אנרגיה (מכניקה)

**אנרגיה** היא גודל סקלרי המתאר את "עוצמת התנועה" של גוף או חלקיק, או את הפוטנציאל שלו להגיע לעוצמת תנועה זו.

האנרגיה נמדדת בג'אולים:

[
J
]
≡

[

k
g
⋅

m

2

s

2

]

=

[

N
⋅
m

]

{\displaystyle [J]\equiv \left[{\frac {kg\cdot m^{2}}{s^{2}}}\right]=\left[N\cdot m\right]}

. האנרגיה היא גודל פיזיקלי חשוב מאוד מכיוון שכפי שנראה בהמשך, היא מקיימת חוק שימור.

## הגדרת עבודה ואנרגיה

### אנרגיה קינטית

עבור גוף במסה

m

{\displaystyle m}

 הנע במהירות

v

{\displaystyle v}

, האנרגיה הקינטית

E
k

{\displaystyle E\_k}

של הגוף מוגדרת להיות

E

k

≡

1
2

m

v

2

{\displaystyle E\_{k}\equiv {\frac {1}{2}}mv^{2}}

אנרגיה היא גודל אדיטיבי, כלומר, אם לשני גופים יש אנרגיות

E
1

{\displaystyle E\_1 }

 ו-

E
2

{\displaystyle E\_2}

, אז ניתן לומר שהאנרגיה הכוללת של שניהם היא

E

t
o
t

=

E

1

E

2

{\displaystyle E\_{tot}=E\_{1}+E\_{2}}

.

כיוון שהאנרגיה הקינטית היא סקלרית, היא אינה מתארת את כיוון התנועה, והיא מתאפסת רק עבור מערכת בה כל הגופים במנוחה.

### עבודה

כיוון שהאנרגיה הקינטית תלויה במהירות של גוף, הפעלה של כוח על הגוף אשר גורמת לשינוי במהירותו, תשנה את האנרגיה הקינטית שלו. במקרה כזה אנו אומרים שהכוח **מבצע עבודה** על הגוף. העבודה מוגדרת כשינוי באנרגיה של הגוף כתוצאה מהפעלת הכוח. שימו לב שמכיוון שהכוח יכול גם להאט את תנועת הגוף, העבודה יכולה להיות שלילית.

ננסה לפתח ביטוי לעבודה שכוח מבצע. נניח שיש לנו גוף במסה

m

{\displaystyle m}

אשר ברגע

# t
0

{\displaystyle t=0}

 נע במהירות

v
→

(
0
)

{\displaystyle {\vec {v}}(0)}

. נרצה לבדוק כיצד משפיע כוח חיצוני

F
→

{\displaystyle \vec F}

על האנרגיה של הגוף. האנרגיה ההתחלתית של הגוף היא:

E

k

(
0
# )

1
2

m

v

2

{\displaystyle E\_{k}(0)={\frac {1}{2}}mv^{2}}

כעבור זמן קצר מאוד

d
t

{\displaystyle d t}

, הגוף ישנה את מהירותו והיא תהיה, לפי החוק השני של ניוטון:

v
→

(
d
t
# )

v
→

(
0
)

a
→

d
# t

v
→

(
0
)

F
→

m

d
t

{\displaystyle {\vec {v}}(dt)={\vec {v}}(0)+{\vec {a}}dt={\vec {v}}(0)+{\frac {\vec {F}}{m}}dt}

מכאן נקבל שהאנרגיה שלו תהיה:

E

k

(
d
t
# )

1
2

m

v
→

(
d
t
)
⋅

v
→

(
d
t
# )

{\displaystyle E\_{k}(dt)={\frac {1}{2}}m{\vec {v}}(dt)\cdot {\vec {v}}(dt)=}

=

m
2

(

v
→

(
0
)

F
→

m

d
t

)

⋅

(

v
→

(
0
)

F
→

m

d
t

)

=

{\displaystyle ={\frac {m}{2}}\left({\vec {v}}(0)+{\frac {\vec {F}}{m}}dt\right)\cdot \left({\vec {v}}(0)+{\frac {\vec {F}}{m}}dt\right)=}

=

m
2

(

v
(
0

)

2

2

v
→

(
0
)
⋅

F
→

m

d
t

F

2

m

2

d

t

2

⏟

≈
0

)

