実変数実数値の函数fの、実函数gに関するリーマン＝スティルチェス積分∫abfdg=∫abf(x)dg(x){\displaystyle\int_{a}^{b}f\,dg=\int_{a}^{b}f(x)\,dg(x)}は、有界閉区間の分割P={a=x0<x1<⋯<xn=b}{\displaystyleP=\{a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n}=b\}}の目（大きさ）(mesh)|P|を0に近づける極限での、リーマン（＝スティルチェス）和S(P,f,g)=∑i=0n−1f(ci)(g(xi+1)−g(xi))(ci∈){\displaystyleS(P,f,g)=\sum_{i=0}^{n-1}f(c_{i})(g(x_{i+1})-g(x_{i}))\quad(c_{i}\in)}の極限として定義される。
对一个在闭区间{\displaystyle}有定义的实值函数f{\displaystylef}，g{\displaystyleg}关于取样分割x0,…,xn{\displaystylex_{0},\ldots,x_{n}}、t0,…,tn−1{\displaystylet_{0},\ldots,t_{n-1}}的黎曼－斯蒂尔杰斯和定义为以下和式：S(P,f,g)=∑i=1nf(ti−1)(Δgi){\displaystyleS(P,f,g)=\sum_{i=1}^{n}f(t_{i-1})(\Deltag_{i})}和式中的Δgi{\displaystyle\Deltag_{i}}表示g(xi)−g(xi−1){\displaystyleg(x_{i})-g(x_{i-1})}，故∑i=1nΔgi=g(b)−g(a){\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\Deltag_{i}=g(b)-g(a)}。