李亞普諾夫方程

李亞普諾夫方程（）是控制理論中的名詞，離散李亞普諾夫方程的型式如下：

其中為埃尔米特矩阵，為的共轭转置。而連續李亞普諾夫方程則是

李亞普諾夫方程應用在控制理論中的許多分支中，例如稳定性分析及最优控制。李亞普諾夫方程是得名自俄羅斯數學家亞歷山大·李亞普諾夫。

在穩定性中的應用
在以下的定理中，，且 和是對應矩陣。而的意思是指矩陣為正定矩陣。

定理（連續時間版本）：給定任意，存在唯一滿足的充份必要條件是線性系統是全域漸近穩定。二次函數是李亞普諾夫函數，可以驗證系統的穩定性。

定理（離散時間版本）：給定任意，存在唯一滿足的充份必要條件是線性系統是全域漸近穩定。為其李亞普諾夫函數。

求解的計算層面
有特殊的軟體可以求解李亞普諾夫方程。若是離散型式，常會用Kitagawa的Schur法，若是連續型式，則會用Bartels和Stewart的計算法。

解析解
定義（向量化）運算子是將矩陣A的所有列堆起来所形成的列向量，而是和的克罗内克积。兩種李亞普諾夫方程都可以用矩陣方程的解來表示。而且，若矩陣穩定，解也可以用積分（連續時間）或是無限項和（離散時間）來表示。

離散時間
利用的結果，可以得到

其中為的單位矩陣。可以積分或或是求解線性方程，即可以得到。再將各列重新整理，即可得到。

而且，若穩定，解也可以表示為
。

連續時間
再利用克罗内克积和運算子，可以得到矩陣方程

其中是將各元素取共軛得到的矩陣。

類似離散時間的情形，若穩定，解也可以表示為
.

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參考資料

外部連結
Online Lyapunov equation solver

控制理论