Նորմալ թիվ

Նորմալ թիվը   ըստ  հիմքի () ցանկացած իրական թիվ է, որի գրառման մեջ -ական հաշվարկման համակարգում կամայական խմբի   հաջորդական թիվ հանդիպում է նույն ասիմպտոտ հաճախականությամբ, որը  հավասար է   -ին յուրաքանչյուր  = 1, 2, …:

Թվերը, որոնք նորմալ են ցանկացած  հիմքով գրառման համար, կոչվում են նորմալ կամ բացարձակապես նորմալ։

Հիմնական հատկությունները և օրինակներ 

Ցանկացած ռացիոնալ թվի գրառումը ցանկացած հիմքով նորմալ չէ։ Սա հետևում է այն փաստից, որ ռացիոնալ թվի գրառման մեջ գոյություն ունի միջակայք։ Օրինակ` 1/3 = 0,33333…  չունի գրության մեջ տրված հաջորդականությունից առաջ թվեր և հետևաբար նորմալ չէ։ Այստեղից հետևում է,որ նորմալ թվեր կարող են հանդիսանալ միայն իռավիոնալ թվերը։

Քանի որ նորմալ թվերի գրության մեջ պարունակում է նախապես սահմանված  թվերի հաջորդականություն, այստեղից հետևում է, որ սկսած որոշակի թվերի դիրքից ցանկացած նորմալ թվերի գրառման մեջ կոդավորված են բոլոր ստեղծված և դեռ չստեղծված գրական գործերը, նկարները, կինոնկարները և այլն:Օրինակ` տասնական  թվերի գրառման մեջ 0123456789 հաջորդականությունը առաջին անգամ սկսվում է 17 387 594 880-րդ նշանից ստորակետից հետո:Մինչև հիմա անհայտ է (մինչև 2020 թվականը),հանդիսանում է արդյո՞ք  թիվը նորմալ.

Պատմություն  

Նորմալ թվի գաղափարը ներդրվել է Էմիլ Բորելի կողմից 1909 թվականին։ Օգտագործելով Բորել-Կանտելլի լեմմը, նա ապացուցեց, որ աննորմալ թվերի Լեբեգի չափումը հավասար է 0-ի. Այսպիսով, համարյա բոլոր իրական թվերը նորմալ են։ Մյուս կողմից, թվերը, որոնց տասնական գրությունում բացակայում է 0 թիվը, աննորմալ են։ Հետևաբար, աննորմալ թվերի շարքը անհաշվելի է։

Դ. Չամպերնոունը ապացուցեց, որ թիվը, որը հանդիսանում է կապակցվածություն տասնական համակարգում հաջորդական ամբողջ թվերի` 0,1234567891011121314151617…, նորմալ է 10 հիմքով։ Միևնույն ժամանակ, հայտնի չէ, թե արդյոք նորմալ է թիվը  այլ հիմքերով։  0,(1)(10)(11)(100)(101)(110)(111)(1000)(1001)…  երկուական համակարգում գրված թվերը նույնպես ապացուցված է, որ նորմալ է 2-ու հիմքով։

2002 թվականին Բեխերը և Ֆիգեյրան ապացուցեցին, որ գոյություն ունի հաշվելի լիարժեք նորմալ թվեր։

Բաց առաջադրանքներ 

Հանդիսանու՞մ են արդյոք  և  թվերը նորմալ։
Մի կողմից, հայտնի չէ ՝ ճշմարտացի է որ ցանկացած իռացիոնալ հանրահաշվական թիվ նորմալ է, մյուս կողմից, հայտնի չէ հանրահաշվական թվի և ոչ մի օրինակ, որի մասին ապացուցված է, որ այն նորմալ չէ։

Տես նաև 
 Ֆեյնմանի կետը
 Պի թիվ

Հղումներ

Ծանոթագրություններ 

Թվերի տեսություն
Թվեր
Իրական թվեր