قضیه مقدار میانگین برای انتگرال‌ها

بنابراین قضیه اگر تابع f بر بازهٔ [a,b] پیوسته باشد آنگاه حداقل یک مقدار مانند c  متعلق به بازه ی بسته ی [a,b]وجود دارد که :

اثبات 

با توجه به فرض قضیه، چون تابع f بر بازه [a,b] پیوسته است، مقدار مینیمم و ماکسیمم مطلق خود را (بر طبق قضیه اکسترمم) در این فاصله می‌گیرد، یعنی به ازای هر x در بازه [a,b] :

حال اگر تابع f در این فاصله صعودی (نزولی) باشد آنگاه  و  در بازه  وجود دارد که به ازای آنها مقادیر تابع به ترتیب مینیمم و ماکسیمم (ماکسیمم و مینیمم) می‌شود. 
یعنی:
 
که بر طبق قضیه بولتزانو وجود دارد حداقل یک مقدار مانند c در بازهٔ  که:

منابع 

 حساب دیفرانسیل و انتگرال ( جلد دوم )، نوشته  مسعود نیکوکار و بهمن عرب زاده، انتشارات آزاده ، 1384

قضیه‌های ریاضی