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MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME - Problema 3

#julioprofe explica cómo resolver un problema sobre Movimiento Circular Uniforme: ¿Cuántas rpm realiza un disco de radio 25 cm si su aceleración centrípeta en el borde es 36π² m/s²? REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

¿Cuántas revoluciones por minuto, o sea RPM, realiza un disco de radio 25 cm si su aceleración centrípeta en el borde es de 36 pi cuadrado metros por segundo cuadrado? Bien, tenemos un problema donde la aceleración centrípeta es constante, por lo tanto se trata de un movimiento circular uniforme. Vamos entonces a determinar los datos que nos dan. Radio es 25 cm y tenemos la aceleración centrípeta en el borde del disco que es 36 pi cuadrado metros sobre segundo cuadrado. Y nos preguntan cuántas revoluciones por minuto realiza este cuerpo. Entonces se trata de la frecuencia que tenemos que expresar en RPM, revoluciones por minuto. Comenzamos por determinar el valor del radio en metros, para que quede todo en unidades de metros y segundos. 25 cm corresponden a 0.25 metros. Vamos a comenzar utilizando la siguiente fórmula. Aceleración centrípeta equivale a velocidad lineal o tangencial al cuadrado sobre el radio, o también equivale a la velocidad angular, que es omega minúscula al cuadrado por el radio. Con cualquiera de estas dos expresiones determinamos la aceleración centrípeta. Vamos a utilizar esta. Entonces tenemos aceleración centrípeta igual a velocidad angular al cuadrado por el radio. De aquí vamos a encontrar la velocidad angular y posteriormente vamos a determinar la frecuencia. Comenzamos entonces por despejar omega minúscula de esta expresión. R está multiplicando, entonces pasa a dividir y luego para despejar la velocidad angular entonces sacamos la raíz cuadrada a esta expresión. Aceleración centrípeta sobre el radio. Reemplazamos en esta expresión los datos que conocemos. Entonces donde está la aceleración centrípeta vamos a reemplazar el dato 36 pi cuadrado y donde está el radio vamos a reemplazar 0.25. Aquí no es necesario escribir unidades porque como decíamos ya todo está en metros y segundos. Resolvemos esto. Podemos dividir 36 entre 0.25 y eso nos da como resultado 144 que queda acompañado de pi cuadrado dentro del radical. Tenemos que 144 tiene raíz cuadrada exacta que es 12 y pi cuadrado su raíz cuadrada será pi. Entonces nos da la velocidad angular igual a 12 pi radianes sobre segundo. Recordemos que estas son las unidades para este parámetro del movimiento circular uniforme. Lo que es la velocidad angular siempre en radianes por segundo. Ahora vamos a utilizar esta fórmula. Velocidad angular es igual a 2 pi por la frecuencia. Esta es una expresión propia del movimiento circular uniforme y de allí podemos despejar la frecuencia. Si despejamos f tenemos que 2 pi que está multiplicando pasa a dividir al otro lado. Entonces nos queda la velocidad angular dividida entre 2 pi. Pero la velocidad angular ya la conocemos nos dio 12 pi y todo esto dividido entre 2 pi. Nuevamente vemos que no es necesario escribir las unidades de la velocidad angular. Sabemos que ya está en radianes por segundo. Aquí podemos simplificar pi y nos queda 12 medios que equivale a una frecuencia de 6. Las unidades que escribimos en esta ocasión son Hz que quiere decir revoluciones o vueltas por segundo. De acuerdo con esto podemos escribir f igual a 6 revoluciones sobre segundo. Y vamos a realizar la conversión a revoluciones por minuto. Entonces vamos a cambiar los segundos a minutos. Usamos el factor de conversión. Un minuto equivale a 60 segundos. Allí podemos observar que los segundos se cancelan. Nos queda la operación 6 por 60 que es 360 en revoluciones sobre minuto. Y es lo que conocemos como RPM revoluciones por minuto. De esta manera ya tenemos la respuesta a este ejercicio. Tenemos las revolutions por minuto que realiza ese disco que presenta movimiento circular uniforme.

[{"start": 0.0, "end": 18.0, "text": " \u00bfCu\u00e1ntas revoluciones por minuto, o sea RPM, realiza un disco de radio 25 cm si su aceleraci\u00f3n centr\u00edpeta en el borde es de 36 pi cuadrado metros por segundo cuadrado?"}, {"start": 18.0, "end": 31.0, "text": " Bien, tenemos un problema donde la aceleraci\u00f3n centr\u00edpeta es constante, por lo tanto se trata de un movimiento circular uniforme."}, {"start": 31.0, "end": 52.0, "text": " Vamos entonces a determinar los datos que nos dan. Radio es 25 cm y tenemos la aceleraci\u00f3n centr\u00edpeta en el borde del disco que es 36 pi cuadrado metros sobre segundo cuadrado."}, {"start": 52.0, "end": 69.0, "text": " Y nos preguntan cu\u00e1ntas revoluciones por minuto realiza este cuerpo. 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Podemos dividir 36 entre 0.25 y eso nos da como resultado 144 que queda acompa\u00f1ado de pi cuadrado dentro del radical."}, {"start": 214.0, "end": 224.0, "text": " Tenemos que 144 tiene ra\u00edz cuadrada exacta que es 12 y pi cuadrado su ra\u00edz cuadrada ser\u00e1 pi."}, {"start": 224.0, "end": 240.0, "text": " Entonces nos da la velocidad angular igual a 12 pi radianes sobre segundo. Recordemos que estas son las unidades para este par\u00e1metro del movimiento circular uniforme."}, {"start": 240.0, "end": 245.0, "text": " Lo que es la velocidad angular siempre en radianes por segundo."}, {"start": 245.0, "end": 255.0, "text": " Ahora vamos a utilizar esta f\u00f3rmula. Velocidad angular es igual a 2 pi por la frecuencia."}, {"start": 255.0, "end": 263.0, "text": " Esta es una expresi\u00f3n propia del movimiento circular uniforme y de all\u00ed podemos despejar la frecuencia."}, {"start": 263.0, "end": 271.0, "text": " Si despejamos f tenemos que 2 pi que est\u00e1 multiplicando pasa a dividir al otro lado."}, {"start": 271.0, "end": 276.0, "text": " Entonces nos queda la velocidad angular dividida entre 2 pi."}, {"start": 276.0, "end": 287.0, "text": " Pero la velocidad angular ya la conocemos nos dio 12 pi y todo esto dividido entre 2 pi."}, {"start": 287.0, "end": 296.0, "text": " Nuevamente vemos que no es necesario escribir las unidades de la velocidad angular."}, {"start": 296.0, "end": 300.0, "text": " Sabemos que ya est\u00e1 en radianes por segundo."}, {"start": 300.0, "end": 309.0, "text": " Aqu\u00ed podemos simplificar pi y nos queda 12 medios que equivale a una frecuencia de 6."}, {"start": 309.0, "end": 321.0, "text": " Las unidades que escribimos en esta ocasi\u00f3n son Hz que quiere decir revoluciones o vueltas por segundo."}, {"start": 321.0, "end": 329.0, "text": " De acuerdo con esto podemos escribir f igual a 6 revoluciones sobre segundo."}, {"start": 329.0, "end": 340.0, "text": " Y vamos a realizar la conversi\u00f3n a revoluciones por minuto. 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https://www.youtube.com/watch?v=RcqwVqCUpQM

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME - Problema 2

#julioprofe explica cómo resolver un problema sobre Movimiento Circular Uniforme: ¿Cuál es la rapidez (en mph) de una partícula que gira en un círculo de diámetro 3 metros si su aceleración centrípeta es 20 m/s²? REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

¿Cuál es la rapidez en millas por hora de una partícula que gira en un círculo de diámetro 3 metros si su aceleración centrípeta es 20 metros por segundo cuadrado? Bien, en esta situación tenemos un movimiento circular uniforme, nos damos cuenta de ello porque la aceleración centrípeta permanece constante durante todo el movimiento, siempre vale 20 metros por segundo cuadrado. Entonces vamos a determinar los datos que nos dan. Tenemos el diámetro del círculo que es 3 metros, de una vez podemos encontrar el radio que es la mitad del diámetro, o sea 1.5 metros. Demos la aceleración centrípeta que es 20 metros por segundo cuadrado y nos piden encontrar la rapidez en millas por hora. De acuerdo con las unidades nos están preguntando la velocidad lineal o tangencial para este movimiento circular uniforme, millas por hora unidad de longitud sobre unidad de tiempo. Entonces con esta información vamos a utilizar la siguiente fórmula. Aceleración centrípeta es igual a velocidad lineal o tangencial al cuadrado, eso dividido entre el radio. Como necesitamos la velocidad lineal o tangencial vamos a realizar el despeje primero con las letras. Despejamos b cuadrado, para ello r que está dividiendo pasa a multiplicar con la aceleración centrípeta. Y posteriormente para despejar la velocidad entonces vamos a sacar la raíz cuadrada a esto que tenemos en el lado derecho de esa igualdad. Replazamos los datos en esta expresión. Velocidad es igual a la raíz cuadrada de la aceleración centrípeta que vale 20, eso multiplicado por el radio que es 1.5 o 1.5. Entonces vamos a resolver esta multiplicación de los números. Como vemos no hay necesidad de escribir las unidades porque ya todo viene en metros y segundos. Eso nos va a garantizar que la velocidad que vamos a obtener va a estar en metros por segundo. Hacemos esta multiplicación nos da 30 y en calculadora la raíz cuadrada de 30 nos da 5.48. Y aquí sí escribimos las unidades correspondientes a la velocidad. Ahora vamos a realizar la conversión de esta velocidad lineal o tangencial de metros por segundo a millas por hora. Entonces vamos a utilizar factores de conversión. Vamos a multiplicar aquí por el factor de conversión que nos permite pasar de metros a millas. Estribuimos metros abajo y millas, lógicamente millas terrestres. Tenemos que una milla terrestre equivale a 1.609 metros. De esa manera podemos eliminar metros. Y utilizamos otro factor de conversión para pasar de segundos a horas. Sabemos que una hora equivale a 3.600 segundos. De esta manera eliminamos los segundos y las unidades que nos van a quedar son millas arriba y horas abajo. Hacemos la operación numérica 5.48 por 3.600. Eso dividido entre 1.609 y nos da 12.26 millas sobre hora. Pero esto lo podemos escribir como 12.26 MPH, es decir 12.26 millas por hora. De esta manera encontramos la respuesta a este problema. Tenemos la rapidez de esa partícula que gira con movimiento circular uniforme.

[{"start": 0.0, "end": 16.0, "text": " \u00bfCu\u00e1l es la rapidez en millas por hora de una part\u00edcula que gira en un c\u00edrculo de di\u00e1metro 3 metros si su aceleraci\u00f3n centr\u00edpeta es 20 metros por segundo cuadrado?"}, {"start": 16.0, "end": 35.0, "text": " Bien, en esta situaci\u00f3n tenemos un movimiento circular uniforme, nos damos cuenta de ello porque la aceleraci\u00f3n centr\u00edpeta permanece constante durante todo el movimiento, siempre vale 20 metros por segundo cuadrado."}, {"start": 35.0, "end": 54.0, "text": " Entonces vamos a determinar los datos que nos dan. Tenemos el di\u00e1metro del c\u00edrculo que es 3 metros, de una vez podemos encontrar el radio que es la mitad del di\u00e1metro, o sea 1.5 metros."}, {"start": 54.0, "end": 69.0, "text": " Demos la aceleraci\u00f3n centr\u00edpeta que es 20 metros por segundo cuadrado y nos piden encontrar la rapidez en millas por hora."}, {"start": 69.0, "end": 85.0, "text": " De acuerdo con las unidades nos est\u00e1n preguntando la velocidad lineal o tangencial para este movimiento circular uniforme, millas por hora unidad de longitud sobre unidad de tiempo."}, {"start": 85.0, "end": 101.0, "text": " Entonces con esta informaci\u00f3n vamos a utilizar la siguiente f\u00f3rmula. Aceleraci\u00f3n centr\u00edpeta es igual a velocidad lineal o tangencial al cuadrado, eso dividido entre el radio."}, {"start": 101.0, "end": 120.0, "text": " Como necesitamos la velocidad lineal o tangencial vamos a realizar el despeje primero con las letras. Despejamos b cuadrado, para ello r que est\u00e1 dividiendo pasa a multiplicar con la aceleraci\u00f3n centr\u00edpeta."}, {"start": 120.0, "end": 136.0, "text": " Y posteriormente para despejar la velocidad entonces vamos a sacar la ra\u00edz cuadrada a esto que tenemos en el lado derecho de esa igualdad."}, {"start": 136.0, "end": 154.0, "text": " Replazamos los datos en esta expresi\u00f3n. Velocidad es igual a la ra\u00edz cuadrada de la aceleraci\u00f3n centr\u00edpeta que vale 20, eso multiplicado por el radio que es 1.5 o 1.5."}, {"start": 154.0, "end": 169.0, "text": " Entonces vamos a resolver esta multiplicaci\u00f3n de los n\u00fameros. Como vemos no hay necesidad de escribir las unidades porque ya todo viene en metros y segundos."}, {"start": 169.0, "end": 188.0, "text": " Eso nos va a garantizar que la velocidad que vamos a obtener va a estar en metros por segundo. Hacemos esta multiplicaci\u00f3n nos da 30 y en calculadora la ra\u00edz cuadrada de 30 nos da 5.48."}, {"start": 188.0, "end": 210.0, "text": " Y aqu\u00ed s\u00ed escribimos las unidades correspondientes a la velocidad. Ahora vamos a realizar la conversi\u00f3n de esta velocidad lineal o tangencial de metros por segundo a millas por hora."}, {"start": 210.0, "end": 223.0, "text": " Entonces vamos a utilizar factores de conversi\u00f3n. Vamos a multiplicar aqu\u00ed por el factor de conversi\u00f3n que nos permite pasar de metros a millas."}, {"start": 223.0, "end": 241.0, "text": " Estribuimos metros abajo y millas, l\u00f3gicamente millas terrestres. Tenemos que una milla terrestre equivale a 1.609 metros. De esa manera podemos eliminar metros."}, {"start": 241.0, "end": 264.0, "text": " Y utilizamos otro factor de conversi\u00f3n para pasar de segundos a horas. Sabemos que una hora equivale a 3.600 segundos. De esta manera eliminamos los segundos y las unidades que nos van a quedar son millas arriba y horas abajo."}, {"start": 264.0, "end": 282.0, "text": " Hacemos la operaci\u00f3n num\u00e9rica 5.48 por 3.600. Eso dividido entre 1.609 y nos da 12.26 millas sobre hora."}, {"start": 282.0, "end": 302.0, "text": " Pero esto lo podemos escribir como 12.26 MPH, es decir 12.26 millas por hora. De esta manera encontramos la respuesta a este problema."}, {"start": 302.0, "end": 312.0, "text": " Tenemos la rapidez de esa part\u00edcula que gira con movimiento circular uniforme."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=SJPWcr0IchU

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME - Problema 1

#julioprofe explica cómo resolver un problema sobre Movimiento Circular Uniforme: Un cuerpo gira en un círculo de 80 cm de diámetro con rapidez constante de 72 km/h. ¿Cuál es su aceleración centrípeta expresada en m/s²? REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

Un cuerpo gira en un círculo de 80 cm de diámetro con rapidez constante de 72 kmph. ¿Cuál es su aceleración centrípeta expresada en metros sobre segundo cuadrado? Bien, en esta ocasión tenemos un problema de movimiento circular uniforme, porque nos dice que el cuerpo gira en un círculo moviéndose con rapidez constante. Vamos entonces a determinar los datos que nos da este problema. Tenemos el diámetro que es 80 cm y tenemos la rapidez o velocidad lineal o tangencial de este cuerpo que gira describiendo una trayectoria circular, es 72 kmph. Nos damos cuenta que es velocidad lineal o tangencial por las unidades. Tenemos unidad de longitud sobre unidad de tiempo. Los niños preguntan cuál es su aceleración centrípeta expresada en metros sobre segundo cuadrado. Entonces, esto nos dice que tenemos que convertir los datos que nos dan a unidades del sistema internacional, longitudes en metros y tiempos en segundos. Comenzamos con el diámetro que es 80 cm y a partir de este dato podemos encontrar el radio del círculo. Recordemos que el radio es la mitad del diámetro, es decir, 40 cm, que pasándolo a metros nos da 0.4 m. Y con la velocidad vamos a realizar la conversión de kmph a metros por segundo. Entonces vamos a multiplicar por los factores de conversión apropiados. Por ejemplo, para pasar de kilómetro a metros decimos que 1 km equivale a 1000 m. De esta manera eliminamos los kilómetros. Y agregamos otro factor de conversión para pasar de horas a segundos. Horas arriba, segundos en la parte de abajo. Sabemos que una hora equivale a 3600 segundos. Cancelamos horas con horas y nos queda la operación 72 por 1000 dividido entre 3600. Todo eso nos da como resultado 20 y nos quedan las unidades metros sobre segundos. Entonces la velocidad lineal o tangencial de este cuerpo que presenta movimiento circular uniforme es 20 m por segundo. Entonces, para este problema la información clave será la siguiente. Radio igual a 0.4 m. Velocidad lineal o tangencial igual a 20 m por segundo. Y vamos a encontrar la aceleración centrípeta. Para ello utilizamos la siguiente fórmula. Aceleración centrípeta es igual a velocidad lineal o tangencial al cuadrado, eso dividido entre el radio. Vamos a reemplazar los datos que tenemos. La velocidad lineal o tangencial vale 20 m por segundo. Únicamente reemplazamos el número porque ya por el lado de las unidades estamos tranquilos. Todo en metros y en segundos. En el denominador tenemos el radio, entonces reemplazamos 0.4. Realizamos toda esta operación, puede ser en la calculadora o puede ser manualmente. Tenemos 20 al cuadrado 400. 400 dividido entre 0.4 nos da como resultado 1000. Entonces tenemos aceleración centrípeta igual a 1000 m por segundo cuadrado. Recordemos que es muy importante escribir las unidades correspondientes al dato que estamos encontrando. En este caso la aceleración centrípeta. De esta manera damos respuesta a la pregunta de este problema.

[{"start": 0.0, "end": 10.0, "text": " Un cuerpo gira en un c\u00edrculo de 80 cm de di\u00e1metro con rapidez constante de 72 kmph."}, {"start": 10.0, "end": 18.0, "text": " \u00bfCu\u00e1l es su aceleraci\u00f3n centr\u00edpeta expresada en metros sobre segundo cuadrado?"}, {"start": 18.0, "end": 26.0, "text": " Bien, en esta ocasi\u00f3n tenemos un problema de movimiento circular uniforme,"}, {"start": 26.0, "end": 33.0, "text": " porque nos dice que el cuerpo gira en un c\u00edrculo movi\u00e9ndose con rapidez constante."}, {"start": 33.0, "end": 39.0, "text": " Vamos entonces a determinar los datos que nos da este problema."}, {"start": 39.0, "end": 53.0, "text": " Tenemos el di\u00e1metro que es 80 cm y tenemos la rapidez o velocidad lineal o tangencial"}, {"start": 53.0, "end": 63.0, "text": " de este cuerpo que gira describiendo una trayectoria circular, es 72 kmph."}, {"start": 63.0, "end": 69.0, "text": " Nos damos cuenta que es velocidad lineal o tangencial por las unidades."}, {"start": 69.0, "end": 74.0, "text": " Tenemos unidad de longitud sobre unidad de tiempo."}, {"start": 74.0, "end": 84.0, "text": " Los ni\u00f1os preguntan cu\u00e1l es su aceleraci\u00f3n centr\u00edpeta expresada en metros sobre segundo cuadrado."}, {"start": 84.0, "end": 96.0, "text": " Entonces, esto nos dice que tenemos que convertir los datos que nos dan a unidades del sistema internacional,"}, {"start": 96.0, "end": 101.0, "text": " longitudes en metros y tiempos en segundos."}, {"start": 101.0, "end": 112.0, "text": " Comenzamos con el di\u00e1metro que es 80 cm y a partir de este dato podemos encontrar el radio del c\u00edrculo."}, {"start": 112.0, "end": 124.0, "text": " Recordemos que el radio es la mitad del di\u00e1metro, es decir, 40 cm, que pas\u00e1ndolo a metros nos da 0.4 m."}, {"start": 124.0, "end": 133.0, "text": " Y con la velocidad vamos a realizar la conversi\u00f3n de kmph a metros por segundo."}, {"start": 133.0, "end": 139.0, "text": " Entonces vamos a multiplicar por los factores de conversi\u00f3n apropiados."}, {"start": 139.0, "end": 147.0, "text": " Por ejemplo, para pasar de kil\u00f3metro a metros decimos que 1 km equivale a 1000 m."}, {"start": 147.0, "end": 151.0, "text": " De esta manera eliminamos los kil\u00f3metros."}, {"start": 151.0, "end": 157.0, "text": " Y agregamos otro factor de conversi\u00f3n para pasar de horas a segundos."}, {"start": 157.0, "end": 161.0, "text": " Horas arriba, segundos en la parte de abajo."}, {"start": 161.0, "end": 167.0, "text": " Sabemos que una hora equivale a 3600 segundos."}, {"start": 167.0, "end": 176.0, "text": " Cancelamos horas con horas y nos queda la operaci\u00f3n 72 por 1000 dividido entre 3600."}, {"start": 176.0, "end": 184.0, "text": " Todo eso nos da como resultado 20 y nos quedan las unidades metros sobre segundos."}, {"start": 184.0, "end": 199.0, "text": " Entonces la velocidad lineal o tangencial de este cuerpo que presenta movimiento circular uniforme es 20 m por segundo."}, {"start": 199.0, "end": 210.0, "text": " Entonces, para este problema la informaci\u00f3n clave ser\u00e1 la siguiente. Radio igual a 0.4 m."}, {"start": 210.0, "end": 219.0, "text": " Velocidad lineal o tangencial igual a 20 m por segundo."}, {"start": 219.0, "end": 225.0, "text": " Y vamos a encontrar la aceleraci\u00f3n centr\u00edpeta."}, {"start": 225.0, "end": 229.0, "text": " Para ello utilizamos la siguiente f\u00f3rmula."}, {"start": 229.0, "end": 238.0, "text": " Aceleraci\u00f3n centr\u00edpeta es igual a velocidad lineal o tangencial al cuadrado, eso dividido entre el radio."}, {"start": 238.0, "end": 241.0, "text": " Vamos a reemplazar los datos que tenemos."}, {"start": 241.0, "end": 247.0, "text": " La velocidad lineal o tangencial vale 20 m por segundo."}, {"start": 247.0, "end": 254.0, "text": " \u00danicamente reemplazamos el n\u00famero porque ya por el lado de las unidades estamos tranquilos."}, {"start": 254.0, "end": 257.0, "text": " Todo en metros y en segundos."}, {"start": 257.0, "end": 263.0, "text": " En el denominador tenemos el radio, entonces reemplazamos 0.4."}, {"start": 263.0, "end": 268.0, "text": " Realizamos toda esta operaci\u00f3n, puede ser en la calculadora o puede ser manualmente."}, {"start": 268.0, "end": 279.0, "text": " Tenemos 20 al cuadrado 400. 400 dividido entre 0.4 nos da como resultado 1000."}, {"start": 279.0, "end": 287.0, "text": " Entonces tenemos aceleraci\u00f3n centr\u00edpeta igual a 1000 m por segundo cuadrado."}, {"start": 287.0, "end": 296.0, "text": " Recordemos que es muy importante escribir las unidades correspondientes al dato que estamos encontrando."}, {"start": 296.0, "end": 300.0, "text": " En este caso la aceleraci\u00f3n centr\u00edpeta."}, {"start": 300.0, "end": 309.0, "text": " De esta manera damos respuesta a la pregunta de este problema."}]

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INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS - Ejercicio 3

#julioprofe explica cómo integrar la cuarta potencia del coseno. Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver la integral de coseno a la 4 de x, es decir, la integral de la cuarta potencia del coseno. Comenzamos por escribir el integrando de la siguiente manera, como coseno al cuadrado de x y todo esto elevado al cuadrado. Hacemos esto para utilizar aquí lo que se llaman las fórmulas de reducción de potencias que hay en la trigonometría. Si tenemos, por ejemplo, coseno al cuadrado de θ, esto equivale a 1 más el coseno de 2θ y todo esto dividido entre 2. Por ejemplo, para el caso de seno al cuadrado, la fórmula dice 1 menos coseno de 2θ sobre 2. Vemos que se parecen bastante, la única diferencia está en este signo. Entonces vamos a utilizar esta fórmula para transformar el coseno al cuadrado de x. Entonces nos quedará de la siguiente manera, paréntesis, 1 más coseno de 2x, todo esto dividido entre 2 y a su vez todo eso elevado al cuadrado. Hemos cambiado coseno al cuadrado de x por esta expresión de acuerdo con esta identidad trigonométrica. Enseguida vamos a repartir este exponente 2 para el numerador y para el denominador. Recordemos que esa es la propiedad de la potenciación. Entonces tendremos 1 más coseno de 2x, todo esto al cuadrado y en el denominador tendríamos 2 al cuadrado que nos da 4. Todo esto con su diferencial de x. Este 4 lo podemos escribir por fuera de la integral como 1 cuarto y nos queda adentro 1 más coseno de 2x y todo esto al cuadrado con su diferencial de x. Y enseguida vamos a desarrollar este binomio al cuadrado. Vamos a aplicar allí el producto notable llamado binomio al cuadrado. Recordemos que es el primer término al cuadrado, o sea 1 más 2 veces el primero por el segundo, o sea 2 coseno de 2x y eso más el segundo término al cuadrado. Entonces coseno al cuadrado de 2x, todo esto entre paréntesis con su respectivo diferencial de x. Ahora vamos a utilizar aquí nuevamente la fórmula de reducción de potencias que vimos hace un momento. La recordamos nuevamente, coseno al cuadrado de theta es igual a 1 más coseno de 2 theta, todo esto sobre 2. En este caso vamos a cambiar theta por 2x. Entonces nos queda así y aquí si cambiamos theta por 2x nos queda 2x por 2 que es 4x. Entonces haciendo esa sustitución nos va a quedar la integral de la siguiente manera. Seguimos por acá, 1 cuarto de la integral de 1 más 2 coseno de 2x más aquí hacemos el cambio 1 más coseno de 4x y todo esto sobre 2. Cerramos el paréntesis y el diferencial de x. Ahora vamos a repartir este denominador 2 para cada uno de los términos que tenemos en el numerador. Nos queda 1 cuarto por la integral de 1 más 2 coseno de 2x más 1 medio más coseno de 4x sobre 2. Cerramos paréntesis y escribimos el diferencial de x. El número del paréntesis es decir en el integrando podemos sumar 1 y 1 medio. Esa suma nos da 3 medios y escribimos lo demás 2 coseno de 2x más esto se puede escribir como 1 medio coseno de 4x. Cerramos el paréntesis y el diferencial de x. Ahora vamos a proceder con la integral de cada uno de los términos de esta suma. Veamos. 1 cuarto por integral de 3 medios será 3 medios de x más este 2 lo dejamos quieto y vamos a integrar el coseno de 2x. Vamos a recordar la siguiente fórmula la integral del coseno de ax con su dx es igual a 1 sobre a por el seno de ax y todo esto más la constante de integración. Utilizando esta fórmula podemos integrar rápidamente coseno de 2x y coseno de 4x. Entonces vamos a realizar la integral de coseno de 2x donde a vale 2 sería 1 medio del seno de 2x. Podemos escribirlo así no es indispensable el paréntesis más 1 medio por integral de coseno de 4x. Utilizamos la fórmula esta vez a vale 4 entonces tendremos 1 cuarto seno de 4x. Cerramos el paréntesis principal y escribimos por primera vez la constante de integración. Dentro del paréntesis podemos resolver estas operaciones. Entonces nos queda de la siguiente manera 1 cuarto por 3 medios de x más 2 por 1 medio nos da 1. Entonces simplemente escribimos seno de 2x más 1 medio por 1 cuarto eso nos da 1 octavo del seno de 4x. Cerramos el paréntesis más la constante de integración. Y finalmente vamos a distribuir 1 cuarto para cada uno de los términos que tenemos en el paréntesis. 1 cuarto por 3 medios eso nos da 3 octavos de x más 1 cuarto por el seno de 2x más 1 cuarto por 1 octavo nos da 1.32 ao seno de 4x y todo esto más c. Esta expresión es entonces la integral del coseno a la 4 de x con su respectivo diferencial de x. Entonces de esta manera terminamos el ejercicio.

[{"start": 0.0, "end": 12.0, "text": " Vamos a resolver la integral de coseno a la 4 de x, es decir, la integral de la cuarta potencia del coseno."}, {"start": 12.0, "end": 24.0, "text": " Comenzamos por escribir el integrando de la siguiente manera, como coseno al cuadrado de x y todo esto elevado al cuadrado."}, {"start": 24.0, "end": 34.0, "text": " Hacemos esto para utilizar aqu\u00ed lo que se llaman las f\u00f3rmulas de reducci\u00f3n de potencias que hay en la trigonometr\u00eda."}, {"start": 34.0, "end": 46.0, "text": " Si tenemos, por ejemplo, coseno al cuadrado de \u03b8, esto equivale a 1 m\u00e1s el coseno de 2\u03b8 y todo esto dividido entre 2."}, {"start": 46.0, "end": 56.0, "text": " Por ejemplo, para el caso de seno al cuadrado, la f\u00f3rmula dice 1 menos coseno de 2\u03b8 sobre 2."}, {"start": 56.0, "end": 61.0, "text": " Vemos que se parecen bastante, la \u00fanica diferencia est\u00e1 en este signo."}, {"start": 61.0, "end": 67.0, "text": " Entonces vamos a 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DIVISIÓN ENTRE POLINOMIOS - Ejercicio 2

#julioprofe explica cómo efectuar la división entre dos polinomios algebraicos. Tema: #PolinomiosAlgebraicos → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEyIs_s2RKgIPueyKz2pawL REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Como parte de las operaciones entre expresiones algebraicas, vamos a ver en esta ocasión la división entre estos dos polinomios. Tenemos en el dividendo un polinomio de cuatro términos y en el divisor un polinomio de dos términos, es decir, un binomio. Como primer paso, vamos a escribir el dividendo en forma descendente o forma decreciente. Comenzamos entonces con el término de mayor grado que es menos veinte u a la cinco. Seguiría el término de grado cuatro, pero vemos que no se encuentra. Entonces vamos a dejar el espacio en blanco, es decir, vamos a respetar el lugar que corresponde al grado cuatro. Seguimos con el término de grado tres, que sería más treinta y siete u a la tres. Después el término de grado dos, que es menos ocho u al cuadrado. Luego el término de grado uno, que es menos quince u y seguiría el término de grado cero, es decir, el término independiente. Como no lo tenemos, entonces vamos a respetar ese lugar dejando el espacio en blanco. Otra forma de respetar esos lugares sería completando con cero. Por ejemplo, aquí podríamos escribir más cero u a la cuatro y aquí más cero. En esta ocasión vamos a dejar mejor el espacio en blanco. En este lugar vamos a escribir el divisor también organizado en forma descendente. Vemos que allí ya viene ordenado de esa manera. Si en el divisor falta algún término de la secuencia descendente, tal como observamos allí que falta el término de primer grado, entonces no es necesario dejar espacio en blanco o completar con cero. Eso únicamente lo vamos a hacer en el dividendo. Entonces de esta manera ya tenemos el primer requisito para efectuar la división entre polinomios algebraicos, y es tener tanto el dividendo como el divisor organizados en forma descendente. Damos inicio a la división entre polinomios encontrando el primer término del cociente y para ello vamos a tomar el primer término del dividendo, que es menos veinte u a la cinco, y lo vamos a dividir entre el primer término del divisor. Tenemos aquí una división entre monomios. Veamos, menos veinte dividido entre cuatro nos da menos cinco, y u a la cinco dividido entre u a la dos nos da u a la tres. Recordemos que se deja la misma base y se restan los exponentes. De esa manera tenemos entonces el primer término del cociente. Ahora multiplicamos este término que encontramos por cada uno de los términos del divisor y los resultados los vamos a escribir a este lado con signo contrario y debajo de su respectivo término semejante. Veamos, menos cinco u al cubo por cuatro u al cuadrado, eso nos da menos veinte u a la cinco. Entonces lo escribimos como más veinte u a la cinco debajo de su correspondiente término semejante. Seguimos con menos cinco u al cubo por menos cinco, esto nos da más veinticinco u al cubo. Entonces lo escribimos por aquí como menos veinticinco u al cubo con signo contrario y debajo de su semejante. Ahora vamos a sumar en este lado los términos de manera vertical. Estos dos términos al sumarlos entre sí nos da como resultado cero por ser términos opuestos. Entonces los podemos eliminar. Por acá tenemos que la suma de estos términos nos da como resultado doce u al cubo. Este término lo bajamos y este también. De esa manera tenemos actualizado el dividendo, por así decirlo. Vamos ahora con esta expresión a obtener el segundo término del cociente. Para ello tomamos el primer término de esta nueva expresión doce u al cubo y lo dividimos entre el primer término del divisor. Esa división entre monomios nos da tres u y de esta manera tenemos el segundo término del cociente. Repetimos el procedimiento que hicimos con este término. Ahora tenemos que multiplicar tres u por cada uno de estos términos del divisor y los resultados se escriben a este lado debajo de sus términos semejantes y con signo contrario. Veamos tres u por cuatro u al cuadrado nos da doce u al cubo entonces lo traemos como menos doce u al cubo debajo de su semejante. Ahora tenemos tres u por menos cinco esto nos da menos quince u entonces pasa a este lado como más quince u debajo de su semejante y con signo contrario. Sumamos a este lado los términos en forma vertical estos dos términos suman cero son términos opuestos por lo tanto se pueden eliminar. Bajamos menos ocho u al cuadrado y la suma de estos dos términos también nos da cero por ser términos opuestos de esta manera tenemos ya el dividendo actualizado es la nueva expresión con la que vamos a obtener el tercer término del cociente. Entonces tomamos aquí el primer término que en realidad es el único que nos quedó y lo dividimos entre el primer término del divisor haciendo esta división entre monomios nos da como resultado menos dos y ese es el tercer término del cociente. Se repite el procedimiento ahora multiplicando menos dos por cada uno de estos términos y escribiendo a este lado los términos que nos den con signos contrarios y debajo de su semejante. Veamos menos dos por cuatro u al cuadrado nos da menos ocho u al cuadrado entonces pasa como más ocho u al cuadrado lo ubicamos debajo de su semejante y menos dos por menos cinco nos daría más diez. Pasaría a este lado como menos diez entonces es allí cuando utilizamos el lugar que corresponde al término independiente por lo menos en este ejercicio vemos que el lugar que corresponde al grado cuatro no fue utilizado. Está bien pues es mejor dejar ese lugar en blanco o respetarlo porque pudo haberse necesitado. Entonces así como aquí no se utilizó ese espacio aquí si vemos la necesidad de usarlo porque nos aparece un término independiente. Sumando a este lado los términos en forma vertical tenemos que estos dos se eliminan pues su suma nos da cero y bajamos el menos diez. De esta manera terminamos la división cuando paramos la división cuando la expresión que tenemos aquí es de grado inferior al divisor en este caso tenemos un número que es una expresión de grado cero. Por eso sabemos que hasta allí llega la división y en este caso es una división inexacta porque no nos dio residuo cero. Entonces si quisiéramos comprobar que la división quedó bien realizada hacemos la prueba de la división que es tomar el cociente multiplicarlo por el divisor a eso le sumamos el residuo y nos tiene que dar como resultado el dividendo. Bien de esta manera terminamos este ejercicio de división entre polinomios algebraicos.

[{"start": 0.0, "end": 12.0, "text": " Como parte de las operaciones entre expresiones algebraicas, vamos a ver en esta ocasi\u00f3n la divisi\u00f3n entre estos dos polinomios."}, {"start": 12.0, "end": 24.0, "text": " Tenemos en el dividendo un polinomio de cuatro t\u00e9rminos y en el divisor un polinomio de dos t\u00e9rminos, es decir, un binomio."}, {"start": 24.0, "end": 34.0, "text": " Como primer paso, vamos a escribir el dividendo en forma descendente o forma decreciente."}, {"start": 34.0, "end": 42.0, "text": " Comenzamos entonces con el t\u00e9rmino de mayor grado que es menos veinte u a la cinco."}, {"start": 42.0, "end": 49.0, "text": " Seguir\u00eda el t\u00e9rmino de grado cuatro, pero vemos que no se encuentra."}, {"start": 49.0, "end": 59.0, "text": " Entonces vamos a dejar el espacio en blanco, es decir, vamos a respetar el lugar que corresponde al grado cuatro."}, {"start": 59.0, "end": 66.0, "text": " Seguimos con el t\u00e9rmino de grado tres, que ser\u00eda 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{"start": 234.0, "end": 241.0, "text": " Veamos, menos cinco u al cubo por cuatro u al cuadrado, eso nos da menos veinte u a la cinco."}, {"start": 241.0, "end": 251.0, "text": " Entonces lo escribimos como m\u00e1s veinte u a la cinco debajo de su correspondiente t\u00e9rmino semejante."}, {"start": 251.0, "end": 258.0, "text": " Seguimos con menos cinco u al cubo por menos cinco, esto nos da m\u00e1s veinticinco u al cubo."}, {"start": 258.0, "end": 268.0, "text": " Entonces lo escribimos por aqu\u00ed como menos veinticinco u al cubo con signo contrario y debajo de su semejante."}, {"start": 268.0, "end": 275.0, "text": " Ahora vamos a sumar en este lado los t\u00e9rminos de manera vertical."}, {"start": 275.0, "end": 282.0, "text": " Estos dos t\u00e9rminos al sumarlos entre s\u00ed nos da como resultado cero por ser t\u00e9rminos opuestos."}, {"start": 282.0, "end": 285.0, "text": " Entonces los podemos eliminar."}, {"start": 285.0, "end": 293.0, "text": " Por ac\u00e1 tenemos que la suma de estos t\u00e9rminos nos da como resultado doce u al cubo."}, {"start": 293.0, "end": 299.0, "text": " Este t\u00e9rmino lo bajamos y este tambi\u00e9n."}, {"start": 299.0, "end": 305.0, "text": " De esa manera tenemos actualizado el dividendo, por as\u00ed decirlo."}, {"start": 305.0, "end": 314.0, "text": " Vamos ahora con esta expresi\u00f3n a obtener el segundo t\u00e9rmino del cociente."}, {"start": 314.0, "end": 330.0, "text": " Para ello tomamos el primer t\u00e9rmino de esta nueva expresi\u00f3n doce u al cubo y lo dividimos entre el primer t\u00e9rmino del divisor."}, {"start": 330.0, "end": 343.0, "text": " Esa divisi\u00f3n entre monomios nos da tres u y de esta manera tenemos el segundo t\u00e9rmino del cociente."}, {"start": 343.0, "end": 348.0, "text": " Repetimos el procedimiento que hicimos con este t\u00e9rmino."}, {"start": 348.0, "end": 363.0, "text": " Ahora tenemos que multiplicar tres u por cada uno de estos t\u00e9rminos del divisor y los resultados se escriben a este lado debajo de sus t\u00e9rminos semejantes y con signo contrario."}, {"start": 363.0, "end": 375.0, "text": " Veamos tres u por cuatro u al cuadrado nos da doce u al cubo entonces lo traemos como menos doce u al cubo debajo de su semejante."}, {"start": 375.0, "end": 389.0, "text": " Ahora tenemos tres u por menos cinco esto nos da menos quince u entonces pasa a este lado como m\u00e1s quince u debajo de su semejante y con signo contrario."}, {"start": 389.0, "end": 401.0, "text": " Sumamos a este lado los t\u00e9rminos en forma vertical estos dos t\u00e9rminos suman cero son t\u00e9rminos opuestos por lo tanto se pueden eliminar."}, {"start": 401.0, "end": 425.0, "text": " Bajamos menos ocho u al cuadrado y la suma de estos dos t\u00e9rminos tambi\u00e9n nos da cero por ser t\u00e9rminos opuestos de esta manera tenemos ya el dividendo actualizado es la nueva expresi\u00f3n con la que vamos a obtener el tercer t\u00e9rmino del cociente."}, {"start": 425.0, "end": 449.0, "text": " Entonces tomamos aqu\u00ed el primer t\u00e9rmino que en realidad es el \u00fanico que nos qued\u00f3 y lo dividimos entre el primer t\u00e9rmino del divisor haciendo esta divisi\u00f3n entre monomios nos da como resultado menos dos y ese es el tercer t\u00e9rmino del cociente."}, {"start": 449.0, "end": 465.0, "text": " Se repite el procedimiento ahora multiplicando menos dos por cada uno de estos t\u00e9rminos y escribiendo a este lado los t\u00e9rminos que nos den con signos contrarios y debajo de su semejante."}, {"start": 465.0, "end": 483.0, "text": " Veamos menos dos por cuatro u al cuadrado nos da menos ocho u al cuadrado entonces pasa como m\u00e1s ocho u al cuadrado lo ubicamos debajo de su semejante y menos dos por menos cinco nos dar\u00eda m\u00e1s diez."}, {"start": 483.0, "end": 500.0, "text": " Pasar\u00eda a este lado como menos diez entonces es all\u00ed cuando utilizamos el lugar que corresponde al t\u00e9rmino independiente por lo menos en este ejercicio vemos que el lugar que corresponde al grado cuatro no fue utilizado."}, {"start": 500.0, "end": 521.0, "text": " Est\u00e1 bien pues es mejor dejar ese lugar en blanco o respetarlo porque pudo haberse necesitado. Entonces as\u00ed como aqu\u00ed no se utiliz\u00f3 ese espacio aqu\u00ed si vemos la necesidad de usarlo porque nos aparece un t\u00e9rmino independiente."}, {"start": 521.0, "end": 535.0, "text": " Sumando a este lado los t\u00e9rminos en forma vertical tenemos que estos dos se eliminan pues su suma nos da cero y bajamos el menos diez."}, {"start": 535.0, "end": 553.0, "text": " De esta manera terminamos la divisi\u00f3n cuando paramos la divisi\u00f3n cuando la expresi\u00f3n que tenemos aqu\u00ed es de grado inferior al divisor en este caso tenemos un n\u00famero que es una expresi\u00f3n de grado cero."}, {"start": 553.0, "end": 566.0, "text": " Por eso sabemos que hasta all\u00ed llega la divisi\u00f3n y en este caso es una divisi\u00f3n inexacta porque no nos dio residuo cero."}, {"start": 566.0, "end": 589.0, "text": " Entonces si quisi\u00e9ramos comprobar que la divisi\u00f3n qued\u00f3 bien realizada hacemos la prueba de la divisi\u00f3n que es tomar el cociente multiplicarlo por el divisor a eso le sumamos el residuo y nos tiene que dar como resultado el dividendo."}, {"start": 589.0, "end": 598.0, "text": " Bien de esta manera terminamos este ejercicio de divisi\u00f3n entre polinomios algebraicos."}]

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DIVISIÓN ENTRE POLINOMIOS - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo realizar la división entre dos polinomios algebraicos. Tema: #PolinomiosAlgebraicos → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEyIs_s2RKgIPueyKz2pawL REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Como parte de las operaciones entre expresiones algebraicas, vamos a ver en esta ocasión la división de polinomio entre polinomio. En esta situación tenemos un polinomio de seis términos que será dividido entre un polinomio de tres términos, es decir, un trinomio. Como primer paso vamos a escribir el dividendo en forma descendente o forma decreciente. Iniciamos entonces con el término de mayor grado, que es 6x a la 5. Seguimos ahora con más 23x a la 4, después menos 5x al cubo, luego menos 14x cuadrado, después menos 35x y por último más 20. De esa manera tenemos la primera expresión organizada en forma descendente. Vemos que los exponentes van disminuyendo. Si por alguna razón falta algún término en el dividendo, entonces debemos respetar su lugar dejando espacio en blanco o completando con cero. En este caso vemos que no falta ningún término. Tenemos el polinomio completo. Ahora vamos a escribir en este espacio el divisor también organizado en forma descendente. Tenemos 3x al cubo, después más x cuadrado y finalmente menos 5. En este caso si falta algún término de la secuencia descendente no es necesario dejar espacio en blanco o completar con cero. Eso únicamente lo vamos a hacer en el dividendo. Bien, entonces como primer requisito para realizar la división entre polinomios algebraicos es tener tanto el dividendo como el divisor organizados en forma descendente. Vamos a obtener a continuación el primer término del cociente. Para ello tomamos el primer término del dividendo 6x a la 5 y lo dividimos entre el primer término del divisor. Y aquí tenemos la división entre monomios. Veamos entonces los coeficientes. Nos da 6 dividido entre 3 es 2 y x a la 5 sobre x a la 3. Dejamos la misma base que es x y restamos los exponentes. 5 menos 3 nos da 2. Entonces, repetimos, aquí hacemos una división entre monomios, primer término del dividendo dividido entre primer término del divisor y de esa manera tenemos el primer término del cociente. Ahora vamos a multiplicar el primer término del cociente por cada uno de los términos del divisor y los resultados los vamos a escribir aquí debajo del dividendo con signos contrarios y debajo de su término semejante. Veamos entonces, 2x cuadrado por 3x al cubo, esta multiplicación nos da 6x a la 5. Entonces, la vamos a escribir debajo de este término pero con signo contrario. Acá la multiplicación nos da un resultado positivo, acá lo traemos con signo negativo y escribimos ese término debajo de su semejante. Vamos ahora con este por este, tenemos 2x al cuadrado por x al cuadrado, eso nos da 2x a la 4 positivo, entonces lo traemos aquí negativo y lo escribimos debajo de su correspondiente término semejante. Ahora vamos con 2x al cuadrado por menos 5, eso nos da menos 10x al cuadrado, entonces lo traemos acá como más 10x al cuadrado con signo contrario y debajo de su término semejante. Ahora en este lado vamos a sumar los términos en forma vertical, la suma de estos dos términos nos da 0, son términos opuestos por lo tanto se pueden eliminar. Tenemos 23x a la 4 con menos 2x a la 4, eso nos da 21x a la 4 término positivo, bajamos menos 5x a la 3, por aquí tenemos menos 14x al cuadrado sumado con 10x al cuadrado, eso nos da menos 4x al cuadrado y estos dos términos simplemente los bajamos. Tenemos entonces nuestro nuevo dividendo por así decirlo, es la expresión actualizada en el lado izquierdo. Vamos ahora con el siguiente término del cociente, tomamos entonces el primer término de la nueva expresión que es 21x a la 4 y lo vamos a dividir entre el primer término del divisor. Siempre será primero de allá con primero de acá para obtener el término que deseamos. Haciendo esta división entre monomios nos da 7x aplicando división de coeficientes y acá cociente de potencias de la misma base. Entonces vamos a escribir aquí el segundo término del cociente que es 7x positivo. Repetimos el procedimiento que hicimos ahora. Vamos a multiplicar 7x por cada uno de los términos del divisor y los resultados los vamos a escribir a este lado con signo contrario y debajo de sus términos semejantes. Veamos, 7x por 3x al cubo nos da 21x a la 4, entonces lo escribimos por aquí como menos 21x a la 4 con signo contrario y debajo de su término semejante. Vamos ahora con 7x por x al cuadrado, eso nos da 7x al cubo, entonces lo escribimos como menos 7x al cubo debajo de su semejante y ahora 7x por menos 5, esto nos da menos 35x, por lo tanto lo traemos como más 35x debajo de su semejante. Ahora en este lado vamos a sumar los términos en forma vertical. Veamos, 21x a la 4 con menos 21x a la 4, la suma nos da 0 por ser términos opuestos, entonces los podemos eliminar. Por aquí menos 5x al cubo con menos 7x al cubo nos da menos 12x al cubo, ese término lo bajamos, menos 4x al cuadrado, por aquí estos dos términos también se eliminan, son términos opuestos cuya suma nos daría 0. Y bajamos el término independiente que es más 20. Tenemos entonces nuestro nuevo dividendo, por así decirlo, la expresión actualizada y es con la que vamos a obtener el tercer término del cociente. Tomamos entonces el primer término de esta nueva expresión, menos 12x al cubo y lo dividimos entre el primer término del divisor. Haciendo esta división entre monomios tenemos menos 12 entre 3 nos da menos 4 y estas dos potencias se pueden eliminar, eso nos daría x a la 0 que es 1, entonces queda únicamente menos 4, es decir, el tercer término del cociente. Nuevamente vamos a multiplicar menos 4 por cada uno de los términos del divisor y los vamos a escribir a este lado con signos contrarios y ubicándolos debajo de los términos semejantes. Veamos, menos 4 por 3x al cubo nos da menos 12x al cubo, entonces acá lo traemos como más 12x al cubo, debajo de su semejante. Menos 4 por x cuadrado nos da menos 4x cuadrado, pasa como más 4x cuadrado y lo escribimos debajo de su correspondiente término semejante. Veamos, por último menos 4x menos 5x nos da más 20, pasa a este lado como menos 20. En este lado sumamos los términos en forma vertical y encontramos que todos se van a eliminar entre sí, tenemos términos opuestos, entonces todo esto nos va a producir residuo 0. Tenemos entonces el caso de una división exacta donde el resultado principal es este que tenemos aquí, el cociente, porque tenemos residuo 0. Entonces de esta manera terminamos este ejercicio donde hemos visto cómo se dividen polinomios entre sí. Esta expresión es el resultado de esta división de polinomios.

