Serie konbergente

Serie konbergentea bere gaien batura partzialen segidak limite finitua duen seriea da; kasu horretan, serieak batura finitua du, batura partzialen segidaren limitea hain zuzen.

Definizio formala 
Kontuan hartutako serieak zenbakizkoak (termino erreal edo konplexuekin) edo bektorialak (eratutako espazio bektorialean balioekin) dira. Termino orokorraren serieak  bat egiten du batuketa partzialen segidak bat egiten duenean.

Kasu honetan, seriearen batura batura partzialen segidaren limitea da.

Serie baten konbergentzia edo ez konbergentzia izaera ez da aldatzen seriearen termino-kopuru finitu bat aldatzen bada.

Adibideak 
Konbergenteak dira sekuentzien serieak:

 Zenbaki oso bakoitietako elkarrekikoak, zeinuak tartekatuta dituztenak . Leibnizen serie bezala ezagutzen dira:

 Zenbaki triangeluarren elkarrekikoak:

 Hurrengo faktorialetako elkarrekikoak (n!): 

 Ondoz ondoko karratu perfektuen elkarrekikoak (ikus Basileako problema): 

 2ren potentzien elkarrekikoak: 

 2ren berreturen elkarrekikoak, zeinu txandakatuekin: 

 Fibonacciren zenbakien elkarrekikoak (ikus Fibonacciren alderantzizkoen konstantea): 

 Zeinu txandakatuak dituzten zenbaki naturalen elkarrekikoak : 

Dibergenteak dira sekuentzien serieak:

 Zenbaki naturalen elkarrekikoak, serie harmonikoa bezala ezagutua dena :

 Zenbaki lehenen elkarrekikoak :

Konbergentzia absolutua 
 seriea absolutuki konbergentea dela diogu baldin eta termino orokorraren seriea  konbergentea bada. Kasu honetan  serieak bat egiten du.

Erabateko konbergentzia oso interesgarria da Banachen espazio batean balioak dituzten serieak aztertzeko (horixe da zenbaki-serieen kasua), non nahikoa baita serieak erabateko konbergentzia izatea bat egiten duela frogatzeko. Teknika horri esker, kasu askotan, termino positiboen serieetan soilik egin daiteke azterketa; horretarako, metodo ugari daude.

Gai positiboko serieen konbergentziarako-irizpideak 
Konparazio irizpidea: izan bitez  eta  gai positiboko serieak,  izanik. Orduan:

  konbergentea bada,  ere konbergentea da.

  dibergentea bada,  ere dibergentea da.

Limitearen irizpidea: izan bitez  eta  gai positiboko serieak,  izanik  guztietarako. Izan bedi .

  denean,  konbergentea da baldin eta soilik baldin  konbergentea bada.
  denean,  konbergentea bada,  ere konbergentea da.
  denean,  dibergentea bada,  ere dibergentea da.

D'Alamberten irizpidea: izan bedi  seriea gai positiboko seriea eta demagun  limitea existitu egiten dela. Orduan:

 l < 1 bada, orduan  konbergentea da.

 l > 1 bada, orduan  dibergentea da.

Raaberen irizpidea: izan bedi  gai positiboko seriea, zeinetarako  den, eta izan bedi . Orduan:

 l >1 edo l =  bada, orduan  konbergentea da.

 l <1 bada, orduan  dibergentea da.

Cauchyren irizpidea edo erroaren irizpidea: izan bedi  gai positiboko seriea eta demagun  limitea existitzen dela. Orduan:

 l < 1 bada, orduan  konbergentea da.

 l >1 bada, orduan  dibergentea da.

Integralaren irizpidea: Izan bedi f funtzio positiboa eta beherakorra [1, +) tartean. Izan bedi ,  guztietarako. Orduan  konbergentea da baldin eta soilik baldin  existitzen bada eta finitua bada.

Erreferentziak

Kanpo estekak 

 
Segida matematikoak
Konbergentzia (matematika)