Գծային արտապատկերում

Գծային արտապատկերում - փաստարկների և արժեքների ավելի ընդհանուր շարքի համար գծային թվային ֆունկցիայի ընդհանրացում (ավելի հստակ՝ ) տեսքի ֆունկցիաներ։

Գծային արտապատկերումը, ի տարբերություն ոչ գծայինի, բավականին լավ ուսումնասիրված է, ինչը հնարավորություն է տալիս այն հաջողությամբ կիրառել ընդհանուր տեսության վրա, քանի որ նրանց հատկությունները կախված չեն մեծություններից։

Գծային օպերատորը (ձևափոխումը) հանդիսանում է իր վրա վեկտորային տարածության գծային արտապատկերման մասնավոր դեպք։

Ֆորմալ սահմանումը 

 վեկտորային տարածության գծային արտապատկերումը  դաշտի վրա  վեկտորային տարածությունում նույն  դաշտի համար (գծային օպերատոր -ից ) կոչվում է արտապատկերում՝
,
որը բավարարում է գծային պայմանին՝
 ,
 .
ցանկացած  և ։

Եթե  և   միևնույն վեկտորային տարածություններ են, ապա -ը ոչ թե գծային արտապատկերում է, այլ գծային ձևափոխություն։

Եթե կատարվում է միայն առաջին հատկությունը, այդ դեպքում նման արտապատկերումը կոչվում է ադդիտիվ։

Գծային արտապատկերումների տարածություն 
Եթե  հիմնական դաշտից սկալյարների գումարման և բազմապատկման գործողությունները սահմանենք որպես․

ապա -ից  բոլոր գծային արտապատկերումների բազմությունն իրենից կներկայացնի վեկտորային տարածություն, որը սովորաբար նշանակվում է -ով։

Սահմանափակ գծային օպերատորներ։ Օպերատորի նորմա։ 
Եթե  և  վեկտորային տարածությունները հանդիսանում եմ տեղագրական տարածություններ, այսինքն, նրանց վրա որոշված են տեղագրություններ, որոնց նկատմամբ այդ տարածությունների գործողությունները անընդհատ են, ապա կարելի է որոշել սահմանափակ օպերատորի հասկացությունը – գծային օպերատորը կոչվում է սահմանափակ, եթե այն սահմանափակ բազմությունը տեղափոխում է սահմանափակին (մասնավորապես, բոլոր անընդհատ օպերատորները սահմանափակ են)։ Մասնավորապես, նորմավորված տարածություններում բազմությունները սահմանափակ են, եթե նրա յուրաքանչյուր տարի նորման սահանափակ է, հետևաբար, այս դեպքում օպերատորը կոչվում է սահմանափակ, եթե գոյություն ունի  թիվ այնպիսի, որ : Կարելի է ցույց տալ, որ նորմավորված տարածությունների դեպքում օպերատորների անընդհատությունը և սահմանափակությունը համարժեք են։  հաստատուններից ամենափոքրը, որը բավարարում է վերևում նշված պայմանին, կոչվում է օպերատորի նորմա․

Օպերատորի նորմայի հասկացության ներմուծումը հնարավորություն կտա դիտարկել գծային օպերատորների տարածությունը որպես նորմավորված գծային տարածություն (կարելի է ստուգել համապատասխան ակսիոմների կատարումը ներմուծված նորմայի համար)։ Եթե  տարածությունը բանախովյան է, ապա գծային օպերատորների տարածությունը նույնպես բանախովյան է։

Հակադարձ օպերատոր 
 օպերատորը կոչվում է հակադարձ  գծային օպերատորին, եթե տեղի ունի․  ։

 օպերատորը, որը հակադարձ է  գծային օպերատորին, նույնպես հանդիսանում է գծային օպերատոր։ Եթե   -ն գծային անընդհատ օպերատոր է, որն արտապատկերում է մի բանախովյան տարածությունը (կամ -տարածություն) մյուսին, ապա հակադարձ օպերատորը նույնպես հանդիսանում է անընդհատ գծային օպերատոր։

Գծային արտապատկերման  
Գծային արտապատկերման  – մատրից, որն արտահայտում է գծային արտապատկերում ինչ-որ բազիսում։ Որպեսզի այն ստանանք, անհրաժեշտ է ներազդել արտապատկերմամբ վեկտորների բազիսի վրա և ստացված վեկտորների (բազիսային վեկտորների պատկերներ) կոորդինատները գրել մատրիցի սյուներում։

