Θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού

Το Θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού είναι ένα θεώρημα που συνδέει την έννοια της παραγώγου μιας συνάρτησης με την έννοια του ολοκληρώματος μιας συνάρτησης.

Το πρώτο μέρος του θεωρήματος, το οποίο συχνά καλείται το πρώτο θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού, αναφέρεται στο ότι το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης συνδέεται με την παράγουσά της και μπορεί να αντιστραφεί με παραγώγηση. Αυτό το  μέρος του θεωρήματος είναι σημαντικό καθώς εγγυάται την ύπαρξη αντιπαραγώγων για συνεχείς συναρτήσεις.

Το δεύτερο μέρος του θεωρήματος, το οποίο συχνά καλείται το δεύτερο θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού, αναφέρεται στο ότι το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης μπορεί να υπολογιστεί κάνοντας χρήση οποιασδήποτε, από το άπειρο σύνολό τους, παράγουσας. Αυτό το μέρος του θεωρήματος έχει σημαντικές πρακτικές εφαρμογές αφού απλουστεύει σε σημαντικό βαθμό τον υπολογισμό των ορισμένων ολοκληρωμάτων.

Ιστορία
Το Θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού συνδέει την παραγώγιση με την ολοκλήρωση, δείχνοντας πως αυτές οι  δύο διαδικασίες είναι αντίστροφες η μία της άλλης. Πριν την ανακάλυψη αυτού του θεωρήματος, δεν ήταν γνωστό ότι αυτές οι δύο διαδικασίες συνδέονται. Οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί ήξεραν πως να μετρήσουν την γη μέσω του "απειροστού", μια μέθοδο που τώρα θα ονομαζόταν ολοκλήρωση. Οι απαρχές της παραγώγισης χρονολογούνται εκατοντάδες χρόνια πριν το θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού, για παράδειγμα στον 14ο αιώνα οι έννοιες της συνέχειας των συναρτήσεων και της κίνησης μελετήθηκαν από λόγιους του πανεπιστημίου της Οξφόρδης, γνωστούς ως "Υπολογιστές της Οξφόρδης" και από άλλους μελετητές. Η ιστορική σημασία του θεμελιώδους θεωρήματος του λογισμού δεν είναι οι δυνατότητες υπολογισμού που προσφέρει, αλλά τα στοιχεία που δίνει για την συνειδητοποίηση ότι οι δύο φαινομενικά άσχετες μεταξύ τους  διαδικασίες (ο υπολογισμός της μετατόπισης και ο υπολογισμός της ταχύτητας) είναι στην πραγματικότητα στενά συνδεδεμένες.

Η πρώτη δήλωση και απόδειξη που δημοσιεύτηκε για μια περιορισμένη εκδοχή του θεμελιώδους θεωρήματος έγινε από τον Τζέιμς Γκρέγκορι (1638–1675). Ο Ισαάκ Μπάροου (1630–1677) απέδειξε μια πιο γενική εκδοχή του θεωρήματος  ενώ ο μαθητής του Μπάροου, ο Ισαάκ Νεύτων (1643–1727) ολοκλήρωσε την ανάπτυξη της περιβάλλουσας μαθηματικής θεωρίας. Ο Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς (1646–1716) συστηματοποίησε την γνώση σε έναν λογισμό για απειροελάχιστες ποσότητες και εισήγαγε τον συμβολισμό που χρησιμοποιείται έως και σήμερα.

Γεωμετρική Ερμηνεία 
Για μια συνεχή συνάρτηση y = f(x) της οποίας η γραφική παράσταση παρίσταται γραφικά ως καμπύλη, κάθε τιμή του x αντιστοιχεί σε μία περιοχή Α(x), που αντιπροσωπεύει την περιοχή κάτω από την καμπύλη μεταξύ του 0 και του x. Η συνάρτηση A(x) μπορεί μην είναι γνωστή, αλλά είναι γνωστό ότι αντιπροσωπεύει την περιοχή κάτω από την καμπύλη.

Η περιοχή κάτω από την καμπύλη μεταξύ x και  μπορεί  να υπολογιστεί με την εύρεση της περιοχής μεταξύ 0 και  και αφαιρώντας την περιοχή μεταξύ 0 και x. Με άλλα λόγια, η έκταση αυτής της "σχίζας" θα είναι  .

