Συμπαγής χώρος

Στα μαθηματικά, ειδικά στη γενική τοπολογία και στη μετρική τοπολογία, ένας συμπαγής χώρος είναι ένας μαθηματικός τοπολογικός χώρος στον οποίο κάθε άπειρη ακολουθία των σημείων που διαλέξαμε από το χώρο πρέπει τελικά να τον πάρουμε αυθαίρετα κοντά σε κάποιο σημείο του χώρου. Υπάρχουν πολλές διαφορετικές έννοιες της πληρότητας, σημειώνεται κατωτέρω, οι οποίες είναι ισοδύναμες σε καλές περιπτώσεις. Η έκδοση που μόλις περιγράφηκε είναι γνωστή ως διαδοχική συμπάγεια. Το θεώρημα Bolzano-Weierstrass δίνει μια αντίστοιχη συνθήκη για τη διαδοχική συμπάγεια κατά την εξέταση των υποσυνόλων του  ευκλείδειου χώρου: ένα σύνολο είναι συμπαγές αν και μόνο αν είναι κλειστό και φραγμένο. Τα παραδείγματα περιλαμβάνουν ένα κλειστό διάστημα ή ένα ορθογώνιο. Έτσι, αν κάποιος επιλέξει έναν άπειρο αριθμό σημείων στο κλειστό μοναδιαίο διάστημα), ορισμένα από αυτά τα σημεία πρέπει να τα πάρουμε αυθαίρετα κοντά σε κάποιο πραγματικό αριθμό σε αυτό το χώρο. Για παράδειγμα, ορισμένοι από τους αριθμούς 1/2, 4/5, 1/3, 5/6, 1/4, 6/7, ... τους παίρνουμε  αυθαίρετα κοντά στο μηδέν. (Επίσης, μερικοί τους  παίρνουν αυθαίρετα κοντά στο 1.) Σημειώνεται ότι το ίδιο σύνολο των σημείων δεν θα έχουν, ως ένα σημείο συσσώρευσης,  οποιοδήποτε σημείο ενός ανοικτού μοναδιαίου διαστήματος,ως εκ τούτου,αυτός ο  χώρος δεν μπορεί να είναι συμπαγής. Ο  Ευκλείδειος χώρος μόνος του δεν είναι συμπαγής, δεδομένου ότι δεν οριοθετείται. Συγκεκριμένα, θα μπορούσε κανείς να επιλέξει την ακολουθία των σημείων 0, 1, 2, 3, ..., της οποίας καμία υπο-ακολουθία δεν παίρνουμε τελικά αυθαίρετα κοντά σε κάθε δεδομένο πραγματικό αριθμό.

Εκτός από τα κλειστά και φραγμένα υποσύνολα του Ευκλείδιου χώρο, χαρακτηριστικά παραδείγματα των συμπαγών χώρων περιλαμβάνουν χώρους που δεν αποτελούνται από γεωμετρικά σημεία, αλλά από συναρτήσεις. Ο όρος συμπάγειας εισήχθη στα μαθηματικά από τον Maurice Fréchet το 1906 ως απόσταξη αυτής της έννοιας. Συμπαγές σε αυτή τη γενικότερη κατάσταση παίζει έναν εξαιρετικά σημαντικό ρόλο στην μαθηματική ανάλυση, επειδή πολλά κλασικά και σημαντικά θεωρήματα της ανάλυσης του 19ου αιώνα, όπως το θεώρημα ακραίας τιμής, είναι εύκολα γενικευμένη σε αυτή την κατάσταση. Μια τυπική εφαρμογή παράχθηκε από το θεώρημα της Arzelà-Ascoli, και ιδίως η ύπαρξη του θεωρήματος Peano, όπου κάποιος είναι σε θέση να συμπεράνει την ύπαρξη μιας συνάρτησης με κάποιες απαιτούμενες ιδιότητες ως οριακή περίπτωση κάποιων πιο στοιχειώδη κατασκευών.

Διάφορες ισοδύναμες έννοιες του συμπαγούς, συμπεριλαμβανομένου τη διαδοχική συμπάγεια και την συμπάγεια του οριακού σημείου, μπορεί να αναπτυχθεί στους γενικούς μετρικούς χώρους. Στους γενικούς τοπολογικούς χώρους  οι διαφορετικές έννοιες της συμπάγειας δεν είναι απαραίτητα ισοδύναμες, και η πιο χρήσιμη έννοια, εισήχθη από τον Pavel Alexandrov και τον Pavel Urysohn το 1929,η οποία προϋποθέτει την ύπαρξη ορισμένων  πεπερασμένων οικογενειών των ανοικτών συνόλων που καλύπτουν το χώρο με την αίσθηση ότι κάθε σημείο του χώρου πρέπει να βρίσκεται σε ένα σύνολο που περιέχεται στην οικογένεια. Αυτός ο πιο λεπτός  ορισμός εμφανίζει τους συμπαγές χώρους ως πεπερασμένα σύνολα. Σε χώρους που είναι συμπαγής σε αυτήν την τελευταία έννοια , είναι συχνά δυνατό να επιδιορθώσει από κοινού τις πληροφορίες που βρίσκονται τοπικώς-δηλαδή, σε μια γειτονιά του κάθε σημείου-σε αντίστοιχες δηλώσεις που κατέχουν  όλο το χώρο, και πολλά θεωρήματα είναι αυτού του χαρακτήρα.

