Αφελής συνολοθεωρία

Η Αφελής συνολοθεωρία είναι μία από τις αρκετές θεωρίες συνόλων που χρησιμοποιείται για τη συζήτηση των θεμελίων των μαθηματικών. Αντίθετα οι αξιωματικές θεωρίες συνόλων, οι οποίες ορίζονται χρησιμοποιώντας την τυπική λογική, η αφελής συνολοθεωρία ορίζεται άτυπα, στη φυσική γλώσσα.Περιγράφει τις πτυχές των μαθηματικών συνόλων όμοια με τα διακριτά μαθηματικά (για παράδειγμα τα διαγράμματα Venn και η συμβολική συλλογιστική περί της  δικής τους Άλγεβρας Μπουλ), και αρκεί για την καθημερινή χρήση εννοιών της θεωρίας συνόλων στα σύχρονα μαθηματικά.

Τα σύνολα είναι μεγάλης σημασίας για τα μαθηματικά, στην πραγματικότητα, στις σύγχρονες τυπικές προσεγγίσεις, τα περισσότερα μαθηματικά αντικείμενα (αριθμοί, σχέσεις, συναρτήσεις,κ.ο.κ.) ορίζονται με τους όρους των συνόλων. Η αφελής συνολοθεωρία μπορεί να θεωρηθεί ως θεμέλιος λίθος στις περισσότερες τυπικές προσεγγίσεις, και αρκεί για πολλούς σκοπούς.

Συνθέτοντας την αφελή συνολοθεωρία 
Από εδώ και πέρα, η αφελής θεωρία θεωρείται ως μία άτυπη θεωρία, αυτό σημαίνει, μία θεωρία που χρησιμοποιεί φυσική γλώσσα για να περιγράψει σύνολα και πράξεις στα σύνολα. Οι λέξεις και, ή, αν ... τότε, οχι,  για κάποιο, για κάθε δεν υπάγονται εδώ σε αυστηρό ορισμό. Είναι χρήσιμο να μελετάμε τα σύνολα απλοïκά, σε ένα πρώιμο στάδιο των μαθηματικών, με σκοπό να αναπτύξουμε ένα κατάλληλο πλαίσιο εργασίας με αυτά. Επιπλέον, μια σταθερή κατανόηση των εννοιών της θεωρίας των συνόλων από μια αφελή άποψη είναι ένα βήμα για να καταλάβουμε το κίνητρο των τυπικών αξιωμάτων της θεωρίας συνόλων.Ως διευκόλυνση, η χρήση της αφελούς συνολοθεωρίας και ο φορμαλισμός της επικρατούν ακόμη και στα ανώτερα μαθηματικά – συμπεριλαμβανομένων και πιο τυπικών κατασκευών από την ίδια τη θεωρία συνόλων.

Τα σύνολα ορίζονται άτυπα και ερευνώνται μερικές από τις ιδιότητές τους. Η σύνδεση με ειδικά αξιώματα της θεωρίας συνόλων περιγράφουν κάποιες από τις σχέσεις μεταξύ της ανεπίσημης συζήτησης εδώ και της επίσημης αξιωματικοποίησης της θεωρίας συνόλων, αλλά δεν γίνεται καμία προσπάθεια  για να δικαιολογήσει κάθε πρόταση, σε μία τυπική βάση. Η πρώτη ανάπτυξη της  θεωρίας συνόλων ήταν μία αφελής συνολοθεωρία. Δημιουργήθηκε στο τέλος του 19ου αιώνα από τον Γκέοργκ Κάντορ ως τμήμα της μελέτης του για τα άπειρα σύνολα και αναπτύχθηκε από τον Γκότλομπ Φρέγκε στο Begriffsschrift.

Η αφελής συνολοθεωρία αναφέρεται σε ένα πλήθος διακριτών εννοιών. Μπορεί να αναφέρεται σε
Ανεπίσημη παρουσίαση μιας αξιωματικής θεωρίας συνόλων, π.χ. στο βιβλίο Naive Set Theory του  Πολ Χάλμος.
 Πρώιμες ή μεταγενέστερες εκδοχές της θεωρίας του Γκέοργκ Κάντορ και άλλα άτυπα συστήματα.
 Αναμφισβήτητα ασυνεπείς θεωρίες (αξιωματικές ή μη), όπως μια θεωρία του Γκότλομπ Φρέγκε που απέφερε το παράδοξο του Ράσελ, και θεωρίες του Τζουζέπε Πεάνο και του Ρίχαρντ Ντέντεκιντ.

Παράδοξα
Όπως προέκυψε, υποθέτοντας  ότι κάποιος μπορεί να διαμορφώσει σύνολα ελεύθερα χωρίς περιορισμό, οδηγούμαστε σε παράδοξα. Για παράδειγμα, η υπόθεση ότι κάποιος μπορεί να συγκεντρώσει, σαν σύνολο, όλα τα (μαθηματικά) αντικείμενα που έχουν μια δεδομένη ιδιότητα είναι εσφαλμένη. Με άλλα λόγια, η δήλωση ότι

(, όπου  θα πρέπει να διαβάζεται ως, ο " έχει την ιδιότητα ",) είναι ένα σύνολο που θα οδηγεί σε παράδοξα, συγκεκριμένα το Παράδοξο του Ράσελ.