[{"start": 0.0, "end": 12.0, "text": " Como parte de las operaciones entre expresiones algebraicas, vamos a ver en esta ocasi\u00f3n la divisi\u00f3n de polinomio entre polinomio."}, {"start": 12.0, "end": 24.0, "text": " En esta situaci\u00f3n tenemos un polinomio de seis t\u00e9rminos que ser\u00e1 dividido entre un polinomio de tres t\u00e9rminos, es decir, un trinomio."}, {"start": 24.0, "end": 34.0, "text": " Como primer paso vamos a escribir el dividendo en forma descendente o forma decreciente."}, {"start": 34.0, "end": 62.0, "text": " Iniciamos entonces con el t\u00e9rmino de mayor grado, que es 6x a la 5. Seguimos ahora con m\u00e1s 23x a la 4, despu\u00e9s menos 5x al cubo, luego menos 14x cuadrado, despu\u00e9s menos 35x y por \u00faltimo m\u00e1s 20."}, {"start": 62.0, "end": 73.0, "text": " De esa manera tenemos la primera expresi\u00f3n organizada en forma descendente. Vemos que los exponentes van disminuyendo."}, {"start": 73.0, "end": 86.0, "text": " Si por alguna raz\u00f3n falta alg\u00fan t\u00e9rmino en el dividendo, entonces debemos respetar su lugar dejando espacio en blanco o completando con cero."}, {"start": 86.0, "end": 93.0, "text": " En este caso vemos que no falta ning\u00fan t\u00e9rmino. Tenemos el polinomio completo."}, {"start": 93.0, "end": 109.0, "text": " Ahora vamos a escribir en este espacio el divisor tambi\u00e9n organizado en forma descendente. Tenemos 3x al cubo, despu\u00e9s m\u00e1s x cuadrado y finalmente menos 5."}, {"start": 109.0, "end": 125.0, "text": " En este caso si falta alg\u00fan t\u00e9rmino de la secuencia descendente no es necesario dejar espacio en blanco o completar con cero. Eso \u00fanicamente lo vamos a hacer en el dividendo."}, {"start": 125.0, "end": 140.0, "text": " Bien, entonces como primer requisito para realizar la divisi\u00f3n entre polinomios algebraicos es tener tanto el dividendo como el divisor organizados en forma descendente."}, {"start": 140.0, "end": 158.0, "text": " Vamos a obtener a continuaci\u00f3n el primer t\u00e9rmino del cociente. Para ello tomamos el primer t\u00e9rmino del dividendo 6x a la 5 y lo dividimos entre el primer t\u00e9rmino del divisor."}, {"start": 158.0, "end": 172.0, "text": " Y aqu\u00ed tenemos la divisi\u00f3n entre monomios. Veamos entonces los coeficientes. 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Entonces, la vamos a escribir debajo de este t\u00e9rmino pero con signo contrario."}, {"start": 234.0, "end": 245.0, "text": " Ac\u00e1 la multiplicaci\u00f3n nos da un resultado positivo, ac\u00e1 lo traemos con signo negativo y escribimos ese t\u00e9rmino debajo de su semejante."}, {"start": 245.0, "end": 264.0, "text": " Vamos ahora con este por este, tenemos 2x al cuadrado por x al cuadrado, eso nos da 2x a la 4 positivo, entonces lo traemos aqu\u00ed negativo y lo escribimos debajo de su correspondiente t\u00e9rmino semejante."}, {"start": 264.0, "end": 281.0, "text": " Ahora vamos con 2x al cuadrado por menos 5, eso nos da menos 10x al cuadrado, entonces lo traemos ac\u00e1 como m\u00e1s 10x al cuadrado con signo contrario y debajo de su t\u00e9rmino semejante."}, {"start": 281.0, "end": 296.0, "text": " Ahora en este lado vamos a sumar los t\u00e9rminos en forma vertical, la suma de estos dos t\u00e9rminos nos da 0, son t\u00e9rminos opuestos por lo tanto se pueden eliminar."}, {"start": 296.0, "end": 325.0, "text": " Tenemos 23x a la 4 con menos 2x a la 4, eso nos da 21x a la 4 t\u00e9rmino positivo, bajamos menos 5x a la 3, por aqu\u00ed tenemos menos 14x al cuadrado sumado con 10x al cuadrado, eso nos da menos 4x al cuadrado y estos dos t\u00e9rminos simplemente los bajamos."}, {"start": 325.0, "end": 335.0, "text": " Tenemos entonces nuestro nuevo dividendo por as\u00ed decirlo, es la expresi\u00f3n actualizada en el lado izquierdo."}, {"start": 335.0, "end": 352.0, "text": " Vamos ahora con el siguiente t\u00e9rmino del cociente, tomamos entonces el primer t\u00e9rmino de la nueva expresi\u00f3n que es 21x a la 4 y lo vamos a dividir entre el primer t\u00e9rmino del divisor."}, {"start": 352.0, "end": 371.0, "text": " Siempre ser\u00e1 primero de all\u00e1 con primero de ac\u00e1 para obtener el t\u00e9rmino que deseamos. Haciendo esta divisi\u00f3n entre monomios nos da 7x aplicando divisi\u00f3n de coeficientes y ac\u00e1 cociente de potencias de la misma base."}, {"start": 371.0, "end": 383.0, "text": " Entonces vamos a escribir aqu\u00ed el segundo t\u00e9rmino del cociente que es 7x positivo. Repetimos el procedimiento que hicimos ahora."}, {"start": 383.0, "end": 397.0, "text": " Vamos a multiplicar 7x por cada uno de los t\u00e9rminos del divisor y los resultados los vamos a escribir a este lado con signo contrario y debajo de sus t\u00e9rminos semejantes."}, {"start": 397.0, "end": 413.0, "text": " Veamos, 7x por 3x al cubo nos da 21x a la 4, entonces lo escribimos por aqu\u00ed como menos 21x a la 4 con signo contrario y debajo de su t\u00e9rmino semejante."}, {"start": 413.0, "end": 438.0, "text": " Vamos ahora con 7x por x al cuadrado, eso nos da 7x al cubo, entonces lo escribimos como menos 7x al cubo debajo de su semejante y ahora 7x por menos 5, esto nos da menos 35x, por lo tanto lo traemos como m\u00e1s 35x debajo de su semejante."}, {"start": 438.0, "end": 454.0, "text": " Ahora en este lado vamos a sumar los t\u00e9rminos en forma vertical. Veamos, 21x a la 4 con menos 21x a la 4, la suma nos da 0 por ser t\u00e9rminos opuestos, entonces los podemos eliminar."}, {"start": 454.0, "end": 473.0, "text": " Por aqu\u00ed menos 5x al cubo con menos 7x al cubo nos da menos 12x al cubo, ese t\u00e9rmino lo bajamos, menos 4x al cuadrado, por aqu\u00ed estos dos t\u00e9rminos tambi\u00e9n se eliminan, son t\u00e9rminos opuestos cuya suma nos dar\u00eda 0."}, {"start": 473.0, "end": 491.0, "text": " Y bajamos el t\u00e9rmino independiente que es m\u00e1s 20. Tenemos entonces nuestro nuevo dividendo, por as\u00ed decirlo, la expresi\u00f3n actualizada y es con la que vamos a obtener el tercer t\u00e9rmino del cociente."}, {"start": 491.0, "end": 504.0, "text": " Tomamos entonces el primer t\u00e9rmino de esta nueva expresi\u00f3n, menos 12x al cubo y lo dividimos entre el primer t\u00e9rmino del divisor."}, {"start": 504.0, "end": 527.0, "text": " Haciendo esta divisi\u00f3n entre monomios tenemos menos 12 entre 3 nos da menos 4 y estas dos potencias se pueden eliminar, eso nos dar\u00eda x a la 0 que es 1, entonces queda \u00fanicamente menos 4, es decir, el tercer t\u00e9rmino del cociente."}, {"start": 527.0, "end": 543.0, "text": " Nuevamente vamos a multiplicar menos 4 por cada uno de los t\u00e9rminos del divisor y los vamos a escribir a este lado con signos contrarios y ubic\u00e1ndolos debajo de los t\u00e9rminos semejantes."}, {"start": 543.0, "end": 557.0, "text": " Veamos, menos 4 por 3x al cubo nos da menos 12x al cubo, entonces ac\u00e1 lo traemos como m\u00e1s 12x al cubo, debajo de su semejante."}, {"start": 557.0, "end": 569.0, "text": " Menos 4 por x cuadrado nos da menos 4x cuadrado, pasa como m\u00e1s 4x cuadrado y lo escribimos debajo de su correspondiente t\u00e9rmino semejante."}, {"start": 569.0, "end": 580.0, "text": " Veamos, por \u00faltimo menos 4x menos 5x nos da m\u00e1s 20, pasa a este lado como menos 20."}, {"start": 580.0, "end": 599.0, "text": " En este lado sumamos los t\u00e9rminos en forma vertical y encontramos que todos se van a eliminar entre s\u00ed, tenemos t\u00e9rminos opuestos, entonces todo esto nos va a producir residuo 0."}, {"start": 599.0, "end": 613.0, "text": " Tenemos entonces el caso de una divisi\u00f3n exacta donde el resultado principal es este que tenemos aqu\u00ed, el cociente, porque tenemos residuo 0."}, {"start": 613.0, "end": 630.0, "text": " Entonces de esta manera terminamos este ejercicio donde hemos visto c\u00f3mo se dividen polinomios entre s\u00ed. Esta expresi\u00f3n es el resultado de esta divisi\u00f3n de polinomios."}]

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DIVISIÓN DE POLINOMIO ENTRE MONOMIO

#julioprofe explica dos ejercicios de cómo dividir polinomio entre monomio. Tema: #PolinomiosAlgebraicos → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEyIs_s2RKgIPueyKz2pawL REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Como parte de las operaciones entre expresiones algebraicas, veremos en esta ocasión la división de polinomio entre monomio. Para ello, vamos a desarrollar detalladamente estos dos ejercicios. Comenzamos con el primero, donde vamos a escribir esta operación en forma de fracción. Observamos en el numerador el binomio y en el denominador el monomio. Y a continuación vamos a aplicar la siguiente propiedad. Si tenemos la suma o resta de varios términos, todo esto sobre un mismo denominador, entonces este denominador se puede repartir para cada uno de los términos que tenemos en el numerador. Entonces, apoyándonos en esta propiedad, vamos a repartir este monomio debajo de cada uno de los términos que tenemos en el numerador. El ejercicio nos queda de esta manera. Y a continuación vamos a realizar estas dos divisiones entre monomios. En la primera, tenemos lo siguiente. 12 dividido entre 6 nos da 2. Tenemos a a la 3 sobre a a la 2. Dejamos la misma base y restamos exponentes. 3 menos 2 nos da 1, pero podemos omitir ese exponente. Dejamos únicamente la letra a. Vamos con b a la 2 sobre b. Dejamos la misma base y restamos exponentes. Aquí tenemos 2 menos 1 que nos daría también exponente 1, entonces lo omitimos. Con esta letra c podemos hacer simplificación por estar repetida arriba y abajo totalmente igual. Entonces es como si tuviéramos c a la 1 sobre c a la 1 nos quedaría c a la 0 que se convierte en 1. Por esa razón esto se puede simplemente eliminar y nos queda 2ab en el primer término. Vamos ahora al siguiente. Tenemos signo menos. Dividimos 18 entre 6 que nos da 3. Tenemos a a la 4 sobre a a la 2. Dejamos la misma base y restamos exponentes. 4 menos 2 nos da 2. Tenemos b a la 5 sobre b a la 1. Dejamos la misma base y restamos exponentes. 5 menos 1 nos da 4. Y por aquí tenemos c al cuadrado sobre c a la 1. Dejamos la misma base y restamos exponentes. 2 menos 1 nos da 1. Queda entonces únicamente la letra c. Esta expresión será entonces la respuesta a la división entre este binomio y este monomio. En el segundo ejercicio tenemos la división entre un trinomio y un monomio. Vamos a comenzar por escribir esta operación en forma de fracción. Nos queda de esta manera. Y a continuación vamos a escribir este denominador que es un monomio debajo de cada uno de los términos que tenemos en el numerador. De esa manera el ejercicio queda convertido en tres divisiones entre monomios. Vamos a resolver cada una de ellas. En la primera comenzamos por definir el signo. Tenemos por aquí signo positivo con signo negativo. Eso nos va a dar signo negativo. Aplicamos ley de los signos porque tenemos división. Vamos con los coeficientes. 20 dividido entre 5 nos da 4. Vamos ahora con las letras. Por aquí tenemos x a la 7 sobre x a la 3. Eso nos da x a la 4. Dejamos la misma base y restamos exponentes. Vamos ahora con y a la 10 sobre y a la 4. Dejamos la misma base. Restamos 10 menos 4. Eso nos da 6. La letra z se puede eliminar por estar multiplicando arriba y abajo exactamente la misma letra. Entonces la podemos cancelar. Este es el resultado de esta primera división entre monomios. Vamos con la siguiente. Comenzamos por definir el signo. Por aquí tenemos menos con menos que nos va a dar más. Este 35 de arriba es positivo pero ese signo realmente no afecta. Nos concentramos únicamente en estos dos. Menos con menos nos da más. Vamos con los coeficientes. 35 dividido entre 5 nos da 7. Vamos con las letras. X a la 4 sobre x a la 3 nos queda x a la 1, restando los exponentes. Pero este 1 lo podemos omitir. Vamos con y a la 9 sobre y a la 4. Dejamos la misma base. Restamos los exponentes. 9 menos 4 nos da 5. Vamos ahora con z a la 5 sobre z a la 1. Dejamos la misma base. Restamos exponentes. 5 menos 1 nos da 4. Pasamos ahora al último término donde comenzamos por definir el signo. Más con menos nos da menos. 55 dividido entre 5 nos da 11. Vamos con las letras. Tenemos x a la 5 sobre x a la 3. Conservamos la x. Restamos exponentes y nos da 2. Vamos con y a la 6 sobre y a la 4. Dejamos la misma base. Restamos los exponentes. 6 menos 4 nos da 2. Y finalmente vamos con z al cuadrado sobre z a la 1. Dejamos la misma base. Restamos exponentes. 2 menos 1 nos da aquí exponente 1. Dejamos entonces únicamente la letra z. Esta es entonces la respuesta a la división entre este trinomio y este monomio.

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DIVISIÓN ENTRE MONOMIOS

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Como parte de las operaciones entre polinomios alejedrálicos, vamos a ver en esta ocasión la división entre monomios. Y, para tal efecto, vamos a desarrollar paso a paso cada uno de estos tres ejercicios. Comenzamos con el primero, el cual vamos a desarrollar detalladamente. Los otros dos ejercicios los vamos a realizar un poco más rápido. Iniciamos escribiendo esta división como una fracción. Entonces, en el numerador escribimos el primer monomio, es decir, el dividendo. Y en el denominador escribimos el segundo monomio, que es el divisor. Y enseguida vamos a realizar lo que se llama una partición de esta fracción. Vamos a escribir los números en una misma fracción, es decir, los coeficientes de los dos monomios. Eso multiplicado por otra fracción donde van las letras X, luego otra fracción donde tenemos las letras Y y la última fracción que contiene las letras Z. Como paso siguiente, realizamos esta división. Tenemos que 8 dividido entre menos 4 nos da como resultado menos 2. Recordemos que en la división aplicamos los signos, más con menos nos da menos. Vamos ahora con las letras. Y allí vamos a aplicar la siguiente propiedad de la potenciación. Cuando tenemos un cociente de potencias de la misma base, entonces conservamos la base y restamos los exponentes. Siempre el exponente de arriba menos el exponente de abajo. Entonces por aquí tendremos X elevada a la 4 menos 2, la resta de exponentes. Vamos con Y, sería 3 menos 1. Recordemos que toda letra que se encuentre completamente sola tiene exponente 1. Entonces por acá tendremos Y a la 3 menos 1 y con Z tendremos en el exponente la operación 1 menos 1. Todo esto apoyado en esta propiedad. Ahora vamos a resolver estas operaciones en los exponentes de las letras. Por acá tenemos X a la 2, tenemos también Y a la 2 y tenemos Z elevada a la 0. Y aquí aplicamos otra propiedad de la potenciación. Recordemos que cualquier cantidad A elevada al exponente 0 nos da como resultado 1. Se aclara que A no puede ser 0. De resto, cualquier cantidad elevada al exponente 0 siempre dará como resultado 1. Por lo tanto esto nos da 1. Y finalmente damos la respuesta a este ejercicio. Nos queda menos 2, X cuadrado, Y al cuadrado. Si multiplicamos por 1 nos da esto mismo. Y también eliminamos los puntos que nos indican la operación multiplicación. Este será el resultado de esta primera división entre monomios. Como decíamos, se ha realizado el ejercicio con todo el detalle. En los próximos dos ejercicios trataremos de llegar directamente de aquí a la respuesta. Es decir, realizando todo este procedimiento mentalmente. En el segundo ejercicio comenzamos por escribir la operación en forma de fracción. Tal como iniciamos el ejemplo anterior. En el numerador escribimos el primer monomio, que es el dividendo. Y en el denominador escribimos el segundo monomio, que es el divisor. Entonces allí tenemos escrita la operación como fracción. Y procedemos a resolver la operación entre los coeficientes y las potencias que tienen la misma base. Entonces tenemos menos 15 dividido entre menos 3, que nos da 5 positivo. Recordemos que menos con menos nos da más en la división. Vamos ahora con las letras A, conservamos esa base y restamos los exponentes. 6 menos 2 nos da 4. Vamos ahora con las letras B. Tendríamos B a la 3 menos 3, que nos da 0. Pero recordemos que B a la 0 equivale a 1. Por lo tanto, esto lo podemos omitir. Visto de otra manera, podemos decir que B al cubo se cancela con B al cubo en esta fracción. Eso lo podemos hacer porque arriba y abajo tenemos multiplicación. Seguimos con las letras C. Tenemos aquí exponente 2 y aquí exponente 1. Entonces dejamos la base y restamos los exponentes. 2 menos 1 nos da 1. Pero este exponente 1 lo podemos volver invisible. Sabemos que allí está presente. Entonces esta es la respuesta a esta división entre monomios. Miremos ahora la tercera operación, donde tenemos la división entre monomios con coeficientes fraccionarios y exponentes literales. Comenzamos por escribir la operación como una fracción, tal como hemos visto en los dos ejemplos anteriores. Ahora vamos a realizar la división entre los coeficientes. En ese caso tenemos una división de fraccionarios. Vamos a realizarla por acá aparte. Tenemos que primero se define el signo. Tenemos menos con más, nos da menos, aplicando la ley de los signos. Arriba escribimos 2 por 3, que sería la multiplicación de estos números externos. Y abajo escribimos 9 por 8, que es la multiplicación de los números internos. Estamos aplicando allí la ley de la oreja. Simplificamos los números que se puedan acá. Por ejemplo, 3 con 9, podemos sacarlos tercera. Tercera de 3, 1. Tercera de 9, 3. Y podríamos simplificar 2 con 8, mitad de 2, 1. Mitad de 8, 4. Como vemos ya no se puede simplificar nada más. Entonces el resultado de toda esta operación nos va a quedar menos un 12 ao. Multiplicamos arriba y abajo los números que quedaron. Entonces para el monomio resultante tendremos coeficiente menos un 12 ao. Continuamos ahora con las potencias que tiene en la misma base. Vamos con las de la letra P. Dejamos la misma base y vamos a restar exponentes. Tenemos 10m menos 6m. Allí tenemos la resta de dos términos semejantes. Y eso nos da como resultado 4m. Vamos ahora con las que tienen la letra Q. Conservamos esa base y restamos los exponentes. 6n menos n nos da 5n. Y de esta manera obtenemos la respuesta a este ejercicio. Este monomio es el resultado de realizar la división entre esos dos monomios.

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fracci\u00f3n."}, {"start": 62.0, "end": 70.0, "text": " Vamos a escribir los n\u00fameros en una misma fracci\u00f3n, es decir, los coeficientes de los dos monomios."}, {"start": 70.0, "end": 84.0, "text": " Eso multiplicado por otra fracci\u00f3n donde van las letras X, luego otra fracci\u00f3n donde tenemos las letras Y"}, {"start": 84.0, "end": 90.0, "text": " y la \u00faltima fracci\u00f3n que contiene las letras Z."}, {"start": 90.0, "end": 96.0, "text": " Como paso siguiente, realizamos esta divisi\u00f3n."}, {"start": 96.0, "end": 103.0, "text": " Tenemos que 8 dividido entre menos 4 nos da como resultado menos 2."}, {"start": 103.0, "end": 110.0, "text": " Recordemos que en la divisi\u00f3n aplicamos los signos, m\u00e1s con menos nos da menos."}, {"start": 110.0, "end": 112.0, "text": " Vamos ahora con las letras."}, {"start": 112.0, "end": 118.0, "text": " Y all\u00ed vamos a aplicar la siguiente propiedad de la potenciaci\u00f3n."}, {"start": 118.0, "end": 131.0, "text": " 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{"start": 290.0, "end": 298.0, "text": " Y procedemos a resolver la operaci\u00f3n entre los coeficientes y las potencias que tienen la misma base."}, {"start": 298.0, "end": 305.0, "text": " Entonces tenemos menos 15 dividido entre menos 3, que nos da 5 positivo."}, {"start": 305.0, "end": 309.0, "text": " Recordemos que menos con menos nos da m\u00e1s en la divisi\u00f3n."}, {"start": 309.0, "end": 317.0, "text": " Vamos ahora con las letras A, conservamos esa base y restamos los exponentes."}, {"start": 317.0, "end": 320.0, "text": " 6 menos 2 nos da 4."}, {"start": 320.0, "end": 323.0, "text": " Vamos ahora con las letras B."}, {"start": 323.0, "end": 327.0, "text": " Tendr\u00edamos B a la 3 menos 3, que nos da 0."}, {"start": 327.0, "end": 330.0, "text": " Pero recordemos que B a la 0 equivale a 1."}, {"start": 330.0, "end": 335.0, "text": " Por lo tanto, esto lo podemos omitir."}, {"start": 335.0, "end": 342.0, "text": " Visto de otra manera, podemos decir que B al cubo se cancela con B al cubo en esta fracci\u00f3n."}, {"start": 342.0, "end": 348.0, "text": " Eso lo podemos hacer porque arriba y abajo tenemos multiplicaci\u00f3n."}, {"start": 348.0, "end": 351.0, "text": " Seguimos con las letras C."}, {"start": 351.0, "end": 355.0, "text": " Tenemos aqu\u00ed exponente 2 y aqu\u00ed exponente 1."}, {"start": 355.0, "end": 359.0, "text": " Entonces dejamos la base y restamos los exponentes."}, {"start": 359.0, "end": 362.0, "text": " 2 menos 1 nos da 1."}, {"start": 362.0, "end": 367.0, "text": " Pero este exponente 1 lo podemos volver invisible."}, {"start": 367.0, "end": 369.0, "text": " Sabemos que all\u00ed est\u00e1 presente."}, {"start": 369.0, "end": 377.0, "text": " Entonces esta es la respuesta a esta divisi\u00f3n entre monomios."}, {"start": 377.0, "end": 384.0, "text": " Miremos ahora la tercera operaci\u00f3n, donde tenemos la divisi\u00f3n entre monomios"}, {"start": 384.0, "end": 390.0, "text": " con coeficientes fraccionarios y exponentes literales."}, {"start": 390.0, "end": 396.0, "text": " Comenzamos por escribir la operaci\u00f3n como una fracci\u00f3n,"}, {"start": 396.0, "end": 401.0, "text": " tal como hemos visto en los dos ejemplos anteriores."}, {"start": 401.0, "end": 407.0, "text": " Ahora vamos a realizar la divisi\u00f3n entre los coeficientes."}, {"start": 407.0, "end": 412.0, "text": " En ese caso tenemos una divisi\u00f3n de fraccionarios."}, {"start": 412.0, "end": 414.0, "text": " Vamos a realizarla por ac\u00e1 aparte."}, {"start": 414.0, "end": 418.0, "text": " Tenemos que primero se define el signo."}, {"start": 418.0, "end": 424.0, "text": " Tenemos menos con m\u00e1s, nos da menos, aplicando la ley de los signos."}, {"start": 424.0, "end": 433.0, "text": " Arriba escribimos 2 por 3, que ser\u00eda la multiplicaci\u00f3n de estos n\u00fameros externos."}, {"start": 433.0, "end": 441.0, "text": " Y abajo escribimos 9 por 8, que es la multiplicaci\u00f3n de los n\u00fameros internos."}, {"start": 441.0, "end": 446.0, "text": " Estamos aplicando all\u00ed la ley de la oreja."}, {"start": 446.0, "end": 449.0, "text": " Simplificamos los n\u00fameros que se puedan ac\u00e1."}, {"start": 449.0, "end": 454.0, "text": " Por ejemplo, 3 con 9, podemos sacarlos tercera."}, {"start": 454.0, "end": 458.0, "text": " Tercera de 3, 1. Tercera de 9, 3."}, {"start": 458.0, "end": 464.0, "text": " Y podr\u00edamos simplificar 2 con 8, mitad de 2, 1."}, {"start": 464.0, "end": 466.0, "text": " Mitad de 8, 4."}, {"start": 466.0, "end": 469.0, "text": " Como vemos ya no se puede simplificar nada m\u00e1s."}, {"start": 469.0, "end": 477.0, "text": " Entonces el resultado de toda esta operaci\u00f3n nos va a quedar menos un 12 ao."}, {"start": 477.0, "end": 481.0, "text": " Multiplicamos arriba y abajo los n\u00fameros que quedaron."}, {"start": 481.0, "end": 491.0, "text": " Entonces para el monomio resultante tendremos coeficiente menos un 12 ao."}, {"start": 491.0, "end": 496.0, "text": " Continuamos ahora con las potencias que tiene en la misma base."}, {"start": 496.0, "end": 500.0, "text": " Vamos con las de la letra P."}, {"start": 500.0, "end": 504.0, "text": " Dejamos la misma base y vamos a restar exponentes."}, {"start": 504.0, "end": 508.0, "text": " Tenemos 10m menos 6m."}, {"start": 508.0, "end": 513.0, "text": " All\u00ed tenemos la resta de dos t\u00e9rminos semejantes."}, {"start": 513.0, "end": 517.0, "text": " Y eso nos da como resultado 4m."}, {"start": 517.0, "end": 521.0, "text": " Vamos ahora con las que tienen la letra Q."}, {"start": 521.0, "end": 526.0, "text": " Conservamos esa base y restamos los exponentes."}, {"start": 526.0, "end": 531.0, "text": " 6n menos n nos da 5n."}, {"start": 531.0, "end": 538.0, "text": " Y de esta manera obtenemos la respuesta a este ejercicio."}, {"start": 538.0, "end": 551.0, "text": " Este monomio es el resultado de realizar la divisi\u00f3n entre esos dos monomios."}]

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APLICACIÓN DE LA DERIVADA AL TRAZADO DE CURVAS - Ejercicio 2

#julioprofe explica cómo trazar la gráfica de una función polinómica usando derivadas para hallar sus elementos más importantes. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Utilizando derivadas, vamos a graficar esta función mostrando sus elementos más importantes. Comenzamos por establecer su dominio. Tenemos en este caso una función polinómica de grado 3. Y para ese tipo de funciones, x puede tomar cualquier valor del conjunto de los reales. Por lo tanto, para esta función decimos que son los x pertenecientes a los reales. X puede tomar cualquier valor, bien sea negativo, positivo, el cero, valores decimales, valores enteros, cualquier valor perteneciente a los reales. Como segundo paso, vamos a determinar la primera y la segunda derivada de la función. Entonces, vamos con la primera. f' de x es igual a lo siguiente. Como tenemos un polinomio, entonces derivamos cada uno de los términos. Comenzamos con x al cubo. Su derivada es 3x al cuadrado. Vamos al siguiente término. Baja el 2 a multiplicar con 6. Nos queda 12x a la 1. Recordemos que acá restamos 1. Menos derivada de 15x que nos da 15. Y la derivada de 40 es 0. Recordemos que la derivada de toda constante es 0. Allí tenemos entonces f' de x, o sea la primera derivada. Vamos con la segunda derivada. Derivamos entonces esta expresión. Nuevamente derivamos cada uno de los términos. Comenzamos con 3x al cuadrado, cuya derivada es 6x. Menos derivada de 12x que nos da 12. Y la derivada de menos 15 nos da 0, por ser la derivada de una constante. Escribimos por acá en la parte superior la función original, la primera derivada y la segunda derivada. Que es lo que vamos a utilizar para este ejercicio. Y vamos entonces al tercer paso. Donde vamos a determinar los puntos críticos de la función. Los puntos críticos de una función se definen como aquellos sitios de la gráfica donde tenemos recta tangente horizontal. Y se determinan igualando a 0 la primera derivada. Entonces hacemos f' de x igual a 0, es decir la expresión 3x al cuadrado menos 12x menos 15 igual a 0. Resolviendo esta ecuación vamos a determinar las abscisas, es decir los valores en x de los puntos críticos. Podríamos resolver esta ecuación primero dividiendo todo entre 3. Observamos que los números son todos múltiplos de 3. Entonces podemos dividir por 3 para que nos queden números más pequeños. Nos queda entonces x cuadrado menos 4x menos 5 y esto igual a 0. Al otro lado también 0 se divide entre 3 y nos da 0. Tenemos entonces una ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado. Vamos a resolver por factorización. Este trinomio se puede factorizar utilizando el caso llamado trinomio de la forma x cuadrado más bx más c. Repartimos la x en cada paréntesis. Vamos con los signos más por menos nos da menos, menos por menos nos da más y buscamos los números que multiplicados de menos 5 y que sumados entre sí nos den menos 4. Esos números son menos 5 y 1. A continuación utilizamos el teorema del factor nulo. Recordemos que ese teorema, teorema del factor nulo nos dice que si a por b es igual a 0, entonces a es igual a 0 o b es igual a 0. Entonces aquí decimos que x menos 5 es igual a 0 o x más 1 igual a 0. Cada factor se iguala a 0. Por acá despejamos x y nos da 5. Por acá despejamos x y nos da menos 1. Estas son entonces las abscisas de los puntos críticos, es decir, los valores en x donde vamos a tener en esta curva recta tangente horizontal. Vamos a escribirlos por aquí. De x igual a menos 1 y de x igual a 5, los valores en x donde hay puntos críticos. Y vamos ahora con el paso número 4 que será determinar dónde la función es creciente y dónde es decreciente. Esto lo vamos a hacer con la primera derivada. Vamos a analizar su signo y de esa manera determinamos si la función es creciente o decreciente. El criterio es el siguiente. Si la primera derivada es positiva en un intervalo, entonces la función es creciente en dicho intervalo. Si la primera derivada es negativa en un intervalo, entonces la función es decreciente en dicho intervalo. Para hacer ese análisis de la primera derivada vamos a factorizarla. En este caso podemos sacar factor común 3. Nos queda factor de x cuadrado menos 4x menos 5. Y también podemos factorizar este trinomio tal como vimos ahora en la solución de la ecuación cuadrática. Recordemos que eso nos dio x menos x más, dos números que multiplicados de menos 5 y que sumados de menos 4 son menos 5 y 1. Recordemos esto porque lo que viene a continuación resulta más sencillo si tenemos la expresión factorizada. Comenzamos dibujando una recta que represente el dominio de la función. Y recordemos que habíamos dicho que para esa función el dominio son los x pertenecientes a los números reales. Sobre esta recta vamos a ubicar el valor menos 1, supongamos que está por aquí, y también el valor 5, es decir, las abscisas de los puntos críticos. Por aquí tendremos el punto crítico 1 en menos 1 y el punto crítico 2 en 5. Trazamos estas líneas verticales por donde tenemos los puntos críticos y de esa manera se determinan tres intervalos donde vamos a analizar el signo de la primera derivada. Y para eso seleccionamos valores de cada intervalo, lo que se llaman valores de prueba. Entonces del primero seleccionamos cualquier número real comprendido entre menos 1 y menos infinito. Podríamos escoger el menos 3. Del segundo intervalo, escogemos un número real comprendido entre menos 1 y 5. Podríamos tomar el 0. Y del tercer intervalo, seleccionamos un número real comprendido entre 5 y más infinito. En ese caso podríamos tomar el 7. Cada uno de esos valores seleccionados lo vamos a reemplazar en la primera derivada. Entonces por acá tendremos f' de menos 3, por acá tendremos f' de 0 y por acá f' de 7. Y lo que nos interesa analizar en cada caso es el signo que adopta la primera derivada. Para ello vamos a determinar entonces el signo de cada uno de los factores. Por este 3 no nos preocupamos porque siempre es una cantidad positiva. Entonces vamos a ocuparnos de los factores que contienen la X. Vamos a determinar su signo. Comenzamos entonces con menos 3. Por acá, menos 3 menos 5 nos da menos 8. Entonces aquí el primer factor es negativo. Vamos acá otra vez con menos 3. Menos 3 más 1 nos da menos 2. Anotamos como decíamos los signos. No nos interesa tanto el resultado numérico sino los signos. De esa manera tendremos para este primer intervalo que la primera derivada es positiva. Menos por menos nos da más. En el segundo intervalo vamos a probar con X igual a 0. Aquí 0 menos 5 da menos 5, o sea negativo. Y aquí 0 más 1 nos da 1 positivo. De esa manera tendremos en el segundo intervalo que la primera derivada es negativa. Menos por más nos da menos. Y en el tercer intervalo probamos con X igual a 7. Veamos, 7 menos 5 nos da 2 positivo. 7 más 1 nos da 8 positivo. De esa manera la primera derivada es positiva en el tercer intervalo. Más por más nos da más. Y allí ya podemos decidir el comportamiento de la función. Para el primer intervalo donde la primera derivada es positiva tenemos que la función es creciente. En el segundo intervalo donde la derivada es negativa la función es decreciente. Y en el tercer intervalo donde la derivada es positiva entonces la función es creciente. Con eso que acabamos de determinar también podemos establecer la naturaleza de los puntos críticos. Veamos para el caso del primero. Si la función crece y después decrece entonces aquí tendremos lo que se llama un máximo local o máximo relativo de la función. Y por acá en el punto crítico 2 si la función decrece y después crece entonces tendremos un mínimo. Mínimo local o mínimo relativo de la función. Vamos a escribir entonces esa información por acá. En la abscisa x igual a menos 1 tenemos un punto crítico máximo. Y en la abscisa x igual a 5 tendremos un punto crítico mínimo. Entonces hasta allí utilizamos la primera derivada. Nos sirvió para determinar puntos críticos y para determinar donde la función crece y donde decrece. Vamos ahora con el paso número 5. Aquí se trata de encontrar donde la función tiene lo que se llaman puntos de inflexión. Que son los puntos donde se presenta cambio de concavidad. Para ello tomamos la segunda derivada y la igualamos a 0. Esa será entonces la clave para encontrar los puntos de inflexión de una función. Vamos entonces con la segunda derivada que es 6x menos 12. Al igualar a 0 tenemos una ecuación de primer grado. Entonces despejamos primero el término 6x, pasa el 12 positivo a la derecha, despejamos x, nos queda 12 dividido 6 de donde x es igual a 2. De esa manera encontramos la abscisa, es decir el valor en x del punto de inflexión. Como paso número 6 vamos a determinar las concavidades de la función. Vamos a establecer donde la función es cóncava hacia arriba y donde es cóncava hacia abajo. Y para ello el criterio es el siguiente. Si en un intervalo la segunda derivada es positiva entonces tendremos que allí la función es cóncava hacia arriba. Si en un intervalo la segunda derivada es negativa entonces en ese intervalo la curva o la función es cóncava hacia abajo. Entonces para determinar las concavidades trazamos una recta que simbolice el dominio de la función, es decir todos los x pertenecientes a los reales. Y sobre ella vamos a localizar el valor en x, es decir 2, donde tuvimos punto de inflexión. Trazamos entonces esta línea vertical por el valor x igual a 2 y de esa manera se determinan dos intervalos donde vamos a realizar el análisis del signo de la segunda derivada. Entonces elegimos valores de prueba, valores de cada intervalo. Del primero escogemos un número real comprendido entre 2 y menos infinito, podríamos tomar el 0. Y del segundo intervalo un número real comprendido entre 2 y más infinito, vamos a seleccionar por ejemplo el 4. Cada uno de esos números los vamos a probar en la segunda derivada. Vamos a ver que signo adopta la segunda derivada para cada uno de ellos. Veamos entonces con x igual a 0, por acá tenemos 6 por 0 nos da 0, 0 menos 12 nos da menos 12. Nos interesa es el signo, es decir negativo. Entonces por acá tenemos segunda derivada negativa. Vamos al siguiente intervalo, tenemos con x igual a 4 lo siguiente, 6 por 4 da 24, 24 menos 12 nos da 12 positivo. Entonces para el segundo intervalo tenemos que la segunda derivada tiene signo positivo. Esto nos dice entonces que en el primer intervalo donde la segunda derivada es negativa la función será cóncava hacia abajo. Y en el siguiente intervalo donde la segunda derivada es positiva tendremos con cavidad hacia arriba. Como séptimo paso vamos a determinar lo que se llaman los puntos principales de la función. Como hemos observado todo el análisis que se ha hecho nos ha producido valores de x, es decir abscisas. Entonces ahora vamos a ir a la función original, vamos a reemplazar en ella los valores de x obtenidos para obtener las ordenadas. Recordemos que los valores de y o las ordenadas se obtienen reemplazando en la función original y de esa manera tendremos los puntos o las parejas ordenadas que vamos a localizar en el plano cartesiano. Hacemos entonces una tabla de valores y para x vamos a tomar los valores obtenidos, menos uno después le sigue dos y después cinco. Tratamos de organizarlos en forma ascendente. Ahora vamos a reemplazar cada uno de estos valores en la función, eso ya lo hemos realizado en una calculadora científica y hemos obtenido los siguientes valores. Para x igual a menos uno y vale 48, para x igual a 2 y vale menos 6 y para x igual a 5 y vale menos 60. Entonces estos puntos son los que vamos a llevar al plano cartesiano y serán los puntos críticos y el punto de inflexión. Por aquí escribimos esas parejas ordenadas y algo adicional que podemos hacer para darle más precisión a la gráfica en el plano cartesiano es encontrar los cortes o intersecciones de la función con los ejes coordenados. Entonces el corte o intersección con el eje y recordemos que se obtiene haciendo x igual a cero. Entonces si en esta función x vale cero, esos términos se nos van y nos queda y igual a 40. Entonces tendremos corte en el eje y en la ordenada 40. Si vamos a hallar los cortes con el eje x, entonces hacemos y igual a cero. En ese caso tenemos esta expresión x al cubo menos 6x cuadrado menos 15x más 40 igual a cero. Una ecuación cúbica. Esa ecuación la hemos resuelto también en una calculadora científica y hemos obtenido los siguientes resultados. x igual a menos 3.1, x igual a 1.8 y x igual a 7.3 serían entonces las tres abscisas donde la curva intersecta o corta al eje x. Por aquí hemos anotado esa información. y intersecto en 40, x intersecto en los tres valores que encontramos al solucionar la ecuación cúbica. Y como paso final vamos entonces a construir la gráfica en el plano cartesiano. Allí lo tenemos dibujado con escalas apropiadas para poder localizar los valores y los puntos obtenidos. Entonces comenzamos con el punto menos 1,48. Cuando x vale menos 1 subimos hasta 48. Aquí tenemos 50 entonces un poco más abajo tenemos la localización de este primer punto que corresponde al punto crítico 1. Vamos a colocarle por aquí p1, punto crítico 1 que ya lo tenemos localizado. Vamos ahora con el punto 2,6. Entonces aquí estamos en x igual a 2 y bajamos hasta menos 6 que es aproximadamente por acá. Este valor sería menos 10 entonces aquí es menos 6. Tenemos entonces allí el punto de inflexión. Recordemos que en x igual a 2 habíamos determinado el punto de inflexión de la curva. Vamos ahora con el punto 5, menos 60. Nos ubicamos aquí en 5 y bajamos hasta menos 60 y de esa manera tenemos localizado el punto crítico 2 de esta función. A continuación vamos a localizar los cortes con los ejes. Corte con el eje y ocurre en la ordenada 40 y los cortes con el eje x ocurren en las abscisas menos 3,1, 1,8 por aquí más o menos y 7,3 que es por acá. Entonces tenemos 3 puntos de corte con el eje x y enseguida vamos a dibujar la curva que pase por estos puntos. Vamos a trazar una curva suave y para ello se recomienda utilizar el curvígrafo. Allí tenemos la primera parte de la curva pasa por el punto de corte menos 3,1 en el eje x y por el primer punto crítico. Vemos que es una porción creciente de la función. Recordemos que habíamos dicho en el análisis en el punto 4 que de menos infinito hasta menos 1, es decir hasta el primer punto crítico la función era creciente. Allí la primera derivada nos dio positiva. Entonces allí podemos observar ese comportamiento. Vemos ahora otra parte de la curva. Inicia aquí en el punto crítico 1, pasa por el punto de corte con el eje y, pasa por el punto de corte con el eje x, el que tenemos en 1,8 y llega al punto de inflexión, al punto 2,-6. Allí podemos observar como la curva esconcava hacia abajo desde menos infinito hasta 2, que fue lo que obtuvimos del análisis en el punto 6. Dibujamos la otra parte de la curva, va desde el punto de inflexión hasta el punto crítico 2. Allí puede apreciarse como la función es decreciente desde x igual a menos 1 hasta x igual a 5. En esa zona la función presenta primera derivada negativa tal como lo vimos en el análisis del punto 4. Finalmente trazamos esta parte de la curva, va desde el punto crítico 2, pasando por el corte con el eje x que ocurre en 7,3. Entonces por acá tenemos que la función continúa subiendo, es decir, los valores en y se van hacia más infinito. Y por acá si continuamos hacia la izquierda entonces la función seguirá bajando. La curva hará tendencia en los valores de y hacia menos infinito. Entonces vemos como con derivadas hemos realizado el análisis de esta función y hemos llegado a la construcción de su gráfica. Tenemos entonces como puntos principales el punto crítico 1, que como decíamos es un máximo local o máximo relativo de la función. Punto crítico 2, que es un punto mínimo, mínimo local o mínimo relativo de la función. Aquí como decíamos son puntos críticos porque tenemos recta tangente horizontal. Esa es la razón de ser de los puntos críticos. Y también tenemos el punto de inflexión que es donde se presenta cambio de concavidad. Vemos que la función aquí es cóncava hacia abajo desde menos infinito hasta 2 y luego cambia su concavidad hacia arriba desde 2 hacia más infinito. También el comportamiento creciente y decreciente de la función. Creciente desde menos infinito hasta menos 1, decreciente desde menos 1 hasta 5 y nuevamente creciente desde 5 hasta más infinito. Ya teniendo la gráfica de la función es posible determinar el rango de la misma. Aquí observamos como todos los valores del eje y, todos los valores reales que se encuentran sobre este eje tienen participación en la función. Además que ella, como decíamos, aquí sigue hacia abajo y aquí va hacia arriba. Entonces le da participación a todos los valores reales del eje y. Se escribe entonces así. Rango de la función, los valores de y pertenecientes a los números reales. Entonces para esta función cúbica el dominio y el rango son todos los reales. Bien, de esta manera finalizamos este ejercicio donde utilizando derivadas hemos llegado a la gráfica de esta función mostrando sus elementos principales.

