Θεώρημα δείκτη Ατίγια-Σίνγκερ

Στη διαφορική γεωμετρία το Θεώρημα δείκτη Ατίγια-Σίνγκερ, που αποδείχθηκε από τον Michael Atiyah και τον Isadore Singer (1963), δηλώνει ότι για ένα ελλειπτικό διαφορικό χειριστή σε ένα συμπαγές πολύπλευρο ο αναλυτικός δείκτης (που σχετίζεται με τη διάσταση του χώρου λύσεων) ισούται με τον τοπολογικό δείκτη (που ορίζεται σε όρους τοπολογικών δεδομένων). Περιλαμβάνει πολλά άλλα θεωρήματα, όπως το θεώρημα του Riemann-Roch, ως ειδικές περιπτώσεις και έχει εφαρμογές στη Θεωρητική φυσική.

Ιστορία
Το πρόβλημα του δείκτη για τους διαφορικούς ελλειπτικούς χειρισμούς υποβλήθηκε από τον Israel Gel'fand (1960). Αυτός παρατήρησε την βαθιά ποικιλία του δείκτη και ζήτησε για μια φόρμουλα γι αυτό το λόγο με βάση τοπολογικών μεταβλητών. Μερικά από τα παραδείγματα που προκαλούν κινητοποίηση συμπεριλαμβανομένου του θεωρήματος Riemann-Roch και της γενίκευσης του θεωρήματος Hirzebruch-Riemann-Roch ,και το θεώρημα υπογραφής του Hirzebruch. Ο Hirzebruch και ο Borel απέδειξαν την ακεραιότητα του Α γένους του περιστρεφόμενου πολύπλευρου και ο Atiyah πρότεινε ότι η ακεραιότητα θα μπορούσε να εξηγηθεί αν ήταν ο δείκτης του χειριστή Dirac (ο οποίος ανακαλύφθηκε εκ νέου από τον Atiyah και τον Singer το 1961)

Το θεώρημα δείκτη Ατίγια-Σίνγκερ ανακοινώθηκε από τους Ατίγια-Σίνγκερ (1963). Η απόδειξη που χρησιμοποιήθηκε στην ανακοίνωση δεν δημοσιοποιήθηκε ποτέ από αυτούς , αν και παρουσιάζεται στο βιβλίο (Palais 1965). Εμφανίζεται επίσης στο ''Σεμινάριο Cartan-Schwartz 1963/64 (Cartan-Schwartz 1965) που πήρε μέρος στο Παρίσι ταυτόχρονα με το σεμινάριο που οδηγήθηκε από το Palais στο Princeton. Η τελευταία συζήτηση στο Παρίσι ήταν από τον Ατιγια επάνω στις πολύπλευρες οριακές μεταβλητές. Η πρώτη τους δημοσιευμένη απόδειξη (Ατίγια και Σίνγκερ 1968α) αντικατέστησε το θεώρημα των Συνόρων της πρώτης θεωρίας με την Κ-θεωρία , και το χρησιμοποίησαν για να δώσουν αποδείξεις από πληθώρα γενικεύσεων στις εργασίες των Ατίγια-Σίνγκερ (1968α, 1968β, 1917α, 1971β).
 1965: Ο S.P. Novikov (Novikon 1965) δημοσίευσε τα αποτελέσματά του σε τοπολογικές μεταβλητές επάνω στα μαθήματα των λογικών Pontryagin στους λείους πολύπλευρους.
 Τα αποτελέσματα των Kirby και Siebenmann (Kirby & Siebenmann 1969) , σε συνδυασμό με τα γραπτά του Rene Thom (Thom 1965) απέδειξε την ύπαρξη των λογικών μαθημάτων του Pontryagin σε τοπολογικές πολύπλοκες μεταβλητές . Τα λογικά μαθήματα του Pontryagin είναι ουσιώδη συστατικά του θεωρήματος δείκτη στις λείες και τοπολογικές πολύπλοκες μεταβλητές.
 1969:Ο M.F. Atiyah (Atiyah 1970) ορίζει τους αφηρημένους ελλειπτικούς χειριστές στους αυθαίρετους μετρικούς χώρους. Οι αφηρημένοι ελλειπτικοί χειριστές έγιναν πρωταγωνιστές στη θεωρία του Kasparov και του  Conne στη μη-μετακινούμενη διαφορική γεωμετρία.
 1971:Ο  I.M. Singer (Singer 1971) προτείνει ένα κατανοητό πρόγραμμα για μελλοντικές επεκτάσεις στη θεωρία δείκτη.
 1972:Ο  G.G. Kasparov (Kasparov 1972) δημοσίευσε τη δουλειά του στην πραγματοποίηση του Κ-ομολογικού απο αφηρημένους ελλειπτικούς χειριστές.
 Οι  Atiyah , Bott και Patodi (1973) έδωσαν μια καινούρια απόδειξη για το θεώρημα δείκτη , χρησιμοποιώντας την εξίσωση της θερμότητας που περιγράφεται στο (Melrose 1993).
 1977: Ο D.Sullivan (Sullivan 1979) εγκαθίδρυσε το θεώρημά του στην ύπαρξη και μοναδικότητα του Lipschitz και στις σύμμορφες κατασκευές των τοπολογικών  πολύπλευρων μεταβλητών με διαστάσεις διαφορετικές του 4.
 Ο Getzler (1983) παρακινήθηκε από ιδέες του Witten (1982) και του  Alvarez-Gaume , έδωσε μια σύντομη απόδειξη του τοπικού δείκτη θεωρήματος για χειριστές που είναι τοπικοί χειριστές Dirac ,αυτό κάλυψε πολλές χρήσιμες περιπτώσεις.
 1983: Ο N.Teleman (Teleman 1983) αποδεικνύει ότι οι αναλυτικοί πίνακες από διακεκριμένους χειριστές με αξία στους δεσμούς διανυσμάτων είναι τοπολογικές μεταβλητές.
 1984: Ο N.Teleman (Teleman 1984) εγκαθίδρυσε το θεώρημα δείκτη σε τοπολογικά πολύπλοκα.
 1986: Ο Α.Connes (Connes 1986) δημοσίευσε τη θεμελιώδη εργασία στη μη-μετακινούμενη γεωμετρία.
 1989: Οι S.K.Donaldson και D.Sullivan (Donaldson & Sullivan 1989) μελέτησε τη θεωρία του Yang-Mills στις σύμμορφες πολύπλοκες μεταβλητές διάστασης 4. Αυτοί σύστησαν το διακεκριμένο χειριστή S καθορισμένο στις διαφορικές μορφές δευτέρου βαθμού.
 1990: Οι A. Connes και H.Moscovici (Connes & Moscovici 1990 ) απέδειξαν τη φόρμουλα του τοπικού δείκτη στο πλαίσιο της μη-μετακινούμενης γεωμετρίας.
 1994: Οι A. Connes, D. Sullivan και N. Teleman (Connes, Sullivan & Teleman 1994) απέδειξαν το θεώρημα δείκτη για διακεκριμένους χειριστές σε σύμμορφες πολύπλοκες μεταβλητές