Εισαγωγή

Ένα παράδειγμα ενός συμπαγούς χώρου είναι το κλειστό διάστημα [0,1] των πραγματικών αριθμών. Αν κάποιος διαλέξει έναν άπειρο αριθμό νούμερων διακριτών σημείων στο κλειστό διάστημα, τότε πρέπει να υπάρχει κάποιο σημείο συσσώρευσης στο εν λόγω διάστημα. Για παράδειγμα, η ακολουθία με μονούς όρους 1, 1/2, 1/3, 3/4, 1/5, 5/6, 1/7, 7/8, ... την παίρνουμε αυθαίρετα κοντά στο μηδέν, ενώ τους ζυγούς όρους τους παίρνουμε αυθαίρετα κοντά στο 1. Το δεδομένο παράδειγμα ακολουθίας δείχνει τη σημασία της συμπερίληψης των σημείων του [συνόρου] του διαστήματος, δεδομένου ότι τα οριακά σημεία πρέπει να είναι στον ίδιο τον χώρο: ένα ανοικτό (ή μισό-ανοιχτό) διάστημα πραγματικών αριθμών δεν είναι συμπαγής. Είναι επίσης σημαντικό ότι το διάστημα πρέπει να φράσσεται, δεδομένου ότι στο διάστημα [0, ∞) θα μπορούσε κανείς να επιλέξει την ακολουθία των σημείων 0, 1, 2, 3, ..., από τα οποία καμία υπακολουθία δεν παίρνει τελικά τιμές αυθαίρετα κοντά σε κάθε δεδομένο πραγματικό αριθμό.

Σε δύο διαστάσεις, οι κλειστοί δίσκοι είναι συμπαγείς αφού για οποιονδήποτε άπειρο αριθμό σημείων που παίρνουμε από ένα δίσκο, κάποιο υποσύνολο αυτών των σημείων θα πρέπει να πάρει τιμές αυθαίρετα είτε κοντά σε ένα σημείο εντός του δίσκου, ή προς ένα σημείο στο σύνορο. Ωστόσο ένας ανοικτός δίσκος δεν είναι συμπαγής, επειδή μια ακολουθία σημείων μπορεί να τείνει στο σύνορο χωρίς να παίρνει τιμές αυθαίρετα κοντά σε οποιοδήποτε σημείο στο εσωτερικό. Ομοίως, οι σφαίρες είναι συμπαγείς, αλλά μια σφαίρα που της λείπει ένα σημείο δεν είναι συμπαγής αφού μια ακολουθία σημείων μπορεί να τείνει στο σημείο που λείπει, χωρίς να τείνει σε οποιοδήποτε σημείο μέσα στο χώρο. Οι γραμμές και τα επίπεδα δεν είναι συμπαγείς, αφού μπορεί κανείς να πάρει μια σειρά από σημεία που ισαπέχουν σε οποιαδήποτε κατεύθυνση χωρίς να πλησιάζει σε οποιοδήποτε σημείο.

Η συμπάγεια γενικεύει πολλές σημαντικές ιδιότητες των κλειστών και φραγμένων διαστημάτων στη γραμμή των πραγματικών αριθμών. Δηλαδή διαστήματα της μορφής [a,b] για πραγματικούς αριθμούς a και b. Για παράδειγμα, κάθε συνεχής συνάρτηση ορίζεται σε ένα συμπαγή χώρο μέσα σε ένα διατεταγμένο σύνολο (με την τοπολογία σειρά) όπως η γραμμή των πραγματικών αριθμών είναι φραγμένη. Έτσι, αυτό που είναι γνωστό ως το θεώρημα της ακραίας τιμής του λογισμού γενικεύεται σε συμπαγείς χώρους. Με τον τρόπο αυτό, μπορεί κανείς να αποδείξει πολλά σημαντικά θεωρήματα στην κατηγορία των συμπαγών χώρων, που δεν συγκρατούν το γενικό πλαίσιο για τα μη-συμπαγή. Διάφοροι ορισμοί του συμπαγούς μπορεί να εφαρμοστούν, ανάλογα με το επίπεδο της γενικότητας. Ένα υποσύνολο του ευκλείδειου χώρου , ιδιαίτερα, λέγεται συμπαγές αν είναι κλειστό και φραγμένο. Αυτό συνεπάγεται, από το θεώρημα Bolzano-Weierstrass , ότι κάθε άπειρη ακολουθία από το σύνολο έχει μια υπακολουθία που συγκλίνει σε ένα σημείο εντός του συνόλου. Αυτό βοηθάει στην ιδέα της λήψης «μέτρων» σε ένα χώρο. Διάφορες ισοδύναμες έννοιες του συμπαγούς, όπως η διαδοχική συμπάγεια και την συμπάγεια του οριακού σημείου , μπορεί να αναπτυχθεί σε γενικούς μετρικούς χώρους.

