守恆量

在經典力學裏，對於一個動力系統，隨著時間的演進，所有保持不變的物理量都稱為守恆量（），又稱為運動常數。由於很多物理定律會表達某種守恆行為，對應的守恆量時常會出現於真實系統。例如，假設在某系統內涉及的作用力是保守力，則此系統的能量是守恆量。假設涉及的作用力是連心力，則此系統的角動量是守恆量。

動量
根據動量守恆定律，假若一個粒子所感受到的外力，其總向量和為零，則這粒子的動量保持不變，是一個守恆量。在這狀況下，粒子會呈勻速運動或著靜止不變。以方程式表達，假設粒子感受到的淨外力為零：
 。

根據牛頓第二定律，淨外力與動量  的關係式為
 。

所以，動量是一個常數，是一個守恆量。

角動量
根據角動量守恒定律，假若一個粒子所感受到的外力矩，其其總向量和為零，則這粒子的角動量保持不變，是一個守恆量。在這狀況下，粒子會呈勻角運動或直線運動。以方程式表達，假設粒子感受到的淨外力矩  為零：
 。

淨外力矩與角動量  的關係式為
 。

所以，角動量是一個常數，是一個守恆量。

能量
在經典力學裏，粒子的能量定義為動能與勢能的代數和。根據能量守恒定律，假若一個粒子所感受到的外力都是保守力，則這粒子的能量保持不變，是一個守恆量。以方程式表達，能量  為動能  與勢能  的代數和
 。

粒子的動能與運動速度  的關係為
 ；

其中， 是粒子的質量。

而對於保守系統，勢能與淨保守力  的關係為
 ；

能量對於時間的導數為
 。

所以，能量是一個常數，是一個守恆量。

能量函數
思考一個物理系統，其拉格朗日量是动能  与势能  的差值：
 。

通常，動能的參數為廣義速度  （符號上方的點號表示對於時間  的全導數），而勢能的參數為廣義坐標  ，所以，拉格朗日量的參數為  。

這物理系統的運動軌道，以拉格朗日方程式表示為
；

其中， 是时间。

拉格朗日量對於時間的全導數為
 。

將拉格朗日方程式代入，可以得到
。

定義「能量函數」  為
 ，

則能量函數與拉格朗日量的關係為
 。

假若拉格朗日量顯性地與時間無關， ， ，則能量函數是一個常數，是一個守恆量。設定  ，這常數  可以稱為這物理系統的能量。因此，這物理系統的能量守恆。

參閱
 李亞普諾夫函數
 哈密頓系統
 守恆定律

參考文獻

微分方程
变分法