Γεωδαισιακή

Στη διαφορική γεωμετρία, γεωδαισιακή είναι μια γενίκευση της έννοιας της «ευθείας γραμμής» σε «καμπυλωμένους χώρους». Ο όρος «γεωδαισιακή» προέρχεται από τη γεωδαισία, την επιστήμη της μέτρησης του μεγέθους και του σχήματος της Γης. Στην αρχική έννοια, μια γεωδαισιακή ήταν η συντομότερη διαδρομή μεταξύ δύο σημείων στην επιφάνεια της Γης, δηλαδή, ένα τμήμα ενός μέγιστου κύκλου. Ο όρος έχει γενικευτεί για να περιλαμβάνει μετρήσεις σε πολύ περισσότερα γενικά μαθηματικά πεδία. Για παράδειγμα, στη θεωρία γραφημάτων, θα μπορούσε κανείς να εξετάσει μια γεωδαισιακή μεταξύ δύο κορυφων/κόμβων ενός γραφήματος.

Στην παρουσία ενός αφινικού συνδέσμου, μια γεωδαισιακή ορίζεται να είναι μια καμπύλη της οποίας τα εφαπτόμενα διανύσματα παραμένουν παράλληλα εάν μεταφέρονται κατά μήκος της. Αν αυτός ο σύνδεσμος είναι ο Λέβι-Τσιβίτα σύνδεσμος που προκαλείται από μια μετρική κατά Ρίμαν, τότε οι γεωδαισιακές είναι (τοπικά) η συντομότερη διαδρομή μεταξύ των σημείων στο χώρο.

Οι γεωδαισιακές έχουν ιδιαίτερη σημασία για τη γενική σχετικότητα. Οι χρονοειδείς γεωδαισιακές στη γενική θεωρία της σχετικότητας περιγράφουν την κίνηση της ελεύθερης πτώσης των σημειακών σωματιδίων.

Εισαγωγή 
Η συντομότερη διαδρομή μεταξύ δύο σημείων σε εναν καμπυλωμένο χώρο μπορεί να βρεθεί γράφοντας την εξίσωση για το μήκος της καμπύλης (μια συνάρτηση f από ένα ανοιχτό διάστημα του R στην πολλαπλότητα) και, στη συνέχεια, ελαχιστοποιώντας αυτό το μήκος, χρησιμοποιώντας τον λογισμό των μεταβολών. Αυτό έχει κάποια μικρά τεχνικά προβλήματα, επειδή υπάρχει ένας άπειρων διαστάσεων χώρος από διαφορετικούς τρόπους για να το παραμετροποιήσει κανείς τη συντομότερη διαδρομή. Είναι απλούστερο να απαιτήσει όχι μόνο η καμπύλη τοπικά να ελαχιστοποιεί το μήκος, αλλά επίσης να είναι παραμετροποιημένη "με σταθερή ταχύτητα", με την έννοια ότι η απόσταση από την f(s) στην f(t) κατά μήκος της γεωδαισιακής γραμμής είναι ανάλογη του |s−t|. Αντίστοιχα, μια διαφορετική ποσότητα που μπορεί να οριστεί, ονομάζεται η ενέργεια της καμπύλης. Η ελαχιστοποίηση της ενέργειας οδηγεί στις ίδιες εξισώσεις για μια γεωδαισιακή (εδώ "σταθερή ταχύτητα" είναι μια συνέπεια της ελαχιστοποίησης). Διαισθητικά, μπορεί κανείς να καταλάβει αυτή τη δεύτερη διατύπωση, σημειώνοντας ότι μια ελαστική ζώνη τεντωμένη ανάμεσα σε δύο σημεία θα συρρικνώσει το μήκος της, και κάνοντάς το αυτό θα ελαχιστοποιήσει την ενέργεια της. Το σχήμα που προκύπτει από την ζώνη είναι μια γεωδαισιακή.

