کسر مسلسل

در ریاضیات، کسر مسلسل ، عبارتی است که در فرایندی تکراری بدست می آید و نمایشی از یک عدد به صورت جمع جزء صحیح آن عدد و وارون عددی دیگر است، به گونه ای که آن عدد دیگر خود به صورت جمعی از یک عدد صحیح و معکوس عددی دیگر است و ... این فرآیند به همین ترتیب ممکن است تا بی نهایت ادامه یابد. در  کسر مسلسل متناهی، تکرار/بازگشت بعد از تعداد مراحل متناهی متوقف می شود (برعکس کسر مسلسل نامتناهی). در نتیجه کسر مسلسل نامتناهی، اصطلاحاً "عبارتی نامتناهی" است. در هر صورت، تمام اعداد صحیح درون دنباله اعداد بکار رفته در عبارت کسر مسلسل، به غیر از اولین عدد، باید مثبت باشند. اعداد صحیح  را ضرایب یا جملات کسر مسلسل گویند.

کسرهای مسلسل خواص قابل توجهی در ارتباط با الگوریتم اقلیدسی اعداد حقیقی دارند. از روی هر عدد گویا چون ، دو عبارت مرتبط با کسرهای مسلسل بدست می آید. این دو عبارت ضرایبی چون  دارند که با اعمال الگوریتم اقلیدسی بر روی  تعیین می گردند. مقدار عددی کسر مسلسل نامتناهی همیشه عددی گنگ است؛ این مقدار عددی به صورت حد دنباله اعداد صحیح حاصل از مقادیر بدست آمده از کسرهای مسلسل متناهی آن، تعریف می گردد. هر کدام از این کسرهای مسلسل متناهی (که از روی کسر مسلسل نامتناهی مورد نظر بدست می آیند)، با استفاده از پیشوندهای متناهی از کسر مسلسل نامتناهی مورد نظر تعریف می شوند. به علاوه، هر عدد گنگ چون ، برابر با یک کسر مسلسل نامتناهی منحصر به فردی است که ضرایبش را می توان با استفاده از اعمال نسخه پایان-ناپذیری از الگوریتم اقلیدسی بر روی مقادیر مقایسه ناپذیر (یعنی هیچ یک ضریب گویایی از دیگری نیست)  و 1 بدست آورد. بیان اعداد حقیقی (چه گویا و چه گنگ) با این روش را نمایش کسر مسلسل می نامند.

عموماً، صورت تمام کسرهای به کار رفته در کسر مسلسل 1 فرض می شوند. اگر مقادیر و/یا توابع دلخواهی در صورت و مخرج یک یا چندتا از کسرها به کار گرفته شود، کسر مسلسل حاصر را، کسر مسلسل تعمیم یافته خواهند نامید. هرگاه نیاز باشد تا بین این دو نوع کسر مسلسل تمایز ایجاد شود، به کسر مسلسل اول، کسر مسلسل ساده، منظم یا کانونی گفته می شود.

ممکن است اصطلاح کسر مسلسل در نمایش‌های توابع گویا که در نظریه تحلیلی شان ظهور پیدا می کنند نیز مورد استفاده قرار گیرد. برای این اصطلاح به مقاله تقریب پد و توابع گویای چبیشف رجوع کنید.

انگیزش و نمادگذاری 
به عنوان مثال، عدد گویای  را که تقریباً برابر ۴٫۴۶۲۴ است را در نظر بگیرید. به عنوان قدم اول در تقریب زدن این کسر، با جزء صحیح این عدد که ۴ است شروع می‌کنیم؛ . جزء کسری آن، وارون  است که حدود ۲٫۱۶۲۸ می‌باشد. با استفاده از جزء صحیح آن که ۲ است، تقریب دوم بدست آمده که تا بدین جای کار، کسل مسلسل ما بدین شکل در می‌آید:  اکنون برای بدست آوردن ادامه کسر مسلسل عدد مذکور، دوباره کسر باقیمانده یعنی  را معکوس کرده  که حدوداً برابر ۶٫۱۴۲۹ می‌شود. از ۶ به عنوان تخمین سوم استفاده کرده و تا بدین جا کسر مسلسل ما به صورت  در می‌آید. در نهایت از آنجا که در مرحله قبل به  رسیدیم، معکوس بخش اعشاری آن ۷ بوده، از آنجا که ۷ عدد صحیح و روندی است در این مرحله ساخت کسر مسلسل برای عدد مورد نظر خاتمه یافته و کسر مسلسل  برای  بدست می‌آید.

عبارت  را نمایش کسر مسلسل  می‌نامند. این نمایش را می‌توان به صورت  به صورت مختصر نمایش داد (عادت بر این است که تنها اولین کاما به صورت سمیکولون ";" نوشته شود). در برخی از کتب درسی قدیمی، در نمایش تاپل (n+1) تایی مذکور از سمیکولون استفاده نکرده و تمامشان را به صورت کاما نمایش می‌دهند: .

مراجع

منابع

 
 
 
 
 

 
 
 

H. S. Wall, Analytic Theory of Continued Fractions, D. Van Nostrand Company, Inc., 1948

پیوند به بیرون 

 
 An Introduction to the Continued Fraction
 Linas Vepstas Continued Fractions and Gaps (2004) reviews chaotic structures in continued fractions.
 Continued Fractions on the Stern-Brocot Tree at cut-the-knot
 The Antikythera Mechanism I: Gear ratios and continued fractions
 Continued fraction calculator, WIMS.
 Continued Fraction Arithmetic Gosper's first continued fractions paper, unpublished. Cached on the Internet Archive's Wayback Machine
 
 Continued Fractions by Stephen Wolfram and Continued Fraction Approximations of the Tangent Function by Michael Trott, Wolfram Demonstrations Project.
 
 A view into "fractional interpolation" of a continued fraction }
 Best rational approximation through continued fractions

آنالیز ریاضی
ریاضیات مقدماتی
کسرهای مسلسل