Որոշիչ (մաթեմատիկա)

Գծային հանրահաշվում որոշիչը (կամ դետերմինանտը) սկալյար մեծություն է, որը կարող է հաշվվել և դրվել միանշանակ համապատասխանության ցանկացած քառակուսի մատրիցի։  մատրիցի որոշիչը նշանակվում է հետևյալ ձևերով՝ ,  կամ ։

 չափի  քառակուսի մատրիցի որոշիչը, տրված  կոմուտատիվ օղակի վրա, հանդիսանում է  օղակի էլեմենտ, որը հաշվվում է ներքևում բերված բանաձևով։

Այն «որոշում է»  մատրիցի հատկությունը։ Մասնավորապես,  մատրիցը հակադարձելի է այն և միայն այն դեպքում, երբ նրա որոշիչը հանդիսանում է  օղակի շրջելի տարր։

Այն դեպքում, երբ -ը դաշտ է,  մատրիցի որոշիչը հավասար է զրոյի այն և միայն այն դեպքում, երբ  մատրիցայի ռանգը փոքր է -ից կամ, եթե  մատրիցի տողերի և սյուների համակարգը հանդիսանում է գծային կախված։

Պատմությունը 
Որոշիչների տեսությունն առաջացել է գծային հավասարումների համակարգի լուծման հետ կապված։

Որոշիչի հասկացությանն առավել մոտեցել են հին չինական «Մաթեմատիկան ինը գրքերում» դասագրքերի հեղինակները։

Եվրոպայում 2×2 մատրիցի որոշիչը հանդիպում է XVI դարում Կարդանոյի մոտ։ Ավելի բարձր չափերի համար Լեյբնիցը այն սահմանել է 1693 թվականին։ Առաջին հրապարակումը պատկանում է Կրամերին։ Որոշիչների տեսությունը ստեղծվել է Վանդերմոնդի, Լապլասի, Կոշիի և Յակոբիի կողմից։ Առաջին անգամ «որոշիչ» տերմինը հանդիպում է Գաուսի մոտ։

Ճապոնացի մաթեմատիկոս Սեկի Տակակաձուն որոշիչը օգտագործեց անկախ 1683 թվականին։

Սահմանումը

Վերադասավորման միջոցով
 չափի  քառակուսի մատրիցի համար նրա  որոշիչը հաշվվում է հետևյալ բանաձևով՝
 ,

որտեղ գումարումը կատարվում է բոլոր  թվերի  վերադասավորումներով, իսկ  նշանակում է ինվերսիաների թիվը  վերադասավորումներում։

Այսպիսով, որոշիչում մտնում են  գումարելիներ, որոնք անվանվում են նաև «որոշիչի անդամներ»։

Համարժեք բանաձևը՝
 ,
որտեղ  գործակիցները (Լևի-Չիվի սիմվոլներ) հավասար են՝
 0, եթե ոչ բոլոր  ինդեքսներն են տարբեր,
 1, եթե բոլոր  ինդեքսները տարբեր են և  վերադասավորումները զույգ են,
 −1, եթե բոլոր  ինդեքսները տարբեր են և  վերադասավորումները կենտ են։

Ասիմպտոտիկ կառուցում (հատկությունների հիման վրա որոշում)
Որոշիչի հասկացությունը կարող է ներդրվել իր հատկության հիման վրա։ Մասնավորապես, իրական մատրիցի որոշիչ կոչվում է  ֆունկցիան, որը բավարարում է երեք պայմանների՝
  —  մատրիցի տողերի (սյուների) կոսոսիմետրիկ ֆունկցիա,
  —  մատրիցի տողերի (սյուների) պոլիգծային ֆունկցիա,
 , որտեղ -ն  չափի միավոր մատրից է։

Մատրիցի որոշիչի արժեքը
Առաջին կարգի մատրիցի դետերմինանտի արժեքը հավասար է այդ մաատրիցի միակ էլեմենտին՝

