Definitioner i DisMat

Dette er en oversigt over definitionerne i DisMat-bogen.

Notation: [Indeks] [(Side)]: [Navn] - [Kort resume].

## 1 Logik

2 (1): Udsagn - udtalelse, som er enten sand eller falsk.

6 (1): Prædikat - udsagn indeholdende en eller flere frie variable

11 (2): Konnektiv - og, eller, ikke, medfører, hvis og kun hvis

12 (3): Modstrid - sammensat udsagn, som altid er falsk

14 (3): Tautologi - sammensat udsagn, som altid er sandt

18 (4): Logisk ækvivalens - to sammensatte udsagn med samme sandhedsværdier

20 (5): Kontraponeret implikation - den **kontraponerede implikation** til

p
⇒
q

{\displaystyle p \Rightarrow q }

 er

¬
q
⇒
¬
p

{\displaystyle \neg q \Rightarrow \neg p}

21 (5): Omvendt implikation - den **omvendte implikation** til

p
⇒
q

{\displaystyle p \Rightarrow q }

 er

q
⇒
p

{\displaystyle q \Rightarrow p}

28 (7): Kvantorer -

∀

{\displaystyle \forall}

 (al-kvantoren) betyder "for alle", og

∃

{\displaystyle \exists}

 (eksistens-kvantoren) betyder "der eksisterer mindst ét"

40 (11): Lige tal -

∃
n
∈

N

:
# x
2
n
⇒
x

l
i
g
e

{\displaystyle \exists n\in \mathbb {N} :x=2n\Rightarrow x\ lige}

41 (11): Ulige tal - et **ulige** tal er et helt tal, der ikke er lige (dvs. som kan skrives som

2
n
1

{\displaystyle 2n+1}

)

## 3 Reelle tal, især uligheder

72 (29): Omvendte regningsarter - - (minus) og : (division)

75 (30): Uligheder -

x
≤
y

{\displaystyle x \le y}

 kan også skrives som

y
≥
x

{\displaystyle y\geq x}

;

x
<
y

{\displaystyle x < y}

 betyder

(
x
≤
y
)
∧
(
x
≠
y
)

{\displaystyle (x\leq y)\wedge (x\neq y)}

79 (31): Positive og negative tal -

R

=
{
x
∈

R

0
<
x
}

{\displaystyle \mathbb {R} \_{+}=\{x\in \mathbb {R} |0<x\}}

,

R

−

=
{
x
∈

R

x
<
0
}

{\displaystyle \mathbb {R} \_{-}=\{x\in \mathbb {R} |x<0\}}

100 (35): Numerisk værdi - betegnes |x| og defineres ved

x

=
x

h
v
i
s

x
≥
0
,

x

=
−
x

h
v
i
s

x
<
0

## 4 Hele tal

115 (39): Naturlige tal - Mængden {1, 2, 3, ...}, betegnes

N

{\displaystyle \mathbb{N}}

116 (39): Hele tal - Mængden {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}, betegnes

Z

{\displaystyle \mathbb{Z}}

117 (39): Rationale tal - De tal, som kan skrives som

a
b

{\displaystyle \frac{a}{b}}

, hvor a og b er hele tal, og

b
≠
0

{\displaystyle b\neq 0}

. Betegnes

Q

{\displaystyle \mathbb{Q}}

119 (40): Divisor, Multiplum - Et tal

d
∈

Z

{\displaystyle d\in \mathbb {Z} }

 kaldes en **divisor** i et andet tal

a
∈

Z

{\displaystyle a \in \Z}

 hvis der findes et tal

q
∈

Z

{\displaystyle q\in \mathbb {Z} }

 så

d
# q
a

{\displaystyle dq=a}

. Skrives

d

a

{\displaystyle d | a}

. Siger "*d* går op i *a*" og "*a* er et **multiplum** af *d*"

125 (40): Primtal, Sammensat tal - Et helt tal

a
≥
2

{\displaystyle a \geq 2}

 er et **primtal**, hvis dets eneste divisorer er

±
a
,
±
1

{\displaystyle \pm a,\pm 1}

. Et heltal, der ikke er et primtal kaldes et **sammensat tal**.

