Carnot teoremi (dikmeler)

Adını Fransız matematikçi Lazare Carnot'dan alan Carnot teoremi, üçgenin (uzatılmış) kenarlarına dik olan üç doğrunun ortak bir kesişme noktası için gerek ve yeter koşulu tanımlar. Teorem ayrıca Pisagor teoreminin bir genellemesi olarak düşünülebilir.

Teoremin açıklaması 
Kenarları  olan bir  üçgeni için, üçgenin kenarlarına dik olan ve ortak bir  noktasında kesişen üç doğru düşünün. Eğer   kenarları üzerindeki bu üç dikmenin ayak noktaları ise, ardından aşağıdaki denklem geçerli olur:

 

Yukarıdaki ifadenin tersi de doğrudur, yani bir üçgenin üç kenarındaki üç dikmenin ayak noktaları için denklem geçerliyse, o zaman bu dikmeler ortak bir noktada kesişirler. Bu nedenle denklem, gerekli ve yeterli bir koşulu sağlar.

Özel durumlar 
Eğer  üçgeni  noktasında bir dik açıya sahipse ve kesişme noktası ,  veya  üzerinde bulunuyorsa, yukarıdaki denklem Pisagor teoremini verir. Örneğin eğer  noktası,  ile çakışırsa bu, , , , ,  ve  olduğu sonucunu doğurur. Bu nedenle, yukarıdaki denklem  haline yani Pisagor teoremine dönüşür.

Diğer bir sonuç, bir üçgenin dik açıortaylarının ortak bir noktada kesişme özelliğidir. Dikey açı ortaylar söz konusu olduğunda ,  ve  olur ve bu nedenle yukarıdaki denklem geçerlidir. Bu, üç dikey açıortayın da aynı noktada kesiştiği anlamına gelir.

İspat 

Şekilden görülebileceği gibi dik açıortayların ayakları  olarak gösterilsin.

Carnot Teoremi, aşağıdaki ifade doğrulandığında istenen tutarlılığı garanti eder.

Öncelikle  ifadesinin ilk kısmını ele alalım:

olduğundan, yukarıdaki ifade,

şeklinde yazılabilir. Aynı şekilde,

Bu nedenle,  aşağıdaki ifadeye dönüşür:

sağ tarafta "" yerine "" yazılması, vb. gibi değişiklerle ve aşağıdaki ifadeden faydalanırsak:

 ifadesinde,  teriminin değeri 'ya göre  noktasının kuvvetidir; ama  değeri de öyledir. Bu nedenle her iki terim iptal edilir. Benzer şekilde,  ('nin 'ye göre kuvveti) ve  ('nin 'ye göre kuvveti). Tüm terimler birbirini götürür, böylece Carnot Teoremine ulaşılır: şekildeki doğrular tek noktada kesişir.

Kaynakça

Dış bağlantılar 
 Florian Modler: Vergessene Sätze am Dreieck - Der Satz von Carnot  @ Matheplanet.com (Almanca)
 Carnot's Theorem  @ cut-the-knot.org
 Carnot's Theorem  @ artofproblemsolving

Konuyla ilgili yayınlar 
 Prof. Ion Pătrașcu, The Dual of the Orthopole Theorem, Makale 
 Oğuzhan Demirel & Emine Soytürk, (2008), The Hyperbolic Carnot Theorem in the Poincare Disc Model of Hyperbolic Geometry, Novi Sad J. Math., Vol. 38, No. 2, ss. 33-39, Makale 

Üçgen geometrisi
Öklid geometrisi teoremleri