Η θεωρία του Cantor
Κάποιοι πιστεύουν ότι η θεωρία του Γκέοργκ Κάντορ δεν ενοχοποιήθηκε λόγω αυτών των  παραδόξων (βλέπε  Frápolli 1991). Μία δυσκολία στον προσδιορισμό αυτού με βεβαιότητα, είναι ότι ο Κάντορ δεν παρείχε μια αξιωματικοποίηση του συστήματός του. Μέχρι το 1899, ο  Κάντορ γνώριζε κάποια από τα παράδοξα που προέρχονταν από την χωρίς περιορισμούς ερμηνεία της θεωρίας του, για παράδειγμα το παράδοξο του Κάντορ, το παράδοξο Μπουράλι-Φόρτι, και δεν πίστευε ότι απαξίωσαν τη θεωρία του. Το παράδοξο του Κάντορ μπορεί στην πραγματικότητα να εξαχθεί από την παραπάνω (εσφαλμένη) υπόθεση χρησιμοποιώντας όπου  είναι πληθάριθμος". Ο Φρέγκε αξιωματικοποίησε μια θεωρία στην οποία  μια τυπική εκδοχή της αφελούς συνολοθεωρίας μπορεί να ερμηνευθεί, και είναι  αυτή η τυπική θεωρία την οποία ο Μπέρτραντ Ράσελ, στην πραγματικότητα εφάρμοσε όταν παρουσίασε το παράδοξό του, όχι απαραίτητα μια θεωρία την οποία ο Κάντορ, ο οποίος, όπως αναφέρθηκε, γνώριζε αρκετά παράδοξα, πιθανώς είχε στο μυαλό του.

Αξιωματικές θεωρίες
Η αξιωματική θεωρία συνόλων αναπτύχθηκε σε απάντηση αυτών των πρώιμων προσπαθειών για την κατανόηση των συνόλων,με το στόχο να προσδιοριστεί ακριβώς ποιες πράξεις επιτρεπόταν και πότε. Σήμερα, όταν οι μαθηματικοί μιλούν για "θεωρία συνόλων" ως τομέα των μαθηματικών, συνήθως εννοούν την αξιωματική θεωρία συνόλων. Ανεπίσημες εφαρμογές της θεωρίας συνόλων σε άλλα πεδία αναφέρονται κάποιες φορές ως εφαρμογές της «αφελούς συνολοθεωρίας», αλλά συνήθως γίνεται κατανοητό ότι δικαιολογούνται με όρους ενός αξιωματικού συστήματος (κανονικά Ζερμέλο-Φράνκελ θεωρία συνόλων).

Συνέπεια
Μία αφελής συνολοθεωρία δεν είναι απαραίτητα ασυνεπής, αν αυτή ορίζει σωστά τα σύνολα που επιτρέπεται να θεωρηθούν. Αυτό μπορεί να γίνει με χρήση των ορισμών, οι οποίοι είναι απεριόριστα αξιώματα. Είναι πιθανό να τεθούν όλα τα αξιώματα με σαφήνεια, όπως στην περίπτωση της Αφελούς Συνολοθεωρίας του Halmo, η οποία είναι στην πραγματικότητα μια άτυπη παρουσίαση της συνήθους αξιωματικής Ζερμέλο-Φράνκελ θεωρία συνόλων. Η «αφέλεια» βρίσκεται στο γεγονός ότι , η γλώσσα και οι συμβολισμοί είναι μέρος των συνηθισμένων άτυπων μαθηματικών, και από το ότι δεν ασχολείται με  την συνέπεια ή την πληρότητα του συστήματος αξιωμάτων.

Παρομοίως, μία αξιωματική θεωρία συνόλων δεν είναι απαραίτητα συνεπής, δηλαδή δεν είναι απαραίτητα απελευθερωμένη από παράδοξα. Έπεται από τα Θεωρήματα μη πληρότητας του Γκέντελ, πως ένα επαρκώς πολύπλοκο σύστημα, πρωτοβάθμιας λογικής, που περιλαμβάνει τις πιο συνήθεις αξιωματικές συνολοθεωρίες, δεν μπορεί να αποδειχθεί συνεπές από την ίδια την θεωρία του, υπό τον όρο ότι είναι πραγματικά συνεπής. Ωστόσο, τα συνήθη αξιωματικά συστήματα, γενικά θεωρούμε πως είναι συνεπή, και αποκλείουν, μέσω των αξιωμάτων, ορισμέναπαράδοξα, όπως αυτό του Ράσελ. Δεν είναι γνωστό, και ούτε θα είναι ποτέ, αν δεν υπάρχουν παράδοξα σε όλες αυτές τις θεωρίες ή σε οποιαδήποτε πρωτοβάθμια συνολοθεωρία.

Ο όρος αφελής συνολοθεωρία, χρησιμοποιείται ακόμη και σήμερα στην βιβλιογραφία, όταν αναφερόμαστε σε συνολοθεωρίες που μελετήθηκαν από τον Frege και τον Κάντορ, αντί των αντίστοιχων άτυπων της μοντέρνας αξιωματικής συνολοθεωρίας.

