したがって、AとBを二つのヒルベルト＝シュミット作用素としたとき、ヒルベルト＝シュミット内積（Hilbert-Schmidtinnerproduct）は次のように定義される：⟨A,B⟩HS=tr⁡(A∗B)=∑i⟨Aei,Bei⟩.{\displaystyle\langleA,B\rangle_{\mathrm{HS}}=\operatorname{tr}(A^{*}B)=\sum_{i}\langleAe_{i},Be_{i}\rangle.}ヒルベルト＝シュミット作用素は、H上の有界作用素のバナッハ環における両側*-イデアルを形成する。
两个希尔伯特-施密特算子的乘积有有限的迹类范数；因此，如果A和B是两个希尔伯特-施密特算子，希尔伯特-施密特内积可以如下定义⟨A,B⟩HS=Tr⁡(A∗B)=∑i⟨Aei,Bei⟩{\displaystyle\langleA,B\rangle_{\mathrm{HS}}=\operatorname{Tr}(A^{*}B)=\sum_{i}\langleAe_{i},Be_{i}\rangle}。