Άλφρεντ Τάρσκι

Ο Άλφρεντ Τάρσκι (Alfred Tarski, 14 Ιανουαρίου 1901 – 26 Οκτωβρίου 1983) ήταν Πολωνός επιστήμονας της Λογικής, μαθηματικός και φιλόσοφος. Σπούδασε στο Πανεπιστήμιο της Βαρσοβίας και ήταν μέλος της σχολής της λογικής Λβιβ–Βαρσοβίας και της σχολής μαθηματικών και φιλοσοφίας της Βαρσοβίας. Μετανάστευσε στις ΗΠΑ το 1939, έγινε Αμερικανός πολίτης το 1945 και δίδαξε και πραγματοποίησε έρευνα στα μαθηματικά στο Πανεπιστήμιο Μπέρκλεϋ στην Καλιφόρνια από το 1942 μέχρι τον θάνατό του.

Ήταν παραγωγικός συγγραφέας γνωστός για το έργο του σχετικά με τη θεωρία μοντέλων, τα Μεταμαθηματικά και την αλγεβρική λογική. Συνέβαλε και σε άλλα πεδία, όπως η αφηρημένη άλγεβρα, η τοπολογία, η γεωμετρία, η θεωρία μέτρου, η μαθηματική λογική, η θεωρία συνόλων και η αναλυτική φιλοσοφία.

Οι βιογράφοι του Ανίτα και Σολομών Φέφερμαν αναφέρουν ότι «Μαζί με τον σύγχρονό του, Κουρτ Γκέντελ, άλλαξε το πρόσωπο της λογικής στον εικοστό αιώνα, κυρίως μέσα από το έργο του σχετικά με την έννοια της αλήθειας και της θεωρίας μοντέλων».

Ζωή
Ο Άλφρεντ Τάρσκι γεννήθηκε με το όνομα Άλφρεντ Τάιτελμπαουμ (πολωνικά ορθογραφία: "Tajtelbaum"), από γονείς που ήταν Εβραίοι της Πολωνίας σε άνετες συνθήκες. Αρχικά εκδήλωσε τις μαθηματικές ικανότητές του ενώ ήταν στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση, στη Σχολή Mazowiecka της Βαρσοβίας. Παρόλα αυτά, μπήκε στο Πανεπιστήμιο της Βαρσοβίας το 1918, σκοπεύοντας να σπουδάσει Βιολογία.

Αφού η Πολωνία ανέκτησε την ανεξαρτησία της το 1918, το Πανεπιστήμιο της Βαρσοβίας ήταν υπό την ηγεσία των Λουκέιτζεβιτζ (Jan Łukasiewicz), Λεσνιέφσκι (Stanisław Leśniewski) και Σιερπίνσκι (Wacław Sierpiński) και γρήγορα έγινε παγκοσμίως κορυφαίο ερευνητικό ίδρυμα στη λογική, τα θεμελιώδη μαθηματικά και τη φιλοσοφία των μαθηματικών. Ο Λεσνιέφσκι αναγνώρισε τη δυναμική του Τάρσκι ως μαθηματικός και τον προέτρεψε να εγκαταλείψει τη βιολογία. Στο εξής ο Τάρσκι παρακολούθησε μαθήματα που διδάσκονταν από τους Λουκέιτζεβιτζ, Σιερπίνσκι, Μαζούρκεβιτς (Stefan Mazurkiewicz) και Κοταρμπίνσκι (Tadeusz Kotarbiński), και έγινε το μόνο πρόσωπο ποτέ που ολοκλήρωσε το διδακτορικό του υπό την εποπτεία του Λεσνιέφσκι. ο Τάρσκι και ο Λεσνιέφσκι σύντομα ψυχράθηκαν μεταξύ τους. Ωστόσο, στη μετέπειτα ζωή, ο Τάρσκι διατήρησε τους πιο θερμούς επαίνους για Κοταρμπίνσκι, οι οποίοι ήταν αμοιβαίοι.

Το 1923 ο Άλφρεντ Τάιτελμπαουμ και ο αδελφός του Βάρτσουαφ (Wacław) άλλαξαν το επώνυμό τους σε «Τάρσκι». (Χρόνια αργότερα, ο Άλφρεντ γνώρισε και έναν άλλο Άλφρεντ Τάρσκι στη βόρεια Καλιφόρνια.) Τα αδέρφια Τάρσκι, επίσης, προσηλυτίστηκαν στον Ρωμαϊκό Καθολικισμό, την κυρίαρχη θρησκεία της Πολωνίας. Ο Άλφρεντ έπραξε έτσι, παρόλο που ήταν ένας δηλωμένος αγνωστικιστής. Ο Τάρσκι ήταν πολωνός εθνικιστής που είδε τον εαυτό του σαν Πολωνό και ευχήθηκε να είναι πλήρως αποδεκτός ως τέτοιος — αργότερα, στην Αμερική, μιλούσε Πολωνικά στο σπίτι.