Σε γενικούς τοπολογικούς χώρους , οι διαφορετικές έννοιες της συμπαγούς δεν είναι ισοδύναμες, και η πιο χρήσιμη έννοια της συμπαγούς-αρχικά ονομαζόταν δισυμπάγεια-περιλαμβάνει τις οικογένειες των ανοικτών συνόλων που καλύπτουν το χώρο υπό την έννοια ότι κάθε σημείο του χώρου πρέπει να ευρίσκεται σε ορισμένα σύνολα μέσα στην οικογένεια. Συγκεκριμένα, ένας τοπολογικός χώρος είναι συμπαγής αν, κάθε φορά που μια συλλογή των ανοικτών συνόλων καλύπτει το χώρο, κάποια υποσυλλογή αποτελείται μόνο από πεπερασμένα ανοιχτά σύνολα που καλύπτουν επίσης τον χώρο. Αυτή η μορφή του συμπαγούς ισχύει και για κλειστά και για φραγμένα υποσύνολα του ευκλείδειου χώρου και είναι γνωστή ως το θεώρημα Heine-Borel. Η συμπάγεια, όταν ορίζεται με αυτόν τον τρόπο, συχνά επιτρέπει σε κάποιον να λάβει τις πληροφορίες που είναι γνωστό τοπικώς-σε μια γειτονιά του κάθε σημείο που ανήκει στο χώρο -και να επεκταθούν οι πληροφορίες σε παγκόσμιο επίπεδο σε όλο το χώρο. Ένα παράδειγμα του φαινομένου αυτού είναι το θεώρημα Dirichlet, το οποίο είχε αρχικά εφαρμοστεί από τον Heine, ότι η συνεχής συνάρτηση σε ένα συμπαγές διάστημα είναι ομοιόμορφα συνεχής: εδώ η συνέχεια είναι μια τοπική ιδιότητα της συνάρτησης, και ομοιόμορφη συνέχεια η αντίστοιχη παγκόσμια ιδιοτητα.

Ορισμός

Τυπικά, ένα τοπολογικό διάστημα  X  καλείται "συμπαγές" αν κάθε από τα ανοικτά καλύμματα του, έχει ένα πεπερασμένο υποκάλυμμα. Σε αντίθετη περίπτωση καλείται "μη-συμπαγές". Ρητά, αυτό σημαίνει ότι για κάθε αυθαίρετη συλλογή

των ανοικτών υποσυνόλων του X τέτοια ώστε

υπάρχει ένα πεπερασμένο υποσύνολο J του A τέτοιο ώστε

Ορισμένοι κλάδοι των μαθηματικών, όπως η αλγεβρική γεωμετρία, όπου τυπικά επηρεάστηκε από τη γαλλική σχολή του Bourbaki, χρησιμοποιούν τον όρο ψευδοσυμπαγές για τη γενική έννοια, και εξασφαλίζουν την έννοια του συμπαγούς για τοπολογικούς χώρους που είναι και Hausdorff και "ψευδοσυμπαγείς". Ένα συμπαγές σύνολο αναφέρεται μερικές φορές ως compactum, ο πληθυντικός του compacta.

Συμπάγεια των υποχώρων

Ένα Κ υποσύνολο ενός τοπολογικού διάστηματος X καλείται συμπαγές εάν είναι συμπαγής στην επαγόμενη τοπολογία. Ρητά, αυτό σημαίνει ότι για κάθε αυθαίρετη συλλογή

των ανοικτών υποσυνόλων του X τέτοια ώστε

υπάρχει ένα πεπερασμένο υποσύνολο J του A τέτοιο ώστε

Ιστορική εξέλιξη

Τον 19ο αιώνα, πολλές διαφορετικές μαθηματικές ιδιότητες ήταν κατανοητό ότι αργότερα θα έπρεπε να θεωρηθούν ως συνέπειες της συμπάγειας. Από τη μία πλευρά, Bernard Bolzano (1817) γνώριζε ότι κάθε φραγμένη ακολουθία σημείων (για παράδειγμα, στη γραμμή ή στο επίπεδο) έχει μια υπακολουθία που θα πρέπει τελικά να πάρει τιμές αυθαίρετα κοντά σε κάποιο άλλο σημείο, που ονομάζεται οριακό σημείο. Η απόδειξη του Bolzano στηρίχθηκε στην μέθοδο της διχοτόμησης: η ακολουθία τοποθετείται σε ένα διάστημα που στη συνέχεια χωρίζεται σε δύο ίσα μέρη, και επιλέχθηκε ένα μέρος που περιέχει άπειρους όρους της ακολουθίας. Η διαδικασία θα μπορούσε στη συνέχεια να επαναληφθεί με τη διαίρεση του προκύπτοντος μικρότερου κλειστού διαστήματος σε όλο και μικρότερα τμήματα μέχρι να σταματήσει στο επιθυμητό οριακό σημείο. Η πλήρης σημασία του θεωρήματος του Bolzano, και η μέθοδος της απόδειξης, δεν θα εμφανιστούν παρά μετά από 50 χρόνια, όπου και ανακαλύφθηκε από τον Karl Weierstrass.