Υπάρχει και ένας άλλος τρόπος για να εκτιμηθεί η έκταση αυτής της σχίζας. Όπως φαίνεται στο συνοδευτικό σχήμα, η h πολλαπλασιάζεται με f(x) για να βρεθεί το εμβαδόν ενός ορθογωνίου που  έχει περίπου το ίδιο μέγεθος με την σχίζα. Έτσι:

Στην πραγματικότητα, η εκτίμηση αυτή γίνεται μια τέλεια ισότητα αν προσθέσουμε το κόκκινο τμήμα της περιοχής "υπέρβασης"  που φαίνεται στο διάγραμμα. Έτσι:
 
Με αναδιάταξη όρων:
 .
Καθώς το h πλησιάζει στο 0, με την χρήση ορίου, το τελευταίο κλάσμα μπορεί να αποδειχθεί ότι πάει στο μηδέν. Αυτό συμβαίνει επειδή η περιοχή του κόκκινου τμήματος της 

περίσσειας περιοχής είναι μικρότερη ή ίση με την περιοχή του μικροσκοπικού

μαύρου ορθογωνίου που συνορεύει, ενώ η περιοχή του εν λόγω μικροσκοπικά

ορθογωνίου, διαιρούμενο με h, είναι απλά το ύψος του μικροσκοπικού

ορθογωνίου, το οποίο μπορεί να δει κανείς ότι τείνει στο μηδέν καθώς το

h τείνει στο μηδέν.

Διαγράφοντας το τελευταία κλάσμα από την εξίσωση, έχουμε:   Μπορεί έτσι να δειχτεί ότι f(x) = Α'(x). Δηλαδή, η παράγωγος της συνάρτησης περιοχής Α(x) είναι η αρχική συνάρτηση f(x), ή η συνάρτηση περιοχής είναι απλά μία αντιπαράγωγος της αρχικής συνάρτησης. Ο ''υπολογισμός της παραγώγου'' μιας συνάρτησης και η "εύρεση της περιοχής" κάτω από την καμπύλη είναι "αντίθετες" πράξεις. Αυτή είναι η ουσία του Θεμελιώδους Θεωρήματος του Λογισμού.

Φυσική Διαίσθηση 
Διαισθητικά, το θεώρημα αναφέρει απλώς ότι το άθροισμα των απειροελάχιστων αλλαγών στην ποσότητα κατά την πάροδο του χρόνου (ή κάποιας άλλης μεταβλητής) προσθέτει μέχρι την καθαρή μεταβολή στην ποσότητα.

Φανταστείτε για παράδειγμα, ότι χρησιμοποιούμε ένα χρονόμετρο για να σηματοδοτεί τις μικροσκοπικές αυξήσεις του χρόνου καθώς ένα αυτοκίνητο ταξιδεύει σε έναν αυτοκινητόδρομο. Φανταστείτε, επίσης, ότι κοιτάζετε το ταχύμετρο του αυτοκινήτου καθώς ταξιδεύετε, δηλαδή γνωρίζετε την ταχύτητα του αυτοκινήτου κάθε στιγμή. Για να κατανοήσουμε τη δύναμη αυτού του θεωρήματος, φανταστείτε επίσης ότι δεν επιτρέπεται να δείτε έξω από το παράθυρο του αυτοκινήτου, έτσι ώστε να μην έχετε καμία άμεση απόδειξη του πόσο πολύ απόσταση έχει διανύσει το αυτοκίνητο.

Για κάθε μικρό χρονικό διάστημα στο αυτοκίνητο, μπορείτε να υπολογίσετε πόσο μακριά έχει ταξιδέψει το αυτοκίνητο σε αυτό το διάστημα πολλαπλασιάζοντας την τρέχουσα ταχύτητα του αυτοκίνητου με αυτό το μικρό χρονικό διάστημα. (Αυτό συμβαίνει επειδή απόσταση = ταχύτητα  χρόνο).

