Διαστολή του χρόνου

Στη θεωρία της σχετικότητας, η διαστολή του χρόνου είναι η διαφορά του χρόνου που παρήλθε ανάμεσα σε δύο γεγονότα που μετρήθηκαν από παρατηρητές είτε κινούμενοι σχετικώς ο μεν με τον δε, είτε βρισκόμενοι σε διαφορετική βαρυτική μάζα ή μάζες (δεχόμενοι δηλαδή διαφορετικές βαρυτικές έλξεις).

Ένα ακριβές ρολόι σε κατάσταση ηρεμίας σε σχέση με έναν παρατηρητή μπορεί να μετρηθεί να χτυπά σε διαφορετικό ρυθμό όταν συγκρίνεται με έναν δεύτερο παρατηρητή ο οποίος έχει ένα επίσης ακριβές ρολόι. Το γεγονός αυτό δεν αποδίδεται ούτε στις τεχνικές ανακρίβειες του ρολογιού ούτε από το γεγονός ότι τα σήματα χρειάζονται χρόνο για να διαδοθούν, αλλά από τη φύση του ίδιου του χωροχρόνου.

Εισαγωγή 
Τα ρολόγια σε ένα διαστημόπλοιο τρέχουν ελαφρώς πιο αργά απ' ότι τα ρολόγια σε σχέση με εκείνα στη Γη, ενώ αυτά στα GPS και σε δορυφόρους Galileo ελαφρώς γρηγορότερα. Τέτοια διαστολή του χρόνου έχει παρατηρηθεί επανειλημμένα, για παράδειγμα με μικρές διαφορές στα ατομικά ρολόγια που είναι στη Γη και στο διάστημα, παρόλο που και τα δύο ρολόγια λειτουργούν τέλεια (δεν έχουν καμία μηχανική βλάβη). Οι νόμοι της φύσης είναι τέτοιοι ώστε ο ίδιος ο χρόνος να κάμπτεται λόγω διαφορών είτε της βαρύτητας είτε της ταχύτητας -καθένα απ τα οποία επηρεάζει το χρόνο με διαφορετικούς τρόπους.

Θεωρητικά, και χάριν σαφέστερου παραδείγματος, η διαστολή του χρόνου θα μπορούσε να επηρεάσει προγραμματισμένες συναντήσεις αστροναυτών που διαθέτουν προηγμένες τεχνολογίες και μεγαλύτερες ταχύτητες. Αν αστροναύτες έπρεπε να ρυθμίσουν τα ρολόγια τους να μετρήσουν 80 χρόνια, μπορεί ο έλεγχος της αποστολής που βρίσκεται στη Γη να μετρήσει με τα ίδια ακριβώς ρολόγια 81 χρόνια. Οι αστροναύτες θα επέστρεφαν στη Γη μεγαλωμένοι κατά ένα χρόνο λιγότερο από εκείνους που παρέμειναν στη Γη (δείτε το παράδοξο των διδύμων). Ακόμα, η τοπική εμπειρία του χρόνου που πέρασε, στην πραγματικότητα ποτέ δεν αλλάζει για κανέναν. Με άλλα λόγια, οι αστροναύτες στο διαστημόπλοιο, καθώς και το πλήρωμα του ελέγχου της αποστολής στη Γη θα ένιωθαν κανονικά, παρά τις επιπτώσεις της διαστολής του χρόνου.

Με την τεχνολογία να περιορίζει τις ταχύτητες των αστροναυτών, οι διαφορές αυτές στην πραγματικότητα είναι αμελητέες: Μετά από 6 μήνες στο Διεθνή Διαστημικό Σταθμό (ISS), το πλήρωμα όντως έχει μεγαλώσει λιγότερο από εμάς στη Γη αλλά μόνο κατά 0.005 δευτερόλεπτα (όπως βλέπετε καμία σχέση με την ένα χρόνο διαφορά που είχαμε στο θεωρητικό παράδειγμα). Οι επιπτώσεις θα ήταν μεγαλύτερες αν οι αστροναύτες ταξίδευαν κοντά στην ταχύτητα του φωτός (299.792.458 m/s), αντί για την πραγματική τους ταχύτητα - που η ταχύτητα της τροχιάς του ΙSS είναι περίπου 7,7 km/s.