Στη δεκαετία του 1880, κατέστη σαφές ότι τα αποτελέσματα παρόμοια με το θεώρημα των Bolzano-Weierstrass μπορούν να διατυπωθούν για τούς χώρους των συναρτήσεων παρά μόνο για αριθμούς ή για γεωμετρικά σημεία. Η ιδέα σχετικά με τις συναρτήσεις , όπως οι η ίδια δείχνει ένα γενικευμένο χώρο χρονολογείται από τις έρευνες του Giulio Ascoli και του Cesare Arzelà  .Το αποκορύφωμα των ερευνών τους, το θεώρημα των Arzelà-Ascoli, ήταν μια γενίκευση του θεωρήματος των Bolzano-Weierstrass για τις οικογένειες των συνεχών συναρτήσεων , το ακριβές συμπέρασμα της ήταν ότι ήταν δυνατόν να εξαχθεί μια ομοιόμορφη συγκλίνουσα ακολουθία των συναρτήσεων από μια κατάλληλη οικογένεια συναρτήσεων. Το ομοιόμορφο όριο αυτής της ακολουθίας έπαιξε ακριβώς τον ίδιο ρόλο ως το "οριακό σημείο" του Bolzano. Προς την αρχή του εικοστού αιώνα, αποτελέσματα παρόμοια με εκείνα των Arzelà και Ascoli άρχισαν να συσσωρεύονται στην περιοχή των ολοκληρωτικών εξισώσεων, καθώς διερευνώνται από τον Χίλμπερτ και τον Erhard Schmidt. Για μια ορισμένη κατηγορία των συναρτήσεων του Green που προέρχονται από τις λύσεις των ολοκληρωτικών εξισώσεων, ο Schmidt είχε δείξει ότι μια ιδιότητα ανάλογη του θεωρήματος Arzelà-Ascoli που πραγματοποιήθηκε κατά την έννοια της μέσης σύγκλισης- ή σύγκλισης ,αυτό που αργότερα θα ονομαστεί ένας Hilbert χώρος. Αυτό οδήγησε τελικά στην έννοια του συμπαγή τελεστή ως ένα παρακλάδι της γενικής έννοιας ενός συμπαγούς χώρου. Ήταν ο Maurice Fréchet ο οποίος, στο 1906, έχει αποστάξει την ουσία της ιδιότητας του Bolzano-Weierstrass και επινόησε τον όρο συμπάγεια για να αναφερθεί στο γενικό φαινόμενο.

Ωστόσο, μια διαφορετική έννοια της συμπάγειας είχε σιγά-σιγά αναδειχθεί στα τέλη του 19ου αιώνα από τη μελέτη του συνεχές, η οποία θεωρήθηκε ως θεμελιώδους σημασίας για την αυστηρή διατύπωση της ανάλυσης. Το 1870, ο Έντουαρτ Χάινε έδειξε ότι μια συνεχής συνάρτηση που ορίζεται σε ένα κλειστό και φραγμένο διάστημα είναι στην πραγματικότητα ομοιόμορφα συνεχής. Κατά τη διάρκεια της απόδειξης, έκανε χρήση ενός λήμματος που από οποιαδήποτε αριθμήσιμο κάλυμμα του διαστήματος από μικρότερα ανοιχτά διαστήματα, ήταν δυνατό να επιλέξει έναν πεπερασμένο αριθμό που επίσης το κάλυπτε. Η σημασία αυτού του λήμματος αναγνωρίστηκε από τον Émile Borel (1895), και ήταν γενικευμένη σε αυθαίρετες συλλογές διαστημάτων από τον Pierre Cousin (1895) και τον Henri Lebesgue  (1904). Το θεώρημα Heine-Borel, καθώς το αποτέλεσμα είναι πλέον γνωστό, είναι μια άλλη ειδική ιδιότητα που κατέχεται από κλειστά και φραγμένα σύνολα των πραγματικών αριθμών.

Αυτή η ιδιότητα ήταν σημαντική, διότι επέτρεψε το πέρασμα από την τοπική ιδιότητα για ένα σύνολο (όπως η συνέχεια της συνάρτησης) στη σφαιρική ιδιότητα σχετικά με το σύνολο (όπως η ομοιόμορφη συνέχεια μιας συνάρτησης). Αυτό το αίσθημα εκφράζεται από Lebesgue (1904), ο οποίος το εκμεταλλεύτηκε για την ανάπτυξη του ολοκληρώματος Lebesgue. Τελικά, η ρωσική σχολή της γενικής τοπολογίας, υπό τη διεύθυνση του Pavel Alexandrov και του Pavel Urysohn, που διατυπώθηκε από τη συμπάγεια των Heine-Borel με έναν τρόπο που θα μπορούσε να εφαρμοστεί στη σύγχρονη έννοια ενός τοπολογικού χώρου. Ο Alexandrov Urysohn(1929) έδειξε ότι η προηγούμενη έκδοση της συμπάγειας λόγω του Fréchet, που σήμερα ονομάζεται (σχετική) ακολουθιακά συμπαγής, υπό κατάλληλες συνθήκες, ακολουθούμενη από την έκδοση της συμπάγειας που διαμορφώθηκε από την άποψη της ύπαρξης των πεπερασμένων υπο-καλυμμάτων. Ήταν αυτή η έννοια της συμπάγειας που έγινε κυρίαρχη, γιατί δεν ήταν μόνο μια ισχυρότερη ιδιότητα, αλλά θα μπορούσε να διαμορφωθεί σε ένα γενικότερο περιβάλλον με ελάχιστα πρόσθετα τεχνικά μηχανήματα, καθώς στηρίχθηκε μόνο στη δομή των ανοικτών συνόλων σε ένα χώρο.