Τώρα φανταστείτε να το κάνει αυτό επανειλημμένα, έτσι ώστε για κάθε μικροσκοπικό χρονικό διάστημα να ξέρετε πόσο μακριά έχει μετακινηθεί το αυτοκίνητο. Κατ 'αρχήν, θα μπορούσατε να υπολογίσετε τη συνολική απόσταση που διάνυσε το αυτοκίνητο (ακόμα κι αν δεν έχετε κοιτάξει ποτέ έξω από το παράθυρο), απλά αθροίζοντας όλες αυτές τις μικροσκοπικές αποστάσεις.

Διανυθείσα απόσταση = άθροισμα των ταχυτήτων κάθε χρονική στιγμή επί αυτό το χρονικό διάστημα.

Με άλλα λόγια:

Διανυθείσα απόσταση = 

Στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης, καθώς το   γίνεται απειροελάχιστα μικρό, η λειτουργία του "αθροίσματος" αντιστοιχεί στην ολοκλήρωση. Έτσι, αυτό που έχουμε δείξει είναι ότι το ολοκλήρωμα της συνάρτησης της ταχύτητας μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να υπολογίσει πόσο μακριά έχει ταξιδέψει το αυτοκίνητο.

Τώρα θυμηθείτε ότι η συνάρτηση ταχύτητας είναι απλά η παράγωγος της συνάρτησης θέσης. Έτσι, αυτό που έχουμε δείξει πραγματικά είναι ότι η ολοκλήρωση της ταχύτητας απλώς ανακτά την αρχική συνάρτηση θέσης. Αυτή είναι η βασική ιδέα του θεωρήματος: ότι η ολοκλήρωση και η διαφόριση είναι στενά συναφείς έννοιες, το ένα ουσιαστικά είναι το αντίστροφο του άλλου.

Με άλλα λόγια, από την άποψη της φυσικής διαίσθησης, το θεώρημα αναφέρει απλώς ότι το άθροισμα των αλλαγών σε ποσότητα με την πάροδο του χρόνου (όπως η θέση, όπου υπολογίζεται με τον πολλαπλασιασμό ταχύτητας με τον χρόνο) προσθέτει μέχρι τη συνολική καθαρή μεταβολή στην ποσότητα. Ή για να το θέσουμε πιο γενικά:
 Λαμβάνοντας υπόψη μια ποσότητα  που αλλάζει κατά τη διάρκεια κάποιας μεταβλητής , και
 Δεδομένης της ταχύτητας  με την οποία η ποσότητα αλλάζει πάνω από αυτή την μεταβλητή 
τότε, η ιδέα ότι "απόσταση ισούται με την ταχύτητα επί τον χρόνο" αντιστοιχεί στην κατάσταση

πράγμα που σημαίνει ότι κάποιος μπορεί να ανακτήσει την αρχική συνάρτηση  με την ολοκλήρωση της παραγώγου της, την ταχύτητα , πάνω στο  .

Επίσημες Δηλώσεις
Το θεώρημα αποτελείται από δύο μέρη. Θέτοντάς το γενικά, το πρώτο μέρος αναφέρεται στην παράγωγο μιας αντιπαραγώγου, ενώ το δεύτερο μέρος αναφέρεται στην σχέση μεταξύ των αντιπαραγώγων και του ορισμένου ολοκληρώματος.

Πρώτο μέρος
Αυτό το μέρος του θεωρήματος συχνά αναφέρεται ως το πρώτο θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού.

Έστω f μια συνεχής πραγματική συνάρτηση ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]. Έστω F η συνάρτηση που ορίζεται, για όλα τα x που ανήκουν στο διάστημα    [α, β], από την σχέση

Επίσης, η F είναι ομοιόμορφα συνεχής στο διάστημα [α, β], παραγωγίσιμη στο ανοιχτό διάστημα  και

για όλα τα x που ανήκουν στο (α, β).

Εναλλακτικά, αν η f είναι απλά Riemann ολοκληρώσιμη, τότε η F είναι συνεχής στο [α, β] (αλλά όχι απαραίτητα παραγωγίσιμη).

Πόρισμα
Το θεμελιώδες θεώρημα συχνά χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του ορισμένου ολοκληρώματος μιας συνάρτησης f για την οποία είναι γνωστή μια αντιπαράγωγος F. Ειδικότερα, αν η f είναι μια συνεχής, πραγματική συνάρτηση σε ένα διάστημα  και F είναι μια αντιπαράγωγος της f στο διάστημα  τότε

Το πόρισμα προϋποθέτει συνέχεια σε όλο το διάστημα. Αυτό το αποτέλεσμα ισχυροποιείται ελαφρώς στο επόμενο μέρος του θεωρήματος.

