Սահման (մաթեմատիկա)

Սահման, արժեք մաթեմատիկայում, որին ֆունկցիան կամ հաջորդականությունը «ձգտում» են, երբ փոփոխականը «ձգտում» է որոշակի արժեքի։ Սահմանը հիմնական հասկացություն է մաթեմատիկական անալիզում և օգտագործվում է այնպիսի հասկացություններ սահմանելիս, ինչպիսիք են՝ անընդհատությունը, ածանցյալը և ինտեգրալը։

Հաջորդականության սահմանի ավելի ընդհանրացված գաղափարը տոպոլոգիական ցանցերի սահմանն է և սերտորեն կապված է կատեգորիաների տեսության սահմանի և ուղիղ սահմանի հետ։

Բանաձևերու ֆունկցիայի սահմանը սովորաբար նշանակվում է հետևյալ կերպ՝

և կարդացվում է « ֆունկցիայի սահմանը, երբ -ը ձգտում է -ի հավասար է -ի»։ Այս փաստը նաև նշանակում են հետևյալ կերպ՝
։

Ֆունկցիայի սահման 

Ենթադրենք -ը իրական ֆունկցիա է իսկ -ն՝ իրական թիվ։ Հետևյալ արտահայտությունը

ինտուիտիվ նշանակում է, որ  ֆունցիայի արժեքը կամայական չափով կարող է մոտենալ -ին՝  թիվը -ին բավարար մոտ ընտրելու դեպքում։ Այդ դեպքում ասում են, որ « ֆունկցիայի սահմանը, երբ -ը ձգտում է -ի հավասար է -ի»։

1821 թվականի Օգյուստեն Լուի Կոշին, հետագայում Կառլ Վայերշտրասը ձևակերպել են ֆունկցիայի սահմանի սահմանումը, որ այժմ հայտնի է սահմանի (ε, δ) սահմանում անվամբ։ Այս սահմանումը օգտագործում է հունարենի փոքրատառ ε տառը՝ կամայական դրական փոքր թիվ ներկայացնելու համար, հետևաբար՝  ֆունկցիան կամայական չափով մոտենում է -ին նշանակում է, որ  ֆունկցիան, ի վերջո, գտնվում է  միջակայքում, ինչը նաև կարելի է գրառել բացարձակ արժեքի նշանակմամբ՝  Այս դեպքում «-ը ձգտում է -ին» արտահայտությունը նշանակում է, որ մենք նկատի ունենք -ի այն արժեքները, որոնց հեռավորությունը -ից ավելի փոքր է, քան -ն (հունարենի այբբենարանի փոքրատառ դելտա տառը)։ Այլ կերպ ասած, այն -երը, որոնք գտնվում են  կամ  միջակայքում, ինչը կարելի է գրել  տեսքով։ Արտահայտության առաջին անհավասարությունը  կարևոր է, քանի որ այն ցույց է տալիս, որ ։

Սահմանի վերևի սահմանումը ճիշտ է անգամ եթե ։ Տրված  ֆունկցիան անգամ կարող է սահմանված չլինել  կետում։

Օրինակ, եթե

ուրեմն -ը սահմանված չէ, բայց երբ -ը ձգտում է -ի, -ը ձգտում է -ի.

Հետևաբար, -ի արժեքը կարող է -ին կամայական չափով մոտ լինել՝ 1-ին բավարար մոտ  ընտրելու դեպքում։

Այլ կերպ ասած, ։

Սա կարելի է հաշվել հանրահաշվորեն. մեկից տարբեր կամայական  թվի համար ։

Քանի որ  ֆունկցիան անընդհատ է 1 կետում, սահմանը գնելու համար կարելի է ֆունկցիայի մեջ տեղադրել  արժեքը, հետևաբար՝ ։

Իրական թվերից բացի սահմանված է ֆունկցիայի սահմանը անվերջությունում։ Օրինակ՝

 f(100) = 1.9900
 f(1000) = 1.9990
 f(10000) = 1.99990

Շատ մեծ  արժեքների դեպքում  ֆունկցիայի արժեքը 2-ին կամայական չափով մոտ կարող է լինել։ Այս դեպքում ասում են, որ  ֆունկցիան ձգտում է 2-ի, երբ -ը ձգտում է անվերջության։ Այս փաստը նշանակում են հետևյալ կերպ՝
։

Հաջորդականության սահման 

Ենթադրենք -ը իրական թվերի հաջորդականություն է։ Ասում են, որ  իրական թիվը այս հաջորդականության սահմանն է, եթե

,

որը կարդում են՝
 հաջորդականությանը սահմանը, երբ -ը ձգտում է անվերջության,  է։

Այս արտահայտությունը նշանակում է, որ 
Կամայական  իրական թվի համար գոյություն ունի այնպիսի  բնական թիվ, որ բոլոր  թվերի համար ճիշտ է  արտահայտությունը։

Ինտուիտիվ սա նշանակում է, որ ի վերջո հաջորդականության բոլոր անդամները սահմանին կամայական չափով մոտ կլինեն, քանի որ  բացարձակ արժեքը -ի և -ի հեռավորությունն է։ Ոչ բոլոր հաջորդականությունները ունեն սահման։ Սահման ունեցող հաջորդականությունները կոչվում են զուգամետ հաջորդականություններ, իսկ չունեցողները՝ տարամետ։ Զուգամետ հաջորդականությունները ունեն մեկ սահման։

Հաջորդականության և ֆունկցիայի սահմանները սերտորեն կապված են։ Օրինակ՝  հաջորդականության սահմանը, երբ -ը ձգտում է անվերջության, նույնն է ինչ  բնական թվերի վրա սահմանված ֆունկցիայի սահմանը անվերջությունում։

Ծանոթագրություններ

Արտաքին հղումներ 
 
 Mathwords: Limit,

Մաթեմատիկական անալիզ
Սահման (մաթեմատիկա)
Իրական անալիզ