核主成分分析

核主成分分析（，简称）是多变量统计领域中的一种分析方法，是使用核方法对主成分分析的非线性扩展，即将原数据通过核映射到后再使用原本线性的主成分分析。

背景：线性主成分分析 
线性PCA对于中心化后的数据进行分析，即
,

其中是个多变量样本之一。之后将协方差矩阵

对角化。换言之，即是对协方差矩阵进行特征分解

或写作
.

引入核方法 
一般而言，N个数据点在维空间中是线性不可分的，但它们在维空间中则是几乎必然线性可分的。这也意味着，如果我们能将N个数据点映射到一个N维空间
 其中 
中，就能很容易地构建一个超平面将数据点作任意聚类。不过由于经映射后的向量是线性无关的，我们无法再像在线性PCA中那样显式地对协方差进行特征分解。

而在核PCA中，我们能够使用任意非平凡的函数，但无需显式地计算在高维空间中的值，使我们得以使用非常高维的。为了避免直接在-空间（即特征空间）中操作，我们可以定义一个的核

来代表特征空间的内积空间（见格拉姆矩阵）。这一对偶形式使我们能够进行主成分分析，同时又不用直接在-空间中解协方差矩阵的特征值与特征向量。K中每一列的N个元素代表了转换后的一个数据点与所有N个数据点的点积。

由于我们并不在特征空间中进行计算，核PCA方法不直接计算主成分，而是计算数据点在这些主成分上的投影。特征空间中的一点在第k个主成分上的投影为

其中代表点积，即核中的元素。上式中剩下的部分可以通过解特征方程

得到，其中N为数据点的数量，与则分别为的特征值与特征向量。为了归一化，我们要求

值得注意的是，无论是否在原空间中对中心化，我们无法保证数据在特征空间中是中心化的。由于PCA要求对数据中心化，我们可以对K“中心化”：

其中代表一个每个元素值皆为的矩阵。于是我们可以使用进行前述的核PCA计算。

在使用核PCA时，还有一点值得注意。在线性PCA中，我们可以通过特征值的大小对特征向量进行排序，以度量每个主成分所能够解释的数据方差。这对于数据降维十分有用，而这一技巧也可以用在核PCA中。不过，在实践中有时会发现得到所有方差皆相同，这通常是源于错误选择了核的尺度。

大数据集 
在实践中，大数据集会使K变得很大，从而导致存储问题。一种解决方式是先对数据集聚类，然后再对每一类的均值进行核PCA计算。有时即便使用此种方法仍会导致相对很大的K，此时我们可以只计算K中最大的P个特征值及相对应的特征向量。

示例 

考虑图中所示的三组同心点云，我们试图使用核PCA识别这三组。图中各点的颜色并不是算法的一部分，仅用于展示各组数据点在变换前后的位置。

首先，我们使用核
 

进行核PCA处理，得到的结果如第二张图所示。

其次，我们再使用高斯核
 

该核是数据接近程度的一种度量，当数据点重合时为1，而当数据点相距无限远时则为0。结果为第三张图所示。

此时我们注意到，仅通过第一主成分就可以区别这三组数据点。而这对于线性PCA而言是不可实现的，因而线性PCA只能在给定维（此处为二维）空间中操作，而此时同心点云是线性不可分的。

应用 
核PCA方法还可用于新奇检测（novelty detection）与数据降噪等。

参考文献 

多变量统计
信号处理
機器學習演算法