Örgü grubu

Matematikte, Artin Örgü Grubu olarak da bilinen n iplik üzerindeki örgü grubu ( ile gösterilir), elemanları n-örgülerin denklik sınıfları olan gruptur. Örgü gruplarının örnek uygulamaları arasında düğüm teorisi (knot theory), matematiksel fizikte; Artin'in örgü grubunun Yang-Baxter denklemine karşılık geldiği kanonik sunumu (matematiksel fizik konusu) ve cebirsel geometrinin monodromy değişmezleri yer alırlar.

Tarihi 
Örgü grupları, 1925'te Emil Artin tarafından açık bir şekilde tanıtıldı, ancak (Wilhelm Magnus'un 1974'te işaret ettiği gibi), Adolf Hurwitz'in, 1891 yılı "Monodromy" çalışmasında zaten üstü kapalı bir şekilde geçiyordu. 1947'de Emil Artin tarafından açıkça tanımlanabileceği gibi, Örgü grupları ayrıca daha derin bir matematiksel yorumla da tanımlanır: belirli konfigürasyon uzaylarının temel grubu olarak.

 aralığı olmak üzere aşağıdaki şartları sağlayan  kümesine n-ipli örgü denir.

⋅  kümesi  tane ayrık ipten oluşur. Bu iplerin her biri   projeksiyonu altında  birim aralığına homeomorfdur. Kısacası her ip  düzleminden sadece bir kere geçmektedir.

⋅ 

⋅

Temel Özellikler 
 tane ipten oluşan ve  olarak gösterilen bir Artin örgü grubu,  için  üreteçleri ile üretilen ve aşağıdaki ilişkileri sağlayan bir gruptur.

i) 

ii) 

Kısaca   şeklinde de gösterilir.

 örgü grubunda tüm örgüler tek bir ip üzerinde oluşur. Trivial bir gruptur.

 grubundaki örgüler iki ipin bükülmesi ile oluşur. Bir yönde bir büküm vererek  değeri ve diğer yönde bir büküm ile  değeri elde edilir. Bu sayede  grubunun  grubuna izomorfik olduğu görülür.

 ve 

  grubu sonsuzdur ve değişmeli değildir. Elemanları aşağıdaki gibidir.

      ve 

grubundaki her örgü bu 3 örgü ve tersleri ile yazılabilir, bu yüzden bu 3 örgü 'ü temsil eder.

     ve

Konfigürasyon Uzayı ile İlişkisi 
Kompleks uzayda  tane sıralı ve birbirinden farklı nokta düşünelim. Bu noktaların oluşturduğu konfigürasyon uzayı aşağıdaki gibi tanımlanır:

Pür Örgü Grubu 
 ipten oluşan pür örgü grubu  ile gösterilir ve  uzayının temel grubudur. 

Bir pür örgü ,  uzayı içerisinde bir düğümdür. Yani, aynı noktada başlayıp aynı noktaya geri döner.

Diğer Özellikler 
 için 'dir. Rastgele bir  alalım. O halde  ipli pür örgü grubu 'den 'ye giden morfizmaların kümesi olur. Sonuç olarak   elde edilir.

 olsun. O halde  olur. Bu uzayın temel grubu  kümesine izomorftur. Sonuç olarak .

  Özel lineer grup olarak adlandırılır, determinantı  olan  tam sayı matrislerinin grubudur.

  Projektif özel lineer grup olarak adlandırılır,  {}' e eşittir, öyle ki ,  birim matrislerdir.

Kaynakça 

Cebirsel geometri
Matematik