Vektör hesabı özdeşlikleri

Bu madde Vektör Analizi'ndeki önemli özdeşlikleri içermektedir.

Operatörlerin Notasyonu

Gradyan 
Ana madde:Gradyan

3 boyutlu kartezyen koordinatlarında verilen 3 değişkenli  fonksiyonunun gradyanı bir vektör alanı verecektir.Notasyon olarak;

 veya  ile gösterilir.

    olarak ifade edilir.Görüldüğü üzere elde artık 3 boyutlu bir vektör alanı vardır.

Burada   x,y ve z eksenlerini temsil eden birim baz vektörlerdir.Genel bir biçimde düşündüğümüzde n değişkenli bir  skaler fonksiyonu ele alırsak bu fonksiyonun gradyanı bize bir n boyutlu bir vektör alanı verecektir:

   satır matris formunda yazılan ya  da rankı 1 olan tensör yani vektör      gibi bir vektör alanı için gradyan ya da kovaryant türevi  Jacobian matrisi ile temsil edilir:

Genellersek herhangi bir k ranklı bir   tensörünün gradyanı k+1 değerinde bir tensör alanı verir.

Diverjans 
Ana madde:Diverjans

Kartezyen koordinatlarında sürekli ve türevlenebilir bir  vektör alanının diverjansı bir skaler değerli fonksiyon verecektir.Notasyon olarak;

 veya  ile temsil edilir.

  olarak ifade edilir.

Gradyanda olan mantık burada da geçerlidir.Yani k boyutlu bir  tensör alanının diverjansı (), k-1 boyutlu bir tensör alanı verir.

Rotasyonel 
Ana madde;Rotasyonel

Kartezyen koordinat sisteminde bir  vektör alanının rotasyoneli yine bir vektör alanı verir.Notasyon olarak;

 ya da  ile temsil edilir.

= olarak ifade edilir.Burada  x,y ve z koordinat eksenlerini temsil eden birim baz vektörlerdir.

Vektör ya da daha genel anlamda tensörlerin rotasyoneli Einstein toplama kuralı esas alınarak tensör dili ile yazılabilir;

 vektör alanının rotasyoneli;

Burada  Levi-Civita Permütasyon Sembolü'dür.

Laplasyen 
Ana Madde:Laplace Operatörü

Kartezyen koordinatlarında skaler değerli bir  fonksiyonunun laplasyeni;

Genel anlamda  tensörünün laplasyeni şöyle yazılabilir;

Rank bakımından tensöre bu operatör uygulandığında tensörün rankı değişmeyecektir.Fonksiyonun laplasyeni 0'a eşit ise fonksiyon özel bir fonksiyon olan harmonik fonksiyon niteliğine sahip olur.

İlk Türev Özdeşlikleri 
Notasyon bakımından skaler alanlar için  ve  vektör alanları için  ve  kullanacağız.

Dağılma Özellikleri

Skaler ile Çarpılırken Çarpım Kuralı 
Tek değişkenli klasik kalkülüsten bildiğimiz çarpım kuralını burada da genelleştirebiliriz.

Skalere bölünürken Bölme Kuralı

İkinci Türev Özdeşlikleri

Rotasyonelin diverjansı sıfıra eşittir 
Bir  vektörün rotasyonelinin diverjansı sıfırdır:

Gradyanın diverjansı Laplasyen operatörüne eşittir

Diverjansın diverjansı tanımsızdır 
=Tanımsız

Sebebi diverjansı alınan vektör skaler olacağı için tekrar diverjans alınamaz.

Not=Bu durum sadece vektörler için geçerlidir.

Gradyanın rotasyoneli sıfıra eşittir

Rotasyonelin rotasyoneli vektör Laplasyeni'ne eşittir

Diverjansın rotasyoneli tanımsızdır 
Sebebi diverjansı alınan vektörün skalere dönüştüğünü düşündüğümüzde yeni skalerin rotasyonelinin alınamayacağıdır.

=Tanımsız

Önemli Özdeşliklerin Özeti

Diferansiyasyon

Gradyan

Diverjans

Rotasyonel

İkinci Türev 

 
 
  (skaler laplasyen)
  (vektör laplasyen)
 
 
 
 
  (Green vektör özdeşliği)

Üçüncü Türev

İntegrasyon 
'''' sembolü burada bir yüzeyin sınırlarını ifade eder.

Yüzey-Hacim İntegralleri 
Yüzey-Hacim İntegral teoremlerini takip ettiğinizde genelde  sembolü görürsünüz.Bunun anlamı eğer A, 3 boyutlu bir çokkatlı ise  sınırlarını yani 2 boyutlu bir yüzeyi temsil eder.

   (Diverjans teoremi)
 
 
  (ilk Green özdeşliği)
 
  (ikinci Green özdeşliği)

Bir eğri üstündeki çizgi integrali 

  (Stokes Teoremi)
 

Burada şu anlaşılmalıdır ki saat yönü negatif taraftır ve saat yönünün tersi üzerinde alınan integral saat yönünde alınan integralin negatifine eşittir.

Matematik listeleri
Vektör hesabı