Σημειογραφία

 Χ είναι ένα συμπαγές ομαλό πολύπλευρο (χωρίς σύνορο)
 E και F είναι ομαλή δέσμη διανυσμάτων του Χ
 D είναι ένας ελλειπτικός διαφορικός τελεστής από το E στο F. Άρα στις τοπικές συντεταγμένες αυτό αντιδρά ως ένας διαφορικός τελεστής, παίρνοντας ομαλά τμήματα από το E σε ομαλά τμήματα του F.

Σύμβολο ενός διαφορικού τελεστή

Εάν D είναι ένας διαφορικός τελεστής σε ένα Ευκλείδειο χώρο σειρών n με k μεταβλητές

x1, ..., xk,

μετά τα σύμβολα είναι η λειτουργία των 2k μεταβλητών

x1, ... , xk, y1, ..., yk,

που δίνονται από τη ρίψη όλων των όρων της τάξης μικρότερης του n και αντικαθιστώντας το ∂/∂xi από το yi. Έτσι ο συμβολισμός είναι ομογενής στις μεταβλητές y, με βαθμό n. Ο συμβολισμός είναι καλά ορισμένος παρ΄όλο που ο ∂/∂xi δεν εναλλάσσεται με τον xi διότι κρατάμε μόνο τους υψηλότερους τάξης όρους και διαφορικούς φορείς εναλλάσσονται με " χαμηλότερης-τάξης όρους". Ο χείριστης ονομάζεται ελλειπτικός αν το σύμβολο είναι μη μηδενικό οποτεδήποτε τουλάχιστον ένας y είναι μη μηδενικός.

Παράδειγμα: Ο χειριστής του Laplace σε k μεταβλητές έχει ως συμβολισμό  y12 + ... + yk2, και είναι ελλειπτικός όσο αυτό είναι μη μηδενικό για οποιοδήποτε  yi που είναι μη μηδενικό. Ο χειριστής του κύματος έχει συμβολισμό −y12 + ... + yk2 το οποίο δεν είναι ελλειπτικό ένα  k ≥ 2 , όσο ο συμβολισμός εξαφανίζεται για μερικές μη μηδενικές άξιες του y. Ο συμβολισμός ενός διαφορικού τελεστή της τάξης του n σε μια ομαλή πολλαπλότητα του X είναι ορισμένο με τον ίδιο τρόπο χρησιμοποιώντας τοπικό συντονισμό διαγραμμάτων και σε μια λειτουργιά της δέσμης συνεφαπτομένης του X , ομογενείς σε βαθμό n για κάθε δέσμη χώρου. (Γενικά οι διαφορικοί χείριστες αλλάζουν σε έναν πιο πολύπλοκο τρόπο υπό τον συντονισμό μετασχηματισμών (βλέπε δεσμό τζετ ), παρ'όλα αυτά, οι υψηλότεροι όροι αλλάζουν όπως οι τανυστές ώστε να πάρουμε καλά ορισμένες ομογενείς λειτουργίες στα κενά συνεφαπτομένης τα οποία είναι ανεξάρτητα της επιλογής των τοπικών λιστών ). Πιο γενικά, ο συμβολισμός ενός διαφορικού χειριστή  μεταξύ δυο δεσμών διανυσμάτων E και F είναι ένας τομέας πισωγυρίσματος δεσμών  Hom(E, F) σε μια κενή συνεφαπτομένη του X.

Ο διαφορικός χειριστής ονομάζεται ελλειπτικός εάν το στοιχείο Hom(Ex, Fx) είναι αντιστρέψιμος όλων των μη μηδενικών συνεφαπτομένων διανυσμάτων για οποιοδήποτε σημείο x του X . Μια βασική ιδιοκτησία των ελλειπτικών χειριστών είναι ότι είναι σχεδόν αντιστρέψιμοι: αυτό είναι πιο συγγενικό στο γεγονός στο ότι τα σύμβολα είναι σχεδόν αντιστρέψιμα.Πιο ακριβέστατα, ένας ελλειπτικός χειριστής D σε έναν φορητό πολύπλευρο έχει μια (μη μηδενική) παράμετρο (ή ψευδοαντίστροφο) D′ όπως  DD′−1 και D′D−1  είναι και τα δυο φορητοί χειριστές. Μια σημαντική συνέπεια είναι ότι ο πυρήνας του D είναι πεπερασμένης διάστασης, διότι όλοι οι κενοί των φορητών χειριστών , άλλοι εκτός του πυρήνα , είναι πεπερασμένης διάστασης. (Ο ψευδοαντίστροφος ενός ελλειπτικού διαφορικού χειριστή είναι σχεδόν ποτέ ένας διαφορικός χειριστής . Ωστόσο, είναι ένας ελλειπτικός ψευδοδιαφορικός χειριστής.)