=

{\displaystyle ={\frac {m}{2}}\left(v(0)^{2}+2{\vec {v}}(0)\cdot {\frac {\vec {F}}{m}}dt+\underbrace {{\frac {F^{2}}{m^{2}}}dt^{2}} \_{\approx 0}\right)=}

=

m
2

v
(
0

)

2

v
→

(
0
)
⋅

F
→

d
# t

{\displaystyle ={\frac {m}{2}}v(0)^{2}+{\vec {v}}(0)\cdot {\vec {F}}dt=}

=

E

k

(
0
)

d

x
→

d
t

⋅

F
→

d
t

{\displaystyle =E\_{k}(0)+{\frac {d{\vec {x}}}{dt}}\cdot {\vec {F}}dt}

=

E

k

(
0
)

F
→

⋅
d

x
→

{\displaystyle =E\_{k}(0)+{\vec {F}}\cdot d{\vec {x}}}

או במילים אחרות:

d
W
≡

E

k

(
d
t
)
−

E

k

(
0
# )

F
→

⋅
d

x
→

{\displaystyle dW\equiv E\_{k}(dt)-E\_{k}(0)={\vec {F}}\cdot d{\vec {x}}}

כאשר

d
W

{\displaystyle dW}

 היא מעט העבודה שהכוח מבצע לאורך הזמן הקצר

d
t

{\displaystyle d t}

. כל שנותר לעשות כדי לקבל את העבודה הכוללת שנעשית לאורך זמן סופי כלשהו הוא לקחת אינטגרל לשני האגפים:

# W
∫

F
→

⋅

d
x

→

{\displaystyle W=\int {\vec {F}}\cdot {\vec {dx}}}

כאשר האינטגרל מבוצע לפי

x
→

{\displaystyle \vec{x}}

 המיקום של הגוף, כלומר

d
x

→

{\displaystyle \vec{dx} }

 הוא קטע קצר מהדרך.

חוק זה נקרא **חוק עבודה ואנרגיה**, ובגרסתו המשוכללת יותר המופיעה בהמשך הדף ויחד עם חוק שימור התנע מהווה את אחד העקרונות הבסיסיים והחשובים ביותר במכניקה.

זו תוצאה חזקה מכיוון שעבודה אינה תלויה במשך השהיה של הגוף בנקודות מסוימות, אלא רק בכוח שפעל עליו בכל נקודה במסלול. לכן ניתן לגלות מידע על תנועת הגוף רק מעצם ידיעת המסלול שלו והכוח שפעל עליו בכל נקודה במסלול, מבלי לדעת דבר על משך התנועה או על המהירות שלו בכל נקודה.

לדוגמה, ניתן לגלות כמה יאט גוף שנע לאורך משטח אופקי מחוספס כתוצאה מחיכוך, מכיוון שכוח החיכוך תלוי רק במקדם החיכוך בכל נקודה.

## כוחות משמרים ואנרגיה פוטנציאלית

### **דוגמא: כוח הכובד**

נתבונן בגוף הנע תחת השפעת כוח הכבידה ונרצה לדעת כמה עבודה הכבידה מבצעת על הגוף. הכוח הפועל על הגוף הוא קבוע לכל אורך התנועה וניתן לפי:

F
→

G

=
−
m
g

z
^

{\displaystyle {\vec {F}}\_{G}=-mg{\hat {z}}}

לכן, אם הגוף נע בקו ישר מ-

(

x
,

y
,

z

)

{\displaystyle \left(x,\ y,\ z\right)}

ל-

(

x
d
x
,

y
d
y
,

z
d
z

)

{\displaystyle \left(x+dx,\ y+dy,\ z+dz\right)}

, העבודה שתבוצע עליו היא:

d

W

G

=
∫

F
→

G

⋅
d

r
→

=
−
m
g
⋅
(
z
d
z
−
z
# )
−
m
g
d
z

{\displaystyle dW\_{G}=\int {{\vec {F}}\_{G}\cdot d{\vec {r}}}=-mg\cdot (z+dz-z)=-mgdz}

אם התנועה מורכבת יותר מסתם תנועה בקו ישר, הרי שניתן לפרק אותה לסכום של הרבה תנועות ישרות קצרות בזו אחר זו. לכן בסך הכל העבודה שמבוצעת על הגוף היא:

W

G

=

∫

r
→

i

r
→

f

d

W

G

=

∫

z

i

z

f

−
m
g
d
z

=
−
m
g
(

z

f

−

z

i

)

{\displaystyle W\_{G}=\int \_{{\vec {r}}\_{i}}^{{\vec {r}}\_{f}}{dW\_{G}}=\int \_{z\_{i}}^{z\_{f}}{-mgdz}=-mg(z\_{f}-z\_{i})}

כלומר, העבודה שכוח הכובד מבצע תלויה **אך ורק** בנקודת ההתחלה והסיום של התנועה, **ולא** במסלול הספציפי שהגוף ביצע. זו תכונה מעניינת מאוד מכיוון שהיא מאפשרת, בהנתן נקודת ההתחלה של הגוף והמיקום הנוכחי שלו, לדעת כמה עבודה התבצעה עליו עד עכשיו מבלי לדעת שום דבר על המסלול של הגוף בין שתי הנקודות האלו.

### **הגדרת כוח משמר**

כוח משמר הוא כוח שתלוי אך ורק במיקום הגוף (ולא בזמן, במהירות הגוף, במיקום גופים אחרים וכו') ואשר מקיים את התכונה:

∮

F
→

⋅
d

r
→

=
0

{\displaystyle \oint {{\vec {F}}\cdot d{\vec {r}}}=0}

לכל מעגל סגור. כלומר, העבודה שהכוח מבצע על גוף הנע במסלול סגור כלשהו היא תמיד 0. זה שקול מתמטית לתנאי:

∇
→

×

F
→

=
0

{\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}=0}

.

אין צורך להיבהל מכל הנוטציה המתמטית. האינטואיציה פה היא שכוח הוא משמר אם אין בו מעגלים סגורים שאפשר ללכת עליהם ולצבור אנרגיה. הכוחות העיקריים שצריך לדעת שהם משמרים הם **כוחות קבועים** (כמו שדה הגרוויטציה קרוב לפני כדור הארץ, כפי שניתחנו מקודם) ו**כוחות רדיאליים**, שהם כוחות אשר פועלים תמיד כלפי נקודה מסוימת ותלויים רק במרחק ממנה (כמו כוח כבידה מנקודת מבט רחוקה יותר).

ההתאפסות של העבודה לאורך מסלולים סגורים שקולה לחלוטין להיותה תלויה אך ורק בנקודת ההתחלה והסיום של התנועה. זאת כיוון שאילו היו שני מסלולים שונים המתחילים ונגמרים באותן נקודות, אך צוברים עבודה שונה, ניתן היה ללכת במסלול סגור המתחיל במסלול הראשון וחוזר דרך השני. כיוון שהעבודות על המסלולים שונות, העבודה הכוללת במסלול הסגור לא הייתה מתאפסת.

### **אנרגיה פוטנציאלית וחוק שימור האנרגיה**

כיוון שהעבודה שכוח משמר מבצע על גוף תלויה אך ורק בנקודת ההתחלה והסיום של התנועה, הוא מאפשר לנתח בעיות בהן הכוחות הם משמרים ע"י התבוננות בנקודות הקצה של התנועה בלבד, מבלי לנתח את התנועה לאורך הדרך ביניהן. כך, אם גוף נע מנקודה

r
→

0

{\displaystyle \vec{r}\_0 }

ל-

r
→

{\displaystyle \vec{r}}

תחת כוח משמר

F
→

(

r
→

)

{\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})}

, העבודה

W

(

r
→

0

,

r
→

)

{\displaystyle W\left({\vec {r}}\_{0},{\vec {r}}\right)}

 שתפעל עליו לאורך התנועה תהיה תנועה רק ב-

r
→

0

{\displaystyle \vec{r}\_0 }

,

r
→

{\displaystyle \vec{r}}

ולא במסלול התנועה ביניהן, ולפי חוק העבודה והאנרגיה, נקבל:

1
2

m

v

0

2

=

1
2

m

v

2

−
W

(

r
→

0

,

r
→

)

{\displaystyle {\frac {1}{2}}mv\_{0}^{2}={\frac {1}{2}}mv^{2}-W\left({\vec {r}}\_{0},{\vec {r}}\right)}

לפונקציה

−
W

(

r
→

0

,

r
→

)

{\displaystyle -W\left({\vec {r}}\_{0},{\vec {r}}\right)}

 נהוג לקרוא **האנרגיה הפוטנציאלית הנובעת מהכוח המשמר**

F
→

(

r
→

)

{\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})}

 ולסמן אותה ב-

U
(

r
→

)

{\displaystyle U(\vec r)}

. היא נקראת כך כיוון שכפי שנראה מיד, האנרגיה הזו היא מין מאגר שיש לו **פוטנציאל** להפוך לאנרגיה קינטית.