Χρησιμότητα
Η επιλογή ανάμεσα σε μια αξιωματική προσέγγιση και σε άλλες προσεγγίσεις, αποτελεί σε μεγάλο βαθμό και θέμα ευκολίας. Στην μαθηματική καθημερινότητα, η καλύτερη επιλογή μάλλον είναι η άτυπη χρήση της αξιωματικής συνολοθεωρίας. Αναφορές σε συγκεκριμένα τυπικά αξιώματα, εμφανίζονται μόνο όταν το απαιτεί η παράδοση, για π.χ. το αξίωμα της επιλογής συχνά αναφέρεται όταν χρησιμοποιείται. Παρομοίως, τυπικές αποδείξεις εμφανίζονται μόνον όταν ειδικές περιστάσεις το απαιτούν. Αυτή η άτυπη χρήση της αξιωματικής συνολοθεωρίας, μπορεί να έχει (ανάλογα με τον συμβολισμό), ακριβώς την εμφάνιση της αφελούς συνολοθεωρίας, όπως περιγράφεται παρακάτω, και είναι αισθητά ευκολότερη, και να διαβάζεται και να γράφεται, συμπεριλαμβανομένης και της τυποποίησης των περισσότερων προτάσεων και αποδείξεων και εν γένει της μαθηματικής συζήτησης, και είναι πιθανότατα, λιγότερο επιρρεπής σε λάθη για τους περισσότερους ανθρώπους, συγκριτικά με μια αυστηρή, τυπική προσέγγιση.

Σύνολα, στοιχεία και ισότητα 
Στην αφελή συνολοθεωρία, ένα σύνολο περιγράφεται ως μία καλά-ορισμένη συλλογή αντικειμένων. Αυτά τα αντικείμενα ονομάζονται στοιχεία ή μέλη του συνόλου. Αντικείμενα μπορεί να είναι οτιδήποτε: αριθμοί, άνθρωποι, άλλα σύνολα, κτλ. Για παράδειγμα, το 4 είναι μέλος του συνόλου των άρτιων ακεραίων. Σαφώς, το σύνολο των άρτιων αριθμών είναι άπειρα μεγάλο. Δεν απαιτείται ένα σύνολο να είναι πεπερασμένο.

Ο ορισμός του συνόλου αποδίδεται στον  Γκέοργκ Καντόρ. Στο άρθρο του Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre εν έτη 1915, έγραψε:

«Unter einer “Menge” verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die “Elemente” von M genannt werden) zu einem Ganzen.» – Georg Cantor
«Σύνολο είναι μία συλλογή καθορισμένων, διακριτών αντικειμένων της αντίληψης ή της σκέψης μας—τα οποία ονομάζονται στοιχεία του συνόλου» – Γκέοργκ Κάντορ

Σημείωση περί συνέπειας 
Δεν συνεπάγεται από αυτόν τον ορισμό το πως μπορούν να σχηματιστούν τα σύνολα, και ποιες πράξεις πάνω στα σύνολα παράγουν εκ νέου ένα σύνολο. Ο όρος «καλά ορισμένη» στην έκφραση «καλά ορισμένη συλλογή αντικειμένων» δεν μπορεί, από μόνος του, να διασφαλίσει την συνέπεια και τη σαφήνεια του τι ακριβώς αποτελεί και τι όχι ένα σύνολο. Η προσπάθεια να επιτευχθεί αυτό αποτελεί αντικείμενο της αξιωματικής θεωρίας συνόλων ή της αξιωματικής κλασσικής θεωρίας.

Το πρόβλημα, που δημιουργείται με τις άτυπα διατυπωμένες θεωρίες συνόλων, που δεν πηγάζουν από (και δεν συνεπάγονται) κάποια συγκεκριμένη αξιωματική θεωρία, είναι ότι μπορεί να υπάρχουν πολλές, ευρέως διαφορετικές, διατυπωμένες εκδοχές, οι οποίες να έχουν διαφορετικά σύνολα καθώς και διαφορετικούς κανόνες ως προς το πώς δημιουργούνται νέα σύνολα, και οι οποίες όλες προσαρμόζονται στον αρχικό άτυπο ορισμό. Για παράδειγμα, ο ακριβής ορισμός του Κάντορ επιτρέπει μεγάλη ελευθερία ως προς το τι αποτελεί ένα σύνολο. Από την άλλη, είναι απίθανο ο Κάντορ να ενδιαφερόταν ιδιαίτερα για σύνολα που περιέχουν γάτες και σκύλους, αλλά μάλλον μόνο για σύνολα καθαρά μαθηματικών αντικειμένων. Ένα παράδειγμα μιας τέτοιας κλάσης συνόλων θα μπορούσε να είναι τοσύμπαν του Φον Νόιμαν. Αλλά ακόμα και εάν θέσουμε την κλάση των συνόλων υπό εξέταση, δεν είναι πάντοτε εμφανές ποιοι κανόνες για τον σχηματισμό συνόλων επιτρέπονται χωρίς να δημιουργούνται παράδοξα.

