Dört boyutlu uzay

Dört boyutlu uzay (4B), üç boyutlu veya 3 boyutlu uzay kavramının matematiksel bir uzantısıdır. Üç boyutlu uzay, gündelik yaşamdaki nesnelerin boyutlarını veya konumlarını tanımlamak için yalnızca boyut adı verilen üç sayıya ihtiyaç duyulduğu gözleminin mümkün olan en basit soyutlamasıdır. Örneğin, dikdörtgen bir kutunun hacmi, uzunluğu, genişliği ve yüksekliği ölçülerek ve çarpılarak bulunur (genellikle x, y ve z olarak etiketlenir).

Dördüncü bir boyut ekleme fikri, Jean le Rond d'Alembert'in "Boyutlar"ının 1754'te yayınlanmasıyla başladı , 1700'lerin ortalarında Joseph-Louis Lagrange tarafından takip edildi ve Bernhard Riemann tarafından 1854 yılında kavramın kesin bir biçimselleştirmeyle sonuçlandı. 1880'de Charles Howard Hinton,  " dört boyutlu küp " kavramını çizgilerin, karelerin ve küplerin özelliklerinin genelleştirilmesiyle adım adım açıklayan "dördüncü Boyut Nedir? " başlıklı bir makalede popüler hale getirdi. Hinton'un yönteminin en basit biçimi, 2 boyutlu uzayda biri diğerini kapsayan, "görünmeyen" bir mesafeyle ayrılan iki sıradan 3 boyutlu küp çizmek ve ardından eşdeğer köşeleri arasında çizgiler çizmektir. Bu, daha büyük bir dış küpün içinde daha küçük bir iç küp gösterdiğinde, eşlik eden animasyonda görülebilir. Bu durumda iki küpün köşelerini birleştiren sekiz çizgi, "görünmeyen" dördüncü boyutta tek bir yönü temsil ediyor.

Daha yüksek boyutlu uzaylar (yani üçten büyük), o zamandan beri modern matematik ve fiziği resmi olarak ifade etmenin temellerinden biri haline geldi. Bu konuların büyük bir kısmı, bu tür boşluklar kullanılmadan mevcut formlarında var olamazdı. Einstein'ın uzay-zaman kavramı, Öklid 4B uzayından biraz daha karmaşık bir Minkowski yapısına sahip olmasına rağmen, böyle bir 4 boyutlu uzay kullanır.

4 boyutlu uzayda tek konumlar vektörler veya n-demetler olarak, yani  gibi sıralı sayı listeleri olarak verilebilir. Yüksek boyutlu alanların tüm zenginliği ve geometrik karmaşıklığı ancak bu tür konumlar daha karmaşık şekillerde birbirine bağlandığında ortaya çıkar. Bu karmaşıklığın bir ipucu, mümkün olan en basit 4 boyutlu  nesnelerden biri olan tesseract'ın (3 boyutlu kübe eşdeğer; ayrıca bkz. hiperküp) eşlik eden 2 boyutlu animasyonunda görülebilir.

Tarihi 
Lagrange, Mécanique analytique (1755 yıllarında yapılan çalışmalara dayanarak 1788 tarihinde yayınlandı) adlı eserinde mekaniklerin dört boyutlu bir uzayda çalıştığı görülebileceğini yazdı — üç uzay boyutu ve bir zaman boyutu.  1827 yılında, Möbius dördüncü bir boyutun, üç boyutlu bir formun ayna görüntüsü üzerinde döndürülmesine izin vereceğini fark etti; 1853'te, Ludwig Schläfli, platonik katıların dört boyutlu benzerleri de dahil olmak üzere, daha yüksek boyutlarda var olan tüm düzenli politopları keşfetmişti, ancak çalışmaları, ölümünden sonrasına kadar yayınlanmadı. Yüksek boyutlar, Bernhard Riemann'ın herhangi bir koordinat dizisi (x1, ..., xn) olarak bir "nokta" olarak kabul ettiği 1854 tarihli Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen adlı tezi tarafından kısa süre sonra sağlam temellere oturtuldu. Yüksek boyutlarda geometri, özellikle dört boyut dahil, böylece kurulmuş oldu.

