Ռասելի պարադոքս

Ռասելի պարադոքս (Ռասելի անտինոմիա, նաև Ռասել-Ցերմելոյի պարադոքս), 1901 թվականին Բերտրան Ռասելի հայտնաբերած տեսական պարադոքսը (անտինոմիա), որը ցույց է տալիս Ֆրեգեի տրամաբանական համակարգի հակասականությունը, Գեորգ Կանտորի բազմությունների նաիվ տեսության ձևայնացման վաղ փորձը։ Հայտնաբերվել է ավելի վաղ Էռնստ Ցերմելոյի կողմից, բայց չի հրատարակվել։

Ոչ ֆորմալ լեզվով պարադոքսը կարելի է նկարագրել այսպես։ Բազմությունը կոչենք «սովորական», եթե այն իր տարրը չէ։ Օրինակ՝ բոլոր մարդկանց բազմությունը «սովորական» է, քանի որ ինքնին բազմությունը անձնավորություն չէ։ «Ոչ սովորական» բազմության օրինակ է բոլոր բազմությունների բազմությունը, քանի որ այն նույնպես բազմություն է, և, հետևաբար, ինքն էլ իր սեփական տարրն է։ Կարելի է դիտարկել բազմություն, որը բաղկացած է միայն բոլոր «սովորական» բազմություններից, նման բազմությունը կոչվում է ռասելյան բազմություն։ Պարադոքսը ծագում է այն ժամանակ, երբ փորձ է արվում պարզել, թե արդյոք բազմությունը «սովորական» է, թե ոչ, այսինքն՝ այն պարունակում է իրեն՝ որպես տարր։ Կան երկու հնարավորությունները.

 Մի կողմից, եթե դա «սովորական» է, ապա այն պետք է ներառի իրեն՝ որպես տարր, քանի որ այն, ըստ սահմանման, բաղկացած է բոլոր «սովորական» բազմություններից։ Բայց այդ ժամանակ այն չի կարող լինել «սովորական», քանի որ «սովորական» բազմություններ են նրանք, որոնք իրենց չեն ներառում։
 Մնում է ենթադրել, որ այդ բազմությունը «ոչ սովորական» է։ Սակայն այն չի կարող ներառել իրեն՝ որպես տարր, քանի որ այն, ըստ սահմանման, պետք է բաղկացած լինի միայն «սովորական» բազմություններից։ Բայց եթե այն չի ներառում իրեն՝ որպես տարր, ապա դա «սովորական» բազմություն է։

Ամեն դեպքում, հակասություն է ստացվում։

Պարադոքսի ձևակերպում 
Ռասելի պարադոքսը կարող է ձևակերպվել բազմությունների նաիվ տեսությունում։ Հետևաբար, բազմությունների նաիվ տեսությունը հակասական է։ Հակասական է բազմությունների նաիվ տեսության այն հատվածը, որը կարող է սահմանվել որպես առաջին կարգի տեսություն՝ անդամակցական  բինար կապով և հաշվման սխեմայով, մեկ ազատ փոփոխականով յուրաքանչյուր տրամաբանական  բանաձևի համար բազմությունների նաիվ տեսության մեջ կա աքսիոմա

 .

Աքսիոմների այս սխեման ասում է, որ ցանկացած  պայմանի համար գոյություն ունի  բազմություն, որը կազմված է այն -երից, որոնք բավարարում են  պայմանին։

Սա բավարար է Ռասելի պարադոքսը հետևյալ կերպ ձևակերպելու համար։ Եթե   բանաձև է (այսինքն՝  նշանակում է, որ  բազմությունը չի պարունակում իրեն՝ որպես տարր, կամ, մեր տերմինաբանությամբ, այն «սովորական» բազմություն է)։ Այդ դեպքում կգտնվի  բազմություն (ռասելյան բազմություն), որ․

 

Քանի որ դա ճիշտ է ցանկացած -ի համար, ապա ճիշտ է  դեպքում, այսինքն՝

 

