افراز مجموعه

در نظریه مجموعه‌ها اِفراز یک مجموعه  یعنی تبدیل کردن آن به زیرمجموعه‌هایش به طوری که، اشتراک هر کدام از آن زیرمجموعه‌ها با یکدیگر مجموعه تهی باشد (مجموعه‌های مجزا) و اجتماع تمامی زیر مجموعه‌ها برابر با مجموعه افراز شده باشد.

تعریف 
فرض کنید  مجموعه‌ای غیرتهی باشد. منظور از یک افراز  مانند ، یک مجموعه از زیرمجموعه‌های ناتهی  است() به قسمی که:

 اگر  و ، آنگاه .
 

به تعبیر شهودی افراز ، یک «تقسیم » به قطعه‌هایی مجزا و ناتهی است.

مثال 
مجموعه‌های  افراز مجموعهٔ  می‌باشند، اما برای  افراز درستی نیستند، زیرا ۳ و ۷ عضوی از زیرمجموعه‌های موجود در  نیستند.
مجموعه‌های  افرازی از هیچ مجموعه‌ای نمی‌باشند، چون {1,2} و {2,3} مجموعه‌هایی مجزا نیستند.

افرازهای {1, 2, 3} :
 
 
 
 
 

افراز مجموعهٔ تهی، تنها خود مجموعهٔ تهی است.

تعداد افرازهای یک مجموعهٔ متناهی 
برای یافتن تعداد افرازهای یک مجموعهٔ متناهی از عدد بل  (به یاد اریک تمپل بل) استفاده می‌شود :

پانویس

منابع 

ترکیبیات
خانواده مجموعه‌ها
ریاضیات مقدماتی
مفاهیم پایه در نظریه مجموعه‌ها
نظریه مجموعه‌ها