互いに直交するベクトルからなる級数∑ukがHにおいて収束するための必要十分条件は、各項のノルムの平方からなる級数が収束し、かつ‖∑k=0∞uk‖2=∑k=0∞‖uk‖2{\displaystyle\left\|\sum_{k=0}^{\infty}u_{k}\right\|^{2}=\sum_{k=0}^{\infty}\|u_{k}\|^{2}}が満たされることである。
一列正交向量组成的级数∑uk在H中收敛当且仅当各项范数平方组成的级数收敛，且此时‖∑k=0∞uk‖2=∑k=0∞‖uk‖2.{\displaystyle\left\|\sum_{k=0}^{\infty}u_{k}\right\|^{2}=\sum_{k=0}^{\infty}\left\|u_{k}\right\|^{2}\,.}此外，正交向量的级数和与求和顺序无关。