Սրանից հետևում է, որ բազմությունների նաիվ տեսության մեջ կա հակասություն։

Պարադոքսը չի առաջանա, եթե ենթադրենք, որ ռասելյան բազմություն գոյություն չունի։ Այնուամենայնիվ, նման ենթադրությունը պարադոքսալ է. բազմությունների կանտորյան տեսության մեջ ենթադրվում է, որ ցանկացած հատկություն որոշում է տարրերի բազմությունը, որոնք բավարարում են այդ հատկությանը։ Քանի որ բազմության՝ «սովորական» լինելու հատկությունը ճիշտ սահմանված է, ապա պետք է գոյություն ունենա բոլոր «սովորական» բազմությունների բազմություն։ Ներկայում այդ տեսությունը կոչվում է բազմությունների նաիվ տեսություն։

Պարադոքսի հայտնի տարբերակներ 
Գոյություն ունեն Ռասելի պարադոքսի մի քանի տարբերակներ։ Ի տարբերություն պարադոքսի, նրանք, որպես կանոն, չեն կարող արտահայտվել ֆորմալ լեզվով։

Ստախոսի պարադոքս 

Ռասելի պարադոքսը կապված է դեռևս հին ժամանակներից հայտնի ստախոսի պարադոքսի հետ, որը բաղկացած է հետևյալ ասույթից.
Տվյալ ասույթը սուտ է։
Ճի՞շտ է այս ասութը, թե՞ ոչ։
Հեշտ է ասել, որ այս ասույթը, ոչ ճիշտ է, ոչ էլ սխալ։

Ռասելն այս պարադոքսի մասին գրել է։
Սա հին հանելուկ է, որին ոչ ոք չի վերաբերվել ավելին, քան կատակի, քանի դեռ չի պարզվել, որ այս հարցը կապված է այնպիսի կարևոր ու գործնական խնդիրների հետ, ինչպիսիք են ամենամեծ կարդինալ կամ օրդինալ թվի գոյությունը։
Ռասելն ստախոսի պարադոքսը բացատրել է հետևյալ կերպ։ Ասույթի վերաբերյալ որևէ բան ասելու համար նախ պետք է բնորոշել «ասույթ» հասկացությունը, ընդ որում՝ չօգտագործելով դեռևս չսահմանված հասկացություններ։ Այսպիսով, կարելի է որոշել առաջին տիպի ասույթներ, որոնք ոչինչ չեն ասում ասույթների մասին։ Այնուհետև կարելի է որոշել երկրորդ տիպի ասույթները, որոնք խոսում են առաջին տիպի ասույթների մասին և այլն։ «Այս ասույթը կեղծ է» ասույթը չի ընկնում այդ սահմանումներից որևէ մեկի տակ և այդպիսով իմաստ չունի։

Սափրիչի պարադոքսը 
Ռասելը նշել է պարադոքսի հետևյալ տարբերակը, որը ձևակերպված է որպես հանելուկ, որը նրան հուշել է ինչ-որ մեկը:
Մի գյուղում ապրում է սափրիչ, որը սափրում է գյուղի բոլոր բնակիչներին, որոնք չեն սափրում իրենց և միայն նրանց։
Վարսավիրը սափրու՞մ է իրեն։
Ցանկացած պատասխան հանգեցնում է հակասության։ Ռասելը նշում է, որ այս պարադոքսը համարժեք չէ իր պարադոքսին և հեշտությամբ լուծվում է։ Ճիշտ այնպես, ինչպես Ռասելի պարադոքսը ցույց է տալիս, որ գոյություն չունի ռասելյան բազմություն, սափրիչի պարադոքսը ցույց է տալիս, որ նման սափրիչ պարզապես գոյություն չունի։ Տարբերությունն այն է, որ այդպիսի սափրիչի գոյության մեջ զարմանալի բան չկա․ ոչ բոլոր հատկությունների համար կգտնվի սափրիչ, որը սափրում է այդ հատկությունն ունեցող մարդկանց։ Սակայն այն, որ գոյություն չունի մի շարք միանգամայն որոշակի հատկություններով օժտված տարրերի բազմություն, հակասում է բազմությունների վերաբերյալ նաիվ պատկերացմանը և պահանջում է բացատրություն։

