Διανυσματικό γινόμενο

Στην γραμμική άλγεβρα, το εξωτερικό γινόμενο (ή αλλιώς διανυσματικό γινόμενο) είναι μια δυαδική πράξη σε δύο διανύσματα στον τρισδιάστατο χώρο και συμβολίζεται με το σύμβολο . Το γινόμενο  δύο γραμμικών ανεξαρτήτων διανυσμάτων  και , είναι ένα τρίτο διάνυσμα το οποίο είναι κάθετο προς τα δύο ( και ). Επομένως το  είναι κάθετο προς το επίπεδο που περιέχει τα  και . Έχει πολλές εφαρμογές στα μαθηματικά, στην φυσική, στην μηχανική και στην πληροφορική. Δεν πρέπει να συγχέεται με το εσωτερικό γινόμενο.

Αν δύο διανύσματα έχουν την ίδια κατεύθυνση (ή την ακριβώς αντίθετη μεταξύ τους), δηλαδή δεν είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, ή ένα από τα δύο είναι το μηδενικό διάνυσμα, τότε το γινόμενο τους είναι το μηδενικό. Πιο γενικά, το μέτρο του γινομένου τους ισούται με το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που έχει τα δύο διανύσματα ως τις πλευρές του. Στην ειδική περίπτωση που τα δύο διανύσματα είναι κάθετα (και το παραλληλόγραμμο είναι ορθογώνιο), τότε το μέτρο του εξωτερικού γινομένου είναι ίσο με το γινόμενο των μηκών τους. Το αντίθετο του εξωτερικού γινομένου ικανοποιεί a × b = −(b × a) και επίσης ικανοποιεί την επιμεριστική ιδιότητα, δηλαδή a × (b + c) = a × b + a × c.

Όπως και το εσωτερικό γινόμενο, η τιμή του εξαρτάται από τη μετρική του Ευκλείδιου χώρου. Όμως σε αντίθεση με το εσωτερικό γινόμενο, εξαρτάται από προσανατολισμό του χώρου.

Ορισμός

Το διανυσματικό γινόμενο δύο διανυσμάτων a και b ορίζεται σε χώρους τριών διαστάσεων και συμβολίζεται ως a × b. Στην φυσική, πολλές φορές χρησιμοποιείται και ο συμβολισμός a ∧ b, όμως στα μαθηματικά αποφεύγεται., για να αποφευχθεί πιθανή σύγχυση με το εσωτερικό γινόμενο.

Το γινόμενο a × b ορίζεται ως το διάνυσμα c, που είναι κάθετο προς τα a και b, με κατεύθυνση η οποία δίδεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού και έχει μέγεθος ίσο με το εμβαδόν του παραλληλόγραμμου με πλευρές τα διανύσματα a και b.

Το διανυσματικό γινόμενο ορίζεται από τον τύπο:
,
όπου  είναι η γωνία μεταξύ των a και b στο επίπεδο που τα περιέχει (ως εκ τούτου, είναι μεταξύ 0° και 180°),  και  είναι τα μέτρα των διανυσμάτων a και b, και το n είναι ένα μοναδιαίο διάνυσμα, κάθετο στο επίπεδο που ορίζεται από τα a και b. Η κατεύθυνσή του δίνεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού (δείτε το σχήμα). Εάν τα διανύσματα a και b είναι παράλληλα μεταξύ τους (δηλαδή, η γωνία  μεταξύ τους είναι είτε 0° ή 180°), από τον ανωτέρω τύπο, το γινόμενο των a και b είναι το μηδενικό διάνυσμα 0.

Κατά σύμβαση, η κατεύθυνση του διανύσματος n δίνεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού, όπου ο δείκτης του δεξιού χεριού δείχνει προς την κατεύθυνση του a διανύσματος και το μεσαίο δάκτυλο στην κατεύθυνση του άλλου. Στη συνέχεια, το διάνυσμα n προκύπτει από τον αντίχειρα (δείτε την εικόνα στα δεξιά). Χρησιμοποιώντας τον κανόνα αυτό, συνεπάγεται ότι η ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα, δηλαδή b × a = −(a × b). Δείχνοντας με τον δείκτη προς το διάνυσμα b πρώτα, και στη συνέχεια, δείχνοντας το μεσαίο δάχτυλο προς το a, ο αντίχειρας θα μετακινηθεί προς την αντίθετη κατεύθυνση, αντιστρέφοντας την κατεύθυνση του n.

