Επιμορφισμός

Στη Θεωρία κατηγοριών, ένας επιμορφισμός (ονομάζεται επίσης ένας επί μορφισμός ή, κοινώς, μία επί συνάρτηση) είναι ένας μορφισμός f  : X → Y που είναι δεξιά-ακυρωτικός με την έννοια ότι, για όλους τους μορφισμούς g 1 , g 2  : Y → Z ,

.

Oι επιμορφισμοί είναι κατηγορικοί αναλογικοί των επί συναρτήσεων  (και στην κατηγορία των συνόλων η έννοια αντιστοιχεί στις επί συναρτήσεις), αλλά δεν μπορεί να συμπίπτει ακριβώς σε όλα τα πλαίσια, για παράδειγμα, η έγκλιση  είναι ένας δακτύλιος-επιμορφισμός. Το διπλό του επιμορφισμού είναι ένας μονορφισμος (δηλαδή επιμορφισμός σε μια κατηγορία C είναι ένας μονομορφισμός στη διπλή κατηγορία C op ).

Πολλοί συγγραφείς στην αφηρημένη άλγεβρα και στην καθολική άλγεβρα ορίζουν έναν επιμορφισμό απλώς ως επί ή επί ομομορφισμός. Κάθε επιμορφισμός σε αυτή την αλγεβρική έννοια είναι ένας επιμορφισμός με την έννοια της θεωρίας κατηγοριών, αλλά το αντίστροφο δεν ισχύει σε όλες τις κατηγορίες. Σε αυτό το άρθρο, ο όρος "επιμορφισμός" θα χρησιμοποιηθεί με την έννοια της θεωρίας κατηγοριών που δίνονται παραπάνω. Για περισσότερες πληροφορίες σχετικά με αυτό, δείτε την ενότητα Ορολογία παρακάτω.

