4-וקטור

**4-וקטור** הוא אובייקט מתמטי המהווה מעין הרחבה של מושג הוקטור מהמרחב התלת מימדי הרגיל, למרחב-זמן ה-4 מימדי של היחסות הפרטית. בנוסף ל-3 הרכיבים הרגילים של וקטור המתאימים לכיווני שלושת הצירים במרחב, מתווסף רכיב 0, שהוא רכיב "בכיוון הזמן".

## 4-וקטורים וטרנספורמציית לורנץ

במבט ראשון, נראה שהמונח של 4-וקטורים לוקח שני יצורים לא ממש קשורים (זמן ווקטור מיקום, למשל) ומחבר אותם ביחד בצורה מלאכותית וחסרת משמעות. כדי להבין למה החיבור הזה הוא למעשה מעוד טבעי, נתבונן קודם בוקטורים רגילים:

מדוע החיבור של "מיקום בציר

x

{\displaystyle x}

", "מיקום בציר

y

{\displaystyle y}

" ו-"מיקום בציר

z

{\displaystyle z}

" לייצור אחד בשם "וקטור המיקום" הוא חיבור טבעי ובעל משמעות יותר מהחיבור יחד של "מסת גוף א'", "מסת גוף ב'", ו-"מסת גוף ג'"? הסיבה לכך היא **ההתנהגות תחת טרנספורמציות של המרחב**. אם נחליט להסתכל על הבעיה מזווית אחרת, כלומר, דרך מערכת צירים שונה, וקטור המיקום ישנה את צורתו בהתאם, אבל הרשימה של (מסה א', מסה ב', מסה ג') לא תשתנה בהתאם, או בכלל. וקטור הוא לא סתם רשימה של שלושה מספרים, אלא רשימה של שלושה מספרים **שעוברת טרנספורמציה "כמו שצריך"**.

היחסות הפרטית מציגה בפנינו קונספט חדש - כשעוברים למערכת ייחוס אחרת שנעה במהירות ביחס לזו המקורית, המרחב לא עובר טרנספורמציה לבד, אלא "מתערבב" עם הזמן לפי טרנספורמציית לורנץ. זו הטרנספורמצייה הטבעית של המרחב במעבר בין מערכות ייחוס. לכן, 4-וקטור יהיה רשימה של ארבעה מספרים **אשר במעבר בין מערכות ייחוס, משתנה לפי טרנספורמציית לורנץ.**

## מרחב-זמן

ה-4-וקטור הבסיסי ביותר הוא וקטור המרחב-זמן, הנקרא גם מאורע. מימד הזמן שלו הוא הזמן, ומימד המרחב שלו הוא המיקום במרחב, כלומר הוא מתאר נקודה במרחב ובזמן.

ה-4-וקטור הזה עובר מעצם הגדרתו טרנספורמציית לורנץ.

## תנע-אנרגיה

ה-4-וקטור השני במכניקה יחסותית מכיל את האנרגיה של חלקיק במימד הזמן, ואת התנע שלו במימד המרחב, וקטור זה כמובן מקיים חוקי שימור, ולכן הוא חשוב מאוד במכניקה.

### הטרנספורמציה

נסתכל תחילה על הטרנספורמציה שעוברת המהירות (שימו לב שמימד

z

{\displaystyle z}

 זהה לחלוטין ל

y

{\displaystyle y}

 ולכן לא נכלל כאן)

u

x

′

=

d

x
′

d

t
′

=

γ
(
d
x
−
v
d
t
)

γ
(
d
t
−

v

c

2

d
x
)

=

u

x

−
v

1
−

v

u

x

c

2

{\displaystyle u'\_{x}=\frac{dx'}{dt'}=\frac{\gamma(dx-vdt)}{\gamma(dt-\frac{v}{c^{2}}dx)}=\frac{u\_{x}-v}{1-\frac{vu\_{x}}{c^{2}}} }

u

y

=

d

y
′

d

t
′

=

d
y

γ
(
d
t
−

v

c

2

d
x
)

=

u

y

γ
(
1
−

v

u

x

c

2

)

{\displaystyle u\_{y}=\frac{dy'}{dt'}=\frac{dy}{\gamma(dt-\frac{v}{c^{2}}dx)}=\frac{u\_{y}}{\gamma(1-\frac{vu\_{x}}{c^{2}})} }

כעת נסתכל על הטרנספורמציה של פקטור לורנץ:

γ

u
′

=

1

1
−

u
′

x

2

u
′

y

2

u
′

z

2

c

2

=

1

1
−

γ

2

(

u

x

−
v

)

2

u

y

2

u

z

2

γ

2

c

2

(
1
−

v

u

x

c

2

)

