Euler karakteristiği

Matematikte ve daha spesifik olarak cebirsel topoloji ve çokyüzlü kombinatorikte Euler karakteristiği (veya Euler sayısı veya Euler – Poincaré karakteristiği), nasıl olursa olsun topolojik uzayın şeklini veya yapısını tanımlayan bir sayı olan topolojik değişmezdir. Genellikle  (Yunanca küçük harf chi) ile gösterilir.

Euler karakteristiği başlangıçta çokyüzlüler için tanımlanmış ve Platonik katıların sınıflandırılması da dahil olmak üzere çeşitli teoremleri kanıtlamak için kullanılmıştır. Platonik katılar için 1537'de Francesco Maurolico tarafından yayınlanmamış bir el yazmasında belirtilmiştir. Konsepte adını veren Leonhard Euler, bunu daha genel olarak dışbükey çokyüzlüler için tanıttı ancak bunun bir değişmez olduğunu kesin şekilde kanıtlayamadı. Modern matematikte, Euler karakteristiği homolojiden ve daha soyut olarak homolojik cebirden kaynaklanır.

Çokyüzlüler 

Euler özelliği  formülüne göre klasik olarak çokyüzlülerin yüzeyleri için tanımlanmıştır.

 

burada V, E ve F sırasıyla verilen çokyüzlüdeki köşelerin, kenarların ve yüzlerin sayısıdır. Herhangi bir dışbükey çokyüzlünün yüzeyi Euler karakteristiğine sahiptir.

 

Leonhard Euler tarafından 1758 yılında ifade edilen bu denklem  Euler'in polihedron formülü olarak da bilinir. Kürenin Euler karakteristiğine karşılık gelir (yani χ = 2) ve aynı şekilde küresel çokyüzlüler için de geçerlidir. Tüm Platonik çokyüzlülerdeki formülün örnekleri aşağıda verilmiştir.

Dışbükey olmayan çokyüzlülerin yüzeyleri çeşitli Euler özelliklerine sahip olabilir:

Düzenli çokyüzlüler için Arthur Cayley, yoğunluk D, tepe şekli yoğunluğu d v ve yüz yoğunluğunu kullanarak Euler formülünün değiştirilmiş bir biçimini türetmiştir.  :

 

Bu sürüm hem dışbükey çokyüzlüler hem de dışbükey olmayan Kepler-Poinsot çokyüzlüler için geçerlidir.

Projektif çokyüzlülerin tümü, gerçek yansıtmalı düzlem gibi Euler karakteristiği 1'e sahipken, simit gibi toroidal çokyüzlülerin tüm yüzeyleri Euler karakteristiği 0'a sahiptir.

Kaynakça

Dış bağlantılar 

 
 
 An animated version of a proof of Euler's formula using spherical geometry .

Leonhard Euler
Kanıt içeren maddeler
Cebirsel topoloji