Տարբերակ կատալոգների վերաբերյալ 
Ձևակերպումով Ռասելի պարադոքսին առավել մոտ է նրա հետևյալ տարբերակը.
Մատենագիտական կատալոգները գրքեր են, որոնք նկարագրում են այլ գրքեր։ Որոշ կատալոգներ կարող են նկարագրել այլ կատալոգներ։ Որոշ կատալոգներ կարող են նկարագրել նույնիսկ իրենց։
Հնարավո՞ր է կազմել բոլոր այն կատալոգների կատալոգը, որոնք չեն նկարագրում իրենց։ Պարադոքսն առաջանում է, երբ փորձ է արվում որոշել, թե արդյոք այդ կատալոգը պետք է նկարագրի իրեն։ Չնայած ձևակերպումների ակնհայտ մոտիկությանը (սա իրականում Ռասելի պարադոքսն է, որում կատալոգների փոխարեն օգտագործվում են բազմություները), այս պարադոքսը, ինչպես և սափրիչի պարադոքսը, պարզ լուծում ունի։ Նման կատալոգը հնարավոր չէ կազմել։

Գրելինգ-Նելսոնի պարադոքս 
Այս պարադոքսը ձևակերպվել են գերմանացի մաթեմատիկոսներ Կուրտ Գրելինգը և Լեոնարդ Նելսոնը 1908 թվականին։ Այն , ըստ էության, Ռասելի պարադոքսի նախնական տարբերակի թարգմանությունը, որը նա շարադրել է պրեդիկատների տրամաբանության տերմիններով, ոչ մաթեմատիկական լեզվով:
Ածական կոչենք ռեֆլեքսիվ, եթե այդ ածականը ունի իր սահմանված հատկությունը։ Օրինակ, «հայերեն», «ածանցավոր» ածականներն ունեն այն հատկությունները, որոնք իրենք որոշում են («հայերեն» ածականը հայերեն է, իսկ «ածանցավոր» ածականը՝ ածանցավոր), այդ պատճառով նրանք ռեֆլեքսիվ են, իսկ «գերմաներեն», «միավանկ» ածականները ոչ ռեֆլեքսիվ են։
Արդյո՞ք «չ ռեֆլեքսիվ» ածականը ռեֆլեքսի՞վ է, թե՞ ոչ։
Ցանկացած պատասխան հանգեցնում է հակասության։ Ի տարբերություն սափրիչի պարադոքսի՝ այս պարադոքսի լուծումն այնքան էլ պարզ չէ։ Հնարավոր չէ պարզապես ասել, որ նման ածական («ոչ ռեֆլեքսիվ») գոյություն չունի, քանի որ դրանից առաջ այն բնորոշվել է։ Պարադոքսն առաջանում է այն պատճառով, որ «ոչ ռեֆլեքսիվ» տերմինի սահմանումը ինքնին ճշգրիտ չէ։ Այս տերմինի սահմանումը կախված է ածականի նշանակությունից, որի վերաբերյալ այն կիրառվում է։ Եվ քանի որ «ոչ ռեֆլեքիվ» բառը ինքնին ածական է սահմանման մեջ, առաջանում է տրամաբանական շրջան։