2 x 2 մատրից

 մատրիցի համար որոշիչը հաշվվում է հետևյալ ձևով՝

Այս  մատրիցը կարող է դիտարկվել ինչպես գծային արտապատկերման մատրից՝ ձևափոխված միավոր քառակուսուց , ,  և  գագաթներով զուգահեռագծից։

 որոշիչի բացարձակ արժեքը հավասար է այդ զուգահեռակողմի մակերեսին, և, այսպիսով, ցույց է տալիս գործակիցը, որի վրա մասշտաբայնացվում է մակերեսը -ի փոխակերպման դեպքում։

Որոշիչի նշանով արժեքը (զուգահեռագծի «օրենտավորված մակերես») գործակցից բացի նույնպես ցույց է տալիս մասշտաբայնացումը, այն կատարում է -ի փոխակերպման արտապատկերում։

3 x 3 մատրից
 մատրիցի որոշիչը կարելի է որոշել հետևյալ բանաձևով՝
 
 

Երրորդ կարգի որոշչի հարմար հաշվարկի համար կարելի է օգտվել Սարյուսի կանոնից կամ եռանկյան կանոնից։

Մատրիցի որոշիչը, որը կազմված է  վեկտորներից, հավասար է աջ դեկարտյան կոորդինատների համակարգի խառը արտադրյալին։ Նմանապես երկչափ դեպքում, այդ մատրիցի որոշիչը հավասար է զուգահեռակողմի օրենտավորված ծավալին, ձգված -ով։

N × N մատրից
Ընհանուր դեպքում,  կարգի մատրիցի համար (2-րդ կարգից մեծ) որոշիչը կարելի է հաշվել, կիրառելով ռեկուրսիայի հետևյալ բանաձևը՝
 , որտեղ -ն  տարրի լրացուցիչ մինորն է։ Այս բանաձևը կոչվում է տրոհում ըստ տողերի։

Դժվար չէ ապացուցել, որ մատրիցի տրանսպոնացման դեպքում նրա որոշիչը չի փոխվում (այլ կերպ ասած, նմանատիպ տրոհումը ըստ առաջին սյան նույնպես ճշմարիտ է, այսինքն, տալիս է նույն արդյունքը, ինչպես նաև ըստ տողի նրա տրոհումը)՝
 ։

Նույնպես ճշմարիտ է նմանատիպ տրոհումը ցանկացած տողի (սյան) համար՝
 ։

Վերը նշված բանաձևերի ընդհանրացումը հանդիսանում է դետերմինանտի տրոհումը ըստ Լապլասի (Լապլասի թեորեմը), որը հնարավորություն է տալիս հաշվել որոշիչը ցանկացած  տողով (սյունով)՝
 ։

Հաշվարկի այլընտրանքային մեթոդներ 
 Ջոնսոնի կոնդենսացիայի մեթոդ, որը հիմնված է ռեկուրսիվ բանաձևի վրա՝
  որտեղ  մատրիցներ են, որոնք ստացվում են հիմնական մատրիցից համապատասխան տեղերի և սյուների ջնջման միջոցով։

Որոշիչի հիմնական հատկությունները 
Այս հատկությունները արտացոլում են որոշիչների տեսության հիմնական արդյունքները, որոնց կիրառությունը դուրս է գալիս այս տեսության սահմաններից՝
  (միավոր մատրիցի որոշիչը հավասար է 1-ի);
  ( չափի մատրիցների տարածության վրա որոշիչը հանդիսանում է  աստիճանի միատար ֆունկցիա);
  (Մատրիցի որոշիչը չի փոխվում նրա տրանսպոնացման դեպքում);
  (Մատրիցների արտադրյալի որոշիչը հավասար է նրանց որոշիչների արտադրյալին,  և  մատրիցները նույն կարգի քառակուսային մատրիցներ են);
 , ընդ որում  մատրիցը հակադարձելի է այն և միայն այն դեպքում, երբ հակադարձելի է նրա  որոշիչը;
 Գոյություն ունի  հավասարման ոչզրոյական լուծում այն և միայն այն դեպքում, երբ  (կամ էլ -ը պետք է լինի ոչհասարակ զրոյի բաժանարար այն դեպքում, երբ -ը ոչամբողջական օղակ է)։

