したがって、部分集合の上限は全集合よりも大きくなることは無いことから、次を得る:∫fdμ≥limk∫fkdμ.{\displaystyle\intf\,\mathrm{d}\mu\geq\lim_{k}\intf_{k}\,\mathrm{d}\mu.}関数列が単調であることから、この右辺の極限は存在する。
设{fk}k∈N{\displaystyle\{f_{k}\}_{k}\in\mathbb{N}}是一个非负可测函数的非递减序列，令f=supk∈Nfk{\displaystylef=\sup_{k\in\mathbb{N}}f_{k}}由积分的单调性可以立刻得出：∫fdμ≥limk∫fkdμ{\displaystyle\intfd\mu\geq\lim_{k}\intf_{k}d\mu}由于该系列是单调的，因此可以推出右侧的极限存在。