Μη ευκλείδειες γεωμετρίες

Στα μαθηματικά, μια μη-Ευκλείδεια γεωμετρία συνίσταται από δύο γεωμετρίες βασισμένες σε αξιώματα στενά συνδεδεμένα με αυτά που προσδιορίζουν την Ευκλείδεια γεωμετρία. Καθώς η Ευκλείδεια γεωμετρία βρίσκεται στην τομή  της μετρικής γεωμετρίας με την  αφινική γεωμετρία (ομοπαραλληλική γεωμετρία), η μη-Ευκλείδεια γεωμετρία προκύπτει όταν είτε η απαίτηση του μέτρου χαλαρώνει (ότι δηλαδή η συνάρτηση μέτρο παίρνει τιμές όχι μόνο στο [0,+οο) αλλά και σε άλλα διατεταγμένα σύνολα, είτε το αξίωμα των παραλλήλων αντικαθίσταται με ένα εναλλακτικό. Στην τελευταία περίπτωση έχουμε την υπερβολική γεωμετρία και την ελλειπτική γεωμετρία, τις κλασικές μη-ευκλείδειες γεωμετρίες. Όταν η απαίτηση του μέτρου χαλαρώνει, υπάρχουν ομοπαραλληλικά επίπεδα που σχετίζονται με επίπεδες άλγεβρες το οποίο οδηγεί στις κινηματικές γεωμετρίες () οι οποίες επίσης έχουν αποκαλεστεί μη-Ευκλείδειες.

Η ουσιαστική διαφορά με τις μετρικές γεωμετρίες είναι στην φύση των παράλληλων ευθειών. Το 5ο αξίωμα του Ευκλείδη, το αξίωμα των παραλλήλων, είναι ισοδύναμο με το  αξίωμα του Πλέιφερ, που δηλώνει ότι, σε ένα επίπεδο 2 διαστάσεων, για κάθε ευθεία  ε και σημείο  A, εκτός της  ε, υπάρχει ακριβώς μια ευθεία διερχόμενη από το A που δεν τέμνει την ε. Αντίθετα, στην υπερβολική γεωμετρία υπάρχουν άπειρες το πλήθος ευθείες διερχόμενες από το A που δεν τέμνουν την ε, ενώ στην ελλειπτική γεωμετρία, κάθε ευθεία διερχόμενη του A τέμνει την ε.

Άλλος τρόπος να περιγράψουμε την διαφορά μεταξύ αυτών των γεωμετριών είναι να θεωρήσουμε 2 ευθείες επ' αόριστον επεκταμένες σε ένα δισδιάστατο επίπεδο που είναι και οι 2 κάθετες σε μία 3η ευθεία:
Στην Ευκλείδεια Γεωμετρία οι ευθείες διατηρούν σταθερή απόσταση η μία από την άλλη ακόμα και αν επεκταθούν στο άπειρο, και είναι γνωστές ως παράλληλες.
Στην υπερβολική γεωμετρία καμπυλώνουν απομακρυνόμενες η μία από την άλλη, αυξάνοντας την μεταξύ τους απόσταση καθώς η μία απομακρύνεται από τα σημεία τομής με την κοινή κάθετη; τέτοιες ευθείες συχνά αποκαλούνται υπερπαράλληλες.
Στην ελλειπτική γεωμετρία καμπυλώνουν η μία προς την άλλη και τέμνονται.

Ιστορία

Πρώιμη ιστορία
Ενώ η Ευκλείδεια Γεωμετρία, που ονομάστηκε από τον Έλληνα Μαθηματικό Ευκλείδη, περιέχει μερικά από τα αρχαιότερα μαθηματικά, οι μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες δεν ήταν ευρέως αποδεκτές ως έγκυρες μέχρι τον 19ο αιώνα.

Η αντιπαράθεση που τελικά οδήγησε στην ανακάλυψη των μη Ευκλείδειων Γεωμετριών ξεκίνησε σχεδόν όταν το έργο του Ευκλείδη Στοιχεία γράφτηκε. Στο έργο Στοιχεία, ο Ευκλείδης ξεκίνησε με έναν περιορισμένο αριθμό υποθέσεων (23 ορισμοί, πέντε κοινές γνώμες, και πέντε αξιώματα) και προσπάθησε να αποδείξει όλα τα άλλα αποτελέσματα (προτάσεις) στο έργο. Η πιο αξιοσημείωτη από τις διατυπώσεις είναι συχνά αναφερόμενη ως «Το Πέμπτο Αξίωμα του Ευκλείδη», ή απλούστερα Αξίωμα των παραλλήλων στο οποίο αρχική διατύπωση του Ευκλείδη είναι:

Αν μια ευθεία γραμμή τέμνει δυο άλλες ευθείες γραμμές έτσι ώστε οι εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες που σχηματίζονται να έχουν άθροισμα μικρότερο από δύο ορθές, τότε, όταν οι δύο ευθείες προεκταθούν απεριόριστα, θα συναντηθούν από εκείνη τη πλευρά όπου σχηματίζονται οι μικρότερες των δύο ορθών γωνίες.

Άλλοι μαθηματικοί έχουν επινοήσει απλούστερες μορφές αυτής της ιδιότητας παρόλο που το πέμπτο αξίωμα εμφανίζει μεγαλύτερη πολυπλοκότητα από τα άλλα αξιώματα του Ευκλείδη (τα οποία περιλαμβάνουν, για παράδειγμα, «Μεταξύ οποιονδήποτε δύο σημείων μία ευθεία γραμμή μπορεί να σχηματιστεί»).

