多項式譜系

计算复杂度理论中，多项式谱系是一个复杂度系列。它从P、NP和反NP复杂度类逐级产生至预言机。它类似于数理逻辑中算数阶层和分析阶层，只不过是由逐级放宽资源限制而产生的。

定义
多项式谱系有数个等价的定义。

多项式谱系类别之间的关系

由定义可推论出如下关系：

算术阶层和分析阶层中各层次包含关系都已确定为真包含，而多项式谱系中的这些包含关系是否为真包含仍未有定论，但人们普遍相信它们是真包含。如果任一，或者，那么整个多项式层级将坍缩至层：对任一，都有。特别的，如果，那么多项式谱系将完全坍缩。

所有多项式层级的类别的并集为复杂度类PH。

性质

多项式谱系与指数谱系和算术阶层类似，但复杂度更小。

已经确定PH包含于PSPACE，但不确定两者是否相等。这个问题有一个很有用的变体：PH = PSPACE当且仅当二阶逻辑复杂度类不能通过传递闭包运算扩展计算能力。

如果多项式谱系中有任何完备问题，那么它仅有有限个不同的层次。我们知道存在PSPACE完备问题，所以如果PH = PSPACE，PH必然坍缩，因为对任一PSPACE完备问题必然存在整数使得这个问题是完备的。

每个多项式谱系中的复杂度类都包含完备问题（指多项式次多对一规约的完备问题）。而且每个多项式谱系中的复杂度类都对规约封闭，也就是说对于一个多项式谱系中的复杂度类和一个语言，如果，那么。这两个事实表明如果是的完备问题，那么，并且。比如说。换句话说，如果一个语言是由某个预言机定义的，那么我们就可以假设它是基于中的某个完备问题定义的。完备问题这里就相当于对应复杂度类的一个“代表”。

说明BPP包含于多项式谱系中的第二层。

说明对于任意，都不包含于。

户田定理说明PH包含于。

多项式谱系中的问题
 电路最小化是中的一个自然问题。给定数字和计算布尔函数的电路，判定是否存在能够计算并且至多个门的电路。令为所有布尔电路的集合。令为计算门数的函数。则语言

可在多项式时间内确定。语言

为最小化电路语言。因为在多项式时间内可判定，并且给定，当且仅当存在电路使得对于所有输入，。

 一个完备问题是有量词交替的布尔公式的可满足性（缩写为QBFk或者QSATk）。这是版本的布尔可满足性问题。在这个问题中布尔公式的变量被分成了个集合。我们需要确定

是否为真。也就是说存在对的赋值，使得对所有的, 存在对的赋值，……，使得为真。从全称量词开始交替到存在量词再到全称量词的变体则是完备的。

 这份概要包含一份M.R.加里/D.S.约翰逊样式的二阶或更高阶的完备问题清单。

另见
 EXPTIME
 指数谱系
 算术阶层

参考文献
 A. R. Meyer and L. J. Stockmeyer.  The Equivalence Problem for Regular Expressions with Squaring Requires Exponential Space.  In Proceedings of the 13th IEEE Symposium on Switching and Automata Theory, pp. 125–129, 1972.  The paper that introduced the polynomial hierarchy.
 L. J. Stockmeyer. The polynomial-time hierarchy. Theoretical Computer Science, vol.3, pp. 1–22, 1976.
 C. Papadimitriou. Computational Complexity. Addison-Wesley, 1994. Chapter 17. Polynomial hierarchy, pp. 409–438.
  Section 7.2: The Polynomial Hierarchy, pp. 161–167.

引用

数学术语
計算複雜性理論