ベクトルvが零ベクトルでないならば、この関係よりinfx∈A⟨x,v⟩≥|v|2+supy∈B⟨y,v⟩{\displaystyle\inf_{x\inA}\langlex,v\rangle\geq|v|^{2}+\sup_{y\inB}\langley,v\rangle}を得て証明を終わる。
选择C{\displaystyleC}使得Cv=w¯{\displaystyleCv={\overline{w}}}，向量的元素是w{\displaystylew}的共轭复数，则AX+XB=C{\displaystyleAX+XB=C}没有解X{\displaystyleX}，因为复数的双线性pairing⟨(AX+XB)v,w⟩=⟨Cv,w⟩=⟨w¯,w⟩{\displaystyle\langle(AX+XB)v,w\rangle=\langleCv,w\rangle=\langle{\overline{w}},w\rangle}，等号的右边为正值，而左侧为零。