Είναι απαραίτητο να ληφθεί σοβαρά υπόψιν ότι το χέρι που θα χρησιμοποιηθεί, για την εύρεση της κατεύθυνσης των διανυσμάτων, να είναι το δεξί (όπως αναφέρεται ρητά στον ορισμό παραπάνω). Εάν χρησιμοποιηθεί σύστημα συντεταγμένων με το αριστερό χέρι, η κατεύθυνση του διανύσματος n δίνεται από τον κανόνα του αριστερού χεριού και δείχνει προς την αντίθετη κατεύθυνση.

Αυτό, όμως, δημιουργεί ένα πρόβλημα, διότι με τη μετατροπή από το ένα αυθαίρετο σύστημα αναφοράς στο ένα άλλο (π.χ., ένας καθρεφτικός μετασχηματισμός από ένα δεξιόχειρο σε ένα αριστερόχειρο σύστημα συντεταγμένων), δεν θα πρέπει να αλλάξει την κατεύθυνση του n. Το πρόβλημα λύνεται με τη συνειδητοποίηση ότι το γινόμενο των δύο διανυσμάτων δεν ένα «αληθινό» διάνυσμα, αλλά μάλλον ένα ψευτο-διάνυσμα.

Υπολογισμός διανυσματικού γινομένου

Παράσταση συντεταγμένων 

Τα διανύσματα της κανονικής βάσης i, j, and k έχουν τις εξής ιδιότητες:

η οποία συνεπάγεται από την αντισυμμετρικότητα του γινομένου διανυσμάτων 

Ο ορισμός του εξωτερικού γινόμενου διανυσμάτων συνεπάγεται επίσης ότι 
, 
όπου  είναι το μηδενικό διάνυσμα.

Αυτές οι ισότητες, μαζί με την επιμεριστική ιδιότητα και την γραμμικότητα του εξωτερικού γινομένου, είναι επαρκείς για να υπολογίσουμε το γινόμενο οποιωνδήποτε δύο διανυσμάτων  και . Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφτεί ως το άθροισμα των τριών ορθογώνιων συνιστωσών του που είναι παράλληλες με τα διανύσματα της κανονικής βάσης, δηλαδή:

Με την χρήση της επιμεριστικής ιδιότητας το γινόμενο  μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Αυτό μπορεί να ερμηνευθεί ως η ανάλυση του u × ν μέσα από το άθροισμα 9 απλών γινομένων διανυσμάτων που αφορούν φορείς ευθυγραμμισμένους με το i, j, ή k. Κάθε ένα από αυτά τα εννέα γινόμενα διανυσμάτων λειτουργεί με δύο διανύσματα που είναι εύκολο να χειριστούν, όπως είναι είτε παράλληλα είτε ορθογώνια μεταξύ τους. Από αυτή την ανάλυση, με τη χρήση των προαναφερθέντων ισοτήτων και από παρόμοιους κανόνες, παίρνουμε

που σημαίνει πως τα 3 βαθμωτά γινoμένα του διανύσματος s = s1i + s2j + s3k =  ειναι

Χρησιμοποιώντας τα διανύσματα σε στήλες, μπορούμε να έχουμε το ίδιο αποτέλεσμα ως εξής::

Παράσταση σε πίνακα 
Το γινόμενο διανυσμάτων επίσης μπορεί να εκφραστεί ως τυπικός προσδιορισμός:

Αυτός ο προσδιορισμός μπορεί να υπολογιστεί είτε με τον κανόνα του Sarrus είτε με την μέθοδο των οριζουσών.
Χρησιμοποιώντας τον κανόνα Sarrus προκύπτει

Χρησιμοποιώντας την μέθοδο των οριζουσών κατ μήκος της πρώτης γραμμής, προκυπτει 

η οποία δίνει τις συνιστώσες του διανύσματος που προκύπτει.