Παραδείγματα 
Κάθε μορφισμός σε μια συγκεκριμένη κατηγορία των οποίων η υποκείμενη συνάρτηση είναι επί είναι ένας επιμορφισμός. Σε πολλές συγκεκριμένες ενδιαφέρων κατηγορίες και το αντίστροφο είναι επίσης αληθές. Για παράδειγμα, στις ακόλουθες κατηγορίες, οι επιμορφισμοί είναι ακριβώς εκείνοι οι μορφισμοί που είναι επί στα βασικά σύνολα:
 Σύνολα , σύνολα και συναρτήσεις. Για να αποδείξουμε ότι κάθε επιμορφισμός f : X → Y στο Σύνολο είναι επί, θα το συνθέτουμε τόσο με τη χαρακτηριστική συνάρτηση           g 1 : Y→ {0,1} της εικόνας f ( Χ ) όσο και με την απεικόνιση g 2 : Y → {0 , 1} η οποία είναι σταθερή με 1.
 Rel , σύνολα με δυαδική σχέση και σχέσεις διατηρούμενων συναρτήσεων. Εδώ μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τα ίδια αποδεικτικά στοιχεία όπως και για τα Σύνολα, τον εξοπλισμό {0,1} με την πλήρη σχέση {0,1} × {0,1}.
 Pos , μερικώς διατεταγμένα σύνολα και μονοτονία συναρτήσεων. Αν f  : ( X , ≤) → ( Y , ≤) δεν είναι επί, παίρνουμε y 0 στο Y \ f ( X ) και αφήνουμε το g 1  : Y → {0,1} που είναι η χαρακτηριστική συνάρτηση του { y | y 0 ≤ y } και g 2  : Y → {0,1} η χαρακτηριστική συνάρτηση της { y | y 0 < y }. Αυτές οι απεικονίσεις είναι μονότονες αν {0,1} δίνεται το διατεταγμένο πρότυπο 0 <1.
 Grp , ομάδες και ομομορφισμοί ομάδων. Το αποτέλεσμα ότι κάθε επιμορφισμός στην Grp είναι επί οφείλεται στον Otto Schreier (που στην πραγματικότητα αποδείχθηκε περισσότερο, δείχνοντας ότι κάθε υποομάδα έχει έναν ισοσταθμιστή χρησιμοποιώντας το ελεύθερο γινόμενο με μία συγχωνευμένη υποομάδα),μία στοιχειώδης απόδειξη βρέθηκε στο (Linderholm 1970).
 FinGrp , πεπερασμένες ομάδες και ομομορφισμοί ομάδων. Επίσης λόγω της Schreier, η απόδειξη που δίνεται στο (Linderholm 1970) ορίζει αυτή την περίπτωση, καλά.
 Ab , αβελιανή ομάδα και ομομορφισμοί ομάδων.
 Κ -Vect , διανυσματικοί χώροι πάνω από ένα πεδίο Κ και Κ γραμμικούς μετασχηματισμούς.
 Mod - R , το σωστό πρότυπο πάνω από ένα δακτύλιο R και πρότυπα ομομορφισμών. Αυτό γενικεύει τα δύο προηγούμενα παραδείγματα, αποδεικνύουμε ότι κάθε επιμορφισμός f: X → Y στο Mod - R είναι επί, αν το συνθέτουν τόσο με την κανονική απεικόνιση πηλίκου g 1 : Y → Y / f ( X ) όσο και την μηδενική απεικόνιση                         g 2 : Y → Y / f ( X ).
 Top , τοπολογικοί χώροι και συνέχεια συναρτήσεων. Για να αποδείξουμε ότι κάθε επιμορφισμός στο Top είναι επί, προχωρούμε ακριβώς όπως και στο σύνολο, δίνοντας {0,1} την ενιαία τοπολογία η οποία εξασφαλίζει ότι όλες οι θεωρούμενες απεικονίσεις είναι συνεχείς.
 HComp , συμπαγείς χώροι Hausdorff και συνεχείς συναρτήσεις. Αν f : X → Y δεν είναι επί, τότε αφήνουμε το y του Y - fX . Το fX είναι κλειστό,σύμφωνα με το Urysohn's Lemma   και υπάρχει μία συνεχής συνάρτηση g 1 : Y → [0,1] τέτοια ώστε g 1 είναι 0 στην fX και 1 στην y . Έχουμε συνθέσει την f τόσο με την g 1 όσο και με την μηδενική συνάρτηση g 2 : Y → [0,1].
Ωστόσο, υπάρχουν επίσης πολλές συγκεκριμένες ενδιαφέρων κατηγορίες όπου οι επιμορφισμοί αποτυγχάνουν να είναι επί. Μερικά παραδείγματα είναι τα εξής:
 Στην κατηγορία των μονοειδών , Mod , η απεικόνιση της έγκλισης Ν → Z είναι ένας μη-επί επιμορφισμός. Για να το δούμε αυτό, ας υποθέσουμε ότι g 1 και g 2 είναι δύο διαφορετικές απεικονίσεις του Z σε κάποιο μονοειδές Μ . Στη συνέχεια, για κάποιο n του Ζ , g 1 ( n ) ≠ g 2 ( n ), έτσι g 1 ( -n ) ≠ g 2 ( -n ). Είτε το n είτε το -n είναι στο Ν , τότε οι περιορισμοί του g 1 και g 2 του Ν είναι άνισοι.
 Στην κατηγορία της άλγεβρας πάνω στον αντιμεταθετικό δακτύλιο R , παίρνουμε R [ Ν ] → R [ Z ], όπου το R [ G ] είναι δακτύλιος ομάδα της ομάδας G και ο μορφισμός επάγεται από την συμπερίληψη N → Ζ όπως στο προηγούμενο παράδειγμα. Αυτό προκύπτει από την παρατήρηση 1 που παράγει την άλγεβρα R [ Ζ ] (σημειώστε ότι η μονάδα στην Ε [ Ζ ] δίνεται από το 0 του Ζ ), και το αντίστροφο του στοιχείου που αντιπροσωπεύεται από το n του Z είναι ακριβώς το στοιχείο που αντιπροσωπεύεται από το    - n . Έτσι κάθε ομομορφισμός από το R [ Z ] είναι μοναδικά καθορισμένος από την τιμή του στοιχείου που αντιπροσωπεύεται από το 1 του Ζ .
 Στην κατηγορία των δακτυλίων , Δακτύλιος , η απεικόνιση της έγκλισης Z → Q είναι ένας μη-επί επιμορφισμός,για να δείτε αυτό, σημειώστε ότι κάθε ομομορφισμός δακτυλίων για το Q καθορίζεται εξ ολοκλήρου από τη δράση του στο Z , παρόμοιο με το προηγούμενο παράδειγμα. Ένα παρόμοιο επιχείρημα δείχνει ότι ο φυσικός ομομορφισμός δακτυλίων από οποιαδήποτε αντιμεταθετικό δακτύλιο R σε κάθε ένα από τους τοπικούς αποτελεί επιμορφισμό.
 Στην κατηγορία των αντιμεταθετικών δακτυλίων, μία πεπερασμένη παραγωγή ομομορφισμού δακτυλίων f  : R → S είναι ένας επιμορφισμός αν και μόνο αν για κάθε προνομιακό ιδεώδες P του R , το ιδανικό Q που παράγεται από το f ( P ) είναι είτε S είτε είναι πρώτος, και αν το Q δεν είναι S , η επαγόμενη απεικόνιση Frac ( R / P ) → Frac ( S / Q ) είναι ένας ισομορφισμός ( EGA IV 17.2.6).
 Στην κατηγορία των Hausdorff χώρων , Haus , οι επιμορφισμοί είναι ακριβώς οι συνεχείς συναρτήσεις με πυκνές εικόνες. Για παράδειγμα, η απεικόνιση έγκλισης Q → R , είναι ένας μη-επί επιμορφισμός.
 Τα παραπάνω διαφέρουν από την περίπτωση των μονομορφισμών όπου είναι πιο συχνά ότι οι μονομορφισμοί είναι ακριβώς εκείνοι των οποίων οι υποκείμενες συναρτήσεις είναι "1-1".
Ως προς τα παραδείγματα των επιμορφισμών σε μη συγκεκριμένες κατηγορίες:
 Εάν ένα μονοειδές ή ένας δακτύλιος θεωρείται ως μια κατηγορία με ένα μόνο αντικείμενο (σύνθεση μορφισμών δίνεται από τον πολλαπλασιασμό), τότε οι επιμορφισμοί είναι ακριβώς τα σωστά ακυρώσιμα στοιχεία.
 Εάν μία ευθεία γραφική παράσταση θεωρείται ως μια κατηγορία (τα αντικείμενα είναι οι κορυφές, οι μορφισμοί είναι τα μονοπάτια, σύνθεση μορφισμών είναι η συνένωση των διαδρομών), τότε κάθε μορφισμός είναι ένας επιμορφισμός.

