Էվկլիդեսյան օղակ

Ֆակտորիալ օղակների կարևոր ենթադաս են կազմում Էվքլիդեսյան օղակները։ Մասնավորապես դրանց դասին են պատկանում ամբողջ թվերի օղակը, դաշտից գործակիցներով բազմանդամների օղակները, Գաուսյան ամբողջ թվերի օղակը։ Ա. Ալեքսանյան 128 Էվքլիդեսյան օղակներն ամբողջ և գլխավոր իդեալների օղակներ են, ուստի դրանք ֆակտորիալ են։

Սահմանում. A ամբողջ օղակը կոչվում է Էվքլիդեսյան օղակ, եթե նրա յուրաքանչյուր ոչ զրոյական a տարրին կարելի է համապատասխանեցնել որոշակի ամբողջ թիվ՝ |a| (որը կանվանենք Էվքլիդեսյան նորմ), այնպես, որ տեղի ունենան հետևյալ պայմանները.

1. |a| ≥ 0; 

2. a = bc ⇒ |b| ≤ |a|; 

3. (∀a, b ∈ A, b ≠ 0) (∃q, r ∈ A) a = bq + r  և |r| < |b| եթե r ≠ 0

(Էվքլիդեսյան բաժանման հնարավորությունը):

ՕՐԻՆԱԿՆԵՐ

1. Ամբողջ թվերի Z օղակի համար նորմը թվի բացարձակ արժեքն է։ 

2. Որևէ K դաշտից գործակիցներով բազմանդամների K[x] օղակի համար նորմը բազմանդամի աստիճանն է։ 

3. Z[i] Գաուսյան ամբողջ թվերի օղակի դեպքում m+in թվի նորմը (m+in)(m− in) = m² + n² թիվն է։ 

4. Դյուրին է ստուգել, որ K դաշտից գործակիցներով աստիճանային շարքերը կազմում են ամբողջ օղակ, որը նշանակվում է K[[x]]-ով։ Շարքի նորմը դա x-ի ամենափոքր աստիճանի ցուցիչն է։