Casey teoremi

Matematikte, genelleştirilmiş Batlamyus teoremi olarak da bilinen Casey teoremi, adını İrlandalı matematikçi John Casey'den alan Öklid geometrisindeki bir teoremdir.

Teoremin formülasyonu 

, yarıçapı  olan bir çember olsun. (sırasıyla)  içinde yer alan kesişmeyen ve 'ya teğet olan dört çember olsun. ,  çemberlerin dış ortak çifte teğet (bitanjant)'inin uzunluğunu göstersin. Buna göre:

 .

Dört çemberin hepsinin noktalara indirgendiği dejenere durumda, bunun tam olarak Batlamyus teoremi olduğuna dikkat edin.

İspat 
Aşağıdaki kanıt Zacharias'a atfedilebilir.  çemberinin yarıçapını  ile belirtelim ve çember ile teğet noktasını da ile gösterelim. Çemberlerinin merkezleri için  gösterimini kullanacağız. Pisagor teoreminden,

 

Bu uzunluğu,  türünden ifade etmeye çalışacağız .  üçgende kosinüs yasasına göre,

 

 çemberleri birbirine teğet olduğundan:

 

, çemberinin üzerindeki bir nokta olsun.  üçgeninde sinüs yasasına göre:

 

Bu nedenle,

 

ve bunları yukarıdaki formülde yerine koyarsak:

 

 

 

Ve son olarak, aradığımız uzunluk;

 

 kirişler dörtgenine uygulanan orijinal Batlamyus teoreminin yardımıyla artık sol tarafı hesaplayabiliriz:

Diğer genellemeler 
Görülebileceği gibi, dört çemberin büyük çemberin içinde olması gerekmiyor. Aslında, ona dışarıdan da teğet olabilirler. Bu durumda aşağıdaki değişiklik yapılmalıdır:

Eğer , ikisi de 'nun aynı tarafından teğetse (her ikisi de içeriden veya her ikisi de dışarıdan),  dış ortak teğetin uzunluğudur.

Eğer , 'ya farklı yönlerden teğetse (biri içeriden ve biri dışarıdan),  iç ortak teğetin uzunluğudur.

Casey teoreminin tersi de doğrudur. Yani, eşitlik geçerliyse, çemberler ortak bir çembere teğettir.

Uygulamalar 
Casey teoremi ve tersi, Öklid geometrisindeki çeşitli ifadeleri kanıtlamak için kullanılabilir. Örneğin, Feuerbach teoreminin bilinen en kısa kanıtı   Casey teoreminin tersini kullanır.

Notlar

Dış bağlantılar

İlave okumalar
 
 
 Abrosimov, Nikolay & Mikaiylova, Liudmila. (2015). Casey's theorem in hyperbolic geometry. Siberian Electronic Mathematical Reports. 12. ss. 354-360. 10.17377/semi.2015.12.029.
 Abrosimov, N.V., Aseev, V.V. Generalizations of Casey’s Theorem for Higher Dimensions. Lobachevskii J Math 39, 1–12 (2018). https://doi.org/10.1134/S199508021801002X

Kaynakça 
 
 
 
 

Kanıt içeren maddeler
Öklid geometrisi teoremleri
Öklid geometrisi
Çemberler