128 (41): Fælles divisor - Hvis *d* er en divisor i de hele tal *a* og *b*, siges *d* at være en **fælles divisor** for *a* og *b*. Den **største fælles divisor** for tallene *a* og *b* beteegnes

(
a
,
b
)

{\displaystyle (a,b)}

. Hvis

(
a
,
b
# )
1

{\displaystyle (a, b) = 1}

, er *a* og *b* **indbyrdes primiske** eller at *a* er **primisk** med *b*

129 (41): Fælles multiplum - Et tal *m*, som er et multiplum af både *a* og *b* kaldes et **fælles multiplum** af *a* og *b*. Det mindste fælles multiplum af *a* og *b* kaldes det **mindste fælles multiplum** af *a* og *b* og betegnes

m
f
m
(
a
,
b
)

{\displaystyle mfm(a,b)}

148 (47): Uforkortelig brøk - En brøk

a
b

{\displaystyle \frac{a}{b}}

 kaldes **uforkortelig** hvis

(
a
,
b
# )
1

{\displaystyle (a, b) = 1}

## 5 Analyse og syntese

155 (56): Fibbonaccital - Følgen

a
n

{\displaystyle a\_n}

, der rekursivt defineres ved

a

1

=

a

2

=
1
,

a

n
2

=

a

n
1

a

n

{\displaystyle a\_{1}=a\_{2}=1,a\_{n+2}=a\_{n+1}+a\_{n}}

. De første 10 led er 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55

## 6 Induktionsbeviser

169 (68): Peanos aksiomssystem for de naturlige tal - De naturlige tal er udstyret med en efterfølgerfunktion

S
:

N

→

N

{\displaystyle S:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }

 hvorom det gælder:

1. 1
∈

N

{\displaystyle 1\in\mathbb{N}}
2. ∀
n
∈

N

:
1
≠
S
(
n
)

{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} :1\neq S(n)}
3. ∀
m
,
n
∈

N

:
m
≠
n
⇒
S
(
m
)
≠
S
(
n
)

{\displaystyle \forall m,n\in \mathbb {N} :m\neq n\Rightarrow S(m)\neq S(n)}
4. (induktionsaksiomet) Hvis det for en delmængde

A
⊆

N

{\displaystyle A\subseteq\mathbb{N}}

 gælder, at

1
,
m
∈
A
⇒
S
(
m
)
∈
A

{\displaystyle 1,m\in A\Rightarrow S(m)\in A}

, så gælder, at

# A

N

{\displaystyle A = \mathbb{N}}

## 7 Mængdelære

174 (75): Mængders entydighed: Hvis *A* og *B* er mængder, så er *A*=*B* hvis

x
∈
A
⇔
x
∈
B

{\displaystyle x\in A \Leftrightarrow x\in B}

176 (76): Den tomme mængde: Den entydige mængde uden elementer kaldes den **tomme mængde**. Betegnes

∅

{\displaystyle \emptyset}

184 (77): Delmængde: *A* er en **delmængde** af *B* hvis alle elementer i *A* også er indeholdt i *B*. Dvs.

A
⊆
B

{\displaystyle A \subseteq B}

 hvis

x
∈
A
⇒
x
∈
B

{\displaystyle x\in A \Rightarrow x\in B}

188 (78): Ægte delmængde - *A* er en **ægte delmængde** af *B* hvis

A
⊆
B

{\displaystyle A \subseteq B}

 og

A
≠
B

{\displaystyle A\ne B}

. Betegnes nogle gange

A
⊂
B

{\displaystyle A \subset B}

194 (80): Fællesmængde - Mængden af elementer, der ligger i både *A* og *B*. Betegnes

A
∩
B

{\displaystyle A \cap B}

200 (81): Disjunkte - Hvis

A
∩
# B
∅

{\displaystyle A \cap B = \emptyset}

, er *A* og *B* **disjunkte**

201 (81): Foreningsmængde - Mængden af elementer, der ligger i enten *A* eller *B*. Betegnes

A
∪
B

{\displaystyle A \cup B}

209 (83): Familie af mængder - Hvis

Λ

{\displaystyle \Lambda}

 er en mængde af indicer og der til hvert index

α
∈
Λ

{\displaystyle \alpha \in \Lambda }

 svarer en mængde

A
α

{\displaystyle A\_\alpha}

, så udgør

A
α

{\displaystyle A\_\alpha}

'erne en **familie af mængder** indiceret ved

Λ

{\displaystyle \Lambda}

. Betegnes

{

A

α

}

α
∈
Λ

{\displaystyle \{A\_{\alpha }\}\_{\alpha \in \Lambda }}

210 (83): Fællesmængde af familie - Se bog

214 (84): Foreningsmængde af familie - Se bog

219 (85): Mængdedifferens - Mængden af elementer i *A* men ikke i *B* kaldes **mængdedifferensen** mellem *A* og *B*. Betegnes

A
∖
B

{\displaystyle A\backslash B}

225 (86): Komplementærmængde - Hvis

A
⊆
U

{\displaystyle A\subseteq U}

, hvor *U* er en grundmængde, er

U
∖
A

{\displaystyle U\backslash A}

 **komplementærmængden** af *A*. Betegnes

A
c

{\displaystyle A^c}

240 (89): Ordnet par - Et **ordnet par**

(
a
,
b
)