Պատմություն 
Ռասելն իր պարադոքսը հավանաբար հայտնաբերել է 1901 թվականի մայիսին կամ հունիսին։ Ըստ Ռասելի, ինքը փորձել է սխալ գտնել Կանտորի այն պարադոքսալ փաստի ապացուցման մեջ (որը հայտնի է որպես Կանտորի պարադոքս), թե գոյություն չունի ամենամեծ կարդինալ թիվ (կամ բոլոր բազմությունների բազմություն)։ Արդյունքում Ռասելն ստացել է ավելի պարզ պարադոքս։ Ռասելն իր պարադոքսն ներկայացրել է այլ տրամաբանների, մասնավորապես Ալֆրեդ Նորթ Ուայտհեդին և Ջուզեպե Պեանոյին։ 1902 թվականի հունիսի 16-ի՝ Գոտլոբ Ֆրեգեին ուղղված իր նամակում նա գրել է, որ հակասություն է գտել «Հասկացությունների հաշվարկում»՝ Ֆրեգեի գրքում, որը լույս է տեսել 1879 թվականին։ Նա սահմանել է իր պարադոքսը տրամաբանության տերմիններով, իսկ այնուհետև՝ բազմությունների տեսության տերմիններով՝ օգտագործելով Ֆրեգեի սահմանումը ֆունկցիայի համար։
Ես դժվարություններ եմ հանդիպել միայն մի տեղ։ Դուք պնդում եք (էջ 17), որ ֆունկցիան ինքը կարող է հանդես գալ որպես անհայտ։ Ես նույնպես այդպես էի մտածում։ Բայց հիմա նման տեսակետը ինձ համար կասկածելի է թվում հետևյալ հակասության պատճառով։ Ընդունենք w պրեդիկատը․ «լինել պրեդիկատ, որը կիրառելի չէ ինքն իր նկատմամբ»։ Կարո՞ղ է w-ն կիրառելի լինել իր վերաբերյալ։ Ցանկացած պատասխանից հետևում է հակառակը։ Հետևաբար, պետք է եզրակացնենք, որ w-ը պրեդիկատ չէ։ Նմանապես, գոյություն չունի այնպիսի դասերի դաս (որպես ամբողջություն), որոնք, վերցվելով որպես ընդհանրություն, իրենց չեն պատկանում։ Դրանից ես եզրակացնում եմ, որ երբեմն որոշակի բազմությունը չի ստեղծում ամբողջական կազմություն։
Ֆրեգեն նամակն ստացել է հենց այն ժամանակ, երբ ավարտել է աշխատանքը «Թվաբանության հիմնական օրենքների» () երկրորդ հատորի վրա։ Ֆրեգեն ժամանակ չի ունեցել ուղղումներ կատարելու իր բազմությունների տեսությունում։ Նա միայն ավելացրել է երկրորդ հատորի հավելվածը՝ պարադոքսի շարադրանքով և իր վերլուծությամբ, որն սկսվել է հայտնի դատողությունից:Դժվար թե գիտնականի հետ պատահի ինչ-որ ավելի վատ բան, քան եթե նրա ոտքերի տակից հող փախցնեն այն պահին, երբ նա ավարտի իր աշխատանքը։ Հենց այդ վիճակում հայտնվեցի ես՝ նամակ ստանալով Բերտրան Ռասելից, երբ իմ աշխատանքն արդեն ավարտվել էր։
Հետագայում Ֆրեգեն առաջարկել է իր տեսությունը շտկելու հետևյալ եղանակը՝ Ռասելի պարադոքսից խուսափելու համար։ Հետևյալ աքսիոմի փոխարեն,

 ,

որն ասում է, թե կարելի է կառուցել  հատկությանը բավարարող տարրերի  բազմություն, նա առաջարկել է օգտագործել հետևյալ աքսիոմը.

 ,

այդպիսով բացառելով բազմության՝ ինքն իր տարրը դառնալու հնարավորությունը։ Այնուամենայնիվ, Ռասելի պարադոքսի մի փոքր փոփոխությունն ապացուցում է, որ այս աքսիոմը նույնպես բերում է հակասության, կարելի է դիտարկել  սինգլետոնների  բազմությունը, երբ , այդ դեպքում  կլինի անտինոմիա։

Ռասելն իր իր պարադոքսը հրատարակել է 1903 թվականին իր «Մաթեմատիկայի սկզբունքներ» () գրքում։

Էռնստ Զերմելոն պնդել է, որ հայտնաբերել է այդ պարադոքսը, անկախ Ռասելից, և այդ մասին հաղորդել է Դավիթ Հիլբերտին և այլոց 1903 թվականից առաջ։ Հիլբերտը դա հաստատել է՝ 1903 թվականի նոյեմբերի 7-ին գրելով Ֆրեգին, որ ինքը գիտեր այդ պարադոքսի մասին։ Հիլբերտը գրել է. «Կարծում եմ, որ Ցերմելոն գտել է այն 3-4 տարի առաջ... Ես գտել եմ այլ էլ ավելի համոզիչ հակասություններ 4-5 տարի առաջ»։ Բացի այդ, 1978 թվականին այդ պարադոքսի ձևակերպումը հայտնաբերվել է Էդմունդ Հուսերլի թղթերում, որը Ցերմելոն հայտնել է Հուսերլին 1902 թվականի ապրիլի 16-ին։ Այս ձևակերպման մեջ ապացուցվում է, որ M բազմությունը, որը պարունակում է իր բոլոր ենթաբազմությունները՝ որպես տարրեր, հանգեցնում է հակասության։ Ապացույցի համար դիտարկվում է M ենթաբազմությունը, որը բաղկացած է այն բազմություններից, որոնք չեն պարունակում իրենք իրենց։