Με σκοπό λοιπόν τον  καθορισμό της συζήτησης παρακάτω, ο όρος "καλά ορισμένος" θα ερμηνεύεται αντ’ αυτού ως μία πρόθεση, είτε με έμμεσους είτε  με άμεσους κανόνες (αξιώματα ή ορισμούς), για την αποφυγή παρερμηνειών. Σκοπός μας είναι να κρατηθούν μακριά τα συχνά βαθειά και δύσκολα θέματα συνέπειας από το, συνήθως απλούστερο, επικείμενο πλαίσιο. Πάντως, μία ρητή αποφυγή όλων των ασυνεπειών (παραδόξων) δεν μπορεί να επιτευχθεί για μία αξιωματική συνολοθεωρία, λόγω του δεύτερου θεωρήματος της μη πληρότητας του Γκέντελ, και επομένως αυτό δεν δυσχεραίνει την χρησιμότητα της αφελούς συνολοθεωρίας σε σχέση με την αξιωματική θεωρία συνόλων στα απλά πλαίσια που εξετάζονται παρακάτω. Απλώς διευκολύνει και απλουστεύει τη συζήτηση. Στο εξής λοιπόν η συνέπεια θα θεωρείται δεδομένη εκτός και αν αναφέρεται ρητά.

Στοιχεία συνόλου 
Εάν το x είναι στοιχείο ενός συνόλου A, τότε λέμε επίσης ότι το x ανήκει στο A, ή ότι το x βρίσκεται στο A. Συμβολίζεται με x ∈ A. Το σύμβολο ∈ προέρχεται από το πεζό ελληνικό γράμμα έψιλον, "ε", εισήχθη από τον Τζουζέπε Πεάνο το 1889 πρέπει να είναι το πρώτο γράμμα της λέξης  ἐστί (που σημαίνει "είναι"). Το σύμβολο ∉ χρησιμοποιείται αρκετά συχνά ως x ∉ A, και σημαίνει " το x δεν βρίσκεται στο A".

Ισότητα 
Δύο σύνολα A και B θα ονομάζονται εξ ορισμού ίσα όταν θα έχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία, όταν δηλαδή, κάθε στοιχείο του συνόλου A είναι και στοιχείο του συνόλου B και κάθε στοιχείο του B είναι στοιχείο του A. (Βλέπε αξίωμα έκτασης.) Έτσι ένα σύνολο καθορίζεται πλήρως από τα στοιχεία του, ενώ η περιγραφή του είναι επουσιώδης. Για παράδειγμα, το σύνολο με στοιχεία τους αριθμούς 2, 3, και 5 είναι ίσο με το σύνολο των πρώτων αριθμών που είναι μικρότεροι του 6.
Εάν τα σύνολα A και B είναι ίσα, τότε γράφουμε (συμβολισμός): A = B (ως είθισται).

Κενό σύνολο 
Το κενό σύνολο, το οποίο συχνά συμβολίζεται με Ø ή κάποιες φορές με , είναι ένα σύνολο που δεν περιέχει καθόλου στοιχεία. Ακριβώς επειδή ένα σύνολο καθορίζεται πλήρως από τα στοιχεία του, υπάρχει ένα μοναδικό κενό σύνολο. (αξίωμα κενού συνόλου.) Παρόλο που το κενό σύνολο δεν έχει καθόλου στοιχεία, μπορεί να είναι στοιχείο άλλων συνόλων. Έτσι Ø ≠ {Ø}, επειδή το πρώτο σύνολο δεν έχει κανένα στοιχείο ενώ το δεύτερο έχει ένα(το κενό σύνολο). Στα μαθηματικά τα μοναδικά σύνολα με τα οποία χρειάζεται να ασχοληθεί κανείς μπορούν να δημιουργηθούν από το κενό σύνολο και μόνο ().

Προσδιορισμός συνόλων 
Ο πιο εύκολος τρόπος να περιγράψει κανείς ένα σύνολο είναι να καταγράψει τα στοιχεία του μεταξύ αγκυλών. Έτσι,  είναι το σύνολο του οποίου τα μόνα στοιχεία είναι το  και το .

(Βλέπε αξίωμα του ζεύγους.)

Αξίζει να σημειωθεί  ότι:
Η σειρά των στοιχείων είναι ασήμαντικη, για παράδειγμα: .
Η επάναληψη (πολλαπλότητα) στοιχείων είναι άσχετη. Για παράδειγμα, .
(Αυτές οι παρατηρήσεις είναι συνέπεια του ορισμού της ισότητας που δόθηκε σε προηγούμενη ενότητα.)

Μπορεί να γίνει (ανεπίσημα) κατάχρηση αυτού του τρόπου γραφής γράφοντας κάτι σαν  για τον προσδιορισμό του συνόλου όλων των σκύλων, αλλά αυτό το παράδειγμα θα εκλαμβάνονταν συνήθως από μαθηματικούς  ως "το σύνολο που περιέχει μόνο το στοιχείο σκύλοι".

Ένα ακραίο (αλλά σωστό) παράδειγμα αυτής της γραφής είναι , το οποίο συμβολίζει το κενό σύνολο.

Η γραφή , ή μερικές φορές {x | P(x)}, χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό του συνόλου που περιέχει όλα τα στοιχεία για τα οποία ισχύει η ιδιότητα . Για παράδειγμα, το  ∈ R} υποδηλώνει το σύνολο των πραγματικών αριθμών,  ενώ το  δηλώνει το σύνολο από οποιουδήποτε έχει ξανθά μαλλιά.

