Euler teoremi (geometri)

Geometride, Euler teoremi, üçgenin çevrel çemberinin merkezi ve iç teğet çemberinin merkezi arasındaki  uzunluğunun aşağıdaki şekilde ifade edildiğini belirtir:

veya eşdeğer olarak aşağıdaki şekilde yazılabilir;

,

burada  ve , sırasıyla çevresel ve iç teğet çemberlerin yarıçapını belirtir. Teorem, adını 1765'te yayınlayan Leonhard Euler'den almıştır. Ancak aynı sonuç daha önce William Chapple tarafından 1746'da yayınlanmıştır.

Teoremi Euler eşitsizliği takip eder:

 ,

bu ifadede sadece eşkenar üçgen durumda eşitlik geçerlidir.

İspat 

 noktası,  üçgeninin çevrel çemberinin merkezi ve  noktası üçgenin iç teğet çemberinin merkezi olsun, 'nın uzantısı çemberi  noktasında keser. O halde ,  yayının orta noktasıdır. 'yu birleştirin ve 'deki çevrel çemberi kesecek şekilde uzatın. 'dan 'ye bir dik çizin ve  onun ayağı olsun, yani 'dir.  üçgeninin  üçgenine benzer olduğunu kanıtlamak zor değildir, bu nedenle , yani 'dir. Bu nedenle 'dir. 'yı birleştirin. Çünkü;

,

,

,  ve  olduğu bilgisine sahibiz. 'yi çevrel çemberi  ve  noktalarında kesecek şekilde genişletin; sonra , yani , yani 'dir.

Eşitsizliğin daha güçlü versiyonu 
Matematiksel ifadenin daha güçlü bir versiyonu  

,

olarak yazılabilir, burada a, b, c üçgenin kenar uzunluklarıdır.

Dış teğet çember için Euler teoremi 

Eğer  ve  sırasıyla  tepe noktasının karşısındaki dış teğet çemberin yarıçapını gösterirse ve onu merkezi ile çevrel çemberin merkezi arasındaki uzunluk, o zaman  olur.

Mutlak geometride Euler eşitsizliği 
Euler eşitsizliği, verilen bir çember içine çizilmiş tüm üçgenler için, eşkenar üçgen için çevrel çemberin maksimum yarıçapına ulaşıldığını ve sadece bunun için geçerli olduğunu ifade eden biçimde mutlak geometride geçerlidir.

Ayrıca bakınız 

 İki merkezli dörtgenlerde aynı üç değişken arasındaki ilişki için Fuss teoremi
 Poncelet kapanış teoremi, aynı iki çembere (ve dolayısıyla aynı ,  ve ) sahip sonsuz sayıda üçgen olduğunu gösterir.
 Üçgen eşitsizliklerin listesi

Kaynakça

Dış bağlantılar

Konuyla ilgili yayınlar 
 
 
 
 

Kanıt içeren maddeler
Eşitsizlikler
Öklid geometrisi teoremleri
Leonhard Euler