Για τουλάχιστον χίλια χρόνια, αυτοί που ασχολούνταν με τη γεωμετρία ήταν προβληματισμένοι από την ανόμοια πολυπλοκότητα του πέμπτου αξιώματος, και πίστευαν ότι μπορούσε να αποδειχθεί ως ένα θεώρημα που προέρχεται από τα άλλα τέσσερα αξιώματα. Πολλοί προσπάθησαν να βρουν μία εις άτοπον απαγωγή, συμπεριλαμβανομένων των Ιμπν αλ-Χαϊτάμ (11ος αιώνας), Ομάρ Καγιάμ (12ος αιώνας), Νασίρ αλ-Ντιν αλ-Τουσίν (13ος αιώνας), και Τζιοβάνι Σεκέρι (18ος αιώνας).

Τα θεωρήματα των Ιμπν αλ-Χαϊθάμ, Καγιά και αλ-Τουσί για τετράπλευρα, συμπεριλαμβανομένων τα τετράπλευρο Lambert και τετράπλευρο Saccheri, ήταν τα πρώτα θεωρήματα της Υπερβολικής γεωμετρίας και της  Ελλειπτικής γεωμετρίας. Αυτά τα θεωρήματα μαζί με εναλλακτικά αξιώματα τους, όπως το αξίωμα του Πλέιφερ, έπαιξαν σημαντικό ρόλο στη μετέπειτα ανάπτυξη της μη Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Αυτές οι πρώτες απόπειρες να αμφισβητηθεί το πέμπτο αξίωμα είχε σημαντική επίδραση στην ανάπτυξη μεταξύ άλλων των Ευρωπαίων γεωμετρών, συμπεριλαμβανομένων των  Witelo, Levi ben Gerson, Alfonso, John Wallis και Saccheri. Όλες αυτές οι πρώιμες προσπάθειες γίνονταν στην προσπάθεια να διατυπωθεί η μη  Ευκλείδεια Γεωμετρία ωστόσο έδιναν εσφαλμένες αποδείξεις του αξιώματος των παραλλήλων, που περιείχαν υποθέσεις που ήταν ουσιαστικά ισοδύναμες με το αξίωμα των παραλλήλων. Αυτές οι πρώτες απόπειρες παρείχαν, ωστόσο, κάποιες πρώιμες ιδιότητες της υπερβολικής και ελλειπτικής γεωμετρίας.

Ο Khayyam, για παράδειγμα, προσπάθησε να το αποδείξει από ένα ισοδύναμο αξίωμα που διατυπώθηκε "οι αρχές του φιλόσοφου" (Αριστοτέλης): "Δύο συγκλίνουσες ευθείες τέμνονται και είναι αδύνατο για δύο συγκλίνουσες ευθείες να αποκλίνουν στην κατεύθυνση στην οποία αυτές συγκλίνουν." Ο Khayyam εξέτασε στη συνέχεια τις τρεις σωστές περιπτώσεις ,αμβλεία και οξεία ότι οι γωνίες κορυφής του τετράπλευρου Saccheri και μετά απέδειξε μία σειρά από θεωρήματα σχετικά με αυτά, διέψευσε σωστά τις περιπτώσεις της αμβλείας και οξείας γωνίας με βάση το αξίωμα του και ως εκ τούτου διατύπωσε το κλασικό αξίωμα του Ευκλείδη το οποίο δεν συνειδητοποίησε ότι ήταν ισοδύναμο με τη δική του διατύπωση. Άλλο ένα παράδειγμα είναι ο γιος του al-Tusi, ο Sadr al-Din (μερικές φορές γνωστός ως "Ψευδό-Tusi"), ο οποίος έγραψε ένα βιβλίο πάνω σε αυτό το θέμα το 1298, με βάση τις μετέπειτα σκέψεις του al-Tusi's, στο οποίο παρουσίασε μία άλλη υπόθεση που ισοδυναμεί με το αξίωμα των παραλλήλων. Αυτός ουσιαστικά αναθεώρησε και το Ευκλείδειο σύστημα αξιωμάτων και τις διατυπώσεις και τις αποδείξεις από πολλά θεωρήματα από το βιβλίο "Στοιχεία." Το έργο του δημοσιεύτηκε στη Ρώμη το 1594 και μελετήθηκε από τους Ευρωπαίους που ασχολούνταν με την γεωμετρία, συμπεριλαμβανομένων του Saccheri ο οποίος χαρακτήρισε αυτό το έργο τόσο καλό όσο αυτό του Wallis.

Ο Giordano Vitale, στο βιβλίο του Euclide restituo (1680, 1686), χρησιμοποίησε το τετράπλευρο Saccheri για να αποδείξει ότι εάν τρία σημεία ισαπέχουν από τη βάση ΑΒ και τη κορυφή ΓΔ, τότε τα ΑΒ και ΓΔ έχουν παντού την ίδια απόσταση.

Σε ένα έργο με τίτλο Euclides ab Omni Naevo Vindicatus, που δημοσιεύτηκε το 1733, ο Saccheri γρήγορα απέρριψε την ελλειπτική γεωμετρία ως μία πιθανότητα (κάποια άλλα αξιώματα του Ευκλείδη έπρεπε να τροποποιηθούν ώστε να μπορέσουν να χρησιμοποιηθούν στην ελλειπτική γεωμετρία) και άρχισε να εργάζεται αποδεικνύοντας ένα μεγάλο αριθμό αποτελεσμάτων στην υπερβολική γεωμετρία.

Αυτός τελικά έφτασε σε ένα σημείο όπου πίστευε ότι τα αποτελέσματα του αποδείκνυαν την αδυναμία της υπερβολικής γεωμετρίας. Ο ισχυρισμός του φαίνεται να έχει βασιστεί στις Ευκλείδειες υποθέσεις, γιατί η μη λογική αντίφαση ήταν παρούσα. Σε αυτή την προσπάθεια να αποδείξει την Ευκλείδεια γεωμετρία αντ'αυτού ανακάλυψε τυχαία μία νέα εφικτή(viable) γεωμετρία, αλλά δεν το συνειδητοποίησε.

