Kuadratik formül

Temel cebirde, kuadratik formül, bir ikinci dereceden denklemin köklerini (çözümlerini) bulan bir formüldür. İkinci dereceden bir denklemi çözmek için ikinci dereceden formülü kullanmak yerine çarpanlara ayırma (doğrudan çarpanlara ayırma, gruplama, AC yöntemi), tam kareye tamamlama, grafik çizme ve diğerleri gibi başka yollar da vardır.

Genel forma sahip ikinci dereceden denklemi verildiğinde

 

bilinmeyen ; ,  ve  sabitlerken  olmasıyla, kuadratik formül:
buradaki artı eksi işareti "±" ikinci dereceden denklemin iki çözümü olduğunu gösterir. Formülden gelen çözümler () ayrı yazıldığında:

 

Bu iki çözümün her birine ikinci dereceden denklemin kökü (veya sıfırı) denir. Geometrik olarak, bu kökler  olarak verilen parabolün,  ekseni üzerinden geçerinden geçtiği noktalar ve değerlerdirler.

Kuadratik formül, herhangi bir parabolün köklerini veren bir formül olmasının yanı sıra, parabolün simetri eksenini ve ikinci dereceden denklemin içerdiği gerçek köklerin sayısını, köklerin toplamlarını ve çarpımlarını, belirlemek için de kullanılabilir.

Eşdeğer formülasyonlar 
Kuadratik formül şu şekilde de yazılabilir:

 

ve bu da şu şekilde sadeleştirilebilir:

 

Formülün bu versiyonu, karmaşık kökler söz konusu olduğunda kullanışlıdır. Bu durumda, karekök dışındaki ifade gerçek(reel) kısım olacaktır ve karekökün içindeki ifade ise sanal (imajiner) kısım olacaktır. Karekök içindeki ifade diskriminanttır.

Muller'in yöntemi 
Daha az bilinen, Muller yönteminde kullanılan ve Vieta formüllerinden bulunabilen, kuadratik formül, denklemi aracılığıyla aynı kökleri sağlar:

Alternatif parametrelendirmelere dayalı formülasyonlar 
İkinci dereceden denklemin standart parametrizasyonu şöyledir:

 

Bazı kaynaklar, özellikle daha eski olanlar, ikinci dereceden denklemin şu şekilde olabilecek alternatif parametrelendirmelerini kullanır

 iken, 

veya

 iken, .

Bu alternatif parametrelendirmeler, çözüm için biraz farklı formlarla sonuçlanır, ancak bunlar standart olan parametreleştirmeye eşdeğerdir.

Formülün türetimi 
Literatürde ikinci dereceden formülü türetmek için birçok farklı yöntem mevcuttur. Standart türetim, tam kareye tamamlama yönteminin basit bir uygulamasıdır. Alternatif yöntemler bazen tam kareye tamamlamaktan daha basittir ve matematiğin diğer alanları üzerinde ilginç bir kavrayış sağlayabilir.

"Tam Kareye tamamlama" tekniğini kullanarak

Standart yöntem 
İkinci dereceden denklemi 'ya bölün, buna izin verildiği için  sıfır olmayan bir sayı olmalıdır:

 
iki taraftan da  çıkarın, böylece şu denklemi elde edersiniz:

Bu ikinci dereceden denklem şimdi tam kareye tamamlama yönteminin uygulanabileceği bir formdadır. Hatta, denklemin her iki tarafına, sol tarafı tam bir kare olacak şekilde bir sabit ekleyerek, ikinci dereceden denklem şu hale getirilebilir:

 

ve şu şekilde sadeleştirilebilir:

 

Buna göre, sağ taraftaki terimleri ortak bir paydaya sahip olacak şekilde yeniden düzenledikten sonra elde edilen eşitlik şu hale gelir:

 

Böylece tam kare tamamlanır. Eşitliğin her iki tarafının karekökünü almak aşağıdaki denklemi verir:

 

Bu durumda, 'i tek başına bırakmak kuadratik formülü verir:

 

Bu türetmenin küçük farklılıklar içeren birçok alternatifi vardır, bunlar çoğunlukla  sabitinin manipülasyonunu ilgilendirir.

İkinci yöntem 
Son birkaç on yılda yayınlanan cebir metinlerinin çoğu, daha önce sıralanmış basamakları kullanarak tam kareye tamamlamayı öğretir:

 Polinomu monik yapmak için her iki tarafı da 'ya bölün.
 Eşitliği düzenleyin.
 Kareye tamamlamak için her iki tarafa  ekleyin.
 Sağ taraftaki terimleri ortak bir paydaya sahip olacak şekilde yeniden düzenleyin.
 Her iki tarafın da karekökünü alın.
 ’i yalnız bırakın.

