0.999⋯=limn→∞0.99⋯9⏟n=limn→∞∑k=1n910k=limn→∞(1−110n)=1−limn→∞110n=1.{\displaystyle0.999\cdots=\lim_{n\to\infty}0.\underbrace{99\cdots9}_{n}=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}{\frac{9}{10^{k}}}=\lim_{n\to\infty}\left(1-{\frac{1}{10^{n}}}\right)=1-\lim_{n\to\infty}{\frac{1}{10^{n}}}=1.}最後の等号(limn→∞110n=0{\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\tfrac{1}{10^{n}}}=0})は、実数の連続性の一つであるアルキメデスの性質を用いて証明される。
0.999…=1的表述，可以用极限的概念来阐释和证明：0.999…=limn→∞0.99…9⏟n=limn→∞∑k=1n910k=limn→∞(1−110n)=1−limn→∞110n=1.{\displaystyle0.999\ldots=\lim_{n\to\infty}0.\underbrace{99\ldots9}_{n}=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}{\frac{9}{10^{k}}}=\lim_{n\to\infty}\left(1\frac{1}{10^{n}}}\right)=1-\lim_{n\to\infty}{\frac{1}{10^{n}}}=1.\,}最后一个步骤—lim1/10n=0—通常由实数擁有阿基米德性質這一原理来證明。