Մոնտի Հոլի պարադոքս

Մոնտի Հոլի պարադոքս, հավանականությունների տեսության հայտնի առաջադրանքներից մեկը, որի լուծումն, առաջին հայացքից, հակասում է առողջ բանականությանը։ Այս առաջադրանքը, բառի նեղ իմաստով, պարադոքս չէ, քանի որ իր մեջ չի պարունակում հակասություն։ Այն կոչվում է պարադոքս այն պատճառով, որ առաջադրանքի լուծումը կարող է թվալ անսպասելի։ Ավելին, շատ մարդկանց համար դժվար է ընդունել ճիշտ որոշում նույնիսկ այն բանից հետո, երբ նրան բացատրվում է ճիշտ լուծումը։

Առաջադրանքն առաջին անգամ հրապարակվել է (պատասխանի հետ միասին) 1975 թվականին «The American Statistician» ամսագրում, Բերկլիի կալիֆորնյան համալսարանի պրոֆեսոր Սթիվ Սելվինի կողմից։ Այն դարձել է առավել հայտնի 1990 թվականին, երբ հրապարակվել է «Parade» ամսագրում։

Ձևակերպում 
Առաջադրանքը ձևակերպվում է որպես խաղի նկարագրություն, որը հիմնված է ամերիկյան «Let’s Make a Deal» հեռուստախաղի վրա և անվանվել է ի պատիվ հեռուստախաղի հաղորդավարի։ Այս առաջադրանքի ամենատարածված տարբերակներից մեկը, որը 1990 թվականին հրապարակվել է «Parade Magazine»մ ամսագրում, ձևակերպվում է հետևյալ կերպ․

Հրապարակումից անմիջապես հետո պարզ դարձավ, որ առաջադրանքը ոչ ճիշտ է ձևակերպված։ Չեն նշվել բոլոր պայմանները։ Օրինակ, հաղորդավարը կարող է կիրառել «դժոխային Մոնտիի» ռազմավարությունը․ առաջարկել փոխել ընտրությունն այն ժամանակ և միայն այն դեպքում, երբ խաղացողն առաջին քայլով ընտրել է ավտոմեքենան։ Միանշանակ է, որ առաջին ընտրության փոփոխությունը կարող է տանել երաշխավորված պարտության իրավիճակի (տես ստորև)։

Հավելյալ պայմաններով ամենահայտնի առաջադրանքը համարվում է հետևյալը։ Խաղի մասնակցին նախապես հայտնի են հետևյալ պայմանները․

 ավտոմեքենան համահավասար կարող է գտնվել երեք դռներից յուրաքանչյուրի հետևում, 
 հաղորդավարը գիտի, թե որտեղ է գտնվում ավտոմեքենան,
 հաղորդավարը ցանկացած պարագայում պետք է բացի այն դռներից մեկը, որտեղ գտնվում է այծը (սակայն, ոչ այն, որն ընտրել է մասնակիցը) և առաջարկի փոխել իր ընտրությունը,
 եթե հաղորդավարն ունի ընտրություն, թե որ երկու դռներից մեկը բացի, նա ընտրում է երկուսից ցանկացածը` միևնույն հավանականությամբ։
Ստորև ներկայացված տեքստում Մոնտի Հոլի առաջադրանքը քննարկվում է հենց այս ձևակերպմամբ։

Վերլուծություն 

Հաղթելու ռազմավարության համար կարևոր է հետևյալը. եթե դուք, հաղորդավարի գործողություններից հետո, փոխում եք դռան ընտրությունը, ապա դուք հաղթում եք, եթե սկզբնապես ընտրել էիք սխալ դուռը։ Սրա հավանականությունը կազմում է , քանի որ ի սկզբանե սխալ դուռ ընտրելու հնարավորությունը կազմում է երկու (հնարավոր երեք դռների մեջ)։

Սակայն հաճախ այս առաջադրանքի լուծման ժամանակ խաղացողները մտածում են հետևյալ կերպ. հաղորդավարը միշտ էլ հեռացնում է սխալ դռներից մեկը, և այդ դեպքում ավտոմեքենայի գտնվելը երկու հնարավոր դռներից մեկի հետևում դառնում է հավասար ½, անկախ առաջնային ընտրությունից։ Սակայն այս փաստը ճիշտ չէ։ Չնայած որ ընտրության հնարավորությունը իրոք մնում է երկու դռների միջև, այդ հնարավորությունները (ներառյալ նաև նախապատմությունը), հավասար հավանական չեն։ Դա այդպես է, քանի որ ի սկզբանե բոլոր դռներն ունեցել են հավասար շանսեր` դառնալու հաղթող, սակայն ավելի ուշ ունեցել են տարբեր հավանականություններ` լինելու բացառված։