Παραδείγματα

Γενική τοπολογία 
 Κάθε πεπερασμένος τοπολογικός χώρος, συμπεριλαμβανομένου του κενού συνόλου, είναι συμπαγής. Ελαφρώς γενικότερα, κάθε χώρος με μια πεπερασμένη τοπολογία (πολλά πεπερασμένα ανοιχτά σύνολα) είναι συμπαγής. Αυτό περιλαμβάνει ιδίως την τετριμμένη τοπολογία.
 Κάθε χώρος που φέρει την συμπεπερασμένη τοπολογία είναι συμπαγής.
 Κάθε τοπικά συμπαγής Hausdorff χώρος μπορεί να μετατραπεί σε ένα συμπαγή χώρο, με την προσθήκη ενός ενιαίου σημείου σε αυτό, μέσω της Alexandroff συμπαγοποίησης με ένα σημείο. Η συμπαγοποίηση με ένα σημείο R είναι ομοιόμορφη στο κύκλο S1; ,η συμπαγοποίηση με ένα σημείο R2  είναι ομοιόμορφη στη σφαίρα S2. Με τη χρήση της συμπαγοποίησης με ένα σημείο, κάποιος μπορεί επίσης να κατασκευάσει εύκολα συμπαγείς χώρους που δεν είναι Hausdorff, ξεκινώντας με ένα μη-Hausdorff χώρο.
 Η δεξιά τοπολογία διαταγής (right order topology) ή αριστερή τοπολογία διαταγής (left order topology) για κάθε φραγμένη ομάδα συνολικής διαταγής (totally ordered set) είναι συμπαγής. Ειδικότερα, ο χώρος Sierpinski είναι συμπαγής.
R, που φέρει το κατώτερο όριο τοπολογίας ικανοποιεί την ιδιότητα ότι κανένα αναρίθμητα σύνολο δεν είναι συμπαγής.
 Στη συναριθμήσιμη τοπολογια (cocountable topology) για R (ή οποιοδήποτε αναρίθμητες ομάδες ), κανένα άπειρο σύνολο δεν είναι συμπαγής.
 Κανένα από τα κενά στα προηγούμενα δύο παραδείγματα δεν είναι τοπικά συμπαγές αλλά και οι δύο εξακολουθούν να είναι Lindelöf

Ανάλυση και άλγεβρα 
 Το κλειστό μοναδιαίο διάστημα [0,1] είναι συμπαγές. Αυτό προκύπτει από τo θεώρημα Heine-Borel. Το ανοικτό διάστημα (0,1) δεν είναι συμπαγές: το ανοιχτό κάλυμμα

 Για n=3,4,... δεν έχει πεπερασμένο υποκάλυμμα. Ομοίως, το σύνολο των ρητών αριθμών στο κλειστό διάστημα [0,1] δεν είναι συμπαγές: τα σύνολα των ρητών αριθμών στα μεσοδιαστήματα

 Καλύπτουν το σύνολο των ρητών στο [0, 1] για n=4,5,... αλλά για την κάλυψη αυτή δεν έχει μια πεπερασμένη υποκάλυψη. (Σημειώστε ότι τα σύνολα είναι ανοιχτά στην τοπολογία του υποχώρου , ακόμη κι αν δεν έχουν ανοίξει ως υποσύνολα του  R.)
 Το σύνολο R όλων των πραγματικών αριθμών δεν είναι συμπαγές, καθώς υπάρχει μια κάλυψη των ανοικτών διαστημάτων που δεν έχουν πεπερασμένη υποκάλυψη. Για παράδειγμα, διαστήματα (n-1,n+1) , όπου n παίρνει όλες τις ακέραιες τιμές στο Z, κάλυμμα R, αλλά δεν υπάρχει πεπερασμένη υποκάλυψη.
 Γενικότερα, συμπαγείς ομάδες, όπως η ορθογώνια ομάδα (orthogonal group) είναι συμπαγείς, ενώ οι ομάδες όπως μία γενική γραμμική ομάδα (general linear group) δεν είναι.
 Για κάθε φυσικό αριθμό n, η n-σφαίρα είναι συμπαγής. Και πάλι από το θεώρημα Heine-Borel, η κλειστή μοναδιαία μπάλα κάθε πεπερασμένης διάστασης χώρου νόρμας διανυσμάτων (normed vector space) είναι συμπαγής. Αυτό δεν είναι αληθές για άπειρες διαστάσεις. Στην πραγματικότητα, ένας norm διανυσματικός χώρος είναι πεπερασμένων διαστάσεων αν και μόνο αν η κλειστή μοναδιαία μπάλα του χώρου είναι συμπαγής.
 Από την άλλη πλευρά, η κλειστή μοναδιαία μπάλα του διπλού norm χώρου είναι συμπαγής για την ασθενή-* τοπολογία. (Θεώρημα Alaoglu)
 Τα σύνολα του Cantor είναι συμπαγή. Στην πραγματικότητα, κάθε συμπαγής μετρικός χώρος είναι μια συνεχής εικόνα του συνόλου Cantor.
 Δεδομένου ότι οι p-adic ακέραιοι είναι ομοιόμορφοι στο σύνολο Cantor, αποτελούν ένα συμπαγές σύνολο.
 Εξετάστε το σύνολο Κ όλων των συναρτήσεων f : R → [0,1] από τη γραμμή των πραγματικών αριθμών στο κλειστό μοναδιαίο διάστημα, και να ορίσετε μια τοπολογία στο K  έτσι ώστε μια σειρά  στην Κ συγκλίνει προς  εάν και μόνο εάν  συγκλίνει προς την κατεύθυνση f (Χ) για όλους τους πραγματικούς αριθμούς Χ. Υπάρχει μόνο μία τέτοια τοπολογία. Καλείται το τοπολογία της σημειακής σύγκλισης(topology of pointwise convergence ). Στη συνέχεια,Κ είναι μια συμπαγής τοπολογικός χώρος. Αυτό προκύπτει από το θεώρημα Tychonoff.
 Εξετάστε το σύνολο Κ όλων των συναρτήσεων f : [0,1] → [0,1] που ικανοποιούν την συνθήκη Lipschitz  |f(x) − f(y)| ≤ |x − y|  για όλους x, y ∈ [0,1]. Εξετάστε για Κ τη μετρική που προκαλείται από την ομοιόμορφη απόσταση

