Διάνυσμα Λαπλάς–Ραντζ–Λεντς

Σε αυτό το λήμμα, τα διανύσματα και τα μέτρα τους απεικονίζονται με έντονη γραφή και πλάγια γράμματα, αντίστοιχα. Για παράδειγμα, .

Στην κλασική μηχανική, το διάνυσμα Λαπλάς-Ραντζ-Λεντς (ή απλά το διάνυσμα LRL) είναι ένα διάνυσμα που χρησιμοποιείται κυρίως για να περιγράψει το σχήμα και τον προσανατολισμό της τροχιάς ενός αστρονομικού σώματος γύρω από ένα άλλο, όπως ένας πλανήτης περιστρέφεται γύρω από ένα αστέρι. Για δύο σώματα που αλληλεπιδρούν με νευτώνεια βαρύτητα, το LRL διάνυσμα είναι μια σταθερά της κίνησης, πράγμα που σημαίνει ότι είναι το ίδιο χωρίς να έχει σημασία που υπολογίζεται στην τροχιά, ισοδύναμα, το LRL διάνυσμα λέγεται ότι πρέπει να διατηρηθεί. Γενικότερα, το LRL διάνυσμα διατηρείται σε όλα τα προβλήματα στα οποία αλληλεπιδρούν δύο σώματα ωθούμενα από μια κεντρική δύναμη που μεταβάλλεται ως το αντίστροφο τετράγωνο της απόστασης μεταξύ τους. Τέτοια προβλήματα ονομάζονται προβλήματα Κέπλερ.

Το άτομο του υδρογόνου είναι ένα πρόβλημα Κέπλερ, δεδομένου ότι περιλαμβάνει δύο φορτισμένα σωματίδια που αλληλεπιδρούν σύμφωνα με το νόμο του Κουλόμπ της ηλεκτροστατικής, μια άλλη κεντρική δύναμη του αντίστροφου τετράγωνου. Το διάνυσμα LRL ήταν απαραίτητο στην πρώτη κβαντική μηχανική παράγωγη του φάσματος του ατόμου του υδρογόνου, πριν από την ανάπτυξη της εξίσωσης Σρέντινγκερ. Ωστόσο, αυτή η προσέγγιση χρησιμοποιείται σπάνια σήμερα.

Στην κλασσική και την κβαντική μηχανική, συντηρημένες ποσότητες αντιστοιχούν σε μια συμμετρία του συστήματος. Η διατήρηση του διανύσματος LRL αντιστοιχεί σε μια ασυνήθιστη συμμετρία, το πρόβλημα Κέπλερ είναι μαθηματικά ισοδύναμο με ένα σωματίδιο που κινείται ελεύθερα επί της επιφάνειας μίας τεσσάρων διαστάσεων (υπερ-) σφαίρα, επομένως όλο το πρόβλημα είναι συμμετρική υπό συγκεκριμένες περιστροφές του χώρου των τεσσάρων διαστάσεων. έτσι ώστε όλο το πρόβλημα είναι συμμετρικό υπό ορισμένες περιστροφές του τετραδιάστατου χώρου. Αυτή η υψηλότερη συμμετρία προέρχεται από δύο ιδιότητες του προβλήματος Κέπλερ: το διάνυσμα της ταχύτητας κινείται πάντα σε έναν τέλειο κύκλο και, για μια δεδομένη συνολική ενέργεια, όλοι αυτοί οι κύκλοι του διανύσματος της ταχύτητας τέμνουν ο ένας τον άλλο στα ίδια δύο σημεία.

Το Laplace-Runge-Lenz διάνυσμα πήρε το όνομά του από τους Πιέρ Σιμόν Λαπλάς, Carl Runge και Wilhelm Lenz. Είναι επίσης γνωστό ως το διάνυσμα Λαπλάς, το διάνυσμα Runge-Lenz και το διάνυσμα Lenz. Κατά ειρωνικό τρόπο, κανένας από αυτούς τους επιστήμονες δεν το ανακάλυψε. Το LRL διάνυσμα έχει ανακαλυφθεί εκ νέου αρκετές φορές  και είναι επίσης ισοδύναμο με το αδιάστατο διάνυσμα εκκεντρικότητας της ουράνιας μηχανικής. Έχουν οριστεί διάφορες γενικεύσεις του LRL διανύσματος, οι οποίες ενσωματώνουν τις επιπτώσεις της ειδικής σχετικότητας, των ηλεκτρομαγνητικών πεδίων, ακόμα και διαφορετικών τύπων των κεντρικών δυνάμεων.

