కవల ప్రధాన సంఖ్యలు

కవల ప్రధాన సంఖ్య వేరొక ప్రధాన సంఖ్య కంటే 2 ఎక్కువగాని, 2 తక్కువ గాని ఉండే ప్రధాన సంఖ్య. ఉధాహరణకు (41, 43) కవల ప్రధన సంఖ్య జతలో ప్రతీ సంఖ్య కవల ప్రధాన సంఖ్య.  రెండు వరుస ప్రధాన సంఖ్య ల భేదం 2 అయిన ఆ సంఖ్యలను కవల ప్రధాన సంఖ్యలు అంటారు. వీటికి మరొక పేరు ప్రధాన కవల లేదా ప్రధాన జత. జంట ప్రధాన సంఖ్యల మధ్య దూరం మనం నిర్దేశించి చెప్పవచ్చు కాని ‘కవల’ సంఖ్యల మధ్య దూరం ఎప్పుడూ రెండే. ప్రధాన సంఖ్యా సమితిలో పెద్ద పరిధులను పరిశీలిస్తున్నప్పుడు కవల ప్రధాన సంఖ్యలు చాలా అరుదుగా వస్తాయి. ప్రక్కనే ఉన్న ప్రధాన సంఖ్యల  మధ్య అంతరాల యొక్క సాధారణ ధోరణికి అనుగుణంగా, సంఖ్యలు పెద్దవి కావడంతో అవి పెద్దవి అవుతాయి. అయినప్పటికీ, అనంతమైన కవల ప్రధాన సంఖ్యలు  ఉన్నాయా లేదా అతిపెద్ద జత ఉందా అనేది తెలియదు. 2013 లో యిటాంగ్ జాంగ్ చేసిన కృషి, అలాగే జేమ్స్ మేనార్డ్, టెరెన్స్ టావో, ఇతరులు చేసిన కృషి, అనంతమైన కవల ప్రధాన సంఖ్యలు ఉన్నాయని నిరూపించే దిశగా గణనీయమైన పురోగతి సాధించాయి, కాని ప్రస్తుతం ఇది పరిష్కరించబడలేదు.

చరిత్ర 
అనంతమైన అనేక కవల ప్రధాన సంఖ్యలు ఉన్నాయా అనే ప్రశ్న చాలా సంవత్సరాలుగా నంబార్ థియర్రీ లో గొప్ప బహిరంగ ప్రశ్నలలో ఒకటి. కవల ప్రధాన సంఖ్యా భావన ప్రకారం అనంతమైన ప్రధాన సంఖ్యలు p ఉంటే p + 2 కూడా ప్రధాన సంఖ్య అవుతుంది.1949లో "డీ పొలిగ్నక్" ఇంకా విస్తారమైన సాధారాణ భావనను కనుగొన్నాడు. దీని ప్రకారం ప్రతీ సహజ సంఖ్య  k, కు అనంతమైన ప్రధాన సంఖ్యలు p ఉంటాయి. అపుడు  p + 2k కూడా ప్రధాన సంఖ్య అవుతుంది.  

2013 ఏప్రిల్ 17న యిటాంగ్ ఝాంగ్ 70 మిలియన్ల కంటే చిన్నదిన పూర్ణాసంఖ్య N కు అనంతమైన  ప్రధాన సంఖ్య జతలు N తేడాతో ఉంటాయి అనే సూత్రాన్ని ప్ర్రకటించాడు.  2013 ప్రారంభంలో అతని పరిశోధనా పత్రాన్ని ఆన్నల్స్ ఆఫ్ మేధమెటిక్స్ అమోదించింది. తదనంతరం టెరెన్స్ టావో అనే శాస్త్రవేత్త ఝాంగ్ యొక్క సరిహద్దును తగ్గింపు చేయడానికి సహకార ప్రయత్నం చేసి పాలిమత్ ప్రాజెక్టును ప్రతిపాదించాడు.  2014 ఏప్రిల్ 14న ఒక సంవత్సరం అనంతరం ఝాంగ్  అవధి 246కు తగ్గించబడినది. తరువాత ఎల్లియట్-హల్బెర్‌స్టాం భావన సాధారణీకరించబడి పాలీమట్ ప్రాజెక్టు ద్వారా ఈ అవధి 12కు తరువాత 6కు తగ్గించబడినది.

ధర్మాలు 
సాధారణంగా  (2, 3) జంట కవల ప్రధాన సంఖ్యా జత కాదు.  2 మాత్రమే సరి ప్రధాన సంఖ్య. ఒకటి భేదంగా గల ప్రధాన సంఖ్యల జతలలో (2,3) మాత్రమే ఉన్నది. 

మొదటి కవల ప్రధాన సంఖ్యల జతలు: 

 (3,  5), (5,  7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73),  (101, 103), (107, 109), (137, 139), … .

రెండు కవల ప్రధాన సంఖ్యల జతలలో ఉండే ఏకైక సంఖ్య 5.

 తప్పా  ప్రతీ కవల ప్రధాన సంఖ్యల జత  రూపంలో ఉంటుంది. ఇందులొ n సంఖ్య. రెండు ప్రధాన సంఖ్యల మధ్య ఉన్న సంఖ్య 6 కు గుణకంగా ఉంటుంది. దీని ప్రకారం రెండు కవల ప్రధానసంఖ్యల జతలో సంఖ్యల మొత్తం (3,5 తప్ప)  12 చే భాగింపబడుతుంది.

పెద్ద కవల ప్రధానసంఖ్యలు 
2007 ప్రారంభంలో ట్విన్ ప్రైమ్‌ సెర్చ్, ప్రైమ్‌ గోల్డ్ అనే రెండు గణన ప్రాజెక్టులు అనేక రికార్డు స్థాయిలో కవల ప్రధాన సంఖ్యలను తయారు చేసాయి. సెప్టెంబరు 2018 నాటికి అతిపెద్ద కవల ప్రధాన సంఖ్యల జత 2996863034895 · 21290000 ± 1 ను కనుగొన్నారు. దీనిలో 388,342 దశాంశ స్థానాలున్నాయి. ఇది సెప్టెంబరు 2016న కనుగొనబడింది. 

1018  కన్నా తక్కువైన కవల ప్రధాన సంఖ్యలు 808,675,888,577,436.

ఇతర పఠనాలు

బయటి లంకెలు 

 Top-20 Twin Primes at Chris Caldwell's Prime Pages
 Xavier Gourdon, Pascal Sebah: Introduction to Twin Primes and Brun's Constant
 "Official press release" of 58711-digit twin prime record
 
 The 20 000 first twin primes
 Polymath: Bounded gaps between primes
 Sudden Progress on Prime Number Problem Has Mathematicians Buzzing

మూలాలు 

గణిత శాస్త్రము