Το 1766 ο Johann Lambert έγραψε, αλλά δεν το δημοσίευσε, το Theorie der Parallellinien στο οποίο προσπάθησε, όπως έκανε και ο Saccheri, να αποδείξει το πέμπτο αξίωμα. Δούλεψε με μία φιγούρα που σήμερα ονομάζεται τετράπλευρο Lambert, ένα τετράπλευρο με τρεις ορθές γωνίες (μπορεί να θεωρηθεί το ήμισυ του τετράπλευρου Saccheri). Αυτός γρήγορα εξάλειψε το ενδεχόμενο ότι η τέταρτη γωνία είναι αμβλεία, όπως είχε κάνει ο Saccheri και ο Khayyam, και στη συνέχεια προχώρησε ώστε να αποδείξει πολλά θεωρήματα με την παραδοχή της οξείας γωνίας. Σε αντίθεση με τον Saccheri, ποτέ δεν αισθάνθηκε ότι είχε φτάσει σε αντίφαση με την υπόθεσή του. Απόδειξε το μη-Ευκλείδειο αποτέλεσμα ότι το άθροισμα των γωνιών σε ένα τρίγωνο μεγαλώνει καθώς το εμβαδόν του μειώνεται, και αυτό τον οδήγησε να θεωρήσει την πιθανότητα ενός μοντέλου οξείας περίπτωσης μιας σφαίρας με φανταστική ακτίνα. Δεν ασχολήθηκε περαιτέρω με την συγκεκριμένη ιδέα.

Εκείνη τη στιγμή ήταν ευρέως πιστευτό ότι το σύμπαν λειτουργούσε σύμφωνα με τις αρχές της ευκλείδειας γεωμετρίας.

Ανακάλυψη μη-Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Η αρχή του 19ου αιώνα θα έβλεπε επιτέλους αποφασιστικά βήματα για τη δημιουργία της μη Ευκλείδειας γεωμετρίας. Γύρω στο 1813, ο Καρλ Φρίντριχ Γκάους και το 1818, ο Γερμανός καθηγητής της Νομικής Φέρντιναντ Καρλ Σβάικαρτ είχαν τις πρωτογενείς ιδέες της μη Ευκλείδειας γεωμετρίας, αλλά κανένας από τους δύο δεν δημοσίευσε κανένα αποτέλεσμα. Στη συνέχεια, γύρω στο 1830, ο Ούγγρος μαθηματικός Γιάνος Μπολιάι και ο Ρώσος μαθηματικός Νικολάι Ιβάνοβιτς Λομπατσέφσκι δημοσιεύουν χωριστά πραγματείες για την υπερβολική γεωμετρία. 
 
Ως εκ τούτου,η υπερβολική γεωμετρία θα ονομαστεί Bolyai-Lobachevskian γεωμετρία, ενώ οι δύο μαθηματικοί, ανεξάρτητα μεταξύ τους, γίνονται οι βασικοί συντάκτες της μη Ευκλείδειας γεωμετρίας. Ο Καρλ Φρίντριχ Γκάους αναφέρθηκε στον πατέρα του Bolyai, όταν παρουσίαζε το έργο του νεώτερου Μπολιάι, ότι είχε αναπτύξει μια τέτοια γεωμετρία αρκετά χρόνια πριν, αν και ο ίδιος δεν την είχε δημοσιεύσει. Παράλληλα ο Λομπατσέφσκι δημιούργησε μια Ευκλείδεια γεωμετρία με άρνηση του παράλληλου αξιώματος, ενώ ο Μπολιάι επεξεργάστηκε μια γεωμετρία, όπου είναι δυνατή τόσο η Ευκλείδεια, όσο και η υπερβολική γεωμετρία ανάλογα με την παράμετρο k.  Ο Μπολιάι τελειώνει το έργο του, αναφέροντας ότι δεν είναι δυνατόν να αποφασίσει, σύμφωνα με τη μαθηματική λογική και μόνο, αν η γεωμετρία του φυσικού σύμπαντος είναι Ευκλείδεια ή μη Ευκλείδεια. Δίνοντας μόνος του την απάντηση ότι αυτό είναι αρμοδιότητα των φυσικών επιστημών.

Ο Μπέρναρντ Ρίμαν, σε μια διάσημη διάλεξη του το 1854, ίδρυσε το πεδίο Γεωμετρία Riemann, συζητώντας κυρίως τις ιδέες που σήμερα ονομάζονται συλλέκτες, μετρικό Riemannian, και καμπυλότητα. Κατασκεύασε μια άπειρη οικογένεια από γεωμετρίες που δεν είναι Ευκλείδειες δίνοντας μια φόρμουλα για μια οικογένεια από Ριμάνειες μετρήσεις στη μονάδα επιλογέα στον Ευκλείδειο χώρο. Η απλούστερη από αυτές ονομάζεται ελλειπτική γεωμετρία και θεωρείται ότι είναι μία μη Ευκλείδεια γεωμετρία, λόγω της έλλειψης των παράλληλων γραμμών.

Με τη διαμόρφωση της γεωμετρίας από την άποψη της τανυστής καμπυλότητας Riemann επιτρέπεται η μη Ευκλείδεια γεωμετρία να εφαρμόζεται σε υψηλότερες διαστάσεις.

