Grupoid

Matematikte, özellikle kategori teorisi ve homotopi teorisinde bir grupoid için (nadiren Brandt grupoidi veya sanal grup olarak da anılır) grup kavramı birden fazla eşdeğer yolla açıklanabilir. Bir grupoid şu iki şekilde genelleştirilir:

 İkili işlemin yerini alan bir kısmi fonksiyon ilişkisindeki grup;
 Her morfizmanın ters çevrilebilir olduğu kategorideki grup.

Grupoidler genellikle manifoldlar gibi geometrik nesneler hakkında akıl yürütmek için kullanılır. Heinrich Brandt (1927), Brandt yarı-grupları (Brandt Semigroup) aracılığıyla dolaylı olarak grupoidleri tanıtmıştır.

Tanımlar 

Bir  fonksiyonunu düşünelim. Boş kümeden farklı herhangi bir  alt kümesi için  şeklinde tanımlı fonksiyona kısmi fonksiyon denir.

Grup Teorisinde Grupoid 
Bir  grupoidi  şeklinde tanımlı tekli işlem ile  kısmi fonksiyonu ile tanımlanan ve her  için aşağıdaki özellikleri sağlayan bir kümedir.

(i) Bileşim: Eğer  ve  tanımlı ise   ’dir.

(ii) Tersinirlik: ve   tanımlıdır.

(iii) Özdeşlik: Eğer  tanımlı ise

• ,

• .

Ek olarak da

• 

•  özellikleri sağlanır.

Kategori Teorisinde Grupoid 
Bir grupoid, içindeki her morfizmanın bir izomorfizma olduğu küçük ve bağlantılı bir kategoridir.

Tanımı daha açık bir şekilde görebilmek için rastgele bir kategorik teorisel  grupoidi alalım. Bu grupoid aşağıdaki özellikleri sağlar.

(i)  grupoidi, nesnelerden oluşan bir  kümesi içermektedir.

(ii)  grupoidi, her   nesneleri için ’ten ’ye tanımlı morfizmaların oluşturduğu bir  kümesini içerir. Bu kümeden alınan bir  morfizması  şeklinde gösterilir.

(iii) Her    nesnesi için  ’dir.

(iv) Her  için ’ten ’ye giden ve ’den ’ye giden morfizmaların bileşkesi şu şekilde tanımlanır:   öyle ki  (v) Her   için  nesnesinden  nesnesine giden morfizmaların tersi şu şekilde tanımlanır:ve  fonksiyonu her ,  ve  morfizmaları için aşağıdaki özellikleri sağlar:

•  ve .

• .

•   ve   .

Bağlı Grupoid 
Kategori teorisel bir G grupoidi alalım. Eğer her   için  kümesi boş kümeden farklı  ise ’ye bağlı grupoid denir.

Örnekler

Grup Olarak Grupoid 
Her grup bir grupoiddir. Örnek olarak () grubunu düşünelim. Grupoidin grup teorisindeki tanımını kullanarak bu grubun bir grupoid olduğunu gösterelim.  kümesini ve  operatörünü ele alacağız. Rastgele  alalım.

(i) Bileşim:  ve ’nin tanımlı olduğunu biliyoruz. O halde +’nın Z üzerinde bileşim özelliğini sağladığından  elde edilir.

(ii) Tersinirlik: Her  için  vardır ve  olur. Bunun yanı sıra ,  özellikleri de sağlanır.

(iii) Özdeşlik:  tanımlı olduğu için

• ,

•  olur.

Sonuç olarak () bir grupoiddir.

Lineer Fonksiyonlar 
Nesneleri vektör uzayları ve morfizmaları birebir ve örten lineer (doğrusal) fonksiyonlar olan bir  kategorisi grupoid belirtir. Kategori teorisindeki grupoid tanımını kullanarak ’in bir grupoid olduğunu gösterelim.

(i)  .

(ii)  

(iii) Rastgele bir   nesnesi alalım. Bariz bir şekilde  birim fonksiyonu birebir, örten ve lineer olduğundan   olur.