Γενικό πλαίσιο 
Ένα ενιαίο σωματίδιο το οποίο κινείται κάτω από οποιαδήποτε συντηρητική κεντρική δύναμη έχει τουλάχιστον τέσσερις σταθερές της κίνησης, την ολική ενέργεια (Ε) καθώς και τις τρεις καρτεσιανές συνιστώσες της στροφορμής διανύσματος (L). Η τροχιά του σωματιδίου περιορίζεται σε ένα επίπεδο που ορίζεται από την αρχική ορμή (p) του σωματιδίου (ή ισοδύναμα, την ταχύτητά του (v) και το διάνυσμα r μεταξύ του σωματιδίου και του κέντρο της δύναμης (βλέπε εικόνα 1, παρακάτω).

Όπως ορίζεται παρακάτω (βλέπε μαθηματικό ορισμό), το διάνυσμα Laplace-Runge-Lenz (διάνυσμα LRL ) Α βρίσκεται πάντα στο επίπεδο της κίνησης για κάθε κεντρική δύναμη. Ωστόσο, το Α είναι σταθερό μόνο για μια κεντρική δύναμη αντιστρόφου τετραγώνου. Για τις περισσότερες κεντρικές δυνάμεις, ωστόσο, αυτό το διάνυσμα Α δεν είναι σταθερό, αλλά αλλάζει τόσο σε μήκος 'όσο και σε κατεύθυνση, αν η κεντρική δύναμη υπακούει περίπου στο νόμο του αντιστρόφου τετραγώνου, το διάνυσμα Α είναι περίπου σταθερό σε μήκος, αλλά σιγά-σιγά περιστρέφει την κατεύθυνσή του. Ένα γενικευμένο συντηρημένη LRL διάνυσμα μπορεί να οριστεί για όλες τις κεντρικές δυνάμεις, αλλά αυτή το γενικευμένο διάνυσμα είναι μια πολύπλοκη συνάρτηση της θέσης, και συνήθως δεν εκφράζεται σε κλειστή μορφή.

Το επίπεδο της κίνησης είναι κάθετο προς το διάνυσμα της στροφορμής L, που είναι σταθερό. Αυτό μπορεί να εκφραστεί μαθηματικά ως το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων r · L = 0, ομοίως δεδομένου ότι το Α βρίσκεται σε αυτό το επίπεδο προκύπτει, A · L = 0.

Το διάνυσμα LRL διαφέρει από τις άλλες διατηρούμενες ποσότητες στην ακόλουθη ιδιότητα: Λαμβάνοντας υπόψη ότι για τυπικές διατηρούμενες ποσότητες υπάρχουν οι αντίστοιχες κυκλικές συντεταγμένες στο τρισδιάστατο σύστημα Lagrangian, εκεί δεν υπάρχουν τέτοιες συντεταγμένες για τον διάνυσμα LRL. Έτσι, η διατήρηση του διανύσματος LRL πρέπει να προέρχεται απευθείας π.χ. από τη μέθοδο των αγκύλων Poisson, η οποία περιγράφεται παρακάτω. Οι συντηρημένες ποσότητες αυτού του είδους ονομάζονται «δυναμικές», σε αντίθεση με τους συνήθεις «γεωμετρικούς» νόμους διατήρησης, π.χ. εκείνους της στροφορμής.

Ιστορία των παράλληλων ανακαλύψεων 
Το διάνυσμα LRL Α είναι μια σταθερά της κίνησης του σημαντικού προβλήματος Κέπλερ και είναι χρήσιμο για την περιγραφή αστρονομικών τροχιών όπως η κίνηση των πλανητών. Παρ 'όλα αυτά ποτέ δεν ήταν ιδιαίτερα διαδεδομένο στους φυσικούς. Κατά συνέπεια έχει ανακαλύφθηκε ανεξάρτητα αρκετές φορές κατά τη διάρκεια των τελευταίων τριών αιώνων. 
Ο Jakob Hermann ήταν ο πρώτος που δείχνει ότι το Α διατηρείται για μια ειδική περίπτωση μιας κεντρικής δύναμης του αντίστροφου τετραγώνου  και επεξεργάστηκε τη σύνδεσή της με την εκκεντρικότητα της τροχιακής έλλειψης. Η εργασία του Hermann γενικεύτηκε σε σύγχρονη μορφή από τον Johann Bernoulli το 1710. Στο τέλος του αιώνα ο Pierre-Simon de Laplace ανακάλυψε ξανά τη διατήρηση του A περισσότερο αναλυτικά παρά γεωμετρικά. Στα μέσα του δέκατου ένατου αιώνα ο William Rowan Hamilton βρίσκει το αντίστοιχο διάνυσμα εκκεντρότητας που ορίζεται παρακάτω,, και το χρησιμοποιεί για να αποδείξει ότι το διάνυσμα p της ορμής κινείται σε έναν κύκλο για την κίνηση κάτω από την επίδραση μιας δύναμης αντιστρόφως ανάλογης του τετραγώνου (Σχήμα 3) .