Δεύτερο μέρος
Αυτό το μέρος συχνά αναφέρεται ως το δεύτερο θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού ή ως το Αξίωμα των Newton–Leibniz.

Έστω f και F δύο πραγματικές συναρτήσεις, ορισμένες σε ένα κλειστό διάστημα [α, β] τέτοιες ώστε η παράγωγος της F να είναι η f. Αυτό θα πει πως οι f και F είναι συναρτήσεις τέτοιες ώστε για όλα τα x που ανήκουν στο   να ισχύει

Αν η f είναι Riemann ολοκληρώσιμη στο  τότε ισχύει

Το δεύτερο μέρος του θεωρήματος είναι ισχυρότερο του πορίσματος καθώς δεν προϋποθέτει συνέχεια της f.

Όταν υπάρχει μια αντιπαράγωγος F , τότε υπάρχουν άπειρο το πλήθος αντιπαράγωγοι της f, οι οποίες προκύπτουν προσθέτοντας στην F μια αυθαίρετη σταθερά. Επίσης, από το πρώτο μέρος του  θεωρήματος, υπάρχουν πάντα αντιπαράγωγοι της f όταν αυτή είναι συνεχής.

Απόδειξη πρώτου μέρους 
Για την δοσμένη f(t),ορίζεται η συνάρτηση F(x) ως

Για άλλους δύο αριθμούς x1 και x1 + Δx σε διάστημα [α, β], έχουμε

και

Αφαιρώντας τις δύο ισότητες θα έχουμε

Μπορεί να αποδειχθεί ότι

(Το άθροισμα των εμβαδών των δύο γειτονικών περιοχών είναι ίσο με τον συνδυασμό των δύο περιοχών).

Κάνοντας πράξεις στην ισότητα, έχουμε

Αντικαθιστώντας τα παραπάνω στην (1) οδηγούμαστε στην ισότητα

Σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής,για την ενσωμάτωση υπάρχει ένας πραγματικός αριθμός   στο [x1, x1 + Δx] τέτοιος ώστε

Για να διατηρήσετε τον συμβολισμό απλό θα συνεχίσετε να γράφετε c αντί  αλλά θα πρέπει να έχετε κατά νου ότι το c δεν εξαρτάται από το .

Αντικαθιστώντας τα παραπάνω στην (2) έχουμε

Διαιρώντας τα δύο μέλη κατά Δx έχουμε

Η έκφραση στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης είναι διαφορά πηλίκου του Νεύτωνα για την F στο  x1.

Πάρτε το όριο καθώς η Δx → 0 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

Η έκφραση στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης είναι ο ορισμός της παραγώγου της F στο  x1.

Για να βρείτε το άλλο όριο, χρησιμοποιείστε το κριτήριο παρεμβολής. Ο αριθμός c είναι στο διάστημα  [x1, x1 + Δx], έτσι ώστε x1 ≤ c ≤ x1 + Δx.

Επίσης,  και 

Ως εκ τούτου, σύμφωνα με το θεώρημα παρεμβολής,έχω:

Αντικαθιστώντας στην (3), παίρνουμε

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο c, οπότε το όριο μπορεί να ληφθεί μέσα στη συνάρτηση. Ως εκ τούτου, έχουμε

η οποία συμπληρώνει την απόδειξη.

Απόδειξη του πορίσματος
Ας υποθέσουμε ότι η F είναι μια αντιπαράγωγος της f, και η f συνεχής στο   Και έστω

 .

