狄利克雷原理

在数学中的位势论里，狄利克雷原理是关于在  中的某个区域  上的泊松方程

满足边界条件
在  上 
的解 u(x) 的刻画。原理说明，u(x) 是使得狄利克雷势能
 
最小的几乎处处二次可导，并且在边界  上满足  的函数 （如果至少存在一个函数使得以上的积分成立的话）。这个原理得名于德国数学家勒热纳·狄利克雷。

由于以上的狄利克雷积分是下有界的，因此必然存在一个下确界。黎曼和其他的数学家都认为下确界一定能够达到，直到魏尔斯特拉斯举出了一个无法达到下确界的泛函的例子。后来希尔伯特严格证明了黎曼对狄利克雷原理的使用之正当性。

证明

以下给出  时的证明。假设 u 是使得

  
最小的并且几乎处处二次可导，并且在边界上满足的函数，那么对于任意一个满足边界条件的函数 ，任意正实数都有：

  

即

上式左侧是一个关于的二次多项式，并且在  的时候取到最小值，所以有：

另一方面，由于函数  满足边界条件，即在  上满足 ，因此有：

这个结果对所有满足边界条件的函数  都成立，因此根据變分法基本引理，可以得到

参见
 普拉托问题
 格林第一公式

参考来源

 
 

变分法
偏微分方程
调和函数
数学原理