Στις αρχές του εικοστού αιώνα ο Josiah Willard Gibbs βρίσκει το ίδιο διάνυσμα με διανυσματική ανάλυση. Η ανακάλυψη του Gibbs χρησιμοποιήθηκε ως παράδειγμα από τον Runge Carle σε ένα δημοφιλές γερμανικό βιβλίο για διανύσματα, στην οποία αναφέρεται ο Wilhelm Lenz στην εργασία του σχετικά με την (παλιά) κβαντική μηχανική επεξεργασία του ατόμου του υδρογόνου. Το 1926, το διάνυσμα είχε χρησιμοποιηθεί από τον Wolfgang Pauli για να ερευνήσει το φάσμα του υδρογόνου με τη χρήση σύγχρονης κβαντομηχανικής, αλλά όχι την εξίσωση Σρέντινγκερ; από τη δημοσίευσή του Pauli έμεινε γνωστό ως το διάνυσμα Runge-Lenz.

Μαθηματικός ορισμός
Για ένα μόνο σωματίδιο κάτω από την επίδραση μιας κεντρικής δύναμης του αντιστρόφου τετραγώνου που περιγράφεται από την εξίσωση , το LRL διάνυσμα Α ορίζεται μαθηματικά από τον τύπο 

Η σχέση μεταξύ του προβλήματος Κέπλερ και τεσσάρων διαστάσεων περιστροφική συμμετρία SO (4) μπορεί να είναι εύκολα ορατό. Έστω τα τεσσάρων διαστάσεων καρτεσιανές συντεταγμένες θα συμβολίζεται (w, x, y, z), όπου (x, y, z) αντιπροσωπεύουν την καρτεσιανές συντεταγμένες της κανονικής r διάνυσμα θέσης. Το τρισδιάστατο διάνυσμα p ορμή συνδέεται με ένα τετραδιάστατο διάνυσμα  σε μια τρισδιάστατη σφαίρα μονάδα

όπου  είναι το διάνυσμα μονάδα κατά μήκος του νέου w-άξονα. Η χαρτογράφηση μετασχηματισμός p στο η μπορεί να είναι μοναδικά ανεστραμμένη? Για παράδειγμα, το x-συνιστώσα της ορμής ισούται

και ομοίως για  p  y  και p  z . Με άλλα λόγια, το τρισδιάστατο διάνυσμα p είναι ένα στερεογραφική προβολή των τεσσάρων διαστάσεων  διάνυσμα, με κλίμακα από το p0.
Χωρίς εξάλειψη της γενικότητας,μπορούμε να εξαλείψουμε την κανονική περιστροφική συμμετρία επιλέγοντας τους καρτεσιανές συντεταγμένες έτσι ώστε ο άξονας-z είναι ευθυγραμμισμένο με το διάνυσμα L γωνιακή ορμή και είναι ευθυγραμμισμένες τα διαγράμματα ορμής που είναι στο Σχήμα 7,με τα κέντρα των κύκλων για την y-άξονα. Δεδομένου ότι η κίνηση είναι επίπεδη,και p και L είναι κάθετες, pz = ηz = 0 και προσοχή μπορεί να περιοριστεί στο τρισδιάστατο διάνυσμα  = (ηw, ηx, ηy). Η οικογένεια των Απολλωνίων κύκλων των hodographs ορμής (Σχήμα 7) αντιστοιχεί σε μια οικογένεια των μεγάλων κύκλων σχετικά με την τρισδιάστατο σφαίρα, τα οποία τέμνουν τον ηx-άξονα στο δύο εστίες ηx = ±1, που αντιστοιχεί στην ορμή του hodograph εστίες σε px = ±p0. Αυτές οι μεγάλες κύκλοι που συνδέονται με μια απλή περιστροφή περί τον άξονα ηx-axis (Σχήμα 8). Αυτή η περιστροφική συμμετρία μετατρέπει όλες τις τροχιές της ίδιας ενέργειας σε μία άλλη,Ωστόσο, μια τέτοια περιστροφή είναι ορθογώνια προς τις συνήθεις τρισδιάστατες περιστροφές, αφού μετατρέπει την τέταρτη ηw διάσταση. Αυτή η υψηλότερη συμμετρία είναι χαρακτηριστική του προβλήματος Κέπλερ και αντιστοιχεί στη διατήρηση της LRL διάνυσμα. Ένα κομψό δράση γωνίας λύση μεταβλητές για το πρόβλημα Κέπλερ μπορεί να επιτευχθεί με την εξάλειψη των απολυμένων τεσσάρων διαστάσεων συντεταγμένες  υπέρ των ελλειπτικών κυλινδρικές συντεταγμένες (χ, ψ, φ)

