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MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO - Problema 2

#julioprofe explica cómo resolver un problema sobre #MovimientoRectilíneoUniformementeAcelerado : Un motociclista parte del reposo y con aceleración constante de 3 m/s² recorre un tramo recto de 150 m. ¿Cuál es su rapidez al final del camino y cuánto tiempo emplea en recorrerlo? REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Un motociclista, parte del reposo y con aceleración constante de 3 metros por segundo cuadrado, recorre un tramo recto de 150 metros. ¿Cuál es su rapidez al final del camino? ¿Y cuánto tiempo emplea en recorrerlo? Bien, tenemos en esta ocasión un problema sobre movimiento rectilíneo, uniformemente variado. Pero si leemos con atención, nos dice el enunciado que el motociclista presenta aceleración constante de 3 metros por segundo cuadrado. Entonces, como el movimiento rectilíneo uniformemente variado puede ser acelerado o desacelerado, en esta ocasión decimos que se trata de un movimiento acelerado. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Vamos a establecer cuáles son los datos de este problema. Nos dice el enunciado que el motociclista parte del reposo. Entonces tenemos velocidad inicial igual a cero. También nos dice que presenta una aceleración de 3 metros por segundo cuadrado. Como es un movimiento acelerado, entonces el valor de la aceleración es positivo. Recorre un tramo recto de 150 metros. Esa es la distancia recorrida. 150 metros. Nos preguntan cuál es su rapidez al final del camino, o sea, la velocidad final y cuánto tiempo emplea en recorrerlo. O sea que la otra pregunta es el tiempo T. Para un movimiento rectilíneo uniformemente variado, que puede ser acelerado o desacelerado, como decía, tenemos cuatro fórmulas. Vamos a escribirlas. La primera nos dice que la aceleración es igual a la velocidad final menos la velocidad inicial. Todo esto sobre el tiempo. La segunda fórmula dice que la distancia recorrida es igual a un medio de la aceleración por el tiempo al cuadrado más la velocidad inicial por el tiempo. La tercera fórmula nos dice que la velocidad final al cuadrado es igual a la velocidad inicial al cuadrado más dos veces la aceleración por la distancia recorrida. Y la cuarta expresión, o la cuarta fórmula, nos dice que la distancia recorrida es igual a la velocidad inicial más la velocidad final. Esto sobre 2 y todo esto multiplicado por el tiempo. Como podemos observar, todos los datos se encuentran en metros y segundos. Eso quiere decir que no tenemos necesidad de hacer ninguna conversión. Vamos a mirar entonces con la información que conocemos y con lo que nos piden cuál es la fórmula o fórmulas que nos conviene usar. Tenemos la velocidad inicial, la aceleración, la distancia y necesitamos la velocidad final. Si excluimos el tiempo, vemos que la fórmula que no contiene el tiempo es la número 3. Esta nos puede servir para encontrar la velocidad final. Vamos a escribir entonces esa fórmula reemplazando cada uno de los componentes. Comenzamos con la velocidad final, que la desconocemos, al cuadrado igual a la velocidad inicial, que es 0, al cuadrado, más 2 veces la aceleración que vale 3 por la distancia que es 150. Entonces, resolvemos estas operaciones. 0 al cuadrado nos da 0, entonces nos concentramos únicamente en esta operación. 2 por 3 es 6, 6 por 150 nos da 900 y para encontrar la velocidad final, entonces extraemos la raíz cuadrada de 900, que nos da como resultado 30. Y entonces le escribimos las unidades correspondientes a este dato. Como es una velocidad, las unidades son metros por segundo. Entonces, de esta manera tenemos la respuesta a la primera pregunta. La velocidad final del motociclista es 30 metros por segundo. Vamos a escribir ese resultado por acá. Velocidad final del motociclista, 30 metros por segundo. Y a continuación debemos encontrar el tiempo. Miramos entonces entre las fórmulas que tenemos que involucran el tiempo, es decir, la 1, la 2 y la 4. ¿Cuál es la más conveniente? Vamos a utilizar, por ejemplo, la número 4, donde realmente está sencillo despejar el tiempo T. Tenemos distancia que es 150 metros, igual a la velocidad inicial que es 0, más la velocidad final que nos dio 30, todo esto sobre 2. Protejemos con paréntesis y multiplicamos por el tiempo, que es el dato que tenemos que encontrar. Resolvemos lo que tenemos en el paréntesis. Veamos, 0 más 30 nos da 30. 30 sobre 2, o sea, 30 medios, equivale a 15. Y 15 está multiplicando por T. Para despejar T, entonces vamos a pasar el número 15 que está multiplicando al otro lado a dividir. Nos queda 150 dividido entre 15. Y resolviendo esa división, tenemos como resultado T igual a 10. El tiempo son 10 segundos. Recordemos escribir las unidades correspondientes al dato que estamos hallando. De esta manera encontramos la respuesta a la otra pregunta. El tiempo que tarda el motociclista en recorrer ese tramo de 150 metros es 10 segundos.

[{"start": 0.0, "end": 7.16, "text": " Un motociclista, parte del reposo y con aceleraci\u00f3n constante de 3 metros por segundo cuadrado,"}, {"start": 7.16, "end": 11.28, "text": " recorre un tramo recto de 150 metros."}, {"start": 11.28, "end": 14.44, "text": " \u00bfCu\u00e1l es su rapidez al final del camino?"}, {"start": 14.44, "end": 18.04, "text": " \u00bfY cu\u00e1nto tiempo emplea en recorrerlo?"}, {"start": 18.04, "end": 23.6, "text": " Bien, tenemos en esta ocasi\u00f3n un problema sobre movimiento rectil\u00edneo,"}, {"start": 23.6, "end": 25.72, "text": " uniformemente variado."}, {"start": 25.72, "end": 37.96, "text": " Pero si leemos con atenci\u00f3n, nos dice el enunciado que el motociclista presenta aceleraci\u00f3n constante de 3 metros por segundo cuadrado."}, {"start": 37.96, "end": 45.120000000000005, "text": " Entonces, como el movimiento rectil\u00edneo uniformemente variado puede ser acelerado o desacelerado,"}, {"start": 45.120000000000005, "end": 51.56, "text": " en esta ocasi\u00f3n decimos que se trata de un movimiento acelerado."}, {"start": 51.56, "end": 55.88, "text": " Movimiento rectil\u00edneo uniformemente acelerado."}, {"start": 55.88, "end": 60.84, "text": " Vamos a establecer cu\u00e1les son los datos de este problema."}, {"start": 60.84, "end": 65.96000000000001, "text": " Nos dice el enunciado que el motociclista parte del reposo."}, {"start": 65.96000000000001, "end": 70.44, "text": " Entonces tenemos velocidad inicial igual a cero."}, {"start": 70.44, "end": 78.48, "text": " Tambi\u00e9n nos dice que presenta una aceleraci\u00f3n de 3 metros por segundo cuadrado."}, {"start": 78.48, "end": 85.88000000000001, "text": " Como es un movimiento acelerado, entonces el valor de la aceleraci\u00f3n es positivo."}, {"start": 85.88000000000001, "end": 90.24000000000001, "text": " Recorre un tramo recto de 150 metros."}, {"start": 90.24000000000001, "end": 93.76, "text": " Esa es la distancia recorrida."}, {"start": 93.76, "end": 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MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO - Problema 1

#julioprofe explica cómo resolver un problema sobre #MovimientoRectilíneoUniformementeAcelerado : Un automóvil parte del reposo y acelera uniformemente hasta alcanzar una rapidez de 20 m/s en 4 s. Determinar su aceleración y la distancia recorrida. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Un automóvil parte del reposo y acelera uniformemente hasta alcanzar una rapidez de 20 metros por segundo en 4 segundos, determinar su aceleración y la distancia recorrida. Bien, tenemos en esta ocasión un problema sobre movimiento rectilíneo uniformemente variado, pero si leemos con atención el enunciado nos damos cuenta que aquí nos dice que el automóvil acelera de manera uniforme, entonces podemos precisar que se trata de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. A continuación vamos a determinar los datos que nos dan en el problema. Dice que el automóvil parte del reposo, eso quiere decir que la velocidad inicial es cero. También nos dice que alcanza una rapidez de 20 metros por segundo en 4 segundos, entonces tenemos la velocidad final que es 20 metros por segundo y eso ocurre en un tiempo de 4 segundos. Nos pregunta el problema, cuál es la aceleración del movimiento, entonces tenemos allí una de las preguntas y la distancia recorrida, esa es la otra pregunta. Para trabajar un movimiento rectilíneo uniformemente variado, bien sea del tipo acelerado o desacelerado, contamos con 4 fórmulas, vamos a escribirlas, la primera nos dice que la aceleración es igual a la velocidad final, menos la velocidad inicial y todo esto sobre el tiempo. La segunda nos dice que la distancia recorrida es igual a un medio de la aceleración por el tiempo al cuadrado, más la velocidad inicial por el tiempo. La tercera dice que la velocidad final al cuadrado es igual a la velocidad inicial al cuadrado, más dos veces la aceleración por la distancia recorrida. Y la cuarta fórmula dice que la distancia recorrida es igual a la velocidad inicial más la velocidad final, esto sobre 2 y todo esto multiplicado por el tiempo. Miramos entonces qué información conocemos y qué nos están pidiendo, por ejemplo si tenemos la velocidad inicial, la velocidad final, el tiempo y nos piden la aceleración, entonces podemos utilizar la primera fórmula, vamos a usarla para encontrar el valor de la aceleración. Tenemos entonces que A es igual a la velocidad final que es 20, ya la tenemos en metros por segundo, esto menos la velocidad inicial que es cero, todo esto sobre el tiempo que es 4 segundos, y procedemos a resolver esas operaciones. Hago una aclaración, si acá tenemos todo en metros y segundos, no tenemos que preocuparnos por reemplazar unidades en la fórmula, simplemente ingresamos las cantidades numéricas y cuando encontremos el valor de, en este caso, la aceleración, le escribimos las unidades correspondientes, entonces tenemos 20 menos cero que es 20 y eso dividido entre 4 nos da como resultado 5, las unidades para la aceleración son metros por segundo cuadrado, de esta manera encontramos la primera respuesta a este problema, la aceleración de ese automóvil es 5 metros por segundo cuadrado, vamos a escribir ese resultado por aquí, aceleración igual a 5 metros por segundo cuadrado, y vamos a buscar la manera de encontrar la distancia recorrida, miramos entonces cual de las fórmulas puede ser la más conveniente, fórmulas que contengan la distancia son la 2, la 3 y la 4, como podemos observar, entonces escogemos la que mejor nos parezca, vamos a utilizar por ejemplo la número 2, entonces decimos, distancia recorrida de, es igual a un medio de la aceleración que nos dio 5, eso por el tiempo al cuadrado, el tiempo es 4, 4 segundos, eso al cuadrado más la velocidad inicial que es cero, y eso multiplicado por el tiempo que es 4, entonces resolvemos esas operaciones, aquí tenemos que cero por cuatro nos da cero, entonces nos olvidamos de este componente, nos concentramos en esta operación, tenemos aquí 4 al cuadrado que es 16, 16 por 5 nos da 80 y 80 por un medio, que es lo mismo que tener 80 medios nos da como resultado 40, de esa manera encontramos la otra respuesta, la distancia recorrida por el automóvil es 40 metros.

[{"start": 0.0, "end": 10.32, "text": " Un autom\u00f3vil parte del reposo y acelera uniformemente hasta alcanzar una rapidez de 20 metros por segundo en 4 segundos,"}, {"start": 10.32, "end": 14.92, "text": " determinar su aceleraci\u00f3n y la distancia recorrida."}, {"start": 14.92, "end": 22.8, "text": " Bien, tenemos en esta ocasi\u00f3n un problema sobre movimiento rectil\u00edneo uniformemente variado,"}, {"start": 22.8, "end": 32.760000000000005, "text": " pero si leemos con atenci\u00f3n el enunciado nos damos cuenta que aqu\u00ed nos dice que el autom\u00f3vil acelera de manera uniforme,"}, {"start": 32.760000000000005, "end": 41.16, "text": " entonces podemos precisar que se trata de un movimiento rectil\u00edneo uniformemente acelerado."}, {"start": 41.16, "end": 46.72, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a determinar los datos que nos dan en el problema."}, {"start": 46.72, "end": 55.4, "text": " Dice que el autom\u00f3vil parte del reposo, eso quiere decir que la 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inicial, la velocidad final, el tiempo y nos piden la aceleraci\u00f3n,"}, {"start": 178.28, "end": 187.8, "text": " entonces podemos utilizar la primera f\u00f3rmula, vamos a usarla para encontrar el valor de la aceleraci\u00f3n."}, {"start": 187.8, "end": 197.32000000000002, "text": " Tenemos entonces que A es igual a la velocidad final que es 20, ya la tenemos en metros por segundo,"}, {"start": 197.32, "end": 206.84, "text": " esto menos la velocidad inicial que es cero, todo esto sobre el tiempo que es 4 segundos,"}, {"start": 206.84, "end": 211.07999999999998, "text": " y procedemos a resolver esas operaciones."}, {"start": 211.07999999999998, "end": 216.95999999999998, "text": " Hago una aclaraci\u00f3n, si ac\u00e1 tenemos todo en metros y segundos,"}, {"start": 216.95999999999998, "end": 222.35999999999999, "text": " no tenemos que preocuparnos por reemplazar unidades en la f\u00f3rmula,"}, {"start": 222.36, "end": 230.72000000000003, "text": " simplemente ingresamos las cantidades num\u00e9ricas y cuando encontremos el valor de, en este caso, la aceleraci\u00f3n,"}, {"start": 230.72000000000003, "end": 234.60000000000002, "text": " le escribimos las unidades correspondientes,"}, {"start": 234.60000000000002, "end": 242.52, "text": " entonces tenemos 20 menos cero que es 20 y eso dividido entre 4 nos da como resultado 5,"}, {"start": 242.52, "end": 248.20000000000002, "text": " las unidades para la aceleraci\u00f3n son metros por segundo cuadrado,"}, {"start": 248.2, "end": 253.79999999999998, "text": " de esta manera encontramos la primera respuesta a este problema,"}, {"start": 253.79999999999998, "end": 260.28, "text": " la aceleraci\u00f3n de ese autom\u00f3vil es 5 metros por segundo cuadrado,"}, {"start": 260.28, "end": 269.71999999999997, "text": " vamos a escribir ese resultado por aqu\u00ed, aceleraci\u00f3n igual a 5 metros por segundo cuadrado,"}, {"start": 269.71999999999997, "end": 275.15999999999997, "text": " y vamos a buscar la manera de encontrar la distancia recorrida,"}, {"start": 275.16, "end": 280.04, "text": " miramos entonces cual de las f\u00f3rmulas puede ser la m\u00e1s conveniente,"}, {"start": 280.04, "end": 286.92, "text": " f\u00f3rmulas que contengan la distancia son la 2, la 3 y la 4, como podemos observar,"}, {"start": 286.92, "end": 293.88, "text": " entonces escogemos la que mejor nos parezca, vamos a utilizar por ejemplo la n\u00famero 2,"}, {"start": 293.88, "end": 304.68, "text": " entonces decimos, distancia recorrida de, es igual a un medio de la aceleraci\u00f3n que nos dio 5,"}, {"start": 304.68, "end": 310.76, "text": " eso por el tiempo al cuadrado, el tiempo es 4, 4 segundos,"}, {"start": 310.76, "end": 316.6, "text": " eso al cuadrado m\u00e1s la velocidad inicial que es cero,"}, {"start": 316.6, "end": 321.08, "text": " y eso multiplicado por el tiempo que es 4,"}, {"start": 321.08, "end": 327.56, "text": " entonces resolvemos esas operaciones, aqu\u00ed tenemos que cero por cuatro nos da cero,"}, {"start": 327.56, "end": 333.96000000000004, "text": " entonces nos olvidamos de este componente, nos concentramos en esta operaci\u00f3n,"}, {"start": 333.96, "end": 342.84, "text": " tenemos aqu\u00ed 4 al cuadrado que es 16, 16 por 5 nos da 80 y 80 por un medio,"}, {"start": 342.84, "end": 348.59999999999997, "text": " que es lo mismo que tener 80 medios nos da como resultado 40,"}, {"start": 348.6, "end": 365.08000000000004, "text": " de esa manera encontramos la otra respuesta, la distancia recorrida por el autom\u00f3vil es 40 metros."}]

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INTEGRAL DEFINIDA - Ejercicio 21

#julioprofe explica cómo resolver una integral definida que contiene valor absoluto en el integrando y hace la comprobación gráfica. Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver esta integral que contiene un valor absoluto en el integrando. Para comenzar debemos deshacernos de estas barras, es decir del valor absoluto. Y para ello vamos a recordar la definición de ese concepto matemático. Si tenemos el valor absoluto de una cantidad A, esto es igual a la misma cantidad A si esta es mayor o igual que cero. O es igual a menos A si esa cantidad es menor que cero. Esta es la definición del valor absoluto. Entonces con base en esto vamos a ver cómo nos queda el valor absoluto de x menos 2. En este caso x menos 2 actúa como si fuera A. Entonces vamos a reemplazar x menos 2 en cada uno de estos lugares donde tenemos la letra A. Entonces aquí tenemos x menos 2, si A es decir x menos 2 es mayor o igual que cero. Y acá tenemos menos esta expresión, o sea x menos 2, que protegemos con paréntesis, si x menos 2 es menor que cero. Repito siguiendo la definición del valor absoluto. A su vez esto nos va a quedar así. Valor absoluto de x menos 2 es igual a x menos 2, eso queda igual si x es mayor o igual que 2. Pasamos este número que está restando al otro lado a sumar con cero y por eso nos queda 2. Y acá vamos a romper el paréntesis, vamos a distribuir el signo negativo. Eso nos quedaría menos x más 2. Y la condición es si x es menor que 2. De igual forma pasamos este número que está restando al otro lado a sumar con cero y por eso nos queda 2. Como se observa el valor absoluto de x menos 2 pierde sus barras, estas dos barras verticales, tal como se observa aquí, dependiendo de si se trata de valores de x mayores o iguales que 2, o valores de x menores que 2. Como en este caso tenemos una integral que va desde menos 1 hasta 7, entonces lo que hacemos es una parada en 2. Entonces vamos a reescribir la integral de la siguiente manera. Vamos primero desde menos 1 hasta 2, como decíamos nos detenemos en 2 porque es el valor que condiciona la expresión del valor absoluto. Entonces desde menos 1 hasta 2 estamos hablando de valores menores que 2. En ese caso el valor absoluto de x menos 2 es igual a menos x más 2 porque tenemos que allí x es menor que 2. Entonces repetimos de menos 1 hasta 2 tenemos valores menores que 2 por lo tanto el valor absoluto se convierte en menos x más 2. Y no podemos olvidar el menos 3, el menos 3 está por fuera del valor absoluto, lo que cambia es únicamente esta expresión que se convierte en menos x más 2. Protejemos con paréntesis y escribimos el diferencial de x. Ahora a esto le sumamos la otra integral que va desde 2 hasta 7. Entonces como decíamos si vamos desde menos 1 hasta 7 hacemos el pare en 2 y de esa manera conformamos 2 integrales. Ahora si vamos desde 2 hasta 7 son valores de x mayores o iguales que 2. En ese caso el valor absoluto de x menos 2 será igual a x menos 2. Entonces lo escribimos, también escribimos el menos 3, protejemos con paréntesis y escribimos el diferencial de x. Como podemos observar ya hemos logrado deshacernos de las barras del valor absoluto y todo esto apoyándonos en la definición del valor absoluto. En seguida lo que vamos a hacer es resolver cada una de estas integrales definidas. Pero primero vamos a organizar los integrandos. Vamos con la primera integral que va desde menos 1 hasta 2, abrimos paréntesis, allí nos queda menos x y operamos estos dos números. 2 menos 3 nos da menos 1, cerramos paréntesis, escribimos el diferencial de x y a esto le sumamos la integral que va desde 2 hasta 7 y acá tendremos x menos 5 operando estos dos números. Cerramos paréntesis y escribimos el diferencial de x. Llega el momento de integrar cada una de esas expresiones. Vamos entonces con esto que tenemos acá, la integral de menos x será menos x al cuadrado sobre 2 y esto menos la integral de 1 que es x. Como tenemos una integral definida entonces vamos a evaluar desde menos 1 hasta 2. Pasamos a la siguiente integral. Integral de x es x al cuadrado sobre 2 y esto menos la integral de 5 que es 5x. De igual forma vamos a evaluar en los límites de integración que son 2 y 7. Aplicamos ahora el teorema fundamental del cálculo. Recordemos que primero se evalúa el límite superior y después el límite inferior. Vamos a reemplazar entonces en este caso el número 2. Tendremos menos 2 al cuadrado sobre 2 y esto menos 2. Es mejor proteger esto con corchete y allí tenemos esta expresión evaluada en el límite superior. A eso le vamos a restar la misma expresión evaluada en el límite inferior. Entonces tenemos menos entre paréntesis menos 1 al cuadrado todo esto sobre 2 y esto menos menos 1. Como se observa es recomendable proteger con paréntesis cada uno de los números que ingresan a la expresión. Ahora esto lo vamos a sumar con la expresión que tenemos acá evaluada. Primero en 7 entonces protegemos con corchete. Tenemos 7 al cuadrado sobre 2 menos 5 por 7. Cerramos el corchete y esto menos vamos a continuar por acá más abajo la misma expresión protegida con corchete. Esto ahora evaluada en 2. Entonces tendremos 2 al cuadrado todo esto sobre 2 menos 5 por x o sea por 2. Entonces menos 5 por 2 y cerramos el corchete. A continuación vamos a resolver cada una de estas operaciones. Esta es la parte donde la aritmética juega su papel y debemos tener especial cuidado con desarrollar estas operaciones. Entonces vamos con lo que tenemos en el primer corchete. Aquí tenemos 2 al cuadrado 4 y 4 sobre 2 es 2 pero acompañado del signo negativo nos queda menos 2. Aquí tendremos otra vez menos 2. Cerramos el corchete todo esto menos vamos a esta expresión. Menos 1 al cuadrado nos da 1 positivo. Recordemos que una cantidad negativa elevada a un exponente par nos da resultado positivo. Entonces menos 1 al cuadrado es 1. Un medio queda acompañado del signo menos. Entonces menos un medio y acá aplicamos ley de los signos menos por menos nos da más. Entonces tenemos más 1. Cerramos el corchete. Ahora tenemos más por acá 7 al cuadrado que es 49 sobre 2 menos 5 por 7 que es 35. Cerramos el corchete y ahora menos vamos a esta expresión 2 al cuadrado es 4. 4 sobre 2 nos da 2 y esto menos 5 por 2 que es 10 y cerramos el corchete. Continuamos ahora resolviendo las operaciones que tenemos dentro de los corchetes. Por acá tenemos menos 2 menos 2 que es menos 4. Esto menos vamos al otro corchete menos un medio más 1. Podemos cambiar este número 1 por la fracción 2 medios. De tal forma que nos quede una suma de fracciones de igual denominador. En ese caso conservamos el denominador y efectuamos la suma de los numeradores. Tenemos menos 1 más 2 que es igual a 1. Entonces eso nos da un medio más. Vamos al otro corchete. De igual forma aquí podemos cambiar 35 por la fracción 70 medios. 70 medios es lo mismo que 35 y tenemos allí otra vez una resta de fracciones de igual denominador. Entonces se conserva ese número y efectuamos la resta de los numeradores. 49 menos 70 nos da como resultado menos 21. Cerramos el corchete y por acá tenemos que 2 menos 10 es menos 8. Cerramos el corchete. Ahora vamos a romper cada uno de esos signos de agrupación. Es decir los corchetes. En el primero sale menos 4. En el segundo nos queda menos un medio. Acá nos va a quedar menos 21 medios y por acá nos va a quedar más 8. Aplicamos ley de los signos y por eso nos da positivo. Aquí vamos a efectuar primero la operación con los fraccionarios. Menos un medio menos 21 medios nos da lo siguiente. Vamos a escribir eso por acá. Entonces dejamos el mismo denominador que es 2 porque son fracciones homogéneas y efectuamos la operación de los numeradores. Tenemos menos uno menos 21 que nos da menos 22 y simplificando esto nos da como resultado menos 11. Entonces esta operación nos queda menos 4 menos 11 y esto más 8. Finalmente tenemos que el resultado de esta operación es menos 7 y constituye la respuesta para este ejercicio. El valor de esta integral definida es menos 7. Podemos comprobar la validez de esto que acabamos de obtener en el plano cartesiano. Es decir gráficamente. Entonces vamos a trazar un plano cartesiano y vamos a localizar allí la gráfica de la función valor absoluto de x. Bien aquí podemos observar entonces el plano cartesiano y esta gráfica en color verde que corresponde a la función valor absoluto de x. Entonces vamos a escribir su nombre valor absoluto de x que es la función primitiva a partir de la cual vamos a obtener la gráfica de esta que tenemos en el integrando. Ahora vamos a graficar valor absoluto de x menos 2. Tenemos que a la letra x se le han restado dos unidades. Eso ocasiona que la gráfica primitiva se corra hacia la derecha dos unidades. Entonces por ejemplo este punto lo tendremos ahora por acá. Si seleccionamos otro punto por ejemplo este que tenemos aquí entonces lo desplazamos a la derecha dos unidades. Ahora lo tendremos exactamente allí. Y si por ejemplo tenemos este punto lo corremos a la derecha dos unidades y lo tendremos exactamente aquí. Entonces con estos tres puntos dibujamos ahora la gráfica de valor absoluto de x menos 2. Bien allí podemos observarla. Esta que tenemos en color azul es la gráfica de la función valor absoluto de x menos 2. Repetimos es la gráfica primitiva valor absoluto de x desplazada hacia la derecha dos unidades. Finalmente tenemos que desplazar la gráfica de valor absoluto de x menos 2 tres unidades hacia abajo. Como tenemos el menos tres por fuera de la expresión valor absoluto entonces ocasiona que esta gráfica azul se desplace hacia abajo tres unidades. Entonces vamos a desplazar los puntos que habíamos señalado ahora por ejemplo este entonces uno, dos y tres unidades nos queda aquí. Este otro punto al bajar tres unidades nos queda por acá al nivel de menos tres y este otro punto al bajarlo tres unidades nos queda por aquí. Entonces con estos puntos dibujamos la gráfica definitiva. Bien allí podemos observarla. Esta gráfica de color rojo corresponde a la función que tenemos en el integrando valor absoluto de x menos 2 y todo esto menos tres. Entonces recordemos la secuencia la gráfica original o la gráfica patrón que es valor absoluto de x se corre primero a la derecha dos unidades y después desciende tres unidades. Así logramos obtener la gráfica de esta función. Vamos ahora a borrar los nombres de las gráficas verde y azul y vamos a extender esta gráfica un poco más. Bien ahora vamos a establecer los límites de integración. Tenemos que considerar en esta gráfica roja lo que sucede entre menos uno que es el corte con el eje x y el valor siete. Entonces vamos a trazar por aquí una línea vertical. Bien aquí la podemos observar y recordemos que el concepto de la integral definida de una función hace referencia al área bajo la curva. En este caso vemos que la función valor absoluto de x menos 2 menos 3 o sea la gráfica de color rojo limita unas áreas o unas zonas con el eje x y los valores que tenemos en los límites de integración. Se trata de este triángulo que vamos a rayar toda esta figura que está por debajo del eje x y esta otra figura otro triángulo que se encuentra por encima del eje x. Ahora utilizando los conocimientos de geometría vamos a encontrar el área de estas dos figuras o sea el área de esos dos triángulos. Recordemos que la fórmula dice que eso es igual a base por altura sobre dos. La fórmula para encontrar el área de un triángulo. Vamos con el primero. Tenemos que el área es igual a la base que es la distancia que va desde menos uno hasta cinco o sea seis unidades multiplicado por la altura que es la distancia que hay entre este punto y este. O sea tres unidades y todo esto sobre dos. Resolviendo esta operación tenemos 6 por 3 es 18. 18 sobre 2 es igual a 9. Geométricamente decimos que el área de este triángulo es nueve unidades cuadradas. Pero como es una figura que está por debajo del eje x entonces se considera negativa. Entonces escribimos su valor que es menos nueve. Ahora vamos a encontrar el área de este triángulo. Decimos entonces área igual a la base que es la distancia que hay entre cinco y siete o sea dos unidades. Eso multiplicado por la altura que es este segmento y que también mide dos unidades y todo esto sobre dos. Entonces tenemos dos por dos cuatro. Cuatro sobre dos es dos. Geométricamente el área de este triángulo es dos unidades cuadradas. Pero como se trata de una figura que está por encima del eje x entonces decimos que su área es más dos. Finalmente como lo que nos pide el ejercicio es la integral definida de esta función la que tenemos en color rojo desde menos uno hasta siete. Es decir desde este valor hasta este. Lo que hacemos es un barrido de las áreas que encontramos. En este caso el triángulo que tenemos por debajo del eje x con área menos nueve más el triángulo que tenemos por encima del eje x con área dos. Y la operación de estos números nos da como resultado menos siete que fue el valor que obtuvimos analíticamente. De esta manera queda resuelto este ejercicio y como hemos visto se puede comprobar gráficamente utilizando el concepto de integral definida como área bajo la curva.

[{"start": 0.0, "end": 6.62, "text": " Vamos a resolver esta integral que contiene un valor absoluto en el integrando."}, {"start": 6.62, "end": 13.620000000000001, "text": " Para comenzar debemos deshacernos de estas barras, es decir del valor absoluto."}, {"start": 13.620000000000001, "end": 19.22, "text": " Y para ello vamos a recordar la definici\u00f3n de ese concepto matem\u00e1tico."}, {"start": 19.22, "end": 23.18, "text": " Si tenemos el valor absoluto de una cantidad A,"}, {"start": 23.18, "end": 31.240000000000002, "text": " esto es igual a la misma cantidad A si esta es mayor o igual que cero."}, {"start": 31.240000000000002, "end": 38.26, "text": " O es igual a menos A si esa cantidad es menor que cero."}, {"start": 38.26, "end": 43.260000000000005, "text": " Esta es la definici\u00f3n del valor absoluto."}, {"start": 43.260000000000005, "end": 53.06, "text": " Entonces con base en esto vamos a ver c\u00f3mo nos queda el valor absoluto de x menos 2."}, {"start": 53.06, "end": 58.06, "text": " En este caso x menos 2 act\u00faa como si fuera A."}, {"start": 58.06, "end": 66.06, "text": " Entonces vamos a reemplazar x menos 2 en cada uno de estos lugares donde tenemos la letra A."}, {"start": 66.06, "end": 78.06, "text": " Entonces aqu\u00ed tenemos x menos 2, si A es decir x menos 2 es mayor o igual que cero."}, {"start": 78.06, "end": 87.06, "text": " Y ac\u00e1 tenemos menos esta expresi\u00f3n, o sea x menos 2, que protegemos con par\u00e9ntesis,"}, {"start": 87.06, "end": 92.06, "text": " si x menos 2 es menor que cero."}, {"start": 92.06, "end": 97.06, "text": " Repito siguiendo la definici\u00f3n del valor absoluto."}, {"start": 97.06, "end": 100.06, "text": " A su vez esto nos va a quedar as\u00ed."}, {"start": 100.06, "end": 114.06, "text": " Valor absoluto de x menos 2 es igual a x menos 2, eso queda igual si x es mayor o igual que 2."}, {"start": 114.06, "end": 121.06, "text": " Pasamos este n\u00famero que est\u00e1 restando al otro lado a sumar con cero y por eso nos queda 2."}, {"start": 121.06, "end": 128.06, "text": " Y ac\u00e1 vamos a romper el par\u00e9ntesis, vamos a distribuir el signo negativo."}, {"start": 128.06, "end": 133.06, "text": " Eso nos quedar\u00eda menos x m\u00e1s 2."}, {"start": 133.06, "end": 139.06, "text": " Y la condici\u00f3n es si x es menor que 2."}, {"start": 139.06, "end": 147.06, "text": " De igual forma pasamos este n\u00famero que est\u00e1 restando al otro lado a sumar con cero y por eso nos queda 2."}, {"start": 147.06, "end": 155.06, "text": " Como se observa el valor absoluto de x menos 2 pierde sus barras, estas dos barras verticales,"}, {"start": 155.06, "end": 165.06, "text": " tal como se observa aqu\u00ed, dependiendo de si se trata de valores de x mayores o iguales que 2, o valores de x menores que 2."}, {"start": 165.06, "end": 175.06, "text": " Como en este caso tenemos una integral que va desde menos 1 hasta 7, entonces lo que hacemos es una parada en 2."}, {"start": 175.06, "end": 180.06, "text": " Entonces vamos a reescribir la integral de la siguiente manera."}, {"start": 180.06, "end": 192.06, "text": " Vamos primero desde menos 1 hasta 2, como dec\u00edamos nos detenemos en 2 porque es el valor que condiciona la expresi\u00f3n del valor absoluto."}, {"start": 192.06, "end": 198.06, "text": " Entonces desde menos 1 hasta 2 estamos hablando de valores menores que 2."}, {"start": 198.06, "end": 208.06, "text": " En ese caso el valor absoluto de x menos 2 es igual a menos x m\u00e1s 2 porque tenemos que all\u00ed x es menor que 2."}, {"start": 208.06, "end": 219.06, "text": " Entonces repetimos de menos 1 hasta 2 tenemos valores menores que 2 por lo tanto el valor absoluto se convierte en menos x m\u00e1s 2."}, {"start": 219.06, "end": 231.06, "text": " Y no podemos olvidar el menos 3, el menos 3 est\u00e1 por fuera del valor absoluto, lo que cambia es \u00fanicamente esta expresi\u00f3n que se convierte en menos x m\u00e1s 2."}, {"start": 231.06, "end": 245.06, "text": " Protejemos con par\u00e9ntesis y escribimos el diferencial de x. Ahora a esto le sumamos la otra integral que va desde 2 hasta 7."}, {"start": 245.06, "end": 255.06, "text": " Entonces como dec\u00edamos si vamos desde menos 1 hasta 7 hacemos el pare en 2 y de esa manera conformamos 2 integrales."}, {"start": 255.06, "end": 267.06, "text": " Ahora si vamos desde 2 hasta 7 son valores de x mayores o iguales que 2. En ese caso el valor absoluto de x menos 2 ser\u00e1 igual a x menos 2."}, {"start": 267.06, "end": 277.06, "text": " Entonces lo escribimos, tambi\u00e9n escribimos el menos 3, protejemos con par\u00e9ntesis y escribimos el diferencial de x."}, {"start": 277.06, "end": 291.06, "text": " Como podemos observar ya hemos logrado deshacernos de las barras del valor absoluto y todo esto apoy\u00e1ndonos en la definici\u00f3n del valor absoluto."}, {"start": 291.06, "end": 298.06, "text": " En seguida lo que vamos a hacer es resolver cada una de estas integrales definidas."}, {"start": 298.06, "end": 313.06, "text": " Pero primero vamos a organizar los integrandos. Vamos con la primera integral que va desde menos 1 hasta 2, abrimos par\u00e9ntesis, all\u00ed nos queda menos x y operamos estos dos n\u00fameros."}, {"start": 313.06, "end": 332.06, "text": " 2 menos 3 nos da menos 1, cerramos par\u00e9ntesis, escribimos el diferencial de x y a esto le sumamos la integral que va desde 2 hasta 7 y ac\u00e1 tendremos x menos 5 operando estos dos n\u00fameros."}, {"start": 332.06, "end": 337.06, "text": " Cerramos par\u00e9ntesis y escribimos el diferencial de x."}, {"start": 337.06, "end": 356.06, "text": " Llega el momento de integrar cada una de esas expresiones. Vamos entonces con esto que tenemos ac\u00e1, la integral de menos x ser\u00e1 menos x al cuadrado sobre 2 y esto menos la integral de 1 que es x."}, {"start": 356.06, "end": 367.06, "text": " Como tenemos una integral definida entonces vamos a evaluar desde menos 1 hasta 2. Pasamos a la siguiente integral."}, {"start": 367.06, "end": 377.06, "text": " Integral de x es x al cuadrado sobre 2 y esto menos la integral de 5 que es 5x."}, {"start": 377.06, "end": 385.06, "text": " De igual forma vamos a evaluar en los l\u00edmites de integraci\u00f3n que son 2 y 7."}, {"start": 385.06, "end": 395.06, "text": " Aplicamos ahora el teorema fundamental del c\u00e1lculo. Recordemos que primero se eval\u00faa el l\u00edmite superior y despu\u00e9s el l\u00edmite inferior."}, {"start": 395.06, "end": 406.06, "text": " Vamos a reemplazar entonces en este caso el n\u00famero 2. Tendremos menos 2 al cuadrado sobre 2 y esto menos 2."}, {"start": 406.06, "end": 421.06, "text": " Es mejor proteger esto con corchete y all\u00ed tenemos esta expresi\u00f3n evaluada en el l\u00edmite superior. A eso le vamos a restar la misma expresi\u00f3n evaluada en el l\u00edmite inferior."}, {"start": 421.06, "end": 431.06, "text": " Entonces tenemos menos entre par\u00e9ntesis menos 1 al cuadrado todo esto sobre 2 y esto menos menos 1."}, {"start": 431.06, "end": 441.06, "text": " Como se observa es recomendable proteger con par\u00e9ntesis cada uno de los n\u00fameros que ingresan a la expresi\u00f3n."}, {"start": 441.06, "end": 451.06, "text": " Ahora esto lo vamos a sumar con la expresi\u00f3n que tenemos ac\u00e1 evaluada. Primero en 7 entonces protegemos con corchete."}, {"start": 451.06, "end": 471.06, "text": " Tenemos 7 al cuadrado sobre 2 menos 5 por 7. Cerramos el corchete y esto menos vamos a continuar por ac\u00e1 m\u00e1s abajo la misma expresi\u00f3n protegida con corchete."}, {"start": 471.06, "end": 482.06, "text": " Esto ahora evaluada en 2. Entonces tendremos 2 al cuadrado todo esto sobre 2 menos 5 por x o sea por 2."}, {"start": 482.06, "end": 492.06, "text": " Entonces menos 5 por 2 y cerramos el corchete. A continuaci\u00f3n vamos a resolver cada una de estas operaciones."}, {"start": 492.06, "end": 502.06, "text": " Esta es la parte donde la aritm\u00e9tica juega su papel y debemos tener especial cuidado con desarrollar estas operaciones."}, {"start": 502.06, "end": 514.06, "text": " Entonces vamos con lo que tenemos en el primer corchete. Aqu\u00ed tenemos 2 al cuadrado 4 y 4 sobre 2 es 2 pero acompa\u00f1ado del signo negativo nos queda menos 2."}, {"start": 514.06, "end": 522.06, "text": " Aqu\u00ed tendremos otra vez menos 2. Cerramos el corchete todo esto menos vamos a esta expresi\u00f3n."}, {"start": 522.06, "end": 532.06, "text": " Menos 1 al cuadrado nos da 1 positivo. Recordemos que una cantidad negativa elevada a un exponente par nos da resultado positivo."}, {"start": 532.06, "end": 538.06, "text": " Entonces menos 1 al cuadrado es 1. Un medio queda acompa\u00f1ado del signo menos."}, {"start": 538.06, "end": 547.06, "text": " Entonces menos un medio y ac\u00e1 aplicamos ley de los signos menos por menos nos da m\u00e1s. Entonces tenemos m\u00e1s 1."}, {"start": 547.06, "end": 562.06, "text": " Cerramos el corchete. Ahora tenemos m\u00e1s por ac\u00e1 7 al cuadrado que es 49 sobre 2 menos 5 por 7 que es 35."}, {"start": 562.06, "end": 582.06, "text": " Cerramos el corchete y ahora menos vamos a esta expresi\u00f3n 2 al cuadrado es 4. 4 sobre 2 nos da 2 y esto menos 5 por 2 que es 10 y cerramos el corchete."}, {"start": 582.06, "end": 593.06, "text": " Continuamos ahora resolviendo las operaciones que tenemos dentro de los corchetes. Por ac\u00e1 tenemos menos 2 menos 2 que es menos 4."}, {"start": 593.06, "end": 603.06, "text": " Esto menos vamos al otro corchete menos un medio m\u00e1s 1. Podemos cambiar este n\u00famero 1 por la fracci\u00f3n 2 medios."}, {"start": 603.06, "end": 615.06, "text": " De tal forma que nos quede una suma de fracciones de igual denominador. En ese caso conservamos el denominador y efectuamos la suma de los numeradores."}, {"start": 615.06, "end": 624.06, "text": " Tenemos menos 1 m\u00e1s 2 que es igual a 1. Entonces eso nos da un medio m\u00e1s. Vamos al otro corchete."}, {"start": 624.06, "end": 640.06, "text": " De igual forma aqu\u00ed podemos cambiar 35 por la fracci\u00f3n 70 medios. 70 medios es lo mismo que 35 y tenemos all\u00ed otra vez una resta de fracciones de igual denominador."}, {"start": 640.06, "end": 651.06, "text": " Entonces se conserva ese n\u00famero y efectuamos la resta de los numeradores. 49 menos 70 nos da como resultado menos 21."}, {"start": 651.06, "end": 661.06, "text": " Cerramos el corchete y por ac\u00e1 tenemos que 2 menos 10 es menos 8. Cerramos el corchete."}, {"start": 661.06, "end": 674.06, "text": " Ahora vamos a romper cada uno de esos signos de agrupaci\u00f3n. Es decir los corchetes. En el primero sale menos 4. En el segundo nos queda menos un medio."}, {"start": 674.06, "end": 686.06, "text": " Ac\u00e1 nos va a quedar menos 21 medios y por ac\u00e1 nos va a quedar m\u00e1s 8. Aplicamos ley de los signos y por eso nos da positivo."}, {"start": 686.06, "end": 696.06, "text": " Aqu\u00ed vamos a efectuar primero la operaci\u00f3n con los fraccionarios. Menos un medio menos 21 medios nos da lo siguiente."}, {"start": 696.06, "end": 709.06, "text": " Vamos a escribir eso por ac\u00e1. Entonces dejamos el mismo denominador que es 2 porque son fracciones homog\u00e9neas y efectuamos la operaci\u00f3n de los numeradores."}, {"start": 709.06, "end": 718.06, "text": " Tenemos menos uno menos 21 que nos da menos 22 y simplificando esto nos da como resultado menos 11."}, {"start": 718.06, "end": 728.06, "text": " Entonces esta operaci\u00f3n nos queda menos 4 menos 11 y esto m\u00e1s 8."}, {"start": 728.06, "end": 739.06, "text": " Finalmente tenemos que el resultado de esta operaci\u00f3n es menos 7 y constituye la respuesta para este ejercicio."}, {"start": 739.06, "end": 751.06, "text": " El valor de esta integral definida es menos 7. Podemos comprobar la validez de esto que acabamos de obtener en el plano cartesiano."}, {"start": 751.06, "end": 764.06, "text": " Es decir gr\u00e1ficamente. Entonces vamos a trazar un plano cartesiano y vamos a localizar all\u00ed la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n valor absoluto de x."}, {"start": 764.06, "end": 776.06, "text": " Bien aqu\u00ed podemos observar entonces el plano cartesiano y esta gr\u00e1fica en color verde que corresponde a la funci\u00f3n valor absoluto de x."}, {"start": 776.06, "end": 790.06, "text": " Entonces vamos a escribir su nombre valor absoluto de x que es la funci\u00f3n primitiva a partir de la cual vamos a obtener la gr\u00e1fica de esta que tenemos en el integrando."}, {"start": 790.06, "end": 800.06, "text": " Ahora vamos a graficar valor absoluto de x menos 2. Tenemos que a la letra x se le han restado dos unidades."}, {"start": 800.06, "end": 813.06, "text": " Eso ocasiona que la gr\u00e1fica primitiva se corra hacia la derecha dos unidades. Entonces por ejemplo este punto lo tendremos ahora por ac\u00e1."}, {"start": 813.06, "end": 821.06, "text": " Si seleccionamos otro punto por ejemplo este que tenemos aqu\u00ed entonces lo desplazamos a la derecha dos unidades."}, {"start": 821.06, "end": 833.06, "text": " Ahora lo tendremos exactamente all\u00ed. Y si por ejemplo tenemos este punto lo corremos a la derecha dos unidades y lo tendremos exactamente aqu\u00ed."}, {"start": 833.06, "end": 841.06, "text": " Entonces con estos tres puntos dibujamos ahora la gr\u00e1fica de valor absoluto de x menos 2."}, {"start": 841.06, "end": 853.06, "text": " Bien all\u00ed podemos observarla. Esta que tenemos en color azul es la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n valor absoluto de x menos 2."}, {"start": 853.06, "end": 862.06, "text": " Repetimos es la gr\u00e1fica primitiva valor absoluto de x desplazada hacia la derecha dos unidades."}, {"start": 862.06, "end": 871.06, "text": " Finalmente tenemos que desplazar la gr\u00e1fica de valor absoluto de x menos 2 tres unidades hacia abajo."}, {"start": 871.06, "end": 883.06, "text": " Como tenemos el menos tres por fuera de la expresi\u00f3n valor absoluto entonces ocasiona que esta gr\u00e1fica azul se desplace hacia abajo tres unidades."}, {"start": 883.06, "end": 893.06, "text": " Entonces vamos a desplazar los puntos que hab\u00edamos se\u00f1alado ahora por ejemplo este entonces uno, dos y tres unidades nos queda aqu\u00ed."}, {"start": 893.06, "end": 905.06, "text": " Este otro punto al bajar tres unidades nos queda por ac\u00e1 al nivel de menos tres y este otro punto al bajarlo tres unidades nos queda por aqu\u00ed."}, {"start": 905.06, "end": 913.06, "text": " Entonces con estos puntos dibujamos la gr\u00e1fica definitiva. Bien all\u00ed podemos observarla."}, {"start": 913.06, "end": 925.06, "text": " Esta gr\u00e1fica de color rojo corresponde a la funci\u00f3n que tenemos en el integrando valor absoluto de x menos 2 y todo esto menos tres."}, {"start": 925.06, "end": 939.06, "text": " Entonces recordemos la secuencia la gr\u00e1fica original o la gr\u00e1fica patr\u00f3n que es valor absoluto de x se corre primero a la derecha dos unidades y despu\u00e9s desciende tres unidades."}, {"start": 939.06, "end": 944.06, "text": " As\u00ed logramos obtener la gr\u00e1fica de esta funci\u00f3n."}, {"start": 944.06, "end": 955.06, "text": " Vamos ahora a borrar los nombres de las gr\u00e1ficas verde y azul y vamos a extender esta gr\u00e1fica un poco m\u00e1s."}, {"start": 955.06, "end": 960.06, "text": " Bien ahora vamos a establecer los l\u00edmites de integraci\u00f3n."}, {"start": 960.06, "end": 970.06, "text": " Tenemos que considerar en esta gr\u00e1fica roja lo que sucede entre menos uno que es el corte con el eje x y el valor siete."}, {"start": 970.06, "end": 974.06, "text": " Entonces vamos a trazar por aqu\u00ed una l\u00ednea vertical."}, {"start": 974.06, "end": 987.06, "text": " Bien aqu\u00ed la podemos observar y recordemos que el concepto de la integral definida de una funci\u00f3n hace referencia al \u00e1rea bajo la curva."}, {"start": 987.06, "end": 1005.06, "text": " En este caso vemos que la funci\u00f3n valor absoluto de x menos 2 menos 3 o sea la gr\u00e1fica de color rojo limita unas \u00e1reas o unas zonas con el eje x y los valores que tenemos en los l\u00edmites de integraci\u00f3n."}, {"start": 1005.06, "end": 1024.06, "text": " Se trata de este tri\u00e1ngulo que vamos a rayar toda esta figura que est\u00e1 por debajo del eje x y esta otra figura otro tri\u00e1ngulo que se encuentra por encima del eje x."}, {"start": 1024.06, "end": 1033.06, "text": " Ahora utilizando los conocimientos de geometr\u00eda vamos a encontrar el \u00e1rea de estas dos figuras o sea el \u00e1rea de esos dos tri\u00e1ngulos."}, {"start": 1033.06, "end": 1039.06, "text": " Recordemos que la f\u00f3rmula dice que eso es igual a base por altura sobre dos."}, {"start": 1039.06, "end": 1043.06, "text": " La f\u00f3rmula para encontrar el \u00e1rea de un tri\u00e1ngulo."}, {"start": 1043.06, "end": 1059.06, "text": " Vamos con el primero. Tenemos que el \u00e1rea es igual a la base que es la distancia que va desde menos uno hasta cinco o sea seis unidades multiplicado por la altura que es la distancia que hay entre este punto y este."}, {"start": 1059.06, "end": 1064.06, "text": " O sea tres unidades y todo esto sobre dos."}, {"start": 1064.06, "end": 1072.06, "text": " Resolviendo esta operaci\u00f3n tenemos 6 por 3 es 18. 18 sobre 2 es igual a 9."}, {"start": 1072.06, "end": 1078.06, "text": " Geom\u00e9tricamente decimos que el \u00e1rea de este tri\u00e1ngulo es nueve unidades cuadradas."}, {"start": 1078.06, "end": 1084.06, "text": " Pero como es una figura que est\u00e1 por debajo del eje x entonces se considera negativa."}, {"start": 1084.06, "end": 1089.06, "text": " Entonces escribimos su valor que es menos nueve."}, {"start": 1089.06, "end": 1093.06, "text": " Ahora vamos a encontrar el \u00e1rea de este tri\u00e1ngulo."}, {"start": 1093.06, "end": 1101.06, "text": " Decimos entonces \u00e1rea igual a la base que es la distancia que hay entre cinco y siete o sea dos unidades."}, {"start": 1101.06, "end": 1112.06, "text": " Eso multiplicado por la altura que es este segmento y que tambi\u00e9n mide dos unidades y todo esto sobre dos."}, {"start": 1112.06, "end": 1117.06, "text": " Entonces tenemos dos por dos cuatro. Cuatro sobre dos es dos."}, {"start": 1117.06, "end": 1122.06, "text": " Geom\u00e9tricamente el \u00e1rea de este tri\u00e1ngulo es dos unidades cuadradas."}, {"start": 1122.06, "end": 1131.06, "text": " Pero como se trata de una figura que est\u00e1 por encima del eje x entonces decimos que su \u00e1rea es m\u00e1s dos."}, {"start": 1131.06, "end": 1142.06, "text": " Finalmente como lo que nos pide el ejercicio es la integral definida de esta funci\u00f3n la que tenemos en color rojo desde menos uno hasta siete."}, {"start": 1142.06, "end": 1145.06, "text": " Es decir desde este valor hasta este."}, {"start": 1145.06, "end": 1150.06, "text": " Lo que hacemos es un barrido de las \u00e1reas que encontramos."}, {"start": 1150.06, "end": 1161.06, "text": " En este caso el tri\u00e1ngulo que tenemos por debajo del eje x con \u00e1rea menos nueve m\u00e1s el tri\u00e1ngulo que tenemos por encima del eje x con \u00e1rea dos."}, {"start": 1161.06, "end": 1170.06, "text": " Y la operaci\u00f3n de estos n\u00fameros nos da como resultado menos siete que fue el valor que obtuvimos anal\u00edticamente."}, {"start": 1170.06, "end": 1185.06, "text": " De esta manera queda resuelto este ejercicio y como hemos visto se puede comprobar gr\u00e1ficamente utilizando el concepto de integral definida como \u00e1rea bajo la curva."}]

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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 3×3 - Problema 2

#julioprofe explica cómo resolver un problema de aplicación de los Sistemas de Ecuaciones Lineales de 3×3: La suma de las tres cifras de un número es 15. Si el número se divide por la suma de la cifra de las centenas y la cifra de las unidades, el cociente es 71 y el residuo es 5, y si al número se le resta 198, las cifras se invierten. Hallar el número. Tema: #SistemasDeEcuaciones → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEFAYT8s7eBiUPuANxiqi_l REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

La suma de las tres cifras de un número es 15. Si el número se divide por la suma de la cifra de las centenas y la cifra de las unidades, el cociente es 71 y el residuo es 5. Y si al número se le resta 198, las cifras se invierten. ¡Allar el número! Bien, tenemos en esta ocasión un problema donde tenemos que encontrar un número de tres cifras. Entonces podemos llamar X lo que es la cifra o el dígito de las centenas, Y la cifra o dígito de las decenas, y Z lo que es la cifra o dígito que corresponde a las unidades. Cuando en el problema nos hablan del número original, o sea el número que buscamos, entonces debemos expresarlo así. 100X más 10Y más Z. X va multiplicado por 100 porque como vemos X corresponde al dígito de las centenas. Y va acompañado del número 10 porque está en la casilla de las decenas y Z tiene coeficiente 1 invisible por corresponder a lo que es la casilla de las unidades. Por allí en el enunciado del problema se habla de que las cifras se invierten, o sea que nos quedarían como ZYX. Eso es lo que corresponde al número invertido. Y se expresa como 100Z porque ahora Z corresponde a las centenas más 10Y, como vemos Y sigue estando en las decenas y esto más X porque ahora X ocupa el lugar de las unidades. Ahora lo que tenemos que hacer es construir tres ecuaciones. Vamos a numerarlas de una vez. Las tres ecuaciones que deben tener estas tres incógnitas para conformar lo que se llama un sistema de 3 por 3. Tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. Esto lo conseguimos traduciendo al lenguaje matemático, o sea al lenguaje simbólico, todas las informaciones que nos da el enunciado del problema. Vamos con la primera donde nos dice que la suma de las tres cifras del número es 15. Como se refiere a las cifras entonces decimos X más Y más Z igual a 15. Y de esta manera hemos conformado la primera ecuación. Luego el problema nos dice que si el número, o sea el original que es 100X más 10Y más Z se divide entre la suma de la cifra de las centenas que es X con la cifra de las unidades que es Z. Entonces tenemos cociente 71 y residuo 5. Allí tenemos los cuatro componentes de una división que son dividendo, divisor, cociente y residuo. Para poder llevar toda esta información a una ecuación que será la segunda debemos aplicar lo que se llama la prueba de la división. Que nos dice lo siguiente, el dividendo tiene que ser igual al cociente multiplicado por el divisor y a todo eso le sumamos el residuo. Entonces vamos a reemplazar cada uno de los cuatro componentes. Tenemos que el dividendo es 100X más 10Y más Z. Esto igual al cociente que es 71 multiplicado por el divisor que es X más Z. Protegemos esa expresión con paréntesis por tratarse de un binomio y a esto le sumamos el residuo que es 5. Ya tenemos entonces una igualdad que debemos acomodar para obtener la segunda ecuación. Debemos procurar que nos quede en este mismo orden un término con X, otro término con Y, el otro con Z y al otro lado del signo igual lo que se llama el término independiente. Entonces al lado izquierdo tenemos la misma expresión 100X más 10Y más Z. Y en el lado derecho vamos a romper el paréntesis aplicando la propiedad distributiva. Tenemos 71 por X que es 71X, 71 por más Z que será más 71Z y todo eso más 5. Ahora vamos a dejar los términos que contienen las letras en el lado izquierdo. Se queda entonces 100X más 10Y más Z. Estos términos son los que permanecen en su territorio y no presentan modificación y vamos a pasar estos dos. Como acá están positivos entonces llegan al lado izquierdo con signo negativo. Menos 71X menos 71Z y todo esto igual a 5. Ahora vamos a reducir términos semejantes en el lado izquierdo de la igualdad. Tenemos por ejemplo estos dos términos que contienen la X y la operación entre ellos nos da 29X. Terminos que tienen la Y solamente 1 que es más 10Y y términos que contienen la letra Z son estos dos. Entonces al operarlos tenemos como resultado menos 70Z y todo esto igual a 5. De esta manera tenemos lo que es la segunda ecuación y entonces la escribimos en este lugar. Vamos ahora con la tercera información. Nos dice que si al número original que es 100X más 10Y más Z le restamos 198 entonces las cifras del número se invierten. O sea que se obtiene lo que es el número invertido que es 100Z más 10Y más X. De nuevo vamos a dejar en el lado izquierdo de la igualdad los términos que contienen las letras y vamos a pasar ese término independiente para el lado derecho. Nos queda entonces 100X más 10Y más Z pasamos este término menos 100Z este también llega negativo como menos 10Y este también llega como menos X. Y en el lado derecho pasamos este número como acá está negativo entonces pasa positivo llega como 198. A continuación vamos a reducir términos semejantes acá en el lado izquierdo de la igualdad. Tenemos por ejemplo este término que contiene X y este también. Entonces 100X menos X nos da como resultado 99X. Vamos ahora con los que tienen la letra Y se trata de este término y este pero observamos que son opuestos. Este tiene coeficiente más 10 y este tiene coeficiente menos 10 por lo tanto son términos que podemos eliminar. Recordemos que la suma de ellos nos da 0 y finalmente tenemos estos dos términos que contienen la letra Z. La operación entre ellos nos da menos 99Z y todo esto queda igualado a 198. Aquí podemos dividir toda esta igualdad a ambos lados por 99 para simplificar los términos. Entonces tenemos lo siguiente 99X dividido entre 99 nos queda X menos 99Z dividido entre 99 nos queda menos Z. Y esto igual a 198 que al dividirse entre 99 nos da 2. Y como se observa tenemos una expresión mucho más sencilla. De esta manera tenemos la tercera ecuación para conformar así el sistema de ecuaciones de 3 por 3. Ahora tenemos que elegir un método de solución. Uno que se recomienda bastante es el método de eliminación también conocido como reducción. Entonces elegimos una letra para eliminar. Por ejemplo podríamos pensar en deshacernos de la letra Z para obtener así un sistema de ecuaciones de 2 por 2 que tenga únicamente las letras X y Y. Como se observa en la ecuación 1 y en la ecuación 3 está sencillo eliminar Z porque aquí las tenemos con signos contrarios. Entonces como decíamos vamos a eliminar la variable o la letra Z. Comenzamos entonces con las ecuaciones 1 y 3. Vamos a escribirlas. Entonces tenemos la ecuación 1. X más Y más Z igual a 15. Y debajo de ella escribimos la ecuación 3. Tenemos X menos Z igual a 2. Como esta ecuación no contiene la letra Y entonces este lugar se deja vacío. En seguida vamos a sumar estas dos igualdades en forma vertical. Tenemos X más X, 2X. Tenemos más Y. Es como si aquí tuviéramos 0. Y las dos letras Z se eliminan entre sí. Allí es donde ocurre la eliminación de esa variable. Y al otro lado sumamos 15 más 2 que nos da 17. Esta nueva ecuación la vamos a llamar o etiquetar con el número 4. Entonces dice 2X más Y igual a 17. Como vemos es una ecuación que tiene únicamente las letras X y Y. Ahora debemos escoger otra pareja de ecuaciones para eliminar Z. Ya trabajamos con la pareja 1,3. Ahora escogemos bien sea la pareja 1,2 o la pareja 2,3. Vamos a elegir la pareja 2,3. Entonces escribimos la ecuación 2 que dice 29X más 10Y menos 70Z igual a 5. Y en la ecuación 3 tenemos la letra Z con coeficiente menos 1. Necesitamos que tenga coeficiente más 70 para poder que se elimine con este término. Y eso lo conseguimos multiplicando la ecuación 3 por menos 70. Entonces vamos a multiplicar ambos lados de esta igualdad por este número. Tenemos X por menos 70 es menos 70X. Menos Z por menos 70 nos da más 70Z. Y tenemos 2 por menos 70 que nos da como resultado menos 140. Ahora hacemos la suma de estas dos igualdades en forma vertical. Tenemos 29X sumado con menos 70X. Eso nos da menos 41X. Acá tenemos 10Y sumado con 0 que es más 10Y. Y la suma de estos dos términos nos da 0. Son términos opuestos que se eliminan. Allí conseguimos otra vez el objetivo de eliminar Z. Y por acá hacemos la suma de estos números que nos da como resultado menos 135. Esta es la ecuación que vamos a etiquetar con el número 5. Es decir, menos 41X más 10Y y esto igual a menos 135. De esta manera tenemos lo que se llama un sistema de 2 por 2. Dos ecuaciones lineales con dos sincógnitas. Únicamente X y Y, o sea que hemos logrado eliminar Z. Ahora debemos elegir un método para solucionar este sistema de 2 por 2. Podríamos escoger de nuevo el método de eliminación. Pero vamos a cambiar. Vamos a escoger el método de sustitución. O sea que tenemos que despejar una letra de una de las ecuaciones. Y lo que nos dé lo vamos a sustituir o a reemplazar en la otra ecuación. Por ejemplo, de la ecuación 4 está fácil despejar la letra Y. Entonces eso nos va a permitir encontrar una nueva ecuación que vamos a etiquetar con el número 6. Sería Y igual a 17 menos 2X. Es el despeje de la letra Y de la ecuación número 4. Entonces se obtiene una nueva ecuación que llamamos la número 6. Ahora sustituimos 6 en 5, es decir, Y que equivale a esta expresión. Vamos a reemplazarla aquí. Nos queda entonces, menos 41X más 10 que multiplica a Y, o sea esta expresión. Abrimos un paréntesis y escribimos 17 menos 2X. Y todo esto igual a menos 135. Tenemos así una ecuación de primer grado o ecuación lineal con una incógnita. Observamos solamente la letra X. Entonces vamos a realizar poco a poco el proceso para despejar esa variable. Nos queda entonces, menos 41X. Y aquí vamos a destruir el paréntesis aplicando la propiedad distributiva. Tenemos 10 por 17 que es más 170. 10 por menos 2X que es menos 20X. Y todo esto igual a menos 135. En el lado izquierdo de la igualdad operamos estos dos términos semejantes. Tenemos que menos 41X y menos 20X nos da menos 61X. Esto más 170 igual a menos 135. Ahora vamos a pasar este número al lado derecho. Nos queda menos 61X igual a menos 135 menos 170. Como está positivo acá, entonces llega negativo al otro lado. Enseguida hacemos esta operación. Tenemos menos 61X igual a menos 305. Y de allí vamos a despejar X. Para ello pasamos este número que está multiplicando al otro lado a dividir. Nos queda entonces X igual a menos 305 sobre o dividido entre menos 61. Recordemos que cuando el número pasa a dividir conserva su mismo signo. Y haciendo esta división nos da como resultado 5 positivo. Recordemos que en la división se aplica la ley de los signos. Menos con menos nos da más. De esta manera encontramos el valor de la primera incógnita. O sea X. Vamos a escribir ese resultado por acá. Se trata de la cifra de las centenas del número que buscamos. Ahora vamos al sistema de 2x2 para encontrar el valor de la letra Y. Miramos entonces en cuál de las expresiones resulta más sencillo. Como se observa en la número 6 tenemos despejada la letra Y. Entonces es más conveniente utilizar esa. Y es igual a 17 menos 2 por el valor de X que es 5. Y vamos a resolver estas operaciones. Recordemos que entre resta y multiplicación primero se efectúa la multiplicación. Tenemos 17 menos 2 por 5 que es 10. Y ahora sí realizamos esa resta. 17 menos 10 nos da como resultado 7. Y de esta manera encontramos el valor de la segunda incógnita que es Y. Y vale 7 y es la cifra de las decenas. Ahora vamos al sistema original al de 3x3 para encontrar el valor de Z. Que es la letra que nos falta. Buscamos entonces la ecuación más sencilla. Como se observa la primera resulta ser la más conveniente. Entonces tenemos que X vale 5 más Y que vale 7. Esto más Z que es la letra que buscamos y todo esto igual a 15. Entonces vamos a despejar de allí la variable Z. Hacemos esta suma 5 más 7 nos da 12. Nos queda 12 más Z igual a 15. Y de allí despejamos Z. Entonces 12 lo pasamos al otro lado a restar. Nos queda 15 menos 12 de donde Z vale 3. Y encontramos así el valor de la tercera incógnita. Z es igual a 3 y constituye la cifra de las unidades. Si cambiamos las letras X, Y y Z por los números encontrados. Entonces obtenemos el número que buscamos. X nos dio 5, Y nos dio 7 y Z nos dio 3. Entonces damos la respuesta a este problema de aplicación de los sistemas lineales de 3x3. Entonces el número que buscamos es 573.

[{"start": 0.0, "end": 4.0, "text": " La suma de las tres cifras de un n\u00famero es 15."}, {"start": 4.0, "end": 10.5, "text": " Si el n\u00famero se divide por la suma de la cifra de las centenas y la cifra de las unidades,"}, {"start": 10.5, "end": 15.0, "text": " el cociente es 71 y el residuo es 5."}, {"start": 15.0, "end": 21.0, "text": " Y si al n\u00famero se le resta 198, las cifras se invierten."}, {"start": 21.0, "end": 23.0, "text": " \u00a1Allar el n\u00famero!"}, {"start": 23.0, "end": 30.0, "text": " Bien, tenemos en esta ocasi\u00f3n un problema donde tenemos que encontrar un n\u00famero de tres cifras."}, {"start": 30.0, "end": 37.0, "text": " Entonces podemos llamar X lo que es la cifra o el d\u00edgito de las centenas,"}, {"start": 37.0, "end": 41.0, "text": " Y la cifra o d\u00edgito de las decenas,"}, {"start": 41.0, "end": 48.0, "text": " y Z lo que es la cifra o d\u00edgito que corresponde a las unidades."}, {"start": 48.0, "end": 58.0, "text": " Cuando en el problema nos hablan del n\u00famero original, o sea el n\u00famero que buscamos,"}, {"start": 58.0, "end": 62.0, "text": " entonces debemos expresarlo as\u00ed."}, {"start": 62.0, "end": 70.0, "text": " 100X m\u00e1s 10Y m\u00e1s Z."}, {"start": 70.0, "end": 77.0, "text": " X va multiplicado por 100 porque como vemos X corresponde al d\u00edgito de las centenas."}, {"start": 77.0, "end": 84.0, "text": " Y va acompa\u00f1ado del n\u00famero 10 porque est\u00e1 en la casilla de las decenas"}, {"start": 84.0, "end": 93.0, "text": " y Z tiene coeficiente 1 invisible por corresponder a lo que es la casilla de las unidades."}, {"start": 93.0, "end": 99.0, "text": " Por all\u00ed en el enunciado del problema se habla de que las cifras se invierten,"}, {"start": 99.0, "end": 104.0, "text": " o sea que nos quedar\u00edan como ZYX."}, {"start": 104.0, "end": 111.0, "text": " Eso es lo que corresponde al n\u00famero invertido."}, {"start": 111.0, "end": 123.0, "text": " Y se expresa como 100Z porque ahora Z corresponde a las centenas m\u00e1s 10Y,"}, {"start": 123.0, "end": 129.0, "text": " como vemos Y sigue estando en las decenas y esto m\u00e1s X"}, {"start": 129.0, "end": 134.0, "text": " porque ahora X ocupa el lugar de las unidades."}, {"start": 134.0, "end": 140.0, "text": " Ahora lo que tenemos que hacer es construir tres ecuaciones."}, {"start": 140.0, "end": 143.0, "text": " Vamos a numerarlas de una vez."}, {"start": 143.0, "end": 148.0, "text": " Las tres ecuaciones que deben tener estas tres inc\u00f3gnitas"}, {"start": 148.0, "end": 153.0, "text": " para conformar lo que se llama un sistema de 3 por 3."}, {"start": 153.0, "end": 157.0, "text": " Tres ecuaciones lineales con tres inc\u00f3gnitas."}, {"start": 157.0, "end": 161.0, "text": " Esto lo conseguimos traduciendo al lenguaje matem\u00e1tico,"}, {"start": 161.0, "end": 168.0, "text": " o sea al lenguaje simb\u00f3lico, todas las informaciones que nos da el enunciado del problema."}, {"start": 168.0, "end": 175.0, "text": " Vamos con la primera donde nos dice que la suma de las tres cifras del n\u00famero es 15."}, {"start": 175.0, "end": 185.0, "text": " Como se refiere a las cifras entonces decimos X m\u00e1s Y m\u00e1s Z igual a 15."}, {"start": 185.0, "end": 190.0, "text": " Y de esta manera hemos conformado la primera ecuaci\u00f3n."}, {"start": 190.0, "end": 203.0, "text": " Luego el problema nos dice que si el n\u00famero, o sea el original que es 100X m\u00e1s 10Y m\u00e1s Z"}, {"start": 203.0, "end": 218.0, "text": " se divide entre la suma de la cifra de las centenas que es X con la cifra de las unidades que es Z."}, {"start": 218.0, "end": 223.0, "text": " Entonces tenemos cociente 71 y residuo 5."}, {"start": 223.0, "end": 233.0, "text": " All\u00ed tenemos los cuatro componentes de una divisi\u00f3n que son dividendo, divisor, cociente y residuo."}, {"start": 233.0, "end": 239.0, "text": " Para poder llevar toda esta informaci\u00f3n a una ecuaci\u00f3n que ser\u00e1 la segunda"}, {"start": 239.0, "end": 244.0, "text": " debemos aplicar lo que se llama la prueba de la divisi\u00f3n."}, {"start": 244.0, "end": 255.0, "text": " Que nos dice lo siguiente, el dividendo tiene que ser igual al cociente multiplicado por el divisor y a todo eso le sumamos el residuo."}, {"start": 255.0, "end": 260.0, "text": " Entonces vamos a reemplazar cada uno de los cuatro componentes."}, {"start": 260.0, "end": 269.0, "text": " Tenemos que el dividendo es 100X m\u00e1s 10Y m\u00e1s Z."}, {"start": 269.0, "end": 278.0, "text": " Esto igual al cociente que es 71 multiplicado por el divisor que es X m\u00e1s Z."}, {"start": 278.0, "end": 289.0, "text": " Protegemos esa expresi\u00f3n con par\u00e9ntesis por tratarse de un binomio y a esto le sumamos el residuo que es 5."}, {"start": 289.0, "end": 296.0, "text": " Ya tenemos entonces una igualdad que debemos acomodar para obtener la segunda ecuaci\u00f3n."}, {"start": 296.0, "end": 309.0, "text": " Debemos procurar que nos quede en este mismo orden un t\u00e9rmino con X, otro t\u00e9rmino con Y, el otro con Z y al otro lado del signo igual lo que se llama el t\u00e9rmino independiente."}, {"start": 309.0, "end": 319.0, "text": " Entonces al lado izquierdo tenemos la misma expresi\u00f3n 100X m\u00e1s 10Y m\u00e1s Z."}, {"start": 319.0, "end": 327.0, "text": " Y en el lado derecho vamos a romper el par\u00e9ntesis aplicando la propiedad distributiva."}, {"start": 327.0, "end": 339.0, "text": " Tenemos 71 por X que es 71X, 71 por m\u00e1s Z que ser\u00e1 m\u00e1s 71Z y todo eso m\u00e1s 5."}, {"start": 339.0, "end": 345.0, "text": " Ahora vamos a dejar los t\u00e9rminos que contienen las letras en el lado izquierdo."}, {"start": 345.0, "end": 353.0, "text": " Se queda entonces 100X m\u00e1s 10Y m\u00e1s Z."}, {"start": 353.0, "end": 360.0, "text": " Estos t\u00e9rminos son los que permanecen en su territorio y no presentan modificaci\u00f3n y vamos a pasar estos dos."}, {"start": 360.0, "end": 367.0, "text": " Como ac\u00e1 est\u00e1n positivos entonces llegan al lado izquierdo con signo negativo."}, {"start": 367.0, "end": 375.0, "text": " Menos 71X menos 71Z y todo esto igual a 5."}, {"start": 375.0, "end": 380.0, "text": " Ahora vamos a reducir t\u00e9rminos semejantes en el lado izquierdo de la igualdad."}, {"start": 380.0, "end": 390.0, "text": " Tenemos por ejemplo estos dos t\u00e9rminos que contienen la X y la operaci\u00f3n entre ellos nos da 29X."}, {"start": 390.0, "end": 401.0, "text": " Terminos que tienen la Y solamente 1 que es m\u00e1s 10Y y t\u00e9rminos que contienen la letra Z son estos dos."}, {"start": 401.0, "end": 411.0, "text": " Entonces al operarlos tenemos como resultado menos 70Z y todo esto igual a 5."}, {"start": 411.0, "end": 420.0, "text": " De esta manera tenemos lo que es la segunda ecuaci\u00f3n y entonces la escribimos en este lugar."}, {"start": 420.0, "end": 423.0, "text": " Vamos ahora con la tercera informaci\u00f3n."}, {"start": 423.0, "end": 444.0, "text": " Nos dice que si al n\u00famero original que es 100X m\u00e1s 10Y m\u00e1s Z le restamos 198 entonces las cifras del n\u00famero se invierten."}, {"start": 444.0, "end": 457.0, "text": " O sea que se obtiene lo que es el n\u00famero invertido que es 100Z m\u00e1s 10Y m\u00e1s X."}, {"start": 457.0, "end": 468.0, "text": " De nuevo vamos a dejar en el lado izquierdo de la igualdad los t\u00e9rminos que contienen las letras y vamos a pasar ese t\u00e9rmino independiente para el lado derecho."}, {"start": 468.0, "end": 489.0, "text": " Nos queda entonces 100X m\u00e1s 10Y m\u00e1s Z pasamos este t\u00e9rmino menos 100Z este tambi\u00e9n llega negativo como menos 10Y este tambi\u00e9n llega como menos X."}, {"start": 489.0, "end": 499.0, "text": " Y en el lado derecho pasamos este n\u00famero como ac\u00e1 est\u00e1 negativo entonces pasa positivo llega como 198."}, {"start": 499.0, "end": 506.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a reducir t\u00e9rminos semejantes ac\u00e1 en el lado izquierdo de la igualdad."}, {"start": 506.0, "end": 511.0, "text": " Tenemos por ejemplo este t\u00e9rmino que contiene X y este tambi\u00e9n."}, {"start": 511.0, "end": 518.0, "text": " Entonces 100X menos X nos da como resultado 99X."}, {"start": 518.0, "end": 527.0, "text": " Vamos ahora con los que tienen la letra Y se trata de este t\u00e9rmino y este pero observamos que son opuestos."}, {"start": 527.0, "end": 535.0, "text": " Este tiene coeficiente m\u00e1s 10 y este tiene coeficiente menos 10 por lo tanto son t\u00e9rminos que podemos eliminar."}, {"start": 535.0, "end": 544.0, "text": " Recordemos que la suma de ellos nos da 0 y finalmente tenemos estos dos t\u00e9rminos que contienen la letra Z."}, {"start": 544.0, "end": 554.0, "text": " La operaci\u00f3n entre ellos nos da menos 99Z y todo esto queda igualado a 198."}, {"start": 554.0, "end": 564.0, "text": " Aqu\u00ed podemos dividir toda esta igualdad a ambos lados por 99 para simplificar los t\u00e9rminos."}, {"start": 564.0, "end": 577.0, "text": " Entonces tenemos lo siguiente 99X dividido entre 99 nos queda X menos 99Z dividido entre 99 nos queda menos Z."}, {"start": 577.0, "end": 585.0, "text": " Y esto igual a 198 que al dividirse entre 99 nos da 2."}, {"start": 585.0, "end": 591.0, "text": " Y como se observa tenemos una expresi\u00f3n mucho m\u00e1s sencilla."}, {"start": 591.0, "end": 601.0, "text": " De esta manera tenemos la tercera ecuaci\u00f3n para conformar as\u00ed el sistema de ecuaciones de 3 por 3."}, {"start": 601.0, "end": 605.0, "text": " Ahora tenemos que elegir un m\u00e9todo de soluci\u00f3n."}, {"start": 605.0, "end": 612.0, "text": " Uno que se recomienda bastante es el m\u00e9todo de eliminaci\u00f3n tambi\u00e9n conocido como reducci\u00f3n."}, {"start": 612.0, "end": 616.0, "text": " Entonces elegimos una letra para eliminar."}, {"start": 616.0, "end": 629.0, "text": " Por ejemplo podr\u00edamos pensar en deshacernos de la letra Z para obtener as\u00ed un sistema de ecuaciones de 2 por 2 que tenga \u00fanicamente las letras X y Y."}, {"start": 629.0, "end": 639.0, "text": " Como se observa en la ecuaci\u00f3n 1 y en la ecuaci\u00f3n 3 est\u00e1 sencillo eliminar Z porque aqu\u00ed las tenemos con signos contrarios."}, {"start": 639.0, "end": 649.0, "text": " Entonces como dec\u00edamos vamos a eliminar la variable o la letra Z."}, {"start": 649.0, "end": 654.0, "text": " Comenzamos entonces con las ecuaciones 1 y 3."}, {"start": 654.0, "end": 657.0, "text": " Vamos a escribirlas."}, {"start": 657.0, "end": 660.0, "text": " Entonces tenemos la ecuaci\u00f3n 1."}, {"start": 660.0, "end": 666.0, "text": " X m\u00e1s Y m\u00e1s Z igual a 15."}, {"start": 666.0, "end": 670.0, "text": " Y debajo de ella escribimos la ecuaci\u00f3n 3."}, {"start": 670.0, "end": 675.0, "text": " Tenemos X menos Z igual a 2."}, {"start": 675.0, "end": 682.0, "text": " Como esta ecuaci\u00f3n no contiene la letra Y entonces este lugar se deja vac\u00edo."}, {"start": 682.0, "end": 687.0, "text": " En seguida vamos a sumar estas dos igualdades en forma vertical."}, {"start": 687.0, "end": 691.0, "text": " Tenemos X m\u00e1s X, 2X."}, {"start": 691.0, "end": 693.0, "text": " Tenemos m\u00e1s Y."}, {"start": 693.0, "end": 695.0, "text": " Es como si aqu\u00ed tuvi\u00e9ramos 0."}, {"start": 695.0, "end": 699.0, "text": " Y las dos letras Z se eliminan entre s\u00ed."}, {"start": 699.0, "end": 704.0, "text": " All\u00ed es donde ocurre la eliminaci\u00f3n de esa variable."}, {"start": 704.0, "end": 709.0, "text": " Y al otro lado sumamos 15 m\u00e1s 2 que nos da 17."}, {"start": 709.0, "end": 716.0, "text": " Esta nueva ecuaci\u00f3n la vamos a llamar o etiquetar con el n\u00famero 4."}, {"start": 716.0, "end": 723.0, "text": " Entonces dice 2X m\u00e1s Y igual a 17."}, {"start": 723.0, "end": 730.0, "text": " Como vemos es una ecuaci\u00f3n que tiene \u00fanicamente las letras X y Y."}, {"start": 730.0, "end": 736.0, "text": " Ahora debemos escoger otra pareja de ecuaciones para eliminar Z."}, {"start": 736.0, "end": 739.0, "text": " Ya trabajamos con la pareja 1,3."}, {"start": 739.0, "end": 744.0, "text": " Ahora escogemos bien sea la pareja 1,2 o la pareja 2,3."}, {"start": 744.0, "end": 748.0, "text": " Vamos a elegir la pareja 2,3."}, {"start": 748.0, "end": 762.0, "text": " Entonces escribimos la ecuaci\u00f3n 2 que dice 29X m\u00e1s 10Y menos 70Z igual a 5."}, {"start": 762.0, "end": 767.0, "text": " Y en la ecuaci\u00f3n 3 tenemos la letra Z con coeficiente menos 1."}, {"start": 767.0, "end": 774.0, "text": " Necesitamos que tenga coeficiente m\u00e1s 70 para poder que se elimine con este t\u00e9rmino."}, {"start": 774.0, "end": 780.0, "text": " Y eso lo conseguimos multiplicando la ecuaci\u00f3n 3 por menos 70."}, {"start": 780.0, "end": 786.0, "text": " Entonces vamos a multiplicar ambos lados de esta igualdad por este n\u00famero."}, {"start": 786.0, "end": 792.0, "text": " Tenemos X por menos 70 es menos 70X."}, {"start": 792.0, "end": 798.0, "text": " Menos Z por menos 70 nos da m\u00e1s 70Z."}, {"start": 798.0, "end": 806.0, "text": " Y tenemos 2 por menos 70 que nos da como resultado menos 140."}, {"start": 806.0, "end": 811.0, "text": " Ahora hacemos la suma de estas dos igualdades en forma vertical."}, {"start": 811.0, "end": 815.0, "text": " Tenemos 29X sumado con menos 70X."}, {"start": 815.0, "end": 818.0, "text": " Eso nos da menos 41X."}, {"start": 818.0, "end": 823.0, "text": " Ac\u00e1 tenemos 10Y sumado con 0 que es m\u00e1s 10Y."}, {"start": 823.0, "end": 826.0, "text": " Y la suma de estos dos t\u00e9rminos nos da 0."}, {"start": 826.0, "end": 829.0, "text": " Son t\u00e9rminos opuestos que se eliminan."}, {"start": 829.0, "end": 833.0, "text": " All\u00ed conseguimos otra vez el objetivo de eliminar Z."}, {"start": 833.0, "end": 841.0, "text": " Y por ac\u00e1 hacemos la suma de estos n\u00fameros que nos da como resultado menos 135."}, {"start": 841.0, "end": 848.0, "text": " Esta es la ecuaci\u00f3n que vamos a etiquetar con el n\u00famero 5."}, {"start": 848.0, "end": 862.0, "text": " Es decir, menos 41X m\u00e1s 10Y y esto igual a menos 135."}, {"start": 862.0, "end": 868.0, "text": " De esta manera tenemos lo que se llama un sistema de 2 por 2."}, {"start": 868.0, "end": 871.0, "text": " Dos ecuaciones lineales con dos sinc\u00f3gnitas."}, {"start": 871.0, "end": 877.0, "text": " \u00danicamente X y Y, o sea que hemos logrado eliminar Z."}, {"start": 877.0, "end": 883.0, "text": " Ahora debemos elegir un m\u00e9todo para solucionar este sistema de 2 por 2."}, {"start": 883.0, "end": 887.0, "text": " Podr\u00edamos escoger de nuevo el m\u00e9todo de eliminaci\u00f3n."}, {"start": 887.0, "end": 891.0, "text": " Pero vamos a cambiar. Vamos a escoger el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n."}, {"start": 891.0, "end": 895.0, "text": " O sea que tenemos que despejar una letra de una de las ecuaciones."}, {"start": 895.0, "end": 900.0, "text": " Y lo que nos d\u00e9 lo vamos a sustituir o a reemplazar en la otra ecuaci\u00f3n."}, {"start": 900.0, "end": 904.0, "text": " Por ejemplo, de la ecuaci\u00f3n 4 est\u00e1 f\u00e1cil despejar la letra Y."}, {"start": 904.0, "end": 911.0, "text": " Entonces eso nos va a permitir encontrar una nueva ecuaci\u00f3n que vamos a etiquetar con el n\u00famero 6."}, {"start": 911.0, "end": 917.0, "text": " Ser\u00eda Y igual a 17 menos 2X."}, {"start": 917.0, "end": 922.0, "text": " Es el despeje de la letra Y de la ecuaci\u00f3n n\u00famero 4."}, {"start": 922.0, "end": 929.0, "text": " Entonces se obtiene una nueva ecuaci\u00f3n que llamamos la n\u00famero 6."}, {"start": 929.0, "end": 935.0, "text": " Ahora sustituimos 6 en 5, es decir, Y que equivale a esta expresi\u00f3n."}, {"start": 935.0, "end": 938.0, "text": " Vamos a reemplazarla aqu\u00ed. Nos queda entonces,"}, {"start": 938.0, "end": 946.0, "text": " menos 41X m\u00e1s 10 que multiplica a Y, o sea esta expresi\u00f3n."}, {"start": 946.0, "end": 952.0, "text": " Abrimos un par\u00e9ntesis y escribimos 17 menos 2X."}, {"start": 952.0, "end": 957.0, "text": " Y todo esto igual a menos 135."}, {"start": 957.0, "end": 964.0, "text": " Tenemos as\u00ed una ecuaci\u00f3n de primer grado o ecuaci\u00f3n lineal con una inc\u00f3gnita."}, {"start": 964.0, "end": 967.0, "text": " Observamos solamente la letra X."}, {"start": 967.0, "end": 974.0, "text": " Entonces vamos a realizar poco a poco el proceso para despejar esa variable."}, {"start": 974.0, "end": 978.0, "text": " Nos queda entonces, menos 41X."}, {"start": 978.0, "end": 985.0, "text": " Y aqu\u00ed vamos a destruir el par\u00e9ntesis aplicando la propiedad distributiva."}, {"start": 985.0, "end": 991.0, "text": " Tenemos 10 por 17 que es m\u00e1s 170."}, {"start": 991.0, "end": 995.0, "text": " 10 por menos 2X que es menos 20X."}, {"start": 995.0, "end": 1000.0, "text": " Y todo esto igual a menos 135."}, {"start": 1000.0, "end": 1006.0, "text": " En el lado izquierdo de la igualdad operamos estos dos t\u00e9rminos semejantes."}, {"start": 1006.0, "end": 1013.0, "text": " Tenemos que menos 41X y menos 20X nos da menos 61X."}, {"start": 1013.0, "end": 1020.0, "text": " Esto m\u00e1s 170 igual a menos 135."}, {"start": 1020.0, "end": 1023.0, "text": " Ahora vamos a pasar este n\u00famero al lado derecho."}, {"start": 1023.0, "end": 1033.0, "text": " Nos queda menos 61X igual a menos 135 menos 170."}, {"start": 1033.0, "end": 1039.0, "text": " Como est\u00e1 positivo ac\u00e1, entonces llega negativo al otro lado."}, {"start": 1039.0, "end": 1042.0, "text": " Enseguida hacemos esta operaci\u00f3n."}, {"start": 1042.0, "end": 1050.0, "text": " Tenemos menos 61X igual a menos 305."}, {"start": 1050.0, "end": 1053.0, "text": " Y de all\u00ed vamos a despejar X."}, {"start": 1053.0, "end": 1058.0, "text": " Para ello pasamos este n\u00famero que est\u00e1 multiplicando al otro lado a dividir."}, {"start": 1058.0, "end": 1066.0, "text": " Nos queda entonces X igual a menos 305 sobre o dividido entre menos 61."}, {"start": 1066.0, "end": 1070.0, "text": " Recordemos que cuando el n\u00famero pasa a dividir conserva su mismo signo."}, {"start": 1070.0, "end": 1075.0, "text": " Y haciendo esta divisi\u00f3n nos da como resultado 5 positivo."}, {"start": 1075.0, "end": 1079.0, "text": " Recordemos que en la divisi\u00f3n se aplica la ley de los signos."}, {"start": 1079.0, "end": 1081.0, "text": " Menos con menos nos da m\u00e1s."}, {"start": 1081.0, "end": 1085.0, "text": " De esta manera encontramos el valor de la primera inc\u00f3gnita."}, {"start": 1085.0, "end": 1090.0, "text": " O sea X. Vamos a escribir ese resultado por ac\u00e1."}, {"start": 1090.0, "end": 1096.0, "text": " Se trata de la cifra de las centenas del n\u00famero que buscamos."}, {"start": 1096.0, "end": 1101.0, "text": " Ahora vamos al sistema de 2x2 para encontrar el valor de la letra Y."}, {"start": 1101.0, "end": 1105.0, "text": " Miramos entonces en cu\u00e1l de las expresiones resulta m\u00e1s sencillo."}, {"start": 1105.0, "end": 1111.0, "text": " Como se observa en la n\u00famero 6 tenemos despejada la letra Y."}, {"start": 1111.0, "end": 1114.0, "text": " Entonces es m\u00e1s conveniente utilizar esa."}, {"start": 1114.0, "end": 1122.0, "text": " Y es igual a 17 menos 2 por el valor de X que es 5."}, {"start": 1122.0, "end": 1125.0, "text": " Y vamos a resolver estas operaciones."}, {"start": 1125.0, "end": 1131.0, "text": " Recordemos que entre resta y multiplicaci\u00f3n primero se efect\u00faa la multiplicaci\u00f3n."}, {"start": 1131.0, "end": 1135.0, "text": " Tenemos 17 menos 2 por 5 que es 10."}, {"start": 1135.0, "end": 1138.0, "text": " Y ahora s\u00ed realizamos esa resta."}, {"start": 1138.0, "end": 1142.0, "text": " 17 menos 10 nos da como resultado 7."}, {"start": 1142.0, "end": 1148.0, "text": " Y de esta manera encontramos el valor de la segunda inc\u00f3gnita que es Y."}, {"start": 1148.0, "end": 1154.0, "text": " Y vale 7 y es la cifra de las decenas."}, {"start": 1154.0, "end": 1160.0, "text": " Ahora vamos al sistema original al de 3x3 para encontrar el valor de Z."}, {"start": 1160.0, "end": 1163.0, "text": " Que es la letra que nos falta."}, {"start": 1163.0, "end": 1166.0, "text": " Buscamos entonces la ecuaci\u00f3n m\u00e1s sencilla."}, {"start": 1166.0, "end": 1171.0, "text": " Como se observa la primera resulta ser la m\u00e1s conveniente."}, {"start": 1171.0, "end": 1178.0, "text": " Entonces tenemos que X vale 5 m\u00e1s Y que vale 7."}, {"start": 1178.0, "end": 1185.0, "text": " Esto m\u00e1s Z que es la letra que buscamos y todo esto igual a 15."}, {"start": 1185.0, "end": 1189.0, "text": " Entonces vamos a despejar de all\u00ed la variable Z."}, {"start": 1189.0, "end": 1192.0, "text": " Hacemos esta suma 5 m\u00e1s 7 nos da 12."}, {"start": 1192.0, "end": 1196.0, "text": " Nos queda 12 m\u00e1s Z igual a 15."}, {"start": 1196.0, "end": 1199.0, "text": " Y de all\u00ed despejamos Z."}, {"start": 1199.0, "end": 1203.0, "text": " Entonces 12 lo pasamos al otro lado a restar."}, {"start": 1203.0, "end": 1209.0, "text": " Nos queda 15 menos 12 de donde Z vale 3."}, {"start": 1209.0, "end": 1215.0, "text": " Y encontramos as\u00ed el valor de la tercera inc\u00f3gnita."}, {"start": 1215.0, "end": 1221.0, "text": " Z es igual a 3 y constituye la cifra de las unidades."}, {"start": 1221.0, "end": 1228.0, "text": " Si cambiamos las letras X, Y y Z por los n\u00fameros encontrados."}, {"start": 1228.0, "end": 1233.0, "text": " Entonces obtenemos el n\u00famero que buscamos."}, {"start": 1233.0, "end": 1240.0, "text": " X nos dio 5, Y nos dio 7 y Z nos dio 3."}, {"start": 1240.0, "end": 1249.0, "text": " Entonces damos la respuesta a este problema de aplicaci\u00f3n de los sistemas lineales de 3x3."}, {"start": 1249.0, "end": 1258.0, "text": " Entonces el n\u00famero que buscamos es 573."}]

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Problema 3 con SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2×2

#julioprofe explica cómo resolver un problema de aplicación de los Sistemas de Ecuaciones Lineales de 2x2: La suma de las dos cifras de un número es 14, y si al número se le resta 36, las cifras se invierten. Hallar el número. Tema: #SistemasDeEcuaciones → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEFAYT8s7eBiUPuANxiqi_l REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

La suma de las dos cifras de un número es 14 y si al número se le resta 36, las cifras se invierten, hallar el número. Bien, para resolver este problema vamos a crear dos variables o dos incógnitas que vamos a llamar X y Y. X representa la cifra de las decenas del número y Y representa la cifra de las unidades de ese mismo número. En otras palabras, el número que buscamos tiene esta configuración. X es el dígito o la cifra de las decenas y Y es el dígito o la cifra que corresponde a las unidades. Cuando en el problema se hace referencia a las cifras o dígitos del número, entonces es únicamente X o Y. Pero cuando nos hablan del número como tal, o sea, por ejemplo, el número original, entonces tenemos que escribirlo como 10X más Y. 10X porque como se observa, X ocupa el lugar de las decenas y Y acompañada de coeficiente 1 porque es el dígito o la cifra que corresponde a las unidades. Si nos hablan del número invertido, entonces se escribe como 10Y más X porque es intercambiar las dos cifras. Y ahora ocupando el lugar de las decenas y X situado en la casilla que corresponde a las unidades. Enseguida vamos a traducir al lenguaje matemático las dos informaciones que nos da el problema. La primera información nos dice que la suma de las cifras del número es 14. En ese caso decimos que X más Y, o sea, las dos cifras de ese número, esto es igual a 14. Y de una vez conformamos lo que es la primera ecuación para este problema. La segunda información nos dice que si al número se le resta 36, entonces las cifras se invierten. Esto quiere decir que si al número original que es 10X más Y le restamos 36, entonces vamos a obtener el número invertido que es 10Y más X. Vamos a organizar esta expresión de tal forma que obtengamos una ecuación con esta configuración. Es decir, un término con X, otro término con Y y después del signo igual el término independiente. Para ello vamos a dejar entonces al lado izquierdo todos los términos que tengan las letras. Comenzamos con 10X, luego más Y, o sea, los términos que permanecen en su territorio y que no presentan modificación. Y vamos a pasar estos dos para el otro lado. Como acá están positivos, entonces van a llegar negativos. Tendremos menos 10Y menos X y esto igual a 36. Este número que está negativo en el lado izquierdo llega positivo al lado derecho. A continuación vamos a reducir términos semejantes en este lado. Tenemos, por ejemplo, estos dos que contienen la letra X. Entonces 10X menos X nos da 9X. Y también tenemos dos términos que contienen la letra Y. Entonces vamos a operarlos entre sí. Y menos 10Y nos da como resultado menos 9Y. Y todo esto queda igualado a 36. Esta expresión podemos simplificarla. Vemos que los números que tenemos allí son todos divisibles entre 9. Entonces vamos a dividir por 9 ambos lados de la igualdad. Esto quiere decir que cada uno de los componentes o de los términos se va a dividir por 9. Veamos el primero. 9X dividido entre 9 nos queda X. Aquí menos 9Y dividido entre 9 nos queda Y. Y 36 dividido entre 9 nos da como resultado 4. Y de esta manera obtenemos lo que es la ecuación número 2 para este problema. Tenemos así lo que se llama un sistema de ecuaciones de 2 por 2. Dos ecuaciones con dos incógnitas. Vamos a escribirlo por aquí. Allí lo tenemos. Y podemos resolverlo por diferentes métodos. Tenemos el de sustitución, el de igualación, también el método de eliminación, conocido también como reducción o también método de suma y resta. Y contamos con otro método que se llama el de la regla de Cramer o la solución por determinantes. De todos esos 4 métodos que son los analíticos, o sea los de mayor precisión, vamos a escoger el método de eliminación o método de suma y resta. Porque como se observa la letra Y está fácil de eliminar. Tenemos aquí la Y con signo positivo y acá con signo negativo. Entonces eso nos favorece el hecho de utilizar el método de eliminación. Hacemos entonces lo siguiente. Escribimos ambas ecuaciones tal como están allí. La primera X más Y igual a 14. Y la segunda X menos Y igual a 4. Y procedemos a sumar estas dos igualdades en forma vertical. Comenzamos por la izquierda. X más X nos da 2X. Y sumado con menos Y nos da 0. Son términos opuestos que se cancelan o se eliminan. Y al otro lado de la igualdad tenemos 14 más 4 que nos da 18. De allí vamos a despejar entonces la letra X. Para ello pasamos este número 2 que está multiplicando al otro lado a dividir. Nos queda 18 dividido entre 2. Y resolviendo esa división nos da como resultado 9. Tenemos así la primera incógnita de este problema. Es decir el valor de X. Para encontrar el valor de la otra incógnita que es Y. Entonces vamos a cualquiera de las dos ecuaciones originales. Miramos cuál es más sencilla. Entonces podemos reemplazar en la primera ecuación. Tenemos X que vale 9. Eso más Y. Y todo esto igual a 14. Una ecuación de donde nos queda sencillo despejar la incógnita Y. Simplemente pasamos 9 que está sumando al otro lado a restar. Nos queda 14 menos 9. Y resolviendo esa operación nos da Y igual a 5. O sea el valor de la otra incógnita. Bien de esta manera conocemos ya los resultados. O sea los valores de las incógnitas. Y podemos dar la respuesta al problema. Como X es la cifra de las decenas que es 9. Y es la cifra de las unidades que es 5. Entonces decimos que el número que buscamos es 95. De esta manera terminamos.

[{"start": 0.0, "end": 9.5, "text": " La suma de las dos cifras de un n\u00famero es 14 y si al n\u00famero se le resta 36, las cifras se invierten,"}, {"start": 9.5, "end": 11.5, "text": " hallar el n\u00famero."}, {"start": 11.5, "end": 21.5, "text": " Bien, para resolver este problema vamos a crear dos variables o dos inc\u00f3gnitas que vamos a llamar X y Y."}, {"start": 21.5, "end": 33.5, "text": " X representa la cifra de las decenas del n\u00famero y Y representa la cifra de las unidades de ese mismo n\u00famero."}, {"start": 33.5, "end": 39.0, "text": " En otras palabras, el n\u00famero que buscamos tiene esta configuraci\u00f3n."}, {"start": 39.0, "end": 49.5, "text": " X es el d\u00edgito o la cifra de las decenas y Y es el d\u00edgito o la cifra que corresponde a las unidades."}, {"start": 49.5, "end": 59.5, "text": " Cuando en el problema se hace referencia a las cifras o d\u00edgitos del n\u00famero, entonces es \u00fanicamente X o Y."}, {"start": 59.5, "end": 68.5, "text": " Pero cuando nos hablan del n\u00famero como tal, o sea, por ejemplo, el n\u00famero original,"}, {"start": 68.5, "end": 82.5, "text": " entonces tenemos que escribirlo como 10X m\u00e1s Y. 10X porque como se observa, X ocupa el lugar de las decenas"}, {"start": 82.5, "end": 91.5, "text": " y Y acompa\u00f1ada de coeficiente 1 porque es el d\u00edgito o la cifra que corresponde a las unidades."}, {"start": 91.5, "end": 108.5, "text": " Si nos hablan del n\u00famero invertido, entonces se escribe como 10Y m\u00e1s X porque es intercambiar las dos cifras."}, {"start": 108.5, "end": 118.5, "text": " Y ahora ocupando el lugar de las decenas y X situado en la casilla que corresponde a las unidades."}, {"start": 118.5, "end": 126.5, "text": " Enseguida vamos a traducir al lenguaje matem\u00e1tico las dos informaciones que nos da el problema."}, {"start": 126.5, "end": 133.5, "text": " La primera informaci\u00f3n nos dice que la suma de las cifras del n\u00famero es 14."}, {"start": 133.5, "end": 143.5, "text": " En ese caso decimos que X m\u00e1s Y, o sea, las dos cifras de ese n\u00famero, esto es igual a 14."}, {"start": 143.5, "end": 152.5, "text": " Y de una vez conformamos lo que es la primera ecuaci\u00f3n para este problema."}, {"start": 152.5, "end": 162.5, "text": " La segunda informaci\u00f3n nos dice que si al n\u00famero se le resta 36, entonces las cifras se invierten."}, {"start": 162.5, "end": 171.5, "text": " Esto quiere decir que si al n\u00famero original que es 10X m\u00e1s Y le restamos 36,"}, {"start": 171.5, "end": 180.5, "text": " entonces vamos a obtener el n\u00famero invertido que es 10Y m\u00e1s X."}, {"start": 180.5, "end": 189.5, "text": " Vamos a organizar esta expresi\u00f3n de tal forma que obtengamos una ecuaci\u00f3n con esta configuraci\u00f3n."}, {"start": 189.5, "end": 197.5, "text": " Es decir, un t\u00e9rmino con X, otro t\u00e9rmino con Y y despu\u00e9s del signo igual el t\u00e9rmino independiente."}, {"start": 197.5, "end": 204.5, "text": " Para ello vamos a dejar entonces al lado izquierdo todos los t\u00e9rminos que tengan las letras."}, {"start": 204.5, "end": 215.5, "text": " Comenzamos con 10X, luego m\u00e1s Y, o sea, los t\u00e9rminos que permanecen en su territorio y que no presentan modificaci\u00f3n."}, {"start": 215.5, "end": 219.5, "text": " Y vamos a pasar estos dos para el otro lado."}, {"start": 219.5, "end": 224.5, "text": " Como ac\u00e1 est\u00e1n positivos, entonces van a llegar negativos."}, {"start": 224.5, "end": 232.5, "text": " Tendremos menos 10Y menos X y esto igual a 36."}, {"start": 232.5, "end": 240.5, "text": " Este n\u00famero que est\u00e1 negativo en el lado izquierdo llega positivo al lado derecho."}, {"start": 240.5, "end": 244.5, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a reducir t\u00e9rminos semejantes en este lado."}, {"start": 244.5, "end": 249.5, "text": " Tenemos, por ejemplo, estos dos que contienen la letra X."}, {"start": 249.5, "end": 254.5, "text": " Entonces 10X menos X nos da 9X."}, {"start": 254.5, "end": 259.5, "text": " Y tambi\u00e9n tenemos dos t\u00e9rminos que contienen la letra Y."}, {"start": 259.5, "end": 262.5, "text": " Entonces vamos a operarlos entre s\u00ed."}, {"start": 262.5, "end": 267.5, "text": " Y menos 10Y nos da como resultado menos 9Y."}, {"start": 267.5, "end": 271.5, "text": " Y todo esto queda igualado a 36."}, {"start": 271.5, "end": 274.5, "text": " Esta expresi\u00f3n podemos simplificarla."}, {"start": 274.5, "end": 280.5, "text": " Vemos que los n\u00fameros que tenemos all\u00ed son todos divisibles entre 9."}, {"start": 280.5, "end": 286.5, "text": " Entonces vamos a dividir por 9 ambos lados de la igualdad."}, {"start": 286.5, "end": 294.5, "text": " Esto quiere decir que cada uno de los componentes o de los t\u00e9rminos se va a dividir por 9."}, {"start": 294.5, "end": 299.5, "text": " Veamos el primero. 9X dividido entre 9 nos queda X."}, {"start": 299.5, "end": 305.5, "text": " Aqu\u00ed menos 9Y dividido entre 9 nos queda Y."}, {"start": 305.5, "end": 311.5, "text": " Y 36 dividido entre 9 nos da como resultado 4."}, {"start": 311.5, "end": 320.5, "text": " Y de esta manera obtenemos lo que es la ecuaci\u00f3n n\u00famero 2 para este problema."}, {"start": 320.5, "end": 326.5, "text": " Tenemos as\u00ed lo que se llama un sistema de ecuaciones de 2 por 2."}, {"start": 326.5, "end": 329.5, "text": " Dos ecuaciones con dos inc\u00f3gnitas."}, {"start": 329.5, "end": 332.5, "text": " Vamos a escribirlo por aqu\u00ed."}, {"start": 332.5, "end": 334.5, "text": " All\u00ed lo tenemos."}, {"start": 334.5, "end": 337.5, "text": " Y podemos resolverlo por diferentes m\u00e9todos."}, {"start": 337.5, "end": 343.5, "text": " Tenemos el de sustituci\u00f3n, el de igualaci\u00f3n, tambi\u00e9n el m\u00e9todo de eliminaci\u00f3n,"}, {"start": 343.5, "end": 348.5, "text": " conocido tambi\u00e9n como reducci\u00f3n o tambi\u00e9n m\u00e9todo de suma y resta."}, {"start": 348.5, "end": 355.5, "text": " Y contamos con otro m\u00e9todo que se llama el de la regla de Cramer o la soluci\u00f3n por determinantes."}, {"start": 355.5, "end": 361.5, "text": " De todos esos 4 m\u00e9todos que son los anal\u00edticos, o sea los de mayor precisi\u00f3n,"}, {"start": 361.5, "end": 367.5, "text": " vamos a escoger el m\u00e9todo de eliminaci\u00f3n o m\u00e9todo de suma y resta."}, {"start": 367.5, "end": 371.5, "text": " Porque como se observa la letra Y est\u00e1 f\u00e1cil de eliminar."}, {"start": 371.5, "end": 376.5, "text": " Tenemos aqu\u00ed la Y con signo positivo y ac\u00e1 con signo negativo."}, {"start": 376.5, "end": 383.5, "text": " Entonces eso nos favorece el hecho de utilizar el m\u00e9todo de eliminaci\u00f3n."}, {"start": 383.5, "end": 386.5, "text": " Hacemos entonces lo siguiente."}, {"start": 386.5, "end": 390.5, "text": " Escribimos ambas ecuaciones tal como est\u00e1n all\u00ed."}, {"start": 390.5, "end": 394.5, "text": " La primera X m\u00e1s Y igual a 14."}, {"start": 394.5, "end": 401.5, "text": " Y la segunda X menos Y igual a 4."}, {"start": 401.5, "end": 406.5, "text": " Y procedemos a sumar estas dos igualdades en forma vertical."}, {"start": 406.5, "end": 413.5, "text": " Comenzamos por la izquierda. X m\u00e1s X nos da 2X."}, {"start": 413.5, "end": 417.5, "text": " Y sumado con menos Y nos da 0."}, {"start": 417.5, "end": 422.5, "text": " Son t\u00e9rminos opuestos que se cancelan o se eliminan."}, {"start": 422.5, "end": 429.5, "text": " Y al otro lado de la igualdad tenemos 14 m\u00e1s 4 que nos da 18."}, {"start": 429.5, "end": 433.5, "text": " De all\u00ed vamos a despejar entonces la letra X."}, {"start": 433.5, "end": 440.5, "text": " Para ello pasamos este n\u00famero 2 que est\u00e1 multiplicando al otro lado a dividir."}, {"start": 440.5, "end": 443.5, "text": " Nos queda 18 dividido entre 2."}, {"start": 443.5, "end": 448.5, "text": " Y resolviendo esa divisi\u00f3n nos da como resultado 9."}, {"start": 448.5, "end": 453.5, "text": " Tenemos as\u00ed la primera inc\u00f3gnita de este problema."}, {"start": 453.5, "end": 456.5, "text": " Es decir el valor de X."}, {"start": 456.5, "end": 461.5, "text": " Para encontrar el valor de la otra inc\u00f3gnita que es Y."}, {"start": 461.5, "end": 466.5, "text": " Entonces vamos a cualquiera de las dos ecuaciones originales."}, {"start": 466.5, "end": 469.5, "text": " Miramos cu\u00e1l es m\u00e1s sencilla."}, {"start": 469.5, "end": 474.5, "text": " Entonces podemos reemplazar en la primera ecuaci\u00f3n."}, {"start": 474.5, "end": 477.5, "text": " Tenemos X que vale 9."}, {"start": 477.5, "end": 480.5, "text": " Eso m\u00e1s Y."}, {"start": 480.5, "end": 484.5, "text": " Y todo esto igual a 14."}, {"start": 484.5, "end": 490.5, "text": " Una ecuaci\u00f3n de donde nos queda sencillo despejar la inc\u00f3gnita Y."}, {"start": 490.5, "end": 496.5, "text": " Simplemente pasamos 9 que est\u00e1 sumando al otro lado a restar."}, {"start": 496.5, "end": 499.5, "text": " Nos queda 14 menos 9."}, {"start": 499.5, "end": 504.5, "text": " Y resolviendo esa operaci\u00f3n nos da Y igual a 5."}, {"start": 504.5, "end": 508.5, "text": " O sea el valor de la otra inc\u00f3gnita."}, {"start": 508.5, "end": 513.5, "text": " Bien de esta manera conocemos ya los resultados."}, {"start": 513.5, "end": 515.5, "text": " O sea los valores de las inc\u00f3gnitas."}, {"start": 515.5, "end": 519.5, "text": " Y podemos dar la respuesta al problema."}, {"start": 519.5, "end": 524.5, "text": " Como X es la cifra de las decenas que es 9."}, {"start": 524.5, "end": 529.5, "text": " Y es la cifra de las unidades que es 5."}, {"start": 529.5, "end": 535.5, "text": " Entonces decimos que el n\u00famero que buscamos es 95."}, {"start": 535.5, "end": 549.5, "text": " De esta manera terminamos."}]

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Problema 2 de OPTIMIZACIÓN

#julioprofe explica cómo resolver un problema de optimización: Una ventana tiene forma de rectángulo coronado por un triángulo equilátero. Encuentre las dimensiones del rectángulo para que la ventana permita la máxima entrada de luz, si el perímetro de la misma debe ser 12 metros. Tema: #Derivadas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwF9r-Y_Gpuq45VP0qnJIJL1 REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Una ventana tiene forma de rectángulo coronado por un triángulo equilátero. Encuentre las dimensiones del rectángulo para que la ventana permita la máxima entrada de luz si el perímetro de la misma debe ser 12 metros. Bien, vamos a resolver este problema de optimización que es una de las aplicaciones de la derivada. Comenzamos haciendo un dibujo de la ventana. Vemos que tiene la forma de un rectángulo coronado por un triángulo equilátero. Vamos a llamar X a lo que es la base del rectángulo y vamos a llamar Y a su altura. Tenemos que este lado X será este mismo, o sea la base del triángulo equilátero. Por ser ese tipo de triángulo sabemos que sus lados son iguales. Entonces, si este lado es X, ese también será X y lo mismo este de acá. Esta medida Y podemos marcarla también en este lado. Con esta información ya podemos armar la primera expresión que corresponde al perímetro de la figura. Nos dice el enunciado que la ventana tiene un perímetro de 12 metros. Entonces, recordemos que el perímetro es el contorno de la figura y se obtiene sumando sus lados. Comencemos por acá. X más Y más otra vez X más de nuevo X más Y y esto lo igualamos a 12 metros o simplemente 12. Hacemos la aclaración de que en este problema X y Y son medidas en metros. Tenemos entonces que esta expresión representa el perímetro de la ventana. Vamos a reducir términos semejantes. Tenemos estas tres letras X que al sumarlas nos da 3X y también tenemos estas letras Y que al sumarlas nos da 2Y. Tenemos que esto es igual a 12. Esta primera expresión vamos a escribirla por acá. 3X más 2Y igual a 12 y la vamos a llamar como la expresión número 1. El problema nos pide encontrar las dimensiones de la parte rectangular, o sea X y Y de tal manera que la ventana permita la máxima entrada de luz. En otras palabras tenemos que maximizar el área de la ventana. Entonces vamos a encontrar una expresión para el área A de dicha ventana. Como decíamos al principio ella se compone de un rectángulo. Entonces tenemos área del rectángulo y un triángulo equilátero. Entonces más el área de ese triángulo. Para el caso del rectángulo sabemos que su área es base por altura. En este caso X por Y. Y para el caso del triángulo equilátero como conocemos el valor de su lado que es X la expresión es X al cuadrado raíz de 3 sobre 4. Esta es digamos la fórmula que nos permite expresar el área de un triángulo equilátero en términos de su lado que en este caso es X. Esta expresión la podemos escribir así A igual a X por Y que es X Y. Y por acá resolvemos en calculadora raíz cuadrada de 3 sobre 4. Eso nos da 0.43 aproximando a dos decimales y ese número queda acompañado de X al cuadrado. Esta nueva expresión vamos a escribirla por acá. Tenemos que A es igual a X Y más 0.43 X al cuadrado y será la expresión que vamos a llamar como número 2. En esta etapa del ejercicio ya tenemos una expresión para lo que queremos optimizar que es el área de la ventana queremos maximizarla. Sin embargo tenemos un pequeño problema el área está dependiendo de dos variables que son X y Y y necesitamos que dependa solamente de una. Para solucionar ese problema podemos recurrir a la expresión número 1 y hacer el despeje de X o de Y. Vemos que es más conveniente despejar Y para que luego el área nos quede únicamente en términos de X. Entonces de la expresión 1 vamos a despejar la Y. Primero aislamos el término 2Y. Eso nos queda igual a 12 menos 3X. Este término que está positivo pasa al otro lado con signo negativo. Ahora este número 2 que está multiplicando pasa al otro lado a dividir. Nos queda Y igual a 12 menos 3X y todo esto sobre 2. Allí podemos repartir este número 2 para cada uno de los términos que tenemos en el numerador. Tendremos Y igual a 12 medios menos 3X medios. Podemos simplificar estas fracciones de tal manera que esta expresión nos queda como Y igual a 12 medios que es 6 menos 3 medios que es 1.5 y ese número acompañado de X. Tenemos así una nueva expresión que vamos a llamar la número 3. Es el despeje de la letra Y de la expresión número 1. Ahora lo que vamos a hacer es reemplazar la expresión número 3 en la número 2. Es decir que Y que equivale a esta expresión vamos a sustituirla aquí. Tendremos entonces que A es igual a X que multiplica a la expresión que representa la letra Y. 6 menos 1.5X eso lo protegemos con paréntesis y todo esto más 0.43X al cuadrado. A continuación vamos a destruir este paréntesis. Aplicamos entonces la propiedad distributiva. Tenemos A igual a X por 6 que es 6X menos X por 1.5X que será 1.5X al cuadrado y esto más 0.43X al cuadrado. En esta expresión podemos operar estos dos términos semejantes. Ambos contienen X al cuadrado entonces nos va a quedar de la siguiente manera. A igual a 6X y la operación de estos dos términos nos da menos 1.07X al cuadrado. Tenemos así una nueva expresión que vamos a llamar la número 4. De esta manera ya hemos conseguido expresar el área A de la ventana en términos de una sola variable que es X. Esto es lo que llamamos A de X o sea A como función de X y también es lo que conocemos como la función objetivo. O sea aquella que queremos optimizar en este problema. Queremos encontrar cuando X produce el valor máximo. Procedemos entonces a encontrar la primera y segunda derivada de esta función. Vamos a escribirlas por acá. Primera derivada o sea A' de X será igual a lo siguiente. Como tenemos una resta entonces derivamos cada término. La derivada de 6X nos da 6 y la derivada del otro término nos da 2 por 1.07 que es 2.14 y eso por X. Recordemos que al exponente le restamos una unidad y por eso nos queda aquí exponente 1 invisible. De aquí vamos a obtener ahora la segunda derivada o sea A' de X. Entonces derivamos de nuevo esta expresión. Derivada de 6 nos da 0 por ser una constante y la derivada de este término nos da como resultado 2.14. A continuación vamos a encontrar el valor o los valores de X que producen los puntos críticos de la función objetivo. O sea los candidatos a maximizar o minimizar el área A. Para ello tomamos la primera derivada y la igualamos a 0. Entonces tenemos A' de X igual a 0 es decir la expresión 6 menos 2.14X igual a 0. Una ecuación de primer grado con una incógnita donde tenemos que despejar X. Aislamos primero este término nos queda menos 2.14X igual a menos 6. Este término que está positivo llega al otro lado negativo. Ahora vamos a despejar X. Para ello este número que está multiplicando pasa al otro lado a dividir y conserva su mismo signo. Tenemos menos 6 sobre menos 2.14. Y resolviendo esa operación en la calculadora nos da aproximadamente 2.80 positivo. Recordemos que X es un valor en metros. Como decíamos este valor de X es el que produce punto crítico en la función objetivo. O sea en la función del área de la ventana. Si queremos verificar cuál es la naturaleza de ese valor crítico. Es decir si produce un máximo o un mínimo. Entonces recurrimos a la segunda derivada. Aquí vemos claramente que si se evalúa este número aquí en la segunda derivada. Vamos a obtener como resultado menos 2.14. O sea un valor negativo. Eso quiere decir que en ese punto la función es cóncava hacia abajo. Y está produciendo un valor máximo. Entonces esto nos da la tranquilidad de saber que X igual a 2.80 metros está maximizando la función objetivo. Como el problema nos está pidiendo las dimensiones de la parte rectangular. Para que el área de la ventana sea máxima. Entonces nos hace falta encontrar el valor de Y. Es allí cuando vamos a la expresión que habíamos llamado número 3. Donde tenemos despejada la letra Y en términos de X. Y X ya conocemos su valor. Entonces tendremos que Y es igual a 6 menos 1.5 por el valor de X que es 2.80. Resolvemos esas operaciones. Tenemos 6 menos este producto que nos da 4.2 en calculadora. Y haciendo esta resta obtenemos como resultado 1.80 que también está en metros. De esta manera encontramos el valor de Y. Y así terminamos el problema. Vamos a colocar por acá la respuesta a la pregunta. Decimos que para la parte rectangular de la ventana su base debe ser 2.80 metros. Y su altura debe ser 1.80 metros. Son las dimensiones de la parte rectangular para que esa ventana permita la máxima entrada de luz. O sea para que tenga su área máxima.

[{"start": 0.0, "end": 6.12, "text": " Una ventana tiene forma de rect\u00e1ngulo coronado por un tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero."}, {"start": 6.12, "end": 12.6, "text": " Encuentre las dimensiones del rect\u00e1ngulo para que la ventana permita la m\u00e1xima entrada de luz"}, {"start": 12.6, "end": 17.2, "text": " si el per\u00edmetro de la misma debe ser 12 metros."}, {"start": 17.2, "end": 25.2, "text": " Bien, vamos a resolver este problema de optimizaci\u00f3n que es una de las aplicaciones de la derivada."}, {"start": 25.2, "end": 29.0, "text": " Comenzamos haciendo un dibujo de la ventana."}, {"start": 29.0, "end": 35.6, "text": " Vemos que tiene la forma de un rect\u00e1ngulo coronado por un tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero."}, {"start": 35.6, "end": 44.8, "text": " Vamos a llamar X a lo que es la base del rect\u00e1ngulo y vamos a llamar Y a su altura."}, {"start": 44.8, "end": 52.0, "text": " Tenemos que este lado X ser\u00e1 este mismo, o sea la base del tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero."}, {"start": 52.0, "end": 57.0, "text": " Por ser ese tipo de tri\u00e1ngulo sabemos que sus lados son iguales."}, {"start": 57.0, "end": 63.8, "text": " Entonces, si este lado es X, ese tambi\u00e9n ser\u00e1 X y lo mismo este de ac\u00e1."}, {"start": 63.8, "end": 69.4, "text": " Esta medida Y podemos marcarla tambi\u00e9n en este lado."}, {"start": 69.4, "end": 78.2, "text": " Con esta informaci\u00f3n ya podemos armar la primera expresi\u00f3n que corresponde al per\u00edmetro de la figura."}, {"start": 78.2, "end": 84.6, "text": " Nos dice el enunciado que la ventana tiene un per\u00edmetro de 12 metros."}, {"start": 84.6, "end": 92.6, "text": " Entonces, recordemos que el per\u00edmetro es el contorno de la figura y se obtiene sumando sus lados."}, {"start": 92.6, "end": 94.19999999999999, "text": " Comencemos por ac\u00e1."}, {"start": 94.19999999999999, "end": 113.39999999999999, "text": " X m\u00e1s Y m\u00e1s otra vez X m\u00e1s de nuevo X m\u00e1s Y y esto lo igualamos a 12 metros o simplemente 12."}, {"start": 113.4, "end": 120.4, "text": " Hacemos la aclaraci\u00f3n de que en este problema X y Y son medidas en metros."}, {"start": 120.4, "end": 126.2, "text": " Tenemos entonces que esta expresi\u00f3n representa el per\u00edmetro de la ventana."}, {"start": 126.2, "end": 129.20000000000002, "text": " Vamos a reducir t\u00e9rminos semejantes."}, {"start": 129.20000000000002, "end": 141.20000000000002, "text": " Tenemos estas tres letras X que al sumarlas nos da 3X y tambi\u00e9n tenemos estas letras Y que al sumarlas nos da 2Y."}, {"start": 141.2, "end": 144.79999999999998, "text": " Tenemos que esto es igual a 12."}, {"start": 144.79999999999998, "end": 149.2, "text": " Esta primera expresi\u00f3n vamos a escribirla por ac\u00e1."}, {"start": 149.2, "end": 164.2, "text": " 3X m\u00e1s 2Y igual a 12 y la vamos a llamar como la expresi\u00f3n n\u00famero 1."}, {"start": 164.2, "end": 176.0, "text": " El problema nos pide encontrar las dimensiones de la parte rectangular, o sea X y Y de tal manera que la ventana permita la m\u00e1xima entrada de luz."}, {"start": 176.0, "end": 181.0, "text": " En otras palabras tenemos que maximizar el \u00e1rea de la ventana."}, {"start": 181.0, "end": 188.2, "text": " Entonces vamos a encontrar una expresi\u00f3n para el \u00e1rea A de dicha ventana."}, {"start": 188.2, "end": 193.0, "text": " Como dec\u00edamos al principio ella se compone de un rect\u00e1ngulo."}, {"start": 193.0, "end": 198.6, "text": " Entonces tenemos \u00e1rea del rect\u00e1ngulo y un tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero."}, {"start": 198.6, "end": 203.2, "text": " Entonces m\u00e1s el \u00e1rea de ese tri\u00e1ngulo."}, {"start": 203.2, "end": 210.2, "text": " Para el caso del rect\u00e1ngulo sabemos que su \u00e1rea es base por altura."}, {"start": 210.2, "end": 212.8, "text": " En este caso X por Y."}, {"start": 212.8, "end": 225.0, "text": " Y para el caso del tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero como conocemos el valor de su lado que es X la expresi\u00f3n es X al cuadrado ra\u00edz de 3 sobre 4."}, {"start": 225.0, "end": 237.20000000000002, "text": " Esta es digamos la f\u00f3rmula que nos permite expresar el \u00e1rea de un tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero en t\u00e9rminos de su lado que en este caso es X."}, {"start": 237.2, "end": 244.79999999999998, "text": " Esta expresi\u00f3n la podemos escribir as\u00ed A igual a X por Y que es X Y."}, {"start": 244.79999999999998, "end": 250.39999999999998, "text": " Y por ac\u00e1 resolvemos en calculadora ra\u00edz cuadrada de 3 sobre 4."}, {"start": 250.39999999999998, "end": 260.4, "text": " Eso nos da 0.43 aproximando a dos decimales y ese n\u00famero queda acompa\u00f1ado de X al cuadrado."}, {"start": 260.4, "end": 265.2, "text": " Esta nueva expresi\u00f3n vamos a escribirla por ac\u00e1."}, {"start": 265.2, "end": 281.8, "text": " Tenemos que A es igual a X Y m\u00e1s 0.43 X al cuadrado y ser\u00e1 la expresi\u00f3n que vamos a llamar como n\u00famero 2."}, {"start": 281.8, "end": 292.2, "text": " En esta etapa del ejercicio ya tenemos una expresi\u00f3n para lo que queremos optimizar que es el \u00e1rea de la ventana queremos maximizarla."}, {"start": 292.2, "end": 303.0, "text": " Sin embargo tenemos un peque\u00f1o problema el \u00e1rea est\u00e1 dependiendo de dos variables que son X y Y y necesitamos que dependa solamente de una."}, {"start": 303.0, "end": 311.4, "text": " Para solucionar ese problema podemos recurrir a la expresi\u00f3n n\u00famero 1 y hacer el despeje de X o de Y."}, {"start": 311.4, "end": 320.2, "text": " Vemos que es m\u00e1s conveniente despejar Y para que luego el \u00e1rea nos quede \u00fanicamente en t\u00e9rminos de X."}, {"start": 320.2, "end": 324.2, "text": " Entonces de la expresi\u00f3n 1 vamos a despejar la Y."}, {"start": 324.2, "end": 327.4, "text": " Primero aislamos el t\u00e9rmino 2Y."}, {"start": 327.4, "end": 332.2, "text": " Eso nos queda igual a 12 menos 3X."}, {"start": 332.2, "end": 338.2, "text": " Este t\u00e9rmino que est\u00e1 positivo pasa al otro lado con signo negativo."}, {"start": 338.2, "end": 344.0, "text": " Ahora este n\u00famero 2 que est\u00e1 multiplicando pasa al otro lado a dividir."}, {"start": 344.0, "end": 350.8, "text": " Nos queda Y igual a 12 menos 3X y todo esto sobre 2."}, {"start": 350.8, "end": 358.0, "text": " All\u00ed podemos repartir este n\u00famero 2 para cada uno de los t\u00e9rminos que tenemos en el numerador."}, {"start": 358.0, "end": 365.8, "text": " Tendremos Y igual a 12 medios menos 3X medios."}, {"start": 365.8, "end": 376.8, "text": " Podemos simplificar estas fracciones de tal manera que esta expresi\u00f3n nos queda como Y igual a 12 medios que es 6"}, {"start": 376.8, "end": 384.8, "text": " menos 3 medios que es 1.5 y ese n\u00famero acompa\u00f1ado de X."}, {"start": 384.8, "end": 391.6, "text": " Tenemos as\u00ed una nueva expresi\u00f3n que vamos a llamar la n\u00famero 3."}, {"start": 391.6, "end": 398.0, "text": " Es el despeje de la letra Y de la expresi\u00f3n n\u00famero 1."}, {"start": 398.0, "end": 404.0, "text": " Ahora lo que vamos a hacer es reemplazar la expresi\u00f3n n\u00famero 3 en la n\u00famero 2."}, {"start": 404.0, "end": 410.0, "text": " Es decir que Y que equivale a esta expresi\u00f3n vamos a sustituirla aqu\u00ed."}, {"start": 410.0, "end": 419.0, "text": " Tendremos entonces que A es igual a X que multiplica a la expresi\u00f3n que representa la letra Y."}, {"start": 419.0, "end": 430.0, "text": " 6 menos 1.5X eso lo protegemos con par\u00e9ntesis y todo esto m\u00e1s 0.43X al cuadrado."}, {"start": 430.0, "end": 434.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a destruir este par\u00e9ntesis."}, {"start": 434.0, "end": 438.0, "text": " Aplicamos entonces la propiedad distributiva."}, {"start": 438.0, "end": 457.0, "text": " Tenemos A igual a X por 6 que es 6X menos X por 1.5X que ser\u00e1 1.5X al cuadrado y esto m\u00e1s 0.43X al cuadrado."}, {"start": 457.0, "end": 462.0, "text": " En esta expresi\u00f3n podemos operar estos dos t\u00e9rminos semejantes."}, {"start": 462.0, "end": 468.0, "text": " Ambos contienen X al cuadrado entonces nos va a quedar de la siguiente manera."}, {"start": 468.0, "end": 480.0, "text": " A igual a 6X y la operaci\u00f3n de estos dos t\u00e9rminos nos da menos 1.07X al cuadrado."}, {"start": 480.0, "end": 489.0, "text": " Tenemos as\u00ed una nueva expresi\u00f3n que vamos a llamar la n\u00famero 4."}, {"start": 489.0, "end": 498.0, "text": " De esta manera ya hemos conseguido expresar el \u00e1rea A de la ventana en t\u00e9rminos de una sola variable que es X."}, {"start": 498.0, "end": 508.0, "text": " Esto es lo que llamamos A de X o sea A como funci\u00f3n de X y tambi\u00e9n es lo que conocemos como la funci\u00f3n objetivo."}, {"start": 508.0, "end": 513.0, "text": " O sea aquella que queremos optimizar en este problema."}, {"start": 513.0, "end": 518.0, "text": " Queremos encontrar cuando X produce el valor m\u00e1ximo."}, {"start": 518.0, "end": 525.0, "text": " Procedemos entonces a encontrar la primera y segunda derivada de esta funci\u00f3n."}, {"start": 525.0, "end": 527.0, "text": " Vamos a escribirlas por ac\u00e1."}, {"start": 527.0, "end": 533.0, "text": " Primera derivada o sea A' de X ser\u00e1 igual a lo siguiente."}, {"start": 533.0, "end": 537.0, "text": " Como tenemos una resta entonces derivamos cada t\u00e9rmino."}, {"start": 537.0, "end": 550.0, "text": " La derivada de 6X nos da 6 y la derivada del otro t\u00e9rmino nos da 2 por 1.07 que es 2.14 y eso por X."}, {"start": 550.0, "end": 558.0, "text": " Recordemos que al exponente le restamos una unidad y por eso nos queda aqu\u00ed exponente 1 invisible."}, {"start": 558.0, "end": 567.0, "text": " De aqu\u00ed vamos a obtener ahora la segunda derivada o sea A' de X."}, {"start": 567.0, "end": 570.0, "text": " Entonces derivamos de nuevo esta expresi\u00f3n."}, {"start": 570.0, "end": 582.0, "text": " Derivada de 6 nos da 0 por ser una constante y la derivada de este t\u00e9rmino nos da como resultado 2.14."}, {"start": 582.0, "end": 590.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a encontrar el valor o los valores de X que producen los puntos cr\u00edticos de la funci\u00f3n objetivo."}, {"start": 590.0, "end": 596.0, "text": " O sea los candidatos a maximizar o minimizar el \u00e1rea A."}, {"start": 596.0, "end": 602.0, "text": " Para ello tomamos la primera derivada y la igualamos a 0."}, {"start": 602.0, "end": 614.0, "text": " Entonces tenemos A' de X igual a 0 es decir la expresi\u00f3n 6 menos 2.14X igual a 0."}, {"start": 614.0, "end": 622.0, "text": " Una ecuaci\u00f3n de primer grado con una inc\u00f3gnita donde tenemos que despejar X."}, {"start": 622.0, "end": 630.0, "text": " Aislamos primero este t\u00e9rmino nos queda menos 2.14X igual a menos 6."}, {"start": 630.0, "end": 635.0, "text": " Este t\u00e9rmino que est\u00e1 positivo llega al otro lado negativo."}, {"start": 635.0, "end": 638.0, "text": " Ahora vamos a despejar X."}, {"start": 638.0, "end": 647.0, "text": " Para ello este n\u00famero que est\u00e1 multiplicando pasa al otro lado a dividir y conserva su mismo signo."}, {"start": 647.0, "end": 653.0, "text": " Tenemos menos 6 sobre menos 2.14."}, {"start": 653.0, "end": 662.0, "text": " Y resolviendo esa operaci\u00f3n en la calculadora nos da aproximadamente 2.80 positivo."}, {"start": 662.0, "end": 667.0, "text": " Recordemos que X es un valor en metros."}, {"start": 667.0, "end": 674.0, "text": " Como dec\u00edamos este valor de X es el que produce punto cr\u00edtico en la funci\u00f3n objetivo."}, {"start": 674.0, "end": 678.0, "text": " O sea en la funci\u00f3n del \u00e1rea de la ventana."}, {"start": 678.0, "end": 683.0, "text": " Si queremos verificar cu\u00e1l es la naturaleza de ese valor cr\u00edtico."}, {"start": 683.0, "end": 687.0, "text": " Es decir si produce un m\u00e1ximo o un m\u00ednimo."}, {"start": 687.0, "end": 691.0, "text": " Entonces recurrimos a la segunda derivada."}, {"start": 691.0, "end": 697.0, "text": " Aqu\u00ed vemos claramente que si se eval\u00faa este n\u00famero aqu\u00ed en la segunda derivada."}, {"start": 697.0, "end": 701.0, "text": " Vamos a obtener como resultado menos 2.14."}, {"start": 701.0, "end": 703.0, "text": " O sea un valor negativo."}, {"start": 703.0, "end": 709.0, "text": " Eso quiere decir que en ese punto la funci\u00f3n es c\u00f3ncava hacia abajo."}, {"start": 709.0, "end": 713.0, "text": " Y est\u00e1 produciendo un valor m\u00e1ximo."}, {"start": 713.0, "end": 724.0, "text": " Entonces esto nos da la tranquilidad de saber que X igual a 2.80 metros est\u00e1 maximizando la funci\u00f3n objetivo."}, {"start": 724.0, "end": 730.0, "text": " Como el problema nos est\u00e1 pidiendo las dimensiones de la parte rectangular."}, {"start": 730.0, "end": 734.0, "text": " Para que el \u00e1rea de la ventana sea m\u00e1xima."}, {"start": 734.0, "end": 738.0, "text": " Entonces nos hace falta encontrar el valor de Y."}, {"start": 738.0, "end": 743.0, "text": " Es all\u00ed cuando vamos a la expresi\u00f3n que hab\u00edamos llamado n\u00famero 3."}, {"start": 743.0, "end": 747.0, "text": " Donde tenemos despejada la letra Y en t\u00e9rminos de X."}, {"start": 747.0, "end": 750.0, "text": " Y X ya conocemos su valor."}, {"start": 750.0, "end": 762.0, "text": " Entonces tendremos que Y es igual a 6 menos 1.5 por el valor de X que es 2.80."}, {"start": 762.0, "end": 765.0, "text": " Resolvemos esas operaciones."}, {"start": 765.0, "end": 771.0, "text": " Tenemos 6 menos este producto que nos da 4.2 en calculadora."}, {"start": 771.0, "end": 781.0, "text": " Y haciendo esta resta obtenemos como resultado 1.80 que tambi\u00e9n est\u00e1 en metros."}, {"start": 781.0, "end": 785.0, "text": " De esta manera encontramos el valor de Y."}, {"start": 785.0, "end": 788.0, "text": " Y as\u00ed terminamos el problema."}, {"start": 788.0, "end": 793.0, "text": " Vamos a colocar por ac\u00e1 la respuesta a la pregunta."}, {"start": 793.0, "end": 805.0, "text": " Decimos que para la parte rectangular de la ventana su base debe ser 2.80 metros."}, {"start": 805.0, "end": 814.0, "text": " Y su altura debe ser 1.80 metros."}, {"start": 814.0, "end": 823.0, "text": " Son las dimensiones de la parte rectangular para que esa ventana permita la m\u00e1xima entrada de luz."}, {"start": 823.0, "end": 852.0, "text": " O sea para que tenga su \u00e1rea m\u00e1xima."}]

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CAÍDA LIBRE - Problema 1

#julioprofe explica cómo resolver un problema sobre caída libre: Desde un acantilado de 50 m de altura se deja caer una piedra. (a) ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo? (b) ¿Con qué rapidez impacta en el suelo? (c) ¿Qué distancia recorre en el último segundo de su caída? REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

Desde un acantilado de 50 metros de altura se deja caer una piedra. A. ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo? B. ¿Con qué rapidez impacta en el suelo? C. ¿Qué distancia recorre en el último segundo de su caída? Bien, comenzamos haciendo un dibujo de la situación. Tenemos allí el acantilado que tiene una altura de 50 metros. La piedra se deja caer desde este punto. O sea que allí tenemos el tiempo cero y también tendremos velocidad inicial igual a cero. Porque la piedra se libera desde el reposo. Simplemente se deja caer. Nos pregunta el problema que ¿cuánto tiempo tarda la piedra en llegar al suelo? Es decir que cuando está aquí, justo antes de hacer impacto con el suelo, ¿cuánto tiempo ha transcurrido? Vamos a llamar ese instante de tiempo como t sub c. O sea tiempo de caída. La otra pregunta que nos hacen es ¿con qué rapidez hace impacto la piedra con el suelo? Entonces en este instante vamos a tener un vector velocidad dirigido hacia abajo que lo vamos a llamar velocidad final. Su módulo será la rapidez con que la piedra impacta en el suelo. La otra pregunta que nos hace el problema es encontrar la distancia que recorre en el último segundo de su caída. Es decir que puede ser en este lugar cuando la piedra está cayendo de aquí hasta que hace contacto con el suelo transcurre un segundo. Entonces vamos a llamar este instante de tiempo como tiempo de caída. O sea t sub c menos un segundo. Necesitamos encontrar esta distancia que recorre la piedra. Y podemos llamarla la altura h. Aquí vamos a señalarla. Bien, para trabajar este problema es recomendable elegir un marco de referencia. Como se trata de un movimiento vertical el más conveniente es el eje y. Entonces vamos a trazar por aquí un eje y de tal forma que su coordenada cero coincida con el suelo. Y podamos trabajar siempre posiciones positivas en dicho marco de referencia. Bien, aquí lo tenemos. El eje y con su marca cero coincidiendo con el suelo. Ese eje y nos va a determinar las posiciones de este movimiento vertical expresadas en metros. Como sabemos que la altura del acantilado es 50 metros. Entonces aquí tenemos la marca 50. Y como hemos dicho la distancia que recorre en el último segundo de su trayectoria para la piedra es h. Entonces aquí vamos a marcar la letra h como la coordenada que hay por encima de cero. Y es la distancia que recorre la piedra en el último segundo. Por el marco de referencia ya establecido y con los datos del problema acá en el dibujo. Ya podemos proceder a encontrar lo que son las ecuaciones cinemáticas para este movimiento vertical. Que se trata del fenómeno de caída libre. Comenzamos entonces con la ecuación de posición que será y igual a menos un medio de la gravedad por el tiempo al cuadrado. Más la velocidad inicial en y por el tiempo. Más la posición inicial en y que se llama y sub cero. Este es el modelo para la posición en y o la posición vertical de esta piedra en su movimiento de caída libre. Vamos a reemplazar aquí los datos que conocemos. Tendremos y igual a menos un medio por la gravedad que vamos a tomar como 9.8 metros por segundo cuadrado. Esto por el tiempo al cuadrado más la velocidad inicial en y. O sea la velocidad en el instante cero que es cero. Porque recordemos que la piedra parte del reposo. Cero por t y esto más y sub cero. O sea la posición inicial de la piedra en el instante cero. Que como observamos es 50. Entonces y sub cero vale 50. Resolvemos aquí esta operación. Tendremos y igual a menos un medio por 9.8 que nos da menos 4.9 t cuadrado. Cero por t esto nos da como resultado cero. Y nos queda más 50. Entonces de esta manera hemos encontrado la primera ecuación cinemática. Vamos a llamarla ecuación número uno. Y corresponde a la posición en y de la piedra en su movimiento de caída libre. Ahora vamos a determinar la ecuación cinemática para la velocidad. O sea la que nos da la velocidad de la piedra en cualquier instante de su movimiento. El modelo dice así. Velocidad en y será igual a menos gravedad por tiempo más velocidad inicial en y. Entonces reemplazamos los datos que conocemos. Como dijimos la gravedad la vamos a tomar como 9.8 metros por segundo cuadrado. Eso por el tiempo más la velocidad inicial en y. O sea cero. Y de esta manera tenemos que la velocidad en y en cualquier instante será menos 9.8 t. Esa ecuación vamos a escribirla por acá. Entonces de esa manera tenemos la expresión número dos. Y así hemos conformado las ecuaciones cinemáticas para este movimiento. La que nos describen la posición y la velocidad de la piedra en cualquier instante. Con esta información ya podemos hacer las siguientes consideraciones. Decimos entonces que cuando el tiempo es igual al tiempo de caída. O sea en este instante tenemos que la posición en y de la piedra es cero. Claro porque es el momento en que la piedra hace contacto con el suelo. Como tenemos información de las letras y y t. Entonces utilizamos la expresión número uno. Vamos entonces a reemplazar allí los datos. Y vale cero. Esto es igual a menos 4.9 por el tiempo que es tiempo de caída. Y eso al cuadrado más 50. De esta ecuación vamos a despejar el tiempo de caída. Entonces ese término que está negativo lo pasamos al otro lado como positivo. Tendremos 4.9 por tiempo de caída al cuadrado igual a 50. De allí despejamos tiempo de caída al cuadrado. Entonces 4.9 que está multiplicando pasa al otro lado a dividir. Nos queda 50 sobre 4.9. Resolviendo esta operación en calculadora tenemos que tiempo de caída al cuadrado es igual a 10.20. Y para despejar el tiempo de caída entonces tomamos la raíz cuadrada positiva de 10.20. Resolviendo esto en la calculadora tenemos como resultado tiempo de caída igual a 3.19 segundos. De esta manera respondemos a la primera pregunta de este problema. Es la respuesta a la pregunta A. Vamos a escribir ese resultado acá en el dibujo. Tenemos tiempo de caída de la piedra igual a 3.19 segundos. Ahora vamos a mirar otra consideración del ejercicio. Decimos que cuando el tiempo es igual al tiempo de caída que ya lo conocemos 3.19 segundos. Entonces en ese instante la velocidad en y de la piedra será su velocidad final. Entonces como tenemos información de b sub y y tiempo utilizamos la ecuación cinemática número 2. Reemplazamos entonces aquí los datos. Velocidad en y es velocidad final igual a menos 9.8 por t que es el tiempo de caída o sea 3.19 segundos. Resolviendo esta operación tenemos como resultado menos 31.26 y las unidades son metros por segundo por tratarse de una velocidad. El signo negativo de este resultado nos confirma el hecho de que se trata de un vector dirigido hacia abajo. O sea el vector velocidad final de la piedra. Y su módulo que es lo que nos está preguntando el ejercicio es 31.26 metros por segundo. Será entonces la rapidez con que la piedra impacta en el suelo. Para responder a la pregunta c es decir que distancia recorre la piedra en el último segundo de su caída. Entonces ya podemos establecer cuál es el valor de este instante de tiempo. Dijimos que es el tiempo de caída menos un segundo o sea 3.19 menos uno. Esto nos da como resultado 2.19 segundos. Entonces con esta información vamos a la siguiente consideración. Decimos cuando el tiempo es igual a 2.19 segundos tenemos que la posición de la piedra es y igual a h. O sea la altura que tiene sobre el suelo en ese momento. Como tenemos información de las variables y y t entonces utilizamos la ecuación número uno. Tenemos y que es h igual a menos 4.9 por el tiempo al cuadrado. Pero el tiempo es 2.19 esto al cuadrado y todo eso más 50. Resolviendo esta operación en calculadora es decir menos 4.9 por 2.19 al cuadrado. Tenemos como resultado menos 23.50 y esto sumado con 50. Finalmente hacemos esta operación y encontramos el valor de h que es 26.50 metros. Así encontramos la respuesta a la pregunta C del problema. Es la distancia que recorre la piedra en el último segundo de su trayectoria. De esta manera hemos terminado. Tenemos el tiempo de caída de la piedra su rapidez cuando hace impacto con el suelo y la distancia que recorre en el último segundo de su caída.

[{"start": 0.0, "end": 6.0, "text": " Desde un acantilado de 50 metros de altura se deja caer una piedra."}, {"start": 6.0, "end": 9.0, "text": " A. \u00bfCu\u00e1nto tiempo tarda en llegar al suelo?"}, {"start": 9.0, "end": 13.0, "text": " B. \u00bfCon qu\u00e9 rapidez impacta en el suelo?"}, {"start": 13.0, "end": 19.0, "text": " C. \u00bfQu\u00e9 distancia recorre en el \u00faltimo segundo de su ca\u00edda?"}, {"start": 19.0, "end": 23.0, "text": " Bien, comenzamos haciendo un dibujo de la situaci\u00f3n."}, {"start": 23.0, "end": 28.0, "text": " Tenemos all\u00ed el acantilado que tiene una altura de 50 metros."}, {"start": 28.0, "end": 32.0, "text": " La piedra se deja caer desde este punto."}, {"start": 32.0, "end": 41.0, "text": " O sea que all\u00ed tenemos el tiempo cero y tambi\u00e9n tendremos velocidad inicial igual a cero."}, {"start": 41.0, "end": 46.0, "text": " Porque la piedra se libera desde el reposo."}, {"start": 46.0, "end": 49.0, "text": " Simplemente se deja caer."}, {"start": 49.0, "end": 55.0, "text": " Nos pregunta el problema que \u00bfcu\u00e1nto tiempo tarda la piedra en llegar al suelo?"}, {"start": 55.0, "end": 64.0, "text": " Es decir que cuando est\u00e1 aqu\u00ed, justo antes de hacer impacto con el suelo, \u00bfcu\u00e1nto tiempo ha transcurrido?"}, {"start": 64.0, "end": 68.0, "text": " Vamos a llamar ese instante de tiempo como t sub c."}, {"start": 68.0, "end": 71.0, "text": " O sea tiempo de ca\u00edda."}, {"start": 71.0, "end": 78.0, "text": " La otra pregunta que nos hacen es \u00bfcon qu\u00e9 rapidez hace impacto la piedra con el suelo?"}, {"start": 78.0, "end": 87.0, "text": " Entonces en este instante vamos a tener un vector velocidad dirigido hacia abajo que lo vamos a llamar velocidad final."}, {"start": 87.0, "end": 94.0, "text": " Su m\u00f3dulo ser\u00e1 la rapidez con que la piedra impacta en el suelo."}, {"start": 94.0, "end": 103.0, "text": " La otra pregunta que nos hace el problema es encontrar la distancia que recorre en el \u00faltimo segundo de su ca\u00edda."}, {"start": 103.0, "end": 116.0, "text": " Es decir que puede ser en este lugar cuando la piedra est\u00e1 cayendo de aqu\u00ed hasta que hace contacto con el suelo transcurre un segundo."}, {"start": 116.0, "end": 121.0, "text": " Entonces vamos a llamar este instante de tiempo como tiempo de ca\u00edda."}, {"start": 121.0, "end": 124.0, "text": " O sea t sub c menos un segundo."}, {"start": 124.0, "end": 129.0, "text": " Necesitamos encontrar esta distancia que recorre la piedra."}, {"start": 129.0, "end": 133.0, "text": " Y podemos llamarla la altura h."}, {"start": 133.0, "end": 136.0, "text": " Aqu\u00ed vamos a se\u00f1alarla."}, {"start": 136.0, "end": 142.0, "text": " Bien, para trabajar este problema es recomendable elegir un marco de referencia."}, {"start": 142.0, "end": 148.0, "text": " Como se trata de un movimiento vertical el m\u00e1s conveniente es el eje y."}, {"start": 148.0, "end": 156.0, "text": " Entonces vamos a trazar por aqu\u00ed un eje y de tal forma que su coordenada cero coincida con el suelo."}, {"start": 156.0, "end": 164.0, "text": " Y podamos trabajar siempre posiciones positivas en dicho marco de referencia."}, {"start": 164.0, "end": 166.0, "text": " Bien, aqu\u00ed lo tenemos."}, {"start": 166.0, "end": 171.0, "text": " El eje y con su marca cero coincidiendo con el suelo."}, {"start": 171.0, "end": 180.0, "text": " Ese eje y nos va a determinar las posiciones de este movimiento vertical expresadas en metros."}, {"start": 180.0, "end": 184.0, "text": " Como sabemos que la altura del acantilado es 50 metros."}, {"start": 184.0, "end": 188.0, "text": " Entonces aqu\u00ed tenemos la marca 50."}, {"start": 188.0, "end": 197.0, "text": " Y como hemos dicho la distancia que recorre en el \u00faltimo segundo de su trayectoria para la piedra es h."}, {"start": 197.0, "end": 205.0, "text": " Entonces aqu\u00ed vamos a marcar la letra h como la coordenada que hay por encima de cero."}, {"start": 205.0, "end": 210.0, "text": " Y es la distancia que recorre la piedra en el \u00faltimo segundo."}, {"start": 210.0, "end": 217.0, "text": " Por el marco de referencia ya establecido y con los datos del problema ac\u00e1 en el dibujo."}, {"start": 217.0, "end": 226.0, "text": " Ya podemos proceder a encontrar lo que son las ecuaciones cinem\u00e1ticas para este movimiento vertical."}, {"start": 226.0, "end": 230.0, "text": " Que se trata del fen\u00f3meno de ca\u00edda libre."}, {"start": 230.0, "end": 245.0, "text": " Comenzamos entonces con la ecuaci\u00f3n de posici\u00f3n que ser\u00e1 y igual a menos un medio de la gravedad por el tiempo al cuadrado."}, {"start": 245.0, "end": 250.0, "text": " M\u00e1s la velocidad inicial en y por el tiempo."}, {"start": 250.0, "end": 255.0, "text": " M\u00e1s la posici\u00f3n inicial en y que se llama y sub cero."}, {"start": 255.0, "end": 266.0, "text": " Este es el modelo para la posici\u00f3n en y o la posici\u00f3n vertical de esta piedra en su movimiento de ca\u00edda libre."}, {"start": 266.0, "end": 270.0, "text": " Vamos a reemplazar aqu\u00ed los datos que conocemos."}, {"start": 270.0, "end": 280.0, "text": " Tendremos y igual a menos un medio por la gravedad que vamos a tomar como 9.8 metros por segundo cuadrado."}, {"start": 280.0, "end": 285.0, "text": " Esto por el tiempo al cuadrado m\u00e1s la velocidad inicial en y."}, {"start": 285.0, "end": 289.0, "text": " O sea la velocidad en el instante cero que es cero."}, {"start": 289.0, "end": 293.0, "text": " Porque recordemos que la piedra parte del reposo."}, {"start": 293.0, "end": 296.0, "text": " Cero por t y esto m\u00e1s y sub cero."}, {"start": 296.0, "end": 300.0, "text": " O sea la posici\u00f3n inicial de la piedra en el instante cero."}, {"start": 300.0, "end": 304.0, "text": " Que como observamos es 50."}, {"start": 304.0, "end": 307.0, "text": " Entonces y sub cero vale 50."}, {"start": 307.0, "end": 310.0, "text": " Resolvemos aqu\u00ed esta operaci\u00f3n."}, {"start": 310.0, "end": 319.0, "text": " Tendremos y igual a menos un medio por 9.8 que nos da menos 4.9 t cuadrado."}, {"start": 319.0, "end": 323.0, "text": " Cero por t esto nos da como resultado cero."}, {"start": 323.0, "end": 327.0, "text": " Y nos queda m\u00e1s 50."}, {"start": 327.0, "end": 334.0, "text": " Entonces de esta manera hemos encontrado la primera ecuaci\u00f3n cinem\u00e1tica."}, {"start": 334.0, "end": 337.0, "text": " Vamos a llamarla ecuaci\u00f3n n\u00famero uno."}, {"start": 337.0, "end": 345.0, "text": " Y corresponde a la posici\u00f3n en y de la piedra en su movimiento de ca\u00edda libre."}, {"start": 345.0, "end": 351.0, "text": " Ahora vamos a determinar la ecuaci\u00f3n cinem\u00e1tica para la velocidad."}, {"start": 351.0, "end": 358.0, "text": " O sea la que nos da la velocidad de la piedra en cualquier instante de su movimiento."}, {"start": 358.0, "end": 360.0, "text": " El modelo dice as\u00ed."}, {"start": 360.0, "end": 367.0, "text": " Velocidad en y ser\u00e1 igual a menos gravedad por tiempo m\u00e1s velocidad inicial en y."}, {"start": 367.0, "end": 371.0, "text": " Entonces reemplazamos los datos que conocemos."}, {"start": 371.0, "end": 377.0, "text": " Como dijimos la gravedad la vamos a tomar como 9.8 metros por segundo cuadrado."}, {"start": 377.0, "end": 381.0, "text": " Eso por el tiempo m\u00e1s la velocidad inicial en y."}, {"start": 381.0, "end": 383.0, "text": " O sea cero."}, {"start": 383.0, "end": 393.0, "text": " Y de esta manera tenemos que la velocidad en y en cualquier instante ser\u00e1 menos 9.8 t."}, {"start": 393.0, "end": 397.0, "text": " Esa ecuaci\u00f3n vamos a escribirla por ac\u00e1."}, {"start": 397.0, "end": 405.0, "text": " Entonces de esa manera tenemos la expresi\u00f3n n\u00famero dos."}, {"start": 405.0, "end": 411.0, "text": " Y as\u00ed hemos conformado las ecuaciones cinem\u00e1ticas para este movimiento."}, {"start": 411.0, "end": 419.0, "text": " La que nos describen la posici\u00f3n y la velocidad de la piedra en cualquier instante."}, {"start": 419.0, "end": 430.0, "text": " Con esta informaci\u00f3n ya podemos hacer las siguientes consideraciones."}, {"start": 430.0, "end": 440.0, "text": " Decimos entonces que cuando el tiempo es igual al tiempo de ca\u00edda."}, {"start": 440.0, "end": 446.0, "text": " O sea en este instante tenemos que la posici\u00f3n en y de la piedra es cero."}, {"start": 446.0, "end": 453.0, "text": " Claro porque es el momento en que la piedra hace contacto con el suelo."}, {"start": 453.0, "end": 457.0, "text": " Como tenemos informaci\u00f3n de las letras y y t."}, {"start": 457.0, "end": 461.0, "text": " Entonces utilizamos la expresi\u00f3n n\u00famero uno."}, {"start": 461.0, "end": 464.0, "text": " Vamos entonces a reemplazar all\u00ed los datos."}, {"start": 464.0, "end": 467.0, "text": " Y vale cero."}, {"start": 467.0, "end": 475.0, "text": " Esto es igual a menos 4.9 por el tiempo que es tiempo de ca\u00edda."}, {"start": 475.0, "end": 481.0, "text": " Y eso al cuadrado m\u00e1s 50."}, {"start": 481.0, "end": 485.0, "text": " De esta ecuaci\u00f3n vamos a despejar el tiempo de ca\u00edda."}, {"start": 485.0, "end": 491.0, "text": " Entonces ese t\u00e9rmino que est\u00e1 negativo lo pasamos al otro lado como positivo."}, {"start": 491.0, "end": 500.0, "text": " Tendremos 4.9 por tiempo de ca\u00edda al cuadrado igual a 50."}, {"start": 500.0, "end": 505.0, "text": " De all\u00ed despejamos tiempo de ca\u00edda al cuadrado."}, {"start": 505.0, "end": 511.0, "text": " Entonces 4.9 que est\u00e1 multiplicando pasa al otro lado a dividir."}, {"start": 511.0, "end": 516.0, "text": " Nos queda 50 sobre 4.9."}, {"start": 516.0, "end": 527.0, "text": " Resolviendo esta operaci\u00f3n en calculadora tenemos que tiempo de ca\u00edda al cuadrado es igual a 10.20."}, {"start": 527.0, "end": 538.0, "text": " Y para despejar el tiempo de ca\u00edda entonces tomamos la ra\u00edz cuadrada positiva de 10.20."}, {"start": 538.0, "end": 549.0, "text": " Resolviendo esto en la calculadora tenemos como resultado tiempo de ca\u00edda igual a 3.19 segundos."}, {"start": 549.0, "end": 555.0, "text": " De esta manera respondemos a la primera pregunta de este problema."}, {"start": 555.0, "end": 560.0, "text": " Es la respuesta a la pregunta A."}, {"start": 560.0, "end": 564.0, "text": " Vamos a escribir ese resultado ac\u00e1 en el dibujo."}, {"start": 564.0, "end": 572.0, "text": " Tenemos tiempo de ca\u00edda de la piedra igual a 3.19 segundos."}, {"start": 572.0, "end": 576.0, "text": " Ahora vamos a mirar otra consideraci\u00f3n del ejercicio."}, {"start": 576.0, "end": 589.0, "text": " Decimos que cuando el tiempo es igual al tiempo de ca\u00edda que ya lo conocemos 3.19 segundos."}, {"start": 589.0, "end": 599.0, "text": " Entonces en ese instante la velocidad en y de la piedra ser\u00e1 su velocidad final."}, {"start": 599.0, "end": 608.0, "text": " Entonces como tenemos informaci\u00f3n de b sub y y tiempo utilizamos la ecuaci\u00f3n cinem\u00e1tica n\u00famero 2."}, {"start": 608.0, "end": 611.0, "text": " Reemplazamos entonces aqu\u00ed los datos."}, {"start": 611.0, "end": 624.0, "text": " Velocidad en y es velocidad final igual a menos 9.8 por t que es el tiempo de ca\u00edda o sea 3.19 segundos."}, {"start": 624.0, "end": 636.0, "text": " Resolviendo esta operaci\u00f3n tenemos como resultado menos 31.26 y las unidades son metros por segundo"}, {"start": 636.0, "end": 639.0, "text": " por tratarse de una velocidad."}, {"start": 639.0, "end": 648.0, "text": " El signo negativo de este resultado nos confirma el hecho de que se trata de un vector dirigido hacia abajo."}, {"start": 648.0, "end": 652.0, "text": " O sea el vector velocidad final de la piedra."}, {"start": 652.0, "end": 661.0, "text": " Y su m\u00f3dulo que es lo que nos est\u00e1 preguntando el ejercicio es 31.26 metros por segundo."}, {"start": 661.0, "end": 668.0, "text": " Ser\u00e1 entonces la rapidez con que la piedra impacta en el suelo."}, {"start": 668.0, "end": 676.0, "text": " Para responder a la pregunta c es decir que distancia recorre la piedra en el \u00faltimo segundo de su ca\u00edda."}, {"start": 676.0, "end": 681.0, "text": " Entonces ya podemos establecer cu\u00e1l es el valor de este instante de tiempo."}, {"start": 681.0, "end": 688.0, "text": " Dijimos que es el tiempo de ca\u00edda menos un segundo o sea 3.19 menos uno."}, {"start": 688.0, "end": 695.0, "text": " Esto nos da como resultado 2.19 segundos."}, {"start": 695.0, "end": 701.0, "text": " Entonces con esta informaci\u00f3n vamos a la siguiente consideraci\u00f3n."}, {"start": 701.0, "end": 716.0, "text": " Decimos cuando el tiempo es igual a 2.19 segundos tenemos que la posici\u00f3n de la piedra es y igual a h."}, {"start": 716.0, "end": 722.0, "text": " O sea la altura que tiene sobre el suelo en ese momento."}, {"start": 722.0, "end": 730.0, "text": " Como tenemos informaci\u00f3n de las variables y y t entonces utilizamos la ecuaci\u00f3n n\u00famero uno."}, {"start": 730.0, "end": 741.0, "text": " Tenemos y que es h igual a menos 4.9 por el tiempo al cuadrado."}, {"start": 741.0, "end": 749.0, "text": " Pero el tiempo es 2.19 esto al cuadrado y todo eso m\u00e1s 50."}, {"start": 749.0, "end": 758.0, "text": " Resolviendo esta operaci\u00f3n en calculadora es decir menos 4.9 por 2.19 al cuadrado."}, {"start": 758.0, "end": 766.0, "text": " Tenemos como resultado menos 23.50 y esto sumado con 50."}, {"start": 766.0, "end": 776.0, "text": " Finalmente hacemos esta operaci\u00f3n y encontramos el valor de h que es 26.50 metros."}, {"start": 776.0, "end": 783.0, "text": " As\u00ed encontramos la respuesta a la pregunta C del problema."}, {"start": 783.0, "end": 790.0, "text": " Es la distancia que recorre la piedra en el \u00faltimo segundo de su trayectoria."}, {"start": 790.0, "end": 793.0, "text": " De esta manera hemos terminado."}, {"start": 793.0, "end": 806.0, "text": " Tenemos el tiempo de ca\u00edda de la piedra su rapidez cuando hace impacto con el suelo y la distancia que recorre en el \u00faltimo segundo de su ca\u00edda."}]

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ÁREA DE UN TRIÁNGULO EQUILÁTERO EN FUNCIÓN DE SU LADO

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Vamos a expresar el área A de un triángulo equilátero en función de su lado L. Simbólicamente lo que buscamos es A como una función de la variable L. Necesitamos encontrar una expresión matemática de tal forma que el área del triángulo equilátero nos quede en términos de su lado L. Comenzamos haciendo el dibujo de un triángulo equilátero. Recordemos que se caracteriza porque sus tres lados son iguales. Entonces cada uno de ellos se denota con la letra L y enseguida vamos a trazar la altura de este triángulo, el segmento que va desde este vértice y cae perpendicular a la base. Allí podemos observarlo. Se trata del segmento que nombramos con la letra H por ser la altura del triángulo y como decíamos es perpendicular a la base, o sea que aquí forma un ángulo recto, o sea de 90 grados. En el triángulo equilátero este segmento que es la altura también hace el papel de mediana, es decir que parte este lado en dos segmentos iguales. Vamos a colocarles estas marcas para indicar que son congruentes o que tienen la misma longitud. Entonces cada uno de ellos tendrá un valor de L medios. Vamos a escribir eso por aquí porque como decíamos la base que vale L queda partida en dos segmentos iguales. Ahora vamos a considerar este triángulo y vamos a dibujarlo por acá. Aquí podemos observarlo con los valores de sus lados. Tenemos en ese caso un triángulo rectángulo, un triángulo que tiene dos lados que son los catetos, los que son perpendiculares entre sí, que son H y L medios, y tenemos el otro lado, el que está al frente del ángulo recto que se llama la hipotenusa y que en este caso vale L. Recordemos que en todos los triángulos rectángulos se cumple el teorema de Pitágoras. Entonces vamos a aplicarlo en este caso. El teorema de Pitágoras nos dice que la suma de los cuadrados de los catetos, es decir H al cuadrado más L medios al cuadrado es igual al cuadrado de la hipotenusa, en este caso L al cuadrado. De allí vamos a realizar poco a poco el despeje de H en términos de L. Tendremos entonces H al cuadrado más, esto nos queda L al cuadrado sobre 4. El exponente afecta al numerador y al denominador. Entonces en el numerador L al cuadrado y en el denominador 2 al cuadrado que es 4. Al otro lado del signo igual tenemos L al cuadrado. De allí vamos a despejar este componente. Vamos a continuar por acá. Tenemos H al cuadrado será igual a L al cuadrado menos este componente que es L al cuadrado sobre 4. Si está sumando pasa al otro lado a restar. Enseguida vamos a resolver esta operación. Vamos a escribirle denominador 1 al término L al cuadrado. Entonces tendremos lo siguiente. H al cuadrado es igual a una línea horizontal que trazamos y vamos a utilizar allí el truco o la técnica de la carita feliz. Veamos, estos dos se multiplican, eso nos da L al cuadrado por 4 que es 4 L al cuadrado menos, o sea el signo que tenemos entre las dos fracciones. Después estos dos se multiplican, o sea 1 por L al cuadrado que es L al cuadrado. Y en el denominador multiplicamos esos dos números, o sea 1 por 4 que nos da 4. Se llama la carita feliz por esa figura que forman esas líneas. Bien, ahora vamos a operar en el numerador esos dos términos semejantes. Tendremos H al cuadrado igual a 4 L al cuadrado menos L al cuadrado, eso nos da 3 L al cuadrado. Hacemos la resta de los términos semejantes y en el denominador seguimos conservando el 4. Ahora para despejar H vamos a tomar raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad. Raíz cuadrada en el lado izquierdo y raíz cuadrada a lo que tenemos en el lado derecho. Nos queda entonces de esta manera. En el lado izquierdo la raíz cuadrada de H al cuadrado es valor absoluto de H. Y en el lado derecho tendremos que la raíz se reparte inicialmente para el numerador y para el denominador. Pero a su vez, como en el numerador tenemos una multiplicación, entonces el radical afecta a esos dos componentes. En otras palabras tendremos raíz cuadrada de 3 por raíz cuadrada de L al cuadrado y todo esto sobre la raíz cuadrada de 4. Aquí estamos aplicando una propiedad de la radicación. Recordemos que esa operación se puede repartir en multiplicación y división. Como H es una distancia, es la longitud de este segmento que corresponde a la altura del triángulo, entonces tiene que ser una cantidad positiva. Por esa razón, valor absoluto de H, podemos escribirlo simplemente como H. Y en este lado tendremos raíz cuadrada de 3. Esa raíz la dejamos expresada por tratarse de una raíz inexacta. Acá tendremos la raíz cuadrada de L al cuadrado que sería inicialmente valor absoluto de L. Pero sucede lo mismo que con H, como L es la longitud del lado del triángulo equilátero, es una cantidad positiva. Entonces valor absoluto de L podemos dejarlo simplemente como L. Y todo esto nos queda sobre la raíz cuadrada de 4 que es 2. De esta manera, logramos expresar la altura del triángulo equilátero en términos del lado L. Entonces vamos a escribir esa expresión por acá. H será igual a la raíz cuadrada de 3, eso por L y todo eso sobre 2. Lo que hacemos enseguida es utilizar la fórmula de la geometría para encontrar el área de cualquier triángulo. Recordemos que es base por altura sobre 2. Y también puede escribirse como un medio de B por H. Las dos expresiones son exactamente lo mismo. Entonces vamos a reemplazar la información que conocemos utilizando esta de acá. Tendremos un medio por la base del triángulo que será L y esto multiplicado por la altura que nos dio la raíz cuadrada de 3 por L y todo esto sobre 2. Ahora vamos a resolver estas multiplicaciones. A esta L le escribimos denominador 1. Tendremos entonces A igual a lo siguiente. Multiplicamos numeradores entre sí. 1 por L por raíz cuadrada de 3 por L. Lo podemos organizar como L al cuadrado por raíz de 3. Y en el denominador tendremos 2 por 1 por 2 que nos da como resultado 4. De esta manera hemos encontrado lo que nos pedía el ejercicio. Tenemos aquí el área del triángulo equilátero como una expresión de su lado L. O sea A como función de L. Con esto terminamos.

[{"start": 0.0, "end": 6.92, "text": " Vamos a expresar el \u00e1rea A de un tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero en funci\u00f3n de su lado L."}, {"start": 6.92, "end": 14.8, "text": " Simb\u00f3licamente lo que buscamos es A como una funci\u00f3n de la variable L."}, {"start": 14.8, "end": 26.0, "text": " Necesitamos encontrar una expresi\u00f3n matem\u00e1tica de tal forma que el \u00e1rea del tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero nos quede en t\u00e9rminos de su lado L."}, {"start": 26.0, "end": 37.0, "text": " Comenzamos haciendo el dibujo de un tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero. Recordemos que se caracteriza porque sus tres lados son iguales."}, {"start": 37.0, "end": 47.0, "text": " Entonces cada uno de ellos se denota con la letra L y enseguida vamos a trazar la altura de este tri\u00e1ngulo,"}, {"start": 47.0, "end": 54.0, "text": " el segmento que va desde este v\u00e9rtice y cae perpendicular a la base."}, {"start": 54.0, "end": 64.0, "text": " All\u00ed podemos observarlo. Se trata del segmento que nombramos con la letra H por ser la altura del tri\u00e1ngulo"}, {"start": 64.0, "end": 73.0, "text": " y como dec\u00edamos es perpendicular a la base, o sea que aqu\u00ed forma un \u00e1ngulo recto, o sea de 90 grados."}, {"start": 73.0, "end": 82.0, "text": " En el tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero este segmento que es la altura tambi\u00e9n hace el papel de mediana,"}, {"start": 82.0, "end": 94.0, "text": " es decir que parte este lado en dos segmentos iguales. Vamos a colocarles estas marcas para indicar que son congruentes o que tienen la misma longitud."}, {"start": 94.0, "end": 110.0, "text": " Entonces cada uno de ellos tendr\u00e1 un valor de L medios. Vamos a escribir eso por aqu\u00ed porque como dec\u00edamos la base que vale L queda partida en dos segmentos iguales."}, {"start": 110.0, "end": 117.0, "text": " Ahora vamos a considerar este tri\u00e1ngulo y vamos a dibujarlo por ac\u00e1."}, {"start": 117.0, "end": 125.0, "text": " Aqu\u00ed podemos observarlo con los valores de sus lados. Tenemos en ese caso un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo,"}, {"start": 125.0, "end": 134.0, "text": " un tri\u00e1ngulo que tiene dos lados que son los catetos, los que son perpendiculares entre s\u00ed, que son H y L medios,"}, {"start": 134.0, "end": 144.0, "text": " y tenemos el otro lado, el que est\u00e1 al frente del \u00e1ngulo recto que se llama la hipotenusa y que en este caso vale L."}, {"start": 144.0, "end": 154.0, "text": " Recordemos que en todos los tri\u00e1ngulos rect\u00e1ngulos se cumple el teorema de Pit\u00e1goras."}, {"start": 154.0, "end": 166.0, "text": " Entonces vamos a aplicarlo en este caso. El teorema de Pit\u00e1goras nos dice que la suma de los cuadrados de los catetos,"}, {"start": 166.0, "end": 182.0, "text": " es decir H al cuadrado m\u00e1s L medios al cuadrado es igual al cuadrado de la hipotenusa, en este caso L al cuadrado."}, {"start": 182.0, "end": 192.0, "text": " De all\u00ed vamos a realizar poco a poco el despeje de H en t\u00e9rminos de L. Tendremos entonces H al cuadrado m\u00e1s,"}, {"start": 192.0, "end": 200.0, "text": " esto nos queda L al cuadrado sobre 4. El exponente afecta al numerador y al denominador."}, {"start": 200.0, "end": 207.0, "text": " Entonces en el numerador L al cuadrado y en el denominador 2 al cuadrado que es 4."}, {"start": 207.0, "end": 214.0, "text": " Al otro lado del signo igual tenemos L al cuadrado. De all\u00ed vamos a despejar este componente."}, {"start": 214.0, "end": 228.0, "text": " Vamos a continuar por ac\u00e1. Tenemos H al cuadrado ser\u00e1 igual a L al cuadrado menos este componente que es L al cuadrado sobre 4."}, {"start": 228.0, "end": 236.0, "text": " Si est\u00e1 sumando pasa al otro lado a restar. Enseguida vamos a resolver esta operaci\u00f3n."}, {"start": 236.0, "end": 244.0, "text": " Vamos a escribirle denominador 1 al t\u00e9rmino L al cuadrado. Entonces tendremos lo siguiente."}, {"start": 244.0, "end": 256.0, "text": " H al cuadrado es igual a una l\u00ednea horizontal que trazamos y vamos a utilizar all\u00ed el truco o la t\u00e9cnica de la carita feliz."}, {"start": 256.0, "end": 269.0, "text": " Veamos, estos dos se multiplican, eso nos da L al cuadrado por 4 que es 4 L al cuadrado menos, o sea el signo que tenemos entre las dos fracciones."}, {"start": 269.0, "end": 277.0, "text": " Despu\u00e9s estos dos se multiplican, o sea 1 por L al cuadrado que es L al cuadrado."}, {"start": 277.0, "end": 290.0, "text": " Y en el denominador multiplicamos esos dos n\u00fameros, o sea 1 por 4 que nos da 4. Se llama la carita feliz por esa figura que forman esas l\u00edneas."}, {"start": 290.0, "end": 296.0, "text": " Bien, ahora vamos a operar en el numerador esos dos t\u00e9rminos semejantes."}, {"start": 296.0, "end": 307.0, "text": " Tendremos H al cuadrado igual a 4 L al cuadrado menos L al cuadrado, eso nos da 3 L al cuadrado."}, {"start": 307.0, "end": 314.0, "text": " Hacemos la resta de los t\u00e9rminos semejantes y en el denominador seguimos conservando el 4."}, {"start": 314.0, "end": 328.0, "text": " Ahora para despejar H vamos a tomar ra\u00edz cuadrada a ambos lados de la igualdad. Ra\u00edz cuadrada en el lado izquierdo y ra\u00edz cuadrada a lo que tenemos en el lado derecho."}, {"start": 328.0, "end": 338.0, "text": " Nos queda entonces de esta manera. En el lado izquierdo la ra\u00edz cuadrada de H al cuadrado es valor absoluto de H."}, {"start": 338.0, "end": 346.0, "text": " Y en el lado derecho tendremos que la ra\u00edz se reparte inicialmente para el numerador y para el denominador."}, {"start": 346.0, "end": 354.0, "text": " Pero a su vez, como en el numerador tenemos una multiplicaci\u00f3n, entonces el radical afecta a esos dos componentes."}, {"start": 354.0, "end": 365.0, "text": " En otras palabras tendremos ra\u00edz cuadrada de 3 por ra\u00edz cuadrada de L al cuadrado y todo esto sobre la ra\u00edz cuadrada de 4."}, {"start": 365.0, "end": 374.0, "text": " Aqu\u00ed estamos aplicando una propiedad de la radicaci\u00f3n. Recordemos que esa operaci\u00f3n se puede repartir en multiplicaci\u00f3n y divisi\u00f3n."}, {"start": 374.0, "end": 386.0, "text": " Como H es una distancia, es la longitud de este segmento que corresponde a la altura del tri\u00e1ngulo, entonces tiene que ser una cantidad positiva."}, {"start": 386.0, "end": 396.0, "text": " Por esa raz\u00f3n, valor absoluto de H, podemos escribirlo simplemente como H. Y en este lado tendremos ra\u00edz cuadrada de 3."}, {"start": 396.0, "end": 402.0, "text": " Esa ra\u00edz la dejamos expresada por tratarse de una ra\u00edz inexacta."}, {"start": 402.0, "end": 409.0, "text": " Ac\u00e1 tendremos la ra\u00edz cuadrada de L al cuadrado que ser\u00eda inicialmente valor absoluto de L."}, {"start": 409.0, "end": 419.0, "text": " Pero sucede lo mismo que con H, como L es la longitud del lado del tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero, es una cantidad positiva."}, {"start": 419.0, "end": 431.0, "text": " Entonces valor absoluto de L podemos dejarlo simplemente como L. Y todo esto nos queda sobre la ra\u00edz cuadrada de 4 que es 2."}, {"start": 431.0, "end": 439.0, "text": " De esta manera, logramos expresar la altura del tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero en t\u00e9rminos del lado L."}, {"start": 439.0, "end": 452.0, "text": " Entonces vamos a escribir esa expresi\u00f3n por ac\u00e1. H ser\u00e1 igual a la ra\u00edz cuadrada de 3, eso por L y todo eso sobre 2."}, {"start": 452.0, "end": 460.0, "text": " Lo que hacemos enseguida es utilizar la f\u00f3rmula de la geometr\u00eda para encontrar el \u00e1rea de cualquier tri\u00e1ngulo."}, {"start": 460.0, "end": 470.0, "text": " Recordemos que es base por altura sobre 2. Y tambi\u00e9n puede escribirse como un medio de B por H."}, {"start": 470.0, "end": 474.0, "text": " Las dos expresiones son exactamente lo mismo."}, {"start": 474.0, "end": 480.0, "text": " Entonces vamos a reemplazar la informaci\u00f3n que conocemos utilizando esta de ac\u00e1."}, {"start": 480.0, "end": 497.0, "text": " Tendremos un medio por la base del tri\u00e1ngulo que ser\u00e1 L y esto multiplicado por la altura que nos dio la ra\u00edz cuadrada de 3 por L y todo esto sobre 2."}, {"start": 497.0, "end": 505.0, "text": " Ahora vamos a resolver estas multiplicaciones. A esta L le escribimos denominador 1."}, {"start": 505.0, "end": 516.0, "text": " Tendremos entonces A igual a lo siguiente. Multiplicamos numeradores entre s\u00ed. 1 por L por ra\u00edz cuadrada de 3 por L."}, {"start": 516.0, "end": 528.0, "text": " Lo podemos organizar como L al cuadrado por ra\u00edz de 3. Y en el denominador tendremos 2 por 1 por 2 que nos da como resultado 4."}, {"start": 528.0, "end": 533.0, "text": " De esta manera hemos encontrado lo que nos ped\u00eda el ejercicio."}, {"start": 533.0, "end": 544.0, "text": " Tenemos aqu\u00ed el \u00e1rea del tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero como una expresi\u00f3n de su lado L. O sea A como funci\u00f3n de L."}, {"start": 544.0, "end": 564.0, "text": " Con esto terminamos."}]

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MOVIMIENTO PARABÓLICO - Problema 3

#julioprofe explica cómo resolver un problema de Movimiento Parabólico: Un bateador golpea la pelota a cierta distancia sobre el suelo con una velocidad de 12 m/s a 50° sobre la horizontal; la pelota toca el suelo 2 segundos después. ¿Cuáles son las componentes de la velocidad de la pelota en el instante de tocar el suelo? ¿A qué distancia horizontal llegó la pelota? ¿A qué altura sobre el suelo se bateó? REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

Un bateador golpea la pelota a cierta distancia sobre el suelo, con una velocidad de 12 metros por segundo a 50 grados sobre la horizontal. La pelota toca el suelo dos segundos después. ¿Cuáles son las componentes de la velocidad de la pelota en el instante de tocar el suelo? ¿A qué distancia horizontal llegó la pelota? ¿A qué altura sobre el suelo se bateo? Bien, comenzamos el desarrollo de este problema haciendo un dibujo de la trayectoria que sigue la pelota. Se trata de una trayectoria parabólica o un movimiento parabólico. Este es el punto donde la pelota es pateada. Y eso sucede a una altura H sobre el nivel del suelo. Esta es una de las preguntas del ejercicio, determinar a qué altura sobre el suelo fue bateada la pelota. Este punto que tenemos acá es el instante en que la pelota hace contacto con el suelo. Llamamos el tiempo cero, T igual a cero, el instante en que la pelota es bateada, o sea cuando se inicia el movimiento y transcurridos dos segundos la pelota está en este punto. O sea que llamamos T igual a tiempo de vuelo, T sub V igual a dos segundos, al tiempo que demora la pelota en realizar todo el recorrido. Dibujamos también los vectores velocidad inicial y velocidad final. Según la información que nos da el problema, la velocidad inicial tiene una magnitud de 12 metros por segundo. Es la rapidez con que la pelota es bateada en este punto. Ese vector tiene un ángulo de inclinación con respecto a una línea imaginaria horizontal, que la podemos trazar así como línea punteada, un ángulo de inclinación que llamamos theta y que tiene un valor de 50 grados. Como es un ángulo que se mide por encima de la horizontal, entonces se toma con signo positivo. En caso de que el disparo se haga con un vector por debajo de la horizontal, entonces el ángulo en ese caso es negativo. Como decíamos, el movimiento termina en este punto y este será el vector que representa la velocidad final. Para estudiar de una manera más sencilla el movimiento parabólico es recomendable trazar este sistema de ejes coordenados. Tenemos aquí el eje y, por acá tenemos el origen de coordenadas y acá tenemos el eje x. Este plano cartesiano lo que nos permite es enmarcar la trayectoria de la partícula en el primer cuadrante, de tal manera que siempre manejemos posiciones positivas tanto en x como en y. Vamos a trabajar posiciones siempre en metros. Con este sistema de referencia que hemos elegido, decimos que esta es la abscisa x máxima. Es decir, que la distancia que hay desde cero hasta acá es lo que se conoce como el máximo alcance horizontal de la pelota. Por esa razón esta coordenada sobre el eje x se llama x máxima. Y esta coordenada en el eje y será h, es decir, la altura donde se produce el inicio del movimiento de la pelota. O sea, el punto donde es bateada. Esta es la coordenada h sobre el eje vertical o el eje y. Bien, después de tener ya el dibujo del movimiento parabólico de la pelota con todo el sistema de referencia y los datos que nos da el problema, procedemos a determinar lo que se llaman las ecuaciones cinemáticas para este movimiento parabólico. Comenzamos con la ecuación de posición en y, cuyo modelo dice y es igual a menos un medio de la gravedad por el tiempo al cuadrado más la velocidad inicial por el seno de theta por el tiempo más y sub cero. O sea, la posición inicial en el eje y. Vamos a reemplazar acá entonces los datos que conocemos. Tenemos y es igual a menos un medio por la gravedad que vamos a tomar como 9.8 metros sobre segundo cuadrado. En este problema todas las distancias van a estar expresadas en metros y los tiempos en segundos. Entonces esto es el valor de la gravedad en metros sobre segundo cuadrado. Esto por el tiempo al cuadrado más la velocidad inicial que es 12, la velocidad con la que se batea la pelota. Esto por el seno de theta, recordemos que theta es 50 grados, por el tiempo más la posición inicial en el eje y. Es decir, el valor h, el que corresponde al instante t igual a cero. Entonces aquí h sustituye a y sub cero. Resolviendo estas operaciones tenemos que la ecuación queda convertida así. Y es igual a menos un medio por 9.8 nos da menos 4.9 que queda acompañado de t al cuadrado más 12 por el seno de 50 grados. Esto lo hacemos en la calculadora científica y nos da como resultado 9.19 de soporte más h. Y de esa manera tenemos la primera ecuación, la ecuación cinemática de posición en el eje y. Bien, ahora vamos a obtener la ecuación de velocidad en y. Su modelo dice lo siguiente, la velocidad en y o la componente de la velocidad en el eje y para cualquier instante del movimiento está dado por la expresión menos gravedad por tiempo más velocidad inicial por el seno del ángulo theta, o sea por el ángulo de tiro. Reemplazando los datos nos queda que la velocidad en y es igual a menos 9.8 que es la gravedad por el tiempo más la velocidad inicial que es 12 por el seno de 50 grados. Resolviendo aquí esta operación tendremos la ecuación de velocidad en y igual a menos 9.8t más 9.19 y esta es la segunda ecuación cinemática, la ecuación que nos determina la componente en y de la velocidad para la partícula en cualquier instante. Los estudiantes que ya saben derivar pueden comprobar que la derivada de la posición es la velocidad, en este caso en el eje y. Si ustedes ven la derivada de este polinomio van a obtener esta expresión. Ahora vamos a encontrar la ecuación de posición en x, cuyo modelo dice así, posición en x de la partícula es igual a velocidad inicial por coseno de theta por el tiempo más la posición inicial en x, o sea x sub cero. Reemplazando los valores que conocemos, esto nos queda x igual a velocidad inicial que es 12, o sea 12 metros por segundo, esto por el coseno del ángulo theta que es 50 grados, eso por el tiempo t más la posición inicial en x que vale 0. En el instante en que la pelota es bateada su posición en x vale 0, entonces aquí x sub cero se reemplaza por el número 0. Podemos simplificar esta expresión y nos queda de la siguiente manera, x es igual a 12 por coseno de 50 grados, también la calculadora nos da 7.71 que queda acompañado de la letra t y este número 0 lo podemos omitir. Nos queda entonces así la tercera ecuación cinemática, la que nos indica la posición en x de la partícula en cualquier instante. Como decíamos estas son las tres ecuaciones cinemáticas que describen la posición en x, la posición en y y la componente vertical o componente en y de la velocidad para la partícula en cualquier instante de su recorrido. Sobre la componente en x, es decir v sub x, podemos decir que siempre permanece constante, es un vector que todo el tiempo tiene la misma magnitud y va dirigido hacia la derecha. Esa velocidad en x se determina con la fórmula v sub cero por coseno de theta, entonces su valor será v sub cero que es 12 metros por segundo por el coseno de theta, o sea el coseno de 50 grados. Acceptando esta operación en la calculadora nos da como resultado 7.71 metros sobre segundo, entonces vamos a escribir por acá ese resultado, la componente horizontal de la velocidad de la partícula en cualquier instante es siempre constante y tiene este valor. De esta manera ya tenemos todo listo para iniciar el proceso de encontrar lo que nos pide el enunciado. Hacemos entonces las siguientes consideraciones, decimos cuando el tiempo es igual al tiempo de vuelo, es decir dos segundos, o sea aquí tenemos que la posición en y de la pelota es cero porque ella se encuentra en ese momento en el suelo, que corresponde digamos a la altitud cero de acuerdo con este eje vertical. Como tenemos información de y y t entonces utilizamos la primera ecuación, vamos entonces a reemplazar en ella estos valores. Comenzamos con y que vale cero igual a menos 4.9 por el tiempo que vale 2 al cuadrado más 9.19 por el tiempo que vale 2 y esto más h. Resolvemos esas operaciones, nos queda cero igual a menos 4.9 por 2 al cuadrado que es 4, nos da como resultado 19.6 más 9.19 por 2 que nos da 18.38 y eso más h. Tendremos ahora cero igual a menos 19.6 más 18.38 que nos da como resultado menos 1.22 y esto más h. De aquí hacemos el despeje de la incógnita h y obtenemos 1.22 metros, es la altura desde la cual fue bateada la pelota. Entonces ya podemos reemplazar aquí ese valor, vamos a colocar el resultado obtenido, es entonces 1.22 metros la altura sobre el suelo donde fue bateada la pelota. También podemos decir que cuando el tiempo es igual al tiempo de vuelo que es 2 segundos, entonces la posición en X de la pelota es X máxima. Como decíamos se trata del máximo alcance horizontal que logra la pelota. Con esta información que tenemos sobre las letras X y T utilizamos entonces la tercera ecuación. Entonces vamos a reemplazar allí estos datos que tenemos donde está la letra X entra X máxima, el alcance máximo horizontal esto es igual a 7.70 íbano por el valor de T que es 2 segundos. Y resolviendo esta operación obtenemos que X máxima es igual a 15.42 metros. Aquí respondemos otra de las preguntas del problema, tenemos ya el alcance horizontal de la pelota. Vamos entonces a cambiar este dato por el resultado obtenido que es 15.42 metros. Ya sabemos que las posiciones en X se encuentran en metros. Cuando la partícula termina su movimiento, es decir en este instante justo antes de golpear con el suelo tenemos que su velocidad es el vector BF. Y ese vector tiene dos componentes, una vertical y otra horizontal. Aquí tenemos la pelota justo en ese instante, esa componente vertical la vamos a llamar BFy y la componente horizontal la llamamos BFx. Pero como dijimos ahora la velocidad en X, es decir esa componente horizontal de la velocidad es constante durante todo el movimiento parabólico y siempre va a tener este valor. Entonces la componente en X de la velocidad final es simplemente Bx y vale 7.71 metros sobre segundos. En cambio esta componente vertical de la velocidad final si nos toca determinarla. Esa componente esta cambiando durante todo el movimiento de la partícula. En el comienzo la velocidad en Y apunta hacia arriba y empieza a disminuir hasta que es cero en el punto más alto. A medida que empieza la etapa de descenso la componente vertical de la velocidad empieza a hacerse más grande hacia abajo hasta que adquiere este tamaño cuando ya termina el movimiento. Decimos entonces que cuando el tiempo es igual al tiempo de vuelo que es dos segundos entonces la velocidad en Y de la pelota será la componente BFy, es decir la componente vertical de la velocidad final. Con esta información de velocidad en Y y de tiempo entonces debemos utilizar la segunda ecuación cinemática. Entonces vamos a reemplazar allí estos componentes donde tenemos velocidad en Y entra velocidad final en Y. Allí se hace el reemplazo, eso nos queda igual a menos 9.8 por T, o sea menos 9.8 por 2 y esto más 9.19. Resolviendo estas operaciones tenemos velocidad final en Y igual a menos 9.8 por 2 que es menos 19.6 más 9.19 y efectuando ahora esta suma tenemos que la velocidad final en Y es igual a menos 10.41 y esto nos queda con unidades metros por segundo. De esta manera ya tenemos las componentes de la velocidad final de la pelota, es decir de la velocidad que tiene justo antes de golpear con el piso. Esa respuesta se puede escribir de la siguiente manera, el vector velocidad final está compuesto por los vectores, velocidad final en X más velocidad final en Y. Recordemos que esto es una suma vectorial, vamos a reemplazar entonces allí los valores que encontramos. La velocidad final en X dijimos que es la misma componente de X, tiene un valor de 7.71 metros sobre segundo y esta está dirigida en la dirección Y. Recordemos que Y es el vector unitario en la dirección X, entonces de esta manera se representa la componente horizontal de la velocidad final. Ahora esto nos queda más el valor de la velocidad final en Y que es menos 10.41 en metros por segundo y eso nos queda acompañado de J que es el vector unitario en la dirección vertical. Para terminar podemos aplicar aquí la ley de los signos, tenemos más por menos signos vecinos que nos da como resultado menos. Entonces dejamos aquí el signo negativo y colocamos el paréntesis para proteger la magnitud de la componente vertical de la velocidad final. De esta manera hemos respondido a las preguntas de este problema, tenemos aquí las componentes de la velocidad final de la pelota, componente horizontal y componente vertical. Sabemos a qué altura fue bateada la pelota, 1.22 metros y también sabemos cuál fue su alcance horizontal, 15.42 metros.

[{"start": 0.0, "end": 10.8, "text": " Un bateador golpea la pelota a cierta distancia sobre el suelo, con una velocidad de 12 metros por segundo a 50 grados sobre la horizontal."}, {"start": 10.8, "end": 15.0, "text": " La pelota toca el suelo dos segundos despu\u00e9s."}, {"start": 15.0, "end": 21.0, "text": " \u00bfCu\u00e1les son las componentes de la velocidad de la pelota en el instante de tocar el suelo?"}, {"start": 21.0, "end": 24.0, "text": " \u00bfA qu\u00e9 distancia horizontal lleg\u00f3 la pelota?"}, {"start": 24.0, "end": 28.0, "text": " \u00bfA qu\u00e9 altura sobre el suelo se bateo?"}, {"start": 28.0, "end": 36.0, "text": " Bien, comenzamos el desarrollo de este problema haciendo un dibujo de la trayectoria que sigue la pelota."}, {"start": 36.0, "end": 42.0, "text": " Se trata de una trayectoria parab\u00f3lica o un movimiento parab\u00f3lico."}, {"start": 42.0, "end": 47.0, "text": " Este es el punto donde la pelota es pateada."}, {"start": 47.0, "end": 54.0, 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" Seg\u00fan la informaci\u00f3n que nos da el problema, la velocidad inicial tiene una magnitud de 12 metros por segundo."}, {"start": 120.0, "end": 126.0, "text": " Es la rapidez con que la pelota es bateada en este punto."}, {"start": 126.0, "end": 134.0, "text": " Ese vector tiene un \u00e1ngulo de inclinaci\u00f3n con respecto a una l\u00ednea imaginaria horizontal,"}, {"start": 134.0, "end": 142.0, "text": " que la podemos trazar as\u00ed como l\u00ednea punteada, un \u00e1ngulo de inclinaci\u00f3n que llamamos theta"}, {"start": 142.0, "end": 146.0, "text": " y que tiene un valor de 50 grados."}, {"start": 146.0, "end": 153.0, "text": " Como es un \u00e1ngulo que se mide por encima de la horizontal, entonces se toma con signo positivo."}, {"start": 153.0, "end": 164.0, "text": " En caso de que el disparo se haga con un vector por debajo de la horizontal, entonces el \u00e1ngulo en ese caso es negativo."}, {"start": 164.0, "end": 174.0, "text": " Como dec\u00edamos, el movimiento 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pelota."}, {"start": 347.0, "end": 357.0, "text": " Esto por el seno de theta, recordemos que theta es 50 grados, por el tiempo m\u00e1s la posici\u00f3n inicial en el eje y."}, {"start": 357.0, "end": 364.0, "text": " Es decir, el valor h, el que corresponde al instante t igual a cero."}, {"start": 364.0, "end": 368.0, "text": " Entonces aqu\u00ed h sustituye a y sub cero."}, {"start": 368.0, "end": 375.0, "text": " Resolviendo estas operaciones tenemos que la ecuaci\u00f3n queda convertida as\u00ed."}, {"start": 375.0, "end": 389.0, "text": " Y es igual a menos un medio por 9.8 nos da menos 4.9 que queda acompa\u00f1ado de t al cuadrado m\u00e1s 12 por el seno de 50 grados."}, {"start": 389.0, "end": 400.0, "text": " Esto lo hacemos en la calculadora cient\u00edfica y nos da como resultado 9.19 de soporte m\u00e1s h."}, {"start": 400.0, "end": 410.0, "text": " Y de esa manera tenemos la primera ecuaci\u00f3n, la ecuaci\u00f3n cinem\u00e1tica de posici\u00f3n en el eje y."}, {"start": 410.0, "end": 416.0, "text": " Bien, ahora vamos a obtener la ecuaci\u00f3n de velocidad en y."}, {"start": 416.0, "end": 426.0, "text": " Su modelo dice lo siguiente, la velocidad en y o la componente de la velocidad en el eje y para cualquier instante del movimiento"}, {"start": 426.0, "end": 438.0, "text": " est\u00e1 dado por la expresi\u00f3n menos gravedad por tiempo m\u00e1s velocidad inicial por el seno del \u00e1ngulo theta, o sea por el \u00e1ngulo de tiro."}, {"start": 438.0, "end": 456.0, "text": " Reemplazando los datos nos queda que la velocidad en y es igual a menos 9.8 que es la gravedad por el tiempo m\u00e1s la velocidad inicial que es 12 por el seno de 50 grados."}, {"start": 456.0, "end": 472.0, "text": " Resolviendo aqu\u00ed esta operaci\u00f3n tendremos la ecuaci\u00f3n de velocidad en y igual a menos 9.8t m\u00e1s 9.19"}, {"start": 472.0, "end": 487.0, "text": " y esta es la segunda ecuaci\u00f3n cinem\u00e1tica, la ecuaci\u00f3n que nos determina la componente en y de la velocidad para la part\u00edcula en cualquier instante."}, {"start": 487.0, "end": 497.0, "text": " Los estudiantes que ya saben derivar pueden comprobar que la derivada de la posici\u00f3n es la velocidad, en este caso en el eje y."}, {"start": 497.0, "end": 504.0, "text": " Si ustedes ven la derivada de este polinomio van a obtener esta expresi\u00f3n."}, {"start": 504.0, "end": 513.0, "text": " Ahora vamos a encontrar la ecuaci\u00f3n de posici\u00f3n en x, cuyo modelo dice as\u00ed,"}, {"start": 513.0, "end": 526.0, "text": " posici\u00f3n en x de la part\u00edcula es igual a velocidad inicial por coseno de theta por el tiempo m\u00e1s la posici\u00f3n inicial en x, o sea x sub cero."}, {"start": 526.0, "end": 536.0, "text": " Reemplazando los valores que conocemos, esto nos queda x igual a velocidad inicial que es 12, o sea 12 metros por segundo,"}, {"start": 536.0, "end": 547.0, "text": " esto por el coseno del \u00e1ngulo theta que es 50 grados, eso por el tiempo t m\u00e1s la posici\u00f3n inicial en x que vale 0."}, {"start": 547.0, "end": 558.0, "text": " En el instante en que la pelota es bateada su posici\u00f3n en x vale 0, entonces aqu\u00ed x sub cero se reemplaza por el n\u00famero 0."}, {"start": 558.0, "end": 568.0, "text": " Podemos simplificar esta expresi\u00f3n y nos queda de la siguiente manera, x es igual a 12 por coseno de 50 grados,"}, {"start": 568.0, "end": 579.0, "text": " tambi\u00e9n la calculadora nos da 7.71 que queda acompa\u00f1ado de la letra t y este n\u00famero 0 lo podemos omitir."}, {"start": 579.0, "end": 590.0, "text": " Nos queda entonces as\u00ed la tercera ecuaci\u00f3n cinem\u00e1tica, la que nos indica la posici\u00f3n en x de la part\u00edcula en cualquier instante."}, {"start": 590.0, "end": 601.0, "text": " Como dec\u00edamos estas son las tres ecuaciones cinem\u00e1ticas que describen la posici\u00f3n en x, la posici\u00f3n en y y la componente vertical"}, {"start": 601.0, "end": 609.0, "text": " o componente en y de la velocidad para la part\u00edcula en cualquier instante de su recorrido."}, {"start": 609.0, "end": 617.0, "text": " Sobre la componente en x, es decir v sub x, podemos decir que siempre permanece constante,"}, {"start": 617.0, "end": 624.0, "text": " es un vector que todo el tiempo tiene la misma magnitud y va dirigido hacia la derecha."}, {"start": 624.0, "end": 636.0, "text": " Esa velocidad en x se determina con la f\u00f3rmula v sub cero por coseno de theta, entonces su valor ser\u00e1 v sub cero que es 12 metros por segundo"}, {"start": 636.0, "end": 641.0, "text": " por el coseno de theta, o sea el coseno de 50 grados."}, {"start": 641.0, "end": 654.0, "text": " Acceptando esta operaci\u00f3n en la calculadora nos da como resultado 7.71 metros sobre segundo, entonces vamos a escribir por ac\u00e1 ese resultado,"}, {"start": 654.0, "end": 665.0, "text": " la componente horizontal de la velocidad de la part\u00edcula en cualquier instante es siempre constante y tiene este valor."}, {"start": 665.0, "end": 674.0, "text": " De esta manera ya tenemos todo listo para iniciar el proceso de encontrar lo que nos pide el enunciado."}, {"start": 674.0, "end": 687.0, "text": " Hacemos entonces las siguientes consideraciones, decimos cuando el tiempo es igual al tiempo de vuelo, es decir dos segundos,"}, {"start": 687.0, "end": 697.0, "text": " o sea aqu\u00ed tenemos que la posici\u00f3n en y de la pelota es cero porque ella se encuentra en ese momento en el suelo,"}, {"start": 697.0, "end": 704.0, "text": " que corresponde digamos a la altitud cero de acuerdo con este eje vertical."}, {"start": 704.0, "end": 715.0, "text": " Como tenemos informaci\u00f3n de y y t entonces utilizamos la primera ecuaci\u00f3n, vamos entonces a reemplazar en ella estos valores."}, {"start": 715.0, "end": 743.0, "text": " Comenzamos con y que vale cero igual a menos 4.9 por el tiempo que vale 2 al cuadrado m\u00e1s 9.19 por el tiempo que vale 2 y esto m\u00e1s h."}, {"start": 743.0, "end": 765.0, "text": " Resolvemos esas operaciones, nos queda cero igual a menos 4.9 por 2 al cuadrado que es 4, nos da como resultado 19.6 m\u00e1s 9.19 por 2 que nos da 18.38 y eso m\u00e1s h."}, {"start": 765.0, "end": 779.0, "text": " Tendremos ahora cero igual a menos 19.6 m\u00e1s 18.38 que nos da como resultado menos 1.22 y esto m\u00e1s h."}, {"start": 779.0, "end": 794.0, "text": " De aqu\u00ed hacemos el despeje de la inc\u00f3gnita h y obtenemos 1.22 metros, es la altura desde la cual fue bateada la pelota."}, {"start": 794.0, "end": 813.0, "text": " Entonces ya podemos reemplazar aqu\u00ed ese valor, vamos a colocar el resultado obtenido, es entonces 1.22 metros la altura sobre el suelo donde fue bateada la pelota."}, {"start": 813.0, "end": 833.0, "text": " Tambi\u00e9n podemos decir que cuando el tiempo es igual al tiempo de vuelo que es 2 segundos, entonces la posici\u00f3n en X de la pelota es X m\u00e1xima."}, {"start": 833.0, "end": 841.0, "text": " Como dec\u00edamos se trata del m\u00e1ximo alcance horizontal que logra la pelota."}, {"start": 841.0, "end": 850.0, "text": " Con esta informaci\u00f3n que tenemos sobre las letras X y T utilizamos entonces la tercera ecuaci\u00f3n."}, {"start": 850.0, "end": 872.0, "text": " Entonces vamos a reemplazar all\u00ed estos datos que tenemos donde est\u00e1 la letra X entra X m\u00e1xima, el alcance m\u00e1ximo horizontal esto es igual a 7.70 \u00edbano por el valor de T que es 2 segundos."}, {"start": 872.0, "end": 884.0, "text": " Y resolviendo esta operaci\u00f3n obtenemos que X m\u00e1xima es igual a 15.42 metros."}, {"start": 884.0, "end": 893.0, "text": " Aqu\u00ed respondemos otra de las preguntas del problema, tenemos ya el alcance horizontal de la pelota."}, {"start": 893.0, "end": 905.0, "text": " Vamos entonces a cambiar este dato por el resultado obtenido que es 15.42 metros."}, {"start": 905.0, "end": 911.0, "text": " Ya sabemos que las posiciones en X se encuentran en metros."}, {"start": 911.0, "end": 923.0, "text": " Cuando la part\u00edcula termina su movimiento, es decir en este instante justo antes de golpear con el suelo tenemos que su velocidad es el vector BF."}, {"start": 923.0, "end": 930.0, "text": " Y ese vector tiene dos componentes, una vertical y otra horizontal."}, {"start": 930.0, "end": 942.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos la pelota justo en ese instante, esa componente vertical la vamos a llamar BFy y la componente horizontal la llamamos BFx."}, {"start": 942.0, "end": 956.0, "text": " Pero como dijimos ahora la velocidad en X, es decir esa componente horizontal de la velocidad es constante durante todo el movimiento parab\u00f3lico y siempre va a tener este valor."}, {"start": 956.0, "end": 967.0, "text": " Entonces la componente en X de la velocidad final es simplemente Bx y vale 7.71 metros sobre segundos."}, {"start": 967.0, "end": 974.0, "text": " En cambio esta componente vertical de la velocidad final si nos toca determinarla."}, {"start": 974.0, "end": 980.0, "text": " Esa componente esta cambiando durante todo el movimiento de la part\u00edcula."}, {"start": 980.0, "end": 989.0, "text": " En el comienzo la velocidad en Y apunta hacia arriba y empieza a disminuir hasta que es cero en el punto m\u00e1s alto."}, {"start": 989.0, "end": 1003.0, "text": " A medida que empieza la etapa de descenso la componente vertical de la velocidad empieza a hacerse m\u00e1s grande hacia abajo hasta que adquiere este tama\u00f1o cuando ya termina el movimiento."}, {"start": 1003.0, "end": 1026.0, "text": " Decimos entonces que cuando el tiempo es igual al tiempo de vuelo que es dos segundos entonces la velocidad en Y de la pelota ser\u00e1 la componente BFy, es decir la componente vertical de la velocidad final."}, {"start": 1026.0, "end": 1036.0, "text": " Con esta informaci\u00f3n de velocidad en Y y de tiempo entonces debemos utilizar la segunda ecuaci\u00f3n cinem\u00e1tica."}, {"start": 1036.0, "end": 1045.0, "text": " Entonces vamos a reemplazar all\u00ed estos componentes donde tenemos velocidad en Y entra velocidad final en Y."}, {"start": 1045.0, "end": 1060.0, "text": " All\u00ed se hace el reemplazo, eso nos queda igual a menos 9.8 por T, o sea menos 9.8 por 2 y esto m\u00e1s 9.19."}, {"start": 1060.0, "end": 1089.0, "text": " Resolviendo estas operaciones tenemos velocidad final en Y igual a menos 9.8 por 2 que es menos 19.6 m\u00e1s 9.19 y efectuando ahora esta suma tenemos que la velocidad final en Y es igual a menos 10.41 y esto nos queda con unidades metros por segundo."}, {"start": 1089.0, "end": 1101.0, "text": " De esta manera ya tenemos las componentes de la velocidad final de la pelota, es decir de la velocidad que tiene justo antes de golpear con el piso."}, {"start": 1101.0, "end": 1115.0, "text": " Esa respuesta se puede escribir de la siguiente manera, el vector velocidad final est\u00e1 compuesto por los vectores, velocidad final en X m\u00e1s velocidad final en Y."}, {"start": 1115.0, "end": 1123.0, "text": " Recordemos que esto es una suma vectorial, vamos a reemplazar entonces all\u00ed los valores que encontramos."}, {"start": 1123.0, "end": 1138.0, "text": " La velocidad final en X dijimos que es la misma componente de X, tiene un valor de 7.71 metros sobre segundo y esta est\u00e1 dirigida en la direcci\u00f3n Y."}, {"start": 1138.0, "end": 1150.0, "text": " Recordemos que Y es el vector unitario en la direcci\u00f3n X, entonces de esta manera se representa la componente horizontal de la velocidad final."}, {"start": 1150.0, "end": 1172.0, "text": " Ahora esto nos queda m\u00e1s el valor de la velocidad final en Y que es menos 10.41 en metros por segundo y eso nos queda acompa\u00f1ado de J que es el vector unitario en la direcci\u00f3n vertical."}, {"start": 1172.0, "end": 1182.0, "text": " Para terminar podemos aplicar aqu\u00ed la ley de los signos, tenemos m\u00e1s por menos signos vecinos que nos da como resultado menos."}, {"start": 1182.0, "end": 1194.0, "text": " Entonces dejamos aqu\u00ed el signo negativo y colocamos el par\u00e9ntesis para proteger la magnitud de la componente vertical de la velocidad final."}, {"start": 1194.0, "end": 1208.0, "text": " De esta manera hemos respondido a las preguntas de este problema, tenemos aqu\u00ed las componentes de la velocidad final de la pelota, componente horizontal y componente vertical."}, {"start": 1208.0, "end": 1224.0, "text": " Sabemos a qu\u00e9 altura fue bateada la pelota, 1.22 metros y tambi\u00e9n sabemos cu\u00e1l fue su alcance horizontal, 15.42 metros."}]

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MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME - Problema 4

#julioprofe explica cómo resolver un problema de Movimiento Circular Uniforme: La Tierra tiene 6380 km de radio y un objeto en el Ecuador se mueve con una velocidad tangencial aproximada de 464 m/s. (a) ¿Cuál es el período y frecuencia de rotación de la Tierra? (b) ¿Cuál es la aceleración radial (expresada en m/s²) de ese objeto? REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

La Tierra tiene 6.380 km de radio y un objeto en el ecuador se mueve con una velocidad tangencial aproximada de 464 ms. A ¿Cuál es el periodo y frecuencia de rotación de la Tierra? B ¿Cuál es la aceleración radial expresada en ms² de ese objeto? Bien, tenemos en este caso un problema sobre movimiento circular uniforme. Tenemos información de nuestro planeta Tierra donde su radio es 6.380 km. Y donde un punto que se encuentra sobre la línea ecuatorial se mueve con una velocidad tangencial aproximada de 464 ms. Nos piden encontrar ¿Cuál es el periodo y la frecuencia del movimiento de rotación de la Tierra? Y ¿Cuál es el valor de la aceleración radial o centripeta de ese objeto que está situado sobre la línea ecuatorial? Comenzamos entonces por determinar el periodo de rotación de la Tierra. Recordemos que el periodo se denota con la letra T y hace referencia al tiempo que tarda el cuerpo en efectuar una vuelta o una revolución completa. Para nuestro planeta Tierra el periodo es un día, o sea 24 horas. Pero en este tema de movimiento circular uniforme se acostumbra a expresar el periodo en segundos. Entonces vamos a realizar la conversión de este tiempo que se encuentra en horas y vamos a llevarlo a segundos. Recordemos que una hora equivale a 60 minutos y a su vez un minuto equivale a 60 segundos. Entonces decimos que una hora es igual a 3600 segundos, o sea 60 minutos por 60 segundos que hay en cada minuto. Eso nos da 3600 segundos. Entonces hacemos la conversión. Decimos periodo igual a 24 horas, esto multiplicado por el factor de conversión para pasar de horas a segundos. Entonces una hora equivale a 3600 segundos. Aquí eliminamos las horas y multiplicando 24 por 3600 obtenemos 86400 y esto nos queda ya en segundos. De esta manera tenemos ya la primera respuesta. El periodo de rotación de nuestro planeta Tierra es 86400 segundos. Ahora vamos a determinar la frecuencia de ese mismo movimiento. Recordemos que se define como el número de vueltas o revoluciones que el cuerpo realiza en la unidad de tiempo. Y se calcula como 1 sobre T, o sea el recíproco del periodo. Tendremos entonces 1 sobre 86400 segundos, que fue el valor que obtuvimos. Haciendo esa división en la calculadora tenemos como resultado 1.16 por 10 a la menos 5 segundos a la menos 1. O también esta unidad es la que se conoce con el nombre de Hertz y su abreviatura es HZ. Escribimos ese resultado por aquí y de esta manera tenemos ya el periodo y la frecuencia del movimiento de rotación de la Tierra, que son las preguntas de la parte A de este problema. Ahora vamos a determinar lo que nos preguntan en la parte B, es decir el valor de la aceleración radial o centripeta del objeto que está situado sobre la línea ecuatorial. La fórmula para determinar la aceleración centripeta es velocidad tangencial al cuadrado sobre el radio. Tenemos entonces que la aceleración centripeta será igual a lo siguiente. La velocidad tangencial que es 464 metros sobre segundo, todo esto elevado al cuadrado y toda esa cantidad sobre el radio de la Tierra. Pero el radio lo tenemos en kilómetros, debemos expresarlo en metros. Para ello multiplicamos este número por mil, nos queda entonces 6.380.000 metros. Para pasar de kilómetros a metros simplemente multiplicamos el número por mil. Y ese dato es el que vamos a escribir por acá, que es el radio de la Tierra. Efectuando toda esta operación en la calculadora nos da como resultado 0.034 y las unidades correspondientes son metros sobre segundo cuadrado. Anotamos entonces este resultado por aquí y de esta manera hemos encontrado lo que nos preguntaban en la parte B del problema. De esta manera terminamos.

[{"start": 0.0, "end": 14.44, "text": " La Tierra tiene 6.380 km de radio y un objeto en el ecuador se mueve con una velocidad tangencial aproximada de 464 ms."}, {"start": 14.44, "end": 18.72, "text": " A \u00bfCu\u00e1l es el periodo y frecuencia de rotaci\u00f3n de la Tierra?"}, {"start": 18.72, "end": 26.72, "text": " B \u00bfCu\u00e1l es la aceleraci\u00f3n radial expresada en ms\u00b2 de ese objeto?"}, {"start": 26.72, "end": 33.56, "text": " Bien, tenemos en este caso un problema sobre movimiento circular uniforme."}, {"start": 33.56, "end": 42.0, "text": " Tenemos informaci\u00f3n de nuestro planeta Tierra donde su radio es 6.380 km."}, {"start": 42.0, "end": 56.64, "text": " Y donde un punto que se encuentra sobre la l\u00ednea ecuatorial se mueve con una velocidad tangencial aproximada de 464 ms."}, {"start": 56.64, "end": 66.4, "text": " Nos piden encontrar \u00bfCu\u00e1l es el periodo y la frecuencia del movimiento de rotaci\u00f3n de la Tierra?"}, {"start": 66.4, "end": 78.4, "text": " Y \u00bfCu\u00e1l es el valor de la aceleraci\u00f3n radial o centripeta de ese objeto que est\u00e1 situado sobre la l\u00ednea ecuatorial?"}, {"start": 78.4, "end": 84.12, "text": " Comenzamos entonces por determinar el periodo de rotaci\u00f3n de la Tierra."}, {"start": 84.12, "end": 97.88000000000001, "text": " Recordemos que el periodo se denota con la letra T y hace referencia al tiempo que tarda el cuerpo en efectuar una vuelta o una revoluci\u00f3n completa."}, {"start": 97.88000000000001, "end": 104.44, "text": " Para nuestro planeta Tierra el periodo es un d\u00eda, o sea 24 horas."}, {"start": 104.44, "end": 112.52000000000001, "text": " Pero en este tema de movimiento circular uniforme se acostumbra a expresar el periodo en segundos."}, {"start": 112.52, "end": 121.32, "text": " Entonces vamos a realizar la conversi\u00f3n de este tiempo que se encuentra en horas y vamos a llevarlo a segundos."}, {"start": 121.32, "end": 130.6, "text": " Recordemos que una hora equivale a 60 minutos y a su vez un minuto equivale a 60 segundos."}, {"start": 130.6, "end": 141.8, "text": " Entonces decimos que una hora es igual a 3600 segundos, o sea 60 minutos por 60 segundos que hay en cada minuto."}, {"start": 141.8, "end": 145.72, "text": " Eso nos da 3600 segundos."}, {"start": 145.72, "end": 158.12, "text": " Entonces hacemos la conversi\u00f3n. Decimos periodo igual a 24 horas, esto multiplicado por el factor de conversi\u00f3n para pasar de horas a segundos."}, {"start": 158.12, "end": 163.56, "text": " Entonces una hora equivale a 3600 segundos."}, {"start": 163.56, "end": 178.28, "text": " Aqu\u00ed eliminamos las horas y multiplicando 24 por 3600 obtenemos 86400 y esto nos queda ya en segundos."}, {"start": 178.28, "end": 182.28, "text": " De esta manera tenemos ya la primera respuesta."}, {"start": 182.28, "end": 189.8, "text": " El periodo de rotaci\u00f3n de nuestro planeta Tierra es 86400 segundos."}, {"start": 189.8, "end": 195.48000000000002, "text": " Ahora vamos a determinar la frecuencia de ese mismo movimiento."}, {"start": 195.48000000000002, "end": 205.24, "text": " Recordemos que se define como el n\u00famero de vueltas o revoluciones que el cuerpo realiza en la unidad de tiempo."}, {"start": 205.24, "end": 211.48000000000002, "text": " Y se calcula como 1 sobre T, o sea el rec\u00edproco del periodo."}, {"start": 211.48, "end": 221.07999999999998, "text": " Tendremos entonces 1 sobre 86400 segundos, que fue el valor que obtuvimos."}, {"start": 221.07999999999998, "end": 233.56, "text": " Haciendo esa divisi\u00f3n en la calculadora tenemos como resultado 1.16 por 10 a la menos 5 segundos a la menos 1."}, {"start": 233.56, "end": 244.68, "text": " O tambi\u00e9n esta unidad es la que se conoce con el nombre de Hertz y su abreviatura es HZ."}, {"start": 244.68, "end": 255.32, "text": " Escribimos ese resultado por aqu\u00ed y de esta manera tenemos ya el periodo y la frecuencia del movimiento de rotaci\u00f3n de la Tierra,"}, {"start": 255.32, "end": 260.68, "text": " que son las preguntas de la parte A de este problema."}, {"start": 260.68, "end": 274.36, "text": " Ahora vamos a determinar lo que nos preguntan en la parte B, es decir el valor de la aceleraci\u00f3n radial o centripeta del objeto que est\u00e1 situado sobre la l\u00ednea ecuatorial."}, {"start": 274.36, "end": 283.0, "text": " La f\u00f3rmula para determinar la aceleraci\u00f3n centripeta es velocidad tangencial al cuadrado sobre el radio."}, {"start": 283.0, "end": 289.0, "text": " Tenemos entonces que la aceleraci\u00f3n centripeta ser\u00e1 igual a lo siguiente."}, {"start": 289.0, "end": 304.28, "text": " La velocidad tangencial que es 464 metros sobre segundo, todo esto elevado al cuadrado y toda esa cantidad sobre el radio de la Tierra."}, {"start": 304.28, "end": 309.8, "text": " Pero el radio lo tenemos en kil\u00f3metros, debemos expresarlo en metros."}, {"start": 309.8, "end": 323.88, "text": " Para ello multiplicamos este n\u00famero por mil, nos queda entonces 6.380.000 metros. Para pasar de kil\u00f3metros a metros simplemente multiplicamos el n\u00famero por mil."}, {"start": 323.88, "end": 331.56, "text": " Y ese dato es el que vamos a escribir por ac\u00e1, que es el radio de la Tierra."}, {"start": 331.56, "end": 345.72, "text": " Efectuando toda esta operaci\u00f3n en la calculadora nos da como resultado 0.034 y las unidades correspondientes son metros sobre segundo cuadrado."}, {"start": 345.72, "end": 356.36, "text": " Anotamos entonces este resultado por aqu\u00ed y de esta manera hemos encontrado lo que nos preguntaban en la parte B del problema."}, {"start": 356.36, "end": 361.8, "text": " De esta manera terminamos."}]

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INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS - Ejercicios 5 y 6

#julioprofe explica cómo resolver dos integrales trigonométricas. Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

En esta ocasión vamos a ver cómo se resuelven detalladamente estos dos ejercicios que corresponden a integrales trigonométricas. Para el caso del primer ejercicio necesitamos transformar esta expresión, o sea, el integrando, porque no tenemos integrales directas para cada uno de estos componentes. Recurrimos entonces a las identidades trigonométricas, una que dice tangente al cuadrado de x más 1 es igual a secante al cuadrado de x. De allí podemos despejar tangente al cuadrado de x. Nos queda entonces que eso es igual a secante al cuadrado de x menos 1. Este 1 que está sumando en el lado izquierdo pasa al lado derecho a restar. Y hay otra identidad parecida a esta que dice cotangente al cuadrado de x más 1 es igual a cosecante al cuadrado de x. Entonces de allí vamos a despejar cotangente al cuadrado de x y el procedimiento es similar al anterior. Quejamos, cosecante al cuadrado de x y esto queda menos 1. Estas se llaman identidades pitagóricas y se convierten en la clave para dar solución a este ejercicio. Lo que hacemos enseguida es sustituir esas expresiones que encontramos acá en el integrando. Tenemos entonces 5 que multiplica a tangente al cuadrado de x que es reemplazado por secante al cuadrado de x menos 1. Protejemos eso con paréntesis y acá tenemos menos 4 que multiplica a cotangente al cuadrado de x. Y ese componente se cambia por cosecante al cuadrado de x menos 1. Cerramos el paréntesis, cerramos también el corchete que protege todo el integrando y escribimos el diferencial de x. A continuación vamos a destruir estos paréntesis. Entonces tendremos la integral de 5 que multiplica a secante al cuadrado de x y 5 que multiplica a menos 1. O sea, menos 5. Allí hemos aplicado la propiedad distributiva. Lo mismo vamos a realizar acá. Aplicamos esa misma propiedad y entonces tenemos menos 4 por cosecante al cuadrado de x y menos 4 por menos 1 que nos da más 4. Cerramos el corchete y escribimos el diferencial de x. Ahora podemos operar estos dos números. Entonces veamos cómo nos queda la integral. Podemos cambiar ya el corchete por paréntesis. Escrevemos 5 secante al cuadrado de x luego menos 4 cosecante al cuadrado de x y menos 5 más 4 nos da como resultado menos 1. Cerramos el paréntesis y escribimos el diferencial de x. Como se observa tenemos ahora componentes que pueden ser integrados directamente. Para hacer eso primero vamos a repartir la integral. Entonces para el caso del primer término podemos extraer el 5 por ser una constante que está multiplicando y nos queda la integral de secante al cuadrado de x. Con su respectivo diferencial de x. Vamos al segundo término que nos queda menos 4 por la integral de cosecante al cuadrado de x con su diferencial de x. Y el último término nos queda menos la integral de 1 con su diferencial de x. Si queremos podemos omitir este número 1 y dejar la integral simplemente así como la integral del diferencial de x. Como decíamos tenemos ya en este momento integrales inmediatas o integrales directas. Vamos entonces a resolver cada una de ellas. Tendremos 5 que multiplica a la integral de secante al cuadrado de x que nos da tangente de x. Esto menos 4 que multiplica a la integral de cosecante al cuadrado de x que es menos cotangente de x. Dejemos eso con paréntesis y esto menos la integral de x que es la variable x. Y cerramos el ejercicio esta etapa con la constante de integración. Para terminar podemos efectuar aquí este producto de modo que la expresión nos quede de una manera más simple. Nos queda entonces 5 cotangente de x, acá tendremos más 4 cotangente de x, esto menos x más la constante de integración. Y de esta manera hemos resuelto la primera integral trigonométrica. En el segundo ejercicio también tenemos que transformar esta expresión, o sea el integrando, porque no podemos integrar de manera directa. Entonces comenzamos desarrollando este binomio que está elevado al cuadrado. Y para eso vamos a utilizar el producto notable de la algebra que se llama justamente así. Binomio elevado al cuadrado, recordemos que eso es igual al primer término al cuadrado más dos veces el primer término por el segundo más el segundo término elevado al cuadrado. Entonces vamos a desarrollar esa expresión que tenemos en el integrando. Comenzamos con el primer término al cuadrado, eso sería seno de teta todo esto al cuadrado, pero podemos escribirlo así, como seno al cuadrado de teta. Eso nos queda más dos veces el primer término por el segundo, o sea seno de teta por coseno de teta, y esto más el segundo término elevado al cuadrado nos queda parecido al primero, coseno al cuadrado de teta. Todo esto lo protegemos con paréntesis y escribimos el diferencial de teta. Aquí podemos aplicar la propiedad conmutativa de la suma. Entonces podemos reescribir al integrando como seno al cuadrado de teta más coseno al cuadrado de teta más dos seno de teta por coseno de teta y todo esto con su respectivo diferencial de teta. Como se observa hemos cambiado de posición estos dos sumandos, propiedad conmutativa de la suma. Esto lo hacemos porque esta combinación que tenemos aquí, seno al cuadrado de teta más coseno al cuadrado de teta equivale a 1. Se trata de la identidad fundamental de la trigonometría de las identidades pitagóricas es la principal. Entonces el ejercicio nos queda de la siguiente manera, integral de 1 más esta expresión, 2 seno de teta coseno de teta, todo esto protegido con paréntesis y escribimos el diferencial de teta. Ahora podemos repartir la integral para cada uno de los términos que conforma la suma. Nos queda la integral de 1 con su diferencial de teta más la integral de 2 seno de teta por coseno de teta también con su diferencial de teta. La primera integral puede escribirse como integral del diferencial de teta, tal como veíamos en el ejercicio anterior este uno puede volverse invisible. Simplemente se omite y nos queda de una manera más sencilla. Y acá podemos extraer el número 2 porque está multiplicando, nos queda entonces la integral de seno de teta por coseno de teta con su respectivo diferencial de teta. Esta primera integral ya se puede resolver en forma directa, su resultado es teta, o sea la variable. En el caso de la segunda tenemos que utilizar el método de integración conocido como sustitución o cambio de variable. Vamos a escribir eso por acá, lo relacionado con la sustitución. Vamos a utilizar por ejemplo la letra F para designar a lo que es seno de teta. Hacemos esa elección porque la derivada de seno es coseno, entonces eso nos hace conveniente escoger como seno de teta a la nueva variable que hemos elegido como la letra F. Esta expresión vamos a derivarla con respecto a la variable teta a ambos lados, en el lado izquierdo nos queda de F de teta y en el lado derecho tendremos coseno de teta. De aquí vamos a despejar de teta y hacemos un intercambio con este componente, de teta pasa a multiplicar y coseno de teta viene a dividir a ocupar este lugar. Tendremos entonces que dF sobre coseno de teta es igual a d teta y así logramos despejar ese componente que necesitamos. Con esta información vamos a reconstruir esta integral en términos de la nueva variable. Tendremos entonces integral de seno de teta que equivale a la letra F por coseno de teta por d teta que nos dio dF sobre coseno de teta. Entonces escribimos ese componente. Aquí podemos simplificar coseno de teta que está arriba y también abajo. Nos queda entonces teta más dos por la integral de F por su respectivo diferencial de F. Y aquí tenemos una integral que sí es directa. Vamos entonces a resolverla. Tendremos teta más dos por la integral de F que es F al cuadrado sobre dos y aparece por primera vez la constante de integración para todo el ejercicio. En este término podemos simplificar este número dos. Eso es totalmente lícito y la expresión nos queda teta más F al cuadrado y todo esto más la constante de integración. Como llegamos a una etapa en que no es posible hacer nada más entonces deshacemos el cambio de variable. Vamos a reemplazar F por su equivalente que es seno de teta. Nos queda entonces teta más entre paréntesis seno de teta todo esto elevado al cuadrado más la constante C. Finalmente esto puede reescribirse como teta más seno al cuadrado de teta y todo esto más la constante de integración. De esta manera llegamos a la respuesta de este segundo ejercicio y con eso terminamos esta explicación.

