素数倒数幻方

素数倒数幻方（prime reciprocal magic square）是指用素数倒数及其倍數的循環小數各位數組成的幻方。有些素数的倒数則可以形成對角線和也滿足條件的幻方。

考慮在十進制下的1/7，其小數為循環小數1/7 = 0·142857142857142857...，若再考慮其倍數，會看到這六個數字的：

 1/7 = 0·1 4 2 8 5 7...
 2/7 = 0·2 8 5 7 1 4...
 3/7 = 0·4 2 8 5 7 1...
 4/7 = 0·5 7 1 4 2 8...
 5/7 = 0·7 1 4 2 8 5...
 6/7 = 0·8 5 7 1 4 2...

若用上述數字形成方陣，每一列的和是1+4+2+8+5+7，即為27，每一行的和也是27，若不考慮對角線，因此可以形成一個幻方：

 1 4 2 8 5 7
 2 8 5 7 1 4
 4 2 8 5 7 1
 5 7 1 4 2 8
 7 1 4 2 8 5
 8 5 7 1 4 2

不過其對角線不是27。

考慮1/19的倍數，下一行是上一行的二倍，而小數位數似乎右移一位：

 01/19 = 0.052631578,947368421
 02/19 = 0.1052631578,94736842
 04/19 = 0.21052631578,9473684
 08/19 = 0.421052631578,947368
 16/19 = 0.8421052631578,94736

分子乘以2會讓小數的位數右移一位：

在1/19形成的方陣中，其最大週期為18，每一行及每一列的和是81，而且對角線也是81，完全符合幻方的條件：

 01/19 = 0·0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1...
 02/19 = 0·1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2...
 03/19 = 0·1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3...
 04/19 = 0·2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4...
 05/19 = 0·2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5...
 06/19 = 0·3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6...
 07/19 = 0·3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7...
 08/19 = 0·4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8...
 09/19 = 0·4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9...
 10/19 = 0·5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0...
 11/19 = 0·5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1...
 12/19 = 0·6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2...
 13/19 = 0·6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3...
 14/19 = 0·7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4...
 15/19 = 0·7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5...
 16/19 = 0·8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6...
 17/19 = 0·8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7...
 18/19 = 0·9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8...

在各素數在不同進制下，也可能會有相同的現象，以下是列表，列出素數、進制以及幻方和　（(進制-1) 乘 (素數-1) / 2：

相關條目
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參考資料
Rademacher, H. and Toeplitz, O. The Enjoyment of Mathematics: Selections from Mathematics for the Amateur. Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 158–160, 1957.

Weisstein, Eric W. "Midy's Theorem." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/MidysTheorem.html 

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