Temel grup

Temel grup, Henri Poincaré'in 1895'te yayınladığı "Analysis Situs" adlı makalesinde tanımlanmıştır. Kavram, Bernhard Riemann, Poincaré ve Felix Klein'ın çalışmalarıyla Riemann yüzeyleri teorisinden ortaya çıkmıştır. Karmaşık değerli fonksiyonların monodromik özelliklerini açıkladığı gibi kapalı yüzeylerin tam bir topolojik sınıflandırılmasını sağlar.

Yollar ve Homotopiler 
Bu bölümde topolojik uzayları ele alacağız. Yolların tanımında kullanacağımız  aralığı  kapalı aralığı olacaktır. Son olarak, başlangıç noktası  ve bitiş noktası  olan yollara  ’den  ’ya giden yollar diyeceğiz.

Yol 
Bir  uzayı alalım. Bir  sürekli fonksiyonuna  uzayında bir yol denir. Böyle bir  yolu için  noktası başlangıç noktası ve   noktası bitiş noktası olarak adlandırılır.

 olsun. Başlangıç ile bitiş noktaları sırasıyla  ve  olan ve  'den  uzayına giden bütün yolların kümesi    olarak tanımlanır.

Örnekler 

İlk örnek olarak,  uzayında bir  fonksiyonunu   olarak tanımlayalım.   uzayındaki yollar genellikle   , fonksiyonu ile temsil edilir. Burada  ve  sürekli fonksiyonlardır. Şimdi bir   yolunu  şeklinde tanımlayalım. Bu durumda

•  noktası, başlangıç noktası ve

•  bitiş noktasıdır.

Ayrıca  üzerindeki oryantasyonun,  fonksiyonunun görüntüsünün yönlendirmesini içerdiğinin de altını çizelim.

Diğer bir örnek olarak da bir  fonksiyonunu ele alalım ve  olsun.

 fonksiyonunun grafiği  uzayı olmak üzere bu uzaydaki yollara bakalım. Bir  fonksiyonunu  olarak tanımlayalım.

 olduğunu görüyoruz.  ’in bileşenleri olan  ve ,  üzerinde sürekli birer fonksiyon olduğundan 'in fonksiyonu için bir yol olduğunu söyleyebiliriz.

Şimdi   fonksiyonunu ele alalım, öyle ki  olsun.

, bir yol değildir çünkü tanım kümesi  değildir.  fonksiyonunu kullanarak  grafiğinin üzerinde başka bir yol bulacağız.

Bunun için, sürekli ve daima artan bir fonksiyon tanımlayalım.   fonksiyonu  olarak tanımlansın.

Sonra bileşke fonksiyonu yazalım.    öyle ki   olsun.

  ve  olmaktadır.

Bu bileşke fonksiyonunun bileşenleri  ve ,  tanım aralığında sürekli fonksiyon olduklarından bu bileşke fonksiyonun sürekli olduğu sonucuna ulaşılır.

Sonuç olarak ,  uzayında bir yol olur.

Ters Yol 

’den ’ya giden bir  yolu için,  ters yolu   olarak tanımlanır. Bu durumda  yolunun başlangıç noktası  ve bitiş noktası  olur.

Örnek olarak,  yolunu  olarak tanımlayalım. Bu durumda  ve  olur.

 üzerindeki oryantasyonu ters çevirirsek,  olarak tanımlı   olan ters yolunu elde ederiz (Şekil 3).

  ve  , ,  olduğunu not edelim.

Birim çember üzerinde yol örneğini inceleyelim;

 birim çember olmak üzere,  fonksiyonunu    olarak tanımlayalım.

Bu fonksiyon aşağıdaki özellikleri sağlamaktadır:

• süreklidir, çünkü üstel fonksiyonun sürekli olduğunu biliyoruz.

•, , , , .

Bu nedenle, birim çember üzerindeki pozitif yönlü bir yoldur (Şekil 4).

Birim küre üzerinde yol örneğinde ise,  üzerindeki birim küreyi ele alalım:  .

 fonksiyonunu    şeklinde tanımlayalım. Bu şekilde tanımlı  fonksiyonu bariz bir şekilde süreklidir çünkü kosinüs ve sinüs fonksiyonları süreklidir.

Sonuç olarak,  ve  olur. Bu yüzden,  fonksiyonu  üzerinde bir yoldur ve oryantasyonu Şekil 5’teki gibidir. 
Diğer yandan, ,    biçiminde tanımlı olan fonksiyon süreklidir ve  olduğundan  fonksiyonu  üzerinde başka bir yola örnektir (Şekil 6).

Homeomorfizma 
Herhangi  ve  topolojik uzayları arasında bir homeomorfizma,  birebir ve örten bir fonksiyon şeklinde tanımlanır;  ve  sürekli fonksiyonlardır.

