歐拉運動定律

歐拉運動定律（）是牛頓運動定律的延伸，可以應用於多粒子系統運動或剛體運動，描述多粒子系統運動或剛體的平移運動、旋轉運動分別與其感受的力、力矩之間的關係。在艾薩克·牛頓發表牛頓運動定律之後超過半個世紀，於1750年，萊昂哈德·歐拉才成功地表述了這定律。

剛體也是一種多粒子系統，但理想剛體是一種有限尺寸，可以忽略形變的固體。不論是否感受到作用力，在剛體內部，點與點之間的距離都不會改變。

歐拉運動定律也可以加以延伸，應用於可變形體內任意部分的平移運動與旋轉運動。

剛體

歐拉第一運動定律
歐拉第一定律表明，從某慣性參考系觀測，施加於剛體的淨外力，等於剛體質量與質心加速度的乘積。歐拉第一定律以方程式表達為
 ；

其中， 是剛體感受到的淨外力， 、 分別是剛體的質量、質心加速度。

剛體的平移運動等同於位於其質心、具有其質量的粒子，感受到同樣的淨外力，而呈現的運動。

導引
思考由  個粒子組成的多粒子系統，其質心位置  為
 ;

其中， 、 分別為第  個粒子的質量、位置， 是系統的質量。

質心速度  為
 ；

其中， 是第  個粒子的速度。

質心加速度  為
 ；

其中， 是第  個粒子的加速度。

第  個粒子感受到的力  為
 ；
其中， 是這粒子感受到的外力， 是第  個粒子施加於第  個粒子的內力。

系統感受到的淨力  是所有粒子感受到的力的向量和：
 。

根據牛頓第三定律，內力與其反作用力的關係為
 。

所以，所有粒子彼此施加於對方的內力的向量和為零，淨力等於所有外力的向量和 （淨外力  ）：
 。

根據牛頓第二定律，第  個粒子感受到的力  與這粒子的加速度之間的關係為
 。

總和所有粒子所感受到的力，
 。

所以，淨外力  與質心加速度的關係為
 。

動量守恆定律
多粒子系統的動量  是組成這系統的所有粒子的動量的向量和：
 ；

其中， 是第  個粒子的動量。

歐拉第一定律又可以表達為
 。

假設淨外力為零，則系統的動量守恆。

歐拉第二運動定律
歐拉第二定律表明，設定某慣性參考系的固定點O（例如，原點）為參考點，施加於剛體的淨外力矩，等於角動量的時間變化率。歐拉第二定律以方程式表達為
 ；

其中， 是對於點O淨外力矩， 是對於點O的角動量。

導引
思考由  個粒子組成的多粒子系統。對於點O，第  個粒子的角動量  為
 。

 對於時間的導數為
 。

根據牛頓第二定律，施加於第  個粒子的力  是這粒子的質量與加速度的乘積。所以， 對於時間的導數為
 。

第  個粒子所感受到的淨力矩  為  。所以， 與  的關係為
 。

總和所有粒子所感受到的淨力矩，系統所感受到的淨力矩  與其角動量  的關係為
 。

第  個粒子所感受到的淨力  為
 。

第  個粒子所感受到的淨力矩  為
 。

物體感受到的淨力矩  為：
 。

應用牛頓第三定律，
 ；

其中， 是從粒子  到粒子  的位移向量。

假設這系統的粒子遵守強版牛頓第三定律，即粒子運動為經典運動，速度超小於光速，則 與  同向，叉積為零。那麼，物體感受到的淨力矩是所有外力矩的向量和  ：
 。

這樣，可以得到歐拉第二定律方程式
 。

假設施加於系統的淨外力矩為零，則系統的角動量的時間變化率為零，系統的角動量守恆。

相對於質心的歐拉第二運動定律
所有粒子所感受到的淨力矩的向量和為
 ；

其中， 、 分別是第  個粒子相對於質心的相對位移與相對加速度。

注意到所有粒子的相對位移與相對加速度，其向量和分別為零，所以，
 。

現在，假設將質心設定為參考點，則  ，方程式變為
 。

以質心為參考點，角動量  為
 。

所以，不論質心參考系是否為慣性參考系（即不論質心是否呈加速度運動），以質心為參考點，淨外力矩等於角動量的時間變化率：
 。

可變形體
在可變形體內部任意位置的內力密度不一定一樣，也就是說，其內部存在有應力分佈。這內部的內力的變化是由牛頓第二定律主控。通常，牛頓第二定律是應用於計算質點或粒子的動力運動，但在連續介質力學裏，被加以延伸後，可以應用於計算具有連續分佈質量的物體的運動行為。假設將物體模型化為由一群離散粒子組構而成，每一個粒子的運動都遵守牛頓第二定律，則可以推導出歐拉運動定律。不論如何，歐拉運動定律也可以直接視為專門描述大塊物體運動的公理，與物體結構無關。

在塑性力学（plasticity theory）裏，施加於一個連續物體B的力可以分類為兩種：「長程力」與「短程力」。長程力作用於整個物體的每一部分，稱為徹體力（），而短程力只能作用於物體表面，稱為接觸力（）。這樣，施加於連續物體的淨力  分為淨徹體力  、淨接觸力  ：
 、
 ；

其中， 是徹體力場（量綱為力每單位質量）， 是微小質量元素， 是質量密度， 是微小體元素， 是積分體區域， 是表面曳力（）密度， 是微小面元素， 是積分曲面。

由於徹體力與接觸力施加於物體，造成了以某設定點為參考點的對應力矩。這樣，對於原點的淨力矩  分為淨徹體力矩  、淨接觸力矩  ：
 、
 ；

其中， 是微小體元素或微小面元素的位置。

歐拉第一定律（「力平衡定律」）表明，從某慣性參考系觀測，施加於連續物體內部任意部分的淨外力等於淨動量的時間變化率：
 。

也就是說，
 ；

其中， 是微小體元素的速度。

歐拉第二定律（「角動量平衡定律」）表明，從某慣性參考系觀測，施加於連續物體內部任意部分的淨力矩等於淨角動量的時間變化率：
 。

也就是說，
 。

參閱
歐拉方程 (剛體運動)
歐拉旋轉定理

參考文獻 

基本物理概念
經典力學
連續介質力學
剛體