[{"start": 0.0, "end": 9.0, "text": " Utilizando derivadas, vamos a graficar esta funci\u00f3n mostrando sus elementos m\u00e1s importantes."}, {"start": 9.0, "end": 14.0, "text": " Comenzamos por establecer su dominio."}, {"start": 14.0, "end": 20.0, "text": " Tenemos en este caso una funci\u00f3n polin\u00f3mica de grado 3."}, {"start": 20.0, "end": 29.0, "text": " Y para ese tipo de funciones, x puede tomar cualquier valor del conjunto de los reales."}, {"start": 29.0, "end": 37.0, "text": " Por lo tanto, para esta funci\u00f3n decimos que son los x pertenecientes a los reales."}, {"start": 37.0, "end": 50.0, "text": " X puede tomar cualquier valor, bien sea negativo, positivo, el cero, valores decimales, valores enteros, cualquier valor perteneciente a los reales."}, {"start": 50.0, "end": 60.0, "text": " Como segundo paso, vamos a determinar la primera y la segunda derivada de la funci\u00f3n."}, {"start": 60.0, "end": 64.0, "text": " Entonces, vamos con la primera."}, {"start": 64.0, "end": 68.0, "text": " f' de x es igual a lo siguiente."}, {"start": 68.0, "end": 73.0, "text": " Como tenemos un polinomio, entonces derivamos cada uno de los t\u00e9rminos."}, {"start": 73.0, "end": 75.0, "text": " Comenzamos con x al cubo."}, {"start": 75.0, "end": 79.0, "text": " Su derivada es 3x al cuadrado."}, {"start": 79.0, "end": 81.0, "text": " Vamos al siguiente t\u00e9rmino."}, {"start": 81.0, "end": 83.0, "text": " Baja el 2 a multiplicar con 6."}, {"start": 83.0, "end": 86.0, "text": " Nos queda 12x a la 1."}, {"start": 86.0, "end": 89.0, "text": " Recordemos que ac\u00e1 restamos 1."}, {"start": 89.0, "end": 93.0, "text": " Menos derivada de 15x que nos da 15."}, {"start": 93.0, "end": 97.0, "text": " Y la derivada de 40 es 0."}, {"start": 97.0, "end": 102.0, "text": " Recordemos que la derivada de toda constante es 0."}, {"start": 102.0, "end": 108.0, "text": " All\u00ed tenemos entonces f' de x, o sea la primera derivada."}, {"start": 108.0, "end": 110.0, "text": " Vamos con la segunda derivada."}, {"start": 110.0, "end": 113.0, "text": " Derivamos entonces esta expresi\u00f3n."}, {"start": 113.0, "end": 117.0, "text": " Nuevamente derivamos cada uno de los t\u00e9rminos."}, {"start": 117.0, "end": 122.0, "text": " Comenzamos con 3x al cuadrado, cuya derivada es 6x."}, {"start": 122.0, "end": 126.0, "text": " Menos derivada de 12x que nos da 12."}, {"start": 126.0, "end": 134.0, "text": " Y la derivada de menos 15 nos da 0, por ser la derivada de una constante."}, {"start": 134.0, "end": 144.0, "text": " Escribimos por ac\u00e1 en la parte superior la funci\u00f3n original, la primera derivada y la segunda derivada."}, {"start": 144.0, "end": 149.0, "text": " Que es lo que vamos a utilizar para este ejercicio."}, {"start": 149.0, "end": 154.0, "text": " Y vamos entonces al tercer paso."}, {"start": 154.0, "end": 163.0, "text": " Donde vamos a determinar los puntos cr\u00edticos de la funci\u00f3n."}, {"start": 163.0, "end": 175.0, "text": " Los puntos cr\u00edticos de una funci\u00f3n se definen como aquellos sitios de la gr\u00e1fica donde tenemos recta tangente horizontal."}, {"start": 175.0, "end": 181.0, "text": " Y se determinan igualando a 0 la primera derivada."}, {"start": 181.0, "end": 197.0, "text": " Entonces hacemos f' de x igual a 0, es decir la expresi\u00f3n 3x al cuadrado menos 12x menos 15 igual a 0."}, {"start": 197.0, "end": 207.0, "text": " Resolviendo esta ecuaci\u00f3n vamos a determinar las abscisas, es decir los valores en x de los puntos cr\u00edticos."}, {"start": 207.0, "end": 215.0, "text": " Podr\u00edamos resolver esta ecuaci\u00f3n primero dividiendo todo entre 3."}, {"start": 215.0, "end": 219.0, "text": " Observamos que los n\u00fameros son todos m\u00faltiplos de 3."}, {"start": 219.0, "end": 224.0, "text": " Entonces podemos dividir por 3 para que nos queden n\u00fameros m\u00e1s peque\u00f1os."}, {"start": 224.0, "end": 232.0, "text": " Nos queda entonces x cuadrado menos 4x menos 5 y esto igual a 0."}, {"start": 232.0, "end": 237.0, "text": " Al otro lado tambi\u00e9n 0 se divide entre 3 y nos da 0."}, {"start": 237.0, "end": 242.0, "text": " Tenemos entonces una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica o ecuaci\u00f3n de segundo grado."}, {"start": 242.0, "end": 245.0, "text": " Vamos a resolver por factorizaci\u00f3n."}, {"start": 245.0, "end": 254.0, "text": " Este trinomio se puede factorizar utilizando el caso llamado trinomio de la forma x cuadrado m\u00e1s bx m\u00e1s c."}, {"start": 254.0, "end": 257.0, "text": " Repartimos la x en cada par\u00e9ntesis."}, {"start": 257.0, "end": 271.0, "text": " Vamos con los signos m\u00e1s por menos nos da menos, menos por menos nos da m\u00e1s y buscamos los n\u00fameros que multiplicados de menos 5 y que sumados entre s\u00ed nos den menos 4."}, {"start": 271.0, "end": 276.0, "text": " Esos n\u00fameros son menos 5 y 1."}, {"start": 276.0, "end": 280.0, "text": " A continuaci\u00f3n utilizamos el teorema del factor nulo."}, {"start": 280.0, "end": 297.0, "text": " Recordemos que ese teorema, teorema del factor nulo nos dice que si a por b es igual a 0, entonces a es igual a 0 o b es igual a 0."}, {"start": 297.0, "end": 310.0, "text": " Entonces aqu\u00ed decimos que x menos 5 es igual a 0 o x m\u00e1s 1 igual a 0."}, {"start": 310.0, "end": 313.0, "text": " Cada factor se iguala a 0."}, {"start": 313.0, "end": 316.0, "text": " Por ac\u00e1 despejamos x y nos da 5."}, {"start": 316.0, "end": 321.0, "text": " Por ac\u00e1 despejamos x y nos da menos 1."}, {"start": 321.0, "end": 336.0, "text": " Estas son entonces las abscisas de los puntos cr\u00edticos, es decir, los valores en x donde vamos a tener en esta curva recta tangente horizontal."}, {"start": 336.0, "end": 341.0, "text": " Vamos a escribirlos por aqu\u00ed."}, {"start": 341.0, "end": 351.0, "text": " De x igual a menos 1 y de x igual a 5, los valores en x donde hay puntos cr\u00edticos."}, {"start": 351.0, "end": 368.0, "text": " Y vamos ahora con el paso n\u00famero 4 que ser\u00e1 determinar d\u00f3nde la funci\u00f3n es creciente y d\u00f3nde es decreciente."}, {"start": 368.0, "end": 372.0, "text": " Esto lo vamos a hacer con la primera derivada."}, {"start": 372.0, "end": 380.0, "text": " Vamos a analizar su signo y de esa manera determinamos si la funci\u00f3n es creciente o decreciente."}, {"start": 380.0, "end": 383.0, "text": " El criterio es el siguiente."}, {"start": 383.0, "end": 395.0, "text": " Si la primera derivada es positiva en un intervalo, entonces la funci\u00f3n es creciente en dicho intervalo."}, {"start": 395.0, "end": 407.0, "text": " Si la primera derivada es negativa en un intervalo, entonces la funci\u00f3n es decreciente en dicho intervalo."}, {"start": 407.0, "end": 414.0, "text": " Para hacer ese an\u00e1lisis de la primera derivada vamos a factorizarla."}, {"start": 414.0, "end": 418.0, "text": " En este caso podemos sacar factor com\u00fan 3."}, {"start": 418.0, "end": 423.0, "text": " Nos queda factor de x cuadrado menos 4x menos 5."}, {"start": 423.0, "end": 433.0, "text": " Y tambi\u00e9n podemos factorizar este trinomio tal como vimos ahora en la soluci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica."}, {"start": 433.0, "end": 445.0, "text": " Recordemos que eso nos dio x menos x m\u00e1s, dos n\u00fameros que multiplicados de menos 5 y que sumados de menos 4 son menos 5 y 1."}, {"start": 445.0, "end": 454.0, "text": " Recordemos esto porque lo que viene a continuaci\u00f3n resulta m\u00e1s sencillo si tenemos la expresi\u00f3n factorizada."}, {"start": 454.0, "end": 460.0, "text": " Comenzamos dibujando una recta que represente el dominio de la funci\u00f3n."}, {"start": 460.0, "end": 469.0, "text": " Y recordemos que hab\u00edamos dicho que para esa funci\u00f3n el dominio son los x pertenecientes a los n\u00fameros reales."}, {"start": 469.0, "end": 484.0, "text": " Sobre esta recta vamos a ubicar el valor menos 1, supongamos que est\u00e1 por aqu\u00ed, y tambi\u00e9n el valor 5, es decir, las abscisas de los puntos cr\u00edticos."}, {"start": 484.0, "end": 492.0, "text": " Por aqu\u00ed tendremos el punto cr\u00edtico 1 en menos 1 y el punto cr\u00edtico 2 en 5."}, {"start": 492.0, "end": 509.0, "text": " Trazamos estas l\u00edneas verticales por donde tenemos los puntos cr\u00edticos y de esa manera se determinan tres intervalos donde vamos a analizar el signo de la primera derivada."}, {"start": 509.0, "end": 515.0, "text": " Y para eso seleccionamos valores de cada intervalo, lo que se llaman valores de prueba."}, {"start": 515.0, "end": 523.0, "text": " Entonces del primero seleccionamos cualquier n\u00famero real comprendido entre menos 1 y menos infinito."}, {"start": 523.0, "end": 526.0, "text": " Podr\u00edamos escoger el menos 3."}, {"start": 526.0, "end": 533.0, "text": " Del segundo intervalo, escogemos un n\u00famero real comprendido entre menos 1 y 5."}, {"start": 533.0, "end": 536.0, "text": " Podr\u00edamos tomar el 0."}, {"start": 536.0, "end": 544.0, "text": " Y del tercer intervalo, seleccionamos un n\u00famero real comprendido entre 5 y m\u00e1s infinito."}, {"start": 544.0, "end": 548.0, "text": " En ese caso podr\u00edamos tomar el 7."}, {"start": 551.0, "end": 559.0, "text": " Cada uno de esos valores seleccionados lo vamos a reemplazar en la primera derivada."}, {"start": 559.0, "end": 573.0, "text": " Entonces por ac\u00e1 tendremos f' de menos 3, por ac\u00e1 tendremos f' de 0 y por ac\u00e1 f' de 7."}, {"start": 573.0, "end": 582.0, "text": " Y lo que nos interesa analizar en cada caso es el signo que adopta la primera derivada."}, {"start": 582.0, "end": 587.0, "text": " Para ello vamos a determinar entonces el signo de cada uno de los factores."}, {"start": 587.0, "end": 592.0, "text": " Por este 3 no nos preocupamos porque siempre es una cantidad positiva."}, {"start": 592.0, "end": 599.0, "text": " Entonces vamos a ocuparnos de los factores que contienen la X."}, {"start": 599.0, "end": 602.0, "text": " Vamos a determinar su signo."}, {"start": 602.0, "end": 605.0, "text": " Comenzamos entonces con menos 3."}, {"start": 605.0, "end": 609.0, "text": " Por ac\u00e1, menos 3 menos 5 nos da menos 8."}, {"start": 609.0, "end": 612.0, "text": " Entonces aqu\u00ed el primer factor es negativo."}, {"start": 612.0, "end": 615.0, "text": " Vamos ac\u00e1 otra vez con menos 3."}, {"start": 615.0, "end": 619.0, "text": " Menos 3 m\u00e1s 1 nos da menos 2."}, {"start": 619.0, "end": 622.0, "text": " Anotamos como dec\u00edamos los signos."}, {"start": 622.0, "end": 628.0, "text": " No nos interesa tanto el resultado num\u00e9rico sino los signos."}, {"start": 628.0, "end": 635.0, "text": " De esa manera tendremos para este primer intervalo que la primera derivada es positiva."}, {"start": 635.0, "end": 638.0, "text": " Menos por menos nos da m\u00e1s."}, {"start": 638.0, "end": 643.0, "text": " En el segundo intervalo vamos a probar con X igual a 0."}, {"start": 643.0, "end": 647.0, "text": " Aqu\u00ed 0 menos 5 da menos 5, o sea negativo."}, {"start": 647.0, "end": 651.0, "text": " Y aqu\u00ed 0 m\u00e1s 1 nos da 1 positivo."}, {"start": 651.0, "end": 658.0, "text": " De esa manera tendremos en el segundo intervalo que la primera derivada es negativa."}, {"start": 658.0, "end": 661.0, "text": " Menos por m\u00e1s nos da menos."}, {"start": 661.0, "end": 666.0, "text": " Y en el tercer intervalo probamos con X igual a 7."}, {"start": 666.0, "end": 670.0, "text": " Veamos, 7 menos 5 nos da 2 positivo."}, {"start": 670.0, "end": 674.0, "text": " 7 m\u00e1s 1 nos da 8 positivo."}, {"start": 674.0, "end": 681.0, "text": " De esa manera la primera derivada es positiva en el tercer intervalo."}, {"start": 681.0, "end": 684.0, "text": " M\u00e1s por m\u00e1s nos da m\u00e1s."}, {"start": 684.0, "end": 690.0, "text": " Y all\u00ed ya podemos decidir el comportamiento de la funci\u00f3n."}, {"start": 690.0, "end": 697.0, "text": " Para el primer intervalo donde la primera derivada es positiva tenemos que la funci\u00f3n es creciente."}, {"start": 697.0, "end": 703.0, "text": " En el segundo intervalo donde la derivada es negativa la funci\u00f3n es decreciente."}, {"start": 703.0, "end": 714.0, "text": " Y en el tercer intervalo donde la derivada es positiva entonces la funci\u00f3n es creciente."}, {"start": 714.0, "end": 723.0, "text": " Con eso que acabamos de determinar tambi\u00e9n podemos establecer la naturaleza de los puntos cr\u00edticos."}, {"start": 723.0, "end": 725.0, "text": " Veamos para el caso del primero."}, {"start": 725.0, "end": 737.0, "text": " Si la funci\u00f3n crece y despu\u00e9s decrece entonces aqu\u00ed tendremos lo que se llama un m\u00e1ximo local o m\u00e1ximo relativo de la funci\u00f3n."}, {"start": 737.0, "end": 747.0, "text": " Y por ac\u00e1 en el punto cr\u00edtico 2 si la funci\u00f3n decrece y despu\u00e9s crece entonces tendremos un m\u00ednimo."}, {"start": 747.0, "end": 752.0, "text": " M\u00ednimo local o m\u00ednimo relativo de la funci\u00f3n."}, {"start": 752.0, "end": 755.0, "text": " Vamos a escribir entonces esa informaci\u00f3n por ac\u00e1."}, {"start": 755.0, "end": 761.0, "text": " En la abscisa x igual a menos 1 tenemos un punto cr\u00edtico m\u00e1ximo."}, {"start": 761.0, "end": 768.0, "text": " Y en la abscisa x igual a 5 tendremos un punto cr\u00edtico m\u00ednimo."}, {"start": 768.0, "end": 772.0, "text": " Entonces hasta all\u00ed utilizamos la primera derivada."}, {"start": 772.0, "end": 781.0, "text": " Nos sirvi\u00f3 para determinar puntos cr\u00edticos y para determinar donde la funci\u00f3n crece y donde decrece."}, {"start": 781.0, "end": 785.0, "text": " Vamos ahora con el paso n\u00famero 5."}, {"start": 785.0, "end": 793.0, "text": " Aqu\u00ed se trata de encontrar donde la funci\u00f3n tiene lo que se llaman puntos de inflexi\u00f3n."}, {"start": 793.0, "end": 799.0, "text": " Que son los puntos donde se presenta cambio de concavidad."}, {"start": 799.0, "end": 807.0, "text": " Para ello tomamos la segunda derivada y la igualamos a 0."}, {"start": 807.0, "end": 814.0, "text": " Esa ser\u00e1 entonces la clave para encontrar los puntos de inflexi\u00f3n de una funci\u00f3n."}, {"start": 814.0, "end": 819.0, "text": " Vamos entonces con la segunda derivada que es 6x menos 12."}, {"start": 819.0, "end": 823.0, "text": " Al igualar a 0 tenemos una ecuaci\u00f3n de primer grado."}, {"start": 823.0, "end": 836.0, "text": " Entonces despejamos primero el t\u00e9rmino 6x, pasa el 12 positivo a la derecha, despejamos x, nos queda 12 dividido 6 de donde x es igual a 2."}, {"start": 836.0, "end": 848.0, "text": " De esa manera encontramos la abscisa, es decir el valor en x del punto de inflexi\u00f3n."}, {"start": 848.0, "end": 856.0, "text": " Como paso n\u00famero 6 vamos a determinar las concavidades de la funci\u00f3n."}, {"start": 856.0, "end": 864.0, "text": " Vamos a establecer donde la funci\u00f3n es c\u00f3ncava hacia arriba y donde es c\u00f3ncava hacia abajo."}, {"start": 864.0, "end": 868.0, "text": " Y para ello el criterio es el siguiente."}, {"start": 868.0, "end": 878.0, "text": " Si en un intervalo la segunda derivada es positiva entonces tendremos que all\u00ed la funci\u00f3n es c\u00f3ncava hacia arriba."}, {"start": 878.0, "end": 892.0, "text": " Si en un intervalo la segunda derivada es negativa entonces en ese intervalo la curva o la funci\u00f3n es c\u00f3ncava hacia abajo."}, {"start": 892.0, "end": 904.0, "text": " Entonces para determinar las concavidades trazamos una recta que simbolice el dominio de la funci\u00f3n, es decir todos los x pertenecientes a los reales."}, {"start": 904.0, "end": 915.0, "text": " Y sobre ella vamos a localizar el valor en x, es decir 2, donde tuvimos punto de inflexi\u00f3n."}, {"start": 915.0, "end": 931.0, "text": " Trazamos entonces esta l\u00ednea vertical por el valor x igual a 2 y de esa manera se determinan dos intervalos donde vamos a realizar el an\u00e1lisis del signo de la segunda derivada."}, {"start": 931.0, "end": 937.0, "text": " Entonces elegimos valores de prueba, valores de cada intervalo."}, {"start": 937.0, "end": 946.0, "text": " Del primero escogemos un n\u00famero real comprendido entre 2 y menos infinito, podr\u00edamos tomar el 0."}, {"start": 946.0, "end": 956.0, "text": " Y del segundo intervalo un n\u00famero real comprendido entre 2 y m\u00e1s infinito, vamos a seleccionar por ejemplo el 4."}, {"start": 956.0, "end": 962.0, "text": " Cada uno de esos n\u00fameros los vamos a probar en la segunda derivada."}, {"start": 962.0, "end": 970.0, "text": " Vamos a ver que signo adopta la segunda derivada para cada uno de ellos."}, {"start": 970.0, "end": 978.0, "text": " Veamos entonces con x igual a 0, por ac\u00e1 tenemos 6 por 0 nos da 0, 0 menos 12 nos da menos 12."}, {"start": 978.0, "end": 982.0, "text": " Nos interesa es el signo, es decir negativo."}, {"start": 982.0, "end": 987.0, "text": " Entonces por ac\u00e1 tenemos segunda derivada negativa."}, {"start": 987.0, "end": 998.0, "text": " Vamos al siguiente intervalo, tenemos con x igual a 4 lo siguiente, 6 por 4 da 24, 24 menos 12 nos da 12 positivo."}, {"start": 998.0, "end": 1006.0, "text": " Entonces para el segundo intervalo tenemos que la segunda derivada tiene signo positivo."}, {"start": 1006.0, "end": 1016.0, "text": " Esto nos dice entonces que en el primer intervalo donde la segunda derivada es negativa la funci\u00f3n ser\u00e1 c\u00f3ncava hacia abajo."}, {"start": 1016.0, "end": 1027.0, "text": " Y en el siguiente intervalo donde la segunda derivada es positiva tendremos con cavidad hacia arriba."}, {"start": 1027.0, "end": 1040.0, "text": " Como s\u00e9ptimo paso vamos a determinar lo que se llaman los puntos principales de la funci\u00f3n."}, {"start": 1040.0, "end": 1049.0, "text": " Como hemos observado todo el an\u00e1lisis que se ha hecho nos ha producido valores de x, es decir abscisas."}, {"start": 1049.0, "end": 1061.0, "text": " Entonces ahora vamos a ir a la funci\u00f3n original, vamos a reemplazar en ella los valores de x obtenidos para obtener las ordenadas."}, {"start": 1061.0, "end": 1078.0, "text": " Recordemos que los valores de y o las ordenadas se obtienen reemplazando en la funci\u00f3n original y de esa manera tendremos los puntos o las parejas ordenadas que vamos a localizar en el plano cartesiano."}, {"start": 1078.0, "end": 1092.0, "text": " Hacemos entonces una tabla de valores y para x vamos a tomar los valores obtenidos, menos uno despu\u00e9s le sigue dos y despu\u00e9s cinco."}, {"start": 1092.0, "end": 1096.0, "text": " Tratamos de organizarlos en forma ascendente."}, {"start": 1096.0, "end": 1109.0, "text": " Ahora vamos a reemplazar cada uno de estos valores en la funci\u00f3n, eso ya lo hemos realizado en una calculadora cient\u00edfica y hemos obtenido los siguientes valores."}, {"start": 1109.0, "end": 1121.0, "text": " Para x igual a menos uno y vale 48, para x igual a 2 y vale menos 6 y para x igual a 5 y vale menos 60."}, {"start": 1121.0, "end": 1133.0, "text": " Entonces estos puntos son los que vamos a llevar al plano cartesiano y ser\u00e1n los puntos cr\u00edticos y el punto de inflexi\u00f3n."}, {"start": 1133.0, "end": 1156.0, "text": " Por aqu\u00ed escribimos esas parejas ordenadas y algo adicional que podemos hacer para darle m\u00e1s precisi\u00f3n a la gr\u00e1fica en el plano cartesiano es encontrar los cortes o intersecciones de la funci\u00f3n con los ejes coordenados."}, {"start": 1156.0, "end": 1170.0, "text": " Entonces el corte o intersecci\u00f3n con el eje y recordemos que se obtiene haciendo x igual a cero."}, {"start": 1170.0, "end": 1186.0, "text": " Entonces si en esta funci\u00f3n x vale cero, esos t\u00e9rminos se nos van y nos queda y igual a 40. Entonces tendremos corte en el eje y en la ordenada 40."}, {"start": 1186.0, "end": 1212.0, "text": " Si vamos a hallar los cortes con el eje x, entonces hacemos y igual a cero. En ese caso tenemos esta expresi\u00f3n x al cubo menos 6x cuadrado menos 15x m\u00e1s 40 igual a cero."}, {"start": 1212.0, "end": 1225.0, "text": " Una ecuaci\u00f3n c\u00fabica. Esa ecuaci\u00f3n la hemos resuelto tambi\u00e9n en una calculadora cient\u00edfica y hemos obtenido los siguientes resultados."}, {"start": 1225.0, "end": 1246.0, "text": " x igual a menos 3.1, x igual a 1.8 y x igual a 7.3 ser\u00edan entonces las tres abscisas donde la curva intersecta o corta al eje x."}, {"start": 1246.0, "end": 1262.0, "text": " Por aqu\u00ed hemos anotado esa informaci\u00f3n. y intersecto en 40, x intersecto en los tres valores que encontramos al solucionar la ecuaci\u00f3n c\u00fabica."}, {"start": 1262.0, "end": 1271.0, "text": " Y como paso final vamos entonces a construir la gr\u00e1fica en el plano cartesiano."}, {"start": 1271.0, "end": 1283.0, "text": " All\u00ed lo tenemos dibujado con escalas apropiadas para poder localizar los valores y los puntos obtenidos."}, {"start": 1283.0, "end": 1304.0, "text": " Entonces comenzamos con el punto menos 1,48. Cuando x vale menos 1 subimos hasta 48. Aqu\u00ed tenemos 50 entonces un poco m\u00e1s abajo tenemos la localizaci\u00f3n de este primer punto que corresponde al punto cr\u00edtico 1."}, {"start": 1304.0, "end": 1316.0, "text": " Vamos a colocarle por aqu\u00ed p1, punto cr\u00edtico 1 que ya lo tenemos localizado. Vamos ahora con el punto 2,6."}, {"start": 1316.0, "end": 1328.0, "text": " Entonces aqu\u00ed estamos en x igual a 2 y bajamos hasta menos 6 que es aproximadamente por ac\u00e1. Este valor ser\u00eda menos 10 entonces aqu\u00ed es menos 6."}, {"start": 1328.0, "end": 1340.0, "text": " Tenemos entonces all\u00ed el punto de inflexi\u00f3n. Recordemos que en x igual a 2 hab\u00edamos determinado el punto de inflexi\u00f3n de la curva."}, {"start": 1340.0, "end": 1361.0, "text": " Vamos ahora con el punto 5, menos 60. Nos ubicamos aqu\u00ed en 5 y bajamos hasta menos 60 y de esa manera tenemos localizado el punto cr\u00edtico 2 de esta funci\u00f3n."}, {"start": 1361.0, "end": 1388.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a localizar los cortes con los ejes. Corte con el eje y ocurre en la ordenada 40 y los cortes con el eje x ocurren en las abscisas menos 3,1, 1,8 por aqu\u00ed m\u00e1s o menos y 7,3 que es por ac\u00e1."}, {"start": 1388.0, "end": 1407.0, "text": " Entonces tenemos 3 puntos de corte con el eje x y enseguida vamos a dibujar la curva que pase por estos puntos. Vamos a trazar una curva suave y para ello se recomienda utilizar el curv\u00edgrafo."}, {"start": 1407.0, "end": 1426.0, "text": " All\u00ed tenemos la primera parte de la curva pasa por el punto de corte menos 3,1 en el eje x y por el primer punto cr\u00edtico. Vemos que es una porci\u00f3n creciente de la funci\u00f3n."}, {"start": 1426.0, "end": 1442.0, "text": " Recordemos que hab\u00edamos dicho en el an\u00e1lisis en el punto 4 que de menos infinito hasta menos 1, es decir hasta el primer punto cr\u00edtico la funci\u00f3n era creciente."}, {"start": 1442.0, "end": 1450.0, "text": " All\u00ed la primera derivada nos dio positiva. Entonces all\u00ed podemos observar ese comportamiento."}, {"start": 1450.0, "end": 1470.0, "text": " Vemos ahora otra parte de la curva. Inicia aqu\u00ed en el punto cr\u00edtico 1, pasa por el punto de corte con el eje y, pasa por el punto de corte con el eje x, el que tenemos en 1,8 y llega al punto de inflexi\u00f3n, al punto 2,-6."}, {"start": 1470.0, "end": 1484.0, "text": " All\u00ed podemos observar como la curva esconcava hacia abajo desde menos infinito hasta 2, que fue lo que obtuvimos del an\u00e1lisis en el punto 6."}, {"start": 1484.0, "end": 1503.0, "text": " Dibujamos la otra parte de la curva, va desde el punto de inflexi\u00f3n hasta el punto cr\u00edtico 2. All\u00ed puede apreciarse como la funci\u00f3n es decreciente desde x igual a menos 1 hasta x igual a 5."}, {"start": 1503.0, "end": 1515.0, "text": " En esa zona la funci\u00f3n presenta primera derivada negativa tal como lo vimos en el an\u00e1lisis del punto 4."}, {"start": 1515.0, "end": 1538.0, "text": " Finalmente trazamos esta parte de la curva, va desde el punto cr\u00edtico 2, pasando por el corte con el eje x que ocurre en 7,3. Entonces por ac\u00e1 tenemos que la funci\u00f3n contin\u00faa subiendo, es decir, los valores en y se van hacia m\u00e1s infinito."}, {"start": 1538.0, "end": 1553.0, "text": " Y por ac\u00e1 si continuamos hacia la izquierda entonces la funci\u00f3n seguir\u00e1 bajando. La curva har\u00e1 tendencia en los valores de y hacia menos infinito."}, {"start": 1553.0, "end": 1578.0, "text": " Entonces vemos como con derivadas hemos realizado el an\u00e1lisis de esta funci\u00f3n y hemos llegado a la construcci\u00f3n de su gr\u00e1fica. Tenemos entonces como puntos principales el punto cr\u00edtico 1, que como dec\u00edamos es un m\u00e1ximo local o m\u00e1ximo relativo de la funci\u00f3n."}, {"start": 1578.0, "end": 1593.0, "text": " Punto cr\u00edtico 2, que es un punto m\u00ednimo, m\u00ednimo local o m\u00ednimo relativo de la funci\u00f3n. Aqu\u00ed como dec\u00edamos son puntos cr\u00edticos porque tenemos recta tangente horizontal."}, {"start": 1593.0, "end": 1615.0, "text": " Esa es la raz\u00f3n de ser de los puntos cr\u00edticos. Y tambi\u00e9n tenemos el punto de inflexi\u00f3n que es donde se presenta cambio de concavidad. Vemos que la funci\u00f3n aqu\u00ed es c\u00f3ncava hacia abajo desde menos infinito hasta 2 y luego cambia su concavidad hacia arriba desde 2 hacia m\u00e1s infinito."}, {"start": 1615.0, "end": 1634.0, "text": " Tambi\u00e9n el comportamiento creciente y decreciente de la funci\u00f3n. Creciente desde menos infinito hasta menos 1, decreciente desde menos 1 hasta 5 y nuevamente creciente desde 5 hasta m\u00e1s infinito."}, {"start": 1634.0, "end": 1655.0, "text": " Ya teniendo la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n es posible determinar el rango de la misma. Aqu\u00ed observamos como todos los valores del eje y, todos los valores reales que se encuentran sobre este eje tienen participaci\u00f3n en la funci\u00f3n."}, {"start": 1655.0, "end": 1668.0, "text": " Adem\u00e1s que ella, como dec\u00edamos, aqu\u00ed sigue hacia abajo y aqu\u00ed va hacia arriba. Entonces le da participaci\u00f3n a todos los valores reales del eje y. Se escribe entonces as\u00ed."}, {"start": 1668.0, "end": 1681.0, "text": " Rango de la funci\u00f3n, los valores de y pertenecientes a los n\u00fameros reales. Entonces para esta funci\u00f3n c\u00fabica el dominio y el rango son todos los reales."}, {"start": 1681.0, "end": 1695.0, "text": " Bien, de esta manera finalizamos este ejercicio donde utilizando derivadas hemos llegado a la gr\u00e1fica de esta funci\u00f3n mostrando sus elementos principales."}]

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Ejercicio 2 con PROPIEDADES DE LOGARITMOS

#julioprofe (miembro de #EdutubersColombia) explica cómo hallar el valor numérico de una expresión logarítmica utilizando las propiedades de los logaritmos. Tema: #PropiedadesDeLogaritmos → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwGQaUFGGtkxK6Syv-QnPf5W REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Veamos cómo se soluciona este ejercicio. Nos dicen que si logaritmo natural de A es igual a 5, logaritmo natural de B es igual a menos 2, y logaritmo natural de C es igual a menos 7, entonces nos piden encontrar el valor numérico de esa expresión. Comenzamos recordando que el logaritmo natural de una cantidad X es el mismo logaritmo en la base E de dicha cantidad X. Se llama logaritmo natural o logaritmo neperiano. E es una constante matemática y se llama el número de Euler y equivale a 2.71828 y este número continúa. Se trata de un decimal infinito no periódico. El número de Euler pertenece, por lo tanto, al conjunto de los números irracionales, que son precisamente los decimales infinitos no periódicos. Para todos los logaritmos, incluyendo el logaritmo natural, existen unas propiedades. Entonces vamos a recordar tres que son las más importantes y que necesitamos para resolver este ejercicio. Si tenemos logaritmo natural de una multiplicación X por Y, esto se convierte en una suma de logaritmos. Logaritmo natural de X más logaritmo natural de Y. Si tenemos el logaritmo natural de un cosiente o una división X sobre Y, esto se convierte en una resta de logaritmos. Logaritmo natural del dividendo o del numerador menos logaritmo natural del denominador o el divisor. Y si tenemos el logaritmo natural de una potencia, por ejemplo, X elevada a la P, entonces este exponente P puede bajar a multiplicar a la izquierda del logaritmo natural de X. Simplemente trasladamos este exponente acá delante del logaritmo a multiplicar. Entonces, con base en estas propiedades, vamos a desbaratar por completo esta expresión. Comenzamos identificando aquí la operación más importante. Tenemos que es el cosiente. Por lo tanto, debemos iniciar aplicando esta propiedad. Vemos entonces que esto es igual al logaritmo natural del numerador a al cubo de a la 4 menos logaritmo natural del denominador que es c a la 6. Y ahora observamos aquí el logaritmo natural de una multiplicación. Por lo tanto, vamos a utilizar esta primera propiedad. Se queda entonces logaritmo natural de a al cubo más logaritmo natural de b a la 4. Y esto menos el logaritmo natural de c a la 6. Tenemos todo listo para aplicar la tercera propiedad. Estos exponentes pueden bajar a multiplicar a la izquierda de cada logaritmo. Entonces, tendremos 3 por logaritmo natural de a más 4 por logaritmo natural de b menos 6 por logaritmo natural de c. Y teniendo ya la expresión totalmente desbaratada, vamos a reemplazar la información que nos dan inicialmente. Tenemos entonces 3 por logaritmo natural de a que equivale a 5 más 4 por logaritmo natural de b que es menos 2 menos 6 por logaritmo natural de c que es menos 7. Resolviendo estas operaciones, tenemos 3 por 5 es 15, 4 por menos 2 nos da menos 8 y menos 6 por menos 7 nos da más 42. 15 menos 8 nos da 7, 7 más 42 nos da 49. Por lo tanto, el valor numérico de la expresión que nos daba en este ejercicio es 49. De esta manera terminamos.

[{"start": 0.0, "end": 4.0, "text": " Veamos c\u00f3mo se soluciona este ejercicio."}, {"start": 4.0, "end": 12.0, "text": " Nos dicen que si logaritmo natural de A es igual a 5, logaritmo natural de B es igual a menos 2,"}, {"start": 12.0, "end": 21.0, "text": " y logaritmo natural de C es igual a menos 7, entonces nos piden encontrar el valor num\u00e9rico de esa expresi\u00f3n."}, {"start": 21.0, "end": 33.0, "text": " Comenzamos recordando que el logaritmo natural de una cantidad X es el mismo logaritmo en la base E de dicha cantidad X."}, {"start": 33.0, "end": 37.0, "text": " Se llama logaritmo natural o logaritmo neperiano."}, {"start": 37.0, "end": 55.0, "text": " E es una constante matem\u00e1tica y se llama el n\u00famero de Euler y equivale a 2.71828 y este n\u00famero contin\u00faa."}, {"start": 55.0, "end": 60.0, "text": " Se trata de un decimal infinito no peri\u00f3dico."}, {"start": 60.0, "end": 74.0, "text": " El n\u00famero de Euler pertenece, por lo tanto, al conjunto de los n\u00fameros irracionales, que son precisamente los decimales infinitos no peri\u00f3dicos."}, {"start": 74.0, "end": 82.0, "text": " Para todos los logaritmos, incluyendo el logaritmo natural, existen unas propiedades."}, {"start": 82.0, "end": 91.0, "text": " Entonces vamos a recordar tres que son las m\u00e1s importantes y que necesitamos para resolver este ejercicio."}, {"start": 91.0, "end": 102.0, "text": " Si tenemos logaritmo natural de una multiplicaci\u00f3n X por Y, esto se convierte en una suma de logaritmos."}, {"start": 102.0, "end": 107.0, "text": " Logaritmo natural de X m\u00e1s logaritmo natural de Y."}, {"start": 107.0, "end": 119.0, "text": " Si tenemos el logaritmo natural de un cosiente o una divisi\u00f3n X sobre Y, esto se convierte en una resta de logaritmos."}, {"start": 119.0, "end": 130.0, "text": " Logaritmo natural del dividendo o del numerador menos logaritmo natural del denominador o el divisor."}, {"start": 130.0, "end": 148.0, "text": " Y si tenemos el logaritmo natural de una potencia, por ejemplo, X elevada a la P, entonces este exponente P puede bajar a multiplicar a la izquierda del logaritmo natural de X."}, {"start": 148.0, "end": 156.0, "text": " Simplemente trasladamos este exponente ac\u00e1 delante del logaritmo a multiplicar."}, {"start": 156.0, "end": 164.0, "text": " Entonces, con base en estas propiedades, vamos a desbaratar por completo esta expresi\u00f3n."}, {"start": 164.0, "end": 172.0, "text": " Comenzamos identificando aqu\u00ed la operaci\u00f3n m\u00e1s importante. Tenemos que es el cosiente."}, {"start": 172.0, "end": 176.0, "text": " Por lo tanto, debemos iniciar aplicando esta propiedad."}, {"start": 176.0, "end": 191.0, "text": " Vemos entonces que esto es igual al logaritmo natural del numerador a al cubo de a la 4 menos logaritmo natural del denominador que es c a la 6."}, {"start": 191.0, "end": 197.0, "text": " Y ahora observamos aqu\u00ed el logaritmo natural de una multiplicaci\u00f3n."}, {"start": 197.0, "end": 201.0, "text": " Por lo tanto, vamos a utilizar esta primera propiedad."}, {"start": 201.0, "end": 210.0, "text": " Se queda entonces logaritmo natural de a al cubo m\u00e1s logaritmo natural de b a la 4."}, {"start": 210.0, "end": 216.0, "text": " Y esto menos el logaritmo natural de c a la 6."}, {"start": 216.0, "end": 222.0, "text": " Tenemos todo listo para aplicar la tercera propiedad."}, {"start": 222.0, "end": 230.0, "text": " Estos exponentes pueden bajar a multiplicar a la izquierda de cada logaritmo."}, {"start": 230.0, "end": 245.0, "text": " Entonces, tendremos 3 por logaritmo natural de a m\u00e1s 4 por logaritmo natural de b menos 6 por logaritmo natural de c."}, {"start": 245.0, "end": 256.0, "text": " Y teniendo ya la expresi\u00f3n totalmente desbaratada, vamos a reemplazar la informaci\u00f3n que nos dan inicialmente."}, {"start": 256.0, "end": 280.0, "text": " Tenemos entonces 3 por logaritmo natural de a que equivale a 5 m\u00e1s 4 por logaritmo natural de b que es menos 2 menos 6 por logaritmo natural de c que es menos 7."}, {"start": 280.0, "end": 294.0, "text": " Resolviendo estas operaciones, tenemos 3 por 5 es 15, 4 por menos 2 nos da menos 8 y menos 6 por menos 7 nos da m\u00e1s 42."}, {"start": 294.0, "end": 301.0, "text": " 15 menos 8 nos da 7, 7 m\u00e1s 42 nos da 49."}, {"start": 301.0, "end": 311.0, "text": " Por lo tanto, el valor num\u00e9rico de la expresi\u00f3n que nos daba en este ejercicio es 49."}, {"start": 311.0, "end": 339.0, "text": " De esta manera terminamos."}]

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Problema 3 de TRIGONOMETRÍA EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

#julioprofe explica cómo solucionar un problema trigonométrico con triángulos rectángulos. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

En este caso tenemos una torre de transmisión de energía eléctrica. A una distancia de 200 metros de la línea central de la torre tenemos un punto A. Y desde allí se observa la parte superior de la torre con un ángulo de elevación theta. También desde la línea central de la torre y a una distancia de 50 metros tenemos otro punto llamado B. Y desde allí se observa la parte superior de la torre con un ángulo de elevación 2 theta. Es decir, el doble de este primer ángulo. Nuestro problema consiste en determinar la altura H de la torre. Y entonces vamos a llamar este punto la parte alta de la torre con la letra C y aquí en la base de la torre y directamente por debajo de C vamos a llamar este punto D. Consideramos entonces este triángulo que representa el que se forma acá con los vértices C, D, A. Y tenemos que forma 90 grados aquí en D. Entonces tenemos un triángulo rectángulo. La distancia D, A vale 200 metros. Vamos a escribir solamente el número 200. Ya sabemos que todas las dimensiones se encuentran en metros. Y la distancia de C, A, D corresponde a la altura de la torre. También tenemos que aquí en A se forma el ángulo theta. Y entonces con esta información vamos a utilizar lo que se llama Zocato A. Recordemos que Zocato A quiere decir seno, coseno y tangente. Seno es cateto opuesto sobre hipotenusa. Coseno es cateto adyacente sobre hipotenusa. Y tangente es cateto opuesto sobre cateto adyacente. En este caso vamos a utilizar la tangente porque vamos a involucrar los catetos. Decimos entonces que tangente de theta es igual a cateto opuesto que es H sobre el cateto adyacente que es 200. Y de esta manera tenemos una primera relación que la vamos a llamar la número 1. Esa primera relación la escribimos por acá. Ahora consideramos el otro triángulo rectángulo, el que se forma con los vértices C, D y B. Tenemos ángulo recto aquí en D. Tenemos que el ángulo que se forma en B, el ángulo de elevación es 2teta. Tenemos que la distancia de D vale 50 metros. Y la distancia C corresponde a la altura de la torre. Entonces vamos a utilizar nuevamente Zocato A. Y como necesitamos involucrar los catetos, entonces usamos la tangente. Decimos entonces que tangente de 2teta es igual a cateto opuesto que sería H sobre el cateto adyacente que vale 50. Aquí vamos a utilizar la identidad trigonométrica para la tangente de un ángulo doble. En este caso, tangente de 2teta equivale a 2t de teta. Todo esto sobre 1 menos tangente al cuadrado de teta. Y esto es igual a H sobre 50. De esta manera tenemos una expresión que vamos a llamar número 2. A continuación vamos a sustituir lo que tenemos en la expresión 1 aquí en la expresión 2. Entonces donde tenemos tangente de teta vamos a reemplazar H sobre 200. Nos queda de la siguiente manera. 2 por H sobre 200. Todo esto sobre 1 menos. Abrimos un paréntesis. Entra tangente de teta como H sobre 200. Esto al cuadrado. Y todo eso igual a H sobre 50. Ahora nos vamos a concentrar en el desarrollo de esta ecuación donde tenemos como incógnita la altura H de la torre. Comenzamos multiplicando aquí. Nos quedaría 2H sobre 200. Que simplificando nos queda como H sobre 100. Simplificando 2 con 200. En la parte de abajo tenemos 1 menos. Aquí el cuadrado afecta al numerador y afecta al denominador. Entonces tenemos en el numerador H al cuadrado. Y en el denominador tenemos 200 al cuadrado que nos da 40.000. Y esto igualado a H sobre 50. Como paso siguiente vamos a resolver esta resta de fracciones que tenemos en el denominador de la fracción principal. A este 1 le podemos escribir denominador 1. Y hacemos esa resta de la manera más sencilla que es la siguiente. Abajo multiplicamos 1 por 40.000. Nos da 40.000. Arriba tenemos 1 por 40.000 que es 40.000 menos 1 por H cuadrado. Y es H cuadrado. Todo esto igual a H sobre 50. En seguida vamos a aplicar lo que se conoce como la ley de la oreja. Arriba la multiplicación de estos dos. Y abajo la multiplicación de estos dos componentes. Entonces tenemos en la parte de arriba H por 40.000 nos da 40.000 H. Y abajo nos queda 100 que multiplica a 40.000 menos H al cuadrado. Todo esto igual a H sobre 50. En esta etapa del ejercicio podemos simplificar por acá 2 ceros del denominador y 2 ceros del numerador. Es como si dividiéramos entre 100 arriba y abajo. Nos queda entonces en el numerador 400 H. Y en el denominador nos queda 40.000 menos H cuadrado. Y todo esto igual a H sobre 50. Aquí podemos pasar lo que está dividiendo en un lado a multiplicar al otro lado. Es el caso por ejemplo de 50 que llega a multiplicar con 400 H. Y también el caso de esta expresión que llega a multiplicar con H. Entonces nos queda de esta manera. Podemos multiplicar 50 por 400. Eso nos da 20.000 acompañado de H. Y aquí tenemos H que multiplica a 40.000 menos H al cuadrado. Vemos que la letra H está multiplicando a ambos lados de la igualdad. Y en el problema también observamos que H es una distancia. Por lo tanto será una cantidad positiva. Por esa razón es lícito hacer esto. Cancelar la H debido a que se encuentra multiplicando a ambos lados de la igualdad. Nos queda entonces 20.000 igual a 40.000 menos H cuadrado. Y de allí vamos a hacer lo siguiente. Pasamos H cuadrado que está negativo en el lado derecho. Entonces llega positivo al lado izquierdo. Dejamos 40.000 en el lado derecho. Y traemos 20.000 que está positivo en el lado izquierdo. Y en el lado izquierdo entonces llega negativo al lado derecho. Esto nos queda entonces H cuadrado igual a 20.000. Realizando esta resta. Y para despejar H tenemos que esto es igual a más o menos la raíz cuadrada de 20.000. Lógicamente como H es una distancia entonces vamos a considerar únicamente la opción positiva. Nos queda entonces que H es igual a la raíz cuadrada positiva de 20.000 que lo podemos escribir como 2 por 10.000. Aquí podemos aplicar propiedad de la radicación. Nos queda raíz cuadrada de 2 por la raíz cuadrada de 10.000. Y tenemos que esta raíz cuadrada de 10.000 equivale a 100. Se trata de una raíz exacta. Raíz cuadrada de 2 no es exacta. Entonces la podemos dejar así indicada. Tenemos entonces que H es igual a raíz cuadrada de 2 por 100. Que lo podemos escribir como 100 raíz de 2. Y esto va en metros. Porque vemos que las dimensiones que nos da el problema vienen en metros. Si queremos pasar esto a número decimal. Podemos tomar la raíz cuadrada de 2 como aproximadamente 1.41. Entonces tenemos que 100 por 1.41 nos da aproximadamente 141 metros. Esta será entonces la respuesta a este problema. Hemos encontrado la altura H de la torre.

