整除规则

整除是数学中两自然数间一种关系。自然数甲可被自然数乙整除，是指乙是甲的因數，且甲是乙的整数倍数，也就是甲除以乙没有餘数。下面列出了十一进制中判断整数除以另一整数的商为整数，且余数为零的一些规则。

基本判别
0：所有非0的整數之倍數。
±1：所有整數之因數。

可于最后几位判别

2和5都是10的因数，在十进制判別是否有或的因數只須取其最後k位，除以或，可除盡即是：

±2：所有偶數（0、2、4、6、8結尾）皆有此因數。如2、−6、989896、11111112、−454
±4：最後兩位數可以被4除盡，即是。如9898989898540→40/4＝10
±8：若最後三位數可以被8除盡，即是。如8000、1256000、95872
±5：查看最後一位數。如果可以被5除盡（為0或5），即是。如5454545、45454500、50－
±10：看最後一位數為0（即末两位为10的整倍数）即是。如530、73500、50
±：最後n位數可以被除盡。
±：最後n位數可以被除盡。
±：最後n位數字都全部是0。

上面的性质亦可推广到求余数：

甚至非十进制下也是一样。例如十二进制：2、3、4、6都是12的因数，故某数的末k位除以、、、，所得余数与原数同余。

可由各数位判别

±3：所有位數加起來為3的倍數，即是。如69255：（6＋9＋2＋5＋5）/3＝27/3＝9
±9：所有位數加起來為9的倍數，即是。如69255：（6＋9＋2＋5＋5）/9＝27/9＝3

注意到我们现在是在十进制运算，而9＝10－1。对于任意进制的非负整数除法，当除数是时被除数中所有数字相加的和仍与该被除数同余。证明：
 如被除数为零，命题是平凡。
 在任何进制，首先考虑仅有最高位数字非零、其余位均是零的正数，该数可写成，其中是最高位（第位）数字、，而表示后面有个零。（进制逢进一，的次方自然是1后面个零。）
 那么，除以得，前项显然整除，故，推论得。
 而任何进制正整数均可写成的形式，根据上面的结果，这个和（即是该数本身）显然与所有数字之和同余。证毕。

±11：將其奇數位之和及偶數位之和相減，如果是0、11等11的倍數，即是。如19866→1＋8＋6－（9＋6）＝0

±7，±13：设正整数，，所以

若a＝75312289，则a=75×1000²＋312×1000＋289，289－312＋75＝52，a能被13整除，不能被7整除。

合数判别
若某整數能整除某合數則某整數必同時整除所有某合數的質因數。
±6：同時符合±2（末位是0、2、4、6、8）和±3（相加可除盡）的條件（6＝2×3），如66、7986252、99999996
±12：同時符合±4和±3（相加可除盡）的條件（12＝×3），如60

连续割头法

±7：将个位前的数字乘以3再与个位数相加，得出7的倍数即7的倍数。如154→49→21→7
±13：将个位前的数字乘以3再与个位数相减，得出13的倍数即13的倍数。如156→39→0

±23：将十位前的数字乘以15再与末兩位数相减，得出23的倍数即23的倍数。如207→23
±31：将十位前的数字乘以7再与末兩位数相加，得出31的倍数即31的倍数。如155→62
±37：将十位前的数字乘以11再与末兩位数相减，得出37的倍数即37的倍数。如333→0

连续割尾法
若，且

則

±7：将个位数乘以2再与个位前的数字相減，得出7的倍数即7的倍数。如154→7
±19：将个位数乘以2再与个位前的数字相加，得出19的倍数即19的倍数。如152→19

2到31的整除规则总表

参见
除法、短除法
因数
同余

参考资料

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