Jung teoremi

Geometride, Jung teoremi, herhangi bir Öklid uzayındaki bir dizi noktanın çapı ile bu kümenin minimum çevreleyen topunun yarıçapı arasındaki bir eşitsizliktir. Bu eşitsizliği ilk kez 1901'de inceleyen Heinrich Jung'un adını almıştır. En küçük çember problemini açık bir biçimde çözmek için algoritmalar da mevcuttur.

Açıklama 
Bir kompakt küme düşünün

 

ve

  olsun

'nin çapı, yani herhangi iki noktası arasındaki en büyük Öklid mesafe olsun. Jung teoremi, yarıçapı aşağıdaki eşitsizliği sağlayan ve 'yi içeren bir kapalı topun olduğunu belirtir.

 

Eşitliğin sınır durumu, normal -simpleks ile elde edilir.

Düzlemde Jung teoremi 
En yaygın olanı, düzlemdeki Jung teoremi, yani 'dir. Bu durumda teorem, yarıçapı karşılayan tüm noktaları çevreleyen bir çember olduğunu belirtir.

 

 üzerinde daha sıkı bir sınır gösterilemez:  bir eşkenar üçgen (veya onun üç köşesi) olduğunda,

 'dir.

Genel metrik uzaylar 
Herhangi bir metrik uzayda, herhangi bir sınırlı  kümesi için, 'dir. İlk eşitsizlik, topun merkezi ve iki çapsal nokta için üçgen eşitsizliği ile ifade edilir ve ikinci eşitsizlik, 'nin herhangi bir noktasında merkezlenen  yarıçaplı bir top tüm 'yi içereceği için ilkini takip eder. Düzgün bir metrik uzayda, yani tüm mesafelerin eşit olduğu bir uzayda, 'dir. Spektrumun diğer ucunda, düzlemdeki Manhattan mesafesi  gibi bir enjekte edici metrik uzayda, :  noktalarında merkezlenmiş  yarıçaplı herhangi iki kapalı küre boş olmayan bir kesişme noktasına sahiptir, bu nedenle tüm bu tür topların ortak bir kesişme noktası vardır ve bu kesişme noktasında ortalanmış  yarıçaplı bir top, 'nin tamamını içerir. Çeşitli Öklid dışı geometriler için Jung teoreminin versiyonları da bilinmektedir (bkz. örneğin Dekster 1995, 1997).

Kaynakça

Dış bağlantılar 

Metrik geometri
Geometri teoremleri
Öklid geometrisi