Ορολογία

Ήταν ο Καρλ Φρίντριχ Γκάους που επινόησε τον όρο "μη-Ευκλείδεια γεωμετρία". Αναφερόμενος στο δικό του έργο που σήμερα ονομάζουμε υπερβολική γεωμετρία. Αρκετοί σύγχρονοι συγγραφείς εξακολουθούν να θεωρούν συνώνυμη τη "μη-Ευκλείδεια γεωμετρία" με  την "υπερβολική γεωμετρία".

Ο Άρθουρ Κέιλ σημείωσε ότι η απόσταση μεταξύ των σημείων μέσα σε κωνικό σχήμα μπορούν να οριστούν με λογαριθμικές βάσεις και με λειτουργία πολλαπλής αναλογίας. Η μέθοδος αυτή έχει ονομαστεί Cayley-Klein μέτρηση , γιατί ο Φέλιξ Κλάιν την αξιοποίησε για να περιγράψει τις μη ευκλείδειες γεωμετρίες στα άρθρα του  το 1871 και 1873 και αργότερα σε μορφή βιβλίου. Οι μετρήσεις Cayley-Klein παρέχουν μοντέλα εργασίας στην υπερβολική και ελλειπτική μετρική γεωμετρία, καθώς και στην Ευκλείδεια γεωμετρία.

Ο Φέλιξ Κλάιν είναι υπεύθυνος για τους όρους "υπερβολική" και "ελλειπτική" (στο σύστημά του, ονόμασε την Ευκλείδεια γεωμετρία "παραβολική", ένας όρος που γενικά έπεσε σε αχρηστία  ). Η επιρροή του οδήγησε στη σημερινή χρήση του όρου «μη-Ευκλείδεια γεωμετρία» ώστε να σημαίνει είτε υπερβολική είτε ελλειπτική» γεωμετρία.

Επίσης υπάρχουν κάποιοι μαθηματικοί που διευρύνουν τον κατάλογο των γεωμετριών που αποκαλούνται μη-Ευκλείδειες με διάφορους τρόπους.

Αξιωματική βάση μη-Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Η Ευκλείδεια γεωμετρία μπορεί να περιγραφεί αξιωματικά με διάφορους τρόπους. Το αρχικό σύστημα του Ευκλείδη των πέντε αξιωμάτων  δεν είναι ένας από αυτούς  καθώς οι αποδείξεις του στηρίχτηκαν σε διαφορές μη δεδηλωμένες υποθέσεις που θα πρέπει επίσης να έχουν συμπεριληφθεί ως αξιώματα. Το σύστημα του Hilbert που αποτελείται από 20 αξιώματα  ακολουθεί πιο πιστά την προσέγγιση του Ευκλείδη και παρέχει την αιτιολόγηση για όλες τις αποδείξεις του Ευκλείδη. Άλλα συστήματα, χρησιμοποιώντας διαφορετικά σύνολα από τους απροσδιόριστους όρους εξασφαλίζουν την ίδια γεωμετρία με διαφορετικές διαδρομές. Σε όλες τις προσεγγίσεις, ωστόσο, υπάρχει ένα αξίωμα το όποιο είναι λογικά ισοδύναμο με το 5ο αξίωμα του Ευκλείδη, το αξίωμα των παραλλήλων. Ο Χίλμπερτ χρησιμοποιεί τη φόρμα του αξιώματος Playfair, ενώ ο Birkhoff, για παράδειγμα, χρησιμοποιεί το αξίωμα που λέει ότι  «υπάρχει ένα ζευγάρι από όμοια αλλά όχι ίσα τρίγωνα». Σε οποιοδήποτε από αυτά τα συστήματα, η αφαίρεση του ενός αξιώματος που είναι ισοδύναμο με το αξίωμα των παραλλήλων, σε όποια μορφή και αν παίρνει, και αφήνοντας όλα τα υπόλοιπα αξιώματα άθικτα, παράγει την απολυτή γεωμετρία. Δεδομένου ότι οι πρώτες 28 προτάσεις του Ευκλείδη (στο έργο «Τα στοιχεία» ) δεν απαιτούν τη χρήση του αξιώματος των παραλλήλων ή οτιδήποτε ισοδυναμεί με αυτό, είναι όλες αληθείς προτάσεις στην απολυτή γεωμετρία.

Για να έχετε μια μη ευκλείδεια γεωμετρία, το παράλληλο αξίωμα (ή το ισοδύναμο του) πρέπει να αντικατασταθεί από την άρνηση του. Η αναίρεση  της μορφής του αξιώματος Playfair, δεδομένου ότι είναι μια σύνθετη εντολή (… υπάρχει ένα και μόνο ένα …), μπορεί να γίνει με δυο τρόπους. Είτε θα υπάρχουν περισσότερες από μια ευθείες που διέρχονται από ένα σημείο παράλληλες με την δοσμένη ευθεία ή θα υπάρχει μόνο μια ευθεία που διέρχεται από το σημείο παράλληλη με την δοσμένη ευθεία. Στην πρώτη περίπτωση, αντικαθιστώντας το παράλληλο αξίωμα (ή το ισοδύναμο του) με την πρόταση “Σε ένα επίπεδο, δίνεται ένα σημείο P και μια ευθεία l που δεν διέρχεται από το σημείο P, υπάρχουν μόνο δυο ευθείες που διέρχονται από το P οι οποίες δεν τέμνονται με την l” και διατηρώντας όλα τα αλλά αξιώματα, παίρνουμε υπερβολική γεωμετρία. Η δεύτερη περίπτωση  δεν αντιμετωπίζεται με την ιδία ευκολία. Απλά αντικαθιστώντας το παράλληλο αξίωμα με την πρόταση “Σε ένα επίπεδο, δίνεται ένα σημείο P και μια ευθεία l που δεν διέρχεται από το P, όλες οι ευθείες που θα διέρχονται από το P θα τέμνονται με την l”, δεν μας δίνει ένα συνεπές σύνολο αξιωμάτων. Αυτό προκύπτει δεδομένου ότι υπάρχουν παράλληλες ευθείες στην απολυτή γεωμετρία, αλλά αυτή η πρόταση λέει ότι δεν υπάρχουν παράλληλες ευθείες. Το πρόβλημα αυτό ήταν γνωστό (με διαφορετικό προσωπείο) στους Khayyam, Saccheri and Lambert και αποτέλεσε τη βάση για να απορρίψουν ότι ήταν γνωστό ως  η "υπόθεση της αμβλείας γωνίας". Για να έχουμε ένα συνεπές σύνολο αξιωμάτων που περιλαμβάνει το αξίωμα που λέει ότι δεν υπάρχουν παράλληλες ευθείες, μερικά από τα αλλά αξιώματα πρέπει να αλλαχτούν. Οι προσαρμογές που πρέπει να γίνουν εξαρτώνται από το σύστημα των αξιωμάτων που χρησιμοποιείται. Μεταξύ άλλων αυτές οι μετατροπές θα πρέπει να έχουν ως αποτέλεσμα τη μεταβολή του δευτέρου αξιώματος του Ευκλείδη από την δήλωση ότι τα τμήματα μιας ευθείας μπορούν να επεκταθούν επ' άπειρον στην δήλωση ότι οι ευθείες δεν έχουν όρια. Η ελλειπτική γεωμετρία του Ρίμαν αναδεικνύεται ως η πιο φυσική γεωμετρία που ικανοποιεί το αξίωμα αυτό.