Από το "πρώτο μέρος" του θεωρήματος, ξέρουμε ότι η G είναι επίσης μια αντιπαράγωγος της f. Αφού F' - G' = 0 , από  το θεώρημα μέσης τιμής συνεπάγεται ότι F - G είναι μία σταθερή συνάρτηση, δηλαδή υπάρχει ένας αριθμός c έτσι ώστε , για όλα τα x που ανήκουν στο διάστημα  Για , έχουμε

που σημαίνει  Με άλλα λόγια , και έτσι

Απόδειξη του δεύτερου μέρους 
Αυτό είναι ένα όριο που αποδεικνύεται με τα αθροίσματα Riemann. Έστω ότι η f είναι (Riemann) ολοκληρώσιμη στο διάστημα  και έστω ότι δεχόμαστε την f ως μια αντιπαράγωγο της F στο  Αρχίζουμε με την ποσότητα . Έστω ότι υπάρχουν αριθμοί  x1, ..., xn  τέτοιοι ώστε

Ακολουθεί ότι

Τώρα, προσθέτουμε κάθε F(xi) μαζί με το αντίστροφό του, έτσι ώστε η προκύπτουσα ποσότητα να είναι ίση με:

Η παραπάνω ποσότητα μπορεί να γραφτεί ως το ακόλουθο άθροισμα:

Στη συνέχεια, χρησιμοποιούμε το θεώρημα μέσης τιμής.

Αναφέροντας το εν συντομία:

Η F είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β] και διαφορίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α, β). Τότε υπάρχει κάποιο c στο (α, β), έτσι ώστε

Ακολουθεί ότι

Η συνάρτηση F είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα [α, β]. Ως εκ τούτου, είναι επίσης διαφορίσιμη και συνεχής σε κάθε διάστημα [xi−1, xi]. Σύμφωνα με το θεώρημα μέση τιμής (που αναφέραμε παραπάνω),

Αντικαθιστώντας τα παραπάνω στην (1), παίρνουμε

Από την υπόθεση συνεπάγεται  

Επίσης,  μπορεί να εκφραστεί ως  της διχοτόμησης .
 
Εμείς περιγράφουμε το εμβαδόν κάθε ορθογωνίου, ως το γινόμενο του πλάτους επί του ύψους του, και προσθέτουμε όλες τις περιοχές μαζί. Κάθε ορθογώνιο, λόγω του θεωρήματος μέσης τιμής, περιγράφει μια προσέγγιση του τμήματος της καμπύλης που σχεδιάζεται πάνω του. Επίσης το  δεν χρειάζεται να είναι το ίδιο για όλες τις τιμές του Ι, ή με άλλα λόγια το πλάτος των ορθογωνίων μπορεί να διαφέρει. Αυτό που έχουμε να κάνουμε είναι να προσεγγίσουμε την καμπύλη με n ορθογώνια.Τώρα, καθώς το μέγεθος των χωρισμάτων μικραίνει και το n αυξάνεται,οδηγούμαστε τελικά περισσότερα χωρίσματα να καλύπτουν τον χώρο, δηλασή είμαστε όλο και πιο κοντά στην πραγματική τιμή του εμβαδού της καμπύλης. 

Με τη λήψη του ορίου στην έκφραση, καθώς ο κανόνας των χωρισμάτων προσεγγίζει το μηδέν, φθάνουμε στο ολοκλήρωμα Riemann. Γνωρίζουμε ότι υπάρχει αυτό το όριο, επειδή η f θεωρήθηκε ότι είναι ολοκληρώσιμη. Δηλαδή, παίρνουμε το όριο καθώς το μεγαλύτερο από τα χωρίσματα προσεγγίζει το μηδέν σε μέγεθος, έτσι ώστε όλα τα υπόλοιπα χωρίσματα να είναι μικρότερα και ο αριθμός των χωρισμάτων να τείνει στο άπειρο.

Έτσι, παίρνουμε το όριο και στις δύο πλευρές της σχέσης (2).

Αυτό μας δίνει
 
Ούτε η F(b) ούτε F(a) εξαρτάται από , και έτσι το όριο στην αριστερή πλευρά παραμένει 

Η έκφραση από την δεξιά πλευρά της εξίσωσης καθορίζει το ολοκλήρωμα πάνω στην f από το Α στο Β. Ως εκ τούτου, παίρνουμε

η οποία συμπληρώνει την απόδειξη.

Φαίνεται σχεδόν σαν το πρώτο μέρος του θεωρήματος που προκύπτει άμεσα από τη δεύτερη. Δηλαδή, ας υποθέσουμε ότι το G είναι μία αντιπαράγωγος της f.