όπου sn, cn και dn είναι ελλειπτικά λειτουργίες του Jacobi.

Οι γενικεύσεις σε άλλες δυνατότητες και σχετικότητας
Το Laplace-Runge-Lenz διάνυσμα μπορεί επίσης να γενικευθεί για τον εντοπισμό συντηρημένες ποσότητες που ισχύουν σε άλλες καταστάσεις.
Με την παρουσία ενός ηλεκτρικού πεδίου E, η συντηρημένη γενικευμένη Laplace-Runge-Lenz διάνυσμα  είναι

όπου q είναι το φορτίο στην τροχιά των σωματιδίων.
Η περαιτέρω γενίκευση της Laplace-Runge-Lenz διάνυσμα για άλλες δυνατότητες και την ειδική θεωρία της σχετικότητας, η πιο γενική μορφή μπορεί να γραφτεί ως

όπου u = 1/r (βλ. θεώρημα Bertrand) και ξ = cos θ, με τη γωνία θ ορίζεται από

και γ είναι ο παράγοντας Lorentz. Όπως και πριν, μπορούμε να αποκτήσουμε μια συντηρημένη binormal διάνυσμα B παίρνοντας το γινόμενο με το συντηρημένο διάνυσμα της γωνιακής ορμής

Αυτές οι δύο φορείς μπορούν ομοίως να συνδυαστούν σε μια διατηρημένη δυαδική τανυστής W

Για παράδειγμα,το LRL διάνυσμα για ένα μη-σχετικιστικό, ισοτροπική αρμονικός ταλαντωτής μπορεί να υπολογιστεί. Επειδή η δύναμη είναι κεντρική

η γωνιακή διάνυσμα ορμή διατηρείται και η κίνηση βρίσκεται σε ένα επίπεδο. Η συντηρημένη δυαδική tensor μπορεί να γραφτεί σε απλή μορφή

αν και θα πρέπει να σημειωθεί ότι τα ρ και r δεν είναι απαραίτητα κάθετα. Το αντίστοιχο Runge-Lenz διάνυσμα είναι πιο περίπλοκη

όπου είναι η φυσική συχνότητα ταλάντωσης και .

Αποδείξεις ότι το διάνυσμα Laplace-Runge-Lenz διατηρείται στα προβλήματα Κέπλερ
Τα παρακάτω είναι τα επιχειρήματα που δείχνουν ότι το LRL διάνυσμα διατηρείται, υπό την κεντρική δυνάμεις που υπακούουν σε ένα νόμο του αντιστρόφου τετραγώνου.

Άμεση απόδειξη της διατήρησης
Μια κεντρική δύναμη  που δρουν στο σωματίδιο είναι

για κάποια συνάρτηση  της ακτίνας r. Δεδομένου ότι η στροφορμή διατηρείται, υπό την κεντρική δυνάμεων,  και

όπου η δυναμική  και όταν το προϊόν τριπλού σταυρού έχει απλοποιηθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο του Lagrange

Η ταυτότητα

αποδίδει την εξίσωση

Για την ειδική περίπτωση ενός αντίστροφου τετραγώνου κεντρική δύναμη , αυτό ισούται

Ως εκ τούτου,Aδιατηρείται για αντιστρόφου τετραγώνου κεντρικές δυνάμεις

Μία βραχύτερη απόδειξη επιτυγχάνεται χρησιμοποιώντας τη σχέση της στροφορμής με γωνιακή ταχύτητα, ,η οποία ισχύει για ένα σωματίδιο που ταξιδεύει σε ένα επίπεδο κάθετο προς . Καθορισμός σε αντιστρόφου κεντρική πλατεία δυνάμεις, η χρονική παράγωγος της  είναι

όπου η τελευταία ισότητα ισχύει επειδή το μοναδιαίο διάνυσμα μπορεί να αλλάξει μόνο με περιστροφή, και  είναι η τροχιακή ταχύτητα του περιστρεφόμενου διάνυσμα. Έτσι,A φαίνεται να είναι μια διαφορά των δύο διανυσμάτων ίσο με παράγωγα του χρόνου.