Στην κατά Ρίμαν γεωμετρία οι γεωδαισιακές δεν είναι το ίδιο με τις "συντομότερες καμπύλες" ανάμεσα σε δύο σημεία, αν και οι δύο έννοιες είναι στενά συνδεδεμένες. Η διαφορά είναι ότι οι γεωδαισιακές είναι μόνο σε τοπικό επίπεδο η μικρότερη απόσταση μεταξύ των σημείων, και είναι παραμετροποιημένες με "σταθερή ταχύτητα". Πηγαίνοντας "από τον μακρύ δρόμο γύρω" σε ένα μέγιστο κύκλο μεταξύ δύο σημείων σε μια σφαίρα δημιουργείται μια γεωδαισιακή αλλά αυτή δεν είναι η συντομότερη διαδρομή μεταξύ των σημείων. Η απεικόνιση t → t2  ορισμένη από το μοναδιαίο διάστημα στο ίδιο δίνει τη συντομότερη διαδρομή μεταξύ του 0 και του 1, αλλά δεν είναι μια γεωδαισιακή επειδή η ταχύτητα της αντίστοιχης κίνησης ενός σημείου δεν είναι σταθερή.

Οι γεωδαισιακές είναι συχνά εμφανιζόμενες στη μελέτη της γεωμετρίας κατά Ρίμαν και γενικότερα στη μετρική γεωμετρία. Στη γενική θεωρία της σχετικότητας, οι γεωδαισιακές περιγράφουν την κίνηση των σημειακών σωματίδια υπό την επίδραση της βαρύτητας και μόνο. Συγκεκριμένα, η διαδρομή που λαμβάνεται από πτώση βράχου, η τροχιά δορυφόρου ή το σχήμα μιας πλανητικής τροχιάς είναι όλα γεωδαισιακές σε καμπυλωμένο χωρόχρονο. Γενικότερα, η γεωμετρία πολλαπλοτήτων του Ρίμαν ασχολείται με τα μονοπάτια που τα αντικείμενα μπορεί να πάρουν όταν δεν είναι ελεύθερα και η κίνησή τους περιορίζεται με διάφορους τρόπους.

Αυτό το άρθρο παρουσιάζει τον μαθηματικό φορμαλισμό που εμπλέκεται στον καθορισμό, την εύρεση, και την απόδειξη της ύπαρξης των γεωδαισιακών, στην περίπτωση των κατά Ρίμαν και ψευδο-Ρίμαν πολλαπλοτήτων.

Παραδείγματα 

Τα πιο γνωστά παραδείγματα είναι οι ευθείες γραμμές στην Ευκλείδεια γεωμετρία. Σε μια σφαίρα, οι εικόνες των γεωδαισιακών είναι οι μέγιστοι κύκλοι. Η συντομότερη διαδρομή από το σημείο Α στο σημείο Β σε μια σφαίρα δίνεται από το μικρότερο τόξο του μέγιστου κύκλου που διέρχεται από τα Α και Β. Αν τα Α και Β είναι αντιδιαμετρικά σημεία, τότε υπάρχουν άπειρα συντομότερα μονοπάτια μεταξύ τους. Οι γεωδαισιακές σε ένα ελλειψοειδές συμπεριφέρονται με πιο περίπλοκο τρόπο από ό,τι σε μια σφαίρα. Ειδικότερα, δεν είναι κλειστά στη γενική περίπτωση (βλ. σχήμα).

Μετρική γεωμετρία 
Στη μετρική γεωμετρία, μια γεωδαισιακή είναι μια καμπύλη που είναι παντού τοπικά ένας ελαχιστοποιητής της απόστασης . Πιο συγκεκριμένα, μια καμπύλη γ : I → M από ένα διάστημα  I υποσύνολο των πραγματικών αριθμών στο μετρικό χώρο M είναι μια γεωδαισιακή αν υπάρχει μια σταθερά v ≥ 0 τέτοια ώστε για κάθε t ∈ I , υπάρχει μια περιοχή J του t στο I τέτοια ώστε για κάθε t1, t2 ∈ J έχουμε
 
Αυτό γενικεύει την έννοια της γεωδαισιακής για πολλαπλότητες κατά Ρίμαν. Ωστόσο, στη μετρική γεωμετρία η θεώρηση της γεωδαισιακής είναι συχνά εξοπλισμένη με φυσική παράμετρο , δηλαδή στην παραπάνω ταυτότητα v = 1 και
 
Αν η τελευταία ισότητα ικανοποιείται για όλα τα t1, t2 ∈ I, η γεωδαισιακή ονομάζεται ελαχιστοποιούσα γεωδαισιακή ή συντομότερη διαδρομή.

