Գամմա ֆունկցիա

Գամմա-ֆունկցիա-մաթեմատիկական ֆունկցիա է,սովորաբար նշանակվում է : Ներմուծվել է Լեոնարդ Էյլերի կողմից, իսկ իր գամմա-ֆունկցիայի նշանակությամբ պարտական ենք Ադրիեն-Մարի Լեժանդրին։

Գամմա-ֆունկցիան չափազանց մեծ կիրառություն ունի գիտության մեջ։ Հիմնական լայն կիրառության ոլորտներն են մաթեմատիկական անալիզ,հավանականությունների տեսություն, կոմբինատորիկա, վիճակագրություն, ատոմային ֆիզիկա, աստղաֆիզիկա, հիդրոդինամիկա, երկրաշարժագիտություն և տնտեսություն։ Մասնավորապես, գամմա-ֆունկցիան կիրառվում է ֆակտորիալ հասկացությունն ընդհանրացնելու իրական թվեր և կոմպլեքս թվեր փաստարկային արժեքների հետ։

Սահմանումներ

Ինտեգրալի սահմանումը 
Եթե կոմպլեքս  թվի իրական մասը  դրական է, ապա գամմա-ֆունկցիան որոշվում է բացարձակ համընկնող ինտեգրալի միջոցով։
 
Այս սահմանումը Լեժանդրը ստացել է Էյլերի սահմանումի բնօրինակից (1730 թվական)։
 
 փոփոխականի փոխարինման միջոցով, և մինչև օրս հենց Լեժանդրի այս սահմանումն է հայտնի որպես գամմա-ֆունկցիայի դասական սահմանում։  Դասական սահմանման կտորը մաս առ մաս ինտեգրելով ՝ կարելի է հեշտությամբ տեսնել, որ .
Գամմա ֆունկցիայի արժեքների մոտավոր հաշվարկի համար ավելի հարմար է երրորդ բանաձևը, որը նույնպես ստացել ենք Էյուլերի սահմանումից ՝ կիրառելով հետևյալ  հավասարությունը  և փոխելով փոփոխականը : 
 .
Այս բանաձևի ինտեգրալը համընկնում է -ի դեպքում, չնայած այն սովորաբար օգտագործվում է դրական իրական արժեքների արգումենտի համար 
(նախընտրելի արժեքները 1-ին մոտ են)։ Իրական  արժեքների դեպքում ինտեգրվելի ֆունկցիան ունի եզակի հատուկ կետ`  հատում առաջացնող, և եթե վերափոխեք այն այս պահին  արժեքով, ապա կդառնա անընդհատ  ամբողջ հատվածում:Այսպիսով, ինտեգրալը հանդիսանում է  սեփական, ինչը պարզեցնում է թվային ինտեգրումը։ 
Գոյություն ունի բնօրինակ բանաձևի ուղղակի վերլուծական շարունակություն ամբողջ կոմպլեքս հարթության վրա, բացառությամբ ամբողջ թվերի, որը կոչվում է Ռիման-Հանկելի ինտեգրալ։
 
Այստեղ  եզրագիծը կոմպլեքս հարթության ցանկացած եզրագիծ է, շրջանցելով ժամսլաքի հակառակ ուղղությամբ  կետը, որը ձգտում է դրական իրական առանցքի երկայնքով դեպի անվերջություն։
Հետևյալ արտահայտությունները ծառայում են որպես գամմա ֆունկցիայի այլընտրանքային սահմանումներ։

Սահմանում ըստ Գաուսի 
Այն ճիշտ է բոլոր կոմպլեքս -ի, բացառությամբ 0 և ամբողջ բացասական թվերի համար.

Սահմանում ըստ Էյլերի

Սահմանում ըստ Վայերշտրասի 
 
որտեղ  — Էյլեր-Մասկերոնի հաստատուն.

Նշում։ Երբեմն օգտագործվում է այլընտրանքային Պի-ֆունկցիա, որը հանդիսանում է ֆակտորիալի ընդհանրացում և կապված է գամմա-ֆունկցիայի   հարաբերակցության հետ:Հենց այս ֆունկցիայից (ոչ թե գամա-ֆունկցիայի) օգտվեց Գաուսը, Ռիմանը և XIX դարի գերմանացի շատ մաթեմատիկներ։

Հատկություններ 

Եթե  — ամբողջ ոչ բացասական թիվ է,
  .
Գամմա ֆունկցիայի հիմնական հատկությունը դա նրա ռեկուրենտ հավասարումն է
 
որը ըստ ֆիքսված սկզբնական պայմանի համաձայն միակ ձևով որոշում է լոգարիթմական ուռուցիկ լուծումը, այսինքն հենց ինքը` գամմա-ֆունկցիան (միակության թեորեմ).
Գամմա-ֆունկցիայի համար արդարացի է Էյլերի բանաձևի լրացումը
 .
Արդարացի է նաև և Գաուսի բազմապատկման բանաձևը
 