Kuaternionlar, bir dördüncü boyut aritmetiği, William Rowan Hamilton tarafından 1843 yılında tanımlandı. Bu çağrışımsal cebir, Bir Vektör Analizinin Tarihi adlı eserde anlatılan üçüncü boyutta vektör analizi biliminin kaynağıydı. kısa bir süre sonra, tessarinler ve ortak kuaterniyonlar, R üzerinden diğer dört boyutlu cebirler olarak tanıtıldı.

Dördüncü boyutun ilk büyük yorumcularından biri, Howard Hinton'du. 1880 yılında Dördüncü Boyut Nedir? adlı makalesi Dublin Üniversitesi dergisinde yayınlandı. A New Era of Thought adlı kitabında tesseract, ana ve kata terimlerini türetti ve Fourth Dimension kitabında küpleri kullanarak dördüncü boyutu görselleştirmek için bir yöntem tanıttı.

Hinton'un fikirleri, Scientific American'da Ocak 1962'de "Matematik Oyunları sütununda"  tarihinde Martin Gardner tarafından öne çıkarılan "Dördüncü Boyut Kilisesi" adında bir fanteziye ilham verdi. 1886'da Victor Schlegel, dört boyutlu nesneleri Schlegel diyagramlarıyla görselleştirme yöntemini açıkladı.

1908'de Hermann Minkowski, Einstein'ın özel ve genel görelilik teorilerinin temeli olan uzay-zamanın dördüncü boyutu olarak zamanın rolünü pekiştiren bir makale sundu. Ancak, öklitçi olmayan uzayzaman geometrisi, Schläfli ve Hinton tarafından yaygınlaştırılandan ettiğinden oldukça farklıdır. Minkowski uzayı çalışması, dört boyutlu öklit uzayından oldukça farklı bir matematik gerektiriyordu ve bundan dolayı oldukça farklı çizgiler boyunca gelişti. Bu ayrılma popüler hayal gücünde daha az belirgindi, ayrımı bulanıklaştıran kurgu ve felsefe eserleri ile, 1973'te H. S. M. Coxeter bunları yazma mecburiyetinde bulundu:

Vektörler 
Matematiksel olarak, dört boyutlu uzay, bir uzayın dört uzamsal boyutlu halidir, bir noktayı tanımlamak için dört parametreye gerek duyan bir uzaydır bu uzay. Örneğin, şuna eşit konum vektörü a'ya sahip olabilir:

 

Bu şekilde verilen dört standart temel vektör (e1, e2, e3, e4), şeklinde yazılabilir

 

o zaman genel vektör a şuna eşittir:

 

Vektörler, üç boyutta olduğu gibi toplar, çıkarır ve ölçeklendirir.

öklitçi üç boyutlu uzayın skaler çarpımı dördüncü boyuta şu şekilde genelleşir:

 

Bu, bir vektörün normunu ve uzunluğunu hesaplamak için kullanılabilir:

 

ve iki sıfır olmayan vektör arasındaki açı şu şekilde hesaplanabilir veya tanımlanabilir:

 

Minkowski uzayzamanı, skaler çarpımdan farklı, dejenere olmayan bir eşleştirme ile tanımlanan geometriye sahip dört boyutlu bir alandır:

 

Bir örnek olarak, öklitçi ve Minkowskici dört boyutlu uzayda (0,0,0,0) ve (1,1,1,0) noktalarının arası uzaklığın karesi 3'e eşit, aynı zamanda (1,1,1,1) ve (0,0,0,0) noktalarının arası uzaklığın karesi öklitçi uzayda 4 iken Minkowskici uzayda 2'dir; 'ü arttırmak aslında metrik uzaklığı azaltmaktır. Bu, göreliliğin iyi bilinen görünür "paradokslarına" neden olur.

Skaler çarpım dördüncü boyutta tanımlı değildir. onun yerine vektörel çarpım bazı uygulamalarda kullanılır ve aşağıdaki gibi tanımlanır:

 

Bu, temeli olan altı boyutlu bir lineer uzay oluşturan dört boyutlu bivektörlerle (e12, e13, e14, e23, e24, e34) bivektör değerlidir. Dördüncü boyutta dönüşler oluşturmak için kullanılabilirler.

