Գծային համակարգ



Գծային համակարգերի շարժման ըստ կարևորության ղեկավարելիության մասին 

Դիտարկենք հետևյալ դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգը՝

(1.1)

Սահմանենք (1.1) համակարգի լրիվ ղեկավարելիությունը։

 Սահմանում  [1]։ (1.1) համակարգը կանվանենք լրիվ ղեկավարելի  ժամանակահատվածի վրա, եթե  ղեկավարումների համախմբությունից կարելի է գտնել այնպիսի ղեկավարումներ, որոնց ազդեցությամբ (1.1) համակարգը կամայական  սկզբնական դիրքից կարելի է տեղափոխել կամայական  վերջնական դիրք։

(1.1) համակարգի ղեկավարելիության ուսումնասիրության համար նպատակահարմար է կատարել հետևյալ նշանակումները [1]

(1.2)

Այստեղ  մատրիցը ունի  չափողականություն, որտեղ  պարամեարերի համախմբությունը, իսկ U վեկտոր-սյան չափողականությունը հավասար է r։

Հաշվի առնելով (1.2) նշանակումները (1.1) համակարգը կարելի է գրել հետևյալ տեսքով

(1.3)

Ենթադրենք  և  մատրիցների էլեմենտները համապատասխանաբար ունեն ընդհուպ մինչև –րդ և –րդ կարգի անընդհատ ածանցյալներ ըստ t-ի,  հատվածի գոնե ինչ-որ  կետի շրջակայքում։ Այդ  կետի շրջակայքում ներմուծենք  մատրիցները հետևյալ ռեկուրենտ (անդրադարձ) առնչություններով՝

(1.4)

Հետևաբար, համաձայն [2], (1.3) ոչ ստացիոնար համակարգի համար տեղի ունի հետևյալ թեորեմը (լրիվ ղեկավարելիության բավարար պայմանը) [1]

 Թեորեմ 1:  Դիցուք  հատվածում գոյություն ունի  կետ, որում

(1.5)

մատրիցի ռանգը հավասար է n-ի։ Այդ դեպքում (1.3) համակարգը լրիվ ղեկավարելի է հատվածի վրա։

Եթե (1.3) համակարգը ստացիոնար է, այսինքն՝

(1.6)

ապա  մատրիցը, համաձայն (1.4)-ի կընդունի հետևյալ պարզ տեսքը

(1.7)

(1.5)-ը և (1.7)-ը Կալմանի մատրիցներն են համապատասխանաբար ոչ ստացիոնար՝ (1.3) և ստացիոնար՝ (1.6) համակարգերի համար։

 Թեորեմ 2:  Որպեսզի (1.6) ստացիոնար համակարգը լինի լրիվ ղեկավարելի կամայական  հատվածի վրա, անհրաժեշտ է և բավարար, որ ղեկավարելիության  (1.7) մատրիցի ռանգը հավասար լինի n-ի։

Այս թեորեմների ապացույցը կատարվում է [2]-ում բերված համանման թեորեմների ապացույցների ձևով։

Հարկ է նշել, որ մի քանի  ղեկավարող ազդեցություններով համակարգի ղեկավարման հնարավորության դեպքում, լրիվ ղեկավարելիության հատկությունը ընդունում է առանձնահատուկ տեսք։

Որպես օրինակ դիտարկենք հետևյալ համակարգը

(1.8)

Կազմենք այս համակարգի համար Կալմանի մատրիցները (երբ  և միաժամանակ  դեպքերում)։

Ղեկավարելիության մատրիցների տեսքերից երևում է, որ (1.8) համակարգը առանձին-առանձին ըստ  ղեկավարման կամ  ղեկավարման լրիվ ղեկավարելի չէ, քանի որ  և  մատրիցների ռանգերը հավասար չեն 2-ի։ Իսկ  և  ղեկավարումների միաժամանակ առկայության դեպքում  մատրիցի ռանգը 2 է, այսինքն՝ (1.8) համակարգը  և  ղեկավարումների համախմբությամբ լրիվ ղեկավարելի է։

Արտաքին հղումներ 
 Ֆեյնմանի դասախոսությունը գծային համակարգերի մասին

Համակարգերի տեսություն