Στερεό του Τζόνσον

Στη γεωμετρία, το στερεό του Τζόνσον είναι ένα αυστηρώς κυρτό πολύεδρο που η κάθε έδρα του είναι κανονικό πολύγωνο, και δεν είναι ομοιόμορφο, π.χ., δεν είναι Πλατωνικό στερεό, ούτε Αρχιμήδειο στερεό, ούτε πρίσμα ή αντιπρίσμα. Δεν υπάρχει απαίτηση η κάθε έδρα του να είναι ιδίου είδους πολύγωνο, ή γύρω από κάθε κορυφή του να εντάσσονται ιδίου είδους πολύγωνα. Ένα παράδειγμα στερεού Τζόνσον είναι η πυραμίδα με βάση τετραγωνική και πλευρές ισόπλευρα τρίγωνα (τετραγωνική πυραμίδα, J1), δηλαδή, έχει μία έδρα τετράγωνο και τέσσερις έδρες τρίγωνα.

Όπως σε κάθε αυστηρώς κυρτό στερεό, συναντώνται σε κάθε κορυφή τουλάχιστον τρεις έδρες, και το σύνολο των γωνιών τους είναι μικρότερο από 360 μοίρες. Δεδομένου ότι ένα κανονικό πολύγωνο έχει γωνίες τουλάχιστον 60 μοιρών, συνεπάγεται ότι το πολύ πέντε έδρες συναντώνται σε κάθε κορυφή (π.χ., η πενταγωνική πυραμίδα, J2).

Αν και δεν υπάρχει προφανής περιορισμός στο ότι το κάθε δεδομένο κανονικό πολύγωνο να μην μπορεί να είναι έδρα ενός στερεού του Τζόνσον, αποδεικνύεται ότι οι έδρες των στερεών του Τζόνσον έχουν πάντοτε 3, 4, 5, 6, 8, ή 10 πλευρές.

Το 1966, ο μαθηματικός Νόρμαν Τζόνσον δημοσίευσε μια λίστα που περιελάμβανε όλα αυτά τα 92 στερεά, τα οποία αρίθμησε και τους έδωσε ονόματα. Δεν απέδειξε ότι υπήρχαν μόνο 92, αλλά έκανε την εικασία ότι δεν υπάρχουν άλλα. Το 1969, ο μαθηματικός Βίκτορ Ζαλγκαλλέρ απέδειξε ότι ο κατάλογος του Τζόνσον ήταν πλήρης.

Το στερεό του Τζόνσον επιμήκης τετραγωνικός γυροδιτρούλος (J37), που ονομάζεται επίσης ψευδο-ρομβοκυβοκτάεδρο, είναι μοναδικό στο να είναι τοπικά ομοιόμορφο στις κορυφές: υπάρχουν 4 έδρες σε κάθε κορυφή, και η διάταξή τους είναι πάντα η ίδια: 3 τετράγωνα και 1 τρίγωνο. Ωστόσο, δεν είναι μεταβατικές οι κορυφές του, καθώς έχει διαφορετική ισομετρία σε διάφορες από τις κορυφές, καθιστώντας το έτσι, στερεό του Τζόνσον αντί για στερεό του Αρχιμήδη.

Παραπομπές

Πηγές 
  Chapter 3 Further Convex polyhedra

Εργασία που περιέχει την αρχική αρίθμηση των 92 στερεών και την εικασία ότι δεν υπάρχουν άλλα:
  

Η πρώτη απόδειξη ότι υπάρχουν μόνο 92 στερεά του Τζόνσον:

Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
 

Πολύεδρα