عدد اصلی

در ریاضیات، اعداد کاردینال  (یا اعداد اصلی یا صرفاً کاردینال‌ها)، تعمیم اعداد طبیعی اند که جهت اندازه‌گیری کاردینالیتی (اندازه) مجموعه‌ها از آن استفاده می شود. کاردینالیتی یک مجموعه متناهی همیشه عددی طبیعی است که برابر با همان تعداد اعضای مجموعه می باشد. اعداد کاردینال ترامتناهی را اغلب با استفاده از حرف عبری  نمایش می دهند که به دنبال آن زیرنویسی قرار داده می شود که توصیف کننده اندازه مجموعه‌های نامتناهی است.

کاردینالیتی را براساس تناظر دوسویه تعریف می کنند. دو مجموعه دارای کاردینالیتی یکسانی اند اگر و تنها اگر تناظر دوسویه ای بین اعضای آن دو مجموعه وجود داشته باشد. در حالتی که مجموعه ها متناهی باشند، کاردینال مجموعه هایی که با هم کاردینال برابری دارند برابر با همان مفهوم شهودی اندازه مجموعه است. در مواردی که مجموعه‌ها نامتناهی باشند، رفتار کاردینالیتی‌شان کمی پیچیده تر می شود. در قضیه ای بنیادی از گئورگ کانتور، نشان داده شده که ممکن است مجموعه‌های نامتناهی دارای کاردینالیتی های متفاوتی باشند، مثلاً در مورد خاص اعداد حقیقی، کاردینال این اعداد بزرگتر از کاردینال اعداد طبیعی است. همچنین ممکن است زیرمجموعه محضی از یک مجموعه نامتناهی دارای کاردینالی برابر با مجموعه اولیه باشد، در حالی که چنین حالتی در مورد مجموعه های متناهی هرگز رخ نمی دهد.

دنباله ترامتناهی از اعداد کاردینال وجود دارد:

این دنباله با اعداد حسابی شامل صفر شروع می شود (کاردینال‌های متناهی)، و سپس اعداد الف (کاردینال‌های نامتناهی از مجموعه‌های خوش ترتیب) در پی آن می آیند. اعداد الف توسط اعداد ترتیبی اندیس گذاری می شوند. تحت فرض اصل موضوع انتخاب، این دنباله ترامتناهی شامل تمام کاردینال ها می شود. اگر کسی آن اصل را رد کند، شرایط پیچیده تر خواهد شد، به گونه ای که وجود کاردینال‌های نامتناهی بیشتری غیر از الف‌ها تأیید خواهد شد.

مطالعه خود کاردینالیتی به عنوان بخشی از نظریه مجموعه‌ها مطالعه می شود. همچنین از آن به عنوان ابزاری جهت استفاده در شاخه‌های ریاضیات شامل نظریه مدل، ترکیبیات، جبر مجرد و آنالیز ریاضی مورد استفاده واقع می شود. در نظریه رسته‌ها، اعداد کاردینال تشکیل اسکلتی برای رسته مجموعه‌ها می دهند.

قوانین عدد کاردینال 
اعداد اصلی از قوانین زیر پیروی می‌کنند:

۱. هر مجموعهٔ A متناظر با یک عدد اصلی موسوم به  است و هر عدد اصلی a متناظر با مجموعه‌ای مانند A است که  .
۲.  اگر و فقط اگر A تهی باشد.
۳. اگر A یک مجموعهٔ ناتهی و متناهی باشد که  (k یک عدد طبیعی است) آنگاه  .
۴. به ازای دو مجموعهٔ دلخواه A و B,  اگر و تنها اگر 

عدد اصلی هر مجموعهٔ متناهی، برابر با یک عدد طبیعی است؛ و برای مجموعه‌های نامحدود اعداد ترامتناهی می‌شود:

که هم شامل اعداد طبیعی می‌شود و هم اعداد نامتناهی که هر  متناظر با یک مجموعه خوش ترتیب است. کوچکترین عدد نامتناهی  است که برابر اندازهٔ مجموعهٔ اعداد طبیعی است.

همچنین، عدد اصلی متناظر با مجموعهٔ غیرقابل شمارش اعداد حقیقی برابر  است، که با  نشان داده می‌شود. اعداد اصلی

فرض پیوستار 
بر طبق فرض پیوستار هیچ عدد اصلی ما بین  و  موجود نیست پس داریم:

جستارهای وابسته 
 عدد اردینال

منابع 

 
 ریاضیات گسسته و کاربردهای آن 

 Sudkamp, T. A. , An Introduction to the Theory of Computer Science, Languages and Machines, 3rd ed. , Pearson Education, Inc. , 2006.  

اعداد کاردینال
ریاضیات مقدماتی
نظریه مجموعه‌ها