格林-陶定理

格林-陶定理（）是和陶哲轩于2004年证明的一个关于质数组成的等差数列存在性定理。质数序列包含任意长的等差数列，是格林-陶定理的著名推论。

定理内容 

对于任意的素数集合的子集，若相对于素数集合的上密度（）为正，即：

 
 其中，代表不大于的素数的个数。

那么：

 对于任意的正整数，中的元素可以组成任意多个长度为的等差数列。

推论 

格林-陶定理有以下两个直接的推论：

 对于任意正整数，质数序列中存在任意多长度为的等差子序列
 质数序列中包含有任意长的等差子序列

目前已知的最長質數等差數列 

质数序列中长度为的等差子序列，對於1≤n≤k，目前最好的結果是對於k=26，此等差數列為：

 {an=43,142,746,595,714,191 + 23,681,770 · 223,092,870 ·(n-1)}

相关定理与猜想 

 格林-陶定理是塞迈雷迪定理在素数集上的推广。
 格林-陶定理是埃尔德什等差数列猜想的一个特例。
 更強的猜想是對於任何正整數r，質數序列中都存在任意長度的r階階差數列 that is not r−1階階差數列（0階階差數列是常數數列，1階階差數列是等差數列，依此類推），格林-陶定理就是r=1的特例。對於2階階差數列，质数序列中长度为的二階階差子序列，對於0≤n≤k−1，目前最好的結果是對於k=45，此數列為36n^2-810n+2753（不管各項的大小順序，只要序列中沒有重複的質數就可以）。

参考文献

外部链接 
MathWorld news article on proof 
Primes in Arithmetic Progression Records 

素数
数论
拉姆齊理論