Αφού έγινε ο νεότερος άνθρωπος ποτέ που ολοκλήρωσε το διδακτορικό του στο Πανεπιστήμιο της Βαρσοβίας, ο Ταρσκί δίδαξε λογική στο Πολωνικό Παιδαγωγικό Ινστιτούτο, μαθηματικά και λογική στο Πανεπιστήμιο, και υπηρέτησε ως βοηθός του Λουκέιτζεβιτζ. Επειδή αυτές οι θέσεις ήταν κακοπληρωμένες, ο Ταρσκί επίσης δίδαξε μαθηματικά σε σχολείο δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης της Βαρσοβίας. Πριν τον Β' Παγκόσμιο Πόλεμο, δεν ήταν ασυνήθιστο για τους Ευρωπαίους διανοούμενους της έρευνας διαμετρήματος να διδάσκουν στο γυμνάσιο. Ως εκ τούτου, από το 1923 μέχρι και την αναχώρησή του για τις Ηνωμένες Πολιτείες το 1939, ο Τάρσκι όχι μόνο έγραψε πολλά βιβλία και πολλά χαρτιά, ορισμένα από τα οποία ήταν ριζοσπαστικά, αλλά επίσης το έκανε ενώ συντηρούσε τον εαυτό του κυρίως με τη διδασκαλία μαθηματικών γυμνασίου. Το 1929 ο Τάρσκι παντρεύτηκε τη συνάδελφο Μαρία Βιτκόφσκα (Witkowska), η οποία ήταν Πολωνή με Καθολικό φόντο. Είχε εργαστεί ως μεταφορέας για το στρατό στον  Πολωνικό-Σοβιετικό Πόλεμο. Απέκτησαν δύο παιδιά, ένα γιο Γιαν (Jan) που έγινε φυσικός, και μια κόρη Ίνα (Ina) που παντρεύτηκε τον μαθηματικό Έρενφεουχτ (Andrzej Ehrenfeucht).

Ο Τάρσκι έκανε αίτηση για την έδρα της φιλοσοφίας στο Πανεπιστήμιο της πόλης Λβιβ, αλλά με τη σύσταση του Μπέρτραντ Ράσελ απονεμήθηκε στον Λίον Κουιστέκ (Leon Chwistek). Το 1930, ο Τάρσκι επισκέφθηκε το Πανεπιστήμιο της Βιέννης, έκανε διάλεξη στο σεμινάριο του Κάρλ Μένγκερ και συναντήθηκε με τον Κουρτ Γκέντελ. Χάρη σε μια υποτροφία, ήταν σε θέση να επιστρέψει στη Βιέννη, κατά το πρώτο εξάμηνο του 1935 για να συνεργαστεί με την ερευνητική ομάδα του Μένγκερ. Από τη Βιέννη ταξίδεψε στο Παρίσι για να παρουσιάσει τις ιδέες του για την αλήθεια κατά την πρώτη συνεδρίαση του κινήματος Ενότητα της Επιστήμης, μια απόφυση του Κύκλου της Βιέννης. Το 1937, ο Τάρσκι έκανε αίτηση για μια έδρα στο Πανεπιστήμιο του Πόζναν, αλλά η έδρα καταργήθηκε. Οι δεσμοί του Τάρσκι με το κίνημα της Ενότητας της Επιστήμης πιθανότατα έσωσε τη ζωή του, γιατί συνετέλεσαν στην πρόσκλησή του να απευθυνθεί στο Συνέδριο της Ενότητας της Επιστήμης που πραγματοποιήθηκε το Σεπτέμβριο του 1939 στο Πανεπιστήμιο του Χάρβαρντ. Έτσι έφυγε από την Πολωνία, τον Αύγουστο του 1939, με το τελευταίο πλοίο που έπλευσε από την Πολωνία για τις Ηνωμένες Πολιτείες πριν από τη Γερμανική και τη Σοβιετική εισβολή στην Πολωνία και το ξέσπασμα του  Β΄ Παγκοσμίου Πολέμου. Ο Τάρσκι έφυγε απρόθυμα, επειδή ο Λεσνιέφσκι είχε πεθάνει λίγους μήνες πριν, δημιουργώντας ένα κενό το οποίο ο Τάρσκι ήλπιζε να γεμίσει. Αγνοώντας τη Ναζιστική απειλή, άφησε τη γυναίκα του και τα παιδιά του στη Βαρσοβία. Δεν τους είδε ξανά μέχρι το 1946. Κατά τη διάρκεια του πολέμου, όλη σχεδόν η εκτεταμένη οικογένειά του πέθανε στα χέρια των γερμανικών αρχών κατοχής.

Ενώ βρισκόταν στις Ηνωμένες Πολιτείες, ο Τάρσκι πραγματοποίησε μια σειρά από προσωρινές διδασκαλίες και ερευνητικές θέσεις στα ακόλουθα: Πανεπιστήμιο του Χάρβαρντ το 1939, Κολέγιο της πόλης της Νέας Υόρκης (City College of New York) το 1940, και χάρη σε μια Υποτροφία Γκούγκενχαϊμ στο Ινστιτούτο για Προηγμένες Σπουδές (Institute for Advanced Study) του Πρίνστον (1942), όπου και πάλι συνάντησε τον Γκέντελ. Το 1942, ο Τάρσκι συμμετείχε στο Τμήμα Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνιας, Μπέρκλεϋ, όπου πέρασε το υπόλοιπο της καριέρας του. Έγινε Αμερικανός πολίτης το 1945. Αν και επίτιμος από το 1968, δίδαξε μέχρι το 1973 και επέβλεψε τους υποψήφιους διδάκτορες μέχρι το θάνατό του. Στο Μπέρκλεϊ, ο Τάρσκι απέκτησε φήμη ενός φοβερού και απαιτητικού δασκάλου, γεγονός που σημειώνεται από πολλούς παρατηρητές:

