Kirişler çokgenleri için Japon teoremi

Dışbükey bir kirişler çokgeni, herhangi bir şekilde üçgenlere ayrıldığında ve bu şekilde oluşturulan her üçgene bir iç teğet çember çizildiğinde Japon teoremi, bu üçgenlerin iç teğet çemberlerinin yarıçapları toplamının, seçilen üçgenlemeden bağımsız bir şekilde sabit olduğunu belirtir. Bu teorem, Carnot teoremi kullanılarak kanıtlanabilir. Japon matematikçilerin eski bir geleneğine göre, bu teorem 1800'de tanrıları ve yazarı onurlandırmak için bir Japon tapınağına asılan tabletlere yazılmış bir Sangaku problemiydi.

Açıklama 

Geometride, Japon teoremi, bir kirişler çokgeni üçgenlere nasıl bölünürse bölünsün (üçgenleştirme), üçgenlerin iç teğet çemberlerinin yarıçapları toplamının sabit olduğunu belirtir. 

Tersine, eğer iç teğet üçgenlerin yarıçapları toplamı üçgenlere ayırmadan bağımsız ise, o zaman çokgen kirişler çokgenidir. Japon teoremi, Carnot teoremini takip eder; bu bir Sangaku problemidir.

İspat 
Bu teorem, ilk önce özel bir durumu ispatlayarak kanıtlanabilir: Bir kirişler dörtgeni nasıl üçgenleştirilse de (üçgenlere ayrılırsa ayrılsın), üçgenlerin iç teğet çemberlerinin toplamı sabittir.

Dörtgen durumu kanıtladıktan sonra, kirişler çokgeni teoreminin genel durumu doğrudan bir sonuçtur. Dörtgen kuralı, bir kirişler çokgeninin genel bir bölümünün dörtgen bileşenlerine uygulanabilir ve kuralın tekrarlanarak uygulanması, bir köşegeni "çevirme", her "çevirme" iç teğet çember yarıçapları toplamını sağlayacak şekilde herhangi bir bölümden olası tüm bölümleri oluşturacaktır.

Dörtgen durum, kirişler dörtgenleri için Japon teoreminin basit bir genişlemesinden kaynaklanır; bu, dörtgenin iki olası üçgenlemesine karşılık gelen iki çift iç teğet çember merkezi tarafından, bir dikdörtgenin oluşturulduğunu gösterir. Bu teoremin adımları, temel yapıcı Öklid geometrisinin ötesinde hiçbir şey gerektirmez.

Köşegenlere paralel kenarları olan ve dikdörtgenin köşelerine teğet olan bir paralelkenarın ilave çizimi ile, döngüsel çokgen teoreminin dörtgen durumu birkaç adımda kanıtlanabilir. İki çiftin yarıçaplarının toplamlarının eşitliği, inşa edilen paralelkenarın bir eşkenar dörtgen olması koşuluna eşittir ve bu, çizimde kolayca gösterilebilir.

Dörtgen durumunun bir başka kanıtı Wilfred Reyes'e (2002) dayanmaktadır. Kanıt olarak, hem kirişler dörtgenleri için Japon teoremi hem de kirişler çokgeni teoreminin dörtgen durumu, Thébault'un III. problemi'nin bir sonucu olarak kanıtlanmıştır.

Ayrıca bakınız 
 Yukarıdaki teoremin bir kanıtında kullanılan Carnot teoremi
 Eş iç teğet çemberler teoremi
 Çemberlere teğet doğrular

Notlar

Kaynakça

Dış bağlantılar

İlave okumalar
  veya 
  veya 

Çokgenler
Öklid düzlem geometrisi
Öklid geometrisi teoremleri