Ortogonallik (diklik) ve kelime dağarcığı 
Günlük hayatın tanıdık üç boyutlu uzayında, üç koordinat ekseni —genelde x, y ve z olarak etiketlenir— vardır ve her biri diğer ikisine diktir (yani ortogonaldir). Uzayda altı önemli yön vardır ve bunlar kuzey, güney, doğu, batı, yukarı ve aşağı olarak adlandırılır. Bu eksenler boyunca konumlar yükseklik, boylam ve enlem olarak adlandırılabilir. Bu eksenler boyunca ölçülen uzunluklar yükseklik, genişlik ve derinlik olarak adlandırılabilir.

Nispeten, dört boyutlu uzay genellikle w ile etiketlenen ekstradan bir koordinat eksenine sahiptir ve diğer üç eksene diktir. İki ek ana yönü tanımlamak için, Charles Howard Hinton "yukarıya doğru " ve "aşağıya doğru " anlamına gelen Yunanca sözcüklerden ana ve kata terimlerini türetti."

Yukarıda da belirtildiği gibi, Hermann Minkowski, ışığın sonlu hızı da dahil olmak üzere kozmolojiyi tartışmak için olan dördüncü boyut fikrini kullandı. üç boyutlu uzaya bir zaman boyutunu eklerken alternatif bir dikeylik, hiperbolik ortogonalliği belirtti. Bu kavram, onun dört boyutlu uzayına, kozmosundaki elektromanyetik ilişkilere uygun, değiştirilmiş bir eşzamanlılık sağladı. Minkowski'nin dünyası, daha önce üç uzay boyutundan ve bir zaman boyutundan oluşan bir evrende kullanılan geleneksel mutlak uzay ve zaman kozmolojisiyle ilgili sorunların üstesinden geldi.

Geometri 

Ekstra serbestlik derecesi nedeniyle dört boyutlu uzayın geometrisi üç boyutlu uzayın geometrisinden daha karmaşıktır.

Üç boyutta olduğu gibi burada da iki boyutlu poligonlardan oluşan polihedralar vardır, dördüncü boyutta polihedralardan oluşan 4-politoplar vardır. Üç boyutta, platonik katılar olarak bilinen 5 düzenli polihedralar vardır. Dördüncü boyutta ise platonik katıların analogları olan 6 dışbükey düzenli 4-politoplar vardır. Düzenlilik koşullarının gevşetilmesi, üç boyutlu 13 yarı düzenli Arşimet katısına benzer şekilde, 58 dışbükey tekdüze 4-politop daha üretir. Dışbükeylik koşullarını gevşetilmesi ise  10 tane daha dışbükey olmayan düzenli 4-politopları oluşturur.

Üç boyutta, bir silindir oluşturmak için bir daire ekstrüde edilebilir. Dördüncü boyutta ise birkaç tane silindir benzeri yapılar vardır. Bir küre, bir küresel silindir elde etmek için ekstrüde edilebilir (spherinder olarak bilinen küresel "kapaklara" sahip bir silindir) ve bir silindir bir silindirik prizma (silindirik küp) elde etmek için ekstrüde edilebilinir. İki çemberin kartezyen çarpımı bir ikilisilindir oluşturabilir. Her üçü de, her biri kendi özelliklerine sahip olan dört boyutlu uzayda "yuvarlanabilir".

Üç boyutta, eğimler düğümlenebilir ancak yüzeyler düğümlenemez (kendi kendine kesişmedikçe). Dördüncü boyutta ise, halbuki, eğriler kullanılarak yapılan düğümler, dördüncü yönde yer değiştirilerek basit bir şekilde çözülebilir—ancak iki boyutlu yüzeyler önemsiz olmayan, kendisiyle kesişmeyen düğümleri dört boyutlu uzayda oluşturabilir.  Çünkü bu yüzeyler iki boyutlu, üç boyutlu uzayın oluşturabileceği düğümlerden daha karmaşıklarını oluşturabilirler. Klein şişesi bu tür düğümlenmiş bir yüzey örneğidir. Bu türden başka bir yüzey, gerçek yansıtmalı düzlemdir.

Hiperküre 

Öklid 4-uzayında sabit bir P0 noktasına aynı R uzaklığına sahip noktalar kümesi, 3-küre olarak bilinen bir hiperyüzey oluşturur. Kapalı uzayın hiper-hacmi:

 

Bu, Genel görelilikte Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker metriğinin bir parçasıdır.  burada R, R(t) fonksiyonu ile ikame edilir ve t, evrenin kozmolojik yaşı anlamına gelir. R'nin zamanla büyümesi veya küçülmesi, içindeki kütle yoğunluğuna bağlı olarak evrenin genişlemesi veya çökmesi anlamına gelir.

