Tam metrik uzay

Matematiksel analizde, M metrik uzay olmak üzere, elemanları M 'de olan her Cauchy dizisinin yine M'de bir limiti varsa,veya alternatif olarak,  M'deki her Cauchy dizisi yine Mde yakınsaksa M metrik uzayına tam (veya Cauchy uzayı) denir.Sezgisel olarak, bir uzay içinde veya sınırlarında eksik bir nokta yoksa tamdır. Örneğin, rasyonel sayılar kümesi tam değildir, çünkü her ne kadar  'ye yakınsayan rasyonel sayılardan oluşan bir Cauchy dizisi oluşturulabilse de bu nokta uzayda eksiktir (aşağıdaki diğer örneklere bakınız). Aşağıda açıklandığı gibi verilen bir uzayı tamlaştırılmak için "tüm delikleri doldurmak" her zaman mümkündür.

 Örnekler 
Rasyonel sayılar uzayı , farkın mutlak değeri olarak tanımlanan standart metrik ile tam değildir. Örneğin,  ve   şeklinde verilen dizi göz önüne alınsın. Bu rasyonel sayılardan oluşan bir Cauchy dizisidir, ancak herhangi bir rasyonel bir limite yakınsamaz: Eğer bu dizinin limiti var ve limit  ise, o zaman  eşitliğinden  bulunur ki  hiçbir rasyonel sayı bu özelliği taşımaz. Bununla birlikte, aynı dizi gerçek sayıların bir dizisi olarak kabul edilirse   irrasyonel sayısına yakınsar.

Yine mutlak değer metriğiyle  açık aralığı  da tam değildir. ile tanımlanan dizi Cauchy dizisidir, fakat verilen uzayda bir limiti yoktur. Ancak  kapalı aralığı tamdır; örneğin, verilen dizinin bu aralıkta bir limiti vardır ve bu limit sıfırdır.

Reel sayılar uzayı  ve karmaşık sayılar uzayı (mutlak değer yardımıyla oluşturulan metrikle) tamdır ve bu nedenle Öklit uzaklık metriği ile verilen Öklid uzayı  de  tamdır. Buna karşılık, sonsuz boyutlu normlu vektör uzayları tam olabilir de olmayabilir de; tam olanları Banach uzaylarıdır . Kapalı ve sınırlı bir aralıkta sürekli reel değerli fonksiyonların uzayı  bir Banach uzayıdır ve dolayısıyla supremum normuna göre tam bir metrik uzaydır. Ancak supremum normu  aralığındaki sürekli fonksiyonlar uzayı  üzerinde bir norm oluşturmaz, çünkü sınırsız fonksiyonlar içerir. Bunun yerine, kompakt yakınsamanın topolojisi ile,  uzayına bir Fréchet uzayı yapısı verilebilir: bu uzay, üzerindeki topoloji öteleme dönüşümü altında değişmeyen tam bir metrik ile oluşturulabilen lokal konveks bir topolojik vektör uzayıdır.

P -sel sayıların uzayı , herhangi bir  asal sayısı için tamdır. Bu uzay,  -sel metriğiyle 'yu, tıpkı 'nin 'yu normal metrikle tamamladığı gibi tamamlar.

 keyfi bir küme olmak üzere,  kümesi üzerindeki tüm dizilerin kümesi  tam metrik uzaydır. Gerçekten  ve  dizileri arasındaki uzaklığı;   ile   yi farklı yapan en küçük indis  olmak üzere ,   böyle bir indis yoksa  olarak tanımlanırsa görülebilir. Bu uzay,  ayrık uzayının sayılabilir sayıda kopyasının çarpımı ile homeomorftur.

 Bazı teoremler 
X metrik uzayının tam olması için gerek ve yeter koşul, X’in boş olmayan kapalı alt kümelerinin, çapları 0'a yakınsayan, her azalan dizisinin arakesitinin boş kümeden farklı olmasıdır: Fn kapalı ve boş olmayan küme, her n için  ve  ise o zaman tüm Fn kümelerinde ortak bir  noktası vardır.

Her kompakt metrik uzay tamdır, ancak her tam uzay kompakt olmayabilir. Aslında, bir metrik uzayın kompakt olması için gerek ve yeter koşul tam ve tamamen sınırlı olmasıdır. Bu ifade,  nin herhangi bir kapalı ve sınırlı  alt uzayı kompakt (dolayısıyla tam) olduğunu ifade eden Heine Borel teoreminin bir genellemesidir.

 tam bir metrik uzay olsun.  kapalı ise, A aynı zamanda tamdır.  metrik bir uzay olsun.  tam bir alt uzaysa, A kapalıdır.

X bir küme ve M bir tam metrik uzay olmak üzere, 'ten 'ye giden tüm sınırlı <i id="mwmg">f</i> fonksiyonların kümesi  bir tam metrik uzaydır.  Burada 'dek uzaklık fonksiyonunu supremum normu ile Mdeki metrik cinsinden şöyledir:

 

X bir topolojik uzay ve M bir tam metrik uzay ise,  '''ten 'ye sürekli ve sınırlı  f fonksiyonların kümesi , 'nin kapalı bir alt uzayıdır ve böylece tamdır.

Baire kategori teoremi, her tam metrik uzayın bir Baire uzayı olduğunu ifade eder. Yani, bu uzayın hiçbir yerde yoğun olmayan alt kümeleri sayılabilir birleşiminin içi boştur.

Banach sabit nokta teoremi, tam metrik uzaydaki bir daraltan(büzülme) dönüşümün sadece ve sadece bir tek sabit noktaya sahip olduğunu belirtir. Bu sabit nokta teoremi genellikle Banach uzayları gibi tam metrik uzaylarda ters fonksiyon teoremini kanıtlamak için kullanılır.

Bir metrik uzayın genişleme sabiti, tüm  sabitlerin infimumudur öyle ki   ailesi ikişerli olarak kesiştiğinde,

 

kesişimi boştan farklı olur. Bir metrik uzay ancak ve ancak genişleme sabiti 2'den küçükse tamdır.

 Tamlaştırma 
Herhangi bir  metrik uzayı için, 'yi yoğun alt uzay olarak ihtiva eden bir (veya  ile de gösterilir) tam metrik uzay elde edilebilir. Bu uzay aşağıdaki evrensel özelliğe sahiptir: N herhangi bir tam metrik alan ve ön herhangi biri olup olmadığını düzgün sürekli fonksiyon N M, daha sonra vardır benzersiz f uzanan N ''M'' düzgün sürekli fonksiyon f. M ' boşluğu, bu özellik tarafından izometriye kadar belirlenir (izometrik olarak M içeren tüm tam metrik uzaylar arasında) ve M'nin tamamlanması olarak adlandırılır.

 Kaynakça 

 Bibliyografya 
 
 Kreyszig, Erwin, Introductory functional analysis with applications'' (Wiley, New York, 1978). 
 Lang, Serge, "Real and Functional Analysis"     
 

Metrik geometri