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ECUACIONES LOGARÍTMICAS - Ejercicio 10

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Vamos a resolver esta ecuación que contiene logaritmos. Debemos encontrar el valor o los valores de la incógnita X que hacen verdadera esta igualdad. Comenzamos reduciendo estos dos logaritmos que se encuentran restando a uno solo. Y para ello vamos a utilizar la siguiente propiedad de los logaritmos. Si tenemos logaritmo en base a de un cociente m sobre n, esto es igual a logaritmo en base a de m menos logaritmo en base a de n. Es decir que el logaritmo de un cociente o división se convierte en una resta de logaritmos. Pero esta propiedad es reversible, o sea que si tenemos resta de logaritmos, podemos conformar el logaritmo de un cociente. Y es la situación que tenemos en este caso. Tendremos entonces logaritmo en base a de 3 de X más 1 sobre X. Todo esto lo protegemos con paréntesis y hemos utilizado esta propiedad. El lado derecho de la igualdad permanece intacto. Logaritmo en base 3 de X más 9. Ahora vamos a utilizar otra propiedad de los logaritmos que dice así. Si tenemos logaritmo en base a de m igual a logaritmo en base a de n, entonces podemos afirmar que m es igual a n. En otras palabras, si tenemos la igualdad de logaritmos con la misma base, entonces necesariamente los argumentos tienen que ser iguales. Y es lo que está sucediendo aquí. Tenemos logaritmo en base 3 a ambos lados de la igualdad. Entonces, apoyándonos en esta propiedad, tenemos que X más 1 sobre X es igual a X más 9. Como decíamos, se igualan los argumentos. Ahora nos vamos a concentrar en resolver esta ecuación. Podemos pasar X que está dividiendo en el lado izquierdo a multiplicar al lado derecho. Nos queda entonces, X más 1 igual a X que multiplica a la expresión X más 9. Este binomio debe protegerse con paréntesis. Ahora vamos a aplicar la propiedad distributiva acá en el lado derecho. Tendremos X más 1 igual a X por X que nos da como resultado X al cuadrado y X por más 9 que nos da como resultado más 9X. Y la ecuación empieza a tomar forma de ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática. Para resolverla, tenemos que garantizar el cero en uno de los lados de la igualdad. Vamos a dejarlo al lado izquierdo. Entonces, movemos estos términos para el lado derecho. Nos va a quedar cero igual a X al cuadrado más 9X. Estos términos no presentan ningún cambio y acá llegan estos que van a pasar con signo negativo. Enseguida hacemos la reducción de términos semejantes. Estos dos términos que contienen la X se pueden operar entre sí. Nos queda cero igual a X al cuadrado más 8X menos 1. Y esta es la ecuación cuadrática que tiene la forma o el modelo cero igual a aX al cuadrado más bX más c. Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática. Para resolver esta ecuación tenemos dos caminos principales. Uno es el de la factorización y el otro es el de la fórmula cuadrática o fórmula general. Primero intentamos por factorización porque de ser así se resuelve mucho más rápido. Esta expresión corresponde a ese caso que se llama trinomio de la forma X al cuadrado más bX más c. Vamos a ver si se puede factorizar. Abrimos dos paréntesis repartimos aquí la X o sea la raíz cuadrada del primer término. Ahora definimos los signos. Aquí tenemos signo positivo. Más por más nos da más y más por menos nos da menos. Buscamos ahora dos números uno positivo y otro negativo que multiplicados nos den menos uno y que sumados nos den 8 positivo. Si hacemos todos los intentos vemos que no es posible encontrar esos números. Por lo tanto se concluye que esta expresión no es factorizable. En vista de eso que acaba de suceder debemos tomar el camino de la fórmula cuadrática o fórmula general. Comenzamos identificando los valores de a, b y c. Tenemos que a es el coeficiente de X al cuadrado. Aquí tenemos coeficiente uno. b es el coeficiente de X que es 8. y c es el término independiente de la expresión que es menos uno. Ahora vamos a escribir aquí la fórmula cuadrática o fórmula general. Aquí podemos observarla y ahora vamos a escribirla de nuevo pero desapareciendo las letras. Es decir que en sus lugares vamos a dejar paréntesis vacíos. Allí la tenemos y vamos a llenar los espacios con los números correspondientes. Aquí vamos a reemplazar el valor de b que es 8. Por aquí otra vez reemplazamos b que vale 8. Aquí tenemos el valor de a que es 1. Aquí va el valor de la letra c que es menos uno. Y acá tenemos el valor de a que es uno. Ahora vamos a resolver cada una de esas operaciones. Tenemos x igual a menos 8. Más o menos la raíz cuadrada de 8 al cuadrado que es 64. Y menos 4 por 1 por menos 1 nos da como resultado más 4. Todo eso sobre 2 por 1 que es 2. Enseguida resolvemos esta suma. Tendremos x igual a menos 8 más o menos la raíz cuadrada de 68. Y todo eso sobre 2. Podemos simplificar la raíz cuadrada de 68. Para ello descomponemos en factores primos este número. Decimos entonces mitad de 68 que es 34. Mitad de 34 que es 17. 17 es número primo. O sea que solamente es divisible por 17. Y aquí obtenemos 1. Por lo tanto 68 es 2 al cuadrado por 17. Y si eso lo tenemos dentro de la raíz cuadrada va a suceder lo siguiente. Raíz cuadrada de 2 al cuadrado por 17. Y allí es posible extraer este número 2. Nos va a quedar 2 raíz cuadrada de 17. Entonces este resultado lo traemos aquí. Nos queda entonces la expresión de esta manera. Ahora podemos repartir este denominador 2 para cada uno de los términos que hay en el numerador. Tendremos x igual a menos 8 sobre 2. Más o menos 2 raíz cuadrada de 17. Y esto sobre 2. Y vemos que es posible simplificar ambas fracciones. Tendremos x igual a menos 8 medios que es menos 4, más o menos raíz cuadrada de 17. Porque aquí es posible simplificar ese número 2. Llegamos entonces a dos posibilidades. Una es x igual a menos 4, menos raíz cuadrada de 17. Y la otra es x igual a menos 4, más la raíz cuadrada de 17. Estas son las soluciones de la ecuación cuadrática o de segundo grado que veíamos hace un momento. Sin embargo, tenemos que verificar que estos resultados satisfagan la ecuación original. O sea, la ecuación que contiene logaritmos. Recordemos que en los logaritmos el argumento siempre tiene que ser positivo. Y esta solución se puede ver claramente que será de naturaleza negativa. Por ejemplo, aquí tendríamos problemas con este valor. Por lo tanto, se descarta. Este valor no nos sirve. En cambio, esta que tenemos acá, si la resolvemos en calculadora, tendremos un resultado aproximadamente igual a 0.12. O sea, un valor positivo que encaja perfectamente aquí y también en estos otros dos logaritmos donde tenemos asegurado argumentos positivos. Concluimos entonces que para esta ecuación que contiene logaritmos, esta es la respuesta. Es el valor de X que hace verdadera esa igualdad.

[{"start": 0.0, "end": 4.4, "text": " Vamos a resolver esta ecuaci\u00f3n que contiene logaritmos."}, {"start": 4.4, "end": 12.200000000000001, "text": " Debemos encontrar el valor o los valores de la inc\u00f3gnita X que hacen verdadera esta igualdad."}, {"start": 12.200000000000001, "end": 18.6, "text": " Comenzamos reduciendo estos dos logaritmos que se encuentran restando a uno solo."}, {"start": 18.6, "end": 24.400000000000002, "text": " Y para ello vamos a utilizar la siguiente propiedad de los logaritmos."}, {"start": 24.4, "end": 36.4, "text": " Si tenemos logaritmo en base a de un cociente m sobre n, esto es igual a logaritmo en base a de m"}, {"start": 36.4, "end": 41.0, "text": " menos logaritmo en base a de n."}, {"start": 41.0, "end": 48.8, "text": " Es decir que el logaritmo de un cociente o divisi\u00f3n se convierte en una resta de logaritmos."}, {"start": 48.8, "end": 54.4, "text": " Pero esta propiedad es reversible, o sea que si tenemos resta de logaritmos,"}, {"start": 54.4, "end": 58.4, "text": " podemos conformar el logaritmo de un cociente."}, {"start": 58.4, "end": 62.4, "text": " Y es la situaci\u00f3n que tenemos en este caso."}, {"start": 62.4, "end": 74.2, "text": " Tendremos entonces logaritmo en base a de 3 de X m\u00e1s 1 sobre X."}, {"start": 74.2, "end": 80.4, "text": " Todo esto lo protegemos con par\u00e9ntesis y hemos utilizado esta propiedad."}, {"start": 80.4, "end": 85.60000000000001, "text": " El lado derecho de la igualdad permanece intacto."}, {"start": 85.60000000000001, "end": 91.2, "text": " Logaritmo en base 3 de X m\u00e1s 9."}, {"start": 91.2, "end": 97.2, "text": " Ahora vamos a utilizar otra propiedad de los logaritmos que dice as\u00ed."}, {"start": 97.2, "end": 105.8, "text": " Si tenemos logaritmo en base a de m igual a logaritmo en base a de n,"}, {"start": 105.8, "end": 113.6, "text": " entonces podemos afirmar que m es igual a n."}, {"start": 113.6, "end": 119.4, "text": " En otras palabras, si tenemos la igualdad de logaritmos con la misma base,"}, {"start": 119.4, "end": 124.0, "text": " entonces necesariamente los argumentos tienen que ser iguales."}, {"start": 124.0, "end": 126.60000000000001, "text": " Y es lo que est\u00e1 sucediendo aqu\u00ed."}, {"start": 126.6, "end": 131.2, "text": " Tenemos logaritmo en base 3 a ambos lados de la igualdad."}, {"start": 131.2, "end": 143.79999999999998, "text": " Entonces, apoy\u00e1ndonos en esta propiedad, tenemos que X m\u00e1s 1 sobre X es igual a X m\u00e1s 9."}, {"start": 143.79999999999998, "end": 148.79999999999998, "text": " Como dec\u00edamos, se igualan los argumentos."}, {"start": 148.79999999999998, "end": 153.4, "text": " Ahora nos vamos a concentrar en resolver esta ecuaci\u00f3n."}, {"start": 153.4, "end": 160.6, "text": " Podemos pasar X que est\u00e1 dividiendo en el lado izquierdo a multiplicar al lado derecho."}, {"start": 160.6, "end": 170.6, "text": " Nos queda entonces, X m\u00e1s 1 igual a X que multiplica a la expresi\u00f3n X m\u00e1s 9."}, {"start": 170.6, "end": 174.8, "text": " Este binomio debe protegerse con par\u00e9ntesis."}, {"start": 174.8, "end": 180.8, "text": " Ahora vamos a aplicar la propiedad distributiva ac\u00e1 en el lado derecho."}, {"start": 180.8, "end": 192.0, "text": " Tendremos X m\u00e1s 1 igual a X por X que nos da como resultado X al cuadrado"}, {"start": 192.0, "end": 199.4, "text": " y X por m\u00e1s 9 que nos da como resultado m\u00e1s 9X."}, {"start": 199.4, "end": 207.4, "text": " Y la ecuaci\u00f3n empieza a tomar forma de ecuaci\u00f3n de segundo grado o ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica."}, {"start": 207.4, "end": 213.0, "text": " Para resolverla, tenemos que garantizar el cero en uno de los lados de la igualdad."}, {"start": 213.0, "end": 215.6, "text": " Vamos a dejarlo al lado izquierdo."}, {"start": 215.6, "end": 220.0, "text": " Entonces, movemos estos t\u00e9rminos para el lado derecho."}, {"start": 220.0, "end": 227.0, "text": " Nos va a quedar cero igual a X al cuadrado m\u00e1s 9X."}, {"start": 227.0, "end": 236.20000000000002, "text": " Estos t\u00e9rminos no presentan ning\u00fan cambio y ac\u00e1 llegan estos que van a pasar con signo negativo."}, {"start": 236.2, "end": 240.6, "text": " Enseguida hacemos la reducci\u00f3n de t\u00e9rminos semejantes."}, {"start": 240.6, "end": 245.6, "text": " Estos dos t\u00e9rminos que contienen la X se pueden operar entre s\u00ed."}, {"start": 245.6, "end": 253.2, "text": " Nos queda cero igual a X al cuadrado m\u00e1s 8X menos 1."}, {"start": 253.2, "end": 265.4, "text": " Y esta es la ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica que tiene la forma o el modelo cero igual a aX al cuadrado m\u00e1s bX m\u00e1s c."}, {"start": 265.4, "end": 270.59999999999997, "text": " Una ecuaci\u00f3n de segundo grado o ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica."}, {"start": 270.59999999999997, "end": 274.59999999999997, "text": " Para resolver esta ecuaci\u00f3n tenemos dos caminos principales."}, {"start": 274.59999999999997, "end": 281.59999999999997, "text": " Uno es el de la factorizaci\u00f3n y el otro es el de la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica o f\u00f3rmula general."}, {"start": 281.59999999999997, "end": 287.79999999999995, "text": " Primero intentamos por factorizaci\u00f3n porque de ser as\u00ed se resuelve mucho m\u00e1s r\u00e1pido."}, {"start": 287.8, "end": 295.8, "text": " Esta expresi\u00f3n corresponde a ese caso que se llama trinomio de la forma X al cuadrado m\u00e1s bX m\u00e1s c."}, {"start": 295.8, "end": 298.40000000000003, "text": " Vamos a ver si se puede factorizar."}, {"start": 298.40000000000003, "end": 305.6, "text": " Abrimos dos par\u00e9ntesis repartimos aqu\u00ed la X o sea la ra\u00edz cuadrada del primer t\u00e9rmino."}, {"start": 305.6, "end": 307.8, "text": " Ahora definimos los signos."}, {"start": 307.8, "end": 310.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos signo positivo."}, {"start": 310.0, "end": 314.6, "text": " M\u00e1s por m\u00e1s nos da m\u00e1s y m\u00e1s por menos nos da menos."}, {"start": 314.6, "end": 324.8, "text": " Buscamos ahora dos n\u00fameros uno positivo y otro negativo que multiplicados nos den menos uno y que sumados nos den 8 positivo."}, {"start": 324.8, "end": 330.8, "text": " Si hacemos todos los intentos vemos que no es posible encontrar esos n\u00fameros."}, {"start": 330.8, "end": 336.8, "text": " Por lo tanto se concluye que esta expresi\u00f3n no es factorizable."}, {"start": 336.8, "end": 345.2, "text": " En vista de eso que acaba de suceder debemos tomar el camino de la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica o f\u00f3rmula general."}, {"start": 345.2, "end": 351.2, "text": " Comenzamos identificando los valores de a, b y c."}, {"start": 351.2, "end": 355.40000000000003, "text": " Tenemos que a es el coeficiente de X al cuadrado."}, {"start": 355.40000000000003, "end": 357.8, "text": " Aqu\u00ed tenemos coeficiente uno."}, {"start": 357.8, "end": 361.6, "text": " b es el coeficiente de X que es 8."}, {"start": 361.6, "end": 367.40000000000003, "text": " y c es el t\u00e9rmino independiente de la expresi\u00f3n que es menos uno."}, {"start": 367.40000000000003, "end": 373.40000000000003, "text": " Ahora vamos a escribir aqu\u00ed la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica o f\u00f3rmula general."}, {"start": 373.40000000000003, "end": 380.6, "text": " Aqu\u00ed podemos observarla y ahora vamos a escribirla de nuevo pero desapareciendo las letras."}, {"start": 380.6, "end": 386.0, "text": " Es decir que en sus lugares vamos a dejar par\u00e9ntesis vac\u00edos."}, {"start": 386.0, "end": 392.0, "text": " All\u00ed la tenemos y vamos a llenar los espacios con los n\u00fameros correspondientes."}, {"start": 392.0, "end": 396.4, "text": " Aqu\u00ed vamos a reemplazar el valor de b que es 8."}, {"start": 396.4, "end": 400.8, "text": " Por aqu\u00ed otra vez reemplazamos b que vale 8."}, {"start": 400.8, "end": 405.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos el valor de a que es 1."}, {"start": 405.0, "end": 410.0, "text": " Aqu\u00ed va el valor de la letra c que es menos uno."}, {"start": 410.0, "end": 415.2, "text": " Y ac\u00e1 tenemos el valor de a que es uno."}, {"start": 415.2, "end": 419.2, "text": " Ahora vamos a resolver cada una de esas operaciones."}, {"start": 419.2, "end": 423.8, "text": " Tenemos x igual a menos 8."}, {"start": 423.8, "end": 431.59999999999997, "text": " M\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada de 8 al cuadrado que es 64."}, {"start": 431.59999999999997, "end": 438.2, "text": " Y menos 4 por 1 por menos 1 nos da como resultado m\u00e1s 4."}, {"start": 438.2, "end": 443.0, "text": " Todo eso sobre 2 por 1 que es 2."}, {"start": 443.0, "end": 445.4, "text": " Enseguida resolvemos esta suma."}, {"start": 445.4, "end": 455.4, "text": " Tendremos x igual a menos 8 m\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada de 68."}, {"start": 455.4, "end": 460.0, "text": " Y todo eso sobre 2."}, {"start": 460.0, "end": 463.8, "text": " Podemos simplificar la ra\u00edz cuadrada de 68."}, {"start": 463.8, "end": 468.4, "text": " Para ello descomponemos en factores primos este n\u00famero."}, {"start": 468.4, "end": 473.2, "text": " Decimos entonces mitad de 68 que es 34."}, {"start": 473.2, "end": 476.2, "text": " Mitad de 34 que es 17."}, {"start": 476.2, "end": 478.4, "text": " 17 es n\u00famero primo."}, {"start": 478.4, "end": 481.4, "text": " O sea que solamente es divisible por 17."}, {"start": 481.4, "end": 483.2, "text": " Y aqu\u00ed obtenemos 1."}, {"start": 483.2, "end": 489.2, "text": " Por lo tanto 68 es 2 al cuadrado por 17."}, {"start": 489.2, "end": 495.2, "text": " Y si eso lo tenemos dentro de la ra\u00edz cuadrada va a suceder lo siguiente."}, {"start": 495.2, "end": 500.8, "text": " Ra\u00edz cuadrada de 2 al cuadrado por 17."}, {"start": 500.8, "end": 504.2, "text": " Y all\u00ed es posible extraer este n\u00famero 2."}, {"start": 504.2, "end": 508.8, "text": " Nos va a quedar 2 ra\u00edz cuadrada de 17."}, {"start": 508.8, "end": 513.6, "text": " Entonces este resultado lo traemos aqu\u00ed."}, {"start": 513.6, "end": 518.4, "text": " Nos queda entonces la expresi\u00f3n de esta manera."}, {"start": 518.4, "end": 522.2, "text": " Ahora podemos repartir este denominador 2"}, {"start": 522.2, "end": 526.6, "text": " para cada uno de los t\u00e9rminos que hay en el numerador."}, {"start": 526.6, "end": 531.0, "text": " Tendremos x igual a menos 8 sobre 2."}, {"start": 531.0, "end": 536.6, "text": " M\u00e1s o menos 2 ra\u00edz cuadrada de 17."}, {"start": 536.6, "end": 539.2, "text": " Y esto sobre 2."}, {"start": 539.2, "end": 543.8000000000001, "text": " Y vemos que es posible simplificar ambas fracciones."}, {"start": 543.8, "end": 554.0, "text": " Tendremos x igual a menos 8 medios que es menos 4, m\u00e1s o menos ra\u00edz cuadrada de 17."}, {"start": 554.0, "end": 559.5999999999999, "text": " Porque aqu\u00ed es posible simplificar ese n\u00famero 2."}, {"start": 559.5999999999999, "end": 562.5999999999999, "text": " Llegamos entonces a dos posibilidades."}, {"start": 562.5999999999999, "end": 571.0, "text": " Una es x igual a menos 4, menos ra\u00edz cuadrada de 17."}, {"start": 571.0, "end": 579.6, "text": " Y la otra es x igual a menos 4, m\u00e1s la ra\u00edz cuadrada de 17."}, {"start": 579.6, "end": 588.2, "text": " Estas son las soluciones de la ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica o de segundo grado que ve\u00edamos hace un momento."}, {"start": 588.2, "end": 595.6, "text": " Sin embargo, tenemos que verificar que estos resultados satisfagan la ecuaci\u00f3n original."}, {"start": 595.6, "end": 599.0, "text": " O sea, la ecuaci\u00f3n que contiene logaritmos."}, {"start": 599.0, "end": 604.2, "text": " Recordemos que en los logaritmos el argumento siempre tiene que ser positivo."}, {"start": 604.2, "end": 610.2, "text": " Y esta soluci\u00f3n se puede ver claramente que ser\u00e1 de naturaleza negativa."}, {"start": 610.2, "end": 614.2, "text": " Por ejemplo, aqu\u00ed tendr\u00edamos problemas con este valor."}, {"start": 614.2, "end": 616.4, "text": " Por lo tanto, se descarta."}, {"start": 616.4, "end": 618.6, "text": " Este valor no nos sirve."}, {"start": 618.6, "end": 623.2, "text": " En cambio, esta que tenemos ac\u00e1, si la resolvemos en calculadora,"}, {"start": 623.2, "end": 628.6, "text": " tendremos un resultado aproximadamente igual a 0.12."}, {"start": 628.6, "end": 633.2, "text": " O sea, un valor positivo que encaja perfectamente aqu\u00ed"}, {"start": 633.2, "end": 640.8000000000001, "text": " y tambi\u00e9n en estos otros dos logaritmos donde tenemos asegurado argumentos positivos."}, {"start": 640.8000000000001, "end": 645.6, "text": " Concluimos entonces que para esta ecuaci\u00f3n que contiene logaritmos,"}, {"start": 645.6, "end": 648.0, "text": " esta es la respuesta."}, {"start": 648.0, "end": 659.2, "text": " Es el valor de X que hace verdadera esa igualdad."}]

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ECUACIONES EXPONENCIALES - Ejercicio 8

#julioprofe explica cómo resolver una ecuación exponencial. Tema: #EcuacionesExponenciales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHM4fJbsnC7zzdnwRjc0ojm REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver detalladamente y sin utilizar calculadora esta ecuación exponencial, llamada así porque la incógnita X se encuentra situada en los exponentes. Comenzamos por simplificar al máximo las bases, veamos, 4 décimos es una fracción que puede simplificarse dividiendo entre dos tanto el numerador como el denominador. En otras palabras les sacamos mitad, mitad de 4 es 2 y mitad de 10 es 5, 2 quintos no se puede simplificar más, es una fracción irreducible. Ahora vamos con la fracción 625 sobre 100, a esta fracción podemos sacarle quinta tanto al numerador como al denominador, vemos que los números terminan en 5 y en 0 por lo tanto son divisibles entre 5. Decimos quinta de 625 es 125 y quinta de 100 es 20, a su vez podemos seguir sacando quinta para estos dos números, decimos quinta de 125 es 25 y quinta de 20 es 4. 25 cuartos es una fracción irreducible, no se puede simplificar más. Entonces lo que hacemos enseguida es reconstruir la ecuación cambiando estas bases por los resultados obtenidos. Tenemos entonces que 4 décimos se cambia por 2 quintos y esto queda entre paréntesis elevado al exponente X menos 1. Esto queda igual a 625 sobre 100 que se transforma en 25 cuartos y todo esto queda protegido con paréntesis y elevado al exponente 6X menos 5. Ahora veamos cómo se puede transformar la fracción 25 cuartos en términos de 2 quintos, vamos a realizar el procedimiento por acá. Escribimos la fracción y vamos a escribir 25 como 5 al cuadrado y 4 como 2 al cuadrado. Entonces los escribimos ambos números como potencias con exponente 2. Esto a su vez podemos escribirlo como 5 medios entre paréntesis y todo esto elevado al cuadrado. Recordemos que esto obedece a una propiedad de la potenciación que dice lo siguiente. Si tenemos una fracción A sobre B elevada al exponente N esto es igual al numerador elevado al exponente N sobre el denominador elevado a ese mismo exponente. Entonces podemos devolvernos, si tenemos una situación como esta que es esta que tenemos acá arriba, entonces podemos pasar a la potencia con la fracción en la base y un solo exponente por fuera del paréntesis que es lo que ocurre en esta transformación. Ahora podemos utilizar otra propiedad de la potenciación que dice lo siguiente. Si tenemos una fracción elevada al exponente menos N esto será igual a invertir la fracción y cambiar el signo del exponente. Es decir que si acá está negativo acá queda positivo. Pues bien eso lo podemos hacer aquí. Podemos invertir la fracción nos queda como 2 quintos y automáticamente el signo del exponente cambia. Nos queda entonces como menos 2. Como se observa ya tenemos esta fracción 25 cuartos expresada en términos de 2 quintos. Entonces vamos a reescribir esa ecuación exponencial. El lado izquierdo de la igualdad permanece intacto. No presenta ningún cambio. Y en el lado derecho vamos a cambiar 25 cuartos por la fracción 2 quintos elevada al exponente menos 2. Pero todo esto está elevado a su vez a 6x menos 5. Entonces protegemos la expresión o la base usando corchete y en el exponente tenemos 6x menos 5. Ahora en este lado vamos a aplicar la siguiente propiedad de la potenciación. Si tenemos una potencia elevada a otro exponente entonces se conserva la base y se multiplican los exponentes. Entonces vamos a utilizar esta propiedad para desarrollar esta parte de la ecuación. El lado derecho. El lado izquierdo permanece intacto. Nos queda 2 quintos elevado al exponente x menos 1. Y acá dejamos la misma base que es 2 quintos y vamos a multiplicar los exponentes. Nos queda entonces menos 2 que multiplica a 6x menos 5 utilizando esa propiedad. Llegamos a una etapa del ejercicio donde tenemos en ambos lados de la igualdad la misma base. Entonces se puede utilizar esta propiedad de la potenciación. Si tenemos una potencia a a la n igualada a otra potencia a a la m entonces se puede afirmar que n es igual a m. En otras palabras si tenemos la misma base entonces necesariamente los exponentes deben ser iguales. Y eso es justamente lo que tenemos en esta situación. Igualdad de bases. Eso nos permite entonces igualar sus exponentes. X menos 1 es igual a menos 2 que multiplica a 6x menos 5. Ahora nos concentramos en resolver esta ecuación que se trata de una ecuación lineal o de primer grado con una incógnita. Comenzamos por aplicar la propiedad distributiva acá en el lado derecho para destruir el paréntesis. Nos queda entonces x menos 1 igual a menos 2 por 6x que es menos 12x y menos 2 por menos 5 que nos da más 10. En seguida hacemos transposición de términos. Vamos a dejar en el lado izquierdo aquellos términos que contienen la incógnita x y al lado derecho los números. Se queda entonces x que está en el lado izquierdo. Pasamos este término que está negativo al otro lado como positivo. Esto igual a 10 que permanece en el lado derecho. No presenta ningún cambio y este número que está negativo llega acá positivo. Esto es lo que se llama transposición de términos. Ahora reducimos términos semejantes acá en el lado izquierdo. x más 12x nos da como resultado 13x. Y acá sumamos los números. Eso nos da como resultado 11. Finalmente de aquí despejamos x. Para ello 13 que está multiplicando pasa al otro lado a dividir. Nos queda x igual a 11 treceavos. Una fracción que no se puede simplificar o sea que es irreducible. Y este valor de x constituye la respuesta para este ejercicio. Es la solución de esta ecuación exponencial.

[{"start": 0.0, "end": 14.8, "text": " Vamos a resolver detalladamente y sin utilizar calculadora esta ecuaci\u00f3n exponencial, llamada as\u00ed porque la inc\u00f3gnita X se encuentra situada en los exponentes."}, {"start": 14.8, "end": 30.0, "text": " Comenzamos por simplificar al m\u00e1ximo las bases, veamos, 4 d\u00e9cimos es una fracci\u00f3n que puede simplificarse dividiendo entre dos tanto el numerador como el denominador."}, {"start": 30.0, "end": 44.0, "text": " En otras palabras les sacamos mitad, mitad de 4 es 2 y mitad de 10 es 5, 2 quintos no se puede simplificar m\u00e1s, es una fracci\u00f3n irreducible."}, {"start": 44.0, "end": 64.2, "text": " Ahora vamos con la fracci\u00f3n 625 sobre 100, a esta fracci\u00f3n podemos sacarle quinta tanto al numerador como al denominador, vemos que los n\u00fameros terminan en 5 y en 0 por lo tanto son divisibles entre 5."}, {"start": 64.2, "end": 87.4, "text": " Decimos quinta de 625 es 125 y quinta de 100 es 20, a su vez podemos seguir sacando quinta para estos dos n\u00fameros, decimos quinta de 125 es 25 y quinta de 20 es 4."}, {"start": 87.4, "end": 94.60000000000001, "text": " 25 cuartos es una fracci\u00f3n irreducible, no se puede simplificar m\u00e1s."}, {"start": 94.60000000000001, "end": 104.60000000000001, "text": " Entonces lo que hacemos enseguida es reconstruir la ecuaci\u00f3n cambiando estas bases por los resultados obtenidos."}, {"start": 104.60000000000001, "end": 116.60000000000001, "text": " Tenemos entonces que 4 d\u00e9cimos se cambia por 2 quintos y esto queda entre par\u00e9ntesis elevado al exponente X menos 1."}, {"start": 116.6, "end": 134.4, "text": " Esto queda igual a 625 sobre 100 que se transforma en 25 cuartos y todo esto queda protegido con par\u00e9ntesis y elevado al exponente 6X menos 5."}, {"start": 134.4, "end": 146.4, "text": " Ahora veamos c\u00f3mo se puede transformar la fracci\u00f3n 25 cuartos en t\u00e9rminos de 2 quintos, vamos a realizar el procedimiento por ac\u00e1."}, {"start": 146.4, "end": 157.0, "text": " Escribimos la fracci\u00f3n y vamos a escribir 25 como 5 al cuadrado y 4 como 2 al cuadrado."}, {"start": 157.0, "end": 163.6, "text": " Entonces los escribimos ambos n\u00fameros como potencias con exponente 2."}, {"start": 163.6, "end": 173.20000000000002, "text": " Esto a su vez podemos escribirlo como 5 medios entre par\u00e9ntesis y todo esto elevado al cuadrado."}, {"start": 173.2, "end": 180.0, "text": " Recordemos que esto obedece a una propiedad de la potenciaci\u00f3n que dice lo siguiente."}, {"start": 180.0, "end": 194.0, "text": " Si tenemos una fracci\u00f3n A sobre B elevada al exponente N esto es igual al numerador elevado al exponente N sobre el denominador elevado a ese mismo exponente."}, {"start": 194.0, "end": 214.2, "text": " Entonces podemos devolvernos, si tenemos una situaci\u00f3n como esta que es esta que tenemos ac\u00e1 arriba, entonces podemos pasar a la potencia con la fracci\u00f3n en la base y un solo exponente por fuera del par\u00e9ntesis que es lo que ocurre en esta transformaci\u00f3n."}, {"start": 214.2, "end": 221.0, "text": " Ahora podemos utilizar otra propiedad de la potenciaci\u00f3n que dice lo siguiente."}, {"start": 221.0, "end": 232.8, "text": " Si tenemos una fracci\u00f3n elevada al exponente menos N esto ser\u00e1 igual a invertir la fracci\u00f3n y cambiar el signo del exponente."}, {"start": 232.8, "end": 236.8, "text": " Es decir que si ac\u00e1 est\u00e1 negativo ac\u00e1 queda positivo."}, {"start": 236.8, "end": 239.6, "text": " Pues bien eso lo podemos hacer aqu\u00ed."}, {"start": 239.6, "end": 248.0, "text": " Podemos invertir la fracci\u00f3n nos queda como 2 quintos y autom\u00e1ticamente el signo del exponente cambia."}, {"start": 248.0, "end": 251.0, "text": " Nos queda entonces como menos 2."}, {"start": 251.0, "end": 260.0, "text": " Como se observa ya tenemos esta fracci\u00f3n 25 cuartos expresada en t\u00e9rminos de 2 quintos."}, {"start": 260.0, "end": 264.0, "text": " Entonces vamos a reescribir esa ecuaci\u00f3n exponencial."}, {"start": 264.0, "end": 269.0, "text": " El lado izquierdo de la igualdad permanece intacto."}, {"start": 269.0, "end": 271.0, "text": " No presenta ning\u00fan cambio."}, {"start": 271.0, "end": 281.0, "text": " Y en el lado derecho vamos a cambiar 25 cuartos por la fracci\u00f3n 2 quintos elevada al exponente menos 2."}, {"start": 281.0, "end": 286.0, "text": " Pero todo esto est\u00e1 elevado a su vez a 6x menos 5."}, {"start": 286.0, "end": 298.0, "text": " Entonces protegemos la expresi\u00f3n o la base usando corchete y en el exponente tenemos 6x menos 5."}, {"start": 298.0, "end": 304.0, "text": " Ahora en este lado vamos a aplicar la siguiente propiedad de la potenciaci\u00f3n."}, {"start": 304.0, "end": 315.0, "text": " Si tenemos una potencia elevada a otro exponente entonces se conserva la base y se multiplican los exponentes."}, {"start": 315.0, "end": 321.0, "text": " Entonces vamos a utilizar esta propiedad para desarrollar esta parte de la ecuaci\u00f3n."}, {"start": 321.0, "end": 323.0, "text": " El lado derecho."}, {"start": 323.0, "end": 326.0, "text": " El lado izquierdo permanece intacto."}, {"start": 326.0, "end": 332.0, "text": " Nos queda 2 quintos elevado al exponente x menos 1."}, {"start": 332.0, "end": 340.0, "text": " Y ac\u00e1 dejamos la misma base que es 2 quintos y vamos a multiplicar los exponentes."}, {"start": 340.0, "end": 351.0, "text": " Nos queda entonces menos 2 que multiplica a 6x menos 5 utilizando esa propiedad."}, {"start": 351.0, "end": 360.0, "text": " Llegamos a una etapa del ejercicio donde tenemos en ambos lados de la igualdad la misma base."}, {"start": 360.0, "end": 365.0, "text": " Entonces se puede utilizar esta propiedad de la potenciaci\u00f3n."}, {"start": 365.0, "end": 379.0, "text": " Si tenemos una potencia a a la n igualada a otra potencia a a la m entonces se puede afirmar que n es igual a m."}, {"start": 379.0, "end": 387.0, "text": " En otras palabras si tenemos la misma base entonces necesariamente los exponentes deben ser iguales."}, {"start": 387.0, "end": 392.0, "text": " Y eso es justamente lo que tenemos en esta situaci\u00f3n."}, {"start": 392.0, "end": 393.0, "text": " Igualdad de bases."}, {"start": 393.0, "end": 398.0, "text": " Eso nos permite entonces igualar sus exponentes."}, {"start": 398.0, "end": 408.0, "text": " X menos 1 es igual a menos 2 que multiplica a 6x menos 5."}, {"start": 408.0, "end": 419.0, "text": " Ahora nos concentramos en resolver esta ecuaci\u00f3n que se trata de una ecuaci\u00f3n lineal o de primer grado con una inc\u00f3gnita."}, {"start": 419.0, "end": 428.0, "text": " Comenzamos por aplicar la propiedad distributiva ac\u00e1 en el lado derecho para destruir el par\u00e9ntesis."}, {"start": 428.0, "end": 442.0, "text": " Nos queda entonces x menos 1 igual a menos 2 por 6x que es menos 12x y menos 2 por menos 5 que nos da m\u00e1s 10."}, {"start": 442.0, "end": 446.0, "text": " En seguida hacemos transposici\u00f3n de t\u00e9rminos."}, {"start": 446.0, "end": 454.0, "text": " Vamos a dejar en el lado izquierdo aquellos t\u00e9rminos que contienen la inc\u00f3gnita x y al lado derecho los n\u00fameros."}, {"start": 454.0, "end": 458.0, "text": " Se queda entonces x que est\u00e1 en el lado izquierdo."}, {"start": 458.0, "end": 465.0, "text": " Pasamos este t\u00e9rmino que est\u00e1 negativo al otro lado como positivo."}, {"start": 465.0, "end": 469.0, "text": " Esto igual a 10 que permanece en el lado derecho."}, {"start": 469.0, "end": 476.0, "text": " No presenta ning\u00fan cambio y este n\u00famero que est\u00e1 negativo llega ac\u00e1 positivo."}, {"start": 476.0, "end": 481.0, "text": " Esto es lo que se llama transposici\u00f3n de t\u00e9rminos."}, {"start": 481.0, "end": 486.0, "text": " Ahora reducimos t\u00e9rminos semejantes ac\u00e1 en el lado izquierdo."}, {"start": 486.0, "end": 491.0, "text": " x m\u00e1s 12x nos da como resultado 13x."}, {"start": 491.0, "end": 494.0, "text": " Y ac\u00e1 sumamos los n\u00fameros."}, {"start": 494.0, "end": 497.0, "text": " Eso nos da como resultado 11."}, {"start": 497.0, "end": 501.0, "text": " Finalmente de aqu\u00ed despejamos x."}, {"start": 501.0, "end": 507.0, "text": " Para ello 13 que est\u00e1 multiplicando pasa al otro lado a dividir."}, {"start": 507.0, "end": 511.0, "text": " Nos queda x igual a 11 treceavos."}, {"start": 511.0, "end": 516.0, "text": " Una fracci\u00f3n que no se puede simplificar o sea que es irreducible."}, {"start": 516.0, "end": 522.0, "text": " Y este valor de x constituye la respuesta para este ejercicio."}, {"start": 522.0, "end": 538.0, "text": " Es la soluci\u00f3n de esta ecuaci\u00f3n exponencial."}]

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ECUACIONES LOGARÍTMICAS - Ejercicio 8

#julioprofe explica cómo resolver una ecuación que contiene logaritmos. Tema: #EcuacionesLogarítmicas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwGy9_WwQrZrw9iTXiKDua5T REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver esta ecuación que contiene logaritmos. Debemos encontrar el valor o los valores de la incognita X que hacen verdadera esta igualdad. Tenemos en esta ocasión logaritmo en base 10. Comenzamos entonces por reducir lo que tenemos en el lado derecho de la igualdad a un solo logaritmo. Y vamos a comenzar con esta expresión. Aquí vamos a utilizar la siguiente propiedad de los logaritmos. Si tenemos logaritmo en base A de una potencia, por ejemplo P a la Q, entonces este exponente pasa a multiplicar delante del logaritmo. Nos queda entonces así. Pero esta propiedad es reversible. Es decir que si tenemos esta expresión, podemos llegar a esta que tenemos en el lado izquierdo. Y es justamente lo que pasa aquí. Entonces nos va a quedar de la siguiente manera. Logaritmo en base 10 de 7X más 1. Esto queda igual. Y acá este número 2 pasa a convertirse en exponente de X más 3. Tal como lo muestra esta propiedad. Nos queda entonces logaritmo en base 10 de X más 3 al cuadrado. Y escribimos menos logaritmo en base 10 de 2. Ahora vamos a ver cómo se reduce esta expresión a un solo logaritmo. Aplicamos la siguiente propiedad. Si tenemos logaritmo en base A de un cosiente P sobre Q, esto será igual a logaritmo en base A de P menos logaritmo en base A de Q. En otras palabras, el logaritmo de un cosiente se transforma en una resta de logaritmos. Pero de nuevo esta propiedad es reversible. O sea que si tenemos una resta de logaritmos, podemos construir el logaritmo de un cosiente. Y es justamente la situación que tenemos aquí. Tendremos entonces logaritmo en base 10 de 7X más 1 igual a logaritmo en base 10 de X más 3 al cuadrado y esto sobre 2. Esto lo podemos proteger con corchete. Entonces aquí hemos aplicado esta propiedad. Tenemos ahora una igualdad de logaritmos. Logaritmo en base 10 a ambos lados. Allí se puede aplicar esta propiedad. Si tenemos logaritmo en base A de P igual a logaritmo en base A de Q, entonces se puede afirmar que P es igual a Q. En otras palabras, si tenemos la igualdad de logaritmos con la misma base, entonces sus argumentos son iguales. Y eso es justamente lo que tenemos aquí. La igualdad de dos expresiones que contienen logaritmo en base 10. Luego aplicando esta propiedad nos queda que 7X más 1 es igual a X más 3 al cuadrado sobre 2. En otras palabras, suprimimos los logaritmos. Bien, ahora tenemos que concentrarnos en resolver esta ecuación. Vamos a pasar este número 2 que está dividiendo en el lado derecho a multiplicar en el lado izquierdo. Entonces 2 que multiplica a 7X más 1 igual a X más 3 al cuadrado. En el lado izquierdo aplicamos la propiedad distributiva para destruir el paréntesis. Tenemos 2 por 7X que es 14X más 2 por 1 que es 2. Y acá en el lado derecho vamos a expandir este binomio elevado al cuadrado. Vamos a recordar ese producto notable. Si tenemos A más B al cuadrado, eso es igual al primer término al cuadrado más dos veces el primer término por el segundo más el segundo término al cuadrado. Entonces vamos a aplicar esta fórmula de la algebra para expandir este binomio al cuadrado. Nos queda el primer término al cuadrado, o sea X al cuadrado, más dos veces el primer término por el segundo, o sea 2 por X por 3 que nos da 6X. Y esto más el segundo término al cuadrado, es decir 3 al cuadrado que nos da como resultado 9. Como podemos observar la ecuación empieza a tomar forma de ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado. Entonces vamos a dejar 0 en el lado izquierdo y vamos a pasar estos términos para el lado derecho. Nos queda entonces X al cuadrado más 6X más 9, esta misma expresión, y llegan esos términos con signo negativo. Ahora en este lado vamos a reducir términos semejantes, nos va a quedar 0 igual a X al cuadrado, este término no tiene semejante, pero en cambio estos dos que contienen la X si se pueden operar entre sí, 6X menos 14X nos da como resultado menos 8X. Y también podemos operar estos números, o sea los términos independientes, 9 menos 2 nos da 7 positivo. Bien como se observa hemos llegado a una ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado, recordemos que su modelo es 0 igual a X al cuadrado más BX más C. Bueno normalmente el 0 aparece a este lado, pero es lo mismo si se presenta en el lado izquierdo. Podemos resolver esta ecuación por varios caminos, una puede ser por factorización o la otra forma sería utilizando la fórmula cuadrática o fórmula general. En este caso vemos que esta expresión es factorizable, entonces conviene hacerlo por ese camino, este es el caso llamado trinomio de la forma X al cuadrado más BX más C. Entonces se factoriza de la siguiente manera, abrimos dos paréntesis, extraemos la raíz cuadrada del primer término que sería X, entonces se escribe X al comienzo de cada paréntesis, después cuadramos los signos en cada uno de los paréntesis, por acá tenemos signo más, entonces más por menos nos da menos y menos por más nos da menos. En seguida buscamos dos números negativos que multiplicados entre sí nos den como resultado más 7 y que al sumarlos nos den como resultado menos 8. Esos números son menos 7 y menos 1. En esta etapa del ejercicio podemos utilizar lo que se llama el teorema del factor nulo conocido con sus iniciales como TFN, dice el teorema que si el producto de dos expresiones es 0, entonces cada una de ellas se debe igualar a 0, entonces tenemos X menos 7 igual a 0 o X menos 1 igual a 0. Resolvemos en cada caso para la variable X, por aquí tenemos que X es igual a 7 y por acá tenemos que X es igual a 1, simplemente los números que están restando pasan al otro lado a sumar. Estos dos valores son las soluciones de la ecuación cuadrática o de segundo grado que veíamos hace un momento, pero debemos fijarnos si estos valores de X satisfacen la ecuación original. Para ello simplemente hacemos una rápida inspección de cada número reemplazándolo acá en los logaritmos. Debemos garantizar que el argumento de cada logaritmo sea siempre positivo. Vemos entonces que si reemplazamos 7 aquí se tiene 7 por 7 es 49, 49 más 1 es 50, o sea tenemos argumento positivo y acá 7 más 3 nos da 10, o sea que 7 satisface la ecuación original. Ahora hacemos la misma revisión con X igual a 1, venimos acá 7 por 1 es 7, 7 más 1 nos da 8, argumento positivo, y acá 1 más 3 nos da 4, argumento positivo. Entonces este valor satisface la ecuación original. Concluimos entonces que la respuesta para esta ecuación logarítmica es la siguiente. Pues puede tomar los valores 1 o 7, cualquiera de esos dos números satisface esa ecuación. Y de esta manera hemos resuelto esta ecuación que contiene logaritmos.

[{"start": 0.0, "end": 4.0, "text": " Vamos a resolver esta ecuaci\u00f3n que contiene logaritmos."}, {"start": 4.0, "end": 12.0, "text": " Debemos encontrar el valor o los valores de la incognita X que hacen verdadera esta igualdad."}, {"start": 12.0, "end": 16.0, "text": " Tenemos en esta ocasi\u00f3n logaritmo en base 10."}, {"start": 16.0, "end": 24.0, "text": " Comenzamos entonces por reducir lo que tenemos en el lado derecho de la igualdad a un solo logaritmo."}, {"start": 24.0, "end": 28.0, "text": " Y vamos a comenzar con esta expresi\u00f3n."}, {"start": 28.0, "end": 33.0, "text": " Aqu\u00ed vamos a utilizar la siguiente propiedad de los logaritmos."}, {"start": 33.0, "end": 39.0, "text": " Si tenemos logaritmo en base A de una potencia, por ejemplo P a la Q,"}, {"start": 39.0, "end": 45.0, "text": " entonces este exponente pasa a multiplicar delante del logaritmo."}, {"start": 45.0, "end": 48.0, "text": " Nos queda entonces as\u00ed."}, {"start": 48.0, "end": 51.0, "text": " Pero esta propiedad es reversible."}, {"start": 51.0, "end": 57.0, "text": " Es decir que si tenemos esta expresi\u00f3n, podemos llegar a esta que tenemos en el lado izquierdo."}, {"start": 57.0, "end": 60.0, "text": " Y es justamente lo que pasa aqu\u00ed."}, {"start": 60.0, "end": 65.0, "text": " Entonces nos va a quedar de la siguiente manera."}, {"start": 65.0, "end": 70.0, "text": " Logaritmo en base 10 de 7X m\u00e1s 1."}, {"start": 70.0, "end": 72.0, "text": " Esto queda igual."}, {"start": 72.0, "end": 78.0, "text": " Y ac\u00e1 este n\u00famero 2 pasa a convertirse en exponente de X m\u00e1s 3."}, {"start": 78.0, "end": 82.0, "text": " Tal como lo muestra esta propiedad."}, {"start": 82.0, "end": 90.0, "text": " Nos queda entonces logaritmo en base 10 de X m\u00e1s 3 al cuadrado."}, {"start": 90.0, "end": 96.0, "text": " Y escribimos menos logaritmo en base 10 de 2."}, {"start": 96.0, "end": 102.0, "text": " Ahora vamos a ver c\u00f3mo se reduce esta expresi\u00f3n a un solo logaritmo."}, {"start": 102.0, "end": 105.0, "text": " Aplicamos la siguiente propiedad."}, {"start": 105.0, "end": 112.0, "text": " Si tenemos logaritmo en base A de un cosiente P sobre Q,"}, {"start": 112.0, "end": 122.0, "text": " esto ser\u00e1 igual a logaritmo en base A de P menos logaritmo en base A de Q."}, {"start": 122.0, "end": 130.0, "text": " En otras palabras, el logaritmo de un cosiente se transforma en una resta de logaritmos."}, {"start": 130.0, "end": 133.0, "text": " Pero de nuevo esta propiedad es reversible."}, {"start": 133.0, "end": 136.0, "text": " O sea que si tenemos una resta de logaritmos,"}, {"start": 136.0, "end": 140.0, "text": " podemos construir el logaritmo de un cosiente."}, {"start": 140.0, "end": 144.0, "text": " Y es justamente la situaci\u00f3n que tenemos aqu\u00ed."}, {"start": 144.0, "end": 152.0, "text": " Tendremos entonces logaritmo en base 10 de 7X m\u00e1s 1"}, {"start": 152.0, "end": 164.0, "text": " igual a logaritmo en base 10 de X m\u00e1s 3 al cuadrado y esto sobre 2."}, {"start": 164.0, "end": 168.0, "text": " Esto lo podemos proteger con corchete."}, {"start": 168.0, "end": 172.0, "text": " Entonces aqu\u00ed hemos aplicado esta propiedad."}, {"start": 172.0, "end": 176.0, "text": " Tenemos ahora una igualdad de logaritmos."}, {"start": 176.0, "end": 179.0, "text": " Logaritmo en base 10 a ambos lados."}, {"start": 179.0, "end": 182.0, "text": " All\u00ed se puede aplicar esta propiedad."}, {"start": 182.0, "end": 191.0, "text": " Si tenemos logaritmo en base A de P igual a logaritmo en base A de Q,"}, {"start": 191.0, "end": 198.0, "text": " entonces se puede afirmar que P es igual a Q."}, {"start": 198.0, "end": 205.0, "text": " En otras palabras, si tenemos la igualdad de logaritmos con la misma base,"}, {"start": 205.0, "end": 208.0, "text": " entonces sus argumentos son iguales."}, {"start": 208.0, "end": 211.0, "text": " Y eso es justamente lo que tenemos aqu\u00ed."}, {"start": 211.0, "end": 217.0, "text": " La igualdad de dos expresiones que contienen logaritmo en base 10."}, {"start": 217.0, "end": 233.0, "text": " Luego aplicando esta propiedad nos queda que 7X m\u00e1s 1 es igual a X m\u00e1s 3 al cuadrado sobre 2."}, {"start": 233.0, "end": 238.0, "text": " En otras palabras, suprimimos los logaritmos."}, {"start": 238.0, "end": 243.0, "text": " Bien, ahora tenemos que concentrarnos en resolver esta ecuaci\u00f3n."}, {"start": 243.0, "end": 251.0, "text": " Vamos a pasar este n\u00famero 2 que est\u00e1 dividiendo en el lado derecho a multiplicar en el lado izquierdo."}, {"start": 251.0, "end": 264.0, "text": " Entonces 2 que multiplica a 7X m\u00e1s 1 igual a X m\u00e1s 3 al cuadrado."}, {"start": 264.0, "end": 271.0, "text": " En el lado izquierdo aplicamos la propiedad distributiva para destruir el par\u00e9ntesis."}, {"start": 271.0, "end": 279.0, "text": " Tenemos 2 por 7X que es 14X m\u00e1s 2 por 1 que es 2."}, {"start": 279.0, "end": 286.0, "text": " Y ac\u00e1 en el lado derecho vamos a expandir este binomio elevado al cuadrado."}, {"start": 286.0, "end": 290.0, "text": " Vamos a recordar ese producto notable."}, {"start": 290.0, "end": 302.0, "text": " Si tenemos A m\u00e1s B al cuadrado, eso es igual al primer t\u00e9rmino al cuadrado m\u00e1s dos veces el primer t\u00e9rmino por el segundo m\u00e1s el segundo t\u00e9rmino al cuadrado."}, {"start": 302.0, "end": 309.0, "text": " Entonces vamos a aplicar esta f\u00f3rmula de la algebra para expandir este binomio al cuadrado."}, {"start": 309.0, "end": 323.0, "text": " Nos queda el primer t\u00e9rmino al cuadrado, o sea X al cuadrado, m\u00e1s dos veces el primer t\u00e9rmino por el segundo, o sea 2 por X por 3 que nos da 6X."}, {"start": 323.0, "end": 331.0, "text": " Y esto m\u00e1s el segundo t\u00e9rmino al cuadrado, es decir 3 al cuadrado que nos da como resultado 9."}, {"start": 331.0, "end": 340.0, "text": " Como podemos observar la ecuaci\u00f3n empieza a tomar forma de ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica o ecuaci\u00f3n de segundo grado."}, {"start": 340.0, "end": 348.0, "text": " Entonces vamos a dejar 0 en el lado izquierdo y vamos a pasar estos t\u00e9rminos para el lado derecho."}, {"start": 348.0, "end": 360.0, "text": " Nos queda entonces X al cuadrado m\u00e1s 6X m\u00e1s 9, esta misma expresi\u00f3n, y llegan esos t\u00e9rminos con signo negativo."}, {"start": 360.0, "end": 374.0, "text": " Ahora en este lado vamos a reducir t\u00e9rminos semejantes, nos va a quedar 0 igual a X al cuadrado, este t\u00e9rmino no tiene semejante,"}, {"start": 374.0, "end": 386.0, "text": " pero en cambio estos dos que contienen la X si se pueden operar entre s\u00ed, 6X menos 14X nos da como resultado menos 8X."}, {"start": 386.0, "end": 396.0, "text": " Y tambi\u00e9n podemos operar estos n\u00fameros, o sea los t\u00e9rminos independientes, 9 menos 2 nos da 7 positivo."}, {"start": 396.0, "end": 412.0, "text": " Bien como se observa hemos llegado a una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica o ecuaci\u00f3n de segundo grado, recordemos que su modelo es 0 igual a X al cuadrado m\u00e1s BX m\u00e1s C."}, {"start": 412.0, "end": 420.0, "text": " Bueno normalmente el 0 aparece a este lado, pero es lo mismo si se presenta en el lado izquierdo."}, {"start": 420.0, "end": 433.0, "text": " Podemos resolver esta ecuaci\u00f3n por varios caminos, una puede ser por factorizaci\u00f3n o la otra forma ser\u00eda utilizando la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica o f\u00f3rmula general."}, {"start": 433.0, "end": 449.0, "text": " En este caso vemos que esta expresi\u00f3n es factorizable, entonces conviene hacerlo por ese camino, este es el caso llamado trinomio de la forma X al cuadrado m\u00e1s BX m\u00e1s C."}, {"start": 449.0, "end": 459.0, "text": " Entonces se factoriza de la siguiente manera, abrimos dos par\u00e9ntesis, extraemos la ra\u00edz cuadrada del primer t\u00e9rmino que ser\u00eda X,"}, {"start": 459.0, "end": 469.0, "text": " entonces se escribe X al comienzo de cada par\u00e9ntesis, despu\u00e9s cuadramos los signos en cada uno de los par\u00e9ntesis, por ac\u00e1 tenemos signo m\u00e1s,"}, {"start": 469.0, "end": 475.0, "text": " entonces m\u00e1s por menos nos da menos y menos por m\u00e1s nos da menos."}, {"start": 475.0, "end": 488.0, "text": " En seguida buscamos dos n\u00fameros negativos que multiplicados entre s\u00ed nos den como resultado m\u00e1s 7 y que al sumarlos nos den como resultado menos 8."}, {"start": 488.0, "end": 492.0, "text": " Esos n\u00fameros son menos 7 y menos 1."}, {"start": 492.0, "end": 505.0, "text": " En esta etapa del ejercicio podemos utilizar lo que se llama el teorema del factor nulo conocido con sus iniciales como TFN,"}, {"start": 505.0, "end": 526.0, "text": " dice el teorema que si el producto de dos expresiones es 0, entonces cada una de ellas se debe igualar a 0, entonces tenemos X menos 7 igual a 0 o X menos 1 igual a 0."}, {"start": 526.0, "end": 537.0, "text": " Resolvemos en cada caso para la variable X, por aqu\u00ed tenemos que X es igual a 7 y por ac\u00e1 tenemos que X es igual a 1,"}, {"start": 537.0, "end": 543.0, "text": " simplemente los n\u00fameros que est\u00e1n restando pasan al otro lado a sumar."}, {"start": 543.0, "end": 552.0, "text": " Estos dos valores son las soluciones de la ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica o de segundo grado que ve\u00edamos hace un momento,"}, {"start": 552.0, "end": 560.0, "text": " pero debemos fijarnos si estos valores de X satisfacen la ecuaci\u00f3n original."}, {"start": 560.0, "end": 569.0, "text": " Para ello simplemente hacemos una r\u00e1pida inspecci\u00f3n de cada n\u00famero reemplaz\u00e1ndolo ac\u00e1 en los logaritmos."}, {"start": 569.0, "end": 576.0, "text": " Debemos garantizar que el argumento de cada logaritmo sea siempre positivo."}, {"start": 576.0, "end": 589.0, "text": " Vemos entonces que si reemplazamos 7 aqu\u00ed se tiene 7 por 7 es 49, 49 m\u00e1s 1 es 50, o sea tenemos argumento positivo y ac\u00e1 7 m\u00e1s 3 nos da 10,"}, {"start": 589.0, "end": 595.0, "text": " o sea que 7 satisface la ecuaci\u00f3n original."}, {"start": 595.0, "end": 611.0, "text": " Ahora hacemos la misma revisi\u00f3n con X igual a 1, venimos ac\u00e1 7 por 1 es 7, 7 m\u00e1s 1 nos da 8, argumento positivo, y ac\u00e1 1 m\u00e1s 3 nos da 4, argumento positivo."}, {"start": 611.0, "end": 616.0, "text": " Entonces este valor satisface la ecuaci\u00f3n original."}, {"start": 616.0, "end": 624.0, "text": " Concluimos entonces que la respuesta para esta ecuaci\u00f3n logar\u00edtmica es la siguiente."}, {"start": 624.0, "end": 635.0, "text": " Pues puede tomar los valores 1 o 7, cualquiera de esos dos n\u00fameros satisface esa ecuaci\u00f3n."}, {"start": 635.0, "end": 655.0, "text": " Y de esta manera hemos resuelto esta ecuaci\u00f3n que contiene logaritmos."}]

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DESIGUALDADES RACIONALES - Ejercicio 3

#julioprofe explica cómo resolver una inecuación o desigualdad racional. Tema: #Desigualdades → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEZkcrDeNKKyhTxj4A1b83M REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a encontrar el conjunto solución de esta inequación racional, es decir que debemos determinar el conjunto de valores de x que hacen cierta esta desigualdad. Comenzamos garantizando el cero aquí en el lado derecho de la inequación. Para ello este número 7 debemos pasarlo al lado izquierdo. Nos queda entonces x más 1 sobre x menos 6, todo esto menos 7 y eso menor que 0. Y a continuación debemos resolver esta operación de tal manera que nos quede reducida a una sola fracción. Para ello podemos escribirle denominador 1 a este número 7 y como aquí tenemos una resta de fracciones heterogéneas, es decir, fracciones de distinto denominador, podemos aplicar el truco de la carita feliz. Vamos a recordarlo para el caso de la resta. Hacemos entonces lo siguiente, en el denominador b por d, en el numerador a por d, menos b por c. Entonces allí estamos aplicando el truco de la carita feliz conocida con ese nombre por esta figura. Entonces esto vamos a utilizarlo en esta operación. Tendremos en el denominador la multiplicación de estos dos componentes, o sea b por d, x menos 6 por 1 nos da x menos 6. Acá en el numerador multiplicamos estos dos componentes tal como se observa aquí el producto a por d. Entonces tenemos x más 1 por 1 que nos da x más 1 y esto menos la multiplicación de estos dos componentes tal como se observa en este modelo. Tenemos que x menos 6 por 7 se puede escribir como 7 que multiplica a x menos 6. Esta expresión se protege con paréntesis y todo esto nos queda menor que 0. En el numerador vamos a efectuar esta operación. Tendremos entonces x más 1 y aquí vamos a aplicar la propiedad distributiva. Entonces tenemos que menos 7 por x es menos 7x y menos 7 por menos 6 nos da más 42. Y en el denominador seguimos teniendo x menos 6 y todo esto es menor que 0. A continuación vamos a reducir términos semejantes acá en el numerador. Tenemos el caso de estos dos términos que contienen la x. Entonces x menos 7x nos da como resultado menos 6x. Y también tenemos el caso de estos dos números que podemos operarlos entre sí. 1 más 42 nos da más 43. Y en el denominador seguimos teniendo x menos 6 y todo esto menor que 0. Como puede observarse ya hemos conseguido el objetivo que se mencionaba al principio. Es decir tener 0 en el lado derecho y aquí configurar todo como una sola fracción. Allí es el momento de determinar los puntos críticos de la desigualdad. Entonces veamos cómo se encuentran. Debemos establecer los puntos críticos del numerador y del denominador. Para ello tomamos el numerador que es menos 6x más 43 e igualamos esa expresión a 0. Y hacemos el despeje de x. Tenemos entonces menos 6x igual a menos 43. Este número que está positivo llega al otro lado negativo y de allí despejamos x. Menos 6 que está multiplicando pasa al otro lado a dividir. Entonces queda menos 43 sobre menos 6. Y allí aplicamos la ley de los signos. Menos con menos en la división nos da más. Y tendremos x igual a 43 sextos. Este será el punto crítico del numerador de esta expresión. Como la desigualdad tiene signo menor entonces el punto crítico que se obtuvo del numerador debe ir abierto. Entonces se simboliza con esta bolita sin llenar. Es decir que este valor no va a ser parte del conjunto solución. Vamos entonces a escribirlo por acá. x igual a 43 sextos. Y le colocamos el símbolo que nos indica que este valor no se debe incluir. Ahora pasamos a determinar los puntos críticos del denominador. Entonces hacemos lo mismo. Tomamos la expresión que tenemos en el denominador x menos 6 y la igualamos a cero. De allí despejamos x y obtenemos 6 positivo. Este número que está restando pasa al otro lado a sumar. Tenemos que x igual a 6 es el punto crítico del denominador. Y en una desigualdad racional los puntos críticos que se obtengan del denominador jamás se pueden tomar. Entonces también llevará este símbolo. El que nos indica que este valor no hace parte de la solución. Escribimos entonces este valor x igual a 6 por acá. Y también le colocamos el símbolo que indica que ese número no se va a tomar. Es decir que es abierto. De esta manera tenemos los puntos críticos de la desigualdad. O sea los valores de x que vuelven cero tanto el numerador como el denominador de esta expresión racional o fraccionaria. A continuación vamos a trazar una recta que represente los valores de x. O sea el conjunto de los números reales. Allí podemos observarla. Esta recta simboliza los valores reales de la variable x. Desde menos infinito hasta más infinito. Y ahora sobre esta recta debemos localizar estos puntos críticos. El mayor de ellos será 43 sextos. Porque si hacemos esta división nos da aproximadamente 7.17. Entonces localizamos 43 sextos por aquí. Y a la izquierda el valor menor que será 6. Como se observa ya hemos localizado en la recta real los puntos críticos de la desigualdad. Entonces vamos a aburrar estos números y vamos a trasladar esta expresión por acá. Vemos entonces que se nos han formado tres intervalos que serán los posibles candidatos a ser solución de esta inequación racional. Entonces lo que hacemos enseguida es escoger un valor de prueba de cada uno de esos intervalos. Vamos con el primero. Vamos a seleccionar un valor de x que esté comprendido entre menos infinito y 6. Podemos escoger el 0. Ahora del segundo intervalo seleccionamos un valor de x que esté comprendido entre 6 y 7.17. Podemos escoger el 7. Y del tercer intervalo, escogemos un valor de x que esté comprendido entre 7.17 y más infinito. Podemos escoger el número 10. Ahora con cada uno de estos valores de prueba que hemos elegido vamos a ver cuál es el comportamiento de esta expresión. Entonces vamos a reemplazar cada uno de ellos tanto en el numerador como en el denominador y vamos a determinar el signo que adopta cada uno de los componentes. Comenzamos reemplazando x igual a 0 acá en el numerador. Tenemos menos 6 por 0 es 0 y 0 más 43 nos da 43 positivo en el numerador. Entonces escribimos aquí el signo más. Nos interesa únicamente el signo. No es necesario escribir aquí el resultado numérico. Únicamente el signo. Ahora vamos con x igual a 0 acá en el denominador. Decimos 0 menos 6 da como resultado menos 6. O sea que tendremos denominador negativo. Y de esa manera hemos examinado el valor x igual a 0 en esta expresión. Ahora sustituimos x igual a 7 en los dos componentes. Vamos al numerador. Tenemos menos 6 por 7 es menos 42 y menos 42 más 43 nos da como resultado 1 positivo. Entonces tenemos signo más en el numerador. Ahora reemplazamos 7 acá en el denominador. 7 menos 6 nos da como resultado 1 positivo. Entonces escribimos signo más en el denominador. Ahora vamos a reemplazar x igual a 10 también en los dos componentes. Vamos con el numerador. Menos 6 por 10 nos da menos 60 y menos 60 más 43 nos da como resultado menos 17. Entonces signo negativo en el numerador. Reemplazamos ahora 10 acá en el denominador. 10 menos 6 nos da como resultado 4 positivo. Entonces signo más en el denominador. A continuación aplicamos la ley de los signos en cada caso. Recordemos que la ley de los signos se aplica para la multiplicación y para la división. Entonces más con menos nos da menos. Más con más nos da signo más. Y menos con más nos da signo menos. Este es el signo resultante de esta expresión en cada uno de los intervalos. Como en esta expresión tenemos que la fracción es menor que cero, entonces quiere decir que esta fracción tiene que ser de signo negativo. Recordemos que las cantidades menores que cero son las de signo negativo. Esto nos indica que de estos intervalos sirven los que hayan quedado con este signo. Entonces este intervalo sí sirve, este no sirve y este sí sirve. Procedemos entonces a rayar o a destacar aquellos intervalos que sí sirvieron. Entonces los podemos pintar de esta manera y recordemos que los puntos críticos de la desigualdad no se toman. Ambos van con la bolita sin llenar. Tal como vimos ahora cuando se encontraron los puntos críticos. Bien con esto ya podemos escribir la respuesta del ejercicio, es decir el conjunto solución de la inequación racional. Serán los valores de x que pertenecen al intervalo que va desde menos infinito hasta 6. Entonces menos infinito coma 6 abierto en sus dos extremos, o sea que se representa con paréntesis unión con el otro intervalo que va desde 43 sextos hasta más infinito. También con paréntesis en sus dos extremos porque es un intervalo abierto. Con esto hemos terminado este ejercicio. Hemos encontrado el conjunto solución de esta desigualdad racional.

[{"start": 0.0, "end": 13.6, "text": " Vamos a encontrar el conjunto soluci\u00f3n de esta inequaci\u00f3n racional, es decir que debemos determinar el conjunto de valores de x que hacen cierta esta desigualdad."}, {"start": 13.6, "end": 20.400000000000002, "text": " Comenzamos garantizando el cero aqu\u00ed en el lado derecho de la inequaci\u00f3n."}, {"start": 20.400000000000002, "end": 25.6, "text": " Para ello este n\u00famero 7 debemos pasarlo al lado izquierdo."}, {"start": 25.6, "end": 37.2, "text": " Nos queda entonces x m\u00e1s 1 sobre x menos 6, todo esto menos 7 y eso menor que 0."}, {"start": 37.2, "end": 46.400000000000006, "text": " Y a continuaci\u00f3n debemos resolver esta operaci\u00f3n de tal manera que nos quede reducida a una sola fracci\u00f3n."}, {"start": 46.4, "end": 60.4, "text": " Para ello podemos escribirle denominador 1 a este n\u00famero 7 y como aqu\u00ed tenemos una resta de fracciones heterog\u00e9neas, es decir, fracciones de distinto denominador,"}, {"start": 60.4, "end": 64.0, "text": " podemos aplicar el truco de la carita feliz."}, {"start": 64.0, "end": 68.0, "text": " Vamos a recordarlo para el caso de la resta."}, {"start": 68.0, "end": 80.8, "text": " Hacemos entonces lo siguiente, en el denominador b por d, en el numerador a por d, menos b por c."}, {"start": 80.8, "end": 90.8, "text": " Entonces all\u00ed estamos aplicando el truco de la carita feliz conocida con ese nombre por esta figura."}, {"start": 90.8, "end": 96.0, "text": " Entonces esto vamos a utilizarlo en esta operaci\u00f3n."}, {"start": 96.0, "end": 107.6, "text": " Tendremos en el denominador la multiplicaci\u00f3n de estos dos componentes, o sea b por d, x menos 6 por 1 nos da x menos 6."}, {"start": 107.6, "end": 115.2, "text": " Ac\u00e1 en el numerador multiplicamos estos dos componentes tal como se observa aqu\u00ed el producto a por d."}, {"start": 115.2, "end": 127.2, "text": " Entonces tenemos x m\u00e1s 1 por 1 que nos da x m\u00e1s 1 y esto menos la multiplicaci\u00f3n de estos dos componentes tal como se observa en este modelo."}, {"start": 127.2, "end": 135.6, "text": " Tenemos que x menos 6 por 7 se puede escribir como 7 que multiplica a x menos 6."}, {"start": 135.6, "end": 143.2, "text": " Esta expresi\u00f3n se protege con par\u00e9ntesis y todo esto nos queda menor que 0."}, {"start": 143.2, "end": 147.2, "text": " En el numerador vamos a efectuar esta operaci\u00f3n."}, {"start": 147.2, "end": 155.2, "text": " Tendremos entonces x m\u00e1s 1 y aqu\u00ed vamos a aplicar la propiedad distributiva."}, {"start": 155.2, "end": 167.2, "text": " Entonces tenemos que menos 7 por x es menos 7x y menos 7 por menos 6 nos da m\u00e1s 42."}, {"start": 167.2, "end": 175.2, "text": " Y en el denominador seguimos teniendo x menos 6 y todo esto es menor que 0."}, {"start": 175.2, "end": 181.2, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a reducir t\u00e9rminos semejantes ac\u00e1 en el numerador."}, {"start": 181.2, "end": 186.2, "text": " Tenemos el caso de estos dos t\u00e9rminos que contienen la x."}, {"start": 186.2, "end": 192.2, "text": " Entonces x menos 7x nos da como resultado menos 6x."}, {"start": 192.2, "end": 199.2, "text": " Y tambi\u00e9n tenemos el caso de estos dos n\u00fameros que podemos operarlos entre s\u00ed."}, {"start": 199.2, "end": 203.2, "text": " 1 m\u00e1s 42 nos da m\u00e1s 43."}, {"start": 203.2, "end": 211.2, "text": " Y en el denominador seguimos teniendo x menos 6 y todo esto menor que 0."}, {"start": 211.2, "end": 218.2, "text": " Como puede observarse ya hemos conseguido el objetivo que se mencionaba al principio."}, {"start": 218.2, "end": 225.2, "text": " Es decir tener 0 en el lado derecho y aqu\u00ed configurar todo como una sola fracci\u00f3n."}, {"start": 225.2, "end": 232.2, "text": " All\u00ed es el momento de determinar los puntos cr\u00edticos de la desigualdad."}, {"start": 232.2, "end": 237.2, "text": " Entonces veamos c\u00f3mo se encuentran."}, {"start": 237.2, "end": 244.2, "text": " Debemos establecer los puntos cr\u00edticos del numerador y del denominador."}, {"start": 244.2, "end": 254.2, "text": " Para ello tomamos el numerador que es menos 6x m\u00e1s 43 e igualamos esa expresi\u00f3n a 0."}, {"start": 254.2, "end": 257.2, "text": " Y hacemos el despeje de x."}, {"start": 257.2, "end": 262.2, "text": " Tenemos entonces menos 6x igual a menos 43."}, {"start": 262.2, "end": 268.2, "text": " Este n\u00famero que est\u00e1 positivo llega al otro lado negativo y de all\u00ed despejamos x."}, {"start": 268.2, "end": 273.2, "text": " Menos 6 que est\u00e1 multiplicando pasa al otro lado a dividir."}, {"start": 273.2, "end": 277.2, "text": " Entonces queda menos 43 sobre menos 6."}, {"start": 277.2, "end": 280.2, "text": " Y all\u00ed aplicamos la ley de los signos."}, {"start": 280.2, "end": 283.2, "text": " Menos con menos en la divisi\u00f3n nos da m\u00e1s."}, {"start": 283.2, "end": 288.2, "text": " Y tendremos x igual a 43 sextos."}, {"start": 288.2, "end": 294.2, "text": " Este ser\u00e1 el punto cr\u00edtico del numerador de esta expresi\u00f3n."}, {"start": 294.2, "end": 301.2, "text": " Como la desigualdad tiene signo menor entonces el punto cr\u00edtico que se obtuvo del numerador"}, {"start": 301.2, "end": 303.2, "text": " debe ir abierto."}, {"start": 303.2, "end": 308.2, "text": " Entonces se simboliza con esta bolita sin llenar."}, {"start": 308.2, "end": 314.2, "text": " Es decir que este valor no va a ser parte del conjunto soluci\u00f3n."}, {"start": 314.2, "end": 317.2, "text": " Vamos entonces a escribirlo por ac\u00e1."}, {"start": 317.2, "end": 321.2, "text": " x igual a 43 sextos."}, {"start": 321.2, "end": 330.2, "text": " Y le colocamos el s\u00edmbolo que nos indica que este valor no se debe incluir."}, {"start": 330.2, "end": 337.2, "text": " Ahora pasamos a determinar los puntos cr\u00edticos del denominador."}, {"start": 337.2, "end": 340.2, "text": " Entonces hacemos lo mismo."}, {"start": 340.2, "end": 348.2, "text": " Tomamos la expresi\u00f3n que tenemos en el denominador x menos 6 y la igualamos a cero."}, {"start": 348.2, "end": 353.2, "text": " De all\u00ed despejamos x y obtenemos 6 positivo."}, {"start": 353.2, "end": 357.2, "text": " Este n\u00famero que est\u00e1 restando pasa al otro lado a sumar."}, {"start": 357.2, "end": 362.2, "text": " Tenemos que x igual a 6 es el punto cr\u00edtico del denominador."}, {"start": 362.2, "end": 368.2, "text": " Y en una desigualdad racional los puntos cr\u00edticos que se obtengan del denominador"}, {"start": 368.2, "end": 370.2, "text": " jam\u00e1s se pueden tomar."}, {"start": 370.2, "end": 373.2, "text": " Entonces tambi\u00e9n llevar\u00e1 este s\u00edmbolo."}, {"start": 373.2, "end": 379.2, "text": " El que nos indica que este valor no hace parte de la soluci\u00f3n."}, {"start": 379.2, "end": 384.2, "text": " Escribimos entonces este valor x igual a 6 por ac\u00e1."}, {"start": 384.2, "end": 392.2, "text": " Y tambi\u00e9n le colocamos el s\u00edmbolo que indica que ese n\u00famero no se va a tomar."}, {"start": 392.2, "end": 394.2, "text": " Es decir que es abierto."}, {"start": 394.2, "end": 399.2, "text": " De esta manera tenemos los puntos cr\u00edticos de la desigualdad."}, {"start": 399.2, "end": 406.2, "text": " O sea los valores de x que vuelven cero tanto el numerador como el denominador"}, {"start": 406.2, "end": 411.2, "text": " de esta expresi\u00f3n racional o fraccionaria."}, {"start": 411.2, "end": 417.2, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a trazar una recta que represente los valores de x."}, {"start": 417.2, "end": 421.2, "text": " O sea el conjunto de los n\u00fameros reales."}, {"start": 421.2, "end": 423.2, "text": " All\u00ed podemos observarla."}, {"start": 423.2, "end": 429.2, "text": " Esta recta simboliza los valores reales de la variable x."}, {"start": 429.2, "end": 432.2, "text": " Desde menos infinito hasta m\u00e1s infinito."}, {"start": 432.2, "end": 438.2, "text": " Y ahora sobre esta recta debemos localizar estos puntos cr\u00edticos."}, {"start": 438.2, "end": 442.2, "text": " El mayor de ellos ser\u00e1 43 sextos."}, {"start": 442.2, "end": 448.2, "text": " Porque si hacemos esta divisi\u00f3n nos da aproximadamente 7.17."}, {"start": 448.2, "end": 453.2, "text": " Entonces localizamos 43 sextos por aqu\u00ed."}, {"start": 453.2, "end": 459.2, "text": " Y a la izquierda el valor menor que ser\u00e1 6."}, {"start": 459.2, "end": 466.2, "text": " Como se observa ya hemos localizado en la recta real los puntos cr\u00edticos de la desigualdad."}, {"start": 466.2, "end": 473.2, "text": " Entonces vamos a aburrar estos n\u00fameros y vamos a trasladar esta expresi\u00f3n por ac\u00e1."}, {"start": 473.2, "end": 480.2, "text": " Vemos entonces que se nos han formado tres intervalos que ser\u00e1n los posibles candidatos"}, {"start": 480.2, "end": 484.2, "text": " a ser soluci\u00f3n de esta inequaci\u00f3n racional."}, {"start": 484.2, "end": 492.2, "text": " Entonces lo que hacemos enseguida es escoger un valor de prueba de cada uno de esos intervalos."}, {"start": 492.2, "end": 499.2, "text": " Vamos con el primero. Vamos a seleccionar un valor de x que est\u00e9 comprendido entre menos infinito y 6."}, {"start": 499.2, "end": 501.2, "text": " Podemos escoger el 0."}, {"start": 501.2, "end": 509.2, "text": " Ahora del segundo intervalo seleccionamos un valor de x que est\u00e9 comprendido entre 6 y 7.17."}, {"start": 509.2, "end": 512.2, "text": " Podemos escoger el 7."}, {"start": 512.2, "end": 521.2, "text": " Y del tercer intervalo, escogemos un valor de x que est\u00e9 comprendido entre 7.17 y m\u00e1s infinito."}, {"start": 521.2, "end": 524.2, "text": " Podemos escoger el n\u00famero 10."}, {"start": 524.2, "end": 533.2, "text": " Ahora con cada uno de estos valores de prueba que hemos elegido vamos a ver cu\u00e1l es el comportamiento de esta expresi\u00f3n."}, {"start": 533.2, "end": 539.2, "text": " Entonces vamos a reemplazar cada uno de ellos tanto en el numerador como en el denominador"}, {"start": 539.2, "end": 546.2, "text": " y vamos a determinar el signo que adopta cada uno de los componentes."}, {"start": 546.2, "end": 551.2, "text": " Comenzamos reemplazando x igual a 0 ac\u00e1 en el numerador."}, {"start": 551.2, "end": 559.2, "text": " Tenemos menos 6 por 0 es 0 y 0 m\u00e1s 43 nos da 43 positivo en el numerador."}, {"start": 559.2, "end": 565.2, "text": " Entonces escribimos aqu\u00ed el signo m\u00e1s. Nos interesa \u00fanicamente el signo."}, {"start": 565.2, "end": 571.2, "text": " No es necesario escribir aqu\u00ed el resultado num\u00e9rico. \u00danicamente el signo."}, {"start": 571.2, "end": 579.2, "text": " Ahora vamos con x igual a 0 ac\u00e1 en el denominador. Decimos 0 menos 6 da como resultado menos 6."}, {"start": 579.2, "end": 582.2, "text": " O sea que tendremos denominador negativo."}, {"start": 582.2, "end": 589.2, "text": " Y de esa manera hemos examinado el valor x igual a 0 en esta expresi\u00f3n."}, {"start": 589.2, "end": 594.2, "text": " Ahora sustituimos x igual a 7 en los dos componentes."}, {"start": 594.2, "end": 605.2, "text": " Vamos al numerador. Tenemos menos 6 por 7 es menos 42 y menos 42 m\u00e1s 43 nos da como resultado 1 positivo."}, {"start": 605.2, "end": 609.2, "text": " Entonces tenemos signo m\u00e1s en el numerador."}, {"start": 609.2, "end": 617.2, "text": " Ahora reemplazamos 7 ac\u00e1 en el denominador. 7 menos 6 nos da como resultado 1 positivo."}, {"start": 617.2, "end": 621.2, "text": " Entonces escribimos signo m\u00e1s en el denominador."}, {"start": 621.2, "end": 626.2, "text": " Ahora vamos a reemplazar x igual a 10 tambi\u00e9n en los dos componentes."}, {"start": 626.2, "end": 637.2, "text": " Vamos con el numerador. Menos 6 por 10 nos da menos 60 y menos 60 m\u00e1s 43 nos da como resultado menos 17."}, {"start": 637.2, "end": 640.2, "text": " Entonces signo negativo en el numerador."}, {"start": 640.2, "end": 648.2, "text": " Reemplazamos ahora 10 ac\u00e1 en el denominador. 10 menos 6 nos da como resultado 4 positivo."}, {"start": 648.2, "end": 651.2, "text": " Entonces signo m\u00e1s en el denominador."}, {"start": 651.2, "end": 656.2, "text": " A continuaci\u00f3n aplicamos la ley de los signos en cada caso."}, {"start": 656.2, "end": 661.2, "text": " Recordemos que la ley de los signos se aplica para la multiplicaci\u00f3n y para la divisi\u00f3n."}, {"start": 661.2, "end": 665.2, "text": " Entonces m\u00e1s con menos nos da menos."}, {"start": 665.2, "end": 668.2, "text": " M\u00e1s con m\u00e1s nos da signo m\u00e1s."}, {"start": 668.2, "end": 672.2, "text": " Y menos con m\u00e1s nos da signo menos."}, {"start": 672.2, "end": 680.2, "text": " Este es el signo resultante de esta expresi\u00f3n en cada uno de los intervalos."}, {"start": 680.2, "end": 692.2, "text": " Como en esta expresi\u00f3n tenemos que la fracci\u00f3n es menor que cero, entonces quiere decir que esta fracci\u00f3n tiene que ser de signo negativo."}, {"start": 692.2, "end": 697.2, "text": " Recordemos que las cantidades menores que cero son las de signo negativo."}, {"start": 697.2, "end": 704.2, "text": " Esto nos indica que de estos intervalos sirven los que hayan quedado con este signo."}, {"start": 704.2, "end": 711.2, "text": " Entonces este intervalo s\u00ed sirve, este no sirve y este s\u00ed sirve."}, {"start": 711.2, "end": 719.2, "text": " Procedemos entonces a rayar o a destacar aquellos intervalos que s\u00ed sirvieron."}, {"start": 719.2, "end": 729.2, "text": " Entonces los podemos pintar de esta manera y recordemos que los puntos cr\u00edticos de la desigualdad no se toman."}, {"start": 729.2, "end": 733.2, "text": " Ambos van con la bolita sin llenar."}, {"start": 733.2, "end": 739.2, "text": " Tal como vimos ahora cuando se encontraron los puntos cr\u00edticos."}, {"start": 739.2, "end": 749.2, "text": " Bien con esto ya podemos escribir la respuesta del ejercicio, es decir el conjunto soluci\u00f3n de la inequaci\u00f3n racional."}, {"start": 749.2, "end": 757.2, "text": " Ser\u00e1n los valores de x que pertenecen al intervalo que va desde menos infinito hasta 6."}, {"start": 757.2, "end": 775.2, "text": " Entonces menos infinito coma 6 abierto en sus dos extremos, o sea que se representa con par\u00e9ntesis uni\u00f3n con el otro intervalo que va desde 43 sextos hasta m\u00e1s infinito."}, {"start": 775.2, "end": 781.2, "text": " Tambi\u00e9n con par\u00e9ntesis en sus dos extremos porque es un intervalo abierto."}, {"start": 781.2, "end": 784.2, "text": " Con esto hemos terminado este ejercicio."}, {"start": 784.2, "end": 790.2, "text": " Hemos encontrado el conjunto soluci\u00f3n de esta desigualdad racional."}]

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REGLAS PARA DERIVAR FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

#julioprofe expone las reglas para derivar funciones trigonométricas y algunos ejemplos de aplicación de ellas. Tema: #Derivadas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwF9r-Y_Gpuq45VP0qnJIJL1 REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

En esta ocasión vamos a ver las reglas para derivar funciones trigonométricas y también veremos ejemplos de aplicación de ellas. Tenemos en esta tabla las seis funciones trigonométricas. Vamos a escribir en esta columna sus correspondientes derivadas. Comenzamos con la función seno de x, cuya derivada es coseno de x. Para coseno de x, su derivada es menos seno de x. Para tangente de x, su derivada es secante al cuadrado de x. Para cotangente de x, su derivada es menos cosecante al cuadrado de x. Para la función secante de x, su derivada es secante de x por tangente de x. Y para cosecante de x, su derivada es menos cosecante de x por cotangente de x. Ahora veamos cómo es la regla de la cadena aplicada a la derivación de funciones trigonométricas. Tenemos ahora las seis funciones trigonométricas, pero en el ángulo ya no tenemos una simple x, sino una expresión u de x. Es decir, una expresión más compleja que una simple x y que se encuentra en términos de dicha variable. Para el caso de seno de u de x, su derivada será coseno de u de x por u' de x. O sea, el coseno del mismo ángulo multiplicado por la derivada del ángulo, o sea, por lo que se llama la derivada interna. Tenemos que para coseno de u de x, su derivada será menos seno de u de x por la derivada interna, que es la derivada del ángulo, o sea, u' de x. Para cotangente de u de x, la derivada es secante al cuadrado de u de x por u' de x. Para cotangente de u de x, la derivada es menos cosecante al cuadrado de u de x por u' de x, por la derivada interna. Son secante de u de x. Su derivada es secante de u de x por tangente de u de x por la derivada del ángulo, que es u' de x. Y finalmente, para el caso de cosecante de u de x, su derivada es menos cosecante de u de x por cotangente de u de x, y esto multiplicado por la derivada interna, que es u' de x. También podemos ver estas reglas utilizando la manzanita en lugar de u de x. Veamos cómo nos quedan. Si tenemos seno de manzanita, su derivada es coseno de manzanita por la derivada de la manzanita. Si tenemos coseno de manzanita, su derivada es menos seno de la manzanita multiplicado por la derivada interna, o sea, la derivada de la manzanita. Si tenemos tangente de manzanita, su derivada es secante al cuadrado de manzanita por la derivada de la manzanita. Si tenemos cotangente de manzanita, su derivada es menos cosecante al cuadrado de la manzanita por la derivada de la manzanita. Si tenemos secante de manzanita, su derivada es secante de manzanita por tangente de manzanita por la derivada interna, o sea, la derivada de la manzanita. Y para terminar, si tenemos cosecante de manzanita, su derivada es menos cosecante de manzanita por cotangente de manzanita, y esto multiplicado por la derivada de la manzanita. Bien, estas son las seis reglas para derivar funciones trigonométricas. A continuación veremos ejemplos de aplicación de ellas. En el primer ejemplo tenemos la función f de x igual a seno de x por coseno de x. Para derivar esta función debemos aplicar la regla del producto, porque como se observa tenemos la multiplicación de dos expresiones que contienen la variable x. Vamos a recordar aquí rápidamente cómo se deriva un producto a por b. Entonces tenemos la derivada del primer componente, o sea, a' por el segundo componente sin derivar, más el primer componente sin derivar por la derivada del segundo componente. Entonces en este caso hacemos de cuenta que seno de x es a y coseno de x es b. Entonces vamos a aplicar la regla del producto. Nos queda que la derivada de esa función f' de x es igual a derivada del primer componente, o sea, la derivada de seno de x que es coseno de x. Esto multiplicado por el segundo componente sin derivar que es coseno de x más el primer componente sin derivar que es seno de x. Y esto multiplicado por la derivada del segundo componente, o sea, la derivada de coseno de x que es menos seno de x tal como vimos en las reglas anteriores. Este componente como es negativo necesita protección con paréntesis. Ahora vamos a resolver estas operaciones. f' de x nos va a quedar igual a coseno de x por coseno de x es coseno al cuadrado de x. Y seno de x multiplicado por menos seno de x tenemos ley de los signos más por menos menos y estos dos componentes nos producen seno al cuadrado de x. Entonces coseno al cuadrado de x menos seno al cuadrado de x será la derivada para esa función. Esta es la respuesta para este primer ejemplo. En el segundo ejemplo tenemos la función y igual a tangente de 5x al cuadrado. Como vemos aquí en el ángulo de la función trigonométrica ya no tenemos una simple x sino que tenemos una expresión un poco más compleja. Entonces aquí es cuando vamos a utilizar la regla de la cadena. Vamos a recordar para este caso como es. Si tenemos tangente de manzanita su derivada será secante al cuadrado de la manzanita y esto multiplicado por la derivada de la manzanita. O sea por la derivada del ángulo o lo que se conoce también como la derivada interna. Entonces siguiendo este modelo vamos a obtener la derivada de esa función. Nos quedará de y de x o sea derivada de la función y con respecto a la variable x será igual a secante al cuadrado de la manzanita. O sea secante al cuadrado de 5x al cuadrado. La manzanita es este componente y esto multiplicado por la derivada de la manzanita. O sea por la derivada de 5x al cuadrado. Recordemos que eso nos da 10x. 2 baja a multiplicar con 5 nos da 10 y este exponente se disminuye en una unidad. 2 menos 1 nos da aquí exponente 1. Podemos acomodar esta expresión de la siguiente manera. De y de x igual a 10x es decir escribimos primero este componente y enseguida el componente trigonométrico secante al cuadrado de 5x al cuadrado. Vale la pena aclarar que en esta expresión esto no se puede multiplicar con esto porque esta expresión es propiedad de la función trigonométrica. Por eso este componente que es externo se puede escribir al principio de la expresión. Con esto terminamos el segundo ejemplo. En el tercer ejemplo tenemos la función g de x igual a cotangente de x sobre x es decir un cociente. Tenemos allí una división de dos expresiones donde ambas contienen la variable x. Entonces para derivar esta función debemos aplicar la regla del cociente. Vamos a recordarla por aquí. Derivada de un cociente a sobre b será la derivada del numerador a prima por el denominador sin derivar menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador. Y todo eso sobre el denominador elevado al cuadrado. Entonces siguiendo esta instrucción vamos a obtener la derivada de esa función. Entonces tendremos que g' de x será igual a derivada del numerador o sea derivada de cotangente de x que es menos cosecante al cuadrado de x. Allí aplicamos la derivada de la función trigonométrica. Esto multiplicado por el denominador sin derivar que es x menos el numerador sin derivar que es cotangente de x por la derivada del denominador. La derivada de x es 1. Y todo eso nos queda sobre el denominador elevado al cuadrado. En este caso x al cuadrado. Podemos reescribir esa expresión de la siguiente manera. g' de x será igual a lo siguiente. El producto de estas dos cantidades se puede escribir como menos x que multiplica cosecante al cuadrado de x. De nuevo se advierte que estas dos x no se pueden multiplicar. Esta x es propiedad de la función trigonométrica y esta x es externa a dicha expresión. Por esa razón se ubica acá delante de la función trigonométrica. Esto nos queda menos cotangente de x por 1 que será cotangente de x. Y todo eso nos queda sobre x al cuadrado. El denominador no presenta ningún cambio. De esta manera llegamos a la respuesta para este tercer ejemplo. Miremos el ejemplo número 4 donde tenemos la función y igual a secante de 8x al cubo más 1. El modelo que tenemos que aplicar en este caso es la regla de la cadena para el caso de la función secante. Entonces como vimos en la tabla es secante de la manzanita. La derivada de eso será secante de manzanita por tangente de manzanita y esto multiplicado por la derivada de la manzanita. O sea la derivada interna. En este caso la manzanita está representada por esta expresión. Entonces siguiendo la instrucción la derivada de esta función, o sea de y de x nos va a quedar así. Comenzamos con secante de manzanita, o sea secante de 8x al cubo más 1. Eso multiplicado por tangente de manzanita, o sea tangente de la misma expresión 8x al cubo más 1. Y esto multiplicado por la derivada del ángulo, o sea la derivada de la manzanita que vamos a indicar de esta manera. Entonces ahora hacemos esta derivada. Tenemos aquí una suma, entonces recordemos que se deriva cada término. Derivada de 8x al cubo es 24x al cuadrado. De nuevo 3 baja a multiplicar con 8 nos da 24 y este exponente se disminuye en una unidad. Por eso nos queda exponente 2. Y la derivada de 1 es 0. Recordemos que la derivada de toda constante es 0. Podemos organizar esta expresión de la siguiente manera. De y de x igual a 24x al cuadrado, es decir, trasladamos este componente acá al principio y enseguida escribimos todos los componentes trigonométricos. Secante de 8x al cubo más 1 por tangente de 8x al cubo más 1. Y de esta manera hemos llegado a la respuesta para este cuarto ejemplo. Para terminar veamos el quinto ejemplo que se trata de la función h de x igual a cosecante de pi x. Como aquí en el ángulo de la función trigonométrica ya no tenemos una simple x, sino una expresión un poco más compleja. Entonces debemos utilizar la regla de la cadena. En este caso derivada de la cosecante de manzanita. Entonces la manzanita será pi x. Esa derivada tal como vimos en la tabla es menos cosecante de manzanita por cotangente de manzanita y esto multiplicado por la derivada interna que será la derivada de la manzanita. Entonces vamos a obtener la derivada de esa función siguiendo esta instrucción. Tendremos h' de x igual a menos cosecante de manzanita, o sea menos cosecante de pi x por cotangente de manzanita, o sea cotangente de pi x. Y esto multiplicado por la derivada de la manzanita, o sea por la derivada de pi x, o sea la derivada del componente que actúa como el ángulo de la función trigonométrica. La derivada de pi x será pi. Recordemos que cuando tenemos una constante por la variable su derivada es la constante. Recordemos que pi es una constante matemática. Entonces podemos reescribir esta expresión de la siguiente manera. Tendremos menos pi por cosecante de pi x por cotangente de pi x. Entonces esto lo escribimos al comienzo de la expresión con su signo negativo y enseguida el componente trigonométrico. De esta manera llegamos a la respuesta de este quinto ejemplo y así terminamos esta explicación.

[{"start": 0.0, "end": 9.5, "text": " En esta ocasi\u00f3n vamos a ver las reglas para derivar funciones trigonom\u00e9tricas y tambi\u00e9n veremos ejemplos de aplicaci\u00f3n de ellas."}, {"start": 9.5, "end": 14.0, "text": " Tenemos en esta tabla las seis funciones trigonom\u00e9tricas."}, {"start": 14.0, "end": 19.0, "text": " Vamos a escribir en esta columna sus correspondientes derivadas."}, {"start": 19.0, "end": 26.0, "text": " Comenzamos con la funci\u00f3n seno de x, cuya derivada es coseno de x."}, {"start": 26.0, "end": 32.0, "text": " Para coseno de x, su derivada es menos seno de x."}, {"start": 32.0, "end": 39.0, "text": " Para tangente de x, su derivada es secante al cuadrado de x."}, {"start": 39.0, "end": 48.0, "text": " Para cotangente de x, su derivada es menos cosecante al cuadrado de x."}, {"start": 48.0, "end": 57.0, "text": " Para la funci\u00f3n secante de x, su derivada es secante de x por tangente de x."}, {"start": 57.0, "end": 68.0, "text": " Y para cosecante de x, su derivada es menos cosecante de x por cotangente de x."}, {"start": 68.0, "end": 78.0, "text": " Ahora veamos c\u00f3mo es la regla de la cadena aplicada a la derivaci\u00f3n de funciones trigonom\u00e9tricas."}, {"start": 78.0, "end": 89.0, "text": " Tenemos ahora las seis funciones trigonom\u00e9tricas, pero en el \u00e1ngulo ya no tenemos una simple x, sino una expresi\u00f3n u de x."}, {"start": 89.0, "end": 99.0, "text": " Es decir, una expresi\u00f3n m\u00e1s compleja que una simple x y que se encuentra en t\u00e9rminos de dicha variable."}, {"start": 99.0, "end": 110.0, "text": " Para el caso de seno de u de x, su derivada ser\u00e1 coseno de u de x por u' de x."}, {"start": 110.0, "end": 121.0, "text": " O sea, el coseno del mismo \u00e1ngulo multiplicado por la derivada del \u00e1ngulo, o sea, por lo que se llama la derivada interna."}, {"start": 121.0, "end": 137.0, "text": " Tenemos que para coseno de u de x, su derivada ser\u00e1 menos seno de u de x por la derivada interna, que es la derivada del \u00e1ngulo, o sea, u' de x."}, {"start": 137.0, "end": 149.0, "text": " Para cotangente de u de x, la derivada es secante al cuadrado de u de x por u' de x."}, {"start": 149.0, "end": 164.0, "text": " Para cotangente de u de x, la derivada es menos cosecante al cuadrado de u de x por u' de x, por la derivada interna."}, {"start": 164.0, "end": 182.0, "text": " Son secante de u de x. Su derivada es secante de u de x por tangente de u de x por la derivada del \u00e1ngulo, que es u' de x."}, {"start": 182.0, "end": 205.0, "text": " Y finalmente, para el caso de cosecante de u de x, su derivada es menos cosecante de u de x por cotangente de u de x, y esto multiplicado por la derivada interna, que es u' de x."}, {"start": 205.0, "end": 215.0, "text": " Tambi\u00e9n podemos ver estas reglas utilizando la manzanita en lugar de u de x. Veamos c\u00f3mo nos quedan."}, {"start": 215.0, "end": 239.0, "text": " Si tenemos seno de manzanita, su derivada es coseno de manzanita por la derivada de la manzanita. Si tenemos coseno de manzanita, su derivada es menos seno de la manzanita multiplicado por la derivada interna, o sea, la derivada de la manzanita."}, {"start": 239.0, "end": 250.0, "text": " Si tenemos tangente de manzanita, su derivada es secante al cuadrado de manzanita por la derivada de la manzanita."}, {"start": 250.0, "end": 262.0, "text": " Si tenemos cotangente de manzanita, su derivada es menos cosecante al cuadrado de la manzanita por la derivada de la manzanita."}, {"start": 262.0, "end": 279.0, "text": " Si tenemos secante de manzanita, su derivada es secante de manzanita por tangente de manzanita por la derivada interna, o sea, la derivada de la manzanita."}, {"start": 279.0, "end": 297.0, "text": " Y para terminar, si tenemos cosecante de manzanita, su derivada es menos cosecante de manzanita por cotangente de manzanita, y esto multiplicado por la derivada de la manzanita."}, {"start": 297.0, "end": 307.0, "text": " Bien, estas son las seis reglas para derivar funciones trigonom\u00e9tricas. A continuaci\u00f3n veremos ejemplos de aplicaci\u00f3n de ellas."}, {"start": 307.0, "end": 315.0, "text": " En el primer ejemplo tenemos la funci\u00f3n f de x igual a seno de x por coseno de x."}, {"start": 315.0, "end": 328.0, "text": " Para derivar esta funci\u00f3n debemos aplicar la regla del producto, porque como se observa tenemos la multiplicaci\u00f3n de dos expresiones que contienen la variable x."}, {"start": 328.0, "end": 334.0, "text": " Vamos a recordar aqu\u00ed r\u00e1pidamente c\u00f3mo se deriva un producto a por b."}, {"start": 334.0, "end": 350.0, "text": " Entonces tenemos la derivada del primer componente, o sea, a' por el segundo componente sin derivar, m\u00e1s el primer componente sin derivar por la derivada del segundo componente."}, {"start": 350.0, "end": 358.0, "text": " Entonces en este caso hacemos de cuenta que seno de x es a y coseno de x es b."}, {"start": 358.0, "end": 372.0, "text": " Entonces vamos a aplicar la regla del producto. Nos queda que la derivada de esa funci\u00f3n f' de x es igual a derivada del primer componente,"}, {"start": 372.0, "end": 391.0, "text": " o sea, la derivada de seno de x que es coseno de x. Esto multiplicado por el segundo componente sin derivar que es coseno de x m\u00e1s el primer componente sin derivar que es seno de x."}, {"start": 391.0, "end": 406.0, "text": " Y esto multiplicado por la derivada del segundo componente, o sea, la derivada de coseno de x que es menos seno de x tal como vimos en las reglas anteriores."}, {"start": 406.0, "end": 412.0, "text": " Este componente como es negativo necesita protecci\u00f3n con par\u00e9ntesis."}, {"start": 412.0, "end": 428.0, "text": " Ahora vamos a resolver estas operaciones. f' de x nos va a quedar igual a coseno de x por coseno de x es coseno al cuadrado de x."}, {"start": 428.0, "end": 443.0, "text": " Y seno de x multiplicado por menos seno de x tenemos ley de los signos m\u00e1s por menos menos y estos dos componentes nos producen seno al cuadrado de x."}, {"start": 443.0, "end": 456.0, "text": " Entonces coseno al cuadrado de x menos seno al cuadrado de x ser\u00e1 la derivada para esa funci\u00f3n. Esta es la respuesta para este primer ejemplo."}, {"start": 456.0, "end": 474.0, "text": " En el segundo ejemplo tenemos la funci\u00f3n y igual a tangente de 5x al cuadrado. Como vemos aqu\u00ed en el \u00e1ngulo de la funci\u00f3n trigonom\u00e9trica ya no tenemos una simple x sino que tenemos una expresi\u00f3n un poco m\u00e1s compleja."}, {"start": 474.0, "end": 481.0, "text": " Entonces aqu\u00ed es cuando vamos a utilizar la regla de la cadena. Vamos a recordar para este caso como es."}, {"start": 481.0, "end": 498.0, "text": " Si tenemos tangente de manzanita su derivada ser\u00e1 secante al cuadrado de la manzanita y esto multiplicado por la derivada de la manzanita."}, {"start": 498.0, "end": 504.0, "text": " O sea por la derivada del \u00e1ngulo o lo que se conoce tambi\u00e9n como la derivada interna."}, {"start": 504.0, "end": 523.0, "text": " Entonces siguiendo este modelo vamos a obtener la derivada de esa funci\u00f3n. Nos quedar\u00e1 de y de x o sea derivada de la funci\u00f3n y con respecto a la variable x ser\u00e1 igual a secante al cuadrado de la manzanita."}, {"start": 523.0, "end": 541.0, "text": " O sea secante al cuadrado de 5x al cuadrado. La manzanita es este componente y esto multiplicado por la derivada de la manzanita. O sea por la derivada de 5x al cuadrado."}, {"start": 541.0, "end": 557.0, "text": " Recordemos que eso nos da 10x. 2 baja a multiplicar con 5 nos da 10 y este exponente se disminuye en una unidad. 2 menos 1 nos da aqu\u00ed exponente 1."}, {"start": 557.0, "end": 580.0, "text": " Podemos acomodar esta expresi\u00f3n de la siguiente manera. De y de x igual a 10x es decir escribimos primero este componente y enseguida el componente trigonom\u00e9trico secante al cuadrado de 5x al cuadrado."}, {"start": 580.0, "end": 592.0, "text": " Vale la pena aclarar que en esta expresi\u00f3n esto no se puede multiplicar con esto porque esta expresi\u00f3n es propiedad de la funci\u00f3n trigonom\u00e9trica."}, {"start": 592.0, "end": 605.0, "text": " Por eso este componente que es externo se puede escribir al principio de la expresi\u00f3n. Con esto terminamos el segundo ejemplo."}, {"start": 605.0, "end": 621.0, "text": " En el tercer ejemplo tenemos la funci\u00f3n g de x igual a cotangente de x sobre x es decir un cociente. Tenemos all\u00ed una divisi\u00f3n de dos expresiones donde ambas contienen la variable x."}, {"start": 621.0, "end": 647.0, "text": " Entonces para derivar esta funci\u00f3n debemos aplicar la regla del cociente. Vamos a recordarla por aqu\u00ed. Derivada de un cociente a sobre b ser\u00e1 la derivada del numerador a prima por el denominador sin derivar menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador."}, {"start": 647.0, "end": 659.0, "text": " Y todo eso sobre el denominador elevado al cuadrado. Entonces siguiendo esta instrucci\u00f3n vamos a obtener la derivada de esa funci\u00f3n."}, {"start": 659.0, "end": 677.0, "text": " Entonces tendremos que g' de x ser\u00e1 igual a derivada del numerador o sea derivada de cotangente de x que es menos cosecante al cuadrado de x."}, {"start": 677.0, "end": 695.0, "text": " All\u00ed aplicamos la derivada de la funci\u00f3n trigonom\u00e9trica. Esto multiplicado por el denominador sin derivar que es x menos el numerador sin derivar que es cotangente de x por la derivada del denominador."}, {"start": 695.0, "end": 707.0, "text": " La derivada de x es 1. Y todo eso nos queda sobre el denominador elevado al cuadrado. En este caso x al cuadrado."}, {"start": 707.0, "end": 727.0, "text": " Podemos reescribir esa expresi\u00f3n de la siguiente manera. g' de x ser\u00e1 igual a lo siguiente. El producto de estas dos cantidades se puede escribir como menos x que multiplica cosecante al cuadrado de x."}, {"start": 727.0, "end": 741.0, "text": " De nuevo se advierte que estas dos x no se pueden multiplicar. Esta x es propiedad de la funci\u00f3n trigonom\u00e9trica y esta x es externa a dicha expresi\u00f3n."}, {"start": 741.0, "end": 753.0, "text": " Por esa raz\u00f3n se ubica ac\u00e1 delante de la funci\u00f3n trigonom\u00e9trica. Esto nos queda menos cotangente de x por 1 que ser\u00e1 cotangente de x."}, {"start": 753.0, "end": 767.0, "text": " Y todo eso nos queda sobre x al cuadrado. El denominador no presenta ning\u00fan cambio. De esta manera llegamos a la respuesta para este tercer ejemplo."}, {"start": 767.0, "end": 785.0, "text": " Miremos el ejemplo n\u00famero 4 donde tenemos la funci\u00f3n y igual a secante de 8x al cubo m\u00e1s 1. El modelo que tenemos que aplicar en este caso es la regla de la cadena para el caso de la funci\u00f3n secante."}, {"start": 785.0, "end": 806.0, "text": " Entonces como vimos en la tabla es secante de la manzanita. La derivada de eso ser\u00e1 secante de manzanita por tangente de manzanita y esto multiplicado por la derivada de la manzanita."}, {"start": 806.0, "end": 824.0, "text": " O sea la derivada interna. En este caso la manzanita est\u00e1 representada por esta expresi\u00f3n. Entonces siguiendo la instrucci\u00f3n la derivada de esta funci\u00f3n, o sea de y de x nos va a quedar as\u00ed."}, {"start": 824.0, "end": 844.0, "text": " Comenzamos con secante de manzanita, o sea secante de 8x al cubo m\u00e1s 1. Eso multiplicado por tangente de manzanita, o sea tangente de la misma expresi\u00f3n 8x al cubo m\u00e1s 1."}, {"start": 844.0, "end": 855.0, "text": " Y esto multiplicado por la derivada del \u00e1ngulo, o sea la derivada de la manzanita que vamos a indicar de esta manera."}, {"start": 855.0, "end": 877.0, "text": " Entonces ahora hacemos esta derivada. Tenemos aqu\u00ed una suma, entonces recordemos que se deriva cada t\u00e9rmino. Derivada de 8x al cubo es 24x al cuadrado. De nuevo 3 baja a multiplicar con 8 nos da 24 y este exponente se disminuye en una unidad."}, {"start": 877.0, "end": 891.0, "text": " Por eso nos queda exponente 2. Y la derivada de 1 es 0. Recordemos que la derivada de toda constante es 0. Podemos organizar esta expresi\u00f3n de la siguiente manera."}, {"start": 891.0, "end": 910.0, "text": " De y de x igual a 24x al cuadrado, es decir, trasladamos este componente ac\u00e1 al principio y enseguida escribimos todos los componentes trigonom\u00e9tricos."}, {"start": 910.0, "end": 927.0, "text": " Secante de 8x al cubo m\u00e1s 1 por tangente de 8x al cubo m\u00e1s 1. Y de esta manera hemos llegado a la respuesta para este cuarto ejemplo."}, {"start": 927.0, "end": 944.0, "text": " Para terminar veamos el quinto ejemplo que se trata de la funci\u00f3n h de x igual a cosecante de pi x. Como aqu\u00ed en el \u00e1ngulo de la funci\u00f3n trigonom\u00e9trica ya no tenemos una simple x, sino una expresi\u00f3n un poco m\u00e1s compleja."}, {"start": 944.0, "end": 957.0, "text": " Entonces debemos utilizar la regla de la cadena. En este caso derivada de la cosecante de manzanita. Entonces la manzanita ser\u00e1 pi x."}, {"start": 957.0, "end": 976.0, "text": " Esa derivada tal como vimos en la tabla es menos cosecante de manzanita por cotangente de manzanita y esto multiplicado por la derivada interna que ser\u00e1 la derivada de la manzanita."}, {"start": 976.0, "end": 1002.0, "text": " Entonces vamos a obtener la derivada de esa funci\u00f3n siguiendo esta instrucci\u00f3n. Tendremos h' de x igual a menos cosecante de manzanita, o sea menos cosecante de pi x por cotangente de manzanita, o sea cotangente de pi x."}, {"start": 1002.0, "end": 1017.0, "text": " Y esto multiplicado por la derivada de la manzanita, o sea por la derivada de pi x, o sea la derivada del componente que act\u00faa como el \u00e1ngulo de la funci\u00f3n trigonom\u00e9trica."}, {"start": 1017.0, "end": 1030.0, "text": " La derivada de pi x ser\u00e1 pi. Recordemos que cuando tenemos una constante por la variable su derivada es la constante. Recordemos que pi es una constante matem\u00e1tica."}, {"start": 1030.0, "end": 1051.0, "text": " Entonces podemos reescribir esta expresi\u00f3n de la siguiente manera. Tendremos menos pi por cosecante de pi x por cotangente de pi x."}, {"start": 1051.0, "end": 1067.0, "text": " Entonces esto lo escribimos al comienzo de la expresi\u00f3n con su signo negativo y enseguida el componente trigonom\u00e9trico. De esta manera llegamos a la respuesta de este quinto ejemplo y as\u00ed terminamos esta explicaci\u00f3n."}]

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REGLAS PARA DERIVAR FUNCIONES LOGARÍTMICAS

#julioprofe expone las reglas para derivar funciones logaritmicas y un ejemplo de cada una. Tema: #Derivadas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwF9r-Y_Gpuq45VP0qnJIJL1 REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

En esta ocasión vamos a ver las reglas para derivar funciones logarítmicas y también veremos ejemplos de cada una. Comencemos con la función f de x igual a logaritmo en base a de x. Para esta función su derivada que es f' de x se construye de la siguiente manera. Se trata de una fracción. En el numerador escribimos el 1 y acá en el denominador escribimos x por logaritmo natural de a. Esta es la derivada de esta función logarítmica. Para aprender esta regla de una manera más sencilla podemos escribirla así. Derivada de logaritmo en base a de x será igual a 1 sobre x por logaritmo natural de a. Miremos este ejemplo para ilustrar la propiedad. Tenemos la función y igual a logaritmo en base 3 de x. Como se observa 3 hace el papel de la letra a. Entonces la derivada de esta función y con respecto a la variable x será igual a 1 sobre x por logaritmo natural de 3 siguiendo esta instrucción. Miremos ahora el caso de la función f de x igual a logaritmo en base 10 de x. Recordemos que cuando el logaritmo no tiene aquí ningún número se trata de la base 10. Entonces siguiendo la instrucción tenemos que f' o sea la derivada de esa función será 1 sobre x por logaritmo natural de 10. Repetimos en este caso a vale 10. Ahora miremos el caso de la función f de x igual a logaritmo en base a de una expresión u de x. Aquí ya no tenemos una simple x sino una expresión un poco más compleja que se encuentra en términos de la variable x. Entonces para ese caso la derivada se construye así. De nuevo tenemos una fracción en el numerador escribimos el 1 en el denominador escribimos la expresión u de x por logaritmo natural de a y esto lo multiplicamos por u' de x. O sea por la derivada interna o sea la derivada del argumento del logaritmo. Esto es lo que se llama la regla de la cadena aplicada a la derivación de una función logarítmica. Como aquí tenemos denominador 1 que es invisible podemos multiplicar en forma horizontal ambas fracciones y este componente se sitúa acá en el numerador u' de x por 1 será u' de x. Entonces podemos escribir ese componente o sea la derivada interna acá en el numerador. Nos queda una expresión más compacta. Podemos aprendernos esta fórmula de una manera más sencilla así. Si tenemos logaritmo en base a de la manzanita entonces su derivada será igual a manzanita prima en el numerador sobre la manzanita multiplicada por logaritmo natural de a. Simplemente la manzanita está sustituyendo a la expresión u de x. Veamos el ejemplo para ilustrar esta propiedad. Esta expresión hace el papel de la manzanita y 5 hace el papel de a. Entonces siguiendo la instrucción tenemos que la derivada de y con respecto a x será igual a x a la 4 menos 7 por logaritmo natural de 5. Allí tenemos el denominador vemos la manzanita por el logaritmo natural de a y acá en el numerador vamos a escribir la derivada de la manzanita o sea la derivada de x a la 4 menos 7 que nos da 4 x a la 3. De esta manera tenemos la derivada para esta función. Ahora veamos la regla para derivar la función f de x igual a logaritmo natural o logaritmo neperiano de x. Recordemos que este es el logaritmo que tiene la base e el número de Euler que equivale a 2.71828 y puntos suspensivos porque se trata de un número decimal infinito no periódico. Recordemos que el número de Euler es clasificado como número irracional. Bien para esta función su derivada f' de x es simplemente 1 sobre x. Eso es todo lo que tenemos que hacer cuando tengamos que derivar logaritmo natural de x. Otra forma de aprender esta regla es así derivada de logaritmo natural de x será igual a 1 sobre x. Veamos el ejemplo de una función h de x igual a x al cubo por logaritmo natural de x para mostrar la aplicación de esta regla. Tenemos que derivar esta función utilizando la regla del producto porque aquí tenemos la multiplicación de dos expresiones que contienen la variable x. Entonces la derivada de esa función h' de x se construye de la siguiente manera. Derivada del primer componente, o sea derivada de x al cubo es 3x al cuadrado. Esto multiplicado por el segundo componente sin derivar que es logaritmo natural de x más el primer componente sin derivar x al cubo por la derivada del segundo componente. La derivada del logaritmo natural de x como hemos visto es 1 sobre x. En esta expresión el primer término se deja tal como está pero el segundo puede ser simplificado. Veamos cómo nos da eso. x al cubo por 1 sobre x. Aquí tenemos denominador 1 multiplicamos numeradores entre sí nos da x al cubo y multiplicamos denominadores entre sí y nos da x. Y acá aplicamos la propiedad de la potenciación que nos dice que si tenemos cociente de potencias de la misma base dejamos esa base y restamos los exponentes. Aquí tenemos exponente 1, 3 menos 1 nos da 2. Por lo tanto aquí podemos escribir x al cuadrado y de esa manera hemos obtenido la derivada de esa función h de x. Para terminar veamos el caso de la función f de x igual al logaritmo natural de u de x. Ya no tenemos aquí en el argumento una simple x sino una expresión un poco más compleja en términos de esa variable. Para ese caso la derivada f' de x se construye así. Trazamos la línea de una fracción en el numerador escribimos el 1 en el denominador escribimos u de x o sea la misma expresión que tenemos en el argumento y esto lo multiplicamos por u' de x o sea por la derivada interna. La derivada de lo que escribimos en el denominador. Esta es la regla de la cadena aplicada a la derivación de ese tipo de función logaritmica. Como vimos anteriormente este componente puede ser multiplicado por 1 y puede situarse acá encima de la línea. Entonces vamos a retirarlo de aquí y lo vamos a escribir como numerador de la fracción. Nos queda entonces u' de x sobre u de x. Para aprender esta regla de una manera más sencilla podemos verla así. Si tenemos logaritmo natural de manzanita la derivada de esa expresión será igual a manzanita prima sobre la manzanita. Simplemente la manzanita sustituye a u de x y seguimos esta misma instrucción. Miremos este ejemplo para ilustrar la propiedad. Tenemos la función y igual a logaritmo natural de coseno de x. En ese caso coseno de x actúa como la manzanita. Entonces la derivada de esa función y con respecto a la variable x será igual a coseno de x en el denominador. O sea la manzanita que situamos acá debajo de la línea y acá en el numerador debemos escribir la derivada de la manzanita. O sea la derivada de lo que se escribió en el denominador. La derivada de coseno de x es menos seno de x y aquí podemos aplicar una identidad trigonométrica. Recordemos que seno de x sobre coseno de x es tangente de x. Pero no podemos olvidar el signo negativo. Entonces la derivada de esta función será igual a menos tangente de x. Como conclusión vamos a ver el resumen de las cuatro reglas para derivar funciones logaritmicas. Como pudimos observar en los cuatro casos siempre la derivada es una expresión fraccionaria. Vamos con el primero. La derivada de logaritmo en base a de x es 1 sobre x por logaritmo natural de a. La derivada de logaritmo en base a de u de x es u' de x. O sea la derivada del argumento sobre u de x. O sea el argumento multiplicado por logaritmo natural de a. Recordemos que esta es la regla de la cadena para derivar una función logaritmica con base a. Para el caso de logaritmo natural de x su derivada es 1 sobre x. Y para logaritmo natural de u de x tenemos en el numerador u' de x y en el denominador el argumento que es u de x. O sea la expresión que tenemos aquí sin derivar. Bien con esto terminamos entonces este video de las cuatro reglas para derivar funciones logaritmicas.

[{"start": 0.0, "end": 5.66, "text": " En esta ocasi\u00f3n vamos a ver las reglas para derivar funciones logar\u00edtmicas y"}, {"start": 5.66, "end": 13.5, "text": " tambi\u00e9n veremos ejemplos de cada una. Comencemos con la funci\u00f3n f de x igual a"}, {"start": 13.5, "end": 24.64, "text": " logaritmo en base a de x. Para esta funci\u00f3n su derivada que es f' de x se"}, {"start": 24.64, "end": 30.080000000000002, "text": " construye de la siguiente manera. Se trata de una fracci\u00f3n. En el numerador"}, {"start": 30.080000000000002, "end": 38.52, "text": " escribimos el 1 y ac\u00e1 en el denominador escribimos x por logaritmo natural de a."}, {"start": 38.52, "end": 45.84, "text": " Esta es la derivada de esta funci\u00f3n logar\u00edtmica. Para aprender esta regla de"}, {"start": 45.84, "end": 53.68, "text": " una manera m\u00e1s sencilla podemos escribirla as\u00ed. Derivada de logaritmo en"}, {"start": 53.68, "end": 65.84, "text": " base a de x ser\u00e1 igual a 1 sobre x por logaritmo natural de a."}, {"start": 65.84, "end": 72.6, "text": " Miremos este ejemplo para ilustrar la propiedad. Tenemos la funci\u00f3n y igual a"}, {"start": 72.6, "end": 79.32, "text": " logaritmo en base 3 de x. Como se observa 3 hace el papel de la letra a."}, {"start": 79.32, "end": 87.32, "text": " Entonces la derivada de esta funci\u00f3n y con respecto a la variable x ser\u00e1 igual"}, {"start": 87.32, "end": 98.47999999999999, "text": " a 1 sobre x por logaritmo natural de 3 siguiendo esta instrucci\u00f3n."}, {"start": 98.48, "end": 112.68, "text": " Miremos ahora el caso de la funci\u00f3n f de x igual a logaritmo en base 10 de x."}, {"start": 112.68, "end": 118.08000000000001, "text": " Recordemos que cuando el logaritmo no tiene aqu\u00ed ning\u00fan n\u00famero se trata de"}, {"start": 118.08000000000001, "end": 125.08000000000001, "text": " la base 10. Entonces siguiendo la instrucci\u00f3n tenemos que f'"}, {"start": 125.08, "end": 136.48, "text": " o sea la derivada de esa funci\u00f3n ser\u00e1 1 sobre x por logaritmo natural de 10."}, {"start": 136.48, "end": 146.07999999999998, "text": " Repetimos en este caso a vale 10. Ahora miremos el caso de la funci\u00f3n f de x"}, {"start": 146.08, "end": 155.18, "text": " igual a logaritmo en base a de una expresi\u00f3n u de x. Aqu\u00ed ya no tenemos una"}, {"start": 155.18, "end": 162.28, "text": " simple x sino una expresi\u00f3n un poco m\u00e1s compleja que se encuentra en t\u00e9rminos de"}, {"start": 162.28, "end": 170.28, "text": " la variable x. Entonces para ese caso la derivada se construye as\u00ed."}, {"start": 170.28, "end": 176.48, "text": " De nuevo tenemos una fracci\u00f3n en el numerador escribimos el 1 en el denominador"}, {"start": 176.48, "end": 183.38, "text": " escribimos la expresi\u00f3n u de x por logaritmo natural de a y esto lo"}, {"start": 183.38, "end": 191.88, "text": " multiplicamos por u' de x. O sea por la derivada interna o sea la derivada"}, {"start": 191.88, "end": 197.28, "text": " del argumento del logaritmo. Esto es lo que se llama la regla de la"}, {"start": 197.28, "end": 204.58, "text": " cadena aplicada a la derivaci\u00f3n de una funci\u00f3n logar\u00edtmica. Como aqu\u00ed tenemos"}, {"start": 204.58, "end": 211.48, "text": " denominador 1 que es invisible podemos multiplicar en forma horizontal ambas"}, {"start": 211.48, "end": 217.68, "text": " fracciones y este componente se sit\u00faa ac\u00e1 en el numerador u' de x por 1"}, {"start": 217.68, "end": 226.58, "text": " ser\u00e1 u' de x. Entonces podemos escribir ese componente o sea la derivada"}, {"start": 226.58, "end": 234.18, "text": " interna ac\u00e1 en el numerador. Nos queda una expresi\u00f3n m\u00e1s compacta. Podemos"}, {"start": 234.18, "end": 240.28, "text": " aprendernos esta f\u00f3rmula de una manera m\u00e1s sencilla as\u00ed. Si tenemos logaritmo"}, {"start": 240.28, "end": 247.28, "text": " en base a de la manzanita entonces su derivada"}, {"start": 247.28, "end": 253.78, "text": " ser\u00e1 igual a manzanita prima en el numerador"}, {"start": 253.78, "end": 261.98, "text": " sobre la manzanita multiplicada por logaritmo natural de a. Simplemente la"}, {"start": 261.98, "end": 267.58, "text": " manzanita est\u00e1 sustituyendo a la expresi\u00f3n u de x."}, {"start": 267.58, "end": 273.68, "text": " Veamos el ejemplo para ilustrar esta propiedad. Esta expresi\u00f3n hace el papel"}, {"start": 273.68, "end": 280.18, "text": " de la manzanita y 5 hace el papel de a. Entonces siguiendo la instrucci\u00f3n"}, {"start": 280.18, "end": 290.18, "text": " tenemos que la derivada de y con respecto a x ser\u00e1 igual a x a la 4 menos"}, {"start": 290.18, "end": 298.98, "text": " 7 por logaritmo natural de 5. All\u00ed tenemos el denominador vemos la"}, {"start": 298.98, "end": 304.78000000000003, "text": " manzanita por el logaritmo natural de a y ac\u00e1 en el numerador vamos a escribir"}, {"start": 304.78, "end": 311.17999999999995, "text": " la derivada de la manzanita o sea la derivada de x a la 4 menos 7 que nos da"}, {"start": 311.17999999999995, "end": 320.17999999999995, "text": " 4 x a la 3. De esta manera tenemos la derivada para esta funci\u00f3n."}, {"start": 320.17999999999995, "end": 327.17999999999995, "text": " Ahora veamos la regla para derivar la funci\u00f3n f de x igual a logaritmo natural"}, {"start": 327.17999999999995, "end": 333.78, "text": " o logaritmo neperiano de x. Recordemos que este es el logaritmo que tiene la"}, {"start": 333.78, "end": 342.38, "text": " base e el n\u00famero de Euler que equivale a 2.71828 y puntos suspensivos"}, {"start": 342.38, "end": 348.38, "text": " porque se trata de un n\u00famero decimal infinito no peri\u00f3dico. Recordemos que el"}, {"start": 348.38, "end": 354.97999999999996, "text": " n\u00famero de Euler es clasificado como n\u00famero irracional. Bien para esta"}, {"start": 354.98, "end": 366.48, "text": " funci\u00f3n su derivada f' de x es simplemente 1 sobre x. Eso es todo lo"}, {"start": 366.48, "end": 371.98, "text": " que tenemos que hacer cuando tengamos que derivar logaritmo natural de x."}, {"start": 371.98, "end": 379.88, "text": " Otra forma de aprender esta regla es as\u00ed derivada de logaritmo natural de x ser\u00e1"}, {"start": 379.88, "end": 388.88, "text": " igual a 1 sobre x. Veamos el ejemplo de una funci\u00f3n h de x igual a x al cubo"}, {"start": 388.88, "end": 395.88, "text": " por logaritmo natural de x para mostrar la aplicaci\u00f3n de esta regla. Tenemos que"}, {"start": 395.88, "end": 401.58, "text": " derivar esta funci\u00f3n utilizando la regla del producto porque aqu\u00ed tenemos la"}, {"start": 401.58, "end": 407.58, "text": " multiplicaci\u00f3n de dos expresiones que contienen la variable x. Entonces la"}, {"start": 407.58, "end": 413.58, "text": " derivada de esa funci\u00f3n h' de x se construye de la siguiente manera."}, {"start": 413.58, "end": 420.58, "text": " Derivada del primer componente, o sea derivada de x al cubo es 3x al cuadrado."}, {"start": 420.58, "end": 427.08, "text": " Esto multiplicado por el segundo componente sin derivar que es logaritmo"}, {"start": 427.08, "end": 435.58, "text": " natural de x m\u00e1s el primer componente sin derivar x al cubo por la derivada del"}, {"start": 435.58, "end": 440.58, "text": " segundo componente. La derivada del logaritmo natural de x como hemos visto"}, {"start": 440.58, "end": 449.58, "text": " es 1 sobre x. En esta expresi\u00f3n el primer t\u00e9rmino se deja tal como est\u00e1 pero el"}, {"start": 449.58, "end": 456.58, "text": " segundo puede ser simplificado. Veamos c\u00f3mo nos da eso. x al cubo por 1 sobre x."}, {"start": 456.58, "end": 462.58, "text": " Aqu\u00ed tenemos denominador 1 multiplicamos numeradores entre s\u00ed nos da x al cubo"}, {"start": 462.58, "end": 468.58, "text": " y multiplicamos denominadores entre s\u00ed y nos da x. Y ac\u00e1 aplicamos la propiedad"}, {"start": 468.58, "end": 472.58, "text": " de la potenciaci\u00f3n que nos dice que si tenemos cociente de potencias de la misma"}, {"start": 472.58, "end": 479.58, "text": " base dejamos esa base y restamos los exponentes. Aqu\u00ed tenemos exponente 1, 3"}, {"start": 479.58, "end": 487.58, "text": " menos 1 nos da 2. Por lo tanto aqu\u00ed podemos escribir x al cuadrado y de esa"}, {"start": 487.58, "end": 496.58, "text": " manera hemos obtenido la derivada de esa funci\u00f3n h de x. Para terminar veamos el"}, {"start": 496.58, "end": 503.58, "text": " caso de la funci\u00f3n f de x igual al logaritmo natural de u de x. Ya no tenemos"}, {"start": 503.58, "end": 510.58, "text": " aqu\u00ed en el argumento una simple x sino una expresi\u00f3n un poco m\u00e1s compleja en"}, {"start": 510.58, "end": 519.5799999999999, "text": " t\u00e9rminos de esa variable. Para ese caso la derivada f' de x se construye as\u00ed."}, {"start": 519.5799999999999, "end": 524.5799999999999, "text": " Trazamos la l\u00ednea de una fracci\u00f3n en el numerador escribimos el 1 en el"}, {"start": 524.5799999999999, "end": 530.5799999999999, "text": " denominador escribimos u de x o sea la misma expresi\u00f3n que tenemos en el"}, {"start": 530.5799999999999, "end": 537.5799999999999, "text": " argumento y esto lo multiplicamos por u' de x o sea por la derivada interna. La"}, {"start": 537.58, "end": 542.58, "text": " derivada de lo que escribimos en el denominador. Esta es la regla de la"}, {"start": 542.58, "end": 549.58, "text": " cadena aplicada a la derivaci\u00f3n de ese tipo de funci\u00f3n logaritmica. Como vimos"}, {"start": 549.58, "end": 555.58, "text": " anteriormente este componente puede ser multiplicado por 1 y puede situarse ac\u00e1"}, {"start": 555.58, "end": 563.58, "text": " encima de la l\u00ednea. Entonces vamos a retirarlo de aqu\u00ed y lo vamos a escribir"}, {"start": 563.58, "end": 571.58, "text": " como numerador de la fracci\u00f3n. Nos queda entonces u' de x sobre u de x. Para"}, {"start": 571.58, "end": 577.58, "text": " aprender esta regla de una manera m\u00e1s sencilla podemos verla as\u00ed. Si tenemos"}, {"start": 577.58, "end": 585.58, "text": " logaritmo natural de manzanita la derivada de esa expresi\u00f3n ser\u00e1 igual a"}, {"start": 585.58, "end": 595.58, "text": " manzanita prima sobre la manzanita. Simplemente la manzanita sustituye a u de"}, {"start": 595.58, "end": 602.58, "text": " x y seguimos esta misma instrucci\u00f3n. Miremos este ejemplo para ilustrar la"}, {"start": 602.58, "end": 608.58, "text": " propiedad. Tenemos la funci\u00f3n y igual a logaritmo natural de coseno de x. En ese"}, {"start": 608.58, "end": 615.58, "text": " caso coseno de x act\u00faa como la manzanita. Entonces la derivada de esa funci\u00f3n y"}, {"start": 615.58, "end": 624.58, "text": " con respecto a la variable x ser\u00e1 igual a coseno de x en el denominador. O sea la"}, {"start": 624.58, "end": 630.58, "text": " manzanita que situamos ac\u00e1 debajo de la l\u00ednea y ac\u00e1 en el numerador debemos"}, {"start": 630.58, "end": 636.58, "text": " escribir la derivada de la manzanita. O sea la derivada de lo que se escribi\u00f3 en"}, {"start": 636.58, "end": 643.58, "text": " el denominador. La derivada de coseno de x es menos seno de x y aqu\u00ed podemos"}, {"start": 643.58, "end": 649.58, "text": " aplicar una identidad trigonom\u00e9trica. Recordemos que seno de x sobre coseno de"}, {"start": 649.58, "end": 656.58, "text": " x es tangente de x. Pero no podemos olvidar el signo negativo. Entonces la"}, {"start": 656.58, "end": 663.58, "text": " derivada de esta funci\u00f3n ser\u00e1 igual a menos tangente de x. Como conclusi\u00f3n"}, {"start": 663.58, "end": 670.58, "text": " vamos a ver el resumen de las cuatro reglas para derivar funciones logaritmicas."}, {"start": 670.58, "end": 676.58, "text": " Como pudimos observar en los cuatro casos siempre la derivada es una"}, {"start": 676.58, "end": 681.58, "text": " expresi\u00f3n fraccionaria. Vamos con el primero. La derivada de logaritmo en base"}, {"start": 681.58, "end": 691.58, "text": " a de x es 1 sobre x por logaritmo natural de a. La derivada de logaritmo en base a"}, {"start": 691.58, "end": 701.58, "text": " de u de x es u' de x. O sea la derivada del argumento sobre u de x. O sea el"}, {"start": 701.58, "end": 707.58, "text": " argumento multiplicado por logaritmo natural de a. Recordemos que esta es la"}, {"start": 707.58, "end": 714.58, "text": " regla de la cadena para derivar una funci\u00f3n logaritmica con base a. Para el"}, {"start": 714.58, "end": 721.58, "text": " caso de logaritmo natural de x su derivada es 1 sobre x. Y para logaritmo natural"}, {"start": 721.58, "end": 730.58, "text": " de u de x tenemos en el numerador u' de x y en el denominador el argumento que es"}, {"start": 730.58, "end": 736.58, "text": " u de x. O sea la expresi\u00f3n que tenemos aqu\u00ed sin derivar. Bien con esto"}, {"start": 736.58, "end": 742.58, "text": " terminamos entonces este video de las cuatro reglas para derivar funciones"}, {"start": 742.58, "end": 745.58, "text": " logaritmicas."}]

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REGLAS PARA DERIVAR FUNCIONES EXPONENCIALES

#julioprofe expone las reglas para derivar funciones exponenciales y un ejemplo de cada una. Tema: #Derivadas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwF9r-Y_Gpuq45VP0qnJIJL1 REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

En esta ocasión vamos a ver las reglas para derivar funciones exponenciales y también veremos ejemplos de cada una. Comenzamos con la función f de x igual a a a la x. En ese caso su derivada f' de x es ella misma a a la x por el logaritmo natural de a. Otra forma de aprender esta regla un poco más sencilla es así. Derivada de a a la x, como decíamos, es la misma expresión a a la x y eso multiplicado por el logaritmo natural de a. Por ejemplo, si tenemos la función f de x igual a 3 elevado a la exponente x, o sea una función exponencial su derivada f' de x, será la misma expresión 3 a la x por el logaritmo natural de 3. Como vemos, en este caso 3 hace el papel de la letra a. Entonces, siguiendo la instrucción, construimos la expresión de la derivada. Ahora veamos un caso más complejo. Si tenemos la función f de x igual a a elevada a la expresión u de x, ya no tenemos en el exponente una simple x, sino una expresión en términos de x, entonces la derivada f' de x será la misma expresión a a la u de x por el logaritmo natural de a y esto multiplicado por u' de x, o sea por la derivada de la expresión que tenemos en el exponente. Esto es lo que se llama la regla de la cadena aplicada a la derivación de una función exponencial. Podemos aprender esta fórmula de una manera más sencilla así. Si tenemos a a la manzanita, en este caso la manzanita es u de x, entonces su derivada será la misma expresión a a la manzanita por logaritmo natural de a y esto multiplicado por la derivada de la manzanita, o sea la derivada de lo que tenemos en el exponente. Miremos este ejemplo que se ajusta perfectamente a esta situación, tenemos la función f de x igual a 5 elevado al exponente 3x al cuadrado más 1, como vemos 5 hace el papel de a y 3x al cuadrado más 1 hace el papel de la manzanita, entonces veamos como nos queda la derivada de esa función. Seguimos entonces la instrucción, comenzamos con la misma expresión, 5 elevado al exponente 3x al cuadrado más 1, esto multiplicado por el logaritmo natural de a, o sea logaritmo natural de 5 y esto multiplicado por la derivada de lo que tenemos en el exponente, la derivada de 3x al cuadrado más 1 será 6x. De esa manera hemos obtenido la derivada de esta función. Ahora miremos el caso de la función exponencial que tiene como base el número de Euler, o sea la función e a la x, recordemos que el número de Euler es un número irracional que equivale a 2.71828 y esto continúa, es una serie que nunca termina de tal forma que hace que este sea un decimal infinito no periódico, por esa razón el número de Euler se clasifica como un número irracional. Para esta función tenemos que su derivada es ella misma, la derivada de e a la x es exactamente la misma expresión e a la x, veamos un ejemplo donde aparezca la expresión e a la x, vamos a tomar la función f de x igual a x al cuadrado por e a la x, tenemos allí lo que es un producto, entonces para derivar esta función aplicamos la regla del producto, comenzamos con la derivada del primer componente que será 2x, derivada de x al cuadrado es 2x, esto multiplicado por el segundo componente sin derivar que es e a la x, más el primer componente sin derivar que es x al cuadrado, y esto multiplicado por la derivada del segundo componente, como vemos acá la derivada de e a la x es ella misma, e a la x, por ejemplo en este caso podríamos aplicar la factorización para dar la respuesta de una manera un poco más simple, entonces vemos que aquí hay dos términos y en ellos tenemos repetida la x y también tenemos repetida e a la x, entonces extraemos factor común x por e a la x, y esa expresión será factor de 2 que es lo que nos queda en el primer término, más x que es lo que nos queda en el segundo término después de que este componente abandona dicho término, esta es entonces la derivada de esta función. Finalmente veamos el caso de la función exponencial con base e y con exponente u de x, o sea cuando tenemos acá una expresión más compleja que una simple x, en ese caso la derivada será la misma expresión e a la u de x y esto multiplicado por la derivada del exponente, o sea por u' de x. Podemos aprendernos esta regla de una manera más sencilla así, si tenemos e a la manzanita, entonces su derivada será la misma expresión e a la manzanita y eso multiplicado por la derivada de la manzanita, como se observa esta manzanita está representando la expresión u de x. Vamos a ilustrar esta propiedad con este ejemplo, vamos a encontrar la derivada de la función f de x igual a e elevado al exponente sen x. Entonces siguiendo la instrucción que tenemos debemos escribir primero la misma expresión e a la sen x y esto multiplicado por la derivada del exponente, o sea la derivada de la manzanita, la derivada de sen x es cos x y de esta manera hemos obtenido la derivada de esta función. Para terminar veamos el resumen de las cuatro reglas que vimos para derivar funciones exponenciales. Para la función a a la x su derivada es a a la x por logaritmo natural de a. Para la función a elevada al exponente u de x, pues recordemos que esto se puede cambiar por la manzanita su derivada es a a la u de x, o sea la misma expresión por logaritmo natural de a y esto multiplicado por la derivada del exponente, o sea por u' de x. Para la función e a la x su derivada es la misma expresión e a la x y para la función e a la u de x su derivada es ella misma e a la u de x por la derivada del exponente. Y en esta manera terminamos este video donde hemos visto las reglas para derivar funciones exponenciales.

[{"start": 0.0, "end": 8.0, "text": " En esta ocasi\u00f3n vamos a ver las reglas para derivar funciones exponenciales y tambi\u00e9n veremos ejemplos de cada una."}, {"start": 8.0, "end": 15.0, "text": " Comenzamos con la funci\u00f3n f de x igual a a a la x."}, {"start": 15.0, "end": 27.0, "text": " En ese caso su derivada f' de x es ella misma a a la x por el logaritmo natural de a."}, {"start": 27.0, "end": 34.0, "text": " Otra forma de aprender esta regla un poco m\u00e1s sencilla es as\u00ed."}, {"start": 34.0, "end": 46.0, "text": " Derivada de a a la x, como dec\u00edamos, es la misma expresi\u00f3n a a la x y eso multiplicado por el logaritmo natural de a."}, {"start": 46.0, "end": 59.0, "text": " Por ejemplo, si tenemos la funci\u00f3n f de x igual a 3 elevado a la exponente x, o sea una funci\u00f3n exponencial su derivada f' de x,"}, {"start": 59.0, "end": 66.0, "text": " ser\u00e1 la misma expresi\u00f3n 3 a la x por el logaritmo natural de 3."}, {"start": 66.0, "end": 71.0, "text": " Como vemos, en este caso 3 hace el papel de la letra a."}, {"start": 71.0, "end": 78.0, "text": " Entonces, siguiendo la instrucci\u00f3n, construimos la expresi\u00f3n de la derivada."}, {"start": 78.0, "end": 82.0, "text": " Ahora veamos un caso m\u00e1s complejo."}, {"start": 82.0, "end": 93.0, "text": " Si tenemos la funci\u00f3n f de x igual a a elevada a la expresi\u00f3n u de x, ya no tenemos en el exponente una simple x,"}, {"start": 93.0, "end": 107.0, "text": " sino una expresi\u00f3n en t\u00e9rminos de x, entonces la derivada f' de x ser\u00e1 la misma expresi\u00f3n a a la u de x"}, {"start": 107.0, "end": 120.0, "text": " por el logaritmo natural de a y esto multiplicado por u' de x, o sea por la derivada de la expresi\u00f3n que tenemos en el exponente."}, {"start": 120.0, "end": 130.0, "text": " Esto es lo que se llama la regla de la cadena aplicada a la derivaci\u00f3n de una funci\u00f3n exponencial."}, {"start": 130.0, "end": 136.0, "text": " Podemos aprender esta f\u00f3rmula de una manera m\u00e1s sencilla as\u00ed."}, {"start": 136.0, "end": 152.0, "text": " Si tenemos a a la manzanita, en este caso la manzanita es u de x, entonces su derivada ser\u00e1 la misma expresi\u00f3n a a la manzanita por logaritmo natural de a"}, {"start": 152.0, "end": 163.0, "text": " y esto multiplicado por la derivada de la manzanita, o sea la derivada de lo que tenemos en el exponente."}, {"start": 163.0, "end": 176.0, "text": " Miremos este ejemplo que se ajusta perfectamente a esta situaci\u00f3n, tenemos la funci\u00f3n f de x igual a 5 elevado al exponente 3x al cuadrado m\u00e1s 1,"}, {"start": 176.0, "end": 190.0, "text": " como vemos 5 hace el papel de a y 3x al cuadrado m\u00e1s 1 hace el papel de la manzanita, entonces veamos como nos queda la derivada de esa funci\u00f3n."}, {"start": 190.0, "end": 204.0, "text": " Seguimos entonces la instrucci\u00f3n, comenzamos con la misma expresi\u00f3n, 5 elevado al exponente 3x al cuadrado m\u00e1s 1, esto multiplicado por el logaritmo natural de a,"}, {"start": 204.0, "end": 218.0, "text": " o sea logaritmo natural de 5 y esto multiplicado por la derivada de lo que tenemos en el exponente, la derivada de 3x al cuadrado m\u00e1s 1 ser\u00e1 6x."}, {"start": 218.0, "end": 224.0, "text": " De esa manera hemos obtenido la derivada de esta funci\u00f3n."}, {"start": 224.0, "end": 234.0, "text": " Ahora miremos el caso de la funci\u00f3n exponencial que tiene como base el n\u00famero de Euler, o sea la funci\u00f3n e a la x,"}, {"start": 234.0, "end": 245.0, "text": " recordemos que el n\u00famero de Euler es un n\u00famero irracional que equivale a 2.71828 y esto contin\u00faa,"}, {"start": 245.0, "end": 253.0, "text": " es una serie que nunca termina de tal forma que hace que este sea un decimal infinito no peri\u00f3dico,"}, {"start": 253.0, "end": 260.0, "text": " por esa raz\u00f3n el n\u00famero de Euler se clasifica como un n\u00famero irracional."}, {"start": 260.0, "end": 274.0, "text": " Para esta funci\u00f3n tenemos que su derivada es ella misma, la derivada de e a la x es exactamente la misma expresi\u00f3n e a la x,"}, {"start": 274.0, "end": 288.0, "text": " veamos un ejemplo donde aparezca la expresi\u00f3n e a la x, vamos a tomar la funci\u00f3n f de x igual a x al cuadrado por e a la x,"}, {"start": 288.0, "end": 298.0, "text": " tenemos all\u00ed lo que es un producto, entonces para derivar esta funci\u00f3n aplicamos la regla del producto,"}, {"start": 298.0, "end": 307.0, "text": " comenzamos con la derivada del primer componente que ser\u00e1 2x, derivada de x al cuadrado es 2x,"}, {"start": 307.0, "end": 319.0, "text": " esto multiplicado por el segundo componente sin derivar que es e a la x, m\u00e1s el primer componente sin derivar que es x al cuadrado,"}, {"start": 319.0, "end": 331.0, "text": " y esto multiplicado por la derivada del segundo componente, como vemos ac\u00e1 la derivada de e a la x es ella misma, e a la x,"}, {"start": 331.0, "end": 341.0, "text": " por ejemplo en este caso podr\u00edamos aplicar la factorizaci\u00f3n para dar la respuesta de una manera un poco m\u00e1s simple,"}, {"start": 341.0, "end": 350.0, "text": " entonces vemos que aqu\u00ed hay dos t\u00e9rminos y en ellos tenemos repetida la x y tambi\u00e9n tenemos repetida e a la x,"}, {"start": 350.0, "end": 362.0, "text": " entonces extraemos factor com\u00fan x por e a la x, y esa expresi\u00f3n ser\u00e1 factor de 2 que es lo que nos queda en el primer t\u00e9rmino,"}, {"start": 362.0, "end": 372.0, "text": " m\u00e1s x que es lo que nos queda en el segundo t\u00e9rmino despu\u00e9s de que este componente abandona dicho t\u00e9rmino,"}, {"start": 372.0, "end": 377.0, "text": " esta es entonces la derivada de esta funci\u00f3n."}, {"start": 377.0, "end": 386.0, "text": " Finalmente veamos el caso de la funci\u00f3n exponencial con base e y con exponente u de x,"}, {"start": 386.0, "end": 401.0, "text": " o sea cuando tenemos ac\u00e1 una expresi\u00f3n m\u00e1s compleja que una simple x, en ese caso la derivada ser\u00e1 la misma expresi\u00f3n e a la u de x"}, {"start": 401.0, "end": 409.0, "text": " y esto multiplicado por la derivada del exponente, o sea por u' de x."}, {"start": 409.0, "end": 417.0, "text": " Podemos aprendernos esta regla de una manera m\u00e1s sencilla as\u00ed, si tenemos e a la manzanita,"}, {"start": 417.0, "end": 428.0, "text": " entonces su derivada ser\u00e1 la misma expresi\u00f3n e a la manzanita y eso multiplicado por la derivada de la manzanita,"}, {"start": 428.0, "end": 435.0, "text": " como se observa esta manzanita est\u00e1 representando la expresi\u00f3n u de x."}, {"start": 435.0, "end": 447.0, "text": " Vamos a ilustrar esta propiedad con este ejemplo, vamos a encontrar la derivada de la funci\u00f3n f de x igual a e elevado al exponente sen x."}, {"start": 447.0, "end": 458.0, "text": " Entonces siguiendo la instrucci\u00f3n que tenemos debemos escribir primero la misma expresi\u00f3n e a la sen x"}, {"start": 458.0, "end": 469.0, "text": " y esto multiplicado por la derivada del exponente, o sea la derivada de la manzanita, la derivada de sen x es cos x"}, {"start": 469.0, "end": 475.0, "text": " y de esta manera hemos obtenido la derivada de esta funci\u00f3n."}, {"start": 475.0, "end": 485.0, "text": " Para terminar veamos el resumen de las cuatro reglas que vimos para derivar funciones exponenciales."}, {"start": 485.0, "end": 492.0, "text": " Para la funci\u00f3n a a la x su derivada es a a la x por logaritmo natural de a."}, {"start": 492.0, "end": 503.0, "text": " Para la funci\u00f3n a elevada al exponente u de x, pues recordemos que esto se puede cambiar por la manzanita su derivada es a a la u de x,"}, {"start": 503.0, "end": 515.0, "text": " o sea la misma expresi\u00f3n por logaritmo natural de a y esto multiplicado por la derivada del exponente, o sea por u' de x."}, {"start": 515.0, "end": 529.0, "text": " Para la funci\u00f3n e a la x su derivada es la misma expresi\u00f3n e a la x y para la funci\u00f3n e a la u de x su derivada es ella misma"}, {"start": 529.0, "end": 534.0, "text": " e a la u de x por la derivada del exponente."}, {"start": 534.0, "end": 563.0, "text": " Y en esta manera terminamos este video donde hemos visto las reglas para derivar funciones exponenciales."}]

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ÁREA DE UN TRAPECIO

#julioprofe explica las características principales del trapecio y cómo hallar su área. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

En el estudio de la geometría, una figura como esta se llama trapecio. Se trata de un polígono de cuatro lados, o sea, un cuadrilátero que se caracteriza por tener dos lados paralelos, que los representamos con estas flechitas, y dos lados que no son paralelos. Podemos nombrar los vértices de esta figura con letras mayúsculas. Vamos a utilizar PQRS y vamos a denotar acá los lados que son paralelos. Tenemos el segmento PQ, que es paralelo, con el segmento SR, y tenemos que estos otros dos lados PS y QR son segmentos no paralelos. En un trapecio, los lados que son paralelos se llaman bases, a la más pequeña se le llama base menor, y se suele nombrar con la letra B minúscula, a la más grande se le llama base mayor, y por lo general se denota con la letra B mayúscula. A la distancia que separa las dos bases, es decir, la perpendicular que trazamos entre ellas dos, se le llama altura, y se suele denotar con la letra H. Vemos entonces que forma 90 grados con cada una de las bases. Se trata de un segmento perpendicular a esos dos lados. Ahora, para encontrar el área de esta figura geométrica, es decir, el área de un trapecio, se utiliza la siguiente fórmula. Tenemos base mayor, más base menor, todo eso multiplicado por la altura, y todo eso dividido entre dos. Entonces, con esta expresión, con esta fórmula, encontramos el área de un trapecio. Veamos el siguiente ejemplo dándole valores a esas medidas. Tenemos por ejemplo que la base mayor mide 13 centímetros, la base menor mide 7 centímetros, y la altura tiene un valor de 6 centímetros. Entonces vamos a encontrar el área del trapecio que tiene esas dimensiones. Vamos a reemplazar acá en la fórmula cada uno de esos números o de esas medidas. Tenemos la base mayor 13 centímetros, esto más la base menor que son 7 centímetros, dividido por la altura que son 6 centímetros, y todo eso dividido entre dos. Continuamos por acá, hacemos esta suma, 13 más 7 nos da 20 centímetros, que va a quedar multiplicando por 6 centímetros, y todo eso dividido entre dos. Allí podemos simplificar, bien sea 20 con 2 o también 6 con 2. Vamos a simplificar estos dos números, decimos mitad de 2 es 1 y mitad de 20 es 10, nos quedan 10 centímetros. Y finalmente multiplicamos estos números que nos quedaron en el numerador. Dicimos 10 por 6 es 60 y centímetros por centímetros nos da centímetros cuadrados. De esta manera encontramos el valor del área de ese trapecio, 60 centímetros cuadrados es la superficie que ocupa ese cuadrilátero. Entonces para encontrar el área de un trapecio siempre utilizamos esta fórmula.

[{"start": 0.0, "end": 5.6000000000000005, "text": " En el estudio de la geometr\u00eda, una figura como esta se llama trapecio."}, {"start": 5.6000000000000005, "end": 12.6, "text": " Se trata de un pol\u00edgono de cuatro lados, o sea, un cuadril\u00e1tero que se caracteriza"}, {"start": 12.6, "end": 21.0, "text": " por tener dos lados paralelos, que los representamos con estas flechitas, y dos lados que no son"}, {"start": 21.0, "end": 22.240000000000002, "text": " paralelos."}, {"start": 22.240000000000002, "end": 28.92, "text": " Podemos nombrar los v\u00e9rtices de esta figura con letras may\u00fasculas."}, {"start": 28.92, "end": 37.160000000000004, "text": " Vamos a utilizar PQRS y vamos a denotar ac\u00e1 los lados que son paralelos."}, {"start": 37.160000000000004, "end": 48.040000000000006, "text": " Tenemos el segmento PQ, que es paralelo, con el segmento SR, y tenemos que estos otros"}, {"start": 48.04, "end": 60.44, "text": " dos lados PS y QR son segmentos no paralelos."}, {"start": 60.44, "end": 67.56, "text": " En un trapecio, los lados que son paralelos se llaman bases, a la m\u00e1s peque\u00f1a se le"}, {"start": 67.56, "end": 77.64, "text": " llama base menor, y se suele nombrar con la letra B min\u00fascula, a la m\u00e1s grande se le"}, {"start": 77.64, "end": 85.92, "text": " llama base mayor, y por lo general se denota con la letra B may\u00fascula."}, {"start": 85.92, "end": 92.54, "text": " A la distancia que separa las dos bases, es decir, la perpendicular que trazamos entre"}, {"start": 92.54, "end": 100.16, "text": " ellas dos, se le llama altura, y se suele denotar con la letra H."}, {"start": 100.16, "end": 105.54, "text": " Vemos entonces que forma 90 grados con cada una de las bases."}, {"start": 105.54, "end": 111.04, "text": " Se trata de un segmento perpendicular a esos dos lados."}, {"start": 111.04, "end": 119.5, "text": " Ahora, para encontrar el \u00e1rea de esta figura geom\u00e9trica, es decir, el \u00e1rea de un trapecio,"}, {"start": 119.5, "end": 123.04, "text": " se utiliza la siguiente f\u00f3rmula."}, {"start": 123.04, "end": 131.66, "text": " Tenemos base mayor, m\u00e1s base menor, todo eso multiplicado por la altura, y todo eso"}, {"start": 131.66, "end": 133.68, "text": " dividido entre dos."}, {"start": 133.68, "end": 142.64000000000001, "text": " Entonces, con esta expresi\u00f3n, con esta f\u00f3rmula, encontramos el \u00e1rea de un trapecio."}, {"start": 142.64000000000001, "end": 148.0, "text": " Veamos el siguiente ejemplo d\u00e1ndole valores a esas medidas."}, {"start": 148.0, "end": 158.9, "text": " Tenemos por ejemplo que la base mayor mide 13 cent\u00edmetros, la base menor mide 7 cent\u00edmetros,"}, {"start": 158.9, "end": 164.46, "text": " y la altura tiene un valor de 6 cent\u00edmetros."}, {"start": 164.46, "end": 170.12, "text": " Entonces vamos a encontrar el \u00e1rea del trapecio que tiene esas dimensiones."}, {"start": 170.12, "end": 177.64000000000001, "text": " Vamos a reemplazar ac\u00e1 en la f\u00f3rmula cada uno de esos n\u00fameros o de esas medidas."}, {"start": 177.64000000000001, "end": 188.24, "text": " Tenemos la base mayor 13 cent\u00edmetros, esto m\u00e1s la base menor que son 7 cent\u00edmetros,"}, {"start": 188.24, "end": 196.88, "text": " dividido por la altura que son 6 cent\u00edmetros, y todo eso dividido entre dos."}, {"start": 196.88, "end": 205.76000000000002, "text": " Continuamos por ac\u00e1, hacemos esta suma, 13 m\u00e1s 7 nos da 20 cent\u00edmetros, que va a quedar"}, {"start": 205.76000000000002, "end": 213.52, "text": " multiplicando por 6 cent\u00edmetros, y todo eso dividido entre dos."}, {"start": 213.52, "end": 220.04000000000002, "text": " All\u00ed podemos simplificar, bien sea 20 con 2 o tambi\u00e9n 6 con 2."}, {"start": 220.04000000000002, "end": 229.52, "text": " Vamos a simplificar estos dos n\u00fameros, decimos mitad de 2 es 1 y mitad de 20 es 10, nos quedan"}, {"start": 229.52, "end": 232.08, "text": " 10 cent\u00edmetros."}, {"start": 232.08, "end": 237.68, "text": " Y finalmente multiplicamos estos n\u00fameros que nos quedaron en el numerador."}, {"start": 237.68, "end": 246.24, "text": " Dicimos 10 por 6 es 60 y cent\u00edmetros por cent\u00edmetros nos da cent\u00edmetros cuadrados."}, {"start": 246.24, "end": 254.44, "text": " De esta manera encontramos el valor del \u00e1rea de ese trapecio, 60 cent\u00edmetros cuadrados"}, {"start": 254.44, "end": 259.44, "text": " es la superficie que ocupa ese cuadril\u00e1tero."}, {"start": 259.44, "end": 268.0, "text": " Entonces para encontrar el \u00e1rea de un trapecio siempre utilizamos esta f\u00f3rmula."}]

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DERIVADA DE UNA FUNCIÓN USANDO LA DEFINICIÓN - Ejercicio 2

#julioprofe explica cómo derivar una función usando la definición de derivada. Tema: #Derivadas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwF9r-Y_Gpuq45VP0qnJIJL1 REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a encontrar la derivada de esta función utilizando la definición de derivada que dice lo siguiente Para una función f de x, su derivada se define como el límite cuando delta de x tiende a cero de f de x más delta de x menos f de x y todo eso sobre delta de x Podemos trabajar entonces con esta expresión que es la definición para la derivada o si queremos se puede cambiar también delta de x por otra letra usualmente se trabaja con h pero en esta ocasión vamos a dejar delta de x Como podemos observar, este componente ya lo tenemos, se trata de la función original o la que nos dan Necesitamos averiguar a que es igual este componente Entonces vamos a realizar lo siguiente en esa función original, vamos a desaparecer x Nos quedaría entonces así y dejamos el espacio disponible para llenarlo con x más delta de x Entonces en los paréntesis vacíos escribimos x más delta de x De esa manera estamos evaluando la función en esa expresión que es x más delta de x A continuación vamos a utilizar el álgebra para desarrollar estas expresiones Aquí es cuando los conocimientos algebraicos juegan un papel muy importante en el estudio del cálculo Tenemos por acá lo que se llama un binomio elevado al cuadrado, un producto notable muy importante Esto se desarrolla de la siguiente manera, es el primer término al cuadrado más dos veces el primer término por el segundo más el segundo término elevado al cuadrado Entonces veamos cómo nos va quedando f de x más delta de x Tenemos entonces 5 que multiplica a, vamos a desarrollar este binomio al cuadrado utilizando esa fórmula, tenemos el primer componente al cuadrado, o sea x al cuadrado más dos veces el primero por el segundo, o sea 2 por x por delta de x, ese delta de x vamos a protegerlo con paréntesis y esto más el segundo componente que es delta de x también elevado al cuadrado, entonces allí hemos realizado la expansión de este binomio elevado al cuadrado Vamos a continuar por acá, tenemos menos 7 que multiplica a esa expresión Y esto es otro producto notable, vamos a recordar su fórmula, un binomio elevado al cubo, a más b al cubo es igual al primer término al cubo, más tres veces el primer término al cuadrado por el segundo más tres veces el primer término por el segundo al cuadrado, más el segundo término elevado al cubo Entonces otro producto notable de gran importancia de la algebra que nos va a servir acá en el cálculo para expandir esta potencia o esta suma elevada al cubo Tenemos entonces el primer término al cubo, o sea x al cubo, más tres veces el primer término al cuadrado por la 3 por x al cuadrado por el segundo que es delta de x, más tres veces el primer término que es x por el segundo elevado al cuadrado, o sea delta de x al cuadrado y esto más el segundo término que es delta de x elevado al cubo y cerramos el corchete que protege todo ese desarrollo Ahora vamos a romper esos corchetes, vamos a aplicar la propiedad distributiva, nos queda entonces así f de x más delta de x es igual a 5 que multiplica a estos componentes 5 por x al cuadrado nos queda 5x al cuadrado, más 5 por todo esto nos da 10x por delta de x más 5 que multiplica a ese componente, 5 por delta de x al cuadrado Ahora vamos con menos 7 que afecta cada uno de esos cuatro términos tenemos menos 7 por x al cubo es menos 7x al cubo, menos 7 por esto nos da menos 21 x al cuadrado por delta de x, vamos a continuar por acá menos 7 por esto nos queda menos 21, x por delta de x al cuadrado y menos 7 por esto nos da menos 7 que multiplica a delta de x elevado al cubo Retomando la definición de la derivada, observamos que ya tenemos este componente se trata de toda esta expresión que encontramos, f de x es la función que nos dan originalmente ahora vamos a encontrar el valor de toda esta diferencia tenemos que f de x más delta de x menos f de x será igual a toda esta expresión que es el primer componente allí lo tenemos y vamos a protegerlo con corchete y todo eso menos el componente que es f de x vamos a protegerlo con paréntesis, tenemos 5x al cuadrado menos 7x al cubo entonces repetimos, vamos a encontrar a que es igual esta diferencia y allí hemos escrito cada uno de los componentes a continuación vamos a destruir los signos de agrupación, es decir vamos a quitar este corchete vemos que a su izquierda no tenemos nada, o sea que allí hay signo positivo invisible eso nos permite quitar con tranquilidad ese corchete porque los términos no van a presentar ningún cambio por el contrario esta expresión si va a sufrir una modificación cuando hacemos la destrucción del paréntesis el signo negativo afecta estos dos términos y le cambia los signos entonces este término nos quedará negativo y este nos quedará positivo veamos entonces quitamos el paréntesis, este término como decíamos queda negativo y este nos queda positivo en toda esta lista de términos vemos que es posible eliminar algunos es el caso de estos dos, está positivo y está negativo, entonces se eliminan, son términos opuestos entre sí y también observamos lo mismo con estos dos, este término es semejante con este, este está negativo, este está positivo por lo tanto es perfectamente elícito eliminarlos entonces veamos como nos queda la expresión para f de x más delta de x menos f de x escribimos los términos que quedaron, comenzamos con 10x por delta de x más 5 por delta de x al cuadrado esto menos 21x al cuadrado por delta de x menos, vamos a seguir por acá menos 21x por delta de x al cuadrado y esto menos 7 por delta de x al cubo de nuevo vamos a retomar aquí la definición para la derivada, allí podemos observarla entonces vamos a construir toda esa expresión con los elementos que ya conocemos tenemos que eso es igual al límite cuando delta de x tiende a cero de toda esta expresión que fue lo que acabamos de encontrar entonces vamos a escribirla por acá, allí podemos observarla y todo eso lo tenemos sobre delta de x enseguida tenemos que darle solución a este límite, rápidamente podemos observar que si delta de x toma el valor cero vemos que como delta de x está presente en todos los términos del numerador entonces todo eso nos da cero y acá en el denominador también tendríamos cero, o sea que en principio este límite nos daría cero sobre cero que es una forma indeterminada y ya sabemos que esto no es un resultado aceptable para un límite entonces lo que vamos a hacer es solucionar ese problema de la indeterminación factorizando el numerador como delta de x está presente en todos los términos podemos extraer ese componente como factor común entonces tendremos así delta de x es factor de 10x más 5 por delta de x menos 21x al cuadrado menos 21x por delta de x y acá tenemos menos 7 por delta de x al cuadrado y cerramos el corchete del numerador hemos extraído factor común delta de x, ahora tenemos todo eso sobre delta de x y allí es perfectamente liso e eliminar este componente delta de x es el causante del cero sobre cero que habíamos tenido hace un momento entonces aquí ya logramos deshacernos de ese elemento problema que nos estaba indeterminando la expresión entonces la derivada f' de x nos queda así, límite cuando delta de x tiende a cero de todo esto que tenemos en el corchete allí podemos observar esa expresión y finalmente vamos a evaluar todo esto cuando delta de x toma el valor cero como vimos anteriormente ya se eliminó el factor problema, el componente que estaba indeterminando la expresión o sea que esto ya lo hacemos con toda tranquilidad, decimos entonces 10x más 5 por delta de x pero delta de x es cero menos 21x al cuadrado menos 21x por delta de x o sea 21x por cero y esto menos 7 por cero al cuadrado en esta expresión observamos que esto nos da cero, lo mismo que este término y este también equivale a cero entonces nos han quedado solamente estos dos y con eso llegamos a la respuesta f' de x es igual a 10x menos 21x al cuadrado esa expresión será la derivada de la función f' de x que nos dieron inicialmente utilizando en este caso el límite que representa la definición de derivada

[{"start": 0.0, "end": 9.5, "text": " Vamos a encontrar la derivada de esta funci\u00f3n utilizando la definici\u00f3n de derivada que dice lo siguiente"}, {"start": 9.5, "end": 19.5, "text": " Para una funci\u00f3n f de x, su derivada se define como el l\u00edmite cuando delta de x tiende a cero"}, {"start": 19.5, "end": 31.5, "text": " de f de x m\u00e1s delta de x menos f de x y todo eso sobre delta de x"}, {"start": 31.5, "end": 38.0, "text": " Podemos trabajar entonces con esta expresi\u00f3n que es la definici\u00f3n para la derivada"}, {"start": 38.0, "end": 45.5, "text": " o si queremos se puede cambiar tambi\u00e9n delta de x por otra letra usualmente se trabaja con h"}, {"start": 45.5, "end": 49.5, "text": " pero en esta ocasi\u00f3n vamos a dejar delta de x"}, {"start": 49.5, "end": 58.0, "text": " Como podemos observar, este componente ya lo tenemos, se trata de la funci\u00f3n original o la que nos dan"}, {"start": 58.0, "end": 62.0, "text": " Necesitamos averiguar a que es igual este componente"}, {"start": 62.0, "end": 69.5, "text": " Entonces vamos a realizar lo siguiente en esa funci\u00f3n original, vamos a desaparecer x"}, {"start": 69.5, "end": 80.0, "text": " Nos quedar\u00eda entonces as\u00ed y dejamos el espacio disponible para llenarlo con x m\u00e1s delta de x"}, {"start": 80.0, "end": 88.5, "text": " Entonces en los par\u00e9ntesis vac\u00edos escribimos x m\u00e1s delta de x"}, {"start": 88.5, "end": 99.0, "text": " De esa manera estamos evaluando la funci\u00f3n en esa expresi\u00f3n que es x m\u00e1s delta de x"}, {"start": 99.0, "end": 106.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a utilizar el \u00e1lgebra para desarrollar estas expresiones"}, {"start": 106.0, "end": 114.5, "text": " Aqu\u00ed es cuando los conocimientos algebraicos juegan un papel muy importante en el estudio del c\u00e1lculo"}, {"start": 114.5, "end": 123.5, "text": " Tenemos por ac\u00e1 lo que se llama un binomio elevado al cuadrado, un producto notable muy importante"}, {"start": 123.5, "end": 133.0, "text": " Esto se desarrolla de la siguiente manera, es el primer t\u00e9rmino al cuadrado m\u00e1s dos veces el primer t\u00e9rmino por el segundo"}, {"start": 133.0, "end": 137.0, "text": " m\u00e1s el segundo t\u00e9rmino elevado al cuadrado"}, {"start": 137.0, "end": 143.5, "text": " Entonces veamos c\u00f3mo nos va quedando f de x m\u00e1s delta de x"}, {"start": 143.5, "end": 151.5, "text": " Tenemos entonces 5 que multiplica a, vamos a desarrollar este binomio al cuadrado"}, {"start": 151.5, "end": 158.5, "text": " utilizando esa f\u00f3rmula, tenemos el primer componente al cuadrado, o sea x al cuadrado"}, {"start": 158.5, "end": 168.5, "text": " m\u00e1s dos veces el primero por el segundo, o sea 2 por x por delta de x, ese delta de x"}, {"start": 168.5, "end": 176.5, "text": " vamos a protegerlo con par\u00e9ntesis y esto m\u00e1s el segundo componente que es delta de x"}, {"start": 176.5, "end": 186.5, "text": " tambi\u00e9n elevado al cuadrado, entonces all\u00ed hemos realizado la expansi\u00f3n de este binomio elevado al cuadrado"}, {"start": 186.5, "end": 197.5, "text": " Vamos a continuar por ac\u00e1, tenemos menos 7 que multiplica a esa expresi\u00f3n"}, {"start": 197.5, "end": 206.5, "text": " Y esto es otro producto notable, vamos a recordar su f\u00f3rmula, un binomio elevado al cubo, a m\u00e1s b al cubo"}, {"start": 206.5, "end": 214.5, "text": " es igual al primer t\u00e9rmino al cubo, m\u00e1s tres veces el primer t\u00e9rmino al cuadrado por el segundo"}, {"start": 214.5, "end": 223.5, "text": " m\u00e1s tres veces el primer t\u00e9rmino por el segundo al cuadrado, m\u00e1s el segundo t\u00e9rmino elevado al cubo"}, {"start": 223.5, "end": 230.5, "text": " Entonces otro producto notable de gran importancia de la algebra que nos va a servir ac\u00e1"}, {"start": 230.5, "end": 237.5, "text": " en el c\u00e1lculo para expandir esta potencia o esta suma elevada al cubo"}, {"start": 237.5, "end": 247.5, "text": " Tenemos entonces el primer t\u00e9rmino al cubo, o sea x al cubo, m\u00e1s tres veces el primer t\u00e9rmino al cuadrado"}, {"start": 247.5, "end": 259.5, "text": " por la 3 por x al cuadrado por el segundo que es delta de x, m\u00e1s tres veces el primer t\u00e9rmino que es x"}, {"start": 259.5, "end": 270.5, "text": " por el segundo elevado al cuadrado, o sea delta de x al cuadrado y esto m\u00e1s el segundo t\u00e9rmino que es delta de x"}, {"start": 270.5, "end": 278.5, "text": " elevado al cubo y cerramos el corchete que protege todo ese desarrollo"}, {"start": 278.5, "end": 286.5, "text": " Ahora vamos a romper esos corchetes, vamos a aplicar la propiedad distributiva, nos queda entonces as\u00ed"}, {"start": 286.5, "end": 294.5, "text": " f de x m\u00e1s delta de x es igual a 5 que multiplica a estos componentes"}, {"start": 294.5, "end": 305.5, "text": " 5 por x al cuadrado nos queda 5x al cuadrado, m\u00e1s 5 por todo esto nos da 10x por delta de x"}, {"start": 305.5, "end": 312.5, "text": " m\u00e1s 5 que multiplica a ese componente, 5 por delta de x al cuadrado"}, {"start": 312.5, "end": 317.5, "text": " Ahora vamos con menos 7 que afecta cada uno de esos cuatro t\u00e9rminos"}, {"start": 317.5, "end": 327.5, "text": " tenemos menos 7 por x al cubo es menos 7x al cubo, menos 7 por esto nos da menos 21"}, {"start": 327.5, "end": 334.5, "text": " x al cuadrado por delta de x, vamos a continuar por ac\u00e1"}, {"start": 334.5, "end": 344.5, "text": " menos 7 por esto nos queda menos 21, x por delta de x al cuadrado"}, {"start": 344.5, "end": 352.5, "text": " y menos 7 por esto nos da menos 7 que multiplica a delta de x elevado al cubo"}, {"start": 352.5, "end": 360.5, "text": " Retomando la definici\u00f3n de la derivada, observamos que ya tenemos este componente"}, {"start": 360.5, "end": 368.5, "text": " se trata de toda esta expresi\u00f3n que encontramos, f de x es la funci\u00f3n que nos dan originalmente"}, {"start": 368.5, "end": 374.5, "text": " ahora vamos a encontrar el valor de toda esta diferencia"}, {"start": 374.5, "end": 390.5, "text": " tenemos que f de x m\u00e1s delta de x menos f de x ser\u00e1 igual a toda esta expresi\u00f3n que es el primer componente"}, {"start": 390.5, "end": 401.5, "text": " all\u00ed lo tenemos y vamos a protegerlo con corchete y todo eso menos el componente que es f de x"}, {"start": 401.5, "end": 409.5, "text": " vamos a protegerlo con par\u00e9ntesis, tenemos 5x al cuadrado menos 7x al cubo"}, {"start": 409.5, "end": 419.5, "text": " entonces repetimos, vamos a encontrar a que es igual esta diferencia y all\u00ed hemos escrito cada uno de los componentes"}, {"start": 419.5, "end": 426.5, "text": " a continuaci\u00f3n vamos a destruir los signos de agrupaci\u00f3n, es decir vamos a quitar este corchete"}, {"start": 426.5, "end": 432.5, "text": " vemos que a su izquierda no tenemos nada, o sea que all\u00ed hay signo positivo invisible"}, {"start": 432.5, "end": 440.5, "text": " eso nos permite quitar con tranquilidad ese corchete porque los t\u00e9rminos no van a presentar ning\u00fan cambio"}, {"start": 440.5, "end": 448.5, "text": " por el contrario esta expresi\u00f3n si va a sufrir una modificaci\u00f3n cuando hacemos la destrucci\u00f3n del par\u00e9ntesis"}, {"start": 448.5, "end": 454.5, "text": " el signo negativo afecta estos dos t\u00e9rminos y le cambia los signos"}, {"start": 454.5, "end": 459.5, "text": " entonces este t\u00e9rmino nos quedar\u00e1 negativo y este nos quedar\u00e1 positivo"}, {"start": 459.5, "end": 468.5, "text": " veamos entonces quitamos el par\u00e9ntesis, este t\u00e9rmino como dec\u00edamos queda negativo y este nos queda positivo"}, {"start": 468.5, "end": 474.5, "text": " en toda esta lista de t\u00e9rminos vemos que es posible eliminar algunos"}, {"start": 474.5, "end": 483.5, "text": " es el caso de estos dos, est\u00e1 positivo y est\u00e1 negativo, entonces se eliminan, son t\u00e9rminos opuestos entre s\u00ed"}, {"start": 483.5, "end": 493.5, "text": " y tambi\u00e9n observamos lo mismo con estos dos, este t\u00e9rmino es semejante con este, este est\u00e1 negativo, este est\u00e1 positivo"}, {"start": 493.5, "end": 497.5, "text": " por lo tanto es perfectamente el\u00edcito eliminarlos"}, {"start": 497.5, "end": 506.5, "text": " entonces veamos como nos queda la expresi\u00f3n para f de x m\u00e1s delta de x menos f de x"}, {"start": 506.5, "end": 518.5, "text": " escribimos los t\u00e9rminos que quedaron, comenzamos con 10x por delta de x m\u00e1s 5 por delta de x al cuadrado"}, {"start": 518.5, "end": 529.5, "text": " esto menos 21x al cuadrado por delta de x menos, vamos a seguir por ac\u00e1"}, {"start": 529.5, "end": 542.5, "text": " menos 21x por delta de x al cuadrado y esto menos 7 por delta de x al cubo"}, {"start": 542.5, "end": 550.5, "text": " de nuevo vamos a retomar aqu\u00ed la definici\u00f3n para la derivada, all\u00ed podemos observarla"}, {"start": 550.5, "end": 557.5, "text": " entonces vamos a construir toda esa expresi\u00f3n con los elementos que ya conocemos"}, {"start": 557.5, "end": 568.5, "text": " tenemos que eso es igual al l\u00edmite cuando delta de x tiende a cero de toda esta expresi\u00f3n que fue lo que acabamos de encontrar"}, {"start": 568.5, "end": 580.5, "text": " entonces vamos a escribirla por ac\u00e1, all\u00ed podemos observarla y todo eso lo tenemos sobre delta de x"}, {"start": 580.5, "end": 589.5, "text": " enseguida tenemos que darle soluci\u00f3n a este l\u00edmite, r\u00e1pidamente podemos observar que si delta de x toma el valor cero"}, {"start": 589.5, "end": 596.5, "text": " vemos que como delta de x est\u00e1 presente en todos los t\u00e9rminos del numerador entonces todo eso nos da cero"}, {"start": 596.5, "end": 604.5, "text": " y ac\u00e1 en el denominador tambi\u00e9n tendr\u00edamos cero, o sea que en principio este l\u00edmite nos dar\u00eda cero sobre cero"}, {"start": 604.5, "end": 613.5, "text": " que es una forma indeterminada y ya sabemos que esto no es un resultado aceptable para un l\u00edmite"}, {"start": 613.5, "end": 625.5, "text": " entonces lo que vamos a hacer es solucionar ese problema de la indeterminaci\u00f3n factorizando el numerador"}, {"start": 625.5, "end": 633.5, "text": " como delta de x est\u00e1 presente en todos los t\u00e9rminos podemos extraer ese componente como factor com\u00fan"}, {"start": 633.5, "end": 656.5, "text": " entonces tendremos as\u00ed delta de x es factor de 10x m\u00e1s 5 por delta de x menos 21x al cuadrado menos 21x por delta de x"}, {"start": 656.5, "end": 666.5, "text": " y ac\u00e1 tenemos menos 7 por delta de x al cuadrado y cerramos el corchete del numerador"}, {"start": 666.5, "end": 678.5, "text": " hemos extra\u00eddo factor com\u00fan delta de x, ahora tenemos todo eso sobre delta de x y all\u00ed es perfectamente liso"}, {"start": 678.5, "end": 688.5, "text": " e eliminar este componente delta de x es el causante del cero sobre cero que hab\u00edamos tenido hace un momento"}, {"start": 688.5, "end": 698.5, "text": " entonces aqu\u00ed ya logramos deshacernos de ese elemento problema que nos estaba indeterminando la expresi\u00f3n"}, {"start": 698.5, "end": 714.5, "text": " entonces la derivada f' de x nos queda as\u00ed, l\u00edmite cuando delta de x tiende a cero de todo esto que tenemos en el corchete"}, {"start": 714.5, "end": 725.5, "text": " all\u00ed podemos observar esa expresi\u00f3n y finalmente vamos a evaluar todo esto cuando delta de x toma el valor cero"}, {"start": 725.5, "end": 733.5, "text": " como vimos anteriormente ya se elimin\u00f3 el factor problema, el componente que estaba indeterminando la expresi\u00f3n"}, {"start": 733.5, "end": 745.5, "text": " o sea que esto ya lo hacemos con toda tranquilidad, decimos entonces 10x m\u00e1s 5 por delta de x pero delta de x es cero"}, {"start": 745.5, "end": 760.5, "text": " menos 21x al cuadrado menos 21x por delta de x o sea 21x por cero y esto menos 7 por cero al cuadrado"}, {"start": 760.5, "end": 771.5, "text": " en esta expresi\u00f3n observamos que esto nos da cero, lo mismo que este t\u00e9rmino y este tambi\u00e9n equivale a cero"}, {"start": 771.5, "end": 784.5, "text": " entonces nos han quedado solamente estos dos y con eso llegamos a la respuesta f' de x es igual a 10x menos 21x al cuadrado"}, {"start": 784.5, "end": 801.5, "text": " esa expresi\u00f3n ser\u00e1 la derivada de la funci\u00f3n f' de x que nos dieron inicialmente utilizando en este caso el l\u00edmite que representa la definici\u00f3n de derivada"}]

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EC. DIF. HOMOGÉNEAS - Ejercicio 2

#julioprofe explica cómo resolver una ecuación diferencial homogénea. Tema: #EcuacionesDiferenciales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwGJGlFnQ4QGLGBNtrdZ8AIt REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a encontrar la solución general de esta ecuación diferencial. Si hacemos todos los intentos por lograr separación de variables, vemos que por ese camino es totalmente inútil. Entonces descartamos que esta sea una ecuación diferencial de variables separables. Vamos a utilizar entonces otra estrategia. Tenemos una propiedad de la potenciación que nos dice que si una fracción A sobre B está elevada al exponente menos N, esto será igual a la fracción B sobre A elevada al exponente N. Es decir, la fracción se invierte y el exponente cambia de signo. Ahora bien, si cambiamos N por 1, entonces tenemos que A sobre B elevado al exponente menos 1 será B sobre A, todo eso elevado al exponente 1. Pero recordemos que el exponente 1 puede omitirse. Entonces podemos desaparecerlo y también desaparecemos el paréntesis. Y nos queda que A sobre B, todo eso a la menos 1, es simplemente B sobre A. Pues bien, también podemos devolvernos. Es decir, que si tenemos una fracción así, podemos expresarla de esta manera. Y eso es lo que vamos a hacer con este componente. Entonces, la ecuación diferencial la reescribimos así. de y de x es igual a y sobre x más acá y sobre x y todo esto elevado al exponente menos 1, aplicando esta propiedad. Aquí ya podemos observar que de y de x está en términos de y sobre x. Eso lo podemos escribir de esta forma. De y de x es una función que depende de y sobre x. Y cuando tenemos esta situación, entonces decimos que esta es una ecuación diferencial homogénea. Entonces vamos a resolver esta ecuación diferencial. Y para comenzar vamos a llamar y sobre x como una nueva variable. Vamos a utilizar por ejemplo la letra w. Entonces y sobre x será w y de aquí vamos a despejar y. Tenemos entonces que y es igual a w por x. Y por x que está dividiendo pasa al otro lado a multiplicar y esto lo vamos a derivar a ambos lados con respecto a x. Al lado izquierdo nos queda de y de x derivada de y con respecto a x. Y en el lado derecho tenemos un producto. Entonces aplicamos la regla de derivación para la multiplicación. Esto sea para el producto derivada del primer termino con respecto a x será de w de x por el segundo termino sin derivar que es x. Esto más el primer termino sin derivar que es w y eso por la derivada del segundo termino con respecto a x. La derivada de x con respecto a ella misma será 1. Entonces w por 1 podemos dejarlo simplemente como w. Y esta expresión para de y de x junto con esta que tenemos que dice que y sobre x es igual a w. Vamos a utilizarlas para reconstruir esta expresión. Tenemos entonces de y de x que se cambia por esto que tenemos acá de w de x. Esto por x y eso más w. Entonces allí hemos cambiado este componente. Esto igual a y sobre x que es w más y sobre x que es w y eso elevado al exponente menos 1. En esta nueva igualdad vemos que w es un término positivo que está a los dos lados. O sea que podemos cancelarlo o eliminarlo. Y tendremos que w de x esto por x es igual a w elevado al exponente menos 1 que es igual a 1 sobre w. También aplicando propiedad de la potenciación. Allí vemos entonces la posibilidad de hacer separación de variables. Veamos cómo nos queda. Si multiplicamos en el lado izquierdo tendremos de w por x todo eso sobre de x. Recordemos que esta x tiene denominador 1. Entonces multiplicamos numeradores entre sí y denominadores entre sí. Y en el lado derecho tenemos 1 sobre w. Y aquí podemos aplicar producto en diagonal. Recordemos que cuando tenemos una igualdad de fracciones la multiplicación de estos dos elementos es igual a la multiplicación de estos otros dos. Entonces dw por x por w será igual a dx por 1. O sea simplemente dx. Y allí podemos dejar en el lado izquierdo dw por w. Y pasamos esta x al lado derecho nos queda como dx sobre x. Esto podemos reescribirlo como dw por dw en el lado izquierdo y acá como 1 sobre x por dx. Como decíamos ahora aquí ya logramos tener separación de variables. En el lado izquierdo la letra dw con su diferencial y en el lado derecho la variable x también con su respectivo diferencial. Entonces allí podemos integrar a ambos lados. Nos queda la integral de dw por su diferencial dw. Y en el lado derecho la integral de 1 sobre x por su diferencial dx. Ahora resolvemos cada una de las integrales. La del lado izquierdo nos queda dw al cuadrado sobre 2. Y la integral del lado derecho nos queda logaritmo natural de valor absoluto de x. Y aparece por primera vez la constante de integración para todo el ejercicio. De allí vamos a despejar dw al cuadrado. Pasamos entonces 2 que está dividiendo al otro lado a multiplicar. Tenemos 2 que multiplica a logaritmo natural de valor absoluto de x más c. Vamos a aplicar propiedad distributiva en el lado derecho. Tenemos 2 por logaritmo natural de valor absoluto de x más 2c. Y allí vamos a aplicar una propiedad de los logaritmos. Logaritmo natural de a elevada al exponente b. Esto es lo mismo que tener b por logaritmo natural de a. Si tenemos el logaritmo de una potencia el exponente pasa a multiplicar delante del logaritmo. Pasa de este lugar a ocupar este. Es decir multiplicando con logaritmo natural de a. Pues bien, esta propiedad la podemos aplicar en sentido contrario. Es lo que tenemos en este caso. 2 que está multiplicando. Puede localizarse acá como exponente. Entonces tenemos dw al cuadrado es igual a logaritmo natural de valor absoluto de x. Y esto elevado al cuadrado más 2 por c. Que puede convertirse en una nueva constante. C es constante si multiplica por el número 2. Otra constante entonces obtenemos una nueva constante c. Este valor absoluto que encierra la x. Lo que hace es garantizar que esto sea positivo. Pero recordemos que cualquier cantidad elevada al cuadrado será siempre positiva. Entonces es perfectamente elicito quitar las barras del valor absoluto. Dejar esto simplemente como logaritmo natural de x al cuadrado. Esto nos garantiza que el argumento de este logaritmo sea positivo. Y allí cuando vemos que no es posible hacer nada más. Cambiamos dw por su equivalente. Recordemos que dw es y sobre x. Entonces para reemplazar acá tenemos que elevar ambos lados al cuadrado. W al cuadrado será esta fracción toda elevada al cuadrado. Y eso nos queda y al cuadrado sobre x al cuadrado. Recordemos que el exponente afecta al numerador y al denominador. Entonces vamos a cambiar esto aquí. Tenemos entonces y al cuadrado sobre x al cuadrado. Igual al logaritmo natural de x al cuadrado y esto más c. Como decíamos se cambia dw al cuadrado por su expresión equivalente. Ahora podemos despejar y al cuadrado. Entonces pasamos x al cuadrado que está dividiendo al otro lado a multiplicar. Tenemos x al cuadrado que va a quedar multiplicando con esta expresión y que protegemos con paréntesis. Y de allí vamos a aplicar propiedad distributiva. Tenemos x al cuadrado por logaritmo natural de x al cuadrado. Y esto más x al cuadrado por c que podemos escribir como cx al cuadrado. De esta manera hemos llegado a la respuesta de este ejercicio. Esta expresión es lo que se llama la solución general de esa ecuación diferencial homogénea.

[{"start": 0.0, "end": 5.0, "text": " Vamos a encontrar la soluci\u00f3n general de esta ecuaci\u00f3n diferencial."}, {"start": 5.0, "end": 14.0, "text": " Si hacemos todos los intentos por lograr separaci\u00f3n de variables, vemos que por ese camino es totalmente in\u00fatil."}, {"start": 14.0, "end": 21.0, "text": " Entonces descartamos que esta sea una ecuaci\u00f3n diferencial de variables separables."}, {"start": 21.0, "end": 24.0, "text": " Vamos a utilizar entonces otra estrategia."}, {"start": 24.0, "end": 34.0, "text": " Tenemos una propiedad de la potenciaci\u00f3n que nos dice que si una fracci\u00f3n A sobre B est\u00e1 elevada al exponente menos N,"}, {"start": 34.0, "end": 41.0, "text": " esto ser\u00e1 igual a la fracci\u00f3n B sobre A elevada al exponente N."}, {"start": 41.0, "end": 46.0, "text": " Es decir, la fracci\u00f3n se invierte y el exponente cambia de signo."}, {"start": 46.0, "end": 60.0, "text": " Ahora bien, si cambiamos N por 1, entonces tenemos que A sobre B elevado al exponente menos 1 ser\u00e1 B sobre A,"}, {"start": 60.0, "end": 63.0, "text": " todo eso elevado al exponente 1."}, {"start": 63.0, "end": 67.0, "text": " Pero recordemos que el exponente 1 puede omitirse."}, {"start": 67.0, "end": 72.0, "text": " Entonces podemos desaparecerlo y tambi\u00e9n desaparecemos el par\u00e9ntesis."}, {"start": 72.0, "end": 79.0, "text": " Y nos queda que A sobre B, todo eso a la menos 1, es simplemente B sobre A."}, {"start": 79.0, "end": 82.0, "text": " Pues bien, tambi\u00e9n podemos devolvernos."}, {"start": 82.0, "end": 87.0, "text": " Es decir, que si tenemos una fracci\u00f3n as\u00ed, podemos expresarla de esta manera."}, {"start": 87.0, "end": 91.0, "text": " Y eso es lo que vamos a hacer con este componente."}, {"start": 91.0, "end": 96.0, "text": " Entonces, la ecuaci\u00f3n diferencial la reescribimos as\u00ed."}, {"start": 96.0, "end": 111.0, "text": " de y de x es igual a y sobre x m\u00e1s ac\u00e1 y sobre x y todo esto elevado al exponente menos 1, aplicando esta propiedad."}, {"start": 111.0, "end": 118.0, "text": " Aqu\u00ed ya podemos observar que de y de x est\u00e1 en t\u00e9rminos de y sobre x."}, {"start": 118.0, "end": 120.0, "text": " Eso lo podemos escribir de esta forma."}, {"start": 120.0, "end": 127.0, "text": " De y de x es una funci\u00f3n que depende de y sobre x."}, {"start": 127.0, "end": 137.0, "text": " Y cuando tenemos esta situaci\u00f3n, entonces decimos que esta es una ecuaci\u00f3n diferencial homog\u00e9nea."}, {"start": 137.0, "end": 143.0, "text": " Entonces vamos a resolver esta ecuaci\u00f3n diferencial."}, {"start": 143.0, "end": 151.0, "text": " Y para comenzar vamos a llamar y sobre x como una nueva variable."}, {"start": 151.0, "end": 155.0, "text": " Vamos a utilizar por ejemplo la letra w."}, {"start": 155.0, "end": 162.0, "text": " Entonces y sobre x ser\u00e1 w y de aqu\u00ed vamos a despejar y."}, {"start": 162.0, "end": 167.0, "text": " Tenemos entonces que y es igual a w por x."}, {"start": 167.0, "end": 176.0, "text": " Y por x que est\u00e1 dividiendo pasa al otro lado a multiplicar y esto lo vamos a derivar a ambos lados con respecto a x."}, {"start": 176.0, "end": 183.0, "text": " Al lado izquierdo nos queda de y de x derivada de y con respecto a x."}, {"start": 183.0, "end": 186.0, "text": " Y en el lado derecho tenemos un producto."}, {"start": 186.0, "end": 191.0, "text": " Entonces aplicamos la regla de derivaci\u00f3n para la multiplicaci\u00f3n."}, {"start": 191.0, "end": 203.0, "text": " Esto sea para el producto derivada del primer termino con respecto a x ser\u00e1 de w de x por el segundo termino sin derivar que es x."}, {"start": 203.0, "end": 213.0, "text": " Esto m\u00e1s el primer termino sin derivar que es w y eso por la derivada del segundo termino con respecto a x."}, {"start": 213.0, "end": 217.0, "text": " La derivada de x con respecto a ella misma ser\u00e1 1."}, {"start": 217.0, "end": 223.0, "text": " Entonces w por 1 podemos dejarlo simplemente como w."}, {"start": 223.0, "end": 232.0, "text": " Y esta expresi\u00f3n para de y de x junto con esta que tenemos que dice que y sobre x es igual a w."}, {"start": 232.0, "end": 238.0, "text": " Vamos a utilizarlas para reconstruir esta expresi\u00f3n."}, {"start": 238.0, "end": 246.0, "text": " Tenemos entonces de y de x que se cambia por esto que tenemos ac\u00e1 de w de x."}, {"start": 246.0, "end": 252.0, "text": " Esto por x y eso m\u00e1s w."}, {"start": 252.0, "end": 255.0, "text": " Entonces all\u00ed hemos cambiado este componente."}, {"start": 255.0, "end": 267.0, "text": " Esto igual a y sobre x que es w m\u00e1s y sobre x que es w y eso elevado al exponente menos 1."}, {"start": 267.0, "end": 275.0, "text": " En esta nueva igualdad vemos que w es un t\u00e9rmino positivo que est\u00e1 a los dos lados."}, {"start": 275.0, "end": 279.0, "text": " O sea que podemos cancelarlo o eliminarlo."}, {"start": 279.0, "end": 294.0, "text": " Y tendremos que w de x esto por x es igual a w elevado al exponente menos 1 que es igual a 1 sobre w."}, {"start": 294.0, "end": 298.0, "text": " Tambi\u00e9n aplicando propiedad de la potenciaci\u00f3n."}, {"start": 298.0, "end": 303.0, "text": " All\u00ed vemos entonces la posibilidad de hacer separaci\u00f3n de variables."}, {"start": 303.0, "end": 305.0, "text": " Veamos c\u00f3mo nos queda."}, {"start": 305.0, "end": 314.0, "text": " Si multiplicamos en el lado izquierdo tendremos de w por x todo eso sobre de x."}, {"start": 314.0, "end": 317.0, "text": " Recordemos que esta x tiene denominador 1."}, {"start": 317.0, "end": 322.0, "text": " Entonces multiplicamos numeradores entre s\u00ed y denominadores entre s\u00ed."}, {"start": 322.0, "end": 326.0, "text": " Y en el lado derecho tenemos 1 sobre w."}, {"start": 326.0, "end": 329.0, "text": " Y aqu\u00ed podemos aplicar producto en diagonal."}, {"start": 329.0, "end": 338.0, "text": " Recordemos que cuando tenemos una igualdad de fracciones la multiplicaci\u00f3n de estos dos elementos es igual a la multiplicaci\u00f3n de estos otros dos."}, {"start": 338.0, "end": 346.0, "text": " Entonces dw por x por w ser\u00e1 igual a dx por 1."}, {"start": 346.0, "end": 349.0, "text": " O sea simplemente dx."}, {"start": 349.0, "end": 355.0, "text": " Y all\u00ed podemos dejar en el lado izquierdo dw por w."}, {"start": 355.0, "end": 361.0, "text": " Y pasamos esta x al lado derecho nos queda como dx sobre x."}, {"start": 361.0, "end": 373.0, "text": " Esto podemos reescribirlo como dw por dw en el lado izquierdo y ac\u00e1 como 1 sobre x por dx."}, {"start": 373.0, "end": 378.0, "text": " Como dec\u00edamos ahora aqu\u00ed ya logramos tener separaci\u00f3n de variables."}, {"start": 378.0, "end": 387.0, "text": " En el lado izquierdo la letra dw con su diferencial y en el lado derecho la variable x tambi\u00e9n con su respectivo diferencial."}, {"start": 387.0, "end": 391.0, "text": " Entonces all\u00ed podemos integrar a ambos lados."}, {"start": 391.0, "end": 396.0, "text": " Nos queda la integral de dw por su diferencial dw."}, {"start": 396.0, "end": 405.0, "text": " Y en el lado derecho la integral de 1 sobre x por su diferencial dx."}, {"start": 405.0, "end": 409.0, "text": " Ahora resolvemos cada una de las integrales."}, {"start": 409.0, "end": 414.0, "text": " La del lado izquierdo nos queda dw al cuadrado sobre 2."}, {"start": 414.0, "end": 421.0, "text": " Y la integral del lado derecho nos queda logaritmo natural de valor absoluto de x."}, {"start": 421.0, "end": 427.0, "text": " Y aparece por primera vez la constante de integraci\u00f3n para todo el ejercicio."}, {"start": 427.0, "end": 432.0, "text": " De all\u00ed vamos a despejar dw al cuadrado."}, {"start": 432.0, "end": 437.0, "text": " Pasamos entonces 2 que est\u00e1 dividiendo al otro lado a multiplicar."}, {"start": 437.0, "end": 444.0, "text": " Tenemos 2 que multiplica a logaritmo natural de valor absoluto de x m\u00e1s c."}, {"start": 444.0, "end": 448.0, "text": " Vamos a aplicar propiedad distributiva en el lado derecho."}, {"start": 448.0, "end": 456.0, "text": " Tenemos 2 por logaritmo natural de valor absoluto de x m\u00e1s 2c."}, {"start": 456.0, "end": 460.0, "text": " Y all\u00ed vamos a aplicar una propiedad de los logaritmos."}, {"start": 460.0, "end": 464.0, "text": " Logaritmo natural de a elevada al exponente b."}, {"start": 464.0, "end": 468.0, "text": " Esto es lo mismo que tener b por logaritmo natural de a."}, {"start": 468.0, "end": 475.0, "text": " Si tenemos el logaritmo de una potencia el exponente pasa a multiplicar delante del logaritmo."}, {"start": 475.0, "end": 478.0, "text": " Pasa de este lugar a ocupar este."}, {"start": 478.0, "end": 482.0, "text": " Es decir multiplicando con logaritmo natural de a."}, {"start": 482.0, "end": 487.0, "text": " Pues bien, esta propiedad la podemos aplicar en sentido contrario."}, {"start": 487.0, "end": 491.0, "text": " Es lo que tenemos en este caso. 2 que est\u00e1 multiplicando."}, {"start": 491.0, "end": 494.0, "text": " Puede localizarse ac\u00e1 como exponente."}, {"start": 494.0, "end": 501.0, "text": " Entonces tenemos dw al cuadrado es igual a logaritmo natural de valor absoluto de x."}, {"start": 501.0, "end": 504.0, "text": " Y esto elevado al cuadrado m\u00e1s 2 por c."}, {"start": 504.0, "end": 507.0, "text": " Que puede convertirse en una nueva constante."}, {"start": 507.0, "end": 511.0, "text": " C es constante si multiplica por el n\u00famero 2."}, {"start": 511.0, "end": 517.0, "text": " Otra constante entonces obtenemos una nueva constante c."}, {"start": 517.0, "end": 521.0, "text": " Este valor absoluto que encierra la x."}, {"start": 521.0, "end": 525.0, "text": " Lo que hace es garantizar que esto sea positivo."}, {"start": 525.0, "end": 530.0, "text": " Pero recordemos que cualquier cantidad elevada al cuadrado ser\u00e1 siempre positiva."}, {"start": 530.0, "end": 536.0, "text": " Entonces es perfectamente elicito quitar las barras del valor absoluto."}, {"start": 536.0, "end": 542.0, "text": " Dejar esto simplemente como logaritmo natural de x al cuadrado."}, {"start": 542.0, "end": 547.0, "text": " Esto nos garantiza que el argumento de este logaritmo sea positivo."}, {"start": 547.0, "end": 551.0, "text": " Y all\u00ed cuando vemos que no es posible hacer nada m\u00e1s."}, {"start": 551.0, "end": 555.0, "text": " Cambiamos dw por su equivalente."}, {"start": 555.0, "end": 558.0, "text": " Recordemos que dw es y sobre x."}, {"start": 558.0, "end": 563.0, "text": " Entonces para reemplazar ac\u00e1 tenemos que elevar ambos lados al cuadrado."}, {"start": 563.0, "end": 568.0, "text": " W al cuadrado ser\u00e1 esta fracci\u00f3n toda elevada al cuadrado."}, {"start": 568.0, "end": 573.0, "text": " Y eso nos queda y al cuadrado sobre x al cuadrado."}, {"start": 573.0, "end": 578.0, "text": " Recordemos que el exponente afecta al numerador y al denominador."}, {"start": 578.0, "end": 582.0, "text": " Entonces vamos a cambiar esto aqu\u00ed."}, {"start": 582.0, "end": 588.0, "text": " Tenemos entonces y al cuadrado sobre x al cuadrado."}, {"start": 588.0, "end": 596.0, "text": " Igual al logaritmo natural de x al cuadrado y esto m\u00e1s c."}, {"start": 596.0, "end": 602.0, "text": " Como dec\u00edamos se cambia dw al cuadrado por su expresi\u00f3n equivalente."}, {"start": 602.0, "end": 606.0, "text": " Ahora podemos despejar y al cuadrado."}, {"start": 606.0, "end": 612.0, "text": " Entonces pasamos x al cuadrado que est\u00e1 dividiendo al otro lado a multiplicar."}, {"start": 612.0, "end": 620.0, "text": " Tenemos x al cuadrado que va a quedar multiplicando con esta expresi\u00f3n y que protegemos con par\u00e9ntesis."}, {"start": 620.0, "end": 625.0, "text": " Y de all\u00ed vamos a aplicar propiedad distributiva."}, {"start": 625.0, "end": 631.0, "text": " Tenemos x al cuadrado por logaritmo natural de x al cuadrado."}, {"start": 631.0, "end": 640.0, "text": " Y esto m\u00e1s x al cuadrado por c que podemos escribir como cx al cuadrado."}, {"start": 640.0, "end": 647.0, "text": " De esta manera hemos llegado a la respuesta de este ejercicio."}, {"start": 647.0, "end": 670.0, "text": " Esta expresi\u00f3n es lo que se llama la soluci\u00f3n general de esa ecuaci\u00f3n diferencial homog\u00e9nea."}]

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LÍMITES ALGEBRAICOS - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo resolver el límite de una función algebraica. Tema: #Límites → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEeindtt3TarvkVHRDmqNTf REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver este límite donde necesitamos averiguar qué le sucede a esta función cuando x se aproxima a 0. Lo primero que tenemos que hacer es evaluar esta expresión en este número, es decir que vamos a reemplazar x por el número 0. Entonces escribimos la expresión y donde tenemos la letra x vamos a sustituir allí el número 0 y vamos a resolver esas operaciones. Aquí tenemos 0 más 2 que nos da como resultado 2, entonces escribimos ese resultado y tenemos acá en el numerador 1 medio menos 1 medio que nos da 0. Y en el denominador también tenemos 0. Llegamos entonces a lo que se conoce en cálculo como una indeterminación o también conocida como forma indeterminada. 0 sobre 0 no es un resultado aceptable para un límite, entonces esto constituye una señal de alerta que nos indica que hay que hacerle algo a esta expresión para superar este inconveniente. Lo que vamos a hacer en esta ocasión es resolver todas estas operaciones. Entonces tenemos límite cuando x tiende a 0 y acá en el numerador vamos a efectuar la resta de fracciones que observamos allí. Es una resta de fracciones heterogéneas, o sea fracciones con distinto denominador. Vamos a recordar cómo se hace eso. Aquí tenemos dos fracciones heterogéneas, entonces hacemos lo siguiente, abajo multiplicamos los denominadores b por d, arriba tenemos a por d y esto menos b por c. Esto es lo que se conoce con el nombre de la carita feliz. Veamos b por d, aquí tenemos eso en el denominador, a por d este componente y b por c el otro componente. Por la forma de esas líneas se dice que esto es el método de la carita feliz. Entonces vamos a utilizarlo para resolver esa resta. Aquí tenemos x más 2 por 2, entonces escribimos x más 2 entre paréntesis porque eso va a multiplicar con 2. Acá tenemos 1 por 2 que es 2 menos x más 2 por 1 que nos da como resultado x más 2. También se requiere proteger con paréntesis x más 2 porque es una expresión que está precedida de signo negativo. Y todo esto nos queda sobre x. Vamos a continuar el ejercicio por acá donde tenemos límite cuando x tiende a 0. Y aquí vamos a destruir el paréntesis, nos queda entonces 2 menos x menos 2. El signo negativo se distribuye y nos cambia los signos de estos dos términos, ambos quedan negativos. Eso nos queda sobre x más 2 por 2, dejamos esa expresión intacta, no es necesario desarrollar ese producto. Y todo eso lo tenemos a su vez sobre x. Vamos a continuar acá, tenemos límite cuando x tiende a 0. Y acá vamos a efectuar la operación de estos dos números, 2 menos 2 nos da como resultado 0. O sea que podemos eliminar esos números. Nos queda únicamente menos x sobre x más 2 por 2 y todo eso sobre x. Aquí vamos a escribirle denominador 1 a esta x que tenemos debajo de la línea principal. Vamos a continuar por acá, tendremos límite cuando x tiende a 0. Y vamos a aplicar lo que se conoce como la ley de la oreja o también el producto de extremos y el producto de medios. La parte externa, es decir, menos x por 1 se escribe en el numerador de la fracción. Eso nos da como resultado menos x. Y acá en el denominador escribimos la multiplicación de los componentes que están en medio, o sea la multiplicación de los medios. Eso nos queda entonces, x más 2 por 2 y eso por x. Aquí podemos hacer un cambio con menos x. Podemos escribir esto como menos 1 por x. Es exactamente lo mismo y se observa que es posible cancelar esta x. Esta x constituye en el ejercicio el elemento problema. Era el causante del 0 sobre 0 que veíamos al comienzo. Como x tiende a 0, entonces aquí tenemos el que estaba ocasionando 0 en el numerador y 0 en el denominador. Entonces tendremos límite cuando x tiende a 0 de menos 1 sobre x más 2 por 2. Como aquí ya tenemos la tranquilidad de haber eliminado el causante del 0 sobre 0, entonces procedemos a evaluar esta expresión cuando x toma el valor 0. Eso nos queda menos 1 sobre 0 más 2 es 2 y 2 por 2 es 4. Entonces menos 1 cuarto será el resultado de este ejercicio. Significa que cuando en esta función x se aproxima o tiende al valor 0, entonces los valores de y, o sea los valores de la función tienden al valor menos 1 cuarto.

[{"start": 0.0, "end": 9.200000000000001, "text": " Vamos a resolver este l\u00edmite donde necesitamos averiguar qu\u00e9 le sucede a esta funci\u00f3n cuando x se aproxima a 0."}, {"start": 9.200000000000001, "end": 19.6, "text": " Lo primero que tenemos que hacer es evaluar esta expresi\u00f3n en este n\u00famero, es decir que vamos a reemplazar x por el n\u00famero 0."}, {"start": 19.6, "end": 34.800000000000004, "text": " Entonces escribimos la expresi\u00f3n y donde tenemos la letra x vamos a sustituir all\u00ed el n\u00famero 0 y vamos a resolver esas operaciones."}, {"start": 34.800000000000004, "end": 48.400000000000006, "text": " Aqu\u00ed tenemos 0 m\u00e1s 2 que nos da como resultado 2, entonces escribimos ese resultado y tenemos ac\u00e1 en el numerador 1 medio menos 1 medio que nos da 0."}, {"start": 48.4, "end": 52.8, "text": " Y en el denominador tambi\u00e9n tenemos 0."}, {"start": 52.8, "end": 66.4, "text": " Llegamos entonces a lo que se conoce en c\u00e1lculo como una indeterminaci\u00f3n o tambi\u00e9n conocida como forma indeterminada."}, {"start": 66.4, "end": 84.0, "text": " 0 sobre 0 no es un resultado aceptable para un l\u00edmite, entonces esto constituye una se\u00f1al de alerta que nos indica que hay que hacerle algo a esta expresi\u00f3n para superar este inconveniente."}, {"start": 84.0, "end": 89.60000000000001, "text": " Lo que vamos a hacer en esta ocasi\u00f3n es resolver todas estas operaciones."}, {"start": 89.6, "end": 100.8, "text": " Entonces tenemos l\u00edmite cuando x tiende a 0 y ac\u00e1 en el numerador vamos a efectuar la resta de fracciones que observamos all\u00ed."}, {"start": 100.8, "end": 106.8, "text": " Es una resta de fracciones heterog\u00e9neas, o sea fracciones con distinto denominador."}, {"start": 106.8, "end": 110.0, "text": " Vamos a recordar c\u00f3mo se hace eso."}, {"start": 110.0, "end": 126.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos dos fracciones heterog\u00e9neas, entonces hacemos lo siguiente, abajo multiplicamos los denominadores b por d, arriba tenemos a por d y esto menos b por c."}, {"start": 126.0, "end": 130.4, "text": " Esto es lo que se conoce con el nombre de la carita feliz."}, {"start": 130.4, "end": 140.0, "text": " Veamos b por d, aqu\u00ed tenemos eso en el denominador, a por d este componente y b por c el otro componente."}, {"start": 140.0, "end": 146.0, "text": " Por la forma de esas l\u00edneas se dice que esto es el m\u00e9todo de la carita feliz."}, {"start": 146.0, "end": 152.0, "text": " Entonces vamos a utilizarlo para resolver esa resta."}, {"start": 152.0, "end": 163.6, "text": " Aqu\u00ed tenemos x m\u00e1s 2 por 2, entonces escribimos x m\u00e1s 2 entre par\u00e9ntesis porque eso va a multiplicar con 2."}, {"start": 163.6, "end": 173.6, "text": " Ac\u00e1 tenemos 1 por 2 que es 2 menos x m\u00e1s 2 por 1 que nos da como resultado x m\u00e1s 2."}, {"start": 173.6, "end": 183.2, "text": " Tambi\u00e9n se requiere proteger con par\u00e9ntesis x m\u00e1s 2 porque es una expresi\u00f3n que est\u00e1 precedida de signo negativo."}, {"start": 183.2, "end": 189.2, "text": " Y todo esto nos queda sobre x."}, {"start": 189.2, "end": 200.0, "text": " Vamos a continuar el ejercicio por ac\u00e1 donde tenemos l\u00edmite cuando x tiende a 0."}, {"start": 200.0, "end": 208.0, "text": " Y aqu\u00ed vamos a destruir el par\u00e9ntesis, nos queda entonces 2 menos x menos 2."}, {"start": 208.0, "end": 216.8, "text": " El signo negativo se distribuye y nos cambia los signos de estos dos t\u00e9rminos, ambos quedan negativos."}, {"start": 216.8, "end": 228.8, "text": " Eso nos queda sobre x m\u00e1s 2 por 2, dejamos esa expresi\u00f3n intacta, no es necesario desarrollar ese producto."}, {"start": 228.8, "end": 238.4, "text": " Y todo eso lo tenemos a su vez sobre x. Vamos a continuar ac\u00e1, tenemos l\u00edmite cuando x tiende a 0."}, {"start": 238.4, "end": 246.0, "text": " Y ac\u00e1 vamos a efectuar la operaci\u00f3n de estos dos n\u00fameros, 2 menos 2 nos da como resultado 0."}, {"start": 246.0, "end": 248.8, "text": " O sea que podemos eliminar esos n\u00fameros."}, {"start": 248.8, "end": 264.8, "text": " Nos queda \u00fanicamente menos x sobre x m\u00e1s 2 por 2 y todo eso sobre x."}, {"start": 264.8, "end": 272.8, "text": " Aqu\u00ed vamos a escribirle denominador 1 a esta x que tenemos debajo de la l\u00ednea principal."}, {"start": 272.8, "end": 280.8, "text": " Vamos a continuar por ac\u00e1, tendremos l\u00edmite cuando x tiende a 0."}, {"start": 280.8, "end": 290.8, "text": " Y vamos a aplicar lo que se conoce como la ley de la oreja o tambi\u00e9n el producto de extremos y el producto de medios."}, {"start": 290.8, "end": 297.6, "text": " La parte externa, es decir, menos x por 1 se escribe en el numerador de la fracci\u00f3n."}, {"start": 297.6, "end": 301.6, "text": " Eso nos da como resultado menos x."}, {"start": 301.6, "end": 311.6, "text": " Y ac\u00e1 en el denominador escribimos la multiplicaci\u00f3n de los componentes que est\u00e1n en medio, o sea la multiplicaci\u00f3n de los medios."}, {"start": 311.6, "end": 321.6, "text": " Eso nos queda entonces, x m\u00e1s 2 por 2 y eso por x."}, {"start": 321.6, "end": 330.8, "text": " Aqu\u00ed podemos hacer un cambio con menos x. Podemos escribir esto como menos 1 por x."}, {"start": 330.8, "end": 337.6, "text": " Es exactamente lo mismo y se observa que es posible cancelar esta x."}, {"start": 337.6, "end": 341.6, "text": " Esta x constituye en el ejercicio el elemento problema."}, {"start": 341.6, "end": 346.8, "text": " Era el causante del 0 sobre 0 que ve\u00edamos al comienzo."}, {"start": 346.8, "end": 355.6, "text": " Como x tiende a 0, entonces aqu\u00ed tenemos el que estaba ocasionando 0 en el numerador y 0 en el denominador."}, {"start": 355.6, "end": 372.8, "text": " Entonces tendremos l\u00edmite cuando x tiende a 0 de menos 1 sobre x m\u00e1s 2 por 2."}, {"start": 372.8, "end": 380.8, "text": " Como aqu\u00ed ya tenemos la tranquilidad de haber eliminado el causante del 0 sobre 0,"}, {"start": 380.8, "end": 387.6, "text": " entonces procedemos a evaluar esta expresi\u00f3n cuando x toma el valor 0."}, {"start": 387.6, "end": 395.6, "text": " Eso nos queda menos 1 sobre 0 m\u00e1s 2 es 2 y 2 por 2 es 4."}, {"start": 395.6, "end": 401.6, "text": " Entonces menos 1 cuarto ser\u00e1 el resultado de este ejercicio."}, {"start": 401.6, "end": 411.6, "text": " Significa que cuando en esta funci\u00f3n x se aproxima o tiende al valor 0, entonces los valores de y,"}, {"start": 411.6, "end": 439.6, "text": " o sea los valores de la funci\u00f3n tienden al valor menos 1 cuarto."}]

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DERIVACIÓN DE FUNCIONES - Ejercicio 18

#julioprofe explica cómo hallar la #derivada de una función utilizando la regla de la cadena. Tema: #Derivadas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwF9r-Y_Gpuq45VP0qnJIJL1 REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Para esta función f de x vamos a determinar la expresión que corresponde a su primera derivada, o sea lo que se denota como f' de x. Lo primero que debemos hacer allí es identificar qué es lo que controla a la función, es decir, si se trata de la función tangente, o del exponente 3, o de esto que tenemos en el paréntesis, que es una función exponencial con base 2. Entonces lo recomendable para identificar correctamente el camino a seguir en el proceso de derivación es reescribir la función. Para eso vamos a abrir corchete, escribimos dentro de él lo que es tangente de 2 elevado al exponente 5x a la 4, cerramos el corchete y escribimos por fuera de él el exponente 3. Entonces allí observamos que lo que controla o gobierna inicialmente la función es este exponente, o sea que tenemos allí una potencia. Comenzamos así el proceso de derivación. Entonces tendremos f' de x por primera vez. Y como decíamos aquí lo más importante es una potencia. Entonces debemos utilizar lo que se llama la regla de la cadena para potencias. Vamos a recordarla por acá. Si tenemos manzanita elevada al exponente n, su derivada será n por manzanita elevada al exponente n-1, y esto multiplicado por la derivada de la manzanita, o sea lo que se conoce como la derivada interna. En este caso la manzanita es todo esto que tenemos dentro del corchete y n está representada por el número 3. Entonces siguiendo esta instrucción que se llama la regla de la cadena para potencias vamos a iniciar el proceso de derivación. Comenzamos con n que es 3, esto multiplica a la manzanita que es tangente de 2 elevado al exponente 5x a la 4, y todo eso elevado al exponente n-1, o sea 3-1 que es 2. Y esto multiplicado por la derivada interna o la derivada de la manzanita. En este caso se trata la derivada de todo eso y vamos a dejarlo expresado o indicado. Entonces el corchete y la comita por fuera, la que nos está diciendo que queda pendiente derivar este componente. Como paso siguiente tendremos f' de x igual a 3 por esta expresión que ya no va a presentar ninguna modificación. Entonces la podemos escribir así, tangente al cuadrado de 2 elevado al exponente 5x a la 4. Tal como se observa en la función inicial cuando el 3 o el exponente está aquí como arriba y a la derecha de la función trigonométrica, en este caso tangente, quiere decir que está afectando a dicha función. Entonces podemos devolvernos, es lo que está sucediendo aquí. Este 2 puede ocupar perfectamente este lugar y representa exactamente lo mismo. Pasamos ahora a derivar esta expresión, aquí tenemos que lo que gobierna es la función tangente. Vamos a recordar acá cómo se deriva tangente de la manzanita. En este caso la manzanita es esto que tenemos dentro del paréntesis. Derivada de la tangente de la manzanita será secante al cuadrado de la manzanita por la derivada de la manzanita, o sea por la derivada interna o en este caso la derivada del ángulo. Entonces para esta expresión su derivada será secante al cuadrado de 2 elevado al exponente 5x a la 4 y todo esto multiplicado por la derivada de la manzanita, o sea la derivada de esa pequeña función exponencial y vamos a dejarla expresada o indicada para realizarla en el siguiente paso. F' nos queda ahora de la siguiente forma, 3 que multiplica a este componente tangente al cuadrado de 2 elevado al exponente 5x a la 4, eso por secante al cuadrado de 2 elevado al exponente 5x a la 4 y vamos a ver cómo se deriva esa función exponencial. El modelo dice así, si tenemos a elevada a la manzanita, esa es una función exponencial, a está representada por 2 y la manzanita es 5x a la 4, entonces su derivada se construye así, es a la manzanita por logaritmo natural de a por la derivada de la manzanita, o sea por la derivada de lo que tenemos en el exponente. Entonces siguiendo esta instrucción vamos a derivar esto que nos falta aquí, tendremos a la manzanita, o sea 2 elevado al exponente 5x a la 4 por logaritmo natural de a, o sea logaritmo natural de 2 por la derivada de la manzanita, en este caso sería la derivada de 5x a la 4. Esta última derivada, la que nos falta por desarrollar ya corresponde a una derivada de las más sencillas, tenemos que la derivada de 5x a la 4 será 4 por 5 que es 20 por x al cubo, baja el exponente a multiplicar con el coeficiente 4 por 5 y acá a este exponente le restamos una unidad, por esa razón nos queda 20x al cubo, y lo que hacemos enseguida ya es dar la respuesta en su forma más sencilla, veamos entonces cómo nos queda, cómo la podemos organizar para que nos quede en una forma más compacta. Podríamos efectuar la multiplicación de 3 con este componente 20x al cubo, eso nos queda 60x al cubo, podríamos continuar con este componente que es 2 elevado al exponente 5x a la 4, luego seguimos con el logaritmo natural de 2 y por último anotamos los componentes trigonométricos que son tangente al cuadrado de 2 elevado al exponente 5x a la 4 por secante al cuadrado de 2 elevado al exponente 5x a la 4, entonces allí tenemos que toda esa expresión es la respuesta al ejercicio inicial, esto es la derivada de esa función f de x.

