半径rのn次元球面の体積形式ωはω=1r∑j=1n+1(−1)j−1xjdx1∧⋯∧dxj−1∧dxj+1∧⋯∧dxn+1=∗dr{\displaystyle\omega={1\overr}\sum_{j=1}^{n+1}(-1)^{j-1}x_{j}\,dx_{1}\wedge\cdots\wedgedx_{j-1}\wedgedx_{j+1}\wedge\cdots\wedgedx_{n+1}=*\;dr}によって与えられる、ただし∗はホッジスター作用素である；r=1の場合のこの公式の証明と議論はFlanders(1989,§6.1)を見よ。
半径为r{\displaystyler}的n维球面的体积形式ω由下式给出：ω=1r∑j=1n+1(−1)j−1xjdx1∧⋯∧dxj−1∧dxj+1∧⋯∧dxn+1=∗dr{\displaystyle\omega={1\overr}\sum_{j=1}^{n+1}(-1)^{j-1}x_{j}\,dx_{1}\wedge\cdots\wedgedx_{j-1}\wedgedx_{j+1}\wedge\cdots\wedgedx_{n+1}=*dr}其中*是霍奇星算子（关于讨论和这个公式在r=1的情形下的证明，请参见Flanders(1989，§6.1)）。