[{"start": 0.0, "end": 7.0, "text": " En este caso tenemos una torre de transmisi\u00f3n de energ\u00eda el\u00e9ctrica."}, {"start": 8.0, "end": 19.0, "text": " A una distancia de 200 metros de la l\u00ednea central de la torre tenemos un punto A."}, {"start": 19.0, "end": 30.0, "text": " Y desde all\u00ed se observa la parte superior de la torre con un \u00e1ngulo de elevaci\u00f3n theta."}, {"start": 32.0, "end": 45.0, "text": " Tambi\u00e9n desde la l\u00ednea central de la torre y a una distancia de 50 metros tenemos otro punto llamado B."}, {"start": 45.0, "end": 57.0, "text": " Y desde all\u00ed se observa la parte superior de la torre con un \u00e1ngulo de elevaci\u00f3n 2 theta."}, {"start": 58.0, "end": 61.0, "text": " Es decir, el doble de este primer \u00e1ngulo."}, {"start": 62.0, "end": 70.0, "text": " Nuestro problema consiste en determinar la altura H de la torre."}, {"start": 70.0, "end": 90.0, "text": " Y entonces vamos a llamar este punto la parte alta de la torre con la letra C y aqu\u00ed en la base de la torre y directamente por debajo de C vamos a llamar este punto D."}, {"start": 90.0, "end": 102.0, "text": " Consideramos entonces este tri\u00e1ngulo que representa el que se forma ac\u00e1 con los v\u00e9rtices C, D, A."}, {"start": 103.0, "end": 110.0, "text": " Y tenemos que forma 90 grados aqu\u00ed en D. Entonces tenemos un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo."}, {"start": 111.0, "end": 115.0, "text": " La distancia D, A vale 200 metros."}, {"start": 115.0, "end": 123.0, "text": " Vamos a escribir solamente el n\u00famero 200. Ya sabemos que todas las dimensiones se encuentran en metros."}, {"start": 124.0, "end": 130.0, "text": " Y la distancia de C, A, D corresponde a la altura de la torre."}, {"start": 131.0, "end": 135.0, "text": " Tambi\u00e9n tenemos que aqu\u00ed en A se forma el \u00e1ngulo theta."}, {"start": 136.0, "end": 143.0, "text": " Y entonces con esta informaci\u00f3n vamos a utilizar lo que se llama Zocato A."}, {"start": 143.0, "end": 150.0, "text": " Recordemos que Zocato A quiere decir seno, coseno y tangente."}, {"start": 151.0, "end": 154.0, "text": " Seno es cateto opuesto sobre hipotenusa."}, {"start": 155.0, "end": 158.0, "text": " Coseno es cateto adyacente sobre hipotenusa."}, {"start": 159.0, "end": 163.0, "text": " Y tangente es cateto opuesto sobre cateto adyacente."}, {"start": 163.0, "end": 172.0, "text": " En este caso vamos a utilizar la tangente porque vamos a involucrar los catetos."}, {"start": 173.0, "end": 187.0, "text": " Decimos entonces que tangente de theta es igual a cateto opuesto que es H sobre el cateto adyacente que es 200."}, {"start": 187.0, "end": 196.0, "text": " Y de esta manera tenemos una primera relaci\u00f3n que la vamos a llamar la n\u00famero 1."}, {"start": 197.0, "end": 201.0, "text": " Esa primera relaci\u00f3n la escribimos por ac\u00e1."}, {"start": 202.0, "end": 214.0, "text": " Ahora consideramos el otro tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo, el que se forma con los v\u00e9rtices C, D y B."}, {"start": 214.0, "end": 217.0, "text": " Tenemos \u00e1ngulo recto aqu\u00ed en D."}, {"start": 218.0, "end": 226.0, "text": " Tenemos que el \u00e1ngulo que se forma en B, el \u00e1ngulo de elevaci\u00f3n es 2teta."}, {"start": 227.0, "end": 231.0, "text": " Tenemos que la distancia de D vale 50 metros."}, {"start": 232.0, "end": 237.0, "text": " Y la distancia C corresponde a la altura de la torre."}, {"start": 238.0, "end": 242.0, "text": " Entonces vamos a utilizar nuevamente Zocato A."}, {"start": 242.0, "end": 252.0, "text": " Y como necesitamos involucrar los catetos, entonces usamos la tangente."}, {"start": 253.0, "end": 269.0, "text": " Decimos entonces que tangente de 2teta es igual a cateto opuesto que ser\u00eda H sobre el cateto adyacente que vale 50."}, {"start": 269.0, "end": 277.0, "text": " Aqu\u00ed vamos a utilizar la identidad trigonom\u00e9trica para la tangente de un \u00e1ngulo doble."}, {"start": 278.0, "end": 284.0, "text": " En este caso, tangente de 2teta equivale a 2t de teta."}, {"start": 285.0, "end": 292.0, "text": " Todo esto sobre 1 menos tangente al cuadrado de teta."}, {"start": 293.0, "end": 297.0, "text": " Y esto es igual a H sobre 50."}, {"start": 297.0, "end": 305.0, "text": " De esta manera tenemos una expresi\u00f3n que vamos a llamar n\u00famero 2."}, {"start": 306.0, "end": 315.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a sustituir lo que tenemos en la expresi\u00f3n 1 aqu\u00ed en la expresi\u00f3n 2."}, {"start": 316.0, "end": 322.0, "text": " Entonces donde tenemos tangente de teta vamos a reemplazar H sobre 200."}, {"start": 322.0, "end": 328.0, "text": " Nos queda de la siguiente manera. 2 por H sobre 200."}, {"start": 329.0, "end": 332.0, "text": " Todo esto sobre 1 menos."}, {"start": 333.0, "end": 338.0, "text": " Abrimos un par\u00e9ntesis. Entra tangente de teta como H sobre 200."}, {"start": 339.0, "end": 345.0, "text": " Esto al cuadrado. Y todo eso igual a H sobre 50."}, {"start": 345.0, "end": 357.0, "text": " Ahora nos vamos a concentrar en el desarrollo de esta ecuaci\u00f3n donde tenemos como inc\u00f3gnita la altura H de la torre."}, {"start": 358.0, "end": 362.0, "text": " Comenzamos multiplicando aqu\u00ed. Nos quedar\u00eda 2H sobre 200."}, {"start": 363.0, "end": 368.0, "text": " Que simplificando nos queda como H sobre 100."}, {"start": 369.0, "end": 371.0, "text": " Simplificando 2 con 200."}, {"start": 371.0, "end": 376.0, "text": " En la parte de abajo tenemos 1 menos."}, {"start": 377.0, "end": 383.0, "text": " Aqu\u00ed el cuadrado afecta al numerador y afecta al denominador."}, {"start": 384.0, "end": 387.0, "text": " Entonces tenemos en el numerador H al cuadrado."}, {"start": 388.0, "end": 393.0, "text": " Y en el denominador tenemos 200 al cuadrado que nos da 40.000."}, {"start": 393.0, "end": 400.0, "text": " Y esto igualado a H sobre 50."}, {"start": 401.0, "end": 414.0, "text": " Como paso siguiente vamos a resolver esta resta de fracciones que tenemos en el denominador de la fracci\u00f3n principal."}, {"start": 415.0, "end": 418.0, "text": " A este 1 le podemos escribir denominador 1."}, {"start": 418.0, "end": 424.0, "text": " Y hacemos esa resta de la manera m\u00e1s sencilla que es la siguiente."}, {"start": 425.0, "end": 429.0, "text": " Abajo multiplicamos 1 por 40.000. Nos da 40.000."}, {"start": 430.0, "end": 438.0, "text": " Arriba tenemos 1 por 40.000 que es 40.000 menos 1 por H cuadrado."}, {"start": 439.0, "end": 445.0, "text": " Y es H cuadrado. Todo esto igual a H sobre 50."}, {"start": 445.0, "end": 451.0, "text": " En seguida vamos a aplicar lo que se conoce como la ley de la oreja."}, {"start": 452.0, "end": 454.0, "text": " Arriba la multiplicaci\u00f3n de estos dos."}, {"start": 455.0, "end": 459.0, "text": " Y abajo la multiplicaci\u00f3n de estos dos componentes."}, {"start": 460.0, "end": 466.0, "text": " Entonces tenemos en la parte de arriba H por 40.000 nos da 40.000 H."}, {"start": 466.0, "end": 479.0, "text": " Y abajo nos queda 100 que multiplica a 40.000 menos H al cuadrado."}, {"start": 480.0, "end": 486.0, "text": " Todo esto igual a H sobre 50."}, {"start": 486.0, "end": 497.0, "text": " En esta etapa del ejercicio podemos simplificar por ac\u00e1 2 ceros del denominador y 2 ceros del numerador."}, {"start": 498.0, "end": 502.0, "text": " Es como si dividi\u00e9ramos entre 100 arriba y abajo."}, {"start": 503.0, "end": 507.0, "text": " Nos queda entonces en el numerador 400 H."}, {"start": 508.0, "end": 514.0, "text": " Y en el denominador nos queda 40.000 menos H cuadrado."}, {"start": 514.0, "end": 522.0, "text": " Y todo esto igual a H sobre 50."}, {"start": 523.0, "end": 531.0, "text": " Aqu\u00ed podemos pasar lo que est\u00e1 dividiendo en un lado a multiplicar al otro lado."}, {"start": 532.0, "end": 538.0, "text": " Es el caso por ejemplo de 50 que llega a multiplicar con 400 H."}, {"start": 538.0, "end": 545.0, "text": " Y tambi\u00e9n el caso de esta expresi\u00f3n que llega a multiplicar con H."}, {"start": 546.0, "end": 549.0, "text": " Entonces nos queda de esta manera."}, {"start": 550.0, "end": 554.0, "text": " Podemos multiplicar 50 por 400."}, {"start": 555.0, "end": 559.0, "text": " Eso nos da 20.000 acompa\u00f1ado de H."}, {"start": 560.0, "end": 566.0, "text": " Y aqu\u00ed tenemos H que multiplica a 40.000 menos H al cuadrado."}, {"start": 566.0, "end": 571.0, "text": " Vemos que la letra H est\u00e1 multiplicando a ambos lados de la igualdad."}, {"start": 572.0, "end": 577.0, "text": " Y en el problema tambi\u00e9n observamos que H es una distancia."}, {"start": 578.0, "end": 580.0, "text": " Por lo tanto ser\u00e1 una cantidad positiva."}, {"start": 581.0, "end": 584.0, "text": " Por esa raz\u00f3n es l\u00edcito hacer esto."}, {"start": 585.0, "end": 593.0, "text": " Cancelar la H debido a que se encuentra multiplicando a ambos lados de la igualdad."}, {"start": 593.0, "end": 601.0, "text": " Nos queda entonces 20.000 igual a 40.000 menos H cuadrado."}, {"start": 602.0, "end": 604.0, "text": " Y de all\u00ed vamos a hacer lo siguiente."}, {"start": 605.0, "end": 608.0, "text": " Pasamos H cuadrado que est\u00e1 negativo en el lado derecho."}, {"start": 609.0, "end": 612.0, "text": " Entonces llega positivo al lado izquierdo."}, {"start": 613.0, "end": 617.0, "text": " Dejamos 40.000 en el lado derecho."}, {"start": 618.0, "end": 621.0, "text": " Y traemos 20.000 que est\u00e1 positivo en el lado izquierdo."}, {"start": 621.0, "end": 626.0, "text": " Y en el lado izquierdo entonces llega negativo al lado derecho."}, {"start": 627.0, "end": 633.0, "text": " Esto nos queda entonces H cuadrado igual a 20.000."}, {"start": 634.0, "end": 636.0, "text": " Realizando esta resta."}, {"start": 637.0, "end": 644.0, "text": " Y para despejar H tenemos que esto es igual a m\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada de 20.000."}, {"start": 644.0, "end": 654.0, "text": " L\u00f3gicamente como H es una distancia entonces vamos a considerar \u00fanicamente la opci\u00f3n positiva."}, {"start": 655.0, "end": 668.0, "text": " Nos queda entonces que H es igual a la ra\u00edz cuadrada positiva de 20.000 que lo podemos escribir como 2 por 10.000."}, {"start": 668.0, "end": 674.0, "text": " Aqu\u00ed podemos aplicar propiedad de la radicaci\u00f3n."}, {"start": 675.0, "end": 681.0, "text": " Nos queda ra\u00edz cuadrada de 2 por la ra\u00edz cuadrada de 10.000."}, {"start": 682.0, "end": 687.0, "text": " Y tenemos que esta ra\u00edz cuadrada de 10.000 equivale a 100."}, {"start": 688.0, "end": 690.0, "text": " Se trata de una ra\u00edz exacta."}, {"start": 691.0, "end": 694.0, "text": " Ra\u00edz cuadrada de 2 no es exacta."}, {"start": 694.0, "end": 697.0, "text": " Entonces la podemos dejar as\u00ed indicada."}, {"start": 698.0, "end": 702.0, "text": " Tenemos entonces que H es igual a ra\u00edz cuadrada de 2 por 100."}, {"start": 703.0, "end": 706.0, "text": " Que lo podemos escribir como 100 ra\u00edz de 2."}, {"start": 707.0, "end": 709.0, "text": " Y esto va en metros."}, {"start": 710.0, "end": 715.0, "text": " Porque vemos que las dimensiones que nos da el problema vienen en metros."}, {"start": 716.0, "end": 718.0, "text": " Si queremos pasar esto a n\u00famero decimal."}, {"start": 718.0, "end": 725.0, "text": " Podemos tomar la ra\u00edz cuadrada de 2 como aproximadamente 1.41."}, {"start": 726.0, "end": 736.0, "text": " Entonces tenemos que 100 por 1.41 nos da aproximadamente 141 metros."}, {"start": 737.0, "end": 742.0, "text": " Esta ser\u00e1 entonces la respuesta a este problema."}, {"start": 742.0, "end": 749.0, "text": " Hemos encontrado la altura H de la torre."}]

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PRODUCTO CRUZ DE DOS VECTORES

#julioprofe explica cómo efectuar el Producto Cruz o Producto Vectorial entre dos vectores. Tema: #VectoresEnElEspacio → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwFjM17fQYLwVa9p87SiAf1p REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Dados los vectores m y n, que son vectores en el espacio o en R3, vamos a determinar el producto cruz o también conocido como producto vectorial entre ellos. Para determinar el producto cruz o producto vectorial entre dos vectores dados, construimos un determinante de 3x3 de la siguiente manera. En la primera fila escribimos los vectores unitarios i, j, k. En la segunda fila vamos con las componentes del primer vector, en este caso las componentes de m, que son menos 3, menos 2 y 5, siempre en el orden i, j, k. Y en la tercera fila escribimos las componentes del segundo vector, es decir, de n, que son 6, menos 10 y menos 1. Con los datos que quedaron en este determinante de 3x3, vamos a conformar tres determinantes de 2x2. Uno para el vector unitario i, otro para el vector unitario j y el otro para el vector unitario k. Los signos que van a llevar estos componentes son los siguientes, arrancamos siempre con signo positivo, después tenemos signo negativo y luego signo positivo. Siempre serán signos intercalados, más, menos y más. Para conformar el primer determinante, tapamos en este de 3x3 la fila y la columna que contienen la i. Nos queda entonces al descubierto, menos 2, 5, menos 10 y menos 1. Allí tenemos el primer determinante de 2x2. Vamos ahora con el determinante que corresponde a j. Entonces tapamos la fila y la columna que contienen esta letra. Nos queda al descubierto, menos 3, 5 y 6, menos 1. Allí tenemos el determinante de 2x2 correspondiente a j. Y por último conformamos el determinante que corresponde a k. Tapamos la fila y la columna que contienen esa letra. Nos queda al descubierto, menos 3, menos 2 y 6, menos 10. Enseguida procedemos a resolver cada uno de estos determinantes de 2x2. Tenemos entonces que m x n es igual a lo siguiente. Vamos a proteger esas operaciones utilizando corchete. Para el primer determinante multiplicamos los elementos de la diagonal principal que son menos 2 y menos 1. Y a eso le vamos a restar la multiplicación de los elementos de la diagonal secundaria. Es decir, 5x-10. Allí protegemos esto, como decíamos, con corchete y eso corresponde a la componente y. Menos, vamos a la siguiente operación. Vamos al segundo determinante. Comenzamos con la diagonal principal, menos 3x-1. Aquí tenemos esa operación, menos la multiplicación de los elementos de la diagonal secundaria. 5x6. Cerramos corchete y esto corresponde a la componente y. Vamos ahora con el tercer determinante que está precedido de signo más. Abrimos corchete. Vamos con la multiplicación de los elementos de la diagonal principal. Menos 3x-10 y esto menos la multiplicación de los elementos de la diagonal secundaria que son menos 2 y 6. Cerramos corchete y esto es lo que corresponde a la componente k. Bien, ahora resolvemos las operaciones que tenemos dentro de cada corchete. Entonces, mxn será igual a lo siguiente. Veamos, menos 2x-1 nos da 2. Menos 5x-10 nos da más 50. Esto corresponde a la componente y. Menos 3x-1 nos da 3 positivo. Menos 5x6 nos da menos 30. Esto corresponde a la componente j. Abrimos corchete, tenemos menos 3x-10 que nos da 30 y aquí tenemos menos con menos más. Entonces, es como si tuviéramos 2 positivo que multiplica con 6 positivo. Eso nos da más 12. Cerramos corchete y acompañamos del vector unitario k. Ahora, resolvemos las operaciones que hay dentro de cada corchete. Por acá tenemos 2 más 50 nos da 52 y ya podemos eliminar el corchete. Por acá tenemos 3 menos 30, esto nos da menos 27 y con este menos nos queda más 27. Acompañado del vector unitario j. Por acá tenemos esta suma que nos da 42 positivo, entonces tendremos más 42k. Y de esta manera llegamos a la respuesta. Este es el nuevo vector que constituye el resultado de esta operación. Es decir, el resultado del producto cruz o producto vectorial entre los vectores m y n que nos dieron inicialmente. También podríamos escribir esto de la siguiente manera. m x n igual a 52, 27, 42. Es otra forma de presentar el vector resultante de esta operación. Deshaciendo la notación de vectores unitarios i, j, k. Cualquiera de estas dos opciones constituye la respuesta a este ejercicio. Geométricamente la situación anterior se puede representar de la siguiente manera. Tenemos el vector m con sus componentes y también tenemos el vector m con sus componentes. Entonces, el vector que resulta de la operación m x n, es decir, el producto vectorial entre los vectores dados. Y que nos dio con componentes 52, 27, 42. Todos vectores en el espacio o en R3 tienen la siguiente característica. Este vector m x n resulta ser perpendicular tanto al vector m como al vector n. Entonces lo podemos representar de esta manera. Aquí forma 90 grados con el vector m y también va a formar 90 grados con el vector n. Es lo que se llama ortogonal a ambos vectores. Aquí también se utiliza la regla de la mano derecha. Si hacemos el producto m x n, quiere decir que de m vamos hacia n. Y entonces utilizamos la mano derecha. Colocamos la mano abierta de tal forma que esta parte coincida con el primer vector. Y cerramos los dedos buscando el segundo vector. Hacia donde apunte el dedo pulgar, tendremos la dirección del vector m x n. De esta manera terminamos este ejercicio.

[{"start": 0.0, "end": 18.0, "text": " Dados los vectores m y n, que son vectores en el espacio o en R3, vamos a determinar el producto cruz o tambi\u00e9n conocido como producto vectorial entre ellos."}, {"start": 18.0, "end": 33.0, "text": " Para determinar el producto cruz o producto vectorial entre dos vectores dados, construimos un determinante de 3x3 de la siguiente manera."}, {"start": 33.0, "end": 42.0, "text": " En la primera fila escribimos los vectores unitarios i, j, k."}, {"start": 42.0, "end": 64.0, "text": " En la segunda fila vamos con las componentes del primer vector, en este caso las componentes de m, que son menos 3, menos 2 y 5, siempre en el orden i, j, k."}, {"start": 64.0, "end": 81.0, "text": " Y en la tercera fila escribimos las componentes del segundo vector, es decir, de n, que son 6, menos 10 y menos 1."}, {"start": 81.0, "end": 93.0, "text": " Con los datos que quedaron en este determinante de 3x3, vamos a conformar tres determinantes de 2x2."}, {"start": 93.0, "end": 103.0, "text": " Uno para el vector unitario i, otro para el vector unitario j y el otro para el vector unitario k."}, {"start": 103.0, "end": 119.0, "text": " Los signos que van a llevar estos componentes son los siguientes, arrancamos siempre con signo positivo, despu\u00e9s tenemos signo negativo y luego signo positivo."}, {"start": 119.0, "end": 125.0, "text": " Siempre ser\u00e1n signos intercalados, m\u00e1s, menos y m\u00e1s."}, {"start": 125.0, "end": 136.0, "text": " Para conformar el primer determinante, tapamos en este de 3x3 la fila y la columna que contienen la i."}, {"start": 136.0, "end": 147.0, "text": " Nos queda entonces al descubierto, menos 2, 5, menos 10 y menos 1."}, {"start": 147.0, "end": 152.0, "text": " All\u00ed tenemos el primer determinante de 2x2."}, {"start": 152.0, "end": 157.0, "text": " Vamos ahora con el determinante que corresponde a j."}, {"start": 157.0, "end": 163.0, "text": " Entonces tapamos la fila y la columna que contienen esta letra."}, {"start": 163.0, "end": 174.0, "text": " Nos queda al descubierto, menos 3, 5 y 6, menos 1."}, {"start": 174.0, "end": 181.0, "text": " All\u00ed tenemos el determinante de 2x2 correspondiente a j."}, {"start": 181.0, "end": 187.0, "text": " Y por \u00faltimo conformamos el determinante que corresponde a k."}, {"start": 187.0, "end": 192.0, "text": " Tapamos la fila y la columna que contienen esa letra."}, {"start": 192.0, "end": 206.0, "text": " Nos queda al descubierto, menos 3, menos 2 y 6, menos 10."}, {"start": 206.0, "end": 214.0, "text": " Enseguida procedemos a resolver cada uno de estos determinantes de 2x2."}, {"start": 214.0, "end": 223.0, "text": " Tenemos entonces que m x n es igual a lo siguiente."}, {"start": 223.0, "end": 227.0, "text": " Vamos a proteger esas operaciones utilizando corchete."}, {"start": 227.0, "end": 238.0, "text": " Para el primer determinante multiplicamos los elementos de la diagonal principal que son menos 2 y menos 1."}, {"start": 238.0, "end": 247.0, "text": " Y a eso le vamos a restar la multiplicaci\u00f3n de los elementos de la diagonal secundaria."}, {"start": 247.0, "end": 251.0, "text": " Es decir, 5x-10."}, {"start": 251.0, "end": 261.0, "text": " All\u00ed protegemos esto, como dec\u00edamos, con corchete y eso corresponde a la componente y."}, {"start": 261.0, "end": 267.0, "text": " Menos, vamos a la siguiente operaci\u00f3n."}, {"start": 267.0, "end": 269.0, "text": " Vamos al segundo determinante."}, {"start": 269.0, "end": 277.0, "text": " Comenzamos con la diagonal principal, menos 3x-1."}, {"start": 277.0, "end": 286.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos esa operaci\u00f3n, menos la multiplicaci\u00f3n de los elementos de la diagonal secundaria."}, {"start": 286.0, "end": 289.0, "text": " 5x6."}, {"start": 289.0, "end": 298.0, "text": " Cerramos corchete y esto corresponde a la componente y."}, {"start": 298.0, "end": 307.0, "text": " Vamos ahora con el tercer determinante que est\u00e1 precedido de signo m\u00e1s."}, {"start": 307.0, "end": 309.0, "text": " Abrimos corchete."}, {"start": 309.0, "end": 315.0, "text": " Vamos con la multiplicaci\u00f3n de los elementos de la diagonal principal."}, {"start": 315.0, "end": 330.0, "text": " Menos 3x-10 y esto menos la multiplicaci\u00f3n de los elementos de la diagonal secundaria que son menos 2 y 6."}, {"start": 330.0, "end": 339.0, "text": " Cerramos corchete y esto es lo que corresponde a la componente k."}, {"start": 339.0, "end": 347.0, "text": " Bien, ahora resolvemos las operaciones que tenemos dentro de cada corchete."}, {"start": 347.0, "end": 354.0, "text": " Entonces, mxn ser\u00e1 igual a lo siguiente."}, {"start": 354.0, "end": 358.0, "text": " Veamos, menos 2x-1 nos da 2."}, {"start": 358.0, "end": 364.0, "text": " Menos 5x-10 nos da m\u00e1s 50."}, {"start": 364.0, "end": 370.0, "text": " Esto corresponde a la componente y."}, {"start": 370.0, "end": 375.0, "text": " Menos 3x-1 nos da 3 positivo."}, {"start": 375.0, "end": 381.0, "text": " Menos 5x6 nos da menos 30."}, {"start": 381.0, "end": 386.0, "text": " Esto corresponde a la componente j."}, {"start": 386.0, "end": 396.0, "text": " Abrimos corchete, tenemos menos 3x-10 que nos da 30 y aqu\u00ed tenemos menos con menos m\u00e1s."}, {"start": 396.0, "end": 403.0, "text": " Entonces, es como si tuvi\u00e9ramos 2 positivo que multiplica con 6 positivo."}, {"start": 403.0, "end": 406.0, "text": " Eso nos da m\u00e1s 12."}, {"start": 406.0, "end": 414.0, "text": " Cerramos corchete y acompa\u00f1amos del vector unitario k."}, {"start": 414.0, "end": 423.0, "text": " Ahora, resolvemos las operaciones que hay dentro de cada corchete."}, {"start": 423.0, "end": 433.0, "text": " Por ac\u00e1 tenemos 2 m\u00e1s 50 nos da 52 y ya podemos eliminar el corchete."}, {"start": 433.0, "end": 443.0, "text": " Por ac\u00e1 tenemos 3 menos 30, esto nos da menos 27 y con este menos nos queda m\u00e1s 27."}, {"start": 443.0, "end": 447.0, "text": " Acompa\u00f1ado del vector unitario j."}, {"start": 447.0, "end": 457.0, "text": " Por ac\u00e1 tenemos esta suma que nos da 42 positivo, entonces tendremos m\u00e1s 42k."}, {"start": 457.0, "end": 462.0, "text": " Y de esta manera llegamos a la respuesta."}, {"start": 462.0, "end": 469.0, "text": " Este es el nuevo vector que constituye el resultado de esta operaci\u00f3n."}, {"start": 469.0, "end": 483.0, "text": " Es decir, el resultado del producto cruz o producto vectorial entre los vectores m y n que nos dieron inicialmente."}, {"start": 483.0, "end": 489.0, "text": " Tambi\u00e9n podr\u00edamos escribir esto de la siguiente manera."}, {"start": 489.0, "end": 502.0, "text": " m x n igual a 52, 27, 42."}, {"start": 502.0, "end": 509.0, "text": " Es otra forma de presentar el vector resultante de esta operaci\u00f3n."}, {"start": 509.0, "end": 517.0, "text": " Deshaciendo la notaci\u00f3n de vectores unitarios i, j, k."}, {"start": 517.0, "end": 526.0, "text": " Cualquiera de estas dos opciones constituye la respuesta a este ejercicio."}, {"start": 526.0, "end": 533.0, "text": " Geom\u00e9tricamente la situaci\u00f3n anterior se puede representar de la siguiente manera."}, {"start": 533.0, "end": 544.0, "text": " Tenemos el vector m con sus componentes y tambi\u00e9n tenemos el vector m con sus componentes."}, {"start": 544.0, "end": 557.0, "text": " Entonces, el vector que resulta de la operaci\u00f3n m x n, es decir, el producto vectorial entre los vectores dados."}, {"start": 557.0, "end": 566.0, "text": " Y que nos dio con componentes 52, 27, 42."}, {"start": 566.0, "end": 574.0, "text": " Todos vectores en el espacio o en R3 tienen la siguiente caracter\u00edstica."}, {"start": 574.0, "end": 584.0, "text": " Este vector m x n resulta ser perpendicular tanto al vector m como al vector n."}, {"start": 584.0, "end": 589.0, "text": " Entonces lo podemos representar de esta manera."}, {"start": 589.0, "end": 603.0, "text": " Aqu\u00ed forma 90 grados con el vector m y tambi\u00e9n va a formar 90 grados con el vector n."}, {"start": 603.0, "end": 608.0, "text": " Es lo que se llama ortogonal a ambos vectores."}, {"start": 608.0, "end": 613.0, "text": " Aqu\u00ed tambi\u00e9n se utiliza la regla de la mano derecha."}, {"start": 613.0, "end": 621.0, "text": " Si hacemos el producto m x n, quiere decir que de m vamos hacia n."}, {"start": 621.0, "end": 625.0, "text": " Y entonces utilizamos la mano derecha."}, {"start": 625.0, "end": 633.0, "text": " Colocamos la mano abierta de tal forma que esta parte coincida con el primer vector."}, {"start": 633.0, "end": 637.0, "text": " Y cerramos los dedos buscando el segundo vector."}, {"start": 637.0, "end": 646.0, "text": " Hacia donde apunte el dedo pulgar, tendremos la direcci\u00f3n del vector m x n."}, {"start": 646.0, "end": 674.0, "text": " De esta manera terminamos este ejercicio."}]

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PRODUCTO PUNTO DE DOS VECTORES EN EL ESPACIO

#julioprofe explica cómo efectuar el Producto Punto o Producto Escalar de dos vectores en el espacio. Tema: #VectoresEnElEspacio → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwFjM17fQYLwVa9p87SiAf1p REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Dados los vectores en R3, P igual a 7i menos 4j menos k, y el vector Q, que es 3i menos 5j más 2k, vamos a determinar el producto punto o producto escalar entre los vectores P y Q. Para encontrar el producto punto entre los vectores dados, que son vectores en el espacio, entonces procedemos a escribir primero el vector P y vamos a deshacer la notación de vectores unitarios i, j, k. Escribimos las componentes 7 menos 4 y por aquí tenemos menos 1. Esto producto punto con el vector Q, cuyas componentes son 3, menos 5 y 2. Entonces, se recomienda trabajar con esta notación porque es más sencilla para efectuar las operaciones que vienen a continuación. Tenemos que, para hacer el producto punto o producto escalar entre dos vectores en el espacio, vamos a multiplicar las componentes en X entre sí, eso más la multiplicación de las componentes en Y entre sí, y a eso le sumamos la multiplicación de las componentes en Z entre sí. Tenemos entonces 7 por 3, allí está la multiplicación de componentes en X, más menos 4 por menos 5, allí está la multiplicación de componentes en Y, y esto más menos 1 por 2. Multiplicación de las componentes en Z. Luego desarrollamos estas operaciones, tenemos producto punto entre los vectores P y Q igual a 7 por 3, 21, por acá tenemos menos 4 por menos 5, que nos da más 20, y por acá tenemos menos 1 por 2, que nos da menos 2. Efectuamos estas operaciones y de esa manera tendremos la respuesta a este ejercicio. Tenemos que esto nos da 41 menos 2 es igual a 39. Entonces ese es el resultado de efectuar el producto punto o producto escalar entre estos dos vectores en R3.

[{"start": 0.0, "end": 16.0, "text": " Dados los vectores en R3, P igual a 7i menos 4j menos k, y el vector Q, que es 3i menos 5j m\u00e1s 2k,"}, {"start": 16.0, "end": 26.0, "text": " vamos a determinar el producto punto o producto escalar entre los vectores P y Q."}, {"start": 26.0, "end": 36.0, "text": " Para encontrar el producto punto entre los vectores dados, que son vectores en el espacio,"}, {"start": 36.0, "end": 48.0, "text": " entonces procedemos a escribir primero el vector P y vamos a deshacer la notaci\u00f3n de vectores unitarios i, j, k."}, {"start": 48.0, "end": 60.0, "text": " Escribimos las componentes 7 menos 4 y por aqu\u00ed tenemos menos 1."}, {"start": 60.0, "end": 73.0, "text": " Esto producto punto con el vector Q, cuyas componentes son 3, menos 5 y 2."}, {"start": 73.0, "end": 86.0, "text": " Entonces, se recomienda trabajar con esta notaci\u00f3n porque es m\u00e1s sencilla para efectuar las operaciones que vienen a continuaci\u00f3n."}, {"start": 86.0, "end": 95.0, "text": " Tenemos que, para hacer el producto punto o producto escalar entre dos vectores en el espacio,"}, {"start": 95.0, "end": 106.0, "text": " vamos a multiplicar las componentes en X entre s\u00ed, eso m\u00e1s la multiplicaci\u00f3n de las componentes en Y entre s\u00ed,"}, {"start": 106.0, "end": 113.0, "text": " y a eso le sumamos la multiplicaci\u00f3n de las componentes en Z entre s\u00ed."}, {"start": 113.0, "end": 121.0, "text": " Tenemos entonces 7 por 3, all\u00ed est\u00e1 la multiplicaci\u00f3n de componentes en X,"}, {"start": 121.0, "end": 134.0, "text": " m\u00e1s menos 4 por menos 5, all\u00ed est\u00e1 la multiplicaci\u00f3n de componentes en Y, y esto m\u00e1s menos 1 por 2."}, {"start": 134.0, "end": 141.0, "text": " Multiplicaci\u00f3n de las componentes en Z."}, {"start": 141.0, "end": 155.0, "text": " Luego desarrollamos estas operaciones, tenemos producto punto entre los vectores P y Q igual a 7 por 3, 21,"}, {"start": 155.0, "end": 167.0, "text": " por ac\u00e1 tenemos menos 4 por menos 5, que nos da m\u00e1s 20, y por ac\u00e1 tenemos menos 1 por 2, que nos da menos 2."}, {"start": 167.0, "end": 176.0, "text": " Efectuamos estas operaciones y de esa manera tendremos la respuesta a este ejercicio."}, {"start": 176.0, "end": 182.0, "text": " Tenemos que esto nos da 41 menos 2 es igual a 39."}, {"start": 182.0, "end": 197.0, "text": " Entonces ese es el resultado de efectuar el producto punto o producto escalar entre estos dos vectores en R3."}]

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PRODUCTO PUNTO DE VECTORES EN EL PLANO - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo efectuar el Producto Punto o Producto Escalar de dos vectores en el plano. Tema: #VectoresEnElPlano → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwGfEt9R9ghobRhm_MvyY6W4 REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Dados los vectores en R2, a igual a menos 5i más 4j y el vector b igual a menos 3i menos 8j, vamos a determinar el producto punto o producto escalar entre los vectores a y b. Para encontrar el producto punto o producto escalar entre los vectores dados, que son vectores en el plano, entonces vamos a escribir cada uno de ellos deshaciendo la notación de vectores unitarios. Entonces comenzamos con el vector a que será menos 5,4. Utilizamos esta notación por ser más sencilla de trabajar. Y esto le hacemos producto punto con el vector b que nos queda menos 3,8, también deshaciendo la notación de vectores unitarios i,j. Aquí observamos las dos componentes que tiene cada uno de los vectores en R2. A continuación hacemos ya la operación propia del producto punto o producto escalar. Vamos a multiplicar las componentes en X entre sí, es decir, menos 5 por menos 3 y a eso le vamos a sumar la multiplicación de las componentes en Y entre sí, es decir, 4 por menos 8. Entonces, componentes en X se multiplican entre sí, componentes en Y se multiplican entre sí y esos dos productos se deben sumar. Procedemos ahora a resolver esas operaciones. Tenemos entonces menos 5 por menos 3 nos da 15 positivo y por aquí tenemos 4 por menos 8 que nos da menos 32. Entonces ya podemos dar la respuesta al ejercicio. El producto punto o producto escalar entre los vectores a y b es el resultado de esta operación que nos da menos 17. Esta será entonces la respuesta. Y así hemos terminado.

[{"start": 0.0, "end": 14.0, "text": " Dados los vectores en R2, a igual a menos 5i m\u00e1s 4j y el vector b igual a menos 3i menos 8j,"}, {"start": 14.0, "end": 24.0, "text": " vamos a determinar el producto punto o producto escalar entre los vectores a y b."}, {"start": 24.0, "end": 34.0, "text": " Para encontrar el producto punto o producto escalar entre los vectores dados,"}, {"start": 34.0, "end": 44.0, "text": " que son vectores en el plano, entonces vamos a escribir cada uno de ellos deshaciendo la notaci\u00f3n de vectores unitarios."}, {"start": 44.0, "end": 58.0, "text": " Entonces comenzamos con el vector a que ser\u00e1 menos 5,4. Utilizamos esta notaci\u00f3n por ser m\u00e1s sencilla de trabajar."}, {"start": 58.0, "end": 73.0, "text": " Y esto le hacemos producto punto con el vector b que nos queda menos 3,8, tambi\u00e9n deshaciendo la notaci\u00f3n de vectores unitarios i,j."}, {"start": 73.0, "end": 81.0, "text": " Aqu\u00ed observamos las dos componentes que tiene cada uno de los vectores en R2."}, {"start": 81.0, "end": 92.0, "text": " A continuaci\u00f3n hacemos ya la operaci\u00f3n propia del producto punto o producto escalar."}, {"start": 92.0, "end": 111.0, "text": " Vamos a multiplicar las componentes en X entre s\u00ed, es decir, menos 5 por menos 3 y a eso le vamos a sumar la multiplicaci\u00f3n de las componentes en Y entre s\u00ed,"}, {"start": 111.0, "end": 127.0, "text": " es decir, 4 por menos 8. Entonces, componentes en X se multiplican entre s\u00ed, componentes en Y se multiplican entre s\u00ed y esos dos productos se deben sumar."}, {"start": 127.0, "end": 146.0, "text": " Procedemos ahora a resolver esas operaciones. Tenemos entonces menos 5 por menos 3 nos da 15 positivo y por aqu\u00ed tenemos 4 por menos 8 que nos da menos 32."}, {"start": 146.0, "end": 165.0, "text": " Entonces ya podemos dar la respuesta al ejercicio. El producto punto o producto escalar entre los vectores a y b es el resultado de esta operaci\u00f3n que nos da menos 17."}, {"start": 165.0, "end": 177.0, "text": " Esta ser\u00e1 entonces la respuesta. Y as\u00ed hemos terminado."}]

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CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN - Ejercicio 2

#julioprofe explica cómo hallar dos constantes "a" y "b" para que una función a trozos f(x) sea continua en todos los Reales. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Para esta función conocida como una función atrosos, vamos a determinar los valores de las constantes a y b para que toda la función sea continua en los reales. Para comenzar, recordemos el concepto de continuidad. Dice, para que una función y igual a f de x sea continua en un valor x igual a c, se deben cumplir las siguientes condiciones. Primera, que f de c exista, es decir, que la función esté definida para el valor x igual a c, o sea que nos de como resultado un número real. Segunda, que el límite de la función cuando x tiende a c, exista. Esto implica que el límite por la izquierda de lo mismo que el límite por la derecha y ambos produzcan el mismo número real. Y la tercera condición, que el límite nos de lo mismo que la función evaluada en c. En otras palabras, que los resultados de las condiciones uno y dos sean iguales. De las tres condiciones de continuidad, la más importante y la que vamos a atender en este ejercicio es la segunda. Necesitamos que el límite exista. En este caso, vamos a garantizar que el límite en menos uno y en dos existan. Comenzamos diciendo que el límite de la función f de x, cuando x tiende a menos uno por la izquierda, debe ser igual al límite de la función cuando x tiende a menos uno por la derecha. De esta manera, estamos garantizando la existencia del límite de la función cuando x tiende a menos uno y por lo tanto la continuidad en ese valor menos uno. Tenemos que cuando x tiende a menos uno por la izquierda, se trata de valores de x menores que menos uno, ligeramente menores que menos uno. Y en el otro caso, cuando x tiende a menos uno por la derecha, se trata de valores de x ligeramente mayores que menos uno. Con esto podemos seleccionar la expresión que corresponde a f de x en cada caso. Veamos, por aquí, cuando x es menor que menos uno, aquí lo tenemos, la función es 3x al cuadrado menos uno. Y por aquí ya podemos escribir que x tiende a menos uno sin necesidad de escribir este signo menos en la parte superior, el que nos indica aproximación por la izquierda, ya que seleccionamos la expresión para f de x. Pasamos al otro lado, tenemos límite de la función cuando x es mayor que menos uno, aquí lo tenemos. Si x es mayor que menos uno, la expresión correspondiente a f de x es 2ax más 3b. Y aquí cuando x tiende a menos uno, también ya podemos quitar el signo más porque ya seleccionamos la expresión que corresponde a f de x en este caso. A continuación vamos a evaluar cada límite. Vamos a reemplazar x por el valor menos uno. Tenemos entonces en el lado izquierdo, 3 por menos uno al cuadrado menos uno, allí evaluamos este límite en x igual a menos uno, y pasamos al otro lado donde tenemos 2a por menos uno más 3b. Resolvemos por acá, menos uno al cuadrado nos da uno positivo por tres, nos da tres, menos uno. Por acá, 2 por a por menos uno nos da menos 2a más 3b, esto nos da 2 igual a menos 2a más 3b. Y podemos pasar las letras al lado izquierdo y este número al lado derecho. Tenemos entonces que menos 2a llega como 2a, 3b llega como menos 3b, y este 2 que está positivo pasa al otro lado negativo. Y tenemos una primera ecuación, vamos a llamarla la ecuación número uno, y la selecimos por acá, 2a menos 3b es igual a menos 2. Ahora vamos a garantizar la existencia del límite de la función cuando x tiende a 2. Entonces para ello decimos que límite de la función cuando x tiende a 2 por la izquierda tiene que ser igual al límite de la función cuando x se aproxima a 2 por la derecha. Cuando x tiende a 2 por la izquierda hablamos de valores de x menores que 2, y cuando x tiende a 2 por la derecha se trata de valores de x mayores que 2. Entonces veamos por acá que función seleccionamos, para f de x si x es menor que 2 tenemos la expresión 2ax más 3b. Y aquí escribimos cuando x tiende a 2, nuevamente quitamos este signo menos de la parte superior. Al otro lado tenemos límite de la función cuando x es mayor que 2, aquí tenemos esa condición, x mayor que 2, la función es 4x más 7, cuando x se aproxima a 2. En seguida evaluamos cada límite, veamos el de la izquierda, sería 2a por x que toma el valor 2 más 3b, y por acá tenemos 4 por 2 más 7. Resolvemos en cada lado, por acá tenemos 4a más 3b, y por acá tenemos 4 por 2 es 8, 8 más 7 nos da 15. Y aparece otra ecuación que la vamos a llamar la ecuación número 2, 4a más 3b igual a 15, y tenemos lo que se llama en matemáticas un sistema de ecuaciones lineales de 2 por 2, dos ecuaciones con dos incógnitas. Vamos entonces a resolverlo. Este sistema de 2 por 2 podríamos resolverlo por el método de sustitución, o también por el método de igualación, o también por el método de eliminación conocido también como reducción, o también conocido como método de suma y resta, o si queremos también por el método de los determinantes, lo que se conoce como la regla de Kramer. En este caso observamos que tenemos menos 3b y más 3b, entonces conviene utilizar el método de eliminación o reducción, o método de suma y resta, que consiste en sumar verticalmente los términos de las dos ecuaciones. Entonces tenemos 2a sumado con 4a nos da 6a, menos 3b sumado con más 3b eso nos da 0, porque estos dos términos son opuestos y por lo tanto se eliminan, y al otro lado tenemos menos 2 más 15 que nos da como resultado 13, y de allí podemos despejar a. 6 está multiplicando, entonces pasa al otro lado a dividir. De esta manera ya tenemos el valor de a, una de las incógnitas del sistema de ecuaciones. Ahora vamos a determinar b, para ello reemplazamos este valor de a en cualquiera de las dos ecuaciones, vamos a hacerlo en la primera. Entonces tenemos 2 por a, entonces 2 por 13 sextos, esto menos 3b, igual a menos 2, y vamos a resolver esa ecuación para la variable b. Por aquí tenemos 2 por 13 sextos, donde podemos simplificar 2 con 6, sacando mitad, mitad de 2, 1, mitad de 6 es 3, y nos queda 13 tercios. 13 tercios menos 3b es igual a menos 2, despejamos el término menos 3b, entonces pasamos 13 tercios que está positivo al otro lado negativo. Eso nos da entonces menos 3b, igual a menos 2 sobre 1, aquí tenemos que buscar que las dos fracciones queden con igual denominador, para ello podemos multiplicar esta fracción arriba y abajo por 3, nos queda entonces menos 6 tercios, amplificando esa fracción para que nos queden con igual denominador. Nos queda entonces que menos 3b es igual a, dejamos el mismo denominador y efectuamos la operación de los numeradores, menos 6 menos 13 nos da como resultado menos 19. Y allí vamos a despejar b, pasando menos 3 que está multiplicando al otro lado a dividir, entonces vamos a escribirlo de la siguiente manera, menos 19 tercios dividido entre menos 3 al que podemos completar con denominador 1, allí aplicamos lo que se conoce como la ley de la oreja, entonces tenemos lo siguiente, en el numerador tendremos 19 por 1 y en el denominador tendremos 3 por 3, en cuanto a los signos tenemos que menos con menos nos da más, recordemos que en la división se aplica la ley de los signos, por lo tanto la fracción resultante será positiva. Revisamos si aquí se puede simplificar algo, vemos que no, entonces procedemos a multiplicar arriba y abajo, arriba tendremos 19 y en el denominador tendremos 9, de esta manera tenemos ya el valor de la incógnita b, entonces para terminar el ejercicio decimos que a tiene que ser igual a 13 sextos y b tiene que ser igual a 19 novenos en esta función para que sea continua en todos los números reales.