Αναλυτικός δείκτης
Καθώς ο ελλειπτικός τελεστής D έχει ένα ψευδόαντίστροφο. Είναι ένας Fredholm χειριστής. Κάθε Fredholm χειριστής έχει ένα δείκτη, καθορισμένο από τη διαφορά μεταξύ (πεπερασμένης ) διάστασης του πυρήνα του D (λύση του Df=0 ) , και του (πεπερασμένης ) διάστασης του συμπυρήνα του D (οι περιορισμοί στη δεξιά πλευρά μιας ανομοιογενής εξίσωσης όπως Df=g, ή ισοδύναμα ο τελεστής του πυρήνα ). Με άλλα λόγια

index(D)=dim ker(D)-dim coker(D)=dim ker(d)-dim ker(D*)

Αυτό πολλές φόρες ονομάζεται ο αναλυτικός δείκτης του D.

Παράδειγμα: Υποθέτουμε ότι ο πολλαπλός κύκλος (γνωστός ως R/Z ), και D ο δείκτης d/dx, λ για κάποια πολύπλοκη σταθερά λ. (Αυτό είναι το πιο απλό παράδειγμα του ελλειπτικού χειριστή.) Ο πυρήνας είναι το κενό των πολλαπλάσιων των exp(λx) εάν το λ είναι το ακέραιο πολλαπλάσιο του 2πi και είναι 0 διαφορετικά, και ο πυρήνας του εφαπτόμενου είναι το αντίστοιχο κενό με το λ που αντικαθιστά τους πολλαπλούς συζυγούς. Οπότε ο D έχει δείκτη 0. Αυτό το παράδειγμα δείχνει ότι ο πυρήνας και ο συμπυρήνας του ελλειπτικού χειριστή μπορεί να αναπηδήσει χωρίς συνέχεια καθώς ο ελλειπτικός χειριστής μεταβάλλεται, οπότε δεν υπάρχει κατάλληλη φόρμουλα για τις διαστάσεις των συνεχών δεδομένων. Αντίστοιχα οι αναπηδήσεις στις διαστάσεις του πυρήνα και του συμπυρήνα είναι ίδιες, οπότε ο δείκτης, δεδομένου της διαφοράς των διαστάσεων, διαφέρει συνεχώς και μπορεί να δοθεί ως τοπολογικά δεδομένα της θεωρίας δείκτη.

Τοπολογικός δείκτης

Ο τοπολογικός δείκτης ενός ελλειπτικού διαφορικού χειριστή D στον ομαλό δεσμό διανύσματος E και F από ένα ν-διάστατο συμπαγής πολλαπλότητας Χ δίνεται από ch(D)Td(X)[X],

με άλλα λόγια η αξία της κύριας αξίας της μεικτής συνομολογικής κλάσης ch(D)Td(X) στη θεμελιώδης ομολογικής κλάσης της πολλαπλότητας του Χ. Εδώ,
 Td(X) είναι η τάξη Todd του πολύπλοκου εφαπτομένου διανύσματος του Χ.
 ch(D)Td(X)[X] είναι ίσο με το φ−1(ch(d(p*E, p*F, σ(D))), όπου
 φ είναι ο Thom ισομορφισμός του Hk(X, Q) to Hn + k(B(X)/S(X), Q)
 Β(Χ) είναι το μοναδικό διάνυσμα της συνεφαπτομένης του διανύσματος του Χ, και S(X) και είναι οριακό, και p είναι η προβολή του Χ.
 ch είναι ο χαρακτήρας Chern του Κ-ομολογικό θεώρημα K(X) του λογικού ομολογικού δακτυλίου H(X,Q)
 d(p*E, p*F, σ(D)) είναι το "διαφορικό στοιχείο" του K(B(X)/S(X)) με δύο δεσμούς διανυσμάτων p*E και p*F στο B(X), και ένας ισομορφισμός σ(D) μεταξύ τους στο υποκενό του S(Χ).
 σ(D) είναι το σύμβολο του D.

Αυτό μπορεί επίσης να καθορίσει τον τοπολογικό δείκτη χρησιμοποιώντας μόνον Κ θεωρία (και ο εναλλακτικός ορισμός είναι συμβατό με μια ορισμένη έννοια με το χαρακτήρα Chern κατασκευαστικά πιο πάνω. Εάν το Χ είναι ένα υποπολύπλοκο φορητό του πολύπλοκου Υ και μετά ένας οδηγός χάρτης του Κ(ΤΧ) μέχρι Κ(ΤΥ). Ο τοπολογικός δείκτης ενός στοιχείου του Κ(ΤΧ) είναι καθορισμένο να είναι η εικόνα του επιχειρήματος με το Υ έναν Ευκλείδειο χώρο, από τον οποίο αναγνωρίζουμε φυσικά με τους ακέραιους Ζ (ως συνέπεια της περιοδικότητας Bott ). Αυτός ο οδηγός είναι ανεξάρτητος από την εκβολή του Χ στον Ευκλείδειο χώρο. Τώρα ένας διαφορικός χειριστής φυσικά καθορίζει ένα στοιχείο του Κ(ΤΧ), και την εικόνα σε Ζ υπό αυτόν τον οδηγό είναι ο τοπολογικός δείκτης.

