وضوح فضایی

تفکیک پذیری زاویه ای

قدرت تفکیک پذیری زاویه ای ( Angular resolution) یا تفکیک پذیری فضایی (spatial resolution) یا وضوح فضایی، قدرت هر نوع سیستم تولید کننده ی تصویر همچون تلسکوپ رادیویی یا اپتیکی، میکروسکوپ، دوربین و یا چشم انسان برای متمایز سازی جزئیات یک شیء را می گویند. به همین دلیل قدرت تفکیک پذیری زاویه ای از اصلی ترین مشخصه های وضوح تصویر می باشد.

در فیزیک و علوم مربوط به زمین شناسی، عبارت تفکیک پذیری فضایی به دقت اندازه گیری نسبت به فضا اشاره دارد.

این کمیت من جمله در نجوم و علوم تصویری دیگر کاربرد های فراوانی دارد.

تعریف واصطلاحات 
resolving power

قدرت حل و فصل ( resolving power ) قدرت یک سیستم تصویری برای جداسازی 2 نقطه از جسم که در فاصله زاویه ای ( angular distance  ) کمی با هم هستند یا قدرت یک وسیله ی اپتیکی برای جداسازی اجرام خیلی دور که به هم نزدیکند به صورت 2 تصویر مجزا را می گویند.

resolution

عبارت تفکیک پذیری (resolution) یا حداقل فاصله ی قابل تحلیل (minimum resolvable distance)  ، حداقل فاصله بین 2 شیء در یک تصویر است که آن 2 شیء از هم قابل تشخیص باشند، اگرچه که این عبارت به طور گسترده توسط کاربران میکروسکوپ و تلسکوپ برای توضیح دادن قدرت تفکیک پذیری ( resolving power )  استفاده می شود.

توضیحات 
تفکیک پذیری تصویری یک سیستم به علت 2 پدیده ی بیراهش و یا پراش که باعث تاری تصویر می شود محدود می شود. این 2 پدیده 2 منشاء گوناگون دارند و به هم ربطی ندارند. بیراهش نوری به کمک هندسه ی اپتیکی توضیح داده می شود و با افزایش کیفیت اپتیکی و متعاقبا قیمت وسیله این مشکل حل می شود. از طرف دیگر پدیده ی پراش از خاصیت موجی بودن نور ناشی می شود و به وسیله عدسی عناصر نوری تعیین می شود. عدسی دایره ای شکل لنزها مانند ورژن دوبعدی آزمایش تک شکاف هستند. نورهایی که از لنز رد می شوند با یکدیگر تداخل می کنند و یک الگوی پراش دایره ای شکل ایجاد می کند که اگر جبهه ی موج نور آمده کروی باشد به الگوی هوایی ( airy pattern ) معروف است.

اثر متقابل 2 پدیده ی بیراهش و پراش را می توان با تابع نقطه گستر( PSF ) توصیف کرد. هر چه عدسی لنز باریک تر باشد احتمال اینکه PSF بر بیراهش غلبه کند بیشتر می شود. در این صورت، تفکیک پذیری زاویه ای ( angular resolution ) یک سیستم اپتیکی را می توان با ضابطه ی رایلی (John William Strutt, 3rd Baron Rayleigh) از روی قطر عدسی و جبهه ی موج تخمین زد : 2 منبع نقطه ای را می توان جدا از هم دید هرگاه ماکسیمم پراش اصلی یک تصویر بر اولین مینیمم پراش عکس دیگر منطبق شود. اگر فاصله بیشتر باشد، آن 2 نقطه به خوبی resolve می شوند و اگر کمتر باشد، آن ها resolve نمی شوند.

که θ تفکیک پذیری زاویه ای است ( رادیان )، λ طول موج نور است، و D قطر لنز عدسی می باشد. عدد 1.220 از محاسبه ی موقعیت اولین حلقه ی تاریک محاط شده در دیسک هوایی مرکزی پراش بدست می آید. این عدد دقیقا 1.21966989…(OEIS: A245461) است.

ضابطه ی رایلی شبیه حد تجربی تفکیک پذیری ای، که قبل تر فضانورد انگلیسی ویلیام روتر داوز ( W.R.Dawes ) که مشاهدات انسانی را روی ستاره هایی با روشنایی برابر تست می کرد کشف کرد، می باشد. در نتیجه θ = 4.56/D ، که D بر حسب اینچ و θ  بر حسب arcseconds کمی باریک تر از چیزی است که با ضابطه ی رایلی بدست می آید. محاسبه ای که از دیسک هوایی به عنوان PSF استفاده می کند نشان می دهد که در حد داوز( Dawes' limit ) قوس 5% بین 2 ماکسیمم وجود دارد، در حالیکه در ضابطه ی رایلی قوس 26.3%  هست. در تکنیک های پردازش تصویر مدرن مانند  PSF ها، اجازه می دهند resolution باینری ها حتی فاصله زاویه ای کمتری هم داشته باشند.

تفکیک پذیری زاویه ای می تواند با زیاد کردن زاویه (به رادیان) با فاصله ای که جسم دارد، به تفکیک پذیری فضایی ، Δℓ ،  تبدیل شود.

