バーンズの示した通り、G(z+1)の対数はlog⁡G(z+1)=112−log⁡A+z2log⁡2π+(z22−112)log⁡z−3z24+∑k=1NB2k+24k(k+1)z2k+O(1z2N+2){\displaystyle{\begin{aligned}\logG(z+1)&={\frac{1}{12}}-\logA+{\frac{z}{2}}\log2\pi+\left({\frac{z^{2}}{2}}-{\frac{1}{12}}\right)\logz\\&\quad-{\frac{3z^{2}}{4}}+\sum_{k=1}^{N}{\frac{B_{2k+2}}{4k\left(k+1\right)z^{2k}}}~+~O\left({\frac{1}{z^{2N+2}}}\right)\end{aligned}}}と漸近展開される。
使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托（英语：GeorgeChrystal）（GeorgeChrystal）在其著作《代数论》（algebra）的第二卷中给出的：由对称性不妨设xn+1{\displaystylex_{n+1}}是x1,x2⋯xn+1{\displaystylex_{1},x_{2}\cdotsx_{n+1}}中最大的，由于An+1=nAn+xn+1n+1{\displaystyle\mathbf{A}_{n+1}={\frac{n\mathbf{A}_{n}+x_{n+1}}{n+1}}}，设xn+1=An+b{\displaystylex_{n+1}=\mathbf{A}_{n}+b}，则b≥0{\displaystyleb\geq0}，并且有An+1=An+bn+1{\displaystyle\mathbf{A}_{n+1}=\mathbf{A}_{n}+{\frac{b}{n+1}}}。