Κλάση συζυγίας

Στα μαθηματικά, ειδικά στη θεωρία ομάδων, τα στοιχεία της κάθε ομάδας μπορεί να χωριστούν σε κλάσεις συζυγίας, μέλη της ίδιας κλάσης συζυγίας μοιράστηκαν πολλές ιδιότητες, και μελέτησαν τις κλάσεις συζυγίας  των μη-αβελιανών ομάδων αποκαλύπτοντας πολλά σημαντικά χαρακτηριστικά της δομής τους. Για μια αβελιανή ομάδα, κάθε κλάση συζυγίας είναι ένα σύνολο που περιέχει ένα στοιχείο (μοναδικό σύνολο).

Λειτουργίες που είναι σταθερές για τα μέλη της ίδιας  κλάσης συζυγίας ονομάζονται λειτουργίες της κλάσεις.

Ορισμός 
Ας υποθέσουμε ότι το G είναι μια ομάδα. Δύο στοιχεία a και b της G ονομάζονται συζευγμένα αν υπάρχει ένα στοιχείο g στην G με
 gag-1 = b
(Στη γραμμική άλγεβρα, αυτό αναφέρεται ως πίνακα ομοιότητας.)

Μπορεί εύκολα να αποδειχθεί ότι η συζυγία είναι μια σχέση ισοδυναμίας και, επομένως, χωρίσματα G σε κλάσεις ισοδυναμίας. (Αυτό σημαίνει ότι κάθε στοιχείο της ομάδας ανήκει σε ακριβώς σε μία κλάση ισοδυναμίας, και οι κλάσεις των Cl(a) και Cl(b) είναι ίσες αν και μόνο αν a και b είναι συζυγής, και ξένα σύνολα διαφορετικά.) Η κλάση ισοδυναμίας  που περιέχει το στοιχείο a της G είναι
 Cl(a) = { b ∈ G | υπάρχει g ∈ G με β = gag-1 }
και ονομάζεται κλάση ισοδυναμίας του a. Ο αριθμός της κλάσης του G είναι ο αριθμός των διακριτών (nonequivalent) κλάσεων ισοδυναμίας. Όλα τα στοιχεία που ανήκουν στην ίδια κλάση ισοδυναμίας έχουν την ίδια τάξη.

Οι κλάσεις συζυγίας μπορεί να αναφέρονται με την περιγραφή τους, ή πιο σύντομα, με τις συντομογραφίες όπως "6Α", που σημαίνει "μια ορισμένη κλάση συζυγίας  της τάξης με 6 στοιχεία", και "6Β" θα είναι μια διαφορετική  κλάσης συζυγίας της τάξης των 6 στοιχείων; η  κλάση συζυγίας 1A είναι  κλάση συζυγίας της ταυτότητάς του. Σε ορισμένες περιπτώσεις,οι κλάσεις συζυγίας  μπορεί να περιγραφούν με ομοιόμορφο τρόπο – για παράδειγμα, η συμμετρική ομάδα μπορεί να περιγραφεί από τη δομή του κύκλου.

Παραδείγματα 
Η συμμετρική ομάδα S3, που αποτελείται από τους 6 μεταθέσεις των τριών στοιχείων, έχει τρεις  κλάσεις συζυγίας :
 καμία αλλαγή (abc → abc)
 εναλλαγή δύο (abc → acb, abc → bac, abc → cba)
 μια κυκλική μετάθεση των τριών (abc → bca, abc → ταξί)
Αυτές οι τρεις κατηγορίες που αντιστοιχούν στην κατάταξη της ισομετρίας ενός ισόπλευρου τριγώνου.

Η συμμετρική ομάδα S4, που αποτελείται από 24 συνδυασμούς των τεσσάρων στοιχείων, έχει πέντε κλάσεις συζυγίας , που αναφέρονται στις κυκλικές δομές και τάξεις:
 (1)4: καμία αλλαγή (1 στοιχείο: { (1, 2, 3, 4) } )
 (2): εναλλαγή δύο (6 στοιχεία: { (1, 2, 4, 3), (1, 4, 3, 2), (1, 3, 2, 4), (4, 2, 3, 1), (3, 2, 1, 4), (2, 1, 3, 4) })
 (3): μια κυκλική μετάθεση των τριών (8 στοιχεία: { (1, 3, 4, 2), (1, 4, 2, 3), (3, 2, 4, 1), (4, 2, 1, 3), (4, 1, 3, 2), (2, 4, 3, 1), (3, 1, 2, 4), (2, 3, 1, 4) } )
 (4): μια κυκλική μετάθεση των τεσσάρων (6 στοιχεία: { (2, 3, 4, 1), (2, 4, 1, 3), (3, 1, 4, 2), (3, 4, 2, 1), (4, 1, 2, 3), (4, 3, 1, 2) } )
 (2)(2): εναλλαγή δύο, και επίσης τα άλλα δύο  (3 στοιχεία: { (2, 1, 4, 3), (4, 3, 2, 1), (3, 4, 1, 2) } )
Σε γενικές γραμμές, ο αριθμός των κλάσεων συζυγίας στην συμμετρική ομάδα Sn είναι ίσος με τον αριθμό των ακέραιων διαμερίσεων του ν. Αυτό συμβαίνει επειδή κάθε κλάση συζυγίας αντιστοιχεί σε ακριβώς μια διαμέριση του {1, 2, ..., n} σε κύκλους, μέχρι να γίνει η μετάθεση των στοιχείων του {1, 2, ..., n}.