Στη συνέχεια, από το δεύτερο θεώρημα,  . Τώρα, ας υποθέσουμε . Στη συνέχεια, η F έχει την ίδια παράγωγο με την G, και συνεπώς, F '= f. Αυτό το επιχείρημα είναι όμως αληθές, μόνο αν γνωρίζουμε ήδη ότι η f έχει μια αντιπαράγωγο, και για να γνωρίζουμε ότι όλες οι συνεχείς συναρτήσεις έχουν αντιπαραγώγους λαμβάνουμε υπόψην το πρώτο μέρος του θεμελιώδους θεωρήματος.
Για παράδειγμα, εάν f(x) = e−x2, τότε η f έχει μια αντιπαράγωγο, δηλαδή

και δεν υπάρχει απλούστερη έκφραση για τη συνάρτηση αυτή. Συνεπώς, είναι σημαντικό να μην ερμηνεύουμε το δεύτερο μέρος του θεωρήματος ως τον ορισμό του ολοκληρώματος. Πράγματι, υπάρχουν πολλές συναρτήσεις που είναι ολοκληρώσιμες, αλλά έχουν έλλειψη αντιπαραγώγων που μπορούν να γραφτούν ως στοιχειώδεις συναρτήσεις.Αντίθετα, πολλές συναρτήσεις που έχουν αντιπαράγωγο δεν είναι ολοκληρώσιμες κατά Riemann (βλέπε λειτουργία της Volterra).

Παραδείγματα

Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το παρακάτω ολοκλήρωμα :

Εδώ έχουμε,  και μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την  ως αντιπαράγωγο της. Ως εκ τούτου:

Ή, πιο γενικά, υποθέτουμε ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το παρακάτω

 .
Εδώ έχουμε,  και την  που μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως αντιπαράγωγος της. Ως εκ τούτου:

Ή, ισοδύναμα,

Γενικεύσεις

Δεν χρειάζεται να υποθέσουμε τη συνέχεια της f σε όλο το διάστημα.  Το πρώτο μέρος του θεωρήματος λέει ότι : Αν f είναι οποιαδήποτε ολοκληρώσιμη κατά Lebesque συνάρτηση στο  και x0 είναι ένας αριθμός στο  έτσι ώστε η f να είναι συνεχής στο x0, τότε

είναι διαφορίσιμη για  με  Μπορούμε να χαλαρώσουμε τις προϋποθέσεις στην f ακόμη περισσότερο και να υποθέσουμε απλώς ότι είναι τοπικά ολοκληρώσιμη. Σε αυτήν την περίπτωση, μπορούμε να συμπεράνουμε πως η συνάρτηση F είναι διαφορίσιμη σχεδόν παντού και ισχύει  σχεδόν παντού. Στην πραγματικότητα αυτή η δήλωση είναι ισοδύναμη με το θεώρημα της διαφόρισης Lebesgue.  Τα αποτελέσματα αυτά εξακολουθούν να ισχύουν για το ολοκλήρωμα Henstock–Kurzweil, το οποίο επιτρέπει να υπάρχει μία μεγαλύτερη κλάση από ολοκληρώσιμες συναρτήσεις .

Σε μεγαλύτερες διαστάσεις το θεώρημα διαφόρισης Lebesgue γενικεύει το Θεμελιώδες Θεώρημα του Λογισμού  δηλώνοντας ότι σχεδόν για κάθε x, η μέση τιμή μιας συνάρτησης f πάνω σε μια σφαίρα ακτίνας r με κέντρο το x τείνει στην f(x) όσο το r τείνει στο 0.

Το δεύετρο μέρος του θεωρήματος ισχύει για οποιαδήποτε Lebesgue ολοκληρώσιμη συνάρτηση f, η οποία έχει μια αντιπαράγωγο F (δε συμβαίνει όμως για όλες τις ολοκληρώσιμες συναρτήσεις). Με άλλα λόγια,αν μία πραγματική συνάρτηση F στο  έχει μια παράγωγο f(x) σε κάθε σημείο x του  και αν αυτή η παράγωγος f είναι κατά Lebesgue ολοκληρώσιμη στο  τότε

Αυτό το αποτέλεσμα μπορεί να αποτύχει για συνεχείς συναρτήσεις F οι οποίες έχουν μία παράγωγο f(x) σχεδόν σε κάθε σημείο x, όπως για παράδειγμα φαίνεται από τη συνάρτηση Cantor. Ωστόσο, αν F είναι απόλυτα συνεχής, έχει μια παράγωγο F′(x) σχεδόν σε κάθε σημείο x, και έπειτα η F′ είναι ολοκληρώσιμη, με  να είναι ίσο με το ολοκλήρωμα της F′ στο  Αντίθετα, αν η f είναι οποιαδήποτε ολοκληρώσιμη συνάρτηση, τότε η F όπως δόθηκε στον πρώτο τύπο θα είναι απόλυτα συνεχής με F′ = f σχεδόν παντού.

