Çevre açı

Geometride, çevre açı, çember üzerinde iki sekant (kesen) çizgisi kesiştiğinde bir çember üzerinde oluşan açıdır. Çember üzerindeki bir nokta (açının tepe noktası) ile çember üzerinde verilen diğer iki noktanın oluşturduğu açı olarak da tanımlanabilir.

Eşdeğer olarak, bir çevre açı, bir bitiş noktasını paylaşan çemberin iki kirişiyle tanımlanır.

Çevre açı teoremi, bir çevre açının ölçüsünü, aynı yayı oluşturan merkezi açının ölçüsü ile ilişkilendirir.

Çevre açı teoremi, Öklid'in "Elementler" kitabının 3. kitabında Önerme 20 olarak görünür.

Teorem

Açıklama 

Çevre açı teoremi, bir çember içine çizilmiş bir  açısının, çember üzerindeki aynı yaya karşılık gelen (veya aynı yayı gören) merkezi açı 'nın yarısı olduğunu belirtir. Bu nedenle, tepesi çember üzerinde farklı konumlara taşındığında açı değişmez.

İspat

Bir kirişin çap olduğu çevre açılar 

Şekilde görüldüğü gibi  bir çemberin merkezi olsun. Çember üzerinde iki nokta seçelim ve bunlara  ve  diyelim.  doğrusunu çizelim ve 'yu geçecek şekilde uzatalım, böylece  noktasının çapa göre zıttı olan  noktasında çemberle kesişir. Tepe noktası  olan ve kenarları  ve  noktalarından geçen bir açı çizelim.

 doğrusunu çizelim. Açı , bir merkez açıdır; buna  diyelim.  ve  çizgilerinin her ikisi de çemberin yarıçaplarıdır, bu nedenle eşit uzunluklara sahiptirler. Bu nedenle,  üçgeni ikizkenardır, öyle ise  açısı (çevre açı) ve  açısı eşittir; her birini  olarak gösterelim.

 ve  açıları bütünlerdir. 'dan geçen  çizgisi düz bir doğru olana kadar toplamları 'ye kadar artar. Bu nedenle,  açısının ölçüsü olarak  alınabilir.

Bir üçgenin üç açısının toplamının  olduğu ve  üçgeninin üç açısının:

 
 
 .

Bu nedenle,

 

Her iki taraftan 180° çıkarırsak,

 

burada ,  yayını gören merkez açı ve ,  yayını oluşturan çevre açıdır.

Çemberin merkezi, açının içinde kalan çevre açılar 

Merkezi  noktası olan bir çember verildiğinde, çember üzerinde üç nokta ,  ve  alalım.  ve  doğrularını çizelim:  açısı, bir çevre açıdır. Şimdi  doğrusunu çizelim ve onu  noktasında çemberle kesişecek şekilde  noktasını geçecek şekilde uzatalım.  açısı, çember üzerindeki  yayını görür.

Bu yayın, içinde  noktasını içerdiğini varsayalım.  noktası,  noktasının çapa göre karşısıdır.  ve  açıları da çevre açılardır, ancak bu açıların her ikisi de çemberin merkezinden geçen bir kenara sahiptir, bu nedenle yukarıdaki Bölüm 1'deki teorem bunlara uygulanabilir.

Bu nedenle,

 

o zaman,

 
 
 

Böylece

 

 ve  doğrularını çizelim.  ve  açıları gibi  açısı da merkezi bir açıdır ve

 

 
 
 

olsun, böylece

 

Birinci bölümden biliyoruz ki  ve 'dir. Bu sonuçların denklem (2) ile birleştirilmesi aşağıdaki sonucu verir:

 

bu nedenle, denklem (1)'den aşağıdaki sonuç elde edilir:

Çemberin merkezi, açının dışında kalan çevre açılar 

Önceki durum, çevre açının ölçüsünün, bu ispatın ilk bölümünde tartışıldığı gibi iki çevre açı arasındaki fark olduğu durumu kapsayacak şekilde genişletilebilir.

Merkezi  noktası olan bir çember verildiğinde, çember üzerinde üç nokta ,  ve  seçilsin.  ve  doğrularını çizelim:  açısı, bir çevre açıdır. Şimdi  doğrusunu çizelim ve  noktasında çemberle kesişecek ve  noktasını geçecek şekilde uzatalım.  açısı, çember üzerindeki  yayını görür.

Bu yayın, içinde  noktasını içermediğini varsayalım.  noktası,  noktasının çapa göre zıttıdır.  ve  açıları da çevre açılardır, ancak bu açıların her ikisi de çemberin merkezinden geçen bir kenara sahiptir, bu nedenle yukarıdaki Bölüm 1'deki teorem bunlara uygulanabilir.

Bu nedenle,

 .

o zaman,

 
 
 

olsun, böylece

 

 ve  doğrularını çizelim.  ve  açıları gibi  açısı da merkezi bir açıdır ve

 

 
 
 

olsun, böylece

 

Birinci bölümden biliyoruz ki  ve şu . Bu sonuçların denklem (4) ile birleştirilmesi,

 

bu nedenle, denklem (3) ile aşağıdaki ifadeye ulaşılır:

Sonuç 
Benzer bir argümana göre, bir kiriş ile onun kesişme noktalarından birinde teğet doğrusu arasındaki açı, kirişin kapsadığı merkezi açının yarısına eşittir. Ayrıca bkz. Çemberlere teğet doğrular.

Uygulamalar 
Çevre açı teoremi, düzlemin temel Öklid geometrisinin birçok ispatında kullanılır. Teoremin özel bir durumu, bir çapın kapsadığı açının her zaman , yani bir dik açı olduğunu belirten Thales teoremidir. Teoremin bir sonucu olarak, kirişler dörtgeninin zıt açılarının toplamı 'dir ve tersine, bunun doğru olduğu herhangi bir dörtgen bir çember içerisine çizilebilir. Başka bir örnek olarak, çevre açı teoremi, bir çembere göre bir noktanın kuvveti ile ilgili birkaç teorem için temel oluşturur. Dahası, iki kiriş bir çember içinde kesiştiğinde, parçalarının uzunluklarının çarpımlarının eşit olduğunu kanıtlamaya izin verir.

Elipsler, hiperboller ve paraboller için çevre açı teoremleri 
Çevre açı teoremleri elipsler, hiperboller ve paraboller için de mevcuttur. Temel farklar, bir açının ölçümleridir. (Bir açı, bir çift kesişen çizgi olarak kabul edilir.)

 Elips
 Hiperbol
 Parabol

Kaynakça

Dış bağlantılar 

 
 
 
 
 
 
 

Kanıt içeren maddeler
Açı
Öklid düzlem geometrisi
Çemberler