Sistema hirurogeitar

Sistema hirurogeitarra zenbaki posizionalen multzoen sistema bat da, 60 zenbakia oinarri gisa erabiltzen duena. Mesopotamia zaharreko Sumertar zibilizazioak sortu zen. Sistema hirurogeitarra batez ere denborak (orduak, minutuak eta segundoak) eta angeluak (graduak) neurtzeko erabiltzen da.

Sistema hirurogeitarra zenbakizko kalkuluetan soilik erabiltzen zen formalki; izan ere, zenbakidunetako sumertar, akadiar eta beste hizkuntza batzuetako zenbakien izenek ez zuten sistema hirurogeitarra bera, baizik eta, munduko hizkuntza gehienetako zenbakiek bezala, sistema hamartarrean edo hogeitarrean oinarritutako izenak zituzten.

Sarrera 
60 zenbakiak badu abantaila bat: zatitzaile asko ditu, hala nola (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 eta 60), eta, beraz, errazago kalkulatzen da zatikiekin. Kontuan izan behar da 60 dela 1, 2, 3, 4, 5 eta 6rekin zatitu daitekeen zenbakirik txikiena.

Angeluak, koordenatuak eta denbora neurtzeko oinarri gisa hirurogei zenbakia erabiltzea astronomia zaharrari eta trigonometriari lotuta dago. Ohikoa zen astro baten goratze-angelua neurtzea eta trigonometriak triangelu angeluzuzenak erabiltzen zituen. Antzinatean, orain zenbaki oso positibo deritzoguna —zero kenduta— «bona fide» zenbaki bakarrak ziren. Egungo zenbaki arrazionalak zenbaki osoen arteko arrazoitzat hartzen ziren, filosofia nagusiak proportziora jotzen baitzuen, eta frakzio bat, azken batean, balio osoen bi segmenturen arteko konparazio proportzionala zen. Hori guztia multiplo komunetako minimo deritzogunari lotuta dago. Alde osoko triangelu angeluzuzen guztien ezaugarria da hiru aldeen biderkadura beti hirurogeiko multiploa dela. Katetoetako bat lehena bada, bestea gutxienez hamabiren multiploa da eta hirurogeiren multiploa, hipotenusa ere lehena bada. Kateto lehenik ez badago, kateto bat hirunaka zatitu daiteke eta bestea laurdenka; hiru aldeetako edozein bosten multiploa da. Azken aurreko baieztapen horrek salbuespen bat du: Egiptoko triangelu sakratua, kateto lehenetsia eta balizko prima dituena, baina kateto konposatua lauren multiploa da: (3, 4, 5), nahiz eta produktua hirurogei izan. Kateto eta hipotenusa primoak dituzten beste triangelu batzuk hauek dira: (11, 60, 61) eta (71, 2520, 2521).

Sistema hirurogeitarraren aztarnak geratzen dira denboraren neurketan. 24 ordu egun batean, 60 minutu ordu batean eta 60 segundo minutu batean. Segundo batetik beherako unitateak sistema hamartarrarekin neurtzen dira.

Unitateak kalkulatzeko metodo hori tipografian ere erabiltzen da, non oinarrizko unitate zizeroen edo piken hamabi puntutan banatzen baitira, eta puntu hamarrenetan banatzen baitira. Inprenta moten eta konposizio tipografikoko beste elementu batzuen (kolomak, korondelak edo kaleak) tamaina kalkulatzeko modu horren jatorrian egon daitezkeen arrazoi historikoez gain, elementu horiek mantentzeko arrazoia da oso erosoa dela ingurune, gela eta herenetan zatiketak egitea puntu tipografiko osoekin, hamartarrak erabili gabe.

Zenbakiak sistema hirurogeitarrean adierazteko, hitzarmen bat egiten da, sistema hamartarreko zenbakiak (0tik 59ra) erabiltzen dituena, komaz binaka bereizita. Koma hamartarra adierazteko puntu bat eta koma hirurogeitarra erabiliko lirateke. Adibidez, 1;07,30 zenbakia 1 + 07/60 + 30/60² = 1,125 da hamartarrean. Omeien kaliferrian, arabiarrek sistema sexagesimala erabili zuten bai denbora kontatzeko, bai arbaso babilonikoetatik eboluzionatutako geometria eta trigonometriarako, Egipto zaharretik eta beste kultura askotatik igarota. Hain zuzen ere, arabiarrek finkatu zuten sistema hirurogeitarraren erabilera kultura modernoan, ia 500 urtez izan baitzuten ahalmen zientifiko guztia eztabaidarik gabe. Bere garaian babiloniarrek lehen lerroak egin zituzten arabiarrek beren sistema urte batzuk geroago erabil zezaten, eta haiek zimendatu egin zuten sistema hirurogeitarra gaur egun ezagutzen dugun moduan erabiltzea. Eta oso bitxia bada ere, oraindik ere ezin hobeto funtzionatzen du.

