Διωνυμικός συντελεστής

Στα μαθηματικά, οι διωνυμικοί συντελεστές είναι μια οικογένεια θετικών ακεραίων αριθμών που προκύπτουν ως συντελεστές στο διωνυμικό θεώρημα. Ένας διωνυμικός συντελεστής αναπροσαρμόζεται από δύο φυσικούς αριθμούς n και k, που συνήθως γράφονται  και είναι ο συντελεστής του x k όρου στην πολυωνυμική διεύρυνση της διωνυμικής δύναμης (1 + x) n. Υπό κατάλληλες συνθήκες, η τιμή του συντελεστή δίνεται από την έκφραση . Η διάταξη των διωνυμικών συντελεστών σε σειρές διαδοχικών τιμών του n, όπου το k κυμαίνεται από το 0 έως το n, δίνει μια τριγωνική διάταξη που ονομάζεται τρίγωνο του Πασκάλ.

Αυτή η οικογένεια αριθμών προκύπτει και σε πολλούς άλλους τομείς των μαθηματικών πέραν της άλγεβρας, ειδικά στην Συνδυαστική.  συχνά προφέρεται ως "n ανά k», επειδή υπάρχουν  τρόποι για να επιλεγούν k στοιχεία από ένα σύνολο n στοιχείων. Οι ιδιότητες των διωνυμικών συντελεστών έχουν ως συνέπεια την επέκταση της έννοιας του συμβόλου  πέραν από τη βασική περίπτωση όπου οι n και k είναι φυσικοί αριθμοί, στο γενικότερο k ≤ n. Τέτοιες εκφράσεις εξακολουθούν να ονομάζονται διωνυμικοί συντελεστές.

Ο συμβολισμός  εισήχθη από τον Andreas von Ettingshausen το 1826, αν και οι αριθμοί αυτοί ήταν ήδη γνωστοί αιώνες πριν (βλέπε τρίγωνο του Πασκάλ). Η αρχαιότερη γνωστή λεπτομερή αναφορά στους διωνυμικούς συντελεστές είναι ένα σχόλιο του 10ου αιώνα, από τον Halayudha, σε ένα αρχαίο σανσκριτικό κείμενο, το Pingala's Chandaḥśāstra. Περίπου το 1150, ο Ινδός μαθηματικός Bhaskaracharya έκανε ένα εγχειρίδιο λειτουργίας των διωνυμικών συντελεστών στο τέταρτο κεφάλαιο της έκτης ενότητας του βιβλίου του Lilavati.

Εναλλακτικές σημειογραφίες περιλαμβάνουν C(n, k), Cn,k , nCk , nCk , Ckn, Cnk, σε όλες τις οποίες το C σημαίνει συνδυασμοί ή επιλογές. Πολλοί υπολογιστές χρησιμοποιούν παρόμοιες παραλλαγές της σημειογραφίας C, ώστε να αναπαρασταθεί σε μια γραμμή οθόνης, κατά το δυνατόν.

Παραπομπές

Βιβλιογραφία

Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
 
 
 PlanetMath: Binomial Coefficient, Bounds for binomial coefficients, Generalized binomial coefficients, Proof that C(n,k) is an integer.

Αριθμοί δυναμοσειρών
Γραμμική άλγεβρα
Συνδυαστική
Μαθηματική ορολογία