可控制性格拉姆矩陣

控制理论中，可控制性格拉姆矩阵（Controllability Gramian）是用來判斷線性動態系統是否可控制的格拉姆矩阵。

若針對以下的線性時變系統

可控制性格拉姆矩阵為

 ,

其中為狀態轉換矩陣

系統在具有可控制性，若且唯若為非奇異矩陣。

連續時間，線性非時變系統 
若在連續時間的線性非時變系統中，也可以定義可控制性格拉姆矩阵（不過也有其他判斷可观测性的方法）。

若考慮以下的系統

其可控制性格拉姆矩阵是以下的方陣 

若穩定（所有的特徵值實部均為負），可控制性格拉姆矩阵也是以下李亞普諾夫方程的唯一解

若穩定（所有的特徵值實部均為負），而且也是正定矩陣，則此系統具有可控制性，也就是矩陣對具有可控制性。

此一定義也和以下其他可控制性的定義等效：

1. 的可控制性矩陣

的秩為n。

2. 矩陣

對於每個的特徵值，都有滿秩。

和李亞普諾夫方程的關係 

可控制性格拉姆矩陣是以下李亞普諾夫方程的解

假若令

為一個解，可得：

其中用到了對於穩定，在時，的事實（所有的特徵值實部均為負），因此確實是李亞普諾夫方程的解。

格拉姆矩陣的性質 

因為  是對稱矩陣，因此也是對稱矩陣。

若是穩定矩陣（所有的特徵值實部均為負），可以證明是唯一的。利甪反證法，先假設以下方程有二個不同解

分別是和，因此可得：

在左右分別乘以和，可得：

從積分到：

再利用此一事實，當時，：

因此，是唯一的。

也可以看出

在任何t時都為正，因此是正定矩陣。

可控制性系統的其他特性在中，以及可控制性中都有描述。

離散時間，線性非時變系統 
若考慮以下的離散時間系統

其離散可控制性格拉姆矩阵是以下的方陣 

若穩定（所有的特徵值絕對值均小於1），也是以下離散李亞普諾夫方程的解

若穩定（所有的特徵值絕對值均小於1），而且也是正定矩陣，則此系統有可控制性。

更多相關的性質及證明在。

線性時變系統（LTV） 
考慮以下的線性時變系統（LTV）：

其中矩陣, 和的元素會隨時間而變化。其可控制性格拉姆矩陣為矩陣，定義如下：

其中為的狀態轉移矩陣。

系統有可控制性的充份必要條是存在，使得可控制性格拉姆矩陣為非奇異矩陣。

格拉姆矩陣的性質 
可控制性格拉姆矩陣有以下的性質：

可以由的定義，以及以下的狀態轉移矩陣性質來推導：

其他有關可控制性格拉姆矩陣的性質可以參考。

相關條目 
 可控制性
 可观测性格拉姆矩阵
 格拉姆矩阵
 最小能量控制

參考資料

外部連結
Mathematica function to compute the controllability Gramian 

控制理论