塞邁雷迪正則性引理

數學上，塞邁雷迪正則性引理（Szemerédi regularity lemma）斷言，給定任意一個足夠大的圖，都可以將其頂點集劃分成若干個差不多一樣大的子集，使得幾乎每兩個不同的子集之間的邊，都具有隨機二部圖的性質。塞邁雷迪於 1975 年引入了該引理較弱的版本，其只適用於二部圖，用作證明塞邁雷迪定理，後來再於 1978 年證明了完整的版本。 
 及其合作者和高爾斯將正則性方法推廣到超圖上。

定義和引理敍述
塞邁雷迪正則性引理的嚴格敍述須用到下列定義。設  為一幅圖，而  為其頂點集。

密度
設  為  的兩個互斥子集。定義  的密度為

其中  為一個頂點在  中，而另一個頂點在  中的邊的集合。

ε-正則
對於 , 稱兩個由頂點組成的集合  和  為 -正則，若對任意滿足 和  的子集  和 , 都有

ε-正則劃分
設  為將  分成  份的劃分。其稱為 -正則劃分，若： 
對每個  都有  與  的大小至多相差 1. 
除了至多  對滿足  的 ,  以外，其他的每一對都 -正則。

利用上述定義，可以寫出引理的嚴格敍述。

正則性引理
對任意的  和正整數 , 存在整數 , 其滿足：若  為至少有  個頂點的圖，則存在整數  滿足 , 和一個 -正則劃分將  的頂點集分成  份。

引理的證明所給出的  的上界極大，比如  的  次迭代冪次。若實際的上界並非如此大，而是  的形式的話，則其可應用在其他地方。然而，高爾斯於 1997 年找到了一些圖作為例子，證明  確實可以增長得極快，比如至少為  的  次疊代冪次。由此可見，最佳的上界必定位於 中的第 4 層，因此不屬初等遞歸函數。

推廣 
、和塞迈雷迪·安德烈其後（於 1997 年）證明了blow-up 引理 ，其斷言塞邁雷迪正則性引理中的正則對，在特定意義下與完全二部圖具有同樣的性質。若考慮將大而疏的圖，嵌入到一個稠密的圖中，則適用 blow-up 引理來深入研究該嵌入的性質。

陶哲軒以概率方法證明了一條不等式，其推廣了塞邁雷迪正則性引理。

注意，不可能在塞邁雷迪正則性引理中，證明「所有」對都正則。原因是，一些圖（比如）確實需要劃分中有若干對頂點集非正則，儘管按照正則性引理，這樣的對只佔很小一部分。

參考文獻

參見
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