مؤلفه دوهمبند

در ریاضیات و علوم کامپیوتر، راس برشی (به انگلیسی: Cut Vertex یا Articulation Point) راسی از گراف است که حذف آن باعث افزایش تعداد مولفه‌های همبندی گراف می‌شود. اگر گراف قبل از حذف آن راس همبند باشد، بعد از حذف ناهمبند می‌شود. راس برشی در شبکه‌های کامپیوتری (به عنوان گره) اهمیت ویژه‌ای دارد.

به‌طور کلی یک گراف غیر جهت دار همبند با n راس، حداکثر n - 2 راس برشی دارد (حالت زنجیر مانند که دقیقا n - 2 راس برشی دارد).

طبیعتا ممکن است گرافی راس برشی نداشته باشد.

رئوسی که دارای راس مجاوری از درجهٔ 1 باشند برشی هستند (بجز در گراف با 2 راس).

یال برشی نیز مشابه راس برشی است، به‌طوری‌که حذف آن باعث افزایش تعداد مؤلفه‌های همبندی گراف می‌شود.

تعیین رأس‌های برشی

الگوریتم بدیهی 
یک الگوریتم بدیهی از مرتبهٔ :

  1  C = empty set (at the end of the algorithm it will contain the cut vertices)
  2  a = number of components in G (found using DFS/BFS)
  3  for each i in V with incident edges
  4      b = number of components in G with i removed
  5      if b> a
  6          i is a cut vertex
  7          C = C + {i}
  8      endif
  9  endfor
 راه حل بهینه 

این راه حل از مرتبهٔ  می‌باشد (برای گراف همبند). بدیهتا در صورتی که گراف ناهمبند باشد الگوریتم را برای تک تک مؤلفه‌ها جداگانه به کار می بریم.

نخست با شروع از یک راس دلخواه، الگوریتم Depth-first search (جستجوی اول عمق) را اعمال می کنیم. از آنجا که ترتیب پیمایش در اینجا مهم است، برای یال‌های درخت حاصل از جستجو جهت تعیین می کنیم. در هنگام اعمال الگوریتم اگر به راسی رسیدیم که قبلاً ملاقات شده از یال جهت دار نقطه چین شده‌استفاده می کنیم (به آن‌ها یال برگشت - Back Edge - می گوییم).

با رسیدن به هر راس، آن را شماره‌گذاری کنید (شماره هر راس = (Num(v )، برای هر راس، (Low(v را به صورت زیر تعریف می کنیم:

  Low(v) = min{ Num(v) (Rule 1), lowest Num(w) among all back edges (v,w) (Rule 2), lowest Low(w) among all tree edges (v,w) (Rule 3)'''}

توجه کنید که (Low(v از سه مقدار ممکن کمترین را به خود اختصاص می‌دهد.

برای گراف سادهٔ زیر با شروع از راس A درخت جستجوی ذیل بدست می‌آید:

چگونگی مقدار دهی رأس‌ها 
کلید: B 2/1 نشان دهندهٔ Low(B) = 1 و Num(B) = 2 است.
همان طور که در تعریف (Low(v آمد برای هر راس با توجه به اینکه کدام یک از سه شرط کمینه است (Low(v را تعیین می کنیم.

ابتدا به راس A، مقدار Low(A) = Num(A) = 1 می دهیم- طبق (Rule 1) - (طبیعتا ریشه همیشه 1 می‌گیرد). از آنجا بنا بر قانون دوم، 
Low(D) = Num(A) = 1 (چون از راس  D به A یک بال برگشت وجود دارد).

حال برای راس C با توجه به قانون سوم، Low(C) = Low(D) = 1 و از آنجا طبق همان قانون Low(B) = Low(C) = 1.

از راس F به راس D یال برگشت وجود دارد پس طبق قانون دوم، Low(F) = Num(D) = 4 در نتیجه Low(E) = Low(F) = 4.

و در آخر چون G هیج یال برگشتی ندارد پس Low(G) = Num(G) = 1.

تعیین رأس‌های برشی 
با توجه به اعداد بدست آمده برای هر راس:
ریشه یک راس برشی است اگرو تنها اگر بیش از یک فرزند داشته باشد
هر راس v غیر ریشه، برشی است اگر و تنها اگر فرزندی مانند w داشته باشد به‌طوری‌که (Low(w) ≤ Num(v
حالت دوم تداعی‌کنندهٔ اینست که راس v فرزندی مانند w دارد که نمی تواند قبل از اینکه v پیمایش شود به راس دیگری دسترسی داشته باشد، یعنی حذف کردن v باعث انفصال w می‌شود.

در مثال بالا برای راس Low(G) = 7 ≥ 3 = Num(C) ،C و برای راس Low(E) = 4 ≥ 4 = Num(D) ،D، یعنی C و D رأس‌های برشی هستند که رجوع به خود گراف این را تأیید می‌کند.

