توپولوژی جبری

توپولوژی جبری شاخه‌ای از ریاضیات است که از ابزارهای جبر مجرد به منظور مطالعه فضاهای تپولوژیکی بهره می‌برد. هدف بنیادین در این شاخه، پیدا کردن ناورداهای جبری است که فضاهای توپولوژیکی را در حد هومئومورفیسم دسته‌بندی کند، گرچه که اغلب این دسته‌بندی در حد هموتوپی خواهد بود.

گرچه که توپولوژی جبری در وهله اول از جبر برای مطالعه مسائل توپولوژی استفاده می‌کند، استفاده از توپولوژی برای حل مسائل جبری نیز برخی مواقع امکان‌پذیر است. به عنوان مثال، توپولوژی جبری امکان ارائه اثبات مناسبی برای این حقیقت که «هر زیر گروه یک گروه آزاد، آزاد است» را فراهم می‌کند.

شاخه‌های اصلی 
در زیر لیستی از شاخه‌های اصلی مورد مطالعه در توپولوژی جبری آمده‌است:

گروه‌های هموتوپی 

در ریاضیات، گروه‌های هموتوپی در توپولوژی جبری برای دسته‌بندی فضاهای توپولوژیکی مورد استفاده قرار گرفته‌اند. اولین و ساده‌ترین گروه‌های هموتوپی، گروه بنیادی است که اطلاعات مربوط به حلقه‌ها  ی درون فضای مورد نظر را در خود می‌گنجاند. به‌طور شهودی، گروه‌های هموتوپی، اطلاعات مربوط به شکل پایه و سوراخ‌های یک فضای توپولوژی را ثبت می‌کنند.

نظریه گره‌ها 

نظریه گره به مطالعه گره‌های ریاضیاتی می‌پردازد. در حالی که گره‌ها از زندگی روزمره، مثل گره بند کفش یا تناب الهام گرفته شده‌است، گره ریاضیدانان دارای این تفاوت است که باید دو انتهای آزاد تناب هم به هم وصل شوند چنان‌که نتوان گره را باز کرد.

مجتمع‌ها 

یک مجتمع سادکی فضای توپولوژیکی از نوع خاصی است که با «به هم چسباندن» نقاط، پاره خط‌ها، مثلث‌ها و اشیاء n-بعدی متناظرشان بدست می‌آید.

کاربردها 
کاربردهای کلاسیک توپولوژی جبری شامل موارد زیر است:
 قضیه نقطه ثابت براور: هر نگاشت پیوستته از یک n-دیسک به خودش دارای نقطه ثابت است.
 رتبه آزاد n-مین گروه همولوژی یک مجتمع سادکی، n-مین عدد بتی است که امکان محاسبه مشخصه‌های اویلر-پوانکاره را می‌دهد.
 می توان از ساختار دیفرانسیلی منیفلدهای هموار از طریق کوهمولوژی درام، چخ یا کوهمولوژی بافه‌ای برای بررسی حلپذیری معادلات دیفرانسیلی که روی منیفلد مورد سؤال تعریف شده‌اند استفاده کرد.

پانویس

منابع 

  (Discusses generalized versions of van Kampen's theorem applied to topological spaces and simplicial sets).
 .
  (Gives a broad view of higher-dimensional van Kampen theorems involving multiple groupoids).
 . "Gives a general theorem on the fundamental groupoid with a set of base points of a space which is the union of open sets."
 .
 . "The first 2-dimensional version of van Kampen's theorem."
  This provides a homotopy theoretic approach to basic algebraic topology, without needing a basis in singular homology, or the method of simplicial approximation. It contains a lot of material on crossed modules.
 
 . A functorial, algebraic approach originally by Greenberg with geometric flavoring added by Harper.
 . A modern, geometrically flavoured introduction to algebraic topology.
 
 .

برای مطالعه بیشتر 

  and .
 
  Section 2.7 provides a category-theoretic presentation of the theorem as a colimit in the category of groupoids.