Κατηγορίες Chern

Στα μαθηματικά , ειδικότερα στην αλγεβρική τοπολογία , διαφορική γεωμετρία και Αλγεβρική γεωμετρία , οι Chern κατηγορίες είναι χαρακτηριστικές κατηγορίες που σχετίζονται με πολύπλοκες δέσμες φορέα.

Οι κατηγορίες Chern εισήχθησαν από τον Shiing-Shen Chern το 1946.

Γεωμετρική προσέγγιση

Βασική ιδέα και το κίνητρο 
Οι κατηγορίες Chern είναι χαρακτηριστικές κατηγορίες. Είναι topological invariants που σχετίζονται με δέσμες φορέα σε μια ομαλή πολλαπλή. Το ζήτημα του κατά πόσον δύο φαινομενικά διαφορετικές δέσμες φορέας είναι το ίδιο μπορεί να είναι αρκετά δύσκολο να απαντηθεί. Οι τάξεις Chern παρέχουν ένα απλό τεστ: αν οι Chern τάξεις ενός ζεύγους δεσμών φορέα δεν συμφωνούν, τότε οι διανυσματικές δέσμες είναι διαφορετικές. Το αντίστροφο, ωστόσο, δεν ισχύει.

Στην τοπολογία, διαφορική γεωμετρία και Αλγεβρική γεωμετρία, είναι συχνά σημαντικό να μετρηθεί πόσες γραμμικά ανεξάρτητες ενότητες έχει ένας φορέας δέσμη. Οι κατηγορίες Chern προσφέρουν κάποιες πληροφορίες σχετικά με αυτό, για παράδειγμα, το θεώρημα Riemann-Roch και το θεώρημα του δείκτη Atiyah-Singer

Οι τάξεις Chern είναι επίσης εφικτό να υπολογιστούν στην πράξη. Στη διαφορική γεωμετρία (και με ορισμένους τύπους από Αλγεβρική γεωμετρία), οι τάξεις Chern μπορούν να εκφραστούν ως πολυώνυμα στους συντελεστές της μορφής καμπυλότητας .

Η κατασκευή των κατηγοριών Chern 
Υπάρχουν διάφοροι τρόποι προσέγγισης του θέματος, καθένας από τους οποίους εστιάζει σε μια ελαφρώς διαφορετική πτυχή της κατηγορίας Chern.

Η αρχική προσέγγιση στις κατηγορίες Chern ήταν μέσω της Αλγεβρικής Τοπολογίας: οι τάξεις Chern προκύπτουν μέσω της ομοτοπικής θεωρίας η οποία παρέχει μια χαρτογράφηση που σχετίζεται με έναν χώρο V σε ένα χώρο ταξινόμησης (ένας άπειρος  σε Grassmannian αυτή την περίπτωση). Για κάθε διανυσματική δέσμη V πάνω από ένα συλλέκτη Μ , υπάρχει μια αντιστοίχιση της f από το Μ προς το χώρο διαλογής, έτσι ώστε η δέσμη V είναι ίση με την  pullback , με f , μιας καθολικής δέσμης πάνω από το χώρο διαλογής, και τις τάξεις Chern του V μπορεί επομένως να οριστεί ως η υποχώρηση των Chern τάξεων της καθολικής δέσμης. Αυτές οι καθολικές τάξεις Chern με τη σειρά τους μπορούν να γραφτούν ρητά από την άποψη των κύκλων Schubert

Μπορεί να αποδειχθεί ότι για κάθε δύο αντιστοιχίσεις  f , g από το Μ προς το χώρο διαλογής των οποίων pullbacks ανήκουν στην ίδια δέσμη V , οι αντιστοιχίσεις πρέπει να είναι homotopic. Ως εκ τούτου, η υποχώρηση είτε f ή g οποιασδήποτε γενικής κατηγορίας Chern σε μια κατηγορία cohomology του Μ πρέπει να είναι της ίδιας τάξης. Αυτό δείχνει ότι οι Chern τάξεις V είναι ακριβώς καθορισμένες.

Η προσέγγιση που χρησιμοποιείται στη διαφορική γεωμετρία: οι κατηγορίες Chern, μέσω της προσέγγισης καμπυλότητας που περιγράφεται κατά κύριο λόγο σε αυτό το άρθρο, ‘εδειξε ότι ο προγενέστερος ορισμός ήταν στην πραγματικότητα ισοδύναμος με αυτόν της προσέγγισης της καμπυλότητας. Η προκύπτουσα θεωρία είναι γνωστή ως θεωρία Chern-Weil .

