توزیع گاوسی معکوس تعمیم‌یافته

توزیع گاوسی معکوس تعمیم‌یافته (GIG : Generalized Inverse Gaussian) در نظریه احتمال و آمار یک توزیع پیوسته با سه پارامتر است. تابع چگالی احتمال این توزیع به صورت زیر است:

که یک تابع بسل اصلاح شده از نوع دوم است، a و b مقادیری مثبت و p یک پارامتر حقیقی است. این توزیع به طور گسترده‌ای در زمین‌آمار، زبانشناسی آماری، دانش مالی و سرمایه‌گذاری و غیره استفاده میشد.

مشخصات

مجموع 
بارندورف-نیلسن (O. Barndorff-Nielsen) و هالگرین (C. Halgreen) اثبات کردند که توزیع GIG بی‌نهایت تقسیم‌پذیر است.

آنتروپی 
آنتروپی توزیع GIG به صورت زیر داده میشود:

توزیع‌های مرتبط 
توزیع گاوسی معکوس و توزیع گاما حالت‌های خاصی از توزیع گاوسی معکوس تعمیم‌یافته با  و  هستند.

به طور دقیق‌، یک توزیع گاوسی معکوس با فرم

یک توزیع گاوسی معکوس تعمیم‌یافته با ،  و  است.

یک توزیع گاما با فرم

یک توزیع گاوسی معکوس تعمیم‌یافته با ،  و  است.

یک توزیع گاما معکوس، یک توزیع گاوسی معکوس تعمیم‌یافته با  و  است.

یک توزیع هایپربولیک، یک توزیع گاوسی معکوس تعمیم‌یافته با  است.

کاربرد‌های احتمالی

1) توزیع GIG به عنوان قانونی برای کسر‌های مسلسل 
 و  را دو متغیر تصادفی مستقل از هم در نظر بگیرید به طوری که  و  برای . در این صورت داریم  اگر و فقط اگر .

،  و  را سه متغیر تصادفی مستقل از هم در نظر بگیرید به طوری که ،  و  برای . در این صورت داریم  اگر و فقط اگر .

به طور کلی اگر  یک دنباله از متغیر تصادفی‌های مستقل از هم باشد به طوری که  و  برای ، آنگاه داریم:

.

2) خاصیت Matsumoto-Yor 
دو متغیر تصادفی مثبت و مستقل از هم  و  را در نظر بگیرید به طوری که  و  برای . خاصیت Matsumoto-Yor بیان می‌کند که متغیر تصادفی‌های  و  از هم مستقل هستند.

مثال‌هایی از کاربرد توزیع گاوسی معکوس تعمیم‌یافته 

 Jorgensen در سال 1982 ثابت کرد که توزیع GIG فیت مناسب‌تری نسبت به توزیع نمایی در داده های مورد استفاده در موارد زیر است:
 فواصل زمانی بین خرابی‌های پی‌در‌پی تجهیزات تهویه‌ی هوا در هواپیمای بوئینگ 720
 فواصل زمانی بین ضربان‌ها در یک فیبر عصبی
 فواصل زمانی بین رد شدن وسایل نقلیه از یک نقطه
 Iyengar و Liao در سال 1997: فعالیت عصبی؛ مقایسه بین فیت توزیع GIG و فیت توزیع نرمال لگاریتمی.
 Chebana et al در سال 2010: کاربرد در وقایع مفرط هیدرولوژیکی

منابع 

 Gérard Letac and Vanamamalai Seshadri،  A characterization of the generalized inverse Gaussian distribution by continued fractions، Probability Theory and Related Fields, Vol 62 (1983)، pp. 485-489 

گاوسی معکوس عمومی
توزیع‌های خانواده نمایی