Θεωρία Γκαλουά

Η Θεωρία Γκαλουά είναι ο κλάδος της άλγεβρας που συνδέει τη θεωρία σωμάτων με τη θεωρία ομάδων. Πήρε το όνομά της από τον Γάλλο μαθηματικό Εβαρίστ Γκαλουά. Η Θεωρία Γκαλουά μας δίνει τρόπους για να πάρουμε πληροφορίες για επεκτάσεις σωμάτων μελετώντας συγκεκριμένες ομάδες που συνδέονται με αυτές τις επεκτάσεις. Χρησιμοποιώντας τη θεωρία Γκαλουά, ορισμένα προβλήματα της θεωρίας σωμάτων μπορούν να αναχθούν σε προβλήματα της θεωρίας ομάδων, τα οποία είναι ευκολότερα και κατανοητά.

Στην πραγματικότητα ο Γκαλουά χρησιμοποίησε ομάδες μεταθέσεων για να περιγράψει τις σχέσεις μεταξύ των ριζών ενός πολυωνύμου καθώς και για να περιγράψει το σώμα ριζών του πολυωνύμου. Πως δηλαδή οι διάφορες ρίζες μιας δοσμένης πολυωνυμικής εξίσωσης, σχετίζονται μεταξύ τους. Η μοντέρνα προσέγγιση της θεωρίας Γκαλουά, αναπτύχθηκε από  τους Ρίχαρντ Ντέντεκιντ, Λέοπολντ Κρόνεκερ και Εμίλ Άρτιν, μεταξύ άλλων, περιλαμβάνει τη μελέτη αυτομορφισμών των επεκτάσεων σωμάτων.

Περαιτέρω αφομοίωση της θεωρίας Γκαλουά, επιτυγχάνεται με τη θεωρία της σύνδεσης Γκαλουά.

Εφαρμογή σε κλασσικά προβλήματα 

Η γέννηση της θεωρίας Γκαλουά είχε σαν αρχικό κίνητρο το ακόλουθο ερώτημα, του οποίου η απάντηση είναι γνωστή σαν Θεώρημα Abel–Ruffini:

Γιατί δεν υπάρχει κανένας τύπος για την εύρεση των ριζών πολυωνύμου 5ου (και υψηλότερου) βαθμού με βάση τους συντελεστές του πολυωνύμου, χρησιμοποιώντας μόνο τις συνήθεις αλγεβρικές πράξεις (πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός, διαίρεση) και την βοήθεια των ριζών (τετραγωνικές ρίζες, κυβικές ρίζες κτλ.) 

Η θεωρία Γκαλουά δεν παρέχει μόνο μια απάντηση στο ερώτημα αυτό, άλλα εξηγεί επίσης λεπτομερώς γιατί είναι δυνατόν να λυθούν εξισώσεις (μέσω τύπων) 4ου το πολύ βαθμού και γιατί οι λύσεις τους λαμβάνουν μια συγκεκριμένη μορφή. Επιπλέον δίνει ένα σαφές εννοιολογικό περιεχόμενο, συχνά πρακτικό μέσω της αφήγησης, ποτέ μια εξίσωση υψηλότερου βαθμού μπορεί να λυθεί με αυτόν τον τρόπο (μέσω τύπων).

Η θεωρία Γκαλουά δίνει επίσης μια σαφή εικόνα σε ερωτήματα σχετικά με τα προβλήματα που κατασκευάζονται μέσω κανόνα και διαβήτη. Δίνει έναν κομψό χαρακτηρισμό των λόγων των μηκών που μπορούν να κατασκευαστούν με αυτή τη μέθοδο. Χρησιμοποιώντας αυτό, γίνεται σχετικά εύκολο να δοθούν απαντήσεις σε τέτοια κλασικά προβλήματα της γεωμετρίας όπως:
Ποια κανονικά πολύγωνα είναι Κατασκευάσιμα πολύγωνα;
Γιατί δεν είναι δυνατόν να γίνει κατασκευή οποιασδήποτε γωνίας χρησιμοποιώντας κανόνα και διαβήτη;

Ιστορία

Η θεωρία Γκαλουά προέρχεται από την μελέτη των συμμετρικών συναρτήσεων. Οι συντελεστές του πολυωνύμου είναι τα στοιχειώδη συμμετρικά πολυώνυμα στις ρίζες. Για παράδειγμα το, , όπου 1,  και ab είνει τα στοιχειώδη πολυώνημα βαθμού 0, 1 και 2, σε δύο μεταβλητές.

