Möbius fonksiyonu

Möbius fonksiyonu , 1832 yılında Alman matematikçi August Ferdinand Möbius tarafından ortaya atılan çarpımsal bir fonksiyondur. Temel ve analitik sayılar teorisi'nde çoğunlukla kullanılan fonksiyon, genellikle Möbius inversiyon formülü'nün bir parçası olarak görülür. Gian-Carlo Rota'nın 1960'lı yıllardaki çalışmaları sonucunda  ile gösterilen Möbius fonksiyonunun genellemeleri kombinatoriğe tanıtılmıştır.

Tanım 
Herhangi bir pozitif tam sayı  için , 1'in primitif olan ninci köklerinin toplamını ifade eder. , 'nin asal çarpanlarına ayrılışına göre  değerlerini alabilir.

Eğer ,
 çift sayıda asal çarpanı olan kare içermeyen (herhangi bir asal sayının karesine bölünmeyen) bir sayı ise ,
 tek sayıda asal çarpanı olan kare içermeyen bir sayı ise ,
 kare içeriyorsa 
olur.

Möbius fonksiyonu alternatif olarak şu şekilde yazılabilir:
 
Burada  Kronecker deltasını,  Liouville fonksiyonunu ( olarak ifade edilir),  ve  ise Asal omega fonksiyonlarını ifade eder.

Değerler 
'nin ilk 50 pozitif tam sayı için değerleri şu şekildedir:

Yukarıdaki değerlerin grafik üzerinde gösterimi aşağıdaki gibidir.

Uygulamalar

Matematiksel seriler 
Möbius fonksiyonunu üreten Dirichlet serisi, Riemann zeta fonksiyonunun çarpımsal tersidir. Eğer  reel kısmı 1'den büyük bir karmaşık sayıysa

 

eşitliği sağlanır.

Bu eşitlik 'nin Euler çarpımından da görülebilir:

 

İlgili seriler:

 
 
  (Burada , Euler-Mascheroni sabiti'ni ifade etmektedir.)

Möbius fonksiyonu için Lambert serisi:

  ( için yakınsaktır.) 
Asal  için de şunu yazabiliriz:

Özellikler 
Möbius fonksiyonu ,  ve  aralarında asal ise çarpımsaldır ().

'nin her pozitif böleni  için  değerlerinin toplamı sıfırdır: (n = 1 hariç)

 

Bu eşitlik Möbius inversiyon formülü'nün temelini oluşturur ve 'nun aritmetik ve çarpımsal fonksiyonlar teorisindeki öneminin asıl nedeni budur.

'nun kombinatorikteki diğer uygulamaları Pólya'nın sayma teoremi'nin kullanımıyla beraber kombinatoryal gruplar ve kombinatoryal sayma ile bağlantılıdır.

Möbius fonksiyonu tarafından sağlanan bazı özdeşlikler:

 

 .

Ortalama değer 
Möbius fonksiyonunun ortalama değeri sıfırdır. Bu iddia, asal sayı teoremine eşittir.

Mertens fonksiyonu 
Sayılar teorisinde Möbius fonksiyonu ile yakından ilgili bir diğer fonksiyon her doğal sayı  aşağıdaki gibi tanımlanan Mertens fonksiyonu'dur.

 
Bu fonksiyon, Riemann zeta fonksiyonunun sıfırları ile yakından bağlantılıdır. Bunun hakkında daha fazla bilgi için Mertens konjektürü sayfasına bakabilirsiniz.

 
eşitliğinden Mertens fonksiyonu şu şekilde yazılabilir:

 
Burada , Farey dizisi'nin ninci kümesini belirtmektedir. Bu eşitlik, Franel-Landau teoremi'nin kanıtında kullanılmıştır.

Ayrıca bakınız 
 Asal omega fonksiyonu
 Liouville fonksiyonu
 Mertens fonksiyonu
 Möbius inversiyon formülü
 Mertens konjektürü
 Riemann hipotezi
 Asal sayı teoremi

Kaynakça 

Sayılar teorisi