Αυτή η γραφή ονομάζεται σύνολο-κατασκευαστική  γραφή (ή «σύνολο περιεκτικότητας», ιδιαίτερα στο πλαίσιο του λειτουργικού προγραμματισμού).
Μερικές διαφορετικές σύνολο-κατασκευαστικές γραφές είναι:
 που δηλώνει το σύνολο όλων των  που ανήκουν ήδη στο σύνολο  και τα οποία ικανοποιούν την ιδιότητα . Για παράδειγμα, εάν  είναι το σύνολο των ακεραίων, τότε  είναι το σύνολο όλων των άρτιων ακεραίων. (Βλέπε αξίωμα του διαχωρισμού.)
 που δηλώνει το σύνολο των αντικειμένων που παράγονται από τα στοιχεία του συνόλου  όταν τα εισάγουμε στον τύπο . Για παράδειγμα,  είναι και πάλι το σύνολο όλων των άρτιων ακεραίων. (Βλέπε αξίωμα της αντικατάστασης.)
 είναι η πιο γενική μορφή σύνολο-κατασκευαστικής γραφής. Για παράδειγμα,  είναι το σύνολο όλων των ιδιοκτητών σκύλων.

Υποσύνολα 
Δοθέντων δύο συνόλων A και B, το σύνολο A είναι ένα υποσύνολο του B εάν κάθε στοιχείο του A είναι ταυτόχρονα και στοιχείο του B.
Ειδικότερα, κάθε σύνολο B είναι υποσύνολο του εαυτού του. Κάθε υποσύνολο του B που δεν είναι ίσο με το B ονομάζεται γνήσιο υποσύνολο.

Εάν A είναι ένα υποσύνολο του B, τότε μπορούμε να πούμε επίσης ότι το B είναι ένα υπερσύνολο του A, ότι το A περιέχεται στο B, ή ότι το B περιέχει το σύνολο A. Συμβολίζουμε με, A ⊆ B που σημαίνει ότι το A είναι υποσύνολο του B, και με B ⊇ A που σημαίνει ότι το B είναι υπερσύνολο του A.
Μερικοί συγγραφείς χρησιμοποιούν τα σύμβολα ⊂ και ⊃ για υποσύνολα, ενώ άλλοι χρησιμοποιούν αυτά τα σύμβολα μόνο για γνήσια υποσύνολα. Για λόγους λοιπόν σαφήνειας, μπορεί κανείς να χρησιμοποιεί ρητά τα σύμβολα ⊊ και ⊋ για να δηλώσει ανισότητα.

Ας συμβολίσουμε με R το σύνολο των πραγματικών αριθμών, με Z το σύνολο των ακεραίων, με O το σύνολο των περιττών ακεραίων, και με P το σύνολο όλων των προέδρων των ΗΠΑ. Τότε το O είναι υποσύνολο του Z, το Z είναι υποσύνολο του R, και (ως εκ τούτου) το O είναι υποσύνολο του R, όπου σε όλες τις περιπτώσεις ο όρος υποσύνολο θα μπορούσε να ληφθεί ως γνήσιο υποσύνολο.

Δεν είναι όλα τα σύνολα συγκρίσιμα κατ αυτόν τον τρόπο. Για παράδειγμα, δεν μπορούμε να ισχυριστούμε ούτε ότι το σύνολο R είναι υποσύνολο του συνόλου P ούτε ότι το P είναι υποσύνολο του R.

Είναι άμεσο επακόλουθο του ορισμού της ισότητας συνόλων που δόθηκε παραπάνω, ότι δοθέντος δύο συνόλων A και B, A = B αν και μόνο εάν A ⊆ B και B ⊆ A. Στην πραγματικότητα αυτός δίνεται συχνά ως ο ορισμός της ισότητας. Συνήθως όταν κάποιος προσπαθεί να αποδείξει ότι δύο σύνολα είναι ίσα, στοχεύει στο να δείξει αυτές τις δύο εγκλείσεις. Το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου (ο ισχυρισμός ότι κάθε στοιχείο του κενού συνόλου είναι επίσης στοιχείο κάθε άλλου συνόλου A είναι αληθής με κενό τρόπο).

Το σύνολο όλων των υποσυνόλων ενός συνόλου A ονομάζεται δυναμοσύνολο του A και συμβολίζεται με  ή με . Μερικές φορές το "P" είναι καλλιγραφικό. Εάν το σύνολο A έχει n στοιχεία, τότε το  θα έχει  στοιχεία.

Καθολικά σύνολα και απόλυτα συμπληρώματα 
Σε ορισμένες περιπτώσεις, θα μπορούσε κάποιος να θεωρήσει όλα τα σύνολα, ως υποσύνολα κάποιου καθολικού συνόλου.
Για παράδειγμα, όταν μελετάμε τις ιδιότητες των πραγματικών αριθμών R (και των υποσυνόλων του R), το R μπορεί να θεωρηθεί ως το καθολικό σύνολο. Ένα πραγματικά καθολικό σύνολο, δεν περιλαμβάνεται στην κανονική θεωρία συνόλων (βλέπε Παράδοξα παρακάτω), ωστόσο περιλαμβάνεται σε κάποιες μη – κανονικές συνολοθεωρίες.

Δοθέντος ενός καθολικού συνόλου  U και ενός υποσυνόλου  A του U, το συμπλήρωμα του A (στο U) ορίζεται ως :AC := {x  U : x  A}.
Με άλλα λόγια, AC ("A-συμπλήρωμα") είναι το σύνολο όλων των στοιχείων του U που δεν είναι στοιχεία του A.
Κατά συνέπεια, σύμφωνα με τους ορισμούς των R, Z και O, όπως ορίστηκαν στην παράγραφο υποσύνολα, αν Z είναι το καθολικό σύνολο, τότε OC είναι το σύνολο των άρτιων ακεραίων, ενώ αν R είναι το καθολικό σύνολο, τότε OC είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών που είναι είτε άρτιοι ακέραιοι, είτε όχι ακέραιοι.

