実2変数の実数値関数の対u(x,y),v(x,y)に関するコーシー・リーマンの方程式は次の2つの方程式である：(1a)∂u∂x=∂v∂y,(1b)∂u∂y=−∂v∂x.{\displaystyle{\begin{aligned}({\text{1a}})\qquad&{\frac{\partialu}{\partialx}}={\frac{\partialv}{\partialy}},\\({\text{1b}})\qquad&{\frac{\partialu}{\partialy}}=-{\frac{\partialv}{\partialx}}.\end{aligned}}}通常、uとvは複素1変数z=x+iyの複素数値関数のそれぞれ実部と虚部が取られる：f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)。
在一对实值函数u(x,y)和v(x,y)上的柯西-黎曼方程组包括两个方程：(1a)∂u∂x=∂v∂y{\displaystyle{\partialu\over\partialx}={\partialv\over\partialy}}和(1b)∂u∂y=−∂v∂x.{\displaystyle{\partialu\over\partialy}=\partialv\over\partialx}.}通常，u和v取为一个复函数的实部和虚部：f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)。