Barrow eşitsizliği

Geometride Barrow eşitsizliği, bir üçgen içindeki rastgele bir nokta alındığında, bu nokta ile üçgenin köşeleri ve üçgenin kenarlarındaki belirli noktalar arasındaki mesafeleri ilişkilendiren bir eşitsizliktir. Adını Amerikalı bir matematikçi olan David Francis Barrow'dan almıştır.

Açıklama 
,  üçgeninin içinde rastgele bir nokta olsun.  ve 'den, ,  ve 'yi, ,  ve 'nin açıortaylarının sırasıyla , ,  kenarlarıyla kesiştiği noktalar olarak tanımlayın. Ardından Barrow eşitsizliği şunu belirtir:

 

Eşitlik sadece eşkenar üçgen durumunda sağlanır ve bu durumda  üçgenin merkezidir.

İspat 
, , , , , , ,  ve  olsun. İspat edilmesi gereken ifade  olur. Aşağıdaki özdeşlikleri çıkarmak kolaydır;

 ,
 ,
 .

Aritmetik Ortalama-Geometrik Ortalama eşitsizliği ve yukarıdaki sonuçla, bu şu anlama gelir:

 

İstenen ifade ispatlanmış olur.

Genelleştirme 
Barrow eşitsizliği dışbükey çokgenlere kadar genişletilebilir. Köşeleri  olan dışbükey bir çokgen için  çokgenin içindeki rastgele bir nokta ve , açıortayları ile  ilişkili çokgen kenarlarının  kesişimleri olsun, ardından aşağıdaki eşitsizlik geçerlidir:

 

Burada  sekant fonksiyonunu belirtir. Üçgen durumu, yani  için  olduğundan eşitsizlik, Barrow eşitsizliğine dönüşür.

Tarihçe 

Barrow eşitsizliği, ,  ve 'nin  noktasından üçgenin kenarlarına olan üç uzaklık ile değiştirilmesi haricinde aynı biçime sahip olan Erdős-Mordell eşitsizliğini güçlendirir. Adını David Francis Barrow'dan almıştır. Barrow'un bu eşitsizliğin kanıtı, 1937'de, Erdős-Mordell eşitsizliğini kanıtlayan American Mathematical Monthly dergisinde ortaya atılan bir probleme çözüm olarak yayınlandı. 1961 gibi erken bir tarihte "Barrow eşitsizliği" olarak adlandırıldı.

Daha basit bir kanıt daha sonra Louis J. Mordell tarafından verildi.

Ayrıca bakınız 
 Geometride Euler teoremi
 Üçgen eşitsizliklerin listesi

Kaynakça

Dış bağlantılar 
 Hojoo Lee: Eşitsizliklerle İlgili Konular - Teoremler ve Teknikler
 Barrow's Inequality  @ Wolfram Demonstrations Project

Konuyla ilgili yayınlar 
 Malesevic, Branko & Petrovic, Maja. (2014). Barrow's Inequality and Signed Angle Bisectors. Journal of Mathematical Inequalities. 10.7153/jmi-08-40., Makale  veya Makale 
 Liu, Jian. (2016). Refinements of the Erdös-Mordell inequality, Barrow’s inequality, and Oppenheim’s inequality. Journal of Inequalities and Applications. 2016. 10.1186/s13660-015-0947-2., Makale
 Liu, Jian. (2019). New Refinements of the Erdös–Mordell Inequality and Barrow’s Inequality, https://doi.org/10.3390/math7080726, Makale

Öklid geometrisi
Öklid geometrisi teoremleri
Kanıt içeren maddeler
Eşitsizlikler