[{"start": 0.0, "end": 12.64, "text": " Para esta funci\u00f3n f de x vamos a determinar la expresi\u00f3n que corresponde a su primera derivada, o sea lo que se denota como f' de x."}, {"start": 12.64, "end": 22.64, "text": " Lo primero que debemos hacer all\u00ed es identificar qu\u00e9 es lo que controla a la funci\u00f3n, es decir, si se trata de la funci\u00f3n tangente,"}, {"start": 22.64, "end": 31.04, "text": " o del exponente 3, o de esto que tenemos en el par\u00e9ntesis, que es una funci\u00f3n exponencial con base 2."}, {"start": 31.04, "end": 41.28, "text": " Entonces lo recomendable para identificar correctamente el camino a seguir en el proceso de derivaci\u00f3n es reescribir la funci\u00f3n."}, {"start": 41.28, "end": 51.6, "text": " Para eso vamos a abrir corchete, escribimos dentro de \u00e9l lo que es tangente de 2 elevado al exponente 5x a la 4,"}, {"start": 51.6, "end": 57.52, "text": " cerramos el corchete y escribimos por fuera de \u00e9l el exponente 3."}, {"start": 57.52, "end": 68.8, "text": " Entonces all\u00ed observamos que lo que controla o gobierna inicialmente la funci\u00f3n es este exponente, o sea que tenemos all\u00ed una potencia."}, {"start": 68.8, "end": 72.56, "text": " Comenzamos as\u00ed el proceso de derivaci\u00f3n."}, {"start": 74.56, "end": 79.2, "text": " Entonces tendremos f' de x por primera vez."}, {"start": 79.2, "end": 83.76, "text": " Y como dec\u00edamos aqu\u00ed lo m\u00e1s importante es una potencia."}, {"start": 83.76, "end": 89.2, "text": " Entonces debemos utilizar lo que se llama la regla de la cadena para potencias."}, {"start": 89.2, "end": 91.2, "text": " Vamos a recordarla por ac\u00e1."}, {"start": 91.2, "end": 102.08, "text": " Si tenemos manzanita elevada al exponente n, su derivada ser\u00e1 n por manzanita elevada al exponente n-1,"}, {"start": 102.08, "end": 109.44, "text": " y esto multiplicado por la derivada de la manzanita, o sea lo que se conoce como la derivada interna."}, {"start": 109.44, "end": 118.24, "text": " En este caso la manzanita es todo esto que tenemos dentro del corchete y n est\u00e1 representada por el n\u00famero 3."}, {"start": 118.24, "end": 126.96, "text": " Entonces siguiendo esta instrucci\u00f3n que se llama la regla de la cadena para potencias vamos a iniciar el proceso de derivaci\u00f3n."}, {"start": 126.96, "end": 141.2, "text": " Comenzamos con n que es 3, esto multiplica a la manzanita que es tangente de 2 elevado al exponente 5x a la 4,"}, {"start": 141.2, "end": 147.35999999999999, "text": " y todo eso elevado al exponente n-1, o sea 3-1 que es 2."}, {"start": 147.35999999999999, "end": 153.04, "text": " Y esto multiplicado por la derivada interna o la derivada de la manzanita."}, {"start": 153.04, "end": 161.12, "text": " En este caso se trata la derivada de todo eso y vamos a dejarlo expresado o indicado."}, {"start": 161.12, "end": 172.07999999999998, "text": " Entonces el corchete y la comita por fuera, la que nos est\u00e1 diciendo que queda pendiente derivar este componente."}, {"start": 172.08, "end": 185.52, "text": " Como paso siguiente tendremos f' de x igual a 3 por esta expresi\u00f3n que ya no va a presentar ninguna modificaci\u00f3n."}, {"start": 185.52, "end": 195.04000000000002, "text": " Entonces la podemos escribir as\u00ed, tangente al cuadrado de 2 elevado al exponente 5x a la 4."}, {"start": 195.04, "end": 204.07999999999998, "text": " Tal como se observa en la funci\u00f3n inicial cuando el 3 o el exponente est\u00e1 aqu\u00ed como arriba y a la derecha de la funci\u00f3n trigonom\u00e9trica,"}, {"start": 204.07999999999998, "end": 208.72, "text": " en este caso tangente, quiere decir que est\u00e1 afectando a dicha funci\u00f3n."}, {"start": 208.72, "end": 212.56, "text": " Entonces podemos devolvernos, es lo que est\u00e1 sucediendo aqu\u00ed."}, {"start": 212.56, "end": 219.44, "text": " Este 2 puede ocupar perfectamente este lugar y representa exactamente lo mismo."}, {"start": 219.44, "end": 227.52, "text": " Pasamos ahora a derivar esta expresi\u00f3n, aqu\u00ed tenemos que lo que gobierna es la funci\u00f3n tangente."}, {"start": 227.52, "end": 233.12, "text": " Vamos a recordar ac\u00e1 c\u00f3mo se deriva tangente de la manzanita."}, {"start": 233.12, "end": 239.12, "text": " En este caso la manzanita es esto que tenemos dentro del par\u00e9ntesis."}, {"start": 239.12, "end": 249.68, "text": " Derivada de la tangente de la manzanita ser\u00e1 secante al cuadrado de la manzanita por la derivada de la manzanita,"}, {"start": 249.68, "end": 255.6, "text": " o sea por la derivada interna o en este caso la derivada del \u00e1ngulo."}, {"start": 255.6, "end": 272.8, "text": " Entonces para esta expresi\u00f3n su derivada ser\u00e1 secante al cuadrado de 2 elevado al exponente 5x a la 4 y todo esto multiplicado por la derivada de la manzanita,"}, {"start": 272.8, "end": 286.56, "text": " o sea la derivada de esa peque\u00f1a funci\u00f3n exponencial y vamos a dejarla expresada o indicada para realizarla en el siguiente paso."}, {"start": 286.56, "end": 304.8, "text": " F' nos queda ahora de la siguiente forma, 3 que multiplica a este componente tangente al cuadrado de 2 elevado al exponente 5x a la 4,"}, {"start": 304.8, "end": 319.52000000000004, "text": " eso por secante al cuadrado de 2 elevado al exponente 5x a la 4 y vamos a ver c\u00f3mo se deriva esa funci\u00f3n exponencial."}, {"start": 319.52000000000004, "end": 332.96000000000004, "text": " El modelo dice as\u00ed, si tenemos a elevada a la manzanita, esa es una funci\u00f3n exponencial, a est\u00e1 representada por 2 y la manzanita es 5x a la 4,"}, {"start": 332.96, "end": 348.88, "text": " entonces su derivada se construye as\u00ed, es a la manzanita por logaritmo natural de a por la derivada de la manzanita, o sea por la derivada de lo que tenemos en el exponente."}, {"start": 348.88, "end": 364.48, "text": " Entonces siguiendo esta instrucci\u00f3n vamos a derivar esto que nos falta aqu\u00ed, tendremos a la manzanita, o sea 2 elevado al exponente 5x a la 4 por logaritmo natural de a,"}, {"start": 364.48, "end": 377.68, "text": " o sea logaritmo natural de 2 por la derivada de la manzanita, en este caso ser\u00eda la derivada de 5x a la 4."}, {"start": 377.68, "end": 396.24, "text": " Esta \u00faltima derivada, la que nos falta por desarrollar ya corresponde a una derivada de las m\u00e1s sencillas, tenemos que la derivada de 5x a la 4 ser\u00e1 4 por 5 que es 20 por x al cubo,"}, {"start": 396.24, "end": 409.36, "text": " baja el exponente a multiplicar con el coeficiente 4 por 5 y ac\u00e1 a este exponente le restamos una unidad, por esa raz\u00f3n nos queda 20x al cubo,"}, {"start": 409.36, "end": 423.36, "text": " y lo que hacemos enseguida ya es dar la respuesta en su forma m\u00e1s sencilla, veamos entonces c\u00f3mo nos queda, c\u00f3mo la podemos organizar para que nos quede en una forma m\u00e1s compacta."}, {"start": 423.36, "end": 442.40000000000003, "text": " Podr\u00edamos efectuar la multiplicaci\u00f3n de 3 con este componente 20x al cubo, eso nos queda 60x al cubo, podr\u00edamos continuar con este componente que es 2 elevado al exponente 5x a la 4,"}, {"start": 442.4, "end": 457.59999999999997, "text": " luego seguimos con el logaritmo natural de 2 y por \u00faltimo anotamos los componentes trigonom\u00e9tricos que son tangente al cuadrado de 2 elevado al exponente 5x a la 4"}, {"start": 457.6, "end": 481.04, "text": " por secante al cuadrado de 2 elevado al exponente 5x a la 4, entonces all\u00ed tenemos que toda esa expresi\u00f3n es la respuesta al ejercicio inicial, esto es la derivada de esa funci\u00f3n f de x."}]

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CÓMO SE CLASIFICAN LOS TRIÁNGULOS

#julioprofe explica cómo se clasifican los triángulos, según sus ángulos y según sus lados. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Reciban todos un cordial saludo. En esta ocasión vamos a ver cómo se clasifican los triángulos. Antes de empezar de lleno, vamos a recordar algunos conceptos importantes. Para dibujar un triángulo, marcamos tres puntos que no estén alineados entre sí, es decir, que no sean colineales. Y los conectamos con segmentos de recta utilizando una regla o una escuadra. Los tres puntos se nombran o se denotan con letras mayúsculas. Por ejemplo, allí tenemos el triángulo ABC que se representa de esta manera. Triángulo ABC. Tenemos tres ángulos, tres ángulos interiores o internos. Vamos a simbolizarlos con estas marcas. Y en los triángulos se cumple una propiedad que dice que la suma de esas tres medidas, es decir, la medida del ángulo A más la medida del ángulo B más la medida del ángulo C, da como resultado 180 grados. Es una propiedad que se cumple en todos los triángulos. Bien, ahora sí pasemos a ver cómo se clasifican los triángulos. La clasificación de los triángulos puede hacerse de dos maneras. Según la medida de sus ángulos y según la longitud de sus lados. Vamos a ver cada una de las dos clasificaciones. Según la medida de sus ángulos, los triángulos se clasifican en tres categorías. Tenemos triángulo acutángulo, triángulo rectángulo y triángulo obtusángulo. Veamos cada uno de ellos. En el primer caso, el triángulo acutángulo se caracteriza porque sus tres ángulos son agudos, es decir, que sus medidas son menores de 90 grados. Si en esta figura medimos los tres ángulos utilizando el transportador, tenemos los siguientes valores. Este ángulo mide 53 grados, este tiene una medida de 59 grados, entonces podemos colocarle una marca diferente y este otro tiene una medida de 68 grados. Por esa razón le colocamos también una marca distinta, de esa manera estamos indicando que los tres ángulos tienen distinta medida y como se observa todas son menores de 90 grados, entonces tenemos allí ángulos agudos y es la razón por la que este triángulo se clasifica como triángulo acutángulo. El triángulo rectángulo se caracteriza porque tiene un ángulo de 90 grados, o sea, un ángulo recto y este se simboliza con un cuadrito, este que tenemos aquí en la esquina, entonces esto quiere decir que allí garantizado tenemos un ángulo recto, o sea, de 90 grados y los otros dos ángulos son agudos, por ejemplo, este tiene una medida de 40 grados y este de acá arriba tiene una medida de 50 grados. Entonces para diferenciarlos vamos a colocarles marcas propias para cada ángulo, de tal manera que simbolicemos que todos tienen distinta medida. El triángulo obtusángulo es aquel que tiene un ángulo obtuso y los otros dos son agudos, el ángulo obtuso es este amplio que tenemos aquí, cuya medida es mayor de 90 grados pero menor que 180 grados, en este caso por ejemplo tenemos que este ángulo mide 112 grados y como decíamos los otros dos ángulos son agudos, o sea, que sus medidas son menores de 90 grados, este por ejemplo mide 36 grados y este que tenemos arriba tiene una medida de 32 grados. De nuevo se observan marcas diferentes porque las medidas de los ángulos también son diferentes. En todos estos tres triángulos se cumple la propiedad que citábamos anteriormente, si sumamos los ángulos en cada uno de ellos tendremos siempre como resultado 180 grados, que es la propiedad que cumplen todos los triángulos. Bien, ahora según la longitud de los lados podemos tener tres tipos de triángulo, triángulo escaleno, triángulo isósceles y triángulo equilátero, vamos a ver las características de cada uno. El triángulo escaleno se distingue porque los lados son de diferente medida, entonces para denotar eso podemos colocarle estas marquitas todas diferentes entre sí, y una consecuencia de tener lados de diferente longitud es que los ángulos también serán de diferente medida, entonces tenemos que este ángulo mide 55 grados, este que tenemos acá tiene una medida de 45 grados, y este tiene una medida de 80 grados. Si hacemos la suma de estos tres valores tenemos que el resultado es 180 grados, tal como veíamos anteriormente y que es la propiedad que cumplen todos los triángulos. Aquí también se presenta una característica bien especial y es que al mayor lado se opone el mayor ángulo, vemos que el lado que tiene las tres marquitas es el de mayor longitud y a él se opone el ángulo de mayor medida, de igual forma el lado más corto que es el que tiene las dos marquitas tiene al frente el ángulo de menor medida que es el de 45 grados, entonces es una propiedad que se cumple también en todos los triángulos. El triángulo isósceles se caracteriza porque tiene dos lados iguales, entonces eso lo vamos a señalar utilizando la misma marquita para los lados que tienen igual longitud, el lado diferente lo señalamos con una marca distinta, también se cumple que a los lados de igual longitud se oponen ángulos de la misma medida, por ejemplo en este caso este ángulo mide 74 grados y es exactamente igual a este que también mide 74 grados, el ángulo que tenemos en la parte superior mide 32 grados, algo que se acostumbra decir en los triángulos isósceles es que los ángulos de la base son iguales, tal como se observa en este caso donde el triángulo descansa sobre el lado de diferente longitud, en este caso este lado marcado con una sola rayita hace el papel de la base y por eso se dice que los ángulos de la base en un triángulo isósceles son iguales. El triángulo equilátero se caracteriza porque tiene los lados iguales, o sea que todos tienen la misma longitud, precisamente la palabra equilátero quiere decir igual lado, entonces vamos a señalar eso colocándole a los tres lados la misma marquita, esto es un triángulo equilátero y también se sigue cumpliendo que los ángulos opuestos serán de la misma medida, entonces vamos a señalarlos con la misma marca y como ellos tienen que sumar entre sí 180 grados y son ángulos iguales entonces cada uno mide 60 grados, 180 grados dividido entre tres nos da 60 grados que es lo que corresponde a cada ángulo. Por tener los ángulos de la misma medida el triángulo equilátero también se conoce con el nombre de triángulo equiángulo. Bien con esto hemos terminado, hemos visto entonces que los triángulos se pueden clasificar según la medida de sus ángulos o según la longitud de sus lados, nos vemos en la próxima saludos y muchos éxitos para ustedes.

[{"start": 0.0, "end": 6.6000000000000005, "text": " Reciban todos un cordial saludo. En esta ocasi\u00f3n vamos a ver c\u00f3mo se clasifican los tri\u00e1ngulos."}, {"start": 6.6000000000000005, "end": 11.6, "text": " Antes de empezar de lleno, vamos a recordar algunos conceptos importantes."}, {"start": 11.6, "end": 21.6, "text": " Para dibujar un tri\u00e1ngulo, marcamos tres puntos que no est\u00e9n alineados entre s\u00ed, es decir, que no sean colineales."}, {"start": 21.6, "end": 29.6, "text": " Y los conectamos con segmentos de recta utilizando una regla o una escuadra."}, {"start": 29.6, "end": 34.800000000000004, "text": " Los tres puntos se nombran o se denotan con letras may\u00fasculas."}, {"start": 34.800000000000004, "end": 42.2, "text": " Por ejemplo, all\u00ed tenemos el tri\u00e1ngulo ABC que se representa de esta manera."}, {"start": 42.2, "end": 49.5, "text": " Tri\u00e1ngulo ABC. Tenemos tres \u00e1ngulos, tres \u00e1ngulos interiores o internos."}, {"start": 49.5, "end": 53.900000000000006, "text": " Vamos a simbolizarlos con estas marcas."}, {"start": 53.9, "end": 71.0, "text": " Y en los tri\u00e1ngulos se cumple una propiedad que dice que la suma de esas tres medidas, es decir, la medida del \u00e1ngulo A m\u00e1s la medida del \u00e1ngulo B m\u00e1s la medida del \u00e1ngulo C,"}, {"start": 71.0, "end": 80.6, "text": " da como resultado 180 grados. Es una propiedad que se cumple en todos los tri\u00e1ngulos."}, {"start": 80.6, "end": 85.39999999999999, "text": " Bien, ahora s\u00ed pasemos a ver c\u00f3mo se clasifican los tri\u00e1ngulos."}, {"start": 85.39999999999999, "end": 89.6, "text": " La clasificaci\u00f3n de los tri\u00e1ngulos puede hacerse de dos maneras."}, {"start": 89.6, "end": 95.0, "text": " Seg\u00fan la medida de sus \u00e1ngulos y seg\u00fan la longitud de sus lados."}, {"start": 95.0, "end": 99.3, "text": " Vamos a ver cada una de las dos clasificaciones."}, {"start": 99.3, "end": 105.0, "text": " Seg\u00fan la medida de sus \u00e1ngulos, los tri\u00e1ngulos se clasifican en tres categor\u00edas."}, {"start": 105.0, "end": 111.8, "text": " Tenemos tri\u00e1ngulo acut\u00e1ngulo, tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo y tri\u00e1ngulo obtus\u00e1ngulo."}, {"start": 111.8, "end": 113.6, "text": " Veamos cada uno de ellos."}, {"start": 113.6, "end": 121.3, "text": " En el primer caso, el tri\u00e1ngulo acut\u00e1ngulo se caracteriza porque sus tres \u00e1ngulos son agudos,"}, {"start": 121.3, "end": 126.5, "text": " es decir, que sus medidas son menores de 90 grados."}, {"start": 126.5, "end": 134.1, "text": " Si en esta figura medimos los tres \u00e1ngulos utilizando el transportador, tenemos los siguientes valores."}, {"start": 134.1, "end": 142.0, "text": " Este \u00e1ngulo mide 53 grados, este tiene una medida de 59 grados,"}, {"start": 142.0, "end": 152.9, "text": " entonces podemos colocarle una marca diferente y este otro tiene una medida de 68 grados."}, {"start": 152.9, "end": 157.79999999999998, "text": " Por esa raz\u00f3n le colocamos tambi\u00e9n una marca distinta,"}, {"start": 157.79999999999998, "end": 162.9, "text": " de esa manera estamos indicando que los tres \u00e1ngulos tienen distinta medida"}, {"start": 162.9, "end": 167.0, "text": " y como se observa todas son menores de 90 grados,"}, {"start": 167.0, "end": 175.70000000000002, "text": " entonces tenemos all\u00ed \u00e1ngulos agudos y es la raz\u00f3n por la que este tri\u00e1ngulo se clasifica como tri\u00e1ngulo acut\u00e1ngulo."}, {"start": 176.70000000000002, "end": 182.5, "text": " El tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo se caracteriza porque tiene un \u00e1ngulo de 90 grados,"}, {"start": 182.5, "end": 187.70000000000002, "text": " o sea, un \u00e1ngulo recto y este se simboliza con un cuadrito,"}, {"start": 187.7, "end": 196.89999999999998, "text": " este que tenemos aqu\u00ed en la esquina, entonces esto quiere decir que all\u00ed garantizado tenemos un \u00e1ngulo recto,"}, {"start": 196.89999999999998, "end": 202.7, "text": " o sea, de 90 grados y los otros dos \u00e1ngulos son agudos,"}, {"start": 202.7, "end": 213.5, "text": " por ejemplo, este tiene una medida de 40 grados y este de ac\u00e1 arriba tiene una medida de 50 grados."}, {"start": 213.5, "end": 221.1, "text": " Entonces para diferenciarlos vamos a colocarles marcas propias para cada \u00e1ngulo,"}, {"start": 221.1, "end": 226.3, "text": " de tal manera que simbolicemos que todos tienen distinta medida."}, {"start": 227.1, "end": 234.3, "text": " El tri\u00e1ngulo obtus\u00e1ngulo es aquel que tiene un \u00e1ngulo obtuso y los otros dos son agudos,"}, {"start": 234.3, "end": 238.5, "text": " el \u00e1ngulo obtuso es este amplio que tenemos aqu\u00ed,"}, {"start": 238.5, "end": 244.7, "text": " cuya medida es mayor de 90 grados pero menor que 180 grados,"}, {"start": 244.7, "end": 251.1, "text": " en este caso por ejemplo tenemos que este \u00e1ngulo mide 112 grados"}, {"start": 251.1, "end": 255.5, "text": " y como dec\u00edamos los otros dos \u00e1ngulos son agudos,"}, {"start": 255.5, "end": 259.7, "text": " o sea, que sus medidas son menores de 90 grados,"}, {"start": 259.7, "end": 270.7, "text": " este por ejemplo mide 36 grados y este que tenemos arriba tiene una medida de 32 grados."}, {"start": 270.7, "end": 278.3, "text": " De nuevo se observan marcas diferentes porque las medidas de los \u00e1ngulos tambi\u00e9n son diferentes."}, {"start": 278.3, "end": 284.5, "text": " En todos estos tres tri\u00e1ngulos se cumple la propiedad que cit\u00e1bamos anteriormente,"}, {"start": 284.5, "end": 292.9, "text": " si sumamos los \u00e1ngulos en cada uno de ellos tendremos siempre como resultado 180 grados,"}, {"start": 292.9, "end": 297.5, "text": " que es la propiedad que cumplen todos los tri\u00e1ngulos."}, {"start": 298.3, "end": 304.5, "text": " Bien, ahora seg\u00fan la longitud de los lados podemos tener tres tipos de tri\u00e1ngulo,"}, {"start": 304.5, "end": 310.7, "text": " tri\u00e1ngulo escaleno, tri\u00e1ngulo is\u00f3sceles y tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero,"}, {"start": 310.7, "end": 313.9, "text": " vamos a ver las caracter\u00edsticas de cada uno."}, {"start": 313.9, "end": 320.7, "text": " El tri\u00e1ngulo escaleno se distingue porque los lados son de diferente medida,"}, {"start": 320.7, "end": 328.7, "text": " entonces para denotar eso podemos colocarle estas marquitas todas diferentes entre s\u00ed,"}, {"start": 328.7, "end": 337.29999999999995, "text": " y una consecuencia de tener lados de diferente longitud es que los \u00e1ngulos tambi\u00e9n ser\u00e1n de diferente medida,"}, {"start": 337.3, "end": 348.90000000000003, "text": " entonces tenemos que este \u00e1ngulo mide 55 grados, este que tenemos ac\u00e1 tiene una medida de 45 grados,"}, {"start": 348.90000000000003, "end": 354.5, "text": " y este tiene una medida de 80 grados."}, {"start": 354.5, "end": 360.7, "text": " Si hacemos la suma de estos tres valores tenemos que el resultado es 180 grados,"}, {"start": 360.7, "end": 366.1, "text": " tal como ve\u00edamos anteriormente y que es la propiedad que cumplen todos los tri\u00e1ngulos."}, {"start": 366.1, "end": 374.5, "text": " Aqu\u00ed tambi\u00e9n se presenta una caracter\u00edstica bien especial y es que al mayor lado se opone el mayor \u00e1ngulo,"}, {"start": 374.5, "end": 383.5, "text": " vemos que el lado que tiene las tres marquitas es el de mayor longitud y a \u00e9l se opone el \u00e1ngulo de mayor medida,"}, {"start": 383.5, "end": 392.90000000000003, "text": " de igual forma el lado m\u00e1s corto que es el que tiene las dos marquitas tiene al frente el \u00e1ngulo de menor medida"}, {"start": 392.9, "end": 400.9, "text": " que es el de 45 grados, entonces es una propiedad que se cumple tambi\u00e9n en todos los tri\u00e1ngulos."}, {"start": 400.9, "end": 405.9, "text": " El tri\u00e1ngulo is\u00f3sceles se caracteriza porque tiene dos lados iguales,"}, {"start": 405.9, "end": 414.5, "text": " entonces eso lo vamos a se\u00f1alar utilizando la misma marquita para los lados que tienen igual longitud,"}, {"start": 414.5, "end": 418.9, "text": " el lado diferente lo se\u00f1alamos con una marca distinta,"}, {"start": 418.9, "end": 425.29999999999995, "text": " tambi\u00e9n se cumple que a los lados de igual longitud se oponen \u00e1ngulos de la misma medida,"}, {"start": 425.29999999999995, "end": 436.9, "text": " por ejemplo en este caso este \u00e1ngulo mide 74 grados y es exactamente igual a este que tambi\u00e9n mide 74 grados,"}, {"start": 436.9, "end": 442.09999999999997, "text": " el \u00e1ngulo que tenemos en la parte superior mide 32 grados,"}, {"start": 442.1, "end": 449.3, "text": " algo que se acostumbra decir en los tri\u00e1ngulos is\u00f3sceles es que los \u00e1ngulos de la base son iguales,"}, {"start": 449.3, "end": 457.1, "text": " tal como se observa en este caso donde el tri\u00e1ngulo descansa sobre el lado de diferente longitud,"}, {"start": 457.1, "end": 463.3, "text": " en este caso este lado marcado con una sola rayita hace el papel de la base"}, {"start": 463.3, "end": 469.1, "text": " y por eso se dice que los \u00e1ngulos de la base en un tri\u00e1ngulo is\u00f3sceles son iguales."}, {"start": 469.1, "end": 475.5, "text": " El tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero se caracteriza porque tiene los lados iguales,"}, {"start": 475.5, "end": 478.3, "text": " o sea que todos tienen la misma longitud,"}, {"start": 478.3, "end": 483.5, "text": " precisamente la palabra equil\u00e1tero quiere decir igual lado,"}, {"start": 483.5, "end": 489.90000000000003, "text": " entonces vamos a se\u00f1alar eso coloc\u00e1ndole a los tres lados la misma marquita,"}, {"start": 489.90000000000003, "end": 498.90000000000003, "text": " esto es un tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero y tambi\u00e9n se sigue cumpliendo que los \u00e1ngulos opuestos ser\u00e1n de la misma medida,"}, {"start": 498.9, "end": 508.09999999999997, "text": " entonces vamos a se\u00f1alarlos con la misma marca y como ellos tienen que sumar entre s\u00ed 180 grados"}, {"start": 508.09999999999997, "end": 513.6999999999999, "text": " y son \u00e1ngulos iguales entonces cada uno mide 60 grados,"}, {"start": 513.6999999999999, "end": 522.1, "text": " 180 grados dividido entre tres nos da 60 grados que es lo que corresponde a cada \u00e1ngulo."}, {"start": 522.1, "end": 531.9, "text": " Por tener los \u00e1ngulos de la misma medida el tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero tambi\u00e9n se conoce con el nombre de tri\u00e1ngulo equi\u00e1ngulo."}, {"start": 531.9, "end": 538.1, "text": " Bien con esto hemos terminado, hemos visto entonces que los tri\u00e1ngulos se pueden clasificar"}, {"start": 538.1, "end": 542.7, "text": " seg\u00fan la medida de sus \u00e1ngulos o seg\u00fan la longitud de sus lados,"}, {"start": 542.7, "end": 552.7, "text": " nos vemos en la pr\u00f3xima saludos y muchos \u00e9xitos para ustedes."}]

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RECTA TANGENTE A UNA CURVA - Ejercicio 2

#julioprofe explica cómo hallar la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto cuya abscisa se conoce. Tema: #Derivadas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwF9r-Y_Gpuq45VP0qnJIJL1 REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver este ejercicio donde nos piden hallar la ecuación de la recta tangente a la curva y igual a 3x al cuadrado por logaritmo natural de x, todo eso más 4x en el punto de abscisa 1. Para comenzar vamos a definir cuál es el punto, es decir, un punto P de coordenadas x, y que es lo que se conoce también como el punto de tangencia, o sea el punto donde la recta tangente hace contacto con la curva. Para ese punto conocemos el valor de su abscisa, cuando el problema nos dice que el punto tiene abscisa 1, se refiere a que el valor de x es 1. Entonces vamos a escribirlo aquí y vamos a determinar cuál es el valor de y, para eso tenemos que reemplazar x igual a 1 aquí en lo que es la función, porque vemos que y depende de x. Entonces eso nos va a quedar de la siguiente manera, y será igual a 3x que vale 1 al cuadrado, eso multiplicado por logaritmo natural de x, pero x vale 1, y todo eso más 4x, o sea 4x1. Tenemos que logaritmo natural de 1 vale 0, el logaritmo en cualquier base de 1 siempre será igual a 0, y 0 multiplicado por todo esto nos da como resultado 0, por lo tanto nos queda 4x1 que es igual a 4, y 0 más 4 es igual a 4. Entonces conocemos entonces el valor de y, que vale 4, tenemos la abscisa y la ordenada, es decir las coordenadas de lo que es el punto de tangencia. Ahora tenemos lo siguiente, la función que vamos a escribir por acá, y igual a 3x al cuadrado por logaritmo natural de x, y todo eso más 4x, y también conocemos el punto de tangencia, que tiene coordenadas 1,4. Como nos piden encontrar la ecuación de la recta tangente, entonces debemos encontrar la derivada de la función que nos dan, porque con esa derivada vamos a determinar el valor de la pendiente de esa recta tangente. Entonces vamos a derivar esta función, vamos a derivar y con respecto a la variable x. En principio vemos que la función es una suma, entonces dice la regla de derivación para la suma que debemos derivar cada uno de los términos. Entonces vamos con la derivada del primero, pero allí observamos un producto, dos componentes que contienen la variable x. Entonces vamos a recordar cómo se deriva un producto, si tenemos un producto A por B, su derivada será igual a la derivada del primer componente, o sea A' por el segundo componente sin derivar, más el primer componente sin derivar por la derivada del segundo componente, o sea lo que conocemos como B'. En este caso, 3x al cuadrado hace el papel de A y logaritmo natural de x hace el papel de B. Entonces vamos a seguir esta instrucción, vamos a cumplir con cada uno de estos componentes para derivar correctamente ese producto. Comenzamos con la derivada del primer componente, la derivada de 3x al cuadrado es 6x, esto multiplicado por el segundo componente sin derivar, que es logaritmo natural de x, eso más el primer componente sin derivar que es 3x al cuadrado, y esto multiplicado por la derivada del segundo componente, la derivada del logaritmo natural de x es 1 sobre x. Bien, allí hemos derivado el primer componente de la suma utilizando la regla del producto, y ahora derivamos el segundo componente de esa suma, derivada de 4x es simplemente 4. Aquí podemos simplificar la expresión haciendo el producto de estas dos cantidades, 3x al cuadrado multiplicado por 1 sobre x se convierte en 3x al cuadrado sobre x, y podemos simplificar o cancelar una x y eso nos va a quedar simplemente como 3x, entonces cambiamos este término por 3x. Esta expresión que acabamos de obtener es la derivada de la función original, o sea de la curva que nos han dado al comienzo del problema. Lo que tenemos que hacer ahora es evaluar esa derivada en el punto de tangencia, pero como se observa la derivada únicamente depende de x, como aquí tenemos una pareja de x, como a y, o sea la abscisa y la ordenada, entonces solamente necesitamos el valor de x, es decir 1, vamos a reemplazar donde está la x ese valor 1 y de esa manera vamos a encontrar la pendiente de la recta tangente que se simboliza como m sub índice t, nos queda entonces 6x1 por logaritmo natural de 1 más 3x1 y esto más 4, de nuevo tenemos el logaritmo natural de 1 que como vimos ahora equivale a 0, y 0 multiplicado por esto nos da como resultado 0, por acá tenemos 3, 3x1, 3, entonces 0 más 3 más 4 nos da como resultado 7, tenemos así que la pendiente de la recta tangente tiene un valor de 7. Como ya conocemos el valor de la pendiente y conocemos un punto de la recta que nos piden, entonces vamos a utilizar lo que se llama el modelo punto pendiente, que es el que se utiliza para encontrar la ecuación de una recta cuando se conoce justamente esta información, conocemos un punto de la recta y el valor de su pendiente, el modelo dice así, y menos y sub 1 es igual a m por x menos x sub 1, esa es la formula o el modelo punto pendiente, en ese caso la pareja que conocemos es decir el punto de tangencia será x1 y y1, entonces vamos a reemplazar esa información acá en el modelo, vemos y menos y1, y1 vale 4 igual a la pendiente m que nos dio 7 y esto multiplicado por x menos x1 que vale 1, ahora podemos aplicar aquí la propiedad distributiva, entonces tenemos lo siguiente, y menos 4 es igual a 7 por x que es 7x menos 7 por 1 que es 7 y de allí vamos a llevar la ecuación a la forma y igual a mx más b, para despejar lo que es la letra y, para eso pasamos el 4 que esta restando al otro lado a sumar, nos queda y igual a 7x menos 7 más 4, resolviendo esta operación tenemos y igual a 7x y esto nos da menos 3 y de esta manera hemos llegado a la respuesta, tenemos la ecuación de la recta tangente, o sea la que nos están pidiendo expresada en la forma explicita, o sea la que se conoce como y igual a mx más b, recordemos que m es la pendiente en este caso 7 tal como nos dio por acá y b representa el corte o la intersección de la recta con el eje y, en este caso ocurre en menos 3, b vale menos 3, otra forma de presentar la respuesta es en la forma general o implicita que consiste en dejar 0 en uno de los lados de la igualdad, para ello podemos pasar y que esta a este lado izquierdo, esta positiva, podemos pasarla al lado derecho y nos quedara negativa, entonces tenemos 0 es igual a 7x, dejamos este termino intacto, llega a menos y y escribimos enseguida menos 3, siempre procuramos que nos quede primero el termino con x, después el termino con y y por último el termino independiente, esta será entonces la otra forma de presentar la ecuación de la recta tangente, lo que nos pide el problema, pero como decíamos aquí se encuentra expresada en la forma general o implicita, cuyo modelo dice ax más by más c igual a 0, así dice normalmente pero el 0 puede estar también al otro lado, lo podríamos escribir acá tal como observamos en ese caso, con esto terminamos este ejercicio, tenemos la ecuación de la recta tangente presentada de las dos formas y es la recta que hace contacto a esta curva en este punto.

[{"start": 0.0, "end": 18.0, "text": " Vamos a resolver este ejercicio donde nos piden hallar la ecuaci\u00f3n de la recta tangente a la curva y igual a 3x al cuadrado por logaritmo natural de x, todo eso m\u00e1s 4x en el punto de abscisa 1."}, {"start": 18.0, "end": 40.0, "text": " Para comenzar vamos a definir cu\u00e1l es el punto, es decir, un punto P de coordenadas x, y que es lo que se conoce tambi\u00e9n como el punto de tangencia, o sea el punto donde la recta tangente hace contacto con la curva."}, {"start": 40.0, "end": 53.0, "text": " Para ese punto conocemos el valor de su abscisa, cuando el problema nos dice que el punto tiene abscisa 1, se refiere a que el valor de x es 1."}, {"start": 53.0, "end": 72.0, "text": " Entonces vamos a escribirlo aqu\u00ed y vamos a determinar cu\u00e1l es el valor de y, para eso tenemos que reemplazar x igual a 1 aqu\u00ed en lo que es la funci\u00f3n, porque vemos que y depende de x."}, {"start": 72.0, "end": 95.0, "text": " Entonces eso nos va a quedar de la siguiente manera, y ser\u00e1 igual a 3x que vale 1 al cuadrado, eso multiplicado por logaritmo natural de x, pero x vale 1, y todo eso m\u00e1s 4x, o sea 4x1."}, {"start": 95.0, "end": 121.0, "text": " Tenemos que logaritmo natural de 1 vale 0, el logaritmo en cualquier base de 1 siempre ser\u00e1 igual a 0, y 0 multiplicado por todo esto nos da como resultado 0, por lo tanto nos queda 4x1 que es igual a 4, y 0 m\u00e1s 4 es igual a 4."}, {"start": 121.0, "end": 137.0, "text": " Entonces conocemos entonces el valor de y, que vale 4, tenemos la abscisa y la ordenada, es decir las coordenadas de lo que es el punto de tangencia."}, {"start": 137.0, "end": 162.0, "text": " Ahora tenemos lo siguiente, la funci\u00f3n que vamos a escribir por ac\u00e1, y igual a 3x al cuadrado por logaritmo natural de x, y todo eso m\u00e1s 4x, y tambi\u00e9n conocemos el punto de tangencia, que tiene coordenadas 1,4."}, {"start": 162.0, "end": 185.0, "text": " Como nos piden encontrar la ecuaci\u00f3n de la recta tangente, entonces debemos encontrar la derivada de la funci\u00f3n que nos dan, porque con esa derivada vamos a determinar el valor de la pendiente de esa recta tangente."}, {"start": 185.0, "end": 199.0, "text": " Entonces vamos a derivar esta funci\u00f3n, vamos a derivar y con respecto a la variable x."}, {"start": 199.0, "end": 212.0, "text": " En principio vemos que la funci\u00f3n es una suma, entonces dice la regla de derivaci\u00f3n para la suma que debemos derivar cada uno de los t\u00e9rminos."}, {"start": 212.0, "end": 222.0, "text": " Entonces vamos con la derivada del primero, pero all\u00ed observamos un producto, dos componentes que contienen la variable x."}, {"start": 222.0, "end": 251.0, "text": " Entonces vamos a recordar c\u00f3mo se deriva un producto, si tenemos un producto A por B, su derivada ser\u00e1 igual a la derivada del primer componente, o sea A' por el segundo componente sin derivar, m\u00e1s el primer componente sin derivar por la derivada del segundo componente, o sea lo que conocemos como B'."}, {"start": 251.0, "end": 262.0, "text": " En este caso, 3x al cuadrado hace el papel de A y logaritmo natural de x hace el papel de B."}, {"start": 262.0, "end": 274.0, "text": " Entonces vamos a seguir esta instrucci\u00f3n, vamos a cumplir con cada uno de estos componentes para derivar correctamente ese producto."}, {"start": 274.0, "end": 298.0, "text": " Comenzamos con la derivada del primer componente, la derivada de 3x al cuadrado es 6x, esto multiplicado por el segundo componente sin derivar, que es logaritmo natural de x, eso m\u00e1s el primer componente sin derivar que es 3x al cuadrado,"}, {"start": 298.0, "end": 310.0, "text": " y esto multiplicado por la derivada del segundo componente, la derivada del logaritmo natural de x es 1 sobre x."}, {"start": 310.0, "end": 327.0, "text": " Bien, all\u00ed hemos derivado el primer componente de la suma utilizando la regla del producto, y ahora derivamos el segundo componente de esa suma, derivada de 4x es simplemente 4."}, {"start": 327.0, "end": 343.0, "text": " Aqu\u00ed podemos simplificar la expresi\u00f3n haciendo el producto de estas dos cantidades, 3x al cuadrado multiplicado por 1 sobre x se convierte en 3x al cuadrado sobre x,"}, {"start": 343.0, "end": 360.0, "text": " y podemos simplificar o cancelar una x y eso nos va a quedar simplemente como 3x, entonces cambiamos este t\u00e9rmino por 3x."}, {"start": 360.0, "end": 371.0, "text": " Esta expresi\u00f3n que acabamos de obtener es la derivada de la funci\u00f3n original, o sea de la curva que nos han dado al comienzo del problema."}, {"start": 371.0, "end": 383.0, "text": " Lo que tenemos que hacer ahora es evaluar esa derivada en el punto de tangencia, pero como se observa la derivada \u00fanicamente depende de x,"}, {"start": 383.0, "end": 394.0, "text": " como aqu\u00ed tenemos una pareja de x, como a y, o sea la abscisa y la ordenada, entonces solamente necesitamos el valor de x, es decir 1,"}, {"start": 394.0, "end": 409.0, "text": " vamos a reemplazar donde est\u00e1 la x ese valor 1 y de esa manera vamos a encontrar la pendiente de la recta tangente que se simboliza como m sub \u00edndice t,"}, {"start": 409.0, "end": 429.0, "text": " nos queda entonces 6x1 por logaritmo natural de 1 m\u00e1s 3x1 y esto m\u00e1s 4, de nuevo tenemos el logaritmo natural de 1 que como vimos ahora equivale a 0,"}, {"start": 429.0, "end": 446.0, "text": " y 0 multiplicado por esto nos da como resultado 0, por ac\u00e1 tenemos 3, 3x1, 3, entonces 0 m\u00e1s 3 m\u00e1s 4 nos da como resultado 7,"}, {"start": 446.0, "end": 454.0, "text": " tenemos as\u00ed que la pendiente de la recta tangente tiene un valor de 7."}, {"start": 454.0, "end": 470.0, "text": " Como ya conocemos el valor de la pendiente y conocemos un punto de la recta que nos piden, entonces vamos a utilizar lo que se llama el modelo punto pendiente,"}, {"start": 470.0, "end": 486.0, "text": " que es el que se utiliza para encontrar la ecuaci\u00f3n de una recta cuando se conoce justamente esta informaci\u00f3n, conocemos un punto de la recta y el valor de su pendiente,"}, {"start": 486.0, "end": 504.0, "text": " el modelo dice as\u00ed, y menos y sub 1 es igual a m por x menos x sub 1, esa es la formula o el modelo punto pendiente,"}, {"start": 504.0, "end": 518.0, "text": " en ese caso la pareja que conocemos es decir el punto de tangencia ser\u00e1 x1 y y1, entonces vamos a reemplazar esa informaci\u00f3n ac\u00e1 en el modelo,"}, {"start": 518.0, "end": 541.0, "text": " vemos y menos y1, y1 vale 4 igual a la pendiente m que nos dio 7 y esto multiplicado por x menos x1 que vale 1, ahora podemos aplicar aqu\u00ed la propiedad distributiva,"}, {"start": 541.0, "end": 560.0, "text": " entonces tenemos lo siguiente, y menos 4 es igual a 7 por x que es 7x menos 7 por 1 que es 7 y de all\u00ed vamos a llevar la ecuaci\u00f3n a la forma y igual a mx m\u00e1s b,"}, {"start": 560.0, "end": 575.0, "text": " para despejar lo que es la letra y, para eso pasamos el 4 que esta restando al otro lado a sumar, nos queda y igual a 7x menos 7 m\u00e1s 4,"}, {"start": 575.0, "end": 592.0, "text": " resolviendo esta operaci\u00f3n tenemos y igual a 7x y esto nos da menos 3 y de esta manera hemos llegado a la respuesta,"}, {"start": 592.0, "end": 612.0, "text": " tenemos la ecuaci\u00f3n de la recta tangente, o sea la que nos est\u00e1n pidiendo expresada en la forma explicita, o sea la que se conoce como y igual a mx m\u00e1s b,"}, {"start": 612.0, "end": 624.0, "text": " recordemos que m es la pendiente en este caso 7 tal como nos dio por ac\u00e1 y b representa el corte o la intersecci\u00f3n de la recta con el eje y,"}, {"start": 624.0, "end": 643.0, "text": " en este caso ocurre en menos 3, b vale menos 3, otra forma de presentar la respuesta es en la forma general o implicita que consiste en dejar 0 en uno de los lados de la igualdad,"}, {"start": 643.0, "end": 656.0, "text": " para ello podemos pasar y que esta a este lado izquierdo, esta positiva, podemos pasarla al lado derecho y nos quedara negativa, entonces tenemos 0 es igual a 7x,"}, {"start": 656.0, "end": 667.0, "text": " dejamos este termino intacto, llega a menos y y escribimos enseguida menos 3, siempre procuramos que nos quede primero el termino con x,"}, {"start": 667.0, "end": 682.0, "text": " despu\u00e9s el termino con y y por \u00faltimo el termino independiente, esta ser\u00e1 entonces la otra forma de presentar la ecuaci\u00f3n de la recta tangente, lo que nos pide el problema,"}, {"start": 682.0, "end": 705.0, "text": " pero como dec\u00edamos aqu\u00ed se encuentra expresada en la forma general o implicita, cuyo modelo dice ax m\u00e1s by m\u00e1s c igual a 0,"}, {"start": 705.0, "end": 719.0, "text": " as\u00ed dice normalmente pero el 0 puede estar tambi\u00e9n al otro lado, lo podr\u00edamos escribir ac\u00e1 tal como observamos en ese caso, con esto terminamos este ejercicio,"}, {"start": 719.0, "end": 735.0, "text": " tenemos la ecuaci\u00f3n de la recta tangente presentada de las dos formas y es la recta que hace contacto a esta curva en este punto."}]

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LÍMITES INFINITOS - Ejercicios 1, 2 y 3

#julioprofe explica cómo resolver tres ejercicios de Límites Infinitos. Tema: #Límites → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEeindtt3TarvkVHRDmqNTf REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

En esta ocasión vamos a resolver estos tres ejercicios que corresponden a límites infinitos. Ahora que los desarrollemos vamos a ver cómo se llega a expresiones de la forma A sobre 0. A representa un número diferente de 0 y este 0 que está en el denominador hace referencia a una cantidad que se aproxima a 0. En cálculo toda cantidad diferente de 0 que está sobre una que tiende a 0 se dice que da como resultado infinito o tiende a convertirse en infinito. Donde debemos tener mucho cuidado es que la tendencia a 0 puede darse por la izquierda, es decir, por el lado de los números negativos o por la derecha, es decir, por el lado de los números positivos. Y eso incide en el signo que toma infinito. Podemos hablar de más infinito o de menos infinito. Vamos entonces a resolver el primer ejercicio. En esta ocasión nos piden averiguar qué le sucede a esta función cuando x se aproxima o tiende a 3 por la derecha. Entonces vamos a pensar en un número, un valor de x que cumpla con esta condición que se acerque a 3 por el lado derecho. Para ello nos podemos ayudar con una recta numérica. Allí podemos observarla y lo que estamos buscando es un número que esté por aquí, que se acerque a 3 por su derecha. Entonces vamos a pensar en un número muy cercano a 3 por el lado derecho que puede ser por ejemplo 3.0001. Podemos trabajar con esa cantidad, entonces esa es la que vamos a escoger aquí, 3.0001, muy cercano a 3 por el lado derecho. Y esa cantidad que escogimos vamos a reemplazarla en la función. Tenemos entonces en el numerador 3.0001 más 2 y en el denominador tenemos 3.0001 menos 3. Y vamos a resolver cada una de estas operaciones. En la parte de arriba si hacemos esa suma nos da como resultado 5.0001. Y en la parte de abajo resolviendo esta resta nos da como resultado 0.0001. Y estas cantidades podemos aproximarlas de la siguiente manera. El número 5.0001 es un número que está situado por aquí, muy próximo a 5 a su derecha. Entonces podemos decir que es prácticamente 5 positivo. Y el número 0.0001 es una cantidad que está, vamos a prolongar esta recta hacia allá, marcamos el 0 y esta cantidad está situada por acá. Es decir, muy próxima a 0 pero por el lado derecho. Entonces podemos decir que es prácticamente 0 pero de naturaleza positivo. Y de esta manera tenemos ya un cociente, tenemos una cantidad diferente de 0 sobre una que tiende a 0. 5 sobre 0 como veíamos ahora en cálculo es prácticamente infinito y aplicamos la ley de los signos. Más con más en la división nos da resultado positivo. Entonces tenemos en este caso que este límite nos da como resultado más infinito. Es lo que se conoce también un límite lateral porque muestra la tendencia de X hacia el número 3 por el lado derecho. Y como vemos el resultado es más infinito por lo que se clasifica como un límite infinito. Pasamos al segundo ejercicio donde debemos ver qué le sucede a esta función cuando X se aproxima a 7 por la izquierda. Entonces vamos a seleccionar de nuevo un valor de X que cumpla con esta condición. Nos ayudamos entonces con una recta numérica. Allí podemos observarla y vamos a escoger entonces un valor de X que esté próximo a 7 por la izquierda. Es decir que esté como por aquí un número muy cercano a 7 que puede ser entonces 6.9999. El 6 seguido de 4 nueves es una cantidad muy cercana a 7 por la izquierda. O sea que cumple con esa condición. Vamos entonces a escribir ese número por aquí. Y enseguida vamos a evaluar la función en ese valor de X. Vamos a reemplazarlo tanto en el numerador como en el denominador. Arriba tenemos 2 que multiplica a ese número. Y todo eso más 1. Y en el denominador tenemos ese número 6.9999 menos 7. Y resolvemos las operaciones correspondientes. En el numerador nos da como resultado 14.9998. Y acá en el denominador esa resta nos da como resultado menos 0.0001. Y esas dos cantidades podemos aproximarlas de la siguiente manera. El número 14.9998 indiscutiblemente está muy cerca a 15 de naturaleza positiva. Y la cantidad que tenemos en el denominador está localizada en la recta numérica por acá. Está a la izquierda de 0 en la zona negativa pero muy cercano a 0. Entonces podemos escribir 0 acompañado de signo negativo. Queriendo decir que se trata de una cantidad cercana a 0 pero de naturaleza negativa. Y ahora aplicamos lo que vimos al principio. Una cantidad diferente de 0 dividida entre otra cantidad que tiende a 0. O sea 15 sobre 0 se va hacia infinito. Y tenemos también los signos más con menos. Aplicamos ley de los signos y nos da signo menos. De esta manera resolvemos el segundo límite. También es un límite lateral porque X tiende a 7 únicamente por el lado izquierdo. Y también es un límite infinito porque el resultado como podemos ver es menos infinito. Finalmente resolvemos el tercer ejercicio. En este caso ya no tenemos aquí tendencia por la derecha o por la izquierda del número 2. Entonces lo primero que hacemos es evaluar la función en este número. Tendremos 5 menos 2 sobre 2 menos 2. Y resolvemos 5 menos 2 es 3 y 2 menos 2 es 0. Y hemos dicho que toda cantidad diferente de 0 sobre una que tiende a 0 se va hacia infinito. Pero aquí no sabemos si se trata de más infinito o menos infinito. Nos queda esa duda que debemos resolver. Entonces esto no es suficiente. Tenemos que hacer para esta función un análisis lateral. Ver que le sucede cuando X tiende a 2 por la izquierda y que le sucede cuando X tiende a 2 por la derecha. Comenzamos con el límite cuando X tiende a 2 por la izquierda de esta misma función. 5 menos X sobre X menos 2. Y vamos a seleccionar un valor de X que cumpla con esta condición. Podemos escoger el número 1.9999. Es un número que se acerca o que está muy próximo a 2 por el lado izquierdo. Si tenemos dificultad para escoger este número mentalmente nos podemos ayudar de la recta numérica. Esta cantidad que seleccionamos vamos a reemplazarla en la función donde está la X. Entonces vamos a escribir eso. Allí está el numerador y para el caso del denominador tenemos la operación. Vamos a resolver cada una. La operación de arriba nos da como resultado 3.0001. Y la de abajo nos da como resultado menos 0.0001. Y vamos a aproximar cada una de esas cantidades. Para el caso del numerador este número está muy próximo a 3 de naturaleza positiva. Y el que tenemos en el denominador está muy próximo a 0 pero de naturaleza negativa. Entonces decimos 3 sobre 0 se va a infinito y más con menos nos da menos. Conclusión el límite por la izquierda nos da como resultado menos infinito. Voy a escribir eso por acá. Por la izquierda nos dio menos infinito. Bien ahora vamos a examinar el límite por la derecha. Vamos a seleccionar entonces un número, un valor de X que cumpla con esta condición que esté próximo a 2 por la derecha. Podemos seleccionar el número 2.0001. Y ese número que escogimos lo reemplazamos acá en la función. Nos queda 5 menos 2.0001. Todo esto sobre 2.0001 menos 2. Y resolvemos cada operación. En el numerador eso nos da como resultado 2.9999. Y para el caso del denominador nos da como resultado 0.0001. Y vamos a aproximar cada una de esas cantidades. Este número 2.9999 está muy próximo a 3 de naturaleza positiva. Y este que tenemos en el denominador está muy próximo a 0 también de naturaleza positiva. Tenemos 3 sobre 0 que se va a infinito y más con más nos da como resultado más. Entonces el límite por la derecha nos dio más infinito. Como conclusión podemos decir que este límite no existe. Y este es el símbolo. Entonces ese límite no existe porque por izquierda tiende a menos infinito y por derecha tiende a más infinito. Tiene tendencias totalmente diferentes cuando x está en la proximidad del número 2. Esta es entonces la respuesta a este tercer ejercicio.

[{"start": 0.0, "end": 12.0, "text": " En esta ocasi\u00f3n vamos a resolver estos tres ejercicios que corresponden a l\u00edmites infinitos."}, {"start": 16.0, "end": 24.0, "text": " Ahora que los desarrollemos vamos a ver c\u00f3mo se llega a expresiones de la forma A sobre 0."}, {"start": 24.0, "end": 35.0, "text": " A representa un n\u00famero diferente de 0 y este 0 que est\u00e1 en el denominador hace referencia a una cantidad que se aproxima a 0."}, {"start": 35.0, "end": 50.0, "text": " En c\u00e1lculo toda cantidad diferente de 0 que est\u00e1 sobre una que tiende a 0 se dice que da como resultado infinito o tiende a convertirse en infinito."}, {"start": 50.0, "end": 65.0, "text": " Donde debemos tener mucho cuidado es que la tendencia a 0 puede darse por la izquierda, es decir, por el lado de los n\u00fameros negativos o por la derecha, es decir, por el lado de los n\u00fameros positivos."}, {"start": 65.0, "end": 74.0, "text": " Y eso incide en el signo que toma infinito. Podemos hablar de m\u00e1s infinito o de menos infinito."}, {"start": 74.0, "end": 89.0, "text": " Vamos entonces a resolver el primer ejercicio. En esta ocasi\u00f3n nos piden averiguar qu\u00e9 le sucede a esta funci\u00f3n cuando x se aproxima o tiende a 3 por la derecha."}, {"start": 89.0, "end": 105.0, "text": " Entonces vamos a pensar en un n\u00famero, un valor de x que cumpla con esta condici\u00f3n que se acerque a 3 por el lado derecho. Para ello nos podemos ayudar con una recta num\u00e9rica."}, {"start": 105.0, "end": 125.0, "text": " All\u00ed podemos observarla y lo que estamos buscando es un n\u00famero que est\u00e9 por aqu\u00ed, que se acerque a 3 por su derecha. Entonces vamos a pensar en un n\u00famero muy cercano a 3 por el lado derecho que puede ser por ejemplo 3.0001."}, {"start": 125.0, "end": 138.0, "text": " Podemos trabajar con esa cantidad, entonces esa es la que vamos a escoger aqu\u00ed, 3.0001, muy cercano a 3 por el lado derecho."}, {"start": 138.0, "end": 160.0, "text": " Y esa cantidad que escogimos vamos a reemplazarla en la funci\u00f3n. Tenemos entonces en el numerador 3.0001 m\u00e1s 2 y en el denominador tenemos 3.0001 menos 3."}, {"start": 160.0, "end": 174.0, "text": " Y vamos a resolver cada una de estas operaciones. En la parte de arriba si hacemos esa suma nos da como resultado 5.0001."}, {"start": 174.0, "end": 200.0, "text": " Y en la parte de abajo resolviendo esta resta nos da como resultado 0.0001. Y estas cantidades podemos aproximarlas de la siguiente manera. El n\u00famero 5.0001 es un n\u00famero que est\u00e1 situado por aqu\u00ed, muy pr\u00f3ximo a 5 a su derecha."}, {"start": 200.0, "end": 221.0, "text": " Entonces podemos decir que es pr\u00e1cticamente 5 positivo. Y el n\u00famero 0.0001 es una cantidad que est\u00e1, vamos a prolongar esta recta hacia all\u00e1, marcamos el 0 y esta cantidad est\u00e1 situada por ac\u00e1."}, {"start": 221.0, "end": 232.0, "text": " Es decir, muy pr\u00f3xima a 0 pero por el lado derecho. Entonces podemos decir que es pr\u00e1cticamente 0 pero de naturaleza positivo."}, {"start": 232.0, "end": 242.0, "text": " Y de esta manera tenemos ya un cociente, tenemos una cantidad diferente de 0 sobre una que tiende a 0."}, {"start": 242.0, "end": 255.0, "text": " 5 sobre 0 como ve\u00edamos ahora en c\u00e1lculo es pr\u00e1cticamente infinito y aplicamos la ley de los signos. M\u00e1s con m\u00e1s en la divisi\u00f3n nos da resultado positivo."}, {"start": 255.0, "end": 271.0, "text": " Entonces tenemos en este caso que este l\u00edmite nos da como resultado m\u00e1s infinito. Es lo que se conoce tambi\u00e9n un l\u00edmite lateral porque muestra la tendencia de X hacia el n\u00famero 3 por el lado derecho."}, {"start": 271.0, "end": 280.0, "text": " Y como vemos el resultado es m\u00e1s infinito por lo que se clasifica como un l\u00edmite infinito."}, {"start": 280.0, "end": 290.0, "text": " Pasamos al segundo ejercicio donde debemos ver qu\u00e9 le sucede a esta funci\u00f3n cuando X se aproxima a 7 por la izquierda."}, {"start": 290.0, "end": 301.0, "text": " Entonces vamos a seleccionar de nuevo un valor de X que cumpla con esta condici\u00f3n. Nos ayudamos entonces con una recta num\u00e9rica."}, {"start": 301.0, "end": 321.0, "text": " All\u00ed podemos observarla y vamos a escoger entonces un valor de X que est\u00e9 pr\u00f3ximo a 7 por la izquierda. Es decir que est\u00e9 como por aqu\u00ed un n\u00famero muy cercano a 7 que puede ser entonces 6.9999."}, {"start": 321.0, "end": 336.0, "text": " El 6 seguido de 4 nueves es una cantidad muy cercana a 7 por la izquierda. O sea que cumple con esa condici\u00f3n. Vamos entonces a escribir ese n\u00famero por aqu\u00ed."}, {"start": 336.0, "end": 352.0, "text": " Y enseguida vamos a evaluar la funci\u00f3n en ese valor de X. Vamos a reemplazarlo tanto en el numerador como en el denominador. Arriba tenemos 2 que multiplica a ese n\u00famero."}, {"start": 352.0, "end": 371.0, "text": " Y todo eso m\u00e1s 1. Y en el denominador tenemos ese n\u00famero 6.9999 menos 7. Y resolvemos las operaciones correspondientes."}, {"start": 371.0, "end": 388.0, "text": " En el numerador nos da como resultado 14.9998. Y ac\u00e1 en el denominador esa resta nos da como resultado menos 0.0001."}, {"start": 388.0, "end": 403.0, "text": " Y esas dos cantidades podemos aproximarlas de la siguiente manera. El n\u00famero 14.9998 indiscutiblemente est\u00e1 muy cerca a 15 de naturaleza positiva."}, {"start": 403.0, "end": 416.0, "text": " Y la cantidad que tenemos en el denominador est\u00e1 localizada en la recta num\u00e9rica por ac\u00e1. Est\u00e1 a la izquierda de 0 en la zona negativa pero muy cercano a 0."}, {"start": 416.0, "end": 427.0, "text": " Entonces podemos escribir 0 acompa\u00f1ado de signo negativo. Queriendo decir que se trata de una cantidad cercana a 0 pero de naturaleza negativa."}, {"start": 427.0, "end": 440.0, "text": " Y ahora aplicamos lo que vimos al principio. Una cantidad diferente de 0 dividida entre otra cantidad que tiende a 0. O sea 15 sobre 0 se va hacia infinito."}, {"start": 440.0, "end": 452.0, "text": " Y tenemos tambi\u00e9n los signos m\u00e1s con menos. Aplicamos ley de los signos y nos da signo menos. De esta manera resolvemos el segundo l\u00edmite."}, {"start": 452.0, "end": 469.0, "text": " Tambi\u00e9n es un l\u00edmite lateral porque X tiende a 7 \u00fanicamente por el lado izquierdo. Y tambi\u00e9n es un l\u00edmite infinito porque el resultado como podemos ver es menos infinito."}, {"start": 469.0, "end": 478.0, "text": " Finalmente resolvemos el tercer ejercicio. En este caso ya no tenemos aqu\u00ed tendencia por la derecha o por la izquierda del n\u00famero 2."}, {"start": 478.0, "end": 490.0, "text": " Entonces lo primero que hacemos es evaluar la funci\u00f3n en este n\u00famero. Tendremos 5 menos 2 sobre 2 menos 2."}, {"start": 490.0, "end": 506.0, "text": " Y resolvemos 5 menos 2 es 3 y 2 menos 2 es 0. Y hemos dicho que toda cantidad diferente de 0 sobre una que tiende a 0 se va hacia infinito."}, {"start": 506.0, "end": 519.0, "text": " Pero aqu\u00ed no sabemos si se trata de m\u00e1s infinito o menos infinito. Nos queda esa duda que debemos resolver."}, {"start": 519.0, "end": 526.0, "text": " Entonces esto no es suficiente. Tenemos que hacer para esta funci\u00f3n un an\u00e1lisis lateral."}, {"start": 526.0, "end": 535.0, "text": " Ver que le sucede cuando X tiende a 2 por la izquierda y que le sucede cuando X tiende a 2 por la derecha."}, {"start": 535.0, "end": 550.0, "text": " Comenzamos con el l\u00edmite cuando X tiende a 2 por la izquierda de esta misma funci\u00f3n. 5 menos X sobre X menos 2."}, {"start": 550.0, "end": 561.0, "text": " Y vamos a seleccionar un valor de X que cumpla con esta condici\u00f3n. Podemos escoger el n\u00famero 1.9999."}, {"start": 561.0, "end": 568.0, "text": " Es un n\u00famero que se acerca o que est\u00e1 muy pr\u00f3ximo a 2 por el lado izquierdo."}, {"start": 568.0, "end": 575.0, "text": " Si tenemos dificultad para escoger este n\u00famero mentalmente nos podemos ayudar de la recta num\u00e9rica."}, {"start": 575.0, "end": 581.0, "text": " Esta cantidad que seleccionamos vamos a reemplazarla en la funci\u00f3n donde est\u00e1 la X."}, {"start": 581.0, "end": 592.0, "text": " Entonces vamos a escribir eso. All\u00ed est\u00e1 el numerador y para el caso del denominador tenemos la operaci\u00f3n."}, {"start": 592.0, "end": 599.0, "text": " Vamos a resolver cada una. La operaci\u00f3n de arriba nos da como resultado 3.0001."}, {"start": 599.0, "end": 605.0, "text": " Y la de abajo nos da como resultado menos 0.0001."}, {"start": 605.0, "end": 618.0, "text": " Y vamos a aproximar cada una de esas cantidades. Para el caso del numerador este n\u00famero est\u00e1 muy pr\u00f3ximo a 3 de naturaleza positiva."}, {"start": 618.0, "end": 625.0, "text": " Y el que tenemos en el denominador est\u00e1 muy pr\u00f3ximo a 0 pero de naturaleza negativa."}, {"start": 625.0, "end": 631.0, "text": " Entonces decimos 3 sobre 0 se va a infinito y m\u00e1s con menos nos da menos."}, {"start": 631.0, "end": 637.0, "text": " Conclusi\u00f3n el l\u00edmite por la izquierda nos da como resultado menos infinito."}, {"start": 637.0, "end": 647.0, "text": " Voy a escribir eso por ac\u00e1. Por la izquierda nos dio menos infinito."}, {"start": 647.0, "end": 652.0, "text": " Bien ahora vamos a examinar el l\u00edmite por la derecha."}, {"start": 652.0, "end": 662.0, "text": " Vamos a seleccionar entonces un n\u00famero, un valor de X que cumpla con esta condici\u00f3n que est\u00e9 pr\u00f3ximo a 2 por la derecha."}, {"start": 662.0, "end": 667.0, "text": " Podemos seleccionar el n\u00famero 2.0001."}, {"start": 667.0, "end": 672.0, "text": " Y ese n\u00famero que escogimos lo reemplazamos ac\u00e1 en la funci\u00f3n."}, {"start": 672.0, "end": 684.0, "text": " Nos queda 5 menos 2.0001. Todo esto sobre 2.0001 menos 2."}, {"start": 684.0, "end": 688.0, "text": " Y resolvemos cada operaci\u00f3n."}, {"start": 688.0, "end": 694.0, "text": " En el numerador eso nos da como resultado 2.9999."}, {"start": 694.0, "end": 701.0, "text": " Y para el caso del denominador nos da como resultado 0.0001."}, {"start": 701.0, "end": 705.0, "text": " Y vamos a aproximar cada una de esas cantidades."}, {"start": 705.0, "end": 712.0, "text": " Este n\u00famero 2.9999 est\u00e1 muy pr\u00f3ximo a 3 de naturaleza positiva."}, {"start": 712.0, "end": 719.0, "text": " Y este que tenemos en el denominador est\u00e1 muy pr\u00f3ximo a 0 tambi\u00e9n de naturaleza positiva."}, {"start": 719.0, "end": 726.0, "text": " Tenemos 3 sobre 0 que se va a infinito y m\u00e1s con m\u00e1s nos da como resultado m\u00e1s."}, {"start": 726.0, "end": 732.0, "text": " Entonces el l\u00edmite por la derecha nos dio m\u00e1s infinito."}, {"start": 732.0, "end": 739.0, "text": " Como conclusi\u00f3n podemos decir que este l\u00edmite no existe."}, {"start": 739.0, "end": 751.0, "text": " Y este es el s\u00edmbolo. Entonces ese l\u00edmite no existe porque por izquierda tiende a menos infinito y por derecha tiende a m\u00e1s infinito."}, {"start": 751.0, "end": 759.0, "text": " Tiene tendencias totalmente diferentes cuando x est\u00e1 en la proximidad del n\u00famero 2."}, {"start": 759.0, "end": 787.0, "text": " Esta es entonces la respuesta a este tercer ejercicio."}]

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CUATRO AÑOS EN YOUTUBE

18 de febrero de 2013: cuatro (4) años de actividad académica a través de mi canal JULIOPROFE en YouTube. Gracias a todos por su apoyo!!! #julioprofe REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

Escrímaos estudiantes, padres de familia, maestros y comunidad académica en general, reciban un afectuoso saludo desde Colombia. Soy Julio Ríos, conocido por ustedes como Julio Profe. En esta ocasión, me dirijo a ustedes para contarles que hoy, hace justamente cuatro años, abrí mi canal en YouTube, el canal Julio Profe, para producir tutoriales de matemáticas y física, con el fin de apoyar a mis estudiantes presenciales, inicialmente los que yo tenía en ese momento, y bueno, ahora, totalmente dedicado a esta actividad, a seguir apoyando a todas las personas que se preocupan por ser cada día mejores en matemáticas y física, y de esta manera, avanzar exitosamente en sus estudios. Han sido cuatro años de grandes satisfacciones, no solo por los resultados obtenidos en términos de suscriptores al canal y de reproducciones de los videos, sino también por ese cariño y ese apoyo que ustedes me manifiestan permanentemente con sus comentarios, con sus mensajes al correo electrónico y con sus publicaciones en las redes sociales. De verdad que esto es una gran motivación para mí de seguir produciendo tutoriales y de seguir construyendo una comunidad educativa que se preocupa por avanzar cada día en ser mejores y en avanzar exitosamente en sus estudios. Bueno, les agradezco mucho su atención, seguiré trabajando en mi proyecto educativo para beneficiar a los estudiantes de hoy y de las próximas generaciones. Un abrazo fuerte desde Colombia, les deseo muchos triunfos en sus estudios y hasta la próxima.

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INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA - Ejercicio 3

#julioprofe explica cómo resolver una integral indefinida utilizando el método de Sustitución Trigonométrica. Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver esta integral por el método conocido como sustitución trigonométrica. Utilizaremos este camino debido a que se trata de una integral que no puede resolverse en forma directa y tampoco por los métodos de sustitución partes o fracciones parciales. Además, observamos dentro de la raíz cuadrada una diferencia de cuadrados perfectos. Esto nos dice entonces que el camino más apropiado es la sustitución trigonométrica. Comenzamos dibujando un triángulo rectángulo al cual le vamos a llamar este ángulo agudo con la letra griega θ. Y como decíamos, aquí hay una diferencia de cuadrados perfectos. La raíz cuadrada de este primer término es 5 y ese será el lado que corresponde a la hipotenusa del triángulo rectángulo. La raíz cuadrada de este término será 4x. Entonces podemos localizar 4x en cualquiera de los catetos. Vamos a situarlo por ejemplo acá. Y este otro cateto que nos queda faltando lo hallamos con el teorema de Pitágoras. Entonces recordemos que esto es igual a la raíz cuadrada de la hipotenusa al cuadrado, o sea 25 menos este cateto al cuadrado que será 16x al cuadrado. Entonces ya observamos acá en la figura la raíz que trae el integrando. Ahora a partir de este triángulo vamos a buscar una relación entre el lado que contiene la raíz cuadrada, este que tenemos acá, y el lado constante. En otras palabras necesitamos algo que vincule el cateto adyacente al ángulo theta con la hipotenusa del triángulo. Y para ello vamos a utilizar las razones trigonométricas principales, seno, coseno y tangente. Y para ello recordamos esto que se llama Zocatoa que nos permite fácilmente tener presente la definición de seno, coseno y tangente. Entonces para el caso que necesitamos relacionar el cateto adyacente con la hipotenusa, entonces utilizamos el coseno. Decimos entonces coseno de theta es igual a la relación que hay entre el cateto adyacente, la raíz cuadrada de 25 menos 16x al cuadrado, y la hipotenusa del triángulo que vale 5 unidades. Entonces con el coseno logramos relacionar estos dos lados. En seguida de esta expresión vamos a despejar el componente de la raíz. Para ello 5 que está dividiendo pasa al otro lado a multiplicar con coseno de theta. Entonces tenemos que la raíz cuadrada de 25 menos 16x al cuadrado será igual a 5 por coseno de theta. Ya tenemos entonces uno de los componentes del integrando que observamos en esta expresión. Ahora necesitamos relacionar este lado que contiene la X otra vez con el lado constante que es la hipotenusa. Si observamos bien en este triángulo, 4x es el cateto opuesto al ángulo theta y 5 como decíamos es la hipotenusa. Por lo tanto nos conviene utilizar el seno. Aquí tenemos cateto opuesto sobre hipotenusa. Entonces decimos que seno de theta es igual a 4x que es el cateto opuesto sobre la hipotenusa que vale 5 unidades. De esta expresión necesitamos despejar x porque aquí se observa que x es uno de los componentes del integrando. Entonces primero se despeja 4x. Para despejar 4x, 5 que está dividiendo pasa a multiplicar acá con seno de theta. Entonces nos queda 5 por seno de theta. Y ahora sí nos queda fácil hacer el despeje de x. Tenemos que x será igual a 5 seno de theta, todo esto sobre 4. 4 que está multiplicando pasa al otro lado a dividir. Y aquí ya tenemos el otro componente que observamos acá en el integrando. Como podemos observar ya tenemos un equivalente para la raíz cuadrada en términos del ángulo theta. Y también tenemos el equivalente para x en términos de theta. Nos queda faltando buscarle un equivalente al diferencial de x también en términos del ángulo theta. Y eso lo vamos a conseguir derivando esta expresión, o sea derivando x con respecto a la variable theta. Esto lo podríamos también observar como 5 cuartos de seno de theta. Pero vamos a escribirlo de esa forma porque es más sencillo tenerlo así para efectos de la derivación. Entonces la derivada de esto será 5 cuartos que se deja quieto por ser un número que está multiplicando con la expresión seno de theta. Y pasamos a derivar justamente seno de theta. La derivada de esto será coseno de theta. Y enseguida despejamos de allí dx. Para ello, de theta que está dividiendo pasa al otro lado a multiplicar. Nos queda 5 cuartos por coseno de theta y esto por d theta. Así tenemos el componente que nos hacía falta. Ya tenemos entonces dx en términos de theta. Ahora lo que tenemos que hacer es reescribir toda esta integral que se encuentra en términos de x. Entonces ahora en términos de la nueva variable que será theta. Entonces veamos cómo nos queda el reemplazo de cada uno de los componentes. Tenemos acá en el numerador la raíz que equivale a 5 coseno de theta. En el denominador tenemos x que equivale a 5 cuartos de seno de theta o como lo teníamos ahora 5 seno de theta. Todo esto sobre 4. Y reemplazamos también de x. Entonces eso multiplicado por 5 cuartos coseno de theta con su correspondiente diferencial de theta. Ahora vamos a acomodar esta expresión. 5 coseno de theta lo podemos escribir un poco más arriba. Y le escribimos denominador 1. Entonces lo subimos un poco, le anotamos denominador 1. Y aquí vamos a utilizar lo que se conoce como ley de la oreja. Lo que también es conocido como producto de extremos y producto de medios. Entonces veamos cómo nos queda la integral. Acá en el numerador tenemos la multiplicación de 4 por 5 coseno de theta. O sea los extremos. Y acá en el denominador escribimos la multiplicación de los medios. O sea 1 por 5 seno de theta que es 5 seno de theta. Y esto multiplicado a su vez por 5 cuartos coseno de theta y el correspondiente diferencial de theta. En esta expresión podemos simplificar el 4 que está arriba y también abajo. Podemos simplificar este número 5 que también está arriba y abajo. Y entonces la expresión nos va a quedar de la siguiente manera. Vamos a continuar por acá más abajo. Tenemos la integral de coseno de theta por 5 por coseno de theta es 5 coseno al cuadrado de theta. Y en el denominador tenemos lo que es seno de theta únicamente. Y todo esto acompañado del diferencial de theta. En esa expresión es posible retirar el 5. Lo escribimos por fuera de la integral por ser una constante que está multiplicando. Entonces nos queda en el integrando coseno al cuadrado de theta sobre seno de theta. Y todo esto con el diferencial de theta. Como podemos observar la integral original que estaba en términos de x ahora se ha convertido en una integral trigonométrica en términos de theta. Ahora nuestro problema es dar solución a esta integral. Para ello vamos a cambiar en el numerador lo que es coseno al cuadrado de theta por 1 menos seno al cuadrado de theta. Recordemos que eso proviene de la identidad fundamental de la trigonometría. Seno al cuadrado de theta más coseno al cuadrado de theta es igual a 1. Si hacemos el despeje de coseno al cuadrado de theta entonces este componente pasa al otro lado a restar. Y nos queda 1 menos seno al cuadrado de theta. Ese es el cambio que hemos hecho en esta ocasión. Y todo esto nos queda sobre seno de theta. Acompañado del respectivo diferencial de theta. Allí podemos repartir este componente que está en el denominador para cada uno de los términos del numerador. Entonces nos queda así. 5 por la integral de 1 sobre seno de theta menos seno al cuadrado de theta sobre seno de theta. Protegemos el integrando con paréntesis y escribimos el respectivo diferencial de theta. Vamos a continuar por acá más abajo. Escribimos el 5 que está por fuera de la integral. Y 1 sobre seno de theta se convierte en cosecante de theta. Recordemos que es una de las identidades trigonométricas básicas. Y acá tenemos que seno al cuadrado de theta sobre seno de theta. Simplificando eso nos da simplemente seno de theta. Protegemos con paréntesis y escribimos el diferencial de theta. Ya en esta etapa del ejercicio podemos entonces repartir la integral para cada uno de estos componentes. Si seguimos corchete tenemos la integral de cosecante de theta con su diferencial de theta menos la integral de seno de theta con su respectivo diferencial de theta. Y cerramos el corchete. Bien, vamos a continuar el ejercicio por acá. Escribimos el 5, abrimos el corchete y tenemos que el resultado de esta integral es menos logaritmo natural de cosecante de theta más cotangente de theta. Ahora que finalice la explicación de esta integral que estamos resolviendo por sustitución trigonométrica, voy a resolver esta integral para mostrar por qué su resultado es esta expresión. Esto menos la integral de seno de theta que es menos coseno de theta. Protegemos con paréntesis, cerramos el corchete y escribimos por primera vez la constante de integración. Aquí podemos aplicar ley de los signos, menos por menos es más, entonces vamos a quitar este paréntesis y aquí cambiamos al signo más. Vamos a realizar también la propiedad distributiva, seguimos por acá, tenemos 5 por todo esto, que sería menos 5 por logaritmo natural de cosecante de theta más cotangente de theta y esto más 5 por coseno de theta, todo esto más la constante de integración. Enseguida vamos a cambiar estos dos componentes por sus equivalentes en lo que son las identidades básicas de la trigonometría. Tenemos que cosecante de theta es 1 sobre seno de theta más cotangente de theta que equivale a coseno de theta sobre seno de theta y todo esto más 5 coseno de theta más la constante de integración. Esto a su vez lo podemos escribir como menos 5 por logaritmo natural de, dejamos una sola línea, conservamos el denominador que es seno de theta y arriba escribimos 1 más coseno de theta. Recordemos que esto es suma de fracciones homogéneas, fracciones con el mismo denominador, ese componente queda igual y escribimos la constante de integración. Cuando ya tenemos el ejercicio en esta etapa en términos de seno de theta y coseno de theta podemos recurrir nuevamente al triángulo rectángulo que construimos al principio y de donde obtuvimos justamente estas razones trigonométricas en términos de X. Bien, aquí lo tenemos de nuevo y vamos a obtener como decíamos cada uno de estos componentes, seno de theta y coseno de theta en términos de la variable X. Entonces tenemos 1 más coseno de theta que es cateto adyacente sobre hipotenusa. Entonces lo vamos a escribir por acá, en el numerador el cateto adyacente raíz cuadrada de 25 menos 16X al cuadrado y todo esto sobre la hipotenusa que es 5. Acá en el denominador tenemos seno de theta que es cateto opuesto sobre hipotenusa, o sea 4X sobre 5 y así cerramos este paréntesis que protege el argumento de ese logaritmo natural. Y ahora esto más 5 que multiplica a coseno de theta. Coseno de theta es otra vez cateto adyacente sobre hipotenusa. Entonces acá en el numerador tenemos 25 menos 16X al cuadrado, todo esto dentro de la raíz cuadrada y acá en el denominador justamente la hipotenusa que vale 5. Y todo esto más la constante de integración. En seguida vamos a resolver esta operación que tenemos dentro del paréntesis. Podemos cambiar este 1 por la fracción 5 quintos. Si recordemos que 5 quintos es una fracción equivalente a la unidad, entonces eso lo hacemos para tener suma de fracciones homogéneas en el numerador. Entonces abrimos el paréntesis, conservamos el mismo denominador, allí tenemos el 5 y escribimos la suma de los numeradores. 5 más la raíz cuadrada de 25 menos 16X al cuadrado. Y en el denominador continuamos con 4X sobre 5 y cerramos el paréntesis. Por acá podemos simplificar estos números 5. Entonces estos los cancelamos y nos queda la raíz cuadrada de 25 menos 16X al cuadrado y todo esto más la constante de integración. Aquí en este conciente de fracciones podemos aplicar el siguiente truco. Recordemos que si tenemos una fracción A sobre C sobre otra fracción B sobre C, entonces como tienen el mismo denominador podemos suprimirlos y nos quedaría únicamente A sobre B. Pues bien, eso está sucediendo acá. Podemos suprimir estos dos denominadores que son iguales y nos va a quedar dentro del paréntesis esto sobre 4X. Bien, aquí podemos observar ese resultado y de esta manera terminamos el ejercicio. Hemos encontrado la expresión que corresponde a la integral, vamos a recordarla, de la raíz cuadrada de 25 menos 16X al cuadrado y todo esto sobre X con su respectivo diferencial de X. Entonces, como hemos visto, se utilizó el método de la sustitución trigonométrica. El resultado de esta integral es toda esta expresión. Bien, como decía anteriormente, vamos a resolver esta integral, la decosecante de θ con su respectivo diferencial de θ. Para empezar, debemos utilizar un artificio matemático, una especie de truco que consiste en multiplicar esa expresión por lo que es cosecante de θ más cotangente de θ y dividimos por esa misma expresión. Entonces, multiplicamos y dividimos cosecante de θ por lo que es cosecante de θ más cotangente de θ. Es lo que se llama un artificio matemático. En seguida, vamos a multiplicar los numeradores. Recordemos que esto aquí tiene denominador 1. Entonces, al multiplicar numeradores, tenemos cosecante de θ que se distribuye para estos dos componentes y tenemos cosecante al cuadrado de θ más cosecante de θ por cotangente de θ. Y todo esto sobre la misma expresión que estaría multiplicada con este uno invisible que tenemos acá debajo de cosecante de θ. Entonces, 1 por esto nos da cosecante de θ más cotangente de θ y todo esto con su respectivo diferencial de θ. Ahora, aquí vamos a utilizar una sustitución, el método de sustitución o cambio de variable. Vamos a llamar, por ejemplo, con la letra P a lo que es el denominador de la fracción. Entonces, P es igual a cosecante de θ más cotangente de θ. Vamos a destacar este componente y en seguida esto lo vamos a derivar. Vamos a derivar P con respecto a θ. Tenemos que la derivada de cosecante de θ es menos cosecante de θ por cotangente de θ. Y la derivada de cotangente de θ es menos cosecante al cuadrado de θ. Ahora, de allí necesitamos despejar de θ. De θ que están dividiendo, pasaría al otro lado a multiplicar. Vamos a quitarlo de aquí, dejamos aquí solamente de P. Y entonces todo esto queda multiplicado por de θ. Como decíamos, pasa a multiplicar al otro lado. Y ya nos queda fácil despejar de θ. Ahora, todo esto que está multiplicando pasa a dividir debajo de de P. Entonces, vamos a escribir eso por acá. De θ es igual a dt sobre toda esta expresión. Menos cosecante de θ por cotangente de θ, menos cosecante al cuadrado de θ. A su vez, acá en el denominador podemos extraer factor común el signo negativo. Entonces, esto lo podemos escribir así, protegido con paréntesis, el signo negativo por fuera. Y acá tenemos signo positivo. Y a su vez, ese signo menos podemos trasladarlo acá al numerador. Entonces, nos queda mejor presentado de esta manera. Vamos a destacar este componente porque lo necesitamos ahora para reconstruir esta integral. Haciendo entonces los cambios en la integral original, tenemos lo siguiente. Para el caso del numerador, la misma expresión. Cosecante al cuadrado de θ, más cosecante de θ, por cotangente de θ. En el denominador tenemos esto que equivale a P, y esto multiplicado por dt, que es todo esto. Entonces, vamos a escribirlo por acá. Tenemos menos de P, sobre cosecante de θ, por cotangente de θ, más cosecante al cuadrado de θ. El paréntesis que teníamos acá ya se puede omitir en ese caso. Observamos que en toda esta expresión, este componente es exactamente igual a este. Y se pueden cancelar. Entonces, vamos a eliminar todo eso y el ejercicio nos va a quedar como la integral de menos de P, sobre P. Aquí podemos extraer el signo menos. Nos queda integral de DP sobre P, que también podemos escribir como la integral de 1 sobre P, con su correspondiente diferencial de P. Y recordemos que esa es una integral básica, una integral directa, que nos da menos logaritmo natural del valor absoluto de P. Y allí escribiríamos por primera vez la constante de integración. Lo que tenemos que hacer ahora es cambiar P por esta expresión. Es decir, deshacer la sustitución o el cambio de variable. Entonces, tenemos menos logaritmo natural de valor absoluto de P, que equivale a cosecante de θ, más cotangente de θ. Cerramos valor absoluto y escribimos la constante de integración. Asumiendo que todo esto representa una cantidad positiva, podemos entonces cambiar el valor absoluto por paréntesis. Y de esa manera tenemos el resultado de la integral de cosecante de θ, con su respectivo diferencial de θ. Y así nos queda ya demostrado eso que utilizamos en el ejercicio anterior, que resolvimos por sustitución trigonométrica.

[{"start": 0.0, "end": 7.5600000000000005, "text": " Vamos a resolver esta integral por el m\u00e9todo conocido como sustituci\u00f3n trigonom\u00e9trica."}, {"start": 7.5600000000000005, "end": 15.16, "text": " Utilizaremos este camino debido a que se trata de una integral que no puede resolverse en forma directa"}, {"start": 15.16, "end": 21.36, "text": " y tampoco por los m\u00e9todos de sustituci\u00f3n partes o fracciones parciales."}, {"start": 21.36, "end": 28.68, "text": " Adem\u00e1s, observamos dentro de la ra\u00edz cuadrada una diferencia de cuadrados perfectos."}, {"start": 28.68, "end": 36.879999999999995, "text": " Esto nos dice entonces que el camino m\u00e1s apropiado es la sustituci\u00f3n trigonom\u00e9trica."}, {"start": 36.879999999999995, "end": 49.16, "text": " Comenzamos dibujando un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo al cual le vamos a llamar este \u00e1ngulo agudo con la letra griega \u03b8."}, {"start": 49.16, "end": 53.96, "text": " Y como dec\u00edamos, aqu\u00ed hay una diferencia de cuadrados perfectos."}, {"start": 53.96, "end": 64.52, "text": " La ra\u00edz cuadrada de este primer t\u00e9rmino es 5 y ese ser\u00e1 el lado que corresponde a la hipotenusa del tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo."}, {"start": 64.52, "end": 68.52, "text": " La ra\u00edz cuadrada de este t\u00e9rmino ser\u00e1 4x."}, {"start": 68.52, "end": 74.08, "text": " Entonces podemos localizar 4x en cualquiera de los catetos."}, {"start": 74.08, "end": 77.16, "text": " Vamos a situarlo por ejemplo ac\u00e1."}, {"start": 77.16, "end": 84.8, "text": " Y este otro cateto que nos queda faltando lo hallamos con el teorema de Pit\u00e1goras."}, {"start": 84.8, "end": 93.12, "text": " Entonces recordemos que esto es igual a la ra\u00edz cuadrada de la hipotenusa al cuadrado,"}, {"start": 93.12, "end": 102.92, "text": " o sea 25 menos este cateto al cuadrado que ser\u00e1 16x al cuadrado."}, {"start": 102.92, "end": 110.92, "text": " Entonces ya observamos ac\u00e1 en la figura la ra\u00edz que trae el integrando."}, {"start": 110.92, "end": 120.56, "text": " Ahora a partir de este tri\u00e1ngulo vamos a buscar una relaci\u00f3n entre el lado que contiene la ra\u00edz cuadrada,"}, {"start": 120.56, "end": 124.24000000000001, "text": " este que tenemos ac\u00e1, y el lado constante."}, {"start": 124.24, "end": 134.72, "text": " En otras palabras necesitamos algo que vincule el cateto adyacente al \u00e1ngulo theta con la hipotenusa del tri\u00e1ngulo."}, {"start": 134.72, "end": 144.32, "text": " Y para ello vamos a utilizar las razones trigonom\u00e9tricas principales, seno, coseno y tangente."}, {"start": 144.32, "end": 155.76, "text": " Y para ello recordamos esto que se llama Zocatoa que nos permite f\u00e1cilmente tener presente la definici\u00f3n de seno, coseno y tangente."}, {"start": 155.76, "end": 163.2, "text": " Entonces para el caso que necesitamos relacionar el cateto adyacente con la hipotenusa,"}, {"start": 163.2, "end": 166.76, "text": " entonces utilizamos el coseno."}, {"start": 166.76, "end": 176.64, "text": " Decimos entonces coseno de theta es igual a la relaci\u00f3n que hay entre el cateto adyacente,"}, {"start": 176.64, "end": 184.6, "text": " la ra\u00edz cuadrada de 25 menos 16x al cuadrado,"}, {"start": 184.6, "end": 189.88, "text": " y la hipotenusa del tri\u00e1ngulo que vale 5 unidades."}, {"start": 189.88, "end": 195.84, "text": " Entonces con el coseno logramos relacionar estos dos lados."}, {"start": 195.84, "end": 201.56, "text": " En seguida de esta expresi\u00f3n vamos a despejar el componente de la ra\u00edz."}, {"start": 201.56, "end": 208.84, "text": " Para ello 5 que est\u00e1 dividiendo pasa al otro lado a multiplicar con coseno de theta."}, {"start": 208.84, "end": 224.76, "text": " Entonces tenemos que la ra\u00edz cuadrada de 25 menos 16x al cuadrado ser\u00e1 igual a 5 por coseno de theta."}, {"start": 224.76, "end": 235.84, "text": " Ya tenemos entonces uno de los componentes del integrando que observamos en esta expresi\u00f3n."}, {"start": 235.84, "end": 244.16, "text": " Ahora necesitamos relacionar este lado que contiene la X otra vez con el lado constante que es la hipotenusa."}, {"start": 244.16, "end": 253.56, "text": " Si observamos bien en este tri\u00e1ngulo, 4x es el cateto opuesto al \u00e1ngulo theta y 5 como dec\u00edamos es la hipotenusa."}, {"start": 253.56, "end": 257.28000000000003, "text": " Por lo tanto nos conviene utilizar el seno."}, {"start": 257.28000000000003, "end": 261.48, "text": " Aqu\u00ed tenemos cateto opuesto sobre hipotenusa."}, {"start": 261.48, "end": 276.12, "text": " Entonces decimos que seno de theta es igual a 4x que es el cateto opuesto sobre la hipotenusa que vale 5 unidades."}, {"start": 276.12, "end": 285.4, "text": " De esta expresi\u00f3n necesitamos despejar x porque aqu\u00ed se observa que x es uno de los componentes del integrando."}, {"start": 285.4, "end": 288.64, "text": " Entonces primero se despeja 4x."}, {"start": 288.64, "end": 295.96, "text": " Para despejar 4x, 5 que est\u00e1 dividiendo pasa a multiplicar ac\u00e1 con seno de theta."}, {"start": 295.96, "end": 300.28000000000003, "text": " Entonces nos queda 5 por seno de theta."}, {"start": 300.28000000000003, "end": 304.88, "text": " Y ahora s\u00ed nos queda f\u00e1cil hacer el despeje de x."}, {"start": 304.88, "end": 314.28, "text": " Tenemos que x ser\u00e1 igual a 5 seno de theta, todo esto sobre 4."}, {"start": 314.28, "end": 318.8, "text": " 4 que est\u00e1 multiplicando pasa al otro lado a dividir."}, {"start": 318.8, "end": 326.28, "text": " Y aqu\u00ed ya tenemos el otro componente que observamos ac\u00e1 en el integrando."}, {"start": 326.28, "end": 333.36, "text": " Como podemos observar ya tenemos un equivalente para la ra\u00edz cuadrada en t\u00e9rminos del \u00e1ngulo theta."}, {"start": 333.36, "end": 338.04, "text": " Y tambi\u00e9n tenemos el equivalente para x en t\u00e9rminos de theta."}, {"start": 338.04, "end": 345.76, "text": " Nos queda faltando buscarle un equivalente al diferencial de x tambi\u00e9n en t\u00e9rminos del \u00e1ngulo theta."}, {"start": 345.76, "end": 356.36, "text": " Y eso lo vamos a conseguir derivando esta expresi\u00f3n, o sea derivando x con respecto a la variable theta."}, {"start": 356.36, "end": 360.84000000000003, "text": " Esto lo podr\u00edamos tambi\u00e9n observar como 5 cuartos de seno de theta."}, {"start": 360.84, "end": 369.44, "text": " Pero vamos a escribirlo de esa forma porque es m\u00e1s sencillo tenerlo as\u00ed para efectos de la derivaci\u00f3n."}, {"start": 369.44, "end": 379.15999999999997, "text": " Entonces la derivada de esto ser\u00e1 5 cuartos que se deja quieto por ser un n\u00famero que est\u00e1 multiplicando con la expresi\u00f3n seno de theta."}, {"start": 379.15999999999997, "end": 383.23999999999995, "text": " Y pasamos a derivar justamente seno de theta."}, {"start": 383.23999999999995, "end": 387.44, "text": " La derivada de esto ser\u00e1 coseno de theta."}, {"start": 387.44, "end": 391.44, "text": " Y enseguida despejamos de all\u00ed dx."}, {"start": 391.44, "end": 396.84, "text": " Para ello, de theta que est\u00e1 dividiendo pasa al otro lado a multiplicar."}, {"start": 396.84, "end": 402.04, "text": " Nos queda 5 cuartos por coseno de theta y esto por d theta."}, {"start": 402.04, "end": 406.84, "text": " As\u00ed tenemos el componente que nos hac\u00eda falta."}, {"start": 406.84, "end": 412.44, "text": " Ya tenemos entonces dx en t\u00e9rminos de theta."}, {"start": 412.44, "end": 419.44, "text": " Ahora lo que tenemos que hacer es reescribir toda esta integral que se encuentra en t\u00e9rminos de x."}, {"start": 419.44, "end": 424.44, "text": " Entonces ahora en t\u00e9rminos de la nueva variable que ser\u00e1 theta."}, {"start": 424.44, "end": 432.24, "text": " Entonces veamos c\u00f3mo nos queda el reemplazo de cada uno de los componentes."}, {"start": 432.24, "end": 440.84, "text": " Tenemos ac\u00e1 en el numerador la ra\u00edz que equivale a 5 coseno de theta."}, {"start": 440.84, "end": 451.84, "text": " En el denominador tenemos x que equivale a 5 cuartos de seno de theta o como lo ten\u00edamos ahora 5 seno de theta."}, {"start": 451.84, "end": 455.44, "text": " Todo esto sobre 4."}, {"start": 455.44, "end": 458.03999999999996, "text": " Y reemplazamos tambi\u00e9n de x."}, {"start": 458.03999999999996, "end": 469.64, "text": " Entonces eso multiplicado por 5 cuartos coseno de theta con su correspondiente diferencial de theta."}, {"start": 469.64, "end": 473.64, "text": " Ahora vamos a acomodar esta expresi\u00f3n."}, {"start": 473.64, "end": 482.44, "text": " 5 coseno de theta lo podemos escribir un poco m\u00e1s arriba."}, {"start": 482.44, "end": 485.64, "text": " Y le escribimos denominador 1."}, {"start": 485.64, "end": 490.64, "text": " Entonces lo subimos un poco, le anotamos denominador 1."}, {"start": 490.64, "end": 495.64, "text": " Y aqu\u00ed vamos a utilizar lo que se conoce como ley de la oreja."}, {"start": 495.64, "end": 502.64, "text": " Lo que tambi\u00e9n es conocido como producto de extremos y producto de medios."}, {"start": 502.64, "end": 508.64, "text": " Entonces veamos c\u00f3mo nos queda la integral."}, {"start": 508.64, "end": 516.64, "text": " Ac\u00e1 en el numerador tenemos la multiplicaci\u00f3n de 4 por 5 coseno de theta."}, {"start": 516.64, "end": 519.64, "text": " O sea los extremos."}, {"start": 519.64, "end": 524.64, "text": " Y ac\u00e1 en el denominador escribimos la multiplicaci\u00f3n de los medios."}, {"start": 524.64, "end": 529.64, "text": " O sea 1 por 5 seno de theta que es 5 seno de theta."}, {"start": 529.64, "end": 540.64, "text": " Y esto multiplicado a su vez por 5 cuartos coseno de theta y el correspondiente diferencial de theta."}, {"start": 540.64, "end": 547.64, "text": " En esta expresi\u00f3n podemos simplificar el 4 que est\u00e1 arriba y tambi\u00e9n abajo."}, {"start": 547.64, "end": 554.64, "text": " Podemos simplificar este n\u00famero 5 que tambi\u00e9n est\u00e1 arriba y abajo."}, {"start": 554.64, "end": 559.64, "text": " Y entonces la expresi\u00f3n nos va a quedar de la siguiente manera."}, {"start": 559.64, "end": 562.64, "text": " Vamos a continuar por ac\u00e1 m\u00e1s abajo."}, {"start": 562.64, "end": 573.64, "text": " Tenemos la integral de coseno de theta por 5 por coseno de theta es 5 coseno al cuadrado de theta."}, {"start": 573.64, "end": 581.64, "text": " Y en el denominador tenemos lo que es seno de theta \u00fanicamente."}, {"start": 581.64, "end": 586.64, "text": " Y todo esto acompa\u00f1ado del diferencial de theta."}, {"start": 586.64, "end": 591.64, "text": " En esa expresi\u00f3n es posible retirar el 5."}, {"start": 591.64, "end": 597.64, "text": " Lo escribimos por fuera de la integral por ser una constante que est\u00e1 multiplicando."}, {"start": 597.64, "end": 604.64, "text": " Entonces nos queda en el integrando coseno al cuadrado de theta sobre seno de theta."}, {"start": 604.64, "end": 608.64, "text": " Y todo esto con el diferencial de theta."}, {"start": 608.64, "end": 621.64, "text": " Como podemos observar la integral original que estaba en t\u00e9rminos de x ahora se ha convertido en una integral trigonom\u00e9trica en t\u00e9rminos de theta."}, {"start": 621.64, "end": 626.64, "text": " Ahora nuestro problema es dar soluci\u00f3n a esta integral."}, {"start": 626.64, "end": 641.64, "text": " Para ello vamos a cambiar en el numerador lo que es coseno al cuadrado de theta por 1 menos seno al cuadrado de theta."}, {"start": 641.64, "end": 648.64, "text": " Recordemos que eso proviene de la identidad fundamental de la trigonometr\u00eda."}, {"start": 648.64, "end": 653.64, "text": " Seno al cuadrado de theta m\u00e1s coseno al cuadrado de theta es igual a 1."}, {"start": 653.64, "end": 662.64, "text": " Si hacemos el despeje de coseno al cuadrado de theta entonces este componente pasa al otro lado a restar."}, {"start": 662.64, "end": 666.64, "text": " Y nos queda 1 menos seno al cuadrado de theta."}, {"start": 666.64, "end": 670.64, "text": " Ese es el cambio que hemos hecho en esta ocasi\u00f3n."}, {"start": 670.64, "end": 675.64, "text": " Y todo esto nos queda sobre seno de theta."}, {"start": 675.64, "end": 681.64, "text": " Acompa\u00f1ado del respectivo diferencial de theta."}, {"start": 681.64, "end": 691.64, "text": " All\u00ed podemos repartir este componente que est\u00e1 en el denominador para cada uno de los t\u00e9rminos del numerador."}, {"start": 691.64, "end": 693.64, "text": " Entonces nos queda as\u00ed."}, {"start": 693.64, "end": 706.64, "text": " 5 por la integral de 1 sobre seno de theta menos seno al cuadrado de theta sobre seno de theta."}, {"start": 706.64, "end": 713.64, "text": " Protegemos el integrando con par\u00e9ntesis y escribimos el respectivo diferencial de theta."}, {"start": 713.64, "end": 718.64, "text": " Vamos a continuar por ac\u00e1 m\u00e1s abajo."}, {"start": 718.64, "end": 722.64, "text": " Escribimos el 5 que est\u00e1 por fuera de la integral."}, {"start": 722.64, "end": 728.64, "text": " Y 1 sobre seno de theta se convierte en cosecante de theta."}, {"start": 728.64, "end": 733.64, "text": " Recordemos que es una de las identidades trigonom\u00e9tricas b\u00e1sicas."}, {"start": 733.64, "end": 739.64, "text": " Y ac\u00e1 tenemos que seno al cuadrado de theta sobre seno de theta."}, {"start": 739.64, "end": 744.64, "text": " Simplificando eso nos da simplemente seno de theta."}, {"start": 744.64, "end": 749.64, "text": " Protegemos con par\u00e9ntesis y escribimos el diferencial de theta."}, {"start": 749.64, "end": 761.64, "text": " Ya en esta etapa del ejercicio podemos entonces repartir la integral para cada uno de estos componentes."}, {"start": 761.64, "end": 770.64, "text": " Si seguimos corchete tenemos la integral de cosecante de theta con su diferencial de theta"}, {"start": 770.64, "end": 779.64, "text": " menos la integral de seno de theta con su respectivo diferencial de theta."}, {"start": 779.64, "end": 782.64, "text": " Y cerramos el corchete."}, {"start": 782.64, "end": 788.64, "text": " Bien, vamos a continuar el ejercicio por ac\u00e1."}, {"start": 788.64, "end": 796.64, "text": " Escribimos el 5, abrimos el corchete y tenemos que el resultado de esta integral es"}, {"start": 796.64, "end": 803.64, "text": " menos logaritmo natural de cosecante de theta m\u00e1s cotangente de theta."}, {"start": 803.64, "end": 811.64, "text": " Ahora que finalice la explicaci\u00f3n de esta integral que estamos resolviendo por sustituci\u00f3n trigonom\u00e9trica,"}, {"start": 811.64, "end": 819.64, "text": " voy a resolver esta integral para mostrar por qu\u00e9 su resultado es esta expresi\u00f3n."}, {"start": 819.64, "end": 826.64, "text": " Esto menos la integral de seno de theta que es menos coseno de theta."}, {"start": 826.64, "end": 836.64, "text": " Protegemos con par\u00e9ntesis, cerramos el corchete y escribimos por primera vez la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 836.64, "end": 846.64, "text": " Aqu\u00ed podemos aplicar ley de los signos, menos por menos es m\u00e1s, entonces vamos a quitar este par\u00e9ntesis"}, {"start": 846.64, "end": 849.64, "text": " y aqu\u00ed cambiamos al signo m\u00e1s."}, {"start": 849.64, "end": 857.64, "text": " Vamos a realizar tambi\u00e9n la propiedad distributiva, seguimos por ac\u00e1, tenemos 5 por todo esto,"}, {"start": 857.64, "end": 867.64, "text": " que ser\u00eda menos 5 por logaritmo natural de cosecante de theta m\u00e1s cotangente de theta"}, {"start": 867.64, "end": 876.64, "text": " y esto m\u00e1s 5 por coseno de theta, todo esto m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 876.64, "end": 883.64, "text": " Enseguida vamos a cambiar estos dos componentes por sus equivalentes"}, {"start": 883.64, "end": 887.64, "text": " en lo que son las identidades b\u00e1sicas de la trigonometr\u00eda."}, {"start": 887.64, "end": 896.64, "text": " Tenemos que cosecante de theta es 1 sobre seno de theta m\u00e1s cotangente de theta"}, {"start": 896.64, "end": 909.64, "text": " que equivale a coseno de theta sobre seno de theta y todo esto m\u00e1s 5 coseno de theta m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 909.64, "end": 919.64, "text": " Esto a su vez lo podemos escribir como menos 5 por logaritmo natural de, dejamos una sola l\u00ednea,"}, {"start": 919.64, "end": 927.64, "text": " conservamos el denominador que es seno de theta y arriba escribimos 1 m\u00e1s coseno de theta."}, {"start": 927.64, "end": 934.64, "text": " Recordemos que esto es suma de fracciones homog\u00e9neas, fracciones con el mismo denominador,"}, {"start": 934.64, "end": 939.64, "text": " ese componente queda igual y escribimos la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 939.64, "end": 946.64, "text": " Cuando ya tenemos el ejercicio en esta etapa en t\u00e9rminos de seno de theta y coseno de theta"}, {"start": 946.64, "end": 953.64, "text": " podemos recurrir nuevamente al tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo que construimos al principio"}, {"start": 953.64, "end": 961.64, "text": " y de donde obtuvimos justamente estas razones trigonom\u00e9tricas en t\u00e9rminos de X."}, {"start": 961.64, "end": 970.64, "text": " Bien, aqu\u00ed lo tenemos de nuevo y vamos a obtener como dec\u00edamos cada uno de estos componentes,"}, {"start": 970.64, "end": 976.64, "text": " seno de theta y coseno de theta en t\u00e9rminos de la variable X."}, {"start": 976.64, "end": 984.64, "text": " Entonces tenemos 1 m\u00e1s coseno de theta que es cateto adyacente sobre hipotenusa."}, {"start": 984.64, "end": 992.64, "text": " Entonces lo vamos a escribir por ac\u00e1, en el numerador el cateto adyacente ra\u00edz cuadrada de 25"}, {"start": 992.64, "end": 1003.64, "text": " menos 16X al cuadrado y todo esto sobre la hipotenusa que es 5."}, {"start": 1003.64, "end": 1010.64, "text": " Ac\u00e1 en el denominador tenemos seno de theta que es cateto opuesto sobre hipotenusa,"}, {"start": 1010.64, "end": 1021.64, "text": " o sea 4X sobre 5 y as\u00ed cerramos este par\u00e9ntesis que protege el argumento de ese logaritmo natural."}, {"start": 1021.64, "end": 1028.6399999999999, "text": " Y ahora esto m\u00e1s 5 que multiplica a coseno de theta."}, {"start": 1028.6399999999999, "end": 1033.6399999999999, "text": " Coseno de theta es otra vez cateto adyacente sobre hipotenusa."}, {"start": 1033.64, "end": 1043.64, "text": " Entonces ac\u00e1 en el numerador tenemos 25 menos 16X al cuadrado, todo esto dentro de la ra\u00edz cuadrada"}, {"start": 1043.64, "end": 1050.64, "text": " y ac\u00e1 en el denominador justamente la hipotenusa que vale 5."}, {"start": 1050.64, "end": 1057.64, "text": " Y todo esto m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 1057.64, "end": 1064.64, "text": " En seguida vamos a resolver esta operaci\u00f3n que tenemos dentro del par\u00e9ntesis."}, {"start": 1064.64, "end": 1069.64, "text": " Podemos cambiar este 1 por la fracci\u00f3n 5 quintos."}, {"start": 1069.64, "end": 1074.64, "text": " Si recordemos que 5 quintos es una fracci\u00f3n equivalente a la unidad,"}, {"start": 1074.64, "end": 1081.64, "text": " entonces eso lo hacemos para tener suma de fracciones homog\u00e9neas en el numerador."}, {"start": 1081.64, "end": 1090.64, "text": " Entonces abrimos el par\u00e9ntesis, conservamos el mismo denominador, all\u00ed tenemos el 5"}, {"start": 1090.64, "end": 1094.64, "text": " y escribimos la suma de los numeradores."}, {"start": 1094.64, "end": 1105.64, "text": " 5 m\u00e1s la ra\u00edz cuadrada de 25 menos 16X al cuadrado."}, {"start": 1105.64, "end": 1113.64, "text": " Y en el denominador continuamos con 4X sobre 5 y cerramos el par\u00e9ntesis."}, {"start": 1113.64, "end": 1118.64, "text": " Por ac\u00e1 podemos simplificar estos n\u00fameros 5."}, {"start": 1118.64, "end": 1129.64, "text": " Entonces estos los cancelamos y nos queda la ra\u00edz cuadrada de 25 menos 16X al cuadrado"}, {"start": 1129.64, "end": 1135.64, "text": " y todo esto m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 1135.64, "end": 1141.64, "text": " Aqu\u00ed en este conciente de fracciones podemos aplicar el siguiente truco."}, {"start": 1141.64, "end": 1147.64, "text": " Recordemos que si tenemos una fracci\u00f3n A sobre C sobre otra fracci\u00f3n B sobre C,"}, {"start": 1147.64, "end": 1157.64, "text": " entonces como tienen el mismo denominador podemos suprimirlos y nos quedar\u00eda \u00fanicamente A sobre B."}, {"start": 1157.64, "end": 1159.64, "text": " Pues bien, eso est\u00e1 sucediendo ac\u00e1."}, {"start": 1159.64, "end": 1170.64, "text": " Podemos suprimir estos dos denominadores que son iguales y nos va a quedar dentro del par\u00e9ntesis esto sobre 4X."}, {"start": 1170.64, "end": 1178.64, "text": " Bien, aqu\u00ed podemos observar ese resultado y de esta manera terminamos el ejercicio."}, {"start": 1178.64, "end": 1189.64, "text": " Hemos encontrado la expresi\u00f3n que corresponde a la integral, vamos a recordarla,"}, {"start": 1189.64, "end": 1204.64, "text": " de la ra\u00edz cuadrada de 25 menos 16X al cuadrado y todo esto sobre X con su respectivo diferencial de X."}, {"start": 1204.64, "end": 1211.64, "text": " Entonces, como hemos visto, se utiliz\u00f3 el m\u00e9todo de la sustituci\u00f3n trigonom\u00e9trica."}, {"start": 1211.64, "end": 1218.64, "text": " El resultado de esta integral es toda esta expresi\u00f3n."}, {"start": 1218.64, "end": 1223.64, "text": " Bien, como dec\u00eda anteriormente, vamos a resolver esta integral,"}, {"start": 1223.64, "end": 1228.64, "text": " la decosecante de \u03b8 con su respectivo diferencial de \u03b8."}, {"start": 1228.64, "end": 1238.64, "text": " Para empezar, debemos utilizar un artificio matem\u00e1tico, una especie de truco que consiste en multiplicar esa expresi\u00f3n"}, {"start": 1238.64, "end": 1250.64, "text": " por lo que es cosecante de \u03b8 m\u00e1s cotangente de \u03b8 y dividimos por esa misma expresi\u00f3n."}, {"start": 1250.64, "end": 1259.64, "text": " Entonces, multiplicamos y dividimos cosecante de \u03b8 por lo que es cosecante de \u03b8 m\u00e1s cotangente de \u03b8."}, {"start": 1259.64, "end": 1262.64, "text": " Es lo que se llama un artificio matem\u00e1tico."}, {"start": 1262.64, "end": 1271.64, "text": " En seguida, vamos a multiplicar los numeradores. Recordemos que esto aqu\u00ed tiene denominador 1."}, {"start": 1271.64, "end": 1280.64, "text": " Entonces, al multiplicar numeradores, tenemos cosecante de \u03b8 que se distribuye para estos dos componentes"}, {"start": 1280.64, "end": 1290.64, "text": " y tenemos cosecante al cuadrado de \u03b8 m\u00e1s cosecante de \u03b8 por cotangente de \u03b8."}, {"start": 1290.64, "end": 1300.64, "text": " Y todo esto sobre la misma expresi\u00f3n que estar\u00eda multiplicada con este uno invisible que tenemos ac\u00e1 debajo de cosecante de \u03b8."}, {"start": 1300.64, "end": 1313.64, "text": " Entonces, 1 por esto nos da cosecante de \u03b8 m\u00e1s cotangente de \u03b8 y todo esto con su respectivo diferencial de \u03b8."}, {"start": 1313.64, "end": 1323.64, "text": " Ahora, aqu\u00ed vamos a utilizar una sustituci\u00f3n, el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n o cambio de variable."}, {"start": 1323.64, "end": 1330.64, "text": " Vamos a llamar, por ejemplo, con la letra P a lo que es el denominador de la fracci\u00f3n."}, {"start": 1330.64, "end": 1336.64, "text": " Entonces, P es igual a cosecante de \u03b8 m\u00e1s cotangente de \u03b8."}, {"start": 1336.64, "end": 1346.64, "text": " Vamos a destacar este componente y en seguida esto lo vamos a derivar."}, {"start": 1346.64, "end": 1350.64, "text": " Vamos a derivar P con respecto a \u03b8."}, {"start": 1350.64, "end": 1359.64, "text": " Tenemos que la derivada de cosecante de \u03b8 es menos cosecante de \u03b8 por cotangente de \u03b8."}, {"start": 1359.64, "end": 1367.64, "text": " Y la derivada de cotangente de \u03b8 es menos cosecante al cuadrado de \u03b8."}, {"start": 1367.64, "end": 1371.64, "text": " Ahora, de all\u00ed necesitamos despejar de \u03b8."}, {"start": 1371.64, "end": 1376.64, "text": " De \u03b8 que est\u00e1n dividiendo, pasar\u00eda al otro lado a multiplicar."}, {"start": 1376.64, "end": 1383.64, "text": " Vamos a quitarlo de aqu\u00ed, dejamos aqu\u00ed solamente de P."}, {"start": 1383.64, "end": 1388.64, "text": " Y entonces todo esto queda multiplicado por de \u03b8."}, {"start": 1388.64, "end": 1391.64, "text": " Como dec\u00edamos, pasa a multiplicar al otro lado."}, {"start": 1391.64, "end": 1393.64, "text": " Y ya nos queda f\u00e1cil despejar de \u03b8."}, {"start": 1393.64, "end": 1399.64, "text": " Ahora, todo esto que est\u00e1 multiplicando pasa a dividir debajo de de P."}, {"start": 1399.64, "end": 1402.64, "text": " Entonces, vamos a escribir eso por ac\u00e1."}, {"start": 1402.64, "end": 1411.64, "text": " De \u03b8 es igual a dt sobre toda esta expresi\u00f3n."}, {"start": 1411.64, "end": 1420.64, "text": " Menos cosecante de \u03b8 por cotangente de \u03b8, menos cosecante al cuadrado de \u03b8."}, {"start": 1420.64, "end": 1427.64, "text": " A su vez, ac\u00e1 en el denominador podemos extraer factor com\u00fan el signo negativo."}, {"start": 1427.64, "end": 1434.64, "text": " Entonces, esto lo podemos escribir as\u00ed, protegido con par\u00e9ntesis, el signo negativo por fuera."}, {"start": 1434.64, "end": 1437.64, "text": " Y ac\u00e1 tenemos signo positivo."}, {"start": 1437.64, "end": 1442.64, "text": " Y a su vez, ese signo menos podemos trasladarlo ac\u00e1 al numerador."}, {"start": 1442.64, "end": 1446.64, "text": " Entonces, nos queda mejor presentado de esta manera."}, {"start": 1446.64, "end": 1454.64, "text": " Vamos a destacar este componente porque lo necesitamos ahora para reconstruir esta integral."}, {"start": 1454.64, "end": 1464.64, "text": " Haciendo entonces los cambios en la integral original, tenemos lo siguiente."}, {"start": 1464.64, "end": 1468.64, "text": " Para el caso del numerador, la misma expresi\u00f3n."}, {"start": 1468.64, "end": 1478.64, "text": " Cosecante al cuadrado de \u03b8, m\u00e1s cosecante de \u03b8, por cotangente de \u03b8."}, {"start": 1478.64, "end": 1486.64, "text": " En el denominador tenemos esto que equivale a P, y esto multiplicado por dt, que es todo esto."}, {"start": 1486.64, "end": 1488.64, "text": " Entonces, vamos a escribirlo por ac\u00e1."}, {"start": 1488.64, "end": 1503.64, "text": " Tenemos menos de P, sobre cosecante de \u03b8, por cotangente de \u03b8, m\u00e1s cosecante al cuadrado de \u03b8."}, {"start": 1503.64, "end": 1508.64, "text": " El par\u00e9ntesis que ten\u00edamos ac\u00e1 ya se puede omitir en ese caso."}, {"start": 1508.64, "end": 1515.64, "text": " Observamos que en toda esta expresi\u00f3n, este componente es exactamente igual a este."}, {"start": 1515.64, "end": 1517.64, "text": " Y se pueden cancelar."}, {"start": 1517.64, "end": 1534.64, "text": " Entonces, vamos a eliminar todo eso y el ejercicio nos va a quedar como la integral de menos de P, sobre P."}, {"start": 1534.64, "end": 1537.64, "text": " Aqu\u00ed podemos extraer el signo menos."}, {"start": 1537.64, "end": 1550.64, "text": " Nos queda integral de DP sobre P, que tambi\u00e9n podemos escribir como la integral de 1 sobre P, con su correspondiente diferencial de P."}, {"start": 1550.64, "end": 1560.64, "text": " Y recordemos que esa es una integral b\u00e1sica, una integral directa, que nos da menos logaritmo natural del valor absoluto de P."}, {"start": 1560.64, "end": 1564.64, "text": " Y all\u00ed escribir\u00edamos por primera vez la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 1564.64, "end": 1569.64, "text": " Lo que tenemos que hacer ahora es cambiar P por esta expresi\u00f3n."}, {"start": 1569.64, "end": 1575.64, "text": " Es decir, deshacer la sustituci\u00f3n o el cambio de variable."}, {"start": 1575.64, "end": 1588.64, "text": " Entonces, tenemos menos logaritmo natural de valor absoluto de P, que equivale a cosecante de \u03b8, m\u00e1s cotangente de \u03b8."}, {"start": 1588.64, "end": 1594.64, "text": " Cerramos valor absoluto y escribimos la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 1594.64, "end": 1604.64, "text": " Asumiendo que todo esto representa una cantidad positiva, podemos entonces cambiar el valor absoluto por par\u00e9ntesis."}, {"start": 1604.64, "end": 1616.64, "text": " Y de esa manera tenemos el resultado de la integral de cosecante de \u03b8, con su respectivo diferencial de \u03b8."}, {"start": 1616.64, "end": 1627.64, "text": " Y as\u00ed nos queda ya demostrado eso que utilizamos en el ejercicio anterior, que resolvimos por sustituci\u00f3n trigonom\u00e9trica."}]

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DERIVACIÓN IMPLÍCITA - Ejercicio 4

#julioprofe explica cómo obtener dy/dx derivando implícitamente una expresión. Tema: #Derivadas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwF9r-Y_Gpuq45VP0qnJIJL1 REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

En esta ocasión vamos a determinar de y de x de esa expresión. Vemos que las variables x y y se encuentran combinadas, entonces para encontrar de y de x debemos derivar esta expresión implícitamente a ambos lados con respecto a la variable x. Eso quiere decir que cada vez que derivemos algo que tenga la letra y, debemos agregar o adicionar y', o sea su derivada interna. Recordemos que eso es lo que indica la derivación implícita. Para empezar se recomienda desbaratar esta expresión. Tenemos aquí el logaritmo natural de un producto. Recordemos entonces la propiedad de los logaritmos cuando se tiene justamente un producto. Para el caso del logaritmo en base a del producto m por n, eso es igual al logaritmo en base a de m, más el logaritmo en la base a de n. Entonces el logaritmo de un producto se convierte en una suma de logaritmos. Por lo tanto, esto nos queda de la siguiente manera. El lado izquierdo de la igualdad no presenta ningún cambio y en el lado derecho tendremos logaritmo natural de x más logaritmo natural de y aplicando esta propiedad. Ahora sí podemos proceder con la derivación implícita. Entonces vamos a escribir aquí ese mensaje. Derivamos implícitamente a ambos lados con respecto a la variable x, siempre con respecto a la letra que tengamos acá en la parte de abajo de esta expresión. Entonces veamos cómo nos queda. Derivada de 5x al cubo es 15x al cuadrado más derivada de 2y a la 5 será 10y a la 4 por y'. Recordemos que esta es la precaución más importante. Si derivamos con respecto a x, lo hacemos normalmente. Aquí el 3 baja a multiplicar con el 5, por eso nos queda 15. Y acá restamos 1, por eso nos da 2. Y lo dejamos hasta allí. Pero para el caso de un término que contenga la letra y, entonces derivamos normalmente 5x2 nos da 10. 5 menos 1 aquí es 4 y agregamos y', o sea la derivada interna que es la derivada de la variable dependiente. En este caso la letra y, por eso se anexa y'. Pasamos al otro lado de la igualdad. Vamos a derivar cada término. Derivada del logaritmo natural de x será 1 sobre x. Y la derivada del logaritmo natural de y será 1 sobre y por y'. Y de nuevo, como se ha derivado algo que contiene la letra y, debemos adicionar o agregar su derivada interna que es y'. Ahora lo que hacemos es dejar a un lado de la igualdad los términos que contengan y' y al otro lado los que no contengan dicho componente. Vamos a dejar al lado izquierdo aquellos que contienen y'. Entonces tenemos 10y4 por y', se deja este término y pasamos este al otro lado. Llega entonces negativo o llega a restar. Menos 1 sobre y por y'. Y esto queda igual a 1 sobre x, este componente se deja en el lado derecho y pasamos este que está positivo, entonces llega al otro lado negativo, menos 15x al cuadrado. Ahora, en este lado vamos a extraer factor común y'. Nos queda y', factor común de 10y4 menos 1 sobre y'. Y cerramos paréntesis. Y en este lado dejamos exactamente la misma expresión. Ahora vamos a pasar este componente que está multiplicando al otro lado a dividir. Y con eso conseguimos despejar y', que es nuestro objetivo principal. Entonces vamos a trazar una línea, encima de ella escribimos esta expresión 1 sobre x menos 15x al cuadrado. Y acá en el denominador escribimos toda esa expresión. 10y4 menos 1 sobre y'. Allí ya tenemos casi listo el propósito del ejercicio, como decíamos encontrar y'. Lo que debemos hacer ahora es resolver esta parte de acá, es decir aplicar el álgebra. Tenemos entonces que y' se puede cambiar por dy de x. Durante el proceso es mucho más cómodo trabajar con y', pero al final se recomienda cambiarlo a esta expresión, que especifica que es la derivada de la variable y con respecto a la variable x. Vamos entonces a resolver lo que tenemos a este lado. Es lo que llamamos en álgebra una fracción algebrálica. Entonces para esta expresión vamos a completar con denominador 1. Y como son fracciones con distinto denominador, entonces vamos a aplicar el truco rápido de la carita feliz. Vamos a ver en qué consiste. Abajo tenemos x por 1, que es x. Arriba 1 por 1, que es 1, menos x por 15x al cuadrado, que nos da 15x al cubo. Entonces es la famosa carita feliz, por eso se le llama de esa manera. Vamos a la parte de abajo, donde vamos a realizar exactamente lo mismo. Tenemos fracciones con distinto denominador, entonces trazamos la línea. Abajo 1 por y, que nos da y. Arriba tenemos 10y a la 4 por y, que nos da 10y a la 5 menos 1 por 1, que es 1. También hemos aplicado la famosa carita feliz. En seguida aplicamos lo que se conoce como la ley de la oreja. Vamos a multiplicar estos dos componentes en la parte de arriba y estos dos en la parte de abajo. Entonces de y de x nos va a quedar de la siguiente manera. Trazamos la línea principal, arriba la multiplicación de los extremos. O sea, y que multiplica con todo eso. Y abrimos paréntesis 1 menos 15x al cubo. Se protege con paréntesis ese binomio y en la parte de abajo la multiplicación de los medios. Estos son los extremos y estos son los medios. Abajo tenemos x que multiplica a 10y a la 5 menos 1. Y allí podemos dejar la respuesta. Hemos conseguido el propósito principal, que es encontrar de y de x para la expresión que nos dieron. Y como se observó, se utilizó la derivación implícita.

[{"start": 0.0, "end": 5.4, "text": " En esta ocasi\u00f3n vamos a determinar de y de x de esa expresi\u00f3n."}, {"start": 5.4, "end": 9.8, "text": " Vemos que las variables x y y se encuentran combinadas,"}, {"start": 9.8, "end": 15.200000000000001, "text": " entonces para encontrar de y de x debemos derivar esta expresi\u00f3n"}, {"start": 15.200000000000001, "end": 21.0, "text": " impl\u00edcitamente a ambos lados con respecto a la variable x."}, {"start": 21.0, "end": 26.2, "text": " Eso quiere decir que cada vez que derivemos algo que tenga la letra y,"}, {"start": 26.2, "end": 32.4, "text": " debemos agregar o adicionar y', o sea su derivada interna."}, {"start": 32.4, "end": 37.8, "text": " Recordemos que eso es lo que indica la derivaci\u00f3n impl\u00edcita."}, {"start": 37.8, "end": 42.599999999999994, "text": " Para empezar se recomienda desbaratar esta expresi\u00f3n."}, {"start": 42.599999999999994, "end": 46.6, "text": " Tenemos aqu\u00ed el logaritmo natural de un producto."}, {"start": 46.6, "end": 51.4, "text": " Recordemos entonces la propiedad de los logaritmos"}, {"start": 51.4, "end": 55.2, "text": " cuando se tiene justamente un producto."}, {"start": 55.2, "end": 60.400000000000006, "text": " Para el caso del logaritmo en base a del producto m por n,"}, {"start": 60.400000000000006, "end": 64.60000000000001, "text": " eso es igual al logaritmo en base a de m,"}, {"start": 64.60000000000001, "end": 70.2, "text": " m\u00e1s el logaritmo en la base a de n."}, {"start": 70.2, "end": 76.60000000000001, "text": " Entonces el logaritmo de un producto se convierte en una suma de logaritmos."}, {"start": 76.60000000000001, "end": 83.0, "text": " Por lo tanto, esto nos queda de la siguiente manera."}, {"start": 83.0, "end": 87.6, "text": " El lado izquierdo de la igualdad no presenta ning\u00fan cambio"}, {"start": 87.6, "end": 92.6, "text": " y en el lado derecho tendremos logaritmo natural de x"}, {"start": 92.6, "end": 99.2, "text": " m\u00e1s logaritmo natural de y aplicando esta propiedad."}, {"start": 99.2, "end": 104.4, "text": " Ahora s\u00ed podemos proceder con la derivaci\u00f3n impl\u00edcita."}, {"start": 104.4, "end": 108.8, "text": " Entonces vamos a escribir aqu\u00ed ese mensaje."}, {"start": 108.8, "end": 122.0, "text": " Derivamos impl\u00edcitamente a ambos lados con respecto a la variable x,"}, {"start": 122.0, "end": 129.2, "text": " siempre con respecto a la letra que tengamos ac\u00e1 en la parte de abajo de esta expresi\u00f3n."}, {"start": 129.2, "end": 131.6, "text": " Entonces veamos c\u00f3mo nos queda."}, {"start": 131.6, "end": 139.6, "text": " Derivada de 5x al cubo es 15x al cuadrado"}, {"start": 139.6, "end": 149.4, "text": " m\u00e1s derivada de 2y a la 5 ser\u00e1 10y a la 4 por y'."}, {"start": 149.4, "end": 153.2, "text": " Recordemos que esta es la precauci\u00f3n m\u00e1s importante."}, {"start": 153.2, "end": 158.4, "text": " Si derivamos con respecto a x, lo hacemos normalmente."}, {"start": 158.4, "end": 162.20000000000002, "text": " Aqu\u00ed el 3 baja a multiplicar con el 5, por eso nos queda 15."}, {"start": 162.20000000000002, "end": 165.20000000000002, "text": " Y ac\u00e1 restamos 1, por eso nos da 2."}, {"start": 165.20000000000002, "end": 167.4, "text": " Y lo dejamos hasta all\u00ed."}, {"start": 167.4, "end": 171.0, "text": " Pero para el caso de un t\u00e9rmino que contenga la letra y,"}, {"start": 171.0, "end": 176.8, "text": " entonces derivamos normalmente 5x2 nos da 10."}, {"start": 176.8, "end": 181.20000000000002, "text": " 5 menos 1 aqu\u00ed es 4 y agregamos y',"}, {"start": 181.20000000000002, "end": 188.0, "text": " o sea la derivada interna que es la derivada de la variable dependiente."}, {"start": 188.0, "end": 193.2, "text": " En este caso la letra y, por eso se anexa y'."}, {"start": 193.2, "end": 196.2, "text": " Pasamos al otro lado de la igualdad."}, {"start": 196.2, "end": 198.6, "text": " Vamos a derivar cada t\u00e9rmino."}, {"start": 198.6, "end": 205.6, "text": " Derivada del logaritmo natural de x ser\u00e1 1 sobre x."}, {"start": 205.6, "end": 213.4, "text": " Y la derivada del logaritmo natural de y ser\u00e1 1 sobre y por y'."}, {"start": 213.4, "end": 218.4, "text": " Y de nuevo, como se ha derivado algo que contiene la letra y,"}, {"start": 218.4, "end": 225.8, "text": " debemos adicionar o agregar su derivada interna que es y'."}, {"start": 225.8, "end": 232.20000000000002, "text": " Ahora lo que hacemos es dejar a un lado de la igualdad los t\u00e9rminos que contengan y'"}, {"start": 232.20000000000002, "end": 237.20000000000002, "text": " y al otro lado los que no contengan dicho componente."}, {"start": 237.20000000000002, "end": 241.6, "text": " Vamos a dejar al lado izquierdo aquellos que contienen y'."}, {"start": 241.6, "end": 251.4, "text": " Entonces tenemos 10y4 por y', se deja este t\u00e9rmino y pasamos este al otro lado."}, {"start": 251.4, "end": 255.2, "text": " Llega entonces negativo o llega a restar."}, {"start": 255.2, "end": 259.6, "text": " Menos 1 sobre y por y'."}, {"start": 259.6, "end": 263.2, "text": " Y esto queda igual a 1 sobre x,"}, {"start": 263.2, "end": 268.8, "text": " este componente se deja en el lado derecho y pasamos este que est\u00e1 positivo,"}, {"start": 268.8, "end": 277.0, "text": " entonces llega al otro lado negativo, menos 15x al cuadrado."}, {"start": 277.0, "end": 283.0, "text": " Ahora, en este lado vamos a extraer factor com\u00fan y'."}, {"start": 283.0, "end": 291.6, "text": " Nos queda y', factor com\u00fan de 10y4 menos 1 sobre y'."}, {"start": 291.6, "end": 294.0, "text": " Y cerramos par\u00e9ntesis."}, {"start": 294.0, "end": 301.8, "text": " Y en este lado dejamos exactamente la misma expresi\u00f3n."}, {"start": 301.8, "end": 309.4, "text": " Ahora vamos a pasar este componente que est\u00e1 multiplicando al otro lado a dividir."}, {"start": 309.4, "end": 316.6, "text": " Y con eso conseguimos despejar y', que es nuestro objetivo principal."}, {"start": 316.6, "end": 325.40000000000003, "text": " Entonces vamos a trazar una l\u00ednea, encima de ella escribimos esta expresi\u00f3n 1 sobre x"}, {"start": 325.40000000000003, "end": 329.8, "text": " menos 15x al cuadrado."}, {"start": 329.8, "end": 334.8, "text": " Y ac\u00e1 en el denominador escribimos toda esa expresi\u00f3n."}, {"start": 334.8, "end": 341.6, "text": " 10y4 menos 1 sobre y'."}, {"start": 341.6, "end": 347.40000000000003, "text": " All\u00ed ya tenemos casi listo el prop\u00f3sito del ejercicio,"}, {"start": 347.40000000000003, "end": 349.8, "text": " como dec\u00edamos encontrar y'."}, {"start": 349.8, "end": 354.20000000000005, "text": " Lo que debemos hacer ahora es resolver esta parte de ac\u00e1,"}, {"start": 354.20000000000005, "end": 357.0, "text": " es decir aplicar el \u00e1lgebra."}, {"start": 357.0, "end": 363.0, "text": " Tenemos entonces que y' se puede cambiar por dy de x."}, {"start": 363.0, "end": 367.6, "text": " Durante el proceso es mucho m\u00e1s c\u00f3modo trabajar con y',"}, {"start": 367.6, "end": 371.6, "text": " pero al final se recomienda cambiarlo a esta expresi\u00f3n,"}, {"start": 371.6, "end": 378.8, "text": " que especifica que es la derivada de la variable y con respecto a la variable x."}, {"start": 378.8, "end": 383.8, "text": " Vamos entonces a resolver lo que tenemos a este lado."}, {"start": 383.8, "end": 388.40000000000003, "text": " Es lo que llamamos en \u00e1lgebra una fracci\u00f3n algebr\u00e1lica."}, {"start": 388.40000000000003, "end": 394.8, "text": " Entonces para esta expresi\u00f3n vamos a completar con denominador 1."}, {"start": 394.8, "end": 398.40000000000003, "text": " Y como son fracciones con distinto denominador,"}, {"start": 398.40000000000003, "end": 404.2, "text": " entonces vamos a aplicar el truco r\u00e1pido de la carita feliz."}, {"start": 404.2, "end": 406.0, "text": " Vamos a ver en qu\u00e9 consiste."}, {"start": 406.0, "end": 409.6, "text": " Abajo tenemos x por 1, que es x."}, {"start": 409.6, "end": 413.2, "text": " Arriba 1 por 1, que es 1,"}, {"start": 413.2, "end": 420.8, "text": " menos x por 15x al cuadrado, que nos da 15x al cubo."}, {"start": 420.8, "end": 427.6, "text": " Entonces es la famosa carita feliz, por eso se le llama de esa manera."}, {"start": 427.6, "end": 433.2, "text": " Vamos a la parte de abajo, donde vamos a realizar exactamente lo mismo."}, {"start": 433.2, "end": 436.8, "text": " Tenemos fracciones con distinto denominador,"}, {"start": 436.8, "end": 438.8, "text": " entonces trazamos la l\u00ednea."}, {"start": 438.8, "end": 442.0, "text": " Abajo 1 por y, que nos da y."}, {"start": 442.0, "end": 446.6, "text": " Arriba tenemos 10y a la 4 por y,"}, {"start": 446.6, "end": 454.20000000000005, "text": " que nos da 10y a la 5 menos 1 por 1, que es 1."}, {"start": 454.20000000000005, "end": 460.6, "text": " Tambi\u00e9n hemos aplicado la famosa carita feliz."}, {"start": 460.6, "end": 466.0, "text": " En seguida aplicamos lo que se conoce como la ley de la oreja."}, {"start": 466.0, "end": 470.40000000000003, "text": " Vamos a multiplicar estos dos componentes en la parte de arriba"}, {"start": 470.40000000000003, "end": 474.40000000000003, "text": " y estos dos en la parte de abajo."}, {"start": 474.4, "end": 481.79999999999995, "text": " Entonces de y de x nos va a quedar de la siguiente manera."}, {"start": 481.79999999999995, "end": 484.0, "text": " Trazamos la l\u00ednea principal,"}, {"start": 484.0, "end": 487.4, "text": " arriba la multiplicaci\u00f3n de los extremos."}, {"start": 487.4, "end": 490.2, "text": " O sea, y que multiplica con todo eso."}, {"start": 490.2, "end": 497.2, "text": " Y abrimos par\u00e9ntesis 1 menos 15x al cubo."}, {"start": 497.2, "end": 500.79999999999995, "text": " Se protege con par\u00e9ntesis ese binomio"}, {"start": 500.8, "end": 505.2, "text": " y en la parte de abajo la multiplicaci\u00f3n de los medios."}, {"start": 505.2, "end": 509.0, "text": " Estos son los extremos y estos son los medios."}, {"start": 509.0, "end": 517.4, "text": " Abajo tenemos x que multiplica a 10y a la 5 menos 1."}, {"start": 517.4, "end": 521.4, "text": " Y all\u00ed podemos dejar la respuesta."}, {"start": 521.4, "end": 525.0, "text": " Hemos conseguido el prop\u00f3sito principal,"}, {"start": 525.0, "end": 530.0, "text": " que es encontrar de y de x para la expresi\u00f3n que nos dieron."}, {"start": 530.0, "end": 535.6, "text": " Y como se observ\u00f3, se utiliz\u00f3 la derivaci\u00f3n impl\u00edcita."}]

julioprofe

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Problema 4 con SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2×2

#julioprofe explica cómo resolver un problema con dos incógnitas y dos ecuaciones: Por tres adultos y cinco niños se pagan 190 € para entrar a un parque de diversiones. Si son cuatro adultos y siete niños, el valor a cancelar es 260 €. ¿Cuál es el valor de cada entrada para adulto y para niño? Tema: #SistemasDeEcuaciones → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEFAYT8s7eBiUPuANxiqi_l REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Por 3 adultos y 5 niños se pagan 190 euros para entrar a un parque de diversiones. Si son 4 adultos y 7 niños, el valor a cancelar es 260 euros. Se pregunta ¿Cuál es el valor de cada entrada para adulto y para niño? Bien, tenemos en esta ocasión un problema donde tenemos que definir dos incógnitas. Y vamos a remitirnos a la pregunta. Nos piden encontrar el valor de cada entrada para adulto y para niño. Entonces podemos utilizar las letras iniciales, decir que a es el precio de la entrada para adulto. Este valor expresado en euros que es la unidad monetaria que tenemos en el problema. Y vamos a designar con la letra N el precio de la entrada para niño, también en euros. Y entonces, habiendo definido esas dos incógnitas, vamos a construir dos ecuaciones que corresponden a los enunciados que presenta el problema. Vamos entonces con la primera. Dice el primer enunciado. Por 3 adultos, entonces eso se representa como 3A lo que se paga por las entradas de 3 adultos. Y 5 niños, entonces más 5N, se pagan 190 euros. Esto lo igualamos a 190. Entonces allí tenemos la primera información traducida a una ecuación. Vamos ahora con la segunda. Dice, si son 4 adultos, entonces 4A y 7 niños, entonces más 7N, el valor a cancelar es 260 euros. Entonces esta expresión se iguala a 260. Tenemos entonces dos ecuaciones con dos incógnitas. Lo que se conoce como un sistema de ecuaciones lineales de 2x2. Vamos entonces a resolverlo. Podríamos utilizar varios métodos para resolver este sistema de ecuaciones. Tenemos el método de sustitución, el método de igualación, otro método llamado eliminación, o que también se conoce con el nombre de suma y resta. O incluso podríamos utilizar el método de los determinantes, lo que se conoce como la regla de Cramer. Vamos a utilizar en esta ocasión lo que es el método de igualación. Y para ello tenemos que despejar la misma letra en ambas ecuaciones. Vamos entonces a despejar, por ejemplo, la letra N de la ecuación 1 y de la ecuación 2. Tenemos en la ecuación 1 la expresión 3a más 5n igual a 190. Entonces vamos a despejar poco a poco la incógnita N. Primero debemos aislar el término 5n. Entonces 3a que está positivo y está sumando a este lado pasa negativo al otro lado. Queda 190 menos 3a. Y enseguida despejamos N. 5 que está multiplicando pasa al otro lado a dividir. Nos queda 190 menos 3a y todo esto sobre 5. Tenemos allí una nueva ecuación que vamos a etiquetar con el número 3. Entonces la ecuación 3 se deriva de la primera ecuación. Vamos ahora con la segunda. Vamos a escribirla por acá. Tenemos 4a más 7n igual a 260. Y vamos a despejar poco a poco la incógnita N. Primero aislamos este término, el término 7n. 4a que está positivo y está sumando a este lado pasa al otro lado a restar. Nos queda 260 menos 4a. Y finalmente despejamos N. Pasando 7 que está multiplicando al otro lado a dividir. Nos queda 260 menos 4a. Todo esto sobre 7. Y de esta manera tenemos una nueva ecuación que vamos a etiquetar con el número 4. Enseguida tenemos que igualar las expresiones 3 y 4. Allí es donde se produce justamente la igualación. Entonces tenemos 190 menos 3a sobre 5 igual a esta expresión. 260 menos 4a y todo esto sobre 7. Ahora nuestro trabajo es resolver esta ecuación. Para ello vamos a pasar los números que están dividiendo al otro lado a multiplicar. Entonces 7 que está dividiendo en el lado derecho pasa al lado izquierdo a multiplicar a 190 menos 3a. Y esto queda igual a 5 que llega a multiplicar a la expresión 260 menos 4a. Enseguida aplicamos la propiedad distributiva. Entonces aquí vamos a distribuir el número 7 y acá distribuimos el número 5. Veamos entonces cómo nos queda. 7 por 190 nos da 7 por 00, 7 por 963 llevamos 6, 7 por 17 y 6 que llevamos es 13. 1330 menos 7 por 3a que es 21a. Vamos ahora a este lado. 5 por 0 nos da 0, 5 por 630 escribimos el 0 y llevamos 3. 5 por 2 es 10 y 3 que llevamos es 13. Nos da 1300 menos 5 por 4a que es 20a. Ahora vamos a dejar a un lado los términos que contienen la incógnita y al otro lado los números. Entonces se queda en el lado izquierdo el término menos 21a y pasamos este término que está restando entonces llega a sumar al otro lado. Nos queda más 20a. Esto es igual a 1300. Este número permanece intacto y pasamos este número que está positivo entonces llega al otro lado negativo. Llega como menos 1330. Efectuamos ahora la operación de estos dos términos semejantes. Menos 21a más 20a nos da como resultado menos a. Y también resolvemos al otro lado. Esta operación nos da como resultado menos 30. Finalmente para encontrar el valor de la incógnita a entonces podemos multiplicar aquí la igualdad por menos 1 a ambos lados. Esto con el objetivo de deshacernos de esos signos negativos. Entonces al lado izquierdo nos queda a y en el lado derecho nos queda 30. Y de esta manera encontramos el valor de la primera incógnita. Esto significa que el valor de una entrada de adulto es 30 euros. Ahora para encontrar el valor de la otra incógnita podemos recurrir bien sea a las ecuaciones originales 1 y 2 o también a las ecuaciones 3 y 4. En realidad usamos la que mejor nos parezca. Donde veamos que es más sencillo encontrar el valor de n. Para el caso de este ejercicio donde hemos utilizado el método de igualación. Se recomienda aprovechar estos despejes cualquiera de las ecuaciones 3 o 4. Vamos a reemplazar entonces en la tercera. Vamos a utilizar esa expresión para encontrar el valor de n. Vamos a reemplazar allí a que vale 30. Entonces nos queda 190 menos 3 por 30. Allí sustituimos el valor de a y todo esto queda sobre 5. Resolvemos se queda 190 menos, ejecutamos esa multiplicación 3 por 30 nos da 90 y todo esto queda sobre 5. Resolvemos la resta que hay en el numerador. Eso nos da como resultado 100 y nos queda 100 quintos o sea 100 dividido entre 5. Entonces allí resolvemos y encontramos que n toma el valor 20. Así encontramos el valor de la otra incógnita. Bien de esta manera ya podemos dar la respuesta a este problema. Decimos que el valor de una entrada de adulto es 30 euros. Y el valor de una entrada de niño es 20 euros. De esta manera terminamos este problema.

[{"start": 0.0, "end": 8.6, "text": " Por 3 adultos y 5 ni\u00f1os se pagan 190 euros para entrar a un parque de diversiones."}, {"start": 8.6, "end": 16.4, "text": " Si son 4 adultos y 7 ni\u00f1os, el valor a cancelar es 260 euros."}, {"start": 16.4, "end": 22.400000000000002, "text": " Se pregunta \u00bfCu\u00e1l es el valor de cada entrada para adulto y para ni\u00f1o?"}, {"start": 22.4, "end": 30.2, "text": " Bien, tenemos en esta ocasi\u00f3n un problema donde tenemos que definir dos inc\u00f3gnitas."}, {"start": 30.2, "end": 33.8, "text": " Y vamos a remitirnos a la pregunta."}, {"start": 33.8, "end": 42.0, "text": " Nos piden encontrar el valor de cada entrada para adulto y para ni\u00f1o."}, {"start": 42.0, "end": 59.0, "text": " Entonces podemos utilizar las letras iniciales, decir que a es el precio de la entrada para adulto."}, {"start": 59.0, "end": 67.6, "text": " Este valor expresado en euros que es la unidad monetaria que tenemos en el problema."}, {"start": 67.6, "end": 79.6, "text": " Y vamos a designar con la letra N el precio de la entrada para ni\u00f1o, tambi\u00e9n en euros."}, {"start": 79.6, "end": 94.19999999999999, "text": " Y entonces, habiendo definido esas dos inc\u00f3gnitas, vamos a construir dos ecuaciones que corresponden a los enunciados que presenta el problema."}, {"start": 94.2, "end": 98.4, "text": " Vamos entonces con la primera."}, {"start": 98.4, "end": 101.0, "text": " Dice el primer enunciado."}, {"start": 101.0, "end": 110.80000000000001, "text": " Por 3 adultos, entonces eso se representa como 3A lo que se paga por las entradas de 3 adultos."}, {"start": 110.80000000000001, "end": 118.60000000000001, "text": " Y 5 ni\u00f1os, entonces m\u00e1s 5N, se pagan 190 euros."}, {"start": 118.60000000000001, "end": 122.60000000000001, "text": " Esto lo igualamos a 190."}, {"start": 122.6, "end": 130.0, "text": " Entonces all\u00ed tenemos la primera informaci\u00f3n traducida a una ecuaci\u00f3n."}, {"start": 130.0, "end": 134.0, "text": " Vamos ahora con la segunda."}, {"start": 134.0, "end": 150.2, "text": " Dice, si son 4 adultos, entonces 4A y 7 ni\u00f1os, entonces m\u00e1s 7N, el valor a cancelar es 260 euros."}, {"start": 150.2, "end": 156.39999999999998, "text": " Entonces esta expresi\u00f3n se iguala a 260."}, {"start": 156.39999999999998, "end": 161.0, "text": " Tenemos entonces dos ecuaciones con dos inc\u00f3gnitas."}, {"start": 161.0, "end": 167.2, "text": " Lo que se conoce como un sistema de ecuaciones lineales de 2x2."}, {"start": 167.2, "end": 172.0, "text": " Vamos entonces a resolverlo."}, {"start": 172.0, "end": 178.0, "text": " Podr\u00edamos utilizar varios m\u00e9todos para resolver este sistema de ecuaciones."}, {"start": 178.0, "end": 187.0, "text": " Tenemos el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n, el m\u00e9todo de igualaci\u00f3n, otro m\u00e9todo llamado eliminaci\u00f3n,"}, {"start": 187.0, "end": 191.6, "text": " o que tambi\u00e9n se conoce con el nombre de suma y resta."}, {"start": 191.6, "end": 199.6, "text": " O incluso podr\u00edamos utilizar el m\u00e9todo de los determinantes, lo que se conoce como la regla de Cramer."}, {"start": 199.6, "end": 208.2, "text": " Vamos a utilizar en esta ocasi\u00f3n lo que es el m\u00e9todo de igualaci\u00f3n."}, {"start": 208.2, "end": 215.2, "text": " Y para ello tenemos que despejar la misma letra en ambas ecuaciones."}, {"start": 215.2, "end": 222.6, "text": " Vamos entonces a despejar, por ejemplo, la letra N de la ecuaci\u00f3n 1 y de la ecuaci\u00f3n 2."}, {"start": 222.6, "end": 235.6, "text": " Tenemos en la ecuaci\u00f3n 1 la expresi\u00f3n 3a m\u00e1s 5n igual a 190."}, {"start": 235.6, "end": 240.6, "text": " Entonces vamos a despejar poco a poco la inc\u00f3gnita N."}, {"start": 240.6, "end": 244.6, "text": " Primero debemos aislar el t\u00e9rmino 5n."}, {"start": 244.6, "end": 252.6, "text": " Entonces 3a que est\u00e1 positivo y est\u00e1 sumando a este lado pasa negativo al otro lado."}, {"start": 252.6, "end": 256.6, "text": " Queda 190 menos 3a."}, {"start": 256.6, "end": 264.6, "text": " Y enseguida despejamos N. 5 que est\u00e1 multiplicando pasa al otro lado a dividir."}, {"start": 264.6, "end": 271.6, "text": " Nos queda 190 menos 3a y todo esto sobre 5."}, {"start": 271.6, "end": 280.6, "text": " Tenemos all\u00ed una nueva ecuaci\u00f3n que vamos a etiquetar con el n\u00famero 3."}, {"start": 280.6, "end": 286.6, "text": " Entonces la ecuaci\u00f3n 3 se deriva de la primera ecuaci\u00f3n."}, {"start": 286.6, "end": 288.6, "text": " Vamos ahora con la segunda."}, {"start": 288.6, "end": 291.6, "text": " Vamos a escribirla por ac\u00e1."}, {"start": 291.6, "end": 303.6, "text": " Tenemos 4a m\u00e1s 7n igual a 260."}, {"start": 303.6, "end": 308.6, "text": " Y vamos a despejar poco a poco la inc\u00f3gnita N."}, {"start": 308.6, "end": 312.6, "text": " Primero aislamos este t\u00e9rmino, el t\u00e9rmino 7n."}, {"start": 312.6, "end": 318.6, "text": " 4a que est\u00e1 positivo y est\u00e1 sumando a este lado pasa al otro lado a restar."}, {"start": 318.6, "end": 323.6, "text": " Nos queda 260 menos 4a."}, {"start": 323.6, "end": 326.6, "text": " Y finalmente despejamos N."}, {"start": 326.6, "end": 331.6, "text": " Pasando 7 que est\u00e1 multiplicando al otro lado a dividir."}, {"start": 331.6, "end": 335.6, "text": " Nos queda 260 menos 4a."}, {"start": 335.6, "end": 339.6, "text": " Todo esto sobre 7."}, {"start": 339.6, "end": 350.6, "text": " Y de esta manera tenemos una nueva ecuaci\u00f3n que vamos a etiquetar con el n\u00famero 4."}, {"start": 350.6, "end": 356.6, "text": " Enseguida tenemos que igualar las expresiones 3 y 4."}, {"start": 356.6, "end": 361.6, "text": " All\u00ed es donde se produce justamente la igualaci\u00f3n."}, {"start": 361.6, "end": 375.6, "text": " Entonces tenemos 190 menos 3a sobre 5 igual a esta expresi\u00f3n."}, {"start": 375.6, "end": 386.6, "text": " 260 menos 4a y todo esto sobre 7."}, {"start": 386.6, "end": 390.6, "text": " Ahora nuestro trabajo es resolver esta ecuaci\u00f3n."}, {"start": 390.6, "end": 396.6, "text": " Para ello vamos a pasar los n\u00fameros que est\u00e1n dividiendo al otro lado a multiplicar."}, {"start": 396.6, "end": 409.6, "text": " Entonces 7 que est\u00e1 dividiendo en el lado derecho pasa al lado izquierdo a multiplicar a 190 menos 3a."}, {"start": 409.6, "end": 421.6, "text": " Y esto queda igual a 5 que llega a multiplicar a la expresi\u00f3n 260 menos 4a."}, {"start": 421.6, "end": 426.6, "text": " Enseguida aplicamos la propiedad distributiva."}, {"start": 426.6, "end": 435.6, "text": " Entonces aqu\u00ed vamos a distribuir el n\u00famero 7 y ac\u00e1 distribuimos el n\u00famero 5."}, {"start": 435.6, "end": 438.6, "text": " Veamos entonces c\u00f3mo nos queda."}, {"start": 438.6, "end": 450.6, "text": " 7 por 190 nos da 7 por 00, 7 por 963 llevamos 6, 7 por 17 y 6 que llevamos es 13."}, {"start": 450.6, "end": 457.6, "text": " 1330 menos 7 por 3a que es 21a."}, {"start": 457.6, "end": 459.6, "text": " Vamos ahora a este lado."}, {"start": 459.6, "end": 465.6, "text": " 5 por 0 nos da 0, 5 por 630 escribimos el 0 y llevamos 3."}, {"start": 465.6, "end": 470.6, "text": " 5 por 2 es 10 y 3 que llevamos es 13."}, {"start": 470.6, "end": 478.6, "text": " Nos da 1300 menos 5 por 4a que es 20a."}, {"start": 478.6, "end": 487.6, "text": " Ahora vamos a dejar a un lado los t\u00e9rminos que contienen la inc\u00f3gnita y al otro lado los n\u00fameros."}, {"start": 487.6, "end": 498.6, "text": " Entonces se queda en el lado izquierdo el t\u00e9rmino menos 21a y pasamos este t\u00e9rmino que est\u00e1 restando entonces llega a sumar al otro lado."}, {"start": 498.6, "end": 501.6, "text": " Nos queda m\u00e1s 20a."}, {"start": 501.6, "end": 504.6, "text": " Esto es igual a 1300."}, {"start": 504.6, "end": 513.6, "text": " Este n\u00famero permanece intacto y pasamos este n\u00famero que est\u00e1 positivo entonces llega al otro lado negativo."}, {"start": 513.6, "end": 517.6, "text": " Llega como menos 1330."}, {"start": 517.6, "end": 522.6, "text": " Efectuamos ahora la operaci\u00f3n de estos dos t\u00e9rminos semejantes."}, {"start": 522.6, "end": 528.6, "text": " Menos 21a m\u00e1s 20a nos da como resultado menos a."}, {"start": 528.6, "end": 531.6, "text": " Y tambi\u00e9n resolvemos al otro lado."}, {"start": 531.6, "end": 537.6, "text": " Esta operaci\u00f3n nos da como resultado menos 30."}, {"start": 537.6, "end": 550.6, "text": " Finalmente para encontrar el valor de la inc\u00f3gnita a entonces podemos multiplicar aqu\u00ed la igualdad por menos 1 a ambos lados."}, {"start": 550.6, "end": 555.6, "text": " Esto con el objetivo de deshacernos de esos signos negativos."}, {"start": 555.6, "end": 562.6, "text": " Entonces al lado izquierdo nos queda a y en el lado derecho nos queda 30."}, {"start": 562.6, "end": 568.6, "text": " Y de esta manera encontramos el valor de la primera inc\u00f3gnita."}, {"start": 568.6, "end": 576.6, "text": " Esto significa que el valor de una entrada de adulto es 30 euros."}, {"start": 576.6, "end": 591.6, "text": " Ahora para encontrar el valor de la otra inc\u00f3gnita podemos recurrir bien sea a las ecuaciones originales 1 y 2 o tambi\u00e9n a las ecuaciones 3 y 4."}, {"start": 591.6, "end": 596.6, "text": " En realidad usamos la que mejor nos parezca."}, {"start": 596.6, "end": 600.6, "text": " Donde veamos que es m\u00e1s sencillo encontrar el valor de n."}, {"start": 600.6, "end": 607.6, "text": " Para el caso de este ejercicio donde hemos utilizado el m\u00e9todo de igualaci\u00f3n."}, {"start": 607.6, "end": 614.6, "text": " Se recomienda aprovechar estos despejes cualquiera de las ecuaciones 3 o 4."}, {"start": 614.6, "end": 617.6, "text": " Vamos a reemplazar entonces en la tercera."}, {"start": 617.6, "end": 624.6, "text": " Vamos a utilizar esa expresi\u00f3n para encontrar el valor de n."}, {"start": 624.6, "end": 627.6, "text": " Vamos a reemplazar all\u00ed a que vale 30."}, {"start": 627.6, "end": 634.6, "text": " Entonces nos queda 190 menos 3 por 30."}, {"start": 634.6, "end": 640.6, "text": " All\u00ed sustituimos el valor de a y todo esto queda sobre 5."}, {"start": 640.6, "end": 655.6, "text": " Resolvemos se queda 190 menos, ejecutamos esa multiplicaci\u00f3n 3 por 30 nos da 90 y todo esto queda sobre 5."}, {"start": 655.6, "end": 658.6, "text": " Resolvemos la resta que hay en el numerador."}, {"start": 658.6, "end": 666.6, "text": " Eso nos da como resultado 100 y nos queda 100 quintos o sea 100 dividido entre 5."}, {"start": 666.6, "end": 674.6, "text": " Entonces all\u00ed resolvemos y encontramos que n toma el valor 20."}, {"start": 674.6, "end": 679.6, "text": " As\u00ed encontramos el valor de la otra inc\u00f3gnita."}, {"start": 679.6, "end": 686.6, "text": " Bien de esta manera ya podemos dar la respuesta a este problema."}, {"start": 686.6, "end": 693.6, "text": " Decimos que el valor de una entrada de adulto es 30 euros."}, {"start": 693.6, "end": 699.6, "text": " Y el valor de una entrada de ni\u00f1o es 20 euros."}, {"start": 699.6, "end": 727.6, "text": " De esta manera terminamos este problema."}]

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DEMOSTRACIÓN DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS - Ejercicio 4

#julioprofe explica cómo demostrar una Identidad Trigonométrica. Tema: #IdentidadesTrigonometricas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwGAmMC3k5sI2VGHFnVdlLif REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a demostrar la validez de esta identidad trigonométrica. Para ello trabajaremos el lado izquierdo por ser el que tiene más operaciones. Entonces vamos a proceder con ese lado. Tenemos lado izquierdo y vamos a realizar todas las operaciones para llegar a lo que tenemos en el lado derecho que está mucho más simple. Comenzamos en el lado izquierdo resolviendo la resta de fracciones de distinto denominador. Vamos a recordar cómo se hace eso. Si tenemos una fracción A sobre B menos otra fracción C sobre D, fracciones heterogéneas, es decir, con distinto denominador, entonces podemos hacer esta técnica rápida. Abajo B por D, arriba A por D, menos B por C. Es lo que se conoce con el nombre de la carita feliz. Abajo estos dos, arriba estos dos y también estos de acá. Entonces se le llama la técnica de la carita feliz. Vamos entonces a aplicarla para esa situación. Trazamos la línea. Abajo tenemos cos x que multiplica a 1 más sen x. Esta expresión se debe proteger con paréntesis. Arriba tenemos 1 por 1 más sen x que nos da 1 más sen x. Menos el signo que tenemos entre las dos fracciones y ahora esta diagonal. Tenemos cos x por cos x que nos da como resultado cos x. En seguida vamos a utilizar lo que se llama la identidad fundamental de la trigonometría. Sen x más cos x es igual a 1. De aquí podemos despejar cos x. Tenemos que es igual a 1 menos esta cantidad que es sen x. Esto que está sumando pasa al otro lado a restar. Vamos a cambiar cos x que tenemos en el numerador por esta expresión. Como decíamos, partiendo de la identidad fundamental de la trigonometría. Nos queda así. 1 más sen x menos, abrimos paréntesis, para escribir la expresión que va a sustituir a cos x que es 1 menos sen x. Todo esto sobre la misma expresión que la vamos a dejar indicada. Cos x que multiplica a 1 más sen x. Vamos a seguir el ejercicio por acá. En el numerador vamos a destruir este paréntesis. Va a entrar el signo negativo. Entonces nos queda 1 más sen x, aquí menos 1 y acá más sen al cuadrado de x. Todo esto sobre la misma expresión. Cos x que multiplica a 1 más sen x. En el numerador vemos que 1 y menos 1 se pueden eliminar. Entonces nos queda sen x más sen al cuadrado de x. Y en el denominador continúa la misma expresión. Vamos a continuar el ejercicio por acá. Y en el numerador vemos que podemos extraer factor común lo que es sen x. Tenemos sen x factor de 1 más sen x. Y el denominador continúa exactamente igual. O sea cos x que multiplica a 1 más sen x. Finalmente vemos que es posible eliminar 1 más sen x. Es un factor que está repetido en la parte de arriba y también en la parte de abajo. Entonces es perfectamente lícito hacer esa simplificación. Nos queda sen x sobre cos x. Y esto a su vez es igual a tangente de x. Y de esta manera llegamos a lo que tenemos en el lado derecho de la expresión. Comprobamos de esta manera que esta igualdad corresponde a una identidad trigonométrica.

[{"start": 0.0, "end": 5.8, "text": " Vamos a demostrar la validez de esta identidad trigonom\u00e9trica."}, {"start": 5.8, "end": 11.4, "text": " Para ello trabajaremos el lado izquierdo por ser el que tiene m\u00e1s operaciones."}, {"start": 11.4, "end": 16.8, "text": " Entonces vamos a proceder con ese lado."}, {"start": 18.0, "end": 26.0, "text": " Tenemos lado izquierdo y vamos a realizar todas las operaciones"}, {"start": 26.0, "end": 32.0, "text": " para llegar a lo que tenemos en el lado derecho que est\u00e1 mucho m\u00e1s simple."}, {"start": 32.0, "end": 40.0, "text": " Comenzamos en el lado izquierdo resolviendo la resta de fracciones de distinto denominador."}, {"start": 40.0, "end": 43.0, "text": " Vamos a recordar c\u00f3mo se hace eso."}, {"start": 44.0, "end": 50.0, "text": " Si tenemos una fracci\u00f3n A sobre B menos otra fracci\u00f3n C sobre D,"}, {"start": 50.0, "end": 56.0, "text": " fracciones heterog\u00e9neas, es decir, con distinto denominador,"}, {"start": 56.0, "end": 60.0, "text": " entonces podemos hacer esta t\u00e9cnica r\u00e1pida."}, {"start": 60.0, "end": 69.0, "text": " Abajo B por D, arriba A por D, menos B por C."}, {"start": 69.0, "end": 74.0, "text": " Es lo que se conoce con el nombre de la carita feliz."}, {"start": 74.0, "end": 80.0, "text": " Abajo estos dos, arriba estos dos y tambi\u00e9n estos de ac\u00e1."}, {"start": 80.0, "end": 84.0, "text": " Entonces se le llama la t\u00e9cnica de la carita feliz."}, {"start": 84.0, "end": 89.0, "text": " Vamos entonces a aplicarla para esa situaci\u00f3n."}, {"start": 89.0, "end": 92.0, "text": " Trazamos la l\u00ednea."}, {"start": 92.0, "end": 99.0, "text": " Abajo tenemos cos x que multiplica a 1 m\u00e1s sen x."}, {"start": 99.0, "end": 105.0, "text": " Esta expresi\u00f3n se debe proteger con par\u00e9ntesis."}, {"start": 105.0, "end": 113.0, "text": " Arriba tenemos 1 por 1 m\u00e1s sen x que nos da 1 m\u00e1s sen x."}, {"start": 113.0, "end": 120.0, "text": " Menos el signo que tenemos entre las dos fracciones y ahora esta diagonal."}, {"start": 120.0, "end": 129.0, "text": " Tenemos cos x por cos x que nos da como resultado cos x."}, {"start": 129.0, "end": 136.0, "text": " En seguida vamos a utilizar lo que se llama la identidad fundamental de la trigonometr\u00eda."}, {"start": 136.0, "end": 142.0, "text": " Sen x m\u00e1s cos x es igual a 1."}, {"start": 142.0, "end": 150.0, "text": " De aqu\u00ed podemos despejar cos x."}, {"start": 150.0, "end": 160.0, "text": " Tenemos que es igual a 1 menos esta cantidad que es sen x."}, {"start": 160.0, "end": 165.0, "text": " Esto que est\u00e1 sumando pasa al otro lado a restar."}, {"start": 165.0, "end": 172.0, "text": " Vamos a cambiar cos x que tenemos en el numerador por esta expresi\u00f3n."}, {"start": 172.0, "end": 179.0, "text": " Como dec\u00edamos, partiendo de la identidad fundamental de la trigonometr\u00eda."}, {"start": 179.0, "end": 182.0, "text": " Nos queda as\u00ed."}, {"start": 182.0, "end": 188.0, "text": " 1 m\u00e1s sen x menos, abrimos par\u00e9ntesis,"}, {"start": 188.0, "end": 200.0, "text": " para escribir la expresi\u00f3n que va a sustituir a cos x que es 1 menos sen x."}, {"start": 200.0, "end": 208.0, "text": " Todo esto sobre la misma expresi\u00f3n que la vamos a dejar indicada."}, {"start": 208.0, "end": 216.0, "text": " Cos x que multiplica a 1 m\u00e1s sen x."}, {"start": 216.0, "end": 222.0, "text": " Vamos a seguir el ejercicio por ac\u00e1."}, {"start": 222.0, "end": 229.0, "text": " En el numerador vamos a destruir este par\u00e9ntesis."}, {"start": 229.0, "end": 232.0, "text": " Va a entrar el signo negativo."}, {"start": 232.0, "end": 246.0, "text": " Entonces nos queda 1 m\u00e1s sen x, aqu\u00ed menos 1 y ac\u00e1 m\u00e1s sen al cuadrado de x."}, {"start": 246.0, "end": 250.0, "text": " Todo esto sobre la misma expresi\u00f3n."}, {"start": 250.0, "end": 259.0, "text": " Cos x que multiplica a 1 m\u00e1s sen x."}, {"start": 259.0, "end": 266.0, "text": " En el numerador vemos que 1 y menos 1 se pueden eliminar."}, {"start": 266.0, "end": 278.0, "text": " Entonces nos queda sen x m\u00e1s sen al cuadrado de x."}, {"start": 278.0, "end": 290.0, "text": " Y en el denominador contin\u00faa la misma expresi\u00f3n."}, {"start": 290.0, "end": 296.0, "text": " Vamos a continuar el ejercicio por ac\u00e1."}, {"start": 296.0, "end": 304.0, "text": " Y en el numerador vemos que podemos extraer factor com\u00fan lo que es sen x."}, {"start": 304.0, "end": 315.0, "text": " Tenemos sen x factor de 1 m\u00e1s sen x."}, {"start": 315.0, "end": 321.0, "text": " Y el denominador contin\u00faa exactamente igual."}, {"start": 321.0, "end": 331.0, "text": " O sea cos x que multiplica a 1 m\u00e1s sen x."}, {"start": 331.0, "end": 338.0, "text": " Finalmente vemos que es posible eliminar 1 m\u00e1s sen x."}, {"start": 338.0, "end": 345.0, "text": " Es un factor que est\u00e1 repetido en la parte de arriba y tambi\u00e9n en la parte de abajo."}, {"start": 345.0, "end": 351.0, "text": " Entonces es perfectamente l\u00edcito hacer esa simplificaci\u00f3n."}, {"start": 351.0, "end": 356.0, "text": " Nos queda sen x sobre cos x."}, {"start": 356.0, "end": 362.0, "text": " Y esto a su vez es igual a tangente de x."}, {"start": 362.0, "end": 373.0, "text": " Y de esta manera llegamos a lo que tenemos en el lado derecho de la expresi\u00f3n."}, {"start": 373.0, "end": 386.0, "text": " Comprobamos de esta manera que esta igualdad corresponde a una identidad trigonom\u00e9trica."}]

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LÍMITES ALGEBRAICOS - Ejercicio 15

#julioprofe explica cómo resolver un límite algebraico utilizando doble racionalización como estrategia de solución. Tema: #Límites → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEeindtt3TarvkVHRDmqNTf REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver este límite algebraico donde necesitamos saber que le sucede a esta función cuando x tiende o se aproxima a 4. Lo primero que debemos hacer es evaluar esta expresión, o sea la función, justamente cuando x toma el valor 4. Entonces vamos a reemplazar en esa expresión donde está la x, escribimos el 4. Entonces en el numerador nos queda de esta manera y en el denominador tenemos la raíz cuadrada de 4 menos 2 y todo esto menos la raíz cuadrada de 2. De seguida resolvemos las operaciones, veamos como nos queda. Aquí dentro de la raíz tenemos 2 por 4, 8, 8 más 1 nos da 9 y la raíz cuadrada de 9 es 3, 3 menos 3 nos da 0, 0 en el numerador. Vamos al denominador, 4 menos 2 nos da 2, la raíz cuadrada de 2 menos raíz cuadrada de 2 también nos da 0. Y llegamos a lo que se llama una indeterminación, algo que debemos solucionar porque el resultado de un límite no puede quedar de esta manera. Tenemos que dar solución a este problema llamado indeterminación. La estrategia que vamos a utilizar para solucionar este problema de la indeterminación es racionalizar el numerador y el denominador de la expresión. Y esto lo vamos a conseguir mediante un procedimiento que se llama conjugación. Veamos en qué consiste. Si tenemos una expresión a más b, entonces su conjugado es a menos b y viceversa, el conjugado de a menos b es a más b. El objetivo de la conjugación es que al multiplicar estas dos cantidades podamos contar con a al cuadrado menos b al cuadrado. Lo que se conoce como una diferencia de cuadrados perfectos. Esto es lo que en álgebra se conoce como un producto notable llamado suma por diferencia y que da origen a una diferencia de cuadrados. Pues bien, este procedimiento es el que vamos a utilizar para racionalizar el numerador y el denominador de esta expresión. Vamos a multiplicar y dividir por el conjugado de cada expresión para de esa manera conservar la función original. Vamos entonces con el conjugado del numerador. Será la raíz cuadrada de 1 más 2x y todo esto más 3. Pues, obsérvese que únicamente cambia el signo que conecta las dos cantidades. En este caso, si aquí tenemos menos, el conjugado será con más. Pero las dos expresiones o las dos cantidades deben conservar sus componentes. Este signo no debe cambiar, únicamente el signo intermedio. Como decíamos, multiplicamos y dividimos por la misma expresión para garantizar que la función original no se altera. Y allí mismo vamos a multiplicar por el conjugado del denominador que será la raíz cuadrada de x menos 2. Vemos que esto se conserva y cambia el signo intermedio. Como decíamos, si es menos, el conjugado es con más. Esto más raíz de 2 y esta misma expresión la repetimos en la parte de arriba. Entonces allí estamos alistando todo para aprovechar este producto notable que nos va a generar diferencia de cuadrados. Esto nos va a quedar entonces así. Límite cuando x tiende a 4 y en la parte superior vamos a efectuar el producto de esta expresión con esta que tenemos aquí. Aquí está la suma, acá está la diferencia y como están multiplicando nos va a quedar la primera cantidad, es decir la raíz cuadrada de 1 más 2x. Todo esto al cuadrado menos la segunda cantidad también elevada al cuadrado. Allí estamos dándole aplicación al producto notable. Suma por diferencia nos produce una diferencia de cuadrados. Todo esto lo protegemos y va a quedar multiplicado por esta expresión que vamos a proteger con paréntesis. Raíz cuadrada de x menos 2 y esto más la raíz cuadrada de 2. Vamos al denominador. Allí vamos a efectuar el producto entre esta expresión y esta que tenemos acá. Allí está la suma, acá está la diferencia, entonces tendremos la primera expresión, la primera cantidad al cuadrado. La raíz cuadrada de x menos 2, esto al cuadrado menos la segunda cantidad que es raíz cuadrada de 2 también elevada al cuadrado. Protegemos con corchetes y esto va a quedar multiplicado por esta expresión que vamos a proteger con paréntesis. Raíz cuadrada de 1 más 2x y esto más 3. Aquí tenemos que el cuadrado elimina la raíz cuadrada y nos queda 1 más 2x menos 3 al cuadrado que es 9. Ya podemos cambiar la protección a paréntesis y escribimos la expresión que tenemos enseguida. Raíz cuadrada de x menos 2, esto más la raíz cuadrada de 2. En el denominador también tenemos que el cuadrado destruye la raíz, sucede en esas dos cantidades. Por aquí tenemos x menos 2 menos 2, protegemos con paréntesis y escribimos esta otra expresión, la raíz cuadrada de 1 más 2x, todo esto más 3. Vamos a continuar por acá, tenemos límite cuando x tiende a 4. Y en este paréntesis vamos a escribir 2x y operamos 1 menos 9 que nos da menos 8. Y escribimos la otra expresión que se queda tal como está. Y pasamos al denominador donde dejamos x y operamos estos dos números, eso nos da menos 4. Y escribimos esta misma expresión que también se queda intacta. Ahora tenemos la posibilidad de factorizar 2x menos 8. A este binomio podemos extraerle factor común 2, 2 es factor de x menos 4. Entonces vamos a realizar el cambio, aquí donde tenemos 2x menos 8, escribimos ahora 2 factor de x menos 4. De esta manera vemos que ya es posible eliminar el factor x menos 4 que se encuentra en la parte de arriba y en la parte de abajo. Este es justamente el factor problema que estaba ocasionando al principio la indeterminación 0 sobre 0. Como x tiende a 4, aquí tenemos que 4 menos 4 es 0 y lo mismo sucede acá abajo. Entonces al cancelar ese factor, al eliminarlo de manera lícita, logramos ya superar el problema de la indeterminación. Veamos entonces lo que nos queda en el numerador 2 que multiplica a la expresión encerrada en paréntesis. Y en el denominador nos queda esta expresión que ya puede escribirse sin paréntesis, no requiere protección. Enseguida lo que debemos hacer es evaluar este límite, vamos a reemplazar x cuando toma el valor 4 en esta expresión. Veamos como nos queda. 2 abrimos paréntesis, la raíz cuadrada de 4 menos 2, cerramos la raíz cuadrada, esto más la raíz cuadrada de 2. Y todo esto sobre la raíz cuadrada de 1 más 2 por x que vale 4, todo esto dentro de la raíz cuadrada y eso más 3. Procedemos a resolver las operaciones, tenemos en la parte de arriba 2 aquí, 4 menos 2 nos da 2, tenemos raíz cuadrada de 2 más raíz cuadrada de 2. Todo esto sobre 2 por 4, 8, 8 más 1, 9, la raíz cuadrada de 9 es 3 y también sumado con 3. Continuamos por acá, escribimos 2 en la parte de arriba, sumamos estos dos componentes que se llaman radicales semejantes, raíz de 2 más raíz de 2 es igual a 2 raíz de 2. Y en la parte de abajo tenemos 3 más 3 que es 6. Arriba multiplicamos 2 por 2 es 4, nos queda 4 raíz de 2, todo esto sobre 6 y allí podemos simplificar estos números. Podríamos sacarle mitad de 4 es 2, mitad de 6 es 3 y nos queda 2 raíz cuadrada de 2 sobre 3. De esta manera llegamos al resultado de este límite, como vimos se utilizó doble racionalización tanto para el numerador como para el denominador para llegar así a la respuesta.

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DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR - Ejercicio 2

#julioprofe explica cómo obtener la segunda derivada de una función racional. Tema: #Derivadas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwF9r-Y_Gpuq45VP0qnJIJL1 REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a encontrar la segunda derivada de esta función que nos dan, una función de tipo racional. Comenzamos por determinar f' de x, es decir, la primera derivada. Y para ello vamos a utilizar la regla del cociente. Si tenemos un cociente de expresiones a sobre b, entonces la derivada de eso se construye de la siguiente manera. Trazamos una línea para ensamblar una fracción. En la parte de arriba tenemos a' por b, es decir, la derivada del numerador por el denominador sin derivar, menos a por b'. O sea, el numerador sin derivar por la derivada del denominador y todo esto sobre b², es decir, sobre el denominador elevado al cuadrado. Entonces, siguiendo este modelo, vamos a derivar esta función. Tenemos entonces lo siguiente. Trazamos la línea y comenzamos con la derivada del numerador. Derivada de x²-1 es 2x. Esto multiplicado por el denominador sin derivar, entonces lo escribimos entre paréntesis, menos el numerador sin derivar, también protegido con paréntesis. Y esto multiplicado por la derivada del denominador. Derivada de x²-1 es 2x. Y todo esto nos queda sobre el denominador que es x²-1 entre paréntesis elevado al cuadrado. Allí hemos aplicado este modelo. Enseguida vamos a resolver esto que nos quedó en el numerador de la expresión. Veamos entonces cómo nos queda f' de x. Vamos a utilizar el algebra. Aquí aplicamos propiedad distributiva. Entonces tenemos 2x por x² es 2x³. Luego 2x por más 1 es más 2x. Y acá también tenemos un monomio que multiplica a este binomio. Vamos a aplicar de nuevo la propiedad distributiva pero teniendo cuidado con este signo negativo que también se distribuye en esta dirección. O sea que nos va a cambiar los signos de este binomio. Veamos entonces 2x por x² nos da 2x³ pero con este signo menos nos queda menos 2x³. Ahora 2x por menos 1 nos da menos 2x. Con este negativo tenemos más 2x. Y todo esto nos queda sobre la misma expresión. x² más 1 y todo esto elevado al cuadrado. Cabe notar que esto que tenemos en el denominador se deja indicado. No es necesario desarrollarlo. Notamos que en el numerador de la expresión hay términos semejantes. Por ejemplo 2x³ con menos 2x³ son términos opuestos que se eliminan. La suma entre ellos nos da cero. Y tenemos estos dos términos que también son semejantes y que se pueden sumar entre sí. Entonces f' de x la primera derivada de la función nos va a quedar 2x más 2x que es 4x en el numerador y en el denominador la misma expresión. x² más 1 todo esto elevado al cuadrado. Ya hemos encontrado la primera derivada de la función original. Ahora tenemos que derivar nuevamente esta expresión para encontrar la segunda derivada. O sea lo que nos pide este ejercicio. Tenemos entonces que para derivar esta expresión se utiliza otra vez la regla del cociente. Veamos cómo nos queda. Trazamos la línea de la fracción. Comenzamos con la derivada del numerador. Derivada de 4x es 4. Por el denominador sin derivar. Y allí vamos a utilizar la regla de la cadena para potencias. Vamos a recordar el modelo. Si tenemos una expresión que simbolizamos con una manzanita elevada al exponente n. Entonces su derivada se construye de la siguiente manera. Baja el exponente n a multiplicar a la manzanita elevada al exponente n menos 1. Vemos que la manzanita permanece intacta. Y esto se multiplica por la derivada de la manzanita. O sea lo que se conoce como la derivada interna. En este caso la derivada de la base. Esto es la regla de la cadena para potencias. Y vamos a utilizarla para derivar este componente. En este caso la manzanita es x al cuadrado más 1. Y n es 2. Seguimos entonces este modelo. Y nos queda así. Baja el exponente 2 a multiplicar a x al cuadrado más 1. Esto queda elevado al exponente 2 menos 1. Que es 1 y que podemos omitir. Y esto multiplicado por la derivada interna. O sea la derivada de x al cuadrado más 1. Que es 2x. Allí hemos aplicado esta regla de la cadena para potencias. Para derivar el denominador. Y todo esto nos queda sobre el denominador elevado al cuadrado. Es decir toda esta expresión encerrada entre corchetes y elevada al cuadrado. En seguida vamos a utilizar el álgebra para expresar todo esto de una manera más sencilla. Veamos cómo nos queda la segunda derivada. En el numerador podemos extraer factor común. Tenemos dos términos donde se repite el número 4. Y donde está repetida la expresión x al cuadrado más 1. Entonces puede salir la de menor exponente. O sea esta que tiene exponente 1. Y todo esto será factor común de lo que nos queda en el primer término. Es decir x al cuadrado más 1 menos lo que queda en el segundo término. Después de que 4 y esta expresión abandonan dicho término. Nos queda x por 2 por 2x. Eso nos da 4x al cuadrado. Cerramos el corchete y en el denominador aplicamos una propiedad de la potenciación. Aquella que se llama potencia de una potencia. En este caso multiplicamos los exponentes. Y nos queda x al cuadrado más 1 todo esto elevado al exponente 4. En esta etapa del ejercicio podemos simplificar estas dos expresiones. Vemos que x al cuadrado más 1 está arriba con exponente 1. Y se encuentra abajo con exponente 4. Entonces podemos retirar esta expresión con una del denominador. Y nos quedará exponente 3. Veamos entonces cómo nos queda la segunda derivada. Tenemos 4 que multiplica a todo este corchete. Allí vamos a destruir el paréntesis. Queda libre x al cuadrado más 1. Todo esto menos 4x al cuadrado. Y en el denominador tendremos x al cuadrado más 1. Todo esto elevado al exponente 3. Para finalizar podemos operar términos semejantes aquí dentro del corchete. Tenemos el caso de estos dos que tienen x al cuadrado. Entonces la segunda derivada nos queda de la siguiente manera. 4 que multiplica a esta expresión. Ya se puede proteger con paréntesis. Escribimos primero el número 1 que nos queda positivo. Y la operación entre estos dos términos semejantes nos da como resultado menos 3x al cuadrado. Y todo esto queda sobre la misma expresión. x al cuadrado más 1. Todo esto elevado al cubo. Así hemos llegado a la respuesta de este ejercicio. Esta expresión es la segunda derivada de esa función racional que nos dieron.

[{"start": 0.0, "end": 9.0, "text": " Vamos a encontrar la segunda derivada de esta funci\u00f3n que nos dan, una funci\u00f3n de tipo racional."}, {"start": 9.0, "end": 17.0, "text": " Comenzamos por determinar f' de x, es decir, la primera derivada."}, {"start": 17.0, "end": 22.0, "text": " Y para ello vamos a utilizar la regla del cociente."}, {"start": 22.0, "end": 32.0, "text": " Si tenemos un cociente de expresiones a sobre b, entonces la derivada de eso se construye de la siguiente manera."}, {"start": 32.0, "end": 36.0, "text": " Trazamos una l\u00ednea para ensamblar una fracci\u00f3n."}, {"start": 36.0, "end": 51.0, "text": " En la parte de arriba tenemos a' por b, es decir, la derivada del numerador por el denominador sin derivar, menos a por b'."}, {"start": 51.0, "end": 66.0, "text": " O sea, el numerador sin derivar por la derivada del denominador y todo esto sobre b\u00b2, es decir, sobre el denominador elevado al cuadrado."}, {"start": 66.0, "end": 71.0, "text": " Entonces, siguiendo este modelo, vamos a derivar esta funci\u00f3n."}, {"start": 71.0, "end": 74.0, "text": " Tenemos entonces lo siguiente."}, {"start": 74.0, "end": 81.0, "text": " Trazamos la l\u00ednea y comenzamos con la derivada del numerador."}, {"start": 81.0, "end": 85.0, "text": " Derivada de x\u00b2-1 es 2x."}, {"start": 85.0, "end": 102.0, "text": " Esto multiplicado por el denominador sin derivar, entonces lo escribimos entre par\u00e9ntesis, menos el numerador sin derivar, tambi\u00e9n protegido con par\u00e9ntesis."}, {"start": 102.0, "end": 108.0, "text": " Y esto multiplicado por la derivada del denominador."}, {"start": 108.0, "end": 112.0, "text": " Derivada de x\u00b2-1 es 2x."}, {"start": 112.0, "end": 124.0, "text": " Y todo esto nos queda sobre el denominador que es x\u00b2-1 entre par\u00e9ntesis elevado al cuadrado."}, {"start": 124.0, "end": 129.0, "text": " All\u00ed hemos aplicado este modelo."}, {"start": 129.0, "end": 135.0, "text": " Enseguida vamos a resolver esto que nos qued\u00f3 en el numerador de la expresi\u00f3n."}, {"start": 135.0, "end": 140.0, "text": " Veamos entonces c\u00f3mo nos queda f' de x."}, {"start": 140.0, "end": 142.0, "text": " Vamos a utilizar el algebra."}, {"start": 142.0, "end": 146.0, "text": " Aqu\u00ed aplicamos propiedad distributiva."}, {"start": 146.0, "end": 152.0, "text": " Entonces tenemos 2x por x\u00b2 es 2x\u00b3."}, {"start": 152.0, "end": 158.0, "text": " Luego 2x por m\u00e1s 1 es m\u00e1s 2x."}, {"start": 158.0, "end": 163.0, "text": " Y ac\u00e1 tambi\u00e9n tenemos un monomio que multiplica a este binomio."}, {"start": 163.0, "end": 174.0, "text": " Vamos a aplicar de nuevo la propiedad distributiva pero teniendo cuidado con este signo negativo que tambi\u00e9n se distribuye en esta direcci\u00f3n."}, {"start": 174.0, "end": 180.0, "text": " O sea que nos va a cambiar los signos de este binomio."}, {"start": 180.0, "end": 190.0, "text": " Veamos entonces 2x por x\u00b2 nos da 2x\u00b3 pero con este signo menos nos queda menos 2x\u00b3."}, {"start": 190.0, "end": 195.0, "text": " Ahora 2x por menos 1 nos da menos 2x."}, {"start": 195.0, "end": 199.0, "text": " Con este negativo tenemos m\u00e1s 2x."}, {"start": 199.0, "end": 205.0, "text": " Y todo esto nos queda sobre la misma expresi\u00f3n."}, {"start": 205.0, "end": 211.0, "text": " x\u00b2 m\u00e1s 1 y todo esto elevado al cuadrado."}, {"start": 211.0, "end": 217.0, "text": " Cabe notar que esto que tenemos en el denominador se deja indicado."}, {"start": 217.0, "end": 221.0, "text": " No es necesario desarrollarlo."}, {"start": 221.0, "end": 227.0, "text": " Notamos que en el numerador de la expresi\u00f3n hay t\u00e9rminos semejantes."}, {"start": 227.0, "end": 233.0, "text": " Por ejemplo 2x\u00b3 con menos 2x\u00b3 son t\u00e9rminos opuestos que se eliminan."}, {"start": 233.0, "end": 236.0, "text": " La suma entre ellos nos da cero."}, {"start": 236.0, "end": 243.0, "text": " Y tenemos estos dos t\u00e9rminos que tambi\u00e9n son semejantes y que se pueden sumar entre s\u00ed."}, {"start": 243.0, "end": 259.0, "text": " Entonces f' de x la primera derivada de la funci\u00f3n nos va a quedar 2x m\u00e1s 2x que es 4x en el numerador y en el denominador la misma expresi\u00f3n."}, {"start": 259.0, "end": 266.0, "text": " x\u00b2 m\u00e1s 1 todo esto elevado al cuadrado."}, {"start": 266.0, "end": 271.0, "text": " Ya hemos encontrado la primera derivada de la funci\u00f3n original."}, {"start": 271.0, "end": 279.0, "text": " Ahora tenemos que derivar nuevamente esta expresi\u00f3n para encontrar la segunda derivada."}, {"start": 279.0, "end": 282.0, "text": " O sea lo que nos pide este ejercicio."}, {"start": 282.0, "end": 291.0, "text": " Tenemos entonces que para derivar esta expresi\u00f3n se utiliza otra vez la regla del cociente."}, {"start": 291.0, "end": 293.0, "text": " Veamos c\u00f3mo nos queda."}, {"start": 293.0, "end": 296.0, "text": " Trazamos la l\u00ednea de la fracci\u00f3n."}, {"start": 296.0, "end": 300.0, "text": " Comenzamos con la derivada del numerador."}, {"start": 300.0, "end": 303.0, "text": " Derivada de 4x es 4."}, {"start": 303.0, "end": 319.0, "text": " Por el denominador sin derivar."}, {"start": 319.0, "end": 324.0, "text": " Y all\u00ed vamos a utilizar la regla de la cadena para potencias."}, {"start": 324.0, "end": 327.0, "text": " Vamos a recordar el modelo."}, {"start": 327.0, "end": 334.0, "text": " Si tenemos una expresi\u00f3n que simbolizamos con una manzanita elevada al exponente n."}, {"start": 334.0, "end": 340.0, "text": " Entonces su derivada se construye de la siguiente manera."}, {"start": 340.0, "end": 348.0, "text": " Baja el exponente n a multiplicar a la manzanita elevada al exponente n menos 1."}, {"start": 348.0, "end": 351.0, "text": " Vemos que la manzanita permanece intacta."}, {"start": 351.0, "end": 356.0, "text": " Y esto se multiplica por la derivada de la manzanita."}, {"start": 356.0, "end": 360.0, "text": " O sea lo que se conoce como la derivada interna."}, {"start": 360.0, "end": 364.0, "text": " En este caso la derivada de la base."}, {"start": 364.0, "end": 368.0, "text": " Esto es la regla de la cadena para potencias."}, {"start": 368.0, "end": 373.0, "text": " Y vamos a utilizarla para derivar este componente."}, {"start": 373.0, "end": 377.0, "text": " En este caso la manzanita es x al cuadrado m\u00e1s 1."}, {"start": 377.0, "end": 379.0, "text": " Y n es 2."}, {"start": 379.0, "end": 381.0, "text": " Seguimos entonces este modelo."}, {"start": 381.0, "end": 384.0, "text": " Y nos queda as\u00ed."}, {"start": 384.0, "end": 392.0, "text": " Baja el exponente 2 a multiplicar a x al cuadrado m\u00e1s 1."}, {"start": 392.0, "end": 396.0, "text": " Esto queda elevado al exponente 2 menos 1."}, {"start": 396.0, "end": 400.0, "text": " Que es 1 y que podemos omitir."}, {"start": 400.0, "end": 403.0, "text": " Y esto multiplicado por la derivada interna."}, {"start": 403.0, "end": 407.0, "text": " O sea la derivada de x al cuadrado m\u00e1s 1."}, {"start": 407.0, "end": 409.0, "text": " Que es 2x."}, {"start": 409.0, "end": 414.0, "text": " All\u00ed hemos aplicado esta regla de la cadena para potencias."}, {"start": 414.0, "end": 417.0, "text": " Para derivar el denominador."}, {"start": 417.0, "end": 424.0, "text": " Y todo esto nos queda sobre el denominador elevado al cuadrado."}, {"start": 424.0, "end": 433.0, "text": " Es decir toda esta expresi\u00f3n encerrada entre corchetes y elevada al cuadrado."}, {"start": 433.0, "end": 441.0, "text": " En seguida vamos a utilizar el \u00e1lgebra para expresar todo esto de una manera m\u00e1s sencilla."}, {"start": 441.0, "end": 446.0, "text": " Veamos c\u00f3mo nos queda la segunda derivada."}, {"start": 446.0, "end": 451.0, "text": " En el numerador podemos extraer factor com\u00fan."}, {"start": 451.0, "end": 456.0, "text": " Tenemos dos t\u00e9rminos donde se repite el n\u00famero 4."}, {"start": 456.0, "end": 462.0, "text": " Y donde est\u00e1 repetida la expresi\u00f3n x al cuadrado m\u00e1s 1."}, {"start": 462.0, "end": 467.0, "text": " Entonces puede salir la de menor exponente."}, {"start": 467.0, "end": 470.0, "text": " O sea esta que tiene exponente 1."}, {"start": 470.0, "end": 476.0, "text": " Y todo esto ser\u00e1 factor com\u00fan de lo que nos queda en el primer t\u00e9rmino."}, {"start": 476.0, "end": 485.0, "text": " Es decir x al cuadrado m\u00e1s 1 menos lo que queda en el segundo t\u00e9rmino."}, {"start": 485.0, "end": 490.0, "text": " Despu\u00e9s de que 4 y esta expresi\u00f3n abandonan dicho t\u00e9rmino."}, {"start": 490.0, "end": 493.0, "text": " Nos queda x por 2 por 2x."}, {"start": 493.0, "end": 498.0, "text": " Eso nos da 4x al cuadrado."}, {"start": 498.0, "end": 507.0, "text": " Cerramos el corchete y en el denominador aplicamos una propiedad de la potenciaci\u00f3n."}, {"start": 507.0, "end": 510.0, "text": " Aquella que se llama potencia de una potencia."}, {"start": 510.0, "end": 514.0, "text": " En este caso multiplicamos los exponentes."}, {"start": 514.0, "end": 523.0, "text": " Y nos queda x al cuadrado m\u00e1s 1 todo esto elevado al exponente 4."}, {"start": 523.0, "end": 529.0, "text": " En esta etapa del ejercicio podemos simplificar estas dos expresiones."}, {"start": 529.0, "end": 534.0, "text": " Vemos que x al cuadrado m\u00e1s 1 est\u00e1 arriba con exponente 1."}, {"start": 534.0, "end": 537.0, "text": " Y se encuentra abajo con exponente 4."}, {"start": 537.0, "end": 543.0, "text": " Entonces podemos retirar esta expresi\u00f3n con una del denominador."}, {"start": 543.0, "end": 547.0, "text": " Y nos quedar\u00e1 exponente 3."}, {"start": 547.0, "end": 551.0, "text": " Veamos entonces c\u00f3mo nos queda la segunda derivada."}, {"start": 551.0, "end": 559.0, "text": " Tenemos 4 que multiplica a todo este corchete."}, {"start": 559.0, "end": 563.0, "text": " All\u00ed vamos a destruir el par\u00e9ntesis."}, {"start": 563.0, "end": 566.0, "text": " Queda libre x al cuadrado m\u00e1s 1."}, {"start": 566.0, "end": 569.0, "text": " Todo esto menos 4x al cuadrado."}, {"start": 569.0, "end": 577.0, "text": " Y en el denominador tendremos x al cuadrado m\u00e1s 1."}, {"start": 577.0, "end": 582.0, "text": " Todo esto elevado al exponente 3."}, {"start": 582.0, "end": 589.0, "text": " Para finalizar podemos operar t\u00e9rminos semejantes aqu\u00ed dentro del corchete."}, {"start": 589.0, "end": 594.0, "text": " Tenemos el caso de estos dos que tienen x al cuadrado."}, {"start": 594.0, "end": 601.0, "text": " Entonces la segunda derivada nos queda de la siguiente manera."}, {"start": 601.0, "end": 606.0, "text": " 4 que multiplica a esta expresi\u00f3n."}, {"start": 606.0, "end": 609.0, "text": " Ya se puede proteger con par\u00e9ntesis."}, {"start": 609.0, "end": 613.0, "text": " Escribimos primero el n\u00famero 1 que nos queda positivo."}, {"start": 613.0, "end": 618.0, "text": " Y la operaci\u00f3n entre estos dos t\u00e9rminos semejantes nos da como resultado"}, {"start": 618.0, "end": 621.0, "text": " menos 3x al cuadrado."}, {"start": 621.0, "end": 627.0, "text": " Y todo esto queda sobre la misma expresi\u00f3n."}, {"start": 627.0, "end": 629.0, "text": " x al cuadrado m\u00e1s 1."}, {"start": 629.0, "end": 633.0, "text": " Todo esto elevado al cubo."}, {"start": 633.0, "end": 639.0, "text": " As\u00ed hemos llegado a la respuesta de este ejercicio."}, {"start": 639.0, "end": 651.0, "text": " Esta expresi\u00f3n es la segunda derivada de esa funci\u00f3n racional que nos dieron."}]

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DERIVADAS PARCIALES - Ejercicio 7

#julioprofe explica cómo obtener las derivadas parciales de una función exponencial de dos variables. Tema: #DerivadasParciales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwE5sy6Z6D7DCmBY74P0qkCG REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Para esta función exponencial de dos variables vamos a determinar las primeras derivadas parciales. Primero con respecto a x y después con respecto a y. Comenzamos con la derivada parcial de la función con respecto a x, lo que también puede escribirse como fx. Tenemos una función exponencial cuya base es el número e. Entonces recordemos que para e elevado a una expresión que vamos a denotar con una manzanita, su derivada es la misma expresión e elevado a la manzanita por la derivada de la expresión que hay en el exponente, o sea, por la derivada de la manzanita. Este es el modelo para derivar una función exponencial como la que tenemos en este caso cuya base es el número de Euler. Entonces siguiendo este modelo vamos a encontrar la derivada parcial con respecto a x. Derivada de todo esto será la misma expresión que era la x al cuadrado más 4y menos y al cuadrado y esto multiplicado por la derivada de lo que tenemos en el exponente, pero se trata de una derivada parcial con respecto a x, o sea que la otra letra, o sea la y, se comporta como si fuera una constante. Veamos entonces, derivada de x al cuadrado es 2x, derivada del término más 4y será 0 y derivada del tercer término menos y al cuadrado también será 0. Nos queda entonces 2x como la derivada parcial con respecto a x de lo que hay en el exponente del número E. Finalmente podemos organizar esta expresión. 2x puede ir al comienzo multiplicando a la expresión exponencial, e a la x al cuadrado más 4y menos y al cuadrado. Aquí tenemos entonces la respuesta a la primera pregunta, es la derivada parcial de la función con respecto a x. Ahora vamos a obtener la derivada parcial de la función con respecto a y, lo que puede escribirse también como f y. Seguimos el mismo modelo, derivada de todo esto será la misma expresión e a la x al cuadrado más 4y menos y al cuadrado y esto multiplicado por la derivada de la manzanita, o sea la derivada de la expresión que hay en el exponente. Pero es una derivada parcial con respecto a y, o sea que esta vez la x se comporta como una constante. Derivada de x al cuadrado será 0 porque es un término constante, derivada de 4y será 4 y derivada de menos y al cuadrado será menos 2y. Allí tenemos entonces la derivada de lo que hay en el exponente. Vamos a organizar la expresión, escribimos esto, 4 menos 2y y eso multiplicado por la expresión exponencial, e a la x al cuadrado más 4y menos y al cuadrado. Y de esta manera obtenemos la otra respuesta, esta es la derivada parcial de la función con respecto a la variable y.

[{"start": 0.0, "end": 9.0, "text": " Para esta funci\u00f3n exponencial de dos variables vamos a determinar las primeras derivadas parciales."}, {"start": 9.0, "end": 15.0, "text": " Primero con respecto a x y despu\u00e9s con respecto a y."}, {"start": 15.0, "end": 26.0, "text": " Comenzamos con la derivada parcial de la funci\u00f3n con respecto a x, lo que tambi\u00e9n puede escribirse como fx."}, {"start": 26.0, "end": 31.0, "text": " Tenemos una funci\u00f3n exponencial cuya base es el n\u00famero e."}, {"start": 31.0, "end": 39.0, "text": " Entonces recordemos que para e elevado a una expresi\u00f3n que vamos a denotar con una manzanita,"}, {"start": 39.0, "end": 51.0, "text": " su derivada es la misma expresi\u00f3n e elevado a la manzanita por la derivada de la expresi\u00f3n que hay en el exponente,"}, {"start": 51.0, "end": 55.0, "text": " o sea, por la derivada de la manzanita."}, {"start": 55.0, "end": 65.0, "text": " Este es el modelo para derivar una funci\u00f3n exponencial como la que tenemos en este caso cuya base es el n\u00famero de Euler."}, {"start": 65.0, "end": 73.0, "text": " Entonces siguiendo este modelo vamos a encontrar la derivada parcial con respecto a x."}, {"start": 73.0, "end": 83.0, "text": " Derivada de todo esto ser\u00e1 la misma expresi\u00f3n que era la x al cuadrado m\u00e1s 4y menos y al cuadrado"}, {"start": 83.0, "end": 88.0, "text": " y esto multiplicado por la derivada de lo que tenemos en el exponente,"}, {"start": 88.0, "end": 94.0, "text": " pero se trata de una derivada parcial con respecto a x,"}, {"start": 94.0, "end": 100.0, "text": " o sea que la otra letra, o sea la y, se comporta como si fuera una constante."}, {"start": 100.0, "end": 110.0, "text": " Veamos entonces, derivada de x al cuadrado es 2x, derivada del t\u00e9rmino m\u00e1s 4y ser\u00e1 0"}, {"start": 110.0, "end": 116.0, "text": " y derivada del tercer t\u00e9rmino menos y al cuadrado tambi\u00e9n ser\u00e1 0."}, {"start": 116.0, "end": 127.0, "text": " Nos queda entonces 2x como la derivada parcial con respecto a x de lo que hay en el exponente del n\u00famero E."}, {"start": 127.0, "end": 132.0, "text": " Finalmente podemos organizar esta expresi\u00f3n."}, {"start": 132.0, "end": 146.0, "text": " 2x puede ir al comienzo multiplicando a la expresi\u00f3n exponencial, e a la x al cuadrado m\u00e1s 4y menos y al cuadrado."}, {"start": 146.0, "end": 157.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos entonces la respuesta a la primera pregunta, es la derivada parcial de la funci\u00f3n con respecto a x."}, {"start": 157.0, "end": 168.0, "text": " Ahora vamos a obtener la derivada parcial de la funci\u00f3n con respecto a y, lo que puede escribirse tambi\u00e9n como f y."}, {"start": 168.0, "end": 180.0, "text": " Seguimos el mismo modelo, derivada de todo esto ser\u00e1 la misma expresi\u00f3n e a la x al cuadrado m\u00e1s 4y menos y al cuadrado"}, {"start": 180.0, "end": 189.0, "text": " y esto multiplicado por la derivada de la manzanita, o sea la derivada de la expresi\u00f3n que hay en el exponente."}, {"start": 189.0, "end": 199.0, "text": " Pero es una derivada parcial con respecto a y, o sea que esta vez la x se comporta como una constante."}, {"start": 199.0, "end": 213.0, "text": " Derivada de x al cuadrado ser\u00e1 0 porque es un t\u00e9rmino constante, derivada de 4y ser\u00e1 4 y derivada de menos y al cuadrado ser\u00e1 menos 2y."}, {"start": 213.0, "end": 218.0, "text": " All\u00ed tenemos entonces la derivada de lo que hay en el exponente."}, {"start": 218.0, "end": 238.0, "text": " Vamos a organizar la expresi\u00f3n, escribimos esto, 4 menos 2y y eso multiplicado por la expresi\u00f3n exponencial, e a la x al cuadrado m\u00e1s 4y menos y al cuadrado."}, {"start": 238.0, "end": 251.0, "text": " Y de esta manera obtenemos la otra respuesta, esta es la derivada parcial de la funci\u00f3n con respecto a la variable y."}]

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DESCOMPOSICIÓN DE NÚMEROS EN FACTORES PRIMOS - Video 2

#julioprofe explica cómo descomponer cuatro números naturales en factores primos. Video dedicado especialmente a los niños que ven este tema por primera vez. Contenido: 00:00 - 01:17 Introducción y repaso de números primos 01:17 - 03:18 Descomposición del número 18 03:18 - 05:20 Descomposición del número 70 05:20 - 07:30 Descomposición del número 132 07:30 - 09:50 Descomposición del número 480 REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a descomponer en factores primos los siguientes números naturales. Tenemos 18, 70, 132 y 480. Para empezar vamos a recordar que son los números primos. Tenemos que este tipo de números son aquellos números naturales que solamente se pueden dividir entre sí mismos y entre uno. El listado de números primos comienza en el 2. 2 únicamente es divisible entre 2 y entre 1. Sigue el 3 que solamente es divisible entre 3 y entre 1. Después tenemos el 5, luego el 7, después el 11. De allí sigue el 13, etc. Ese conjunto es infinito. Nunca termina. Entonces lo que vamos a hacer es expresar cada uno de estos números como la multiplicación de números que estén en este conjunto. Es decir, únicamente números primos. Comenzamos entonces con el número 18. Trazamos esta línea vertical y revisamos si 18 es divisible entre 2, el primer número primo que encontramos. Vemos que sí, porque 18 termina en cifra par. Entonces decimos, mitad de 18 es 9. Enseguida nos preguntamos si 9 es divisible entre 2. Vemos que no, porque 9 es número impar. Pasamos entonces a revisar el siguiente número primo que es el 3. 9 es divisible entre 3. Entonces decimos, tercera de 9 es 3. O también 9 dividido entre 3 nos da como resultado 3. Enseguida nos preguntamos si 3 es divisible entre 3. Efectivamente sí lo es. Entonces decimos, tercera de 3 es 1. Y allí termina la descomposición del número 18 en factores primos. Entonces se puede expresar 18 de la siguiente manera. Demos por 3 por 3. Allí vemos que 18 está escrito como la multiplicación de únicamente números primos. Números que están en este conjunto. Puede escribirse también de una manera más comprimida utilizando la potenciación. Vemos que el 3 se repite dos veces, entonces dejamos el 2 y 3 por 3 se puede escribir como 3 elevado al exponente 2. O lo que se conoce también como 3 al cuadrado. Puede darse de esta manera o también así utilizando la potenciación. Enseguida vamos a descomponer el número 70. Trazamos la línea vertical y comenzamos revisando si 70 es divisible entre 2. Vemos que termina en 0, o sea cifra par. Por lo tanto sí es divisible entre 2. Decimos la mitad de 70 o 70 dividido entre 2 es 35. Nos preguntamos si 35 es divisible entre 2. Vemos que no porque ahora termina en cifra impar. Pasamos a revisar si 35 es divisible entre 3. Recordemos que para que un número sea divisible entre 3 la suma de sus dígitos tiene que dar como resultado un múltiplo de 3. Si sumamos 3 más 5 nos da como resultado 8 y tenemos que 8 no es múltiplo de 3. No está en la tabla de multiplicar del 3. Por lo tanto 35 no tiene tercera o no es divisible entre 3. Pasamos a revisar el siguiente número primo que es el 5. Siempre debemos respetar el orden en que se encuentran los números primos. Vemos que 35 termina en 5. Por lo tanto sí es divisible entre 5. Decimos quinta de 35 es 7. Y llegamos a 7 que es un número primo. 7 únicamente es divisible entre 7 y eso nos da como resultado 1. Allí termina la descomposición en factores primos del número 70. Entonces puede escribirse como 2 por 5 por 7. La multiplicación de únicamente números primos. Vamos ahora con el número 132. Trazamos la línea vertical y comenzamos revisando si 132 es divisible entre 2. Vemos que sí porque termina en cifra par. Entonces tenemos que la mitad de 132 o 132 dividido entre 2 nos da como resultado 66. Vemos que 66 termina en cifra par. Por lo tanto tiene mitad. Nuevamente es divisible entre 2. La mitad de 66 es 33. 33 ya termina en cifra impar. Por lo tanto ya no es divisible entre 2. Pasamos a examinar el siguiente número primo que es el 3. Vemos que 3 más 3 nos da 6. 6 es múltiplo de 3. Por lo tanto 33 es divisible entre 3. Tercera de 33 nos da como resultado 11. Y observamos que 11 es número primo. Entonces pasamos directamente del 3 al 11. Decimos 11aba de 11 nos da como resultado 1. Y de esa manera terminamos la descomposición del número 132. Podemos escribirlo así. 132 es igual a 2 por 2 por 3 por 11. Números primos que están multiplicando entre sí. Cada uno de ellos es un factor. Por eso esto que hacemos se llama descomposición de un número natural en factores primos. Utilizando la potenciación como veíamos al principio, podemos escribir 2 por 2 como 2 elevado al exponente 2. O lo que se conoce como 2 al cuadrado. Eso multiplicado por 3 y a su vez multiplicado por 11. Por último veamos la descomposición del número 480. Comenzamos por examinar si es divisible entre 2. Vemos que termina en 0. Por lo tanto tiene mitad. Decimos mitad de 480 es 240. De nuevo este número termina en 0 que es cifra par. Entonces tiene mitad. Decimos que la mitad de 240 es 120. Otra vez podemos dividir entre 2. Mital de 120 es 60. De nuevo se puede dividir entre 2. Mital de 60 es 30. Para el caso de 30 vemos que por terminar en 0 otra vez se puede dividir entre 2. Mital de 30 es 15. 15 termina ahora en cifra impar. Por lo tanto ya no es divisible entre 2. Sin embargo sabemos que 15 es un número que está en la tabla de multiplicar del número 3. Por lo tanto 15 tiene tercera. Decimos tercera de 15 es 5 y 5 es número primo. Por lo tanto tiene quinta. Quinta de 5 nos da como resultado 1. Y así terminamos la descomposición del número 480 en factores primos. Veamos cómo nos queda entonces la expresión para ese número. Sería 2 por 2 por 2 por 2. Veamos 1, 2, 3, 4, 5 veces. Aquí tenemos 4 falta 1. Esto a su vez multiplicado por 3 y también por 5. Utilizando la potenciación tenemos que como el 2 se repite 5 veces se puede escribir como 2 elevado al exponente 5. Esto multiplicado por 3 y a su vez multiplicado por 5. De esta manera terminamos esta explicación donde hemos realizado la descomposición de números naturales en factores primos.

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Por eso esto que hacemos se llama descomposici\u00f3n de un n\u00famero natural en factores primos."}, {"start": 429.0, "end": 440.0, "text": " Utilizando la potenciaci\u00f3n como ve\u00edamos al principio, podemos escribir 2 por 2 como 2 elevado al exponente 2."}, {"start": 440.0, "end": 443.0, "text": " O lo que se conoce como 2 al cuadrado."}, {"start": 443.0, "end": 450.0, "text": " Eso multiplicado por 3 y a su vez multiplicado por 11."}, {"start": 450.0, "end": 458.0, "text": " Por \u00faltimo veamos la descomposici\u00f3n del n\u00famero 480."}, {"start": 458.0, "end": 468.0, "text": " Comenzamos por examinar si es divisible entre 2. Vemos que termina en 0. Por lo tanto tiene mitad."}, {"start": 468.0, "end": 480.0, "text": " Decimos mitad de 480 es 240. De nuevo este n\u00famero termina en 0 que es cifra par. Entonces tiene mitad."}, {"start": 480.0, "end": 489.0, "text": " Decimos que la mitad de 240 es 120. Otra vez podemos dividir entre 2."}, {"start": 489.0, "end": 500.0, "text": " Mital de 120 es 60. De nuevo se puede dividir entre 2. Mital de 60 es 30."}, {"start": 500.0, "end": 510.0, "text": " Para el caso de 30 vemos que por terminar en 0 otra vez se puede dividir entre 2. Mital de 30 es 15."}, {"start": 510.0, "end": 517.0, "text": " 15 termina ahora en cifra impar. Por lo tanto ya no es divisible entre 2."}, {"start": 517.0, "end": 527.0, "text": " Sin embargo sabemos que 15 es un n\u00famero que est\u00e1 en la tabla de multiplicar del n\u00famero 3. Por lo tanto 15 tiene tercera."}, {"start": 527.0, "end": 539.0, "text": " Decimos tercera de 15 es 5 y 5 es n\u00famero primo. Por lo tanto tiene quinta. 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LONGITUD DE UNA CURVA - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo hallar la longitud de una curva usando una integral definida. Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a hallar la longitud de esta curva desde x igual a 1 hasta x igual a 2. Utilizaremos la siguiente fórmula. Longitud de la curva o lo que se llama también longitud de arco es igual a la integral desde a hasta b de la raíz cuadrada de 1 más y' al cuadrado Todo esto dentro de la raíz y con su respectivo diferencial de x. Tenemos en este caso que se necesita la derivada de la función que nos dan. Y también tenemos los límites de integración que son en este caso los números 1 y 2. a es 1 y b es 2. Como decíamos esta función que nos dan tiene que derivarse y para ello vamos a reescribirla. Tenemos entonces que y es igual a 1 octavo de x a la 4 más 1 cuarto de x a la menos 2. Entonces escribimos la función de esta manera para facilitar el proceso de derivación que es lo que sigue. Tenemos entonces que y' o sea la derivada de esta función es igual a la derivada de una suma. Entonces derivamos cada uno de los términos. Comenzamos con el primero. Tenemos que 1 octavo se queda quieto y esto multiplica con la derivada de x a la 4 que será 4x a la 3. Esto más la derivada del siguiente término donde 1 cuarto queda quieto y multiplica con la derivada de x a la menos 2 que será menos 2 por x a la menos 3. Enseguida vamos a organizar esta expresión. Tenemos y' igual a 1 octavo por 4 que nos da 4 octavos y que simplificando es 1 medio. Y esto acompañado de x al cubo. Por acá aplicamos la ley de los signos. Tenemos que más por menos es menos. 1 cuarto por 2 nos daría 2 cuartos o sea también 1 medio y esto acompañado de x a la menos 3. Esto también nos queda como y' igual a 1 medio por x al cubo que se puede escribir como x al cubo sobre 2. Y esto menos 1 medio por x a la menos 3 que será 1 sobre 2x a la 3. Recordemos que cuando la potencia tiene exponente negativo entonces se traslada al denominador y ya nos queda con exponente positivo. Esta es la expresión para y' o sea la derivada de la función que nos dan y es el componente que necesitamos en la fórmula de longitud de arco. Que como decíamos es la integral definida desde a hasta b de la raíz cuadrada de 1 más y' al cuadrado y todo esto con su respectivo diferencial de x. Entonces toda esta expresión la vamos a reemplazar aquí. Bien allí podemos observar ese reemplazo o esa sustitución y vamos a establecer los límites de integración. Decíamos al principio que a es 1 y b es 2 los valores que nos da el enunciado inicial. Nuestro problema enseguida es desarrollar este binomio elevado al cuadrado y para ello utilizamos el producto notable que se llama justamente así. Binomio al cuadrado o también cuadrado de un binomio. Esto es igual al primer termino al cuadrado menos dos veces el primero por el segundo más el segundo termino elevado al cuadrado. Entonces con esta fórmula vamos a realizar el desarrollo de este binomio al cuadrado. Tenemos entonces el primer termino al cuadrado o sea x al cubo sobre 2 todo esto entre paréntesis al cuadrado menos dos veces el primer termino por el segundo. O sea 2 que multiplica al primer termino x al cubo sobre 2 y que multiplica al segundo termino que es 1 sobre 2x al cubo y todo esto más el segundo termino al cuadrado. O sea 1 sobre 2x al cubo todo esto al cuadrado y toda esa expresión queda dentro de la raíz cuadrada y no podemos olvidar el diferencial de x. Enseguida vamos a desarrollar cada una de estas operaciones. Comenzamos con esta donde el exponente 2 afecta tanto al numerador como al denominador. Tenemos en el numerador x al cubo y eso a su vez elevado al cuadrado que nos da x a la 6. Recordemos que allí se multiplican los exponentes y todo esto sobre 2 elevado al cuadrado que es 4. Esto menos veamos la multiplicación de todo esto cuanto nos da. Tenemos que 2 y 2 se pueden simplificar. Tenemos también que x al cubo con x al cubo se pueden simplificar y nos queda únicamente un medio. Y por acá tenemos que el cuadrado afecta tanto al numerador como al denominador. En el numerador 1 al cuadrado nos da 1. Y en el denominador todo esto elevado al cuadrado nos queda 4x a la 6 y todo esto a su vez queda dentro de la raíz cuadrada y escribimos el correspondiente diferencial de x. Como paso siguiente podemos operar estos dos números 1 menos 1 medio nos da como resultado un medio positivo y esto más x a la 6 sobre 4 más 1 sobre 4x a la 6. Todo esto dentro de la raíz cuadrada y con su diferencial de x. En seguida vamos a resolver esta suma de fracciones heterogeneas. Fracciones con distinto denominador. Tenemos que el común denominador o mínimo común múltiplo de los denominadores es 4 para 2 y 4 será 4. Y también escogemos x a la 6. Entonces necesitamos que todas las fracciones tengan 4x a la 6 en el denominador. Vamos para la primera donde tenemos un medio entonces hay que multiplicar por lo que le haga falta a 2 para que nos de 4x a la 6. Eso es 2x a la 6. Si multiplicamos abajo tenemos que multiplicar también en la parte de arriba por lo mismo. Vamos a la siguiente donde tenemos x a la 6 sobre 4 entonces que le falta a 4 para que nos de 4x a la 6 pues nos hace falta x a la 6. Entonces multiplicamos abajo y arriba por x a la 6. Y como se observa la ultima fracción ya tiene 4x a la 6 en el denominador. Entonces no debe presentar ninguna modificación. Esto lo escribimos dentro de la raíz cuadrada y también escribimos el diferencial de x. En seguida resolvemos cada una de estas operaciones. Por acá tenemos 2x a la 6 sobre esta multiplicación que nos da 4x a la 6. Más x a la 6 por x a la 6 nos da x a la 12. Recordemos que allí se suman los exponentes y abajo tenemos 4x a la 6 y esto más la tercera fracción que es 1 sobre 4x a la 6. Todo esto dentro de la raíz cuadrada y con su correspondiente diferencial de x. Observamos que ahora todas las fracciones tienen el mismo denominador. Ahora son fracciones homogéneas. Entonces vamos a conservar ese denominador 4x a la 6 y escribimos la suma de los numeradores. 2x a la 6 más x a la 12 más 1. Todo esto dentro de la raíz cuadrada con su respectivo diferencial de x. En seguida vamos a escribir la expresión que tenemos en el numerador. Esta que tenemos por acá, o sea ese trinomio organizado en forma descendente. Comenzamos con x a la 12, después más 2x a la 6 y por último el término independiente que es más 1. Todo esto sobre 4x a la 6 y esto dentro de la raíz cuadrada con su correspondiente diferencial de x. Esa organización en forma descendente para esta expresión obedece a que se trata de un trinomio cuadrado perfecto. Vamos a ver por qué es así y posteriormente vemos cómo se hace su factorización. Tenemos que para el trinomio cuadrado perfecto lo primero es tenerlo organizado justamente en forma descendente aunque también se puede organizarlo en forma ascendente. Esta vez hemos escogido la forma descendente. Tenemos que el primer término y el tercero tienen que ser positivos y a su vez tienen que ser cuadrados perfectos. Es decir términos que tengan raíz cuadrada exacta. En este caso la raíz cuadrada del primer término es x a la 6 y la raíz cuadrada del tercer término es 1. Entonces vemos que son raíces cuadradas exactas. Enseguida tenemos que realizar el doble producto de las raíces obtenidas. Entonces 2 veces x a la 6 por 1. Si resolvemos eso nos da como resultado 2x a la 6 que es justamente lo que tenemos en el segundo término del trinomio. Con todo esto podemos afirmar que efectivamente eso es un trinomio cuadrado perfecto y que se puede factorizar construyendo un binomio elevado al cuadrado. Aquí tenemos dos términos que son la raíz cuadrada del primer término x a la 6 y la raíz cuadrada del tercer término que es 1 y entre ellos 2 anotamos el signo del segundo término, o sea signo más. Entonces este resultado lo vamos a escribir por acá. Bien allí podemos observar ese reemplazo y enseguida vamos a simplificar toda esta raíz. Tenemos entonces que si la raíz afecta a una fracción entonces debe aplicarse al numerador y también al denominador. Para el caso del numerador la raíz cuadrada de todo esto que está al cuadrado nos da como resultado x a la 6 más 1. Prácticamente este exponente 2 se elimina con la raíz cuadrada. Y para el caso del denominador tenemos que la raíz cuadrada de 4x a la 6 será la raíz de 4 que es 2 y la raíz de x a la 6 que nos da x a la 3 y todo esto acompañado del diferencial de x. Bien ahora nuestro problema es resolver esta integral definida. Para ello vamos a repartir este denominador a cada uno de los términos que hay en el numerador. Entonces tendremos lo siguiente la integral definida desde 1 hasta 2 de x a la 6 sobre 2x a la 3 más 1 sobre 2x a la 3. Y todo esto protegido con paréntesis y acompañado del diferencial de x. A continuación vamos a organizar la expresión para proceder a integrar. Para el caso del primer término se puede escribir como un medio de x a la 3. Hacemos la simplificación de ese cosiente de potencias de la misma base. Se restan entonces los exponentes. Y esto más un medio que queda acompañado de x a la menos 3. Subimos la potencia y nos queda con exponente negativo. Y aquí ya podemos integrar cada uno de esos dos términos. Para el caso del primero dejamos un medio totalmente quieto y procedemos a integrar x a la 3. Eso nos da como resultado x a la 4 sobre 4. Recordemos que se le suma 1 a este exponente. Entonces por eso nos da x a la 4 sobre 4. Más en el segundo término dejamos también el número un medio totalmente quieto y procedemos a integrar x a la menos 3. También se le suma 1 al exponente. Entonces nos da x a la menos 2 sobre menos 2. Y todo esto estará evaluado en los límites de integración que son 1 y 2. Antes de evaluar estos límites de integración tal como lo enuncia el teorema fundamental del cálculo es conveniente acomodar esta expresión. Entonces vamos a realizar primero eso. Tenemos que por acá se multiplican numeradores entre sí. Nos queda x a la 4. Denominadores entre sí nos da 8. Y por acá aplicamos ley de los signos. Por acá tenemos más, por acá tenemos menos. Más por menos nos da menos. Y organizando esta expresión nos quedará en el denominador 4. X a la menos 2 lo podemos ubicar en el denominador como x a la 2 y en el numerador nos queda solamente el 1. Y todo esto será evaluado en los límites de integración que son 1 y 2. Ahora sí hacemos la evaluación de los límites de integración. Comenzamos con el superior. 2 entra donde tenemos la x. Entonces tenemos 2 a la 4 sobre 8 menos 1 sobre 4 por 2 al cuadrado. Todo esto lo protegemos con corchetes. Y esto menos el reemplazo del límite inferior. Ahora 1 entra donde está la x. Tenemos 1 a la 4 sobre 8 menos 1 sobre 4 por 1 al cuadrado. Y también protegemos esa expresión con corchete. Resolvemos cada una de esas operaciones. Por acá tenemos 2 a la 4 que es 16. Nos queda 16 octavos. Menos 1 sobre 2 al cuadrado que es 4. Y 4 por 4 nos da 16. Protegemos con corchete. Esto menos 1 a la 4 que es 1 sobre 8. Menos 1 sobre 1 al cuadrado que es 1. Y 1 por 4 nos da 4. Esto nos queda de la siguiente manera. L es igual a 16 octavos que es 2. Menos 1 16. Y por acá ya podemos destruir el corchete. Ahora el signo menos nos queda menos 1 octavo más 1 cuarto. Ahora nuestro problema es resolver esta operación con fracciones de distinto denominador. Fracciones heterogeneous. Buscamos primero el mínimo común múltiplo de los denominadores. El mcm de todos ellos que es 16. Entonces necesitamos que todas las fracciones tengan en su denominador el número 16. Por acá escribimos denominador 1. Y entonces mediante amplificación vamos a conseguir este propósito. Para el caso de la primera multiplicamos por 16 abajo y arriba. La segunda fracción ya tiene denominador 16. Entonces se deja tal como está. La siguiente que es 1 octavo se multiplica por 2 abajo y arriba. Y la última fracción que es 1 cuarto se tiene que multiplicar por 4 abajo y también arriba. Vamos a resolver ahora las multiplicaciones que tenemos. 2 por 16 nos da 32. Abajo 1 por 16 es 16. Menos 1 16 ao. Menos 1 por 2 es 2. 8 por 2 es 16. Más 1 por 4 que nos da 4. Y 4 por 4 es 16. Como ya tenemos fracciones homogéneas, fracciones con igual denominador, entonces conservamos ese denominador y efectuamos la operación que hay en los numeradores. Entonces vamos a resolverla. Tenemos entonces que L es igual a 32 más 4 que nos da 36. Menos 1 menos 2 nos da menos 3. Entonces 36 menos 3 es 33. Y todo esto sobre 16. Esta fracción no se puede simplificar. Es una fracción irreducible y constituye la longitud de la curva o longitud de arco. A esto se le escribe la letra U dando a entender que se trata de unidades lineales porque hemos contabilizado o medido la longitud de una línea. La longitud de la curva. Esta es entonces la respuesta a este ejercicio donde hemos visto la aplicación de la integral definida a lo que se llama el cálculo de la longitud de arco o longitud de una curva.