Biliş 
Sanal gerçekliği kullanan araştırmalar, insanların üç boyutlu bir dünyada yaşamalarına rağmen, özel bir uygulama olmaksızın, uzunluklarının (tek boyutlu) ve açılarının (iki boyutlu) arasında bağlı olarak dört boyutlu uzaya gömülü çizgi parçaları hakkında uzamsal yargılarda bulunabildiklerini ortaya koymaktadır. Araştırmacılar "çalışmamızdaki katılımcıların bu görevlerde çok az pratiği vardı ve dört boyutlu sanal ortamlarda artan algısal deneyimle daha sürdürülebilir, kesin ve daha zengin 4 boyutlu temsiller elde etmenin mümkün olup olmadığı açık bir soru olmaya devam ediyor" şeklinde not etti. Bir diğer çalışmada, insanların kendilerini yönlendirme yeteneği iki, üç ve dört boyutlu labirentlerde test edildi. Her labirent, rastgele uzunlukta dört yol parçasından oluşuyordu ve ortogonal rastgele virajlarla bağlanıyordu ama bu labirentlerde ayrılmalar veya döngüler yoktu (yani aslında labirentler). Grafik arayüz John McIntosh'un ücretsiz olan dört boyutlu labirent oyunundan baz alınmıştı. Katılan kişilerin yol boyunca ilerlemesi ve sonunda başlangıç ​​noktasına geri giden doğrusal yönü tahmin etmesi gerekiyordu. Araştırmacılar, bazı katılımcıların 4 boyutta biraz uygulama yaptıktan sonra yollarını zihinsel olarak bütünleştirebildiklerini buldular (düşük boyutlu durumlar karşılaştırma içindi ve katılımcıların yöntemi öğrenmesi içindi).

Boyutsal Benzeşim 

Dört boyutsal uzayın doğasını anlamak için, boyutsal benzeşim adlı bir araç kullanılır. Boyutsal benzetme, (n − 1) boyutlarının n boyutlarıyla nasıl ilişkili olduğunun incelenmesi ve sonra n boyutlarının (n + 1) boyutlarıyla nasıl ilişkili olacağı konusunda çıkarım yapılmasıdır.

Boyutsal benzeşim Edwin Abbot Abbott tarafından yüzeyi bir kağıt parçası gibi olan iki boyutta yaşayan bir karenin hikâyesini anlatan Flatland adlı kitapta kullanıldı. Bu karenin perspektifinden üçüncü boyutsal bir varlık, kasayı kırmadan objeleri çıkarabilmek (üçüncü boyut içerisinde hareket ettirerek) gibi tanrısal güçlere sahiptir, iki boyutlu perspektiften duvarların arasında kalan her şeyi görebilir ve üçüncü boyutta birkaç santim uzakta durarak tamamen görünmez kalabilir.

Boyutsal benzetme detaylarından, üç boyutlu bir perspektiften bakıldığında, dört boyutlu bir varlığın benzer yeteneklere sahip olabileceği sonucuna varılabilir. Rudy Rucker, ana kahramanın bu tür güçler sergileyen dört boyutlu varlıklarla karşılaştığı Spaceland adlı romanında bunu konu alıyor.

Kesitler 
Üç boyutlu bir nesne iki boyutlu bir düzlemden geçerken, bu düzlemdeki iki boyutlu varlıklar bu düzlemdeki üç boyutlu nesnenin yalnızca bir enine kesitini gözlemleyeceklerdir. Örneğin, eğer bir küre bir kağıdının içinden geçerse, kağıt düzlemindeki varlıklar ilk başta sadece bir nokta görürdü, sonra bu nokta, kürenin yarıçapına ulaşana kadar büyürdü ve en sonunda bir noktaya dönüşüp yok olana kadar tekrardan küçülürdü. İki boyutlu varlıklar, üç boyutlu varlıkların gördüğü gibi bir küre görmezlerdi; onun yerine, bir boyutlu "retinalarından" çemberin bir boyutlu yansımasını görürlerdi. Benzer bir şekilde, eğer dört boyutlu bir nesne üç boyutlu bir (hiper) yüzeyden geçecek olursa, dört boyutlu bir objenin üç boyutlu bir kesiti gözlemlenebilir. Örneğin, bir hiperküre ilk başta bir nokta olarak ortaya çıkardı, daha sonra bir (hiperkürenin hiperçapına ulaşana dek) küre olarak büyürdü, en sonunda küçülerek bir nokta olarak yok olurdu. Dördüncü boyutun yönlerini görselleştirmenin bu yolu, Flatland romanında ve Charles Howard Hinton'ın bazı çalışmalarında kullanıldı. Aynı zamanda, üç boyutlu varlıklar (örneğin iki boyutlu retinaya sahip bir insan) iki boyutlu bir nesnenin içini ve bütün etrafını aynı anda görebilir, bir dört boyutlu varlık da üç boyutlu bir nesnenin içini ve bütün etrafını üç boyutlu retinalarıyla aynı anda görebilir.