Այս բանաձևի մասնակի դեպքը, երբ n=2 գրվել է Լեժանդրի կողմից 
 
Գամմա-ֆունկցիան չունի զրոներ ամբողջ կոմպլեքս հարթության վրա։  հանդիսանում է մերոմորֆ կոմպլեքս հարթությունում և  հասարակ առավելություն ունեցող  կետերում։
Գամմա-ֆունկցիան ունի առաջին կարգի բևեռ  -ում ցանկացած բնական -ի և զրոի համար, մնացքը այդ կետում տրվում է այսպես
 .
Օգտակար հատկություն, որը կարելի է ստանալ վերջնական սահմանումից.
 .
Գամմա-ֆունկցիան դիֆերենցելի է անվերջ անգամ, և , որտեղ , հաճախ անվանում են «փսի-ֆունկցիա» կամ դիգամա-ֆունկցիա։ Գամմա-ֆունկցիան և բետա-ֆունկցիա կապված են հետևյալ հարաբերակցությամբ.
 .

Գամմա-ֆունկցիայի լոգարիթմ 
Մի շարք պատճառներով, գամմա ֆունկցիայի հետ մեկտեղ հաճախ դիտարկվում է և գամմա-ֆունկցիայի լոգարիթմը` սկզբնական դիգամա-ֆունկցիայի։ Դրա համար արդարացի են հետևյալ ինտեգրալ արտահայտությունները`
 
և
 
Ժակ Բինեի տվյալները 1839-ը թվականին(այս բանաձևերը հաճախ կոչվում են նաև առաջին և երկրորդ Բինեի բանաձևեր համապատասխանաբար գամմա ֆունկցիայի լոգարիթմի համար)։ Մի քանի լավագույն ինտեգրալի բանաձևեր լոգարիթմի համար կան նաև Մալմստենի աշխատանքներում, Լերխի և մի այլոնց։ Այսպես Մալմստենը ստացավ բանաձև, որը նման էր Ժակ Բինեի առաջին բանաձևին
 
Իսկ Լերխը ցույց տվեց, որ հետևյալ տեսքի բոլոր ինտեգրալները 
 
նույնպես բերվում են դեպի գամմա-ֆունկցիայի լոգարիթմները։ Մասնավորապես բանաձևը, որը նման է Բինեի երկրորդ բանաձևին «կապված» հայտարարով, ունի հետևյալ տեսքը`
 
 (նայել վարժ. 40-ը-ում)
Բացի այդ, Մալմստենը նույնպես ստացավ ինտեգրալ բանաձևերի շարք գամմա-ֆունկցիայի լոգարիթմի համար, պարունակող լոգարիթմով հիպերբոլիկ ֆունկցիաներ ինտեգրալի նշանի տակ։ Մասնավորապես`
 
 (նայել վարժ.2, 29-հ, 30 -ում)
Յարոսլավ Բլագուշինը ցույց տվեց, որ ռացիոնալ արգումենտով , որտեղ  և  ամբողջ դրական թվեր են, այնպիսին, որ -ն չի գերազանցում -ը, ճիշտ է հետևյալ արտահայտությունը  
 
 
 (նայել հավելված C, а также упр. 60 и 58-ում)
Ավելին, և առավել ընդհանուր դեպքում ինտեգրալները, որոնք պարունակում են հիպերբոլական ֆունկցիաներ լոգարիթմով (կամ արգտանգենսով) ինտեգրալի նշանի տակ, հաճախ բերվում է գամմա-ֆունկցիայի լոգարիթմին և իր ածանցյալին, այդ թվում նաև կոմպլեքս արգումենտով, նայել օրինակ վարժ. 4-b, 7-а и 13-b в-ում։
Գամմա-ֆունկցիայի լոգարիթմը ամուր կապված է նաև անալիտիկ շարունակությանը ընդհանրացված զետա-ֆունկցիայի։ 
 
Այս կարևոր փոխհարաբերություններ, ներմուծված Լերխի կողմից, թույլ է տալիս ստանալ մեծ քանակությամբ ինտեգրալի ներկայացում գամմա-ֆունկցիայի լոգարիթմի համար ընդհանրացված զետա-ֆունկցիայի հայտնի բանաձևերի միջոցով։
Ֆուրիեի շարքը գամմա-ֆունկցիայի լոգարիթմների համար ունի հետևյալ տեսքը` 
 
Այս բանաձևը հաճախ վերագրվում է Էռնստ Կումմերին, որը դուրս է բերել 1847 թվականին (հեղինակավոր գրականությունում  այս շարքը կոչվում է Կումմերի շարք գամմա-ֆունկցիայի լոգարիթմի համար)։ Բայց վերջերս բացահայտվել է, որ այս բանաձևը ստացվել է դեռևս 1842 թվականին Մալմստենի կողմից 
(նայել Յարոսլավ Բլագուշին).
Ֆուրիեի շարքի դասավորումից բացի, գոյություն ունի նաև ուրիշ շարքերի դասավորություն։ Առավել հայտնիներից մեկը Ստիռլինգի շարքն է`

 
Իր ստանդարտ գրության մեջ 
 
որտեղ -ը նշանակում է Բեռնուլիի թվեր։
Ըստ գամմա-ֆունկցիայի Վայերշտրասի մեկնաբանության հետևում է ևս մեկ կարևոր շարքի ներկայացում`
 .

