اصل شمول و عدم شمول

در ترکیبیات اصل شمول و عدم شمول یک تکنیک شمارش است که روش معمول شمارش اعضای اجتماع دو مجموعه متناهی -که به صورت زیر است- را بسط می‌دهد.

که A و B دو مجموعهٔ متناهی اند و |S| نمایانگر تعداد اعضای مجموعهٔ متناهی S است. این فرمول بیان می‌کند که مجموع اندازهٔ دو مجموعه ممکن است بزرگتر از اندازهٔ اجتماع آن‌ها باشد چون بعضی از اعضا شاید دو بار شمرده شوند. اعضایی که دو بار شمرده شده‌اند همان اعضایی اند که در اشتراک دو مجموعه حضور دارند بنابراین با کم کردن این تعداد، اندازهٔ واقعی مجموعهٔ اجتماع بدست می‌آید. این اصل در حالتی که سه مجموعه داریم واضح‌تر دیده می‌شود:

این فرمول می‌تواند به این صورت امتحان شود که بشماریم هر ناحیه در نمودار ون چند بار در سمت راست فرمول شمرده شده‌است.

بسط نتایج این مثال‌ها اصل شمول و عدم شمول را بدست می‌دهد: برای یافتن اندازهٔ اجتماع  مجموعه،
 اندازهٔ هر مجموعه را اضافه کنید،
 اندازهٔ اشتراک دو به دو مجموعه‌ها را کم کنید،
 اندازهٔ اشتراک هر سه‌تایی از مجموعه‌ها را اضافه کنید،
 اندازهٔ اشتراک هر چهارتایی از مجموعه‌ها را کم کنید،
 اندازهٔ اشتراک هر پنج‌تایی از مجموعه‌ها را اضافه کنید،
 به همین صورت ادامه دهید تا زمانی که اندازهٔ اشتراک تایی مجموعه‌ها اضافه (برای  فرد) یا کم (برای  زوج) شود.

این اسم از اینجا آمده که این اصل براساس یک سری شمول و عدم شمول استوار است. این مفهوم به ابراهام دو مواور (۱۷۱۸) نسبت داده می‌شود، ولی بار اول در مقاله‌ای از دنیل داسیلوا (۱۸۵۴) و بعداً در مقاله‌ای از جیمز جوزف سیلوستر (۱۸۸۳) ظاهر شد. به همین دلیل گاهی این اصل به عنوان فرمول داسیلوا یا سیلوستر شناخته می‌شود.

از آنجایی که احتمالات متناهی براساس اندازهٔ فضای احتمال محاسبه می‌شوند، زمانی که اندازهٔ مجموعه‌ها با احتمالات متناهی جایگزین می‌شوند، فرمول‌های اصل شمول و عدم شمول همچنان برقرار خواهد بود. به‌صورت کلی‌تر، هر دو نسخه از این اصل را می‌توان در چتر بزرگتر نظریه‌ی اندازه‌گیری جای داد.

در یک نگاه کاملاً انتزاعی، اصل شمول چیزی فراتر از محاسبهٔ معکوس یک ماتریس نیست. از این دیدگاه از لحاظ ریاضیاتی هیچ چیز جالبی در مورد این اصل وجود ندارد. با وجود این استفاده‌پذیری گستردهٔ این اصل باعث می‌شود که این اصل به ابزاری بسیار ارزشمند در ترکیبیات و رشته‌های مرتبط با آن بدل شود. آنطور که جیان کارلو روتا گفته‌است:
"یکی از پراستفاده‌ترین اصول در شمارش و احتمالات گسسته و ترکیبیات، اصل شمول و عدم شمول است. زمانی که این اصل با مهارت کافی استفاده شود می‌تواند پاسخ بسیاری از مسائل ترکیبیاتی را بدست آورد."

بیان 

در حالت کلی، این اصل بیان می‌کند که برای مجموعه‌های متناهی An،... ،A۱، اتحاد زیر برقرار است:

به صورت فشرده‌تر می‌توان اینطور نوشت:

به صورت گفتاری، برای شمردن تعداد اعضای اجتماع تعدادی متناهی از مجموعه‌های متناهی، ابتدا مجموع اندازهٔ مجموعه‌ها را بدست می‌آوریم، سپس تعداد اعضایی که در بیشتر از یک مجموعه ظاهر شده‌اند را از آن کم می‌کنیم، سپس تعداد اعضایی را که در بیش از دو مجموعه ظاهر شده‌اند را اضافه می‌کنیم، سپس تعداد اعضایی را که در بیش از سه مجموعه تکرار شده‌اند را کم می‌کنیم و به همین صورت تا آخر. این روند به صورت طبیعی به پایان می‌رسد، چون هیچ عضوی وجود ندارد که در بیشتر از تعداد کل مجموعه‌ها آمده باشد.

