מרכז מסה

במכניקה, **מרכז המסה** (או "מרכז הכובד") של מערכת מסות הוא מקום גיאומטרי במרחב המהווה ממוצע משוקלל של כלל מיקומי המסות במערכת. הנקודה הזו מעניינת כיוון שכפי שיפורט מיד, גדלים רבים נהיים פשוטים יותר כשמסתכלים עליהם במרכז המסה.

## הגדרה מתמטית

בהינתן קבוצה של מסות נקודתיות

m
1

,

m
2

,
.
.
.
,

m
n

{\displaystyle m\_1, m\_2,...,m\_n}

 הממוקמות במקומות שונים במרחב

r
→

1

,

r
→

2

,
.
.
.
,

r
→

n

{\displaystyle \vec{r}\_1,\vec{r}\_2, ..., \vec{r}\_n}

 בהתאמה, מיקום מרכז המסה של המערכת מוגדר להיות:

r
→

c
.
m
.

≡

∑

# i
1

n

m
i

r
→

i

M

=

m
1

r
→

1

m
2

r
→

2

.
.
.

m
n

r
→

n

M

{\displaystyle \vec{r}\_{c.m.} \equiv \frac{\sum\_{i=1}^{n}{m\_i\vec{r}\_i}}{M} = \frac{m\_1\vec{r}\_1 + m\_2\vec{r}\_2 + ... + m\_n\vec{r}\_n}{M}}

כאשר:

M
≡

∑

# i
1

n

m
i

=

m
1

m
2

.
.
.

m
n

{\displaystyle M \equiv \sum\_{i=1}^{n}{m\_i} = m\_1+m\_2...+m\_n}

זהו כאמור ממוצע משוקלל של מיקומי כל המסות במערכת. ככל שמסה גדולה יותר, כך משקלה בממוצע גדול יותר.

## דוגמאות: חישוב מרכזי מסות של מערכות שונות

**דוגמא - שני גופים נקודתיים**

נניח שיש לנו שני גופים נקודתיים במסות

m
1

,

m
2

{\displaystyle m\_1,m\_2}

. ראשית, כדי להקל את הניתוח, נעבור למערכת צירים אשר

m
1

{\displaystyle m\_1 }

 בראשיתה ו-

m
2

{\displaystyle m\_2 }

 על הכיוון החיובי של ציר ה-

x

{\displaystyle x}

 שלה, ונקרא למרחק שלה מהראשית

d

{\displaystyle d}

. לכן, לפי ההגדרה, מיקום מרכז המסה יהיה:

r
→

c
.
m
.

=

m
1

r
→

1

m
2

r
→

2

m
1

m
2

=

{\displaystyle \vec{r}\_{c.m.} = \frac{m\_1 \vec{r}\_1 + m\_2 \vec{r}\_2}{m\_1+m\_2} = }

=

m
1

(

0
,
0
,
0

)

m
2

(

d
,
0
,
0

)

m
1

m
2

=

{\displaystyle = \frac{m\_1 \left ( 0,0,0 \right ) + m\_2 \left ( d,0,0 \right )}{m\_1+m\_2} =}

=

(

0
,
0
,
0

)

(

m
2

d
,
0
,
0

)

m
1

m
2

=

{\displaystyle = \frac{\left ( 0,0,0 \right ) + \left ( m\_2d,0,0 \right )}{m\_1+m\_2} =}

=

(

m
2

d
,
0
,
0

)

m
1

m
2

=

{\displaystyle = \frac{ \left ( m\_2d,0,0 \right )}{m\_1+m\_2} =}

=

(

m
2

m
1

m
2

d
,
0
,
0

)

{\displaystyle = \left ( \frac{m\_2}{m\_1+m\_2}d,0,0 \right )}

שימו לב כי מרכז המסה תמיד ממוקם על ציר ה-

x

{\displaystyle x}

, על הקטע המחבר בין שתי המסות (במרחק קטן מ-

d

{\displaystyle d}

 מהראשית). בנוסף, ככל שאחת מהמסות גדולה יותר ביחס לשנייה, כך מרכז המסה קרוב יותר אליה. עובדה זו באה לידי ביטוי בכבידה, למשל, כאשר רואים שהשמש כל כך הרבה יותר מאסיבית מכדור הארץ, עד שאפשר להניח שמרכז המסה של השניים הוא פשוט במרכז השמש, מה שגורר למשל את העובדה שהשמש לא זזה ממקומה.