Մարդկանց մեծամասնության համար այս եզրահանգումը հակասում է իրավիճակի ինտուիտիվ ընկալմանը և ի շնորհիվ տրամաբանական եզրահանգման և պատասխանի միջև առկա անհամապատասխանության, որին հանգում է ինտուիտիվ մտածելակերպը, առաջադրանքը հենց այդպես էլ կոչվում է «Մոնտի Հոլի պարադոքս»։

Դռների հետ կապված իրավիճակը դառնում է էլ ավելի ակնառու, եթե պատկերացնենք, որ դռների թիվը ոչ թե 3 է, այլ ասենք, 1000 և մասնակցի ընտրությունից հետո հաղորդավարը հեռացնում է 998 ավելորդ դռները և թողնում երկու դուռ. այն, որը ընտրել է մասնակիցը և ևս մեկը։ Ավելի ակնհայտ է դառնում այն, որ ավտոմեքենայի երկու դռներից մեկի հետևում գտնվելու հավանականությունը տարբեր է և հավասար չէ ½-ի։ Եթե մենք փոխենք դռները, ապա պարտվում ենք միայն այն դեպքում, երբ ի սկզբանե ընտրել էինք մրցանակային դուռը, որի հավանականությունը կազմում է 1:1000-ի։ Հաղթում ենք մենք նաև այն պարագայում, եթե մեր նախնական ընտրությունը չի եղել ճիշտ, իսկ դրա հավանականությունը կազմում է 999:1000-ի։ Երեք դռների պարագայում տրամաբանությունը պահպանվում է, սակայն հաղթանակի հավանականությունը, ընտրության փոփոխության պարագայում, կազմում է , այլ ոչ` :

Դիտարկման մեկ այլ տարբերակ է երկտար պայմանների փոփոխությունը։ Պատկերացնենք, որ մասնակցի կողմից նախնական ընտրության (թող այն միշտ լինի N 1 դուռը) և դրան հաջորդող հաղորդավարի կողմից այծով դռներից մեկի բացման փոխարեն (այսինքն, թող այդ ընտրությունը միշտ լինի 2-րդ և 3-րդ դռների միջև), մասնակիցը պետք է առաջին փորձից գուշակի, թե որ դռան հետևում է գտնվում ավտոմեքենան։ Սակայն նրան նախապես տեղեկացվում է, որ առաջին դռան հետևում ավտոմեքենան կարող է գտնվել 33 % հարաբերակցությամբ, իսկ մյուս երկու դռների պարագայում նշվում է, որ կոնկրետ այս մի դռան հետևում չի գտնվում ավտոմեքենան (0 %)։ Համապատասխանաբար, մյուս դռանը բաժին է ընկնում 67 % հավանականություն և նրա ընտրության ռազմավարությունը դառնում է առաջնային։

Հաղորդավարի այլ վարքագիծ 
Մոնտի Հոլի պարադոքսի դասական տարբերակը վկայում է, որ հաղորդավարը պետք է պարտադիր առաջարկի մասնակցին փոխել դռներն, անկախ այն հանգամանքից, թե ընտրել է նա ավտոմեքենան, թե` ոչ։ Սակայն հաղորդավարը կարող է ցուցաբերել նաև ավելի բարդ վարքագիծ։ Այս աղյուսակում հակիրճ նկարագրված են վարքագծի հնարավոր տարբերակները։ Եթե չի ասվել հակառակը, մրցանակները հավասար հավանականությամբ գտնվում են դռների հետևում և հաղորդավարը գիտի, թե որ դռան հետևում է ավտոմեքենան։ Իսկ եթե կա ընտրություն, հաղորդավարը հավասար հավանականությամբ ընտրում է այծերից մեկին։

Ծանոթագրություններ

Գրականություն 
 Гмурман В. Е.  Теория вероятностей и математическая статистика, — : Высшее образование. 2005
 Gnedin, Sasha «The Mondee Gills Game.» Журнал The Mathematical Intelligencer, 2011
 Савант, Мэрилин вос. Колонка «Ask Marilyn», журнал Parade Magazine от 17 февраля 1990.
 Савант, Мэрилин вос. Колонка «Ask Marilyn», журнал Parade Magazine от 26 февраля 2006.
 Bapeswara Rao, V. V. and Rao, M. Bhaskara. «A three-door game show and some of its variants». Журнал The Mathematical Scientist, 1992, № 2.
 Tijms, Henk. Understanding Probability, Chance Rules in Everyday Life. Cambridge University Press, New York, 2004. (ISBN 0-521-54036-4)

Արտաքին հղումներ 
 Объясняющий видеоролик  на сайте Smart Videos .ru 
 
 Парадокс Монти Холла  на сайте телешоу Let’s Make a deal 
 Ron Clarke Парадокс Монти Холла 
 Отрывок из книги С.Лукьяненко, в котором используется парадокс Монти Холла
 Ещё одно решение по Байесу  Ещё одно решение по Байесу на форуме Новосибирского Государственного Университета
 Реализация симулятора парадокса Монти Холла на разных языках (на сайте Rosetta Code)

Հավանականությունների տեսություն