Արտապատկերման մատրիցը նման է վեկտորի կոորդինատներին։ Այդ դեպքում վեկտորի վրա արտապատկերման գործողությունը հավասարազոր է մատրիցի և նույն բազիսում այդ վեկտորի կոորդինատի սյան արտադրյալին։

Ընտրենք  բազիսը։ Դիցուք -ը կամայական վեկտոր է։ Այն կարելի է ներկայացնել հետևյալ բազիսով՝
 ,
որտեղ -ն  վեկտորի կոորդինատն է նշված բազիսում։
Այստեղ, և հետագայում, առաջարկվում է միավորել ըստ համր ինդեկսների։
Դիցուք -ն ցանկացած գծային արտապատկերում է։ Ներազդելով նախորդ հավասարման վրա երկու կողմերից, կստանանք՝
 ։
 վեկտորը նույնպես ներկայացնենք նշված բազիսում, կստանանք՝
 ,
որտեղ -ն -ի -րդ վեկտորի -րդ կոորդինատը է։
Նախորդ բանաձևում տեղադրելով ընդլայնում, կստանանք՝
 ։
 արտահայտությունը, որն ընդգրկված է փակագծերի մեջ, նունն է, ինչ որ մատրիցի և սյան արտադրյալը։ Այսպիով,  մատրիցը  սյան հետ բազմապատկելիս արդյունքում կստացվի  վեկտորի կոորդինատը, որն առաջանում է  վեկտորի վրա  օպերատորի գործողության արդյունքում, ինչն էլ պետք էր ստանալ։

 Եթե ստացված մատրիցում տեղերով փոխարինենք մի քանի տողեր և սյուներ, այդ դեպքում, ընդհանրապես ասած, կստանանք արդեն մեկ այլ մատրից, որը համապատասխանում է  բազիսային էլեմենտների հավաքածուին։ Այլ խոսքերով,  առաջարկվում է խստորեն պահել բազիսային էլեմենտների հաջորդականությունը։

Փոխակերպման օրինակ 

Որպես օրինակ դիտարկենք հետևյալ տեսքի 2×2 չափի մատրիցը՝
 
այն կարող է դիտարկվել որպես մատրից ձևափոխված միավոր քառակուսուց , ,  և  գագաթներով զուգահեռակողմի։
Զուգահեռակողմը, որը ցույց է տրված աջ կողմում, ստացվում է A մատրիցի և  ու  վեկտոր-սյուների արտադրյալի արդյունքում։ Այս վեկտորները համապատասխանում են միավոր քառակուսու գագաթներին։
Հաջորդ աղյուսակում բերված են 2 × 2 չափի մատրիցի օրինակներ իրական թվերի համար նրանց համապատասխան R2 գծային ձևափոխության։ Կապույտ գույնով նշանակված են ցանցի սկզբնական կոորդինատները, իսկ կանաչով՝ փոխակերպված։ Կոորդինատների (0,0) սկզբնակետը նշված է սև կետով։ 

 Կարևոր մասնավոր դեպքեր 
 Գծային տեսք — գծային արտապատկերում, որի համար :    ։
 Գծային էնդոֆորմիզմ — գծային արտապատկերում, որի համար (օպերատոր)։    ։
 Նույնական օպերատոր (միակ օպերատոր)—  օպերատոր, որը արտապատկերում է տարածության յուրաքանչյուր էլեմենտ իր վրա։ Այդ օպերատորի նորման հավասար է մեկի (նորմավորված տարածությունների համար)։
 Զրոյական արտապատկերում — օպերատոր, որը ձևափոխում է -ի յուրաքանչյուր էլեմենտ -ի զրոյական էլեմենտի։
 Պրոյեկտոր — օպերատոր, որը ենթատարածության վրա համեմատում է յուրաքանչյուր -ին իր պրոյեկցիայի հետ։
 Համակցված արտապատկերում  արտապատկերմանը — -ն -ի վրա  արտապատկերում, տրված  հարաբերակցությամբ։
 Ինքնահամակցված օպերատոր — օպերատոր հիլբերտյան տարածության վրա, որը համընկնում է իր համակցված օպերատորի հետ։ Հաճախ այդպիսի օպերատորները անվանում են հիպերմաքսիմալ էրմիտիկ։
 Էրմիտիկ կամ սիմետրիկ օպերատոր — այնպիսի  օպերատոր, որը որոշված է հիլբերտյան ենթատարածության վրա։  որոշման տիրույթի բոլոր  զույգերի համար ։ Ամենուրեք որոշված բոլոր օպերատորների համար այդ հատկությունը համընկնում է ինքնահամակցման հետ։
 Ունիտար օպերատոր — օպերատոր, որի որոշման և արժեքների տիրույթը ամբողջ տարածությունն է, որը պահպանում է   սկալյար արտադրյալը։ Մասնավորապես, ունիտար օպերատորը պահպանում է ցանկացած  վեկտորի նորման։ Ունիտարին հակադարձ օպերատորը համընկնում է  համակցված օպերատորի հետ։ Ունիտար օպերատորի նորման հավասար է 1-ի։ К իրական դաշտի դեպքում ունիտար օպերատորը կոչվում է օրթոգոնալ։
 Առնչվող հասկացություններ 
 Գծային արտապատկերման   միջուկ է կոչվում  ենթաբազմությունը, որը արտապատկերվում է զրոյի։

