Τετραγωνικά ολοκληρώσιμη συνάρτηση

Στα μαθηματικά, μία τετραγωνικά ολοκληρώσιμη συνάρτηση είναι μία πραγματικά - ή κατά τμήματα - αποτιμημένη ως μετρήσιμη συνάρτηση για την οποία το ολοκλήρωμα του τετραγώνου της απόλυτης τιμής της είναι πεπερασμένος αριθμός. Έτσι αν,
 
τότε η ƒ είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμη στην πραγματική γραμμή  (−∞, ∞). Κάποιος μπορεί επίσης να μιλήσει για τετραγωνική ολοκλήρωση σε ορισμένα σύνολα όπως το  [0, 1].
Οι τετραγωνικά ολοκληρώσιμες συναρτήσεις διαμορφώνουν έναν χώρο εσωτερικού γινομένου του οποίου το εσωτερικό γινόμενο δίνεται από
 
όπου,
 g(x) είναι ο συζυγής μιγαδικός του g,
 A είναι ένα σύνολο στο οποίο κάποιος ολοκληρώνει—στο πρώτο παράδειγμα πάνω, A είναι (−∞, ∞); στο δεύτερο, A είναι [0, 1].
Εφόσον  |a|2 = a a, η τετραγωνική ολοκληρωσιμότητα είναι το ίδιο σαν να λέμε
 
Μπορεί να αποδειχθεί ότι οι τετραγωνικά ολοκληρώσιμες συναρτήσεις αποτελούν έναν ολόκληρο μετρικό χώρο, τον Μπάναχ χώρο (Banach space). Αφού έχουμε επιπλέον την ιδιότητα του εσωτερικού γινομένου, αυτός ο χώρος είναι συγκεκριμένα ένας χώρος Χίλμπερτ (Hilbert space). Αυτός ο χώρος εσωτερικού γινομένου συμβολίζεται συμβατικά  L2.
Ο χώρος των τετραγωνικά ολοκληρώσιμων συναρτήσεων είναι ο Lp space όπου p = 2.

Συναρτησιακή ανάλυση