Όπως συνήθως,D είναι ένας ελλειπτικός διαφορικός χειριστής ανάμεσα στους δεσμούς διανυσμάτων E και F πάνω από την πολλαπλότητα του Χ.

Το πρόβλημα δείκτης είναι το ακόλουθο: υπολογίζουμε την (αναλυτική) ένδειξη D χρησιμοποιώντας μόνο το σύμβολο s και τοπολογικά δεδομένα αποσπασμένα από την πολυπλοκότητα των δεσμών διανυσμάτων. Το θεώρημα Atiyah–Singer λύνει το πρόβλημα και τονίζει:

Ο αναλυτικός δείκτης του D είναι ισοδύναμος με τον τοπολογικό δείκτη

Παρά την τρομερή ερμηνεία, ο τοπολογικός δείκτης είναι ευθύς στο να υπολογισθεί ακριβώς. Αυτό καθιστά δυνατό το να υπολογισθεί ο αναλυτικός δείκτης. (Ο συμπυρήνας και ο πυρήνας ενός ελλειπτικού χειριστή είναι γενικά ιδιαιτέρως δύσκολο να υπολογισθεί ατομικά ; το θεώρημα δείχνει ότι μερικές φορές μπορούμε να υπολογίσουμε τη διαφορά τους). Πολλά πολύπλοκα θέματα ( Όπως τη σημασία) μπορούν να δοθούν ως δείκτης των δεκτών διαφορικών χειριστών οπότε το θεώρημα μας επιτρέπει να υπολογίσουμε αυτά τα θέματα ως τοπολογικούς δείκτες.

Αντίθετα με τον αναλυτικό δείκτη είναι συχνά εύκολα να υπολογισθεί απευθείας, και είναι τουλάχιστον ένας ακέραιος. Ο τοπολογικός δείκτης είναι από τον ορισμό ένας λογικός αριθμός, αλλά συνήθως δεν είναι απόλυτα προφανές από τον ορισμό ότι είναι και ακέραιος. Οπότε το Atiyah–Singer θεώρημα υποδεικνύει ότι ο τοπολογικός δείκτης είναι ακέραιος.

Ο δείκτης είναι ένας ελλειπτικός διαφορικός χειριστής τον οποίο τον αποκλείουμε αν ο χειρίστης είναι αυτοπολύπλοκος. Επίσης το αποκλείουμε αν η πολυπλοκότητα του X έχει περιττή διάσταση, υπάρχουν ψευτοδιαφορικοί ελλειπτικοί χειριστές των οποίων ο αναλυτικός δείκτης δεν εξαφανίζεται όταν έχουμε περιττή διάσταση.

Επεκτάσεις του δείκτη του θεωρήματος Ατίγια-Σίνγκερ
Teleman δείκτης θεωρήματος (Teleman 1983), (Teleman 1984)

Για κάθε αυθαίρετο ελλειπτικό χειριστή  (Atiyah 1970) σε ένα κοντινό , προσανατολισμένο ,τροπολογικό πολύπλευρο , ο αναλυτικός δείκτης είναι ίσος με τον τροπολογικό δείκτη.

Η απόδειξη αυτού του αποτελέσματος διέρχεται από ειδικούς λόγους , συμπεριλαμβανομένου της επέκτασης της θεωρίας του Hodge σε συνδυασμό με την πολυπλοκότητα του  Lipschitz(Teleman 1980), (Teleman 1983), η επέκταση του διακεκριμένου χειριστή Ατίγια-Σίνκερ προς την πολυπλοκότητα του  Lipschitz  (Teleman 1983), η Κ-ομολογία του Kasparov  (Kasparov 1972) και του τροπολογικού ορίου (Kirby & Siebenmann 1977).

Αυτό το αποτέλεσμα δείχνει ότι το θεώρημα δείκτης δεν είναι μονάχα μια διαφορίσιμη δήλωση , αλλά μια τροπολογική δήλωση.

Connes–Donaldson–Sullivan–Teleman θεώρημα δείκτης (Donaldson & Sullivan 1989), (Connes, Sullivan & Teleman 1994)

Για κάθε σύμμορφη πολυπλοκότητα υπάρχει μια τοπική κατασκευή των χαρακτηριστικών κλάσεων των Hirzebruch–Thom.

Αυτή η θεωρία βασίζεται σε έναν διακεκριμένο χειριστή S, ορισμένο σε μεσαίο βαθμό διαφορικών μορφών ακόμη και ασύμορφων πολύπλευρων διαστάσεων (σύγκριση  (Donaldson & Sullivan 1989)).Χρησιμοποιώντας τροπολογικά όρια και την Κ-ομολογία μπορεί να παρέχουν μια ολοκληρωμένη δήλωση από ένα θεώρημα δείκτη πάνω στη σύμμορφη πολυπλοκότητα (βλέπε σελίδα 678 από  (Connes, Sullivan & Teleman 1994)). Η δουλειά  (Connes, Sullivan & Teleman 1994)" παρέχει τοπική κατασκευή για χαρακτηριστικές κλάσεις βασισμένες σε υψηλότερες  συγγενικές διαστάσεις της μετρήσιμης σκιαγράφησης Riemann της δύο διάστασης και της θεωρίας Yang–Mills θεωρίας τέσσερα."