Լուծման տարբերակներ 
Ռասելի պարադոքսում սխալ չկա։ Այն իրոք ապացուցում է բազմությունների նաիվ տեսության հակասական բնույթը։ Հակասություններից ազատվելու համար պետք է ուղղել բազմությունների տեսությունը, որպեսզի այն թույլ չտա Ռասելի բազմության գոյությունը։ Դա կարելի է անել մի քանի եղանակով։ Առավել բնական եղանակն այն է, որ այս կամ այն ​​կերպ արգելվեն այն բազմությունները, որոնք կարող են պարունակել իրենց՝ որպես տարր։ Այսպիսով, արգելվում է նաև բոլոր բազմությունների բազմությունը (համենայն դեպս, բոլոր բազմությունների բազմությունը չի լինի բազմություն)։ Այնուամենայնիվ, պետք է հաշվի առնել, որ, մի կողմից, պարզապես բազմության՝ իրեն որպես տարր ունենալն արգելելը բավարար չէ հակասությունից ազատվելու համար (ինչպես ցույց է տվել Ֆրեգեի՝ իր համակարգը շտկելու առաջին փորձը)։ Մյուս կողմից, բազմության՝ իրեն որպես տարր պարունակելու հնրավորությունը չի հանգեցնում հակասությունների։ Օրինակ, ոչինչ չի խանգարում ստեղծել կատալոգ, որը կներառի բոլոր կատալոգները՝ այդ թվում նաև նկարագրելով հենց իրեն։ Ծրագրավորման բազմաթիվ լեզուներ կոնտեյներներին թույլ են տալիս ներառել իրենց՝ որպես տարր։ Կան տրամաբանական համակարգեր, որոնք զերծ են ռասելյան տիպի պարադոքսներից, որոնք թույլ են տալիս բազմություններին պարունակել իրենց (օրինակ, New Foundations, Ուիլլարդ Վան Օրման Քուայն)։

Ստորև բերված են աքսիոմների համակարգի կառուցման հնարավոր մոտեցումներից մի քանիսը, որոնք զերծ են ռասելյան պարադոքսներից։

Ռասելի տիպերի տեսություն 
Առաջինը Ռասելն է առաջարկել իր պարադոքսից ազատ տեսությունը։ Նա մշակել է տիպերի տեսություն, որի առաջին տարբերակը հայտնվել է Ռասելի «Մաթեմատիկայի սկզբունքներ» գրքում 1903 թվականին։ Այս տեսության հիմքում ընկած է հետևյալ գաղափարը. այս տեսության պարզ օբյեկտներն ունեն 0 տիպ, պարզ օբյեկտների բազմություններն ունեն 1 տիպ, պարզ օբյեկտների բազմությունների բազմություններն ունեն 2 տիպ և այլն։ Այսպիսով, ոչ մի բազմազանություն չի կարող ունենալ իրեն՝ որպես տարր։ Ոչ բոլոր բազմությունների բազմությունը, ոչ էլ ռասելյան բազմությունը չեն կարող որոշվել այս տեսությունում։ Նմանատիպ հիերարխիան ներկայացվում է ասույթների և հատկությունների համար։ Պարզ օբյեկտների մասին ասույթները պատկանում են 1-ին տիպին, 1 տիպի ասույթների հատկությունների մասին ասույթները՝ 2-ին և այլն։ Ընդհանուր առմամբ, սահմանման գործառույթը պատկանում է ավելի բարձր տիպին, քան փոփոխականները, որոնցից այն կախված է։ Այս մոտեցումը թույլ է տալիս ազատվել ոչ միայն Ռասելի պարադոքսից, այլև շատ այլ պարադոքսներից, ներառյալ ստախոսի պարադոքսը, Գրելինգ-Նելսոնի պարադոքսը, Բուրալի-Ֆորտիի պարադոքսը։ Ռասելը և Ուայթհեդը ցույց են տվել, թե ինչպես կարելի է տիպերի տեսության աքսիոմներին հանգեցնել ամբողջ մաթեմատիկան՝ «Մաթեմատիկայի սկզբունքներ» եռահատոր աշխատությունում, որը լույս է տեսել է 1910-1913 թվականներին։

