韦尔莱积分法

韦尔莱算法是一种用于求解牛顿运动方程的数值方法，被广泛应用于分子动力学模拟以及视频游戏中。韦尔莱算法的优点在于：数值稳定性比简单的欧拉方法高很多，并保持了物理系统中的时间可逆性与相空间体积元体积守恒的性质。

Carl Størmer首次应用韦尔莱算法求解磁场中运动粒子的轨迹，因此韦尔莱算法又被称为Størmer算法。1967年法国物理学家Loup Verlet将其应用于分子动力学计算，从此韦尔莱算法流行起来。

基本韦尔莱算法 

牛顿运动方程为

代入到粒子的坐标关于时间步的Taylor展式中

得

同理

两式相加，得

则

新位置的计算误差为四阶， 为时间步。因为韦尔莱算法中不涉及速度，如果希望得到速度，须从轨线中推导速度表达式：

速度表示的韦尔莱算法 

一般地，速度表示下的韦尔莱算法更为常用，它可以给出同一时间变量下的速度和位置。它实际上与基本的韦尔莱算法等价，精度相同。

首先对位置进行 Taylor 展开

对两式相减可得

将最初的 Verlet 公式中的  换为  ，

代入前式，可得

此式即为速度表示的韦尔莱算法。实际常用的计算步骤为，

1.首先通过 Taylor 展开  计算得到位置 

2.由  和系统的相互作用势条件（如果相互作用仅依赖位置 ）可以求的力场 

3.由速度表示的韦尔莱公式求出新的速度  。

参考文献 

数值微分方程