Batlamyus teoremi

Öklid geometrisinde, Batlamyus teoremi, bir kirişler dörtgeninin (köşeleri ortak bir daire üzerinde yer alan bir dörtgen) dört kenarı ile iki köşegeni arasındaki bir ilişkiyi gösteridir. Teorem, Yunan astronom ve matematikçi Batlamyus'un (Claudius Ptolemaeus) adını almıştır. Batlamyus, teoremi astronomiye uyguladığı trigonometrik bir tablo olan kirişler tablosunu oluşturmaya yardımcı olarak kullandı.

Kirişler dörtgenin köşeleri sırayla , ,  ve  ise, teorem şunu belirtir:

 

Burada dikey çizgiler (| |) ile gösterim, adlandırılmış köşeler arasındaki çizgi parçalarının uzunluklarını belirtmektedir. Geometri bağlamında, yukarıdaki eşitlik genellikle basitçe şöyle yazılır:

 

Bu ilişki sözlü olarak şu şekilde ifade edilebilir:

 Eğer bir dörtgen bir dairenin içine çizilebiliyorsa, köşegenlerinin uzunluklarının çarpımı, karşıt kenarların çiftlerinin uzunluklarının çarpımlarının toplamına eşittir.

Dahası, Batlamyus teoreminin tersi de doğrudur:

 Bir dörtgende, karşıt iki kenar çiftinin uzunluklarının çarpımlarının toplamı, köşegenlerinin uzunluklarının çarpımına eşitse, bu dörtgen bir daire içerisine çizilebilir, yani bir kirişler dörtgenidir.

Örnekler

Eşkenar üçgen 

Batlamyus Teoremi, sonuç olarak daire içine çizilmiş bir eşkenar üçgene ilişkin güzel bir teoreme ulaşmamıza imkan verir.

Verilen: Bir daire üzerine çizilmiş bir eşkenar üçgen ve daire üzerinde bir nokta.

Noktadan üçgenin en uzak köşesine olan mesafe, noktadan daha yakın iki köşeye olan mesafelerin toplamıdır.

İspat: Hemen Batlamyus teoremini takip edersek:

Kare 
Merkezi karenin merkezi olan bir daireye herhangi bir kare çizilebilir. Dört kenarının ortak uzunluğu 'ya eşitse daha sonra köşegenin uzunluğu 'ye eşittir. Pisagor teoremine göre ve bu ilişki açıkça geçerlidir.

Dikdörtgen 

Daha genel olarak, eğer dörtgen, kenarları  ve  ve köşegenleri  olan bir dikdörtgen verilirse, Batlamyus teoremi, Pisagor teoremine indirgenir. Bu durumda dairenin merkezi, köşegenlerin kesişme noktasıyla çakışır. Bu durumda, köşegenlerinin çarpımı  olarak bulunur. Batlamyus eşitliğine göre sağ taraftaki toplam 'dir.

Trigonometrik çalışmasında Batlamyus'un teoremini yoğun bir şekilde kullanan Kopernik, bu sonuca bir 'Porizm' veya apaçık bir sonuç olarak atıfta bulunur:

 Dahası, bir yayı oluşturan kiriş verildiğinde, yarım dairenin geri kalanını altta tutan kirişin de bulunabileceği açıktır (manifestum est).

Beşgen 

Daha ilginç bir örnek, düzgün bir beşgendeki kenar uzunluğu  ile 5 kirişin (ortak) uzunluğu  arasındaki ilişkidir. Bu durumda  altın oranı veren ilişkidir:

Ongenin kenarı 

Şimdi çap , 'yi ikiye bölerek çizilirse, böylece  ve , daire içine çizilen bir ongenin  kenarlarıdır, Batlamyus teoremi tekrar uygulanırsa bu kez, köşegenlerinden biri olarak  çapına sahip kirişler dörtgeni 'ye:

 

 , burada  altın orandır.
 

böylece daire içine çizilen ongenin kenarı daire çapı cinsinden elde edilir. Dik üçgen 'ye uygulanan Pisagor teoremi, çap olarak  uzunluğunu verir ve bundan sonra beşgenin kenarı  olarak hesaplanır.

 

Kopernik'in (Batlamyus'u izleyerek) yazdığı gibi,

 "Verilen bir çemberin çapı, aynı çemberin çevrelediği üçgen, dörtgen, beşgen, altıgen ve ongenin kenarları da verilmiştir."