Αυτά τα αποτελέσματα αποτελούν σημαντική πρόοδο κατα μήκος των γραμμών του προγράμματος Σίνκερ που λέγεται Prospects in Mathematics (Singer 1971). Την ίδια στιγμή , αυτοί παρέχουν επίσης, μια αποτελεσματική κατασκευή των λογικών κλάσεων Pontrjagin πάνω στην τροπολογική πολυπλοκότητα. To έγγραφο  (Teleman 1985)  παρέχει έναν ιστότοπο μεταξύ την αυθεντική κατασκευή του Thom από τις λογικές κλάσεις Pontrjagin (Thom 1956) και το θεωρία δεικτών.Είναι σημαντικό να αναφέρουμε ότι η φόρμουλα δεικτών είναι μια τροπολογική δήλωση. Οι θεωρίες παρεμπόδισης των  Milnor, Kervaire, Kirby, Siebenmann, Sullivan, Donaldson δείχνουν ότι μόνο μια μειονότητα από τροπολογικά πολύπλευρα κατέχουν διαφορικές κατασκευές και αυτές δεν είναι μοναδικές. Το αποτέλεσμα του Sullivan στον Lipschitz και η ασύμορφη κατασκευή  (Sullivan 1979) δείχνουν ότι κανένα τροπολικό πολύπλευρο σε διάσταση διαφορετική από τέσσερα κρατούμενα όπως μια κατασκευή που είναι μοναδική (μέχρι την ισοτοπία κοντά στην ταυτότητα )

Η σύμμορφη κατασκευή  (Connes, Sullivan & Teleman 1994) και πιο γενικά η  Lp-κατ ασκευή, p > n(n+1)/2, συστήνονται από τον  M. Hilsum (Hilsum 1999) είναι οι πιο αδύναμοι αναλυτικές κατασκευές πάνω στα τροπολογικά πολύπλευρα διάστασης n όπως είναι το θεώρημα δεικτών γνωστό.

Παραδείγματα

Χαρακτηριστικό Euler
Υποθέτουμε ότι Μ είναι μία φορητή κατευθυνόμενη πολύπλευρη μεταβλητή. Εάν πάρουμε Ε να είναι το σύνολο ίσων εξωτερικών δυνάμεων του συνεφαπτόμενου δεσμού , και F να είναι το σύνολο περίεργων δυνάμεων , και ορίζουμε το D=d + d*, θεωρούμενο ως ένας χάρτης από το  Ε στο F. Τότε ο τοπολογικός δείκτης του D είναι το χαρακτηριστικό Euler της συνομολογίας  M του Hodge, και ο αναλυτικός δείκτης είναι η τάξη του Euler της πολύπλοκης μεταβλητής . Η φόρμουλα του δείκτη για το χειριστή υποκύπτει στο θεώρημα Chern-Gauss-Bonnet.

Θεώρημα Ηirzebruch-Riemann-Roch
Έστω Χ να είναι σύνθετο πολύπλοκο με ένα σύνθετο δεσμό διανυσμάτων V. Αφήνουμε το δεσμό διανυσμάτων Ε και F να γίνουν σύνολα των δεσμών διαφορικών μορφών με συνύπαρξη τύπου V με (0,i) , και αφήνουμε τον διαφορικό χειριστή D να γίνει σύνολο  

περιορισμένο στο Ε.. Έπειτα ο αναλυτικός δείκτης του D είναι το ολομορφικό χαρακτηριστικό Euler του V.

Δείκτης(D)=Σ(−1)p dim Hp(X,V).

Ο τοπολογικός δείκτης του D δίνεται από

Δείκτης(D)=ch(V)Td(X)[X],

το προϊόν του χαρακτήρα Chern του V και η αξιολόγηση Todd της τάξης  Χ στη θεμελιώδη τάξη του Χ. Εξισώνοντας τους τοπολογικούς και αναλυτικούς πίνακες , παίρνουμε το θεώρημα Hirzebruch-Riemann-Roch. Στην πραγματικότητα παίρνουμε με γενίκευση του για όλες τις πολυσύνθετες μεταβλητές: Η απόδειξη του Hirzebruch δούλεψε μονάχα για προβολικές σύνθετες μεταβλητές Χ.

Η πηγή του θεωρήματος των Hirzebruch–Riemann–Roch είναι πιο φυσική αν χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα δείκτη για ελλειπτικά σύνθετα , αντί για ελλειπτικούς χειριστές. Παίρνουμε τη  σύνθετη μεταβλητή ώστε να είναι

0 → V → V ⊗ Λ0,1T*(X) → V ⊗ Λ0,2T*(X)...

με τη διαφορική που δίνεται απο .

Τότε το ομολογικό γκρουπ είναι απλά το συνεκτικό ομολογικό γκρουπ Hi(X, V), έτσι ώστε ο αναλυτικός δείκτης αυτού του σύνθετου είναι ολομορφικό χαρακτηριστικό Euler Σ (−1)i dim(Hi(X, V)). Όπως πριν ο τοπολογικός δείκτης είναι ch(V)Td(X)[X].

Διακεκριμένο θεώρημα Hirzebruch

Το Διακεκριμένο θεώρημα Hirzebruch διατυπώνει ότι η διάκριση ενός φορητού λείου πολυσύνθετου Χ διάστασης 4κ δίνεται απο το γένος L του πολυσύνθετου.Αυτό προκύπτει από το θεώρημα δείκτη Atiyah-Singer που εφαρμόζεται από τον διακεκριμένο χειριστή που ακολουθεί.

Οι δεσμοί E και F δίνονται από το +1 και το -1 του χειριστή του δεσμού των διαφορικών μορφών του Χ που αντιδρά στις κ-μορφές ως φορές ως Hodge χειριστής .

i k(k−1) 
φορές ως Hodge χειριστής . Ο χειριστής D είναι ο Hodge Laplacian

περιορισμένο στο E , όπου D είναι το Καρτεσιανό εξωτερικό και d είναι το επακόλουθό του.
Ο αναλυτικός δείκτης του D είναι η διάκριση του πολυσύνθετου Χ και ο τοπολογικός δείκτης είναι το γένος L του Χ ,οπότε αυτά είναι ίσα.

