矩問題

数学上，矩问题詢問是否可以由一個测度 μ 的矩序列

確定該測度。更一般地，亦可考虑序列

其中 Mn 為任意一列函數。

簡介 
最典型的例子中，μ 取為實數線上的測度，並取 M 為序列 {xn : n = 0, 1, 2, ... }. 此種矩问题源自概率论，其意義為：是否存在一個概率測度，其平均数、方差等組成的序列等於給定的序列，又及該測度是否唯一。

矩問題當中，有三種以人名命名，分別為：允許 μ 的支撑集為全條實軸的、支撑集為 [0,+∞) 的，以及支撑集為有界閉區間（不失一般性可設為 [0, 1]) 的。

存在性 
一個序列 mn 為某個測度 μ 的矩，當且僅當其汉克尔矩阵 Hn,

為半正定。 這是因為一個半正定的汉克尔矩陣對應一个线性泛函 ，其滿足  和 （即：當作用於多项式的平方和時，其結果非負）。假设  可以扩展成  的元素。在单变量的情况下，非負的多项式必為若干個多項式的平方和，故线性泛函 於非負多项式處均取非負值。由 ，該线性泛函有測度形式，亦即 . 在有界區間 [a, b] 上，測度  的存在性也有類似形式的充要條件。

可用以下方法證明上述結論。設线性泛函  將多项式

 

映到

 

若 mkn 為以 [a, b] 為支撑的測度 μ 的矩，則

反之，如果 () 為真，則可運用將  擴展成 C0([a, b]) 上的線性泛函，其滿足

由里斯表示定理，() 成立當且僅當存在以 [a, b] 為支撐的測度 μ ，使得

 

对任意的 f ∈ C0([a, b]) 成立。

由此可見，  的存在性等價於 (). 再利用 [a, b] 上的非負多項式的表示定理，即可將 () 寫成一個關於汉克尔矩阵的條件。

詳見  和  。

唯一性 
豪斯多夫矩問題中，可由魏尔斯特拉斯逼近定理得到 μ 的唯一性。該定理斷言：[0, 1] 上的連續函數集中，在一致範數的意義下，多項式集是稠密的。至於在無窮區間上的矩問題，唯一性是一個更深入的問題。參見 (1922)、 (1940s) 和 .

变式 
矩問題的一個重要變式是截尾矩問題，其研究具有給定前 k （不為無窮大）階矩的測度的性質。截尾矩問題的研究成果，可以應用在极值问题、优化理論，以及概率论的極限定理上。 参见：  和 .

參見 

 斯蒂爾吉斯矩問題
 Hamburger 矩問題
 豪斯多夫矩問題
 矩 (數學)
 Carleman 條件
 汉克尔矩阵

参考文献 
 
 
  (由 N. Kemmer 譯自俄文)
  (由 D. Louvish 譯自俄文)
 

J
J
J
J