Σε γενικές γραμμές, ένας μετρικός χώρος μπορεί να μην έχει γεωδαισιακές, εκτός από τις σταθερές καμπύλες. Στο άλλο άκρο, οποιαδήποτε δύο σημεία σε έναν μετρικό χώρο αποστάσεων ενώνονται με μια ελαχιστοποιούσα ακολουθία μονοπατιών με υπολογίσιμο μήκος, αν και αυτή η ελαχιστοποιούσα ακολουθία δεν χρειάζεται να συγκλίνει σε μια γεωδαισιακή.

Γεωμετρία Ρίμαν 
Σε μια κατά Ρίμαν πολλαπλότητα M με μετρικό τανυστή g, το μήκος μιας  συνεχώς διαφορίσιμης καμπύλης γ : [a,b] → M ορίζεται από τον τύπο
 
Η απόσταση d(p, q) μεταξύ δύο σημείων p και q του M ορίζεται ως το μέγιστο κάτω πέρας του μήκους που λαμβάνεται από όλες τις συνεχείς, τμηματικά συνεχώς διαφορίσιμες καμπύλες γ : [a,b] → M τέτοιες ώστε γ(a) = σ και γ(b) = q. Με αυτόν τον ορισμό της απόστασης, οι γεωδαισιακές σε πολλαπλότητα κατά Ρίμαν είναι τα τοπικά μονοπάτια που ελαχιστοποιούν την απόσταση.

Οι ελαχιστοποιούντες καμπύλες L σε ένα αρκετά μικρό ανοικτό σύνολο του M μπορούν να επιτευχθούν με τεχνικές του λογισμού των μεταβολών. Συνήθως, κανείς εισάγει την ακόλουθη δράση ή λειτουργική ενέργεια
 
Για μια τμηματικά  καμπύλη (γενικότερα, μια  καμπύλη), η ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς δίνει
 
με ισότητα αν και μόνο αν  είναι ίσο με μια σταθερά. Συμβαίνει ότι οι ελαχιστοποιούσες καμπύλες της   ελαχιστοποιούν επίσης το , επειδή είναι αφινικά παραμετροποιημένες και η ανισότητα είναι ισότητα. Η χρησιμότητα αυτής της προσέγγισης είναι ότι το πρόβλημα της αναζήτησης καμπυλών που ελαχιστοποιούν το E είναι ένα πιο ισχυρό μεταβολικό πρόβλημα. Πράγματι, η Ε είναι μια "κυρτή συνάρτηση" της , έτσι ώστε σε κάθε ισόμορφη κλάση  "λογικών συναρτήσεων", πρέπει να περιμένουμε την ύπαρξη, την μοναδικότητα και την κανονικότητα των καμπυλών που ελαχιστοποιούν. Σε αντίθεση,οι ελαχιστοποιούντες καμπύλες του συναρτησιακού  γενικά δεν είναι πολύ κανονικές, γιατί επιτρέπεται η αυθαίρετη αναπαραμετρικοποίηση.

Οι εξισώσεις Όιλερ-Λαγκράνζ της κίνησης για το συναρτησιακό E δίνονται τότε στις τοπικές συντεταγμένες από τις εξισώσεις
 
όπου  είναι τα σύμβολα Κριστόφελ της μετρικής. Αυτή είναι η εξίσωση της γεωδαισιακής, που συζητιέται παρακάτω.

Λογισμός των μεταβολών 
Τεχνικές του κλασικού λογισμού των μεταβολών μπορούν να εφαρμοστούν για να εξεταστεί το ενεργειακό συναρτησιακό E. Η πρώτη μεταβολή της ενέργειας ορίζεται σε τοπικές συντεταγμένες από τον τύπο
 
Τα κρίσιμα σημεία από την πρώτη μεταβολή είναι ακριβώς οι γεωδαισιακές. Η δεύτερη μεταβολή ορίζεται από τον τύπο 
 
Με μια κατάλληλη έννοια,τα μηδενικά της δεύτερης μεταβολής κατά μήκος μιας γεωδαισιακής γ ανακύπτουν κατά μήκος πεδίων Τζακόμπι. Τα πεδία Τζακόμπι θεωρούνται, ως εκ τούτου μεταβολές μέσω των γεωδαισιακών.