در کاربرد معمول است که این اصل را به صورت فرم مکملش بیان کنند. به این صورت که فرض کنید S مجموعه‌ی مرجع باشد که تمام مجموعه‌های Ai را شامل می‌شود و همچنین فرض کنید که  بیانگر مکمل Ai باشد. براساس قوانین دومورگان داریم:

به عنوان یک بیان دیگر، فرض کنید Pn، …، P۲، P۱ لیستی از خصوصیاتی باشد که اعضای مجموعهٔ S ممکن است داشته یا نداشته باشند، در این صورت اصل شمول و عدم شمول راهی برای محاسبهٔ تعداد اعضایی که هیچ‌یک از این خصوصیات را ندارند در اختیار قرار می‌دهد. فقط کافی است مجموعهٔ Ai را مجموعهٔ اعضایی که خصوصیت Pi را دارند قرار دهید و از فرم مکمل این اصل استفاده کنید.

مثال‌ها 
به عنوان یک مثال ساده از استفادهٔ این اصل پرسش زیر را در نظر بگیرید:
چه تعداد عدد طبیعی در {۱، …، ۱۰۰} بر هیچ‌یک از اعداد ۲، ۳ و ۵ تقسیم‌پذیر نیستند؟
فرض کنید S مجموعهٔ اعداد طبیعی ۱ تا ۱۰۰ باشد و P۱ این خصوصیت که یک عدد بر ۲ بخش‌پذیر است و P۲ این خصوصیت که یک عدد بر ۳ بخش‌پذیر است و P۳ این خصوصیت که یک عدد بر ۵ بخش‌پذیر است باشد. فرض کنید Ai مجموعهٔ اعدادی از S است که خصوصیت Pi را دارند. داریم ،  و .
۱۶ تا از این اعداد بر ۶ بخشپذیرند، ۱۰تایشان بر ۱۰ و ۶تایشان بر ۱۵. در نهایت فقط ۳تا از اعداد بر ۳۰ بخش‌پذیرند، بنابراین تعداد اعدادی که بر هیچ‌یک از ۲ یا ۳ یا ۵ بخش‌پذیر نیستند برابر است با:
۱۰۰ − (۵۰ + ۳۳ + ۲۰) + (۱۶ + ۱۰ + ۶) − ۳ = ۲۶

یک مثال پیچیده‌تر مورد زیر است:

فرض کنید n کارت داریم، هر کارت شماره‌ای از ۱ تا n دارد فرض کنید کارت با شمارهٔ m در جای درست قرار دارد اگر mامین کارت باشد. به چند طریق می‌توان کارت‌ها را بُر زد به طوری که حداقل یک کارت در جای درستش قرار داشته باشد؟

Am را مجموعه‌ای از جایگشت بگیرید که کارت با شمارهٔ m در جای درستش قرار دارد. در این صورت تعداد جایگشت‌های مورد نظر (W) برابر است با:
 

با استفاده از اصل شمول و عدم شمول داریم:

 

هر مقدار  بیانگر مجموعهٔ جایگشت‌هایی است که در آن‌ها p کارت mp، …، m۱ در جای درست قرار دارند. توجه کنید که تعداد جایگشت‌های با p مقدار درست تنها به p بستگی دارد نه به مقادیر . به عنوان مثال، تعداد جایگشت‌هایی که اولین و سومین و ۱۷امین کارت در جای درست قرار دارند برابر با تعداد جایگشت‌هایی است که ۲امین و ۵امین و ۱۳امین کارت در جای درست قرار دارند. تنها این مهم است که از n کارت ۳ کارت انتخاب شده که در جای درست قرار گیرد. چون به تعداد  مورد در هر مجموع وجود دارد، داریم:

 

 تعداد جایگشت‌هایی است که p عنصر دارند که در جای درست قرار گرفته‌اند که برابر است با . بنابراین در نهایت داریم:

 

با توجه به اینکه  بدست می‌آید:

 

یک جایگشت که در آن هیچ عنصری سر جایش نیست یک پریش نامیده می‌شود. وقتی  تعداد کل جایگشت‌ها است، احتمال (Q) این که یک جایگشت تصادفی یک پریش باشد برابر است با:

یک مورد خاص 
این وضعیت که در مورد مثال پریش اتفاق می‌افتد به اندازه‌ای تکرار می‌شود که شایستهٔ توجه ویژه باشد. منظور زمانی است که اندازهٔ مجموعهٔ اشتراکی ظاهر شده در فرمول اصل شمول و عدم شمول فقط به تعداد مجموعه‌ها بستگی دارد نه به خود مجموعه‌ها. به بیانی رسمی، زمانی که اشتراک

اندازه‌ای برابر با  داشته باشد، برای هر زیرمجموعهٔ kعضوی از اعداد ۱ تا n. داریم:

یا در فرم مکمل زمانی که مجموعهٔ مرجع S دارای اندازهٔ α0 است،

یک تعمیم 
یک خانواده از زیرمجموعه‌های An، …، A2، A۱ از مجموعهٔ مرجع S را در نظر بگیرید. اصل شمول و عدم شمول تعداد عناصری از S را که در هیچ‌یک از این زیرمجموعه‌ها نیستند را محاسبه می‌کند. یک تعمیم از این مفهوم این است که تعداد عناصری را که در دقیقاً m زیرمجموعهٔ مشخص آمده است را بشماریم.

فرض کنید:
N = [n] = {1,2،... ,n}
اگر تعریف کنیم ، اصل شمول و عدم شمول می‌تواند به صورت زیر نوشته شود:

اگر I یک زیرمجموعهٔ خاص از N باشد، تعداد عناصری که به Ai به ازای تمام iهای عضو I و نه بغیر از آن‌ها تعلق دارند برابر است با:

با تعریف مجموعهٔ
 برای هر k در .
ما به دنبال تعداد عناصری می‌گردیم که در هیچ‌یک از Bkها نیستند، که برابر است با: (با )

تناظر K ↔ J = I ∪ K بین زیرمجموعه‌های N که شامل I هستند دوسویی است و اگر J و K متناظر باشند سپس BK = AJ
، که نشان می‌دهد نتیجه درست است.

در احتمالات 
در احتمالات، برای رویدادهای An، …، A۱ در یک فضای احتمالی ، برای n=۲ به شکل زیر در می‌آید:

برای n=۳:

در حالت کلی:

که به در فرم بسته می‌تواند به صورت زیر نوشته شود:

که آخرین سیگما روی تمام زیرمجموعه‌های I از اندیس ۱ تا n که دقیقاً k عضو دارند حرکت می‌کند و

نمایانگر اشتراک تمام Aiهاست که اندیسشان در I است.

براساس نامساوی بول، مجموع اولین جملات در فرمول یک حد بالا و حد پایین برای سمت چپ معادله‌اند. این می‌تواند در مواردی استفاده شود که فرمول کامل بسیار سنگین باشد.

حالت خاص 
اگر در نسخهٔ احتمالی اصل شمول و عدم شمول احتمال اشتراک AI فقط به اندازهٔ I بستگی داشته‌باشد، داریم:

فرمول بالایی ساده می‌شود به:

صورت‌های دیگر 
این اصل گاهی اوقات به این صورت بیان می‌شود که می‌گوید اگر

آنگاه

می‌توان نشان داد که حالت ترکیبیاتی و احتمالاتی اصل شمول و عدم شمول نمونه‌هایی از (**)‌اند.

کاربردها 
این اصل کاربردهای زیادی دارد تنها چند نمونه از آن‌ها در اینجا آورده شده‌است.

شمردن تعداد پریش‌ها 

یک کاربرد معروف از این اصل در مسائل ترکیبیاتی شمردن تمام پریش‌های یک مجموعهٔ متناهی است. یک پریش از A یک تناظر یک به یک از خودش به خودش است به طوری که نقطهٔ ثابت نداشته باشد. با استفاده از اصل شمول و عدم شمول می‌توان نشان داد که اگر اندازهٔ A برابر با n باشد، تعداد پریش‌های آن برابر است با

شمردن اندازهٔ اشتراک 
از این اصل با ترکیب با قوانین دمورگان می‌توان برای شمردن اندازهٔ اشتراک چند مجموعه نیز استفاده کرد. فرض کنید  مکمل مجموعهٔ Ak نسبت به مجموعهٔ مرجع A باشد به طوری که برای هر k داشته باشیم  در اینصورت داریم:

رنگ‌آمیزی گراف 
این اصل پایهٔ چند الگوریتم افراز گراف از قبیل رنگ‌آمیزی گراف را تشکیل می‌دهد.

تطابق‌های گراف دوبخشی 
تعداد تطابقهای یک گراف دوبخشی با استفاده از این اصل قابل شمارش است.