Διαστολή του χρόνου οφείλεται σε διαφορές είτε βαρύτητας είτε σχετικής ταχύτητας. Στην περίπτωση του ISS, ο χρόνος είναι βραδύτερος και αυτό οφείλεται στην ταχύτητα σε κυκλική τροχιά. Αυτή η επίπτωση ελαφρώς μειώνεται με την αντίθετη επίδραση της βαρύτητας λόγω λιγότερου βαρυτικού δυναμικού.

Διαστολή του χρόνου λόγω σχετικής ταχύτητας 
Όταν δύο παρατηρητές βρίσκονται σε σχετική κίνηση και δεν επηρεάζονται από καμία αλλαγή στη βαρύτητα, η άποψη του καθενός θα είναι ότι του άλλου το (σχετικά κινούμενο πλέον) ρολόι χτυπά πιο αργά από το δικό του (τοπικό ρολόι). Όσο μεγαλύτερη είναι η σχετική ταχύτητα, τόσο μεγαλύτερο το μέγεθος της διαστολής του χρόνου. Αυτή η περίπτωση συχνά ονομάζεται ειδική σχετικιστική διαστολή του χρόνου. 

Για παράδειγμα, δύο διαστημόπλοια Α και Β που επιταχύνονται το ένα από το άλλο, θα βιώσουν χρονική διαστολή. Εάν κάπως μπορούσαν να δούνε το ένα μέσα στο άλλο, το ένα πλήρωμα θα έβλεπε το ρολόι του άλλου πληρώματος να χτυπά πιο αργά. Δηλαδή, μέσα στο πλαίσιο αναφοράς του διαστημόπλοιου Α, όλα κινούνται κανονικά, αλλά τα πάντα πάνω στο διαστημόπλοιο Β φαίνονται να κινούνται πιο αργά (και αντίστροφα).

Από τοπική προοπτική, η ώρα που μετρήθηκε από τα ρολόγια που είναι σε ηρεμία σε σχέση με το τοπικό πλαίσιο αναφοράς (και μακριά από κάθε βαρυτική μάζα) εμφανίζεται πάντα να περνά με τον ίδιο ρυθμό. Με άλλα λόγια, αν ένα νέο πλοίο Γ ταξιδεύει μαζί με το πλοίο Α (δηλαδή με την ίδια ταχύτητα), είναι «σε κατάσταση ηρεμίας» σε σχέση με το Α. Από την άποψη του Α, ο χρόνος του C θα φαινόταν φυσιολογικός.

Το ερώτημα που τίθεται είναι: Αν και το πλοίο Α και το Β θεωρούν ότι ο χρόνος του άλλου είναι πιο αργός, ποιος θα έχει μεγαλώσει περισσότερο αν αποφασίσουν να συναντηθούν; Με μία σε βάθος κατανόηση της διαστολής του χρόνου λόγω σχετικής ταχύτητας, αυτό που φαίνεται να είναι το παράδοξο των δίδυμων, αποδεικνύεται ότι δεν είναι καθόλου παράδοξο (ή τη λύση του παραδόξου περιλαμβάνει ένα άλμα στο χρόνο, ως αποτέλεσμα της επιστροφής του παρατηρητή που έχει επιταχυνθεί). Ομοίως, η κατανόηση του παράδοξου των διδύμων θα βοηθήσει να εξηγήσει γιατί οι αστροναύτες του ISS μεγαλώνουν πιο αργά (0,007 δευτερόλεπτα κάθε έξι μήνες), παρόλο που βιώνουν διαστολή του χρόνου λόγω σχετικής ταχύτητας.

