Κύκλου μέτρησις

H Κύκλου μέτρησις, (Dimensio circuli) είναι μια πραγματεία που αποτελείται από τρεις προτάσεις του Αρχιμήδη , περ. 250 π.Χ.  Η πραγματεία είναι μόνον απόσπασμα (fragmentum) μεγαλύτερου έργου.

Προτάσεις

Πρόταση πρώτη 
Ο κύκλος και το τρίγωνο είναι ίσα σε εμβαδόν.

Η πρώτη πρόταση αναφέρει: Το εμβαδόν οποιουδήποτε κύκλου είναι ίσο με ένα ορθωγώνιο τρίγωνο  στο οποίο η μία από τις πλευρές της ορθής γωνίας είναι ίση με την ακτίνα και η άλλη με την περιφέρεια του κύκλου. Οποιοσδήποτε κύκλος με περιφέρεια c και ακτίνα r είναι ίσος σε εμβαδόν με ορθογώνιο τρίγωνο με τις δύο κάθετες πλευρές  να είναι c και r . Αυτή η πρόταση αποδεικνύεται με τη μέθοδο της εξάντλησης .

Πρόταση δύο 
H δεύτερη πρόταση αναφέρει:Ο λόγος το εμβαδού ενός κύκλου προς το εμβαδόν του  τετράγωνου της διαμέτρου του   ίσούται με 11 δια 14. Αυτή η πρόταση δεν θα μπορούσε να έχει τεθεί από τον Αρχιμήδη, γιατί βασίζεται στο αποτέλεσμα της τρίτης πρότασης.

Πρόταση τρίτη 
Η τρίτη πρόταση αναφέρει:Ο λόγος της περιφέρειας κάθε κύκλου προς τη διάμετρό του είναι μεγαλύτερος από 3+10/71 αλλά μικρότερος από 3+1/7  Κάτι τέτοιο προσεγγίζει αυτό που τώρα ονομάζουμε μαθηματική σταθερά π ή σταθερά του Αρχιμήδη. Βρήκε αυτά τα όρια  προσεγκίζοντας την τιμή αυτή εγγράφοντας και περιγράφοντας έναν κύκλο με δύο παρόμοια κανονικά πολύγωνα 96 πλευρών .

Προσέγγιση με τετραγωνικές ρίζες 
Αυτή η πρόταση περιέχει επίσης ακριβείς προσεγγίσεις στην τετραγωνική ρίζα των 3 (μία μεγαλύτερη και μία μικρότερη) και άλλες μεγαλύτερες μη τέλειες τετραγωνικές ρίζες . Ωστόσο, ο Αρχιμήδης δεν δίνει καμία εξήγηση για το πώς βρήκε αυτούς τους αριθμούς.  Δίνει το ανώτερο και το κάτω όριο σε √ 3 ως1351/780> √ 3 > 265/153Ε  Ωστόσο, αυτά τα όρια είναι γνωστά από τη μελέτη της εξίσωσης του Pell και τις συγκλίσεις ενός σχετικού συνεχιζόμενου κλάσματος , οδηγώντας σε πολλές εικασίες σχετικά με το πόση από αυτή τη θεωρία αριθμών θα μπορούσε να είχε πρόσβαση ο Αρχιμήδης. Η συζήτηση αυτής της προσέγγισης ανάγεται τουλάχιστον στον Thomas Fantet de Lagny , FRS (σύγκριση Χρονολογίας υπολογισμού του π ) το 1723, αλλά αντιμετωπίστηκε πιο ρητά από τον Ιερώνυμο Georg Zeuthen. Στις αρχές της δεκαετίας του 1880, ο Friedrich Otto Hultsch (1833–1906) και ο Karl Heinrich Hunrath (γ. 1847) σημείωσαν πώς τα όρια θα μπορούσαν να βρεθούν γρήγορα μέσω απλών διωνυμικών ορίων σε τετραγωνικές ρίζες κοντά σε ένα τέλειο τετράγωνο με βάση τα στοιχεία II.4. , 7; αυτή η μέθοδος ευνοείται από τον Thomas Little Heath. Αν και αναφέρεται μόνο μία διαδρομή προς τα όρια, στην πραγματικότητα υπάρχουν δύο άλλες, καθιστώντας τα όρια σχεδόν αναπόφευκτα, ωστόσο η μέθοδος έχει λειτουργήσει. Αλλά τα όρια μπορούν επίσης να παραχθούν από μια επαναληπτική γεωμετρική κατασκευή που προτείνεται από το Οστομάχιον του Αρχιμήδη στη ρύθμιση του κανονικού δωδεκαγώνου. Σε αυτή την περίπτωση, η εργασία που πρέπει να κάνουμε είναι να δώσουμε λογικές προσεγγίσεις στην εφαπτομένη του π/12.

Παραπομπές 

Αρχιμήδης