彭尼的游戏

彭尼的游戏（Penney's game）由沃尔特·彭尼（）提出，是一个两个玩家之间生成用“正面”和“反面”为代称产生二进制数列的游戏。玩家A报出至少包含3个项、每项只能是正面或反面的序列，然后展示给玩家B；玩家B则给出等长的正面反面序列。随后, 投掷一面均匀的硬币，观察正反，直至投掷出一段序列刚好和某个玩家的序列吻合，则该名玩家获胜。

将序列中每个正面或者反面的判断称为比特（bit），使用长度为3比特的序列，玩家B相对玩家A有优势。这是因为这个游戏是一个非传递博弈，所以无论如何选定第一个序列，总会有一个序列有更大的获胜概率。

长度为3bit的游戏分析
长度为3比特的游戏中,第二名玩家可以通过以下途径最大化其胜算（odds）：

（H表示正面朝上，T表示反面朝上）

简单的来说，对于2号玩家可以记下如下的序列作为获胜的技巧或者是讨喜的技巧（bar trick）：第一个比特与1号玩家的第二个比特相反，第二个比特与1号玩家的第一个比特相同，第三个比特与1号玩家的第二个比特相同。
如果1号玩家选择了“1-2-3”为顺序编号的序列，每个编号代表一个比特(正面/反面)，
那么2号玩家则应该选择：(与2相反)-1-2 

这一结果有一个直观的解释：依照这种方法，当1号玩家猜测的前两比特刚好对上时，2号玩家的后两比特也对上，而1号玩家仍需要再猜测一轮才知晓是否胜利，直觉上而言，认为2号玩家更可能先猜全序列而成为赢家。

3bit以上情形分析
在比特不小于4时1号玩家的优化策略由J.A. Csirik提出的(见参考资料)。这一策略即是选择HTTTT.....TTTHH( T's)这样的序列。在此情形下，2号玩家的最大胜率为。

带扑克牌的变种
其中一种变种使用一套普通的扑克牌，被称为Humble-Nishiyama随机性游戏。该游戏遵从与彭尼的游戏同样的格式，只不过把猜正反改成猜红牌黑牌。

游戏规则如下：

游戏开始时，各玩家决定在游戏中使用的对于连续三张卡片的颜色猜测顺序。每次抽出一张卡片，并按顺序放成一线，直至被选的三联顺序出现。选中这一顺序的玩家拿走最后对上的三张牌, 称为拿到1个“trick”。游戏用余下牌继续，直至玩家不断地拿到“trick”所有牌被拿完为止。拿了最多“trick”的玩家即为赢家。

这一游戏通常会包含7个“trick”。基于扑克牌的游戏非常接近于原先游戏的重复，2号玩家的优势被极大地放大。但是概率有略微不同，因为投硬币得到的两个结果是独立的，而取出红牌于黑牌的概率取决于之前的抽牌。记红为R，黑为B，正面为H，反面为T，可以注意到HHT对比HTH和HTT的概率比是2：1，但BBR对比BRB和BRR的概率比各不相同。

以下为电脑模拟对每种策略的结果的估算概率：

如果游戏在多于1个trick时结束，平局概率微乎其微。2号玩家的胜率如下表所示：

带轮盘的变体

Robert W. Vallin以及后来他和Aaron M. Montgomery一起发表了有关赌便士问题的研究结果。他们把这一游戏改编为（美式）轮盘，玩家们通过选择红色或黑色，而不是硬币的正面反面，来进行游戏。这种情况下，球落在红色与黑色区域的概率各为9/19，而球落在绿色区域的概率为1/19。绿色区域有很多解读方式：

(1)作为状况外卡牌，既可以当黑也可以当红； 
(2)意即本轮无效须重来，或者游戏直接结束；
(3)作为一种非红非黑的颜色参与到序列中。 

其研究结果计算了胜算与结束游戏所需要的回合数。

参见
非传递博弈

参考资料

 Walter Penney, Journal of Recreational Mathematics, October 1969, p. 241.
 Martin Gardner, "Time Travel and Other Mathematical Bewilderments", W. H. Freeman, 1988.
 L.J. Guibas and A.M. Odlyzko, "String Overlaps, Pattern Matching, and Nontransitive Games",  Journal of Combinatorial Theory, Series A.  Volume 30, Issue 2, (1981), pp 183–208.
 Elwyn R. Berlekamp, John H. Conway and Richard K. Guy, "Winning Ways for your Mathematical Plays", 2nd Edition, Volume 4, AK Peters (2004), p. 885.
 S. Humble & Y. Nishiyama, "Humble-Nishiyama Randomness Game - A New Variation on Penney's Coin Game", IMA Mathematics Today. Vol 46, No. 4, August 2010, pp 194–195.
 Steve Humble & Yutaka Nishiyama, "Winning Odds" , Plus Magazine, Issue 55, June 2010.
 Yutaka Nishiyama, Pattern Matching Probabilities and Paradoxes as a New Variation on Penney’s Coin Game , International Journal of Pure and Applied Mathematics, Vol.59, No.3, 2010, 357-366.
 Ed Pegg, Jr., "How to Win at Coin Flipping" , Wolfram Blog , 30 November 2010.
 J.A. Csirik, "Optimal strategy for the first player in the Penney ante game", Combinatorics, Probability and Computing, Volume 1, Issue 4 (1992), pp 311–321.
Robert W. Vallin “A sequence game on a roulette wheel,” The Mathematics of Very Entertaining Subjects: Research in Recreational Math, Volume II, Princeton University Press, (to be published in 2017)
 James Brofos, "A Markov Chain Analysis of a Pattern Matching Coin Game." arXiv:1406.2212  (2014).

博弈论