Διαστολή του χρόνου λόγω βαρύτητας 

Η βαρυτική διαστολή του χρόνου παίζει επίσης ρόλο στους αστροναύτες του ISS, αν και έχει το αντίθετο αποτέλεσμα από τη διαστολή του χρόνου λόγω σχετικής κίνησης. Απλούστερα, η σχετική βαρύτητα και η ταχύτητα επιβραδύνουν τον χρόνο καθώς αυξάνουν. Η ταχύτητα έχει αυξηθεί για τους αστροναύτες επιβραδύνοντας τον χρόνο τους, ενώ η βαρύτητα έχει μειωθεί, επιταχύνοντας τον (οι αστροναύτες βιώνουν μικρότερη βαρύτητα από ο,τι στη Γη). Παρ' όλα αυτά, οι αστροναύτες του ISS καταλήγουν τελικά να βιώνουν πιο αργά τον χρόνο επειδή τα δύο αυτά αντικρουόμενα φαινόμενα δεν είναι εξίσου ισχυρά. Η διαστολή του χρόνου λόγω σχετικής ταχύτητας (που εξηγήθηκε παραπάνω) ''νικά'', οπότε και επιβραδύνει τον χρόνο. Οι (χρονοεπιταχυντικές) επιπτώσεις της χαμηλής βαρύτητας δεν θα εξουδετερώσουν αυτές (χρονικοεπιβραδυντικές) της ταχύτητας, εκτός εάν ο ISS βρίσκεται σε τροχιά πολύ μακρύτερα από τη Γη.

Το κλειδί είναι ότι και οι δύο παρατηρητές βρίσκονται σε διαφορετική απόσταση τους από μια σημαντική βαρυτική μάζα. Η γενική θεωρία της σχετικότητας περιγράφει πως, και για τους δύο παρατηρητές, το ρολόι το οποίο είναι πιο κοντά στη βαρυτική μάζα (πιο βαθιά στο βαρυτικό πηγάδι) φαίνεται να πηγαίνει πιο αργά απ' ό,τι το ρολόι που είναι πιο μακριά απ' τη μάζα. Το φαινόμενο αυτό φυσικά δεν περιορίζεται μόνο στους αστροναύτες στο διάστημα: Ο χρόνος ενός αναρριχητή περνά ελαφρώς ταχύτερα στην κορυφή ενός βουνού (μεγάλο υψόμετρο, μακρύτερα από το κέντρο της Γης) σε σύγκριση με τους ανθρώπους στο επίπεδο της θάλασσας. Όπως και με τη διαστολή του χρόνου λόγω σχετικής ταχύτητας, έτσι και εδώ, η ''τοπική'' εμπειρία του χρόνου είναι φυσιολογική (κανείς δεν παρατηρεί τη διαφορά στο δικό τους πλαίσιο αναφοράς). Στην περίπτωση της διαστολής του χρόνου λόγω σχετικής ταχύτητας, και οι δύο παρατηρητές είδαν ο ένας τον άλλο να κινείται πιο αργά (αμοιβαία επίδραση). Τώρα, με τη βαρυτική διαστολή του χρόνου, οι δύο παρατηρητές - εκείνοι στο επίπεδο της θάλασσας, σε σχέση με ορειβάτη - συμφωνούν ότι το ρολόι που πλησιάζει τη μάζα είναι πιο αργό σε ρυθμό, και συμφωνούν σχετικά με την αναλογία της διαφοράς (διαστολή του χρόνου από τη βαρύτητα, ως εκ τούτου, δεν είναι αμοιβαία). Δηλαδή, ο ορειβάτης βλέπει τα ρολόγια της στάθμης της θάλασσας να είναι πιο αργά, και αυτοί που είναι στο επίπεδο της θάλασσας βλέπουν το ρολόι του ορειβάτη να είναι γρηγορότερο απ' το δικό τους.