Οι σωστές περιστροφές του κύβου, οι οποίες μπορούν να χαρακτηρίζονται από μεταθέσεις του σώματος των διαγωνίων, επίσης, περιγράφονται από τη συζυγία του S4 .

Σε γενικές γραμμές, η Ευκλείδεια ομάδα μπορεί να μελετηθεί από τη συζυγία των ισομετριών του Ευκλείδειου χώρου.

Ιδιότητες 
 Το ταυτοτικό στοιχείο είναι πάντα το μόνο στοιχείο της τάξης του, που είναι Cl(e) = {e} 
 Αν G είναι αβελιανή ομάδα, στη συνέχεια, gag-1 = a για όλα τα a και g σε G; οπότε Cl(a) = {a}  για όλα τα a στην G.
 Εάν τα δύο στοιχεία a και b των G ανήκουν στην ίδια κλάση συζυγίας (δηλαδή, αν είναι συζευγμένα) και, στη συνέχεια, έχουν την ίδια τάξη. Γενικότερα, κάθε δήλωση για το ένα a μπορεί να μεταφραστεί σε μια δήλωση για β = gag-1, επειδή ο χάρτης φ(x) = gxg-1 είναι ένας αυτομορφισμός της G.
 Ένα στοιχείο a της G βρίσκεται στο κέντρο Z(G) της G αν και μόνο αν η κλάση συζυγίας έχει μόνο ένα στοιχείο, μια . Γενικότερα, αν CG(a) δηλώνει τον κεντροποιητή του a στην G, δηλαδή, η υποομάδα που αποτελείται από όλα τα στοιχεία της g τέτοια ώστε ga = αg, τότε ο δείκτης πίνακα της υποομάδας [G : CG(a)] είναι ίσος με τον αριθμό των στοιχείων της κλάσης συζυγίας του α (από το θεώρημα τροχιάς σταθεροποίησης).
 Αν a και b είναι συζυγείς, τότε υπάρχουν οι δυνάμεις τους ak και bk  (Απόδειξη: αν a = gbg-1, τότε ak = (gbg-1)(gbg-1) ... (gbg-1) = μbkg-1.) Έτσι, λαμβάνοντας kth δυνάμεις δίνει ένα χάρτη των κλάσεων συζυγίας, και μπορεί κανείς να εξετάσει την οποία κλάση συζυγίας στην preimage. Για παράδειγμα, η συμμετρική ομάδα, το τετράγωνο ενός στοιχείου από τον τύπο (3)(2) (3-κύκλο και 2-κύκλο) είναι ένα στοιχείο του τύπου (3), ως εκ τούτου, μία από τις δυναμικές κλάσεις (3) της κλάσης (3)(2) * η κλάση (6) είναι ένα άλλο.

Εξίσωση κλάσης συζυγίας 
Αν G είναι μια πεπερασμένη ομάδα, τότε για οποιοδήποτε στοιχείο α της ομάδας, τα στοιχεία της  κλάσης συζυγίας του a είναι ένα-προς-ένα αντιστοιχία με την πλευρική τάξη του κεντροποιητή της CG(α). Αυτό μπορεί να διαπιστωθεί από την παρατήρηση ότι οποιαδήποτε δύο στοιχεία β και γ , που ανήκουν στο ίδιο coset (και, ως εκ τούτου, b = cz για κάποιο z στο centralizer CG(a) ) προκαλούν το ίδιο στοιχείο, όταν κλίνω το a: bab-1 = cza(cz)-1 = czaz-1c-1 = czz-1ac-1 = cac-1.

Έτσι, ο αριθμός των στοιχείων της κλάσης συζυγίας του a είναι ο δείκτης πίνακα της υποομάδας [G : CG(a)] του centralizer CG(a) σε G ; ως εκ τούτου, το μέγεθος της κάθε κλάση συζυγίας διαιρεί την τάξη της ομάδας.

Επιπλέον, αν επιλέξουμε ένα μόνο αντιπροσωπευτικό στοιχείο χ -  από κάθε κλάση συζυγίας, μπορούμε να συμπεράνουμε από το disjointness του κλάσεων συζυγιών ότι | G | = ∑i [G : CG(xi)], όπου CG(xi) είναι η centralizer από το στοιχείο x ' . Παρατηρώντας ότι κάθε στοιχείο από το κέντρο Z(G) αποτελεί μια κλάση συζυγίας περιέχει μόνο που η ίδια δίνει αφορμή για την τάξη εξίσωσης:
 | G | = | Z(G) | + ∑i [G : CG(xi)]
όπου το άθροισμα είναι πάνω από ένα αντιπροσωπευτικό στοιχείο από κάθε κλάση συζυγίας που δεν είναι στο κέντρο.

