すべてのnに対してfn≤gが成立するようなS上の可積分関数gが存在するなら、limsupn→∞∫Sfndμ≤∫Slimsupn→∞fndμ{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\int_{S}f_{n}\,d\mu\leq\int_{S}\limsup_{n\to\infty}f_{n}\,d\mu}が成立する。
如果存在一个在S上可积的正值函数g，使得对所有的n都有fn≤g{\displaystyle\scriptstylef_{n}\leqg}，那么∫Slimsupn→∞fndμ≥limsupn→∞∫Sfndμ.{\displaystyle\int_{S}\limsup_{n\to\infty}f_{n}\,d\mu\geq\limsup_{n\to\infty}\int_{S}f_{n}\,d\mu.}这里g{\displaystyle\scriptstyleg}只需弱可积，即∫Sgdμ<∞{\displaystyle\textstyle\int_{S}g\,d\mu<\infty}。