素点

素点，也叫位，英文单词为Place（s）。

十九世纪的数学家确定了代数数是复数一种类型 ，这使在1897年亨泽尔发现P-adic数。一个数域所有的各种可能的嵌入都正好可对应该次嵌入拓扑完备化。一个数域F上的素点本质是F一个绝对赋值的等价类，用来度量F元素的大小。两个这样的绝对赋值都认为是等价的：如果一些元素的大小在一种度量下一样大小（或逼近）。在一般情况下，他们可分为三类，首先平凡绝对赋值| |0, 数域F中零元素的平凡绝对赋值总为0，所有非零元素的平凡绝对赋值总为1。第二类和第三类是阿基米德绝对赋值（阿基米德素点）和非阿基米德绝对赋值（非阿基米德素点）（或超度量），在一个素点完备F后，出现两种情况，一个柯西序列，一个空序列，也就是序列xn)n ∈ N such that |xn，当n趋于无穷，可以证明这又是一个域，在给定素点的F的完备域。

例如F= 有理数域Q时，会发生以下的非平凡赋值（奥斯特洛夫斯基定理）：域Q的绝对赋值为通常绝对值，这产生了完备的实数R拓扑域。另一方面，对于任何素数p， 如下定义产生p进数域：
|q|p = p−n,  q = pn a/b ，q 和 a 和 b都不整除p.

R通常的绝对值和p进数域Qp的范数不同，当q 乘以p的幂升高逐渐变小，完全相反R通常的绝对值。

参考文献

 
 Serge Lang, Algebraic Number Theory, second edition, Springer, 2000
 Richard A. Mollin, Algebraic Number Theory, CRC, 1999
 Ram Murty, Problems in Algebraic Number Theory, Second Edition, Springer, 2005
 
 

 Andre Weil, Basic Number Theory, third edition, Springer, 1995

代数数论
域论