מתקיים אם כך:

1
2

m

v

0

2

=

1
2

m

v

2

U

(

r
→

)

{\displaystyle {\frac {1}{2}}mv\_{0}^{2}={\frac {1}{2}}mv^{2}+U\left({\vec {r}}\right)}

זה קשר מאוד חזק, מכיוון שצד שמאל של המשוואה הוא **קבוע**. לכן, נוכל לכתוב בסך הכל כי:

1
2

m

v

2

U

(

r
→

)

≡
# E
c
o
n
s
t

{\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}+U\left({\vec {r}}\right)\equiv E=const}

וזהו **חוק שימור האנרגיה**. הוא אומר לנו שבמידה ועל מערכת מסויימת פועלים אך ורק כוחות משמרים, אזי האנרגיה הכוללת שלה, שהיא סכום של האנרגיה הקינטית שלה יחד עם האנרגיה הפוטנציאלית הנובעת מכלל הכוחות המשמרים - אינה משתנה לאורך הזמן.

כמה דברים לגבי היצור הזה שנקרא "אנרגיה פוטנציאלית": ראשית, ראינו שההגדרה שלו תלויה בנקודת ייחוס מסויימת (

r
→

0

{\displaystyle \vec{r}\_0 }

 בפיתוח למעלה). זאת כיוון שכל מה שמעניין אותנו לאורך התנועה הוא **ההפרש באנרגיה הפוטנציאלית** בין נקודות הקצה של התנועה. בחירה שונה של נקודת ייחוס בסך הכל מוסיפה קבוע כלשהו לאנרגיה הפוטנציאלית בכל מקום, ולכן אינה משפיעה על ההפרשים.

שנית, לא ממש דיברנו על איך מוצאים מה זו האנרגיה הזו. כפי שאמרנו, האנרגיה הפוטנציאלית של גוף בנקודה מסויימת

r
→

{\displaystyle \vec{r}}

 שווה למינוס העבודה שהכוח המשמר ביצע על הגוף לאורך התנועה שלו מנקודת הייחוס

r
→

0

{\displaystyle \vec{r}\_0 }

 ל-

r
→

{\displaystyle \vec{r}}

. לכן:

U

(

r
→

)

=
−

∫

r
→

0

r
→

F
→

(

x
→

)

⋅
d

x
→

{\displaystyle U\left({\vec {r}}\right)=-\int \_{{\vec {r}}\_{0}}^{\vec {r}}{{\vec {F}}\left({\vec {x}}\right)\cdot d{\vec {x}}}}

(האינטגרל הזה מוגדר היטב כיוון שכאמור, העבודה שמבצע כוח משמר תלויה רק בנקודות הקצה, ולא במסלול המדוייק).

בכיוון ההפוך, מתקיים:

∇
→

U

(

r
→

)

=
−

F
→

(

r
→

)

{\displaystyle {\vec {\nabla }}U\left({\vec {r}}\right)=-{\vec {F}}\left({\vec {r}}\right)}

.

U

G

=
m
g
z

{\displaystyle U\_{G}=mgz}

שימו לב שניתן לקבוע את ה

# U
0

{\displaystyle U = 0 }

 היכן שרוצים מכיוון שרק הפרשים משנים.

