分佈式參數系統

分佈式參數系統（）不同於集總參數系統，是状态空间為無限維度的系統。這類系統也稱為是無限維系統。典型的例子是用偏微分方程或是时滞微分方程描述的系統。以下段落所探討的會以線性非時變分佈式參數系統為主。

抽象发展方程

離散時間 
假設U、X和Y是希尔伯特空间，而 ∈ L(X),  ∈ L(U, X),  ∈ L(X, Y) 和 ∈ L(U, Y)，以下方程可確定一個離散時間的線性非時變系統：

其中（狀態）是序列，其值在X內，（輸入或是控制）是序列，其值在U內，（輸出）為序列，其值在Y內。

連續時間 
連續時間的例子類似離散時間，但需要用微分方程表示，不是用差分方程表示：
,

接下來複雜的部份就是將實際的問題（例如偏微分方程或是时滞微分方程）加到上述的抽象发展方程中，作法是強制使用无界算子。一般會假定A狀態空間X裡的。假定B、C和D是有界算子，允許包括多待分析的實際的例子，不過有些實際的例子也會假定B和C是無界的。

例子：偏微分方程 
及的偏微分方程如下

符合上述的抽象发展方程。說明如下：輸入空間U及輸出空間Y都選定是複數的集合，狀態空間X選定是L2(0, 1)，A算子定義為:
可以證明A可以產生X空間內的強連續半羣。有界算子B, C和D定義為

例子：时滞微分方程 
时滞微分方程

符合上述的抽象发展方程。說明如下：輸入空間U及輸出空間Y都選定是複數的集合，狀態空間X選定是L2(−τ, 0)複數的乘積，A算子定義為

可以證明A可以產生X空間內的強連續半羣。有界算子B, C和D定義為

傳遞函數 
分佈式參數系統的傳遞函數和有限維度下的情形相同，都是利用拉氏轉換（連續時間）或是Z轉換（離散時間）來定義。不過有限維度下的傳遞函數是真分式的有理函數，而無限維度的傳遞函數會是無理函數（不過仍然是全純函數）。

離散時間 
離散時間的傳遞函數可以用狀態空間參數，表示為以下的形式，函數在圓心為原點的圓盤內是全純的。若1/z在A的resolvent set內（可能是另一個以圓心為原點，較小的圓盤），則傳遞函數為。任何在零點為全純的函數都有對應的離散系統，使該函數為離散系統的傳遞函數。

連續時間 
若A可產生強連續半群，且B、C及D為有界算子，則傳遞函數可以用狀態空間參數表示為，其中s的實部比A產生半群的指數成長上界要大。在更廣泛的情形下，上述公式不一定有意義，不過上述公式適當推廣後的版本仍然會有效。

若要得到傳遞函數的簡單表示式，較理想的方式是將微分方式進行拉氏轉換，而不是用狀態空間中的參數來表示。

偏微分方程的傳遞函數 
令初始條件為0，將對t進行過拉氏轉換的函數用大寫表示，可以將偏微分方程轉換為以下的形式

這是非齊次線性微分方程，變數為，s為參數，且初始條件為零。其解為。用此式來代入有Y 的方式中並且積分，可以得到，因此傳遞函數為。

時滯微分方程的傳遞函數 
類似上述偏微分程的例子，時滯微分方程的傳遞函數為 。

可控制性 
在有限維的系統中，可控制性的定義只有一種，但無限維的系統中，有幾種不相容的可控制性定義。以下是最重要的三種：
精確可控制性（Exact controllability）
近似可控制性（Approximate controllability）
零可控制性（Null controllability)

離散時間下的可控制性 
在離散時間系統中，將所有U值序列的集合映射到X的映射相當的重要，其表示式為。是初始條件為零時，給定輸入序列u下達到的狀態。The system is called 
系統在時間n內為精確可控制（exactly controllable）若的值域為X。
系統在時間n內為近似可控制（approximately controllable）若的值域是X內的稠密集。
系統在時間n內為零可控制（null controllable）若的值包括An的值域。

連續時間下的可控制性 
在連續時間系統中，（表示為）有和離散時間系統的一樣重要的角色。不過，控制函數所在的空間也會影響定義。一般的選擇是L2(0, ∞;U)，是在(0, ∞)區間內U值平方可積函數的（等效）空間，不過也有其他的定義，例如L1(0, ∞;U)。當的定義域選定之後，有以下幾種不同的可控制性。
系統在時間t內為精確可控制（exactly controllable）若的值域為X。
系統在時間t內為近似可控制（approximately controllable）若的值域為X內的稠密集。
系統在時間t內為零可控制（null controllable）若的值包括的值域。

可觀察性 
就如同有限維度下的情形一樣，無限維度的可觀察性也是可控制性的對偶概念。無限維度有很多種的可觀察性定義，最重要的三個如下：
精確可觀察性（exactly observable），也稱為連續可觀察性（continuous observability）
近似可觀察性（approximately observable）
最終狀態可觀察性（final state observable）

離散時間下的可觀察性 
在離散時間系統的可觀察性中，（將X映射到所有Y值序列空間的映射，若k ≤ n，表示為，在k > n時，數值為0)。意思是是初始條件x，控制輸入為0時的truncated output。有以下幾種可觀察性
在時間n有精確可觀察性（exactly observable），若存在 kn > 0 ，使得　，在所有 x ∈ X 時都成立
在時間n有近似可觀察性（approximately observable），若為单射
在時間n有最終狀態可觀察性（final state observable），若存在 kn > 0 使得，在所有 x ∈ X 時都成立

連續時間下的可觀察性 
在連續時間系統的可觀察性中，（表示為，其中s∈[0,t]，若s>t時為零）的角色和在離散時間系統中的相當。不過運算子作用的函數空間也會影響其定義。常見的選擇是L2(0, ∞, Y)，是（等效於）在定義域(0,∞)內的Y-值平方可積函數，不過也可以選擇其他的函數空間，例如L1(0, ∞, Y)。只要選擇了的輔域，就可以定義不同的可觀察性，有以下幾種可觀察性：
在時間t有精確可觀察性（exactly observable），若存在kt > 0，使得，在所有 x ∈ X 時都成立
在時間t有近似可觀察性（approximately observable），若為单射
在時間t有最終狀態可觀察性（final state observable），若存在 kt > 0 使得 ，在所有x ∈ X 時都成立

可控制性和可觀察性的對偶 
和有限維度下的情形類似，可控制性和可觀察性也是對偶的概念（若域以及輔域都選用一般的函數空間L2時），這些不同概念的對偶如下：
精確可控制性 ↔ 精確可觀察性。
近似可控制性 ↔ 近似可觀察性。
零可控制性 ↔ 最終狀態可觀察性。

相關條目 
 控制理论
 状态空间

腳註

參考資料