快度

在相對論中，快度通常被用來衡量相對論效應下的速度。在數學上，快度可以被定義成一個雙曲角，這個角能夠反映兩個存在相對運動的參考座標系之间的差异——它们的时空坐標为洛仑兹变换所聯繫。

對於一維運動，快度可以簡單相加，而速度必須套用愛因斯坦的速度加成式。在低速的情況下，快度和速度是成比例的，但是對於更高速的狀況下，快度將增長得更快。特别地，光的速度為光速，而光的快度是無限大。

我們使用反雙曲函數來定義快度，當速度為時，其對應的快度是，其中是光速。速度較慢時，約為。由於在相對論中，速度v被局限於區間，因此比率將滿足。反雙曲正切函數的定義域為，而值域為整條實數線，所以可以將區間映射到。

歷史

在1908年赫爾曼·閔考斯基指出勞倫茲轉換可以被簡單的轉換為座標時中的，即為一個虛數角度的旋轉。 這個角度在一維空間中可以代表著座標系間速度的度量，且具有可加性。 

1910年，和E. T. 惠特克提出用此參數來取代速度的觀念。而這個參數被 (1911)命名為快度，並隨後被許多筆者所採用，如盧迪威格·席柏斯坦 (1914)，愛德華·莫立 (1936)和沃夫岡·潤德勒 (2001)。

雙曲線扇形面積
雙曲函數xy=1的，是由提出的，他指出雙曲扇形的面積、或是一塊沿著漸進線所定義出的等效面積，可以用自然對數描述。
在時空理論中，類光事件將宇宙分為相對於給定“位置”和“時刻”的“（絕對）過去”、“（絕對）未來”和其他時空點。在空間中的任何一條線上，一道光束的行進方向可以向左或是向右。將向右行進的光束事件定為x軸，向左行進的光束事件定為y軸。則靜止座標系的時間軸即為對角線x = y。而速度可以用第一象限中的直角雙曲線xy = 1來表示，其中速度為零的點對應到點。任何一個雙曲線上的點都能以點 表示，其中的即為快度，同時也是從點 到點與原點所構成的雙曲線扇形面積。 也有許多筆者在討論標準閔考斯基圖時，會使用單位雙曲線，將快度作為參數曲線的參數。而此時的坐標可以用時鐘和米尺來測量，並選用更加常見的基準，這也是時空理論的基礎。所以快度作為光束空間的雙曲參數，這樣的描述是參考了十七世紀時超越函數理論的發展，以及閔考斯基圖。

在一維空間中
快度出現在勞倫茲變換的線性表示法中，此時勞倫茲變換被表示為向量－矩陣乘積

矩陣為的形式，其中和滿足關係，因此將會落在上。這樣的矩陣形成了不定正交群 O(1,1)，伴隨著由單位反對角矩陣所張出的一維李代數，顯示出快度是這個李代數上的座標，這個作用可在閔考斯基圖上被描繪出來。
在矩陣指數表示法中，可以被表示為，其中是矩陣

不難證明

這顯現出了快度實用的求和性質：若，和 為參考座標系，則

其中  表示了參考座標系相對於參考座標系的快度。與速度加成式相比，這個式子更為簡潔。

我們可以從上述的勞倫茲轉換看出，勞倫茲因子等同於

因此快度作為一個雙曲角，隱含在勞倫茲轉換中的和β中。我們將快度與速度加成式聯繫在一起

藉由

從而得到

和的乘積時常出現，從先前的討論可知

固有加速度（一個加速物體實質感受到的加速度）是快度對於固有時間（一個加速物體本身所量測到的時間）的變化率。假想在物體的運動過程中，與加速中的物體保持相對靜止的一系列“非物理的”參考系，若在這個非物理的慣性系中非相對論性地計算物體的速度，則計算結果將是這個物體的快度。

指數和對數關係
由上述的表達式可以得到

因此

或是更加清楚地表示為

相對論性都普勒效應因子與快度的關係為。

在多維空間中
相對論性速度與快度为下列關係所聯繫

其中的向量是勞侖茲群對應的李代數中，由三個張成的三維線性子空間上的座標。而這可以完全類比至上述一維情況時的。因為光速是速度量值的上限（選用單位使得），所以速度符合條件，因此速度空間可以用一個半徑為的開球表示。

一般性的快度求和公式為

其中對應到速度加成式，是方向上的單位向量。這個運算不符合交換律與結合律。斜向角度為的快度之和的模（歐氏空間中的長度）由給出

快度空間上的幾何結構，透過對應的映射繼承了速度空間上的雙曲幾何。相應地，這個幾何結構可以從相對論性速度的求和公式來推得。因此，二維空間中的快度空間可以有效地透過龐加萊圓盤模型來想像，其上的測地線會對應到勻加速運動。三維空間中的快度空間，可以透過同樣的方法，與雙曲面模型建立。閔考斯基時空的幾何條目中有更多相關的細節。

兩個快度的相加變換並非只是獲得一個新的快度值，整體的變換是由上述求和式給出的快度、透過向量來參數化的旋轉，兩者組合而成。

這裡使用到了物理學家慣用的指數映射。
這是交換法則所致的結果

其中是旋轉群的生成元，，這與湯瑪斯進動現象有關。連結中的文章有關於參數的計算方法。

在粒子物理中
一個非零（靜止）質量粒子的能量以及動量的大小 為：

透過快度的定義

並且

能量和動量大小可以被表示為

所以快度可以用測量到的能量與動量大小透過下式來計算得出：

然而實驗粒子物理學家常使用修改過的、相對於粒子束的快度定義

其中是沿著粒子束方向的動量分量。這是從「實驗室參考系」到一個「粒子運動方向與粒子束方向垂直的參考系」的勞倫茲變換所對應的快度，相關的概念可以參考條目贗快度。

參見

 
 勞倫茲變換
 贗快度
 固有速度
 相對論

注釋

參考文獻

狹義相對論