Με την εφαρμογή των μεταβολικών τεχνικών από την κλασική μηχανική, κάποιος μπορεί επίσης να θεωρήσει τις γεωδαισιακές ως χαμιλτονιανές ροές. Είναι λύσεις των σχετικών εξισώσεων Χάμιλτον, με την (ψευδο-)Ρίμαν μετρική να θεωρείται ως χαμιλτονιανή μετρική .

Συσχετισμένες γεωδαισιακές 
Μια γεωδαισιακή σε μια ομαλή πολλαπλότητα M με αφινική σύνδεση ∇ ορίζεται ως μια καμπύλη γ(t) τέτοια ώστε μια παράλληλη μεταφορά κατά μήκος της καμπύλης διατηρεί το εφαπτόμενο διάνυσμα στην καμπύλη, έτσι ώστε

σε κάθε σημείο κατά μήκος της καμπύλης, όπου  είναι η παράγωγος ως προς . Πιο συγκεκριμένα, προκειμένου να καθορίσει τη συναλλοίωτη παράγωγο της  είναι απαραίτητο πρώτα να επεκταθεί η  σε ένα συνεχώς διαφορίσιμο διανυσματικό πεδίο σε ένα ανοικτό σύνολο. Ωστόσο, η τιμή που προκύπτει από το (1) είναι ανεξάρτητη από την επιλογή της επέκτασης.

Χρησιμοποιώντας τοπικές συντεταγμένες στο M, μπορούμε να γράψουμε τη γεωδαισιακή εξίσωση (χρησιμοποιώντας την συνθήκη αθροίσεως) ως
 
όπου  είναι οι συντεταγμένες της καμπύλης γ(t) και  είναι τα σύμβολα Κριστόφελ του συνδέσμου ∇. Αυτή είναι απλά μια συνήθης διαφορική εξίσωση για τις συντεταγμένες. Έχει μια μοναδική λύση, που δίνεται από μια αρχική θέση και μια αρχική ταχύτητα. Ως εκ τούτου, από την άποψη της κλασικής μηχανικής, οι γεωδαισιακές μπορούν να θεωρηθούν ως τροχιές των ελεύθερων σωματιδίων σε μια πολλαπλότητα. Πράγματι, η εξίσωση  σημαίνει ότι η επιτάχυνση της καμπύλης δεν έχει συνιστώσες στην κατεύθυνση της επιφάνειας (και ως εκ τούτου, είναι κάθετη στο εφαπτόμενο επίπεδο της επιφάνειας σε κάθε σημείο της καμπύλης). Έτσι, η κίνηση καθορίζεται πλήρως από την κάμψη της επιφάνειας. Αυτή είναι, επίσης, η ιδέα της γενικής σχετικότητας, όπου τα σωματίδια κινούνται πάνω σε γεωδαισιακές και η κάμψη προκαλείται από τη βαρύτητα.

Ύπαρξη και μοναδικότητα 
Το  θεώρημα τοπικής ύπαρξης και μοναδικότητας για τις γεωδαισιακές δηλώνει ότι οι γεωδαισιακές σε μια ομαλή πολλαπλότητα με αφινική σύνδεση υπάρχουν και είναι μοναδικές. Πιο συγκεκριμένα:
 Για κάθε σημείο p στην M και για κάθε διάνυσμα V που ανήκει στο TpM (ο εφαπτόμενος χώρος στην M στο p) υπάρχει μια μοναδική γεωδαισιακή  : I → M τέτοια ώστε
  και
 ,
 όπου I είναι ένα μεγιστικό ανοικτό διάστημα στο R που περιέχει το 0.
Σε γενικές γραμμές, το I μπορεί να μην είναι όλο το R , όπως για παράδειγμα για έναν ανοικτό δίσκο στο R2. Η απόδειξη αυτού του θεωρήματος προκύπτει από τη θεωρία των συνήθων διαφορικών εξισώσεων, παρατηρώντας ότι η εξίσωση των γεωδαισιακών είναι μια συνήθης διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης . Η ύπαρξη και η μοναδικότητα, στη συνέχεια, απορρέουν από το θεώρημα Πικάρ-Λίντελοφ για τις λύσεις των συνήθων διαφοτικών εξισώσεων με τις δοθείσες αρχικές συνθήκες. Η γ εξαρτάται ομαλά και από το p και από το V.

