Euler sayıları

Matematikte Euler sayıları, Taylor serisi açılımıyla tanımlanan bir En tam sayı dizisidir. .

Burada , hiperbolik kosinüs fonksiyonudur. Euler sayıları, Euler polinomlarının özel bir değeriyle ilgilidir, yani:

Euler sayıları, sekant ve hiperbolik sekant fonksiyonlarının Taylor serisi açılımlarında görünmektedir. İkincisi, tanımdaki fonksiyondur. Ayrıca kombinatoriklerde, özellikle çift sayıda elemanlı bir kümenin alternatif permütasyonlarının sayısını sayarken ortaya çıkmaktadırlar.

Örnekler 
Tek indeksli Euler sayılarının tümü sıfırdır. Çift indeksli olanlar,  değişken işaretlere sahiptir. Bazı değerler şunlardır:
{|
|E0 ||=||align=right| 1
|-
|E2 ||=||align=right| −1
|-
|E4 ||=||align=right| 5
|-
|E6 ||=||align=right| −61
|-
|E8 ||=||align=right| 
|-
|E10 ||=||align=right| -50 521
|-
|E12 ||=||align=right| 
|-
|E14 ||=||align=right| -199 360 981
|-
|E16 ||=||align=right| 
|-
|E18 ||=||align=right| -2 404 879 675 441
|}
Bazı yazarlar, sıfır değerine sahip tek sayılı Euler sayılarını çıkarmak veya tüm işaretleri pozitif olarak değiştirmek için diziyi yeniden indekslemektedir . Bu madde, yukarıda kabul edilen sözleşmeye bağlıdır.

Açık formüller

İkinci tür Stirling sayıları 
Aşağıdaki iki formül, Euler sayılarını ikinci tür Stirling sayıları cinsinden ifade etmektedir.

Burada  ikinci türden Stirling sayılarını göstermektedir ve  yükselen faktöriyelini ifade etmektedir.

Çift toplam
Aşağıdaki iki formül, Euler sayılarını çift toplamlar olarak ifade etmektedir.

Yinelemeli toplam
Euler sayıları için açık bir formül:

Burada ,   ile hayali birimi göstermektedir.

Bölümlerin toplamı
Euler sayısı ,  'nin çift bölümlerinin toplamı olarak ifade edilebilmektedir.

'in tek bölümlerinin toplamının yanı sıra,

Her iki durumda da  ve

çok terimli bir katsayıdır. Yukarıdaki formüllerdeki Kronecker deltaları, s üzerindeki toplamları sırasıyla  ve .

Örnek olarak,

Determinant
 determinant tarafından verilmektedir.

İntegral
 ayrıca aşağıdaki integrallerle verilmektedir:

Kongrüanslar 
W. Zhang, herhangi bir asal  için Euler sayılarıyla ilgili aşağıdaki birleşik özdeşlikleri elde etmiştir.

W. Zhang ve Z. Xu herhangi bir  asal ve   tam sayı için,

burada , Euler'in totient işlevidir.

Asimptotik yaklaşım 

Euler sayıları, aşağıdaki alt sınıra sahip oldukları için büyük endeksler için oldukça hızlı bir şekilde büyümektedir.

Euler zikzak sayıları 
Taylor serisi 

 ile başlayan Euler zikzak sayıları
1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, 22368256, 199360981, 1903757312, 19391512145, 209865342976, 2404879675441, 29088885112832, ... 

Hepsi için ,

burada  Euler sayısıdır; ve tüm tek  için,

 Bernoulli sayısıdır.

Her n için,

Kaynakça

Dış bağlantılar
 
 

Leonhard Euler
Tamsayı dizileri