故にこの勾配の局所形は∇f=gik∂f∂xk∂∂xi{\displaystyle\nablaf=g^{ik}{\frac{\partialf}{\partialx^{k}}}{\frac{\partial}{\partialx^{i}}}}となる。
由定义可算流形上∇f{\displaystyle\nablaf}的局部座标表达式为：∇f=∑ikgik∂f∂xk∂∂xi{\displaystyle\nablaf=\sum_{ik}g^{ik}{\frac{\partialf}{\partialx^{k}}}{\frac{\partial}{\partialx^{i}}}}。