Τα σεμινάριά του στο Μπέρκλεϊ γρήγορα έγιναν διάσημα στον κόσμο της μαθηματικής λογικής. Οι μαθητές του, πολλοί από τους οποίους έγιναν διακεκριμένοι μαθηματικοί, σημείωσαν την τρομερή ενέργεια με την οποία θα παρότρυνε και δελέαζε την καλύτερη δουλειά τους, πάντα απαιτώντας τα υψηλότερα πρότυπα σαφήνειας και ακρίβειας.Ο Τάρσκι ήταν εξωστρεφής και ενεργητικός, έχων ετοιμότητα πνεύματος, ισχυρή θέληση και κοφτερή γλώσσα. Προτίμησε η έρευνά του να είναι συνεργατική — μερικές φορές δουλεύοντας όλο το βράδυ με έναν συνάδελφό του — και ήταν πολύ σχολαστικός με την προτεραιότητα.Ένας χαρισματικός ηγέτης και δάσκαλος, γνωστός για το εξαιρετικά ακριβές, εν τούτοις γεμάτο σασπένς εξηγητικό στυλ, ο Τάρσκι είχε τρομαχτικά υψηλά πρότυπα για τους μαθητές, αλλά την ίδια στιγμή μπορούσε να είναι πολύ ενθαρρυντικός, και ιδιαίτερα με τις γυναίκες — σε αντίθεση με τη γενική τάση. Κάποιοι μαθητές έφυγαν φοβισμένοι, αλλά ένας κύκλος μαθητών παρέμεινε, πολλοί από τους οποίους έγιναν παγκοσμίου φήμης ηγέτες στον τομέα.Ο Τάρσκι έχει επιβλέψει 24 διδακτορικές διατριβές, συμπεριλαμβανομένων (σε χρονολογική σειρά) αυτών του Άντρεϋ Μοστόβσκι (Andrzej Mostowski), Μπιάνι Τζόνσον (Bjarni jónsson), Τζούλια Ρόμπινσον (Julia Robinson), Ρόμπερτ Βότ ( Robert Vaught), Σολομώντα Φέφερμαν (Solomon Feferman), Ρίτσαρντ Μόνταγκιου, Τζέιμς Ντόναλντ Μονκ (James Donald Μοnk), Χάιμ Γκάιφμαν (Haim Gaifman), Ντόναλντ Πιγκοζι (Donald Pigozzi), Ρότζερ Μάντοξ (Roger Maddux), καθώς και του Τσεν Τσαν Τσανγκ (Chen Chung Chang) και του Τζερόμ Κάισλερ (Jerome Keisler), συγγραφείς της Θεωρίας Μοντέλων(1973), ένα κλασσικό σύγγραμμα του τομέα. Επιπλέον,ο Τάρσκι επηρέασε έντονα τις διατριβές του Αλφρεντ Λίντεμπαμ(Alfred Lindenbaum), της Ντέινα Σκοτ, καθώς και του Στίβεν Ζιβάν (Steven Givant).Ενα αξιοσημείωτο γεγονός,δεδομένου ότι οι άνδρες εκπροσωπούσαν την συντριπτική πλειοψηφία των μεταπτυχιακών φοιτητών, είναι ότι πέντε από τους μαθητές του Τάρσκι ήταν γυναίκες.

Ο Τάρσκι έχει δώσει διαλέξεις στο Πανεπιστημιακό Κολλέγιο του Λονδίνου (1950, 1966), στο Ινστιτούτο Ανρί Πουανκαρέ στο Παρίσι (1955), στο Ινστιτούτο Μίλερ της Βασικής Έρευνας των Επιστήμων στο Μπέρκλεϋ (1958–60), στο Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνιας στο Λος Άντζελες (1967) και στο Παπικό Καθολικό Πανεπιστήμιο της Χιλής (1974–75). Ανάμεσα στις πολλές διακρίσεις που συγκέντρωσε κατά τη διάρκεια της καριέρας του, είχε εκλεγεί στην Εθνική Ακαδημία Επιστημών των Ηνωμένων Πολιτειών, τη Βρετανική Ακαδημία και τη Βασιλική Ολλανδική Ακαδημία Τεχνών και των Επιστημών το 1958, όπου και έλαβε τιμητικά βραβεία από το Παπικό Καθολικό Πανεπιστήμιο της Χιλής το 1975, από το Πανεπιστήμιο Πολ Σεζάν της Μασσαλίας το 1977 και από το Πανεπιστήμιο του Κάλγκαρι, καθώς και το βραβείο του Μπέρκλεϋ το 1981. Ο Τάρσκι προήδρευσε στην Ένωση για τη Συμβολική Λογική,1944–46, και στη Διεθνή Ένωση για την Ιστορία και τη Φιλοσοφία της Επιστήμης, 1956–57. Ήταν επίσης επίτιμος συντάκτης της εφημερίδας Universalis.

Μαθηματικός
Το ενδιαφέρον του Τάρσκι για τα μαθηματικά ήταν εξαιρετικά μεγάλο. Τα συγγράμματα του υπολογίζονται περίπου 2.500 σελίδες, τα περισσότερα από τα οποία έχουν σχέση με τα μαθηματικά,και όχι με τη λογική. Για μια συνοπτική επισκόπηση των μαθηματικών επίτευγμάτων του Τάρσκι από τον μαθητή του Σολομώντα Φέφερμαν, ανατρέξτε στην ενότητα "Interludes I–VI" στο Φέφερμαν.