Որոշիչը որպես տողերի (սյուների) մատրիցի ֆունկցիա 
Որոշիչների տեսությունը ուսումնասիրելիս օգտակար է հաշվի առնել, որ այդ տեսության հիմքում ընկած է մատրիցի տողերով և սյուներով մանիպուլիացիան՝ մշակված Կարլ Ֆրիդրիխ Գաուսի (Գաուսի ձևափոխում) կողմից։ Այդ ձևափոխությունների էությունը տանում է մատրիցների տողերի (սյուների) և նրանց տեղափոխությունների վրա գծային գործողությունների։ Այդ ձևափոխությունները բավականին պարզ ձևով արտացոլվում են որոշիչի վրա և նրանց ուսումնասիրությունը հարմար է սկզբնական մատրիցը «մասնատել» տողերի (կամ սյուների) և ընդունել որոշիչը որպես ֆունկցիա, որոշված տողերի (սյուների) հավաքածուի վրա։ Հետագայում  տառերով նշանակվում են  մատրիցի տողերը (սյուները)։ 
 1. Որոշիչ - մատրիցի տողերի (սյուների) բազմագծային ֆունկցիա։ 
Բազմագծայնությունը նշանակում է յուրաքանչյուր արգումենտով ֆունկցիայի գծայնություն մյուս արգումենտների ֆիկսած արժեքների դեպքում՝
 
 2. Որոշիչ - մատրիցի տողերի (սյուների) կոսիմետրիկ ֆունկցիա, այսինքն, մատրիցի երկու տողերի (սյուների) տեղափոխման արդյունքում նրա որոշիչը բազմապատկվում է −1-ով։
  
 3. Եթե մատրիցի երկու տողեր (սյուներ) համընկնում են, ապա նրա որոշիչը հավասար է զրոյի՝
 

Ուշադրություն։ 1-3 հատկությունները հանդիսանում են որոշիչի հիմնական հատկություններ որպես տողերի (սյուների) ֆունկցիա, որոնք հեշտ է ապացուցել անմիջապես իրենց սահմանումներից։ 2-րդ հատկությունը (կոսիմետրիկությունը) հանդիսանում է 1-ին և 3-րդ հատկությունների տրամաբանական հետևանքը։ 3-րդ հատկությունը հանդիսանում է 2-րդ հատկության տրամաբանական հետևանքը, եթե  օղակում 2-րդ տարրը (այսինքն, 1 + 1) չի համընկնում զրոյին և չի հանդիսանում զրոյի բաժանարար։ 1-ին և 3-րդ հատկություններից հետևում են նաև այսպիսի հատկություններ՝

 4. Որոշիչի ինչ-որ տողի (սյան) էլեմենտների ընդհանուր արտադրիչը կարելի է դուրս բերել որպես որոշիչի նշան (1-ին հատկության հետևանք)։
 5. Եթե մատրիցի գոնե մի տող (սյուն) զրոյական է, ապա որոշիչը հավասար է զրոյի (4-րդ հատկության հետևանք)։
 6. Եթե մատրիցի երկու (կամ ավելի) տողեր (սյուներ) գծային կախված, ապա նրա որոշիչըհավասար է զրոյի (1-ին և 3-րդ հատկությունների հետևանք)։
 7. Ցանկացած տողին (սյանը) այլ տողի (սյան) գծային կոմբինացիայի ավելացման դեպքում որոշիչի արժեքը չի փոխվում (1-ին և 6-րդ հատկությունների հետևանք)։

