单环

在环论中，若某非无零因子环除了及其本身兩個理想外沒有其他双边理想，则称该环为单环。特别地，交换环是单环当且仅当它是一个域。 

单环的中心必是一個域，所以单环是该域上的一个結合代數。因此，单代数和单环是相同的概念。 

此外，一些参考文献（例如Lang（2002）或Bourbaki（2012））还要求该环是左阿廷环或右阿廷环（即半单环）。在這種术语下，没有非平凡雙邊理想的非无零因子环被称为准单环（quasi-simple）。 

存在在自身上不是单模的单环，即单环可以有非平凡的左理想和/或右理想：例如域上的全矩阵环，它没有非平凡理想（因为的任何理想都具有的形式，其中是的理想），但却有非平凡的左理想（例如，某些固定列为零的矩阵组成的集合）。 

根据阿廷-韦德伯恩定理，所有单左/右阿廷环都是除环上的矩阵环。特别地，如果一个单环是实数域上的有限維度向量空间，则它必然與实数域、複數域或四元數域上的矩阵环同構。 

单环，但非除环上的矩阵环的一个例子是。

特徵 
如果一個环不包含非平凡的雙邊理想，则它是一個單代数。 

单代数的直接示例是除法代数，其中每个非零元素都有一个乘法逆，比如四元数的实代数。此外，可以证明在除環中有元矩阵的代数是單代數。实际上，它可以描述所有有限維度的单代数，直到同构為止。換言之，在其中心上的任何有限維度單代数与某个除法环上的同构。1907年，约瑟夫·韦德伯恩在其博士学位论文《論超复数》中證明這一件事。該論文出現於伦敦数学学会论文集裡。韋德伯恩在其论文中分類了单和半单代数。单代数是半单代数的构建块：在代数的意义上，任何有限維度的半单代数都是單代數的笛卡尔积。 

後來阿廷-韦德伯恩定理將韋德伯恩的結果廣義化到半单环。

例子 
一個（有时称为布饒爾代数）是一个域F上的有限維度單代數，且該域的中心為F。 

设R为实数域，C为複數域，H为四元数域。 

 R上的所有有限維度單代數都與R、C或H上的矩陣環同構。R上的所有中心單代數都與R或H上的矩陣環同構。這些結果由得出。
 C上的所有有限維度單代數都是中心單代數，與C上的矩陣環同構。
 有限域上的所有有限維度的中心單代數都與該域上的矩陣環同構。
 對於一個交换环，下列四個性質都是等價的：作為半單環、作為阿廷环、作為克鲁尔维数為0的約化诺特环以及與域的有限直積同構。

韋德伯恩定理 

韋德伯恩定理描述具有可逆元素和最小左理想的環的特徵（左阿廷環的條件是第二條假設的廣義化）。也就是說，所有此類的環都是除環上的矩陣，直至同構為止。 

設D為一個除環，為D上有元矩陣的環。因此，可以證明中的所有左理想都用以下形式出現： 

{M ∈ Mn(D) | M的第 n1, ..., nk行沒有元}, 

對於某個固定{n1, ..., nk} ⊆ {1, ..., n}。因此，中最小理想的格式為 

{M ∈ Mn(D) | 除第k行外其餘所有行都沒有元}, 

對於某個給定的k。換言之，如果I是一個最小左理想，則，其中e是一個幂等矩阵，在元為1，在所有其他地方為0。此外，D與同構。左理想I可以視作上的右模。環與該模上同胚的代數同構。 

以上例子引出了下列引理： 

引理：A是一個單位為1，冪等元素為e的環，其中。設I為左理想Ae，視作一個eAe上的右模。則A與I上同胚的代數同構，以Hom(I)表示。 

證明：我們使用定義「左規則表示」為，對於。Φ是单射的，因為如果，則，暗示。 

對於满射，設。由於，元素1可以表達成。因此 

T(m) = T(1 ⋅ m) = T(Σaiebim) = Σ T(aieebim) = Σ T(aie) ebim = [ΣT(aie)ebi]m. 

由於表達式[ΣT(aie)ebi]不取決於m，Φ是滿射的。引理證畢。 

從以上引理可以得出韋德伯恩定理。 

定理（韋德伯恩）：如果A是一個有單位1和最小左理想I的環，則A與除環上矩陣的環同構。 

證明eAe是一個除環，只需驗證引理的假設，即求一個冪等元素e使得。表明A是單環後可以得出這個假設。

參考文獻 
 A. A. Albert, Structure of algebras, Colloquium publications 24, American Mathematical Society, 2003, .  P.37.

 
  

环论