Այնուամենայնիվ, այս մոտեցումը բախվել է դժվարությունների։ Մասնավորապես, խնդիրներ են առաջանում, երբ սահմանվում են այնպիսի հասկացություններ, ինչպիսիք են իրական թվերի բազմության ճշգրիտ վերին սահմանը։ Ըստ սահմանման՝ ճշգրիտ վերին սահմանը բոլոր վերին սահմաններից ամենափոքրն է։ Հետևաբար ճշգրիտ վերին սահմանը որոշելիս օգտագործվում է իրական թվերի շարք։ Հետևաբար ճշգրիտ վերին սահմանը ավելի բարձր տիպի օբյեկտ է, քան իրական թվերը։ Եվ դա նշանակում է, որ այն ինքնին իրական թիվ չէ։ Դրանից խուսափելու համար անհրաժեշտ էր ներդնել, այսպես կոչված, կրճատելիության աքսիոմը։ Իր կամայականության պատճառով շատ մաթեմատիկոսներ հրաժարվել են ընդունել կրճատելիության աքսիոմը, և հենց ինքը՝ Ռասելը, այն անվանել է թերություն իր տեսության մեջ։ Բացի այդ, պարզվել է, որ տեսությունը շատ բարդ է։ Արդյունքում, այն լայնորեն չի օգտագործվել։

Ցերմելո-Ֆրենկելի սահմանած տեսություն 
Մաթեմատիկայի աքսիոմատացման ամենահայտնի մոտեցումը Ցերմելո-Ֆրենկելի (ZF) բազմությունների տեսությունն է, որը ծագել է որպես Ցերմելոյի տեսություն (1908)։ Ի տարբերություն Ռասելի, Ցերմելոն պահպանել է տրամաբանական սկզբունքները, և փոխել է միայն բազմությունների տեսության աքսիոմները։ Այս մոտեցման գաղափարն այն է, որ թույլատրվում է օգտագործել միայն այն բազմությունները, որոնք կառուցված են արդեն կառուցված խմբերից որոշակի աքսիոմների հավաքածուի օգնությամբ։ Այսպես, օրինակ, Ցերմելոյի աքսիոմներից մեկն ասում է, որ կարելի է կառուցել այս բազմության բոլոր ենթաբազմությունների բազմութոյւնը (բուլեանի աքսիոմ)։ Մեկ այլ աքսիոմ (առանձնացման սխեմա) ասում է, որ յուրաքանչյուր հավաքածուից կարելի է առանձնացնել տվյալ հատկություններով օժտված տարրերի ենթաբազմությունը։ Սա Ցերմելոյի բազմությունների տեսության և բազմությունների նաիվ տեսության հիմնական տարբերությունն է. բազմությունների նաիվ տեսությունը կարող է դիտարկել բոլոր տարրերի բազմությունը, որոնք ունեն այս հատկությունը, իսկ Ցերմելոյի բազմությունների տեսության մեջ կարելի է միայն առանձնացնել ենթաբազմություն արդեն կառուցված բազմությունից։ Ցերմելոյի բազմությունների տեսության մեջ չի կարելի կառուցել բոլոր բազմությունների բազմությունը։ Այսպիսով, Ռասելի բազմություն նույնպես հնարավոր չէ կառուցել։

Դասեր 
Երբեմն մաթեմատիկայում օգտակար է դիտարկել բոլոր բազմությունները՝ որպես ամբողջություն, օրինակ՝ դիտարկելու համար բոլոր խմբերի ամբողջականությունը։ Դրա համար բազմությունների տեսությունը կարող է ընդլայնվել դասի հասկացությամբ, ինչպես, օրինակ, Նեյման-Բեռնայս-Գյոդելի համակարգում (NBG): Այդ տեսության մեջ բոլոր բազմությունների ամբողջությունը դասն է։ Այնուամենայնիվ, այդ դասը բազմություն չէ և որևէ դասի տարր չէ, ինքը թույլ է տալիս խուսափել Ռասելի պարադոքսից։

Ավելի ուժեղ համակարգի օրինակ է, որը թույլ է տալիս վերցնել քվանտորներն ըստ դասերի, այլ ոչ թե միայն ըստ բազմությունների, Մորս-Քելլի բազմությունների տեսություն (Morse–Kelley set theory, MK)։ Այս տեսության մեջ հիմնական հասկացությունը դասի, այլ ոչ թե բազմության հասկացությունն է։ Այս տեսության մեծ բազմություններ համարվում են այն դասերը, որոնք իրենք որոշ դասերի տարրեր են։ Այս տեսության մեջ  բանաձևը համարվում է համարժեք հետևյալ բանաձևին․

 .

