Özdeğer ayrışımı

Lineer cebirde, özdeğer ayrışımı ya da eigen ayrışımı, bir matrisin özdeğerleri ve özvektörleri cinsinden ifade edilen daha basit matrislere ayrıştırılmasıdır. Sadece kare matrisler özdeğerlerine ayrıştırılabilir.

Tanım 

 adet doğrusal olarak bağımsız  () özvektörleri olan  boyutlu  kare matrisi şu şekilde ayrıştırılabilir:

Burada ,  numaralı sütunu 'nın   özvektörü olan  boyutlu kare matristir.  ise köşegen değerleri bu vektörlere denk gelen özdeğerler () olan bir köşegen matristir. Sadece köşegenlenebilir matrisler bu şekilde ayrıştırılabilir. Örneğin,  ayrıştırılamaz.

Özvektörler  genellikle normaldir, ama bazen 'nun sütunları olarak normalleştirilmemiş  adet  özvektörü de kullanılır. Çünkü ayrışımdaki  ile çarpımın sonucu olarak vektör büyüklükleri kaybolur.

Ayrışım, özvektörlerin temel özelliğinden türetilebilir:

Örnek 

2 × 2 boyutlu  matrisi

tekil olmayan  matrisi kullanılarak özdeğerlerine ayrıştırılabilir.

Herhangi bir köşegen matrisi  için,  özdeşliği:

 

İki taraf da  ile çarpılırsa:

 

Yukarıdaki denklem iki eşanlı denkleme ayrılır:

 

Özdeğerler  ve  ayrıştırılır:
 

Vektörleri isimlendirirsek:

iki vektör denklemi elde ederiz:

 

İki çözümlü bir vektör denklemi olarak da gösterilebilir:
 

burada  iki özdeğeri (, ),  ise iki vektörü (, ) içerir.

'u sola kaydırıp 'yu ayırırsak:

 tekil olmadığı için  sıfırdan büyüktür. Yani,
 

Böylece,
 

 matrisinin özdeğerlerini verir (, ). Sonuç olarak özdeğer ayrışımından elde edilen köşegen matrisi  olur.

Çözümleri yukarıdaki denkleme yerleştirirsek
 

ve bu denklemi çözersek:

'yi buluruz

ve özdeğer ayrışımını tamamlarız:

Kaynakça 

Matrisler
Lineer cebir