(iv) Herhangi üç  nesneleri alalım.  kümesinden  ve  şeklinde tanımlı iki morfizma düşünelim.  ve ’nin birebir, örten ve lineer fonksiyonlar olduğunu biliyoruz.  şeklinde tanımlı bileşke fonksiyonunun birebir, örten ve lineer olduğunu göstermeliyiz.

• İki birebir fonksiyonun bileşkesi de birebir olacağından ve  ile  birebir olduğundan ötürü  birebirdir.

• İki örten fonksiyonun bileşkesi örten olduğundan  örten bir fonksiyon olur.

• İki lineer fonksiyonun bileşkesinin de lineer olduğu bilindiğinden  de lineer bir fonksiyon olur.

Sonuç olarak   olur ve dolayısıyla öyle ki;  şeklinde tanımlanabilir.(v) Herhangi iki   nesneleri ve rastgele bir   morfizması ele alalım.  birebir ve örten olduğundan   vardır.   lineer bir fonksiyon olduğundan  de lineerdir. Sonuç olarak   olur. Bu örnekte morfizmalar fonksiyon olduğundan rastgele alınan  ,   ve   morfizmaları için aşağıdaki özellikler de sağlanmaktadır:•.

• .

•.Sonuç olarak  bir grupoiddir.

Topolojik Uzay 
Herhangi bir  topolojik uzayı ele alalım. Bu uzaydaki bir noktadan başka bir noktaya giden yollar kategori teorisinde bir grupoid belirtir. Bu yolların kümesine  diyerek nesneler ve morfizmalar kümelerini aşağıdaki gibi tanımlayalım:

(i)  

(ii)  .

Burada  kümesi homotopi denklik sınıflarından oluşmaktadır. Rastgele bir  aldığımızda bu eleman 'ye homotopik olan yolları içermektedir.

(iii) Rastgele bir  nesnesi alalım.  fonksiyonunun ’ten ’e giden bir morfizma olduğunu gösterelim.  fonksiyonu bir yol olup bariz bir şekilde olur. Sonuç olarak   denilir.

(iv) Rastgele  alalım. Herhangi iki  ,   morfizmalarını düşünelim. O zaman    öyle ki  iyi tanımlıdır, çünkü  şeklinde  uzayında bir yol belirtir. Sonuç olarak  ’dir.

(v) Rastgele  ve   alalım. Bariz bir şekilde  'dir.

Tanımların denkliği 
Grupoidin grup teorisindeki tanımı ile kategori teorisindeki tanımı birbirine denktir.İspatını yaparken, bir  grupoidi, kategori teorisindeki gibi tanımlansın diyelim. Bu grupoidin grup teorisindeki tanımın özelliklerini sağladığını göstereceğiz.

 grupoidi kategori teorisindeki tanıma göre ikisi de boş kümeden farklı nesneler kümesinden ve morfizmalar kümesinden oluşur. Bu kümelere sırasıyla  ve  diyelim. Rastgele bir   nesnesi alalım. ’ten x’e giden morfizmaların kümesi  'in bileşim, tersinirlik ve özdeşlik özelliklerini sağladığını gösterelim.(i) Bileşim: Rastgele   alalım. ’nin kategori teorisindeki tanımına göre  ve  tanımlıdır. Yine kategori teorisindeki tanıma göre  özelliği sağlanır.

(ii) Tersinirlik: Herhangi bir   morfizması alalım. Kategori teorisindeki tanıma göre her morfizmanın tersi vardır. Dolayısıyla ’nin de tersi vardır ve  olur. Bu yüzden  . Tekrar kategori teorisindeki tanıma göre  ve  olur. Sonuç olarak tersinirlik özelliği sağlanır.

(iii) Özdeşlik: Herhangi iki   morfizmaları alalım.    olduğunu biliyoruz. O halde• 

• 

•  ve

•  özellikleri sağlanır.