Քանի որ  այս տեսության մեջ նշանակում է, որ  դասը բազմություն է, այս բանաձևը պետք է հասկանալ այնպես, որ  բոլոր  բազմությունների դաս է (ոչ թե դասեր) այնպես, որ ։ Այս տեսության մեջ Ռասելի պարադոքսը լուծվում է նրանով, որ ամեն բազմություն դաս չէ։

Կարելի է ավելի հեռու գնալ և դիտարկել դասերի ամբողջությունը՝ կոնգլոմերատները, կոնգլոմերատների ամբողջությունը և այլն։

Ազդեցությունը մաթեմատիկայի վրա

Մաթեմատիկայի աքսիոմատացում 
Ռասելի պարադոքսը, 20-րդ դարի սկզբին հայտնաբերված մաթեմատիկական այլ անտինոմիաների հետ միասին խթանել է մաթեմատիկայի հիմունքների վերանայումը, ինչը հանգեցրել է աքսիոմատիկ տեսությունների կառուցման մաթեմատիկան հիմնավորելու համար, որոնցից մի քանիսը նշված են վերևում։

Կառուցված բոլոր նոր աքսիոմատիկ տեսություններում պարադոքսները, որոնք հայտնի էին 20-րդ դարի կեսերին (այդ թվում՝ Ռասելի պարադոքսը), վերացվել են։ Սակայն պարզվել է, որ ապացուցել, թե նման նոր պարադոքսները չեն կարող հայտնաբերվել ապագայում (սա է կառուցված աքսիոմատիկ տեսությունների ոչ հակասականության խնդիրը), այդ խնդրի ժամանակակից ըմբռնման շրջանակներում, անհնար է։

Ինտուիցիոնիզմ 
Զուգահեռաբար առաջացել է մաթեմատիկայի նոր ուղղություն, որը կոչվում է ինտուիցիոնիզմ, որի հիմնադիրը Լեյզտեն Էգբերտ Յան Բրաուերն է։ Ինտուիցիոնիզմն առաջացել է Ռասելի պարադոքսից և այլ անտիինոմիաներից անկախ։ Սակայն բազմությունների տեսության մեջ անտինոմիայի հայտնաբերումն ուժեղացրել է ինտուիցիոնիստների անվստահությունը տրամաբանական սկզբունքների նկատմամբ և արագացրել ինտուիցիոնիզմի ձևավորումը։ Ինտուիցիոնիզմի հիմնական թեզն ասում է, որ որոշակի օբյեկտի գոյությունն ապացուցելու համար անհրաժեշտ է ներկայացնել դրա կառուցման եղանակը։ Ինտուիցիոնիստները մերժում են այնպիսի աբստրակտ հասկացությունները, ինչպիսին է բոլոր բազմությունների բազմությունը։ Ինտուիցիոնիզմը ժխտում է բացառված երրորդի օրենքը, սակայն հարկ է նշել, որ բացառված երրորդի օրենքը պետք չէ Ռասելի անտինոմիայից կամ ցանկացած ուրիշից հակասությունը դուրս բերելու համար (ցանկացած անտինոմիայում ապացուցվում է, որ  հանգեցնում է-ի ժխտման և -ի ժխտումը ենթադրում է , սակայն -ից նույնիսկ ինտուիցիոնիստական ​​տրամաբանության մեջ հետևում է հակասություն)։ Հարկ է նաև նշել, որ ինտուիցիոնիստական մաթեմատիկայի հետագա աքսիոմատացման մեջ հայտնաբերվել են ռասելյան պարադոքսի նման պարադոքսներ, ինչպես, օրինակ, Ժիրարի պարադոքսը Մարտին-Լյոֆի տիպերի ինտուիցիոնիստական տեսության նախնական ձևակերպման մեջ։

Անկյունագծային արգումենտ (ինքնակիրառելիություն) 
Չնայած Ռասելի դատողությունները հանգեցնում են պարադոքսի, այդ հիմնավորման հիմնական գաղափարը հաճախ օգտագործվում է մաթեմատիկական թեորեմների ապացույցման մեջ։ Ռասելն իր պարադոքսն ստացել է՝ վերլուծելով ամենամեծ կարդինալ թվի գոյություն չունենալու Կանտորի ապացույցը։ Այս փաստը հակասում է բոլոր բազմությունների բազմության գոյությանը, քանի որ դրա հզորությունը պետք է լինի առավելագույն։ Այնուամենայնիվ, ըստ Կանտորի թեորեմի, տվյալ բազմության բոլոր ենթաբազմությունների բազմությունն ավելի մեծ հզորություն ունի, քան հենց այդ բազմությունը։ Այս փաստի ապացույցը հիմնված է հետևյալ անկյունագծային արգումենտի վրա.