Sistema hirurogeitarraren batuketa eta kenketa matematikan 
Sistema hirurogeitarra zenbaki-sistema bat da, non unitate bakoitza 60 unitate beheragoko ordenatan banatzen baita, hau da, 60 oinarriko zenbaki-sistema da. Gaur egun, denboraren eta angeluen anplitudearen neurketari aplikatzen zaio.
 1 h 60 min 60 s
 1º 60 min 60 min

Batuketa 
1. urratsa: Orduak orduen azpian jartzen dira (edo graduak graduen azpian), minutuak minutuen azpian eta bigarrenak bigarrenen azpian; eta batu egiten dira.

2. urratsa: Bigarrenek 60 baino gehiago batzen badituzte, zenbaki hori zati 60 eginen da; gainerakoak bigarrenak izanen dira eta zatidura minutuei erantsiko zaie.

3. urratsa: Gauza bera egiten da minutuetarako.

Kenketa 
1. urratsa: Orduak orduen azpian jartzen dira (edo graduak graduen azpian), minutuak minutuen azpian eta segundoen azpian.

2. urratsa: Bigarrenak kenduko dira. Ezinezkoa bada, minuendoko minutu bat 60 segundu bihurtuko dugu eta minuendoko bigarrenei batuko diegu. Ondoren, bigarrenak kenduko ditugu.

3. urratsa: Gauza bera egiten dugu minutuekin.

Jatorria 

Sistema hamartarrean bezala, jatorria eskuetako hatzak erabiliz zerrendatzeko modu batean dago. Antzinatean, Ilgora Emankorreko biztanleek esku bereko gainerako hatzetako 3 falangeak eskuin-eskuko hatz lodiaz seinalatzen zituzten, eskuina izanez gero, eta hatz txikitik hasita. Metodo honekin 12raino kontatu daiteke. Eta kopuru handiagoekin jarraitzeko, eragiketa hori egiten zuten bakoitzean esku libreko hatz bat altxatzen da —ezkerrekoa— 60 unitate osatu arte (12 x 5 = 60); beraz, zenbaki hori «zifra biribila» zela jo zen, eta transakzio eta neurketetan ohiko erreferentzia bihurtu zen. Antzeko zortea izan zuen eskuineko eskuan kontatutako zenbakiak, 12ak, eta zenbait multiplok, hala nola 24, 180 (12 x 15, edo 60 x 3) eta 360 (12 x 30, edo 60 x 6). 

Hatzekin kontatzeko modu hori (12 arte eta, gero, 60 arte) Ekialde Ertaineko biztanle batzuek erabiltzen dute gaur egun ere.

Sergey Fomin matematikariak beste bi azalpen zahar ematen zituen sistema hirurogeitarraren jatorriari buruz, nahiz eta hark ez zituen oso sinesgarriak eta ez oso argumentatuak iruditzen. Lehenengo hipotesia zen sistema hirurogeitarra konfederatu ziren bi triburen arteko konpromiso politikotik sortu zela, beren zenbaki-sistemak konbinatuz (senarioa eta hamartarra). Bigarrenak astronomia-behaketaren eratorri gisa aurkezten zuen sistema, eta ez eguneroko erabileraren emaitza gisa. Beraz, mesopotamikoek beren urtea 360 egunetan ezarri zutenez, zenbaki horren zatitzaile bat (60a) erabiliko zuten zenbaki guztien oinarrizko zifra gisa.

Astronomiaren erabilera jatorrian 
Babilonian zirkunferentzia 360 arku berdinetan zatitu zen. Zati bakoitzak gradu-izena jaso zuen eta bakoitzari jainko bat esleitu zitzaion. Zodiakoan hamabia agertzen da berriro, zeinu edo «etxe» kopuru horrek sistema baitu, 30 graduko arku bat eta jainko-kopuru bereko multzo bat hartuz. Erlijio-sistema oso zorrotza eta dogmatikoa zen, eta angeluak ertz bakarreko eta luzera mugagabeko erregela ez-graduatuaren bidez eraikitzea eskatzen zuen, gehi irekidura finkoko konpas bat, zirkunferentzia bat marratzen zen bitartean, baina altxatzean ixten zen, eta, beraz, ezin zen erabili segmentuak edo neurriak garraiatzeko. Eraikuntza geometrikoko sistema hori jainkozko jatorrikotzat eta erabileratzat hartzen zen; sineste horien arabera, unibertsoa eraikitze geometrikoko metodo horren bidez sortu zen.

Misterio bat da jakitea nola garatu zen guztiz sistema erlijioso geometriko hori; izan ere, 1801eko Gauss-en Ziklotomiaren Teorema Orokorrak erakusten du ezinezkoa dela angelu askotarako gradu-kopuru oso bat eraikitzea: 3ºren multiploa ez den edozein.

Arazo irekia da, soluziorik gabea, apaizak hurbilketekin edo metodo ez sakratuekin konformatu ziren zehaztea, adibidez, erregelan markak egitea. Horrek filosofia oso bat suntsituko luke, eta, gertatu izan balitz, kontu handiz ezkutatu beharko lukete klerokoak ez diren gizon kultuetatik.