مثالی دیگر 

درخت شکل مقابل پیمایش همان گراف این بار با شروع از راس C است که نشان می‌دهد راس شروع‌کنندهٔ پیمایش تأثیری در نتیجهٔ نهایی ندارد(البته اعداد بدست آمده برای رأس‌ها تغییر می‌کند).

مشاهده می کنیم که:
برای راس Low(G) = 7 ≥ 1 = Num(C) ،C و برای راس Low(E) = 2 ≥ 2 = Num(D) ،D، که نشان می‌دهد C و D رئوس برشی هستند.

الگوریتم 
با فرض اینکه درخت پیمایش (که یالهای برگشتش نیز رسم شده)داده شده‌است.

شماره‌گذاری و تعیین والدین 

 1  // Assign Num and compute parents
 2  Void Graph::assignNum(Vertex v)
 3  {
 4  	v.Num = counter++;
 5  	V.visited = true;
 6  	for each Vertex w is adjacent to v
 7  		if(!w.visited)
 8  		{
 9  			w.parent = v;
 10  			assignNum(w);
 11  		}
 12  }

تعیین Low و چاپ رأس‌های برشی 

 1  //Assign Low and check for cut vertex
 2  //Check for Root omitted
 3  void Graph::assignLow(Vertex v)
 4  {
 5  	v.Low = v.Num; // Rule 1
 6  	for each Vertex w adjacent to v
 7  	{
 8  		if( w.Num> v.Num) // Forward edge
 9  		{
 10  			assignLow(w);
 11  			if(w.Low>= v.Num)
 12  				cout <<v <<” is a cut vertex” <<endl;
 13  			v.Low = min(v.Low, w.Low);
 14  		}
 15  		else
 16  		if(v.parent != w) // Back edge
 17  			v.Low = min(v.Low, w.Num); // Rule 2
 18  	}
 19  }

راه حل سوم 

همانند راه حل بالا، الگوریتم DFS را اعمال می کنیم و درخت جستجوی جهت دار را بدست می آوریم.
همان طور که گفته شد اگر راس v فرزند wای داشته باشد که به هیچ ترتیب پیمایشی نتواند قبل از v ملاقات شود، حذف v باعث منفصل شدن w می‌شود یعنی v راس مفصل است. با تکیه بر این مطلب، در درخت جست و جوی بدست آمده:
ریشه مفصل است اگر و تنها اگر دارای بیش از 1 فرزند باشد.
هر راس v غیر ریشه مفصل است اگر دارای فرزند یا فرزندهایی مانند w باشد به‌طوری‌که هیچ راسی در زیر درخت به ریشهٔ w به هیچ یک از اجداد v با استفاده از یال برگشت وصل نشده باشند.
برای مثال در درخت روبرو، B مفصل نیست زیرا در زیر گراف به ریشهٔ C، از راس  D به راس A به عنوان نیای B یال برگشت وجود دارد
ولی D مفصل است زیرا در زیرگراف به ریشهٔ E هیچ راسی را نمی توان پیدا کرد که یال برگشتی به یکی از اجداد D داشته باشد.
C نیز مفصل است زیرا در زیر گراف به ریشهٔ G هیچ یال برگشتی وجود ندارد.

خوبی این روش نسبت به روش بالا در عدم نیاز به محاسبهٔ Low و Num برای رأس‌ها است.

رأس‌های برشی در درخت‌ها 
در هر درخت، همهٔ رأس‌ها به جز برگ‌ها راس برشی هستند، چون در درخت دور وجود ندارد.

پیوند به بیرون 
 توضیح و مثال‌هایی از یال و راس برشی
 مباحث نظریهٔ گراف

مطالعهٔ بیشتر 

An Optimal Distributed Bridge-Finding Algorithm, David Pritchard, Department of Combinatorics and Optimization, University of Waterloo, Ontario, Canada
Optimal Sequential and Parallel Algorithms for Cut Vertices and Bridges on Trapezoid Graphs, Hon-Chan Chen, Department of Information Management, National Chin-Yi Institute of Technology, Taichung, Taiwan
R. E. Tarjan. A note on finding the bridges of a graph. Inform. Process. Lett., 2:160{161, 1974}

منابع 

https://web.archive.org/web/20100714010430/http://www.cse.ohio-state.edu/~lai/780/graph.pdf
http://www.eecs.wsu.edu/~holder/courses/CptS223/spr09/slides/mst.pdf 
http://algorithmics.comp.nus.edu.sg/wiki/_media/training/graph.ppt?id=training%3Aicpc_workshop_2006&cache=cache 
http://en.wikipedia.org/wiki/Cut_vertex

نظریه گراف
همبندی گراف