Το πρώτο σύγγραμμα του, που δημοσιεύτηκε όταν ήταν 19 ετών, αναφερόταν στην θεωρία συνόλων, ένα θέμα στο οποίο επέστρεφε συνεχώς καθ'όλη την διάρκεια τη ζωής του. Το 1924, αυτός και ο Στέφαν Μπάναχ (Stefan Banach) απέδειξαν ότι, όταν κάποιος αποδέχεται το Αξίωμα της Επιλογής, μια μπάλα (μαθηματικά) μπορεί να κοπεί σε ένα πεπερασμένο αριθμό τεμαχίων, τα οποία στη συνέχεια μπορούν να επανασυναρμολογηθούν σε μια μπάλα με μεγαλύτερο μέγεθος, ή, εναλλακτικά, μπορούν να συναρμολογηθούν σε δύο μπάλες ,όπου το μέγεθος της κάθε μίας να είναι ίσο με την αρχική. Αυτό το αποτέλεσμα ονομάζεται τώρα Παράδοξο των Μπάναχ και Τάρσκι.

Στην Μέθοδο απόφασης για τη στοιχειώδη άλγεβρα και γεωμετρία, ο Τάρσκι έδειξε, με τη μέθοδο της εξάλειψης ποσοδεικτών, ότι η πρώτης τάξης θεωρία των πραγματικών αριθμών υπό την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό είναι αποφάνσιμη .(Ενώ αυτό το αποτέλεσμα εμφανίστηκε πρώτη φορά το 1948, χρονολογείται από το 1930 όπου και αναφέρεται στον Τάρσκι (1931).) Το αποτέλεσμα αυτό φαίνεται αρκετά περίεργο,καθώς το 1936 ο Αλόνζο Τσερτς απέδειξε ότι τα Αξιώματα Πεάνο (η θεωρία των φυσικών αριθμών) δεν είναι αποφάνσιμα. Τα αξιώματα Πεάνο θεωρούνται επίσης ελλιπείς σύμφωνα με τα Θεωρήματα μη πληρότητας του Γκέντελ. Το 1953 στις Μη-αποφάνσιμες θεωρίες, ο Τάρσκι έδειξε ότι πολλά μαθηματικά συστήματα, συμπεριλαμβανομένων της θεωρίας πλέγματος,της αφηρημένης προβολικής γεωμετρίας, και της αλγεβρικής κλειστότητας, είναι όλα μη αποφάνσιμα. Η θεωρία των  Αβελιανών ομάδων είναι αποφάνσιμη, αλλά εκείνη των μη-Αβελιανών δεν είναι.

Στη δεκαετία του 1920 και 1930, ο Τάρσκι δίδασκε γεωμετρία λυκείου. Χρησιμοποιώντας κάποιες ιδέες του Μάριο Πιέρι, το 1926 επινοήσε έναΣύνολο Αξιωμάτων για  την επίπεδη Ευκλείδεια γεωμετρία, πιο περιεκτικό από αυτό του Χίλμπερτ. Τα Αξιώματα του Τάρσκι αποτελούν μια θεωρία πρώτης τάξης που στερείται της θεωρίας συνόλων, της οποίας τα άτομα είναι σημεία,που έχουν μόνο δύο αρχικές σχέσεις. Το 1930, απέδειξε αυτήν του την θεωρία χάρη σε μια άλλη θεωρία που είχε ήδη αποδείξει, αυτή της πρώτης τάξης των πραγματικών αριθμών.

Το 1929 έδειξε ότι μέρος της Ευκλείδειας Στερεομετρίας θα μπορούσε να αναδιατυπωθεί ως μια πρώτης τάξης θεωρία της οποίας τα άτομα είναι σφαίρες (μία θεμελιακή έννοια), ως μία  θεμελιακή δυαδική σχέση «περιέχεται σε», και ως δύο αξιώματα  που, μεταξύ άλλων, υποδηλώνουν ότι αυτή η δυαδική σχέση διατάσσει μερικώς τις σφαίρες.Δεχόμενος ότι όλα τα άτομα είναι σφαίρες επισημοποίησε την μερεολογία (mereology), διατυπώνοντας την πολύ πιο εύκολα από την παραλλαγή του Λεσνιέβσκι(Lesniewski). Κοντά στο τέλος της ζωής του, ο Τάρσκι έγραψε ένα αρκετά μεγάλο σύγγραμμα, που δημοσιεύθηκε ως ο Τάρσκι και ο Ζιβάν(1999),στο οποίο συνοψίζει το έργο του σχετικά με γεωμετρία.

Η Πληθική Άλγεβρα μελετά την άλγεβρα της οποίας τα μοντέλα  περιλαμβάνουν την αριθμητική των πληθικών αριθμών. Η Κανονική Αλγεβρα ορίζει μια άλγεβρα για την προσθετική θεωρία των κανονικών εντολών. 

Το 1941, ο Τάρσκι δημοσίευσε ένα σημαντικό σύγγραμμα για τις δυαδικές σχέσεις, το οποίο αποτέλεσε την βάση της σχεσιακής άλγεβρας και των Μεταμαθηματικών που απασχόλησαν τον Τάρσκι και τους μαθητές του για το υπόλοιπο της ζωής του. Ενώ αυτή η έρευνα (και το στενά συσχετιζόμενο έργο του Ρότζερ Λίντον) αποκάλυψε κάποιους σημαντικούς περιορισμούς σχετικά με την άλγεβρα, ο Τάρσκι έδειξε επίσης (στο Tάρσκι και Ζιβάν 1987) ότι η σχεσιακή άλγεβρα μπορεί να περιγράψει το μεγαλύτερο μέρος της αξιωματικής θεωρίας συνόλων και των Αξιωμάτων Πεάνο. Για μια εισαγωγή στη σχεσιακή άλγεβρα, δείτε τον Μάντοξ (2006). Στα τέλη της δεκαετίας του 1940, ο Τάρσκι και οι μαθητές του, επινόησαν την Κυλινδρική Άλγεβρα, η οποία είναι στην Λογική πρώτου βαθμού , ότι η Άλγεβρα Boole με δύο στοιχεία στον κλασσικό προτασιακό λογισμό. Το έργο αυτό, αποτυπώθηκε στις δύο μονογραφίες του Τάρσκι, Χένκιν και Μονκ(1971, 1985).

