このとき、Xに含まれるすべてのベクトルvおよびh（hは非ゼロとする）に対し、‖L(v+h)−Lv‖Y=‖Lh‖Y≤M‖h‖X{\displaystyle\|L(v+h)-Lv\|_{Y}=\|Lh\|_{Y}\leqM\|h\|_{X}}が成立する。
证明如下：设L是有界的，则对X内的所有向量v及h（其中的h不为零），会有‖L(v+h)−Lv‖=‖Lh‖≤M‖h‖{\displaystyle\|L(v+h)-Lv\|=\|Lh\|\leqM\|h\|\,}。