三角恆等式

檔案:Unit-circle sin cos tan cot exsec excsc versin vercos coversin covercos.svg
模板:函數圖形

 檔案:Unit circle angles.svg
模板:三角学
在数学中，**三角恒等式**是对出现的所有值都为實变量，涉及到三角函数的等式。这些恒等式在表达式中有些三角函数需要简化的时候是很有用的。一个重要应用是非三角函数的积分：一个常用技巧是首先使用使用三角函数的代换规则，则通过三角恒等式可简化结果的积分。

符号
--

为了避免由于

sin

−
1

⁡
x

{\displaystyle \sin^{-1}x}

的不同意思所带来的混淆，我們經常用下列兩個表格來表示三角函数的倒数和反函数。另外在表示余割函数時，'

csc

{\displaystyle \csc}

'有时會寫成比較长的'

c
o
c
s
c

{\displaystyle \mathrm{cocsc}}

'。

不同的角度度量适合于不同的情况。本表展示最常用的系统。弧度是缺省的角度量并用在指数函数中。所有角度度量都是无单位的。另外在計算機中角度的符號為D，弧度的符號為R，梯度的符號為G。

## 基本關係

 檔案:三角函數間的關係.tiff
畢達哥拉斯三角恒等式如下：

sin
2

⁡
θ

cos
2

⁡
# θ
1

{\displaystyle \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\,}

tan
2

⁡
θ
1

=

sec
2

⁡
θ

{\displaystyle \tan^2 \theta + 1\, = \sec^2 \theta}

1

cot
2

⁡
# θ

csc
2

⁡
θ

{\displaystyle 1\, + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta}

由上面的平方關係加上三角函數的基本定義，可以導出下面的表格，即每個三角函數都可以用其他五個表達。（严谨地说，所有根号前都应根据实际情况添加正负号）

### 其他函數的基本關係

正矢、餘矢、半正矢、半餘矢、外正割用於航行。例如半正矢可以計算球體上的兩個點之間的距離，但它們不常用。

## 对称、移位和周期

模板:Details
通过检视单位圆，可确立三角函数的下列性质：

### 对称

当三角函数反射自某个特定的

θ

{\displaystyle \theta}

值，结果经常是另一个其他三角函数。这导致了下列恒等式：

# θ
0

{\displaystyle \theta=0}

# θ

π
4

{\displaystyle \theta= \tfrac{\pi}{4}}

# θ

π
2

{\displaystyle \theta= \tfrac{\pi}{2}}

# θ

3
π

4

{\displaystyle \theta= \tfrac{3\pi}{4}}

sin
⁡
(
0
−
θ
)

=
−
sin
⁡
θ

cos
⁡
(
0
−
θ
)

=
cos
⁡
θ

tan
⁡
(
0
−
θ
)

=
−
tan
⁡
θ

cot
⁡
(
0
−
θ
)

=
−
cot
⁡
θ

sec
⁡
(
0
−
θ
)

=
sec
⁡
θ

csc
⁡
(
0
−
θ
)

=
−
csc
⁡
θ

{\displaystyle
\begin{align}
\sin(0-\theta) &= -\sin \theta \\
\cos(0-\theta) &= +\cos \theta \\
\tan(0-\theta) &= -\tan \theta \\
\cot(0-\theta) &= -\cot \theta \\
\sec(0-\theta) &= +\sec \theta \\
\csc(0-\theta) &= -\csc \theta
\end{align}
}

sin
⁡
(

π
2

−
θ
)

=
cos
⁡
θ

cos
⁡
(

π
2

−
θ
)

=
sin
⁡
θ

tan
⁡
(

π
2

−
θ
)

=
cot
⁡
θ

cot
⁡
(

π
2

−
θ
)

=
tan
⁡
θ

sec
⁡
(

π
2

−
θ
)

=
csc
⁡
θ

csc
⁡
(

π
2

−
θ
)

=
sec
⁡
θ

{\displaystyle
\begin{align}
\sin(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\cos \theta \\
\cos(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\sin \theta \\
\tan(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\cot \theta \\
\cot(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\tan \theta \\
\sec(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\csc \theta \\
\csc(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\sec \theta
\end{align}
}

sin
⁡
(
π
−
θ
)

=
sin
⁡
θ

cos
⁡
(
π
−
θ
)

=
−
cos
⁡
θ

tan
⁡
(
π
−
θ
)

=
−
tan
⁡
θ

cot
⁡
(
π
−
θ
)

=
−
cot
⁡
θ

sec
⁡
(
π
−
θ
)

=
−
sec
⁡
θ

csc
⁡
(
π
−
θ
)

=
csc
⁡
θ

{\displaystyle
\begin{align}
\sin(\pi - \theta) &= +\sin \theta \\
\cos(\pi - \theta) &= -\cos \theta \\
\tan(\pi - \theta) &= -\tan \theta \\
\cot(\pi - \theta) &= -\cot \theta \\
\sec(\pi - \theta) &= -\sec \theta \\
\csc(\pi - \theta) &= +\csc \theta
\end{align}
}

sin
⁡
(

3
π

2

−
θ
)

=
−
cos
⁡
θ

cos
⁡
(

3
π

2

−
θ
)

=
−
sin
⁡
θ

tan
⁡
(

3
π

2

−
θ
)

=
cot
⁡
θ

cot
⁡
(

3
π

2

−
θ
)

