Προβολικός χώρος

Στα μαθηματικά, ένας προβολικός χώρος είναι ένα σύνολο γραμμών που έχουν προέλευση από τον διανυσματικό χώρο V. Οι περιπτώσεις  και  σημαίνουν αντίστοιχα την προβολική γραμμή και το προβολικό επίπεδο, όπου το R υποδηλώνει το πεδίο των πραγματικών αριθμών, και κατά συνέπεια το R2 υποδηλώνει διατεταγμένα ζεύγη πραγματικών αριθμών και το R3 διατεταγμένες τριάδες πραγματικών αριθμών.

Η ιδέα ενός προβολικού χώρου σχετίζεται με την προοπτική, πιο συγκεκριμένα στον τρόπο που με ένα μάτι ή μια φωτογραφική μηχανή προβάλλεται μια τρισδιάστατη σκηνή σε δισδιάστατη εικόνα. Όλα τα σημεία που βρίσκονται σε μια ευθεία προβολής (δηλαδή, μια "γραμμή οπτικής επαφής") και τέμνονται με το σημείο εισόδου στον φακό της φωτογραφικής μηχανής, προβάλλονται πάνω σε ένα κοινό σημείο της εικόνας. Στην περίπτωση αυτή, ο διανυσματικός χώρος είναι R3 με προέλευση το σημείο εισόδου στον φακό της φωτογραφικής μηχανής και ο προβολικός χώρος αντιστοιχεί στα σημεία της εικόνας.

Θεωρία 
Οι προβολικοί χώροι μπορούν να μελετηθούν ως ένα ξεχωριστό πεδίο στα μαθηματικά, αλλά επίσης χρησιμοποιούνται ειδικότερα σε διάφορους τομείς της εφαρμοσμένης γεωμετρίας. Τα γεωμετρικά αντικείμενα, όπως για παράδειγμα τα σημεία, οι γραμμές και τα επίπεδα, μπορούν να παρασταθούν ως στοιχεία σε προβολικούς χώρους με βάση τις ομογενείς συντεταγμένες. Ως αποτέλεσμα, διάφορες σχέσεις μεταξύ αυτών των αντικειμένων μπορούν να περιγραφούν με απλούστερο τρόπο από ό,τι είναι εφικτό χωρίς τις ομογενείς συντεταγμένες. Επιπλέον, διάφορες δηλώσεις στη γεωμετρία μπορούν να γίνουν συνεπέστερες και χωρίς καμία εξαίρεση. Για παράδειγμα, στην πρότυπη γεωμετρία όταν δύο ευθείες βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, τότε τέμνονται πάντα σε κάποιο σημείο, με εξαίρεση την περίπτωση που οι ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους. Ωστόσο, σε μια προβολική αναπαράσταση γραμμών και σημείων, ακόμα και για τις παράλληλες ευθείες υπάρχει ένα τέτοιο σημείο τομής, το οποίο μπορεί να υπολογιστεί με τον ίδιο ακριβώς τρόπο όπως και τα άλλα σημεία τομής.

Άλλοι μαθηματικοί τομείς όπου οι προβολικοί χώροι παίζουν σημαντικό ρόλο είναι η τοπολογία, η θεωρία των ομάδων Λι και των αλγεβρικών ομάδων, καθώς και οι θεωρίες οι οποίες εκπροσωπούν οι τομείς αυτοί.

Παραπομπές

Πηγές 
 
 
 , τόμ. Α΄ (κεφ. 2 & 7) και τόμ Β΄ (κεφ. 5 & 7).
 
 , τόμ. Α΄ και Β΄, επανέκδοση από το 1910.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
 
 Εγκυκλοπαίδεια: Προβολικός χώρος  από το PlanetMath.

Προβολική γεωμετρία