Վեկտորական արտադրյալ

Վեկտորական արտադրյալ կամ երկրաչափական արտադրյալ, էվկլիդեսյան եռաչափ տարածության մեջ երկու վեկտորների արտադրյալ։ Իրենից ներկայացնում է այդ երկու վեկտորներին ուղղահայաց վեկտոր, որը երկարությունը  հավասար է նախնական վեկտորներով կազմված զուգահեռագծի մակերեսին, իսկ ուղղությունը որոշվում է նկարում տրված ձևով։ Եթե վեկտորներից գոնե մեկը զրոյական է (հավասար է զրոյի), ապա արտադրյալը նույնպես հավասար է զրոյի։

Երկու վեկտորների արտադրյալը հաշվելու համար, պիտի նախապես տալ տարածական կողմնորոշում։ Նախապես որոշել, թե վեկտորների եռյակներից որն է աջ, և որը ձախ, իսկ կոորդինատային համակարգը նշելու կարիք չկա, քանի որ դրանից արդյունքը կախված չէ։

Ի տարբերություն սկալյար արտադրյալի վեկտորական արտադրյալի արդյունքում ստացվում է վեկտոր։

Օգտագործվում է մի շարք տեխնիկական և ֆիզիկական հաշվարկներում։ Օրինակ․ իմպուլսի մոմենտը կամ Լորենցի ուժը գրառվում են վեկտորական արտադրյալի միջոցով։

Պատմություն 
Վեկտորական արտադրյալը, սկալյար արտադրյալի հետ միասին, ներմուծվել է Համիլտոնի կողմից 1846 թվականին, քվատերնիոնների  հաշվարկների հետ կապված։ Երկու քվատերնիոնների սկալյար արտադրյալը հավասար է զրոյի։

Սահմանում 
 վեկտրի և  վեկտրի վեկտորական արտադրյալ կոչվում է վեկտորը, որը բավարարաում է հետևյալ պայմաններին։

  վեկտրի երկարությունը հավասար է  և  վեկտորների երկարությունների և նրանցով կազմված անկյան սինուսի արտադրյալին (այսինքն, նրանցով կառուցված զուգահեռագծի մակերեսին)։
 վեկտորը ուղղահայաց է  և վեկտորներից յուրաքանչյուրին։
 -ն այնպես է ուղղված, որ  եռյակը հանդիսանում է աջ եռյակ.

Նշանակվում է․

Աջ և ձախ վեկտորական եռյակները էվկլիդեսյան եռաչափ տարածությունում 

Դիտարկենք գծայնորեն իրարից անկախ,   վեկտորների  եռյակը էվկլիդռսյան եռաչափ տարածությունում։ Կողմնորոշված տարածությունում դրանք լինելու են կամ աջ, կամ ձախ կողմնորոշման։

Երկրաչափական սահմանում 
Տեղափոխենք վեկտորներն այնպես, որ նրանց սկզբնական կետերը համընկնեն։ Կարգավորված  եռյակը կոչվելու է աջ, եթե սկսած վեկտրի վերջից, ամենակարճ -ից պտույտը դիտորդին երևում է ժամսլաքին հակառակ ուղղությամբ։ Եթե ամենկրճ պտույտը երևում է ժամսլաքի ուղղությամբ,եռյակը կոչվում է ձախ։

Ձեռքի օգնությամբ որոշում 
Եռյակը կարելի է որոշել նաև մարդու աջ ձեռքով, որտեղից էլ առաջացել է (աջ ձեռքի կանոն) արտահայտությունը։ Նկարի մեջ  , ,  եռյակը հանդիսանում է աջ եռյակ։

Հանրանաշվական որոշում 
Պետք է կազմել մատրից, որի առաջին տողը կազմված է  վեկտորի կոորդինտներից, երկրորդը՝  վեկտորի և երրորդը՝ վեկտորի կոորդինատներից։ Այնուհետև, որոշիչի նշանից կախված, կարելի է կատարել հետևյալ հետևությունները։

 Եթե որոշիչը դրական է, ապա եռյակն ունի կոորդինատային համակարգի ունեցած կողմնորոշումը։
 Եթե որոշիչը բացասական է, ապա եռյակը հակառակ է ուղղված կոորդինատային համակարգի ուղղությանը
 Եթե որոշիչը հավասար է զրոյի,ապա վեկտորները գծայնորեն կախման մեջ են։

Հատկություններ

Վեկտորական արտադրյալի երկրաչափական հատկություններ 

 Զուգահեռագծի  մակերեսը հավասար է նույն սկիզբն ունեցող վեկտորների վեկտորական արտադրյալի մոդուլին։ (տես. Նկ․1)
 Եթե  միավոր վեկտորըընտրված է այնպես, որ  եռյակը աջ է, իսկ  -ը զուգահեռագծի մակերեսն է, ապա վեկտորական արտադրյալի համար ճիշտ է հետևյալ արտահայտությունը

 

 Եթե -ն կամայական վեկտոր է, -ն կամայական հարթություն, որը պարունկում է այդ վեկտորը, -ն միավոր վեկտոր է, օրթոգոնալ է հարթության նկատմամբ, և եռյակը աջ է, ապա   հարթության վրա գտնվող ցանկացած  վեկտորի համար ճիշտ է հետևյալ արատահայտությունը։

 

 Վեկտորական և սկալյար արտադրյալների օգնությամբ կարելի է հաշվել նույն սկիզբն ունեցող վեկտորներով կազմված զուգահեռանիստի ծավալը (տես նկ․ 2)։ Այդպիսի արտադրյալը կոչվում է վեկտորների խառը արտադրյալ։

 

Դա կարելի է անել երկու եղանակով։

Վեկտորական արտադրյալի հանրահաշվական հատկություններ

Տես նաև 
Վեկտորների արտադրյալ

 Վեկտորների սկալյար արտադրյալ
 Վեկտորների խառը արտադրյալ (միայն -ում)
 Կրկնակի արտադրյալ (վեկտորական-վեկտորական միայն -ում)

Այլ

 Ռոտոր
 Դիվերգենց

Ծանոթագրություն

Գրականություն 

 Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. АН СССР: Изд-во «НАУКА», М. 1965.

Արտաքին հղումներ 

 Многомерное векторное произведение
 Векторное произведение и его свойства. Примеры решения задач
 

Վերլուծական երկրաչափություն
Վեկտորական անալիզ