Αυτό, πρώτη φορά επισημοποιήθηκε τον 16ο αιώνα από τον Γάλλο μαθηματικό Φρανσουά Βιετά, στους τύπους Βιέτα, για την περίπτωση των θετικών πραγματικών ριζών. Κατά τη γνώμη του Βρετανού μαθηματικού Τσαρλς Χιούτον, τον 18ο αιώνα [ 2 ], η έκφραση των συντελεστών του πολυωνύμου σε σχέση με τις ρίζες (όχι μόνο για τις θετικές ρίζες) έγινε για πρώτη φορά κατανοητό από τον Γάλλο μαθηματικό Αλπέρ Ζιράρντ τον 17ο αιώνα. Ο Χιούτον γράφει:

...Ο Ζιράρντ  ήταν ο πρώτος άνθρωπος που κατανόησε τη γενική θεωρία του σχηματισμού των συντελεστών των αρμοδιοτήτων από το άθροισμα των ριζών και των προϊόντων τους. Ήταν ο πρώτος που ανακάλυψε τους κανόνες για την άθροιση των αρμοδιοτήτων από τις ρίζες της κάθε εξίσωσης.

Σε αυτό το πνεύμα, η διακρίνουσα είναι μια συμμετρική συνάρτηση στις ρίζες που αντανακλά τις ιδιότητες των ριζών - είναι μηδέν αν και μόνο αν το πολυώνυμο έχει μια πολλαπλή ρίζα και για τα τετραγωνικά και κυβικά πολυώνυμα είναι θετική, αν και μόνο αν όλες οι ρίζες είναι πραγματικές και διακριτές, ενώ αρνητική αν και μόνο αν υπάρχει ένα ζεύγος διακριτών μιγαδικών συζυγών ριζών. Δείτε Φύση των ριζών για λεπτομέρειες.

Το κυβικό πρώτη φορά λύθηκε εν μέρει το 15ο-16ο αιώνα από τον Ιταλό μαθηματικό Scipione del Ferro, ο οποίος δεν δημοσίευσε ωστόσο τα αποτελέσματά του. Η μέθοδος αυτή που δεν ήταν γνωστή τότε, έλυσε μόνο μία από τις τρεις κατηγορίες, όπως οι άλλες που εμπλέκονται λαμβάνοντας τετραγωνικές ρίζες των αρνητικών αριθμών και των μιγαδικών αριθμών. Αυτή η λύση στη συνέχεια ανακαλύφθηκε ανεξάρτητα πάλι το 1535 από τον Νικολό Φοντάνα Ταρτάλια, ο οποίος τη μοιράστηκε με τον Τζερόλαμο Καρντάνο, ζητώντας του να μην το δημοσιεύσει. Ο Καρντάνο επέκτεινε στη συνέχεια αυτή με τις άλλες δύο περιπτώσεις, χρησιμοποιώντας τετραγωνικές ρίζες των αρνητικών ως ενδιάμεσα βήματα. Δείτε λεπτομέρειες στηνμέθοδο του Καρντάνο. Μετά την ανακάλυψη της εργασίας του, ο Ferro ένιωθε ότι η μέθοδος Ταρτάλια ήταν πλέον μυστική και ως εκ τούτου ο ίδιος δημοσίευσε την ολοκληρωμένη λύση του το 1545 στο Magna Ars. Ο μαθητής του Λοντοβίκο Φερράρι έλυσε το τεταρτοβάθμιο πολυώνυμο, η λύση του επίσης περιλήφθηκε στο Ars Magna του Cardano. 

Ένα ακόμη βήμα ήταν το τεύχος Réflexions sur la résolution algébrique des équations το 1770 από το γαλλοϊταλό μαθηματικό Joseph Louis Lagrange, στη μέθοδο του επίλυση Lagrange, όπου ανέλυσε τη λύση των Cardano και Ferrarri των κυβικών και υψωμένων εις την τετάρτη δύναμη, εξετάζοντας τους όρους μεταθέσεων των ριζών, η οποία απέδωσε ένα βοηθητικό πολυώνυμο μικρότερου βαθμού παρέχοντας μια ενιαία κατανόηση των λύσεων και έθεσε τις βάσεις για την ομαδική θεωρία και τη θεωρία Galois. Κυρίως όμως, δεν είχε εξετάσει τη σύνθεση των μεταθέσεων. Η μέθοδος Lagrange δεν επεκτείνεται σε 4ου βαθμού εξισώσεις ή υψηλοτέρου.

