Μοντέλο Olami–Feder–Christensen

Το μοντέλο Olami-Feder-Christensen (μοντέλο OFC) προσομοιώνει την πηγή της σεισμικής δραστηριότητας των τεκτονικών σεισμών. Το μοντέλο αυτό παρουσίασαν οι Olami Z., Feder H.J.S., και Christensen K. το 1991. Παρακάτω παρουσιάζονται μερικές βασικές πληροφορίες για το φαινόμενο των τεκτονικών σεισμών και στη συνέχεια για το πώς το μοντέλο OFC μοντελοποιεί αυτό το φαινόμενο και πώς γίνεται η προσομοίωση αυτού του μοντέλου μαζί με αποτελέσματα της προσομοίωσης .

Το φαινόμενο των τεκτονικών σεισμών
Οι τεκτονικοί σεισμοί είναι ένα φυσικό φαινόμενο το οποίο εκτυλίσσεται στο εσωτερικό του φλοιού της γης. Για να κατανοηθεί επαρκώς ένα τέτοιο φαινόμενο, πρέπει να μελετηθεί μακροσκοπικά και μικροσκοπικά.

Η μικροσκοπική εξέταση των τεκτονικών σεισμών αποκαλύπτει την ολίσθηση των τεκτονικών πλακών, η οποία αποτελεί και την πηγή του φαινομένου (Εικ.1). Οι τεκτονικές πλάκες ολισθαίνουν η μία πάνω στην άλλη, δημιουργώντας ανάμεσα τους μια ενδοεπιφάνεια στην οποία υπάρχει συνεχής ανακατανομή δυνάμεων. Η μεταβολή της ταχύτητας με την οποία ολισθαίνουν οι πλάκες, λόγω των δυνάμεων που ασκούνται, δίνεται από τον τύπο dv/dt=Fout-Fin-Fc, όπου η Fout είναι η δύναμη που ασκείται από το εξωτερικό περιβάλλον, η Fin η δύναμη που μεταδίδει το ένα υλικό σημείο στο άλλο και η Fc είναι η τιμή του ορίου θραύσης του πετρώματος της τεκτονικής πλάκας που πρέπει να ξεπερασθεί, ώστε το σημείο της πλάκας στο οποίο ασκείται η δύναμη να συνθλιβεί και έτσι η τεκτονική πλάκα να ολισθήσει . 

Μακροσκοπικά αυτό που μπορεί να παρατηρηθεί είναι πως η κατανομή των μεγεθών των τεκτονικών σεισμών στη φύση είναι μια κατανομή νόμου δύναμης. Αυτό το επιβεβαιώνει και ο νόμος Gutenberg-Richter [4], ο οποίος περιγράφει την συσχέτιση μεταξύ των μεγεθών των σεισμών που συμβαίνουν και της συχνότητας εμφάνισης τους (Εικ.2). Αυτή η power-law κατανομή ονομάζεται Gutenberg-Richter κατανομή.

Μοντελοποίηση του φαινομένου
 
Το 1987 ο Per Bak απέδειξε πως τα φαινόμενα που παρουσιάζουν power-law κατανομή ακολουθούν έναν μηχανισμό αυτο-οργανωμένης κρισιμότητας [1]. Με αυτόν τον τρόπο προτάθηκε πως η Gutenberg-Richter κατανομή των σεισμών μπορεί να εξηγηθεί από το γεγονός ότι ο φλοιός της γης βρίσκεται σε μια αυτο-οργανώμενη κρίσιμη κατάσταση. Αυτή η συμπεριφορά του φλοιού της γης μπορεί να αναπαραχθεί με την βοήθεια ενός απλού κυψελικού αυτόματου [6]. Έτσι, το OFC μοντέλο χρησιμοποιεί ένα  κυψελικό αυτόματο, για να αναπαραστήσει την συνεχή ανακατανομή των δυνάμεων που συμβαίνει στην ενδοεπιφάνεια που σχηματίζεται ανάμεσα στις τεκτονικές πλάκες. Το κυψελικό αυτόματο που χρησιμοποιείται αποτελείται από ένα δισδιάστατο μπλοκ από μονάδες συστήματος, οι οποίες αντιπροσωπεύουν τα υλικά σημεία της προαναφερθείσας ενδοεπιφάνειας. Οι μονάδες συστήματος συνδέονται μεταξύ τους, αλλά και με την τεκτονική πλάκα που βρίσκεται από πάνω τους, με ελατήρια (Εικ.3).              

