Լեբեգի ինտեգրալ

Լեբեգի ինտեգրալ,  արդի մաթեմատիկայի հիմնական հասկացություններից։ Դիցուք -ը  հատվածի որևէ չափելի տրոհում է, այսինքն  բազմությունները չափելի են (տես Չափ բազմության), զույգ առ զույգ չեն հատվում և նրանց գումարը -ն է։ 

-ը կոչվում է պարզ ֆունկցիա, եթե -ի վրա հաստատուն է, ասենք, հավասար է : -ի Լեբեգի ինտեգրալը կոչվում է  արտահայտությունը և նշանակվում՝  (-ն լեբեգյան չափն է)։ Եթե -ը ոչ բացասական և չափելի ֆունկցիա է, ապա ըստ սահմանման , որտեղ supremum-ը վերցվում է բոլոր հնարավոր չափելի պարզ ֆունկցիաների  դասում։ 

Քանի որ կամայական չափելի -ը ներկայացվում է ոչ բացասական չափելի ֆունկցիաների տարբերությամբ՝ , ապա  -ի Լեբեգի ինտեգրալ են անվանում արտահայտությունը ( դեպքը բացառվում է) և նշանակում՝  կամ : Լեբեգի ինտեգրալի այս սահմանումը պիտանի է շատ ավելի ընդհանուր իրավիճակում, մասնավորապես, եթե -ն փոխարինվի  բազմություններով։ Այս դեպքում ստացվող ընդհանրացումները պարունակում են Ռիմանի բացարձակ զուգամետ (բայց ոչ պայմանական) անիսկական ինտեգրալները։ Ռիմանի իմաստով ինտեգրելի ֆունկցիան ինտեգրելի է նաև Լեբեգի իմաստով (հակառակը ճիշտ չէ) և այդ ինտեգրալները համընկնում են։ Եթե  վերջավոր է, ապա -ը կոչվում է հանրագումարելի ֆունկցիա։ Մաթեմատիկական առօրյայում հանդիպող բոլոր սահմանափակ ֆունկցիաները հանրագումարելի են։ Լեբեգի ինտեգրալի հիմնական արժանիքներից է այն, որ բավական «ճկուն» է սահմանային գործողություններ կատարելիս։ Օրինակ, եթե  ֆունկցիաները հանրագումարելի են,  եթե , ապա -ը նույնպես հանրագումարելի է և :

Լեբեգի ինտեգրալը զգալիորեն լայնացրեց դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվի հիմնական՝ նախնական ֆունկցիան գտնելու բանաձևի շրջանակները

Տես նաև 
  Ինտեգրալ հաշիվ

Ծանոթագրություններ 

Ինտեգրալներ
Ֆունկցիոնալ անալիզ
Չափի տեսություն