 Գծային արտապատկերման միջուկը ձևավորում է ենթատարածություն գծային   տարածությունում։
  գծային արտապատկերման պատկեր կոչվում է հետևյալ  ենթաբազմությունը՝

Գծային արտապատկերման պատկերը ձևավորում է ենթատարածություն  գծային տարածությունում։ 
   ենթաբազմության պատկեր  գծային փոխակերպուման նկատմամբ կոչվում է  բազմությունը։
  և  գծային տարածությունների ուղիղ արտադրյալի արտապատկերումը  գծային  տարածքին կոչվում է բիգծային, եթե այն գծային է նրա երկու արգումենտներով։   մեծ թվերի գծային տարածությունների ուղիղ արտադրյալի արտապատկերումը կոչվում է բազմագծային, եթե այն գծային է իր բոլոր արգումենտներով։
  օպերատորը կոչվում է գծային տարասեռ (կամ աֆինացված), եթե այն ունի այսպիսի տեսք՝
 
 որտեղ  գծային օպերատոր է, իսկ -ն՝ վեկտոր։
 Դիցուկ ։  ենթատարածությունը կոչվում է ինվարիանտ'' գծային արտապատկերման նկատմամբ, եթե 
 Ինվարիանտության չափանիշը։ Դիցուկ -ն այնպիսի ենթատարածություն է, որ  տրոհվում է  ուղիղ գումարին։ Այդ դեպքում  ինվարիանտ է  գծային արտապատկերման նկատմամբ այն և միայն այն դեպքում, երբ , որտեղ -ը պրոյեկտոր  ենթատարածության վրա։
 Ֆակտոր-օպերատորներ։ Դիցուկ -ը գծային օպերատոր է և դիցուկ -ը ինչ-որ ինվարիանտ է այդ ենթաբազմության օպերատորի նկատմամբ։ Ձևավորենք ֆակտոտարածություն  ըստ  ենթատարածության։ Այդ դեպքում ֆակտոր-օպերատորը''' կոչվում է  օպերատորը, որը կիրառվում է -ի վրա  կանոնով, որտեղ -ը ֆակտոտարածության դասից է և պարունակում է -ը։
 Երկակի տարածությունների մեջ տրված է դեպի հակառակ ուղությունը գնացող երկակի արտապատկերում։

Օրինակներ 
Միատար գծային օպերատորների օրինակներ՝
 դիֆերենցացման օպերատոր՝ ;
 ինտեգրման օպերատոր՝ ;
 որոշակի ֆունկցիայի վրա բազմապատկման օպերատոր՝ ;
 տրված «կշռով» ինտեգրացման օպերատոր՝ ;
  կետում  ֆունկցիայի արժեքի հաշվման օպերատոր՝  ;
 վեկտորի և մատրիցի արտադրյալի օպերատոր՝ ;
 վեկտորի շրջադարձի օպերատոր։

Ոչ միատարր գծային օպերատորների օրինակներ՝
 ցանկացած աֆինյան արտապատկերումներ;
 ;
 ;
 ;
որտեղ ,  և -ն որոշակի ֆունկցիաներ են, իսկ -ն օպերատորի կողմից փոխակերպված ֆունկցիա։

Ծանոթագրություններ 

Մաթեմատիկա
Հանրահաշիվ
Գծային հանրահաշիվ
Ֆունկցիա
Ֆունկցիոնալ անալիզ
Տարրական ֆունկցիաներ