Տանգենսների թեորեմ

Տանգենսների թեորեմ, եռանկյան երկու անկյունների տանգենսները և այդ անկյունների դիմաց ընկած կողմերի երկարություններն իրար հետ կապող թեորեմ։

Չնայած նրան, որ տանգենսների թոերեմն այնպիսի լայն հայտնիություն չունի, ինչպես սինուսների և կոսինուսների թեորեմները, բավականին օգտակար թեորեմա է, և կարող է կիրառվել այն դեպքերում, երբ հայտնի են եռանկյան երկու կողմերն ու մի անկյունը, կամ, ընդհակառակը, երկու անկյունը և մեկ կողմը։

Պատմություն 
Տանգենսների թեորեմը գնդային անկյունների համար XIII դարում նկարագրել է պարսկական մաթեմատիկ Նասր ալ-Դին Թուսին (1201—1274), որը նաև իր հինգ տոմանոց «Տրակտատ լիարժեք քառանկյան մասին» աշխատության մեջ հարթ եռանկյունների համար ներկայացրել է սինուսների թեորեման։

Թեորեմն անվանում են նաև «Ռեգիոմոնտանի բանաձև», գերմանացի աստղագետ և մաթեմատիկոս Յոհաննա Մյուլլերի պատվին, ով դուրս էր բերել այդ բանաձևը (): Մյուլլերին անվանեցին «Կյոնիգսբերժեց», գերմաներն՝ König՝ արքա, Berg՝ սար, իսկ լատիներեն «արքա» և «սար» ուղղական հովով՝ regis և montis: Այստեղից «Ռեգիոմոնտան»-ը Մյուլլերի լատինացված ազգանունն է։

Նկար 1-ում a, b, և c-ն եռանկյան երեք կողմերի երկարություններն են, α, β, և γ-ն համապատասխան կողմերի դիմաց ընկած անկյուներն են (դիմացի անկյունները)։ Տանգենսների թեորեմը պնդում է, որ

Ապացույց 
Տանգենսների թեորեմը կարելի է ապացուցել սինուսների թեորեմի միջոցով.

 

Թող՝

 

որտեղից

 
 

Այստեղից հետևում է, որ

 

Հայտնի եռանկյունաչափական նույնությունն օգտագործելով

 

ստանում ենք.

 

Երկու անկյունների սինուսների գումարի և տարբերության փոխարեն ապացույցի մեջ կարելի է կիրառել հետևյալ հայտնի նույնությունը.

 :

Մոլվեյդի բանաձևերի կիրառմամբ մեկ այլ ապացույց 
Մոլվեյդի բանաձևերն ունեն հետևյալ տեսքը
 
 

որտեղ -ն համապատասխան գագաթներով եռանկյան անկյուններն են և -ն՝ համապատասխանաբար  և ,  և ,  և  գագաթների միջև ընկած կողմերի երկարությունները։

 Մասերի բաժանելով վերջին հավասարությունների աջ և ձախ մասերը և իրար հավասարեցնելով ստացված երկու արդյունքները, ունենում ենք.
 
 Հաշվի առնելով, որ , վերջնական ունենում ենք. 
 

ինչն էլ պահանջվում էր ապացուցել։

Տես նաև 
 Եռանկյունների լուծում
 Կոսինուսների թեորեմ
 Կոտանգենսների թեորեմ
 Սինուսների թեորեմ
 Եռանկյունաչափական նույնություններ
 Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ

Ծանոթագրություններ 

Եռանկյան երկրաչափություն
Եռանկյունաչափություն
Հարթաչափություն
Մաթեմատիկայի պատմություն