Euler dörtgen teoremi

Leonhard Euler (1707–1783) adını taşıyan Euler dörtgen teoremi veya Euler'in dörtgenler yasası, dışbükey bir dörtgenin kenarları ile köşegenleri arasındaki ilişkiyi açıklar. Pisagor teoreminin genellemesi olarak görülebilecek Paralelkenar yasasının bir genellemesidir. Bu nedenle Pisagor teoreminin dörtgenler açısından yeniden ifade edilmesi bazen Euler-Pisagor teoremi olarak adlandırılır.

Teorem ve özel durumlar 
Kenarları , köşegenleri  ve  ve iki köşegenin orta noktalarını birleştiren doğru parçası  olan olan bir dışbükey dörtgen için aşağıdaki denklem geçerlidir:

 

Dörtgen bir paralelkenar ise, o zaman köşegenlerin orta noktaları çakışır, böylece bağlantı doğru parçası 'nin uzunluğu 0 olur. Ayrıca paralel kenarlar eşit uzunluktadır, bu nedenle Euler teoremi;

 

haline indirgenir, ki bu da paralelkenar yasasıdır.

Dörtgen bir dikdörtgen ise denklem daha da basitleşir, çünkü artık iki köşegen de eşit uzunluktadır:

 

Denklemin her iki tarafını 2 ile bölüp sadeleştirmek Euler-Pisagor teoremini verir:

 

Başka bir deyişle, dörtgenin bir dikdörtgen olması durumunda, dörtgenin kenarları ile köşegenleri arasındaki ilişkisi Pisagor teoremi ile tanımlanır.

Diğer formülasyon ve genişlemeler 

Euler başlangıçta yukarıdaki teoremi, ek bir noktanın eklenmesini gerektiren ancak daha yapısal kavrayış sağlayan biraz farklı bir teoremden doğal olarak türetmiştir.

Verilen bir  dışbükey dörtgeni için Euler,  bir paralelkenar oluşturacak şekilde ilave bir  noktası getirdi ve böylece aşağıdaki eşitlik geçerlidir:

 

Paralelkenarın parçası olmayan dörtgenin  noktası ile ilave  noktası arasındaki  uzunluğu, dörtgenin paralelkenardan ne kadar saptığını ölçmek olarak düşünülebilir ve , paralelkenar yasasının orijinal denklemine eklenmesi gereken düzeltme terimidir.

, 'nin orta noktası olmak üzere 'dir. , 'nin orta noktası olduğunda aynı zamanda 'nin de orta noktası olur,  ve, her ikisi de  paralelkenarının köşegenidir. Bu  eşitliğini verir, ve dolayısıyla'dir. Bu nedenle, Kesişme teoremi|nden (ve onun tersinden) şu sonuca varır:  ve  paraleldir ve, bu da Euler teoremini verir.

Euler teoremi, çaprazlanmış ve düzlemsel olmayanları içeren daha büyük bir dörtgenler kümesine genişletilebilir. Basitçe dört rastgele noktadan oluşan genelleştirilmiş dörtgenler için geçerlidir.  bir döngü çizgesi oluşturacak şekilde kenarlarla birbirine bağlanır.

Notlar

Kaynakça

Dış bağlantılar

Konuyla ilgili yayınlar 
 
 

Öklid geometrisi teoremleri
Dörtgenler
Öklid geometrisi
Leonhard Euler