Εικασία του Πουανκαρέ

Στα μαθηματικά, η  εικασία του Πουανκαρέ (/σwɛn.kɑːˈreɪ/ pwen-kar-AY; γαλλικά: [pwɛkaʁe]) είναι ένα θεώρημα σχετικά με το χαρακτηρισμό της 3-σφαίρας, η οποία είναι μια υπερσφαίρα που έχει όρια τη μοναδιαία μπάλα στον τετραδιάστατο χώρο. Η εικασία δηλώνει:

Κάθε απλώς συνεκτική, κλειστή 3-πολλαπλότητα είναι ομοιομορφική με την 3-σφαίρα.

Ισοδύναμη μορφή της εικασίας περιλαμβάνει μια πιο χονδροειδή μορφή της ισοδυναμίας όπου ο ομοιομορφισμός ονομάζεται ομοτοπία ισοδυναμίας: αν μια 3-πολλαπλότητα είναι ομότοπα ισοδύναμη της 3-σφαίρα, τότε είναι αναγκαστικά ομοιομορφική.

Αρχικά εικάζεται από τον Ανρί Πουανκαρέ, το θεώρημα αφορά ένα χώρο που σε τοπικό επίπεδο μοιάζει με το συνηθισμένο τρισδιάστατο χώρο, αλλά είναι συνδεδεμένος, μη πεπερασμένος, και στερείται κάθε φράγματος (μια κλειστή 3-πολλαπλότητα). Η εικασία του Πουανκαρέ, ισχυρίζεται ότι, αν ένας τέτοιο χώρο έχει την επιπλέον ιδιότητα ότι κάθε βρόχος στο χώρο μπορεί να είναι συνεχώς σφιγμένος σε ένα σημείο, τότε είναι αναγκαστικά μια τρισδιάστατη σφαίρα. Οι ανάλογες εικασίες για όλες τις υψηλότερες διαστάσεις είχαν ήδη αποδειχθεί.

Μετά από σχεδόν ένα αιώνα από την προσπάθεια από μαθηματικούς, ο Γκριγκόρι Πέρελμαν παρουσίασε μια απόδειξη της εικασίας σε τρεις εφημερίδες που διατίθενται το 2002 και το 2003 στο arXiv (ηλεκτρονική εφημερίδα). Η απόδειξη χτισμένη πάνω στο πρόγραμμα του Ρίτσαρντ Χάμιλτον να χρησιμοποιήσετε τη ροή Ricci για να προσπαθήσει να λύσει το πρόβλημα. Ο Χάμιλτον αργότερα εισήγαγε μια τροποποίηση του προτύπου της ροής Ricci, που ονομάζεται ροή Ricci with surgery ώστε να αποκόψει συστηματικά μεμονωμένες περιοχές, καθώς αυτές θα αναπτύσσονται, με ελεγχόμενο τρόπο, αλλά δεν ήταν σε θέση να αποδείξει ότι αυτή τη μέθοδο "συγκλίνει" σε τρεις διαστάσεις. Ο Πέρελμαν ολοκληρώνει αυτό το τμήμα της απόδειξης. Αρκετές ομάδες μαθηματικών επαλήθευσαν ότι η απόδειξη του Πέρελμαν ήταν σωστή.

Η εικασία του Πουανκαρέ, πριν αποδειχθεί, ήταν ένα από τα πιο σημαντικά ανοιχτά ζητήματα στην τοπολογία. Το 2000, πήρε το όνομά ενός εκ των επτά προβλημάτων της χιλιετίας (Millennium Prize Problems), για τα οποία το Μαθηματικό Ινστιτούτο Clay (Clay Mathematics Institute) πρόσφερε 1.000.000 δολάρια βραβείο για την πρώτη σωστή λύση. Το έργο του Πέρελμαν επέζησε αναθεώρηση και επιβεβαιώθηκε το 2006, με αποτέλεσμα να του προσφέρεται ένα Μετάλλιο Φιλντς, το οποίο ο ίδιος αρνήθηκε. Ο Πέρελμαν τιμήθηκε με το Βραβείο Χιλιετίας στις 18 Μαρτίου 2010. Στις 1 Ιουλίου 2010, απέρριψε το βραβείο λέγοντας ότι πίστευε ότι η συμβολή του στο να αποδειχθεί η εικασία του Πουανκαρέ δεν ήταν μεγαλύτερη από αυτή του Χάμιλτον (ο οποίος ήταν ο πρώτος που πρότεινε τη χρήση της ροής Ricci για την λύση).

