
e
g
a

=

1

o
m
e
g
a

=
e
p
s
i
l
o
n

{\displaystyle 10^{-omega} = \frac{1}{10^{omega}} = \frac{1}{omega} = epsilon}

10

o
m
e
g
a

=
o
m
e
g
a
→

10

o
m
e
g
a

=
b
a
s

e

o
m
e
g
a

;
b
a
s
# e
10
;
b
a
s
# e
(
s
i
s
t
e
m
a

d
e
c
i
m
a
l
)
;
# 10
(
s
i
s
t
e
m
a

d
e
c
i
m
a
l
)

{\displaystyle 10^{omega} = omega \rightarrow 10^{omega} = base^{omega}; base=10; base=(sistema \quad decimal); 10=(sistema \quad decimal)}

10

−
o
m
e
g
a

→

10

−
o
m
e
g
a

=
b
a
s

e

−
o
m
e
g
a

;
b
a
s
# e
10
;

(

b
a
s
# e
(
s
i
s
t
e
m
a

d
e
c
i
m
a
l
)

# 10
(
s
i
s
t
e
m
a

d
e
c
i
m
a
l
)

)

{\displaystyle 10^{-omega} \rightarrow 10^{-omega} = base^{-omega}; base=10;
\binom{base=(sistema \quad decimal)}{10=(sistema \quad decimal)}}

### Propiedades

10
∞

→

10
∞

∞

=
10

{\displaystyle 10^\infty\rightarrow\sqrt[\infty]{10^\infty}=10}

10
∞

→

10
∞

∞

=

10

∞
∞

=

10
1

=
10

{\displaystyle 10^\infty\rightarrow\sqrt[\infty]{10^\infty}=10^\frac{\infty}{\infty}=10^1=10}

10
∞

→

10
∞

∞

10

=

10

∞
∞

10

=

10

∞
∞

−
1

=

10
0

=
1

{\displaystyle 10^\infty\rightarrow \frac{\sqrt[\infty]{10^\infty}}{10}=\frac{10^\frac{\infty}{\infty}}{10}=10^{\frac{\infty}{\infty}-1}=10^0=1}

(
1

n

0
^

)
2

=
1

n

00
^

→

1

n

00
^

2

=
1

n

0
^

;
(
1

∞

0
^

)
2

=
1

∞

00
^

→

1

∞

00
^

2

=
1

∞

0
^

{\displaystyle (1\begin{matrix} n \\ \widehat{0} \end{matrix})^2=1\begin{matrix} n \\ \widehat{00} \end{matrix}\rightarrow\sqrt[2]{1\begin{matrix} n \\ \widehat{00} \end{matrix}}=1\begin{matrix} n \\ \widehat{0} \end{matrix};
(1\begin{matrix} \infty \\ \widehat{0} \end{matrix})^2=1\begin{matrix} \infty \\ \widehat{00} \end{matrix}\rightarrow\sqrt[2]{1\begin{matrix} \infty \\ \widehat{00} \end{matrix}}=1\begin{matrix} \infty \\ \widehat{0} \end{matrix}}

(
1

n
2

0
^

)
2

=
1

n
2

00
^

→

1

n
2

00
^

2

=
1

n
2

0
^

;
(
1

∞
2

0
^

)
2

=
1

∞
2

00
^

→

1

∞
2

00
^

2

=
1

∞
2

0
^

{\displaystyle (1\begin{matrix} \frac{n}{2} \\ \widehat{0} \end{matrix})^2=1\begin{matrix} \frac{n}{2} \\ \widehat{00} \end{matrix}\rightarrow\sqrt[2]{1\begin{matrix} \frac{n}{2} \\ \widehat{00} \end{matrix}}=1\begin{matrix} \frac{n}{2} \\ \widehat{0} \end{matrix};
(1\begin{matrix} \frac{\infty}{2} \\ \widehat{0} \end{matrix})^2=1\begin{matrix} \frac{\infty}{2} \\ \widehat{00} \end{matrix}\rightarrow\sqrt[2]{1\begin{matrix} \frac{\infty}{2} \\ \widehat{00} \end{matrix}}=1\begin{matrix} \frac{\infty}{2} \\ \widehat{0} \end{matrix}}

(
1

n
2

0
^

)
2

=
1

n

0
^

→

1

n

0
^

2

=
1

n
2

0
^

;
(
1

∞
2

0
^

)
2

=
1

∞

0
^

→

1

∞

0
^

2

=
1

∞
2

0
^

{\displaystyle (1\begin{matrix} \frac{n}{2} \\ \widehat{0} \end{matrix})^2=1\begin{matrix} n \\ \widehat{0} \end{matrix}\rightarrow\sqrt[2]{1\begin{matrix} n \\ \widehat{0} \end{matrix}}=1\begin{matrix} \frac{n}{2} \\ \widehat{0} \end{matrix};
(1\begin{matrix} \frac{\infty}{2} \\ \widehat{0} \end{matrix})^2=1\begin{matrix} \infty \\ \widehat{0} \end{matrix}\rightarrow\sqrt[2]{1\begin{matrix} \infty \\ \widehat{0} \end{matrix}}=1\begin{matrix} \frac{\infty}{2} \\ \widehat{0} \end{matrix}}

(
1

∞
2

0
^

)
2

=
1

∞

0
^

=
∞
→

1

∞

0
^

2

=

∞
2

=
1

∞
2

0
^

{\displaystyle (1\begin{matrix} \frac{\infty}{2} \\ \widehat{0} \end{matrix})^2=1\begin{matrix} \infty \\ \widehat{0} \end{matrix}=\infty\rightarrow\sqrt[2]{1\begin{matrix} \infty \\ \widehat{0} \end{matrix}}=\sqrt[2]{\infty}=1\begin{matrix} \frac{\infty}{2} \\ \widehat{0} \end{matrix}}

### Implicación/es

* Astrofísica
* Física
* Optimización

### Véase también

* ∞
* Cero
* Cero entre cero
* Conjunto hiperreales
* Conjunto imaginario
* Conjunto jorkiniano
* Conjunto surreales
* Cuadratura del círculo
* División entre cero
* División entre infinito
* Jorki
* Matemáticas
* Notación
* Número complejo
* Número complejo i
* Número complejo imaginario
* Número complejo j
* Número complejo jorkiniano
* Número E
* Número Euler
* Número i
* Número imaginario
* Número Pi
* Teoría de conjuntos