گروه آبلی

گروه آبلی  یا گروه جابجایی‌پذیر یا گروه جابجایی، در ریاضیات، گروهی است که نتیجه اعمال عمل گروه به دو عنصر گروه به ترتیبی که این دو عنصر نوشته شده‌اند بستگی ندارد؛ یعنی باید عمل گروه جابه‌جایی‌پذیر باشد. مثلاً اگر جمع را عمل گروه در نظر بگیریم، اعداد صحیح و اعداد حقیقی دو گروه آبلی تشکیل می‌دهند، و مفهوم یک گروه آبلی را می‌توان تعمیمی برای این مثال‌ها دانست. گروه‌های آبلی به افتخار ریاضیدان قرن نوزدهم نیلس هنریک آبل نامگذاری شده‌اند.

مفهوم یک گروه آبلی زیربنای بسیاری از ساختارهای جبری اساسی، مثل میدان، حلقه، فضای برداری، و جبر روی یک میدان است. نظریه گروه‌های آبلی معمولاً ساده‌تر از همتایان غیر-آبلیشان هستند، گروه‌های آبلی متناهی به خوبی بررسی و کاملاً طبقه‌بندی شده‌اند.

گروه آبلی به مجموع‌های مانند G می‌گویند که دارای عملگری مانند * باشد و این عملگر در مجموعه G دارای خاصیت جابجایی باشد، یعنی برای هر a و b در G داشته باشیم:
a * b = b * a
در این صورت می‌گوییم (*،G) «گروه آبلی» است.

تعریف 
گروه آبلی شامل مجموعه‌ای مانند A و عملگر دوتایی مانند «•» است بگونه‌ای که (A، •) دارای ویژگی‌های زیر باشد:
 بسته بودن: برای هر a و b در A، حاصل a•b در A باشد.
 شرکت پذیری: برای هر a,b،c در A داشته باشیم:.a •(b • c)=(a • b) • c
 جابجایی: برای هر a و b در A، باید a •b =b • a
 وجود عنصر همانی: یک e∈A وجود دارد بطوریکه برای هر a ∈ A، داشته باشیم a • e = e • a = a.
 وجود عنصر عکس: برای هر a∈A، یک b∈A وجود دارد که a • b = b • a = e.(e همان عنصر همانی است)

مثال 
مجموعهٔ همهٔ ماتریس‌های m*n با درآیه‌های حقیقی تحت عمل جمع یک گروه آبلی است. ماتریس‌های مربعی تحت عمل ضربِ ماتریس‌ها روی R یک گروه آبلی است.

مجموعه ها 

نوشتن به این معنی که عناصر مجموعه A اعداد 1، 2، 3 و 4 هستند. برای مثال مجموعه عناصر A، زیر مجموعه های A هستند.
 
مجموعه ها خودشان می توانند عناصر باشند. به عنوان مثال، مجموعه را در نظر بگیرید. عناصر B 1 ، 2، 3 و 4 نیستند. بلکه فقط سه عنصر B وجود دارد ، یعنی اعداد 1 و 2 و مجموعه.
 
عناصر یک مجموعه می تواند هر چیزی باشد. مثلا،مجموعه ای است که عناصر آن رنگ های قرمز ، سبز و آبی است.

نشانه گذاری و اصطلاحات 

رابطه "یک عنصر از" است که به آن عضویت در مجموعه نیز می گویند ، با نماد "∈" نشان داده می شود. نوشتن
 

 
به این معنی است که " x یکی از عناصر  A است".  عبارات معادل عبارتند از: " x یکی از اعضای  A است"، " x متعلق به  A است "، " x در  A است " و " x در  A قرار دارد ". عبارات " A شامل x " و " A حاوی x " نیز به معنای عضویت در مجموعه استفاده می شود، اگرچه برخی از نویسندگان آنها را به معنای " x زیرمجموعه A است " به کار  می برند .اکیداً اصرار داریم که «حاوی» فقط برای عضویت و «شامل» فقط برای رابطه زیرمجموعه استفاده شود. 
 
برای رابطه ∈ ممکن است رابطه معکوس ∈ T نوشته شود
 
 به این معنی که " A حاوی یا شامل x است".
 
نفی عضویت مجموعه با نماد "∉" نشان داده می شود. نوشتن
 
 به این معنی است که " x یکی از عناصر  A نیست".
 
نماد ∈ اولین بار توسط جوزپه پیانو، در اثر او در سال 1889 Arithmetices principia، nova metodo exposita استفاده شد.  در اینجا او در صفحه X نوشت:Signum ∈ significat est Ita a ∈ b legitur a est quoddam b; …که به معنینماد ∈ به معنای است . بنابراین a ∈ b به عنوان a است a b خوانده می شود . …این نماد خود یک حرف کوچک یونانی epsilon ("ϵ") است که اولین حرف کلمه ἐστί به معنای "است".

منابع 

خواص گروه‌ها
نظریه گروه‌های آبلی
نیلس هنریک آبل