2

=

{\displaystyle \gamma\_{u'}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{{u'}\_{x}^{2}+{u'}\_{y}^{2}+{u'}\_{z}^{2}}{c^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{\gamma^{2}(u\_{x}-v)^{2}+u\_{y}^{2}+u\_{z}^{2}}{\gamma^{2}c^{2}(1-\frac{vu\_{x}}{c^{2}})^{2}}}}= }

=

γ

2

c

2

(
1
−

v

u

x

c

2

)

2

γ

2

c

2

(
1
−

v

u

x

c

2

)

2

−

γ

2

(

u

x

−
v

)

2

−

u

y

2

−

u

z

2

=

{\displaystyle =\frac{\sqrt{\gamma^{2}c^{2}(1-\frac{vu\_{x}}{c^{2}})^{2}}}{\sqrt{\gamma^{2}c^{2}(1-\frac{vu\_{x}}{c^{2}})^{2}-\gamma^{2}(u\_{x}-v)^{2}-u\_{y}^{2}-u\_{z}^{2}}}= }

=

γ
c
(
1
−

v

u

x

c

2

)

γ

2

c

2

−
2

γ

2

v

u

x

γ

2

v

2

u

x

2

c

2

−

γ

2

u

x

2

2

γ

2

u

x

v

γ

2

v

2

−

u

y

2

−

u

z

2

=

{\displaystyle =\frac{\gamma c(1-\frac{vu\_{x}}{c^{2}})}{\sqrt{\gamma^{2}c^{2}-2\gamma^{2}vu\_{x}+\gamma^{2}\frac{v^{2}u\_{x}^{2}}{c^{2}}-\gamma^{2}u\_{x}^{2}+2\gamma^{2}u\_{x}v+\gamma^{2}v^{2}-u\_{y}^{2}-u\_{z}^{2}}}= }

=
γ
(
1
−

v

u

x

c

2

)

1

γ

2

(
1
−

v

2

c

2

)
−

γ

2

u

x

2

(
1
−

v

2

c

2

)

u

y

2

u

z

2

c

2

=

γ
(
1
−

v

u

x

c

2

)

1
−

u

x

2

u

y

2

u

z

2

c

2

=
γ

γ

u

(
1
−

v

u

x

c

2

)

{\displaystyle =\gamma(1-\frac{vu\_{x}}{c^{2}})\frac{1}{\sqrt{\gamma^{2}(1-\frac{v^{2}}{c^{2}})-\frac{\gamma^{2}u\_{x}^{2}(1-\frac{v^{2}}{c^{2}})+u\_{y}^{2}+u\_{z}^{2}}{c^{2}}}}=\frac{\gamma(1-\frac{vu\_{x}}{c^{2}})}{\sqrt{1-\frac{u\_{x}^{2}+u\_{y}^{2}+u\_{z}^{2}}{c^{2}}}}=\gamma\gamma\_{u}(1-\frac{vu\_{x}}{c^{2}}) }

כעת ניתן לחשב בקלות את הטרנספורמציה לתנע ואנרגיה:

E
′

=

γ

u
′

m

c

2

=
γ

γ

u

m

c

2

(
1
−

v

u

x

c

2

# )
γ
(

γ

u

m

c

2

−
v
m

γ

u

u

x

# )
γ
(
E
−
v

p

x

)

{\displaystyle E'=\gamma\_{u'}mc^{2}=\gamma\gamma\_{u}mc^{2}(1-\frac{vu\_{x}}{c^{2}})=\gamma(\gamma\_{u}mc^{2}-vm\gamma\_{u}u\_{x})=\gamma(E-vp\_{x}) }

p

x

′

=
m

γ

u
′

u

x

′

=
m
γ

γ

u

(
1
−

v

u

x

c

2

)

u

x

−
v

1
−

v

u

x

c

2

=
γ
(

γ

u

m

u

x

−
v

γ

u

m

c

2

c

2

# )
γ
(

p

x

−

v

c

2

E
)

{\displaystyle p'\_{x}=m\gamma\_{u'}u'\_{x}=m\gamma\gamma\_{u}(1-\frac{vu\_{x}}{c^{2}})\frac{u\_{x}-v}{1-\frac{vu\_{x}}{c^{2}}}=\gamma(\gamma\_{u}mu\_{x}-v\frac{\gamma\_{u}mc^{2}}{c^{2}})=\gamma(p\_{x}-\frac{v}{c^{2}}E) }

p

y

′

=
m

γ

u
′

u

y

′

=
m
γ

γ

u

(
1
−

v

u

x

c

2

)

u

y

γ
(
1
−

v

u

x

c

2

)