315 urtean behin, Eguzkia eta Ilargia leku berean agertzen dira berriro zeruan, 7-8 arku-minutuko errorearekin. Giza begiak gerturatze-tresnarik gabe hauteman dezakeen gutxieneko tartearen bikoitza baino zertxobait gehiago da hori. Akats txikiak gure zibilizazioak ezagutzen ez duen esanahi erlijiosoa izan beharko luke, gradua jainko batek betetzen baitzuen eta 60 minututan banatzen baitzen. Baina bai Eguzkia bai Ilargia jainkoaren eremu berean erortzen ziren. Lau aldi dira 1260 urte, hau da, 3 + ½ aldiz 360 urte. Multzoa gutxieneko adierazpen osora eramanez, 2520 urteko periodo astronomikoa dugu, zeina kateto bat eta hipotenusa primoak dituen triangelu angeluzuzen baten parte baita: (71, 2520, 2521). Zenbaki horiek, 1260 eta 2520, 12, 40 eta 60ren multiploak dira, eta edozein kateto eta hipotenusa har ditzakete, triangelu sakratu egiptoarraren (3, 4, 5) antzeko triangelu angeluzuzenen antzekoak, eta, oro har, edozein triangelu angeluzuzen osokoak, bereziki, kateto lehen bat dutenak.

Adibideak 

 1 aldeko lauki baten diagonalaren luzera 2ren erro karratuaren berdina da. Balio horren hurbilketa oso ona da:

 1,414212… = 30547/21600 = 1;24,51,10 (sexagesimala = 1 + 24/60 + 51/60² + 10/60³),
 Garai Babiloniko Zaharreko (1900 a) babiloniar matematikariek erabili zuten konstante bat. K. – 1650 a. C.), eta YBC 7289 buztinezko taulan jasota dago. Balio zehatzagoa da hau: 1;24,51,10,07,46,06,04,44,…

 Urte tropikalaren iraupena astronomia neobabilonikoan (ikus: Hiparko):

 365,24579… = 06,05;14,44,51 (365 + 14/60 + 44/60² + 51/60³).

 Ptolomeok erabiltzen zuen π balioa

 3,141666… = 377/120 = 3;08,30 (3 + 8/60 + 30/60²).

Zatikiak 
60 zenbakiak lehen hiru zenbakiak ditu zatitzaile lehentzat, hau da, 2, 3 eta 5. Izendazailea 2a · 3b · 5c formakoa duen frakzio orok garapen hirurogeitar zehatza izanen du, a, b eta c zenbaki osoekin 0 edo handiagoak.

Hala ere, garapena zehatza ez den kasuetan, periodoa luzea izango da, normalean. Aurreko eta ondorengo zenbakiak lehen mailakoak direnez (59 eta 61, hurrenez hurren), periodoa zifra bakarrekoa edo bikoa izan dadin, izendatzaileak 59, 61 izan behar du, bien biderkadurak (3599) edo aurrekoetako edozeinek 2a · 3b · 5c formako zenbaki batekin. Beste edozein kasutan, periodoa luzeagoa izanen da.

 1/2 = 0;30
 1/3 = 0/20
 1/4 = 0;15
 1/5 = 0;12
 1/6 = 0;10
 1/7 = 0;08,34,17
 1/8 = 0;07,30
 1/9 = 0;06,40
 1/10 = 0/06
 1 = 11 = 0; 05,27,16,21,49
 1/12 = 0/05
 1/13 = 0;04,36,55,23
 1/14 = 0;04,17,08,34
 1/15 = 0/04
 1/16 = 0;03,45
 1/17 = 0;03,31,45,52,56,28,14,07
 1/18 = 0;03,20
 1/19 = 0
 1/20 = 0/03

 1/24 = 0;02,30
 1/25 = 0;02,24
 1/27 = 0;02,13,20
 1/30 = 0/02
 1/32 = 0;01,52,30
 1/36 = 0;01,40
 1/40 = 0;01,30
 1/45 = 0;01,20
 1/48 = 0;01,15
 1/50 = 0;01,12
 1/54 = 0;01,06,40
 1/59 = 0;01
 1/1,00 = 0;01 (1/60 hamartarrean).

Biderketa-taulak 
Oinarri hirurogeitarreko biderketa-taulak buruz ikastea nahiko zaila da, 59 × 60/2 = 1770 produktu memorizatzea baita kontua. Konparazio gisa, sistema hamartarrean 9 × 10/2 = 45 produktu memorizatu behar dira. Adibidea: 8 x 5 = 40 = 5 x 8.

Zenbaki lehenen bilaketa 
Zenbaki lehenek zifra hauek izan ditzakete: 01, 07, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, 53 edo 59.

Bestela esanda, zenbaki natural bat badugu, zeinaren azken zifra, base-hirurogeiatarrean, zenbaki lehena baita (02, 03 edo 05 ez dena), 01 edo 49 zenbakia, orduan zenbaki hori lehena izan daiteke — eta primalitate metodoren bat erabiliz egiazta daiteke. Zifra horietako batean amaitzen ez bada, konposatua izango da zenbakia.

Erreferentziak

Kanpo estekak 

Oinarrizko matematika
Zenbaki-sistemak