Ένωση, τομή και σχετικό συμπλήρωμα
Δοθέντων δύο συνόλων A και B, η ένωση τους, είναι το σύνολο που αποτελείται από όλα τα αντικείμενα που είναι είτε στοιχεία του A, είτε του B, είτε και των δύο (βλέπε αξίωμα της ένωσης). Συμβολίζεται με A ∪ B.

Η τομή των A και B, είναι το σύνολο όλων των αντικειμένων που είναι συγχρόνως στο A και στο B. Συμβολίζεται με A ∩ B.

Τέλος, το  σχετικό συμπλήρωμα του B σχετικά με το A, επίσης γνωστό ως συνολοθεωρητική διαφορά των A και B, είναι το σύνολο όλων των αντικειμένων που ανήκουν στο A και όχι στο B. Συμβολίζεται με A \ B ή A − B.

Συμβολικά,αυτά είναι αντίστοιχα
A ∪ B := {x : (x ∈ A) ή (x ∈ B)};
A ∩ B := {x : (x ∈ A) και (x ∈ B)} = {x ∈ A : x ∈ B} = {x ∈ B : x ∈ A};
A \ B := {x : (x ∈ A) και όχι (x ∈ B) } = {x ∈ A : όχι (x ∈ B)}.

Παρατηρήστε ότι το A δεν είναι αναγκαίο να είναι υποσύνολο του B, ώστε το B  \A να έχει νόημα. Αυτή είναι και η βασική διαφορά μεταξύ του σχετικού συμπληρώματος και του απόλυτου συμπληρώματος (AC = U  A) από την προηγούμενη παράγραφο.

Για να διευκρινίσουμε αυτές τις έννοιες, έστω ότι A είναι το σύνολο των αριστερόχειρων ανθρώπων, και έστω ότι B είναι το σύνολο των ανθρώπων με ξανθά μαλλιά. Τότε A ∩ B είναι το σύνολο όλων των αριστερόχειρων με ξανθά μαλλιά ανθρώπων, ενώ A ∪ B είναι το σύνολο όλων των ανθρώπων που είναι είτε αριστερόχειρες, είτε έχουν ξανθά μαλλιά, είτε και τα δύο. A  \B, από την άλλη, είναι το σύνολο όλων των ανθρώπων που είναι αριστερόχειρες, όμως όχι ξανθοί, ενώ B  \A είναι το σύνολο όλων των ανθρώπων που είναι ξανθοί, όμως όχι αριστερόχειρες.

Τώρα, έστω ότι E είναι το σύνολο όλων των ανθρώπων που υπήρξαν ποτέ, και έστω ότι F είναι το σύνολο όλων των ζωντανών αντικειμένων άνω των 1000 ετών. Τι είναι το E ∩ Fσε αυτήν την περίπτωση; Κανένα ανθρώπινο ον δεν είναι περισσότερο από 1000 ετών, οπότε το E ∩ Fπρέπει να είναι το κενό σύνολο {}.

Για οποιοδήποτε σύνολο A, το δυναμοσύνολο του A,   είναι μια  Άλγεβρα Μπουλ με πράξεις την ένωση και την τομή.

Διατεταγμένα ζεύγη και Καρτεσιανά γινόμενα
Διαισθητικά, ένα διατεταγμένο ζεύγος είναι απλά μια συλλογή από δύο αντικείμενα τέτοια ώστε το ένα να μπορεί να διακριθεί ως το πρώτο στοιχείο και το άλλο ως το δεύτερο στοιχείο, και έχουν μια θεμελιώδη ιδιότητα ότι, δύο διατεταγμένα ζεύγη είναι ίσα, αν και μόνον αν τα πρώτα στοιχεία τους είναι ίσα και τα δεύτερα στοιχεία τους είναι ίσα.

Αυστηρότερα, ένα διατεταγμένο ζεύγος με πρώτη συντεταγμένη a, και δεύτερη συντεταγμένη b, συχνά συμβολίζεται με (a, b), μπορεί να οριστεί ως το σύνολο {{a}, {a, b}}.

Έπεται ότι, δύο διατεταγμένα ζεύγη (a,b) και (c,d) είναι ίσα αν και μόνον αν  a = c και b = d.

Εναλλακτικά, ένα διατεταγμένο ζεύγος μπορεί αυστηρά να θεωρηθεί σαν ένα σύνολο {a,b} ολικά διατεταγμένο.

(Ο συμβολισμός (a, b) χρησιμοποιείται επίσης για να συμβολιστεί ένα ανοιχτό διάστημα στην ευθεία των πραγματικών αριθμών, ωστόσο το περιεχόμενο θα πρέπει να έχει αποσαφηνίσει για ποια ερμηνεία προορίζεται. Αλλιώς,ο συμβολισμός ]a, b[ θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί για να συμβολίσει το ανοιχτό διάστημα, όταν το (a, b) χρησιμοποιείται για το διατεταγμένο ζεύγος).

