类数公式

在数论中，类数公式涉及了许多重要的不变量，是数域到其特殊的戴德金zeta函数赋值。

类数公式的一般性陈述
数域 K 有扩张[K:Q]=r=r1+2r2,   为 K的实素点个数, 为 K的复素点个数. 
K戴德金zeta函数记为:
则有下列不变量：
 为K的理想类群的阶
  K的素点
 为K的单位根个数
  为K在K/Q扩张的判别式
定理1（类数公式）数域 K 的戴德金zeta函数绝对收敛，并对复平面，且s =1时，只有一个极点的亚纯函数，其留数为：

这是最普遍的“类数公式”。在特殊情况下，例如当K是分圆域的扩张，也有简化的类数公式。

狄利克雷类数公式
以下参考达文波特。[1]狄利克雷在1839年证明了第一类数公式，但它是关于二次型的类数而不是理想类的证明。设d是一个基本单位的判别式，写判别ð二次型的等价类数h为（D）。是Kronecker符号，则χ是Dirichlet特征。记χ的LDirichlet L序列为L(s, χ)，
对于d>0，让t> 0，u>0 则满足u是最小的解Pell方程，如记:（ε也是实2次域的基本单位或基本单位的平方），
对于d<0，记w为判别式d的二次型的自同构个数，则：

然后狄利克雷证明出：

这是上述定理1一个特殊情况：只对一个二次域K戴德金zeta函数的结论：, 留数为.狄利克雷也证明了，L序列可以写成有限形式，从而类数也可以写成有限形式。类数有限的形式为：

参考文献

 

代数
数论
代数数论