قضیه بزو

قضیه بزو یا اتحاد بزو  قضیه‌ای قدرتمند برای حلقه‌های جابجایی مجهز به الگوریتم تقسیم است. دو حالت خاص این قضیه، در مورد اعداد طبیعی و چندجمله‌ای‌ها معروف و پرکاربرد است. این قضیه را نخستین بار ریاضیدان فرانسوی اتین بزو در کتابش «نظریه عمومی معادله های جبری» اثبات کرد.

در مجموعه اعداد طبیعی 
فرض کنید  و  دو عدد صحیح باشند که دست کم یکی از آنها مخالف صفر است. در این صورت دو عدد صحیح  و  را می‌توان یافت به طوری که:  که در آن  ب. م. م  و  است. به عبارت دیگر حداقل یک ترکیب خطی از دو عدد صحیح  و  مساوی ب. م. م آن‌ها خواهد بود.

صورت دیگر قضیهٔ بزو 
فرض کنید  عددی صحیح و  عددی طبیعی باشد که . در اینصورت عددی طبیعی یکتا مانند  وجود دارد که  باشد و  را وارون ضربی  به پیمانهٔ  مینامیم.

برای اعدادی که متباین نیستند 
اگر  عددی صحیح و  عددی طبیعی باشد  عدد در دستگاه کامل مانده های  مانند  وجود دارد که

مثال 
برای  و  یک ترکیب خطیشان باید برابر با ب. م. م شان، یعنی  شود. اگر قرار دهیم  آنگاه  یا به عبارت دیگر 
وارون ضربی 10 به پیمانهٔ 7 برابر 5 است؛ یعنی،

اثبات 
مجموعه کلیه ترکیب‌های خطی مثبت  و  را  می‌نامیم. یعنی:

مجموعه  به وضوح ناتهی است. زیرا مثلاً اگر  ناصفر باشد، با  یک عضو مثبت برای آن به دست می‌آید.
چون همه اعضای  مثبت اند، پس  کوچکترین عضو دارد. آن را  می‌نامیم و فرض می‌کنیم . ادعا می‌کنیم  مساوی ب. م. م  و  است. برای این کار،  را بر  تقسیم می‌کنیم. بنابر الگوریتم تقسیم، خارج قسمت  و باقی‌مانده  (که ) وجود دارند که: . حال باید نشان دهیم  اگر  آنگاه چون داریم

یعنی یک ترکیب خطی از  و  برابر با  مثبت شده‌است که عددی کم تر از  است. این تناقض است. زیرا  کوچکترین ترکیب خطی مثبت  و  بود. پس فرض اولیه درست نبود. یعنی داریم . به عبارت دیگر  و مشابها  بر  بخش پذیر اند. ثابت شد  مقسوم علیه مشترک  و  است. اثبات بزرگترین مقسوم علیه مشترک بودن آن مانده‌است. اگر  ب. م. م آن دو باشد، چون  و  هر دو بر  بخش پذیر اند، پس هر ترکیب خطی آن دو نیز بر  بخش پذیر اند. به ویژه . پس  از  کوچکتر نیست و به عبارت دقیق تر، خود  است.

در مجموعه چندجمله‌ای‌های با ضرایب صحیح 
اگر  و  دو چندجمله‌ای با ضرایب صحیح باشند، آنگاه چندجمله‌ای‌های  و  با ضرایب صحیح وجود دارند که
 برابر با ب. م. م  و  شود.

اثبات 
چون در مجموعه چندجمله‌ای‌های با ضرایب صحیح، الگوریتم تقسیم درست است، مشابه اثبات قضیه برای مجموعه اعداد طبیعی، برای این صورت نیز جواب می‌دهد. (البته با تغییر اسامی و متغیرها)

منابع 

 بهشتی زواره، رویا، و مریم میرزاخانی. نظریه اعداد. تهران: انتشارات فاطمی.

معادله سیاله
لم‌های نظریه اعداد
مقالات شامل اثبات