بیشینه و کمینه

در آنالیز ریاضی، بیشینه (ماکسیمم) و کمینهٔ (مینیمم) یک تابع (که به طور جمعی به آنها اکسترمم‌های آن تابع گویند)  به ترتیب، به بزرگترین مقدار و کوچکترین مقدار تابع (در صورت وجود)، یا در یک بازهٔ خاص (اکسترمم نسبی) و یا در کلّ دامنه (اکسترمم مطلق) گفته می‌شود.

فرما، یکی از اوّلین کسانی بود که روشی کلّی برای پیدا کردن اکسترمم‌ها پیشنهاد کردند.

تعریف

اکسترمم مطلق 
نقطهٔ بیشینهٔ مطلق  (که با  نشان می‌دهند) در یک تابع حقیقی  با دامنهٔ ، نقطه‌ای است که .

به شکل مشابه، نقطهٔ کمینهٔ مطلق  (که با  نشان می‌دهند) در یک تابع حقیقی  با دامنهٔ ، نقطه‌ای است که .

در بیشتر اوقات، صفت «مطلق» برای اکسترمم مطلق ذکر نمی‌شود.

اکسترمم نسبی 
نقطهٔ بیشینهٔ نسبی  در یک تابع حقیقی  با دامنهٔ ، نقطه‌ای است که .

تابع فاصله  در فضای متریک برای اعداد حقیقی به صورت  تعریف می‌شود.

به شکل مشابه، نقطهٔ کمینهٔ نسبی  در یک تابع حقیقی  با دامنهٔ ، نقطه‌ای است که .

اکسترمم اکید 
مفهوم اکید را می‌توان برای هر دو اکسترمم مطلق و نسبی تعریف کرد. به عنوان مثال:

نقطهٔ بیشینهٔ مطلق اکید  در یک تابع حقیقی  با دامنهٔ ، نقطه‌ای است که .

نقطهٔ بیشینهٔ نسبی اکید  در یک تابع حقیقی  با دامنهٔ ، نقطه‌ای است که .

یافتن اکسترمم‌های تابع 
یافتن اکسترمم‌ها هدف بهینه‌سازی است.

قضیهٔ مقدار اکسترمم 
 اگر تابع  در بازهٔ  پیوسته باشد، آن گاه  روی  دارای حدّاقل یک مقدار بیشینهٔ مطلق و یک مقدار کمینهٔ مطلق است.

همان طور که از صورت قضیهٔ اکسترمم ملاحظه می‌شود شرط کافی برای وجود اکسترمم مطلق، پیوسته بودن تابع در فاصلهٔ  است؛ ولی با این وجود، این شرط لازم نیست، چون تابعی می‌توان نشان داد که در فاصله‌ای پیوسته نباشد ولی دارای بیشینه و کمینهٔ مطلق باشد. به عبارت دیگر نمی‌توان گفت که چون تابعی در بازه‌ای ناپیوسته است، بیشینه و کمینهٔ مطلق ندارد. اما اگر تابعی در بازهٔ بسته‌ای پیوسته باشد، آن گاه حتماً دارای بیشینه و کمینهٔ مطلق هست.

نقاط بحرانی 
یک اکسترمم مطلق در یک بازه (در صورت وجود) یا یکی از اکسترمم‌های نسبی و یا ابتدا و انتهای بازه است.

طبق قضیهٔ فرما، هر اکسترمم نسبی، یک نقطهٔ بحرانی است.

پس با بررسی نقاط بحرانی و ابتدا و انتهای بازه و پیدا کردن بیشترین و کمترینشان می‌توان اکسترمم‌ها را پیدا کرد.

جستارهای وابسته 
 مشتق

منابع 

 

آنالیز ریاضی
بهینه‌سازی ریاضی
حسابان
قضیه‌های ریاضی