 Έπειτα από το θεώρημα Arzelà-Ascoli ο χώρος Κ είναι συμπαγής.
 Το φάσμα από τον φραγμένο γραμμικό φορέα (bounded linear orerator) για τon χώρο Banach είναι ένα μη κενό συμπαγές υποσύνολο του μιγαδικού αριθμού  'C . Αντιστρόφως, κάθε συμπαγές υποσύνολο C προκύπτει με τον τρόπο αυτό, ως το φάσμα κάποιου φραγμένου γραμμικού φορέα. Για παράδειγμα, ένας διαγώνιος φορέας στον χώρο Hilbert  μπορεί να έχει οποιοδήποτε συμπαγές μη κενό υποσύνολο του C όπως το φάσμα.
 Το φάσμα από τον αντιμεταθετικό δακτύλιο με τη τοπολογία Zariski (δηλαδή, το σύνολο όλων των πρώτων παραγόντων) είναι συμπαγής, αλλά ποτέ χώρος Hausdorff(εκτός από ασήμαντες περιπτώσεις). Στην αλγεβρική γεωμετρία, όπως τοπολογικοί χώροι αποτελούν παραδείγματα των συστημάτων, ψευδο-συμπάγειας (quasi-compact) ,ψευδο-(quasi), αναφερόμενος στη μη Hausdorff φύση της τοπολογίας.
 To φάσμα μιας άλγεβρας Boole είναι συμπαγές, γεγονός το οποίο αποτελεί μέρος του θεωρήματος εκπροσώπησης Stone. Stone χώροι , συμπαγείς εντελώς αποκομμένοι χώροι Hausdorff, αποτελούν το αφηρημένο πλαίσιο στο οποίο αυτά τα φάσματα έχουν μελετηθεί. Τέτοιοι χώροι είναι επίσης χρήσιμοι στη  μελέτη των υπερ-πεπερασμένων ομάδων (profinite groups) .
 Η δομή του χώρου μιας αντιμεταθετικής ενωτικής άλγεβρας Banach είναι ένας συμπαγής χώρος Hausdorff.
 Ο κύβος Hilbert είναι συμπαγής, και πάλι συνέπεια του θεωρήματος Tychonoff .
 Η υπερ-πεπερασμένη ομάδα (π.χ., Galois ομάδα) είναι συμπαγής.

 Θεωρήματα 
Μερικές θεωρήματα που σχετίζονται με την πυκνότητα (βλ. γλωσσάριο της τοπολογίας για τους ορισμούς):

 Η συνεχής εικόνα ενός συμπαγούς χώρου είναι συμπαγής 
 Η αντίστροφη εικόνα ενός συμπαγούς χώρου κάτω από μια  γνήσια απεικόνιση είναι συμπαγής.
 Το θεώρημα ακραίας τιμής: μια συνεχής πραγματική συνάρτηση σε ένα μη κενό συμπαγή χώρο οριοθετείται από πάνω και επιτυγχάνει supremum . (ελαφρώς γενικότερα, αυτό ισχύει για μια πάνω ημισυνεχής συνάρτηση.)
 Ένα κλειστό υποσύνολο ενός συμπαγούς χώρου είναι συμπαγής.
 Μια ένωση πεπερασμένων συμπαγών συνόλων είναι συμπαγής.
 Ένα μη κενό συμπαγές υποσύνολο από πραγματικούς αριθμούς έχει ένα μεγαλύτερο στοιχείο και ένα τουλάχιστον στοιχείο.
 Το γινόμενο από κάθε συλλογή των συμπαγών χώρων είναι συμπαγής. (Θεώρημα Tychonoff , το οποίο είναι ισοδύναμο με το αξίωμα επιλογής)
 Κάθε τοπολογικός χώρος Χ είναι ένας ανοικτός πυκνός υποχώρος από ένα συμπαγές χώρο που έχει το πολύ μία μονάδα περισσότερο από ό, τι X, από την συμπαγοποίηση με ένα σημείο του Alexandroff. Με την ίδια κατασκευή, κάθε τοπικά συμπαγείς Hausdorff χώρος Χ είναι ένας ανοικτός πυκνός υπόχωρος ενός συμπαγούς χώρου Hausdorff έχει το πολύ μία μονάδα περισσότερο από ό,τι X.
 Χ είναι μια απλή διαταγή (simply ordered) που διαθέτει η τοπολογία διαταγής (order topology). Στη συνέχεια,Χ είναι συμπαγής αν και μόνο αν Χ είναι ένα πλήρες πλέγμα (δηλαδή όλα τα υποσύνολα έχουν suprema και Infima).
Χαρακτηριστικά της συμπάγειας