[{"start": 0.0, "end": 19.0, "text": " Para esta funci\u00f3n conocida como una funci\u00f3n atrosos, vamos a determinar los valores de las constantes a y b para que toda la funci\u00f3n sea continua en los reales."}, {"start": 19.0, "end": 37.0, "text": " Para comenzar, recordemos el concepto de continuidad. Dice, para que una funci\u00f3n y igual a f de x sea continua en un valor x igual a c, se deben cumplir las siguientes condiciones."}, {"start": 37.0, "end": 51.0, "text": " Primera, que f de c exista, es decir, que la funci\u00f3n est\u00e9 definida para el valor x igual a c, o sea que nos de como resultado un n\u00famero real."}, {"start": 51.0, "end": 71.0, "text": " Segunda, que el l\u00edmite de la funci\u00f3n cuando x tiende a c, exista. Esto implica que el l\u00edmite por la izquierda de lo mismo que el l\u00edmite por la derecha y ambos produzcan el mismo n\u00famero real."}, {"start": 71.0, "end": 88.0, "text": " Y la tercera condici\u00f3n, que el l\u00edmite nos de lo mismo que la funci\u00f3n evaluada en c. En otras palabras, que los resultados de las condiciones uno y dos sean iguales."}, {"start": 88.0, "end": 101.0, "text": " De las tres condiciones de continuidad, la m\u00e1s importante y la que vamos a atender en este ejercicio es la segunda. Necesitamos que el l\u00edmite exista."}, {"start": 102.0, "end": 111.0, "text": " En este caso, vamos a garantizar que el l\u00edmite en menos uno y en dos existan."}, {"start": 111.0, "end": 132.0, "text": " Comenzamos diciendo que el l\u00edmite de la funci\u00f3n f de x, cuando x tiende a menos uno por la izquierda, debe ser igual al l\u00edmite de la funci\u00f3n cuando x tiende a menos uno por la derecha."}, {"start": 132.0, "end": 148.0, "text": " De esta manera, estamos garantizando la existencia del l\u00edmite de la funci\u00f3n cuando x tiende a menos uno y por lo tanto la continuidad en ese valor menos uno."}, {"start": 149.0, "end": 160.0, "text": " Tenemos que cuando x tiende a menos uno por la izquierda, se trata de valores de x menores que menos uno, ligeramente menores que menos uno."}, {"start": 160.0, "end": 171.0, "text": " Y en el otro caso, cuando x tiende a menos uno por la derecha, se trata de valores de x ligeramente mayores que menos uno."}, {"start": 172.0, "end": 179.0, "text": " Con esto podemos seleccionar la expresi\u00f3n que corresponde a f de x en cada caso."}, {"start": 179.0, "end": 192.0, "text": " Veamos, por aqu\u00ed, cuando x es menor que menos uno, aqu\u00ed lo tenemos, la funci\u00f3n es 3x al cuadrado menos uno."}, {"start": 193.0, "end": 206.0, "text": " Y por aqu\u00ed ya podemos escribir que x tiende a menos uno sin necesidad de escribir este signo menos en la parte superior, el que nos indica aproximaci\u00f3n por la izquierda,"}, {"start": 206.0, "end": 211.0, "text": " ya que seleccionamos la expresi\u00f3n para f de x."}, {"start": 212.0, "end": 221.0, "text": " Pasamos al otro lado, tenemos l\u00edmite de la funci\u00f3n cuando x es mayor que menos uno, aqu\u00ed lo tenemos."}, {"start": 222.0, "end": 231.0, "text": " Si x es mayor que menos uno, la expresi\u00f3n correspondiente a f de x es 2ax m\u00e1s 3b."}, {"start": 231.0, "end": 244.0, "text": " Y aqu\u00ed cuando x tiende a menos uno, tambi\u00e9n ya podemos quitar el signo m\u00e1s porque ya seleccionamos la expresi\u00f3n que corresponde a f de x en este caso."}, {"start": 245.0, "end": 253.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a evaluar cada l\u00edmite. Vamos a reemplazar x por el valor menos uno."}, {"start": 253.0, "end": 266.0, "text": " Tenemos entonces en el lado izquierdo, 3 por menos uno al cuadrado menos uno, all\u00ed evaluamos este l\u00edmite en x igual a menos uno,"}, {"start": 267.0, "end": 273.0, "text": " y pasamos al otro lado donde tenemos 2a por menos uno m\u00e1s 3b."}, {"start": 273.0, "end": 283.0, "text": " Resolvemos por ac\u00e1, menos uno al cuadrado nos da uno positivo por tres, nos da tres, menos uno."}, {"start": 284.0, "end": 295.0, "text": " Por ac\u00e1, 2 por a por menos uno nos da menos 2a m\u00e1s 3b, esto nos da 2 igual a menos 2a m\u00e1s 3b."}, {"start": 296.0, "end": 301.0, "text": " Y podemos pasar las letras al lado izquierdo y este n\u00famero al lado derecho."}, {"start": 301.0, "end": 313.0, "text": " Tenemos entonces que menos 2a llega como 2a, 3b llega como menos 3b, y este 2 que est\u00e1 positivo pasa al otro lado negativo."}, {"start": 314.0, "end": 328.0, "text": " Y tenemos una primera ecuaci\u00f3n, vamos a llamarla la ecuaci\u00f3n n\u00famero uno, y la selecimos por ac\u00e1, 2a menos 3b es igual a menos 2."}, {"start": 328.0, "end": 338.0, "text": " Ahora vamos a garantizar la existencia del l\u00edmite de la funci\u00f3n cuando x tiende a 2."}, {"start": 339.0, "end": 356.0, "text": " Entonces para ello decimos que l\u00edmite de la funci\u00f3n cuando x tiende a 2 por la izquierda tiene que ser igual al l\u00edmite de la funci\u00f3n cuando x se aproxima a 2 por la derecha."}, {"start": 356.0, "end": 372.0, "text": " Cuando x tiende a 2 por la izquierda hablamos de valores de x menores que 2, y cuando x tiende a 2 por la derecha se trata de valores de x mayores que 2."}, {"start": 372.0, "end": 387.0, "text": " Entonces veamos por ac\u00e1 que funci\u00f3n seleccionamos, para f de x si x es menor que 2 tenemos la expresi\u00f3n 2ax m\u00e1s 3b."}, {"start": 388.0, "end": 396.0, "text": " Y aqu\u00ed escribimos cuando x tiende a 2, nuevamente quitamos este signo menos de la parte superior."}, {"start": 396.0, "end": 417.0, "text": " Al otro lado tenemos l\u00edmite de la funci\u00f3n cuando x es mayor que 2, aqu\u00ed tenemos esa condici\u00f3n, x mayor que 2, la funci\u00f3n es 4x m\u00e1s 7, cuando x se aproxima a 2."}, {"start": 417.0, "end": 437.0, "text": " En seguida evaluamos cada l\u00edmite, veamos el de la izquierda, ser\u00eda 2a por x que toma el valor 2 m\u00e1s 3b, y por ac\u00e1 tenemos 4 por 2 m\u00e1s 7."}, {"start": 437.0, "end": 450.0, "text": " Resolvemos en cada lado, por ac\u00e1 tenemos 4a m\u00e1s 3b, y por ac\u00e1 tenemos 4 por 2 es 8, 8 m\u00e1s 7 nos da 15."}, {"start": 450.0, "end": 474.0, "text": " Y aparece otra ecuaci\u00f3n que la vamos a llamar la ecuaci\u00f3n n\u00famero 2, 4a m\u00e1s 3b igual a 15, y tenemos lo que se llama en matem\u00e1ticas un sistema de ecuaciones lineales de 2 por 2, dos ecuaciones con dos inc\u00f3gnitas."}, {"start": 475.0, "end": 477.0, "text": " Vamos entonces a resolverlo."}, {"start": 477.0, "end": 499.0, "text": " Este sistema de 2 por 2 podr\u00edamos resolverlo por el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n, o tambi\u00e9n por el m\u00e9todo de igualaci\u00f3n, o tambi\u00e9n por el m\u00e9todo de eliminaci\u00f3n conocido tambi\u00e9n como reducci\u00f3n, o tambi\u00e9n conocido como m\u00e9todo de suma y resta,"}, {"start": 499.0, "end": 507.0, "text": " o si queremos tambi\u00e9n por el m\u00e9todo de los determinantes, lo que se conoce como la regla de Kramer."}, {"start": 508.0, "end": 523.0, "text": " En este caso observamos que tenemos menos 3b y m\u00e1s 3b, entonces conviene utilizar el m\u00e9todo de eliminaci\u00f3n o reducci\u00f3n, o m\u00e9todo de suma y resta,"}, {"start": 523.0, "end": 530.0, "text": " que consiste en sumar verticalmente los t\u00e9rminos de las dos ecuaciones."}, {"start": 531.0, "end": 546.0, "text": " Entonces tenemos 2a sumado con 4a nos da 6a, menos 3b sumado con m\u00e1s 3b eso nos da 0, porque estos dos t\u00e9rminos son opuestos y por lo tanto se eliminan,"}, {"start": 546.0, "end": 555.0, "text": " y al otro lado tenemos menos 2 m\u00e1s 15 que nos da como resultado 13, y de all\u00ed podemos despejar a."}, {"start": 556.0, "end": 561.0, "text": " 6 est\u00e1 multiplicando, entonces pasa al otro lado a dividir."}, {"start": 562.0, "end": 571.0, "text": " De esta manera ya tenemos el valor de a, una de las inc\u00f3gnitas del sistema de ecuaciones."}, {"start": 571.0, "end": 583.0, "text": " Ahora vamos a determinar b, para ello reemplazamos este valor de a en cualquiera de las dos ecuaciones, vamos a hacerlo en la primera."}, {"start": 583.0, "end": 606.0, "text": " Entonces tenemos 2 por a, entonces 2 por 13 sextos, esto menos 3b, igual a menos 2, y vamos a resolver esa ecuaci\u00f3n para la variable b."}, {"start": 606.0, "end": 621.0, "text": " Por aqu\u00ed tenemos 2 por 13 sextos, donde podemos simplificar 2 con 6, sacando mitad, mitad de 2, 1, mitad de 6 es 3, y nos queda 13 tercios."}, {"start": 621.0, "end": 637.0, "text": " 13 tercios menos 3b es igual a menos 2, despejamos el t\u00e9rmino menos 3b, entonces pasamos 13 tercios que est\u00e1 positivo al otro lado negativo."}, {"start": 637.0, "end": 653.0, "text": " Eso nos da entonces menos 3b, igual a menos 2 sobre 1, aqu\u00ed tenemos que buscar que las dos fracciones queden con igual denominador,"}, {"start": 653.0, "end": 668.0, "text": " para ello podemos multiplicar esta fracci\u00f3n arriba y abajo por 3, nos queda entonces menos 6 tercios, amplificando esa fracci\u00f3n para que nos queden con igual denominador."}, {"start": 668.0, "end": 687.0, "text": " Nos queda entonces que menos 3b es igual a, dejamos el mismo denominador y efectuamos la operaci\u00f3n de los numeradores, menos 6 menos 13 nos da como resultado menos 19."}, {"start": 687.0, "end": 699.0, "text": " Y all\u00ed vamos a despejar b, pasando menos 3 que est\u00e1 multiplicando al otro lado a dividir, entonces vamos a escribirlo de la siguiente manera,"}, {"start": 699.0, "end": 716.0, "text": " menos 19 tercios dividido entre menos 3 al que podemos completar con denominador 1, all\u00ed aplicamos lo que se conoce como la ley de la oreja,"}, {"start": 716.0, "end": 731.0, "text": " entonces tenemos lo siguiente, en el numerador tendremos 19 por 1 y en el denominador tendremos 3 por 3,"}, {"start": 732.0, "end": 744.0, "text": " en cuanto a los signos tenemos que menos con menos nos da m\u00e1s, recordemos que en la divisi\u00f3n se aplica la ley de los signos, por lo tanto la fracci\u00f3n resultante ser\u00e1 positiva."}, {"start": 744.0, "end": 761.0, "text": " Revisamos si aqu\u00ed se puede simplificar algo, vemos que no, entonces procedemos a multiplicar arriba y abajo, arriba tendremos 19 y en el denominador tendremos 9,"}, {"start": 761.0, "end": 777.0, "text": " de esta manera tenemos ya el valor de la inc\u00f3gnita b, entonces para terminar el ejercicio decimos que a tiene que ser igual a 13 sextos"}, {"start": 777.0, "end": 791.0, "text": " y b tiene que ser igual a 19 novenos en esta funci\u00f3n para que sea continua en todos los n\u00fameros reales."}]

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LEY DE COSENOS - Problema 2

#julioprofe explica cómo resolver un problema utilizando la Ley de Cosenos: De un puerto sale un barco a las 2 PM con velocidad constante de 60 km/h hacia el Este. A las 3 PM sale, del mismo puerto, otro barco con velocidad constante de 40 km/h y con rumbo N41°E. ¿Qué distancia separa los barcos a las 5 PM? Tema: #TriángulosOblicuángulos → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwH-BrfylINPQZd9SjazRGXl REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

De un puerto sale un barco a las 2 de la tarde con velocidad constante de 60 km por hora hacia el este. A las 3 de la tarde sale del mismo puerto otro barco con velocidad constante de 40 km por hora y con rumbo norte 18 grados este. ¿Qué distancia separa los barcos a las 5 de la tarde? Bien, en este problema tenemos dos barcos que se mueven con velocidad constante en línea recta. Entonces presentan lo que se llama movimiento rectilíneo uniforme. Recordemos que para este tipo de movimiento podemos utilizar la siguiente estrategia de modo que podamos recordar las fórmulas. Tenemos distancia, velocidad y tiempo. Entonces si necesitamos la distancia recorrida tapamos la letra D y nos queda velocidad por tiempo. Entonces tenemos la expresión para determinar la distancia. Vamos a llamar la distancia 1 la que recorre el primer barco. Entonces tendremos velocidad 1 por tiempo que permanece en movimiento el barco 1. Nos dice el problema que el primer barco se mueve con velocidad constante de 60 km por hora. Y nos dice también que ese primer barco sale a las 2 de la tarde del puerto y queremos ver qué sucede a las 5 de la tarde con ese barco. Entonces permanece en movimiento 3 horas. Esto nos da entonces 60 por 3, 180 km. Porque las horas se cancelan nos queda entonces la distancia del primer barco en kilómetros. De igual forma vamos a calcular la distancia recorrida por el barco 2. Velocidad del barco 2 por el tiempo que permanece en movimiento. Veamos la velocidad del segundo barco es 40 km por hora. Y el tiempo que el segundo barco permanece en movimiento es 2 horas. Porque parte a las 3 de la tarde y queremos ver qué sucede con él a las 5 de la tarde. Entonces tiene un tiempo de 2 horas en su movimiento. Esto nos da como resultado 40 por 2, 80 km. De igual forma se cancelan las horas. A continuación dibujamos un plano cartesiano en el cual podemos marcar los puntos cardinales. Tenemos norte, sur, este y oeste. Y allí vamos a dibujar las trayectorias de los barcos. Suponiendo que el puerto se encuentra en el origen. Allí podemos observar las dos trayectorias. La del primer barco que se mueve hacia el este recorriendo 180 km. Y la trayectoria del segundo barco que recorre 80 km. Con un rumbo de norte 18 grados este. Esto significa que del norte giramos 18 grados buscando el punto cardinal este. Quiere decir eso que este ángulo que tenemos aquí será lo que le falta a 18 para completar 90 grados. Entonces este ángulo es de 72 grados, es el complemento de 18. En este caso 18 y 72 son ángulos complementarios porque suman 90 grados. Entonces tenemos que este es el puerto y estas son las posiciones de los barcos a las 5 de la tarde. Vamos a determinar entonces esta distancia que separa los barcos en ese momento. Trazamos entonces ese segmento y lo vamos a llamar de la distancia que separa los barcos en ese instante. Tenemos entonces una situación de un triángulo óblico ángulo. Es decir un triángulo que no es triángulo rectángulo. Donde conocemos dos lados y el ángulo que está entre ellos. Entonces allí vamos a utilizar lo que se llama la ley de Cosenos. Y vamos a ver cómo se determina. Si tenemos un triángulo óblico ángulo ABC nombramos sus lados con letras minúsculas atendiendo al vértice opuesto. Por ejemplo si este es el vértice A mayúscula entonces el lado opuesto se denota con A minúscula. De igual forma para este vértice B mayúscula el lado opuesto es B minúscula y para este vértice C mayúscula el lado contrario es C minúscula. En este caso cuando tenemos un lado conocido, este ángulo conocido y este lado conocido. Es decir lo que se conoce como lado ángulo lado información conocida. Entonces podemos determinar este lado que nos falta utilizando la ley de Cosenos y planteando la siguiente expresión. Decimos A al cuadrado es igual a B al cuadrado más C al cuadrado menos 2 por B por C por el coseno del ángulo que se conoce. Que en este caso es el ángulo A el que se opone al lado que estamos buscando. Vamos a reemplazar en esta expresión la información que tenemos en el problema. Comenzamos con A que en este caso es la distancia D que tenemos que averiguar. Entonces tenemos D al cuadrado igual a B que viene siendo 80 kilómetros, eso al cuadrado, más C que viene siendo 180 kilómetros al cuadrado menos 2 por B por C. Es decir 80 por 180 y eso por el coseno del ángulo A que es en este caso 72 grados. Resolvemos todo esto en la calculadora científica asegurándonos de tenerla en el modo DEC que quiere decir Degree. Significa que vamos a trabajar los ángulos en grados, esto para que la función trigonométrica, en este caso el coseno, nos de el resultado correcto. Entonces veamos, al resolver todo eso en la calculadora tenemos D cuadrado igual a 29.900, 31 aproximando a 2 decimales. Luego sacamos raíz cuadrada a ambos lados para obtener D y eso nos da como resultado 172,92 y esa distancia va en kilómetros. De esta manera encontramos lo que nos pregunta este problema, esta sería la distancia que separa los dos barcos a las 5 de la tarde.

[{"start": 0.0, "end": 12.0, "text": " De un puerto sale un barco a las 2 de la tarde con velocidad constante de 60 km por hora hacia el este."}, {"start": 12.0, "end": 27.0, "text": " A las 3 de la tarde sale del mismo puerto otro barco con velocidad constante de 40 km por hora y con rumbo norte 18 grados este."}, {"start": 27.0, "end": 32.0, "text": " \u00bfQu\u00e9 distancia separa los barcos a las 5 de la tarde?"}, {"start": 32.0, "end": 42.0, "text": " Bien, en este problema tenemos dos barcos que se mueven con velocidad constante en l\u00ednea recta."}, {"start": 42.0, "end": 48.0, "text": " Entonces presentan lo que se llama movimiento rectil\u00edneo uniforme."}, {"start": 48.0, "end": 60.0, "text": " Recordemos que para este tipo de movimiento podemos utilizar la siguiente estrategia de modo que podamos recordar las f\u00f3rmulas."}, {"start": 60.0, "end": 63.0, "text": " Tenemos distancia, velocidad y tiempo."}, {"start": 63.0, "end": 72.0, "text": " Entonces si necesitamos la distancia recorrida tapamos la letra D y nos queda velocidad por tiempo."}, {"start": 72.0, "end": 78.0, "text": " Entonces tenemos la expresi\u00f3n para determinar la distancia."}, {"start": 78.0, "end": 85.0, "text": " Vamos a llamar la distancia 1 la que recorre el primer barco."}, {"start": 85.0, "end": 94.0, "text": " Entonces tendremos velocidad 1 por tiempo que permanece en movimiento el barco 1."}, {"start": 94.0, "end": 103.0, "text": " Nos dice el problema que el primer barco se mueve con velocidad constante de 60 km por hora."}, {"start": 103.0, "end": 115.0, "text": " Y nos dice tambi\u00e9n que ese primer barco sale a las 2 de la tarde del puerto y queremos ver qu\u00e9 sucede a las 5 de la tarde con ese barco."}, {"start": 115.0, "end": 120.0, "text": " Entonces permanece en movimiento 3 horas."}, {"start": 120.0, "end": 127.0, "text": " Esto nos da entonces 60 por 3, 180 km."}, {"start": 127.0, "end": 135.0, "text": " Porque las horas se cancelan nos queda entonces la distancia del primer barco en kil\u00f3metros."}, {"start": 135.0, "end": 142.0, "text": " De igual forma vamos a calcular la distancia recorrida por el barco 2."}, {"start": 142.0, "end": 148.0, "text": " Velocidad del barco 2 por el tiempo que permanece en movimiento."}, {"start": 148.0, "end": 155.0, "text": " Veamos la velocidad del segundo barco es 40 km por hora."}, {"start": 155.0, "end": 163.0, "text": " Y el tiempo que el segundo barco permanece en movimiento es 2 horas."}, {"start": 163.0, "end": 172.0, "text": " Porque parte a las 3 de la tarde y queremos ver qu\u00e9 sucede con \u00e9l a las 5 de la tarde."}, {"start": 172.0, "end": 178.0, "text": " Entonces tiene un tiempo de 2 horas en su movimiento."}, {"start": 178.0, "end": 184.0, "text": " Esto nos da como resultado 40 por 2, 80 km."}, {"start": 184.0, "end": 188.0, "text": " De igual forma se cancelan las horas."}, {"start": 188.0, "end": 198.0, "text": " A continuaci\u00f3n dibujamos un plano cartesiano en el cual podemos marcar los puntos cardinales."}, {"start": 198.0, "end": 205.0, "text": " Tenemos norte, sur, este y oeste."}, {"start": 205.0, "end": 211.0, "text": " Y all\u00ed vamos a dibujar las trayectorias de los barcos."}, {"start": 211.0, "end": 218.0, "text": " Suponiendo que el puerto se encuentra en el origen."}, {"start": 218.0, "end": 222.0, "text": " All\u00ed podemos observar las dos trayectorias."}, {"start": 222.0, "end": 232.0, "text": " La del primer barco que se mueve hacia el este recorriendo 180 km."}, {"start": 232.0, "end": 240.0, "text": " Y la trayectoria del segundo barco que recorre 80 km."}, {"start": 240.0, "end": 246.0, "text": " Con un rumbo de norte 18 grados este."}, {"start": 246.0, "end": 257.0, "text": " Esto significa que del norte giramos 18 grados buscando el punto cardinal este."}, {"start": 257.0, "end": 267.0, "text": " Quiere decir eso que este \u00e1ngulo que tenemos aqu\u00ed ser\u00e1 lo que le falta a 18 para completar 90 grados."}, {"start": 267.0, "end": 276.0, "text": " Entonces este \u00e1ngulo es de 72 grados, es el complemento de 18."}, {"start": 276.0, "end": 285.0, "text": " En este caso 18 y 72 son \u00e1ngulos complementarios porque suman 90 grados."}, {"start": 285.0, "end": 295.0, "text": " Entonces tenemos que este es el puerto y estas son las posiciones de los barcos a las 5 de la tarde."}, {"start": 295.0, "end": 303.0, "text": " Vamos a determinar entonces esta distancia que separa los barcos en ese momento."}, {"start": 303.0, "end": 312.0, "text": " Trazamos entonces ese segmento y lo vamos a llamar de la distancia que separa los barcos en ese instante."}, {"start": 312.0, "end": 318.0, "text": " Tenemos entonces una situaci\u00f3n de un tri\u00e1ngulo \u00f3blico \u00e1ngulo."}, {"start": 318.0, "end": 322.0, "text": " Es decir un tri\u00e1ngulo que no es tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo."}, {"start": 322.0, "end": 328.0, "text": " Donde conocemos dos lados y el \u00e1ngulo que est\u00e1 entre ellos."}, {"start": 328.0, "end": 337.0, "text": " Entonces all\u00ed vamos a utilizar lo que se llama la ley de Cosenos."}, {"start": 337.0, "end": 343.0, "text": " Y vamos a ver c\u00f3mo se determina."}, {"start": 343.0, "end": 355.0, "text": " Si tenemos un tri\u00e1ngulo \u00f3blico \u00e1ngulo ABC nombramos sus lados con letras min\u00fasculas atendiendo al v\u00e9rtice opuesto."}, {"start": 355.0, "end": 364.0, "text": " Por ejemplo si este es el v\u00e9rtice A may\u00fascula entonces el lado opuesto se denota con A min\u00fascula."}, {"start": 364.0, "end": 379.0, "text": " De igual forma para este v\u00e9rtice B may\u00fascula el lado opuesto es B min\u00fascula y para este v\u00e9rtice C may\u00fascula el lado contrario es C min\u00fascula."}, {"start": 379.0, "end": 387.0, "text": " En este caso cuando tenemos un lado conocido, este \u00e1ngulo conocido y este lado conocido."}, {"start": 387.0, "end": 394.0, "text": " Es decir lo que se conoce como lado \u00e1ngulo lado informaci\u00f3n conocida."}, {"start": 394.0, "end": 404.0, "text": " Entonces podemos determinar este lado que nos falta utilizando la ley de Cosenos y planteando la siguiente expresi\u00f3n."}, {"start": 404.0, "end": 419.0, "text": " Decimos A al cuadrado es igual a B al cuadrado m\u00e1s C al cuadrado menos 2 por B por C por el coseno del \u00e1ngulo que se conoce."}, {"start": 419.0, "end": 427.0, "text": " Que en este caso es el \u00e1ngulo A el que se opone al lado que estamos buscando."}, {"start": 427.0, "end": 435.0, "text": " Vamos a reemplazar en esta expresi\u00f3n la informaci\u00f3n que tenemos en el problema."}, {"start": 435.0, "end": 443.0, "text": " Comenzamos con A que en este caso es la distancia D que tenemos que averiguar."}, {"start": 443.0, "end": 463.0, "text": " Entonces tenemos D al cuadrado igual a B que viene siendo 80 kil\u00f3metros, eso al cuadrado, m\u00e1s C que viene siendo 180 kil\u00f3metros al cuadrado menos 2 por B por C."}, {"start": 463.0, "end": 480.0, "text": " Es decir 80 por 180 y eso por el coseno del \u00e1ngulo A que es en este caso 72 grados."}, {"start": 480.0, "end": 496.0, "text": " Resolvemos todo esto en la calculadora cient\u00edfica asegur\u00e1ndonos de tenerla en el modo DEC que quiere decir Degree."}, {"start": 496.0, "end": 511.0, "text": " Significa que vamos a trabajar los \u00e1ngulos en grados, esto para que la funci\u00f3n trigonom\u00e9trica, en este caso el coseno, nos de el resultado correcto."}, {"start": 511.0, "end": 530.0, "text": " Entonces veamos, al resolver todo eso en la calculadora tenemos D cuadrado igual a 29.900, 31 aproximando a 2 decimales."}, {"start": 530.0, "end": 548.0, "text": " Luego sacamos ra\u00edz cuadrada a ambos lados para obtener D y eso nos da como resultado 172,92 y esa distancia va en kil\u00f3metros."}, {"start": 548.0, "end": 564.0, "text": " De esta manera encontramos lo que nos pregunta este problema, esta ser\u00eda la distancia que separa los dos barcos a las 5 de la tarde."}]

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SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

#julioprofe explica cómo solucionar cuatro triángulos rectángulos, utilizando conceptos de trigonometría y de geometría. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

En esta ocasión vamos a solucionar cada uno de los siguientes triángulos rectángulos. Comenzamos con el primero donde encontramos el triángulo rectángulo ABC, conocemos el ángulo agudo A que es 25 grados y conocemos el cateto BC que vale 8 unidades. Vamos entonces a aplicar lo que se conoce como SOHCATOA. Como tenemos triángulo rectángulo, entonces perfectamente podemos usar las razones trigonométricas principales. Recordemos que la S significa seno que se define como cateto opuesto sobre hipotenusa, la C indica coseno que es cateto adyacente sobre hipotenusa y la T indica la tangente que es cateto opuesto sobre cateto adyacente. En ese caso, por ejemplo, para encontrar la hipotenusa y teniendo el ángulo de 25 grados y el cateto opuesto que es 8, podemos utilizar la relación seno porque de esa manera involucramos estos tres datos, dos datos conocidos, uno desconocido. Entonces, veamos, decimos, seno de 25 grados es igual a cateto opuesto, el cateto opuesto a 25 grados mide 8 unidades sobre la hipotenusa del triángulo que es el lado AC. De allí vamos a despejar AC, esto está dividiendo, lo pasamos a multiplicar y seno de 25 grados que está multiplicando pasa a dividir. Por lo tanto, despejar AC nos queda como 8 sobre seno de 25 grados, es como si hiciéramos un intercambio entre esos dos componentes. Hacemos esta operación en la calculadora científica asegurándonos de tenerla en el modo DEG, que recordemos es para trabajar los ángulos en grados. Entonces, haciendo esta operación en calculadora nos da como resultado 18.93 aproximando a dos decimales. Escribimos entonces ese resultado por aquí y ya tenemos la hipotenusa del triángulo. Conociendo ya la hipotenusa y este cateto podríamos encontrar el otro cateto AB, por ejemplo, utilizando el teorema de Pitágoras. Pero vamos a utilizar las razones trigonométricas, por ejemplo, tratemos de involucrar el lado AB con la hipotenusa que ya la encontramos. AB viene siendo el cateto adyacente al ángulo agudo de 25 grados, entonces vamos a utilizar la relación coseno. Coseno es cateto adyacente sobre hipotenusa, así involucramos AB con el ángulo y la hipotenusa. Tenemos entonces coseno de 25 grados es igual a cateto adyacente, que es AB, sobre la hipotenusa, que es 18.93. Ya aquí despejamos AB, pasando esta cantidad a multiplicar con coseno de 25 grados. Nos queda entonces la operación 18.93 por coseno de 25 grados. Nuevamente, en la calculadora científica hacemos esa operación y nos da como resultado 17.16 unidades. Escribimos el resultado por aquí y de esa manera ya conocemos los lados del triángulo. Finalmente, para resolver por completo el triángulo, debemos encontrar la medida del ángulo C. Recordemos que en todos los triángulos se cumple que la suma de los ángulos interiores da como resultado 180 grados. Entonces planteamos esta operación. Para este caso, decimos que la medida del ángulo A más la medida del ángulo B más la medida del ángulo C nos tiene que dar 180 grados. Tenemos que el ángulo A es 25 grados, el ángulo B es 90 grados, es el ángulo recto y nos queda como incógnita la medida del ángulo C, que es el que necesitamos encontrar. Sumamos estos dos, nos da 115 grados más medida del ángulo C y resolviendo esta ecuación despejamos la incógnita que es la medida del ángulo C. Nos queda 180 grados menos 115 grados. Esta cantidad está sumando, pasa al otro lado a restar. Resolviendo eso nos da como resultado 65 grados. Y de esa manera encontramos este ángulo que nos hacía falta. De esa manera terminamos el primer ejercicio. Hemos resuelto completamente el triángulo rectángulo ABC. En el segundo caso tenemos el triángulo rectángulo DEF, donde conocemos el ángulo agudo F que vale 70 grados y conocemos el valor de la hipotenusa que es 12 unidades. Nuevamente podemos utilizar Zocato A, porque tenemos el triángulo rectángulo. Entonces veamos, si tenemos el ángulo de 70 grados podríamos pensar en involucrar el cateto opuesto que es DE y la hipotenusa que la conocemos. Entonces cateto opuesto con hipotenusa nos permite usar la relación Zeno. Decimos entonces Zeno de 70 grados es igual a el cateto opuesto que es el cateto DE sobre la hipotenusa que tiene un valor de 12 unidades. De allí despejamos DE. 12 está dividiendo pasa a multiplicar con Zeno de 70 grados. Resolvemos esto en la calculadora científica y el resultado aproximándolo a dos decimales nos da 11.28. Vamos a escribirlo por aquí. De esa manera encontramos la medida del cateto DE. Para encontrar el cateto EF tenemos varias alternativas. Una podría ser utilizar el teorema de Titágoras porque ya conocemos la hipotenusa y uno de los catetos. Otra podría ser recurrir a las razones trigonométricas. Por ejemplo si utilizamos el coseno de 70 grados involucraríamos el cateto adyacente con la hipotenusa que la conocemos. Por allí podríamos encontrar el valor de EF. Pero vamos a utilizar la tangente que todavía no la hemos usado. Entonces veamos, tangente de 70 grados es igual a cateto opuesto. Veamos, el cateto opuesto a este ángulo de 70 grados es el que está al frente, es 11.28. Y sobre el cateto adyacente al ángulo de 70 grados que es el cateto EF, el que vamos a encontrar. Y aquí vamos a despejar EF pasándolo a multiplicar a este lado. Por lo tanto tangente de 70 grados que queda multiplicando pasa a dividir. Nos queda entonces EF igual a 11.28 sobre tangente de 70 grados. Nuevamente hacemos un intercambio entre esos dos componentes. Resolviendo esto en la calculadora científica nos da como resultado 4.09, aproximando a dos cifras decimales. Entonces tenemos que el cateto EF mide 4.09 unidades. Por último debemos encontrar la medida del ángulo D. Nuevamente sabemos que la suma de los tres ángulos internos del triángulo nos debe dar 180 grados. Vamos a hacerlo mentalmente esta vez. Por aquí ya tenemos 90 grados asegurados. Por lo tanto estos dos ángulos agudos deben totalizar los otros 90 grados. Si este ángulo mide 70 grados entonces este mide 20. Para que como decíamos entre los dos totalicen los otros 90 grados que le faltan a este para completar los 180 grados. De esta manera terminamos el segundo triángulo. Ya conocemos los lados y el ángulo que nos hacía falta. Vamos ahora con el tercer caso. Tenemos el triángulo rectángulo QPR donde conocemos la hipotenusa y uno de los catetos. Podríamos entonces comenzar con el teorema de Pitágoras para encontrar la medida del cateto PR. Decimos entonces que el cateto PR al cuadrado más el cateto PQ que mide 12 unidades esto al cuadrado nos tiene que dar como resultado la hipotenusa que mide 25 al cuadrado. Ese es el teorema de Pitágoras. Tenemos entonces PR al cuadrado más 12 al cuadrado que nos da 144 igual a 25 al cuadrado que es 625. De allí despejamos PR al cuadrado, pasamos 144 que está sumando al otro lado a restar. Resolvemos la resta. Entonces tenemos PR al cuadrado igual a 481 y para despejar PR tomamos raíz cuadrada a ambos lados. Entonces en el lado derecho tenemos la raíz cuadrada de 481. Recordemos que en el lado izquierdo la raíz cuadrada elimina el exponente 2 y esto en calculadora nos da aproximadamente igual a 21.93 redondeando a dos cifras decimales. Entonces escribimos el resultado por aquí. El cateto PR mide 21.93 unidades. Como ya conocemos las medidas de los lados del triángulo rectángulo entonces podemos utilizar Zocatoa para determinar la medida de uno de los ángulos agudos. Podría ser el ángulo Q o también el ángulo R. Vamos a calcular el ángulo Q y para eso hacemos uso de la información que nos da el problema. Entonces veamos, para este ángulo 12 es el cateto adyacente y 25 es la hipotenusa. Por lo tanto tenemos que utilizar coseno. Sería coseno del ángulo Q igual al cateto adyacente que es el cateto que hace contacto con el ángulo y que mide 12 sobre la hipotenusa del triángulo que mide 25. De allí vamos a despejar el ángulo Q utilizando para ello la función inversa del coseno. Entonces tenemos coseno a la menos 1 de 12.25 agos o esto también se puede escribir como arco coseno de 12.25 agos. Nuevamente nos aseguramos que nuestra calculadora científica esté en el modo DEC para que el resultado del ángulo nos de en grados. Haciendo esto en la calculadora nos da como resultado una medida para el ángulo Q de 61.3 grados aproximando a una cifra decimal. Entonces vamos a escribir el resultado por aquí. El ángulo Q mide 61.3 grados. Por último determinamos la medida del ángulo R y para ello usamos la propiedad de los triángulos. La suma de los ángulos internos es 180 grados. Como aquí ya tenemos 90 grados, entonces estos dos ángulos deben sumar 90 grados. Medida del ángulo Q más medida del ángulo R es igual a 90 grados. Deseamos que estos se llaman ángulos complementarios. El ángulo Q lo conocemos que vale 61.3 grados y nos queda como incógnita la medida del ángulo R. Despejamos entonces la incógnita. Tenemos 90 grados menos 61.3 grados y resolviendo esa resta nos da como resultado 28.7 grados. Allí tenemos entonces la medida del ángulo R y de esa manera tenemos resuelto ese triángulo rectángulo. En el cuarto caso tenemos el triángulo rectángulo XYZ donde conocemos las medidas de los capetos. Vamos a comenzar utilizando Zocatoa para determinar la medida de uno de los ángulos agudos con la información que tenemos. Por ejemplo, vamos a determinar la medida del ángulo X. Aclaramos que también podríamos iniciar utilizando el teorema de Pitágoras porque conocidos los dos capetos podríamos determinar la hipotenusa. En realidad hay varias formas de comenzar el ejercicio. Vamos entonces a determinar el ángulo X utilizando los dos capetos y para ello empleamos la relación tangente. Entonces decimos tangente del ángulo X es igual a cateto opuesto, veamos el cateto que está al frente del ángulo X mide 6 sobre el cateto adyacente que vale 16. Es el cateto que hace contacto con el ángulo X. Y allí despejamos ese ángulo utilizando la función inversa de la tangente que se llama tangente a la menos uno y que se le aplica a este valor 6,16. Esto también se puede escribir como arco tangente de 6,16. Resolviendo esto en la calculadora nos da como resultado para X 20.6 grados aproximando a una cifra decimal. Escribimos por aquí ese resultado. 20.6 grados es la medida del ángulo X. De nuevo podríamos utilizar Socatoa para encontrar la hipotenusa utilizando cualquiera de los catetos y el ángulo que ya conocemos. Vamos entonces por ejemplo a usar la relación seno. Decimos seno de 20.6 grados es igual a cateto opuesto, veamos el cateto opuesto a ese ángulo es 6 sobre la hipotenusa del triángulo que es el lado X,Z. Y de allí despejamos la incógnita. Decimos entonces que X,Z es igual a lo siguiente. Esto pasa a multiplicar seno de 20.6 grados pasa a dividir. Nos queda entonces 6 sobre el seno de 20.6 grados haciendo nuevamente el intercambio entre esos dos componentes. Resolviendo en la calculadora esa operación nos da como resultado 17.09 aproximando a dos decimales. Escribimos entonces el resultado por aquí y ya conocemos la medida de la hipotenusa. Por último determinamos la medida del ángulo Z. Utilizamos el hecho de que los ángulos X y Z son ángulos complementarios. Entre los dos suman 90 grados. Entonces tenemos el ángulo X que vale 20.6 grados más la medida del ángulo Z esto es igual a 90 grados. Y despejamos la incógnita en esa ecuación. Nos queda 90 grados menos 20.6 grados. Resolviendo esa resta nos da como resultado 69.4 grados. Escribimos el resultado acá en el triángulo. El ángulo Z mide 69.4 grados y de esa manera hemos resuelto este triángulo rectángulo.