Διαστολή του χρόνου: ειδικές εναντίον γενικών θεωριών της σχετικότητας 
Στη θεωρία της σχετικότητας του Άλμπερτ Αϊνστάιν, η διαστολή του χρόνου με αυτές τις δύο περιπτώσεις μπορεί να συνοψισθεί:
 Στην ειδική θεωρία της σχετικότητας (ή, υποθετικά μακριά από κάθε βαρυτική μάζα), ένα ρολόι που κινείται σε σχέση με ένα αδρανειακό σύστημα παρατήρησης μετρήθηκε να τρέχει πιο αργά. Το αποτέλεσμα αυτό περιγράφεται επακριβώς από τους μετασχηματισμούς Lorentz.
 Στη γενική σχετικότητα, ένα ρολόι σε μια θέση με χαμηλότερο βαρυτικό δυναμικό - για παράδειγμα πιο κοντά σε έναν πλανήτη - βρέθηκε να τρέχει πιο αργά. Τα άρθρα σχετικά με τη βαρυτική διαστολή του χρόνου και βαρυτική ερυθρή μετατόπιση δίνουν μια πιο λεπτομερή άποψη.
Φαινόμενα της ειδικής και της γενικής σχετικότητας μπορούν να συνδυαστούν όπως περιγράφηκε παραπάνω με τους αστροναύτες.

Στην ειδική σχετικότητα, το φαινόμενο της διαστολής του χρόνου είναι αμοιβαίο: Και οι δύο παρατηρητές είδαν o ένας τον άλλο να κινείται πιο αργά (αυτό προϋποθέτει ότι η σχετική κίνηση των δύο μερών είναι ομοιόμορφη δηλαδή, δεν επιταχύνει το ένα σε σχέση με το άλλο κατά τη διάρκεια των παρατηρήσεων). Σε αντίθεση, η βαρυτική διαστολή του χρόνου (όπως αντιμετωπίζεται στη γενική σχετικότητα) δεν είναι αμοιβαία: ένας παρατηρητής στην κορυφή ενός πύργου, θα παρατηρήσει ότι τα ρολόγια στο επίπεδο του εδάφους χτυπούν πιο αργά, και παρατηρητές στο έδαφος, θα συμφωνήσουν για την κατεύθυνση και την αναλογία της διαφοράς. Εξακολουθεί να υπάρχει κάποια διαφωνία κατά μία έννοια, επειδή όλοι οι παρατηρητές πιστεύουν ότι το δικό τους τοπικό ρολόι είναι σωστό, αλλά η κατεύθυνση και η αναλογία της βαρυτικής διαστολής του χρόνου συμφωνείται από όλους τους παρατηρητές, ανεξάρτητα από το υψόμετρό τους.

Απλή απόδειξη της διαστολής του χρόνου λόγω σχετικής ταχύτητας 

Η διαστολή του χρόνου μπορεί να αποδειχθεί από την παρατηρούμενη σταθερότητα της ταχύτητας του φωτός σε όλα τα συστήματα αναφοράς.

Αυτή η σταθερότητα της ταχύτητας του φωτός σημαίνει, σε αντίθεση με τη διαίσθηση, ότι οι ταχύτητες των υλικών αντικειμένων και το φως δεν είναι προσθετικές. Δεν είναι δυνατόν να φαίνεται η ταχύτητα του φωτός μεγαλύτερη πλησιάζοντας με ταχύτητα προς την ύλη που εκπέμπει φως. Αντιστοίχως, δεν είναι δυνατόν να φαίνεται η ταχύτητα του φωτός μικρότερη, απομακρυνόμενοι με ταχύτητα από την ύλη που εκπέμπει φως. 

Θεωρήστε ένα απλό ρολόι που αποτελείται από δύο κάτοπτρα Α και Β, μεταξύ των οποίων ένας παλμός φωτός αναπηδά. Η απόσταση μεταξύ των κατόπτρων είναι L και το ρολόι χτυπά μια φορά κάθε φορά που ο φωτεινός παλμός χτυπά έναν συγκεκριμένο καθρέφτη.

Στο πλαίσιο όπου το ρολόι είναι σε κατάσταση ηρεμίας (πρώτο διάγραμμα δεξιά), ο φωτεινός παλμός διανύει μήκος 2L και η περίοδος του ρολογιού είναι 2L διαιρούμενο με την ταχύτητα του φωτός.