 
               
Έτσι μπορούν να αλληλεπιδρούν μεταξύ τους δημιουργώντας το φαινόμενο του Domino. Για να μεταδώσει όμως μια μονάδα συστήματος την δύναμη που ασκείται πάνω της στις γειτονικές μονάδες συστήματος, πρέπει η τιμή της δύναμης που ασκείται πάνω της να ξεπεράσει την τιμή της Fc. Η Fc, όπως προαναφέραμε, είναι η τιμή του ορίου θραύσης του πετρώματος της τεκτονικής πλάκας, που πρέπει να ξεπερασθεί, ώστε η τεκτονική πλάκα να κινηθεί. Όταν αυτή η τιμή ξεπερασθεί, τότε η μονάδα συστήματος δίνει προσθετικά ένα μέρος της δύναμης που ασκούνταν πάνω της σε κάθε μια από τις τέσσερις γειτονικές της μονάδες συστήματος, και συγκεκριμένα το 25%, ώστε η δύναμη που ασκείται σε αυτή να μοιραστεί ομοιόμορφα και συμμετρικά. Η ανακατανομή της δύναμης δίνεται από τον τύπο  Fn,n → Fn,n + aFi,j[3] όπου Fn,n η δύναμη που ήδη υπάρχει στη γειτονική μονάδα συστήματος, a το ποσοστό της δύναμης που θα μεταφερθεί και Fi,j η δύναμη της μονάδας συστήματος που ξεπέρασε την Fc.

Προσομοίωση του μοντέλου
 
Για την προσομοίωση του OFC μοντέλου απαιτούνται τρεις δισδιάστατοι πίνακες διαστάσεων ΝxΜ: Ο πρώτος πίνακας αντιπροσωπεύει το κυψελικό αυτόματο, δηλαδή την ενδοεπιφάνεια των τεκτονικών πλακών, ο δεύτερος θα χρησιμοποιηθεί βοηθητικά για την ανακατανομή των δυνάμεων και ο τρίτος θα χρησιμοποιηθεί βοηθητικά για την μέτρηση του μεγέθους του σεισμού. Επίσης θα χρειαστεί ένας μετρητής που θα μετράει τον χρόνο, μία σταθερά που θα αντιπροσωπεύει την Fc και ένα αρχείο στο οποίο θα καταγράφεται η σεισμική δραστηριότητα που αναπαράγει η προσομοίωση.

Πραγματοποιείται αρχικοποίηση των κελιών του πρώτου πίνακα με τυχαίες τιμές από 0 εως Fc. Γίνεται μία αύξηση της τιμής τους κατά μια πολύ μικρή τιμή, η οποία αντιπροσωπεύει την Fout και πραγματοποιείται μηδενισμός όλων των κελιών των δύο βοηθητικών πινάκων. 

ΒΗΜΑ Α: Ακολουθεί έλεγχος για το αν η τιμή κάποιου από τα κελιά του πρώτου πίνακα έχει ξεπεράσει την Fc. 

ΒΗΜΑ Β: Στην περίπτωση που κανένα από τα κελιά δεν έχει ξεπεράσει την Fc, τότε καταγράφεται στο αρχείο πως την συγκεκριμένη χρονική στιγμή το μέγεθος του σεισμού ήταν 0. Η χρονική στιγμή αυξάνεται κατά ένα και η τιμή όλων των κελιών του πίνακα κατά μια πολύ μικρή τιμή (Fout). Αυτό το βήμα επαναλαμβάνεται, μέχρι κάποιο κελί να ξεπεράσει την Fc.

ΒΗΜΑ Γ: Στην περίπτωση που κάποιο κελί έχει ξεπεράσει την Fc, τότε 25% της τιμής του κελιού δίνεται σε κάθε ένα γειτονικό κελί του αντίστοιχου κελιού του δεύτερου πίνακα, π.χ. αν το κελί που ξεπέρασε την τιμή της Fc έχει συντεταγμένες i,j τότε θα δοθεί από 25% της τιμής του στα γειτονικά κελιά του κελιού με συντεταγμένες i,j στον δεύτερο πίνακα. Στη συνέχεια θα μηδενιστεί η τιμή του κελιού που ξεπέρασε την Fc και θα δοθεί τιμή 1 στο αντίστοιχο κελί του τρίτου πίνακα. Ακολουθεί έλεγχος στα υπόλοιπα κελιά του πίνακα και επαναλαμβάνεται η ίδια διαδικασία σε όποιο κελί ξεπερνάει την Fc. Αφού τελειώσει ο έλεγχος όλου του πίνακα, προστίθεται ο δεύτερος πίνακας στον πρώτο και όλα τα κελιά του δεύτερου πίνακα μηδενίζονται. Πραγματοποιείται έλεγχος του πρώτου πίνακα για κελιά που ξεπερνάνε την Fc. Επαναλαμβάνεται το ΒΗΜΑ Γ, μέχρι κανένα κελί του πίνακα να μην ξεπερνά την τιμή της Fc. Όταν συμβεί αυτό, μετρούνται τα κελιά του τρίτου πίνακα που έχουν τιμή 1. Ο αριθμός των κελιών αυτών αντιπροσωπεύει το μέγεθος του σεισμού που συνέβη εκείνη τη στιγμή. Γίνεται καταγραφή της χρονικής στιγμής και του αριθμού αυτού στο αρχείο. Μηδενίζονται όλα τα κελιά του τρίτου πίνακα και γίνεται επιστροφή στο ΒΗΜΑ Β.

