精确覆盖问题

在一个全集X中若干子集的集合为S，精确覆盖是指，S的子集S*，满足X中的每一个元素在S*中恰好出现一次。

在计算机科学中，精确覆盖问题指找出这样的一种覆盖，或证明其不存在。这是一个NP-完全问题，也是卡普的二十一个NP-完全问题之一。

定义
满足以下条件的集合为一个精确覆盖：
 S*中任意两个集合没有交集，即X中的元素在S*中出现最多一次
 S*中集合的全集为X，即X中的元素在S*中出现最少一次
合二为一，即X中的元素在S*中出现恰好一次。

举例
令  = {N, O, E, P} 是集合X = {1, 2, 3, 4}的一个子集的集合，并满足：
 N = { }
 O = {1, 3}
 E = {2, 4}
 P = {2, 3}.

其中一个子集 {O, E} 是 X的一个精确覆盖,因为 O = {1, 3} 而 E = {2, 4} 的并集恰好是 X = {1, 2, 3, 4}。同理， {N, O, E} 也是 X.的一个精确覆盖。空集并不影响结论。

关系表示
通常我们用S的每个子集与X的元素之间包含关系的二元关系来表示精确覆盖问题。

矩阵表示法
包含关系可以用一个关系矩阵表示。.  矩阵每行表示S的一个子集，每列表示X中的一个元素。矩阵行列交点元素为1表示对应的元素在对应的集合中，不在则为0.

通过这种矩阵表示法，求一个精确覆盖转化为求矩阵的若干个行的集合，使每列有且仅有一个1。同时，该问题也是精确覆盖的典型例题之一。

下图为其中一个例子：

{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0"
! !! 1 !! 2 !! 3 !! 4 !! 5 !! 6 !! 7
|-
! A
| 1 || 0 || 0 || 1 || 0 || 0 || 1
|-
! B
| 1 || 0 || 0 || 1 || 0 || 0 || 0
|-
! C
| 0 || 0 || 0 || 1 || 1 || 0 || 1
|-
! D
| 0 || 0 || 1 || 0 || 1 || 1 || 0
|-
! E
| 0 || 1 || 1 || 0 || 0 || 1 || 1
|-
! F
| 0 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0 || 1
|}

S* = {B, D, F} 便是一个精确覆盖。

图论表示法
包含关系也可以用一个二分图表示。

二分图左侧每个节点表示S的每个集合，右侧每个节点表示X的每个元素，而精确覆盖便是一种匹配，满足右侧的每个点恰好有一条边。

求解方法
X算法是高德纳提出的解决该问题的算法，而舞蹈链算法(Dancing Links，DLX)算法是X算法在计算机上的一种高效实现。

应用举例
数独求解

参考文献

理论计算机科学
NP完全问题