**דוגמא - מוט אחיד**

נניח שיש לנו מוט דק ואחיד באורך

L

{\displaystyle L}

 ובמסה

m

{\displaystyle m}

. ברור לנו אינטואיטיבית שמרכז המסה של המוט הוא פשוט באמצע שלו, אבל בואו נראה איך מחשבים דבר כזה מתוך ההגדרה:
ראשית, נגדיר מערכת צירים. נבחר אותה כך שאחד מקצוות המוט נמצא בראשית והאחר נמצא ב-

(

L
,
0
,
0

)

{\displaystyle \left ( L,0,0 \right )}

. כדי למצוא את מרכז המסה, נחלק את המוט להמון חתיכות קטנות באורך

d
x

{\displaystyle dx}

. מסת כל אחת מהחתיכות תהיה

d
# m

d
x

L

m

{\displaystyle dm = \frac{dx}{L}m}

. כיוון שהסכום הוא סכום רציף על רצף של אינסוף חתיכות בגודל אפסי, הוא הופך לאינטגרל:

r
→

c
.
m
.

=

1
m

∫

r
→

d
m

=

{\displaystyle \vec{r}\_{c.m.} = \frac{1}{m} \int{\vec{r}dm} = }

=

1
m

∫

0

L

(

x
,
0
,
0

)

d
x

L

m

=

{\displaystyle = \frac{1}{m} \int\_{0}^{L}{\left ( x,0,0 \right ) \frac{dx}{L} m} = }

=

1
m

m
L

∫

0

L

(

x
,
0
,
0

)

d
x

=

{\displaystyle = \frac{1}{m} \frac{m}{L} \int\_{0}^{L}{\left ( x,0,0 \right ) dx} = }

=

1
L

(

∫

0

L

x
d
x

,
∫

0

,
∫

0

)

=

{\displaystyle = \frac{1}{L} \left ( \int\_{0}^{L}{xdx}, \int{0}, \int{0} \right ) = }

=

1
L

(

x
2

2

0

L

,
0
,
0

)

=

{\displaystyle = \frac{1}{L} \left ({\frac{x^2}{2} \Bigg\vert}\_{0}^{L}, 0, 0 \right ) = }

=

1
L

(

L
2

2

,
0
,
0

)

=

{\displaystyle = \frac{1}{L} \left (\frac{L^2}{2}, 0, 0 \right ) = }

=

(

L
2

,
0
,
0

)

{\displaystyle = \left (\frac{L}{2}, 0, 0 \right ) }

כלומר באמצע המוט, כפי שציפינו.

**דוגמא - חרוט**

נניח שיש לנו חרוט אחיד בעל גובה

h

{\displaystyle h}

, רדיוס בסיס

R

{\displaystyle R}

 ומסה

m

{\displaystyle m}

. נבחר את מערכת הצירים כך שהראשית נמצאת בקודקוד החרוט וציר ה-

z

{\displaystyle z}

 מצביע לכיוון בסיס החרוט. בשל הסימטריה הסיבובית של החרוט, נבצע את החישוב בקואורדינטות גליליות

(

ρ
,
θ
,
z

)

{\displaystyle \left ( \rho,\theta,z \right ) }

:

r
→

c
.
m
.

=

1
m

∭

V

r
→

d
m

=

{\displaystyle \vec{r}\_{c.m.} = \frac{1}{m} \iiint\limits\_{V}{\vec{r}dm} = }

=

1
V

∭

V

r
→

d
V

=

{\displaystyle = \frac{1}{V} \iiint\limits\_{V}{\vec{r} dV} = }

=

1
V

∭

V

(

ρ
cos
⁡

θ

,
ρ
sin
⁡

θ

,
z

)

ρ
d
ρ
d
θ
d
z

=

{\displaystyle = \frac{1}{V} \iiint\limits\_{V}{\left ( \rho \cos{\theta}, \rho \sin{\theta},z \right ) \rho d\rho d\theta dz} = }

=

1
V

∫

0

h

(

∫

0

R
h

z

(

∫

0

2
π

(

ρ
cos
⁡

θ

,
ρ
sin
⁡

θ

,
z

)

d
θ

)

ρ
d
ρ

)

d
z

=

{\displaystyle = \frac{1}{V} \int\_{0}^{h}{ \left ( \int\_{0}^{\frac{R}{h}z}{\left ( \int\_{0}^{2\pi}{ \left ( \rho \cos{\theta}, \rho \sin{\theta},z \right ) d\theta} \right ) \rho d\rho} \right ) dz} = }

