مدل بردارهای خودبرگشتی

بردارهای خود برگشتی یکی از مدل‌های اقتصادسنجی است که برای کنترل کردن همبستگی‌های بینابینی در میان چند سری زمانی استفاده می‌شود و در واقع تعمیمی از مدل‌های خودرگرسیونی است. تمامی متغیرها در مدل برداهای خود برگشتی به صورت نظام مند توسط متغیرهای دوران گذشته خود و دیگر عناصر مدل در یک معادله تعریف می‌شوند. بر این اساس Christopher Sims، از مدل بردارهای خودبرگشتی به عنوان روشی فارغ از تئوری دفاع می‌کنند . .

تعریف 
یک مدل بردارهای خودبرگشتی به دنبال توضیح رویهٔ تکاملی یک مجموعه  متغیره (که به آن‌ها متغیرهای درون زا گفته می‌شود) در دورهٔ آماری یکسان و با استفاده از تابع خطی تنها از مقادیر قبلی شان می‌باشد. متغیرها در یک بردار k × ۱ بعدی به نام yt جمع می‌شوند که عنصر ith آن yi،t است، عنصر مشاهده شده در دورهٔ t از متغیر yi. 
یک مدل کاهشی از مرتبهٔ  بردارهای خودبرگشتی که با  نمایش داده می‌شود به شکل زیر است،
  :

جاییکه c یک بردار  × ۱ از مقادیر ثابت، Ai یک ماتریس k × k، و et یک بردار  × ۱ از عناصر خطا می‌باشد که در خصوصیات زیر صدق می‌کنند، 
 
 
 

مشاهدهٔ l دوره قبل yt−l l امین تاخیر y می‌شود. در نتیجه به مدل بردارهای خودبرگشتی مرتبهٔ p مدل بردارهای خودبرگشتی با p تاخیر نیز گفته می‌شود.

مرتبهٔ تجمیع متغیرها 
باید دقت کرد که تمامی متیرها باید مرتبهٔ تجمیع یکسانی داشته باشند. در این صورت ما موارد پایین را خواهیم داشت:
 همهٔ متغیرها  هستند(یعنی مانا هستند).
 همهٔ متغیرها  هستند (نامانا) با .
 متغیرها هم تجمیعی هستند.: عنصر تصحیح خطا باید در مدل وارد شود. مدل تبدیل به مدل تصحیح خطای برداری می‌شود (VECM) که در واقع نوعی مدل بردارهای خودبرگشتی مقید است. 
 متغیرها هم تجمیعی نیستند: ابتدا لازم است تا از متغیرها d مرحله تفاضل گیری شود تا به مدل بردارهای خودبرگشتی تفاضلی برسیم.

نمایش ماتریسی 
مدل بردارهای خودبرگشتی از مرتبهٔ p را می‌توان به‌طور خلاصه با ماتریس‌ها به شکل زیر نمایش داد:

مثال 
یک مدل بردارهای خودبرگشتی از مرتبهٔ ۱ را می‌توان به فرم ماتریسی زیر نوشت: 

و یا معادلا به صورت دستگاه دو معادلهٔ زیر:

باید دقت کرد که برای هر متغیر مدل یک معادله وجود دارد. همچنین سطح یک متغیر در دورهٔ t به تاخیرهای خود و دیگر متغیرهای مدل مرتبط است.

نوشتن  به فرم  
یک مدل داده‌های خودبرگشتی از مرتبهٔ p همیشه می‌تواند با دوباره جایگذاری متغیر وابسته به مرتبهٔ ۱ تبدیل شود. 
برای مثال، مدل  

را می‌توان به فرم زیر از  نوشت.

جایی که I ماتریس واحد است.
مدل بدست آمده برای تحلیل راحت‌تر است.

منابع و مراجع 

 Walter Enders, Applied Econometric Time Series, 2nd Edition, John Wiley & Sons 2003, ISBN 0-471-23065-0 
 James D. Hamilton. Time Series Analysis. Princeton University Press. 1995.
 Helmut Lütkepohl. New Introduction to Multiple Time Series Analysis. Springer. 2005.
 Zellner (1962) An Efficient Method of Estimating Seemingly Unrelated Regressions and Tests for Aggregation Bias.  Journal of the American Statistical Association, Vol. 57, No. 298 (Jun., 1962), pp. 348–368.
 Hacker, R. S. and Hatemi-J, A. (2008). "Optimal lag-length choice in stable and unstable VAR models under situations of homoscedasticity and ARCH," Journal of Applied Statistics, vol. 35(6), pages 601-615.
 Hatemi-J A. (2004). "Multivariate tests for autocorrelation in the stable and unstable VAR models," Economic Modelling, Vol. 21(4), Pages 661-683. 
 Hatemi-J A. & R. S. Hacker, (2009). "Can the LR test be helpful in choosing the optimal lag order in the VAR model when information criteria suggest different lag orders?," Applied Economics, vol. 41(9), pages 1121-1125.

اقتصاد
اقتصادسنجی