Numerov yöntemi

Numerov'un yöntemi (aynı zamanda Cowell'in yöntemi olarak da adlandırılır), birinci mertebeden terimin görünmediği ikinci mertebeden adi diferansiyel denklemleri çözmek için sayısal bir yöntemdir . Dördüncü dereceden doğrusal çok adımlı bir yöntemdir . Yöntem örtüktür, ancak diferansiyel denklem lineer ise açık hâle getirilebilir.

Numerov'un yöntemi Rus astronom Boris Vasilyeviç Numerov tarafından geliştirildi.

Yöntem 
Numerov yöntemi, diferansiyel denklemleri şu formdaki çözmek için kullanılabilir:

 

İçindeki üç değer , üç eşit uzaklıktan alınan  değerleriyle aşağıdaki gibi ilişkilidir:

 

burada; , ,  ve  'dir.

Doğrusal olmayan denklemler 
Aşağıdaki formdaki doğrusal olmayan denklemler için

 

yöntem, şunu verir

 

Bu, eğer yukarıda verilen açık yönteme  'i lineer  ayarlayarak  indirgenirse, örtük doğrusal çok adımlı bir yöntemdir ve 4. derece doğruluğuna ulaşır    .

Uygulaması 
Sayısal fizikte yöntem, keyfî potansiyeller için tek boyutlu Schrödinger denkleminin çözümlerini bulmak için kullanılır. Bunun bir örneği, küresel olarak simetrik bir potansiyel için radyal denklemi çözmektir. Bu örnekte, değişkenleri ayırdıktan ve açısal denklemi analitik olarak çözdükten sonra, radyal fonksiyon 'ın aşağıdaki denklemi ile kalıyoruz:

 

Bu denklem, aşağıdaki yerine koyma ile Numerov yönteminin uygulanması için gerekli forma indirgenebilir:

 
 

Ve yerine koyduğumuzda, radyal denklem şöyle olur

 

veya

 

bu, tek boyutlu Schrödinger denklemine eşdeğerdir, ancak değiştirilmiş etkin potansiyel ile şöyle olur;

 

Bu denklemi, tek boyutlu Schrödinger denklemini çözdüğümüz gibi çözmeye devam edebiliriz. Denklemi biraz farklı bir şekilde yeniden yazabiliriz ve böylece Numerov'un yönteminin olası uygulamasını daha net görebiliriz:

Türetilmesi 
Aşağıda verilmiş olan diferansiyel denklemi ele alalım.

 

Numerov'un bu denklemi çözme yöntemini türetmek için, çözmek istediğimiz fonksiyonunun  noktası etrafında Taylor açılımı ile başlıyoruz:

 

Uzaklığı belirten  ve  ile 'yi işaret ederek, yukarıdaki denklemi şu şekilde yazabiliriz:

 

Uzayı eşit olarak ayrıklaştırırsak,   noktalarının bir ızgarasını elde ederiz. Burada,  'dir. Yukarıdaki denklemleri bu ayrık uzaya uygulayarak,   ve arasında bir bağıntı elde ederiz:

 

Hesaplamalı olarak, bu,  miktarında ileri adım atmak anlamına gelir. Geriye doğru bir adım atmak istiyorsak, her 'ı  ile değiştiririz   ifadesini elde ederiz:

 

Sadece 'ın tek güçlerinin işaretinin değiştiğine dikkat edin.  İki denklemi toplayarak şunu elde ederiz:

 

Başta verilen ifadede yerine koyarak  için bu denklemi çözebiliriz, yani  .  faktörü için bir ifade elde etmek için, sadece iki kez  türevini almamız ve yukarıda yaptığımız gibi tekrar yaklaştırmamız gerekir:

 
 

Şimdi bunu önceki denklemin yerine koyarsak,

 

veya

 

Bu, derece terimini göz ardı edersek Numerov'un yöntemini verir.  Yakınsama derecesi (kararlılık varsayılarak) 4'tür.

Kaynakça 
 .

This book includes the following references:
 .
 .

Sayısal diferansiyel denklemler