{\displaystyle (a,b)}

 er et par i en bestemt rækkefølge. To ordnede par er lig hinanden hvis og kun hvis:

1. De indeholder de samme to tal
2. De to tal er i samme rækkefølge

242 (90): Produktmængde - Hvis et ordnet par

(
a
,
b
)

{\displaystyle (a,b)}

 består af

a
∈
A

{\displaystyle a \in A}

 og

b
∈
B

{\displaystyle b\in B}

, så er mængden af sådanne par **produktmængden** af *A* og *B*. Betegnes

A
×
B

{\displaystyle A \times B}

250 (91): Potensmængde - Mængden af delmængder af en mængde *A* kaldes *A*'s **potensmængde**. Betegnes

P
(
A
)

{\displaystyle P(A)}

## 8 Kompositionsregler

257 (97): Kompositionsregel - en forskrift på en mængde *M*, som til 2 elementer *x* og *y* knytter et nyt element

x
⋆
y

{\displaystyle x\star y}

 i *M* (lidt som en funktion)

261 (98): Associativ, Kommutativ - associativ:

x
⋆
(
y
⋆
z
# )
(
x
⋆
y
)
⋆
z

{\displaystyle x\star (y\star z)=(x\star y)\star z}

. Kommutativ:

x
⋆
# y
y
⋆
x

{\displaystyle x \star y = y \star x}

264 (98): Neutralt element - *e* er et neutralt element hvis

x
⋆
# e
e
⋆
# x
x

{\displaystyle x\star e=e\star x=x}

268 (99): Inverst element - *y* er et inverst element til *x* hvis

x
⋆
# y
y
⋆
# x
e

{\displaystyle x\star y=y\star x=e}

273 (99): Gruppe - en mængde *G* med en kompositionsregel

⋆

{\displaystyle \star}

, dvs.

(
G
,
⋆
)

{\displaystyle (G,\star )}

, med følgende egenskaber:

1. ⋆

{\displaystyle \star}

 er associativ
2. Der findes et neutralt element *e*
3. Alle elementer i *G* har et inverst element

274 (100): Abelsk - en gruppe er **abelsk** hvis

⋆

{\displaystyle \star}

 er kommutativ

281 (102): Ring - en mængde *R* med kompositionsregler + og \* kaldes en **ring** og betegnes

(
R
,
,
⋅
)

{\displaystyle (R, +, \cdot)}

 hvis følgende gælder:

1. + er kommutativ
2. + og \* er associative
3. Der eksisterer et additivt og multiplikativt neutralelement (dvs. hhv. 0 og 1)
4. Der eksisterer et additivt inverst element for hvert element i *R*
5. Den distributive lov gælder

282 (103): Kommutativ ring - hvis \* også er kommutativ

299 (105): Invertibel - et element *x* i en ring *R* kaldes **invertibelt** hvis der findes et

x

−
1

{\displaystyle x^{-1}}

, dvs. et multiplikativt inverst element

303 (106): Integritetsområde - en kommutativ ring (som ikke er nulringen), hvor nul-reglen gælder, dvs. hvis

x
⋅
y
⇒
(
# x
0
)
∨
(
# y
0
)

{\displaystyle x\cdot y\Rightarrow (x=0)\vee (y=0)}

308 (107): Legeme - en kommutativ ring (som ikke er nulringen), hvor alle elementer pånær 0 er invertible. Dvs.:

1. + og \* er kommutative
2. + og \* er associative
3. Der findes et additivt og multiplikativt neutralt element (hhv. 0 og 1)
4. Der findes additive og multiplikative inverser for alle elementer (multiplikativt pånær 0)
5. Den distributive lov gælder

312 (108): Omvendte regningsarter for legemer - - (minus) og : (division) defineres ved:

x
−
y
:=
x
(
−
y
)
,

x
:
y
:=
x
⋅

y

−
1

{\displaystyle x-y:=x+(-y),\quad x:y:=x\cdot y^{-1}}

## 9 Restklasser og modulær aritmetik

316 (111): Kongruent - lad

n
∈

N

,
a
,
b
∈

Z

{\displaystyle n\in \mathbb {N} ,a,b\in \mathbb {Z} }

. a er **kongruent** med *b* modulo *n* hvis (og kun hvis)

n

(
a
−
b
)

{\displaystyle n\ |\ (a-b)}

. Betegnes

a
≡
b
(
m
o
d
n
)

{\displaystyle a\equiv b(modn)}

. Fx er

7
≡
1

(
m
o
d

3
)

{\displaystyle 7\equiv 1\ (mod\ 3)}

321 (112): Restklasse - mængden af hele tal, som har samme rest som et helt tal *a* ved division med *n* kaldes *a*'s **restklasse** modulo *n*. Betegnes

