పరిపూర్ణసంఖ్య

ఒక ధన పూర్ణాంక సంఖ్య యొక్క ధన కారణాంకాల మొత్తం (ఆ సంఖ్య కాకుండా) ఆ సంఖ్యకు సమానమైతే, ఆ సంఖ్యను పరిపూర్ణ సంఖ్య అంటారు. ఉదాహరణకు 6 అనే సంఖ్య కారణాంకాలు 1,2,3,6. వీటిలో 6 ను మినహాయించి మిగతావాటిని కూడితే 6 అవుతుంది. అంచేత 6 పరిపూర్ణ సంఖ్య. 

దీన్నే మరో రకంగా చెప్పాలంటే, ఒక ధన పూర్ణాంక సంఖ్య యొక్క ధన కారణాంకాల మొత్తం (ఆ సంఖ్యతో కూడా కలిపి) ఆ సంఖ్య కన్నా రెట్టింపు అయితే, ఆ సంఖ్యను పరిపూర్ణ సంఖ్య అంటారు. ఉదాహరణకు  6 అనే సంఖ్య కారణాంకాలు 1,2,3,6. వీటన్నిటినీ, 6 తో సహా, కూడితే 12 (6 కు రెట్టింపు) అవుతుంది. అంచేత 6 పరిపూర్ణ సంఖ్య.

ఉదాహరణలు
 6 = 1 + 2 + 3, 
 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14, 
 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 
 8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064
 ఇక్కడ ఒకవిషయం గమనించాలి. పైన చెప్పిన ఉదాహరణలు అన్నీ సరి సంఖ్యలే. ఒక పరిపూర్ణ సంఖ్య సరిసంఖ్య అయితే దానిని సరి పరిపూర్ణ సంఖ్య అంటారు; అది బేసి సంఖ్య అయితే, దానిని బేసి పరిపూర్ణ సంఖ్య అంటారు. పైన చెప్పిన ఉదాహరణలు అన్నీ సరి పరిపూర్ణ సంఖ్యలే.

చరిత్ర
పై నాలుగు పరిపూర్ణ సంఖ్యలు మొట్టమొదట గ్రీకు గణిత శాస్త్రములో వాడబడినవి. గ్రీకు గణిత శాస్త్రవేత్త అయిన నికోమకస్ 8128 అనే సంఖ్యను క్రీ.పూ 100 లో పరిపూర్ణ సంఖ్యగా గుర్తించాడు.1456 - 1461 ల మధ్య ఒక అజ్ఞాత గణిత శాస్త్రవేత్త యొక్క రచనలను బట్టి ఐదవ పరిపూర్ణ సంఖ్యగా 33,550,336 ను గుర్తించారు. 1588 లో ఇటలీ గణిత శాస్త్రవేత్త అయిన పీట్రో కటాల్డి ఆరవ పరిపూర్ణ సంఖ్య (8,589,869,056) ను గుర్తించాడు.ఏడవ పరిపూర్ణ సంఖ్య (137,438,691,328).

సరి పరిపూర్ణ సంఖ్యలు
యూక్లిడ్ అనే గణిత శాస్త్రవేత్త, p ప్రధాన సంఖ్య, 2p-1 కూడా ఒక ప్రధాన సంఖ్య అయినపుడు 2p-1 (2p-1) అనునది ఒక సరి పరిపూర్ణ సంఖ్య అవుతుందని నిరూపించాడు (యూక్లిడ్, Prop. IX.36). ఉదాహరణకు మొదటి సరి పరిపూర్ణ సంఖ్యలను యూక్లిడ్ సూత్రం ప్రకారం చూడవచ్చు
 p = 2అయితే:   21(22-1) = 6
p = 3 అయితే:   22(23-1) = 28
 p = 5 అయితే:   24(25-1) = 496
 p = 7అయితే:   26(27-1) = 8128.
 2p-1 ఒక ప్రధాన సంఖ్య, p ఒక ప్రధాన సంఖ్య అయినపుడు మాత్రమే, 2p-1 (2p-1) పరిపూర్ణ సంఖ్య అవుతుంది. 17 వ శతాబ్దంలో మారిన్ మెర్సెన్నె అనే గణిత శాస్త్రవేత్త, 2p-1 రూపములో గలవన్నీ ప్రధాన సంఖ్యలు కావని నిర్ధారించాడు. ఉదాహరణకు 211-1 = 2047 = 23 × 89, కనుక ప్రధాన సంఖ్య కాదు.

మెర్సెన్నె ప్రధానాంకములు
n ధన పూర్ణాంకమైతే 2n-1 ను మెర్సెన్నె సంఖ్య అంటారు; దీనిని Mnతో సూచిస్తారు. n సంయుక్త సంఖ్య అయితే Mn సంయుక్త సంఖ్య. Mn ప్రధానాంకము అయితే, దానిని మెర్సెన్నె ప్రధానాంకము అంటారు. M2, M3, M5, M7లు మెర్సెన్నె ప్రధానాంకాలు, అవి వరుసగా, 3, 7, 31, 127 కనుక. M11 ప్రధానాంకము కాదని గమనించాము. కనుక, p ప్రధానాంకము అయినంతమాత్రాన, Mp మెర్సెన్నె ప్రధానాంకము కానక్కరలేదు. Mp ప్రధానాంకమైతే, Mp 2p-1 = Mp ( (Mp + 1) /2 ) సరి పరిపూర్ణ సంఖ్య. అందువలన, సరి పరిపూర్ణ సంఖ్యలకు, మెర్సెన్నె ప్రధానాంకాలకు అవినాభావ సంబంధము ఉంది.
ఇప్పటి వరకు ( 2013 మే 1 నాటికి) తెలిసిన మెర్సెన్నె ప్రధానాంకములు 48 మాత్రమే. అందులో అతి పెద్దది, p = 57885161 అయినప్పుడు వచ్చే Mp, అంటే M57885161. ఇప్పటివరకు ( 2013 మే 1 వరకు) తెలిసిన ప్రధానాంకాలలో కూడా ఇదే పెద్దది.

శేష ప్రశ్న
మెర్సెన్నె ప్రధానాంకాల సంఖ్య పరిమితమా? అపరిమితమా? అనేది సమాధానం తెలియని శేష ప్రశ్న. కాని, ప్రధానాంకాల సంఖ్య సంఖ్య మాత్రం అపరిమితము అని తెలుసు.

బేసి పరిపూర్ణ సంఖ్యలు
పైన చెప్పిన ఉదాహరణలన్నీ సరి పరిపూర్ణ సంఖ్యలే. కనుక బేసి పరిపూర్ణ సంఖ్యలకు ఉదాహరణల కోసం చూడటం సహజమే. కాని, దురదృష్టవశాత్తు, బేసి పరిపూర్ణ సంఖ్య ఒక్కటి కూడా ఇప్పటి వరకు దొరకలేదు. "బేసి పరిపూర్ణ సంఖ్యలు ఉంటాయా?" అనేది, సంఖ్యా వాదములో ఇప్పటి వరకు, సమాధానము తెలియని ప్రశ్న.

మూలాలు

గణిత శాస్త్రము
సంఖ్యలు