Tanım 

’dan ’ya giden daima artan homeomorfizmaların kümesi şu şekilde tanımlanır:.

Önermeler 
  kümesi fonksiyon bileşkesi   altında bir gruptur.

Kanıtı için, önce  kümesinin  işlemi altında kapalı olduğunu göstermek yeterlidir. Herhangi  seçelim.  olduğunu göstereceğiz.

, daima artan ve sürekli bir fonksiyon olup tersi de süreklidir. Aynı şekilde  için de aynı özellikler sağlanır. İki artan fonksiyonun bileşkesi de artan olacağından  fonksiyonu da artan olur.

İki sürekli fonksiyonun bileşkesi de sürekli bir fonksiyon olduğundan  fonksiyonu da sürekli olur.

Öte yandan,  ve  fonksiyonlarının sürekli olduğunu biliyoruz. O halde   fonksiyonu da sürekli olur. Sonuç olarak   elde ederiz.

Şimdi () kümesinin grup aksiyomlarını (bileşim, birim eleman, terslenebilme) sağladığını gösterelim.

•Bileşim özelliği: Herhangi  seçelim. Rastgele bir  elemanı alalım. O halde,

•  ve
•  olduğundan her  için  olur.

•Birim eleman:  fonksiyonu,  olduğunda ()’nun birim elemanıdır çünkü  (birim fonksiyon) süreklidir, birebir ve örtendir, daima artandır.

Öte yandan  ters fonksiyonu da süreklidir çünkü her  için .

Sonuç olarak her  için  olmaktadır.

•Terslenebilme: Herhangi bir  alalım. ’ın tanımından dolayı, ’in daima artan, birebir, örten ve sürekli olduğunu ve ’in de sürekli olduğunu biliyoruz.

 olduğunu göstermek gereklidir. Bunun için, ’in daima artan olduğunu göstermek yeterlidir.

Herhangi  alalım ve  olduğunu varsayalım.  olduğunu gösterelim.

 daima artandır ve  olduğu için  olur. ’in birebir ve örtenlik özelliğinden dolayı  ve  olan biricik  elemanları vardır.

 daima artan ve  olduğu için,  olur. Bu yüzden   ve   olur. Sonuç olarak,  işlemi altında  bir gruptur.

 Eğer  ise  ve  olur.

Kanıtını şöyle açıklayabiliriz; herhangi  alalım; yani  sürekli, daima artan ve birebir-örten bir homeomorfizmadır. O halde ’ fonksiyonu da süreklidir.

 olsun, ki bu  anlamına gelir.  aralığının bağlantılı (connected) olduğunu biliyoruz. O zaman  sürekli olduğundan ’in de bağlantılı olduğunu söyleyebiliriz.

 birebir ve örten olduğundan,  olur. Fakat  bağlantılı değildir. Bu yüzden  varsayımıyla bir çelişki elde ederiz. Yani  olur.

Şimdi  olduğunu gösterelim.  olduğunu varsayalım.  fonksiyonu daima artan ve  olduğundan, olur; bu da demektir.

 olduğundan  değeri ’den büyük olamaz. O halde  olur. Aynı muhakeme ile  sonucu elde edilir.

Sonuç olarak, her  için,  ve  olur.

Yollar üzerinde denklik bağıntısı 
 uzayında  yollarını düşünelim. Eğer  eşitliğini sağlayan bir  varsa, o halde  denilir.

 bir denklik bağıntısıdır, önermesinin ispatını şöyle açıklayabiliriz;  bağıntısının yansıma, simetri ve geçişme özelliklerini sağladığını göstereceğiz.

•yansıma:  herhangi bir yol olsun. Eğer  fonksiyonunu   şeklinde tanımlı birim fonksiyon alırsak  olur. Dolayısıyla  olur.

•simetri:  herhangi iki yol olsunlar.  olduğunu varsayalım ve   olduğunu gösterelim.

 ise  olacak şekilde bir  vardır.  fonksiyonunun birebir ve örten olduğunu biliyoruz; bu yüzden şöyle yazabiliriz:

. Yani öyle bir fonksiyon bulmuş olduk ki   ve  oldu. Sonuç olarak  olur.

•geçişme:  herhangi üç yol olsunlar.  ve  olduklarını varsayalım ve  olduğunu gösterelim.

Varsayımlara göre,  ve  eşitliklerini sağlayan  elemanları vardır. Bu nedenle, ’dir.

 olduğundan  olur. Yani  elemanı  eşitliğini sağlar. Dolayısıyla,  olur.

Sonuç olarak  bir denklik bağıntısıdır.

Homotopi 
 ve  fonksiyonları  uzayında iki yol olsun. Bu yolların bir homotopisi, ,  şeklinde tanımlı ve aşağıdaki şartları sağlayan sürekli bir fonksiyondur.

