قضیه بطلمیوس

اگر  یک چهار ضلعی دلخواه باشد آنگاه داریم  و تساوی هنگامی اتفاق می افتد که  یک چهارضلعی محاطی باشد.
توجه:  و  دو قطر چهارضلعی اند.

اثبات 
نقطه  طوری انتخاب می کنیم که مثلث  متشابه با  شود. حال چون
 پس  همچنین به دلیل تشابه دو مثلث  و  داریم  دو نتیجه اخیر نشان از تشابه دو مثلث  و  دارد و این خود رابطه  را نتیجه می دهد. حال در مثلث  طبق نامساوی مثلثی داریم:  به جای  مقدار  را قرار داده و دو طرف نامساوی را در  ضرب می کنیم. رابطه  حاصل می شود. حال تنها کافی است نشان دهیم  که این نیز از تشابه دو مثلث  و  به دست می آید.

نتایج 
 اگر  یک مثلث متساوی‌الاضلاع باشد و  نقطه ای دلخواه بیرون از مثلث و درون زاویه  آنگاه داریم  و هنگامی که  روی کمان  از دایره محیطی مثلث باشد، تساوی رخ می دهد

منابع 

کتاب هندسه مسطحه، ناتان آلتشیلر کورت، انتشارات فاطمی

بطلمیوس
چهارضلعی‌ها
قضیه‌ها در هندسه
قضایای هندسه مسطحه
قضیه‌های ریاضی
هندسه اقلیدسی
هندسه مسطحه اقلیدسی