Από το πλαίσιο αναφοράς του κινούμενου παρατηρητή που ταξιδεύει με ταχύτητα v σε σχέση με το υπόλοιπο ρολόι (διάγραμμα κάτω δεξιά), ο φωτεινός παλμός διανύει ένα μεγαλύτερο, γωνιακό μήκος. Το δεύτερο αξίωμα της ειδικής σχετικότητας διατυπώνει ότι η ταχύτητα του φωτός στο κενό είναι σταθερή για όλους τους αδρανειακούς παρατηρητές, το οποίο συνεπάγεται την επιμήκυνση της περιόδου του ρολογιού από την πλευρά του κινούμενου παρατηρητή. Δηλαδή, σε έναν παρατηρητή που κινείται σε σχέση με το ρολόι, το ρολόι εμφανίζεται να τρέχει πιο αργά. Μια άμεση εφαρμογή του πυθαγορείου θεωρήματος οδηγεί στη γνωστή πρόβλεψη της ειδικής σχετικότητας:

Τώρα ο συνολικός χρόνος για να διασχίσει ο φωτεινός παλμός τη διαδρομή δίνεται από

Το μήκος της μισής διαδρομής μπορεί να εκφρασθεί σαν συνάρτηση των γνωστών μεταβλητών μέσω του πυθαγορείου θεωρήματος στο πρώτο τρίγωνο του σχήματος.

Αντικαθιστώντας το D από την προηγούμενη εξίσωση στη δεύτερη και λύνοντας ως προς Δt' έχουμε

Από την πρώτη εξίσωση όμως η τελευταία γράφεται πλέον

που εκφράζει το γεγονός ότι για έναν κινούμενο παρατηρητή η περίοδος του ρολογιού είναι μεγαλύτερη απ' αυτή στο πλαίσιο του ίδιου του ρολογιού αφού υ < c και 1-(υ^2/c^2) < 1. Άρα Δt < Δt'.

Εδώ θα πρέπει να τονίσουμε ότι η ταχύτητα υ είναι πάντα μικρότερη από την ταχύτητα του φωτός c και επομένως ο παρονομαστής του κλάσματος είναι πάντα - σύμφωνα με τις μέχρι τώρα γνώσεις μας - ανάμεσα στους αριθμούς 0 και 1.

Λόγω της σχετικής συμμετρικής ταχύτητας μεταξύ παρατηρητών 

Η κοινή λογική θα υπαγόρευε ότι αν το πέρασμα του χρόνου έχει επιβραδυνθεί για ένα κινούμενο αντικείμενο, το κινούμενο αντικείμενο θα παρατηρούσε τον εξωτερικό κόσμο να επιταχύνεται. Ωστόσο, η ειδική θεωρία της σχετικότητας προβλέπει το αντίθετο.

Κάτι παρόμοιο συμβαίνει και στην καθημερινότητά μας. Αν ο Γιώργος βλέπει τον Νίκο από μακρυά, ο Νίκος του φαίνεται μικρός. Ταυτόχρονα συμβαίνει το ίδιο και για τον Νίκο. όντας πολύ εξοικειωμένοι με τα φαινόμενα της προοπτικής, αυτό δεν το ερμηνεύουμε καθόλου ως παράδοξο.

Όντως είμαστε εξοικειωμένοι με τη σχετικότητα όσον αφορά την απόσταση:  η απόσταση από το Λος Άντζελες στη Νέα Υόρκη είναι από σύμβαση η ίδια με την απόσταση από τη Νέα Υόρκη στο Λος Άντζελες. Από την άλλη πλευρά, όταν λαμβάνονται υπόψη ταχύτητες, κάποιος σκέφτεται ένα αντικείμενο πως «πραγματικά» κινείται, αγνοώντας ότι η κίνησή του είναι πάντα σε σχέση με κάτι άλλο - με τα αστέρια, το έδαφος ή τον εαυτό του. Αν ένα αντικείμενο κινείται σε σχέση με το άλλο, το τελευταίο κινείται σε σχέση με το προηγούμενο και με ίση σχετική ταχύτητα.

Στην ειδική θεωρία της σχετικότητας, ένα κινούμενο ρολόι τρέχει πιο αργά σε σχέση με το ρολόι του παρατηρητή. Αν ο Γιώργος και ο Νίκος είναι σε διαφορετικά τρένα που τρέχουν κοντά στην ταχύτητα του φωτός, τότε ο Γιώργος βλέπει το ρολόι του Νίκου να είναι πιο αργό και αντίστροφα.

