توزیع دوجمله‌ای

توزیع دوجمله‌ای نوعی توزیع پرکاربرد در آمار، اقتصاد، و علوم تجربی است.
در نظریهٔ احتمال و آمار توزیع دوجمله‌ای توزیعی گسسته‌ است از تعداد موفقیت‌ها در دنباله‌ای شامل n آزمایش مستقل برنولی همه با احتمال موفقیت p(توزیع برنولی). در واقع متغیر تصادفی X (تعداد موفقیت‌ها) را متغیر دوجمله‌ای با پارامترهای n و p می‌گویند.

یک آزمایش دوجمله‌ای بایستی دارای ویژگی‌های زیر باشد:
 آزمایش دارای n تعداد آزمون یکسان و عیناً مشابه باشد.
 نتیجه هر آزمون فقط به یکی از این دو صورت باشد: موفق یا ناموفق.
 احتمال موفقیت آزمونی را اگر با p نشان دهیم، از آزمون به آزمون یکسان بوده و متغیر نباشد. احتمال ناموفقیت را با q نشان داده که برابر است با q=1-p
 آزمون‌ها مستقل باشند.

مشخصه‌ها

تابع جرم احتمال 
درحالت کلی اگر X یک متغیر تصادفی دوجمله‌ای با پارامترهای p,n باشد، آن را به‌صورت
(X ~ B(n, p
نمایش می‌دهیم. احتمال بدست‌آوردن k موفقیت با تابع جرم احتمال زیر مشخص می‌شود:

حال می‌خواهیم بررسی کنیم که این فرمول چگونه بدست‌آمده‌است: توجه کنید که تعداد راه‌های ممکن در انجام n آزمایش برنولی که می‌تواند به k موفقیت منتهی شود برابر است با تعداد دنباله‌های مختلف به طول n از حروف b , a با k حرف a (موفقیت) و n-k حرف b (شکست). اما تعداد این دنباله‌ها برابر است با

، زیرا تعداد جایگشت‌های متمایز n حرف از دو نوع مختلف، که k تا همانند از نوع اول و n-k تا همانند از نوع دوم وجود دارد برابر است با
.
باتوجه به استقلال امتحان‌ها چون احتمال هریک از این دنباله پیشامدها برابر

است داریم:

دلیل اینکه به این توزیع دوجمله‌ای می‌گویند این است که قضیهٔ بسط دوجمله‌ای تضمین می‌کند که
 یک تابع جرم احتمال است:

تابع توزیع تجمعی 
تابع توزیع تجمعی متغیر تصادفی دوجمله‌ای به‌شکل زیر است:

مثال 
اگر یک تیرانداز با احتمال ۰/۷ تیری را به هدف بزند و x تعداد تیرهای به هدف خورده در ۵ شلیک باشد؛

ابتدا توزیع احتمال x را معلوم کنید و هر یک از احتمال‌های زیر را به دست آورید.

الف- دقیقاً ۳ تیر به هدف بزند.

ب- حداکثر ۲ تیر به هدف بزند.

ج- هیچ تیری به هدف نزند.

متغیر تصادفی x، دارای توزیع دو جمله‌ای با پارامترهای n=۵ , p=۰٫۷ است که تابع احتمال آن را به صورت زیر می‌نویسیم:

برای به دست آوردن احتمالات در این مثال داریم:

میانگین و واریانس متغیرهای تصادفی دوجمله‌ای 
فرض کنید  یک متغیر تصادفی دوجمله‌ای با پارامترهای  و  باشد. به‌طور شهودی انتظار داریم که میانگین  برابر  باشد. مثلاً اگر سکهٔ سالمی را صد بار پرتاب کنیم، انتظار داریم به‌طور متوسط ۵۰ بار شیر مشاهده کنیم که برابر است با:
. فرمول:  را می‌توان مستقیماً از تعریف امید ریاضی بدست‌آورد. در زیر این فرمول‌های امید ریاضی و واریانس این متغیر را آورده‌ایم:

مثال 
تاسی را ۳ بار پرتاب می‌کنیم. اگر متغیر تصادفی  تعداد تاسهایی که شش آمده باشد، تابع احتمال  را بنویسید و امید ریاضی و واریانس آن را محاسبه کنید.

چون پرتاب‌ها از یکدیگر مستقل اند و احتمال موفقیت (شش آمدن) در هر پرتاب ۱/۶ است و این آزمایش n=۳ بار تکرار می‌شود، بنابراین شرایط توزیع دوجمله‌ای با، n=۳ برقرار است و توزیع احتمال X را به صورت زیر می‌نویسیم:

for\quad k=0,1,2,3

منابع 

 
 page 27,37 introduction to probabilities models by Sheldon M.Ross
 
دانش اسدی دانشجوی امار

توزیع مزدوج پیشین
توزیع‌های خانواده نمایی
دوجمله‌ای
موضوعات فاکتوریل و دوجمله‌ای