Αν A και B είναι σύνολα, τότε το Καρτεσιανό γινόμενο (ή απλά γινόμενο) ορίζεται ως εξής:
A × B = {(a,b) : a βρίσκεται στο A και b βρίσκεται στο B}.
Αυτό σημαίνει πως, A × B είναι το σύνολο όλων των διατεταγμένων ζευγών, των οποίων η πρώτη συντεταγμένη είναι στοιχείο του A και η δεύτερη συντεταγμένη στοιχείο του B.

Αυτός ο ορισμός μπορεί να επεκταθεί και στο σύνολο A × B × C διατεταγμένων τριάδων, και εν γένει σε σύνολα διατεταγμένων n-άδων για οποιονδήποτε θετικό ακέραιο n.
Είναι επίσης εφικτό να οριστούν άπειρα Καρτεσιανά γινόμενα, ωστόσο αυτό απαιτεί έναν πιο δυσνόητο ορισμό του γινομένου.

Τα καρτεσιανά γινόμενα αναπτύχθηκαν πρωτίστως από τον Ρενέ Ντεκάρτ στα πλαίσια της αναλυτικής γεωμετρίας. Αν R σημαίνει το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών,τότε το R2 := R × R αναπαριστά το Ευκλείδειο επίπεδο και το R3 := R × R × R αναπαριστά τον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο.

Κάποια σημαντικά σύνολα 
Σημείωση: Σε αυτήν την παράγραφο, a, b, και c είναι φυσικοί αριθμοί, και r και s είναι πραγματικοί αριθμοί.
Οι φυσικοί αριθμοί χρησιμοποιούνται για την αρίθμηση. Το σύμβολο () συχνά αναπαριστά αυτό το σύνολο.
 Οι ακέραιοι εμφανίζονται ως λύσεις για το x σε εξισώσεις της μορφής x + a = b. Το σύμβολο () συχνά αναπαριστά αυτό το σύνολο (από την γερμανική λέξη Zahlen, που σημαίνει αριθμοί).
Οι ρητοί αριθμοί εμφανίζονται ως λύσεις σε εξισώσεις της μορφής a + bx = c. Το σύμβολο () συχνά αναπαριστά αυτό το σύνολο (από το quotient, επειδή το R χρησιμοποιείται για το σύνολο των πραγματικών αριθμών).
Οι αλγεβρικοί αριθμοί εμφανίζονται ως λύσεις πολυωνυμικών εξισώσεων (με ακεραίους συντελεστές) και περιέχουν ριζικά και ορισμένους άρρητους αριθμούς. Το σύμβολο () ή το () συχνά αναπαριστά αυτό το σύνολο. Η πάνω γραμμή υποδεικνύει την λειτουργία της αλγεβρικής κλειστότητας.
Οι πραγματικοί αριθμοί αναπαριστούν την "πραγματική ευθεία" και περιλαμβάνουν όλους τους αριθμούς που μπορούν να προσεγγιστούν από ρητούς. Αυτοί οι αριθμοί μπορεί να είναι ρητοί ή αλγεβρικοί, ωστόσο μπορεί να είναι και υπερβατικοί αριθμοί, οι οποίοι δεν εμφανίζονται ως λύσεις πολυωνυμικών εξισώσεων με ρητούς συντελεστές. Το σύμβολο () συχνά αναπαριστά αυτό το σύνολο.
Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι το άθροισμα κάποιου πραγματικού και κάποιου φανταστικού αριθμού: r + si. Εδώ και το r και το s μπορούν να είναι ίσα με το μηδέν, ωστόσο, το σύνολο των πραγματικών αριθμών και το σύνολο των φανταστικών αριθμών, είναι υποσύνολα του συνόλου των μιγαδικών αριθμών, τα οποία διαμορφώνουν μια αλγεβρική κλειστότητα για το σύνολο των πραγματικών αριθμών, το οποίο σημαίνει πως οποιοδήποτε πολυώνυμο με συντελεστές από το  έχει τουλάχιστον μία ρίζα σε αυτό το σύνολο. Το σύμβολο () συχνά αναπαριστά αυτό το σύνολο. Από τη στιγμή που ο αριθμός r + si μπορεί να παρασταθεί από ένα σημείο (r, s) στο επίπεδο, το C είναι ουσιαστικά "το ίδιο"με το καρτεσιανό γινόμενο R×R ("το ίδιο", σημαίνει ότι οποιοδήποτε σημείο στο ένα καθορίζει ένα μοναδικό σημείο στο άλλο και δεν ενοχλεί το αποτέλεσμα των υπολογισμών το ποιο από τα δύο θα χρησιμοποιηθεί).

Παράδοξα 
Η απεριόριστη κατασκευαστική αρχή των συνόλων, γνωστή ως Αξίωμα της Περιεκτικότητας,
Αν  είναι μια ιδιότητα, τότε υπάρχει  (ψευδής),
είναι η πηγή πολλών πρόσφατα εμφανιζόμενων παραδόξων: 
 οδηγεί το 1897 στο παράδοξο Μπουράλι-Φόρτι, την πρώτη δημοσιευμένη αντινομία.
 δημιουργεί το παράδοξο του Κάντορ, το 1897.
 απέφερε την δεύτερη αντινομία του Κάντορ κατά το έτος 1899. Εδώ, η ιδιότητα  είναι αληθής για όλα τα , οτιδήποτε και να είναι ο , οπότε το  θα μπορούσε να είναι ένα καθολικό σύνολο, και να περιέχει τα πάντα.
, π.χ. των σύνολο όλων των συνόλων που δεν αυτοπεριέχονται, οδήγησε στο παράδοξο του Ράσελ το 1902.

