تقریب استرلینگ

تقریب استرلینگ یا فرمول استرلینگ، به فرمولی در ریاضیات اشاره دارد که برای تقریب‌زنی فاکتوریل‌های بزرگ به‌کار می‌رود و به یاد جیمز استرلینگ  نام‌گذاری شده.

فرمول 
محاسبهٔ مقدار واقعی  برای های بزرگ خسته‌کننده است، به جای آن می‌توان مقدار  را از فرمول استرلینگ و لگاریتم طبیعی، محاسبه کرد:

خطای نسبی این تقریب که از فرمولِ

به‌دست می‌آید، در حالت بیشینه برابر است با:

اثبات 
با استفاده از تابع گاما می‌توان فرمولی جایگزین برای  به شکل ذیل به‌دست‌آورد:

با تغییر متغیر  ، به معادله پایین دست می‌یابیم:

حال با استفاده از روش لاپلاس برای تخمین انتگرال خط پیشین به معادله پایین می‌رسیم:

با جایگزینی انتگرال خواهیم داشت:

عبارت بالا همان تقریب استرلینگ است، یعنی:

البته روش لاپلاس را برای محاسبه دقیق‌تر تقریب نیز می‌توان مورد استفاده قرار داد، به این معنی که:

و تقریب دقیق‌تری به شکل پایین به‌دست‌آورد:

مثال 
مقدار واقعی ۱۵! می‌شود ۱۳۰۷۶۷۴۳۶۸۰۰۰، مقدار تقریبی ۱۵! با استفاده از فرمول استرلینگ به صورت زیر به دست می‌آید:

بنابراین:

(خطای نسبی در حدود ۰٫۰۰۶ است)

جستارهای وابسته 
 فاکتوریل
 لگاریتم طبیعی
 تابع گاما

منابع 

آنالیز تقریبی
تقریب‌های ریاضی
قضایای آنالیز
گاما و توابع مرتبط
نظریه تحلیلی اعداد