Γινόμενο διανυσμάτων ως εξωτερικό διάνυσμα 

Το γινόμενο διανυσμάτων μπορεί να θεωρηθεί από την άποψη του εξωτερικού του διανύσματος. Η άποψη αυτή επιτρέπει μια φυσική γεωμετρική ερμηνεία του γινόμενου διανύσματος. Στην exterior algebra το εξωτερικό μέρος του διανύσματος (ή ελλειπτικό διάνυσμα) των δύο φορέων είναι bivector. Ένα bivector είναι ενα προσανατολισμένo επίπεδο, με τον ίδιο τρόπο που ένα διάνυσμα είναι προσανατολισμένο στοιχείου της ευθείας. Δεδομένων δύο διανυσμάτων a και b, μπορείτε να δείτε τα bivector A ∧ B ως προσανατολισμένο παραλληλόγραμμο που καλύπτεται από τα α και β. Το γινόμενο διανύσματος κατόπιν λαμβάνεται με λήψη του Hodge δυικό της bivector a ∧ b, χαρτογράφηση 2-διάνυσμα επί 2- διάνυσμα:

Αυτό μπορεί να θεωρηθεί ως το προσανατολισμένο πολυδιάστατο επίπεδο «κάθετο» στο bivector. Μόνο σε τρεις διαστάσεις είναι το αποτέλεσμα ένα προσανατολισμένο στοιχείο ευθεία - ένας φορέας - ενώ, για παράδειγμα, σε 4 διαστάσεις το Hodge δυικό ενός bivector είναι δισδιάστατο - ένα άλλο στοιχείο προσανατολισμένου επίπεδου. Έτσι, μόνο σε τρεις διαστάσεις είναι το γινόμενο του α και β του φορέα διπλού στο bivector ένα α ∧ b: είναι κάθετος προς το bivector, με προσανατολισμό χεριού του συστήματος συντεταγμένων του, και έχει το ίδιο μέγεθος σε σχέση με το μοναδιαίο διάνυσμα ως a ∧ b έχει σχέση με το μοναδιαίο διάνυσμα. Ακριβώς τις ιδιότητες που περιγράφονται παραπάνω.

Γινόμενο διανυσμάτων και Χρήση

Όταν μετρήσιμες ποσότητες αφορούν το γινόμενο διανυσμάτων και τη χρήση των ισότιμων συστημάτων που χρησιμοποιούνται δεν μπορεί να είναι αυθαίρετες. Ωστόσο, όταν οι νόμοι της φυσικής είναι γραμμένοι ως εξισώσεις, είναι δυνατόν να γίνει μια αυθαίρετη επιλογή του συστήματος συντεταγμένων. Για να αποφύγετε τα προβλήματα, πρέπει να είστε προσεκτικοί να μην γράψετε πουθενά μια εξίσωση όπου οι δύο πλευρές δεν συμπεριφέρονται εξίσου το ίδιο με όλους τους μετασχηματισμούς που πρέπει να ληφθούν υπόψη. Για παράδειγμα, αν η μία πλευρά της εξίσωσης είναι ένα γινόμενο δυο διανυσμάτων θα πρέπει να λάβουμε υπόψη ότι όταν η χρήση από ισότιμο σύστημα δεν καθορίζεται εκ των προτέρων, το αποτέλεσμα δεν είναι διάνυσμα αλλά ένα ψευδοδιάνυσμα. Ως εκ τούτου, για τη συνοχή,η άλλη πλευρά πρέπει να είναι επίσης ένα ψευδοδιάνυσμα.

Γενικότερα, το αποτέλεσμα ενός γινόμενο διανυσμάτων μπορεί να είναι ένα διανυσματικό αντικείμενο ή ένα ψευδοδιάνυσμα, ανάλογα με τον τύπο του τα τελεστέους (διανύσματα ή ψευδοδιανύσματα). Δηλαδή, διανύσματα και ψευδοδιανύσμαtα είναι αλληλένδετες με τους ακόλουθους τρόπους με εφαρμογή του το εξωτερικό γινόμενο: 
•διάνυσμα×διάνυσμα=ψευδοδιάνυσμα
•ψευδοδιάνυσμα×ψευδοδιάνυσμα=ψευδοδιάνυσμα
•διάνυσμα×ψευδοδιάνυσμα=διάνυσμα
•ψευδοδιάνυσμα×διάνυσμα=διάνυσμα

Έτσι από τις παραπάνω σχέσεις, η μονάδα βάσης διανυσμάτων,i, j και k ενός ορθοκανονικού,δεξιόχειρες(Καρτεσιανό) συντονίζουν πλαίσιο πρέπει όλα να είναι ψευδοδιανύσματα (αν μια βάση για μικτό διάνυσμα τύπων δεν επιτρέπεται δεδομένου ότι είναι συνήθως) από i × j = k, j × k = i and k × i = j.

