توزیع احتمال توأم

توزیع احتمال توأم یا توزیع احتمال مشترک  در بحث احتمالات مطرح می‌شود که در آن پدیدهٔ مورد نظر با مجموعه‌ای از متغیّرهای تصادفی که با آن در ارتباط هستند تفسیر و تغییرات این متغیرها در ارتباط با یکدیگر و به صورت توأم (مشترک) بررسی می‌شود. در بسیاری موارد علاقه‌مند هستیم که دو یا چند متغیر تصادفی را همزمان مطالعه کنیم. در این ارتباط برای هر دو متغیر تصادفی  و  تابع توزیع تجمعی را به صورت زیر تعریف می‌کنیم

تابع توزیع تجمعی  را می‌توان از تابع توزیع تجمعی مشترک به صورت زیر بدست آورد

 

به این ترتیب می‌توان بدست آورد

خواص مربوط به توزیع مشترک 
۱. در حالت توزیع پیوسته داریم

 

۲. با مشتق‌گیری جزئی درمی‌یابیم

 

۳.

۴.

استقلال متغیرهای تصادفی 
متغیرهای تصادفی و را مستقل می‌گویند اگر برای هر دو مجموعه از اعداد حقیقی و داشته باشیم

این تعریف را می‌توان بر اساس تابع توزیع تجمعی مشترک هم بیان کرد

تعمیم این رابطه به حالت پیوسته به شکل زیر است

به عبارت دیگر ،  مستقل خواهند بود اگر با دانستن یکی از آنها تغییری در توزیع دیگری حاصل نشود.

مجموع متغیرهای تصادفی 
معمولاً محاسبهٔ توزیع  دارای اهمیت خاصی است. رابطه تابع تجمعی به شکل زیر است

یعنی تابع توزیع تجمعی از پیچش توزیعهای و به دست می آید.
اگر از رابطه بالا مشتق بگیریم تابع چگالی بدست می آید

خاصیت مهم 
اگر ‌ها متغیرهای تصادفی مستقل نرمال با پارامترهای  باشند آنگاه  دارای توزیع نرمال با پارامترهای  و  است.

توزیع‌های شرطی 
برای محاسبه توزیع شرطی در حالت گسسته به شکل زیر عمل می‌کنیم:

همچنین برای محاسبه توزیع‌های شرطی در حالت پیوسته می‌توان به شکل زیر عمل کرد

و برای محاسبه تابع توزیع تجمعی

جستارهای وابسته 
 متغیر تصادفی
 تابع چگالی احتمال
 احتمال شرطی

منابع 

 مبانی احتمال، شلدون راس، ترجمه دکتر احمد پارسیان و دکتر علی همدانی، ویرایش ششم

انواع توزیع‌های احتمالی
نظریه توزیع‌های احتمالی