Dördey analizi

Matematikte dördey analizi ya da kuaternion analizi dördey değerli fonksiyonları inceleyen bir matematik alanıdır. Matematikte başka bir isim olarak dördey değerli fonksiyonların teorisi olarak da adlandırılabilir.

Dördeyler Sir William Rowan Hamilton tarafından keşfedilmiştir.

Dördey değerli fonksiyonlar 

Dördey değerli fonksiyon bağımsız değişkenin ve bağımlı değişkenin her ikisinin de dördey olduğu bir fonksiyondur. Tam olarak, dördey değerli bir fonksiyon tanım kümesinin dördey düzleminin altkümesi olduğu ve yine görüntü kümesinin  dördey düzleminin altkümesi olduğu fonksiyondur. Herhangi bir dördey değerli fonksiyonda hem bağımsız değişken hem de bağımlı değişken gerçel ve 3  sanal kısımlara ayrılabilir:

 ve  gerçel değerli fonksiyonlar olmak üzere,  ifadesi

olarak yazılabilir. Başka bir deyişle,  fonksiyonun bileşenleri olan  4 gerçel değişkenin, gerçel değerli fonksiyonları olarak yorumlanabilir.

Dördey analizin basit kavramları çoğunlukla karmaşık analizin üstel, logaritma ve trigonometrik fonksiyonlar gibi elementer fonksiyonlarının dördey bölgelere genişletilmesiyle elde edilir.

Kısmi Türevler ve Cauchy-Riemann denklemlerin genelleştirilmesi 

Karmaşık değerli bir fonksiyonun 2 fonksiyonun bileşimi gibi düşünüldüğü karmaşık analize benzer şekilde, dördey analizinde de bir dördey değerli fonksiyon 4 fonksiyonun bileşimi şeklinde yazılabilir:

Artık bu dört fonksiyonun kısmi türevleri alınabilir:

Örneğin  fonksiyonunun kısmi türevleri şöyledir:

Buradaki  düzlemleri temsil eden işlemcilerdir. Örneğin "1" işlemcisi reel düzlemi temsil eder. Diğer i,j ve k işlemcileri ise sanal düzlemleri temsil eder. Aslında bu fonksiyonun türevi 4'tür. Yani aslında sonuç şudur:

Buradan yola çıkarak Cauchy-Riemann denklemleri dördeylere genelleştirilir:

Ve bu türün 3 farklı formülasyonu vardır. Bunlar:

,

,

Örneğin    fonksiyonu olsun.

Kısmi türevlerinin bazıları şunlardır:

 =  =  =

Diğerleri burada gösterilmemiştir, ancak aynı yöntemle elde edilebilir.

Türevin Limit Tanımı 

Türevin limit tanımı klasik tek değişkenli kalkülüsteki türev tanımıyla aynıdır:

 için,

Dördey eşleniği 
 karmaşık sayısını 2 boyutlu karmaşık sayı olarak düşünmek yanlış olmaz. O halde dördeyler de  "4 boyutlu karmaşık sayıdır" denebilir. Dördeyler 2 boyutlu karmaşık sayıların 2 sanal düzlemin daha eklenmesiyle genelleştirilmiş halidir. n boyutlu denilmesinin sebebi karmaşık sayıların vektör gibi davranmasıdır.

Aynı şekilde 2 boyutlu karmaşık sayının eşleniği varsa dördeylerin de olmalıdır.

 dördeyinin eşleniği, 'dir.

Bazı önemli uygulamaları
Riemann geometrisi
Genel görelilik (özellikle kütlelerin uzay-zamanda oluşturduğu dalgalar için)

Kaynakça 

Cauchy Riemann denklemleri
Dördeyler
Matematiksel fonksiyonlar