条件概率分布

条件概率分布（Conditional Probability Distribution，或者 条件分布，Conditional Distribution ）是现代概率论中的概念。已知两个相关的随机变量X 和Y，随机变量Y 在条件{X =x}下的条件概率分布是指当已知X 的取值为某个特定值x之时，Y 的概率分布。 如果Y 在条件{X =x}下的条件概率分布是连续分布，那么其密度函数称作Y 在条件{X =x}下的条件概率密度函数（条件分布密度、条件密度函数）。与条件分布有关的概念，常常以“条件”作为前缀，如条件期望、条件方差等等。

例子

假设在桌子上抛掷一枚普通的骰子，则其点数结果的概率分布是集合的均匀分布：每个点数出现的概率都是均等的六分之一。然而，如果据某个坐在桌边的人观察，向着他的侧面是6点，那么，在此条件下，向上的一面不可能是6点，也不可能是6点对面的1点。因此，在此条件下，抛骰子的点数结果是集合的均匀分布：有四分之一的可能性出现四种点数中的一种。可以看出，增加的条件或信息量（某个侧面是6点）导致了点数结果的概率分布的变化。这个新的概率分布就是条件概率分布。

数学定义
更为严格清晰的定义需要用到数学语言。当随机变量是离散或连续时，条件概率分布有不同的表达方法。

离散条件分布
对于离散型的随机变量X 和Y（取值范围分别是和），随机变量Y 在条件{X =x}下的条件概率分布是：
 （）
同样的，X 在条件{Y=y}下的条件概率分布是：
 （）
其中，是X 和Y 联合分布概率，即“，并且发生的概率”。如果用表示的值：

那么随机变量X 和Y 的边际分布就是：

因此， 随机变量Y 在条件{X =x}下的条件概率分布也可以表达为：
（）
同样的，X 在条件{Y=y}下的条件概率分布也可以表达为：
（）

连续条件分布
对于连续型的随机变量X 和Y，，因此对离散型随机变量的条件分布定义不适用。假设其联合密度函数为，X 和Y 的边际密度函数分别是和，那么Y 在条件{X =x}下的条件概率密度函数是：

同样的，X 在条件{Y=y}下的条件概率密度函数是：

条件分布和独立分布
在一定意义上，条件分布和独立分布是相对的。如果两个随机变量X 和Y 是独立分布的，那么不论是否已知某个关于X 的条件，都不会影响Y 的概率分布。用数学语言来说，就是：
 
这与独立分布的定义是相合的，事实上，随机变量X 和Y 相互独立分布，则：
 
因此

参见 
条件概率
正则条件概率

参考资料

條件機率
概率分布