İspatlar

Üçgenlerin benzerliği ile ispat 

  bir kirişler dörtgeni olsun. 
  kirişi üzerinde, çevre açıları  =  ve  üzerinde, 'dir.
  üzerinde  noktası  olacak şekilde oluşturulursa; , 'dir.
 Şimdi, ortak açılardan , 'ye benzer ve aynı şekilde  de 'ye benzer. 
 Böylece  ve 'dir; eşdeğer olarak,  ve 'dır. 
 İki eşitlik birbirine ekleyerek  elde ederiz ve bunu çarpanlara ayırmak suretiyle 'yı elde ederiz. 
 Ancak 'dır, dolayısıyla 
QED

Yazıldığı şekliyle ispat yalnızca basit kirişler dörtgenleri için geçerlidir. Dörtgen kendi kendine kesişiyorsa ,  çizgi parçasının dışında yer alacaktır. Ancak bu durumda , beklenen sonucu verir.

Trigonometrik özdeşliklerle ispat 
,  ve  tarafından oluşturulan çevre açılar sırasıyla ,  ve  ve çemberin yarıçapı  olsun. O zaman,
, 
,
,
,
 ve
 
olur ve kanıtlanacak orijinal eşitlik aşağıdaki hale dönüşür;

 

denklemin her iki tarafı da  çarpanına bölünerek sadeleşti.

Şimdi toplam formüllerini kullanarak,
 ve

Yukarıdaki denklemin her iki tarafının da eşit olduğunu göstermek basittir.

 

Q.E.D

Evirtim ile ispat 

'nin çevrel çemberi bir doğruya evirtildiğine (şekle bakın) göre merkezi  olan yardımcı bir  dairesi seçin. 
Sonra  olur. Genelliği kaybetmeden 'nin yarıçapını  alalım. 
Sonra  ve  sırasıyla aşağıdaki şekilde ifade edilebilir; 
, , 

Önceki ilişkiyi  ile çarpar ve  eşitliğini kullanırsak Batlamyus'un eşitliğini elde ederiz.

Q.E.D.

Dörtgen kirişler dörtgeni değilse, ,  ve 'nün bir üçgen oluşturduğuna ve dolayısıyla  olduğuna dikkat edin, bize aşağıda sunulan Batlamyus Eşitsizliğinin çok basit bir kanıtı verir.

Karmaşık sayılar kullanarak ispat 
ABCD 'de bir daire etrafında saat yönünde 
 olacak şekilde düzenlensin. Karmaşık bir sayının kutupsal formundan  yazılabilir. Buradan da,
 ve
 elde edilir.
Kirişler dörtgeni içindeki zıt açılar toplamı  olduğundan,

Bu nedenle, 
Böylece
 ve
 olur. 
Dolayısıyla,
'dir.
Burada üçüncü ila son eşitlik, niceliğin zaten gerçek ve pozitif olduğu gerçeğinden kaynaklanır.
Q.E.D.

Sonuçlar 

Birim çaplı bir dairede olması durumunda, herhangi bir  kirişler dörtgeninin kenarları , bu kenarlar tarafından oluşturulan  ve  açıların sinüslerine sayısal olarak eşittir. Benzer şekilde, köşegenler, hangi açı çiftini oluşturursa oluştursunlar, sinüslerinin toplamının eşittir. Daha sonra Batlamyus Teoremini aşağıdaki trigonometrik biçimde yazabiliriz:

 

Oluşturulan  ve açılarına belirli koşulları uyguladığımızda, yukarıdakileri başlangıç noktamız olarak kullanarak bir dizi önemli sonuç çıkarmak mümkündür. Aşağıdakilerde, açıların toplamının  olduğunu akılda bulundurmak faydalı olacaktır.

Sonuç 1. Pisagor teoremi 
 ve  olsun. Sonra  (çünkü kirişler dörtgeninin zıt açıları bütünlerdir). Ardından:

Sonuç 2. Kosinüs yasası 

 olsun. Sonuç 1'in dikdörtgeni şimdi eşit köşegenlere ve bir çift eşit kenara sahip simetrik bir yamuktur. Paralel kenarların uzunlukları  birim farklılık gösterir. Burada:

 

olup, bu durumda Batlamyus teoreminin standart ifadesine dönmek daha kolay olacaktır:

 

ABC üçgeninin kosinüs kuralı.

Sonuç 3. Sinüs toplam formülü 

  olsun.