Γεωδαισιακή ροή 
Η γεωδαισιακή ροή είναι μια τοπική R-δράση για την εφαπτομένη δέσμη TM μιας πολλαπλότητας M που ορίζεται με τον ακόλουθο τρόπο 
 
όπου t ∈ R, V ∈ TM και η  δηλώνει τη γεωδαισιακή με τα αρχικά δεδομένα . Έτσι, Gt(V) = exp(tV) είναι η εκθετική συνάρτηση του διανύσματος tV . Μια κλειστή τροχιά της γεωδαισιακής ροής αντιστοιχεί σε μια κλειστή γεωδαισιακή στην M.

Σε μια (ψευδο-)Ρίμαν πολλαπλότητα , η γεωδαισιακή ροή ταυτίζεται με μια χαμιλτονιανή ροή για την συνεφαπτομένη δέσμη. Η χαμιλτονιανή ,στη συνέχεια, δίνεται από την αντίστροφη (ψευδο-)Ρίμαν μετρική, υπολογίζοντας την κανονική 1-μορφή. Ειδικότερα η ροή διατηρεί την (ψευδο-)Ρίμαν μετρική , δηλ.
 
Ειδικότερα, όταν το V είναι ένα μοναδιαίο διάνυσμα, η  παραμένει μοναδιαία ταχύτητας παντού, έτσι η γεωδαισιακή ροή είναι εφαπτόμενη στην μοναδιαία εφαπτόμενη δέσμη. Το θεώρημα Λιουβίλ συνεπάγεται την αναλλοιωσιμότητα του κινηματικού μέτρου της μοναδιαίας εφαπτομένης δέσμης.

Γεωδαισιακό σπρέι 
Η γεωδαισιακή ροή ορίζει μια οικογένεια καμπυλών στην εφαπτομένη δέσμη. Οι παράγωγοι αυτών των καμπυλών ορίζουν ένα διανυσματικό χώρο στον ολικό χώρο της εφαπτόμενης δέσμης, που είναι γνωστός ως γεωδαισιακό σπρέι.

Πιο συγκεκριμένα, μία αφινική σύνδεση προκαλεί διάσπαση της διπλής εφαπτομένης δέσμης TTM σε οριζόντιες και κάθετες δέσμες:
 
Ο γεωδαισιακό σπρέι είναι το μοναδικό οριζόντιο διανυσματικό πεδίο W που ικανοποιεί την σχέση
 
σε κάθε σημείο v ∈ TM . Εδώ π∗ : TTM → TM δηλώνει τη pushforward (διαφορική) κατά μήκος της προβολής π : TM → M που συνδέεται με την εφαπτομένη δέσμη.

Γενικότερα, η ίδια κατασκευή επιτρέπει σε κάποιον να κατασκευάσει ένα διανυσματικό πεδίο για κάθε σύνδεση Έρσμαν (Ehresmann σύνδεση) στην εφαπτομένη δέσμη. Για να είναι το διανυσματικό πεδίο που προκύπτει ένα σπρέι (στη διαγραμμένη εφαπτομένη δέσμη TM \ {0}) είναι αρκετό η σύνδεση να είναι ισαλλοίωτη υπό θετικές αλλαγές παραμετροποίησης: δεν χρειάζεται να είναι γραμμική. Είναι αρκετό ότι η οριζόντια κατανομή ικανοποιεί την σχέση
 
για κάθε X ∈ TM \ {0} και λ > 0. Εδώ η d(S,λ) είναι η pushforward (διαφορική) κατά μήκος της βαθμωτής ομοιοθεσίας  Μια ιδιαίτερη περίπτωση μη γραμμικής σύνδεσης που προκύπτει με αυτό τον τρόπο, είναι αυτή που συνδέεται με την Φίνσλερ πολλαπλότητα.

Συσχετισμένες και προβολικές γεωδαισιακές 
Η εξίσωση (1) είναι αναλλοίωτη υπό συσχετισμένες (αφινικές) αναπαραμετροποιήσεις. Αυτές είναι παραμετροποιήσεις της μορφής
 
όπου τα a και b είναι σταθεροί πραγματικοί αριθμοί. Έτσι, εκτός από τον καθορισμό μιας ορισμένης κλάσης εμφυτευμένων καμπυλών, η γεωδαισιακή εξίσωση καθορίζει επίσης μια προτιμώμενη κλάση παραμετροποιήσεων σε κάθε μία από τις καμπύλες. Συνεπώς, οι λύσεις της (1) ονομάζονται γεωδαισιακές με συσχετισμένη παράμετρο.

