Οκτάγωνο

Στη γεωμετρία το οκτάγωνο (από τις ελληνικές λέξεις οκτώ και γωνία) είναι ένα πολύγωνο σχήμα με οκτώ πλευρές και οκτώ κορυφές. Σε ένα κανονικό οκτάγωνο, στο οποίο όλες οι πλευρές και όλες οι γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους, οι γωνίες είναι ίσες με 3π/4 ακτίνια ή 135 μοίρες (°) η καθεμιά, ενώ οι εσωτερικές γωνίες οποιουδήποτε οκταγώνου έχουν άθροισμα 6π ακτίνια ή 1080 μοίρες. Το σύμβολο Schläfli του οκταγώνου είναι {8}.

Κανονικό οκτάγωνο
Το κανονικό οκτάγωνο έχει οκτώ γραμμές ανακλαστικής συμμετρίας και έχει περιστροφική συμμετρία ογδόης τάξεως. Το εμβαδό (Ε) ενός κανονικού οκταγώνου με μήκος πλευράς α δίνεται από τη σχέση:

Αν R είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, τότε το εμβαδό του οκταγώνου είναι

ενώ αν r είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου, τότε το εμβαδό εκφράζεται ως

Ας σημειωθεί ότι οι δύο τελευταίοι συντελεστές (2,828... και 3,31...) «περικλείουν» την τιμή του π, που είναι το εμβαδό του μοναδιαίου κύκλου.

Το εμβαδό του κανονικού οκταγώνου ισούται επίσης με:

όπου S είναι το μήκος της δεύτερης μικρότερης διαγωνίου του και α το μήκος μιας πλευράς του. Η σχέση αυτή αποδείχνεται εύκολα αν σχεδιάσουμε το περιγεγραμμένο τετράγωνο (οι 4 από τις 8 πλευρές του οκταγώνου αγγίζουν τις 4 πλευρές του τετραγώνου), πάρουμε τα γωνιακά τρίγωνα  και (είναι ορθογώνια τρίγωνα με μικρές γωνίες 45°) και τα τοποθετήσουμε με τις ορθές γωνίες τους στραμμένες προς τα μέσα, σχηματίζοντας έτσι ένα τετράγωνο. Οι πλευρές αυτού του τετραγώνου είναι ίσες με αυτές του οκταγώνου.

Τα α και S συνδέονται με τη σχέση:

Μία άλλη απλή σχέση για το εμβαδό είναι

όπου d είναι η απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων πλευρών του κανονικού οκταγώνου.

Κατασκευή

Το κανονικό οκτάγωνο είναι δυνατό να κατασκευασθεί με κανόνα και διαβήτη.

Ορθογώνιες συντεταγμένες
Οι συντεταγμένες των κορυφών ενός κανονικού οκταγώνου το κέντρο του οποίου βρίσκεται στην αρχή των αξόνων και το οποίο έχει μήκος πλευράς 2, είναι:

 (±1, ±(1+√2)) 
 (±(1+√2), ±1).

Χρήσεις

Παράγωγα σχήματα

Πολύγωνα Petrie
Το κανονικό οκτάγωνο είναι το πολύγωνο Πέτρι για τα παρακάτω 12 ομοιομορφικά πολύτοπα, που παρατίθενται σε ορθογώνιες προβολές σε επίπεδα Coxeter A7, B4 και D5:

Δείτε επίσης
 Οκτάγραμμα
 Οκταγωνικός αριθμός
 Οκταγωνικό σπίτι
 Το Oktogon, μία μεγάλη διασταύρωση στη Βουδαπέστη
 Bumper pool
 Το Ρουμπ ελ Χιζμπ (γνωστό και ως «Αστέρι του Αλ Κουντς» ή Octa Star)
 Στρογγυλευμένο οκτάγωνο

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Οκταγωνικός υπολογιστής
Ορισμός και ιδιότητες του οκταγώνου Με διαδραστικά animation

Πολύγωνα