2002年にジェフリー・ラガリアス（英語版）は、リーマン予想が「不等式σ(n)≤Hn+ln⁡(Hn)eHn{\displaystyle\sigma(n)\leqH_{n}+\ln(H_{n})e^{H_{n}}}が任意の自然数nに対して成立し、かつn>1のときは真の（等号無しの）不等式として成立する」という主張に等価であることを示した。
另一个有关的上限在2002年由JeffreyLagarias提出，他证明了黎曼猜想等价于命题“对于任意自然数n{\displaystylen}，σ(n)≤Hn+ln⁡(Hn)eHn{\displaystyle\sigma(n)\leqH_{n}+\ln(H_{n})e^{H_{n}}}而Hn{\displaystyleH_{n}}为第n{\displaystylen}个调和数Hn:=1+12+…+1n{\displaystyleH_{n}:=1+{\frac{1}{2}}+\ldots+{\frac{1}{n}}}。