Karenin tamamlanması, bazen daha kısa ve basit bir sıralama ile de gerçekleştirilebilir:

 Her iki tarafı da ’yla çarpın,
 Eşitliği düzenleyin.
 Kareye tamamlamak için her iki tarafa  ekleyin.
 Her iki tarafın karekökünü alın.
 ’i yalnız bırakın.

Bu durumda, ikinci dereceden formül aşağıdaki gibi de türetilebilir:

İkinci dereceden formülün bu türetimi antiktir ve Hindistan'da en geç 1025 yılından beri bilinmektedir. Standart yöntemin türetimiyle karşılaştırıldığında, bu alternatif türetim, son aşamaya kadar kesirleri ve karesi alınan kesirleri önler ve bu nedenle, sağ tarafta ortak bir payda elde etmek için üçüncü aşamadan sonra yeniden düzenleme gerektirmez.

Üçüncü yöntem 
Standart yönteme benzer olarak, eşitliğin sol tarafını bir monik polinom yapmak için (mesela, ’nin katsayısı  olur) ikinci dereceden denklemin iki tarafını da  ile bölün.

 

Denklemi daha kompakt ve kolayca değiştirilebilir bir biçimde yazın:

 

 ve  iken.

İlk iki terime  ekleyin ve eşitliği korumak için son terimden  çıkarın. Böylece, ilk iki terimle beraber olan  bir kare olacaktır.

 

Sol tarafı iki kare farkı haline gelecek şekilde yeniden düzenleyin:

 

çarpanlarına ayırın:

 

bu durumdan da anlaşılacaktır ki, ya

 

ya da

 

Elde edilen bu iki lineer denklem,  tek başına bırakılarak,  için şu şekilde çözülebilir:  veya  ve ’yi, sırasıyla  ve  olarak, yeniden ifade ederek ikinci dereceden formül elde edilebilir. Bu değerler, aynı sırada, köklerin toplamının negatifi ve diğerinin de köklerin çarpımına eşit olmasıyla kolaylı sağlayabilir.

Yerine koyma tekniğini kullanarak 
Diğer bir teknik, yerine koyma yöntemiyle çözümdür. Bu teknikle  eşitliğini kullanarak, ikinci dereceden denklemdeki  değişkeninin yerine   ifadesi koyulur:

 

Sonuç genişletilip, terimler ’nin kuvvetlerine göre sıralandığında:

 

 ve  üzerine henüz ikinci bir şart koyulmadığından, üstteki denklemin orta terimi yok edecek şekilde bir  değeri seçilmelidir. Bu değer,  veya ’dır. Sabit terim (sağ tarafa taşınması için) denklemin her iki tarafından çıkarılıp iki taraf da  ile bölünür:

 

 değeri yerine koyulduğunda:

 

Böylece,

 

’yi,  bakımından,   eşitliği kullanılarak, ifade edildiğinde, standart kuadratik formül tekrar elde edilebilir:

Cebirsel eşitlikleri kullanarak 
Bu yöntem tarihteki birçok matematikçi tarafından kullanılmıştır:

İkinci dereceden denklemin kökleri  ve  olsun, türetme şu eşitlik üzerinden başlar:

 

Her iki tarafın da karekökü alındığında şu elde edilir:

 

Standart formdaki ikinci dereceden, denklemin baş katsayısı,  olduğundan, aynı köklere sahip ikinci dereceden bir polinom elde etmek için standart denklemi  ile bölebiliriz. Yani,

 

Buradan da görülebileceği gibi standart ikinci dereceden denklemin köklerinin toplamının  ile verildiğini ve bu köklerin çarpımının  ile verildiğini görebiliriz. Dolayısıyla eşitlik şu şekilde tekrar yazılabilir:

 

Şimdi,

 

 olduğundan, eğer:

 

ise, o zaman bunu elde ederiz:

 

ve eğer onun yerine

 

olarak alırsak, o zaman da bunu elde ederiz:

 

Elde ettiğimiz sonuçları standart ± kısaltmasıyla birleştirebiliriz. Böylece, ikinci dereceden denklemin çözümleri:

Lagrange çözücülerini kullanarak 
İkinci dereceden formülü elde etmenin başka bir yolu, Galois teorisinin erken bir parçası olan Lagrange çözücüleri yöntemidir. Bu yöntem, kübik polinomların ve kuartik polinomların köklerini vermek için de genelleştirilebilir ve herhangi bir derecedeki cebirsel denklemlerin çözümünü, köklerinin simetri grubu olan Galois grubu açısından anlaşılmasını sağlayan Galois teorisine götürür.