Όπως περιγράφεται παρακάτω, αυτό το διάνυσμα LRL A είναι μια ειδική περίπτωση ενός γενικού συντηρημένη διάνυσμα  που μπορούν να οριστούν για όλες τις κεντρικές δυνάμεις. Ωστόσο, δεδομένου ότι οι περισσότερες κεντρικές δυνάμεις δεν παράγουν κλειστές τροχιές, το ανάλογο διάνυσμα  σπάνια έχει έναν απλό ορισμό και είναι γενικά μια πλειότιμη συνάρτηση της γωνίας θ μεταξύ r και .

Hamilton-Jacobi εξίσωση σε παραβολικές συντεταγμένες
Η σταθερότητα του LRL διανύσματος μπορεί επίσης να προέρχεται από το Hamilton-Jacobi εξίσωση στην παραβολικές συντεταγμένες (ξ, η), οι οποίοι ορίζονται από τις εξισώσεις

όπου το r αντιπροσωπεύει την ακτίνα στο επίπεδο της τροχιάς

Η αναστροφή αυτών των συντεταγμένων είναι

Διαχωρισμός των Hamilton-Jacobi εξίσωση σε αυτές τις συντεταγμένες δίδει τις δύο ισοδύναμων εξισώσεων

όπου Γ είναι μια σταθερά της κίνησης. Αφαίρεση και την εκ νέου έκφραση από την άποψη του καρτεσιανού ορμές px και py Γ δείχνει ότι είναι ισοδύναμο με το διάνυσμα LRL

Θεώρημα Noether
Η σύνδεση μεταξύ του περιστροφική συμμετρία περιγράφηκε ανωτέρω και η διατήρηση του LRL διανύσματος μπορεί να γίνει ποσοτική με τον τρόπο του θεωρήματος Noether. Αυτό το θεώρημα, το οποίο χρησιμοποιείται για την εύρεση σταθερές της κίνησης,αναφέρει ότι οποιαδήποτε απειροελάχιστη παραλλαγή της γενικευμένες συντεταγμένες ενός φυσικού συστήματος

που προκαλεί η Lagrangian να διαφέρουν στην πρώτη τάξη με συνολική χρονική παράγωγο

αντιστοιχεί σε μια διατηρημένη ποσότητα Γ

Ειδικότερα, η διατηρημένη LRL διανυσματική συνιστώσα As αντιστοιχεί στη διακύμανση της συντεταγμένες

όπου i είναι ίσο με 1, 2 και 3, με xi και pi είναι τα ith-συνιστώσες της θέσης και ορμής διανύσματα r και p, αντίστοιχα,ως συνήθως, δisαντιπροσωπεύει το δέλτα του Kronecker. Το προκύπτον πρώτης τάξης αλλαγή στην λαγκρατζιανές

Υποκατάσταση στο γενικό τύπο για την συντηρημένη ποσότητα Γ δίδει την συντηρημένη συστατικό As του φορέως LRL

Μετασχηματισμός Lie

Η παραγωγή θεώρημα Noether της διατήρησης του LRL διανύσματος A είναι κομψό,αλλά έχει ένα μειονέκτημα: η διακύμανση συντεταγμένων δxi περιλαμβάνει όχι μόνο τη θέση r, αλλά και την ορμή p ή, ισοδύναμα, την ταχύτητα v. Αυτό το μειονέκτημα μπορεί να εξαλειφθεί με την αντί απορρέουν τη διατήρηση του Α χρησιμοποιώντας μια προσέγγιση που εγκαινίασε ο Sophus Lie. Συγκεκριμένα, το ένα μπορεί να καθορίζει μια μεταμόρφωση Lie  στην οποία το r συντεταγμένες και ο χρόνος t κλιμακώνονται από διαφορετικές δυνάμεις μιας παραμέτρου λ (Σχήμα 9)

