一方で、カントールが頭を悩ませつづけた連続体仮説：「実数集合（自然数集合のベキ集合との間に全単射がある）は自然数集合の次に大きい集合であるか？」は、クルト・ゲーデルとポール・コーエンの業績によって（ZFCそれ自体が矛盾を含まない限り）ZFC公理系からは証明も反証もできないことがわかった。
而以下命题亦独立于ZFC：连续统假设（或称CH；哥德尔制造了一个CH为真的ZFC模型，继而证明了CH不能在ZFC中被证否；保罗·寇恩其后发明了力迫法去展示了一个CH为假的ZFC模型，证明了CH不能在ZFC中被证明；以下4条独立性结果亦是来自哥德尔/寇恩。