Συναλλοίωτος μετασχηματισμός

Στη φυσική, ένας συναλλοίωτος μετασχηματισμός είναι ένας κανόνας που προσδιορίζει πως συγκεκριμένες γεωμετρικές οντότητες αλλάζουν κάτω από μία αλλαγή βάσης. Συγκεκριμένα, ο όρος χρησιμοποιείται για διανύσματα και τανυστές.  Ο μετασχηματισμός που περιγράφει τα διανύσματα βάσης σαν ένα γραμμικό συνδυασμό των παλιών διανυσμάτων βάσης προσδιορίζεται σαν ένας συναλλοίωτος μετασχηματισμός. Συμβατικά, οι δείκτες που προσδιορίζουν τα διανύσματα βάσης τοποθετούνται σαν "κάτω δείκτες" και έτσι γράφονται όλες οι ποσότητες που μετασχηματίζονται. Ο αντίστροφος ενός συναλλοίωτου μετασχηματισμού είναι ένας ανταλλοίωτος μετασχηματισμός. Από τη στιγμή που ένα διάνυσμα πρέπει να είναι αναλλοίωτο κάτω από μία αλλαγή βάσης, οι συνιστώσες του πρέπει να μετασχηματίζονται σύμφωνα με τον ανταλλοίωτο κανόνα. Συμβατικά, οι δείκτες που προσδιορίζουν τις συνιστώσες ενός διανύσματος τοποθετούνται σαν "πάνω δείκτες" και αυτό ισχύει για όλους τους δείκτες ποσοτήτων που μετασχηματίζονται με τον ίδιο τρόπο. Το άθροισμα ενός γινομένου με δείκτες αντιστοιχισμένους ανά ζεύγη και με ίδιους κάτω και πάνω δείκτες είναι αναλλοίωτο κάτω από ένα μετασχηματισμό.

Ένα διάνυσμα είναι μία γεωμετρική ποσότητα, εξαρχής ανεξάρτητο (αναλλοίωτο) της βάσης που επιλέγεται.
Δίνεται ένα διάνυσμα v , έστω με συνιστώσες vi στην αρχική βάση ei. Σε μια άλλη βάση, έστω e′j, το ίδιο διάνυσμα v έχει διαφορετικές συνιστώσες v′j και:

Mε το v να είναι αναλλοίωτο και τη βάση ei να μετασχηματίζεται συναλλοίωτα, πρέπει να είναι τέτοιο ώστε το vi (το σύνολο των αριθμών που προσδιορίζουν τις συνιστώσες) να μετασχηματίζεται με διαφορετικό τρόπο, δηλαδή τον αντίστροφο που λέγετα ανταλλοίωτος κανόνας μετασχηματισμού.

Aν για παράδειγμα στον δισδιάστατο ευκλείδιο χώρο, τα νέα διανύσματα βάσης περιστρέφονται αριστερόστροφα σε σχέση με τα παλιά διανύσματα βάσης, τότε θα φαίνεται σε όρους του νέου συστήματος η "αναπαράσταση ως προς τις συνιστώσες" σαν το διάνυσμα να έστρεψε στην αντίθετη φορά, δηλαδή δεξιόστροφα.

Διανύσματα
Τανυστές
Διαφορική γεωμετρία