哈密頓量 (最佳控制)

最优控制中的哈密頓量（Hamiltonian）是由列夫·庞特里亚金所發展，是庞特里亚金最小化原理的一部份。哈密頓量的概念是由古典力學中的哈密顿力学所引發，但兩者是不同的概念。庞特里亚金證明了求解最优控制問題的必要條件，就是要選擇可使哈密頓量最小化的控制輸入。細節可參考庞特里亚金最小化原理。

問題的敘述 

最佳控制的問題，是要選擇控制輸入，使以下的目標函數有最小值

其中為系統狀態，滿足狀態方程式

控制需滿足以下的限制條件

哈密頓量的定義 

 

其中為協態變數組成的向量，其維度和狀態變數相同。

若要進一步瞭解哈密頓量的性質，可參考庞特里亚金最小化原理。

離散時間下的哈密頓量

若問題是在離散時間下，其哈密頓量定義為：

而協態方程為

（注意此處提到，離散哈密頓量在時間的值和協態變數在時間的值有關。這個小差異很重要，在對微分後，可以在協態方程右邊得到和有關的算式。若寫法有誤，所得的協態方程不是後向的差分方程，會帶來錯誤的結果。）

控制哈密頓量和力學哈密頓量的比較 

威廉·哈密頓定義力學中的哈密頓量為三個變數的函數：

其中定義如下

哈密頓再將方程改為

最佳控制中的哈密頓量則是四個變數的函數：

其要有最大值的相關條件為

上述定義和Sussmann及Willems論文所提的一致。Sussmann及Willems證明了控制哈密頓量可以用在動力學上，例如最速降線問題，不過沒有提到康斯坦丁·卡拉西奥多里較早時期在此領域的貢獻。

參考資料

外部連結 
 

最佳控制