Aristarkus eşitsizliği

Aristarchus eşitsizliği (Yunan gökbilimci ve matematikçi Sisamlı Aristarkus'tan sonra; MÖ 310 - MÖ 230), eğer  ile  dar açılar (0 ile dik açı arasında) ve  ise,

 .

olduğunu belirten bir trigonometri yasasıdır. Batlamyus, kiriş tablosunu oluştururken bu eşitsizliklerden ilkini kullandı.

İspat 
Kanıt, daha bilinen eşitsizliklerin bir sonucudur: ,  ve .

İlk eşitsizliğin kanıtı 
Yukarıda belirtilen temel eşitsizlikleri kullanarak önce bunu kanıtlayabiliriz

 .

İlk önce eşitsizliğin 'a eşdeğer olduğunu not ediyoruz, bu eşitsizlik;  olarak yeniden yazılabilir.

Şimdi bunu göstermek istiyoruz

 .

İkinci eşitsizlik basitçe 'dir. İlki doğrudur çünkü:

 .

İkinci eşitsizliğin kanıtı 
Şimdi ikinci eşitsizliği göstermek istiyoruz, yani:

 .

İlk olarak, temel eşitsizlikler nedeniyle şunlara sahip olduğumuzu not ediyoruz:

 

Sonuç olarak, önceki denklemde  eşitsizliğini kullanarak ( ile  ile değiştirerek) aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

 .

Nihayetinde aşağıdaki sonuca varıyoruz:

Ayrıca bakınız 

 Samoslu Aristarkus
 Eratosthenes
 Posidonius
 Trigonometri tarihi

Notlar ve kaynakça

Konuyla ilgili yayınlar 
 Neugebauer, O. “Archimedes and Aristarchus.” Isis, vol. 34, no. 1, 1942, ss. 4–6. JSTOR, www.jstor.org/stable/225990.
 Howard L. Resnikoff, Raymond O. Wells, Jr., (2015), Mathematics in Civilization, 3rd Edition, s. 103, Dover Publications, 
 Alexander Toller, Freya Edholm, Dennis Chen, (2019), Proofs in Competition Math: Volume 1, s. 268,

Dış bağlantılar 

 
 
 
 

Eşitsizlikler
Trigonometri
Yunan matematiği