Κάθετη διαίρεση

Η Κάθετη (ή μακρά) Διαίρεση είναι ένας τυπικός αλγόριθμος διαίρεσης τον οποίο χρησιμοποιούμε για να διαιρέσουμε δύο αριθμούς (με οσοδήποτε μεγάλο αριθμό ψηφίων) με το χέρι. Ο αλγόριθμος χωρίζει το πρόβλημα της διαίρεσης σε πολλά απλούστερα βήματα . Χρησιμοποιείται για να διαιρέσουμε στο χαρτί έναν αριθμό (τον Διαιρέτη) με έναν άλλο αριθμό (τον διαιρετέο) παράγοντας το αποτέλεσμα της διαίρεσης που ονομάζεται Πηλίκο (και μερικές φορές και υπόλοιπο).

Αν και είναι γνωστό ότι παρόμοιοι αλγόριθμοι υπάρχουν από τον 12ο αιώνα, η μορφή της σύγχρονης μεθόδου έχει προταθεί από τον Χένρι Μπριγκς περίπου το 1600 μ.Χ. Ο αλγόριθμος διδάσκεται με ελαφρά διαφορετικό τρόπο σε κάθε χώρα (συνήθως στο Δημοτικό Σχολείο), αν και τελευταία πολλοί θεωρούν ότι η διδασκαλία της μεθόδου είναι περιττή, αφού η διαίρεση μπορεί να γίνει και με μια απλή αριθμομηχανή (Reform Mathematics στην αγγλική wikipedia). Σε κάθε περίπτωση η τυπική υλοποίηση της κάθετης διαίρεσης στο χαρτί προϋποθέτει τη σχεδίαση ενός πίνακα που περιέχει τον διαιρέτη, τον διαιρετέο το πηλίκο της διαίρεσης και όλα τα ενδιάμεσα βήματα.

Κάθετη Διαίρεση στην Ελλάδα και την Ευρώπη 
Στην Ελλάδα η διδασκαλία της κάθετης διαίρεσης ξεκινάει από την Γ΄ Δημοτικού και συνεχίζεται και στις επόμενες τάξεις. Στο χαρτί γράφουμε αριστερά τον Διαιρετέο και δεξιά τον Διαιρέτη και τους χωρίζουμε με μια κατακόρυφη γραμμή. Το πηλίκο γράφεται κάτω από τον διαιρέτη και χωρίζεται από αυτόν με μια οριζόντια γραμμή. Παρακάτω δίνεται ένα παράδειγμα τέτοιας διαίρεσης χρησιμοποιώντας ως διαιρετέο τον αριθμό 127 και ως διαιρέτη τον 4.
     127|4    
    −12 |31,75
      07
      −4
       30
      −28
        20
       −20
         0

Η παραπάνω διαίρεση ακολουθεί τα παρακάτω βήματα:

 Ξεκινώντας από αριστερά (δηλαδή από τα πιο σημαντικά ψηφία) του Διαιρετέου παίρνουμε όσα ψηφία χρειάζονται ώστε να πάρουμε έναν αριθμό μεγαλύτερο του Διαιρέτη. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα παίρνοντας τα δύο πρώτα ψηφία έχουμε τον αριθμό 12 που είναι μεγαλύτερος του 4.
 Στη συνέχεια, βρίσκουμε πόσες φορές χωράει ο αριθμός 4 στο 12. Προφανώς χωράει 3 φορές. Αυτό είναι το πρώτο ψηφίο του πηλίκου.
 Πολλαπλασιάζουμε το ψηφίο που βρήκαμε (το 3) με τον Διαιρέτη και το αποτέλεσμα το βάζουμε κάτω από τα ψηφία του Διαιρετέου που χρησιμοποιήσαμε. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα έχουμε 3*4=12, άρα κάτω από το 12 γράφουμε πάλι το 12.
 Εκτελούμε την αφαίρεση 12 - 12 και γράφουμε το αποτέλεσμα ακριβώς από κάτω.
 Συνεχίζουμε κατεβάζοντας ψηφία του Διαιρετέου δίπλα από το αποτέλεσμα της αφαίρεσης μέχρι να προκύψει αριθμός μεγαλύτερος του Διαιρέτη (του 4). Στη συγκεκριμένη περίπτωση, κατεβάζουμε μόνο το 7.
 Παρατηρούμε ότι το 4 χωράει στο 7, μία φορά. Επομένως το επόμενο ψηφίο του πηλίκου είναι το 1.
 Εκτελούμε τον πολλαπλασιασμό 4*1 = 4 (πολλαπλασιάζουμε τον διαιρέτη με το νέο ψηφίο που βρήκαμε) και βάζουμε το αποτέλεσμα κάτω από το 7.
 Εκτελούμε και πάλι την αφαίρεση 7-4 = 3. Γράφουμε το αποτέλεσμα (τον αριθμό 3) ακριβώς από κάτω.
 Επειδή έχουν τελειώσει τα ψηφία του Διαιρετέου, βάζουμε ένα σύμβολο υποδιαστολής στο πηλίκο και συνεχίζουμε τη διαίρεση βάζοντας ένα ψηφίο 0 δίπλα δίπλα στο 3 (στο αποτέλεσμα της αφαίρεσης).
 Παρατηρούμε ότι ο 4 χωράει 7 φορές μέσα στον 30. Επομένως, το 7 είναι το επόμενο ψηφίο του πηλίκου.
 Εκτελούμε και πάλι τον πολλαπλασιασμό 4*7=28 (πολλαπλασιάζουμε τον διαιρέτη με το νέο ψηφίο που βρήκαμε) και το αποτέλεσμα το τοποθετούμε κάτω από τον 30.
 Εκτελούμε την αφαίρεση 30-28=2 και τοποθετούμε κάτω από το 28 τον αριθμό 2.
 Βάζουμε άλλο ένα 0 δίπλα από το 2 (το αποτέλεσμα της αφαίρεσης).
 Παρατηρούμε ότι ο 4 χωράει 5 φορές μέσα στον 20. Επομένως, το 5 είναι το επόμενο ψηφίο του πηλίκου.
 Εκτελούμε τον πολλαπλασιασμό 4*5=20 (πολλαπλασιάζουμε τον διαιρέτη με το νέο ψηφίο που βρήκαμε όπως και πριν) και το αποτέλεσμα το τοποθετούμε κάτω από τον 20.
 Εκτελούμε την αφαίρεση 20-20 και παίρνουμε ως αποτέλεσμα το 0.
 Όταν το αποτέλεσμα της αφαίρεσης βγει ίσο με 0, η διαδικασία σταματάει. 