Μοντέλα Μη-Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Η δισδιάστατη ευκλείδεια γεωμετρία είναι βασισμένη στην αντίληψη ενός μονότονου επίπεδου.

Ελλειπτική Γεωμετρία
Το απλούστερο μοντέλο για την ελλειπτική γεωμετρία είναι μια σφαίρα, όπου οι γραμμές της είναι μεγάλoι κύκλοι (όπως ο ισημερινός ή οι μεσημβρινοί κύκλοι μια σφαίρα), και τα σημεία απέναντι το ένα από το άλλο (που ονομάζονται αντίποδες μονάδες) προσδιορίζονται (θεωρείται ότι είναι το ίδιο). Αυτό είναι επίσης ένα από τα βασικά μοντέλα του πραγματικού προβολικού επιπέδου. Η διαφορά είναι ότι, ως μοντέλο της ελλειπτικής γεωμετρίας μια μετρική εισάγεται επιτρέποντας τη μέτρηση των μηκών και γωνιών, ενώ ως ένα μοντέλο του προβολικού επιπέδου δεν υπάρχει καμία τέτοια μετρική.

 Στο ελλειπτικό μοντέλο, για οποιοδήποτε ℓ γραμμή και ένα σημείο Α,
 το οποίο δεν είναι στο ℓ, όλες οι γραμμές μέσω του Α θα τέμνονται στην ℓ.

Υπερβολική Γεωμετρία
Ακόμα και μετά τη δουλειά των Λομποτσέφσκι, Γκάους, και Μπόλγευ,  η ερώτηση παρέμεινε: "Υπάρχει τέτοιο μοντέλο για την υπερβολική γεωμετρία;". Η απάντηση ήρθε το 1868 από τον Ιταλό μαθηματικό Ευγένιο Μπελτράμυ που πρώτος έδειξε ότι η επιφάνεια ψευδοσφαίρας έχει την κατάλληλη καμπυλότητα για να παραστήσει ένα μέρος του υπερβολικού χώρου ,  και σε δεύτερο έγγραφό του την ίδια χρονιά, όρισε το Μοντέλο του Κλέιν το οποίο παριστά την ολότητα του υπερβολικού χώρου, και το χρησιμοποίησε για να δείξει ότι η Ευκλείδεια Γεωμετρία και η υπερβολική γεωμετρία ήταν ισοδύναμες με τρόπο τέτοιο ώστε η υπερβολική γεωμετρία ήταν λογικά αληθής αν και μόνο αν το ίδιο ίσχυε για την Ευκλείδεια. (Το αντίστροφο απορρέει από το οροσφαιρικό μοντέλο της Ευκλείδειας.)

Στο υπερβολικό μοντέλο, στο επίπεδο 2 διαστάσεων, για κάθε ευθεία λ και σημείο Α, εκτός της λ, υπάρχουν άπειρες ευθείες που διέρχονται από το Α χωρίς να τέμνουν την λ.

Σε αυτά τα μοντέλα οι έννοιες των μη-Ευκλείδειων γεωμετριών αναπαρίστανται από Ευκλείδεια αντικείμενα σε Ευκλείδεια σύνθεση. Αυτό εισάγει μια αντιπηπτική αλλοίωση όπου οι ευθείες της μη-Ευκλείδειας γεωμετρίας  αναπαρίστανται από ευκλείδειες καμπύλες οι οποίες οπτικά λυγίζουν. Αυτή η καμπύλωση δεν είναι ιδιότητα των μη-Ευκλείδειων ευθειών παρά μόνο ένα τέχνασμα για το πως τις παριστάνουμε.

Μη-Ευκλείδεια Γεωμετρία με 3 διαστάσεις
Στις τρεις διαστάσεις, υπάρχουν οκτώ μοντέλα γεωμετριών. Υπάρχουν οι ευκλείδειες, οι ελλειπτικές και οι υπερβολικές γεωμετρίες( όπως και στην δισδιάστατη περίπτωση), μεικτές γεωμετρίες που είναι μερικώς ευκλείδειες και μερικώς υπερβολικές ή σφαιρικές, παραλλαγμένες εκδόσεις των μεικτών γεωμετριών και μια ασυνήθιστη γεωμετρία που είναι εντελώς ανισότροπη (δηλαδή κάθε κατεύθυνση συμπεριφέρεται διαφορετικά).