Ο Πέρελμαν απέδειξε την εικασία παραμορφώνοντας τη πολλαπλότητα χρησιμοποιώντας τη  ροή Ricci (η οποία συμπεριφέρεται παρόμοια με τη εξίσωση θερμότητας που περιγράφει τη διάχυση της θερμότητας μέσω ενός αντικείμενου). Η ροή Ricci συνήθως παραμορφώνει την πολλαπλότητα προς ένα πιο στρογγυλεμένο σχήμα, εκτός από ορισμένες περιπτώσεις, όπου εκτείνεται η πολλαπλότητα εκτός από τον εαυτό της προς αυτό που είναι γνωστό ως μοναδικότητες. Ο Πέρελμαν και ο Χάμιλτον στη συνέχεια, κόβουν την πολλαπλότητα σε μοναδικότητες (μια διαδικασία που ονομάζεται "χειρουργική") προκαλώντας ξεχωριστά κομμάτια που σχηματίσουν μπάλες-σαν σχήματα. Σημαντικά βήματα στην απόδειξη είναι αυτά που δείχνουν πως συμπεριφέρονται οι πολλαπλότητες όταν παραμορφώνονται από τη ροή Ricci, εξετάζοντας τι είδους ιδιομορφίες αναπτύσσονται, τον προσδιορισμό του κατά πόσον αυτή η χειρουργική διαδικασία μπορεί να ολοκληρωθεί και ότι η "επέμβαση" δεν χρειάζεται να επαναλαμβάνεται άπειρες φορές.

Το πρώτο βήμα είναι να παραμορφώνεται η πολλαπλότητα χρησiμοποιώντας της ροή Ricci. H ροή Ricci ορίζεται από τον Ρίτσαρντ Χάμιλτον ως ένας τρόπος παραμόρφωσης συλλεκτών. Η φόρμουλα για την ροής Ricci είναι μια απομίμηση της εξίσωσης θερμότητας η οποία περιγράφει τον τρόπο ροών θερμότητας σε στερεά. Όπως η ροή θερμότητας, έτσι και η ροή Ricci τείνει προς την ομοιόμορφη συμπεριφορά. Σε αντίθεση με τη ροή θερμότητας, η ροή Ricci μπορούσε να τρέξει σε μοναδικότητες και να σταματήσει να λειτουργεί. Μια μοναδικότητα μιας πολλαπλότητας είναι ένα μέρος όπου δεν είναι διαφορίσιμη: σαν μια γωνία ή ένα άνθος ή ένα τσίμπημα. Η ροή Ricci οριζόταν μόνο για τις ομαλά διαφορίσιμες πολλαπλότητες. Ο Χάμιλτον χρησιμοποίησε τη ροή Ricci για να αποδείξει ότι κάποιες συμπαγείς πολλαπλότητες ήταν αμφιδιαφορίσιμες σε σφαίρες και ήλπιζε να την εφαρμόσει για να αποδείξει η Εικασία του Πουανκαρέ. Χρειαζόταν λοιπόν να κατανοήσει τις μοναδικότητες.

Ο Χάμιλτον δημιούργησε μια λίστα με τις πιθανές ανωμαλίες που θα μπορούσαν να σχηματιστούν αλλά ανησυχούσε ότι ορισμένες ιδιομορφίες μπορεί να οδηγούσαν σε δυσκολίες. Ήθελε να κόψει (δημιουργία τομής)την πολλαπλότητα σε μοναδικότητες και επικόλληση στον καλύμματα ( cap = σύμβολο της τομής), και στη συνέχεια, εκτελέστε την ροή Ricci και πάλι, οπότε χρειαζόταν να κατανοήσει τις μοναδικότητες και να δείξει ότι ορισμένα είδη μοναδικοτήτων δεν εμφανίζονται. Ο Πέρελμαν ανακάλυψε ότι οι μοναδικότητες ήταν όλες πολύ απλές: ουσιαστικά ήταν τρισδιάστατοι κύλινδροι φτιαγμένοι από σφαίρες που απλώνονταν κατά μήκος μιας γραμμής. Ένας συνηθισμένος κύλινδρος γίνεται με κύκλους ενωμένους κατά το μήκος μιας γραμμής. Ο Πέρελμαν το απέδειξε αυτό χρησιμοποιώντας κάτι που ονομάζεται "Μειωμένος Όγκος", το οποίο είναι στενά συνδεδεμένο με τις ιδιοτιμές μιας ορισμένης ελλειπτικής εξίσωσης.

Μερικές φορές, μια κατά τα άλλα πολύπλοκη πράξη απλοποιείται σε πολλαπλασιασμό με ένα βαθμωτό (ένας αριθμός). Αυτοί οι αριθμοί ονομάζονται ιδιοτιμές της πράξης. Οι ιδιοτιμές είναι στενά συνδεδεμένες με τις συχνότητες δόνησης και χρησιμοποιούνται στην ανάλυση ενός διάσημου προβλήματος: μπορείς να ακούσεις το σχήμα ενός τυμπάνου;. Ουσιαστικά, μία ιδιοτιμή είναι σαν μία νότα παιγμένη από την πολλαπλότητα. Ο Πέρελμαν απέδειξ ότι αυτή η νότα αγγίζει υψηλότερους τόνους, καθώς η πολλαπλότητα παραμορφώνεται από τη ροή Ρίτσι. Αυτό τον βοήθησε στο να εξαλειφθούν ορισμένες από τις πιο ενοχλητικές ιδιομορφίες που είχαν απασχολήσει τον Χάμιλτον, ιδιαίτερα η λύση που αφορούσε το κυλινδρικό σολιτόνιο, στο οποίο φαινόταν σαν ένα νήμα να εξέχει της πολλαπλότητας δίχως τίποτε από την άλλη πλευρά. Στην ουσία, ο Πέρελμαν έδειξε ότι όλα τα σκέλη αυτά μπορούν να κοπούν και να καλυφθούν και κανένα να μην προεξέχει σε μια πλευρά μόνο.

