قضیه گیبارد–ساترویت

قضیهٔ گیبارد–ساترویت  در سال ۱۹۷۵ توسط آلن گیبارد و مارک ساتر ویت ضعف سیستم‌های انتخاب عمومی را برای رأی‌گیری مستقیم در جوامع بزرگ نشان داد.

صورت مسئله 
 n تعداد، رأی دهنده وجود دارد
 k تعداد، نامزد وجود دارد به قسمی که این تعداد نامزدها از سه نفر بیشتر باشد. این مکانیزم برای دو نامزد صادق نیست.
از رأی دهندگان خواسته می‌شود تا اولیت‌های خود را به ترتیب روی کاغذ بنویسند و نامزدهای a،b،c را به ترتیب در اولویت‌های ۱،۲،۳ قرار دهند.

مکانیزم رای گیری 
این رای‌ها به صندوق ریخته می‌شوند و تابعی به نام مکانیز رأی‌گیری روی آن اعمال شده و نتیجه نهایی را نشان خواهد داد.
روش‌هایی که این مکانیز می‌تواند بر روی رای‌های گرفته شده اعمال کند به این شرح است:
 بیشترین رأی در اولین سطر جدول بالا را شمرده و به عنوان برنده اعلام نماید. در این مثال نامزد b با دو رأی برنده می‌شود.
 عدد اولیت هر گزینه (شمارهٔ سطر آن) را جمع کرده و برنده را براساس کسی که کمترین امتیاز را آورده اعلام کرد. در مثال بالا از راست به چپ b=2+1+3+1 خواهد بود.
 بیشترین رأی در اولین سطر دلخواه از جدول بالا را شمرده و به عنوان برنده اعلام نماید. در این مثال نامزد d در سطر آخر بیشترین رأی را داشته و برنده خواهد شد.
 تنها به رأی یک نفر نگاه کرده و گزینه‌ای که اولین اولیت او است، را انختاب کرد. برای نمونه در جدول بالا اولویت اول رأی دهندهٔ سوم، که نامزد c برنده خواهد شد.

ویژگی‌های یک مکانیزم رای گیری 
هر مکانیزم رأی‌گیری دست کم باید دو ویژگی زیر را داشته باشد
1- اگر گزینهٔ اول همهٔ رأی دهنده‌ها یکی بود، حتمن آن گزینه انتخاب شود.
2- مکانیزم دارای معیار یکنوایی باشد.

یکنوایی 
خاصیت یکنوایی به این معنا است که اگر پس از یک بار رأی‌گیری نامزد b انتخاب شد، اگر محبوبیت b نزد رأی دهنده‌ها افزایش پیدا کرد، تأثیری در انتخاب نامزدی به نام b نداشته باشد.

نتیجه 
بر اساس نظریهٔ یاد شده اگر بخواهید یک مکانیزم رأی‌گیری دست کم دو ویژگی بالا را داشته باشد، بهترین روش برای نیل به آن استفاده از مکانیزیم دیکتاتوری است. گیبارد و ساتر ویت توانستند نشان دهند در صورتی که تعداد کاندیداها بیش از دو نفر باشد رأی دهنده‌ها با دادن رای‌های غیر واقعی می‌توانند موازنه را برهم زده و انتخابات را غیر واقعی کنند.
بنابر این قضیه تنها راه فرار از این ضعف، استفاده از تنها دو کاندیدا برای رأی‌گیری است.

منابع 

 مایکل دامت Voting Procedures (Oxford, 1984)
 
 
 
 
 Allan Gibbard, "Manipulation of voting schemes: a general result", Econometrica, Vol. 41, No. 4 (1973), pp.  587–601.
 Mark A. Satterthwaite, "Strategy-proofness and Arrow's Conditions: Existence and Correspondence Theorems for Voting Procedures and Social Welfare Functions", Journal of Economic Theory 10 (April 1975), 187–217.
 Alan D. Taylor, "The manipulability of voting systems", The American Mathematical Monthly, April 2002.

مطالعه بیشتر 
 The Proof of the Gibbard–Satterthwaite Theorem Revisited
 Arrow’s Theorem and the Gibbard–Satterthwaite Theorem: A Unified Approach

قضیه‌های اقتصادی
نظریه انتخاب اجتماعی
نظریه رأی‌دهی
قضیه‌ها در ریاضیات گسسته