Αυτή η μεταμόρφωση αλλάζει τη συνολική γωνιακή L ορμή και ενέργεια Ε

αλλά διατηρείται EL2. Ως εκ τούτου, η εκκεντρότητα e και το μέγεθος Α σώζονται, όπως μπορεί να φανεί από την εξίσωση για την A2]]

Η κατεύθυνση Α διατηρείται, καθώς, αφού οι ημιάξονες μεταβάλλονται από μια παγκόσμια κλιμάκωση. Ο μετασχηματισμός αυτός διατηρεί και τρίτο νόμο του Κέπλερ, δηλαδή, ότι η ημιάξονα a και T περίοδο αποτελούν μια σταθερή T2/a3.

Εναλλακτικές διαβαθμίσεις, σύμβολα και μορφοποιήσεις 
Σε αντίθεση με το momentum και το γωνιακό mementum διάνυσμα p και L,δεν υπάρχει καθολικά αποδεκτός ορισμός του Laplace-Runge-Lenz διανύσματος,οι πολλές διαφορετικές συντελεστές κλίμακας και τα σύμβολα που χρησιμοποιούνται στην επιστημονική βιβλιογραφία. Η πιο κοινή ορισμός που δίνεται παραπάνω, αλλά μια άλλη κοινή εναλλακτική λύση είναι να διαιρέσει από τη συνεχή mk να ληφθεί ένα αδιάστατη συντηρημένη διάνυσμα εκκεντρότητας

όπου ν είναι το διάνυσμα ταχύτητος. Αυτό το κλιμακωτό ηλεκτρονικό διάνυσμα e έχει την ίδια κατεύθυνση με Α και το μέγεθός του ισούται με την εκκεντρότητα της τροχιάς. Άλλες κλίμακα εκδόσεις είναι επίσης δυνατόν, π.χ., διαιρώντας A από m μόνο

ή από p0

η οποία έχει τις ίδιες μονάδες με τη γωνιακή ορμή διάνυσμα L. Σε σπάνιες περιπτώσεις, το πρόσημο του LRL διανύσματος μπορεί να αντιστραφεί, δηλαδή, με κλίμακα από -1. Άλλα κοινά σύμβολα για τον LRL διάνυσμα περιλαμβάνουν a, Ε, F, J και V. Ωστόσο, η επιλογή της κλιμάκωσης και το σύμβολο για τον LRL διάνυσμα δεν επηρεάζουν τη διατήρησή της.

Ένα εναλλακτικό συντηρημένο διάνυσμα είναι το binormal διάνυσμα Β που μελετήθηκε από τον William Rowan Hamilton

η οποία είναι διατηρημένη και τα σημεία κατά μήκος τησ κύριας ημιάξονας της έλλειψης,η LRL διάνυσμα Α = Β × L είναι το γινόμενο του Β και L (Σχήμα 4). Το Β διάνυσμα συμβολίζεται ως "binormal» δεδομένου ότι είναι κάθετος προς τα δύο Α και L. Παρόμοια με τον ίδιο LRL διάνυσμα, το binormal διάνυσμα μπορεί να οριστεί με διαφορετικούς αποσφυροκοπήματα και σύμβολα.

Οι δύο συντηρημένες διανύσματα, Α και Β μπορούν να συνδυαστούν για να σχηματίσουν μια συντηρημένη δυαδική τανυστής W

όπου α και β είναι αυθαίρετες σταθερές κλιμάκωση και  αντιπροσωπεύει το tensor προϊόν (το οποίο δεν έχει σχέση με το προϊόν πολλαπλής διανύσματος, παρά το παρόμοιο σύμβολο τους). Γράφει σε ρητή συστατικά, αυτή η εξίσωση έχει ως εξής

Όντας κάθετα προς κάθε άλλο, τα διανύσματα Α και Β μπορεί να θεωρηθεί ως τους κύριους άξονες του τανυστή διατηρημένων W, δηλαδή, διαβαθμισμένη ιδιοδιανύσματα της. W είναι κάθετο προς L

δεδομένου ότι τα Α και Β είναι και τα δύο κάθετα προς L, καθώς, L ⋅ A = L ⋅ B = 0. Για λόγους σαφήνειας, η εξίσωση αυτή έχει ρητά τις συνιστώσες

Παραπομπές 

Κλασική μηχανική
Διανύσματα
Μαθηματική φυσική