多項分布

多項分布（たこうぶんぷ、）は、確率論において二項分布を一般化した確率分布である。

二項分布は、 個の独立なベルヌーイ試行の「成功」の数の確率分布であり、各試行の「成功」確率は同じである。多項分布では、各試行の結果は固定の有限個（ 個）の値をとり、それぞれの値をとる確率は （すなわち、 について  であり、 が成り立つ）であり、 回の独立した試行が行われる。確率変数  は  回の試行で  という数が出る回数を示す。 は  と  をパラメータとする多項分布に従う。

確率質量関数 
多項分布の確率質量関数は次の通りである。

ここで、 は負でない整数である。

属性 
期待値は次の通り。

共分散行列は次の通りである。対角線上のエントリは二項分布確率変数の分散であるから、次のようになる。

対角線以外のエントリは共分散であり、次のようになる。

ここで、 である。

共分散は全体として負となる。なぜなら、 が固定であるとき多項ベクトルで1つが増加すると他が減少するためである。

これは、 の非負値定符号行列であり、行列の階数は  である。

対応する相関行列の対角線以外のエントリは以下のようになる。

この表現では標本サイズ  が出現しない点に注意されたい。

個の要素それぞれは  と （ 番目の要素に対応する確率）をパラメータとする二項分布となる。

多項分布のサポートは集合  である。その要素数は  である（重複組合せ）。

関連する分布 
  の多項分布を二項分布と呼ぶ。
 ベイズ統計での多項の共役事前分布をディリクレ分布と呼ぶ。

関連項目 
 多項定理
 壺問題

外部リンク 
 
 Discrete Probability Distribution - Multinomial Distribution

確率分布
組合せ論
数学に関する記事