=
m

γ

u

u

y

=

p

y

{\displaystyle p'\_{y}=m\gamma\_{u'}u'\_{y}=m\gamma\gamma\_{u}(1-\frac{vu\_{x}}{c^{2}})\frac{u\_{y}}{\gamma(1-\frac{vu\_{x}}{c^{2}})}=m\gamma\_{u}u\_{y}=p\_{y} }

או בכתיב מטריצות:

(

E
′

p

x

′

p

y

′

p

z

′

)

=

(

γ

−
γ
v

0

0

−
γ

v

c

2

γ

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

)

⋅

(

E

p

x

p

y

p

z

)

{\displaystyle \left(\begin{array}{c}
E'\\
p'\_{x}\\
p'\_{y}\\
p'\_{z}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}
\gamma & -\gamma v & 0 & 0\\
-\gamma\frac{v}{c^{2}} & \gamma & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}
E\\
p\_{x}\\
p\_{y}\\
p\_{z}
\end{array}\right) }

וזו טרנספומצית לורנץ.

## מטען-זרם

באלקטרומגנטיות יחסותית נכנס 4-וקטור חדש: מטען-זרם. 4-וקטור זה מכיל צפיפות מטען במימד הזמן, וצפיפות זרם במימד המרחב.

### הטרנספורמציה

בכדי לפתח את הטרנספורמציה למטען-זרם, נסתכל על צפיפות מטען אחידה

ρ

{\displaystyle \rho}

 הנעה במהירות

u
→

{\displaystyle \vec{u}}

.

המטען נשמר בין מערכות יחוס, אך הוא מתכווץ בפקטור לורנץ לכן מתקיים:

# ρ

γ

u

ρ

s
e
l
f

{\displaystyle \rho=\gamma\_{u}\rho\_{self} }

ובמערכת הייחוס אליה אנחנו עוברים:

ρ
′

=

γ

u
′

ρ

s
e
l
f

{\displaystyle \rho'=\gamma\_{u'}\rho\_{self} }

ולכן

ρ
′

=

γ

u
′

γ

u

# ρ
γ
(
1
−

v

u

x

c

2

)
# ρ
γ
(
ρ
−

v

c

2

J

x

)

{\displaystyle \rho'=\frac{\gamma\_{u'}}{\gamma\_{u}}\rho=\gamma(1-\frac{vu\_{x}}{c^{2}})\rho=\gamma(\rho-\frac{v}{c^{2}}J\_{x}) }

צפיפות הזרם שווה לצפיפות המטען כפול מהירותו:

J

x

′

=

ρ
′

u

x

′

=
γ
(
1
−

v

u

x

c

2

)
ρ

u

x

−
v

1
−

v

u

x

c

2

=
γ
(

J

x

−
v
ρ
)

{\displaystyle J'\_{x}=\rho'u'\_{x}=\gamma(1-\frac{vu\_{x}}{c^{2}})\rho\frac{u\_{x}-v}{1-\frac{vu\_{x}}{c^{2}}}=\gamma(J\_{x}-v\rho) }

J

y

′

=

ρ
′

u

y

′

=
γ
(
1
−

v

u

x

c

2

)
ρ

u

y

γ
(
1
−

v

u

x

c

2

)

=
ρ

u

y

=

J

y

{\displaystyle J'\_{y}=\rho'u'\_{y}=\gamma(1-\frac{vu\_{x}}{c^{2}})\rho\frac{u\_{y}}{\gamma(1-\frac{vu\_{x}}{c^{2}})}=\rho u\_{y}=J\_{y} }

כלומר הטרנספורמציה שעוברת צפיפות המטען הזו היא:

(

ρ
′

J

x

′

J

y

′

J

z

′

)

=

(

γ

−
γ

v

c

2

0

0

−
γ
v

γ

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

)

⋅

(

ρ

J

x

J

y

J

z

)

{\displaystyle \left(\begin{array}{c}
\rho'\\
J'\_{x}\\
J'\_{y}\\
J'\_{z}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}
\gamma & -\gamma\frac{v}{c^{2}} & 0 & 0\\
-\gamma v & \gamma & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}
\rho\\
J\_{x}\\
J\_{y}\\
J\_{z}
\end{array}\right) }

ומכיוון שזו טרנספורמציה לינארית, היא נשמרת בסופרפוזיציה, כלומר הטרנספורמציה תקפה לכל סופרפוזיציה של מטענים נעים, ולכן מתקיימת באופן כללי.

זוהי כמובן גם כן טרנספורמציית לורנץ.

באלקטרומגנטיות יחסותית קיים וקטור נוסף חשוב: 6-וקטור השדה האלקטרומגנטי שכולל 3 מימדים של שדה חשמלי ו-3 של שדה מגנטי.