Yansıtmalar 
Daha yüksek boyutları görselleştirmede boyutsal benzeşimin (analojinin) yararlı bir uygulaması projeksiyondadır (iz düşümündedir). iz düşümü, n boyutlu bir nesneyi  boyutlarda temsil etmenin bir yoludur. Örneğin, bilgisayar ekranları iki boyutludur, üç boyutlu insanların, yerlerin ve varlıkların bütün fotoğrafları düz bir yüzeye yansıtılarak iki boyutlu olarak temsil edilir. Bunu yaparak, ekrana dik olan boyut (derinlik) silinir ve dolaylı bilgi ile değiştirilir. Göz retinası aynı zamanda reseptörlerin iki boyutlu bir dizisidir ancak beyin, üç boyutlu nesnelerin doğasını dolaylı bilgilerden (gölgeleme, önceden kısaltma, binoküler görüş vb.) algılayabilme kabiliyetine sahiptir. Sanatçılar genellikle iki boyutlu resimlere üç boyutlu derinlik yanılsaması vermek için perspektif kullanırlar. Şekillerde gösterildiği gibi, düz bir yüzey üzerinde dönen bir tesseract'ın hayali bir ızgara modeli tarafından oluşturulan gölge, aynı zamanda projeksiyonların sonucudur.

Benzer şekilde, dördüncü boyuttaki nesneler, daha uygun bir şekilde incelenebilecekleri tanıdık üç boyuta matematiksel olarak yansıtılabilir. Bu durumda, dört boyutlu bir gözün 'retina'sı, üç boyutlu bir reseptör dizisidir.Böyle bir göze sahip varsayımsal bir varlık, retinasındaki üç boyutlu görüntülerdeki dolaylı bilgilerden dört boyutlu derinliği çıkarsayarak dört boyutlu nesnelerin doğasını algılayacaktır.

Üç boyutlu nesnelerin gözün retinasına perspektif projeksiyonu, beynin üçüncü boyutta derinlik olarak yorumladığı, önceden kısaltma gibi eserler ortaya çıkarır. Aynı şekilde, dördüncü boyutlardan olan perspektif iz düşümü, önceden kısaltmalı benzer efektler üretir. Boyutsal benzeşim uygulayarak, bu etkilerden dört boyutlu "derinlik" çıkarılabilir.

Bu ilkenin bir örneği olarak, aşağıdaki görüntü dizisi, üç boyutlu küpün çeşitli görünümlerini dört boyutlu tesseract'ın üç boyutlu uzaya benzer iz düşümleriyle karşılaştırır.

Gölgeler 
iz düşümüyle yakından ilgili bir kavram, gölgelerin dökümüdür.

Eğer üç boyutlu bir nesneye ışık düşerse, iki boyutlu bir gölge oluşur. Boyutsal benzeşimle, iki boyutlu bir uzayda iki boyutlu bir nesneye ışık düşerse bir boyutlu bir gölge oluşur ve tek boyutlu bir uzayda tek boyutlu bir nesneye ışık düşerse sıfır boyutlu bir gölge oluşturur, bu da ışığın olmadığı bir nokta anlamına gelir. Öte yandan, dört boyutlu bir nesneye ışık düşerse üç boyutlu bir gölge oluşabileceği çıkarımında bulunulabilir.