 Ենթադրենք կա փոխարժեք համապատասխանության, որը  բազմության յուրաքանչյուր  տարրի համապատասխանեցնում է  բազմության  ենթաբազմությունը։ Թող լինի  բազմությունը, որը բաղկացած է այնպիսի  տարրերից, որ  (անկյունագծային բազմություն)։ Այդ ժամանակ այդ բազմության  լրացումը չի կարող լինել  ոչ մեկը, հետևաբար, համապատասխանությունը փոխադարձաբար միարժեք չէր։

Կանտորը օգտագործել է անկյունագծային արգումենտը 1891 թվականին իրական թվերի չհաշվարկվելու ապացուցման ժամանակ (դա իրական թվերի չհաշվարկվելու նրա առաջին ապացույցը չէ, բայց ամենապարզն է)։

Կանտորի պարադոքսն ստացվում է, եթե այս արգումենտը կիրառվի բոլոր բազմությունների բազմության վերաբերյալ։ Փաստորեն, Ռասելի բազմությունը հավաքածուն Կանտորի  անկյունագծային բազմությունն է։ Անկյունագծային փաստարկն օգտագործվել է Ռասելից և Կանտորից առաջ (այն օգտագործվել է դեռևս 1875 թվականին Դուբուա Ռեյմոնի՝ մաթեմատիկական վերլուծության վերաբերյալ աշխատանքում)։ Սակայն Ռասելի պարադոքսում անկյունագծային արգումնետն առավել հստակ է բյուրեղացված։

Անկյունագծային արգումենտն օգտագործվել է մաթեմատիկայի բազմաթիվ ոլորտներում։ Օրինակ, այն կենտրոնական արգումենտ է Գյոդելի անավարտության թեորեմում, անլուծելի թվացող հաշվարկվող բազմության գոյության ապացուցման և, մասնավորապես, կանգառի խնդրի չլուծվող լինելու ապացուցման մեջ։

Առնչվող պարադոքսներ 
Ինքնակիրառելիությունն օգտագործվում է նաև շատ այլ պարադոքսներում (բացի վերոնշյալներից).

 Ամենակարողության պարադոքս – միջնադարյան հարց. «Կարո՞ղ է ամենակարող աստված ստեղծել այնպիսի քար, որը ինքը չկարողանա բարձրացնել»,
 Բուրալի-Ֆորտիի պարադոքս (1897) – Կանտորի պարադոքսի անալոգը օրդինալ թվերի համար,
 Միրիմանովի պարադոքս (1917) – Բուրալի-Ֆորտի պարադոքսի ընդհանրացումը բոլոր հիմնավորված դասերի դասի համար,
 Ռիշարի պարադոքս (1905) – իմաստային ​​պարադոքս, որը ցույց է տալիս մաթեմատիկայի և մետամաթեմատիկայի լեզուն առանձնացնելու կարևորությունը,
 Բերրիի պարադոքսը (1906) – Ռիշարի պարադոքսի՝ Ռասելի կողմից հրատարակված պարզեցված տարբերակը,
 Կլինի-Ռոսերի պարադոքս (1935) — Ռիշարի պարադոքսի ձևակերպումը λ-հաշվարկի տերմիններով,
 Կարրի պարադոքս (1941) – Կլինի-Ռոսերի պարադոքսի պարզեցված ձևը,
 Ժերարի պարադոքս (1972) – Բուրալի-Ֆորտի պարադոքսի ձևակերպումը տիպերի ինտուիցիոնիստական տեսության տերմիններով,
 Հետաքրքիր թվերի պարադոքս – կեսկատակ պարադոքսը, որը հիշեցնում է Բերրիի պարադոքսը։

Ծանոթագրություններ

Գրականություն 
 Ռիխարդ Կուրանտ, Հերբերտ Ռոբինս Ի՞նչ է մաթեմատիկան — գլուխ II, § 4.5
  
 D. C. Goldrei. Classic Set Theory: A Guided Independent Study — Chapman & Hall Mathematics, 1996.
 M. Foreman, A. Kanamori. Handbook of Set Theory — Springer, 2010.

Բազմությունների տեսություն