Բիո-Սավար-Լապլասի օրենք

Բիո-Սավար-Լապլասի օրենքը (նաև Բիո-Սավար-ի օրենքը ) ֆիզիկական օրենք է` հաստատուն էլեկտրական հոսանքով առաջացրած մագնիսական դաշտի ինդուկցիոն վեկտորը որոշելու համար։ Այն փորձնականորեն ստացվել է 1820 թ.-ին Բիոյի և Սավարի կողմից և ընդհանուր առմամբ ձևակերպվել է Լապլասի կողմից ։ Լապլասը նաև ցույց տվեց, որ այս օրենքի օգնությամբ հնարավոր է որոշել շարժվող կետային լիցքի մագնիսական դաշտը (դիտարկելով մեկ լիցքավորված մասնիկի շարժումը հոսանքով)։

Բիո-Սավար-Լապլասի օրենքը մագնիտոստատիկայի մեջ կատարում է նույն դերը, ինչ էլեկտրաստատիկայի մեջ՝ Կուլոնի օրենքը։ Բիո-Սավար-Լապլասի օրենքը կարելի է համարել մագնիտոստատիկայի հիմնական օրենքը ՝ դրանից ստացվում են դրա մնացած արդյունքները։

Ժամանակակից ձևակերպմամբ Բիո-Սավար-Լապլասի օրենքն ավելի հաճախ դիտարկվում է հաստատուն էլեկտրական դաշտի դեպքում մագնիսական դաշտի համար Մաքսվելի երկու հավասարումների հետևանք, այսինքն ՝ ժամանակակից ձևակերպմամբ, Մաքսվելի հավասարումները հանդիսանում են ավելի հիմնարար (նաև այն պատճառով, որ Բիո-Սավար-Լապլասի բանաձևը պարզապես չի կարելի ընդհանրացնել ժամանակի կախված դաշտերի ընդհանրացմամբ)։

Շղթայի երկայնքով հոսանքի համար (բարակ հաղորդիչով) 
Թող հաստատուն  հոսանքն անցնի  կոնտուրով (հաղորդչի երկայնքով)՝ վակուումում,  - կետն է, որտեղ  որոնվում է (դիտվում է) դաշտը, ապա այդ կետում մագնիսական դաշտի ինդուկցիան արտահայտվում է ինտեգրալով ( Միավորների միջազգային համակարգում (SI) )

 

որտեղ քառակուսի փակագծերով նշված են վեկտորական արտադրյալը,  -  կոնտուրի կետերի դիրքն է ,  - կոնտուրի տարրի վեկտորը (հոսանքն անցնում է դրա երկայնքով);  - մագնիսական հաստատունը ;  միավոր վեկտոր է, որն ուղղվում է կոնտուրի տարրից դիտարկման կետ։

 Սկզբունքորեն  կոնտուրը կարող է ճյուղավորված լինել, և իրենից ներկայացնել որքան ասես բարդ ցանցը։ Այդ դեպքում վերևում նշված արտահայտությունը պետք է հասկանալ տրված ցանցի բոլոր ճյուղերի գումար, ընդ որում յուրաքանչյուր ճյուղի համար այն ունի վերը նշված ինտեգրալի տեսքը (մասնավորապես յուրաքանչյուր ճյուղի համար կոնտուրը կարող է փակ չլինել)։
 Պարզագույն դեպքում (չճյուղավորված) կոնտուրով (մագնիսաստատիկ մոտավորության պայմանների կատարման դեպքում, այսինքն լիցքերի կուտակման բացակայության պարագայում),   հոսանքը նույնն է կոնտուրի բոլոր տեղամասերում  և կարելի է դուրս բերել ինտեգրալի նշանի տակից։ (Սա վերաբերում է շղթայի առանձին, և յուրաքանչյուր չճյուղավորված տեղամասին)։

Եթե մենք որպես հաշվարկման սկզբնակետ վերցնենք որևէ կետ, որում պետք է որոշվի մագնիսկա ինդուկցիան, ապա բանաձևը կպարզեցվի.