(i) Her  sayısı için, , ’den ’ya giden bir yol belirtir.

(ii) ’den ’ya giden ,  yolları için   ve  ’dir.  ve  yolları bu şekilde bir  homotopisi ile bağlanırlarsa  ve  homotopiktirler denilir ve  şeklinde gösterilir.

Önermeler 

 Yolların bileşkesi, yolların denklik sınıfları üzerinde iyi tanımlıdır.

Önermenin kanıtını şöyle açıklayabiliriz: , , ve  :  şeklinde tanımlı yollar olsun. . Eğer   ve olduğunda   denkliği sağlanıyorsa bu bileşke işlemi iyi tanımlıdır.    arasında  homotopisi  ve  arasında ise  homotopisi tanımlı olsun.    homotopisini aşağıdaki şekilde tanımladığımız zaman yolların bileşkesinin iyi tanımlı olduğunu göstermiş oluruz.

 olduğunda  eşitliklerini elde ederiz. Bu yüzden  denkliği sağlanır. Bu yüzden yolların bileşkesi, yolların denklik sınıfları üzerinde iyi tanımlıdır.

 Bir uzayda sabit başlangıç ve bitiş noktaları olan yollar üzerindeki homotopi ilişkisi bir denklik bağıntısıdır. Uzaydaki bir  yolunun homotopi sınıfı  ile gösterilir.

İspatını yaparken, Homotopi ilişkisinin yansıma, simetri ve geçişme özelliklerini sağladığı göstermeli.

•yansıma: , ’den ’ya giden bir yol olsun. ,  şeklinde tanımlanmış  fonksiyonu  ile  arasında bir homotopidir; çünkü her  için,

 fonksiyonu ’den ’ya giden bir yoldur ve ’dir. Sonuç olarak  elde edilir.

•simetri: ,  ’den ’ya giden 2 yol olsun.  olduğunu kabul edelim. O halde öyle bir  şeklinde tanımlı homotopi vardır ki; her sabit  için,

 fonksiyonu ’den ’ya giden bir yol olur ve  ,  ’dir.

Şimdi  fonksiyonunu   şeklinde tanımlayalım. O zaman her sabit  için,   fonksiyonu ’den ’ya giden bir yoldur ve

   ve     olur. Sonuç olarak elde edilir.

•geçişme:  şeklinde tanımlı 3 yol olsun.  ve  olduğunu kabul edelim. Göstermemiz gereken; dir.

 ve  olduğundan öyle  ve  homotopileri vardır ki; ,   ve  , ,   ve

 ’dir. Şimdi bir  fonksiyonunu

  şeklinde tanımlayalım. Açıkça görüyoruz ki;   fonksiyonu  noktası dışında her yerde süreklidir.

Öte yandan  için   ve   olmaktadır.

Dolayısıyla  fonksiyonu  noktasında da süreklidir. Ayrıca,   ve   olduğunu görüyoruz.

Sonuç olarak 

 elde edilir.

  gruptur.

Kanıtını göstermek için, örnek olarak  ve , 'a dayalı döngülerinin homotopi sınıflarının kümesi olsun.

•Birim elemanı  ,   olan     döngüsünün sınıfıdır.  Herhangi bir  döngüsü için   eşitliği sağlanır ve homotopi şu şekilde tanımlanır:  .

• , 'te bulunan herhangi bir döngü olsun. 'in  tersini  olarak tanımlayalım. 'in tersini yönünü değiştirerek tanımladık. Şimdi ise   arasındaki homotopi şu şekilde tanımlanır: .

•  herhangi üç eleman olsun. Şimdi ise  olduğunu gösterelim. Bu koşulu sağlayan homotopi şu şekilde tanımlanır: .

Birim elemanın varlığı, ters elemanın varlığı ve geçişme özelliğini sağladığından ötürü  bir gruptur.

Örnekler 

 1 noktasına dayalı birim çemberin temel grubu  tam sayılar grubuna izomorftur, şeklinde gösterilir: .
 Sekiz şeklinin temel grubu iki eleman tarafından üretilen serbest gruptur.

Dış bağlantılar 

 
 Flash animation for learning the unit circle 
 GonioLab: Visualization of the unit circle, trigonometric and hyperbolic function
 https://web.stanford.edu/~aaronlan/assets/fundamental-group.pdf 
 Hacettepe Journal of Mathematics & Statistics: https://dergipark.org.tr/en/download/article-file/808791

Kaynakça 

 İngilizce vikipedi
 Ronald Brown, Topology and Groupoids, 2006
 Allen Hatcher, Algebraic Topology  

Cebirsel topoloji
Cebir
Grup teorisi
Matematik
Topoloji