Մյոբիուսի ֆունկցիա

Մյոբիուսի ֆունկցիա, մուլտիպլիկատիվ թվաբանական ֆունկցիա, որը կիրառվում է թվերի տեսության մեջ և կոմբինատորիկայում։ Անվանվել է գերմանացի մաթեմատիկոս Ավգուստ Մյոբիուսի պատվին, որը առաջին անգամ դիտարկել է այն 1831 թվականին։

Սահմանում 
 որոշված է բոլոր  բնական թվերի համար, ընդունում է -1,0,1 արժեքները՝ կախված  թվի պարզ արտադրիչների վերլուծման բնույթից։
 , եթե -ը ազատ է քառակուսուց(չի բաժանվում ոչ մի պարզ թվի քառակուսու վրա), իսկ պարզ արտադրիչների վերլուծությունում արտադրիչների քանակը զույգ է։
 , եթե -ը ազատ է քառակուսուց, իսկ պարզ արտադրիչների վերլուծությունում արտադրիչների քանակը կենտ է։
 , եթե -ը ազատ չէ քառակուսուց։
Ըստ սահմանման ընդունված է համարել ։

Հատկություններ 

 Մյոբիուսի ֆունկցիան մուլտիպլիկատիվ է՝ ցանկացած  և  փոխադարձ պարզ թվերի համար ճիշտ է  հավասարությունը։
 ամբողջ թվի բոլոր բաժանարարների Մյոբիուսի ֆունկցիայի արժեքների գումարը հավասար է 0-ի։ 
 
Սա հետևում է այն բանից, որ ցանկացած ոչ դատարկ վերջավոր բազմության կենտ էլեմենտներով ենթաբազմությունների քանակը հավասար է զույգ էլեմենտներով ենթաբազմությունների քանակին։

 
  որտեղ n -ը դրական ամբողջ թիվ է։
 
 Մյոբիուսի ֆունկցիան սերտ կապված է Ռիմանի զետա ֆունկցիայի  հետ։ Մյոբիուսի ֆունկցիայով են արտահայտվում Դիրիխլիեյի ֆունկցիայի շարքի գործակիցները, որոնք մուլտիպլիկատիվ հակադարձ են Ռիմանի զետա ֆունկցիային․
 .

Շարքը բացարձակ զուգամետ է  ուղղի վրա,  ուղղի վրա զուգամիտում է պայմանական,  միջակայքում պայմանական զուգամիտությունը համարժեք է Ռիմանի հիպոթեզին, իսկ  դեպքում շարքը չի զուգամետում։

Երբ  ճիշտ է նաև․

 
  որտեղ p — պարզ թիվ է։
 Մյոբիուսի ֆունկցիան կապված է նաև Մերտենսի ֆունկցիայի հետ, որը կապված է  Ռիմանի զետա ֆունկցիայի զրոյական կետերի հետ։

 

 Ճշմարիտ են նաև․

  երբ 
 ,

Բազմության զրոների գծային խտությունը հավասար է , իսկ միավորների խտությունը՝ ։

Մյոբիուսի հղում

Մյոբիուսի հղման առաջին բանաձև 

Երկու թվաբանական  և  ֆունկցիաների համար

 
այն և միայն այն դեպքում, երբ
 ։

Մյոբիուսի հղման երկրորդ բանաձևը 
Երկու իրական  և   ֆունկցիաների համար, որոնք որոշված են   համար
 
այն և միայն այն դեպքում, երբ
 ։
Այստեղ  գումարը  մեկնաբանվում է որպես ։

Մյոբիուսի ընդհանրացված թեորեմը 
Դիցուք տրված է որոշակի կարգավորված բազմություն  հարաբերությամբ։ Համարենք, որ ։

Սահմանում 
Մյոբիուսի ընդհանրացված ֆունկցիան  որոշվում է
  ռեկուրենտ առընչությամբ։

Հղման բանաձևը 
Դիցուք g և f ֆունկցիաները ընդունում են իրական արժեքներ  բազմության վրա և տեղի ունի  պայմանը։

 Ապա ։

Կապը Մյոբիուսի դասական ֆունկցիայի հետ 
Եթե  բազմության փոխարեն դիտարկենք բնական թվերի բազմությունը, իսկ  հարաբերության փոխարեն  հարաբերությունը, ապա կստանանք  , որտեղ  - Մյոբիուսի դասական ֆունկցիան է։

Տես նաև 
Դիրիխլեյի բանաձևը

Գրականություն 
 Ի․ Մ․ Վինոգրադով, Թվերի տեսության հիմունքներ, 9-րդ հրատարակություն, Մ․1981։

Արտաքին հղումներ 
 Лекторий МФТИ. Райгородский А.М. - Основы комбинаторики и теории чисел. Лекция №5, 2013.
 Лекторий МФТИ. Райгородский А.М. - Основы комбинаторики и теории чисел. Лекция №6, 2013.
 Обобщённая формула обращения Мёбиуса

Ֆունկցիա
Ֆունկցիաների տեսակներ