Bu yaklaşım, orijinal denklemi yeniden düzenlemekten çok köklere odaklanır. İkinci dereceden bir monik polinom verildiğinde;

 

çarpanlarına ayrıldığını varsayalım

 

parantezleri açarsak

 

bu da bize şu eşitlikleri sağlayacaktır:  ve  .

Çarpmanın değişme özelliğinden dolayı,  ve  değerleri değişmezken  ve  'nın yerleri değiştirebilir ve:  ve 'nun   ve  içinde simetrik polinomlar olduğu söylenebilir. Aslında, bunlar temel simetrik polinomdurlar - herhangi bir simetrik polinom içinde  ve ,  ve  cinsinden ifade edilir. Galois teorisinin polinomları çöze ve analiz etme yaklaşımı şudur: kat sayıları verilen bir polinomun, ki bunlar köklerin içinde simetrik fonksiyonlardır, bir şekilde "simetriyi kırıp" kökler bulunabilir mi? Bu nedenle,  dereceli bir polinomun çözülmesi, n harfin üzerindeki simetrik grubu olarak adlandırılan ve  ile gösterilen  tane terimin yeniden düzenleme ("permütasyon") yollarıyla ilgilidir. Kuadratik polinom için, iki terimi yeniden düzenlemenin tek yolu onların yerini değiştirmektir (onları "transpoze etmektir") ve böylece ikinci dereceden bir polinomu çözmek basittir.

 ve  köklerini bulmak için toplamlarını ve farklarını ele alalım:

 

Bunlar polinomun Lagrange çözücüleri olarak adlandırılır; bunlardan birinin köklerin sırasına bağlı olduğuna dikkat edin, bu kilit bir noktadır. Yukarıdaki denklemleri ters çevirerek çözücülerden kökler de çıkarılabilir:

 

Böylece, çözücüleri çözmek orijinal kökleri verir.

Şimdi  ve 'ya göre  simetrik bir fonksiyondur, bu nedenle  ve  cinsinden ifade edilebilir ve aslında önceki  notasyonunda belirtildiği gibi  olacaktır. Ancak  ve , yerleri değiştirildiğinde farklı bir sonuç olarak   verdiğinden   simetrik değildir (formal olarak bu, köklerin simetrik grubunun bir grup hareketi olarak adlandırılır).  simetrik olmadığından,  ve  katsayılarıyla ifade edilemez, çünkü bunlar simetriktir ve dolayısıyla onları içeren herhangi bir polinom ifadesi de öyle olmalıdır. Köklerin sırasını değiştirmek sadece 'yi -1 faktörüyle değiştirir ve böylece   şeklinde yazılan bir eşitlik köklerde simetriktir ve bu nedenle  ve  cinsinden ifade edilebilir. Denklemi kullanarak aşağıdakiler çıkarılabilir:

 

bu eşitliği yukarıda bulduklarımızla sadeleştirirsek

 

olacaktır ve böylece

 

Pozitif kökün alınacağını var sayıp, simetriyi bozarsak, şu elde edilir:

 

ve böylece

 

Böylece kökler

 

olacaktır, bu ikinci dereceden formüldür.  eşitlikleri kullanılarak monic monik olmayan kuadratiklerin genel olarak bilinen hali tekrar elde edilebilir. Çözücüler şu şekilde tanınabilir:  tepe noktasıdır ve  ayırt edici, yani diskriminanttır (monik bir polinomun).

Benzer ancak daha karmaşık bir yöntem kübik denklemler için de vardır, üç çözücü ve  ve  ile ilgili ikinci dereceden bir denklemle (buna "çözüm polinomu" denir) çözülebilir ve benzer şekilde bir kuartik denklem (4.dereceden denklem) için, çözüm polinomu kübiktir ve bu da çözülebilir. Beşinci dereceden denklem için aynı yöntem, problemi basitleştirmeyen 24 dereceli bir polinom verir ki aslında da beşinci dereceden denklemlerin çözümleri genel olarak yalnızca kökler kullanılarak ifade edilemez.

Tarihsel gelişim 
İkinci dereceden denklemleri çözmek için üretilen en eski yöntemler geometriktir. Babil çivi yazısı tabletleri, ikinci dereceden denklemleri çözmeye indirgenebilen problemler içerir. Orta Krallık'a (MÖ 2050 - MÖ 1650) dayanan Mısır Papirüsü, iki terimli ikinci dereceden bir denklemin çözümünü içerir.

