Xʸ = yˣ հավասարում

Թեև աստիճանի բարձրացումը տեղափոխական չէ, բայց  հավասարումը լուծում ունի որոշ  թվերի համար, օրինակ՝ ։

Պատմություն 
 հավասարումը հիշատակվել է Դանիել Բեռնուլիի՝ Քրիստիան Գոլդբախին ուղղված նամակում (29 հունիսի, 1728)։ Նամակում ասվում է, որ  դեպքում  զույգն այդ հավասարման լուծում հանդիսացող միակ բնական թվերն են, չնայած գոյություն ունեն ռացիոնալ թվերով բազմաթիվ լուծումներ։ Գոլդբախի պատասխան նամակում (31 հունվարի, 1729) ներկայացվել է հավասարման լուծումը, որն ստացվել է  փոխարինմամբ։ Նմանատիպ լուծում է տվել Լեոնարդ Էյլերը։ Ի․ վան Հենգելը (J. van Hengel) նշել է, որ եթե  դրական ամբողջ թվեր են,  или  ապա  այդպիսով՝ հավասարումը բնական թվերով լուծելու համար բավական է դիտարկել  и  դեպքերը։

Հավասարումը բազմիցս դիտարկվել է մաթեմատիկական գրականության մեջ։ 1960 թվականին այն ընդգրկվել է Պատնեմի անվան ուսանողական օլիմպիադայի առաջադրանքների ցանկում, ինչը Ա. Հաուսներին դրդել է ընդլայնել լուծումների թիվը հանրահաշվական թվերով։

Լուծում իրական թվերով 
Դրական իրական թվերով տրիվիալ լուծումների անսահման բազմությունը  հավասարման լուծումներն են։ Ոչ տրիվիալ լուծումներ կարելի է գտնել, եթե ընդունենք՝  ։
Այդ դեպքում՝
 ։
Հավասարման երկու կողմերն էլ  աստիճան բարձրացնելու և հետո -ի բաժանելու դեպքում ստանում ենք․
 ։
Այդ դեպքում դրական իրական թվերով ոչ տրիվիալ լուծումներն արտահայտվում են որպես
 ,
 ։

Բնական թվերով  ոչ տրիվիալ լուծում կարելի է ստանալ, եթե  կամ ։

Լուծում Լամբերտի W ֆունկցիայի տերմիններով 
 հավասարման լուծումը կարելի է արտահայտել Լամբերտի  ոչ տարրական W ֆունկցիայով  փոփոխականով․

, կատարենք փոխարինում՝ :

Այդ դեպքում  փոփոխականը կարելի է արտահայտել Լամբերտի W ֆունկցիայով․ 

Վերջնական լուծումը կունենա հետևյալ տեսքը․ 

Մասնավորապես, հաշվի առնելով տվյալ ֆունկցիայի ոչ միանշանակությունը,  կամ  միջակայքում հավասարումը կունենա երկու արմատ՝ ։

Թե պարամետրերից որը ( կամ ) կլինի փոփոխական, ըստ էության կարևոր չէ, և հավասարումը կմնա նույնը։

Եթե (կամ ) փոփոխականի դեպքում ճիշտ է (կամ )< անհավասարությունը, ապա իրական թվերի մեջ արմատներ չկան։

Լուծում երկրորդ աստիճանի սուպերարմատի տերմիններով 
 հավասարումը  հավասարման մասնավոր դեպք է, երբ  և ։  Այս արժեքները տեղադրելով լուծման ընդհանուր բանաձևում, հեշտ է գտնել սկզբնական հավասարման լուծումը․

Այս լուծումը ավելի ամբողջական է, քանի որ այն թույլ է տալիս գտնել բացասական իրական արմատներ, եթե դրանք գոյություն ունեն (քանի որ լոգարիթմը, ի տարբերություն նախորդ լուծման աստիճանացույցների, կարող է զրոյից փոքր լինել)։ Երրորդ արմատի գոյությունը բացատրվում է զույգ -ի դեպքում  և  հավասարումների համարժեքությամբ, սակայն գործնականում գոյություն ունի առավելագույնը երկու վավեր արմատ (բանաձևի երրորդ արմատը պարտադիր է կողմնակի է) այն պատճառով,  երկրորդ աստիճանի սուպերարմատի ֆունկցիան վերոնկարագրյալ   ֆունկցիայի հակադարձն է (), որն արտահայտվում է Լամբերտի W ֆունկցիայի միջոցով, որն իր հերթին չի կարող ունենալ երկուսից ավելի վավեր արժեք։

Այս լուծումից բխում է նույնական հավասարում․ ։ Դա հեշտ է ապացուցել՝ վերը նշված երկու լուծումները հավասարեցնելով միմյանց։ 

, ապա, ըստ լոգարիթմի և երկրորդ աստիճանի սուպերարմատի հատկությունների․

։ Ապացուցված նույնությունը  առավել ընդհանուր դեպքի մասնավորն է։

Ծանոթագրություններ

Արտաքին հղումներ 
 
 
 

Մաթեմատիկական գլուխկոտրուկներ