[{"start": 0.0, "end": 8.0, "text": " Vamos a hallar la longitud de esta curva desde x igual a 1 hasta x igual a 2."}, {"start": 8.0, "end": 11.0, "text": " Utilizaremos la siguiente f\u00f3rmula."}, {"start": 11.0, "end": 29.0, "text": " Longitud de la curva o lo que se llama tambi\u00e9n longitud de arco es igual a la integral desde a hasta b de la ra\u00edz cuadrada de 1 m\u00e1s y' al cuadrado"}, {"start": 29.0, "end": 38.0, "text": " Todo esto dentro de la ra\u00edz y con su respectivo diferencial de x."}, {"start": 38.0, "end": 45.0, "text": " Tenemos en este caso que se necesita la derivada de la funci\u00f3n que nos dan."}, {"start": 45.0, "end": 52.0, "text": " Y tambi\u00e9n tenemos los l\u00edmites de integraci\u00f3n que son en este caso los n\u00fameros 1 y 2."}, {"start": 52.0, "end": 57.0, "text": " a es 1 y b es 2."}, {"start": 57.0, "end": 66.0, "text": " Como dec\u00edamos esta funci\u00f3n que nos dan tiene que derivarse y para ello vamos a reescribirla."}, {"start": 66.0, "end": 79.0, "text": " Tenemos entonces que y es igual a 1 octavo de x a la 4 m\u00e1s 1 cuarto de x a la menos 2."}, {"start": 79.0, "end": 89.0, "text": " Entonces escribimos la funci\u00f3n de esta manera para facilitar el proceso de derivaci\u00f3n que es lo que sigue."}, {"start": 89.0, "end": 99.0, "text": " Tenemos entonces que y' o sea la derivada de esta funci\u00f3n es igual a la derivada de una suma."}, {"start": 99.0, "end": 102.0, "text": " Entonces derivamos cada uno de los t\u00e9rminos."}, {"start": 102.0, "end": 116.0, "text": " Comenzamos con el primero. Tenemos que 1 octavo se queda quieto y esto multiplica con la derivada de x a la 4 que ser\u00e1 4x a la 3."}, {"start": 116.0, "end": 129.0, "text": " Esto m\u00e1s la derivada del siguiente t\u00e9rmino donde 1 cuarto queda quieto y multiplica con la derivada de x a la menos 2"}, {"start": 129.0, "end": 136.0, "text": " que ser\u00e1 menos 2 por x a la menos 3."}, {"start": 136.0, "end": 140.0, "text": " Enseguida vamos a organizar esta expresi\u00f3n."}, {"start": 140.0, "end": 152.0, "text": " Tenemos y' igual a 1 octavo por 4 que nos da 4 octavos y que simplificando es 1 medio."}, {"start": 152.0, "end": 155.0, "text": " Y esto acompa\u00f1ado de x al cubo."}, {"start": 155.0, "end": 162.0, "text": " Por ac\u00e1 aplicamos la ley de los signos. Tenemos que m\u00e1s por menos es menos."}, {"start": 162.0, "end": 176.0, "text": " 1 cuarto por 2 nos dar\u00eda 2 cuartos o sea tambi\u00e9n 1 medio y esto acompa\u00f1ado de x a la menos 3."}, {"start": 176.0, "end": 187.0, "text": " Esto tambi\u00e9n nos queda como y' igual a 1 medio por x al cubo que se puede escribir como x al cubo sobre 2."}, {"start": 187.0, "end": 196.0, "text": " Y esto menos 1 medio por x a la menos 3 que ser\u00e1 1 sobre 2x a la 3."}, {"start": 196.0, "end": 207.0, "text": " Recordemos que cuando la potencia tiene exponente negativo entonces se traslada al denominador y ya nos queda con exponente positivo."}, {"start": 207.0, "end": 221.0, "text": " Esta es la expresi\u00f3n para y' o sea la derivada de la funci\u00f3n que nos dan y es el componente que necesitamos en la f\u00f3rmula de longitud de arco."}, {"start": 221.0, "end": 240.0, "text": " Que como dec\u00edamos es la integral definida desde a hasta b de la ra\u00edz cuadrada de 1 m\u00e1s y' al cuadrado y todo esto con su respectivo diferencial de x."}, {"start": 240.0, "end": 246.0, "text": " Entonces toda esta expresi\u00f3n la vamos a reemplazar aqu\u00ed."}, {"start": 246.0, "end": 255.0, "text": " Bien all\u00ed podemos observar ese reemplazo o esa sustituci\u00f3n y vamos a establecer los l\u00edmites de integraci\u00f3n."}, {"start": 255.0, "end": 265.0, "text": " Dec\u00edamos al principio que a es 1 y b es 2 los valores que nos da el enunciado inicial."}, {"start": 265.0, "end": 277.0, "text": " Nuestro problema enseguida es desarrollar este binomio elevado al cuadrado y para ello utilizamos el producto notable que se llama justamente as\u00ed."}, {"start": 277.0, "end": 282.0, "text": " Binomio al cuadrado o tambi\u00e9n cuadrado de un binomio."}, {"start": 282.0, "end": 293.0, "text": " Esto es igual al primer termino al cuadrado menos dos veces el primero por el segundo m\u00e1s el segundo termino elevado al cuadrado."}, {"start": 293.0, "end": 300.0, "text": " Entonces con esta f\u00f3rmula vamos a realizar el desarrollo de este binomio al cuadrado."}, {"start": 300.0, "end": 316.0, "text": " Tenemos entonces el primer termino al cuadrado o sea x al cubo sobre 2 todo esto entre par\u00e9ntesis al cuadrado menos dos veces el primer termino por el segundo."}, {"start": 316.0, "end": 336.0, "text": " O sea 2 que multiplica al primer termino x al cubo sobre 2 y que multiplica al segundo termino que es 1 sobre 2x al cubo y todo esto m\u00e1s el segundo termino al cuadrado."}, {"start": 336.0, "end": 356.0, "text": " O sea 1 sobre 2x al cubo todo esto al cuadrado y toda esa expresi\u00f3n queda dentro de la ra\u00edz cuadrada y no podemos olvidar el diferencial de x."}, {"start": 356.0, "end": 360.0, "text": " Enseguida vamos a desarrollar cada una de estas operaciones."}, {"start": 360.0, "end": 367.0, "text": " Comenzamos con esta donde el exponente 2 afecta tanto al numerador como al denominador."}, {"start": 367.0, "end": 374.0, "text": " Tenemos en el numerador x al cubo y eso a su vez elevado al cuadrado que nos da x a la 6."}, {"start": 374.0, "end": 383.0, "text": " Recordemos que all\u00ed se multiplican los exponentes y todo esto sobre 2 elevado al cuadrado que es 4."}, {"start": 383.0, "end": 391.0, "text": " Esto menos veamos la multiplicaci\u00f3n de todo esto cuanto nos da. Tenemos que 2 y 2 se pueden simplificar."}, {"start": 391.0, "end": 403.0, "text": " Tenemos tambi\u00e9n que x al cubo con x al cubo se pueden simplificar y nos queda \u00fanicamente un medio."}, {"start": 403.0, "end": 415.0, "text": " Y por ac\u00e1 tenemos que el cuadrado afecta tanto al numerador como al denominador. En el numerador 1 al cuadrado nos da 1."}, {"start": 415.0, "end": 433.0, "text": " Y en el denominador todo esto elevado al cuadrado nos queda 4x a la 6 y todo esto a su vez queda dentro de la ra\u00edz cuadrada y escribimos el correspondiente diferencial de x."}, {"start": 433.0, "end": 453.0, "text": " Como paso siguiente podemos operar estos dos n\u00fameros 1 menos 1 medio nos da como resultado un medio positivo y esto m\u00e1s x a la 6 sobre 4 m\u00e1s 1 sobre 4x a la 6."}, {"start": 453.0, "end": 467.0, "text": " Todo esto dentro de la ra\u00edz cuadrada y con su diferencial de x. En seguida vamos a resolver esta suma de fracciones heterogeneas."}, {"start": 467.0, "end": 480.0, "text": " Fracciones con distinto denominador. Tenemos que el com\u00fan denominador o m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de los denominadores es 4 para 2 y 4 ser\u00e1 4."}, {"start": 480.0, "end": 491.0, "text": " Y tambi\u00e9n escogemos x a la 6. Entonces necesitamos que todas las fracciones tengan 4x a la 6 en el denominador."}, {"start": 491.0, "end": 503.0, "text": " Vamos para la primera donde tenemos un medio entonces hay que multiplicar por lo que le haga falta a 2 para que nos de 4x a la 6."}, {"start": 503.0, "end": 513.0, "text": " Eso es 2x a la 6. Si multiplicamos abajo tenemos que multiplicar tambi\u00e9n en la parte de arriba por lo mismo."}, {"start": 513.0, "end": 527.0, "text": " Vamos a la siguiente donde tenemos x a la 6 sobre 4 entonces que le falta a 4 para que nos de 4x a la 6 pues nos hace falta x a la 6."}, {"start": 527.0, "end": 540.0, "text": " Entonces multiplicamos abajo y arriba por x a la 6. Y como se observa la ultima fracci\u00f3n ya tiene 4x a la 6 en el denominador."}, {"start": 540.0, "end": 554.0, "text": " Entonces no debe presentar ninguna modificaci\u00f3n. Esto lo escribimos dentro de la ra\u00edz cuadrada y tambi\u00e9n escribimos el diferencial de x."}, {"start": 554.0, "end": 569.0, "text": " En seguida resolvemos cada una de estas operaciones. Por ac\u00e1 tenemos 2x a la 6 sobre esta multiplicaci\u00f3n que nos da 4x a la 6."}, {"start": 569.0, "end": 586.0, "text": " M\u00e1s x a la 6 por x a la 6 nos da x a la 12. Recordemos que all\u00ed se suman los exponentes y abajo tenemos 4x a la 6 y esto m\u00e1s la tercera fracci\u00f3n que es 1 sobre 4x a la 6."}, {"start": 586.0, "end": 595.0, "text": " Todo esto dentro de la ra\u00edz cuadrada y con su correspondiente diferencial de x."}, {"start": 595.0, "end": 604.0, "text": " Observamos que ahora todas las fracciones tienen el mismo denominador. Ahora son fracciones homog\u00e9neas."}, {"start": 604.0, "end": 628.0, "text": " Entonces vamos a conservar ese denominador 4x a la 6 y escribimos la suma de los numeradores. 2x a la 6 m\u00e1s x a la 12 m\u00e1s 1. Todo esto dentro de la ra\u00edz cuadrada con su respectivo diferencial de x."}, {"start": 628.0, "end": 636.0, "text": " En seguida vamos a escribir la expresi\u00f3n que tenemos en el numerador."}, {"start": 636.0, "end": 655.0, "text": " Esta que tenemos por ac\u00e1, o sea ese trinomio organizado en forma descendente. Comenzamos con x a la 12, despu\u00e9s m\u00e1s 2x a la 6 y por \u00faltimo el t\u00e9rmino independiente que es m\u00e1s 1."}, {"start": 655.0, "end": 669.0, "text": " Todo esto sobre 4x a la 6 y esto dentro de la ra\u00edz cuadrada con su correspondiente diferencial de x."}, {"start": 669.0, "end": 687.0, "text": " Esa organizaci\u00f3n en forma descendente para esta expresi\u00f3n obedece a que se trata de un trinomio cuadrado perfecto. Vamos a ver por qu\u00e9 es as\u00ed y posteriormente vemos c\u00f3mo se hace su factorizaci\u00f3n."}, {"start": 687.0, "end": 700.0, "text": " Tenemos que para el trinomio cuadrado perfecto lo primero es tenerlo organizado justamente en forma descendente aunque tambi\u00e9n se puede organizarlo en forma ascendente."}, {"start": 700.0, "end": 712.0, "text": " Esta vez hemos escogido la forma descendente. Tenemos que el primer t\u00e9rmino y el tercero tienen que ser positivos y a su vez tienen que ser cuadrados perfectos."}, {"start": 712.0, "end": 725.0, "text": " Es decir t\u00e9rminos que tengan ra\u00edz cuadrada exacta. En este caso la ra\u00edz cuadrada del primer t\u00e9rmino es x a la 6 y la ra\u00edz cuadrada del tercer t\u00e9rmino es 1."}, {"start": 725.0, "end": 735.0, "text": " Entonces vemos que son ra\u00edces cuadradas exactas. Enseguida tenemos que realizar el doble producto de las ra\u00edces obtenidas."}, {"start": 735.0, "end": 752.0, "text": " Entonces 2 veces x a la 6 por 1. Si resolvemos eso nos da como resultado 2x a la 6 que es justamente lo que tenemos en el segundo t\u00e9rmino del trinomio."}, {"start": 752.0, "end": 766.0, "text": " Con todo esto podemos afirmar que efectivamente eso es un trinomio cuadrado perfecto y que se puede factorizar construyendo un binomio elevado al cuadrado."}, {"start": 766.0, "end": 784.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos dos t\u00e9rminos que son la ra\u00edz cuadrada del primer t\u00e9rmino x a la 6 y la ra\u00edz cuadrada del tercer t\u00e9rmino que es 1 y entre ellos 2 anotamos el signo del segundo t\u00e9rmino, o sea signo m\u00e1s."}, {"start": 784.0, "end": 798.0, "text": " Entonces este resultado lo vamos a escribir por ac\u00e1. Bien all\u00ed podemos observar ese reemplazo y enseguida vamos a simplificar toda esta ra\u00edz."}, {"start": 798.0, "end": 810.0, "text": " Tenemos entonces que si la ra\u00edz afecta a una fracci\u00f3n entonces debe aplicarse al numerador y tambi\u00e9n al denominador."}, {"start": 810.0, "end": 819.0, "text": " Para el caso del numerador la ra\u00edz cuadrada de todo esto que est\u00e1 al cuadrado nos da como resultado x a la 6 m\u00e1s 1."}, {"start": 819.0, "end": 825.0, "text": " Pr\u00e1cticamente este exponente 2 se elimina con la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 825.0, "end": 843.0, "text": " Y para el caso del denominador tenemos que la ra\u00edz cuadrada de 4x a la 6 ser\u00e1 la ra\u00edz de 4 que es 2 y la ra\u00edz de x a la 6 que nos da x a la 3 y todo esto acompa\u00f1ado del diferencial de x."}, {"start": 843.0, "end": 859.0, "text": " Bien ahora nuestro problema es resolver esta integral definida. Para ello vamos a repartir este denominador a cada uno de los t\u00e9rminos que hay en el numerador."}, {"start": 859.0, "end": 877.0, "text": " Entonces tendremos lo siguiente la integral definida desde 1 hasta 2 de x a la 6 sobre 2x a la 3 m\u00e1s 1 sobre 2x a la 3."}, {"start": 877.0, "end": 885.0, "text": " Y todo esto protegido con par\u00e9ntesis y acompa\u00f1ado del diferencial de x."}, {"start": 885.0, "end": 892.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a organizar la expresi\u00f3n para proceder a integrar."}, {"start": 892.0, "end": 898.0, "text": " Para el caso del primer t\u00e9rmino se puede escribir como un medio de x a la 3."}, {"start": 898.0, "end": 906.0, "text": " Hacemos la simplificaci\u00f3n de ese cosiente de potencias de la misma base. Se restan entonces los exponentes."}, {"start": 906.0, "end": 916.0, "text": " Y esto m\u00e1s un medio que queda acompa\u00f1ado de x a la menos 3. Subimos la potencia y nos queda con exponente negativo."}, {"start": 916.0, "end": 922.0, "text": " Y aqu\u00ed ya podemos integrar cada uno de esos dos t\u00e9rminos."}, {"start": 922.0, "end": 936.0, "text": " Para el caso del primero dejamos un medio totalmente quieto y procedemos a integrar x a la 3. Eso nos da como resultado x a la 4 sobre 4."}, {"start": 936.0, "end": 943.0, "text": " Recordemos que se le suma 1 a este exponente. Entonces por eso nos da x a la 4 sobre 4."}, {"start": 943.0, "end": 953.0, "text": " M\u00e1s en el segundo t\u00e9rmino dejamos tambi\u00e9n el n\u00famero un medio totalmente quieto y procedemos a integrar x a la menos 3."}, {"start": 953.0, "end": 961.0, "text": " Tambi\u00e9n se le suma 1 al exponente. Entonces nos da x a la menos 2 sobre menos 2."}, {"start": 961.0, "end": 971.0, "text": " Y todo esto estar\u00e1 evaluado en los l\u00edmites de integraci\u00f3n que son 1 y 2."}, {"start": 971.0, "end": 984.0, "text": " Antes de evaluar estos l\u00edmites de integraci\u00f3n tal como lo enuncia el teorema fundamental del c\u00e1lculo es conveniente acomodar esta expresi\u00f3n."}, {"start": 984.0, "end": 993.0, "text": " Entonces vamos a realizar primero eso. Tenemos que por ac\u00e1 se multiplican numeradores entre s\u00ed. Nos queda x a la 4."}, {"start": 993.0, "end": 1002.0, "text": " Denominadores entre s\u00ed nos da 8. Y por ac\u00e1 aplicamos ley de los signos. Por ac\u00e1 tenemos m\u00e1s, por ac\u00e1 tenemos menos."}, {"start": 1002.0, "end": 1011.0, "text": " M\u00e1s por menos nos da menos. Y organizando esta expresi\u00f3n nos quedar\u00e1 en el denominador 4."}, {"start": 1011.0, "end": 1030.0, "text": " X a la menos 2 lo podemos ubicar en el denominador como x a la 2 y en el numerador nos queda solamente el 1. Y todo esto ser\u00e1 evaluado en los l\u00edmites de integraci\u00f3n que son 1 y 2."}, {"start": 1030.0, "end": 1041.0, "text": " Ahora s\u00ed hacemos la evaluaci\u00f3n de los l\u00edmites de integraci\u00f3n. Comenzamos con el superior. 2 entra donde tenemos la x."}, {"start": 1041.0, "end": 1053.0, "text": " Entonces tenemos 2 a la 4 sobre 8 menos 1 sobre 4 por 2 al cuadrado. Todo esto lo protegemos con corchetes."}, {"start": 1053.0, "end": 1073.0, "text": " Y esto menos el reemplazo del l\u00edmite inferior. Ahora 1 entra donde est\u00e1 la x. Tenemos 1 a la 4 sobre 8 menos 1 sobre 4 por 1 al cuadrado."}, {"start": 1073.0, "end": 1087.0, "text": " Y tambi\u00e9n protegemos esa expresi\u00f3n con corchete. Resolvemos cada una de esas operaciones. Por ac\u00e1 tenemos 2 a la 4 que es 16. Nos queda 16 octavos."}, {"start": 1087.0, "end": 1109.0, "text": " Menos 1 sobre 2 al cuadrado que es 4. Y 4 por 4 nos da 16. Protegemos con corchete. Esto menos 1 a la 4 que es 1 sobre 8. Menos 1 sobre 1 al cuadrado que es 1."}, {"start": 1109.0, "end": 1128.0, "text": " Y 1 por 4 nos da 4. Esto nos queda de la siguiente manera. L es igual a 16 octavos que es 2. Menos 1 16. Y por ac\u00e1 ya podemos destruir el corchete."}, {"start": 1128.0, "end": 1145.0, "text": " Ahora el signo menos nos queda menos 1 octavo m\u00e1s 1 cuarto. Ahora nuestro problema es resolver esta operaci\u00f3n con fracciones de distinto denominador."}, {"start": 1145.0, "end": 1156.0, "text": " Fracciones heterogeneous. Buscamos primero el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de los denominadores. El mcm de todos ellos que es 16."}, {"start": 1156.0, "end": 1165.0, "text": " Entonces necesitamos que todas las fracciones tengan en su denominador el n\u00famero 16. Por ac\u00e1 escribimos denominador 1."}, {"start": 1165.0, "end": 1177.0, "text": " Y entonces mediante amplificaci\u00f3n vamos a conseguir este prop\u00f3sito. Para el caso de la primera multiplicamos por 16 abajo y arriba."}, {"start": 1177.0, "end": 1190.0, "text": " La segunda fracci\u00f3n ya tiene denominador 16. Entonces se deja tal como est\u00e1. La siguiente que es 1 octavo se multiplica por 2 abajo y arriba."}, {"start": 1190.0, "end": 1203.0, "text": " Y la \u00faltima fracci\u00f3n que es 1 cuarto se tiene que multiplicar por 4 abajo y tambi\u00e9n arriba. Vamos a resolver ahora las multiplicaciones que tenemos."}, {"start": 1203.0, "end": 1225.0, "text": " 2 por 16 nos da 32. Abajo 1 por 16 es 16. Menos 1 16 ao. Menos 1 por 2 es 2. 8 por 2 es 16. M\u00e1s 1 por 4 que nos da 4. Y 4 por 4 es 16."}, {"start": 1225.0, "end": 1241.0, "text": " Como ya tenemos fracciones homog\u00e9neas, fracciones con igual denominador, entonces conservamos ese denominador y efectuamos la operaci\u00f3n que hay en los numeradores."}, {"start": 1241.0, "end": 1260.0, "text": " Entonces vamos a resolverla. Tenemos entonces que L es igual a 32 m\u00e1s 4 que nos da 36. Menos 1 menos 2 nos da menos 3. Entonces 36 menos 3 es 33."}, {"start": 1260.0, "end": 1273.0, "text": " Y todo esto sobre 16. Esta fracci\u00f3n no se puede simplificar. Es una fracci\u00f3n irreducible y constituye la longitud de la curva o longitud de arco."}, {"start": 1273.0, "end": 1289.0, "text": " A esto se le escribe la letra U dando a entender que se trata de unidades lineales porque hemos contabilizado o medido la longitud de una l\u00ednea. La longitud de la curva."}, {"start": 1289.0, "end": 1306.0, "text": " Esta es entonces la respuesta a este ejercicio donde hemos visto la aplicaci\u00f3n de la integral definida a lo que se llama el c\u00e1lculo de la longitud de arco o longitud de una curva."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=p93SrLS4FdA

FELIZ NAVIDAD 2012 Y PRÓSPERO 2013

#julioprofe hace el cierre de actividades del año 2012, deseando a todos una Feliz Navidad y un 2013 lleno de paz, prosperidad y muchas bendiciones para todos. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

Bueno, hoy es 20 de diciembre de 2012, estamos en plena navidad, ya el año está próximo a terminar y es momento de darle gracias a Dios por todos los beneficios que recibimos durante este año por haber tenido la oportunidad de compartir con ustedes nuevos tutoriales de matemáticas y física. Desde ya quiero desearles a todos un feliz 2013. Escribí unas palabras con motivo del cierre de año y con el permiso de ustedes voy a leerlas. Dice así. Apreceados estudiantes, maestros, padres de familia, niños, jóvenes, adultos, reciban todos un afectuoso saludo de mi parte en esta Navidad 2012 deseando que la paz y la armonía llenen sus hogares. Durante este año tuve la oportunidad de producir 92 nuevos videos totalizando así 362 publicaciones en mi canal Julio Profe desde que inicie en febrero de 2009. Hace un año, en diciembre de 2011, mi canal tenía un poco más de 31.600 suscriptores y los 270 videos que había publicado hasta entonces registraban algo más de 18 millones de reproducciones. Hoy, 20 de diciembre de 2012, cuento con más de 88 mil suscriptores y los 362 videos totalizan más de 36 millones de reproducciones. Sin duda, estas cifras me dejan sumamente complacido y me animan a seguir adelante con mi labor educativa. Como dato curioso, les cuento que empecé el 2012 siendo el tercer canal de YouTube Colombia con más suscriptores. Luego, en agosto, subí al segundo lugar y actualmente estoy ubicado de nuevo en el tercer puesto. Para mí ha sido muy satisfactorio estar allí, en esa posición privilegiada y eso ha sido gracias a ustedes, estimados suscriptores, que me han dado su voto de confianza. A quienes no se han suscrito todavía a mi canal, los invito a hacerlo. Recuerden que es totalmente gratis y así permanecieran al tanto de las nuevas publicaciones en el 2013. Quiero agradecer a los medios de comunicación que durante este año destacaron mi aporte educativo. Aquí abajo, en la descripción del video, les dejo un enlace por si desean ver las notas de prensa que han resaltado mi trabajo en la red. Fue para mí un gran logro haber sido uno de los 30 nominados al premio Mejores Líderes de Colombia 2012 que entregó la revista Semana, la Fundación Liderazgo y Democracia y Telefónica, en la ciudad de Bogotá el 28 de agosto. De igual forma, me siento honrado de haber sido destacado como personaje del año 2012 por el periódico El Pueblo de mi ciudad Cali. A ustedes que creen en lo que estoy haciendo, les dedico todos estos logros que significan mucho para mí, para mi familia, para mis amigos y que me comprometen a seguir trabajando en la dirección de apoyar a los estudiantes. Aprovecho para saludar y agradecer al portal Cybermatics en España para el cual he tenido la oportunidad de grabar cursos de física, el de cuarto de la ESO y la primera parte del que corresponde a primero de bachillerato. A quienes me han criticado que estos cursos son de pago, les digo que por favor tengan en cuenta todo el material que yo he publicado y que voy a seguir publicando de manera gratuita, libre, con el ánimo de compartir mis conocimientos con toda la comunidad académica. Cuando las personas se suscriben a estos cursos y pagan por ellos, están apoyando mi proyecto educativo. Afortunadamente en nuestro mundo el dinero es necesario para comer, para pagar los recibos del agua, de la energía, del celular, de la conexión a internet, en fin. Así que a las personas conscientes de esto y que han pagado por estos cursos en Cybermatics, les agradezco por contribuir a que yo pueda seguir produciendo videos gratis para todos acá en YouTube. Envío un saludo muy especial al proyecto educativo Academia Vázquez, liderado desde Perú, para el cual estoy colaborando con la grabación de los temas de álgebra, tanto teoría como ejercicios. Todo este material está disponible en el canal Academia Vázquez de YouTube y también en la sección de álgebra de mi blog julio-profe.net. Nuestra meta para el 2013 es seguir produciendo material educativo de libre acceso para el beneficio de todos los estudiantes de habla hispana, principalmente los de América Latina, para que vayan adquiriendo bases firmes en lo relacionado con las matemáticas de la secundaria y todos puedan avanzar satisfactoriamente en su proceso de formación académica. Saludo también al portal Aprende Matemáticas en México y les agradezco por incluir los videos de álgebra que he producido para apoyar a estudiantes y maestros. Si Dios lo permite, en marzo de 2013 estaré visitando el territorio mexicano, inicialmente la ciudad de Guadalajara. A CUEPA en Argentina también envío un saludo muy especial agradeciéndoles por la confianza depositada en mi trabajo y por incluir mis videos en su oferta de contenidos digitales para colegios. A las personas que integran el grupo académico Julio-Profes en Facebook, muchas gracias por enriquecer ese espacio con sus comentarios, con sus inquietudes. A las personas que gentilmente colaboran allí con sus respuestas, con sus orientaciones, muchas gracias por su ayuda desinteresada y por contribuir a la construcción de una comunidad que se distingue por el respeto, por el trato cordial y por la solidaridad entre sus miembros. Con gran satisfacción les cuento que finalizamos el 2012 con más de 17.000 miembros en esta comunidad. A quienes todavía no forman parte del grupo, les invito a unirse a él para que expongan sus preguntas y los que quieran ayudar compartan sus valiosos conocimientos. También en Facebook debo agradecer a las personas que visitan la página Julio-Profes Net y que dejan allí sus likes, más de 16.000 y sus amables comentarios. A las casi 5.660 personas que me siguen por Twitter, un saludo muy especial, muchas gracias por sus mensajes y por su apoyo permanente. Quiero ofrecer excusas a quienes no les he dado respuesta a sus inquietudes, pero humanamente me es imposible atender la gran cantidad de preguntas que me llegan diariamente por YouTube, por Facebook, por Twitter, por el correo. Es por eso que les ofrezco la alternativa de unirse al grupo Julio-Profes en Facebook, donde hay personas que conocen muy bien los temas de matemáticas, de física, incluso de química, y que generosamente colaboran con la solución de inquietudes. Aclaro, no les van a hacer las tareas de ninguna manera, les van a ayudar con cosas muy puntuales, con el despeje de dudas muy específicas, o les darán orientación sobre cómo solucionar lo que necesitan. En este año 2012 tuve la gran oportunidad de compartir mi experiencia educativa en diferentes eventos como Tacme en Medellín, el encuentro con los números en Envigado, Educa Digital en Bogotá, y también en mi ciudad Cali, en la Universidad Libre, en la Universidad Católica, Lumen Gentium, y en el tercer BarCamp que tuvo como sede la Universidad Autónoma de Occidente. Agradezco a todas las personas que me invitaron a estos eventos para compartir con los asistentes lo que ha sido mi experiencia educativa en la red. Para el próximo año 2013, con la ayuda de Dios, estaré visitando México en marzo, como les contaba anteriormente, y bueno, donde me inviten iré con el mayor gusto para tener la posibilidad de interactuar con ustedes. Yo creo que ya es momento de dejarlos descansar en este final de año, que disfruten de una feliz Navidad junto a sus familiares y amigos, y que el año 2013 traiga para todos ustedes muchas bendiciones, buena salud, prosperidad, paz en sus hogares y en el mundo entero, y muchos éxitos en sus estudios, buenas calificaciones en matemáticas y en todas las asignaturas. Por mi parte, tomaré un descanso con mi familia y reanudaré actividades hacia el 10 de enero. Tengo mucho trabajo para el próximo año, y entre eso está el gran compromiso de seguir produciendo nuevos videos para todos ustedes. Bueno, ese era mi mensaje de cierre de año 2012. Muchas gracias por su atención. Reciban un fuerte abrazo desde Colombia. Que Dios les bendiga en esta Navidad y en el nuevo año. Recuerden que haciendo el bien sin mirar a quien, construimos un mundo mejor. Chau chau.

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https://www.youtube.com/watch?v=SKZ9cP_NGEM

VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN USANDO ARANDELAS - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo hallar el volumen un sólido de revolución usando el Método de las Arandelas. Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

En esta ocasión vamos a ver el volumen del sólido que resulta de girar alrededor del eje y la región limitada por las funciones f de x igual a 2x y g de x igual a x al cuadrado. Tenemos por aquí lo que es una función lineal, o sea que su gráfica es una línea recta y tenemos por acá una función cuadrática cuya gráfica será una parábola. Vamos a encontrar como primera medida los puntos de corte de esas dos funciones. Para ello vamos a igualar ambas funciones, tomamos f de x y la igualamos con g de x. f de x es 2x y g de x es igual a x al cuadrado. Tenemos una ecuación de segundo grado, vamos a resolverla. Vamos a igualar a cero, podemos pasar este término para el otro lado, nos queda aquí cero y acá tendremos x al cuadrado menos 2x. Y esa ecuación cuadrática o de segundo grado podemos resolverla por factorización. Aquí podemos extraer factor común x, x será factor de x menos 2 y allí aplicamos el teorema del factor nulo que se puede representar con sus iniciales. Eso nos dice que ambos factores se deben igualar a cero. Tenemos x igual a cero o el otro factor x menos 2 igual a cero. Por aquí ya tenemos una solución de la ecuación, x vale cero y por acá despejamos x. 2 que está restando pasa al otro lado a sumar con cero y nos da x igual a 2. Entonces las soluciones de esa ecuación cuadrática son x igual a cero y x igual a 2. Sabiendo que las funciones presentan corte o intersección en estos valores de x, podemos hacer una tabla de valores para cada una de ellas. Vamos con la función cuadrática, es decir y igual a x al cuadrado. Vamos entonces aquí a tomar valores guiados por estos números. Podemos comenzar en cero, tomar el 1 y también el 2 porque esta es una curva, es una parábola por lo tanto necesitamos varios puntos. Si x vale cero tenemos que y vale cero, si x vale 1 y vale 1 y si x vale 2 tenemos y igual a 4. Vamos a tabular acá lo que es la función f de x, o sea la recta. Tenemos que y es igual a 2x. Y para una recta es suficiente con tener dos puntos, podemos usar justamente cero y dos. Si x vale cero tenemos que y vale cero y si x vale 2 tenemos que y vale 4. Efectivamente se observa los puntos de corte de las dos funciones, comparten dos parejas ordenadas que son los puntos de contacto. Enseguida vamos al plano cartesiano y vamos a localizar los puntos de la función cuadrática. Tenemos el punto cero cero, o sea el origen, el punto uno uno, o sea por aquí y el punto dos coma cuatro que es por acá. Vamos entonces a dibujar la parábola. Bien allí podemos observarla, se trata de la mitad derecha de la parábola que corresponde a esta función cuadrática. Y enseguida vamos a localizar los puntos correspondientes a la recta, ella pasa por cero coma cero y por dos coma cuatro. Vamos entonces a dibujarla. Allí podemos observarla. Entonces la línea de color rojo es y igual a x al cuadrado, la función cuadrática. Y la línea de color azul es y igual a 2x, o sea la función lineal. Y también podemos observar la región que queda encerrada por esas dos funciones. Se trata de esta que estamos repintando con color verde. Esa región plana es la que va a presentar rotación o giro alrededor del eje y. Entonces vamos a realizar el reflejo de esta figura acá en el segundo cuadrante. Allí podemos observarla. La región plana que quedó encerrada en el primer cuadrante al presentar la rotación o el giro con respecto al eje y, nos produce este reflejo en el segundo cuadrante. La parte que está pintada con color verde indica la zona maciza del sólido de revolución. Y la parte que nos queda en color blanco es la parte hueca. Vamos a ver un dibujo de cómo quedaría el sólido de revolución. Nos queda algo como así. Tenemos aquí el eje de giro, que es el eje y. Y este es el sólido de revolución que se genera cuando esta región plana gira en torno a ese eje. Tenemos que el sólido va desde y igual a cero hasta el valor y igual a cuatro. Y vamos a suponer que está conformado por una serie de arandelas que va una encima de la otra de tal forma que generan esta figura tridimensional. Vamos a considerar una de ellas. Por ejemplo, la que está como a esta altura. Sería una especie de disco muy delgado y con un hueco en el centro que corresponde al que deja la línea recta. Vemos que esa línea azul forma en el interior del sólido una especie de hueco en forma de cono. Entonces esta arandela es la que vamos a estudiar y será el diferencial de volumen. Todo el sólido tiene un volumen b que es el que vamos a encontrar. Pero vamos a analizar esta figura representativa que será el diferencial de volumen y que se conoce con el nombre de arandela. Podemos representar la arandela como esta franja horizontal, es decir, lo que se llama una sección transversal al eje de giro. Entonces en ese caso vamos a repintar la parte maciza que sería esta y esta parte que nos queda en color blanco corresponde a la parte hueca. Vamos entonces a identificar las dimensiones de esa arandela. Tenemos la altura de la arandela, vamos a llamarla h, que corresponde al espesor de la misma y se trata de una distancia muy pequeña que se cuenta en la dirección del eje y. Entonces es lo que se conoce como de y, el diferencial de y. Tenemos también lo que es el radio interno de la arandela que lo vamos a marcar aquí con r y tenemos también el radio externo que lo vamos a marcar por acá con la letra r. Entonces veamos a cuanto equivalen esos dos valores. El radio interno, o sea r, es una distancia que se cuenta en la dirección del eje x horizontalmente a partir del eje y y está controlada por la recta. Todo el tiempo el radio interno de la arandela está gobernado o está controlado por la función lineal. Entonces será la distancia x que sale de la ecuación de la recta, entonces hacemos el despeje de x de esta igualdad. Tenemos que x es igual a y sobre 2 o y medios. Para el caso de r, o sea el radio externo de la arandela, el que hemos señalado por acá, vemos que todo el tiempo está controlado por la curva, por la parábola. Será la distancia x que se desprende de la ecuación de la parábola, de la función cuadrática. Si despejamos x de esta igualdad tenemos que es igual a la raíz cuadrada de y. Entonces allí tenemos los radios de la arandela, el interior, el exterior y su espesor que es de y. La arandela resulta ser una figura geométrica como esta. Se trata de un cilindro hueco que tiene radio externo r, radio interno r y altura o espesor h. Vamos a ver cómo se obtiene la fórmula para encontrar el volumen de esta figura geométrica. Tenemos el volumen del cilindro más grande, o sea el que tiene radio r, que sería pi r al cuadrado por h y esto menos el cilindro que se forma al interior. O sea, restamos esta parte que hace el hueco en la figura, que sería pi r al cuadrado por h. En esa expresión podemos extraer factor común el número pi y h. Nos queda entonces pi factor de r al cuadrado menos r al cuadrado y eso por h. Con esta expresión vamos a determinar el volumen de la arandela. Tenemos entonces la letra B, o sea lo que es el volumen de la arandela, en nuestro caso es dv, el diferencial de volumen de todo el sólido cuyo volumen tenemos que encontrar. Y eso será igual al número pi por, abrimos un corchete, reemplazamos el valor de r, el radio externo de la arandela, que es la raíz cuadrada de y, esto al cuadrado, menos r, el radio interno de la arandela cuyo valor es y medios, también al cuadrado y todo esto multiplicado por h, que es la altura o espesor de la arandela y que es dv. En este caso debemos tener presente que el espesor de la sección transversal, en este caso de la arandela, es lo que nos indica en términos de que letra deben quedar los radios. Como en este caso tenemos diferencial de y, entonces los radios deben quedar expresados en términos de esa letra. Esta expresión la podemos escribir de la siguiente manera, diferencial de volumen igual a pi por raíz cuadrada de y al cuadrado nos queda y, y aquí el exponente afecta al numerador y al denominador, nos queda y al cuadrado sobre 4, cerramos el paréntesis y escribimos el diferencial de y. De esta manera tenemos la expresión para el volumen de la arandela, pero necesitamos el volumen de todo el sólido que como decíamos está conformado por una serie de arandelas una encima de la otra, desde y igual a cero hasta y igual a cuatro. Entonces es aquí cuando tenemos que integrar ambos lados de esta expresión, aparece entonces una de las aplicaciones de la integral definida en el calculo de volúmenes más exactamente en los sólidos de revolución. Aquí tenemos los límites de integración y igual a cero y y igual a cuatro, valores de la variable y que es entre los que se genera dicho sólido de revolución. A la izquierda tenemos que la integral de dv será b, o sea el volumen de todo el sólido y acá a la derecha podemos extraer la constante pi y nos queda la integral entre cero y cuatro de esta expresión que la podemos acomodar como y menos un cuarto de y al cuadrado y todo esto con su respectivo diferencial de y. Vamos ahora a resolver lo que es esta integral, nos queda d igual al número pi por, vamos a abrir una llave, tenemos la integral de y que sería y al cuadrado sobre dos menos la integral de este término donde dejamos el número un cuarto, lo dejamos quieto e integramos y al cuadrado. La integral de y a la dos será y a la tres sobre tres y vamos a evaluar entre los respectivos límites de integración que son cero y cuatro. Antes de aplicar el teorema fundamental del calculo, es decir el reemplazo de los límites de integración, vamos a multiplicar esto aquí, nos va a quedar multiplicación de numeradores y multiplicación de denominadores, tendremos entonces lo que es y al cubo sobre doce. Y ahora si reemplazamos los límites de integración, tenemos volumen igual al número pi por entra el número cuatro, tenemos cuatro al cuadrado sobre dos menos cuatro al cubo sobre doce, allí se evaluó el límite superior, protegemos todo esto. Y luego evaluamos el límite inferior, si cero entra donde tenemos la letra y, todo eso nos dará cero, entonces nos concentramos en esto. Tenemos el número pi por cuatro al cuadrado que es dieciséis, dieciséis sobre dos nos da ocho, menos cuatro al cubo es sesenta y cuatro y sesenta y cuatro doceavos es una fracción que se puede simplificar, podemos dividir entre cuatro ambos números y nos queda como dieciséis tercios, una fracción irreducible. Por último, resolvemos esta resta de fraccionarios, aquí le escribimos denominador uno al ocho y tendremos lo siguiente, pi que multiplica a lo siguiente, uno por tres nos da tres, ocho por tres es veinticuatro, menos uno por dieciséis. Resolvemos esa resta, tendremos volumen igual a pi por ocho tercios y de esta manera llegamos al resultado final de este ejercicio, se puede escribir como ocho tercios de pi unidades cúbicas, porque estamos encontrando el volumen del sólido de revolución. Bien, de esta manera finalizamos el ejercicio.

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una encima de la otra, desde y igual a cero hasta y igual a cuatro."}, {"start": 768.0, "end": 786.0, "text": " Entonces es aqu\u00ed cuando tenemos que integrar ambos lados de esta expresi\u00f3n, aparece entonces una de las aplicaciones de la integral definida en el calculo de vol\u00famenes m\u00e1s exactamente en los s\u00f3lidos de revoluci\u00f3n."}, {"start": 786.0, "end": 799.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos los l\u00edmites de integraci\u00f3n y igual a cero y y igual a cuatro, valores de la variable y que es entre los que se genera dicho s\u00f3lido de revoluci\u00f3n."}, {"start": 799.0, "end": 828.0, "text": " A la izquierda tenemos que la integral de dv ser\u00e1 b, o sea el volumen de todo el s\u00f3lido y ac\u00e1 a la derecha podemos extraer la constante pi y nos queda la integral entre cero y cuatro de esta expresi\u00f3n que la podemos acomodar como y menos un cuarto de y al cuadrado y todo esto con su respectivo diferencial de y."}, {"start": 828.0, "end": 851.0, "text": " Vamos ahora a resolver lo que es esta integral, nos queda d igual al n\u00famero pi por, vamos a abrir una llave, tenemos la integral de y que ser\u00eda y al cuadrado sobre dos menos la integral de este t\u00e9rmino donde dejamos el n\u00famero un cuarto, lo dejamos quieto e integramos y al cuadrado."}, {"start": 851.0, "end": 866.0, "text": " La integral de y a la dos ser\u00e1 y a la tres sobre tres y vamos a evaluar entre los respectivos l\u00edmites de integraci\u00f3n que son cero y cuatro."}, {"start": 866.0, "end": 888.0, "text": " Antes de aplicar el teorema fundamental del calculo, es decir el reemplazo de los l\u00edmites de integraci\u00f3n, vamos a multiplicar esto aqu\u00ed, nos va a quedar multiplicaci\u00f3n de numeradores y multiplicaci\u00f3n de denominadores, tendremos entonces lo que es y al cubo sobre doce."}, {"start": 888.0, "end": 912.0, "text": " Y ahora si reemplazamos los l\u00edmites de integraci\u00f3n, tenemos volumen igual al n\u00famero pi por entra el n\u00famero cuatro, tenemos cuatro al cuadrado sobre dos menos cuatro al cubo sobre doce, all\u00ed se evalu\u00f3 el l\u00edmite superior, protegemos todo esto."}, {"start": 912.0, "end": 924.0, "text": " Y luego evaluamos el l\u00edmite inferior, si cero entra donde tenemos la letra y, todo eso nos dar\u00e1 cero, entonces nos concentramos en esto."}, {"start": 924.0, "end": 952.0, "text": " Tenemos el n\u00famero pi por cuatro al cuadrado que es diecis\u00e9is, diecis\u00e9is sobre dos nos da ocho, menos cuatro al cubo es sesenta y cuatro y sesenta y cuatro doceavos es una fracci\u00f3n que se puede simplificar, podemos dividir entre cuatro ambos n\u00fameros y nos queda como diecis\u00e9is tercios, una fracci\u00f3n irreducible."}, {"start": 952.0, "end": 976.0, "text": " Por \u00faltimo, resolvemos esta resta de fraccionarios, aqu\u00ed le escribimos denominador uno al ocho y tendremos lo siguiente, pi que multiplica a lo siguiente, uno por tres nos da tres, ocho por tres es veinticuatro, menos uno por diecis\u00e9is."}, {"start": 976.0, "end": 1003.0, "text": " Resolvemos esa resta, tendremos volumen igual a pi por ocho tercios y de esta manera llegamos al resultado final de este ejercicio, se puede escribir como ocho tercios de pi unidades c\u00fabicas, porque estamos encontrando el volumen del s\u00f3lido de revoluci\u00f3n."}, {"start": 1003.0, "end": 1007.0, "text": " Bien, de esta manera finalizamos el ejercicio."}]

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Ejercicio 5 de CIRCUNFERENCIA

#julioprofe explica cómo hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos dados. Adicionalmente, explica cómo determinar el centro y el radio de dicha circunferencia. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

Hayar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos M de coordenadas 4,-1, N de coordenadas 2,3 y Q de coordenadas menos 1,-6. Determinar también el centro y el radio de dicha circunferencia. Bien, en este problema tenemos información de tres puntos que pertenecen a la circunferencia. Se trata de tres parejas ordenadas, parejas X,Y que deben satisfacer la ecuación de la circunferencia que buscamos. Vamos a utilizar el siguiente modelo para desarrollar este problema. Se trata de X al cuadrado más Y al cuadrado más CX más DY más E igual a 0. Es el modelo de la ecuación general para una circunferencia. Allí vamos a reemplazar cada una de estas parejas, cada uno de esos valores X y Y y vamos a obtener tres ecuaciones que posteriormente conformarán lo que se llama un sistema de ecuaciones lineales de 3 por 3. Veamos entonces cómo nos queda. Comenzamos reemplazando las coordenadas del punto M. Tenemos X es 4, entonces 4 al cuadrado más Y que es menos 1, entonces menos 1 al cuadrado más C por X, X vale 4, más D por Y, Y vale menos 1, más E igual a 0. Resolvemos 4 al cuadrado, nos da 16, más menos 1 al cuadrado que es 1 positivo, aquí tenemos C por 4 que es más 4C, D por menos 1 es menos D más E igual a 0. Sumamos estos dos números, esto nos da 17 y vamos a pasar ese número al lado derecho. Nos queda entonces 4C menos D más E igual a menos 17. Y de esta manera obtenemos la primera ecuación. La etiquetamos como ecuación número 1. Enseguida vamos a reemplazar las coordenadas del punto M. Tenemos que X es 2, entonces 2 al cuadrado más Y que vale 3, 3 al cuadrado más C por X, X vale 2, más D por Y, Y vale 3, esto más E igual a 0. Resolvemos 2 al cuadrado es 4, más 3 al cuadrado que es 9, más C por 2 es 2C, D por 3 nos queda más 3D, esto más E igual a 0. Sumamos estos dos números, eso nos da 13 y pasamos ese número al otro lado. Nos queda 2C más 3D más E igual a menos 13. Y con eso tenemos la segunda ecuación. La etiquetamos como el número 2. Por último vamos a reemplazar las coordenadas del punto Q. Tenemos que X es menos 1, entonces menos 1 al cuadrado más Y que vale menos 6, menos 6 al cuadrado más C por X que es menos 1, más D por Y que vale menos 6, eso más E igualado a 0. Resolvemos menos 1 al cuadrado es 1, más menos 6 al cuadrado, 36, C por menos 1 nos da menos C, D por menos 6 es menos 6D, esto más E igual a 0. Sumamos estos números, esto nos da 37, pasa al otro lado negativo y nos queda menos C, menos 6D más E igual a menos 37. Y de esta manera obtenemos la tercera ecuación. Vamos a etiquetarla con el número 3. Hemos llegado a un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Son ecuaciones lineales, vemos las incógnitas C, D y E y como tenemos tres ecuaciones, entonces es lo que se llama un sistema de tres por tres. Vamos a resolverlo por el método de eliminación, también conocido como el método de suma y resta. Vamos a tomar por ejemplo las ecuaciones 1 y 2 para eliminar la letra E. Entonces, escribimos la primera ecuación que es 4C menos D más E igual a menos 17 y la ecuación 2 vamos a multiplicarla por menos 1. Entonces, escribimos aquí esa instrucción. Vamos a multiplicar a ambos lados de esa igualdad cada cosa por menos 1. Aquí tenemos entonces menos 2C, por acá tenemos menos 3D, por acá tenemos menos E y esto igual a 13 positivo. Da lo mismo si multiplicamos por menos 1 la primera ecuación y dejamos la segunda sin que presente ningún cambio. En seguida vamos a sumar estas dos igualdades en forma vertical. Tenemos 4C menos 2C que nos da 2C, por acá tenemos menos D con menos 3D, eso nos da menos 4D, E positivo con E negativo se cancelan, aquí es donde se produce la eliminación y por acá tenemos que la suma de estos números nos da como resultado menos 4. Esta ecuación podemos simplificarla todavía más. Como vemos todos los números son divisibles entre 2. Entonces vamos a dividir entre 2 esa igualdad a ambos lados. Nos queda C menos 2D igual a menos 2 y esta expresión constituye una nueva ecuación. La vamos a llamar la ecuación número 4 y la vamos a escribir por aquí. Nos dio C menos 2D igual a menos 2. Ahora vamos a tomar otro par de ecuaciones. Puede ser la ecuación 1 y la 3 o también puede ser la ecuación 2 con la número 3. Vamos a tomar la 1 con la 3. La ecuación 1 la vamos a escribir tal como está, 4C menos D más E igual a menos 17 y vamos a tomar la ecuación número 3 y también la vamos a multiplicar por menos 1. Escribimos allí la instrucción y entonces esta ecuación 3 nos queda así, C positivo por acá tenemos más 6D por acá tenemos menos E y esto igual a 37 positivo. Y vamos a sumar también en forma vertical. Tenemos 4C más C nos da 5C menos D más 6D nos da más 5D. Por acá tenemos que la letra E se elimina y al otro lado de la igualdad la suma de esos números nos da como resultado 20. Esta ecuación también puede simplificarse dividiendo a ambos lados entre 5. Entonces vamos a realizar esa simplificación. Dividimos todo por 5 y nos queda C más D igual a 4. Esta ecuación que es nueva la etiquetamos con el número 5 y la vamos a escribir por acá. Dice C más D igual a 4. Con las ecuaciones 4 y 5 tenemos ahora un sistema de 2 por 2. Dos ecuaciones con dos incógnitas. Vamos a resolver ese sistema otra vez por el método de eliminación. Vamos a eliminar por ejemplo la letra D. Entonces dejamos la ecuación número 4 como está. C menos 2D igual a menos 2 y tenemos que la ecuación 5 debe multiplicarse por 2 para conseguir que la letra D se elimine. Entonces por acá escribimos esa instrucción. Vamos a multiplicar todo por 2. Tenemos 2C más 2D igual a 8. Multiplicando todo por 2 vamos a hacer la suma en forma vertical. Tenemos entonces C más 2C igual a 3C. Tenemos que estos dos términos se cancelan o se eliminan y por acá la suma de estos números nos da como resultado 6. Y de allí podemos despejar la letra C. Para despejar C pasamos 3 que está multiplicando al otro lado a dividir. Nos queda 6 dividido entre 3 de donde obtenemos que C es igual a 2. Vamos a escribir por acá ese resultado. Ya tenemos el valor de una de las incógnitas de este sistema de 2 por 2. Sabiendo que C vale 2 podemos reemplazar en cualquiera de estas dos ecuaciones para hallar el valor de la letra D. Lógicamente hacemos ese reemplazo en la ecuación que esté más sencilla. Es decir en la ecuación número 5 donde está la C escribimos 2. Entonces tenemos 2 más D igual a 4. Y de allí despejamos la incógnita D. 2 que está sumando pasa al otro lado a restar y de allí obtenemos que D es igual a 2. Vamos a escribir ese resultado por acá. Y de esta manera ya tenemos resuelto el sistema de ecuaciones de 2 por 2. Conociendo los valores de C y D podemos reemplazar en cualquiera de las tres primeras ecuaciones para hallar el valor de la incógnita que nos queda faltando. Vamos a reemplazar en la primera. Tenemos entonces lo siguiente. Dice 4 por C, o sea 4 por 2. Esto menos D. D nos dio 2. Eso más E igual a menos 17. Entonces resolvemos. 4 por 2 es 8. Por aquí tenemos menos 2 más E igual a menos 17. 8 menos 2 nos da 6. 6 más E igual a menos 17. Y de allí vamos a despejar E. Entonces nos queda menos 17 y 6 que está positivo llega al otro lado negativo. Resolvemos esta operación y obtenemos el resultado para la incógnita E que es igual a menos 23. Así tenemos ya resuelto el sistema de ecuaciones de 3 por 3. Ya se conocen los valores de las tres incógnitas. Lo que hacemos ahora es retomar el modelo de la ecuación de la circunferencia. Ese que dice x al cuadrado más y al cuadrado más Cx más Dy más E igual a 0. Y allí vamos a reemplazar estos valores que encontramos. C vale 2. D también vale 2. E nos dio menos 23. La ecuación nos queda entonces como x al cuadrado más y al cuadrado más 2x más 2y menos 23 igual a 0. Y así respondemos a la primera pregunta del ejercicio. Hemos encontrado la ecuación de la circunferencia que pasa por los tres puntos que nos dieron inicialmente. Esta ecuación está escrita en la forma general. Nos piden también determinar el centro y el radio de esta circunferencia. Entonces tenemos que conducir la ecuación de la forma general a la forma estándar que dice x menos h al cuadrado más y menos k al cuadrado igual a r al cuadrado. Donde tenemos que el centro de la circunferencia es la pareja h, k y el radio es r. Entonces como decíamos debemos llevar esta ecuación a esta forma. Y eso lo hacemos de la siguiente manera. Escribimos los términos así. x al cuadrado, después más 2x. Vamos a dejar un espacio. Luego escribimos más y cuadrado más 2y. Dejamos otro espacio y pasamos este número al otro lado. Llega positivo. Enseguida vamos a encontrar las cantidades que van en estos espacios para completar lo que se llama un trinomio cuadrado perfecto tanto para la variable x como para la variable y. Y eso se hace de la siguiente manera. Tomamos el coeficiente del término que acompaña a la x y le vamos a extraer la mitad. Tenemos que la mitad de 2 es 1 y este número se eleva al cuadrado. Tenemos que 1 al cuadrado nos da 1 y ese número lo insertamos aquí. Vamos a escribir aquí. 1 se eleva al cuadrado y el resultado que es 1 positivo se inserta en ese espacio que habíamos dejado en blanco. Si sumamos 1 al lado izquierdo de la igualdad tenemos que sumar también 1 al lado derecho para conservar el equilibrio de la expresión. Hacemos lo mismo para encontrar esta cantidad. Tomamos el coeficiente de la letra y que es 2 y a ese número le extraemos la mitad. La mitad de 2 es 1. 1 se eleva al cuadrado y nos da como resultado 1 positivo. Entonces aquí también escribimos que esta cantidad se elevo al cuadrado y nos dio ese resultado. Si acá sumamos 1 entonces al otro lado también debemos sumar 1 para que se conserve la igualdad. De esta manera tenemos ya garantizado aquí un trinomio cuadrado perfecto y también por acá otro trinomio cuadrado perfecto. Entonces procedemos a factorizar cada una de esas expresiones. Para el caso de la primera la factorización será la raíz cuadrada del primer término, la raíz cuadrada del tercer término que es 1 y entre ellos 2 el signo del segundo término que es más. Y esto que es un binomio debe quedar elevado al cuadrado. Recordemos que la factorización de un trinomio cuadrado perfecto siempre nos da como resultado un binomio elevado al cuadrado. Y vamos a factorizar el otro trinomio cuadrado perfecto. Nos va a quedar de manera muy similar. Raíz cuadrada del primer término es y, la raíz cuadrada del tercer término es 1. Aquí escribimos el signo del segundo término que es más y esto va al cuadrado. Por acá hacemos la suma y nos da 25. De esta manera hemos llegado al modelo estándar para la ecuación de la circunferencia. Vamos a determinar entonces los valores de h, k y r. Tenemos que para x lo que está después de ella que sería menos h debe ser igual a esto que está aquí después de la x que es más 1. Entonces tenemos que menos h es igual a más 1. Aquí entonces multiplicamos ambos lados por menos 1 para deshacernos de este signo negativo y eso nos da que h es igual a menos 1. De igual forma tenemos que lo que está después de la letra y, o sea menos k será igual a esto que está aquí después de la letra y, o sea más 1. Nos queda que menos k es igual a más 1. De la misma forma multiplicamos por menos 1 ambos lados y obtenemos que k es igual a menos 1. Y por otro lado tenemos que r al cuadrado debe ser igual a esta cantidad. Entonces r al cuadrado es igual a 25. Aquí extraemos la raíz cuadrada a ambos lados y obtenemos que r es igual a más o menos 5. Pero como el radio de la circunferencia es una longitud entonces nos quedamos con la opción positiva. Descartamos la negativa y en definitiva el valor de r es 5. Con esto podemos ya dar la respuesta final. Tenemos que el centro de la circunferencia que es la pareja h,k es menos 1, menos 1 y el radio de la circunferencia tiene un valor de 5 unidades. Podemos comprobar lo que acabamos de hacer analíticamente en el plano cartesiano. Vamos a localizar los puntos que nos dan inicialmente. Tenemos el punto 4,-1 que es el punto m. Aquí lo tenemos localizado. Vamos a colocarle la letra m. Tenemos el punto n de coordenadas 2,3. Entonces 2,3 será por aquí. Y tenemos el punto q de coordenadas menos 1, menos 6. Vamos a localizarlo. Por aquí está el punto q. Y el centro nos dio en el punto menos 1, menos 1. Es decir aquí. Allí marcamos la letra c correspondiente al centro de la circunferencia. Ahora tomamos un compás y vamos a establecer una abertura de 5 unidades. Allí podemos observarla. Tenemos 5 unidades que será el radio. Entonces vamos a hacer centro en el punto c y conservando esa abertura vamos a trazar la circunferencia. Lo que debemos probar es que ella pase por los tres puntos que nos han dado. Los puntos m, n y q. Vemos que el punto n, el punto q y el punto m pertenecen a esa circunferencia que tiene centro en el punto menos 1, menos 1 y cuyo radio es 5 unidades.

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Son ecuaciones lineales,"}, {"start": 311.8, "end": 321.8, "text": " vemos las inc\u00f3gnitas C, D y E y como tenemos tres ecuaciones, entonces es lo que se llama un sistema de tres por tres."}, {"start": 321.8, "end": 331.8, "text": " Vamos a resolverlo por el m\u00e9todo de eliminaci\u00f3n, tambi\u00e9n conocido como el m\u00e9todo de suma y resta. Vamos a tomar por ejemplo las ecuaciones 1 y 2"}, {"start": 331.8, "end": 354.8, "text": " para eliminar la letra E. Entonces, escribimos la primera ecuaci\u00f3n que es 4C menos D m\u00e1s E igual a menos 17 y la ecuaci\u00f3n 2 vamos a multiplicarla por menos 1."}, {"start": 354.8, "end": 365.8, "text": " Entonces, escribimos aqu\u00ed esa instrucci\u00f3n. Vamos a multiplicar a ambos lados de esa igualdad cada cosa por menos 1. Aqu\u00ed tenemos entonces"}, {"start": 365.8, "end": 380.8, "text": " menos 2C, por ac\u00e1 tenemos menos 3D, por ac\u00e1 tenemos menos E y esto igual a 13 positivo. Da lo mismo si multiplicamos por menos 1 la primera ecuaci\u00f3n"}, {"start": 380.8, "end": 396.8, "text": " y dejamos la segunda sin que presente ning\u00fan cambio. En seguida vamos a sumar estas dos igualdades en forma vertical. Tenemos 4C menos 2C que nos da 2C,"}, {"start": 396.8, "end": 410.8, "text": " por ac\u00e1 tenemos menos D con menos 3D, eso nos da menos 4D, E positivo con E negativo se cancelan, aqu\u00ed es donde se produce la eliminaci\u00f3n"}, {"start": 410.8, "end": 421.8, "text": " y por ac\u00e1 tenemos que la suma de estos n\u00fameros nos da como resultado menos 4. Esta ecuaci\u00f3n podemos simplificarla todav\u00eda m\u00e1s."}, {"start": 421.8, "end": 438.8, "text": " Como vemos todos los n\u00fameros son divisibles entre 2. Entonces vamos a dividir entre 2 esa igualdad a ambos lados. Nos queda C menos 2D"}, {"start": 438.8, "end": 455.8, "text": " igual a menos 2 y esta expresi\u00f3n constituye una nueva ecuaci\u00f3n. La vamos a llamar la ecuaci\u00f3n n\u00famero 4 y la vamos a escribir por aqu\u00ed. Nos dio"}, {"start": 455.8, "end": 473.8, "text": " C menos 2D igual a menos 2. Ahora vamos a tomar otro par de ecuaciones. Puede ser la ecuaci\u00f3n 1 y la 3 o tambi\u00e9n puede ser la ecuaci\u00f3n 2 con la n\u00famero 3."}, {"start": 473.8, "end": 490.8, "text": " Vamos a tomar la 1 con la 3. La ecuaci\u00f3n 1 la vamos a escribir tal como est\u00e1, 4C menos D m\u00e1s E igual a menos 17 y vamos a tomar la ecuaci\u00f3n n\u00famero 3"}, {"start": 490.8, "end": 506.8, "text": " y tambi\u00e9n la vamos a multiplicar por menos 1. Escribimos all\u00ed la instrucci\u00f3n y entonces esta ecuaci\u00f3n 3 nos queda as\u00ed, C positivo por ac\u00e1 tenemos m\u00e1s 6D"}, {"start": 506.8, "end": 525.8, "text": " por ac\u00e1 tenemos menos E y esto igual a 37 positivo. Y vamos a sumar tambi\u00e9n en forma vertical. Tenemos 4C m\u00e1s C nos da 5C"}, {"start": 525.8, "end": 544.8, "text": " menos D m\u00e1s 6D nos da m\u00e1s 5D. Por ac\u00e1 tenemos que la letra E se elimina y al otro lado de la igualdad la suma de esos n\u00fameros nos da como resultado 20."}, {"start": 544.8, "end": 558.8, "text": " Esta ecuaci\u00f3n tambi\u00e9n puede simplificarse dividiendo a ambos lados entre 5. Entonces vamos a realizar esa simplificaci\u00f3n. Dividimos todo por 5 y nos queda"}, {"start": 558.8, "end": 581.8, "text": " C m\u00e1s D igual a 4. Esta ecuaci\u00f3n que es nueva la etiquetamos con el n\u00famero 5 y la vamos a escribir por ac\u00e1. Dice C m\u00e1s D igual a 4."}, {"start": 581.8, "end": 594.8, "text": " Con las ecuaciones 4 y 5 tenemos ahora un sistema de 2 por 2. Dos ecuaciones con dos inc\u00f3gnitas. Vamos a resolver ese sistema otra vez por el m\u00e9todo de eliminaci\u00f3n."}, {"start": 594.8, "end": 614.8, "text": " Vamos a eliminar por ejemplo la letra D. Entonces dejamos la ecuaci\u00f3n n\u00famero 4 como est\u00e1. C menos 2D igual a menos 2 y tenemos que la ecuaci\u00f3n 5 debe multiplicarse por 2"}, {"start": 614.8, "end": 630.8, "text": " para conseguir que la letra D se elimine. Entonces por ac\u00e1 escribimos esa instrucci\u00f3n. Vamos a multiplicar todo por 2. Tenemos 2C m\u00e1s 2D"}, {"start": 630.8, "end": 648.8, "text": " igual a 8. Multiplicando todo por 2 vamos a hacer la suma en forma vertical. Tenemos entonces C m\u00e1s 2C igual a 3C. Tenemos que estos dos t\u00e9rminos se cancelan"}, {"start": 648.8, "end": 664.8, "text": " o se eliminan y por ac\u00e1 la suma de estos n\u00fameros nos da como resultado 6. Y de all\u00ed podemos despejar la letra C. Para despejar C pasamos 3 que est\u00e1 multiplicando"}, {"start": 664.8, "end": 682.8, "text": " al otro lado a dividir. Nos queda 6 dividido entre 3 de donde obtenemos que C es igual a 2. Vamos a escribir por ac\u00e1 ese resultado. Ya tenemos el valor de una de las inc\u00f3gnitas"}, {"start": 682.8, "end": 698.8, "text": " de este sistema de 2 por 2. Sabiendo que C vale 2 podemos reemplazar en cualquiera de estas dos ecuaciones para hallar el valor de la letra D. L\u00f3gicamente hacemos ese reemplazo"}, {"start": 698.8, "end": 714.8, "text": " en la ecuaci\u00f3n que est\u00e9 m\u00e1s sencilla. Es decir en la ecuaci\u00f3n n\u00famero 5 donde est\u00e1 la C escribimos 2. Entonces tenemos 2 m\u00e1s D igual a 4. Y de all\u00ed despejamos"}, {"start": 714.8, "end": 730.8, "text": " la inc\u00f3gnita D. 2 que est\u00e1 sumando pasa al otro lado a restar y de all\u00ed obtenemos que D es igual a 2. Vamos a escribir ese resultado por ac\u00e1. Y de esta manera ya tenemos"}, {"start": 730.8, "end": 748.8, "text": " resuelto el sistema de ecuaciones de 2 por 2. Conociendo los valores de C y D podemos reemplazar en cualquiera de las tres primeras ecuaciones para hallar el valor de la inc\u00f3gnita"}, {"start": 748.8, "end": 767.8, "text": " que nos queda faltando. Vamos a reemplazar en la primera. Tenemos entonces lo siguiente. Dice 4 por C, o sea 4 por 2. Esto menos D. D nos dio 2. Eso m\u00e1s E igual a"}, {"start": 767.8, "end": 787.8, "text": " menos 17. Entonces resolvemos. 4 por 2 es 8. Por aqu\u00ed tenemos menos 2 m\u00e1s E igual a menos 17. 8 menos 2 nos da 6. 6 m\u00e1s E igual a menos 17. Y de all\u00ed vamos a"}, {"start": 787.8, "end": 804.8, "text": " despejar E. Entonces nos queda menos 17 y 6 que est\u00e1 positivo llega al otro lado negativo. Resolvemos esta operaci\u00f3n y obtenemos el resultado para la inc\u00f3gnita E que es igual a"}, {"start": 804.8, "end": 824.8, "text": " menos 23. As\u00ed tenemos ya resuelto el sistema de ecuaciones de 3 por 3. Ya se conocen los valores de las tres inc\u00f3gnitas. Lo que hacemos ahora es retomar el modelo de la"}, {"start": 824.8, "end": 840.8, "text": " ecuaci\u00f3n de la circunferencia. Ese que dice x al cuadrado m\u00e1s y al cuadrado m\u00e1s Cx m\u00e1s Dy m\u00e1s E igual a 0. Y all\u00ed vamos a reemplazar estos valores que"}, {"start": 840.8, "end": 867.8, "text": " encontramos. C vale 2. D tambi\u00e9n vale 2. E nos dio menos 23. La ecuaci\u00f3n nos queda entonces como x al cuadrado m\u00e1s y al cuadrado m\u00e1s 2x m\u00e1s 2y menos 23"}, {"start": 867.8, "end": 882.8, "text": " igual a 0. Y as\u00ed respondemos a la primera pregunta del ejercicio. Hemos encontrado la ecuaci\u00f3n de la circunferencia que pasa por los tres puntos que nos dieron"}, {"start": 882.8, "end": 896.8, "text": " inicialmente. Esta ecuaci\u00f3n est\u00e1 escrita en la forma general. Nos piden tambi\u00e9n determinar el centro y el radio de esta circunferencia. Entonces tenemos que"}, {"start": 896.8, "end": 914.8, "text": " conducir la ecuaci\u00f3n de la forma general a la forma est\u00e1ndar que dice x menos h al cuadrado m\u00e1s y menos k al cuadrado igual a r al cuadrado. Donde tenemos que"}, {"start": 914.8, "end": 934.8, "text": " el centro de la circunferencia es la pareja h, k y el radio es r. Entonces como dec\u00edamos debemos llevar esta ecuaci\u00f3n a esta forma. Y eso lo hacemos de la siguiente"}, {"start": 934.8, "end": 952.8, "text": " manera. Escribimos los t\u00e9rminos as\u00ed. x al cuadrado, despu\u00e9s m\u00e1s 2x. Vamos a dejar un espacio. Luego escribimos m\u00e1s y cuadrado m\u00e1s 2y. Dejamos otro espacio y"}, {"start": 952.8, "end": 966.8, "text": " pasamos este n\u00famero al otro lado. Llega positivo. Enseguida vamos a encontrar las cantidades que van en estos espacios para completar lo que se llama un"}, {"start": 966.8, "end": 977.8, "text": " trinomio cuadrado perfecto tanto para la variable x como para la variable y. Y eso se hace de la siguiente manera. Tomamos el coeficiente del t\u00e9rmino que"}, {"start": 977.8, "end": 992.8, "text": " acompa\u00f1a a la x y le vamos a extraer la mitad. Tenemos que la mitad de 2 es 1 y este n\u00famero se eleva al cuadrado. Tenemos que 1 al cuadrado nos da 1 y"}, {"start": 992.8, "end": 1007.8, "text": " ese n\u00famero lo insertamos aqu\u00ed. Vamos a escribir aqu\u00ed. 1 se eleva al cuadrado y el resultado que es 1 positivo se inserta en ese espacio que hab\u00edamos dejado"}, {"start": 1007.8, "end": 1019.8, "text": " en blanco. Si sumamos 1 al lado izquierdo de la igualdad tenemos que sumar tambi\u00e9n 1 al lado derecho para conservar el equilibrio de la expresi\u00f3n."}, {"start": 1019.8, "end": 1033.8, "text": " Hacemos lo mismo para encontrar esta cantidad. Tomamos el coeficiente de la letra y que es 2 y a ese n\u00famero le extraemos la mitad. La mitad de 2 es 1."}, {"start": 1033.8, "end": 1045.8, "text": " 1 se eleva al cuadrado y nos da como resultado 1 positivo. Entonces aqu\u00ed tambi\u00e9n escribimos que esta cantidad se elevo al cuadrado y nos dio ese"}, {"start": 1045.8, "end": 1063.8, "text": " resultado. Si ac\u00e1 sumamos 1 entonces al otro lado tambi\u00e9n debemos sumar 1 para que se conserve la igualdad. De esta manera tenemos ya garantizado aqu\u00ed un trinomio cuadrado"}, {"start": 1063.8, "end": 1078.8, "text": " perfecto y tambi\u00e9n por ac\u00e1 otro trinomio cuadrado perfecto. Entonces procedemos a factorizar cada una de esas expresiones. Para el caso de la primera la factorizaci\u00f3n"}, {"start": 1078.8, "end": 1090.8, "text": " ser\u00e1 la ra\u00edz cuadrada del primer t\u00e9rmino, la ra\u00edz cuadrada del tercer t\u00e9rmino que es 1 y entre ellos 2 el signo del segundo t\u00e9rmino que es m\u00e1s."}, {"start": 1090.8, "end": 1102.8, "text": " Y esto que es un binomio debe quedar elevado al cuadrado. Recordemos que la factorizaci\u00f3n de un trinomio cuadrado perfecto siempre nos da como resultado un binomio"}, {"start": 1102.8, "end": 1115.8, "text": " elevado al cuadrado. Y vamos a factorizar el otro trinomio cuadrado perfecto. Nos va a quedar de manera muy similar. Ra\u00edz cuadrada del primer t\u00e9rmino es y, la ra\u00edz cuadrada del tercer t\u00e9rmino"}, {"start": 1115.8, "end": 1133.8, "text": " es 1. Aqu\u00ed escribimos el signo del segundo t\u00e9rmino que es m\u00e1s y esto va al cuadrado. Por ac\u00e1 hacemos la suma y nos da 25. De esta manera hemos llegado al modelo est\u00e1ndar"}, {"start": 1133.8, "end": 1149.8, "text": " para la ecuaci\u00f3n de la circunferencia. Vamos a determinar entonces los valores de h, k y r. Tenemos que para x lo que est\u00e1 despu\u00e9s de ella que ser\u00eda menos h debe ser igual a esto que est\u00e1 aqu\u00ed"}, {"start": 1149.8, "end": 1163.8, "text": " despu\u00e9s de la x que es m\u00e1s 1. Entonces tenemos que menos h es igual a m\u00e1s 1. Aqu\u00ed entonces multiplicamos ambos lados por menos 1 para deshacernos de este signo negativo"}, {"start": 1163.8, "end": 1181.8, "text": " y eso nos da que h es igual a menos 1. De igual forma tenemos que lo que est\u00e1 despu\u00e9s de la letra y, o sea menos k ser\u00e1 igual a esto que est\u00e1 aqu\u00ed despu\u00e9s de la letra y, o sea m\u00e1s 1."}, {"start": 1181.8, "end": 1204.8, "text": " Nos queda que menos k es igual a m\u00e1s 1. De la misma forma multiplicamos por menos 1 ambos lados y obtenemos que k es igual a menos 1. Y por otro lado tenemos que r al cuadrado debe ser igual a esta cantidad."}, {"start": 1204.8, "end": 1223.8, "text": " Entonces r al cuadrado es igual a 25. Aqu\u00ed extraemos la ra\u00edz cuadrada a ambos lados y obtenemos que r es igual a m\u00e1s o menos 5. Pero como el radio de la circunferencia es una longitud"}, {"start": 1223.8, "end": 1239.8, "text": " entonces nos quedamos con la opci\u00f3n positiva. Descartamos la negativa y en definitiva el valor de r es 5. Con esto podemos ya dar la respuesta final."}, {"start": 1239.8, "end": 1258.8, "text": " Tenemos que el centro de la circunferencia que es la pareja h,k es menos 1, menos 1 y el radio de la circunferencia tiene un valor de 5 unidades."}, {"start": 1258.8, "end": 1275.8, "text": " Podemos comprobar lo que acabamos de hacer anal\u00edticamente en el plano cartesiano. Vamos a localizar los puntos que nos dan inicialmente. Tenemos el punto 4,-1 que es el punto m."}, {"start": 1275.8, "end": 1289.8, "text": " Aqu\u00ed lo tenemos localizado. Vamos a colocarle la letra m. Tenemos el punto n de coordenadas 2,3. Entonces 2,3 ser\u00e1 por aqu\u00ed."}, {"start": 1289.8, "end": 1309.8, "text": " Y tenemos el punto q de coordenadas menos 1, menos 6. Vamos a localizarlo. Por aqu\u00ed est\u00e1 el punto q. Y el centro nos dio en el punto menos 1, menos 1."}, {"start": 1309.8, "end": 1325.8, "text": " Es decir aqu\u00ed. All\u00ed marcamos la letra c correspondiente al centro de la circunferencia. Ahora tomamos un comp\u00e1s y vamos a establecer una abertura de 5 unidades."}, {"start": 1325.8, "end": 1341.8, "text": " All\u00ed podemos observarla. Tenemos 5 unidades que ser\u00e1 el radio. Entonces vamos a hacer centro en el punto c y conservando esa abertura vamos a trazar la circunferencia."}, {"start": 1341.8, "end": 1367.8, "text": " Lo que debemos probar es que ella pase por los tres puntos que nos han dado. Los puntos m, n y q. Vemos que el punto n, el punto q y el punto m pertenecen a esa circunferencia que tiene centro en el punto menos 1, menos 1 y cuyo radio es 5 unidades."}]

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Ejercicio 4 de CIRCUNFERENCIA

#julioprofe explica cómo hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (-4,-1) y es tangente a la recta 3x+2y-12=0. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto (-4,-1), y es tangente a la recta 3x más 2y menos 12 igual a cero. Bien, para resolver este problema dibujamos una circunferencia y también la recta tangente, es decir, la recta que solamente hace contacto en un punto de la circunferencia. Vamos a marcar por aquí el centro de la circunferencia, ese centro tiene las coordenadas (-4,-1), es la información que nos dan, y la recta tangente que también nos dan tiene por ecuación 3x más 2y menos 12 igual a cero. El problema nos pide encontrar la ecuación de la circunferencia, entonces eso nos hace pensar en este modelo, x menos h al cuadrado más y menos k al cuadrado igual a r al cuadrado. h y k son las coordenadas del centro, que ya lo conocemos, h es menos 4 y k es menos 1, sin embargo nos queda faltando r, o sea el radio de la circunferencia. En ese caso podríamos unir el centro con este punto, el segmento que une esos dos puntos, este se conoce como el punto de tangencia, es decir, el punto donde la recta tangente hace contacto con la circunferencia. Ese segmento constituye el radio de dicha circunferencia. Bien, aquí tenemos el segmento dibujado, lo llamamos r, por tratarse del radio de la circunferencia. Y también se observa que el radio es perpendicular a la tangente en ese punto de tangencia, es una propiedad que se cumple, siempre el radio y la tangente forman 90 grados entre sí en el punto de tangencia o punto de contacto. Para encontrar la medida de ese radio vamos a utilizar un concepto de la geometría analítica que se llama distancia de un punto a una recta, veamos en que consiste. Si tenemos un punto de coordenadas x1,y1 y una recta escrita en la forma implícita o general, es decir, la forma ax más by más c igual a cero, entonces la distancia de este punto a esa recta será la perpendicular trazada desde el punto hasta la recta. Aquí tenemos 90 grados y entonces esa distancia que se denota con la letra d se obtiene mediante esta formula. La formula dice lo siguiente, valor absoluto de a por x1 más b por y1 más c, es decir, que evaluamos el punto que nos dan en la ecuación de la recta, en la expresión que tenemos a la izquierda del signo igual y todo eso se divide entre la raíz cuadrada de a al cuadrado más b al cuadrado. a y b son los coeficientes de x y y en la ecuación de la recta. Entonces vamos a aplicar esta definición, este concepto de la geometría analítica para encontrar el radio de esta circunferencia que aquí sería la distancia del centro, o sea desde este punto hasta esta recta que nos dan. Para este caso tenemos que x1 y y1 son estos dos valores, las coordenadas del centro, x1 es menos cuatro y y1 vale menos uno. Y tenemos que la ecuación de la recta tangente ya está expresada en la forma implícita o general, la forma ax más by más c igual a cero. Entonces podemos proceder a aplicar esta fórmula. Tenemos entonces que la distancia que es el radio será igual a, dice a por x1 es decir tres por x1 que es menos cuatro, luego sigue más b por y1, b en este caso sería más dos y eso por y1 que es menos uno, luego más c, c en este caso es menos doce, allí tenemos esta expresión evaluada en estos dos valores y todo esto sobre la raíz cuadrada de a al cuadrado, a es tres, entonces tres al cuadrado más b al cuadrado, b observamos que vale dos, entonces tenemos dos al cuadrado y todo esto lo protegemos con valor absoluto. La razón de ser de ese valor absoluto es para garantizar que la distancia obtenida sea siempre positiva. Bien, enseguida nos dedicamos a resolver estas operaciones, tenemos que r es igual a tres por menos cuatro que es menos doce, dos por menos uno es menos dos y escribimos menos doce, todo esto sobre la raíz cuadrada de tres al cuadrado que es nueve más dos al cuadrado que es cuatro y todo esto dentro de valor absoluto. Vamos a seguir por acá, resolvemos en la parte de arriba, menos doce menos dos es menos catorce con menos doce nos da menos veintiséis y en el denominador tenemos la raíz cuadrada de nueve más cuatro que es igual a trece y todo esto con valor absoluto. Allí tenemos que r es igual a veintiséis sobre la raíz cuadrada de trece, aplicamos el valor absoluto y esta cantidad que está negativa entonces sale positiva. Allí podemos utilizar también la racionalización para eliminar esta raíz cuadrada que tenemos en el denominador, entonces vamos a multiplicar por la raíz cuadrada de trece y al mismo tiempo dividimos por raíz cuadrada de trece. Multiplicamos y dividimos por raíz de trece para conservar la expresión original y tendremos lo siguiente, arriba veintiséis por raíz de trece entonces se deja así expresado y en el denominador tenemos raíz de trece por raíz de trece, eso nos da raíz de trece elevado al cuadrado y a su vez eso se convierte en trece, el cuadrado destruye la raíz cuadrada y deja libre el número trece y allí podemos simplificar estos dos números, decimos treceava de trece que es uno, treceava de veintiséis es dos. Y obtenemos para el radio el valor dos raíz cuadrada de trece, esa será entonces la medida de este segmento, vamos a escribirlo por acá, el radio de esta circunferencia es dos raíz de trece unidades y es la distancia de este punto a esta recta que nos da. Como decíamos ahora ya se tiene el centro de la circunferencia y se conoce el radio entonces ya podemos usar el modelo x menos h al cuadrado más y menos k al cuadrado igual al radio elevado al cuadrado, que es el modelo para la ecuación de una circunferencia con centro hk y radio r, habíamos dicho que h es menos cuatro y k vale menos uno, entonces vamos a reemplazar esta información en este modelo, tendremos x menos h pero h es menos cuatro entonces aquí nos queda de una vez x más cuatro al cuadrado, como h es negativo entonces aquí nos queda con signo positivo más y menos k pero k es menos uno entonces se convierte en más uno, la misma situación que teníamos acá y esto es igual al radio que es dos raíz de trece y eso elevado al cuadrado, entonces vamos a desarrollar principalmente lo que tenemos en el lado derecho, esto lo dejamos igual y acá tenemos lo siguiente, el cuadrado afecta el dos y afecta a raíz cuadrada de trece, eso sucede porque aquí hay multiplicación entonces dos al cuadrado será cuatro y raíz cuadrada de trece al cuadrado nos da trece, entonces tenemos cuatro por trece que es cincuenta y dos y de esta manera tenemos ya la respuesta a este ejercicio, esta es la ecuación de la circunferencia que nos pedían escrita en la forma canónica o forma estándar, la que corresponde al modelo que veíamos ahora para circunferencia con centro hk y radio r, otra manera de presentar la respuesta es de la forma general que consiste en desarrollar estos binomios elevados al cuadrado, vamos a hacerlo también para dar la respuesta de la otra manera, desarrollamos este primer binomio al cuadrado, tenemos el primer termino al cuadrado, x al cuadrado más dos veces el primer termino por el segundo, entonces dos por x por cuatro que nos da ocho x más el segundo termino al cuadrado, o sea cuatro al cuadrado que es dieciséis, allí hemos desarrollado este primer binomio al cuadrado más vamos con el siguiente, el primer termino al cuadrado será y al cuadrado más dos veces el primero por el segundo, o sea dos por y por uno que es dos y más el segundo termino al cuadrado que sería uno, uno al cuadrado y de una vez vamos a pasar este número al otro lado, entonces nos llega como menos cincuenta y dos, llega negativo y todo esto queda igualado a cero, de allí vamos a organizar la ecuación de la siguiente manera, arrancamos con x al cuadrado, luego seguimos con más y al cuadrado, después con más ocho x, después tenemos más dos y y finalmente operamos los términos independientes, tenemos dieciséis más uno que es diecisiete y diecisiete menos cincuenta y dos nos da menos treinta y cinco, y esto queda igualado a cero, y con esto llegamos a la otra respuesta, entonces como decíamos, forma estándar o forma canónica y forma general de esta circunferencia que nos estaban pidiendo, que tiene centro en este punto y que es tangente a esta recta que nos dan.

[{"start": 0.0, "end": 14.0, "text": " Hallar la ecuaci\u00f3n de la circunferencia que tiene su centro en el punto (-4,-1), y es tangente a la recta 3x m\u00e1s 2y menos 12 igual a cero."}, {"start": 14.0, "end": 31.0, "text": " Bien, para resolver este problema dibujamos una circunferencia y tambi\u00e9n la recta tangente, es decir, la recta que solamente hace contacto en un punto de la circunferencia."}, {"start": 31.0, "end": 59.0, "text": " Vamos a marcar por aqu\u00ed el centro de la circunferencia, ese centro tiene las coordenadas (-4,-1), es la informaci\u00f3n que nos dan, y la recta tangente que tambi\u00e9n nos dan tiene por ecuaci\u00f3n 3x m\u00e1s 2y menos 12 igual a cero."}, {"start": 59.0, "end": 77.0, "text": " El problema nos pide encontrar la ecuaci\u00f3n de la circunferencia, entonces eso nos hace pensar en este modelo, x menos h al cuadrado m\u00e1s y menos k al cuadrado igual a r al cuadrado."}, {"start": 77.0, "end": 93.0, "text": " h y k son las coordenadas del centro, que ya lo conocemos, h es menos 4 y k es menos 1, sin embargo nos queda faltando r, o sea el radio de la circunferencia."}, {"start": 93.0, "end": 110.0, "text": " En ese caso podr\u00edamos unir el centro con este punto, el segmento que une esos dos puntos, este se conoce como el punto de tangencia, es decir, el punto donde la recta tangente hace contacto con la circunferencia."}, {"start": 110.0, "end": 116.0, "text": " Ese segmento constituye el radio de dicha circunferencia."}, {"start": 116.0, "end": 126.0, "text": " Bien, aqu\u00ed tenemos el segmento dibujado, lo llamamos r, por tratarse del radio de la circunferencia."}, {"start": 126.0, "end": 147.0, "text": " Y tambi\u00e9n se observa que el radio es perpendicular a la tangente en ese punto de tangencia, es una propiedad que se cumple, siempre el radio y la tangente forman 90 grados entre s\u00ed en el punto de tangencia o punto de contacto."}, {"start": 147.0, "end": 161.0, "text": " Para encontrar la medida de ese radio vamos a utilizar un concepto de la geometr\u00eda anal\u00edtica que se llama distancia de un punto a una recta, veamos en que consiste."}, {"start": 161.0, "end": 189.0, "text": " Si tenemos un punto de coordenadas x1,y1 y una recta escrita en la forma impl\u00edcita o general, es decir, la forma ax m\u00e1s by m\u00e1s c igual a cero, entonces la distancia de este punto a esa recta ser\u00e1 la perpendicular trazada desde el punto hasta la recta."}, {"start": 189.0, "end": 200.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos 90 grados y entonces esa distancia que se denota con la letra d se obtiene mediante esta formula."}, {"start": 200.0, "end": 224.0, "text": " La formula dice lo siguiente, valor absoluto de a por x1 m\u00e1s b por y1 m\u00e1s c, es decir, que evaluamos el punto que nos dan en la ecuaci\u00f3n de la recta, en la expresi\u00f3n que tenemos a la izquierda del signo igual y todo eso se divide entre la ra\u00edz cuadrada de a al cuadrado m\u00e1s b al cuadrado."}, {"start": 224.0, "end": 232.0, "text": " a y b son los coeficientes de x y y en la ecuaci\u00f3n de la recta."}, {"start": 232.0, "end": 251.0, "text": " Entonces vamos a aplicar esta definici\u00f3n, este concepto de la geometr\u00eda anal\u00edtica para encontrar el radio de esta circunferencia que aqu\u00ed ser\u00eda la distancia del centro, o sea desde este punto hasta esta recta que nos dan."}, {"start": 251.0, "end": 266.0, "text": " Para este caso tenemos que x1 y y1 son estos dos valores, las coordenadas del centro, x1 es menos cuatro y y1 vale menos uno."}, {"start": 266.0, "end": 281.0, "text": " Y tenemos que la ecuaci\u00f3n de la recta tangente ya est\u00e1 expresada en la forma impl\u00edcita o general, la forma ax m\u00e1s by m\u00e1s c igual a cero."}, {"start": 281.0, "end": 286.0, "text": " Entonces podemos proceder a aplicar esta f\u00f3rmula."}, {"start": 286.0, "end": 311.0, "text": " Tenemos entonces que la distancia que es el radio ser\u00e1 igual a, dice a por x1 es decir tres por x1 que es menos cuatro, luego sigue m\u00e1s b por y1, b en este caso ser\u00eda m\u00e1s dos y eso por y1 que es menos uno,"}, {"start": 311.0, "end": 334.0, "text": " luego m\u00e1s c, c en este caso es menos doce, all\u00ed tenemos esta expresi\u00f3n evaluada en estos dos valores y todo esto sobre la ra\u00edz cuadrada de a al cuadrado,"}, {"start": 334.0, "end": 350.0, "text": " a es tres, entonces tres al cuadrado m\u00e1s b al cuadrado, b observamos que vale dos, entonces tenemos dos al cuadrado y todo esto lo protegemos con valor absoluto."}, {"start": 350.0, "end": 359.0, "text": " La raz\u00f3n de ser de ese valor absoluto es para garantizar que la distancia obtenida sea siempre positiva."}, {"start": 359.0, "end": 377.0, "text": " Bien, enseguida nos dedicamos a resolver estas operaciones, tenemos que r es igual a tres por menos cuatro que es menos doce, dos por menos uno es menos dos y escribimos menos doce,"}, {"start": 377.0, "end": 395.0, "text": " todo esto sobre la ra\u00edz cuadrada de tres al cuadrado que es nueve m\u00e1s dos al cuadrado que es cuatro y todo esto dentro de valor absoluto."}, {"start": 395.0, "end": 421.0, "text": " Vamos a seguir por ac\u00e1, resolvemos en la parte de arriba, menos doce menos dos es menos catorce con menos doce nos da menos veintis\u00e9is y en el denominador tenemos la ra\u00edz cuadrada de nueve m\u00e1s cuatro que es igual a trece y todo esto con valor absoluto."}, {"start": 421.0, "end": 439.0, "text": " All\u00ed tenemos que r es igual a veintis\u00e9is sobre la ra\u00edz cuadrada de trece, aplicamos el valor absoluto y esta cantidad que est\u00e1 negativa entonces sale positiva."}, {"start": 439.0, "end": 461.0, "text": " All\u00ed podemos utilizar tambi\u00e9n la racionalizaci\u00f3n para eliminar esta ra\u00edz cuadrada que tenemos en el denominador, entonces vamos a multiplicar por la ra\u00edz cuadrada de trece y al mismo tiempo dividimos por ra\u00edz cuadrada de trece."}, {"start": 461.0, "end": 482.0, "text": " Multiplicamos y dividimos por ra\u00edz de trece para conservar la expresi\u00f3n original y tendremos lo siguiente, arriba veintis\u00e9is por ra\u00edz de trece entonces se deja as\u00ed expresado y en el denominador tenemos ra\u00edz de trece por ra\u00edz de trece,"}, {"start": 482.0, "end": 507.0, "text": " eso nos da ra\u00edz de trece elevado al cuadrado y a su vez eso se convierte en trece, el cuadrado destruye la ra\u00edz cuadrada y deja libre el n\u00famero trece y all\u00ed podemos simplificar estos dos n\u00fameros, decimos treceava de trece que es uno, treceava de veintis\u00e9is es dos."}, {"start": 507.0, "end": 534.0, "text": " Y obtenemos para el radio el valor dos ra\u00edz cuadrada de trece, esa ser\u00e1 entonces la medida de este segmento, vamos a escribirlo por ac\u00e1, el radio de esta circunferencia es dos ra\u00edz de trece unidades y es la distancia de este punto a esta recta que nos da."}, {"start": 534.0, "end": 557.0, "text": " Como dec\u00edamos ahora ya se tiene el centro de la circunferencia y se conoce el radio entonces ya podemos usar el modelo x menos h al cuadrado m\u00e1s y menos k al cuadrado igual al radio elevado al cuadrado,"}, {"start": 557.0, "end": 576.0, "text": " que es el modelo para la ecuaci\u00f3n de una circunferencia con centro hk y radio r, hab\u00edamos dicho que h es menos cuatro y k vale menos uno, entonces vamos a reemplazar esta informaci\u00f3n en este modelo,"}, {"start": 576.0, "end": 601.0, "text": " tendremos x menos h pero h es menos cuatro entonces aqu\u00ed nos queda de una vez x m\u00e1s cuatro al cuadrado, como h es negativo entonces aqu\u00ed nos queda con signo positivo m\u00e1s y menos k pero k es menos uno entonces se convierte en m\u00e1s uno,"}, {"start": 601.0, "end": 622.0, "text": " la misma situaci\u00f3n que ten\u00edamos ac\u00e1 y esto es igual al radio que es dos ra\u00edz de trece y eso elevado al cuadrado, entonces vamos a desarrollar principalmente lo que tenemos en el lado derecho,"}, {"start": 622.0, "end": 644.0, "text": " esto lo dejamos igual y ac\u00e1 tenemos lo siguiente, el cuadrado afecta el dos y afecta a ra\u00edz cuadrada de trece, eso sucede porque aqu\u00ed hay multiplicaci\u00f3n entonces dos al cuadrado ser\u00e1 cuatro y ra\u00edz cuadrada de trece al cuadrado nos da trece,"}, {"start": 644.0, "end": 657.0, "text": " entonces tenemos cuatro por trece que es cincuenta y dos y de esta manera tenemos ya la respuesta a este ejercicio,"}, {"start": 657.0, "end": 675.0, "text": " esta es la ecuaci\u00f3n de la circunferencia que nos ped\u00edan escrita en la forma can\u00f3nica o forma est\u00e1ndar, la que corresponde al modelo que ve\u00edamos ahora para circunferencia con centro hk y radio r,"}, {"start": 675.0, "end": 690.0, "text": " otra manera de presentar la respuesta es de la forma general que consiste en desarrollar estos binomios elevados al cuadrado, vamos a hacerlo tambi\u00e9n para dar la respuesta de la otra manera,"}, {"start": 690.0, "end": 710.0, "text": " desarrollamos este primer binomio al cuadrado, tenemos el primer termino al cuadrado, x al cuadrado m\u00e1s dos veces el primer termino por el segundo, entonces dos por x por cuatro que nos da ocho x m\u00e1s el segundo termino al cuadrado,"}, {"start": 710.0, "end": 728.0, "text": " o sea cuatro al cuadrado que es diecis\u00e9is, all\u00ed hemos desarrollado este primer binomio al cuadrado m\u00e1s vamos con el siguiente, el primer termino al cuadrado ser\u00e1 y al cuadrado m\u00e1s dos veces el primero por el segundo,"}, {"start": 728.0, "end": 742.0, "text": " o sea dos por y por uno que es dos y m\u00e1s el segundo termino al cuadrado que ser\u00eda uno, uno al cuadrado y de una vez vamos a pasar este n\u00famero al otro lado,"}, {"start": 742.0, "end": 762.0, "text": " entonces nos llega como menos cincuenta y dos, llega negativo y todo esto queda igualado a cero, de all\u00ed vamos a organizar la ecuaci\u00f3n de la siguiente manera, arrancamos con x al cuadrado, luego seguimos con m\u00e1s y al cuadrado,"}, {"start": 762.0, "end": 783.0, "text": " despu\u00e9s con m\u00e1s ocho x, despu\u00e9s tenemos m\u00e1s dos y y finalmente operamos los t\u00e9rminos independientes, tenemos diecis\u00e9is m\u00e1s uno que es diecisiete y diecisiete menos cincuenta y dos nos da menos treinta y cinco,"}, {"start": 783.0, "end": 803.0, "text": " y esto queda igualado a cero, y con esto llegamos a la otra respuesta, entonces como dec\u00edamos, forma est\u00e1ndar o forma can\u00f3nica y forma general de esta circunferencia que nos estaban pidiendo,"}, {"start": 803.0, "end": 813.0, "text": " que tiene centro en este punto y que es tangente a esta recta que nos dan."}]

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INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo resolver la integral ∫ sqrt(4-x^2) dx por el método de sustitución trigonométrica. Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver esta integral por el método llamado sustitución trigonométrica. Utilizaremos esta alternativa debido a que es una integral que no se puede hacer en forma directa, tampoco por el método de sustitución y tampoco por el método de integración por partes. Comenzamos dibujando un triángulo rectángulo y a partir del integrando vamos a establecer cuáles son los lados de ese triángulo. Esa expresión puede escribirse de la siguiente manera, 2 al cuadrado que representa el 4 y esto menos x al cuadrado, todo eso dentro de la raíz cuadrada. Siempre que observemos aquí una diferencia de cuadrados el término que corresponde al minuendo, o sea el término positivo será la hipotenusa elevada al cuadrado. Eso nos dice entonces que la hipotenusa vale 2 y vamos a escribir ese valor por aquí en el lado que corresponde a la hipotenusa de ese triángulo. La otra expresión corresponde a uno de los catetos elevado al cuadrado, entonces de allí tenemos que uno de los catetos es x. Podemos situar la x en este cateto o también en este de acá abajo, vamos a escribirla por acá. Y a partir del teorema de Pitágoras expresamos el otro cateto en términos de estas dos cantidades, tenemos que es la raíz cuadrada de la hipotenusa al cuadrado que será 4 menos este cateto al cuadrado, x al cuadrado. Como se observa aquí ya nos apareció la expresión que tenemos en el integrando. Enseguida vamos a llamar este ángulo con la letra griega theta y vamos a utilizar las relaciones trigonométricas fundamentales, lo que se conoce como SOHCATOA, es decir seno, coseno y tangente para expresar lo que tenemos en el integrando en términos de ese ángulo theta. Comenzamos buscando una de estas relaciones que involucre esta raíz con el número 2, entonces tenemos el cateto adyacente al ángulo theta y la hipotenusa, entonces la que nos conviene es la función o la relación coseno, aquí está cateto adyacente con hipotenusa, entonces decimos coseno del ángulo theta será igual al cateto adyacente que es la raíz cuadrada de 4 menos x al cuadrado y todo eso sobre la hipotenusa que es 2. Y de allí despejamos la raíz cuadrada de 4 menos x al cuadrado, la que necesitamos acá en el integrando, para ello 2 que está dividiendo pasa al otro lado a multiplicar, entonces nos queda 2 por coseno de theta, ya tenemos entonces un equivalente para lo que es la raíz cuadrada que tenemos en el integrando. Ahora buscamos una relación trigonométrica que involucre este lado que es x con este que es 2, entonces tenemos que x es el cateto opuesto al ángulo theta y 2 es la hipotenusa del triángulo, entonces usamos la relación seno, cateto opuesto sobre hipotenusa, tenemos entonces seno de theta igual a cateto opuesto que es x, el cateto que se opone al ángulo theta sobre la hipotenusa que es 2 y de allí vamos a despejar x, entonces 2 que está dividiendo pasa al otro lado a multiplicar, nos queda 2 por seno de theta, tenemos aquí otra relación muy importante para este ejercicio. De esta última expresión vamos a obtener la derivada de x con respecto a theta, entonces tenemos que 2 se queda fijo y procedemos a derivar seno de theta que nos da coseno de theta, y de allí vamos a despejar lo que es el diferencial de x, entonces de theta que está dividiendo pasa al otro lado a multiplicar, nos queda 2 coseno de theta por d theta, de esa manera ya tenemos la expresión para el diferencial de x. Como puede observarse ya tenemos los dos componentes de la integral original expresados en términos de theta, entonces vamos a reconstruirla sustituyendo esas dos expresiones, para la raíz cuadrada tenemos que eso es igual a 2 por coseno de theta y esto multiplicado por el diferencial de x que nos dio 2 coseno de theta por el diferencial de theta, se observa entonces que la integral ya deja de ser una expresión en términos de x para convertirse en una expresión en términos de la variable theta. Vamos a continuar el ejercicio por acá y nos queda de la siguiente manera, 2 por 2 es 4 coseno de theta por coseno de theta es coseno al cuadrado de theta, ya describimos el diferencial de theta y aquí vamos a utilizar una identidad trigonométrica, una que dice coseno al cuadrado de theta es igual a 1 más coseno de 2 theta, todo esto sobre 2, es una formula de reducción de potencia, nos permite pasar de coseno al cuadrado de theta a una expresión que ya no tiene exponente 2, entonces vamos a reemplazarla aquí, nos queda 4 por coseno al cuadrado de theta que se sustituye por toda esa expresión, 1 más coseno de 2 theta, todo esto sobre 2 y el correspondiente diferencial de theta. Aquí podemos simplificar 4 con 2, decimos mitad de 4 es 2, mitad de 2 es 1 y entonces este número 2 que queda multiplicando, podemos escribirlo por fuera de la integral, nos queda 2 que multiplica a la integral de 1 más coseno de 2 theta, coseno del ángulo doble, todo esto protegido con paréntesis y el correspondiente diferencial de theta. Como aquí en el integrando tenemos una suma, entonces podemos repartir la integral para cada uno de los componentes, nos queda 2 que multiplica a la integral de 1 con su diferencial de theta, o sea simplemente de theta más la integral de coseno de 2 theta con su respectivo diferencial de theta y cerramos el corchete que protege toda la expresión. Vamos a continuarlo por acá, tenemos 2 por, abrimos el corchete, la integral de theta es theta y para hacer esta integral entonces vamos a utilizar una fórmula que nos dice lo siguiente, la integral de coseno de k theta con su diferencial de theta, k es cualquier número que acompañe a theta, en este caso es el número 2, entonces esto será igual a 1 sobre k por seno de k theta, es una fórmula que se demuestra por el método de sustitución, cambiando k theta por otra letra y de esa manera se llega a esta fórmula que es de uso frecuente ya en esta etapa en que estamos viendo el método de sustitución trigonométrica. Entonces si aplicamos esto para resolver esta integral, como decíamos k vale 2, nos queda 1 medio por seno de 2 theta y de esa manera podemos cerrar el corchete y escribir por primera vez la constante de integración, porque ya hemos resuelto las dos integrales. Esta expresión podemos transformarla aún más haciendo uso de la identidad trigonométrica del seno para el ángulo doble, seno de 2 theta es igual a 2 por seno de theta por coseno de theta, entonces vamos a realizar esa sustitución allí, nos queda 2 por, abrimos corchete, theta más 1 medio que multiplica a seno de 2 theta y que lo cambiamos por 2 seno de theta, coseno de theta, cerramos el corchete y escribimos la constante de integración, allí podemos también simplificar estos números y nos queda 2 que multiplica a theta más seno de theta por coseno de theta, cerramos el corchete y escribimos la constante de integración. Esto que tenemos aquí constituye la respuesta a la integral trigonométrica que habíamos planteado hace un momento, esta que teníamos al principio del ejercicio cuando convertimos esta integral a una expresión en términos de theta, esto es la respuesta para esta integral, pero no podemos perder de vista que el ejercicio inicial viene en términos de x, entonces tenemos que llevar toda esta expresión a esa variable para que nos quede toda en función de x. Para conseguir eso retomamos el triángulo rectángulo que habíamos construido, de allí teníamos que seno de theta, uno de los componentes que necesitamos transformar es igual a cateto opuesto sobre hipotenusa, o sea x sobre 2 y también teníamos que coseno de theta, otro de los componentes que debemos cambiar es igual a cateto adyacente sobre hipotenusa, o sea la raíz cuadrada de 4 menos x al cuadrado y todo esto sobre 2, pero también necesitamos encontrarle un equivalente a theta, podríamos despejar theta de cualquiera de estas dos expresiones, nos queda más sencillo de la primera, tenemos que theta es igual a seno a la menos 1 o también arco seno de x medios, puede escribirse así o también así, arco seno de x medios, cualquiera de las dos formas es correcta. Y con eso vamos a reconstruir esta expresión que ya viene siendo la respuesta del ejercicio inicial, nos queda 2 por abre corchete, reemplazamos theta, como decíamos cualquiera de estas dos expresiones, vamos a utilizar arco seno de x medios, todo eso más seno de theta que es x medios, por coseno de theta que es esa expresión, raíz cuadrada de 4 menos x al cuadrado, todo esto sobre 2 y cerramos el corchete y no podemos olvidar la constante de integración. Esta expresión podemos escribirla de una manera un poco más sencilla, hacemos propiedad distributiva con este número 2, entonces tendremos 2 por arco seno de x medios y todo esto más 2 que multiplica con todo esto, entonces tenemos la posibilidad de simplificar este 2 con este denominador y nos queda en el numerador x raíz cuadrada de 4 menos x al cuadrado y en el denominador este número 2, como decíamos este se simplificó con este, nos queda este otro número 2 y de allí escribimos la constante de integración para dar por terminado este ejercicio, esta expresión constituye el resultado de esa integral.

[{"start": 0.0, "end": 22.0, "text": " Vamos a resolver esta integral por el m\u00e9todo llamado sustituci\u00f3n trigonom\u00e9trica. Utilizaremos esta alternativa debido a que es una integral que no se puede hacer en forma directa, tampoco por el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n y tampoco por el m\u00e9todo de integraci\u00f3n por partes."}, {"start": 22.0, "end": 34.0, "text": " Comenzamos dibujando un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo y a partir del integrando vamos a establecer cu\u00e1les son los lados de ese tri\u00e1ngulo."}, {"start": 34.0, "end": 47.0, "text": " Esa expresi\u00f3n puede escribirse de la siguiente manera, 2 al cuadrado que representa el 4 y esto menos x al cuadrado, todo eso dentro de la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 47.0, "end": 60.0, "text": " Siempre que observemos aqu\u00ed una diferencia de cuadrados el t\u00e9rmino que corresponde al minuendo, o sea el t\u00e9rmino positivo ser\u00e1 la hipotenusa elevada al cuadrado."}, {"start": 60.0, "end": 73.0, "text": " Eso nos dice entonces que la hipotenusa vale 2 y vamos a escribir ese valor por aqu\u00ed en el lado que corresponde a la hipotenusa de ese tri\u00e1ngulo."}, {"start": 73.0, "end": 86.0, "text": " La otra expresi\u00f3n corresponde a uno de los catetos elevado al cuadrado, entonces de all\u00ed tenemos que uno de los catetos es x."}, {"start": 86.0, "end": 93.0, "text": " Podemos situar la x en este cateto o tambi\u00e9n en este de ac\u00e1 abajo, vamos a escribirla por ac\u00e1."}, {"start": 93.0, "end": 113.0, "text": " Y a partir del teorema de Pit\u00e1goras expresamos el otro cateto en t\u00e9rminos de estas dos cantidades, tenemos que es la ra\u00edz cuadrada de la hipotenusa al cuadrado que ser\u00e1 4 menos este cateto al cuadrado, x al cuadrado."}, {"start": 113.0, "end": 119.0, "text": " Como se observa aqu\u00ed ya nos apareci\u00f3 la expresi\u00f3n que tenemos en el integrando."}, {"start": 119.0, "end": 136.0, "text": " Enseguida vamos a llamar este \u00e1ngulo con la letra griega theta y vamos a utilizar las relaciones trigonom\u00e9tricas fundamentales, lo que se conoce como SOHCATOA,"}, {"start": 136.0, "end": 148.0, "text": " es decir seno, coseno y tangente para expresar lo que tenemos en el integrando en t\u00e9rminos de ese \u00e1ngulo theta."}, {"start": 148.0, "end": 161.0, "text": " Comenzamos buscando una de estas relaciones que involucre esta ra\u00edz con el n\u00famero 2, entonces tenemos el cateto adyacente al \u00e1ngulo theta y la hipotenusa,"}, {"start": 161.0, "end": 170.0, "text": " entonces la que nos conviene es la funci\u00f3n o la relaci\u00f3n coseno, aqu\u00ed est\u00e1 cateto adyacente con hipotenusa,"}, {"start": 170.0, "end": 185.0, "text": " entonces decimos coseno del \u00e1ngulo theta ser\u00e1 igual al cateto adyacente que es la ra\u00edz cuadrada de 4 menos x al cuadrado y todo eso sobre la hipotenusa que es 2."}, {"start": 185.0, "end": 194.0, "text": " Y de all\u00ed despejamos la ra\u00edz cuadrada de 4 menos x al cuadrado, la que necesitamos ac\u00e1 en el integrando,"}, {"start": 194.0, "end": 204.0, "text": " para ello 2 que est\u00e1 dividiendo pasa al otro lado a multiplicar, entonces nos queda 2 por coseno de theta,"}, {"start": 204.0, "end": 214.0, "text": " ya tenemos entonces un equivalente para lo que es la ra\u00edz cuadrada que tenemos en el integrando."}, {"start": 214.0, "end": 224.0, "text": " Ahora buscamos una relaci\u00f3n trigonom\u00e9trica que involucre este lado que es x con este que es 2,"}, {"start": 224.0, "end": 232.0, "text": " entonces tenemos que x es el cateto opuesto al \u00e1ngulo theta y 2 es la hipotenusa del tri\u00e1ngulo,"}, {"start": 232.0, "end": 245.0, "text": " entonces usamos la relaci\u00f3n seno, cateto opuesto sobre hipotenusa, tenemos entonces seno de theta igual a cateto opuesto que es x,"}, {"start": 245.0, "end": 255.0, "text": " el cateto que se opone al \u00e1ngulo theta sobre la hipotenusa que es 2 y de all\u00ed vamos a despejar x,"}, {"start": 255.0, "end": 264.0, "text": " entonces 2 que est\u00e1 dividiendo pasa al otro lado a multiplicar, nos queda 2 por seno de theta,"}, {"start": 264.0, "end": 271.0, "text": " tenemos aqu\u00ed otra relaci\u00f3n muy importante para este ejercicio."}, {"start": 271.0, "end": 282.0, "text": " De esta \u00faltima expresi\u00f3n vamos a obtener la derivada de x con respecto a theta,"}, {"start": 282.0, "end": 292.0, "text": " entonces tenemos que 2 se queda fijo y procedemos a derivar seno de theta que nos da coseno de theta,"}, {"start": 292.0, "end": 303.0, "text": " y de all\u00ed vamos a despejar lo que es el diferencial de x, entonces de theta que est\u00e1 dividiendo pasa al otro lado a multiplicar,"}, {"start": 303.0, "end": 316.0, "text": " nos queda 2 coseno de theta por d theta, de esa manera ya tenemos la expresi\u00f3n para el diferencial de x."}, {"start": 316.0, "end": 325.0, "text": " Como puede observarse ya tenemos los dos componentes de la integral original expresados en t\u00e9rminos de theta,"}, {"start": 325.0, "end": 333.0, "text": " entonces vamos a reconstruirla sustituyendo esas dos expresiones,"}, {"start": 333.0, "end": 349.0, "text": " para la ra\u00edz cuadrada tenemos que eso es igual a 2 por coseno de theta y esto multiplicado por el diferencial de x que nos dio 2 coseno de theta por el diferencial de theta,"}, {"start": 349.0, "end": 364.0, "text": " se observa entonces que la integral ya deja de ser una expresi\u00f3n en t\u00e9rminos de x para convertirse en una expresi\u00f3n en t\u00e9rminos de la variable theta."}, {"start": 364.0, "end": 383.0, "text": " Vamos a continuar el ejercicio por ac\u00e1 y nos queda de la siguiente manera, 2 por 2 es 4 coseno de theta por coseno de theta es coseno al cuadrado de theta,"}, {"start": 383.0, "end": 399.0, "text": " ya describimos el diferencial de theta y aqu\u00ed vamos a utilizar una identidad trigonom\u00e9trica, una que dice coseno al cuadrado de theta es igual a 1 m\u00e1s coseno de 2 theta,"}, {"start": 399.0, "end": 413.0, "text": " todo esto sobre 2, es una formula de reducci\u00f3n de potencia, nos permite pasar de coseno al cuadrado de theta a una expresi\u00f3n que ya no tiene exponente 2,"}, {"start": 413.0, "end": 435.0, "text": " entonces vamos a reemplazarla aqu\u00ed, nos queda 4 por coseno al cuadrado de theta que se sustituye por toda esa expresi\u00f3n, 1 m\u00e1s coseno de 2 theta, todo esto sobre 2 y el correspondiente diferencial de theta."}, {"start": 435.0, "end": 449.0, "text": " Aqu\u00ed podemos simplificar 4 con 2, decimos mitad de 4 es 2, mitad de 2 es 1 y entonces este n\u00famero 2 que queda multiplicando,"}, {"start": 449.0, "end": 471.0, "text": " podemos escribirlo por fuera de la integral, nos queda 2 que multiplica a la integral de 1 m\u00e1s coseno de 2 theta, coseno del \u00e1ngulo doble, todo esto protegido con par\u00e9ntesis y el correspondiente diferencial de theta."}, {"start": 471.0, "end": 491.0, "text": " Como aqu\u00ed en el integrando tenemos una suma, entonces podemos repartir la integral para cada uno de los componentes, nos queda 2 que multiplica a la integral de 1 con su diferencial de theta,"}, {"start": 491.0, "end": 507.0, "text": " o sea simplemente de theta m\u00e1s la integral de coseno de 2 theta con su respectivo diferencial de theta y cerramos el corchete que protege toda la expresi\u00f3n."}, {"start": 507.0, "end": 532.0, "text": " Vamos a continuarlo por ac\u00e1, tenemos 2 por, abrimos el corchete, la integral de theta es theta y para hacer esta integral entonces vamos a utilizar una f\u00f3rmula que nos dice lo siguiente,"}, {"start": 532.0, "end": 553.0, "text": " la integral de coseno de k theta con su diferencial de theta, k es cualquier n\u00famero que acompa\u00f1e a theta, en este caso es el n\u00famero 2, entonces esto ser\u00e1 igual a 1 sobre k por seno de k theta,"}, {"start": 553.0, "end": 575.0, "text": " es una f\u00f3rmula que se demuestra por el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n, cambiando k theta por otra letra y de esa manera se llega a esta f\u00f3rmula que es de uso frecuente ya en esta etapa en que estamos viendo el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n trigonom\u00e9trica."}, {"start": 575.0, "end": 597.0, "text": " Entonces si aplicamos esto para resolver esta integral, como dec\u00edamos k vale 2, nos queda 1 medio por seno de 2 theta y de esa manera podemos cerrar el corchete y escribir por primera vez la constante de integraci\u00f3n,"}, {"start": 597.0, "end": 616.0, "text": " porque ya hemos resuelto las dos integrales. Esta expresi\u00f3n podemos transformarla a\u00fan m\u00e1s haciendo uso de la identidad trigonom\u00e9trica del seno para el \u00e1ngulo doble,"}, {"start": 616.0, "end": 640.0, "text": " seno de 2 theta es igual a 2 por seno de theta por coseno de theta, entonces vamos a realizar esa sustituci\u00f3n all\u00ed, nos queda 2 por, abrimos corchete, theta m\u00e1s 1 medio que multiplica a seno de 2 theta y que lo cambiamos por 2 seno de theta,"}, {"start": 640.0, "end": 664.0, "text": " coseno de theta, cerramos el corchete y escribimos la constante de integraci\u00f3n, all\u00ed podemos tambi\u00e9n simplificar estos n\u00fameros y nos queda 2 que multiplica a theta m\u00e1s seno de theta por coseno de theta,"}, {"start": 664.0, "end": 682.0, "text": " cerramos el corchete y escribimos la constante de integraci\u00f3n. Esto que tenemos aqu\u00ed constituye la respuesta a la integral trigonom\u00e9trica que hab\u00edamos planteado hace un momento,"}, {"start": 682.0, "end": 702.0, "text": " esta que ten\u00edamos al principio del ejercicio cuando convertimos esta integral a una expresi\u00f3n en t\u00e9rminos de theta, esto es la respuesta para esta integral, pero no podemos perder de vista que el ejercicio inicial viene en t\u00e9rminos de x,"}, {"start": 702.0, "end": 712.0, "text": " entonces tenemos que llevar toda esta expresi\u00f3n a esa variable para que nos quede toda en funci\u00f3n de x."}, {"start": 712.0, "end": 731.0, "text": " Para conseguir eso retomamos el tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo que hab\u00edamos construido, de all\u00ed ten\u00edamos que seno de theta, uno de los componentes que necesitamos transformar es igual a cateto opuesto sobre hipotenusa,"}, {"start": 731.0, "end": 745.0, "text": " o sea x sobre 2 y tambi\u00e9n ten\u00edamos que coseno de theta, otro de los componentes que debemos cambiar es igual a cateto adyacente sobre hipotenusa,"}, {"start": 745.0, "end": 762.0, "text": " o sea la ra\u00edz cuadrada de 4 menos x al cuadrado y todo esto sobre 2, pero tambi\u00e9n necesitamos encontrarle un equivalente a theta, podr\u00edamos despejar theta de cualquiera de estas dos expresiones,"}, {"start": 762.0, "end": 786.0, "text": " nos queda m\u00e1s sencillo de la primera, tenemos que theta es igual a seno a la menos 1 o tambi\u00e9n arco seno de x medios, puede escribirse as\u00ed o tambi\u00e9n as\u00ed, arco seno de x medios, cualquiera de las dos formas es correcta."}, {"start": 786.0, "end": 806.0, "text": " Y con eso vamos a reconstruir esta expresi\u00f3n que ya viene siendo la respuesta del ejercicio inicial, nos queda 2 por abre corchete, reemplazamos theta, como dec\u00edamos cualquiera de estas dos expresiones,"}, {"start": 806.0, "end": 829.0, "text": " vamos a utilizar arco seno de x medios, todo eso m\u00e1s seno de theta que es x medios, por coseno de theta que es esa expresi\u00f3n, ra\u00edz cuadrada de 4 menos x al cuadrado,"}, {"start": 829.0, "end": 840.0, "text": " todo esto sobre 2 y cerramos el corchete y no podemos olvidar la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 840.0, "end": 862.0, "text": " Esta expresi\u00f3n podemos escribirla de una manera un poco m\u00e1s sencilla, hacemos propiedad distributiva con este n\u00famero 2, entonces tendremos 2 por arco seno de x medios y todo esto m\u00e1s 2 que multiplica con todo esto,"}, {"start": 862.0, "end": 880.0, "text": " entonces tenemos la posibilidad de simplificar este 2 con este denominador y nos queda en el numerador x ra\u00edz cuadrada de 4 menos x al cuadrado y en el denominador este n\u00famero 2,"}, {"start": 880.0, "end": 894.0, "text": " como dec\u00edamos este se simplific\u00f3 con este, nos queda este otro n\u00famero 2 y de all\u00ed escribimos la constante de integraci\u00f3n para dar por terminado este ejercicio,"}, {"start": 894.0, "end": 911.0, "text": " esta expresi\u00f3n constituye el resultado de esa integral."}]

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INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN - Ejercicio 15

#julioprofe explica cómo resolver una integral indefinida haciendo una transformación del integrando. Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Para resolver esta integral, vamos a utilizar el siguiente truco matemático. A la parte del numerador, es decir, a la X, vamos a sumarle 1 y al mismo tiempo le restamos 1. Lo que tenemos en el denominador no presenta ningún cambio. Entonces, esto es perfectamente elícito porque es como si a la X del numerador le hubiéramos sumado 0. Estamos sumando y restando la misma cantidad. Por eso, esa estrategia es totalmente válida. Eso lo hacemos para transformar esta expresión de la siguiente manera. Vamos a repartir este denominador para X más 1 y para este 1, conectando las dos fracciones con la operación resta. Nos queda entonces así. X más 1 sobre X más 1 y esto menos 1 sobre X más 1. Simplemente, X más 1 es el mismo denominador de esas dos cantidades. Protegemos con paréntesis y escribimos el diferencial de X. Tenemos que esta parte de la expresión se convierte en 1. Es una fracción donde el numerador es exactamente igual al denominador. Por lo tanto, todo eso corresponde a 1. La expresión, o el integrando, nos queda ahora de la siguiente manera. 1 menos esta fracción que es 1 sobre X más 1. Todo esto protegido con paréntesis y con el correspondiente diferencial de X. Como aquí tenemos una resta, entonces podemos repartir la integral para ambos componentes. Esto nos queda de la siguiente manera. Integral de 1 con su correspondiente diferencial de X menos la integral de esta fracción. 1 sobre X más 1 también con su diferencial de X. Ya podemos resolver cada una de las dos integrales. Para la primera tenemos que esto es lo mismo que decir la integral de X. La integral del diferencial. Y eso nos da como resultado simplemente X. Vamos a escribir por acá esa respuesta. Para la primera integral el resultado es X. Y esto menos, veamos el resultado de la segunda. Aquí podemos utilizar una fórmula, por así decirlo, que dice 1 sobre X más A con el diferencial de X. A es cualquier número real. Esto será igual al logaritmo natural de valor absoluto de X más A. Lógicamente más la constante de integración. Es una fórmula que aparece con frecuencia en las tablas de integrales. Y que se demuestra por el método de sustitución o cambio de variable. Simplemente tomando X más A como una nueva letra. Para efectos de este ejercicio vamos a utilizar directamente la fórmula. Tenemos que A es 1. Entonces aplicando este resultado nos queda logaritmo natural de valor absoluto de X más 1. Cerramos el valor absoluto y terminamos el ejercicio con la constante de integración. Entonces esto es el resultado de esa integral.

[{"start": 0.0, "end": 7.0, "text": " Para resolver esta integral, vamos a utilizar el siguiente truco matem\u00e1tico."}, {"start": 7.0, "end": 17.0, "text": " A la parte del numerador, es decir, a la X, vamos a sumarle 1 y al mismo tiempo le restamos 1."}, {"start": 17.0, "end": 22.0, "text": " Lo que tenemos en el denominador no presenta ning\u00fan cambio."}, {"start": 22.0, "end": 31.0, "text": " Entonces, esto es perfectamente el\u00edcito porque es como si a la X del numerador le hubi\u00e9ramos sumado 0."}, {"start": 31.0, "end": 36.0, "text": " Estamos sumando y restando la misma cantidad."}, {"start": 36.0, "end": 42.0, "text": " Por eso, esa estrategia es totalmente v\u00e1lida."}, {"start": 42.0, "end": 49.0, "text": " Eso lo hacemos para transformar esta expresi\u00f3n de la siguiente manera."}, {"start": 49.0, "end": 61.0, "text": " Vamos a repartir este denominador para X m\u00e1s 1 y para este 1, conectando las dos fracciones con la operaci\u00f3n resta."}, {"start": 61.0, "end": 63.0, "text": " Nos queda entonces as\u00ed."}, {"start": 63.0, "end": 74.0, "text": " X m\u00e1s 1 sobre X m\u00e1s 1 y esto menos 1 sobre X m\u00e1s 1."}, {"start": 74.0, "end": 82.0, "text": " Simplemente, X m\u00e1s 1 es el mismo denominador de esas dos cantidades."}, {"start": 82.0, "end": 88.0, "text": " Protegemos con par\u00e9ntesis y escribimos el diferencial de X."}, {"start": 88.0, "end": 94.0, "text": " Tenemos que esta parte de la expresi\u00f3n se convierte en 1."}, {"start": 94.0, "end": 101.0, "text": " Es una fracci\u00f3n donde el numerador es exactamente igual al denominador."}, {"start": 101.0, "end": 105.0, "text": " Por lo tanto, todo eso corresponde a 1."}, {"start": 105.0, "end": 112.0, "text": " La expresi\u00f3n, o el integrando, nos queda ahora de la siguiente manera."}, {"start": 112.0, "end": 119.0, "text": " 1 menos esta fracci\u00f3n que es 1 sobre X m\u00e1s 1."}, {"start": 119.0, "end": 128.0, "text": " Todo esto protegido con par\u00e9ntesis y con el correspondiente diferencial de X."}, {"start": 128.0, "end": 136.0, "text": " Como aqu\u00ed tenemos una resta, entonces podemos repartir la integral para ambos componentes."}, {"start": 136.0, "end": 139.0, "text": " Esto nos queda de la siguiente manera."}, {"start": 139.0, "end": 151.0, "text": " Integral de 1 con su correspondiente diferencial de X menos la integral de esta fracci\u00f3n."}, {"start": 151.0, "end": 158.0, "text": " 1 sobre X m\u00e1s 1 tambi\u00e9n con su diferencial de X."}, {"start": 158.0, "end": 163.0, "text": " Ya podemos resolver cada una de las dos integrales."}, {"start": 163.0, "end": 170.0, "text": " Para la primera tenemos que esto es lo mismo que decir la integral de X."}, {"start": 170.0, "end": 172.0, "text": " La integral del diferencial."}, {"start": 172.0, "end": 176.0, "text": " Y eso nos da como resultado simplemente X."}, {"start": 176.0, "end": 180.0, "text": " Vamos a escribir por ac\u00e1 esa respuesta."}, {"start": 180.0, "end": 184.0, "text": " Para la primera integral el resultado es X."}, {"start": 184.0, "end": 188.0, "text": " Y esto menos, veamos el resultado de la segunda."}, {"start": 188.0, "end": 200.0, "text": " Aqu\u00ed podemos utilizar una f\u00f3rmula, por as\u00ed decirlo, que dice 1 sobre X m\u00e1s A con el diferencial de X."}, {"start": 200.0, "end": 203.0, "text": " A es cualquier n\u00famero real."}, {"start": 203.0, "end": 209.0, "text": " Esto ser\u00e1 igual al logaritmo natural de valor absoluto de X m\u00e1s A."}, {"start": 209.0, "end": 213.0, "text": " L\u00f3gicamente m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 213.0, "end": 218.0, "text": " Es una f\u00f3rmula que aparece con frecuencia en las tablas de integrales."}, {"start": 218.0, "end": 224.0, "text": " Y que se demuestra por el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n o cambio de variable."}, {"start": 224.0, "end": 229.0, "text": " Simplemente tomando X m\u00e1s A como una nueva letra."}, {"start": 229.0, "end": 235.0, "text": " Para efectos de este ejercicio vamos a utilizar directamente la f\u00f3rmula."}, {"start": 235.0, "end": 238.0, "text": " Tenemos que A es 1."}, {"start": 238.0, "end": 247.0, "text": " Entonces aplicando este resultado nos queda logaritmo natural de valor absoluto de X m\u00e1s 1."}, {"start": 247.0, "end": 255.0, "text": " Cerramos el valor absoluto y terminamos el ejercicio con la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 255.0, "end": 269.0, "text": " Entonces esto es el resultado de esa integral."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=UVxyZ0-8MDY

SUPLEMENTO DE UN ÁNGULO - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo obtener el suplemento de 75° 16' 49''. Ejercicio propuesto: ¿Cuál es el suplemento de 114° 37' 16''? Respuesta: 65° 22' 44'' REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

En esta ocasión nos preguntan cuál es el suplemento de este ángulo que se lee 75 grados, 16 minutos y 49 segundos. Para empezar recordemos que dos ángulos suplementarios son aquellos que suman 180 grados, es decir que forman un ángulo llano. Entonces debemos encontrar cuanto le falta a esta medida para llegar a 180 grados. Planteamos entonces esta operación, a 180 grados vamos a restarle el ángulo que nos dan. Tenemos inicialmente un inconveniente, a cero no podemos restarle 49 y por acá a cero tampoco podemos restarle 16. Entonces vamos a pedirle a 180 grados que nos transfiere o nos regale un grado a la zona de los minutos. Tenemos que un grado equivale a 60 minutos, es una equivalencia bastante importante en este tema. Entonces si 180 grados regala un grado tendremos aquí 179 grados. Entonces actualizamos esta cifra, ya nos queda en 179 grados y acá llegan los 60 minutos. Entonces también actualizamos este valor. De manera similar le pedimos a 60 minutos que transfiera o regale un minuto a la zona de los segundos. Tenemos que un minuto es igual a 60 segundos, otra equivalencia de gran importancia en este tema. Si 60 minutos regala un minuto nos queda entonces como 59 minutos. Y aquí donde teníamos cero segundos llegan estos 60 segundos que fueron transferidos desde la izquierda. Entonces se actualizan ambos valores. Después de realizar esos ajustes vemos que ya es posible efectuar cada una de las restas. Comenzamos por acá, si a 60 segundos le restamos 49 segundos tenemos como resultado 11 segundos. Si a 59 minutos le restamos 16 minutos tenemos como resultado 43 minutos. Y si a 179 grados le restamos 75 grados tenemos como resultado 104 grados. Y de esta manera obtenemos la respuesta a este ejercicio. 104 grados 43 minutos y 11 segundos es el suplemento de este ángulo que nos dieron inicialmente.

[{"start": 0.0, "end": 12.0, "text": " En esta ocasi\u00f3n nos preguntan cu\u00e1l es el suplemento de este \u00e1ngulo que se lee 75 grados, 16 minutos y 49 segundos."}, {"start": 12.0, "end": 24.0, "text": " Para empezar recordemos que dos \u00e1ngulos suplementarios son aquellos que suman 180 grados, es decir que forman un \u00e1ngulo llano."}, {"start": 24.0, "end": 33.0, "text": " Entonces debemos encontrar cuanto le falta a esta medida para llegar a 180 grados."}, {"start": 33.0, "end": 42.0, "text": " Planteamos entonces esta operaci\u00f3n, a 180 grados vamos a restarle el \u00e1ngulo que nos dan."}, {"start": 42.0, "end": 54.0, "text": " Tenemos inicialmente un inconveniente, a cero no podemos restarle 49 y por ac\u00e1 a cero tampoco podemos restarle 16."}, {"start": 54.0, "end": 67.0, "text": " Entonces vamos a pedirle a 180 grados que nos transfiere o nos regale un grado a la zona de los minutos."}, {"start": 67.0, "end": 77.0, "text": " Tenemos que un grado equivale a 60 minutos, es una equivalencia bastante importante en este tema."}, {"start": 77.0, "end": 85.0, "text": " Entonces si 180 grados regala un grado tendremos aqu\u00ed 179 grados."}, {"start": 85.0, "end": 97.0, "text": " Entonces actualizamos esta cifra, ya nos queda en 179 grados y ac\u00e1 llegan los 60 minutos."}, {"start": 97.0, "end": 101.0, "text": " Entonces tambi\u00e9n actualizamos este valor."}, {"start": 101.0, "end": 113.0, "text": " De manera similar le pedimos a 60 minutos que transfiera o regale un minuto a la zona de los segundos."}, {"start": 113.0, "end": 123.0, "text": " Tenemos que un minuto es igual a 60 segundos, otra equivalencia de gran importancia en este tema."}, {"start": 123.0, "end": 133.0, "text": " Si 60 minutos regala un minuto nos queda entonces como 59 minutos."}, {"start": 133.0, "end": 143.0, "text": " Y aqu\u00ed donde ten\u00edamos cero segundos llegan estos 60 segundos que fueron transferidos desde la izquierda."}, {"start": 143.0, "end": 147.0, "text": " Entonces se actualizan ambos valores."}, {"start": 147.0, "end": 156.0, "text": " Despu\u00e9s de realizar esos ajustes vemos que ya es posible efectuar cada una de las restas."}, {"start": 156.0, "end": 166.0, "text": " Comenzamos por ac\u00e1, si a 60 segundos le restamos 49 segundos tenemos como resultado 11 segundos."}, {"start": 166.0, "end": 176.0, "text": " Si a 59 minutos le restamos 16 minutos tenemos como resultado 43 minutos."}, {"start": 176.0, "end": 187.0, "text": " Y si a 179 grados le restamos 75 grados tenemos como resultado 104 grados."}, {"start": 187.0, "end": 193.0, "text": " Y de esta manera obtenemos la respuesta a este ejercicio."}, {"start": 193.0, "end": 206.0, "text": " 104 grados 43 minutos y 11 segundos es el suplemento de este \u00e1ngulo que nos dieron inicialmente."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=zIUtvfczPa8

COMPLEMENTO DE UN ÁNGULO - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo hallar el complemento de 53° 41' 28'' Ejercicio propuesto: ¿Cuál es el complemento de 17° 25' 38''? Respuesta: 72° 34' 22'' REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver este ejercicio. Nos preguntan cuál es el complemento de este ángulo, que se lee 53 grados 41 minutos y 28 segundos. Para empezar recordemos que dos ángulos complementarios son aquellos que suman 90 grados, o sea que forman un ángulo recto. Entonces para encontrar el complemento de este ángulo que nos dan, debemos averiguar cuanto le falta a esta medida para llegar a 90 grados. Planteamos entonces esta operación. A 90 grados, que tiene 0 minutos y 0 segundos, le vamos a restar el ángulo que nos han dado. Debemos que a 0 no le podemos restar 28, a 0 tampoco le podemos restar 41. Entonces vamos a pedirle a 90 grados que nos regale 1 grado. Si 90 grados transfiere acá 1 grado, entonces nos está regalando 60 minutos. Recordemos que esta equivalencia es muy importante. 1 grado corresponde a 60 minutos. Siendo así, 90 grados queda convertido en 89 grados. Y aquí ya tenemos 60 minutos. De manera similar, le pedimos a 60 minutos que nos regale 1 minuto aquí a esta cantidad. Entonces 1 minuto equivale a 60 segundos. Otra equivalencia muy importante en este tema. Si a 60 minutos le restamos 1 minuto, nos quedan entonces 59 minutos. Entonces actualizamos aquí esa cifra y aquí llegan los 60 segundos que fueron transferidos desde la izquierda. Entonces llega 1 minuto que son 60 segundos. Habiendo realizado esos ajustes, tenemos que ahora sí es posible realizar cada una de las diferencias. Comencemos por los segundos. Si a 60 segundos le restamos 28 segundos, tenemos como resultado 32 segundos. Luego seguimos con los minutos. Si a 59 minutos le restamos 41 minutos, tenemos como resultado 18 minutos. Y luego hacemos la diferencia en la columna de los grados. Si a 89 grados le restamos 53 grados, tenemos como resultado 36 grados. Y esta medida será la respuesta a este ejercicio. Este ángulo corresponde al complemento de esta medida que nos dieron inicialmente.

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PROBLEMA DE EQUILIBRIO TRASLACIONAL Y ROTACIONAL

#julioprofe explica cómo resolver un problema de estática, donde deben cumplirse las condiciones de equilibrio traslacional y rotacional. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

Tenemos en esta ocasión un andamio uniforme de longitud 3 metros y que pesa 345 newtons. El andamio se encuentra sostenido en sus extremos por dos cables. También se observan dos pintores, uno de peso 750 newtons, que se encuentra localizado a un metro de distancia del extremo izquierdo del andamio y el otro pintor de peso 1000 newtons que se encuentra localizado a 0.5 metros del extremo derecho del andamio. También se tiene el recipiente con pintura que pesa 500 newtons y que se encuentra localizado a dos metros del extremo izquierdo del andamio. Si suponemos que esta estructura, es decir el andamio, está en posición horizontal en ese momento, vamos a determinar cuál es la fuerza que soporta cada uno de los cables que sostiene todo el conjunto. Para resolver este problema con mayor facilidad vamos a construir lo que se llama un diagrama de cuerpo libre, DCL, por sus iniciales. Eso consiste en una línea que represente el andamio y sobre esa línea vamos a marcar las fuerzas y las distancias que intervienen en el problema. Comenzamos con la tensión que soporta el cable izquierdo, vamos a llamarla la tensión 1. Luego tenemos a una distancia de un metro el peso del primer pintor que es 750 newtons. Después tenemos el peso del andamio localizado en el punto central del mismo porque se trata de una estructura uniforme, o sea que su masa está perfectamente distribuida a lo largo del andamio. Tenemos entonces un peso de 345 newtons y la distancia que tenemos del extremo izquierdo a este punto será la mitad de 3 metros, es decir 1.5 metros. Se trata del punto central del andamio. Después dibujamos el vector que representa el peso de la pintura, son 500 newtons y ese punto donde actúa esa fuerza está localizado a una distancia de 2 metros del extremo izquierdo del andamio. En seguida tenemos el peso del segundo pintor, son 1000 newtons y este punto se encuentra localizado a una distancia de 2.5 metros del extremo izquierdo. A 3 metros le restamos 0.5 metros y nos queda 2.5 metros que es esta distancia del extremo izquierdo del andamio a donde se localiza el pintor que pesa 1000 newtons. Por último dibujamos esta fuerza que representa la tensión en el cable derecho, entonces vamos a llamarla la tensión 2. Y la distancia que tenemos del extremo izquierdo al punto donde actúa esa tensión será la longitud de todo el andamio, es decir 3 metros. Tenemos de esta manera lo que es el diagrama de cuerpo libre, una representación mucho más sencilla de esta situación donde como decíamos únicamente se localizan las fuerzas y las distancias que intervienen en el problema. Tenemos entonces una situación donde hay equilibrio, entendiéndose el equilibrio como aquel de tipo traslacional y también de tipo rotacional. Equilibrio traslacional significa que la sumatoria de fuerzas en la estructura es igual a 0 y esto lo vamos a trabajar en dos dimensiones. Tenemos una situación bidimensional donde decimos que la sumatoria de fuerzas en X tiene que ser igual a 0 y la sumatoria de fuerzas en Y igual a 0, es decir suma de fuerzas horizontales igual a 0 y suma de fuerzas verticales igual a 0. Pero como en este dibujo no tenemos fuerzas horizontales entonces podemos despreciar esta condición. En otras palabras tenemos garantizado el equilibrio horizontal. Entonces no vamos a trabajar esta ecuación por así decirlo sino que nos vamos a centrar en la sumatoria de fuerzas verticales igual a 0. Y el equilibrio rotacional quiere decir que esta estructura no va a presentar giros. En otras palabras la sumatoria de torques tiene que ser igual a 0. Y para ello debemos establecer un punto de giro, un punto llamado O. Ese punto lo vamos a tomar aquí, en el extremo izquierdo del andamio. Como se observa todas las distancias están tomadas con respecto de este punto O. Entonces vamos a trabajar sumatoria de fuerzas en Y igual a 0 para garantizar el equilibrio traslacional y también sumatoria de torques con respecto al punto O igual a 0 para garantizar el equilibrio rotacional. Iniciamos con la sumatoria de fuerzas en Y o fuerzas verticales igual a 0. Considerando que las que van hacia arriba son las positivas. Lógicamente las que van dirigidas hacia abajo serán negativas. Comenzamos por la izquierda. Tenemos la tensión 1 que es una fuerza positiva porque señala hacia arriba. Después nos encontramos con menos 750 que es el peso del primer pintor. Luego menos 345 newtons que es el peso del andamio. Luego menos 500 el peso de la pintura. Luego menos 1000 que es el peso del segundo pintor. Y finalmente más T2 la tensión en el cable derecho que sostiene la estructura. Y esa ecuación la cerramos igualándola a 0. Con eso garantizamos el equilibrio traslacional. Hacemos la operación de los números. Dejamos T1 y operamos estos números negativos y eso nos da como resultado menos 2595. Esto más T2 igual a 0. Ya sabemos que esta cantidad está en newtons. De allí podemos escribir la ecuación de esta manera. Dejamos las incógnitas en el lado izquierdo y pasamos este número al lado derecho. Llega positivo. Como decíamos ese valor está en newtons. Y de esta manera tenemos la primera ecuación. Las llamamos la ecuación 1. Pasamos ahora a garantizar lo que es el equilibrio rotacional. Y eso se hace construyendo la ecuación sumatoria de torques igual a 0. Los torques o momentos calculados con respecto al punto O. El punto que elegimos como punto de giro. Por cierto se recomienda establecer punto de giro en alguna de las fuerzas desconocidas. En ese caso lo hemos situado donde se encuentra la tensión 1. Esto para hacer que el torque de esta fuerza sea 0. De esa manera logramos eliminar una incógnita. Decimos que la sumatoria de torques es igual a 0. Considerando el sentido antihorario, o sea contrario a las manecillas del reloj, como sentido positivo. Vamos a iniciar otra vez por la izquierda. Vamos de izquierda a derecha anotando la fuerza, el brazo y el signo de giro. O sea el signo del torque. Comenzamos con T1. Dijimos que esa fuerza no tiene brazo de palanca porque es una fuerza que está aplicada justamente en el punto de giro. Entonces su brazo de palanca es 0. De esa manera anulamos el torque que produce la fuerza desconocida T1. Pasamos a la siguiente fuerza que es 750 newtons multiplicada por su brazo de palanca que es esa distancia y que vale 1 metro. Ahora definimos el signo del torque que produce esta fuerza alrededor de este punto. Si le damos libertad a esa fuerza de que gire presentará una rotación en sentido de las manecillas del reloj. O sea que tiene signo negativo. Pasamos ahora a la fuerza de 345 newtons cuyo brazo de palanca será 1.5 metros. La distancia que hay desde el punto de giro perpendicular a donde se encuentra aplicada la fuerza. El signo del torque de esta fuerza alrededor del punto O también será negativo. Como se observa habría una rotación a favor de las manecillas del reloj. Entonces allí tenemos el signo negativo. Vamos a seguir por acá con la fuerza de 500 newtons cuyo brazo de palanca es toda esta distancia que corresponde a 2 metros. Y si le damos libertad a esa fuerza de girar alrededor del punto O presentará una rotación a favor de las manecillas del reloj. Entonces tiene signo negativo. Pasamos a la fuerza de 1000 newtons cuyo brazo de palanca será toda esta distancia, es decir 2.5 metros. Y donde el signo de giro también será negativo. Es una rotación a favor de las manecillas del reloj. Pasamos por último a la tensión 2. Vamos a escribirla por acá T2. Su brazo de palanca será toda esta distancia que es 3 metros. Y si esa fuerza gira alrededor del punto O presentará una rotación contraria a las manecillas del reloj. O sea con signo positivo. Y como hemos terminado cerramos la ecuación igualándola a cero. Con eso garantizamos el equilibrio rotacional. Resolvemos enseguida estas operaciones. Tenemos que T1 por cero vale cero. Tenemos menos 750 por uno igual a menos 750. Menos 345 por 1.5 eso nos da menos 517.5. Luego tenemos menos 500 por 2 que es menos 1000. Después menos 1000 por 2.5 que es menos 2500. Y eso más T2 por 3, o sea más 3T2 que queda igualado a cero. Operamos estos números negativos y eso nos da como resultado menos 4767.5 más 3T2 igual a cero. Dejamos en el lado izquierdo 3T2. Pasamos al lado derecho este número que llega positivo y de allí despejamos T2. Tres que está multiplicando pasa al otro lado a dividir. Y esa división nos da como resultado 1589.17 aproximando a dos cifras decimales. Y ese valor se encuentra en newtons. De esta manera encontramos el valor de la tensión 2. Es decir la tensión en el cable derecho. Con este resultado podemos ir a la ecuación número uno. Aquella que habíamos encontrado y que decía T1 más T2 igual a 2595 newtons. Ya conocemos T2 lo reemplazamos por aquí y de esa manera ya nos queda muy sencillo encontrar el valor de T1. Hacemos el despeje. T1 será igual a 2595 menos 1589.17 y realizando esa resta nos da como resultado 1005.83 newtons. Que es el valor de la tensión 1. De esta manera hemos terminado el ejercicio. Aquí tenemos los valores de las tensiones en los cables. Las fuerzas que soportan toda la estructura. En la vida real un análisis de este tipo se hace para elegir los materiales de los cables. De tal manera que soporten estas tensiones, estas fuerzas y que la estructura sea segura.

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La distancia que hay desde el punto de giro perpendicular a donde se encuentra aplicada la fuerza."}, {"start": 686.0, "end": 701.0, "text": " El signo del torque de esta fuerza alrededor del punto O tambi\u00e9n ser\u00e1 negativo. Como se observa habr\u00eda una rotaci\u00f3n a favor de las manecillas del reloj."}, {"start": 701.0, "end": 719.0, "text": " Entonces all\u00ed tenemos el signo negativo. Vamos a seguir por ac\u00e1 con la fuerza de 500 newtons cuyo brazo de palanca es toda esta distancia que corresponde a 2 metros."}, {"start": 719.0, "end": 733.0, "text": " Y si le damos libertad a esa fuerza de girar alrededor del punto O presentar\u00e1 una rotaci\u00f3n a favor de las manecillas del reloj. Entonces tiene signo negativo."}, {"start": 733.0, "end": 750.0, "text": " Pasamos a la fuerza de 1000 newtons cuyo brazo de palanca ser\u00e1 toda esta distancia, es decir 2.5 metros. Y donde el signo de giro tambi\u00e9n ser\u00e1 negativo."}, {"start": 750.0, "end": 763.0, "text": " Es una rotaci\u00f3n a favor de las manecillas del reloj. Pasamos por \u00faltimo a la tensi\u00f3n 2. Vamos a escribirla por ac\u00e1 T2."}, {"start": 763.0, "end": 782.0, "text": " Su brazo de palanca ser\u00e1 toda esta distancia que es 3 metros. Y si esa fuerza gira alrededor del punto O presentar\u00e1 una rotaci\u00f3n contraria a las manecillas del reloj. O sea con signo positivo."}, {"start": 782.0, "end": 793.0, "text": " Y como hemos terminado cerramos la ecuaci\u00f3n igual\u00e1ndola a cero. Con eso garantizamos el equilibrio rotacional."}, {"start": 793.0, "end": 816.0, "text": " Resolvemos enseguida estas operaciones. Tenemos que T1 por cero vale cero. Tenemos menos 750 por uno igual a menos 750. Menos 345 por 1.5 eso nos da menos 517.5."}, {"start": 816.0, "end": 838.0, "text": " Luego tenemos menos 500 por 2 que es menos 1000. Despu\u00e9s menos 1000 por 2.5 que es menos 2500. Y eso m\u00e1s T2 por 3, o sea m\u00e1s 3T2 que queda igualado a cero."}, {"start": 838.0, "end": 857.0, "text": " Operamos estos n\u00fameros negativos y eso nos da como resultado menos 4767.5 m\u00e1s 3T2 igual a cero."}, {"start": 857.0, "end": 871.0, "text": " Dejamos en el lado izquierdo 3T2. Pasamos al lado derecho este n\u00famero que llega positivo y de all\u00ed despejamos T2."}, {"start": 871.0, "end": 891.0, "text": " Tres que est\u00e1 multiplicando pasa al otro lado a dividir. Y esa divisi\u00f3n nos da como resultado 1589.17 aproximando a dos cifras decimales."}, {"start": 891.0, "end": 906.0, "text": " Y ese valor se encuentra en newtons. De esta manera encontramos el valor de la tensi\u00f3n 2. Es decir la tensi\u00f3n en el cable derecho."}, {"start": 906.0, "end": 923.0, "text": " Con este resultado podemos ir a la ecuaci\u00f3n n\u00famero uno. Aquella que hab\u00edamos encontrado y que dec\u00eda T1 m\u00e1s T2 igual a 2595 newtons."}, {"start": 923.0, "end": 937.0, "text": " Ya conocemos T2 lo reemplazamos por aqu\u00ed y de esa manera ya nos queda muy sencillo encontrar el valor de T1."}, {"start": 937.0, "end": 963.0, "text": " Hacemos el despeje. T1 ser\u00e1 igual a 2595 menos 1589.17 y realizando esa resta nos da como resultado 1005.83 newtons."}, {"start": 963.0, "end": 975.0, "text": " Que es el valor de la tensi\u00f3n 1. De esta manera hemos terminado el ejercicio."}, {"start": 975.0, "end": 995.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos los valores de las tensiones en los cables. Las fuerzas que soportan toda la estructura. En la vida real un an\u00e1lisis de este tipo se hace para elegir los materiales de los cables."}, {"start": 995.0, "end": 1005.0, "text": " De tal manera que soporten estas tensiones, estas fuerzas y que la estructura sea segura."}]

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DESIGUALDAD LINEAL CON TRES MIEMBROS - Ejercicio 3

#julioprofe explica cómo resolver una desigualdad lineal con tres miembros o componentes. Tema: #Desigualdades → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEZkcrDeNKKyhTxj4A1b83M REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a encontrar el conjunto solución de esta desigualdad, que es de tipo lineal, porque la variable X observamos que siempre tiene exponente 1. Tenemos en este caso tres componentes, el izquierdo, el central y el derecho. Y notamos que la variable X está presente en esos tres componentes. Entonces, debemos trabajar primero esta desigualdad, vamos a llamarla la número 1, y después esta otra. Entonces, la llamamos la desigualdad 2. Tenemos entonces primera desigualdad formada por los dos primeros componentes, y la segunda desigualdad conformada por los dos últimos componentes. Tenemos entonces la primera, vamos a escribirla, 4X más 1, mayor o igual que 3 menos 5X. Una desigualdad de tipo lineal. Entonces vamos a dejar al lado izquierdo los términos que contienen X, y al lado derecho únicamente los números. Tenemos entonces 4X, que se queda en el lado izquierdo. Pasamos este término que estaba negativo al otro lado positivo, llega como más 5X, esto mayor o igual que 3. Y pasamos este 1 que estaba positivo al otro lado negativo, nos queda 3 menos 1. Resolvemos a cada lado, aquí tenemos una suma de términos semejantes, eso nos da 9X, y por acá nos da 2. Conservamos el signo mayor o igual. Y ahora necesitamos que aquí la X nos quede completamente sola. Para ello necesitamos deshacernos de este número 9. Como 9 está multiplicando con X, entonces es necesario dividir ambos lados de la desigualdad entre 9. Como hemos utilizado un número positivo para la división, este signo se conserva. La desigualdad mantiene su sentido. Por acá simplificamos el número 9 y nos queda X. Aquí no tenemos nada que simplificar, 2 novenos es una fracción irreducible, entonces se queda así como está. Y tenemos la solución de la primera desigualdad. La llamamos S1. Vamos a escribirla por acá. S1 son los valores de X mayores o iguales que 2 novenos. Ahora vamos a resolver la segunda desigualdad. Vamos a escribirla por acá. Tenemos 3 menos 5X mayor que 10 menos 7X. Una desigualdad de tipo lineal. Vamos a dejar al lado izquierdo los términos que contienen X y acá en el lado derecho únicamente los números. Se queda menos 5X, pasamos este término que está negativo, entonces llega al otro lado positivo. Dejamos el 10 en el lado derecho y pasamos este 3 que está positivo al otro lado negativo. Resolvemos esta operación, eso nos da 2X. Resolvemos por acá, nos da 7 y conservamos el signo de la desigualdad. Ahora necesitamos dividir entre dos ambos lados de esta desigualdad para que X quede completamente sola en el lado izquierdo. Entonces dividimos por 2 el lado izquierdo y por 2 el lado derecho. Como utilizamos un número positivo para la división, entonces la desigualdad conserva su sentido. Por acá simplificamos el número 2 y nos queda X. 7 medios es una fracción irreducible, no se puede simplificar, entonces se queda de esa manera. Y así tenemos la solución 2, S2, y la vamos a escribir por acá. Solución 2 son los valores de X mayores que 7 medios. Para establecer el conjunto solución de todo el ejercicio, o sea lo que se llama la solución total, la llamamos S total, entonces debemos hacer la intersección de estos dos conjuntos. Entonces S1, intersección con S2. Y lo más recomendable para hacer esa intersección de manera exitosa es llevar ambos conjuntos a una misma recta numérica. Entonces, dibujamos una recta que represente el conjunto de los números reales. Por acá tenemos menos infinito, por acá más infinito, y allí localizaremos los valores de la variable X. Marcamos el cero como elemento neutro, el que separa la zona negativa de la zona positiva. Y vamos a localizar también estos números. Comenzamos con dos novenos, que es una fracción propia, menor que la unidad. Y luego 7 medios, más a la derecha, por tratarse de una fracción impropia, o sea, mayor que la unidad. Tenemos la solución 1 como el conjunto de valores de X mayores o iguales que dos novenos. O sea que incluye dos novenos, se representa con bolita llena, y rayamos toda la zona que está hacia la derecha, o sea, hacia más infinito. Allí tenemos localizado el conjunto S1. Vamos ahora con el conjunto S2, valores de X mayores que 7 medios. O sea que 7 medios no lo incluye, se representa con bolita sin llenar, o bolita abierta. Y rayamos lo que está hacia la derecha, utilizando el rayado en la otra dirección. Donde se observe el cruce de los dos tipos de rayado, entonces allí tendremos la intersección de los dos conjuntos. Como se observa, es la zona comprendida entre 7 medios y más infinito. Entonces vamos a escribir el conjunto solución para este ejercicio. Son los valores de X que pertenecen al intervalo que va desde 7 medios hasta más infinito. En 7 medios tenemos bolita abierta, entonces aquí usamos paréntesis, y también en más infinito se usa paréntesis. Siempre en más infinito o menos infinito recordemos que se usa paréntesis. Este será entonces el conjunto solución para este ejercicio. Y de esta manera terminamos.

[{"start": 0.0, "end": 13.0, "text": " Vamos a encontrar el conjunto soluci\u00f3n de esta desigualdad, que es de tipo lineal, porque la variable X observamos que siempre tiene exponente 1."}, {"start": 13.0, "end": 19.0, "text": " Tenemos en este caso tres componentes, el izquierdo, el central y el derecho."}, {"start": 19.0, "end": 25.0, "text": " Y notamos que la variable X est\u00e1 presente en esos tres componentes."}, {"start": 25.0, "end": 34.0, "text": " Entonces, debemos trabajar primero esta desigualdad, vamos a llamarla la n\u00famero 1, y despu\u00e9s esta otra."}, {"start": 34.0, "end": 38.0, "text": " Entonces, la llamamos la desigualdad 2."}, {"start": 38.0, "end": 50.0, "text": " Tenemos entonces primera desigualdad formada por los dos primeros componentes, y la segunda desigualdad conformada por los dos \u00faltimos componentes."}, {"start": 50.0, "end": 62.0, "text": " Tenemos entonces la primera, vamos a escribirla, 4X m\u00e1s 1, mayor o igual que 3 menos 5X."}, {"start": 62.0, "end": 65.0, "text": " Una desigualdad de tipo lineal."}, {"start": 65.0, "end": 74.0, "text": " Entonces vamos a dejar al lado izquierdo los t\u00e9rminos que contienen X, y al lado derecho \u00fanicamente los n\u00fameros."}, {"start": 74.0, "end": 79.0, "text": " Tenemos entonces 4X, que se queda en el lado izquierdo."}, {"start": 79.0, "end": 89.0, "text": " Pasamos este t\u00e9rmino que estaba negativo al otro lado positivo, llega como m\u00e1s 5X, esto mayor o igual que 3."}, {"start": 89.0, "end": 96.0, "text": " Y pasamos este 1 que estaba positivo al otro lado negativo, nos queda 3 menos 1."}, {"start": 96.0, "end": 107.0, "text": " Resolvemos a cada lado, aqu\u00ed tenemos una suma de t\u00e9rminos semejantes, eso nos da 9X, y por ac\u00e1 nos da 2."}, {"start": 107.0, "end": 110.0, "text": " Conservamos el signo mayor o igual."}, {"start": 110.0, "end": 114.0, "text": " Y ahora necesitamos que aqu\u00ed la X nos quede completamente sola."}, {"start": 114.0, "end": 118.0, "text": " Para ello necesitamos deshacernos de este n\u00famero 9."}, {"start": 118.0, "end": 128.0, "text": " Como 9 est\u00e1 multiplicando con X, entonces es necesario dividir ambos lados de la desigualdad entre 9."}, {"start": 128.0, "end": 135.0, "text": " Como hemos utilizado un n\u00famero positivo para la divisi\u00f3n, este signo se conserva."}, {"start": 135.0, "end": 138.0, "text": " La desigualdad mantiene su sentido."}, {"start": 138.0, "end": 143.0, "text": " Por ac\u00e1 simplificamos el n\u00famero 9 y nos queda X."}, {"start": 143.0, "end": 153.0, "text": " Aqu\u00ed no tenemos nada que simplificar, 2 novenos es una fracci\u00f3n irreducible, entonces se queda as\u00ed como est\u00e1."}, {"start": 153.0, "end": 157.0, "text": " Y tenemos la soluci\u00f3n de la primera desigualdad."}, {"start": 157.0, "end": 159.0, "text": " La llamamos S1."}, {"start": 159.0, "end": 162.0, "text": " Vamos a escribirla por ac\u00e1."}, {"start": 162.0, "end": 170.0, "text": " S1 son los valores de X mayores o iguales que 2 novenos."}, {"start": 170.0, "end": 175.0, "text": " Ahora vamos a resolver la segunda desigualdad."}, {"start": 175.0, "end": 178.0, "text": " Vamos a escribirla por ac\u00e1."}, {"start": 178.0, "end": 187.0, "text": " Tenemos 3 menos 5X mayor que 10 menos 7X."}, {"start": 187.0, "end": 190.0, "text": " Una desigualdad de tipo lineal."}, {"start": 190.0, "end": 199.0, "text": " Vamos a dejar al lado izquierdo los t\u00e9rminos que contienen X y ac\u00e1 en el lado derecho \u00fanicamente los n\u00fameros."}, {"start": 199.0, "end": 208.0, "text": " Se queda menos 5X, pasamos este t\u00e9rmino que est\u00e1 negativo, entonces llega al otro lado positivo."}, {"start": 208.0, "end": 216.0, "text": " Dejamos el 10 en el lado derecho y pasamos este 3 que est\u00e1 positivo al otro lado negativo."}, {"start": 216.0, "end": 221.0, "text": " Resolvemos esta operaci\u00f3n, eso nos da 2X."}, {"start": 221.0, "end": 228.0, "text": " Resolvemos por ac\u00e1, nos da 7 y conservamos el signo de la desigualdad."}, {"start": 228.0, "end": 239.0, "text": " Ahora necesitamos dividir entre dos ambos lados de esta desigualdad para que X quede completamente sola en el lado izquierdo."}, {"start": 239.0, "end": 245.0, "text": " Entonces dividimos por 2 el lado izquierdo y por 2 el lado derecho."}, {"start": 245.0, "end": 253.0, "text": " Como utilizamos un n\u00famero positivo para la divisi\u00f3n, entonces la desigualdad conserva su sentido."}, {"start": 253.0, "end": 257.0, "text": " Por ac\u00e1 simplificamos el n\u00famero 2 y nos queda X."}, {"start": 257.0, "end": 266.0, "text": " 7 medios es una fracci\u00f3n irreducible, no se puede simplificar, entonces se queda de esa manera."}, {"start": 266.0, "end": 275.0, "text": " Y as\u00ed tenemos la soluci\u00f3n 2, S2, y la vamos a escribir por ac\u00e1."}, {"start": 275.0, "end": 284.0, "text": " Soluci\u00f3n 2 son los valores de X mayores que 7 medios."}, {"start": 284.0, "end": 296.0, "text": " Para establecer el conjunto soluci\u00f3n de todo el ejercicio, o sea lo que se llama la soluci\u00f3n total, la llamamos S total,"}, {"start": 296.0, "end": 301.0, "text": " entonces debemos hacer la intersecci\u00f3n de estos dos conjuntos."}, {"start": 301.0, "end": 308.0, "text": " Entonces S1, intersecci\u00f3n con S2."}, {"start": 308.0, "end": 321.0, "text": " Y lo m\u00e1s recomendable para hacer esa intersecci\u00f3n de manera exitosa es llevar ambos conjuntos a una misma recta num\u00e9rica."}, {"start": 321.0, "end": 328.0, "text": " Entonces, dibujamos una recta que represente el conjunto de los n\u00fameros reales."}, {"start": 328.0, "end": 337.0, "text": " Por ac\u00e1 tenemos menos infinito, por ac\u00e1 m\u00e1s infinito, y all\u00ed localizaremos los valores de la variable X."}, {"start": 337.0, "end": 346.0, "text": " Marcamos el cero como elemento neutro, el que separa la zona negativa de la zona positiva."}, {"start": 346.0, "end": 350.0, "text": " Y vamos a localizar tambi\u00e9n estos n\u00fameros."}, {"start": 350.0, "end": 357.0, "text": " Comenzamos con dos novenos, que es una fracci\u00f3n propia, menor que la unidad."}, {"start": 357.0, "end": 367.0, "text": " Y luego 7 medios, m\u00e1s a la derecha, por tratarse de una fracci\u00f3n impropia, o sea, mayor que la unidad."}, {"start": 367.0, "end": 374.0, "text": " Tenemos la soluci\u00f3n 1 como el conjunto de valores de X mayores o iguales que dos novenos."}, {"start": 374.0, "end": 386.0, "text": " O sea que incluye dos novenos, se representa con bolita llena, y rayamos toda la zona que est\u00e1 hacia la derecha, o sea, hacia m\u00e1s infinito."}, {"start": 386.0, "end": 390.0, "text": " All\u00ed tenemos localizado el conjunto S1."}, {"start": 390.0, "end": 397.0, "text": " Vamos ahora con el conjunto S2, valores de X mayores que 7 medios."}, {"start": 397.0, "end": 405.0, "text": " O sea que 7 medios no lo incluye, se representa con bolita sin llenar, o bolita abierta."}, {"start": 405.0, "end": 413.0, "text": " Y rayamos lo que est\u00e1 hacia la derecha, utilizando el rayado en la otra direcci\u00f3n."}, {"start": 413.0, "end": 423.0, "text": " Donde se observe el cruce de los dos tipos de rayado, entonces all\u00ed tendremos la intersecci\u00f3n de los dos conjuntos."}, {"start": 423.0, "end": 429.0, "text": " Como se observa, es la zona comprendida entre 7 medios y m\u00e1s infinito."}, {"start": 429.0, "end": 435.0, "text": " Entonces vamos a escribir el conjunto soluci\u00f3n para este ejercicio."}, {"start": 435.0, "end": 444.0, "text": " Son los valores de X que pertenecen al intervalo que va desde 7 medios hasta m\u00e1s infinito."}, {"start": 444.0, "end": 454.0, "text": " En 7 medios tenemos bolita abierta, entonces aqu\u00ed usamos par\u00e9ntesis, y tambi\u00e9n en m\u00e1s infinito se usa par\u00e9ntesis."}, {"start": 454.0, "end": 460.0, "text": " Siempre en m\u00e1s infinito o menos infinito recordemos que se usa par\u00e9ntesis."}, {"start": 460.0, "end": 466.0, "text": " Este ser\u00e1 entonces el conjunto soluci\u00f3n para este ejercicio."}, {"start": 466.0, "end": 494.0, "text": " Y de esta manera terminamos."}]

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DESIGUALDAD LINEAL CON TRES MIEMBROS - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo resolver una desigualdad lineal con tres miembros o componentes. Tema: #Desigualdades → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEZkcrDeNKKyhTxj4A1b83M REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver esta desigualdad que es de tipo lineal porque la variable X tiene exponente 1. Observamos tres componentes, el izquierdo, el central y el derecho. La X únicamente se encuentra en el componente central. En los extremos tenemos números. Entonces poco a poco vamos a dejar la X completamente sola aquí en el componente central. Y para ello iniciamos deshaciéndonos de este número menos trece. Para lo cual debemos sumar trece a los tres componentes de la desigualdad. Tenemos entonces menos dos más trece menor que siete X menos trece más trece. Y esto menor o igual que quince más trece. Entonces hemos sumado la misma cantidad a los tres componentes de la desigualdad. Resolvemos aquí menos dos más trece nos da once. Esto menor que siete X menos trece y más trece nos da como resultado cero. Entonces es como si canceláramos estos dos números que da solamente siete X en el componente central. Y esto menor o igual que quince más trece que nos da como resultado veintiocho. En seguida vamos a deshacernos de este número siete. Siete está multiplicando con X. Por lo tanto necesitamos dividir los tres componentes de la desigualdad entre siete. Tenemos entonces once dividido entre siete. Siete X dividido entre siete y por acá veintiocho dividido entre siete. Como hemos utilizado un número positivo para dividir los tres componentes de la desigualdad. Entonces esta conserva su sentido. Estos signos no presentan ningún cambio. Finalmente resolvemos las operaciones que se puedan allí. Tenemos once séptimos en el componente izquierdo. Una fracción irreducible, o sea que no se puede simplificar más. Por acá simplificamos siete con siete y nos queda X. Y acá en el componente derecho hacemos la división. Veintiocho dividido entre siete nos da cuatro. Tenemos entonces la solución a este ejercicio escrita en forma de desigualdad. También podemos representar esta solución gráficamente. Para ello trazamos una recta que represente el conjunto de los números reales. Por acá tenemos menos infinito. Acá a la derecha más infinito. Y tenemos que en esa recta vamos a representar valores de la variable X. La que controla el ejercicio. Marcamos entonces allí el cero. Recordemos que cero es el elemento neutro. La frontera entre la zona negativa y la zona positiva. Y estos dos números son positivos. Entonces vamos a localizarlos en la zona respectiva. Marcamos el cuatro. Y enseguida vamos a rayar la zona comprendida entre esos dos números. Porque eso es lo que nos dice este conjunto. Los valores de X mayores que once séptimos. Y al mismo tiempo menores o iguales que cuatro. Entonces hace referencia a todos estos números que están en esta zona. En once séptimos tenemos bolita abierta. O sea que este valor no hace parte de este conjunto. Vemos el signo menor. Y acá con el cuatro tenemos la bolita llena. El cuatro si hace parte de este conjunto solución. Y eso sucede porque tenemos signo menor o igual. Con esa representación gráfica. Podemos dar la respuesta a este ejercicio. En forma de intervalo. Y se escribe de la siguiente manera. Los valores de X pertenecientes al intervalo que va. Desde once séptimos hasta cuatro. Once séptimos es abierto. Por eso lo representamos con paréntesis. Y en cuatro será cerrado. Por eso se utiliza corchete. Entonces esta es la otra manera de dar la respuesta a este ejercicio. Tenemos la forma de desigualdad. La forma gráfica. Y la forma de intervalo.

[{"start": 0.0, "end": 9.8, "text": " Vamos a resolver esta desigualdad que es de tipo lineal porque la variable X tiene exponente 1."}, {"start": 9.8, "end": 15.200000000000001, "text": " Observamos tres componentes, el izquierdo, el central y el derecho."}, {"start": 15.200000000000001, "end": 20.0, "text": " La X \u00fanicamente se encuentra en el componente central."}, {"start": 20.0, "end": 22.400000000000002, "text": " En los extremos tenemos n\u00fameros."}, {"start": 22.400000000000002, "end": 29.8, "text": " Entonces poco a poco vamos a dejar la X completamente sola aqu\u00ed en el componente central."}, {"start": 29.8, "end": 35.6, "text": " Y para ello iniciamos deshaci\u00e9ndonos de este n\u00famero menos trece."}, {"start": 35.6, "end": 42.2, "text": " Para lo cual debemos sumar trece a los tres componentes de la desigualdad."}, {"start": 42.2, "end": 52.2, "text": " Tenemos entonces menos dos m\u00e1s trece menor que siete X menos trece m\u00e1s trece."}, {"start": 52.2, "end": 56.8, "text": " Y esto menor o igual que quince m\u00e1s trece."}, {"start": 56.8, "end": 64.0, "text": " Entonces hemos sumado la misma cantidad a los tres componentes de la desigualdad."}, {"start": 64.0, "end": 69.39999999999999, "text": " Resolvemos aqu\u00ed menos dos m\u00e1s trece nos da once."}, {"start": 69.39999999999999, "end": 77.4, "text": " Esto menor que siete X menos trece y m\u00e1s trece nos da como resultado cero."}, {"start": 77.4, "end": 86.2, "text": " Entonces es como si cancel\u00e1ramos estos dos n\u00fameros que da solamente siete X en el componente central."}, {"start": 86.2, "end": 92.60000000000001, "text": " Y esto menor o igual que quince m\u00e1s trece que nos da como resultado veintiocho."}, {"start": 92.60000000000001, "end": 96.2, "text": " En seguida vamos a deshacernos de este n\u00famero siete."}, {"start": 96.2, "end": 98.4, "text": " Siete est\u00e1 multiplicando con X."}, {"start": 98.4, "end": 104.60000000000001, "text": " Por lo tanto necesitamos dividir los tres componentes de la desigualdad entre siete."}, {"start": 104.60000000000001, "end": 110.0, "text": " Tenemos entonces once dividido entre siete."}, {"start": 110.0, "end": 116.8, "text": " Siete X dividido entre siete y por ac\u00e1 veintiocho dividido entre siete."}, {"start": 116.8, "end": 123.2, "text": " Como hemos utilizado un n\u00famero positivo para dividir los tres componentes de la desigualdad."}, {"start": 123.2, "end": 126.4, "text": " Entonces esta conserva su sentido."}, {"start": 126.4, "end": 130.4, "text": " Estos signos no presentan ning\u00fan cambio."}, {"start": 130.4, "end": 135.6, "text": " Finalmente resolvemos las operaciones que se puedan all\u00ed."}, {"start": 135.6, "end": 139.0, "text": " Tenemos once s\u00e9ptimos en el componente izquierdo."}, {"start": 139.0, "end": 143.6, "text": " Una fracci\u00f3n irreducible, o sea que no se puede simplificar m\u00e1s."}, {"start": 143.6, "end": 148.6, "text": " Por ac\u00e1 simplificamos siete con siete y nos queda X."}, {"start": 148.6, "end": 152.8, "text": " Y ac\u00e1 en el componente derecho hacemos la divisi\u00f3n."}, {"start": 152.8, "end": 157.8, "text": " Veintiocho dividido entre siete nos da cuatro."}, {"start": 157.8, "end": 167.8, "text": " Tenemos entonces la soluci\u00f3n a este ejercicio escrita en forma de desigualdad."}, {"start": 167.8, "end": 173.0, "text": " Tambi\u00e9n podemos representar esta soluci\u00f3n gr\u00e1ficamente."}, {"start": 173.0, "end": 180.20000000000002, "text": " Para ello trazamos una recta que represente el conjunto de los n\u00fameros reales."}, {"start": 180.20000000000002, "end": 183.0, "text": " Por ac\u00e1 tenemos menos infinito."}, {"start": 183.0, "end": 185.60000000000002, "text": " Ac\u00e1 a la derecha m\u00e1s infinito."}, {"start": 185.60000000000002, "end": 191.20000000000002, "text": " Y tenemos que en esa recta vamos a representar valores de la variable X."}, {"start": 191.20000000000002, "end": 193.60000000000002, "text": " La que controla el ejercicio."}, {"start": 193.60000000000002, "end": 196.60000000000002, "text": " Marcamos entonces all\u00ed el cero."}, {"start": 196.6, "end": 200.0, "text": " Recordemos que cero es el elemento neutro."}, {"start": 200.0, "end": 205.2, "text": " La frontera entre la zona negativa y la zona positiva."}, {"start": 205.2, "end": 207.79999999999998, "text": " Y estos dos n\u00fameros son positivos."}, {"start": 207.79999999999998, "end": 213.6, "text": " Entonces vamos a localizarlos en la zona respectiva."}, {"start": 213.6, "end": 215.79999999999998, "text": " Marcamos el cuatro."}, {"start": 215.79999999999998, "end": 221.2, "text": " Y enseguida vamos a rayar la zona comprendida entre esos dos n\u00fameros."}, {"start": 221.2, "end": 224.6, "text": " Porque eso es lo que nos dice este conjunto."}, {"start": 224.6, "end": 228.6, "text": " Los valores de X mayores que once s\u00e9ptimos."}, {"start": 228.6, "end": 232.79999999999998, "text": " Y al mismo tiempo menores o iguales que cuatro."}, {"start": 232.79999999999998, "end": 238.4, "text": " Entonces hace referencia a todos estos n\u00fameros que est\u00e1n en esta zona."}, {"start": 238.4, "end": 242.2, "text": " En once s\u00e9ptimos tenemos bolita abierta."}, {"start": 242.2, "end": 246.2, "text": " O sea que este valor no hace parte de este conjunto."}, {"start": 246.2, "end": 248.6, "text": " Vemos el signo menor."}, {"start": 248.6, "end": 252.6, "text": " Y ac\u00e1 con el cuatro tenemos la bolita llena."}, {"start": 252.6, "end": 256.6, "text": " El cuatro si hace parte de este conjunto soluci\u00f3n."}, {"start": 256.6, "end": 260.2, "text": " Y eso sucede porque tenemos signo menor o igual."}, {"start": 260.2, "end": 262.6, "text": " Con esa representaci\u00f3n gr\u00e1fica."}, {"start": 262.6, "end": 266.4, "text": " Podemos dar la respuesta a este ejercicio."}, {"start": 266.4, "end": 268.6, "text": " En forma de intervalo."}, {"start": 268.6, "end": 271.0, "text": " Y se escribe de la siguiente manera."}, {"start": 271.0, "end": 275.2, "text": " Los valores de X pertenecientes al intervalo que va."}, {"start": 275.2, "end": 280.2, "text": " Desde once s\u00e9ptimos hasta cuatro."}, {"start": 280.2, "end": 283.2, "text": " Once s\u00e9ptimos es abierto."}, {"start": 283.2, "end": 286.2, "text": " Por eso lo representamos con par\u00e9ntesis."}, {"start": 286.2, "end": 289.8, "text": " Y en cuatro ser\u00e1 cerrado."}, {"start": 289.8, "end": 292.8, "text": " Por eso se utiliza corchete."}, {"start": 292.8, "end": 299.8, "text": " Entonces esta es la otra manera de dar la respuesta a este ejercicio."}, {"start": 299.8, "end": 302.59999999999997, "text": " Tenemos la forma de desigualdad."}, {"start": 302.59999999999997, "end": 304.2, "text": " La forma gr\u00e1fica."}, {"start": 304.2, "end": 311.2, "text": " Y la forma de intervalo."}]

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DEMOSTRACIÓN DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo demostrar una identidad trigonométrica. Tema: #IdentidadesTrigonometricas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwGAmMC3k5sI2VGHFnVdlLif REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a demostrar esta identidad trigonométrica. Para ello vamos a trabajar el lado más complicado, el que tiene más elementos para operar y de allí vamos a llegar a la expresión que tenemos en el lado derecho que es mucho más simple. Comenzamos entonces anotando la expresión del lado izquierdo. Y a continuación vamos a cambiar tangente y cotangente en términos de seno y coseno. Recordemos que tangente de X equivale a seno de X sobre coseno de X y cotangente de X equivale a coseno de X sobre seno de X. Estamos utilizando las identidades básicas tangente igual a seno sobre coseno y cotangente igual a coseno sobre seno. En la parte de abajo también hacemos esos cambios. Entonces tangente de X que es seno de X sobre coseno de X más cotangente de X que será coseno de X sobre seno de X. Ahora vamos a resolver las operaciones que tenemos encima y debajo de la línea principal. Se observa una resta y una suma de fracciones heterogeneas, o sea fracciones con distinto denominador. Vamos a recordar cómo se resuelve ese tipo de operación. Entonces si tenemos la suma o resta de dos fracciones con distinto denominador hacemos lo siguiente. Abajo B por D, en la parte superior tenemos A por D más o menos B por C. Esto es lo que se conoce como el método de la carita feliz. Abajo estos dos, B por D, arriba A por D y luego B por C, conservando el signo que tengamos entre las dos fracciones, bien sea suma o resta. Entonces se le llama método de la carita feliz para efectuar una resta o una suma de fracciones heterogeneas. Tenemos entonces línea principal siempre a la altura del signo igual y en la parte superior trazamos otra línea un poco más corta y aplicamos este método. Abajo cos x por sen x, nos queda cos x por sen, arriba sen x por sen x, que será sen al cuadrado de x menos cos x por cos x que es cos al cuadrado de x. Y en la parte de abajo hacemos el mismo procedimiento, este que mostramos acá, abajo cos x por sen x, nos queda cos x por sen x, arriba sen x por sen x, nos da sen al cuadrado de x más cos x por cos x que es cos al cuadrado de x. En esta situación se puede aplicar lo siguiente, cuando tenemos una fracción A sobre C y todo eso sobre otra fracción B sobre C, es decir dos fracciones que tienen el mismo denominador, entonces podemos cancelar esos denominadores y nos queda simplemente A sobre B, entonces podemos aplicar ese truco en esta situación. Vemos que los dos denominadores son exactamente iguales, tenemos cos x por sen x en el denominador de la parte de arriba y también en la parte de abajo, por lo tanto podemos cancelarlos apoyándonos en esta propiedad. Y entonces nos queda lo siguiente, sen x al cuadrado de x menos cos x al cuadrado de x en el numerador y sen x al cuadrado de x más cos x al cuadrado de x en el denominador. Aquí también podemos hacer uso de una identidad trigonométrica, esta que es la fundamental, tenemos que sen al cuadrado de un ángulo x más cos al cuadrado de ese mismo ángulo x es igual a 1, es la identidad fundamental de la trigonometría. Entonces todo este denominador se convierte en 1 y entonces nos queda únicamente la expresión del numerador, sen al cuadrado de x menos cos al cuadrado de x. De nuevo utilizamos la identidad fundamental de la trigonometría, sen al cuadrado de x más cos al cuadrado de x igual a 1 y entonces tenemos lo siguiente, esa expresión tiene sen al cuadrado y cos al cuadrado, pero necesitamos llegar a una expresión que contiene únicamente sen al cuadrado de x. Por lo tanto debemos tratar de cambiar cos al cuadrado de x en términos de sen al cuadrado de x y eso lo conseguimos utilizando la identidad fundamental de la trigonometría. Después despejamos de allí lo que es cos al cuadrado de x, para ello pasamos este componente que está positivo, que está sumando al lado derecho, entonces llega a restar, nos queda que cos al cuadrado de x es igual a 1 menos sen al cuadrado de x. Entonces esta expresión, vamos a seguir por acá, nos queda de la siguiente manera, sen al cuadrado de x se deja tal como está, menos, abrimos un paréntesis y reemplazamos el cos al cuadrado de x por esta expresión, entonces 1 menos sen al cuadrado de x. Lo que hacemos ahora es destruir ese paréntesis, entonces tenemos sen al cuadrado de x y aquí el signo negativo se distribuye, en realidad aplicamos la ley de los signos, tenemos menos por más es menos 1 y menos por menos nos da más sen al cuadrado de x, de esa manera hemos destruido el paréntesis. Y por último vamos a operar términos semejantes, se trata de estos dos, entonces tenemos que eso será igual a 2 sen al cuadrado de x, una suma de términos semejantes y esto menos 1. Y como se observa hemos llegado a la expresión que tenemos en el lado derecho, entonces con esto decimos que esta igualdad es completamente cierta, hemos verificado la identidad trigonométrica.

[{"start": 0.0, "end": 19.0, "text": " Vamos a demostrar esta identidad trigonom\u00e9trica. Para ello vamos a trabajar el lado m\u00e1s complicado, el que tiene m\u00e1s elementos para operar y de all\u00ed vamos a llegar a la expresi\u00f3n que tenemos en el lado derecho que es mucho m\u00e1s simple."}, {"start": 19.0, "end": 25.0, "text": " Comenzamos entonces anotando la expresi\u00f3n del lado izquierdo."}, {"start": 25.0, "end": 32.0, "text": " Y a continuaci\u00f3n vamos a cambiar tangente y cotangente en t\u00e9rminos de seno y coseno."}, {"start": 32.0, "end": 47.0, "text": " Recordemos que tangente de X equivale a seno de X sobre coseno de X y cotangente de X equivale a coseno de X sobre seno de X."}, {"start": 47.0, "end": 56.0, "text": " Estamos utilizando las identidades b\u00e1sicas tangente igual a seno sobre coseno y cotangente igual a coseno sobre seno."}, {"start": 56.0, "end": 60.0, "text": " En la parte de abajo tambi\u00e9n hacemos esos cambios."}, {"start": 60.0, "end": 73.0, "text": " Entonces tangente de X que es seno de X sobre coseno de X m\u00e1s cotangente de X que ser\u00e1 coseno de X sobre seno de X."}, {"start": 73.0, "end": 80.0, "text": " Ahora vamos a resolver las operaciones que tenemos encima y debajo de la l\u00ednea principal."}, {"start": 80.0, "end": 88.0, "text": " Se observa una resta y una suma de fracciones heterogeneas, o sea fracciones con distinto denominador."}, {"start": 88.0, "end": 93.0, "text": " Vamos a recordar c\u00f3mo se resuelve ese tipo de operaci\u00f3n."}, {"start": 93.0, "end": 103.0, "text": " Entonces si tenemos la suma o resta de dos fracciones con distinto denominador hacemos lo siguiente."}, {"start": 103.0, "end": 113.0, "text": " Abajo B por D, en la parte superior tenemos A por D m\u00e1s o menos B por C."}, {"start": 113.0, "end": 118.0, "text": " Esto es lo que se conoce como el m\u00e9todo de la carita feliz."}, {"start": 118.0, "end": 131.0, "text": " Abajo estos dos, B por D, arriba A por D y luego B por C, conservando el signo que tengamos entre las dos fracciones, bien sea suma o resta."}, {"start": 131.0, "end": 140.0, "text": " Entonces se le llama m\u00e9todo de la carita feliz para efectuar una resta o una suma de fracciones heterogeneas."}, {"start": 140.0, "end": 152.0, "text": " Tenemos entonces l\u00ednea principal siempre a la altura del signo igual y en la parte superior trazamos otra l\u00ednea un poco m\u00e1s corta y aplicamos este m\u00e9todo."}, {"start": 152.0, "end": 172.0, "text": " Abajo cos x por sen x, nos queda cos x por sen, arriba sen x por sen x, que ser\u00e1 sen al cuadrado de x menos cos x por cos x que es cos al cuadrado de x."}, {"start": 172.0, "end": 199.0, "text": " Y en la parte de abajo hacemos el mismo procedimiento, este que mostramos ac\u00e1, abajo cos x por sen x, nos queda cos x por sen x, arriba sen x por sen x, nos da sen al cuadrado de x m\u00e1s cos x por cos x que es cos al cuadrado de x."}, {"start": 199.0, "end": 216.0, "text": " En esta situaci\u00f3n se puede aplicar lo siguiente, cuando tenemos una fracci\u00f3n A sobre C y todo eso sobre otra fracci\u00f3n B sobre C, es decir dos fracciones que tienen el mismo denominador,"}, {"start": 216.0, "end": 231.0, "text": " entonces podemos cancelar esos denominadores y nos queda simplemente A sobre B, entonces podemos aplicar ese truco en esta situaci\u00f3n."}, {"start": 231.0, "end": 248.0, "text": " Vemos que los dos denominadores son exactamente iguales, tenemos cos x por sen x en el denominador de la parte de arriba y tambi\u00e9n en la parte de abajo, por lo tanto podemos cancelarlos apoy\u00e1ndonos en esta propiedad."}, {"start": 248.0, "end": 267.0, "text": " Y entonces nos queda lo siguiente, sen x al cuadrado de x menos cos x al cuadrado de x en el numerador y sen x al cuadrado de x m\u00e1s cos x al cuadrado de x en el denominador."}, {"start": 267.0, "end": 290.0, "text": " Aqu\u00ed tambi\u00e9n podemos hacer uso de una identidad trigonom\u00e9trica, esta que es la fundamental, tenemos que sen al cuadrado de un \u00e1ngulo x m\u00e1s cos al cuadrado de ese mismo \u00e1ngulo x es igual a 1, es la identidad fundamental de la trigonometr\u00eda."}, {"start": 290.0, "end": 308.0, "text": " Entonces todo este denominador se convierte en 1 y entonces nos queda \u00fanicamente la expresi\u00f3n del numerador, sen al cuadrado de x menos cos al cuadrado de x."}, {"start": 308.0, "end": 332.0, "text": " De nuevo utilizamos la identidad fundamental de la trigonometr\u00eda, sen al cuadrado de x m\u00e1s cos al cuadrado de x igual a 1 y entonces tenemos lo siguiente, esa expresi\u00f3n tiene sen al cuadrado y cos al cuadrado, pero necesitamos llegar a una expresi\u00f3n que contiene \u00fanicamente sen al cuadrado de x."}, {"start": 332.0, "end": 345.0, "text": " Por lo tanto debemos tratar de cambiar cos al cuadrado de x en t\u00e9rminos de sen al cuadrado de x y eso lo conseguimos utilizando la identidad fundamental de la trigonometr\u00eda."}, {"start": 345.0, "end": 366.0, "text": " Despu\u00e9s despejamos de all\u00ed lo que es cos al cuadrado de x, para ello pasamos este componente que est\u00e1 positivo, que est\u00e1 sumando al lado derecho, entonces llega a restar, nos queda que cos al cuadrado de x es igual a 1 menos sen al cuadrado de x."}, {"start": 366.0, "end": 389.0, "text": " Entonces esta expresi\u00f3n, vamos a seguir por ac\u00e1, nos queda de la siguiente manera, sen al cuadrado de x se deja tal como est\u00e1, menos, abrimos un par\u00e9ntesis y reemplazamos el cos al cuadrado de x por esta expresi\u00f3n, entonces 1 menos sen al cuadrado de x."}, {"start": 389.0, "end": 416.0, "text": " Lo que hacemos ahora es destruir ese par\u00e9ntesis, entonces tenemos sen al cuadrado de x y aqu\u00ed el signo negativo se distribuye, en realidad aplicamos la ley de los signos, tenemos menos por m\u00e1s es menos 1 y menos por menos nos da m\u00e1s sen al cuadrado de x, de esa manera hemos destruido el par\u00e9ntesis."}, {"start": 416.0, "end": 434.0, "text": " Y por \u00faltimo vamos a operar t\u00e9rminos semejantes, se trata de estos dos, entonces tenemos que eso ser\u00e1 igual a 2 sen al cuadrado de x, una suma de t\u00e9rminos semejantes y esto menos 1."}, {"start": 434.0, "end": 454.0, "text": " Y como se observa hemos llegado a la expresi\u00f3n que tenemos en el lado derecho, entonces con esto decimos que esta igualdad es completamente cierta, hemos verificado la identidad trigonom\u00e9trica."}]

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DERIVACIÓN DE FUNCIONES - Ejercicio 17

#julioprofe explica cómo hallar la #derivada del logaritmo de un producto. Tema: #Derivadas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwF9r-Y_Gpuq45VP0qnJIJL1 REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Para esta función vamos a obtener su derivada, representada como dy dx. Y vamos a comenzar por reescribir esa expresión. Se observa el logaritmo natural de un producto. Entonces allí podemos utilizar una propiedad de los logaritmos. Cuando tenemos el logaritmo natural de un producto A por B, esto es igual al logaritmo natural de A más logaritmo natural de B. Es decir, el logaritmo de un producto se convierte en una suma de logaritmos. Entonces vamos a reescribir la función. Nos queda y es igual al logaritmo natural de seno dx más logaritmo natural de coseno dx. Aplicando esta propiedad. Ahora sí podemos iniciar el proceso de derivación. Entonces la derivada de y con respecto a la variable x es lo que se denota como dy dx. O sea, lo que nos están pidiendo. Observamos una suma, por lo tanto derivamos cada uno de los componentes. Y en ambos observamos el logaritmo natural de unas expresiones. Entonces vamos a recordar cómo se deriva esa situación. Si tenemos logaritmo natural de la manzanita, en este caso la manzanita está representando por ejemplo el seno dx o el coseno dx. Entonces la derivada de eso será una línea. Abajo escribimos la manzanita sin derivar. Y en la parte de arriba escribimos la derivada de la manzanita. Entonces vamos a aplicar esta regla para derivar estos dos logaritmos. Tendremos entonces para el primer caso, trazamos la línea. En la parte de abajo escribimos la manzanita que sería seno dx. Y en la parte de arriba tenemos la derivada de la manzanita. Vamos a indicarla en esta ocasión y en el próximo paso la resolvemos. Más aquí lo mismo, tenemos en la parte de abajo coseno dx, o sea la manzanita. Y en la parte de arriba la derivada de lo que escribimos en la parte de abajo. O sea lo que aquí tenemos como derivada de la manzanita. Vamos a continuar por acá donde tenemos que dy dx será igual a derivada del seno dx es coseno dx. Y en el denominador tenemos seno dx. Más vamos a la siguiente fracción. En el numerador tenemos la derivada de coseno dx que es menos el seno dx. Y en la parte de abajo tenemos coseno dx. Y finalmente, para terminar hacemos lo siguiente. Utilizamos las identidades trigonométricas. Coseno dx sobre seno dx es cotangente dx. Aquí aplicamos la ley de los signos, menos con más nos da menos. Y seno dx sobre coseno dx corresponde a tangente dx. Y de esa manera llegamos a la respuesta. Esta será entonces la derivada de esta función que inicialmente nos daban.

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REGLAS PARA DERIVAR FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

#julioprofe expone las reglas para derivar funciones trigonométricas inversas, con ejemplos de las mismas. Tema: #Derivadas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwF9r-Y_Gpuq45VP0qnJIJL1 REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a ver las derivadas de las funciones trigonométricas inversas. Comencemos con la función y igual a seno a la menos uno de x, que también puede escribirse como arco seno de x. Puede estar presentada de cualquiera de esas dos maneras. En ese caso la derivada con respecto a x de esa función será uno sobre la raíz cuadrada de uno menos x al cuadrado. Para situaciones más complejas, cuando no tengamos aquí una simple x, sino algo un poco más complicado por así decirlo, entonces utilizamos la regla de la cadena. Vamos a cambiar la x por una manzanita que va a representar la expresión en términos de x. Entonces la derivada de seno a la menos uno de manzanita, o también podemos encontrarla como arco seno de la manzanita, entonces la derivada de todo eso será siguiendo este modelo uno sobre la raíz cuadrada de uno menos la manzanita al cuadrado, y esto multiplicado por la derivada interna, o sea la derivada de la manzanita. Simplemente podemos aquí multiplicar numeradores uno por manzanita prima, y entonces esto se ubica aquí en el numerador. Entonces vamos a mejorar esta expresión ubicando aquí la derivada de la manzanita, o sea la derivada interna en la parte de arriba. Entonces esta la utilizamos cuando tenemos una simple x, nos da esta expresión, y esta la usamos cuando aquí aparece una expresión en términos de x, que está representada por la manzanita. Es entonces lo que se llama la regla de la cadena. Ahora en el caso que tengamos coseno a la menos uno de x, también expresado como arco coseno de x, entonces la derivada será esta misma expresión, pero con signo negativo. Es prácticamente la misma que teníamos con seno a la menos uno de x, pero ahora con signo negativo. Y acá la misma situación, tendríamos coseno a la menos uno de la manzanita, o arco coseno de la manzanita, y acá tendríamos esta expresión con signo negativo. Para el caso de la función y igual a tangente a la menos uno de x, que también podemos encontrarla como arco tangente de x, la derivada con respecto a x es igual a uno sobre uno más x al cuadrado. Y de igual manera, si en lugar de x tenemos una expresión un poco más compleja, que la vamos a representar con la manzanita, entonces derivada de tangente a la menos uno de manzanita, que también podría ser derivada de arco tangente de manzanita, entonces tendremos la siguiente expresión. Nos apoyamos en esto y tendremos uno sobre uno más la manzanita elevada al cuadrado, y esto multiplicado por la derivada interna, o sea la derivada de la manzanita. Pero de igual forma esto puede multiplicar con uno y situarse aquí en el numerador. Entonces vamos a escribir la expresión más sencilla, localizando aquí en el numerador la derivada interna, o sea la derivada de la manzanita. Para el caso de la función cotangente a la menos uno de x, que aquí también la encontraríamos como arco cotangente de x, entonces tendremos esta misma expresión pero con signo menos, con signo negativo. Aquí también podemos hacer el cambio y entonces tendremos la derivada de cotangente a la menos uno de la manzanita, o arco cotangente de la manzanita, igual a esta expresión con signo negativo. Finalmente para el caso de la función y igual a secante a la menos uno de x, que también puede encontrarse como arco secante de x, entonces la derivada de esa función con respecto a x será igual a lo siguiente. En el numerador tenemos uno y aquí en el denominador escribimos x por la raíz cuadrada de x al cuadrado menos uno. Entonces si tenemos manzanita en lugar de la x, decimos derivada de secante a la menos uno de manzanita, que también sería la derivada de arco secante de manzanita, entonces vamos a construir el modelo apoyándonos en esta fórmula. Entonces tendríamos en la parte de abajo la manzanita por la raíz cuadrada de manzanita al cuadrado menos uno. Aquí en el numerador tendríamos el uno y esto multiplicado por la derivada interna, que es la derivada de la manzanita, pero otra vez esto puede situarse aquí en el numerador, entonces allí está la derivada interna, quitamos esto de aquí y de esa manera tenemos la derivada para el caso de la función inversa de la secante. Por último, si aquí tenemos cosecante, entonces pasa lo mismo que hemos venido observando, es esta expresión pero con signo negativo, lo mismo tendríamos acá en el caso de la regla de la cadena. Entonces aquí la derivada de cosecante a la menos uno de manzanita o la derivada de arco cosecante de manzanita será igual a esta expresión con signo negativo. Veamos el primer ejemplo, tenemos una función conformada por un producto, tenemos x al cubo por arco seno de x. Entonces vamos a obtener la derivada de esa función y para empezar vamos a utilizar la regla del producto, la recordamos entonces, derivada de un producto a por b es igual a la derivada del primer componente por el segundo sin derivar más el primero sin derivar por la derivada del segundo componente. Entonces vamos a proceder con la derivación de esta función. Tenemos entonces que derivada de y con respecto a x es igual a derivada del primer componente, o sea derivada de x al cubo que es 3x al cuadrado por el segundo componente sin derivar que sería arco seno de x. Y esto más el primer componente sin derivar que es x al cubo por la derivada del segundo componente, o sea la derivada de arco seno de x. Y recordemos que eso es uno sobre la raíz cuadrada de uno menos x al cuadrado. Vemos entonces que se puede organizar allí, realmente aquí no podemos hacer nada más, en esta parte podemos multiplicar x al cubo con uno, es decir situar esto aquí en el numerador. Entonces vamos a reescribir esta parte de la expresión, tenemos entonces en el numerador x al cubo y en el denominador la raíz cuadrada de uno menos x al cuadrado. Y de esa manera tenemos la respuesta, esta expresión es la derivada de esta función. En el segundo ejemplo vamos a derivar esa función que nos dan, vamos a obtener de y de x y para ello vamos a utilizar el modelo que vimos correspondiente a coseno a la menos uno de la manzanita. En este caso la manzanita es x al cuadrado, entonces la derivada de esto recordemos que es igual a la raíz cuadrada, aquí en el denominador, raíz cuadrada de uno menos la manzanita al cuadrado. Y aquí en la parte de arriba teníamos la derivada interna, o sea la derivada de la manzanita, pero esto con signo negativo, entonces procedemos a obtener la derivada de esta función. Se va a llamar de y de x y vamos a construirla de acuerdo con este modelo, entonces identificamos la manzanita que es x al cuadrado, entonces aquí en la parte de abajo tendremos uno menos la manzanita al cuadrado. O sea x al cuadrado y todo esto otra vez al cuadrado. Y aquí en la parte de arriba tenemos el signo negativo y la derivada de la manzanita, o sea la derivada de x al cuadrado que sería 2x. Para finalizar la respuesta entonces vamos a trasladar el menos aquí en toda la mitad junto con la línea de la fracción, en la parte de arriba dejamos 2x y en la parte de abajo dentro de la raíz tenemos uno menos x a la 4. Recordemos que aquí se multiplican los exponentes y esta expresión constituye la respuesta, es la derivada de esta función. Vamos a obtener en el tercer ejemplo la derivada de esta función, vamos a obtener de y de x. Entonces para comenzar tenemos aquí una potencia, entonces debemos utilizar la regla de la cadena para potencias, el modelo dice así, si tenemos manzanita a la n, en este caso la manzanita sería tangente a la menos 1 de x y n sería 4. Entonces la derivada de esto será n por la manzanita a la n menos 1 y esto multiplicado por la derivada interna, o sea la derivada de la manzanita. Entonces con base en esta propiedad vamos a derivar esta función, tenemos entonces lo siguiente, aparece de y de x por primera vez, o sea la derivada y vamos a seguir este modelo. Abajamos el 4 que multiplica a la manzanita tangente a la menos 1 de x, todo esto a la 4 menos 1, o sea 3 y eso multiplicado por la derivada interna, o sea la derivada de la manzanita. Vamos a indicarla y en el siguiente paso la desarrollamos. Vamos a dejar esta parte de la expresión tal como está y vamos aquí a cambiar tangente a la menos 1 de x por su correspondiente derivada y eso nos dio la expresión 1 sobre 1 más x al cuadrado. De esa manera tenemos ya todo derivado, lo que hacemos para finalizar es polir un poco la expresión para que quede de una manera más comprimida. Tendríamos en la parte de arriba 4 por todo esto por 1, o sea 4 que multiplica a tangente a la menos 1 de x y esto elevado al cubo. Y en la parte de abajo tendríamos únicamente la expresión 1 más x al cuadrado. De esa manera llegamos a la respuesta. Esta expresión será la derivada de esta función. En el cuarto ejemplo vamos a obtener la derivada de esta función, vamos a determinar de y de x. Entonces allí tenemos la función inversa de la cotangente, entonces utilizamos el siguiente modelo, arco cotangente de manzanita, la derivada de todo eso es igual a una fracción en la parte de abajo 1 más la manzanita al cuadrado. Y en la parte de arriba la derivada de la manzanita, o sea la derivada interna con signo negativo. Entonces vamos a construir la derivada de esa función utilizando este modelo. En este caso la manzanita es raíz cuadrada de x. Entonces veamos cómo nos queda la derivada. Tenemos de y de x será igual a una fracción. En la parte de abajo tenemos 1 más la manzanita al cuadrado, o sea 1 más raíz cuadrada de x y esto al cuadrado. Y en la parte de arriba tenemos el signo negativo y la derivada de la manzanita, o sea la derivada de la raíz cuadrada de x. Veamos entonces esto cómo nos queda. Aquí aparte vamos a hacer la derivada de raíz cuadrada de x. Recordemos que raíz cuadrada de x es lo mismo que tener x a la un medio. Entonces si esto lo derivamos tenemos un medio de x a la menos un medio. Recordemos que a un medio se le resta 1 y por eso nos queda menos un medio. Y esto acomodando la expresión nos queda 1 sobre 2 x a la un medio. Esto que está negativo pasa al denominador con exponente positivo y esto se puede escribir como 1 sobre 2 raíz de x. Entonces la derivada de esta expresión será esta que tenemos aquí. Y eso es lo que vamos a escribir aquí en el numerador. Vamos entonces a cambiar esa expresión por el resultado obtenido. Tenemos entonces aquí 1 sobre 2 raíz de x. Vamos a acomodar este signo menos un poco más arriba. Eso lo podemos reescribir de la siguiente manera. Arriba la misma fracción 1 sobre 2 raíz de x que es negativa. Y aquí en la parte de abajo tenemos 1 más x. Este cuadrado destruye la raíz cuadrada y deja libre la x. Y a esta expresión le podemos escribir denominador 1 para que tengamos fracción sobre fracción. Y allí aplicamos lo que es producto de extremos y producto de medios. O lo que se conoce también como ley de la oreja. Estos dos arriba y estos dos multiplicados en la parte de abajo. También aplicamos ley de los signos negativo con positivo. Nos da al final signo negativo. En la parte de arriba tenemos 1 por 1 que es 1. Y en la parte de abajo tenemos 2 raíz de x que multiplica a la expresión 1 más x. Entonces la protegemos con paréntesis. Y esta expresión, esto que acabamos de obtener será la respuesta, o sea la derivada de esa función. En el quinto ejemplo tenemos esta función y vamos a determinar su derivada. Observamos secante a la menos 1 de logaritmo natural de x. Entonces esto va a representar la manzanita. Recordemos el modelo, derivada de secante a la menos 1 de manzanita será igual a una fracción. En la parte de abajo tenemos manzanita por la raíz cuadrada de manzanita al cuadrado menos 1. Y en la parte de arriba tenemos la derivada interna, o sea lo que se llama la derivada de la manzanita. Entonces con base en este modelo vamos a obtener la derivada de esta función. Entonces derivamos y aparece de y de x por primera vez. Entonces seguimos estas instrucciones. Trazamos la línea de la fracción, en la parte de abajo tenemos la manzanita que es logaritmo natural de x. Eso multiplicado por la raíz cuadrada de la manzanita al cuadrado. O sea, entre paréntesis logaritmo natural de x cerramos eso al cuadrado menos 1. Y aquí en el numerador tenemos la derivada de la manzanita, o sea la derivada del logaritmo natural de x. Que es 1 sobre x. Entonces allí tenemos ya la expresión para la derivada. Pero podemos mejorar la presentación. Arriba tenemos una fracción, abajo podemos escribirle a todo esto denominador 1. Para que apliquemos la ley de la oreja. Entonces tenemos en la parte de arriba el producto de 1 por 1 que es 1. Y en la parte de abajo x que multiplica al logaritmo natural de x y a toda esa raíz cuadrada. Que la podemos acomodar de la siguiente manera. Logaritmo natural de x todo eso al cuadrado puede escribirse como logaritmo natural al cuadrado de x. Es otra forma de denotar ese cuadrado del logaritmo. Y todo esto menos 1. Esta expresión constituye la respuesta. Es la derivada de esta función. En el sexto ejemplo vamos a encontrar la derivada de esa función. Vamos a determinar a que es igual de y de x. Y observamos la función inversa de la cosecante. Y aquí tenemos una expresión más compleja que una simple x. Tenemos pi por x. Entonces esto representará la manzanita. Recordemos el modelo. Arco cosecante de manzanita. Entonces la derivada para esta situación es igual a una fracción. En la parte de abajo tenemos manzanita por la raíz cuadrada de manzanita al cuadrado menos 1. Y en la parte de arriba tenemos la derivada de la manzanita. O sea la derivada interna con signo negativo. Entonces vamos a construir la derivada siguiendo este modelo. Tenemos entonces la derivada. Que se expresa como de y de x. Y seguimos las instrucciones. Trazamos entonces una línea para la fracción. Abajo tenemos la manzanita que sería pi x. Eso multiplicado por la raíz cuadrada de manzanita al cuadrado. O sea pi x todo esto al cuadrado menos 1. Todo esto nos queda dentro de la raíz cuadrada. Y en la parte de arriba tenemos el signo negativo y la derivada de la manzanita. O sea la derivada de pi por x. Eso nos da como resultado pi. Recordemos que la derivada en la constante por x es la constante. En ese caso pi. Y finalmente simplificamos lo que sea posible. En ese caso podemos eliminar el número pi que está en la parte de arriba y también en la parte de abajo. El signo menos lo podemos reubicar a la izquierda de la línea de la fracción. En la parte de arriba tendremos el número 1. Y abajo x por la raíz cuadrada de... Aquí podemos desarrollar esta potencia. Recordemos que el exponente afecta a los dos componentes. Entonces tendremos pi al cuadrado, x al cuadrado y todo eso menos 1. Y esta expresión constituye la respuesta a este ejemplo. Es la derivada de esta función.

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Vamos a cambiar la x por una manzanita que va a representar la expresi\u00f3n en t\u00e9rminos de x."}, {"start": 54.24, "end": 66.48, "text": " Entonces la derivada de seno a la menos uno de manzanita, o tambi\u00e9n podemos encontrarla como arco seno de la manzanita,"}, {"start": 66.48, "end": 81.12, "text": " entonces la derivada de todo eso ser\u00e1 siguiendo este modelo uno sobre la ra\u00edz cuadrada de uno menos la manzanita al cuadrado,"}, {"start": 81.12, "end": 87.44, "text": " y esto multiplicado por la derivada interna, o sea la derivada de la manzanita."}, {"start": 87.44, "end": 96.64, "text": " Simplemente podemos aqu\u00ed multiplicar numeradores uno por manzanita prima, y entonces esto se ubica aqu\u00ed en el numerador."}, {"start": 96.64, "end": 107.52, "text": " Entonces vamos a mejorar esta expresi\u00f3n ubicando aqu\u00ed la derivada de la manzanita, o sea la derivada interna en la parte de arriba."}, {"start": 107.52, "end": 119.28, "text": " Entonces esta la utilizamos cuando tenemos una simple x, nos da esta expresi\u00f3n, y esta la usamos cuando aqu\u00ed aparece una expresi\u00f3n en t\u00e9rminos de x,"}, {"start": 119.28, "end": 126.0, "text": " que est\u00e1 representada por la manzanita. Es entonces lo que se llama la regla de la cadena."}, {"start": 126.0, "end": 141.04, "text": " Ahora en el caso que tengamos coseno a la menos uno de x, tambi\u00e9n expresado como arco coseno de x, entonces la derivada ser\u00e1 esta misma expresi\u00f3n,"}, {"start": 141.04, "end": 151.04, "text": " pero con signo negativo. Es pr\u00e1cticamente la misma que ten\u00edamos con seno a la menos uno de x, pero ahora con signo negativo."}, {"start": 151.04, "end": 166.64, "text": " Y ac\u00e1 la misma situaci\u00f3n, tendr\u00edamos coseno a la menos uno de la manzanita, o arco coseno de la manzanita, y ac\u00e1 tendr\u00edamos esta expresi\u00f3n con signo negativo."}, {"start": 166.64, "end": 192.07999999999998, "text": " Para el caso de la funci\u00f3n y igual a tangente a la menos uno de x, que tambi\u00e9n podemos encontrarla como arco tangente de x, la derivada con respecto a x es igual a uno sobre uno m\u00e1s x al cuadrado."}, {"start": 192.08, "end": 202.4, "text": " Y de igual manera, si en lugar de x tenemos una expresi\u00f3n un poco m\u00e1s compleja, que la vamos a representar con la manzanita,"}, {"start": 202.4, "end": 217.04000000000002, "text": " entonces derivada de tangente a la menos uno de manzanita, que tambi\u00e9n podr\u00eda ser derivada de arco tangente de manzanita, entonces tendremos la siguiente expresi\u00f3n."}, {"start": 217.04, "end": 232.95999999999998, "text": " Nos apoyamos en esto y tendremos uno sobre uno m\u00e1s la manzanita elevada al cuadrado, y esto multiplicado por la derivada interna, o sea la derivada de la manzanita."}, {"start": 232.95999999999998, "end": 239.12, "text": " Pero de igual forma esto puede multiplicar con uno y situarse aqu\u00ed en el numerador."}, {"start": 239.12, "end": 251.44, "text": " Entonces vamos a escribir la expresi\u00f3n m\u00e1s sencilla, localizando aqu\u00ed en el numerador la derivada interna, o sea la derivada de la manzanita."}, {"start": 251.44, "end": 270.0, "text": " Para el caso de la funci\u00f3n cotangente a la menos uno de x, que aqu\u00ed tambi\u00e9n la encontrar\u00edamos como arco cotangente de x, entonces tendremos esta misma expresi\u00f3n pero con signo menos, con signo negativo."}, {"start": 270.0, "end": 287.28, "text": " Aqu\u00ed tambi\u00e9n podemos hacer el cambio y entonces tendremos la derivada de cotangente a la menos uno de la manzanita, o arco cotangente de la manzanita, igual a esta expresi\u00f3n con signo negativo."}, {"start": 287.28, "end": 309.2, "text": " Finalmente para el caso de la funci\u00f3n y igual a secante a la menos uno de x, que tambi\u00e9n puede encontrarse como arco secante de x, entonces la derivada de esa funci\u00f3n con respecto a x ser\u00e1 igual a lo siguiente."}, {"start": 309.2, "end": 320.24, "text": " En el numerador tenemos uno y aqu\u00ed en el denominador escribimos x por la ra\u00edz cuadrada de x al cuadrado menos uno."}, {"start": 320.24, "end": 344.08, "text": " Entonces si tenemos manzanita en lugar de la x, decimos derivada de secante a la menos uno de manzanita, que tambi\u00e9n ser\u00eda la derivada de arco secante de manzanita, entonces vamos a construir el modelo apoy\u00e1ndonos en esta f\u00f3rmula."}, {"start": 344.08, "end": 358.32, "text": " Entonces tendr\u00edamos en la parte de abajo la manzanita por la ra\u00edz cuadrada de manzanita al cuadrado menos uno."}, {"start": 358.32, "end": 383.28, "text": " Aqu\u00ed en el numerador tendr\u00edamos el uno y esto multiplicado por la derivada interna, que es la derivada de la manzanita, pero otra vez esto puede situarse aqu\u00ed en el numerador, entonces all\u00ed est\u00e1 la derivada interna, quitamos esto de aqu\u00ed y de esa manera tenemos la derivada para el caso de la funci\u00f3n inversa de la secante."}, {"start": 383.28, "end": 401.35999999999996, "text": " Por \u00faltimo, si aqu\u00ed tenemos cosecante, entonces pasa lo mismo que hemos venido observando, es esta expresi\u00f3n pero con signo negativo, lo mismo tendr\u00edamos ac\u00e1 en el caso de la regla de la cadena."}, {"start": 401.36, "end": 414.8, "text": " Entonces aqu\u00ed la derivada de cosecante a la menos uno de manzanita o la derivada de arco cosecante de manzanita ser\u00e1 igual a esta expresi\u00f3n con signo negativo."}, {"start": 414.8, "end": 428.72, "text": " Veamos el primer ejemplo, tenemos una funci\u00f3n conformada por un producto, tenemos x al cubo por arco seno de x."}, {"start": 428.72, "end": 456.08000000000004, "text": " Entonces vamos a obtener la derivada de esa funci\u00f3n y para empezar vamos a utilizar la regla del producto, la recordamos entonces, derivada de un producto a por b es igual a la derivada del primer componente por el segundo sin derivar m\u00e1s el primero sin derivar por la derivada del segundo componente."}, {"start": 456.08, "end": 481.68, "text": " Entonces vamos a proceder con la derivaci\u00f3n de esta funci\u00f3n. Tenemos entonces que derivada de y con respecto a x es igual a derivada del primer componente, o sea derivada de x al cubo que es 3x al cuadrado por el segundo componente sin derivar que ser\u00eda arco seno de x."}, {"start": 481.68, "end": 494.72, "text": " Y esto m\u00e1s el primer componente sin derivar que es x al cubo por la derivada del segundo componente, o sea la derivada de arco seno de x."}, {"start": 494.72, "end": 503.04, "text": " Y recordemos que eso es uno sobre la ra\u00edz cuadrada de uno menos x al cuadrado."}, {"start": 503.04, "end": 516.72, "text": " Vemos entonces que se puede organizar all\u00ed, realmente aqu\u00ed no podemos hacer nada m\u00e1s, en esta parte podemos multiplicar x al cubo con uno, es decir situar esto aqu\u00ed en el numerador."}, {"start": 516.72, "end": 533.2, "text": " Entonces vamos a reescribir esta parte de la expresi\u00f3n, tenemos entonces en el numerador x al cubo y en el denominador la ra\u00edz cuadrada de uno menos x al cuadrado."}, {"start": 533.2, "end": 541.2, "text": " Y de esa manera tenemos la respuesta, esta expresi\u00f3n es la derivada de esta funci\u00f3n."}, {"start": 541.2, "end": 557.5200000000001, "text": " En el segundo ejemplo vamos a derivar esa funci\u00f3n que nos dan, vamos a obtener de y de x y para ello vamos a utilizar el modelo que vimos correspondiente a coseno a la menos uno de la manzanita."}, {"start": 557.52, "end": 574.8, "text": " En este caso la manzanita es x al cuadrado, entonces la derivada de esto recordemos que es igual a la ra\u00edz cuadrada, aqu\u00ed en el denominador, ra\u00edz cuadrada de uno menos la manzanita al cuadrado."}, {"start": 574.8, "end": 591.5999999999999, "text": " Y aqu\u00ed en la parte de arriba ten\u00edamos la derivada interna, o sea la derivada de la manzanita, pero esto con signo negativo, entonces procedemos a obtener la derivada de esta funci\u00f3n."}, {"start": 591.6, "end": 611.6800000000001, "text": " Se va a llamar de y de x y vamos a construirla de acuerdo con este modelo, entonces identificamos la manzanita que es x al cuadrado, entonces aqu\u00ed en la parte de abajo tendremos uno menos la manzanita al cuadrado."}, {"start": 611.68, "end": 626.88, "text": " O sea x al cuadrado y todo esto otra vez al cuadrado. Y aqu\u00ed en la parte de arriba tenemos el signo negativo y la derivada de la manzanita, o sea la derivada de x al cuadrado que ser\u00eda 2x."}, {"start": 626.88, "end": 646.96, "text": " Para finalizar la respuesta entonces vamos a trasladar el menos aqu\u00ed en toda la mitad junto con la l\u00ednea de la fracci\u00f3n, en la parte de arriba dejamos 2x y en la parte de abajo dentro de la ra\u00edz tenemos uno menos x a la 4."}, {"start": 646.96, "end": 658.88, "text": " Recordemos que aqu\u00ed se multiplican los exponentes y esta expresi\u00f3n constituye la respuesta, es la derivada de esta funci\u00f3n."}, {"start": 658.88, "end": 665.6800000000001, "text": " Vamos a obtener en el tercer ejemplo la derivada de esta funci\u00f3n, vamos a obtener de y de x."}, {"start": 665.68, "end": 683.1999999999999, "text": " Entonces para comenzar tenemos aqu\u00ed una potencia, entonces debemos utilizar la regla de la cadena para potencias, el modelo dice as\u00ed, si tenemos manzanita a la n, en este caso la manzanita ser\u00eda tangente a la menos 1 de x y n ser\u00eda 4."}, {"start": 683.2, "end": 696.5600000000001, "text": " Entonces la derivada de esto ser\u00e1 n por la manzanita a la n menos 1 y esto multiplicado por la derivada interna, o sea la derivada de la manzanita."}, {"start": 696.5600000000001, "end": 710.4000000000001, "text": " Entonces con base en esta propiedad vamos a derivar esta funci\u00f3n, tenemos entonces lo siguiente, aparece de y de x por primera vez, o sea la derivada y vamos a seguir este modelo."}, {"start": 710.4, "end": 728.72, "text": " Abajamos el 4 que multiplica a la manzanita tangente a la menos 1 de x, todo esto a la 4 menos 1, o sea 3 y eso multiplicado por la derivada interna, o sea la derivada de la manzanita."}, {"start": 728.72, "end": 735.04, "text": " Vamos a indicarla y en el siguiente paso la desarrollamos."}, {"start": 735.04, "end": 754.4, "text": " Vamos a dejar esta parte de la expresi\u00f3n tal como est\u00e1 y vamos aqu\u00ed a cambiar tangente a la menos 1 de x por su correspondiente derivada y eso nos dio la expresi\u00f3n 1 sobre 1 m\u00e1s x al cuadrado."}, {"start": 754.4, "end": 765.28, "text": " De esa manera tenemos ya todo derivado, lo que hacemos para finalizar es polir un poco la expresi\u00f3n para que quede de una manera m\u00e1s comprimida."}, {"start": 765.28, "end": 777.04, "text": " Tendr\u00edamos en la parte de arriba 4 por todo esto por 1, o sea 4 que multiplica a tangente a la menos 1 de x y esto elevado al cubo."}, {"start": 777.04, "end": 784.0799999999999, "text": " Y en la parte de abajo tendr\u00edamos \u00fanicamente la expresi\u00f3n 1 m\u00e1s x al cuadrado."}, {"start": 784.08, "end": 786.8000000000001, "text": " De esa manera llegamos a la respuesta."}, {"start": 786.8000000000001, "end": 791.76, "text": " Esta expresi\u00f3n ser\u00e1 la derivada de esta funci\u00f3n."}, {"start": 791.76, "end": 799.6800000000001, "text": " En el cuarto ejemplo vamos a obtener la derivada de esta funci\u00f3n, vamos a determinar de y de x."}, {"start": 799.68, "end": 824.0, "text": " Entonces all\u00ed tenemos la funci\u00f3n inversa de la cotangente, entonces utilizamos el siguiente modelo, arco cotangente de manzanita, la derivada de todo eso es igual a una fracci\u00f3n en la parte de abajo 1 m\u00e1s la manzanita al cuadrado."}, {"start": 824.0, "end": 831.84, "text": " Y en la parte de arriba la derivada de la manzanita, o sea la derivada interna con signo negativo."}, {"start": 831.84, "end": 838.24, "text": " Entonces vamos a construir la derivada de esa funci\u00f3n utilizando este modelo."}, {"start": 838.24, "end": 842.88, "text": " En este caso la manzanita es ra\u00edz cuadrada de x."}, {"start": 842.88, "end": 847.36, "text": " Entonces veamos c\u00f3mo nos queda la derivada."}, {"start": 847.36, "end": 854.4, "text": " Tenemos de y de x ser\u00e1 igual a una fracci\u00f3n."}, {"start": 854.4, "end": 865.28, "text": " En la parte de abajo tenemos 1 m\u00e1s la manzanita al cuadrado, o sea 1 m\u00e1s ra\u00edz cuadrada de x y esto al cuadrado."}, {"start": 865.28, "end": 876.4, "text": " Y en la parte de arriba tenemos el signo negativo y la derivada de la manzanita, o sea la derivada de la ra\u00edz cuadrada de x."}, {"start": 876.4, "end": 879.1999999999999, "text": " Veamos entonces esto c\u00f3mo nos queda."}, {"start": 879.1999999999999, "end": 883.36, "text": " Aqu\u00ed aparte vamos a hacer la derivada de ra\u00edz cuadrada de x."}, {"start": 883.36, "end": 888.72, "text": " Recordemos que ra\u00edz cuadrada de x es lo mismo que tener x a la un medio."}, {"start": 888.72, "end": 896.0799999999999, "text": " Entonces si esto lo derivamos tenemos un medio de x a la menos un medio."}, {"start": 896.0799999999999, "end": 900.72, "text": " Recordemos que a un medio se le resta 1 y por eso nos queda menos un medio."}, {"start": 900.72, "end": 907.52, "text": " Y esto acomodando la expresi\u00f3n nos queda 1 sobre 2 x a la un medio."}, {"start": 907.52, "end": 917.52, "text": " Esto que est\u00e1 negativo pasa al denominador con exponente positivo y esto se puede escribir como 1 sobre 2 ra\u00edz de x."}, {"start": 917.52, "end": 924.08, "text": " Entonces la derivada de esta expresi\u00f3n ser\u00e1 esta que tenemos aqu\u00ed."}, {"start": 924.08, "end": 928.24, "text": " Y eso es lo que vamos a escribir aqu\u00ed en el numerador."}, {"start": 928.24, "end": 935.92, "text": " Vamos entonces a cambiar esa expresi\u00f3n por el resultado obtenido."}, {"start": 935.92, "end": 942.88, "text": " Tenemos entonces aqu\u00ed 1 sobre 2 ra\u00edz de x."}, {"start": 942.88, "end": 945.92, "text": " Vamos a acomodar este signo menos un poco m\u00e1s arriba."}, {"start": 945.92, "end": 951.6, "text": " Eso lo podemos reescribir de la siguiente manera."}, {"start": 951.6, "end": 957.12, "text": " Arriba la misma fracci\u00f3n 1 sobre 2 ra\u00edz de x que es negativa."}, {"start": 957.12, "end": 960.48, "text": " Y aqu\u00ed en la parte de abajo tenemos 1 m\u00e1s x."}, {"start": 960.48, "end": 965.04, "text": " Este cuadrado destruye la ra\u00edz cuadrada y deja libre la x."}, {"start": 965.04, "end": 971.2, "text": " Y a esta expresi\u00f3n le podemos escribir denominador 1 para que tengamos fracci\u00f3n sobre fracci\u00f3n."}, {"start": 971.2, "end": 976.24, "text": " Y all\u00ed aplicamos lo que es producto de extremos y producto de medios."}, {"start": 976.24, "end": 979.2, "text": " O lo que se conoce tambi\u00e9n como ley de la oreja."}, {"start": 979.2, "end": 983.36, "text": " Estos dos arriba y estos dos multiplicados en la parte de abajo."}, {"start": 983.36, "end": 987.2, "text": " Tambi\u00e9n aplicamos ley de los signos negativo con positivo."}, {"start": 987.2, "end": 990.08, "text": " Nos da al final signo negativo."}, {"start": 990.08, "end": 994.72, "text": " En la parte de arriba tenemos 1 por 1 que es 1."}, {"start": 994.72, "end": 1002.0, "text": " Y en la parte de abajo tenemos 2 ra\u00edz de x que multiplica a la expresi\u00f3n 1 m\u00e1s x."}, {"start": 1002.0, "end": 1004.8000000000001, "text": " Entonces la protegemos con par\u00e9ntesis."}, {"start": 1004.8, "end": 1014.4, "text": " Y esta expresi\u00f3n, esto que acabamos de obtener ser\u00e1 la respuesta, o sea la derivada de esa funci\u00f3n."}, {"start": 1014.4, "end": 1021.12, "text": " En el quinto ejemplo tenemos esta funci\u00f3n y vamos a determinar su derivada."}, {"start": 1021.12, "end": 1026.3999999999999, "text": " Observamos secante a la menos 1 de logaritmo natural de x."}, {"start": 1026.3999999999999, "end": 1030.48, "text": " Entonces esto va a representar la manzanita."}, {"start": 1030.48, "end": 1041.52, "text": " Recordemos el modelo, derivada de secante a la menos 1 de manzanita ser\u00e1 igual a una fracci\u00f3n."}, {"start": 1041.52, "end": 1053.1200000000001, "text": " En la parte de abajo tenemos manzanita por la ra\u00edz cuadrada de manzanita al cuadrado menos 1."}, {"start": 1053.12, "end": 1061.84, "text": " Y en la parte de arriba tenemos la derivada interna, o sea lo que se llama la derivada de la manzanita."}, {"start": 1061.84, "end": 1067.76, "text": " Entonces con base en este modelo vamos a obtener la derivada de esta funci\u00f3n."}, {"start": 1067.76, "end": 1074.1599999999999, "text": " Entonces derivamos y aparece de y de x por primera vez."}, {"start": 1074.1599999999999, "end": 1077.52, "text": " Entonces seguimos estas instrucciones."}, {"start": 1077.52, "end": 1085.44, "text": " Trazamos la l\u00ednea de la fracci\u00f3n, en la parte de abajo tenemos la manzanita que es logaritmo natural de x."}, {"start": 1085.44, "end": 1093.76, "text": " Eso multiplicado por la ra\u00edz cuadrada de la manzanita al cuadrado."}, {"start": 1093.76, "end": 1100.96, "text": " O sea, entre par\u00e9ntesis logaritmo natural de x cerramos eso al cuadrado menos 1."}, {"start": 1100.96, "end": 1109.92, "text": " Y aqu\u00ed en el numerador tenemos la derivada de la manzanita, o sea la derivada del logaritmo natural de x."}, {"start": 1109.92, "end": 1113.1200000000001, "text": " Que es 1 sobre x."}, {"start": 1113.1200000000001, "end": 1117.6000000000001, "text": " Entonces all\u00ed tenemos ya la expresi\u00f3n para la derivada."}, {"start": 1117.6000000000001, "end": 1120.4, "text": " Pero podemos mejorar la presentaci\u00f3n."}, {"start": 1120.4, "end": 1128.24, "text": " Arriba tenemos una fracci\u00f3n, abajo podemos escribirle a todo esto denominador 1."}, {"start": 1128.24, "end": 1132.32, "text": " Para que apliquemos la ley de la oreja."}, {"start": 1132.32, "end": 1140.4, "text": " Entonces tenemos en la parte de arriba el producto de 1 por 1 que es 1."}, {"start": 1140.4, "end": 1149.1200000000001, "text": " Y en la parte de abajo x que multiplica al logaritmo natural de x y a toda esa ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 1149.1200000000001, "end": 1152.56, "text": " Que la podemos acomodar de la siguiente manera."}, {"start": 1152.56, "end": 1160.0, "text": " Logaritmo natural de x todo eso al cuadrado puede escribirse como logaritmo natural al cuadrado de x."}, {"start": 1160.0, "end": 1164.8799999999999, "text": " Es otra forma de denotar ese cuadrado del logaritmo."}, {"start": 1164.8799999999999, "end": 1167.28, "text": " Y todo esto menos 1."}, {"start": 1167.28, "end": 1171.12, "text": " Esta expresi\u00f3n constituye la respuesta."}, {"start": 1171.12, "end": 1176.3999999999999, "text": " Es la derivada de esta funci\u00f3n."}, {"start": 1176.3999999999999, "end": 1181.28, "text": " En el sexto ejemplo vamos a encontrar la derivada de esa funci\u00f3n."}, {"start": 1181.28, "end": 1185.2, "text": " Vamos a determinar a que es igual de y de x."}, {"start": 1185.2, "end": 1188.3999999999999, "text": " Y observamos la funci\u00f3n inversa de la cosecante."}, {"start": 1188.3999999999999, "end": 1192.48, "text": " Y aqu\u00ed tenemos una expresi\u00f3n m\u00e1s compleja que una simple x."}, {"start": 1192.48, "end": 1193.92, "text": " Tenemos pi por x."}, {"start": 1193.92, "end": 1197.28, "text": " Entonces esto representar\u00e1 la manzanita."}, {"start": 1197.28, "end": 1198.8, "text": " Recordemos el modelo."}, {"start": 1198.8, "end": 1202.08, "text": " Arco cosecante de manzanita."}, {"start": 1202.08, "end": 1208.48, "text": " Entonces la derivada para esta situaci\u00f3n es igual a una fracci\u00f3n."}, {"start": 1208.48, "end": 1218.0, "text": " En la parte de abajo tenemos manzanita por la ra\u00edz cuadrada de manzanita al cuadrado menos 1."}, {"start": 1218.0, "end": 1222.56, "text": " Y en la parte de arriba tenemos la derivada de la manzanita."}, {"start": 1222.56, "end": 1226.4, "text": " O sea la derivada interna con signo negativo."}, {"start": 1226.4, "end": 1231.44, "text": " Entonces vamos a construir la derivada siguiendo este modelo."}, {"start": 1231.44, "end": 1235.2, "text": " Tenemos entonces la derivada."}, {"start": 1235.2, "end": 1238.4, "text": " Que se expresa como de y de x."}, {"start": 1238.4, "end": 1240.4, "text": " Y seguimos las instrucciones."}, {"start": 1240.4, "end": 1244.48, "text": " Trazamos entonces una l\u00ednea para la fracci\u00f3n."}, {"start": 1244.48, "end": 1249.68, "text": " Abajo tenemos la manzanita que ser\u00eda pi x."}, {"start": 1249.68, "end": 1253.68, "text": " Eso multiplicado por la ra\u00edz cuadrada de manzanita al cuadrado."}, {"start": 1253.68, "end": 1258.0800000000002, "text": " O sea pi x todo esto al cuadrado menos 1."}, {"start": 1258.0800000000002, "end": 1261.6000000000001, "text": " Todo esto nos queda dentro de la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 1261.6, "end": 1267.76, "text": " Y en la parte de arriba tenemos el signo negativo y la derivada de la manzanita."}, {"start": 1267.76, "end": 1270.7199999999998, "text": " O sea la derivada de pi por x."}, {"start": 1270.7199999999998, "end": 1272.7199999999998, "text": " Eso nos da como resultado pi."}, {"start": 1272.7199999999998, "end": 1277.4399999999998, "text": " Recordemos que la derivada en la constante por x es la constante."}, {"start": 1277.4399999999998, "end": 1278.9599999999998, "text": " En ese caso pi."}, {"start": 1278.9599999999998, "end": 1282.3999999999999, "text": " Y finalmente simplificamos lo que sea posible."}, {"start": 1282.3999999999999, "end": 1289.76, "text": " En ese caso podemos eliminar el n\u00famero pi que est\u00e1 en la parte de arriba y tambi\u00e9n en la parte de abajo."}, {"start": 1289.76, "end": 1295.52, "text": " El signo menos lo podemos reubicar a la izquierda de la l\u00ednea de la fracci\u00f3n."}, {"start": 1295.52, "end": 1298.48, "text": " En la parte de arriba tendremos el n\u00famero 1."}, {"start": 1298.48, "end": 1302.8799999999999, "text": " Y abajo x por la ra\u00edz cuadrada de..."}, {"start": 1302.8799999999999, "end": 1305.44, "text": " Aqu\u00ed podemos desarrollar esta potencia."}, {"start": 1305.44, "end": 1308.64, "text": " Recordemos que el exponente afecta a los dos componentes."}, {"start": 1308.64, "end": 1314.72, "text": " Entonces tendremos pi al cuadrado, x al cuadrado y todo eso menos 1."}, {"start": 1314.72, "end": 1319.84, "text": " Y esta expresi\u00f3n constituye la respuesta a este ejemplo."}, {"start": 1319.84, "end": 1348.8799999999999, "text": " Es la derivada de esta funci\u00f3n."}]

julioprofe

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RECTA PARALELA Y RECTA PERPENDICULAR A OTRA RECTA

#julioprofe explica cómo hallar la ecuación de la recta que pasa por un punto dado, y que es (a) paralela (b) perpendicular, a otra recta conocida. Tema: #RectasEnElPlano → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEE0pZfwFlPSqWqbgnFQTKu REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Hayar la ecuación de la recta que pasa por el punto P de coordenadas 5,7 y es A paralela, B perpendicular a la recta determinada por los puntos C de coordenadas menos 4, menos 1 y D de coordenadas 6, menos 2. Bien, para resolver este ejercicio podemos organizar la información en lo que es una recta conocida llamada L1 y la recta solicitada que es L2. La recta conocida L1 es la que pasa por los puntos C y D y la recta solicitada es la que pasa por el punto P. En la pregunta A, la recta L2, o sea la recta solicitada, tiene que ser paralela a la recta L1, o sea la recta conocida. Y en la pregunta B, la recta L2 tiene que ser perpendicular a la recta L1. Para cualquiera de los dos casos necesitamos conocer la pendiente de la recta conocida, o sea la pendiente 1. Para ello vamos a utilizar la fórmula para encontrar la pendiente de una recta conocidos dos de sus puntos. Recordemos que la pendiente de la recta se denota con la letra M y es igual a y2 menos y1, o sea diferencia de ordenadas sobre x2 menos x1, que es lo que se conoce como diferencia de abscisas. En ese caso tenemos los puntos C y D cuyas coordenadas conocemos, entonces vamos a llamar x1, y1 las coordenadas del punto C y x2, y2, a las coordenadas del punto D. Y vamos a reemplazar en esta fórmula para poder determinar M1, o sea la pendiente de la recta conocida. Comenzamos con y2 que tiene un valor de menos 2, aquí se recomienda proteger estos números con paréntesis, menos y1 que vale menos 1, todo esto sobre x2 que vale 6, menos el valor de x1 que es igual a menos 4. Y vamos a resolver esas operaciones, tenemos, vamos a seguir por acá, que M1 es igual a menos 2 más 1, allí rompemos los paréntesis, aquí se aplica la ley de los signos, porque tenemos signos vecinos, menos con menos nos da más, en la parte de abajo tenemos 6, otra vez menos con menos que es más, y el número 4. Resolvemos en el numerador nos da como resultado menos 1, y en el denominador tenemos resultado 10. Entonces, menos 1 décimo es el valor de la pendiente 1, vamos a escribirla por acá, M1 es igual a menos 1 décimo. Para el caso de la pregunta A, donde las dos rectas van a ser paralelas, entonces se cumple que la pendiente de la recta 2 tiene que ser igual a la pendiente de la recta 1, es la condición que se debe cumplir cuando tenemos dos rectas paralelas, sus pendientes deben ser iguales, por lo tanto, la pendiente 2 es igual a menos 1 décimo, el valor que obtuvimos para M1. Y enseguida vamos a utilizar lo que se llama el modelo punto pendiente, para encontrar la ecuación de la recta L2. Entonces, modelo punto pendiente dice así, es y menos y1 igual a M por x menos x1. Vamos entonces a reemplazar para la recta L2 el valor de su pendiente y el valor del punto que conocemos, que es 5,7, es decir, 5 va a representar a x1 y 7 representa a y1. Entonces, reemplazamos cada uno de los componentes, tenemos y menos el valor de y1 que es igual a 7, esto igual a la pendiente de la recta que vamos a encontrar, que es la recta L2, entonces entra el valor de M2 menos 1 décimo, y esto por x menos x1 que es igual a 5. Entonces, allí tenemos ya el modelo punto pendiente habiendo reemplazado x1, y1 y el valor de M. Recordemos que esta y y esta x se dejan tal como están, ellas no se reemplazan. Enseguida vamos a organizar esta ecuación, entonces podemos escribir y menos 7 en el lado izquierdo, y aquí en el lado derecho aplicamos la propiedad distributiva, tenemos menos 1 décimo por x es menos 1 décimo de x, y menos 1 décimo por menos 5 eso nos daría más 5 décimos, que simplificando equivale a 1 medio. Luego podemos despejar la letra y, para ello pasamos este número que está restando al otro lado a sumar, y nos queda y igual a menos 1 décimo de x más 1 medio más 7, y resolvemos esta operación, entonces tenemos y igual a menos 1 décimo de x más, veamos cuánto da la suma de 1 medio más 7. Cuando tenemos un número entero sumando con una fracción, esto es lo que puede convertirse en un número mixto, entonces es lo mismo que decir 7 enteros 1 medio, y esto lo pasamos a fracción impropia de la siguiente manera, escribimos 7 por 2 que es 14 más 1, 15, eso va en el numerador y conservamos el mismo denominador, entonces estamos pasando de número mixto a fracción impropia, 15 medios es el resultado de esta suma, y es el número que escribimos por aquí. Esta ya es la respuesta a la pregunta A, es decir, la ecuación de la recta L2, o sea la recta solicitada aquella que pasa por el punto P de coordenadas 5,7 y que es paralela a la recta L1, esta ecuación se encuentra escrita en la forma y igual a mx más b, lo que se conoce como la forma explícita, m representa la pendiente de la recta, vemos que es la misma pendiente m1, y b, este valor 15 medios, recordemos que representa el corte con el eje y, o lo que se conoce también como ordenada al origen, entonces esta es una forma de presentar la respuesta de acuerdo con el modelo y igual a mx más b, existe otra forma de dar la respuesta que es en la forma general o forma implícita de una recta, para ello vamos a deshacernos de los denominadores, podemos pensar en encontrar el mínimo común múltiplo de 10 y 2, que sería 10, entonces el mcm de 10 y 2, o sea de los denominadores es igual a 10, y de allí podemos multiplicar ambos lados de la ecuación por este valor, entonces veamos, en el lado izquierdo si multiplicamos por 10 nos queda 10y, en el lado derecho si multiplicamos por 10, entonces este número multiplica a este componente y a este otro, allí se aplica la propiedad distributiva, entonces 10 por menos 1 decimo de x, eso nos daría menos 1x, o simplemente menos x, más 10 que multiplica a 15 medios, eso nos daría 150 medios que es igual a 75, haciendo la simplificación, y de allí podemos acomodar la ecuación de tal forma que al lado izquierdo nos quede el término con x, luego el término con y, después el término independiente y todo eso permanezca o quede igualado a 0, entonces veamos, pasamos primero este término para el lado izquierdo, llega como x positivo, luego escribimos más 10y, pasamos este número que llega negativo al lado izquierdo, menos 75 y todo esto igualado a 0, entonces esta es la otra forma de presentar la respuesta a la primera pregunta, a la pregunta A, entonces aquí tenemos la ecuación de la recta expresada en la forma general o forma implícita que corresponde a este modelo, ax más by más c igual a 0, allí podemos observar que esta ecuación concuerda con este modelo, entonces tenemos aquí dos maneras de presentar la ecuación de la recta L2 para la pregunta A, o sea cuando las dos rectas son paralelas, ahora vamos a responder a la pregunta B, en ese caso necesitamos que las dos rectas sean perpendiculares, o sea que se corten formando ángulo recto, en ese caso la condición que se debe cumplir es que la pendiente 2 multiplicada por la pendiente 1 tiene que dar como resultado menos 1, es la condición que deben cumplir dos rectas que sean perpendiculares, entonces vamos a ver cómo se determina la pendiente de la recta 2, tenemos que M2 sería igual a menos 1 sobre M1, simplemente pasamos M1 que está multiplicando al otro lado a dividir, entonces podríamos traer este fraccionario, escribirlo aquí en el denominador y hacer toda la operación para encontrar M2, pero una manera rápida o un truco fácil de hallar el valor de M2 es simplemente tomar el valor de M1, invertirlo y cambiarle el signo, entonces si tenemos un décimo e invertimos esa fracción nos da el número 10, bueno tendríamos 10 sobre 1, pero recordemos que ese 1 del denominador puede volverse invisible, entonces invirtiendo la fracción nos da 10 y cambiando el signo nos queda acá signo positivo, recordemos que ese signo puede hacerse invisible, entonces M2 toma el valor 10, si multiplicamos este número por menos un décimo efectivamente nos da menos 1 que es la condición que deben cumplir dos rectas perpendiculares. Ahora conociendo el valor de la pendiente de la recta 2 y el punto por donde pasa dicha recta, podemos utilizar de nuevo el modelo punto pendiente para encontrar la ecuación de la recta solicitada, entonces vamos a recordarlo, modelo punto pendiente y menos y1 igual a la pendiente M que multiplica a x menos x1, vamos a reemplazar entonces, tendríamos y menos y1 que es nuevamente el valor 7, esto es y1 y esto es x1, o sea las coordenadas del punto por el cual pasa la recta que vamos a encontrar, entonces y1 vale 7 igual a la pendiente M que es igual a 10 por x menos el valor de x1 que es 5, aquí aplicamos la propiedad distributiva y tenemos y menos 7 igual a 10x menos 10 por 5, 50, ahora vamos a despejar y, para eso pasamos este número 7 que está restando al otro lado a sumar, nos queda y igual a 10x menos 50 más 7 y por último hacemos la operación de estos dos números, entonces tenemos y es igual a 10x menos 50 más 7 nos da como resultado y aquí tenemos la ecuación de la recta L2 cuando es perpendicular a L1, aquí esa ecuación corresponde al modelo y igual a Mx más b, o sea lo que se llama la forma explícita de la ecuación de una recta, de allí podemos pasar a la forma implícita o forma general, recordemos que se deja el cero en este lado derecho, vamos entonces a pasar estos términos para el lado izquierdo, tendríamos lo siguiente, menos 10x, este término está positivo aquí, llega negativo al lado izquierdo, luego escribimos el término más y, como puede observarse y permanece en su territorio, entonces continúa siendo positiva y pasamos este número que está negativo al otro lado, entonces llega positivo, queda más 43 y todo esto igual a cero, pero no se acostumbra que la ecuación en su forma general o implícita inicie con número negativo, entonces para corregir eso simplemente multiplicamos ambos lados de la igualdad por menos uno, eso lo que ocasiona es cambio de signos en el lado izquierdo, en el lado derecho cero por menos uno sigue siendo cero, entonces haciendo eso vamos a escribir por aquí, multiplicamos por menos uno, ambos lados de la igualdad, tenemos 10x menos y menos 43 y todo eso igual a cero y esta es la otra respuesta, tenemos la ecuación escrita de la forma general o implícita que es ax más by más c igual a cero, bien con esto terminamos el ejercicio, estas dos ecuaciones son las de la recta L2 para la situación B, es decir en el caso en que la recta solicitada es perpendicular a la recta cuya información conocemos.

