截線定理

截線定理（英語：Intercept theorem），是平面幾何中的基本定理之一。截線定理說明，平面上的一個三角形中，若在其中一條腰的中點作一條直線，與其底邊平行，則該線穿過另一條腰的中點。這定理可推廣到梯形上，以及一般化至任意分割比例的情況。截線定理與另外兩條幾何定理中點定理和等比定理有密切關係。

定理

截線定理的最基本形式是在三角形上的應用。

圖中有三角形 ，作一條直線  與底邊  平行。

截線定理說明，若 ，則 。

換句話說， 是三角形  的中位線。

這定理能簡單推廣到梯形上應用。

圖中有梯形 ，其中 。作一條直線  與上底  和下底  平行。

截線定理說明，若 ，則 。

同樣地， 是梯形  的中位線。

一般化定理

對於平行線將腰分割成任意比例的情形，一般化截線定理則給出，左右兩條腰的分割比例相等。

在上圖的三角形  中，若 ，則有 。

同樣地，在梯形 ，若 ，則有 。

證明

這定理能以相似三角形簡單證明。

考慮上圖的  和 。由於

 （公共角）
 （平行線的同位角）
 （平行線的同位角）

所以。（等角）

由此可得  。（相似三角形的對應邊）

因此 。

證畢。

對於梯形的情況，考慮梯形  ，在  上作一直線，與  平行，並與  和  分別相交於  和 。

由定義可知， 和  是平行四邊形。

因此  及 。（平行四邊形的對邊）

上面已證明，由 ，可知 。

代入可得 。

證畢。

參見
平面幾何
三角形
梯形
中位線
相似三角形
中點定理
等比定理
宇恆定理

参考来源

外部链接 

 截线定理（PlanetMath） 
Alexander Bogomolny: Thales' Theorems  and in particular Thales' Theorem  at Cut-the-Knot