Αρίθμηση Γκέντελ

Ο μαθηματικός Κουρτ Γκέντελ έμεινε στην ιστορία για τα δύο θεωρήματά του της μη πληρότητας (1931). Αυτά σε γενικές γραμμές λένε:

 Ότι σε κάθε συνεπές εσωτερικά σύστημα, υπάρχουν μη αποδείξιμες προτάσεις και  
 Ότι ένα συνεπές εσωτερικά σύστημα, δεν μπορεί να είναι πλήρες και συνεπές την ίδια στιγμή.

Τα θεωρήματα της μη πληρότητας του Godel απετέλεσαν σημείο καμπής για τα μαθηματικά αλλά και τη φιλοσοφία, δεδομένου ότι διέλυσαν με βίαιο και οριστικό τρόπο την προσπάθεια σταθερής θεμελίωσης των μαθηματικών και της φιλοσοφίας σε σταθερά θεμέλια, που είχαν αναλάβει σπουδαίοι μαθηματικοί όπως ο Russel, ο Frege, ο Whitehead και ο Hilbert. Ο Godel για να πετύχει την απόδειξη των θεωρημάτων του χρησιμοποίησε μια τεχνική που από τότε ονομάζεται Γκεντελοποίηση. Για να διατυπώσει με ακρίβεια, τα θεωρήματά του της μη πληρότητος, ο Godel έπρεπε να λύσει αρκετά τεχνικά ζητήματα, όπως η κωδικοποίηση προτάσεων, αποδείξεων και της ίδιας της έννοιας της αποδειξιμότητας, με φυσικούς αριθμούς. Το έκανε χρησιμοποιώντας μια διαδικασία που λέγεται Γκεντελοποίηση.
Με αυτόν τον τρόπο, αύξησε κατά πολύ την "υπολογιστική ισχύ" των συλλογισμών του σε μια εποχή που δεν υπήρχαν ηλεκτρονικοί υπολογιστές. Η Γκεντελοποίηση στην αγγλοσαξωνική βιβλιογραφία αναφέρεται ως "Godel numbering"  ή "Godel coding". Η Ελληνική μετάφραση θα μπορούσε να είναι "αρίθμηση Γκέντελ". Η Γκεντελοποίηση, φέρει αυτούσια την επίδραση του Kant και του Πλάτωνα στα Μαθηματικά του Kurt Gödel. Η κατασκευασιμότητα των αριθμών είναι χαρακτηριστική φιλοσοφική άποψη του Kant, ενώ η "μέθεξις" και η "αντιστοίχιση" αριθμών με προτάσεις, μαθηματικούς τύπους ή και φυσικά φαινόμενα, φέρει ανεξίτηλα τα ίχνη της πλατωνικής θεωρίας των Ιδεών. Στη μαθηματική λογική , μια αρίθμηση Γκέντελ είναι μια συνάρτηση που αντιστοιχίζει σε κάθε σύμβολο και τύπο κάποιας γλώσσας ένα μοναδικό φυσικό αριθμό , που ονομάζεται αριθμός Gödel  .

Κωδικοποίηση 
Μια αρίθμηση Gödel μπορεί να ερμηνευθεί ως μια κωδικοποίηση στην οποία ένας αριθμός έχει εκχωρηθεί σε κάθε μαθηματικό τύπο και μια ακολουθία φυσικών αριθμών μπορεί στη συνέχεια αντιπροσωπεύουν μια ακολουθία συμβόλων. Αυτές οι ακολουθίες φυσικών αριθμών μπορεί και πάλι να εκπροσωπούνται από άλλους φυσικούς αριθμούς, διευκολύνοντας το χειρισμό τους σε τυπικές θεωρίες της αριθμητικής.

Από τη δημοσίευση της εργασία του Gödel το 1931, ο όρος «αρίθμηση Γκέντελ» ή «κωδικοποίηση Γκέντελ» αναφέρεται σε  αναθέσεις  φυσικών αριθμών σε μαθηματικά αντικείμενα ή και φυσικά φαινόμενα ή προτάσεις της γλώσσας.

