కలన గణితము

కలన గణితం (లాటిన్ calculus, అక్షరాలా 'చిన్న గులకరాయి', అబాకస్ మీద గణన, లెక్కల కోసం ఉపయోగించబడేది) అనేది నిరంతర మార్పు యొక్క ఒక గణిత అధ్యయనం. ఎలాగైతే రేఖాగణితము ఆకారం యొక్క అధ్యయనమూ, బీజగణితం అంకగణిత కార్యకలాపాల సాధారణీకరణ అధ్యయనమో, అలా. అందులో రెండు ముఖ్య శాఖలు గలవు, భేదాత్మక లేక విదిశా కలన గణితము (వక్రాల యొక్క వాలు, మార్పుల యొక్క వేగానికి సంబంధించినది), సమగ్రాత్మక లేక సదిశా కలన గణితము (పరిమాణాల యొక్క పోగు, వక్రాల మధ్య/క్రింద వైశాల్యములకి సంబంధించినది). ఈ రెండు శాఖలు ఒకదానికి ఒకటి కలన గణిత ప్రాథమిక సిద్ధంతముతో[ఫండమెంటల్ థియరం ఆఫ్ కాల్కులస్] సంబంధితమై ఉన్నాయి. ఈ రెండు శాఖలూ కుడా అనంత సన్నివేశాల కలయిక[కన్వర్జన్స్ ఆఫ్ ఇంఫైనైట్ సీక్వెంసెస్] మరియు అనంత శ్రేణులు బాగా నిర్వచించబడిన పరిమితుల[ఇంఫైనైట్ సిరీస్ టు ఏ వెల్ల్-డిఫైనడ్ లిమిట్] మూలాలని వాడుకుంటాయి. సాధారణముగా, 17వ శతాబ్దిలో ఐజాక్ న్యూటన్, గొట్ట్ఫ్రేడ్ విల్హెమ్ లైబ్నిజ్ ఆధునిక కలన గణితాన్ని అభివృద్ధి చేసారు అని భావిస్తారు. ఇటీవల, కలన గణితముకి విజ్ఞానము, ఇంజనీరింగు, ఆర్థికశాస్త్రములోన విస్తృత ఉపయోగాలు ఉన్నాయి.

ఆధునిక గణిత విద్యలో కలన గణితం ఒక విభాగము. కలన గణితములోని ఒక పాఠ్యాంశము ధర్మములు, పరిమితుల యొక్క అధ్యాయనానికి అంకితము చేసిన గణిత శాస్త్ర గణిత విశ్లేషణ[మ్యతమ్యాటికల్ ఎనాలసిస్] లాంటి ఇతర ఉన్నతస్థాయి పాఠ్యాంశాలకి ఒక ప్రవేశ ద్వారము. చారిత్రికముగా కలన గణితముని "అతిసుక్షమైన వాటి కలన గణితము"[కాల్కులస్ ఆఫ్ ఇన్ఫినిటెసిమల్స్] అని అంటూ ఉండేవారు. కాల్కులస్[కలన గణితము] అనే పదాన్ని వేరే నిర్దిష్ట గణన పద్ధతుల నామకరణానికి వాడుతారు, ఉపపాదన కలన గణితం[ప్రపోసిషనల్ కాల్కులస్], రిచ్చి కలన గణితం[రిచ్చి కాల్కులస్], కలన గణిత వైవిధ్యాలు[కాల్కులస్ ఆఫ్ వేరియెషస్న్], లాంబ్డా కలన గణితం[లాంబ్డా కాల్కులస్], ప్రక్రియ కలన గణితం[ప్రాసెస్స్ కాల్కులస్].

చరిత్ర 
ఆధునిక కలన గణితాన్ని 17వ శతాబ్దిలో ఐరొపాలోని ఐజాక్ న్యూటన్, గొట్ట్ఫ్రేడ్ విల్హెమ్ లైబ్నిజ్ (విడివిడిగా ఒకే సమయములో) అభివౄద్ధి చేశారు, కాని కలన గణిత అంశాలు ప్రాచీన ఈజిప్ట్, గ్రీస్, మధ్యయుగ చైనా, మధ్యప్రాచ్య ప్రాంతలలో, భారత దేశాలలో కనిపించాయి.

