黎曼-西格尔公式

在数学中，黎曼-西格尔公式是黎曼ζ函數的近似函数方程误差的渐近公式，前者是ζ函數的近似值，由两个有限狄利克雷级数的和来近似。在波恩哈德·黎曼1850年代一篇未发表的手稿中发现这个公式。西格尔从黎曼-西格尔积分公式中推导出它，这是一个涉及ζ函数围道积分的表达式。该公式通常用于计算黎曼-西格尔公式的值，与欧德里兹科-肖恩哈格算法相结合，可以大大加快算法的速度。当沿着临界线使用时，通常将其变换为关于Z函数的公式比较有用。

如果M和N是非负整数，那么ζ函数等于

其中

是函数方程中出现的因数，且

是一个围道积分，围道的起点和终点在+∞处，并最多绕绝对值奇点圈。近似函数方程给出了误差项大小的估计。和通过将最速下降法应用于该积分，推导出黎曼-西格尔公式，将误差项R(s)渐近展开为Im(s)的负幂次级数。在应用中，s通常位于临界线上，并且选择正整数M和N约为。发现了一个黎曼-西格尔公式误差的较好界限。

黎曼积分公式 
黎曼证明了

积分围道是一条斜率为-1的线，通过0和1之间。

他用此给出了以下ζ函数的积分公式：

参考 

 Reprinted in Gesammelte Abhandlungen, Vol. 1. Berlin: Springer-Verlag, 1966.

外部链接 

Ζ函數與L函數
解析数论定理
波恩哈德·黎曼