Hjelmslev teoremi

Geometride, Danimarkalı matematikçi Johannes Hjelmslev'in adını taşıyan Hjelmslev teoremi, bir doğru üzerindeki , ,   noktaları, aynı çizgideki başka bir doğrunun , ,   noktalarına izometrik olarak (ölçüleri eşit bir şekilde) eşlenirse düzlem, daha sonra , ,  doğru parçalarının orta noktaları da bir doğru üzerindedir.

Düzlem izometrilerinin sınıflandırılması varsayılırsa kanıtı kolaydır. Verilen izometri tekilse, bu durumda zorunlu olarak ya bir doğrudaki bir yansıma ya da bir ötelemeli yansıma (bir doğrudaki üç yansımanın ve ona dik olan iki yansımanın çarpımı), her ne olursa olsun düzlem: 'nün orta noktası herhangi bir  için (ötelemeli-) yansımanın ekseni üzerindeyse o zaman ifade tüm noktalar için doğrudur. İzometri çift ise, , ,   üzerinde aynı etkiye sahip tek bir izometri elde etmek için  doğrusunda yansıma ile oluşturun ve önceki açıklamayı uygulayın.

Teoremin önemi, paralellik postülatını önceden varsaymayan ve bu nedenle Öklid dışı geometride de geçerli olan farklı bir kanıta sahip olması gerçeğinde yatmaktadır. Onun yardımıyla, düzlemin her noktasını  doğru parçasının orta noktasına eşleyen haritalama, burada  ve , 'nin verilen bir merkez çevresindeki verilen bir dar açıyla rotasyon (her iki anlamda) altındaki görüntüleridir, tüm hiperbolik düzlemi bir diskin içine 1-1 yollu bir şekilde haritalayan, böylece hiperbolik düzlemin doğrusal yapısının iyi bir sezgisel notasyonunu sağlayan bir doğrudaşlama olarak görülür. Aslında buna Hjelmslev dönüşümü denir.

Bir düzlemde sırasıyla  ve  doğruları üzerindeki  ve  noktalarını alalım,  daha sonra  olduğundan , ,  doğruların orta noktaları , , aynı doğru üzerinde sıralanacaktır.

Ayrıca bakınız  
 Droz-Farny doğru teoremi
 Newton-Gauss doğrusu

Kaynakça

Dış bağlantılar 

 Hjelmslev Teoremi , Jay Warendorff, Wolfram Demonstrations Project.
 Hjelmslev Teoremi , cut-the-knot.org

Öklid geometrisi teoremleri