Κλειστότητα

Περιγραφικά, μπορούμε να ορίσουμε την ιδιότητα της κλειστότητας σε μια πράξη που έχει οριστεί σε ένα σύνολο ως έξης:
Για κάθε ζεύγος στοιχείων που ανήκουν στο σύνολο και έχουν σαν αποτέλεσμα της πράξης ένα στοιχείο, το στοιχείο αυτό ανήκει επίσης στο σύνολο.

Πιο αυστηρά με συμβολισμούς:
Έστω ένα σύνολο , μία δυαδική πράξη  στο σύνολο (δηλαδή ) και ένα σύνολο . Τότε το  ικανοποιεί την ιδιότητα της κλειστότητας ανν
.
Τότε λέμε ότι το  είναι κλειστό ως προς την πράξη .

Παραδείγματα 

 Το  δηλαδή οι ακέραιοι με την πράξη της αφαίρεσης στους ακεραίους ικανοποιούν την κλειστότητα, καθώς κάθε ακέραιος έχει έναν ακέραιο αντίστροφο. 
 Το  δηλαδή οι φυσικοί αριθμοί με την πράξη της αφαίρεσης στους ακεραίους δεν ικανοποιούν την κλειστότητα, καθώς για παράδειγμα , που δεν ανήκει στο .
 Έστω , το σύνολο των ζυγών φυσικών αριθμών και  η πρόσθεση στους ακεραίους. Τότε, το  ικανοποιεί την κλειστότητα, αφού το άθροισμα δύο ζυγών είναι ζυγός.
 Έστω , το σύνολο των κύβων φυσικών αριθμών και  η πρόσθεση στους ακεραίους. Τότε, το  δεν ικανοποιεί την κλειστότητα, αφού το άθροισμα δύο κύβων δεν είναι κατά ανάγκη κύβος είναι κύβος (π.χ.  που δεν είναι κύβος).
 Εξ ορισμού σε κάθε μονοειδές, ομάδα, σώμα, δακτύλιο, το σύνολο μαζί με τις αντίστοιχες πράξεις ικανοποιεί την ιδιότητα της κλειστότητας.

Παραπομπές 

Αφηρημένη άλγεβρα