[
a

]
n

{\displaystyle [a]\_n}

. Med andre ord

[
a

]

n

=
{
a
n
k

k
∈

Z

}

{\displaystyle [a]\_{n}=\{a+nk\ |\ k\in \mathbb {Z} \}}

323 (113): Repræsentant for restklassen - et element i en restklasse

325 (113): Mængden af restklasser - **mængden af restklasser** mod *n* betegnes

Z

/

n
,

Z

n

,

Z

/

Z

n

{\displaystyle \mathbb {Z} /n,\mathbb {Z} \_{n},\mathbb {Z} /\mathbb {Z} n}

331 (114): Plus og gange for restklasser - hvis *a* og *b* tilhører samme restklasse, så gælder:

1. [
a
]
[
b
# ]
[
a
b
]

{\displaystyle [a]+[b]=[a+b]}
2. [
a
]
⋅
[
b
# ]
[
a
⋅
b
]

{\displaystyle [a]\cdot [b]=[a\cdot b]}

## 10 (Ækvivalens)relationer

347 (120): Relation, Primærmængde, Sekundærmængde - en delmængde *R* af

A
×
B

{\displaystyle A \times B}

 kaldes en **relation** mellem *A* og *B*. *A* kaldes **primærmængden**, og *B* kaldes **sekundærmængden**. En delmængde af

A
×
A

{\displaystyle A \times A}

 kaldes en relation på *A*. Hvis

(
x
,
y
)
∈
R

{\displaystyle (x,y) \in R}

, siger man, at *x* er relateret til *y*, og betegnes

x
R
y

{\displaystyle xRy}

350 (120): Refleksiv, Irrefleksiv, Symmetrisk, Antisymmetrisk, Transitiv -

* Refleksiv:

∀
x
∈
A
:
x
R
x

{\displaystyle \forall x\in A:xRx}
* Irrefleksiv:

∀
x
∈
A
:
¬
x
R
x

{\displaystyle \forall x\in A:\neg xRx}
* Symmetrisk:

x
R
y
⇒
y
R
x

{\displaystyle xRy\Rightarrow yRx}
* Antisymmetrisk:

(
x
R
y
∧
y
R
x
)
⇒
# x
y

{\displaystyle (xRy\wedge yRx)\Rightarrow x=y}
* Transitiv:

x
R
y
∧
y
R
z
⇒
x
R
z

{\displaystyle xRy\wedge yRz\Rightarrow xRz}

354 (121): Relateret delmængde - ligesom relateret mængde, bare med delmængder (se bog)

356 (121): Invers relation - hvis *R* er en relation mellem *A* og *B*, så er *R^-1* den **inverse relation** til *R* hvis

b

R

−
1

a
≡
a
R
b

{\displaystyle bR^{-1}a\equiv aRb}

367 (123): Rute - en endelig følge af elementer i en mængde *A* med en relation *R* fra *a* til *b*. Hvis

(
# a

a

0

,

a

1

,

a

2

,
.
.
.
,

a

n

=
b
)

{\displaystyle (a=a\_{0},a\_{1},a\_{2},...,a\_{n}=b)}

 er en sådan rute, har ruten længden *n* (se bog for uddybning)

370 (124): Ruterelation -

* a

R

n

b

{\displaystyle aR^{n}b}

: Der findes en rute i *R* af længde *n* mellem *a* og *b*
* a

R

∞

b

{\displaystyle aR^{\infty }b}

: Der findes en rute i *R* af en vilkårlig længde mellem *a* og *b*

372 (124): Ækvivalensrelation - en relation ~ på en mængde *A* kaldes en **ækvivalensrelation** hvis den er refleksiv, symmetrisk og transitiv

377 (126): Ækvivalensklasse - hvis

[
a
# ]
{
x
∈
A

x
∼
a
}

{\displaystyle [a]=\{x\in A\ |\ x\sim a\}}

, så kaldes [a] **ækvivalensklassen** hørende til *a*. Hvis [a] hører til relationen ~, kan man skrive

[
a

]

∼

{\displaystyle [a]\_{\sim }}

. Mængden af ækvivalensklasser betegnes

A

/

∼

{\displaystyle A/\sim }

384 (127): Klassedeling - en familie af ikke-tomme delmængder af en mængde *M*, hvor alle delmængder er parvist disjunkte, og hvor foreningsmængden er hele mængden (*M*) selv

389 (128): Klassedelingsrelation - hvis *Ω* er en klassedeling af en mængde *M*, så er en relation

∼

Ω

{\displaystyle \sim \_{\Omega }}

 på *M* defineret ved:

a

∼

Ω

b

{\displaystyle a\sim \_{\Omega }b}

 hvis der findes en mængde

A
∈
Ω

{\displaystyle A \in \Omega}

 så

a
,
b
∈
A

{\displaystyle a,b\in A}