Λογικολόγος
Ο μαθητής του Τάρσκι, Βοτ(Vaught), έχει κατατάξει τον Τάρσκι ως έναν από τους τέσσερις μεγαλύτερους λογικολόγους όλων των εποχών — μαζί με τον Αριστοτέλη, τον Γκότλομπ Φρέγκε, και τον Κουρτ Γκόντελ (Kurt Gödel). Ωστόσο, ο Τάρσκι συχνά εξέφραζε μεγάλο θαυμασμό για τον  Τσαρλς Σάντερς Περς, ιδιαίτερα για την πρωτοποριακή δουλειά του πάνω στη λογική των σχέσεων.

Ο Τάρσκι έβγαλε αξιώματα για τη λογική συνέπεια, και ασχολείθηκε με το λογικό σύστημα , την άλγεβρα της λογικής, και τη θεωρία της ορισιμότητας. Οι σημασιολογικές του μέθοδοι, οι οποίες αποτυπώθηκαν στην Θεωρία Μοντέλων ,την οποία ανέπτυξαν αυτός και οι φοιτητές του στο Μπέρκλεϋ τη δεκαετία του 1950 με 1960,άλλαξαν ριζικά την απόδειξη της θεωρίας των μεταμαθηματικών του Χίλμπερτ.

Κατά την άποψη του Τάρσκι, τα μεταμαθηματικά μοιάζουν με οποιαδήποτε μαθηματική αρχή. Όχι μόνο οι έννοιες και τα αποτελέσματα τους μπορούν να περιγράφονται με μαθηματικούς όρους, αλλά και τα ίδια τα μεταμαθηματικά μπορούν στην πραγματικότητα να ενσωματωθούν στα μαθηματικά... Ο Τάρσκι κατέστρεψε την διαχωριστική γραμμή μεταξύ των μεταμαθηματικών και των μαθηματικών. Εναντιώθηκε στον περιορισμό του ρόλου των μεταμαθηματικών για τα θεμέλια των μαθηματικών.

Το 1936,το άρθρο "Σχετικά με την έννοια της λογικής συνέπειας" υποστήριξε ότι το αποτέλεσμα ενός επιχειρήματος ακολουθεί λογικά από τις προκείμενές του αν και μόνο εάν κάθε μοντέλο των προκειμένων είναι ένα μοντέλο του αποτελέσματος. Το 1937, δημοσίευσε ένα έγγραφο που παρουσίαζε με σαφήνεια τις απόψεις του για τη φύση και το σκοπό της αφαιρετικής μεθόδου, και το ρόλο της λογικής στις επιστημονικές μελέτες. Η προπτυχιακή του διδασκαλία στη λογική αποτυπώθηκε σε ένα κλασσικό σύντομο κείμενο, που δημοσιεύθηκε πρώτα στα πολωνικά, μετά σε γερμανική μετάφραση, και στο τέλος,το 1941, σε αγγλική μετάφραση, με τίτλο Εισαγωγή στη Λογική και τη Μεθοδολογία της Αφαιρετικής των Επιστημών.

Το 1969,ο Τάρσκι στο "Η Αλήθεια και η απόδειξη" εξέτασε τόσο τα Θεωρήματα μη πληρότητας του Γκέντελ όσο και το Θεώρημα μη ορισιμότητας του Τάρσκι, και συλλογίστηκε για τις συνέπειές τους στην αξιωματική μέθοδο των μαθηματικών.

Αλήθεια στην τυποποιημένη γλώσσα 
Το 1933, ο Τάρσκι εξέδωσε μια μακροσκελή εργασία στα πολωνικά με τίτλο «Pojęcie prawdy w językach nauk dedukcyjnych» (μτφ. «Η έννοια της αλήθειας στις γλώσσες της αφαιρετικής επιστήμης»),  όπου όρισε την έννοια της αλήθειας στην τυποποιημένη γλώσσα. Το 1935, η γερμανική μετάφραση της εργασίας του ήταν «Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen» (μτφ. «Η έννοια της αλήθειας στην τυποποιημένη γλώσσα»), όπου επίσης χρησιμοποιείται και ο συμπτυγμένος τίτλος «Wahrheitsbegriff» (μτφ. «έννοια της αλήθειας»). Η αγγλική μετάφραση της εργασίας εμφανίστηκε το 1956 στην πρώτη έκδοση του τόμου με τίτλο «Logic, Semantics, Metamathematics» (μτφ. «Λογική, Σημασιολογία, Μεταμαθηματικά»). Αυτή η συλλογή εγγράφων από το 1923 έως το 1938, είναι ένα έργο αναλυτικής φιλοσοφίας στον 20ο αιώνα, μια συνεισφορά στη συμβολική λογική, στη σημασιολογία και τη φιλοσοφία της γλώσσας.

Κάποια πρόσφατη φιλοσοφική συζήτηση εξετάζει τον βαθμό στον οποίο η θεωρία του Τάρσκι, της αληθείας για την τυποποιημένη γλώσσα μπορεί να θεωρηθεί ως μια ανταπόκριση της θεωρίας της αληθείας. Η συζήτηση επικεντρώνεται στο πώς μπορεί να ερμηνευτεί η συνθήκη του Τάρσκι για την ουσιώδη καταλληλότητα για έναν αληθή ορισμό. Η συνθήκη αυτή προϋποθέτει ότι η θεωρία αληθείας έχει τα ακόλουθα ως θεωρήματα για όλες τις προτάσεις p της γλώσσας για την οποία η αλήθεια ορίζεται:

p αληθής, αν και μόνον αν p.

