四次平面曲线

四次平面曲线（）是四的平面代數曲線，可以表示為以下的多變數四次方程：

A, B, C, D, E中至少要有一個不為0。方程式有15個常數，不過方程式若乘以非零的任意數，不會改變曲線，因此可以將其中一個常數固定為1，留下14個可調整的常數。四次曲线的空間可以視為是的实射影空间。依照，若考慮一般位置下14個不同的點，通過這十四個點的四次平面曲线唯一，因此四次平面曲线的自由度為14。

四次曲线最多可以有：
 四個相連的部份
 28個
 3個一般的二重點。

也可以考慮在其他數學域（甚至是环）中的四次曲线，例如在复数中的四次曲线。此時可以得到黎曼曲面，在C上是一維的物件，但在R上是二維的物件。例如，另外也可以探討射影平面下的曲線，由齐次多项式所定義。

舉例

上述曲線中，係數的不同組合產生了以下重要的曲線族。

 卡西尼卵形线
三尖瓣线 
 
 杖头线

双扭线
伯努利双纽线
8字型线
帕斯卡蜗线 

方圓形

&符號曲線
&符號曲線（ampersand curve）是以下方程對應的四次曲線

其亏格為0，有三個一般的雙點，都在實數平面上。

Bean曲線
Bean曲線（bean curve）是以下方程對應的四次曲線

其亏格為0，在原點有一個奇点，是一個一般的三次點
。

Bicuspid曲線
bicuspid是方程式如下的四次曲線：

其中a決定了曲線的大小。
bicuspid只有二個node為奇異點，因此是虧格為1的曲線。

Bow曲線
Bow曲線是方程式如下的四次曲線：

在x=0, y=0處有單一的三重點，是有理曲線，虧格為0。

Cruciform曲線
Cruciform曲線是以下方程的四次曲線

其中a和b為決定曲線形狀的参数。
Cruciform曲線可以透過一個標準的二次變換x ↦ 1/x, y ↦ 1/y轉變為橢圓a2x2 + b2y2 = 1，因此是虧格為0的有理平面代數曲線。Cruciform曲線在实射影平面中有三個雙重點，是（x=0、y=0），（x=0 、z=0） 以及（y=0、z=0）。 

此曲線是有理曲線，參數化後的結果也是有理函數。例如，令a=1及b=2，可得以下的參數式

其中唯一一個無法參數化的點是會讓參數式分母為零的點。

Spiric截面

可以定義成對x軸及y軸對稱的四次平面曲线。Spiric截面包括在環面曲線中，其中包括了及卡西尼卵形线。其英文名稱Spiric源自古希臘文的環面σπειρα。

笛卡儿坐标系下的方程式為

極座標系的方程式為

三葉線
三葉線（three-leaved clover）是以下方程的四次平面曲線

在求解y後，曲線可以表示為以下的方程：

其中二個±是彼此獨立的，因此每一個x會對應四個y值。

三葉線的參數式為

在極坐標（x = r cos φ, y = r sin φ）下的方程如下

這是玫瑰线中k = 3的特例。
三葉線在原點處為三重點，有三個二切線。

參考資料

代數曲線