Το δυσκολότερο λογικό παζλ

Το δυσκολότερο λογικό παζλ είναι ο τίτλος που δόθηκε από τον Αμερικανό φιλόσοφο και λογικολόγο Τζορτζ Μπούλος σε ένα άρθρο που δημοσιεύτηκε στο Harvard Review of Philosophy το 1996  (η Ιταλική μετάφραση είχε εκδοθεί προηγουμένως στην εφημερίδα La Repubblica, υπό τον τίτλο  L'indovinello più difficile del mondo) για το ακόλουθο λογικό παζλ:

Τρεις θεοί ο Α, ο Β και ο Γ ονομάζονται, χωρίς απαραίτητα να διατηρείται αυτή η σειρά ο Θεός της Αλήθειας, ο Θεός του Ψεύδους και ο Θεός της Τύχης. Ο Θεός της Αλήθειας λέει πάντα αλήθειες, ο Θεός του Ψεύδους ψέματα και ο Θεός της Τύχης απαντάει με τελείως τυχαίο τρόπο. Ο σκοπός είναι να βρούμε τις ταυτότητες των θεών κάνοντας τρεις ερωτήσεις, που απαντώνται με ναι ή όχι, ενώ κάθε ερώτηση πρέπει να απευθύνεται σε ακριβώς έναν θεό. Οι θεοί καταλαβαίνουν ελληνικά, αλλά θα απαντήσουν τις ερωτήσεις στην δική τους γλώσσα, στην οποία το ναι και το όχι μεταφράζονται σε ντα και τζα, με κάποια σειρά, αλλά δεν ξέρουμε ποια λέξη σημαίνει ποια.

Ο Μπούλος έδωσε τις ακόλουθες διευκρινήσεις:
 Σε έναν θεό μπορεί να τεθούν περισσότερες από μία ερωτήσεις, το οποίο σημαίνει ότι σε κάποιον άλλο θεό δεν θα τεθεί καμία.
 Η δεύτερη ερώτηση και το σε ποιόν θα τεθεί, μπορεί να εξαρτάται από την απάντηση στην πρώτη ερώτηση. (Προφανώς το ίδιο ισχύει και για την τρίτη ερώτηση.)
 Το εάν ο Θεός της Τύχης απαντάει με αλήθεια ή όχι μπορούμε να σκεφτούμε ότι εξαρτάται από την ρίψη ενός κέρματος που υπάρχει κρυμμένο στο κεφάλι του : αν το κέρμα έρθει γράμματα, λέει αλήθεια, αν έρθει κεφαλή, λέει ψέματα.

Ιστορία

Ο Μπούλος αναφέρει τον λογικολόγο Raymond Smullyan σαν τον δημιουργό του παζλ και τον Τζον Μακάρθι σαν αυτόν που προσέθεσε την δυσκολία του να μην γνωρίζουμε τι σημαίνει ντα και τζα.

Η λύση

Ο Μπούλος έδωσε την λύση του στο ίδιο δημοσίευμα που εισήγαγε το παζλ. Ισχυρίζεται ότι η πρώτη κίνηση είναι να βρεις έναν θεό που σίγουρα δεν είναι ο Θεός της Τύχης, δηλαδή, να είναι είτε ο Θεός της Αλήθειας είτε ο Θεός του Ψεύδους. Υπάρχουν πολλές διαφορετικές ερωτήσεις για να επιτευχθεί αυτό. Μια στρατηγική είναι να χρησιμοποιήσεις πολύπλοκους λογικούς συνδέσμους στην ερώτηση (είτε λογική ισοδυναμία είτε κάτι ισοδύναμο).

Η ερώτηση του Μπούλος ήταν:
Το ντα σημαίνει ναι ανν εσύ είσαι ο Αληθής ανν ο Β είναι ο Τυχαίος;

Παρατηρήθηκε από τον Ρόμπερτς (2001) και ανεξάρτητα από τους Rabern and Rabern (2008) ότι η ερώτηση μπορεί να απλοποιηθεί με την χρήση συνεπαγωγής. Το νόημα αυτής της ερώτησης είναι ότι, για κάθε ναι/όχι ερώτηση Ε, αν ρωτήσεις τον Θεό της Αλήθειας ή τον Θεό του Ψεύδους την ερώτηση
Αν σε ρώταγα Ε, θα έλεγες τζα;

οδηγεί στην απάντηση τζα αν η αληθοτιμή της ερώτησης Ε είναι ναι, και στην απάντηση ντα αν η αληθοτιμή της ερώτησης Ε είναι όχι (οι Rabern και Rabern ονομάζουν αυτό το αποτέλεσμα "το λήμμα της εμφωλευμένης ερώτησης"). Μπορούμε να επιβεβαιώσουμε ότι αυτό λειτουργεί αν εξετάσουμε τις οκτώ ακόλουθες περιπτώσεις:

Ας υποθέσουμε ότι τζα σημαίνει ναι και ντα όχι.
Ρωτάμε τον Θεό της Αλήθειας και απαντά τζα. Αφού λέει πάντα αλήθεια, η πραγματική απάντηση στην Ε είναι τζα, που σημαίνει ναι.
Ρωτάμε τον Θεό της Αλήθειας και απαντά ντα. Αφού λέει πάντα αλήθεια, η πραγματική απάντηση στην Ε είναι ντα, που σημαίνει όχι.
Ρωτάμε τον Θεό του Ψεύδους και απαντά τζα. Αφού λέει πάντα ψέματα, αν τον ρώταγες Ε θα σου απαντούσε ντα. Όμως και πάλι θα έλεγε ψέματα, άρα η πραγματική απάντηση στην Ε είναι τζα, που σημαίνει ναι.
Ρωτάμε τον Θεό του Ψεύδους και απαντά ντα. Αφού λέει πάντα ψέματα, αν τον ρώταγες Ε θα σου απαντούσε τζα. Όμως και πάλι θα έλεγε ψέματα, άρα η πραγματική απάντηση στην Ε είναι ντα, που σημαίνει όχι.

Ας υποθέσουμε ότι τζα σημαίνει όχι και ντα ναι.
Ρωτάμε τον Θεό της Αλήθειας και απαντά τζα. Αφού λέει πάντα αλήθεια, η πραγματική απάντηση στην Ε είναι ντα, που σημαίνει ναι.
Ρωτάμε τον Θεό της Αλήθειας και απαντά ντα. Αφού λέει πάντα αλήθεια, η πραγματική απάντηση στην Ε είναι τζα, που σημαίνει όχι.
Ρωτάμε τον Θεό του Ψεύδους και απαντά τζα. Αφού λέει πάντα ψέματα, αν τον ρώταγες Ε θα σου απαντούσε τζα. Όμως και πάλι θα έλεγε ψέματα, άρα η πραγματική απάντηση στην Ε είναι ντα, που σημαίνει ναι.
Ρωτάμε τον Θεό του Ψεύδους και απαντά ντα. Αφού λέει πάντα ψέματα, αν τον ρώταγες Ε θα σου απαντούσε ντα. Όμως και πάλι θα έλεγε ψέματα, άρα η πραγματική απάντηση στην Ε είναι τζα, που σημαίνει όχι.

Το αποτέλεσμα είναι ότι ανεξάρτητα με το αν ο Θεός λέει ψέματα ή όχι και από το ποια λέξη σημαίνει ναι ή όχι, μπορείς να καθορίσεις αν η πραγματική απάντηση στην ερώτηση Ε είναι ναι ή όχι. Αν όμως ο Θεός απαντά τυχαία, η απάντηση στην ερώτηση δεν σου δίνει καμία πληροφορία.

Η ακόλουθη λύση κατασκευάζει τις τρεις ερωτήσεις χρησιμοποιώντας το προηγούμενο λήμμα.
Ε1: Ρώτα τον Θεό Β, "Αν σε ρωτούσα 'Είναι ο Α ο Θεός της Τύχης', θα έλεγες τζα;". 
Αν ο Β απαντήσει τζα, τότε είτε ο Β είναι ο Θεός της Τύχης (και απαντά τυχαία), είτε δεν είναι και η απάντηση δείχνει ότι ο Α είναι ο Θεός της Τύχης. Σε κάθε περίπτωση, ο Γ δεν είναι ο Θεός της Τύχης. Αν ο Β απαντήσει ντα, τότε είτε είναι ο Θεός της Τύχης (και απαντάει τυχαία), είτε όχι και η απάντηση δείχνει ότι ο Α δεν είναι ο Θεός της Τύχης. Σε κάθε περίπτωση, ο Α δεν είναι ο Θεός της Τύχης.
Ε2: Ρώτα τον Θεό που βρήκες ότι δεν είναι ο Θεός της Τύχης από την προηγούμενη ερώτηση (είτε τον Α είτε τον Γ) και ρώτα τον: "Αν σε ρωτούσα 'Είσαι ο Θεός του Ψεύδους', θα απαντούσες τζα;". 
Αφού δεν είναι ο Θεός της Τύχης, αν απαντήσει ντα σημαίνει ότι είναι ο Θεός της Αλήθειας, ενώ αν απαντήσει τζα σημαίνει ότι είναι ο Θεός του Ψεύδους.
Ε3: Ρώτα τον ίδιο Θεό την ερώτηση: "Αν σε ρωτούσα 'Είναι ο Β ο Θεός της Τύχης', θα απαντούσες τζα;". 
Αν η απάντηση είναι τζα, τότε ο Β είναι ο Θεός της Τύχης, διαφορετικά ο Θεός της Τύχης είναι αυτός που δεν του έχεις μιλήσει. Ο τελευταίος θεός μπορεί να βρεθεί με αποκλεισμό.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Λογική