(όπου p είναι η πρόταση που εκφράζεται από το «p»)

Η συζήτηση ανέρχεται στο αν θα διαβαστούν οι προτάσεις αυτής της μορφής, όπως

«το χιόνι είναι λευκό» η οποία είναι αληθής, αν και μόνον αν, το χιόνι είναι λευκό

όπως εκφράζοντας απλώς μια αποπληθωριστική θεωρία της αλήθειας ή ενσωματώνοντας την αλήθεια ως προς μια πιο ουσιαστική ιδιότητα (βλέπε Κίρχαμ 1992).Είναι σημαντικό να επισημάνουμε ότι η θεωρία της αληθείας του Τάρσκι αφορά τυποποιημένες γλώσσες, οπότε παραδείγματα σε φυσικές γλώσσες, δεν αποτελούν απεικονίσεις της χρήσης της θεωρίας αληθείας του Τάρσκι.

Λογική συνέπεια 
Το 1936, ο Τάρσκι δημοσίευσε στην πολωνική και στην γερμανική, έκδοση της διάλεξης που είχε δώσει το προηγούμενο έτος στο Διεθνές Συνέδριο της Επιστημονικής φιλοσοφίας στο Παρίσι. Μια νέα αγγλική μετάφραση του εγγράφου αυτού, με τίτλο «Tarski» (2002), αναδεικνύει τις πολλές διαφορές μεταξύ των γερμανικών και πολωνικών εκδόσεων της εργασίας, και διορθώνει μια σειρά από εσφαλμένες μεταφράσεις σε Tarski (1983).

Η δημοσίευση αυτή ορίζει το σύγχρονο μοντέλο της θεωρίας, ορισμός της (σημασιολογικής) λογικής συνέπειας, ή τουλάχιστον τη βάση αυτής. Εάν η ιδέα του Τάρσκι ήταν εξ ολοκλήρου σύγχρονη, εξαρτάται από το εάν προοριζόταν να παραδεχτεί μοντέλα με διαφορετικά πεδία (και πιο συγκεκριμένα, μοντέλα με πεδία διαφορετικών πληθικοτήτων). Αυτό το ερώτημα τίθεται προς συζήτηση από την τρέχουσα φιλοσοφική φιλολογία. Πολλές από τις πρόσφατες συζητήσεις σχετικά με το ζήτημα των διάφορων χωρίων ξεκίνησαν από τον Τζων Ετσμέντυ (John Etchemendy).

Ο Τάρσκι καταλήγει επισημαίνοντας ότι η επεξήγηση του για την λογική συνέπεια εξαρτάται από τον διαχωρισμό των όρων σε λογικούς και εξωλογικούς και εκφράζει κάποιον σκεπτικισμό για κάθε επικείμενο στόχο διαίρεσης τους. «Τι είναι οι λογικές έννοιες;» Μπορούν ως εκ τούτου να θεωρηθούν ως συνέχεια της «έννοιας της λογικής συνέπειας».

Έργο πάνω στις λογικές έννοιες 
Μια άλλη θεωρία του Τάρσκι που προσελκύει προσοχή στην πρόσφατη φιλοσοφική φιλολογία είναι αυτή που περιγράφεται στο έργο του «"What are Logical Notions?» (Tarski 1986). Αυτό το δημοσιευμένο κείμενο αποτελεί κομμάτι ομιλίας που εκφώνησε αρχικά το 1966 στο Λονδίνο και αργότερα το 1973 στο Μπάφαλο της Νέας Υόρκης͘ που εκδόθηκε χωρίς την άμεση συμμετοχή του Τζων Κορκοράν (John Corcoran). Έγινε το πιο πολύ αναφερόμενο έγγραφο του περιοδικού «History and Philosophy of Logic».

Στην ομιλία, ο Τάρσκι πρότεινε την οριοθέτηση των λογικών πράξεων (που ο ίδιος αποκαλεί «έννοιες») από τις μη λογικές. Τα προτεινόμενα κριτήρια προήλθαν από το πρόγραμμα του Erlangen των Γερμανών μαθηματικών του 19ου αιώνα Φέλιξ Κλάιν (Felix Klein), Μάουτνερ (Mautner) το 1946 και πιθανώς από το άρθρο του Πορτογάλου μαθηματικού Sebastiao e Silva, όπου προσδοκά ο Τάρσκι στην εφαρμογή του προγράμματος του Erlangen στην λογική.

Το εν λόγω πρόγραμμα ταξινομεί τα διάφορα είδη γεωμετρίας (Ευκλείδεια γεωμετρία, Αφινική γεωμετρία, τοπολογία κτλ.) από το είδος τους «ένα προς ένα» μετασχηματισμό του χώρου στον εαυτό του, ο οποίος αφήνει τα αντικείμενα του στην γεωμετρική θεωρία αμετάβλητα. (ένας  «ένα προς ένα» μετασχηματισμός αποτελεί έναν λειτουργικό χάρη του χώρου αυτού καθαυτού, έτσι ώστε κάθε σημείο του χώρου αυτού που συσχετίζεται ή που αντιστοιχεί σε ένα άλλο σημείο ενός άλλου διαφορετικού χώρου. Έτσι, «περιστροφή 30 μοιρών» και «μεγιστοποίηση κατά συντελεστή 2» αποτελούν διαισθητικές περιγραφές απλών ομοιόμορφων «1-1» μετασχηματισμών.) Συνεχείς μετασχηματισμοί παράγονται σε στοιχεία της τοπολογίας, ομοιόμορφοι μετασχηματισμοί σε αυτούς της Ευκλείδειας γεωμετρίας και ούτω καθεξής.

