逆威沙特分佈

逆威沙特分布，也叫反威沙特分布作是统计学中出现的一类概率分布函数，定义在实值的正定矩阵上。在贝叶斯统计中，逆威沙特分布會用作多变量正态分布协方差矩阵的共轭先验分布。
如果一个正定矩阵  的逆矩阵  遵从威沙特分布  的话，那么就说矩阵  遵从逆威沙特分布：

概率密度函数

逆威沙特分布的概率密度函数是：

其中  和  都是  的正定矩阵，而Γp(·) 则是。函数

指的是迹函数。

相关定理

威沙特分布矩阵之逆的概率分布

设矩阵 并且  是 的矩阵，那么  遵从逆威沙特分布：。它的概率密度函数是：

其中 ，而  是多变量伽马分布。

威沙特分布矩阵之逆的边际与条件分布

设矩阵  遵从逆威沙特分布。并且假设矩阵  和  都有相适合的分块矩阵表示方式： 
 
其中子矩阵  和  是  的矩阵，那么会有：

甲） 和  与  相互独立，其中  是子矩阵  在  中的舒尔补。

乙） ; 

丙） ，其中  是矩阵正态分布。

丁）

共轭分布
假设要求先验分布  为逆威沙特分布  的协方差矩阵。如果观测值
 是从互相独立的 p-变量正态分布   的随机变量得到的，那么条件分布 
 遵从的是逆威沙特分布：。其中  是样本协方差矩阵的倍。

因此，逆威沙特矩阵是多变量正态分布的共轭先验分布。

矩相关特性
期望值：

矩阵  的每一个系数的方差：

对角系数的方差是在上式中令  得到，化简后变成：

相关分布 
当变量数目减到一个的时候，逆威沙特分布会变成特例：。也就是说，当 、、 以及  的时候，逆威沙特分布的概率密度函数是：
 

这正是逆伽马分布。其中  是通常的伽马函数。

而逆威沙特分布也有推广，其中一个是。

参见
威沙特分布
矩阵正态分布

参考来源 

连续分布
多变量统计