Ենսենի անհավասարություն

Մաթեմատիկայում  Ենսենի անհավասարությունը կոչվել է ի պատիվ դանիացի մաթեմատիկոս Յոհան Ենսենի, այն ներկայացնում է ֆունկցիայի միջինի և միջին արժեքի ֆունկցիայի միջև անհավարությունըը ։ Այն ապացուցվել է Ենսենի կողմից 1906 թվականին։ Ընդհանրապես անհավասարումը ներկայացվում է տարբեր տեսքերով, կախված թե ինչ բնագավառում է այն օգտագործվում, որոնցից մի քանիսը ներկայացված է ստորև։ Իր պարզագույն տեսքով անհավասարումն ասում է, որ միջին արժեքի ուռուցիկ վերափոխումը  փոքր է կամ հավասար ուռուցիկ վերափոխման միջին արժեքի, շատ պարզ է հետևանք է այն, որ գոգավոր ֆունկցիաների համար ճիշտ է հակառակը։

Ենսենի անհավասարումը ապացում է այն փաստը, որ ուռուցիկ ֆունկցիայի երկու կետերը միացնող  գծի գրաֆիկը ավելի բարձր է ընկած, քան ֆունկցիայի գրաֆիկը, որը Ենսենի անհավարումն է 2 կետերի համար․ հատողը  ուռուցիկ ֆունկցիայի կշռված միջինն է (t ∈ [0,1]-ի համար),

 

մինչդեռ ֆունկցիայի գրաֆիկը կշռված միջին արժեքների ֆունկցիան է,

 

Ենսենի անհավասարությունը հետևյալն է

 

Հավանականությունների տեսության մեջ այն հիմնականում ներկայացվում է հետևյալ կերպ․ Եթե X-ը Պատահական մեծություն է և -ն ուռուցիկ ֆունկցիա է, ապա

Պնդումներ 
Ենսենի անհավասարության դասական տեսքը ներառում է մի քանի թվեր և կշիռներ։ Անհավասարությունը կարող է սահմանվել շատ ընդհանրական և չափի տեսության և հավանականությունների տեսության լեզուներով։ Հավանակնությունների տեսության մեջ այն կարող է ընդհանրացվել ամբողջ ուժով։

Վերջավոր տեսք 
իրական ուռուցիկ ֆունկցիայի համար, արժեքների տիրույթում գտնվող   թվերով, և  կշիռներով, Ենսենի անհավասարումը կարող է սահմանվել որպես․

 

Եվ հակառակ անհավասարությունը, եթե -ն գոգավոր է, որը ներկայացվում է հետևյալ տեսքով․

 

Հավասարությունը գործում է միայն այն դեպքում, երբ   կամ երբ -ն գծային ֆունկցիա է, այսինք այն և ուռուցիկ է և գոգավոր։

Որպես մասսնավոր դեպք, եթե  կշիռները բոլորը հավասար են, ապա (1) և (2) անհավասարությունները դառնում են

 
 

Օրինակ   ֆունկցիան գոգավոր է, այսպիսով տեղադրելով    նախորդ անհավասարության մեջ՝ ստացվում է թվաբանական միջին- երկրաչափական միջին անհավասարությունը։

Ծանոթագրություններ

Հղումներ 

 
 Tristan Needham (1993) "A Visual Explanation of Jensen's Inequality", American Mathematical Monthly 100(8):768–71.

Արտաքին հղումներ 

 Jensen's Operator Inequality of Hansen and Pedersen.
 
 

Անհավասարություն (մաթեմատիկա)