Καθώς το εύρος των επιτρεπόμενων μετασχηματισμών γίνεται ευρύτερο, το εύρος των αντικειμένων που δύναται να διατηρηθεί ως αναλλοίωτο από την εφαρμογή των μετασχηματισμών γίνεται πιο περιορισμένο. Ομοιόμορφοι μετασχηματισμοί είναι αρκετά πιο περιορισμένοι (διατηρούνε την σχετική απόσταση μεταξύ των σημείων) και έτσι μας επιτρέπουν να ξεχωρίζουμε σχετικά πολλά πράγματα (π.χ., ισόπλευρα τρίγωνα, από μη ισόπλευρα τρίγωνα). Συνεχείς μετασχηματισμοί (οι οποίοι μπορούν να θεωρηθούν ως μετασχηματισμοί οι οποίοι επιτρέπουν ανομοιόμορφη τάνυση, συμπίεση, κάμψη και συστροφή, αλλά όχι αντιγραφή ή συγκόλληση) μας επιτρέπουν να διακρίνουμε ένα πολύγωνο από έναν δακτύλιο (δαχτυλίδι με μια τρύπα στο κέντρο), αλλά δεν μας επιτρέπουν να διακρίνουμε δυο πολύγωνα το ένα από το άλλο.

Η πρόταση του Τάρσκι ήταν να οριοθετήσει τις λογικές έννοιες λαμβάνοντας υπόψη όλους τους πιθανούς «ένα προς ένα» μετασχηματισμούς (αυτομορφισμούς) ενός χωρίου στον εαυτό του. Με τον όρο τομέα εννοούμε το διάστημα του λόγου ενός μοντέλου για την σημασιολογική θεωρία της λογικής. Εάν κάποιος αναγνωρίζει την  μεταβλητή ως «αληθή» ως προς το χωρίο και την μεταβλητή «εσφαλμένη» ως το κενό σύνολο, τότε οι ακόλουθες πράξεις θεωρούνται ως λογικές σύμφωνα με τις προτάσεις:
 Λογικές συναρτήσεις: Όλες οι λογικές συναρτήσεις είναι αποδεκτές από την πρόταση. Αυτό περιλαμβάνει, αλλά δεν περιορίζεται σε, όλες τις n-αδικές λογικές συναρτήσεις για άπειρο n. (Επίσης είναι αποδεκτές όλες οι λογικές συναρτήσεις με άπειρο αριθμό θέσεων).
 Μονοσύνολα: Δεν υπάρχουν μονοσύνολα, δεδομένου ότι το πεδίο ορισμού περιέχει τουλάχιστον δυο αριθμούς.
 Κατηγορήματα:
 Τα σύνολα διάστασης 1, και το μηδενικό σύνολο βεβαιώνουν, το προηγούμενο ότι το πρώτο έχει όλους τους αριθμούς του χωρίου στην επέκταση του και το δεύτερο δεν έχει κανέναν αριθμό στην επέκταση του. 
 Σύνολα διάστασης 2, και το μηδενικό σύνολο βεβαιώνουν, το προηγούμενο ότι το πρώτο περιέχει όλη την γκάμα «ζευγών» από αριθμούς του χωρίου στην επέκταση του και το δεύτερο ότι η επέκταση του είναι ένα κενό «ζεύγος».
 Η διμερής ταυτότητα υποστηρίζει, ότι όλα τα ζεύγη μορφής <a,a> βρίσκονται στην επέκταση τους, όπου a στοιχείο του χωρίου.
 Η ποικιλομορφία των 2-διάστατων συνόλων δηλώνει, όλο το δυνατό φάσμα ζευγαριών της μορφής <a,b>, όπου a και b αποτελούν διακριτούς αριθμούς του χωρίου.
 Σε n-οστά σύνολα βεβαιώνεται γενικά, ότι όλα τα κατηγορούμενα  ορίζονται ταυτοτικά μαζί με τις πράξεις της σύζευξης, διάζευξης και άρνησης (οποιαδήποτε τάξης πεπερασμένης ή μη).
 Ποσοδείκτες: Ο Τάρσκι συζητά ρητά μόνο για μοναδιαίους ποσοδείκτες και επισημαίνει ότι όλοι αυτοί οι αριθμητικοί ποσοδείκτες γίνονται αποδεκτοί υπό την πρόταση του. Σε αυτές περιλαμβάνονται γενικοί καθολικοί και υπαρξιακοί καθώς και αριθμητικοί, όπως «ακριβώς τέσσερις», «πεπερασμένου πλήθους», «μη πεπερασμένου πλήθους» και «μεταξύ 4 και 9 εκατομμυρίων» λόγου χάρη. Είναι επίσης φανερό ότι οι πολυαδικοί ποσοδείκτες περιλαμβάνονται υπό την πρόταση του Τάρσκι, αν και ο ίδιος δεν μπήκε περαιτέρω στο θέμα. 
 Θεωρητικές σχέσεις συνόλων: Σχέσεις όπως έγκλειση, τομή και ένωση εφαρμόζονται και στα υποσύνολα του χωρίου τα οποία είναι λογικά με την παρούσα έννοια.
 Σύνολο μελών: Ο Τάρσκι ολοκλήρωσε την ομιλία του με μια συζήτηση κατά πόσο η σχέση του συνόλου μελών μπορεί να θεωρηθεί λογική με την έννοια του. (Δεδομένης της αναγωγής (του μεγαλύτερου μέρους) των μαθηματικών στην Θεωρία Συνόλων, τίθεται στην πραγματικότητα το ερώτημα, κατά πόσο εν συνόλω τα μαθηματικά αποτελούν μέρος ή όχι της λογικής). Επισήμανε ότι το σύνολο των μελών είναι λογικό, εφόσον η θεωρία συνόλων αναπτύσσεται σύμφωνα με τις υπαγωγές της θεωρίας τύπων, αλλά είναι εξωλογική στην περίπτωση που η θεωρία συνόλων ορίζεται αξιωματικά, κατά την κανονική θεωρία συνόλων των Zermelo- Fraenkel.
 Λογικές έννοιες μεγαλύτερων τάξεων: Ενώ ο Τάρσκι περιορίστηκε στην συζήτηση του στις λογικές πράξεις πρώτης τάξης, δεν υπάρχει τίποτα σχετικά με την πρόταση του αυτή, που να την περιορίζει αναγκαία σε λογική πρώτης τάξης (αυτό συνέβη πιθανώς καθώς το κοινό του δεν αποτελούνταν από σχετικούς ανθρώπους του χώρου, αλλά ήταν ομιλία σε απλό ακροατήριο). Έτσι, ποσοδείκτες μεγαλύτερων τάξεων καθώς και τα κατηγορήματα τους γίνονται επίσης αποδεκτά.
Κατά κάποιον τρόπο, η παρούσα πρόταση αποτελεί μια άλλη οπτική αυτής των Λίντενμπαουμ (Lindenbaum) και Τάρσκι (1936), οι οποίοι απέδειξαν ότι όλες οι λογικές πράξεις του έργου «Principia Mathematica» των Ράσελλ και Γουάιτχεντ (Russell & Whitehead), παραμένουν αναλλοίωτες σε «1 προς 1» μετασχηματισμούς των χωρίων τους στους εαυτούς τους. Η παρούσα πρόταση απασχολείται επίσης και στο έργο των Τάρσκι και Ζιβάντ (Givant) (1987).