Մասնավոր նշանակություն 
Գամմա-ֆունկցիայի ամբողջ ու կիսաամբողջ արգումենտները արտահայտվում են տարրական ֆունկցիաների միջոցով:Մասնավորապես
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Գամմա-ֆունկցիայի արժեքները 1/4 և 1/3 կետերում հանդիսանում է մանրամասն ուսումնասիրության առարկա Էյլերի, Գաուսի և Լեժանդրի համար, սակայն նրանք չկարողացան հաշվարկել այս արժեքները փակ տեսքով։
Գոյություն ունի հետևյալ  արտահայտությունները ոչ փակ տեսքի Γ(1/4)-ի համար
 
 
 
որտեղ AGM-թվաբանական-երկրաչափական միջին, G — Կատալանի հաստատուն և A — Գլեյշեր-Կինկելինի հաստատուն։

Ընդհանրացումներ 
Դասական ինտեգրալի սահմանման մեջ գամմա-ֆունկցիայի ինտեգրալի սահմնաչափերը ֆիքսված են։ Դիտարկվում են նաև ոչ լրիվ գամմա-ֆունկցիան, 
, որոշված անալոգ ինտեգրալով` փոփոխականի վերին կամ ստորին ինտեգրման սահմանաչափով։ Տարբերվում է վերևի ոչ լրիվ գամմա-ֆունկցիան, որը հաճախ անվանում են երկու արգումենտների գամմա-ֆունկցիա`
 
և ներքևի ոչ լրիվ գամմա-ֆունկցիան, որը նշանակվում է փոքրատառ «գամմա» տառով`
 .
Երբեմն ոչ լրիվ գամմա-ֆունկցիան նշանակում են ինչպես`
 .

Դիտել նաև 
 Լեոնարդ Էյլերի պատվին անվանված օբյեկտների ցանկ
 K-ֆունկցիա
 Բարնսի G-ֆունկցիա
 Բետա ֆունկցիա
 Գամմա-բաշխում
 Թերի գամմա-ֆունկցիա

Գրականություն և հղումներ 
 Վ. Յա.Արսենին Մաթեմատիկական ֆիզիկա:հիմնական հավասարումներ և հատուկ ֆունկցիաներ,X գլուխ, էջ. 225—233. Գիտություն, Մոսկվա, 1966.
 Մ.Ա. Եվգրաֆով և այլք Անալիտիկ ֆունկցիաների թեորեաների խնդիրների ժողովածու, էջ. 307—316. Գիտություն, Մոսկվա, 1969.
 Գ.Մ.Ֆիխտենգոլց. Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվի դասընթաց (7-րդ հրատարակչություն), XIV գլուխ, էջ. 750—794. Գիտություն, Մոսկվա, 1969.
 Ա. Ի. Մարկուշեվիչ Անալիտիկ ֆունկցիայի թեորեմա (2-րդ հրատարակչություն), 2 հատոր, էջ. 303—324.Գիտություն, Մոսկվա, 1968.
 Ն. Ն. Լեբեդև Հատուկ ֆունկցիաներ և նրանց կիրառումները (2-րդ հրատարակչություն), I գլուխ, էջ. 11—27. ФМ, Մոսկվա, 1963.
 Ա. Ֆ. Նիկիֆորով և Վ. Բ. ՈւվարովՄաթեմատիկական ֆիզիկայի հատուկ ֆունկցիաները, էջ. 263—268. Գիտություն, Մոսկվա, 1978.
 R. Campbell. Les intégrales eulériennes et leurs applications, Dunod, Paris, 1966.
 M. Godefroy. La fonction Gamma; Théorie, Histoire, Bibliographie, Gauthier-Villars, Paris, 1901.
 E. Artin. Einführung in die Theorie der Gammafunktion, Teubner, Leipzig, 1931.
 N. Nielson. Handbuch der Theorie der Gammafunktion, Teubner, Leipzig, 1906.

Ծանոթագրություններ 

Մաթեմատիկա
Կոմպլեքս անալիզ
Ֆունկցիա
Լեոնարդ Էյլեր
Հանրահաշիվ
Մաթեմատիկական անալիզ