[{"start": 0.0, "end": 14.9, "text": " Hayar la ecuaci\u00f3n de la recta que pasa por el punto P de coordenadas 5,7 y es A paralela, B perpendicular a la recta determinada por los puntos C de coordenadas"}, {"start": 14.9, "end": 33.800000000000004, "text": " menos 4, menos 1 y D de coordenadas 6, menos 2. Bien, para resolver este ejercicio podemos organizar la informaci\u00f3n en lo que es una recta conocida llamada L1 y la recta solicitada que es L2."}, {"start": 33.8, "end": 46.699999999999996, "text": " La recta conocida L1 es la que pasa por los puntos C y D y la recta solicitada es la que pasa por el punto P."}, {"start": 46.699999999999996, "end": 59.7, "text": " En la pregunta A, la recta L2, o sea la recta solicitada, tiene que ser paralela a la recta L1, o sea la recta conocida."}, {"start": 59.7, "end": 68.60000000000001, "text": " Y en la pregunta B, la recta L2 tiene que ser perpendicular a la recta L1."}, {"start": 68.60000000000001, "end": 77.60000000000001, "text": " Para cualquiera de los dos casos necesitamos conocer la pendiente de la recta conocida, o sea la pendiente 1."}, {"start": 77.60000000000001, "end": 86.60000000000001, "text": " Para ello vamos a utilizar la f\u00f3rmula para encontrar la pendiente de una recta conocidos dos de sus puntos."}, {"start": 86.6, "end": 102.6, "text": " Recordemos que la pendiente de la recta se denota con la letra M y es igual a y2 menos y1, o sea diferencia de ordenadas sobre x2 menos x1,"}, {"start": 102.6, "end": 106.6, "text": " que es lo que se conoce como diferencia de abscisas."}, {"start": 106.6, "end": 124.6, "text": " En ese caso tenemos los puntos C y D cuyas coordenadas conocemos, entonces vamos a llamar x1, y1 las coordenadas del punto C y x2, y2, a las coordenadas del punto D."}, {"start": 124.6, "end": 133.6, "text": " Y vamos a reemplazar en esta f\u00f3rmula para poder determinar M1, o sea la pendiente de la recta conocida."}, {"start": 133.6, "end": 141.6, "text": " Comenzamos con y2 que tiene un valor de menos 2, aqu\u00ed se recomienda proteger estos n\u00fameros con par\u00e9ntesis,"}, {"start": 141.6, "end": 157.6, "text": " menos y1 que vale menos 1, todo esto sobre x2 que vale 6, menos el valor de x1 que es igual a menos 4."}, {"start": 157.6, "end": 173.6, "text": " Y vamos a resolver esas operaciones, tenemos, vamos a seguir por ac\u00e1, que M1 es igual a menos 2 m\u00e1s 1, all\u00ed rompemos los par\u00e9ntesis,"}, {"start": 173.6, "end": 180.6, "text": " aqu\u00ed se aplica la ley de los signos, porque tenemos signos vecinos, menos con menos nos da m\u00e1s,"}, {"start": 180.6, "end": 187.6, "text": " en la parte de abajo tenemos 6, otra vez menos con menos que es m\u00e1s, y el n\u00famero 4."}, {"start": 187.6, "end": 196.6, "text": " Resolvemos en el numerador nos da como resultado menos 1, y en el denominador tenemos resultado 10."}, {"start": 196.6, "end": 211.6, "text": " Entonces, menos 1 d\u00e9cimo es el valor de la pendiente 1, vamos a escribirla por ac\u00e1, M1 es igual a menos 1 d\u00e9cimo."}, {"start": 211.6, "end": 222.6, "text": " Para el caso de la pregunta A, donde las dos rectas van a ser paralelas, entonces se cumple que la pendiente de la recta 2"}, {"start": 222.6, "end": 232.6, "text": " tiene que ser igual a la pendiente de la recta 1, es la condici\u00f3n que se debe cumplir cuando tenemos dos rectas paralelas,"}, {"start": 232.6, "end": 247.6, "text": " sus pendientes deben ser iguales, por lo tanto, la pendiente 2 es igual a menos 1 d\u00e9cimo, el valor que obtuvimos para M1."}, {"start": 247.6, "end": 262.6, "text": " Y enseguida vamos a utilizar lo que se llama el modelo punto pendiente, para encontrar la ecuaci\u00f3n de la recta L2."}, {"start": 262.6, "end": 279.6, "text": " Entonces, modelo punto pendiente dice as\u00ed, es y menos y1 igual a M por x menos x1."}, {"start": 279.6, "end": 299.6, "text": " Vamos entonces a reemplazar para la recta L2 el valor de su pendiente y el valor del punto que conocemos, que es 5,7, es decir, 5 va a representar a x1 y 7 representa a y1."}, {"start": 299.6, "end": 313.6, "text": " Entonces, reemplazamos cada uno de los componentes, tenemos y menos el valor de y1 que es igual a 7, esto igual a la pendiente de la recta que vamos a encontrar,"}, {"start": 313.6, "end": 326.6, "text": " que es la recta L2, entonces entra el valor de M2 menos 1 d\u00e9cimo, y esto por x menos x1 que es igual a 5."}, {"start": 326.6, "end": 335.6, "text": " Entonces, all\u00ed tenemos ya el modelo punto pendiente habiendo reemplazado x1, y1 y el valor de M."}, {"start": 335.6, "end": 342.6, "text": " Recordemos que esta y y esta x se dejan tal como est\u00e1n, ellas no se reemplazan."}, {"start": 342.6, "end": 351.6, "text": " Enseguida vamos a organizar esta ecuaci\u00f3n, entonces podemos escribir y menos 7 en el lado izquierdo,"}, {"start": 351.6, "end": 362.6, "text": " y aqu\u00ed en el lado derecho aplicamos la propiedad distributiva, tenemos menos 1 d\u00e9cimo por x es menos 1 d\u00e9cimo de x,"}, {"start": 362.6, "end": 374.6, "text": " y menos 1 d\u00e9cimo por menos 5 eso nos dar\u00eda m\u00e1s 5 d\u00e9cimos, que simplificando equivale a 1 medio."}, {"start": 374.6, "end": 383.6, "text": " Luego podemos despejar la letra y, para ello pasamos este n\u00famero que est\u00e1 restando al otro lado a sumar,"}, {"start": 383.6, "end": 394.6, "text": " y nos queda y igual a menos 1 d\u00e9cimo de x m\u00e1s 1 medio m\u00e1s 7, y resolvemos esta operaci\u00f3n,"}, {"start": 394.6, "end": 405.6, "text": " entonces tenemos y igual a menos 1 d\u00e9cimo de x m\u00e1s, veamos cu\u00e1nto da la suma de 1 medio m\u00e1s 7."}, {"start": 405.6, "end": 412.6, "text": " Cuando tenemos un n\u00famero entero sumando con una fracci\u00f3n, esto es lo que puede convertirse en un n\u00famero mixto,"}, {"start": 412.6, "end": 421.6, "text": " entonces es lo mismo que decir 7 enteros 1 medio, y esto lo pasamos a fracci\u00f3n impropia de la siguiente manera,"}, {"start": 421.6, "end": 431.6, "text": " escribimos 7 por 2 que es 14 m\u00e1s 1, 15, eso va en el numerador y conservamos el mismo denominador,"}, {"start": 431.6, "end": 440.6, "text": " entonces estamos pasando de n\u00famero mixto a fracci\u00f3n impropia, 15 medios es el resultado de esta suma,"}, {"start": 440.6, "end": 444.6, "text": " y es el n\u00famero que escribimos por aqu\u00ed."}, {"start": 444.6, "end": 453.6, "text": " Esta ya es la respuesta a la pregunta A, es decir, la ecuaci\u00f3n de la recta L2,"}, {"start": 453.6, "end": 464.6, "text": " o sea la recta solicitada aquella que pasa por el punto P de coordenadas 5,7 y que es paralela a la recta L1,"}, {"start": 464.6, "end": 475.6, "text": " esta ecuaci\u00f3n se encuentra escrita en la forma y igual a mx m\u00e1s b, lo que se conoce como la forma expl\u00edcita,"}, {"start": 475.6, "end": 484.6, "text": " m representa la pendiente de la recta, vemos que es la misma pendiente m1, y b, este valor 15 medios,"}, {"start": 484.6, "end": 492.6, "text": " recordemos que representa el corte con el eje y, o lo que se conoce tambi\u00e9n como ordenada al origen,"}, {"start": 492.6, "end": 500.6, "text": " entonces esta es una forma de presentar la respuesta de acuerdo con el modelo y igual a mx m\u00e1s b,"}, {"start": 500.6, "end": 510.6, "text": " existe otra forma de dar la respuesta que es en la forma general o forma impl\u00edcita de una recta,"}, {"start": 510.6, "end": 513.6, "text": " para ello vamos a deshacernos de los denominadores,"}, {"start": 513.6, "end": 526.6, "text": " podemos pensar en encontrar el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de 10 y 2, que ser\u00eda 10, entonces el mcm de 10 y 2,"}, {"start": 526.6, "end": 536.6, "text": " o sea de los denominadores es igual a 10, y de all\u00ed podemos multiplicar ambos lados de la ecuaci\u00f3n por este valor,"}, {"start": 536.6, "end": 545.6, "text": " entonces veamos, en el lado izquierdo si multiplicamos por 10 nos queda 10y, en el lado derecho si multiplicamos por 10,"}, {"start": 545.6, "end": 552.6, "text": " entonces este n\u00famero multiplica a este componente y a este otro, all\u00ed se aplica la propiedad distributiva,"}, {"start": 552.6, "end": 565.6, "text": " entonces 10 por menos 1 decimo de x, eso nos dar\u00eda menos 1x, o simplemente menos x, m\u00e1s 10 que multiplica a 15 medios,"}, {"start": 565.6, "end": 574.6, "text": " eso nos dar\u00eda 150 medios que es igual a 75, haciendo la simplificaci\u00f3n,"}, {"start": 574.6, "end": 583.6, "text": " y de all\u00ed podemos acomodar la ecuaci\u00f3n de tal forma que al lado izquierdo nos quede el t\u00e9rmino con x, luego el t\u00e9rmino con y,"}, {"start": 583.6, "end": 590.6, "text": " despu\u00e9s el t\u00e9rmino independiente y todo eso permanezca o quede igualado a 0,"}, {"start": 590.6, "end": 600.6, "text": " entonces veamos, pasamos primero este t\u00e9rmino para el lado izquierdo, llega como x positivo, luego escribimos m\u00e1s 10y,"}, {"start": 600.6, "end": 609.6, "text": " pasamos este n\u00famero que llega negativo al lado izquierdo, menos 75 y todo esto igualado a 0,"}, {"start": 609.6, "end": 621.6, "text": " entonces esta es la otra forma de presentar la respuesta a la primera pregunta, a la pregunta A,"}, {"start": 621.6, "end": 632.6, "text": " entonces aqu\u00ed tenemos la ecuaci\u00f3n de la recta expresada en la forma general o forma impl\u00edcita que corresponde a este modelo,"}, {"start": 632.6, "end": 641.6, "text": " ax m\u00e1s by m\u00e1s c igual a 0, all\u00ed podemos observar que esta ecuaci\u00f3n concuerda con este modelo,"}, {"start": 641.6, "end": 654.6, "text": " entonces tenemos aqu\u00ed dos maneras de presentar la ecuaci\u00f3n de la recta L2 para la pregunta A, o sea cuando las dos rectas son paralelas,"}, {"start": 654.6, "end": 663.6, "text": " ahora vamos a responder a la pregunta B, en ese caso necesitamos que las dos rectas sean perpendiculares,"}, {"start": 663.6, "end": 675.6, "text": " o sea que se corten formando \u00e1ngulo recto, en ese caso la condici\u00f3n que se debe cumplir es que la pendiente 2 multiplicada por la pendiente 1"}, {"start": 675.6, "end": 685.6, "text": " tiene que dar como resultado menos 1, es la condici\u00f3n que deben cumplir dos rectas que sean perpendiculares,"}, {"start": 685.6, "end": 697.6, "text": " entonces vamos a ver c\u00f3mo se determina la pendiente de la recta 2, tenemos que M2 ser\u00eda igual a menos 1 sobre M1,"}, {"start": 697.6, "end": 705.6, "text": " simplemente pasamos M1 que est\u00e1 multiplicando al otro lado a dividir, entonces podr\u00edamos traer este fraccionario,"}, {"start": 705.6, "end": 717.6, "text": " escribirlo aqu\u00ed en el denominador y hacer toda la operaci\u00f3n para encontrar M2, pero una manera r\u00e1pida o un truco f\u00e1cil de hallar el valor de M2"}, {"start": 717.6, "end": 730.6, "text": " es simplemente tomar el valor de M1, invertirlo y cambiarle el signo, entonces si tenemos un d\u00e9cimo e invertimos esa fracci\u00f3n nos da el n\u00famero 10,"}, {"start": 730.6, "end": 740.6, "text": " bueno tendr\u00edamos 10 sobre 1, pero recordemos que ese 1 del denominador puede volverse invisible, entonces invirtiendo la fracci\u00f3n nos da 10"}, {"start": 740.6, "end": 752.6, "text": " y cambiando el signo nos queda ac\u00e1 signo positivo, recordemos que ese signo puede hacerse invisible, entonces M2 toma el valor 10,"}, {"start": 752.6, "end": 764.6, "text": " si multiplicamos este n\u00famero por menos un d\u00e9cimo efectivamente nos da menos 1 que es la condici\u00f3n que deben cumplir dos rectas perpendiculares."}, {"start": 764.6, "end": 779.6, "text": " Ahora conociendo el valor de la pendiente de la recta 2 y el punto por donde pasa dicha recta, podemos utilizar de nuevo el modelo punto pendiente"}, {"start": 779.6, "end": 797.6, "text": " para encontrar la ecuaci\u00f3n de la recta solicitada, entonces vamos a recordarlo, modelo punto pendiente y menos y1 igual a la pendiente M que multiplica a x menos x1,"}, {"start": 797.6, "end": 812.6, "text": " vamos a reemplazar entonces, tendr\u00edamos y menos y1 que es nuevamente el valor 7, esto es y1 y esto es x1, o sea las coordenadas del punto por el cual pasa la recta"}, {"start": 812.6, "end": 831.6, "text": " que vamos a encontrar, entonces y1 vale 7 igual a la pendiente M que es igual a 10 por x menos el valor de x1 que es 5, aqu\u00ed aplicamos la propiedad distributiva"}, {"start": 831.6, "end": 851.6, "text": " y tenemos y menos 7 igual a 10x menos 10 por 5, 50, ahora vamos a despejar y, para eso pasamos este n\u00famero 7 que est\u00e1 restando al otro lado a sumar,"}, {"start": 851.6, "end": 872.6, "text": " nos queda y igual a 10x menos 50 m\u00e1s 7 y por \u00faltimo hacemos la operaci\u00f3n de estos dos n\u00fameros, entonces tenemos y es igual a 10x menos 50 m\u00e1s 7 nos da como resultado"}, {"start": 872.6, "end": 889.6, "text": " y aqu\u00ed tenemos la ecuaci\u00f3n de la recta L2 cuando es perpendicular a L1, aqu\u00ed esa ecuaci\u00f3n corresponde al modelo y igual a Mx m\u00e1s b,"}, {"start": 889.6, "end": 903.6, "text": " o sea lo que se llama la forma expl\u00edcita de la ecuaci\u00f3n de una recta, de all\u00ed podemos pasar a la forma impl\u00edcita o forma general,"}, {"start": 903.6, "end": 913.6, "text": " recordemos que se deja el cero en este lado derecho, vamos entonces a pasar estos t\u00e9rminos para el lado izquierdo, tendr\u00edamos lo siguiente,"}, {"start": 913.6, "end": 928.6, "text": " menos 10x, este t\u00e9rmino est\u00e1 positivo aqu\u00ed, llega negativo al lado izquierdo, luego escribimos el t\u00e9rmino m\u00e1s y, como puede observarse y permanece en su territorio,"}, {"start": 928.6, "end": 943.6, "text": " entonces contin\u00faa siendo positiva y pasamos este n\u00famero que est\u00e1 negativo al otro lado, entonces llega positivo, queda m\u00e1s 43 y todo esto igual a cero, pero no se acostumbra"}, {"start": 943.6, "end": 958.6, "text": " que la ecuaci\u00f3n en su forma general o impl\u00edcita inicie con n\u00famero negativo, entonces para corregir eso simplemente multiplicamos ambos lados de la igualdad por menos uno,"}, {"start": 958.6, "end": 974.6, "text": " eso lo que ocasiona es cambio de signos en el lado izquierdo, en el lado derecho cero por menos uno sigue siendo cero, entonces haciendo eso vamos a escribir por aqu\u00ed, multiplicamos por menos uno, ambos lados de la igualdad,"}, {"start": 974.6, "end": 1000.6, "text": " tenemos 10x menos y menos 43 y todo eso igual a cero y esta es la otra respuesta, tenemos la ecuaci\u00f3n escrita de la forma general o impl\u00edcita que es ax m\u00e1s by m\u00e1s c igual a cero,"}, {"start": 1000.6, "end": 1019.6, "text": " bien con esto terminamos el ejercicio, estas dos ecuaciones son las de la recta L2 para la situaci\u00f3n B, es decir en el caso en que la recta solicitada es perpendicular a la recta cuya informaci\u00f3n conocemos."}]

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PORCENTAJES - Problema 2

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Vamos a resolver este problema relacionado con porcentajes. Dice lo siguiente. Gasté el 40% de mi dinero y regalé el 16% de lo que me quedó. Si al principio tenía 250 euros, ¿cuánto tengo ahora? Bien, comenzamos determinando cuánto fue lo que gasté. Dice el problema que gasté el 40% de mi dinero, pero por acá, más adelante, dice que al principio tenía 250 euros. Entonces, gasté el 40% de 250 euros. Esto se convierte en la siguiente operación. 40% es 40 sobre 100, la palabra D se vuelve por y escribimos el número 250. Tenemos la multiplicación de una fracción por un número entero. A este número podemos escribirle denominador 1. Y procedemos a resolver esta operación. Recordemos que las fracciones se multiplican haciendo producto de numeradores y producto de denominadores. Entonces, vamos a continuar por acá. En la parte de arriba escribimos 40 por 250. Y en la parte de abajo tenemos 100 por 1. Vamos a simplificar al máximo esa operación. Podemos eliminar ceros. Un 0 del 100 con un 0 de 250. El otro 0 que nos queda aquí con el 0 del 40. Y vemos que en la parte de abajo nos quedó 1 por 1 que es igual a 1. Por lo tanto nos concentramos únicamente en lo que nos quedó en la parte de arriba. Tenemos 4 por 25 que es igual a 100. Esto quiere decir que gasté 100 euros. De los 250 euros que tenía al principio, gasté el 40% que corresponde a 100 euros. Ahora tenemos que determinar cuánto nos queda porque de eso que resta es que regalé el 16%. Entonces, veamos cuánto nos queda. Simplemente hacemos una resta. Lo que teníamos al principio que es 250 euros menos lo que gasté que son 100 euros y nos queda 150 euros. Ahora vamos a calcular cuánto fue que regalé. Entonces, veamos. Regalé el 16% de lo que me quedó y nos quedó 150 euros. Entonces regalé el 16% de 150 euros. Esto se convierte en la operación 16 sobre 100 que corresponde a 16% por que corresponde a la palabra de y el número 150. Que de nuevo es un número entero entonces le podemos escribir denominador 1. Vamos a multiplicar numeradores entre sí y denominadores entre sí. Continuamos por acá. En la parte de arriba vamos a tener 16 por 150. Y en la parte de abajo tenemos 100 por 1. Y vamos a simplificar al máximo. Podemos eliminar un 0 del 100 con este 0 del 150. Podemos también extraer quinta de 10 que es 2 y quinta de 15 que es 3. Y también podemos extraer mitad de 2 que es 1 y la mitad de 16 que es 8. En la parte de abajo nos quedó 1 por 1 que es igual a 1. Entonces nos concentramos únicamente en los números que quedaron en la parte de arriba. 8 por 3 es 24. Y tenemos que son 24 euros la cantidad que regalé. Con eso podemos establecer cuanto nos queda. Entonces hacemos nuevamente una diferencia a 150 euros que fue lo que nos quedó después de gastar el 40% inicial. Entonces le vamos a restar 24. 150 menos 24 nos da 126 euros. Y este valor constituye la respuesta a este problema. Tenemos que al final nos quedan 126 euros. Es la cantidad que tengo ahora.

[{"start": 0.0, "end": 5.0, "text": " Vamos a resolver este problema relacionado con porcentajes."}, {"start": 5.0, "end": 6.0, "text": " Dice lo siguiente."}, {"start": 6.0, "end": 13.0, "text": " Gast\u00e9 el 40% de mi dinero y regal\u00e9 el 16% de lo que me qued\u00f3."}, {"start": 13.0, "end": 19.0, "text": " Si al principio ten\u00eda 250 euros, \u00bfcu\u00e1nto tengo ahora?"}, {"start": 19.0, "end": 26.0, "text": " Bien, comenzamos determinando cu\u00e1nto fue lo que gast\u00e9."}, {"start": 26.0, "end": 37.0, "text": " Dice el problema que gast\u00e9 el 40% de mi dinero, pero por ac\u00e1, m\u00e1s adelante, dice que al principio ten\u00eda 250 euros."}, {"start": 37.0, "end": 44.0, "text": " Entonces, gast\u00e9 el 40% de 250 euros."}, {"start": 44.0, "end": 49.0, "text": " Esto se convierte en la siguiente operaci\u00f3n."}, {"start": 49.0, "end": 60.0, "text": " 40% es 40 sobre 100, la palabra D se vuelve por y escribimos el n\u00famero 250."}, {"start": 60.0, "end": 66.0, "text": " Tenemos la multiplicaci\u00f3n de una fracci\u00f3n por un n\u00famero entero."}, {"start": 66.0, "end": 70.0, "text": " A este n\u00famero podemos escribirle denominador 1."}, {"start": 70.0, "end": 73.0, "text": " Y procedemos a resolver esta operaci\u00f3n."}, {"start": 73.0, "end": 82.0, "text": " Recordemos que las fracciones se multiplican haciendo producto de numeradores y producto de denominadores."}, {"start": 82.0, "end": 87.0, "text": " Entonces, vamos a continuar por ac\u00e1."}, {"start": 87.0, "end": 94.0, "text": " En la parte de arriba escribimos 40 por 250."}, {"start": 94.0, "end": 100.0, "text": " Y en la parte de abajo tenemos 100 por 1."}, {"start": 100.0, "end": 104.0, "text": " Vamos a simplificar al m\u00e1ximo esa operaci\u00f3n."}, {"start": 104.0, "end": 106.0, "text": " Podemos eliminar ceros."}, {"start": 106.0, "end": 110.0, "text": " Un 0 del 100 con un 0 de 250."}, {"start": 110.0, "end": 115.0, "text": " El otro 0 que nos queda aqu\u00ed con el 0 del 40."}, {"start": 115.0, "end": 120.0, "text": " Y vemos que en la parte de abajo nos qued\u00f3 1 por 1 que es igual a 1."}, {"start": 120.0, "end": 125.0, "text": " Por lo tanto nos concentramos \u00fanicamente en lo que nos qued\u00f3 en la parte de arriba."}, {"start": 125.0, "end": 130.0, "text": " Tenemos 4 por 25 que es igual a 100."}, {"start": 130.0, "end": 134.0, "text": " Esto quiere decir que gast\u00e9 100 euros."}, {"start": 134.0, "end": 143.0, "text": " De los 250 euros que ten\u00eda al principio, gast\u00e9 el 40% que corresponde a 100 euros."}, {"start": 143.0, "end": 153.0, "text": " Ahora tenemos que determinar cu\u00e1nto nos queda porque de eso que resta es que regal\u00e9 el 16%."}, {"start": 153.0, "end": 158.0, "text": " Entonces, veamos cu\u00e1nto nos queda."}, {"start": 158.0, "end": 161.0, "text": " Simplemente hacemos una resta."}, {"start": 161.0, "end": 174.0, "text": " Lo que ten\u00edamos al principio que es 250 euros menos lo que gast\u00e9 que son 100 euros y nos queda 150 euros."}, {"start": 174.0, "end": 179.0, "text": " Ahora vamos a calcular cu\u00e1nto fue que regal\u00e9."}, {"start": 179.0, "end": 189.0, "text": " Entonces, veamos. Regal\u00e9 el 16% de lo que me qued\u00f3 y nos qued\u00f3 150 euros."}, {"start": 189.0, "end": 198.0, "text": " Entonces regal\u00e9 el 16% de 150 euros."}, {"start": 198.0, "end": 214.0, "text": " Esto se convierte en la operaci\u00f3n 16 sobre 100 que corresponde a 16% por que corresponde a la palabra de y el n\u00famero 150."}, {"start": 214.0, "end": 221.0, "text": " Que de nuevo es un n\u00famero entero entonces le podemos escribir denominador 1."}, {"start": 221.0, "end": 228.0, "text": " Vamos a multiplicar numeradores entre s\u00ed y denominadores entre s\u00ed."}, {"start": 228.0, "end": 237.0, "text": " Continuamos por ac\u00e1. En la parte de arriba vamos a tener 16 por 150."}, {"start": 237.0, "end": 242.0, "text": " Y en la parte de abajo tenemos 100 por 1."}, {"start": 242.0, "end": 245.0, "text": " Y vamos a simplificar al m\u00e1ximo."}, {"start": 245.0, "end": 252.0, "text": " Podemos eliminar un 0 del 100 con este 0 del 150."}, {"start": 252.0, "end": 261.0, "text": " Podemos tambi\u00e9n extraer quinta de 10 que es 2 y quinta de 15 que es 3."}, {"start": 261.0, "end": 271.0, "text": " Y tambi\u00e9n podemos extraer mitad de 2 que es 1 y la mitad de 16 que es 8."}, {"start": 271.0, "end": 275.0, "text": " En la parte de abajo nos qued\u00f3 1 por 1 que es igual a 1."}, {"start": 275.0, "end": 280.0, "text": " Entonces nos concentramos \u00fanicamente en los n\u00fameros que quedaron en la parte de arriba."}, {"start": 280.0, "end": 283.0, "text": " 8 por 3 es 24."}, {"start": 283.0, "end": 288.0, "text": " Y tenemos que son 24 euros la cantidad que regal\u00e9."}, {"start": 288.0, "end": 294.0, "text": " Con eso podemos establecer cuanto nos queda."}, {"start": 294.0, "end": 307.0, "text": " Entonces hacemos nuevamente una diferencia a 150 euros que fue lo que nos qued\u00f3 despu\u00e9s de gastar el 40% inicial."}, {"start": 307.0, "end": 310.0, "text": " Entonces le vamos a restar 24."}, {"start": 310.0, "end": 317.0, "text": " 150 menos 24 nos da 126 euros."}, {"start": 317.0, "end": 324.0, "text": " Y este valor constituye la respuesta a este problema."}, {"start": 324.0, "end": 329.0, "text": " Tenemos que al final nos quedan 126 euros."}, {"start": 329.0, "end": 348.0, "text": " Es la cantidad que tengo ahora."}]

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PORCENTAJES - Ejercicio 3

#julioprofe explica cómo resolver el siguiente ejercicio: ¿De qué número es 300 el 40%? Tema: #Porcentajes → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwGRI4dqGNnmeHBqw_otEp8B REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver este ejercicio. Nos preguntan de qué número es 300 el 40%? Para ello vamos a utilizar la regla de tres simple directa. Establecemos dos columnas, una que se llama Cantidal y la otra que se llama Porcentaje. En la información del problema sabemos que 300 es el 40%. Entonces 300 representa el 40% de cierto número, X, que corresponde al 100%. Entonces allí tenemos planteada la regla de tres simple directa con la incógnita X. Vamos entonces a encontrar el valor de X. Para ello multiplicamos estos dos números, 300 por 100 y dividimos entre el número 40 que es el que nos queda libre. Y vamos a simplificar al máximo esta operación. Podemos eliminar un 0 del 40 con un 0 del 100. Eso es lo mismo que si hubiéramos dividido entre 10 el número 100 y el número 40. Tenemos también la posibilidad de sacar mitad de 4 que es 2 y por ejemplo mitad de 10 que es 5. Y también podemos sacar mitad de 2 que es 1 y la mitad de 300 que es 150. Como tenemos denominador 1 entonces nos enfocamos en lo que nos quedó en la parte de arriba. 150 por 5 nos da como resultado 750. Y de esa manera tenemos la respuesta a este ejercicio. El número del cual 300 es el 40% es 750. En otras palabras el 40% de 750 es 300.

[{"start": 0.0, "end": 8.0, "text": " Vamos a resolver este ejercicio. Nos preguntan de qu\u00e9 n\u00famero es 300 el 40%?"}, {"start": 8.0, "end": 13.0, "text": " Para ello vamos a utilizar la regla de tres simple directa."}, {"start": 13.0, "end": 21.0, "text": " Establecemos dos columnas, una que se llama Cantidal y la otra que se llama Porcentaje."}, {"start": 21.0, "end": 27.0, "text": " En la informaci\u00f3n del problema sabemos que 300 es el 40%."}, {"start": 27.0, "end": 37.0, "text": " Entonces 300 representa el 40% de cierto n\u00famero, X, que corresponde al 100%."}, {"start": 37.0, "end": 44.0, "text": " Entonces all\u00ed tenemos planteada la regla de tres simple directa con la inc\u00f3gnita X."}, {"start": 44.0, "end": 48.0, "text": " Vamos entonces a encontrar el valor de X."}, {"start": 48.0, "end": 62.0, "text": " Para ello multiplicamos estos dos n\u00fameros, 300 por 100 y dividimos entre el n\u00famero 40 que es el que nos queda libre."}, {"start": 62.0, "end": 66.0, "text": " Y vamos a simplificar al m\u00e1ximo esta operaci\u00f3n."}, {"start": 66.0, "end": 71.0, "text": " Podemos eliminar un 0 del 40 con un 0 del 100."}, {"start": 71.0, "end": 79.0, "text": " Eso es lo mismo que si hubi\u00e9ramos dividido entre 10 el n\u00famero 100 y el n\u00famero 40."}, {"start": 79.0, "end": 89.0, "text": " Tenemos tambi\u00e9n la posibilidad de sacar mitad de 4 que es 2 y por ejemplo mitad de 10 que es 5."}, {"start": 89.0, "end": 98.0, "text": " Y tambi\u00e9n podemos sacar mitad de 2 que es 1 y la mitad de 300 que es 150."}, {"start": 98.0, "end": 105.0, "text": " Como tenemos denominador 1 entonces nos enfocamos en lo que nos qued\u00f3 en la parte de arriba."}, {"start": 105.0, "end": 112.0, "text": " 150 por 5 nos da como resultado 750."}, {"start": 112.0, "end": 118.0, "text": " Y de esa manera tenemos la respuesta a este ejercicio."}, {"start": 118.0, "end": 127.0, "text": " El n\u00famero del cual 300 es el 40% es 750."}, {"start": 127.0, "end": 133.0, "text": " En otras palabras el 40% de 750 es 300."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=czhD25yYGmQ

PORCENTAJES - Ejercicio 2

#julioprofe explica cómo resolver el siguiente ejercicio: ¿Qué porcentaje es 425 de 500? Tema: #Porcentajes → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwGRI4dqGNnmeHBqw_otEp8B REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver este ejercicio. Nos preguntan ¿qué porcentaje es 425 de 500? Para ello vamos a utilizar una regla de tres simple directa. Establecemos dos columnas, una que se llame Cantidad y la otra porcentaje. Tenemos que 500 representa el 100%, 500 es el todo. Aquí queremos saber ¿425 qué porcentaje representa de 500? Entonces allí tenemos la regla de tres simple directa con la incógnita X. Procedemos entonces a encontrar ese valor de X de la siguiente manera. Multiplicamos estos dos números, 425 por 100 y dividimos entre el número que nos queda libre, que es 500. Y vamos a simplificar al máximo esta operación. Podemos eliminar ceros, los dos ceros del 500 con los dos ceros del 100. Es lo mismo que si hubiéramos dividido entre 100, el 100 de arriba con el 500 de abajo. Nos queda 1 y 5. Y ahora podemos simplificar 425 con el número 5. Ambos números son divisibles entre 5. Entonces decimos quinta de 5 es 1 y quinta de 425 sería 85. Entonces como ya tenemos denominador 1 nos queda únicamente arriba 85 por 1, que es 85. Entonces con esto respondemos a la pregunta. Tenemos que 425 es el 85% de 500. Y recordemos que la incógnita X está en la columna de porcentaje. Entonces el 85% de 500 es 425.

[{"start": 0.0, "end": 9.0, "text": " Vamos a resolver este ejercicio. Nos preguntan \u00bfqu\u00e9 porcentaje es 425 de 500?"}, {"start": 9.0, "end": 15.0, "text": " Para ello vamos a utilizar una regla de tres simple directa."}, {"start": 15.0, "end": 23.0, "text": " Establecemos dos columnas, una que se llame Cantidad y la otra porcentaje."}, {"start": 23.0, "end": 32.0, "text": " Tenemos que 500 representa el 100%, 500 es el todo."}, {"start": 32.0, "end": 41.0, "text": " Aqu\u00ed queremos saber \u00bf425 qu\u00e9 porcentaje representa de 500?"}, {"start": 41.0, "end": 47.0, "text": " Entonces all\u00ed tenemos la regla de tres simple directa con la inc\u00f3gnita X."}, {"start": 47.0, "end": 53.0, "text": " Procedemos entonces a encontrar ese valor de X de la siguiente manera."}, {"start": 53.0, "end": 68.0, "text": " Multiplicamos estos dos n\u00fameros, 425 por 100 y dividimos entre el n\u00famero que nos queda libre, que es 500."}, {"start": 68.0, "end": 80.0, "text": " Y vamos a simplificar al m\u00e1ximo esta operaci\u00f3n. Podemos eliminar ceros, los dos ceros del 500 con los dos ceros del 100."}, {"start": 80.0, "end": 90.0, "text": " Es lo mismo que si hubi\u00e9ramos dividido entre 100, el 100 de arriba con el 500 de abajo. Nos queda 1 y 5."}, {"start": 90.0, "end": 99.0, "text": " Y ahora podemos simplificar 425 con el n\u00famero 5. Ambos n\u00fameros son divisibles entre 5."}, {"start": 99.0, "end": 108.0, "text": " Entonces decimos quinta de 5 es 1 y quinta de 425 ser\u00eda 85."}, {"start": 108.0, "end": 117.0, "text": " Entonces como ya tenemos denominador 1 nos queda \u00fanicamente arriba 85 por 1, que es 85."}, {"start": 117.0, "end": 129.0, "text": " Entonces con esto respondemos a la pregunta. Tenemos que 425 es el 85% de 500."}, {"start": 129.0, "end": 151.0, "text": " Y recordemos que la inc\u00f3gnita X est\u00e1 en la columna de porcentaje. Entonces el 85% de 500 es 425."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=a8fEM586LQ4

PORCENTAJES - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo resolver el siguiente ejercicio: ¿Cuál es el 12% de 75? Tema: #Porcentajes → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwGRI4dqGNnmeHBqw_otEp8B REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Nos piden determinar cuál es el 12% de 75. Entonces vamos a resolver este ejercicio de dos maneras. Primero en forma directa y luego utilizando la regla de 3 simple directa. Veamos entonces la primera forma haciéndolo de manera directa. 12% de 75 puede escribirse como 12 sobre 100. Eso es lo que representa el porcentaje. Es decir la cantidad comparada contra el número 100 y la palabra D se convierte en multiplicación. Entonces 12 sobre 100 por 75, 75 es un número entero, entonces podemos escribirle denominador 1. Procedemos a multiplicar esas dos fracciones. Recordemos que se multiplican numeradores entre sí y denominadores entre sí. Entonces en el numerador escribimos la operación 12 por 75 y en el denominador escribimos 100 por 1. Y enseguida vamos a simplificar al máximo los números que tenemos allí. Siempre un número de arriba con un número de abajo. Por ejemplo podríamos simplificar 12 con 100. Tenemos dos números pares entonces podemos extraer la mitad de cada uno. Mitad de 12 es 6 y mitad de 100 es 50. Podemos seguir extrayendo mitad de 6 y 50. Mitad de 6 es 3 y mitad de 50 es 25. Con 75 y 25 tenemos la posibilidad de extraer quinta. Ambos números terminan en 5 por lo tanto tenemos garantizado que son divisibles entre 5. Quinta de 75 nos da 15 y quinta de 25 es 5. De nuevo tenemos 15 y 5 que pueden seguirse simplificando dividiendo entre 5. Quinta de 5 es 1 y quinta de 15 es 3. Cuando tenemos denominador 1 entonces nos concentramos en los números que quedaron arriba. Tenemos 3 por 3 y esto es igual a 9. Entonces respondemos a la pregunta ¿Cuál es el 12 por 100 de 75? La respuesta es 9. Veamos la otra manera de resolver este ejercicio que es utilizando una regla de 3 simple directa. Para ello establecemos dos columnas. Una que se llama cantidad y la otra que se llama porcentaje. Tenemos que 75 es el 100 por ciento. 75 es el todo y entonces tenemos que determinar que cantidad corresponde al 12 por ciento. Entonces aparece una incógnita X en lo que se llama una regla de 3 simple directa. La forma rápida de encontrar esa incógnita X es la siguiente. Multiplicamos estos dos números los que se encuentran en esta diagonal 75 por 12 y dividimos entre el número que nos queda libre. Y resolvemos esta operación. Vamos a simplificar al máximo de una manera diferente a como lo hicimos en la forma anterior. Aquí vamos a extraer quinta de 75 y de 100 por ejemplo. Quinta de 75 es 15, quinta de 100 es 20. Podemos extraer cuarta de 12 y cuarta de 20. Ambos números son divisibles entre 4. Cuarta de 20 es 5, cuarta de 12 es 3. Y con 15 y 5 podemos extraer nuevamente quinta. Ambos son divisibles entre 5. Quinta de 5 es 1 y quinta de 15 es 3. Como nos queda denominador 1 entonces multiplicamos los números que quedaron en la parte de arriba. 3 por 3 es 9 y así tenemos el valor de la incógnita X. Entonces se llega al mismo resultado. Tenemos que 9 es el 12 por ciento de 75.

[{"start": 0.0, "end": 5.0, "text": " Nos piden determinar cu\u00e1l es el 12% de 75."}, {"start": 5.0, "end": 9.0, "text": " Entonces vamos a resolver este ejercicio de dos maneras."}, {"start": 9.0, "end": 16.0, "text": " Primero en forma directa y luego utilizando la regla de 3 simple directa."}, {"start": 16.0, "end": 22.0, "text": " Veamos entonces la primera forma haci\u00e9ndolo de manera directa."}, {"start": 22.0, "end": 32.0, "text": " 12% de 75 puede escribirse como 12 sobre 100."}, {"start": 32.0, "end": 37.0, "text": " Eso es lo que representa el porcentaje."}, {"start": 37.0, "end": 45.0, "text": " Es decir la cantidad comparada contra el n\u00famero 100 y la palabra D se convierte en multiplicaci\u00f3n."}, {"start": 45.0, "end": 57.0, "text": " Entonces 12 sobre 100 por 75, 75 es un n\u00famero entero, entonces podemos escribirle denominador 1."}, {"start": 57.0, "end": 61.0, "text": " Procedemos a multiplicar esas dos fracciones."}, {"start": 61.0, "end": 68.0, "text": " Recordemos que se multiplican numeradores entre s\u00ed y denominadores entre s\u00ed."}, {"start": 68.0, "end": 81.0, "text": " Entonces en el numerador escribimos la operaci\u00f3n 12 por 75 y en el denominador escribimos 100 por 1."}, {"start": 81.0, "end": 86.0, "text": " Y enseguida vamos a simplificar al m\u00e1ximo los n\u00fameros que tenemos all\u00ed."}, {"start": 86.0, "end": 91.0, "text": " Siempre un n\u00famero de arriba con un n\u00famero de abajo."}, {"start": 91.0, "end": 95.0, "text": " Por ejemplo podr\u00edamos simplificar 12 con 100."}, {"start": 95.0, "end": 101.0, "text": " Tenemos dos n\u00fameros pares entonces podemos extraer la mitad de cada uno."}, {"start": 101.0, "end": 107.0, "text": " Mitad de 12 es 6 y mitad de 100 es 50."}, {"start": 107.0, "end": 112.0, "text": " Podemos seguir extrayendo mitad de 6 y 50."}, {"start": 112.0, "end": 119.0, "text": " Mitad de 6 es 3 y mitad de 50 es 25."}, {"start": 119.0, "end": 125.0, "text": " Con 75 y 25 tenemos 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de una manera diferente a como lo hicimos en la forma anterior."}, {"start": 243.0, "end": 249.0, "text": " Aqu\u00ed vamos a extraer quinta de 75 y de 100 por ejemplo."}, {"start": 249.0, "end": 255.0, "text": " Quinta de 75 es 15, quinta de 100 es 20."}, {"start": 255.0, "end": 259.0, "text": " Podemos extraer cuarta de 12 y cuarta de 20."}, {"start": 259.0, "end": 263.0, "text": " Ambos n\u00fameros son divisibles entre 4."}, {"start": 263.0, "end": 268.0, "text": " Cuarta de 20 es 5, cuarta de 12 es 3."}, {"start": 268.0, "end": 273.0, "text": " Y con 15 y 5 podemos extraer nuevamente quinta."}, {"start": 273.0, "end": 276.0, "text": " Ambos son divisibles entre 5."}, {"start": 276.0, "end": 282.0, "text": " Quinta de 5 es 1 y quinta de 15 es 3."}, {"start": 282.0, "end": 288.0, "text": " Como nos queda denominador 1 entonces multiplicamos los n\u00fameros que quedaron en la parte de arriba."}, {"start": 288.0, "end": 295.0, "text": " 3 por 3 es 9 y as\u00ed tenemos el valor de la inc\u00f3gnita X."}, {"start": 295.0, "end": 298.0, "text": " Entonces se llega al mismo resultado."}, {"start": 298.0, "end": 326.0, "text": " Tenemos que 9 es el 12 por ciento de 75."}]

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PERÍMETRO Y ÁREA DE UN CÍRCULO

#julioprofe expone las fórmulas para determinar el perímetro y el área de un círculo. También resuelve dos ejercicios de aplicación. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/3y2VtR

Vamos a ver las fórmulas para determinar el perímetro y el área de un círculo. Y también veremos dos ejercicios de aplicación. Para comenzar dibujamos esta línea que es la circunferencia con centro en este punto y que vamos a llamar O. La circunferencia se define como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo llamado centro. Esta línea de color rojo está formada por infinitos puntos y todos ellos equidistan o se encuentran a la misma distancia de este punto fijo llamado centro, que es el que hemos llamado con la letra O. Si de esos infinitos puntos seleccionamos uno y lo llamamos el punto P y lo conectamos con el punto O, o sea con el centro a través de un segmento de recta tenemos lo que se llama el radio R de la circunferencia. Entonces podemos decir que la medida del segmento OP es el radio de esa circunferencia. Ahora si trazamos otro segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia, vamos a llamarlos los puntos A y B, y a su vez ese segmento pasa por el centro, entonces tenemos lo que se llama el diámetro de la circunferencia. Entonces por acá tenemos que la medida del segmento AB es lo que se conoce como el diámetro D de la circunferencia. Vamos a señalarlo por aquí, este es el diámetro de esa circunferencia y como puede observarse es igual a dos radios, aquí tenemos un radio R y aquí tenemos otro radio R, por lo tanto decimos que el diámetro es igual a dos veces el radio. Ahora el círculo hace referencia a la región del plano que se encuentra limitada o bordeada por la circunferencia, entonces vale la pena hacer la diferenciación entre esos dos conceptos, circunferencia es la línea y círculo es la región del plano que está limitada por la circunferencia. Vamos entonces a determinar o a exponer aquí la fórmula para encontrar el perímetro del círculo, o sea la longitud de esta línea de color rojo que es la circunferencia. A esa longitud de la circunferencia o perímetro del círculo se le denota normalmente con la letra C y es igual a dos por el número pi por el radio R, esta es la fórmula que nos permite determinar la longitud de la circunferencia o el perímetro del círculo cuando conocemos el radio R. Recordemos que el número pi equivale a 3.14159 y una serie de números que nunca terminan porque este es un número decimal infinito no periódico, el continúa expandiéndose hacia la derecha y nunca termina, entonces vamos a trabajar únicamente el número pi como 3.14 usando dos cifras decimales. Como en esta fórmula tenemos el número 2 multiplicando con el número pi y a su vez multiplicando con el radio R, entonces podemos aplicar la propiedad conmutativa de la multiplicación, esa que nos dice que el orden de los factores no altera el producto, entonces podemos mover o cambiar de lugar estos componentes de la multiplicación, podemos escribir entonces como pi por 2 por R y observamos que 2 por R, dos veces el radio, aquí lo tenemos, es lo que equivale al diámetro, por lo tanto tenemos otra expresión para determinar la longitud de la circunferencia o el perímetro del círculo que será pi por el diámetro D, entonces vamos a destacar esta otra fórmula, tenemos dos fórmulas para encontrar el perímetro del círculo, esta la utilizamos cuando se conoce el radio y esta la utilizamos cuando conocemos el diámetro. A propósito de la última fórmula, longitud de la circunferencia igual a pi por D, tenemos que de allí se puede despejar el número pi, para ello el diámetro que está multiplicando aquí en el lado derecho pasa al lado izquierdo a dividir, nos queda entonces longitud de la circunferencia dividida entre el diámetro y esto es igual al número pi, queda despejado el número pi y esto recordemos es igual a 3.14 aproximando el número pi a dos cifras decimales, esta es entonces la procedencia del número pi, si tomamos cualquier círculo y medimos su contorno, o sea su perímetro que es la longitud de la circunferencia y eso lo dividimos entre la medida de su diámetro vamos a obtener siempre este resultado, o sea el número pi. Ahora para determinar el área del círculo se utiliza la siguiente expresión, área del círculo es igual al número pi multiplicado por la medida del radio elevada al cuadrado, entonces pi por R al cuadrado nos da como resultado el área del círculo, esta fórmula se utiliza cuando se conoce la medida del radio, como tenemos que el diámetro equivale a dos veces el radio, entonces de aquí podemos despejar el radio, para ello pasamos este 2 que está multiplicando al otro lado a dividir y nos queda de medios, el radio es igual a la mitad del diámetro, entonces vamos a realizar una sustitución, aquí donde tenemos R vamos a reemplazar de medios, veamos como nos queda, área del círculo será igual al número pi por, abrimos un paréntesis y reemplazamos R por de medios y todo esto se encuentra elevado al cuadrado, y a su vez podemos repartir o distribuir este exponente tanto para el numerador como para el denominador de esta fracción, recordemos que esa es una propiedad de la potenciación, entonces tenemos el número pi por D al cuadrado sobre 2 al cuadrado y de aquí llegamos a la siguiente fórmula, área del círculo es igual a pi por diámetro al cuadrado y podemos escribir todo esto sobre 2 al cuadrado que es igual a 4, tenemos otra fórmula para encontrar el área del círculo pero esta vez en términos del diámetro, entonces utilizamos esta si conocemos la medida del radio y utilizamos esta si conocemos la medida del diámetro, en resumen para un círculo de radio R o diámetro D, la longitud de la circunferencia o el perímetro de ese círculo se puede obtener con la fórmula 2 pi R si conocemos el radio o con la fórmula pi por D si conocemos el diámetro, y el área de ese círculo puede obtenerse con la fórmula pi por el radio al cuadrado o también pi por el diámetro al cuadrado sobre 4, todo depende de la información que conozcamos si es el radio o si es el diámetro, vamos a ver enseguida dos ejercicios de aplicación de estas fórmulas, veamos el primer ejercicio, dice encontrar el perímetro y el área de un círculo de radio 10 centímetros, vamos entonces a solucionarlo, tenemos la información del radio que es 10 centímetros, entonces R igual a 10 centímetros y tenemos que encontrar el perímetro del círculo, o sea la longitud de la circunferencia y también el área del círculo, esas son las dos preguntas, veamos entonces, vamos a comenzar por la longitud de la circunferencia, como conocemos el radio, entonces usamos la fórmula 2 pi por R y vamos a reemplazar aquí la medida del radio que es 10 centímetros, multiplicamos 2 por 10 que nos da 20, escribimos enseguida el número pi, esto es 20 por pi o simplemente 20 pi centímetros, podríamos dejar la respuesta expresada de esta manera o también podemos llevarla a la forma decimal, para ello utilizamos el número pi como 3.14 y lo multiplicamos por 20, vamos a realizar esa operación por aquí, tenemos 3.14 multiplicado por 20, entonces tenemos la multiplicación de un número decimal por un número entero, veamos 0 por 4 nos da 0, 0 por 1 es 0, 0 por 3 nos da 0, 2 por 4 es 8, 2 por 1 es 2 y 2 por 3 es 6, hacemos la suma en forma vertical, tenemos 0, 8, 2 y 6, al resultado tenemos que dejarle el total de decimales que aportan estos dos números, o sea los factores, los dos números que participan en la multiplicación, el primer número aporta dos lugares decimales y el segundo número no aporta ninguno porque 20 es número entero, entonces el total de decimales que tenemos que dejar en este resultado es 2, este y este por lo tanto escribimos el punto decimal aquí, nos queda 62.80 que lo podemos escribir simplemente como 62.8, vamos a escribirlo por aquí, entonces 20pi es 62.8 centímetros y eso corresponde al perímetro del círculo o la longitud de la circunferencia, vamos a escribir esa respuesta por aquí donde tenemos el perímetro, entonces nos dio C igual a 20pi centímetros o en forma decimal 62.8 centímetros, ahora vamos a encontrar el área del círculo, utilizamos la fórmula que contiene el radio, la que dice pi por r al cuadrado, entonces vamos a reemplazar la medida del radio que es 10 centímetros, todo esto al cuadrado, tenemos el número pi por r, el cuadrado afecta tanto al número como a la unidad de medida, entonces tenemos 10 al cuadrado y centímetros cuadrados, seguimos, 10 al cuadrado es 10 por 10 o sea 100 y nos queda 100 por pi o simplemente 100pi centímetros cuadrados, si queremos dar la respuesta en forma indicada la dejamos de esta manera, si queremos expresarla usando la forma decimal del número pi, entonces utilizamos 3.14, esto nos va a quedar 100 por 3.14 y todo esto en centímetros cuadrados, para realizar esta multiplicación de forma rápida utilizamos aquella técnica o aquel truco que nos dice que al multiplicar por 100 el punto decimal se corre a la derecha dos lugares, entonces obtenemos el número 314 en centímetros cuadrados, entonces de esa manera tenemos ya el resultado del área del circulo, área del circulo puede darse como 100pi centímetros cuadrados o también como 314 centímetros cuadrados, así terminamos este primer ejercicio, veamos el segundo ejercicio, dice lo siguiente, encontrar el diámetro y el perímetro de un circulo de área 9pi metros cuadrados, veamos entonces como se soluciona, conocemos el área del circulo que tiene un valor de 9pi o sea 9 por pi metros cuadrados y tenemos que encontrar cuanto mide su diámetro y cual es el perímetro de ese circulo o sea cual es la longitud de la circunferencia, como se conoce el valor del área del circulo y necesitamos el diámetro vamos a utilizar la formula área del circulo igual a pi por diámetro al cuadrado sobre cuadro, entonces vamos a reemplazar lo que se conoce, la área del circulo es 9pi metros cuadrados y esto queda igual a esta expresión, pi por el diámetro al cuadrado sobre 4 y entonces vamos a realizar poco a poco el despeje del diámetro de esta igualdad, vamos a continuar por acá, tenemos entonces que el 4 que está dividiendo pasa a este lado a multiplicar, nos queda 4 por 9pi metros cuadrados igual a pi por diámetro al cuadrado, multiplicamos 4 por 9 eso nos da 36pi en metros cuadrados y esto es igual a pi por diámetro al cuadrado, luego pi que está multiplicando aquí en el lado derecho pasa al lado izquierdo a dividir, entonces nos queda 36pi metros cuadrados todo esto dividido entre pi y esto es igual a diámetro al cuadrado, aquí podemos simplificar el número pi, arriba está multiplicando con 36 entonces lo podemos eliminar con el número pi que tenemos en la parte de abajo, esto nos da 36 metros cuadrados igual a diámetro al cuadrado, ahora para despejar el diámetro de esta igualdad extraemos raíz cuadrada a ambos lados de la misma, tenemos aquí 36 metros cuadrados y por aquí escribimos d al cuadrado, entonces en el lado izquierdo la raíz cuadrada afecta al número y afecta también a la unidad de medida, entonces raíz cuadrada de 36 es 6 y raíz cuadrada de metro al cuadrado nos queda metro, al otro lado la raíz cuadrada se simplifica con el exponente 2 y nos queda d, vamos a borrar esto de aquí, bueno legalmente cuando se extrae una raíz cuadrada deben considerarse dos opciones, una positiva y otra negativa, sin embargo como estamos determinando el diámetro del circulo y el diámetro es una longitud entonces nos quedamos necesariamente con la cantidad positiva, descartamos la opción negativa, entonces tenemos que el diámetro de ese circulo es 6 metros, vamos a escribir esa respuesta por aquí, diámetro igual a 6 metros, sabiendo el valor del diámetro podemos determinar la longitud de la circunferencia o perímetro del circulo, utilizamos entonces la fórmula que dice c igual a pi por d, porque como decimos se sabe cuanto mide el diámetro, vamos entonces a reemplazar la medida del diámetro que es 6 metros, entonces pi por 6 se puede escribir simplemente como 6 pi y esto en metros, entonces ya tenemos para el perímetro del circulo el valor expresado, seria c igual a 6 pi en metros, veamos a cuanto equivale el número decimal, hacemos la operación 3.14 que es el número pi por 6, otra vez tenemos un número decimal que multiplica con 1 entero, 6 por 4 es 24, llevamos 2, 6 por 1 es 6 y 2 que llevamos es 8, 6 por 3 es 18, y en el resultado dejamos 2 lugares decimales, nos queda 18.84, entonces aquí podemos dar la respuesta en forma decimal, 18.84 metros, no podemos olvidar la unidad de medida, entonces es el perímetro del circulo, tenemos el diámetro y el perímetro del circulo y de esa manera terminamos el segundo ejercicio.

[{"start": 0.0, "end": 7.0, "text": " Vamos a ver las f\u00f3rmulas para determinar el per\u00edmetro y el \u00e1rea de un c\u00edrculo."}, {"start": 7.0, "end": 12.0, "text": " Y tambi\u00e9n veremos dos ejercicios de aplicaci\u00f3n."}, {"start": 12.0, "end": 23.0, "text": " Para comenzar dibujamos esta l\u00ednea que es la circunferencia con centro en este punto y que vamos a llamar O."}, {"start": 23.0, "end": 32.0, "text": " La circunferencia se define como el lugar geom\u00e9trico de los puntos que equidistan de un punto fijo llamado centro."}, {"start": 32.0, "end": 47.0, "text": " Esta l\u00ednea de color rojo est\u00e1 formada por infinitos puntos y todos ellos equidistan o se encuentran a la misma distancia de este punto fijo llamado centro,"}, {"start": 47.0, "end": 52.0, "text": " que es el que hemos llamado con la letra O."}, {"start": 52.0, "end": 66.0, "text": " Si de esos infinitos puntos seleccionamos uno y lo llamamos el punto P y lo conectamos con el punto O,"}, {"start": 66.0, "end": 76.0, "text": " o sea con el centro a trav\u00e9s de un segmento de recta tenemos lo que se llama el radio R de la circunferencia."}, {"start": 76.0, "end": 87.0, "text": " Entonces podemos decir que la medida del segmento OP es el radio de esa circunferencia."}, {"start": 87.0, "end": 98.0, "text": " Ahora si trazamos otro segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia, vamos a llamarlos los puntos A y B,"}, {"start": 98.0, "end": 107.0, "text": " y a su vez ese segmento pasa por el centro, entonces tenemos lo que se llama el di\u00e1metro de la circunferencia."}, {"start": 107.0, "end": 118.0, "text": " Entonces por ac\u00e1 tenemos que la medida del segmento AB es lo que se conoce como el di\u00e1metro D de la circunferencia."}, {"start": 118.0, "end": 128.0, "text": " Vamos a se\u00f1alarlo por aqu\u00ed, este es el di\u00e1metro de esa circunferencia y como puede observarse es igual a dos radios,"}, {"start": 128.0, "end": 139.0, "text": " aqu\u00ed tenemos un radio R y aqu\u00ed tenemos otro radio R, por lo tanto decimos que el di\u00e1metro es igual a dos veces el radio."}, {"start": 139.0, "end": 151.0, "text": " Ahora el c\u00edrculo hace referencia a la regi\u00f3n del plano que se encuentra limitada o bordeada por la circunferencia,"}, {"start": 151.0, "end": 167.0, "text": " entonces vale la pena hacer la diferenciaci\u00f3n entre esos dos conceptos, circunferencia es la l\u00ednea y c\u00edrculo es la regi\u00f3n del plano que est\u00e1 limitada por la circunferencia."}, {"start": 167.0, "end": 176.0, "text": " Vamos entonces a determinar o a exponer aqu\u00ed la f\u00f3rmula para encontrar el per\u00edmetro del c\u00edrculo,"}, {"start": 176.0, "end": 182.0, "text": " o sea la longitud de esta l\u00ednea de color rojo que es la circunferencia."}, {"start": 182.0, "end": 196.0, "text": " A esa longitud de la circunferencia o per\u00edmetro del c\u00edrculo se le denota normalmente con la letra C y es igual a dos por el n\u00famero pi por el radio R,"}, {"start": 196.0, "end": 208.0, "text": " esta es la f\u00f3rmula que nos permite determinar la longitud de la circunferencia o el per\u00edmetro del c\u00edrculo cuando conocemos el radio R."}, {"start": 208.0, "end": 223.0, "text": " Recordemos que el n\u00famero pi equivale a 3.14159 y una serie de n\u00fameros que nunca terminan porque este es un n\u00famero decimal infinito no peri\u00f3dico,"}, {"start": 223.0, "end": 237.0, "text": " el contin\u00faa expandi\u00e9ndose hacia la derecha y nunca termina, entonces vamos a trabajar \u00fanicamente el n\u00famero pi como 3.14 usando dos cifras decimales."}, {"start": 237.0, "end": 255.0, "text": " Como en esta f\u00f3rmula tenemos el n\u00famero 2 multiplicando con el n\u00famero pi y a su vez multiplicando con el radio R, entonces podemos aplicar la propiedad conmutativa de la multiplicaci\u00f3n,"}, {"start": 255.0, "end": 267.0, "text": " esa que nos dice que el orden de los factores no altera el producto, entonces podemos mover o cambiar de lugar estos componentes de la multiplicaci\u00f3n,"}, {"start": 267.0, "end": 286.0, "text": " podemos escribir entonces como pi por 2 por R y observamos que 2 por R, dos veces el radio, aqu\u00ed lo tenemos, es lo que equivale al di\u00e1metro, por lo tanto tenemos otra expresi\u00f3n"}, {"start": 286.0, "end": 301.0, "text": " para determinar la longitud de la circunferencia o el per\u00edmetro del c\u00edrculo que ser\u00e1 pi por el di\u00e1metro D, entonces vamos a destacar esta otra f\u00f3rmula,"}, {"start": 301.0, "end": 313.0, "text": " tenemos dos f\u00f3rmulas para encontrar el per\u00edmetro del c\u00edrculo, esta la utilizamos cuando se conoce el radio y esta la utilizamos cuando conocemos el di\u00e1metro."}, {"start": 313.0, "end": 325.0, "text": " A prop\u00f3sito de la \u00faltima f\u00f3rmula, longitud de la circunferencia igual a pi por D, tenemos que de all\u00ed se puede despejar el n\u00famero pi,"}, {"start": 325.0, "end": 339.0, "text": " para ello el di\u00e1metro que est\u00e1 multiplicando aqu\u00ed en el lado derecho pasa al lado izquierdo a dividir, nos queda entonces longitud de la circunferencia dividida entre el di\u00e1metro"}, {"start": 339.0, "end": 352.0, "text": " y esto es igual al n\u00famero pi, queda despejado el n\u00famero pi y esto recordemos es igual a 3.14 aproximando el n\u00famero pi a dos cifras decimales,"}, {"start": 352.0, "end": 365.0, "text": " esta es entonces la procedencia del n\u00famero pi, si tomamos cualquier c\u00edrculo y medimos su contorno, o sea su per\u00edmetro que es la longitud de la circunferencia"}, {"start": 365.0, "end": 375.0, "text": " y eso lo dividimos entre la medida de su di\u00e1metro vamos a obtener siempre este resultado, o sea el n\u00famero pi."}, {"start": 375.0, "end": 390.0, "text": " Ahora para determinar el \u00e1rea del c\u00edrculo se utiliza la siguiente expresi\u00f3n, \u00e1rea del c\u00edrculo es igual al n\u00famero pi multiplicado por la medida del radio elevada al cuadrado,"}, {"start": 390.0, "end": 402.0, "text": " entonces pi por R al cuadrado nos da como resultado el \u00e1rea del c\u00edrculo, esta f\u00f3rmula se utiliza cuando se conoce la medida del radio,"}, {"start": 402.0, "end": 420.0, "text": " como tenemos que el di\u00e1metro equivale a dos veces el radio, entonces de aqu\u00ed podemos despejar el radio, para ello pasamos este 2 que est\u00e1 multiplicando al otro lado a dividir y nos queda de medios,"}, {"start": 420.0, "end": 432.0, "text": " el radio es igual a la mitad del di\u00e1metro, entonces vamos a realizar una sustituci\u00f3n, aqu\u00ed donde tenemos R vamos a reemplazar de medios, veamos como nos queda,"}, {"start": 432.0, "end": 448.0, "text": " \u00e1rea del c\u00edrculo ser\u00e1 igual al n\u00famero pi por, abrimos un par\u00e9ntesis y reemplazamos R por de medios y todo esto se encuentra elevado al cuadrado,"}, {"start": 448.0, "end": 462.0, "text": " y a su vez podemos repartir o distribuir este exponente tanto para el numerador como para el denominador de esta fracci\u00f3n, recordemos que esa es una propiedad de la potenciaci\u00f3n,"}, {"start": 462.0, "end": 485.0, "text": " entonces tenemos el n\u00famero pi por D al cuadrado sobre 2 al cuadrado y de aqu\u00ed llegamos a la siguiente f\u00f3rmula, \u00e1rea del c\u00edrculo es igual a pi por di\u00e1metro al cuadrado y podemos escribir todo esto sobre 2 al cuadrado que es igual a 4,"}, {"start": 485.0, "end": 504.0, "text": " tenemos otra f\u00f3rmula para encontrar el \u00e1rea del c\u00edrculo pero esta vez en t\u00e9rminos del di\u00e1metro, entonces utilizamos esta si conocemos la medida del radio y utilizamos esta si conocemos la medida del di\u00e1metro,"}, {"start": 504.0, "end": 525.0, "text": " en resumen para un c\u00edrculo de radio R o di\u00e1metro D, la longitud de la circunferencia o el per\u00edmetro de ese c\u00edrculo se puede obtener con la f\u00f3rmula 2 pi R si conocemos el radio o con la f\u00f3rmula pi por D si conocemos el di\u00e1metro,"}, {"start": 525.0, "end": 545.0, "text": " y el \u00e1rea de ese c\u00edrculo puede obtenerse con la f\u00f3rmula pi por el radio al cuadrado o tambi\u00e9n pi por el di\u00e1metro al cuadrado sobre 4, todo depende de la informaci\u00f3n que conozcamos si es el radio o si es el di\u00e1metro,"}, {"start": 545.0, "end": 563.0, "text": " vamos a ver enseguida dos ejercicios de aplicaci\u00f3n de estas f\u00f3rmulas, veamos el primer ejercicio, dice encontrar el per\u00edmetro y el \u00e1rea de un c\u00edrculo de radio 10 cent\u00edmetros, vamos entonces a solucionarlo,"}, {"start": 563.0, "end": 585.0, "text": " tenemos la informaci\u00f3n del radio que es 10 cent\u00edmetros, entonces R igual a 10 cent\u00edmetros y tenemos que encontrar el per\u00edmetro del c\u00edrculo, o sea la longitud de la circunferencia y tambi\u00e9n el \u00e1rea del c\u00edrculo, esas son las dos preguntas,"}, {"start": 585.0, "end": 603.0, "text": " veamos entonces, vamos a comenzar por la longitud de la circunferencia, como conocemos el radio, entonces usamos la f\u00f3rmula 2 pi por R y vamos a reemplazar aqu\u00ed la medida del radio que es 10 cent\u00edmetros,"}, {"start": 603.0, "end": 621.0, "text": " multiplicamos 2 por 10 que nos da 20, escribimos enseguida el n\u00famero pi, esto es 20 por pi o simplemente 20 pi cent\u00edmetros, podr\u00edamos dejar la respuesta expresada de esta manera o tambi\u00e9n podemos llevarla a la forma decimal,"}, {"start": 621.0, "end": 642.0, "text": " para ello utilizamos el n\u00famero pi como 3.14 y lo multiplicamos por 20, vamos a realizar esa operaci\u00f3n por aqu\u00ed, tenemos 3.14 multiplicado por 20, entonces tenemos la multiplicaci\u00f3n de un n\u00famero decimal por un n\u00famero entero,"}, {"start": 642.0, "end": 666.0, "text": " veamos 0 por 4 nos da 0, 0 por 1 es 0, 0 por 3 nos da 0, 2 por 4 es 8, 2 por 1 es 2 y 2 por 3 es 6, hacemos la suma en forma vertical, tenemos 0, 8, 2 y 6,"}, {"start": 666.0, "end": 677.0, "text": " al resultado tenemos que dejarle el total de decimales que aportan estos dos n\u00fameros, o sea los factores, los dos n\u00fameros que participan en la multiplicaci\u00f3n,"}, {"start": 677.0, "end": 691.0, "text": " el primer n\u00famero aporta dos lugares decimales y el segundo n\u00famero no aporta ninguno porque 20 es n\u00famero entero, entonces el total de decimales que tenemos que dejar en este resultado es 2,"}, {"start": 691.0, "end": 703.0, "text": " este y este por lo tanto escribimos el punto decimal aqu\u00ed, nos queda 62.80 que lo podemos escribir simplemente como 62.8, vamos a escribirlo por aqu\u00ed,"}, {"start": 703.0, "end": 721.0, "text": " entonces 20pi es 62.8 cent\u00edmetros y eso corresponde al per\u00edmetro del c\u00edrculo o la longitud de la circunferencia, vamos a escribir esa respuesta por aqu\u00ed donde tenemos el per\u00edmetro,"}, {"start": 721.0, "end": 741.0, "text": " entonces nos dio C igual a 20pi cent\u00edmetros o en forma decimal 62.8 cent\u00edmetros, ahora vamos a encontrar el \u00e1rea del c\u00edrculo,"}, {"start": 741.0, "end": 755.0, "text": " utilizamos la f\u00f3rmula que contiene el radio, la que dice pi por r al cuadrado, entonces vamos a reemplazar la medida del radio que es 10 cent\u00edmetros,"}, {"start": 755.0, "end": 772.0, "text": " todo esto al cuadrado, tenemos el n\u00famero pi por r, el cuadrado afecta tanto al n\u00famero como a la unidad de medida, entonces tenemos 10 al cuadrado y cent\u00edmetros cuadrados,"}, {"start": 772.0, "end": 790.0, "text": " seguimos, 10 al cuadrado es 10 por 10 o sea 100 y nos queda 100 por pi o simplemente 100pi cent\u00edmetros cuadrados, si queremos dar la respuesta en forma indicada la dejamos de esta manera,"}, {"start": 790.0, "end": 810.0, "text": " si queremos expresarla usando la forma decimal del n\u00famero pi, entonces utilizamos 3.14, esto nos va a quedar 100 por 3.14 y todo esto en cent\u00edmetros cuadrados,"}, {"start": 810.0, "end": 826.0, "text": " para realizar esta multiplicaci\u00f3n de forma r\u00e1pida utilizamos aquella t\u00e9cnica o aquel truco que nos dice que al multiplicar por 100 el punto decimal se corre a la derecha dos lugares,"}, {"start": 826.0, "end": 848.0, "text": " entonces obtenemos el n\u00famero 314 en cent\u00edmetros cuadrados, entonces de esa manera tenemos ya el resultado del \u00e1rea del circulo, \u00e1rea del circulo puede darse como 100pi cent\u00edmetros cuadrados"}, {"start": 848.0, "end": 863.0, "text": " o tambi\u00e9n como 314 cent\u00edmetros cuadrados, as\u00ed terminamos este primer ejercicio, veamos el segundo ejercicio, dice lo siguiente,"}, {"start": 863.0, "end": 888.0, "text": " encontrar el di\u00e1metro y el per\u00edmetro de un circulo de \u00e1rea 9pi metros cuadrados, veamos entonces como se soluciona, conocemos el \u00e1rea del circulo que tiene un valor de 9pi o sea 9 por pi metros cuadrados"}, {"start": 888.0, "end": 900.0, "text": " y tenemos que encontrar cuanto mide su di\u00e1metro y cual es el per\u00edmetro de ese circulo o sea cual es la longitud de la circunferencia,"}, {"start": 900.0, "end": 919.0, "text": " como se conoce el valor del \u00e1rea del circulo y necesitamos el di\u00e1metro vamos a utilizar la formula \u00e1rea del circulo igual a pi por di\u00e1metro al cuadrado sobre cuadro, entonces vamos a reemplazar lo que se conoce,"}, {"start": 919.0, "end": 939.0, "text": " la \u00e1rea del circulo es 9pi metros cuadrados y esto queda igual a esta expresi\u00f3n, pi por el di\u00e1metro al cuadrado sobre 4 y entonces vamos a realizar poco a poco el despeje del di\u00e1metro de esta igualdad,"}, {"start": 939.0, "end": 959.0, "text": " vamos a continuar por ac\u00e1, tenemos entonces que el 4 que est\u00e1 dividiendo pasa a este lado a multiplicar, nos queda 4 por 9pi metros cuadrados igual a pi por di\u00e1metro al cuadrado,"}, {"start": 959.0, "end": 976.0, "text": " multiplicamos 4 por 9 eso nos da 36pi en metros cuadrados y esto es igual a pi por di\u00e1metro al cuadrado, luego pi que est\u00e1 multiplicando aqu\u00ed en el lado derecho pasa al lado izquierdo a dividir,"}, {"start": 976.0, "end": 989.0, "text": " entonces nos queda 36pi metros cuadrados todo esto dividido entre pi y esto es igual a di\u00e1metro al cuadrado, aqu\u00ed podemos simplificar el n\u00famero pi,"}, {"start": 989.0, "end": 1003.0, "text": " arriba est\u00e1 multiplicando con 36 entonces lo podemos eliminar con el n\u00famero pi que tenemos en la parte de abajo, esto nos da 36 metros cuadrados igual a di\u00e1metro al cuadrado,"}, {"start": 1003.0, "end": 1023.0, "text": " ahora para despejar el di\u00e1metro de esta igualdad extraemos ra\u00edz cuadrada a ambos lados de la misma, tenemos aqu\u00ed 36 metros cuadrados y por aqu\u00ed escribimos d al cuadrado,"}, {"start": 1023.0, "end": 1039.0, "text": " entonces en el lado izquierdo la ra\u00edz cuadrada afecta al n\u00famero y afecta tambi\u00e9n a la unidad de medida, entonces ra\u00edz cuadrada de 36 es 6 y ra\u00edz cuadrada de metro al cuadrado nos queda metro,"}, {"start": 1039.0, "end": 1054.0, "text": " al otro lado la ra\u00edz cuadrada se simplifica con el exponente 2 y nos queda d, vamos a borrar esto de aqu\u00ed, bueno legalmente cuando se extrae una ra\u00edz cuadrada deben considerarse dos opciones,"}, {"start": 1054.0, "end": 1069.0, "text": " una positiva y otra negativa, sin embargo como estamos determinando el di\u00e1metro del circulo y el di\u00e1metro es una longitud entonces nos quedamos necesariamente con la cantidad positiva,"}, {"start": 1069.0, "end": 1087.0, "text": " descartamos la opci\u00f3n negativa, entonces tenemos que el di\u00e1metro de ese circulo es 6 metros, vamos a escribir esa respuesta por aqu\u00ed, di\u00e1metro igual a 6 metros,"}, {"start": 1087.0, "end": 1100.0, "text": " sabiendo el valor del di\u00e1metro podemos determinar la longitud de la circunferencia o per\u00edmetro del circulo, utilizamos entonces la f\u00f3rmula que dice c igual a pi por d,"}, {"start": 1100.0, "end": 1119.0, "text": " porque como decimos se sabe cuanto mide el di\u00e1metro, vamos entonces a reemplazar la medida del di\u00e1metro que es 6 metros, entonces pi por 6 se puede escribir simplemente como 6 pi y esto en metros,"}, {"start": 1119.0, "end": 1132.0, "text": " entonces ya tenemos para el per\u00edmetro del circulo el valor expresado, seria c igual a 6 pi en metros, veamos a cuanto equivale el n\u00famero decimal,"}, {"start": 1132.0, "end": 1153.0, "text": " hacemos la operaci\u00f3n 3.14 que es el n\u00famero pi por 6, otra vez tenemos un n\u00famero decimal que multiplica con 1 entero, 6 por 4 es 24, llevamos 2, 6 por 1 es 6 y 2 que llevamos es 8, 6 por 3 es 18,"}, {"start": 1153.0, "end": 1173.0, "text": " y en el resultado dejamos 2 lugares decimales, nos queda 18.84, entonces aqu\u00ed podemos dar la respuesta en forma decimal, 18.84 metros, no podemos olvidar la unidad de medida,"}, {"start": 1173.0, "end": 1184.0, "text": " entonces es el per\u00edmetro del circulo, tenemos el di\u00e1metro y el per\u00edmetro del circulo y de esa manera terminamos el segundo ejercicio."}]

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MULTIPLICADORES DE LAGRANGE - Problema 1

#julioprofe explica un problema de optimización sujeto a una restricción, utilizando el Método de los Multiplicadores de Lagrange. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

Se requiere cortar y decorar un espejo rectangular de area 40 decímetros cuadrados. Si los adornos a lo largo de los lados horizontales cuestan 16 centavos por decímetro y los de los lados verticales cuestan 25 centavos por decímetro. ¿Cuáles son las dimensiones que minimizan el costo total? Vamos a resolver este problema de optimización con una restricción utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange. Para comenzar dibujamos un rectángulo que represente el espejo. Este debe tener un área de 40 decímetros cuadrados y vamos a llamar sus dimensiones X y Y. Las que tenemos que encontrar para minimizar el costo de decorar o adornar ese espejo. Tenemos que los lados horizontales tienen un costo de 16 centavos por decímetro. El material con que se decora esta parte del espejo, los lados horizontales, tiene este costo 16 centavos por decímetro. Y el costo del material con que se hace la decoración de los lados verticales es de 25 centavos por decímetro. Con esta información tenemos que encontrar cuanto vale X y cuanto vale Y para que este espejo resulte ser el más económico. Es conveniente hacer la aclaración de que las letras X y Y son cantidades positivas en el problema. Lógicamente debe ser así porque se trata de las dimensiones de ese rectángulo. También se especifica que X y Y son medidas en decímetros. Nos guiamos por el dato que nos dan del área del espejo que se encuentra en decímetros cuadrados. Entonces establecemos esto al inicio del problema. Enseguida vamos a determinar lo que se llama la función objetivo, es decir, aquello que queremos optimizar en este problema. En este caso tenemos que lograr que el espejo sea el más económico. Por lo tanto la función objetivo será la función de costo. El costo en este problema está determinado por la decoración del espejo. Es la única información que nos dan en términos de costos. Tenemos que los lados horizontales totalizan una distancia de 2X, X más X y eso tiene un costo de 16 centavos por decímetro. Entonces tendríamos 2X decímetros multiplicado por 16 centavos por decímetro. Decímetros con decímetros se cancelan y nos queda esta cantidad en centavos. Esto totaliza el costo de decorar los lados horizontales del espejo. Y a eso le sumamos lo que cuesta decorar los lados verticales que totalizan una distancia de 2Y. Si tenemos Y más Y que es 2Y y eso multiplicado por el costo unitario o por el costo de cada decímetro de este material que es 25 centavos. Resolvemos esto. Tenemos 2X por 16, 32X más 2Y por 25 que es 50Y. Esto es lo que se conoce como la función objetivo. Bueno, vamos a llamar f de X, Y como se acostumbra en el método de los multiplicadores de Lagrange. Entonces tenemos que f de X, Y es igual a 32X más 50Y. Tenemos así la función objetivo. Esta función que dijimos que se llama función objetivo es la que se quiere optimizar. Más exactamente se quiere minimizar. Porque se trata del costo de decorar el espejo. Pero esa optimización está sujeta a una restricción que la vamos a determinar. Se trata del área del espejo. Es una condición que no podemos pasar por alto. Siempre debemos tener en cuenta que tenemos que cumplir con este requisito. Que el área del espejo sea de 40 decímetros cuadrados. Entonces como sus dimensiones son X y Y tenemos que X que es el largo por Y que es el ancho. Esto nos tiene que dar como resultado el área del espejo que es 40 decímetros cuadrados. Pero en el método de los multiplicadores de Lagrange se acostumbra tener la restricción igualada a 0. Entonces este número lo pasamos para el lado izquierdo. Tenemos entonces X, Y menos 40 y esto igualado a 0. Y esta expresión la que nos queda al lado izquierdo del signo igual es lo que se conoce como G de X, Y. Entonces vamos a destacarla. G de X, Y es igual a X, Y menos 40. Tenemos ya los componentes F y G. Para proceder a utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange. Que se utiliza para situaciones como esta donde tenemos que optimizar una función sujeta a una restricción. El método de los multiplicadores de Lagrange dice que el gradiente de F tiene que ser igual a lambda por el gradiente de G. Vector gradiente de la función objetivo tiene que ser igual a lambda a veces. Este lambda es el multiplicador de Lagrange. Entonces lambda a veces el gradiente de G que es la restricción. Recordemos que el vector gradiente está conformado por las derivadas parciales. Como en este caso tenemos funciones de dos variables. Entonces el gradiente de F es el vector conformado por Fx y Fy. Las derivadas parciales de la función con respecto a X y con respecto a Y. Y esto es igual a lambda por el vector gradiente de G que sería Gx y Gy. Estas son sus componentes. En seguida vamos a distribuir este escalar lambda. Lambda es un número real que puede entrar al vector. Entonces nos queda lambda por G de X y lambda por Gy. O sea por las derivadas parciales de la función G. Y allí utilizamos lo que se llama la igualdad de vectores. Igualamos componentes X entre sí. Tenemos Fx igual a lambda por Gx y también igualamos las componentes en Y. Y de aquí vamos a despejar lambda en cada uno de estos casos. Por allá tenemos que lambda es igual a Fx sobre Gx y por aquí tenemos que lambda es igual a Fy sobre Gy. Con esto que tenemos vamos a igualar estas dos expresiones debido a que lambda se encuentra despejada en las dos situaciones. Nos queda entonces Fx sobre Gx igual a Fy sobre Gy. De esa manera nos deshacemos del multiplicador de Lagrange. Este nos sirve para conectar estas dos expresiones en una igualdad. Y eso lo vamos a completar con las derivadas parciales con respecto a X y Y de estas dos funciones. Entonces veamos la derivada parcial de F con respecto a X será 32. Nos concentramos aquí porque este término es constante entonces la derivada de 32X es simplemente 32. Y la derivada de F con respecto a Y entonces nos concentramos aquí. Porque ahora este término es constante su derivada es 0. La derivada de 50Y es 50. Pasamos a la función G donde tenemos que la derivada parcial con respecto a X será únicamente Y. Si derivamos con respecto a X, Y es constante. Entonces en este producto, Y es constante y X es variable. Por lo tanto la derivada de XY es la constante Y. Y la derivada de menos 40 es 0. Ahora derivamos con respecto a Y donde ahora la X es la letra que se comporta como constante. Entonces la derivada de XY será la constante X. De nuevo la derivada de menos 40 es 0. Vamos entonces a completar con cada uno de estos componentes esta igualdad. Tenemos F de X que es 32 sobre GX que es Y. Esto es igual a FY que vale 50 sobre GY que es X. Aquí podemos pasar X que está dividiendo a multiplicar al lado izquierdo. Nos queda 32X y también hacemos lo mismo con Y que está dividiendo a este lado. Entonces pasa a multiplicar al otro lado. Nos queda igual a 50Y. Esa expresión la podemos simplificar dividiéndola entre dos. Dividimos por dos ambos lados de la igualdad y nos queda 16X igual a 25Y. Esta expresión, esta igualdad la vamos a llamar la número 1. Esa expresión número 1 que es 16X igual a 25Y junto con la restricción que la vamos a llamar R. Recordemos que al comienzo la restricción decía X por Y igual a 40 que es el área del espejo. Entonces allí tenemos un sistema de ecuaciones de dos por dos. Vamos entonces a resolverlo. De la expresión 1 podemos despejar por ejemplo X. Nos queda que X es igual a 25Y sobre 16. Y esta se convierte en una nueva expresión que podemos llamar la número 2. A continuación podemos hacer una sustitución. Sustituimos 2 en R. Vamos a escribir eso por acá. Sustituimos la expresión 2 en la expresión que llamamos R. Nos queda X que es 25Y sobre 16 por Y y esto igual a 40. Multiplicamos numeradores. Tenemos 25Y cuadrado sobre 16 igual a 40. Y de allí vamos a despejar Y al cuadrado. 16 que está dividiendo pasa al otro lado a multiplicar con 40. Y 25 que queda multiplicando con Y cuadrado pasa a dividir. Allí podemos simplificar. Es el caso de 40 y 25 que tienen quinta. Quinta de 40 es 8. Quinta de 25 nos da 5. Entonces esto nos queda Y al cuadrado igual a 8 por 16 que sería 128 sobre 5. Y de allí vamos a despejar Y. Y nos queda igual a más o menos la raíz cuadrada de 128 quintos. Pero habíamos dicho al comienzo del problema que tanto X como Y son cantidades positivas. Por ser las dimensiones del rectángulo. Entonces descartamos la opción negativa. Nos quedamos únicamente con la cantidad positiva. Resolviendo esto en la calculadora nos da un valor aproximado para Y de 5.06 decímetros. Y vamos a encontrar el valor de X reemplazando aquí en la expresión número 2. Entonces sustituimos ese valor en la expresión 2 y nos queda X igual a 25 por Y que nos dio 5.06 decímetros. Todo esto dividido entre 16. Y resolviendo esto en la calculadora obtenemos como resultado 7.91 en decímetros. Recordemos que X y Y son dimensiones del rectángulo en decímetros. Esos dos valores conforman el punto crítico de la función objetivo. Tenemos la pareja 7.91,5.06. Entonces este es el punto candidato a minimizar la función objetivo. O sea F de X, Y sujeta a la restricción G de X, Y. Entonces vamos a realizar la prueba final para ver si efectivamente esta pareja, este punto crítico es el que logra minimizar la función de costo. Para ello se recomienda construir una tabla con una columna para X, otra columna para Y y otra que corresponde a la función objetivo, la función de costo de decorar o adornar el contorno del espejo. Comenzamos escribiendo la pareja que encontramos para el punto crítico. Cuando X toma el valor 7.91 y Y toma el valor 5.06. Reemplazando estos valores aquí en la función de costo, o sea la función objetivo, tenemos como resultado 506.12 centavos. Eso es lo que cuesta hacer la decoración del espejo con estas dimensiones. Ponemos a prueba otras parejas X, Y que satisfagan la restricción. Recordemos que tenemos esta condición por cumplir X por Y igual a 40. Recordemos que es el área del espejo. Las otras parejas que vamos a escoger y con las cuales vamos a comparar el resultado producido por el punto crítico deben satisfacer la restricción. Podemos escoger por ejemplo X igual a 10 y Y igual a 4. Por 4 da 40. Reemplazando esta pareja de valores aquí en la función objetivo encontramos como resultado 520 centavos. Podemos elegir otra pareja X, Y que puede ser X igual a 20 y Y igual a 2. Reemplazando estos dos valores aquí en la función objetivo tenemos como resultado un costo de 740 centavos. Entonces revisamos los valores obtenidos en la columna de costo, o sea en la función objetivo y tenemos que este es el menor de todos. Entonces se confirma que el costo mínimo se obtiene para estos valores que encontramos con el método de los multiplicadores de la granch. Entonces procedemos a dar la respuesta de este problema. El espejo que resulta más económico tiene dimensiones X igual a 7.91 decímetros. Recordemos que son los lados horizontales y Y igual a 5.06 decímetros correspondientes a los lados verticales del espejo.

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Entonces vamos a realizar la prueba final para ver si efectivamente esta pareja, este punto cr\u00edtico es el que logra minimizar la funci\u00f3n de costo."}, {"start": 954.0, "end": 973.0, "text": " Para ello se recomienda construir una tabla con una columna para X, otra columna para Y y otra que corresponde a la funci\u00f3n objetivo, la funci\u00f3n de costo de decorar o adornar el contorno del espejo."}, {"start": 973.0, "end": 987.0, "text": " Comenzamos escribiendo la pareja que encontramos para el punto cr\u00edtico. Cuando X toma el valor 7.91 y Y toma el valor 5.06."}, {"start": 987.0, "end": 1007.0, "text": " Reemplazando estos valores aqu\u00ed en la funci\u00f3n de costo, o sea la funci\u00f3n objetivo, tenemos como resultado 506.12 centavos. Eso es lo que cuesta hacer la decoraci\u00f3n del espejo con estas dimensiones."}, {"start": 1007.0, "end": 1023.0, "text": " Ponemos a prueba otras parejas X, Y que satisfagan la restricci\u00f3n. Recordemos que tenemos esta condici\u00f3n por cumplir X por Y igual a 40. Recordemos que es el \u00e1rea del espejo."}, {"start": 1023.0, "end": 1042.0, "text": " Las otras parejas que vamos a escoger y con las cuales vamos a comparar el resultado producido por el punto cr\u00edtico deben satisfacer la restricci\u00f3n. Podemos escoger por ejemplo X igual a 10 y Y igual a 4."}, {"start": 1042.0, "end": 1054.0, "text": " Por 4 da 40. Reemplazando esta pareja de valores aqu\u00ed en la funci\u00f3n objetivo encontramos como resultado 520 centavos."}, {"start": 1054.0, "end": 1073.0, "text": " Podemos elegir otra pareja X, Y que puede ser X igual a 20 y Y igual a 2. Reemplazando estos dos valores aqu\u00ed en la funci\u00f3n objetivo tenemos como resultado un costo de 740 centavos."}, {"start": 1073.0, "end": 1095.0, "text": " Entonces revisamos los valores obtenidos en la columna de costo, o sea en la funci\u00f3n objetivo y tenemos que este es el menor de todos. Entonces se confirma que el costo m\u00ednimo se obtiene para estos valores que encontramos con el m\u00e9todo de los multiplicadores de la granch."}, {"start": 1095.0, "end": 1109.0, "text": " Entonces procedemos a dar la respuesta de este problema. El espejo que resulta m\u00e1s econ\u00f3mico tiene dimensiones X igual a 7.91 dec\u00edmetros."}, {"start": 1109.0, "end": 1125.0, "text": " Recordemos que son los lados horizontales y Y igual a 5.06 dec\u00edmetros correspondientes a los lados verticales del espejo."}]

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DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR - Ejercicio 3

#julioprofe explica cómo obtener la tercera derivada de una función. Tema: #Derivadas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwF9r-Y_Gpuq45VP0qnJIJL1 REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

En esta ocasión tenemos una función f de x y nos piden determinar la tercera derivada de dicha función. Vamos entonces a realizar el desarrollo paso a paso hasta llegar a la tercera derivada. Lo primero que se recomienda para este tipo de funciones es reescribirla. Entonces, reescribimos la función f de x. Eso nos queda como x a la cinco más 3x a la menos cuatro. Subimos esta potencia y el exponente cambia de signo. Si aquí está positivo, entonces al trasladarse a la parte de arriba nos queda con exponente negativo. Y ahora sí derivamos por primera vez. Entonces veamos f' de x será igual a lo siguiente. Tenemos una suma, entonces derivamos cada uno de los términos. Derivada de x a la cinco es 5x a la cuatro. Recordemos que allí se utiliza la siguiente propiedad. Derivada de x a la n es igual a n por x a la n menos uno. Bajamos el exponente a multiplicar y aquí al exponente que tenemos le restamos una unidad. Por eso la derivada de x a la cinco nos da 5x a la cuatro. Y para derivar el otro término aplicamos esta otra propiedad. Si tenemos una constante c que multiplica a la potencia x a la n, entonces su derivada será n por c. O sea, n llega a multiplicar con c. Y aquí sucede lo mismo que tenemos en esta propiedad anterior. Nos queda x a la n menos uno. En ese caso tenemos que menos cuatro baja a multiplicar con tres positivo. Eso nos da menos doce. Y nos queda x a la menos cuatro menos uno que es igual a menos cinco. Allí tenemos entonces la primera derivada de la función que nos da. Enseguida vamos a derivar de nuevo esta expresión. Entonces derivamos otra vez. Y entonces vamos a llegar a lo que es la segunda derivada. Tenemos entonces dos términos que están restando. Entonces derivamos cada uno de ellos. Y para cada derivada vamos a utilizar esta propiedad. Veamos aquí cómo nos queda. Cuatro baja a multiplicar con cinco. Eso nos da veinte. X a la tres. A cuatro le restamos una unidad y nos da tres. Y aquí menos cinco baja a multiplicar con menos doce. Eso nos da más sesenta. X a la menos cinco menos uno que es menos seis. Tenemos allí la segunda derivada. Y para llegar a la tercera derivada, la que nos piden encontrar, entonces derivamos nuevamente. Entonces llegamos a la tercera derivada. Ya no es necesario utilizar aquí tres comas. Como veníamos con la primera y la segunda derivada. Sino que ya se escribe el número que indica el orden de la derivada. O sea, llegamos a una derivada de orden tres. O tercera derivada. Tenemos aquí una suma de términos. Entonces derivamos cada uno de ellos. De nuevo se aplica esta propiedad para cada una de las derivadas. Tenemos que para veinte X al cubo, tres baja a multiplicar con veinte. Eso nos da sesenta. Y nos queda X a la dos. A tres le restamos uno y nos da dos. Y por acá tenemos que menos seis baja a multiplicar con más sesenta. Eso nos da menos trescientos sesenta. Y nos queda X a la menos siete. Que es el resultado de hacer la operación menos seis menos uno. Para terminar pulimos esta respuesta de modo que no nos quede con exponente negativo. Entonces tendremos que la tercera derivada de esta función es sesenta X al cuadrado menos trescientos sesenta sobre X a la siete. Pasamos esta potencia aquí debajo de trescientos sesenta. Y esa traslación implica cambio de signo en el exponente. Entonces nos queda con exponente positivo aquí en el denominador. Entonces hemos llegado a la solución de este ejercicio. Tenemos que esta es la respuesta. Se trata de la tercera derivada de esta función algebraica.

[{"start": 0.0, "end": 10.0, "text": " En esta ocasi\u00f3n tenemos una funci\u00f3n f de x y nos piden determinar la tercera derivada de dicha funci\u00f3n."}, {"start": 10.0, "end": 19.0, "text": " Vamos entonces a realizar el desarrollo paso a paso hasta llegar a la tercera derivada."}, {"start": 19.0, "end": 26.0, "text": " Lo primero que se recomienda para este tipo de funciones es reescribirla."}, {"start": 26.0, "end": 41.0, "text": " Entonces, reescribimos la funci\u00f3n f de x. Eso nos queda como x a la cinco m\u00e1s 3x a la menos cuatro."}, {"start": 41.0, "end": 46.0, "text": " Subimos esta potencia y el exponente cambia de signo."}, {"start": 46.0, "end": 55.0, "text": " Si aqu\u00ed est\u00e1 positivo, entonces al trasladarse a la parte de arriba nos queda con exponente negativo."}, {"start": 55.0, "end": 61.0, "text": " Y ahora s\u00ed derivamos por primera vez."}, {"start": 61.0, "end": 69.0, "text": " Entonces veamos f' de x ser\u00e1 igual a lo siguiente."}, {"start": 69.0, "end": 74.0, "text": " Tenemos una suma, entonces derivamos cada uno de los t\u00e9rminos."}, {"start": 74.0, "end": 80.0, "text": " Derivada de x a la cinco es 5x a la cuatro."}, {"start": 80.0, "end": 93.0, "text": " Recordemos que all\u00ed se utiliza la siguiente propiedad. Derivada de x a la n es igual a n por x a la n menos uno."}, {"start": 93.0, "end": 101.0, "text": " Bajamos el exponente a multiplicar y aqu\u00ed al exponente que tenemos le restamos una unidad."}, {"start": 101.0, "end": 107.0, "text": " Por eso la derivada de x a la cinco nos da 5x a la cuatro."}, {"start": 107.0, "end": 112.0, "text": " Y para derivar el otro t\u00e9rmino aplicamos esta otra propiedad."}, {"start": 112.0, "end": 122.0, "text": " Si tenemos una constante c que multiplica a la potencia x a la n, entonces su derivada ser\u00e1 n por c."}, {"start": 122.0, "end": 127.0, "text": " O sea, n llega a multiplicar con c."}, {"start": 127.0, "end": 135.0, "text": " Y aqu\u00ed sucede lo mismo que tenemos en esta propiedad anterior. Nos queda x a la n menos uno."}, {"start": 135.0, "end": 144.0, "text": " En ese caso tenemos que menos cuatro baja a multiplicar con tres positivo. 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A cuatro le restamos una unidad y nos da tres."}, {"start": 203.0, "end": 211.0, "text": " Y aqu\u00ed menos cinco baja a multiplicar con menos doce. Eso nos da m\u00e1s sesenta."}, {"start": 211.0, "end": 216.0, "text": " X a la menos cinco menos uno que es menos seis."}, {"start": 216.0, "end": 221.0, "text": " Tenemos all\u00ed la segunda derivada."}, {"start": 221.0, "end": 238.0, "text": " Y para llegar a la tercera derivada, la que nos piden encontrar, entonces derivamos nuevamente."}, {"start": 238.0, "end": 247.0, "text": " Entonces llegamos a la tercera derivada. Ya no es necesario utilizar aqu\u00ed tres comas."}, {"start": 247.0, "end": 250.0, "text": " Como ven\u00edamos con la primera y la segunda derivada."}, {"start": 250.0, "end": 256.0, "text": " Sino que ya se escribe el n\u00famero que indica el orden de la derivada."}, {"start": 256.0, "end": 262.0, "text": " O sea, llegamos a una derivada de orden tres. O tercera derivada."}, {"start": 262.0, "end": 267.0, "text": " Tenemos aqu\u00ed una suma de t\u00e9rminos. Entonces derivamos cada uno de ellos."}, {"start": 267.0, "end": 273.0, "text": " De nuevo se aplica esta propiedad para cada una de las derivadas."}, {"start": 273.0, "end": 280.0, "text": " Tenemos que para veinte X al cubo, tres baja a multiplicar con veinte. Eso nos da sesenta."}, {"start": 280.0, "end": 286.0, "text": " Y nos queda X a la dos. A tres le restamos uno y nos da dos."}, {"start": 286.0, "end": 293.0, "text": " Y por ac\u00e1 tenemos que menos seis baja a multiplicar con m\u00e1s sesenta."}, {"start": 293.0, "end": 300.0, "text": " Eso nos da menos trescientos sesenta. Y nos queda X a la menos siete."}, {"start": 300.0, "end": 307.0, "text": " Que es el resultado de hacer la operaci\u00f3n menos seis menos uno."}, {"start": 307.0, "end": 314.0, "text": " Para terminar pulimos esta respuesta de modo que no nos quede con exponente negativo."}, {"start": 314.0, "end": 331.0, "text": " Entonces tendremos que la tercera derivada de esta funci\u00f3n es sesenta X al cuadrado menos trescientos sesenta sobre X a la siete."}, {"start": 331.0, "end": 336.0, "text": " Pasamos esta potencia aqu\u00ed debajo de trescientos sesenta."}, {"start": 336.0, "end": 342.0, "text": " Y esa traslaci\u00f3n implica cambio de signo en el exponente."}, {"start": 342.0, "end": 348.0, "text": " Entonces nos queda con exponente positivo aqu\u00ed en el denominador."}, {"start": 348.0, "end": 355.0, "text": " Entonces hemos llegado a la soluci\u00f3n de este ejercicio."}, {"start": 355.0, "end": 373.0, "text": " Tenemos que esta es la respuesta. Se trata de la tercera derivada de esta funci\u00f3n algebraica."}]

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EC. DIF. HOMOGÉNEAS - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo encontrar la solución general de una Ecuación Diferencial Homogénea. Tema: #EcuacionesDiferenciales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwGJGlFnQ4QGLGBNtrdZ8AIt REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a encontrar la solución general de esta ecuación diferencial. Si hacemos todos los intentos por hacer separación de variables veremos que no es posible. Entonces vamos a realizar lo siguiente. En el lado derecho vamos a dividir arriba y abajo entre x. Entonces tendremos que 2x menos y dividido entre x nos queda 2x sobre x menos y sobre x. De una vez distribuimos la x y lo mismo hacemos en el denominador. Tendremos x sobre x más 4y sobre x. Entonces hemos dividido el numerador y el denominador entre x y de una vez la hemos distribuido. Ahora tendremos de y de x igual a 2x sobre x que nos da 2 menos y sobre x. Acá en el denominador x sobre x que es 1 más 4y sobre x. Es decir simplificamos lo que sea posible. Y llegamos a una expresión donde se observa de y de x como una función de y sobre x. Vemos que en el lado izquierdo aparece de y de x y aquí en el lado derecho tenemos una expresión que depende de y sobre x. Es decir esta configuración. Cuando esto sucede entonces afirmamos que la ecuación diferencial es homogénea. Siempre que se pueda expresar de y de x como una función de y sobre x hablamos de una ecuación diferencial homogénea. Para resolver este tipo de ecuación diferencial tomamos y sobre x y la llamamos una nueva letra. Por ejemplo vamos a utilizar la letra p. Entonces utilizamos una sustitución de allí vamos a despejar la variable y. Para ello x que está dividiendo pasa a multiplicar al otro lado. Nos queda que y es igual a p por x y esto lo vamos a derivar a ambos lados con respecto a x. Entonces en el lado izquierdo la derivada de y con respecto a x queda indicada. En el lado derecho tenemos una multiplicación entonces derivamos con la regla del producto. La derivada del primer componente sería de p de x esto por el segundo componente sin derivar que es x. Más el primer componente sin derivar que es p por la derivada del segundo componente con respecto a x. La derivada de x con respecto a x será igual a 1. Aquí tenemos que p por 1 es igual a p entonces omitimos este número 1 y entonces con esta expresión para de y de x y esta que tenemos aquí. Donde dice que p es igual a y sobre x vamos a reescribir la ecuación diferencial. Tenemos de y de x que es esta expresión de p de x por x más p y todo esto igual a este cociente donde en el numerador tendremos 2 menos p. Cambiamos y sobre x por p y aquí en el denominador tenemos 1 más 4p. Llegamos a una nueva ecuación diferencial ahora en términos de p y x. Vamos a pasar esta p al otro lado para dejar en el lado izquierdo únicamente de p de x por x. Entonces tenemos en el lado derecho 2 menos p sobre 1 más 4p y p que está sumando pasa a este lado a restar. Vamos a resolver esta operación. Aquí tenemos denominador 1 entonces sigamos por acá tendremos de p de x por x es igual a 1 más 4p por 1 tendremos 1 más 4p aquí en el denominador. Arriba tendremos 2 menos p por 1 o sea 2 menos p menos 1 más 4p por p lo vamos a escribir como p que multiplica a 1 más 4p. Hemos realizado la resta de fracciones heterogéneas utilizando el método conocido como carita feliz. Este por este abajo este por este aquí menos este por este acá. Vamos a continuar por acá en el lado izquierdo nos queda de p de x por x y vamos a resolver lo del lado derecho. Específicamente lo que tenemos en el numerador. Aquí nos queda 2 menos p por aquí aplicamos la propiedad distributiva menos p por 1 es menos p y menos p por 4p nos da menos 4p al cuadrado. En el denominador seguimos con 1 más 4p. En el numerador vamos a operar términos semejantes entonces tendremos de p de x por x igual a 2 menos 2p el resultado de operar menos p con menos p. Esto menos 4p cuadrado y todo sobre 1 más 4p. Y allí vamos a efectuar el producto en cruz recordemos que si tenemos la igualdad de dos fracciones por ejemplo a sobre b igual a c sobre d. Entonces se cumple que a por d es igual a b por c es decir el producto en cruz o en diagonal debe ser igual. Entonces imaginemos que esta x está situada aquí en el numerador la podemos ver de esta manera. Entonces tendríamos de p por x por este componente 1 más 4p igual a dx por todo este componente. Entonces dx que multiplica a 2 menos 2p menos 4p al cuadrado. Allí podemos manejar lo que se llama la separación de variables. Entonces tendremos en el lado izquierdo de p por 1 más 4p y todo esto sobre esta expresión que pasa a dividir. Entonces tenemos 2 menos 2p menos 4p al cuadrado. Y en el lado derecho tendremos dx sobre x. Entonces como se observa nos quedó en el lado izquierdo todo lo relacionado con la letra p y su respectivo diferencial de p. Y en el lado derecho todo lo relacionado con x y su respectivo diferencial de x. Después de haber logrado la separación de variables vamos a integrar ambos lados de la igualdad. En el lado izquierdo organizamos la expresión así 1 más 4p en el numerador. En el denominador 2 menos 2p menos 4p al cuadrado. Y por aquí escribimos el diferencial de p y también escribimos la integral de lo que tenemos en el lado derecho. Ahora nos ocupamos de resolver cada integral. En la que tenemos en el lado izquierdo podemos realizar lo siguiente. En el denominador podemos extraer factor común 2 pero también podemos extraer el signo menos. Entonces extraemos menos 2. Nos queda menos 1 más p más 2p al cuadrado. Hemos extraído factor común menos 2. En el numerador dejamos la misma expresión. 1 más 4p escribimos el diferencial de p y esta integral la vamos a reescribir como 1 sobre x por su diferencial de x. Aquí podemos extraer este número por ser una constante. Nos queda por fuera de la integral como menos 1 medio. Y eso multiplica a toda esta expresión. 1 más 4p en el numerador menos 1 más 2p al cuadrado en el denominador. Todo esto con su diferencial de p. Y esto igual a la integral de 1 sobre x con su correspondiente diferencial de x. Podemos deshacernos de este número multiplicando ambos lados de la igualdad por menos 2. En el lado izquierdo tendremos solamente la integral. Entonces arriba 1 más 4p en el denominador menos 1 más 2p al cuadrado. Todo esto con su respectivo diferencial de p. Y a este lado tendríamos menos 2 que multiplica a la integral de 1 sobre x con su correspondiente diferencial de x. Entonces hemos multiplicado ambos lados de la igualdad por menos 2. Para esta integral que tenemos en el lado izquierdo podemos aplicar la siguiente propiedad. Si tenemos la integral de una fracción donde aquí en el denominador tenemos una expresión u de p. Y en el numerador observamos justamente su derivada u' de p. Todo esto con su diferencial de p. Entonces esto será igual al logaritmo natural del valor absoluto de u de p. O sea de lo que tenemos en el denominador. Y todo esto más la constante de integración. Esto se justifica porque la derivada del logaritmo natural de u de p es esto que tenemos aquí. Una fracción donde u de p se escribe en el denominador y en el numerador escribimos la derivada de u de p. Pues bien, eso está sucediendo aquí. Si derivamos el denominador nos queda justamente 1 más 4p. Por lo tanto tenemos autorización para utilizar esta propiedad. Entonces esta integral nos quedará logaritmo natural del valor absoluto de lo que tenemos en el denominador. O sea menos 1 más 2p al cuadrado. Entonces con base en esta propiedad. No es necesario escribir la constante en el lado izquierdo. Vamos a escribir una sola c para todo el ejercicio acá en el lado derecho. Ahora resolvemos esta integral que da menos 2 que es la constante que está por fuera. La integral de 1 sobre x es logaritmo natural de valor absoluto de x. Y escribimos la constante c para todo el ejercicio. Podemos agrupar en el lado izquierdo todos los logaritmos para dejar la c únicamente en el lado derecho. Entonces veamos. En el lado izquierdo podemos escribir esto como logaritmo natural de... Vamos a organizar la expresión para que primero tengamos los términos positivos luego el negativo. Este término que está negativo llega a sumar al lado izquierdo. Y todo esto queda igual a c. Ahora vamos a aplicar aquí una propiedad de los logaritmos. Este número que está multiplicando a la izquierda de este logaritmo puede pasar aquí y convertirse en exponente de la x. Entonces tendremos logaritmo natural de valor absoluto de 2p cuadrado más p menos 1. Más logaritmo natural de valor absoluto de x al cuadrado. 2 pasa aquí como exponente de la x. Y todo esto queda igual a c. Enseguida aplicamos otra propiedad de los logaritmos. Si tenemos suma de logaritmos esto se convierte en el logaritmo de una multiplicación. Entonces logaritmo natural de valor absoluto de esta expresión que la escribimos dentro de un paréntesis. Y esto multiplicado por x al cuadrado. Cerramos el valor absoluto y todo esto queda igualado a c. A continuación nos vamos a deshacer de esta expresión logaritmica. Para ello recordemos que el logaritmo natural o logaritmo neperiano corresponde al logaritmo en la base e. El número de Euler. Entonces vamos a pasar de la forma logaritmica a la forma exponencial. Tenemos número de Euler elevado a la constante c igual a toda esta expresión. Valor absoluto de 2p al cuadrado más p menos 1. Todo eso por x al cuadrado. Podemos afirmar que el número de Euler elevado a cualquier constante c nos dará como resultado una nueva constante c positiva. Porque recordemos que el número de Euler es un número real positivo. Equivale a 2.71828. Es un número infinito no periódico. Entonces elevado a cualquier constante c nos dará como resultado una nueva constante c positiva. Por lo tanto podemos afirmar que esa constante c será igual a toda esta expresión. A todo ese valor absoluto. Y allí vamos a resolver esa ecuación que contiene valor absoluto. El modelo para resolver ecuaciones con valor absoluto dice lo siguiente. Valor absoluto de w igual a una cantidad positiva a. Entonces se resuelve como w igual a menos a o w igual a a. Entonces en pocas palabras decimos que w es igual a más o menos a. Para este caso podemos afirmar que lo que tenemos dentro de las barras. O sea 2p al cuadrado más p menos 1. Todo esto por x al cuadrado será igual a más o menos esta constante c. Que como decíamos ahora se trata de una cantidad positiva. Y esto con base en la propiedad para resolver ecuaciones con valor absoluto. Ya en este momento podemos cambiar p por su equivalente inicial. Recordemos que p es igual a y sobre x. Entonces tenemos 2 por p al cuadrado. P al cuadrado será y al cuadrado sobre x al cuadrado. Más p que es y sobre x menos 1. Y todo esto multiplicado por x al cuadrado. Aquí con más o menos c podemos afirmar con toda tranquilidad. Que esto corresponde a una constante c que está determinada por las condiciones iniciales de la ecuación diferencial. Finalmente pulimos esta expresión aplicando la propiedad distributiva. Vamos a multiplicar cada uno de estos términos por x al cuadrado. Para el caso del primero nos queda 2y al cuadrado. Para el segundo término tendremos y por x o xy. Y para el tercer término tendremos menos x al cuadrado. Todo esto igual a c. De esta manera obtenemos la solución general de la ecuación diferencial que nos daban al comienzo. La ecuación diferencial homogénea. Allí terminamos el ejercicio. Vamos a realizar la comprobación de si efectivamente esta es solución de la ecuación diferencial. Para ello vamos a derivar implícitamente la expresión a ambos lados con respecto a x. Veamos. Derivada de 2y al cuadrado será 4y por y'. Recordemos que y' representa a de y de x. Más llegamos a un producto derivada del primero será 1 por el segundo sin derivar que es y. Más el primer componente sin derivar por la derivada del segundo. La derivada de y es y'. O 1 por y' que es y'. Menos la derivada de x al cuadrado que es 2x. Y todo esto igual a la derivada de la constante c que es igual a cero. En seguida dejamos en el lado izquierdo los términos que contienen y'. Tenemos 4y por y' más x por y'. Y pasamos al lado derecho los otros dos términos. Pasamos este que está negativo al otro lado positivo y este término que sería más y llega al otro lado como menos y. Ahora en el lado izquierdo extraemos factor común y'. Tendremos y' factor común de 4y más x y todo esto igual a 2x menos y. Y vamos a despejar y'. Nos queda igual a 2x menos y sobre esta expresión 4y más x. Y esta viene siendo la ecuación diferencial original. Aquí donde está y' esto equivale a dy de x. Y acá se cambia el orden de los sumandos. Tendremos entonces x más 4y tal como teníamos la ecuación diferencial original. Entonces con esto queda demostrado que efectivamente esta expresión es la solución general de la ecuación diferencial original.

[{"start": 0.0, "end": 6.4, "text": " Vamos a encontrar la soluci\u00f3n general de esta ecuaci\u00f3n diferencial."}, {"start": 6.4, "end": 14.0, "text": " Si hacemos todos los intentos por hacer separaci\u00f3n de variables veremos que no es posible."}, {"start": 14.0, "end": 18.8, "text": " Entonces vamos a realizar lo siguiente."}, {"start": 18.8, "end": 25.2, "text": " En el lado derecho vamos a dividir arriba y abajo entre x."}, {"start": 25.2, "end": 38.0, "text": " Entonces tendremos que 2x menos y dividido entre x nos queda 2x sobre x menos y sobre x."}, {"start": 38.0, "end": 44.4, "text": " De una vez distribuimos la x y lo mismo hacemos en el denominador."}, {"start": 44.4, "end": 50.8, "text": " Tendremos x sobre x m\u00e1s 4y sobre x."}, {"start": 50.8, "end": 59.599999999999994, "text": " Entonces hemos dividido el numerador y el denominador entre x y de una vez la hemos distribuido."}, {"start": 59.599999999999994, "end": 72.4, "text": " Ahora tendremos de y de x igual a 2x sobre x que nos da 2 menos y sobre x."}, {"start": 72.4, "end": 82.0, "text": " Ac\u00e1 en el denominador x sobre x que es 1 m\u00e1s 4y sobre x."}, {"start": 82.0, "end": 86.0, "text": " Es decir simplificamos lo que sea posible."}, {"start": 86.0, "end": 102.8, "text": " Y llegamos a una expresi\u00f3n donde se observa de y de x como una funci\u00f3n de y sobre x."}, {"start": 102.8, "end": 114.0, "text": " Vemos que en el lado izquierdo aparece de y de x y aqu\u00ed en el lado derecho tenemos una expresi\u00f3n que depende de y sobre x."}, {"start": 114.0, "end": 116.4, "text": " Es decir esta configuraci\u00f3n."}, {"start": 116.4, "end": 128.0, "text": " Cuando esto sucede entonces afirmamos que la ecuaci\u00f3n diferencial es homog\u00e9nea."}, {"start": 128.0, "end": 140.4, "text": " Siempre que se pueda expresar de y de x como una funci\u00f3n de y sobre x hablamos de una ecuaci\u00f3n diferencial homog\u00e9nea."}, {"start": 140.4, "end": 151.20000000000002, "text": " Para resolver este tipo de ecuaci\u00f3n diferencial tomamos y sobre x y la llamamos una nueva letra."}, {"start": 151.20000000000002, "end": 154.4, "text": " Por ejemplo vamos a utilizar la letra p."}, {"start": 154.4, "end": 162.4, "text": " Entonces utilizamos una sustituci\u00f3n de all\u00ed vamos a despejar la variable y."}, {"start": 162.4, "end": 167.6, "text": " Para ello x que est\u00e1 dividiendo pasa a multiplicar al otro lado."}, {"start": 167.6, "end": 176.79999999999998, "text": " Nos queda que y es igual a p por x y esto lo vamos a derivar a ambos lados con respecto a x."}, {"start": 176.79999999999998, "end": 184.4, "text": " Entonces en el lado izquierdo la derivada de y con respecto a x queda indicada."}, {"start": 184.4, "end": 192.0, "text": " En el lado derecho tenemos una multiplicaci\u00f3n entonces derivamos con la regla del producto."}, {"start": 192.0, "end": 202.4, "text": " La derivada del primer componente ser\u00eda de p de x esto por el segundo componente sin derivar que es x."}, {"start": 202.4, "end": 212.8, "text": " M\u00e1s el primer componente sin derivar que es p por la derivada del segundo componente con respecto a x."}, {"start": 212.8, "end": 218.4, "text": " La derivada de x con respecto a x ser\u00e1 igual a 1."}, {"start": 218.4, "end": 235.6, "text": " Aqu\u00ed tenemos que p por 1 es igual a p entonces omitimos este n\u00famero 1 y entonces con esta expresi\u00f3n para de y de x y esta que tenemos aqu\u00ed."}, {"start": 235.6, "end": 244.4, "text": " Donde dice que p es igual a y sobre x vamos a reescribir la ecuaci\u00f3n diferencial."}, {"start": 244.4, "end": 265.2, "text": " Tenemos de y de x que es esta expresi\u00f3n de p de x por x m\u00e1s p y todo esto igual a este cociente donde en el numerador tendremos 2 menos p."}, {"start": 265.2, "end": 275.59999999999997, "text": " Cambiamos y sobre x por p y aqu\u00ed en el denominador tenemos 1 m\u00e1s 4p."}, {"start": 275.59999999999997, "end": 281.59999999999997, "text": " Llegamos a una nueva ecuaci\u00f3n diferencial ahora en t\u00e9rminos de p y x."}, {"start": 281.59999999999997, "end": 292.4, "text": " Vamos a pasar esta p al otro lado para dejar en el lado izquierdo \u00fanicamente de p de x por x."}, {"start": 292.4, "end": 305.59999999999997, "text": " Entonces tenemos en el lado derecho 2 menos p sobre 1 m\u00e1s 4p y p que est\u00e1 sumando pasa a este lado a restar."}, {"start": 305.59999999999997, "end": 308.0, "text": " Vamos a resolver esta operaci\u00f3n."}, {"start": 308.0, "end": 330.4, "text": " Aqu\u00ed tenemos denominador 1 entonces sigamos por ac\u00e1 tendremos de p de x por x es igual a 1 m\u00e1s 4p por 1 tendremos 1 m\u00e1s 4p aqu\u00ed en el denominador."}, {"start": 330.4, "end": 345.59999999999997, "text": " Arriba tendremos 2 menos p por 1 o sea 2 menos p menos 1 m\u00e1s 4p por p lo vamos a escribir como p que multiplica a 1 m\u00e1s 4p."}, {"start": 345.59999999999997, "end": 356.4, "text": " Hemos realizado la resta de fracciones heterog\u00e9neas utilizando el m\u00e9todo conocido como carita feliz."}, {"start": 356.4, "end": 364.4, "text": " Este por este abajo este por este aqu\u00ed menos este por este ac\u00e1."}, {"start": 364.4, "end": 378.79999999999995, "text": " Vamos a continuar por ac\u00e1 en el lado izquierdo nos queda de p de x por x y vamos a resolver lo del lado derecho."}, {"start": 378.79999999999995, "end": 382.0, "text": " Espec\u00edficamente lo que tenemos en el numerador."}, {"start": 382.0, "end": 397.2, "text": " Aqu\u00ed nos queda 2 menos p por aqu\u00ed aplicamos la propiedad distributiva menos p por 1 es menos p y menos p por 4p nos da menos 4p al cuadrado."}, {"start": 397.2, "end": 404.4, "text": " En el denominador seguimos con 1 m\u00e1s 4p."}, {"start": 404.4, "end": 422.79999999999995, "text": " En el numerador vamos a operar t\u00e9rminos semejantes entonces tendremos de p de x por x igual a 2 menos 2p el resultado de operar menos p con menos p."}, {"start": 422.79999999999995, "end": 429.2, "text": " Esto menos 4p cuadrado y todo sobre 1 m\u00e1s 4p."}, {"start": 429.2, "end": 443.59999999999997, "text": " Y all\u00ed vamos a efectuar el producto en cruz recordemos que si tenemos la igualdad de dos fracciones por ejemplo a sobre b igual a c sobre d."}, {"start": 443.59999999999997, "end": 454.8, "text": " Entonces se cumple que a por d es igual a b por c es decir el producto en cruz o en diagonal debe ser igual."}, {"start": 454.8, "end": 464.0, "text": " Entonces imaginemos que esta x est\u00e1 situada aqu\u00ed en el numerador la podemos ver de esta manera."}, {"start": 464.0, "end": 477.2, "text": " Entonces tendr\u00edamos de p por x por este componente 1 m\u00e1s 4p igual a dx por todo este componente."}, {"start": 477.2, "end": 486.4, "text": " Entonces dx que multiplica a 2 menos 2p menos 4p al cuadrado."}, {"start": 486.4, "end": 491.59999999999997, "text": " All\u00ed podemos manejar lo que se llama la separaci\u00f3n de variables."}, {"start": 491.6, "end": 507.20000000000005, "text": " Entonces tendremos en el lado izquierdo de p por 1 m\u00e1s 4p y todo esto sobre esta expresi\u00f3n que pasa a dividir."}, {"start": 507.20000000000005, "end": 515.2, "text": " Entonces tenemos 2 menos 2p menos 4p al cuadrado."}, {"start": 515.2, "end": 523.6, "text": " Y en el lado derecho tendremos dx sobre x."}, {"start": 523.6, "end": 533.6, "text": " Entonces como se observa nos qued\u00f3 en el lado izquierdo todo lo relacionado con la letra p y su respectivo diferencial de p."}, {"start": 533.6, "end": 541.6, "text": " Y en el lado derecho todo lo relacionado con x y su respectivo diferencial de x."}, {"start": 541.6, "end": 549.6, "text": " Despu\u00e9s de haber logrado la separaci\u00f3n de variables vamos a integrar ambos lados de la igualdad."}, {"start": 549.6, "end": 558.0, "text": " En el lado izquierdo organizamos la expresi\u00f3n as\u00ed 1 m\u00e1s 4p en el numerador."}, {"start": 558.0, "end": 566.0, "text": " En el denominador 2 menos 2p menos 4p al cuadrado."}, {"start": 566.0, "end": 579.6, "text": " Y por aqu\u00ed escribimos el diferencial de p y tambi\u00e9n escribimos la integral de lo que tenemos en el lado derecho."}, {"start": 579.6, "end": 583.6, "text": " Ahora nos ocupamos de resolver cada integral."}, {"start": 583.6, "end": 590.8, "text": " En la que tenemos en el lado izquierdo podemos realizar lo siguiente."}, {"start": 590.8, "end": 598.4, "text": " En el denominador podemos extraer factor com\u00fan 2 pero tambi\u00e9n podemos extraer el signo menos."}, {"start": 598.4, "end": 600.8, "text": " Entonces extraemos menos 2."}, {"start": 600.8, "end": 608.4, "text": " Nos queda menos 1 m\u00e1s p m\u00e1s 2p al cuadrado."}, {"start": 608.4, "end": 612.4, "text": " Hemos extra\u00eddo factor com\u00fan menos 2."}, {"start": 612.4, "end": 616.4, "text": " En el numerador dejamos la misma expresi\u00f3n."}, {"start": 616.4, "end": 629.6, "text": " 1 m\u00e1s 4p escribimos el diferencial de p y esta integral la vamos a reescribir como 1 sobre x por su diferencial de x."}, {"start": 629.6, "end": 634.0, "text": " Aqu\u00ed podemos extraer este n\u00famero por ser una constante."}, {"start": 634.0, "end": 638.4, "text": " Nos queda por fuera de la integral como menos 1 medio."}, {"start": 638.4, "end": 643.1999999999999, "text": " Y eso multiplica a toda esta expresi\u00f3n."}, {"start": 643.2, "end": 653.2, "text": " 1 m\u00e1s 4p en el numerador menos 1 m\u00e1s 2p al cuadrado en el denominador."}, {"start": 653.2, "end": 656.0, "text": " Todo esto con su diferencial de p."}, {"start": 656.0, "end": 666.0, "text": " Y esto igual a la integral de 1 sobre x con su correspondiente diferencial de x."}, {"start": 666.0, "end": 673.6, "text": " Podemos deshacernos de este n\u00famero multiplicando ambos lados de la igualdad por menos 2."}, {"start": 673.6, "end": 678.8, "text": " En el lado izquierdo tendremos solamente la integral."}, {"start": 678.8, "end": 691.6, "text": " Entonces arriba 1 m\u00e1s 4p en el denominador menos 1 m\u00e1s 2p al cuadrado."}, {"start": 691.6, "end": 695.2, "text": " Todo esto con su respectivo diferencial de p."}, {"start": 695.2, "end": 705.6, "text": " Y a este lado tendr\u00edamos menos 2 que multiplica a la integral de 1 sobre x con su correspondiente diferencial de x."}, {"start": 705.6, "end": 713.2, "text": " Entonces hemos multiplicado ambos lados de la igualdad por menos 2."}, {"start": 713.2, "end": 721.2, "text": " Para esta integral que tenemos en el lado izquierdo podemos aplicar la siguiente propiedad."}, {"start": 721.2, "end": 729.6, "text": " Si tenemos la integral de una fracci\u00f3n donde aqu\u00ed en el denominador tenemos una expresi\u00f3n u de p."}, {"start": 729.6, "end": 736.4000000000001, "text": " Y en el numerador observamos justamente su derivada u' de p."}, {"start": 736.4000000000001, "end": 739.2, "text": " Todo esto con su diferencial de p."}, {"start": 739.2, "end": 746.4000000000001, "text": " Entonces esto ser\u00e1 igual al logaritmo natural del valor absoluto de u de p."}, {"start": 746.4000000000001, "end": 749.6, "text": " O sea de lo que tenemos en el denominador."}, {"start": 749.6, "end": 753.6, "text": " Y todo esto m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 753.6, "end": 761.6, "text": " Esto se justifica porque la derivada del logaritmo natural de u de p es esto que tenemos aqu\u00ed."}, {"start": 761.6, "end": 770.8000000000001, "text": " Una fracci\u00f3n donde u de p se escribe en el denominador y en el numerador escribimos la derivada de u de p."}, {"start": 770.8000000000001, "end": 773.6, "text": " Pues bien, eso est\u00e1 sucediendo aqu\u00ed."}, {"start": 773.6, "end": 778.8000000000001, "text": " Si derivamos el denominador nos queda justamente 1 m\u00e1s 4p."}, {"start": 778.8, "end": 784.0, "text": " Por lo tanto tenemos autorizaci\u00f3n para utilizar esta propiedad."}, {"start": 784.0, "end": 794.0, "text": " Entonces esta integral nos quedar\u00e1 logaritmo natural del valor absoluto de lo que tenemos en el denominador."}, {"start": 794.0, "end": 801.1999999999999, "text": " O sea menos 1 m\u00e1s 2p al cuadrado."}, {"start": 801.1999999999999, "end": 804.4, "text": " Entonces con base en esta propiedad."}, {"start": 804.4, "end": 808.8, "text": " No es necesario escribir la constante en el lado izquierdo."}, {"start": 808.8, "end": 814.4, "text": " Vamos a escribir una sola c para todo el ejercicio ac\u00e1 en el lado derecho."}, {"start": 814.4, "end": 820.4, "text": " Ahora resolvemos esta integral que da menos 2 que es la constante que est\u00e1 por fuera."}, {"start": 820.4, "end": 826.8, "text": " La integral de 1 sobre x es logaritmo natural de valor absoluto de x."}, {"start": 826.8, "end": 833.6, "text": " Y escribimos la constante c para todo el ejercicio."}, {"start": 833.6, "end": 843.6, "text": " Podemos agrupar en el lado izquierdo todos los logaritmos para dejar la c \u00fanicamente en el lado derecho."}, {"start": 843.6, "end": 845.6, "text": " Entonces veamos."}, {"start": 845.6, "end": 850.4, "text": " En el lado izquierdo podemos escribir esto como logaritmo natural de..."}, {"start": 850.4, "end": 858.0, "text": " Vamos a organizar la expresi\u00f3n para que primero tengamos los t\u00e9rminos positivos luego el negativo."}, {"start": 858.0, "end": 865.6, "text": " Este t\u00e9rmino que est\u00e1 negativo llega a sumar al lado izquierdo."}, {"start": 865.6, "end": 869.2, "text": " Y todo esto queda igual a c."}, {"start": 869.2, "end": 873.6, "text": " Ahora vamos a aplicar aqu\u00ed una propiedad de los logaritmos."}, {"start": 873.6, "end": 883.2, "text": " Este n\u00famero que est\u00e1 multiplicando a la izquierda de este logaritmo puede pasar aqu\u00ed y convertirse en exponente de la x."}, {"start": 883.2, "end": 892.4000000000001, "text": " Entonces tendremos logaritmo natural de valor absoluto de 2p cuadrado m\u00e1s p menos 1."}, {"start": 892.4000000000001, "end": 898.0, "text": " M\u00e1s logaritmo natural de valor absoluto de x al cuadrado."}, {"start": 898.0, "end": 901.2, "text": " 2 pasa aqu\u00ed como exponente de la x."}, {"start": 901.2, "end": 906.4000000000001, "text": " Y todo esto queda igual a c."}, {"start": 906.4000000000001, "end": 910.4000000000001, "text": " Enseguida aplicamos otra propiedad de los logaritmos."}, {"start": 910.4, "end": 917.1999999999999, "text": " Si tenemos suma de logaritmos esto se convierte en el logaritmo de una multiplicaci\u00f3n."}, {"start": 917.1999999999999, "end": 930.4, "text": " Entonces logaritmo natural de valor absoluto de esta expresi\u00f3n que la escribimos dentro de un par\u00e9ntesis."}, {"start": 930.4, "end": 934.4, "text": " Y esto multiplicado por x al cuadrado."}, {"start": 934.4, "end": 941.1999999999999, "text": " Cerramos el valor absoluto y todo esto queda igualado a c."}, {"start": 941.1999999999999, "end": 946.8, "text": " A continuaci\u00f3n nos vamos a deshacer de esta expresi\u00f3n logaritmica."}, {"start": 946.8, "end": 957.6, "text": " Para ello recordemos que el logaritmo natural o logaritmo neperiano corresponde al logaritmo en la base e."}, {"start": 957.6, "end": 959.6, "text": " El n\u00famero de Euler."}, {"start": 959.6, "end": 964.8000000000001, "text": " Entonces vamos a pasar de la forma logaritmica a la forma exponencial."}, {"start": 964.8000000000001, "end": 972.4, "text": " Tenemos n\u00famero de Euler elevado a la constante c igual a toda esta expresi\u00f3n."}, {"start": 972.4, "end": 978.4, "text": " Valor absoluto de 2p al cuadrado m\u00e1s p menos 1."}, {"start": 978.4, "end": 983.6, "text": " Todo eso por x al cuadrado."}, {"start": 983.6, "end": 995.6, "text": " Podemos afirmar que el n\u00famero de Euler elevado a cualquier constante c nos dar\u00e1 como resultado una nueva constante c positiva."}, {"start": 995.6, "end": 1001.6, "text": " Porque recordemos que el n\u00famero de Euler es un n\u00famero real positivo."}, {"start": 1001.6, "end": 1007.6, "text": " Equivale a 2.71828. Es un n\u00famero infinito no peri\u00f3dico."}, {"start": 1007.6, "end": 1015.6, "text": " Entonces elevado a cualquier constante c nos dar\u00e1 como resultado una nueva constante c positiva."}, {"start": 1015.6, "end": 1023.6, "text": " Por lo tanto podemos afirmar que esa constante c ser\u00e1 igual a toda esta expresi\u00f3n."}, {"start": 1023.6, "end": 1027.6, "text": " A todo ese valor absoluto."}, {"start": 1027.6, "end": 1037.6, "text": " Y all\u00ed vamos a resolver esa ecuaci\u00f3n que contiene valor absoluto."}, {"start": 1037.6, "end": 1041.6, "text": " El modelo para resolver ecuaciones con valor absoluto dice lo siguiente."}, {"start": 1041.6, "end": 1047.6, "text": " Valor absoluto de w igual a una cantidad positiva a."}, {"start": 1047.6, "end": 1055.6, "text": " Entonces se resuelve como w igual a menos a o w igual a a."}, {"start": 1055.6, "end": 1061.6, "text": " Entonces en pocas palabras decimos que w es igual a m\u00e1s o menos a."}, {"start": 1061.6, "end": 1067.6, "text": " Para este caso podemos afirmar que lo que tenemos dentro de las barras."}, {"start": 1067.6, "end": 1073.6, "text": " O sea 2p al cuadrado m\u00e1s p menos 1."}, {"start": 1073.6, "end": 1081.6, "text": " Todo esto por x al cuadrado ser\u00e1 igual a m\u00e1s o menos esta constante c."}, {"start": 1081.6, "end": 1085.6, "text": " Que como dec\u00edamos ahora se trata de una cantidad positiva."}, {"start": 1085.6, "end": 1093.6, "text": " Y esto con base en la propiedad para resolver ecuaciones con valor absoluto."}, {"start": 1093.6, "end": 1099.6, "text": " Ya en este momento podemos cambiar p por su equivalente inicial."}, {"start": 1099.6, "end": 1103.6, "text": " Recordemos que p es igual a y sobre x."}, {"start": 1103.6, "end": 1107.6, "text": " Entonces tenemos 2 por p al cuadrado."}, {"start": 1107.6, "end": 1113.6, "text": " P al cuadrado ser\u00e1 y al cuadrado sobre x al cuadrado."}, {"start": 1113.6, "end": 1121.6, "text": " M\u00e1s p que es y sobre x menos 1."}, {"start": 1121.6, "end": 1127.6, "text": " Y todo esto multiplicado por x al cuadrado."}, {"start": 1127.6, "end": 1131.6, "text": " Aqu\u00ed con m\u00e1s o menos c podemos afirmar con toda tranquilidad."}, {"start": 1131.6, "end": 1143.6, "text": " Que esto corresponde a una constante c que est\u00e1 determinada por las condiciones iniciales de la ecuaci\u00f3n diferencial."}, {"start": 1143.6, "end": 1151.6, "text": " Finalmente pulimos esta expresi\u00f3n aplicando la propiedad distributiva."}, {"start": 1151.6, "end": 1157.6, "text": " Vamos a multiplicar cada uno de estos t\u00e9rminos por x al cuadrado."}, {"start": 1157.6, "end": 1161.6, "text": " Para el caso del primero nos queda 2y al cuadrado."}, {"start": 1161.6, "end": 1167.6, "text": " Para el segundo t\u00e9rmino tendremos y por x o xy."}, {"start": 1167.6, "end": 1171.6, "text": " Y para el tercer t\u00e9rmino tendremos menos x al cuadrado."}, {"start": 1171.6, "end": 1175.6, "text": " Todo esto igual a c."}, {"start": 1175.6, "end": 1187.6, "text": " De esta manera obtenemos la soluci\u00f3n general de la ecuaci\u00f3n diferencial que nos daban al comienzo."}, {"start": 1187.6, "end": 1191.6, "text": " La ecuaci\u00f3n diferencial homog\u00e9nea."}, {"start": 1191.6, "end": 1193.6, "text": " All\u00ed terminamos el ejercicio."}, {"start": 1193.6, "end": 1203.6, "text": " Vamos a realizar la comprobaci\u00f3n de si efectivamente esta es soluci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n diferencial."}, {"start": 1203.6, "end": 1211.6, "text": " Para ello vamos a derivar impl\u00edcitamente la expresi\u00f3n a ambos lados con respecto a x."}, {"start": 1211.6, "end": 1219.6, "text": " Veamos. Derivada de 2y al cuadrado ser\u00e1 4y por y'."}, {"start": 1219.6, "end": 1223.6, "text": " Recordemos que y' representa a de y de x."}, {"start": 1223.6, "end": 1233.6, "text": " M\u00e1s llegamos a un producto derivada del primero ser\u00e1 1 por el segundo sin derivar que es y."}, {"start": 1233.6, "end": 1237.6, "text": " M\u00e1s el primer componente sin derivar por la derivada del segundo."}, {"start": 1237.6, "end": 1241.6, "text": " La derivada de y es y'."}, {"start": 1241.6, "end": 1243.6, "text": " O 1 por y' que es y'."}, {"start": 1243.6, "end": 1247.6, "text": " Menos la derivada de x al cuadrado que es 2x."}, {"start": 1247.6, "end": 1253.6, "text": " Y todo esto igual a la derivada de la constante c que es igual a cero."}, {"start": 1253.6, "end": 1259.6, "text": " En seguida dejamos en el lado izquierdo los t\u00e9rminos que contienen y'."}, {"start": 1259.6, "end": 1265.6, "text": " Tenemos 4y por y' m\u00e1s x por y'."}, {"start": 1265.6, "end": 1271.6, "text": " Y pasamos al lado derecho los otros dos t\u00e9rminos."}, {"start": 1271.6, "end": 1281.6, "text": " Pasamos este que est\u00e1 negativo al otro lado positivo y este t\u00e9rmino que ser\u00eda m\u00e1s y llega al otro lado como menos y."}, {"start": 1281.6, "end": 1285.6, "text": " Ahora en el lado izquierdo extraemos factor com\u00fan y'."}, {"start": 1285.6, "end": 1297.6, "text": " Tendremos y' factor com\u00fan de 4y m\u00e1s x y todo esto igual a 2x menos y."}, {"start": 1297.6, "end": 1301.6, "text": " Y vamos a despejar y'."}, {"start": 1301.6, "end": 1315.6, "text": " Nos queda igual a 2x menos y sobre esta expresi\u00f3n 4y m\u00e1s x."}, {"start": 1315.6, "end": 1319.6, "text": " Y esta viene siendo la ecuaci\u00f3n diferencial original."}, {"start": 1319.6, "end": 1325.6, "text": " Aqu\u00ed donde est\u00e1 y' esto equivale a dy de x."}, {"start": 1325.6, "end": 1329.6, "text": " Y ac\u00e1 se cambia el orden de los sumandos."}, {"start": 1329.6, "end": 1339.6, "text": " Tendremos entonces x m\u00e1s 4y tal como ten\u00edamos la ecuaci\u00f3n diferencial original."}, {"start": 1339.6, "end": 1355.6, "text": " Entonces con esto queda demostrado que efectivamente esta expresi\u00f3n es la soluci\u00f3n general de la ecuaci\u00f3n diferencial original."}]

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EC. DIF. POR VARIABLES SEPARABLES - Ejercicio 3

#julioprofe explica cómo resolver una ecuación diferencial de segundo orden y primer grado, por el método de separación de variables. Tema: #EcuacionesDiferenciales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwGJGlFnQ4QGLGBNtrdZ8AIt REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Tenemos en esta ocasión una ecuación diferencial de tipo ordinaria. Entonces, ecuación diferencial ordinaria de segundo orden. Porque observamos la segunda derivada de y y de primer grado. Es de primer grado porque la mayor derivada que es y2' se encuentra elevada al exponente 1. Tenemos dos condiciones iniciales. y' de cero es igual a 2 y y de 1 es igual a 3. Y tenemos que encontrar la función original y de x. Una función para la cual se cumpla esta ecuación diferencial. Es decir que su segunda derivada sea igual a –3x al cuadrado más 4x. Comenzamos por escribir y2' como la derivada de y' con respecto a x. Simplemente cambiamos la notación y esto es igual a –3x al cuadrado más 4x. En seguida pasamos de x que está dividiendo al otro lado a multiplicar. Entonces tenemos que dy' es igual a –3x al cuadrado más 4x y todo eso multiplicado por dx. Ahora hacemos lo que se llama separación de variables. Ahora integramos a ambos lados. Entonces escribimos el símbolo de la integral a ambos lados de la igualdad. En seguida hacemos la integral de cada lado. Vamos a continuar por aquí. Entonces tenemos integral de dy' nos da y'. Recordemos que en ese caso la integración y la derivación son operaciones contrarias que se cancelan mutuamente y nos queda y'. Y acá tenemos la integral de una suma. Entonces integramos cada uno de los términos. La integral del primer término será –3x³ sobre 3. Se queda quieto –3 e integramos x³, cuya integral es x³ sobre 3. Más aquí dejamos quieto el número 4 e integramos x que tiene exponente 1. Eso nos da x³ sobre 2. Y aparece una primera constante que vamos a llamar c1. Vamos a simplificar estos dos términos. Tenemos y' es igual a –x³. Aquí simplificamos el 3. Y aquí simplificamos 4 con 2. Nos queda 2x² más c1. Tenemos una primera expresión donde vamos a utilizar la primera condición inicial que nos dan. La que dice que y' de cero es igual a 2. Cuando tenemos y' de cero significa que en la expresión que corresponde a y', x toma el valor cero. Entonces, y' de cero viene siendo igual a –0³ más 2 por 0² más c1. Como podemos observar, x toma el valor cero. Tenemos que y' de cero equivale a 2. Esa es la información que nos dan. 0³ es 0. 0² nos da 0. Por 2 es igual a 0. Por lo tanto, en el lado izquierdo nos queda 2. Y en el lado derecho únicamente nos queda c1. Entonces decimos que la constante 1 tiene el valor 2. Este resultado lo traemos aquí, donde está c1. Entonces vamos a reemplazar el número 2. Ahora en esta expresión vamos a cambiar y' por dy de x. dy de x es lo mismo que y'. Esto es igual a –x³ más 2x² más 2. Y allí vamos a realizar otra vez la separación de variables. dx que está dividiendo lo pasamos a multiplicar al otro lado. Nos queda dy es igual a –x³ más 2x² más 2. Y todo eso multiplicado por dx. Ahora vamos a integrar a ambos lados. Entonces escribimos el símbolo de la integral a ambos lados de la igualdad. Y entonces vamos a proceder con la solución de cada integral. Vamos a continuarlo por acá. La integral de dy es y. Y al otro lado integramos cada uno de los términos. Tenemos que la integral de –x³ es –x⁴ sobre 4. Más en este término dejamos el 2 quieto e integramos x². Eso nos da x³ sobre 3. Más la integral de 2 que es 2x. Y aparece una constante c², o sea la segunda constante de integración. Revisamos si hay algún término que se pueda simplificar y encontramos que no. Entonces en esta expresión vamos a utilizar la segunda condición inicial que nos da el ejercicio. Esa que dice que y de 1 es igual a 3. Y de 1 significa que la variable x toma el valor 1. Entonces aquí en cada uno de los términos donde tenemos la x vamos a reemplazar esa letra por el número 1. Entonces tenemos –1⁴ sobre 4 más 2¹³ sobre 3 más 2x, o sea 2x1 más la constante 2. Y vamos a resolver cada una de esas operaciones. Tenemos que y de 1 equivale a 3. Entonces aquí reemplazamos la información que nos dan. Por acá tenemos –1⁴ es 1. Sobre 4 nos queda –¼ más 1³ que es 1. Por 2 es 2. Nos queda 2⁴ más 2 por 1 que es 2. Y todo esto más c2. Podemos pasar todos los términos numéricos al lado izquierdo para que nos quede en el lado derecho únicamente c2. Entonces tendremos 3 más ¼ pasa –2⁴ pasa –2 y todo esto igualado a c2. Nos concentramos ahora en la solución de estas operaciones. Algo que corresponde a la aritmética. Tenemos que 3 menos 2 es 1 más ¼ menos 2⁴ y todo esto es igual a c2. Vamos a resolver esto sin el uso de la calculadora. Entonces recordemos que aquí tenemos denominador 1 y buscamos el común denominador o mínimo común múltiplo de 4 y 3. Que es igual a 12. Entonces podemos trazar una línea para escribir el común denominador que es 12. Aquí tenemos denominador 1. Entonces decimos 12 dividido entre 1 es igual a 12. 12 por 1 nos da 12. Más 12 dividido entre 4 nos da 3. 3 por 1 es igual a 3 menos 12 dividido entre 3 nos da 4. Y 4 por 2 es 8. Resolvemos en el numerador. Y eso nos da 12 más 3 es 15. 15 menos 8 es igual a 7. Y nos queda 7 12 aos. Una fracción que no se puede simplificar ya está en forma de fracción irreducible. Este resultado entonces lo traemos aquí. Donde tenemos c2. Y de esa manera llegamos a la función y de x que tenemos que encontrar. Vamos a escribirla por acá. Nos queda que la función y de x es igual a menos un cuarto de x a la 4. También se puede escribir de esa manera. Más 2 tercios de x al cubo más 2x más el valor de la constante 2 que es 7 12 aos. Vamos entonces a destacar esa respuesta. Y con eso terminamos este ejercicio. Entonces esta será la función a la que teníamos que llegar. Una manera de verificar si esto es correcto es obtener la segunda derivada de esta función. Y efectivamente veremos que equivale a menos 13x al cuadrado más 4x. Dando cumplimiento a la ecuación diferencial original.

[{"start": 0.0, "end": 6.0, "text": " Tenemos en esta ocasi\u00f3n una ecuaci\u00f3n diferencial de tipo ordinaria."}, {"start": 6.0, "end": 13.0, "text": " Entonces, ecuaci\u00f3n diferencial ordinaria de segundo orden."}, {"start": 15.0, "end": 22.0, "text": " Porque observamos la segunda derivada de y y de primer grado."}, {"start": 22.0, "end": 33.0, "text": " Es de primer grado porque la mayor derivada que es y2' se encuentra elevada al exponente 1."}, {"start": 33.0, "end": 35.0, "text": " Tenemos dos condiciones iniciales."}, {"start": 35.0, "end": 41.0, "text": " y' de cero es igual a 2 y y de 1 es igual a 3."}, {"start": 41.0, "end": 47.0, "text": " Y tenemos que encontrar la funci\u00f3n original y de x."}, {"start": 47.0, "end": 53.0, "text": " Una funci\u00f3n para la cual se cumpla esta ecuaci\u00f3n diferencial."}, {"start": 53.0, "end": 61.0, "text": " Es decir que su segunda derivada sea igual a \u20133x al cuadrado m\u00e1s 4x."}, {"start": 63.0, "end": 73.0, "text": " Comenzamos por escribir y2' como la derivada de y' con respecto a x."}, {"start": 73.0, "end": 82.0, "text": " Simplemente cambiamos la notaci\u00f3n y esto es igual a \u20133x al cuadrado m\u00e1s 4x."}, {"start": 82.0, "end": 88.0, "text": " En seguida pasamos de x que est\u00e1 dividiendo al otro lado a multiplicar."}, {"start": 88.0, "end": 101.0, "text": " Entonces tenemos que dy' es igual a \u20133x al cuadrado m\u00e1s 4x y todo eso multiplicado por dx."}, {"start": 101.0, "end": 104.0, "text": " Ahora hacemos lo que se llama separaci\u00f3n de variables."}, {"start": 104.0, "end": 107.0, "text": " Ahora integramos a ambos lados."}, {"start": 107.0, "end": 115.0, "text": " Entonces escribimos el s\u00edmbolo de la integral a ambos lados de la igualdad."}, {"start": 120.0, "end": 125.0, "text": " En seguida hacemos la integral de cada lado."}, {"start": 125.0, "end": 128.0, "text": " Vamos a continuar por aqu\u00ed."}, {"start": 128.0, "end": 135.0, "text": " Entonces tenemos integral de dy' nos da y'."}, {"start": 135.0, "end": 145.0, "text": " Recordemos que en ese caso la integraci\u00f3n y la derivaci\u00f3n son operaciones contrarias que se cancelan mutuamente y nos queda y'."}, {"start": 145.0, "end": 148.0, "text": " Y ac\u00e1 tenemos la integral de una suma."}, {"start": 148.0, "end": 151.0, "text": " Entonces integramos cada uno de los t\u00e9rminos."}, {"start": 151.0, "end": 159.0, "text": " La integral del primer t\u00e9rmino ser\u00e1 \u20133x\u00b3 sobre 3."}, {"start": 159.0, "end": 166.0, "text": " Se queda quieto \u20133 e integramos x\u00b3, cuya integral es x\u00b3 sobre 3."}, {"start": 166.0, "end": 174.0, "text": " M\u00e1s aqu\u00ed dejamos quieto el n\u00famero 4 e integramos x que tiene exponente 1."}, {"start": 174.0, "end": 178.0, "text": " Eso nos da x\u00b3 sobre 2."}, {"start": 178.0, "end": 184.0, "text": " Y aparece una primera constante que vamos a llamar c1."}, {"start": 184.0, "end": 186.0, "text": " Vamos a simplificar estos dos t\u00e9rminos."}, {"start": 186.0, "end": 192.0, "text": " Tenemos y' es igual a \u2013x\u00b3."}, {"start": 192.0, "end": 194.0, "text": " Aqu\u00ed simplificamos el 3."}, {"start": 194.0, "end": 197.0, "text": " Y aqu\u00ed simplificamos 4 con 2."}, {"start": 197.0, "end": 202.0, "text": " Nos queda 2x\u00b2 m\u00e1s c1."}, {"start": 202.0, "end": 214.0, "text": " Tenemos una primera expresi\u00f3n donde vamos a utilizar la primera condici\u00f3n inicial que nos dan."}, {"start": 214.0, "end": 220.0, "text": " La que dice que y' de cero es igual a 2."}, {"start": 220.0, "end": 230.0, "text": " Cuando tenemos y' de cero significa que en la expresi\u00f3n que corresponde a y', x toma el valor cero."}, {"start": 230.0, "end": 249.0, "text": " Entonces, y' de cero viene siendo igual a \u20130\u00b3 m\u00e1s 2 por 0\u00b2 m\u00e1s c1."}, {"start": 249.0, "end": 254.0, "text": " Como podemos observar, x toma el valor cero."}, {"start": 254.0, "end": 258.0, "text": " Tenemos que y' de cero equivale a 2."}, {"start": 258.0, "end": 260.0, "text": " Esa es la informaci\u00f3n que nos dan."}, {"start": 260.0, "end": 263.0, "text": " 0\u00b3 es 0."}, {"start": 263.0, "end": 265.0, "text": " 0\u00b2 nos da 0."}, {"start": 265.0, "end": 267.0, "text": " Por 2 es igual a 0."}, {"start": 267.0, "end": 271.0, "text": " Por lo tanto, en el lado izquierdo nos queda 2."}, {"start": 271.0, "end": 275.0, "text": " Y en el lado derecho \u00fanicamente nos queda c1."}, {"start": 275.0, "end": 280.0, "text": " Entonces decimos que la constante 1 tiene el valor 2."}, {"start": 280.0, "end": 286.0, "text": " Este resultado lo traemos aqu\u00ed, donde est\u00e1 c1."}, {"start": 286.0, "end": 293.0, "text": " Entonces vamos a reemplazar el n\u00famero 2."}, {"start": 293.0, "end": 301.0, "text": " Ahora en esta expresi\u00f3n vamos a cambiar y' por dy de x."}, {"start": 301.0, "end": 304.0, "text": " dy de x es lo mismo que y'."}, {"start": 304.0, "end": 315.0, "text": " Esto es igual a \u2013x\u00b3 m\u00e1s 2x\u00b2 m\u00e1s 2."}, {"start": 315.0, "end": 320.0, "text": " Y all\u00ed vamos a realizar otra vez la separaci\u00f3n de variables."}, {"start": 320.0, "end": 325.0, "text": " dx que est\u00e1 dividiendo lo pasamos a multiplicar al otro lado."}, {"start": 325.0, "end": 333.0, "text": " Nos queda dy es igual a \u2013x\u00b3 m\u00e1s 2x\u00b2 m\u00e1s 2."}, {"start": 333.0, "end": 337.0, "text": " Y todo eso multiplicado por dx."}, {"start": 337.0, "end": 341.0, "text": " Ahora vamos a integrar a ambos lados."}, {"start": 341.0, "end": 353.0, "text": " Entonces escribimos el s\u00edmbolo de la integral a ambos lados de la igualdad."}, {"start": 353.0, "end": 360.0, "text": " Y entonces vamos a proceder con la soluci\u00f3n de cada integral."}, {"start": 360.0, "end": 363.0, "text": " Vamos a continuarlo por ac\u00e1."}, {"start": 363.0, "end": 366.0, "text": " La integral de dy es y."}, {"start": 366.0, "end": 370.0, "text": " Y al otro lado integramos cada uno de los t\u00e9rminos."}, {"start": 370.0, "end": 377.0, "text": " Tenemos que la integral de \u2013x\u00b3 es \u2013x\u2074 sobre 4."}, {"start": 377.0, "end": 385.0, "text": " M\u00e1s en este t\u00e9rmino dejamos el 2 quieto e integramos x\u00b2."}, {"start": 385.0, "end": 389.0, "text": " Eso nos da x\u00b3 sobre 3."}, {"start": 389.0, "end": 393.0, "text": " M\u00e1s la integral de 2 que es 2x."}, {"start": 393.0, "end": 401.0, "text": " Y aparece una constante c\u00b2, o sea la segunda constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 401.0, "end": 407.0, "text": " Revisamos si hay alg\u00fan t\u00e9rmino que se pueda simplificar y encontramos que no."}, {"start": 407.0, "end": 417.0, "text": " Entonces en esta expresi\u00f3n vamos a utilizar la segunda condici\u00f3n inicial que nos da el ejercicio."}, {"start": 417.0, "end": 422.0, "text": " Esa que dice que y de 1 es igual a 3."}, {"start": 422.0, "end": 430.0, "text": " Y de 1 significa que la variable x toma el valor 1."}, {"start": 430.0, "end": 439.0, "text": " Entonces aqu\u00ed en cada uno de los t\u00e9rminos donde tenemos la x vamos a reemplazar esa letra por el n\u00famero 1."}, {"start": 439.0, "end": 461.0, "text": " Entonces tenemos \u20131\u2074 sobre 4 m\u00e1s 2\u00b9\u00b3 sobre 3 m\u00e1s 2x, o sea 2x1 m\u00e1s la constante 2."}, {"start": 461.0, "end": 465.0, "text": " Y vamos a resolver cada una de esas operaciones."}, {"start": 465.0, "end": 469.0, "text": " Tenemos que y de 1 equivale a 3."}, {"start": 469.0, "end": 474.0, "text": " Entonces aqu\u00ed reemplazamos la informaci\u00f3n que nos dan."}, {"start": 474.0, "end": 479.0, "text": " Por ac\u00e1 tenemos \u20131\u2074 es 1."}, {"start": 479.0, "end": 485.0, "text": " Sobre 4 nos queda \u2013\u00bc m\u00e1s 1\u00b3 que es 1."}, {"start": 485.0, "end": 487.0, "text": " Por 2 es 2."}, {"start": 487.0, "end": 491.0, "text": " Nos queda 2\u2074 m\u00e1s 2 por 1 que es 2."}, {"start": 491.0, "end": 495.0, "text": " Y todo esto m\u00e1s c2."}, {"start": 495.0, "end": 503.0, "text": " Podemos pasar todos los t\u00e9rminos num\u00e9ricos al lado izquierdo para que nos quede en el lado derecho \u00fanicamente c2."}, {"start": 503.0, "end": 518.0, "text": " Entonces tendremos 3 m\u00e1s \u00bc pasa \u20132\u2074 pasa \u20132 y todo esto igualado a c2."}, {"start": 518.0, "end": 523.0, "text": " Nos concentramos ahora en la soluci\u00f3n de estas operaciones."}, {"start": 523.0, "end": 526.0, "text": " Algo que corresponde a la aritm\u00e9tica."}, {"start": 526.0, "end": 538.0, "text": " Tenemos que 3 menos 2 es 1 m\u00e1s \u00bc menos 2\u2074 y todo esto es igual a c2."}, {"start": 538.0, "end": 542.0, "text": " Vamos a resolver esto sin el uso de la calculadora."}, {"start": 542.0, "end": 555.0, "text": " Entonces recordemos que aqu\u00ed tenemos denominador 1 y buscamos el com\u00fan denominador o m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de 4 y 3."}, {"start": 555.0, "end": 558.0, "text": " Que es igual a 12."}, {"start": 558.0, "end": 566.0, "text": " Entonces podemos trazar una l\u00ednea para escribir el com\u00fan denominador que es 12."}, {"start": 566.0, "end": 569.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos denominador 1."}, {"start": 569.0, "end": 574.0, "text": " Entonces decimos 12 dividido entre 1 es igual a 12."}, {"start": 574.0, "end": 577.0, "text": " 12 por 1 nos da 12."}, {"start": 577.0, "end": 581.0, "text": " M\u00e1s 12 dividido entre 4 nos da 3."}, {"start": 581.0, "end": 589.0, "text": " 3 por 1 es igual a 3 menos 12 dividido entre 3 nos da 4."}, {"start": 589.0, "end": 592.0, "text": " Y 4 por 2 es 8."}, {"start": 592.0, "end": 596.0, "text": " Resolvemos en el numerador."}, {"start": 596.0, "end": 599.0, "text": " Y eso nos da 12 m\u00e1s 3 es 15."}, {"start": 599.0, "end": 602.0, "text": " 15 menos 8 es igual a 7."}, {"start": 602.0, "end": 605.0, "text": " Y nos queda 7 12 aos."}, {"start": 605.0, "end": 614.0, "text": " Una fracci\u00f3n que no se puede simplificar ya est\u00e1 en forma de fracci\u00f3n irreducible."}, {"start": 614.0, "end": 618.0, "text": " Este resultado entonces lo traemos aqu\u00ed."}, {"start": 618.0, "end": 620.0, "text": " Donde tenemos c2."}, {"start": 620.0, "end": 627.0, "text": " Y de esa manera llegamos a la funci\u00f3n y de x que tenemos que encontrar."}, {"start": 627.0, "end": 629.0, "text": " Vamos a escribirla por ac\u00e1."}, {"start": 629.0, "end": 636.0, "text": " Nos queda que la funci\u00f3n y de x es igual a menos un cuarto de x a la 4."}, {"start": 636.0, "end": 639.0, "text": " Tambi\u00e9n se puede escribir de esa manera."}, {"start": 639.0, "end": 654.0, "text": " M\u00e1s 2 tercios de x al cubo m\u00e1s 2x m\u00e1s el valor de la constante 2 que es 7 12 aos."}, {"start": 654.0, "end": 660.0, "text": " Vamos entonces a destacar esa respuesta."}, {"start": 660.0, "end": 665.0, "text": " Y con eso terminamos este ejercicio."}, {"start": 665.0, "end": 674.0, "text": " Entonces esta ser\u00e1 la funci\u00f3n a la que ten\u00edamos que llegar."}, {"start": 674.0, "end": 681.0, "text": " Una manera de verificar si esto es correcto es obtener la segunda derivada de esta funci\u00f3n."}, {"start": 681.0, "end": 688.0, "text": " Y efectivamente veremos que equivale a menos 13x al cuadrado m\u00e1s 4x."}, {"start": 688.0, "end": 695.0, "text": " Dando cumplimiento a la ecuaci\u00f3n diferencial original."}]

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ECUACIONES LOGARÍTMICAS - Ejercicio 7

#julioprofe explica cómo resolver una ecuación, donde hay potencias con logaritmos en los exponentes. Tema: #EcuacionesLogarítmicas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwGy9_WwQrZrw9iTXiKDua5T REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Tenemos en esta ocasión una ecuación donde observamos expresiones que son potencias y que tienen logaritmos en los exponentes. Vamos a desarrollarla detalladamente. Comenzamos por cambiar 25 por 5 al cuadrado. Entonces expresamos ese número como 5 elevado al cuadrado. Y allí vamos a utilizar la siguiente propiedad de la potenciación. Si tenemos una potencia a la n elevada a su vez a otro exponente m, entonces conservamos la base y multiplicamos los exponentes. Pues bien, esta situación se está presentando aquí. Tenemos que 5 hace el papel de a, 2 hace el papel de n y todo este logaritmo hace el papel de la m. Entonces vamos a conservar la base, conservamos el 5 y vamos a multiplicar los exponentes. Entonces esto lo podemos escribir de la siguiente manera. El 2 multiplicando con el logaritmo. Hemos aplicado entonces esta propiedad. Ahora viene el uso de una propiedad de los logaritmos. Si tenemos el logaritmo en base a de una potencia, por ejemplo b elevada al exponente c, entonces este exponente puede bajar a multiplicar delante del logaritmo. Nos queda c por logaritmo en la base a de b. Pues bien, esta situación se está presentando aquí. Tenemos que 2 hace el papel de la c. Entonces el 2 puede ubicarse aquí como exponente de x menos 3 que está haciendo el papel de la letra b. Es decir, vamos a llevarlo a esta forma. Entonces apoyándonos en esta propiedad, trasladamos este 2 aquí como exponente de x menos 3. En seguida aplicamos otra propiedad que combina potenciación con logaritmación. Ella dice así. Si tenemos una cantidad a elevada al logaritmo en base a de una cantidad n, entonces eso es igual a esa cantidad n. Es decir, si observamos que la base coincide con la base del logaritmo que está situada en el exponente, entonces simplemente se libera esto que tenemos aquí. Es como si estas dos cosas se cancelaran mutuamente. Esto sucede porque están interactuando dos operaciones contrarias que son la potenciación con la logaritmación. Entonces liberan el argumento del logaritmo que en este caso está representado por la letra n. Pues bien, eso está sucediendo aquí. Observamos que 5 es la base principal de la potencia, pero en el exponente tenemos un logaritmo en la base 5. Es decir, coinciden estas dos cantidades. Por lo tanto, x menos 3 al cuadrado representa la n. Y todo esto será igual a la cantidad n, o sea, x menos 3 al cuadrado. Menos, pasamos a esta cantidad donde se cumple exactamente la misma propiedad. Vemos que estos dos números son iguales, por lo tanto queda libre la expresión 5x. Conservamos el paréntesis, ahora más adelante lo podemos retirar. Y por acá tenemos lo que es 10, que hace el papel de la a. Y aquí tenemos el logaritmo en la base 10 de 6. Recordemos que el logaritmo en base 10 tiene su base invisible. Aquí hay un 10 que coincide con este 10, por lo tanto eso es igual a 6, apoyándonos en esta propiedad. Y no podemos olvidar que todo eso se encuentra igualado a 0. Y aquí en adelante nos vamos a concentrar en el desarrollo de esta ecuación. Vamos a desarrollar este binomio elevado al cuadrado. Recordemos el producto notable que nos permite realizar esa expansión. Si tenemos la resta de dos cantidades y todo eso elevado al cuadrado es igual a la primera cantidad al cuadrado. Menos dos veces la primera por la segunda más la segunda cantidad al cuadrado. Entonces vamos a aplicar esta fórmula para desarrollar este binomio al cuadrado. Tenemos x al cuadrado, la primera cantidad al cuadrado, menos dos veces la primera por la segunda. O sea, dos por x por tres, que nos da seis x, más la segunda cantidad al cuadrado, o sea, tres al cuadrado, que nos da nueve. Escribimos menos cinco x, quitamos el paréntesis, esto más seis, igualado a cero. Esto nos queda x al cuadrado, hacemos reducción de términos semejantes, menos seis x, menos cinco x, nos da menos once x. Y operamos los términos independientes, nueve más seis, que nos da como resultado más quince, y todo esto igualado a cero. Y llegamos a lo que se llama una ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado. Si hacemos la inspección de la factorización encontramos que no es posible factorizar este trinomio. Entonces vamos a tomar el camino de la fórmula cuadrática o fórmula general. Aquí podemos observarla. Enseguida la escribimos desapareciendo cada una de las letras que allí intervienen. Recordemos que una ecuación cuadrática tiene el modelo a x al cuadrado más bx más c igual a cero. Entonces en este caso a es el coeficiente de x al cuadrado que es uno. B es el coeficiente de x que en este caso es menos once. Y c es el término independiente que tiene un valor de quince. Entonces reemplazamos estos números aquí en los espacios. Tenemos que b vale menos once, entonces reemplazamos aquí y también por aquí. A vale uno, entonces escribimos el uno en estos dos espacios y aquí escribimos el valor de la c que es el número quince. Resolvemos cada operación. Por acá esto nos da once positivo. Más o menos aquí dentro de la raíz cuadrada tenemos menos once al cuadrado que es ciento veintiuno positivo. Menos cuatro por uno por quince que nos da sesenta. Y aquí en el denominador dos por uno que es dos. Esto nos queda once más o menos la raíz cuadrada de sesenta y uno. Realizando esta resta dentro de la raíz cuadrada y aquí en el denominador tenemos dos. De esto tenemos dos posibilidades. La primera que la llamamos x uno será once menos la raíz cuadrada de sesenta y uno. Y todo esto sobre dos. La otra posibilidad que la llamamos x dos es once más la raíz cuadrada de sesenta y uno. Y todo esto dividido entre dos. Nos queda examinar cada una de ellas, ver a cuanto equivale eso en decimal. Entonces vamos a la calculadora y esta primera opción nos da como resultado uno punto cincuenta y nueve. Aproximando a dos cifras decimales. Esta expresión en la calculadora nos da aproximadamente nueve punto cuarenta. Y vamos a decidir cual de los dos valores es el que sirve o si de pronto sirven los dos. Vamos a escribir esto como se encontraba originalmente. Recordemos que este dos estaba por aquí y a su vez era exponente del cinco. Teníamos al principio aquí el número veinticinco. Entonces debemos garantizar la existencia de los logaritmos. Es decir que el valor de x no tenga problemas en los logaritmos donde aparece. Para el caso de uno punto cincuenta y nueve si lo traemos aquí vemos que uno punto cincuenta y nueve menos tres da como resultado una cantidad negativa. Y los logaritmos no están definidos para cantidades negativas. Por lo tanto este número se descarta. En cambio si examinamos nueve punto cuarenta aquí vemos que esta diferencia da como resultado un número positivo. Y por aquí también cinco por nueve punto cuarenta da positivo. Por lo tanto la solución a la ecuación será esta posibilidad. Como decíamos la primera opción se descarta y nos quedamos con esta que tenemos acá. Entonces para este ejercicio, para esta ecuación el valor de x que hace cierta la igualdad es este que tenemos aquí. Con esto terminamos.

[{"start": 0.0, "end": 12.0, "text": " Tenemos en esta ocasi\u00f3n una ecuaci\u00f3n donde observamos expresiones que son potencias y que tienen logaritmos en los exponentes."}, {"start": 12.0, "end": 15.0, "text": " Vamos a desarrollarla detalladamente."}, {"start": 15.0, "end": 21.0, "text": " Comenzamos por cambiar 25 por 5 al cuadrado."}, {"start": 21.0, "end": 29.0, "text": " Entonces expresamos ese n\u00famero como 5 elevado al cuadrado."}, {"start": 29.0, "end": 35.0, "text": " Y all\u00ed vamos a utilizar la siguiente propiedad de la potenciaci\u00f3n."}, {"start": 35.0, "end": 48.0, "text": " Si tenemos una potencia a la n elevada a su vez a otro exponente m, entonces conservamos la base y multiplicamos los exponentes."}, {"start": 48.0, "end": 52.0, "text": " Pues bien, esta situaci\u00f3n se est\u00e1 presentando aqu\u00ed."}, {"start": 52.0, "end": 62.0, "text": " Tenemos que 5 hace el papel de a, 2 hace el papel de n y todo este logaritmo hace el papel de la m."}, {"start": 62.0, "end": 69.0, "text": " Entonces vamos a conservar la base, conservamos el 5 y vamos a multiplicar los exponentes."}, {"start": 69.0, "end": 75.0, "text": " Entonces esto lo podemos escribir de la siguiente manera."}, {"start": 75.0, "end": 80.0, "text": " El 2 multiplicando con el logaritmo."}, {"start": 80.0, "end": 84.0, "text": " Hemos aplicado entonces esta propiedad."}, {"start": 84.0, "end": 90.0, "text": " Ahora viene el uso de una propiedad de los logaritmos."}, {"start": 90.0, "end": 99.0, "text": " Si tenemos el logaritmo en base a de una potencia, por ejemplo b elevada al exponente c,"}, {"start": 99.0, "end": 106.0, "text": " entonces este exponente puede bajar a multiplicar delante del logaritmo."}, {"start": 106.0, "end": 112.0, "text": " Nos queda c por logaritmo en la base a de b."}, {"start": 112.0, "end": 116.0, "text": " Pues bien, esta situaci\u00f3n se est\u00e1 presentando aqu\u00ed."}, {"start": 116.0, "end": 119.0, "text": " Tenemos que 2 hace el papel de la c."}, {"start": 119.0, "end": 130.0, "text": " Entonces el 2 puede ubicarse aqu\u00ed como exponente de x menos 3 que est\u00e1 haciendo el papel de la letra b."}, {"start": 130.0, "end": 133.0, "text": " Es decir, vamos a llevarlo a esta forma."}, {"start": 133.0, "end": 146.0, "text": " Entonces apoy\u00e1ndonos en esta propiedad, trasladamos este 2 aqu\u00ed como exponente de x menos 3."}, {"start": 146.0, "end": 152.0, "text": " En seguida aplicamos otra propiedad que combina potenciaci\u00f3n con logaritmaci\u00f3n."}, {"start": 152.0, "end": 154.0, "text": " Ella dice as\u00ed."}, {"start": 154.0, "end": 167.0, "text": " Si tenemos una cantidad a elevada al logaritmo en base a de una cantidad n, entonces eso es igual a esa cantidad n."}, {"start": 167.0, "end": 177.0, "text": " Es decir, si observamos que la base coincide con la base del logaritmo que est\u00e1 situada en el exponente,"}, {"start": 177.0, "end": 181.0, "text": " entonces simplemente se libera esto que tenemos aqu\u00ed."}, {"start": 181.0, "end": 185.0, "text": " Es como si estas dos cosas se cancelaran mutuamente."}, {"start": 185.0, "end": 193.0, "text": " Esto sucede porque est\u00e1n interactuando dos operaciones contrarias que son la potenciaci\u00f3n con la logaritmaci\u00f3n."}, {"start": 193.0, "end": 201.0, "text": " Entonces liberan el argumento del logaritmo que en este caso est\u00e1 representado por la letra n."}, {"start": 201.0, "end": 204.0, "text": " Pues bien, eso est\u00e1 sucediendo aqu\u00ed."}, {"start": 204.0, "end": 213.0, "text": " Observamos que 5 es la base principal de la potencia, pero en el exponente tenemos un logaritmo en la base 5."}, {"start": 213.0, "end": 216.0, "text": " Es decir, coinciden estas dos cantidades."}, {"start": 216.0, "end": 221.0, "text": " Por lo tanto, x menos 3 al cuadrado representa la n."}, {"start": 221.0, "end": 231.0, "text": " Y todo esto ser\u00e1 igual a la cantidad n, o sea, x menos 3 al cuadrado."}, {"start": 231.0, "end": 238.0, "text": " Menos, pasamos a esta cantidad donde se cumple exactamente la misma propiedad."}, {"start": 238.0, "end": 246.0, "text": " Vemos que estos dos n\u00fameros son iguales, por lo tanto queda libre la expresi\u00f3n 5x."}, {"start": 246.0, "end": 252.0, "text": " Conservamos el par\u00e9ntesis, ahora m\u00e1s adelante lo podemos retirar."}, {"start": 252.0, "end": 258.0, "text": " Y por ac\u00e1 tenemos lo que es 10, que hace el papel de la a."}, {"start": 258.0, "end": 262.0, "text": " Y aqu\u00ed tenemos el logaritmo en la base 10 de 6."}, {"start": 262.0, "end": 267.0, "text": " Recordemos que el logaritmo en base 10 tiene su base invisible."}, {"start": 267.0, "end": 276.0, "text": " Aqu\u00ed hay un 10 que coincide con este 10, por lo tanto eso es igual a 6, apoy\u00e1ndonos en esta propiedad."}, {"start": 276.0, "end": 284.0, "text": " Y no podemos olvidar que todo eso se encuentra igualado a 0."}, {"start": 284.0, "end": 289.0, "text": " Y aqu\u00ed en adelante nos vamos a concentrar en el desarrollo de esta ecuaci\u00f3n."}, {"start": 289.0, "end": 294.0, "text": " Vamos a desarrollar este binomio elevado al cuadrado."}, {"start": 294.0, "end": 299.0, "text": " Recordemos el producto notable que nos permite realizar esa expansi\u00f3n."}, {"start": 299.0, "end": 309.0, "text": " Si tenemos la resta de dos cantidades y todo eso elevado al cuadrado es igual a la primera cantidad al cuadrado."}, {"start": 309.0, "end": 316.0, "text": " Menos dos veces la primera por la segunda m\u00e1s la segunda cantidad al cuadrado."}, {"start": 316.0, "end": 322.0, "text": " Entonces vamos a aplicar esta f\u00f3rmula para desarrollar este binomio al cuadrado."}, {"start": 322.0, "end": 331.0, "text": " Tenemos x al cuadrado, la primera cantidad al cuadrado, menos dos veces la primera por la segunda."}, {"start": 331.0, "end": 344.0, "text": " O sea, dos por x por tres, que nos da seis x, m\u00e1s la segunda cantidad al cuadrado, o sea, tres al cuadrado, que nos da nueve."}, {"start": 344.0, "end": 354.0, "text": " Escribimos menos cinco x, quitamos el par\u00e9ntesis, esto m\u00e1s seis, igualado a cero."}, {"start": 354.0, "end": 368.0, "text": " Esto nos queda x al cuadrado, hacemos reducci\u00f3n de t\u00e9rminos semejantes, menos seis x, menos cinco x, nos da menos once x."}, {"start": 368.0, "end": 380.0, "text": " Y operamos los t\u00e9rminos independientes, nueve m\u00e1s seis, que nos da como resultado m\u00e1s quince, y todo esto igualado a cero."}, {"start": 380.0, "end": 386.0, "text": " Y llegamos a lo que se llama una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica o ecuaci\u00f3n de segundo grado."}, {"start": 386.0, "end": 395.0, "text": " Si hacemos la inspecci\u00f3n de la factorizaci\u00f3n encontramos que no es posible factorizar este trinomio."}, {"start": 395.0, "end": 402.0, "text": " Entonces vamos a tomar el camino de la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica o f\u00f3rmula general."}, {"start": 402.0, "end": 406.0, "text": " Aqu\u00ed podemos observarla."}, {"start": 406.0, "end": 414.0, "text": " Enseguida la escribimos desapareciendo cada una de las letras que all\u00ed intervienen."}, {"start": 414.0, "end": 424.0, "text": " Recordemos que una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica tiene el modelo a x al cuadrado m\u00e1s bx m\u00e1s c igual a cero."}, {"start": 424.0, "end": 431.0, "text": " Entonces en este caso a es el coeficiente de x al cuadrado que es uno."}, {"start": 431.0, "end": 439.0, "text": " B es el coeficiente de x que en este caso es menos once."}, {"start": 439.0, "end": 446.0, "text": " Y c es el t\u00e9rmino independiente que tiene un valor de quince."}, {"start": 446.0, "end": 451.0, "text": " Entonces reemplazamos estos n\u00fameros aqu\u00ed en los espacios."}, {"start": 451.0, "end": 459.0, "text": " Tenemos que b vale menos once, entonces reemplazamos aqu\u00ed y tambi\u00e9n por aqu\u00ed."}, {"start": 459.0, "end": 473.0, "text": " A vale uno, entonces escribimos el uno en estos dos espacios y aqu\u00ed escribimos el valor de la c que es el n\u00famero quince."}, {"start": 473.0, "end": 480.0, "text": " Resolvemos cada operaci\u00f3n. Por ac\u00e1 esto nos da once positivo."}, {"start": 480.0, "end": 491.0, "text": " M\u00e1s o menos aqu\u00ed dentro de la ra\u00edz cuadrada tenemos menos once al cuadrado que es ciento veintiuno positivo."}, {"start": 491.0, "end": 497.0, "text": " Menos cuatro por uno por quince que nos da sesenta."}, {"start": 497.0, "end": 503.0, "text": " Y aqu\u00ed en el denominador dos por uno que es dos."}, {"start": 503.0, "end": 511.0, "text": " Esto nos queda once m\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada de sesenta y uno."}, {"start": 511.0, "end": 521.0, "text": " Realizando esta resta dentro de la ra\u00edz cuadrada y aqu\u00ed en el denominador tenemos dos."}, {"start": 521.0, "end": 525.0, "text": " De esto tenemos dos posibilidades."}, {"start": 525.0, "end": 535.0, "text": " La primera que la llamamos x uno ser\u00e1 once menos la ra\u00edz cuadrada de sesenta y uno."}, {"start": 535.0, "end": 540.0, "text": " Y todo esto sobre dos."}, {"start": 540.0, "end": 557.0, "text": " La otra posibilidad que la llamamos x dos es once m\u00e1s la ra\u00edz cuadrada de sesenta y uno. Y todo esto dividido entre dos."}, {"start": 557.0, "end": 565.0, "text": " Nos queda examinar cada una de ellas, ver a cuanto equivale eso en decimal."}, {"start": 565.0, "end": 574.0, "text": " Entonces vamos a la calculadora y esta primera opci\u00f3n nos da como resultado uno punto cincuenta y nueve."}, {"start": 574.0, "end": 578.0, "text": " Aproximando a dos cifras decimales."}, {"start": 578.0, "end": 586.0, "text": " Esta expresi\u00f3n en la calculadora nos da aproximadamente nueve punto cuarenta."}, {"start": 586.0, "end": 593.0, "text": " Y vamos a decidir cual de los dos valores es el que sirve o si de pronto sirven los dos."}, {"start": 593.0, "end": 598.0, "text": " Vamos a escribir esto como se encontraba originalmente."}, {"start": 598.0, "end": 604.0, "text": " Recordemos que este dos estaba por aqu\u00ed y a su vez era exponente del cinco."}, {"start": 604.0, "end": 610.0, "text": " Ten\u00edamos al principio aqu\u00ed el n\u00famero veinticinco."}, {"start": 610.0, "end": 617.0, "text": " Entonces debemos garantizar la existencia de los logaritmos."}, {"start": 617.0, "end": 625.0, "text": " Es decir que el valor de x no tenga problemas en los logaritmos donde aparece."}, {"start": 625.0, "end": 635.0, "text": " Para el caso de uno punto cincuenta y nueve si lo traemos aqu\u00ed vemos que uno punto cincuenta y nueve menos tres da como resultado una cantidad negativa."}, {"start": 635.0, "end": 641.0, "text": " Y los logaritmos no est\u00e1n definidos para cantidades negativas."}, {"start": 641.0, "end": 646.0, "text": " Por lo tanto este n\u00famero se descarta."}, {"start": 646.0, "end": 657.0, "text": " En cambio si examinamos nueve punto cuarenta aqu\u00ed vemos que esta diferencia da como resultado un n\u00famero positivo."}, {"start": 657.0, "end": 662.0, "text": " Y por aqu\u00ed tambi\u00e9n cinco por nueve punto cuarenta da positivo."}, {"start": 662.0, "end": 668.0, "text": " Por lo tanto la soluci\u00f3n a la ecuaci\u00f3n ser\u00e1 esta posibilidad."}, {"start": 668.0, "end": 676.0, "text": " Como dec\u00edamos la primera opci\u00f3n se descarta y nos quedamos con esta que tenemos ac\u00e1."}, {"start": 676.0, "end": 687.0, "text": " Entonces para este ejercicio, para esta ecuaci\u00f3n el valor de x que hace cierta la igualdad es este que tenemos aqu\u00ed."}, {"start": 687.0, "end": 699.0, "text": " Con esto terminamos."}]

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FUNCIONES COMPUESTAS Y SUS DOMINIOS

#julioprofe explica cómo obtener las funciones compuestas (f o g)(x) y (g o f)(x), así como sus respectivos dominios. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Para estas dos funciones que tenemos, F y G, vamos a determinar F compuesta G de X y G compuesta F de X, así como sus respectivos dominios. Comenzamos por determinar F compuesta G de X, que también se puede escribir como F de G de X. Lo que vamos a hacer en esta ocasión es reemplazar G de X en F de X, es decir, G de X que equivale a 1 sobre X, aquí lo sustituimos, vamos a reemplazarlo en la función F en el lugar que corresponde a la letra X. O sea que 1 sobre X entra aquí, donde tenemos la variable X. Nos queda entonces la raíz cuadrada de 1 sobre X menos 2. Ese es el concepto de función compuesta, es evaluar una función en otra, en este caso G de X entra a reemplazarse en la función F. Vamos a resolver esta expresión, hacemos ya la parte algebraica dentro de esa raíz cuadrada. Entonces tenemos raíz cuadrada, a este 2 le podemos escribir denominador 1 y hacemos la resta de fracciones. Allí podemos utilizar la famosa carita feliz, 1 por 1 nos da 1 menos X por 2 que nos da 2X y abajo X por 1 que nos da X. Entonces hemos utilizado esto, por eso se le llama la carita feliz para encontrar rápidamente la operación que tenemos dentro de la raíz. Entonces, en resumen, la función F compuesta G de X es igual a esa expresión algebraica, la raíz cuadrada de 1 menos 2X y todo eso sobre X. Entonces con esto respondemos a la primera pregunta. Tenemos F compuesta G de X. Vamos ahora a encontrar G compuesta F de X que también puede escribirse como G evaluada en F de X. Ahora la función F de X se va a reemplazar en la función G. Entonces veamos que es F de X, equivale a la raíz cuadrada de X menos 2. Entonces aquí hacemos la sustitución. Y ahora esta expresión la vamos a reemplazar en la función G en el lugar correspondiente a la X. O sea que esta expresión se va a escribir aquí en el denominador de esa fracción. Nos queda entonces 1 sobre la raíz cuadrada de X menos 2. Y allí no podemos hacer nada más en cuanto a la parte algebraica. Se queda de esa manera. Entonces, en resumen, G compuesta F de X es igual a esta expresión. Tenemos 1 sobre la raíz cuadrada de X menos 2. Y allí respondemos a la segunda pregunta. Tenemos G compuesta F de X. Ahora vamos a encontrar los dominios de las dos funciones compuestas que acabamos de determinar. Para ello debemos establecer primero el dominio de cada una de las dos funciones que nos dan inicialmente. Debemos establecer dominio de F y dominio de G. Para el caso de la función F de X se requiere que X menos 2 sea siempre mayor o igual que 0. Para que esta función exista en el conjunto de los números reales debemos garantizar que X menos 2 no sea negativo. Entonces por eso se establece esta condición que es que X menos 2 todo el tiempo sea mayor o igual que 0. Tenemos una desigualdad lineal, entonces la resolvemos. Simplemente el 2 que está restando pasa al otro lado a sumar y nos queda X mayor o igual que 2. Que se convierte en el dominio de la función F. Y para el caso de la función G de X, para que ella exista en el conjunto de los reales necesitamos que X no sea 0. Entonces el dominio de G serán los valores de X, valores reales, diferentes de 0. Para establecer el dominio de F compuesta G se tienen que cumplir dos condiciones. La primera que X pertenezca al dominio de G y la segunda que G de X pertenezca al dominio de F. Veamos por qué. Cuando hacemos la función compuesta F bolita G o F compuesta G. Quiere decir que X entra en la función G de X y a su vez la función G de X entra a la función F de X. Entonces por esa razón X debe pertenecer al dominio de G, esa es la primera condición. Y a su vez G de X debe pertenecer al conjunto de valores que admite la función F de X. Por eso G de X debe pertenecer al dominio de F. Entonces teniendo en cuenta esas dos condiciones vamos a determinar el dominio de F compuesta G. La primera condición X perteneciente al dominio de G se convierte en esta que habíamos establecido. Es simplemente el dominio de la función G que es X diferente de 0. Y la segunda condición es que la función G de X pertenezca al dominio de F. O sea que 1 sobre X se reemplace aquí en la condición que habíamos establecido para F. O sea que 1 sobre X sea mayor o igual que 2. Recordemos que la función G de X ocupa el lugar de la X en la función F. Por eso nos queda 1 sobre X mayor o igual que 2. Una desigualdad de tipo racional que tenemos que resolver sin olvidar esta primera condición. Resolvemos entonces esa desigualdad racional. 1 sobre X mayor o igual que 2. Pasamos este 2 al lado izquierdo, llega a restar de tal forma que en el lado derecho siempre tengamos el 0. A este lado resolvemos la operación. Escribimos denominador 1. Resolvemos esa resta de fracciones con el método de la carita feliz que usábamos al principio. Tenemos 1 por 1 que es 1 menos X por 2 que es 2X y abajo X por 1 que nos da X. Y todo esto mayor o igual que 0. Aquí tenemos entonces la desigualdad racional. Y vamos a determinar sus puntos críticos. Es decir, aquellos valores de X que vuelven 0 el numerador y el denominador de esta expresión. Veamos entonces puntos críticos para el numerador. Para el numerador podemos igualar a 0 la expresión 1 menos 2X. Vamos a hacerlo por aquí. 1 menos 2X se iguala a 0 y se resuelve esa ecuación para X. Podemos dejar en el lado izquierdo menos 2X. Pasamos este 1 que está positivo al otro lado negativo. Despejamos X. Pasamos menos 2 que está multiplicando al otro lado a dividir. Recordemos que pasa con su signo negativo. Y aquí aplicamos ley de los signos para esta división. Menos con menos nos da más. O sea que X es igual a 1 medio. Tenemos entonces el punto crítico para el numerador en X igual a 1 medio. Para el denominador establecemos que el punto crítico ocurre en X igual a 0. Entonces allí tenemos los puntos críticos para esta desigualdad. Recordemos que el punto crítico que se obtiene del denominador nunca se toma. Es decir, este valor va a representarse con bolita sin llenar. Porque el denominador de una expresión jamás puede ser 0. Entonces ese punto crítico siempre se considera abierto. Y para el caso del numerador, el punto crítico que obtuvimos en este caso si se toma o se representa con bolita llena. Porque tenemos signo mayor o igual en esa desigualdad. Siempre que tengamos signo mayor o igual o incluso menor o igual. Entonces el punto crítico o los puntos críticos que resulten del numerador se toman como parte de la solución. Vamos ahora a trazar en este espacio la recta que representa el conjunto de los reales localizando en ella estos dos puntos críticos. Bueno, aquí la tenemos y vamos a seleccionar de cada intervalo un valor de X para probarlo aquí en esta expresión. Tenemos para el primer intervalo comprendido entre menos infinito y 0 que podemos escoger X igual a menos 1. Para el segundo intervalo comprendido entre 0 y 1 medio, o sea entre 0 y 0.5, entonces podemos escoger X igual a 0.2 por ejemplo. Y para el tercer intervalo, escogemos un número comprendido entre 0.5 y más infinito. Podemos escoger el número 2 por ejemplo. Vamos ahora a reemplazar cada uno de esos números, cada uno de esos valores de prueba aquí en la expresión. Vamos entonces a reemplazar en el numerador y en el denominador. Veamos, con X igual a menos 1, si lo reemplazamos aquí, tenemos que menos 2 por menos 1 nos da 2 positivo. Y 1 más 2 nos daría 3 en el numerador. Entonces, numerador positivo, si menos 1 entra aquí en el denominador, tendremos denominador negativo. Vamos ahora con 0.2, por aquí menos 2 por 0.2 nos da menos 0.4. 1 menos 0.4 da como resultado 0.6 positivo en el numerador. Y si 0.2 entra aquí donde tenemos la X nos da resultado positivo. Vamos ahora con X igual a 2, aquí. Si X vale 2, tenemos menos 2 por 2 que es menos 4. 1 menos 4 nos da menos 3, o sea resultado negativo en el numerador. Y X como toma el valor 2 será positivo en el denominador. Aplicamos ley de los signos en cada caso. Por acá tenemos más con menos que es menos. Más con más nos da más. Menos con más nos da menos. Y lo que necesitamos es que toda esta expresión sea mayor o igual que 0. O sea que tiene que ser positiva. Por lo tanto, sirven las zonas positivas. Entonces, esta zona sí sirve y las zonas negativas no sirven. Trayamos entonces la zona que sí sirvió, la zona positiva. Y recordemos que dijimos hace un momento que X igual a 0 no se toma. Entonces, se representa con bolita abierta y que un medio sí se toma. Entonces, se representa con bolita llena o lo que llamamos bolita cerrada. Y con esto tenemos el conjunto solución de esta desigualdad racional. Vamos a escribirlo por acá. Solución serían los X que pertenecen al intervalo que va desde 0 abierto. Entonces, con paréntesis hasta un medio cerrado. O sea, con corchete. Y esta solución debe complementarse con la primera condición que habíamos establecido. Que era esta, la del dominio de la función G. X tiene que ser diferente de 0. Pero en este intervalo observamos que 0 no hace parte de la solución. O sea que tenemos ya garantizada esta condición en este conjunto. De esta manera tenemos entonces el dominio de F compuesta G. Será este intervalo. Los valores de X pertenecientes al intervalo que va desde 0 hasta un medio abierto en 0 y cerrado en un medio. Para finalizar vamos a determinar el dominio de G compuesta F. Que en este caso también debe cumplir con dos condiciones. Ahora es que X pertenezca al dominio de F. Y que la función F de X pertenezca al dominio de G. Esto se entiende mejor con el esquema similar al que hacíamos hace un momento. X entra a la función F de X. A esta primera función. Y a su vez F entra a la función G de X. F entra en G. Entonces esto que tenemos aquí está representado por esta condición. Que X pertenezca al dominio de F. Y la segunda condición es que F sea admitida en la función G. Por eso F debe pertenecer al dominio de la función G de X. Entonces veamos como nos queda esto. Para el caso de la primera condición. Tenemos que X tiene que ser mayor o igual que 2. Y para satisfacer la segunda. Tenemos que F de X debe entrar a esta condición. Debe pertenecer al dominio de G. Entonces esto como ocupa el lugar de la X. Nos queda raíz cuadrada de X menos 2. Diferente de 0. Entonces resolvemos esto elevando al cuadrado a ambos lados. Si elevamos al cuadrado en el lado izquierdo. Destruimos la raíz cuadrada. Y nos queda X menos 2. Si elevamos al cuadrado al lado derecho. Sigue dando 0. Entonces tenemos X menos 2 diferente de 0. De donde X es diferente de 2. 2 está restando pasa a sumar al otro lado. Entonces debemos garantizar estas dos condiciones. Esto es en otras palabras el intervalo que va desde 2 cerrado. Hasta más infinito que siempre va abierto. Pero si a este conjunto le añadimos esta condición. Entonces lo que se excluye es el valor 2. Ya no queda con corchete. Sino que esta vez nos queda con paréntesis. Entonces de esa manera establecemos el dominio de G compuesta F. Será entonces. El conjunto de valores de X pertenecientes al intervalo que va desde 2 abierto. Hasta más infinito. Y allí tenemos el dominio de G compuesta F. Bien con eso terminamos esta explicación.

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Escribimos denominador 1."}, {"start": 492.0, "end": 498.0, "text": " Resolvemos esa resta de fracciones con el m\u00e9todo de la carita feliz que us\u00e1bamos al principio."}, {"start": 498.0, "end": 509.0, "text": " Tenemos 1 por 1 que es 1 menos X por 2 que es 2X y abajo X por 1 que nos da X."}, {"start": 510.0, "end": 513.0, "text": " Y todo esto mayor o igual que 0."}, {"start": 514.0, "end": 517.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos entonces la desigualdad racional."}, {"start": 517.0, "end": 529.0, "text": " Y vamos a determinar sus puntos cr\u00edticos. Es decir, aquellos valores de X que vuelven 0 el numerador y el denominador de esta expresi\u00f3n."}, {"start": 530.0, "end": 539.0, "text": " Veamos entonces puntos cr\u00edticos para el numerador."}, {"start": 539.0, "end": 550.0, "text": " Para el numerador podemos igualar a 0 la expresi\u00f3n 1 menos 2X."}, {"start": 551.0, "end": 557.0, "text": " Vamos a hacerlo por aqu\u00ed. 1 menos 2X se iguala a 0 y se resuelve esa ecuaci\u00f3n para X."}, {"start": 558.0, "end": 565.0, "text": " Podemos dejar en el lado izquierdo menos 2X. Pasamos este 1 que est\u00e1 positivo al otro lado negativo."}, {"start": 565.0, "end": 571.0, "text": " Despejamos X. Pasamos menos 2 que est\u00e1 multiplicando al otro lado a dividir."}, {"start": 572.0, "end": 574.0, "text": " Recordemos que pasa con su signo negativo."}, {"start": 575.0, "end": 581.0, "text": " Y aqu\u00ed aplicamos ley de los signos para esta divisi\u00f3n. Menos con menos nos da m\u00e1s."}, {"start": 582.0, "end": 584.0, "text": " O sea que X es igual a 1 medio."}, {"start": 585.0, "end": 591.0, "text": " Tenemos entonces el punto cr\u00edtico para el numerador en X igual a 1 medio."}, {"start": 591.0, "end": 607.0, "text": " Para el denominador establecemos que el punto cr\u00edtico ocurre en X igual a 0."}, {"start": 608.0, "end": 613.0, "text": " Entonces all\u00ed tenemos los puntos cr\u00edticos para esta desigualdad."}, {"start": 613.0, "end": 624.0, "text": " Recordemos que el punto cr\u00edtico que se obtiene del denominador nunca se toma. Es decir, este valor va a representarse con bolita sin llenar."}, {"start": 625.0, "end": 629.0, "text": " Porque el denominador de una expresi\u00f3n jam\u00e1s puede ser 0."}, {"start": 630.0, "end": 634.0, "text": " Entonces ese punto cr\u00edtico siempre se considera abierto."}, {"start": 634.0, "end": 644.0, "text": " Y para el caso del numerador, el punto cr\u00edtico que obtuvimos en este caso si se toma o se representa con bolita llena."}, {"start": 645.0, "end": 650.0, "text": " Porque tenemos signo mayor o igual en esa desigualdad."}, {"start": 651.0, "end": 654.0, "text": " Siempre que tengamos signo mayor o igual o incluso menor o igual."}, {"start": 654.0, "end": 663.0, "text": " Entonces el punto cr\u00edtico o los puntos cr\u00edticos que resulten del numerador se toman como parte de la soluci\u00f3n."}, {"start": 664.0, "end": 676.0, "text": " Vamos ahora a trazar en este espacio la recta que representa el conjunto de los reales localizando en ella estos dos puntos cr\u00edticos."}, {"start": 676.0, "end": 688.0, "text": " Bueno, aqu\u00ed la tenemos y vamos a seleccionar de cada intervalo un valor de X para probarlo aqu\u00ed en esta expresi\u00f3n."}, {"start": 689.0, "end": 697.0, "text": " Tenemos para el primer intervalo comprendido entre menos infinito y 0 que podemos escoger X igual a menos 1."}, {"start": 697.0, "end": 710.0, "text": " Para el segundo intervalo comprendido entre 0 y 1 medio, o sea entre 0 y 0.5, entonces podemos escoger X igual a 0.2 por ejemplo."}, {"start": 711.0, "end": 719.0, "text": " Y para el tercer intervalo, escogemos un n\u00famero comprendido entre 0.5 y m\u00e1s infinito."}, {"start": 720.0, "end": 722.0, "text": " Podemos escoger el n\u00famero 2 por ejemplo."}, {"start": 722.0, "end": 731.0, "text": " Vamos ahora a reemplazar cada uno de esos n\u00fameros, cada uno de esos valores de prueba aqu\u00ed en la expresi\u00f3n."}, {"start": 732.0, "end": 737.0, "text": " Vamos entonces a reemplazar en el numerador y en el denominador."}, {"start": 738.0, "end": 744.0, "text": " Veamos, con X igual a menos 1, si lo reemplazamos aqu\u00ed, tenemos que menos 2 por menos 1 nos da 2 positivo."}, {"start": 745.0, "end": 749.0, "text": " Y 1 m\u00e1s 2 nos dar\u00eda 3 en el numerador."}, {"start": 749.0, "end": 758.0, "text": " Entonces, numerador positivo, si menos 1 entra aqu\u00ed en el denominador, tendremos denominador negativo."}, {"start": 759.0, "end": 765.0, "text": " Vamos ahora con 0.2, por aqu\u00ed menos 2 por 0.2 nos da menos 0.4."}, {"start": 766.0, "end": 772.0, "text": " 1 menos 0.4 da como resultado 0.6 positivo en el numerador."}, {"start": 772.0, "end": 780.0, "text": " Y si 0.2 entra aqu\u00ed donde tenemos la X nos da resultado positivo."}, {"start": 781.0, "end": 784.0, "text": " Vamos ahora con X igual a 2, aqu\u00ed."}, {"start": 785.0, "end": 789.0, "text": " Si X vale 2, tenemos menos 2 por 2 que es menos 4."}, {"start": 790.0, "end": 795.0, "text": " 1 menos 4 nos da menos 3, o sea resultado negativo en el numerador."}, {"start": 795.0, "end": 802.0, "text": " Y X como toma el valor 2 ser\u00e1 positivo en el denominador."}, {"start": 803.0, "end": 805.0, "text": " Aplicamos ley de los signos en cada caso."}, {"start": 806.0, "end": 810.0, "text": " Por ac\u00e1 tenemos m\u00e1s con menos que es menos."}, {"start": 811.0, "end": 813.0, "text": " M\u00e1s con m\u00e1s nos da m\u00e1s."}, {"start": 814.0, "end": 817.0, "text": " Menos con m\u00e1s nos da menos."}, {"start": 817.0, "end": 824.0, "text": " Y lo que necesitamos es que toda esta expresi\u00f3n sea mayor o igual que 0."}, {"start": 825.0, "end": 828.0, "text": " O sea que tiene que ser positiva."}, {"start": 829.0, "end": 832.0, "text": " Por lo tanto, sirven las zonas positivas."}, {"start": 833.0, "end": 839.0, "text": " Entonces, esta zona s\u00ed sirve y las zonas negativas no sirven."}, {"start": 839.0, "end": 846.0, "text": " Trayamos entonces la zona que s\u00ed sirvi\u00f3, la zona positiva."}, {"start": 847.0, "end": 852.0, "text": " Y recordemos que dijimos hace un momento que X igual a 0 no se toma."}, {"start": 853.0, "end": 859.0, "text": " Entonces, se representa con bolita abierta y que un medio s\u00ed se toma."}, {"start": 860.0, "end": 866.0, "text": " Entonces, se representa con bolita llena o lo que llamamos bolita cerrada."}, {"start": 866.0, "end": 873.0, "text": " Y con esto tenemos el conjunto soluci\u00f3n de esta desigualdad racional."}, {"start": 874.0, "end": 876.0, "text": " Vamos a escribirlo por ac\u00e1."}, {"start": 877.0, "end": 885.0, "text": " Soluci\u00f3n ser\u00edan los X que pertenecen al intervalo que va desde 0 abierto."}, {"start": 886.0, "end": 891.0, "text": " Entonces, con par\u00e9ntesis hasta un medio cerrado."}, {"start": 892.0, "end": 894.0, "text": " O sea, con corchete."}, {"start": 894.0, "end": 901.0, "text": " Y esta soluci\u00f3n debe complementarse con la primera condici\u00f3n que hab\u00edamos establecido."}, {"start": 902.0, "end": 905.0, "text": " Que era esta, la del dominio de la funci\u00f3n G."}, {"start": 906.0, "end": 908.0, "text": " X tiene que ser diferente de 0."}, {"start": 909.0, "end": 914.0, "text": " Pero en este intervalo observamos que 0 no hace parte de la soluci\u00f3n."}, {"start": 915.0, "end": 919.0, "text": " O sea que tenemos ya garantizada esta condici\u00f3n en este conjunto."}, {"start": 919.0, "end": 925.0, "text": " De esta manera tenemos entonces el dominio de F compuesta G."}, {"start": 926.0, "end": 927.0, "text": " Ser\u00e1 este intervalo."}, {"start": 928.0, "end": 939.0, "text": " Los valores de X pertenecientes al intervalo que va desde 0 hasta un medio abierto en 0 y cerrado en un medio."}, {"start": 939.0, "end": 948.0, "text": " Para finalizar vamos a determinar el dominio de G compuesta F."}, {"start": 949.0, "end": 953.0, "text": " Que en este caso tambi\u00e9n debe cumplir con dos condiciones."}, {"start": 954.0, "end": 958.0, "text": " Ahora es que X pertenezca al dominio de F."}, {"start": 959.0, "end": 966.0, "text": " Y que la funci\u00f3n F de X pertenezca al dominio de G."}, {"start": 966.0, "end": 973.0, "text": " Esto se entiende mejor con el esquema similar al que hac\u00edamos hace un momento."}, {"start": 974.0, "end": 977.0, "text": " X entra a la funci\u00f3n F de X."}, {"start": 978.0, "end": 979.0, "text": " A esta primera funci\u00f3n."}, {"start": 980.0, "end": 984.0, "text": " Y a su vez F entra a la funci\u00f3n G de X."}, {"start": 985.0, "end": 986.0, "text": " F entra en G."}, {"start": 987.0, "end": 991.0, "text": " Entonces esto que tenemos aqu\u00ed est\u00e1 representado por esta condici\u00f3n."}, {"start": 991.0, "end": 995.0, "text": " Que X pertenezca al dominio de F."}, {"start": 996.0, "end": 1001.0, "text": " Y la segunda condici\u00f3n es que F sea admitida en la funci\u00f3n G."}, {"start": 1002.0, "end": 1008.0, "text": " Por eso F debe pertenecer al dominio de la funci\u00f3n G de X."}, {"start": 1009.0, "end": 1012.0, "text": " Entonces veamos como nos queda esto."}, {"start": 1013.0, "end": 1015.0, "text": " Para el caso de la primera condici\u00f3n."}, {"start": 1015.0, "end": 1022.0, "text": " Tenemos que X tiene que ser mayor o igual que 2."}, {"start": 1023.0, "end": 1025.0, "text": " Y para satisfacer la segunda."}, {"start": 1026.0, "end": 1030.0, "text": " Tenemos que F de X debe entrar a esta condici\u00f3n."}, {"start": 1031.0, "end": 1033.0, "text": " Debe pertenecer al dominio de G."}, {"start": 1034.0, "end": 1037.0, "text": " Entonces esto como ocupa el lugar de la X."}, {"start": 1038.0, "end": 1040.0, "text": " Nos queda ra\u00edz cuadrada de X menos 2."}, {"start": 1041.0, "end": 1043.0, "text": " Diferente de 0."}, {"start": 1043.0, "end": 1048.0, "text": " Entonces resolvemos esto elevando al cuadrado a ambos lados."}, {"start": 1049.0, "end": 1051.0, "text": " Si elevamos al cuadrado en el lado izquierdo."}, {"start": 1052.0, "end": 1054.0, "text": " Destruimos la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 1055.0, "end": 1056.0, "text": " Y nos queda X menos 2."}, {"start": 1057.0, "end": 1059.0, "text": " Si elevamos al cuadrado al lado derecho."}, {"start": 1060.0, "end": 1061.0, "text": " Sigue dando 0."}, {"start": 1062.0, "end": 1065.0, "text": " Entonces tenemos X menos 2 diferente de 0."}, {"start": 1066.0, "end": 1069.0, "text": " De donde X es diferente de 2."}, {"start": 1069.0, "end": 1073.0, "text": " 2 est\u00e1 restando pasa a sumar al otro lado."}, {"start": 1074.0, "end": 1076.0, "text": " Entonces debemos garantizar estas dos condiciones."}, {"start": 1077.0, "end": 1083.0, "text": " Esto es en otras palabras el intervalo que va desde 2 cerrado."}, {"start": 1084.0, "end": 1087.0, "text": " Hasta m\u00e1s infinito que siempre va abierto."}, {"start": 1088.0, "end": 1092.0, "text": " Pero si a este conjunto le a\u00f1adimos esta condici\u00f3n."}, {"start": 1093.0, "end": 1096.0, "text": " Entonces lo que se excluye es el valor 2."}, {"start": 1096.0, "end": 1098.0, "text": " Ya no queda con corchete."}, {"start": 1099.0, "end": 1102.0, "text": " Sino que esta vez nos queda con par\u00e9ntesis."}, {"start": 1103.0, "end": 1108.0, "text": " Entonces de esa manera establecemos el dominio de G compuesta F."}, {"start": 1109.0, "end": 1111.0, "text": " Ser\u00e1 entonces."}, {"start": 1112.0, "end": 1120.0, "text": " El conjunto de valores de X pertenecientes al intervalo que va desde 2 abierto."}, {"start": 1121.0, "end": 1123.0, "text": " Hasta m\u00e1s infinito."}, {"start": 1123.0, "end": 1128.0, "text": " Y all\u00ed tenemos el dominio de G compuesta F."}, {"start": 1128.0, "end": 1156.0, "text": " Bien con eso terminamos esta explicaci\u00f3n."}]

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LOGARITMOS EN LOS NATURALES - Ejercicios 1, 2, 3 y 4

#julioprofe explica cómo encontrar logaritmos de números naturales. Explicación dedicada especialmente a los niños que ven por primera vez el tema de logaritmos. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a encontrar el valor de cada uno de estos logaritmos en el conjunto de los números naturales. Para comenzar vamos a recordar qué es un logaritmo, cuál es el concepto de esa operación matemática. Si tenemos una potencia, es decir, una operación donde tenemos una base elevada a un exponente y esto es igual a un resultado C, entonces de aquí se desprende la operación llamada logaritmación. Tendremos logaritmo en la base A de C es igual a B. Entonces mediante el logaritmo encontramos como resultado el exponente de la potenciación. Tenemos que A elevada al exponente B nos tiene que dar esta cantidad C. Ese es el concepto de logaritmo, una de las operaciones que se desprende de la potenciación. Tenemos entonces que en estos casos debemos encontrar un número de tal forma que este pequeñito, este número que está aquí elevado al que vamos a encontrar nos de como resultado este que tenemos acá. En los logaritmos esta cantidad se llama la base, como en este caso el 2, el número que está aquí al lado derecho, el logaritmo, se llama argumento y como decíamos lo que se obtiene es el exponente, o sea la cantidad a la cual tiene que elevarse este número pequeño, que es la base, para que nos de como resultado este número más grande que se llama el argumento. Comenzamos con el primer ejercicio. Entonces nos preguntamos 2 elevado a que número nos da como resultado 4096. Una primera forma de hacer este ejercicio consiste en explorar las potencias del número 2. Comenzamos con 2 elevado al exponente 0, esto nos da como resultado 1. Cualquier número que tenga exponente 0 nos da como resultado 1, es una de las propiedades básicas de la potenciación. El único número que no cumple esta propiedad es la base 0, 0 elevado al exponente 0 no es 1, pero de resto cualquier otro número que tenga exponente 0 nos da como resultado 1. Seguimos con 2 elevado al exponente 1 que nos da 2, tenemos 2 elevado al cuadrado, o sea 2 por 2 que nos da 4, después tenemos 2 elevado al exponente 3, 2 por 2 por 2 nos da 8, tenemos 2 elevado al exponente 4, eso sería 2 por 2 por 2 por 2, o también la anterior que es 8 multiplicado por 2 que nos da 16, tenemos 2 elevado a la 5 que sería 16 por 2, o sea 32. Seguimos con 2 a la 6 que sería 32 por 2, o sea 64, continuamos con 2 a la 7 que sería 64 por 2, o sea 128, seguimos con 2 a la 8 que sería 128 por 2, o sea 256, seguimos con 2 a la 9 que sería 256 por 2, eso nos da 512, seguimos con 2 a la 10 que sería 512 por 2, o sea 1024, seguimos con 2 a la 11 que sería 1024 por 2, eso nos da 2048, seguimos con 2 a la 12 que sería 2048 por 2, o sea 4096, y allí encontramos el número buscado, es aquí donde nos detenemos, y encontramos que el número que se busca aquí es el 12, porque como podemos observar 2 elevado al exponente 12 nos da 4096, tenemos la base, el exponente y aquí el resultado de la potencia, o sea el argumento del logaritmo. Otra manera de encontrar el valor de este logaritmo es descomponiendo en factores primos el argumento, o sea 4096, para ello trazamos una línea vertical a la derecha del número y vamos a comenzar con la descomposición en factores primos, ensayando el primer número primo que tenemos que es el 2, nos preguntamos si 2 es divisor de 4096, como este número termina en cifra par, entonces si es divisible entre 2, decimos mitad de 4096 nos da como resultado 2048, nuevamente sacamos la mitad de 2048 que nos da 1024, mitad de 1024 nos da 512, otra vez extraemos mitad de 512 que nos da 256, mitad de 256 es 128, mitad de 128 nos da 64, mitad de 64 nos da 32, mitad de 32 nos da 16, mitad de 16 es 8, mitad de 8 es 4, mitad de 4 es 2, vamos a extender esta línea, tenemos que la mitad de 2 es 1 y de esta manera terminamos, hemos realizado la descomposición en factores primos del número 4096, vamos entonces a establecer cuantas veces se repite el número 2, hacemos el conteo, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12, 12 veces el número 2 multiplicando por sí mismo, o sea que es la potencia 2 elevada al exponente 12, 2 a la 12 nos da 4096, entonces se obtiene aquí el resultado de ese primer logaritmo, como vemos esta es la otra alternativa que es descomponiendo en factores primos el argumento. Vamos con el segundo ejercicio y vamos a tomar el camino de la descomposición en factores primos del argumento, entonces tenemos 2187, vamos a realizar la descomposición de este número utilizando factores primos, comenzamos examinando el 2 pero observamos que este número termina en cifra impar, por lo tanto no es divisible entre 2, seguimos con el número 3, el siguiente número primo, para saber si este número es divisible por 3, entonces lo que hacemos es sumar sus dígitos, tenemos 2 más 1 más 8 más 7, eso da como resultado 18, 18 es múltiplo de 3, por lo tanto tenemos garantizado que este número es divisible entre 3, decimos tercera de 2187 nos da como resultado 729, nuevamente hacemos la revisión de este número, sumamos sus dígitos, nos da como resultado 18, entonces tiene efectivamente tercera, tercera de 729 nos da 243, hacemos la suma de los dígitos, eso nos da como resultado 9, entonces garantizado tiene tercera, tercera de 243 nos da 81, hacemos la suma de dígitos, 8 más 1 nos da 9, entonces tiene tercera, tercera de 81 es 27, 27 sabemos que está en la tabla del número 3, tercera de 27 nos da 9, 9 tiene tercera, tercera de 9 nos da 3 y 3 tiene tercera y nos da como resultado 1, entonces contamos cuantas veces se repite el número 3, tenemos 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7, entonces por aquí tenemos que 3 elevado al exponente 7 nos da como resultado 2187, por lo tanto el resultado de este logaritmo es el número 7. Para el siguiente ejercicio vamos a realizar la descomposición de 1024, entonces de nuevo vamos a utilizar números primos únicamente y comenzamos examinando el 2, resulta que 1024 es un número que termina en cifra par, por lo tanto garantizado tiene mitad, mitad de 1024 nos da 512, mitad de 512 nos da 256, mitad de 256 es 128, mitad de 128 nos da 64, mitad de 64 es 32, mitad de 32 es 16, mitad de 16 es 8, mitad de 8 es 4, mitad de 4 es 2 y mitad de 2 es 1, pero tenemos que averiguar 4 elevado a que número nos da como resultado 1024, entonces de este listado de números 2 que tenemos allí vamos a formar parejitas para tener listado ahora de números 4, tenemos 2x2 es 4, 2x2 es 4, por aquí 4, 4 y también 4, entonces observamos que el 4 se repite 5 veces, por lo tanto decimos que 1024 es 4 elevado al exponente 5, entonces ya tenemos aquí el resultado de este logaritmo, sería igual a 5 porque 4 elevado al exponente 5 da como resultado 1024, vamos con el último ejercicio y hacemos la descomposición en factores primos del argumento, o sea de 1296, comenzamos por examinar el 2, tenemos que 1296 termina en cifra par, por lo tanto tiene mitad, mitad de este número es 648, podemos sacar mitad nos da 324, otra vez mitad daría 1, por aquí daría 6 y aquí daría 2, o sea 162, podemos sacar mitad que nos da 81 y aquí el 2 ya no sirve porque 81 termina en cifra impar, pasamos a extraer tercera, tercera de 81 nos da 27, tercera de 27 nos da 9, tercera de 9 nos da 3 y tercera de 3 nos da 1, tenemos que buscar entonces 6 elevado a que número nos da como resultado 1296, entonces podemos hacer lo siguiente, formamos grupitos entre estos números de tal forma que obtengamos siempre el 6, por aquí tenemos 1, 2 por 3 da 6, acá tenemos otro, 2 por 3 da 6, otro y aquí tenemos otro, tendríamos entonces el 6 repetido 4 veces, o sea 6 elevado al exponente 4 da como resultado 1296, recordemos que también se puede hacer explorando las potencias del 6, 6 elevado al exponente 0 nos da 1, 6 elevado al exponente 1 nos da 6, 6 elevado a 2 nos da 36, 6 elevado a 3 nos da 216 y 6 elevado a 4 nos da como resultado 1296, por lo tanto ese es el que buscamos, el resultado de este último logaritmo será 4, 6 elevado a 4 nos da 1296 y con esto terminamos esta explicación.

