自然数nに対し、Cn(X)をXの特異n-単体により形式的に生成される自由アーベル群とし、バウンダリ写像を次で定義する：∂n:Cn(X)→Cn−1(X):(σ:→X)↦(∂nσ=∑i=0n(−1)iσ().{\displaystyle\partial_{n}\colonC_{n}(X)\toC_{n-1}(X):\,(\sigma:\toX)\mapsto(\partial_{n}\sigma=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{i}\sigma().}ここに、記号ハット（"^"）はその頂点を省くことを表す。
定义Cn(X)（对于自然数n）为自由交换群由X中的奇异单纯形形式化的生成，并定义边界映射∂n:Cn(X)→Cn−1(X):(σ:→X)↦(∂nσ=∑i=0n(−1)iσ|),{\displaystyle\partial_{n}:C_{n}(X)\toC_{n-1}(X):\,(\sigma:\toX)\mapsto(\partial_{n}\sigma=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{i}\sigma|),}其中帽子表示省略一个顶点。