Gnomon teoremi

Gnomon teoremi, bir gnomon'da meydana gelen belirli paralelkenarların eşit büyüklükte alanlara sahip olduğunu belirtir. Gnomon (), geometride benzer bir paralelkenarı daha büyük bir paralelkenarın bir köşesinden çıkararak oluşturulan bir düzlem şeklidir; veya daha genel olarak, belirli bir şekle eklendiğinde, aynı şekle sahip daha büyük bir şekil oluşturan bir şekildir.

Teorem 
 köşegeni üzerinde  noktası olan bir  paralelkenarında  kenarına paralel olan ve  noktasından geçen doğru,  kenarını  noktasında ve  kenarını da  noktasında keser. Benzer şekilde  kenarına paralel ve  noktasından geçen doğru,  kenarını  noktasında ve  kenarını da  noktasında keser. Gnomon teoremi,  ve  paralelkenarlarının eşit alanlara sahip olduğunu belirtir.

Gnomon, üst üste gelen iki paralelkenar olan  ve 'den oluşan L biçimindeki şeklin adıdır. Eşit alana sahip  ve  paralelkenarları,  ve  köşegenlerindeki paralelkenarların tamamlayıcısı olarak adlandırılır.

İspat 
Teoremin kanıtı, ana paralelkenarın alanları ve köşegeninin etrafındaki iki iç paralelkenarın alanları göz önüne alındığında basittir:

 ilk olarak, ana paralelkenar ile iki iç paralelkenar arasındaki fark, iki tamamlayıcının birleşik alanına tam olarak eşittir;
 ikinci olarak, üçü de köşegen ile ikiye bölünmüştür. Bu, şunları verir:

Uygulamalar ve genişletmeler

Gnomon teoremi, cetvel ve pergelle yapılan çizimler yöntemiyle belirli bir paralelkenar veya dikdörtgene eşit alana sahip yeni bir paralelkenar veya dikdörtgen oluşturmak için kullanılabilir. Bu aynı zamanda geometrik terimlerle iki sayının bölünmesinin temsil edilmesine izin verir, bu da geometrik problemleri cebirsel terimlerle yeniden formüle etmek için önemli bir özelliktir. Daha kesin olarak, iki sayı doğru parçalarının uzunlukları olarak verilirse, uzunluğu bu iki sayının bölümü olan üçüncü bir doğru parçası oluşturulabilir (şekle bakınız). Diğer bir uygulama, bir doğru parçasının (farklı uzunluktaki) diğer bir doğru parçasına bölme oranının aktarılması, böylece diğer doğru parçasının belirli bir doğru parçası ve bölüntüsüyle aynı oranda bölünmesidir (şekle bakınız).

Paralel yüzlüler için benzer bir ifade üç boyutlu olarak yapılabilir. Bu durumda, bir paralel yüzeyin cisim köşegeni üzerinde bir  noktası vardır ve iki paralel çizgi yerine  noktası boyunca her biri paralel yüzlüye paralel olan üç düzleminiz vardır. Üç düzlem, paralel yüzlüleri sekiz küçük paralel yüzeye böler; bunlardan ikisi köşegeni çevreler ve  noktasında buluşur. Şimdi, köşegenin etrafındaki bu iki paralel yüzlüden her biri kendisine bağlı kalan altı paralel yüzlüden üçüne sahiptir, bu üçü tamamlayıcı rolünü oynar ve eşit hacimdedir (şekle bakınız).

İç içe paralelkenarlar hakkında genel teorem

Gnomon teoremi, ortak köşegenli iç içe paralelkenarlar hakkında daha genel bir ifadenin özel bir durumudur. Verilen bir paralelkenar  için, köşegen olarak 'yi içeren herhangi bir  iç paralelkenarını düşünün. Ayrıca, kenarları dış paralelkenarın kenarlarına paralel olan ve iç paralelkenar ile  tepe noktasını paylaşan benzersiz şekilde belirlenmiş iki paralelkenar  ve  vardır. Şimdi bu iki paralelkenarın alanlarının farkı, iç paralelkenarın alanına eşittir, yani:

Bu ifade, köşeleri köşegen  üzerinde olan bozulmuş bir  iç paralelkenarına bakıldığında gnomon teoremini verir. Bu, özellikle paralelkenarlar  ve  için, ortak noktaları 'nin köşegen üzerinde olduğu ve alanlarının farkının sıfır olduğu anlamına gelir, bu tam olarak gnomon teoreminin ifade ettiği şeydir.

Tarihsel yönü
Gnomon teoremi, Öklid'in Elemanlarında (MÖ 300 civarında) yer alacak kadar erken tanımlanmış ve diğer teoremlerin türetilmesinde önemli bir rol oynamıştır. Gnomon terimini kullanmadan paralelkenarlar hakkında bir ifade olarak ifade edildiği Elemanların I. kitabında 43 numaralı önerme olarak verilmiştir. İkincisi, Elemanların II. kitabının ikinci tanımı olarak Öklid tarafından tanıtılmıştır. Gnomon ve özelliklerinin önemli bir rol oynadığı diğer teoremler, Kitap II'deki önerme 6, Kitap VI'daki önerme 29 ve Kitap XIII'deki 1'den 4'e kadar olan önermelerdir.

Notlar

Kaynakça

Dış bağlantılar 

  ve 
 

Öklid geometrisi
Üçgen geometrisi
Öklid geometrisi teoremleri
Kanıt içeren maddeler