Ασυνήθιστες Ιδιότητες

Οι ευκλείδειες και οι μη ευκλείδειες γεωμετρίες έχουν φυσικά πολλές παρόμοιες ιδιότητες, όπως αυτές που δεν εξαρτώνται από τη φύση του παραλληλισμού. Αυτά τα κοινά στοιχειά αποτελούν το θέμα της απόλυτης γεωμετρίας (επίσης ονομάζεται και ουδέτερη γεωμετρία). Ωστόσο, οι ιδιότητες οι οποίες ξεχωρίζουν την μια γεωμετρία από τις άλλες είναι αυτές που ιστορικά έχουν λάβει τη μεγαλύτερη προσοχή.

Εκτός από την συμπεριφορά των ευθειών σε σχέση με μια κοινή κάθετο, όπως αναφέρεται στην εισαγωγή, έχουμε και τα εξής :
 Ένα τετράπλευρο Lambert είναι ένα τετράπλευρο που έχει τρεις ορθές γωνίες. Η τέταρτη γωνία ενός τετραπλεύρου Lambert είναι οξεία αν η γεωμετρία είναι υπερβολική, ορθή αν η γεωμετρία είναι ευκλείδεια και αμβλεία αν η γεωμετρία είναι ελλειπτική. 
 Ένα τετράπλευρο Saccheri είναι ένα τετράπλευρο το όποιο έχει δυο πλευρές ίσου μήκους και κάθετες προς μια άλλη πλευρά που λέγεται βάση. Οι άλλες δυο γωνίες ενός τετραπλεύρου Saccheri ονομάζονται γωνίες κορυφής και έχουν ίσο μετρό. Οι γωνίες κορυφής ενός τετραπλεύρου Saccheri είναι οξείες αν η γεωμετρία είναι υπερβολική, ορθές αν η γεωμετρία είναι ευκλείδεια και αμβλείες  αν η γεωμετρία είναι ελλειπτική.
 Το άθροισμα των μέτρων των γωνιών οποιουδήποτε τρίγωνου είναι λιγότερο από 180° αν η γεωμετρία είναι υπερβολική, ίση 180° αν η γεωμετρία είναι ευκλείδεια και περισσότερο από 180° αν η γεωμετρία είναι ελλειπτική. Το ελάττωμα ενός τρίγωνου είναι η αριθμητική τιμή (180° - άθροισμα των μέτρων των γωνιών του τρίγωνου). Αυτό το αποτέλεσμα μπορεί επίσης να αναφερθεί ως: το ελάττωμα των τριγώνων στην υπερβολική γεωμετρία είναι θετική τιμή, το ελάττωμα των τριγώνων στην ευκλείδεια γεωμετρία είναι μηδενικό και το ελάττωμα των τριγώνων στην ελλειπτική γεωμετρία είναι αρνητική τιμή.

Σημασία
Η μη ευκλείδεια γεωμετρία είναι μια παραδειγματική στροφή στην ιστορία της επιστήμης Πριν παρουσιαστούν τα μοντέλα ενός μη ευκλείδειου επίπεδου από τους Beltrami, Klein, και Poincaré, η ευκλείδεια γεωμετρία ήταν αδιαμφισβήτητη ως το μαθηματικό μοντέλο του χώρου. Επιπλέον, δεδομένου ότι η ουσία του θέματος στη συνθετική γεωμετρία ήταν ένα κύριο έκθεμα του ορθολογισμού, η ευκλείδεια άποψη εκπροσωπούσε την απολυτή εξουσία. 
Η ανακάλυψη των μη ευκλείδειων γεωμετριών είχε πολλαπλασιαστικές επιπτώσεις που πήγαν πολύ πέρα από τα όρια των μαθηματικών και της επιστήμης. Η θεραπεία της ανθρώπινης γνώσης  του φιλοσόφου Ιμμάνουελ Καντ είχε έναν ιδιαίτερο ρολό για τη γεωμετρία. Ήταν το χαρακτηριστικό παράδειγμα της σύνθεσης πριν από τη γνώση που δεν προέρχονταν από τις αισθήσεις μας, ούτε προκύπτουν από την λογική — η γνώση μας για τον χώρο ήταν μια αλήθεια με την όποια γεννηθήκαμε. Δυστυχώς για τον Kant, η αντίληψη του για αυτήν την αναλλοίωτη αληθινή γεωμετρία ήταν Ευκλείδεια. Ακόμα και η θεολογία επηρεάστηκε από την αλλαγή από την απολυτή αλήθεια στη σχετική αλήθεια στα μαθηματικά, που ήταν αποτέλεσμα της αλλαγής του παραδείγματος.

Η ύπαρξη μη ευκλείδειων γεωμετριών επηρέασε την πνευματική ζωή της βικτωριανής Αγγλίας με πολλούς τρόπους και συγκεκριμένα ήταν από τους κυριότερους λογούς που προκάλεσαν την επανεξέταση της διδασκαλίας της γεωμετρίας με βάση τα στοιχειά του Ευκλείδη. Το θέμα αυτό του προγράμματος σπουδών ήταν πολυσυζητημένο την εποχή εκείνη και έγινε ακόμα και το θέμα μιας παράστασης, Ο Ευκλείδης και οι σύγχρονοι ανταγωνιστές του, γραμμένο από τον Λιούις Κάρολ, συγγραφέα της Αλίκης στη Χώρα των Θαυμάτων.

