Συνδυασμός (μαθηματικά)

Στα μαθηματικά, συνδυασμός των  στοιχείων ενός συνόλου  ανά  ονομάζεται κάθε υποσύνολο του συνόλου  με  στοιχεία.

Για παράδειγμα, για το σύνολο , τα υποσύνολα με τρία στοιχεία είναι τα εξής:
, ,  και . 
Κάθε ένα από αυτά τα τέσσερα υποσύνολα είναι ένας συνδυασμός των 4 στοιχείων του  ανά 3.

Το πλήθος των συνδυασμών  στοιχείων ανά  δίνονται από τον διωνυμικό συντελεστή
,
και διαβάζεται ως «συνδυασμοί των  ανά ».

Παραδείγματα 

Για ένα σύνολο  με τρία στοιχεία:
 Οι συνδυασμοί  ανά  είναι : , , .
 Οι συνδυασμοί  ανά  είναι : , , .
 Οι συνδυασμοί  ανά  είναι : .

Για ένα σύνολο  με τέσσερα στοιχεία:
 Οι συνδυασμοί  ανά  είναι : , , , .
 Οι συνδυασμοί  ανά  είναι : , , , , , .
 Οι συνδυασμοί  ανά  είναι : , , , .
 Οι συνδυασμοί  ανά  είναι : .

Πλήθος των συνδυασμών 

Το πλήθος των συνδυασμών  στοιχείων ανά  (για ) είναι: 
,
όπου  είναι το παραγοντικό του .

Απόδειξη με πλήθος διατάξεων 

Υπενθυμίζουμε ότι μία διάταξη  στοιχείων του συνόλου  ανά  είναι οποιαδήποτε -άδα διαφορετικών στοιχείων του . Σε αντίθεση με τους συνδυασμούς η  είναι διαφορετική διάταξη από την .

Το πλήθος των διατάξεων  στοιχείων ανά  είναι . Κάθε συνδυασμός αντιστοιχεί σε ακριβώς  διατάξεις, τις δυνατές μεταθέσεις των στοιχείων του. Επομένως, υπάρχουν συνολικά 

συνδυασμοί. 

Για παράδειγμα, για κάθε έναν από τους τέσσερις συνδυασμούς  ανά , αντιστοιχούν οι παρακάτω  διατάξεις:

Απόδειξη με αναδρομικό ορισμό 
Έστω  το πλήθος των  ανά  συνδυασμών. Θέλουμε να δείξουμε ότι .

Υπάρχουν δύο τρόποι να φτιάξουμε ένα συνδυασμό  στοιχείων  ανά :
 Να διαλέξουμε  στοιχεία από τα  και το στοιχείο  (με συνολικά  τρόπους).
 Ή να διαλέξουμε  στοιχεία από τα  (με συνολικά  τρόπους).
Επομένως, το συνολικό πλήθος συνδυασμών  ανά  ικανοποιούν:

και . Επομένως, τα πλήθη των συνδυασμών ικανοποιούν τον αναδρομικό ορισμό των διωνυμικών συντελεστών και επομένως έχουμε ότι .

Παραδείγματα

Παράδειγμα 1ο
Στις γραπτές εξετάσεις οι μαθητές πρέπει από το σύνολο των 9 ερωτήσεων που τους δίνονται να απαντήσουν στις 6. Με πόσους τρόπους μπορεί ένας μαθητής να επιλέξει τις ερωτήσεις στις οποίες θα απαντήσει;

Απάντηση

Παράδειγμα 2ο 
Με πόσους τρόπους μπορεί ένας παίχτης από μια τράπουλα με 52 χαρτιά να επιλέξει 5;

Απάντηση

Παράδειγμα 3ο 
Ένα σχολείο έχει  μαθήτριες και  μαθητές. Με πόσους τρόπους μπορούμε να διαλέξουμε ένα 15μελές με 9 μαθήτριες και 6 μαθητές;

Απάντηση

Δείτε επίσης 
 Διωνυμικός συντελεστής
 Διάταξη
 Διάταξη με επανάληψη
 Μετάθεση (μαθηματικά)

Παραπομπές 

Συνδυαστική