تعداد توابع پوشا 
با استفاده از اصل شمول و عدم شمول می‌توان دریافت که تعداد توابع پوشا از A به B برابر است با:

که  و

جایگشت‌ها با مکان‌های ممنوع 
جایگشت‌های اعداد ۱ تا n که هر عدد در برخی از مکان‌های مشخص نمی‌تواند قرار بگیرد، جایگشت‌ها با مکان‌های ممنوع گفته می‌شوند. تعداد این جایگشت‌ها را می‌توان با استفاده از اصل شمول و عدم شمول به دست آورد.

اعداد استرلینگ نوع دوم 
اعداد استرلینگ نوع دوم  تعداد افرازهای یک مجموعهٔ nعضوی را به k زیرمجموعهٔ غیرتهی می‌شمارد. یک فرمول صریح که با استفاده از اصل شمول و عدم شمول برای آن بدست می‌آید فرمول زیر است:

چندجمله‌ای رخ 
چندجمله‌ای رخ یک تابع مولد است که تعداد راه‌هایی را که می‌توان رخ‌هایی را در صفحه شطرنج قرار داد بیان می‌کند. با استفاده از این اصل می‌توان جمله‌های این چندجمله‌ای را حساب کرد.

تابع فی اویلر 

تابع فی اویلر برای یک عدد مانند n تعداد اعداد مثبت اول نسبت به آن که از آن بزرگتر نیستند را بدست می‌دهد. با استفاده از اصل شمول و عدم شمول می‌توان این تابع را محاسبه کرد:

ثابت می‌شود که:

اصل شمول و عدم شمول رقیق 
در خیلی از مواردی که این اصل قادر است که فرمولی دقیق ارائه کند، آن فرمول به دلیل تعداد زیاد جملات کارایی ندارد. در این موارد یافتن یک کران بالا از مقدار دقیق عبارت می‌تواند مطلوب‌تر باشد.

فرض کنید An، …، A۱ مجموعه‌هایی دلخواه و pn، …، p۱ در بازهٔ بستهٔ [۰٬۱] باشند. برای هر k در  تابع مشخصه در تساوی زیر صدق می‌کند:

اثبات 
فرض کنید A حاصل اشتراک  باشد. برای اثبات اصل شمول و عدم شمول در حالت کلی ابتدا باید صحت اتحاد زیر را بررسی کنیم:

برای توابع مشخصه‌ای که

برای این کار حداقل دو راه زیر وجود دارد:

روش اول: کافیست تا این کار را برای هر x عضو A انجام دهیم. فرض کنید x به دقیقاً m مجموعه تعلق دارد که ۱ ≤ n ≥ m، برای سادگی فرض کنید آن مجموعه‌ها Am، …، A<sub>۱</sub> باشند. پس اتحاد برای x به صورت زیر تقلیل می‌یابد:

تعداد زیرمجموعه‌ها با اندازهٔ k از یک مجموعهٔ mعضوی برابر با . بنابراین . داریم:

با در نظر گرفتن تمام جملات سمت چپ معادله، به بسط  می‌رسیم بنابراین (*) برای x برقرار است.

روش دوم: تابع زیر همیشه صفر است:

چون: اگر x در A نباشد، تمام عوامل برابر با ۰–۰ = ۰ خواهند بود و در غیر این صورت، اگر x به مجموعه‌ای مثل Am تعلق داشته باشد، عامل متناظر برابر با ۱–۱ = ۰ خواهد بود. با بسط عبارت سمت چپ (*) حاصل می‌شود.

استفاده از (*): برای اثبات اصل شمول و عدم شمول، تساوی (*) را برای تمام xهای متعلق به A جمع بزنید.

اثباتی دیگر 
عضوی از اجتماع تمام مجموعه‌ها انتخاب کنید و فرض کنید  مجموعه‌های شامل آن عضو باشند (دقت کنید کنید که t > 0). نیاز داریم که نشان دهیم این عضو دقیقاً یک بار در سمت راست اتحاد شمرده شده‌است. براساس قضیهٔ دوجمله‌ای داریم:
.

با استفاده از  و مرتب کردن جملات، داریم:
 

بنابراین عضو انتخاب شده دقیقاً یک بار در سمت راست معادله شمرده شده‌است.

منابع 

ویکی‌پدیای انگلیسی Inclusion-exclusion principle

برای اطلاعات بیشتر 
http://daneshnameh.roshd.ir/mavara/mavara-index.php?page=اصل+شمول+و+طرد&SSOReturnPage=Check&Rand=0

اصل‌های ریاضیاتی
ترکیبیات
ترکیبیات شمارشی
نظریه احتمالات