=

1
V

∫

0

h

(

∫

0

R
h

z

(

0
,
0
,
2
π
z

)

ρ
d
ρ

)

d
z

=

{\displaystyle = \frac{1}{V} \int\_{0}^{h}{ \left ( \int\_{0}^{\frac{R}{h}z}{\left ( 0,0,2 \pi z \right ) \rho d\rho} \right ) dz} = }

=

1
V

∫

0

h

(

0
,
0
,
π

z
3

R
2

h
2

)

d
z

=

{\displaystyle = \frac{1}{V} \int\_{0}^{h}{ \left ( 0,0,\pi z^3 \frac{R^2}{h^2} \right ) dz} = }

=

3

π

R
2

h

(

0
,
0
,

π
4

R
2

h
2

)

=

{\displaystyle = \frac{3}{\pi R^2 h} \left ( 0,0,\frac{\pi}{4} R^2 h^2 \right ) = }

=

(

0
,
0
,

3
4

h

)

=

{\displaystyle = \left ( 0,0,\frac{3}{4} h \right ) = }

שימו לב בעיקר לבחירת גבולות האינטגרציה - החרוט חולק לפרוסות עגולות ברדיוסים התלויים ב-

z

{\displaystyle z}

, אשר חולקו לטבעות דקות אשר חולקו לאלמנטי נפח קטנים.

**דוגמא - כדור עם חור**

נניח שיש לנו כדור בעל רדיוס

R

{\displaystyle R}

 וצפיפות

ρ

{\displaystyle \rho}

, ובו חור כדורי ברדיוס

r

{\displaystyle r}

 כך שהמרחק בין מרכז החור ומרכז הכדור הוא

d
<
R
−
r

{\displaystyle d<R-r}

. אפשר לנסות לעשות אינטגרל על פני נפח הכדור המחורר, אבל זה נראה מסובך - איך יראה האינטגרל? מה הגבולות? אולי יש לפרק לכמה אינטגרלים נפרדים? זה נראה כמו כאב ראש.
כדי להתמודד עם בעיות מהסוג הזה, פיזיקאים אוהבים להתחכם בצורה הבאה: במקום להסתכל על הבעיה כעל כדור שיש בו חור, אפשר להסתכל עליה כעל כדור מלא שלם ויפה בעל צפיפות

ρ

{\displaystyle \rho}

, שבתוכו יושב גם כדור קטן יותר, בעל "צפיפות שלילית"

−
ρ

{\displaystyle -\rho}

. כמובן שפיזיקלית זה קצת חסר משמעות, אבל מתמטית המערכות זהות - בשתיהן יש צפיפות

ρ

{\displaystyle \rho}

 בכל הכדור ו-

0

{\displaystyle 0}

 באזור החור.למה זה טוב? כי עבור כל אחד משני הגופים האלו אנחנו יודעים מיד איפה מרכז המסה - במרכז כל אחד מהכדורים. כל שנשאר לעשות הוא לחבר אותן ביחד:
נניח שמרכז הכדור הגדול נמצא בראשית ושמרכז החור נמצא על החלק החיובי של ציר ה-

x

{\displaystyle x}

. נקבל:

r
→

c
.
m
.

=

m
1

r
→

1

m
2

r
→

2

m
1

m
2

=

{\displaystyle \vec{r}\_{c.m.} = \frac{m\_1 \vec{r}\_1 + m\_2 \vec{r}\_2}{m\_1+m\_2} = }

=

4
π

R
3

3

ρ

(

0
,
0
,
0

)

4
π

r
3

3

(
−
ρ
)

(

d
,
0
,
0

)

4
π

R
3

3

ρ

4
π

r
3

3

(
−
ρ
)

=

{\displaystyle = \frac{\frac{4\pi R^3}{3}\rho \left ( 0, 0, 0 \right ) + \frac{4\pi r^3}{3}(-\rho) \left ( d, 0, 0 \right )}{\frac{4\pi R^3}{3}\rho + \frac{4\pi r^3}{3}(-\rho)} = }

=

R
3

(

0
,
0
,
0

)

−

r
3

(

d
,
0
,
0

)

R
3

−

r
3

=

{\displaystyle = \frac{R^3 \left ( 0, 0, 0 \right ) - r^3 \left ( d, 0, 0 \right )}{R^3-r^3} = }

=

(

−

r
3

R
3

−

r
3

d
,
0
,
0

)

{\displaystyle = \left ( -\frac{r^3}{R^3-r^3} d, 0, 0 \right )}

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

{\displaystyle {\color{white}................................................................................................................................................} }

## מהירות ותאוצת מרכז המסה

כאשר מיקומי הגופים משתנים בזמן, גם מרכז המסה משתנה. נראה מה קורה כשאנחנו מחשבים את המהירות של מרכז המסה של מערכת:

v
→

c
.
m
.

