大基数

在集合論，大基數性質是超限基數可能具有的若干性質的統稱。顧名思義，有某種大基數性質的基數（大基數）一般都很「大」（例如，比滿足的最小的更大，其中的意義見阿列夫數）。大基數的存在性不能用最常見的ZFC集合論公理系統證明，所以，若需要大基數才能證明某些結論，則可用所需的大基數來衡量該結論「超出」ZFC的程度。其如達納·斯科特所言，量化了「欲證更多，必先假設更多」。

常見大基數類別有不可达基数、、和可测基数等，其中可测基数和拉姆齊基数都比弱紧基数强，而若假定選擇公理，弱紧基数是不可达基数。

集合論界中有以下粗略約定：ZFC足以證明的結論敍述時不用列明前提「假設ZFC」，但若證明要求其他假設（例如存在某個大基數），則須列明。視乎哲學派別，或認為該約定僅是語言慣例，或認為其意義更重大（見研究動機和公理認受性一節）。

是斷言特定大基數存在的公理。例如，「存在3個不可達基數」便屬大基數公理。

許多集合論者相信現時考慮的大基數公理皆與ZFC相容。該些公理足以推出ZFC相容，因此ZFC（若相容）無法證明該些公理與ZFC相容，否則ZFC將證明自身的相容性，與哥德爾第二不完備定理矛盾。

並無準確定義何種性質為大基數性質，但列舉了若干較普遍接受的大基數性質。

部分定義
某個基數性質稱為大基數性質有個必要條件：未知ZFC能證明不存在具有該種性質的基數，且已證明若ZFC相容，則ZFC與「不存在該種基數」也相容（即已證明ZFC（若相容）不能證出該種基數存在）。

相容強度層級
值得注意，雖然稱找到不能比較相容強度的大基數公理，仍有許多自然的大基數公理按組成全序。換言之，對於大基數公理和，通常恰有以下三者之一：
除非ZFC不相容，否則相容當且僅當相容；
證明相容；
證明相容。
此三者互斥，除非所提及的理論其實不相容。

情況1，稱與。情況2，稱在相容意義下強於（情況3則反之）。若強於，則即使由，也不能證明相容（前提是確實相容）。此為哥德爾第二不完備定理的推論。

由於未有大基數公理的準確定義（並有哈姆金斯的結果），以上觀察無法成為定理。此外，對一些，仍未知三個情況何者為真。問：「是否有定理解釋，抑或是我們的目光比所以為的更單一？」同樣值得注意，許多組合命題恰與某個大基數等相容，而非介於兩個大基數的等相容強度之間。

等相容強度的順序，不必等於具有該性質的最小基數的大小順序。例如，的存在性，在相容意義下遠強於的存在性，但假設兩者皆存在，則首個巨大基數小於首個超緊基數。

研究動機和公理認受性
大基數可放在冯·诺伊曼全集理解。冯·诺伊曼全集是將冪集運算（將某集合的所有子集組成集合）超限疊代而得。無大基數的模型經常可視為有大基數的模型的子模型。例如，若有不可達基數，則在首個不可達基數的高度將全集截斷成，便是無不可達基數的全集。又設有可測基數，則疊代「可定義」冪集運算（而非完整的冪集運算），便得，其不認為存在可測基數，即使仍包含（作為序數）。

所以，一些集合論者認為，大基數公理「說明」正在考慮全部「應當」考慮的集合，而否定大基數公理，則「限制」只考慮一部分集合。更甚者，大基數公理的後果似乎可以找到一定規律（見麥迪〈相信公理之二〉）。因此，該些集合論者傾向認為，大基數公理是ZFC的較好的擴展，勝於其他較少明確動機的公理（如馬丁公理），也勝於他們直觀認為較不可能的公理（如）。此派中的實在論者視大基數定理為「真」。

當然上述觀點並不普遍。一些形式論者會斷言，標準集合論，按其定義，是研究ZFC有何後果。其未必反對研究其他系統有何後果，而僅覺得無理由偏好大基數公理。也有實在論者不以（即認為可存在之事皆存在）為接受大基數公理的合適動機，甚至相信大基數公理為假。此外，還有人指出，否定大基數公理並非「限制」，因為例如，雖然哥德爾可構全集不認為存在可測基數，但中也可以有傳遞集合模型認為存在可測基數。

參見
首個不可數序數
 ZFC系統無法確定的命題列表

參考資料

大基數
集合论公理