قضیه نقطه ثابت

در ریاضیات، قضیه نقطه ثابت یا تکرار ساده  قضیه‌ای است که می‌گوید در صورت برآورده‌شدن پاره‌ای از شرایط می‌توان اطمینان حاصل کرد که تابع F حداقل یک نقطهٔ ثابت مانند x دارد. منظور از نقطهٔ ثابت نقطه‌ای است که در آن  است.

روش حل معادلات 
طریقه استفاده از روش برای حل معالات:

۱- شکل معادله را به صورت در بیاوریم.

۲- عددی دلخواه را به جای  در  قرار می‌دهیم. مثلاً k

۳- مقدار  بدست آمده را دوباره به جای  در  قرار می‌دهیم.

۴- عمل فوق را به‌طور نامتناهی انجام می‌دهیم و به جواب نزدیک تر خواهیم شد.

مثال 
حل معادله

مرحله اول:

در نتیجه

مرحله دوم: مقدار اولیه k=۴

مرحله سوم: k=۱٫۸۹۲۰۷۱۵۰

مرحله چهارم: k=۱٫۴۴۲۴۴۹۹۴

مرحله پنجم: k=۱٫۶۱۶۹۳۸

مرحله ششم: k=۱٫۵۳۵۲۲

پس جواب معاله تا یک رقم اعشار:

با انجام عمل متوالی بالا به تقریب‌های دقیق تری از جواب خواهید رسید.

اثبات روش 
به مراحل حل معادله توجه کنید

که دنباله زیر را تشکیل می‌دهند.

در صورتی که این دنباله واگرا نباشد و همگرا باشد به جواب می‌رسیم.

جستارهای وابسته 
 نقطه ثابت

منابع 

 
 «حل معادلات با تقریب دلخواه»جشنواره جوان خوارزمی، شهریور ۱۳۹۱

پیوند به بیرون 
 توضیحی برای روش نقطه ثابت

روش‌های کمی و ریاضی (اقتصاد)
ریاضیات
عملگرهای بستار
قضیه‌های ریاضی
قضایای نقطه ثابت