Οι Solomon Feferman και Vann McGee ασχολήθηκαν περαιτέρω με την πρόταση του Τάρσκι με εργασίες που δημοσιεύθηκαν μετά τον θάνατό του. Ο Feferman (1999) έγειρε προβλήματα σχετικά με την πρόταση και προτείνει λύση, αντικαθιστώντας την διατήρηση από αυτομορφισμούς με διατήρηση από αυθαίρετους ομομορφισμούς. Στην ουσία, με αυτή την αλλαγή παρακάμπτεται η δυσκολία της πρότασης του Τάρσκι στην αντιμετώπιση της ομοιότητας των λογικών πράξεων πέραν διακριτών χωρίων δοσμένων πληθικών αριθμών και πέραν χωρίων με διακριτούς πληθάριθμους.

Το αποτέλεσμα της πρότασης Feferman οδηγεί σε έναν ριζικό περιορισμό λογικών όρων, σε σύγκριση με την αρχική πρόταση του Τάρσκι. Ειδικότερα, καταλήγει να χαρακτηρίζονται ως λογικές μόνο εκείνες οι πράξεις της πρώτης τάξης χωρίς ταυτότητα.

Ο McGee (1996) παρέχει έναν ακριβή λογαριασμό για το ποιες πράξεις θεωρούνται λογικές σύμφωνα με τις έννοιες της πρότασης του Τάρσκι όσον αφορά την εκφραστικότητα μιας γλώσσας που επεκτείνεται από την λογική πρώτης τάξης, επιτρέποντας αυθαίρετα μεγάλες συζεύξεις, διαζεύξεις και ποσοενδείξεις πάνω σε πολλές αυθαίρετες μεταβλητές. Με το όρο «αυθαίρετες» εννοούμε ένα αριθμήσιμο άπειρο πλήθος.

Έργα του 
Ανθολογίες και συλλογές
 Το 1986. Τα συλλεχθέντα Έγγραφα του Άλφρεντ Τάρσκι, 4 vols. Givant, S.R., και McKenzie, R.N., εκδ. Birkhäuser.
 .Γκιβάντ Στίβεν (1986). "Βιβλιογραφία του Άλφρεντ Τάρσκι". Εφημερίδα της Συμβολικής Λογικής 51:913-41. doi:10.2307/2273905.
 1983 (1956). Λογική, Σημασιολογία, Μεταμαθηματικά: Χαρτιά από το 1923 έως το 1938 από τον Άλφρεντ Τάρσκι, Κόρκοραν, Τζ. Έντουαρτ Χάκετ. Η 1η έκδοση επιμελήθηκε και μεταγράστηκε από τον J. H. Woodger, Τύπος του Πανεπιστημίου της Οξφόρδης. Αυτή η συλλογή περιέχει μεταφράσεις από τα πολωνικά μερικών από τα πιο σημαντικά έγγραφα της αρχή της καριέρας του Τάρσκι, συμπεριλαμβανομένης Της Έννοιας της Αλήθειας στις Επισημοποιημένες Γλώσσες και Σχετικά με την Έννοια της Λογική Συνέπειας, που συζητήθηκαν παραπάνω.

Παραπομπές 

Πολωνοί μαθηματικοί
Πολωνοί φιλόσοφοι
Μαθηματικοί του 20ού αιώνα
Φιλόσοφοι του 20ού αιώνα
Πολωνοί εβραϊκής καταγωγής
Πολωνοί άθεοι