Σημειώστε ότι σε όλες αυτές τις προσπάθειες για τη δημιουργία "συγχρονισμού" στο πλαίσιο του συστήματος αναφοράς, το ζήτημα του κατά πόσον κάτι που συμβαίνει σε μια θέση συμβαίνει ταυτόχρονα με κάτι που συμβαίνει αλλού, είναι καίριας σημασίας. Οι υπολογισμοί βασίζονται καίρια στον προσδιορισμό των γεγονότων που συμβαίνουν ταυτόχρονα. Επιπλέον, η καθιέρωση του ταυτοχρόνου των γεγονότων που απέχουν στον χώρο, απαιτεί κατ' ανάγκη της μετάδοσης πληροφορίας ανάμεσα στις δύο θέσεις, η οποία από μόνη της δείχνει ότι η ταχύτητα του φωτός θα εισαχθεί στον προσδιορισμό του ταυτοχρόνου.

Είναι φυσικά εύλογο να ρωτήσουμε πώς η ειδική σχετικότητα ''στέκεται'' όταν μας λέει ότι ένα ρολόι Α ''μετρά'' ένα ρολόι Β να χτυπά πιο αργά, και το αντίστροφο. Για να την αποδεχθούμε θα πρέπει να αμφισβητήσουμε τις παραδοχές στις οποίες στηρίζεται η κοινή αντίληψη μας και να επεξεργαστούμε αυτές του ταυτοχρόνου. Ο ταυτοχρονισμός είναι μια σχέση μεταξύ ενός παρατηρητή σε ένα συγκεκριμένο πλαίσιο αναφοράς και μιας σειράς από γεγονότα. Κατ' αναλογία το αριστερά και το δεξιά είναι αποδεδειγμένο να ποικίλει ανάλογα με τη θέση του παρατηρητή, επειδή ακριβώς εφαρμόζονται σε μία σχέση. Στο ίδιο πνεύμα, ο Πλάτωνας εξήγησε ότι το πάνω και το κάτω περιγράφει τη σχέση με τη Γη -πάλι επειδή εφαρμόζονται σε μία σχέση.

Στη σχετικότητα, χρονικά συστήματα συντεταγμένων έχουν δημιουργηθεί χρησιμοποιώντας μια διαδικασία για το συγχρονισμό των ρολογιών. Τώρα είναι πλέον γνωστή ως η διαδικασία συγχρονισμού Πουανκαρέ-Αϊνστάιν. Ένας παρατηρητής με ένα ρολόι στέλνει ένα φωτεινό σήμα τη χρονική στιγμή t1, σύμφωνα με το ρολόι του. Σε ένα μακρινό γεγονός, το φωτεινό σήμα αντανακλάται πίσω, και φτάνει στον παρατηρητή σε χρόνο t2, σύμφωνα με το ρολόι του. Δεδομένου ότι το φως ταξιδεύει την ίδια διαδρομή με την ίδια ταχύτητα πηγαίνοντας μπρος και πίσω για τον παρατηρητή σε αυτό το σενάριο, ο χρόνος συντεταγμένων όταν το φωτεινό σήμα ανακλάται για τον παρατηρητή είναι tE = (t1 + t2) / 2. Με τον τρόπο αυτό, το ρολόι ενός παρατηρητή και μόνο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να καθορίσει χρονικές συντεταγμένες οι οποίες να ισχύουν οπουδήποτε στο σύμπαν.

