Νόμος του παραλληλογράμμου

Στην γεωμετρία, ο νόμος του παραλληλογράμμου ή ταυτότητα  παραλληλογράμμου δηλώνει ότι το άθροισμα των τετραγώνων των τεσσάρων πλευρών ενός παραλληλογράμμου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο διαγωνίων του. Πιο συγκεκριμένα, σε ένα παραλληλόγραμμο  ισχύει ότι 
.
Από τις ιδιότητες του παραλληλόγραμμου, ισχύει ότι οι απέναντι πλευρές είναι ίσες, δηλαδή  και , επομένως η σχέση είναι ισοδύναμη με  
.
Στην ειδική περίπτωση που το παραλληλόγραμμο είναι ορθογώνιο, οι δύο διαγώνιοι του είναι ίσες , επομένως
, 
και η σχέση είναι ισοδύναμη με το Πυθαγόρειο θεώρημα. 

Σε ένα γενικό τετράπλευρο όπου οι απέναντι πλευρές δεν είναι απαραίτητα ίσες, ισχύει ότι
,
όπου  τα μέσα των διαγωνίων  και  αντίστοιχα. Σε ένα παραλληλόγραμμο,  και συνεπώς λαμβάνουμε τον νόμο του παραλληλογράμμου.

Ο νόμος του παραλληλογράμμου στους χώρους εσωτερικού γινομένου

Σε έναν χώρο με νόρμα , ο νόμος του παραλληλογράμμου είναι η εξής σχέση:
.

Σε έναν χώρο εσωτερικού γινομένου, η νόρμα προσδιορίζεται χρησιμοποιώντας το εσωτερικό γινόμενο:

Ως συνέπεια αυτού του ορισμού, σε έναν χώρο εσωτερικού γινομένου ο νόμος παραλληλογράμμου είναι μια αλγεβρική ταυτότητα, εύκολα αποδεικνυόμενη χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου:

Προσθέτοντας αυτές τις δύο εκφράσεις:

όπως απαιτείται. 

Εάν το x είναι κάθετο του y, τότε  και η παραπάνω εξίσωση για τη νόρμα ενός αθροίσματος γίνεται:

το οποίο είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Διανυσματικοί χώροι με νόρμα που ικανοποιούν το νόμο του παραλληλογράμμου
Οι περισσότεροι πραγματικοί και μιγαδικοί διανυσματικοί χώροι με νόρμα δεν έχουν εσωτερικά γινόμενα, αλλά όλοι οι διανυσματικοί χώροι με νόρμα έχουν νόρμες (εξ'ορισμού).  Για παράδειγμα, μία νόρμα που χρησιμοποιείται συνήθως είναι η p-νόρμα:

όπου  είναι οι συνιστώσες του διανύσματος . 

Δεδoμένης μίας νόρμας, μπορεί κανείς να υπολογίσει και τα δύο μέλη της ταυτότητας του παραλληλογράμμου.  Ένα αξιοσημείωτο γεγονός είναι ότι εάν τα δύο μέλη είναι ίσα, τότε η νόρμα μπορεί να προκύψει κατά το συνήθη τρόπο από κάποιο εσωτερικό γινόμενο.  Ειδικότερα, την p-νόρμα ο νόμος του παραλληλογράμμου ισχύει αν και μόνο αν , η λεγόμενη Ευκλείδεια νόρμα ή  νόρμα. 

Για κάθε νόρμα που ικανοποιεί τον νόμο του παραλληλογράμμου (η οποία κατ'ανάγκη είναι μία νόρμα εσωτερικού γινομένου), το εσωτερικό γινόμενο το οποίο δημιουργεί τη νόρμα είναι μοναδικό, ως συνέπεια της ταυτότητας πόλωσης. Στη περίπτωση των πραγματικών, η ταυτότητα πόλωσης δίνεται από τον τύπο:

ή, ισοδύναμα, από::

 ή 

Στην περίπτωση των μιγαδικών δίνεται από τον τύπο:

Για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας την p-νόρμα με  και πραγματικά διανύσματα , ο υπολογισμός του εσωτερικού γινομένου ως γίνεται ως εξής:

το οποίο είναι το  εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων.

Γενίκευση του νόμου του παραλληλογράμμου 

Έστω ένα γενικό τετράπλευρο  με  και  τα μέσα των  και . Θα αποδείξουμε ότι 
.

Από το άθροισμα διανυσμάτων έχουμε ότι:
,
και αντίστοιχα
, , και .

Από αυτές τις σχέσεις προκύπτει ότι 
,
και αντίστοιχα
,
,
.
Προσθέτοντας κατά μέλη τις παραπάνω σχέσεις, λαμβάνουμε τη ζητούμενη σχέση.

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
 Διαδραστική απόδειξη του νόμου του παραλληλογράμμου

 The Parallelogram Law Proven Simply στη UNLV Kappa Sigma
 The Parallelogram Law: A Proof Without Words 
 Proof of Parallelogram Law στη Planet Math

Ελληνικά άρθρα

Ξενόγλωσσα άρθρα

Δείτε επίσης 
 Παραλληλόγραμμο
 Τετράπλευρο
 Ταυτότητα Πόλωσης

Παραπομπές 

Ευκλείδεια Γεωμετρία
Τετράπλευρα
Θεωρήματα στην γεωμετρία
Μαθηματικές ταυτότητες