بنیان‌های ریاضیات

بنیان‌های ریاضیات  یا بنیان‌های رایش به بررسی بنیان‌های فلسفی و منطقی و/یا الگوریتمی رایش می پردازد، یا در چَمِ گسترده‌تر، پژوهش رایشی در مورد زیربنای فلسفی سرشت و طبیعت رایش.  معلوم می شود که در مورد اخیر، مرز بین فلسفه ریاضیات و بنیان های ریاضیات کاملاً مبهم است. بنیان های ریاضیات را می توان به عنوان مطالعه در مفاهیم بنیادی ریاضیات (همچون مجموعه، تابع، شکل هندسی، عدد و ...) و این که چگونه سلسله مراتب ساختارها و مفاهیم پیچیده، بخصوص ساختارهایی که اهمیت بنیادینی داشته و زبان ریاضیات را شکل می دهند (مثل فرمول‌ها، نظریه ها و مدل هایشان که به فرمولها، تعاریف، اثبات‌ها، الگوریتم‌ها و ... معنا می بخشند) دید. به این مفاهیم بنیادی، مفاهیم ریاضیاتی نیز گفته می شود، بنیان ریاضیات به این مفاهیم از جنبه فلسفی و یک پارچگی ریاضیات هم نگاه می کند. جست و جو برای بنیان های ریاضیات، پرسش مرکزی در فلسفه ریاضیات است؛ طبیعت مجرد اشیاء ریاضیاتی، چالش های فلسفی خاصی را نمایان می سازد.

بنیان های ریاضیات به عنوان یک کل، به دنبال شمول تمامی مفاهیم ریاضیاتی نیست. به طور کلی، بنیان‌های ریاضیاتی یک شاخه مطالعاتی، کم و بیش تحلیلی نظام مند از پایه ای ترین و بنیادی ترین مفاهیم آن شاخه است، به گونه ای که با فهم وحدت مفهومی و ترتیب طبیعی یا سلسله مراتب مفاهیم آن، ارتباطاتی بین آن شاخه و بقیه دانش بشری یافت شود. توسعه، ظهور و شفاف سازی بنیان ها در اواخر تاریخچه ی یک شاخه مطالعاتی شکل می گیرد و ممکن است از دید همگان جذاب ترین بخش آن شاخه به حساب نیاید.

ریاضیات از زمان های کهن، به عنوان مدلی از درستی و استواری استفسار عقلانی، همیشه نقش خاصی را در تفکر علمی بازی کرده و ابزار ها یا حتی بنیادی برای دیگر علوم (بخصوص فیزیک) را فراهم نموده است.

بسی از تکوین های متعدد ریاضیاتی به سمت تجرید های بالاتر در اواخر قرن ۱۹ میلادی، چالش ها و تناقض نماهای جدیدی را به بار آورد که بررسی نظام مند و عمیق تری را طلب می کرد تا سرشت و محک درستی ریاضیاتی به علاوه وحدت شاخه های متعدد ریاضیات به یک کل همگن بدست آید.

جست و جو برای بنیان های ریاضیات از اواخر قرن ۱۹م شروع شد و شاخه ریاضیاتی جدیدی به نام منطق ریاضیاتی را پدید آورد که بعد ها ارتباطات قوی با علوم رایانه نظری پیدا نمود. منطق ریاضیاتی از یک سری بحران ها و نتایج متناقض نما عبور کرد تا در نهایت کشفیات این حوزه، منطق ریاضیاتی را در طی قرن بیستم به عنوان یک بدنه بزرگ و همگن از دانش ریاضیاتی به پایداری رساند که شامل مؤلفه ها و جنبه های متعدد (نظریه مجموعه ها، نظریه مدل، نظریه اثبات و ...) بوده و خواص جزئی و گونه های محتملشان هنوز هم حوزه تحقیقاتی فعالی به شمار می آید. سطح مهارت فنی بالایی که این شاخه می طلبد، الهام بخش بسیاری از فیلسوفان بود تا حدس زنند که این شاخه را می توان به عنوان مدل یا الگویی برای بنیان علوم دیگر نیز احتمالاً در آینده به کار برد.

پانویس

منابع

 Avigad, Jeremy (2003) Number theory and elementary arithmetic, Philosophia Mathematica Vol. 11, pp. 257–284
 Eves, Howard (1990), Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics Third Edition, Dover Publications, INC, Mineola NY,  (pbk.) cf §9.5 Philosophies of Mathematics pp. 266–271. Eves lists the three with short descriptions prefaced by a brief introduction.
 Goodman, N.D. (1979), "Mathematics as an Objective Science", in Tymoczko (ed., 1986).
 Hart, W.D. (ed., 1996), The Philosophy of Mathematics, Oxford University Press, Oxford, UK.
 Hersh, R. (1979), "Some Proposals for Reviving the Philosophy of Mathematics", in (Tymoczko 1986).
 Hilbert, D. (1922), "Neubegründung der Mathematik.  Erste Mitteilung", Hamburger Mathematische Seminarabhandlungen 1, 157–177.  Translated, "The New Grounding of Mathematics.  First Report", in (Mancosu 1998).
 Katz, Robert (1964), Axiomatic Analysis, D. C. Heath and Company.
 
 In Chapter III A Critique of Mathematic Reasoning, §11. The paradoxes, Kleene discusses Intuitionism and Formalism in depth. Throughout the rest of the book he treats, and compares, both Formalist (classical) and Intuitionist logics with an emphasis on the former. Extraordinary writing by an extraordinary mathematician.
 Mancosu, P. (ed., 1998), From Hilbert to Brouwer.  The Debate on the Foundations of Mathematics in the 1920s, Oxford University Press, Oxford, UK.
 Putnam, Hilary (1967), "Mathematics Without Foundations", Journal of Philosophy 64/1, 5–22.  Reprinted, pp. 168–184 in W.D. Hart (ed., 1996).
 —, "What is Mathematical Truth?", in Tymoczko (ed., 1986).
 
 Troelstra, A. S. (no date but later than 1990),  "A History of Constructivism in the 20th Century",  A detailed survey for specialists:  §1 Introduction, §2 Finitism & §2.2 Actualism, §3 Predicativism and Semi-Intuitionism, §4 Brouwerian Intuitionism, §5 Intuitionistic Logic and Arithmetic, §6 Intuitionistic Analysis and Stronger Theories, §7 Constructive Recursive Mathematics, §8 Bishop's Constructivism, §9 Concluding Remarks. Approximately 80 references.
 Tymoczko, T. (1986), "Challenging Foundations", in Tymoczko (ed., 1986).
 —,(ed., 1986), New Directions in the Philosophy of Mathematics, 1986.  Revised edition, 1998.
 van Dalen D. (2008), "Brouwer, Luitzen Egbertus Jan (1881–1966)", in Biografisch Woordenboek van Nederland. URL:http://www.inghist.nl/Onderzoek/Projecten/BWN/lemmata/bwn2/brouwerle [2008-03-13]
 Weyl, H. (1921), "Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik", Mathematische Zeitschrift 10, 39–79.  Translated, "On the New Foundational Crisis of Mathematics", in (Mancosu 1998).
 Wilder, Raymond L. (1952), Introduction to the Foundations of Mathematics, John Wiley and Sons, New York, NY.

پیوندهای خارجی

 Logic and Mathematics
 Foundations of Mathematics: past, present, and future, May 31, 2000, 8 pages.
 A Century of Controversy over the Foundations of Mathematics by Gregory Chaitin. 

بنیان‌های ریاضیات
منطق ریاضی
تاریخ ریاضیات
فلسفه ریاضیات