Η 5ου βαθμού εξίσωση είχε σχεδόν αποδειχθεί ότι δεν έχει γενικές λύσεις από τον Paolo Ruffini το 1799, του οποίου η βασική αντίληψη ήταν να χρησιμοποιήσει ομαδικές μεταθέσεις, όχι μόνο μία μετάθεση. Η λύση του περιείχε ένα κενό, το οποίο ο Cauchy θεώρησε ήσσονος σημασίας, αν και αυτό δεν είχε επιδιορθωθεί μέχρι την εργασία του νορβηγικού μαθηματικού Niels Henrik Abel, ο οποίος δημοσίευσε μια απόδειξη το 1824, με αποτέλεσμα την δημοσίευση του θεωρήματος των Αbel και Ruffini.

Ενώ ο Ruffini και ο Abel απέδειξαν ότι η γενική 5ου βαθμού εξίσωση δεν θα μπορούσε να λυθεί, κάποια ιδιαίτερη 5ου βαθμού εξίσωση μπορεί να λυθεί, όπως η (x  - 1)5 = 0, και το ακριβές κριτήριο με το οποία ένα δοσμένο 5ου βαθμού ή υψηλότερου πολυώνυμο θα μπορούσε να καθοριστεί αν είναι επιλύσιμο ή όχι. Η απάντηση δόθηκε από τον Εβαρίστ Γκαλουά, ο οποίος έδειξε ότι αν ένα πολυώνυμο ήταν επιλύσιμο ή όχι, είναι ισοδύναμο με την ομάδα μεταθέσεων των ριζών του. Με σύγχρονους όρους η ομάδα Γκαλουά, είχε μια συγκεκριμένη δομή. Με σύγχρονους όρους, αποτελούσε ή όχι μια επιλύσιμη ομάδα. Αυτή η ομάδα ήταν πάντα επιλύσιμη για πολυώνυμα με βαθμό μικρότερο ή ίσο του τετάρτου, αλλά δεν είναι πάντα τόσο επιλύσιμη για πολυώνυμα πέμπτου βαθμού ή μεγαλυτέρου, πράγμα που εξηγεί γιατί δεν υπάρχει γενική λύση σε υψηλότερο βαθμό.

Ομαδική προσέγγιση στη θεωρία Γκαλουά 

Παίρνοντας ένα πολυώνυμο, μπορεί κάποιες από τις ρίζες να συνδέονται με αλγεβρικές εξισώσεις. Για παράδειγμα μπορεί οι ρίζες Α και Β να μην έχουν κάποια τιμή αλλά να συνδέονται με τη σχέση: . Η κεντρική ιδέα της θεωρίας Γκαλουά είναι να εξετάσει τις μεταθέσεις (ή αναδιατάξεις) από τις ρίζες έχουν την ιδιότητα ότι κάθε αλγεβρική εξίσωση που ικανοποιείται από τις ρίζες, ικανοποιείται ακόμη και μετά όταν οι ρίζες έχουν μετατεθεί. Μια σημαντική προϋπόθεση είναι ότι θα περιοριστούμε σε αλγεβρικές εξισώσεις των οποίων οι συντελεστές είναι απλοί αριθμοί (όχι παράμετροι) και θα περιοριστούμε στο πεδίο των ρητών αριθμών. Αυτές οι παραλλαγές μαζί σχηματίζουν μια ομάδα μεταθέσεων, που ονομάζεται επίσης και ομάδα Γκαλουά του πολυωνύμου (στους ρητούς αριθμούς). Για να φανεί αυτό το σημείο, θα εξεταστούν τα ακόλουθα παραδείγματα:

Πρώτο παράδειγμα : Εξίσωση 2ου βαθμού 
Θεωρήστε την  Εξίσωση 2ου βαθμού

Με τη χρήση του τετραγωνικού τύπου, διαπιστώνουμε ότι οι δύο ρίζες είναι:

Παραδείγματα των αλγεβρικών εξισώσεων επαληθευμένα από τις Α και Β είναι: 

και

Προφανώς, σε οποιαδήποτε από αυτές τις εξισώσεις μπορούμε αντί των  Α και Β, να πάρουμε μια άλλη επαληθεύσιμη σχέση. Για παράδειγμα η εξίσωση Α + Β = 4 γίνεται απλά Β + Α = 4. Επιπλέον είναι αλήθεια, αλλά πολύ λιγότερο προφανές, ότι αυτό ισχύει για κάθε δυνατή αλγεβρική εξίσωση (σε κάθε τέτοια εξίσωση, ανταλλάσσοντας το Α και το Β δίνει μια άλλη αληθινή εξίσωση).
 
Για να αποδειχθεί αυτό απαιτεί τη θεωρία τουσυμμετρικού πολυωνύμου. (Μια άλλη αλγεβρική εξίσωση των   A και B είναι η εξής :,  Η οποία δεν παραμένει αληθής όταν αλλάξουμε τις θέσεις των Α και Β. Αυτή η εξίσωση δεν μας αφορά επειδή δεν έχει ρητές ρίζες, η  δεν είναι ρητή).

Συμπεραίνουμε ότι η ομάδα Γκαλουά των πολυωνύμων x2 − 4x + 1 αποτελείται από 2 μεταθέσεις: τιςταυτοτικέςοι οποίες αφήνουν τα A και B ανεπηρέαστα και τις μεταφορικές οι οποίες μεταβάλουν τα A και B. Πρόκειται για μια κυκλική ομάδα τάξης δύο και ως εκ τούτου ισόμορφη με την Z/2Z.

Παρόμοια ανάλυση μπορεί να γίνει σε όλες τις εξισώσεις 2ου βαθμού ax2 + bx + c, όπου a, b και c είναι ρητοί αριθμοί.
Εάν το πολυώνυμο έχει μόνο μια ρίζα, για παράδειγμα x2 − 4x + 4 = (x−2)2, τότε η ομάδα του Galois είναι τετριμμένη επειδή περιέχει μόνο τον ταυτοτικό μετασχηματισμό.
 Εάν το πολυώνυμο έχει 2 ρητές ρίζες, για παράδειγμα x2 − 3x + 2 = (x−2)(x−1), τότε η ομάδα του Galois είναι ξανά τετριμμένη.
 Εάν το πολυώνυμο έχει 2 μη ρητές ρίζες (ακόμα και μιγαδικές τότε η ομάδα του Γκαλουά περιέχει 2 μεταθέσεις, όπως και στο αρχικό μας παράδειγμα.

Δεύτερο παράδειγμα
Θεωρήστε το πολυώνυμο

Το οποίο γράφεται ως εξής :

Θέλουμε να περιγράψει την ομάδα Γκαλουά του πολυωνύμου αυτού και πάλι πάνω από το σώμα των ρητών αριθμών. Το πολυώνυμο έχει τέσσερις ρίζες:

Υπάρχουν 24 πιθανοί τρόποι για να μετατίθενται αυτές οι τέσσερις ρίζες, αλλά δεν είναι όλες αυτές οι μεταθέσεις μέλη της ομάδας Γκαλουά. Τα μέλη της ομάδας Γκαλουά πρέπει να διατηρούν οποιαδήποτε αλγεβρική εξίσωση με ρητούς συντελεστές που αφορούν τα Α, Β, Γ και Δ. Μεταξύ αυτών των εξισώσεων έχουμε:

Εάν η   είναι μια μετάθεση που ανήκει στην ομάδα Galois τότε θα έχουμε :

Αυτό συνεπάγεται ότι η μετάθεση καθορίζεται σαφώς από την εικόνα του Α και ότι η ομάδα Γκαλουά έχει 4 στοιχεία, τα οποία είναι

(A, B, C, D) → (A, B, C, D)
(A, B, C, D) → (B, A, D, C)
(A, B, C, D) → (C, D, A, B)
(A, B, C, D) → (D, C, B, A),

Και η ομάδα Γκαλουά είναι ισομορφισμός με χώρο τεσσάρων διαστάσεων (dimG=4)