Ολοκληρώνοντας τη απόδειξη, ο Πέρελμαν λαμβάνει κάθε συμπαγή, απλά συνδεδεμένη, τρισδιάστατη πολλαπλότητα χωρίς όριο και αρχίζει να εφαρμόζει τη ροή Ρίτσι σε αυτή. Αυτό παραμορφώνει την πολλαπλότητα σε κυκλικά κομμάτια με νήματα δράμοντα μεταξύ τους. Τέμνει τα νήματα και συνεχίζει παραμορφώνοντας την πολλαπλότητα μέχρι που τελικά του απομένει μια συλλογή από στρογγυλές τρισδιάστατες σφαίρες. Τότε αναδομεί την αρχική πολλαπλότητα συνδέοντας τις σφαίρες μαζί με τρισδιάστατους κυλίνδρους, τις μεταμορφώνει σε ένα στρογγυλό σχήμα και βλέπει ότι, παρά την αρχική σύγχυση, η πολλαπλότητα ήταν στην πραγματικότητα ομοιομορφική σε μια σφαίρα.

Ένα άμεσο ερώτημα ήταν πώς μπορεί κανείς να είναι σίγουρος ότι δεν υπάρχουν άπειρες το πλήθος αναγκαίες περικοπές; Διαφορετικά, η κοπή μπορεί να συνεχίζεται επ' άπειρον. Ο Πέρελμαν απέδειξε ότι αυτό δεν μπορεί να συμβαίνει, με τη χρήση ελάχιστων επιφανειών στην πολλαπλότητα. Η ελάχιστη επιφάνεια είναι κατ' ουσίαν μία ταινία σαπουνιού. Ο Χάμιλτον είχε δείξει ότι το εμβαδόν της ελάχιστης επιφάνειας μειώνεται καθώς η πολλαπλότητα υποβάλλεται ροή Ρίτσι. Ο Πέρελμαν επαλήθευσε αυτό που συμβαίνει στο εμβαδόν της ελάχιστης επιφάνειας όταν η πολλαπλότητα είναι κομμένη σε φέτες. Απέδειξε ότι, εν τέλει,το εμβαδόν είναι τόσο μικρό ώστε οποιοδήποτε κόψιμο πέρα από αυτό το εμβαδόν είναι τόσο μικρό που μπορεί να κοπεί μόνο σε τρισδιάστατες σφαίρες και όχι σε πιο περίπλοκα κομμάτια. Αυτό περιγράφεται ως μια μάχη με μια λερναία Ύδρα από την  Σορμάνι στο βιβλίο του Σπίρο το οποίο αναφέρεται παρακάτω. Αυτό το τελευταίο μέρος της απόδειξης παρουσιάστηκε στην τρίτη και τελευταία εργασία του Πέρελμαν σχετικά με το θέμα.

Το σχήμα του σύμπαντος μέσα από τη εικασία του Πουανκαρέ 
Το σύμπαν Φρήντμαν-Λεμέτρ-Ρόμπερτσον-Γουόκερ αντιστοιχεί σε μια χρονικώς εξελισσόμενη ακτίνα του χώρου S3. Υποστηρίζει ότι αν αυτό το σύμπαν τροποποιείται σε M3, στο τέλος η επιτάχυνση μπορεί να παράγει μια μετάπτωση φάσης μετατρέποντας τη M3 σε ένα χώρο σταθερής καμπυλότητας που αντιστοιχεί ακριβώς σε μία φάση ντε Σίτερ σχετική με τον S3. Μια άλλη άποψη είναι ότι από την Είκασία της γεωμετρικοποίησης (μια γενίκευση της εικασίας του Πουανκαρέ) απαιτεί να κατανοήσει όλες τις τοπικά ομοιογενείς γεωμετρίες σε κλειστές τρισδιάστατες πολλαπλότητες, χρησιμοποιώντας ροή Ricci μπορεί κανείς να θεωρήσει ότι η ταξινόμηση Μπιάνκι χρησιμοποιείται για τη μελέτη κοσμολογικών μοντέλων. Αυτό που μπορεί κανείς να προσθέσει σε αυτό το σενάριο είναι ότι μια τέτοια μετάβαση μπορεί να απαιτήσει μια συστροφή, προκειμένου να γίνει ο S3 (ή άλλα κοσμολογικά μοντέλα Μπιάνκι) παραλληλίσιμα.

Παραπομπές 

Γεωμετρική τοπολογία