Υπάρχει επίσης μια προσέγγιση του Alexander Grothendieck η οποία δείχνει ότι αξιωματικά αρκεί να οριστεί μόνο στην περίπτωση μιας ευθείας δέσμης.

Οι τάξεις Chern προκύπτουν φυσικά από την Αλγεβρική γεωμετρία . Οι γενικευμένες κατηγορίες Chern στην αλγεβρική γεωμετρία μπορούν να οριστούν ως δέσμες φορέα σε οποιαδήποτε ομαλή ποικιλία. Οι αλγεβρο-γεωμετρικές τάξεις Chern δεν απαιτούν το υποκειμενικό πεδίο για να έχουν οποιεσδήποτε ειδικές ιδιότητες. Ειδικότερα, ο φορέας δέσμης δεν χρειάζεται κατ 'ανάγκη να είναι περίπλοκος.

Ανεξάρτητα από το συγκεκριμένο παράδειγμα ,η (διαισθητική) έννοια  της  τάξης του Chern αφορά ‘’ απαιτούμενα μηδενικά ‘’ του τμήματος ενός φορέα για παράδειγμα το θεώρημα λέει πως δεν μπορεί να χτενίσει κάποιος μια ισόπεδη τριχωτή μπάλα .
Αν και αυτό είναι  ‘’τρόπος του λέγειν’’, σχετικά με έναν πραγματικό φορέα (οι τρίχες στη μπάλα είναι στην πραγματικότητα αντίγραφα μιας νοητής  γραμμής).Υπάρχουν γενικεύσεις στις οποίες οι τρίχες είναι σύνολο (βλέπε παράδειγμα του θεωρήματος, στην πολύπλοκη  μαλλιαρή μπάλα παρακάτω ) , ή η προβολή μιας διάστασης σε πολλούς άλλους τομείς.  

Βλ. Chern–Simons για περισσότερες πληροφορίες .

Οι Chern κατηγορίες  των ευθείων δεσμών 
(Ας υποθέσουμε Χ έναν τοπολογικό χώρο έχοντας τον ομοτοπικό τύπο του CW συμπλέγματος.)

Μια σημαντική ειδική περίπτωση προκύπτει όταν το V είναι μια ευθεία δέσμη.
Τότε, η μόνη μη-τετριμένη κατηγορία Chern είναι η πρώτη η οποία είναι στοιχείο της δεύτερης ομάδας cohomology* του δεδομένου Χ. Αφού είναι πρωταρχική κατηγορία Chern ισούται με την κατηγορία Όιλερ της δέσμης. 

 Η πρώτη κατηγορία Chern αποδεικνύεται ότι είναι πλήρης-αναλλοίωτη με την οποία ταξινομούνται πολύπλοκες ευθείες δέσμες, από πλευράς τοπολογίας. Δηλαδή υπάρχει μια αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία μεταξύ των κατηγοριών ισόμορφων ευθειών δεσμών πάνω από το Χ και τα στοιχεία του H2(X;Z) τα οποία έχουν κοινό σημείο σε μια ευθεία δέσμη πρώτης κατηγορίας Chern. Επιπλέον, αυτή η αμφιμονοσήμαντη ομάδα είναι και ομόμορφη (άρα ισόμορφη)
 ;
Το γινόμενο των σύνθετων ευθειών δεσμών αντιστοιχεί σε πρόσθεση των δεύτερων ομοτοπικών ομάδων.

Στην αλγεβρική γεωμετρία αυτή η ταξινόμηση των σύνθετων (τάξη ισομορφισμού) ομάδων ευθειών δεσμών της πρώτης κατηγορίας Chern είναι μια πρώιμη προσέγγιση για την ταξινόμηση (τάξεις ισομορφισμού) των ομοτοπικών ευθειών δεσμών με γραμμικές κλάσεις ισοδυναμίας διαιρετών. 

Για σύνθετες διανυσματικές δέσμες συντεταγμένων μεγαλύτερων του ενός ,οι κατηγορίες Chern δεν είναι πλήρεις και αναλλοίωτες.

Κατασκευή

Μέσω της Chern-Weil θεωρίας 
Δοσμένης μιας ομάδας ερμιτιανών διανυσματικών δεσμών V από σύνθετες βαθμίδες πάνω σε ομαλή πολλαπλή Μ, ένας εκπρόσωπος από κάθε κατηγορία Chern (ονομάζεται επίσης μορφή Chern) ck(V) δίνονται ως οι συντελεστές των χαρακτηριστικών πολυωνύμων της καμπυλωτής μορφής Ω του V. 
 
