LQG控制

LQG控制（linear–quadratic–Gaussian control）的全名是線性二次高斯控制，是控制理论中的基礎最优控制問題之一。此問題和存在加性高斯白噪声的線性系統有關。此問題是要找到最佳的輸出回授律，可以讓二次費用函數的期望值最小化。其輸出量測假設受到高斯噪声的影響，其初值也是高斯隨機向量。

在「使用線性控制律」的最佳控制假設下，可以用completion-of-squares論述進行推導。此控制律即為LQG控制器，就是卡尔曼滤波（線性二次狀態估測器，LQE）和LQR控制器的結合。分離原理指出狀態估測器和狀態回授可以獨立設計。LQG控制可以應用在线性时不变系统及线性時變系統，產生容易計算以及實現的線性動態回授控制器。LQG控制器本身是一個類似其受控系統的動態系統，兩者有相同的維度。

根據分離原理，在一些範圍較寬可能是非線性的控制器中，LQG控制器仍然是最佳的。也就是說「使用非線性控制架構不一定可以改善費用泛函的期望值」。這個版本的分離原理是（separation principle of stochastic control）提到就算過程及輸出雜訊源可能是非高斯鞅，只要其系統動態是線性的，其最佳控制仍可以分離為最佳狀態估測器（不再是卡尔曼滤波器）及LQR控制器。LQR控制器也有用來控制擾動的非線性系統。

問題和解的數學描述

連續時間
考慮連續時間的線性動態系統

 
 

其中是系統狀態變數的向量，是控制輸入向量，是輸出量測值的向量，可用在回授上。系統受到加成性的高斯系統雜訊及加成性的高斯量測雜訊所影響。給定一系統，其目標是找到一控制輸入，此控制輸入在每個時間下，和以往的量測量有線性關係，而且此控制輸入可以讓以下的費用函數有最小值：

 

 

其中為期望值。最終時間（horizon）可能是有限值或是無限值。若最終時間為無限，則費用函數的第一項可以忽略，和問題無關。而為了要讓費用函數為有限值，會定義費用函數為。

求解上述LQG問題的LQG控制器可以用以下方程表示：

 

 

矩陣稱為卡尔曼增益（Kalman gain），和第一個方程卡尔曼滤波有關。在時間，濾波器會根據過去量測及輸入來產生狀態的估測值。卡尔曼增益是根據、二個和白色高斯雜訊有關密度矩陣、及最後的來計算。這五個矩陣會透過以下的矩陣Riccati微分方程來決定卡尔曼增益：

 

 

假設其解，則卡尔曼增益等於

 

矩陣稱為回授增益（feedback gain）矩陣，是由及矩陣，透過以下的矩陣Riccati微分方程來決定

 

 

假設其解，回授增益等於

 

觀察上述二個矩陣Riccati微分方程，第一個沿時間從前往後算，而第二個是沿時間從後往前算，這稱為「對偶性」。第一個矩陣Riccati微分方程解了線性平方估測問題（LQE），第二個矩陣Riccati微分方程解了LQR控制器問題。這二個問題是對偶的，合起來就解了線性平方高斯控制問題（LQG)，因此LQG問題分成了LQE問題以及LQR問題，且可以獨立求解，因此LQG問題是「可分離的」。

當和雜訊密度矩陣, 不隨時間變化，且趨於無限大時，LQG控制器會變成非時變動態系統。此時上述二個矩陣Riccati微分方程會變成代數Riccati方程。

離散時間
離散時間的LQG控制問題和連續時間下的問題相近，因此以下只關注其數學式。

離散時間的線性系統方程為

 

 

其中是離散時間，是離散時間高斯白雜訊過程，其共變異數矩陣為。

要最小化的二次費用函數為

 

 

離散時間的LQG控制器為

,

卡尔曼增益等於

 

其中是由以下依時間往前進的矩陣Riccati差分方程所決定：

 

回授增益矩陣為

 
\
其中是由以下時間從後往前算的矩陣Riccati差分方程所決定：

 

若問題中所有的矩陣都是非時變的，且時間長度趨近無窮大，則離散時間的LQG控制器就是非時變的。此時矩陣Riccati差分方程可以用離散時間的代數Riccati方程取代。可以決定非時變的離散線性二次估測器，以及非時變的離散LQR控制器。為了讓費用是有限值，會用來代替。

降階LQG問題
在傳統LQG設定中，當系統維度很大時，實現LQG控制器會有困難。降階LQG問題（reduced-order LQG problem）也稱為固定階數LQG問題（fixed-order LQG problem）先設定了LQG控制的狀態數。因為分離原理已不適用，此問題會更不容易求解，而且其解也不唯一。即使如此，降階LQG問題已有不少的數值演算法可以求解相關的最佳投影方程（optimal projection equations），其中建構了局部最佳化的降階LQG問題的充份及必要條件。

LQG控制的強健性
LQG最佳化本身不確保有良好的強健性，需要在設計好LQG控制後，另外確認閉迴路系統的強健穩定性。為了提昇系統的強健性，可能會將一些系統參數由確定值改假設是隨機值。相關的控制問題會更加複雜，會得到一個類似的最佳控制器，只有控制器參數不同。

相關條目
隨機控制
Witsenhausen反例

參考資料

延伸閱讀
 

最佳控制
控制理论
隨機控制