Είναι γνωστό ότι οι διαιρέτες της τάξης της ομάδας της | G | μπορούν συχνά να χρησιμοποιηθούν για να αντληθούν πληροφορίες σχετικά με την τάξη του κέντρου ή της κλάσης ισοδυναμίας.

Παράδειγμα 
Σκεφτείτε μια πεπερασμένη ομάδα πρώτων αριθμών p G (που είναι μια ομάδα με σκοπό pn, όπου p είναι ένας πρώτος αριθμός και  n > 0 ). Θα το αποδείξουμε .

Από την τάξη κάθε κλάση συζυγίας της G ότι διαιρεί την τάξη της G, έπεται ότι κάθε κλάση συζυγίας Hθα έχει επίσης τάξη κάποια δύναμη του pki, όπου 0 < ki < n. Αλλά τότε η τάξη της εξίσωσης απαιτεί ότι | G | = pn = | Z(G) | + ∑i pki. Από αυτό βλέπουμε ότι το p πρέπει να διαιρεί  το| Z(G) | , οπότε  | Z(G) | > 1 .

Συζυγίες υποομάδων και γενικά υποσύνολα 
Γενικότερα, όταν δίνεται κάθε υποσύνολο S του G (S δεν είναι απαραίτητα μια υποομάδα), ορίζουμε ένα υποσύνολο T του G να είναι συζευγμένο  του S , αν υπάρχει κάποια g στην G τέτοια ώστε T = gSg-1. Μπορούμε να ορίσουμε Cl(S) ως το σύνολο όλων των υποσυνόλων T του G τέτοιο ώστε T είναι συζευγμένο να S.

Ένα συχνά χρησιμοποιούμενο θεώρημα είναι ότι, δοθέντος κάθε υποσυνόλου S του G, ο δείκτης πίνακα της N(S) (διάνυσμα διαιρεμένο με τη νόρμα του S) G ισούται με τη τάξη του Cl(S):
 |Cl(S)| = [G : N(S)]
Αυτό προκύπτει από το, αν g και h είναι στην G, τότε gSg-1 = hSh-1 αν και μόνο αν g-1h είναι  στην N(S), με άλλα λόγια, αν και μόνο αν g και h είναι στην ίδια πλευρική τάξη της N(S).

Σημειώστε ότι αυτή η φόρμουλα γενικεύει την τιμή που δίνεται νωρίτερα για τον αριθμό των στοιχείων σε μια κλάση ισοδυναμίας (let S = {a}).

Τα παραπάνω είναι ιδιαίτερα χρήσιμα όταν μιλάμε για υποομάδες της G. Οι υποομάδες μπορεί, επομένως, να χωρίζονται σε κλάσεις συζυγίας, με δύο υποομάδες που ανήκουν στην ίδια κατηγορία, αν και μόνο αν είναι συζευγμένες. Οι συζυγείς υποομάδες είναι ισομορφικές, αλλά οι ισομορφικές υποομάδες δεν χρειάζεται να είναι συζυγείς. Για παράδειγμα, μια αβελιανή ομάδα μπορεί να έχει δύο διαφορετικές υποομάδες που είναι ισομορφικές, αλλά δεν είναι ποτέ συζυγείς.

Συζηγία ως ομάδα δράσης 
Αν ορίσουμε
 g . x = gxg-1
για οποιαδήποτε δύο στοιχεία g και x στην G, τότε έχουμε μια ομάδα δράσης της G στην G. Οι τροχιές της δράσης αυτής είναι οι κλάσεις συζυγίας, και ο σταθεροποιητής ενός συγκεκριμένου στοιχείου είναι το στοιχείο του κεντροποιητή.

Ομοίως, μπορούμε να ορίσουμε μια ομάδα δράσης της G στο σύνολο όλων των υποσυνόλων του Χ, γράφοντας
 g . S = gSg-1,
ή στο σύνολο των υποομάδων της G.

Γεωμετρική ερμηνεία 
Οι κλάσεις συζυγίας στη θεμελιώδης ομάδα μιας διαδρομής-σύνδεσης του τοπολογικού χώρου μπορεί να θεωρηθούν ως κλάσεις ισοδυναμίας των δωρεάν βρόχων σε ελεύθερη ομοτοπία.

Δείτε επίσης 
 Τοπολογική συζυγία
 FC-ομάδα
 Συζυγία-κλειστή υποομάδα

References 

 Grillet, Πιέρ Αντουάν (2007). Αφηρημένη άλγεβρα. Απόφοιτος κείμενα στα μαθηματικά 242 (2 ed.). Springer. ISBN 978-0-387-71567-4. 
Θεωρία ομάδων