Eğer bir küpün telden bir kafesi üstten aydınlatılırsa bu kafesin iki boyutlu bir düzlemde oluşan gölgesi, iç içe geçmiş ve karşılık gelen köşeleri bağlı olan bir kare içinde kare şeklinde görünür. Benzer olarak, eğer bir tesseract'ın telden bir kafesi "üst"ten (dördüncü boyutta) aydınlatılırsa, gölgesi havada asılı duran üç boyutlu bir küpün içinde üç boyutlu bir küp olurdu. (dört boyutsal perspektiften bir "düz" yüzey). (Teknik olarak, burada gösterilen görsel temsilin aslında dört boyutlu tel kafes şeklinin üç boyutlu gölgesinin iki boyutlu bir görüntüsü olduğuna dikkat edin.)

Sınırlayıcı Hacimler 
Boyutsal benzeşim aynı zamanda daha yüksek boyutlardaki nesnelerin temel özelliklerini çıkarmaya yardımcı olur. Örneğin, iki boyutlu nesneler tek boyutlu sınırlarla sınırlanmıştır: bir kare dört kenar ile sınırlıdır. Üç boyutlu nesneler ise iki boyutlu sınırlarla sınırlanmıştır : bir küp 6 eş kare yüz ile sınırlıdır. boyutsal benzeşim uygulayarak, dört boyutlu küp olarak da tanımlanan tesseract, üç boyutlu hacimlerle sınırlı olduğu sonucuna varılabilir. Aslında, bu durumda: matematik bir tesseract'ın 8 küp tarafından sınırlandığını gösterir. Bunu bilmek, tesseract'ın üç boyutlu projeksiyonunun nasıl yorumlanacağını anlamanın anahtarıdır. Tesseract'ın sınırları, yalnızca iki boyutlu yüzeylere değil, görüntüdeki hacimlere yansıtılır.

görsel kapsam 
İnsanlar, üç boyutlu bir uzayda varlıklar olarak mekânsal bir benlik algısına sahiptir, ancak görsel olarak bir boyut daha az sınırlıdır: gözler, retina yüzeyinde dünyayı iki boyutlu bir iz düşümü olarak görür. Dört boyutlu bir varlığın dünyayı bir hiperyüzey iz düşümlerinde görebildiği varsayarsak, aynı zamanda sadece bir boyuttan az olan, yani üç boyuttan, örneğin opak bir kutunun altı yüzünün hepsini aynı anda ve aslında içinde ne olduğunu görebilecekti. Tıpkı insanların bir kağıt parçası üzerindeki dikdörtgenin içini ve dört kenarını aynı anda görebilmesi gibi. Varlık, katı 3 boyutlu nesnelerin iç yapısı da dahil olmak üzere 3 boyutlu bir alt uzaydaki tüm noktaları, iki boyutlu projeksiyonlarda üç boyutlu insan bakış açılarından gizlenen şeyleri aynı anda ayırt edebilecektir. Beyin, iki boyutlu görüntüleri alır ve üç boyutlu nesneleri resmetmeye yardımcı olmak için akıl yürütmeyi kullanır.

Sınırlamalar 
Benzer alt boyutlardan benzeşim yoluyla akıl yürütme, mükemmel bir sezgisel rehber olabilir ancak daha titiz bir şekilde test edilmemiş sonuçları kabul etmemeye özen gösterilmelidir. Örneğin, çemberin alanını veren formülü () ve bir kürenin hacmini veren formülü () ele alalım. Dört boyutlu uzayda 3-kürenin hacminin  olduğu tahmin edilebilir, ya da belki, ancak ikisi de doğru değildir. Asıl formül formülüdür.:&hairsp;119&hairsp;

Ayrıca bakınız 

4-politop
4-manifold
Egzotik R4
Dördüncü boyutizm
Sanatta dördüncü boyut
Edebiyatta dördüncü boyut
Dört boyutlu oyunların listesi
cip Eugene
Fizikte zaman
Uzayzaman

Kaynakça

Konuyla ilgili yayınlar 

 
 Andrew Forsyth (1930) Geometry of Four Dimensions, link from Internet Archive.
  Extract of page 68
 E. H. Neville (1921) The Fourth Dimension , Cambridge University Press, link from University of Michigan Historical Math Collection.

Dış Bağlantılar 

 "Dimensions" videos, showing several different ways to visualize four dimensional objects 
 Science News article summarizing the "Dimensions" videos, with clips 
 Flatland: a Romance of Many Dimensions (second edition)
 Frame-by-frame animations of 4D - 3D analogies 

4 (sayı)
Özel görelilik
Çok boyutlu geometri
Boyut
Dört boyutsal geometri