Αν το αξίωμα – σχήμα της περιεκτικότητας αποδυναμωθεί, οδηγεί στο αξίωμα – σχήμα του διαχωρισμού,
Αν  είναι μια ιδιότητα, τότε για οποιοδήποτε σύνολο   υπάρχει ένα σύνολο 
και τότε όλα τα παραπάνω παράδοξα εξαφανίζονται. Υπάρχει ένα πόρισμα. Με το αξίωμα – σχήμα του διαχωρισμού ως αξίωμα της θεωρίας, έπεται ως θεώρημα από τη θεωρία ότι:
Το σύνολο όλων των συνόλων δεν υπάρχει.
Απόδειξη:Υποθέστε ότι υπάρχει και ονομάστε το . Τώρα εφαρμόστε το αξίωμα – σχήμα του διαχωρισμού για  και στην  χρησιμοποιείστε . Αυτό οδηγεί στο παράδοξο του Ράσελ ξανά. Οπότε το  δεν μπορεί να υπάρχει σε αυτήν την θεωρία.

Σχετικός με τις παραπάνω κατασκευές είναι ο σχηματισμός του συνόλου
, όπου η δήλωση που ακολουθεί το συμπέρασμα είναι προφανώς ψευδής. Έπεται, από τον ορισμό του , χρησιμοποιώντας τους συνήθεις κανόνες συμπερασμού και κάποιες επιπλέον σκέψεις, ότι ισχύουν αμφότερα  και , με συνέπεια . Αυτό αποτελεί το παράδοξο του Κάρι (Curry).

Ωστόσο εδώ, (μάλλον περίεργο) δεν είναι η δυνατότητα του  που είναι προβληματική, είναι ξανά το αξίωμα – σχήμα της περιεκτικότητας που επιτρέπει να συμβαίνει το  για το . Με το αξίωμα – σχήμα του διαχωρισμού αντί για αυτό της περιεκτικότητας, το συμπέρασμα  δεν έπεται, και άρα το  δεν αποτελεί λογικό συμπέρασμα.

Παρ’ όλα αυτά, η δυνατότητα του  συχνά αφαιρείται ρητά ή για π.χ. στο ZFC, σιωπηρά, ισχυριζόμενοι πως ισχύει το αξίωμα της κανονικότητας. Μια συνέπεια αυτού είναι:
Δεν υπάρχει σύνολο  για το οποίο ,
Με άλλα λόγια, κανένα σύνολο δεν είναι στοιχείο του εαυτού του.

Το αξίωμα – σχήμα του διαχωρισμού είναι  πολύ ανίσχυρο (ενώ το αξίωμα – σχήμα της περιεκτικότητας είναι πολύ ισχυρό – υπερβολικά ισχυρό για την συνολοθεωρία), για να αναπτύξει την συνολοθεωρία με τις συνήθεις πράξεις και κατασκευές όπως περιγράφηκαν πιο πάνω. Το αξίωμα της κανονικότητας έχει την ίδια περιοριστική φύση επίσης. Οπότε, αυτά οδηγούν στην διατύπωση άλλων αξιωμάτων, για να εξασφαλιστεί η ύπαρξη αρκετών συνόλων ώστε να σχηματιστεί μια συνολοθεωρία. Κάποια εξ’ αυτών περιγράφηκαν ήδη ανεπίσημα πιο πάνω, και αρκετά ακόμη είναι εφικτά. Δεν μπορούν όλα τα νοητά αξιώματα να συνδυάζονται χωρίς περιορισμούς σε συνεπείς θεωρίες. Για παράδειγμα, το αξίωμα της επιλογής του ZFC, είναι ασύμβατο με το κάθε σύνολο πραγματικών αριθμών είναι Λεμπέκ (Lebesgue) μετρήσιμο. Το πρώτο συμπεραίνει ότι το τελευταίο είναι ψευδές.

Βλέπε επίσης
 Θεωρία συνόλων
 Σύνολο
 Αξίωμα
 Γκέοργκ Κάντορ

Σημειώσεις

Βιβλιογραφία
 Bourbaki, N., Elements of the History of Mathematics, John Meldrum (trans.), Springer-Verlag, Berlin, Germany, 1994.

 Devlin, K.J., The Joy of Sets: Fundamentals of Contemporary Set Theory, 2nd edition, Springer-Verlag, New York, NY, 1993.
 Frápolli, María J., 1991, "Is Cantorian set theory an iterative conception of set?". Modern Logic, v. 1 n. 4, 1991, 302–318.
 
 Halmos, Paul, Naive Set Theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (Paperback edition).
 
 Kelley, J.L., General Topology, Van Nostrand Reinhold, New York, NY, 1955.
 van Heijenoort, J., From Frege to Gödel, A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931, Harvard University Press, Cambridge, MA, 1967. Reprinted with corrections, 1977. ISBN 0-674-32449-8.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
 Beginnings of set theory page at St. Andrews
 Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (S)

Φιλοσοφία των μαθηματικών