[{"start": 0.0, "end": 9.0, "text": " Vamos a encontrar el valor de cada uno de estos logaritmos en el conjunto de los n\u00fameros naturales."}, {"start": 9.0, "end": 18.5, "text": " Para comenzar vamos a recordar qu\u00e9 es un logaritmo, cu\u00e1l es el concepto de esa operaci\u00f3n matem\u00e1tica."}, {"start": 18.5, "end": 32.0, "text": " Si tenemos una potencia, es decir, una operaci\u00f3n donde tenemos una base elevada a un exponente y esto es igual a un resultado C,"}, {"start": 32.0, "end": 38.0, "text": " entonces de aqu\u00ed se desprende la operaci\u00f3n llamada logaritmaci\u00f3n."}, {"start": 38.0, "end": 53.5, "text": " Tendremos logaritmo en la base A de C es igual a B. Entonces mediante el logaritmo encontramos como resultado el exponente de la potenciaci\u00f3n."}, {"start": 53.5, "end": 60.0, "text": " Tenemos que A elevada al exponente B nos tiene que dar esta cantidad C."}, {"start": 60.0, "end": 69.0, "text": " Ese es el concepto de logaritmo, una de las operaciones que se desprende de la potenciaci\u00f3n."}, {"start": 69.0, "end": 82.5, "text": " Tenemos entonces que en estos casos debemos encontrar un n\u00famero de tal forma que este peque\u00f1ito, este n\u00famero que est\u00e1 aqu\u00ed elevado al que vamos a encontrar"}, {"start": 82.5, "end": 85.5, "text": " nos de como resultado este que tenemos ac\u00e1."}, {"start": 85.5, "end": 98.0, "text": " En los logaritmos esta cantidad se llama la base, como en este caso el 2, el n\u00famero que est\u00e1 aqu\u00ed al lado derecho, el logaritmo, se llama argumento"}, {"start": 98.0, "end": 109.0, "text": " y como dec\u00edamos lo que se obtiene es el exponente, o sea la cantidad a la cual tiene que elevarse este n\u00famero peque\u00f1o, que es la base,"}, {"start": 109.0, "end": 116.5, "text": " para que nos de como resultado este n\u00famero m\u00e1s grande que se llama el argumento."}, {"start": 116.5, "end": 120.5, "text": " Comenzamos con el primer ejercicio."}, {"start": 120.5, "end": 129.5, "text": " Entonces nos preguntamos 2 elevado a que n\u00famero nos da como resultado 4096."}, {"start": 129.5, "end": 137.5, "text": " Una primera forma de hacer este ejercicio consiste en explorar las potencias del n\u00famero 2."}, {"start": 137.5, "end": 143.5, "text": " Comenzamos con 2 elevado al exponente 0, esto nos da como resultado 1."}, {"start": 143.5, "end": 153.0, "text": " Cualquier n\u00famero que tenga exponente 0 nos da como resultado 1, es una de las propiedades b\u00e1sicas de la potenciaci\u00f3n."}, {"start": 153.0, "end": 162.0, "text": " El \u00fanico n\u00famero que no cumple esta propiedad es la base 0, 0 elevado al exponente 0 no es 1,"}, {"start": 162.0, "end": 168.5, "text": " pero de resto cualquier otro n\u00famero que tenga exponente 0 nos da como resultado 1."}, {"start": 168.5, "end": 179.5, "text": " Seguimos con 2 elevado al exponente 1 que nos da 2, tenemos 2 elevado al cuadrado, o sea 2 por 2 que nos da 4,"}, {"start": 179.5, "end": 193.5, "text": " despu\u00e9s tenemos 2 elevado al exponente 3, 2 por 2 por 2 nos da 8, tenemos 2 elevado al exponente 4, eso ser\u00eda 2 por 2 por 2 por 2,"}, {"start": 193.5, "end": 207.5, "text": " o tambi\u00e9n la anterior que es 8 multiplicado por 2 que nos da 16, tenemos 2 elevado a la 5 que ser\u00eda 16 por 2, o sea 32."}, {"start": 207.5, "end": 224.0, "text": " Seguimos con 2 a la 6 que ser\u00eda 32 por 2, o sea 64, continuamos con 2 a la 7 que ser\u00eda 64 por 2, o sea 128,"}, {"start": 224.0, "end": 242.5, "text": " seguimos con 2 a la 8 que ser\u00eda 128 por 2, o sea 256, seguimos con 2 a la 9 que ser\u00eda 256 por 2, eso nos da 512,"}, {"start": 242.5, "end": 261.5, "text": " seguimos con 2 a la 10 que ser\u00eda 512 por 2, o sea 1024, seguimos con 2 a la 11 que ser\u00eda 1024 por 2, eso nos da 2048,"}, {"start": 261.5, "end": 278.0, "text": " seguimos con 2 a la 12 que ser\u00eda 2048 por 2, o sea 4096, y all\u00ed encontramos el n\u00famero buscado, es aqu\u00ed donde nos detenemos,"}, {"start": 278.0, "end": 292.0, "text": " y encontramos que el n\u00famero que se busca aqu\u00ed es el 12, porque como podemos observar 2 elevado al exponente 12 nos da 4096,"}, {"start": 292.0, "end": 301.5, "text": " tenemos la base, el exponente y aqu\u00ed el resultado de la potencia, o sea el argumento del logaritmo."}, {"start": 301.5, "end": 315.0, "text": " Otra manera de encontrar el valor de este logaritmo es descomponiendo en factores primos el argumento, o sea 4096,"}, {"start": 315.0, "end": 328.5, "text": " para ello trazamos una l\u00ednea vertical a la derecha del n\u00famero y vamos a comenzar con la descomposici\u00f3n en factores primos,"}, {"start": 328.5, "end": 341.5, "text": " ensayando el primer n\u00famero primo que tenemos que es el 2, nos preguntamos si 2 es divisor de 4096, como este n\u00famero termina en cifra par,"}, {"start": 341.5, "end": 360.5, "text": " entonces si es divisible entre 2, decimos mitad de 4096 nos da como resultado 2048, nuevamente sacamos la mitad de 2048 que nos da 1024,"}, {"start": 360.5, "end": 383.5, "text": " mitad de 1024 nos da 512, otra vez extraemos mitad de 512 que nos da 256, mitad de 256 es 128, mitad de 128 nos da 64,"}, {"start": 383.5, "end": 404.5, "text": " mitad de 64 nos da 32, mitad de 32 nos da 16, mitad de 16 es 8, mitad de 8 es 4, mitad de 4 es 2, vamos a extender esta l\u00ednea,"}, {"start": 404.5, "end": 420.5, "text": " tenemos que la mitad de 2 es 1 y de esta manera terminamos, hemos realizado la descomposici\u00f3n en factores primos del n\u00famero 4096,"}, {"start": 420.5, "end": 438.5, "text": " vamos entonces a establecer cuantas veces se repite el n\u00famero 2, hacemos el conteo, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12, 12 veces el n\u00famero 2 multiplicando por s\u00ed mismo,"}, {"start": 438.5, "end": 452.5, "text": " o sea que es la potencia 2 elevada al exponente 12, 2 a la 12 nos da 4096, entonces se obtiene aqu\u00ed el resultado de ese primer logaritmo,"}, {"start": 452.5, "end": 461.5, "text": " como vemos esta es la otra alternativa que es descomponiendo en factores primos el argumento."}, {"start": 461.5, "end": 476.5, "text": " Vamos con el segundo ejercicio y vamos a tomar el camino de la descomposici\u00f3n en factores primos del argumento, entonces tenemos 2187,"}, {"start": 476.5, "end": 490.5, "text": " vamos a realizar la descomposici\u00f3n de este n\u00famero utilizando factores primos, comenzamos examinando el 2 pero observamos que este n\u00famero termina en cifra impar,"}, {"start": 490.5, "end": 501.5, "text": " por lo tanto no es divisible entre 2, seguimos con el n\u00famero 3, el siguiente n\u00famero primo, para saber si este n\u00famero es divisible por 3,"}, {"start": 501.5, "end": 520.5, "text": " entonces lo que hacemos es sumar sus d\u00edgitos, tenemos 2 m\u00e1s 1 m\u00e1s 8 m\u00e1s 7, eso da como resultado 18, 18 es m\u00faltiplo de 3, por lo tanto tenemos garantizado que este n\u00famero es divisible entre 3,"}, {"start": 520.5, "end": 538.5, "text": " decimos tercera de 2187 nos da como resultado 729, nuevamente hacemos la revisi\u00f3n de este n\u00famero, sumamos sus d\u00edgitos, nos da como resultado 18, entonces tiene efectivamente tercera,"}, {"start": 538.5, "end": 557.5, "text": " tercera de 729 nos da 243, hacemos la suma de los d\u00edgitos, eso nos da como resultado 9, entonces garantizado tiene tercera, tercera de 243 nos da 81,"}, {"start": 557.5, "end": 572.5, "text": " hacemos la suma de d\u00edgitos, 8 m\u00e1s 1 nos da 9, entonces tiene tercera, tercera de 81 es 27, 27 sabemos que est\u00e1 en la tabla del n\u00famero 3,"}, {"start": 572.5, "end": 591.5, "text": " tercera de 27 nos da 9, 9 tiene tercera, tercera de 9 nos da 3 y 3 tiene tercera y nos da como resultado 1, entonces contamos cuantas veces se repite el n\u00famero 3, tenemos 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7,"}, {"start": 591.5, "end": 608.5, "text": " entonces por aqu\u00ed tenemos que 3 elevado al exponente 7 nos da como resultado 2187, por lo tanto el resultado de este logaritmo es el n\u00famero 7."}, {"start": 608.5, "end": 628.5, "text": " Para el siguiente ejercicio vamos a realizar la descomposici\u00f3n de 1024, entonces de nuevo vamos a utilizar n\u00fameros primos \u00fanicamente y comenzamos examinando el 2,"}, {"start": 628.5, "end": 641.5, "text": " resulta que 1024 es un n\u00famero que termina en cifra par, por lo tanto garantizado tiene mitad, mitad de 1024 nos da 512,"}, {"start": 641.5, "end": 665.5, "text": " mitad de 512 nos da 256, mitad de 256 es 128, mitad de 128 nos da 64, mitad de 64 es 32, mitad de 32 es 16,"}, {"start": 665.5, "end": 688.5, "text": " mitad de 16 es 8, mitad de 8 es 4, mitad de 4 es 2 y mitad de 2 es 1, pero tenemos que averiguar 4 elevado a que n\u00famero nos da como resultado 1024,"}, {"start": 688.5, "end": 703.5, "text": " entonces de este listado de n\u00fameros 2 que tenemos all\u00ed vamos a formar parejitas para tener listado ahora de n\u00fameros 4,"}, {"start": 703.5, "end": 716.5, "text": " tenemos 2x2 es 4, 2x2 es 4, por aqu\u00ed 4, 4 y tambi\u00e9n 4, entonces observamos que el 4 se repite 5 veces,"}, {"start": 716.5, "end": 728.5, "text": " por lo tanto decimos que 1024 es 4 elevado al exponente 5, entonces ya tenemos aqu\u00ed el resultado de este logaritmo,"}, {"start": 728.5, "end": 744.5, "text": " ser\u00eda igual a 5 porque 4 elevado al exponente 5 da como resultado 1024, vamos con el \u00faltimo ejercicio y hacemos la descomposici\u00f3n"}, {"start": 744.5, "end": 759.5, "text": " en factores primos del argumento, o sea de 1296, comenzamos por examinar el 2, tenemos que 1296 termina en cifra par,"}, {"start": 759.5, "end": 778.5, "text": " por lo tanto tiene mitad, mitad de este n\u00famero es 648, podemos sacar mitad nos da 324, otra vez mitad dar\u00eda 1, por aqu\u00ed dar\u00eda 6 y aqu\u00ed dar\u00eda 2,"}, {"start": 778.5, "end": 791.5, "text": " o sea 162, podemos sacar mitad que nos da 81 y aqu\u00ed el 2 ya no sirve porque 81 termina en cifra impar,"}, {"start": 791.5, "end": 809.5, "text": " pasamos a extraer tercera, tercera de 81 nos da 27, tercera de 27 nos da 9, tercera de 9 nos da 3 y tercera de 3 nos da 1,"}, {"start": 809.5, "end": 821.5, "text": " tenemos que buscar entonces 6 elevado a que n\u00famero nos da como resultado 1296, entonces podemos hacer lo siguiente,"}, {"start": 821.5, "end": 833.5, "text": " formamos grupitos entre estos n\u00fameros de tal forma que obtengamos siempre el 6, por aqu\u00ed tenemos 1, 2 por 3 da 6,"}, {"start": 833.5, "end": 849.5, "text": " ac\u00e1 tenemos otro, 2 por 3 da 6, otro y aqu\u00ed tenemos otro, tendr\u00edamos entonces el 6 repetido 4 veces, o sea 6 elevado al exponente 4"}, {"start": 849.5, "end": 863.5, "text": " da como resultado 1296, recordemos que tambi\u00e9n se puede hacer explorando las potencias del 6, 6 elevado al exponente 0 nos da 1, 6 elevado al exponente 1 nos da 6,"}, {"start": 863.5, "end": 879.5, "text": " 6 elevado a 2 nos da 36, 6 elevado a 3 nos da 216 y 6 elevado a 4 nos da como resultado 1296, por lo tanto ese es el que buscamos,"}, {"start": 879.5, "end": 891.5, "text": " el resultado de este \u00faltimo logaritmo ser\u00e1 4, 6 elevado a 4 nos da 1296 y con esto terminamos esta explicaci\u00f3n."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=b5RPjR56_w0

PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA SUPERFICIE - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo encontrar la ecuación del plano tangente y un conjunto de ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta normal a una superficie dada en un punto específico. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

Vamos a encontrar la ecuación del plano tangente y un conjunto de ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta normal a la superficie x cuadrado más y cuadrado menos z cuadrado igual a 64 en el punto P de coordenadas 8,8,8. Tenemos que la ecuación de la superficie corresponde al modelo f de x,y,z igual a c. En este caso c es 64 y en el lado izquierdo observamos la expresión que contiene las variables. Entonces vamos a escribir por acá la función de tres variables que es x al cuadrado más y al cuadrado menos z al cuadrado. A esta función le vamos a determinar el vector gradiente que se denota como nabla f. Este triángulo es el operador nabla. Entonces ese vector gradiente está conformado por las derivadas parciales con respecto a las tres variables x,y, y,z. Entonces vamos a determinar las componentes de dicho vector. Tenemos derivada parcial de la función con respecto a x. Recordemos que en ese caso y y z se comportan como constantes. Entonces la derivada de esta expresión con respecto a x será únicamente 2x. Vamos ahora con la derivada parcial de la función con respecto a y. En ese caso x y z se comportan como constantes. La derivada de esta expresión con respecto a y es 2y. Y de manera similar se obtiene la derivada parcial de la función con respecto a z. En ese caso x y y se comportan como constantes. Entonces tendremos menos 2z. Zz es entonces el vector gradiente de la función. Y ahora tenemos que evaluarlo en el punto P que nos dieron. Entonces lo representamos de esta manera. Recordemos que el punto P tiene coordenadas 8,8,8. Entonces tendremos lo siguiente. 2 por el valor x que es 8 nos da 16. 2 por el valor y que también es 8 nos da 16. Y menos 2 por el valor z que es 8 nos da como resultado menos 16. Tenemos allí el vector gradiente de la función evaluado en el punto P. Este vector gradiente resulta ser normal a la superficie en este punto. Entonces automáticamente se convierte en el vector n, o sea el vector normal del plano tangente a la superficie en este punto. Recordemos que ese vector se denota con componentes a, b y c. Vamos entonces a determinar la ecuación del plano tangente. La ecuación del plano tangente tiene el siguiente modelo. A por x menos x sub cero más b por y menos y sub cero más c por z menos z sub cero igual a cero. Es el modelo para determinar la ecuación de un plano cuando conocemos su vector normal de componentes a, b, c y un punto perteneciente al plano. En ese caso la terna que nos dan será x sub cero, y sub cero y z sub cero. Vamos entonces a reemplazar cada uno de los componentes. Que multiplica a x menos x sub cero que es 8 más b que también vale 16 y que multiplica a y menos y sub cero que es 8, c que vale menos 16 y multiplica a z menos z sub cero que también vale 8. Y todo esto lo igualamos a cero. Podemos dividir toda esta ecuación a ambos lados entre 16 de manera que podamos simplificar esos números. Tendremos entonces x menos 8 más y menos 8 y por acá tendremos menos, mejor protegemos con paréntesis, z menos 8 y todo esto igual a cero. Recordemos que si al lado derecho dividimos entre 16 sigue conservándose el cero. Vamos a destruir ese paréntesis. Tendremos x menos 8 más y menos 8 menos z más 8 y todo eso igualado a cero. En esta expresión podemos cancelar menos 8 con más 8 y organizamos la ecuación de la siguiente manera. x más y menos z igual a 8. Pasamos este 8 que está negativo al otro lado a sumar con el cero nos queda igual a 8. Entonces esta será la ecuación del plano tangente a la superficie que nos dieron en este punto P. Pasamos ahora a encontrar las ecuaciones de la recta normal a la superficie en este mismo punto P. De nuevo el vector gradiente de la función, o sea de la superficie evaluado en el punto P que nos dio 16,16,-16 se convierte en el vector director de esa recta normal. Porque como decíamos ahora el vector gradiente es normal a la superficie en este punto. Entonces se convierte en el vector llamado V y que le da la dirección a esa recta que buscamos. O sea la recta normal a la superficie en el punto P. Las componentes de este vector son nuevamente ABC tal como sucedía en el vector normal del plano. Entonces con esto vamos a determinar las ecuaciones paramétricas de la recta normal. Y las ecuaciones paramétricas tienen el siguiente modelo. X es igual a AT más X sub cero, Y es igual a BT más Y sub cero y Z es igual a CT más Z sub cero. T es el parámetro y tenemos entonces las expresiones para X, Y y Z en esa recta. Vamos entonces a reemplazar la información que conocemos. Tendremos X igual a el valor A que vale 16 por T más X sub cero que es 8. Tenemos Y igual a BT, o sea 16T más Y sub cero que también vale 8. Y tenemos Z igual a CT, o sea menos 16T más Z sub cero que también vale 8. Y estas son las ecuaciones paramétricas de la recta normal. Las otras ecuaciones que debemos encontrar se llaman ecuaciones simétricas. Y se obtienen desparametrizando estas ecuaciones, es decir, vamos a despejar el parámetro T en cada una de ellas. En la primera ecuación tenemos que el despeje de T nos da X menos X sub cero sobre A. En la segunda expresión el despeje del parámetro T nos da Y menos Y sub cero sobre B. Y en la tercera ecuación el despeje de T nos da Z menos Z sub cero todo esto sobre C. Entonces igualamos estas tres expresiones porque todas equivalen a T y así tendremos las ecuaciones simétricas. Allí podemos observarlas y lo que hacemos a continuación es reemplazar los componentes que se conocen. Tenemos entonces X menos X sub cero que vale 8, todo esto sobre A que es 16, igualado con Y menos Y sub cero que también vale 8, sobre el valor de B que es 16 y esto igualado con Z menos Z sub cero que vale 8, sobre el valor C que es menos 16. Podemos simplificar esta igualdad multiplicando todo por 16. Cada uno de los tres componentes es multiplicado por 16 y de esa manera logramos eliminar los denominadores. Entonces el primer componente nos queda X menos 8, el segundo componente multiplicando por 16 nos queda Y menos 8 y en el tercer componente se elimina el 16 pero queda el signo negativo. Entonces lo trasladamos al numerador y nos queda afectando a la expresión Z menos 8 que se recomienda protegerla con paréntesis. A continuación vamos a romper ese paréntesis, nos queda X menos 8 igual a Y menos 8 y aquí el signo menos se distribuye y nos queda menos Z más 8. Para finalizar podríamos sumar 8 a todos los miembros de esa igualdad. Entonces si sumamos 8 al primer componente nos queda X, si sumamos 8 al segundo componente nos queda Y y si le sumamos 8 al tercer componente nos queda menos Z más 16. Es una forma más sencilla, más simple de expresar las ecuaciones simétricas de la recta normal a la superficie que nos dieron en este punto P. Y con esto terminamos el ejercicio.

[{"start": 0.0, "end": 26.0, "text": " Vamos a encontrar la ecuaci\u00f3n del plano tangente y un conjunto de ecuaciones param\u00e9tricas y sim\u00e9tricas de la recta normal a la superficie x cuadrado m\u00e1s y cuadrado menos z cuadrado igual a 64 en el punto P de coordenadas 8,8,8."}, {"start": 26.0, "end": 48.0, "text": " Tenemos que la ecuaci\u00f3n de la superficie corresponde al modelo f de x,y,z igual a c. En este caso c es 64 y en el lado izquierdo observamos la expresi\u00f3n que contiene las variables."}, {"start": 48.0, "end": 64.0, "text": " Entonces vamos a escribir por ac\u00e1 la funci\u00f3n de tres variables que es x al cuadrado m\u00e1s y al cuadrado menos z al cuadrado."}, {"start": 64.0, "end": 79.0, "text": " A esta funci\u00f3n le vamos a determinar el vector gradiente que se denota como nabla f. Este tri\u00e1ngulo es el operador nabla."}, {"start": 79.0, "end": 98.0, "text": " Entonces ese vector gradiente est\u00e1 conformado por las derivadas parciales con respecto a las tres variables x,y, y,z. Entonces vamos a determinar las componentes de dicho vector."}, {"start": 98.0, "end": 115.0, "text": " Tenemos derivada parcial de la funci\u00f3n con respecto a x. Recordemos que en ese caso y y z se comportan como constantes. Entonces la derivada de esta expresi\u00f3n con respecto a x ser\u00e1 \u00fanicamente 2x."}, {"start": 115.0, "end": 133.0, "text": " Vamos ahora con la derivada parcial de la funci\u00f3n con respecto a y. En ese caso x y z se comportan como constantes. La derivada de esta expresi\u00f3n con respecto a y es 2y."}, {"start": 133.0, "end": 149.0, "text": " Y de manera similar se obtiene la derivada parcial de la funci\u00f3n con respecto a z. En ese caso x y y se comportan como constantes. Entonces tendremos menos 2z."}, {"start": 149.0, "end": 163.0, "text": " Zz es entonces el vector gradiente de la funci\u00f3n. Y ahora tenemos que evaluarlo en el punto P que nos dieron. Entonces lo representamos de esta manera."}, {"start": 163.0, "end": 179.0, "text": " Recordemos que el punto P tiene coordenadas 8,8,8. Entonces tendremos lo siguiente. 2 por el valor x que es 8 nos da 16."}, {"start": 179.0, "end": 194.0, "text": " 2 por el valor y que tambi\u00e9n es 8 nos da 16. Y menos 2 por el valor z que es 8 nos da como resultado menos 16."}, {"start": 194.0, "end": 202.0, "text": " Tenemos all\u00ed el vector gradiente de la funci\u00f3n evaluado en el punto P."}, {"start": 202.0, "end": 222.0, "text": " Este vector gradiente resulta ser normal a la superficie en este punto. Entonces autom\u00e1ticamente se convierte en el vector n, o sea el vector normal del plano tangente a la superficie en este punto."}, {"start": 222.0, "end": 237.0, "text": " Recordemos que ese vector se denota con componentes a, b y c. Vamos entonces a determinar la ecuaci\u00f3n del plano tangente."}, {"start": 237.0, "end": 260.0, "text": " La ecuaci\u00f3n del plano tangente tiene el siguiente modelo. A por x menos x sub cero m\u00e1s b por y menos y sub cero m\u00e1s c por z menos z sub cero igual a cero."}, {"start": 260.0, "end": 275.0, "text": " Es el modelo para determinar la ecuaci\u00f3n de un plano cuando conocemos su vector normal de componentes a, b, c y un punto perteneciente al plano."}, {"start": 275.0, "end": 290.0, "text": " En ese caso la terna que nos dan ser\u00e1 x sub cero, y sub cero y z sub cero. Vamos entonces a reemplazar cada uno de los componentes."}, {"start": 290.0, "end": 315.0, "text": " Que multiplica a x menos x sub cero que es 8 m\u00e1s b que tambi\u00e9n vale 16 y que multiplica a y menos y sub cero que es 8, c que vale menos 16 y multiplica a z menos z sub cero que tambi\u00e9n vale 8."}, {"start": 315.0, "end": 330.0, "text": " Y todo esto lo igualamos a cero. Podemos dividir toda esta ecuaci\u00f3n a ambos lados entre 16 de manera que podamos simplificar esos n\u00fameros."}, {"start": 330.0, "end": 346.0, "text": " Tendremos entonces x menos 8 m\u00e1s y menos 8 y por ac\u00e1 tendremos menos, mejor protegemos con par\u00e9ntesis, z menos 8 y todo esto igual a cero."}, {"start": 346.0, "end": 367.0, "text": " Recordemos que si al lado derecho dividimos entre 16 sigue conserv\u00e1ndose el cero. Vamos a destruir ese par\u00e9ntesis. Tendremos x menos 8 m\u00e1s y menos 8 menos z m\u00e1s 8 y todo eso igualado a cero."}, {"start": 367.0, "end": 378.0, "text": " En esta expresi\u00f3n podemos cancelar menos 8 con m\u00e1s 8 y organizamos la ecuaci\u00f3n de la siguiente manera."}, {"start": 378.0, "end": 406.0, "text": " x m\u00e1s y menos z igual a 8. Pasamos este 8 que est\u00e1 negativo al otro lado a sumar con el cero nos queda igual a 8. Entonces esta ser\u00e1 la ecuaci\u00f3n del plano tangente a la superficie que nos dieron en este punto P."}, {"start": 406.0, "end": 415.0, "text": " Pasamos ahora a encontrar las ecuaciones de la recta normal a la superficie en este mismo punto P."}, {"start": 415.0, "end": 436.0, "text": " De nuevo el vector gradiente de la funci\u00f3n, o sea de la superficie evaluado en el punto P que nos dio 16,16,-16 se convierte en el vector director de esa recta normal."}, {"start": 436.0, "end": 452.0, "text": " Porque como dec\u00edamos ahora el vector gradiente es normal a la superficie en este punto. Entonces se convierte en el vector llamado V y que le da la direcci\u00f3n a esa recta que buscamos."}, {"start": 452.0, "end": 467.0, "text": " O sea la recta normal a la superficie en el punto P. Las componentes de este vector son nuevamente ABC tal como suced\u00eda en el vector normal del plano."}, {"start": 467.0, "end": 484.0, "text": " Entonces con esto vamos a determinar las ecuaciones param\u00e9tricas de la recta normal. Y las ecuaciones param\u00e9tricas tienen el siguiente modelo."}, {"start": 484.0, "end": 501.0, "text": " X es igual a AT m\u00e1s X sub cero, Y es igual a BT m\u00e1s Y sub cero y Z es igual a CT m\u00e1s Z sub cero."}, {"start": 501.0, "end": 510.0, "text": " T es el par\u00e1metro y tenemos entonces las expresiones para X, Y y Z en esa recta."}, {"start": 510.0, "end": 526.0, "text": " Vamos entonces a reemplazar la informaci\u00f3n que conocemos. Tendremos X igual a el valor A que vale 16 por T m\u00e1s X sub cero que es 8."}, {"start": 526.0, "end": 548.0, "text": " Tenemos Y igual a BT, o sea 16T m\u00e1s Y sub cero que tambi\u00e9n vale 8. Y tenemos Z igual a CT, o sea menos 16T m\u00e1s Z sub cero que tambi\u00e9n vale 8."}, {"start": 548.0, "end": 563.0, "text": " Y estas son las ecuaciones param\u00e9tricas de la recta normal. Las otras ecuaciones que debemos encontrar se llaman ecuaciones sim\u00e9tricas."}, {"start": 563.0, "end": 575.0, "text": " Y se obtienen desparametrizando estas ecuaciones, es decir, vamos a despejar el par\u00e1metro T en cada una de ellas."}, {"start": 575.0, "end": 583.0, "text": " En la primera ecuaci\u00f3n tenemos que el despeje de T nos da X menos X sub cero sobre A."}, {"start": 583.0, "end": 605.0, "text": " En la segunda expresi\u00f3n el despeje del par\u00e1metro T nos da Y menos Y sub cero sobre B. Y en la tercera ecuaci\u00f3n el despeje de T nos da Z menos Z sub cero todo esto sobre C."}, {"start": 605.0, "end": 616.0, "text": " Entonces igualamos estas tres expresiones porque todas equivalen a T y as\u00ed tendremos las ecuaciones sim\u00e9tricas."}, {"start": 616.0, "end": 635.0, "text": " All\u00ed podemos observarlas y lo que hacemos a continuaci\u00f3n es reemplazar los componentes que se conocen. Tenemos entonces X menos X sub cero que vale 8, todo esto sobre A que es 16,"}, {"start": 635.0, "end": 659.0, "text": " igualado con Y menos Y sub cero que tambi\u00e9n vale 8, sobre el valor de B que es 16 y esto igualado con Z menos Z sub cero que vale 8, sobre el valor C que es menos 16."}, {"start": 659.0, "end": 674.0, "text": " Podemos simplificar esta igualdad multiplicando todo por 16. Cada uno de los tres componentes es multiplicado por 16 y de esa manera logramos eliminar los denominadores."}, {"start": 674.0, "end": 691.0, "text": " Entonces el primer componente nos queda X menos 8, el segundo componente multiplicando por 16 nos queda Y menos 8 y en el tercer componente se elimina el 16 pero queda el signo negativo."}, {"start": 691.0, "end": 705.0, "text": " Entonces lo trasladamos al numerador y nos queda afectando a la expresi\u00f3n Z menos 8 que se recomienda protegerla con par\u00e9ntesis."}, {"start": 705.0, "end": 721.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a romper ese par\u00e9ntesis, nos queda X menos 8 igual a Y menos 8 y aqu\u00ed el signo menos se distribuye y nos queda menos Z m\u00e1s 8."}, {"start": 721.0, "end": 746.0, "text": " Para finalizar podr\u00edamos sumar 8 a todos los miembros de esa igualdad. Entonces si sumamos 8 al primer componente nos queda X, si sumamos 8 al segundo componente nos queda Y y si le sumamos 8 al tercer componente nos queda menos Z m\u00e1s 16."}, {"start": 746.0, "end": 765.0, "text": " Es una forma m\u00e1s sencilla, m\u00e1s simple de expresar las ecuaciones sim\u00e9tricas de la recta normal a la superficie que nos dieron en este punto P. Y con esto terminamos el ejercicio."}]

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ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

#julioprofe explica cómo determinar el área de cuatro figuras geométricas planas. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

En esta ocasión vamos a encontrar el área de cada una de estas figuras expresada en metros cuadrados. Antes de comenzar es conveniente recordar esta tabla que resume las unidades de longitud, donde tenemos como unidad patrón el metro. A la izquierda tenemos las unidades más grandes que el metro, como son el decámetro, el hectómetro y el kilómetro. O sea, lo que constituyen los múltiplos del metro, o sea, de la unidad patrón. Y a la derecha tenemos lo que se llaman los submúltiplos del metro, o sea, unidades menores que el metro, como son el decímetro, el centímetro y el milímetro. Entonces, con esta tabla vamos a realizar las conversiones de las medidas que tenemos en las figuras a las cuales se va a determinar su área en metros cuadrados. En la figura A tenemos un rectángulo. Estos cuadritos en las esquinas indican que allí tenemos ángulos rectos o ángulos de 90 grados. Tenemos entonces la base del rectángulo que mide 7 decímetros y tenemos la altura que podemos llamar H con un valor de 40 centímetros. Pero, como necesitamos el área de este rectángulo en metros cuadrados, se recomienda convertir estas dos medidas en metros. Entonces, veamos. Si tenemos 7 decímetros y queremos convertirlos a metros, entonces nos movemos un lugar hacia la izquierda. Es decir, el punto decimal del 7 que está aquí, se corre un lugar a la izquierda y nos da 0.7 metros. Otra forma de hacerlo es dividir por 10. Para pasar de decímetros a metros, simplemente el número se divide por 10 y ya queda realizada la conversión. Entonces, de igual manera nos da 0.7 metros. Ahora, vamos a pasar 40 centímetros también a metros. De centímetros a metros tenemos dos casillas hacia la izquierda. Entonces, el punto decimal del 40 que está aquí al final del número se corre a la izquierda dos lugares y nos da 0.40 metros o simplemente 0.4 metros. Podemos omitir este 0 que nos queda al final. También podemos dividir por 100. Para pasar de centímetros a metros, dividimos por 100 el número que tenemos y nos queda realizada dicha conversión. Ya podemos entonces calcular el área de este rectángulo que se obtiene multiplicando la base por la altura. Base por altura o también largo por ancho nos da el área del rectángulo. En este caso tenemos que la base es 0.7 metros y la altura 0.4 metros. Entonces, vamos a realizar esa operación. Tenemos 0.7 por 0.4. Vamos a multiplicar números decimales. Entonces, hacemos la multiplicación común y corriente. 4 por 7 es 28. Escribimos el 8 y llevamos 2. 4 por 0 nos da 0. Y 2 que llevamos es 2. 0 por 7 nos da 0. 0 por 0 nos da 0. Hacemos la suma y tenemos por aquí 8. Por acá 2 y acá tenemos el 0. Y el resultado final lleva el total de decimales que tenemos en estos números, o sea, en los factores. Cada uno aporta un lugar decimal. En total tenemos 2 decimales que son los que dejamos en el resultado. Entonces nos queda 0.28 como resultado de esta operación. Entonces decimos que el área de ese rectángulo es 0.28 metros cuadrados. Metros por metros nos da metros al cuadrado. Esta es entonces la respuesta a la pregunta A. Tenemos el área de ese rectángulo en metros cuadrados. En la figura B tenemos un cuadrado de lado 150 milímetros. Los lados son iguales por estas marcas que denotan lados congruentes o de la misma medida. Y tenemos ángulos rectos en las esquinas. Entonces el lado de ese cuadrado mide 150 milímetros. Y vamos a convertir esa medida a metros. Nos movemos entonces 3 lugares a la izquierda. El punto decimal de 150 está aquí, al final del número. Si lo corremos a la izquierda 3 lugares, nos queda el punto localizado a la izquierda del 1. O sea, 0.150 metros. De igual forma, este 0 puede omitirse y podemos dejar la medida simplemente como 0.15 metros. También es lo mismo dividir entre mil. Para pasar de milímetros a metros, como son 3 casillas de diferencia, entonces dividimos entre mil este número y nos da 0.15. Podemos ya calcular el área de ese cuadrado que es lado por lado. O sea, lado elevado al cuadrado. En este caso sería 0.15 metros y todo eso elevado al cuadrado. Entonces tenemos que multiplicar 0.15 por 0.15. Vamos a realizar esa operación por aquí. 0.15 por 0.15. O sea, multiplicamos por sí mismo el número. Veamos. 5 por 5, 25. Llevamos 2. 5 por 1, 5. Y 2 que llevamos es 7. 5 por 0 nos da 0. 1 por 5 es 5. 1 por 1 es 1. 1 por 0 es 0. 0 por 5 da 0. 0 por 1 da 0. 0 por 0 nos da 0. Sumamos estos números en forma vertical y tenemos 5. 7 más 5 es 12. Escribimos el 2. Llevamos 1. 1 más 1 nos da 2. Bajamos el 0 y otro 0. Y al final tenemos para este resultado un total de 4 lugares decimales. Cada uno de estos números aporta 2 decimales para un total de 4. 1, 2, 3, 4. El punto decimal queda localizado aquí. Entonces vamos a escribir el resultado del área de ese cuadrado que es 0.0225 metros cuadrados. Este exponente afecta al número y afecta la unidad de medida. Entonces así obtenemos el resultado de la pregunta B. ¿Qué es el área en metros cuadrados de este cuadrado? En la figura C tenemos un triángulo rectángulo llamado así porque tiene un ángulo recto o de 90 grados. En ese caso estos dos lados se llaman los catetos y este lado que está al frente del ángulo recto se llama la hipotenusa. En este caso los catetos hacen las veces de base y altura. Entonces tenemos base del triángulo igual a 35 decámetros y la altura que tiene un valor de 2.5 hectómetros. Y necesitamos pasar esas dimensiones a metros. Entonces veamos cómo queda. Si tenemos una medida en decámetros y queremos pasarla a metros simplemente multiplicamos por 10. O es lo mismo mover el punto decimal un lugar hacia la derecha. En este caso 35 multiplicado por 10 es 350 y ya queda expresado en metros. Ahora vamos con este número 2.5 hectómetros que queremos convertirlo en metros. Para pasar de hectómetros a metros nos movemos dos lugares a la derecha o es lo mismo multiplicar por 100. Entonces 2.5 multiplicado por 100 hace que el punto decimal se corra a la derecha dos lugares y nos da 250 metros. Ya nos quedan entonces las dimensiones de ese rectángulo, su base y su altura expresadas en metros. Calculamos ahora su área. La fórmula para determinar el área de un triángulo es base por altura todo eso dividido entre 2. Entonces vamos a reemplazar los datos. Tenemos la base que es 350 metros por la altura que es 250 metros y todo eso dividido entre 2. Allí podemos usar la simplificación. Es decir podemos simplificar 2 con 350 o si queremos 2 con 250. Vamos a sacarle mitad a estos dos números. Mitad de 2 es 1, mitad de 250 metros es 125 metros y la operación que nos queda por realizar es 350 por 125. Esto debido a que nos queda denominador 1. Entonces únicamente nos concentramos en la operación del numerador. Tenemos 350 por 125 hacemos la multiplicación común y corriente. Tenemos números naturales entonces 5 por 0 nos da 0, 5 por 5 25 llevamos 2, 5 por 3 15 y 2 17. 2 por 0 0, 2 por 5 10 llevamos 1, 2 por 3 6 y 1 que llevamos 7. 1 por 0 0, 1 por 5 5 y 1 por 3 nos da 3. Hacemos la suma en forma vertical tenemos 0, 5 por aquí 7, 1 más 7 8, 8 más 5 13 llevamos 1, 1 más 3 nos da 4. Cuando tenemos números naturales el resultado también es natural se lee como 43.750. Entonces vamos a escribir el resultado por aquí. Nos queda área del rectángulo igual a 43.750 metros cuadrados y de esa manera tenemos la respuesta a la pregunta C. Hemos encontrado en metros cuadrados el área de ese triángulo. Finalmente tenemos en la pregunta D una figura que se llama trapecio. Se trata de un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos y dos lados no paralelos. Los lados paralelos se llaman bases. La más grande es la base mayor que se representa con B mayúscula. Tiene un valor de 0.016 kilómetros. La más corta se llama base menor y se denota con B minúscula y su valor es 80 decímetros. Esta medida que tenemos aquí y que es perpendicular a las dos bases, o sea que forma ángulo recto con cada una de ellas, es lo que se conoce como la altura del trapecio. Y en este caso tiene un valor de 10 metros. Esta figura recibe un nombre más específico. Se llama trapecio rectángulo porque como vemos uno de sus lados es perpendicular a las dos bases. Forma ángulos rectos con ellas. Entonces vamos a convertir estas medidas a metros. Bueno, excepto la altura que ya se encuentra en metros. Veamos entonces cómo nos quedan las bases. Este valor que está en kilómetros y lo queremos llevar a metros, entonces nos movemos a la derecha tres lugares. Que es lo mismo que multiplicar por mil. Entonces el punto decimal se corre a la derecha tres lugares y queda localizado aquí a la derecha del 6. O sea que sería 0, 0, 1, 6 y el punto. Eso finalmente es 16 y ya queda en metros. Los ceros que quedan a la izquierda del 16 pierden todo su valor. Vamos ahora con 80 decímetros que lo queremos expresar en metros. Entonces nos movemos a la izquierda un solo lugar. El punto decimal del 80 está aquí y si se mueve a la izquierda un lugar entonces nos quedaría 8,0. O simplemente 8 metros. Entonces ya tenemos las medidas del trapecio expresadas todas en metros. Con eso podemos determinar el área de esta figura. Área de un trapecio es igual a la base mayor más la base menor. Todo eso multiplicado por la altura y todo eso dividido entre 2. Entonces vamos a reemplazar los datos que tenemos. La base mayor es 16 metros. Eso sumado con la base menor que mide 8 metros. Todo eso multiplicado por la altura que es 10 metros. Y todo esto lo dividimos entre 2. Entonces vamos a realizar esas operaciones. Comenzamos por esta suma. 16 metros más 8 metros nos da como resultado 24 metros. Y podemos simplificar 10 con 2. Eso es permitido porque aquí tenemos multiplicación. Entonces decimos mitad de 2 es 1. Mitad de 10 metros es 5 metros. Entonces nos queda la operación 24 metros que es esta suma por 5 metros. Ya en el denominador tenemos 1 entonces no nos preocupamos por ello. Tendremos entonces que el área vale 5 por 4 que es 20. Escribimos el cero, llevamos 2. Y 5 por 2 es 10. Más 2 que llevamos es 12. Nos da entonces 120. El resultado de multiplicar 24 por 5 y metros por metros nos queda metros al cuadrado. Esta es entonces el área de este trapecio. Un trapecio rectángulo que constituye el ejercicio D. Y con esto terminamos esta explicación.

[{"start": 0.0, "end": 11.0, "text": " En esta ocasi\u00f3n vamos a encontrar el \u00e1rea de cada una de estas figuras expresada en metros cuadrados."}, {"start": 11.0, "end": 19.0, "text": " Antes de comenzar es conveniente recordar esta tabla que resume las unidades de longitud,"}, {"start": 19.0, "end": 24.0, "text": " donde tenemos como unidad patr\u00f3n el metro."}, {"start": 24.0, "end": 36.0, "text": " A la izquierda tenemos las unidades m\u00e1s grandes que el metro, como son el dec\u00e1metro, el hect\u00f3metro y el kil\u00f3metro."}, {"start": 36.0, "end": 49.0, "text": " O sea, lo que constituyen los m\u00faltiplos del metro, o sea, de la unidad patr\u00f3n."}, {"start": 49.0, "end": 70.0, "text": " Y a la derecha tenemos lo que se llaman los subm\u00faltiplos del metro, o sea, unidades menores que el metro, como son el dec\u00edmetro, el cent\u00edmetro y el mil\u00edmetro."}, {"start": 70.0, "end": 85.0, "text": " Entonces, con esta tabla vamos a realizar las conversiones de las medidas que tenemos en las figuras a las cuales se va a determinar su \u00e1rea en metros cuadrados."}, {"start": 85.0, "end": 99.0, "text": " En la figura A tenemos un rect\u00e1ngulo. Estos cuadritos en las esquinas indican que all\u00ed tenemos \u00e1ngulos rectos o \u00e1ngulos de 90 grados."}, {"start": 99.0, "end": 115.0, "text": " Tenemos entonces la base del rect\u00e1ngulo que mide 7 dec\u00edmetros y tenemos la altura que podemos llamar H con un valor de 40 cent\u00edmetros."}, {"start": 115.0, "end": 125.0, "text": " Pero, como necesitamos el \u00e1rea de este rect\u00e1ngulo en metros cuadrados, se recomienda convertir estas dos medidas en metros."}, {"start": 125.0, "end": 135.0, "text": " Entonces, veamos. Si tenemos 7 dec\u00edmetros y queremos convertirlos a metros, entonces nos movemos un lugar hacia la izquierda."}, {"start": 135.0, "end": 145.0, "text": " Es decir, el punto decimal del 7 que est\u00e1 aqu\u00ed, se corre un lugar a la izquierda y nos da 0.7 metros."}, {"start": 145.0, "end": 158.0, "text": " Otra forma de hacerlo es dividir por 10. Para pasar de dec\u00edmetros a metros, simplemente el n\u00famero se divide por 10 y ya queda realizada la conversi\u00f3n."}, {"start": 158.0, "end": 167.0, "text": " Entonces, de igual manera nos da 0.7 metros. Ahora, vamos a pasar 40 cent\u00edmetros tambi\u00e9n a metros."}, {"start": 167.0, "end": 189.0, "text": " De cent\u00edmetros a metros tenemos dos casillas hacia la izquierda. Entonces, el punto decimal del 40 que est\u00e1 aqu\u00ed al final del n\u00famero se corre a la izquierda dos lugares y nos da 0.40 metros o simplemente 0.4 metros."}, {"start": 189.0, "end": 205.0, "text": " Podemos omitir este 0 que nos queda al final. Tambi\u00e9n podemos dividir por 100. Para pasar de cent\u00edmetros a metros, dividimos por 100 el n\u00famero que tenemos y nos queda realizada dicha conversi\u00f3n."}, {"start": 205.0, "end": 224.0, "text": " Ya podemos entonces calcular el \u00e1rea de este rect\u00e1ngulo que se obtiene multiplicando la base por la altura. Base por altura o tambi\u00e9n largo por ancho nos da el \u00e1rea del rect\u00e1ngulo."}, {"start": 224.0, "end": 239.0, "text": " En este caso tenemos que la base es 0.7 metros y la altura 0.4 metros. Entonces, vamos a realizar esa operaci\u00f3n."}, {"start": 239.0, "end": 260.0, "text": " Tenemos 0.7 por 0.4. Vamos a multiplicar n\u00fameros decimales. Entonces, hacemos la multiplicaci\u00f3n com\u00fan y corriente. 4 por 7 es 28. Escribimos el 8 y llevamos 2. 4 por 0 nos da 0."}, {"start": 260.0, "end": 278.0, "text": " Y 2 que llevamos es 2. 0 por 7 nos da 0. 0 por 0 nos da 0. Hacemos la suma y tenemos por aqu\u00ed 8. Por ac\u00e1 2 y ac\u00e1 tenemos el 0."}, {"start": 278.0, "end": 290.0, "text": " Y el resultado final lleva el total de decimales que tenemos en estos n\u00fameros, o sea, en los factores. Cada uno aporta un lugar decimal."}, {"start": 290.0, "end": 301.0, "text": " En total tenemos 2 decimales que son los que dejamos en el resultado. Entonces nos queda 0.28 como resultado de esta operaci\u00f3n."}, {"start": 301.0, "end": 314.0, "text": " Entonces decimos que el \u00e1rea de ese rect\u00e1ngulo es 0.28 metros cuadrados. Metros por metros nos da metros al cuadrado."}, {"start": 314.0, "end": 325.0, "text": " Esta es entonces la respuesta a la pregunta A. Tenemos el \u00e1rea de ese rect\u00e1ngulo en metros cuadrados."}, {"start": 325.0, "end": 341.0, "text": " En la figura B tenemos un cuadrado de lado 150 mil\u00edmetros. Los lados son iguales por estas marcas que denotan lados congruentes o de la misma medida."}, {"start": 341.0, "end": 355.0, "text": " Y tenemos \u00e1ngulos rectos en las esquinas. Entonces el lado de ese cuadrado mide 150 mil\u00edmetros. Y vamos a convertir esa medida a metros."}, {"start": 355.0, "end": 364.0, "text": " Nos movemos entonces 3 lugares a la izquierda. El punto decimal de 150 est\u00e1 aqu\u00ed, al final del n\u00famero."}, {"start": 364.0, "end": 376.0, "text": " Si lo corremos a la izquierda 3 lugares, nos queda el punto localizado a la izquierda del 1. O sea, 0.150 metros."}, {"start": 376.0, "end": 386.0, "text": " De igual forma, este 0 puede omitirse y podemos dejar la medida simplemente como 0.15 metros."}, {"start": 386.0, "end": 401.0, "text": " Tambi\u00e9n es lo mismo dividir entre mil. Para pasar de mil\u00edmetros a metros, como son 3 casillas de diferencia, entonces dividimos entre mil este n\u00famero y nos da 0.15."}, {"start": 401.0, "end": 419.0, "text": " Podemos ya calcular el \u00e1rea de ese cuadrado que es lado por lado. O sea, lado elevado al cuadrado. En este caso ser\u00eda 0.15 metros y todo eso elevado al cuadrado."}, {"start": 419.0, "end": 435.0, "text": " Entonces tenemos que multiplicar 0.15 por 0.15. Vamos a realizar esa operaci\u00f3n por aqu\u00ed. 0.15 por 0.15. O sea, multiplicamos por s\u00ed mismo el n\u00famero."}, {"start": 435.0, "end": 454.0, "text": " Veamos. 5 por 5, 25. Llevamos 2. 5 por 1, 5. Y 2 que llevamos es 7. 5 por 0 nos da 0. 1 por 5 es 5. 1 por 1 es 1. 1 por 0 es 0."}, {"start": 454.0, "end": 473.0, "text": " 0 por 5 da 0. 0 por 1 da 0. 0 por 0 nos da 0. Sumamos estos n\u00fameros en forma vertical y tenemos 5. 7 m\u00e1s 5 es 12. Escribimos el 2. Llevamos 1."}, {"start": 473.0, "end": 492.0, "text": " 1 m\u00e1s 1 nos da 2. Bajamos el 0 y otro 0. Y al final tenemos para este resultado un total de 4 lugares decimales. Cada uno de estos n\u00fameros aporta 2 decimales para un total de 4."}, {"start": 492.0, "end": 512.0, "text": " 1, 2, 3, 4. El punto decimal queda localizado aqu\u00ed. Entonces vamos a escribir el resultado del \u00e1rea de ese cuadrado que es 0.0225 metros cuadrados."}, {"start": 512.0, "end": 531.0, "text": " Este exponente afecta al n\u00famero y afecta la unidad de medida. Entonces as\u00ed obtenemos el resultado de la pregunta B. \u00bfQu\u00e9 es el \u00e1rea en metros cuadrados de este cuadrado?"}, {"start": 531.0, "end": 552.0, "text": " En la figura C tenemos un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo llamado as\u00ed porque tiene un \u00e1ngulo recto o de 90 grados. En ese caso estos dos lados se llaman los catetos y este lado que est\u00e1 al frente del \u00e1ngulo recto se llama la hipotenusa."}, {"start": 552.0, "end": 574.0, "text": " En este caso los catetos hacen las veces de base y altura. Entonces tenemos base del tri\u00e1ngulo igual a 35 dec\u00e1metros y la altura que tiene un valor de 2.5 hect\u00f3metros."}, {"start": 574.0, "end": 590.0, "text": " Y necesitamos pasar esas dimensiones a metros. Entonces veamos c\u00f3mo queda. Si tenemos una medida en dec\u00e1metros y queremos pasarla a metros simplemente multiplicamos por 10."}, {"start": 590.0, "end": 606.0, "text": " O es lo mismo mover el punto decimal un lugar hacia la derecha. En este caso 35 multiplicado por 10 es 350 y ya queda expresado en metros."}, {"start": 606.0, "end": 623.0, "text": " Ahora vamos con este n\u00famero 2.5 hect\u00f3metros que queremos convertirlo en metros. Para pasar de hect\u00f3metros a metros nos movemos dos lugares a la derecha o es lo mismo multiplicar por 100."}, {"start": 623.0, "end": 644.0, "text": " Entonces 2.5 multiplicado por 100 hace que el punto decimal se corra a la derecha dos lugares y nos da 250 metros. Ya nos quedan entonces las dimensiones de ese rect\u00e1ngulo, su base y su altura expresadas en metros."}, {"start": 644.0, "end": 659.0, "text": " Calculamos ahora su \u00e1rea. La f\u00f3rmula para determinar el \u00e1rea de un tri\u00e1ngulo es base por altura todo eso dividido entre 2. Entonces vamos a reemplazar los datos."}, {"start": 659.0, "end": 679.0, "text": " Tenemos la base que es 350 metros por la altura que es 250 metros y todo eso dividido entre 2. All\u00ed podemos usar la simplificaci\u00f3n."}, {"start": 679.0, "end": 691.0, "text": " Es decir podemos simplificar 2 con 350 o si queremos 2 con 250. Vamos a sacarle mitad a estos dos n\u00fameros."}, {"start": 691.0, "end": 710.0, "text": " Mitad de 2 es 1, mitad de 250 metros es 125 metros y la operaci\u00f3n que nos queda por realizar es 350 por 125. Esto debido a que nos queda denominador 1."}, {"start": 710.0, "end": 724.0, "text": " Entonces \u00fanicamente nos concentramos en la operaci\u00f3n del numerador. Tenemos 350 por 125 hacemos la multiplicaci\u00f3n com\u00fan y corriente."}, {"start": 724.0, "end": 742.0, "text": " Tenemos n\u00fameros naturales entonces 5 por 0 nos da 0, 5 por 5 25 llevamos 2, 5 por 3 15 y 2 17. 2 por 0 0, 2 por 5 10 llevamos 1, 2 por 3 6 y 1 que llevamos 7."}, {"start": 742.0, "end": 766.0, "text": " 1 por 0 0, 1 por 5 5 y 1 por 3 nos da 3. Hacemos la suma en forma vertical tenemos 0, 5 por aqu\u00ed 7, 1 m\u00e1s 7 8, 8 m\u00e1s 5 13 llevamos 1, 1 m\u00e1s 3 nos da 4."}, {"start": 766.0, "end": 780.0, "text": " Cuando tenemos n\u00fameros naturales el resultado tambi\u00e9n es natural se lee como 43.750. Entonces vamos a escribir el resultado por aqu\u00ed."}, {"start": 780.0, "end": 798.0, "text": " Nos queda \u00e1rea del rect\u00e1ngulo igual a 43.750 metros cuadrados y de esa manera tenemos la respuesta a la pregunta C."}, {"start": 798.0, "end": 806.0, "text": " Hemos encontrado en metros cuadrados el \u00e1rea de ese tri\u00e1ngulo."}, {"start": 806.0, "end": 820.0, "text": " Finalmente tenemos en la pregunta D una figura que se llama trapecio. Se trata de un cuadril\u00e1tero que tiene dos lados paralelos y dos lados no paralelos."}, {"start": 820.0, "end": 835.0, "text": " Los lados paralelos se llaman bases. La m\u00e1s grande es la base mayor que se representa con B may\u00fascula. Tiene un valor de 0.016 kil\u00f3metros."}, {"start": 835.0, "end": 845.0, "text": " La m\u00e1s corta se llama base menor y se denota con B min\u00fascula y su valor es 80 dec\u00edmetros."}, {"start": 845.0, "end": 859.0, "text": " Esta medida que tenemos aqu\u00ed y que es perpendicular a las dos bases, o sea que forma \u00e1ngulo recto con cada una de ellas, es lo que se conoce como la altura del trapecio."}, {"start": 859.0, "end": 875.0, "text": " Y en este caso tiene un valor de 10 metros. Esta figura recibe un nombre m\u00e1s espec\u00edfico. Se llama trapecio rect\u00e1ngulo porque como vemos uno de sus lados es perpendicular a las dos bases."}, {"start": 875.0, "end": 887.0, "text": " Forma \u00e1ngulos rectos con ellas. Entonces vamos a convertir estas medidas a metros. Bueno, excepto la altura que ya se encuentra en metros."}, {"start": 887.0, "end": 899.0, "text": " Veamos entonces c\u00f3mo nos quedan las bases. Este valor que est\u00e1 en kil\u00f3metros y lo queremos llevar a metros, entonces nos movemos a la derecha tres lugares."}, {"start": 899.0, "end": 911.0, "text": " Que es lo mismo que multiplicar por mil. Entonces el punto decimal se corre a la derecha tres lugares y queda localizado aqu\u00ed a la derecha del 6."}, {"start": 911.0, "end": 925.0, "text": " O sea que ser\u00eda 0, 0, 1, 6 y el punto. Eso finalmente es 16 y ya queda en metros. Los ceros que quedan a la izquierda del 16 pierden todo su valor."}, {"start": 925.0, "end": 945.0, "text": " Vamos ahora con 80 dec\u00edmetros que lo queremos expresar en metros. Entonces nos movemos a la izquierda un solo lugar. El punto decimal del 80 est\u00e1 aqu\u00ed y si se mueve a la izquierda un lugar entonces nos quedar\u00eda 8,0."}, {"start": 945.0, "end": 959.0, "text": " O simplemente 8 metros. Entonces ya tenemos las medidas del trapecio expresadas todas en metros. Con eso podemos determinar el \u00e1rea de esta figura."}, {"start": 959.0, "end": 978.0, "text": " \u00c1rea de un trapecio es igual a la base mayor m\u00e1s la base menor. Todo eso multiplicado por la altura y todo eso dividido entre 2. Entonces vamos a reemplazar los datos que tenemos."}, {"start": 978.0, "end": 1000.0, "text": " La base mayor es 16 metros. Eso sumado con la base menor que mide 8 metros. Todo eso multiplicado por la altura que es 10 metros. Y todo esto lo dividimos entre 2."}, {"start": 1000.0, "end": 1014.0, "text": " Entonces vamos a realizar esas operaciones. Comenzamos por esta suma. 16 metros m\u00e1s 8 metros nos da como resultado 24 metros."}, {"start": 1014.0, "end": 1030.0, "text": " Y podemos simplificar 10 con 2. Eso es permitido porque aqu\u00ed tenemos multiplicaci\u00f3n. Entonces decimos mitad de 2 es 1. Mitad de 10 metros es 5 metros."}, {"start": 1030.0, "end": 1045.0, "text": " Entonces nos queda la operaci\u00f3n 24 metros que es esta suma por 5 metros. Ya en el denominador tenemos 1 entonces no nos preocupamos por ello."}, {"start": 1045.0, "end": 1061.0, "text": " Tendremos entonces que el \u00e1rea vale 5 por 4 que es 20. Escribimos el cero, llevamos 2. Y 5 por 2 es 10. M\u00e1s 2 que llevamos es 12."}, {"start": 1061.0, "end": 1077.0, "text": " Nos da entonces 120. El resultado de multiplicar 24 por 5 y metros por metros nos queda metros al cuadrado. Esta es entonces el \u00e1rea de este trapecio."}, {"start": 1077.0, "end": 1092.0, "text": " Un trapecio rect\u00e1ngulo que constituye el ejercicio D. Y con esto terminamos esta explicaci\u00f3n."}]

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MÁXIMO COMÚN DIVISOR: Concepto - Ejemplos 1 y 2

#julioprofe explica el concepto de Máximo Común Divisor (MCD) de un conjunto de números naturales y expone dos ejemplos de cómo determinarlo. Contenido: 00:00 - 00:40 Concepto de MCD 00:40 - 04: 16 Ejemplo 1 (forma larga) 04:16 - 06:44 Ejemplo 1 (forma corta) 06:44 - 12:06 Ejemplo 2 (forma larga) 12:06 - 14:59 Ejemplo 2 (forma corta) REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a ver el concepto de máximo común divisor y algunos ejemplos de cómo se determina. El máximo común divisor también se conoce como MCD, por sus iniciales. El máximo común divisor de un conjunto de números naturales es el número más grande que los divide exactamente, o sea, que es divisor de todos ellos. Vamos a ver a continuación ejemplos de cómo determinar el máximo común divisor de un conjunto de números. Vamos a encontrar el máximo común divisor de 18 y 24 y lo vamos a hacer de dos maneras. Primero, la forma larga que es para los niños que ven este tema por primera vez, más o menos cuando tienen 10 u 11 años y que todavía no han visto lo que es la descomposición de un número en factores primos. Entonces se hace lo siguiente. Primero se determina el conjunto de divisores de 18 y después el conjunto de divisores de 24. Entonces veamos, 18 es divisible entre 1, es divisible también por 2, divisible por 3, por 4 no lo es, por 5 tampoco, por 6 sí es. Y aquí podemos utilizar la siguiente técnica. Vemos que 3 por 6 nos da 18. Entonces el siguiente número que buscamos será un número que multiplicado por 2 nos de 18. Ese número es el 9 y el siguiente número que buscamos debe ser un número que multiplicado con 1 nos de 18. Pues se trata del número 18. Y allí terminamos el conjunto de divisores del número 18. Ahora vamos a conformar el conjunto de divisores de 24. Comenzamos con el 1, también tenemos el 2, 2 es divisor de 24, también el 3, tenemos el 4, el 5 no sirve, pero el 6 sí sirve. Y aquí comenzamos a aplicar la técnica que mostramos en el caso anterior. Tenemos que 4 por 6 da 24. El número que sigue será un número que multiplicado con 3 nos de 24. Ese es el número 8. El número siguiente debe ser un número que multiplicado con 2 nos de 24. Se trata del número 12. Y el que sigue es un número que multiplicado con 1 nos de 24. Se trata del número 24. Y de esa manera tenemos el conjunto de divisores del número 24. Teniendo ya el conjunto de divisores de estos dos números, entonces buscamos ahora los números comunes, o sea los que están repetidos en los dos conjuntos. Es el caso del número 1, tenemos el número 2, tenemos el número 3 y también tenemos el número 6. Son los números que se repiten en los dos conjuntos. Y ahora buscamos el máximo, o sea el más grande de esos que se repiten. Es el caso del número 6. Entonces hemos encontrado el máximo común divisor de 18 y 24 que es 6. 6 es el número más grande que divide exactamente a 18 y a 24. O sea que es divisor simultáneamente de ellos dos. Ahora vamos a realizar este mismo procedimiento. Vamos a encontrar el máximo común divisor de 18 y 24, pero de una forma más corta. Que es cuando el estudiante ya conoce cómo descomponer números en factores primos. Escribimos el 18 y el 24 separados entre sí y trazamos una línea vertical a la derecha del último número. Y vamos a utilizar aquí números primos, vamos a recordarlos. Recordemos que los primos son aquellos números naturales que son divisibles por sí mismos y por el 1. Tenemos el 2, el 3, el 5, el 7, el 11, etcétera. Es un conjunto infinito. Entonces vamos a utilizar números primos que sean divisores al mismo tiempo de estos dos números. O sea que le deben servir a los dos. Comenzamos examinando el 2. 2 nos preguntamos si es divisor de 18 y de 24. Encontramos que sí porque estos números son pares. Entonces decimos mitad de 18 es 9 y mitad de 24 nos da 12. Nos preguntamos si el 2 sirve nuevamente. 2 es divisor de 12 pero no lo es de 9, entonces ya no podemos utilizar el 2. Pasamos a examinar el número 3. Nos preguntamos si 3 es divisor de estos dos números. Encontramos que sí, entonces se utiliza. Tercera de 9 nos da 3. Tercera de 12 es 4. Estabamos en el 3, nos preguntamos si el 3 vuelve a servir si es divisor de estos dos números. Lo es de 3 pero no es divisor de 4. Por lo tanto se descarta el número 3. Pasaríamos a examinar los demás números primos. Encontramos que ya ninguno sirve. Entonces aquí suspendemos ese proceso. Y multiplicando estos dos números 2 por 3 que nos da 6 encontramos el máximo común divisor de 18 y 24. Utilizando la forma corta. Repito cuando el estudiante ya conoce cómo descomponer simultáneamente números en factores primos. Vamos a ver ahora cómo determinar el máximo común divisor de estos tres números naturales. Y vamos a comenzar otra vez con la forma larga. Para ver de dónde sale el máximo común divisor de esos números. Entonces comenzamos con los divisores de 36. Comenzamos en el 1, tenemos el 2. El 3 es divisor de 36. También el 4. El 5 no sirve. El 6 si sirve. El 7 tampoco sirve. El 8 tampoco. El 9 si sirve. Y aquí estamos atentos de que 9 por 4 da 36. 6 queda solo. Entonces 6 por 6 da 36. El siguiente número será el que multiplicado con 3 nos da 36. Ese es el número 12. El siguiente número debe multiplicarse con 2 para que nos de 36. Se trata del número 18. Y el siguiente número es aquel que multiplicado con 1 nos da 36. Pues es efectivamente 36. Y allí cerramos el conjunto de divisores del número 36. Vamos ahora a determinar el conjunto de divisores de 54. Entonces comenzamos con 1. Tenemos que el 2 es divisor de 54. 3 también. El 4 no sirve. El 5 tampoco. El 6 si sirve. El 7 no sirve. 8 tampoco. El 9 si sirve. Y estamos atentos a que esta multiplicación da 54. 6 por 9 es 54. Entonces el siguiente número al multiplicarse con 3 nos tiene que dar 54. Ese número es el 18. Ahora buscamos un número que multiplicado con 2 de como resultado 54. Ese es el número 27. Y finalmente el número que multiplicado con 1 nos da 54. Que es 54. Y allí cerramos el conjunto de divisores de 54. Por último construimos el conjunto de divisores de 90. Entonces comenzamos con 1. 2 es divisor de 90. También es el 3. El 4 no sirve. El 5 si sirve. El 6 también sirve. El 7 no sirve. El 8 tampoco. Tenemos que el 9 si sirve. El 10 también sirve. Y aquí encontramos que 9 por 10 da 90. Entonces ya tenemos estos dos. Vamos ahora con un número que multiplicado por 6 nos de 90. Se trata del número 15. Luego un número que multiplicado con 5 nos de 90. Ese será el número 18. Después sigue un número que multiplicado con 3 nos de como resultado 90. Es el número 30. Luego sigue un número que multiplicado con 2 nos de 90. Se trata del 45. Y por último el número que multiplicado con 1 nos da 90. Que es justamente 90. Y así cerramos el conjunto de divisores del número 90. Teniendo los divisores de estos tres números buscamos ahora los números comunes. O sea, los números que se repiten en los tres conjuntos. Tenemos el caso del 1. También el 2. Tenemos el 3. Observamos también el número 6. Y también observamos el número 18. Son los números que están repetidos en los tres conjuntos. Y ahora de ellos buscamos el máximo. O sea, el número más grande. Es el caso del 18. Y ese será el máximo común divisor de estos tres números naturales. 18 es el número más grande que divide exactamente a estos tres números. Entonces esta es la forma larga para encontrar el máximo común divisor de estos tres números. Repito para niños que todavía no han visto lo que es la descomposición de números utilizando factores primos. Ahora vamos a ver cómo se determina el máximo común divisor de estos tres números utilizando la forma corta. Que es cuando el estudiante ya sabe es componer números en factores primos. Entonces escribimos esos tres números espaciados entre sí. Y trazamos a la derecha del último número esta línea vertical. Y vamos a utilizar aquí números primos. Vamos a recordarlos. Números primos comienzan en el 2. Tenemos después el 3, luego el 5, 7, 11, sigue el 13, etc. Ese conjunto nunca termina. Comenzamos revisando si el número 2 es divisor de todos ellos. Vemos que sí porque son números pares. Entonces utilizamos el 2. Mitad de 36 nos da 18, mitad de 54 nos da 27 y mitad de 90 nos da 45. Revisamos si el 2 vuelve a servir. 2 le sirve al 18 pero no le sirve a estos dos números que son impares. Por lo tanto descartamos el número 2. Y pasamos a revisar el 3. 3 es divisor de estos tres números. Entonces se puede utilizar. Decimos 3 de 18 es 6. 3 de 27 nos da 9. Y 3 de 45 nos da 15. De nuevo revisamos si el 3 vuelve a servir para estos tres números. Vemos que sí. Entonces se utiliza. Decimos 3 de 6 nos da 2. 3 de 9 nos da 3. Y 3 de 15 es 5. Revisamos si el 3 vuelve a servir. Solamente le sirve a este número. Ya no le sirve a estos. Y de ahí en adelante ninguno de estos números primos va a ser divisor al mismo tiempo de los números que quedan. Por lo tanto hasta allí hacemos el procedimiento y multiplicamos estos tres números. 2 por 3 por 3 que nos da como resultado. 2 por 3 es 6. 6 por 3 es 18. Y allí tenemos entonces el máximo común divisor de estos tres números naturales utilizando la forma corta. Que como vemos consiste en descomponer simultáneamente en factores primos estos tres números. O utilizando solamente números primos que sean divisores al mismo tiempo de los números examinados.

[{"start": 0.0, "end": 8.0, "text": " Vamos a ver el concepto de m\u00e1ximo com\u00fan divisor y algunos ejemplos de c\u00f3mo se determina."}, {"start": 8.0, "end": 15.0, "text": " El m\u00e1ximo com\u00fan divisor tambi\u00e9n se conoce como MCD, por sus iniciales."}, {"start": 15.0, "end": 26.0, "text": " El m\u00e1ximo com\u00fan divisor de un conjunto de n\u00fameros naturales es el n\u00famero m\u00e1s grande que los divide exactamente,"}, {"start": 26.0, "end": 30.0, "text": " o sea, que es divisor de todos ellos."}, {"start": 30.0, "end": 41.0, "text": " Vamos a ver a continuaci\u00f3n ejemplos de c\u00f3mo determinar el m\u00e1ximo com\u00fan divisor de un conjunto de n\u00fameros."}, {"start": 41.0, "end": 49.0, "text": " Vamos a encontrar el m\u00e1ximo com\u00fan divisor de 18 y 24 y lo vamos a hacer de dos maneras."}, {"start": 49.0, "end": 59.0, "text": " Primero, la forma larga que es para los ni\u00f1os que ven este tema por primera vez,"}, {"start": 59.0, "end": 69.0, "text": " m\u00e1s o menos cuando tienen 10 u 11 a\u00f1os y que todav\u00eda no han visto lo que es la descomposici\u00f3n de un n\u00famero en factores primos."}, {"start": 69.0, "end": 72.0, "text": " Entonces se hace lo siguiente."}, {"start": 72.0, "end": 82.0, "text": " Primero se determina el conjunto de divisores de 18 y despu\u00e9s el conjunto de divisores de 24."}, {"start": 82.0, "end": 98.0, "text": " Entonces veamos, 18 es divisible entre 1, es divisible tambi\u00e9n por 2, divisible por 3, por 4 no lo es, por 5 tampoco, por 6 s\u00ed es."}, {"start": 98.0, "end": 104.0, "text": " Y aqu\u00ed podemos utilizar la siguiente t\u00e9cnica. Vemos que 3 por 6 nos da 18."}, {"start": 104.0, "end": 112.0, "text": " Entonces el siguiente n\u00famero que buscamos ser\u00e1 un n\u00famero que multiplicado por 2 nos de 18."}, {"start": 112.0, "end": 123.0, "text": " Ese n\u00famero es el 9 y el siguiente n\u00famero que buscamos debe ser un n\u00famero que multiplicado con 1 nos de 18."}, {"start": 123.0, "end": 133.0, "text": " Pues se trata del n\u00famero 18. Y all\u00ed terminamos el conjunto de divisores del n\u00famero 18."}, {"start": 133.0, "end": 139.0, "text": " Ahora vamos a conformar el conjunto de divisores de 24."}, {"start": 139.0, "end": 152.0, "text": " Comenzamos con el 1, tambi\u00e9n tenemos el 2, 2 es divisor de 24, tambi\u00e9n el 3, tenemos el 4, el 5 no sirve,"}, {"start": 152.0, "end": 160.0, "text": " pero el 6 s\u00ed sirve. Y aqu\u00ed comenzamos a aplicar la t\u00e9cnica que mostramos en el caso anterior."}, {"start": 160.0, "end": 169.0, "text": " Tenemos que 4 por 6 da 24. El n\u00famero que sigue ser\u00e1 un n\u00famero que multiplicado con 3 nos de 24."}, {"start": 169.0, "end": 172.0, "text": " Ese es el n\u00famero 8."}, {"start": 172.0, "end": 183.0, "text": " El n\u00famero siguiente debe ser un n\u00famero que multiplicado con 2 nos de 24. Se trata del n\u00famero 12."}, {"start": 183.0, "end": 194.0, "text": " Y el que sigue es un n\u00famero que multiplicado con 1 nos de 24. Se trata del n\u00famero 24."}, {"start": 194.0, "end": 202.0, "text": " Y de esa manera tenemos el conjunto de divisores del n\u00famero 24."}, {"start": 202.0, "end": 210.0, "text": " Teniendo ya el conjunto de divisores de estos dos n\u00fameros, entonces buscamos ahora los n\u00fameros comunes,"}, {"start": 210.0, "end": 214.0, "text": " o sea los que est\u00e1n repetidos en los dos conjuntos."}, {"start": 214.0, "end": 224.0, "text": " Es el caso del n\u00famero 1, tenemos el n\u00famero 2, tenemos el n\u00famero 3 y tambi\u00e9n tenemos el n\u00famero 6."}, {"start": 224.0, "end": 228.0, "text": " Son los n\u00fameros que se repiten en los dos conjuntos."}, {"start": 228.0, "end": 233.0, "text": " Y ahora buscamos el m\u00e1ximo, o sea el m\u00e1s grande de esos que se repiten."}, {"start": 233.0, "end": 236.0, "text": " Es el caso del n\u00famero 6."}, {"start": 236.0, "end": 244.0, "text": " Entonces hemos encontrado el m\u00e1ximo com\u00fan divisor de 18 y 24 que es 6."}, {"start": 244.0, "end": 250.0, "text": " 6 es el n\u00famero m\u00e1s grande que divide exactamente a 18 y a 24."}, {"start": 250.0, "end": 257.0, "text": " O sea que es divisor simult\u00e1neamente de ellos dos."}, {"start": 257.0, "end": 260.0, "text": " Ahora vamos a realizar este mismo procedimiento."}, {"start": 260.0, "end": 268.0, "text": " Vamos a encontrar el m\u00e1ximo com\u00fan divisor de 18 y 24, pero de una forma m\u00e1s corta."}, {"start": 268.0, "end": 277.0, "text": " Que es cuando el estudiante ya conoce c\u00f3mo descomponer n\u00fameros en factores primos."}, {"start": 277.0, "end": 287.0, "text": " Escribimos el 18 y el 24 separados entre s\u00ed y trazamos una l\u00ednea vertical a la derecha del \u00faltimo n\u00famero."}, {"start": 287.0, "end": 292.0, "text": " Y vamos a utilizar aqu\u00ed n\u00fameros primos, vamos a recordarlos."}, {"start": 292.0, "end": 300.0, "text": " Recordemos que los primos son aquellos n\u00fameros naturales que son divisibles por s\u00ed mismos y por el 1."}, {"start": 300.0, "end": 307.0, "text": " Tenemos el 2, el 3, el 5, el 7, el 11, etc\u00e9tera."}, {"start": 307.0, "end": 309.0, "text": " Es un conjunto infinito."}, {"start": 309.0, "end": 316.0, "text": " Entonces vamos a utilizar n\u00fameros primos que sean divisores al mismo tiempo de estos dos n\u00fameros."}, {"start": 316.0, "end": 319.0, "text": " O sea que le deben servir a los dos."}, {"start": 319.0, "end": 321.0, "text": " Comenzamos examinando el 2."}, {"start": 321.0, "end": 325.0, "text": " 2 nos preguntamos si es divisor de 18 y de 24."}, {"start": 325.0, "end": 329.0, "text": " Encontramos que s\u00ed porque estos n\u00fameros son pares."}, {"start": 329.0, "end": 337.0, "text": " Entonces decimos mitad de 18 es 9 y mitad de 24 nos da 12."}, {"start": 337.0, "end": 340.0, "text": " Nos preguntamos si el 2 sirve nuevamente."}, {"start": 340.0, "end": 347.0, "text": " 2 es divisor de 12 pero no lo es de 9, entonces ya no podemos utilizar el 2."}, {"start": 347.0, "end": 349.0, "text": " Pasamos a examinar el n\u00famero 3."}, {"start": 349.0, "end": 353.0, "text": " Nos preguntamos si 3 es divisor de estos dos n\u00fameros."}, {"start": 353.0, "end": 356.0, "text": " Encontramos que s\u00ed, entonces se utiliza."}, {"start": 356.0, "end": 359.0, "text": " Tercera de 9 nos da 3."}, {"start": 359.0, "end": 363.0, "text": " Tercera de 12 es 4."}, {"start": 363.0, "end": 370.0, "text": " Estabamos en el 3, nos preguntamos si el 3 vuelve a servir si es divisor de estos dos n\u00fameros."}, {"start": 370.0, "end": 373.0, "text": " Lo es de 3 pero no es divisor de 4."}, {"start": 373.0, "end": 376.0, "text": " Por lo tanto se descarta el n\u00famero 3."}, {"start": 376.0, "end": 379.0, "text": " Pasar\u00edamos a examinar los dem\u00e1s n\u00fameros primos."}, {"start": 379.0, "end": 381.0, "text": " Encontramos que ya ninguno sirve."}, {"start": 381.0, "end": 384.0, "text": " Entonces aqu\u00ed suspendemos ese proceso."}, {"start": 384.0, "end": 394.0, "text": " Y multiplicando estos dos n\u00fameros 2 por 3 que nos da 6 encontramos el m\u00e1ximo com\u00fan divisor de 18 y 24."}, {"start": 394.0, "end": 396.0, "text": " Utilizando la forma corta."}, {"start": 396.0, "end": 406.0, "text": " Repito cuando el estudiante ya conoce c\u00f3mo descomponer simult\u00e1neamente n\u00fameros en factores primos."}, {"start": 406.0, "end": 413.0, "text": " Vamos a ver ahora c\u00f3mo determinar el m\u00e1ximo com\u00fan divisor de estos tres n\u00fameros naturales."}, {"start": 413.0, "end": 421.0, "text": " Y vamos a comenzar otra vez con la forma larga."}, {"start": 421.0, "end": 427.0, "text": " Para ver de d\u00f3nde sale el m\u00e1ximo com\u00fan divisor de esos n\u00fameros."}, {"start": 427.0, "end": 432.0, "text": " Entonces comenzamos con los divisores de 36."}, {"start": 432.0, "end": 436.0, "text": " Comenzamos en el 1, tenemos el 2."}, {"start": 436.0, "end": 438.0, "text": " El 3 es divisor de 36."}, {"start": 438.0, "end": 440.0, "text": " Tambi\u00e9n el 4."}, {"start": 440.0, "end": 444.0, "text": " El 5 no sirve. El 6 si sirve."}, {"start": 444.0, "end": 446.0, "text": " El 7 tampoco sirve."}, {"start": 446.0, "end": 448.0, "text": " El 8 tampoco."}, {"start": 448.0, "end": 450.0, "text": " El 9 si sirve."}, {"start": 450.0, "end": 456.0, "text": " Y aqu\u00ed estamos atentos de que 9 por 4 da 36."}, {"start": 456.0, "end": 460.0, "text": " 6 queda solo. Entonces 6 por 6 da 36."}, {"start": 460.0, "end": 466.0, "text": " El siguiente n\u00famero ser\u00e1 el que multiplicado con 3 nos da 36."}, {"start": 466.0, "end": 469.0, "text": " Ese es el n\u00famero 12."}, {"start": 469.0, "end": 475.0, "text": " El siguiente n\u00famero debe multiplicarse con 2 para que nos de 36."}, {"start": 475.0, "end": 478.0, "text": " Se trata del n\u00famero 18."}, {"start": 478.0, "end": 485.0, "text": " Y el siguiente n\u00famero es aquel que multiplicado con 1 nos da 36."}, {"start": 485.0, "end": 489.0, "text": " Pues es efectivamente 36."}, {"start": 489.0, "end": 495.0, "text": " Y all\u00ed cerramos el conjunto de divisores del n\u00famero 36."}, {"start": 495.0, "end": 502.0, "text": " Vamos ahora a determinar el conjunto de divisores de 54."}, {"start": 502.0, "end": 505.0, "text": " Entonces comenzamos con 1."}, {"start": 505.0, "end": 508.0, "text": " Tenemos que el 2 es divisor de 54."}, {"start": 508.0, "end": 510.0, "text": " 3 tambi\u00e9n."}, {"start": 510.0, "end": 513.0, "text": " El 4 no sirve. El 5 tampoco."}, {"start": 513.0, "end": 515.0, "text": " El 6 si sirve."}, {"start": 515.0, "end": 517.0, "text": " El 7 no sirve."}, {"start": 517.0, "end": 519.0, "text": " 8 tampoco."}, {"start": 519.0, "end": 521.0, "text": " El 9 si sirve."}, {"start": 521.0, "end": 526.0, "text": " Y estamos atentos a que esta multiplicaci\u00f3n da 54."}, {"start": 526.0, "end": 528.0, "text": " 6 por 9 es 54."}, {"start": 528.0, "end": 534.0, "text": " Entonces el siguiente n\u00famero al multiplicarse con 3 nos tiene que dar 54."}, {"start": 534.0, "end": 537.0, "text": " Ese n\u00famero es el 18."}, {"start": 537.0, "end": 544.0, "text": " Ahora buscamos un n\u00famero que multiplicado con 2 de como resultado 54."}, {"start": 544.0, "end": 547.0, "text": " Ese es el n\u00famero 27."}, {"start": 547.0, "end": 553.0, "text": " Y finalmente el n\u00famero que multiplicado con 1 nos da 54."}, {"start": 553.0, "end": 555.0, "text": " Que es 54."}, {"start": 555.0, "end": 561.0, "text": " Y all\u00ed cerramos el conjunto de divisores de 54."}, {"start": 561.0, "end": 568.0, "text": " Por \u00faltimo construimos el conjunto de divisores de 90."}, {"start": 568.0, "end": 571.0, "text": " Entonces comenzamos con 1."}, {"start": 571.0, "end": 573.0, "text": " 2 es divisor de 90."}, {"start": 573.0, "end": 575.0, "text": " Tambi\u00e9n es el 3."}, {"start": 575.0, "end": 577.0, "text": " El 4 no sirve."}, {"start": 577.0, "end": 579.0, "text": " El 5 si sirve."}, {"start": 579.0, "end": 582.0, "text": " El 6 tambi\u00e9n sirve."}, {"start": 582.0, "end": 584.0, "text": " El 7 no sirve."}, {"start": 584.0, "end": 586.0, "text": " El 8 tampoco."}, {"start": 586.0, "end": 589.0, "text": " Tenemos que el 9 si sirve."}, {"start": 589.0, "end": 591.0, "text": " El 10 tambi\u00e9n sirve."}, {"start": 591.0, "end": 596.0, "text": " Y aqu\u00ed encontramos que 9 por 10 da 90."}, {"start": 596.0, "end": 600.0, "text": " Entonces ya tenemos estos dos."}, {"start": 600.0, "end": 606.0, "text": " Vamos ahora con un n\u00famero que multiplicado por 6 nos de 90."}, {"start": 606.0, "end": 610.0, "text": " Se trata del n\u00famero 15."}, {"start": 610.0, "end": 617.0, "text": " Luego un n\u00famero que multiplicado con 5 nos de 90."}, {"start": 617.0, "end": 621.0, "text": " Ese ser\u00e1 el n\u00famero 18."}, {"start": 621.0, "end": 628.0, "text": " Despu\u00e9s sigue un n\u00famero que multiplicado con 3 nos de como resultado 90."}, {"start": 628.0, "end": 631.0, "text": " Es el n\u00famero 30."}, {"start": 631.0, "end": 638.0, "text": " Luego sigue un n\u00famero que multiplicado con 2 nos de 90."}, {"start": 638.0, "end": 641.0, "text": " Se trata del 45."}, {"start": 641.0, "end": 646.0, "text": " Y por \u00faltimo el n\u00famero que multiplicado con 1 nos da 90."}, {"start": 646.0, "end": 649.0, "text": " Que es justamente 90."}, {"start": 649.0, "end": 656.0, "text": " Y as\u00ed cerramos el conjunto de divisores del n\u00famero 90."}, {"start": 656.0, "end": 662.0, "text": " Teniendo los divisores de estos tres n\u00fameros buscamos ahora los n\u00fameros comunes."}, {"start": 662.0, "end": 666.0, "text": " O sea, los n\u00fameros que se repiten en los tres conjuntos."}, {"start": 666.0, "end": 669.0, "text": " Tenemos el caso del 1."}, {"start": 669.0, "end": 671.0, "text": " Tambi\u00e9n el 2."}, {"start": 671.0, "end": 674.0, "text": " Tenemos el 3."}, {"start": 674.0, "end": 679.0, "text": " Observamos tambi\u00e9n el n\u00famero 6."}, {"start": 679.0, "end": 684.0, "text": " Y tambi\u00e9n observamos el n\u00famero 18."}, {"start": 684.0, "end": 688.0, "text": " Son los n\u00fameros que est\u00e1n repetidos en los tres conjuntos."}, {"start": 688.0, "end": 691.0, "text": " Y ahora de ellos buscamos el m\u00e1ximo."}, {"start": 691.0, "end": 694.0, "text": " O sea, el n\u00famero m\u00e1s grande."}, {"start": 694.0, "end": 697.0, "text": " Es el caso del 18."}, {"start": 697.0, "end": 703.0, "text": " Y ese ser\u00e1 el m\u00e1ximo com\u00fan divisor de estos tres n\u00fameros naturales."}, {"start": 703.0, "end": 710.0, "text": " 18 es el n\u00famero m\u00e1s grande que divide exactamente a estos tres n\u00fameros."}, {"start": 710.0, "end": 716.0, "text": " Entonces esta es la forma larga para encontrar el m\u00e1ximo com\u00fan divisor de estos tres n\u00fameros."}, {"start": 716.0, "end": 727.0, "text": " Repito para ni\u00f1os que todav\u00eda no han visto lo que es la descomposici\u00f3n de n\u00fameros utilizando factores primos."}, {"start": 727.0, "end": 736.0, "text": " Ahora vamos a ver c\u00f3mo se determina el m\u00e1ximo com\u00fan divisor de estos tres n\u00fameros utilizando la forma corta."}, {"start": 736.0, "end": 743.0, "text": " Que es cuando el estudiante ya sabe es componer n\u00fameros en factores primos."}, {"start": 743.0, "end": 749.0, "text": " Entonces escribimos esos tres n\u00fameros espaciados entre s\u00ed."}, {"start": 749.0, "end": 754.0, "text": " Y trazamos a la derecha del \u00faltimo n\u00famero esta l\u00ednea vertical."}, {"start": 754.0, "end": 757.0, "text": " Y vamos a utilizar aqu\u00ed n\u00fameros primos."}, {"start": 757.0, "end": 760.0, "text": " Vamos a recordarlos."}, {"start": 760.0, "end": 764.0, "text": " N\u00fameros primos comienzan en el 2."}, {"start": 764.0, "end": 773.0, "text": " Tenemos despu\u00e9s el 3, luego el 5, 7, 11, sigue el 13, etc."}, {"start": 773.0, "end": 775.0, "text": " Ese conjunto nunca termina."}, {"start": 775.0, "end": 780.0, "text": " Comenzamos revisando si el n\u00famero 2 es divisor de todos ellos."}, {"start": 780.0, "end": 783.0, "text": " Vemos que s\u00ed porque son n\u00fameros pares."}, {"start": 783.0, "end": 785.0, "text": " Entonces utilizamos el 2."}, {"start": 785.0, "end": 797.0, "text": " Mitad de 36 nos da 18, mitad de 54 nos da 27 y mitad de 90 nos da 45."}, {"start": 797.0, "end": 799.0, "text": " Revisamos si el 2 vuelve a servir."}, {"start": 799.0, "end": 805.0, "text": " 2 le sirve al 18 pero no le sirve a estos dos n\u00fameros que son impares."}, {"start": 805.0, "end": 808.0, "text": " Por lo tanto descartamos el n\u00famero 2."}, {"start": 808.0, "end": 810.0, "text": " Y pasamos a revisar el 3."}, {"start": 810.0, "end": 813.0, "text": " 3 es divisor de estos tres n\u00fameros."}, {"start": 813.0, "end": 815.0, "text": " Entonces se puede utilizar."}, {"start": 815.0, "end": 819.0, "text": " Decimos 3 de 18 es 6."}, {"start": 819.0, "end": 823.0, "text": " 3 de 27 nos da 9."}, {"start": 823.0, "end": 827.0, "text": " Y 3 de 45 nos da 15."}, {"start": 827.0, "end": 832.0, "text": " De nuevo revisamos si el 3 vuelve a servir para estos tres n\u00fameros."}, {"start": 832.0, "end": 833.0, "text": " Vemos que s\u00ed."}, {"start": 833.0, "end": 835.0, "text": " Entonces se utiliza."}, {"start": 835.0, "end": 838.0, "text": " Decimos 3 de 6 nos da 2."}, {"start": 838.0, "end": 841.0, "text": " 3 de 9 nos da 3."}, {"start": 841.0, "end": 845.0, "text": " Y 3 de 15 es 5."}, {"start": 845.0, "end": 847.0, "text": " Revisamos si el 3 vuelve a servir."}, {"start": 847.0, "end": 849.0, "text": " Solamente le sirve a este n\u00famero."}, {"start": 849.0, "end": 851.0, "text": " Ya no le sirve a estos."}, {"start": 851.0, "end": 859.0, "text": " Y de ah\u00ed en adelante ninguno de estos n\u00fameros primos va a ser divisor al mismo tiempo de los n\u00fameros que quedan."}, {"start": 859.0, "end": 866.0, "text": " Por lo tanto hasta all\u00ed hacemos el procedimiento y multiplicamos estos tres n\u00fameros."}, {"start": 866.0, "end": 870.0, "text": " 2 por 3 por 3 que nos da como resultado."}, {"start": 870.0, "end": 872.0, "text": " 2 por 3 es 6."}, {"start": 872.0, "end": 874.0, "text": " 6 por 3 es 18."}, {"start": 874.0, "end": 883.0, "text": " Y all\u00ed tenemos entonces el m\u00e1ximo com\u00fan divisor de estos tres n\u00fameros naturales utilizando la forma corta."}, {"start": 883.0, "end": 891.0, "text": " Que como vemos consiste en descomponer simult\u00e1neamente en factores primos estos tres n\u00fameros."}, {"start": 891.0, "end": 900.0, "text": " O utilizando solamente n\u00fameros primos que sean divisores al mismo tiempo de los n\u00fameros examinados."}]

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MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO: Concepto - Ejemplos 1 y 2

#julioprofe explica el concepto de Mínimo Común Múltiplo (MCM) de varios números naturales y expone dos ejemplos de cómo determinarlo. Contenido: 00:00 - 00:40 Concepto de MCM 00:40 - 03:28 Ejemplo 1 (forma larga) 03:28 - 06:21 Ejemplo 1 (forma corta) 06:21 - 09:18 Ejemplo 2 (forma larga) 09:18 - 12:11 Ejemplo 2 (forma corta) REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a ver el concepto y algunos ejemplos de lo que es el mínimo común múltiplo, conocido también como MCM por sus iniciales. El mínimo común múltiplo de un conjunto de números naturales es el número más pequeño que nos contiene exactamente, o sea que es múltiplo de todos ellos. Este es el concepto o la definición de lo que es el mínimo común múltiplo. Vamos a ver a continuación ejemplos de cómo se determina. Vamos a encontrar el mínimo común múltiplo de 4 y 6 comenzando por la forma larga, que es la manera como lo hacen los niños de aproximadamente 10 u 11 años que todavía no han visto lo que es la descomposición de un número en factores primos. Veamos entonces cómo se hace por este camino. Determinamos el conjunto de múltiplos de 4, que sería 4 por 1, 4, 4 por 2, 8, 4 por 3, 12, 4 por 4, 16, 4 por 5, 20, 4 por 6, 24, 4 por 7, 28, 4 por 8, 32, 4 por 9, 36, 4 por 10, 40. Y bueno, este conjunto sigue, es un conjunto infinito. Ahora determinamos el conjunto de múltiplos de 6, que son 6 por 1, 6, 6 por 2, 12, 6 por 3, 18, 6 por 4, 24, 6 por 5, 30, 6 por 6, 36, 6 por 7, 42, 6 por 8, 48, 6 por 9, 54, 6 por 10, 60. Y de igual manera, ese conjunto nunca termina. Ya tenemos entonces el conjunto de múltiplos de 4 y de 6. Ahora vamos a señalar los números comunes, o sea, los que se repiten en los dos conjuntos. Tenemos el caso del número 12, también observamos el 24 y observamos el número 36. Esos son los múltiplos comunes. Y de ellos vamos a señalar o determinar lo que es el mínimo, o sea, el más pequeño. Se trata entonces del número 12. Entonces 12 es el número más pequeño que contiene exactamente a 4 y a 6. O sea que es múltiplo al mismo tiempo de ellos dos. Entonces 12 constituye el mínimo común múltiplo, o MCM, de 4 y 6. Repito, esta es la forma como calculan el mínimo común múltiplo los niños que todavía no han visto lo que es la descomposición de números utilizando factores primos. Ahora vamos a ver cómo encontrar el mínimo común múltiplo de 4 y 6 de la forma corta. Que es cuando el estudiante ya conoce cómo descomponer un número en factores primos. Entonces escribimos el 4 y el 6, los dos números naturales que tenemos allí. Y a la derecha del último número trazamos una línea vertical y entonces vamos a utilizar aquí números primos para realizar la descomposición simultánea de esos dos números. Recordemos que los números primos son aquellos que solamente se pueden dividir por sí mismos y por uno. Entonces comienza ese conjunto en el 2, después tenemos el 3, luego el 5, luego el 7, después el 11, etc. Este conjunto es infinito. Entonces comenzamos examinando el 2. Nos preguntamos si el 2 es divisor de alguno de estos números. Efectivamente, divide a los dos por tratarse de números pares. Entonces utilizamos el 2. Decimos mitad de 4 es 2, mitad de 6 es 3. Nos preguntamos si el 2 sirve nuevamente. Al 3 no le sirve, pero a este 2 sí le sirve. Entonces lo utilizamos. Decimos mitad de 2 es 1, mitad de 3 no tiene. 3 no es divisible exactamente por 2, por lo tanto se deja como está. Por aquí ya terminamos. Podemos encerrar este número en un círculo para saber que aquí no hacemos nada más. Ya terminamos porque llegamos a 1. Y nos queda el número 3. Estábamos aquí en el número 2. Vemos que el 2 ya no le sirve al 3. Entonces pasamos a examinar el siguiente número primo, que es el 3. 3 efectivamente es divisor de 3. Entonces decimos tercera de 3 nos da 1. Y encerramos ese número para indicar que allí terminamos. Estos números que nos quedan aquí se multiplican entre sí. 2 por 2 por 3. Y eso nos da como resultado 12. Y ese es el mínimo común múltiplo de 4 y 6. Vemos que se obtiene el mismo resultado de las dos maneras. De la forma larga y de la forma corta. Lógicamente esta manera es mucho más efectiva, más rápida. Pero se advierte que debe utilizarse cuando se conoce esto. Que es la descomposición simultánea de números utilizando factores primos. En el segundo ejemplo vamos a determinar el mínimo común múltiplo de 9, 10 y 15. Entonces vamos a realizarlo de las dos formas. Comenzamos con la forma larga. Y para ello debemos determinar el conjunto de múltiplos de cada uno de estos números. Comenzamos con los múltiplos de 9. Entonces 9 por 1, 9. 9 por 2, 18. 9 por 3, 27. 9 por 4, 36. 9 por 5, 45. 9 por 6, 54. 9 por 7, 63. 9 por 8, 72. 9 por 9, 81. Y 9 por 10, 90. Y este conjunto continúa. Entonces escribimos puntos suspensivos. Vamos ahora con los múltiplos de 10. Tenemos 10 por 1, 10. 10 por 2, 20. 10 por 3, 30. 10 por 4, 40. 10 por 5, 50. 10 por 6, 60. 10 por 7, 70. 10 por 8, 80. 10 por 9, 90. 10 por 10, 100. Y este conjunto continúa. Ahora vamos con los múltiplos de 15. Tenemos 15 por 1, 15. 15 por 2, 30. 15 por 3, 45. 15 por 4, 60. 15 por 5, 75. 15 por 6, 90. 15 por 7, 105. 15 por 8, 120. Y bueno, este conjunto continúa. Buscamos ahora los números que estén repetidos en los tres conjuntos. Realmente, el único que observamos es el número 90. Y ese constituye el más pequeño. Con seguridad, por acá más adelante, vamos a encontrar números que también estén presentes en los tres conjuntos. Pero buscamos el mínimo, o sea, el número más pequeño que se encuentre repetido en los tres conjuntos. Entonces, 90 constituye el mínimo como un múltiplo de estos tres números naturales. Allí lo tenemos utilizando la forma larga. Repito, para niños que todavía no han visto la descomposición en factores primos de un número. Vamos ahora a encontrar el mínimo como un múltiplo utilizando la forma corta. O sea, descomponiendo simultáneamente esos tres números en factores primos. Los escribimos espaciados entre sí. Y a la derecha del último número, trazamos una línea vertical. Y comenzamos examinando aquí los números primos. Vamos a escribirlos nuevamente. Entonces, los primos comienzan en el 2, después el 3, después el 5, después el 7, luego el 11, etc. Entonces, iniciamos con 2. Nos preguntamos si 2 es divisor de alguno de estos números. Efectivamente, sirve para el 10 por ser número par. Entonces utilizamos el 2. A 9 no le sirve, a 15 tampoco. Entonces, se describen otra vez esos mismos números. Y decimos mitad de 10 es 5. Nos preguntamos si el 2 vuelve a servir. Vemos que no, porque tenemos aquí números impares. Entonces pasamos a examinar el 3. Nos preguntamos si 3 le sirve alguno de estos números. Vemos que sí, 3 es divisor de 9 y también es divisor de 15. Entonces usamos el 3. Tercera de 9 nos da 3. Tercera de 15 nos da 5. Y al 5 no le sirve el 3. Por lo tanto, se describe nuevamente. Nos queda ahora examinar de nuevo el número 3. A ver si le sirve alguno de estos. Vemos que sí, entonces se utiliza otra vez. Tercera de 3 nos da 1. Para 5 no le sirve y aquí tampoco sirve. Entonces aquí podemos encerrar el 1. Para que sepamos que aquí ya terminamos. Y nos concentramos en los números que quedan. El 3 ya nos sirve para el 5. Entonces pasamos al siguiente número primo que es 5. 5 es divisor de 5 cada una vez. Y aquí terminamos. Entonces para determinar ya el mínimo común múltiplo. Multiplicando estos números que nos quedan aquí. Tenemos entonces 2 por 3 por 3 por 5. Veamos 2 por 3 es 6. 6 por 3 es 18. Y 18 por 5 nos da 90. Que es el número que habíamos encontrado con la forma larga. Entonces 90 es el mínimo común múltiplo de estos 3 números naturales. Con esto terminamos la explicación.

[{"start": 0.0, "end": 14.0, "text": " Vamos a ver el concepto y algunos ejemplos de lo que es el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo, conocido tambi\u00e9n como MCM por sus iniciales."}, {"start": 15.0, "end": 29.0, "text": " El m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de un conjunto de n\u00fameros naturales es el n\u00famero m\u00e1s peque\u00f1o que nos contiene exactamente, o sea que es m\u00faltiplo de todos ellos."}, {"start": 29.0, "end": 35.0, "text": " Este es el concepto o la definici\u00f3n de lo que es el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo."}, {"start": 35.0, "end": 40.0, "text": " Vamos a ver a continuaci\u00f3n ejemplos de c\u00f3mo se determina."}, {"start": 40.0, "end": 67.0, "text": " Vamos a encontrar el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de 4 y 6 comenzando por la forma larga, que es la manera como lo hacen los ni\u00f1os de aproximadamente 10 u 11 a\u00f1os que todav\u00eda no han visto lo que es la descomposici\u00f3n de un n\u00famero en factores primos."}, {"start": 67.0, "end": 70.0, "text": " Veamos entonces c\u00f3mo se hace por este camino."}, {"start": 70.0, "end": 98.0, "text": " Determinamos el conjunto de m\u00faltiplos de 4, que ser\u00eda 4 por 1, 4, 4 por 2, 8, 4 por 3, 12, 4 por 4, 16, 4 por 5, 20, 4 por 6, 24, 4 por 7, 28, 4 por 8, 32, 4 por 9, 36, 4 por 10, 40."}, {"start": 98.0, "end": 103.0, "text": " Y bueno, este conjunto sigue, es un conjunto infinito."}, {"start": 103.0, "end": 131.0, "text": " Ahora determinamos el conjunto de m\u00faltiplos de 6, que son 6 por 1, 6, 6 por 2, 12, 6 por 3, 18, 6 por 4, 24, 6 por 5, 30, 6 por 6, 36, 6 por 7, 42, 6 por 8, 48, 6 por 9, 54, 6 por 10, 60."}, {"start": 131.0, "end": 136.0, "text": " Y de igual manera, ese conjunto nunca termina."}, {"start": 136.0, "end": 141.0, "text": " Ya tenemos entonces el conjunto de m\u00faltiplos de 4 y de 6."}, {"start": 141.0, "end": 148.0, "text": " Ahora vamos a se\u00f1alar los n\u00fameros comunes, o sea, los que se repiten en los dos conjuntos."}, {"start": 148.0, "end": 158.0, "text": " Tenemos el caso del n\u00famero 12, tambi\u00e9n observamos el 24 y observamos el n\u00famero 36."}, {"start": 158.0, "end": 161.0, "text": " Esos son los m\u00faltiplos comunes."}, {"start": 161.0, "end": 169.0, "text": " Y de ellos vamos a se\u00f1alar o determinar lo que es el m\u00ednimo, o sea, el m\u00e1s peque\u00f1o."}, {"start": 169.0, "end": 173.0, "text": " Se trata entonces del n\u00famero 12."}, {"start": 173.0, "end": 181.0, "text": " Entonces 12 es el n\u00famero m\u00e1s peque\u00f1o que contiene exactamente a 4 y a 6."}, {"start": 181.0, "end": 185.0, "text": " O sea que es m\u00faltiplo al mismo tiempo de ellos dos."}, {"start": 185.0, "end": 194.0, "text": " Entonces 12 constituye el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo, o MCM, de 4 y 6."}, {"start": 194.0, "end": 201.0, "text": " Repito, esta es la forma como calculan el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo los ni\u00f1os"}, {"start": 201.0, "end": 209.0, "text": " que todav\u00eda no han visto lo que es la descomposici\u00f3n de n\u00fameros utilizando factores primos."}, {"start": 209.0, "end": 218.0, "text": " Ahora vamos a ver c\u00f3mo encontrar el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de 4 y 6 de la forma corta."}, {"start": 218.0, "end": 227.0, "text": " Que es cuando el estudiante ya conoce c\u00f3mo descomponer un n\u00famero en factores primos."}, {"start": 227.0, "end": 234.0, "text": " Entonces escribimos el 4 y el 6, los dos n\u00fameros naturales que tenemos all\u00ed."}, {"start": 234.0, "end": 242.0, "text": " Y a la derecha del \u00faltimo n\u00famero trazamos una l\u00ednea vertical y entonces vamos a utilizar aqu\u00ed n\u00fameros primos"}, {"start": 242.0, "end": 247.0, "text": " para realizar la descomposici\u00f3n simult\u00e1nea de esos dos n\u00fameros."}, {"start": 247.0, "end": 257.0, "text": " Recordemos que los n\u00fameros primos son aquellos que solamente se pueden dividir por s\u00ed mismos y por uno."}, {"start": 257.0, "end": 268.0, "text": " Entonces comienza ese conjunto en el 2, despu\u00e9s tenemos el 3, luego el 5, luego el 7, despu\u00e9s el 11, etc."}, {"start": 268.0, "end": 271.0, "text": " Este conjunto es infinito."}, {"start": 271.0, "end": 278.0, "text": " Entonces comenzamos examinando el 2. Nos preguntamos si el 2 es divisor de alguno de estos n\u00fameros."}, {"start": 278.0, "end": 283.0, "text": " Efectivamente, divide a los dos por tratarse de n\u00fameros pares."}, {"start": 283.0, "end": 291.0, "text": " Entonces utilizamos el 2. Decimos mitad de 4 es 2, mitad de 6 es 3."}, {"start": 291.0, "end": 298.0, "text": " Nos preguntamos si el 2 sirve nuevamente. Al 3 no le sirve, pero a este 2 s\u00ed le sirve."}, {"start": 298.0, "end": 305.0, "text": " Entonces lo utilizamos. Decimos mitad de 2 es 1, mitad de 3 no tiene."}, {"start": 305.0, "end": 311.0, "text": " 3 no es divisible exactamente por 2, por lo tanto se deja como est\u00e1."}, {"start": 311.0, "end": 319.0, "text": " Por aqu\u00ed ya terminamos. Podemos encerrar este n\u00famero en un c\u00edrculo para saber que aqu\u00ed no hacemos nada m\u00e1s."}, {"start": 319.0, "end": 323.0, "text": " Ya terminamos porque llegamos a 1. Y nos queda el n\u00famero 3."}, {"start": 323.0, "end": 327.0, "text": " Est\u00e1bamos aqu\u00ed en el n\u00famero 2. Vemos que el 2 ya no le sirve al 3."}, {"start": 327.0, "end": 332.0, "text": " Entonces pasamos a examinar el siguiente n\u00famero primo, que es el 3."}, {"start": 332.0, "end": 338.0, "text": " 3 efectivamente es divisor de 3. Entonces decimos tercera de 3 nos da 1."}, {"start": 338.0, "end": 343.0, "text": " Y encerramos ese n\u00famero para indicar que all\u00ed terminamos."}, {"start": 343.0, "end": 347.0, "text": " Estos n\u00fameros que nos quedan aqu\u00ed se multiplican entre s\u00ed."}, {"start": 347.0, "end": 353.0, "text": " 2 por 2 por 3. Y eso nos da como resultado 12."}, {"start": 353.0, "end": 358.0, "text": " Y ese es el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de 4 y 6."}, {"start": 358.0, "end": 365.0, "text": " Vemos que se obtiene el mismo resultado de las dos maneras. De la forma larga y de la forma corta."}, {"start": 365.0, "end": 370.0, "text": " L\u00f3gicamente esta manera es mucho m\u00e1s efectiva, m\u00e1s r\u00e1pida."}, {"start": 370.0, "end": 374.0, "text": " Pero se advierte que debe utilizarse cuando se conoce esto."}, {"start": 374.0, "end": 381.0, "text": " Que es la descomposici\u00f3n simult\u00e1nea de n\u00fameros utilizando factores primos."}, {"start": 381.0, "end": 390.0, "text": " En el segundo ejemplo vamos a determinar el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de 9, 10 y 15."}, {"start": 390.0, "end": 399.0, "text": " Entonces vamos a realizarlo de las dos formas. Comenzamos con la forma larga."}, {"start": 399.0, "end": 406.0, "text": " Y para ello debemos determinar el conjunto de m\u00faltiplos de cada uno de estos n\u00fameros."}, {"start": 406.0, "end": 411.0, "text": " Comenzamos con los m\u00faltiplos de 9."}, {"start": 411.0, "end": 421.0, "text": " Entonces 9 por 1, 9. 9 por 2, 18. 9 por 3, 27. 9 por 4, 36."}, {"start": 421.0, "end": 427.0, "text": " 9 por 5, 45. 9 por 6, 54."}, {"start": 427.0, "end": 433.0, "text": " 9 por 7, 63. 9 por 8, 72."}, {"start": 433.0, "end": 439.0, "text": " 9 por 9, 81. Y 9 por 10, 90."}, {"start": 439.0, "end": 445.0, "text": " Y este conjunto contin\u00faa. Entonces escribimos puntos suspensivos."}, {"start": 445.0, "end": 450.0, "text": " Vamos ahora con los m\u00faltiplos de 10."}, {"start": 450.0, "end": 454.0, "text": " Tenemos 10 por 1, 10. 10 por 2, 20."}, {"start": 454.0, "end": 458.0, "text": " 10 por 3, 30. 10 por 4, 40."}, {"start": 458.0, "end": 462.0, "text": " 10 por 5, 50. 10 por 6, 60."}, {"start": 462.0, "end": 466.0, "text": " 10 por 7, 70. 10 por 8, 80."}, {"start": 466.0, "end": 470.0, "text": " 10 por 9, 90. 10 por 10, 100."}, {"start": 470.0, "end": 473.0, "text": " Y este conjunto contin\u00faa."}, {"start": 473.0, "end": 477.0, "text": " Ahora vamos con los m\u00faltiplos de 15."}, {"start": 477.0, "end": 484.0, "text": " Tenemos 15 por 1, 15. 15 por 2, 30."}, {"start": 484.0, "end": 490.0, "text": " 15 por 3, 45. 15 por 4, 60."}, {"start": 490.0, "end": 496.0, "text": " 15 por 5, 75. 15 por 6, 90."}, {"start": 496.0, "end": 503.0, "text": " 15 por 7, 105. 15 por 8, 120."}, {"start": 503.0, "end": 506.0, "text": " Y bueno, este conjunto contin\u00faa."}, {"start": 506.0, "end": 512.0, "text": " Buscamos ahora los n\u00fameros que est\u00e9n repetidos en los tres conjuntos."}, {"start": 512.0, "end": 518.0, "text": " Realmente, el \u00fanico que observamos es el n\u00famero 90."}, {"start": 518.0, "end": 521.0, "text": " Y ese constituye el m\u00e1s peque\u00f1o."}, {"start": 521.0, "end": 528.0, "text": " Con seguridad, por ac\u00e1 m\u00e1s adelante, vamos a encontrar n\u00fameros que tambi\u00e9n est\u00e9n presentes en los tres conjuntos."}, {"start": 528.0, "end": 537.0, "text": " Pero buscamos el m\u00ednimo, o sea, el n\u00famero m\u00e1s peque\u00f1o que se encuentre repetido en los tres conjuntos."}, {"start": 537.0, "end": 545.0, "text": " Entonces, 90 constituye el m\u00ednimo como un m\u00faltiplo de estos tres n\u00fameros naturales."}, {"start": 545.0, "end": 549.0, "text": " All\u00ed lo tenemos utilizando la forma larga."}, {"start": 549.0, "end": 558.0, "text": " Repito, para ni\u00f1os que todav\u00eda no han visto la descomposici\u00f3n en factores primos de un n\u00famero."}, {"start": 558.0, "end": 566.0, "text": " Vamos ahora a encontrar el m\u00ednimo como un m\u00faltiplo utilizando la forma corta."}, {"start": 566.0, "end": 575.0, "text": " O sea, descomponiendo simult\u00e1neamente esos tres n\u00fameros en factores primos."}, {"start": 575.0, "end": 579.0, "text": " Los escribimos espaciados entre s\u00ed."}, {"start": 579.0, "end": 585.0, "text": " Y a la derecha del \u00faltimo n\u00famero, trazamos una l\u00ednea vertical."}, {"start": 585.0, "end": 590.0, "text": " Y comenzamos examinando aqu\u00ed los n\u00fameros primos."}, {"start": 590.0, "end": 593.0, "text": " Vamos a escribirlos nuevamente."}, {"start": 593.0, "end": 603.0, "text": " Entonces, los primos comienzan en el 2, despu\u00e9s el 3, despu\u00e9s el 5, despu\u00e9s el 7, luego el 11, etc."}, {"start": 603.0, "end": 605.0, "text": " Entonces, iniciamos con 2."}, {"start": 605.0, "end": 609.0, "text": " Nos preguntamos si 2 es divisor de alguno de estos n\u00fameros."}, {"start": 609.0, "end": 613.0, "text": " Efectivamente, sirve para el 10 por ser n\u00famero par."}, {"start": 613.0, "end": 615.0, "text": " Entonces utilizamos el 2."}, {"start": 615.0, "end": 618.0, "text": " A 9 no le sirve, a 15 tampoco."}, {"start": 618.0, "end": 622.0, "text": " Entonces, se describen otra vez esos mismos n\u00fameros."}, {"start": 622.0, "end": 627.0, "text": " Y decimos mitad de 10 es 5."}, {"start": 627.0, "end": 629.0, "text": " Nos preguntamos si el 2 vuelve a servir."}, {"start": 629.0, "end": 633.0, "text": " Vemos que no, porque tenemos aqu\u00ed n\u00fameros impares."}, {"start": 633.0, "end": 635.0, "text": " Entonces pasamos a examinar el 3."}, {"start": 635.0, "end": 638.0, "text": " Nos preguntamos si 3 le sirve alguno de estos n\u00fameros."}, {"start": 638.0, "end": 643.0, "text": " Vemos que s\u00ed, 3 es divisor de 9 y tambi\u00e9n es divisor de 15."}, {"start": 643.0, "end": 645.0, "text": " Entonces usamos el 3."}, {"start": 645.0, "end": 647.0, "text": " Tercera de 9 nos da 3."}, {"start": 647.0, "end": 650.0, "text": " Tercera de 15 nos da 5."}, {"start": 650.0, "end": 652.0, "text": " Y al 5 no le sirve el 3."}, {"start": 652.0, "end": 655.0, "text": " Por lo tanto, se describe nuevamente."}, {"start": 655.0, "end": 660.0, "text": " Nos queda ahora examinar de nuevo el n\u00famero 3."}, {"start": 660.0, "end": 662.0, "text": " A ver si le sirve alguno de estos."}, {"start": 662.0, "end": 666.0, "text": " Vemos que s\u00ed, entonces se utiliza otra vez."}, {"start": 666.0, "end": 669.0, "text": " Tercera de 3 nos da 1."}, {"start": 669.0, "end": 674.0, "text": " Para 5 no le sirve y aqu\u00ed tampoco sirve."}, {"start": 674.0, "end": 676.0, "text": " Entonces aqu\u00ed podemos encerrar el 1."}, {"start": 676.0, "end": 679.0, "text": " Para que sepamos que aqu\u00ed ya terminamos."}, {"start": 679.0, "end": 683.0, "text": " Y nos concentramos en los n\u00fameros que quedan."}, {"start": 683.0, "end": 685.0, "text": " El 3 ya nos sirve para el 5."}, {"start": 685.0, "end": 689.0, "text": " Entonces pasamos al siguiente n\u00famero primo que es 5."}, {"start": 689.0, "end": 693.0, "text": " 5 es divisor de 5 cada una vez."}, {"start": 693.0, "end": 695.0, "text": " Y aqu\u00ed terminamos."}, {"start": 695.0, "end": 700.0, "text": " Entonces para determinar ya el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo."}, {"start": 700.0, "end": 704.0, "text": " Multiplicando estos n\u00fameros que nos quedan aqu\u00ed."}, {"start": 704.0, "end": 711.0, "text": " Tenemos entonces 2 por 3 por 3 por 5."}, {"start": 711.0, "end": 713.0, "text": " Veamos 2 por 3 es 6."}, {"start": 713.0, "end": 715.0, "text": " 6 por 3 es 18."}, {"start": 715.0, "end": 719.0, "text": " Y 18 por 5 nos da 90."}, {"start": 719.0, "end": 724.0, "text": " Que es el n\u00famero que hab\u00edamos encontrado con la forma larga."}, {"start": 724.0, "end": 729.0, "text": " Entonces 90 es el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de estos 3 n\u00fameros naturales."}, {"start": 729.0, "end": 734.0, "text": " Con esto terminamos la explicaci\u00f3n."}]

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DERIVACIÓN IMPLÍCITA - Ejercicio 3

#julioprofe explica cómo determinar dy/dx derivando implícitamente una expresión. Tema: #Derivadas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwF9r-Y_Gpuq45VP0qnJIJL1 REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Para esta expresión vamos a determinar a qué es igual de y de x, o sea la derivada de y con respecto a x. En esa expresión tenemos que y es la variable dependiente y x es la variable independiente. Pero como están combinadas esas dos letras en esa expresión entonces debemos proceder con lo que se llama la derivación implícita. Entonces vamos a derivar implícitamente ambos lados de la igualdad con respecto a x. Esto quiere decir que cada vez que derivemos algo con la letra y debemos anexar de y de x. Incluso por comodidad se puede trabajar con y' durante el procedimiento y al final y' se cambia por de y de x. Entonces comencemos. En el lado izquierdo de la igualdad observamos un producto. Entonces debemos utilizar la regla de derivación que se utiliza para los productos. Entonces vamos a recordarla. Si tenemos un producto a por b tenemos que esto es igual a la derivada del primero por el segundo más el primero sin derivar por la derivada del segundo. Entonces vamos a utilizar esta regla para derivar esta parte lo que es el lado izquierdo de la igualdad. Veamos. Derivada de x al cuadrado nos da 2x. Esto por el segundo componente sin derivar que es tangente de y más el primer componente sin derivar que es x al cuadrado por la derivada del segundo componente. La derivada de tangente de y es secante al cuadrado de y. Pero como hemos derivado algo que contiene la y entonces agregamos y'. Es decir multiplicamos por lo que se llama la derivada interna. La derivada de y con respecto a x. O sea de y de x pero que por comodidad se trabaja como y'. Pasamos al lado derecho de la igualdad donde también observamos un producto. Dos componentes donde están presentes las dos variables x y y. Entonces de nuevo utilizamos la regla del producto para derivación. Derivada del primer componente sería derivada de y que es 1 por y' o simplemente y'. Entonces derivada de y y' derivada del primer componente. Eso por el segundo componente sin derivar que es seno de x más el primer componente sin derivar que es y. Por la derivada del segundo componente. La derivada del seno de x es coseno de x. Como paso siguiente vamos a dejar en el lado izquierdo de la igualdad aquellos términos que contienen y'. Entonces veamos. Se queda este término que es x al cuadrado secante al cuadrado de y por y'. Y pasamos este término que está positivo. Entonces llega negativo como y' seno de x. Y al lado derecho de la igualdad vamos a situar los términos que no tienen y'. Entonces se queda y por coseno de x y traemos este término que llega acá negativo menos 2x tangente de y. Paso siguiente sacamos a este lado factor común y'. Entonces tenemos y' es factor común de x al cuadrado secante al cuadrado de y menos seno de x. Y esto igual a la misma expresión que tenemos en el lado derecho. Por último despejamos y' de esta igualdad. Entonces tendremos que y' será igual a toda esta expresión dividida entre esta. Todo esto que está multiplicando pasa al otro lado a dividir. Entonces nos queda de la siguiente manera. Una fracción. Aquí en el numerador esta expresión y coseno de x menos 2x tangente de y. Y en el denominador nos queda todo esto. X al cuadrado secante al cuadrado de y menos seno de x. Para terminar cambiamos y' por dy de x. Como decíamos durante el proceso es más cómodo trabajar con y' pero al final se recomienda escribir de dy de x porque se especifica mejor cuál ha sido la derivada. Es decir se especifica cuál es la variable dependiente y cuál es la variable independiente. O en otras palabras la variable con respecto de la cual se hizo todo el proceso de derivación. De esta manera encontramos de y de x y terminamos el ejercicio.

[{"start": 0.0, "end": 13.0, "text": " Para esta expresi\u00f3n vamos a determinar a qu\u00e9 es igual de y de x, o sea la derivada de y con respecto a x."}, {"start": 13.0, "end": 21.0, "text": " En esa expresi\u00f3n tenemos que y es la variable dependiente y x es la variable independiente."}, {"start": 21.0, "end": 34.0, "text": " Pero como est\u00e1n combinadas esas dos letras en esa expresi\u00f3n entonces debemos proceder con lo que se llama la derivaci\u00f3n impl\u00edcita."}, {"start": 34.0, "end": 47.0, "text": " Entonces vamos a derivar impl\u00edcitamente ambos lados de la igualdad con respecto a x."}, {"start": 47.0, "end": 55.0, "text": " Esto quiere decir que cada vez que derivemos algo con la letra y debemos anexar de y de x."}, {"start": 55.0, "end": 65.0, "text": " Incluso por comodidad se puede trabajar con y' durante el procedimiento y al final y' se cambia por de y de x."}, {"start": 65.0, "end": 71.0, "text": " Entonces comencemos. En el lado izquierdo de la igualdad observamos un producto."}, {"start": 71.0, "end": 80.0, "text": " Entonces debemos utilizar la regla de derivaci\u00f3n que se utiliza para los productos."}, {"start": 80.0, "end": 99.0, "text": " Entonces vamos a recordarla. Si tenemos un producto a por b tenemos que esto es igual a la derivada del primero por el segundo m\u00e1s el primero sin derivar por la derivada del segundo."}, {"start": 99.0, "end": 107.0, "text": " Entonces vamos a utilizar esta regla para derivar esta parte lo que es el lado izquierdo de la igualdad."}, {"start": 107.0, "end": 113.0, "text": " Veamos. Derivada de x al cuadrado nos da 2x."}, {"start": 113.0, "end": 129.0, "text": " Esto por el segundo componente sin derivar que es tangente de y m\u00e1s el primer componente sin derivar que es x al cuadrado por la derivada del segundo componente."}, {"start": 129.0, "end": 135.0, "text": " La derivada de tangente de y es secante al cuadrado de y."}, {"start": 135.0, "end": 145.0, "text": " Pero como hemos derivado algo que contiene la y entonces agregamos y'. Es decir multiplicamos por lo que se llama la derivada interna."}, {"start": 145.0, "end": 153.0, "text": " La derivada de y con respecto a x. O sea de y de x pero que por comodidad se trabaja como y'."}, {"start": 153.0, "end": 159.0, "text": " Pasamos al lado derecho de la igualdad donde tambi\u00e9n observamos un producto."}, {"start": 159.0, "end": 165.0, "text": " Dos componentes donde est\u00e1n presentes las dos variables x y y."}, {"start": 165.0, "end": 171.0, "text": " Entonces de nuevo utilizamos la regla del producto para derivaci\u00f3n."}, {"start": 171.0, "end": 179.0, "text": " Derivada del primer componente ser\u00eda derivada de y que es 1 por y' o simplemente y'."}, {"start": 179.0, "end": 193.0, "text": " Entonces derivada de y y' derivada del primer componente. Eso por el segundo componente sin derivar que es seno de x m\u00e1s el primer componente sin derivar que es y."}, {"start": 193.0, "end": 203.0, "text": " Por la derivada del segundo componente. La derivada del seno de x es coseno de x."}, {"start": 203.0, "end": 211.0, "text": " Como paso siguiente vamos a dejar en el lado izquierdo de la igualdad aquellos t\u00e9rminos que contienen y'."}, {"start": 211.0, "end": 221.0, "text": " Entonces veamos. Se queda este t\u00e9rmino que es x al cuadrado secante al cuadrado de y por y'."}, {"start": 221.0, "end": 233.0, "text": " Y pasamos este t\u00e9rmino que est\u00e1 positivo. 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Entonces tendremos que y' ser\u00e1 igual a toda esta expresi\u00f3n dividida entre esta."}, {"start": 298.0, "end": 302.0, "text": " Todo esto que est\u00e1 multiplicando pasa al otro lado a dividir."}, {"start": 302.0, "end": 317.0, "text": " Entonces nos queda de la siguiente manera. Una fracci\u00f3n. Aqu\u00ed en el numerador esta expresi\u00f3n y coseno de x menos 2x tangente de y."}, {"start": 317.0, "end": 332.0, "text": " Y en el denominador nos queda todo esto. X al cuadrado secante al cuadrado de y menos seno de x."}, {"start": 332.0, "end": 337.0, "text": " Para terminar cambiamos y' por dy de x."}, {"start": 337.0, "end": 351.0, "text": " Como dec\u00edamos durante el proceso es m\u00e1s c\u00f3modo trabajar con y' pero al final se recomienda escribir de dy de x porque se especifica mejor cu\u00e1l ha sido la derivada."}, {"start": 351.0, "end": 358.0, "text": " Es decir se especifica cu\u00e1l es la variable dependiente y cu\u00e1l es la variable independiente."}, {"start": 358.0, "end": 367.0, "text": " O en otras palabras la variable con respecto de la cual se hizo todo el proceso de derivaci\u00f3n."}, {"start": 367.0, "end": 395.0, "text": " De esta manera encontramos de y de x y terminamos el ejercicio."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=Vjog0WkI934

SISTEMA DE ECUACIONES 4×4 POR GAUSS

#julioprofe explica cómo determinar, usando el Método de Gauss, los valores de dos constantes "a" y "b" en un sistema de ecuaciones lineales de 4×4 de modo que éste tenga solución única, infinitas soluciones y no tenga solución. Tema: #SistemasDeEcuacionesPorGauss → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHIZDUeWJQtdIB9-DmzDfZh REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Para este sistema de cuatro ecuaciones lineales con cuatro incógnitas, vamos a determinar los valores de las constantes A y B. Aquí las podemos observar. De tal forma que el sistema tenga solución única, que tenga infinitas soluciones o que no tenga solución. Lo primero que vamos a realizar es la construcción de la matriz aumentada. Y ella se conforma con los coeficientes de las incógnitas y también con estos elementos que tenemos a la derecha del signo igual en cada ecuación. Vemos que las cuatro ecuaciones se encuentran ordenadas. Primero la incógnita x1, después x2, luego x3 y por último x4. Entonces vamos con los coeficientes de la primera ecuación. Tenemos para x1, 1, para x2 tenemos menos 1, para x3 tenemos menos 1 y para x4 tenemos A. Vamos con los de la segunda ecuación. Tenemos coeficiente 1 para x2 también 1, para x3 1 y para x4 coeficiente 1. Vamos con la tercera ecuación. Por acá tenemos coeficiente 1, coeficiente menos 1 para x2, coeficiente 1 para x3 y por acá menos 1 para la incógnita x4. Vamos ahora con la cuarta ecuación. Tenemos coeficiente 1, por acá coeficiente 1, aquí coeficiente menos 1 y acá coeficiente 1. Trazamos esta línea vertical y vamos a escribir aquí estas cuatro cantidades. Entonces para la primera ecuación tenemos B, para la segunda tenemos 0, para la tercera tenemos 12 y para la cuarta tenemos menos 8. Bien, aquí tenemos construida la matriz aumentada y lo que vamos a hacer a continuación es conseguir ceros por debajo de la diagonal principal. Es decir, en estas seis celdas que tenemos, como decíamos, por debajo de esta diagonal que se conoce como la diagonal principal. Vamos a realizar esa búsqueda de ceros utilizando el método de Gauss. Y el orden recomendado será el siguiente. Primero esta celda que viene siendo la celda 4-1, fila 4 columna 1. Entonces primero la celda 4-1, después esta de aquí que es la celda 3-1, fila 3 columna 1, después esta celda de aquí que es 2-1. Luego esta que tenemos por aquí sería la celda 4-2. Luego esta que tenemos por aquí es la celda 3-2. Y por último esta celda que es la que tiene dirección 4-3, fila 4 columna 3. Allí están entonces las seis celdas donde tenemos que conseguir ceros, las que están por debajo de la diagonal principal. Iniciamos entonces con la búsqueda del cero que está en la celda 4-1. Y allí se recomienda utilizar los renglones o filas número 4 y número 1. Es decir, estos dos, lo que quiere decir que debemos ingeniarnos una operación entre estos dos elementos. Allí tenemos número 1 en cada una de esas celdas. Por lo tanto basta con hacer la resta de ellas y ya obtenemos el cero. Entonces vamos a escribir por aquí la operación que se va a realizar entre esas dos filas o renglones. Entonces simplemente restamos la fila 1 menos la fila 4. Esta operación se suele escribir a este lado, pero aquí por razones de espacio la escribo mejor al lado derecho. Entonces tenemos 1 menos 1 nos da cero. Entonces aquí escribimos el cero. Por acá tenemos menos 1 menos 1 eso daría menos 2. Por acá tenemos menos 1 a lo que se le resta otra vez menos 1 y eso nos da cero. Por acá tenemos a menos 1 eso nos da la expresión a menos 1 y por acá tenemos b menos menos 8 que se convierte en la expresión b más 8. Bien ya hemos conseguido el cero que va en la celda 4-1. Pasamos ahora a buscar el cero que corresponde a la celda 3-1. Entonces se recomienda trabajar con estas dos filas o renglones. La fila 3 con la fila 1. Nuevamente podemos hacer una resta entre esas dos filas porque tenemos uno aquí y uno por acá. Entonces la fila destino será esta, la fila 3 y vamos a realizar la operación fila 1 menos fila 3. Entonces veamos 1 menos 1 nos da cero. Aquí escribimos cero. Menos 1 menos menos 1 eso nos da también cero. Seguimos con menos 1 menos 1 que nos da menos 2. Y por acá tenemos a menos menos 1 que se convierte en la expresión a más 1. Y por acá tenemos b menos 12 que se deja así expresado como b menos 12. Como vemos ya se consiguió el cero en la celda 3-1. Pasamos ahora a buscar el cero que corresponde a la celda 2-1. Entonces hacemos una operación entre esas dos filas. Fila 2 con fila 1. Nuevamente podemos hacer la resta. Entonces esta es la fila destino y escribimos la operación fila 1 menos fila 2. 1 menos 1 nos da cero. Menos 1 menos 1 nos da menos 2. Menos 1 menos 1 da también menos 2. Entonces queda aquí expresado a menos 1 y b menos cero nos da como resultado b. Y aquí conseguimos el cero que corresponde a la celda 2-1. Pasamos ahora a buscar el cero en la celda 4-2. Fila 4 columna 2. O sea el que tenemos aquí. Tenemos una operación entre las filas 4 y 2. O sea pensando en estos dos elementos. Como son iguales bastaría con hacer la resta de ellos. Entonces fila destino la fila 4 y vamos a restar la fila 2 menos la fila 4. Menos 2 menos menos 2 nos da cero. Por acá tenemos menos 2 menos cero nos daría menos 2. Por acá tenemos a menos 1 menos a menos 1. Y aquí están restando dos expresiones exactamente iguales. Por lo tanto eso nos da cero. Y acá tenemos b menos b más 8. Vamos a realizar esa resta por aquí. B menos b más 8. Eso es igual a b menos b menos 8. Recordemos que aquí el menos rompe el paréntesis y cambia los signos de estas dos cantidades. B se nos elimina con menos b y nos queda menos 8. Entonces esta resta da como resultado aquí igual a menos 8. Bien así conseguimos el cero que corresponde a la celda 4-2. Pasamos ahora a la celda 3-2 que es esta y allí ya tenemos el cero. Entonces pasaríamos a la celda 4-3 que es esta. Trabajamos con las filas 4 y 3. O sea que nos concentramos en estos dos elementos. Nuevamente por ser iguales entonces basta con restarlos. La fila destino será la fila 4 y la operación será fila 3 menos fila 4. Veamos. Aquí a menos 2 menos menos 2 eso nos da cero. Aquí a más 1 menos cero nos da a más 1. Y b menos 12 menos menos 8 eso se convierte en b menos 12 más 8. O sea b menos 4. De esta manera tenemos ya el cero en la celda 4-3. Y hemos conseguido los ceros que buscábamos por debajo de la diagonal principal. Esto es lo que se conoce como el método de Gauss. Y lo que se busca es convertir esta matriz en una matriz triangular superior. O sea que tenga ceros por debajo de la diagonal principal. Con esto que hemos conseguido vamos a responder a las tres preguntas iniciales. Veamos la primera. Debemos averiguar para qué condiciones el sistema tiene solución única. Entonces esto va a ocurrir cuando esta celda a más 1 sea diferente de cero. Sin importar que valor tenga esta de acá. O sea que de una vez podemos decir que b puede tomar cualquier valor real. Que pertenece al conjunto de los reales. Entonces para que haya solución única esta es la condición más importante. Que esta celda no valga cero. Y de aquí obtenemos que a tiene que ser diferente de menos 1. Entonces la respuesta a la primera pregunta es que a tiene que ser diferente de menos 1 y b puede tomar cualquier valor del conjunto de los números reales. La segunda pregunta nos dice que en qué circunstancias el sistema tiene infinitas soluciones. Pues bien eso sucede cuando estas dos celdas valen cero al mismo tiempo. O sea cuando la última fila está compuesta en su totalidad por ceros. Veamos entonces a más 1 tiene que ser igual a cero y también b menos 4 tiene que ser igual a cero. En cada caso hallamos el valor de la letra. Por aquí a vale menos 1 y por acá b vale 4. Entonces esto constituye la respuesta a la segunda pregunta. Para que el sistema de ecuaciones tenga infinitas soluciones a tiene que valer menos 1 y b tiene que valer 4. Y vamos con la tercera pregunta. Vamos a ver para qué valores de a y b el sistema no tiene solución. Esto sucede cuando esta celda vale cero. Entonces a más 1 es igual a cero y esta celda es diferente de cero. Veamos por qué. Si esta celda vale cero entonces al tener cero en toda esta fila hasta aquí eso implica que las incógnitas se anulan. O sea que este lado de la igualdad vale cero. Y si esto es diferente de cero entonces aquí tendríamos justamente un número que no es cero. Entonces cero igualado con algo que no es cero constituye una contradicción. Por eso en esa situación el sistema no tiene solución. Despejamos de aquí la a nos queda a igual a menos 1 y por acá tenemos que b tiene que ser diferente de 4. Entonces esto constituye la respuesta a la tercera pregunta. Para a igual a menos 1 y b diferente de 4 este sistema de ecuaciones no tiene solución. Bien con esto terminamos este ejercicio.

[{"start": 0.0, "end": 12.6, "text": " Para este sistema de cuatro ecuaciones lineales con cuatro inc\u00f3gnitas, vamos a determinar los valores de las constantes A y B."}, {"start": 12.6, "end": 25.6, "text": " Aqu\u00ed las podemos observar. De tal forma que el sistema tenga soluci\u00f3n \u00fanica, que tenga infinitas soluciones o que no tenga soluci\u00f3n."}, {"start": 25.6, "end": 33.2, "text": " Lo primero que vamos a realizar es la construcci\u00f3n de la matriz aumentada."}, {"start": 33.2, "end": 47.0, "text": " Y ella se conforma con los coeficientes de las inc\u00f3gnitas y tambi\u00e9n con estos elementos que tenemos a la derecha del signo igual en cada ecuaci\u00f3n."}, {"start": 47.0, "end": 60.0, "text": " Vemos que las cuatro ecuaciones se encuentran ordenadas. Primero la inc\u00f3gnita x1, despu\u00e9s x2, luego x3 y por \u00faltimo x4."}, {"start": 60.0, "end": 78.2, "text": " Entonces vamos con los coeficientes de la primera ecuaci\u00f3n. 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Entonces primero la celda 4-1, despu\u00e9s esta de aqu\u00ed que es la celda 3-1, fila 3 columna 1, despu\u00e9s esta celda de aqu\u00ed que es 2-1."}, {"start": 210.2, "end": 226.2, "text": " Luego esta que tenemos por aqu\u00ed ser\u00eda la celda 4-2. Luego esta que tenemos por aqu\u00ed es la celda 3-2."}, {"start": 226.2, "end": 248.2, "text": " Y por \u00faltimo esta celda que es la que tiene direcci\u00f3n 4-3, fila 4 columna 3. All\u00ed est\u00e1n entonces las seis celdas donde tenemos que conseguir ceros, las que est\u00e1n por debajo de la diagonal principal."}, {"start": 248.2, "end": 263.2, "text": " Iniciamos entonces con la b\u00fasqueda del cero que est\u00e1 en la celda 4-1. Y all\u00ed se recomienda utilizar los renglones o filas n\u00famero 4 y n\u00famero 1."}, {"start": 263.2, "end": 283.2, "text": " Es decir, estos dos, lo que quiere decir que debemos ingeniarnos una operaci\u00f3n entre estos dos elementos. All\u00ed tenemos n\u00famero 1 en cada una de esas celdas. Por lo tanto basta con hacer la resta de ellas y ya obtenemos el cero."}, {"start": 283.2, "end": 298.2, "text": " Entonces vamos a escribir por aqu\u00ed la operaci\u00f3n que se va a realizar entre esas dos filas o renglones. Entonces simplemente restamos la fila 1 menos la fila 4."}, {"start": 298.2, "end": 313.2, "text": " Esta operaci\u00f3n se suele escribir a este lado, pero aqu\u00ed por razones de espacio la escribo mejor al lado derecho. Entonces tenemos 1 menos 1 nos da cero."}, {"start": 313.2, "end": 333.2, "text": " Entonces aqu\u00ed escribimos el cero. Por ac\u00e1 tenemos menos 1 menos 1 eso dar\u00eda menos 2. Por ac\u00e1 tenemos menos 1 a lo que se le resta otra vez menos 1 y eso nos da cero."}, {"start": 333.2, "end": 351.2, "text": " Por ac\u00e1 tenemos a menos 1 eso nos da la expresi\u00f3n a menos 1 y por ac\u00e1 tenemos b menos menos 8 que se convierte en la expresi\u00f3n b m\u00e1s 8."}, {"start": 351.2, "end": 364.2, "text": " Bien ya hemos conseguido el cero que va en la celda 4-1. Pasamos ahora a buscar el cero que corresponde a la celda 3-1."}, {"start": 364.2, "end": 380.2, "text": " Entonces se recomienda trabajar con estas dos filas o renglones. La fila 3 con la fila 1. Nuevamente podemos hacer una resta entre esas dos filas porque tenemos uno aqu\u00ed y uno por ac\u00e1."}, {"start": 380.2, "end": 391.2, "text": " Entonces la fila destino ser\u00e1 esta, la fila 3 y vamos a realizar la operaci\u00f3n fila 1 menos fila 3."}, {"start": 391.2, "end": 414.2, "text": " Entonces veamos 1 menos 1 nos da cero. Aqu\u00ed escribimos cero. Menos 1 menos menos 1 eso nos da tambi\u00e9n cero. Seguimos con menos 1 menos 1 que nos da menos 2."}, {"start": 414.2, "end": 435.2, "text": " Y por ac\u00e1 tenemos a menos menos 1 que se convierte en la expresi\u00f3n a m\u00e1s 1. Y por ac\u00e1 tenemos b menos 12 que se deja as\u00ed expresado como b menos 12."}, {"start": 435.2, "end": 446.2, "text": " Como vemos ya se consigui\u00f3 el cero en la celda 3-1. Pasamos ahora a buscar el cero que corresponde a la celda 2-1."}, {"start": 446.2, "end": 465.2, "text": " Entonces hacemos una operaci\u00f3n entre esas dos filas. Fila 2 con fila 1. Nuevamente podemos hacer la resta. Entonces esta es la fila destino y escribimos la operaci\u00f3n fila 1 menos fila 2."}, {"start": 465.2, "end": 483.2, "text": " 1 menos 1 nos da cero. Menos 1 menos 1 nos da menos 2. Menos 1 menos 1 da tambi\u00e9n menos 2."}, {"start": 483.2, "end": 497.2, "text": " Entonces queda aqu\u00ed expresado a menos 1 y b menos cero nos da como resultado b."}, {"start": 497.2, "end": 513.2, "text": " Y aqu\u00ed conseguimos el cero que corresponde a la celda 2-1. Pasamos ahora a buscar el cero en la celda 4-2. Fila 4 columna 2. O sea el que tenemos aqu\u00ed."}, {"start": 513.2, "end": 534.2, "text": " Tenemos una operaci\u00f3n entre las filas 4 y 2. O sea pensando en estos dos elementos. Como son iguales bastar\u00eda con hacer la resta de ellos. Entonces fila destino la fila 4 y vamos a restar la fila 2 menos la fila 4."}, {"start": 534.2, "end": 553.2, "text": " Menos 2 menos menos 2 nos da cero. Por ac\u00e1 tenemos menos 2 menos cero nos dar\u00eda menos 2. Por ac\u00e1 tenemos a menos 1 menos a menos 1."}, {"start": 553.2, "end": 567.2, "text": " Y aqu\u00ed est\u00e1n restando dos expresiones exactamente iguales. Por lo tanto eso nos da cero. Y ac\u00e1 tenemos b menos b m\u00e1s 8. Vamos a realizar esa resta por aqu\u00ed."}, {"start": 567.2, "end": 586.2, "text": " B menos b m\u00e1s 8. Eso es igual a b menos b menos 8. Recordemos que aqu\u00ed el menos rompe el par\u00e9ntesis y cambia los signos de estas dos cantidades. B se nos elimina con menos b y nos queda menos 8."}, {"start": 586.2, "end": 600.2, "text": " Entonces esta resta da como resultado aqu\u00ed igual a menos 8. Bien as\u00ed conseguimos el cero que corresponde a la celda 4-2."}, {"start": 600.2, "end": 620.2, "text": " Pasamos ahora a la celda 3-2 que es esta y all\u00ed ya tenemos el cero. Entonces pasar\u00edamos a la celda 4-3 que es esta. Trabajamos con las filas 4 y 3. O sea que nos concentramos en estos dos elementos."}, {"start": 620.2, "end": 634.2, "text": " Nuevamente por ser iguales entonces basta con restarlos. La fila destino ser\u00e1 la fila 4 y la operaci\u00f3n ser\u00e1 fila 3 menos fila 4. Veamos."}, {"start": 634.2, "end": 655.2, "text": " Aqu\u00ed a menos 2 menos menos 2 eso nos da cero. Aqu\u00ed a m\u00e1s 1 menos cero nos da a m\u00e1s 1. Y b menos 12 menos menos 8 eso se convierte en b menos 12 m\u00e1s 8."}, {"start": 655.2, "end": 674.2, "text": " O sea b menos 4. De esta manera tenemos ya el cero en la celda 4-3. Y hemos conseguido los ceros que busc\u00e1bamos por debajo de la diagonal principal."}, {"start": 674.2, "end": 692.2, "text": " Esto es lo que se conoce como el m\u00e9todo de Gauss. Y lo que se busca es convertir esta matriz en una matriz triangular superior. O sea que tenga ceros por debajo de la diagonal principal."}, {"start": 692.2, "end": 711.2, "text": " Con esto que hemos conseguido vamos a responder a las tres preguntas iniciales. Veamos la primera. Debemos averiguar para qu\u00e9 condiciones el sistema tiene soluci\u00f3n \u00fanica."}, {"start": 711.2, "end": 736.2, "text": " Entonces esto va a ocurrir cuando esta celda a m\u00e1s 1 sea diferente de cero. Sin importar que valor tenga esta de ac\u00e1. O sea que de una vez podemos decir que b puede tomar cualquier valor real."}, {"start": 736.2, "end": 748.2, "text": " Que pertenece al conjunto de los reales. Entonces para que haya soluci\u00f3n \u00fanica esta es la condici\u00f3n m\u00e1s importante. Que esta celda no valga cero."}, {"start": 748.2, "end": 770.2, "text": " Y de aqu\u00ed obtenemos que a tiene que ser diferente de menos 1. Entonces la respuesta a la primera pregunta es que a tiene que ser diferente de menos 1 y b puede tomar cualquier valor del conjunto de los n\u00fameros reales."}, {"start": 770.2, "end": 787.2, "text": " La segunda pregunta nos dice que en qu\u00e9 circunstancias el sistema tiene infinitas soluciones."}, {"start": 787.2, "end": 801.2, "text": " Pues bien eso sucede cuando estas dos celdas valen cero al mismo tiempo. O sea cuando la \u00faltima fila est\u00e1 compuesta en su totalidad por ceros."}, {"start": 801.2, "end": 822.2, "text": " Veamos entonces a m\u00e1s 1 tiene que ser igual a cero y tambi\u00e9n b menos 4 tiene que ser igual a cero. En cada caso hallamos el valor de la letra. Por aqu\u00ed a vale menos 1 y por ac\u00e1 b vale 4."}, {"start": 822.2, "end": 841.2, "text": " Entonces esto constituye la respuesta a la segunda pregunta. Para que el sistema de ecuaciones tenga infinitas soluciones a tiene que valer menos 1 y b tiene que valer 4."}, {"start": 841.2, "end": 857.2, "text": " Y vamos con la tercera pregunta. Vamos a ver para qu\u00e9 valores de a y b el sistema no tiene soluci\u00f3n."}, {"start": 857.2, "end": 873.2, "text": " Esto sucede cuando esta celda vale cero. Entonces a m\u00e1s 1 es igual a cero y esta celda es diferente de cero. Veamos por qu\u00e9."}, {"start": 873.2, "end": 887.2, "text": " Si esta celda vale cero entonces al tener cero en toda esta fila hasta aqu\u00ed eso implica que las inc\u00f3gnitas se anulan. O sea que este lado de la igualdad vale cero."}, {"start": 887.2, "end": 904.2, "text": " Y si esto es diferente de cero entonces aqu\u00ed tendr\u00edamos justamente un n\u00famero que no es cero. Entonces cero igualado con algo que no es cero constituye una contradicci\u00f3n. Por eso en esa situaci\u00f3n el sistema no tiene soluci\u00f3n."}, {"start": 904.2, "end": 923.2, "text": " Despejamos de aqu\u00ed la a nos queda a igual a menos 1 y por ac\u00e1 tenemos que b tiene que ser diferente de 4. Entonces esto constituye la respuesta a la tercera pregunta."}, {"start": 923.2, "end": 937.2, "text": " Para a igual a menos 1 y b diferente de 4 este sistema de ecuaciones no tiene soluci\u00f3n. Bien con esto terminamos este ejercicio."}]

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ECUACIONES LOGARÍTMICAS - Ejercicio 9

#julioprofe explica cómo resolver una ecuación que contiene logaritmos. Tema: #EcuacionesLogarítmicas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwGy9_WwQrZrw9iTXiKDua5T REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver esta ecuación que como vemos contiene logaritmos. El objetivo será encontrar el valor de la variable X que hace verdadera esa igualdad. Comenzamos por pasar este logaritmo al lado izquierdo. Vamos a dejar todos los logaritmos que tenemos en esta expresión a un lado de la igualdad. Tenemos logaritmo base 3 de 2X menos 1 menos logaritmo base 3 de 5X más 2 y esta expresión que está positiva llega negativa al lado izquierdo. Entonces menos logaritmo en base 3 de X menos 2 y todo esto igual a menos 2. Dejamos este número en el lado derecho. Enseguida vamos a agrupar estos dos logaritmos que están con signo negativo. Esto se hace de la siguiente manera. Después del signo menos abrimos un corchete y dentro de él nos queda logaritmo en base 3 de 5X más 2 más, nos cambia este signo logaritmo en base 3 de X menos 2, cerramos el corchete y todo esto queda igual a 2. Enseguida vamos a utilizar aquí en esta suma de logaritmos la siguiente propiedad. Si tenemos logaritmo en base A de un producto M por N, entonces esto es igual a logaritmo en base A de M más logaritmo en base A de N. En otras palabras, el logaritmo de un producto se convierte en la suma de los logaritmos de estas dos cantidades. Entonces esa situación la tenemos aquí. Tenemos la suma de logaritmos, entonces la vamos a transformar en el logaritmo de la multiplicación de estas dos expresiones. Entonces, logaritmo en base 3 de 2X menos 1 menos logaritmo en base 3 de 5X más 2 por X menos 2. Cerramos el corchete, entonces hemos aplicado esta propiedad y todo esto igual a menos 2. Siguiente paso, vamos a resolver esta multiplicación de binomios. Entonces esto nos queda logaritmo en base 3 de 2X menos 1 menos logaritmo en base 3 de lo siguiente. Veamos, hacemos la propiedad distributiva 5X por X, eso nos da 5X al cuadrado, después hacemos 5X por menos 2, eso nos da menos 10X. Luego multiplicamos 2 por X, eso nos da más 2X y finalmente 2 por menos 2, que nos da menos 4. Cerramos el corchete y hacemos eso igual a menos 2. Como paso siguiente, vamos a reducir términos semejantes en esta expresión. Entonces tenemos logaritmo en base 3 de 2X menos 1 menos logaritmo en base 3 de 5X al cuadrado, que no tiene términos semejantes. Estos dos si son términos semejantes, la operación entre ellos nos da menos 8X, escribimos menos 4, cerramos el paréntesis y todo eso lo igualamos a menos 2. Hemos llegado a una resta de logaritmos, entonces vamos a utilizar la siguiente propiedad, si tenemos logaritmo en base A de un cociente P sobre Q, entonces esto es igual a logaritmo en base A de P menos logaritmo en base A de Q. Entonces el logaritmo de un cociente se convierte en una resta de logaritmos. Aquí tenemos la resta de logaritmos, entonces vamos a transformarla en el logaritmo de un cociente. Tendremos logaritmo en base 3 de 2X menos 1 y todo esto sobre esta expresión. 5X al cuadrado menos 8X menos 4, cerramos el paréntesis e igualamos a menos 2, entonces hemos utilizado esta propiedad. Ahora vamos a pasar de la forma logaritmica a la forma exponencial, veamos como se hace. Si tenemos que logaritmo en base A de una cantidad B es igual a C, entonces esto quiere decir que A elevada al exponente C tiene que ser igual a B, forma logaritmica forma exponencial, esto es de doble vía, podemos pasar de una forma a la otra o regresar. Entonces en este caso tenemos que 3 elevado al exponente menos 2 tiene que ser igual a esta expresión. Entonces la vamos a escribir 2X menos 1 sobre 5X al cuadrado menos 8X menos 4. Ahora vamos a transformar 3 a la menos 2, allí utilizamos esta propiedad de la potenciación. Si tenemos X a la menos N eso es igual a 1 sobre X a la N, propiedad del exponente negativo. Entonces 3 a la menos 2 será igual a 1 sobre 3 a la 2, es decir 1 sobre 9 desarrollando 3 al cuadrado. Entonces sustituimos 3 a la menos 2 por un noveno y todo esto nos queda igual a esa expresión. Para esta situación aplicamos lo siguiente, si tenemos la igualdad de dos fracciones entonces se cumple que el producto A por D es igual al producto B por C. Esto es lo que se conoce en matemáticas como una proporción, la igualdad de dos razones. Estos dos elementos se llaman extremos y estos dos se llaman medios. Entonces dice la propiedad fundamental de las proporciones que el producto de los extremos, o sea A por D, es igual al producto de los medios, o sea B por C. Vamos a utilizar esta propiedad para esta situación, producto de extremos 1 por todo esto, menos 8X menos 4 es igual al producto de los medios 9 por 2X menos 1. Resolvemos en cada lado, aquí tenemos la misma expresión, 5X al cuadrado menos 8X menos 4 y aquí aplicamos la propiedad distributiva, 9 por 2X nos da 18X, 9 por menos 1 nos da menos 9. Y esto toma la forma de una ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado. Vamos a pasar estos términos para el lado izquierdo de modo que la ecuación nos quede igualada a 0. Entonces tenemos 5X al cuadrado menos 8X menos 4 pasa a este término negativo, menos 18X y este pasa positivo y todo esto queda igual a 0. Reducimos términos semejantes, 5X al cuadrado es término único, no tiene semejante. Entonces tenemos estos dos términos que se pueden operar entre sí, nos da menos 26X y tenemos los números que están libres, o sea los términos independientes cuya operación nos da más 5 y esto es igual a 0. Como decíamos hace un momento, esto es una ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado. Esa forma, aX al cuadrado más bX más c igual a 0. Y tenemos la opción de resolverla por factorización o también por la fórmula cuadrática o fórmula general. Vamos a resolverla en esta ocasión utilizando la fórmula cuadrática o general. Recordemos que ella nos dice que X es igual a menos b más o menos la raíz cuadrada de b al cuadrado menos 4ac, todo esto sobre 2a. Identificamos los valores de a, b y c. Tenemos que a es igual a 5, el coeficiente de X al cuadrado, b es igual a menos 26, o sea el coeficiente de X y c vale 5, o sea el término independiente. Vamos a reemplazar cada uno de esos valores en la fórmula cuadrática o fórmula general. Comenzamos con b que vale menos 26, se recomienda usar paréntesis para reemplazar cada número, más o menos la raíz cuadrada de b al cuadrado, entonces menos 26 al cuadrado menos 4 por a que vale 5, por c que vale también 5. Cerramos la raíz cuadrada, extendemos esta línea y aquí en el denominador tenemos 2 por a y tenemos que a vale 5. Resolvemos cada una de esas operaciones, entonces tenemos 26 positivo, más o menos la raíz cuadrada de menos 26 al cuadrado que nos da 676, menos 4 por 5 por 5, eso nos da 100. Cerramos la raíz cuadrada y todo esto nos queda sobre 2 por 5 que es 10. Resolvemos ahora lo que tenemos dentro de la raíz, entonces X es igual a 26, más o menos la raíz cuadrada de 576 y todo esto sobre 10. Ahora resolvemos la raíz cuadrada de 576 que es 24, entonces tendremos 26, más o menos 24 y todo esto sobre 10. Y allí tenemos dos posibilidades para encontrar X, la primera será 26 menos 24, todo esto sobre 10 y la segunda será X igual a 26 más 24, todo esto sobre 10. Vamos a resolver cada una, por acá tenemos que X es igual a 2 sobre 10, dos décimos que nos da como resultado la fracción un quinto, sacando mitad al numerador y al denominador. Entonces tenemos una solución para la ecuación cuadrática, por acá resolvemos X es igual a 26 más 24 que nos da 50 y nos queda 50 sobre 10 que es X igual a 5. Entonces estas dos son las soluciones de la ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado. Pero aquí no termina todo, debemos tener presente que el ejercicio original es una ecuación con logaritmos, entonces debemos asegurarnos que estos valores satisfagan la ecuación original. Principalmente debemos garantizar que estas expresiones que tenemos en cada uno de los logaritmos no vayan a ser negativas ni cero. Recordemos que los logaritmos únicamente existen para cantidades positivas. Entonces vamos a realizar la prueba con un quinto, un quinto en número decimal equivale a 0.2, entonces veamos aquí, si traemos ese resultado para X tenemos 2 por 0.2 que es 0.4 y 0.4 menos 1 allí nos da menos 0.6. Entonces ya en el primer logaritmo tenemos una cantidad aquí negativa por lo tanto este resultado no podemos aceptarlo porque entorpece este logaritmo y con seguridad tendrá problemas en alguno de los demás como por ejemplo aquí. Aquí 0.2 menos 2 también tiene problemas porque da un resultado negativo. Verificamos entonces con 5, veamos 2 por 5 es 10, 10 menos 1 es 9 da positivo, 5 por 5 es 25, 25 más 2 da 27 da positivo y aquí 5 menos 2 nos da 3 positivo. Entonces este valor si cumple en la ecuación original. Luego la respuesta a todo este ejercicio es X igual a 5, es el valor de la variable X que hace verdadera toda esa igualdad.

[{"start": 0.0, "end": 7.0, "text": " Vamos a resolver esta ecuaci\u00f3n que como vemos contiene logaritmos."}, {"start": 7.0, "end": 15.0, "text": " El objetivo ser\u00e1 encontrar el valor de la variable X que hace verdadera esa igualdad."}, {"start": 15.0, "end": 19.0, "text": " Comenzamos por pasar este logaritmo al lado izquierdo."}, {"start": 19.0, "end": 26.0, "text": " Vamos a dejar todos los logaritmos que tenemos en esta expresi\u00f3n a un lado de la igualdad."}, {"start": 26.0, "end": 39.0, "text": " Tenemos logaritmo base 3 de 2X menos 1 menos logaritmo base 3 de 5X m\u00e1s 2"}, {"start": 39.0, "end": 45.0, "text": " y esta expresi\u00f3n que est\u00e1 positiva llega negativa al lado izquierdo."}, {"start": 45.0, "end": 53.0, "text": " Entonces menos logaritmo en base 3 de X menos 2 y todo esto igual a menos 2."}, {"start": 53.0, "end": 57.0, "text": " Dejamos este n\u00famero en el lado derecho."}, {"start": 57.0, "end": 63.0, "text": " Enseguida vamos a agrupar estos dos logaritmos que est\u00e1n con signo negativo."}, {"start": 63.0, "end": 69.0, "text": " Esto se hace de la siguiente manera."}, {"start": 69.0, "end": 79.0, "text": " Despu\u00e9s del signo menos abrimos un corchete y dentro de \u00e9l nos queda logaritmo en base 3 de 5X m\u00e1s 2"}, {"start": 79.0, "end": 94.0, "text": " m\u00e1s, nos cambia este signo logaritmo en base 3 de X menos 2, cerramos el corchete y todo esto queda igual a 2."}, {"start": 94.0, "end": 101.0, "text": " Enseguida vamos a utilizar aqu\u00ed en esta suma de logaritmos la siguiente propiedad."}, {"start": 101.0, "end": 119.0, "text": " Si tenemos logaritmo en base A de un producto M por N, entonces esto es igual a logaritmo en base A de M m\u00e1s logaritmo en base A de N."}, {"start": 119.0, "end": 129.0, "text": " En otras palabras, el logaritmo de un producto se convierte en la suma de los logaritmos de estas dos cantidades."}, {"start": 129.0, "end": 141.0, "text": " Entonces esa situaci\u00f3n la tenemos aqu\u00ed. Tenemos la suma de logaritmos, entonces la vamos a transformar en el logaritmo de la multiplicaci\u00f3n de estas dos expresiones."}, {"start": 141.0, "end": 161.0, "text": " Entonces, logaritmo en base 3 de 2X menos 1 menos logaritmo en base 3 de 5X m\u00e1s 2 por X menos 2."}, {"start": 161.0, "end": 170.0, "text": " Cerramos el corchete, entonces hemos aplicado esta propiedad y todo esto igual a menos 2."}, {"start": 170.0, "end": 175.0, "text": " Siguiente paso, vamos a resolver esta multiplicaci\u00f3n de binomios."}, {"start": 175.0, "end": 187.0, "text": " Entonces esto nos queda logaritmo en base 3 de 2X menos 1 menos logaritmo en base 3 de lo siguiente."}, {"start": 187.0, "end": 204.0, "text": " Veamos, hacemos la propiedad distributiva 5X por X, eso nos da 5X al cuadrado, despu\u00e9s hacemos 5X por menos 2, eso nos da menos 10X."}, {"start": 204.0, "end": 220.0, "text": " Luego multiplicamos 2 por X, eso nos da m\u00e1s 2X y finalmente 2 por menos 2, que nos da menos 4."}, {"start": 220.0, "end": 227.0, "text": " Cerramos el corchete y hacemos eso igual a menos 2."}, {"start": 227.0, "end": 234.0, "text": " Como paso siguiente, vamos a reducir t\u00e9rminos semejantes en esta expresi\u00f3n."}, {"start": 234.0, "end": 251.0, "text": " Entonces tenemos logaritmo en base 3 de 2X menos 1 menos logaritmo en base 3 de 5X al cuadrado, que no tiene t\u00e9rminos semejantes."}, {"start": 251.0, "end": 269.0, "text": " Estos dos si son t\u00e9rminos semejantes, la operaci\u00f3n entre ellos nos da menos 8X, escribimos menos 4, cerramos el par\u00e9ntesis y todo eso lo igualamos a menos 2."}, {"start": 269.0, "end": 282.0, "text": " Hemos llegado a una resta de logaritmos, entonces vamos a utilizar la siguiente propiedad, si tenemos logaritmo en base A de un cociente P sobre Q,"}, {"start": 282.0, "end": 299.0, "text": " entonces esto es igual a logaritmo en base A de P menos logaritmo en base A de Q. Entonces el logaritmo de un cociente se convierte en una resta de logaritmos."}, {"start": 299.0, "end": 318.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos la resta de logaritmos, entonces vamos a transformarla en el logaritmo de un cociente. Tendremos logaritmo en base 3 de 2X menos 1 y todo esto sobre esta expresi\u00f3n."}, {"start": 318.0, "end": 330.0, "text": " 5X al cuadrado menos 8X menos 4, cerramos el par\u00e9ntesis e igualamos a menos 2, entonces hemos utilizado esta propiedad."}, {"start": 330.0, "end": 339.0, "text": " Ahora vamos a pasar de la forma logaritmica a la forma exponencial, veamos como se hace."}, {"start": 339.0, "end": 354.0, "text": " Si tenemos que logaritmo en base A de una cantidad B es igual a C, entonces esto quiere decir que A elevada al exponente C tiene que ser igual a B,"}, {"start": 354.0, "end": 364.0, "text": " forma logaritmica forma exponencial, esto es de doble v\u00eda, podemos pasar de una forma a la otra o regresar."}, {"start": 364.0, "end": 376.0, "text": " Entonces en este caso tenemos que 3 elevado al exponente menos 2 tiene que ser igual a esta expresi\u00f3n."}, {"start": 376.0, "end": 387.0, "text": " Entonces la vamos a escribir 2X menos 1 sobre 5X al cuadrado menos 8X menos 4."}, {"start": 387.0, "end": 395.0, "text": " Ahora vamos a transformar 3 a la menos 2, all\u00ed utilizamos esta propiedad de la potenciaci\u00f3n."}, {"start": 395.0, "end": 404.0, "text": " Si tenemos X a la menos N eso es igual a 1 sobre X a la N, propiedad del exponente negativo."}, {"start": 404.0, "end": 416.0, "text": " Entonces 3 a la menos 2 ser\u00e1 igual a 1 sobre 3 a la 2, es decir 1 sobre 9 desarrollando 3 al cuadrado."}, {"start": 416.0, "end": 434.0, "text": " Entonces sustituimos 3 a la menos 2 por un noveno y todo esto nos queda igual a esa expresi\u00f3n."}, {"start": 434.0, "end": 451.0, "text": " Para esta situaci\u00f3n aplicamos lo siguiente, si tenemos la igualdad de dos fracciones entonces se cumple que el producto A por D es igual al producto B por C."}, {"start": 451.0, "end": 459.0, "text": " Esto es lo que se conoce en matem\u00e1ticas como una proporci\u00f3n, la igualdad de dos razones."}, {"start": 459.0, "end": 464.0, "text": " Estos dos elementos se llaman extremos y estos dos se llaman medios."}, {"start": 464.0, "end": 476.0, "text": " Entonces dice la propiedad fundamental de las proporciones que el producto de los extremos, o sea A por D, es igual al producto de los medios, o sea B por C."}, {"start": 476.0, "end": 499.0, "text": " Vamos a utilizar esta propiedad para esta situaci\u00f3n, producto de extremos 1 por todo esto, menos 8X menos 4 es igual al producto de los medios 9 por 2X menos 1."}, {"start": 499.0, "end": 518.0, "text": " Resolvemos en cada lado, aqu\u00ed tenemos la misma expresi\u00f3n, 5X al cuadrado menos 8X menos 4 y aqu\u00ed aplicamos la propiedad distributiva, 9 por 2X nos da 18X, 9 por menos 1 nos da menos 9."}, {"start": 518.0, "end": 525.0, "text": " Y esto toma la forma de una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica o ecuaci\u00f3n de segundo grado."}, {"start": 525.0, "end": 532.0, "text": " Vamos a pasar estos t\u00e9rminos para el lado izquierdo de modo que la ecuaci\u00f3n nos quede igualada a 0."}, {"start": 532.0, "end": 545.0, "text": " Entonces tenemos 5X al cuadrado menos 8X menos 4 pasa a este t\u00e9rmino negativo, menos 18X y este pasa positivo y todo esto queda igual a 0."}, {"start": 545.0, "end": 553.0, "text": " Reducimos t\u00e9rminos semejantes, 5X al cuadrado es t\u00e9rmino \u00fanico, no tiene semejante."}, {"start": 553.0, "end": 565.0, "text": " Entonces tenemos estos dos t\u00e9rminos que se pueden operar entre s\u00ed, nos da menos 26X y tenemos los n\u00fameros que est\u00e1n libres,"}, {"start": 565.0, "end": 573.0, "text": " o sea los t\u00e9rminos independientes cuya operaci\u00f3n nos da m\u00e1s 5 y esto es igual a 0."}, {"start": 573.0, "end": 581.0, "text": " Como dec\u00edamos hace un momento, esto es una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica o ecuaci\u00f3n de segundo grado."}, {"start": 581.0, "end": 588.0, "text": " Esa forma, aX al cuadrado m\u00e1s bX m\u00e1s c igual a 0."}, {"start": 588.0, "end": 598.0, "text": " Y tenemos la opci\u00f3n de resolverla por factorizaci\u00f3n o tambi\u00e9n por la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica o f\u00f3rmula general."}, {"start": 598.0, "end": 605.0, "text": " Vamos a resolverla en esta ocasi\u00f3n utilizando la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica o general."}, {"start": 605.0, "end": 627.0, "text": " Recordemos que ella nos dice que X es igual a menos b m\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada de b al cuadrado menos 4ac, todo esto sobre 2a."}, {"start": 627.0, "end": 641.0, "text": " Identificamos los valores de a, b y c. Tenemos que a es igual a 5, el coeficiente de X al cuadrado, b es igual a menos 26,"}, {"start": 641.0, "end": 649.0, "text": " o sea el coeficiente de X y c vale 5, o sea el t\u00e9rmino independiente."}, {"start": 649.0, "end": 657.0, "text": " Vamos a reemplazar cada uno de esos valores en la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica o f\u00f3rmula general."}, {"start": 657.0, "end": 682.0, "text": " Comenzamos con b que vale menos 26, se recomienda usar par\u00e9ntesis para reemplazar cada n\u00famero, m\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada de b al cuadrado, entonces menos 26 al cuadrado menos 4 por a que vale 5, por c que vale tambi\u00e9n 5."}, {"start": 682.0, "end": 696.0, "text": " Cerramos la ra\u00edz cuadrada, extendemos esta l\u00ednea y aqu\u00ed en el denominador tenemos 2 por a y tenemos que a vale 5."}, {"start": 696.0, "end": 717.0, "text": " Resolvemos cada una de esas operaciones, entonces tenemos 26 positivo, m\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada de menos 26 al cuadrado que nos da 676, menos 4 por 5 por 5, eso nos da 100."}, {"start": 717.0, "end": 728.0, "text": " Cerramos la ra\u00edz cuadrada y todo esto nos queda sobre 2 por 5 que es 10."}, {"start": 728.0, "end": 749.0, "text": " Resolvemos ahora lo que tenemos dentro de la ra\u00edz, entonces X es igual a 26, m\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada de 576 y todo esto sobre 10."}, {"start": 749.0, "end": 767.0, "text": " Ahora resolvemos la ra\u00edz cuadrada de 576 que es 24, entonces tendremos 26, m\u00e1s o menos 24 y todo esto sobre 10."}, {"start": 767.0, "end": 789.0, "text": " Y all\u00ed tenemos dos posibilidades para encontrar X, la primera ser\u00e1 26 menos 24, todo esto sobre 10 y la segunda ser\u00e1 X igual a 26 m\u00e1s 24, todo esto sobre 10."}, {"start": 789.0, "end": 805.0, "text": " Vamos a resolver cada una, por ac\u00e1 tenemos que X es igual a 2 sobre 10, dos d\u00e9cimos que nos da como resultado la fracci\u00f3n un quinto, sacando mitad al numerador y al denominador."}, {"start": 805.0, "end": 826.0, "text": " Entonces tenemos una soluci\u00f3n para la ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica, por ac\u00e1 resolvemos X es igual a 26 m\u00e1s 24 que nos da 50 y nos queda 50 sobre 10 que es X igual a 5."}, {"start": 826.0, "end": 835.0, "text": " Entonces estas dos son las soluciones de la ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica o ecuaci\u00f3n de segundo grado."}, {"start": 835.0, "end": 852.0, "text": " Pero aqu\u00ed no termina todo, debemos tener presente que el ejercicio original es una ecuaci\u00f3n con logaritmos, entonces debemos asegurarnos que estos valores satisfagan la ecuaci\u00f3n original."}, {"start": 852.0, "end": 864.0, "text": " Principalmente debemos garantizar que estas expresiones que tenemos en cada uno de los logaritmos no vayan a ser negativas ni cero."}, {"start": 864.0, "end": 870.0, "text": " Recordemos que los logaritmos \u00fanicamente existen para cantidades positivas."}, {"start": 870.0, "end": 890.0, "text": " Entonces vamos a realizar la prueba con un quinto, un quinto en n\u00famero decimal equivale a 0.2, entonces veamos aqu\u00ed, si traemos ese resultado para X tenemos 2 por 0.2 que es 0.4 y 0.4 menos 1 all\u00ed nos da menos 0.6."}, {"start": 890.0, "end": 908.0, "text": " Entonces ya en el primer logaritmo tenemos una cantidad aqu\u00ed negativa por lo tanto este resultado no podemos aceptarlo porque entorpece este logaritmo y con seguridad tendr\u00e1 problemas en alguno de los dem\u00e1s como por ejemplo aqu\u00ed."}, {"start": 908.0, "end": 915.0, "text": " Aqu\u00ed 0.2 menos 2 tambi\u00e9n tiene problemas porque da un resultado negativo."}, {"start": 915.0, "end": 931.0, "text": " Verificamos entonces con 5, veamos 2 por 5 es 10, 10 menos 1 es 9 da positivo, 5 por 5 es 25, 25 m\u00e1s 2 da 27 da positivo y aqu\u00ed 5 menos 2 nos da 3 positivo."}, {"start": 931.0, "end": 937.0, "text": " Entonces este valor si cumple en la ecuaci\u00f3n original."}, {"start": 937.0, "end": 953.0, "text": " Luego la respuesta a todo este ejercicio es X igual a 5, es el valor de la variable X que hace verdadera toda esa igualdad."}]

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VALOR EXACTO DE Cos[arcSen(8/17)-arcCos(12/13)]

#julioprofe explica cómo determinar el valor exacto de la expresión trigonométrica Cos[arcSen(8/17)-arcCos(12/13)] sin usar calculadora. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a determinar el valor exacto de esta expresión sin utilizar la calculadora. Para comenzar, vamos a recordar que arco seno de una cantidad k, o sea, de un número real k, es lo mismo que tener seno a la menos 1 de dicha cantidad k. Se puede escribir de cualquiera de las dos formas lo que es la función inversa del seno. Y si esto equivale, por ejemplo, a w, quiere decir que seno de w es igual a k. Tenemos entonces que w es el ángulo, aquí lo podemos observar, y k es el número real que se obtiene al determinarle el seno de ese ángulo. Seno de w es igual a k. Entonces, esta expresión que tenemos aquí, arco seno, de un número real que es 817 aos, va a representar un ángulo. Lo vamos a llamar alfa. Y de manera similar sucede con arco coseno, por ejemplo, de una cantidad t, que sería también coseno a la menos 1 de t. Y supongamos que esto nos da z, entonces quiere decir que el coseno de z es igual a t. Entonces z es el ángulo y t es el número real que se obtiene cuando encontramos el coseno de dicho ángulo. Entonces, esto que tenemos aquí, arco coseno de 1213 aos, representa otro ángulo que lo vamos a llamar beta. Entonces, esta expresión nos va a quedar como coseno de alfa menos beta. Y esto es igual a coseno de alfa por coseno de beta, más seno de alfa por seno de beta. Esta es una identidad trigonométrica que se aplica para el coseno de la resta de dos ángulos. Nuestro problema es encontrar el valor de cada una de estas cuatro expresiones a partir de esta información que conocemos. Entonces, si sabemos que arco seno de 817 aos es alfa, o sea el ángulo alfa, esto quiere decir que el seno de alfa es igual a 817 aos. Y con esta información vamos a construir un triángulo rectángulo de modo que podamos localizar esta información en esa figura. Aquí observamos el triángulo rectángulo y vamos a llamar este ángulo agudo alfa. Y vamos a utilizar la definición de lo que es el seno. Seno de un ángulo es la relación que hay entre el cateto opuesto y la hipotenusa. Entonces, 8 es el cateto opuesto al ángulo alfa, o sea, este que tenemos aquí. Escribimos el 8 y la hipotenusa del triángulo mide 17 unidades. Vamos a encontrar el cateto que nos hace falta. Vamos a llamarlo X y para eso vamos a utilizar el teorema de Pitágoras. Recordemos que X al cuadrado más 8 al cuadrado es igual a 17 al cuadrado, lo que nos dice el teorema de Pitágoras. La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Entonces, vemos X al cuadrado más 64 es igual a 17 al cuadrado que es 289. Despejamos X al cuadrado, nos queda 289 menos 64. X al cuadrado es igual a 225, efectuando esa resta. Aquí extraemos raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad para encontrar X. La raíz cuadrada de 225 es 15. Entonces, ya conocemos el valor de este cateto que sería 15. Entonces, ya conocemos el valor de seno de alfa. Aquí lo tenemos, 8 17 aos. Vamos a escribirlo por aquí, 8 17 aos. Y de este triángulo podemos encontrar el valor de coseno de alfa. Entonces, utilizamos la definición del coseno. Coseno de alfa es la relación que hay entre el cateto adyacente y la hipotenusa. Entonces, será 15 17 aos. Lo vamos a escribir por aquí. Ahora, vamos a utilizar esta información. Si tenemos que arco coseno de 12 13 aos es igual a beta, el ángulo beta, entonces tenemos que el coseno de beta es igual a 12 13 aos. Entonces, vamos a dibujar un triángulo rectángulo para localizar esta información. Aquí lo podemos observar. Y vamos a llamar este ángulo agudo con la letra beta, la que tenemos por acá. Vamos entonces a utilizar la definición del coseno. Coseno es cateto adyacente sobre hipotenusa. Entonces, este es el cateto adyacente al ángulo beta que vale 12. Y la hipotenusa del triángulo tiene un valor de 13 unidades. Vamos a encontrar el cateto que nos hace falta. Vamos a llamarlo, por ejemplo, C. Y planteamos nuevamente el teorema de Pitágoras. Decimos C al cuadrado más 12 al cuadrado. O sea, la suma de los cuadrados de los catetos es igual a la hipotenusa al cuadrado. Allí está planteado lo que nos dice el teorema de Pitágoras. Entonces, nos resolvemos C al cuadrado más 12 al cuadrado, que es 144. Es igual a 13 al cuadrado, que es 169. Despejamos C al cuadrado, pasamos este número a restar. Nos queda 169 menos 144. Realizamos esa resta. Eso nos da 25. Ahora extraemos raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad. Y tenemos que C es igual a 5. Entonces, hemos encontrado este cateto que nos faltaba. Su valor es 5. Conocemos entonces el valor de coseno de beta. Aquí lo tenemos. Es 12 treceavos. Y del triángulo que acabamos de resolver, encontramos el valor de seno de beta. Entonces, seno del ángulo beta es la relación que hay entre el cateto opuesto y la hipotenusa. O sea, 5 treceavos. Escribimos entonces aquí ese valor. Lo que hacemos ahora es resolver estas operaciones. Tenemos 15 diecisieteavos que multiplica con 12 treceavos. Y a eso le vamos a sumar 8 diecisieteavos que multiplica con 5 treceavos. Entonces vamos a resolver esas operaciones. En esta multiplicación de fracciones, recordemos que se multiplican numeradores entre sí y denominadores entre sí. Entonces aquí tendremos 15 por 12 que nos da 180. Y en el denominador tenemos 17 por 13 que nos da 221. Más pasamos a esta operación, hacemos exactamente lo mismo, multiplicación de numeradores, 8 por 5, 40. Y multiplicación de denominadores, 17 por 13 que nos da 221. Llegamos a una suma de fracciones homogéneas, fracciones con el mismo denominador. Entonces conservamos el denominador y sumamos los numeradores. 180 más 40 nos da como resultado 220. Y este es el resultado de toda esa expresión. Entonces el valor exacto es 220 sobre 221. El valor exacto, como decíamos, de esa expresión sin utilizar la calculadora.

[{"start": 0.0, "end": 8.6, "text": " Vamos a determinar el valor exacto de esta expresi\u00f3n sin utilizar la calculadora."}, {"start": 8.6, "end": 18.6, "text": " Para comenzar, vamos a recordar que arco seno de una cantidad k, o sea, de un n\u00famero real k,"}, {"start": 18.6, "end": 25.6, "text": " es lo mismo que tener seno a la menos 1 de dicha cantidad k."}, {"start": 25.6, "end": 32.6, "text": " Se puede escribir de cualquiera de las dos formas lo que es la funci\u00f3n inversa del seno."}, {"start": 32.6, "end": 43.6, "text": " Y si esto equivale, por ejemplo, a w, quiere decir que seno de w es igual a k."}, {"start": 43.6, "end": 48.6, "text": " Tenemos entonces que w es el \u00e1ngulo, aqu\u00ed lo podemos observar,"}, {"start": 48.6, "end": 56.6, "text": " y k es el n\u00famero real que se obtiene al determinarle el seno de ese \u00e1ngulo."}, {"start": 56.6, "end": 59.6, "text": " Seno de w es igual a k."}, {"start": 59.6, "end": 70.6, "text": " Entonces, esta expresi\u00f3n que tenemos aqu\u00ed, arco seno, de un n\u00famero real que es 817 aos, va a representar un \u00e1ngulo."}, {"start": 70.6, "end": 83.6, "text": " Lo vamos a llamar alfa. Y de manera similar sucede con arco coseno, por ejemplo, de una cantidad t,"}, {"start": 83.6, "end": 88.6, "text": " que ser\u00eda tambi\u00e9n coseno a la menos 1 de t."}, {"start": 88.6, "end": 98.6, "text": " Y supongamos que esto nos da z, entonces quiere decir que el coseno de z es igual a t."}, {"start": 98.6, "end": 107.6, "text": " Entonces z es el \u00e1ngulo y t es el n\u00famero real que se obtiene cuando encontramos el coseno de dicho \u00e1ngulo."}, {"start": 107.6, "end": 118.6, "text": " Entonces, esto que tenemos aqu\u00ed, arco coseno de 1213 aos, representa otro \u00e1ngulo que lo vamos a llamar beta."}, {"start": 118.6, "end": 134.6, "text": " Entonces, esta expresi\u00f3n nos va a quedar como coseno de alfa menos beta. Y esto es igual a coseno de alfa por coseno de beta,"}, {"start": 134.6, "end": 140.6, "text": " m\u00e1s seno de alfa por seno de beta."}, {"start": 140.6, "end": 147.6, "text": " Esta es una identidad trigonom\u00e9trica que se aplica para el coseno de la resta de dos \u00e1ngulos."}, {"start": 147.6, "end": 158.6, "text": " Nuestro problema es encontrar el valor de cada una de estas cuatro expresiones a partir de esta informaci\u00f3n que conocemos."}, {"start": 158.6, "end": 177.6, "text": " Entonces, si sabemos que arco seno de 817 aos es alfa, o sea el \u00e1ngulo alfa, esto quiere decir que el seno de alfa es igual a 817 aos."}, {"start": 177.6, "end": 189.6, "text": " Y con esta informaci\u00f3n vamos a construir un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo de modo que podamos localizar esta informaci\u00f3n en esa figura."}, {"start": 189.6, "end": 197.6, "text": " Aqu\u00ed observamos el tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo y vamos a llamar este \u00e1ngulo agudo alfa."}, {"start": 197.6, "end": 208.6, "text": " Y vamos a utilizar la definici\u00f3n de lo que es el seno. Seno de un \u00e1ngulo es la relaci\u00f3n que hay entre el cateto opuesto y la hipotenusa."}, {"start": 208.6, "end": 215.6, "text": " Entonces, 8 es el cateto opuesto al \u00e1ngulo alfa, o sea, este que tenemos aqu\u00ed."}, {"start": 215.6, "end": 221.6, "text": " Escribimos el 8 y la hipotenusa del tri\u00e1ngulo mide 17 unidades."}, {"start": 221.6, "end": 230.6, "text": " Vamos a encontrar el cateto que nos hace falta. Vamos a llamarlo X y para eso vamos a utilizar el teorema de Pit\u00e1goras."}, {"start": 230.6, "end": 243.6, "text": " Recordemos que X al cuadrado m\u00e1s 8 al cuadrado es igual a 17 al cuadrado, lo que nos dice el teorema de Pit\u00e1goras."}, {"start": 243.6, "end": 249.6, "text": " La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa."}, {"start": 249.6, "end": 259.6, "text": " Entonces, vemos X al cuadrado m\u00e1s 64 es igual a 17 al cuadrado que es 289."}, {"start": 259.6, "end": 266.6, "text": " Despejamos X al cuadrado, nos queda 289 menos 64."}, {"start": 266.6, "end": 273.6, "text": " X al cuadrado es igual a 225, efectuando esa resta."}, {"start": 273.6, "end": 281.6, "text": " Aqu\u00ed extraemos ra\u00edz cuadrada a ambos lados de la igualdad para encontrar X."}, {"start": 281.6, "end": 285.6, "text": " La ra\u00edz cuadrada de 225 es 15."}, {"start": 285.6, "end": 293.6, "text": " Entonces, ya conocemos el valor de este cateto que ser\u00eda 15."}, {"start": 293.6, "end": 300.6, "text": " Entonces, ya conocemos el valor de seno de alfa. Aqu\u00ed lo tenemos, 8 17 aos."}, {"start": 300.6, "end": 306.6, "text": " Vamos a escribirlo por aqu\u00ed, 8 17 aos."}, {"start": 306.6, "end": 312.6, "text": " Y de este tri\u00e1ngulo podemos encontrar el valor de coseno de alfa."}, {"start": 312.6, "end": 315.6, "text": " Entonces, utilizamos la definici\u00f3n del coseno."}, {"start": 315.6, "end": 321.6, "text": " Coseno de alfa es la relaci\u00f3n que hay entre el cateto adyacente y la hipotenusa."}, {"start": 321.6, "end": 324.6, "text": " Entonces, ser\u00e1 15 17 aos."}, {"start": 324.6, "end": 331.6, "text": " Lo vamos a escribir por aqu\u00ed."}, {"start": 331.6, "end": 334.6, "text": " Ahora, vamos a utilizar esta informaci\u00f3n."}, {"start": 334.6, "end": 354.6, "text": " Si tenemos que arco coseno de 12 13 aos es igual a beta, el \u00e1ngulo beta, entonces tenemos que el coseno de beta es igual a 12 13 aos."}, {"start": 354.6, "end": 362.6, "text": " Entonces, vamos a dibujar un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo para localizar esta informaci\u00f3n."}, {"start": 362.6, "end": 365.6, "text": " Aqu\u00ed lo podemos observar."}, {"start": 365.6, "end": 371.6, "text": " Y vamos a llamar este \u00e1ngulo agudo con la letra beta, la que tenemos por ac\u00e1."}, {"start": 371.6, "end": 374.6, "text": " Vamos entonces a utilizar la definici\u00f3n del coseno."}, {"start": 374.6, "end": 378.6, "text": " Coseno es cateto adyacente sobre hipotenusa."}, {"start": 378.6, "end": 383.6, "text": " Entonces, este es el cateto adyacente al \u00e1ngulo beta que vale 12."}, {"start": 383.6, "end": 388.6, "text": " Y la hipotenusa del tri\u00e1ngulo tiene un valor de 13 unidades."}, {"start": 388.6, "end": 392.6, "text": " Vamos a encontrar el cateto que nos hace falta."}, {"start": 392.6, "end": 394.6, "text": " Vamos a llamarlo, por ejemplo, C."}, {"start": 394.6, "end": 398.6, "text": " Y planteamos nuevamente el teorema de Pit\u00e1goras."}, {"start": 398.6, "end": 403.6, "text": " Decimos C al cuadrado m\u00e1s 12 al cuadrado."}, {"start": 403.6, "end": 410.6, "text": " O sea, la suma de los cuadrados de los catetos es igual a la hipotenusa al cuadrado."}, {"start": 410.6, "end": 415.6, "text": " All\u00ed est\u00e1 planteado lo que nos dice el teorema de Pit\u00e1goras."}, {"start": 415.6, "end": 422.6, "text": " Entonces, nos resolvemos C al cuadrado m\u00e1s 12 al cuadrado, que es 144."}, {"start": 422.6, "end": 427.6, "text": " Es igual a 13 al cuadrado, que es 169."}, {"start": 427.6, "end": 431.6, "text": " Despejamos C al cuadrado, pasamos este n\u00famero a restar."}, {"start": 431.6, "end": 436.6, "text": " Nos queda 169 menos 144."}, {"start": 436.6, "end": 438.6, "text": " Realizamos esa resta."}, {"start": 438.6, "end": 441.6, "text": " Eso nos da 25."}, {"start": 441.6, "end": 446.6, "text": " Ahora extraemos ra\u00edz cuadrada a ambos lados de la igualdad."}, {"start": 446.6, "end": 450.6, "text": " Y tenemos que C es igual a 5."}, {"start": 450.6, "end": 454.6, "text": " Entonces, hemos encontrado este cateto que nos faltaba."}, {"start": 454.6, "end": 458.6, "text": " Su valor es 5."}, {"start": 458.6, "end": 462.6, "text": " Conocemos entonces el valor de coseno de beta."}, {"start": 462.6, "end": 464.6, "text": " Aqu\u00ed lo tenemos."}, {"start": 464.6, "end": 468.6, "text": " Es 12 treceavos."}, {"start": 468.6, "end": 475.6, "text": " Y del tri\u00e1ngulo que acabamos de resolver, encontramos el valor de seno de beta."}, {"start": 475.6, "end": 481.6, "text": " Entonces, seno del \u00e1ngulo beta es la relaci\u00f3n que hay entre el cateto opuesto y la hipotenusa."}, {"start": 481.6, "end": 484.6, "text": " O sea, 5 treceavos."}, {"start": 484.6, "end": 489.6, "text": " Escribimos entonces aqu\u00ed ese valor."}, {"start": 489.6, "end": 493.6, "text": " Lo que hacemos ahora es resolver estas operaciones."}, {"start": 493.6, "end": 502.6, "text": " Tenemos 15 diecisieteavos que multiplica con 12 treceavos."}, {"start": 502.6, "end": 514.6, "text": " Y a eso le vamos a sumar 8 diecisieteavos que multiplica con 5 treceavos."}, {"start": 514.6, "end": 517.6, "text": " Entonces vamos a resolver esas operaciones."}, {"start": 517.6, "end": 525.6, "text": " En esta multiplicaci\u00f3n de fracciones, recordemos que se multiplican numeradores entre s\u00ed y denominadores entre s\u00ed."}, {"start": 525.6, "end": 531.6, "text": " Entonces aqu\u00ed tendremos 15 por 12 que nos da 180."}, {"start": 531.6, "end": 538.6, "text": " Y en el denominador tenemos 17 por 13 que nos da 221."}, {"start": 538.6, "end": 547.6, "text": " M\u00e1s pasamos a esta operaci\u00f3n, hacemos exactamente lo mismo, multiplicaci\u00f3n de numeradores, 8 por 5, 40."}, {"start": 547.6, "end": 554.6, "text": " Y multiplicaci\u00f3n de denominadores, 17 por 13 que nos da 221."}, {"start": 554.6, "end": 560.6, "text": " Llegamos a una suma de fracciones homog\u00e9neas, fracciones con el mismo denominador."}, {"start": 560.6, "end": 573.6, "text": " Entonces conservamos el denominador y sumamos los numeradores. 180 m\u00e1s 40 nos da como resultado 220."}, {"start": 573.6, "end": 578.6, "text": " Y este es el resultado de toda esa expresi\u00f3n."}, {"start": 578.6, "end": 586.6, "text": " Entonces el valor exacto es 220 sobre 221."}, {"start": 586.6, "end": 594.6, "text": " El valor exacto, como dec\u00edamos, de esa expresi\u00f3n sin utilizar la calculadora."}]

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INTEGRACIÓN POR MÉTODO TABULAR - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo resolver una integral indefinida utilizando el Método Tabular. Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver esta integral indefinida que no corresponde a una integral directa y que tampoco se puede hacer por el método de sustitución. Pensaríamos entonces en utilizar el método de integración por partes. Recordemos que es el de la fórmula integral de U por dV y donde esto es igual a U por V menos la integral de V por dU. Recordemos que se puede aprender de una manera fácil diciendo que la integral de U por dV es igual a una vaca menos la integral vestida de uniforme. Es una técnica de memorización de esta fórmula. En este caso, para escoger U se utiliza también la técnica de ilate que consiste en clasificar las dos funciones que tenemos en estas categorías. Función inversa, para ser exactos, las trigonométricas inversas, función logarítmica, función algebraica, función trigonométrica y función exponencial. En este caso, X al cubo es categoría algebraica y E a la X es categoría exponencial. Armando la palabra ilate vemos que de izquierda a derecha la primera que encontramos de estas dos selecciones es la función algebraica. Por lo tanto, ella hace el papel de la U. Tendríamos entonces que esto es U y lo que nos queda todo esto correspondería a dV. Tenemos ya el componente U y el componente dV para pensar en usar el método de integración por partes. Lo que sucede con este ejercicio es que si nos vamos por este camino tendríamos que utilizar el método de integración por partes en tres ocasiones. Y esto hace que ese desarrollo sea muy extenso. Vamos a ver entonces otra alternativa para hacer esta integral de una manera más corta. Se trata de lo que se conoce como el método tabular o también se le conoce como integración tabular. Veamos en qué consiste. Se aplica cuando tenemos dos funciones. Vamos a llamar la primera la función ADX y la segunda la función BDX. Dos funciones como vimos que se pueden clasificar en las categorías de ilate y que nos conducen a la utilización del método de integración por partes. Pero la característica que observamos aquí es que una de las funciones, en este caso ADX que es X al cubo, al derivarla sucesivamente llega un momento en que se obtiene cero. Y la otra función es fácilmente integrable. Entonces allí es conveniente utilizar el método tabular. Veremos que es muy sencillo. Comenzamos por crear dos encabezados para hacer dos columnas. La primera se va a llamar ADX y sus derivadas y la segunda se va a llamar BDX y sus integrales. Entonces escribimos por aquí la función que está designada como ADX y por acá la otra función la que hace el papel de BDX. Y esta la vamos a derivar sucesivamente. Tenemos entonces derivada de X al cubo es 3X al cuadrado. Derivamos nuevamente la derivada de 3X al cuadrado es 6X. Volvemos a derivar la derivada de 6X es 6. Y al derivar nuevamente tenemos la derivada de una constante que nos da cero. Si volviéramos a derivar cero obtenemos cero y así sucesivamente cero hacia abajo. Ahora vamos con esta función que vamos a integrarla. Entonces recordemos que la integral de E a la X es ella misma. Volvemos a integrar nos da otra vez E a la X, otra vez su integral E a la X. Y así sucesivamente también nos daría todo el tiempo E a la X. Entonces ahora lo que hacemos es conectar la primera función ADX con la segunda que tenemos a este lado. No tomamos la primera sino la segunda. Entonces nos queda esta flecha en diagonal. Conectamos 3X al cuadrado con la siguiente 6X aquí con la siguiente 6 con E a la X. Y bueno cero con las que siguen por acá vamos a escribir otra E a la X y los puntos suspensivos por acá. Entonces conectaríamos cero con este E a la X que tenemos por acá. Ahora en estas flechas que nos quedaron en diagonal vamos a escribir los signos más menos más menos más y bueno menos si siguieran las flechas hacia abajo. Siempre empezando con signo positivo y hacia abajo signos intercalados. Esto nos permite ya conseguir la respuesta de esta integral veamos como nos queda. Tendremos entonces lo siguiente el resultado de esta integral será X al cubo por E a la X y ese producto con signo positivo. Entonces tendremos X al cubo E a la X. Vamos con el siguiente producto 3X al cuadrado por E a la X y eso con signo menos. Entonces nos queda menos 3X al cuadrado E a la X. Vamos ahora con este producto 6X por E a la X con signo positivo nos queda más 6X E a la X. Luego 6 por E a la X con signo menos nos queda menos 6E a la X. Y el siguiente sería 0 por E a la X pero allí el producto se anula y lo mismo sucedería con todo lo que sigue de aquí para abajo. Porque a este lado tenemos 0 entonces de aquí hacia abajo ya no tenemos nada más y rematamos el ejercicio con la constante de integración. De esta manera hemos encontrado el resultado de esta integral indefinida utilizando el método tabular o lo que se conoce también como integración tabular. Podríamos escribir la respuesta de la siguiente manera. Imaginemos que aquí se agrupan todos estos términos con paréntesis sin incluir la C y extraemos factor común E a la X. Tendremos entonces E a la X factor común de X al cubo menos 3X al cuadrado más 6X menos 6. Cerramos el paréntesis y escribimos la constante de integración. Es otra manera de presentar la respuesta a ese ejercicio. Y podemos comprobar la validez de todo este procedimiento derivando esta expresión. Si la derivada de esto nos da esto que tenemos acá entonces este procedimiento es correcto. Vamos entonces a efectuar la comprobación de este ejercicio. Entonces procedemos a derivar esta expresión derivada con respecto a X de E a la X que multiplica con X al cubo menos 3X al cuadrado más 6X menos 6. Bueno la C no es necesario incluirla porque recordemos que la derivada de una constante es cero. Nos vamos a concentrar en la expresión que contiene la X. Vamos entonces con esta derivada. Como aquí tenemos una multiplicación utilizamos la regla del producto para derivadas. Es la derivada del primer componente, o sea E a la X por el segundo componente sin derivar, o sea X al cubo menos 3X al cuadrado más 6X menos 6 y todo esto más el primer componente sin derivar, o sea E a la X multiplicado por la derivada del segundo componente. Entonces tenemos derivada de X al cubo es 3X al cuadrado, derivada de menos 3X al cuadrado es menos 6X, derivada de 6X es más 6 y derivada de menos 6 es cero. Entonces allí terminamos el proceso de derivación. Efectuamos la propiedad distributiva E a la X por X al cubo nos queda X al cubo E a la X, E a la X por esto nos queda menos 3X al cuadrado por E a la X, E a la X por este término nos queda más 6X E a la X, E a la X por menos 6 nos queda menos 6 E a la X. Seguimos por acá también con propiedad distributiva E a la X por 3X al cuadrado será más 3X al cuadrado E a la X, este por este nos queda menos 6X E a la X y este por este nos da más 6E a la X. Revisamos los términos que tenemos allí y encontramos que hay términos semejantes como estos dos que a la vez son opuestos por lo tanto se pueden eliminar. Tenemos también el caso de 6X con E a la X aquí está positivo, por acá está negativo también se pueden cancelar y sucede lo mismo con menos 6E a la X y más 6E a la X. Terminos opuestos que se anulan entre sí y nos quedó únicamente X al cubo E a la X, o sea lo que tenemos aquí en el integrando. Eso nos permite confirmar que todo este procedimiento es correcto, entonces hemos resuelto esa integral indefinida utilizando el método tabular otra alternativa para llegar a la respuesta con rapidez.

[{"start": 0.0, "end": 12.0, "text": " Vamos a resolver esta integral indefinida que no corresponde a una integral directa y que tampoco se puede hacer por el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n."}, {"start": 12.0, "end": 18.0, "text": " Pensar\u00edamos entonces en utilizar el m\u00e9todo de integraci\u00f3n por partes."}, {"start": 18.0, "end": 32.0, "text": " Recordemos que es el de la f\u00f3rmula integral de U por dV y donde esto es igual a U por V menos la integral de V por dU."}, {"start": 32.0, "end": 46.0, "text": " Recordemos que se puede aprender de una manera f\u00e1cil diciendo que la integral de U por dV es igual a una vaca menos la integral vestida de uniforme."}, {"start": 46.0, "end": 50.0, "text": " Es una t\u00e9cnica de memorizaci\u00f3n de esta f\u00f3rmula."}, {"start": 50.0, "end": 65.0, "text": " En este caso, para escoger U se utiliza tambi\u00e9n la t\u00e9cnica de ilate que consiste en clasificar las dos funciones que tenemos en estas categor\u00edas."}, {"start": 65.0, "end": 78.0, "text": " Funci\u00f3n inversa, para ser exactos, las trigonom\u00e9tricas inversas, funci\u00f3n logar\u00edtmica, funci\u00f3n algebraica, funci\u00f3n trigonom\u00e9trica y funci\u00f3n exponencial."}, {"start": 78.0, "end": 87.0, "text": " En este caso, X al cubo es categor\u00eda algebraica y E a la X es categor\u00eda exponencial."}, {"start": 87.0, "end": 98.0, "text": " Armando la palabra ilate vemos que de izquierda a derecha la primera que encontramos de estas dos selecciones es la funci\u00f3n algebraica."}, {"start": 98.0, "end": 101.0, "text": " Por lo tanto, ella hace el papel de la U."}, {"start": 101.0, "end": 117.0, "text": " Tendr\u00edamos entonces que esto es U y lo que nos queda todo esto corresponder\u00eda a dV. Tenemos ya el componente U y el componente dV para pensar en usar el m\u00e9todo de integraci\u00f3n por partes."}, {"start": 117.0, "end": 128.0, "text": " Lo que sucede con este ejercicio es que si nos vamos por este camino tendr\u00edamos que utilizar el m\u00e9todo de integraci\u00f3n por partes en tres ocasiones."}, {"start": 128.0, "end": 133.0, "text": " Y esto hace que ese desarrollo sea muy extenso."}, {"start": 133.0, "end": 142.0, "text": " Vamos a ver entonces otra alternativa para hacer esta integral de una manera m\u00e1s corta."}, {"start": 142.0, "end": 158.0, "text": " Se trata de lo que se conoce como el m\u00e9todo tabular o tambi\u00e9n se le conoce como integraci\u00f3n tabular."}, {"start": 158.0, "end": 160.0, "text": " Veamos en qu\u00e9 consiste."}, {"start": 160.0, "end": 172.0, "text": " Se aplica cuando tenemos dos funciones. Vamos a llamar la primera la funci\u00f3n ADX y la segunda la funci\u00f3n BDX."}, {"start": 172.0, "end": 184.0, "text": " Dos funciones como vimos que se pueden clasificar en las categor\u00edas de ilate y que nos conducen a la utilizaci\u00f3n del m\u00e9todo de integraci\u00f3n por partes."}, {"start": 184.0, "end": 198.0, "text": " Pero la caracter\u00edstica que observamos aqu\u00ed es que una de las funciones, en este caso ADX que es X al cubo, al derivarla sucesivamente llega un momento en que se obtiene cero."}, {"start": 198.0, "end": 208.0, "text": " Y la otra funci\u00f3n es f\u00e1cilmente integrable. Entonces all\u00ed es conveniente utilizar el m\u00e9todo tabular."}, {"start": 208.0, "end": 210.0, "text": " Veremos que es muy sencillo."}, {"start": 210.0, "end": 217.0, "text": " Comenzamos por crear dos encabezados para hacer dos columnas."}, {"start": 217.0, "end": 226.0, "text": " La primera se va a llamar ADX y sus derivadas y la segunda se va a llamar BDX y sus integrales."}, {"start": 226.0, "end": 240.0, "text": " Entonces escribimos por aqu\u00ed la funci\u00f3n que est\u00e1 designada como ADX y por ac\u00e1 la otra funci\u00f3n la que hace el papel de BDX."}, {"start": 240.0, "end": 243.0, "text": " Y esta la vamos a derivar sucesivamente."}, {"start": 243.0, "end": 249.0, "text": " Tenemos entonces derivada de X al cubo es 3X al cuadrado."}, {"start": 249.0, "end": 255.0, "text": " Derivamos nuevamente la derivada de 3X al cuadrado es 6X."}, {"start": 255.0, "end": 260.0, "text": " Volvemos a derivar la derivada de 6X es 6."}, {"start": 260.0, "end": 266.0, "text": " Y al derivar nuevamente tenemos la derivada de una constante que nos da cero."}, {"start": 266.0, "end": 274.0, "text": " Si volvi\u00e9ramos a derivar cero obtenemos cero y as\u00ed sucesivamente cero hacia abajo."}, {"start": 274.0, "end": 279.0, "text": " Ahora vamos con esta funci\u00f3n que vamos a integrarla."}, {"start": 279.0, "end": 285.0, "text": " Entonces recordemos que la integral de E a la X es ella misma."}, {"start": 285.0, "end": 291.0, "text": " Volvemos a integrar nos da otra vez E a la X, otra vez su integral E a la X."}, {"start": 291.0, "end": 297.0, "text": " Y as\u00ed sucesivamente tambi\u00e9n nos dar\u00eda todo el tiempo E a la X."}, {"start": 297.0, "end": 310.0, "text": " Entonces ahora lo que hacemos es conectar la primera funci\u00f3n ADX con la segunda que tenemos a este lado."}, {"start": 310.0, "end": 312.0, "text": " No tomamos la primera sino la segunda."}, {"start": 312.0, "end": 315.0, "text": " Entonces nos queda esta flecha en diagonal."}, {"start": 315.0, "end": 326.0, "text": " Conectamos 3X al cuadrado con la siguiente 6X aqu\u00ed con la siguiente 6 con E a la X."}, {"start": 326.0, "end": 335.0, "text": " Y bueno cero con las que siguen por ac\u00e1 vamos a escribir otra E a la X y los puntos suspensivos por ac\u00e1."}, {"start": 335.0, "end": 342.0, "text": " Entonces conectar\u00edamos cero con este E a la X que tenemos por ac\u00e1."}, {"start": 342.0, "end": 363.0, "text": " Ahora en estas flechas que nos quedaron en diagonal vamos a escribir los signos m\u00e1s menos m\u00e1s menos m\u00e1s y bueno menos si siguieran las flechas hacia abajo."}, {"start": 363.0, "end": 369.0, "text": " Siempre empezando con signo positivo y hacia abajo signos intercalados."}, {"start": 369.0, "end": 378.0, "text": " Esto nos permite ya conseguir la respuesta de esta integral veamos como nos queda."}, {"start": 378.0, "end": 389.0, "text": " Tendremos entonces lo siguiente el resultado de esta integral ser\u00e1 X al cubo por E a la X y ese producto con signo positivo."}, {"start": 389.0, "end": 393.0, "text": " Entonces tendremos X al cubo E a la X."}, {"start": 393.0, "end": 399.0, "text": " Vamos con el siguiente producto 3X al cuadrado por E a la X y eso con signo menos."}, {"start": 399.0, "end": 405.0, "text": " Entonces nos queda menos 3X al cuadrado E a la X."}, {"start": 405.0, "end": 415.0, "text": " Vamos ahora con este producto 6X por E a la X con signo positivo nos queda m\u00e1s 6X E a la X."}, {"start": 415.0, "end": 424.0, "text": " Luego 6 por E a la X con signo menos nos queda menos 6E a la X."}, {"start": 424.0, "end": 433.0, "text": " Y el siguiente ser\u00eda 0 por E a la X pero all\u00ed el producto se anula y lo mismo suceder\u00eda con todo lo que sigue de aqu\u00ed para abajo."}, {"start": 433.0, "end": 444.0, "text": " Porque a este lado tenemos 0 entonces de aqu\u00ed hacia abajo ya no tenemos nada m\u00e1s y rematamos el ejercicio con la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 444.0, "end": 457.0, "text": " De esta manera hemos encontrado el resultado de esta integral indefinida utilizando el m\u00e9todo tabular o lo que se conoce tambi\u00e9n como integraci\u00f3n tabular."}, {"start": 457.0, "end": 461.0, "text": " Podr\u00edamos escribir la respuesta de la siguiente manera."}, {"start": 461.0, "end": 472.0, "text": " Imaginemos que aqu\u00ed se agrupan todos estos t\u00e9rminos con par\u00e9ntesis sin incluir la C y extraemos factor com\u00fan E a la X."}, {"start": 472.0, "end": 482.0, "text": " Tendremos entonces E a la X factor com\u00fan de X al cubo menos 3X al cuadrado m\u00e1s 6X menos 6."}, {"start": 482.0, "end": 488.0, "text": " Cerramos el par\u00e9ntesis y escribimos la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 488.0, "end": 493.0, "text": " Es otra manera de presentar la respuesta a ese ejercicio."}, {"start": 493.0, "end": 500.0, "text": " Y podemos comprobar la validez de todo este procedimiento derivando esta expresi\u00f3n."}, {"start": 500.0, "end": 507.0, "text": " Si la derivada de esto nos da esto que tenemos ac\u00e1 entonces este procedimiento es correcto."}, {"start": 507.0, "end": 516.0, "text": " Vamos entonces a efectuar la comprobaci\u00f3n de este ejercicio."}, {"start": 516.0, "end": 538.0, "text": " Entonces procedemos a derivar esta expresi\u00f3n derivada con respecto a X de E a la X que multiplica con X al cubo menos 3X al cuadrado m\u00e1s 6X menos 6."}, {"start": 538.0, "end": 545.0, "text": " Bueno la C no es necesario incluirla porque recordemos que la derivada de una constante es cero."}, {"start": 545.0, "end": 549.0, "text": " Nos vamos a concentrar en la expresi\u00f3n que contiene la X."}, {"start": 549.0, "end": 552.0, "text": " Vamos entonces con esta derivada."}, {"start": 552.0, "end": 558.0, "text": " Como aqu\u00ed tenemos una multiplicaci\u00f3n utilizamos la regla del producto para derivadas."}, {"start": 558.0, "end": 566.0, "text": " Es la derivada del primer componente, o sea E a la X por el segundo componente sin derivar,"}, {"start": 566.0, "end": 577.0, "text": " o sea X al cubo menos 3X al cuadrado m\u00e1s 6X menos 6 y todo esto m\u00e1s el primer componente sin derivar,"}, {"start": 577.0, "end": 583.0, "text": " o sea E a la X multiplicado por la derivada del segundo componente."}, {"start": 583.0, "end": 599.0, "text": " Entonces tenemos derivada de X al cubo es 3X al cuadrado, derivada de menos 3X al cuadrado es menos 6X, derivada de 6X es m\u00e1s 6 y derivada de menos 6 es cero."}, {"start": 599.0, "end": 604.0, "text": " Entonces all\u00ed terminamos el proceso de derivaci\u00f3n."}, {"start": 604.0, "end": 618.0, "text": " Efectuamos la propiedad distributiva E a la X por X al cubo nos queda X al cubo E a la X, E a la X por esto nos queda menos 3X al cuadrado por E a la X,"}, {"start": 618.0, "end": 628.0, "text": " E a la X por este t\u00e9rmino nos queda m\u00e1s 6X E a la X, E a la X por menos 6 nos queda menos 6 E a la X."}, {"start": 628.0, "end": 638.0, "text": " Seguimos por ac\u00e1 tambi\u00e9n con propiedad distributiva E a la X por 3X al cuadrado ser\u00e1 m\u00e1s 3X al cuadrado E a la X,"}, {"start": 638.0, "end": 648.0, "text": " este por este nos queda menos 6X E a la X y este por este nos da m\u00e1s 6E a la X."}, {"start": 648.0, "end": 661.0, "text": " Revisamos los t\u00e9rminos que tenemos all\u00ed y encontramos que hay t\u00e9rminos semejantes como estos dos que a la vez son opuestos por lo tanto se pueden eliminar."}, {"start": 661.0, "end": 677.0, "text": " Tenemos tambi\u00e9n el caso de 6X con E a la X aqu\u00ed est\u00e1 positivo, por ac\u00e1 est\u00e1 negativo tambi\u00e9n se pueden cancelar y sucede lo mismo con menos 6E a la X y m\u00e1s 6E a la X."}, {"start": 677.0, "end": 688.0, "text": " Terminos opuestos que se anulan entre s\u00ed y nos qued\u00f3 \u00fanicamente X al cubo E a la X, o sea lo que tenemos aqu\u00ed en el integrando."}, {"start": 688.0, "end": 707.0, "text": " Eso nos permite confirmar que todo este procedimiento es correcto, entonces hemos resuelto esa integral indefinida utilizando el m\u00e9todo tabular otra alternativa para llegar a la respuesta con rapidez."}]

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TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO - Definición y ejemplos

#julioprofe explica la primera y la segunda parte del Teorema Fundamental del Cálculo, y complementa con ejemplos. Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a ver la primera y segunda parte del teorema fundamental del cálculo conocido también como TFC por sus iniciales. Veremos también algunos ejemplos. La primera parte dice lo siguiente, si tenemos la derivada con respecto a x de una integral que va desde una constante a hasta la variable x, la misma que tenemos acá, y aquí una función f de t con su correspondiente diferencial de t, entonces esto será igual a f de x. Simplemente lo que se hace es cambiar la variable t por la variable x y se vuelve a escribir la misma función pero ahora con x. Veamos una situación un poco más compleja. Si tenemos la derivada con respecto a x de una integral que va desde una constante a hasta una expresión u de x, ya no tenemos la simple x sino una expresión un poco más compleja llamada u de x, y aquí la misma función f de t con su respectivo diferencial de t, entonces aquí lo que hacemos es evaluar la función en u de x, es decir, t se cambia por esta expresión u de x y multiplicamos por la derivada de u de x, algo así como la derivada interna, similar a la regla de la cadena. Esto es lo que nos dice teóricamente la primera parte del teorema fundamental del cálculo. Veamos entonces a continuación ejemplos de esta situación. Si nos piden encontrar la derivada con respecto a x de la integral que va desde 5 hasta x de esta función que está en términos de t con su respectivo diferencial de t, entonces esto será igual a reescribir esta misma expresión pero en términos de x, esto es f de t y acá tenemos que escribir f de x, o sea que nos queda 3x al cuadrado más 1, simplemente la x ocupa ahora el lugar de la variable t y esta será la respuesta a esta derivada. Veamos el segundo ejemplo, nos piden encontrar la derivada con respecto a x de la integral que va desde x hasta menos 3 de esta función, pero aquí tenemos la letra x en el límite inferior y lo que vimos en la propiedad, es decir, en el teorema fundamental del cálculo parte 1, es que la x tiene que estar arriba y la constante en la parte de abajo, entonces vamos a intercambiar estos dos límites de integración. Escribimos aquí menos 3 y acá en la parte superior la x, pero ese cambio de límites de integración hace que la integral cambie de signo, ella nos queda con signo menos a su izquierda y ese negativo lo podemos escribir por fuera de toda esta derivada, entonces esto nos va a quedar menos la función que tenemos aquí, es decir, la que llamamos f de t, pero ahora evaluada en términos de x, x pasa a ocupar el lugar de la letra t, tendremos entonces tangente entre paréntesis x al cubo y esto es la respuesta al ejercicio originalmente planteado, que venía con x en la parte de abajo, en el límite inferior y menos 3 en el límite superior. Veamos el tercer ejemplo donde nos piden encontrar la derivada con respecto a x de la integral que va desde 1 hasta 3x al cuadrado de esta función, 1 hace el papel de la a y 3x al cuadrado hace el papel de u de x y esto que tenemos aquí es la función f de t, entonces vamos a aplicar la regla que vimos, vamos a escribir acá la función evaluada en u de x, es decir, esta expresión va a ocupar el lugar de la letra t, nos queda e elevado al seno de 3x al cuadrado, esto es lo que llamamos f de u de x y esto tenemos que multiplicarlo por la derivada de u de x, o sea por u' de x, la derivada de 3x al cuadrado es 6x, si se quiere podemos escribir 6x al comienzo y enseguida e elevado al seno de 3x al cuadrado, este es el resultado de esta derivada. Ahora veamos la segunda parte del teorema fundamental del calculo, dice lo siguiente, la integral desde a hasta b de una función f' de x con su respectivo diferencial de x, es igual a otra función f' de x que es la antiderivada de f' y esta función evaluada en estos dos limites de integración, y esto es igual a f' de b menos f' de a, es decir, se evalúa primero el limite superior en la antiderivada y a eso se le resta la evaluación del límite inferior en la misma antiderivada, aquí se tiene que cumplir que la derivada de f' tiene que ser igual a f', recordemos que ese es el principio de las integrales, encontrar una función, o sea una antiderivada, una función llamada primitiva de tal manera que al derivarla nos de la función que tenemos en el integrando. Un ejemplo de la segunda parte del teorema fundamental del calculo es este que observamos aquí, nos piden encontrar la integral que va desde pi sextos hasta pi tercios de la función cos x, la integral del cos x es sen x, recordemos que la derivada de la función sen x es cos x y esto lo vamos a evaluar en estos dos limites de integración, en pi sextos límite inferior y pi tercios el límite superior, entonces esto nos queda de la siguiente manera, sen pi tercios, allí evaluamos el límite superior en la antiderivada, menos el sen pi sextos, evaluando el límite inferior en la misma antiderivada y se resuelve esto, tendremos que el sen pi tercios, o sea el seno de 60 grados equivale a raíz de 3 medios y esto menos el seno de pi sextos, recordemos que pi sextos radianes corresponde a 30 grados, el seno de 30 grados es un medio y esto se puede escribir con denominador 2, fracciones homogéneas, dejamos el mismo denominador y arriba escribimos la resta de los numeradores, esto es el resultado de esta integral definida utilizando la segunda parte del teorema fundamental del calculo. Geométricamente este resultado representa el área de esta figura que es el área que se tiene bajo la curva y igual a coseno de x, la función que tenemos en el integrando comprendida entre pi sextos y pi tercios, los limites de integración, entonces el valor de esta figura, esa área que se forma allí es este resultado que en forma decimal es aproximadamente 0.366 y si estamos calculando el área le agregamos unidades cuadradas. Bien con esto terminamos la explicación del teorema fundamental del calculo.

[{"start": 0.0, "end": 12.5, "text": " Vamos a ver la primera y segunda parte del teorema fundamental del c\u00e1lculo conocido tambi\u00e9n como TFC por sus iniciales."}, {"start": 12.5, "end": 15.5, "text": " Veremos tambi\u00e9n algunos ejemplos."}, {"start": 15.5, "end": 33.0, "text": " La primera parte dice lo siguiente, si tenemos la derivada con respecto a x de una integral que va desde una constante a hasta la variable x, la misma que tenemos ac\u00e1,"}, {"start": 33.0, "end": 44.5, "text": " y aqu\u00ed una funci\u00f3n f de t con su correspondiente diferencial de t, entonces esto ser\u00e1 igual a f de x."}, {"start": 44.5, "end": 56.5, "text": " Simplemente lo que se hace es cambiar la variable t por la variable x y se vuelve a escribir la misma funci\u00f3n pero ahora con x."}, {"start": 56.5, "end": 59.0, "text": " Veamos una situaci\u00f3n un poco m\u00e1s compleja."}, {"start": 59.0, "end": 80.5, "text": " Si tenemos la derivada con respecto a x de una integral que va desde una constante a hasta una expresi\u00f3n u de x, ya no tenemos la simple x sino una expresi\u00f3n un poco m\u00e1s compleja llamada u de x,"}, {"start": 80.5, "end": 100.5, "text": " y aqu\u00ed la misma funci\u00f3n f de t con su respectivo diferencial de t, entonces aqu\u00ed lo que hacemos es evaluar la funci\u00f3n en u de x, es decir, t se cambia por esta expresi\u00f3n u de x"}, {"start": 100.5, "end": 113.5, "text": " y multiplicamos por la derivada de u de x, algo as\u00ed como la derivada interna, similar a la regla de la cadena."}, {"start": 113.5, "end": 121.5, "text": " Esto es lo que nos dice te\u00f3ricamente la primera parte del teorema fundamental del c\u00e1lculo."}, {"start": 121.5, "end": 126.5, "text": " Veamos entonces a continuaci\u00f3n ejemplos de esta situaci\u00f3n."}, {"start": 126.5, "end": 140.5, "text": " Si nos piden encontrar la derivada con respecto a x de la integral que va desde 5 hasta x de esta funci\u00f3n que est\u00e1 en t\u00e9rminos de t con su respectivo diferencial de t,"}, {"start": 140.5, "end": 153.5, "text": " entonces esto ser\u00e1 igual a reescribir esta misma expresi\u00f3n pero en t\u00e9rminos de x, esto es f de t y ac\u00e1 tenemos que escribir f de x,"}, {"start": 153.5, "end": 168.5, "text": " o sea que nos queda 3x al cuadrado m\u00e1s 1, simplemente la x ocupa ahora el lugar de la variable t y esta ser\u00e1 la respuesta a esta derivada."}, {"start": 168.5, "end": 181.5, "text": " Veamos el segundo ejemplo, nos piden encontrar la derivada con respecto a x de la integral que va desde x hasta menos 3 de esta funci\u00f3n,"}, {"start": 181.5, "end": 192.5, "text": " pero aqu\u00ed tenemos la letra x en el l\u00edmite inferior y lo que vimos en la propiedad, es decir, en el teorema fundamental del c\u00e1lculo parte 1,"}, {"start": 192.5, "end": 202.5, "text": " es que la x tiene que estar arriba y la constante en la parte de abajo, entonces vamos a intercambiar estos dos l\u00edmites de integraci\u00f3n."}, {"start": 202.5, "end": 214.5, "text": " Escribimos aqu\u00ed menos 3 y ac\u00e1 en la parte superior la x, pero ese cambio de l\u00edmites de integraci\u00f3n hace que la integral cambie de signo,"}, {"start": 214.5, "end": 223.5, "text": " ella nos queda con signo menos a su izquierda y ese negativo lo podemos escribir por fuera de toda esta derivada,"}, {"start": 223.5, "end": 235.5, "text": " entonces esto nos va a quedar menos la funci\u00f3n que tenemos aqu\u00ed, es decir, la que llamamos f de t, pero ahora evaluada en t\u00e9rminos de x,"}, {"start": 235.5, "end": 251.5, "text": " x pasa a ocupar el lugar de la letra t, tendremos entonces tangente entre par\u00e9ntesis x al cubo y esto es la respuesta al ejercicio originalmente planteado,"}, {"start": 251.5, "end": 262.5, "text": " que ven\u00eda con x en la parte de abajo, en el l\u00edmite inferior y menos 3 en el l\u00edmite superior."}, {"start": 262.5, "end": 275.5, "text": " Veamos el tercer ejemplo donde nos piden encontrar la derivada con respecto a x de la integral que va desde 1 hasta 3x al cuadrado de esta funci\u00f3n,"}, {"start": 275.5, "end": 289.5, "text": " 1 hace el papel de la a y 3x al cuadrado hace el papel de u de x y esto que tenemos aqu\u00ed es la funci\u00f3n f de t, entonces vamos a aplicar la regla que vimos,"}, {"start": 289.5, "end": 308.5, "text": " vamos a escribir ac\u00e1 la funci\u00f3n evaluada en u de x, es decir, esta expresi\u00f3n va a ocupar el lugar de la letra t, nos queda e elevado al seno de 3x al cuadrado,"}, {"start": 308.5, "end": 324.5, "text": " esto es lo que llamamos f de u de x y esto tenemos que multiplicarlo por la derivada de u de x, o sea por u' de x, la derivada de 3x al cuadrado es 6x,"}, {"start": 324.5, "end": 340.5, "text": " si se quiere podemos escribir 6x al comienzo y enseguida e elevado al seno de 3x al cuadrado, este es el resultado de esta derivada."}, {"start": 340.5, "end": 357.5, "text": " Ahora veamos la segunda parte del teorema fundamental del calculo, dice lo siguiente, la integral desde a hasta b de una funci\u00f3n f' de x con su respectivo diferencial de x,"}, {"start": 357.5, "end": 373.5, "text": " es igual a otra funci\u00f3n f' de x que es la antiderivada de f' y esta funci\u00f3n evaluada en estos dos limites de integraci\u00f3n,"}, {"start": 373.5, "end": 393.5, "text": " y esto es igual a f' de b menos f' de a, es decir, se eval\u00faa primero el limite superior en la antiderivada y a eso se le resta la evaluaci\u00f3n del l\u00edmite inferior en la misma antiderivada,"}, {"start": 393.5, "end": 408.5, "text": " aqu\u00ed se tiene que cumplir que la derivada de f' tiene que ser igual a f', recordemos que ese es el principio de las integrales,"}, {"start": 408.5, "end": 421.5, "text": " encontrar una funci\u00f3n, o sea una antiderivada, una funci\u00f3n llamada primitiva de tal manera que al derivarla nos de la funci\u00f3n que tenemos en el integrando."}, {"start": 421.5, "end": 438.5, "text": " Un ejemplo de la segunda parte del teorema fundamental del calculo es este que observamos aqu\u00ed, nos piden encontrar la integral que va desde pi sextos hasta pi tercios de la funci\u00f3n cos x,"}, {"start": 438.5, "end": 456.5, "text": " la integral del cos x es sen x, recordemos que la derivada de la funci\u00f3n sen x es cos x y esto lo vamos a evaluar en estos dos limites de integraci\u00f3n,"}, {"start": 456.5, "end": 473.5, "text": " en pi sextos l\u00edmite inferior y pi tercios el l\u00edmite superior, entonces esto nos queda de la siguiente manera, sen pi tercios, all\u00ed evaluamos el l\u00edmite superior en la antiderivada,"}, {"start": 473.5, "end": 489.5, "text": " menos el sen pi sextos, evaluando el l\u00edmite inferior en la misma antiderivada y se resuelve esto, tendremos que el sen pi tercios,"}, {"start": 489.5, "end": 505.5, "text": " o sea el seno de 60 grados equivale a ra\u00edz de 3 medios y esto menos el seno de pi sextos, recordemos que pi sextos radianes corresponde a 30 grados,"}, {"start": 505.5, "end": 522.5, "text": " el seno de 30 grados es un medio y esto se puede escribir con denominador 2, fracciones homog\u00e9neas, dejamos el mismo denominador y arriba escribimos la resta de los numeradores,"}, {"start": 522.5, "end": 532.5, "text": " esto es el resultado de esta integral definida utilizando la segunda parte del teorema fundamental del calculo."}, {"start": 532.5, "end": 546.5, "text": " Geom\u00e9tricamente este resultado representa el \u00e1rea de esta figura que es el \u00e1rea que se tiene bajo la curva y igual a coseno de x,"}, {"start": 546.5, "end": 557.5, "text": " la funci\u00f3n que tenemos en el integrando comprendida entre pi sextos y pi tercios, los limites de integraci\u00f3n, entonces el valor de esta figura,"}, {"start": 557.5, "end": 574.5, "text": " esa \u00e1rea que se forma all\u00ed es este resultado que en forma decimal es aproximadamente 0.366 y si estamos calculando el \u00e1rea le agregamos unidades cuadradas."}, {"start": 574.5, "end": 588.5, "text": " Bien con esto terminamos la explicaci\u00f3n del teorema fundamental del calculo."}]

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PUNTOS CRÍTICOS EN UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo hallar los puntos críticos de una función de dos variables, decidiendo si son máximos, mínimos o puntos de silla. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

Para esta función de dos variables vamos a determinar si tiene puntos máximos, mínimos o puntos de silla. Comenzamos por encontrar las derivadas parciales de primer y segundo orden. Vamos con las de primer orden. Tenemos fx, o sea la derivada parcial de la función con respecto a la variable x. Recordemos que allí la otra variable, o sea la y, se comporta como una constante. Tenemos entonces la derivada de este término que es 28x, la derivada de este término que sería menos 6x al cuadrado, la derivada de este término sería cero porque aquí no tenemos la x, todo esto es constante. Y la derivada de este término con respecto a x sería más 4y. Tenemos entonces la primera derivada de la función con respecto a x. Vamos ahora con la derivada parcial con respecto a la variable y. Ahora la letra x es la que se comporta como constante. Comencemos. Derivada de este término sería cero porque aquí no tenemos la y. Lo mismo sucede con este término. Su derivada es cero. Llegamos a este, donde la derivada es 4y. Y para este último término su derivada parcial con respecto a y es más 4x. Estas son las derivadas parciales del primer orden. Vamos ahora con las de segundo orden. Comenzamos con fxx, que significa la derivada parcial de esta fx nuevamente con respecto a x. Entonces aquí vamos a considerar la y como constante. Comenzamos con la derivada de 28x que sería 28 y la derivada de este término que sería menos 12x. Para el caso de 4y su derivada es cero porque aquí no tenemos la x que es la variable que controla esta derivada de segundo orden. Vamos ahora con la derivada de fx nuevamente con respecto a y. Ahora la x será constante. Entonces tenemos derivada de 4y que es 4 y la derivada de 4x por ser un término constante es cero. Nos queda por encontrar lo que es la derivada mixta o cruzada fxy que significa la derivada de fx con respecto a la variable y. O sea que la x se comporta como constante. Entonces la derivada de este término sería cero. Lo mismo sucede con este término que no contiene la y, su derivada es cero. Y llegamos a este donde la derivada parcial con respecto a y es 4. Recordemos que esta nos da lo mismo que si calculamos fx. O sea derivar esta con respecto a x. En ese caso la derivada de esto es cero y la derivada de 4x nos da el mismo número 4. Por aquí escribimos las derivadas parciales que encontramos. Las de primer orden y las de segundo orden. Y enseguida vamos a determinar donde la función presenta puntos críticos. Y para ello lo que tenemos que hacer es igualar a cero las primeras derivadas parciales. Tenemos entonces fx igual a cero que sería 28x menos 6x cuadrado más 4y igual a cero. Una ecuación que podemos dividir a ambos lados entre dos. Para hacerla más simple nos queda entonces 14x menos 3x al cuadrado más 2y igual a cero. Y esta ecuación la llamamos número uno. Ahora hacemos la otra derivada parcial de primer orden igualada a cero. Tenemos 4y más 4x igual a cero. Y aquí por ejemplo podríamos despejar la y de una vez. Entonces nos queda 4y igual a menos 4x despejando y. 4 está multiplicando pasa a dividir al otro lado y nos queda y igual a menos x. Y esta ecuación la etiquetamos con el número 2. Llegamos a lo que se llama un sistema de ecuaciones de 2 por 2. Dos ecuaciones con dos incógnitas. Entonces ahora nuestro problema es dar solución a este sistema de ecuaciones. Podemos hacer una sustitución. Sustituir esto que tenemos en la expresión 2 en la expresión 1. Entonces decimos la expresión 2 se sustituye en la número 1. Es decir donde está y aquí vamos a reemplazar menos x. Nos queda 14x menos 3x al cuadrado más 2 por y que se cambia o se sustituye por menos x. Y todo esto igual a cero. Entonces vamos a resolver esta ecuación. Tendremos 14x menos 3x al cuadrado. Aquí tenemos menos 2x igual a cero. Operamos términos semejantes. 14x menos 2x nos da 12x. Esto menos 3x al cuadrado igual a cero. Y aquí podemos resolver esta ecuación que es cuadrática por el método de factorización. Aquí podemos extraer factor común 3x que es factor de 4 menos x. Y todo esto igualado a cero. Como aquí tenemos multiplicación podemos aplicar el teorema del factor nulo. Vamos a recordarlo rápidamente. Si a por b es igual a cero entonces a es igual a cero o b es igual a cero. Entonces allá lo que hacemos es igualar a cero cada uno de los factores. 3x es igual a cero o 4 menos x igual a cero. Y en cada caso despejamos x. Por acá x será igual a cero dividido entre tres que nos da cero. Y por acá despejando x nos da como resultado 4 positivo. Entonces tenemos los valores de x en los cuales la función tiene puntos críticos. Conociendo los valores de x podemos encontrar entonces los valores de y aquí en la expresión 2. Resulta sencillo traer esos números acá para encontrar los correspondientes valores de y. Y así conformar los puntos críticos de la función. Punto crítico 1 y punto crítico 2. El punto crítico 1 ocurre cuando x vale cero. Si acá traemos el valor x igual a cero nos da y igual a cero. Allí tenemos el primer punto crítico. Y el segundo ocurre cuando x vale 4. Si 4 lo traemos aquí nos da y igual a menos 4. Entonces allí están los dos puntos críticos de la función. Sabiendo que la función tiene esos dos puntos críticos, nuestro problema ahora es clasificarlos en las categorías de máximo, mínimo o punto de silla. Y uno de los parámetros que nos ayuda a esa clasificación se llama el discriminante. Vamos entonces a determinar ese discriminante que se simboliza con la letra D. Entonces D es igual a fxx segunda derivada parcial de la función con respecto a x por fyy segunda derivada parcial de la función con respecto a y menos la derivada parcial cruzada o mixta al cuadrado. Esa es la fórmula para encontrar el discriminante. Vamos a reemplazar cada uno de los componentes. Fxx es 28 menos 12x esto por fyy que vale 4 menos fxy que vale 4 y esto al cuadrado. Aquí vamos a aplicar propiedad distributiva con ese 4. Tenemos D igual a 4 por 28 que es 112, 4 por menos 12x da menos 48x y aquí resolvemos esa potencia y nos da 16. Resolviendo la operación entre estos dos números nos da como resultado 96 menos 48x y esto representa el discriminante. Ahora lo que vamos a necesitar para la clasificación de los puntos críticos es la segunda derivada parcial de la función con respecto a x que es 38 menos 12x la segunda derivada parcial de la función con respecto a y que tiene un valor fijo en 4 y el discriminante que nos acaba de dar 96 menos 48x. Ahora evaluamos cada uno de estos puntos críticos en estos tres parámetros. Veamos entonces, comenzamos con el punto crítico 1, la pareja 0,0 y vamos a determinar el valor de fxx, el valor de fyy y el discriminante para este punto crítico. Entonces veamos, lo que hacemos por ejemplo para fxx es tomar el valor x que es 0 si aquí x vale 0 nos da como resultado 28, fyy permanece fijo en 4 y el discriminante lo que hace es tomar el valor x que es 0 aquí si x se reemplaza por 0 nos da como resultado para el discriminante 96. Tenemos entonces discriminante positivo y estos dos parámetros también positivos. Cuando esto sucede tenemos que el punto crítico es clasificado como mínimo local. Entonces ya queda establecido que clase de punto crítico es el número 1. Ahora hacemos lo mismo para el punto crítico 2 que es la pareja 4,-4. Veamos fxx, venimos acá con el valor x que es 4, tenemos que menos 12 por 4 da menos 48 entonces 28 menos 48 da como resultado menos 20, fyy permanece otra vez fijo en 4 y acá en el discriminante si x toma el valor 4 entonces tenemos menos 48 por 4 que es menos 192 y 96 menos 192 da como resultado menos 96. Entonces tenemos discriminante negativo, este parámetro negativo y este positivo. Entonces cuando esto sucede tenemos que el punto crítico examinado es un punto de silla. Esto ocurre principalmente cuando el discriminante es negativo. Esta podría ser la respuesta al ejercicio pues ya sabemos donde la función presenta mínimo local y donde tiene punto de silla pero queda más completa si entregamos como resultados los puntos espaciales o sea las ternas x,y y z. Para ese propósito tomamos la función original que es la que nos va a entregar el valor de z. Entonces vamos con la pareja 0,0,x vale 0,y vale 0, reemplazamos acá y obtenemos z igual a 0. Entonces añadimos la tercera componente y ya tenemos el punto espacial o sea el origen, la terna 0,0,0. Y hacemos lo mismo con el otro punto crítico si x vale 4 y y vale menos 4 aquí en toda la expresión obtenemos como resultado z igual a 64. Entonces este es el punto espacial donde la función está presentando punto de silla. Con esto damos por terminado el ejercicio. Tenemos para esta función sus puntos críticos ya clasificados.