Επίπεδες Άλγεβρες
Στην αναλυτική γεωμετρία ένα επίπεδο περιγράφεται με καρτεσιανές συντεταγμένες : C = {(x,y) : x, y ανήκουν R}. Τα σημεία μερικές φορές προσδιορίζονται με μιγαδικούς της μορφής z = x + y ε όπου το τετράγωνο του ε ανήκει στο {−1, 0, +1}.
Το Ευκλείδειο επίπεδο αντιστοιχεί στην περίπτωση ε2 = −1 αν το μέτρο του  z δίνεται από

και αυτή η ποσότητα είναι το τετράγωνο της ευκλείδειας απόστασης μεταξύ του z και της αρχής.
Για παράδειγμα, {z : z z* = 1} είναι ο μοναδιαίος κύκλος.

Για την επίπεδη άλγεβρα, η μη-ευκλείδεια γεωμετρία εμφανίζεται σε άλλες περιπτώσεις.
Όταν , τότε ο  z είναι υπερβολικός αριθμός  και συμβατικά ο j αντικαθιστά τον έψιλον. Τότε

και η {z : z z* = 1} είναι η μοναδιαία υπερβολή.

Όταν , ο z είναι δυϊκός αριθμός.

Αυτή η προσέγγιση στην μη-Ευκλείδεια γεωμετρία εξηγεί την κατεύθυνση που ακολουθούμε για να λύσουμε προβλήματα στη μη-Ευκλείδεια γεωμετρία: οι παράμετροι της κλίσης στο επίπεδο των δυϊκών αριθμών και της υπερβολικής γωνίας στο επίπεδο των υπερβολικών αριθμών αντιστοιχούν στη γωνία στην Ευκλείδεια Γεωμετρία. Πράγματι, και οι δύο προκύπτουν σε πολική ανάλυση ενός μιγαδικού z.

Κινηματικές Γεωμετρίες
Η υπερβολική γεωμετρία βρήκε μια εφαρμογή στην κινηματική με την κοσμολογία να εισάγεται από τον Χέρμαν Μινκόφσκι το 1908. Ο Μινκόφσκι εισήγαγε όρους όπως το [world line worldline] (~~το ίχνος θέσης ενός αντικειμένου στον τετραδιάστατο χωροχρόνο μεταβάλλοντας την διάσταση του χρόνου) και το proper time στη μαθηματική φυσική. Συνειδητοποίησε ότι η ~υποπολλαπλότητα~ , από συμβάντα μία στιγμή μετά την proper time στο μέλλον μπορούσαν να θεωρηθούν ως υπερβολικός χώρος με 3 διαστάσεις.
Ήδη γύρω στο 1890 ο Αλεξάντερ Μακφάρλαν χαρτογραφούσε αυτήν την ~υποπολλαπλότητα~ μέσω της Άλγεβρας της Φυσικής του (δηλαδή της εισαγωγής των τετραδικών αριθμών στην φυσική) και των υπερβολικών τετραδικών αριθμών, αν και ο  Μακφάρλαν δεν χρησιμοποίησε κοσμολογική γλώσσα, σε αντίθεση με τον Μινκόφσκι το 1908. Πλέον, η σχετική δομή καλείται υπερβολοειδές μοντέλο της υπερβολικής γεωμετρίας.

Οι μη-Ευκλείδειες επίπεδες άλγεβρες υποστηρίζουν τις κινηματικές γεωμετρίες στο επίπεδο. Για παράδειγμα, ο υπερβολικός αριθμός z = eaj μπορεί να παριστάνει ένα χωροχρονικό συμβάν μία στιγμή στο μέλλον από ένα σύστημα αναφοράς (σχετικής) ταχύτητας  (Rapidity) a. Επιπλέον, ο πολλαπλασιασμός με τον z μας δίνει έναν μετασχηματισμό Λόρεντζ απεικονίζοντας το σύστημα με (σχετική) ταχύτητα μηδέν σε αυτό με (σχετική) ταχύτητα a.

Κινηματικές έρευνες χρησιμοποιούν τους δυϊκούς αριθμούς   για να αναπαραστήσουν την κλασική περιγραφή/παράσταση της κίνησης στον απόλυτο χρόνο και χώρο:
Οι εξισώσεις   είναι ισοδύναμες με μια απεικόνιση διατομής/διάτμησης στη γραμμική άλγεβρα. :

Με τους δυϊκούς αριθμούς η απεικόνιση είναι 

Άλλη άποψη της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας  ως μη-Ευκλείδεια γεωμετρία  αναπτύχθηκε από τον Ε. Μπ. Γουίλσον και τον Γκίλμπερτ Λούις   κατά την διάρκεια του Αμερικάνικης Ακαδημίας Τεχνών και Επιστημών το 1912. Ανανέωσαν την ασάφεια της αναλυτικής γεωμετρίας της υπερβολικής άλγεβρας στη συνθετική γεωμετρία  προτάσεων και συμπερασμάτων.

Στη λογοτεχνία
Η μη-Ευκλείδεια γεωμετρία συχνά εμφανίζεται σε έργα επιστημονικής φαντασίας και γενικότερης φαντασίωσης.
Ο καθηγητής Τζέιμς Μοριάρτι  , χαρακτήρας  στις ιστορίες του Σερ Άρθουρ Κόναν Ντόιλ, είναι εγκληματική ιδιοφυΐα με διδακτορικό ( PH.D ) στις μη-Ευκλείδειες γεωμετρίες.

