一つ目の式の証明はA∗x=0⟺⟨A∗x,y⟩=0(∀y∈H)⟺⟨x,Ay⟩=0(∀y∈H)⟺x⊥im⁡A{\displaystyle{\begin{aligned}A^{*}x=0&\iff\langleA^{*}x,y\rangle=0\quad(\forally\inH)\\&\iff\langlex,Ay\rangle=0\quad(\forally\inH)\\&\iffx{\mathrel{\bot}}\operatorname{im}A\end{aligned}}}で、二つの式は一つ目の式の両辺の直交補空間をとることでわかる。
第一个等式的证明：A∗x=0⟺⟨A∗x,y⟩=0∀y∈H⟺⟨x,Ay⟩=0∀y∈H⟺x⊥im⁡A{\displaystyle{\begin{aligned}A^{*}x=0&\iff\langleA^{*}x,y\rangle=0\quad\forally\inH\\&\iff\langlex,Ay\rangle=0\quad\forally\inH\\&\iffx\\bot\\operatorname{im}\A\end{aligned}}}第二个等式由第一个推出，于两边取正交空间即可。