Hadwiger–Finsler eşitsizliği

Matematikte Hadwiger–Finsler eşitsizliği, Öklid düzlemindeki üçgen geometrisinin bir sonucudur. Düzlemdeki bir üçgenin kenar uzunlukları ,  ve  ve alanı  ile gösterilirse, o zaman

İlgili eşitsizlikler 

 Weitzenböck eşitsizliği, Hadwiger–Finsler eşitsizliğinin doğrudan bir sonucudur: düzlemdeki bir üçgenin kenar uzunlukları ,  ve  ve alanı  ile gösterilirse, o zaman

 

Weitzenböck eşitsizliği, Heron formülü kullanılarak da kanıtlanabilir; bu yolla, (W) için eşitliğin ancak ve ancak eğer üçgen bir eşkenar üçgen ise, yani  için geçerli olduğu görülür.

 Dörtgen için bir versiyon: , uzunlukları , , ,  ve alanı  ile gösterilen dışbükey bir dörtgen olsun, sonra:

  sadece bir kare için eşitlikle sonuçlanır.

Burada;

İspat 
Kosinüs yasasından aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

,  ve  arasındaki açı olsun. Bu aşağıdaki ifadeye dönüştürülebilir:

 olduğundan;

'dir.

ve

olduğunu hatırlarsak, bunları kullanarak aşağıdaki ifadeyi elde edebiliriz;

Bunu üçgenin her kenarı için yaparak ve taraf tarafa toplayarak aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

 ve  üçgenin diğer açılarıdır. Şimdi, üçgenin açılarının yarısı 'den küçük olduğundan,  fonksiyonu dışbükeydir:

Bunu kullanarak aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

Bu da Hadwiger–Finsler eşitsizliğidir.

Tarihçe 
Hadwiger–Finsler eşitsizliğine, Alman ve İsviçreli matematikçi Paul Finsler ile İsviçreli matematikçi Hugo Hadwiger yaptıkları çalışma () sonrası adını vermiştir, aynı makalede, bir tepe noktasını paylaşan diğer iki kareden türetilen bir kare üzerinde Finsler–Hadwiger teoremini de yayınladılar.

Eşitsizliğin genelleştirilmesi
1. Eğer , ,  ve  bir dörtgenin dört kenarıysa ve  alanı ise, o zaman

'dir.

Eşitlik ancak ve ancak dörtgen bir kare ise doğrudur.

2. Eğer , , ……,  n kenarlı şeklin kenar uzunlukları ve  alanı ise, o zaman

……'dir.

Eşitlik, ancak ve ancak n-kenarlı şekil eş kenarlı bir n-kenarlı şekil ise doğrudur.

Ayrıca bakınız 
 Üçgen eşitsizliklerin listesi
 Eşçevre eşitsizliği

Notlar

Kaynakça 

Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: When Less is More: Visualizing Basic Inequalities. MAA, 2009, , pp. 84-86

Dış bağlantılar

Konuyla ilgili yayınlar 
 
 
 

Öklid geometrisi teoremleri
Üçgen geometrisi
Eşitsizlikler