Brune teoremi

Brune teoremi, bir orta düzey Prusya memuru olan muhasebeci Ernst Wilhelm Brune (1790?-1860?) tarafından bulunan ve 1841 yılında Berlin'de yayınlanan, dörtgenlerle ilgili bir temel geometri teoremidir. Teorem, Öklid düzleminde bir dışbükey dörtgeninin yapıcı bir şekilde aynı alana sahip dört kısmi dörtgene nasıl bölünebileceği problemini ele alır ve yanıtlar.

Teoremin formülasyonu 
Teorem şu şekilde formüle edilebilir:

 Öklid düzleminde keyfi bir  dışbükey dörtgeni verilir.  ve ,  ve  köşegenleri üzerinde yer alan iki orta noktadır.

  ve  noktalarından diğer köşegene paralel çizilir,  noktası iki köşegen merkezinden çizilen doğruların kesişme noktasıdır.  noktasının 'de olması durumunda  bir paralelkenardır.

 Sonra:
  noktası, dörtgenin dört kenarının orta noktaları ile birleştirilirse,  dörtgeni, her biri  dörtgeninin  alanına sahip olan dört alt dörtgene bölünmüş olur.

İspat

 herhangi bir düzensiz dörtgen ve  ise bu dörtgenin kenarlarının orta noktaları olsun. Öyle bir  noktası vardır ki;

'nın sırasıyla  koordinatlarına sahip olduğunu varsayalım. Sonra,

,
,
,
.

Aşağıdaki ifade kolayca görülebilir:

,

bu nedenle 'nin iki bileşenini belirlemek için tam olarak iki doğrusal denklem vardır;

,

Ve denklemler aşağıdaki şekilde yazılabilir;

,

Bu, aşağıdaki ifadeye eşittir:

'nin geometrik tanımı şimdi açık olmalıdır:  noktası, köşegenlerin kesişme noktasının (), köşelerin ağırlık merkezi 'ye göre yansımasıdır/simetrisidir.

Kaynakça

Notlar

Konuyla ilgili yayınlar 
 Wetzel, John E. "Squares in triangles." The Mathematical Gazette 86.505 (2002): ss. 28-34.

Öklid geometrisi teoremleri
Alan
Dörtgenler
Kanıt içeren maddeler