Α γένος και το θεώρημα του Rochlin's

Το γένος Α είναι ένας λογικός αριθμός που ορίζεται για κάθε πολυσύνθετη μεταβλητή, αλλά γενικά δεν είναι ακέραιος.Οι Borel και Hirzebruch έδειξαν ότι είναι ζωτικής σημασίας για τις περιστρεφόμενες πολυσύνθετες μεταβλητές και ίσος ακέραιος αν επιπρόσθετο η διάσταση είναι 4 mod 8.Αυτό απορρέει από το θεώρημα δείκτη ,το οποίο υπαινίσσεται ότι το Α γένος για τους περιστρεφόμενους πολυσύνθετους είναι ο δείκτης του χειριστή Dirac.Ο έξτρα παράγοντας του 2 στις διαστάσεις 4mod8 προέρχεται από το γεγονός ότι σε αυτή την περίπτωση ο πίνακας και ο συμπληρωματικός του χειριστή Dirac έχουν τετραγωνισμένη κατασκευή ,έτσι ώστε τα  σύνθετα διανύσματα έχουν ίσες διαστάσεις , και έτσι ο δείκτης είναι ίσος.

Στην 4η διάσταση αυτό το αποτέλεσμα υπαινίσσεται οτι στο θεώρημα του Rochlin η διακεκριμένη περιστροφή του πολυσύνθετου διαιρείται από το 16 : αυτό ακολουθεί επειδή στην διάσταση 4 το Α γένος είναι μείον το ένα όγδοο του διακεκριμένου.

Αποδείξεις Τεχνικών

Ψευτοδιαφορικός τελεστής

Οι ψευτοδιαφορικοί χειριστές μπορούν να εξηγηθούν εύκολα στην περίπτωση των διαρκών συντελεστών στον Ευκλείδειο χώρο. Σε αυτή την περίπτωση , οι διαρκείς διαφορικοί συντελεστές είναι απλά οι μετατροπές Fourier από πολλαπλασιασμούς πολυωνύμων, και διαρκών ψευτοδιαφορικών μεταβλητών που είναι απλά οι μετατροπές Fourier από πολλαπλασιασμούς περισσότερων γενικών δυνάμεων .

Πολλές αποδείξεις του δείκτη θεωρήματος χρησιμοποιούν ψευτοδιαφορικούς χειριστές αντί για διαφορικούς χειριστές. Η αιτία αυτού είναι οτι για πολλούς σκοπούς δεν υπάρχουν αρκετοί διαφορικοί χειριστές. Για παράδειγμα , ένας ψευτοαντίστροφος ενός ελλειπτικού διαφορικού χειριστή , σε μια θετική σειρά δεν είναι ένας ψευτοδιαφορικός χειριστής.Επίσης , υπάρχει μια ευθύς απάντηση μεταξύ των δεδομένων που αναπαριστούν στοιχεία των K(B(X), S(X)) (πιασμένες λειτουργίες) και συμβόλων ελλειπτικών ψευτοδιαφορικών χειριστών.

Οι ψευτοδιαφορικοί χειριστές έχουν μια σειρά , το οποίο μπορεί να είναι ένας οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός , ακόμη κ το  −∞ , και έχουν σύμβολα (τα οποία δεν είναι πια πολυώνυμα στον συνεφαπτομένο χώρο), και οι ελλειπτικοί διαφορικοι χειριστές είναι εκείνοι των οποίων τα σύμβολα είναι αντιστρέψιμα , για επαρκώς μεγάλα συνεφαπτομενικά διανύσματα.Η μεγαλύτερη εκδοχή του θεωρήματος δείκτη μπορεί να επεκταθεί από τους ελλειπτικούς διαφορικούς χειριστές σε ελλειπτικούς ψευτοδιαφορικούς χειριστές.

Σύνορα
Η αρχική απόδειξη βασίζεται στη θεωρία των  Hirzebruch–Riemann–Roch (1954) και συμπεριλαμβάνει την θεωρία των συνόρων και ψευδοαντίστροφους χειριστές.

Η ιδέα της αρχικής απόδειξης είναι περίπου ως εξής. Δεδομένου τους δακτυλίους που δημιουργούνται ανά ζεύγη  (X, V) όπου V είναι ένας ομαλός δεσμός διανυσμάτων  στα συμπαγή ομαλά προσανατολισμένα πολύπλευρα Χ , σε σχέση ότι το άθροισμα και το προϊόν του δακτυλίου που δημιουργούνται δίνονται από ξένες ενώσεις και προϊόντα των πολύπλευρων (με τους προφανείς χειριστές σε δεσμό διανυσμάτων) και καθένα σύνορο των πολύπλευρων με δεσμό διάνυσμα να είναι 0. Αυτό είναι όμοιο με το σύνορο δακτυλίων των προσανατολισμένων πολύπλευρων, εκτός όταν τα πολύπλευρα έχουν επίσης δεσμό διανυσμάτων. Οι τροπολογικοί και αναλυτικοί δείκτες και οι δυο επανερμηνεύτηκαν σαν λειτουργίες από τους δακτυλίους στους ακέραιους. Τότε ο ένας ελέγχει ότι αυτές οι δυο λειτουργίες είναι στην πραγματικότητα και οι δυο δακτύλιοι ομομορφισμού. Στην προσπάθεια να αποδειχθεί ότι είναι το ίδιο , είναι απαραίτητο να ελεγχθεί αν είναι το ίδιο σε έναν συνδυασμό από γεννήτορες αυτής της δακτυλίου. Η θεωρία συνόρων του Thom δίνει έναν συνδυασμό γεννητόρων , για παράδειγμα , ένα σύνθετο διάνυσμα κενού με ασήμαντα δεσμά μαζί με απαραίτητα δεσμά ακόμα και με διανύσματα σφαιρών. Άρα το θεώρημα των δεικτών μπορεί να αποδειχθεί ελέγχοντας αυτές τις ιδιαίτερα απλές περιπτώσεις.