Ιδιότητες 
Κάθε ισομορφισμός είναι ένας επιμορφισμός. Πράγματι, μόνο μια αντιστροφή δεξιάς πλευράς είναι απαραίτητη: εάν υπάρχει μορφισμός j  : Y → X τέτοια ώστε fj = id Y , τότε f φαίνεται εύκολα ότι είναι ένας επιμορφισμός. Μία απεικόνιση με μια τέτοια αντιστροφή δεξιάς πλευράς ονομάζεται διάσπαση επί . Στον topos, μία απεικόνιση που είναι τόσο μόνο μορφισμός όσο και επιμορφισμός είναι ισομορφισμός.

Η σύνθεση των δύο επιμορφισμών είναι και πάλι ένας επιμορφισμός. Εάν η σύνθεση fg των δύο μορφισμών είναι ένας επιμορφισμός, τότε η f πρέπει να είναι επιμορφισμός.

Ορισμένα από τα πιο πάνω παραδείγματα δείχνουν, ότι η ιδιότητα του να είναι ένας επιμορφισμός δεν καθορίζεται από τον μορφισμό μόνη της, αλλά και από την κατηγορία του πλαισίου. Εάν D είναι μια υποκατηγορία του C , τότε κάθε μορφισμός στην D  είναι ένας επιμορφισμός όταν θεωρείται ως μορφισμός στο C είναι επίσης επιμορφισμός στο D, το αντίστροφο, όμως, δεν χρειάζεται να ισχύει, η μικρότερη κατηγορία μπορεί (και συχνά θα) να έχει περισσότερους επιμορφισμούς.

