特に、任意の2n-次交代行列は直交行列Qと行列Σ={\displaystyle\Sigma={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}0&\lambda_{1}\\-\lambda_{1}&0\end{matrix}}&0&\cdots&0\\0&{\begin{matrix}0&\lambda_{2}\\-\lambda_{2}&0\end{matrix}}&&0\\\vdots&&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&{\begin{matrix}0&\lambda_{r}\\-\lambda_{r}&0\end{matrix}}\\&&&&{\begin{matrix}0\\&\ddots\\&&0\end{matrix}}\end{bmatrix}}}（ただし、λkは実数）を用いてA=QΣQ⊤の形に書くことができる。
特别地，每一个2n×2n的实斜对称矩阵都可以写成A=QΣQT的形式，其中Q是正交矩阵，且：Σ={\displaystyle\Sigma={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}0&\lambda_{1}\\-\lambda_{1}&0\end{matrix}}&0&\cdots&0\\0&{\begin{matrix}0&\lambda_{2}\\-\lambda_{2}&0\end{matrix}}&&0\\\vdots&&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&{\begin{matrix}0&\lambda_{r}\\-\lambda_{r}&0\end{matrix}}\\&&&&{\begin{matrix}0\\&\ddots\\&&0\end{matrix}}\end{bmatrix}}}对于实数λk。