قانون تقابل مربعی

قانون تقابل مربعی ، قضیه‌ای است قدرتمند در شاخه نظریه اعداد از ریاضیات. با وجود آنکه قوانینی مشابه برای درجه سوم و بالاتر ثابت شده‌است، اما همچنان این قضیه، بسیار پرکاربرد و قدرتمند ظاهر می‌شود و استفاده از آن متوقف نگشته‌است. برای بیان این قضیه ابتدا دو تعریف ارائه می‌دهیم.

مانده و نامانده 
 عددی اول و فرد و  عددی صحیح و نسبت به  اول است. اگر معادله همنهشتی  جواب داشته باشد، آنگاه عدد  را به پیمانه  مانده و در غیر این صورت نامانده می‌گوییم.

مثال 
  به پیمانه  مانده‌است زیرا 
 همه اعداد مربع کامل به پیمانه هر عددی مانده اند.

چند قضیه مرتبط 
 مانده‌های به پیمانه عدد اول  دقیقاً اعداد زیر اند

 برای هر  اول، دقیقاً  مانده متمایز به هنگ  و به همین تعداد نامانده وجود دارد.

نماد لژاندر 
اگر  عددی اول و فرد و  عددی صحیح باشند که  تابع لژاندر با نماد  برابر است با  اگر  در مبنای  مانده باشد و در غیر این صورت برابر است با  . به عبارت دیگر:

مثال 
در همان مثال قبل می‌توان نوشت

محک اویلر 
اگر  عددی اول و فرد و  عددی صحیح و نسبت به آن اول باشد، آنگاه داریم

اثبات 
طبق قضیه کوچک فرما می‌دانیم برای هر داریم .
پس 

اگر  مانده باشد، برای یک  ایی داریم  و این نتیجه می‌دهد

حال فرض کنید  ریشه اولیه  باشد، پس ای هست که داشته باشیم . پس .
اگر  نامانده باشد، آنگاه حتماً  فرد است و در نتیجه
 بر  بخش پذیر نیست و این به دلیل ریشه اول بودن  نتیجه می‌دهد
 یعنی

قانون تقابل مربعی 
اگر  و  دو عدد اول، فرد و متمایز باشند آنگاه داریم:

دو پرانتز ظاهر شده در توان  نماد لژاندر نیستند.

منابع 

کتاب نظریه اعداد، مریم میرزاخانی، رؤیا بهشتی زواره، انتشارات فاطمی

قضیه‌ها در نظریه اعداد
مانده مربعی
نظریه اعداد
نظریه جبری اعداد
حساب پیمانه‌ای