Όπως για τις περισσότερες έννοιες στη θεωρία κατηγοριών, οι επιμορφισμοί διατηρούνται κάτω από τις ισοδυναμίες των κατηγοριών: δίνεται μια ισοδυναμία F : C → D , τότε ένας μορφισμός f είναι ένας επιμορφισμός στην κατηγορία C, αν και μόνο αν F ( f ) είναι ένας επιμορφισμός στο D . Μια δυαδικότητα μεταξύ δύο κατηγοριών μετατρέπει τους επιμορφισμούς σε μονομορφισμούς, και το αντίστροφο.

Ο ορισμός του επιμορφισμού μπορεί να αναδιατυπωθεί για να δηλώσει ότι η f  : X → Y είναι ένας επιμορφισμός αν και μόνο αν η απεικόνιση

είναι 1-1 για κάθε επιλογή του Ζ . Αυτό με τη σειρά είναι ισοδύναμo με τoν επαγόμενo φυσικό μετασχηματισμό

που είναι ένας μονομορφισμός στην συναρτησιακή κατηγορία Σύνολο C .

Κάθε συνεξισωστής είναι ένας επιμορφισμός, το οποίο είναι συνέπεια της μοναδικότητας του ορισμού των συνεξισωστών. Επομένως, μεταξύ άλλων, κάθε συμπυρήνας είναι ένας επιμορφισμός.Το αντίστροφο, δηλαδή ότι κάθε επιμορφισμός είναι ένας συνεξισωστής, δεν είναι αληθής σε όλες τις κατηγορίες.

Σε πολλές κατηγορίες είναι δυνατόν να γραφεί κάθε μορφισμός ως σύνθεση ενός επιμορφισμού που ακολουθείται από έναν μονομορφισμό. Για παράδειγμα, δίνεται μια ομάδα ομομορφισμού f  : G → H , μπορούμε να ορίσουμε την ομάδα Κ = im ( f ) = f ( G ) και στη συνέχεια να γραφεί η f ως σύνθεση του επί ομομορφισμού G → K που ορίζεται σαν f, ακολουθούμενη από τον 1-1 ομομορφισμό K → Η η οποία στέλνει κάθε στοιχείο στον εαυτό του. Μία τέτοια παραγοντοποίηση ενός αυθαίρετου μορφισμού σε επιμορφισμό που ακολουθείται από ένα μονομορφισμό μπορεί να πραγματοποιηθεί σε όλες τις αβελιανές κατηγορίες και επίσης σε όλες τις συγκεκριμένες κατηγορίες που αναφέρονται παραπάνω στο τμήμα Παραδείγματα (αν και όχι σε όλες τις συγκεκριμένες κατηγορίες).

Συναφείς έννοιες 
Μεταξύ άλλων χρήσιμων ιδεών είναι τακτικός επιμορφισμός , οριακός επιμορφισμός, ισχυρός επιμορφισμός και διάσπαση επιμορφισμού. Ένας τακτικός επιμορφισμός συνεξισωστών είναι κάποιο παράλληλο ζεύγος μορφισμού. Ένας οριακός επιμορφισμός είναι ένας επιμορφισμός που δεν έχει κανέναν μονομορφισμό ως δεύτερο παράγοντα, εκτός αν αυτός ο μονομορφισμός είναι ένας ισομορφισμός . Ένας ισχυρός επιμορφισμός ικανοποιεί μια ορισμένη ιδιότητα ανύψωσης σε σχέση με τις αντιμεταθετικές πλευρές που συνεπάγονται έναν μονομορφισμό. Μια διάσπαση επιμορφισμού είναι ένας μορφισμός που έχει αντίστροφο δεξιάς πλευράς.

Ένας μορφισμός που είναι τόσο ένας μονομορφισμός όσο και ένας επιμορφισμός ονομάζεται ενδομορφισμός. Κάθε ισομορφισμός είναι έναε ενδομορφισμός, αλλά το αντίστροφο δεν ισχύει γενικά. Για παράδειγμα, η απεικόνιση από το μισάνοιχτο διάστημα [0,1) στο μοναδιαίο κύκλο S 1 (σκέψη ως υπόχωρος του μιγαδικού επιπέδου ), η οποία στέλνει το x στο exp (2πi x ) (βλέπε τον τύπο του Euler ) είναι συνεχής και αμφιμονότιμη αλλά δεν είναι ομομορφισμός και από την αντίστροφη απεικόνιση δεν είναι συνεχής στο 1, γι 'αυτό είναι μια περίπτωση ενός ενδομορφισμύ που δεν είναι ισομορφισμός στην κατηγορία Top . Ένα άλλο παράδειγμα είναι η ενσωμάτωση Q  → R στην κατηγορία Haus, όπως σημειώνεται παραπάνω, είναι ένας ενδομοερφισμός, αλλά δεν είναι αμφιμονότιμη και επομένως ούτε ισομορφισμός. Ομοίως, στην κατηγορία των δακτυλίων , η απεικόνιση Z  → Q είναι ένας ενδομορφισμός αλλά δεν είναι ισομορφισμός.

