LU-մասնատում

LU-մասնատում (LU-դեկոմպոզիցիա, LU-ֆակտորիզացիա) -  մատրիցի ներկայացումը երկու մատրիցների արտադրյալի տեսքով՝ , որտեղ -ը ներքևի եռանկյուն մատրիցն է, իսկ -ն՝ վերևի եռանկյուն մատրիցը։

LU-մասնատում օգտագործվում է գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի լուծման, մատրիցի հակադարձման և որոշիչի հաշվման համար։ LU-մասնատումը գոյություն ունի միայն այն ժամանակ, երբ  մատրիցն հակադարձելի է, իսկ  մատրիցի բոլոր գլխավոր անկյունագծային մինորները ոչհատուկ են]]։

Կիրառությունը

Գծային հավասարումների համակարգի լուծում 
 (համակարգի գործակիցների մատրից) մատրիցի ստացված LU-մասնատումը գծային հավասարումների համակարգի ընտանիքի լուծման համար կարող է օգտագործվել աջ մասի  տարբեր վեկտորներով՝
 ։
Եթե հայտնի է  մատրիցի LU-մասնատումը՝ , սկզբնական համակարգը կարելի է գրել հետևյալ տեսքով՝
 ։
Այս համակարգը կարող է լուծվել երկու քայլով։

Առաջին քայլում լուծվում է հետևյալ համակարգը՝
 ։
Քանի որ -ն ներքևի եռանկյուն մատրիցն է, այս համակարգը լուծվում է անմիջականորեն ուղիղ տեղադրմամբ։

Երկրորդ քայլում լուծվում է հետևյալ համակարգը՝
 ։
Քանի որ -ն վերևի եռանկյուն մատրիցն է, այս համակարգը լուծվում է անմիջականորեն հակադարձ տեղադրմամբ։

Մատրիցի ձևափոխում 
 մատրիցի ձևափոխումը համարժեք է հետևյալ հավասարումների համակարգի լուծմանը՝
 ,
որտեղ -ը անհայտ մատրից է, իսկ -ն՝ միավոր մատրից։ Այս համակարգի  լուծումը հանդիսանում է  հակադարձ մատրիցը։

Համակարգը կարելի է լուծել վերևում նկարագրված LU-մասնատման մեթոդով։

մատրիցի որոշիչի հաշվում 
Ունենալով  մատրիցի LU-մասնատումը՝
 ,
կարելի է անմիջականորեն հաշվել նրա որոշիչը՝
 ,
որտեղ -ը  մատրիցի չափն է, -ն և -ն  և  մատրիցների անկյունագծերի էլեմենտներն են։

Բանաձևի դուրսբերումը 
Ելնելով կիրառման ոլորտից LU-մասնատումը կարող է կիրառվել միայն ոչհատուկ մատրիցի համար, որի համար մենք հետագայում կընդունենք, որ  մատրիցն ոչհատուկ է։

Քանի որ  մատրիցի և առաջին տողում, և  մատրիցի առաջին սյունում բոլոր էլեմենտները, հնարավոր է բացի առաջինից, հավասար են զրոյի, ունենք՝
 ։
Եթե , ապա  կամ ։ Առաջին դեպքում  մատրիցի առաջին տողը ամբողջությամբ կազմված է զրոներից, իսկ երկրորդ դեպքում՝  մատրիցի առաջին սյունը։ Հետևաբար,  և  մատրիցները ոչհատուկ են, իսկ դա նշանակում է -ն նույնպես ոչհատուկ է, որը բերում է հակասության։ Այսպիսով, եթե , ապա ոչհատուկ  մատրիցը չունի LU-մասնատում։

Դիցուկ , այդ դեպքում  և ։ Քանի որ -ը և -ն որոշված են -ն հաստատունի վրա բազմապատկման ճշտությամբ և նույն հաստատունի վրա -ի բաժանման ճշտությամբ, մենք կարող ենք պահանջել, որ ։ Այդ դեպքում ։

Բաժանենք  մատրիցը վանդակների՝
 ,
որտեղ  ունի համապատասխանաբար , ,  չափեր։

Նույն ձևով բաժանենք վանդակների  և  մատրիցները՝

 հավասարումը կընդունի այսպիսի տեսք՝

:

Լուծելով հավասարումների համակարգը , , ,  նկատմամբ, կստանանք՝

:
Վերջնականապես կունենանք՝

:
Այսպիսով, մենք  չափի մատրիցն LU-մասնատմամբ բերեցինք  > չափի մատրիցի LU-մասնատման։

 արտահայտությունը կոչվում է  էլեմենտի Շուրի լրացում  մատրիցում։

Ալգորիթմ 
LU-մասնատման հաշվարկի ալգորիթմներից մեկը բերենք ներքևում։

Կօգտագործենք հետևյալ նշանակումները մատրիցի էլեմենտների համար՝ , , , ընդ որում մատրիցների անկյունագծային էլեմենտներն են՝ : , ։ Այդ դեպքում, եթե հայտնի է LU-մասնատման մատրիցն, նրա որոշիչը կարելի է հաշվել հետևյալ բանաձևով՝
:
 
 և  մատրիցները կարելի է գտնել հետևյալ ձևով (քայլերի կատարման հերթականությունը պետք է պահպանել խստորեն, քանի որ հաջորդ էլեմենտները գտնվում են նախորդների օգտագործմամբ)՝
 
 

-ի համար՝
 
 

Արդյունքում մենք կստանանք  և  մատրիցները։

Տվյալ մեթոդի ծրագրային իրականացման ժամանակ (Գաուսի կոմպակտ սխեմա)  և  մատրիցների ներկայացման համար կարելի է բավարարվել միայն մեկ մասիվով, որում  և  մատրիցները համակցվում են։ Այսպես,  չափի մատրիցի համար՝

Տես նաև 
 Գաուս-Զեյդելի մեթոդ
 Կրամերի մեթոդ
 Ռելակսացիայի մեթոդ

Ծանոթագրություններ 

Մաթեմատիկա
Գծային հանրահաշիվ
Թվային մեթոդներ
Մատրից