最短路径快速算法

最短路径快速算法（），国际上一般认为是带有队列优化的Bellman-Ford 算法，一般仅在中国大陆被称为SPFA，是一个用于求解有向带权图单源最短路径的算法。这一算法在随机的稀疏图上表现出色，并且适用于带有负边权的图。 然而SPFA在最坏情况的时间复杂度与 Bellman-Ford 算法相同，因此在非负边权的图中使用堆优化的Dijkstra 算法效率可能优于SPFA。 SPFA算法首先在1959年由作为广度优先搜索的扩展发表，相同算法在1994年由段凡丁重新发现。

算法 
给定一个有向带权图和一个源点，SPFA算法可以计算从到图中每个节点的最短路径。其基本思路与 Bellman-Ford 算法相同，即每个节点都被用作用于松弛其相邻节点的备选节点。但相较于 Bellman-Ford 算法，SPFA算法的先进之处在于它并不盲目地尝试所有节点，而是维护一个备选的节点队列，并且仅有节点被松弛后才会将其放入队列中。整个流程不断重复，直至没有节点可以被松弛。

下面是这个算法的伪代码。这里的是一个备选节点的先进先出队列， 是边的权值。

  procedure Shortest-Path-Faster-Algorithm(G, s)
   1    for each vertex v ≠ s in V(G)
   2        d(v) := ∞
   3    d(s) := 0
   4    offer s into Q
   5    while Q is not empty
   6        u := poll Q
   7        for each edge (u, v) in E(G)
   8            if d(u) + w(u, v) < d(v) then
   9                d(v) := d(u) + w(u, v)
  10                if v is not in Q then
  11                    offer v into Q

对于无向图，将每条无向边视作两条有向边以采用 SPFA 算法。

最坏情况下的性能 

下面是一种触发该算法低性能表现的数据构造方式。假设要求从节点1到节点的最短路径。对于整数，考虑添加边并令其权为一个随机的小数字（于是最短路应为1-2-...-），同时随机添加条其他的权较大的边。在这种情况下，SPFA算法的性能表现将会非常低下。

SPFA算法本质上依然被认为是Bellman-Ford算法的一个特例，因此一般认为SPFA算法的最差复杂度是，其中为点数，为边数。

优化技巧 

SPFA算法的性能很大程度上取决于用于松弛其他节点的备选节点的顺序。事实上，如果是一个优先队列，则这个算法将很类似于Dijkstra 算法。然而尽管这一算法中并没有用到优先队列，仍有多种可用的技巧可以用来提升队列的质量，借此能够提高平均性能（但仍无法提高最坏情况下的性能）。其中，最著名的两种技巧通过重新调整中元素的顺序从而使得更靠近源点的节点能够被更早地处理。因此一旦实现了这两种技巧，将不再是一个先进先出队列，而更像一个链表或双端队列。

距离小者优先 （Small Label First(SLF)）（由Bertsekas在Networks, 第23期, 1993, P703-P709中最先提出)。在伪代码的第十一行，将总是把压入队列尾端修改为比较 和 ，并且在较小时将压入队列的头端。这一技巧的伪代码如下（这部分代码插入在上面的伪代码的第十一行后）：

  procedure Small-Label-First(G, Q)
      if d(back(Q)) < d(front(Q)) then
          u := pop back of Q
          push u into front of Q

距离大者置后 （Large Label Last(LLL)）（由Bertsekas、Guerriero、与Musmanno在JOTA, 第88期, 1996, 页297-320最先提出)。在伪代码的第十一行，我们更新队列以确保队列头端的节点的距离总小于平均，并且任何距离大于平均的节点都将被移到队列尾端。伪代码如下：

  procedure Large-Label-Last(G, Q)
      x := average of d(v) for all v in Q
      while d(front(Q)) > x
          u := pop front of Q
          push u to back of Q

参考文献

扩展阅读 
 

图算法