ΘΕΩΡΗΜΑ Κ
Η πρώτη δημοσιευμένη απόδειξη των Atiyah και Singer χρησιμοποίησε την K-θεωρία αντί της θεωρίας του συνόρου. Ε'αν το i είναι συμπερίληψη φορητών πολυσύνθετων μεταβλητών από το Χ στο Y ,όρισαν μια "προς τα εμπρός" μέθοδο στους ελλειπτικούς χειριστές του Χ προς τους ελλειπτικούς χειριστές του Υ που διατηρούν τον δείκτη.Δεχόμαστε το Υ ως μια σφαίρα που περιλαμβάνει το Χ ,αυτό μειώνει το θεώρημα του δείκτη στην περίπτωση σφαιρών.Εάν Υ είναι μια σφαίρα και Χ είναι χωμένο στο Υ ,τότε κάθε ελλειπτικός χειριστής στο Υ είναι η εικόνα κάτω από κάποιον ελλειπτικό χειριστή στο σημείο.Αυτό μειώνει το θεώρημα του δείκτη στο περίπτωση του σημείου ,που είναι ασήμαντο.

ΕΞΙΣΩΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ

Οι Atiyah,Bott και Patodi(1973) δώσανε μια καινούργια απόδειξη του θεωρήματος δείκτη χρησιμοποιώντας την εξίσωση της θερμότητας ,που περιγράφεται στο (Melrose 1993) και στο (Gilkey 1994),στο Berdine,Getzier & Vergne (2004) όπου περιγράφουν μια απλότερη εξίσωση θερμότητας εκμεταλεύοντας την υπερσυμμετρία.

Εάν D είναι ένας διαφορικός χειριστής με συνεφαπτόμενο D ,τότε D*D και D*D είναι εφαπτόμενοι χειριστές των οποίων οι μη μηδενικές τιμές έχουν τους ίδιους πολλαπλασιαστές.Ωστόσο οι μηδενικοί τους χώροι μπορεί να έχουν διαφορετικούς πολλαπλασιαστές ,αφού αυτοί οι πολλαπλασιαστές είναι οι διαστάσεις των πινάκων D και D* .Γι αυτό ο δείκτης του D δίνεται από

Δείκτης(D)=dim Ker(D) − dim Ker(D*) = Tr(e−tD*D) − Tr(e−tDD*)

για κάθε θετικό t.Η σωστή πλευρά δίνεται από το ίχνος της διαφοράς των πινάκων των δύο χειριστών θερμότητας.Αυτοί έχουν μια ασυμπτωτική επέκταση για μικρό θετικό t ,η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αξιολογήσει το όριο καθώς  το t τείνει στο 0,δίνοντας απόδειξη του θεωρήματος δείκτη του Atiyah-Singer.Οι ασυμπτωτικές επεκτάσεις για μικρό t εμφανίζονται πολύ περίπλοκες αλλά η θεωρία μη-μεταβλητών δείχνει ότι αυτές είναι τεράστιες ακυρώσεις μεταξύ των όρων ,το οποίο το κάνει δυνατό ώστε να βρεθούν οι κύριοι όροι.Αυτές οι ακυρώσεις αργότερα εξηγήθηκαν χρησιμοποιώντας την υπερσυμμετρία.

Γενικεύσεις
 Το θεώρημα Ατίγια-Σίνγκερ εφαρμόζεται σε ελλειπτικούς ψευτοδιαφορικούς χειριστές με τον ίδιο τρόπο όπως και στους ελλειπτικούς διαφορετικούς χειριστές.Στην πραγματικότητα , για τεχνικούς λόγους , οι περισσότερες από τις πρώτες αποδείξεις δούλεψαν με ψευτοδιαφορικούς παρά με διαφορικούς χειριστές: ηπρόσθετηή του ευκαμψία έκανε κάποια βήματα για πρόσθετες αποδείξεις.
 Αντί να δουλέψουμε με ελλειπτικούς χειριστές μεταξύ δύο δεσμών διανυσμάτων , είναι μερικές φορές πιο βολικό να δουλέψουμε με ένα ελλειπτικό σύμπλεγμα
0 → E0 → E1 → E2 → ... → Em →0

