多项式除法

多项式除法是代数中的一种算法，用一个同次或低次的多项式去除另一个多项式。它可以很容易地手算，因为它将一个相对复杂的除法问题分解成更小的一些问题。

范例

计算

把被除式、除式按某个字母作降幂排列，缺项补零，写成以下形式：

然后商和余数可以这样计算：

将分子的第一项除以分母的最高次项（即次数最高的项，此处为x），得到首商，写在横线之上().

将分母乘以首商，乘积写在分子前两项之下（同类项对齐）（）。
从分子的相应项中减去刚得到的乘积（消去相等项，把不相等的项结合起来），得到第一餘式，写在下面。（）然后，将分子的下一项“拿下来”。 

把第一餘式当作新的被除式，重复前三步，得到次商與第二餘式（直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+余式 ）

重复第四步，得到三商與第三餘式。餘式小於除式次數，運算結束。

横线之上的多项式即为商，而剩下的 (−123) 就是余数。

算数的长除法可以看做以上算法的一个特殊情形，即所有被替换为10的情形。

除法变换 
使用多项式长除法可以将一个多项式写成 除数-商 的形式（经常很有用）。 考虑多项式,  （(D)的次数 < (P)的次数）。 然后，对某个商多项式和余数多项式 （(R)的系数 < (D)的系数）， 

这种变换叫做除法变换，是从算数等式   得到的。

应用

多项式的因式分解

有时某个多项式的一或多个根已知，可能是使用有理数根定理得到的。如果一个次多项式 的一个根已知，那么 可以使用多项式长除法因式分解为的形式，其中是一个次的多项式。简单来说，就是长除法的商，而又知是的一个根、余式必定为零。

相似地，如果不止一个根是已知的，比如已知和这两个，那么可以先从中除掉线性因子得到，再从中除掉 ，以此类推。或者可以一次性地除掉二次因子。

使用这种方法，有时超过四次的多项式的所有根都可以求得，虽然这并不总是可能的。例如，如果有理数根定理可以用来求得一个五次方程的一个（比例）根，它就可以被除掉以得到一个四次商式；然后使用四次方程求根的显式公式求得剩余的根。

寻找多项式的切线

多项式长除法可以用来在给定点上查找给定多项式的切线方程。 如果是的余式——也即，除以——那么在 处的切线方程是，不论是否是的根。

参见
多项式余数定理
综合除法
欧几里得整环

引用

多项式
除法