Demet teoremi

Geometride, demet teoremi en basit durumda, gerçek Öklid düzlemindeki altı çember ve sekiz nokta üzerine bir ifadedir. Genel olarak, sadece oval Möbius düzlemleri tarafından meydana getirilen bir Möbius düzleminin bir özelliğidir. Demet teoremi Miquel teoremi ile karıştırılmamalıdır.

Açıklama
Gerçek Öklid uzayındaki oval bir Möbius düzlemi, bir küre veya bir elipsoid veya bir elipsoidin uygun bir yarısına yapıştırılmış bir kürenin yarısı veya , . . . . denklemli yüzey gibi yumurtaya benzer bir yüzeyin düzlem bölümlerinin geometrisi olarak düşünülebilir. Yumurta benzeri yüzey sadece bir küre ise, klasik gerçek Möbius düzleminin uzay modeli, küre üzerindeki çember geometrisi elde edilir.

Bir oval Möbius düzleminin temel özelliği, bir ovoid aracılığıyla bir uzay modelinin varlığıdır. 3 boyutlu bir izdüşümsel uzaydaki bir ovoid, a) 0, 1 veya 2 noktalardaki çizgilerle kesişen ve b) rastgele bir noktadaki teğetleri, düzlemi (teğet düzlemi) kapsayan bir noktalar kümesidir. İzdüşümsel 3-uzayda bir ovoidin geometrisi, oval Möbius düzlemi olarak adlandırılan bir Möbius düzlemidir. Geometrinin nokta kümesi, ovoidin noktalarından oluşur ve eğriler (döngüler), ovoidin düzlem bölümleridir. Uygun bir stereografik izdüşüm şunları gösterir: Herhangi bir oval Möbius düzlemi için bir düzlem modeli vardır. Klasik durumda düzlem modeli, dairelerin ve çizgilerin geometrisidir (herhangi bir çizgi  bir nokta ile tamamlanır.). Demet teoreminin bir düzlemsel ve bir uzaysal yorumu vardır. Düzlemsel modelde, ilgili çizgiler olabilir. Demet teoreminin ispatı, uzamsal model içinde gerçekleştirilir.

Herhangi bir oval Möbius düzlemi için  demet teoremi şunları savunur:

Demet teoremi:

 Eğer farklı  noktaları için altı dörtlünün , beşi en az dört  döngüsünde aynı çember içinde bulunur (bir döngüde bulunur), öyleyse 6. dörtlü de aynı çember içinde bulunur.

Kanıt, esasen 3 boyutlu bir izdüşümsel uzaydaki üç düzlemin tek bir noktada kesiştiği gerçeğini kullanan aşağıdaki faktörlerin bir sonucudur:

 Döngüleri içeren düzlemler  bir  noktasında kesişir. Bu nedenle ,  doğrularının (uzayda !) kesişme noktasıdır.
  döngülerini içeren düzlemler  noktasında kesişir. Bu nedenle  aynı zamanda  doğrularının kesişme noktasıdır.

Bu şunları sağlar: a)  ve b)  aynı zamanda  noktasında kesişir. Son ifade şu anlama gelir:  döngüseldir. İlgili düzlemler ortak bir  noktasına sahip olup, bunlar bir düzlem demetinin öğeleridir.

Demet teoreminin önemi Jeff Kahn tarafından gösterildi.

Kahn Teoremi: Bir Möbius düzlemi, ancak ve ancak demet teoremini yerine getirirse, ovaldir.

Demet teoremi, izdüşümsel düzlemler için Desargues teoreminin Möbius düzlemleri için olduğuna benzer bir anlama sahiptir. Demet teoremi, a) bir aykırı cisim (bölme halkası) ve b) bir ovoidin mevcudiyetini izler. Miquel'in daha katı teoremi geçerliyse, aykırı cisim bile değişmeli (cisim) ve ovoid bir kuadriktir.

Not: Ovoid olmayan Möbius düzlemleri vardır.

Not: Oval Laguerre düzlemleri için de benzer anlamı olan bir demet teoremi vardır.

Notlar

Kaynakça 

 Hartmann, Erich. Düzlemsel Çember Geometrileri, Möbius-, Laguerre- ve Minkowski Düzlemlerine Giriş.  (PDF; 891 kB) Matematik Bölümü, Darmstadt Teknoloji Üniversitesi
 Kahn, Jeff. Demet teoremini sağlayan ters düzlemler . Journal of Combinatorial Theory, Series A, Volume 29, Issue 1, ss. 1-19, July 1980. doi: 10.1016 / 0097-3165 (80) 90043-6

Konuyla ilgili yayınlar 

 P. Dembowski, Sonlu Geometriler, Springer-Verlag (1968) , s. 256
 W. Benz, Vorlesungen über Geometrie der Algebren, Springer (1973)
 Rolfdieter Frank, (1985), A proof of the Bundle Theorem for certain semimodular locally projective lattices of rank 4, Journal of Combinatorial Theory, Series A Volume 39, Issue 2, ss. 222-225, https://doi.org/10.1016/0097-3165(85)90038-X, Makale 
 Nanjun Yang, (2006), Projective Bundle Theorem in MW-Motivic Cohomology, https://arxiv.org/abs/2006.11774 
 Dale Husemöller, Michael Joachim, Branislav Jurco, Martin Schottenloher, (2008), Basic Bundle Theory and K-Cohomology Invariants, 
 Jean Fasel, (2013), The projective bundle theorem for Ij-cohomology, doi:10.1017/is013002015jkt217, Makale  veya Makale
 Alexey Ananyevskiy, (2015), The special linear version of the projective bundle theorem, Cambridge University Press, Compositio Mathematica, Volume 151, Issue 3, ss. 461-501, https://doi.org/10.1112/S0010437X14007702, Makale  veya Makale 
 Kien Trung Nguyen; Worawiset, Somnuek; Tran Thu Le, (2017), On Generalizations of Bundle Theorem and Miquel's Six Circles Theorem on the Plane, International Journal of Geometry, Vol. 6 Issue 2, ss 93-102.

Çemberler
Klasik geometri
Öklid geometrisi teoremleri