### דוגמאות נוספות

שתי דוגמאות חשובות נוספות לכוחות משמרים הן אלה:

#### כוח קפיץ

כוח קפיץ הוא

F
s

=
−
k
x

{\displaystyle F\_s = -kx}

לכן העבודה של כוח זה היא

W

s

=
∫
−
F
⋅
d
# x
∫
−
k
x
⋅
d
# x

1
2

k

x

1

2

−

1
2

k

x

2

2

{\displaystyle W\_{s}=\int -F\cdot dx=\int -kx\cdot dx={\frac {1}{2}}kx\_{1}^{2}-{\frac {1}{2}}kx\_{2}^{2}}

ולכן האנרגיה הפוטנציאלית מוגדרת כך:

U

s

=

1
2

k

x

2

{\displaystyle U\_{s}={\frac {1}{2}}kx^{2}}

#### כוחות ריבועיים הפוכים

קיימים כוחות אשר פרופורציוניים הפוכים לריבוע המרחק, לדוגמה כבידה, כאשר מסתכלים על מרחקים גדולים (פלנטות לדוגמה).

כוח הכבידה מקיים

F

G

=
−

G
M
m

r

2

r
^

{\displaystyle F\_{G}=-{\frac {GMm}{r^{2}}}{\hat {r}}}

כאשר

r
^

{\displaystyle \hat{r}}

 מסמן את וקטור היחידה הראדיאלי ומתקיים

r
^

⋅
d

r
^

=
0

{\displaystyle {\hat {r}}\cdot d{\hat {r}}=0}

 מכיוון שהוא מסתובב במעגל

מתקיים בנוסף

d

r
→

=
d

(

r
^

r

)

=

r
^

d
r
r

(

d

r
^

)

{\displaystyle d{\vec {r}}=d\left({\hat {r}}r\right)={\hat {r}}dr+r\left(d{\hat {r}}\right)}

.

לכן העבודה היא

W

G

=
∫
−

G
M
m

r

2

r
^

⋅

(

r
(
d

r
^

)

r
^

d
r

)

=
−
G
M
m
∫

d
r

r

2

=

G
M
m

r

2

−

G
M
m

r

1

{\displaystyle W\_{G}=\int -{\frac {GMm}{r^{2}}}{\hat {r}}\cdot \left(r(d{\hat {r}})+{\hat {r}}dr\right)=-GMm\int {\frac {dr}{r^{2}}}={\frac {GMm}{r\_{2}}}-{\frac {GMm}{r\_{1}}}}

ומטעמי נוחות נהוג להגדיר

# U
0

{\displaystyle U = 0 }

 במרחק אינסופי ולכן האנרגיה הפוטנציאלית היא:

U

G

=
−

G
M
m

r

{\displaystyle U\_{G}=-{\frac {GMm}{r}}}

ובאופן שקול בכוח אלקטרוסטטי של מטען נקודתי הכוח הוא

F

E

=

K
Q
q

r

2

r
^

{\displaystyle F\_{E}={\frac {KQq}{r^{2}}}{\hat {r}}}

העבודה

W

E

=

K
Q
q

r

1

−

K
Q
q

r

2

{\displaystyle W\_{E}={\frac {KQq}{r\_{1}}}-{\frac {KQq}{r\_{2}}}}

והאנרגיה הפוטנציאלית

U

E

=

K
Q
q

r

{\displaystyle U\_{E}={\frac {KQq}{r}}}

### שימור אנרגיה מכנית

מכיוון שעבור כוחות משמרים מתקיים

Δ
# U
−
W

{\displaystyle \Delta U=-W}

ניתן להגדיר אנרגיה מכנית כך

# E

E

k

U

{\displaystyle E=E\_{k}+U}

כאשר

U

{\displaystyle U}

 היא האנרגיה הפוטנציאלית של כל הכוחות המשמרים הרלוונטיים לגוף זה.

הגדרה זו חשובה מכיוון שאז מתקיים

Δ
# E
Δ

E

k

Δ
# U

W

t
o
t

−

W

c
o
n

=

W

n
o
n
c
o
n

{\displaystyle \Delta E=\Delta E\_{k}+\Delta U=W\_{tot}-W\_{con}=W\_{noncon}}

כאשר

W

n
o
n
c
o
n

{\displaystyle W\_{noncon}}

 היא עבודת כל הכוחות הלא משמרים (לא קונסרבטיביים).

כלל זה חזק מאוד מכיוון שבמערכות רבות כל הכוחות או רובם משמרים, ולכן ניתן להפעיל את הכלל הזה בקלות.

דוגמה לכך היא משטח אופקי בעל חלק מחוספס שבקצותיו קפיצים, כוח קפיץ הוא משמר, וכוח חיכוך תלוי רק במקדם החיכוך של המשטח.