Sonra

 

Bu nedenle,

 

Sinüs toplam formülü elde edilir.

Sonuç 4. Sinüs fark formülü 
 olsun. Sonra,

.

Dolayısıyla,

 

 

 

Sinüs fark formülü elde edilir.

Bu türetme, Batlamyus'un Almagest'te ardından Kopernik tarafından tarihte kayıt altına alınan Üçüncü Teoreme karşılık gelir. Özellikle, bir beşgenin (çevresindeki dairede 36° ile oluşturulan) ve bir altıgenin (çevresindeki dairede 30° ile oluşturulan) kenarları verilirse, 6° ile oluşturulan bir kiriş hesaplanabilir. Bu, kiriş tablolarını hesaplamanın eski yönteminde kritik bir adımdı.

Sonuç 5. Kosinüs toplam formülü 
Bu sonuç, Batlamyus'un Almagest'te ardından Kopernik tarafından tarihte kayıt altına alınan Beşinci Teoremin özüdür.

 olsun. Sonra. Bu nedenle

 

 

 

Kosinüs toplam formülü elde edilir.

Modern trigonometrik notasyonumuzun becerisinden yoksun olmasına rağmen, yukarıdaki sonuçlardan, Batlamyus teoreminde (veya daha basitçe İkinci Teoremde) antik dünyanın emrinde son derece esnek ve güçlü bir trigonometrik araca sahip olduğu anlaşılmalıdır. Doğru kiriş tabloları (sinüs tablolarına karşılık gelen) hazırlamak ve bunları kozmosu gördükleri gibi anlama ve haritalama girişimlerinde kullanmak için. Kiriş tabloları Hipparchus tarafından Batlamyus'tan üç yüzyıl önce hazırlandığı için, 'İkinci Teorem'i ve türevlerini bildiğini varsaymalıyız. Eski gök bilimcilerin izinden giden tarih, İskenderiyeli Timocharis'in yıldız kataloğunu kaydeder. Muhtemel göründüğü gibi, bu tür katalogların derlenmesi 'İkinci Teorem'in anlaşılmasını gerektiriyorsa, o zaman ikincisinin gerçek kökenleri daha sonra antik çağın sisleri arasında kaybolur, ancak eski Mısırın gök bilimcilerin, mimarların ve inşaat mühendislerinin  bu konuda biraz bilgi sahibi olduğunu varsaymak mantıksız olamaz.

Batlamyus eşitsizliği 

Batlamyus teoremindeki denklem, kirişler dörtgeni olmayan dörtgenlerde asla doğru değildir. Batlamyus eşitsizliği bu gerçeğin bir uzantısıdır ve Batlamyus teoreminin daha genel bir biçimidir. Bir  dörtgeni verildiğinde,

 

burada eşitlik, ancak ve ancak dörtgen kirişler dörtgeni ise geçerlidir . Bu özel durum, Batlamyus teoremine eşdeğerdir.

İkinci Batlamyus teoremi 

 

Batlamyus teoremi, kenarları bilinen bir kirişler dörtgeninin köşegenlerin çarpımını verir. Yukarıdaki özdeşlik ise oranlarını verir.

İspat : Bir çevrel çember içine çizilen  üçgenin alanı,  çap olmak üzere:'dir.

Dörtgenin alanını aynı çevrel çemberi paylaşan iki üçgenin toplamı olarak yazdığımızda, her ayrışma için iki ilişki elde ederiz.

 

 

Denkleştirerek, açıklanan formülü elde ederiz.

Sonuç : Köşegenlerin hem çarpımını hem de oranını bildiğimizde, bunların anlık ifadelerini çıkarıyoruz:

Ayrıca bakınız 
 Casey teoremi
 Yunan matematiği

Notlar

Kaynakça 
 Coxeter, HSM ve SL Greitzer (1967) "Ptolemy Teoremi ve Uzantıları." Geometry Revisited içinde §2.6, Mathematical Association of America s. 42–43.
 Copernicus (1543) De Revolutionibus Orbium Coelestium, Stephen Hawking, Penguin Books tarafından düzenlenen On the Shoulders of Giants'da (2002) bulunan İngilizce çevirisi
 ''

Dış bağlantılar

Konuyla ilgili yayınlar 
 
 
 
 
 

Öklid geometrisi teoremleri
Öklid geometrisi
Kanıt içeren maddeler
Batlamyus
Dörtgenler