向量测度

向量测度（vector measure）是数学名詞，是指針對集合族定義的函數，其值為滿足特定性質的向量。向量测度是测度概念的推廣，测度是針對集合定義的函數，函數的值只有非負的實數。

定義及相關推論
給定集合域 及巴拿赫空间 ，有限加性向量測度（finitely additive vector measure）簡稱測度，是一個滿足以下條件的函數：針對任二個內的不交集和，下式均成立：

 

向量测度稱為可數加性（countably additive）若針對任意內不交集形成的序列 ，都可以讓內的聯集滿足以下條件

 

等號右邊的级数會收斂到巴拿赫空间的范数。

可以證明向量測度有可數加性，若且唯若針對任何以上的序列，下式均成立

 

其中是的範數。

在Σ-代数中定義的可數加性向量测度，會比有限测度（测度的值為非負數）、有限（测度的值為實數）及（测度的值為複數）要廣泛。

舉例
考慮一個由區間的集合形成的場，以及此區間內所有勒贝格测度形成的族。針對任意集合，定義

 

其中是的指示函数。依的定義不同，會得到不同的結果。

 若是從到Lp空间 的函數，是沒有可數加性的向量测度。
 若是從到Lp空間 的函數，是有可數加性的向量测度。

依照上一節的判別基準(*)可以得到以上的結果。

向量测度的变差
給定向量测度，其变差（variation）定義如下

 

其中是針對所有中，所有將划分到有限不交集的划分

 

此處，為的範數。

的变差是有限可加函數，其值在之間，會使下式成立

 

針對任意在內的。若是有限的，則测度有有界变差（bounded variation）。可以證明若為具有有界变差的向量测度，則具有可數加性若且唯若具有可數加性。

李亞普諾夫定理
在向量测度的理論中，的定理提到non-atomic 向量测度的值域是闭集及凸集 。而且non-atomic 向量测度的值域是高维环面（zonoid，是闭集及凸集，是環帶多面體收斂序列的極限）。李亞普諾夫定理有用在数理经济学、起停式控制的控制理论及。
李亞普諾夫定理已可以用沙普利－福克曼引理證明，後者可以視為是李亞普諾夫定理的离散化版本
。

參考資料

書籍

 Kluvánek, I., Knowles, G, Vector Measures and Control Systems, North-Holland Mathematics Studies 20, Amsterdam, 1976.

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