Şimdi de grup teorisindeki tanımın özelliklerini sağlayan  grupoidinin kategori teorisindeki tanımın özelliklerini sağladığını gösterelim.  operatörünü fonksiyon bileşkesi olarak düşünerek nesneler ve morfizmalar kümesini oluşturalım.   olacak şekilde; (i)   

(ii)    kümeleri  grupoidinin sırasıyla nesneler ve morfizmalar kümeleridir. Böylece, kategori teorisindeki grupoid tanımına göre (i) ve (ii) sağlanmış olur.

(iii) Rastgele bir    nesnesi olsun.  şeklinde tanımlanır. Bu fonksiyonun   kümesinin bir elemanı olduğunu gösterelim. ’nin grup teorisindeki grupoid tanımından dolayı   ve  özellikleri sağlanacağından   olur.

(iv) Herhangi üç   nesnelerini ele alalım. Rastgele iki  ,   morfizmaları olsun. ’nın  olduğunu gösterelim.  olduğundan  olur dolayısıyla  ve  elde edilir. Sonuç olarak,    olur.

(v) Rastgele   nesneleri ve   morfizmasını ele alalım ve    olduğunu gösterelim. , grup teorisindeki grupoid tanımını sağladığından  olmaktadır.  olduğundan  ve  sağlanmaktadır. Yine ’nin sağladığı tanımdan dolayı  ve  olduğu görülür. Sonuç olarak  sağlanarak   elde edilmiş olur.

Öte yandan   kümesi üzerinde  olacak şekilde bir  ilişkisi vardır.

Sonuç olarak  bir kategoridir.

Önermeler 

Denklik bağıntısı ile ilişkisi

 ilişkisi,  üzerinde bir denklik bağıntısıdır.Kanıtını şöyle açıklayabiliriz:   olan rastgele bir   alalım. Bariz bir şekilde  olur. Dolayısıyla ’dir. Böylelikle  bağıntısının simetri özelliğini sağladığı görülür.Rastgele   alalım.  ve  olduğunu varsayalım ve  olduğunu gösterelim.

 ve  olduğundan;  ve  olur. Buradan da  eşitliğine ulaşılır. Dolayısıyla ’dir. Sonuç olarak  ilişkisi  kümesi üzerinde bir denklik bağıntısıdır.

Morfizma Kümesi ve Grup İlişkisi

Kategori teorisel herhangi bir  grupoidi alalım. Her    nesnesi için  kümesi bir gruptur. Kanıtını açıklayalım;

• Kapalılık: Rastgele   alalım.  bileşke fonksiyonu da ’ten ’e giden bir morfizma olacağından  kümesi bileşke işlemi altında kapalıdır.

• Bileşim: Herhangi   alalım.  grupoidinin kategori teorisindeki tanımına göre  eşitliği sağlandığından bileşke işlemi  kümesi içinde bileşim özelliğini sağlar.

• Birim eleman:  grupoidinin kategori teorisindeki tanımına göre her   nesnesi için    olduğundan ve  özellikleri sağlandığından birim eleman  vardır ve tektir.

• Ters eleman: Rastgele bir   alalım. ’nin kategori teorisindeki tanımından  ’dir ve  ve  olmaktadır.

Morfizma Kümesi ve Grup İzomorfizma İlişkisi

 bağlı bir grupoid olsun. Rastgele   alalım.

Bir   morfizması için    öyle ki  bir grup izomorfizmasıdır. Yani:

(i)  bir grup homomorfizmasıdır.

(ii)  birebirdir.

(iii)  örtendir.

Kanıtını şöyle açıklayabiliriz:

 Rastgele   alalım. O halde,

Sonuç olarak  bir grup homomorfizmasıdır.

 Herhangi iki   alalım ve  olsun. O halde,

Buradan da  elde edilir. O halde  birebirdir.

 Görüntü kümesinden yani ’den bir  elemanı alalım. O halde öyle bir   arıyoruz ki  olsun. O halde  alırsak;

 olur. O halde  örtendir.

Sonuç olarak  bir grup izomorfizmasıdır.

Temel gruba geçiş 
Rastgele bir   için  grubuna  grupoidinin temel grubu adı verilir.

Cebir
Kategori teorisi
Grup teorisi