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cantidad est\u00e1 sumando, pasa al otro lado a restar."}, {"start": 361.0, "end": 368.0, "text": " Resolviendo eso nos da como resultado 65 grados."}, {"start": 368.0, "end": 375.0, "text": " Y de esa manera encontramos este \u00e1ngulo que nos hac\u00eda falta."}, {"start": 375.0, "end": 378.0, "text": " De esa manera terminamos el primer ejercicio."}, {"start": 378.0, "end": 386.0, "text": " Hemos resuelto completamente el tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo ABC."}, {"start": 386.0, "end": 392.0, "text": " En el segundo caso tenemos el tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo DEF,"}, {"start": 392.0, "end": 403.0, "text": " donde conocemos el \u00e1ngulo agudo F que vale 70 grados y conocemos el valor de la hipotenusa que es 12 unidades."}, {"start": 403.0, "end": 407.0, "text": " Nuevamente podemos utilizar Zocato A,"}, {"start": 407.0, "end": 411.0, "text": " porque tenemos el tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo."}, {"start": 411.0, "end": 426.0, "text": " Entonces veamos, si tenemos el \u00e1ngulo de 70 grados podr\u00edamos pensar en involucrar el cateto opuesto que es DE y la hipotenusa que la conocemos."}, {"start": 426.0, "end": 444.0, "text": " Entonces cateto opuesto con hipotenusa nos permite usar la relaci\u00f3n Zeno. Decimos entonces Zeno de 70 grados es igual a el cateto opuesto que es el cateto DE"}, {"start": 444.0, "end": 453.0, "text": " sobre la hipotenusa que tiene un valor de 12 unidades. De all\u00ed despejamos DE."}, {"start": 453.0, "end": 461.0, "text": " 12 est\u00e1 dividiendo pasa a multiplicar con Zeno de 70 grados."}, {"start": 461.0, "end": 474.0, "text": " Resolvemos esto en la calculadora cient\u00edfica y el resultado aproxim\u00e1ndolo a dos decimales nos da 11.28."}, {"start": 474.0, "end": 477.0, "text": " Vamos a escribirlo por aqu\u00ed."}, {"start": 477.0, "end": 484.0, "text": " De esa manera encontramos la medida del cateto DE."}, {"start": 484.0, "end": 490.0, "text": " Para encontrar el cateto EF tenemos varias alternativas."}, {"start": 490.0, "end": 499.0, "text": " Una podr\u00eda ser utilizar el teorema de Tit\u00e1goras porque ya conocemos la hipotenusa y uno de los catetos."}, {"start": 499.0, "end": 505.0, "text": " Otra podr\u00eda ser recurrir a las razones trigonom\u00e9tricas."}, {"start": 505.0, "end": 516.0, "text": " Por ejemplo si utilizamos el coseno de 70 grados involucrar\u00edamos el cateto adyacente con la hipotenusa que la conocemos."}, {"start": 516.0, "end": 520.0, "text": " Por all\u00ed podr\u00edamos encontrar el valor de EF."}, {"start": 520.0, "end": 526.0, "text": " Pero vamos a utilizar la tangente que todav\u00eda no la hemos usado."}, {"start": 526.0, "end": 536.0, "text": " Entonces veamos, tangente de 70 grados es igual a cateto opuesto."}, {"start": 536.0, "end": 546.0, "text": " Veamos, el cateto opuesto a este \u00e1ngulo de 70 grados es el que est\u00e1 al frente, es 11.28."}, {"start": 546.0, "end": 559.0, "text": " Y sobre el cateto adyacente al \u00e1ngulo de 70 grados que es el cateto EF, el que vamos a encontrar."}, {"start": 559.0, "end": 564.0, "text": " Y aqu\u00ed vamos a despejar EF pas\u00e1ndolo a multiplicar a este lado."}, {"start": 564.0, "end": 569.0, "text": " Por lo tanto tangente de 70 grados que queda multiplicando pasa a dividir."}, {"start": 569.0, "end": 581.0, "text": " Nos queda entonces EF igual a 11.28 sobre tangente de 70 grados."}, {"start": 581.0, "end": 587.0, "text": " Nuevamente hacemos un intercambio entre esos dos componentes."}, {"start": 587.0, "end": 598.0, "text": " Resolviendo esto en la calculadora cient\u00edfica nos da como resultado 4.09, aproximando a dos cifras decimales."}, {"start": 598.0, "end": 606.0, "text": " Entonces tenemos que el cateto EF mide 4.09 unidades."}, {"start": 606.0, "end": 611.0, "text": " Por \u00faltimo debemos encontrar la medida del \u00e1ngulo D."}, {"start": 611.0, "end": 620.0, "text": " Nuevamente sabemos que la suma de los tres \u00e1ngulos internos del tri\u00e1ngulo nos debe dar 180 grados."}, {"start": 620.0, "end": 626.0, "text": " Vamos a hacerlo mentalmente esta vez. Por aqu\u00ed ya tenemos 90 grados asegurados."}, {"start": 626.0, "end": 633.0, "text": " Por lo tanto estos dos \u00e1ngulos agudos deben totalizar los otros 90 grados."}, {"start": 633.0, "end": 640.0, "text": " Si este \u00e1ngulo mide 70 grados entonces este mide 20."}, {"start": 640.0, "end": 652.0, "text": " Para que como dec\u00edamos entre los dos totalicen los otros 90 grados que le faltan a este para completar los 180 grados."}, {"start": 652.0, "end": 656.0, "text": " De esta manera terminamos el segundo tri\u00e1ngulo."}, {"start": 656.0, "end": 662.0, "text": " Ya conocemos los lados y el \u00e1ngulo que nos hac\u00eda falta."}, {"start": 662.0, "end": 674.0, "text": " Vamos ahora con el tercer caso. Tenemos el tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo QPR donde conocemos la hipotenusa y uno de los catetos."}, {"start": 674.0, "end": 685.0, "text": " Podr\u00edamos entonces comenzar con el teorema de Pit\u00e1goras para encontrar la medida del cateto PR."}, {"start": 685.0, "end": 700.0, "text": " Decimos entonces que el cateto PR al cuadrado m\u00e1s el cateto PQ que mide 12 unidades esto al cuadrado"}, {"start": 700.0, "end": 709.0, "text": " nos tiene que dar como resultado la hipotenusa que mide 25 al cuadrado."}, {"start": 709.0, "end": 720.0, "text": " Ese es el teorema de Pit\u00e1goras. Tenemos entonces PR al cuadrado m\u00e1s 12 al cuadrado que nos da 144"}, {"start": 720.0, "end": 739.0, "text": " igual a 25 al cuadrado que es 625. De all\u00ed despejamos PR al cuadrado, pasamos 144 que est\u00e1 sumando al otro lado a restar."}, {"start": 739.0, "end": 757.0, "text": " Resolvemos la resta. Entonces tenemos PR al cuadrado igual a 481 y para despejar PR tomamos ra\u00edz cuadrada a ambos lados."}, {"start": 757.0, "end": 769.0, "text": " Entonces en el lado derecho tenemos la ra\u00edz cuadrada de 481. Recordemos que en el lado izquierdo la ra\u00edz cuadrada elimina el exponente 2"}, {"start": 769.0, "end": 782.0, "text": " y esto en calculadora nos da aproximadamente igual a 21.93 redondeando a dos cifras decimales."}, {"start": 782.0, "end": 793.0, "text": " Entonces escribimos el resultado por aqu\u00ed. El cateto PR mide 21.93 unidades."}, {"start": 793.0, "end": 803.0, "text": " Como ya conocemos las medidas de los lados del tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo entonces podemos utilizar Zocatoa"}, {"start": 803.0, "end": 815.0, "text": " para determinar la medida de uno de los \u00e1ngulos agudos. Podr\u00eda ser el \u00e1ngulo Q o tambi\u00e9n el \u00e1ngulo R."}, {"start": 815.0, "end": 825.0, "text": " Vamos a calcular el \u00e1ngulo Q y para eso hacemos uso de la informaci\u00f3n que nos da el problema."}, {"start": 825.0, "end": 838.0, "text": " Entonces veamos, para este \u00e1ngulo 12 es el cateto adyacente y 25 es la hipotenusa. Por lo tanto tenemos que utilizar coseno."}, {"start": 838.0, "end": 851.0, "text": " Ser\u00eda coseno del \u00e1ngulo Q igual al cateto adyacente que es el cateto que hace contacto con el \u00e1ngulo y que mide 12"}, {"start": 851.0, "end": 866.0, "text": " sobre la hipotenusa del tri\u00e1ngulo que mide 25. De all\u00ed vamos a despejar el \u00e1ngulo Q utilizando para ello la funci\u00f3n inversa del coseno."}, {"start": 866.0, "end": 882.0, "text": " Entonces tenemos coseno a la menos 1 de 12.25 agos o esto tambi\u00e9n se puede escribir como arco coseno de 12.25 agos."}, {"start": 882.0, "end": 896.0, "text": " Nuevamente nos aseguramos que nuestra calculadora cient\u00edfica est\u00e9 en el modo DEC para que el resultado del \u00e1ngulo nos de en grados."}, {"start": 896.0, "end": 910.0, "text": " Haciendo esto en la calculadora nos da como resultado una medida para el \u00e1ngulo Q de 61.3 grados aproximando a una cifra decimal."}, {"start": 910.0, "end": 920.0, "text": " Entonces vamos a escribir el resultado por aqu\u00ed. El \u00e1ngulo Q mide 61.3 grados."}, {"start": 920.0, "end": 931.0, "text": " Por \u00faltimo determinamos la medida del \u00e1ngulo R y para ello usamos la propiedad de los tri\u00e1ngulos."}, {"start": 931.0, "end": 943.0, "text": " La suma de los \u00e1ngulos internos es 180 grados. Como aqu\u00ed ya tenemos 90 grados, entonces estos dos \u00e1ngulos deben sumar 90 grados."}, {"start": 943.0, "end": 952.0, "text": " Medida del \u00e1ngulo Q m\u00e1s medida del \u00e1ngulo R es igual a 90 grados."}, {"start": 952.0, "end": 967.0, "text": " Deseamos que estos se llaman \u00e1ngulos complementarios. El \u00e1ngulo Q lo conocemos que vale 61.3 grados y nos queda como inc\u00f3gnita la medida del \u00e1ngulo R."}, {"start": 967.0, "end": 987.0, "text": " Despejamos entonces la inc\u00f3gnita. Tenemos 90 grados menos 61.3 grados y resolviendo esa resta nos da como resultado 28.7 grados."}, {"start": 987.0, "end": 1000.0, "text": " All\u00ed tenemos entonces la medida del \u00e1ngulo R y de esa manera tenemos resuelto ese tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo."}, {"start": 1000.0, "end": 1011.0, "text": " En el cuarto caso tenemos el tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo XYZ donde conocemos las medidas de los capetos."}, {"start": 1011.0, "end": 1025.0, "text": " Vamos a comenzar utilizando Zocatoa para determinar la medida de uno de los \u00e1ngulos agudos con la informaci\u00f3n que tenemos."}, {"start": 1025.0, "end": 1035.0, "text": " Por ejemplo, vamos a determinar la medida del \u00e1ngulo X. Aclaramos que tambi\u00e9n podr\u00edamos iniciar utilizando el teorema de Pit\u00e1goras"}, {"start": 1035.0, "end": 1046.0, "text": " porque conocidos los dos capetos podr\u00edamos determinar la hipotenusa. En realidad hay varias formas de comenzar el ejercicio."}, {"start": 1046.0, "end": 1056.0, "text": " Vamos entonces a determinar el \u00e1ngulo X utilizando los dos capetos y para ello empleamos la relaci\u00f3n tangente."}, {"start": 1056.0, "end": 1070.0, "text": " Entonces decimos tangente del \u00e1ngulo X es igual a cateto opuesto, veamos el cateto que est\u00e1 al frente del \u00e1ngulo X mide 6"}, {"start": 1070.0, "end": 1080.0, "text": " sobre el cateto adyacente que vale 16. Es el cateto que hace contacto con el \u00e1ngulo X."}, {"start": 1080.0, "end": 1092.0, "text": " Y all\u00ed despejamos ese \u00e1ngulo utilizando la funci\u00f3n inversa de la tangente que se llama tangente a la menos uno"}, {"start": 1092.0, "end": 1106.0, "text": " y que se le aplica a este valor 6,16. Esto tambi\u00e9n se puede escribir como arco tangente de 6,16."}, {"start": 1106.0, "end": 1119.0, "text": " Resolviendo esto en la calculadora nos da como resultado para X 20.6 grados aproximando a una cifra decimal."}, {"start": 1119.0, "end": 1129.0, "text": " Escribimos por aqu\u00ed ese resultado. 20.6 grados es la medida del \u00e1ngulo X."}, {"start": 1129.0, "end": 1142.0, "text": " De nuevo podr\u00edamos utilizar Socatoa para encontrar la hipotenusa utilizando cualquiera de los catetos y el \u00e1ngulo que ya conocemos."}, {"start": 1142.0, "end": 1162.0, "text": " Vamos entonces por ejemplo a usar la relaci\u00f3n seno. Decimos seno de 20.6 grados es igual a cateto opuesto, veamos el cateto opuesto a ese \u00e1ngulo es 6"}, {"start": 1162.0, "end": 1176.0, "text": " sobre la hipotenusa del tri\u00e1ngulo que es el lado X,Z. Y de all\u00ed despejamos la inc\u00f3gnita. Decimos entonces que X,Z es igual a lo siguiente."}, {"start": 1176.0, "end": 1194.0, "text": " Esto pasa a multiplicar seno de 20.6 grados pasa a dividir. Nos queda entonces 6 sobre el seno de 20.6 grados haciendo nuevamente el intercambio entre esos dos componentes."}, {"start": 1194.0, "end": 1207.0, "text": " Resolviendo en la calculadora esa operaci\u00f3n nos da como resultado 17.09 aproximando a dos decimales."}, {"start": 1207.0, "end": 1216.0, "text": " Escribimos entonces el resultado por aqu\u00ed y ya conocemos la medida de la hipotenusa."}, {"start": 1216.0, "end": 1231.0, "text": " Por \u00faltimo determinamos la medida del \u00e1ngulo Z. Utilizamos el hecho de que los \u00e1ngulos X y Z son \u00e1ngulos complementarios."}, {"start": 1231.0, "end": 1246.0, "text": " Entre los dos suman 90 grados. Entonces tenemos el \u00e1ngulo X que vale 20.6 grados m\u00e1s la medida del \u00e1ngulo Z esto es igual a 90 grados."}, {"start": 1246.0, "end": 1266.0, "text": " Y despejamos la inc\u00f3gnita en esa ecuaci\u00f3n. Nos queda 90 grados menos 20.6 grados. Resolviendo esa resta nos da como resultado 69.4 grados."}, {"start": 1266.0, "end": 1281.0, "text": " Escribimos el resultado ac\u00e1 en el tri\u00e1ngulo. El \u00e1ngulo Z mide 69.4 grados y de esa manera hemos resuelto este tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo."}]

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DERIVADAS PARCIALES - Ejercicio 11

#julioprofe explica cómo obtener las primeras y segundas derivadas parciales de una función de dos variables f(x,y). Tema: #DerivadasParciales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwE5sy6Z6D7DCmBY74P0qkCG REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Para la función que tenemos en este caso, vamos a determinar las primeras y segundas derivadas parciales. Comenzamos con la derivada parcial de la función f con respecto de la variable x, que también podemos denotar como fx. En este caso, vamos a derivar esta función con respecto a x tomando la otra variable, es decir, la letra y como si fuera una constante. Comenzamos entonces derivando cada término. Derivada de 6x al cuadrado nos da 12x. Allí derivamos con respecto a x. Pasamos al siguiente término donde podemos asegurar primero lo que permanece constante. En este caso aseguramos 5 y y a la 4. Eso lo escribimos porque es el componente constante en este término y eso lo multiplicamos por la derivada de x al cubo que nos da 3x al cuadrado. Vamos al siguiente término. Aquí tenemos componentes constantes, no tenemos la x, por lo tanto todo este término es constante y su derivada es 0. Finalmente realizamos esta operación. Nos queda entonces 12x más 5 por 3, 15. Organizamos las letras como x al cuadrado y y a la 4. Tenemos entonces la primera derivada parcial de la función con respecto a x. Escribimos el resultado por acá y a continuación vamos a encontrar la derivada parcial de la función con respecto a la variable y que también podemos denotar como f y. Ahora vamos a considerar la letra x como si fuera una constante. Nos vamos a concentrar en la variable y. Comenzamos con la derivada de este término donde no tenemos presente la letra y, por lo tanto todo esto es constante y su derivada es 0. Vamos al siguiente término donde vamos a asegurar el componente constante. Sería 5x al cubo y eso multiplicado por la derivada de y a la 4 que es 4y al cubo. Pasamos al último término que tiene la letra y. Derivamos eso. Nos da 50 y a la 4. Pulimos la expresión. Nos queda entonces que la derivada parcial de f con respecto a y es igual a 20x al cubo y al cubo menos 50y a la 4. Escribimos por acá el resultado obtenido y de esta manera tenemos las primeras derivadas parciales de la función que nos han dado. Vamos ahora a encontrar las segundas derivadas parciales. Comenzamos con la segunda derivada de la función f con respecto a x que se puede escribir de esta manera o también la derivada con respecto a x de f de x o también para mayor comodidad puede escribirse como fxx. Entonces nos vamos a concentrar en la primera derivada con respecto a x y la vamos a volver a derivar parcialmente con respecto a x. Entonces nuevamente en esta expresión consideramos la letra y como constante. Tenemos dos términos entonces vamos a derivar cada uno de ellos. Derivada de 12x nos da 12. Pasamos al siguiente término donde podemos asegurar los componentes constantes. Sería 15y a la 4. Esos quedan intactos y multiplicamos por la derivada de x al cuadrado. Eso nos da 2x. Vamos a escribir por acá entonces esa expresión ya organizada nos queda 12 más por aquí 15 por 2 es 30 x y a la 4. Tenemos entonces la segunda derivada parcial de la función con respecto a x. Vamos ahora a encontrar la derivada con respecto a y de f de x que también puede escribirse como d2f de y de x. Esto es lo mismo que tener fx es decir esta primera derivada con respecto a x pero ahora derivada con respecto a y. Entonces vamos a considerar en esta expresión la x como si fuera constante. Nos vamos a concentrar en las derivadas con respecto a la variable y. Comenzamos. Aquí este término sería constante por lo tanto su derivada es 0. Pasamos al siguiente término donde aseguramos la parte constante que sería 15x al cuadrado y multiplicamos por la derivada de lo que estamos considerando como variable. Es decir la derivada de y a la 4. Eso nos da 4y al cubo. Puliendo esta expresión nos queda entonces 15 por 4 es 60 x al cuadrado y al cubo. Tenemos entonces otra de las segundas derivadas parciales de esta función y se llama la derivada cruzada o mixta. Vamos ahora a calcular la derivada parcial con respecto a x de la primera derivada de f con respecto a y. Esto también se puede escribir como t2f de x de y y en otras palabras es fx. Entonces vamos a tomar la primera derivada parcial con respecto a y y ahora la vamos a derivar con respecto a x. Entonces consideramos la letra y como si fuera una constante. Nos vamos a centrar en las derivadas de lo que tiene la x. Derivamos el primer término donde vamos a asegurar el componente constante que sería 20y al cubo y derivamos x al cubo. Nos da 3x al cuadrado. Pasamos al siguiente término donde tenemos el componente constante. Aquí no tenemos la x por lo tanto la derivada de esta constante es 0. Escribimos entonces el resultado fx es igual a 20 por 3 60x al cuadrado y al cubo. Es la otra derivada parcial llamada cruzada o mixta y algo que podemos verificar es que estas dos derivadas parciales nos debe dar el mismo resultado. Entonces siempre se debe cumplir que fxy nos tiene que dar lo mismo que fx. Finalmente vamos a derivar parcialmente con respecto a y la primera derivada parcial con respecto a y. Entonces estamos hablando de la segunda derivada de la función f con respecto a y y puede escribirse de una manera más sencilla así como fyy. En ese caso vamos a derivar esta expresión con respecto a y considerando la variable x como constante. Entonces comenzamos con el primer término aseguramos el componente constante que sería 20x al cubo y esto lo multiplicamos por la derivada de y al cubo que es 3y al cuadrado. Pasamos al siguiente término donde tenemos únicamente la letra y entonces derivamos con respecto a esa letra. Tenemos 4 por 50 200 y al cubo. Vamos entonces a escribir por aquí el resultado de esa segunda derivada parcial. Para este término tenemos 20 por 360 x al cubo y al cuadrado menos 200 y al cubo. Es entonces la segunda derivada parcial de la función con respecto a la variable y. Bien de esta manera terminamos el ejercicio. Hemos encontrado las primeras derivadas parciales de la función que nos dan y también las segundas derivadas parciales. Como vemos en las segundas derivadas parciales se presentan todas las combinaciones posibles fxx, fxy, fxx y fyy. Recordemos que estas dos siempre nos deben dar iguales.

[{"start": 0.0, "end": 7.6000000000000005, "text": " Para la funci\u00f3n que tenemos en este caso, vamos a determinar las primeras y"}, {"start": 7.6000000000000005, "end": 12.200000000000001, "text": " segundas derivadas parciales."}, {"start": 12.200000000000001, "end": 19.36, "text": " Comenzamos con la derivada parcial de la funci\u00f3n f con respecto de la variable"}, {"start": 19.36, "end": 27.04, "text": " x, que tambi\u00e9n podemos denotar como fx. En este caso, vamos a derivar esta"}, {"start": 27.04, "end": 35.08, "text": " funci\u00f3n con respecto a x tomando la otra variable, es decir, la letra y como si"}, {"start": 35.08, "end": 42.6, "text": " fuera una constante. Comenzamos entonces derivando cada t\u00e9rmino. Derivada de 6x"}, {"start": 42.6, "end": 50.36, "text": " al cuadrado nos da 12x. All\u00ed derivamos con respecto a x. Pasamos al siguiente"}, {"start": 50.36, "end": 58.36, "text": " t\u00e9rmino donde podemos asegurar primero lo que permanece constante. En este caso"}, {"start": 58.36, "end": 65.64, "text": " aseguramos 5 y y a la 4. Eso lo escribimos porque es el componente"}, {"start": 65.64, "end": 71.92, "text": " constante en este t\u00e9rmino y eso lo multiplicamos por la derivada de x al"}, {"start": 71.92, "end": 80.64, "text": " cubo que nos da 3x al cuadrado. Vamos al siguiente t\u00e9rmino. Aqu\u00ed tenemos componentes"}, {"start": 80.64, "end": 88.2, "text": " constantes, no tenemos la x, por lo tanto todo este t\u00e9rmino es constante y su"}, {"start": 88.2, "end": 93.28, "text": " derivada es 0. Finalmente"}, {"start": 93.28, "end": 102.56, "text": " realizamos esta operaci\u00f3n. Nos queda entonces 12x m\u00e1s 5 por 3, 15. Organizamos"}, {"start": 102.56, "end": 111.16, "text": " las letras como x al cuadrado y y a la 4. Tenemos entonces la primera derivada"}, {"start": 111.16, "end": 119.32, "text": " parcial de la funci\u00f3n con respecto a x. Escribimos el resultado por ac\u00e1 y a"}, {"start": 119.32, "end": 125.0, "text": " continuaci\u00f3n vamos a encontrar la derivada parcial de la funci\u00f3n con"}, {"start": 125.0, "end": 132.16, "text": " respecto a la variable y que tambi\u00e9n podemos denotar como f y. Ahora vamos a"}, {"start": 132.16, "end": 138.95999999999998, "text": " considerar la letra x como si fuera una constante. Nos vamos a concentrar en la"}, {"start": 138.95999999999998, "end": 145.32, "text": " variable y. Comenzamos con la derivada de este t\u00e9rmino donde no tenemos presente"}, {"start": 145.32, "end": 152.64, "text": " la letra y, por lo tanto todo esto es constante y su derivada es 0. Vamos al"}, {"start": 152.64, "end": 160.4, "text": " siguiente t\u00e9rmino donde vamos a asegurar el componente constante. Ser\u00eda 5x al"}, {"start": 160.4, "end": 162.79999999999998, "text": " cubo"}, {"start": 162.79999999999998, "end": 170.56, "text": " y eso multiplicado por la derivada de y a la 4 que es 4y al cubo."}, {"start": 170.56, "end": 179.0, "text": " Pasamos al \u00faltimo t\u00e9rmino que tiene la letra y. Derivamos eso. Nos da 50"}, {"start": 179.0, "end": 188.36, "text": " y a la 4. Pulimos la expresi\u00f3n. Nos queda entonces que la derivada parcial de f"}, {"start": 188.36, "end": 199.72, "text": " con respecto a y es igual a 20x al cubo y al cubo menos 50y a la 4."}, {"start": 199.72, "end": 207.48, "text": " Escribimos por ac\u00e1 el resultado obtenido y de esta manera tenemos las"}, {"start": 207.48, "end": 214.07999999999998, "text": " primeras derivadas parciales de la funci\u00f3n que nos han dado. Vamos ahora a"}, {"start": 214.07999999999998, "end": 220.84, "text": " encontrar las segundas derivadas parciales. Comenzamos con la segunda"}, {"start": 220.84, "end": 228.36, "text": " derivada de la funci\u00f3n f con respecto a x que se puede escribir de esta manera"}, {"start": 228.36, "end": 236.72000000000003, "text": " o tambi\u00e9n la derivada con respecto a x de f de x"}, {"start": 236.72000000000003, "end": 246.4, "text": " o tambi\u00e9n para mayor comodidad puede escribirse como fxx. Entonces nos vamos a"}, {"start": 246.4, "end": 253.24, "text": " concentrar en la primera derivada con respecto a x y la vamos a volver a"}, {"start": 253.24, "end": 261.92, "text": " derivar parcialmente con respecto a x. Entonces nuevamente en esta expresi\u00f3n"}, {"start": 261.92, "end": 269.04, "text": " consideramos la letra y como constante. Tenemos dos t\u00e9rminos entonces vamos a"}, {"start": 269.04, "end": 277.04, "text": " derivar cada uno de ellos. Derivada de 12x nos da 12."}, {"start": 277.04, "end": 283.40000000000003, "text": " Pasamos al siguiente t\u00e9rmino donde podemos asegurar los componentes constantes."}, {"start": 283.40000000000003, "end": 294.36, "text": " Ser\u00eda 15y a la 4. Esos quedan intactos y multiplicamos por la derivada de x al"}, {"start": 294.36, "end": 303.68, "text": " cuadrado. Eso nos da 2x. Vamos a escribir por ac\u00e1 entonces esa expresi\u00f3n ya"}, {"start": 303.68, "end": 315.36, "text": " organizada nos queda 12 m\u00e1s por aqu\u00ed 15 por 2 es 30 x y a la 4."}, {"start": 315.36, "end": 324.32, "text": " Tenemos entonces la segunda derivada parcial de la funci\u00f3n con respecto a x."}, {"start": 324.32, "end": 334.28, "text": " Vamos ahora a encontrar la derivada con respecto a y de f de x"}, {"start": 334.28, "end": 338.28, "text": " que tambi\u00e9n puede escribirse como"}, {"start": 338.28, "end": 347.96, "text": " d2f de y de x. Esto es lo mismo que tener fx es decir esta primera derivada con"}, {"start": 347.96, "end": 355.4, "text": " respecto a x pero ahora derivada con respecto a y. Entonces vamos a"}, {"start": 355.4, "end": 362.32, "text": " considerar en esta expresi\u00f3n la x como si fuera constante. Nos vamos a concentrar"}, {"start": 362.32, "end": 369.59999999999997, "text": " en las derivadas con respecto a la variable y. Comenzamos. Aqu\u00ed este t\u00e9rmino"}, {"start": 369.59999999999997, "end": 374.67999999999995, "text": " ser\u00eda constante por lo tanto su derivada es 0."}, {"start": 374.68, "end": 380.76, "text": " Pasamos al siguiente t\u00e9rmino donde aseguramos la parte constante que ser\u00eda"}, {"start": 380.76, "end": 384.52, "text": " 15x al cuadrado"}, {"start": 385.12, "end": 391.0, "text": " y multiplicamos por la derivada de lo que estamos considerando como variable."}, {"start": 391.0, "end": 397.88, "text": " Es decir la derivada de y a la 4. Eso nos da 4y al cubo."}, {"start": 397.88, "end": 409.8, "text": " Puliendo esta expresi\u00f3n nos queda entonces 15 por 4 es 60 x al cuadrado y al cubo."}, {"start": 409.8, "end": 416.64, "text": " Tenemos entonces otra de las segundas derivadas parciales de esta funci\u00f3n y se"}, {"start": 416.64, "end": 425.68, "text": " llama la derivada cruzada o mixta. Vamos ahora a calcular la derivada parcial con"}, {"start": 425.68, "end": 434.72, "text": " respecto a x de la primera derivada de f con respecto a y. Esto tambi\u00e9n se puede"}, {"start": 434.72, "end": 447.44, "text": " escribir como t2f de x de y y en otras palabras es fx. Entonces vamos a tomar la"}, {"start": 447.44, "end": 454.08, "text": " primera derivada parcial con respecto a y y ahora la vamos a derivar con respecto"}, {"start": 454.08, "end": 461.64, "text": " a x. Entonces consideramos la letra y como si fuera una constante. Nos vamos a"}, {"start": 461.64, "end": 469.12, "text": " centrar en las derivadas de lo que tiene la x. Derivamos el primer t\u00e9rmino donde"}, {"start": 469.12, "end": 479.32, "text": " vamos a asegurar el componente constante que ser\u00eda 20y al cubo y derivamos x al"}, {"start": 479.32, "end": 488.4, "text": " cubo. Nos da 3x al cuadrado. Pasamos al siguiente t\u00e9rmino donde tenemos el"}, {"start": 488.4, "end": 494.71999999999997, "text": " componente constante. Aqu\u00ed no tenemos la x por lo tanto la derivada de esta"}, {"start": 494.71999999999997, "end": 506.71999999999997, "text": " constante es 0. Escribimos entonces el resultado fx es igual a 20 por 3"}, {"start": 506.72, "end": 517.76, "text": " 60x al cuadrado y al cubo. Es la otra derivada parcial llamada cruzada o mixta"}, {"start": 517.76, "end": 525.4, "text": " y algo que podemos verificar es que estas dos derivadas parciales nos debe dar el"}, {"start": 525.4, "end": 532.96, "text": " mismo resultado. Entonces siempre se debe cumplir que fxy nos tiene que dar lo"}, {"start": 532.96, "end": 543.24, "text": " mismo que fx. Finalmente vamos a derivar parcialmente con respecto a y la"}, {"start": 543.24, "end": 549.84, "text": " primera derivada parcial con respecto a y. Entonces estamos hablando de la"}, {"start": 549.84, "end": 557.8000000000001, "text": " segunda derivada de la funci\u00f3n f con respecto a y y puede escribirse de una"}, {"start": 557.8, "end": 564.64, "text": " manera m\u00e1s sencilla as\u00ed como fyy. En ese caso vamos a derivar esta"}, {"start": 564.64, "end": 572.7199999999999, "text": " expresi\u00f3n con respecto a y considerando la variable x como constante. Entonces"}, {"start": 572.7199999999999, "end": 577.4399999999999, "text": " comenzamos con el primer t\u00e9rmino aseguramos el componente constante que"}, {"start": 577.4399999999999, "end": 583.8399999999999, "text": " ser\u00eda 20x al cubo y esto lo multiplicamos por la derivada de y al cubo"}, {"start": 583.84, "end": 592.5600000000001, "text": " que es 3y al cuadrado. Pasamos al siguiente t\u00e9rmino donde tenemos \u00fanicamente"}, {"start": 592.5600000000001, "end": 600.88, "text": " la letra y entonces derivamos con respecto a esa letra. Tenemos 4 por 50"}, {"start": 600.88, "end": 611.96, "text": " 200 y al cubo. Vamos entonces a escribir por aqu\u00ed el resultado de esa segunda"}, {"start": 611.96, "end": 621.5600000000001, "text": " derivada parcial. Para este t\u00e9rmino tenemos 20 por 360 x al cubo y al"}, {"start": 621.5600000000001, "end": 631.08, "text": " cuadrado menos 200 y al cubo. Es entonces la segunda derivada parcial de la"}, {"start": 631.08, "end": 637.5600000000001, "text": " funci\u00f3n con respecto a la variable y. Bien de esta manera terminamos el"}, {"start": 637.56, "end": 644.16, "text": " ejercicio. Hemos encontrado las primeras derivadas parciales de la funci\u00f3n que"}, {"start": 644.16, "end": 650.9599999999999, "text": " nos dan y tambi\u00e9n las segundas derivadas parciales. Como vemos en las"}, {"start": 650.9599999999999, "end": 658.52, "text": " segundas derivadas parciales se presentan todas las combinaciones posibles fxx,"}, {"start": 658.52, "end": 669.12, "text": " fxy, fxx y fyy. Recordemos que estas dos siempre nos deben dar iguales."}]

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EC. DIF. POR VARIABLES SEPARABLES - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo resolver una ecuación diferencial con condición inicial, por el método de separación de variables. Tema: #EcuacionesDiferenciales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwGJGlFnQ4QGLGBNtrdZ8AIt REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver esta ecuación diferencial que tiene condición inicial. Comenzamos por reescribir el lado derecho de la ecuación y vamos a utilizar esta propiedad de la potenciación. Si tenemos producto de potencias de la misma base, conservamos la base y sumamos los exponentes. Esta situación es la que tenemos aquí. Por lo tanto, podemos escribir eso como un producto de potencias con la misma base. Nos queda entonces de y de x igual a e a la 2x por e elevado a la 3y. A continuación, podemos agrupar a un lado todo lo que tenga la letra y y al otro lado todo lo que tenga la letra x. Este componente que está multiplicando lo pasamos a dividir y de x que está dividiendo lo pasamos a multiplicar. Es como si hiciéramos un intercambio entre estos dos componentes. Tendremos entonces de y sobre e a la 3y igual a e a la 2x por de x. De esa manera, hemos realizado lo que se llama la separación de variables. De tal forma que en un lado quede todo lo que tenga la letra y y en el otro lado nos quede todo lo que tenga la letra x. Ahora vamos a subir esta potencia. Nos queda entonces e a la 3y por dy y al otro lado dejamos tal como está. Y podemos proceder a integrar. Entonces escribimos el símbolo de la integral a ambos lados de la igualdad. Para resolver cada una de estas integrales, podemos utilizar el siguiente modelo. Si tenemos la integral de e a la k por u con el respectivo diferencial de u, en este caso k es cualquier número real, esto nos da como resultado 1 sobre k por e a la k por u más la constante de integración. Es una fórmula que ya está establecida y que se puede demostrar por el método de sustitución, cambiando este componente por otra letra. Entonces con base en ese modelo realizamos las dos integrales. Tendremos entonces para esta integral que la respuesta es 1 sobre menos 3, en este caso k es menos 3, entonces aplicamos esto por e a la menos 3y y al otro lado tendremos 1 sobre 2 por e a la 2x y escribimos la constante de integración una sola al lado derecho de la igualdad. Podemos decir que esta expresión ya constituye la solución general de la ecuación diferencial, pero podemos mejorar la presentación deshaciéndonos de estas fracciones. Para ello multiplicamos ambos lados de la igualdad por el mínimo común múltiplo de 3 y 2, que es 6. Entonces tenemos 6 por menos 1 tercio nos da menos 2, que acompaña a e a la menos 3y. Al otro lado tenemos 6 por 1 medio que nos da 3 por e a la 2x más 6 por c que puede escribirse como una nueva constante c. De esta manera tenemos la solución general de la ecuación diferencial y ya no tiene coeficientes fraccionarios sino coeficientes enteros, mucho más fácil de trabajar. A continuación vamos a utilizar la condición inicial que nos da el ejercicio. Esto significa que cuando x toma el valor 0 entonces y también vale 0. Vamos a reemplazar eso aquí en la solución general con el objetivo de encontrar el valor de la constante c. Tenemos entonces menos 2 por e a la menos 3 por 0 que será 0 igual a 3 por e elevado a la 2 por 0 que nos da 0 y eso más c. Recordemos que e a la 0 equivale a 1, por lo tanto esto nos da menos 2 igual a 3 más c. De allí despejamos c. 3 está sumando pasa al otro lado a restar y esto nos da menos 5 igual a c. Por lo tanto aquí podemos cambiar el valor c por menos 5 y de esa manera tenemos ya lo que se llama la solución particular de la ecuación diferencial. Ahora vamos a realizar el procedimiento para dar esta solución particular de la forma y de x. Es decir, vamos a despejar y en términos de x. Primero vamos a despejar esta potencia e a la menos 3y y para eso pasamos menos 2 que está multiplicando al otro lado a dividir. Entonces tendremos 3 por e a la 2x menos 5 y todo eso dividido entre menos 2. Recordemos que si el número está multiplicando y pasa a dividir conserva su signo. Ahora podemos multiplicar en el lado derecho el numerador y el denominador por menos 1. Esto con el objetivo de deshacernos de este denominador negativo. Entonces en el numerador multiplicando por menos 1 tendremos que este término queda negativo y este queda positivo. Entonces comenzamos escribiendo el término positivo, después el que queda negativo y abajo nos queda 2 positivo. Ahora vamos a tomar logaritmo natural a ambos lados de la igualdad. Entonces agrupamos con paréntesis lo que tenemos en el lado derecho. Todo esto sobre 2 y aquí aplicamos la siguiente propiedad. Si tenemos logaritmo natural de e elevado a cualquier cantidad a, entonces eso equivale a esa misma cantidad a. Luego en este caso tendremos eso igual a menos 3y apoyándonos en esa propiedad. Esto igual al logaritmo natural de la expresión del lado derecho. Por último despejamos y, pasamos menos 3 que está multiplicando al otro lado a dividir. Puede escribirse entonces de la siguiente manera, menos 1 tercio que multiplica al logaritmo natural de todo esto dentro del paréntesis. Y de esta manera tenemos la solución particular de la ecuación diferencial escrita en la forma explícita. Es decir, teniendo y en función o en términos de x. De esta manera terminamos este ejercicio.

[{"start": 0.0, "end": 7.0, "text": " Vamos a resolver esta ecuaci\u00f3n diferencial que tiene condici\u00f3n inicial."}, {"start": 7.0, "end": 12.0, "text": " Comenzamos por reescribir el lado derecho de la ecuaci\u00f3n"}, {"start": 12.0, "end": 16.0, "text": " y vamos a utilizar esta propiedad de la potenciaci\u00f3n."}, {"start": 16.0, "end": 20.0, "text": " Si tenemos producto de potencias de la misma base,"}, {"start": 20.0, "end": 25.0, "text": " conservamos la base y sumamos los exponentes."}, {"start": 25.0, "end": 28.0, "text": " Esta situaci\u00f3n es la que tenemos aqu\u00ed."}, {"start": 28.0, "end": 35.0, "text": " Por lo tanto, podemos escribir eso como un producto de potencias con la misma base."}, {"start": 35.0, "end": 48.0, "text": " Nos queda entonces de y de x igual a e a la 2x por e elevado a la 3y."}, {"start": 48.0, "end": 55.0, "text": " A continuaci\u00f3n, podemos agrupar a un lado todo lo que tenga la letra y"}, {"start": 55.0, "end": 60.0, "text": " y al otro lado todo lo que tenga la letra x."}, {"start": 60.0, "end": 64.0, "text": " Este componente que est\u00e1 multiplicando lo pasamos a dividir"}, {"start": 64.0, "end": 69.0, "text": " y de x que est\u00e1 dividiendo lo pasamos a multiplicar."}, {"start": 69.0, "end": 75.0, "text": " Es como si hici\u00e9ramos un intercambio entre estos dos componentes."}, {"start": 75.0, "end": 88.0, "text": " Tendremos entonces de y sobre e a la 3y igual a e a la 2x por de x."}, {"start": 88.0, "end": 94.0, "text": " De esa manera, hemos realizado lo que se llama la separaci\u00f3n de variables."}, {"start": 94.0, "end": 99.0, "text": " De tal forma que en un lado quede todo lo que tenga la letra y"}, {"start": 99.0, "end": 104.0, "text": " y en el otro lado nos quede todo lo que tenga la letra x."}, {"start": 104.0, "end": 113.0, "text": " Ahora vamos a subir esta potencia. Nos queda entonces e a la 3y por dy"}, {"start": 113.0, "end": 118.0, "text": " y al otro lado dejamos tal como est\u00e1."}, {"start": 118.0, "end": 122.0, "text": " Y podemos proceder a integrar."}, {"start": 122.0, "end": 136.0, "text": " Entonces escribimos el s\u00edmbolo de la integral a ambos lados de la igualdad."}, {"start": 136.0, "end": 143.0, "text": " Para resolver cada una de estas integrales, podemos utilizar el siguiente modelo."}, {"start": 143.0, "end": 152.0, "text": " Si tenemos la integral de e a la k por u con el respectivo diferencial de u,"}, {"start": 152.0, "end": 156.0, "text": " en este caso k es cualquier n\u00famero real,"}, {"start": 156.0, "end": 167.0, "text": " esto nos da como resultado 1 sobre k por e a la k por u m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 167.0, "end": 175.0, "text": " Es una f\u00f3rmula que ya est\u00e1 establecida y que se puede demostrar por el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n,"}, {"start": 175.0, "end": 180.0, "text": " cambiando este componente por otra letra."}, {"start": 180.0, "end": 185.0, "text": " Entonces con base en ese modelo realizamos las dos integrales."}, {"start": 185.0, "end": 192.0, "text": " Tendremos entonces para esta integral que la respuesta es 1 sobre menos 3,"}, {"start": 192.0, "end": 202.0, "text": " en este caso k es menos 3, entonces aplicamos esto por e a la menos 3y"}, {"start": 202.0, "end": 210.0, "text": " y al otro lado tendremos 1 sobre 2 por e a la 2x"}, {"start": 210.0, "end": 219.0, "text": " y escribimos la constante de integraci\u00f3n una sola al lado derecho de la igualdad."}, {"start": 219.0, "end": 227.0, "text": " Podemos decir que esta expresi\u00f3n ya constituye la soluci\u00f3n general de la ecuaci\u00f3n diferencial,"}, {"start": 227.0, "end": 234.0, "text": " pero podemos mejorar la presentaci\u00f3n deshaci\u00e9ndonos de estas fracciones."}, {"start": 234.0, "end": 245.0, "text": " Para ello multiplicamos ambos lados de la igualdad por el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de 3 y 2, que es 6."}, {"start": 245.0, "end": 256.0, "text": " Entonces tenemos 6 por menos 1 tercio nos da menos 2, que acompa\u00f1a a e a la menos 3y."}, {"start": 256.0, "end": 270.0, "text": " Al otro lado tenemos 6 por 1 medio que nos da 3 por e a la 2x m\u00e1s 6 por c que puede escribirse como una nueva constante c."}, {"start": 270.0, "end": 279.0, "text": " De esta manera tenemos la soluci\u00f3n general de la ecuaci\u00f3n diferencial"}, {"start": 279.0, "end": 290.0, "text": " y ya no tiene coeficientes fraccionarios sino coeficientes enteros, mucho m\u00e1s f\u00e1cil de trabajar."}, {"start": 290.0, "end": 297.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a utilizar la condici\u00f3n inicial que nos da el ejercicio."}, {"start": 297.0, "end": 304.0, "text": " Esto significa que cuando x toma el valor 0 entonces y tambi\u00e9n vale 0."}, {"start": 304.0, "end": 314.0, "text": " Vamos a reemplazar eso aqu\u00ed en la soluci\u00f3n general con el objetivo de encontrar el valor de la constante c."}, {"start": 314.0, "end": 322.0, "text": " Tenemos entonces menos 2 por e a la menos 3 por 0 que ser\u00e1 0"}, {"start": 322.0, "end": 336.0, "text": " igual a 3 por e elevado a la 2 por 0 que nos da 0 y eso m\u00e1s c."}, {"start": 336.0, "end": 349.0, "text": " Recordemos que e a la 0 equivale a 1, por lo tanto esto nos da menos 2 igual a 3 m\u00e1s c."}, {"start": 349.0, "end": 362.0, "text": " De all\u00ed despejamos c. 3 est\u00e1 sumando pasa al otro lado a restar y esto nos da menos 5 igual a c."}, {"start": 362.0, "end": 370.0, "text": " Por lo tanto aqu\u00ed podemos cambiar el valor c por menos 5"}, {"start": 370.0, "end": 384.0, "text": " y de esa manera tenemos ya lo que se llama la soluci\u00f3n particular de la ecuaci\u00f3n diferencial."}, {"start": 384.0, "end": 393.0, "text": " Ahora vamos a realizar el procedimiento para dar esta soluci\u00f3n particular de la forma y de x."}, {"start": 393.0, "end": 399.0, "text": " Es decir, vamos a despejar y en t\u00e9rminos de x."}, {"start": 399.0, "end": 407.0, "text": " Primero vamos a despejar esta potencia e a la menos 3y"}, {"start": 407.0, "end": 414.0, "text": " y para eso pasamos menos 2 que est\u00e1 multiplicando al otro lado a dividir."}, {"start": 414.0, "end": 422.0, "text": " Entonces tendremos 3 por e a la 2x menos 5 y todo eso dividido entre menos 2."}, {"start": 422.0, "end": 430.0, "text": " Recordemos que si el n\u00famero est\u00e1 multiplicando y pasa a dividir conserva su signo."}, {"start": 430.0, "end": 438.0, "text": " Ahora podemos multiplicar en el lado derecho el numerador y el denominador por menos 1."}, {"start": 438.0, "end": 445.0, "text": " Esto con el objetivo de deshacernos de este denominador negativo."}, {"start": 445.0, "end": 454.0, "text": " Entonces en el numerador multiplicando por menos 1 tendremos que este t\u00e9rmino queda negativo y este queda positivo."}, {"start": 454.0, "end": 466.0, "text": " Entonces comenzamos escribiendo el t\u00e9rmino positivo, despu\u00e9s el que queda negativo y abajo nos queda 2 positivo."}, {"start": 466.0, "end": 476.0, "text": " Ahora vamos a tomar logaritmo natural a ambos lados de la igualdad."}, {"start": 476.0, "end": 485.0, "text": " Entonces agrupamos con par\u00e9ntesis lo que tenemos en el lado derecho."}, {"start": 485.0, "end": 492.0, "text": " Todo esto sobre 2 y aqu\u00ed aplicamos la siguiente propiedad."}, {"start": 492.0, "end": 504.0, "text": " Si tenemos logaritmo natural de e elevado a cualquier cantidad a, entonces eso equivale a esa misma cantidad a."}, {"start": 504.0, "end": 513.0, "text": " Luego en este caso tendremos eso igual a menos 3y apoy\u00e1ndonos en esa propiedad."}, {"start": 513.0, "end": 524.0, "text": " Esto igual al logaritmo natural de la expresi\u00f3n del lado derecho."}, {"start": 524.0, "end": 533.0, "text": " Por \u00faltimo despejamos y, pasamos menos 3 que est\u00e1 multiplicando al otro lado a dividir."}, {"start": 533.0, "end": 554.0, "text": " Puede escribirse entonces de la siguiente manera, menos 1 tercio que multiplica al logaritmo natural de todo esto dentro del par\u00e9ntesis."}, {"start": 554.0, "end": 570.0, "text": " Y de esta manera tenemos la soluci\u00f3n particular de la ecuaci\u00f3n diferencial escrita en la forma expl\u00edcita."}, {"start": 570.0, "end": 579.0, "text": " Es decir, teniendo y en funci\u00f3n o en t\u00e9rminos de x."}, {"start": 579.0, "end": 584.0, "text": " De esta manera terminamos este ejercicio."}]

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NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS

#julioprofe explica los conceptos de número primo y número compuesto. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a ver que son números primos y números compuestos. Números primos son aquellos que solamente tienen dos divisores, que son el 1 y el mismo número. Números compuestos son aquellos que tienen tres o más divisores. Vamos entonces a examinar los números del 1 al 20 y vamos a determinar cuáles son primos y cuáles son compuestos. Comenzamos por alistar los dos conjuntos, primos y compuestos. Y comenzamos con el número 1. Vamos a determinar los divisores de 1. Encontramos que el 1 solamente es divisible entre 1. Por lo tanto, 1 no es número primo y tampoco es número compuesto. Es el único número natural que no corresponde a ninguna de las dos categorías. Vamos con el 2. Determinamos los divisores de 2. 2 es divisible entre 1 y también entre 2. Tenemos entonces que 2 tiene únicamente dos divisores. Por lo tanto, 2 es clasificado como número primo. Vamos con el 3. Determinamos los divisores de 3. 3 es divisible por 1 y por 3. Únicamente. Entonces 3 corresponde a otro número primo porque solamente tiene dos divisores. El 1 y el mismo número 3. Vamos con los divisores de 4. Tenemos que 4 es divisible por 1, por 2 y también por 4. Por lo tanto, 4 es número compuesto. Tiene tres divisores. Una manera de verificar que hemos escrito la lista correcta de divisores es multiplicar los números de los extremos. Por ejemplo, aquí solamente tenemos 2. Entonces 1 por 3 nos da 3. El número que tenemos aquí. Entonces ya es suficiente. Y por acá tenemos que si multiplicamos los extremos, 1 por 4 nos da este 4. Como queda este 2 solo, entonces lo multiplicamos por sí mismo. 2 por 2 nos da 4. De esa manera nos aseguramos de que esta es la lista correcta de divisores de 4. Continuamos con el 5. Y determinamos los divisores de este número. 5 es divisible por 1 y por 5. Como tiene dos divisores, entonces es número primo. Vamos con el 6. Divisores de 6. Tenemos que 6 es divisible por 1, por 2, por 3 y por 6. Entonces 6 será número compuesto. Tiene más de tres divisores. Verifiquemos lo que decíamos hace un momento. 1 por 6 nos da 6. 2 por 3 nos da también 6. Luego este es el listado correcto de divisores de 6. Continuamos con el 7. Entonces veamos los divisores de 7. 7 es divisible por 1 y por 7 únicamente. Por lo tanto 7 es número primo. Tiene dos divisores. Vamos con el 8. Divisores de 8 son el 1, el 2, el 4 y 8. Verifiquemos. 1 por 8 nos da 8. 2 por 4 nos da 8. Luego esa es la lista correcta de divisores de 8. Entonces 8 lo anotamos aquí en el conjunto de los números compuestos. Vamos con el 9. Divisores de 9. 9 es divisible por 1, por 3 y por 9. Verifiquemos. 1 por 9 nos da 9. Y 3 como queda solo en el medio lo multiplicamos por sí mismo. 3 por 3 nos da 9. Como tiene tres divisores entonces 9 hace parte del conjunto de los números compuestos. Vamos con el 10. Divisores de 10 son 1, 2, 5 y 10. Revisamos. 1 por 10 nos da 10. 2 por 5 nos da 10. Luego 10 es número compuesto por tener más de tres divisores. Continuamos con el 11. Veamos los divisores de 11. 11 es divisible por 1 y por 11. Luego 11 corresponde a otro número primo. Tiene únicamente dos divisores. Vamos con el 12. Divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12. Verifiquemos la lista. 1 por 12 nos da 12. 2 por 6 nos da 12. Y 3 por 4 nos da 12. Esta es la lista correcta de divisores de 12. Por lo tanto 12 será otro número compuesto. Revisemos ahora el 13. Divisores de 13 son el 1 y el 13. Por lo tanto 13 se clasifica como número primo. Vamos con el 14. Divisores de 14 son el 1, el 2, 7 y 14. Revisamos. 1 por 14 nos da 14. 2 por 7 nos da 14. Entonces 14 corresponde a otro número compuesto. Vamos con el 15. Divisores de 15 son el 1, el 3, el 5 y el 15. Verificamos. 1 por 15 nos da 15. 3 por 5 nos da 15. Por tener cuatro divisores entonces 15 es número compuesto. Vamos con el 16. Tenemos como divisores el 1, el 2, el 4, el 8 y el 16. Revisamos. 1 por 16 nos da 16. 2 por 8 nos da 16. Y el 4 queda en toda la mitad. Entonces multiplicamos 4 por 4 que nos da 16. Por tener cinco divisores entonces 16 es número compuesto. Vamos con el 17. Divisores de 17 son el 1 y el 17. Únicamente. Por tener dos divisores entonces 17 es número primo. Vamos con 18. Divisores de 18 son el 1, el 2, el 3, 6, 9 y 18. Veamos. 1 por 18 nos da 18. 2 por 9 18. 3 por 6 18. Por lo tanto vamos a seguirlo por acá. 18 es número compuesto. Vamos con 19. Tenemos que los divisores de 19 son el 1 y el 19. Solamente. Por lo tanto 19 es número primo. Y finalmente revisamos el 20. Tenemos como divisores el 1, el 2, el 4, el 5, el 10 y el 20. Revisamos. 1 por 20 nos da 20. 2 por 10 nos da 20. Y 4 por 5 nos da 20. Por lo tanto 20 es número compuesto. De esta manera hemos revisado los números del 1 al 20 determinando cuales son primos y cuales son compuestos. Lógicamente estos conjuntos continúan. Son conjuntos infinitos en el campo de los números naturales. Entonces escribimos puntos suspensivos queriendo decir que esos dos conjuntos siguen indefinidamente. Algo que vale la pena resaltar es que 2 es el único número que es par y primo a la vez. El resto de números pares como 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, etc. Los vamos a encontrar en el conjunto de los números compuestos. El resto de números primos observamos que son impares. Bien de esta manera hemos visto los conceptos de números primos y compuestos. Y una clasificación en los números del 1 al 20.

