射影特殊線型群PSL(2,R)のHへの群作用は(abcd)⋅z=az+bcz+d=(ac|z|2+bd+(ad+bc)ℜ(z))+iℑ(z)|cz+d|2{\displaystyle{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}\cdotz={\frac{az+b}{cz+d}}={\frac{(ac|z|^{2}+bd+(ad+bc)\Re(z))+i\Im(z)}{|cz+d|^{2}}}}で定義される。
特殊线性群PSL(2,R)在H上的作用定义为(abcd)⋅z=az+bcz+d=(ac|z|2+bd+(ad+bc)ℜ(z))+iℑ(z)|cz+d|2.{\displaystyle\left({\begin{matrix}a&b\\c&d\\\end{matrix}}\right)\cdotz={\frac{az+b}{cz+d}}={(ac|z|^{2}+bd+(ad+bc)\Re(z))+i\Im(z)\over|cz+d|^{2}}.\,}注意到这个作用是传递的，从而任何对z1,z2∈H{\displaystylez_{1},z_{2}\in\mathbb{H}}，存在一个g∈PSL(2,R){\displaystyleg\in{\rm{PSL}}(2,\mathbb{R})}使得gz1=z2{\displaystylegz_{1}=z_{2}}。