Επειδή το εξωτερικό γινόμενο μπορεί επίσης να είναι ένα (αληθινο) διάνυσμα δεν μπορεί δηλαδή να αλλάξει κατεύθυνση με ένα είδωλο μετασχηματισμό. Αυτό συμβαίνει, σύμφωνα με τις παραπάνω σχέσεις, εάν ένας από τους τελεστέους είναι ένα (αληθινο) διάνυσμα και το άλλο είναι ένα ψευδοδιάνυσμα (π.χ., το εξωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων). Για παράδειγμα, ένα τριπλό γινόμενο διανυσμάτων που αφορά τρία διανύσματα είναι ένα (αληθινο) διάνυσμα.

Εφαρμογές

Το εξωτερικό γινόμενο έχει εφαρμογές σε διάφορα πλαίσια: π.χ. χρησιμοποιείται στην υπολογιστική γεωμετρία, τη φυσική και τη μηχανική. Ακολουθεί μια μη-εξαντλητική λίστα παραδειγμάτων.

Υπολογιστική Γεωμετρία 
Το εξωτερικό γινόμενο εμφανίζεται στον υπολογισμό της απόστασης των δύο κλίσης γραμμών (γραμμές που δεν είναι στο ίδιο επίπεδο) από την άλλη στον τρισδιάστατο χώρο.

Το εξωτερικό γινόμενο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να υπολογίσει το κανονικό για ένα τρίγωνο ή το πολύγωνο, μια λειτουργία που πραγματοποιείται συχνά σε γραφικά υπολογιστών. Για παράδειγμα,το τύλιγμα ενός πολυγώνου (δεξιόστροφα ή αριστερόστροφα) γύρω από ένα σημείο εντός πολυγώνου μπορεί να υπολογιστεί με τριγωνισμό του πολυγώνου (όπως το γωνστό σύστημα μιας ρόδας) και αθροίζοντας τις γωνίες (μεταξύ των ακτίνων) χρησιμοποιώντας το εξωτερικό γινόμενο για να παρακολουθείτε το πρόσημο του κάθε γωνία.

Στην υπολογιστική γεωμετρία του επιπέδου, το εξωτερικό γινόμενο χρησιμοποιείται για να καθορίσει το πρόσημο της οξείας γωνίας ορίζεται από τρία σημεία ,  and . Αντιστοιχεί προς την κατεύθυνση του εξωτερικού γινομένου των δυο συνεπίπεδων διανυσμάτων που ορίζονται από τα ζεύγη των σημείων  and , i.e., δηλαδή, από το πρόσημο του . Στο δεξιόχειρο συντεταγμένων, εάν το αποτέλεσμα είναι 0, τα σημεία είναι συγγραμικά, ενώ εάν είναι θετικό, τα τρία σημεία αποτελούν μια θετική γωνία περιστροφής γύρω από το   ,αλλιώς μια αρνητική γωνία. Από μια άλλη άποψη, το σύμβολο  λέει αν το  είναι στα αριστερά ή στα δεξιά των .

Το εξωτερικό γινόμενο χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του όγκου ενός πολυέδρου όπως ένα τετράεδρο ή ένα παραλληλεπίπεδο.

Γωνιακή ορμή και ροπή 

Η γωνιακή ορμή  ενός σωματιδίου για μια δεδομένη καταγωγή, είναι ορίζεται ως: 

όπου  είναι η θέση του διανύσματος του σωματιδίου σε σχέση με την προέλευση, είναι η γραμμική ορμή του σωματιδίου.

Με τον ίδιο τρόπο ,η ροπή  μιας δύναμης  εφαρμόζεται στο σημείο Β γύρω από το σημείο Α και δίνεται ως:

Στην μηχανική η ροπή μιας δύναμης την ονομάζεται επίσης ροπή και γράφεται ως .

Από τη θέση , γραμμική ορμή  και δύναμη  είναι όλα αληθή διανύσματα,τόσο η γωνιακή ορμή  και η στιγμή μιας δύναμης  είναι ψευδοδιανύσματα ή αξονικά διανύσματα.

