Κοινωνικός αριθμός

Στα μαθηματικά, οι κοινωνικοί αριθμοί είναι αριθμοί των οποίων το άθροισμα των ομαλών διαιρετών τους σχηματίζουν μια κυκλική ακολουθία που αρχίζει και τελειώνει με τον ίδιο αριθμό. Είναι γενικεύσεις των εννοιών των φιλικών αριθμών και των τέλειων αριθμών. Οι δύο πρώτες κοινωνικές ακολουθίες, ή κοινωνικές αλυσίδες, ανακαλύφθηκαν και ονομάστηκαν από τον Βέλγο μαθηματικό Πωλ Πουλέ το 1918. Σε ένα σύνολο κοινωνικών αριθμών, κάθε αριθμός είναι το άθροισμα των κατάλληλων διαιρετών του προηγούμενου αριθμού, δηλαδή, το άθροισμα αποκλείει τον ίδιο τον προηγούμενο αριθμό. Για να είναι η αλληλουχία κοινωνική, η ακολουθία πρέπει να είναι κυκλική και να επιστρέψει στο σημείο εκκίνησης.

Η περίοδος της ακολουθίας ή της σειράς του συνόλου των κοινωνικών αριθμών είναι ο αριθμός των αριθμών σε αυτόν τον κύκλο.

Εάν η περίοδος της ακολουθίας είναι 1, ο αριθμός είναι ένας κοινωνικός αριθμός της τάξης 1 ή ένας τέλειος αριθμός – για παράδειγμα, οι κατάλληλοι διαιρέτες του 6 είναι το 1, 2 και 3, των οποίων το άθροισμα είναι και πάλι 6. Ένα ζευγάρι φιλικών αριθμών είναι ένα σύνολο κοινωνικών αριθμών της τάξης 2. Δεν υπάρχουν γνωστοί κοινωνικοί αριθμοί της τάξης 3 και οι αναζητήσεις τους έχουν ολοκληρωθεί μέχρι  από το 1970.

Είναι ανοιχτό το ερώτημα αν όλοι οι αριθμοί καταλήγουν είτε σε έναν κοινωνικό αριθμό είτε σε έναν πρώτο (και ως εκ τούτου 1), ή, ισοδύναμα, εάν υπάρχουν αριθμοί των οποίων η ακολουθία δεν τελειώνει ποτέ, και ως εκ τούτου μεγαλώνει χωρίς δεσμεύσεις.

Παράδειγμα 
Ένα παράδειγμα με περίοδο 4:

 Το άθροισμα των κατάλληλων διαιρετών του  ( ) είναι:
 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 17 + 20 + 34 + 68 + 85 + 170 + 340 + 3.719 + 7.438 + 14.876 + 18.595 + 37.190 + 63.223 + 74.380 + 126.446 + 252.892 + 316.115 + 632.230 = 1.547.860,

 το άθροισμα των κατάλληλων διαιρετών του  (  ) είναι:
 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 193 + 386 + 401 + 772 + 802 + 965 + 1.604 + 1.930 + 2.005 + 3.860 + 4.010 + 8.020 + 77.393 + 154.786 + 309.572 + 386.965 + 773.930 = 1.727.636,

 το άθροισμα των κατάλληλων διαιρετών του  (  ) είναι:
 1 + 2 + 4 + 521 + 829 + 1.042 + 1.658 + 2.084 + 3.316 + 431.909 + 863.818 = 1.305.184 και

 το άθροισμα των κατάλληλων διαιρετών του  (  ) είναι:
 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 40.787 + 81.574 + 163.148 + 326.296 + 652.592 = 1.264.460.

Λίστα γνωστών κοινωνικών αριθμών 
Ο παρακάτω πίνακας κατηγοριοποιεί όλους τους γνωστούς κοινωνικούς αριθμούς ως τον Ιούλιο του 2018 κατά το μήκος της αντίστοιχης ακολουθίας:

Υποτίθεται ότι εάν το ν είναι σύμφωνο με το 3 modulo 4 τότε δεν υπάρχει τέτοια ακολουθία με μήκος ν.

Η ακολουθία 5 κύκλων είναι: 12.496, 14.288, 15.472, 14.536, 14.264

Η μόνη γνωστή ακολουθία 28 κύκλων είναι: 14.316, 19.116, 31.704, 47.616, 83.328, 177.792, 295.488, 629.072, 589.786, 294.896, 358.336, 418.904, 366.556, 274.924, 275.444, 243.760, 376.736, 381.028, 285.778, 152.990, 122.410, 97.946, 48.976, 45.946, 22.976, 22.744, 19.916, 17.716 .

Αυτές οι δύο ακολουθίες παρέχουν τους μοναδικούς κοινωνικούς αριθμούς κάτω από 1 εκατομμύριο (εκτός από τους τέλειους και φιλικούς αριθμούς).

Αναζήτηση για κοινωνικούς αριθμούς 
Η αλληλουχία του κλάσματος μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα κατευθυνόμενο γράφημα, , για έναν δεδομένο ακέραιο ν, όπου s(κ) δηλώνει το άθροισμα των κατάλληλων διαιρετών του κ. Κύκλοι σε  αντιπροσωπεύουν κοινωνικούς αριθμούς μέσα στο διάστημα . Δύο ειδικές περιπτώσεις είναι βρόχοι που αντιπροσωπεύουν τέλειους αριθμούς και κύκλους μήκους δύο που αντιπροσωπεύουν φιλικά ζεύγη.

Εικασία του αθροίσματος των κύκλων των κοινωνικών αριθμών 
Υποτίθεται ότι καθώς ο αριθμός των κύκλων των κοινωνικών αριθμών με μήκος μεγαλύτερο από 2 πλησιάζει στο άπειρο, το ποσοστό των αθροισμάτων των κύκλων των κοινωνικών αριθμών διαιρούμενο με 10 προσεγγίζει το 100% .

Bιβλιογραφικές αναφορές 
 

 Χ. Κοέν, Για φιλικούς και κοινωνικούς αριθμούς, Μαθηματικά. Comp. 24 (1970), σελ. 423–429

Eξωτερικοί σύνδεσμοι 

 Μια λίστα με γνωστούς κοινωνικούς αριθμούς
 Εκτεταμένοι πίνακες με τέλειους, φιλικούς και κοινωνικούς αριθμούς
  
 A003416 (ο μικρότερος κοινωνικός αριθμός από κάθε κύκλο) και A122726 (όλοι οι κοινωνικοί αριθμοί) στο OEIS
Θεωρία αριθμών
Ακολουθίες ακεραίων