Μία συσχετισμένη σύνδεση καθορίζεται από την οικογένεια των αφινικά παραμετρικοποιημένων γεωδαισιακών, μέχρι την στρέψη (Σπάιβακ 1999, Κεφάλαιο 6, Παράρτημα ι). Η στρέψη μόνη της δεν επηρεάζει στην πραγματικότητα την οικογένεια των γεωδαισιακών, αφού η γεωδαισιακή εξίσωση εξαρτάται μόνο από το συμμετρικό μέρος της σύνδεσης. Πιο συγκεκριμένα, αν  είναι δύο συνδέσεις,τέτοιες ώστε ο τανυστής διαφοράς
 
είναι αντισυμμετρικός, τότε  και   έχουν τις ίδιες γεωδαισιακές, με τις ίδιες συσχετισμένες (αφινικές) παραμετροποιήσεις. Επιπλέον, υπάρχει μια μοναδική σύνδεση που έχει τις ίδιες γεωδαισιακές όπως η , αλλά με μηδενιζόμενη στρέψη.

Οι γεωδαισιακές χωρίς ιδιαίτερη παραμετροποίηση περιγράφονται από μια προβολική σύνδεση.

Υπολογιστικές μέθοδοι 
Αποτελεσματικοί επιλυτές για το ελάχιστο γεωδαισιακό πρόβλημα σε επιφάνειες που τίθεται ως Είκοναλ εξισώσεις μπορούν να βρεθούν στα

Εφαρμογές 
Οι γεωδαισιακές χρησιμεύουν ως βάση για τον υπολογισμό:
 γεωδαισιακών ατράκτων
 γεωδαισιακών δομών – για παράδειγμα γεωδαισιακών θόλων
 οριζόντιων αποστάσεων πάνω ή κοντά στη Γη
 αντιστοίχιση εικόνων σε επιφάνειες, για την απόδοση τους
 του προγραμματισμού της κίνησης ρομπότ (π. χ., όταν βάφουν μέρη αυτοκινήτων)

Δείτε ακόμη

Παραπομπές 

 Spivak, Michael (1999), A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 2), Houston, TX: Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-71-3

Περαιτέρω ανάγνωση 
 Adler, Ronald; Bazin, Maurice; Schiffer, Menahem (1975), Introduction to General Relativity (2nd ed.), New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-000423-8 . Δείτε κεφάλαιο 2.
 Abraham, Ralph H.; Marsden, Jerrold E. (1978), Foundations of mechanics, London: Benjamin-Cummings, ISBN 978-0-8053-0102-1 . Δείτε ενότητα 2.7.
 Jost, Jürgen (2002), Riemannian Geometry and Geometric Analysis, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-42627-1 . Δείτε ενότητα 1.4.
 Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Foundations of Differential Geometry, Vol. 1 (New ed.), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3 .
 Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1975), Classical Theory of Fields, Oxford: Pergamon, ISBN 978-0-08-018176-9 . Δείτε ενότητα 87.
 Misner, Charles W.; Thorne, Kip; Wheeler, John Archibald (1973), Gravitation, W. H. Freeman, ISBN 978-0-7167-0344-0 
 Ortín, Tomás (2004), Gravity and strings, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-82475-0 . Σημειώστε ειδικά σελίδες 7 και 10.
 Volkov, Yu.A. (2001), "Geodesic line",  in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 .
 Weinberg, Steven (1972), Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-92567-5 . Δείτε κεφάλαιο 3.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
 Geodesics Revisited — Εισαγωγή στις γεωδαισιακές συμπεριλαμβανομένων δύο μεθόδων παραγωγής της εξίσωσης της γεωδαισιακής με εφαρμογές στην γεωμετρία (γεωδαισιακή στην σφαίρα και στο τόρο), στην μηχανική (brachistochrone) και στην οπτική (ακτίνες φωτός σε ανομοιογενές μέσο).
 Geodesics on a parametric surface -- sage interact — Διαδραστικό Sagemath φύλλο εργασίας για τον σχεδιασμό και τον σχεδιασμό των γεωδαισιακών σε παραμετροποιημένες επιφάνειες.
 Totally geodesic submanifold στον Manifold Atlas

Γεωδαισιακη
Γεωδαισιακη