[{"start": 0.0, "end": 11.0, "text": " Para esta funci\u00f3n de dos variables vamos a determinar si tiene puntos m\u00e1ximos, m\u00ednimos o puntos de silla."}, {"start": 12.0, "end": 19.0, "text": " Comenzamos por encontrar las derivadas parciales de primer y segundo orden."}, {"start": 19.0, "end": 28.0, "text": " Vamos con las de primer orden. Tenemos fx, o sea la derivada parcial de la funci\u00f3n con respecto a la variable x."}, {"start": 28.0, "end": 34.0, "text": " Recordemos que all\u00ed la otra variable, o sea la y, se comporta como una constante."}, {"start": 34.0, "end": 46.0, "text": " Tenemos entonces la derivada de este t\u00e9rmino que es 28x, la derivada de este t\u00e9rmino que ser\u00eda menos 6x al cuadrado,"}, {"start": 46.0, "end": 53.0, "text": " la derivada de este t\u00e9rmino ser\u00eda cero porque aqu\u00ed no tenemos la x, todo esto es constante."}, {"start": 53.0, "end": 61.0, "text": " Y la derivada de este t\u00e9rmino con respecto a x ser\u00eda m\u00e1s 4y."}, {"start": 61.0, "end": 67.0, "text": " Tenemos entonces la primera derivada de la funci\u00f3n con respecto a x."}, {"start": 67.0, "end": 73.0, "text": " Vamos ahora con la derivada parcial con respecto a la variable y."}, {"start": 73.0, "end": 78.0, "text": " Ahora la letra x es la que se comporta como constante."}, {"start": 78.0, "end": 84.0, "text": " Comencemos. Derivada de este t\u00e9rmino ser\u00eda cero porque aqu\u00ed no tenemos la y."}, {"start": 84.0, "end": 88.0, "text": " Lo mismo sucede con este t\u00e9rmino. Su derivada es cero."}, {"start": 88.0, "end": 93.0, "text": " Llegamos a este, donde la derivada es 4y."}, {"start": 93.0, "end": 103.0, "text": " Y para este \u00faltimo t\u00e9rmino su derivada parcial con respecto a y es m\u00e1s 4x."}, {"start": 103.0, "end": 109.0, "text": " Estas son las derivadas parciales del primer orden."}, {"start": 109.0, "end": 112.0, "text": " Vamos ahora con las de segundo orden."}, {"start": 112.0, "end": 122.0, "text": " Comenzamos con fxx, que significa la derivada parcial de esta fx nuevamente con respecto a x."}, {"start": 122.0, "end": 127.0, "text": " Entonces aqu\u00ed vamos a considerar la y como constante."}, {"start": 127.0, "end": 137.0, "text": " Comenzamos con la derivada de 28x que ser\u00eda 28 y la derivada de este t\u00e9rmino que ser\u00eda menos 12x."}, {"start": 137.0, "end": 149.0, "text": " Para el caso de 4y su derivada es cero porque aqu\u00ed no tenemos la x que es la variable que controla esta derivada de segundo orden."}, {"start": 149.0, "end": 159.0, "text": " Vamos ahora con la derivada de fx nuevamente con respecto a y."}, {"start": 159.0, "end": 162.0, "text": " Ahora la x ser\u00e1 constante."}, {"start": 162.0, "end": 171.0, "text": " Entonces tenemos derivada de 4y que es 4 y la derivada de 4x por ser un t\u00e9rmino constante es cero."}, {"start": 171.0, "end": 183.0, "text": " Nos queda por encontrar lo que es la derivada mixta o cruzada fxy que significa la derivada de fx con respecto a la variable y."}, {"start": 183.0, "end": 187.0, "text": " O sea que la x se comporta como constante."}, {"start": 187.0, "end": 190.0, "text": " Entonces la derivada de este t\u00e9rmino ser\u00eda cero."}, {"start": 190.0, "end": 195.0, "text": " Lo mismo sucede con este t\u00e9rmino que no contiene la y, su derivada es cero."}, {"start": 195.0, "end": 201.0, "text": " Y llegamos a este donde la derivada parcial con respecto a y es 4."}, {"start": 201.0, "end": 206.0, "text": " Recordemos que esta nos da lo mismo que si calculamos fx."}, {"start": 206.0, "end": 210.0, "text": " O sea derivar esta con respecto a x."}, {"start": 210.0, "end": 219.0, "text": " En ese caso la derivada de esto es cero y la derivada de 4x nos da el mismo n\u00famero 4."}, {"start": 219.0, "end": 225.0, "text": " Por aqu\u00ed escribimos las derivadas parciales que encontramos."}, {"start": 225.0, "end": 229.0, "text": " Las de primer orden y las de segundo orden."}, {"start": 229.0, "end": 237.0, "text": " Y enseguida vamos a determinar donde la funci\u00f3n presenta puntos cr\u00edticos."}, {"start": 237.0, "end": 246.0, "text": " Y para ello lo que tenemos que hacer es igualar a cero las primeras derivadas parciales."}, {"start": 246.0, "end": 260.0, "text": " Tenemos entonces fx igual a cero que ser\u00eda 28x menos 6x cuadrado m\u00e1s 4y igual a cero."}, {"start": 260.0, "end": 266.0, "text": " Una ecuaci\u00f3n que podemos dividir a ambos lados entre dos."}, {"start": 266.0, "end": 280.0, "text": " Para hacerla m\u00e1s simple nos queda entonces 14x menos 3x al cuadrado m\u00e1s 2y igual a cero."}, {"start": 280.0, "end": 288.0, "text": " Y esta ecuaci\u00f3n la llamamos n\u00famero uno."}, {"start": 288.0, "end": 296.0, "text": " Ahora hacemos la otra derivada parcial de primer orden igualada a cero."}, {"start": 296.0, "end": 304.0, "text": " Tenemos 4y m\u00e1s 4x igual a cero."}, {"start": 304.0, "end": 309.0, "text": " Y aqu\u00ed por ejemplo podr\u00edamos despejar la y de una vez."}, {"start": 309.0, "end": 315.0, "text": " Entonces nos queda 4y igual a menos 4x despejando y."}, {"start": 315.0, "end": 322.0, "text": " 4 est\u00e1 multiplicando pasa a dividir al otro lado y nos queda y igual a menos x."}, {"start": 322.0, "end": 329.0, "text": " Y esta ecuaci\u00f3n la etiquetamos con el n\u00famero 2."}, {"start": 329.0, "end": 335.0, "text": " Llegamos a lo que se llama un sistema de ecuaciones de 2 por 2."}, {"start": 335.0, "end": 337.0, "text": " Dos ecuaciones con dos inc\u00f3gnitas."}, {"start": 337.0, "end": 343.0, "text": " Entonces ahora nuestro problema es dar soluci\u00f3n a este sistema de ecuaciones."}, {"start": 343.0, "end": 345.0, "text": " Podemos hacer una sustituci\u00f3n."}, {"start": 345.0, "end": 351.0, "text": " Sustituir esto que tenemos en la expresi\u00f3n 2 en la expresi\u00f3n 1."}, {"start": 351.0, "end": 357.0, "text": " Entonces decimos la expresi\u00f3n 2 se sustituye en la n\u00famero 1."}, {"start": 357.0, "end": 362.0, "text": " Es decir donde est\u00e1 y aqu\u00ed vamos a reemplazar menos x."}, {"start": 362.0, "end": 377.0, "text": " Nos queda 14x menos 3x al cuadrado m\u00e1s 2 por y que se cambia o se sustituye por menos x."}, {"start": 377.0, "end": 379.0, "text": " Y todo esto igual a cero."}, {"start": 379.0, "end": 382.0, "text": " Entonces vamos a resolver esta ecuaci\u00f3n."}, {"start": 382.0, "end": 386.0, "text": " Tendremos 14x menos 3x al cuadrado."}, {"start": 386.0, "end": 391.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos menos 2x igual a cero."}, {"start": 391.0, "end": 393.0, "text": " Operamos t\u00e9rminos semejantes."}, {"start": 393.0, "end": 398.0, "text": " 14x menos 2x nos da 12x."}, {"start": 398.0, "end": 402.0, "text": " Esto menos 3x al cuadrado igual a cero."}, {"start": 402.0, "end": 409.0, "text": " Y aqu\u00ed podemos resolver esta ecuaci\u00f3n que es cuadr\u00e1tica por el m\u00e9todo de factorizaci\u00f3n."}, {"start": 409.0, "end": 417.0, "text": " Aqu\u00ed podemos extraer factor com\u00fan 3x que es factor de 4 menos x."}, {"start": 417.0, "end": 421.0, "text": " Y todo esto igualado a cero."}, {"start": 421.0, "end": 428.0, "text": " Como aqu\u00ed tenemos multiplicaci\u00f3n podemos aplicar el teorema del factor nulo."}, {"start": 428.0, "end": 430.0, "text": " Vamos a recordarlo r\u00e1pidamente."}, {"start": 430.0, "end": 440.0, "text": " Si a por b es igual a cero entonces a es igual a cero o b es igual a cero."}, {"start": 440.0, "end": 446.0, "text": " Entonces all\u00e1 lo que hacemos es igualar a cero cada uno de los factores."}, {"start": 446.0, "end": 452.0, "text": " 3x es igual a cero o 4 menos x igual a cero."}, {"start": 452.0, "end": 455.0, "text": " Y en cada caso despejamos x."}, {"start": 455.0, "end": 461.0, "text": " Por ac\u00e1 x ser\u00e1 igual a cero dividido entre tres que nos da cero."}, {"start": 461.0, "end": 466.0, "text": " Y por ac\u00e1 despejando x nos da como resultado 4 positivo."}, {"start": 466.0, "end": 476.0, "text": " Entonces tenemos los valores de x en los cuales la funci\u00f3n tiene puntos cr\u00edticos."}, {"start": 476.0, "end": 484.0, "text": " Conociendo los valores de x podemos encontrar entonces los valores de y aqu\u00ed en la expresi\u00f3n 2."}, {"start": 484.0, "end": 491.0, "text": " Resulta sencillo traer esos n\u00fameros ac\u00e1 para encontrar los correspondientes valores de y."}, {"start": 491.0, "end": 496.0, "text": " Y as\u00ed conformar los puntos cr\u00edticos de la funci\u00f3n."}, {"start": 496.0, "end": 500.0, "text": " Punto cr\u00edtico 1 y punto cr\u00edtico 2."}, {"start": 500.0, "end": 504.0, "text": " El punto cr\u00edtico 1 ocurre cuando x vale cero."}, {"start": 504.0, "end": 509.0, "text": " Si ac\u00e1 traemos el valor x igual a cero nos da y igual a cero."}, {"start": 509.0, "end": 513.0, "text": " All\u00ed tenemos el primer punto cr\u00edtico."}, {"start": 513.0, "end": 516.0, "text": " Y el segundo ocurre cuando x vale 4."}, {"start": 516.0, "end": 521.0, "text": " Si 4 lo traemos aqu\u00ed nos da y igual a menos 4."}, {"start": 521.0, "end": 527.0, "text": " Entonces all\u00ed est\u00e1n los dos puntos cr\u00edticos de la funci\u00f3n."}, {"start": 527.0, "end": 531.0, "text": " Sabiendo que la funci\u00f3n tiene esos dos puntos cr\u00edticos,"}, {"start": 531.0, "end": 539.0, "text": " nuestro problema ahora es clasificarlos en las categor\u00edas de m\u00e1ximo, m\u00ednimo o punto de silla."}, {"start": 539.0, "end": 548.0, "text": " Y uno de los par\u00e1metros que nos ayuda a esa clasificaci\u00f3n se llama el discriminante."}, {"start": 548.0, "end": 558.0, "text": " Vamos entonces a determinar ese discriminante que se simboliza con la letra D."}, {"start": 558.0, "end": 566.0, "text": " Entonces D es igual a fxx segunda derivada parcial de la funci\u00f3n con respecto a x"}, {"start": 566.0, "end": 571.0, "text": " por fyy segunda derivada parcial de la funci\u00f3n con respecto a y"}, {"start": 571.0, "end": 576.0, "text": " menos la derivada parcial cruzada o mixta al cuadrado."}, {"start": 576.0, "end": 581.0, "text": " Esa es la f\u00f3rmula para encontrar el discriminante."}, {"start": 581.0, "end": 584.0, "text": " Vamos a reemplazar cada uno de los componentes."}, {"start": 584.0, "end": 600.0, "text": " Fxx es 28 menos 12x esto por fyy que vale 4 menos fxy que vale 4 y esto al cuadrado."}, {"start": 600.0, "end": 606.0, "text": " Aqu\u00ed vamos a aplicar propiedad distributiva con ese 4."}, {"start": 606.0, "end": 617.0, "text": " Tenemos D igual a 4 por 28 que es 112, 4 por menos 12x da menos 48x"}, {"start": 617.0, "end": 621.0, "text": " y aqu\u00ed resolvemos esa potencia y nos da 16."}, {"start": 621.0, "end": 631.0, "text": " Resolviendo la operaci\u00f3n entre estos dos n\u00fameros nos da como resultado 96 menos 48x"}, {"start": 631.0, "end": 636.0, "text": " y esto representa el discriminante."}, {"start": 636.0, "end": 644.0, "text": " Ahora lo que vamos a necesitar para la clasificaci\u00f3n de los puntos cr\u00edticos es"}, {"start": 644.0, "end": 653.0, "text": " la segunda derivada parcial de la funci\u00f3n con respecto a x que es 38 menos 12x"}, {"start": 653.0, "end": 662.0, "text": " la segunda derivada parcial de la funci\u00f3n con respecto a y que tiene un valor fijo en 4"}, {"start": 662.0, "end": 674.0, "text": " y el discriminante que nos acaba de dar 96 menos 48x."}, {"start": 674.0, "end": 681.0, "text": " Ahora evaluamos cada uno de estos puntos cr\u00edticos en estos tres par\u00e1metros."}, {"start": 681.0, "end": 690.0, "text": " Veamos entonces, comenzamos con el punto cr\u00edtico 1, la pareja 0,0"}, {"start": 690.0, "end": 704.0, "text": " y vamos a determinar el valor de fxx, el valor de fyy y el discriminante"}, {"start": 704.0, "end": 706.0, "text": " para este punto cr\u00edtico."}, {"start": 706.0, "end": 713.0, "text": " Entonces veamos, lo que hacemos por ejemplo para fxx es tomar el valor x que es 0"}, {"start": 713.0, "end": 722.0, "text": " si aqu\u00ed x vale 0 nos da como resultado 28, fyy permanece fijo en 4"}, {"start": 722.0, "end": 728.0, "text": " y el discriminante lo que hace es tomar el valor x que es 0"}, {"start": 728.0, "end": 735.0, "text": " aqu\u00ed si x se reemplaza por 0 nos da como resultado para el discriminante 96."}, {"start": 735.0, "end": 743.0, "text": " Tenemos entonces discriminante positivo y estos dos par\u00e1metros tambi\u00e9n positivos."}, {"start": 743.0, "end": 754.0, "text": " Cuando esto sucede tenemos que el punto cr\u00edtico es clasificado como m\u00ednimo local."}, {"start": 754.0, "end": 763.0, "text": " Entonces ya queda establecido que clase de punto cr\u00edtico es el n\u00famero 1."}, {"start": 763.0, "end": 774.0, "text": " Ahora hacemos lo mismo para el punto cr\u00edtico 2 que es la pareja 4,-4."}, {"start": 774.0, "end": 784.0, "text": " Veamos fxx, venimos ac\u00e1 con el valor x que es 4, tenemos que menos 12 por 4 da menos 48"}, {"start": 784.0, "end": 794.0, "text": " entonces 28 menos 48 da como resultado menos 20, fyy permanece otra vez fijo en 4"}, {"start": 794.0, "end": 804.0, "text": " y ac\u00e1 en el discriminante si x toma el valor 4 entonces tenemos menos 48 por 4 que es menos 192"}, {"start": 804.0, "end": 811.0, "text": " y 96 menos 192 da como resultado menos 96."}, {"start": 811.0, "end": 820.0, "text": " Entonces tenemos discriminante negativo, este par\u00e1metro negativo y este positivo."}, {"start": 820.0, "end": 832.0, "text": " Entonces cuando esto sucede tenemos que el punto cr\u00edtico examinado es un punto de silla."}, {"start": 832.0, "end": 839.0, "text": " Esto ocurre principalmente cuando el discriminante es negativo."}, {"start": 839.0, "end": 847.0, "text": " Esta podr\u00eda ser la respuesta al ejercicio pues ya sabemos donde la funci\u00f3n presenta m\u00ednimo local"}, {"start": 847.0, "end": 857.0, "text": " y donde tiene punto de silla pero queda m\u00e1s completa si entregamos como resultados los puntos espaciales"}, {"start": 857.0, "end": 862.0, "text": " o sea las ternas x,y y z."}, {"start": 862.0, "end": 873.0, "text": " Para ese prop\u00f3sito tomamos la funci\u00f3n original que es la que nos va a entregar el valor de z."}, {"start": 873.0, "end": 883.0, "text": " Entonces vamos con la pareja 0,0,x vale 0,y vale 0, reemplazamos ac\u00e1 y obtenemos z igual a 0."}, {"start": 883.0, "end": 895.0, "text": " Entonces a\u00f1adimos la tercera componente y ya tenemos el punto espacial o sea el origen, la terna 0,0,0."}, {"start": 895.0, "end": 905.0, "text": " Y hacemos lo mismo con el otro punto cr\u00edtico si x vale 4 y y vale menos 4 aqu\u00ed en toda la expresi\u00f3n"}, {"start": 905.0, "end": 919.0, "text": " obtenemos como resultado z igual a 64. Entonces este es el punto espacial donde la funci\u00f3n est\u00e1 presentando punto de silla."}, {"start": 919.0, "end": 936.0, "text": " Con esto damos por terminado el ejercicio. Tenemos para esta funci\u00f3n sus puntos cr\u00edticos ya clasificados."}]

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INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS - Ejercicio 4

#julioprofe explica cómo resolver la integral indefinida ∫ dx / (1 + cosx + senx) Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver esta integral indefinida que contiene seno y coseno en el denominador. Comenzamos por correr el diferencial de x por acá a la derecha y aquí en el numerador escribimos el número 1. Vamos a continuar por acá. Después vamos a hacer la agrupación con paréntesis de estos dos términos en el denominador para que nos quede un binomio. Vemos que originalmente hay tres términos pero al hacer esta agrupación nos quedan solamente dos, o sea un binomio. Vamos a multiplicar por lo que se llama el conjugado de esta expresión. Vamos a trazar una línea para escribir el conjugado del denominador que sería 1 menos entre paréntesis coseno de x más seno de x. Todo esto en el denominador y la misma expresión en el numerador. Allí tenemos entonces, hemos multiplicado por el conjugado del denominador arriba y abajo y todo esto con su diferencial de x. Ahora vamos a multiplicar estas dos fracciones. Multiplicamos numeradores entre sí. 1 por todo esto nos da esto mismo. Entonces 1 menos entre paréntesis coseno de x más seno de x y en el denominador multiplicamos estas dos expresiones y allí es donde se aplica el producto notable llamado suma por diferencia y que origina una diferencia de cuadrados. O sea la primera cantidad al cuadrado menos la segunda cantidad elevada al cuadrado. Aquí tenemos esa situación. Entonces tendremos 1 al cuadrado que es 1 menos esta expresión elevada al cuadrado. Entonces vamos a escribirla así con paréntesis y elevada al cuadrado. Todo esto con su diferencial de x. El siguiente paso es destruir el paréntesis en el numerador. Entonces nos queda 1 menos coseno de x menos seno de x. Y en el denominador vamos a desarrollar este binomio elevado al cuadrado. Entonces tenemos 1 menos. Abrimos el paréntesis y aplicamos el producto notable que se llama binomio elevado al cuadrado. Vamos a recordarlo. Esto es igual al primer término al cuadrado más dos veces el primero por el segundo más el segundo elevado al cuadrado. Entonces aquí tenemos coseno al cuadrado de x, el primero al cuadrado, más dos veces el primero por el segundo o sea 2 coseno de x por seno de x y esto más el segundo término elevado al cuadrado, o sea seno al cuadrado de x. Extendemos esta línea, escribimos el diferencial de x y vamos a continuar por acá. Dejamos el numerador tal como está y en el denominador vamos a aplicar la identidad fundamental de la trigonometría. Recordemos que seno al cuadrado de x más coseno al cuadrado de x equivale a 1. Entonces tendremos 1 más 2 coseno de x seno de x. Cerramos el paréntesis y escribimos el diferencial de x. Volvemos a dejar el numerador tal como está y en el denominador vamos a destruir el paréntesis. Nos queda 1 menos 1 menos 2 coseno de x por seno de x y escribimos el diferencial de x. Vamos a continuar el ejercicio por acá. Entonces tendremos la integral de, en el numerador la misma expresión 1 menos coseno de x menos seno de x y en el denominador vamos a eliminar estos dos números que son opuestos. Entonces sumamos 0 y nos queda menos 2 coseno de x seno de x y escribimos el diferencial de x. En seguida vamos a repartir el denominador para cada uno de los términos que tenemos en el numerador. Entonces tenemos 1 sobre menos 2 coseno de x seno de x menos coseno de x sobre menos 2 coseno de x seno de x menos seno de x y todo eso sobre menos 2 coseno de x seno de x y protegemos toda esa expresión con un paréntesis y escribimos al final el diferencial de x. En este primer término vamos a trasladar el signo negativo al numerador, entonces nos queda menos 1 y en el denominador 2 coseno de x por seno de x se convierte en seno de 2x, allí utilizamos la identidad para el seno del ángulo doble, recordemos la dice seno de 2teta es igual a 2 por el seno de teta por el coseno de teta. Aquí lo tenemos, esto está en otro orden pero no interesa porque es multiplicación y lo llevamos a esta forma al seno del ángulo doble. Por aquí aplicamos ley de los signos, nos queda más, en el numerador tenemos coseno de x también en el denominador y entonces tendremos 1 sobre 2 seno de x. Y por acá también aplicamos ley de los signos, nos queda más, se puede simplificar seno de x que está arriba y abajo, nos queda 1 en el numerador y en el denominador 2 por coseno de x. Cerramos el paréntesis que protege la expresión y escribimos el diferencial de x. En seguida vamos a aplicar identidades trigonométricas, recordemos que 1 sobre el seno de un ángulo es igual o equivale a la cosecante de ese ángulo. Y también si tenemos 1 sobre coseno del ángulo teta, esto es igual a secante de teta, son dos identidades trigonométricas básicas, entonces las vamos a aplicar aquí en esta expresión. Para el caso de la primera dejamos el signo menos y 1 sobre seno de 2x utilizando esto nos da cosecante de 2x más dejamos 1 medio, esto es como si tuviéramos 1 medio por 1 sobre seno de x. Entonces dejamos 1 medio y 1 sobre seno de x aplicando esto nos da cosecante de x más aquí la misma situación, 1 medio por 1 sobre coseno de x que equivale a secante, entonces secante de x. Ahora dejemos toda esta expresión con corchete y escribimos el diferencial de x. Vamos a continuar por acá y vamos a repartir la integral para cada uno de estos componentes o de esos términos. Vamos con el primero donde el signo menos puede quedar por fuera y nos queda la integral de cosecante de 2x con su correspondiente diferencial de x. Más integral de esto donde podemos escribir 1 medio por fuera, entonces 1 medio de la integral de cosecante de x con su diferencial de x más la integral de esto donde tenemos 1 medio por fuera integral de secante de x con su respectivo diferencial de x. Ahora nuestro problema consiste en resolver cada una de estas integrales. Vamos a colocar una marca por aquí este asterisco de tal manera que cuando tengamos resueltas esas 3 integrales entonces regresamos a este paso y escribimos sus resultados. Vamos a comenzar con esta que la vamos a llamar la integral número 1, después continuaremos con esta integral número 2 y finalmente vamos a resolver esta que es la número 3. Vamos con la primera, tenemos la integral de cosecante de x con su diferencial de x y vamos a utilizar un artificio matemático que consiste en multiplicar cosecante de x por la fracción que contiene cosecante de x más cotangente de x. Tanto en el numerador como en el denominador y escribimos el diferencial de x. Esto es lo que se llama un artificio matemático, es como una estrategia que nos permite darle salida a esta integral. Nos queda entonces en el numerador cosecante de x que multiplica a cosecante más cotangente aplicamos propiedad distributiva. Tenemos entonces cosecante al cuadrado de x más cosecante por cotangente. Y en el denominador, aquí hay un 1 que multiplica con esto, nos queda cosecante de x más cotangente de x y todo esto con su correspondiente diferencial de x. Aquí vamos a efectuar una sustitución donde vamos a escoger el denominador como una nueva variable, vamos a llamarla P. P es igual a cosecante de x más cotangente de x. Esto lo vamos a derivar, entonces tenemos que la derivada de P con respecto a x es igual a derivada de cosecante de x que es menos cosecante de x por cotangente de x. Y la derivada de cotangente de x que es menos cosecante al cuadrado de x. Y de allí vamos a realizar el despeje de dx. Vamos a continuarlo por acá. Dx será igual a dP sobre todo esto. Entonces menos cosecante de x por cotangente de x menos cosecante al cuadrado de x. Vamos a extender esta línea y de allí a su vez vamos a extraer factor común aquí en el denominador el signo negativo. Nos queda entonces dP en el numerador y en el denominador menos, abrimos paréntesis cosecante de x por cotangente de x más cosecante al cuadrado de x. Cerramos allí y todo esto lo vamos a destacar porque lo necesitamos para reconstruir esta integral. Al reemplazar estos dos componentes aquí nos queda lo siguiente. Integral de lo del numerador continua igual cosecante al cuadrado de x más cosecante de x por cotangente de x. En el denominador esta expresión corresponde a la letra P y todo esto multiplicado por dx que equivale a toda esta expresión. Entonces vamos a escribirla por acá. Tenemos dP en el numerador y menos paréntesis cosecante de x por cotangente de x más cosecante al cuadrado de x en el denominador. Esa es la reconstrucción de esta integral en términos de la nueva variable. Aquí podemos cancelar estas dos expresiones por ser iguales y nos queda la integral de en el numerador dP y en el denominador P por menos uno. Por lo menos debemos conservarlo y queda entonces menos P. Esto es lo mismo que extraer el signo negativo y lo podemos ver también como la integral de 1 sobre P con su diferencial dP que corresponde a una de las integrales básicas. Recordemos que esto es igual al logaritmo natural de valor absoluto de P sin olvidar el signo negativo que tenemos por fuera. Aquí vamos a reemplazar P por su expresión equivalente. Tenemos menos logaritmo natural de valor absoluto de cosecante de x más cotangente de x. Aquí podríamos escribir más C si queremos pero por ahora la constante de integración no nos interesa. Esa la escribimos al final de todo el ejercicio. Aquí tenemos entonces el resultado de la primera integral. Pasamos a la segunda integral que es la de cosecante de 2x con su correspondiente diferencial de x. Vamos a ver cuanto da eso. En la integral vamos a utilizar justamente la que acabamos de obtener. Es decir la integral de cosecante de x con su diferencial de x nos acaba de dar esto. Menos logaritmo natural de valor absoluto de cosecante de x más cotangente de x. Aquí vamos a cambiar x por otra letra. Vamos a utilizar por ejemplo la w. Entonces donde está la x escribimos en su lugar w y vamos a realizar una sustitución que consiste en decir que w es igual a 2x. Es decir justamente lo que necesitamos obtener la cosecante de 2x. Como aquí tenemos cosecante de w vamos a asignarle a la w la expresión 2x. Esto lo vamos a derivar. Derivada de w con respecto a x sería igual a 2. Y de aquí vamos a despejar de w que corresponde a 2 por dx. Entonces esto lo destacamos y vamos a reconstruir esta expresión, esta integral que ya obtuvimos en términos de la nueva variable. Nos queda de la siguiente manera. Integral de la cosecante de w que es 2x por dw que sería 2dx igual a menos logaritmo natural de valor absoluto de cosecante de 2x más cotangente de 2x. Cambiando dw por 2x tal como lo hemos establecido. Y de aquí vamos a extraer este número 2. Lo vamos a escribir por fuera. Entonces nos queda 2 por la integral de cosecante de 2x con su diferencial de x igual a todo esto. Y finalmente para llegar a esta expresión pasamos el 2 que está multiplicando al otro lado a dividir. Podríamos escribir todo esto dividido entre 2 o simplemente acompañar esta expresión aquí adelante de la fracción 1 medio. Entonces vamos a escribir lo mejor así 1 medio por todo esto. Entonces el menos va a la izquierda de 1 medio y tenemos el logaritmo natural de esta expresión. Más cotangente de 2x cerramos el valor absoluto y de esta manera nos queda ya lista la integral número 2. Vamos ahora con la tercera integral que es la de secante de x. Para resolver esta integral vamos a utilizar un artificio muy parecido al que usamos cuando se resolvió la integral de cosecante de x. En este caso vamos a multiplicar y a dividir por secante de x más tangente de x. Esa será la estrategia para dar solución a esta integral. Escribimos el diferencial de x. Vamos a multiplicar ahora numeradores entre sí y denominadores entre sí. En el numerador tendremos secante que se distribuye para estos dos términos. Secante de x por secante de x es secante al cuadrado de x más secante de x por tangente de x y todo esto sobre esto mismo. Recordemos que aquí hay denominador 1, 1 por esto nos da la misma expresión. Y escribimos el diferencial de x. Enseguida vamos a utilizar aquí una sustitución. Vamos a escoger con la letra z a todo el denominador secante de x más tangente de x. Y esto lo vamos a derivar. Decimos derivada de z con respecto a x es igual a derivada de la secante que es secante de x por tangente de x más derivada de la tangente de x que es secante al cuadrado de x. Y de aquí vamos a despejar el diferencial de x. Entonces dx será dz sobre todo esto. Esto pasa a multiplicar y todo esto pasa a dividir debajo del diferencial de z. Entonces dz sobre secante de x por tangente de x más secante al cuadrado de x. Esto lo vamos a destacar para utilizarlo en la reconstrucción de esta integral. Al reemplazar estos dos componentes en esta integral nos queda de la siguiente manera. En el numerador tendremos la misma expresión secante al cuadrado de x más secante de x por tangente de x. En el denominador secante más tangente corresponde a la letra z y esto multiplicado por dx que equivale a esa expresión dz sobre secante de x por tangente de x más secante al cuadrado de x. Aquí podemos simplificar la expresión cancelando estas dos sumas que tenemos arriba y abajo. Y entonces nos queda la integral de dz sobre z que la podemos también escribir como la integral de 1 sobre z con su respectivo diferencial de z. Y esta es una integral básica es igual a logaritmo natural o logaritmo neperiano de valor absoluto de z. Y allí la z se cambia por su expresión equivalente que sería secante de x más tangente de x. Y de esta manera obtenemos la respuesta a la integral número 3. Cuando ya se tienen las tres integrales resueltas entonces regresamos al paso donde habíamos colocado la marca del asterisco. Entonces entramos a la recta final del ejercicio y vamos a dar su respuesta. Ahora el caso de esta primera integral que está precedida de signo negativo entonces esta respuesta se convierte en positiva. Nos queda un medio de logaritmo natural de valor absoluto de cosecante de 2x más cotangente de 2x. Y cerramos el valor absoluto. Vamos a la siguiente esta integral es negativa multiplicada por un medio positivo entonces nos da menos un medio del logaritmo natural de cosecante de x más cotangente de x. Y llegamos a la última integral que está multiplicada por un medio entonces vamos a escribirla por acá un medio del logaritmo natural de secante de x más tangente de x. Y a todo esto le agregamos la constante de integración. Allí es el momento de escribirla. En las integrales que se hicieron durante el procedimiento vemos que no era necesario estar escribiendo la constante de integración. Pero si hay necesidad de escribirla en el resultado final. Con esto terminamos esta explicación y esta es la respuesta a la integral originalmente planteada.

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Integral de lo del numerador continua igual cosecante al cuadrado de x m\u00e1s cosecante de x por cotangente de x."}, {"start": 912.0, "end": 925.0, "text": " En el denominador esta expresi\u00f3n corresponde a la letra P y todo esto multiplicado por dx que equivale a toda esta expresi\u00f3n."}, {"start": 925.0, "end": 945.0, "text": " Entonces vamos a escribirla por ac\u00e1. Tenemos dP en el numerador y menos par\u00e9ntesis cosecante de x por cotangente de x m\u00e1s cosecante al cuadrado de x en el denominador."}, {"start": 945.0, "end": 953.0, "text": " Esa es la reconstrucci\u00f3n de esta integral en t\u00e9rminos de la nueva variable."}, {"start": 953.0, "end": 973.0, "text": " Aqu\u00ed podemos cancelar estas dos expresiones por ser iguales y nos queda la integral de en el numerador dP y en el denominador P por menos uno."}, {"start": 973.0, "end": 993.0, "text": " Por lo menos debemos conservarlo y queda entonces menos P. Esto es lo mismo que extraer el signo negativo y lo podemos ver tambi\u00e9n como la integral de 1 sobre P con su diferencial dP que corresponde a una de las integrales b\u00e1sicas."}, {"start": 993.0, "end": 1006.0, "text": " Recordemos que esto es igual al logaritmo natural de valor absoluto de P sin olvidar el signo negativo que tenemos por fuera."}, {"start": 1006.0, "end": 1023.0, "text": " Aqu\u00ed vamos a reemplazar P por su expresi\u00f3n equivalente. Tenemos menos logaritmo natural de valor absoluto de cosecante de x m\u00e1s cotangente de x."}, {"start": 1023.0, "end": 1029.0, "text": " Aqu\u00ed podr\u00edamos escribir m\u00e1s C si queremos pero por ahora la constante de integraci\u00f3n no nos interesa."}, {"start": 1029.0, "end": 1040.0, "text": " Esa la escribimos al final de todo el ejercicio. Aqu\u00ed tenemos entonces el resultado de la primera integral."}, {"start": 1040.0, "end": 1059.0, "text": " Pasamos a la segunda integral que es la de cosecante de 2x con su correspondiente diferencial de x. Vamos a ver cuanto da eso."}, {"start": 1059.0, "end": 1071.0, "text": " En la integral vamos a utilizar justamente la que acabamos de obtener. Es decir la integral de cosecante de x con su diferencial de x nos acaba de dar esto."}, {"start": 1071.0, "end": 1085.0, "text": " Menos logaritmo natural de valor absoluto de cosecante de x m\u00e1s cotangente de x."}, {"start": 1085.0, "end": 1094.0, "text": " Aqu\u00ed vamos a cambiar x por otra letra. Vamos a utilizar por ejemplo la w."}, {"start": 1094.0, "end": 1117.0, "text": " Entonces donde est\u00e1 la x escribimos en su lugar w y vamos a realizar una sustituci\u00f3n que consiste en decir que w es igual a 2x."}, {"start": 1117.0, "end": 1130.0, "text": " Es decir justamente lo que necesitamos obtener la cosecante de 2x. Como aqu\u00ed tenemos cosecante de w vamos a asignarle a la w la expresi\u00f3n 2x."}, {"start": 1130.0, "end": 1148.0, "text": " Esto lo vamos a derivar. Derivada de w con respecto a x ser\u00eda igual a 2. Y de aqu\u00ed vamos a despejar de w que corresponde a 2 por dx."}, {"start": 1148.0, "end": 1164.0, "text": " Entonces esto lo destacamos y vamos a reconstruir esta expresi\u00f3n, esta integral que ya obtuvimos en t\u00e9rminos de la nueva variable."}, {"start": 1164.0, "end": 1193.0, "text": " Nos queda de la siguiente manera. Integral de la cosecante de w que es 2x por dw que ser\u00eda 2dx igual a menos logaritmo natural de valor absoluto de cosecante de 2x m\u00e1s cotangente de 2x."}, {"start": 1193.0, "end": 1207.0, "text": " Cambiando dw por 2x tal como lo hemos establecido. Y de aqu\u00ed vamos a extraer este n\u00famero 2. Lo vamos a escribir por fuera."}, {"start": 1207.0, "end": 1230.0, "text": " Entonces nos queda 2 por la integral de cosecante de 2x con su diferencial de x igual a todo esto."}, {"start": 1230.0, "end": 1249.0, "text": " Y finalmente para llegar a esta expresi\u00f3n pasamos el 2 que est\u00e1 multiplicando al otro lado a dividir. Podr\u00edamos escribir todo esto dividido entre 2 o simplemente acompa\u00f1ar esta expresi\u00f3n aqu\u00ed adelante de la fracci\u00f3n 1 medio."}, {"start": 1249.0, "end": 1265.0, "text": " Entonces vamos a escribir lo mejor as\u00ed 1 medio por todo esto. Entonces el menos va a la izquierda de 1 medio y tenemos el logaritmo natural de esta expresi\u00f3n."}, {"start": 1265.0, "end": 1281.0, "text": " M\u00e1s cotangente de 2x cerramos el valor absoluto y de esta manera nos queda ya lista la integral n\u00famero 2."}, {"start": 1281.0, "end": 1300.0, "text": " Vamos ahora con la tercera integral que es la de secante de x. Para resolver esta integral vamos a utilizar un artificio muy parecido al que usamos cuando se resolvi\u00f3 la integral de cosecante de x."}, {"start": 1300.0, "end": 1318.0, "text": " En este caso vamos a multiplicar y a dividir por secante de x m\u00e1s tangente de x. Esa ser\u00e1 la estrategia para dar soluci\u00f3n a esta integral."}, {"start": 1318.0, "end": 1335.0, "text": " Escribimos el diferencial de x. Vamos a multiplicar ahora numeradores entre s\u00ed y denominadores entre s\u00ed. En el numerador tendremos secante que se distribuye para estos dos t\u00e9rminos."}, {"start": 1335.0, "end": 1351.0, "text": " Secante de x por secante de x es secante al cuadrado de x m\u00e1s secante de x por tangente de x y todo esto sobre esto mismo."}, {"start": 1351.0, "end": 1375.0, "text": " Recordemos que aqu\u00ed hay denominador 1, 1 por esto nos da la misma expresi\u00f3n. Y escribimos el diferencial de x. Enseguida vamos a utilizar aqu\u00ed una sustituci\u00f3n."}, {"start": 1375.0, "end": 1391.0, "text": " Vamos a escoger con la letra z a todo el denominador secante de x m\u00e1s tangente de x."}, {"start": 1391.0, "end": 1416.0, "text": " Y esto lo vamos a derivar. Decimos derivada de z con respecto a x es igual a derivada de la secante que es secante de x por tangente de x m\u00e1s derivada de la tangente de x que es secante al cuadrado de x."}, {"start": 1416.0, "end": 1436.0, "text": " Y de aqu\u00ed vamos a despejar el diferencial de x. Entonces dx ser\u00e1 dz sobre todo esto. Esto pasa a multiplicar y todo esto pasa a dividir debajo del diferencial de z."}, {"start": 1436.0, "end": 1458.0, "text": " Entonces dz sobre secante de x por tangente de x m\u00e1s secante al cuadrado de x. Esto lo vamos a destacar para utilizarlo en la reconstrucci\u00f3n de esta integral."}, {"start": 1458.0, "end": 1467.0, "text": " Al reemplazar estos dos componentes en esta integral nos queda de la siguiente manera."}, {"start": 1467.0, "end": 1478.0, "text": " En el numerador tendremos la misma expresi\u00f3n secante al cuadrado de x m\u00e1s secante de x por tangente de x."}, {"start": 1478.0, "end": 1507.0, "text": " En el denominador secante m\u00e1s tangente corresponde a la letra z y esto multiplicado por dx que equivale a esa expresi\u00f3n dz sobre secante de x por tangente de x m\u00e1s secante al cuadrado de x."}, {"start": 1507.0, "end": 1519.0, "text": " Aqu\u00ed podemos simplificar la expresi\u00f3n cancelando estas dos sumas que tenemos arriba y abajo."}, {"start": 1519.0, "end": 1543.0, "text": " Y entonces nos queda la integral de dz sobre z que la podemos tambi\u00e9n escribir como la integral de 1 sobre z con su respectivo diferencial de z."}, {"start": 1543.0, "end": 1553.0, "text": " Y esta es una integral b\u00e1sica es igual a logaritmo natural o logaritmo neperiano de valor absoluto de z."}, {"start": 1553.0, "end": 1564.0, "text": " Y all\u00ed la z se cambia por su expresi\u00f3n equivalente que ser\u00eda secante de x m\u00e1s tangente de x."}, {"start": 1564.0, "end": 1574.0, "text": " Y de esta manera obtenemos la respuesta a la integral n\u00famero 3."}, {"start": 1574.0, "end": 1585.0, "text": " Cuando ya se tienen las tres integrales resueltas entonces regresamos al paso donde hab\u00edamos colocado la marca del asterisco."}, {"start": 1585.0, "end": 1592.0, "text": " Entonces entramos a la recta final del ejercicio y vamos a dar su respuesta."}, {"start": 1592.0, "end": 1601.0, "text": " Ahora el caso de esta primera integral que est\u00e1 precedida de signo negativo entonces esta respuesta se convierte en positiva."}, {"start": 1601.0, "end": 1613.0, "text": " Nos queda un medio de logaritmo natural de valor absoluto de cosecante de 2x m\u00e1s cotangente de 2x."}, {"start": 1613.0, "end": 1615.0, "text": " Y cerramos el valor absoluto."}, {"start": 1615.0, "end": 1636.0, "text": " Vamos a la siguiente esta integral es negativa multiplicada por un medio positivo entonces nos da menos un medio del logaritmo natural de cosecante de x m\u00e1s cotangente de x."}, {"start": 1636.0, "end": 1654.0, "text": " Y llegamos a la \u00faltima integral que est\u00e1 multiplicada por un medio entonces vamos a escribirla por ac\u00e1 un medio del logaritmo natural de secante de x m\u00e1s tangente de x."}, {"start": 1654.0, "end": 1664.0, "text": " Y a todo esto le agregamos la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 1664.0, "end": 1666.0, "text": " All\u00ed es el momento de escribirla."}, {"start": 1666.0, "end": 1676.0, "text": " En las integrales que se hicieron durante el procedimiento vemos que no era necesario estar escribiendo la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 1676.0, "end": 1681.0, "text": " Pero si hay necesidad de escribirla en el resultado final."}, {"start": 1681.0, "end": 1694.0, "text": " Con esto terminamos esta explicaci\u00f3n y esta es la respuesta a la integral originalmente planteada."}]

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DIFERENCIA ENTRE PERMUTACIONES Y COMBINACIONES

#julioprofe explica con un ejemplo la diferencia que existe entre las Permutaciones y las Combinaciones. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

Vamos a ver la diferencia que existe entre una permutación y una combinación. Para ello vamos a considerar cuatro equipos de fútbol A, B, C y D que son finalistas de un torneo. Un ejemplo de permutación es este. ¿De cuántas maneras pueden quedar asignados los títulos de campeón y subcampeón? Una posibilidad puede ser campeón A, subcampeón B. Otra puede ser campeón A, subcampeón C. Y la otra puede ser campeón A, subcampeón D. Y así mismo con las demás letras que representan los equipos de fútbol. Campeón B, subcampeón A. Luego B con C. Después B con D. Luego siendo campeón el equipo C, subcampeón A. C con B. C con D. Y después siendo campeón D, subcampeón A. O subcampeón B. O el caso en que sea subcampeón el equipo C. Entonces tenemos 12 posibilidades. Aquí la respuesta sería 12. 12 maneras distintas en que pueden quedar asignados los títulos de campeón y subcampeón. Observamos entonces que en la permutación importa la posición de los elementos en el grupo. En ese caso tenemos 4 equipos de fútbol para asignarlos en 2 posiciones. Que son la de campeón y la de subcampeón. Entonces una posibilidad es AB y otra muy diferente es BA. A pesar de ser los mismos dos elementos. Entonces eso es lo que caracteriza a la permutación. Que interesa la posición de los elementos en el grupo formado. Para el caso de las permutaciones existe una fórmula que dice lo siguiente. NPR es igual a N factorial sobre N menos R factorial. Es decir si tenemos un grupo de N elementos. Como aquí que tenemos 4 equipos de fútbol. Y los vamos a organizar en subconjuntos de 2 elementos. R valdría 2. Entonces con esta fórmula encontramos el número de posibilidades. Que pueden darse interesando la posición de los elementos en el subconjunto formado. Vamos a reemplazar los datos que tenemos para la situación que planteamos de permutación. Tenemos 4 equipos de fútbol que van a ser acomodados en 2 posiciones. Recordemos que es la de campeón y subcampeón. Entonces reemplazamos en la fórmula N vale 4. Entonces tenemos 4 factorial. Y en la parte de abajo tenemos 4 menos 2 factorial. Esto es igual a 4 factorial en el numerador. Y aquí en el denominador resolvemos esta resta. Nos da 2 factorial. Vamos a resolver esta operación. Tenemos que en el numerador 4 factorial es 4 por 3 por 2 por 1. Estamos utilizando el concepto de factorial. Y en el denominador 2 factorial es 2 por 1. Podemos simplificar en este caso el 2. El 1 realmente no interviene allí. No afecta para nada las operaciones. Y nos queda en el numerador 4 por 3 que es 12. Nos da entonces el 12 que habíamos obtenido cuando formamos las distintas parejas. Son 12 maneras diferentes de asignar los títulos de campeón y subcampeón. En las calculadoras científicas viene esta función. En pantalla nos aparece de esta manera. Y el resultado que nos da la calculadora es 12. Veamos ahora un ejemplo de combinación. Dice, ¿Cuántos son los posibles partidos para definir los títulos de campeón y subcampeón? Las posibilidades que se pueden dar para el partido de la final del torneo son A enfrentado con B, que sería la misma posibilidad que B enfrentado con A. Otra sería A con C. Otra sería A con D. Otra sería B con C. Luego B con D. Y la otra posibilidad es C enfrentado con D. Tenemos entonces un total de seis posibilidades. Para esta pregunta la respuesta sería 6. Entonces en la combinación interesa es la presencia de los elementos en el grupo formado. No interesa la posición como si sucede en las permutaciones. Para el caso de las combinaciones contamos con la siguiente fórmula. Dice, NCR es igual a N factorial sobre N-CR factorial por R factorial. Una fórmula muy parecida a la de las permutaciones. La diferencia está en que aquí en el denominador se incorpora un elemento adicional que es R factorial. Entonces también se aplica para el caso de N elementos organizados en subconjuntos de R elementos sin importar la posición que ocupen en ese subconjunto formado. Vamos a aplicar esta fórmula para la situación que acabamos de mirar en combinaciones. Tenemos cuatro equipos de fútbol para mirar de qué manera pueden presentarse parejas entre ellos. Es decir, lo que corresponde al partido de la final del torneo. Tenemos entonces en el numerador 4 factorial. En el denominador 4-2 factorial por R factorial, o sea 2 factorial. Y resolvemos todas estas operaciones. Comenzamos por lo que hay dentro del paréntesis. Entonces tendremos 4 factorial sobre 4-2 que es 2 factorial y esto multiplicado por 2 factorial. Desarrollamos en el numerador 4 factorial. Esto es 4 por 3 por 2 por 1. Y en el denominador 2 factorial que es 2 por 1 por nuevamente 2 factorial que es 2 por 1. Simplificamos lo que se pueda allí. Tenemos que este 2 se puede simplificar con este 2. Aquí podemos sacar mitad de 2 y mitad de 4. Mitad de 2 es 1, mitad de 4 es 2. Y nos queda únicamente en el numerador 2 por 3 que es igual a 6. O sea el número de posibles partidos para definir el título de campeón y subcampeón de ese torneo. También en la calculadora científica contamos con esta función. En pantalla nos aparece 4C2 y esto es igual a 6 que es el número de posibles combinaciones. Resumiendo lo que acabamos de ver tenemos que en las permutaciones interesa la posición de los elementos en el grupo formado. Mientras que en las combinaciones interesa la presencia de los elementos en el grupo formado. Aquí nos interesa que los elementos estén presentes en ese grupo o subconjunto que se forma. Mientras que acá es importante la posición que ocupen esos elementos en el grupo que se forma. Con esto terminamos la explicación de la diferencia entre permutación y combinación.

[{"start": 0.0, "end": 8.0, "text": " Vamos a ver la diferencia que existe entre una permutaci\u00f3n y una combinaci\u00f3n."}, {"start": 9.0, "end": 18.0, "text": " Para ello vamos a considerar cuatro equipos de f\u00fatbol A, B, C y D que son finalistas de un torneo."}, {"start": 19.0, "end": 22.0, "text": " Un ejemplo de permutaci\u00f3n es este."}, {"start": 22.0, "end": 30.0, "text": " \u00bfDe cu\u00e1ntas maneras pueden quedar asignados los t\u00edtulos de campe\u00f3n y subcampe\u00f3n?"}, {"start": 30.0, "end": 35.0, "text": " Una posibilidad puede ser campe\u00f3n A, subcampe\u00f3n B."}, {"start": 35.0, "end": 40.0, "text": " Otra puede ser campe\u00f3n A, subcampe\u00f3n C."}, {"start": 40.0, "end": 46.0, "text": " Y la otra puede ser campe\u00f3n A, subcampe\u00f3n D."}, {"start": 46.0, "end": 53.0, "text": " Y as\u00ed mismo con las dem\u00e1s letras que representan los equipos de f\u00fatbol."}, {"start": 53.0, "end": 56.0, "text": " Campe\u00f3n B, subcampe\u00f3n 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los elementos en el grupo."}, {"start": 107.0, "end": 114.0, "text": " En ese caso tenemos 4 equipos de f\u00fatbol para asignarlos en 2 posiciones."}, {"start": 114.0, "end": 117.0, "text": " Que son la de campe\u00f3n y la de subcampe\u00f3n."}, {"start": 117.0, "end": 123.0, "text": " Entonces una posibilidad es AB y otra muy diferente es BA."}, {"start": 123.0, "end": 127.0, "text": " A pesar de ser los mismos dos elementos."}, {"start": 127.0, "end": 131.0, "text": " Entonces eso es lo que caracteriza a la permutaci\u00f3n."}, {"start": 131.0, "end": 137.0, "text": " Que interesa la posici\u00f3n de los elementos en el grupo formado."}, {"start": 137.0, "end": 143.0, "text": " Para el caso de las permutaciones existe una f\u00f3rmula que dice lo siguiente."}, {"start": 143.0, "end": 155.0, "text": " NPR es igual a N factorial sobre N menos R factorial."}, {"start": 155.0, "end": 159.0, "text": " Es decir si tenemos un grupo de N elementos."}, {"start": 159.0, "end": 162.0, "text": " Como aqu\u00ed que tenemos 4 equipos de f\u00fatbol."}, {"start": 162.0, "end": 167.0, "text": " Y los vamos a organizar en subconjuntos de 2 elementos."}, {"start": 167.0, "end": 169.0, "text": " R valdr\u00eda 2."}, {"start": 169.0, "end": 175.0, "text": " Entonces con esta f\u00f3rmula encontramos el n\u00famero de posibilidades."}, {"start": 175.0, "end": 182.0, "text": " Que pueden darse interesando la posici\u00f3n de los elementos en el subconjunto formado."}, {"start": 182.0, "end": 188.0, "text": " Vamos a reemplazar los datos que tenemos para la situaci\u00f3n que planteamos de permutaci\u00f3n."}, {"start": 188.0, "end": 195.0, "text": " Tenemos 4 equipos de f\u00fatbol que van a ser acomodados en 2 posiciones."}, {"start": 195.0, "end": 199.0, "text": " Recordemos que es la de campe\u00f3n y subcampe\u00f3n."}, {"start": 199.0, "end": 203.0, "text": " Entonces reemplazamos en la f\u00f3rmula N vale 4."}, {"start": 203.0, "end": 206.0, "text": " Entonces tenemos 4 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263.0, "text": " Y nos queda en el numerador 4 por 3 que es 12."}, {"start": 263.0, "end": 269.0, "text": " Nos da entonces el 12 que hab\u00edamos obtenido cuando formamos las distintas parejas."}, {"start": 269.0, "end": 277.0, "text": " Son 12 maneras diferentes de asignar los t\u00edtulos de campe\u00f3n y subcampe\u00f3n."}, {"start": 277.0, "end": 282.0, "text": " En las calculadoras cient\u00edficas viene esta funci\u00f3n."}, {"start": 282.0, "end": 286.0, "text": " En pantalla nos aparece de esta manera."}, {"start": 286.0, "end": 293.0, "text": " Y el resultado que nos da la calculadora es 12."}, {"start": 293.0, "end": 296.0, "text": " Veamos ahora un ejemplo de combinaci\u00f3n."}, {"start": 296.0, "end": 304.0, "text": " Dice, \u00bfCu\u00e1ntos son los posibles partidos para definir los t\u00edtulos de campe\u00f3n y subcampe\u00f3n?"}, {"start": 304.0, "end": 311.0, "text": " Las posibilidades que se pueden dar para el partido de la final del torneo son"}, {"start": 311.0, "end": 319.0, "text": " A enfrentado con B, que ser\u00eda la misma posibilidad que B enfrentado con A."}, {"start": 319.0, "end": 322.0, "text": " Otra ser\u00eda A con C."}, {"start": 322.0, "end": 326.0, "text": " Otra ser\u00eda A con D."}, {"start": 326.0, "end": 331.0, "text": " Otra ser\u00eda B con C."}, {"start": 331.0, "end": 335.0, "text": " Luego B con D."}, {"start": 335.0, "end": 341.0, "text": " Y la otra posibilidad es C enfrentado con D."}, {"start": 341.0, "end": 346.0, "text": " Tenemos entonces un total de seis posibilidades."}, {"start": 346.0, "end": 350.0, "text": " Para esta pregunta la respuesta ser\u00eda 6."}, {"start": 350.0, "end": 358.0, "text": " Entonces en la combinaci\u00f3n interesa es la presencia de los elementos en el grupo formado."}, {"start": 358.0, "end": 364.0, "text": " No interesa la posici\u00f3n como si sucede en las permutaciones."}, {"start": 364.0, "end": 369.0, "text": " Para el caso de las combinaciones contamos con la siguiente f\u00f3rmula."}, {"start": 369.0, "end": 384.0, "text": " Dice, NCR es igual a N factorial sobre N-CR factorial por R factorial."}, {"start": 384.0, "end": 388.0, "text": " Una f\u00f3rmula muy parecida a la de las permutaciones."}, {"start": 388.0, "end": 396.0, "text": " La diferencia est\u00e1 en que aqu\u00ed en el denominador se incorpora un elemento adicional que es R factorial."}, {"start": 396.0, "end": 405.0, "text": " Entonces tambi\u00e9n se aplica para el caso de N elementos organizados en subconjuntos de R elementos"}, {"start": 405.0, "end": 410.0, "text": " sin importar la posici\u00f3n que ocupen en ese subconjunto formado."}, {"start": 410.0, "end": 415.0, "text": " Vamos a aplicar esta f\u00f3rmula para la situaci\u00f3n que acabamos de mirar en combinaciones."}, {"start": 415.0, "end": 423.0, "text": " Tenemos cuatro equipos de f\u00fatbol para mirar de qu\u00e9 manera pueden presentarse parejas entre ellos."}, {"start": 423.0, "end": 428.0, "text": " Es decir, lo que corresponde al partido de la final del torneo."}, {"start": 428.0, "end": 432.0, "text": " Tenemos entonces en el numerador 4 factorial."}, {"start": 432.0, "end": 442.0, "text": " En el denominador 4-2 factorial por R factorial, o sea 2 factorial."}, {"start": 442.0, "end": 445.0, "text": " Y resolvemos todas estas operaciones."}, {"start": 445.0, "end": 449.0, "text": " Comenzamos por lo que hay dentro del par\u00e9ntesis."}, {"start": 449.0, "end": 459.0, "text": " Entonces tendremos 4 factorial sobre 4-2 que es 2 factorial y esto multiplicado por 2 factorial."}, {"start": 459.0, "end": 463.0, "text": " Desarrollamos en el numerador 4 factorial."}, {"start": 463.0, "end": 467.0, "text": " Esto es 4 por 3 por 2 por 1."}, {"start": 467.0, "end": 476.0, "text": " Y en el denominador 2 factorial que es 2 por 1 por nuevamente 2 factorial que es 2 por 1."}, {"start": 476.0, "end": 479.0, "text": " Simplificamos lo que se pueda all\u00ed."}, {"start": 479.0, "end": 483.0, "text": " Tenemos que este 2 se puede simplificar con este 2."}, {"start": 483.0, "end": 486.0, "text": " Aqu\u00ed podemos sacar mitad de 2 y mitad de 4."}, {"start": 486.0, "end": 490.0, "text": " Mitad de 2 es 1, mitad de 4 es 2."}, {"start": 490.0, "end": 497.0, "text": " Y nos queda \u00fanicamente en el numerador 2 por 3 que es igual a 6."}, {"start": 497.0, "end": 507.0, "text": " O sea el n\u00famero de posibles partidos para definir el t\u00edtulo de campe\u00f3n y subcampe\u00f3n de ese torneo."}, {"start": 507.0, "end": 512.0, "text": " Tambi\u00e9n en la calculadora cient\u00edfica contamos con esta funci\u00f3n."}, {"start": 512.0, "end": 523.0, "text": " En pantalla nos aparece 4C2 y esto es igual a 6 que es el n\u00famero de posibles combinaciones."}, {"start": 523.0, "end": 533.0, "text": " Resumiendo lo que acabamos de ver tenemos que en las permutaciones interesa la posici\u00f3n de los elementos en el grupo formado."}, {"start": 533.0, "end": 541.0, "text": " Mientras que en las combinaciones interesa la presencia de los elementos en el grupo formado."}, {"start": 541.0, "end": 548.0, "text": " Aqu\u00ed nos interesa que los elementos est\u00e9n presentes en ese grupo o subconjunto que se forma."}, {"start": 548.0, "end": 557.0, "text": " Mientras que ac\u00e1 es importante la posici\u00f3n que ocupen esos elementos en el grupo que se forma."}, {"start": 557.0, "end": 571.0, "text": " Con esto terminamos la explicaci\u00f3n de la diferencia entre permutaci\u00f3n y combinaci\u00f3n."}]

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ECUACIONES LOGARÍTMICAS - Ejercicio 6

#julioprofe explica cómo resolver una ecuación que contiene logaritmos de diferentes bases. Tema: #EcuacionesLogarítmicas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwGy9_WwQrZrw9iTXiKDua5T REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver esta ecuación donde podemos observar logaritmos con diferentes bases. Comenzamos utilizando una propiedad de los logaritmos llamada cambio de base. Esta propiedad dice lo siguiente. Si tenemos el logaritmo en base A de una cantidad X, esto se puede escribir como logaritmo en base C de X. Todo esto sobre logaritmo en base C de A. Nos permite pasar de la base A a otra base, en este caso llamada C, a una base que sea de nuestro interés. En este caso nos conviene llevar todos estos logaritmos a la base 3. Vamos a utilizar esta propiedad para cambiar estos dos logaritmos en dicha base. Nos queda logaritmo en base 3 de X. Este primer logaritmo no sufre ningún cambio. Vamos con este que lo vamos a convertir en logaritmo base 3 utilizando el cambio de base. Nos queda logaritmo en base 3 de X sobre logaritmo en base 3 de 9. Hacemos lo mismo con este logaritmo. Tendremos logaritmo en base 3 de X sobre logaritmo en base 3 de 27. Todo esto igualado a 55 sextos. Hemos visto como con la propiedad del cambio de base se han transformado estos dos logaritmos a expresiones con logaritmo en base 3. Ahora vamos a ver a cuanto equivalen estos dos logaritmos. Recordemos que el logaritmo en la base A de una cantidad B igual a una cantidad C significa que A elevada al exponente C nos tiene que dar como resultado B. Y esto es de doble vía. Forma logaritmica, forma exponencial. Podemos pasar de una a la otra. Vamos a ver a cuanto equivale logaritmo en base 3 de 9 haciendo uso de esta definición. Si tenemos logaritmo en base 3 de 9 esto será igual al número al cual tenemos que elevar el 3 para que nos de como resultado 9. Ese número es el 2. 3 elevado a la 2, o sea 3 al cuadrado nos da como resultado 9 utilizando esta definición. Y también podemos encontrar el valor del logaritmo en base 3 de 27. 3 elevado a que número nos da 27? Ese número que buscamos es el 3. 3 elevado a la 3, o sea 3 al cubo nos da como resultado 27. Estamos utilizando la definición de los logaritmos. Entonces este logaritmo en base 3 de 9 se convierte en 2. Y este logaritmo en base 3 de 27 se convierte en 3. Podemos entonces escribir la ecuación de esta manera. Aquí observamos el 2 que obtuvimos, el 3 que nos dio por aquí. Y al primer logaritmo simplemente le escribimos denominador 1. Ahora nuestro problema es resolver esta suma de fracciones con distinto denominador. O sea, fracciones heterogéneas. En ese caso necesitamos el mínimo común múltiplo de estos 3 números que es el 6. Entonces vamos a trazar esta línea y vamos a escribir el número 6 aquí como común denominador. Entonces decimos 6 dividido entre 1 nos da 6. 6 multiplica por esto y nos queda 6 logaritmo en base 3 de X. Más 6 dividido entre 2 que nos da 3. 3 multiplica con esto nos da 3 logaritmo en base 3 de X. Más 6 dividido entre 3 que nos da 2. 2 multiplica con esto y nos da 2 logaritmo en base 3 de X. Y todo esto lo igualamos con 55 sextos. En el numerador observamos la suma de términos semejantes. Todos tienen logaritmo en base 3 de X. Entonces sumamos los coeficientes. Eso nos da como resultado 11. Entonces 11 logaritmo en base 3 de X. Todo esto sobre 6 y eso igual a 55 sextos. En esta igualdad es permitido simplificar el número 6 que está en ambos denominadores. Es como si multiplicáramos por 6 ambos lados de la igualdad. Con eso lograríamos eliminar este denominador. Nos queda entonces 11 logaritmo en base 3 de X igual a 55. Después pasamos este número 11 que está multiplicando al otro lado a dividir. Tenemos logaritmo en base 3 de X igual a 55 dividido entre 11. Y eso nos da logaritmo en base 3 de X igual a 5 resolviendo esta división. Finalmente esto que está en forma logarítmica lo vamos a llevar a forma exponencial. Tal como vimos hace un momento. Nos damos que 3 elevado al exponente 5 nos tiene que dar como resultado X. Entonces 3 a la 5 es igual a X. Desarrollamos esta potencia y nos da como resultado X igual a 243. Que será la solución a esta ecuación. Y hasta entonces terminamos este ejercicio.

[{"start": 0.0, "end": 9.0, "text": " Vamos a resolver esta ecuaci\u00f3n donde podemos observar logaritmos con diferentes bases."}, {"start": 9.0, "end": 16.0, "text": " Comenzamos utilizando una propiedad de los logaritmos llamada cambio de base."}, {"start": 16.0, "end": 18.0, "text": " Esta propiedad dice lo siguiente."}, {"start": 18.0, "end": 30.0, "text": " Si tenemos el logaritmo en base A de una cantidad X, esto se puede escribir como logaritmo en base C de X."}, {"start": 30.0, "end": 35.0, "text": " Todo esto sobre logaritmo en base C de A."}, {"start": 35.0, "end": 45.0, "text": " Nos permite pasar de la base A a otra base, en este caso llamada C, a una base que sea de nuestro inter\u00e9s."}, {"start": 45.0, "end": 52.0, "text": " En este caso nos conviene llevar todos estos logaritmos a la base 3."}, {"start": 52.0, "end": 59.0, "text": " Vamos a utilizar esta propiedad para cambiar estos dos logaritmos en dicha base."}, {"start": 59.0, "end": 67.0, "text": " Nos queda logaritmo en base 3 de X. Este primer logaritmo no sufre ning\u00fan cambio."}, {"start": 67.0, "end": 75.0, "text": " Vamos con este que lo vamos a convertir en logaritmo base 3 utilizando el cambio de base."}, {"start": 75.0, "end": 85.0, "text": " Nos queda logaritmo en base 3 de X sobre logaritmo en base 3 de 9."}, {"start": 85.0, "end": 100.0, "text": " Hacemos lo mismo con este logaritmo. Tendremos logaritmo en base 3 de X sobre logaritmo en base 3 de 27."}, {"start": 100.0, "end": 105.0, "text": " Todo esto igualado a 55 sextos."}, {"start": 105.0, "end": 118.0, "text": " Hemos visto como con la propiedad del cambio de base se han transformado estos dos logaritmos a expresiones con logaritmo en base 3."}, {"start": 118.0, "end": 123.0, "text": " Ahora vamos a ver a cuanto equivalen estos dos logaritmos."}, {"start": 123.0, "end": 140.0, "text": " Recordemos que el logaritmo en la base A de una cantidad B igual a una cantidad C significa que A elevada al exponente C nos tiene que dar como resultado B."}, {"start": 140.0, "end": 148.0, "text": " Y esto es de doble v\u00eda. Forma logaritmica, forma exponencial. Podemos pasar de una a la otra."}, {"start": 148.0, "end": 156.0, "text": " Vamos a ver a cuanto equivale logaritmo en base 3 de 9 haciendo uso de esta definici\u00f3n."}, {"start": 156.0, "end": 169.0, "text": " Si tenemos logaritmo en base 3 de 9 esto ser\u00e1 igual al n\u00famero al cual tenemos que elevar el 3 para que nos de como resultado 9."}, {"start": 169.0, "end": 171.0, "text": " Ese n\u00famero es el 2."}, {"start": 171.0, "end": 179.0, "text": " 3 elevado a la 2, o sea 3 al cuadrado nos da como resultado 9 utilizando esta definici\u00f3n."}, {"start": 179.0, "end": 187.0, "text": " Y tambi\u00e9n podemos encontrar el valor del logaritmo en base 3 de 27."}, {"start": 187.0, "end": 194.0, "text": " 3 elevado a que n\u00famero nos da 27? Ese n\u00famero que buscamos es el 3."}, {"start": 194.0, "end": 200.0, "text": " 3 elevado a la 3, o sea 3 al cubo nos da como resultado 27."}, {"start": 200.0, "end": 204.0, "text": " Estamos utilizando la definici\u00f3n de los logaritmos."}, {"start": 204.0, "end": 210.0, "text": " Entonces este logaritmo en base 3 de 9 se convierte en 2."}, {"start": 210.0, "end": 217.0, "text": " Y este logaritmo en base 3 de 27 se convierte en 3."}, {"start": 217.0, "end": 221.0, "text": " Podemos entonces escribir la ecuaci\u00f3n de esta manera."}, {"start": 221.0, "end": 226.0, "text": " Aqu\u00ed observamos el 2 que obtuvimos, el 3 que nos dio por aqu\u00ed."}, {"start": 226.0, "end": 232.0, "text": " Y al primer logaritmo simplemente le escribimos denominador 1."}, {"start": 232.0, "end": 239.0, "text": " Ahora nuestro problema es resolver esta suma de fracciones con distinto denominador."}, {"start": 239.0, "end": 242.0, "text": " O sea, fracciones heterog\u00e9neas."}, {"start": 242.0, "end": 249.0, "text": " En ese caso necesitamos el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de estos 3 n\u00fameros que es el 6."}, {"start": 249.0, "end": 259.0, "text": " Entonces vamos a trazar esta l\u00ednea y vamos a escribir el n\u00famero 6 aqu\u00ed como com\u00fan denominador."}, {"start": 259.0, "end": 264.0, "text": " Entonces decimos 6 dividido entre 1 nos da 6."}, {"start": 264.0, "end": 272.0, "text": " 6 multiplica por esto y nos queda 6 logaritmo en base 3 de X."}, {"start": 272.0, "end": 283.0, "text": " M\u00e1s 6 dividido entre 2 que nos da 3. 3 multiplica con esto nos da 3 logaritmo en base 3 de X."}, {"start": 283.0, "end": 288.0, "text": " M\u00e1s 6 dividido entre 3 que nos da 2."}, {"start": 288.0, "end": 295.0, "text": " 2 multiplica con esto y nos da 2 logaritmo en base 3 de X."}, {"start": 295.0, "end": 303.0, "text": " Y todo esto lo igualamos con 55 sextos."}, {"start": 303.0, "end": 309.0, "text": " En el numerador observamos la suma de t\u00e9rminos semejantes."}, {"start": 309.0, "end": 311.0, "text": " Todos tienen logaritmo en base 3 de X."}, {"start": 311.0, "end": 314.0, "text": " Entonces sumamos los coeficientes."}, {"start": 314.0, "end": 317.0, "text": " Eso nos da como resultado 11."}, {"start": 317.0, "end": 332.0, "text": " Entonces 11 logaritmo en base 3 de X. Todo esto sobre 6 y eso igual a 55 sextos."}, {"start": 332.0, "end": 339.0, "text": " En esta igualdad es permitido simplificar el n\u00famero 6 que est\u00e1 en ambos denominadores."}, {"start": 339.0, "end": 343.0, "text": " Es como si multiplic\u00e1ramos por 6 ambos lados de la igualdad."}, {"start": 343.0, "end": 347.0, "text": " Con eso lograr\u00edamos eliminar este denominador."}, {"start": 347.0, "end": 359.0, "text": " Nos queda entonces 11 logaritmo en base 3 de X igual a 55."}, {"start": 359.0, "end": 366.0, "text": " Despu\u00e9s pasamos este n\u00famero 11 que est\u00e1 multiplicando al otro lado a dividir."}, {"start": 366.0, "end": 375.0, "text": " Tenemos logaritmo en base 3 de X igual a 55 dividido entre 11."}, {"start": 375.0, "end": 384.0, "text": " Y eso nos da logaritmo en base 3 de X igual a 5 resolviendo esta divisi\u00f3n."}, {"start": 384.0, "end": 391.0, "text": " Finalmente esto que est\u00e1 en forma logar\u00edtmica lo vamos a llevar a forma exponencial."}, {"start": 391.0, "end": 394.0, "text": " Tal como vimos hace un momento."}, {"start": 394.0, "end": 400.0, "text": " Nos damos que 3 elevado al exponente 5 nos tiene que dar como resultado X."}, {"start": 400.0, "end": 406.0, "text": " Entonces 3 a la 5 es igual a X."}, {"start": 406.0, "end": 414.0, "text": " Desarrollamos esta potencia y nos da como resultado X igual a 243."}, {"start": 414.0, "end": 420.0, "text": " Que ser\u00e1 la soluci\u00f3n a esta ecuaci\u00f3n."}, {"start": 420.0, "end": 424.0, "text": " Y hasta entonces terminamos este ejercicio."}]

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DERIVADAS PARCIALES - Ejercicio 9

#julioprofe explica cómo obtener las primeras derivadas parciales de una función de tres variables. Tema: #DerivadasParciales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwE5sy6Z6D7DCmBY74P0qkCG REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Para esta función vamos a determinar sus derivadas parciales con respecto a las variables que involucra. Es decir, vamos a encontrar la derivada parcial con respecto a x, la derivada parcial con respecto a y y la derivada parcial con respecto a la variable z. Comenzamos con la derivada parcial de la función con respecto a x, que también puede escribirse de esta manera. Es la primera derivada parcial con respecto a x. En ese caso, las otras dos variables, y y z, se comportan como constantes. Entonces, lo que podemos hacer en este caso es asegurar de toda esta expresión aquello que permanece constante. Como tenemos pura multiplicación, entonces, escribemos primero aquellos elementos que van a permanecer fijos, o sea que son constantes. Se trata del 5 y se trata de toda esta expresión, seno de 3 y a la 4, z al cuadrado. Todo esto, entonces, permanece fijo por ser constante y multiplicamos por la derivada de lo que contiene la variable, o sea, la x. La derivada de x a la 6 es 6x a la 5 y posteriormente multiplicamos lo que se pueda. En este caso se puede multiplicar 5 por 6x a la 5, eso nos da 30x a la 5 acompañado de seno de 3 y a la 4 por z al cuadrado. Vamos entonces a escribir la primera derivada parcial con respecto a x. 30x a la 5, seno de 3 y a la 4, z al cuadrado. En seguida vamos a determinar la primera derivada parcial de la función con respecto a la variable y, que también puede escribirse de esta manera. En ese caso las otras dos variables, o sea x y z permanecen constantes, tienen ese comportamiento fijo. En toda esa expresión vamos a comenzar por asegurar lo que permanece constante. Se trata de todo este componente 5x a la 6 que lo escribimos de una vez por permanecer constante. Y nos vamos a ocupar de la derivada de esta expresión que es la que contiene la variable y. Esto hace parte de la función seno, entonces derivamos el seno. Recordemos que para derivar seno de una expresión, por ejemplo seno de la manzanita, tendremos que eso es igual a coseno de la manzanita por la derivada interna, o sea la derivada de la manzanita. O sea lo que llamamos la derivada del ángulo. En este caso la derivada del seno de todo esto será coseno de 3 y a la 4, z al cuadrado. Todo esto representa la manzanita y esto ahora multiplicado por la derivada interna, o sea la derivada de todo esto. Pero sería una derivada parcial con respecto a la variable y. No podemos olvidar eso. Siempre tener en cuenta cual es la variable con respecto de la cual se está haciendo la derivación. Entonces para derivar este componente aseguramos el componente constante, o sea 3 z al cuadrado se deja quieto y se procede a derivar la variable, o sea y a la 4 que sería 4 y a la 3. Allí tenemos entonces ya derivada la expresión. Vamos a entrar a polirla para que nos quede más corta. Entonces podemos multiplicar esto por esto que nos quedó al final. Tenemos 5 por 3, 15. 15 por 4, 60. Acomodamos las letras. Podemos organizarlas en orden alfabético. X a la 6, y a la 3, z al cuadrado y todo eso multiplicado por el coseno de 3 y a la 4, z al cuadrado. Vamos a escribir ese resultado por aquí. Primera derivada parcial de la función con respecto a y. 60x a la 6, y al cubo, z al cuadrado por coseno de 3 y a la 4, z al cuadrado. Por último vamos a determinar la derivada parcial de la función con respecto a z que también puede escribirse de esta manera. Ahora las letras x y y, o sea las otras dos variables son las que se van a comportar como constantes. Entonces comenzamos por asegurar en esta expresión aquello que permanece fijo, o sea la parte constante. Se trata de 5x a la 6. Por eso lo escribimos primero y nos vamos a ocupar de la derivada de todo este componente que es el que contiene la variable z. Tenemos nuevamente la derivada del seno, que será coseno de todo esto, de 3 y a la 4, z al cuadrado. Y esto multiplicado por la derivada interna, o sea la derivada de todo esto. Allí aseguramos también el componente constante que sería 3y a la 4 y posteriormente multiplicamos por aquello que es variable. O sea la derivada de z al cuadrado que es 2z. Esta es la derivada, pero vamos a entrar a polirla para que nos quede más corta. Tenemos entonces 5x3 que es 15, 15x2 nos da 30, 15x6 y4z y todo es acompañado de coseno de 3y4z al cuadrado. Y ese resultado lo escribimos por aquí. Bien, con esto terminamos el ejercicio. Hemos encontrado entonces las primeras derivadas parciales de esta función de tres variables.

[{"start": 0.0, "end": 10.0, "text": " Para esta funci\u00f3n vamos a determinar sus derivadas parciales con respecto a las variables que involucra."}, {"start": 10.0, "end": 22.0, "text": " Es decir, vamos a encontrar la derivada parcial con respecto a x, la derivada parcial con respecto a y y la derivada parcial con respecto a la variable z."}, {"start": 22.0, "end": 33.0, "text": " Comenzamos con la derivada parcial de la funci\u00f3n con respecto a x, que tambi\u00e9n puede escribirse de esta manera."}, {"start": 33.0, "end": 44.0, "text": " Es la primera derivada parcial con respecto a x. 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DESIGUALDADES RACIONALES - Ejercicio 2

#julioprofe explica cómo resolver una desigualdad racional. Tema: #Desigualdades → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEZkcrDeNKKyhTxj4A1b83M REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver esta desigualdad racional llamada así porque observamos la variable X presente en los denominadores de estas expresiones. Entonces, lo primero que necesitamos es tener el cero en el lado derecho tal como observamos en este caso. Si aquí tuviéramos términos, entonces los pasamos al lado izquierdo buscando que nos quede siempre el cero en el lado derecho. A continuación vamos a reducir estas operaciones a una sola fracción. Tenemos aquí operaciones de suma y resta de lo que se conoce como fracciones algebraicas. Comenzamos por escribirle denominador 1 a este primer término. Buscamos ahora el común denominador para estas tres fracciones que será X por X más 1. Ese será el común denominador. Decimos entonces esto dividido entre 1 nos da esto mismo y al multiplicar por 1 nos queda esa expresión. X por X más 1 para el primer numerador. Más esto dividido entre esto nos da como resultado X. X multiplica con 2 y obtenemos 2X. Menos esto dividido entre esto nos queda X más 1. X más 1 multiplica con 2. Entonces tenemos 2 por la expresión X más 1 entre paréntesis. Y todo esto menor o igual que cero. Ahora vamos a desarrollar las operaciones que tenemos en el numerador. Comenzamos aplicando aquí la propiedad distributiva. Tenemos entonces X por X, X al cuadrado. X por más 1 nos queda más X. Escribimos más 2X. Y por aquí también hacemos la propiedad distributiva con menos 2. Entonces tenemos menos 2 por X que es menos 2X. Y menos 2 por 1 que es menos 2. Todo esto lo escribimos sobre el mismo denominador. X factor de X más 1. Todo esto menor o igual que cero. Aquí en el numerador observamos que estos dos términos son opuestos. Se pueden eliminar. Entonces los cancelamos y nos queda X al cuadrado. Más X. Menos 2. Todo esto sobre el mismo denominador. X por X más 1. Y todo esto menor o igual que cero. Luego vamos a realizar la factorización del numerador de esta expresión. Aquí tenemos un trinomio de la forma X a la 2n más BX a la n más C. Recordemos que para factorizar este tipo de trinomios se abren dos paréntesis. Extraemos la raíz cuadrada del primer término que sería X. La escribimos al comienzo de cada paréntesis. Luego definimos los signos que van en los paréntesis. Eso se hace multiplicando signos de los términos. Entonces aquí tenemos más. Más por más nos da más. Y más por menos nos da menos. Aquí tenemos definidos los signos en los paréntesis. Ahora buscamos dos números. Uno positivo y otro negativo. Tal que multiplicados entre sí nos den menos 2. Y que al sumarlos entre sí nos de como resultado más 1. Recordemos que aquí hay un coeficiente 1 invisible que es el de la X. Entonces los dos números que multiplicados de menos 2. Y que sumados de 1 son 2 y menos 1. Allí nos queda entonces factorizado el numerador de esa expresión. Escribimos ahora el denominador que no presenta ningún cambio. Y aquí todo esto menor o igual que 0. Teniendo ya la expresión del lado izquierdo reducida a una sola fracción. Con el numerador y el denominador totalmente factorizados. Entonces procedemos a buscar lo que se llaman puntos críticos de la desigualdad. Y esto lo vamos a hacer para el numerador y para el denominador. Es lo que siempre se hace en desigualdades racionales. Los puntos críticos serán aquellos valores de la variable, en este caso de la letra X. Que vuelven 0 tanto el numerador como el denominador de la expresión. Entonces para el numerador vamos a ver en que momento todo esto se vuelve 0. Y miramos cada factor por separado igualándolo a 0. Puede ser mentalmente o podemos escribirlo. Por ejemplo, X más 2 lo igualamos a 0. Y de allí despejamos X. Nos da menos 2. Entonces aquí el punto crítico es X igual a menos 2. Para esta expresión decimos X menos 1 igual a 0. Despejamos X. Nos queda 1. Sale otro punto crítico del numerador. Entonces tenemos para el numerador puntos críticos en menos 2 y en 1. Los valores de X que anulan o vuelven 0 toda esta expresión. Vamos ahora para el denominador. Igualaríamos X a 0. Nos da directamente X igual a 0. Y luego igualamos X más 1 con 0. Despejamos X. Y nos da X igual a menos 1. Estos son los valores de X que vuelven 0 el denominador de esta expresión. Aquí es el momento de definir si estos valores se toman o no se toman como parte del conjunto solución. Es decir, si van abiertos o van cerrados. Entonces, los puntos críticos que se obtienen del denominador siempre van abiertos. Nunca se pueden tomar porque no podemos permitir que el denominador de una fracción sea 0. Estos dos valores van a ir abiertos. Vamos a colocarlos así. Son abiertos. No se incluyen como parte del conjunto solución. Y los puntos críticos del numerador se toman únicamente en el caso en que tengamos signo menor o mayor igual. Como en esta ocasión. Entonces, estos dos valores correspondientes a los puntos críticos del numerador en este caso sí se van a tomar. Van a ser parte de la solución de la desigualdad. Entonces, son puntos cerrados. El paso siguiente es dibujar una recta que simbolice el conjunto de los números reales. Vamos desde menos infinito hasta más infinito. Y estos valores corresponden a la variable X que es la que tenemos en la desigualdad. Sobre esa recta vamos a localizar estos números. Comenzando con el menor de ellos. Entonces tenemos el menos 2. Después localizamos el menos 1. Después el 0. Vamos a tratar de manejar la misma distancia. Y luego el 1. Tenemos entonces los cuatro puntos críticos de la desigualdad localizados en una recta numérica. En seguida trazamos estas líneas para delimitar los intervalos que se forman. Y donde vamos a analizar el comportamiento de los signos de esta expresión. Eso se hace eligiendo números que estén dentro de cada intervalo. Basta con escoger un número que pertenezca a cada una de las zonas. Esto es lo que se llaman valores de prueba. Y los vamos a reemplazar en cada una de estas expresiones para ver qué signo adopta. Puede ser lógicamente o positivo o negativo. En ningún momento nos va a dar 0. Porque como vimos los puntos críticos son aquellos valores donde esto se vuelve 0. Entonces la única posibilidad que tenemos para estos paréntesis, para estos factores. Es que nos de positivo o negativo. Para facilitar el análisis de esos signos conviene hacer esto. Que es abrir paréntesis para cada factor del numerador y del denominador. Entonces tenemos dos factores en el numerador y dos factores en el denominador. Vamos entonces con el primer intervalo. Donde vamos a seleccionar el valor x igual a menos 3. Un número que pertenece a esta primera zona. Entonces menos 3 lo vamos a reemplazar en cada una de estas expresiones. Y vamos a escribir aquí el signo que nos da para cada una de ellas. Comencemos con menos 3 aquí. Menos 3 más 2. Eso nos da como resultado menos 1. Entonces escribimos el signo menos para este primer paréntesis. Vamos con menos 3 por acá. Menos 3 menos 1 nos daría menos 4. Signo negativo para este paréntesis. Aquí donde está la x que se toma directamente como menos 3. Entonces tenemos signo negativo. Y en este paréntesis, reemplazando el menos 3. Tendremos menos 3 más 1 que es menos 2. Entonces signo negativo. Pasamos al siguiente intervalo. Donde tenemos que escoger un valor de x comprendido entre menos 1 y menos 2. Puede ser x igual a menos 1.5. Entonces vamos a reemplazarlo en cada paréntesis o en cada factor. Veamos, menos 1.5 más 2 nos da como resultado 0.5 positivo. Menos 1.5 menos 1. Eso nos da menos 2.5 negativo. Menos 1.5 si entra donde está la x. De una vez tenemos signo negativo. Y menos 1.5 reemplazándolo acá. Tenemos menos 1.5 más 1. Eso es menos 0.5 signo negativo. Vamos al siguiente intervalo. Escogemos un valor de x comprendido entre 0 y menos 1. Puede ser x igual a menos 0.5. Vamos entonces a reemplazar este valor aquí en la expresión. Menos 0.5 más 2. Eso nos da 1.5 positivo. Menos 0.5 menos 1. Nos da menos 1.5 signo negativo. Menos 0.5 si entra donde está la x. Nos da signo menos. Y aquí menos 0.5 más 1. Da como resultado 0.5 positivo. Pasamos al otro intervalo. Donde vamos a escoger un valor de x comprendido entre 0 y 1. Entonces puede ser x igual a 0.5. 0.5 lo reemplazamos en cada uno de los factores. 0.5 más 2. Nos da 2.5 signo positivo. 0.5 menos 1. Nos da menos 0.5 signo negativo. 0.5 si entra donde está la x. Nos da signo positivo. Y aquí 0.5 más 1. Nos da 1.5 positivo. Finalmente en este intervalo seleccionamos un número que sea mayor que 1. Puede ser x igual a 3. Entonces 3 más 2. Nos da 5 positivo. Aquí 3 menos 1. Nos da 2 positivo. 3 si entra donde está la x. Nos da de una vez signo positivo. Y aquí 3 más 1. Nos da 4 positivo. Ahora vamos a definir el signo resultante para cada uno de los intervalos. En este caso aplicamos la ley de los signos. Y el truco que podemos utilizar para esta situación es fijarnos en los signos negativos. Realmente los signos positivos no representan problema. En cambio con los negativos nos fijamos cuántas veces aparece. Si aparece un número de veces par como en este caso, entonces el resultado será positivo. Como aquí. Y si aparece un número de veces impar. Aquí aparece 3 veces el signo negativo. Entonces tendremos como resultado signo negativo. Aquí tenemos 2 signos negativos. Aparece un número de veces par. Entonces signo positivo. Aquí tenemos un solo negativo. Entonces signo menos. Y aquí todo es positivo. Entonces tendremos signo más para el último intervalo. Para saber que zonas son las que sirven. Nos fijamos en la desigualdad que tenemos antes de hacer el procedimiento de puntos críticos. Y el análisis de signos. Aquí tenemos una expresión que tiene que ser menor o igual que cero. O sea que la expresión tiene que ser negativa. Recordemos que lo único que es menor que cero es el conjunto de números reales negativos. Entonces lo que vamos a hacer aquí es representar con rayado. Puede ser las zonas negativas que son las que van a servir como solución de esta desigualdad. Lo otro que vamos a marcar aquí es esto que definimos con los puntos críticos. Aquellos que son cerrados y aquellos que van abiertos. Entonces tenemos que menos 2 es cerrado. Lo representamos con la bolita llena. El 1 también es cerrado. Por aquí. Cero es abierto. Entonces lo representamos así. Con bolita sin llenar. Y el menos 1 también es abierto. Entonces lo representamos con bolita abierta. Bolita sin llenar. De esta manera ya tenemos los intervalos que son solución de la desigualdad racional inicialmente planteada. Entonces procedemos a dar la respuesta a este ejercicio. El conjunto solución son los valores de x pertenecientes a los siguientes intervalos en los reales. El intervalo que va desde menos 2 cerrado. Entonces menos 2 con corchete. Hasta menos 1 abierto. Usamos paréntesis. Unión con el intervalo que va desde 0 abierto. Sin incluirlo. Hasta 1 cerrado. Utilizamos entonces corchete. Esto será entonces el conjunto solución de la desigualdad racional que venía propuesta inicialmente.

[{"start": 0.0, "end": 14.0, "text": " Vamos a resolver esta desigualdad racional llamada as\u00ed porque observamos la variable X presente en los denominadores de estas expresiones."}, {"start": 14.0, "end": 23.0, "text": " Entonces, lo primero que necesitamos es tener el cero en el lado derecho tal como observamos en este caso."}, {"start": 23.0, "end": 32.0, "text": " Si aqu\u00ed tuvi\u00e9ramos t\u00e9rminos, entonces los pasamos al lado izquierdo buscando que nos quede siempre el cero en el lado derecho."}, {"start": 32.0, "end": 39.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a reducir estas operaciones a una sola fracci\u00f3n."}, {"start": 39.0, "end": 46.0, "text": " Tenemos aqu\u00ed operaciones de suma y resta de lo que se conoce como fracciones algebraicas."}, {"start": 46.0, "end": 52.0, "text": " Comenzamos por escribirle denominador 1 a este primer t\u00e9rmino."}, {"start": 52.0, "end": 63.0, "text": " Buscamos ahora el com\u00fan denominador para estas tres fracciones que ser\u00e1 X por X m\u00e1s 1."}, {"start": 63.0, "end": 66.0, "text": " Ese ser\u00e1 el com\u00fan denominador."}, {"start": 66.0, "end": 76.0, "text": " Decimos entonces esto dividido entre 1 nos da esto mismo y al multiplicar por 1 nos queda esa expresi\u00f3n."}, {"start": 76.0, "end": 82.0, "text": " X por X m\u00e1s 1 para el primer numerador."}, {"start": 82.0, "end": 88.0, "text": " M\u00e1s esto dividido entre esto nos da como resultado X."}, {"start": 88.0, "end": 93.0, "text": " X multiplica con 2 y obtenemos 2X."}, {"start": 93.0, "end": 99.0, "text": " Menos esto dividido entre esto nos queda X m\u00e1s 1."}, {"start": 99.0, "end": 102.0, "text": " X m\u00e1s 1 multiplica con 2."}, {"start": 102.0, "end": 109.0, "text": " Entonces tenemos 2 por la expresi\u00f3n X m\u00e1s 1 entre par\u00e9ntesis."}, {"start": 109.0, "end": 113.0, "text": " Y todo esto menor o igual que cero."}, {"start": 113.0, "end": 118.0, "text": " Ahora vamos a desarrollar las operaciones que tenemos en el numerador."}, {"start": 118.0, "end": 121.0, "text": " Comenzamos aplicando aqu\u00ed la propiedad distributiva."}, {"start": 121.0, "end": 126.0, "text": " Tenemos entonces X por X, X al cuadrado."}, {"start": 126.0, "end": 130.0, "text": " X por m\u00e1s 1 nos queda m\u00e1s X."}, {"start": 130.0, "end": 133.0, "text": " Escribimos m\u00e1s 2X."}, {"start": 133.0, "end": 139.0, "text": " Y por aqu\u00ed tambi\u00e9n hacemos la propiedad distributiva con menos 2."}, {"start": 139.0, "end": 144.0, "text": " Entonces tenemos menos 2 por X que es menos 2X."}, {"start": 144.0, "end": 147.0, "text": " Y menos 2 por 1 que es menos 2."}, {"start": 147.0, "end": 153.0, "text": " Todo esto lo escribimos sobre el mismo denominador."}, {"start": 153.0, "end": 157.0, "text": " X factor de X m\u00e1s 1."}, {"start": 157.0, "end": 161.0, "text": " Todo esto menor o igual que cero."}, {"start": 161.0, "end": 167.0, "text": " Aqu\u00ed en el numerador observamos que estos dos t\u00e9rminos son opuestos."}, {"start": 167.0, "end": 169.0, "text": " Se pueden eliminar."}, {"start": 169.0, "end": 175.0, "text": " Entonces los cancelamos y nos queda X al cuadrado."}, {"start": 175.0, "end": 178.0, "text": " M\u00e1s X."}, {"start": 178.0, "end": 180.0, "text": " Menos 2."}, {"start": 180.0, "end": 188.0, "text": " Todo esto sobre el mismo denominador. X por X m\u00e1s 1."}, {"start": 188.0, "end": 193.0, "text": " Y todo esto menor o igual que cero."}, {"start": 193.0, "end": 199.0, "text": " Luego vamos a realizar la factorizaci\u00f3n del numerador de esta expresi\u00f3n."}, {"start": 199.0, "end": 206.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos un trinomio de la forma X a la 2n m\u00e1s BX a la n m\u00e1s C."}, {"start": 206.0, "end": 211.0, "text": " Recordemos que para factorizar este tipo de trinomios se abren dos par\u00e9ntesis."}, {"start": 211.0, "end": 216.0, "text": " Extraemos la ra\u00edz cuadrada del primer t\u00e9rmino que ser\u00eda X."}, {"start": 216.0, "end": 219.0, "text": " La escribimos al comienzo de cada par\u00e9ntesis."}, {"start": 219.0, "end": 223.0, "text": " Luego definimos los signos que van en los par\u00e9ntesis."}, {"start": 223.0, "end": 227.0, "text": " Eso se hace multiplicando signos de los t\u00e9rminos."}, {"start": 227.0, "end": 229.0, "text": " Entonces aqu\u00ed tenemos m\u00e1s."}, {"start": 229.0, "end": 232.0, "text": " M\u00e1s por m\u00e1s nos da m\u00e1s."}, {"start": 232.0, "end": 235.0, "text": " Y m\u00e1s por menos nos da menos."}, {"start": 235.0, "end": 239.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos definidos los signos en los par\u00e9ntesis."}, {"start": 239.0, "end": 241.0, "text": " Ahora buscamos dos n\u00fameros."}, {"start": 241.0, "end": 244.0, "text": " Uno positivo y otro negativo."}, {"start": 244.0, "end": 247.0, "text": " Tal que multiplicados entre s\u00ed nos den menos 2."}, {"start": 247.0, "end": 252.0, "text": " Y que al sumarlos entre s\u00ed nos de como resultado m\u00e1s 1."}, {"start": 252.0, "end": 257.0, "text": " Recordemos que aqu\u00ed hay un coeficiente 1 invisible que es el de la X."}, {"start": 257.0, "end": 260.0, "text": " Entonces los dos n\u00fameros que multiplicados de menos 2."}, {"start": 260.0, "end": 264.0, "text": " Y que sumados de 1 son 2 y menos 1."}, {"start": 264.0, "end": 270.0, "text": " All\u00ed nos queda entonces factorizado el numerador de esa expresi\u00f3n."}, {"start": 270.0, "end": 276.0, "text": " Escribimos ahora el denominador que no presenta ning\u00fan cambio."}, {"start": 276.0, "end": 280.0, "text": " Y aqu\u00ed todo esto menor o igual que 0."}, {"start": 280.0, "end": 286.0, "text": " Teniendo ya la expresi\u00f3n del lado izquierdo reducida a una sola fracci\u00f3n."}, {"start": 286.0, "end": 291.0, "text": " Con el numerador y el denominador totalmente factorizados."}, {"start": 291.0, "end": 299.0, "text": " Entonces procedemos a buscar lo que se llaman puntos cr\u00edticos de la desigualdad."}, {"start": 299.0, "end": 310.0, "text": " Y esto lo vamos a hacer para el numerador y para el denominador."}, {"start": 310.0, "end": 315.0, "text": " Es lo que siempre se hace en desigualdades racionales."}, {"start": 315.0, "end": 321.0, "text": " Los puntos cr\u00edticos ser\u00e1n aquellos valores de la variable, en este caso de la letra X."}, {"start": 321.0, "end": 326.0, "text": " Que vuelven 0 tanto el numerador como el denominador de la expresi\u00f3n."}, {"start": 326.0, "end": 331.0, "text": " Entonces para el numerador vamos a ver en que momento todo esto se vuelve 0."}, {"start": 331.0, "end": 337.0, "text": " Y miramos cada factor por separado igual\u00e1ndolo a 0."}, {"start": 337.0, "end": 340.0, "text": " Puede ser mentalmente o podemos escribirlo."}, {"start": 340.0, "end": 344.0, "text": " Por ejemplo, X m\u00e1s 2 lo igualamos a 0."}, {"start": 344.0, "end": 348.0, "text": " Y de all\u00ed despejamos X. Nos da menos 2."}, {"start": 348.0, "end": 352.0, "text": " Entonces aqu\u00ed el punto cr\u00edtico es X igual a menos 2."}, {"start": 352.0, "end": 357.0, "text": " Para esta expresi\u00f3n decimos X menos 1 igual a 0."}, {"start": 357.0, "end": 360.0, "text": " Despejamos X. Nos queda 1."}, {"start": 360.0, "end": 364.0, "text": " Sale otro punto cr\u00edtico del numerador."}, {"start": 364.0, "end": 369.0, "text": " Entonces tenemos para el numerador puntos cr\u00edticos en menos 2 y en 1."}, {"start": 369.0, "end": 374.0, "text": " Los valores de X que anulan o vuelven 0 toda esta expresi\u00f3n."}, {"start": 374.0, "end": 377.0, "text": " Vamos ahora para el denominador."}, {"start": 377.0, "end": 381.0, "text": " Igualar\u00edamos X a 0. Nos da directamente X igual a 0."}, {"start": 381.0, "end": 385.0, "text": " Y luego igualamos X m\u00e1s 1 con 0."}, {"start": 385.0, "end": 389.0, "text": " Despejamos X. Y nos da X igual a menos 1."}, {"start": 389.0, "end": 396.0, "text": " Estos son los valores de X que vuelven 0 el denominador de esta expresi\u00f3n."}, {"start": 396.0, "end": 405.0, "text": " Aqu\u00ed es el momento de definir si estos valores se toman o no se toman como parte del conjunto soluci\u00f3n."}, {"start": 405.0, "end": 409.0, "text": " Es decir, si van abiertos o van cerrados."}, {"start": 409.0, "end": 415.0, "text": " Entonces, los puntos cr\u00edticos que se obtienen del denominador siempre van abiertos."}, {"start": 415.0, "end": 422.0, "text": " Nunca se pueden tomar porque no podemos permitir que el denominador de una fracci\u00f3n sea 0."}, {"start": 422.0, "end": 429.0, "text": " Estos dos valores van a ir abiertos. Vamos a colocarlos as\u00ed."}, {"start": 429.0, "end": 437.0, "text": " Son abiertos. No se incluyen como parte del conjunto soluci\u00f3n."}, {"start": 437.0, "end": 447.0, "text": " Y los puntos cr\u00edticos del numerador se toman \u00fanicamente en el caso en que tengamos signo menor o mayor igual."}, {"start": 447.0, "end": 456.0, "text": " Como en esta ocasi\u00f3n. Entonces, estos dos valores correspondientes a los puntos cr\u00edticos del numerador"}, {"start": 456.0, "end": 463.0, "text": " en este caso s\u00ed se van a tomar. Van a ser parte de la soluci\u00f3n de la desigualdad."}, {"start": 463.0, "end": 468.0, "text": " Entonces, son puntos cerrados."}, {"start": 468.0, "end": 476.0, "text": " El paso siguiente es dibujar una recta que simbolice el conjunto de los n\u00fameros reales."}, {"start": 476.0, "end": 481.0, "text": " Vamos desde menos infinito hasta m\u00e1s infinito."}, {"start": 481.0, "end": 488.0, "text": " Y estos valores corresponden a la variable X que es la que tenemos en la desigualdad."}, {"start": 488.0, "end": 492.0, "text": " Sobre esa recta vamos a localizar estos n\u00fameros."}, {"start": 492.0, "end": 495.0, "text": " Comenzando con el menor de ellos."}, {"start": 495.0, "end": 498.0, "text": " Entonces tenemos el menos 2."}, {"start": 498.0, "end": 503.0, "text": " Despu\u00e9s localizamos el menos 1."}, {"start": 503.0, "end": 510.0, "text": " Despu\u00e9s el 0. Vamos a tratar de manejar la misma distancia."}, {"start": 510.0, "end": 513.0, "text": " Y luego el 1."}, {"start": 513.0, "end": 521.0, "text": " Tenemos entonces los cuatro puntos cr\u00edticos de la desigualdad localizados en una recta num\u00e9rica."}, {"start": 521.0, "end": 529.0, "text": " En seguida trazamos estas l\u00edneas para delimitar los intervalos que se forman."}, {"start": 529.0, "end": 536.0, "text": " Y donde vamos a analizar el comportamiento de los signos de esta expresi\u00f3n."}, {"start": 536.0, "end": 541.0, "text": " Eso se hace eligiendo n\u00fameros que est\u00e9n dentro de cada intervalo."}, {"start": 541.0, "end": 546.0, "text": " Basta con escoger un n\u00famero que pertenezca a cada una de las zonas."}, {"start": 546.0, "end": 548.0, "text": " Esto es lo que se llaman valores de prueba."}, {"start": 548.0, "end": 555.0, "text": " Y los vamos a reemplazar en cada una de estas expresiones para ver qu\u00e9 signo adopta."}, {"start": 555.0, "end": 558.0, "text": " Puede ser l\u00f3gicamente o positivo o negativo."}, {"start": 558.0, "end": 560.0, "text": " En ning\u00fan momento nos va a dar 0."}, {"start": 560.0, "end": 566.0, "text": " Porque como vimos los puntos cr\u00edticos son aquellos valores donde esto se vuelve 0."}, {"start": 566.0, "end": 572.0, "text": " Entonces la \u00fanica posibilidad que tenemos para estos par\u00e9ntesis, para estos factores."}, {"start": 572.0, "end": 576.0, "text": " Es que nos de positivo o negativo."}, {"start": 576.0, "end": 581.0, "text": " Para facilitar el an\u00e1lisis de esos signos conviene hacer esto."}, {"start": 581.0, "end": 587.0, "text": " Que es abrir par\u00e9ntesis para cada factor del numerador y del denominador."}, {"start": 587.0, "end": 592.0, "text": " Entonces tenemos dos factores en el numerador y dos factores en el denominador."}, {"start": 592.0, "end": 594.0, "text": " Vamos entonces con el primer intervalo."}, {"start": 594.0, "end": 599.0, "text": " Donde vamos a seleccionar el valor x igual a menos 3."}, {"start": 599.0, "end": 602.0, "text": " Un n\u00famero que pertenece a esta primera zona."}, {"start": 602.0, "end": 608.0, "text": " Entonces menos 3 lo vamos a reemplazar en cada una de estas expresiones."}, {"start": 608.0, "end": 613.0, "text": " Y vamos a escribir aqu\u00ed el signo que nos da para cada una de ellas."}, {"start": 613.0, "end": 615.0, "text": " Comencemos con menos 3 aqu\u00ed."}, {"start": 615.0, "end": 617.0, "text": " Menos 3 m\u00e1s 2."}, {"start": 617.0, "end": 619.0, "text": " Eso nos da como resultado menos 1."}, {"start": 619.0, "end": 624.0, "text": " Entonces escribimos el signo menos para este primer par\u00e9ntesis."}, {"start": 624.0, "end": 626.0, "text": " Vamos con menos 3 por ac\u00e1."}, {"start": 626.0, "end": 629.0, "text": " Menos 3 menos 1 nos dar\u00eda menos 4."}, {"start": 629.0, "end": 632.0, "text": " Signo negativo para este par\u00e9ntesis."}, {"start": 632.0, "end": 636.0, "text": " Aqu\u00ed donde est\u00e1 la x que se toma directamente como menos 3."}, {"start": 636.0, "end": 639.0, "text": " Entonces tenemos signo negativo."}, {"start": 639.0, "end": 642.0, "text": " Y en este par\u00e9ntesis, reemplazando el menos 3."}, {"start": 642.0, "end": 645.0, "text": " Tendremos menos 3 m\u00e1s 1 que es menos 2."}, {"start": 645.0, "end": 648.0, "text": " Entonces signo negativo."}, {"start": 648.0, "end": 651.0, "text": " Pasamos al siguiente intervalo."}, {"start": 651.0, "end": 657.0, "text": " Donde tenemos que escoger un valor de x comprendido entre menos 1 y menos 2."}, {"start": 657.0, "end": 662.0, "text": " Puede ser x igual a menos 1.5."}, {"start": 662.0, "end": 667.0, "text": " Entonces vamos a reemplazarlo en cada par\u00e9ntesis o en cada factor."}, {"start": 667.0, "end": 674.0, "text": " Veamos, menos 1.5 m\u00e1s 2 nos da como resultado 0.5 positivo."}, {"start": 674.0, "end": 676.0, "text": " Menos 1.5 menos 1."}, {"start": 676.0, "end": 680.0, "text": " Eso nos da menos 2.5 negativo."}, {"start": 680.0, "end": 683.0, "text": " Menos 1.5 si entra donde est\u00e1 la x."}, {"start": 683.0, "end": 687.0, "text": " De una vez tenemos signo negativo."}, {"start": 687.0, "end": 689.0, "text": " Y menos 1.5 reemplaz\u00e1ndolo ac\u00e1."}, {"start": 689.0, "end": 692.0, "text": " Tenemos menos 1.5 m\u00e1s 1."}, {"start": 692.0, "end": 696.0, "text": " Eso es menos 0.5 signo negativo."}, {"start": 696.0, "end": 700.0, "text": " Vamos al siguiente intervalo."}, {"start": 700.0, "end": 705.0, "text": " Escogemos un valor de x comprendido entre 0 y menos 1."}, {"start": 705.0, "end": 709.0, "text": " Puede ser x igual a menos 0.5."}, {"start": 709.0, "end": 714.0, "text": " Vamos entonces a reemplazar este valor aqu\u00ed en la expresi\u00f3n."}, {"start": 714.0, "end": 716.0, "text": " Menos 0.5 m\u00e1s 2."}, {"start": 716.0, "end": 719.0, "text": " Eso nos da 1.5 positivo."}, {"start": 719.0, "end": 722.0, "text": " Menos 0.5 menos 1."}, {"start": 722.0, "end": 725.0, "text": " Nos da menos 1.5 signo negativo."}, {"start": 725.0, "end": 729.0, "text": " Menos 0.5 si entra donde est\u00e1 la x."}, {"start": 729.0, "end": 731.0, "text": " Nos da signo menos."}, {"start": 731.0, "end": 734.0, "text": " Y aqu\u00ed menos 0.5 m\u00e1s 1."}, {"start": 734.0, "end": 738.0, "text": " Da como resultado 0.5 positivo."}, {"start": 738.0, "end": 741.0, "text": " Pasamos al otro intervalo."}, {"start": 741.0, "end": 746.0, "text": " Donde vamos a escoger un valor de x comprendido entre 0 y 1."}, {"start": 746.0, "end": 751.0, "text": " Entonces puede ser x igual a 0.5."}, {"start": 751.0, "end": 756.0, "text": " 0.5 lo reemplazamos en cada uno de los factores."}, {"start": 756.0, "end": 758.0, "text": " 0.5 m\u00e1s 2."}, {"start": 758.0, "end": 761.0, "text": " Nos da 2.5 signo positivo."}, {"start": 761.0, "end": 763.0, "text": " 0.5 menos 1."}, {"start": 763.0, "end": 767.0, "text": " Nos da menos 0.5 signo negativo."}, {"start": 767.0, "end": 770.0, "text": " 0.5 si entra donde est\u00e1 la x."}, {"start": 770.0, "end": 772.0, "text": " Nos da signo positivo."}, {"start": 772.0, "end": 774.0, "text": " Y aqu\u00ed 0.5 m\u00e1s 1."}, {"start": 774.0, "end": 779.0, "text": " Nos da 1.5 positivo."}, {"start": 779.0, "end": 784.0, "text": " Finalmente en este intervalo seleccionamos un n\u00famero que sea mayor que 1."}, {"start": 784.0, "end": 787.0, "text": " Puede ser x igual a 3."}, {"start": 787.0, "end": 790.0, "text": " Entonces 3 m\u00e1s 2."}, {"start": 790.0, "end": 792.0, "text": " Nos da 5 positivo."}, {"start": 792.0, "end": 794.0, "text": " Aqu\u00ed 3 menos 1."}, {"start": 794.0, "end": 796.0, "text": " Nos da 2 positivo."}, {"start": 796.0, "end": 799.0, "text": " 3 si entra donde est\u00e1 la x."}, {"start": 799.0, "end": 802.0, "text": " Nos da de una vez signo positivo."}, {"start": 802.0, "end": 804.0, "text": " Y aqu\u00ed 3 m\u00e1s 1."}, {"start": 804.0, "end": 807.0, "text": " Nos da 4 positivo."}, {"start": 807.0, "end": 814.0, "text": " Ahora vamos a definir el signo resultante para cada uno de los intervalos."}, {"start": 814.0, "end": 817.0, "text": " En este caso aplicamos la ley de los signos."}, {"start": 817.0, "end": 824.0, "text": " Y el truco que podemos utilizar para esta situaci\u00f3n es fijarnos en los signos negativos."}, {"start": 824.0, "end": 828.0, "text": " Realmente los signos positivos no representan problema."}, {"start": 828.0, "end": 833.0, "text": " En cambio con los negativos nos fijamos cu\u00e1ntas veces aparece."}, {"start": 833.0, "end": 840.0, "text": " Si aparece un n\u00famero de veces par como en este caso, entonces el resultado ser\u00e1 positivo."}, {"start": 840.0, "end": 842.0, "text": " Como aqu\u00ed."}, {"start": 842.0, "end": 845.0, "text": " Y si aparece un n\u00famero de veces impar."}, {"start": 845.0, "end": 848.0, "text": " Aqu\u00ed aparece 3 veces el signo negativo."}, {"start": 848.0, "end": 852.0, "text": " Entonces tendremos como resultado signo negativo."}, {"start": 852.0, "end": 855.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos 2 signos negativos."}, {"start": 855.0, "end": 858.0, "text": " Aparece un n\u00famero de veces par."}, {"start": 858.0, "end": 860.0, "text": " Entonces signo positivo."}, {"start": 860.0, "end": 862.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos un solo negativo."}, {"start": 862.0, "end": 864.0, "text": " Entonces signo menos."}, {"start": 864.0, "end": 866.0, "text": " Y aqu\u00ed todo es positivo."}, {"start": 866.0, "end": 872.0, "text": " Entonces tendremos signo m\u00e1s para el \u00faltimo intervalo."}, {"start": 872.0, "end": 876.0, "text": " Para saber que zonas son las que sirven."}, {"start": 876.0, "end": 884.0, "text": " Nos fijamos en la desigualdad que tenemos antes de hacer el procedimiento de puntos cr\u00edticos."}, {"start": 884.0, "end": 886.0, "text": " Y el an\u00e1lisis de signos."}, {"start": 886.0, "end": 890.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos una expresi\u00f3n que tiene que ser menor o igual que cero."}, {"start": 890.0, "end": 894.0, "text": " O sea que la expresi\u00f3n tiene que ser negativa."}, {"start": 894.0, "end": 902.0, "text": " Recordemos que lo \u00fanico que es menor que cero es el conjunto de n\u00fameros reales negativos."}, {"start": 902.0, "end": 908.0, "text": " Entonces lo que vamos a hacer aqu\u00ed es representar con rayado."}, {"start": 908.0, "end": 917.0, "text": " Puede ser las zonas negativas que son las que van a servir como soluci\u00f3n de esta desigualdad."}, {"start": 917.0, "end": 924.0, "text": " Lo otro que vamos a marcar aqu\u00ed es esto que definimos con los puntos cr\u00edticos."}, {"start": 924.0, "end": 928.0, "text": " Aquellos que son cerrados y aquellos que van abiertos."}, {"start": 928.0, "end": 931.0, "text": " Entonces tenemos que menos 2 es cerrado."}, {"start": 931.0, "end": 935.0, "text": " Lo representamos con la bolita llena."}, {"start": 935.0, "end": 937.0, "text": " El 1 tambi\u00e9n es cerrado."}, {"start": 937.0, "end": 939.0, "text": " Por aqu\u00ed."}, {"start": 939.0, "end": 941.0, "text": " Cero es abierto."}, {"start": 941.0, "end": 944.0, "text": " Entonces lo representamos as\u00ed."}, {"start": 944.0, "end": 946.0, "text": " Con bolita sin llenar."}, {"start": 946.0, "end": 949.0, "text": " Y el menos 1 tambi\u00e9n es abierto."}, {"start": 949.0, "end": 953.0, "text": " Entonces lo representamos con bolita abierta."}, {"start": 953.0, "end": 955.0, "text": " Bolita sin llenar."}, {"start": 955.0, "end": 965.0, "text": " De esta manera ya tenemos los intervalos que son soluci\u00f3n de la desigualdad racional inicialmente planteada."}, {"start": 965.0, "end": 970.0, "text": " Entonces procedemos a dar la respuesta a este ejercicio."}, {"start": 970.0, "end": 979.0, "text": " El conjunto soluci\u00f3n son los valores de x pertenecientes a los siguientes intervalos en los reales."}, {"start": 979.0, "end": 982.0, "text": " El intervalo que va desde menos 2 cerrado."}, {"start": 982.0, "end": 985.0, "text": " Entonces menos 2 con corchete."}, {"start": 985.0, "end": 989.0, "text": " Hasta menos 1 abierto."}, {"start": 989.0, "end": 991.0, "text": " Usamos par\u00e9ntesis."}, {"start": 991.0, "end": 997.0, "text": " Uni\u00f3n con el intervalo que va desde 0 abierto."}, {"start": 997.0, "end": 1002.0, "text": " Sin incluirlo. Hasta 1 cerrado."}, {"start": 1002.0, "end": 1005.0, "text": " Utilizamos entonces corchete."}, {"start": 1005.0, "end": 1028.0, "text": " Esto ser\u00e1 entonces el conjunto soluci\u00f3n de la desigualdad racional que ven\u00eda propuesta inicialmente."}]

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INTEGRALES DIRECTAS - Ejercicio 9

#julioprofe explica cómo resolver una integral que contiene una expresión trigonométrica. Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver esta integral indefinida que como podemos observar contiene una expresión trigonométrica. Vamos entonces a realizar la transformación del integrando, es decir la función que tenemos aquí dentro de la integral y que es la que vamos a antiderivar. Entonces comenzamos por escribir esa expresión como 1 sobre 1 más coseno de x con su correspondiente diferencial de x. Simplemente es como si este diferencial lo escribimos a la derecha multiplicando a la fracción que constituye la función que se va a integrar, es decir el integrando. En seguida vamos a multiplicar esta fracción por lo que se llama el conjugado del denominador. Entonces la escribimos y vamos a multiplicar arriba y abajo por el conjugado de 1 más coseno de x que será 1 menos coseno de x. Esto mismo lo escribimos en el numerador y esto multiplicado por el respectivo diferencial de x. Recordemos que para una expresión a más b su conjugado es a menos b y viceversa para a menos b su conjugado es a más b. El objetivo de multiplicar una expresión por su conjugado es aprovechar el producto notable llamado suma por diferencia de dos cantidades y que origina una diferencia de cuadrados. Entonces esto lo vamos a utilizar en la multiplicación de los denominadores. Nos queda entonces de la siguiente manera. Tenemos la integral de en el numerador 1 por 1 menos coseno de x nos queda 1 menos coseno de x. En el denominador 1 más coseno de x por 1 menos coseno de x aplicamos este producto notable y nos queda la primera cantidad al cuadrado, o sea 1 al cuadrado que es 1 menos la segunda cantidad al cuadrado, es decir coseno de x elevado al cuadrado y que se puede escribir como coseno cuadrado de x. Y todo esto multiplicado por el diferencial de x. Entonces hemos visto la aplicación de este producto notable al multiplicar estos dos denominadores. A continuación vamos a utilizar la identidad fundamental de la trigonometría. Recordemos que ella dice seno al cuadrado de un ángulo por ejemplo x más coseno al cuadrado del mismo ángulo x esto es igual a 1. Y entonces de allí podemos despejar seno al cuadrado de x o también podemos despejar coseno al cuadrado de x. Si despejamos seno al cuadrado de x tendremos 1 menos coseno al cuadrado de x. Esta expresión que está sumando pasa al otro lado a restar y de manera similar podemos despejar coseno al cuadrado de x. Nos queda 1 menos seno al cuadrado de x. Pues bien, lo que tenemos aquí en el denominador es justamente esta expresión y eso equivale a seno al cuadrado de x. Entonces vamos a realizar esa sustitución aquí. 1 menos coseno de x en el numerador, eso nos queda igual. Y aquí en el denominador cambiamos 1 menos coseno al cuadrado de x por seno al cuadrado de x. Como decíamos utilizando la identidad fundamental de la trigonometría. Ahora vamos a repartir este denominador para los dos términos que tenemos en el numerador. Esto tiene su fundamento en la siguiente propiedad. Si tenemos a más o menos b, todo esto sobre c, entonces esto equivale a a sobre c más o menos b sobre c. El denominador se reparte para los términos que tenemos en el numerador, bien sea sumando o restando. Entonces aquí tendremos la integral de 1 sobre seno al cuadrado de x menos otra fracción, arriba coseno de x y abajo seno al cuadrado de x. Protegemos toda esta resta con paríntesis y escribimos el diferencial de x. Nuevamente vamos a utilizar las identidades trigonométricas. Entonces tenemos que 1 sobre seno al cuadrado de x eso equivale a cosecante al cuadrado de x. Y por acá en el siguiente término vamos a realizar la siguiente transformación. Esa fracción se puede escribir como coseno de x sobre seno de x por 1 sobre seno de x. Como hemos visto seno al cuadrado de x se ha desbaratado en la multiplicación seno de x por seno de x. En el numerador como tenemos el coseno de x ese lo escribimos en la primera fracción y en la segunda escribimos un 1. Eso con el fin de conservar la expresión original. Protegemos con paríntesis y escribimos el diferencial de x. Siguiente paso, esto nos queda igual cosecante al cuadrado de x. Y aquí vamos a utilizar nuevamente las identidades trigonométricas. Coseno de x sobre seno de x equivale a cotangente de x. Y esto multiplicado por 1 sobre seno de x que equivale a cosecante de x. Protegemos con paríntesis y escribimos el diferencial de x. Vamos a seguir por acá y vamos a reescribir el segundo término. Este primero queda tal como está, nos queda cosecante al cuadrado de x menos, aquí aplicamos la propiedad conmutativa de la multiplicación. Cambiamos el orden de los factores. Entonces tendremos cosecante de x por cotangente de x. En lugar de esto que teníamos originalmente, cerramos los paríntesis y escribimos el diferencial de x. Y con esto llegamos a una integral que tiene una resta y donde cada término constituye una expresión que es fácilmente integrable. Son integrales directas. Entonces la integral del primer componente, la integral de cosecante al cuadrado de x es menos cotangente de x. Menos la integral de cosecante por cotangente de x es menos cosecante de x. Entonces como decíamos se trata de integrales directas. Estas son esas antiderivadas y escribimos la constante de integración por primera vez. Para terminar destruimos este paríntesis aplicando aquí la ley de los signos. Menos con menos nos da más. Entonces podemos quitar esto y escribir aquí signo más. De esa manera tenemos ya el resultado de este ejercicio. Esta será la respuesta para la integral indefinida que estaba propuesta inicialmente. Como hemos visto es muy importante tener buenas bases de álgebra y de trigonometría para lo que es el cálculo. Como hemos visto en este ejercicio hemos utilizado el producto notable suma por diferencia. Que como decíamos da origen a una diferencia de cuadrados y también hemos utilizado identidades trigonométricas. Entonces fundamental para cálculo tener muy bien cimentado todo lo que corresponde al precalculo. En especial el álgebra y la trigonometría.

[{"start": 0.0, "end": 10.0, "text": " Vamos a resolver esta integral indefinida que como podemos observar contiene una expresi\u00f3n trigonom\u00e9trica."}, {"start": 10.0, "end": 24.0, "text": " Vamos entonces a realizar la transformaci\u00f3n del integrando, es decir la funci\u00f3n que tenemos aqu\u00ed dentro de la integral y que es la que vamos a antiderivar."}, {"start": 24.0, "end": 38.0, "text": " Entonces comenzamos por escribir esa expresi\u00f3n como 1 sobre 1 m\u00e1s coseno de x con su correspondiente diferencial de x."}, {"start": 38.0, "end": 52.0, "text": " Simplemente es como si este diferencial lo escribimos a la derecha multiplicando a la fracci\u00f3n que constituye la funci\u00f3n que se va a integrar, es decir el integrando."}, {"start": 52.0, "end": 66.0, "text": " En seguida vamos a multiplicar esta fracci\u00f3n por lo que se llama el conjugado del denominador."}, {"start": 66.0, "end": 80.0, "text": " Entonces la escribimos y vamos a multiplicar arriba y abajo por el conjugado de 1 m\u00e1s coseno de x que ser\u00e1 1 menos coseno de x."}, {"start": 80.0, "end": 90.0, "text": " Esto mismo lo escribimos en el numerador y esto multiplicado por el respectivo diferencial de x."}, {"start": 90.0, "end": 103.0, "text": " Recordemos que para una expresi\u00f3n a m\u00e1s b su conjugado es a menos b y viceversa para a menos b su conjugado es a m\u00e1s b."}, {"start": 103.0, "end": 120.0, "text": " El objetivo de multiplicar una expresi\u00f3n por su conjugado es aprovechar el producto notable llamado suma por diferencia de dos cantidades y que origina una diferencia de cuadrados."}, {"start": 120.0, "end": 126.0, "text": " Entonces esto lo vamos a utilizar en la multiplicaci\u00f3n de los denominadores."}, {"start": 126.0, "end": 145.0, "text": " Nos queda entonces de la siguiente manera. Tenemos la integral de en el numerador 1 por 1 menos coseno de x nos queda 1 menos coseno de x."}, {"start": 145.0, "end": 156.0, "text": " En el denominador 1 m\u00e1s coseno de x por 1 menos coseno de x aplicamos este producto notable y nos queda la primera cantidad al cuadrado,"}, {"start": 156.0, "end": 171.0, "text": " o sea 1 al cuadrado que es 1 menos la segunda cantidad al cuadrado, es decir coseno de x elevado al cuadrado y que se puede escribir como coseno cuadrado de x."}, {"start": 171.0, "end": 183.0, "text": " Y todo esto multiplicado por el diferencial de x. Entonces hemos visto la aplicaci\u00f3n de este producto notable al multiplicar estos dos denominadores."}, {"start": 183.0, "end": 191.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a utilizar la identidad fundamental de la trigonometr\u00eda."}, {"start": 191.0, "end": 203.0, "text": " Recordemos que ella dice seno al cuadrado de un \u00e1ngulo por ejemplo x m\u00e1s coseno al cuadrado del mismo \u00e1ngulo x esto es igual a 1."}, {"start": 203.0, "end": 215.0, "text": " Y entonces de all\u00ed podemos despejar seno al cuadrado de x o tambi\u00e9n podemos despejar coseno al cuadrado de x."}, {"start": 215.0, "end": 223.0, "text": " Si despejamos seno al cuadrado de x tendremos 1 menos coseno al cuadrado de x."}, {"start": 223.0, "end": 232.0, "text": " Esta expresi\u00f3n que est\u00e1 sumando pasa al otro lado a restar y de manera similar podemos despejar coseno al cuadrado de x."}, {"start": 232.0, "end": 236.0, "text": " Nos queda 1 menos seno al cuadrado de x."}, {"start": 236.0, "end": 246.0, "text": " Pues bien, lo que tenemos aqu\u00ed en el denominador es justamente esta expresi\u00f3n y eso equivale a seno al cuadrado de x."}, {"start": 246.0, "end": 255.0, "text": " Entonces vamos a realizar esa sustituci\u00f3n aqu\u00ed. 1 menos coseno de x en el numerador, eso nos queda igual."}, {"start": 255.0, "end": 263.0, "text": " Y aqu\u00ed en el denominador cambiamos 1 menos coseno al cuadrado de x por seno al cuadrado de x."}, {"start": 263.0, "end": 270.0, "text": " Como dec\u00edamos utilizando la identidad fundamental de la trigonometr\u00eda."}, {"start": 270.0, "end": 278.0, "text": " Ahora vamos a repartir este denominador para los dos t\u00e9rminos que tenemos en el numerador."}, {"start": 278.0, "end": 282.0, "text": " Esto tiene su fundamento en la siguiente propiedad."}, {"start": 282.0, "end": 294.0, "text": " Si tenemos a m\u00e1s o menos b, todo esto sobre c, entonces esto equivale a a sobre c m\u00e1s o menos b sobre c."}, {"start": 294.0, "end": 301.0, "text": " El denominador se reparte para los t\u00e9rminos que tenemos en el numerador, bien sea sumando o restando."}, {"start": 301.0, "end": 313.0, "text": " Entonces aqu\u00ed tendremos la integral de 1 sobre seno al cuadrado de x menos otra fracci\u00f3n,"}, {"start": 313.0, "end": 319.0, "text": " arriba coseno de x y abajo seno al cuadrado de x."}, {"start": 319.0, "end": 326.0, "text": " Protegemos toda esta resta con par\u00edntesis y escribimos el diferencial de x."}, {"start": 326.0, "end": 333.0, "text": " Nuevamente vamos a utilizar las identidades trigonom\u00e9tricas."}, {"start": 333.0, "end": 345.0, "text": " Entonces tenemos que 1 sobre seno al cuadrado de x eso equivale a cosecante al cuadrado de x."}, {"start": 345.0, "end": 352.0, "text": " Y por ac\u00e1 en el siguiente t\u00e9rmino vamos a realizar la siguiente transformaci\u00f3n."}, {"start": 352.0, "end": 366.0, "text": " Esa fracci\u00f3n se puede escribir como coseno de x sobre seno de x por 1 sobre seno de x."}, {"start": 366.0, "end": 375.0, "text": " Como hemos visto seno al cuadrado de x se ha desbaratado en la multiplicaci\u00f3n seno de x por seno de x."}, {"start": 375.0, "end": 384.0, "text": " En el numerador como tenemos el coseno de x ese lo escribimos en la primera fracci\u00f3n y en la segunda escribimos un 1."}, {"start": 384.0, "end": 388.0, "text": " Eso con el fin de conservar la expresi\u00f3n original."}, {"start": 388.0, "end": 394.0, "text": " Protegemos con par\u00edntesis y escribimos el diferencial de x."}, {"start": 394.0, "end": 402.0, "text": " Siguiente paso, esto nos queda igual cosecante al cuadrado de x."}, {"start": 402.0, "end": 408.0, "text": " Y aqu\u00ed vamos a utilizar nuevamente las identidades trigonom\u00e9tricas."}, {"start": 408.0, "end": 414.0, "text": " Coseno de x sobre seno de x equivale a cotangente de x."}, {"start": 414.0, "end": 422.0, "text": " Y esto multiplicado por 1 sobre seno de x que equivale a cosecante de x."}, {"start": 422.0, "end": 429.0, "text": " Protegemos con par\u00edntesis y escribimos el diferencial de x."}, {"start": 429.0, "end": 440.0, "text": " Vamos a seguir por ac\u00e1 y vamos a reescribir el segundo t\u00e9rmino."}, {"start": 440.0, "end": 449.0, "text": " Este primero queda tal como est\u00e1, nos queda cosecante al cuadrado de x menos, aqu\u00ed aplicamos la propiedad conmutativa de la multiplicaci\u00f3n."}, {"start": 449.0, "end": 451.0, "text": " Cambiamos el orden de los factores."}, {"start": 451.0, "end": 457.0, "text": " Entonces tendremos cosecante de x por cotangente de x."}, {"start": 457.0, "end": 466.0, "text": " En lugar de esto que ten\u00edamos originalmente, cerramos los par\u00edntesis y escribimos el diferencial de x."}, {"start": 466.0, "end": 477.0, "text": " Y con esto llegamos a una integral que tiene una resta y donde cada t\u00e9rmino constituye una expresi\u00f3n que es f\u00e1cilmente integrable."}, {"start": 477.0, "end": 479.0, "text": " Son integrales directas."}, {"start": 479.0, "end": 489.0, "text": " Entonces la integral del primer componente, la integral de cosecante al cuadrado de x es menos cotangente de x."}, {"start": 489.0, "end": 499.0, "text": " Menos la integral de cosecante por cotangente de x es menos cosecante de x."}, {"start": 499.0, "end": 504.0, "text": " Entonces como dec\u00edamos se trata de integrales directas."}, {"start": 504.0, "end": 512.0, "text": " Estas son esas antiderivadas y escribimos la constante de integraci\u00f3n por primera vez."}, {"start": 512.0, "end": 519.0, "text": " Para terminar destruimos este par\u00edntesis aplicando aqu\u00ed la ley de los signos."}, {"start": 519.0, "end": 521.0, "text": " Menos con menos nos da m\u00e1s."}, {"start": 521.0, "end": 528.0, "text": " Entonces podemos quitar esto y escribir aqu\u00ed signo m\u00e1s."}, {"start": 528.0, "end": 534.0, "text": " De esa manera tenemos ya el resultado de este ejercicio."}, {"start": 534.0, "end": 544.0, "text": " Esta ser\u00e1 la respuesta para la integral indefinida que estaba propuesta inicialmente."}, {"start": 544.0, "end": 553.0, "text": " Como hemos visto es muy importante tener buenas bases de \u00e1lgebra y de trigonometr\u00eda para lo que es el c\u00e1lculo."}, {"start": 553.0, "end": 560.0, "text": " Como hemos visto en este ejercicio hemos utilizado el producto notable suma por diferencia."}, {"start": 560.0, "end": 568.0, "text": " Que como dec\u00edamos da origen a una diferencia de cuadrados y tambi\u00e9n hemos utilizado identidades trigonom\u00e9tricas."}, {"start": 568.0, "end": 576.0, "text": " Entonces fundamental para c\u00e1lculo tener muy bien cimentado todo lo que corresponde al precalculo."}, {"start": 576.0, "end": 583.0, "text": " En especial el \u00e1lgebra y la trigonometr\u00eda."}]

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Problema 4 con ECUACIONES CUADRÁTICAS

#julioprofe explica cómo resolver un problema geométrico donde se llega a una ecuación cuadrática o de segundo grado: Una piscina rectangular de 15 m de largo por 9 m de ancho está rodeada por un camino de cemento de ancho uniforme. Si el área del camino es 81 m², ¿Cuánto mide su ancho? REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

Una piscina rectangular de 15 metros de largo por 9 metros de ancho está rodeada por un camino de cemento de ancho uniforme. Si el área del camino es 81 metros cuadrados, ¿cuánto mide su ancho? Bien, comenzamos este problema haciendo un dibujo donde representamos la piscina rectangular con sus dimensiones. 15 metros de largo por 9 metros de ancho. Y observamos también el camino de cemento que rodea la piscina. Dice el problema que debe tener un ancho uniforme. Entonces esa medida del ancho del camino la vamos a llamar X y la representamos de la siguiente manera. Aquí la tenemos y nuestro problema será encontrar ese valor de X que representa, como decíamos, el ancho del camino de cemento que es uniforme alrededor de la piscina. Con la información que tenemos ya podemos establecer cuál es el largo y cuál es el ancho del rectángulo más grande. Es decir, el rectángulo que bordea la parte exterior del camino de cemento. Entonces tenemos que el largo corresponde a esta medida que es 15 metros sumándole X y otra vez X. Entonces será 15 más 2X. La vamos a escribir por aquí. 15 más 2X. Lógicamente esto en metros es el largo del rectángulo exterior. Ahora veamos el ancho. Tenemos entonces de aquí a aquí 9 metros y a eso se le suma X y otra vez X. Entonces tendremos que esta medida corresponde a 9 más 2X. La vamos a escribir por aquí. 9 más 2X también en metros. Como el problema nos da el dato del área del camino que es 81 metros cuadrados, entonces podemos hacer un planteamiento para encontrar justamente el área de esa parte. El área del camino de cemento. Entonces decimos que el área del rectángulo grande, vamos a representarla así. Área del rectángulo grande. Todo esto menos el área de la piscina. Entonces esa diferencia de áreas nos da como resultado el área del camino. Que es el dato que conocemos en el problema. Entonces como vemos es una resta de figuras geométricas. El área del rectángulo grande menos el área del rectángulo pequeño nos da este espacio que queda entre ellos dos. Y que corresponde al área del camino. Entonces vamos a aplicar la fórmula geométrica del área de un rectángulo. Recordemos que el área es base por altura o largo por ancho. Para el caso del rectángulo grande tendremos 15 más 2X que es el largo. Multiplicado por el ancho que es 9 más 2X. Todo esto menos el área de la piscina que es un rectángulo de 15 metros de largo por 9 metros de ancho. Entonces tendremos 15 por 9. Y esto es igual al área del camino que el problema nos da en su enunciado. Y que es 81 metros cuadrados. Como puede observarse este es un problema geométrico. Involucra áreas de figuras. Y el planteamiento conduce a una ecuación. Nuestro problema es ahora algebraico. Debemos dar solución a esta ecuación. Comenzamos realizando este producto de binomios. Y esto lo hacemos aplicando la propiedad distributiva. Entonces 15 por 9 nos da 135. Después 15 por 2X que nos da más 30X. Luego multiplicamos 2X por 9. Eso nos da más 18X. Después multiplicamos 2X por 2X. Y eso nos da más 4X al cuadrado. Esto menos la multiplicación de estos números. Que nos da 135. Y esto es igual a 81. Aquí tenemos que estos dos números se pueden cancelar. Son números opuestos. Y la suma entre ellos nos da 0. Tenemos entonces la ecuación de la siguiente manera. AX al cuadrado hacemos la suma de estos dos términos semejantes. Eso nos da más 48X. Y podemos pasar este número que está positivo a restar al lado izquierdo. Llega negativo y esto igual a 0. Y hemos llegado a lo que se llama una ecuación cuadrática. O una ecuación de segundo grado. Esto es AX al cuadrado más BX más C igual a 0. Para resolver una ecuación cuadrática contamos con dos caminos principales. El primero de ellos es la factorización. Y el segundo camino es el uso de la fórmula cuadrática. En este caso es más conveniente utilizar la fórmula cuadrática. Ya que resolver esta ecuación por factorización resulta bastante dispendioso. Vamos a recordar aquí la fórmula cuadrática. Allí la tenemos. Y para una mejor aplicación de esta fórmula vamos a desaparecer cada una de las letras. Dejando en su lugar paréntesis vacíos. Allí los tenemos. Y ahora vamos a llenar cada uno de ellos con los valores de A, B y C. En este caso tenemos que A vale 4. Entonces llenamos por aquí y por aquí con el valor 4. Tenemos que B vale 48. Entonces llenamos este espacio y también por aquí. Y el valor de C es menos 81. Entonces llenamos este paréntesis con ese valor. Enseguida resolvemos estas operaciones. Por aquí tenemos menos 48. Por acá dentro de la raíz tenemos 48 al cuadrado que nos da 2304. Y tenemos menos 4 por 4 por menos 81. Eso nos da más 1296. Y aquí en el denominador tenemos 2 por 4 que es 8. Ahora realizamos esta suma que hay dentro de la raíz. Y nos da como resultado 3600. Ahora la raíz cuadrada de 3600 nos da como resultado 60. De esto vamos a tener dos posibilidades. Una que es x1 y la otra llamada x2. Entonces la primera será menos 48 menos 60. Todo esto dividido entre 8. La segunda posibilidad será menos 48 más 60. Y todo esto dividido entre 8. Vamos a resolver cada una. En la primera tenemos que la operación del numerador da como resultado menos 108. Todo esto dividido entre 8. Allí podemos simplificar. Podríamos sacar cuarta. Nos queda menos 27 medios. Y esto equivale a menos 13.5. Como resultado decimal. Vamos con la otra opción. Menos 48 más 60 da como resultado 12 positivo. 12 dividido entre 8 es una fracción que se puede simplificar. Sacando cuarta a ambos números. Nos queda entonces 3 medios. Y esto como decimal equivale a 1.5. Como en este problema x representa el ancho del camino de cemento. Entonces tiene que ser necesariamente una cantidad positiva. Nos quedamos entonces con este resultado. Y descartamos la opción negativa. Y nos quedamos entonces a la respuesta del problema. Tenemos que el ancho del camino mide 1.5 metros.

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\u00e1reas nos da como resultado el \u00e1rea del camino."}, {"start": 184.0, "end": 187.0, "text": " Que es el dato que conocemos en el problema."}, {"start": 187.0, "end": 192.0, "text": " Entonces como vemos es una resta de figuras geom\u00e9tricas."}, {"start": 192.0, "end": 200.0, "text": " El \u00e1rea del rect\u00e1ngulo grande menos el \u00e1rea del rect\u00e1ngulo peque\u00f1o nos da este espacio que queda entre ellos dos."}, {"start": 200.0, "end": 203.0, "text": " Y que corresponde al \u00e1rea del camino."}, {"start": 203.0, "end": 208.0, "text": " Entonces vamos a aplicar la f\u00f3rmula geom\u00e9trica del \u00e1rea de un rect\u00e1ngulo."}, {"start": 208.0, "end": 214.0, "text": " Recordemos que el \u00e1rea es base por altura o largo por ancho."}, {"start": 214.0, "end": 224.0, "text": " Para el caso del rect\u00e1ngulo grande tendremos 15 m\u00e1s 2X que es el largo."}, {"start": 224.0, "end": 231.0, "text": " Multiplicado por el ancho que es 9 m\u00e1s 2X."}, {"start": 231.0, "end": 240.0, "text": " Todo esto menos el \u00e1rea de la piscina que es un rect\u00e1ngulo de 15 metros de largo por 9 metros de ancho."}, {"start": 240.0, "end": 244.0, "text": " Entonces tendremos 15 por 9."}, {"start": 244.0, "end": 251.0, "text": " Y esto es igual al \u00e1rea del camino que el problema nos da en su enunciado."}, {"start": 251.0, "end": 255.0, "text": " Y que es 81 metros cuadrados."}, {"start": 255.0, "end": 260.0, "text": " Como puede observarse este es un problema geom\u00e9trico."}, {"start": 260.0, "end": 263.0, "text": " Involucra \u00e1reas de figuras."}, {"start": 263.0, "end": 267.0, "text": " Y el planteamiento conduce a una ecuaci\u00f3n."}, {"start": 267.0, "end": 270.0, "text": " Nuestro problema es ahora algebraico."}, {"start": 270.0, "end": 275.0, "text": " Debemos dar soluci\u00f3n a esta ecuaci\u00f3n."}, {"start": 275.0, "end": 279.0, "text": " Comenzamos realizando este producto de binomios."}, {"start": 279.0, "end": 282.0, "text": " Y esto lo hacemos aplicando la propiedad distributiva."}, {"start": 282.0, "end": 288.0, "text": " Entonces 15 por 9 nos da 135."}, {"start": 288.0, "end": 297.0, "text": " Despu\u00e9s 15 por 2X que nos da m\u00e1s 30X."}, {"start": 297.0, "end": 301.0, "text": " Luego multiplicamos 2X por 9."}, {"start": 301.0, "end": 306.0, "text": " Eso nos da m\u00e1s 18X."}, {"start": 306.0, "end": 311.0, "text": " Despu\u00e9s multiplicamos 2X por 2X."}, {"start": 311.0, "end": 316.0, "text": " Y eso nos da m\u00e1s 4X al cuadrado."}, {"start": 316.0, "end": 320.0, "text": " Esto menos la multiplicaci\u00f3n de estos n\u00fameros."}, {"start": 320.0, "end": 323.0, "text": " Que nos da 135."}, {"start": 323.0, "end": 328.0, "text": " Y esto es igual a 81."}, {"start": 328.0, "end": 333.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos que estos dos n\u00fameros se pueden cancelar."}, {"start": 333.0, "end": 336.0, "text": " Son n\u00fameros opuestos."}, {"start": 336.0, "end": 339.0, "text": " Y la suma entre ellos nos da 0."}, {"start": 339.0, "end": 343.0, "text": " Tenemos entonces la ecuaci\u00f3n de la siguiente manera."}, {"start": 343.0, "end": 348.0, "text": " AX al cuadrado hacemos la suma de estos dos t\u00e9rminos semejantes."}, {"start": 348.0, "end": 351.0, "text": " Eso nos da m\u00e1s 48X."}, {"start": 351.0, "end": 359.0, "text": " Y podemos pasar este n\u00famero que est\u00e1 positivo a restar al lado izquierdo."}, {"start": 359.0, "end": 363.0, "text": " Llega negativo y esto igual a 0."}, {"start": 363.0, "end": 369.0, "text": " Y hemos llegado a lo que se llama una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica."}, {"start": 369.0, "end": 372.0, "text": " O una ecuaci\u00f3n de segundo grado."}, {"start": 372.0, "end": 379.0, "text": " Esto es AX al cuadrado m\u00e1s BX m\u00e1s C igual a 0."}, {"start": 379.0, "end": 385.0, "text": " Para resolver una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica contamos con dos caminos principales."}, {"start": 385.0, "end": 389.0, "text": " El primero de ellos es la factorizaci\u00f3n."}, {"start": 389.0, "end": 393.0, "text": " Y el segundo camino es el uso de la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica."}, {"start": 393.0, "end": 398.0, "text": " En este caso es m\u00e1s conveniente utilizar la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica."}, {"start": 398.0, "end": 405.0, "text": " Ya que resolver esta ecuaci\u00f3n por factorizaci\u00f3n resulta bastante dispendioso."}, {"start": 405.0, "end": 410.0, "text": " Vamos a recordar aqu\u00ed la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica."}, {"start": 410.0, "end": 411.0, "text": " All\u00ed la tenemos."}, {"start": 411.0, "end": 418.0, "text": " Y para una mejor aplicaci\u00f3n de esta f\u00f3rmula vamos a desaparecer cada una de las letras."}, {"start": 418.0, "end": 423.0, "text": " Dejando en su lugar par\u00e9ntesis vac\u00edos."}, {"start": 423.0, "end": 425.0, "text": " All\u00ed los tenemos."}, {"start": 425.0, "end": 432.0, "text": " Y ahora vamos a llenar cada uno de ellos con los valores de A, B y C."}, {"start": 432.0, "end": 435.0, "text": " En este caso tenemos que A vale 4."}, {"start": 435.0, "end": 441.0, "text": " Entonces llenamos por aqu\u00ed y por aqu\u00ed con el valor 4."}, {"start": 441.0, "end": 444.0, "text": " Tenemos que B vale 48."}, {"start": 444.0, "end": 449.0, "text": " Entonces llenamos este espacio y tambi\u00e9n por aqu\u00ed."}, {"start": 449.0, "end": 453.0, "text": " Y el valor de C es menos 81."}, {"start": 453.0, "end": 458.0, "text": " Entonces llenamos este par\u00e9ntesis con ese valor."}, {"start": 458.0, "end": 462.0, "text": " Enseguida resolvemos estas operaciones."}, {"start": 462.0, "end": 466.0, "text": " Por aqu\u00ed tenemos menos 48."}, {"start": 466.0, "end": 474.0, "text": " Por ac\u00e1 dentro de la ra\u00edz tenemos 48 al cuadrado que nos da 2304."}, {"start": 474.0, "end": 479.0, "text": " Y tenemos menos 4 por 4 por menos 81."}, {"start": 479.0, "end": 485.0, "text": " Eso nos da m\u00e1s 1296."}, {"start": 485.0, "end": 491.0, "text": " Y 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del numerador da como resultado menos 108."}, {"start": 548.0, "end": 551.0, "text": " Todo esto dividido entre 8."}, {"start": 551.0, "end": 553.0, "text": " All\u00ed podemos simplificar."}, {"start": 553.0, "end": 556.0, "text": " Podr\u00edamos sacar cuarta."}, {"start": 556.0, "end": 561.0, "text": " Nos queda menos 27 medios."}, {"start": 561.0, "end": 565.0, "text": " Y esto equivale a menos 13.5."}, {"start": 565.0, "end": 568.0, "text": " Como resultado decimal."}, {"start": 568.0, "end": 570.0, "text": " Vamos con la otra opci\u00f3n."}, {"start": 570.0, "end": 575.0, "text": " Menos 48 m\u00e1s 60 da como resultado 12 positivo."}, {"start": 575.0, "end": 580.0, "text": " 12 dividido entre 8 es una fracci\u00f3n que se puede simplificar."}, {"start": 580.0, "end": 583.0, "text": " Sacando cuarta a ambos n\u00fameros."}, {"start": 583.0, "end": 586.0, "text": " Nos queda entonces 3 medios."}, {"start": 586.0, "end": 591.0, "text": " Y esto como decimal equivale a 1.5."}, {"start": 591.0, "end": 597.0, "text": " Como en este problema x representa el ancho del camino de cemento."}, {"start": 597.0, "end": 602.0, "text": " Entonces tiene que ser necesariamente una cantidad positiva."}, {"start": 602.0, "end": 605.0, "text": " Nos quedamos entonces con este resultado."}, {"start": 605.0, "end": 610.0, "text": " Y descartamos la opci\u00f3n negativa."}, {"start": 610.0, "end": 613.0, "text": " Y nos quedamos entonces a la respuesta del problema."}, {"start": 613.0, "end": 642.0, "text": " Tenemos que el ancho del camino mide 1.5 metros."}]

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INTEGRALES DIRECTAS - Ejercicios 7 y 8

#julioprofe explica cómo resolver dos integrales que contienen potencias en el integrando. Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

En esta ocasión vamos a resolver estas dos integrales que contienen expresiones exponenciales en el integrando. Al comienzo tal vez parecen integrales complicadas, pero vamos a ver como mediante la aplicación de estrategias algebraicas ellas pueden convertirse en integrales directas fáciles de resolver. En el primer ejercicio vamos a comenzar por reescribir esto que tenemos en el exponente del integrando. Para ello utilizamos la siguiente propiedad de los logaritmos. Si tenemos el logaritmo en base a de una potencia b a la c, entonces el exponente pasa a multiplicar delante del logaritmo. Entonces queda c por el logaritmo en base a de b. Esta propiedad también funciona en sentido contrario, es decir, nos podemos devolver. Si tenemos una cantidad multiplicando a la izquierda del logaritmo, entonces por medio de esta propiedad la podemos situar como exponente en el argumento. Eso es lo que va a pasar con este número 2. Como está aquí multiplicando, entonces lo podemos trasladar aquí como exponente. Nos queda entonces la integral de 3 elevado al logaritmo en base a 3 de la raíz cuadrada de x más 6 y todo esto al cuadrado. Todo esto con su respectivo diferencial de x. Entonces vemos como el 2 se convierte en exponente aquí en el argumento del logaritmo. Esto apoyado en esa propiedad. Ahora vamos a utilizar otra propiedad que combina potenciación con logaritmación. Si tenemos a elevada al logaritmo en base a de una cantidad p, entonces esto es igual a p. Es una propiedad que como decíamos combina potenciación, pero aquí en el exponente tenemos un logaritmo. El logaritmo tiene la misma base que tiene la base de la potencia principal. Entonces es como si se cancelan estas dos operaciones, potenciación con logaritmación y dejan libre el argumento del logaritmo. Eso es lo que está ocurriendo en este caso. Este 3 que es la base de la potencia principal coincide con la base del logaritmo. Es esta misma situación. Entonces todo esto dará como resultado esta cantidad que tenemos aquí y que es el argumento del logaritmo. Entonces esto nos va a quedar como la integral de esta expresión. Entre paréntesis la raíz cuadrada de x más 6, todo esto al cuadrado con su respectivo diferencial de x. Ahora nuestro problema es desarrollar esta expresión que nos queda en el integrando. Para ello aplicamos el producto notable llamado binomio al cuadrado. Entonces recordemos que esto es igual a la primera cantidad al cuadrado más dos veces la primera cantidad por la segunda más la segunda cantidad al cuadrado. Vamos a aplicar este producto notable en esta ocasión. Nos queda entonces la integral de, abrimos un corchete, el primer termino que es raíz de x al cuadrado más dos veces el primer termino que es raíz de x por el segundo que es 6 más el segundo termino que es 6 al cuadrado. Cerramos el corchete y escribimos el diferencial de x. Continuamos por acá. Esto nos va a quedar entonces de la siguiente manera. Raíz cuadrada de x elevada al cuadrado, eso nos queda x. Aquí también la potenciación y la radicación se cancelan mutuamente y nos liberan la x. Esto más 2 por raíz de x por 6 nos da 12 raíz de x. Y más 6 al cuadrado que es 36. Protejemos todo esto con paréntesis y escribimos el diferencial de x. Ahora vamos a transformar esta raíz cuadrada de x en potencia. Nos va a quedar como x elevada al exponente 1 medio. Y tenemos todo listo para realizar la integral. Tenemos tres términos que son fácilmente integrables. Comencemos entonces con la integral de x que nos da x al cuadrado sobre 2. Más en el segundo termino dejamos el 12 quieto y hacemos la integral de x al 1 medio. Eso nos dará x a la 3 medios. Todo esto sobre 3 medios. Recordemos que a 1 medio se le suma 1 y nos da 3 medios. Y ese mismo resultado lo escribimos aquí en el denominador. Esto más la integral de 36 que es 36x. Y escribimos por primera vez la constante de integración. Finalmente vamos a pulir el segundo término. Lo que es el primero y el tercero van a quedar como están. Entonces esto nos queda de la siguiente manera. x al cuadrado sobre 2 más aquí. Este 2 sube a multiplicar con 12 nos da 24. Y 24 se simplifica con 3 y nos queda 8. 8 que acompaña a x a la 3 medios. Y esto más 36x más la constante de integración. Esta será entonces la respuesta a este ejercicio que originalmente traía una expresión exponencial en el integrando. Vemos entonces la importancia de aplicar las propiedades de la algebra para llegar en este caso a una expresión más sencilla. Y que hace que la integral se convierta en una integral directa. Esta es entonces la respuesta del primer ejercicio. Para el segundo ejercicio vamos a comenzar recordando que el logaritmo natural o logaritmo neperiano de una cantidad x es igual al logaritmo en la base e de esa cantidad x. Donde e es el número de Euler y equivale a 2.71828 puntos suspensivos. Se trata de un número decimal infinito no periódico. Los números siguen caóticamente extendiéndose sin terminar y por eso hacen que sea un número decimal infinito no periódico. Se trata de un número que pertenece al conjunto de los números irracionales. Las mismas propiedades que habíamos visto como en el ejercicio anterior para un logaritmo en cualquier base como la que habíamos citado. Entonces se van a cumplir para los logaritmos naturales. Si tenemos logaritmo natural de P elevada al exponente Q. Entonces esto es igual a Q por logaritmo natural de P. La misma situación que tenemos con un logaritmo en cualquier otra base. Entonces de igual forma esta cantidad que está multiplicando delante del logaritmo se convierte en exponente en el argumento. Y eso es lo que vamos a realizar aquí. Nos queda entonces E elevada al logaritmo natural de 4x menos 5 y todo esto elevado al cubo. Este 3 pasa a convertirse en exponente de 4x menos 5 y escribimos el diferencial de x de la integral. La propiedad que habíamos visto en el ejercicio anterior que decía que A elevada al logaritmo en base a de una cantidad P esto es igual a esa misma cantidad P también se cumple si en lugar de la letra A tenemos el número de Euler. Entonces sería E elevada al logaritmo en la base E de esa cantidad P y esto nos da como resultado P. Pero como vimos hace un momento el logaritmo en la base E se convierte en el logaritmo natural o logaritmo neperiano que se representa como Ln. Entonces esta propiedad se puede aplicar en esta situación. Esto que tenemos aquí dará como resultado 4x menos 5 elevado al cubo. Entonces vamos a reescribir el integrando. Nos queda la integral de entre paréntesis 4x menos 5, esto elevado al cubo con su respectivo diferencial de x. Entonces esto se convierte en esta expresión utilizando esta propiedad. Ahora vamos a desarrollar este binomio al cubo utilizando el producto notable que se llama justamente así. Vamos a recordarlo. Binomio A menos B elevado al cubo es igual al primer termino al cubo menos tres veces el primer termino al cuadrado por el segundo más tres veces el primer termino por el segundo elevado al cuadrado menos el segundo termino elevado al cubo. Entonces vamos a aplicar esto para hacer el desarrollo de este binomio elevado al cubo. Vamos a seguir por acá y nos queda así. Abrimos un corchete y entonces tenemos el primer termino elevado al cubo. O sea entre paréntesis 4x elevado al cubo menos tres veces el primer termino al cuadrado, o sea 4x al cuadrado por el segundo que es 5. Cuando nos referimos al segundo termino únicamente consideramos la cantidad, no incluimos el signo menos. El signo menos ya hace su papel aquí en el hecho de que los signos van a quedar intercalados en el desarrollo. Siempre comenzamos con positivo, positivo, negativo, positivo, negativo. Entonces en el segundo termino, es decir aquí donde tenemos la b, va a entrar únicamente el 5 más tres por a que es 4x por b que es 5 al cuadrado menos b que vale 5 al cubo. Cerramos el corchete y escribimos el diferencial de x. Vamos a continuar el ejercicio por aquí y a continuación vamos a desarrollar las potencias que tenemos en este polinomio. Comenzamos por aquí, vamos a abrir paréntesis, tenemos que 4x elevado al cubo es 64x al cubo. Dicemos que el 3 afecta al número 4 y a la letra x, menos 3 por aquí desarrollamos 4x al cuadrado, eso nos da 16x al cuadrado, esto por 5 más 3 por 4x por 5 al cuadrado que es 25 menos 5 al cubo que es 125, cerramos el paréntesis y escribimos el diferencial de x. Paso siguiente, vamos a desarrollar las multiplicaciones que tenemos en el segundo y en el tercer termino de este polinomio. Que da 64x al cubo menos 3 por 16 por 5, eso nos da 240 acompañado de x al cuadrado, más 3 por 4 por 25, eso nos da 300 acompañado de la letra x, esto menos 125, protegemos con paréntesis y escribimos el diferencial de x. Y allí llegamos a una expresión fácilmente integrable, es una integral directa, hacemos la integral de cada uno de los términos de la siguiente manera. La integral del primero dejamos el 64 quieto y nos ocupamos de integrar x al cubo, la integral de x a la 3 es x a la 4 sobre 4, menos 240 que se queda intacto, integramos x a la 2 que nos da x a la 3 sobre 3, más 300, se deja como está, integramos la x que tiene exponente 1, eso nos da x a la 2 sobre 2, menos la integral de 125 que será 125x y escribimos la constante de integración por primera vez. Para terminar realizamos la simplificación de los términos donde eso sea posible, se puede simplificar aquí también en este término y en este también. Entonces aquí tenemos 64 dividido entre 4 nos da 16 que queda acompañado de x a la 4, menos 240 simplificando con 3 nos queda 80x al cubo, más 300 dividido entre 2 nos da 150 acompañado de x al cuadrado, menos 125x y esto más c. Y así llegamos al resultado de esta integral.

[{"start": 0.0, "end": 10.0, "text": " En esta ocasi\u00f3n vamos a resolver estas dos integrales que contienen expresiones exponenciales en el integrando."}, {"start": 10.0, "end": 21.0, "text": " Al comienzo tal vez parecen integrales complicadas, pero vamos a ver como mediante la aplicaci\u00f3n de estrategias algebraicas"}, {"start": 21.0, "end": 27.0, "text": " ellas pueden convertirse en integrales directas f\u00e1ciles de resolver."}, {"start": 27.0, "end": 37.0, "text": " En el primer ejercicio vamos a comenzar por reescribir esto que tenemos en el exponente del integrando."}, {"start": 37.0, "end": 42.0, "text": " Para ello utilizamos la siguiente propiedad de los logaritmos."}, {"start": 42.0, "end": 53.0, "text": " Si tenemos el logaritmo en base a de una potencia b a la c, entonces el exponente pasa a multiplicar delante del logaritmo."}, {"start": 53.0, "end": 58.0, "text": " Entonces queda c por el logaritmo en base a de b."}, {"start": 58.0, "end": 66.0, "text": " Esta propiedad tambi\u00e9n funciona en sentido contrario, es decir, nos podemos devolver."}, {"start": 66.0, "end": 77.0, "text": " Si tenemos una cantidad multiplicando a la izquierda del logaritmo, entonces por medio de esta propiedad la podemos situar como exponente en el argumento."}, {"start": 77.0, "end": 86.0, "text": " Eso es lo que va a pasar con este n\u00famero 2. Como est\u00e1 aqu\u00ed multiplicando, entonces lo podemos trasladar aqu\u00ed como exponente."}, {"start": 86.0, "end": 101.0, "text": " Nos queda entonces la integral de 3 elevado al logaritmo en base a 3 de la ra\u00edz cuadrada de x m\u00e1s 6 y todo esto al cuadrado."}, {"start": 101.0, "end": 105.0, "text": " Todo esto con su respectivo diferencial de x."}, {"start": 105.0, "end": 113.0, "text": " Entonces vemos como el 2 se convierte en exponente aqu\u00ed en el argumento del logaritmo."}, {"start": 113.0, "end": 118.0, "text": " Esto apoyado en esa propiedad."}, {"start": 118.0, "end": 124.0, "text": " Ahora vamos a utilizar otra propiedad que combina potenciaci\u00f3n con logaritmaci\u00f3n."}, {"start": 124.0, "end": 135.0, "text": " Si tenemos a elevada al logaritmo en base a de una cantidad p, entonces esto es igual a p."}, {"start": 135.0, "end": 142.0, "text": " Es una propiedad que como dec\u00edamos combina potenciaci\u00f3n, pero aqu\u00ed en el exponente tenemos un logaritmo."}, {"start": 142.0, "end": 148.0, "text": " El logaritmo tiene la misma base que tiene la base de la potencia principal."}, {"start": 148.0, "end": 157.0, "text": " Entonces es como si se cancelan estas dos operaciones, potenciaci\u00f3n con logaritmaci\u00f3n y dejan libre el argumento del logaritmo."}, {"start": 157.0, "end": 160.0, "text": " Eso es lo que est\u00e1 ocurriendo en este caso."}, {"start": 160.0, "end": 167.0, "text": " Este 3 que es la base de la potencia principal coincide con la base del logaritmo."}, {"start": 167.0, "end": 169.0, "text": " Es esta misma situaci\u00f3n."}, {"start": 169.0, "end": 177.0, "text": " Entonces todo esto dar\u00e1 como resultado esta cantidad que tenemos aqu\u00ed y que es el argumento del logaritmo."}, {"start": 177.0, "end": 186.0, "text": " Entonces esto nos va a quedar como la integral de esta expresi\u00f3n."}, {"start": 186.0, "end": 197.0, "text": " Entre par\u00e9ntesis la ra\u00edz cuadrada de x m\u00e1s 6, todo esto al cuadrado con su respectivo diferencial de x."}, {"start": 197.0, "end": 204.0, "text": " Ahora nuestro problema es desarrollar esta expresi\u00f3n que nos queda en el integrando."}, {"start": 204.0, "end": 210.0, "text": " Para ello aplicamos el producto notable llamado binomio al cuadrado."}, {"start": 210.0, "end": 223.0, "text": " Entonces recordemos que esto es igual a la primera cantidad al cuadrado m\u00e1s dos veces la primera cantidad por la segunda m\u00e1s la segunda cantidad al cuadrado."}, {"start": 223.0, "end": 228.0, "text": " Vamos a aplicar este producto notable en esta ocasi\u00f3n."}, {"start": 228.0, "end": 250.0, "text": " Nos queda entonces la integral de, abrimos un corchete, el primer termino que es ra\u00edz de x al cuadrado m\u00e1s dos veces el primer termino que es ra\u00edz de x por el segundo que es 6 m\u00e1s el segundo termino que es 6 al cuadrado."}, {"start": 250.0, "end": 256.0, "text": " Cerramos el corchete y escribimos el diferencial de x."}, {"start": 256.0, "end": 259.0, "text": " Continuamos por ac\u00e1."}, {"start": 259.0, "end": 263.0, "text": " Esto nos va a quedar entonces de la siguiente manera."}, {"start": 263.0, "end": 268.0, "text": " Ra\u00edz cuadrada de x elevada al cuadrado, eso nos queda x."}, {"start": 268.0, "end": 276.0, "text": " Aqu\u00ed tambi\u00e9n la potenciaci\u00f3n y la radicaci\u00f3n se cancelan mutuamente y nos liberan la x."}, {"start": 276.0, "end": 284.0, "text": " Esto m\u00e1s 2 por ra\u00edz de x por 6 nos da 12 ra\u00edz de x."}, {"start": 284.0, "end": 289.0, "text": " Y m\u00e1s 6 al cuadrado que es 36."}, {"start": 289.0, "end": 296.0, "text": " Protejemos todo esto con par\u00e9ntesis y escribimos el diferencial de x."}, {"start": 296.0, "end": 302.0, "text": " Ahora vamos a transformar esta ra\u00edz cuadrada de x en potencia."}, {"start": 302.0, "end": 308.0, "text": " Nos va a quedar como x elevada al exponente 1 medio."}, {"start": 308.0, "end": 312.0, "text": " Y tenemos todo listo para realizar la integral."}, {"start": 312.0, "end": 316.0, "text": " Tenemos tres t\u00e9rminos que son f\u00e1cilmente integrables."}, {"start": 316.0, "end": 324.0, "text": " Comencemos entonces con la integral de x que nos da x al cuadrado sobre 2."}, {"start": 324.0, "end": 332.0, "text": " M\u00e1s en el segundo termino dejamos el 12 quieto y hacemos la integral de x al 1 medio."}, {"start": 332.0, "end": 335.0, "text": " Eso nos dar\u00e1 x a la 3 medios."}, {"start": 335.0, "end": 338.0, "text": " Todo esto sobre 3 medios."}, {"start": 338.0, "end": 343.0, "text": " Recordemos que a 1 medio se le suma 1 y nos da 3 medios."}, {"start": 343.0, "end": 347.0, "text": " Y ese mismo resultado lo escribimos aqu\u00ed en el denominador."}, {"start": 347.0, "end": 353.0, "text": " Esto m\u00e1s la integral de 36 que es 36x."}, {"start": 353.0, "end": 359.0, "text": " Y escribimos por primera vez la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 359.0, "end": 363.0, "text": " Finalmente vamos a pulir el segundo t\u00e9rmino."}, {"start": 363.0, "end": 367.0, "text": " Lo que es el primero y el tercero van a quedar como est\u00e1n."}, {"start": 367.0, "end": 370.0, "text": " Entonces esto nos queda de la siguiente manera."}, {"start": 370.0, "end": 376.0, "text": " x al cuadrado sobre 2 m\u00e1s aqu\u00ed."}, {"start": 376.0, "end": 380.0, "text": " Este 2 sube a multiplicar con 12 nos da 24."}, {"start": 380.0, "end": 385.0, "text": " Y 24 se simplifica con 3 y nos queda 8."}, {"start": 385.0, "end": 390.0, "text": " 8 que acompa\u00f1a a x a la 3 medios."}, {"start": 390.0, "end": 398.0, "text": " Y esto m\u00e1s 36x m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 398.0, "end": 411.0, "text": " Esta ser\u00e1 entonces la respuesta a este ejercicio que originalmente tra\u00eda una expresi\u00f3n exponencial en el integrando."}, {"start": 411.0, "end": 416.0, "text": " Vemos entonces la importancia de aplicar las propiedades de la algebra"}, {"start": 416.0, "end": 421.0, "text": " para llegar en este caso a una expresi\u00f3n m\u00e1s sencilla."}, {"start": 421.0, "end": 426.0, "text": " Y que hace que la integral se convierta en una integral directa."}, {"start": 426.0, "end": 431.0, "text": " Esta es entonces la respuesta del primer ejercicio."}, {"start": 431.0, "end": 442.0, "text": " Para el segundo ejercicio vamos a comenzar recordando que el logaritmo natural o logaritmo neperiano de una cantidad x"}, {"start": 442.0, "end": 448.0, "text": " es igual al logaritmo en la base e de esa cantidad x."}, {"start": 448.0, "end": 458.0, "text": " Donde e es el n\u00famero de Euler y equivale a 2.71828 puntos suspensivos."}, {"start": 458.0, "end": 463.0, "text": " Se trata de un n\u00famero decimal infinito no peri\u00f3dico."}, {"start": 463.0, "end": 474.0, "text": " Los n\u00fameros siguen ca\u00f3ticamente extendi\u00e9ndose sin terminar y por eso hacen que sea un n\u00famero decimal infinito no peri\u00f3dico."}, {"start": 474.0, "end": 481.0, "text": " Se trata de un n\u00famero que pertenece al conjunto de los n\u00fameros irracionales."}, {"start": 481.0, "end": 486.0, "text": " Las mismas propiedades que hab\u00edamos visto como en el ejercicio anterior"}, {"start": 486.0, "end": 491.0, "text": " para un logaritmo en cualquier base como la que hab\u00edamos citado."}, {"start": 491.0, "end": 496.0, "text": " Entonces se van a cumplir para los logaritmos naturales."}, {"start": 496.0, "end": 502.0, "text": " Si tenemos logaritmo natural de P elevada al exponente Q."}, {"start": 502.0, "end": 507.0, "text": " Entonces esto es igual a Q por logaritmo natural de P."}, {"start": 507.0, "end": 513.0, "text": " La misma situaci\u00f3n que tenemos con un logaritmo en cualquier otra base."}, {"start": 513.0, "end": 522.0, "text": " Entonces de igual forma esta cantidad que est\u00e1 multiplicando delante del logaritmo se convierte en exponente en el argumento."}, {"start": 522.0, "end": 526.0, "text": " Y eso es lo que vamos a realizar aqu\u00ed."}, {"start": 526.0, "end": 537.0, "text": " Nos queda entonces E elevada al logaritmo natural de 4x menos 5 y todo esto elevado al cubo."}, {"start": 537.0, "end": 549.0, "text": " Este 3 pasa a convertirse en exponente de 4x menos 5 y escribimos el diferencial de x de la integral."}, {"start": 549.0, "end": 560.0, "text": " La propiedad que hab\u00edamos visto en el ejercicio anterior que dec\u00eda que A elevada al logaritmo en base a de una cantidad P"}, {"start": 560.0, "end": 570.0, "text": " esto es igual a esa misma cantidad P tambi\u00e9n se cumple si en lugar de la letra A tenemos el n\u00famero de Euler."}, {"start": 570.0, "end": 581.0, "text": " Entonces ser\u00eda E elevada al logaritmo en la base E de esa cantidad P y esto nos da como resultado P."}, {"start": 581.0, "end": 594.0, "text": " Pero como vimos hace un momento el logaritmo en la base E se convierte en el logaritmo natural o logaritmo neperiano que se representa como Ln."}, {"start": 594.0, "end": 600.0, "text": " Entonces esta propiedad se puede aplicar en esta situaci\u00f3n."}, {"start": 600.0, "end": 607.0, "text": " Esto que tenemos aqu\u00ed dar\u00e1 como resultado 4x menos 5 elevado al cubo."}, {"start": 607.0, "end": 612.0, "text": " Entonces vamos a reescribir el integrando."}, {"start": 612.0, "end": 625.0, "text": " Nos queda la integral de entre par\u00e9ntesis 4x menos 5, esto elevado al cubo con su respectivo diferencial de x."}, {"start": 625.0, "end": 632.0, "text": " Entonces esto se convierte en esta expresi\u00f3n utilizando esta propiedad."}, {"start": 632.0, "end": 642.0, "text": " Ahora vamos a desarrollar este binomio al cubo utilizando el producto notable que se llama justamente as\u00ed."}, {"start": 642.0, "end": 644.0, "text": " Vamos a recordarlo."}, {"start": 644.0, "end": 665.0, "text": " Binomio A menos B elevado al cubo es igual al primer termino al cubo menos tres veces el primer termino al cuadrado por el segundo m\u00e1s tres veces el primer termino por el segundo elevado al cuadrado menos el segundo termino elevado al cubo."}, {"start": 665.0, "end": 674.0, "text": " Entonces vamos a aplicar esto para hacer el desarrollo de este binomio elevado al cubo."}, {"start": 674.0, "end": 678.0, "text": " Vamos a seguir por ac\u00e1 y nos queda as\u00ed."}, {"start": 678.0, "end": 683.0, "text": " Abrimos un corchete y entonces tenemos el primer termino elevado al cubo."}, {"start": 683.0, "end": 697.0, "text": " O sea entre par\u00e9ntesis 4x elevado al cubo menos tres veces el primer termino al cuadrado, o sea 4x al cuadrado por el segundo que es 5."}, {"start": 697.0, "end": 705.0, "text": " Cuando nos referimos al segundo termino \u00fanicamente consideramos la cantidad, no incluimos el signo menos."}, {"start": 705.0, "end": 713.0, "text": " El signo menos ya hace su papel aqu\u00ed en el hecho de que los signos van a quedar intercalados en el desarrollo."}, {"start": 713.0, "end": 718.0, "text": " Siempre comenzamos con positivo, positivo, negativo, positivo, negativo."}, {"start": 718.0, "end": 743.0, "text": " Entonces en el segundo termino, es decir aqu\u00ed donde tenemos la b, va a entrar \u00fanicamente el 5 m\u00e1s tres por a que es 4x por b que es 5 al cuadrado menos b que vale 5 al cubo."}, {"start": 743.0, "end": 750.0, "text": " Cerramos el corchete y escribimos el diferencial de x."}, {"start": 750.0, "end": 763.0, "text": " Vamos a continuar el ejercicio por aqu\u00ed y a continuaci\u00f3n vamos a desarrollar las potencias que tenemos en este polinomio."}, {"start": 763.0, "end": 773.0, "text": " Comenzamos por aqu\u00ed, vamos a abrir par\u00e9ntesis, tenemos que 4x elevado al cubo es 64x al cubo."}, {"start": 773.0, "end": 799.0, "text": " Dicemos que el 3 afecta al n\u00famero 4 y a la letra x, menos 3 por aqu\u00ed desarrollamos 4x al cuadrado, eso nos da 16x al cuadrado, esto por 5 m\u00e1s 3 por 4x por 5 al cuadrado que es 25"}, {"start": 799.0, "end": 810.0, "text": " menos 5 al cubo que es 125, cerramos el par\u00e9ntesis y escribimos el diferencial de x."}, {"start": 810.0, "end": 824.0, "text": " Paso siguiente, vamos a desarrollar las multiplicaciones que tenemos en el segundo y en el tercer termino de este polinomio."}, {"start": 824.0, "end": 852.0, "text": " Que da 64x al cubo menos 3 por 16 por 5, eso nos da 240 acompa\u00f1ado de x al cuadrado, m\u00e1s 3 por 4 por 25, eso nos da 300 acompa\u00f1ado de la letra x, esto menos 125, protegemos con par\u00e9ntesis y escribimos el diferencial de x."}, {"start": 852.0, "end": 869.0, "text": " Y all\u00ed llegamos a una expresi\u00f3n f\u00e1cilmente integrable, es una integral directa, hacemos la integral de cada uno de los t\u00e9rminos de la siguiente manera."}, {"start": 869.0, "end": 888.0, "text": " La integral del primero dejamos el 64 quieto y nos ocupamos de integrar x al cubo, la integral de x a la 3 es x a la 4 sobre 4, menos 240 que se queda intacto,"}, {"start": 888.0, "end": 906.0, "text": " integramos x a la 2 que nos da x a la 3 sobre 3, m\u00e1s 300, se deja como est\u00e1, integramos la x que tiene exponente 1, eso nos da x a la 2 sobre 2,"}, {"start": 906.0, "end": 918.0, "text": " menos la integral de 125 que ser\u00e1 125x y escribimos la constante de integraci\u00f3n por primera vez."}, {"start": 918.0, "end": 933.0, "text": " Para terminar realizamos la simplificaci\u00f3n de los t\u00e9rminos donde eso sea posible, se puede simplificar aqu\u00ed tambi\u00e9n en este t\u00e9rmino y en este tambi\u00e9n."}, {"start": 933.0, "end": 949.0, "text": " Entonces aqu\u00ed tenemos 64 dividido entre 4 nos da 16 que queda acompa\u00f1ado de x a la 4, menos 240 simplificando con 3 nos queda 80x al cubo,"}, {"start": 949.0, "end": 966.0, "text": " m\u00e1s 300 dividido entre 2 nos da 150 acompa\u00f1ado de x al cuadrado, menos 125x y esto m\u00e1s c."}, {"start": 966.0, "end": 983.0, "text": " Y as\u00ed llegamos al resultado de esta integral."}]

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DERIVACIÓN LOGARÍTMICA - Ejercicio 2

#julioprofe explica cómo derivar una función utilizando la Derivación o Diferenciación Logarítmica. Tema: #Derivadas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwF9r-Y_Gpuq45VP0qnJIJL1 REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a derivar esta función que como observamos consta de un cociente pero a su vez en el numerador tenemos un producto y en el denominador también. Entonces si nos vamos por el camino de las reglas tradicionales de derivación como la regla del cociente, la regla del producto, en fin, sería un proceso muy dispendioso. Vamos a utilizar entonces una alternativa que es mucho más fácil que se llama la derivación logarítmica. Vamos entonces a comenzar tomando logaritmo natural a los dos lados. Allí observamos el logaritmo natural aplicado a los dos lados de la igualdad y enseguida vamos a transformar el lado derecho haciendo uso de las propiedades de los logaritmos. Vemos que la operación principal aquí es un cociente, entonces recordemos cómo se transforma el logaritmo de un cociente, por ejemplo logaritmo natural de A sobre B. Esto es igual a logaritmo natural de A menos el logaritmo natural de B. Esa propiedad la vamos a aplicar en ese caso. Tendremos entonces logaritmo natural de Y igual al logaritmo natural del numerador X cuadrado más 1 a la 4 por E a la 5X. Cerramos el corchete menos el logaritmo natural del denominador que es seno de X por raíz cuadrada de X que la podemos escribir de una vez como X elevada a la un medio, cambiando la raíz por exponente fraccionario. Entonces hemos transformado inicialmente el logaritmo con esta propiedad. Tenemos ahora el logaritmo de un producto y por aquí también la misma situación. Entonces recordemos que el logaritmo de un producto, por ejemplo logaritmo natural de A por B es igual a logaritmo natural de A más logaritmo natural de B. Logaritmo de un producto se convierte en una suma de logaritmos. Veamos entonces como nos queda. Logaritmo natural de Y será igual a logaritmo natural de X al cuadrado más 1 a la 4 más logaritmo natural de E a la 5X. Menos, aquí debemos tener mucho cuidado con ese signo menos. Vamos a abrir un corchete y aplicamos aquí la misma propiedad para este producto. Entonces tendremos logaritmo natural del seno de X más logaritmo natural de X elevada al exponente un medio y cerramos el corchete. A continuación vamos a romper el corchete. Entra el signo negativo y cambia los signos de lo que tenemos dentro del corchete. Entonces este signo más cambia a menos. Ahora veamos que sucede con estos logaritmos que corresponden a potencias. Si tenemos el logaritmo natural de A elevada al exponente B, esto es igual a B por el logaritmo natural de A. El exponente baja a multiplicar delante del logaritmo. Entonces esto nos queda de la siguiente manera. Logaritmo natural de Y es igual a 4 que multiplica al logaritmo natural de X al cuadrado más 1. Más, por acá tenemos 5X que multiplica al logaritmo natural de E menos logaritmo natural del seno de X. E se queda tal como está y por acá un medio baja a multiplicar con el logaritmo natural de X. En esta etapa tenemos que el logaritmo natural de E equivale a 1. Recordemos por qué sucede eso. Si tenemos logaritmo natural de E, o sea el número de Euler, entonces estamos hablando del logaritmo en la base E del mismo número E. Recordemos que el logaritmo natural es el logaritmo en la base E, número de Euler. Y esto equivale a 1 porque E tiene que ser elevada al exponente 1 para que nos de el mismo número E. Entonces por esa razón logaritmo natural de E equivale a 1 y 5X por 1 nos quedará 5X. Entonces vamos a pulir la expresión. Allí la tenemos y cuando vemos que no se pueden aplicar más propiedades de los logaritmos, entonces procedemos con la derivación. Aquí tendremos una derivación implícita. Veamos por qué. Derivamos implícitamente. Esto sucede porque la variable dependiente y ahora hace parte de la función logaritmo natural. Ya no está como al comienzo. Aquí teníamos una expresión explícita. La y despejada en términos de X. Pero acá nos quedó la y como argumento del logaritmo natural. Entonces tenemos que derivar implícitamente. Como lo que predomina en esta expresión son los logaritmos naturales, vamos a recordar cómo se deriva el logaritmo natural de una expresión. Vamos a representarlo como logaritmo natural de la manzanita. Entonces la derivada de eso será igual a 1 sobre la manzanita y eso multiplicado por la derivada de la manzanita. O sea la derivada interna. Esto es la regla de la cadena. Pero es más fácil si esta manzanita prima multiplica con el numerador 1 quedando manzanita prima sobre la manzanita. Es una forma fácil de recordarlo. Entonces veamos. Para el caso del logaritmo natural de y su derivada será abajo y. Y es la manzanita y en el numerador la derivada de la manzanita. O sea y prima. Recordemos que en la derivación implícita cada vez que derivamos la y debemos agregar o escribir y prima. Porque esa es la variable dependiente. Pasamos al otro lado de la expresión. Vamos a derivar todos estos componentes. Comenzamos con el primero donde el 4 se deja quieto por estar multiplicando a esta expresión. Y nos ocupamos de la derivada de este logaritmo natural. Seguimos esta regla. Trasamos una línea. En el denominador escribimos la manzanita que sería x cuadrado más 1. Y en el numerador la derivada de la manzanita. La derivada de esto es 2x. Entonces va en el numerador. Más derivada de 5x que nos da 5 menos llegamos a otro logaritmo natural. Nuevamente aplicamos esta regla. Trasamos la línea. En el denominador va la manzanita que sería seno de x. Y arriba escribimos la derivada de la manzanita. La derivada de seno de x es coseno de x. Menos un medio que se deja quieto por estar multiplicando con este componente. Y la derivada del logaritmo natural de x siguiendo esta regla sería la manzanita abajo que es x. Y arriba su derivada que sería 1. También sabemos que la derivada del logaritmo natural de x ya por las reglas básicas de derivación es siempre 1 sobre x. Ahora vamos a pulir esta expresión. Tendremos y' sobre y en el lado izquierdo y aquí en el lado derecho tenemos 4 por esta fracción se multiplica 4 por 2x nos queda 8x en el numerador y abajo nos queda x cuadrado más 1. Esto más 5 menos coseno de x sobre seno de x. Recordemos que eso equivale a cotangente de x. Es una de las identidades básicas de la trigonometría. Menos un medio por 1 sobre x nos queda 1 sobre 2x. Recordemos que se multiplican numeradores entre sí y denominadores entre sí. Cuando esta expresión está escrita en su forma más simple entonces procedemos a despejar y'. Entonces tendremos que y' es igual a y que está dividiendo pasa al otro lado a multiplicar con toda esa expresión. Entonces y por 8x sobre x cuadrado más 1 esto más 5 menos cotangente de x menos 1 sobre 2x. Y cerramos el paréntesis. Finalmente cambiamos y' por dy dx. Es mejor expresar la derivada de esta manera porque se especifica cuál es la variable dependiente y cuál es la variable independiente en la función. Ahora vamos a escribir aquí el equivalente para y, o sea la función original que nos dieron. Allí lo tenemos. Y esto multiplicado por toda esta expresión. Aquí la podemos observar. Bien, de esta manera hemos llegado a la derivada de la función. Lo que nos perdían inicialmente. Como vimos se ha utilizado la derivación logarítmica como una estrategia que permite derivar con facilidad una función que en este caso viene conformada por cosiente pero a su vez en el numerador y en el denominador tiene productos y también hay potencias y raíces. Entonces en esos casos cuando la función viene muy complicada o muy congestionada con este tipo de operaciones se recomienda por medio de la derivación logarítmica aplicar las propiedades de los logaritmos y llegar a una expresión que sea más sencilla de derivar.

[{"start": 0.0, "end": 12.0, "text": " Vamos a derivar esta funci\u00f3n que como observamos consta de un cociente pero a su vez en el numerador tenemos un producto y en el denominador tambi\u00e9n."}, {"start": 12.0, "end": 24.0, "text": " Entonces si nos vamos por el camino de las reglas tradicionales de derivaci\u00f3n como la regla del cociente, la regla del producto, en fin, ser\u00eda un proceso muy dispendioso."}, {"start": 24.0, "end": 38.0, "text": " Vamos a utilizar entonces una alternativa que es mucho m\u00e1s f\u00e1cil que se llama la derivaci\u00f3n logar\u00edtmica. 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Tendremos entonces logaritmo natural de Y igual al logaritmo natural del numerador X cuadrado m\u00e1s 1 a la 4 por E a la 5X."}, {"start": 95.0, "end": 117.0, "text": " Cerramos el corchete menos el logaritmo natural del denominador que es seno de X por ra\u00edz cuadrada de X que la podemos escribir de una vez como X elevada a la un medio, cambiando la ra\u00edz por exponente fraccionario."}, {"start": 117.0, "end": 131.0, "text": " Entonces hemos transformado inicialmente el logaritmo con esta propiedad. Tenemos ahora el logaritmo de un producto y por aqu\u00ed tambi\u00e9n la misma situaci\u00f3n."}, {"start": 131.0, "end": 147.0, "text": " Entonces recordemos que el logaritmo de un producto, por ejemplo logaritmo natural de A por B es igual a logaritmo natural de A m\u00e1s logaritmo natural de B."}, {"start": 147.0, "end": 151.0, "text": " Logaritmo de un producto se convierte en una suma de logaritmos."}, {"start": 151.0, "end": 169.0, "text": " Veamos entonces como nos queda. 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Entonces la derivada de eso ser\u00e1 igual a 1 sobre la manzanita y eso multiplicado por la derivada de la manzanita."}, {"start": 387.0, "end": 403.0, "text": " O sea la derivada interna. Esto es la regla de la cadena. Pero es m\u00e1s f\u00e1cil si esta manzanita prima multiplica con el numerador 1 quedando manzanita prima sobre la manzanita."}, {"start": 403.0, "end": 414.0, "text": " Es una forma f\u00e1cil de recordarlo. Entonces veamos. Para el caso del logaritmo natural de y su derivada ser\u00e1 abajo y."}, {"start": 414.0, "end": 421.0, "text": " Y es la manzanita y en el numerador la derivada de la manzanita. O sea y prima."}, {"start": 421.0, "end": 433.0, "text": " Recordemos que en la derivaci\u00f3n impl\u00edcita cada vez que derivamos la y debemos agregar o escribir y prima. Porque esa es la variable dependiente."}, {"start": 433.0, "end": 439.0, "text": " Pasamos al otro lado de la expresi\u00f3n. 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¿QUÉ SE NECESITA PARA ENTENDER LOS TEMAS DE CÁLCULO?

#julioprofe responde a la inquietud de muchos estudiantes: ¿Qué se necesita para entender los temas de Cálculo y tener éxito en esta asignatura? REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Estimados estudiantes, reciban un cordial saludo. Les habla Julio Ríos desde Colombia y en esta ocasión me dirijo a ustedes para responder a una inquietud que muchos se plantean cuando están próximos a cursar la asignatura de cálculo de una variable, cuando están cursando sus carreras universitarias. La pregunta es, ¿qué se necesita para entender bien los temas de cálculo, para tener éxito en esta asignatura que tradicionalmente ha sido rigurosa y donde muchos estudiantes suelen encontrar una barrera que no los deja avanzar en sus estudios universitarios? Bien, para los estudiantes que están próximos a cursar la asignatura de cálculo de una variable, mi recomendación es que revisen muy bien los conceptos previos al cálculo, es decir todo lo que se conoce como el precalculo, esto es la aritmética, el álgebra, la geometría, la trigonometría, la geometría analítica, incluso los temas de la física. Todos los conceptos que hacen parte del precalculo deben estar muy bien cimentados para tener éxito cuando se ven los temas de cálculo, que a grandes rasgos son tres. El primero es lo referente a límites y continuidad, después de eso se ve todo lo relacionado con derivadas y después sigue la parte de integrales. En todos estos temas del cálculo se requieren de los diferentes elementos de las asignaturas previas, entonces por ejemplo si estamos en límites necesitamos saber factorizar muy bien, necesitamos saber racionalizar una fracción tanto el numerador como el denominador, necesitamos conocer de identidades trigonométricas, cuando estamos viendo el tema de continuidad necesitamos saber graficar muy bien una función, conocer los tipos de funciones, cuando es una recta, cuando es una parábola, como es la gráfica del valor absoluto, como es la gráfica de una función cúbica, que es una asíntota, que es el dominio, que es el rango de una función, toda una serie de conceptos que se ven en el precalculo. Cuando estamos en derivadas necesitamos también manejar muy bien las operaciones con enteros, con fraccionarios, con decimales, nuevamente se necesita la factorización, necesitamos también conocer las propiedades de la potenciación, de la erradicación, de los logaritmos, cuando estamos viendo integrales necesitamos nuevamente operar fracciones, operar enteros, necesitamos saber descomponer una expresión fraccionaria en sus fracciones parciales por ejemplo, o necesitamos el tema anterior de las derivadas, es decir todos los temas se van encadenando incluso en el cálculo, si estamos viendo integrales y tenemos fallas en derivadas, pues con seguridad vamos a tener dificultades al momento de ver los métodos de integración por ejemplo. Entonces para un estudiante que está próximo a ver el cálculo de una variable, lo más importante es que revise muy bien cómo están sus conocimientos previos, cómo está su precalculo y reforzar aquello en lo que se encuentre más débil, para esto tiene toda la información que está en los libros, tiene lo que está aquí en internet, tiene todo el contenido de mi página a sus órdenes, recuerden que en el blog www.julioprof.net van a encontrar organizados por temas todos los enlaces a los videos que he publicado en youtube, se que allí faltan muchos temas todavía para tener un temario completo, pero en eso estoy trabajando para poder brindarles a los estudiantes que van a ver el cálculo un contenido mucho más completo donde puedan encontrar todos los temas, repasar, prepararse para que cuando enfrenten los temas del cálculo tengan éxito y puedan avanzar en sus estudios. Con esto quiero resaltar la importancia de estudiar los temas del precalculo a conciencia con suficiente cantidad de ejercicios, con mucha disciplina para que realmente estos temas queden muy bien cimentados, los asimilemos bien y cuando llegue el momento de utilizarlos en momentos posteriores como una carrera universitaria y cuando se entra a ver un curso de cálculo entonces tengamos éxito en esta asignatura. Cabe resaltar que los temas de precalculo también son necesarios para otras asignaturas propias de la universidad como el álgebra lineal donde se ven temas como matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones, vectores, rectas, planos, en fin, también los mismos temas del cálculo de una variable se requieren para la asignatura posterior a ella que es el cálculo de varias variables donde se ven por ejemplo las derivadas parciales, donde se ven las integrales dobles, las integrales triples, las coordenadas polares, donde tenemos que hacer gráficas en dos y tres dimensiones, donde por ejemplo necesitamos reconocer lo que es una circunferencia, una elipse, una hipérbola, una parábola, por ejemplo lo que son las secciones cónicas y que se ven en la geometría analítica que es parte del precalculo. También después de estas asignaturas sigue por ejemplo las ecuaciones diferenciales donde allí necesitamos saber derivar e integrar muy bien, es decir, necesitamos lo del cálculo, también en la asignatura por ejemplo de resistencia de materiales, si estamos en una carrera de ingeniería o la termodinámica o vienen las matemáticas financieras, en fin, ya una serie de asignaturas más avanzadas, propias de cada carrera, donde esos conocimientos previos son necesarios y hay que tenerlos como decía muy bien cimentados para que en el momento de utilizarlos, de aplicarlos ya en situaciones propias de cada profesión, entonces no tengamos dificultades. Con esto no quiero preocupar a los estudiantes que van a cursar próximamente una asignatura como cálculo de una variable, todo lo contrario, quiero animarlos a que se preparen, a que revisen de manera consciente cuáles son sus puntos débiles, en donde necesitan refuerzo, que temas deben trabajar con mayor intensidad para esclarecer sus dudas y para que cuando estén cursando la asignatura como tal no tengan dificultades. Bueno, me despido de ustedes agradeciéndoles su atención a este mensaje, gracias también por el apoyo que me manifiestan a través de sus mensajes a la labor educativa que vengo adelantando en la red con los videos de matemáticas y física. Que Dios los bendiga, les deseo muchos éxitos en sus estudios y hasta la próxima.

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Les habla Julio R\u00edos desde Colombia"}, {"start": 7.0, "end": 14.08, "text": " y en esta ocasi\u00f3n me dirijo a ustedes para responder a una inquietud que muchos se plantean"}, {"start": 14.08, "end": 21.2, "text": " cuando est\u00e1n pr\u00f3ximos a cursar la asignatura de c\u00e1lculo de una variable, cuando est\u00e1n"}, {"start": 21.2, "end": 25.6, "text": " cursando sus carreras universitarias."}, {"start": 25.6, "end": 32.68, "text": " La pregunta es, \u00bfqu\u00e9 se necesita para entender bien los temas de c\u00e1lculo, para tener \u00e9xito"}, {"start": 32.68, "end": 41.300000000000004, "text": " en esta asignatura que tradicionalmente ha sido rigurosa y donde muchos estudiantes suelen"}, {"start": 41.300000000000004, "end": 47.480000000000004, "text": " encontrar una barrera que no los deja avanzar en sus estudios universitarios?"}, {"start": 47.480000000000004, "end": 54.84, "text": " Bien, para los estudiantes que est\u00e1n pr\u00f3ximos a cursar la asignatura de c\u00e1lculo de una"}, {"start": 54.84, "end": 62.24, "text": " variable, mi recomendaci\u00f3n es que revisen muy bien los conceptos previos al c\u00e1lculo,"}, {"start": 62.24, "end": 69.24000000000001, "text": " es decir todo lo que se conoce como el precalculo, esto es la aritm\u00e9tica, el \u00e1lgebra, la geometr\u00eda,"}, {"start": 69.24000000000001, "end": 76.80000000000001, "text": " la trigonometr\u00eda, la geometr\u00eda anal\u00edtica, incluso los temas de la f\u00edsica."}, {"start": 76.80000000000001, "end": 83.18, "text": " Todos los conceptos que hacen parte del precalculo deben estar muy bien cimentados para tener"}, {"start": 83.18, "end": 90.28, "text": " \u00e9xito cuando se ven los temas de c\u00e1lculo, que a grandes rasgos son tres."}, {"start": 90.28, "end": 97.2, "text": " El primero es lo referente a l\u00edmites y continuidad, despu\u00e9s de eso se ve todo lo relacionado"}, {"start": 97.2, "end": 102.36000000000001, "text": " con derivadas y despu\u00e9s sigue la parte de integrales."}, {"start": 102.36000000000001, "end": 110.04, "text": " En todos estos temas del c\u00e1lculo se requieren de los diferentes elementos de las asignaturas"}, {"start": 110.04, "end": 116.04, "text": " previas, entonces por ejemplo si estamos en l\u00edmites necesitamos saber factorizar muy"}, {"start": 116.04, "end": 123.96000000000001, "text": " bien, necesitamos saber racionalizar una fracci\u00f3n tanto el numerador como el denominador, necesitamos"}, {"start": 123.96000000000001, "end": 131.36, "text": " conocer de identidades trigonom\u00e9tricas, cuando estamos viendo el tema de continuidad necesitamos"}, {"start": 131.36, "end": 137.24, "text": " saber graficar muy bien una funci\u00f3n, conocer los tipos de funciones, cuando es una recta,"}, {"start": 137.24, "end": 142.28, "text": " cuando es una par\u00e1bola, como es la gr\u00e1fica del valor absoluto, como es la gr\u00e1fica de"}, {"start": 142.28, "end": 148.88, "text": " una funci\u00f3n c\u00fabica, que es una as\u00edntota, que es el dominio, que es el rango de una"}, {"start": 148.88, "end": 153.20000000000002, "text": " funci\u00f3n, toda una serie de conceptos que se ven en el precalculo."}, {"start": 153.20000000000002, "end": 158.48000000000002, "text": " Cuando estamos en derivadas necesitamos tambi\u00e9n manejar muy bien las operaciones con enteros,"}, {"start": 158.48000000000002, "end": 164.60000000000002, "text": " con fraccionarios, con decimales, nuevamente se necesita la factorizaci\u00f3n, necesitamos"}, {"start": 164.6, "end": 170.2, "text": " tambi\u00e9n conocer las propiedades de la potenciaci\u00f3n, de la erradicaci\u00f3n, de los logaritmos, cuando"}, {"start": 170.2, "end": 178.68, "text": " estamos viendo integrales necesitamos nuevamente operar fracciones, operar enteros, necesitamos"}, {"start": 178.68, "end": 186.28, "text": " saber descomponer una expresi\u00f3n fraccionaria en sus fracciones parciales por ejemplo, o"}, {"start": 186.28, "end": 191.95999999999998, "text": " necesitamos el tema anterior de las derivadas, es decir todos los temas se van encadenando"}, {"start": 191.96, "end": 197.92000000000002, "text": " incluso en el c\u00e1lculo, si estamos viendo integrales y tenemos fallas en derivadas,"}, {"start": 197.92000000000002, "end": 202.76000000000002, "text": " pues con seguridad vamos a tener dificultades al momento de ver los m\u00e9todos de integraci\u00f3n"}, {"start": 202.76000000000002, "end": 205.60000000000002, "text": " por ejemplo."}, {"start": 205.60000000000002, "end": 211.72, "text": " Entonces para un estudiante que est\u00e1 pr\u00f3ximo a ver el c\u00e1lculo de una variable, lo m\u00e1s"}, {"start": 211.72, "end": 217.84, "text": " importante es que revise muy bien c\u00f3mo est\u00e1n sus conocimientos previos, c\u00f3mo est\u00e1 su"}, {"start": 217.84, "end": 225.36, "text": " precalculo y reforzar aquello en lo que se encuentre m\u00e1s d\u00e9bil, para esto tiene toda"}, {"start": 225.36, "end": 231.92000000000002, "text": " la informaci\u00f3n que est\u00e1 en los libros, tiene lo que est\u00e1 aqu\u00ed en internet, tiene todo"}, {"start": 231.92000000000002, "end": 238.24, "text": " el contenido de mi p\u00e1gina a sus \u00f3rdenes, recuerden que en el blog www.julioprof.net"}, {"start": 238.24, "end": 246.0, "text": " van a encontrar organizados por temas todos los enlaces a los videos que he publicado en"}, {"start": 246.0, "end": 252.24, "text": " youtube, se que all\u00ed faltan muchos temas todav\u00eda para tener un temario completo, pero"}, {"start": 252.24, "end": 257.72, "text": " en eso estoy trabajando para poder brindarles a los estudiantes que van a ver el c\u00e1lculo"}, {"start": 257.72, "end": 264.64, "text": " un contenido mucho m\u00e1s completo donde puedan encontrar todos los temas, repasar, prepararse"}, {"start": 264.64, "end": 273.44, "text": " para que cuando enfrenten los temas del c\u00e1lculo tengan \u00e9xito y puedan avanzar en sus estudios."}, {"start": 273.44, "end": 280.32, "text": " Con esto quiero resaltar la importancia de estudiar los temas del precalculo a conciencia"}, {"start": 280.32, "end": 287.04, "text": " con suficiente cantidad de ejercicios, con mucha disciplina para que realmente estos"}, {"start": 287.04, "end": 293.68, "text": " temas queden muy bien cimentados, los asimilemos bien y cuando llegue el momento de utilizarlos"}, {"start": 293.68, "end": 300.78, "text": " en momentos posteriores como una carrera universitaria y cuando se entra a ver un curso de c\u00e1lculo"}, {"start": 300.78, "end": 305.91999999999996, "text": " entonces tengamos \u00e9xito en esta asignatura."}, {"start": 305.91999999999996, "end": 313.52, "text": " Cabe resaltar que los temas de precalculo tambi\u00e9n son necesarios para otras asignaturas"}, {"start": 313.52, "end": 321.15999999999997, "text": " propias de la universidad como el \u00e1lgebra lineal donde se ven temas como matrices, determinantes,"}, {"start": 321.15999999999997, "end": 328.15999999999997, "text": " sistemas de ecuaciones, vectores, rectas, planos, en fin, tambi\u00e9n los mismos temas"}, {"start": 328.16, "end": 334.32000000000005, "text": " del c\u00e1lculo de una variable se requieren para la asignatura posterior a ella que es"}, {"start": 334.32000000000005, "end": 339.48, "text": " el c\u00e1lculo de varias variables donde se ven por ejemplo las derivadas parciales, donde"}, {"start": 339.48, "end": 346.04, "text": " se ven las integrales dobles, las integrales triples, las coordenadas polares, donde tenemos"}, {"start": 346.04, "end": 352.96000000000004, "text": " que hacer gr\u00e1ficas en dos y tres dimensiones, donde por ejemplo necesitamos reconocer lo"}, {"start": 352.96, "end": 359.4, "text": " que es una circunferencia, una elipse, una hip\u00e9rbola, una par\u00e1bola, por ejemplo lo que"}, {"start": 359.4, "end": 364.29999999999995, "text": " son las secciones c\u00f3nicas y que se ven en la geometr\u00eda anal\u00edtica que es parte del"}, {"start": 364.29999999999995, "end": 366.44, "text": " precalculo."}, {"start": 366.44, "end": 372.91999999999996, "text": " Tambi\u00e9n despu\u00e9s de estas asignaturas sigue por ejemplo las ecuaciones diferenciales donde"}, {"start": 372.91999999999996, "end": 379.64, "text": " all\u00ed necesitamos saber derivar e integrar muy bien, es decir, necesitamos lo del c\u00e1lculo,"}, {"start": 379.64, "end": 384.02, "text": " tambi\u00e9n en la asignatura por ejemplo de resistencia de materiales, si estamos en una carrera"}, {"start": 384.02, "end": 390.47999999999996, "text": " de ingenier\u00eda o la termodin\u00e1mica o vienen las matem\u00e1ticas financieras, en fin, ya una"}, {"start": 390.47999999999996, "end": 396.4, "text": " serie de asignaturas m\u00e1s avanzadas, propias de cada carrera, donde esos conocimientos"}, {"start": 396.4, "end": 403.28, "text": " previos son necesarios y hay que tenerlos como dec\u00eda muy bien cimentados para que en"}, {"start": 403.28, "end": 410.47999999999996, "text": " el momento de utilizarlos, de aplicarlos ya en situaciones propias de cada profesi\u00f3n, entonces no tengamos"}, {"start": 410.47999999999996, "end": 413.47999999999996, "text": " dificultades."}, {"start": 413.47999999999996, "end": 420.08, "text": " Con esto no quiero preocupar a los estudiantes que van a cursar pr\u00f3ximamente una asignatura"}, {"start": 420.08, "end": 426.0, "text": " como c\u00e1lculo de una variable, todo lo contrario, quiero animarlos a que se preparen, a que"}, {"start": 426.0, "end": 433.2, "text": " revisen de manera consciente cu\u00e1les son sus puntos d\u00e9biles, en donde necesitan refuerzo,"}, {"start": 433.2, "end": 441.59999999999997, "text": " que temas deben trabajar con mayor intensidad para esclarecer sus dudas y para que cuando"}, {"start": 441.59999999999997, "end": 445.92, "text": " est\u00e9n cursando la asignatura como tal no tengan dificultades."}, {"start": 445.92, "end": 453.96, "text": " Bueno, me despido de ustedes agradeci\u00e9ndoles su atenci\u00f3n a este mensaje, gracias tambi\u00e9n"}, {"start": 453.96, "end": 461.68, "text": " por el apoyo que me manifiestan a trav\u00e9s de sus mensajes a la labor educativa que vengo"}, {"start": 461.68, "end": 466.72, "text": " adelantando en la red con los videos de matem\u00e1ticas y f\u00edsica."}, {"start": 466.72, "end": 494.72, "text": " Que Dios los bendiga, les deseo muchos \u00e9xitos en sus estudios y hasta la pr\u00f3xima."}]

julioprofe

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DERIVACIÓN DE FUNCIONES - Ejercicio 16

#julioprofe explica cómo hallar la #derivada de una función que contiene el número de Euler. Tema: #Derivadas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwF9r-Y_Gpuq45VP0qnJIJL1 REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a derivar esta función que nos dan con el número de Euler. Antes de hacer el proceso de derivación, vamos a transformarla utilizando el álgebra. Vamos a llegar a una expresión un poco más sencilla, de modo que el proceso de derivación se facilite. Comenzamos por transformar estas potencias que tienen exponente negativo. Allí aplicamos la siguiente propiedad de la potenciación. Si tenemos A elevada al exponente menos n, eso es igual a 1 sobre A a la n. Entonces, tendremos lo siguiente. E a la x, esto queda igual a menos E a la menos x, que sería 1 sobre E a la x, utilizando esta propiedad. En el denominador tendremos E a la x más 1 sobre E a la x, aplicando nuevamente la propiedad. A continuación, vamos a resolver estas dos operaciones. Y para ello, vamos a escribirle denominador 1 a esas dos potencias E a la x. Vamos a recordar cómo se suman o restan fracciones heterogéneas, fracciones con distinto denominador. La manera rápida de hacerlo es la siguiente. Arriba A por D, más o menos según el signo que tengamos, D por C, y en el denominador tenemos D por D. Vamos a aplicar eso para resolver rápidamente esas dos operaciones. Por aquí tenemos E a la x por E a la x, eso nos da E a la 2x. Si tenemos E a la x por E a la x, dejamos la misma base y sumamos los exponentes, por lo tanto nos da E a la 2x. Tenemos entonces por aquí E a la 2x menos 1 por 1 que nos da 1, y abajo tenemos 1 por E a la x que nos da E a la x. Vamos acá al denominador, hacemos el mismo procedimiento. E a la x por E a la x nos da E a la 2x, más 1 por 1 que nos da 1, y abajo tenemos 1 por E a la x que nos da E a la x. Ahora vamos a aplicar la siguiente propiedad. Si tenemos una fracción A sobre C dividida entre otra fracción B sobre C, es decir, fracciones que tienen el mismo denominador, entonces es permitido simplificar esos denominadores y nos quedaría entonces A sobre B. Eso lo podemos hacer en este caso. Vemos que los denominadores de las dos fracciones son iguales. Por lo tanto podemos simplificar E a la x y tenemos la función como E a la 2x menos 1 en el numerador y E a la 2x más 1 en el denominador. Esta es la función que vamos a derivar. Será un poco más sencillo porque ya no tenemos exponentes negativos en las potencias. Iniciamos entonces el proceso de derivación. Y tenemos que la función es un cociente. Entonces veamos cómo se obtiene E de F'. La regla del cociente dice lo siguiente. Derivada de A sobre B es igual a la derivada del numerador, o sea, A' por el denominador sin derivar, menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador y todo esto sobre el denominador al cuadrado. Entonces vamos a aplicar esta regla para derivar esa expresión. Comenzamos con la derivada del numerador. Tenemos E a la 2x menos 1, o sea, una resta. Derivamos entonces cada componente. Para derivar E a la 2x aplicamos la siguiente propiedad. Si tenemos E elevada a la manzanita, la manzanita representa cualquier función de x, entonces su derivada tiene la siguiente forma. Es ella misma, o sea, E a la manzanita multiplicada por la derivada de la manzanita, o sea, la derivada interna. Esto es la regla de la cadena. Entonces tenemos para el caso del numerador derivada de E a la 2x sería ella misma, E a la 2x por la derivada del exponente que sería 2. Estamos aplicando esta regla. Menos la derivada de 1 que sería 0. Entonces aquí tenemos derivado el numerador, o sea, el componente A'. Todo esto lo vamos a multiplicar por el denominador sin derivar. Entonces lo escribimos también con paréntesis, E a la 2x más 1. Ahora menos el numerador sin derivar que sería E a la 2x menos 1, protegido con paréntesis, y eso multiplicado por la derivada del denominador. Tenemos una suma en el denominador. La derivada de este componente será E a la 2x por la derivada del exponente que es 2, la misma que utilizamos por acá, más la derivada de 1 que sería 0. Entonces esto es la derivada del denominador. Todo eso nos queda sobre el denominador al cuadrado. Entonces sería E a la 2x más 1 entre paréntesis y al cuadrado. Allí tenemos ya la derivada siguiendo la regla del cociente. Ahora viene la fase de pulir esta expresión para que nos quede de una manera más sencilla. En el numerador hacemos aquí la propiedad distributiva. Escribimos el componente E a la 2x por 2 multiplicado por E a la 2x nos queda 2 por E a la 4x. Escribimos el 2 primero y E a la 2x por E a la 2x cumple la propiedad del producto de potencias de la misma base. Dejamos esa base y sumamos los exponentes. Esto más este componente que multiplica con 1. Entonces lo organizamos como 2E a la 2x. Vamos ahora con esta multiplicación donde también tendremos propiedad distributiva. En este caso es en esta dirección de derecha a izquierda. Pero debemos tener cuidado con ese signo negativo que también entra y afecta los componentes de este binomio. Veamos, este componente multiplicado por este nos quedaría menos 2E a la 4x. La misma situación que pasó con estos dos. Tenemos entonces ya esta multiplicación. Ahora menos con menos nos da más y este componente multiplicado por 1 nos queda 2E a la 2x. Todo esto sobre el mismo denominador al cuadrado. Cabe anotar que este denominador se deja indicado. No se desarrolla. Finalmente miramos que términos se pueden operar en el numerador. Tenemos el caso de estos dos que son semejantes pero son opuestos. Uno positivo y el otro negativo. Entonces se eliminan entre sí. Nos quedan estos dos que se pueden sumar. Eso nos da como resultado 4E a la 2x. Y en el denominador escribimos la misma expresión que como decíamos queda indicada. De esta manera hemos terminado el ejercicio. Hemos llegado a la derivada de la función que nos daban inicialmente con el número de Euler.

[{"start": 0.0, "end": 6.0, "text": " Vamos a derivar esta funci\u00f3n que nos dan con el n\u00famero de Euler."}, {"start": 6.0, "end": 13.0, "text": " Antes de hacer el proceso de derivaci\u00f3n, vamos a transformarla utilizando el \u00e1lgebra."}, {"start": 13.0, "end": 22.0, "text": " Vamos a llegar a una expresi\u00f3n un poco m\u00e1s sencilla, de modo que el proceso de derivaci\u00f3n se facilite."}, {"start": 22.0, "end": 29.0, "text": " Comenzamos por transformar estas potencias que tienen exponente negativo."}, {"start": 29.0, "end": 33.0, "text": " All\u00ed aplicamos la siguiente propiedad de la potenciaci\u00f3n."}, {"start": 33.0, "end": 41.0, "text": " Si tenemos A elevada al exponente menos n, eso es igual a 1 sobre A a la n."}, {"start": 41.0, "end": 43.0, "text": " Entonces, tendremos lo siguiente."}, {"start": 43.0, "end": 54.0, "text": " E a la x, esto queda igual a menos E a la menos x, que ser\u00eda 1 sobre E a la x, utilizando esta propiedad."}, {"start": 54.0, "end": 66.0, "text": " En el denominador tendremos E a la x m\u00e1s 1 sobre E a la x, aplicando nuevamente la propiedad."}, {"start": 66.0, "end": 70.0, "text": " A continuaci\u00f3n, vamos a resolver estas dos operaciones."}, {"start": 70.0, "end": 79.0, "text": " Y para ello, vamos a escribirle denominador 1 a esas dos potencias E a la x."}, {"start": 79.0, "end": 86.0, "text": " Vamos a recordar c\u00f3mo se suman o restan fracciones heterog\u00e9neas, fracciones con distinto denominador."}, {"start": 86.0, "end": 90.0, "text": " La manera r\u00e1pida de hacerlo es la siguiente."}, {"start": 90.0, "end": 104.0, "text": " Arriba A por D, m\u00e1s o menos seg\u00fan el signo que tengamos, D por C, y en el denominador tenemos D por D."}, {"start": 104.0, "end": 110.0, "text": " Vamos a aplicar eso para resolver r\u00e1pidamente esas dos operaciones."}, {"start": 110.0, "end": 118.0, "text": " Por aqu\u00ed tenemos E a la x por E a la x, eso nos da E a la 2x."}, {"start": 118.0, "end": 129.0, "text": " Si tenemos E a la x por E a la x, dejamos la misma base y sumamos los exponentes, por lo tanto nos da E a la 2x."}, {"start": 129.0, "end": 142.0, "text": " Tenemos entonces por aqu\u00ed E a la 2x menos 1 por 1 que nos da 1, y abajo tenemos 1 por E a la x que nos da E a la x."}, {"start": 142.0, "end": 147.0, "text": " Vamos ac\u00e1 al denominador, hacemos el mismo procedimiento."}, {"start": 147.0, "end": 163.0, "text": " E a la x por E a la x nos da E a la 2x, m\u00e1s 1 por 1 que nos da 1, y abajo tenemos 1 por E a la x que nos da E a la x."}, {"start": 163.0, "end": 167.0, "text": " Ahora vamos a aplicar la siguiente propiedad."}, {"start": 167.0, "end": 177.0, "text": " Si tenemos una fracci\u00f3n A sobre C dividida entre otra fracci\u00f3n B sobre C, es decir, fracciones que tienen el mismo denominador,"}, {"start": 177.0, "end": 185.0, "text": " entonces es permitido simplificar esos denominadores y nos quedar\u00eda entonces A sobre B."}, {"start": 185.0, "end": 188.0, "text": " Eso lo podemos hacer en este caso."}, {"start": 188.0, "end": 193.0, "text": " Vemos que los denominadores de las dos fracciones son iguales."}, {"start": 193.0, "end": 212.0, "text": " Por lo tanto podemos simplificar E a la x y tenemos la funci\u00f3n como E a la 2x menos 1 en el numerador y E a la 2x m\u00e1s 1 en el denominador."}, {"start": 212.0, "end": 215.0, "text": " Esta es la funci\u00f3n que vamos a derivar."}, {"start": 215.0, "end": 223.0, "text": " Ser\u00e1 un poco m\u00e1s sencillo porque ya no tenemos exponentes negativos en las potencias."}, {"start": 223.0, "end": 229.0, "text": " Iniciamos entonces el proceso de derivaci\u00f3n."}, {"start": 229.0, "end": 237.0, "text": " Y tenemos que la funci\u00f3n es un cociente."}, {"start": 237.0, "end": 240.0, "text": " Entonces veamos c\u00f3mo se obtiene E de F'."}, {"start": 240.0, "end": 245.0, "text": " La regla del cociente dice lo siguiente."}, {"start": 245.0, "end": 254.0, "text": " Derivada de A sobre B es igual a la derivada del numerador, o sea, A' por el denominador sin derivar,"}, {"start": 254.0, "end": 264.0, "text": " menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador y todo esto sobre el denominador al cuadrado."}, {"start": 264.0, "end": 269.0, "text": " Entonces vamos a aplicar esta regla para derivar esa expresi\u00f3n."}, {"start": 269.0, "end": 272.0, "text": " Comenzamos con la derivada del numerador."}, {"start": 272.0, "end": 276.0, "text": " Tenemos E a la 2x menos 1, o sea, una resta."}, {"start": 276.0, "end": 279.0, "text": " Derivamos entonces cada componente."}, {"start": 279.0, "end": 284.0, "text": " Para derivar E a la 2x aplicamos la siguiente propiedad."}, {"start": 284.0, "end": 291.0, "text": " Si tenemos E elevada a la manzanita, la manzanita representa cualquier funci\u00f3n de x,"}, {"start": 291.0, "end": 299.0, "text": " entonces su derivada tiene la siguiente forma."}, {"start": 299.0, "end": 307.0, "text": " Es ella misma, o sea, E a la manzanita multiplicada por la derivada de la manzanita, o sea, la derivada interna."}, {"start": 307.0, "end": 310.0, "text": " Esto es la regla de la cadena."}, {"start": 310.0, "end": 317.0, "text": " Entonces tenemos para el caso del numerador derivada de E a la 2x ser\u00eda ella misma,"}, {"start": 317.0, "end": 322.0, "text": " E a la 2x por la derivada del exponente que ser\u00eda 2."}, {"start": 322.0, "end": 325.0, "text": " Estamos aplicando esta regla."}, {"start": 325.0, "end": 329.0, "text": " Menos la derivada de 1 que ser\u00eda 0."}, {"start": 329.0, "end": 336.0, "text": " Entonces aqu\u00ed tenemos derivado el numerador, o sea, el componente A'."}, {"start": 336.0, "end": 343.0, "text": " Todo esto lo vamos a multiplicar por el denominador sin derivar."}, {"start": 343.0, "end": 350.0, "text": " Entonces lo escribimos tambi\u00e9n con par\u00e9ntesis, E a la 2x m\u00e1s 1."}, {"start": 350.0, "end": 360.0, "text": " Ahora menos el numerador sin derivar que ser\u00eda E a la 2x menos 1, protegido con par\u00e9ntesis,"}, {"start": 360.0, "end": 364.0, "text": " y eso multiplicado por la derivada del denominador."}, {"start": 364.0, "end": 366.0, "text": " Tenemos una suma en el denominador."}, {"start": 366.0, "end": 374.0, "text": " La derivada de este componente ser\u00e1 E a la 2x por la derivada del exponente que es 2,"}, {"start": 374.0, "end": 380.0, "text": " la misma que utilizamos por ac\u00e1, m\u00e1s la derivada de 1 que ser\u00eda 0."}, {"start": 380.0, "end": 386.0, "text": " Entonces esto es la derivada del denominador."}, {"start": 386.0, "end": 391.0, "text": " Todo eso nos queda sobre el denominador al cuadrado."}, {"start": 391.0, "end": 399.0, "text": " Entonces ser\u00eda E a la 2x m\u00e1s 1 entre par\u00e9ntesis y al cuadrado."}, {"start": 399.0, "end": 404.0, "text": " All\u00ed tenemos ya la derivada siguiendo la regla del cociente."}, {"start": 404.0, "end": 412.0, "text": " Ahora viene la fase de pulir esta expresi\u00f3n para que nos quede de una manera m\u00e1s sencilla."}, {"start": 412.0, "end": 417.0, "text": " En el numerador hacemos aqu\u00ed la propiedad distributiva."}, {"start": 417.0, "end": 428.0, "text": " Escribimos el componente E a la 2x por 2 multiplicado por E a la 2x nos queda 2 por E a la 4x."}, {"start": 428.0, "end": 437.0, "text": " Escribimos el 2 primero y E a la 2x por E a la 2x cumple la propiedad del producto de potencias de la misma base."}, {"start": 437.0, "end": 441.0, "text": " Dejamos esa base y sumamos los exponentes."}, {"start": 441.0, "end": 451.0, "text": " Esto m\u00e1s este componente que multiplica con 1. Entonces lo organizamos como 2E a la 2x."}, {"start": 451.0, "end": 457.0, "text": " Vamos ahora con esta multiplicaci\u00f3n donde tambi\u00e9n tendremos propiedad distributiva."}, {"start": 457.0, "end": 462.0, "text": " En este caso es en esta direcci\u00f3n de derecha a izquierda."}, {"start": 462.0, "end": 470.0, "text": " Pero debemos tener cuidado con ese signo negativo que tambi\u00e9n entra y afecta los componentes de este binomio."}, {"start": 470.0, "end": 478.0, "text": " Veamos, este componente multiplicado por este nos quedar\u00eda menos 2E a la 4x."}, {"start": 478.0, "end": 484.0, "text": " La misma situaci\u00f3n que pas\u00f3 con estos dos. Tenemos entonces ya esta multiplicaci\u00f3n."}, {"start": 484.0, "end": 494.0, "text": " Ahora menos con menos nos da m\u00e1s y este componente multiplicado por 1 nos queda 2E a la 2x."}, {"start": 494.0, "end": 499.0, "text": " Todo esto sobre el mismo denominador al cuadrado."}, {"start": 499.0, "end": 506.0, "text": " Cabe anotar que este denominador se deja indicado. No se desarrolla."}, {"start": 506.0, "end": 512.0, "text": " Finalmente miramos que t\u00e9rminos se pueden operar en el numerador."}, {"start": 512.0, "end": 518.0, "text": " Tenemos el caso de estos dos que son semejantes pero son opuestos."}, {"start": 518.0, "end": 523.0, "text": " Uno positivo y el otro negativo. Entonces se eliminan entre s\u00ed."}, {"start": 523.0, "end": 532.0, "text": " Nos quedan estos dos que se pueden sumar. Eso nos da como resultado 4E a la 2x."}, {"start": 532.0, "end": 540.0, "text": " Y en el denominador escribimos la misma expresi\u00f3n que como dec\u00edamos queda indicada."}, {"start": 540.0, "end": 544.0, "text": " De esta manera hemos terminado el ejercicio."}, {"start": 544.0, "end": 554.0, "text": " Hemos llegado a la derivada de la funci\u00f3n que nos daban inicialmente con el n\u00famero de Euler."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=GXtVPMmmEaE

Ejercicio 1 con PROPIEDADES DE LOGARITMOS

#julioprofe (miembro de #EdutubersColombia) explica cómo expresar Ln(8/9) en términos de a y b si a=Ln2 y b=Ln3. Tema: #PropiedadesDeLogaritmos → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwGQaUFGGtkxK6Syv-QnPf5W REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Si A es igual a logaritmo natural de 2 y B es igual a logaritmo natural de 3, vamos a expresar logaritmo natural de 8 novenos en términos de A y B. Comenzamos entonces por escribir logaritmo natural de 8 novenos como logaritmo natural de 8 menos logaritmo natural de 9. Aquí estamos utilizando la siguiente propiedad de los logaritmos. Si tenemos logaritmo natural de un cosiente por ejemplo x sobre y esto es igual a logaritmo natural de x menos el logaritmo natural de y. Entonces con base en esta propiedad escribimos el ejercicio original de esta manera. A continuación vamos a descomponer 8 y 9 en factores primos. Veamos entonces como nos queda. Para el caso del 8 podemos sacar mitad que nos da 4, sacamos mitad nuevamente mitad de 4 es 2 y la mitad de 2 es 1. Por lo tanto 8 equivale a 2 elevado al cubo 2 por 2 por 2 es 2 al cubo. Vamos para el caso del 9. A 9 le sacamos tercera, tercera de 9 nos da 3, a 3 le sacamos tercera nos da 1. Entonces 9 es igual a 3 por 3 o sea 3 al cuadrado. Entonces traemos esos resultados por acá. Tendremos 8 que se cambia por 2 al cubo y 9 que se cambia por 3 al cuadrado. Ahora vamos a aplicar la siguiente propiedad de los logaritmos. Si tenemos el logaritmo natural de una potencia por ejemplo x elevada a la y, entonces el exponente pasa a multiplicar delante del logaritmo. Nos queda entonces y por logaritmo natural de x. Entonces eso lo podemos aplicar en estos dos logaritmos. Tendremos por aquí 3 que baja a multiplicar con el logaritmo natural de 2 y por acá el 2 baja a multiplicar con el logaritmo natural de 3. Finalmente utilizamos esta información que nos dan logaritmo natural de 2 equivale a la letra a. Entonces aquí tendríamos 3 por a que se puede escribir como 3a menos el logaritmo natural de 3 equivale a la letra b. Entonces tendríamos 2 por b o sea 2b. 3a menos 2b es la respuesta a este ejercicio. Hemos expresado el logaritmo natural de 8 novenos en términos de las letras a y b.