Στερεό σώμα 
Το εξωτερικό γινόμενο εμφανίζεται συχνά στην περιγραφή των άκαμπτων κινήσεων. Δύο σημεία P και Q σε ένα άκαμπτο σώμα μπορεί να σχετίζονται με:

όπου  είναι το σημείο της θέσης,  είναι η ταχύτητα και  είναι η γωνιακή ταχύτητα του σώματος.

Από τη στιγμή που η θέση  και η ταχύτητα  είναι αληθή διανύσματα,η γωνιακή ταχύτητα  είναι ένα ψευδοδιάνυσμα ή αξονικό διάνυσμα.

Δύναμη Λόρεντζ 
Το εξωτερικό γινόμενο χρησιμοποιείται για να περιγράψουν τη δύναμη Lorentz εμπευσμένοι από ένα κινούμενο ηλεκτρικό φορτίο :

Από τότε που η ταχύτητα ,η δύναμη  και το ηλεκτρικό πεδίο  ειναι όλα αληθή διανύσματα,το μαγνητικό πεδίο  είναι ένα ψευδοδιάνυσμα.

Άλλα 
Στο διανυσματικό λογισμό, το εξωτερικό γινόμενο χρησιμοποιείται για να καθορίσει τον τύπο του διανυσματικού φορέα.

Το τέχνασμα της επανασυγγραφής του εξωτερικού γινομένου σε όρους του πολλαπλασιασμού πινάκων εμφανίζεται συχνά στην επιπολική και στην πολυδιάστατη γεωμετρία,ιδίως όταν παραγωγίζοντας ταιριάζουν οι περιορισμοί.

Ιστορία 

Το 1773, ο Ιταλός μαθηματικός Ζοζέφ Λουί Λαγκράνζ, εισήγαγε τη μορφή των συνιστωσών στο γινόμενο διανυσμάτων, προκειμένου να μελετήσει το τετράεδρο σε τρεις διαστάσεις. Το 1843 ο Ιρλανδός μαθηματικός και φυσικός Γουίλιαμ Ρόουαν Χάμιλτον εισήγαγε το τετραδικό διάνυσμα, και μαζί με αυτό τους όρους «διάνυσμα» και «βαθμωτό». Δεδομένων δύο τετραδιων [0, u] και [0, v], όπου υ και ν είναι διανύσματα στο , το τετραδικό τους διάνυσμα μπορεί να συνοψιστεί ως [-u ⋅ v, u × v]. Ο Τζέιμς Κλερκ Μάξγουελ χρησιμοποίησε το τετραδικό διάνυσμα του Χάμιλτον για να αναπτύξει τις διάσημες εξισώσεις ηλεκτρομαγνητισμού, και για αυτό και για άλλους λόγους για έναν καιρό ήταν ένα ουσιαστικό μέρος της φυσικής εκπαίδευσης.

Το 1878 ο William Kingdon Clifford δημοσίευσε την πρωτοποριακή για την εποχή εργασία του Στοιχεία Δυναμικής. Αυτός ορίζει το γινόμενο δύο διανυσμάτων ώστε να έχουν μέγεθος ίσο με το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που ορίζουν τα δύο διανύσματα και κατεύθυνση κάθετη προς το επίπεδο τους.

Ο Όλιβερ Χέβισαϊντ στην Αγγλία και Τζοσάια Γουίλαρντ Γκιμπς, καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Γέιλ στο Κονέκτικατ, αισθάνθηκε επίσης ότι οι μέθοδοι τετραδικών διάνυσματων ήταν πολύ δυσκίνητη, συχνά απαιτείται το βαθμωτό ή διανυσματικό μέρος του αποτελέσματος που πρέπει να εξαχθεί. Έτσι, περίπου σαράντα χρόνια μετά το τετραδικό διάνυσμα και το γινόμενο εισήχθησαν στη θερμαινόμενη αντιπολίτευση. Ζωτικής σημασίας για την (ενδεχόμενη) αποδοχή ήταν η αποδοτικότητα της νέας προσέγγισης, επιτρέποντας τον Χέβισαϊντ να μειώσει τις εξισώσεις του ηλεκτρομαγνητισμού Μάξγουελ από τις αρχικά 20 στις 4 που είναι σήμερα.

