泊松求和公式

泊松求和公式（英文：）由法國數學家泊松所發現，它陳述了一個連續時間的信號，做無限多次的週期複製後，其傅立葉級數與其傅立葉轉換之間數值的關係，亦可用來求周期信號的傅立葉轉換。

公式
设无周期函数具有傅里叶变换：

这里的也可以替代表示为和 。有如下基本的泊松求和公式：

对于二者通过而得到的周期函数：

这里的参数并且，它们有着同一样的单位。有如下普遍的泊松求和公式：

这是一个傅里叶级数展开，其系数是函数的采样。还有：

这也叫做离散时间傅里叶变换。

推導泊松求和公式所需的先備公式
考慮狄拉克δ函數，製作一個有無限多個，且間隔為的週期函數。

其傅立葉轉換為①②

證明①轉換對
=
=。

證明②轉換對
設為週期函數的傅立葉級數。

可表示為。

由傅立葉級數得:

。

因此，。

得到等式:，

經由適當的變量代換，以代換，以代換，得(因為n從負無限大到正無限大)

推導泊松求和公式

從對頻域做取樣尋找關係式

當時，得，

表示一個信號的在時域以為間隔做取樣，在頻域以為間隔做取樣，則兩者的所有取樣點的總和會有倍的關係。

從對時域做取樣尋找關係式

當時，得，

表示一個信號的在時域以為間隔做取樣，在頻域以為間隔做取樣，則兩者的所有取樣點的總和會有倍的關係。

綜合上述，若時域取樣間隔時，同樣地，頻域取樣間隔時，得泊松求和公式。

週期信號的傅立葉轉換
考慮一個週期為的週期信號，為的傅立葉轉換，取出g(t)在區間的一個完整週期，亦即，是的傅立葉轉換，其中是矩形函數。是的傅立葉級數。

則

得出一週期信號的傅立葉轉換與其傅立葉級數之間的關係。

引用

延伸阅读

傅里叶分析
广义函数
格点
分析定理
可和法