[{"start": 0.0, "end": 18.0, "text": " Vamos a ver que son n\u00fameros primos y n\u00fameros compuestos. N\u00fameros primos son aquellos que solamente tienen dos divisores, que son el 1 y el mismo n\u00famero."}, {"start": 18.0, "end": 37.0, "text": " N\u00fameros compuestos son aquellos que tienen tres o m\u00e1s divisores. Vamos entonces a examinar los n\u00fameros del 1 al 20 y vamos a determinar cu\u00e1les son primos y cu\u00e1les son compuestos."}, {"start": 37.0, "end": 49.0, "text": " Comenzamos por alistar los dos conjuntos, primos y compuestos."}, {"start": 49.0, "end": 74.0, "text": " Y comenzamos con el n\u00famero 1. Vamos a determinar los divisores de 1. Encontramos que el 1 solamente es divisible entre 1. Por lo tanto, 1 no es n\u00famero primo y tampoco es n\u00famero compuesto."}, {"start": 74.0, "end": 85.0, "text": " Es el \u00fanico n\u00famero natural que no corresponde a ninguna de las dos categor\u00edas. Vamos con el 2. 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INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES - Ejercicio 2

#julioprofe explica cómo resolver una integral indefinida por el Método de las Fracciones Parciales. Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver esta integral donde observamos en el integrando una fracción algebraica. Tenemos en el numerador un trinomio de grado 2 y en el denominador un polinomio de grado 3. Como el grado del numerador es menor que el grado del denominador, entonces tenemos una fracción propia donde no es necesario realizar la división de polinomios, preliminarmente, como cuando tenemos el caso de una expresión en el numerador de grado igual o mayor que la que tenemos en el denominador. En ese caso sí tendríamos que hacer división de polinomios. Entonces tenemos una fracción propia y comenzamos por revisar si de pronto se puede resolver por el método de sustitución. Para ello tomamos el denominador y rápidamente lo derivamos. Derivada de x al cubo es 3x al cuadrado menos derivada de 2x al cuadrado es 4x, derivada de más x nos da más 1, derivada de menos 2 es 0. Revisamos si esta expresión nos da en el numerador o si de pronto factorizándole algún número a este trinomio nos da esta expresión de arriba. Vemos que no es así, por lo tanto descartamos que se pueda hacer por el método de sustitución. Vamos entonces a resolver esta integral por el método de las fracciones parciales. Comenzamos por escribir el integrando con su denominador factorizado. Entonces vamos a realizar por acá la factorización del denominador. Observamos cuatro términos en los cuales no tenemos factor común pero podemos agrupar términos. Entonces vamos a utilizar el caso llamado factor común por agrupación de términos. De esta primera expresión sacamos factor común x al cuadrado que es factor de x menos 2 y en esta expresión no tenemos factor común o si queremos acompañamos con un 1. En seguida de toda la expresión resultante sacamos factor común x menos 2 que es factor de x al cuadrado más 1 y de esa manera tenemos la factorización del denominador de la expresión. A continuación vamos a conformar dos fracciones sumando entre sí. Una con denominador x menos 2 y la otra con denominador x al cuadrado más 1. Para la primera fracción en el numerador tendremos una expresión de un grado menos que la que tenemos en el denominador. Esto es de primer grado por lo tanto aquí tendremos una expresión de grado cero, es decir una constante. Como la desconocemos utilizamos la letra A mayúscula. Aquí vamos a hacer lo mismo. En el numerador debe ir una expresión de un grado menos que la que tenemos abajo. Como esta expresión es de grado 2 entonces aquí tendremos una expresión de primer grado. Entonces la escribimos como bx más c. Expresión de grado 1. Ahora vamos a resolver esta suma de fracciones que son heterogéneas, fracciones con distinto denominador. Recordemos como se hace rápidamente una suma de esas. En el denominador escribimos b por d. En el numerador escribimos a por d más b por c. Entonces eso lo podemos aplicar en este caso. Tendremos en el denominador x menos 2 que multiplica a x al cuadrado más 1. En el numerador tendremos a por x al cuadrado más 1 más x menos 2 por bx más c. Aplicando este modelo. La expresión del lado izquierdo la repetimos y observamos la igualdad de dos fracciones con los mismos denominadores. Entonces podríamos deshacernos de ellos. Nos queda entonces 5x al cuadrado más 3x menos 1 en el lado izquierdo. Y acá vamos a desarrollar esas operaciones. Por aquí hacemos propiedad distributiva con la letra a. Nos queda ax al cuadrado más a. Esto más la multiplicación de estos dos binomios. Vamos entonces. x por bx nos da bx al cuadrado. x por c nos queda más cx. Menos 2 por bx nos da menos 2bx. Y menos 2 por c nos queda menos 2c. En el lado izquierdo continúa la misma expresión. 5x al cuadrado más 3x menos 1. Vemos que se encuentra organizada en forma descendente. Entonces, así mismo vamos a realizar la acomodación de los términos del lado derecho. Comenzamos con ax al cuadrado más bx al cuadrado. Luego, los términos que contienen x más cx menos 2bx. Y por último, los términos independientes, los que no contienen la x. Ahora hacemos agrupación de términos en el lado derecho. Agrupamos los que contienen x al cuadrado. También agrupamos los que contienen la x. Y agrupamos los términos independientes. De esta primera agrupación sacamos factor común x al cuadrado. Pero entonces vamos a escribirlo a la derecha del paréntesis. Por aquí también sacamos factor común x. También la escribimos a la derecha del paréntesis. Y esta expresión nos queda como se encuentra. En el lado izquierdo la expresión continúa siendo la misma. Y hemos llegado al momento de confrontar los coeficientes de ambas expresiones. Entonces, el coeficiente de x al cuadrado en el lado izquierdo debe ser igual al coeficiente de x al cuadrado en el lado derecho. Sale entonces la primera ecuación. Tenemos a más b igual a 5. Estos dos coeficientes se igualan. Vamos ahora con el coeficiente de x en el lado izquierdo que es 3. Lo vamos a igualar con el coeficiente de x en el lado derecho. Sale entonces la ecuación 2 que será c menos 2b igual a 3. Y por último tenemos los términos independientes. Vamos también a igualarlos. Nos queda la ecuación 3 que será a menos 2c igual a menos 1. Confrontando coeficientes obtenemos estas tres ecuaciones que conforman lo que se llama un sistema de ecuaciones de 3 por 3. Tres ecuaciones con tres incógnitas. Para resolver este sistema de ecuaciones podemos recurrir a los métodos de sustitución o igualación o eliminación. En fin, el que queramos. Vamos a resolverlo por ejemplo por sustitución. De la ecuación 1 vamos a despejar por ejemplo la letra a. Entonces pasamos b a restar al otro lado. Nos queda a igual a 5 menos b. Esta nueva ecuación la llamamos la número 4. Y también de la ecuación 2 vamos a despejar la letra c. Entonces pasamos ese término que está restando al otro lado a sumar. Nos queda que c es igual a 3 más 2b. Y tenemos una expresión nueva que la llamamos la número 5. Ahora sustituimos las expresiones 4 y 5 en la número 3. Nos queda de la siguiente manera. A se sustituye por 5 menos b menos 2 que multiplica a c. Pero c equivale a 3 más 2b. Y todo eso igual a menos 1. Entonces vamos a resolver esta ecuación que nos ha quedado únicamente con la incógnita b. Tenemos 5 menos b. Aquí aplicamos propiedad distributiva. Menos 2 por 3 nos da menos 6. Menos 2 por 2b nos da menos 4b. Esto igual a menos 1. En el lado izquierdo operamos términos semejantes. Menos b menos 4b nos da menos 5b. Y los números 5 menos 6 nos da menos 1. Todo esto igual a menos 1. Hacemos el despeje del término menos 5b. Entonces tenemos menos 1 más 1. Este número está restando pasa a sumar. Tenemos entonces menos 5b igual a cero. El resultado de esta operación. Despejamos b. Nos queda cero dividido entre menos 5. Y eso nos da como resultado b igual a cero. Tenemos entonces la primera incógnita ya encontrada. Sabiendo entonces que b vale cero. Podemos venir a estas ecuaciones 4 y 5. Para encontrar a y c. Entonces donde está la b escribimos cero. Y por acá tendremos que a es igual a 5. Sale otra de las incógnitas. Y por acá tenemos que c es igual a 3. Y de esta manera encontramos los valores de a, b y c. Teníamos al comienzo esta igualdad. Y entonces ya podemos reemplazar los valores de a, b y c. Tenemos que a vale 5, b vale cero y c equivale a 3. Entonces en el lado izquierdo podemos escribir 5x cuadrado más 3x menos 1. Sobre este producto que equivale a este polinomio. X al cubo menos 2x al cuadrado más x menos 2. Y en el lado derecho tendremos 5 sobre x menos 2 más 3 sobre x al cuadrado más 1. De esta manera hemos obtenido las fracciones parciales de la expresión que teníamos originalmente en el integrando. Reescribimos entonces el ejercicio original de la siguiente manera. Integral de 5 sobre x menos 2 más 3 sobre x al cuadrado más 1. Hemos sustituido la expresión original por la suma de las fracciones parciales. Y todo esto con su respectivo diferencial de x. Sabemos que en esta suma podemos repartir el símbolo de la integral. Y también podemos sacar estos números que están multiplicando en cada una de las expresiones. Nos queda entonces 5 por la integral de 1 sobre x menos 2, esto con su respectivo diferencial de x más 3 por la integral de 1 sobre x al cuadrado más 1. También con su respectivo diferencial de x. Entonces hemos sacado estos números a multiplicar a la izquierda de cada integral. Ahora nos ocupamos de resolver cada una de estas integrales. Para el caso de la primera podemos utilizar la siguiente fórmula. Si tenemos la integral de 1 sobre x más una constante a que incluso podría ser negativa, como en este caso, esto es igual al logaritmo natural de valor absoluto de x más a. Obviamente con su constante de integración. Entonces para este caso tendremos logaritmo natural de valor absoluto de x menos 2. Todo esto más 3 por el resultado de esta integral que es tangente a la menos 1 de x. O también lo podemos escribir como arco tangente de x, si preferimos de esa manera. Y agregamos la constante de integración que aparece por primera vez. Finalmente podríamos escribir este término de la siguiente manera. Este 5 que está multiplicando a este logaritmo puede convertirse en exponente gracias a la propiedad de los logaritmos. Entonces nos queda dentro de valor absoluto x menos 2 elevado al exponente 5. Protegemos con valor absoluto porque esto es susceptible de ser negativo. Entonces con el valor absoluto garantizamos que sea una cantidad positiva para que el logaritmo natural no tenga problemas. Todo esto más 3 por, como decíamos, se puede escribir también como arco tangente de x más c. De esta manera terminamos el ejercicio. Esta expresión es el resultado de esa integral.

[{"start": 0.0, "end": 8.5, "text": " Vamos a resolver esta integral donde observamos en el integrando una fracci\u00f3n algebraica."}, {"start": 8.5, "end": 17.5, "text": " Tenemos en el numerador un trinomio de grado 2 y en el denominador un polinomio de grado 3."}, {"start": 17.5, "end": 23.0, "text": " Como el grado del numerador es menor que el grado del denominador,"}, {"start": 23.0, "end": 33.0, "text": " entonces tenemos una fracci\u00f3n propia donde no es necesario realizar la divisi\u00f3n de polinomios,"}, {"start": 33.0, "end": 45.5, "text": " preliminarmente, como cuando tenemos el caso de una expresi\u00f3n en el numerador de grado igual o mayor que la que tenemos en el denominador."}, {"start": 45.5, "end": 49.5, "text": " En ese caso s\u00ed tendr\u00edamos que hacer divisi\u00f3n de polinomios."}, {"start": 49.5, "end": 59.0, "text": " Entonces tenemos una fracci\u00f3n propia y comenzamos por revisar si de pronto se puede resolver por el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n."}, {"start": 59.0, "end": 64.0, "text": " Para ello tomamos el denominador y r\u00e1pidamente lo derivamos."}, {"start": 64.0, "end": 79.5, "text": " Derivada de x al cubo es 3x al cuadrado menos derivada de 2x al cuadrado es 4x, derivada de m\u00e1s x nos da m\u00e1s 1, derivada de menos 2 es 0."}, {"start": 79.5, "end": 91.0, "text": " Revisamos si esta expresi\u00f3n nos da en el numerador o si de pronto factoriz\u00e1ndole alg\u00fan n\u00famero a este trinomio nos da esta expresi\u00f3n de arriba."}, {"start": 91.0, "end": 100.0, "text": " Vemos que no es as\u00ed, por lo tanto descartamos que se pueda hacer por el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n."}, {"start": 100.0, "end": 108.0, "text": " Vamos entonces a resolver esta integral por el m\u00e9todo de las fracciones parciales."}, {"start": 108.0, "end": 119.0, "text": " Comenzamos por escribir el integrando con su denominador factorizado."}, {"start": 119.0, "end": 126.0, "text": " Entonces vamos a realizar por ac\u00e1 la factorizaci\u00f3n del denominador."}, {"start": 126.0, "end": 135.5, "text": " Observamos cuatro t\u00e9rminos en los cuales no tenemos factor com\u00fan pero podemos agrupar t\u00e9rminos."}, {"start": 135.5, "end": 144.5, "text": " Entonces vamos a utilizar el caso llamado factor com\u00fan por agrupaci\u00f3n de t\u00e9rminos."}, {"start": 144.5, "end": 162.0, "text": " De esta primera expresi\u00f3n sacamos factor com\u00fan x al cuadrado que es factor de x menos 2 y en esta expresi\u00f3n no tenemos factor com\u00fan o si queremos acompa\u00f1amos con un 1."}, {"start": 162.0, "end": 186.0, "text": " En seguida de toda la expresi\u00f3n resultante sacamos factor com\u00fan x menos 2 que es factor de x al cuadrado m\u00e1s 1 y de esa manera tenemos la factorizaci\u00f3n del denominador de la expresi\u00f3n."}, {"start": 186.0, "end": 195.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a conformar dos fracciones sumando entre s\u00ed."}, {"start": 195.0, "end": 204.0, "text": " Una con denominador x menos 2 y la otra con denominador x al cuadrado m\u00e1s 1."}, {"start": 204.0, "end": 214.0, "text": " Para la primera fracci\u00f3n en el numerador tendremos una expresi\u00f3n de un grado menos que la que tenemos en el denominador."}, {"start": 214.0, "end": 223.0, "text": " Esto es de primer grado por lo tanto aqu\u00ed tendremos una expresi\u00f3n de grado cero, es decir una constante."}, {"start": 223.0, "end": 228.0, "text": " Como la desconocemos utilizamos la letra A may\u00fascula."}, {"start": 228.0, "end": 231.0, "text": " Aqu\u00ed vamos a hacer lo mismo."}, {"start": 231.0, "end": 237.0, "text": " En el numerador debe ir una expresi\u00f3n de un grado menos que la que tenemos abajo."}, {"start": 237.0, "end": 246.0, "text": " Como esta expresi\u00f3n es de grado 2 entonces aqu\u00ed tendremos una expresi\u00f3n de primer grado."}, {"start": 246.0, "end": 251.0, "text": " Entonces la escribimos como bx m\u00e1s c."}, {"start": 251.0, "end": 255.0, "text": " Expresi\u00f3n de grado 1."}, {"start": 255.0, "end": 265.0, "text": " Ahora vamos a resolver esta suma de fracciones que son heterog\u00e9neas, fracciones con distinto denominador."}, {"start": 265.0, "end": 272.0, "text": " Recordemos como se hace r\u00e1pidamente una suma de esas."}, {"start": 272.0, "end": 276.0, "text": " En el denominador escribimos b por d."}, {"start": 276.0, "end": 283.0, "text": " En el numerador escribimos a por d m\u00e1s b por c."}, {"start": 283.0, "end": 287.0, "text": " Entonces eso lo podemos aplicar en este caso."}, {"start": 287.0, "end": 299.0, "text": " Tendremos en el denominador x menos 2 que multiplica a x al cuadrado m\u00e1s 1."}, {"start": 299.0, "end": 318.0, "text": " En el numerador tendremos a por x al cuadrado m\u00e1s 1 m\u00e1s x menos 2 por bx m\u00e1s c."}, {"start": 318.0, "end": 321.0, "text": " Aplicando este modelo."}, {"start": 321.0, "end": 333.0, "text": " La expresi\u00f3n del lado izquierdo la repetimos y observamos la igualdad de dos fracciones con los mismos denominadores."}, {"start": 333.0, "end": 338.0, "text": " Entonces podr\u00edamos deshacernos de ellos."}, {"start": 338.0, "end": 348.0, "text": " Nos queda entonces 5x al cuadrado m\u00e1s 3x menos 1 en el lado izquierdo."}, {"start": 348.0, "end": 351.0, "text": " Y ac\u00e1 vamos a desarrollar esas operaciones."}, {"start": 351.0, "end": 355.0, "text": " Por aqu\u00ed hacemos propiedad distributiva con la letra a."}, {"start": 355.0, "end": 359.0, "text": " Nos queda ax al cuadrado m\u00e1s a."}, {"start": 359.0, "end": 363.0, "text": " Esto m\u00e1s la multiplicaci\u00f3n de estos dos binomios."}, {"start": 363.0, "end": 365.0, "text": " Vamos entonces."}, {"start": 365.0, "end": 369.0, "text": " x por bx nos da bx al cuadrado."}, {"start": 369.0, "end": 373.0, "text": " x por c nos queda m\u00e1s cx."}, {"start": 373.0, "end": 378.0, "text": " Menos 2 por bx nos da menos 2bx."}, {"start": 378.0, "end": 384.0, "text": " Y menos 2 por c nos queda menos 2c."}, {"start": 384.0, "end": 389.0, "text": " En el lado izquierdo contin\u00faa la misma expresi\u00f3n."}, {"start": 389.0, "end": 394.0, "text": " 5x al cuadrado m\u00e1s 3x menos 1."}, {"start": 394.0, "end": 398.0, "text": " Vemos que se encuentra organizada en forma descendente."}, {"start": 398.0, "end": 406.0, "text": " Entonces, as\u00ed mismo vamos a realizar la acomodaci\u00f3n de los t\u00e9rminos del lado derecho."}, {"start": 406.0, "end": 413.0, "text": " Comenzamos con ax al cuadrado m\u00e1s bx al cuadrado."}, {"start": 413.0, "end": 421.0, "text": " Luego, los t\u00e9rminos que contienen x m\u00e1s cx menos 2bx."}, {"start": 421.0, "end": 430.0, "text": " Y por \u00faltimo, los t\u00e9rminos independientes, los que no contienen la x."}, {"start": 430.0, "end": 435.0, "text": " Ahora hacemos agrupaci\u00f3n de t\u00e9rminos en el lado derecho."}, {"start": 435.0, "end": 440.0, "text": " Agrupamos los que contienen x al cuadrado."}, {"start": 440.0, "end": 445.0, "text": " Tambi\u00e9n agrupamos los que contienen la x."}, {"start": 445.0, "end": 451.0, "text": " Y agrupamos los t\u00e9rminos independientes."}, {"start": 451.0, "end": 456.0, "text": " De esta primera agrupaci\u00f3n sacamos factor com\u00fan x al cuadrado."}, {"start": 456.0, "end": 463.0, "text": " Pero entonces vamos a escribirlo a la derecha del par\u00e9ntesis."}, {"start": 463.0, "end": 467.0, "text": " Por aqu\u00ed tambi\u00e9n sacamos factor com\u00fan x."}, {"start": 467.0, "end": 472.0, "text": " Tambi\u00e9n la escribimos a la derecha del par\u00e9ntesis."}, {"start": 472.0, "end": 476.0, "text": " Y esta expresi\u00f3n nos queda como se encuentra."}, {"start": 476.0, "end": 484.0, "text": " En el lado izquierdo la expresi\u00f3n contin\u00faa siendo la misma."}, {"start": 484.0, "end": 494.0, "text": " Y hemos llegado al momento de confrontar los coeficientes de ambas expresiones."}, {"start": 494.0, "end": 505.0, "text": " Entonces, el coeficiente de x al cuadrado en el lado izquierdo debe ser igual al coeficiente de x al cuadrado en el lado derecho."}, {"start": 505.0, "end": 509.0, "text": " Sale entonces la primera ecuaci\u00f3n."}, {"start": 509.0, "end": 515.0, "text": " Tenemos a m\u00e1s b igual a 5."}, {"start": 515.0, "end": 519.0, "text": " Estos dos coeficientes se igualan."}, {"start": 519.0, "end": 525.0, "text": " Vamos ahora con el coeficiente de x en el lado izquierdo que es 3."}, {"start": 525.0, "end": 531.0, "text": " Lo vamos a igualar con el coeficiente de x en el lado derecho."}, {"start": 531.0, "end": 541.0, "text": " Sale entonces la ecuaci\u00f3n 2 que ser\u00e1 c menos 2b igual a 3."}, {"start": 541.0, "end": 547.0, "text": " Y por \u00faltimo tenemos los t\u00e9rminos independientes."}, {"start": 547.0, "end": 551.0, "text": " Vamos tambi\u00e9n a igualarlos."}, {"start": 551.0, "end": 562.0, "text": " Nos queda la ecuaci\u00f3n 3 que ser\u00e1 a menos 2c igual a menos 1."}, {"start": 562.0, "end": 575.0, "text": " Confrontando coeficientes obtenemos estas tres ecuaciones que conforman lo que se llama un sistema de ecuaciones de 3 por 3."}, {"start": 575.0, "end": 580.0, "text": " Tres ecuaciones con tres inc\u00f3gnitas."}, {"start": 580.0, "end": 591.0, "text": " Para resolver este sistema de ecuaciones podemos recurrir a los m\u00e9todos de sustituci\u00f3n o igualaci\u00f3n o eliminaci\u00f3n."}, {"start": 591.0, "end": 593.0, "text": " En fin, el que queramos."}, {"start": 593.0, "end": 597.0, "text": " Vamos a resolverlo por ejemplo por sustituci\u00f3n."}, {"start": 597.0, "end": 605.0, "text": " De la ecuaci\u00f3n 1 vamos a despejar por ejemplo la letra a."}, {"start": 605.0, "end": 609.0, "text": " Entonces pasamos b a restar al otro lado."}, {"start": 609.0, "end": 612.0, "text": " Nos queda a igual a 5 menos b."}, {"start": 612.0, "end": 618.0, "text": " Esta nueva ecuaci\u00f3n la llamamos la n\u00famero 4."}, {"start": 618.0, "end": 627.0, "text": " Y tambi\u00e9n de la ecuaci\u00f3n 2 vamos a despejar la letra c."}, {"start": 627.0, "end": 632.0, "text": " Entonces pasamos ese t\u00e9rmino que est\u00e1 restando al otro lado a sumar."}, {"start": 632.0, "end": 637.0, "text": " Nos queda que c es igual a 3 m\u00e1s 2b."}, {"start": 637.0, "end": 645.0, "text": " Y tenemos una expresi\u00f3n nueva que la llamamos la n\u00famero 5."}, {"start": 645.0, "end": 652.0, "text": " Ahora sustituimos las expresiones 4 y 5 en la n\u00famero 3."}, {"start": 652.0, "end": 655.0, "text": " Nos queda de la siguiente manera."}, {"start": 655.0, "end": 663.0, "text": " A se sustituye por 5 menos b menos 2 que multiplica a c."}, {"start": 663.0, "end": 668.0, "text": " Pero c equivale a 3 m\u00e1s 2b."}, {"start": 668.0, "end": 671.0, "text": " Y todo eso igual a menos 1."}, {"start": 671.0, "end": 679.0, "text": " Entonces vamos a resolver esta ecuaci\u00f3n que nos ha quedado \u00fanicamente con la inc\u00f3gnita b."}, {"start": 679.0, "end": 681.0, "text": " Tenemos 5 menos b."}, {"start": 681.0, "end": 684.0, "text": " Aqu\u00ed aplicamos propiedad distributiva."}, {"start": 684.0, "end": 687.0, "text": " Menos 2 por 3 nos da menos 6."}, {"start": 687.0, "end": 691.0, "text": " Menos 2 por 2b nos da menos 4b."}, {"start": 691.0, "end": 694.0, "text": " Esto igual a menos 1."}, {"start": 694.0, "end": 697.0, "text": " En el lado izquierdo operamos t\u00e9rminos semejantes."}, {"start": 697.0, "end": 702.0, "text": " Menos b menos 4b nos da menos 5b."}, {"start": 702.0, "end": 706.0, "text": " Y los n\u00fameros 5 menos 6 nos da menos 1."}, {"start": 706.0, "end": 709.0, "text": " Todo esto igual a menos 1."}, {"start": 709.0, "end": 713.0, "text": " Hacemos el despeje del t\u00e9rmino menos 5b."}, {"start": 713.0, "end": 716.0, "text": " Entonces tenemos menos 1 m\u00e1s 1."}, {"start": 716.0, "end": 721.0, "text": " Este n\u00famero est\u00e1 restando pasa a sumar."}, {"start": 721.0, "end": 727.0, "text": " Tenemos entonces menos 5b igual a cero."}, {"start": 727.0, "end": 729.0, "text": " El resultado de esta operaci\u00f3n."}, {"start": 729.0, "end": 735.0, "text": " Despejamos b. Nos queda cero dividido entre menos 5."}, {"start": 735.0, "end": 741.0, "text": " Y eso nos da como resultado b igual a cero."}, {"start": 741.0, "end": 747.0, "text": " Tenemos entonces la primera inc\u00f3gnita ya encontrada."}, {"start": 747.0, "end": 751.0, "text": " Sabiendo entonces que b vale cero."}, {"start": 751.0, "end": 755.0, "text": " Podemos venir a estas ecuaciones 4 y 5."}, {"start": 755.0, "end": 757.0, "text": " Para encontrar a y c."}, {"start": 757.0, "end": 763.0, "text": " Entonces donde est\u00e1 la b escribimos cero."}, {"start": 763.0, "end": 769.0, "text": " Y por ac\u00e1 tendremos que a es igual a 5."}, {"start": 769.0, "end": 773.0, "text": " Sale otra de las inc\u00f3gnitas."}, {"start": 773.0, "end": 780.0, "text": " Y por ac\u00e1 tenemos que c es igual a 3."}, {"start": 780.0, "end": 788.0, "text": " Y de esta manera encontramos los valores de a, b y c."}, {"start": 788.0, "end": 792.0, "text": " Ten\u00edamos al comienzo esta igualdad."}, {"start": 792.0, "end": 798.0, "text": " Y entonces ya podemos reemplazar los valores de a, b y c."}, {"start": 798.0, "end": 810.0, "text": " Tenemos que a vale 5, b vale cero y c equivale a 3."}, {"start": 810.0, "end": 819.0, "text": " Entonces en el lado izquierdo podemos escribir 5x cuadrado m\u00e1s 3x menos 1."}, {"start": 819.0, "end": 826.0, "text": " Sobre este producto que equivale a este polinomio."}, {"start": 826.0, "end": 833.0, "text": " X al cubo menos 2x al cuadrado m\u00e1s x menos 2."}, {"start": 833.0, "end": 848.0, "text": " Y en el lado derecho tendremos 5 sobre x menos 2 m\u00e1s 3 sobre x al cuadrado m\u00e1s 1."}, {"start": 848.0, "end": 860.0, "text": " De esta manera hemos obtenido las fracciones parciales de la expresi\u00f3n que ten\u00edamos originalmente en el integrando."}, {"start": 860.0, "end": 884.0, "text": " Reescribimos entonces el ejercicio original de la siguiente manera. Integral de 5 sobre x menos 2 m\u00e1s 3 sobre x al cuadrado m\u00e1s 1."}, {"start": 884.0, "end": 894.0, "text": " Hemos sustituido la expresi\u00f3n original por la suma de las fracciones parciales."}, {"start": 894.0, "end": 900.0, "text": " Y todo esto con su respectivo diferencial de x."}, {"start": 900.0, "end": 908.0, "text": " Sabemos que en esta suma podemos repartir el s\u00edmbolo de la integral."}, {"start": 908.0, "end": 918.0, "text": " Y tambi\u00e9n podemos sacar estos n\u00fameros que est\u00e1n multiplicando en cada una de las expresiones."}, {"start": 918.0, "end": 940.0, "text": " Nos queda entonces 5 por la integral de 1 sobre x menos 2, esto con su respectivo diferencial de x m\u00e1s 3 por la integral de 1 sobre x al cuadrado m\u00e1s 1."}, {"start": 940.0, "end": 945.0, "text": " Tambi\u00e9n con su respectivo diferencial de x."}, {"start": 945.0, "end": 953.0, "text": " Entonces hemos sacado estos n\u00fameros a multiplicar a la izquierda de cada integral."}, {"start": 953.0, "end": 959.0, "text": " Ahora nos ocupamos de resolver cada una de estas integrales."}, {"start": 959.0, "end": 965.0, "text": " Para el caso de la primera podemos utilizar la siguiente f\u00f3rmula."}, {"start": 965.0, "end": 982.0, "text": " Si tenemos la integral de 1 sobre x m\u00e1s una constante a que incluso podr\u00eda ser negativa, como en este caso, esto es igual al logaritmo natural de valor absoluto de x m\u00e1s a."}, {"start": 982.0, "end": 987.0, "text": " Obviamente con su constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 987.0, "end": 998.0, "text": " Entonces para este caso tendremos logaritmo natural de valor absoluto de x menos 2."}, {"start": 998.0, "end": 1009.0, "text": " Todo esto m\u00e1s 3 por el resultado de esta integral que es tangente a la menos 1 de x."}, {"start": 1009.0, "end": 1017.0, "text": " O tambi\u00e9n lo podemos escribir como arco tangente de x, si preferimos de esa manera."}, {"start": 1017.0, "end": 1023.0, "text": " Y agregamos la constante de integraci\u00f3n que aparece por primera vez."}, {"start": 1023.0, "end": 1029.0, "text": " Finalmente podr\u00edamos escribir este t\u00e9rmino de la siguiente manera."}, {"start": 1029.0, "end": 1039.0, "text": " Este 5 que est\u00e1 multiplicando a este logaritmo puede convertirse en exponente gracias a la propiedad de los logaritmos."}, {"start": 1039.0, "end": 1048.0, "text": " Entonces nos queda dentro de valor absoluto x menos 2 elevado al exponente 5."}, {"start": 1048.0, "end": 1054.0, "text": " Protegemos con valor absoluto porque esto es susceptible de ser negativo."}, {"start": 1054.0, "end": 1063.0, "text": " Entonces con el valor absoluto garantizamos que sea una cantidad positiva para que el logaritmo natural no tenga problemas."}, {"start": 1063.0, "end": 1074.0, "text": " Todo esto m\u00e1s 3 por, como dec\u00edamos, se puede escribir tambi\u00e9n como arco tangente de x m\u00e1s c."}, {"start": 1074.0, "end": 1078.0, "text": " De esta manera terminamos el ejercicio."}, {"start": 1078.0, "end": 1085.0, "text": " Esta expresi\u00f3n es el resultado de esa integral."}]

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OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS

#julioprofe explica cómo resolver diversas operaciones con números complejos. Tema: #NumerosComplejos → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwGWSEDj2vQeCAU2VLSQyy9j REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Dados los números complejos z1 igual a 2 más 3i y z2 igual a 4 menos 5i vamos a determinar cada una de estas cinco operaciones. Comenzamos con la primera, donde tenemos cinco veces el número complejo z1 entonces lo sustituimos 2 más 3i entonces 5 por z1 más 7 veces z2 entonces 7 por el número complejo z2 que es 4 menos 5i y a continuación vamos a destruir los paréntesis aplicando propiedad distributiva entonces multiplicamos cada paréntesis por los números que tenemos afuera tenemos 5 por 2, 10, 5 por más 3i nos da más 15i luego 7 por 4 que nos da 28 positivo y 7 por menos 5i que nos da menos 35i enseguida operamos las partes reales entre sí, en este caso 10 más 28 que nos da 38 y operamos las partes imaginarias entre sí entonces 15i menos 35i eso nos da como resultado menos 20i de esta manera obtenemos la respuesta a la pregunta A este número complejo es el resultado de esta operación en la segunda operación tenemos el número complejo z1 que es 2 más 3i menos el conjugado del número complejo z2 siempre que veamos el número complejo con esta línea encima se refiere al conjugado de este número complejo y eso es simplemente cambiar el signo de la mitad el que separa la parte real de la parte imaginaria entonces el conjugado de z2 será 4 más 5i repetimos se cambia el signo de la mitad si tenemos menos acá es más y viceversa si aquí tuviéramos más entonces aquí tendríamos menos para este número complejo si es indispensable el uso de paréntesis porque va precedido de signo negativo a continuación destruimos ese paréntesis nos queda 2 más 3i y tenemos menos 4 menos 5i distribuimos el signo negativo aquí operamos las partes reales entre sí entonces 2i menos 4 que nos da menos 2 y operamos las partes imaginarias entre sí que sería 3i menos 5i lo que nos da como resultado menos 2i de esta manera tenemos la respuesta a la pregunta b este número complejo es el resultado de esta operación en la pregunta c tenemos la multiplicación de los números complejos dados entonces escribimos z1 que vale 2 más 3i y eso multiplicado por z2 que es 4 menos 5i entonces procedemos como se multiplican polinomios haciendo propiedad distributiva vamos con el 2 primero hacemos esta propiedad distributiva entonces esto nos da 2 por 4, 8, 2 por menos 5i, menos 10i y ahora hacemos distributiva con 3i entonces veamos 3i por 4 nos da más 12i y 3i por menos 5i nos da menos 15i al cuadrado recordemos que i al cuadrado equivale a menos 1 entonces esto nos va a quedar de la siguiente manera 8 menos 10i más 12i y aquí tenemos menos 15 por menos 1 que nos da más 15 entonces vamos a operar las partes reales entre sí y las partes imaginarias entre sí veamos 8 más 15 nos da 23 y menos 10i más 12i da como resultado 2i positivo este número complejo es la respuesta a la operación que tenemos en la pregunta C en la pregunta D tenemos el conjugado del número complejo z1 dividido entre el número complejo z2 entonces comenzamos por escribir el conjugado de z1 que será 2 menos 3i recordemos que se cambia el signo que separa la parte real de la parte imaginaria y vamos a escribir la división como fracción en el denominador escribimos z2 que es 4 menos 5i tenemos entonces una división de números complejos en este caso tenemos que multiplicar por el conjugado del denominador entonces vamos a multiplicar por 4 más 5i en la parte de arriba y por esa misma expresión en la parte de abajo entonces siempre multiplicamos arriba y abajo por el conjugado del número complejo que nos queda en el denominador armamos entonces la operación recordemos que las fracciones se multiplican en forma horizontal multiplicación de numeradores entre sí y multiplicación de denominadores entre sí tenemos en la parte de arriba multiplicación de dos binomios entonces procedemos haciendo distributiva 2 por 4, 8, 2 por 5i nos da más 10i menos 3i por 4 es menos 12i menos 3i por 5i nos da menos 15i al cuadrado y en la parte de abajo tenemos lo que se llama en algebra un producto notable que se llama suma por diferencia vamos a recordarlo por aquí si tenemos la suma de dos cantidades multiplicada por la diferencia de ellas esto nos da como resultado la primera cantidad al cuadrado menos la segunda cantidad al cuadrado es el producto notable llamado suma por diferencia y da como resultado una diferencia de cuadrados entonces aquí lo podemos aplicar en el denominador tenemos entonces la primera cantidad que es 4 al cuadrado menos la segunda cantidad que es 5i lo escribimos dentro de paréntesis y eso al cuadrado entonces abajo aplicamos esta fórmula continuamos por acá con el desarrollo del ejercicio entonces tenemos 8 más 10i menos 12i y recordemos que i al cuadrado es igual a menos 1 entonces por aquí tenemos menos 15 por menos 1 que nos da más 15 en la parte de abajo tenemos 4 al cuadrado 16 menos aquí este cuadrado afecta el 5 y afecta la i por lo tanto nos queda 5 al cuadrado que es 25 acompañado de i al cuadrado nuevamente tenemos la potencia i al cuadrado que equivale a menos 1 nos va a quedar entonces en la parte de arriba 8 más 15 que es 23 y 10i menos 12i que nos da menos 2i operando partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí en el denominador tendremos 16 y aquí tenemos menos 25 por menos 1 que es más 25 en el numerador sigue 23 menos 2i y en el denominador realizamos la suma 16 más 25 nos da 41 como paso final distribuimos este denominador para cada uno de los términos que hay en el numerador nos queda entonces 23 sobre 41 menos 2 cuarenta y un abos de i hacemos esto para que se distinga la parte real de la parte imaginaria del nuevo número complejo esta es entonces la respuesta a la pregunta de este ejercicio es el resultado de esta operación en la última pregunta nos piden encontrar el módulo o la norma o la magnitud del conjugado de la suma de los números complejos dados que son z1 y z2 esta doble barra representa o quiere decir que debemos encontrar el módulo o la magnitud o la norma del número complejo que resulte de esta operación entonces vamos en ese orden a realizar las distintas operaciones comenzamos por la suma de z1 más z2 tendremos 2 más 3i más z2 que es 4 menos 5i pero todo esto debe hacerse el conjugado continuamos resolvemos acá las operaciones entre las partes reales y las partes imaginarias 2 más 4 nos da 6 y 3i menos 5i nos da como resultado menos 2 y trazamos la línea que simboliza el conjugado entonces enseguida escribimos dentro de las barras dobles lo que es el conjugado de este número complejo entonces simplemente cambiamos este signo nos queda 6 más 2i como vemos ya desaparece la línea que tenemos encima porque ya hicimos el conjugado y enseguida vamos a determinar el módulo magnitud o norma de este número complejo 6 más 2i la fórmula para ese caso es la siguiente si tenemos un número complejo z de la forma a más bi entonces su norma módulo o magnitud viene dado por la expresión raíz cuadrada de a cuadrado más b cuadrado entonces vamos a aplicar esa fórmula en este caso tenemos a al cuadrado es decir la parte real al cuadrado que en este caso es 6 entonces 6 al cuadrado más b al cuadrado pero miremos que es b es el coeficiente de la i es decir nos fijamos en la parte imaginaria cuál es el número que acompaña a la i en este caso es 2 entonces será más 2 al cuadrado entonces al cuadrado más b al cuadrado dentro de la raíz cuadrada resolvemos esas operaciones 6 al cuadrado es 36 más 2 al cuadrado que es 4 esto nos da como resultado raíz cuadrada de 40 y esta raíz la podemos simplificar descomponiendo el 40 en factores primos veamos 40 le sacamos mitad nos da 20 20 tiene mitad nos da 10 10 tiene mitad nos da 5 y a 5 le sacamos quinta que nos da 1 entonces esto es 2 al cubo por 5 pero como tenemos una raíz cuadrada nos conviene desbaratar 2 a la 3 como 2 al cuadrado por 2 y eso por 5 entonces lo escribimos de esa manera aquí dentro de la raíz allí hemos descompuesto el número 40 y entonces de esta raíz podemos sacar este 2 que se encuentra elevado al cuadrado y queda acompañado de la raíz cuadrada de 2 por 5 que es 10 la parte que no puede salir de la raíz 2 raíz de 10 es la respuesta a este ejercicio constituye el módulo norma o magnitud de este número complejo 6 más 2i tenemos entonces la respuesta a la pregunta E y de esta manera terminamos