Έχοντας το αξίωμα της επιλογής, τα επόμενα είναι ισοδύναμα.
  Ένας τοπολογικός χώρος Χ είναι συμπαγής.
  Κάθε ανοικτή κάλυψη του X έχει ένα πεπερασμένη υποκάλυψη.
 X έχει μια υπο-βάση, έτσι ώστε κάθε κάλυψη του χώρου από τα μέλη της υπο-βάσης έχει μια πεπερασμένη υποκάλυψη (θεώρημα υπό-βασης του Alexander) 
  Κάθε συλλογή των κλειστών υποσυνόλων του X με την πεπερασμένη ιδιότητα τομής έχει μη κενή τομή.
  Κάθε δίκτυο στο X έχει ένα σύγκλινον υποδίκτυο (βλ. το άρθρο για δίχτυα για την απόδειξη).
  Κάθε φίλτρο στο X έχει μια συγκλίνουσα εκλέπτυνση.
  Κάθε υπερφίλτρο στο X συγκλίνει σε ένα τουλάχιστον σημείο.
  Κάθε άπειρο υποσύνολο του X έχει ένα πλήρες σημείο συσσώρευσης 

 Ευκλείδειος χώρος
Για κάθε υποσύνολο Α του ευκλείδειου χώρου Rn, τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα:
 Α είναι συμπαγής.
  Κάθε ακολουθία στο Α έχει συγκλίνουσα υποακολουθία, της οποίας το όριο βρίσκεται στο A.
  Κάθε άπειρο υποσύνολο του Α έχει τουλάχιστον ένα οριακό σημείο στο A.
 Α είναι κλειστό και φραγμένο (Heine-Borel θεώρημα).
 Α είναι πλήρης και ολικά φραγμένο.

Στην πράξη, η κατάσταση (5) είναι πιο εύκολο να εξακριβωθεί, για παράδειγμα, ένα κλειστό διάστημα ή κλειστή n-μπάλα. Σημειώστε ότι, σε ένα μετρικό χώρο, κάθε συμπαγές υποσύνολο είναι κλειστό και φραγμένο. Ωστόσο, το αντίθετο μπορεί να αποτύχει σε μη-Ευκλείδεια R''' n. Για παράδειγμα, η γραμμή των πραγματικών αριθμών εξοπλισμένη με την διακριτή τοπολογία είναι κλειστή και φραγμένη αλλά δεν είναι συμπαγής, όπως η συλλογή όλων των μονήρων σημείων του χώρου είναι ένα ανοικτό κάλυμμα το οποίο δεν δέχεται καμία πεπερασμένη υποκάλυψη.

Μετρικοί χώροι
 Ένας μετρικός χώρος (ή ομοιόμορφο διάστημα) είναι συμπαγής αν και μόνο αν είναι πλήρης και ολικά φραγμένη 
 Αν ο μετρικός χώρος X είναι συμπαγής και μια ανοικτή κάλυψη του Χ είναι δεδομένη, τότε υπάρχει ένας αριθμός δ> 0 τέτοια ώστε κάθε υποσύνολο X του διαμέτρου <δ περιέχεται σε κάποιο μέλος του καλύμματος. (Λήμμα το νούμερο του Lebesgue)
 Κάθε συμπαγής μετρικός χώρος είναι διαχωρίσιμος.
 Ένας μετρικός χώρος (ή γενικότερα κάθε πρώτο αριθμήσιμο ομοιόμορφο διάστημα) είναι συμπαγής αν και μόνο αν κάθε ακολουθία στο χώρο έχει μια συγκλίνουσα υπακολουθία. (ακολουθιακά συμπαγές)

Hausdorff χώροι
 Ένα συμπαγές υποσύνολο του Hausdorff χώρου είναι κλειστό .Γενικότερα, τα συμπαγή σύνολα μπορούν να διαχωριστούν από ανοικτά σύνολα: αν Κ 1και Κ 1 είναι συμπαγής και ασυνεχής, υπάρχουν ασύνδετα ανοιχτά σύνολα  U1 και U2 έτσι ώστε  and . Έτσι ο συμπαγής χώρος Hausdorff είναι κανονικός.
 Δύο συμπαγείς χώροι Hausdorff  X1 και X2 είναι ομοιόμορφοι αν και μόνο αν οι δακτύλιοι συνεχών πραγματικών συναρτήσεων C(X1) και C(X2) είναι ισομορφικά. (θεώρημα Gelfand-Naimark) ιδιότητες του χώρου Banach των συνεχών συναρτήσεων σε συμπαγή χώρο Hausdorff είναι κεντρικής σημασίας για την αφηρημένη ανάλυση.
 Κάθε συνεχής απεικόνιση από έναν συμπαγή χώρο σε ένα χώρο Hausdorff είναι κλειστή και κατάλληλη (δηλαδή, η αντίστροφη εικόνα ενός συμπαγούς συνόλου είναι συμπαγές.) Ειδικότερα, κάθε συνεχής ισομορφική απεικόνιση από έναν συμπαγή χώρο σε ένα χώρο Hausdorff είναι ένας ομομορφισμός 
 Ένας τοπολογικός χώρος μπορεί να ενσωματωθεί σε έναν συμπαγή χώρο Hausdorff αν και μόνο αν είναι ένας χώρος Tychonoff.