[{"start": 0.0, "end": 7.0, "text": " Si A es igual a logaritmo natural de 2 y B es igual a logaritmo natural de 3,"}, {"start": 7.0, "end": 15.0, "text": " vamos a expresar logaritmo natural de 8 novenos en t\u00e9rminos de A y B."}, {"start": 15.0, "end": 30.0, "text": " Comenzamos entonces por escribir logaritmo natural de 8 novenos como logaritmo natural de 8 menos logaritmo natural de 9."}, {"start": 30.0, "end": 34.0, "text": " Aqu\u00ed estamos utilizando la siguiente propiedad de los logaritmos."}, {"start": 34.0, "end": 46.0, "text": " Si tenemos logaritmo natural de un cosiente por ejemplo x sobre y esto es igual a logaritmo natural de x menos el logaritmo natural de y."}, {"start": 46.0, "end": 54.0, "text": " Entonces con base en esta propiedad escribimos el ejercicio original de esta manera."}, {"start": 54.0, "end": 60.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a descomponer 8 y 9 en factores primos."}, {"start": 60.0, "end": 68.0, "text": " Veamos entonces como nos queda. Para el caso del 8 podemos sacar mitad que nos da 4,"}, {"start": 68.0, "end": 75.0, "text": " sacamos mitad nuevamente mitad de 4 es 2 y la mitad de 2 es 1."}, {"start": 75.0, "end": 84.0, "text": " Por lo tanto 8 equivale a 2 elevado al cubo 2 por 2 por 2 es 2 al cubo."}, {"start": 84.0, "end": 96.0, "text": " Vamos para el caso del 9. A 9 le sacamos tercera, tercera de 9 nos da 3, a 3 le sacamos tercera nos da 1."}, {"start": 96.0, "end": 102.0, "text": " Entonces 9 es igual a 3 por 3 o sea 3 al cuadrado."}, {"start": 102.0, "end": 107.0, "text": " Entonces traemos esos resultados por ac\u00e1."}, {"start": 107.0, "end": 118.0, "text": " Tendremos 8 que se cambia por 2 al cubo y 9 que se cambia por 3 al cuadrado."}, {"start": 118.0, "end": 123.0, "text": " Ahora vamos a aplicar la siguiente propiedad de los logaritmos."}, {"start": 123.0, "end": 130.0, "text": " Si tenemos el logaritmo natural de una potencia por ejemplo x elevada a la y,"}, {"start": 130.0, "end": 136.0, "text": " entonces el exponente pasa a multiplicar delante del logaritmo."}, {"start": 136.0, "end": 141.0, "text": " Nos queda entonces y por logaritmo natural de x."}, {"start": 141.0, "end": 145.0, "text": " Entonces eso lo podemos aplicar en estos dos logaritmos."}, {"start": 145.0, "end": 152.0, "text": " Tendremos por aqu\u00ed 3 que baja a multiplicar con el logaritmo natural de 2"}, {"start": 152.0, "end": 159.0, "text": " y por ac\u00e1 el 2 baja a multiplicar con el logaritmo natural de 3."}, {"start": 159.0, "end": 168.0, "text": " Finalmente utilizamos esta informaci\u00f3n que nos dan logaritmo natural de 2 equivale a la letra a."}, {"start": 168.0, "end": 179.0, "text": " Entonces aqu\u00ed tendr\u00edamos 3 por a que se puede escribir como 3a menos el logaritmo natural de 3 equivale a la letra b."}, {"start": 179.0, "end": 184.0, "text": " Entonces tendr\u00edamos 2 por b o sea 2b."}, {"start": 184.0, "end": 190.0, "text": " 3a menos 2b es la respuesta a este ejercicio."}, {"start": 190.0, "end": 218.0, "text": " Hemos expresado el logaritmo natural de 8 novenos en t\u00e9rminos de las letras a y b."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=NpURFBaJI80

RAZÓN DE CAMBIO - Problema 2

#julioprofe explica cómo resolver un problema sobre Razón de Cambio: Se bombea aire hacia el interior de un globo esférico de modo que su volumen aumenta a razón de 100 cm³/s. ¿Con qué rapidez crece el radio del globo cuando su diámetro es 50 cm? REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Veamos este problema de razón de cambio, una de las aplicaciones de las derivadas. Dice, se bombea aire hacia el interior de un globo esférico, de modo que su volumen aumenta a razón de 100 cm³ por segundo. ¿Con qué rapidez crece el radio del globo cuando su diámetro es 50 cm? Para este problema hacemos el dibujo de un globo esférico y aquí tenemos el dispositivo que está bombeando aire hacia su interior. Tenemos que el volumen del globo está aumentando a razón de 100 cm³ por segundo. Eso se representa de la siguiente manera, de VDT, es una razón de cambio y esto es igual a 100 cm³ por segundo. Será de signo positivo porque nos dice el problema que el volumen aumenta con el paso del tiempo. Entonces es una razón de cambio positiva, para este globo su volumen crece o aumenta a este ritmo. Vamos a suponer que en un instante cualquiera tenemos un radio R para el globo. Tenemos que encontrar con qué rapidez crece ese radio, o sea, cuanto vale de RDT en el momento o en el instante en que su diámetro es 50 cm. Recordemos que el diámetro equivale a 2 radios, entonces esto es el momento en que el radio tiene un valor de 25 cm. Este es el planteamiento inicial del problema, hemos sacado los datos que nos dan. Ahora vamos a utilizar la fórmula geométrica que nos da el volumen de una esfera en términos de su radio. Ella dice que el volumen es igual a 4 tercios de pi por el radio al cubo, fórmula de la geometría. Y esa expresión la vamos a derivar a ambos lados con respecto al tiempo. Entonces viene el proceso de derivación utilizando las reglas que se acostumbran para derivar funciones. En el lado izquierdo la derivada del volumen con respecto al tiempo se deja expresada como dvdt. Al lado derecho podemos dejar quieto lo que es el componente constante de esta expresión, o sea, 4 tercios de pi lo escribimos y multiplicamos por la derivada de la parte variable. Entonces la derivada de r al cubo es 3r al cuadrado y esto multiplicado por la derivada interna que sería la derivada de r con respecto al tiempo. Siempre debemos incluir la derivada interna de la variable porque la derivada se está realizando con respecto al tiempo que es una letra que no aparece en la expresión. En el lado derecho podemos simplificar el número 3 y entonces tenemos la expresión así dvdt igual a 4 pi por r cuadrado y esto por dr dt. Y de allí vamos a despejar la razón de cambio que nos pide el problema. Entonces tendremos que dr dt será igual a lo siguiente. Este componente que está multiplicando pasa a dividir debajo de la razón de cambio dvdt. Entonces aquí en el numerador escribimos dvdt y en el denominador tendríamos 4 pi r al cuadrado. Lo que sigue ahora es reemplazar aquí la información que conocemos. Tenemos entonces dr dt igual a dvdt que lo sustituimos por el número 100. Por las unidades no nos vamos a preocupar. Vemos que el radio está en centímetros, el volumen está en centímetros cúbicos y el tiempo estará en segundos. Entonces en esta expresión podemos reemplazar únicamente los números y al final a la razón de cambio que nos piden le escribimos las unidades correspondientes. Por acá tenemos 4 pi por el radio que es 25 y esto está al cuadrado. Entonces seguimos por acá nos queda dr dt igual a 100 en el numerador y por acá tenemos 25 al cuadrado que nos da 625 y eso multiplicado por 4 nos da 2500. Queda entonces 2500 pi en el denominador. Finalmente en esa fracción podemos simplificar ceros en el numerador y en el denominador. Tendremos entonces que dr dt es igual a 1 sobre 25 pi y las unidades de esta razón de cambio son centímetros para el radio y segundos para el tiempo. Podemos dejar la respuesta de esa manera, es decir, expresada o en calculadora científica resolviendo esa operación nos da aproximadamente 0.0127. También con sus respectivas unidades. Esta es entonces la respuesta a este problema, es la razón con que crece el radio del globo cuando este tiene un valor de 25 centímetros.

[{"start": 0.0, "end": 6.8, "text": " Veamos este problema de raz\u00f3n de cambio, una de las aplicaciones de las derivadas."}, {"start": 6.8, "end": 17.8, "text": " Dice, se bombea aire hacia el interior de un globo esf\u00e9rico, de modo que su volumen aumenta a raz\u00f3n de 100 cm\u00b3 por segundo."}, {"start": 17.8, "end": 25.3, "text": " \u00bfCon qu\u00e9 rapidez crece el radio del globo cuando su di\u00e1metro es 50 cm?"}, {"start": 25.3, "end": 37.8, "text": " Para este problema hacemos el dibujo de un globo esf\u00e9rico y aqu\u00ed tenemos el dispositivo que est\u00e1 bombeando aire hacia su interior."}, {"start": 37.8, "end": 46.8, "text": " Tenemos que el volumen del globo est\u00e1 aumentando a raz\u00f3n de 100 cm\u00b3 por segundo."}, {"start": 46.8, "end": 58.8, "text": " Eso se representa de la siguiente manera, de VDT, es una raz\u00f3n de cambio y esto es igual a 100 cm\u00b3 por segundo."}, {"start": 58.8, "end": 67.8, "text": " Ser\u00e1 de signo positivo porque nos dice el problema que el volumen aumenta con el paso del tiempo."}, {"start": 67.8, "end": 77.8, "text": " Entonces es una raz\u00f3n de cambio positiva, para este globo su volumen crece o aumenta a este ritmo."}, {"start": 77.8, "end": 87.8, "text": " Vamos a suponer que en un instante cualquiera tenemos un radio R para el globo."}, {"start": 87.8, "end": 103.8, "text": " Tenemos que encontrar con qu\u00e9 rapidez crece ese radio, o sea, cuanto vale de RDT en el momento o en el instante en que su di\u00e1metro es 50 cm."}, {"start": 103.8, "end": 115.8, "text": " Recordemos que el di\u00e1metro equivale a 2 radios, entonces esto es el momento en que el radio tiene un valor de 25 cm."}, {"start": 115.8, "end": 123.8, "text": " Este es el planteamiento inicial del problema, hemos sacado los datos que nos dan."}, {"start": 123.8, "end": 132.8, "text": " Ahora vamos a utilizar la f\u00f3rmula geom\u00e9trica que nos da el volumen de una esfera en t\u00e9rminos de su radio."}, {"start": 132.8, "end": 142.8, "text": " Ella dice que el volumen es igual a 4 tercios de pi por el radio al cubo, f\u00f3rmula de la geometr\u00eda."}, {"start": 142.8, "end": 149.8, "text": " Y esa expresi\u00f3n la vamos a derivar a ambos lados con respecto al tiempo."}, {"start": 149.8, "end": 158.8, "text": " Entonces viene el proceso de derivaci\u00f3n utilizando las reglas que se acostumbran para derivar funciones."}, {"start": 158.8, "end": 167.8, "text": " En el lado izquierdo la derivada del volumen con respecto al tiempo se deja expresada como dvdt."}, {"start": 167.8, "end": 184.8, "text": " Al lado derecho podemos dejar quieto lo que es el componente constante de esta expresi\u00f3n, o sea, 4 tercios de pi lo escribimos y multiplicamos por la derivada de la parte variable."}, {"start": 184.8, "end": 198.8, "text": " Entonces la derivada de r al cubo es 3r al cuadrado y esto multiplicado por la derivada interna que ser\u00eda la derivada de r con respecto al tiempo."}, {"start": 198.8, "end": 212.8, "text": " Siempre debemos incluir la derivada interna de la variable porque la derivada se est\u00e1 realizando con respecto al tiempo que es una letra que no aparece en la expresi\u00f3n."}, {"start": 212.8, "end": 232.8, "text": " En el lado derecho podemos simplificar el n\u00famero 3 y entonces tenemos la expresi\u00f3n as\u00ed dvdt igual a 4 pi por r cuadrado y esto por dr dt."}, {"start": 232.8, "end": 244.8, "text": " Y de all\u00ed vamos a despejar la raz\u00f3n de cambio que nos pide el problema. Entonces tendremos que dr dt ser\u00e1 igual a lo siguiente."}, {"start": 244.8, "end": 251.8, "text": " Este componente que est\u00e1 multiplicando pasa a dividir debajo de la raz\u00f3n de cambio dvdt."}, {"start": 251.8, "end": 263.8, "text": " Entonces aqu\u00ed en el numerador escribimos dvdt y en el denominador tendr\u00edamos 4 pi r al cuadrado."}, {"start": 263.8, "end": 269.8, "text": " Lo que sigue ahora es reemplazar aqu\u00ed la informaci\u00f3n que conocemos."}, {"start": 269.8, "end": 283.8, "text": " Tenemos entonces dr dt igual a dvdt que lo sustituimos por el n\u00famero 100. Por las unidades no nos vamos a preocupar."}, {"start": 283.8, "end": 292.8, "text": " Vemos que el radio est\u00e1 en cent\u00edmetros, el volumen est\u00e1 en cent\u00edmetros c\u00fabicos y el tiempo estar\u00e1 en segundos."}, {"start": 292.8, "end": 304.8, "text": " Entonces en esta expresi\u00f3n podemos reemplazar \u00fanicamente los n\u00fameros y al final a la raz\u00f3n de cambio que nos piden le escribimos las unidades correspondientes."}, {"start": 304.8, "end": 315.8, "text": " Por ac\u00e1 tenemos 4 pi por el radio que es 25 y esto est\u00e1 al cuadrado."}, {"start": 315.8, "end": 334.8, "text": " Entonces seguimos por ac\u00e1 nos queda dr dt igual a 100 en el numerador y por ac\u00e1 tenemos 25 al cuadrado que nos da 625 y eso multiplicado por 4 nos da 2500."}, {"start": 334.8, "end": 339.8, "text": " Queda entonces 2500 pi en el denominador."}, {"start": 339.8, "end": 347.8, "text": " Finalmente en esa fracci\u00f3n podemos simplificar ceros en el numerador y en el denominador."}, {"start": 347.8, "end": 366.8, "text": " Tendremos entonces que dr dt es igual a 1 sobre 25 pi y las unidades de esta raz\u00f3n de cambio son cent\u00edmetros para el radio y segundos para el tiempo."}, {"start": 366.8, "end": 382.8, "text": " Podemos dejar la respuesta de esa manera, es decir, expresada o en calculadora cient\u00edfica resolviendo esa operaci\u00f3n nos da aproximadamente 0.0127."}, {"start": 382.8, "end": 386.8, "text": " Tambi\u00e9n con sus respectivas unidades."}, {"start": 386.8, "end": 402.8, "text": " Esta es entonces la respuesta a este problema, es la raz\u00f3n con que crece el radio del globo cuando este tiene un valor de 25 cent\u00edmetros."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=AU1GVkYD78w

GRÁFICA, DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN A TROZOS

#julioprofe explica cómo construir la gráfica y cómo determinar el dominio y el rango de una función a trozos o definida por partes. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

En este ejercicio vamos a construir la gráfica de esta función y vamos a determinar también su dominio y su rango. Esta se llama una función a trozos o también una función definida por partes. Tiene tres componentes, vamos a numerarlos y vamos a identificar cada uno de ellos. El primer componente es una función cuadrática pero tiene una restricción. Entonces en realidad es una parte de esa parábola o de esa función cuadrática la que será parte de la función f de x. El segundo componente es una función lineal pero también está restringida a este conjunto. Y la tercera es una función constante también restringida a los valores de x mayores que uno. En seguida vamos a obtener puntos para cada componente de la función. De modo que con esos puntos podamos construir la gráfica en el plano cartesiano. Vamos con el primer componente, entonces hacemos una tabla de valores para esa función. Valores de x y valores de y que están determinados por esta función, x al cuadrado más 2x. Al momento de escoger los valores de x debemos tener en cuenta esta condición, no podemos pasarla por alto. Entonces vamos a seleccionar valores de x menores o iguales que menos 1. Iniciamos justamente en menos 1 y empezamos a movernos en el eje de x hacia la izquierda de menos 1. Por ejemplo, menos 2 puede ser menos 3 y también menos 4. Recordemos que como es una función cuadrática será una curva, entonces entre más puntos tengamos será mejor. Evaluamos cada uno de estos números aquí en la función para obtener los valores de y. Comencemos con menos 1, si x vale menos 1 aquí tenemos menos 1 al cuadrado que nos da 1. Y aquí 2 por menos 1 nos da menos 2, 1 menos 2 nos da menos 1. Vamos con menos 2, menos 2 al cuadrado nos da 4 y 2 por menos 2 nos da menos 4. 4 menos 4 nos dará 0. Vamos con menos 3, menos 3 al cuadrado nos da 9 positivo y 2 por menos 3 nos da menos 6. 9 menos 6 nos da 3. Y con menos 4 tenemos, menos 4 al cuadrado es 16 y 2 por menos 4 nos da menos 8. 16 menos 8 nos da 8. Para el caso del punto donde inicia esa parte de la parábola que es cuando x toma el valor menos 1, tenemos que ese punto va cerrado en la gráfica. Esto porque aquí tenemos x menor o igual que menos 1. Entonces cuando x vale menos 1 el punto va incluido en la gráfica, hace parte de ella. Por lo tanto se representa como punto cerrado. Vamos ahora con el segundo componente. Vamos a hacerlo por aquí. Se trata de la función y igual a x. Entonces hacemos la tabla de valores. Por acá tenemos y que equivale a x. Esta es una función lineal llamada función idéntica. Se llama así porque los valores de y son idénticos a los de x. Entonces los valores que vamos a escoger que solamente son necesarios 2 porque se trata de una recta, pueden ser entonces justamente donde empieza y donde termina. Entonces escogemos menos 1 y 1. Como y es igual a x, entonces para x igual a menos 1, y vale menos 1. Y para x igual a 1, entonces y vale 1. Con esos dos puntos será suficiente para representar esta parte de la función lineal. Para el caso de menos 1 vemos que aquí no se incluye. Entonces este punto se representa como punto abierto. Y para el caso del 1 vemos que si se incluye, entonces tendremos punto cerrado. Vamos ahora con la tercera función, el tercer componente que es la función constante. En este caso hacemos la tabla de valores. Entonces tenemos x y aquí y que todo el tiempo vale menos 1. Por eso se llama función constante porque y todo el tiempo permanece fijo en ese valor. Dice que x puede tomar valores mayores que 1. A pesar de que el 1 no hace parte de ese conjunto, lo podemos tomar para saber en qué punto inicia. Y tomamos otro número más adelante del 1. Puede ser el 2, puede ser el 3. Vamos a tomar el 3 para que no quede tan cercano al 1. Para el caso de x igual a 1 lleva-le menos 1 y para el caso de 3 lleva-le también menos 1 por ser función constante. Como el valor 1 no se toma aquí, no es incluido, entonces el punto que corresponde a ese valor de x se representa con bolita sin llenar. Es un punto abierto. Ahora dibujamos un plano cartesiano y vamos a representar en él los puntos que obtuvimos. Comenzamos con el primer componente. Vamos con el punto (-1,-1), que queda localizado por aquí. Y como dijimos ese punto va cerrado. Vamos con el punto (-2,0), que sería aquí. El punto (-3,3), que lo tenemos aquí. Y el punto (-4,8), que lo tenemos por aquí. Entonces estos puntos nos van a formar la porción de parábola que corresponde al primer componente. Allí podemos observar la curva y aquí podemos dibujarle flecha porque ella continúa hacia la izquierda. Para valores de x menores o iguales que menos 1. La parábola se extiende hacia la izquierda. En seguida vamos con los puntos del componente 2, de la función lineal. El punto (-1,-1), que es exactamente aquí, lo vamos a representar con bolita abierta. O sea, sin incluirla para esa porción de recta. Y marcamos el punto (-1,1), que lo tenemos por aquí, con bolita cerrada. Allí tenemos el segmento de recta que une esos dos puntos. Tenemos entonces graficado el componente 2. Vamos ahora con los puntos del componente 3, de la función constante. Marcamos el punto (-1,-1), que es abierto y que nos queda aquí. Y el punto (-3,-1), que será por aquí. Unimos esos dos puntos con un tramo de recta horizontal y así tenemos graficado el componente 3. Es decir, la porción de función constante. Habiendo construido la gráfica de esta función a trozos en el plano cartesiano, entonces ya podemos determinar su dominio y su rango. Para el dominio vamos a imaginar que una lámpara colocada aquí en la parte superior ilumina hacia abajo, en dirección vertical hacia abajo. Y entonces vamos a determinar la sombra que esta gráfica nos proyecta en el eje X. Esta parte de la parabola, esta curva de aquí, nos proyectaría sombra en el eje X, desde (-2,-∞). Vamos entonces a repintar esa zona, representando la sombra. La flecha de la curva que indica que se extiende en esa dirección, entonces hace que la sombra también se propague hacia la izquierda, desde (-2,-∞). Esta parte de aquí no nos proyectaría sombra en el eje X, estando la lámpara colocada en la parte superior. Esta parte de la recta si nos proyecta sombra en el eje X, sería esta porción de aquí, es decir, entre 0 y 1. Por aquí no tenemos más gráfica, entonces esta parte del eje X quedaría alumbrada por la luz. Ahora imaginamos que la lámpara se coloca en la parte de abajo, iluminando en dirección vertical hacia arriba. Esto con el fin de buscar nuevos aportes de sombra en el eje X. Entonces es allí cuando esta parte de la gráfica nos oscurece la porción comprendida entre 0 y (-2). Esto nos hace sombra en el eje X al recibir la luz de abajo hacia arriba. Y lo mismo sucede con este tramo recto. Al recibir la luz de abajo hacia arriba nos proyecta sombra en el eje X, que iría desde 1 hasta más infinito. Al final, la zona del eje X que queda a oscuras por efecto de la sombra será el dominio de la función. Como observamos, todo el eje X quedó a oscuras, entonces decimos que el dominio de esta función son los X que pertenecen al conjunto de los números reales. Esto también se podría verificar haciendo la unión de estos tres conjuntos. Si en una recta representamos estos tres intervalos, vemos que toda la recta queda cubierta por esos tres conjuntos. Eso quiere decir que todos los números reales están participando para esa función, para los valores de la variable X. Se confirma entonces que el dominio son todos los reales. Ahora vamos a determinar el rango de la función. Para ello vamos a imaginar que la lámpara ahora nos alumbra en dirección horizontal, de izquierda a derecha. Vamos a imaginar que está a este lado y vamos a mirar la sombra que la gráfica proyectaría en el eje Y. La zona que quede a oscuras en el eje Y será el rango de la función, porque quiere decir que son los valores del eje Y que están participando en la misma. Entonces veamos, si la luz llega de izquierda a derecha, toda esta parte de la curva nos proyecta sombra desde menos uno hacia más infinito. Vamos entonces a repintar toda esta zona, representando la sombra que proyecta la gráfica en el eje Y. Como tiene flecha hacia arriba, entonces la sombra también se extenderá hacia arriba. Ahora trasladamos la lámpara a este lado, alumbrando de derecha a izquierda, para ver que nuevos aportes de sombra tenemos en el eje Y. Vemos que esta parte de la recta oscurecería una zona que ya está a oscuras, o sea que no hay aporte nuevo de sombras. Y esta parte de la recta proyectaría un punto, por tratarse de una recta horizontal, el punto correspondiente a Y igual a menos uno. Pero ya estaba oscurecido por la sombra que proyectaba esta curva desde el lado izquierdo. En definitiva, la zona que queda oscura en el eje Y es la que va desde menos uno hacia más infinito, y eso representa el rango de la función. Podemos escribirlo como los valores de Y mayores o iguales que menos uno, o también los Y que pertenecen al intervalo que va desde menos uno cerrado hasta más infinito abierto. Se puede dar de las dos formas. Bien, con esto terminamos este ejercicio. Hemos tomado una función a trozos que nos dieron, hemos construido su gráfica y a partir de ella se ha determinado su dominio y su rango.

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418.0, "text": " La par\u00e1bola se extiende hacia la izquierda."}, {"start": 418.0, "end": 424.0, "text": " En seguida vamos con los puntos del componente 2, de la funci\u00f3n lineal."}, {"start": 424.0, "end": 432.0, "text": " El punto (-1,-1), que es exactamente aqu\u00ed, lo vamos a representar con bolita abierta."}, {"start": 432.0, "end": 437.0, "text": " O sea, sin incluirla para esa porci\u00f3n de recta."}, {"start": 437.0, "end": 445.0, "text": " Y marcamos el punto (-1,1), que lo tenemos por aqu\u00ed, con bolita cerrada."}, {"start": 445.0, "end": 450.0, "text": " All\u00ed tenemos el segmento de recta que une esos dos puntos."}, {"start": 450.0, "end": 454.0, "text": " Tenemos entonces graficado el componente 2."}, {"start": 454.0, "end": 459.0, "text": " Vamos ahora con los puntos del componente 3, de la funci\u00f3n constante."}, {"start": 459.0, "end": 467.0, "text": " Marcamos el punto (-1,-1), que es abierto y que nos queda aqu\u00ed."}, {"start": 467.0, "end": 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aqu\u00ed, nos proyectar\u00eda sombra en el eje X,"}, {"start": 523.0, "end": 527.0, "text": " desde (-2,-\u221e)."}, {"start": 527.0, "end": 535.0, "text": " Vamos entonces a repintar esa zona, representando la sombra."}, {"start": 535.0, "end": 541.0, "text": " La flecha de la curva que indica que se extiende en esa direcci\u00f3n,"}, {"start": 541.0, "end": 550.0, "text": " entonces hace que la sombra tambi\u00e9n se propague hacia la izquierda, desde (-2,-\u221e)."}, {"start": 550.0, "end": 558.0, "text": " Esta parte de aqu\u00ed no nos proyectar\u00eda sombra en el eje X, estando la l\u00e1mpara colocada en la parte superior."}, {"start": 558.0, "end": 570.0, "text": " Esta parte de la recta si nos proyecta sombra en el eje X, ser\u00eda esta porci\u00f3n de aqu\u00ed, es decir, entre 0 y 1."}, {"start": 570.0, "end": 578.0, "text": " Por aqu\u00ed no tenemos m\u00e1s gr\u00e1fica, entonces esta parte del eje X quedar\u00eda alumbrada por la luz."}, {"start": 578.0, "end": 586.0, "text": " Ahora imaginamos que la l\u00e1mpara se coloca en la parte de abajo, iluminando en direcci\u00f3n vertical hacia arriba."}, {"start": 586.0, "end": 591.0, "text": " Esto con el fin de buscar nuevos aportes de sombra en el eje X."}, {"start": 591.0, "end": 600.0, "text": " Entonces es all\u00ed cuando esta parte de la gr\u00e1fica nos oscurece la porci\u00f3n comprendida entre 0 y (-2)."}, {"start": 600.0, "end": 606.0, "text": " Esto nos hace sombra en el eje X al recibir la luz de abajo hacia arriba."}, {"start": 606.0, "end": 609.0, "text": " Y lo mismo sucede con este tramo recto."}, {"start": 609.0, "end": 620.0, "text": " Al recibir la luz de abajo hacia arriba nos proyecta sombra en el eje X, que ir\u00eda desde 1 hasta m\u00e1s infinito."}, {"start": 620.0, "end": 629.0, "text": " Al final, la zona del eje X que queda a oscuras por efecto de la sombra ser\u00e1 el dominio de la funci\u00f3n."}, {"start": 629.0, "end": 637.0, "text": " Como observamos, todo el eje X qued\u00f3 a oscuras, entonces decimos que el dominio de esta funci\u00f3n son los X que pertenecen"}, {"start": 637.0, "end": 642.0, "text": " al conjunto de los n\u00fameros reales."}, {"start": 642.0, "end": 648.0, "text": " Esto tambi\u00e9n se podr\u00eda verificar haciendo la uni\u00f3n de estos tres conjuntos."}, {"start": 648.0, "end": 657.0, "text": " Si en una recta representamos estos tres intervalos, vemos que toda la recta queda cubierta por esos tres conjuntos."}, {"start": 657.0, "end": 666.0, "text": " Eso quiere decir que todos los n\u00fameros reales est\u00e1n participando para esa funci\u00f3n, para los valores de la variable X."}, {"start": 666.0, "end": 670.0, "text": " Se confirma entonces que el dominio son todos los reales."}, {"start": 670.0, "end": 676.0, "text": " Ahora vamos a determinar el rango de la funci\u00f3n."}, {"start": 676.0, "end": 686.0, "text": " Para ello vamos a imaginar que la l\u00e1mpara ahora nos alumbra en direcci\u00f3n horizontal, de izquierda a derecha."}, {"start": 686.0, "end": 694.0, "text": " Vamos a imaginar que est\u00e1 a este lado y vamos a mirar la sombra que la gr\u00e1fica proyectar\u00eda en el eje Y."}, {"start": 694.0, "end": 702.0, "text": " La zona que quede a oscuras en el eje Y ser\u00e1 el rango de la funci\u00f3n, porque quiere decir que son los valores del eje Y"}, {"start": 702.0, "end": 705.0, "text": " que est\u00e1n participando en la misma."}, {"start": 705.0, "end": 716.0, "text": " Entonces veamos, si la luz llega de izquierda a derecha, toda esta parte de la curva nos proyecta sombra desde menos uno hacia m\u00e1s infinito."}, {"start": 716.0, "end": 726.0, "text": " Vamos entonces a repintar toda esta zona, representando la sombra que proyecta la gr\u00e1fica en el eje Y."}, {"start": 726.0, "end": 734.0, "text": " Como tiene flecha hacia arriba, entonces la sombra tambi\u00e9n se extender\u00e1 hacia arriba."}, {"start": 734.0, "end": 745.0, "text": " Ahora trasladamos la l\u00e1mpara a este lado, alumbrando de derecha a izquierda, para ver que nuevos aportes de sombra tenemos en el eje Y."}, {"start": 745.0, "end": 755.0, "text": " Vemos que esta parte de la recta oscurecer\u00eda una zona que ya est\u00e1 a oscuras, o sea que no hay aporte nuevo de sombras."}, {"start": 755.0, "end": 765.0, "text": " Y esta parte de la recta proyectar\u00eda un punto, por tratarse de una recta horizontal, el punto correspondiente a Y igual a menos uno."}, {"start": 765.0, "end": 773.0, "text": " Pero ya estaba oscurecido por la sombra que proyectaba esta curva desde el lado izquierdo."}, {"start": 773.0, "end": 783.0, "text": " En definitiva, la zona que queda oscura en el eje Y es la que va desde menos uno hacia m\u00e1s infinito, y eso representa el rango de la funci\u00f3n."}, {"start": 783.0, "end": 797.0, "text": " Podemos escribirlo como los valores de Y mayores o iguales que menos uno, o tambi\u00e9n los Y que pertenecen al intervalo que va desde menos uno cerrado hasta m\u00e1s infinito abierto."}, {"start": 797.0, "end": 801.0, "text": " Se puede dar de las dos formas."}, {"start": 801.0, "end": 817.0, "text": " Bien, con esto terminamos este ejercicio. Hemos tomado una funci\u00f3n a trozos que nos dieron, hemos construido su gr\u00e1fica y a partir de ella se ha determinado su dominio y su rango."}]

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DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES - Video 1

#julioprofe explica cómo dividir números decimales, de dos formas diferentes. Tema: #DecimalesPrimaria → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwFID2VJp5Qvue_SAifzdGxl Video especialmente dedicado a los niños que trabajan por primera vez con números decimales, a los padres de familia que les apoyan y a los maestros de nivel primaria. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a realizar estas dos divisiones entre números decimales. La primera, como se acostumbra dividir en América Latina, que es de la siguiente manera. Dividendo, divisor, cosiente y por acá el residuo. Recordemos que esos son los cuatro componentes de la división. Aquí tenemos dividendo y divisor. Para la segunda división vamos a resolverla como se hace la división normalmente en Estados Unidos y otros países. Que es así, dividendo, divisor, por acá arriba va el cosiente y por acá al final va el residuo. Realmente veremos que es el mismo procedimiento. La única diferencia es la manera como se acomodan los componentes de la división. Lo primero que tenemos que hacer en la división de números decimales es equilibrar la cantidad de cifras decimales de ambos números. Por aquí contamos cuatro cifras decimales y por acá tenemos tres. Entonces al número que menos cifras decimales le completamos con los ceros que hagan falta para que ambos números queden equilibrados en la cantidad de cifras decimales. Hace falta un cero para que ambos números queden con cuatro cifras decimales. Cuando los números ya cumplen ese requisito entonces podemos eliminar la coma decimal y tenemos una división entre números enteros. Lógicamente los ceros que quedan a la izquierda pierden todo su valor. Y tendremos la división 1112 entre 160. Entonces vamos a resolver esta división que ya es entre números enteros. Aquí tenemos la operación escrita, tenemos el dividendo y el divisor en la manera en que se acostumbra dividir en América Latina. Vamos entonces a generar a este lado la tabla de multiplicar de 160 desde el 1 hasta el 9. Aquí podemos observarla y aunque construir esta tabla de multiplicar puede representar un tiempo considerable. La verdad vale la pena porque nos va a facilitar el procedimiento de la división. Empezamos entonces revisando si 160 cabe en 1 tomando aquí una cifra vemos que no tomamos dos cifras 160 cabe en 11 no es así. Tomamos tres cifras 160 cabe en 111 tampoco es posible entonces tomamos las cuatro cifras 160 si cabe en 1112. Separamos entonces las cuatro cifras en el dividendo buscamos aquí cuál es el número que más se aproxima a 1112 y encontramos que es 960. Por lo tanto 160 en 1112 cabe seis veces. 6 por 160 ya lo tenemos aquí realizado nos da 960 entonces lo escribimos debajo de 1112. Efectuamos entonces la resta 2 menos 0 nos da 2 a 1 no le podemos restar 6 entonces le pedimos prestado al número vecino de la izquierda este 1 presta la unidad a este 1 quedando este como 11 y este 1 queda como 0. A 11 si le podemos restar 6 y nos da 5 a 0 no le podemos quitar 9 entonces este 1 presta la unidad a este 0 quedando como 10 y ese 1 queda convertido en 0. Entonces tenemos que 10 menos 9 es 1 allí terminaríamos la división porque no tenemos más cifras en el dividendo para bajar. Pero entonces es cuando podemos continuar la división agregando coma decimal en el cociente y un 0 en el residuo de esa manera damos continuidad a la división buscando aquí cifras decimales. Ahora nos preguntamos si 160 cabe en 1520 vemos que si entonces buscamos por acá cual es el número que más se aproxima a 1520 encontramos que es 1440 por lo tanto estamos hablando de 9 veces. 160 cabe en 1520 9 veces 9 por 160 nos da 1440 entonces escribimos ese número por aquí. Efectuamos la resta comenzando por la derecha 0 menos 0 nos da 0 a 2 no le podemos quitar 4 entonces el 5 presta una unidad 5 queda convertido en 4 y este 2 queda convertido en 12. A 12 le quitamos 4 y nos da 8 a 4 le quitamos 4 nos da 0 y 1 menos 1 nos da 0. Si queremos obtener otra cifra decimal entonces a este residuo le agregamos un nuevo 0 y nos preguntamos si 160 cabe en 800 vemos que si entonces buscamos aquí cuantas veces cabe y encontramos que son 5 veces exactas. Entonces 5 por 160 nos da 800 lo escribimos por aquí. Haciendo la resta tenemos 0 menos 00 0 menos 00 y 8 menos 8 0 por lo tanto tenemos residuo 0 entonces decimos que esta división es exacta este es el resultado de la división. Concluimos entonces que la operación inicial que era 0,112 dividido entre 0,016 nos da como resultado 6,95. Recordemos que una división se puede probar multiplicando el cociente por el divisor y a eso sumándole el residuo. Si en este caso multiplicamos 6,95 por 160 y a eso no le agregamos nada porque el residuo nos dio 0 entonces nos tiene que dar como resultado 1112. Acá si multiplicamos 6,95 por 0,016 nos tiene que dar como resultado 0,112 que es el dividendo. Bien de esta manera terminamos el primer ejercicio hemos efectuado la división de la manera como se acostumbra en América Latina. Vamos con la segunda división tenemos números decimales tanto en el dividendo como en el divisor. Hacemos primero el equilibrio de la cantidad de cifras decimales aquí observamos tres cifras decimales y aquí observamos dos entonces a este número le agregamos un 0 para que ambos queden con tres cifras decimales. Estando ya los números equilibrados de esa manera entonces eliminamos la coma decimal y tenemos una división entre números enteros. Este 0 pierde valor entonces la división que vamos a realizar es 975 entre 1250 vamos entonces a escribir estos números de la manera como se acostumbra dividir en Estados Unidos y otros países. Allí hemos acomodado los números tenemos el dividendo y acá el divisor vamos entonces a generar acá en este espacio la tabla de multiplicar del divisor es decir de 1250 desde el 1 hasta el 9. Aquí podemos observarla y entonces damos inicio a la división nos preguntamos si 1250 cabe en 9 tomando una cifra en el dividendo vemos que no es así. 1250 tampoco cabe en 97 tomando las dos cifras y 1250 tampoco cabe en 975 tomando las tres cifras en el dividendo por lo tanto como este número no cabe en el de acá escribimos 0 en el cociente. Allí supuestamente terminaría la división pero vamos a continuar la buscando posiciones decimales para ello escribimos una coma en el cociente y agregamos un 0 en el dividendo. Y ahora si nos preguntamos si 1250 cabe en 9750 vemos que sí entonces es cuando buscamos acá cuál es el número que más se aproxima a 9750 vemos que es este de aquí 8750 entonces cabe 7 veces. 1250 cabe 7 veces en 9750 y ese lo escribimos en el cociente tenemos que esa multiplicación 1250 por 7 nos dio 8750. Efectuamos la resta comenzando por la derecha 0 menos 0 nos da 0 5 menos 5 nos da 0 7 menos 7 nos da 0 y 9 menos 8 nos da 1. Para obtener otra cifra decimal entonces agregamos un nuevo 0 en lo que sería el residuo que en este caso lo llevamos en ese momento en 1000 con un 0 más tenemos 10.000 y nos preguntamos cuántas veces cabe 1250 en 10.000 si observamos esta tabla que generamos vemos que cabe 8 veces con 8 veces nos da exactamente 10.000 entonces escribimos el 8 en el cociente y tenemos que 1250 por 8 nos da 10.000. Haciendo la resta 10.000 menos 10.000 tenemos residuo 0 o sea una división exacta tenemos que 0,78 es el resultado de esta división entonces recordemos los componentes dividendo divisor cociente y residuo si queremos probar la validez de esta división recordemos que se multiplica el cociente por el divisor a eso le sumamos el residuo y nos tiene que dar como resultado el dividendo. Como conclusión tenemos que el resultado de dividir 0,975 entre 1,25 da como resultado 0,78 esta es la división propuesta al comienzo y este es el resultado. De esta manera terminamos la explicación de división entre números decimales.

[{"start": 0.0, "end": 7.0, "text": " Vamos a realizar estas dos divisiones entre n\u00fameros decimales."}, {"start": 7.0, "end": 15.0, "text": " La primera, como se acostumbra dividir en Am\u00e9rica Latina, que es de la siguiente manera."}, {"start": 15.0, "end": 22.0, "text": " Dividendo, divisor, cosiente y por ac\u00e1 el residuo."}, {"start": 22.0, "end": 26.0, "text": " Recordemos que esos son los cuatro componentes de la divisi\u00f3n."}, {"start": 26.0, "end": 29.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos dividendo y divisor."}, {"start": 29.0, "end": 41.0, "text": " Para la segunda divisi\u00f3n vamos a resolverla como se hace la divisi\u00f3n normalmente en Estados Unidos y otros pa\u00edses."}, {"start": 41.0, "end": 52.0, "text": " Que es as\u00ed, dividendo, divisor, por ac\u00e1 arriba va el cosiente y por ac\u00e1 al final va el residuo."}, {"start": 52.0, "end": 57.0, "text": " Realmente veremos que es el mismo procedimiento."}, {"start": 57.0, "end": 65.0, "text": " La \u00fanica diferencia es la manera como se acomodan los componentes de la divisi\u00f3n."}, {"start": 65.0, "end": 76.0, "text": " Lo primero que tenemos que hacer en la divisi\u00f3n de n\u00fameros decimales es equilibrar la cantidad de cifras decimales de ambos n\u00fameros."}, {"start": 76.0, "end": 82.0, "text": " Por aqu\u00ed contamos cuatro cifras decimales y por ac\u00e1 tenemos tres."}, {"start": 82.0, "end": 98.0, "text": " Entonces al n\u00famero que menos cifras decimales le completamos con los ceros que hagan falta para que ambos n\u00fameros queden equilibrados en la cantidad de cifras decimales."}, {"start": 98.0, "end": 106.0, "text": " Hace falta un cero para que ambos n\u00fameros queden con cuatro cifras decimales."}, {"start": 106.0, "end": 120.0, "text": " Cuando los n\u00fameros ya cumplen ese requisito entonces podemos eliminar la coma decimal y tenemos una divisi\u00f3n entre n\u00fameros enteros."}, {"start": 120.0, "end": 127.0, "text": " L\u00f3gicamente los ceros que quedan a la izquierda pierden todo su valor."}, {"start": 127.0, "end": 139.0, "text": " Y tendremos la divisi\u00f3n 1112 entre 160."}, {"start": 139.0, "end": 148.0, "text": " Entonces vamos a resolver esta divisi\u00f3n que ya es entre n\u00fameros enteros."}, {"start": 148.0, "end": 159.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos la operaci\u00f3n escrita, tenemos el dividendo y el divisor en la manera en que se acostumbra dividir en Am\u00e9rica Latina."}, {"start": 159.0, "end": 169.0, "text": " Vamos entonces a generar a este lado la tabla de multiplicar de 160 desde el 1 hasta el 9."}, {"start": 169.0, "end": 179.0, "text": " Aqu\u00ed podemos observarla y aunque construir esta tabla de multiplicar puede representar un tiempo considerable."}, {"start": 179.0, "end": 188.0, "text": " La verdad vale la pena porque nos va a facilitar el procedimiento de la divisi\u00f3n."}, {"start": 188.0, "end": 202.0, "text": " Empezamos entonces revisando si 160 cabe en 1 tomando aqu\u00ed una cifra vemos que no tomamos dos cifras 160 cabe en 11 no es as\u00ed."}, {"start": 202.0, "end": 217.0, "text": " Tomamos tres cifras 160 cabe en 111 tampoco es posible entonces tomamos las cuatro cifras 160 si cabe en 1112."}, {"start": 217.0, "end": 232.0, "text": " Separamos entonces las cuatro cifras en el dividendo buscamos aqu\u00ed cu\u00e1l es el n\u00famero que m\u00e1s se aproxima a 1112 y encontramos que es 960."}, {"start": 232.0, "end": 238.0, "text": " Por lo tanto 160 en 1112 cabe seis veces."}, {"start": 238.0, "end": 251.0, "text": " 6 por 160 ya lo tenemos aqu\u00ed realizado nos da 960 entonces lo escribimos debajo de 1112."}, {"start": 251.0, "end": 275.0, "text": " Efectuamos entonces la resta 2 menos 0 nos da 2 a 1 no le podemos restar 6 entonces le pedimos prestado al n\u00famero vecino de la izquierda este 1 presta la unidad a este 1 quedando este como 11 y este 1 queda como 0."}, {"start": 275.0, "end": 295.0, "text": " A 11 si le podemos restar 6 y nos da 5 a 0 no le podemos quitar 9 entonces este 1 presta la unidad a este 0 quedando como 10 y ese 1 queda convertido en 0."}, {"start": 295.0, "end": 309.0, "text": " Entonces tenemos que 10 menos 9 es 1 all\u00ed terminar\u00edamos la divisi\u00f3n porque no tenemos m\u00e1s cifras en el dividendo para bajar."}, {"start": 309.0, "end": 332.0, "text": " Pero entonces es cuando podemos continuar la divisi\u00f3n agregando coma decimal en el cociente y un 0 en el residuo de esa manera damos continuidad a la divisi\u00f3n buscando aqu\u00ed cifras decimales."}, {"start": 332.0, "end": 353.0, "text": " Ahora nos preguntamos si 160 cabe en 1520 vemos que si entonces buscamos por ac\u00e1 cual es el n\u00famero que m\u00e1s se aproxima a 1520 encontramos que es 1440 por lo tanto estamos hablando de 9 veces."}, {"start": 353.0, "end": 368.0, "text": " 160 cabe en 1520 9 veces 9 por 160 nos da 1440 entonces escribimos ese n\u00famero por aqu\u00ed."}, {"start": 368.0, "end": 389.0, "text": " Efectuamos la resta comenzando por la derecha 0 menos 0 nos da 0 a 2 no le podemos quitar 4 entonces el 5 presta una unidad 5 queda convertido en 4 y este 2 queda convertido en 12."}, {"start": 389.0, "end": 400.0, "text": " A 12 le quitamos 4 y nos da 8 a 4 le quitamos 4 nos da 0 y 1 menos 1 nos da 0."}, {"start": 400.0, "end": 426.0, "text": " Si queremos obtener otra cifra decimal entonces a este residuo le agregamos un nuevo 0 y nos preguntamos si 160 cabe en 800 vemos que si entonces buscamos aqu\u00ed cuantas veces cabe y encontramos que son 5 veces exactas."}, {"start": 426.0, "end": 434.0, "text": " Entonces 5 por 160 nos da 800 lo escribimos por aqu\u00ed."}, {"start": 434.0, "end": 454.0, "text": " Haciendo la resta tenemos 0 menos 00 0 menos 00 y 8 menos 8 0 por lo tanto tenemos residuo 0 entonces decimos que esta divisi\u00f3n es exacta este es el resultado de la divisi\u00f3n."}, {"start": 454.0, "end": 476.0, "text": " Concluimos entonces que la operaci\u00f3n inicial que era 0,112 dividido entre 0,016 nos da como resultado 6,95."}, {"start": 476.0, "end": 490.0, "text": " Recordemos que una divisi\u00f3n se puede probar multiplicando el cociente por el divisor y a eso sum\u00e1ndole el residuo."}, {"start": 490.0, "end": 506.0, "text": " Si en este caso multiplicamos 6,95 por 160 y a eso no le agregamos nada porque el residuo nos dio 0 entonces nos tiene que dar como resultado 1112."}, {"start": 506.0, "end": 520.0, "text": " Ac\u00e1 si multiplicamos 6,95 por 0,016 nos tiene que dar como resultado 0,112 que es el dividendo."}, {"start": 520.0, "end": 532.0, "text": " Bien de esta manera terminamos el primer ejercicio hemos efectuado la divisi\u00f3n de la manera como se acostumbra en Am\u00e9rica Latina."}, {"start": 532.0, "end": 542.0, "text": " Vamos con la segunda divisi\u00f3n tenemos n\u00fameros decimales tanto en el dividendo como en el divisor."}, {"start": 542.0, "end": 563.0, "text": " Hacemos primero el equilibrio de la cantidad de cifras decimales aqu\u00ed observamos tres cifras decimales y aqu\u00ed observamos dos entonces a este n\u00famero le agregamos un 0 para que ambos queden con tres cifras decimales."}, {"start": 563.0, "end": 577.0, "text": " Estando ya los n\u00fameros equilibrados de esa manera entonces eliminamos la coma decimal y tenemos una divisi\u00f3n entre n\u00fameros enteros."}, {"start": 577.0, "end": 604.0, "text": " Este 0 pierde valor entonces la divisi\u00f3n que vamos a realizar es 975 entre 1250 vamos entonces a escribir estos n\u00fameros de la manera como se acostumbra dividir en Estados Unidos y otros pa\u00edses."}, {"start": 604.0, "end": 624.0, "text": " All\u00ed hemos acomodado los n\u00fameros tenemos el dividendo y ac\u00e1 el divisor vamos entonces a generar ac\u00e1 en este espacio la tabla de multiplicar del divisor es decir de 1250 desde el 1 hasta el 9."}, {"start": 624.0, "end": 639.0, "text": " Aqu\u00ed podemos observarla y entonces damos inicio a la divisi\u00f3n nos preguntamos si 1250 cabe en 9 tomando una cifra en el dividendo vemos que no es as\u00ed."}, {"start": 639.0, "end": 664.0, "text": " 1250 tampoco cabe en 97 tomando las dos cifras y 1250 tampoco cabe en 975 tomando las tres cifras en el dividendo por lo tanto como este n\u00famero no cabe en el de ac\u00e1 escribimos 0 en el cociente."}, {"start": 664.0, "end": 683.0, "text": " All\u00ed supuestamente terminar\u00eda la divisi\u00f3n pero vamos a continuar la buscando posiciones decimales para ello escribimos una coma en el cociente y agregamos un 0 en el dividendo."}, {"start": 683.0, "end": 707.0, "text": " Y ahora si nos preguntamos si 1250 cabe en 9750 vemos que s\u00ed entonces es cuando buscamos ac\u00e1 cu\u00e1l es el n\u00famero que m\u00e1s se aproxima a 9750 vemos que es este de aqu\u00ed 8750 entonces cabe 7 veces."}, {"start": 707.0, "end": 725.0, "text": " 1250 cabe 7 veces en 9750 y ese lo escribimos en el cociente tenemos que esa multiplicaci\u00f3n 1250 por 7 nos dio 8750."}, {"start": 725.0, "end": 742.0, "text": " Efectuamos la resta comenzando por la derecha 0 menos 0 nos da 0 5 menos 5 nos da 0 7 menos 7 nos da 0 y 9 menos 8 nos da 1."}, {"start": 742.0, "end": 759.0, "text": " Para obtener otra cifra decimal entonces agregamos un nuevo 0 en lo que ser\u00eda el residuo que en este caso lo llevamos en ese momento en 1000 con un 0 m\u00e1s tenemos 10.000"}, {"start": 759.0, "end": 775.0, "text": " y nos preguntamos cu\u00e1ntas veces cabe 1250 en 10.000 si observamos esta tabla que generamos vemos que cabe 8 veces con 8 veces nos da exactamente 10.000"}, {"start": 775.0, "end": 784.0, "text": " entonces escribimos el 8 en el cociente y tenemos que 1250 por 8 nos da 10.000."}, {"start": 784.0, "end": 807.0, "text": " Haciendo la resta 10.000 menos 10.000 tenemos residuo 0 o sea una divisi\u00f3n exacta tenemos que 0,78 es el resultado de esta divisi\u00f3n entonces recordemos los componentes"}, {"start": 807.0, "end": 829.0, "text": " dividendo divisor cociente y residuo si queremos probar la validez de esta divisi\u00f3n recordemos que se multiplica el cociente por el divisor a eso le sumamos el residuo y nos tiene que dar como resultado el dividendo."}, {"start": 829.0, "end": 856.0, "text": " Como conclusi\u00f3n tenemos que el resultado de dividir 0,975 entre 1,25 da como resultado 0,78 esta es la divisi\u00f3n propuesta al comienzo y este es el resultado."}, {"start": 856.0, "end": 864.0, "text": " De esta manera terminamos la explicaci\u00f3n de divisi\u00f3n entre n\u00fameros decimales."}]

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MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES

#julioprofe explica cómo multiplicar dos números decimales. Tema: #DecimalesPrimaria → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwFID2VJp5Qvue_SAifzdGxl Video especialmente dedicado a los niños que trabajan por primera vez con números decimales, a los padres de familia que les apoyan y a los maestros de nivel primaria. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver esta multiplicación de números decimales, aunque la operación viene propuesta de manera horizontal conviene escribir los números en forma vertical. Entonces vamos con el primer factor que es 2,4036 y escribimos aquí debajo el segundo factor que es 5,7. Aquí no es necesario que la coma nos quede alineada verticalmente tal como sucede en la suma y resta de decimales. A continuación vamos a efectuar esa multiplicación haciendo caso omiso de la coma, es decir vamos a hacer de cuenta que tenemos dos números enteros. Entonces multiplicamos normalmente 7x6 nos da 42, llevamos 4, 7x3 es 21 y 4 que llevamos es 25, llevamos 2, 7x0 nos da 0 y 2 que llevamos es 2, 7x4 es 28, llevamos 2, 7x2 es 14 y 2 que llevamos es 16. Vamos ahora con 5, 5x6 nos da 30, llevamos 3, 5x3 es 15 y 3 que llevamos es 18, llevamos 1, 5x0 nos da 0 y 1 que llevamos nos da 1, 5x4 es 20, escribimos el 0, llevamos 2, 5x2 es 10 y 2 que llevamos es 12. Ahora sumamos en forma vertical comenzando por la derecha, 2 lo bajamos, 5x0 nos da 5, 2x8 es 10, escribimos el 0, por acá llevamos 1, 1x8 nos da 9, 9x1 nos da 10, escribimos el 0, llevamos 1 por aquí. Tenemos 1 más 6 que nos da 7, 7 más 0 es 7, 1 más 2 es 3 y bajamos el último 1. Ese resultado es el que hubiéramos obtenido si los números fueran así, como números enteros. Pero como estamos trabajando con decimales lo que hacemos es lo siguiente, contamos cuantos lugares decimales, cuantas cifras decimales aportan los números que intervienen en la multiplicación, o sea los factores. Entonces tenemos 1, 2, 3, 4 y 5 cifras decimales, esa cantidad de cifras decimales las vamos a contabilizar en este resultado, comenzando por acá por la derecha. Entonces contamos 1, 2, 3, 4 y 5 cifras decimales, por lo tanto la coma va allí entre el 3 y el 7, entonces esa es la manera de obtener el resultado de la multiplicación de dos números decimales. Multiplicamos normalmente y el resultado lleva el total de decimales que aportan los factores. Escribimos entonces la respuesta 13,70052 y así encontramos el resultado de esa multiplicación. Recordemos que los componentes son los factores y el resultado que se llama el producto.

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julioprofe

https://www.youtube.com/watch?v=_qrNvRnyXe8

SUMA Y RESTA DE NÚMEROS DECIMALES

#julioprofe explica cómo sumar y restar números decimales. Tema: #DecimalesPrimaria → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwFID2VJp5Qvue_SAifzdGxl Video especialmente dedicado a los niños que trabajan por primera vez con números decimales, a los padres de familia que les apoyan y a los maestros de nivel primaria. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Tenemos en esta ocasión cuatro operaciones con números decimales. Se trata de la suma y la resta de ellos. Aunque las operaciones vienen propuestas en forma horizontal, se recomienda escribirlas de manera vertical. Lo más importante para la suma y resta de decimales es que la coma decimal quede siempre alineada. Comenzamos con la primera operación. Entonces, como decíamos, escribimos los números de tal forma que la operación nos quede en forma vertical. Entonces, vamos a escribir 6, la coma siempre debe quedar alineada. 1, 2, 3, 5, 4. Y de esta manera tenemos los números escritos en forma vertical. Las casillas o las cifras que queden en blanco podemos completarlas con ceros si deseamos. Para que nos queden equilibrados los dos números en cuanto a la cantidad de cifras. En seguida efectuamos la suma. Comenzando por la derecha. Tenemos 0 más 4, que nos da 4. 0 más 5, nos da 5. 8 más 3, nos da 11. Escribimos el 1 y por aquí llevamos 1. Tenemos 1 más 4, que nos da 5. 5 más 2, nos da 7. Escribimos la coma decimal. 6 más 6, nos da 12. Escribimos el 2, llevamos 1. 1 más 3, más 0, nos da 4. Entonces tenemos como resultado de esta suma el número 42,7154. Entonces de esta manera tenemos resuelto el primer ejercicio. Vamos con el segundo ejercicio. Tenemos el número 79, que es número entero. Esto significa que tiene la coma invisible a la derecha del 9. Y después de esa coma podemos escribir todos los ceros que queramos. Entonces vamos por lo pronto a escribir la coma. Para que nos sirva de guía de modo que podamos ubicar el siguiente número. Entonces siempre la coma debajo de la coma. Y tenemos el número 153,6. Como observamos se puede escribir de derecha a izquierda. Para ir acomodando las cifras de tal manera que queden dispuestas verticalmente. Y como decíamos después de la coma, podemos colocar en el caso del 79 todos los ceros que queramos. Completamos allí con 0. Y por acá también si queremos, podemos completar con ese 0. Para que ambos números queden con la misma cantidad de cifras. Resolvemos la suma comenzando por la derecha. Tenemos 0 más 6, que nos da 6. Escribimos la coma decimal. 9 más 3 nos da 12. Escribimos el 2. Y por acá llevamos 1. 1 más 7 nos da 8. 8 más 5 nos da 13. Escribimos el 3. Llevamos 1. Y 1 más 1 nos da 2. Tenemos entonces la respuesta a este ejercicio. El número 232,6. Vamos con el tercer ejercicio. Una resta de números decimales. Entonces, escribimos el primer número, que es el minuendo. 217,86. Y debajo, escribimos el sustraendo. Comenzando por la coma, para acomodar las cifras. Por aquí el 1. Por acá tenemos el 9 y el 8. Siempre la coma debajo de la coma. Para el caso de la resta de decimales. Así como sucedió en la suma. Vamos a completar los lugares que nos quedaron en blanco. Con ceros. Para que ambos números tengan la misma cantidad de cifras. Resolvemos la resta. Comenzando por la derecha. Tenemos 6 menos 0. Nos da 6. 8 menos 1 nos da 7. Escribimos la coma decimal. Por acá tenemos 7 menos 9. Que es una operación que no podemos efectuar. Entonces, le pedimos prestado al número vecino. Al 1, en este caso. Que presta lo que tiene. Convirtiéndose este número en 17. Y este 1 se convierte en 0. Aquí sí tenemos entonces 17. Al que le podemos restar 9. Y nos da 8. Tenemos ahora 0 menos 8. Lo cual no es posible. Entonces le pedimos prestado al número vecino de la izquierda. En este caso el 2 presta 1. Para que este 0 se convierta en 10. Y este 2 como presto 1. Queda convertido en 1. Tenemos entonces 10 menos 8. Que nos da 2. Y por acá tenemos 1 menos 0. Que nos da 1. Este es entonces el resultado de la operación. 128 coma 76. Tenemos resuelto el tercer ejercicio. Vamos con la cuarta y última operación. Tenemos una resta. Donde el minuendo es un número entero. Y el sustraendo es un número decimal. Entonces, comenzamos por escribir el minuendo. Y hacemos visible su coma decimal. Está a la derecha del 2. Y escribimos debajo el sustraendo. Comenzando por la coma. Y acomodamos los dígitos de ese número. Allí están. Vamos a completar en el minuendo. Los lugares que quedaron en blanco. Con ceros. Entonces escribimos 4 ceros. Este espacio también puede completarse con 0. Resolvemos la resta. Comenzando por la derecha. Pero encontramos una pequeña dificultad. A 0 no le podemos restar 3. Por aquí, a 0 tampoco le podemos quitar 7. A 0 no le podemos quitar 8. A 0 no le podemos quitar 1. Entonces le pedimos prestado a este 2. El 2 presta a este 0. Una unidad queda convertido en 10. Y el 2 queda convertido en 1. 10 a su vez presta una unidad a este 0. El queda convertido en 10. Y este 10 como presto 1. Queda convertido en 9. 10 presta una unidad a este 0. Queda este como 10. Y aquí este queda como 9. Y a su vez este 10 presta a este 0. Una unidad queda como 10. Y este 10 queda convertido en 9. De esa manera ya podemos iniciar la resta. Tenemos 10 menos 3 que nos da 7. 9 menos 7 nos da 2. 9 menos 8 nos da 1. Y 9 menos 1 nos da 8. Escribimos la coma decimal. Y continuamos por acá. A 1 no le podemos quitar 4. Entonces le pedimos prestado al número vecino de la izquierda. Este 1 entrega lo que tiene. Es decir, una unidad. Este 1 queda convertido en 11. Y este 1 queda convertido en 0. Entonces tenemos 11 menos 4 que es 7. Y 0 menos 0 nos da 0. Escribimos entonces el resultado. 7,8127. Este 0 no tiene ninguna validez. Lo podemos omitir. Y de esta manera resolvemos la cuarta operación.

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entonces 17."}, {"start": 334.0, "end": 336.0, "text": " Al que le podemos restar 9."}, {"start": 336.0, "end": 338.0, "text": " Y nos da 8."}, {"start": 338.0, "end": 341.0, "text": " Tenemos ahora 0 menos 8."}, {"start": 341.0, "end": 343.0, "text": " Lo cual no es posible."}, {"start": 343.0, "end": 348.0, "text": " Entonces le pedimos prestado al n\u00famero vecino de la izquierda."}, {"start": 348.0, "end": 351.0, "text": " En este caso el 2 presta 1."}, {"start": 351.0, "end": 354.0, "text": " Para que este 0 se convierta en 10."}, {"start": 354.0, "end": 356.0, "text": " Y este 2 como presto 1."}, {"start": 356.0, "end": 359.0, "text": " Queda convertido en 1."}, {"start": 359.0, "end": 361.0, "text": " Tenemos entonces 10 menos 8."}, {"start": 361.0, "end": 363.0, "text": " Que nos da 2."}, {"start": 363.0, "end": 366.0, "text": " Y por ac\u00e1 tenemos 1 menos 0."}, {"start": 366.0, "end": 368.0, "text": " Que nos da 1."}, {"start": 368.0, "end": 371.0, "text": " Este es entonces el resultado de la operaci\u00f3n."}, {"start": 371.0, "end": 375.0, "text": " 128 coma 76."}, {"start": 375.0, "end": 382.0, "text": " Tenemos resuelto el tercer ejercicio."}, {"start": 382.0, "end": 385.0, "text": " Vamos con la cuarta y \u00faltima operaci\u00f3n."}, {"start": 385.0, "end": 387.0, "text": " Tenemos una resta."}, {"start": 387.0, "end": 390.0, "text": " Donde el minuendo es un n\u00famero entero."}, {"start": 390.0, "end": 394.0, "text": " Y el sustraendo es un n\u00famero decimal."}, {"start": 394.0, "end": 398.0, "text": " Entonces, comenzamos por escribir el minuendo."}, {"start": 398.0, "end": 402.0, "text": " Y hacemos visible su coma decimal."}, {"start": 402.0, "end": 404.0, "text": " Est\u00e1 a la derecha del 2."}, {"start": 404.0, "end": 408.0, "text": " Y escribimos debajo el sustraendo."}, {"start": 408.0, "end": 411.0, "text": " Comenzando por la coma."}, {"start": 411.0, "end": 415.0, "text": " Y acomodamos los d\u00edgitos de ese n\u00famero."}, {"start": 415.0, "end": 417.0, "text": " All\u00ed est\u00e1n."}, {"start": 417.0, "end": 419.0, "text": " Vamos a completar en el minuendo."}, {"start": 419.0, "end": 421.0, "text": " Los lugares que quedaron en blanco."}, {"start": 421.0, "end": 423.0, "text": " Con ceros."}, {"start": 423.0, "end": 426.0, "text": " Entonces escribimos 4 ceros."}, {"start": 426.0, "end": 430.0, "text": " Este espacio tambi\u00e9n puede completarse con 0."}, {"start": 430.0, "end": 432.0, "text": " Resolvemos la resta."}, {"start": 432.0, "end": 434.0, "text": " Comenzando por la derecha."}, {"start": 434.0, "end": 437.0, "text": " Pero encontramos una peque\u00f1a dificultad."}, {"start": 437.0, "end": 440.0, "text": " A 0 no le podemos restar 3."}, {"start": 440.0, "end": 443.0, "text": " Por aqu\u00ed, a 0 tampoco le podemos quitar 7."}, {"start": 443.0, "end": 446.0, "text": " A 0 no le podemos quitar 8."}, {"start": 446.0, "end": 448.0, "text": " A 0 no le podemos quitar 1."}, {"start": 448.0, "end": 451.0, "text": " Entonces le pedimos prestado a este 2."}, {"start": 451.0, "end": 454.0, "text": " El 2 presta a este 0."}, {"start": 454.0, "end": 457.0, "text": " Una unidad queda convertido en 10."}, {"start": 457.0, "end": 459.0, "text": " Y el 2 queda convertido en 1."}, {"start": 459.0, "end": 463.0, "text": " 10 a su vez presta una unidad a este 0."}, {"start": 463.0, "end": 465.0, "text": " El queda convertido en 10."}, {"start": 465.0, "end": 467.0, "text": " Y este 10 como presto 1."}, {"start": 467.0, "end": 470.0, "text": " Queda convertido en 9."}, {"start": 470.0, "end": 473.0, "text": " 10 presta una unidad a este 0."}, {"start": 473.0, "end": 476.0, "text": " Queda este como 10."}, {"start": 476.0, "end": 478.0, "text": " Y aqu\u00ed este queda como 9."}, {"start": 478.0, "end": 482.0, "text": " Y a su vez este 10 presta a este 0."}, {"start": 482.0, "end": 485.0, "text": " Una unidad queda como 10."}, {"start": 485.0, "end": 488.0, "text": " Y este 10 queda convertido en 9."}, {"start": 488.0, "end": 491.0, "text": " De esa manera ya podemos iniciar la resta."}, {"start": 491.0, "end": 495.0, "text": " Tenemos 10 menos 3 que nos da 7."}, {"start": 495.0, "end": 499.0, "text": " 9 menos 7 nos da 2."}, {"start": 499.0, "end": 503.0, "text": " 9 menos 8 nos da 1."}, {"start": 503.0, "end": 507.0, "text": " Y 9 menos 1 nos da 8."}, {"start": 507.0, "end": 510.0, "text": " Escribimos la coma decimal."}, {"start": 510.0, "end": 513.0, "text": " Y continuamos por ac\u00e1."}, {"start": 513.0, "end": 516.0, "text": " A 1 no le podemos quitar 4."}, {"start": 516.0, "end": 521.0, "text": " Entonces le pedimos prestado al n\u00famero vecino de la izquierda."}, {"start": 521.0, "end": 524.0, "text": " Este 1 entrega lo que tiene."}, {"start": 524.0, "end": 526.0, "text": " Es decir, una unidad."}, {"start": 526.0, "end": 528.0, "text": " Este 1 queda convertido en 11."}, {"start": 528.0, "end": 531.0, "text": " Y este 1 queda convertido en 0."}, {"start": 531.0, "end": 536.0, "text": " Entonces tenemos 11 menos 4 que es 7."}, {"start": 536.0, "end": 539.0, "text": " Y 0 menos 0 nos da 0."}, {"start": 539.0, "end": 541.0, "text": " Escribimos entonces el resultado."}, {"start": 541.0, "end": 546.0, "text": " 7,8127."}, {"start": 546.0, "end": 549.0, "text": " Este 0 no tiene ninguna validez."}, {"start": 549.0, "end": 551.0, "text": " Lo podemos omitir."}, {"start": 551.0, "end": 579.0, "text": " Y de esta manera resolvemos la cuarta operaci\u00f3n."}]

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INTEGRALES DOBLES - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo resolver una integral doble en coordenadas cartesianas o rectangulares. Tema: #IntegralesDobles → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHjJMXGUDWy2-rLa3YDhE5a REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Tenemos en este caso una integral doble ya propuesta. Vamos a resolverla recordando que estos valores corresponden a la variable x y estas dos expresiones corresponden a la variable y. Comenzamos entonces resolviendo la integral más interna. Vamos entonces a protegerla con llaves. Tenemos abajo esto es y igual a raíz cuadrada de x. Arriba tenemos y igual a uno más x. La función que es 2xy con el diferencial de y. Cerramos la llave y escribimos el diferencial de x. Con esto le damos prioridad a esta integral que la vamos a resolver con respecto a la variable y. Recordemos que en ese caso la x se comporta como una constante. Entonces al integrar esto 2x se queda quieto y procedemos a integrar la y. La integral de y es y al cuadrado sobre 2. Y todo esto lo vamos a evaluar entre y igual a raíz de x y y igual a uno más x. Cerramos la llave y escribimos el diferencial de x. Antes de evaluar los límites de integración conviene simplificar este número 2. Entonces tendremos una expresión más sencilla. Simplemente x y al cuadrado que será evaluada entre estos valores de y. Cerramos y escribimos el diferencial de x. Tenemos entonces que entra primero el límite superior donde está la letra y. Nos queda x por uno más x al cuadrado menos ahora entra el límite inferior donde está la letra y. Queda entonces x por raíz cuadrada de x. Esto al cuadrado. Cerramos la llave y escribimos el diferencial de x. Aplicamos el algebra para desarrollar esa expresión. Tenemos entonces x por aplicamos aquí el producto notable llamado binomio al cuadrado. Nos queda el primer termino al cuadrado que es uno más dos veces el primer termino por el segundo. Eso nos da 2x más el segundo termino al cuadrado. Entonces x cuadrado. Cerramos el paréntesis menos x por raíz cuadrada de x elevado al cuadrado nos da x. Cerramos la llave y escribimos el diferencial de x. Aplicamos ahora la propiedad distributiva en este caso y tendremos lo siguiente x por uno nos da x más x por 2x es 2x al cuadrado y x por más x cuadrado nos queda más x al cubo. Menos x por x que nos da x al cuadrado toda esta expresión la podemos encerrar en paréntesis y escribimos el diferencial de x. Aquí podemos reducir términos semejantes son estos dos y entonces tendremos lo siguiente x más la operación de estos dos que nos da x cuadrado y esto más x al cubo. Protejemos con paréntesis y escribimos el diferencial de x. Ya en este punto tenemos una integral únicamente en la variable x. Vamos entonces a resolverla es una integral directa entonces procedemos a integrar cada uno de los términos integral de x nos da x al cuadrado sobre 2 más integral de x al cuadrado que nos da x a la 3 sobre 3 más la integral de x al cubo que es x a la 4 sobre 4. Y vamos a evaluar en los límites de integración que son 0 y 1 valores de la variable x. Aplicando el teorema fundamental del cálculo, reemplazamos primero el límite superior entonces tenemos 1 al cuadrado nos da 1 que da 1 medio más 1 al cubo nos da 1 que da 1 tercio más 1 a la 4 que también es 1 queda con denominador 4 1 cuarto. Todo esto entonces corresponde al reemplazo del 1 el límite superior y esto menos el reemplazo del límite inferior que es 0 pero si 0 entra donde están las x todo eso nos da 0. Nos limitamos a resolver esta operación que nos da como resultado 1312 aos una operación sencilla de números fraccionarios y de esta manera hemos encontrado la respuesta a esta integral doble.

[{"start": 0.0, "end": 18.0, "text": " Tenemos en este caso una integral doble ya propuesta. Vamos a resolverla recordando que estos valores corresponden a la variable x y estas dos expresiones corresponden a la variable y."}, {"start": 18.0, "end": 33.0, "text": " Comenzamos entonces resolviendo la integral m\u00e1s interna. Vamos entonces a protegerla con llaves. Tenemos abajo esto es y igual a ra\u00edz cuadrada de x."}, {"start": 33.0, "end": 47.0, "text": " Arriba tenemos y igual a uno m\u00e1s x. La funci\u00f3n que es 2xy con el diferencial de y. Cerramos la llave y escribimos el diferencial de x."}, {"start": 47.0, "end": 60.0, "text": " Con esto le damos prioridad a esta integral que la vamos a resolver con respecto a la variable y. Recordemos que en ese caso la x se comporta como una constante."}, {"start": 60.0, "end": 74.0, "text": " Entonces al integrar esto 2x se queda quieto y procedemos a integrar la y. La integral de y es y al cuadrado sobre 2."}, {"start": 74.0, "end": 89.0, "text": " Y todo esto lo vamos a evaluar entre y igual a ra\u00edz de x y y igual a uno m\u00e1s x. Cerramos la llave y escribimos el diferencial de x."}, {"start": 89.0, "end": 100.0, "text": " Antes de evaluar los l\u00edmites de integraci\u00f3n conviene simplificar este n\u00famero 2. Entonces tendremos una expresi\u00f3n m\u00e1s sencilla."}, {"start": 100.0, "end": 114.0, "text": " Simplemente x y al cuadrado que ser\u00e1 evaluada entre estos valores de y. Cerramos y escribimos el diferencial de x."}, {"start": 114.0, "end": 133.0, "text": " Tenemos entonces que entra primero el l\u00edmite superior donde est\u00e1 la letra y. Nos queda x por uno m\u00e1s x al cuadrado menos ahora entra el l\u00edmite inferior donde est\u00e1 la letra y."}, {"start": 133.0, "end": 145.0, "text": " Queda entonces x por ra\u00edz cuadrada de x. Esto al cuadrado. Cerramos la llave y escribimos el diferencial de x."}, {"start": 145.0, "end": 157.0, "text": " Aplicamos el algebra para desarrollar esa expresi\u00f3n. Tenemos entonces x por aplicamos aqu\u00ed el producto notable llamado binomio al cuadrado."}, {"start": 157.0, "end": 165.0, "text": " Nos queda el primer termino al cuadrado que es uno m\u00e1s dos veces el primer termino por el segundo."}, {"start": 165.0, "end": 173.0, "text": " Eso nos da 2x m\u00e1s el segundo termino al cuadrado. Entonces x cuadrado."}, {"start": 173.0, "end": 187.0, "text": " Cerramos el par\u00e9ntesis menos x por ra\u00edz cuadrada de x elevado al cuadrado nos da x. Cerramos la llave y escribimos el diferencial de x."}, {"start": 187.0, "end": 207.0, "text": " Aplicamos ahora la propiedad distributiva en este caso y tendremos lo siguiente x por uno nos da x m\u00e1s x por 2x es 2x al cuadrado y x por m\u00e1s x cuadrado nos queda m\u00e1s x al cubo."}, {"start": 207.0, "end": 219.0, "text": " Menos x por x que nos da x al cuadrado toda esta expresi\u00f3n la podemos encerrar en par\u00e9ntesis y escribimos el diferencial de x."}, {"start": 219.0, "end": 237.0, "text": " Aqu\u00ed podemos reducir t\u00e9rminos semejantes son estos dos y entonces tendremos lo siguiente x m\u00e1s la operaci\u00f3n de estos dos que nos da x cuadrado y esto m\u00e1s x al cubo."}, {"start": 237.0, "end": 249.0, "text": " Protejemos con par\u00e9ntesis y escribimos el diferencial de x. Ya en este punto tenemos una integral \u00fanicamente en la variable x."}, {"start": 249.0, "end": 278.0, "text": " Vamos entonces a resolverla es una integral directa entonces procedemos a integrar cada uno de los t\u00e9rminos integral de x nos da x al cuadrado sobre 2 m\u00e1s integral de x al cuadrado que nos da x a la 3 sobre 3 m\u00e1s la integral de x al cubo que es x a la 4 sobre 4."}, {"start": 278.0, "end": 288.0, "text": " Y vamos a evaluar en los l\u00edmites de integraci\u00f3n que son 0 y 1 valores de la variable x."}, {"start": 288.0, "end": 311.0, "text": " Aplicando el teorema fundamental del c\u00e1lculo, reemplazamos primero el l\u00edmite superior entonces tenemos 1 al cuadrado nos da 1 que da 1 medio m\u00e1s 1 al cubo nos da 1 que da 1 tercio m\u00e1s 1 a la 4 que tambi\u00e9n es 1 queda con denominador 4 1 cuarto."}, {"start": 311.0, "end": 327.0, "text": " Todo esto entonces corresponde al reemplazo del 1 el l\u00edmite superior y esto menos el reemplazo del l\u00edmite inferior que es 0 pero si 0 entra donde est\u00e1n las x todo eso nos da 0."}, {"start": 327.0, "end": 347.0, "text": " Nos limitamos a resolver esta operaci\u00f3n que nos da como resultado 1312 aos una operaci\u00f3n sencilla de n\u00fameros fraccionarios y de esta manera hemos encontrado la respuesta a esta integral doble."}]

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Mensaje de Julioprofe: SITIOS OFICIALES EN INTERNET

#julioprofe precisa cuáles son los sitios en internet de cuyo contenido se hace responsable. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

Estimados estudiantes, reciban un cordial saludo. Les hablo desde una hermosa zona del campo colombiano, exactamente en el municipio del Valle del Cauca, donde me encuentro tomando unos días de descanso antes de retomar las grabaciones para mi proyecto educativo en la red. En esta ocasión, me dirijo a ustedes para precisar cuáles son los sitios en Internet de los cuales yo me hago responsable. En YouTube están los canales Julio Profe y Julio Profenet. Es allí donde publico todos los videos de Matemáticas y Física que grabo para la comunidad estudiantil. También tengo el blog www.julioprofe.net, que es donde he organizado por categorías y en orden temático todos los videos que he publicado en YouTube. En Facebook, administro la página Julio Profenet y también el grupo académico Julio Profe, donde son cordialmente bienvenidos. Esta es una comunidad de personas de diferentes nacionalidades, de diferentes edades, que se están ayudando mutuamente en temas académicos. En Twitter, pueden seguirme en la cuenta www.julioprofenet para que estén al tanto de las últimas publicaciones en YouTube. También pueden contactarme al correo www.julioprofecolombia.com. Entonces, como decía al comienzo, estos son los sitios en Internet de los cuales yo me hago responsable en cuanto a sus publicaciones. Digo esto porque ya me he encontrado en Facebook o en Twitter personas que se han hecho pasar por mí o incluso han utilizado mi logo para hablarle a las personas a mi nombre. Entonces, ya saben, los sitios donde soy yo, quien me comunico con ustedes, son los que acabo de mencionar. Me despido desde Colombia enviándoles un saludo muy cordial, un abrazo muy grande y cuenten con que próximamente van a tener nuevos videos en la red.

[{"start": 0.0, "end": 3.0, "text": " Estimados estudiantes, reciban un cordial saludo."}, {"start": 3.0, "end": 8.0, "text": " Les hablo desde una hermosa zona del campo colombiano,"}, {"start": 8.0, "end": 11.0, "text": " exactamente en el municipio del Valle del Cauca,"}, {"start": 11.0, "end": 15.0, "text": " donde me encuentro tomando unos d\u00edas de descanso"}, {"start": 15.0, "end": 18.0, "text": " antes de retomar las grabaciones"}, {"start": 18.0, "end": 21.0, "text": " para mi proyecto educativo en la red."}, {"start": 21.0, "end": 24.0, "text": " En esta ocasi\u00f3n, me dirijo a ustedes"}, {"start": 24.0, "end": 28.0, "text": " para precisar cu\u00e1les son los sitios en Internet"}, {"start": 28.0, "end": 31.0, "text": " de los cuales yo me hago responsable."}, {"start": 31.0, "end": 35.0, "text": " En YouTube est\u00e1n los canales Julio Profe y Julio Profenet."}, {"start": 35.0, "end": 40.0, "text": " Es all\u00ed donde publico todos los videos de Matem\u00e1ticas y F\u00edsica"}, {"start": 40.0, "end": 44.0, "text": " que grabo para la comunidad estudiantil."}, {"start": 44.0, "end": 49.0, "text": " Tambi\u00e9n tengo el blog www.julioprofe.net,"}, {"start": 49.0, "end": 54.0, "text": " que es donde he organizado por categor\u00edas"}, {"start": 54.0, "end": 61.0, "text": " y en orden tem\u00e1tico todos los videos que he publicado en YouTube."}, {"start": 61.0, "end": 65.0, "text": " En Facebook, administro la p\u00e1gina Julio Profenet"}, {"start": 65.0, "end": 69.0, "text": " y tambi\u00e9n el grupo acad\u00e9mico Julio Profe,"}, {"start": 69.0, "end": 72.0, "text": " donde son cordialmente bienvenidos."}, {"start": 72.0, "end": 76.0, "text": " Esta es una comunidad de personas de diferentes nacionalidades,"}, {"start": 76.0, "end": 80.0, "text": " de diferentes edades, que se est\u00e1n ayudando mutuamente"}, {"start": 80.0, "end": 83.0, "text": " en temas acad\u00e9micos."}, {"start": 83.0, "end": 88.0, "text": " En Twitter, pueden seguirme en la cuenta www.julioprofenet"}, {"start": 88.0, "end": 94.0, "text": " para que est\u00e9n al tanto de las \u00faltimas publicaciones en YouTube."}, {"start": 94.0, "end": 100.0, "text": " Tambi\u00e9n pueden contactarme al correo www.julioprofecolombia.com."}, {"start": 100.0, "end": 105.0, "text": " Entonces, como dec\u00eda al comienzo, estos son los sitios en Internet"}, {"start": 105.0, "end": 111.0, "text": " de los cuales yo me hago responsable en cuanto a sus publicaciones."}, {"start": 111.0, "end": 116.0, "text": " Digo esto porque ya me he encontrado en Facebook o en Twitter"}, {"start": 116.0, "end": 121.0, "text": " personas que se han hecho pasar por m\u00ed o incluso han utilizado mi logo"}, {"start": 121.0, "end": 125.0, "text": " para hablarle a las personas a mi nombre."}, {"start": 125.0, "end": 130.0, "text": " Entonces, ya saben, los sitios donde soy yo, quien me comunico con ustedes,"}, {"start": 130.0, "end": 133.0, "text": " son los que acabo de mencionar."}, {"start": 133.0, "end": 138.0, "text": " Me despido desde Colombia envi\u00e1ndoles un saludo muy cordial,"}, {"start": 138.0, "end": 142.0, "text": " un abrazo muy grande y cuenten con que pr\u00f3ximamente"}, {"start": 142.0, "end": 169.0, "text": " van a tener nuevos videos en la red."}]

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VOLUMEN HALLADO CON INTEGRAL DOBLE EN COORDENADAS POLARES

#julioprofe explica cómo encontrar el volumen del sólido bajo la superficie z=x²+y², encima del plano XY y dentro del cilindro x²+y²=2y. Tema: #IntegralesDobles → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHjJMXGUDWy2-rLa3YDhE5a REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a encontrar el volumen del sólido bajo la superficie z igual a x cuadrado más y cuadrado encima del plano xy y dentro del cilindro x cuadrado más y cuadrado igual a 2y. Comenzamos por determinar las características de esta ecuación que en el plano xy constituye una circunferencia pero en el espacio es un cilindro. Veamos cómo conducimos esta ecuación a algo conocido. Pasamos este término para el lado izquierdo y llega a negativo y esto nos queda igual a cero. Esto constituye la ecuación de una circunferencia y vamos a realizar la completación del trinomio cuadrado perfecto para los términos que contienen la y. Para la x no es necesario, entonces escribimos aquí el siguiente término. Sacamos la mitad de este número, la mitad de 2 es 1, 1 lo elevamos al cuadrado y nos da 1 positivo. Ese es el término que tenemos que agregar para completar el trinomio cuadrado perfecto. También lo escribimos al lado derecho. Estos tres términos con toda seguridad conforman un trinomio cuadrado perfecto. Entonces procedemos a factorizarlo. Nos queda entonces x cuadrado, este primer término queda igual y la factorización de ese trinomio cuadrado perfecto nos queda y menos 1 al cuadrado y esto igual a 1. Tenemos entonces la ecuación de una circunferencia con centro hk cuyo modelo dice así. Y igual a r al cuadrado. Circunferencia con centro hk y radio r. En este caso h vale 0 porque tenemos la x completamente sola. K en este caso viene siendo 1 que es el número que resta a la y y r cuadrado viene siendo 1 por lo tanto tenemos que r es igual a 1 sacando raíz cuadrada. Y de esta manera tenemos el centro de la circunferencia. Sería centro en 0,1 es la pareja h,k. Entonces en el plano x,y esta ecuación corresponde a una circunferencia con centro en 0,1 y radio 1. Vamos a visualizarlo. Aquí podemos observar la circunferencia. Tiene centro en 0,1 y su radio es de 1 unidad. Entonces esta figura en el plano x,y es una circunferencia pero en el espacio constituye un cilindro. Tenemos que en dirección del eje z esta circunferencia se propaga o se expande generando un cilindro. Esta figura, este circulo que tenemos delimitado es lo que va a constituir la región de integración. Vamos entonces a repintarla con este color y a esta región la vamos a llamar r. Y entonces vamos a representar r en coordenadas polares. En este caso como tenemos una superficie con x cuadrado y y cuadrado y como la región de integración también contiene x cuadrado más y cuadrado. Entonces es conveniente recurrir a las coordenadas polares. Recordemos que en las coordenadas polares la equivalencia x cuadrado más y cuadrado igual a r cuadrado es de gran importancia. Y también estas otras dos. x es igual a r coseno de theta y y es igual a r seno de theta. Estas son las equivalencias que nos sugieren que en este caso es conveniente utilizar coordenadas polares. Vamos entonces a representar r de esta manera. Para ello tomamos la ecuación de la circunferencia x cuadrado más y cuadrado igual a 2y y vamos a hacer los cambios a coordenadas polares. Entonces dijimos que x cuadrado más y cuadrado equivale a r cuadrado y y se cambia por r seno de theta. Pasamos todo ese termino para el lado izquierdo nos queda r cuadrado menos 2r seno de theta igual a 0. Sacamos factor común r que es factor de r menos 2 seno de theta igual a 0. Y entonces como esto está multiplicando e igualado a 0 aplicamos el teorema del factor nulo. Decimos r es igual a 0 o r menos 2 seno de theta es igual a 0. De lo anterior tenemos que r es igual a 0 o r es igual a 2 seno de theta despejando la r en la segunda igualdad. Y estos constituyen los límites de r cuando se trata de definir esta región en coordenadas polares. Veamos entonces como nos queda. r está comprendido entre 0 y 2 seno de theta. Recordemos que r sale a partir del polo, o sea el origen en todas las direcciones. El menor valor que toma es 0 y el máximo valor que toma es el de la circunferencia. Entonces sería 2 seno de theta. Y para theta tenemos los siguientes valores. Comenzaríamos en theta igual a 0 y vamos radiando hasta llegar a 180 grados. O sea desde 0 hasta pi. Entonces theta está comprendido entre 0 y pi radianes. De esta manera nos queda definida la región de integración en coordenadas polares. Ahora vamos a plantear una expresión para encontrar el volumen solicitado. Se trata de la integral doble sobre la región r de la función f de x, y con su diferencial de a. Ese es el planteamiento que nos permite encontrar el volumen bajo una superficie sobre el plano x, y. Y que está delimitada por una región r en dicho plano x, y. Entonces vamos a utilizar lo que decíamos, es decir la definición de r en coordenadas polares. Vamos entonces con la integral externa que es la que lleva los valores de theta. Entonces tenemos theta igual a 0 y por acá theta igual a pi. Luego la siguiente integral que es la que lleva los valores de r. Entonces r igual a 0 y r igual a 2 seno de theta. La función es la que nos daba el problema, es decir el paraboloide. Ella decía z igual a x cuadrado más y cuadrado. Recordemos que esto representa z. Pero decíamos que x cuadrado más y cuadrado en coordenadas polares se convierte en r al cuadrado. Entonces esa será la función que vamos a integrar. Y de a que en coordenadas cartesianas o rectangulares viene siendo dx por dy o dy por dx. Entonces ahora en coordenadas polares es r de r de theta. Esa expresión para el volumen nos queda entonces de la siguiente manera. Integral entre 0 y pi, ya sabemos que son valores de theta. Luego la integral entre 0 y 2 seno de theta. Ya sabemos que son valores de r. Y aquí tenemos ese producto que nos da r al cubo. Por dr y d theta. Procedemos entonces a resolver esa integral doble. Comenzando por la integral más interna. Entonces esto lo dejamos igual y nos vamos a concentrar en esta integral que tiene que ver con la variable r. Tenemos entonces que la integral de r al cubo viene siendo r a la 4 sobre 4. Y esto va a estar evaluado entre 0 y 2 seno de theta. Entonces protegemos todo eso con llaves. Y afuera escribimos el diferencial de theta. Evaluamos esta expresión que tenemos dentro de las llaves. Y nos queda lo siguiente. Si tenemos que esto entra aquí y se eleva a la 4. Nos queda 16 seno a la 4 de theta. Y todo esto sobre 4. Menos si entra el 0 nos daría todo 0. Esto lo podemos proteger y con su respectivo diferencial de theta. Ese 0 lo ignoramos. Y por aquí podemos simplificar 16 con 4. Eso nos va a dar 4. Que lo podemos sacar de la integral. Y entonces nos queda 4 por la integral entre 0 y pi de seno a la 4 de theta. Con su correspondiente diferencial de theta. Para resolver esta integral trigonométrica hacemos lo siguiente. Escribimos seno a la 4 como seno al cuadrado de theta. Y todo esto elevado al cuadrado. Con su diferencial de theta. Y entonces vamos a utilizar la siguiente identidad trigonométrica. 0 cuadrado de theta es igual a 1 menos coseno de 2 theta. Y todo esto sobre 2. Es una de las fórmulas de reducción de potencias. Volumen igual a 4 por la integral entre 0 y pi de esta expresión. Hacemos la sustitución 1 menos coseno de 2 theta sobre 2. Y todo esto al cuadrado con su respectivo diferencial de theta. Desarrollamos aquí adentro esa expresión al cuadrado. Nos queda entonces 4 por la integral entre 0 y pi de el numerador al cuadrado. Y todo esto sobre el denominador al cuadrado que sería 4. Con el diferencial de theta. Aquí podemos simplificar este 4 con este. Es como si sacáramos el 4 que está en el denominador. Y se simplifica con el 4 que tenemos por fuera. Entonces tendremos la integral entre 0 y pi de este binomio al cuadrado. Y lo vamos a desarrollar. Esto es el primer término al cuadrado que es 1 menos 2 veces el primero por el segundo. O sea 2 coseno de 2 theta más el segundo término al cuadrado. Que sería coseno al cuadrado de 2 theta. Todo esto entre paréntesis con su respectivo diferencial de theta. Así como existe esta fórmula para reducir esta potencia. Existe también la de coseno. Entonces coseno al cuadrado de theta es igual a 1 más coseno de 2 theta. Y todo esto sobre 2. Pero en este caso que es donde la vamos a utilizar. Tenemos el ángulo como 2 theta. Entonces cambiaríamos theta por 2 theta. Vamos a hacer el cambio por aquí. Y aquí también haríamos el cambio. Entonces tenemos 2 por 2 theta que se convierte en 4 theta. Y esta expresión la vamos a escribir por aquí. Tenemos entonces que volumen es igual a la integral entre cero y pi de 1 menos 2 coseno de 2 theta. Más este coseno al cuadrado de 2 theta que equivale a 1 más coseno de 4 theta. Todo esto sobre 2. Y vamos a escribirle el correspondiente diferencial de theta. Entonces usamos paréntesis y aquí escribimos de theta. Ahora vamos a repartir este denominador para cada uno de los términos que hay en el numerador. Tenemos entonces la integral entre cero y pi de 1 menos 2 coseno de 2 theta más 1 medio coseno de 4 theta. Y todo esto con su correspondiente diferencial de theta. Esto lo hacemos para poder sumar estos dos números. Entonces tendremos volumen igual a la integral entre cero y pi de 1 más 1 medio que nos da 3 medios. Menos 2 coseno de 2 theta más 1 medio coseno de 4 theta. Todo esto con su respectivo diferencial de theta. Aquí ya podemos integrar cada uno de los términos. Recordemos que para integrar esto se utiliza la siguiente fórmula. Integral del coseno de k theta con su diferencial de theta es igual a 1 sobre k por el seno de k theta más la constante de integración. Entonces en este caso k es 2 o es 4 para cada uno de esos términos. Y utilizando esta fórmula vamos a integrarlos fácilmente. Tenemos entonces integral de 3 medios que sería 3 medios de theta. Menos dejamos este 2 quieto y hacemos esta integral con esta fórmula. En esta fórmula tendríamos 1 medio del seno de 2 theta, en ese caso k vale 2, más 1 medio que lo dejamos quieto por esta integral que la hacemos con esta fórmula, en ese caso k vale 4, y nos queda 1 cuarto seno de 4 theta. No escribimos la constante de integración por tratarse de una integral definida y la vamos a evaluar entre cero y pi. Antes de hacer esa evaluación vamos a pulir esta expresión. Tendremos 3 medios de theta menos 2 por 1 medio, esto nos da 1, entonces queda seno de 2 theta más 1 medio por 1 cuarto, eso nos da 1 octavo del seno de 4 theta y ahora sí evaluado entre cero y pi. Entonces aplicamos el teorema fundamental del cálculo, reemplazamos primero pi donde está theta, tendríamos 3 medios de pi menos seno de 2 pi más 1 octavo del seno de 4 pi y todo esto menos el reemplazo de cero. Por aquí nos da cero, por acá tenemos 2 por 0, cero, el seno de cero vale cero y por acá tenemos 4 por 0, cero, seno de cero es cero, luego todo nos daría cero si evaluamos en ese valor. Entonces nos quedará lo siguiente, seno de 2 pi equivale a cero y seno de 4 pi también vale cero, por lo tanto lo único que nos queda es 3 medios de pi o también 3 pi medios. Y este valor corresponde al volumen que estamos buscando, le agregamos unidades cúbicas por tratarse de un volumen, esta es entonces la respuesta a este ejercicio, se trata del volumen bajo el paraboloide sobre el plano xy y encerrado dentro del cilindro que nos daban.

[{"start": 0.0, "end": 19.0, "text": " Vamos a encontrar el volumen del s\u00f3lido bajo la superficie z igual a x cuadrado m\u00e1s y cuadrado encima del plano xy y dentro del cilindro x cuadrado m\u00e1s y cuadrado igual a 2y."}, {"start": 19.0, "end": 34.0, "text": " Comenzamos por determinar las caracter\u00edsticas de esta ecuaci\u00f3n que en el plano xy constituye una circunferencia pero en el espacio es un cilindro."}, {"start": 34.0, "end": 49.0, "text": " Veamos c\u00f3mo conducimos esta ecuaci\u00f3n a algo conocido. Pasamos este t\u00e9rmino para el lado izquierdo y llega a negativo y esto nos queda igual a cero."}, {"start": 49.0, "end": 62.0, "text": " Esto constituye la ecuaci\u00f3n de una circunferencia y vamos a realizar la completaci\u00f3n del trinomio cuadrado perfecto para los t\u00e9rminos que contienen la y."}, {"start": 62.0, "end": 79.0, "text": " Para la x no es necesario, entonces escribimos aqu\u00ed el siguiente t\u00e9rmino. Sacamos la mitad de este n\u00famero, la mitad de 2 es 1, 1 lo elevamos al cuadrado y nos da 1 positivo."}, {"start": 80.0, "end": 89.0, "text": " Ese es el t\u00e9rmino que tenemos que agregar para completar el trinomio cuadrado perfecto. Tambi\u00e9n lo escribimos al lado derecho."}, {"start": 89.0, "end": 96.0, "text": " Estos tres t\u00e9rminos con toda seguridad conforman un trinomio cuadrado perfecto."}, {"start": 97.0, "end": 113.0, "text": " Entonces procedemos a factorizarlo. Nos queda entonces x cuadrado, este primer t\u00e9rmino queda igual y la factorizaci\u00f3n de ese trinomio cuadrado perfecto nos queda y menos 1 al cuadrado y esto igual a 1."}, {"start": 113.0, "end": 126.0, "text": " Tenemos entonces la ecuaci\u00f3n de una circunferencia con centro hk cuyo modelo dice as\u00ed."}, {"start": 126.0, "end": 143.0, "text": " Y igual a r al cuadrado. Circunferencia con centro hk y radio r. En este caso h vale 0 porque tenemos la x completamente sola."}, {"start": 143.0, "end": 161.0, "text": " K en este caso viene siendo 1 que es el n\u00famero que resta a la y y r cuadrado viene siendo 1 por lo tanto tenemos que r es igual a 1 sacando ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 161.0, "end": 172.0, "text": " Y de esta manera tenemos el centro de la circunferencia. Ser\u00eda centro en 0,1 es la pareja h,k."}, {"start": 173.0, "end": 183.0, "text": " Entonces en el plano x,y esta ecuaci\u00f3n corresponde a una circunferencia con centro en 0,1 y radio 1. Vamos a visualizarlo."}, {"start": 183.0, "end": 193.0, "text": " Aqu\u00ed podemos observar la circunferencia. Tiene centro en 0,1 y su radio es de 1 unidad."}, {"start": 194.0, "end": 202.0, "text": " Entonces esta figura en el plano x,y es una circunferencia pero en el espacio constituye un cilindro."}, {"start": 202.0, "end": 212.0, "text": " Tenemos que en direcci\u00f3n del eje z esta circunferencia se propaga o se expande generando un cilindro."}, {"start": 213.0, "end": 222.0, "text": " Esta figura, este circulo que tenemos delimitado es lo que va a constituir la regi\u00f3n de integraci\u00f3n."}, {"start": 222.0, "end": 231.0, "text": " Vamos entonces a repintarla con este color y a esta regi\u00f3n la vamos a llamar r."}, {"start": 232.0, "end": 239.0, "text": " Y entonces vamos a representar r en coordenadas polares."}, {"start": 240.0, "end": 250.0, "text": " En este caso como tenemos una superficie con x cuadrado y y cuadrado y como la regi\u00f3n de integraci\u00f3n tambi\u00e9n contiene x cuadrado m\u00e1s y cuadrado."}, {"start": 250.0, "end": 256.0, "text": " Entonces es conveniente recurrir a las coordenadas polares."}, {"start": 257.0, "end": 269.0, "text": " Recordemos que en las coordenadas polares la equivalencia x cuadrado m\u00e1s y cuadrado igual a r cuadrado es de gran importancia."}, {"start": 269.0, "end": 280.0, "text": " Y tambi\u00e9n estas otras dos. x es igual a r coseno de theta y y es igual a r seno de theta."}, {"start": 281.0, "end": 289.0, "text": " Estas son las equivalencias que nos sugieren que en este caso es conveniente utilizar coordenadas polares."}, {"start": 290.0, "end": 293.0, "text": " Vamos entonces a representar r de esta manera."}, {"start": 293.0, "end": 304.0, "text": " Para ello tomamos la ecuaci\u00f3n de la circunferencia x cuadrado m\u00e1s y cuadrado igual a 2y y vamos a hacer los cambios a coordenadas polares."}, {"start": 305.0, "end": 314.0, "text": " Entonces dijimos que x cuadrado m\u00e1s y cuadrado equivale a r cuadrado y y se cambia por r seno de theta."}, {"start": 314.0, "end": 323.0, "text": " Pasamos todo ese termino para el lado izquierdo nos queda r cuadrado menos 2r seno de theta igual a 0."}, {"start": 324.0, "end": 333.0, "text": " Sacamos factor com\u00fan r que es factor de r menos 2 seno de theta igual a 0."}, {"start": 334.0, "end": 340.0, "text": " Y entonces como esto est\u00e1 multiplicando e igualado a 0 aplicamos el teorema del factor nulo."}, {"start": 340.0, "end": 349.0, "text": " Decimos r es igual a 0 o r menos 2 seno de theta es igual a 0."}, {"start": 350.0, "end": 362.0, "text": " De lo anterior tenemos que r es igual a 0 o r es igual a 2 seno de theta despejando la r en la segunda igualdad."}, {"start": 362.0, "end": 372.0, "text": " Y estos constituyen los l\u00edmites de r cuando se trata de definir esta regi\u00f3n en coordenadas polares."}, {"start": 373.0, "end": 374.0, "text": " Veamos entonces como nos queda."}, {"start": 375.0, "end": 382.0, "text": " r est\u00e1 comprendido entre 0 y 2 seno de theta."}, {"start": 383.0, "end": 389.0, "text": " Recordemos que r sale a partir del polo, o sea el origen en todas las direcciones."}, {"start": 389.0, "end": 398.0, "text": " El menor valor que toma es 0 y el m\u00e1ximo valor que toma es el de la circunferencia."}, {"start": 399.0, "end": 402.0, "text": " Entonces ser\u00eda 2 seno de theta."}, {"start": 403.0, "end": 406.0, "text": " Y para theta tenemos los siguientes valores."}, {"start": 407.0, "end": 415.0, "text": " Comenzar\u00edamos en theta igual a 0 y vamos radiando hasta llegar a 180 grados."}, {"start": 415.0, "end": 422.0, "text": " O sea desde 0 hasta pi. Entonces theta est\u00e1 comprendido entre 0 y pi radianes."}, {"start": 423.0, "end": 429.0, "text": " De esta manera nos queda definida la regi\u00f3n de integraci\u00f3n en coordenadas polares."}, {"start": 430.0, "end": 438.0, "text": " Ahora vamos a plantear una expresi\u00f3n para encontrar el volumen solicitado."}, {"start": 438.0, "end": 451.0, "text": " Se trata de la integral doble sobre la regi\u00f3n r de la funci\u00f3n f de x, y con su diferencial de a."}, {"start": 452.0, "end": 460.0, "text": " Ese es el planteamiento que nos permite encontrar el volumen bajo una superficie sobre el plano x, y."}, {"start": 460.0, "end": 467.0, "text": " Y que est\u00e1 delimitada por una regi\u00f3n r en dicho plano x, y."}, {"start": 468.0, "end": 477.0, "text": " Entonces vamos a utilizar lo que dec\u00edamos, es decir la definici\u00f3n de r en coordenadas polares."}, {"start": 478.0, "end": 484.0, "text": " Vamos entonces con la integral externa que es la que lleva los valores de theta."}, {"start": 484.0, "end": 489.0, "text": " Entonces tenemos theta igual a 0 y por ac\u00e1 theta igual a pi."}, {"start": 490.0, "end": 495.0, "text": " Luego la siguiente integral que es la que lleva los valores de r."}, {"start": 496.0, "end": 502.0, "text": " Entonces r igual a 0 y r igual a 2 seno de theta."}, {"start": 503.0, "end": 509.0, "text": " La funci\u00f3n es la que nos daba el problema, es decir el paraboloide."}, {"start": 509.0, "end": 514.0, "text": " Ella dec\u00eda z igual a x cuadrado m\u00e1s y cuadrado."}, {"start": 515.0, "end": 517.0, "text": " Recordemos que esto representa z."}, {"start": 518.0, "end": 525.0, "text": " Pero dec\u00edamos que x cuadrado m\u00e1s y cuadrado en coordenadas polares se convierte en r al cuadrado."}, {"start": 526.0, "end": 529.0, "text": " Entonces esa ser\u00e1 la funci\u00f3n que vamos a integrar."}, {"start": 529.0, "end": 539.0, "text": " Y de a que en coordenadas cartesianas o rectangulares viene siendo dx por dy o dy por dx."}, {"start": 540.0, "end": 546.0, "text": " Entonces ahora en coordenadas polares es r de r de theta."}, {"start": 547.0, "end": 552.0, "text": " Esa expresi\u00f3n para el volumen nos queda entonces de la siguiente manera."}, {"start": 553.0, "end": 557.0, "text": " Integral entre 0 y pi, ya sabemos que son valores de theta."}, {"start": 557.0, "end": 563.0, "text": " Luego la integral entre 0 y 2 seno de theta."}, {"start": 564.0, "end": 566.0, "text": " Ya sabemos que son valores de r."}, {"start": 567.0, "end": 570.0, "text": " Y aqu\u00ed tenemos ese producto que nos da r al cubo."}, {"start": 571.0, "end": 573.0, "text": " Por dr y d theta."}, {"start": 574.0, "end": 578.0, "text": " Procedemos entonces a resolver esa integral doble."}, {"start": 579.0, "end": 584.0, "text": " Comenzando por la integral m\u00e1s interna."}, {"start": 584.0, "end": 593.0, "text": " Entonces esto lo dejamos igual y nos vamos a concentrar en esta integral que tiene que ver con la variable r."}, {"start": 594.0, "end": 601.0, "text": " Tenemos entonces que la integral de r al cubo viene siendo r a la 4 sobre 4."}, {"start": 602.0, "end": 609.0, "text": " Y esto va a estar evaluado entre 0 y 2 seno de theta."}, {"start": 609.0, "end": 613.0, "text": " Entonces protegemos todo eso con llaves."}, {"start": 614.0, "end": 617.0, "text": " Y afuera escribimos el diferencial de theta."}, {"start": 618.0, "end": 623.0, "text": " Evaluamos esta expresi\u00f3n que tenemos dentro de las llaves."}, {"start": 624.0, "end": 626.0, "text": " Y nos queda lo siguiente."}, {"start": 627.0, "end": 630.0, "text": " Si tenemos que esto entra aqu\u00ed y se eleva a la 4."}, {"start": 631.0, "end": 636.0, "text": " Nos queda 16 seno a la 4 de theta."}, {"start": 636.0, "end": 638.0, "text": " Y todo esto sobre 4."}, {"start": 639.0, "end": 643.0, "text": " Menos si entra el 0 nos dar\u00eda todo 0."}, {"start": 644.0, "end": 649.0, "text": " Esto lo podemos proteger y con su respectivo diferencial de theta."}, {"start": 650.0, "end": 651.0, "text": " Ese 0 lo ignoramos."}, {"start": 652.0, "end": 654.0, "text": " Y por aqu\u00ed podemos simplificar 16 con 4."}, {"start": 655.0, "end": 656.0, "text": " Eso nos va a dar 4."}, {"start": 657.0, "end": 658.0, "text": " Que lo podemos sacar de la integral."}, {"start": 658.0, "end": 666.0, "text": " Y entonces nos queda 4 por la integral entre 0 y pi de seno a la 4 de theta."}, {"start": 667.0, "end": 670.0, "text": " Con su correspondiente diferencial de theta."}, {"start": 671.0, "end": 675.0, "text": " Para resolver esta integral trigonom\u00e9trica hacemos lo siguiente."}, {"start": 676.0, "end": 684.0, "text": " Escribimos seno a la 4 como seno al cuadrado de theta."}, {"start": 685.0, "end": 686.0, "text": " Y todo esto elevado al cuadrado."}, {"start": 686.0, "end": 688.0, "text": " Con su diferencial de theta."}, {"start": 689.0, "end": 693.0, "text": " Y entonces vamos a utilizar la siguiente identidad trigonom\u00e9trica."}, {"start": 694.0, "end": 700.0, "text": " 0 cuadrado de theta es igual a 1 menos coseno de 2 theta."}, {"start": 701.0, "end": 703.0, "text": " Y todo esto sobre 2."}, {"start": 704.0, "end": 707.0, "text": " Es una de las f\u00f3rmulas de reducci\u00f3n de potencias."}, {"start": 707.0, "end": 719.0, "text": " Volumen igual a 4 por la integral entre 0 y pi de esta expresi\u00f3n."}, {"start": 720.0, "end": 725.0, "text": " Hacemos la sustituci\u00f3n 1 menos coseno de 2 theta sobre 2."}, {"start": 726.0, "end": 732.0, "text": " Y todo esto al cuadrado con su respectivo diferencial de theta."}, {"start": 732.0, "end": 737.0, "text": " Desarrollamos aqu\u00ed adentro esa expresi\u00f3n al cuadrado."}, {"start": 738.0, "end": 744.0, "text": " Nos queda entonces 4 por la integral entre 0 y pi de el numerador al cuadrado."}, {"start": 749.0, "end": 753.0, "text": " Y todo esto sobre el denominador al cuadrado que ser\u00eda 4."}, {"start": 754.0, "end": 756.0, "text": " Con el diferencial de theta."}, {"start": 757.0, "end": 759.0, "text": " Aqu\u00ed podemos simplificar este 4 con este."}, {"start": 759.0, "end": 762.0, "text": " Es como si sac\u00e1ramos el 4 que est\u00e1 en el denominador."}, {"start": 763.0, "end": 765.0, "text": " Y se simplifica con el 4 que tenemos por fuera."}, {"start": 766.0, "end": 773.0, "text": " Entonces tendremos la integral entre 0 y pi de este binomio al cuadrado."}, {"start": 774.0, "end": 775.0, "text": " Y lo vamos a desarrollar."}, {"start": 776.0, "end": 781.0, "text": " Esto es el primer t\u00e9rmino al cuadrado que es 1 menos 2 veces el primero por el segundo."}, {"start": 782.0, "end": 787.0, "text": " O sea 2 coseno de 2 theta m\u00e1s el segundo t\u00e9rmino al cuadrado."}, {"start": 787.0, "end": 790.0, "text": " Que ser\u00eda coseno al cuadrado de 2 theta."}, {"start": 791.0, "end": 796.0, "text": " Todo esto entre par\u00e9ntesis con su respectivo diferencial de theta."}, {"start": 797.0, "end": 801.0, "text": " As\u00ed como existe esta f\u00f3rmula para reducir esta potencia."}, {"start": 802.0, "end": 804.0, "text": " Existe tambi\u00e9n la de coseno."}, {"start": 805.0, "end": 811.0, "text": " Entonces coseno al cuadrado de theta es igual a 1 m\u00e1s coseno de 2 theta."}, {"start": 812.0, "end": 813.0, "text": " Y todo esto sobre 2."}, {"start": 813.0, "end": 817.0, "text": " Pero en este caso que es donde la vamos a utilizar."}, {"start": 818.0, "end": 820.0, "text": " Tenemos el \u00e1ngulo como 2 theta."}, {"start": 821.0, "end": 823.0, "text": " Entonces cambiar\u00edamos theta por 2 theta."}, {"start": 824.0, "end": 825.0, "text": " Vamos a hacer el cambio por aqu\u00ed."}, {"start": 826.0, "end": 829.0, "text": " Y aqu\u00ed tambi\u00e9n har\u00edamos el cambio."}, {"start": 830.0, "end": 834.0, "text": " Entonces tenemos 2 por 2 theta que se convierte en 4 theta."}, {"start": 835.0, "end": 838.0, "text": " Y esta expresi\u00f3n la vamos a escribir por aqu\u00ed."}, {"start": 838.0, "end": 852.0, "text": " Tenemos entonces que volumen es igual a la integral entre cero y pi de 1 menos 2 coseno de 2 theta."}, {"start": 855.0, "end": 864.0, "text": " M\u00e1s este coseno al cuadrado de 2 theta que equivale a 1 m\u00e1s coseno de 4 theta."}, {"start": 864.0, "end": 867.0, "text": " Todo esto sobre 2."}, {"start": 868.0, "end": 877.0, "text": " Y vamos a escribirle el correspondiente diferencial de theta."}, {"start": 878.0, "end": 883.0, "text": " Entonces usamos par\u00e9ntesis y aqu\u00ed escribimos de theta."}, {"start": 884.0, "end": 891.0, "text": " Ahora vamos a repartir este denominador para cada uno de los t\u00e9rminos que hay en el numerador."}, {"start": 891.0, "end": 909.0, "text": " Tenemos entonces la integral entre cero y pi de 1 menos 2 coseno de 2 theta m\u00e1s 1 medio coseno de 4 theta."}, {"start": 910.0, "end": 913.0, "text": " Y todo esto con su correspondiente diferencial de theta."}, {"start": 914.0, "end": 916.0, "text": " Esto lo hacemos para poder sumar estos dos n\u00fameros."}, {"start": 916.0, "end": 927.0, "text": " Entonces tendremos volumen igual a la integral entre cero y pi de 1 m\u00e1s 1 medio que nos da 3 medios."}, {"start": 928.0, "end": 937.0, "text": " Menos 2 coseno de 2 theta m\u00e1s 1 medio coseno de 4 theta."}, {"start": 938.0, "end": 940.0, "text": " Todo esto con su respectivo diferencial de theta."}, {"start": 941.0, "end": 944.0, "text": " Aqu\u00ed ya podemos integrar cada uno de los t\u00e9rminos."}, {"start": 944.0, "end": 949.0, "text": " Recordemos que para integrar esto se utiliza la siguiente f\u00f3rmula."}, {"start": 950.0, "end": 964.0, "text": " Integral del coseno de k theta con su diferencial de theta es igual a 1 sobre k por el seno de k theta m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 965.0, "end": 970.0, "text": " Entonces en este caso k es 2 o es 4 para cada uno de esos t\u00e9rminos."}, {"start": 970.0, "end": 975.0, "text": " Y utilizando esta f\u00f3rmula vamos a integrarlos f\u00e1cilmente."}, {"start": 976.0, "end": 981.0, "text": " Tenemos entonces integral de 3 medios que ser\u00eda 3 medios de theta."}, {"start": 982.0, "end": 988.0, "text": " Menos dejamos este 2 quieto y hacemos esta integral con esta f\u00f3rmula."}, {"start": 988.0, "end": 1015.0, "text": " En esta f\u00f3rmula tendr\u00edamos 1 medio del seno de 2 theta, en ese caso k vale 2, m\u00e1s 1 medio que lo dejamos quieto por esta integral que la hacemos con esta f\u00f3rmula, en ese caso k vale 4, y nos queda 1 cuarto seno de 4 theta."}, {"start": 1015.0, "end": 1025.0, "text": " No escribimos la constante de integraci\u00f3n por tratarse de una integral definida y la vamos a evaluar entre cero y pi."}, {"start": 1026.0, "end": 1031.0, "text": " Antes de hacer esa evaluaci\u00f3n vamos a pulir esta expresi\u00f3n."}, {"start": 1031.0, "end": 1051.0, "text": " Tendremos 3 medios de theta menos 2 por 1 medio, esto nos da 1, entonces queda seno de 2 theta m\u00e1s 1 medio por 1 cuarto, eso nos da 1 octavo del seno de 4 theta y ahora s\u00ed evaluado entre cero y pi."}, {"start": 1051.0, "end": 1076.0, "text": " Entonces aplicamos el teorema fundamental del c\u00e1lculo, reemplazamos primero pi donde est\u00e1 theta, tendr\u00edamos 3 medios de pi menos seno de 2 pi m\u00e1s 1 octavo del seno de 4 pi y todo esto menos el reemplazo de cero."}, {"start": 1076.0, "end": 1091.0, "text": " Por aqu\u00ed nos da cero, por ac\u00e1 tenemos 2 por 0, cero, el seno de cero vale cero y por ac\u00e1 tenemos 4 por 0, cero, seno de cero es cero, luego todo nos dar\u00eda cero si evaluamos en ese valor."}, {"start": 1091.0, "end": 1110.0, "text": " Entonces nos quedar\u00e1 lo siguiente, seno de 2 pi equivale a cero y seno de 4 pi tambi\u00e9n vale cero, por lo tanto lo \u00fanico que nos queda es 3 medios de pi o tambi\u00e9n 3 pi medios."}, {"start": 1110.0, "end": 1134.0, "text": " Y este valor corresponde al volumen que estamos buscando, le agregamos unidades c\u00fabicas por tratarse de un volumen, esta es entonces la respuesta a este ejercicio, se trata del volumen bajo el paraboloide sobre el plano xy y encerrado dentro del cilindro que nos daban."}]

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ÁREA Y PERÍMETRO DE UN ROMBO

#julioprofe explica cómo determinar el área y el perímetro de un rombo si se conocen las medidas de sus diagonales. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

Determinar el área y el perímetro de un rombo si sus diagonales miden 36 cm y 24 cm. Comenzamos este problema realizando el dibujo de un rombo. Recordemos que se define como rombo a todo cuadrilátero que tiene sus 4 lados iguales. Entonces podemos colocar estas marquitas que nos indican que los lados tienen la misma longitud. Trazamos con color rojo la diagonal mayor cuya medida es 36 cm. La vamos a llamar con la letra D mayúscula. Entonces D es igual a 36 cm. Ahora con color azul trazamos la otra diagonal. La llamamos D minúscula y tiene un valor de 24 cm. Conociendo las medidas de las diagonales del rombo podemos determinar su área. La fórmula para encontrar el área de un rombo dice lo siguiente es diagonal mayor por diagonal menor y todo eso dividido entre 2. Vamos a reemplazar los datos que conocemos. Diagonal mayor mide 36 cm por la diagonal menor que mide 24 cm y todo eso lo dividimos entre 2. En este caso podemos omitir los centímetros puesto que ambas medidas están en las mismas unidades de longitud. Al final el área nos da en centímetros cuadrados. Resolvemos esta operación multiplicamos 36 por 24 y eso lo dividimos entre 2 y nos da como resultado 432 cm. Y de esta manera hemos encontrado el valor del área del rombo. Ahora veamos cómo se determina el perímetro del rombo. Una de las propiedades que cumplen las diagonales de un rombo es que son perpendiculares entre sí. Ellas se cortan formando 4 ángulos de 90 grados, es decir 4 ángulos rectos. Basta con marcar uno de ellos. Y otra característica que cumplen las diagonales del rombo es que se bisecan mutuamente, es decir que se cortan en el punto medio de cada una de ellas. Por lo tanto si esta diagonal mayor mide 36 centímetros entonces cada uno de estos pedazos mide 18 centímetros. Vamos a marcar solamente uno de ellos. Ya sabemos que los dos miden lo mismo. Les podemos colocar esta marquita para indicar que son congruentes. Y la otra diagonal también queda dividida a la mitad. Entonces si mide 24 centímetros cada uno de estos pedacitos, vamos a marcarlos con 3 rayitas, mide 12 centímetros. Entonces tenemos 18 centímetros, 12 centímetros y tenemos aquí lo que se llama un triángulo rectángulo. Vamos a determinar el valor de la hipotenusa que viene siendo el lado del rombo. Conociendo este lado entonces podemos determinar fácilmente su perímetro, puesto que los lados del rombo son iguales. Vamos entonces a determinar el valor de L utilizando lo que se llama el teorema de Pitágoras. El teorema de Pitágoras nos dice que la hipotenusa al cuadrado, en este caso L al cuadrado, es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Entonces tenemos 12 al cuadrado más 18 al cuadrado. Ese es el planteamiento del teorema de Pitágoras válido únicamente para triángulos rectángulos. Entonces vamos a continuar por acá. Tenemos L al cuadrado es igual a 12 al cuadrado que nos da 144 más 18 al cuadrado que nos da 324. Vamos a continuar por acá donde L al cuadrado es igual a la suma de estos dos números, eso nos da 468. Y para despejar L entonces vamos a tomar la raíz cuadrada positiva de 468. Vamos entonces con la descomposición de este número. Vamos a realizarla por acá. 468 lo vamos a descomponer en factores primos. Tenemos mitad que sería 234. Mital nos da 117. Aquí podríamos sacar tercera. Tercera de 117 nos da 39. A 39 le podemos sacar tercera que nos da 13. Y 13 es número primo. Únicamente tiene 13aba y nos da 1. Por lo tanto tenemos que 468 es 2 al cuadrado. Lo escribimos por aquí. Por 3 al cuadrado. Y eso por 13. Todo esto dentro de la raíz cuadrada. De esta expresión podemos sacar el 2 y el 3 por estar elevados al cuadrado. Y también porque están multiplicando dentro de la raíz. Sabe entonces como 2 por 3 y queda dentro de la raíz el 13. Que no tiene la posibilidad de salir. Esto nos queda entonces 2 por 3 es 6 acompañado de raíz de 13. Se lee 6 raíz de 13. Y esto tendría unidades centímetros. Todo el tiempo estamos trabajando las dimensiones del rombo en centímetros. Con esto tenemos ya el valor del lado del rombo. Y podemos proceder a encontrar su perímetro. El perímetro de esta figura que lo podemos llamar P es igual a 4 veces L. Como decíamos los lados del rombo son iguales. Entonces encontramos fácilmente el perímetro multiplicando por 4 el valor de uno de sus lados. Entonces como ya conocemos el valor de L tenemos que es 4 por 6 raíz de 13. Y eso nos da como resultado un perímetro de 24 raíz cuadrada de 13. Y esto en centímetros. Multiplicamos los números externos. 4 por 6 es 24 y acompañamos de la raíz cuadrada de 13. Esto lo podríamos resolver en calculadora y nos da aproximadamente 86.53 centímetros. De esta manera respondemos a la otra pregunta del ejercicio. Es el perímetro del rombo. Y de esta manera terminamos.

[{"start": 0.0, "end": 11.0, "text": " Determinar el \u00e1rea y el per\u00edmetro de un rombo si sus diagonales miden 36 cm y 24 cm."}, {"start": 11.0, "end": 16.0, "text": " Comenzamos este problema realizando el dibujo de un rombo."}, {"start": 16.0, "end": 25.0, "text": " Recordemos que se define como rombo a todo cuadril\u00e1tero que tiene sus 4 lados iguales."}, {"start": 25.0, "end": 33.0, "text": " Entonces podemos colocar estas marquitas que nos indican que los lados tienen la misma longitud."}, {"start": 33.0, "end": 42.0, "text": " Trazamos con color rojo la diagonal mayor cuya medida es 36 cm."}, {"start": 42.0, "end": 47.0, "text": " La vamos a llamar con la letra D may\u00fascula."}, {"start": 47.0, "end": 52.0, "text": " Entonces D es igual a 36 cm."}, {"start": 52.0, "end": 57.0, "text": " Ahora con color azul trazamos la otra diagonal."}, {"start": 57.0, "end": 67.0, "text": " La llamamos D min\u00fascula y tiene un valor de 24 cm."}, {"start": 67.0, "end": 74.0, "text": " Conociendo las medidas de las diagonales del rombo podemos determinar su \u00e1rea."}, {"start": 74.0, "end": 86.0, "text": " La f\u00f3rmula para encontrar el \u00e1rea de un rombo dice lo siguiente es diagonal mayor por diagonal menor y todo eso dividido entre 2."}, {"start": 86.0, "end": 90.0, "text": " Vamos a reemplazar los datos que conocemos."}, {"start": 90.0, "end": 103.0, "text": " Diagonal mayor mide 36 cm por la diagonal menor que mide 24 cm y todo eso lo dividimos entre 2."}, {"start": 103.0, "end": 112.0, "text": " En este caso podemos omitir los cent\u00edmetros puesto que ambas medidas est\u00e1n en las mismas unidades de longitud."}, {"start": 112.0, "end": 117.0, "text": " Al final el \u00e1rea nos da en cent\u00edmetros cuadrados."}, {"start": 117.0, "end": 130.0, "text": " Resolvemos esta operaci\u00f3n multiplicamos 36 por 24 y eso lo dividimos entre 2 y nos da como resultado 432 cm."}, {"start": 130.0, "end": 138.0, "text": " Y de esta manera hemos encontrado el valor del \u00e1rea del rombo."}, {"start": 138.0, "end": 144.0, "text": " Ahora veamos c\u00f3mo se determina el per\u00edmetro del rombo."}, {"start": 144.0, "end": 152.0, "text": " Una de las propiedades que cumplen las diagonales de un rombo es que son perpendiculares entre s\u00ed."}, {"start": 152.0, "end": 163.0, "text": " Ellas se cortan formando 4 \u00e1ngulos de 90 grados, es decir 4 \u00e1ngulos rectos. Basta con marcar uno de ellos."}, {"start": 163.0, "end": 175.0, "text": " Y otra caracter\u00edstica que cumplen las diagonales del rombo es que se bisecan mutuamente, es decir que se cortan en el punto medio de cada una de ellas."}, {"start": 175.0, "end": 185.0, "text": " Por lo tanto si esta diagonal mayor mide 36 cent\u00edmetros entonces cada uno de estos pedazos mide 18 cent\u00edmetros."}, {"start": 185.0, "end": 191.0, "text": " Vamos a marcar solamente uno de ellos. Ya sabemos que los dos miden lo mismo."}, {"start": 191.0, "end": 197.0, "text": " Les podemos colocar esta marquita para indicar que son congruentes."}, {"start": 197.0, "end": 214.0, "text": " Y la otra diagonal tambi\u00e9n queda dividida a la mitad. Entonces si mide 24 cent\u00edmetros cada uno de estos pedacitos, vamos a marcarlos con 3 rayitas, mide 12 cent\u00edmetros."}, {"start": 214.0, "end": 222.0, "text": " Entonces tenemos 18 cent\u00edmetros, 12 cent\u00edmetros y tenemos aqu\u00ed lo que se llama un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo."}, {"start": 222.0, "end": 229.0, "text": " Vamos a determinar el valor de la hipotenusa que viene siendo el lado del rombo."}, {"start": 229.0, "end": 238.0, "text": " Conociendo este lado entonces podemos determinar f\u00e1cilmente su per\u00edmetro, puesto que los lados del rombo son iguales."}, {"start": 238.0, "end": 246.0, "text": " Vamos entonces a determinar el valor de L utilizando lo que se llama el teorema de Pit\u00e1goras."}, {"start": 246.0, "end": 259.0, "text": " El teorema de Pit\u00e1goras nos dice que la hipotenusa al cuadrado, en este caso L al cuadrado, es igual a la suma de los cuadrados de los catetos."}, {"start": 259.0, "end": 265.0, "text": " Entonces tenemos 12 al cuadrado m\u00e1s 18 al cuadrado."}, {"start": 265.0, "end": 274.0, "text": " Ese es el planteamiento del teorema de Pit\u00e1goras v\u00e1lido \u00fanicamente para tri\u00e1ngulos rect\u00e1ngulos."}, {"start": 274.0, "end": 289.0, "text": " Entonces vamos a continuar por ac\u00e1. Tenemos L al cuadrado es igual a 12 al cuadrado que nos da 144 m\u00e1s 18 al cuadrado que nos da 324."}, {"start": 289.0, "end": 299.0, "text": " Vamos a continuar por ac\u00e1 donde L al cuadrado es igual a la suma de estos dos n\u00fameros, eso nos da 468."}, {"start": 299.0, "end": 309.0, "text": " Y para despejar L entonces vamos a tomar la ra\u00edz cuadrada positiva de 468."}, {"start": 309.0, "end": 316.0, "text": " Vamos entonces con la descomposici\u00f3n de este n\u00famero. Vamos a realizarla por ac\u00e1."}, {"start": 316.0, "end": 331.0, "text": " 468 lo vamos a descomponer en factores primos. Tenemos mitad que ser\u00eda 234. Mital nos da 117."}, {"start": 331.0, "end": 344.0, "text": " Aqu\u00ed podr\u00edamos sacar tercera. Tercera de 117 nos da 39. A 39 le podemos sacar tercera que nos da 13."}, {"start": 344.0, "end": 358.0, "text": " Y 13 es n\u00famero primo. \u00danicamente tiene 13aba y nos da 1. Por lo tanto tenemos que 468 es 2 al cuadrado."}, {"start": 358.0, "end": 373.0, "text": " Lo escribimos por aqu\u00ed. Por 3 al cuadrado. Y eso por 13. Todo esto dentro de la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 373.0, "end": 380.0, "text": " De esta expresi\u00f3n podemos sacar el 2 y el 3 por estar elevados al cuadrado."}, {"start": 380.0, "end": 390.0, "text": " Y tambi\u00e9n porque est\u00e1n multiplicando dentro de la ra\u00edz. Sabe entonces como 2 por 3 y queda dentro de la ra\u00edz el 13."}, {"start": 390.0, "end": 400.0, "text": " Que no tiene la posibilidad de salir. Esto nos queda entonces 2 por 3 es 6 acompa\u00f1ado de ra\u00edz de 13."}, {"start": 400.0, "end": 412.0, "text": " Se lee 6 ra\u00edz de 13. Y esto tendr\u00eda unidades cent\u00edmetros. Todo el tiempo estamos trabajando las dimensiones del rombo en cent\u00edmetros."}, {"start": 412.0, "end": 420.0, "text": " Con esto tenemos ya el valor del lado del rombo. Y podemos proceder a encontrar su per\u00edmetro."}, {"start": 420.0, "end": 431.0, "text": " El per\u00edmetro de esta figura que lo podemos llamar P es igual a 4 veces L. Como dec\u00edamos los lados del rombo son iguales."}, {"start": 431.0, "end": 439.0, "text": " Entonces encontramos f\u00e1cilmente el per\u00edmetro multiplicando por 4 el valor de uno de sus lados."}, {"start": 439.0, "end": 457.0, "text": " Entonces como ya conocemos el valor de L tenemos que es 4 por 6 ra\u00edz de 13. Y eso nos da como resultado un per\u00edmetro de 24 ra\u00edz cuadrada de 13."}, {"start": 457.0, "end": 469.0, "text": " Y esto en cent\u00edmetros. Multiplicamos los n\u00fameros externos. 4 por 6 es 24 y acompa\u00f1amos de la ra\u00edz cuadrada de 13."}, {"start": 469.0, "end": 480.0, "text": " Esto lo podr\u00edamos resolver en calculadora y nos da aproximadamente 86.53 cent\u00edmetros."}, {"start": 480.0, "end": 492.0, "text": " De esta manera respondemos a la otra pregunta del ejercicio. Es el per\u00edmetro del rombo. Y de esta manera terminamos."}]

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SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 3×3 POR MÉTODO DE CRAMER

#julioprofe explica cómo resolver un sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas por el Método de Cramer. Tema: #SistemasDeEcuaciones → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEFAYT8s7eBiUPuANxiqi_l REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver este sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas utilizando el método de los determinantes también conocido como regla de Kramer. Para comenzar debemos asegurarnos que las ecuaciones estén escritas de esta manera, tal como lo tenemos en este caso. Entonces, primer requisito para utilizar la regla de Kramer en el caso de un sistema de tres por tres es tener las ecuaciones escritas de esta manera. Las incógnitas son X, Y y Z. Iniciamos calculando lo que se llama el determinante del sistema que se puede representar con este triángulo y la letra S. Esta es la letra griega delta, entonces representa el determinante del sistema. Se forma con los coeficientes de las incógnitas X, Y y Z en las tres ecuaciones. Entonces, en la primera ecuación tenemos los coeficientes uno, menos tres, dos. En la segunda ecuación tenemos cinco, seis, menos uno. Y en la tercera ecuación tenemos cuatro, menos uno y tres. Trazamos entonces estas líneas verticales que indican que se trata de un determinante. Y si queremos podemos colocar aquí los encabezados que corresponden a las incógnitas X, Y y Z en las tres ecuaciones. Para resolver este determinante de tres por tres utilizamos lo que se llama la regla de Sarrus, que consiste en repetir las dos primeras filas debajo de la tercera fila o las dos primeras columnas a la derecha de la tercera columna. Vamos a resolver este primer determinante repitiendo las dos primeras filas acá debajo de la tercera. Entonces escribimos por aquí uno, menos tres, dos. Allí repetimos la primera fila y luego cinco, seis y menos uno. Repitiendo entonces la segunda fila. Estas líneas verticales las podemos prolongar hacia abajo mostrando cómo se ha expandido el determinante en dirección vertical. Y a continuación procedemos con la multiplicación de los elementos de las diagonales principales. Veamos entonces. Tenemos uno por seis por tres es dieciocho. Cinco por menos uno por dos nos da menos diez. Cuatro por menos tres por menos uno nos da más doce. Esto lo protegemos porque corresponde a las diagonales principales. Ahora vamos a restar lo que resulta de operar los elementos de las diagonales secundarias. Veamos entonces. Son estas que vamos a marcar con el color azul. Entonces tenemos dos por seis por cuatro eso nos da cuarenta y ocho. Menos uno por menos uno por uno nos da más uno. Y tres por menos tres por cinco nos da menos cuarenta y cinco. Entonces resolvemos estas operaciones. Esto nos da veinte. Esto de aquí nos da cuatro. Finalmente nos queda veinte menos cuatro quitando los paréntesis y esto es igual a dieciséis. Entonces tenemos que el determinante del sistema es igual a dieciséis. Lo vamos a escribir por aquí. Continuamos ahora con el determinante de la incógnita X. Para ello vamos a escribir los siguientes encabezados. En la columna que era de la X ahora van los términos independientes. O sea estos números que están después del signo igual en cada ecuación. La columna de la incógnita Y y la de Z van a permanecer tal como venían en el determinante del sistema. Sin presentar ningún cambio. Entonces repetimos la columna que corresponde a la X ahora es ocupada por estos términos independientes que están después del signo igual. Tenemos entonces por aquí menos tres, trece y ocho. Los resultados de las tres ecuaciones. Vamos ahora con los coeficientes de la letra Y que son menos tres, seis y menos uno. Y los de la letra Z que son dos, menos uno y tres. Trazamos las líneas verticales. Y en esta ocasión vamos a resolver este determinante de tres por tres utilizando la regla de Sarrus. Pero ahora repitiendo las dos primeras columnas a la derecha de la tercera columna. Entonces podemos quitar esta línea y escribir entonces la primera columna, menos tres, trece y ocho. Y repetimos la segunda columna. Allí la tenemos. Cerramos por aquí el determinante que se ha expandido, en este caso hacia la derecha. Vamos ahora con las diagonales principales. Las señalamos con este color rojo. Entonces tendremos que el determinante de X es igual a lo siguiente. Menos tres por seis por tres. Eso nos da menos cincuenta y cuatro. Menos tres por menos uno por ocho nos da más veinticuatro. Dos por trece por menos uno nos da menos veintiséis. Cerramos el paréntesis y vamos ahora con las diagonales secundarias. Vamos a marcarlas con este color azul. Aquí está la primera, la segunda y la tercera. Veamos entonces. Tenemos dos por seis por ocho. Eso nos da noventa y seis. Menos tres por menos uno por menos uno. Eso nos da menos tres. Y menos tres por trece por tres nos da menos ciento diecisiete. Cerramos el paréntesis. Vamos a seguir por aquí. Resolvemos esta serie de operaciones. Y eso nos da menos cincuenta y seis. Resolvemos estas de aquí y nos da menos veinticuatro. Quitamos los paréntesis. Nos da menos cincuenta y seis más veinticuatro. Y esta operación nos da como resultado menos treinta y dos. Entonces por acá vamos a escribir el determinante de la incógnita X. Vale menos treinta y dos. Continuamos ahora con el determinante de la incógnita Y. Entonces veamos los encabezados. En la columna de X tendremos los coeficientes de X. Ahora en la columna de Y tendremos los términos independientes. O sea los resultados de las ecuaciones. Y en la columna de Z tendremos los coeficientes de la incógnita Z. Veamos entonces. Para la primera columna van los coeficientes de X que son uno, cinco y cuatro. Segunda columna estos números. Menos tres, trece, ocho. Y en la tercera columna van los coeficientes de Z que son dos, menos uno y tres. Trazamos las líneas verticales que delimitan este determinante de tres por tres. Y lo vamos a resolver utilizando la regla de Sarrus repitiendo nuevamente las dos primeras filas debajo de la tercera fila. Tenemos uno, menos tres, dos y cinco, trece y menos uno. Extendemos estas líneas verticales y de esa manera hemos extendido el determinante hacia abajo. Vamos ahora con la operación de las diagonales principales. Nos queda entonces. Uno por trece por tres da treinta y nueve. Cinco por ocho por dos da más ochenta. Cuatro por menos tres por menos uno nos da más doce. Encerramos el paréntesis y vamos ahora con las diagonales secundarias. Tenemos entonces. Dos por trece por cuatro, eso nos da ciento cuatro. Menos uno por ocho por uno nos da menos ocho y tres por menos tres por cinco nos da menos cuarenta y cinco. Resolviendo estas operaciones tenemos ciento treinta y uno. Y resolviendo esto de aquí nos da cincuenta y uno. Encerramos los paréntesis, tenemos ciento treinta y uno, menos cincuenta y uno y eso da como resultado ochenta. Entonces escribimos por aquí el determinante de y cuyo valor es ochenta. Por último vamos a encontrar el determinante de la incógnita z. Veamos cómo quedan los encabezados. La columna de las x sigue intacta. Lo mismo la columna de los valores de y. Pero ahora la columna de la letra z es ocupada por los términos independientes. O sea los resultados en cada una de las ecuaciones. Veamos entonces los valores de x. Uno, cinco, cuatro. Primera columna. Los valores de y menos tres, seis, menos uno. Segunda columna. Y la tercera columna los números que tenemos después del signo igual en cada ecuación. Vamos a resolver este determinante de tres por tres utilizando la regla de Sarrus. Repitiendo en esta ocasión las dos primeras columnas a la derecha de la tercera columna. Tenemos entonces por aquí uno, cinco, cuatro. Repetimos la primera columna y luego menos tres, seis y menos uno repitiendo la segunda columna. Cerramos por aquí el determinante. Vamos entonces con las diagonales principales. Entonces tenemos determinante de z es igual a uno por seis por ocho nos da cuarenta y ocho. Menos tres por trece por cuatro eso nos da menos ciento cincuenta y seis. Menos tres por cinco por menos uno nos da más quince y cerramos el paréntesis. Menos los resultados de operar los elementos de las diagonales secundarias. Entonces veamos. Tenemos menos tres por seis por cuatro eso nos da menos setenta y dos. Uno por trece por menos uno nos da menos trece y menos tres por cinco por ocho nos da menos ciento veinte. Continuamos por acá. Determinante de z es igual a esta operación nos da menos noventa y tres. Y esta que tenemos por aquí nos da menos doscientos cinco. Quitamos los paréntesis. Nos queda menos noventa y tres más doscientos cinco. Y esa operación da como resultado ciento doce positivo. Entonces escribimos por aquí el determinante de la incógnita z cuyo valor es ciento doce. Habiendo encontrado estos determinantes el del sistema y el de cada una de las incógnitas que tenemos en este ejercicio. Entramos a la fase final que es encontrar los valores de dichas incógnitas. Veamos por ejemplo cómo se obtiene x. Para ello tomamos el determinante de x y lo vamos a dividir entre el determinante del sistema. Entonces tenemos menos treinta y dos dividido entre dieciséis. Y eso nos da como resultado menos dos. Encontramos entonces el valor de x. Vamos con la incógnita y. Tomamos el determinante de y y lo dividimos entre el determinante del sistema. Entonces tenemos ochenta. Dividido entre dieciséis y eso nos da como resultado cinco. Vamos ahora con z. Tomamos entonces el determinante de z. Dividido entre el determinante del sistema. O sea que tenemos ciento doce dividido entre dieciséis. Y eso nos da como resultado siete. De esta manera podemos dar la respuesta a este sistema de ecuaciones de tres por tres. Tenemos entonces que x vale menos dos. Y vale cinco. Y z vale siete. Esto es lo que se llama solución única. Esta terna de valores es la que satisface las tres ecuaciones.

[{"start": 0.0, "end": 14.0, "text": " Vamos a resolver este sistema de tres ecuaciones con tres inc\u00f3gnitas utilizando el m\u00e9todo de los determinantes tambi\u00e9n conocido como regla de Kramer."}, {"start": 14.0, "end": 28.0, "text": " Para comenzar debemos asegurarnos que las ecuaciones est\u00e9n escritas de esta manera, tal como lo tenemos en este caso."}, {"start": 28.0, "end": 41.0, "text": " Entonces, primer requisito para utilizar la regla de Kramer en el caso de un sistema de tres por tres es tener las ecuaciones escritas de esta manera."}, {"start": 41.0, "end": 46.0, "text": " Las inc\u00f3gnitas son X, Y y Z."}, {"start": 46.0, "end": 58.0, "text": " Iniciamos calculando lo que se llama el determinante del sistema que se puede representar con este tri\u00e1ngulo y la letra S."}, {"start": 58.0, "end": 65.0, "text": " Esta es la letra griega delta, entonces representa el determinante del sistema."}, {"start": 65.0, "end": 74.0, "text": " Se forma con los coeficientes de las inc\u00f3gnitas X, Y y Z en las tres ecuaciones."}, {"start": 74.0, "end": 83.0, "text": " Entonces, en la primera ecuaci\u00f3n tenemos los coeficientes uno, menos tres, dos."}, {"start": 83.0, "end": 91.0, "text": " En la segunda ecuaci\u00f3n tenemos cinco, seis, menos uno."}, {"start": 91.0, "end": 99.0, "text": " Y en la tercera ecuaci\u00f3n tenemos cuatro, menos uno y tres."}, {"start": 99.0, "end": 109.0, "text": " Trazamos entonces estas l\u00edneas verticales que indican que se trata de un determinante."}, {"start": 109.0, "end": 122.0, "text": " Y si queremos podemos colocar aqu\u00ed los encabezados que corresponden a las inc\u00f3gnitas X, Y y Z en las tres ecuaciones."}, {"start": 122.0, "end": 130.0, "text": " Para resolver este determinante de tres por tres utilizamos lo que se llama la regla de Sarrus,"}, {"start": 130.0, "end": 143.0, "text": " que consiste en repetir las dos primeras filas debajo de la tercera fila o las dos primeras columnas a la derecha de la tercera columna."}, {"start": 143.0, "end": 151.0, "text": " Vamos a resolver este primer determinante repitiendo las dos primeras filas ac\u00e1 debajo de la tercera."}, {"start": 151.0, "end": 163.0, "text": " Entonces escribimos por aqu\u00ed uno, menos tres, dos. All\u00ed repetimos la primera fila y luego cinco, seis y menos uno."}, {"start": 163.0, "end": 166.0, "text": " Repitiendo entonces la segunda fila."}, {"start": 166.0, "end": 183.0, "text": " Estas l\u00edneas verticales las podemos prolongar hacia abajo mostrando c\u00f3mo se ha expandido el determinante en direcci\u00f3n vertical."}, {"start": 183.0, "end": 194.0, "text": " Y a continuaci\u00f3n procedemos con la multiplicaci\u00f3n de los elementos de las diagonales principales."}, {"start": 194.0, "end": 207.0, "text": " Veamos entonces. Tenemos uno por seis por tres es dieciocho. Cinco por menos uno por dos nos da menos diez."}, {"start": 207.0, "end": 220.0, "text": " Cuatro por menos tres por menos uno nos da m\u00e1s doce. Esto lo protegemos porque corresponde a las diagonales principales."}, {"start": 220.0, "end": 229.0, "text": " Ahora vamos a restar lo que resulta de operar los elementos de las diagonales secundarias."}, {"start": 229.0, "end": 239.0, "text": " Veamos entonces. Son estas que vamos a marcar con el color azul."}, {"start": 239.0, "end": 252.0, "text": " Entonces tenemos dos por seis por cuatro eso nos da cuarenta y ocho. Menos uno por menos uno por uno nos da m\u00e1s uno."}, {"start": 252.0, "end": 259.0, "text": " Y tres por menos tres por cinco nos da menos cuarenta y cinco."}, {"start": 259.0, "end": 271.0, "text": " Entonces resolvemos estas operaciones. Esto nos da veinte. Esto de aqu\u00ed nos da cuatro."}, {"start": 271.0, "end": 279.0, "text": " Finalmente nos queda veinte menos cuatro quitando los par\u00e9ntesis y esto es igual a diecis\u00e9is."}, {"start": 279.0, "end": 288.0, "text": " Entonces tenemos que el determinante del sistema es igual a diecis\u00e9is. Lo vamos a escribir por aqu\u00ed."}, {"start": 288.0, "end": 295.0, "text": " Continuamos ahora con el determinante de la inc\u00f3gnita X."}, {"start": 295.0, "end": 300.0, "text": " Para ello vamos a escribir los siguientes encabezados."}, {"start": 300.0, "end": 307.0, "text": " En la columna que era de la X ahora van los t\u00e9rminos independientes."}, {"start": 307.0, "end": 314.0, "text": " O sea estos n\u00fameros que est\u00e1n despu\u00e9s del signo igual en cada ecuaci\u00f3n."}, {"start": 314.0, "end": 325.0, "text": " La columna de la inc\u00f3gnita Y y la de Z van a permanecer tal como ven\u00edan en el determinante del sistema."}, {"start": 325.0, "end": 327.0, "text": " Sin presentar ning\u00fan cambio."}, {"start": 327.0, "end": 337.0, "text": " Entonces repetimos la columna que corresponde a la X ahora es ocupada por estos t\u00e9rminos independientes que est\u00e1n despu\u00e9s del signo igual."}, {"start": 337.0, "end": 348.0, "text": " Tenemos entonces por aqu\u00ed menos tres, trece y ocho. Los resultados de las tres ecuaciones."}, {"start": 348.0, "end": 358.0, "text": " Vamos ahora con los coeficientes de la letra Y que son menos tres, seis y menos uno."}, {"start": 358.0, "end": 367.0, "text": " Y los de la letra Z que son dos, menos uno y tres."}, {"start": 367.0, "end": 372.0, "text": " Trazamos las l\u00edneas verticales."}, {"start": 372.0, "end": 383.0, "text": " Y en esta ocasi\u00f3n vamos a resolver este determinante de tres por tres utilizando la regla de Sarrus."}, {"start": 383.0, "end": 391.0, "text": " Pero ahora repitiendo las dos primeras columnas a la derecha de la tercera columna."}, {"start": 391.0, "end": 402.0, "text": " Entonces podemos quitar esta l\u00ednea y escribir entonces la primera columna, menos tres, trece y ocho."}, {"start": 402.0, "end": 407.0, "text": " Y repetimos la segunda columna."}, {"start": 407.0, "end": 419.0, "text": " All\u00ed la tenemos. Cerramos por aqu\u00ed el determinante que se ha expandido, en este caso hacia la derecha."}, {"start": 419.0, "end": 428.0, "text": " Vamos ahora con las diagonales principales. Las se\u00f1alamos con este color rojo."}, {"start": 428.0, "end": 437.0, "text": " Entonces tendremos que el determinante de X es igual a lo siguiente. Menos tres por seis por tres."}, {"start": 437.0, "end": 446.0, "text": " Eso nos da menos cincuenta y cuatro. Menos tres por menos uno por ocho nos da m\u00e1s veinticuatro."}, {"start": 446.0, "end": 451.0, "text": " Dos por trece por menos uno nos da menos veintis\u00e9is."}, {"start": 451.0, "end": 457.0, "text": " Cerramos el par\u00e9ntesis y vamos ahora con las diagonales secundarias."}, {"start": 457.0, "end": 469.0, "text": " Vamos a marcarlas con este color azul. Aqu\u00ed est\u00e1 la primera, la segunda y la tercera."}, {"start": 469.0, "end": 476.0, "text": " Veamos entonces. Tenemos dos por seis por ocho. Eso nos da noventa y seis."}, {"start": 476.0, "end": 489.0, "text": " Menos tres por menos uno por menos uno. Eso nos da menos tres. Y menos tres por trece por tres nos da menos ciento diecisiete."}, {"start": 489.0, "end": 498.0, "text": " Cerramos el par\u00e9ntesis. Vamos a seguir por aqu\u00ed. Resolvemos esta serie de operaciones."}, {"start": 498.0, "end": 508.0, "text": " Y eso nos da menos cincuenta y seis. Resolvemos estas de aqu\u00ed y nos da menos veinticuatro."}, {"start": 508.0, "end": 515.0, "text": " Quitamos los par\u00e9ntesis. Nos da menos cincuenta y seis m\u00e1s veinticuatro."}, {"start": 515.0, "end": 520.0, "text": " Y esta operaci\u00f3n nos da como resultado menos treinta y dos."}, {"start": 520.0, "end": 529.0, "text": " Entonces por ac\u00e1 vamos a escribir el determinante de la inc\u00f3gnita X. Vale menos treinta y dos."}, {"start": 529.0, "end": 534.0, "text": " Continuamos ahora con el determinante de la inc\u00f3gnita Y."}, {"start": 534.0, "end": 542.0, "text": " Entonces veamos los encabezados. En la columna de X tendremos los coeficientes de X."}, {"start": 542.0, "end": 551.0, "text": " Ahora en la columna de Y tendremos los t\u00e9rminos independientes. O sea los resultados de las ecuaciones."}, {"start": 551.0, "end": 557.0, "text": " Y en la columna de Z tendremos los coeficientes de la inc\u00f3gnita Z."}, {"start": 557.0, "end": 568.0, "text": " Veamos entonces. Para la primera columna van los coeficientes de X que son uno, cinco y cuatro."}, {"start": 568.0, "end": 576.0, "text": " Segunda columna estos n\u00fameros. Menos tres, trece, ocho."}, {"start": 576.0, "end": 587.0, "text": " Y en la tercera columna van los coeficientes de Z que son dos, menos uno y tres."}, {"start": 587.0, "end": 595.0, "text": " Trazamos las l\u00edneas verticales que delimitan este determinante de tres por tres."}, {"start": 595.0, "end": 607.0, "text": " Y lo vamos a resolver utilizando la regla de Sarrus repitiendo nuevamente las dos primeras filas debajo de la tercera fila."}, {"start": 607.0, "end": 618.0, "text": " Tenemos uno, menos tres, dos y cinco, trece y menos uno."}, {"start": 618.0, "end": 631.0, "text": " Extendemos estas l\u00edneas verticales y de esa manera hemos extendido el determinante hacia abajo."}, {"start": 631.0, "end": 644.0, "text": " Vamos ahora con la operaci\u00f3n de las diagonales principales."}, {"start": 644.0, "end": 652.0, "text": " Nos queda entonces. Uno por trece por tres da treinta y nueve."}, {"start": 652.0, "end": 657.0, "text": " Cinco por ocho por dos da m\u00e1s ochenta."}, {"start": 657.0, "end": 663.0, "text": " Cuatro por menos tres por menos uno nos da m\u00e1s doce."}, {"start": 663.0, "end": 677.0, "text": " Encerramos el par\u00e9ntesis y vamos ahora con las diagonales secundarias."}, {"start": 677.0, "end": 685.0, "text": " Tenemos entonces. Dos por trece por cuatro, eso nos da ciento cuatro."}, {"start": 685.0, "end": 696.0, "text": " Menos uno por ocho por uno nos da menos ocho y tres por menos tres por cinco nos da menos cuarenta y cinco."}, {"start": 696.0, "end": 703.0, "text": " Resolviendo estas operaciones tenemos ciento treinta y uno."}, {"start": 703.0, "end": 708.0, "text": " Y resolviendo esto de aqu\u00ed nos da cincuenta y uno."}, {"start": 708.0, "end": 717.0, "text": " Encerramos los par\u00e9ntesis, tenemos ciento treinta y uno, menos cincuenta y uno y eso da como resultado ochenta."}, {"start": 717.0, "end": 724.0, "text": " Entonces escribimos por aqu\u00ed el determinante de y cuyo valor es ochenta."}, {"start": 724.0, "end": 731.0, "text": " Por \u00faltimo vamos a encontrar el determinante de la inc\u00f3gnita z."}, {"start": 731.0, "end": 734.0, "text": " Veamos c\u00f3mo quedan los encabezados."}, {"start": 734.0, "end": 739.0, "text": " La columna de las x sigue intacta."}, {"start": 739.0, "end": 742.0, "text": " Lo mismo la columna de los valores de y."}, {"start": 742.0, "end": 748.0, "text": " Pero ahora la columna de la letra z es ocupada por los t\u00e9rminos independientes."}, {"start": 748.0, "end": 752.0, "text": " O sea los resultados en cada una de las ecuaciones."}, {"start": 752.0, "end": 754.0, "text": " Veamos entonces los valores de x."}, {"start": 754.0, "end": 757.0, "text": " Uno, cinco, cuatro."}, {"start": 757.0, "end": 759.0, "text": " Primera columna."}, {"start": 759.0, "end": 764.0, "text": " Los valores de y menos tres, seis, menos uno."}, {"start": 764.0, "end": 768.0, "text": " Segunda columna."}, {"start": 768.0, "end": 779.0, "text": " Y la tercera columna los n\u00fameros que tenemos despu\u00e9s del signo igual en cada ecuaci\u00f3n."}, {"start": 779.0, "end": 786.0, "text": " Vamos a resolver este determinante de tres por tres utilizando la regla de Sarrus."}, {"start": 786.0, "end": 793.0, "text": " Repitiendo en esta ocasi\u00f3n las dos primeras columnas a la derecha de la tercera columna."}, {"start": 793.0, "end": 798.0, "text": " Tenemos entonces por aqu\u00ed uno, cinco, cuatro."}, {"start": 798.0, "end": 808.0, "text": " Repetimos la primera columna y luego menos tres, seis y menos uno repitiendo la segunda columna."}, {"start": 808.0, "end": 814.0, "text": " Cerramos por aqu\u00ed el determinante."}, {"start": 814.0, "end": 823.0, "text": " Vamos entonces con las diagonales principales."}, {"start": 823.0, "end": 832.0, "text": " Entonces tenemos determinante de z es igual a uno por seis por ocho nos da cuarenta y ocho."}, {"start": 832.0, "end": 839.0, "text": " Menos tres por trece por cuatro eso nos da menos ciento cincuenta y seis."}, {"start": 839.0, "end": 847.0, "text": " Menos tres por cinco por menos uno nos da m\u00e1s quince y cerramos el par\u00e9ntesis."}, {"start": 847.0, "end": 860.0, "text": " Menos los resultados de operar los elementos de las diagonales secundarias."}, {"start": 860.0, "end": 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cuyo valor es ciento doce."}, {"start": 918.0, "end": 929.0, "text": " Habiendo encontrado estos determinantes el del sistema y el de cada una de las inc\u00f3gnitas que tenemos en este ejercicio."}, {"start": 929.0, "end": 935.0, "text": " Entramos a la fase final que es encontrar los valores de dichas inc\u00f3gnitas."}, {"start": 935.0, "end": 938.0, "text": " Veamos por ejemplo c\u00f3mo se obtiene x."}, {"start": 938.0, "end": 946.0, "text": " Para ello tomamos el determinante de x y lo vamos a dividir entre el determinante del sistema."}, {"start": 946.0, "end": 954.0, "text": " Entonces tenemos menos treinta y dos dividido entre diecis\u00e9is."}, {"start": 954.0, "end": 958.0, "text": " Y eso nos da como resultado menos dos."}, {"start": 958.0, "end": 961.0, "text": " Encontramos entonces el valor de x."}, {"start": 961.0, "end": 964.0, "text": " Vamos con la inc\u00f3gnita y."}, {"start": 964.0, "end": 974.0, "text": " Tomamos el determinante de y y lo dividimos entre el determinante del sistema."}, {"start": 974.0, "end": 977.0, "text": " Entonces tenemos ochenta."}, {"start": 977.0, "end": 983.0, "text": " Dividido entre diecis\u00e9is y eso nos da como resultado cinco."}, {"start": 983.0, "end": 987.0, "text": " Vamos ahora con z."}, {"start": 987.0, "end": 993.0, "text": " Tomamos entonces el determinante de z."}, {"start": 993.0, "end": 997.0, "text": " Dividido entre el determinante del sistema."}, {"start": 997.0, "end": 1004.0, "text": " O sea que tenemos ciento doce dividido entre diecis\u00e9is."}, {"start": 1004.0, "end": 1008.0, "text": " Y eso nos da como resultado siete."}, {"start": 1008.0, "end": 1019.0, "text": " De esta manera podemos dar la respuesta a este sistema de ecuaciones de tres por tres."}, {"start": 1019.0, "end": 1022.0, "text": " Tenemos entonces que x vale menos dos."}, {"start": 1022.0, "end": 1028.0, "text": " Y vale cinco. 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CLAVES PARA PLANTEAR PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS

#julioprofe expone algunas claves para plantear problemas matemáticos. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Estimados estudiantes, reciban un saludo cordial. En esta ocasión me quiero dirigir a ustedes para darles algunas claves que les van a servir en lo que tiene que ver con planteamiento de problemas matemáticos. Nos encanta que aparezcan ejercicios para resolver en los exámenes, pero no nos gusta si aparecen los problemas. Es una tendencia general que siempre se ha presentado y es hora de empezar a derrumbar ese mito o ese temor que existe alrededor de los problemas matemáticos. Simplemente tenemos que manejar una muy buena comprensión de lectura, leer varias veces el problema si es necesario y tener en cuenta las claves que les voy a dar a continuación. Antes de iniciar quiero agradecer a todas las personas que han dejado sus amables comentarios en los dos vídeos anteriores donde he tenido oportunidad de dirigirme a ustedes los estudiantes. De verdad que esas palabras se convierten en una gran motivación para que yo continúe con esta labor académica. Bueno, vamos entonces a comenzar como decía con las claves para resolver problemas. Si nos aparecen enunciados como estos, entonces hacemos lo siguiente. La suma de A y B es A más B. La diferencia entre P y Q es P menos Q. Recordemos que la palabra diferencia es sinónimo de resta. El producto de M y N lo representamos como M por N o simplemente MN. Recordemos que producto es sinónimo de multiplicación y el cociente entre H y K lo podemos escribir de dos formas. Así, H dividido entre K o también H sobre K. Recordemos que cociente es sinónimo de división. Si nos aparece dos tercios de X, eso se escribe como dos tercios por X. La palabra T se convierte en el símbolo de la multiplicación. También esto es igual a dos X tercios. Recordemos que esta X tiene denominador uno y se multiplican numeradores entre sí y denominadores entre sí, quedando como dos X tercios. Eso representa esa expresión, dos tercios de X. Veamos ahora cuatro quintos de la suma de F y G. Sería entonces cuatro quintos por la suma de esas dos letras que las vamos a proteger con paréntesis. Así se representa entonces este enunciado. Vamos ahora con un número aumentado en 10. Cuando en los problemas matemáticos nos hablan de un número que desconocemos, es allí cuando utilizamos cualquier letra del abecedario. Entonces podemos decir que se trata de X aumentado o incrementado en 10. También podemos encontrar aquí la palabra incrementado. Entonces se le suma 10. Ahora un número disminuido en 4. Como no conocemos el número, utilizamos otra letra del abecedario, por ejemplo la letra Y y si dice disminuido en 4, quiere decir que se le resta 4. Si tenemos el doble de C, entonces es dos por C o simplemente dos C. También podemos encontrar aquí la palabra duplo. Entonces simplemente es multiplicar por dos a la cantidad que nos dan. Veamos el triple de R. Sería tres por R o simplemente tres R. La mitad de N se representa como N dividido entre dos o también N medios. Vamos con la tercera parte de J. Sería J sobre tres, o sea J dividido entre tres. Y la cuarta parte de L sería L sobre cuatro o también L dividido entre cuatro. Si tenemos el cuádruplo de la suma de M y P, entonces es cuatro por entre paréntesis M más P. O sea, cuatro veces la suma de esas dos cantidades que deben protegerse con paréntesis. Si tenemos la octava parte de la diferencia de A y C, entonces tenemos A menos C, o sea la diferencia entre estas dos cantidades y como nos dice en la octava parte de esto, entonces lo dividimos entre ocho. Si tenemos el cuadrado de X es X elevado al exponente dos. Es lo que se conoce como X al cuadrado. Y si tenemos el cubo de H es H elevada al exponente tres. Es lo que se conoce como H al cubo. En los problemas matemáticos la palabra equivale o es o la palabra será o también tiene corresponde al símbolo igual. Veamos algunos ejemplos. Si tenemos este enunciado que dice el doble de un número incrementado en seis equivale a la quinta parte del número disminuida en siete, entonces podemos utilizar cualquier letra para representar al número del cual nos están hablando. Utilicemos por ejemplo la letra X. Entonces aquí el doble de un número se representa como 2X o sea 2 por X incrementado en seis. Entonces más seis. E equivale. Entonces la palabra equivale se convierte en el símbolo igual. A la quinta parte del número, o sea X sobre 5, allí está la quinta parte de X y eso disminuido en siete. Entonces menos siete. Allí tenemos la traducción de esta expresión que está en texto a lo que es el lenguaje matemático. Un lenguaje netamente simbólico y que nos permite coger esta ecuación y entrar a resolverla. Veamos este otro enunciado. Dice que Carlos es diez años menor que Pablo. Podemos utilizar la letra C para representar la edad de Carlos y la letra P para representar la edad de Pablo. Tenemos entonces que C, la edad de Carlos es, allí es cuando esa palabra se convierte en el símbolo igual a la edad de Pablo menos diez años. Porque como dice el enunciado, Carlos es diez años menor que Pablo. O sea la edad que tiene Pablo menos diez años nos da la edad de Carlos. Miremos este otro enunciado. Dentro de siete años la edad de Ana será la mitad de la edad de Beatriz. En este tipo de problemas podemos utilizar la letra A, o sea la inicial de Ana, y la letra B, o sea la inicial de Beatriz, para plantear la expresión. En este caso A y B representan las edades actuales, o sea que dentro de siete años tenemos que sumarle a cada una de ellas el número siete. Tendremos entonces que A más siete representa la edad futura de Ana, es decir, la edad actual más siete años. Y B más siete representa la edad futura de Beatriz, o sea la edad que tiene hoy más siete años. Y dice entonces el enunciado que dentro de siete años la edad de Ana será, entonces es allí cuando aparece el símbolo igual a la mitad de la edad de Beatriz, o sea lo que tiene Beatriz dentro de siete años dividido entre dos. Allí está la mitad de la edad futura de Beatriz. Miremos más enunciados. Un número de dos cifras se puede representar como 10x más y. En este caso, y es la cifra o dígito de las unidades y x es la cifra o dígito de las decenas. Por esa razón va acompañado del 10. Si tenemos la suma de los dígitos de un número de dos cifras, entonces simplemente escribimos x más y porque como dice el enunciado se refiere únicamente a las cifras, o sea los dígitos. Si tenemos un número de tres cifras lo podemos escribir por ejemplo como 100a más 10b más c. En este caso c representa la cifra o dígito de las unidades de la cifra o dígito de las decenas y a la cifra o dígito de las centenas. Por eso estos números que acompañan a cada uno de los dígitos para que tengan su respectivo valor que corresponde a las unidades, a las decenas y a las centenas. Si tenemos la suma de los dígitos de un número de tres cifras, por ejemplo si hablamos de este número entonces simplemente tendremos a más b más c porque nuevamente se refiere solamente a las cifras. Miremos estos enunciados a es 15 unidades mayor que b, entonces escribimos a y escribimos b, pero nos dice que a es mayor que b, por lo tanto al menor le podemos ayudar con 15 para que se establezca la igualdad. Originalmente hay un desbalance, a es más grande que b, pero al ayudarle a la cantidad menor entonces logramos el equilibrio entre ambas partes. Tenemos c es siete unidades menor que d, entonces decimos que c es igual a d menos 7, entonces con esto vemos que c es siete unidades más pequeño que lo que es d, a d se le resta 7 y alcanza al valor c. Tenemos que t es 8 menos que r, esto es t igual a r menos 8, muy parecida a la anterior, para que se establezca la igualdad a la cantidad mayor, en este caso se le tiene que restar 8 para que alcance a la menor y m excede a n en 14, entonces quiere decir que m es más grande que n, entonces inicialmente hay un desbalance porque esto es más grande que esto, entonces a la cantidad menor se le ayuda con 14 para que se establezca la igualdad. También se podría hacer de otra manera, a la cantidad mayor restarle 14 y de esa manera se nivela con la cantidad menor, son dos formas de plantear este tipo de enunciado. Ahora miremos esto que suele aparecer en problemas de tipo matemático, el consecutivo de u se representa como u más 1, o sea el número que le sigue a u, hablamos de números enteros, aquí si lo dice explícitamente, tres números enteros consecutivos se pueden representar como x, x más 1 y x más 2, allí tenemos x el número menor, x más 1 sería el número mediano, o sea el que le sigue a x y x más 2 el número mayor, o sea el que le sigue a x más 1, proviene de hacer x más 1 más 1, por eso nos da x más 2, cuando tenemos números enteros pares consecutivos o impares consecutivos el planteamiento es el mismo, hablamos de x, x más 2 y x más 4, sencillamente porque cuando se trata de números pares o impares los incrementos son de 2 en 2, en cambio cuando nos hablan solamente de números consecutivos los incrementos son de 1 en 1, entonces aquí tenemos x el número menor, x más 2 el número mediano y x más 4 el número mayor, cuando son pares o impares consecutivos. Miremos ahora este tipo de enunciados, el opuesto o inverso aditivo de x se representa como menos x, en cambio el recíproco o inverso multiplicativo de x se representa como 1 sobre x, para ambos casos se hace la aclaración de que esa cantidad x tiene que ser diferente de 0. Bien con esto termino de mostrarles algunas de las claves más importantes para plantear problemas matemáticos, recuerden que la única manera de lograr la destreza en esto que es el planteamiento de problemas es justamente haciendo bastantes problemas y ojalá de diferente naturaleza, con esto es que se va ganando la experiencia necesaria para que cuando nos enfrentemos a una situación problema no nos dé temor y logremos traducir apropiadamente lo que nos dice el enunciado a un lenguaje simbólico como lo es el de la matemática. Bueno estimados estudiantes les agradezco su amable atención, recuerden hacer el bien sin mirar a quien, créanme que esto trae excelentes resultados, nos vemos en una próxima oportunidad.

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Y dice entonces el enunciado"}, {"start": 560.08, "end": 567.5600000000001, "text": " que dentro de siete a\u00f1os la edad de Ana ser\u00e1, entonces es all\u00ed cuando aparece el"}, {"start": 567.56, "end": 574.9599999999999, "text": " s\u00edmbolo igual a la mitad de la edad de Beatriz, o sea lo que tiene Beatriz"}, {"start": 574.9599999999999, "end": 582.68, "text": " dentro de siete a\u00f1os dividido entre dos. All\u00ed est\u00e1 la mitad de la edad futura de"}, {"start": 582.68, "end": 585.4799999999999, "text": " Beatriz."}, {"start": 586.16, "end": 592.8, "text": " Miremos m\u00e1s enunciados. Un n\u00famero de dos cifras se puede representar como 10x"}, {"start": 592.8, "end": 602.9599999999999, "text": " m\u00e1s y. En este caso, y es la cifra o d\u00edgito de las unidades y x es la cifra o"}, {"start": 602.9599999999999, "end": 610.56, "text": " d\u00edgito de las decenas. Por esa raz\u00f3n va acompa\u00f1ado del 10. 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Por eso estos n\u00fameros que acompa\u00f1an a cada uno de los d\u00edgitos"}, {"start": 656.36, "end": 663.52, "text": " para que tengan su respectivo valor que corresponde a las unidades, a las decenas"}, {"start": 663.52, "end": 669.8, "text": " y a las centenas. Si tenemos la suma de los d\u00edgitos de un n\u00famero de tres cifras,"}, {"start": 669.8, "end": 675.88, "text": " por ejemplo si hablamos de este n\u00famero entonces simplemente tendremos a m\u00e1s b"}, {"start": 675.88, "end": 682.92, "text": " m\u00e1s c porque nuevamente se refiere solamente a las cifras."}, {"start": 682.92, "end": 691.24, "text": " Miremos estos enunciados a es 15 unidades mayor que b, entonces escribimos a y"}, {"start": 691.24, "end": 698.8399999999999, "text": " escribimos b, pero nos dice que a es mayor que b, por lo tanto al menor le"}, {"start": 698.84, "end": 705.52, "text": " podemos ayudar con 15 para que se establezca la igualdad."}, {"start": 705.52, "end": 712.1600000000001, "text": " Originalmente hay un desbalance, a es m\u00e1s grande que b, pero al ayudarle a la"}, {"start": 712.1600000000001, "end": 718.96, "text": " cantidad menor entonces logramos el equilibrio entre ambas partes."}, {"start": 718.96, "end": 725.9200000000001, "text": " Tenemos c es siete unidades menor que d, entonces decimos que c"}, {"start": 725.92, "end": 735.24, "text": " es igual a d menos 7, entonces con esto vemos que c es siete unidades m\u00e1s"}, {"start": 735.24, "end": 745.12, "text": " peque\u00f1o que lo que es d, a d se le resta 7 y alcanza al valor c. Tenemos que t es 8"}, {"start": 745.12, "end": 752.7199999999999, "text": " menos que r, esto es t igual a r menos 8, muy"}, {"start": 752.72, "end": 758.76, "text": " parecida a la anterior, para que se establezca la igualdad a la cantidad"}, {"start": 758.76, "end": 765.44, "text": " mayor, en este caso se le tiene que restar 8 para que alcance a la menor y m"}, {"start": 765.44, "end": 773.2, "text": " excede a n en 14, entonces quiere decir que m es m\u00e1s grande que n, entonces"}, {"start": 773.2, "end": 780.0, "text": " inicialmente hay un desbalance porque esto es m\u00e1s grande que esto, entonces a"}, {"start": 780.0, "end": 786.68, "text": " la cantidad menor se le ayuda con 14 para que se establezca la igualdad."}, {"start": 786.68, "end": 793.88, "text": " Tambi\u00e9n se podr\u00eda hacer de otra manera, a la cantidad mayor restarle 14 y de esa"}, {"start": 793.88, "end": 801.52, "text": " manera se nivela con la cantidad menor, son dos formas de plantear este tipo de"}, {"start": 801.52, "end": 804.32, "text": " enunciado."}, {"start": 804.32, "end": 812.08, "text": " Ahora miremos esto que suele aparecer en problemas de tipo matem\u00e1tico, el"}, {"start": 812.08, "end": 820.0400000000001, "text": " consecutivo de u se representa como u m\u00e1s 1, o sea el n\u00famero que le sigue a u,"}, {"start": 820.0400000000001, "end": 826.6400000000001, "text": " hablamos de n\u00fameros enteros, aqu\u00ed si lo dice expl\u00edcitamente, tres n\u00fameros"}, {"start": 826.64, "end": 837.92, "text": " enteros consecutivos se pueden representar como x, x m\u00e1s 1 y x m\u00e1s 2,"}, {"start": 837.92, "end": 846.96, "text": " all\u00ed tenemos x el n\u00famero menor, x m\u00e1s 1 ser\u00eda el n\u00famero mediano, o sea el que"}, {"start": 846.96, "end": 855.56, "text": " le sigue a x y x m\u00e1s 2 el n\u00famero mayor, o sea el que le sigue a x m\u00e1s 1, proviene"}, {"start": 855.56, "end": 863.4399999999999, "text": " de hacer x m\u00e1s 1 m\u00e1s 1, por eso nos da x m\u00e1s 2, cuando tenemos n\u00fameros enteros"}, {"start": 863.4399999999999, "end": 871.68, "text": " pares consecutivos o impares consecutivos el planteamiento es el mismo, hablamos de"}, {"start": 871.68, "end": 881.7199999999999, "text": " x, x m\u00e1s 2 y x m\u00e1s 4, sencillamente porque cuando se trata de n\u00fameros pares o"}, {"start": 881.72, "end": 888.12, "text": " impares los incrementos son de 2 en 2, en cambio cuando nos hablan solamente de"}, {"start": 888.12, "end": 895.48, "text": " n\u00fameros consecutivos los incrementos son de 1 en 1, entonces aqu\u00ed tenemos x el"}, {"start": 895.48, "end": 903.5600000000001, "text": " n\u00famero menor, x m\u00e1s 2 el n\u00famero mediano y x m\u00e1s 4 el n\u00famero mayor, cuando son"}, {"start": 903.5600000000001, "end": 911.28, "text": " pares o impares consecutivos. Miremos ahora este tipo de enunciados, el opuesto"}, {"start": 911.28, "end": 920.4399999999999, "text": " o inverso aditivo de x se representa como menos x, en cambio el rec\u00edproco o"}, {"start": 920.4399999999999, "end": 929.1999999999999, "text": " inverso multiplicativo de x se representa como 1 sobre x, para ambos casos se hace"}, {"start": 929.1999999999999, "end": 937.36, "text": " la aclaraci\u00f3n de que esa cantidad x tiene que ser diferente de 0."}, {"start": 937.36, "end": 943.96, "text": " Bien con esto termino de mostrarles algunas de las claves m\u00e1s importantes"}, {"start": 943.96, "end": 950.16, "text": " para plantear problemas matem\u00e1ticos, recuerden que la \u00fanica manera de lograr"}, {"start": 950.16, "end": 955.88, "text": " la destreza en esto que es el planteamiento de problemas es justamente"}, {"start": 955.88, "end": 962.52, "text": " haciendo bastantes problemas y ojal\u00e1 de diferente naturaleza, con esto es que se"}, {"start": 962.52, "end": 967.96, "text": " va ganando la experiencia necesaria para que cuando nos enfrentemos a una"}, {"start": 967.96, "end": 974.4, "text": " situaci\u00f3n problema no nos d\u00e9 temor y logremos traducir apropiadamente lo que"}, {"start": 974.4, "end": 980.72, "text": " nos dice el enunciado a un lenguaje simb\u00f3lico como lo es el de la matem\u00e1tica."}, {"start": 980.72, "end": 987.64, "text": " Bueno estimados estudiantes les agradezco su amable atenci\u00f3n, recuerden hacer el"}, {"start": 987.64, "end": 993.68, "text": " bien sin mirar a quien, cr\u00e9anme que esto trae excelentes resultados, nos vemos en"}, {"start": 993.68, "end": 1021.7199999999999, "text": " una pr\u00f3xima oportunidad."}]

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SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 2×2 POR MÉTODO GRÁFICO

#julioprofe explica cómo resolver un Sistema de Ecuaciones Lineales de 2x2 por el Método Gráfico. Tema: #SistemasDeEcuaciones → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEFAYT8s7eBiUPuANxiqi_l REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas utilizando el método gráfico. Comenzamos numerando las ecuaciones y ambas van a representar rectas en el plano cartesiano. Por lo tanto vamos a obtener para cada una de ellas dos puntos. Recordemos que con dos puntos se puede trazar una línea recta. Hacemos entonces dos tablitas de valores para las dos ecuaciones. Allí las podemos observar. Esta tabla para la ecuación lineal número 1 y esta otra para la ecuación lineal número 2. Una forma fácil de encontrar puntos para una recta es determinando las intersecciones con los ejes. Entonces, por ejemplo, si queremos encontrar la intersección de una recta con el eje y hacemos x igual a 0. Y viceversa, si queremos encontrar la intersección con el eje x hacemos y igual a 0. En otras palabras, anulamos la x para encontrar y y luego anulamos y para encontrar x. Veamos entonces cómo funciona en cada ecuación. Vamos a la primera. Si x vale 0, este término desaparece y nos queda 3y igual a 18. Veamos. De esta igualdad despejamos la y. Nos queda 18 dividido entre 3. 3 está multiplicando pasa a dividir y esa división nos da 6. Entonces, ese valor lo escribimos por aquí. Ahora, si y vale 0, vamos a encontrar x. Si y vale 0, este término desaparece. 3 por 0 nos da 0 y nos queda 4x igual a 18. De esta igualdad despejamos x. 4 está multiplicando pasa al otro lado a dividir y podemos simplificar 18 cuartos. Ambos números tienen mitad, entonces nos da 9 medios. Ese valor lo vamos a escribir por acá. 9 medios recordemos que es equivalente a 4.5 como número decimal. Vamos ahora con la ecuación 2. Hacemos lo mismo. Anulamos x para encontrar y y anulamos y para encontrar x. Veamos. Si x vale 0, este término se convierte en 0 y nos queda menos 6y igual a 3. De aquí despejamos y. Menos 6 está multiplicando pasa al otro lado a dividir. Recordemos que aquí no se presenta cambio de signo. Si el número está multiplicando y pasa a dividir, pasa con su signo. Aquí simplificamos. Ambos números tienen tercera. Tercera de 3 es 1, tercera de 6 es 2. Y aquí aplicamos ley de los signos. Tenemos positivo en el numerador, negativo en el denominador. Más con menos nos da menos. Recordemos que el menos en una fracción no se debe dejar en el denominador, sino en la mitad o en el numerador. Se ve mejor de esta manera. Entonces por aquí escribimos ese resultado. Ahora veamos cuando y vale 0, cuál es el valor de x. Veamos. Si y vale 0, 6 por 0 nos da 0, nos queda 5x igual a 3. De allí despejamos x, nos queda 3 quintos. 5 está multiplicando pasa a dividir esa fracción. No se puede simplificar, por lo tanto obtenemos x igual a 3 quintos. Que en número decimal nos da 0,6. Este número menos un medio como decimal es menos 0,5. A continuación dibujamos un plano cartesiano para localizar los puntos encontrados. Vamos entonces con los puntos de la primera recta. Tenemos el punto 0,6 que sería aquí. Cuando x vale 0 tenemos que y vale 6. Y cuando x vale 9 medios o 4.5, y vale 0. Eso será exactamente aquí. La ventaja de encontrar las intersecciones con los ejes tal como lo vimos es que los puntos quedan sobre los ejes x y y. Utilizando una regla o escuadra unimos esos dos puntos y trazamos la recta que corresponde a la primera ecuación. Esta será entonces la recta número 1. Vamos ahora a localizar los puntos de la segunda recta. Cuando x vale 0, y vale menos 0.5 o menos un medio. Eso nos queda exactamente aquí. Y cuando x vale 3 quintos, o sea 0.6, y vale 0. Eso viene siendo por acá. Cuando nos sucede esto, que tenemos dos puntos muy cercanos, entonces conviene buscar otro punto más alejado para que el trazado de la recta sea mucho más confiable. Por ejemplo, podríamos ensayar con x igual a 5. Entonces vamos a la ecuación 2. Replazamos aquí x por el valor 5. Tendremos 5 por 5, 25 menos 6y igual a 3. Entonces vamos a despejar el valor de y. Primero despejamos menos 6y, pasamos 25 que está positivo, al otro lado negativo, llega a restar, nos queda menos 6y igual a menos 22. El resultado de esta operación, despejamos y, nos queda menos 22 dividido entre menos 6. Este número que está multiplicando pasa a dividir con su mismo signo. Tenemos menos con menos más, tendremos un resultado positivo. Se puede simplificar 22 con 6, sacando mitad a ambos números, y nos da 11 tercios. Ese es el valor que escribimos por aquí. Cuando x vale 5, y vale 11 tercios en la ecuación 2. Esto en calculadora nos da como resultado 3.6 periódico. Entonces vamos a representar esta pareja aquí en el plano cartesiano. Por el valor x igual a 5, subimos hasta llegar a 3.6 periódico, que es aproximadamente por aquí. Ahora utilizando una regla O-escuadra, vamos a trazar la recta que une estos tres puntos. Allí podemos observarla. Corresponde a la ecuación número 2. Podemos observar que las dos rectas se cortan en un punto. Este punto, cuyas coordenadas podemos leer directamente en el plano cartesiano, si bajamos, x vale 3. Si nos movemos a la izquierda, vemos que y vale 2. Entonces, es la pareja 3,2, constituye la solución al sistema de ecuaciones, x vale 3 y y vale 2. Cuando las dos rectas se cortan en un punto, como en este caso, se dice que el sistema de ecuaciones es consistente, tiene lo que se llama solución única. También puede presentarse el caso en que las dos rectas sean paralelas, o sea, que nunca se corten. En ese caso, el sistema se llama inconsistente. Y también se puede dar la situación en que al dibujar las dos rectas, una quede encima de la otra, es decir, que sean rectas superpuestas. En ese caso, el sistema se llama dependiente. Puede darse cualquiera de esas tres situaciones. La verdad es que la bondad o la confianza del método gráfico al solucionar sistemas de ecuaciones lineales, depende de la precisión con que se haga el dibujo. Y si utilizamos papel cuadriculado o incluso papel milimetrado. De todas formas, es mucho más seguro, más confiable, trabajar con los métodos analíticos, como son igualación, sustitución, el método de eliminación, que también se conoce como reducción, suma o resta, o también el método de los determinantes, conocido también como la regla de Kramer. La verdad es que se recomiendan los métodos analíticos más que el método gráfico, como decía, por la exactitud que puede tener estos otros métodos. Entonces, de esta manera, mostramos como un sistema se puede resolver por método gráfico, encontrando en este caso un punto que se puede leer fácilmente en el plano cartesiano que trazamos.

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Ambos n\u00fameros tienen tercera."}, {"start": 200.0, "end": 204.0, "text": " Tercera de 3 es 1, tercera de 6 es 2."}, {"start": 204.0, "end": 206.0, "text": " Y aqu\u00ed aplicamos ley de los signos."}, {"start": 206.0, "end": 211.0, "text": " Tenemos positivo en el numerador, negativo en el denominador."}, {"start": 211.0, "end": 213.0, "text": " M\u00e1s con menos nos da menos."}, {"start": 213.0, "end": 218.0, "text": " Recordemos que el menos en una fracci\u00f3n no se debe dejar en el denominador,"}, {"start": 218.0, "end": 221.0, "text": " sino en la mitad o en el numerador."}, {"start": 221.0, "end": 223.0, "text": " Se ve mejor de esta manera."}, {"start": 223.0, "end": 227.0, "text": " Entonces por aqu\u00ed escribimos ese resultado."}, {"start": 227.0, "end": 232.0, "text": " Ahora veamos cuando y vale 0, cu\u00e1l es el valor de x."}, {"start": 232.0, "end": 240.0, "text": " Veamos. Si y vale 0, 6 por 0 nos da 0, nos queda 5x igual a 3."}, {"start": 240.0, "end": 245.0, "text": " De all\u00ed despejamos x, nos queda 3 quintos."}, {"start": 245.0, "end": 249.0, "text": " 5 est\u00e1 multiplicando pasa a dividir esa fracci\u00f3n."}, {"start": 249.0, "end": 254.0, "text": " No se puede simplificar, por lo tanto obtenemos x igual a 3 quintos."}, {"start": 254.0, "end": 259.0, "text": " Que en n\u00famero decimal nos da 0,6."}, {"start": 259.0, "end": 266.0, "text": " Este n\u00famero menos un medio como decimal es menos 0,5."}, {"start": 266.0, "end": 273.0, "text": " A continuaci\u00f3n dibujamos un plano cartesiano para localizar los puntos encontrados."}, {"start": 273.0, "end": 277.0, "text": " Vamos entonces con los puntos de la primera recta."}, {"start": 277.0, "end": 282.0, "text": " Tenemos el punto 0,6 que ser\u00eda aqu\u00ed."}, {"start": 282.0, "end": 286.0, "text": " Cuando x vale 0 tenemos que y vale 6."}, {"start": 286.0, "end": 293.0, "text": " Y cuando x vale 9 medios o 4.5, y vale 0."}, {"start": 293.0, "end": 295.0, "text": " Eso ser\u00e1 exactamente aqu\u00ed."}, {"start": 295.0, "end": 301.0, "text": " La ventaja de encontrar las intersecciones con los ejes tal como lo vimos"}, {"start": 301.0, "end": 308.0, "text": " es que los puntos quedan sobre los ejes x y y."}, {"start": 308.0, "end": 314.0, "text": " Utilizando una regla o escuadra unimos esos dos puntos"}, {"start": 314.0, "end": 321.0, "text": " y trazamos la recta que corresponde a la primera ecuaci\u00f3n."}, {"start": 321.0, "end": 325.0, "text": " Esta ser\u00e1 entonces la recta n\u00famero 1."}, {"start": 325.0, "end": 330.0, "text": " Vamos ahora a localizar los puntos de la segunda recta."}, {"start": 330.0, "end": 336.0, "text": " Cuando x vale 0, y vale menos 0.5 o menos un medio."}, {"start": 336.0, "end": 339.0, "text": " Eso nos queda exactamente aqu\u00ed."}, {"start": 339.0, "end": 346.0, "text": " Y cuando x vale 3 quintos, o sea 0.6, y vale 0."}, {"start": 346.0, "end": 349.0, "text": " Eso viene siendo por ac\u00e1."}, {"start": 349.0, "end": 354.0, "text": " Cuando nos sucede esto, que tenemos dos puntos muy cercanos,"}, {"start": 354.0, "end": 359.0, "text": " entonces conviene buscar otro punto m\u00e1s alejado"}, {"start": 359.0, "end": 365.0, "text": " para que el trazado de la recta sea mucho m\u00e1s confiable."}, {"start": 365.0, "end": 371.0, "text": " Por ejemplo, podr\u00edamos ensayar con x igual a 5."}, {"start": 371.0, "end": 373.0, "text": " Entonces vamos a la ecuaci\u00f3n 2."}, {"start": 373.0, "end": 376.0, "text": " Replazamos aqu\u00ed x por el valor 5."}, {"start": 376.0, "end": 385.0, "text": " Tendremos 5 por 5, 25 menos 6y igual a 3."}, {"start": 385.0, "end": 388.0, "text": " Entonces vamos a despejar el valor de y."}, {"start": 388.0, "end": 390.0, "text": " Primero despejamos menos 6y,"}, {"start": 390.0, "end": 395.0, "text": " pasamos 25 que est\u00e1 positivo, al otro lado negativo,"}, {"start": 395.0, "end": 401.0, "text": " llega a restar, nos queda menos 6y igual a menos 22."}, {"start": 401.0, "end": 405.0, "text": " El resultado de esta operaci\u00f3n, despejamos y,"}, {"start": 405.0, "end": 409.0, "text": " nos queda menos 22 dividido entre menos 6."}, {"start": 409.0, "end": 414.0, "text": " Este n\u00famero que est\u00e1 multiplicando pasa a dividir con su mismo signo."}, {"start": 414.0, "end": 418.0, "text": " Tenemos menos con menos m\u00e1s, tendremos un resultado positivo."}, {"start": 418.0, "end": 423.0, "text": " Se puede simplificar 22 con 6, sacando mitad a ambos n\u00fameros,"}, {"start": 423.0, "end": 426.0, "text": " y nos da 11 tercios."}, {"start": 426.0, "end": 429.0, "text": " Ese es el valor que escribimos por aqu\u00ed."}, {"start": 429.0, "end": 434.0, "text": " Cuando x vale 5, y vale 11 tercios en la ecuaci\u00f3n 2."}, {"start": 434.0, "end": 440.0, "text": " Esto en calculadora nos da como resultado 3.6 peri\u00f3dico."}, {"start": 440.0, "end": 447.0, "text": " Entonces vamos a representar esta pareja aqu\u00ed en el plano cartesiano."}, {"start": 447.0, "end": 454.0, "text": " Por el valor x igual a 5, subimos hasta llegar a 3.6 peri\u00f3dico,"}, {"start": 454.0, "end": 457.0, "text": " que es aproximadamente por aqu\u00ed."}, {"start": 457.0, "end": 461.0, "text": " Ahora utilizando una regla O-escuadra,"}, {"start": 461.0, "end": 467.0, "text": " vamos a trazar la recta que une estos tres puntos."}, {"start": 467.0, "end": 469.0, "text": " All\u00ed podemos observarla."}, {"start": 469.0, "end": 474.0, "text": " Corresponde a la ecuaci\u00f3n n\u00famero 2."}, {"start": 474.0, "end": 481.0, "text": " Podemos observar que las dos rectas se cortan en un punto."}, {"start": 481.0, "end": 487.0, "text": " Este punto, cuyas coordenadas podemos leer directamente"}, {"start": 487.0, "end": 491.0, "text": " en el plano cartesiano, si bajamos, x vale 3."}, {"start": 491.0, "end": 495.0, "text": " Si nos movemos a la izquierda, vemos que y vale 2."}, {"start": 495.0, "end": 498.0, "text": " Entonces, es la pareja 3,2,"}, {"start": 498.0, "end": 504.0, "text": " constituye la soluci\u00f3n al sistema de ecuaciones,"}, {"start": 504.0, "end": 509.0, "text": " x vale 3 y y vale 2."}, {"start": 509.0, "end": 514.0, "text": " Cuando las dos rectas se cortan en un punto,"}, {"start": 514.0, "end": 520.0, "text": " como en este caso, se dice que el sistema de ecuaciones es consistente,"}, {"start": 520.0, "end": 523.0, "text": " tiene lo que se llama soluci\u00f3n \u00fanica."}, {"start": 523.0, "end": 530.0, "text": " Tambi\u00e9n puede presentarse el caso en que las dos rectas sean paralelas,"}, {"start": 530.0, "end": 532.0, "text": " o sea, que nunca se corten."}, {"start": 532.0, "end": 537.0, "text": " En ese caso, el sistema se llama inconsistente."}, {"start": 537.0, "end": 543.0, "text": " Y tambi\u00e9n se puede dar la situaci\u00f3n en que al dibujar las dos rectas,"}, {"start": 543.0, "end": 549.0, "text": " una quede encima de la otra, es decir, que sean rectas superpuestas."}, {"start": 549.0, "end": 553.0, "text": " En ese caso, el sistema se llama dependiente."}, {"start": 553.0, "end": 557.0, "text": " Puede darse cualquiera de esas tres situaciones."}, {"start": 557.0, "end": 564.0, "text": " La verdad es que la bondad o la confianza del m\u00e9todo gr\u00e1fico"}, {"start": 564.0, "end": 567.0, "text": " al solucionar sistemas de ecuaciones lineales,"}, {"start": 567.0, "end": 573.0, "text": " depende de la precisi\u00f3n con que se haga el dibujo."}, {"start": 573.0, "end": 579.0, "text": " Y si utilizamos papel cuadriculado o incluso papel milimetrado."}, {"start": 579.0, "end": 584.0, "text": " De todas formas, es mucho m\u00e1s seguro, m\u00e1s confiable,"}, {"start": 584.0, "end": 588.0, "text": " trabajar con los m\u00e9todos anal\u00edticos,"}, {"start": 588.0, "end": 593.0, "text": " como son igualaci\u00f3n, sustituci\u00f3n, el m\u00e9todo de eliminaci\u00f3n,"}, {"start": 593.0, "end": 597.0, "text": " que tambi\u00e9n se conoce como reducci\u00f3n, suma o resta,"}, {"start": 597.0, "end": 601.0, "text": " o tambi\u00e9n el m\u00e9todo de los determinantes,"}, {"start": 601.0, "end": 604.0, "text": " conocido tambi\u00e9n como la regla de Kramer."}, {"start": 604.0, "end": 608.0, "text": " La verdad es que se recomiendan los m\u00e9todos anal\u00edticos"}, {"start": 608.0, "end": 612.0, "text": " m\u00e1s que el m\u00e9todo gr\u00e1fico, como dec\u00eda,"}, {"start": 612.0, "end": 618.0, "text": " por la exactitud que puede tener estos otros m\u00e9todos."}, {"start": 618.0, "end": 623.0, "text": " Entonces, de esta manera, mostramos como un sistema"}, {"start": 623.0, "end": 626.0, "text": " se puede resolver por m\u00e9todo gr\u00e1fico,"}, {"start": 626.0, "end": 632.0, "text": " encontrando en este caso un punto que se puede leer f\u00e1cilmente"}, {"start": 632.0, "end": 649.0, "text": " en el plano cartesiano que trazamos."}]

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VECTOR GRADIENTE Y DERIVADA DIRECCIONAL - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo encontrar el Vector Gradiente y la Derivada Direccional de una función de dos variables. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Para esta función de dos variables vamos a encontrar estas dos cosas que nos piden. Primero el vector gradiente de la función en el punto P que nos dan. Y también vamos a calcular la derivada direccional de la misma función en la dirección del vector que va del punto P al punto Q. Comenzamos reescribiendo la función. Tenemos que esto es igual a x cuadrado más y cuadrado y esto elevado al exponente un medio. Quitamos la raíz cuadrada y la cambiamos por exponente un medio. En seguida vamos a determinar las derivadas parciales. Vamos entonces con fx que recordemos es lo mismo que decir la derivada parcial de f con respecto a x. Recordemos que allí la otra variable es decir la y se comporta como una constante. Vamos entonces a derivar esta expresión. Aplicamos la regla de la cadena para potencias. Un medio baja a multiplicar a esta expresión que queda igual. Y aquí tenemos la operación un medio menos uno. Eso nos da menos un medio. Y esto lo multiplicamos por la derivada interna pero con respecto a x. Tenemos entonces una suma. La derivada de x al cuadrado es 2x y la derivada de y al cuadrado sería cero. Porque recordemos que en esta ocasión la letra y se comporta como una constante. Entonces la derivada interna es simplemente 2x. Allí podemos simplificar estos números 2 y la expresión que nos queda se puede escribir de la siguiente manera. Arriba nos queda la x y esto lo podríamos escribir acá abajo con exponente un medio positivo. Es decir que se puede convertir nuevamente en raíz cuadrada de x al cuadrado más y al cuadrado. Allí tenemos entonces la derivada parcial de la función con respecto a x. De una vez se puede evaluar esta derivada parcial en el punto p que nos da el problema. Eso se escribe de esta manera. Derivada parcial de la función con respecto a x evaluada en el punto p. Recordemos que ese punto p tiene coordenadas 4,-3. Entonces vamos a reemplazar aquí en la expresión esos valores. Tenemos en el numerador x que vale 4 y en el denominador dentro de la raíz cuadrada tenemos x que vale 4. Entonces 4 al cuadrado más y que vale menos 3 al cuadrado. Vamos a resolver esas operaciones. Tenemos entonces en el denominador raíz cuadrada de 4 al cuadrado que es 16,-3 al cuadrado nos da 9. 16 más 9 nos da 25 y esa raíz cuadrada nos da 5. Tenemos entonces que la derivada parcial de la función con respecto a x y evaluada en el punto p tiene un valor de 4,-5. Vamos a escribir ese resultado por aquí y enseguida vamos a derivar parcialmente la función con respecto a la otra variable que es y. Entonces tendremos f y, o sea la derivada parcial de la función f con respecto a la variable y. En esta ocasión la variable x se comporta como una constante. Vamos entonces con la derivada de esta expresión. Bajamos nuevamente 1 medio por esto que nos queda igual, todo esto elevado al exponente menos 1 medio que recordemos es 1 medio menos 1. Y esto multiplicado por la derivada interna con respecto de la variable y. Entonces como decíamos x es constante por lo tanto la derivada de x cuadrado es 0. Nos queda entonces únicamente la derivada de y cuadrado que es 2y. Similar a lo que nos dio ahora podemos cancelar el número 2 y esto nos va a quedar y. En el numerador esto pasa al denominador con exponente 1 medio positivo lo cual se puede convertir en raíz cuadrada. Y enseguida vamos a evaluar esta derivada parcial también en el punto p. Nos queda entonces así. Derivada parcial con respecto a y evaluada en el punto p igual a y que vale menos 3. Todo esto sobre la raíz cuadrada de x que vale 4 al cuadrado más y que vale menos 3 al cuadrado. Tal como nos dio ahora aquí en el denominador tendremos 5. Y de esa manera determinamos la derivada parcial de la función con respecto a y y evaluada en el punto p con un valor de menos 3 quintos. Con esta información que encontramos se puede ya construir lo que se llama el vector gradiente de la función f en el punto p que nos dieron. Ese vector gradiente se representa de la siguiente manera. Esta es la notación. Tenemos este triángulo que es el operador nabla que acompaña la letra f, o sea la función, y entre paréntesis el punto p en el cual vamos a evaluar ese vector. La flechita encima nos indica que se trata de un vector. Este vector tiene dos componentes. La primera es la derivada parcial de la función f con respecto a x evaluada en el punto p. Y la segunda componente es la derivada parcial de la función f con respecto a y también evaluada en el punto p. Es decir, ese vector lo vamos a construir con esas dos componentes que encontramos. La primera nos dio 4 quintos y la segunda nos dio menos 3 quintos. Allí tenemos entonces el vector gradiente de la función evaluada en el punto p. También se puede escribir en términos de los vectores unitarios. Tenemos 4 quintos en dirección y menos 3 quintos en dirección cota. De esta manera respondemos a la pregunta a de este problema. Tenemos el vector gradiente de la función f en el punto p que nos dieron. Ahora para la siguiente pregunta vamos a considerar el punto q que nos da el problema. Es el punto 1,0. Con esos dos puntos vamos a determinar el vector pq. Porque nos piden la derivada direccional de esa función en la dirección de ese vector que va desde el punto p hacia el punto q. Determinamos entonces ese vector y para ello hacemos la resta de las coordenadas. Primero el punto final, es decir las coordenadas de q que son 1,0 y eso menos las coordenadas del punto inicial que son 4,-3. Se forma entonces ya el vector y hacemos la operación 1,-4 que nos da menos 3 y 0,-3 es decir 0,3 que es igual a 3. Este es entonces el vector pq. En seguida debemos calcular la norma, magnitud o módulo de este vector. Recordemos que eso se representa con doble barra y es igual a la raíz cuadrada de la componente en x al cuadrado más la componente en y al cuadrado. Entonces todo eso dentro de la raíz cuadrada. Tenemos 9 más 9 que nos da 18, 18 lógicamente es 2 por 9 y de allí podemos sacar el 9 que da como 3 raíz cuadrada de 2. Podemos simplificar esta raíz y nos queda como 3 raíz de 2. Esta será entonces la magnitud, módulo o norma del vector pq. Con esta información vamos a determinar el vector u, es decir el vector unitario en la dirección del vector pq. Para ello tomamos el vector que es pq y lo dividimos entre su norma o módulo. Recordemos que esa es la manera de convertir cualquier vector en vector unitario, o sea vector con magnitud 1. Tenemos entonces las componentes del vector que son menos 3,3 y eso dividido entre la norma o módulo que nos dio 3 raíz cuadrada de 2. Tendremos entonces que u es igual a menos 3 sobre 3 raíz de 2, 3 sobre 3 raíz de 2. Sencillamente la magnitud del vector entra al vector que da como denominador de cada uno de los componentes. Simplificamos, aquí se saca tercera arriba y abajo, nos queda menos 1 sobre raíz cuadrada de 2. Lo mismo hacemos aquí y nos queda 1 sobre raíz cuadrada de 2. Este es entonces el vector unitario en la dirección del vector pq. Conociendo este vector unitario podemos proceder a encontrar lo que se llama la derivada direccional de la función f de esta función en la dirección del vector pq. Ella se representa de la siguiente manera, dqf, derivada direccional de la función f en la dirección del vector u, o sea el vector unitario que encontramos. Para ello tomamos el vector gradiente de la función evaluado en el punto p, o sea en el origen del vector pq y eso le hacemos producto punto o producto escalar con el vector unitario que encontramos. Con el vector de magnitud 1 que va en la dirección del vector indicado que es pq. Entonces vamos a reemplazar aquí los componentes de cada uno de los vectores. Para el vector gradiente nos dio 4 quintos coma menos 3 quintos y esto producto punto con el vector u que es menos 1 sobre raíz de 2 coma 1 sobre raíz de 2. Resolvemos entonces esta operación entre vectores. Recordemos que se multiplican las componentes en x entre sí, 4 quintos por menos 1 sobre raíz de 2 y a esto se le suma la multiplicación de las componentes en y entre sí, menos 3 quintos por 1 sobre raíz cuadrada de 2. Esta multiplicación nos da como resultado menos 4 sobre 5 raíz de 2 y esta otra multiplicación nos da menos 3 sobre 5 raíz de 2. Tenemos una operación con fracciones homogéneas, conservamos el mismo denominador y operamos los numeradores, menos 4 menos 3 nos da menos 7. Podemos decir que este resultado ya es la derivada direccional, pero recordemos que esto queda mejor si se racionaliza para eliminar ese radical del denominador. Para ello multiplicamos por raíz cuadrada de 2 arriba y abajo. Veamos cómo nos queda, arriba menos 7 por raíz de 2 y en la parte de abajo tenemos lo siguiente, raíz de 2 por raíz de 2, eso nos da 2, que multiplicado con 5 nos da 10. Llegamos entonces a la respuesta, la derivada direccional de la función en la dirección del vector PQ tiene este valor, menos 7 raíz de 2 sobre 10. Y de esta manera respondemos a la pregunta B de este problema y también terminamos la explicación.

[{"start": 0.0, "end": 7.0, "text": " Para esta funci\u00f3n de dos variables vamos a encontrar estas dos cosas que nos piden."}, {"start": 7.0, "end": 13.0, "text": " Primero el vector gradiente de la funci\u00f3n en el punto P que nos dan."}, {"start": 13.0, "end": 26.0, "text": " Y tambi\u00e9n vamos a calcular la derivada direccional de la misma funci\u00f3n en la direcci\u00f3n del vector que va del punto P al punto Q."}, {"start": 26.0, "end": 39.0, "text": " Comenzamos reescribiendo la funci\u00f3n. Tenemos que esto es igual a x cuadrado m\u00e1s y cuadrado y esto elevado al exponente un medio."}, {"start": 39.0, "end": 45.0, "text": " Quitamos la ra\u00edz cuadrada y la cambiamos por exponente un medio."}, {"start": 45.0, "end": 49.0, "text": " En seguida vamos a determinar las derivadas parciales."}, {"start": 49.0, "end": 60.0, "text": " Vamos entonces con fx que recordemos es lo mismo que decir la derivada parcial de f con respecto a x."}, {"start": 60.0, "end": 67.0, "text": " Recordemos que all\u00ed la otra variable es decir la y se comporta como una constante."}, {"start": 67.0, "end": 70.0, "text": " Vamos entonces a derivar esta expresi\u00f3n."}, {"start": 70.0, "end": 83.0, "text": " Aplicamos la regla de la cadena para potencias. Un medio baja a multiplicar a esta expresi\u00f3n que queda igual."}, {"start": 83.0, "end": 90.0, "text": " Y aqu\u00ed tenemos la operaci\u00f3n un medio menos uno. Eso nos da menos un medio."}, {"start": 90.0, "end": 96.0, "text": " Y esto lo multiplicamos por la derivada interna pero con respecto a x."}, {"start": 96.0, "end": 106.0, "text": " Tenemos entonces una suma. La derivada de x al cuadrado es 2x y la derivada de y al cuadrado ser\u00eda cero."}, {"start": 106.0, "end": 112.0, "text": " Porque recordemos que en esta ocasi\u00f3n la letra y se comporta como una constante."}, {"start": 112.0, "end": 118.0, "text": " Entonces la derivada interna es simplemente 2x."}, {"start": 118.0, "end": 130.0, "text": " All\u00ed podemos simplificar estos n\u00fameros 2 y la expresi\u00f3n que nos queda se puede escribir de la siguiente manera."}, {"start": 130.0, "end": 138.0, "text": " Arriba nos queda la x y esto lo podr\u00edamos escribir ac\u00e1 abajo con exponente un medio positivo."}, {"start": 138.0, "end": 147.0, "text": " Es decir que se puede convertir nuevamente en ra\u00edz cuadrada de x al cuadrado m\u00e1s y al cuadrado."}, {"start": 147.0, "end": 154.0, "text": " All\u00ed tenemos entonces la derivada parcial de la funci\u00f3n con respecto a x."}, {"start": 154.0, "end": 163.0, "text": " De una vez se puede evaluar esta derivada parcial en el punto p que nos da el problema."}, {"start": 163.0, "end": 171.0, "text": " Eso se escribe de esta manera. Derivada parcial de la funci\u00f3n con respecto a x evaluada en el punto p."}, {"start": 171.0, "end": 178.0, "text": " Recordemos que ese punto p tiene coordenadas 4,-3."}, {"start": 178.0, "end": 185.0, "text": " Entonces vamos a reemplazar aqu\u00ed en la expresi\u00f3n esos valores."}, {"start": 185.0, "end": 196.0, "text": " Tenemos en el numerador x que vale 4 y en el denominador dentro de la ra\u00edz cuadrada tenemos x que vale 4."}, {"start": 196.0, "end": 204.0, "text": " Entonces 4 al cuadrado m\u00e1s y que vale menos 3 al cuadrado."}, {"start": 204.0, "end": 207.0, "text": " Vamos a resolver esas operaciones."}, {"start": 207.0, "end": 216.0, "text": " Tenemos entonces en el denominador ra\u00edz cuadrada de 4 al cuadrado que es 16,-3 al cuadrado nos da 9."}, {"start": 216.0, "end": 224.0, "text": " 16 m\u00e1s 9 nos da 25 y esa ra\u00edz cuadrada nos da 5."}, {"start": 224.0, "end": 235.0, "text": " Tenemos entonces que la derivada parcial de la funci\u00f3n con respecto a x y evaluada en el punto p tiene un valor de 4,-5."}, {"start": 235.0, "end": 250.0, "text": " Vamos a escribir ese resultado por aqu\u00ed y enseguida vamos a derivar parcialmente la funci\u00f3n con respecto a la otra variable que es y."}, {"start": 250.0, "end": 261.0, "text": " Entonces tendremos f y, o sea la derivada parcial de la funci\u00f3n f con respecto a la variable y."}, {"start": 261.0, "end": 266.0, "text": " En esta ocasi\u00f3n la variable x se comporta como una constante."}, {"start": 266.0, "end": 270.0, "text": " Vamos entonces con la derivada de esta expresi\u00f3n."}, {"start": 270.0, "end": 285.0, "text": " Bajamos nuevamente 1 medio por esto que nos queda igual, todo esto elevado al exponente menos 1 medio que recordemos es 1 medio menos 1."}, {"start": 285.0, "end": 291.0, "text": " Y esto multiplicado por la derivada interna con respecto de la variable y."}, {"start": 291.0, "end": 298.0, "text": " Entonces como dec\u00edamos x es constante por lo tanto la derivada de x cuadrado es 0."}, {"start": 298.0, "end": 305.0, "text": " Nos queda entonces \u00fanicamente la derivada de y cuadrado que es 2y."}, {"start": 305.0, "end": 315.0, "text": " Similar a lo que nos dio ahora podemos cancelar el n\u00famero 2 y esto nos va a quedar y."}, {"start": 315.0, "end": 327.0, "text": " En el numerador esto pasa al denominador con exponente 1 medio positivo lo cual se puede convertir en ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 327.0, "end": 334.0, "text": " Y enseguida vamos a evaluar esta derivada parcial tambi\u00e9n en el punto p."}, {"start": 334.0, "end": 337.0, "text": " Nos queda entonces as\u00ed."}, {"start": 337.0, "end": 346.0, "text": " Derivada parcial con respecto a y evaluada en el punto p igual a y que vale menos 3."}, {"start": 346.0, "end": 358.0, "text": " Todo esto sobre la ra\u00edz cuadrada de x que vale 4 al cuadrado m\u00e1s y que vale menos 3 al cuadrado."}, {"start": 358.0, "end": 364.0, "text": " Tal como nos dio ahora aqu\u00ed en el denominador tendremos 5."}, {"start": 364.0, "end": 379.0, "text": " Y de esa manera determinamos la derivada parcial de la funci\u00f3n con respecto a y y evaluada en el punto p con un valor de menos 3 quintos."}, {"start": 379.0, "end": 397.0, "text": " Con esta informaci\u00f3n que encontramos se puede ya construir lo que se llama el vector gradiente de la funci\u00f3n f en el punto p que nos dieron."}, {"start": 397.0, "end": 402.0, "text": " Ese vector gradiente se representa de la siguiente manera."}, {"start": 402.0, "end": 417.0, "text": " Esta es la notaci\u00f3n. Tenemos este tri\u00e1ngulo que es el operador nabla que acompa\u00f1a la letra f, o sea la funci\u00f3n, y entre par\u00e9ntesis el punto p en el cual vamos a evaluar ese vector."}, {"start": 417.0, "end": 423.0, "text": " La flechita encima nos indica que se trata de un vector."}, {"start": 423.0, "end": 433.0, "text": " Este vector tiene dos componentes. La primera es la derivada parcial de la funci\u00f3n f con respecto a x evaluada en el punto p."}, {"start": 433.0, "end": 443.0, "text": " Y la segunda componente es la derivada parcial de la funci\u00f3n f con respecto a y tambi\u00e9n evaluada en el punto p."}, {"start": 443.0, "end": 450.0, "text": " Es decir, ese vector lo vamos a construir con esas dos componentes que encontramos."}, {"start": 450.0, "end": 459.0, "text": " La primera nos dio 4 quintos y la segunda nos dio menos 3 quintos."}, {"start": 459.0, "end": 467.0, "text": " All\u00ed tenemos entonces el vector gradiente de la funci\u00f3n evaluada en el punto p."}, {"start": 467.0, "end": 472.0, "text": " Tambi\u00e9n se puede escribir en t\u00e9rminos de los vectores unitarios."}, {"start": 472.0, "end": 482.0, "text": " Tenemos 4 quintos en direcci\u00f3n y menos 3 quintos en direcci\u00f3n cota."}, {"start": 482.0, "end": 488.0, "text": " De esta manera respondemos a la pregunta a de este problema."}, {"start": 488.0, "end": 495.0, "text": " Tenemos el vector gradiente de la funci\u00f3n f en el punto p que nos dieron."}, {"start": 495.0, "end": 504.0, "text": " Ahora para la siguiente pregunta vamos a considerar el punto q que nos da el problema."}, {"start": 504.0, "end": 507.0, "text": " Es el punto 1,0."}, {"start": 507.0, "end": 513.0, "text": " Con esos dos puntos vamos a determinar el vector pq."}, {"start": 513.0, "end": 525.0, "text": " Porque nos piden la derivada direccional de esa funci\u00f3n en la direcci\u00f3n de ese vector que va desde el punto p hacia el punto q."}, {"start": 525.0, "end": 531.0, "text": " Determinamos entonces ese vector y para ello hacemos la resta de las coordenadas."}, {"start": 531.0, "end": 547.0, "text": " Primero el punto final, es decir las coordenadas de q que son 1,0 y eso menos las coordenadas del punto inicial que son 4,-3."}, {"start": 547.0, "end": 563.0, "text": " Se forma entonces ya el vector y hacemos la operaci\u00f3n 1,-4 que nos da menos 3 y 0,-3 es decir 0,3 que es igual a 3."}, {"start": 563.0, "end": 571.0, "text": " Este es entonces el vector pq."}, {"start": 571.0, "end": 578.0, "text": " En seguida debemos calcular la norma, magnitud o m\u00f3dulo de este vector."}, {"start": 578.0, "end": 594.0, "text": " Recordemos que eso se representa con doble barra y es igual a la ra\u00edz cuadrada de la componente en x al cuadrado m\u00e1s la componente en y al cuadrado."}, {"start": 594.0, "end": 600.0, "text": " Entonces todo eso dentro de la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 600.0, "end": 618.0, "text": " Tenemos 9 m\u00e1s 9 que nos da 18, 18 l\u00f3gicamente es 2 por 9 y de all\u00ed podemos sacar el 9 que da como 3 ra\u00edz cuadrada de 2."}, {"start": 618.0, "end": 623.0, "text": " Podemos simplificar esta ra\u00edz y nos queda como 3 ra\u00edz de 2."}, {"start": 623.0, "end": 630.0, "text": " Esta ser\u00e1 entonces la magnitud, m\u00f3dulo o norma del vector pq."}, {"start": 630.0, "end": 643.0, "text": " Con esta informaci\u00f3n vamos a determinar el vector u, es decir el vector unitario en la direcci\u00f3n del vector pq."}, {"start": 643.0, "end": 656.0, "text": " Para ello tomamos el vector que es pq y lo dividimos entre su norma o m\u00f3dulo."}, {"start": 656.0, "end": 667.0, "text": " Recordemos que esa es la manera de convertir cualquier vector en vector unitario, o sea vector con magnitud 1."}, {"start": 667.0, "end": 685.0, "text": " Tenemos entonces las componentes del vector que son menos 3,3 y eso dividido entre la norma o m\u00f3dulo que nos dio 3 ra\u00edz cuadrada de 2."}, {"start": 685.0, "end": 701.0, "text": " Tendremos entonces que u es igual a menos 3 sobre 3 ra\u00edz de 2, 3 sobre 3 ra\u00edz de 2."}, {"start": 701.0, "end": 712.0, "text": " Sencillamente la magnitud del vector entra al vector que da como denominador de cada uno de los componentes."}, {"start": 712.0, "end": 722.0, "text": " Simplificamos, aqu\u00ed se saca tercera arriba y abajo, nos queda menos 1 sobre ra\u00edz cuadrada de 2."}, {"start": 722.0, "end": 729.0, "text": " Lo mismo hacemos aqu\u00ed y nos queda 1 sobre ra\u00edz cuadrada de 2."}, {"start": 729.0, "end": 737.0, "text": " Este es entonces el vector unitario en la direcci\u00f3n del vector pq."}, {"start": 737.0, "end": 759.0, "text": " Conociendo este vector unitario podemos proceder a encontrar lo que se llama la derivada direccional de la funci\u00f3n f de esta funci\u00f3n en la direcci\u00f3n del vector pq."}, {"start": 759.0, "end": 773.0, "text": " Ella se representa de la siguiente manera, dqf, derivada direccional de la funci\u00f3n f en la direcci\u00f3n del vector u, o sea el vector unitario que encontramos."}, {"start": 773.0, "end": 793.0, "text": " Para ello tomamos el vector gradiente de la funci\u00f3n evaluado en el punto p, o sea en el origen del vector pq y eso le hacemos producto punto o producto escalar con el vector unitario que encontramos."}, {"start": 793.0, "end": 801.0, "text": " Con el vector de magnitud 1 que va en la direcci\u00f3n del vector indicado que es pq."}, {"start": 801.0, "end": 808.0, "text": " Entonces vamos a reemplazar aqu\u00ed los componentes de cada uno de los vectores."}, {"start": 808.0, "end": 834.0, "text": " Para el vector gradiente nos dio 4 quintos coma menos 3 quintos y esto producto punto con el vector u que es menos 1 sobre ra\u00edz de 2 coma 1 sobre ra\u00edz de 2."}, {"start": 834.0, "end": 838.0, "text": " Resolvemos entonces esta operaci\u00f3n entre vectores."}, {"start": 838.0, "end": 856.0, "text": " Recordemos que se multiplican las componentes en x entre s\u00ed, 4 quintos por menos 1 sobre ra\u00edz de 2 y a esto se le suma la multiplicaci\u00f3n de las componentes en y entre s\u00ed,"}, {"start": 856.0, "end": 862.0, "text": " menos 3 quintos por 1 sobre ra\u00edz cuadrada de 2."}, {"start": 862.0, "end": 877.0, "text": " Esta multiplicaci\u00f3n nos da como resultado menos 4 sobre 5 ra\u00edz de 2 y esta otra multiplicaci\u00f3n nos da menos 3 sobre 5 ra\u00edz de 2."}, {"start": 877.0, "end": 890.0, "text": " Tenemos una operaci\u00f3n con fracciones homog\u00e9neas, conservamos el mismo denominador y operamos los numeradores, menos 4 menos 3 nos da menos 7."}, {"start": 890.0, "end": 906.0, "text": " Podemos decir que este resultado ya es la derivada direccional, pero recordemos que esto queda mejor si se racionaliza para eliminar ese radical del denominador."}, {"start": 906.0, "end": 912.0, "text": " Para ello multiplicamos por ra\u00edz cuadrada de 2 arriba y abajo."}, {"start": 912.0, "end": 930.0, "text": " Veamos c\u00f3mo nos queda, arriba menos 7 por ra\u00edz de 2 y en la parte de abajo tenemos lo siguiente, ra\u00edz de 2 por ra\u00edz de 2, eso nos da 2, que multiplicado con 5 nos da 10."}, {"start": 930.0, "end": 945.0, "text": " Llegamos entonces a la respuesta, la derivada direccional de la funci\u00f3n en la direcci\u00f3n del vector PQ tiene este valor, menos 7 ra\u00edz de 2 sobre 10."}, {"start": 945.0, "end": 960.0, "text": " Y de esta manera respondemos a la pregunta B de este problema y tambi\u00e9n terminamos la explicaci\u00f3n."}]

julioprofe

https://www.youtube.com/watch?v=5wIIDZeCtQ4

¿PARA QUÉ SIRVE LA MATEMÁTICA EN LA VIDA REAL?

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Estimados estudiantes, reciban un saludo cordial desde Colombia. Les habla Julio Ríos, conocido por ustedes como Julio Profe. Desde hace tres años vengo produciendo videos de matemáticas y física para compartir con todos ustedes mis conocimientos en estas dos áreas del conocimiento. Lo que busco es mostrarles el lado fácil de los temas de matemáticas y física que conozco para que tengan un mejor desempeño en estas asignaturas. En esta ocasión me dirijo a ustedes para responder a una pregunta que sé que con frecuencia se hacen y es ¿para qué me sirve todo lo que estoy viendo de matemáticas en el colegio o la universidad? ¿O para qué sirve la matemática en la vida real? Pues bien, los conocimientos matemáticos que vamos adquiriendo en las diferentes etapas de nuestra vida, quien sea el colegio, la universidad o incluso en estudios superiores, son como una especie de cajita de herramientas que nos acompaña todo el tiempo y con la cual vamos sorteando diferentes situaciones, no solamente académicas sino también profesionales. Digamos que con el paso de los años lo que vamos haciendo es ir poco a poco nutriendo esa cajita de herramientas, haciéndola cada vez más completa. Cada vez vamos adquiriendo nuevos conocimientos que nos permiten enfrentar situaciones más complejas y de eso se trata. Cuando estamos en el colegio nos preparamos para ir a la universidad, cuando estamos en la universidad nos preparamos para enfrentar el mundo profesional, el mundo laboral y estando en esa etapa de la vida nos vemos en la necesidad de seguir estudiando, bien sea un posgrado o una maestría o un doctorado, en fin, para seguir avanzando hacia metas cada vez más altas. Entonces, en la medida en que estudiamos los diferentes temas de la matemática vamos a lograr dos cosas muy importantes. La primera es que esa cajita de herramientas que nos acompaña todo el tiempo va a estar muy bien dotada, va a tener todos los elementos necesarios para sortear cada vez situaciones más avanzadas. Por ejemplo, si entramos a la universidad, los cursos de cálculo, física, ecuaciones diferenciales, álgebra lineal, termodinámica, resistencia de materiales, macroeconomía, microeconomía, etc. Para todos esos cursos que son básicos y luego son específicos de cada carrera, requieren de una muy buena base en matemáticas. Para tener éxito en esas asignaturas necesitamos que los conocimientos previos estén muy bien estructurados. Más adelante, si necesitamos estudiar un posgrado o queremos hacer una maestría o un doctorado, sencillamente queremos que la matemática no sea un inconveniente. Si por ejemplo la universidad a la que queremos ingresar nos hace una prueba de matemáticas, una prueba de admisión, entonces allí es cuando esa cajita de herramientas nos ayuda a sortear esa situación. Con lo que hay dentro de ella, esos conocimientos son los que nos van a permitir superar ese primer filtro para poder ingresar a esa universidad y hacer entonces el estudio que queremos para mejorar nuestro perfil profesional. Lo segundo que vamos a ganar con el estudio de los temas de matemáticas es que vamos a fortalecer el pensamiento lógico, esa capacidad de abstracción necesaria para que toda persona o incluso todo profesional pueda enfrentarse exitosamente a los problemas de la vida real, abordarlos de manera lógica, de manera razonable y encontrarles una solución apropiada. El solo hecho de manejar nuestro dinero, de poder programar los gastos para un periodo de tiempo o si vamos a realizar una inversión o vamos a negociar con alguien, todo eso exige un conocimiento matemático básico y bien estructurado para poder resolver ese tipo de situaciones con éxito. Así que no vamos a cometer algún error de cálculos o algo que nos perjudique en términos monetarios. Ya para el caso profesional como el de un economista o un ingeniero o un médico o un administrador de empresas, muy seguramente no va a estar todo el tiempo resolviendo ecuaciones o realizando derivadas o integrales. En fin, todo eso que hacía cuando cursaba las asignaturas en el colegio o la universidad. Pero como decía ahora, el haber pasado por todas esas etapas, por todos esos temas de la matemática, pues le dio una capacidad lógica, una capacidad de abstracción que le permite enfrentarse a esas situaciones exitosamente. Y eso es lo que toda persona desea. Bien, jóvenes y chicos, la invitación que les hago con todo respeto y de la manera más cordial es a que aprovechen la oportunidad que tienen hoy día de hacer sus estudios en el colegio o en la universidad. La oportunidad de prepararse adecuadamente para la vida aprovechando las herramientas que hoy tienen a su alcance. Están los libros que pues yo sé que realmente hoy día poco son consultados, pero créanme que allí hay información sumamente valiosa. Y bueno, también tenemos la herramienta tecnológica como lo es el Internet, como son los videos que como yo, muchas otras personas, estamos grabando para ustedes. Personas que queremos compartir nuestros conocimientos con la comunidad estudiantil para que su desempeño sea cada vez mejor, para que puedan triunfar en el estudio de lo que están haciendo, para que por favor dejen a un lado esos sentimientos de que yo no puedo, de que no soy capaz. Hoy día realmente no hay excusa para decir que no tenía donde consultar información. Hoy tenemos todo a nuestro alcance. Si sabemos aprovechar apropiadamente los recursos tecnológicos con seguridad, vamos a salir adelante en lo que estamos estudiando. Bien, este era mi mensaje para esta ocasión. Les deseo a todos muchos éxitos. Seguiré grabando videos para ustedes, compartiendo mis conocimientos en los temas que conozco de la matemática y la física. Hasta una próxima oportunidad. Que Dios los bendiga. Y desde Colombia les mando un abrazo muy grande a todos.

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