このようなより厳密な取扱いをすることにより、通常の微分積分学や解析学における様々な定理が、函数解析学における（函数解析学に特有の新たな定理と並ぶ）相応の定理へと一般化される。
更正式的处理允许将普通微积分和数学分析的定理推广为泛函分析中对应的定理，以及大量的新定理。