Parseval Teoremi

Matematik dünyasında, Parseval teoremi  Fourier dönüşümünün bir üniter ifade olduğu sonucunu bize açıklar. Basit bir şekilde açıklarsak, bir fonksiyonun karesinin toplamı (ya da integrali) ile Fourier dönüşümün fonksiyonunun karesinin toplamının (ya da integrali) birbirine eşit olduğunu söyler. Teorem, Marc-Antoine Parseval'in 1799 yılındaki seriler hakkındaki bir teoreminin Fourier serilerine uygulanması sonucu ortaya çıkmıştır. Lord Rayleigh ile John William Strutt'tan sonra Rayleigh Enerji Teoremi veya Rayleigh Özdeşliği olarak da bilinir.

"Parseval Teoremi" terimi, genelde herhangi bir Fourier dönüşümünün üniterliğini tanımlamak için kullanılsa da, özellikle fizikte bu özelliğin en genel biçimi şeklinde daha doğru bir şekilde ifade edersek bu teoremin adı Plancherel Teoremi'dir.

Parseval Teoremi'nin Matematiksel İfadesi 
Varsayalım ki  ve  fonksiyonları  reel sayılar kümesi içerisinde periyodu  olan karmaşık değerli bir fonksiyondur. Ayrıca Fourier serisi şeklinde periyot uzunluğuna göre integrallenebilir kare fonksiyon olduklarını da göz önüne alırsak aşağıdaki eşitlikler karşımıza çıkar:

 
ile
 

şeklinde formüle edilebilir. Daha sonra ise;
Burada  sayısı sanal sayıyı ve yatay çizgi ise karmaşık düzlemi ifade etmektedir.  ve 'yi eşitlikte yerine koyarsak:

 

Yukarıda bulunan eşitliğin orta terimlerinde olduğu gibi periyodu  olan birçok terimin integrali  olacaktır. (Ayrıca bakınız: Harmonik Seriler)

 

Genel olarak, değişmeli yerel kompakt grup olan G Pontryagin İkiliği olan G^ şeklinde verildiğinde, Parseval Teoremi bize şunu söyler: Pontryagin-Fourier dönüşümü Hilbert uzayları olan L2(G) ve L2(G^) arasında üniter bir operatördür. G, birim çember T  olduğunda, G^ tam sayıdır ve yukarıda tartışılan durum tam olarak budur. G reel sayılarda  gerçek doğru ise G^ de aynı zamanda reeldir  ve üniter dönüşüm gerçek doğru üzerindeki bir Fourier dönüşümdür. G döngüsel grup Zn olduğunda yine kendine eşittir (self-dual) burada ise Pontryagin-Fourier dönüşümü uygulamada ayrık Fourier dönüşümü olarak adlandırılır.

Parseval Teoremi şu şekilde de ifade edilebilir: , Fourier serisi ile  arasında integrallenebilir kare bir fonksiyondur (yani hem  hem de  de bu aralıkta integrallenebilir)

 

Daha sonra aşağıdaki formülü elde ederiz:

Mühendislikte kullanılan notasyon 
Elektrik mühendisliğinde, Parseval Teoremi genellikle şu şekilde formüle edilir:

 

Burada  fonksiyonu  fonksiyonunun sürekli Fourier dönüşümünü (normalleştirilmiş ve üniter formda) temsil eder. Açısal frekans  ise birim zamandaki radyan sayısıdır.

Bu teorem, bir sinyalin toplam enerjisinin, zamana göre örnek başına güç toplamının veya frekansa göre spektral gücün toplanması yoluyla hesaplanabileceğini ifade eder.

Ayrık zaman sinyalleri için teorem şöyle aşağıdaki şekilde yazılır:

 

Burada ,  fonksiyonunun ayrık zamanlı Fourier dönüşümüdür (DTFT) ayrıca  ise 'in açısal frekansını (radyan cinsinden) temsil eder.

Alternatif olarak ayrık Fourier dönüşümü (DFT) şeklinde ifade etmek istersek eşitlik şu hale gelir:

 

Burada , 'in DFT'sini ifade eder.

Aşağıda DFT'nin durumunu gösteriliyor. Diğer durumlar için de aynı ispat yolu izlenebilir. 'in ters DFT'sini kullanarak  aşağıdaki eşitliği türetebiliriz.

 

Bırada  ifadesi Karmaşık Sayının Eşleniği'ni temsil eder.

Kaynakça

Dış bağlantılar 

 Parseval , MacTutor History of Mathematics archive.
 George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists (Harcourt: San Diego, 2001).
 Hubert Kennedy, Eight Mathematical Biographies  (Peremptory Publications: San Francisco, 2002).
 Alan V. Oppenheim and Ronald W. Schafer, Discrete-Time Signal Processing 2nd Edition (Prentice Hall:  Upper Saddle River, NJ, 1999) p 60.
 William McC. Siebert, Circuits, Signals, and Systems (MIT Press: Cambridge, MA, 1986), pp. 410–411.
 David W. Kammler, A First Course in Fourier Analysis (Prentice–Hall, Inc., Upper Saddle River, NJ, 2000) p. 74.
 Mathworld Üzerine Parseval Teoremi 

İncelenmemiş çeviri içeren sayfalar