Yunan matematikçi Öklid ( MÖ 300), etkili bir matematiksel inceleme olan Elementler Kitabının ikincisinde ikinci dereceden denklemleri çözmek için geometrik yöntemler kullanmıştır. İkinci dereceden denklemler için kurallar MÖ 200 dolaylarında Çinde "Matematik Sanatı Üzerine Dokuz Bölüm"de görünür. Yunan matematikçi Diophantus (MS 250 civarı) Arithmetica adlı çalışmasında, ikinci dereceden denklemleri Öklid'in geometrik cebirinden daha tanınabilir cebirsel bir yöntemle çözdü. Çözümü, her iki kök de pozitif olsa bile yalnızca bir kök verir.

Hint matematikçi Brahmagupta (MS 597-668), MS 628'de yayınlanan Brāhmasphuṭasiddhānta eserinde ikinci dereceden formülü açık bir şekilde tanımlamıştır, ancak semboller yerine kelimelerle yazılmıştır. Brahmagupta'nın ikinci dereceden denklem 'ye çözümü şöyleydi: "Karenin [katsayısının] dört katı ile çarpılan mutlak [sabit terim olan] sayıya [orta terimin katsayısı] karesini ekleyin; aynı, orta terimin [katsayısı] eksi, karenin [katsayısı] iki katına bölünmesi değerdir [çözümdür]." Bu şuna eşdeğerdir:

 

9. yüzyılda İranlı matematikçi Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī, ikinci dereceden denklemleri cebirsel olarak çözdü. Tüm vakaları kapsayan ikinci dereceden formül ilk olarak 1594'te Simon Stevin tarafından bulundu. 1637'de René Descartes, bugün bildiğimiz formdaki ikinci dereceden formülün özel durumlarını içeren La Géométrie’yi yayınladı.

Önemli kullanımlar

Geometrik önemi 

Koordinat geometrisi açısından, bir parabol,  koordinatları ikinci derece bir polinom ile tanımlanan bir eğridir, yani formun herhangi bir denklemi:

 

burada , ikinci dereceden bir polinomunu temsil eder ve  ve  olmak üzere alt indis ilgili terimin derecesine karşılık gelen sabit katsayılardır. Çözüm olarak çözdüğü ikinci dereceden formülün parabolünün  ekseninden geçeceği yeri vermesidir. Ek olarak, kuadratik formüle iki terimli olarak bakıldığında,

 

böylelikle simetri ekseni,  doğrusu olarak görünür. Diğer terim, , köklerin simetri ekseninden uzaklığını verir, burada artı işareti sağdaki mesafeyi ve eksi işareti soldaki mesafeyi temsil eder.

Bu mesafe terimi sıfıra düşürülürse simetri ekseni kökün  değeri olacaktır, yani ikinci dereceden denklemin tek bir olası çözümü olacaktır. Cebirsel olarak bu,  veya basitçe  (burada sol taraf diskriminant olarak adlandırılır). Bu, parabolün diskriminantının, parabolün kaç sıfıra sahip olacağını gösterdiği üç durumdan biridir. Diskriminant pozitifse, mesafe sıfır olmayacak ve iki çözüm olacaktır. Bununla birlikte, diskriminantın sıfırdan küçük olduğu bir durum da vardır ve bu, mesafenin imajiner olacağını gösterir.veya karmaşık birim 'nin bir katı olarak, burada ve parabolün sıfırları karmaşık sayı olacaklardır. Karmaşık kökler, karmaşık olarak eşlenik olacaktır ve burada karmaşık köklerin gerçek kısmı simetri ekseninin değeri olacaktır. Parabolün  ekseniyle kesiştiği yerde  gerçek değerleri olmayacaktır.

,  ve/veya  sabitleri birimsiz değilse, o zaman 'in biriminin 'nın birimine eşit olması gerekir, bu gerekliliğin sebebi  ve  birimleri üzerinde uyumlu olmasıdır. Ayrıca, aynı mantıkla, 'nin birimi şu birime eşit olmalıdır:  için çözmeden doğrulanabilir. Bu, fiziksel büyüklüklerin ikinci dereceden ifadesini çözmeden önce, doğru bir şekilde kurulduğunu doğrulamak için güçlü bir araç olabilir.

Ayrıca bakınız 
 Cebirin temel teoremi
 Vieta formülleri

Kaynakça

Denklemler
Temel cebir