Eş iç teğet çemberler teoremi

Geometride, eş iç teğet çemberler teoremi bir Japon Sangaku'sundan türetilir ve aşağıdaki yapıya ilişkindir: belirli bir noktadan belirli bir çizgiye bir dizi ışın çizilir, öyle ki bitişik ışınlar ve taban çizgisi tarafından oluşturulan üçgenlerin iç teğet çemberleri eşittir. Çizimde eş mavi çemberler, açıklandığı gibi ışınlar arasındaki mesafeyi tanımlar.

Açıklama
Teorem, (herhangi bir ışından başlayarak) her diğer ışın, her üçüncü ışın vb. ve taban doğrusu tarafından oluşturulan üçgenlerin iç teğet çemberlerinin de eşit olduğunu belirtir. Her diğer ışın durumu yukarıda hepsi eşit olan yeşil çemberlerle gösterilmiştir.

Teoremin ilk ışının açısına bağlı olmadığı gerçeğinden yola çıkarak, teoremin geometriden ziyade doğru bir şekilde analize ait olduğu ve ışınların aralığını tanımlayan sürekli bir ölçekleme fonksiyonu ile ilgili olması gerektiği görülebilir. Aslında bu fonksiyon, hiperbolik sinüstür.

Teorem, aşağıdaki yardımcı teoremin (lemmanın) doğrudan bir sonucudur:

n inci ışının, taban çizgisinin normali ile bir  açısı yaptığını varsayalım. Eğer  denkleme göre parametrelendirilirse,, sonra da  değerleri elde edilir, burada  ve , eş iç teğet çemberlerin koşulunu sağlayan bir ışın dizisi tanımlayan gerçek sabitlerdir ve ayrıca koşulu sağlayan herhangi bir ışın dizisi  ve  sabitlerinin uygun şekilde seçimi ile üretilebilir.

Yarımcı teoremin kanıtı 

Şekilde,  ve  doğruları,  taban çizgisine dik olan  doğrusu ile  ve  açılarını oluşturan bitişik ışınlardır.

 doğrusu, taban çizgisine paraleldir ve  üçgeninin, ışınlara  ve  noktalarında teğet olan, iç teğet çemberinin merkezi olan 'dan geçer. Ayrıca,  çizgisinin uzunluğu  ve  doğrusunun uzunluğu da iç teğet çemberin yarıçapı 'dir.

Sonra  ve  benzerliklerinden ve 'den aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

 

Bu ilişki bir dizi açı üzerinde,, eş iç teğet çemberlerin durumunu ifade eder.

Yardımcı teoremi kanıtlamak için  ifadesinden  elde edilir.

 kullanılarak  ve  için toplam formüllerini uygulanırsa, eş iç teğet çemberlerin aşağıdaki ilişkiyi sağladığı doğrulanır:

 

Bu,  parametresi için geometrik ölçüler,  ve  türünden bir ifade verir. 'nin bu tanımıyla daha sonra üçgenlerin kenarları olarak her n inci ışını alınarak oluşturulan iç teğet çemberlerin yarıçapları  için bir ifade elde ederiz;

Ayrıca bakınız 
 Hiperbolik fonksiyon
 Çember içindeki çokgenler için Japon teoremi
 Kirişler dörtgeni için Japon teoremi
 Çemberlere teğet doğrular

Kaynakça 
 Cut-the-knot'da Eş iç teğet çember teoremi 
 J. Tabov. Beş daire teoremi üzerine bir not. Matematik Dergisi, 63 (1989), 2, ss. 92–94.

Dış bağlantılar
 Equal Incircles along a Line @ Wolfram Demonstrations Project 
 Equal Incircles Theorem @ gogeometry

Konuyla ilgili yayınlar 
 Drei, Angela. (2011). Equal Incircles Theorem, Angela Drei's Proof.
 Jean-Louis AYME, (2011), Equal Incircles Theorem, First Synthetic Proof or More on Incircles - A New Adventure, Makale 

Öklid geometrisi teoremleri
Öklid geometrisi