Οι προϋποθέσεις αυτού του θεωρήματος μπορούν ξανά να χαλαρώσουν με την ένταξη των ολοκληρωμάτων ως Henstock–Kurzweil ολοκληρώματα. Συγκεκριμένα,αν μια συνεχής συνάρτηση F(x) έχει μία παράγωγο f(x) σε πεπερασμένο πλήθος σημείων, τότε f(x) είναι Henstock–Kurzweil ολοκληρώσιμη και  ισούται με το ολοκλήρωμα της f στο   Η διαφορά εδώ είναι ότι η ολοκληρωσιμότητα της f δεν χρειάζεται να υπολογίζεται. 

Η έκδοση του Θεωρήματος Taylor, που εκφράζει το σφάλμα ως ολοκλήρωμα, μπορεί να θεωρηθεί ως μια γενίκευση του Θεμελιώδους Θεωρήματος.

Υπάρχει μια εκδοχή του θεωρήματος για σύνθετες συναρτήσεις: ας υποθέσουμε ότι το U είναι ανοιχτό υποσύνολο του C και  είναι μια συνάρτηση, η οποία έχει ολομορφική αντιπαράγωγο F στο U. Τότε για κάθε καμπύλη το  επικαμπύλιο ολοκλήρωμα μπορεί να υπολογιστεί ως εξής

Το θεμελιώδες θεώρημα μπορεί να γενικευθεί σε επικαμπύλια και επιφανειακά ολοκληρώματα υψηλότερων διαστάσεων,αλλά και σε άλλους διανυσματικούς υποχώρους. Μια τέτοια γενίκευση που προσφέρεται από το λογισμό των κινούμενων επιφανειών είναι η χρονική εξέλιξη των ολοκληρωμάτων.  Οι πιο γνωστές επεκτάσεις για το θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού σε υψηλότερες διαστάσεις είναι το Θεώρημα Απόκλισης και το Θεώρημα Κλίσης.

Μία από τις πιο ισχυρές προτάσεις σε αυτή την κατεύθυνση είναι το θεώρημα του Stokes: Έστω M είναι μία προσανατολισμένη, τμηματικά ομαλή, διάστασης n και έστω το  μια συμπαγής διαφορική μορφή n-1 διάστασης στο M της κατηγορίας C1.Αν ∂M υποδηλώνει το σύνορο του Μ με τον προαναφερθέν προσανατολισμό, τότε

Εδώ έχουμε, την d η οποία είναι η εξωτερική παράγωγος , που ορίζεται με τη χρήση μόνο της πολλαπλή δομής .

Το θεώρημα χρησιμοποιείται συχνά σε καταστάσεις όπου το Μ είναι μία ενσωματωμένη προσανατολισμένη υποπολλαπλότητα σε κάποια μεγαλύτερη πολλαπλότητα, η οποία έχει τη μορφή , που έχει ήδη οριστεί.

Δείτε επίσης
 Differentiation under the integral sign
 Telescoping series

Παραπομπές

Αναφορές
 .
 .
 .
 .
 Malet, A,  Studies on James Gregorie (1638-1675) (PhD Thesis, Princeton, 1989).
 
 .
 .
 .
 .

Διαβάστε επίσης
 Hernandez Rodriguez, O. A.; Lopez Fernandez, J. M. . "Teaching the Fundamental Theorem of Calculus: A Historical Reflection", Loci: Convergence ([Mathematical Association of America MAA]), January 2012.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι
 
 James Gregory's Euclidean Proof of the Fundamental Theorem of Calculus at Convergence
 Isaac Barrow's proof of the Fundamental Theorem of Calculus
 Fundamental Theorem of Calculus at imomath.com
 Alternative proof the to the fundamental theorem of calculus

Μαθηματικά θεωρήματα