قضیه ویلسون

قضیۀ ویلسون  قضیه‌ای در نظریۀ اعداد است که توسط ریاضی‌دان انگلیسی جان ویلسون مطرح شده‌است. این قضیه بیان می‌کند که به ازای هر عدد اول مانند داریم: .

تعمیم قضیۀ ویلسون 
۱_تعمیم گاوس: کارل فریدریش گاوس ریاضی‌دان آلمانی در سال ۱۸۰۰ میلادی ثابت کرده که برای هر عدد طبیعی ، عدد اول 

در اینجا  عددی صحیح و مثبت است.

مثال

اثبات

برهان اول 
چون  اول است، پس به ازای هر عدد که ، عدد منحصر به فرد وجود دارد که  و در ضمن  و . پس می‌توان اعداد  را به زوج‌هایی افراز کرد که حاصل‌ضرب دو عدد هر زوج (جفت) به پیمانۀ برابر با شود. پس

کاربردها

تعیین اول بودن عدد 
در عمل این الگوریتم برای تعیین اول بودن عدد ناکارآمد است؛ زیرا محاسبه   برای -های بزرگ، پیچیدگی محاسباتی دارد و الگوریتم‌های سریع‌تری (مثل آزمون تقسیم) برای این کار وجود دارد.

با اعمال قضیۀ ویلسون بر تمام اعداد اول فرد   و مرتب کردن اعداد رابطۀ ، به رابطۀ زیر می‌رسیم.

 

و:

در نتیجه:

یا:

و با استفاده از این رابطۀ آخری می‌توان ثابت کرد که  برای هر عدد اول فیثاغورسی (به عبارتی اعداد اولی که  باشند) باقی‌ماندۀ درجۀ دو quadratic residue به پیمانۀ  است (یعنی). فرض کنید  است.  را برابر  می‌گیریم، سپس با با توجه به رابطۀ ذکر شده نتیجه می‌گیریم که  به پیمانۀ  هم‌نهشت با 1- است.

منابع 

اعداد اول
قضیه‌ها درباره اعداد اول
قضیه‌های ریاضی
موضوعات فاکتوریل و دوجمله‌ای
حساب پیمانه‌ای