Ωστόσο, δεδομένου ότι τα ρολόγια είναι σε κίνηση σε όλες τα άλλα αδρανειακά συστήματα, έτσι οι ενδείξεις του ρολογιού δεν είναι συγχρονισμένες σε εκείνα τα πλαίσια. Αυτό είναι η βάση της σχετικότητας του ταυτόχρονου. Επειδή τα ζεύγη των υποτιθέμενων ταυτόχρονων στιγμών προσδιορίζονται με διαφορετικό τρόπο από διαφορετικούς παρατηρητές, το κάθε ρολόι μπορεί να ''ερμηνεύσει'' ότι το άλλο είναι το αργό, χωρίς η σχετικότητα να είναι αντιφατική. Η συμμετρική διαστολή του χρόνου εμφανίζεται σε σχέση με συστήματα συντεταγμένων που έχουν συσταθεί για αυτόν τον τρόπο. Πρόκειται για ένα φαινόμενο όπου ένα άλλο ρολόι μετράται να τρέχει πιο αργά από ότι το δικό μας ρολόι. Ωστόσο εμείς δεν καταλαβαίνουμε ότι και το δικό μας ρολόι επηρεάζεται -και όντως δεν επηρεάζεται για εμάς και μόνο- γιατί στην περίπτωση αυτή, εμείς είμαστε το σύστημα συντεταγμένων που συστάθηκε για να παρατηρεί το ρολόι μας ότι χτυπά σωστά. Μια ματιά στην πρώτη εικόνα θα σας πείσει για την ύπαρξη της ταυτόχρονης σχετικότητας.

Κανονικός χρόνος και διάγραμμα Minkowski 

Η συμμετρία αυτή μπορεί να αναπαρασταθεί με ένα διάγραμμα Minkowski. Ρολόι C σε ηρεμία σε αδρανειακό σύστημα S' συναντά το ρολόι Α στο d και το ρολόι Β στο f (και τα δύο βρίσκονται σε ηρεμία στο S). Και τα τρία ρολόγια ξεκινούν να χτυπούν ταυτόχρονα στο S. Η γραμμή του Α είναι ο ct άξονας, η γραμμή του Β που τέμνει την f είναι παράλληλη στον ct άξονα και η γραμμή του c είναι ο ct' άξονας. Όλα αυτά τα γεγονότα, ταυτόχρονα με το d στο S είναι στον x άξονα, στον S' στον x' άξονα.

Ο κανονικός χρόνος μεταξύ δύο γεγονότων καθορίζεται από ένα ρολόι παρευρισκόμενο και στα δύο γεγονότα. Αυτή η μέτρηση είναι αμετάβλητη, δηλαδή σημαίνει πως σε όλα τα αδρανειακά συστήματα ο χρόνος αυτός καθορίζεται από το συγκεκριμένο ρολόι. Για το διάστημα df είναι δηλαδή ο κανονικός χρόνος του ρολογιού C και είναι μικρότερος συγκρινόμενος με τις χρονικές συντεταγμένες ef=dg των ρολογιών Α και Β στο S. Επίσης, ο κανονικός χρόνος ef του Β είναι βραχύτερος συγκρινόμενος με τον if στο S' επειδή το γεγονός e ήταν μετρημένο στο S' ήδη σε χρόνο i λόγω της σχετικότητας του ταυτόχρονου, πολύ πριν το C αρχίσει να χτυπά.

Από αυτό μπορούμε να δούμε πως ο κανονικός χρόνος ανάμεσα σε δύο γεγονότα που μετριέται από ένα ρολόι σε ηρεμία και παρόν και στα δύο γεγονότα, έχει πάντα τη μικρότερη διάρκεια, σε σύγκριση με ένα ρολόι που είναι συγχρονισμένο σε σύστημα χρονικών συντεταγμένων και μετρά για άλλα αδρανειακά συστήματα. Ωστόσο η διάρκεια μεταξύ δύο γεγονότων μπορεί επίσης να παραπέμπει στον κανονικό χρόνο επιταχυνόμενων ρολογιών, παρόντων στα δύο γεγονότα. Συγκρινόμενος με όλους τους κανονικούς χρόνους μεταξύ δύο γεγονότων, ο κανονικός χρόνος ενός ρολογιού σε ηρεμία είναι πάντοτε ο μεγαλύτερος. Το τελευταίο παραπέμπει και στη λύση του παράδοξου των διδύμων.

Παραπομπές 

Ειδική σχετικότητα
Χρόνος
Θεμελιώδεις έννοιες της φυσικής