Theodorus sarmalı

Geometride, Theodorus Sarmalı (karekök sarmalı, Einstein sarmalı veya Pisagor sarmalı olarak da adlandırılır), uç uca yerleştirilmiş dik üçgenlerden oluşan bir spiraldir. Adını, Cyreneli Theodorus'tan almıştır.

Çizimi 
Sarmal bir ikizkenar dik üçgenle başlar ve her kenar birim uzunluğa sahiptir. Başka bir dik üçgen oluşturulur, bir kenarı önceki üçgenin hipotenüsü (uzunluğu  olan) ve diğer kenarının uzunluğu 1 olan otomatik bir dik üçgen oluşturulur. Bu ikinci üçgenin hipotenüsünün uzunluğu 'tür. İşlem daha sonra benzer adımlarla tekrar eder. Dizideki nci üçgen, kenar uzunlukları  ve 1 olan ve hipotenüs  olan bir dik üçgendir. Örneğin, 16. üçgenin kenarları 4 (= ), 1 ve hipotenüs 'dir.

Tarihçe ve kullanım
Theodorus'un tüm çalışmaları kaybolmuş olsa da, Platon, Theodorus'a, çalışmalarını anlattığı Theaetetus'un diyaloğunda yer vermiştir. Theodorus'un Theodorus Sarmalı aracılığıyla 3'ten 17'ye kadar karesel olmayan tam sayıların tüm kareköklerinin irrasyonel olduğunu kanıtladığı varsayılmaktadır.

Platon, 2'nin karekökünün irrasyonelliğini Theodorus'a atfetmez, çünkü ondan önce de iyi biliniyordu. Theodorus ve Theaetetus, rasyonel sayıları ve irrasyonel sayıları farklı kategorilere ayırır.

Hipotenüs
Üçgenlerin hipotenüsleri, , 'ye karşılık gelen doğal sayı'nın karekök'ünü verir.

Theodorus tarafından eğitilen Platon, Theodorus'un neden 'de durduğunu sorguladı. Bunun nedeninin,  hipotenüsünün şekil ile üst üste gelmeyen son üçgene ait olduğu düşünülmektedir.

Üst üste gelme
1958'de Erich Teuffel, sarmal ne kadar devam ettirilirse ettirilsin, iki hipotenüsün asla çakışmayacağını kanıtladı. Ayrıca, birim uzunluğunun kenarları bir çizgiyle uzatılırsa, bunlar hiçbir zaman şeklin diğer köşelerinden biriyle kesişmez.

Genişleme

Theodorus sarmalını hipotenüsü  olan üçgende durdurdu. Sarmal, sonsuz sayıda üçgenle devam ederse, daha birçok ilginç özellik bulunur.

Büyüme oranı

Açı 

Eğer φn, nci üçgenin (veya spiral segmentinin) açısı ise, o zaman:

Bu nedenle, bir sonraki n üçgenin φn açısının büyümesi:

olur. İlk k üçgenin açılarının toplamına, kıncı üçgen için toplam açı φ(k) denir. Sınırlı bir düzeltme terimi olan c2 ve knin karekökü ile orantılı olarak büyür:

burada

'dir.
().

Yarıçap 

Sarmal yarıçapının belirli bir n üçgeninde büyümesi;

'dir.

Arşimet sarmalı 

Theodorus Sarmalı, Arşimet Sarmalı'na yakınsar. Nasıl Arşimet sarmalının iki sargısı arasındaki mesafe, matematiksel sabit 'ye eşitse, Theodorus sarmalının dönüş sayısı sonsuza yaklaştıkça, ardışık iki sargı arasındaki mesafe hızla 'ye yaklaşır.

Aşağıda, 'ye yaklaşan sarmalın iki sargısını gösteren bir tablo yer almaktadır:

Görülebileceği gibi, yalnızca beşinci sargıdan sonra, mesafenin 'ye göre yaklaşıklığı %99,97'dir.

Sürekli eğri 

Theodorus sarmalının ayrık noktalarının düzgün bir eğri ile nasıl interpolasyon yapılacağı sorusu öne sürülmüş ve faktöriyel fonksiyonu için bir interpolant olarak gama fonksiyonu için Euler Formülüne benzetilerek 'de cevaplanmıştır. Philip J. Davis, öğrencisi Jeffery J. Leader ve Arieh Iserles (ek olarak ) tarafından daha ayrıntılı incelenen aşağıdaki fonksiyonu buldu;

Bu fonksiyonun aksiyomatik bir karakterizasyonu, 'te fonksiyonel denklemi karşılayan benzersiz fonksiyon olarak verilmiştir.

başlangıç koşulu  ve hem bağımsız değişken (argüman) hem de modülde monotonluk; alternatif koşullar ve zayıflamalar da burada incelenir. Alternatif bir türetme, 'de verilmiştir.

Davis'in orjine zıt yönde uzanan Theodorus Sarmalının sürekli formunun çözümsel uzanımı 'de verilmiştir.

Şekilde, orijinal (ayrık) Theodorus spiralinin düğümleri küçük yeşil daireler olarak gösterilmiştir. Mavi olanlar, spiralin ters yönünde eklenenlerdir.

Şekilde yalnızca  kutupsal (polar) yarıçapının tam sayı değerine sahip  düğümleri numaralandırılmıştır.
Koordinat başlangıcındaki  kesikli çizgi ile gösterilen çember,  noktasındaki eğrilik çemberidir.

Ayrıca bakınız 
 Fermat sarmalı
 Spiraller listesi

Notlar

Konuyla ilgili yayınlar 
 
 
 
 

Spiraller
Pi sayısı