هماهنگ‌های کروی

در ریاضیات، هماهنگ‌های کروی بخش زاویه‌ای مجموعه‌ای از جواب‌های متعامد برای معادله لاپلاس هستند که در دستگاه مختصات کروی بیان شده است. هماهنگ‌های کروی کاربردهای نظری و عملی زیادی دارند، به ویژه در محاسبهٔ ترازهای الکترونی اتم‌ها، نمایش میدان‌های گرانشی، میدان مغناطیسی سیارات و تابش زمینه کیهانی. در گرافیک رایانه‌ای سه‌بعدی، هماهنگ‌های کروی نقش خاصی را در مسائل گوناگونی بازی می‌کنند، مانند نورپردازی غیرمستقیم و تشخیص اشیای سه‌بعدی.

مقدمه 

معادله لاپلاس در مختصات کروی به شکل زیر است:

با تبدیل
f(r,θ،φ)=R(r)Θ(θ)Φ(φ)
، بخش زاویه‌ای معادلهٔ لاپلاس در شرط زیر صدق می‌کند:

با به‌کاربردن روش جداسازی متغیرها به دو معادله دیفرانسیل زیر می‌رسیم:

برای هر m و l. بنابراین می‌توان نشان داد که بخش زاویه‌ای جواب، حاصل‌ضرب توابع مثلثاتی و توابع وابسته لژاندر هستند:

که در آن  هماهنگ کروی درجهٔ  و مرتبهٔ m خوانده می‌شود و  تابع وابسته لژاندر است، N ثابت بهنجارش است و θ و φ به ترتیب زاویه با محور z (متمم عرض جغرافیایی) و زاویهٔ قطبی (طول جغرافیایی) هستند.

منابع 

 E.W. Hobson, The Theory of Spherical and Ellipsoidal Harmonics, (1955) Chelsea Pub. Co., .

پیوند به بیرون 

 هماهنگ‌های کروی در وب‌گاه MathWorld

آنالیز هارمونیک
آنالیز فوریه
تقارن دورانی
توابع فوق‌هندسی مخصوص
چندجمله‌ای‌های متعامد
فیزیک اتمی
معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی هذلولوی