Αποτελέσματα τις προσομοίωσης
 
Τα αποτελέσματα από την προσομοίωση του OFC μοντέλου έρχονται σε συμφωνία με την Gutenberg Richter κατανομή που, όπως ειπώθηκε νωρίτερα, παρουσιάζουν οι πραγματικοί σεισμοί στην φύση. Ωστόσο, υπάρχουν δύο πολύ σημαντικά προβλήματα που παρουσιάζονται στα αποτελέσματα της προσομοίωσης, τα οποία είναι πολύ σημαντικό να επιλυθούν, ώστε η προσομοίωση να γίνει ακριβέστερη και πιο ρεαλιστική. 

Από τη λογαρίθμηση των αξόνων του διαγράμματος της κατανομής των σεισμών προκύπτει μια ευθεία της οποίας ο συντελεστής διεύθυνσης είναι η μεταβλητή b. Η μαθηματική σχέση η οποία εκφράζει την συχνότητα εμφάνισης Nce των σεισμών με τα μεγέθη m των σεισμών είναι η  log Nce = -bEm + C [5].
 

Το πρώτο πρόβλημα που έχουν τα αποτελέσματα που μας δίνει η προσομοίωση του OFC είναι πως η τιμή του b των σεισμών είναι πάντα κοντά στο 1[2] (Εικ.4), ενώ σύμφωνα με την βιβλιογραφία είναι γνωστό πως η τιμή του b των σεισμών κυμαίνεται πάντα κοντά στο 2[7]. Ένας λόγος για τον οποίο πρέπει να συμβαίνει αυτό είναι πως σύμφωνα με το μοντέλο η ανακατανομή των δυνάμεων γίνεται βάσει της εξίσωσης Fn,n → Fn,n + aFi,j και στην προσομοίωση χρησιμοποιείται το a με τιμή 0,25[6]. Στην φύση η μετάδοση της ενέργειας δεν είναι τόσο συμμετρική, καθαρή και απόλυτη, έτσι θα πρέπει μελλοντικά να προσδιοριστεί καλύτερα το ποσοστό της ενέργειας που ανακατανέμεται.  

Το δεύτερο πρόβλημα που παρουσιάζεται προέρχεται και αυτό από την τιμή του b, αλλά αυτήν την φορά στους προσεισμούς. Συγκεκριμένα, κατά την προσεισμική δραστηριότητα στη φύση η τιμή του b κυμαίνεται διακριτά χαμηλότερα του 2[7], δηλαδή της τιμής που έχει το b στους κυρίως σεισμούς. Στην προσεισμική δραστηριότητα του OFC η τιμή του b κυμαίνεται κοντά στο 1 (Εικ.5), δηλαδή πολύ κοντά στην τιμή του b που δίνει το OFC στους κυρίως σεισμούς.

Πηγές
Bak P., Tang C., and Wiesenfeld K. (1987), Self-Organized Criticality: An explanation of 1/f noise. 
Physics Department, Brookhaven National Laboratory, Vol.59, No. 4, pp. 381-384, Upton. 
Christensen K., Olami Z. (1992), Variation of the Gutenberg-Richter b values and nontrivial temporal 
correlations in a spring-block model for earthquakes. Department of Physics, Briikhaven National 
Laboratory, Journal of Geophysical Research, Vol. 97, No. B6, pp. 8729-8735. Upton. 
De Carvalho J. X. and Prado C. P. C. (2008). Self-organized criticality in the Olami-Feder-Christensen 
model. Instituto de Fisica Universidade de Sao Paulo, Sao Paulo. 
Gutenberg B., Richter C. F. (1944). Frequency of earthquakes in California. Bull. Seism. Soc. Am. 34, 
pp. 185-188. El Cerrito,. 
Maladum B. D., Guzzetti F. and Reichenbach P. (2002). Self-organization, the cascade model, and natural 
hazards. Vol. 99, suppl. 1, pp. 2530-2537. PNAS. 
Olami Z., Feder H.J.S., and Christensen K. (1991). Self-organized criticality in a continuous, non- 
conservative cellular automaton modeling earthquakes. Department of Physics, Brookharen National 
Laboratory, Vol.68, No 8, pp. 1246-1248, Upton. 
Papadopoulos G. A., Charalampakis M., Fokaefs A., and Minadakis G. (2010). Strong foreshock signal 
preceding the L’Aquila (Italy) earthquake (Mw 6.3) of 6 April 2009. Institute of Geodynamics, National 
Observatory of Athens, Athens.

Σεισμολογία