LQR控制器

最优控制理論主要探討的是讓动力系统以在最小成本來運作，若系統動態可以用一組线性微分方程表示，而其成本為二次泛函，這類的問題稱為線性二次（LQ）問題。此類問題的解即為線性二次調節器（），簡稱LQR。

LQR是回授控制器，方程式在後面會提到。LQR是LQG（線性二次高斯）問題解當中重要的一部份。而LQG問題和LQR問題都是控制理论中最基礎的問題之一。

簡介
控制機器（例如飛機）的控制器，或是控制製程（例如化學反應）的控制器，可以進行最佳控制，方式是先設定成本函數，再由工程師設定加權，利用數學演算法來找到使成本函數最小化的設定值。成本函數一般會定義為主要量測量（例如飛行高度或是制程溫度）和理想值的偏差的和。演算法會設法調整參數，讓這些不希望出現的偏差降到最小。而控制量的大小本身也會包括在成本函數中。

LQR演算法減少了工程師為了讓控制器最佳化，而需付出的心力。不過工程師仍然要列出成本函數的相關參數，並且將結果和理想的設計目標比較。因此控制器的建構常會是迭代的，工程師在模擬過程中決定最佳控制器，再去調整參數讓結果更接近設計目標。

在本質上，LQR演算法是找尋合適狀態回授控制器的自動化方式。因此也常會有控制工程師用其他替代方式，例如全狀態回授（也稱為極點安置）的作法，此作法對控制器參數和控制器性能之間的關係比較明確。而LQR演算法的困難之處在找合適的加權因子，這也限制了以LQR控制器合成的相關應用。

有限時間長度，連續時間的LQR

方程式如下的連續時間線性系統，：

其二次成本泛函為

其中F、Q和R都是正定矩陣。

可以讓成本最小化的回授控制律為

其中為

而是連續時間Riccati方程的解：

邊界條件如下

Jmin的一階條件如下

(i) 狀態方程 

(ii) 協態方程 

(iii) 靜止方程

(iv) 邊界條件

且

無限時間長度，連續時間的LQR

考慮以下的連續時間線性系統

其成本泛函為

可以讓成本最小化的回授控制律為

其中定義為

而是代數Riccati方程的解

也可以寫成下式

其中

有限時間長度，離散時間的LQR

考慮離散時間的線性系統，定義如下

其性能指標為

可以讓性能指標最小化的最佳控制序列為

其中

而是由動態Riccati方程倒退時間佚代計算而得

從終端條件開始計算。注意沒有定義，因為  是由推導到其最終狀態 。

無限時間長度，離散時間的LQR

考慮離散時間的線性系統，定義如下

其性能指標為

可以讓性能指標最小化的最佳控制序列為

其中

而是離散代數Riccati方程（DARE）的唯一正定解。

.

可以寫成

其中

.

而求解代數Riccati方程的一個方式是迭代計算有限時間的動態Riccati方程，直到所得的解收斂為止。

參考資料

外部連結
 MATLAB function for Linear Quadratic Regulator design 
 Mathematica function for Linear Quadratic Regulator design 

最佳控制