彼は多様体のアイデアを与えられた対象を新しい方向に変える直観的な過程によって動機付け、続くフォーマルな発展において座標系とチャートの役割を先見の明を持って記述した：Havingconstructedthenotionofamanifoldnessofndimensions,andfoundthatitstruecharacterconsistsinthepropertythatthedeterminationofpositioninitmaybereducedtondeterminationsofmagnitude,...–B.Riemannジェームズ・クラーク・マクスウェルのような物理学者と数学者グレゴリオ・リッチ＝クルバストロ(GregorioRicci-Curbastro)とトゥーリオ・レヴィ＝チヴィタ(TullioLevi-Civita)の仕事はテンソル解析の発展と内在的な幾何学的性質を座標変換で不変な性質と同一視する共変性（英語版）の概念に導いた。
他通过在一个新的方向上改变给定对象的直观过程激发了多方面的想法，并且预先描述了协调系统和图表在随后形式发展中的作用：在一个概念下的事例如果构成n维流形，一个流形的特色可以简单表示其属性，则化简的结果必然是有限个数字，……-波恩哈德·黎曼的就职演说《论作为几何学基础的假设》物理学家马克士威（JamesClerkMaxwell）和数学家库尔巴斯托罗（GregorioRicci-Curbastro）和齐维塔（TullioLevi-Civita）的成果导入了张量分析和广义协变性的概念，它将内在几何属性识别为关于协调变换的不变量。