ప్రాచీనము 
ప్రాచీన కాలములో సమగ్రాత్మక కలన గణితము లెక సదిశా కలన గణితముకి దారి తీసిన కొన్ని ఆలోచనలు ప్రవేశ పెట్టారు, కాని ఆ ఆలోచనలు ఒక కఠినమైన, క్రమమైన విధముగా అభివౄద్ధి పరచలేదు. ఒక సమగ్రాత్మక కలన గణిత లక్ష్యం, వైశాల్యము, పరిమాణము యొక్క లెక్కింపు విధానము, ఈజిప్టు మాస్కవు బెరడు (13వ రాజవంశం, కి. పూ. 1820) లో కనుగొనవచ్చు, కాని ఆ సూత్రాలు పద్ధతి కనబరచకుండా చాలా తేలిక సూచనలతో కొన్ని కీలక భాగాల లోపాలతో ఉన్నాయి. గ్రీకు గణిత యుగము నుంచి, యూడాక్సిస్[Eudoxus] (కి. పూ. 408 - కి. పూ. 355) అలసట పద్ధతి[మెథడ్ ఆఫ్ ఎక్సాస్ష్న్] వాడారు, అది పరిమితి భావనని సూచించగలిగేదిగా మనకి ఇప్పుడు తెలిస్తుంది. దీనితో, వైశాల్యము, పరిమాణములను లెక్కించవచ్చును. అయితే ఆర్కిమెడీస్ (కి. పూ. 287 - కి. పూ. 212) ఈ ఆలోచనని మరింత అభివౄద్ధి చేసారు, సమగ్రాత్మక కలన గణిత పద్ధతులను పోలిన చేతి లెక్కలతో. ఈ అలసట పద్ధతిని తరువాతి కాలములో స్వాతంత్ర్యముగా చైనాలోని లూ హ్వే[Liu Hui] కి. శ. 3వ శతాబ్దములో ఒక వృత్తం యొక్క వైశాల్యము శోదించడానికి కనుగొన్నారు. కి. శ. 5వ శతాబ్దములో, జూ చాంచి[Zu Chongzhi] యొక్క పుత్రుడు జూ గంచి[Zu Gengzhi], ఒక గోళం యొక్క పరిమాణము కనుగొనడానికి కావలిసిన పద్ధతిని స్థాపించారు, తదుపరి కాలములో అదే కావెలెరీ సూత్రం అనబడుతుంది.

మధ్యయుగము 
మధ్యప్రాచ్య ప్రాంతలలో, ఆల్హాజెన్ (కి. శ. 965 - కి. శ. 1040) నాల్గవ శక్తుల మొత్తము కొరకై సూత్రమును రూపొందించారు. ఆయన ఆ ఫలితాలతో ఇప్పుడు ధర్మమును సమగ్రీకరించబడడమని పిలవబడే దానిని చేపట్టారు. అందులో, సమగ్రాత్మక వర్గాలు, నాలుగవ శక్తుల మొత్తముల సూత్రాలు ఆయనని పారాబోలాయిడ్ యొక్క పరిమాణమును లెక్కించేందుకు సహకరించాయి. కి. శ. 14వ శతాబ్దిలో, భారత గణిత శాస్త్రవేత్తలు ఒక కఠినము కాని పద్ధతిని ఇచ్చారు, అది భేదాత్మక లేక విదిశా కలన గణితముని పోలి త్రికోణమితి ధర్మములకి అనువర్తింపదగినవి. సంగమగ్రామ మాధవుడు, కేరళ ఖగోళ, గణితం పాఠశాల కలన గణిత భాగాలు తద్వారా పేర్కొన్నారు. ప్రస్తుత పాశ్చాత్య ప్రపంచానికి టైలర్ శ్రేణులు లేక అనంత శ్రేణుల అంచనాలుగా సుపరిచితమైనవి ఆ కలన గణిత భాగాలని ఆవరించి ఉన్న సంపూర్ణ సిద్ధాంతము. అయితే, వారు ఉన్న రెండు విభిన్న విభాగాలని కలపలేక, వాతి మధ్య సంబంధం చూపించలేక ప్రస్తుత కాలపు ఘన సమస్య పూరణ సాధనముగా చెయ్యలేకపోయారు.

గణిత శాస్త్రము