Γεωμετρικός μετασχηματισμός

Ένας γεωμετρικός μετασχηματισμός είναι μία αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχεία από ένα σύνολο που έχει κάποια γεωμετρική δομή με το ίδιο ή με άλλο τέτοιο σύνολο. Συγκεκριμένα, "Ένας γεωμετρικός μετασχηματισμός είναι μια συνάρτηση της οποίας το πεδίο ορισμού και το εύρος είναι σύνολα σημείων. Πιο συχνά, το πεδίο και το εύρος ενός γεωμετρικού μετασχηματισμού είναι και οι δύο R2 ή και οι δύο R3. Συχνά οι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί απαιτούν να είναι 1-1 συναρτήσεις, έτσι ώστε να αντιστρέφονται."  Η μελέτη της γεωμετρίας μπορεί να προσεγγιστεί μέσω της μελέτης αυτών των μετασχηματισμών.

Οι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί μπορούν να ταξινομηθούν με βάση την ιδιότητα του τελεστή συνόλου (και, συνεπώς, διακρίνονται μεταξύ των επίπεδων μετασχηματισμών και αυτών του χώρου, για παράδειγμα). Μπορούν επίσης να ταξινομηθούν ανάλογα με τις ιδιότητες που διατηρούν:
 οι μετατοπίσεις που διατηρούν τις αποστάσεις και τις προσανατολισμένη γωνίες;
 οι ισομετρίες που διατηρούν τις γωνίες και τις αποστάσεις * 
 οι ομοιότητες που διατηρούν τις γωνίες και τις αναλογίες μεταξύ των αποστάσεων;
 οι μετασχηματισμοί ομοιότητας που διατηρούν τον παραλληλισμό;
 οι προβολικοί μετασχηματισμοί που διατηρούν την ύπαρξη συγγραμικότητας;
Κάθε μία από αυτές τις κατηγορίες περιλαμβάνουν την προηγούμενη.
 Κύκλο αντιστροφή διατηρήσει το σύνολο όλων των γραμμών και κύκλων η επίπεδη περίπτωση (αλλά μπορεί να ανταλλάξει γραμμές και κύκλους), και των μετασχηματισμών Möbius τη διατήρηση όλα τα επίπεδα και σφαίρες σε διάσταση 3.
 Ο διαφορομορφισμός (bidifferentiable μετασχηματισμός) είναι ο μετασχηματισμός που είναι συναφής με την πρώτη περίπτωση που περιέχουν τα προηγούμενα ως ειδικές περιπτώσεις, και μπορεί να αναλυθεί περαιτέρω.
 Ο σύμμορφος μετασχηματισμός, διατηρεί τις γωνίες και έχει, στην πρώτη σειρά,  ομοιότητες.
 Ο ομαλός μετασχηματισμός, διατηρεί τις περιοχές στην επίπεδη περίπτωση ή τις τομές στην τρισδιάστατη περίπτωση. και είναι, στην πρώτη σειρά, μετασχηματισμοί ομοιότητας με ορίζουσα 1.
 Ομοιομορφισμός (bicontinuous μετασχηματισμοί),  διατηρείται στα γειτονικά σημεία.Μετασχηματισμοί με ίδιου τύπου μορφή είναι ομάδες που μπορούν να είναι υπο-ομάδες άλλων ομάδων μετασχηματισμού.

Δείτε επίσης 
 Erlangen πρόγραμμα
 Τοπολογία
 Άκαμπτο μεταμόρφωση

Αναφορές

Περαιτέρω ανάγνωση 
 Ο τζον McCleary – Γεωμετρία από ένα Διαφορίσιμες Άποψη.
 A. N. Pressley – Στοιχειώδης Διαφορική Γεωμετρία.
 Ο David Hilbert, ο Stephan Cohn-Vossen – Γεωμετρία και τη Φαντασία.
 Ο ντέιβιντ Gans – Μετασχηματισμοί και γεωμετρίες.
 Irving Adler – Μια Νέα Ματιά στην Γεωμετρία.
 Yaglom, I. M. (1962, 1968, 1973, 2009) . Γεωμετρικοί Μετασχηματισμοί (4 τόμοι). Random House (I, II & III), MAA (I, II, III & IV).
 Διένια, Z. P.; Golding, E. W. (1967) . Γεωμετρία Μέσα από Μετασχηματισμούς (3 vols.): Γεωμετρία Παραμόρφωσης, Γεωμετρία Αντιστοιχία, και Ομάδες και Συντεταγμένες. Νέα Υόρκη: Herder και Herder.
 Modenov, P. S., Parkhomenko, A. S. (1965) . Γεωμετρικοί Μετασχηματισμοί (2 τόμοι): Ευκλείδεια και Μετασχηματισμοί Ομοιότητας, και Προβολικών Μετασχηματισμών. New York: Academic Press.
Μαθηματικές συναρτήσεις
Γεωμετρία
Συμμετρία