=
tan
⁡
θ

sec
⁡
(

3
π

2

−
θ
)

=
−
csc
⁡
θ

csc
⁡
(

3
π

2

−
θ
)

=
−
sec
⁡
θ

{\displaystyle
\begin{align}
\sin(\tfrac{3\pi}{2} - \theta) &= -\cos \theta \\
\cos(\tfrac{3\pi}{2} - \theta) &= -\sin \theta \\
\tan(\tfrac{3\pi}{2} - \theta) &= +\cot \theta \\
\cot(\tfrac{3\pi}{2} - \theta) &= +\tan \theta \\
\sec(\tfrac{3\pi}{2} - \theta) &= -\csc \theta \\
\csc(\tfrac{3\pi}{2} - \theta) &= -\sec \theta
\end{align}
}

### 移位和周期

通过旋转特定角度移位三角函数，经常可以找到更简单的表达结果的不同的三角函数。例如通过旋转

π
2

{\displaystyle \tfrac{\pi}{2}}

、

π

{\displaystyle \pi }

和

2
π

{\displaystyle 2\pi}

弧度移位函数。因为这些函数的周期要么是

π

{\displaystyle \pi }

要么是

2
π

{\displaystyle 2\pi}

，新函数和没有移位的旧函数完全一样。

π
2

{\displaystyle \tfrac{\pi}{2}}

π

{\displaystyle \pi }

3
π

2

{\displaystyle \tfrac{3\pi}{2}}

2
π

{\displaystyle 2\pi}

tan

{\displaystyle \tan}

和

cot

{\displaystyle \cot}

的周期

sin

{\displaystyle \sin}

,

cos

{\displaystyle \cos}

,

csc

{\displaystyle \csc}

和

sec

{\displaystyle \sec}

sin
⁡
(
θ

π
2

)

=
cos
⁡
θ

cos
⁡
(
θ

π
2

)

=
−
sin
⁡
θ

tan
⁡
(
θ

π
2

)

=
−
cot
⁡
θ

cot
⁡
(
θ

π
2

)

=
−
tan
⁡
θ

sec
⁡
(
θ

π
2

)

=
−
csc
⁡
θ

csc
⁡
(
θ

π
2

)

=
sec
⁡
θ

{\displaystyle
\begin{align}
\sin(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= +\cos \theta \\
\cos(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\sin \theta \\
\tan(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\cot \theta \\
\cot(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\tan \theta \\
\sec(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\csc \theta \\
\csc(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= +\sec \theta
\end{align}
}

sin
⁡
(
θ
π
)

=
−
sin
⁡
θ

cos
⁡
(
θ
π
)

=
−
cos
⁡
θ

tan
⁡
(
θ
π
)

=
tan
⁡
θ

cot
⁡
(
θ
π
)

=
cot
⁡
θ

sec
⁡
(
θ
π
)

=
−
sec
⁡
θ

csc
⁡
(
θ
π
)

=
−
csc
⁡
θ

{\displaystyle
\begin{align}
\sin(\theta + \pi) &= -\sin \theta \\
\cos(\theta + \pi) &= -\cos \theta \\
\tan(\theta + \pi) &= +\tan \theta \\
\cot(\theta + \pi) &= +\cot \theta \\
\sec(\theta + \pi) &= -\sec \theta \\
\csc(\theta + \pi) &= -\csc \theta
\end{align}
}

sin
⁡
(
θ

3
π

2

)

=
−
cos
⁡
θ

cos
⁡
(
θ

3
π

2

)

=
sin
⁡
θ

tan
⁡
(
θ

3
π

2

)

=
−
cot
⁡
θ

cot
⁡
(
θ

3
π

2

)

=
−
tan
⁡
θ

sec
⁡
(
θ

3
π

2

)

=
csc
⁡
θ

csc
⁡
(
θ

3
π

2

)

=
−
sec
⁡
θ

{\displaystyle
\begin{align}
\sin(\theta + \tfrac{3\pi}{2}) &= -\cos \theta \\
\cos(\theta + \tfrac{3\pi}{2}) &= +\sin \theta \\
\tan(\theta + \tfrac{3\pi}{2}) &= -\cot \theta \\
\cot(\theta + \tfrac{3\pi}{2}) &= -\tan \theta \\
\sec(\theta + \tfrac{3\pi}{2}) &= +\csc \theta \\
\csc(\theta + \tfrac{3\pi}{2}) &= -\sec \theta
\end{align}
}

sin
⁡
(
θ
2
π
)

=
sin
⁡
θ

cos
⁡
(
θ
2
π
)

=
cos
⁡
θ

tan
⁡
(
θ
2
π
)

=
tan
⁡
θ

cot
⁡
(
θ
2
π
)

=
cot
⁡
θ

sec
⁡
(
θ
2
π
)

=
sec
⁡
θ

csc
⁡
(
θ
2
π
)

=
csc
⁡
θ

{\displaystyle
\begin{align}
\sin(\theta + 2\pi) &= +\sin \theta \\
\cos(\theta + 2\pi) &= +\cos \theta \\
\tan(\theta + 2\pi) &= +\tan \theta \\
\cot(\theta + 2\pi) &= +\cot \theta \\
\sec(\theta + 2\pi) &= +\sec \theta \\
\csc(\theta + 2\pi) &= +\csc \theta
\end{align}
}

1. ↑ Abramowitz and Stegun, p. 78, 4.3.147