しかし、1950年代初期にアトル・セルバーグは、リーマン面の長さスペクトルとラプラス作用素の固有値の間の双対性を証明した。
而到1950年代初，阿特勒·塞尔伯格证明了黎曼曲面长度谱与其拉普拉斯算符特征值的对偶，被称为塞尔伯格迹公式。