Οι επιμορφισμοί χρησιμοποιούνται για να καθορίσουν αφηρημένα αντικείμενα πηλίκου και σε γενικές κατηγορίες: δύο επιμορφισμοί f 1  : X → Y 1 και f 2  : X → Y 2 λέγεται ότι είναι ισοδύναμοι αν υπάρχει ισομορφισμός j : Y 1 → Y 2 με j  f 1 = f 2 . Αυτή είναι μια σχέση ισοδυναμίας , και οι κλάσεις ισοδυναμίας ορίζoνται να είναι τα αντικείμενα πηλίκου του Χ.

Ορολογία 
Οι συγγενικοί όροι επιμορφισμός και μονομορφισμός θεσπίστηκαν για πρώτη φορά από τον Bourbaki . Ο Bourbaki χρησιμοποιεί τον επιμορφισμό ως συντομογραφία για μία επί συνάρτηση. Πρόσφατη κατηγορία θεωριών ισχυρίζεται ότι οι επιμορφισμοί ήταν η σωστή αναλογία των επί συναρτήσεων σε μια αυθαίρετη κατηγορία, παρόμοιο με το πώς οι μονομορφισμοί είναι πολύ σχεδόν ανάλογοι των 1-1 συναρτήσεων. Δυστυχώς αυτό είναι λάθος,οι ισχυροί ή τακτικοί επιμορφισμοί συμπεριφέρονται πολύ πιο στενά με τις επί συναρτήσεις από τους συνηθισμένους επιμορφισμούς. Ο Saunders Mac Lane προσπάθησε να δημιουργήσει μια διάκριση μεταξύ επιμορφισμών, που ήταν απεικονίσεις σε μια συγκεκριμένη κατηγορία των οποίων η υποκείμενη σειρά απεικονίσεων ήταν επί, και επί μορφισμοί , οι οποίοι είναι επιμορφισμοί με τη σύγχρονη έννοια. Ωστόσο, η διάκριση αυτή ποτέ δεν επαληθεύτηκε.

Είναι ένα κοινό λάθος να πιστεύουμε ότι οι επιμορφισμοί είναι είτε ταυτόσημοι με τις επί συναρτήσεις ή ότι είναι μια καλύτερη ιδέα. Δυστυχώς αυτή η περίπτωση είναι σπάνια, ότι οι επιμορφισμοί μπορεί να είναι πολύ μυστηριώδες και να έχουν απροσδόκητη συμπεριφορά. Είναι πολύ δύσκολο, για παράδειγμα, να ταξινομηθούν όλοι οι επιμορφισμοί των δακτυλίων. Σε γενικές γραμμές, οι επιμορφισμοί έχουν δική τους μοναδική έννοια, που σχετίζεται με τις επί συναρτήσεις αλλά είναι τελείως διαφορετική.

Δείτε επίσης 
 List of category theory topics

Αναφορές 
 Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E. (1990). Abstract and Concrete Categories  (4.2MB PDF). Originally publ. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. (now free on-line edition)
 Bergman, George M. (1998), An Invitation to General Algebra and Universal Constructions, Harry Helson Publisher, Berkeley. ISBN 0-9655211-4-1.
 Hazewinkel, Michiel, ed. (2001),"Epimorphism",Encyclopedia of mathematics,Springer,ISBN 978-1-55608-010-4
 Linderholm, Carl (1970). A Group Epimorphism is Surjective. American Mathematical Monthly 77, pp. 176–177. Proof summarized by Arturo Magidin in [1]
 Lawvere & Rosebrugh: Sets for Mathematics, Cambridge university press, 2003. ISBN 0-521-80444-2.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Μορφισμοί