برای میکروسکوپ، این فاصله نزدیک به فاصله کانونی عدسی میکروسکوپ ( objective ) f است. ضابطه ی رایلی را برای آن می نویسیم :

موارد خاص

تلسکوپ تک 
منابع نقطه ای که با یک زاویه‎ی کوچکتر از وضوح زاویه ای جدا شده اند، قابل تشخیص نیستند. یک تلسکوپ نوری ممکن است دارای وضوح زاویه ای کمتر از یک آرک ثانیه باشد، اما مشاهده نجومی و سایر اثرات جوی باعث می شود رسیدن به این نقطه بسیار سخت شود.

وضوح زاویه ای R یک تلسکوپ، معمولاً می تواند توسط رابطه‎ی زیر تخمین زده شود:

که در آن  طول موج تابش مشاهده شده، و D قطر عدسی تلسکوپ است. R بدست آمده، برحسب رادیان می باشد. به عنوان مثال، برای نور زرد با طول موج 580 نانومتر، برای یک وضوح 0.1 آرک ثانیه‎ای، ما نیاز به D برابر با 1.2 متر داریم. منابع بزرگتر از وضوح زاویه ای، منابع گسترده یا منابع پراکنده‎ شده نامیده می شوند و منابع کوچکتر، منابع نقطه ای نامیده می شوند.

این فرمول، برای نور با طول موج حدود 562 نانومتر، حد داوز نیز گفته می‎ شود.

آرایه ای از تلسکوپ ها 
بالاترین وضوح زاویه‎ای می تواند توسط آرایه ای از تلسکوپ‎ها به نام تداخل سنج نجومی ( astronomical interferometers ) حاصل شود: این ابزار می توانند به وضوح های زاویه ای 0.001 آرک ثانیه در طول موج های نوری، و وضوح های بسیار بیشتری در طول موج های اشعه ایکس برسند. برای انجام تصویربرداری سنتز روزنه، به تعداد زیادی از تلسکوپ نیاز است در یک ترتیب 2 بعدی با دقت ابعادی بیشتر از یک قطعه (0.25x) از وضوح تصویر مورد نیاز، قرار گرفته‎اند.

وضوح زاویه‎ای R یک ترتیب تداخل سنج، معمولاً می تواند توسط رابطه‎ی زیر تخمین زده شود :

که در آن λ، طول موج تابش مشاهده شده، و B طولِ حداکثر تفکیک فیزیکی تلسکوپ در آن ترتیب است، که خط پایه نامیده می شود. منابع بزرگتر از وضوح زاویه ای، منابع گسترده یا منابع پراکنده‎ شده نامیده می شوند و منابع کوچکتر، منابع نقطه ای نامیده می شوند.  به عنوان مثال، برای ایجاد یک تصویر در نور زرد با طول موج 580 نانومتر، برای وضوح 1 میلی آرک ثانیه، ما نیاز داریم تلسکوپ ها در تربیت 120 متر در 120 متری با دقت ابعادی بیشتر از 145 نانومتر قرار گیرند.

میکروسکوپ 

وضوح R (در اینجا به عنوان فاصله اندازه گیری می‎شود، با وضوح زاویه ای از بخش قبلی اشتباه گرفته نشود) به دیافراگم زاویه‎ای α وابسته است:

    که      

در اینجا NA، دیافراگم عددی است، θ نیمی از زاویه α لنز است، که بستگی به قطر لنز و فاصله کانونی آن دارد، n شاخص بازتاب از محدوده بین لنز و نمونه است و λ طول موج نور روشنایی یا نور خارج شده (در میکروسکوپ فلورسانس) از نمونه است.

به این ترتیب، NA ها برای هر دو مورد اشیا و کندانسور باید هم اندازه‎ی حداکثر وضوح ممکن باشد. در صورتی که هر دو NA یکسان هستند، معادله ممکن است به شکل زیر کاهش یابد:

که نزدیک به 200 نانومتر است.

اشیای غوطه ور در روغن می توانند مشکلات کاربردی داشته باشند، به دلیل عمق کم میدان و فاصله بسیار کوتاه کاری، که به دلیل استفاده از پوشش بسیار نازک (0.17 میلی متر) و یا در میکروسکوپ معکوس، به علت استفاده از ظروف نازک ته شیشه‎ای پتری دیش، ایجاد میشود.

با این حال، وضوح های کمتر از این حد نظری را می توان با استفاده از میکروسکوپ با وضوح فوق العاده بدست آورد. اینها شامل میدان‎های نوری نزدیک (میکروسکوپ نوری اسکن کننده‎ی نزدیک-میدان) یا یک روش پراش به نام میکروسکوپی 4Pi STED است. اشیاء در اندازه‎ی 30 نانومتر، با هر دو روش بدست آمده اند. علاوه بر اینکه میکروسکوپی فتواکتیوی محلی شده می تواند ساختارهای آن اندازه را به ما بدهد، همچنین قادر به ارائه اطلاعات در جهت z (سه بعدی) می‎باشد.

جستارهای وابسته 
 وضوح
 وضوح زمانی
 وضوح طیفی
 وضوح تصویری
قطر زاویه‌ای

منابع 
1. angular resolution

زاویه
فیزیک پزشکی
فیزیک نور
مهندسی پزشکی