=

d

r
→

c
.
m
.

d
t

=

d

d
t

∑

# i
1

n

r
→

i

m

i

M

=

∑

# i
1

n

d

r
→

i

d
t

m

i

M

=

∑

# i
1

n

v
→

i

m

i

M

=

P
→

M

{\displaystyle \vec{v}\_{c.m.}=\frac{d\vec{r}\_{c.m.}}{dt}=\frac{d}{dt}\frac{\sum\_{i=1}^{n}\vec{r}\_{i} m\_{i}}{M}=\frac{\sum\_{i=1}^{n}\frac{d\vec{r}\_{i}}{dt}m\_{i}}{M}=\frac{\sum\_{i=1}^{n} \vec{v}\_i m\_{i}}{M}=\frac{\vec{P}}{M} }

כאשר

P
→

=

∑

# i
1

n

v
→

i

m

i

{\displaystyle \vec{P}=\sum\_{i=1}^{n}\vec{v}\_{i}m\_{i} }

 הוא התנע הכולל של המערכת. העברת אגפים נותנת את הקשר:

P
→

t
o
t
a
l

=
M

v
→

c
.
m
.

{\displaystyle \vec{P}\_{total} = M\vec{v}\_{c.m.}}

כלומר, התנע הכולל של המערכת מתנהג כאילו כל המסה של המערכת מרוכזת במרכז המסה ונעה יחד איתו. המשמעות של זה היא שכדי למצוא את התנע של מערכת, מסובכת ככל שתהיה - מספיק למצוא את מהירות מרכז המסה שלה והתנע הכולל יתקבל מיד מהכפלה במסה הכוללת של המערכת.

דבר דומה קורה עם תאוצת מרכז המסה - אם נגזור את המשוואה שקיבלנו לפי הזמן, נקבל את הקשר:

M

a
→

c
.
m
.

=
M

d

v
→

c
.
m
.

d
t

=

d

P
→

d
t

=

F
→

e
x
t

{\displaystyle M\vec{a}\_{c.m.}=M\frac{d\vec{v}\_{c.m.}}{dt}=\frac{d\vec{P}}{dt}=\vec{F}\_{ext} }

(כאשר

F
→

e
x
t

{\displaystyle \vec{F}\_{ext}}

 הוא הכוח החיצוני הכולל הפועל על המערכת. המעבר האחרון מתקבל לפי חוק שימור התנע.)

המשמעות של זה היא שמרכז הכובד מקיים את החוק השני של ניוטון עבור המסה הכוללת של המערכת:

כלומר ניתן להתייחס למערכת כולה כגוף שמיקומו

r
→

c
.
m
.

{\displaystyle \vec{r}\_{c.m.} }

 ומסתו

M

{\displaystyle M}

. כל זה מקל מאוד את הטיפול במערכות המורכבות ממסות רבות או גופים שאינם נקודתיים (שניתן להסתכל עליהם כעל חיבור רציף של אינסוף גופים נקודתיים).

מה שעשינו כאן בעצם זה להרחיב את חוקי ניוטון למערכות מורכבות: מרכז המסה של מערכת שלא פועלים עליה כוחות חיצוניים (או שסכום הכוחות החיצוניים הפועלים על כלל רכיביה) יתמיד בתנועתו; אם כן יש כוח שקול חיצוני, מרכז המסה של המערכת יאיץ באותה הצורה בה היה מאיץ גוף נקודתי שמסתו כמסת המערכת תחת אותו הכוח השקול. החוק השלישי נובע בצורה די טריוויאלית מעצם הגדרתו (נסה להוכיח זאת לעצמך).

נובעת מכאן תוצאה חשובה נוספת - כאשר גוף מסתובב סביב עצמו מבלי שיפעל עליו כוח חיצוני, הגוף תמיד יסתובב סביב מרכז המסה שלו. זאת כיוון שסיבוב סביב כל נקודה אחרת יגרום למרכז המסה להאיץ.