Փաստը, որն ունի հիմնարար նշանակություն, հանդիսանում է որոշիչի ունիվերսալությունը որպես ամբողջական ռանգի բազմագծային կոսիմետրիկ ֆունկցիա, որի արգումենտները հանդիսանում են  (կամ վերջավոր բազիսով -ի  մոդուլը) վեկտորային տարածության տարրեր։ Ճշմարիտ է հետևյալը՝
Թեորեմ։ դիցուք -ն -րդ կարգի ազատ  մոդուլն է (-նիշային վեկտորային տարածություն -ի վրա, եթե -ը դաշտ է)։ դիցուք -ը -նիշային ֆունկցիա է -ի վրա, որը բավարարում է 1-ից 3-րդ հատկություններին։ Այդ դեպքում  տարածության  բազիսի ընտրության դեպքում գոյություն ունի այնպիսի  հաստատուն, որ ցանկացած  արժեքների դեպքում ճշմատրտ է հավասարությունը՝
 ,

որտեղ -ը  վեկտորի սյան կոորդինատն է  բազիսի նկատմամբ։

Որոշիչ և կողմնորոշված ծավալ 
դիցուք  երեք վեկտորներ են  տարածությունում։ Նրանք ձևավորում են զուգահեռանիստ, որի գագաթները գտնվում են  շառավիղ-վեկտորների կետերիում։ Այդ զուգահեռանիստը կարող է ձևավորվել, եթե  վեկտորները կոմպլանար են (գտնվում են մի հարթության վրա, գծային կախված են)։

 օրենտավորված ծավալի ֆունկցիան որոշվում է որպես զուգահեռանիստի ծավալ, ձևավորված այդ վեկտորներով, և վերցված են «+» նշանով, եթե  վեկտորների եռյակը դրական է օրենտացված, և «-» նշանով, եթե այն օրենտացված է բացասական։

 ֆունկցիան բազմագծային է և կոսիմետրիկ։ Ակնհայտ է, որ 3-րդ հատկությունը կատարված է։ Այս ֆունկցիայի բազմագծայնությունը ապացուցելու համար բավական է ապացուցել նրա գծայնությունն ըստ  վեկտորի։ Եթե  վեկտորը գծային կախված է, -ի արժեքը կլինի զրոյական, անկախ  վեկտորից, և նշանակում է, նրանից գծային կախված է։ Եթե  վեկտորը գծային կախված է, նշանակենք -ով միավոր նոմինալ վեկտորը  վեկտորների հարթության վրա այնպիսին, որ ։ Այդ դեպքում զուգահեռանիստի օրիենտավորված ծավալը հավասար է հիմքի մակերեսի, որը կազմված է  վեկտորներով, և  վեկտորից չկախված և  վեկտորի պրոյեկցիայի հիմքի նորմալի հանրահաշվական մեծության, որը հավասար է  սկալյար մեծությունների արտադրյալին և հանդիսանում է մեծություն, որը գծային կախված է  վեկտորին։ Ըստ -ի գծայնությունը ապացուցված է, և նմանատիպ ձևով ապացուցվում է մնացած արգումենտներով գծայնույունը։

Կիրառելով որոշիչի որոշիչի ունիվերսալության թեորեմը որպես կոսիմետրիկ բազմագծային ֆունկցիա, կստանանք, որ  տարածության  օրթոնորմավորված բազիսի ընտրության դեպքում՝
,

որտեղ -ը  վեկտորի կոորդինատներն են ընտրված բազիսում։

Այսպիսով, վեկտորների գործակիցների մատրիցայի որոշիչը ըստ օրթոնորմավորված բազիսի ունի զուգահեռանիստի օրենտավորված ծավալի իմաստ, կառուցված այդ վեկտորներով։

Վերոնշյալները առանց էական փոփոխության տեղափոխվում է կամայական չափի  տարածության վրա։

Ծանոթագրություններ 

Մաթեմատիկա
Գծային հանրահաշիվ
Մատրից
Մաթեմատիկական հասկացություններ