 

Որտեղ  -   հոսանք անցնող հաղորդչի կորությունը ներկայացնող վեկտորն է ,  -  -ի մոդուլը,  - հաղորդչի  տարրի կողմից ստեղծված մագնիսական ինդուկցիայի վեկտորը ։

-ի ուղղությունը ուղղահայաց է այն հարթությանը, որի մեջ են ընկած   և  վեկտորները։ Մագնիսական ինդուկցիայի վեկտորի ուղղությունը կարելի է գտնել աջ պտուտակի կանոնով. Պտուտակի գլխի պտտման ուղղությունը ցույց է տալիս -ի ուղղությունը , եթե պտուտակի ծայրի առաջ շարժումը համապատասխանում է տարրի մեջ հոսանքի ուղղությանը։ Վեկտորային մոդուլ -ն ( SI- համակարգում ) որոշվում է հետևյալ արտահայտությամբ ․

 

Որտեղ    վեկտորների միջև ընկած անկյունն է (հաղորդչի տարրից սկսող մինչև դաշտը որոնվող կետը շառավղի վեկտորի միջոցով ) և հաղորդչի   տարրով։

Վեկտորային պոտենցիալը տրվում է ինտեգրալով ( SI- ում )

Բաշխվող հոսանքների համար 
Այն դեպքում, երբ մագնիսական դաշտի աղբյուրը հանդիսանում են բաշխվոող հոսանքները, որոնք բնութագրվում են դաշտի խտության  j վեկտորով, Բիո-Սավարի օրենքն ստանում է հետևյալ տեսքը( SI- ում ).

 

որտեղ j = j ( r ), d V- ը ծավալային տարր է, և ինտեգրումը կատարվում է ամբողջ տարածության մեջ (կամ դրա բոլոր մասրում, որտեղ j ≠ 0 ), r - համապատասխանում է ինտեգրման ընթացքում ընթացիկ կետին ( d V տարրի դիրքը)։

Վեկտորային պետոնցիալը.

Հետևանքները 
Չնայած ժամանակակից մոտեցման մեջ, որպես կանոն, Բիո-Սավար-Լապլասի օրենքն ինքնին Մաքսվելի հավասարումների հետևանք է, այնուամենայնիվ, պատմականորեն դրա հայտնագործումը նախորդում էր Մաքսվելի հավասարումներին, ուստի, մագնիսաստատիկայի դեպքում Մաքսվելի հավասարումները կարելի է համարել որպես Բիո-Սավար-Լապլասի օրենքի հետևանք։ Զուտ ֆորմալ տեսանկյունից, մագնիսաստատիկայի դեպքում, երկու մոտեցումներն էլ կարող են հավասար համարվել, այսինքն ՝ այս իմաստով, դրանցից որևէ մեկը համարվում է սկզբնական, մյուսը՝ հետևանք, կախված  աքսիոմատացման ընտրությունից, որը մագնիսաստատիկայի դեպքում կարող է լինել մեկը կամ մյուսը ՝ հավասար ձևական իրավունքով և գրեթե հավասար հարմարավետությամբ։

Բիո-Սավար-Լապլասի օրենքի հիմնական հետևանքներն են (վերոհիշյալ իմաստով) Մաքսվելի հավասարումները մագնիսաստատիկայի դեպքի համար

 

- մագնիսական դաշտի համար Գաուսի թեորեմը (ընդհանուր հավասարության համար էլեկտրադինամիկայում այս հավասարումը մնում է անփոփոխ)

 

- մագնիսաստատիկայում մագնիսական դաշտի շրջանառության հավասարումը (այստեղ այն տրվում է SI համակարգում վակուումի դեպքում)։ Այս բանաձևը (և դրա ածանցումը Բիոտ-Սավար օրենքից) Ամպերայի թեորեմի բովանդակությունն է մագնիսական դաշտի շրջանառության վերաբերյալ ։

Այս հավասարումների դիֆերենցիալ տեսքն է.