Οι δηλώσεις μέσα σε ένα σύστημα μπορούν να εκπροσωπούνται από τους φυσικούς αριθμούς. Η σημασία αυτού ήταν ότι οι ιδιότητες των καταστάσεων - όπως η αλήθεια και το ψέμα τους - θα ισοδυναμούσαν με το να διαπιστωθεί κατά πόσον ο αριθμός τους Gödel είχε ορισμένες ιδιότητες. Οι αριθμοί που εμπλέκονται μπορεί να είναι πολύ μεγάλοι πράγματι (όσον αφορά τον αριθμό των ψηφίων), αλλά αυτό δεν είναι εμπόδιο και το μόνο που έχει σημασία είναι ότι μπορούμε να δείξουμε, ότι οι αριθμοί μπορούν να κατασκευαστούν. Σε αυτό το σημείο είναι εμφανής η επίδραση της Καντιανής φιλοσοφίας της κατασκευασιμότητος στον Kurt Gödel.

Με απλά λόγια, έχουμε επινοήσει μια μέθοδο, με την οποία κάθε τύπος ή δήλωση που μπορεί να διατυπωθεί στο σύστημά μας, παίρνει ένα μοναδικό αριθμό, με τέτοιο τρόπο που μπορούμε να την χρησιμοποιήσουμε με τους αριθμούς Gödel . Είναι σαφές ότι υπάρχουν πολλοί τρόποι για να γίνει αυτό, αντιστοιχίζοντας οποιαδήποτε δήλωση,  σε αριθμό Γκέντελ. Ένα απλό παράδειγμα είναι ο τρόπος με τον οποίο στα αγγλικά αποθηκεύεται  μια ακολουθία αριθμών, σε υπολογιστές που χρησιμοποιούν ASCII ή Unicode :

Η λέξη ΓΕΙΑ εκπροσωπείται από 72-69-76-76-79 χρήση δεκαδικών ASCII .Η λογική κατάσταση x = y => y = x αντιπροσωπεύεται από 120-061-121-032-061-062-032-121-061-120. Ο Γκέντελ χρησιμοποίησε ένα σύστημα που βασίζεται σε παραγοντοποίηση.

Η αρίθμηση του Γκέντελ δεν είναι μοναδική, δεδομένου ότι για κάθε απόδειξη χρησιμοποιώντας τους αριθμούς Gödel, υπάρχουν απείρως πολλοί τρόποι με τους οποίους θα μπορούσαν να καθοριστούν αυτοί οι αριθμοί.

Μόλις καθιερωθεί μια αρίθμηση Γκέντελ για μια επίσημη θεωρία, κάθε κανόνας ή συμπέρασμα της θεωρίας μπορεί να εκφραστεί ως συνάρτηση σχετικά με τους φυσικούς αριθμούς.

Αριθμητική Πεάνο
Έτσι, σε μια τυπική θεωρία, όπως η αριθμητική Peano, στην οποία μπορεί κανείς να κάνει δηλώσεις σχετικά με τους αριθμούς και τις αριθμητικές σχέσεις  μεταξύ τους, μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει την γκεντελοποίηση για να κάνει έμμεσα δηλώσεις για την ίδια τη θεωρία. Η τεχνική αυτή επέτρεψε στον Γκέντελ να αποδείξει  αποτελέσματα σχετικά με τη συνοχή και την πληρότητα ως ιδιότητες των τυπικών συστημάτων .

Στη θεωρία υπολογισιμότητας , ο όρος «αρίθμηση Γκέντελ» χρησιμοποιείται με έννοια ευρύτερη από αυτή που περιγράφεται παραπάνω.

Επίσης, ο όρος αρίθμηση Γκέντελ  μερικές φορές χρησιμοποιείται όταν οι κατ 'εξουσιοδότηση "αριθμοί" είναι στην πραγματικότητα ακολουθίες αριθμών, το οποίο είναι απαραίτητο σε υπολογιστικά μοντέλα, όπως μηχανές Turing που χειρίζονται ακολουθίες αριθμών αντί για αριθμούς. Ακόμα και έτσι όμως, είναι μια λειτουργία ένα προς ένα. Αυτό πολύ απλά σημαίνει, ότι λαμβάνει μία και μόνη αριθμητική τιμή για μία και μόνη πρόταση μιας τυπικής γλώσσας. Η αντίστροφη διαδικασία, θα μας δώσει ξανά την αρχική πληροφορία.

Βιβλιογραφία 
Εισαγωγή στην φιλοσοφία των μαθηματικών. Αναπολιτάνος Δ. Εκδ. Νεφέλη, Αθήνα 2010.
Πλάτων: Ο άνθρωπος και το έργο του. Α.Ε Taylor. MIΕΤ.  Αθήνα 2014

Παραπομπές

Μαθηματική λογική
Θεωρία υπολογισμού