調整函式

調整函式（）
分辨率為2-j的 f 的近似值被定義為Vj上的正交投影PVjf。 

為了計算這個投影，我們必須找到Vj的標準正交基底。 

定理使 Riesz 基底 {θ(t-n)}n∈Z正交化，並通過擴張和平移調整函式Φ，建構每個空間Vj的正交基底。

避免混淆分辨率2-j和尺度 2j，在這裡，分辨率的概念被丟棄，並且PVjf 為尺度2j的近似值。

定理  
令 {Vj }j∈Z為多分辨率近似，並且Ø為具有傅立葉變換的調整函數

 

其中

 

當j∈Z，Vj的正交基底為{Φj,n}n∈Z

定理證明 
為了建造一個標準正交基底，我們尋找一個函數Φ∈V0。 因此，它可以在{θ(t-n)}n∈Z的基礎上擴展：

 

這意味著

 

其中 是週期2W的有限能量的傅立葉級數。 為了計算 我們表示了

頻域中{Φ(t-n)}n∈Z的正交性。 設。

對任意(n,p)∈Z2而言

 

因此，只有在時，{Φ(t-n)}n∈Z是正交的。

計算此等式的傅里葉變換得到

 

實際上，的傅里葉變換是，取樣函數可以對其傅立葉變換進行週期化。

如果我們選擇下列式子，則上式將被證實

 

其中分母具有嚴格上下限，因此a是有限能量的2W週期函數。

近似值 
通過縮放正交基礎的擴展，獲得f在Vj上的正交投影

 

內積為

 

在尺度2j處擁有離散近似。 我們可以將它們重寫為卷積形式：

  ,       with   

傅立葉轉換 的能量通常集中在[-π，π]中。 

因此，的傅立葉轉換主要是在[-2-jπ，2-jπ]中，不可忽略不計。 

離散近似 aj[n] 是以間隔 2j 取樣的 f 低通濾波。

參考資料 

 S. Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing: The Sparse Way, Academic Press, 3rd  edition, 2009.

小波分析
時頻分析