Einstein ilişkisi (kinetik teori)

Fizikte (özellikle gazların kinetik teorisinde) Einstein ilişkisi; 1904'te William Sutherland'in, 1905'te Albert Einstein'ın ve 1906'da Marian Smoluchowski'nin Brown hareketi üzerine yaptıkları çalışmalarında bağımsız olarak ortaya koydukları önceden beklenmedik bir bağlantıdır. Denklemin daha genel biçimi:

 

burada;

 D difüzyon katsayısıdır;
 μ, "hareketlilik" veya parçacığın terminal sürüklenme hızının uygulanan bir kuvvete oranıdır, μ = vd/F;
 kB, Boltzmann sabitidir;
 T mutlak sıcaklıktır.

Bu denklem, bir dalgalanma-dağılım teoreminin erken bir örneğidir.

İlişkinin sık kullanılan iki önemli özel biçimi şunlardır:

  (elektriksel hareketlilik denklemi, yüklü parçacıkların difüzyonu için
  (Stokes-Einstein denklemi, küresel parçacıkların düşük Reynolds sayılı bir sıvıdan difüzyonu için)

burada;

 q, bir parçacığın elektrik yüküdür;
 μq, yüklü parçacığın elektriksel hareketliliğidir;
 η dinamik viskozitedir;
 r, küresel parçacığın yarıçapıdır.

Özel durumlar

Elektriksel hareketlilik denklemi 
Elektrik yükü q olan bir parçacık için, elektriksel hareketliliği μq, genelleştirilmiş hareketliliği μ ile μ = μq/q denklemiyle ilişkilidir. μq parametresi, parçacığın terminal sürüklenme hızının uygulanan bir elektrik alanına oranıdır. Bu nedenle, yüklü bir parçacık durumunda denklem şu şekilde verilir:

 

burada;

  difüzyon katsayısıdır ().
  elektriksel hareketliliktir ().
  parçacığın elektrik yüküdür (C, coulomb)
  plazmadaki elektron sıcaklığı veya iyon sıcaklığıdır (K).

Sıcaklık, plazma için daha yaygın olan Volt cinsinden verilirse:

 

burada;

  parçacığın yük sayısıdır (birimsiz)
  plazmadaki elektron sıcaklığı veya iyon sıcaklığıdır (V).

Stokes-Einstein denklemi 
Düşük Reynolds sayısı sınırında; hareketlilik μ, sürtünme katsayısı 'nın tersidir. Yayılan nesnenin ters momentum gevşeme süresi (atalet momentumunun rastgele momente kıyasla ihmal edilebilir hale gelmesi için gereken süre) için bir sönüm sabiti  sıklıkla kullanılır. Yarıçapı r olan küresel parçacıklar için Stokes yasası:

 

burada  ortamın viskozitesidir. Böylece Einstein-Smoluchowski ilişkisi Stokes-Einstein ilişkisi ile sonuçlanır:

 

Bu, sıvılarda öz-difüzyon katsayısını tahmin etmek için uzun yıllar boyunca uygulandı ve izomorf teorisi ile tutarlı bir versiyon, Lennard-Jones sisteminin bilgisayar simülasyonları ile doğrulandı.

Dönel difüzyon durumunda, sürtünme  ve rotasyonel difüzyon sabiti :

Yarı iletken 
Rastgele bir durum yoğunluğuna sahip bir yarı iletkende, yani deliklerin veya elektronların yoğunluğu  ve karşılık gelen yarı Fermi seviyesi (veya elektrokimyasal potansiyel)  arasındaki  formunun bir ilişkisi, Einstein ilişkisi şöyledir:

 

burada  elektriksel hareketliliktir. Durumların yoğunluğu için parabolik bir dağılım ilişkisini varsayan bir örnek ve genellikle inorganik yarı iletken malzemeleri tanımlamak için kullanılan Maxwell-Boltzmann istatistikleri hesaplanabilir:

 

burada , basitleştirilmiş ilişkiyi veren mevcut enerji durumlarının toplam yoğunluğudur:

Nernst-Einstein denklemi 
Bir elektrolitin eşdeğer iletkenliğinin ifadelerinden katyonların ve anyonların elektrik iyonik hareketlilik ifadelerindeki difüziviteleri değiştirerek, Nernst-Einstein denklemi türetilir:

Genel durumun kanıtı 
Einstein ilişkisinin kanıtı birçok referansta bulunabilir, örneğin bkz. Kubo.

Bazı sabit, harici potansiyel enerji 'nun, belirli bir  konumunda bulunan bir parçacık üzerinde korunumlu bir  kuvveti (örneğin, bir elektrik kuvveti) oluşturduğunu varsayalım. Parçacığın  hızıyla hareket ederek tepki vereceğini varsayıyoruz. Şimdi konumun bir fonksiyonu olarak yerel derişim  olan çok sayıda böyle parçacık olduğunu varsayalım. Bir süre sonra denge kurulacaktır: parçacıklar en düşük potansiyel enerji 'ya sahip alanların etrafında yığılacaktır, ancak yine de difüzyon nedeniyle bir dereceye kadar yayılacaktır. Dengede, parçacıkların net akışı yoktur: parçacıkların sürüklenme akımı olarak adlandırılan daha düşük 'ya doğru çekilme eğilimi, parçacıkların difüzyon nedeniyle yayılma eğilimini mükemmel bir şekilde dengeler ve buna difüzyon akımı denir (bkz. sürüklenme-difüzyon denklemi).

Sürüklenme akımı nedeniyle parçacıkların net akışı:

 

yani, belirli bir konumdan geçen parçacıkların sayısı, parçacık konsantrasyonu çarpı ortalama hıza eşittir.

Difüzyon akımı nedeniyle parçacıkların akışı, Fick yasasına göre,

 

burada eksi işareti, parçacıkların daha yüksek derişimden daha düşük derişime aktığı anlamına gelir.

Şimdi denge durumunu düşünün. İlk olarak, net akış yoktur, yani . İkincisi, etkileşmeyen nokta parçacıklar için, denge yoğunluğu  yalnızca yerel potansiyel enerji 'nin bir fonksiyonudur, yani iki konum aynı 'ya sahipse, o zaman aynı 'ye de sahip olacaklardır (örneğin aşağıda tartışıldığı gibi Maxwell-Boltzmann istatistiklerine bakınız). Bunun anlamı, zincir kuralının uygulanması,

 

Bu nedenle, dengede:

 

Bu ifade her  konumunda geçerli olduğundan, Einstein ilişkisinin genel biçimini ifade eder:

 

Klasik parçacıklar için  ve  arasındaki ilişki Maxwell-Boltzmann istatistikleriyle modellenebilir:

 

burada  toplam parçacık sayısıyla ilgili bir sabittir. Bu nedenle:

 

Bu varsayım altında, bu denklemi genel Einstein ilişkisine dahil etmek şunları verir:

 

ki bu klasik Einstein ilişkisine karşılık gelir.

Ayrıca bakınız 

 Smoluchowski faktörü
 İletkenlik (elektrolitik)
 Stokes yarıçapı
 İyon taşıma numarası

Kaynakça

Dış bağlantılar 

 Einstein ilişki hesaplayıcıları
 İyon yayılımı 

İstatistiksel mekanik
Albert Einstein