Ընդհանրացված ֆունկցիա

Ընդհանրացված ֆունկցիա,  ֆունկցիայի դասական գաղափարն ընդհանրացնող մաթեմատիկական հասկացություն, որի հիմքում ընկած է այն փաստը, որ ամեն մի  կետի շրջակայքում ըստ
Լեբեգի ինտեգրելի  ֆունկցիան  որոշվում է (համարյա ամենուրեք), եթե հայտնի են  ինտեգրալների արժեքները «փորձնական»  ֆունկցիաների որոշակի   բազմության վրա։ Ընդհանրացված ֆունկցիաների տեսությունն առավել բեղմնավոր է ստացվում, երբ -ն այն անվերջ դիֆերենցելի ֆունկցիաների բազմությունն է, որոնցից յուրաքանչյուրը որոշակի  շառավղով գնդից դուրս հավասար է զրոյի, իսկ 

զուգամիտությունը նշանակում է, որ բոլոր –երը հավասար են զրոյի միևնույն  շառավղով գնդից դուրս և բոլոր  ածանցյալները հավասարաչափ զուգամիտում են։ Այդ դեպքում -ն գծային տոպոլոգիական (հաշվելի–նորմավորված) տարածություն է և հետևաբար կարելի է դիտարկել նրա համալուծ տարածությունը, այսինքն՝  գծային (անընդհատ) ֆունկցիոնալների տարածությունը։ Յուրաքանչյուր այդպիսի  ֆունկցիոնալ կոչվում է ընդհանրացված ֆունկցիա։ Ընդ որում ի փոխարեն ընդունված է գրել նաև : Այսպիսով, ընդհանրացված ֆունկցիան որոշված է  փորձնական ֆունկցիաների դասում և ընդունում է իրական արժեքներ, իսկ  դասական ֆունկցիաները –ի մեջ են ընդգրկվում այն իմաստով, որ համապատասխան  ընդհանրացված ֆունկցիան կարելի է սահմանել  բանաձևով, քանի որ աջ մասը պատկանում է –ին։–ը շատ լայն դաս է։ Մասնավորապես այդ դասին է պատկանում ֆիզիկայում հայտնի  Դիրակի ֆունկցիան, այսինքն՝   ֆունկցիոնալը։  սահմանվում է որպես  ֆունկցիոնալ, ուստի ընդհանրացված ֆունկցիաներն ունեն բոլոր կարգի ածանցյալներ։ Ընդհանրացված ֆունկցիայի այս գաղավւարը մտցրել է Ս. Լ. Սոբոլևը, իսկ նրա հետագա զարգացումը և կիրառությունները կապված են առաջին հերթին Լ. Շվարցի անվան հետ։ Ընդհանրացված ֆունկցիայներն այժմ լայն կիրառություն են գտել մաթեմատիկայում և ֆիզիկայում՝ մասնավորապես քվանտային տեսության մեջ։

Մաթեմատիկական ֆիզիկա
Ֆունկցիոնալ անալիզ