 Χαρακτηρισμός από συνεχείς συναρτήσεις

Ας Χ είναι ένας τοπολογικός χώρος και C (Χ), ο δακτύλιος των πραγματικών συνεχών συναρτήσεων στο X. Για κάθε p∈Χ, ο υπολογισμός της απεικόνισης

δίνεται από evp(f)=f(p) είναι ένας ομομορφισμός δακτυλίων. Ο πυρήνας της evp είναι ένα μέγιστο ιδεώδες, δεδομένου ότι το ολοκληρωτικό υπόλοιπο  είναι το πεδίο των πραγματικών αριθμών, από το πρώτο θεώρημα ισομορφισμών. Ένας τοπολογικός χώρος Χ είναι ψευδο-συμπαγές αν και μόνο αν κάθε μέγιστο ιδεώδες στο C (Χ) έχει ολοκληρωτικό υπόλοιπο τους πραγματικούς αριθμούς. Για πλήρως ομαλούς χώρους, αυτό είναι ισοδύναμο με κάθε μέγιστο ιδεώδες οτι είναι ο πυρήνας μιας ομοιομορφικής απεικόνισης .Όμως,υπάρχουν ψευδο-συμπαγής χώροι που δεν είναι συμπαγής.

Σε γενικές γραμμές, για τους μη-ψευδοσυμπαγής χώρους υπάρχουν πάντα μέγιστα ιδεώδη m σε C (Χ) έτσι ώστε το ολοκληρωτικό υπόλοιπο C (Χ)/m είναι ένας (μη-Αρχιμήδειος) υπερ-πραγματικό πεδίο. Το πλαίσιο της μη τυπικής ανάλυσης επιτρέπει τον παρακάτω εναλλακτικό χαρακτηρισμό του συμπαγούς: ένας τοπολογικός χώρος Χ είναι συμπαγής αν και μόνο αν κάθε σημείο x της φυσικής προέκτασης  X είναι απείρως κοντά σε ένα σημείο Χ0 της "Χ (ακριβέστερα, x περιέχεται στην Μονάδα του Χ0).

Άλλες μορφές συμπάγειας 
Υπάρχει ένας αριθμός από τοπολογικές ιδιότητες οι οποίες είναι ισοδύναμες με αυτές της συμπάγειας στους μετρικούς χώρους, αλλά είναι σε γενικές γραμμές άνισες σε τοπολογικούς χώρους. Αυτό περιλαμβάνει τα ακόλουθα.

 Διαδοχική συμπάγεια: Κάθε ακολουθία έχει συγκλίνουσα υπακολουθία.
 Αριθμήσιμη συμπάγεια: Κάθε αριθμήσιμο ανοικτό κάλυμμα έχει μια πεπερασμένη υποκάλυψη. (Ή, ισοδύναμα, κάθε άπειρο υποσύνολο έχει ένα ω-σημείο συσσώρευσης.)
 Ψευδο- συμπάγεια: Κάθε συνεχής συνάρτηση πραγματικών τιμών στο χώρο φράσσεται.
 Οριακό σημείο συμπάγεια: Κάθε άπειρο υποσύνολο έχει ένα οριακό σημείο.

Ενώ όλες αυτές οι συνθήκες είναι ισοδύναμες για μετρικούς χώρους, σε γενικές γραμμές έχουμε τις εξής συνέπειες:

 Οι συμπαγείς χώροι είναι αριθμήσιμα συμπαγείς.
 Διαδοχικά συμπαγής χώροι είναι αριθμήσιμα συμπαγείς.
 Αριθμήσιμοι συμπαγής χώροι είναι ψευδο-συμπαγείς και ασθενώς αριθμήσιμοι συμπαγές.

Δεν είναι κάθε αριθμήσιμος συμπαγής χώρος συμπαγής. Ένα παράδειγμα δίνεται από την πρώτο μη-αριθμήσιμο διατακτικό αριθμό(first uncountable ordinal) με την τοπολογία διαταγής.
Δεν είναι κάθε συμπαγής χώρο διαδοχικά συμπαγής. Ένα παράδειγμα δίνεται από 2 [0,1], με το γινόμενο της τοπολογίας .

Ένας μετρικός χώρος ονομάζεται προ-συμπαγής ή ολικά φραγμένος αν υπάρχει ακολουθία που έχει μια ακολουθία Cauchy. Αυτό μπορεί να γενικευθεί σε ομοιόμορφα διαστήματα. Για πλήρεις μετρικούς χώροι αυτό είναι ισοδύναμο με τη συμπάγεια. Δείτε σχετικά συμπαγή για την τοπολογική έκδοση.

Μια άλλη σχετική έννοια η οποία (με τους περισσότερους ορισμούς) είναι απολύτως ασθενέστερη από τη συμπάγεια είναι τοπική συμπάγεια

Οι γενικεύσεις του συμπαγούς περιλαμβάνουν H-κλειστά και την ιδιότητα του να είναι μια H-ομάδα σε ένα γονικό χώρο. Ένας χώρος Hausdorff είναι H-κλειστό αν κάθε ανοικτό κάλυμμα έχει μια πεπερασμένη υποοικογένεια των οποίων η ένωσή τους είναι πυκνή. Ότι λέμε X είναι μια H-ομάδα Z αν κάθε κάλυψη του Χ με ανοιχτά σύνολα Ζ έχει μια πεπερασμένη υποοικογένεια των οποίων  Z η κλειστότητα περιέχει το Χ.

Σημειώσεις

Αναφορές
.
.
.
 ().

.
 .
 .
 .
.
.
.
.
.
.
.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
 planetmath: Countably compact
 

Σε αυτό το λήμμα έχει προστεθεί περιεχόμενο από το Examples of compact spaces στο PlanetMath, το οποίο είναι διαθέσιμο με άδεια CC-BY-SA

Τοπολογικοί χώροι
Γενική τοπολογία
Τοπολογία