Մնացորդով բաժանում

Մնացորդով բաժանում, թվաբանության, թվերի տեսության, հանրահաշվում և կրիպտոգրաֆիայում կարևոր դեր ունեցող թվաբանական գործողություն։ Հաճախ այս գործողությունը՝ ամբողջ և բնական թվերի համար, հետևյալ կերպ է սահմանվում․

Դիցուք,  և  -ն ամբողջ թվեր են, ընդորում,  ։   թվի մնացորդով բաժանում («բաժանելի»)  -ի  («բաժանարար») նշանակում է գտնել ամբողջ  և  թվեր, որոնց դեպքում տեղի ունի  հավասարությունը։

Այսպիսով, մնացորդով բաժանման արդյունքը երկու ամբողջ թվեր են՝  -ն կոչվում է թերի քանորդ, իսկ -ը մնացորդ բաժանումից։ Մնացորդի պետք է բավարարի ևս մեկ պայմանի․ , այսինքն, մնացորդը պիտի լինի ոչ բացասական թիվ և բացարձակ արժեքով բաժանարարից փոքր։ Ամբողջ թվերի համար այս պայմանը միանշանակ է, այսինքն, վերը նշված պայմանների դեպքում գոյություն ունի  հավասարման միակ լուծում։ Մնացորդի 0-ի հավասար լինելու դեպքում ասում են, որ թվերը ամբողջությամբ բաժանվում են։

Օրինակ
 Դրական  թվի և  -ի մնացորդով բաժանման դեպքում, կստանանք  թերի քանորդ և  մնացորդ։
 Ստուգում․ 
Բաժանում
 Բացասական  թվի և դրական  -ի մնացորդով բաժանման ժամանակ, կստանանք   թերի քանորդ  և   մնացորդ։
 Ստուգում․ 
 Բացասական   թվի և բացասական  -ի մնացորդով բաժանման ժամանակ, կստանանք   թերի քանորդ  և   մնաց
 Ստուգում․ 
 Դրական  թվի և  մնացորդով բաժանման ժամանակ կստանան   թերի քանորդ  և   մնացորդ։
 Ստուգում․ 

 թվի և   մնացորդով բաժանման դեպքում կստանանք   թերի քանորդ և   մնացորդ։

Մնացորդով բաժանում կարող է տեղի ունենալ ոչ միայն ամբողջ թվերի այլ նաև ուրիշ մաթեմատիկական օբյեկտների միջև (օրինակ բազմանդամների)։

Սահմանում 
Չխախտելով ամբողջ թվերի սահմանը, ստիպված ենք տարբերակել մնացորդով և ամբողջական բաժանումները, քանի որ զրո մնացորդը չի համարվում բնական թիվ, բացի այդ, թերի քանորդը, երբ բաժանվում է փոքր թիվը մեծ թվի վրա՝ պետք է հավասարվի զրոյի, ինչը դուրս է գալիս բնական թվերի սահմանից։ Նման արհեստական սահմանափակումները բարդացնում են սահմանումները, դրա համար կամ օգտագործվում է ընդլայնված բնական թվերի շարքը՝ զրոյի հետ միասին, կամ տեսությունը ձևակերպում է միանգամից ամբողջ թվերի համար։

 և  թվերի բաժանումից առաջացած թերի քանորդը գտնելու համար, անհրաժեշտ է սովորական ձևով բաժանել -ն -ին և կլորացնել արդյունքը մինչև մոտակա ամբողջ թիվը՝ փոքրի ուղղությամբ։
 երբ  .
որտեղ կիսափակագծերը  նշանակում են ամբողջ մասի առանձնացում։ Թերի քանորդի  արժեքը հաշվելը թույլ է տալիս հաշվել  մնացորդը հետևյալ բանաձևով։ 

Բացասական բաժանարարի դեպքում անհրաժեշտ է ամբողջը կլորացնել մեծի ուղղությամբ։
  երբ  .

«mod» օպերացիան և կապը համեմատությունների հետ 
Մնացորդի մեծությունը կարող է ստացվել բինար գործողությամբ՝ -ի և -ի քանորդից մնացորդի վերցմամբ, որը նշանակվում է որպես   
 
Հարկ է չշփոթել այդ նշանակումը բացարձակ արժեքի համեմատության  նշանակման հետ։ -ի համար բանաձևը բերում է համեմատության կատարմանը։
 
Այդ համեմատությունը չի ենթադրում  անհավասարման տեղի ունենալու անհրաժեշտությունը,որի դեպքում  լինի մնացորդ։

Ծրագրավորման մեջ 

Բաժանման մնացորդի գտնելը հաճախ օգտագործվում է համակարգչային տեխնիկայում և հեռուստատեսային սարքավորումներում՝ ստուգիչ թվերի և սահմանափակ միջակայքերում պատահական թվերի ստացման համար։

Տարբեր ծրագրավորման լեզուներով մնացորդի վերցնելը տրված է աղյուսակում։ Օրինակ Պասկալով modգործողությունը հաշվում է բաժանման մնացորդը, իսկdiv-ը կատարում է ամբողջական բաժանում, որի ժամանակ մնացորդը անտեսվում է 
78 mod 33 = 12
78 div 33 = 2

Ընդհանրացում

Իրական թվեր 
Եթե  և  երկու թվեր պատկանում են իրական թվերի բազմությանը  և հավասար չեն զրոյի, ապա -ն  կարելի է բաժանել -ի առանց մնացորդի, ընդ որում քանորդը իրականթիվ է։ Եթե ըստ պայմանի քանորդը պիտի լինի ամբողջ թիվ, ապա մնացորդը կլինիիրական թիվ,այսինքն կրող է լինել կոտորակային։

Ձևաբանորեն․ եթե  , ապա , որտեղ  .

 Օրինակ
7,9 -ը  2,1-ի մնացորդով բաժանման դեպքում ․
  (թերի քանորդ)․
  (մնացորդ)։

Գաուսի ամբողջ թվեր 
Գաուսյան թիվը, դա  տեսքի կոմպլեքս թիվ է, որտեղ a-ն և b-ն ամբողջ թվեր են և դրանց համար կարելի է սահմանել մնացորդով բաժանում։

Ցանկացած  գաուսի թիվ կարելի է բաժանել զրոյից տարբեր  թվի վրա, այսինքն ներկայացնել հետևյալ տեսքով․
 ,
որտեղ  քանորդը և   մնացորդը գաուսյան թվեր են, ընդ որում 

Սակայն, ի տարբերություն ամբողջ թվերի, մնացորդը որոշվումը ոչ միանշանակ է։

Օրինակ․  կարելի է բաժանել  ՝ երեք եղանակով։

Բազմանդամներ 
Երկու  և   բազմանդամները մնացորդով բաժանելու համար պայման է ներմուծվում․

Մնացորդ բազմանդամի աստիճանը պիտի շատ անգամ փոքր լինի բաժանարարի աստիճանից։
, причём .

 Օրինակ
 (մնացորդ 3), քանի որ .

Տես նաև 
 Էվկլիդեսի ալգորիթմ
 Բաժանելիություն
 Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար
 Անընդհատ կոտորակ
 Մոդուլով համեմատում

Ծանոթագրություն 

Բաժանում
Թվաբանություն