από δέσμη διανυσμάτων. Η διαφορά είναι ότι τα σύμβολα τώρα διαμορφώνουν μια ακριβής ακολουθία ( εκτός της μηδενικής τομής). Σε αυτή την περίπτωση , όταν υπάρχουν δύο μη-μηδενικοί δεσμοί στο σύμπλεγμα αυτό αποδεικνύει ότι το σύμβολο είναι ένας ισομορφισμός , εκτός της μηδενικής τομής, έτσι ένα ελλειπτικό σύμπλεγμα με δύο όρους είναι απαραίτητα το ίδιο όπως σε ένα ελλειπτικό χειριστή ανάμεσα σε δύο δέσμες διανυσμάτων. Αντιστρόφως , το θεώρημα δείκτη για ένα ελλειπτικό σύμπλεγμα μπορεί εύκολα να μειωθεί στη περίπτωση ενός ελλειπτικού χειριστή : η δέσμη των δύο διανυσμάτων έχουν δοθεί από τα αθροίσματα ζυγών ή περιττών όρων του συμπλέγματος, και ο ελλειπτικός χειριστής είναι το άθροισμα των χειριστών του ελλειπτικού συμπλέγματος και των γειτονικών τους , περιορισμένα στο άθροισμα των ήδη δεσμών.
 Εάν οι πολυσύνθετοι τους επιτρέπεται να έχουν όριο , τότε κάποιοι περιορισμοί πρέπει να τεθούν στο πεδίο ορισμού του ελλειπτικού χειριστή για να διασφαλιστεί ένα πεπερασμένος δείκτης. Αυτές οι συνθήκες μπορεί να είναι τοπικές ( όπως να απαιτείς τους τομείς στο πεδίο ορισμού να εξαφανίζονται στο σύνορο) ή πιο σύνθετες παγκόσμιες συνθήκες ( όπως να απαιτούνται οι τομείς του πεδίου ορισμού να λύνουν κάποιες διαφορικές εξισώσεις).Η τοπική υπόθεση δουλεύτηκε από τους Ατίγια και Μποτ, αλλά έδειξαν ότι πολλές ενδιαφέρουσες λειτουργίες (π.χ. ο υποδεικνυόμενος χειριστής ) δεν δέχεται τοπικές συνθήκες ορίων.Για να χειριστούν αυτούς τους χειριστές οι Ατίγια , Πατόντι και Σινγκερ ,συνθήκες παγκόσμιων ορίων ισοδύναμες με την προσκόλληση κυλίνδρου στη πολυσύνθετη μεταβλητή του ορίου και περιόρισαν το πεδίο ορισμού σε αυτούς τους τομείς που είναι τετραγωνικοί ολοκληρώσιμοι μαζί με τον κύλινδρο. Αυτό το σκεπτικό υιοθετήθηκε ως απόδειξη του Melrose (1993) του θεωρήματος δείκτη των Ατίγια, Πατόντι και Σίνγκερ .
 Αντί για ένα ελλειπτικό χειριστή, ένας μπορεί να θεωρήσει μια οικογένεια ελλειπτικών χειριστών παραμετρικοποιημένα από κάποια μεταβλητή Υ. Σε αυτή την περίπτωση ο δείκτης ενός στοιχείου από το Κ-θεώρημα του Υ, αντί ενός ακεραίου . Εάν οι χειριστές στην οικογένεια είναι πραγματικοί , τότε ο δείκτης ψεύδεται στο πραγματικό Κ-θεώρημα του Υ.Αυτό δίνει λίγη περισσότερη πληροφορία , καθώς ο χάρτης από το πραγματικό Κ-θεώρημα του Υ στο σύμπλεγμα του Κ-θεωρήματος δεν είναι πάντα ένεση.
 Εάν υπάρχει ομαδική δράση σε μια ομάδα G σε ένα συμπαγές πολύπλευρο Χ ,μετακινώντας με ένα ελλειπτικό χειριστή, τότε ο ένας αντικαθιστά την συνηθισμένη Κ-θεωρία με ισοποίκιλη  Κ-θεωρία. Επιπλέον το ένα παίρνει τις γενικεύσεις των διορθωμένων σημείων του θεωρήματος Lefschetz με τους όρους να διορθώνονται από πολυσύνθετες ομάδες G. Δείτε επίσης :  Ισοποίκιλο θεώρημα δεικτών.
 Atiyah (1976) έδειξε πως να επεκτείνουμε το θεώρημα των δεικτών σε μερικά μη συμπαγή πολύπλευρα, εργαζόμενοι σε μια διακριτή ομάδα με συμπαγή πηλίκο. Ο πυρήνας ενός ελλειπτικού χειριστή είναι γενικά απείρων διαστάσεων σε αυτήν την περίπτωση, αλλά είναι πιθανό να πάρει πεπερασμένο δείκτη χρησιμοποιώντας την διάσταση ενός μόντουλο σύμφωνα με την άλγεβρα του von Neumann ,αυτός ο δείκτης είναι γενικά πραγματικός παρά ένας ακέραιος αξίας. Αυτή η εκδοχή ονομάζεται L2 θεώρημα δεικτών και χρησιμοποιήθηκε από τους  Atiyah & Schmid (1977) για να ξαναδημιουργήσει ιδιότητες διακριτές αναπαραστάσεις σειρών από ημιαπλές ψεύτικες ομάδες.
 Η θεωρία των δεικτών του Κ.Καλλία είναι μια θεωρία δεικτών από τον χειριστή του Dirac σε μη συμπαγή περιττή διάσταση χώρου. Ο δείκτης Atiyah–Singer είναι μόνο ορισμένος σε συμπαγή κενά, και εξαφανίζετε όταν η διάσταση είναι περιττή . Το 1978 ο Κωνσταντίνος Καλλίας, με πρόταση του Ph.D και συμβουλευτή Roman Jackiw, χρησιμοποίησε την αξονική ανωμαλία για να προέλθει το θεώρημα των δεικτών σε κενά εξοπλισμένη με έναν πίνακα Hermitian που ονομάζεται Higgs field. Όπως παρουσιάζεται στο σύγγραμμά του  Index Theorems on Open Spaces ο δείκτης του χειριστή του  Dirac είναι μια τροπολογική ποικιλία των  U(dU)n−1 πάνω από (n-1) φορές στο άπειρο. Ακόμα και όταν το n είναι πάντα μηδέν. Η τροπολογική ερμηνεία σε αυτή την ποικιλία μοιάζει με τον δείκτη Hörmander και έχει προταθεί από τον Boris Fedosov, σαν γενίκευση του Lars Hörmander, η οποία εκδόθηκε από τους Raoul Bott και Robert Thomas Seeley  στο άρθρο Some Remarks on the Paper of Callias με το ίδιο θέμα όπως το άρθρο του Καλλία  Communications in Mathematical Physics.

Διαφορική γεωμετρία
Θεωρήματα στη Γεωμετρία