Το 1895 ο Χ.Τ. Γουέλς δημοσίευσε το διήγημα «Η αξιοσημείωτη υπόθεση των ματιών του Ντάβιντσον». Για να εκτιμήσει κάποιος αυτήν την ιστορία πρέπει να γνωρίζει με ποιόν τρόπο τα αντιδιαμετρικά σημεία πάνω σε μία σφαίρα προσδιορίζονται σε ένα μοντέλο ελλειπτικού επιπέδου. Στην ιστορία, στο μέσο κάποιας καταιγίδας, ο Σίντνευ Ντάβιντσον βλέπει "Κύματα και μία συγυρισμένη σκούνα" ενώ δουλεύει σε ένα ηλεκτρικό εργοστάσιο στο Τεχνικό κολέγιο στο Χάρλοου. Στο κλείσιμο της ιστορίας ο Ντάβιντσον αποδεικνύει ότι είδε το RAF Lossiemouth μακρυά από τα ~~αντίποδα νησιά~~.

Η μη-Ευκλείδεια γεωμετρία μερικές φορές είναι συνδεδεμένη με την επίδραση του συγγραφέα του 20ου αιώνα Χ.Φ. Λόβκραφτ. Στα έργα του, πολλά αφύσικα πράγματα ακολουθούν τους δικούς τους νόμους γεωμετρίας: Στο βιβλίο του Λόβκραφτ Ο μύθος του Κθούλχου, η βυθισμένη πόλη Ρ'λύε χαρακτηρίζεται από την μη-Ευκλείδεια γεωμετρία της. Υπονοείται ότι αυτό έρχεται ως συνέπεια αφού δεν τηρήθηκαν οι νόμοι της φύσης και του σύμπαντος παρά ότι απλώς χρησιμοποιείται ένα εναλλακτικό γεωμετρικό μοντέλο, καθώς η απόλυτη έμφυτη αδικία αυτού λέγεται ότι μπορεί να οδηγήσει στην τρέλα όσους κοιτάνε.

Ο κεντρικός χαρακτήρας στο βιβλίο του Ρόμπερτ Πίρσιγκ  Το Ζεν και η τέχνη συντήρησης μοτοσυκλετών ανέφερε τη Γεωμετρία Ρίμαν σε πολλαπλές περιπτώσεις.

Στο βιβλίο Αδελφοί Καραμάζοφ, ο Ντοστογιέφσκι μιλά για την μη-Ευκλείδεια γεωμετρία μέσω του κεντρικού του ήρωα, Ιβάν.

Το μυθιστόρημα του Κρίστοφερ Πριστ Ανεστραμμένος Κόσμος περιγράφει την δυσκολία του να ζεις σε έναν πλανήτη με την μορφή μίας  περιστρεφόμενης ψευδοσφαίρας.

Το βιβλίο του Ρόμπερτ Άινλαιν με τίτλο Ο Αριθμός του Θηρίου χρησιμοποιεί μη-Ευκλείδεια Γεωμετρία με σκοπό να εξηγήσει την στιγμιαία μεταφορά στον χώρο και στον χρόνο μεταξύ παράλληλων και φανταστικών συμπάντων.

Το Αντιθάλαμος  του Αλεξάντερ Μπρους κάνει χρήση μη-Ευκλείδειας Γεωμετρίας για να δημιουργήσει έναν ελάχιστο Έσερ-κόσμο, όπου η γεωμετρία και το διάστημα ακολουθούν παρόμοιους κανόνες.

Σημειώσεις

Αναφορές
, (2012) Notes on hyperbolic geometry, in: Strasbourg Master class on Geometry, pp. 1–182,  IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics,  Vol. 18,  Zürich: European Mathematical Society (EMS), 461 pages, SBN ISBN 978-3-03719-105-7, DOI 10.4171/105.
 Anderson, James W. Hyperbolic Geometry, second edition, Springer, 2005
 Beltrami, Eugenio Teoria fondamentale degli spazî di curvatura costante, Annali. di Mat., ser II 2 (1868), 232–255
 
 Carroll, Lewis Euclid and His Modern Rivals, New York: Barnes and Noble, 2009 (reprint) ISBN 978-1-4351-2348-9
 H. S. M. Coxeter (1942) Non-Euclidean Geometry, University of Toronto Press, reissued 1998 by Mathematical Association of America, ISBN 0-88385-522-4.

 Jeremy Gray (1989) Ideas of Space: Euclidean, Non-Euclidean, and Relativistic, 2nd edition, Clarendon Press.
 Greenberg, Marvin Jay Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History, 4th ed., New York: W. H. Freeman, 2007. ISBN 0-7167-9948-0
 Morris Kline (1972) Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Chapter 36 Non-Euclidean Geometry, pp 861–81, Oxford University Press.
 Bernard H. Lavenda, (2012) " A New Perspective on Relativity : An Odyssey In Non-Euclidean Geometries", World Scientific, pp. 696, ISBN 9789814340489.
 Nikolai Lobachevsky (2010) Pangeometry, Translator and Editor: A. Papadopoulos,  Heritage of European Mathematics Series, Vol. 4, European Mathematical Society.

 Milnor, John W. (1982) Hyperbolic geometry: The first 150 years, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 6, Number 1, pp. 9–24.
 
 
 Stewart, Ian Flatterland. New York: Perseus Publishing, 2001. ISBN 0-7382-0675-X (softcover)
 John Stillwell (1996) Sources of Hyperbolic Geometry, American Mathematical Society ISBN 0-8218-0529-0 .
 
 Isaak Yaglom (1968) Complex Numbers in Geometry, translated by E. Primrose from 1963 Russian original, appendix "Non-Euclidean geometries in the plane and complex numbers", pp 195–219, Academic Press, N.Y.

Εξωτερικοί Σύνδεσμοι
Roberto Bonola (1912) Non-Euclidean Geometry, Open Court, Chicago.
MacTutor Archive article on non-Euclidean geometry
Non-Euclidean geometries from Encyclopedia of Math of European Mathematical Society and Springer Science+Business Media
 Synthetic Spacetime, a digest of the axioms used, and theorems proved, by Wilson and Lewis. Archived by WebCite.