Εύρος



Εύρος

Τα μέτρα απόκλισης δημιουργήθηκαν παράλληλα με τα μέτρα θέσης γιατί δεν επαρκούσαν για να πεγιγράψουν την κατανομή. Το εύρος αποτελεί μέτρο διασποράς. Επηρεάζεται επίσης απο τις ακραίες τιμές.

Εύρος είναι η διαφορά μεταξύ της μεγαλύτερης και της μικρότερης τιμής των δεδομένων.Και εκφράζεται με τον τύπο:

   Τύπος:R = Xmax − Xmin

Όταν έχουμε κάποιες τιμές στα δεδομένα που είναι πολύ χαμηλές ή πολύ υψηλές - δηλαδή ακραίες - σε σχέση με τις υπόλοιπες τιμές, τότε το εύρος δεν είναι αντιπροσωπευτική παράμετρος απόκλισης.

Πλεονεκτήματα:

-Είναι πολύ εύκολο στον υπολογισμό του.

-Περιλαμβάνει και τις ακραίες τιμές της κατανομής.

Μειονεκτήματα:

-Αλλοιώνεται από τις ακραίες τιμές με αποτέλεσμα, σε πολλές περιπτώσεις, να μην παρουσιάζει μια αντιπροσωπευτική εικόνα της διασποράς της κατανομής.

-Δεν παρέχει καμιά πληροφορία σχετικά με τη διασπορά των τιμών μεταξύ των άκρων της κατανομής. Για παράδειγμα, δεν μας λέει τίποτα για τη διασπορά των τιμών της κατανομής γύρω από το μέσο όρο.

Πηγή: [1]

Παράδειγμα

Έχουμε τις εξής παρατηρησεις: 13, 17, 30, 40 μιας μεταβολής Χ και τις παρατηρησεις 7, 12, 19, 62 μιας μεταβλητής Ψ. Τότε Δχ= Εύρος της χ= 40-13=27

Δψ= Εύρος της ψ= 62-7=55

ενώ οι αριθμητικοί μέσοι είναι ίσοι:

\bar X = \bar \Psi = 25

Παρόλο που υπολογίζεται εύκολα το εύρος είναι περιορισμένης χρησιμότητας αφού μας πληροφορεί για τη διασπορά μόνο των ακραίων και όχι όλων των υπόλοιπων παρατηρήσεων.

Παράδειγμα

   Έχουμε μια ομάδα 5 ατόμων με τις αντίστοιχες ηλικίες.22, 31, 32, 45, 49.

Το εύρος είναι:R = Xmax − Xmin = 49 - 22 = 27

 Λύση σε R:

Αποθηκεύουμε όλες τις ηλικίες στο πίνακα "ilikies"

ilikies=c(22, 31, 32, 45, 49)

Και ύστερα εκτελούμε την εντολή > max(ilikies) - min(ilikies)

Και βρίσκουμε: [1] 27

ΑΠΛΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

ΕΣΤΩ 11, 3, 6, 9, 14, 21, 7

ΒΡΕΙΤΕ ΤΟ ΕΥΡΟΣ

ΛΥΣΗ

21-3=18

Ωστόσο, όταν υπάρχουν ακραίες τιμές το εύρος δεν μπορεί να περιγράψει καλά τη διασπορά.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 ΕΥΡΕΣΗ ΕΥΡΟΥΣ ΗΛΙΚΙΩΝ(ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΥ ΜΕΣΟΥ)

Για να βρω το εύρος των ηλικιών των εργαζομένων, δεν έχω παρά να βρω την μέγιστη τιμή και την μικρότερη από το δείγμα μου. Στο R,καλώ την εντολή max και min και ταυτόχρονα αφαιρώ από τη μέγιστη, τη μικρότερη τιμή.

> max(x)-min(x)

[1] 20

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΕΥΡΕΣΗΣ ΕΥΡΟΥΣ

'Εστω ότι έχουμε τις ηλικίες ενός γκρουπ ν ταξιδιωτώπου ταξιδεύει στην Ευρώπη. Οι ηλικίες τους είναι 19,34,57,70,67,69,60,58,59,55,61,62,62,60,53,52,54,51,58,22.

Το εύρος των παραπάνω ηλικιών είναι max-min , δηλαδή 69-19=50. Ωστόσο , έχουμε ακραίες τιμές όπως παρατηρούμε καθώς οι περισσότερες ηλικίες είναι συγκεντρωμένες γύρω από την ηλικία του διαστήματος 60-70. Επομένως καταλήγουμε στο συμπέρασμα πως λόγω των ακραίων τιμών , το εύρος δεν μπορεί να περιγράψει καλά τη διασπορά.

Στατιστική ανάλυση