Serie (matematika)

Matematikan, seriea batura moduan adierazten den segida matematiko bat da:

 
Aurreko segidari, n elementu batzen dituen segidari, seriearen n-garren batura partziala deituko diogu.

Serieen azterketaren helburu nagusia batura kalkulatzea da, bereziki n infiniturantz doan kasuan. Serieak (batura partzialen limiteak zehazkiago), balio jakina hartzen badu, serie konbergentea dela esaten da; bestela, esaterako batura infinitua denean, serie dibergentea dela esaten da.

Serieen izaera 
Serieen izaera haren oinarrian dagoen segidaren gaien baturaren nolakotasunak zehazten du. Hiru motako serieak atzeman daitezke: konbergenteak, dibergenteak eta oszilatzaileak. 

 Serie bat konbergentea izango da  batura partzialen segidaren limitea zenbaki bat bada, hau da, baturaren limitea zenbaki bat bada. Orduan,  izango da.

Adibideak

  seriea konbergentea da, eta bere emaitza  da.
  seriea konbergentea da eta bere emaitza  zenbakia da.

 Serie bat dibergentea izango da  batura partzialen segidaren limitea ez bada zenbaki jakin bat eta  bada. Orduan,  izango da.

Adibideak

  seriea dibergentea da. Izan ere, segida honen -garren batura partziala  izango da. Gainera, kasu konkretu honetan,  kasuan batura  izango da eta  kasuan .
 Beste adibide bat  edo serie armonikoa da, non nahiz eta segidaren limitea 0 izan seriearen batura   da.

 Serie bat oszilakorra bada bere batura ez da existituko.

Adibidea

  seriea oszilakorra da, eta bere emaitza  izango da  bikoitia bada, eta    bakoitia bada.

Serieen propietate batzuk 

 Serie konbergenteen kasuan,  serie konbergente ororentzat,  izango da, baina alderantzizkoak ez du zertan bete, honen adibide izanik lehen ikusitako serie harmonikoa.

  serie baten izaera ez da aldatuko elementu kopuru finitu bat gehitzen bazaio.

  eta  bi serie konbergente izanik, non haien baturak  eta  diren hurrenez hurren:

 
  izanik, 

Gai positiboko serieetan, batzuetan, serie minorante eta maioranteak erabiltzen dira seriearen izaera zehazteko.  eta  serieak ditugularik, lehenaren serie minorantea izango da bigarrena baldin bigarrenaren gai guztiak lehenarenak baino txikiagoak badira. Alderantziz, lehen seriearen serie maiorantea izango da bigarrena, baldin bigarrenaren gai guztiak lehenarenak baino handiagoak badira. Hori jakinda, gai positiboko serieen kasuan ondorioztatu daiteke serie konbergente batek serie maiorante konbergente bat badu, serie hori ere konbergentea izango dela. Era berean, gai positiboko serie dibergente batek serie minorante dibergentea badu, serie hori ere dibergentea izango da.

Serieen adibideak 

 Serie geometriko bat serie bat da non batugai bakoitza aurrekoa den konstante batengatik biderkatuta. Adibidez:

 seriea konbergentea izango da  baldin bada

 Serie harmonikoa  seriea da. Dibergentea da. 
 Honen adibide konkretu bat  seriea da. Hau Basileako problema bezala ezagutzen da. Leonhard Euler matematikariak aurkitu zuen bere balioa: 
 Serieen bidez konstante garrantzitsu batzuen balioak aproximatu daitezke, adibideak izanik lehengo basileako problema edo , bere emaitza  izanik.

Kanpo estekak 

 
Segida matematikoak