Καμπύλη Πεάνο

Η καμπύλη Πεάνο αποτελεί ένα από τα πρώτα παραδείγματα καμπυλών με την ιδιότητα να "γεμίζει τον χώρο". Ανακαλύφθηκε το 1890 από τον μαθηματικό Τζιουζέπε Πεάνο.

Αν τη δούμε ως συνάρτηση (δηλαδή ως παραμετρική καμπύλη) η καμπύλη Πεάνο είναι μια συνεχής και επί απεικόνιση μεταξύ του μοναδιαίου διαστήματος  και του μοναδιαίου τετραγώνου . Η τελευταία ιδιότητα έδωσε στην καμπύλη Πεάνο τον χαρακτηρισμό "καμπύλη γεμίζουσα τον χώρο", επειδή η καμπύλη διέρχεται από όλα τα σημεία του μοναδιαίου τετραγώνου. Η απεικόνιση αυτή όμως δεν είναι ένα προς ένα, επομένως υπάρχουν σημεία του  από τα οποία η καμπύλη διέρχεται περισσότερες από μια φορές. Ο Πεάνο εμπνεύστηκε την κατασκευή αυτής της καμπύλης από ένα προηγούμενο αποτέλεσμα του Καντόρ, για το ότι τα σύνολα   και  έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων. Πολλές φορές (εκ παραδρομής) ο όρος καμπύλη Πεάνο αποδίδεται και σε άλλες καμπύλες με την ίδια ιδιότητα (να γεμίζουν το χώρο).

Η καμπύλη Πεάνο προκύπτει ως το όριο μιας ακολουθίας σημείων.

Κατασκευή

Η κατασκευή της καμπύλης γίνεται μέσω μιας αναδρομικής διαδικασίας. Ξεκινάμε από το τετράγωνο  και το κεντρικό του σημείο . Στη συνέχεια χωρίζουμε το τετράγωνο αυτό σε εννέα μικρότερα τετράγωνα και παίρνουμε τα κέντρα τους. Ενώνουμε με ευθύγραμμα τμήματα τα καινούρια κέντρα ακολουθώντας την πρώτη από τις παρακάτω διατάξεις (οι υπόλοιπες θα χρησιμοποιηθούν στη συνέχεια):

Επομένως μετά το πρώτο βήμα (όπως φαίνεται και στο σχήμα) κατασκευάζουμε τα 9 καινούρια τετράγωνα  και την πολυγωνική γραμμή . Διατάσσουμε και τα τετράγωνα και τα σημεία ακολουθώντας την πρώτη από τις παραπάνω διατάξεις. Στη συνέχεια, θεωρώντας ότι έχουμε  τα τετράγωνα , χωρίζουμε κάθε ένα από αυτά τα τετράγωνα σε 9 μικρότερα τετράγωνα (παίρνουμε έτσι το σύνολο  και ενώνουμε τα κέντρα αυτών των τετραγώνων (σύνολο ) χρησιμοποιώντας μια από τις προηγούμενες 4 διατάξεις. Στο πρώτο από τα τετράγωνα του  ακολουθούμε την πρώτη διάταξη καθώς το χωρίζουμε σε 9 μικρότερα. Όμοια πράττουμε και για το , όπου αντικαθιστούμε το πρώτο σημείο με τα 9 σημεία ακολουθώντας την αντίστοιχη διάταξη.  Για όλα τα επόμενα τετράγωνα, επιλέγουμε την διάταξη της οποίας το πρώτο σημείο βρίσκεται κοντύτερα (σε απόσταση ακριβώς όσο η πλευρά καθενός από τα 9 μικρότερα τετράγωνα) στο τελευταίο από τα 9 σημεία του προηγούμενου τετραγώνου.

Για παράδειγμα, δίνουμε τη διάταξη στο 2ο βήμα της κατασκευής (αρχικά είχαμε 9 τετράγωνα, τα οποία χωρίσαμε σε 9 μικρότερα τετράγωνα -> σύνολο 81 μικρότερα τετράγωνα). Όπως φαίνεται στο σχήμα, βάζουμε τον αριθμό 1 (το πρώτο νέο τετράγωνο) αμέσως μετά τον αριθμό 9 (το τελευταίο μικρότερο τετράγωνο του προηγούμενου μεγάλου τετραγώνου):

Η καμπύλη Πεάνο είναι το όριο της παραπάνω διαδικασίας.

Υπάρχουν επίσης και κατασκευές βασισμένες στη θεωρία των επαναλαμβανόμενων συναρτήσεων παρεμβολής. Στο διαδίκτυο υπάρχει και διαθέσιμος κώδικας σε Matlab για την κατασκευή των βημάτων της αναδρομής.

Η καμπύλη Πεάνο έχει μελετηθεί εκτενώς στη βιβλιογραφία και οι ιδιότητές της έχουν αναλυθεί πλήρως. Τα τελευταία χρόνια κατασκευές των πρώτων βημάτων της καμπύλης έχουν βρει εφαρμογές στη μικροηλεκτρονική, όπου χρησιμοποιείται για την κατασκευή κεραιών μεγάλου μήκους που χωράνε σε μικρό χώρο (π.χ. για κινητά τηλέφωνα).

Παραπομπές

Καμπύλες
Φράκταλ
Τοπολογία