したがって、Xの任意のゼロでない元v{\displaystylev}に対し、‖Lv‖Y=‖‖v‖XδL(δv‖v‖X)‖Y=‖v‖Xδ‖L(δv‖v‖X)‖Y≤‖v‖Xδ⋅1=1δ‖v‖X{\displaystyle\|Lv\|_{Y}=\left\|{\|v\|_{X}\over\delta}L\left(\delta{v\over\|v\|_{X}}\right)\right\|_{Y}={\|v\|_{X}\over\delta}\left\|L\left(\delta{v\over\|v\|_{X}}\right)\right\|_{Y}\leq{\|v\|_{X}\over\delta}\cdot1={1\over\delta}\|v\|_{X}}が得られる。
因此，对所有'X内的非零向量v，会有‖Lv‖=‖‖v‖δL(δv‖v‖)‖=‖v‖δ‖L(δv‖v‖)‖≤‖v‖δ⋅1=1δ‖v‖.{\displaystyle\|Lv\|=\left\Vert{\|v\|\over\delta}L\left(\delta{v\over\|v\|}\right)\right\Vert={\|v\|\over\delta}\left\VertL\left(\delta{v\over\|v\|}\right)\right\Vert\leq{\|v\|\over\delta}\cdot1={1\over\delta}\|v\|.}这证明了L是有界的。