Լայբնիցի շարք

Լայբնիցի շարք, շարքն ուսումնասիրած գերմանացի մաթեմատիկոս Լայբնիցի անունով կոչված նշանահեթափոխ շարք (չնայած նրան, որ այդ շարքը հայտնի է եղել ավելի շուտ).

 

Այս շարքի զուգամիտությունն անմիջապես հետևում է Լայբնիցի նշանահերթափոխ շարքերի մասին թեորեմից։ Լայբնիցը ցույց տվեց, որ շարքի գումարը հավասար է  Այս հայտնագործությունը առաջին անգամ ցույց տվեց, որ պի թիվը, որը սկզբնապես սահմանված է երկրաչափության մեջ, Իրականում համընդհանուր մաթեմատիկական հաստատուն է. հետագայում այս փաստը մշտապես նոր հաստատում է գտել։

Զուգամիտության արագություն 
Լայբնիցի շարքը զուգամիտում է շատ դանդաղ։ Ստորև բերված աղյուսակը ցույց է տալիս  շարքին զուգամիտության արագությունը՝ բազմապատկած չորսով։

Պատմություն 
Լայբնիցի շարքը հեշտությամբ ստացվում է արկտանգենսի՝ Թեյլորի շարքի վերլուծմամբ.
 
Տեղադրելով  մենք ստանում ենք Լայբնիցի շարքը։

Արկտանգենսի համար Թեյլորի շարքն առաջին անգամ առաջ բերեց Մաթեմատիկոս Մադխավան, ով Կերալայի աստղագիտության և մաթիմատիկայի դպրոցի հիմնադիրն էր (XIV դար)։ Մեդխավան օգտագործեց շարքը  թիվը հաշվելու համար։ Սակայն լայբնիցի շարքը -ով, ինչպես ցույց է տրված վերևում, զուգամիտում է շատ դանդաղ, այդ պատճառով Մեդխավան տեղադրեց  և ստացավ ավելի արագ զուգամիտող շարք։
 
Առաջին 21 գումարելիների գումարը տալիս է , ընդ որում բոլոր նշանները, բացի վերջինից, ճիշտ են։

Մեդխավայի և իր աշակերտների ջանքերը հայտնի չէին Եվրոպայում XVII դարում, և արկտանգենսի վերլուծումը իրենցից անկախ հայտնագործեցին Գրեգորի Ջեյմսը (1671) և Լայբնիցը (1676)։ Այդ պատճառով, որոշ աղբյուրներ առաջարկում են շարքն անվանել «Մադխավա-Լայբնիցի շարք» կամ «Գրեգորի-Լայբնիցի շարք»։ Գրեգորին, այնուամենայնիվ, աշդ շարքը չէր կապում  թվի հետ։

Զուգամիտության արագացում 
Լայբնիցի շարքի ևս մեկ ձևափոխություն, որն այն դարձնում է  թվի հաշվարկի համար ավելի պիտանի, դա այդ շարքի անդամների զույգ առ զույգ միավորումն է։ Արդյունքում ունենում ենք հետևյալ շարքը.

Հաշվարկի հետագա օպտիմալացման համար կարելի է կիրառել Էյլեր-Մակլորենի բանաձևը և օգտագործելով թվային ինտեգրման մեթոդները։

Տես նաև 
 Հարմոնիկ շարք

Ծանոթագրություններ

Գրականություն

Արտաքին հղումներ 
  Wolfram MathWorld կայքում

Շարքեր
Գոթֆրիդ Լայբնից
Մաթեմատիկայի պատմություն