 
 

որտեղ j հոսանքի խտությունն է (գրված է SI համակարգում, միավորների Գաուսյան համակարգում  հաստատունի փոխարեն գրվում է  )

Ստացումը Մաքսվելի հավասարումներից 
Բիո-Սավար-Լապլասի օրենքը կարելի է ստանալ ստացիոնար դաշտի համար Մաքսվելի հավասարումներից ։ Այս դեպքում ժամանակի ածանցյալները հավասար են 0-ի, այնպես որ վակուումային դաշտի հավասարումները տեսք ունենան հետևյալ տեսքը ( CGS համակարգում)

 
 
 
 

Որտեղ  - տարածության մեջ  հոսանքի խտությունն է ։ Այս դեպքում էլեկտրական և մագնիսական դաշտերը անկախ են։ Եկեք օգտագործենք մագնիսական դաշտի վեկտորային պոտենցիալը ( CGS համակարգում).

 

Հավասարումների  անփոփոխությունը հնարավորություն է տալիս վեկտորային պոտենցիալի մեկ այլ պայման դնել.

 

Վեկտորի վերլուծության բանաձևով բացելով կրկնակի ռոտորը, մենք ստանում ենք Պուասոնի տիպի հավասարություն վեկտորի պոտենցիալի համար.

 

Դրա մասնակի լուծումը տրված է Նյուտոնյան պոտենցիալի անալոգային ինտեգրալով.

 

Այս դեպքում մագնիսական դաշտը որոշվում է ինտեգրալով ( CGS համակարգում)

 
 

ձևով նման է «Բիո - Սավար - Լապլաս»-ի օրենքին։ Այս համապատասխանությունը կարող է ճշգրիտ լինել, եթե մենք օգտագործում ենք ընդհանրացված ֆունկցիաներ և գրենք դատարկ տարածության մեջ հոսանքով օղակին համապատասխանող տարածական հոսանքի խտությունը։ Անցնելով ամբողջ տարածության ինտեգրումից դեպի շրջադարձի և դրան ուղղահայաց ուղղի երկայնքով կատարվող ինտեգրալի և հաշվի առնելով, որ

 

մենք ստանում ենք Բիո-Սավար—Լապլասի օրենքը օղակաձև դաշտի համար։

Կիրառությունները 
Թող պահանջվի գտնել մագնիսական ինդուկցիայի մոդուլը  շատ բարակ  փաթույթներով (բոլոր հերթերը հավաքված են մեկ շրջանակի մոտ)  կոճի կենտրոնում, որի միջով անցնում է   հոսանքը։  Գտնենք կծիկի մեկ փաթույթով ստեղծված մագնիսական ինդուկցիան։ Բանաձևից ունենք, որ

 

մենք ստանում ենք մագնիսական ինդուկցիայի մոդուլը՝

 

Որտեղ  - կոճի շառավիղն է (այս դեպքում` հաստատուն),  -ն   (օղակի կենտրոնից դեպի հանգույցի տարրի շառավղի վեկտորը) և  (հանգույցի տարր) - միջև ընկած անկյուննէ, որը հավասար է ։ 

Ինտեգրելով երկու կողմերն էլ, մենք ստանում ենք

 

Որտեղ  - կոճի հաղորդիչի բոլոր տարրերի երկարությունների գումարն է, այս դեպքում `շրջագիծը, ապա

 

Քանի որ պարույրը պարունակում է  փաթույթ, ապա մագնիսական ինդուկցիայի ընդհանուր մոդուլը կազմում է

Գրականություն 

 Сивухин Д. В. Общий курс физики. — Изд. 4-е, стереотипное. — М.: Физматлит; Изд-во МФТИ, 2004. — Т. III. Электричество. — 656 с. — ISBN 5-9221-0227-3; ISBN 5-89155-086-5.. 
 Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.

Pages with unreviewed translations
Մագնիսականություն