Σύγχρονη προσέγγιση από τη θεωρία σωμάτων 
Στη σύγχρονη επεξήγηση, ξεκινάμε την προσέγγιση με την επέκταση σωμάτων L / Κ (διαβάζεται: L πάνω στο  Κ) και εξετάζουμε την ομάδα σωμάτων τωναυτομορφισμών του L / Κ (αυτά είναι αντιστοιχίσεις α: L → L με το α ( Χ) = Χ για όλους »«x στο Κ). Δείτε το άρθρο σχετικά με την ομάδα Γκαλουά  για περαιτέρω εξηγήσεις και παραδείγματα. Η σύνδεση μεταξύ των δύο προσεγγίσεων έχει ως ακολούθως. Οι συντελεστές του πολυωνύμου στο ερώτημα αυτό πρέπει να επιλέγονται από την βάση που είναι το σώμα Κ. Η κορυφή που αντιστοιχεί στο σώμα L θα πρέπει να είναι το σώμα που λαμβάνεται με βάση τις ρίζες του πολυωνύμου στο εν λόγω πεδίο βάσης. Κάθε μετάθεση των ριζών που σέβεται τις αλγεβρικές εξισώσεις, όπως περιγράφεται παραπάνω μπορεί να προκαλέσει έναν αυτομορφισμό της L / Κ,και αντιστρόφως. Στο πρώτο παράδειγμα παραπάνω μελετούσαμε την επέκταση 'Q (√ 3) /Q, όπου το Q είναι το σώμα των ρητών αριθμών, και Q (√ 3) είναι το πεδίο παράγεται από τo Q προσθέτοντας το  √ 3. Στο δεύτερο παράδειγμα μελετούσαν την επέκταση 'Q ( A, B, C, Α) / Q.

Υπάρχουν πολλά πλεονεκτήματα για την σύγχρονη προσέγγιση σε σχέση με την Ομαδική προσέγγιση στη θεωρία Galois 
 Επιτρέπει να γίνεται απλούστερη χρήση τουθεμελιώδους θεωρήματος της θεωρίας Galois.
 Η χρήση των σωμάτων βάσης, εκτός από Q είναι ζωτικής σημασίας σε πολλούς τομείς των μαθηματικών. Για παράδειγμα, στην Αλγεβρική Θεωρία Αριθμών, που συχνά χρησιμοποιεί κανείς θεωρία Galois χρησιμοποιώντας σώματα αριθμών, πεπερασμένα σώματα  ή τοπικά σώματα, όπως στο σώμα βάσης.	
 Θα επιτρέπει σε κάποιον να μελετήσει εύκολα απεριόριστες επεκτάσεις. Και πάλι αυτό είναι σημαντικό στην Αλγεβρική Θεωρία Αριθμών, για παράδειγμα όταν κάποιος ασχολείται με την απόλυτη ομάδα Galois του Q, ορίζεται να είναι η ομάδα Galois της K /Q όπου Κ είναι ένα αλγεβρικό κλείσιμο του  Q.
 Παρέχει τη δυνατότητα για την εξέταση τωναδιαχώριστων επεκτάσεων.
 Αφαιρεί τη μάλλον τεχνητή εξάρτηση αναζήτησης των ριζών των πολυωνύμων. Δηλαδή διαφορετικά πολυώνυμα μπορούν να δώσουν τα ίδια σώματα επεκτάσεων και η σύγχρονη προσέγγιση αναγνωρίζει τη σύνδεση μεταξύ αυτών των πολυωνύμων.

 Υποσημειώσεις 

Βιβλιογραφία

  (Reprinting of second revised edition of 1944, The University of Notre Dame Press).
 
  (Galois' original paper, with extensive background and commentary.)
 
 
  (Chapter 4 gives an introduction to the field-theoretic approach to Galois theory.)
  (This book introduces the reader to the Galois theory  of Grothendieck, and some generalisations, leading to Galois groupoids.)
 
 
 
 
 .   English translation''' (of 2nd revised edition):  (Later republished in English by Springer under the title "Algebra".)''

Επιπλέον υλικό 
Μερικά on-line μαθήματα για την θεωρία Galois:
 http://www.math.niu.edu/~beachy/aaol/galois.html 
 http://nrich.maths.org/public/viewer.php?obj_id=1422
 http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ft.html

Online εγχειρίδια στα γαλλικά, γερμανικά, ιταλικά και αγγλικά υπάρχουν:
 http://www.galois-group.net/

Θεωρία δακτυλίων