Ο βασικός παράγοντας βρίσκεται στο δακτύλιο των nxn πινάκων των οποίων οι καταχωρήσεις είναι πολυώνυμα σε t με συντελεστές στην commutative* άλγεβρα, ακόμη και πολύπλοκων διαφορικών μορφών σε Μ. Η μορφή καμπυλότητας Ω της V ορίζεται ως 
 
Με ω το ως προς τι παραγωγίζεται και d η εξωτερική παραγώγιση μέσω της ίδιας έκφρασης μέσα στην οποία ω είναι μια μετρήσιμη μορφή από την μετρήσιμη ομάδα του V. Η μεταβλητή  t χρησιμοποιείται εδώ μόνο ως αόριστη για να γενικοποιηθεί το αποτέλεσμα από την ορίζουσα και να οριστεί ένας Ι nxn πίνακας που ονομάζεται ταυτοτικός πίνακας.

Για να πούμε ότι η έκφραση που δόθηκε είναι ένας εκπρόσωπος της κατηγορίας  Chern δείχνει ότι «κατηγορία» εδώ σημαίνει τουλάχιστον πρόσθεση από μια ακριβή διαφορική μορφή. Δηλαδή οι κατηγορίες Chern  είναι ομολογικές  κατηγορίες. Μπορεί να δειχθεί ότι οι ομολογικές κατηγορίες της μορφής Chern δεν εξαρτώνται από την επιλογή της σύνδεσης του V. 

Χρησιμοποιώντας τον ταυτοτικό πίνακα tr(ln(x))=ln(det(x)) και την σειρά Maclaurin για ln(x=1), αυτήν την έκφραση της μορφής Chern τη βρίσκουμε μεγενθυμένη ως

Μέσω της τάξης του Euler 
Οι κατηγορίες  Chern μπορούν να οριστούν και από τους όρους της κατηγορίας Euler. Αυτή είναι μια προσέγγιση του βιβλίου των  Milnor και Stasheff και μας τονίζει τον ρόλο του προσανατολισμού των διανυσματικών δεσμών.  

Η βασική παρατήρηση είναι πως μια σύνθετη διανυσματική δέσμη έρχεται με ένα κανονικό προσανατολισμό ,τελικά, επειδή είναι συνδεδεμένο. Ως εκ τούτου, απλώς ορίζεται η κορυφαία κατηγορία Chern των δεσμών να είναι της τάξης του Euler ( η τάξη Euler  του υποκειμένου, δέσμη πραγματικού φορέα) και οι λιγότερο χειριζόμενες κατηγορίες Chern  είναι ένα επαγωγικό μοτίβο).

Η ακριβής κατασκευή είναι ως εξής: η ιδέα είναι να γίνει αλλαγή βάσης για να πάρουμε μια δέσμη από ένα μικρότερο βαθμό . Θέτω π: E →B να είναι σύνθετη διανυσματική δέσμη από το paracompact χώρο Β. Σκεπτόμενοι πως ο Β είναι ενσωματωμένος σε Ε ως μηδενική ενότητα , θέτω ΄Β = Ε -Β και ορίζω νέα διανυσματική δέσμη :
Ε΄--> Β'
 Έτσι ώστε κάθε ίνα F να είναι το πηλίκο της  F του Ε από την ευθεία που εκτείνεται από ένα μη-μηδενικό διάνυσμα  v μέσα στο F (ένα σημείο του ‘Β καθορίζεται από την ίνα του F του Ε και ένα μη-μηδενικό διάνυσμα της F) .Τότε Έ έχει ένα μικρότερο βαθμό από ότι ο Ε. Από την αλληλουχία Gysin για τη δέσμη ίνα :
 
βλέπουμε ότι  είναι ένας ισομορφισμός για k < 2n − 1. Ας
 
Τότε χρειάζεται κάποια δουλειά για να ελέγξετε τα αξιώματα των Chern κατηγοριών τα οποία ικανοποιούν τον ορισμό.

Δείτε επίσης: Ο Thom ισομορφισμός.

Σημειώσεις

Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
 Vector Bundles & K-Theory – A downloadable book-in-progress by Allen Hatcher. Contains a chapter about characteristic classes.
 Dieter Kotschick, Chern numbers of algebraic varieties

Αναφορές 
 
 
  (Provides a very short, introductory review of Chern classes).
 J.P. May, A Concise Course in Algebraic Topology. University of Chicago Press, 1999.
 
 

Αλγεβρική τοπολογία
Διαφορική γεωμετρία