تابع توزیع تجمعی

تابع توزیع تجمعی  یا تابع توزیع انباشتی تابعی غیر صفر و هم نوای صعودی است که برد آن بازه [۰٫۱] بوده و احتمال آنکه متغیر تصادفی X دارای مقداری کوچک‌تر از x باشد را نشان می‌دهد، یعنی 

از این تعریف می‌توان نتیجه گرفت که:

تابع توزیع تجمعی را می‌توان به صورت زیر بر اساس تابع چگالی احتمال نیز تعریف کرد

در مورد متغیرهای تصادفی با مقادیر گسسته این تعریف به صورت زیر است:

که در اینجا  به معنی حد چپ تابع  است وقتی که  به  میل می‌کند

خواص تابع توزیع تجمعی 
 تابع توزیع تجمعی برای متغیر تصادفی گسسته به این شکل تعریف می‌شود:

 تعریف تابع توزیع تجمعی برای متغیر تصادفی پیوسته به این شکل می‌شود :

 تمام توابع توزیع تجمعی صعودی (ولی نه لزوماً اکیدا صعودی) و از راست پیوسته هستند.

 اگر  باشد، آنگاه :

 اگر M میانه داده‌ها باشد داریم :

و این همان تعریف میانه است که نیمی از داده‌ها مقداری کمتر از M دارند.

مثال 
فرض کنید X یک متغیر تصادفی پیوسته‌است که تابع چگالی احتمال آن به این شکل تعریف شده باشد:

نمودار چگالی احتمال این متغیر تصادفی به شکل زیر خواهد بود:

با انتگرال‌گیری از تابع چگالی احتمال در هر بازه تابع توزیع تجمعی آن را به دست می‌آوریم و خواهیم داشت:

تابع توزیع تجمعی برای چند توزیع 
در این قسمت تابع توزیع تجمعی چند توزیع معروف و نمودار توزیع تجمعی آن‌ها را بررسی می‌کنیم:

توزیع طبیعی استاندارد 
تابع چگالی احتمال توزیع طبیعی استاندارد برای    به شکل زیر تعریف می‌شود :

و تابع توزیع تجمعی آن برابر است با:

نمودار

توزیع پواسون 
تابع جرم احتمال توزیع پواسون برای {1,2,3,...}   و   به شکل زیر تعریف می‌شود:

و تابع توزیع تجمعی آن برابر است با:

نمودار

توزیع نمایی 
تابع چگالی احتمال توزیع نمایی برای  به شکل زیر تعریف می‌شود :

و تابع توزیع تجمعی آن برابر است با:

نمودار

تابع توزیع تجمعی برای توابع توام 
تابع توزیع تجمعی برایتوزیع احتمال توأم به این صورت تعریف می‌شود:

با این تعریف تابع توزیع تجمعی برای تابع دو متغیره  به این شکل خواهد بود:

ویژگی‌های این تابع همانند حالت یک متغیره خواهد بود. برخی از این ویژگی‌ها عبارتند از:

منابع 

توابع مرتبط با توزیع‌های احتمال