Το παραπάνω παράδειγμα περιγράφει μια τέλεια διαίρεση, δηλαδή μια διαίρεση που βγάλαμε 0 τελικά σε κάποια από τις διαδοχικές αφαιρέσεις. Αν αυτό δεν μπορούμε να το επιτύχουμε, τότε μπορούμε να επιλέξουμε να σταματήσουμε τη διαδικασία της διαίρεσης αν βγάλουμε αρκετά δεκαδικά ψηφία (ανάλογα με την ακρίβεια που θέλουμε να πετύχουμε). Για παράδειγμα, ας δούμε τη διαίρεση 127 διά 3 ακολουθώντας την ίδια διαδικασία
     127|3    
    −12 |42,33
      07
     − 6
       10
      − 9
        10
       − 9
         1

Είναι προφανές ότι η διαδικασία της διαίρεσης δεν θα ολοκληρωθεί ποτέ, αφού συνεχώς το αποτέλεσμα της αφαίρεσης θα είναι το 1. Εδώ επιλέξαμε να σταματήσουμε στο δεύτερο δεκαδικό ψηφίο. Σε πολλές περιπτώσεις σταματάμε τη διαίρεση όταν ολοκληρωθούν τα ψηφία του διαιρέτη που κατεβάζουμε. Αυτή η μορφή διαίρεσης συνήθως αναφέρεται ως Ευκλείδια Διαίρεση. Παρακάτω δίνεται μια τέτοια περίπτωση:
     127|4    
    −12 |31
      07
      −4
       3

Στη διαίρεση 127 δια 4, που φαίνεται παραπάνω, το πηλίκο είναι ο αριθμός 31 και ο αριθμός 3 ονομάζεται υπόλοιπο.

Παρόμοια διαδικασία διδάσκεται και σε άλλες Ευρωπαϊκές χώρες (Ισπανία, Ιταλία, Γαλλία, Λιθουανία, Ρωσία, Ρουμανία, Τουρκία, Βέλγιο, Ουκρανία, κ.λ.π.).

Κάθετη Διαίρεση στη Γερμανία 
Στη Γερμανία, την Αυστρία, την Ουγγαρία, τη Σερβία, την Κροατία, τη Βουλγαρία, τη Σλοβακία, τη Δανία, τη Νορβηγία και αλλού, ο Διαιρέτης και ο διαιρετέος χωρίζονται από το σύμβολο της διαίρεσης (÷), και όχι από μια κάθετη γραμμή, ενώ το πηλίκο τοποθετείται μετά τον διαιρέτη όπως φαίνεται στο παρακάτω παράδειγμα.
     127 ÷ 4 = 31,75 
    −12
      07
      −4
       30
      −28
        20
       −20
         0

Κάθετη Διαίρεση στις αγγλόφωνες χώρες 
Στις Η.Π.Α, σε Αγγλόφωνες χώρες (Ηνωμένο Βασίλειο, Καναδάς, Αυστραλία, κ.λ.π.) αλλά και στο Μεξικό, ο Διαιρέτης, ο Διαιρετέος και οι διαδοχικές αφαιρέσεις τοποθετούνται λίγο διαφορετικά στο χαρτί. Η βασική διαφορά είναι ότι ο Διαιρέτης τοποθετείται αριστερά ενώ ο Διαιρετέος δεξιά. Και πάλι οι δύο αριθμοί χωρίζονται από μια μικρή κατακόρυφη γραμμή. Επίσης, το Πηλίκο γράφεται πάνω από τον Διαιρετέο και οι αφαιρέσεις γίνονται και πάλι κάτω από τον Διαιρετέο. Η διαίρεση 127 δια 4 υλοποιείται όπως φαίνεται στο παρακάτω παράδειγμα:
         31.75   
      4 | 127
         −12
           07
          − 4
            30
           −28
             20
            −20
              0

Μπορεί κανείς να παρατηρήσει ότι η διαδικασία των αφαιρέσεων είναι ακριβώς η ίδια. Το μόνο που αλλάζει είναι ο τρόπος τοποθέτησης του Διαιρέτη, του Διαιρετέου και του πηλίκου.

Παραπομπές

Εξωτερικοί Σύνδεσμοι 

 Φωτόδεντρο: Κάθετη Διαίρεση
 Long Division Calculator (Αριθμομηχανή Κάθετης Διαίρεσης) - Εφαρμογή για Android
 Long Division Algorithm (στα αγγλικά)
Μαθηματικά