Σε μεγάλο βαθμό ανεξάρτητα από την εξέλιξη αυτή, και σε μεγάλο βαθμό παραγνωρισμένη εκείνη την εποχή, ο Hermann Grassmann θα δημιουργήσει μια γεωμετρική άλγεβρα δεν συνδέεται με δύο ή τρεις διαστάσεις, πάρα με την εξωτερική επιφάνεια του διανύσματος να παίζει κεντρικό ρόλο. Το 1853 ο Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ, σύγχρονος του Grassmann, δημοσίευσε ένα έγγραφο σχετικά με αλγεβρικό κλειδιά που χρησιμοποιήθηκαν για την επίλυση εξισώσεων και είχαν τις ίδιες ιδιότητες πολλαπλασιασμού με το διανυσματικό γινόμενο. Ο William Kingdon Clifford συνδύασε τις άλγεβρες του Χάμιλτον και Grassmann για την παραγωγή της άλγεβρας του Clifford, όπου στην περίπτωση των τρισδιάστατων διανυσμάτων η bivector που παράγεται από δύο φορείς dualizes σε ένα φορέα, αναπαράγοντας έτσι το γινόμενο.

Η παράσταση του γινόμενου και η ονομασία «διανυσματικό γινομενο» ξεκίνησε με τον Gibbs. Αρχικά εμφανίστηκαν σε ιδιωτικές δημοσιεύσεις-σημειώσεις για τους μαθητές του το 1881 ως στοιχεία της Διανυσματικής Ανάλυσης. Το βοηθητικό πρόγραμμα για τους μηχανικούς σημειώθηκε από τον Aleksandr Kotelnikov. Σημειογραφίκα ο Gibbs και το όνομα «γινόμενο» αργότερα έφτασε σε ένα ευρύ κοινό μέσω της Διανυσματικής Ανάλυσης, ένα βιβλίο από τον Edwin Bidwell Wilson, πρώην φοιτητή. ο Wilson αναδιατάσσει υλικό από διαλέξεις Gibbs, σε συνεργασία με το υλικό από δημοσιεύσεις των Heaviside, Föpps, και Χάμιλτον. Χώρισε την ανάλυση του φορέα σε τρία μέρη:

Πρώτον, εκείνο που αφορά την προσθήκη και τα βαθμωτά και διανυσματικά γινόμενα των φορέων. Δεύτερον, αυτό το οποίο αφορά τον διαφορικό και ολοκληρωτικό λογισμό στις σχέσεις της με την κλιμακωτή και λειτουργιά του φορέα. Τρίτον, η οποία περιέχει τη θεωρία της λειτουργίας του γραμμικού φορέα.

Δύο κύρια είδη φορέα πολλαπλασιασμού ορίστηκαν, και τα έλεγαν ως εξής:

Το ευθη, βαθμωτο, ή γινόμενο των δύο διανυσμάτων

Η ασυμμετρία, του φορέα, ή γινόμενο των δύο διανυσμάτων

Εξετάστηκαν, επίσης, διάφορα είδη τριπλών διανυσμάτων και διανυσμάτων άνω των τριών φορέων. Η προαναφερθείσα επέκταση τριπλου διανύσματος συμπεριλαμβάνεται επίσης.

Παραπομπές 

 
 E. A. Milne (1948) Vectorial Mechanics, Chapter 2: Vector Product, pp 11 –31, London: Methuen Publishing.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
 Διαδραστική εφαρμογή για το διανυσματικό γινόμενο
 
  
A quick geometrical derivation and interpretation of cross products
 C.A. Gonano and R.E. Zich (2014). Cross product in N Dimensions - the doublewedge product, Polytechnic University of Milan, Italy.
  Z.K. Silagadze (2002). Multi-dimensional vector product. Journal of Physics. A35, 4949 (it is only possible in 7-D space)
 Real and Complex Products of Complex Numbers
 An interactive tutorial από το Πανεπιστήμιο του Syracuse  – (χρειάζεται java)
 W. Kahan (2007). Cross-Products and Rotations in Euclidean 2- and 3-Space. University of California, Berkeley (PDF).

Αφηρημένη άλγεβρα
Αναλυτική γεωμετρία