Բարդ ֆունկցիայի դիֆերենցում

Շղթայական կանոն (բարդ ֆունկցիայի դիֆերենցման կանոնը) հնարավորություն է տալիս հաշվել մեկ կամ մի քանի ֆունկցիաների կոմպոզիցիայի ածանցյալը։ Եթե  ֆունկցիան  կետում ածանցելի է, իսկ  ֆունկցիան  կետում ունի ածանցյալ, ապա  ֆունկցիան նույնպես ունի ածանցյալ  կետում։

Պատմություն 
Շղթայական կանոնը առաջին անգամ օգտագործվել է Լայբնիցի կողմից։ Նա այն օգտագործել է  ֆունկցիայի ածանցյալը հաշվելու համար՝ որպես քառակուսի արմատային ֆունկցիայի և  ֆունկցիայի համադրույթ(կոմպազիցիա)։ Առաջին անգամ նշել է 1676 թվականին իր հուշագրություններում։ Շղթայական կանոնը չի երևում Լեոնարդ Էյլերի և ոչ մի գրքում, չնայած դրանք գրվել են Լայբնիցի հայտնագործությունից հարյուր տարի անց։

Միակողմանի դեպք 
Դիցուք տրված են թվային ուղղի վրա որոշված  ֆունկցիաները, որտեղ  և ։ Դիցուք այդ ֆունկցիաները նաև դիֆերենցելի են․ ։ Ապա նրանց կոմպոզիցիան նույնպես կլինի դիֆերենցելի․  և նրա ածանցյալը կունենա հետևյալ տեսքը․
 ։

Դիտողություն 
Լեյբնիցի նշանակումներում շղթայական կանոնը  ֆունկցիայի ածանցյալի համար, որտեղ  ընդունում է հետևյալ տեսքը

Առաջին կարգի դիֆերենցիալի ինվարիանտությունը 
 կետում դիֆերենցելի  ֆունկցիան ունի
  տեսքը, որտեղ
  —ը  ֆունկցիայի դիֆերենցիալ արտապատկերումն է
 ։

Դիցուք այժմ ։ Ապա  և համաձայն շղթայական կանոնի
 ։
Այսինքն առաջին կարգի դիֆերենցիալի բանաձևը մնում է նույնը։

Օրինակ

Դիցուք  ։ Ապա  ֆունկցիան կարելի է գրել  կոմպոզիցիայի տեսքով, որտեղ
 
 
Առանձին դիֆերենցելով այդ ֆունկցիան՝
 
 
կստանանք
 ։

Բազմաստիճան դեպք 

Դիզուք տրված են  և  ֆունկցիաները, որտեղ ։  Ենթադրենք նաև, որ այդ ֆունկցիաները դիֆերենցելի են․  և ։ Ապա նրանց կոմպոզիցիան նույնպես դիֆերենցելի է և այդ դիֆերենցիալը ունի
  տեսքը։
Մասնավոր դեպքում, Յակոբիի մատրից   ֆունկցիան հանդիսանում է  և  ֆունկցիաների Յակոբիի մատրիցների արտադրյալը։

Հետևանքներ 

 Երկու ֆունկցիաների Յակոբյան կոմպոզիցիան դա անհատական ֆունկցիաների յակոբյանների արտադրայալն է․
 
Բարդ ֆունկցիայի մասնավոր ածանցյալի համար ճշմարիտ է․
 ։

Օրինակ 

Դիցուք տրված է երեք փոփոխականներով   ֆունկցիան և պահանջվում է գտնել նրա մասնական ածանցյալը ըստ   փոփոխականի։ 
 ֆունկցիան կարող է գրվել որպես  ,  որտեղ
 
 
 
 
Ապա  ֆունկցիայի մասնական ածանցյալը ըստ    փոփոխականի կունենա հետևյալ տեսքը․

 

Հաշվենք ածանցյալները․

 

Տեղադրելով գտնված ածանցյալները․

 

Արդյունքում

Գրականություն 
 
 Գ․Մ․Ֆիխտենգոլց; Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշիվ,6-րդ հրատ․, — Մ.: Նաուկա, 1966. — էջ 680։

Ծանոթագրություններ 

Մաթեմատիկա
Դիֆերենցիալ հաշիվ
Դիֆերենցիալ հավասարումներ