[{"start": 0.0, "end": 12.0, "text": " Dados los n\u00fameros complejos z1 igual a 2 m\u00e1s 3i y z2 igual a 4 menos 5i"}, {"start": 12.0, "end": 19.0, "text": " vamos a determinar cada una de estas cinco operaciones."}, {"start": 19.0, "end": 29.0, "text": " Comenzamos con la primera, donde tenemos cinco veces el n\u00famero complejo z1"}, {"start": 29.0, "end": 40.0, "text": " entonces lo sustituimos 2 m\u00e1s 3i entonces 5 por z1 m\u00e1s 7 veces z2"}, {"start": 40.0, "end": 49.0, "text": " entonces 7 por el n\u00famero complejo z2 que es 4 menos 5i"}, {"start": 49.0, "end": 57.0, "text": " y a continuaci\u00f3n vamos a destruir los par\u00e9ntesis aplicando propiedad distributiva"}, {"start": 57.0, "end": 66.0, "text": " entonces multiplicamos cada par\u00e9ntesis por los n\u00fameros que tenemos afuera"}, {"start": 66.0, "end": 74.0, "text": " tenemos 5 por 2, 10, 5 por m\u00e1s 3i nos da m\u00e1s 15i"}, {"start": 74.0, "end": 86.0, "text": " luego 7 por 4 que nos da 28 positivo y 7 por menos 5i que nos da menos 35i"}, {"start": 86.0, "end": 97.0, "text": " enseguida operamos las partes reales entre s\u00ed, en este caso 10 m\u00e1s 28 que nos da 38"}, {"start": 97.0, "end": 103.0, "text": " y operamos las partes imaginarias entre s\u00ed"}, {"start": 103.0, "end": 112.0, "text": " entonces 15i menos 35i eso nos da como resultado menos 20i"}, {"start": 112.0, "end": 119.0, "text": " de esta manera obtenemos la respuesta a la pregunta A"}, {"start": 119.0, "end": 126.0, "text": " este n\u00famero complejo es el resultado de esta operaci\u00f3n"}, {"start": 126.0, "end": 137.0, "text": " en la segunda operaci\u00f3n tenemos el n\u00famero complejo z1 que es 2 m\u00e1s 3i"}, {"start": 137.0, "end": 142.0, "text": " menos el conjugado del n\u00famero complejo z2"}, {"start": 142.0, "end": 148.0, "text": " siempre que veamos el n\u00famero complejo con esta l\u00ednea encima"}, {"start": 148.0, "end": 152.0, "text": " se refiere al conjugado de este n\u00famero complejo"}, {"start": 152.0, "end": 156.0, "text": " y eso es simplemente cambiar el signo de la mitad"}, {"start": 156.0, "end": 160.0, "text": " el que separa la parte real de la parte imaginaria"}, {"start": 160.0, "end": 168.0, "text": " entonces el conjugado de z2 ser\u00e1 4 m\u00e1s 5i"}, {"start": 168.0, "end": 172.0, "text": " repetimos se cambia el signo de la mitad"}, {"start": 172.0, "end": 176.0, "text": " si tenemos menos ac\u00e1 es m\u00e1s y viceversa"}, {"start": 176.0, "end": 181.0, "text": " si aqu\u00ed tuvi\u00e9ramos m\u00e1s entonces aqu\u00ed tendr\u00edamos menos"}, {"start": 181.0, "end": 186.0, "text": " para este n\u00famero complejo si es indispensable el uso de par\u00e9ntesis"}, {"start": 186.0, "end": 190.0, "text": " porque va precedido de signo negativo"}, {"start": 190.0, "end": 194.0, "text": " a continuaci\u00f3n destruimos ese par\u00e9ntesis"}, {"start": 194.0, "end": 204.0, "text": " nos queda 2 m\u00e1s 3i y tenemos menos 4 menos 5i"}, {"start": 204.0, "end": 207.0, "text": " distribuimos el signo negativo"}, {"start": 207.0, "end": 212.0, "text": " aqu\u00ed operamos las partes reales entre s\u00ed"}, {"start": 212.0, "end": 218.0, "text": " entonces 2i menos 4 que nos da menos 2"}, {"start": 218.0, "end": 223.0, "text": " y operamos las partes imaginarias entre s\u00ed"}, {"start": 223.0, "end": 229.0, "text": " que ser\u00eda 3i menos 5i lo que nos da como resultado"}, {"start": 229.0, "end": 237.0, "text": " menos 2i de esta manera tenemos la respuesta"}, {"start": 237.0, "end": 243.0, "text": " a la pregunta b este n\u00famero complejo es el resultado"}, {"start": 243.0, "end": 246.0, "text": " de esta operaci\u00f3n"}, {"start": 246.0, "end": 250.0, "text": " en la pregunta c tenemos la multiplicaci\u00f3n"}, {"start": 250.0, "end": 253.0, "text": " de los n\u00fameros complejos dados"}, {"start": 253.0, "end": 261.0, "text": " entonces escribimos z1 que vale 2 m\u00e1s 3i"}, {"start": 261.0, "end": 269.0, "text": " y eso multiplicado por z2 que es 4 menos 5i"}, {"start": 269.0, "end": 274.0, "text": " entonces procedemos como se multiplican"}, {"start": 274.0, "end": 277.0, "text": " polinomios haciendo propiedad distributiva"}, {"start": 277.0, "end": 282.0, "text": " vamos con el 2 primero hacemos esta propiedad distributiva"}, {"start": 282.0, "end": 293.0, "text": " entonces esto nos da 2 por 4, 8, 2 por menos 5i, menos 10i"}, {"start": 293.0, "end": 299.0, "text": " y ahora hacemos distributiva con 3i"}, {"start": 299.0, "end": 307.0, "text": " entonces veamos 3i por 4 nos da m\u00e1s 12i"}, {"start": 307.0, "end": 315.0, "text": " y 3i por menos 5i nos da menos 15i al cuadrado"}, {"start": 315.0, "end": 321.0, "text": " recordemos que i al cuadrado equivale a menos 1"}, {"start": 321.0, "end": 326.0, "text": " entonces esto nos va a quedar de la siguiente manera"}, {"start": 326.0, "end": 332.0, "text": " 8 menos 10i m\u00e1s 12i"}, {"start": 332.0, "end": 337.0, "text": " y aqu\u00ed tenemos menos 15 por menos 1 que nos da m\u00e1s 15"}, {"start": 337.0, "end": 344.0, "text": " entonces vamos a operar las partes reales entre s\u00ed"}, {"start": 344.0, "end": 348.0, "text": " y las partes imaginarias entre s\u00ed"}, {"start": 348.0, "end": 354.0, "text": " veamos 8 m\u00e1s 15 nos da 23"}, {"start": 354.0, "end": 362.0, "text": " y menos 10i m\u00e1s 12i da como resultado 2i positivo"}, {"start": 362.0, "end": 372.0, "text": " este n\u00famero complejo es la respuesta a la operaci\u00f3n que tenemos en la pregunta C"}, {"start": 372.0, "end": 379.0, "text": " en la pregunta D tenemos el conjugado del n\u00famero complejo z1"}, {"start": 379.0, "end": 384.0, "text": " dividido entre el n\u00famero complejo z2"}, {"start": 384.0, "end": 393.0, "text": " entonces comenzamos por escribir el conjugado de z1 que ser\u00e1 2 menos 3i"}, {"start": 393.0, "end": 400.0, "text": " recordemos que se cambia el signo que separa la parte real de la parte imaginaria"}, {"start": 400.0, "end": 405.0, "text": " y vamos a escribir la divisi\u00f3n como fracci\u00f3n"}, {"start": 405.0, "end": 413.0, "text": " en el denominador escribimos z2 que es 4 menos 5i"}, {"start": 413.0, "end": 417.0, "text": " tenemos entonces una divisi\u00f3n de n\u00fameros complejos"}, {"start": 417.0, "end": 424.0, "text": " en este caso tenemos que multiplicar por el conjugado del denominador"}, {"start": 424.0, "end": 432.0, "text": " entonces vamos a multiplicar por 4 m\u00e1s 5i en la parte de arriba"}, {"start": 432.0, "end": 437.0, "text": " y por esa misma expresi\u00f3n en la parte de abajo"}, {"start": 437.0, "end": 443.0, "text": " entonces siempre multiplicamos arriba y abajo por el conjugado del n\u00famero complejo"}, {"start": 443.0, "end": 446.0, "text": " que nos queda en el denominador"}, {"start": 446.0, "end": 452.0, "text": " armamos entonces la operaci\u00f3n"}, {"start": 452.0, "end": 458.0, "text": " recordemos que las fracciones se multiplican en forma horizontal"}, {"start": 458.0, "end": 462.0, "text": " multiplicaci\u00f3n de numeradores entre s\u00ed"}, {"start": 462.0, "end": 469.0, "text": " y multiplicaci\u00f3n de denominadores entre s\u00ed"}, {"start": 469.0, "end": 476.0, "text": " tenemos en la parte de arriba multiplicaci\u00f3n de dos binomios"}, {"start": 476.0, "end": 481.0, "text": " entonces procedemos haciendo distributiva"}, {"start": 481.0, "end": 489.0, "text": " 2 por 4, 8, 2 por 5i nos da m\u00e1s 10i"}, {"start": 489.0, "end": 496.0, "text": " menos 3i por 4 es menos 12i"}, {"start": 496.0, "end": 504.0, "text": " menos 3i por 5i nos da menos 15i al cuadrado"}, {"start": 504.0, "end": 510.0, "text": " y en la parte de abajo tenemos lo que se llama en algebra un producto notable"}, {"start": 510.0, "end": 513.0, "text": " que se llama suma por diferencia"}, {"start": 513.0, "end": 515.0, "text": " vamos a recordarlo por aqu\u00ed"}, {"start": 515.0, "end": 521.0, "text": " si tenemos la suma de dos cantidades multiplicada por la diferencia de ellas"}, {"start": 521.0, "end": 526.0, "text": " esto nos da como resultado la primera cantidad al cuadrado"}, {"start": 526.0, "end": 530.0, "text": " menos la segunda cantidad al cuadrado"}, {"start": 530.0, "end": 533.0, "text": " es el producto notable llamado suma por diferencia"}, {"start": 533.0, "end": 538.0, "text": " y da como resultado una diferencia de cuadrados"}, {"start": 538.0, "end": 541.0, "text": " entonces aqu\u00ed lo podemos aplicar en el denominador"}, {"start": 541.0, "end": 546.0, "text": " tenemos entonces la primera cantidad que es 4 al cuadrado"}, {"start": 546.0, "end": 552.0, "text": " menos la segunda cantidad que es 5i"}, {"start": 552.0, "end": 556.0, "text": " lo escribimos dentro de par\u00e9ntesis y eso al cuadrado"}, {"start": 556.0, "end": 561.0, "text": " entonces abajo aplicamos esta f\u00f3rmula"}, {"start": 561.0, "end": 567.0, "text": " continuamos por ac\u00e1 con el desarrollo del ejercicio"}, {"start": 567.0, "end": 577.0, "text": " entonces tenemos 8 m\u00e1s 10i menos 12i"}, {"start": 577.0, "end": 584.0, "text": " y recordemos que i al cuadrado es igual a menos 1"}, {"start": 584.0, "end": 592.0, "text": " entonces por aqu\u00ed tenemos menos 15 por menos 1 que nos da m\u00e1s 15"}, {"start": 592.0, "end": 598.0, "text": " en la parte de abajo tenemos 4 al cuadrado 16 menos"}, {"start": 598.0, "end": 603.0, "text": " aqu\u00ed este cuadrado afecta el 5 y afecta la i"}, {"start": 603.0, "end": 606.0, "text": " por lo tanto nos queda 5 al cuadrado que es 25"}, {"start": 606.0, "end": 610.0, "text": " acompa\u00f1ado de i al cuadrado"}, {"start": 610.0, "end": 618.0, "text": " nuevamente tenemos la potencia i al cuadrado que equivale a menos 1"}, {"start": 618.0, "end": 625.0, "text": " nos va a quedar entonces en la parte de arriba"}, {"start": 625.0, "end": 636.0, "text": " 8 m\u00e1s 15 que es 23 y 10i menos 12i que nos da menos 2i"}, {"start": 636.0, "end": 642.0, "text": " operando partes reales entre s\u00ed y partes imaginarias entre s\u00ed"}, {"start": 642.0, "end": 653.0, "text": " en el denominador tendremos 16 y aqu\u00ed tenemos menos 25 por menos 1 que es m\u00e1s 25"}, {"start": 653.0, "end": 661.0, "text": " en el numerador sigue 23 menos 2i"}, {"start": 661.0, "end": 668.0, "text": " y en el denominador realizamos la suma 16 m\u00e1s 25 nos da 41"}, {"start": 668.0, "end": 677.0, "text": " como paso final distribuimos este denominador para cada uno de los t\u00e9rminos que hay en el numerador"}, {"start": 677.0, "end": 688.0, "text": " nos queda entonces 23 sobre 41 menos 2 cuarenta y un abos de i"}, {"start": 688.0, "end": 697.0, "text": " hacemos esto para que se distinga la parte real de la parte imaginaria del nuevo n\u00famero complejo"}, {"start": 697.0, "end": 705.0, "text": " esta es entonces la respuesta a la pregunta de este ejercicio"}, {"start": 705.0, "end": 710.0, "text": " es el resultado de esta operaci\u00f3n"}, {"start": 710.0, "end": 720.0, "text": " en la \u00faltima pregunta nos piden encontrar el m\u00f3dulo o la norma o la magnitud del conjugado"}, {"start": 720.0, "end": 728.0, "text": " de la suma de los n\u00fameros complejos dados que son z1 y z2"}, {"start": 728.0, "end": 739.0, "text": " esta doble barra representa o quiere decir que debemos encontrar el m\u00f3dulo o la magnitud o la norma"}, {"start": 739.0, "end": 743.0, "text": " del n\u00famero complejo que resulte de esta operaci\u00f3n"}, {"start": 743.0, "end": 751.0, "text": " entonces vamos en ese orden a realizar las distintas operaciones"}, {"start": 751.0, "end": 765.0, "text": " comenzamos por la suma de z1 m\u00e1s z2 tendremos 2 m\u00e1s 3i m\u00e1s z2 que es 4 menos 5i"}, {"start": 765.0, "end": 773.0, "text": " pero todo esto debe hacerse el conjugado"}, {"start": 773.0, "end": 777.0, "text": " continuamos"}, {"start": 777.0, "end": 797.0, "text": " resolvemos ac\u00e1 las operaciones entre las partes reales y las partes imaginarias 2 m\u00e1s 4 nos da 6 y 3i menos 5i nos da como resultado menos 2"}, {"start": 797.0, "end": 812.0, "text": " y trazamos la l\u00ednea que simboliza el conjugado entonces enseguida escribimos dentro de las barras dobles"}, {"start": 812.0, "end": 823.0, "text": " lo que es el conjugado de este n\u00famero complejo entonces simplemente cambiamos este signo nos queda 6 m\u00e1s 2i"}, {"start": 823.0, "end": 830.0, "text": " como vemos ya desaparece la l\u00ednea que tenemos encima porque ya hicimos el conjugado"}, {"start": 830.0, "end": 841.0, "text": " y enseguida vamos a determinar el m\u00f3dulo magnitud o norma de este n\u00famero complejo 6 m\u00e1s 2i"}, {"start": 841.0, "end": 848.0, "text": " la f\u00f3rmula para ese caso es la siguiente si tenemos un n\u00famero complejo z de la forma a m\u00e1s bi"}, {"start": 848.0, "end": 860.0, "text": " entonces su norma m\u00f3dulo o magnitud viene dado por la expresi\u00f3n ra\u00edz cuadrada de a cuadrado m\u00e1s b cuadrado"}, {"start": 860.0, "end": 869.0, "text": " entonces vamos a aplicar esa f\u00f3rmula en este caso tenemos a al cuadrado es decir la parte real al cuadrado que en este caso es 6"}, {"start": 869.0, "end": 880.0, "text": " entonces 6 al cuadrado m\u00e1s b al cuadrado pero miremos que es b es el coeficiente de la i es decir nos fijamos en la parte imaginaria"}, {"start": 880.0, "end": 891.0, "text": " cu\u00e1l es el n\u00famero que acompa\u00f1a a la i en este caso es 2 entonces ser\u00e1 m\u00e1s 2 al cuadrado entonces al cuadrado m\u00e1s b al cuadrado"}, {"start": 891.0, "end": 906.0, "text": " dentro de la ra\u00edz cuadrada resolvemos esas operaciones 6 al cuadrado es 36 m\u00e1s 2 al cuadrado que es 4"}, {"start": 906.0, "end": 926.0, "text": " esto nos da como resultado ra\u00edz cuadrada de 40 y esta ra\u00edz la podemos simplificar descomponiendo el 40 en factores primos"}, {"start": 926.0, "end": 941.0, "text": " veamos 40 le sacamos mitad nos da 20 20 tiene mitad nos da 10 10 tiene mitad nos da 5 y a 5 le sacamos quinta que nos da 1"}, {"start": 941.0, "end": 957.0, "text": " entonces esto es 2 al cubo por 5 pero como tenemos una ra\u00edz cuadrada nos conviene desbaratar 2 a la 3 como 2 al cuadrado por 2 y eso por 5"}, {"start": 957.0, "end": 971.0, "text": " entonces lo escribimos de esa manera aqu\u00ed dentro de la ra\u00edz all\u00ed hemos descompuesto el n\u00famero 40 y entonces de esta ra\u00edz podemos sacar este 2"}, {"start": 971.0, "end": 984.0, "text": " que se encuentra elevado al cuadrado y queda acompa\u00f1ado de la ra\u00edz cuadrada de 2 por 5 que es 10 la parte que no puede salir de la ra\u00edz"}, {"start": 984.0, "end": 998.0, "text": " 2 ra\u00edz de 10 es la respuesta a este ejercicio constituye el m\u00f3dulo norma o magnitud de este n\u00famero complejo 6 m\u00e1s 2i"}, {"start": 998.0, "end": 1017.0, "text": " tenemos entonces la respuesta a la pregunta E y de esta manera terminamos"}]

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INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN Y PARTES - Ejercicio 2

#julioprofe explica cómo resolver una integral utilizando dos Métodos de Integración: Sustitución y Partes. Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver esta integral comenzando por utilizar el método de sustitución conocido también como cambio de variable. Vamos a llamar p a la expresión raíz cuadrada de x. Recordemos que raíz cuadrada de x es lo mismo que tener x elevada a la 1 medio. Y entonces vamos a derivar. Hacemos la derivada dp con respecto a x. Entonces dp de x nos queda 1 medio por x a la 1 medio menos 1 que nos da menos 1 medio. Eso lo podemos escribir también como 1 sobre 2x a la 1 medio bajando esta potencia para que el exponente nos quede positivo. Y también se puede escribir como 1 sobre 2 raíz de x cambiando x a la 1 medio nuevamente por raíz cuadrada de x. Pero observamos que raíz cuadrada de x es p. Entonces podemos hacer ese cambio aquí mismo. Nos quedaría entonces dp de x igual a 1 sobre 2p. Y de esta igualdad vamos a despejar de x. Hacemos producto en cruz. Decimos dx por 1 que nos da dx es igual a 2p por dp. Entonces con esto que acabamos de encontrar y con la sustitución que habíamos planteado donde p es igual a raíz cuadrada de x vamos a reconstruir la integral original. Ella nos va a quedar entonces de la siguiente manera. E a la p donde está raíz cuadrada de x tenemos p y de x que se cambia por 2p dp. Entonces hemos llegado a una integral en términos de la letra p. Como hemos visto mediante el método de sustitución esta integral que no corresponde a una integral directa o una de las integrales básicas se ha convertido en otra integral que podemos enfrentar o resolver utilizando el método de integración por partes. Tenemos dos funciones que vamos a clasificar en las categorías de i la t. Entonces esto quiere decir función inversa más exactamente las funciones trigonométricas inversas. La l quiere decir función logarítmica, la a función algebraica, t trigonométrica y e exponencial. Entonces veamos por acá tenemos e a la p que sería categoría exponencial y 2p sería categoría algebraica. Entonces i la t nos sirve para determinar lo que en el método de integración por partes es la u. Leemos la palabra i la t obviamente de izquierda a derecha y de las letras marcadas la primera que encontremos en este caso la a será la que hace el papel de la letra u en la fórmula de integración por partes. Entonces vamos a reescribir esta integral a este lado acomodando primero lo que va a ser u y enseguida lo que será dv. Tenemos entonces integral de 2p es decir el componente que hace el papel de la u y enseguida escribimos e a la p por dv. E a la p por dp que será el componente llamado dv. Esto es dv y este componente 2p será u. Entonces allí tenemos ya identificados los dos componentes que constituyen el método de integración por partes. Enseguida escribimos u que equivale a 2p y esto lo vamos a derivar. Derivamos u con respecto a p tenemos que la derivada de 2p es 2 y de aquí despejamos de u. Dp está dividiendo pasa a multiplicar con 2 nos queda entonces du igual a 2dp. Ahora escribimos dv que viene siendo e a la p por dp y esto tenemos que integrarlo a ambos lados. Entonces integral de dv es igual a la integral de e a la p con su correspondiente diferencial de p. Integral de dv nos da d integral de e a la p será e a la p y de esta manera tenemos el otro componente que es v. Enseguida escribimos la fórmula del método de integración por partes. Dice la integral de u por dv es igual a u por v menos la integral de v por du. Recordemos que para aprender esto de manera fácil podemos decir que es una vaca menos la integral vestida de uniforme. Entonces para recordar la fórmula de integración por partes. Vamos a ver pasar cada componente nos queda entonces integral de u que es 2p por dv que es e a la p por dv. Allí tenemos la integral original la que vamos a resolver por partes igual a u que es 2p por v que nos dio e a la p menos la integral de v que es e a la p por du que nos dio 2dp. Esto nos queda 2p por e a la p menos este 2 puede salir de la integral porque está multiplicando. Entonces nos queda 2 por la integral de e a la p de p una integral básica. Entonces la resolvemos nos queda menos 2 por e a la p y aparece por primera vez la constante de integración. Aquí podríamos pensar en sacar factor común lo que tenemos repetido en estos dos términos que sería 2 y e a la p factor de p menos 1. Y todo esto más la constante de integración. Esto simplemente lo repetimos al lado izquierdo y lo escribimos por aquí para que nos quede frente a frente la integral que teníamos en términos de p y su respuesta. Entonces podemos anotar a la derecha de la integral original el resultado obtenido que es 2e a la p por p menos 1 más c. Y vamos a retomar lo que habíamos utilizado en la sustitución inicial. Habíamos dicho que p equivale a raíz cuadrada de x y también habíamos dicho que dx es igual a 2p por dp. Esto para poder llevar esta integral a la letra original que es x. Entonces esta nos va a quedar de la siguiente manera. Aquí nos queda e a la p que es raíz de x por 2p por dp. Aquí lo tenemos y eso es dx. Entonces recobramos la integral original la que venía inicialmente propuesta en términos de x. En el lado derecho simplemente cambiamos la letra p por raíz cuadrada de x. Nos queda entonces 2 por e a la raíz de x. Eso factor de raíz cuadrada de x menos 1 y todo eso más la constante de integración. De esta manera terminamos este ejercicio donde hemos visto la utilización de los métodos de sustitución y partes.

[{"start": 0.0, "end": 10.72, "text": " Vamos a resolver esta integral comenzando por utilizar el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n"}, {"start": 10.72, "end": 23.6, "text": " conocido tambi\u00e9n como cambio de variable. Vamos a llamar p a la expresi\u00f3n ra\u00edz cuadrada de x."}, {"start": 23.6, "end": 32.96, "text": " Recordemos que ra\u00edz cuadrada de x es lo mismo que tener x elevada a la 1 medio."}, {"start": 32.96, "end": 45.28, "text": " Y entonces vamos a derivar. Hacemos la derivada dp con respecto a x."}, {"start": 45.28, "end": 58.64, "text": " Entonces dp de x nos queda 1 medio por x a la 1 medio menos 1 que nos da menos 1 medio."}, {"start": 58.64, "end": 73.12, "text": " Eso lo podemos escribir tambi\u00e9n como 1 sobre 2x a la 1 medio bajando esta potencia"}, {"start": 73.12, "end": 78.56, "text": " para que el exponente nos quede positivo."}, {"start": 78.56, "end": 87.52000000000001, "text": " Y tambi\u00e9n se puede escribir como 1 sobre 2 ra\u00edz de x cambiando x a la 1 medio"}, {"start": 87.52000000000001, "end": 96.0, "text": " nuevamente por ra\u00edz cuadrada de x. Pero observamos que ra\u00edz cuadrada de x es p."}, {"start": 96.0, "end": 108.24, "text": " Entonces podemos hacer ese cambio aqu\u00ed mismo. Nos quedar\u00eda entonces dp de x igual a 1 sobre 2p."}, {"start": 108.24, "end": 117.84, "text": " Y de esta igualdad vamos a despejar de x. Hacemos producto en cruz. Decimos dx por 1"}, {"start": 117.84, "end": 129.84, "text": " que nos da dx es igual a 2p por dp. Entonces con esto que acabamos de encontrar"}, {"start": 129.84, "end": 137.44, "text": " y con la sustituci\u00f3n que hab\u00edamos planteado donde p es igual a ra\u00edz cuadrada de x"}, {"start": 137.44, "end": 145.44, "text": " vamos a reconstruir la integral original. Ella nos va a quedar entonces de la siguiente manera."}, {"start": 145.44, "end": 160.48, "text": " E a la p donde est\u00e1 ra\u00edz cuadrada de x tenemos p y de x que se cambia por 2p dp."}, {"start": 160.48, "end": 168.24, "text": " Entonces hemos llegado a una integral en t\u00e9rminos de la letra p."}, {"start": 168.24, "end": 179.44, "text": " Como hemos visto mediante el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n esta integral que no corresponde a una integral directa"}, {"start": 179.44, "end": 190.48000000000002, "text": " o una de las integrales b\u00e1sicas se ha convertido en otra integral que podemos enfrentar o resolver"}, {"start": 190.48000000000002, "end": 198.16000000000003, "text": " utilizando el m\u00e9todo de integraci\u00f3n por partes. Tenemos dos funciones que vamos a clasificar"}, {"start": 198.16, "end": 215.68, "text": " en las categor\u00edas de i la t. Entonces esto quiere decir funci\u00f3n inversa m\u00e1s exactamente las funciones trigonom\u00e9tricas inversas."}, {"start": 215.68, "end": 226.16, "text": " La l quiere decir funci\u00f3n logar\u00edtmica, la a funci\u00f3n algebraica, t trigonom\u00e9trica y e exponencial."}, {"start": 226.16, "end": 238.8, "text": " Entonces veamos por ac\u00e1 tenemos e a la p que ser\u00eda categor\u00eda exponencial y 2p ser\u00eda categor\u00eda algebraica."}, {"start": 238.8, "end": 249.28, "text": " Entonces i la t nos sirve para determinar lo que en el m\u00e9todo de integraci\u00f3n por partes es la u."}, {"start": 249.28, "end": 259.84, "text": " Leemos la palabra i la t obviamente de izquierda a derecha y de las letras marcadas la primera que encontremos"}, {"start": 259.84, "end": 270.96, "text": " en este caso la a ser\u00e1 la que hace el papel de la letra u en la f\u00f3rmula de integraci\u00f3n por partes."}, {"start": 270.96, "end": 282.47999999999996, "text": " Entonces vamos a reescribir esta integral a este lado acomodando primero lo que va a ser u y enseguida lo que ser\u00e1 dv."}, {"start": 282.47999999999996, "end": 300.4, "text": " Tenemos entonces integral de 2p es decir el componente que hace el papel de la u y enseguida escribimos e a la p por dv."}, {"start": 300.4, "end": 308.32, "text": " E a la p por dp que ser\u00e1 el componente llamado dv."}, {"start": 308.32, "end": 313.76, "text": " Esto es dv y este componente 2p ser\u00e1 u."}, {"start": 313.76, "end": 325.35999999999996, "text": " Entonces all\u00ed tenemos ya identificados los dos componentes que constituyen el m\u00e9todo de integraci\u00f3n por partes."}, {"start": 325.36, "end": 335.2, "text": " Enseguida escribimos u que equivale a 2p y esto lo vamos a derivar."}, {"start": 335.2, "end": 345.36, "text": " Derivamos u con respecto a p tenemos que la derivada de 2p es 2 y de aqu\u00ed despejamos de u."}, {"start": 345.36, "end": 356.24, "text": " Dp est\u00e1 dividiendo pasa a multiplicar con 2 nos queda entonces du igual a 2dp."}, {"start": 356.24, "end": 370.32, "text": " Ahora escribimos dv que viene siendo e a la p por dp y esto tenemos que integrarlo a ambos lados."}, {"start": 370.32, "end": 381.2, "text": " Entonces integral de dv es igual a la integral de e a la p con su correspondiente diferencial de p."}, {"start": 381.2, "end": 394.15999999999997, "text": " Integral de dv nos da d integral de e a la p ser\u00e1 e a la p y de esta manera tenemos el otro componente que es v."}, {"start": 394.16, "end": 402.24, "text": " Enseguida escribimos la f\u00f3rmula del m\u00e9todo de integraci\u00f3n por partes."}, {"start": 402.24, "end": 414.8, "text": " Dice la integral de u por dv es igual a u por v menos la integral de v por du."}, {"start": 414.8, "end": 426.88, "text": " Recordemos que para aprender esto de manera f\u00e1cil podemos decir que es una vaca menos la integral vestida de uniforme."}, {"start": 426.88, "end": 433.12, "text": " Entonces para recordar la f\u00f3rmula de integraci\u00f3n por partes."}, {"start": 433.12, "end": 449.6, "text": " Vamos a ver pasar cada componente nos queda entonces integral de u que es 2p por dv que es e a la p por dv."}, {"start": 449.6, "end": 466.40000000000003, "text": " All\u00ed tenemos la integral original la que vamos a resolver por partes igual a u que es 2p por v que nos dio e a la p"}, {"start": 466.4, "end": 480.08, "text": " menos la integral de v que es e a la p por du que nos dio 2dp."}, {"start": 480.08, "end": 493.59999999999997, "text": " Esto nos queda 2p por e a la p menos este 2 puede salir de la integral porque est\u00e1 multiplicando."}, {"start": 493.6, "end": 501.92, "text": " Entonces nos queda 2 por la integral de e a la p de p una integral b\u00e1sica."}, {"start": 501.92, "end": 513.9200000000001, "text": " Entonces la resolvemos nos queda menos 2 por e a la p y aparece por primera vez la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 513.92, "end": 529.12, "text": " Aqu\u00ed podr\u00edamos pensar en sacar factor com\u00fan lo que tenemos repetido en estos dos t\u00e9rminos que ser\u00eda 2 y e a la p factor de p menos 1."}, {"start": 529.12, "end": 533.36, "text": " Y todo esto m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 533.36, "end": 552.4, "text": " Esto simplemente lo repetimos al lado izquierdo y lo escribimos por aqu\u00ed para que nos quede frente a frente la integral que ten\u00edamos en t\u00e9rminos de p y su respuesta."}, {"start": 552.4, "end": 570.64, "text": " Entonces podemos anotar a la derecha de la integral original el resultado obtenido que es 2e a la p por p menos 1 m\u00e1s c."}, {"start": 570.64, "end": 581.6, "text": " Y vamos a retomar lo que hab\u00edamos utilizado en la sustituci\u00f3n inicial."}, {"start": 581.6, "end": 595.52, "text": " Hab\u00edamos dicho que p equivale a ra\u00edz cuadrada de x y tambi\u00e9n hab\u00edamos dicho que dx es igual a 2p por dp."}, {"start": 595.52, "end": 601.6800000000001, "text": " Esto para poder llevar esta integral a la letra original que es x."}, {"start": 601.6800000000001, "end": 605.6, "text": " Entonces esta nos va a quedar de la siguiente manera."}, {"start": 605.6, "end": 615.6800000000001, "text": " Aqu\u00ed nos queda e a la p que es ra\u00edz de x por 2p por dp."}, {"start": 615.6800000000001, "end": 619.52, "text": " Aqu\u00ed lo tenemos y eso es dx."}, {"start": 619.52, "end": 629.76, "text": " Entonces recobramos la integral original la que ven\u00eda inicialmente propuesta en t\u00e9rminos de x."}, {"start": 629.76, "end": 636.56, "text": " En el lado derecho simplemente cambiamos la letra p por ra\u00edz cuadrada de x."}, {"start": 636.56, "end": 641.76, "text": " Nos queda entonces 2 por e a la ra\u00edz de x."}, {"start": 641.76, "end": 651.04, "text": " Eso factor de ra\u00edz cuadrada de x menos 1 y todo eso m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 651.04, "end": 664.56, "text": " De esta manera terminamos este ejercicio donde hemos visto la utilizaci\u00f3n de los m\u00e9todos de sustituci\u00f3n y partes."}]

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ECUACIONES DE CUARTO GRADO - Ejercicio 2

#julioprofe explica cómo resolver una ecuación polinómica de cuarto grado. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a encontrar las soluciones de esta ecuación que como observamos es de grado 4. Entonces esperamos encontrar cuatro valores que satisfagan esa ecuación. Comenzamos por determinar el conjunto llamado P y que está formado por los divisores del término independiente, es decir, los divisores de 78. Aunque aquí dice menos 78, lo podemos tomar positivo. Entonces comenzamos sacando todos los números enteros que sean divisores de 78. Iniciamos en más o menos 1, luego más o menos 2, después más o menos 3, después más o menos 6, más o menos 13, más o menos 26, más o menos 39 y más o menos 78. Una manera de verificar que sacamos la lista correcta de números y que no se nos escapó ninguno es hacer lo siguiente. 1 por 78 nos da 78. Es decir, vamos verificando los números extremos y el producto entre ellos nos iliquia 78. Por aquí tenemos 2 por 39 que también nos da 78. 26 por 3 nos da 78. Y finalmente 13 por 6 también nos da 78. Eso nos permite verificar que tenemos la lista correcta de divisores del 78. Enseguida vamos a determinar el conjunto llamado Q y que está formado por los divisores del coeficiente principal del polinomio. Aquí tenemos coeficiente 1. Los divisores enteros de 1 son únicamente más y menos 1. Y enseguida sacamos lo que se llama el conjunto de posibles raíces racionales del polinomio. Es decir, los posibles números racionales que satisfacen esa ecuación. Este conjunto resulta de hacer todas las combinaciones P sobre Q. Es decir, tomamos cada valor de P y lo dividimos entre cada valor de Q. Pero como en este caso Q está conformado únicamente por el 1, entonces nos van a quedar estos mismos valores de P. Veamos entonces. Aquí lo tenemos, el conjunto de posibles raíces racionales del polinomio. Enseguida vamos a utilizar la división sintética para probar cada uno de estos valores y ver cuáles satisfacen la ecuación. Para emplear la división sintética nos aseguramos que el polinomio esté organizado en forma descendente, tal como observamos en este caso. Y anotamos los coeficientes de cada uno de los términos. Entonces comenzamos con el 1, que es el coeficiente de X a la 4, después el menos 7, que es el coeficiente de X al cubo, luego 13, que es el coeficiente del término que tiene X cuadrado, luego el 23 y finalmente el término independiente, que es menos 78. Para poder tener como una guía de cada uno de los números podemos anotar esto en la parte superior de cada uno. Es simplemente recordar a qué término corresponde cada número. Estas son las iniciales del término independiente, que es menos 78. Iniciamos la división sintética probando el valor X igual a 1. Y comenzamos por bajar este número, el 1 lo anotamos aquí y hacemos lo siguiente, 1 por 1 nos da 1, sumamos en forma vertical, menos 7 más 1 nos da menos 6, menos 6 por 1 nos da menos 6, lo escribimos aquí, sumamos en forma vertical, 13 menos 6 nos da 7, luego 7 por 1 nos da 7, sumamos en forma vertical nos da 30, 30 por 1 nos da 30 y sumando en forma vertical nos da menos 48. Como aquí no nos da 0, entonces este valor no nos sirve, 1 no sería una raíz racional de ese polinomio. Probamos ahora con el siguiente valor que es X igual a menos 1. Entonces, nuevamente bajamos este primer número, que es 1, tenemos 1 por menos 1 nos da menos 1, sumamos en forma vertical nos da menos 8, menos 8 por menos 1 nos da 8, sumamos nos da 21, 21 por menos 1 nos da menos 21, sumamos en forma vertical nos da 2, 2 por menos 1 nos da menos 2 y sumando en forma vertical nos da menos 80. Vemos que tampoco nos sirve X igual a menos 1 porque el residuo de la división no nos dio 0. Intentamos ahora con el siguiente número que es X igual a 2, veamos 1 lo bajamos aquí, 1 por 2 nos da 2, sumamos nos da menos 5, menos 5 por 2 nos da menos 10, sumamos nos da 3, 3 por 2 nos da 6, sumamos nos da 29, 29 por 2 nos da 58 y al sumar nos da menos 20. Vemos que el residuo no nos dio 0, por lo tanto X igual a 2 no es solución de la ecuación. Probamos ahora el siguiente número que es X igual a menos 2, veamos, bajamos el 1, 1 por menos 2 nos da menos 2, sumamos nos da menos 9, menos 9 por menos 2 da 18, sumamos nos da 31, 31 por menos 2 nos da menos 62, sumamos nos da menos 39, menos 39 por menos 2 da 78 positivo y al sumar en forma vertical nos da 0. Al obtener residuo 0 en la división, tenemos que X igual a menos 2 es la primera raíz racional de este polinomio. Vamos a escribirla por acá y tenemos entonces la primera solución para esa ecuación. Estos números que tenemos hasta aquí constituyen los coeficientes de un polinomio de grado 3, porque al realizar la división sintética y encontrar un primer valor que sirve, entonces el polinomio original disminuye en un grado. Entonces para este polinomio de grado 3 seguimos intentando con división sintética a ver cuales de los valores restantes pueden servir. Debemos iniciar con X igual a menos 2, es decir, el valor que nos acabo de servir, debemos volverlo a ensayar para estos nuevos números, porque a veces puede suceder que una misma solución se repita varias veces, es lo que se llama la multiplicidad. Entonces vamos a realizar el intento con X igual a menos 2. Tenemos entonces con X igual a menos 2 lo siguiente, bajamos el 1, 1 por menos 2 nos da menos 2, sumamos nos da menos 11, menos 11 por menos 2 da 22 positivo, sumamos da 53, 53 por menos 2 nos da menos 106, y sumando nos da menos 145. No obtuvimos residuo 0, por lo tanto descartamos que menos 2 vuelva a servir. Vamos entonces ahora a probar el siguiente valor que sería X igual a 3. Entonces con X igual a 3 tenemos, baja el 1, 1 por 3 nos da 3, menos 9 más 3 nos da menos 6, menos 6 por 3 da menos 18, sumamos da 13 positivo, 13 por 3 da 39, y al sumar en forma vertical nos da residuo 0. Por lo tanto aquí tenemos otra solución de la ecuación, X igual a 3. Estos números que nos quedan acá son los coeticientes de un polinomio de grado 2. Como decíamos, vuelve a disminuir en un grado. Teníamos grado 4, grado 3, y esto es un polinomio de grado 2. Este polinomio queda de la siguiente manera, X al cuadrado menos 6X más 13 igual a 0. Lo igualamos a 0 porque desde un comienzo la ecuación viene igual a 0. Y esto es una ecuación cuadrática. Vamos entonces a resolverla. Recordemos que una ecuación cuadrática o de segundo grado tiene el modelo X al cuadrado más de X más C igual a 0. Tenemos dos opciones para resolver esta ecuación. Una sería por factorización, si este trinomio se puede factorizar, o el otro camino sería utilizando la fórmula cuadrática. Primero revisamos si esto se puede factorizar. Miramos si hay dos números que multiplicados den 13 y que sumados en tres y nos den menos 6. Vemos que no es posible, entonces descartamos la factorización y nos vamos por el camino de la fórmula cuadrática. Para ello identificamos los valores de A, B y C. Tenemos A es igual a 1, el coeficiente de X al cuadrado. Tenemos que B es menos 6, el coeficiente de X y C vale 13 positivo, que es el término independiente. Procedemos entonces a recordar la fórmula cuadrática o fórmula del bachiller, o también conocida como fórmula del estudiante. Aquí la tenemos y vamos a reemplazar en ella cada uno de estos valores que identificamos. Recomendación, abrir un paréntesis para cada letrica para reemplazar correctamente cada valor. Desaparecemos las letras y abrimos un paréntesis donde está cada una de ellas. Vamos a reemplazar los valores numéricos. B vale menos 6, entonces reemplazamos por aquí. A vale 1, reemplazamos aquí. Y C vale 13, allí lo reemplazamos. Resolviendo cada una de las operaciones tenemos lo siguiente. Por aquí nos da 6 positivo, más o menos la raíz cuadrada de menos 6 al cuadrado que es 36, menos 4 por 1 por 13 que nos da 52. Y todo esto dentro de la raíz cuadrada y todo esto sobre 2 por 1 que es 2. Continuamos, nos queda x igual a 6, más o menos la raíz cuadrada de 36 menos 52 nos da como resultado menos 16. Y todo esto sobre 2. La raíz cuadrada de menos 16 es una cantidad que se sale del mundo de los números reales y hace parte del mundo de las cantidades imaginarias. Entonces tenemos lo siguiente. Vamos a ver cómo se transforma raíz cuadrada de menos 16 en una cantidad imaginaria. Dentro de la raíz podemos expresar menos 16 como 16 por menos 1. Y esto a su vez es raíz de 16 por raíz de menos 1. Recordemos que en la radicación, si hay multiplicación, podemos separar raíces para cada componente de esta operación. Entonces, raíz cuadrada de 16 nos da 4 y la raíz cuadrada de menos 1 es la unidad imaginaria conocida como I. Entonces, la raíz cuadrada de menos 16 nos da como resultado 4 y, una cantidad imaginaria. Entonces, tendremos lo siguiente. X es igual a 6 más o menos 4 y y todo esto sobre 2. Aquí podemos repartir este denominador para cada uno de estos términos del numerador. Tenemos entonces 6 medios más o menos 4 y medios. Y simplificando en cada caso, tenemos 6 medios que es 3 más o menos 4. Se simplifica con 2 y nos queda 2I. De esta manera encontramos las otras dos soluciones para la ecuación. Sería entonces 3 más 2I y 3 menos 2I. Es decir, la conjugada de esta que teníamos inicialmente. Vemos entonces que aparecen ya las cuatro soluciones de la ecuación, tal como habíamos dicho al comienzo. Si es una ecuación de grado 4, esperamos obtener cuatro soluciones. Como paso final, damos la respuesta al ejercicio. Escribimos el conjunto solución de esa ecuación. Entonces, organizamos los valores obtenidos. Primero podemos escribir los dos números reales y después las dos cantidades complejas. Estos son números complejos, estos dos porque recordemos que se componen de una parte real y una parte imaginaria. De esta manera tenemos el conjunto de soluciones de esta ecuación.

[{"start": 0.0, "end": 8.0, "text": " Vamos a encontrar las soluciones de esta ecuaci\u00f3n que como observamos es de grado 4."}, {"start": 8.0, "end": 16.0, "text": " Entonces esperamos encontrar cuatro valores que satisfagan esa ecuaci\u00f3n."}, {"start": 16.0, "end": 26.0, "text": " Comenzamos por determinar el conjunto llamado P y que est\u00e1 formado por los divisores del t\u00e9rmino independiente,"}, {"start": 26.0, "end": 35.0, "text": " es decir, los divisores de 78. Aunque aqu\u00ed dice menos 78, lo podemos tomar positivo."}, {"start": 35.0, "end": 44.0, "text": " Entonces comenzamos sacando todos los n\u00fameros enteros que sean divisores de 78."}, {"start": 44.0, "end": 68.0, "text": " Iniciamos en m\u00e1s o menos 1, luego m\u00e1s o menos 2, despu\u00e9s m\u00e1s o menos 3, despu\u00e9s m\u00e1s o menos 6, m\u00e1s o menos 13, m\u00e1s o menos 26, m\u00e1s o menos 39 y m\u00e1s o menos 78."}, {"start": 68.0, "end": 81.0, "text": " Una manera de verificar que sacamos la lista correcta de n\u00fameros y que no se nos escap\u00f3 ninguno es hacer lo siguiente."}, {"start": 81.0, "end": 93.0, "text": " 1 por 78 nos da 78. Es decir, vamos verificando los n\u00fameros extremos y el producto entre ellos nos iliquia 78."}, {"start": 93.0, "end": 102.0, "text": " Por aqu\u00ed tenemos 2 por 39 que tambi\u00e9n nos da 78. 26 por 3 nos da 78."}, {"start": 102.0, "end": 118.0, "text": " Y finalmente 13 por 6 tambi\u00e9n nos da 78. Eso nos permite verificar que tenemos la lista correcta de divisores del 78."}, {"start": 118.0, "end": 129.0, "text": " Enseguida vamos a determinar el conjunto llamado Q y que est\u00e1 formado por los divisores del coeficiente principal del polinomio."}, {"start": 129.0, "end": 140.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos coeficiente 1. Los divisores enteros de 1 son \u00fanicamente m\u00e1s y menos 1."}, {"start": 140.0, "end": 155.0, "text": " Y enseguida sacamos lo que se llama el conjunto de posibles ra\u00edces racionales del polinomio."}, {"start": 155.0, "end": 162.0, "text": " Es decir, los posibles n\u00fameros racionales que satisfacen esa ecuaci\u00f3n."}, {"start": 162.0, "end": 173.0, "text": " Este conjunto resulta de hacer todas las combinaciones P sobre Q. Es decir, tomamos cada valor de P y lo dividimos entre cada valor de Q."}, {"start": 173.0, "end": 182.0, "text": " Pero como en este caso Q est\u00e1 conformado \u00fanicamente por el 1, entonces nos van a quedar estos mismos valores de P."}, {"start": 182.0, "end": 192.0, "text": " Veamos entonces. Aqu\u00ed lo tenemos, el conjunto de posibles ra\u00edces racionales del polinomio."}, {"start": 192.0, "end": 205.0, "text": " Enseguida vamos a utilizar la divisi\u00f3n sint\u00e9tica para probar cada uno de estos valores y ver cu\u00e1les satisfacen la ecuaci\u00f3n."}, {"start": 205.0, "end": 217.0, "text": " Para emplear la divisi\u00f3n sint\u00e9tica nos aseguramos que el polinomio est\u00e9 organizado en forma descendente, tal como observamos en este caso."}, {"start": 217.0, "end": 246.0, "text": " Y anotamos los coeficientes de cada uno de los t\u00e9rminos. Entonces comenzamos con el 1, que es el coeficiente de X a la 4, despu\u00e9s el menos 7, que es el coeficiente de X al cubo, luego 13, que es el coeficiente del t\u00e9rmino que tiene X cuadrado, luego el 23 y finalmente el t\u00e9rmino independiente, que es menos 78."}, {"start": 246.0, "end": 257.0, "text": " Para poder tener como una gu\u00eda de cada uno de los n\u00fameros podemos anotar esto en la parte superior de cada uno."}, {"start": 257.0, "end": 271.0, "text": " Es simplemente recordar a qu\u00e9 t\u00e9rmino corresponde cada n\u00famero. Estas son las iniciales del t\u00e9rmino independiente, que es menos 78."}, {"start": 271.0, "end": 280.0, "text": " Iniciamos la divisi\u00f3n sint\u00e9tica probando el valor X igual a 1."}, {"start": 280.0, "end": 307.0, "text": " Y comenzamos por bajar este n\u00famero, el 1 lo anotamos aqu\u00ed y hacemos lo siguiente, 1 por 1 nos da 1, sumamos en forma vertical, menos 7 m\u00e1s 1 nos da menos 6, menos 6 por 1 nos da menos 6, lo escribimos aqu\u00ed, sumamos en forma vertical, 13 menos 6 nos da 7,"}, {"start": 307.0, "end": 322.0, "text": " luego 7 por 1 nos da 7, sumamos en forma vertical nos da 30, 30 por 1 nos da 30 y sumando en forma vertical nos da menos 48."}, {"start": 322.0, "end": 334.0, "text": " Como aqu\u00ed no nos da 0, entonces este valor no nos sirve, 1 no ser\u00eda una ra\u00edz racional de ese polinomio."}, {"start": 334.0, "end": 340.0, "text": " Probamos ahora con el siguiente valor que es X igual a menos 1."}, {"start": 340.0, "end": 367.0, "text": " Entonces, nuevamente bajamos este primer n\u00famero, que es 1, tenemos 1 por menos 1 nos da menos 1, sumamos en forma vertical nos da menos 8, menos 8 por menos 1 nos da 8, sumamos nos da 21, 21 por menos 1 nos da menos 21, sumamos en forma vertical nos da 2,"}, {"start": 367.0, "end": 386.0, "text": " 2 por menos 1 nos da menos 2 y sumando en forma vertical nos da menos 80. Vemos que tampoco nos sirve X igual a menos 1 porque el residuo de la divisi\u00f3n no nos dio 0."}, {"start": 386.0, "end": 407.0, "text": " Intentamos ahora con el siguiente n\u00famero que es X igual a 2, veamos 1 lo bajamos aqu\u00ed, 1 por 2 nos da 2, sumamos nos da menos 5, menos 5 por 2 nos da menos 10, sumamos nos da 3,"}, {"start": 407.0, "end": 429.0, "text": " 3 por 2 nos da 6, sumamos nos da 29, 29 por 2 nos da 58 y al sumar nos da menos 20. Vemos que el residuo no nos dio 0, por lo tanto X igual a 2 no es soluci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n."}, {"start": 429.0, "end": 452.0, "text": " Probamos ahora el siguiente n\u00famero que es X igual a menos 2, veamos, bajamos el 1, 1 por menos 2 nos da menos 2, sumamos nos da menos 9, menos 9 por menos 2 da 18, sumamos nos da 31,"}, {"start": 452.0, "end": 470.0, "text": " 31 por menos 2 nos da menos 62, sumamos nos da menos 39, menos 39 por menos 2 da 78 positivo y al sumar en forma vertical nos da 0."}, {"start": 470.0, "end": 483.0, "text": " Al obtener residuo 0 en la divisi\u00f3n, tenemos que X igual a menos 2 es la primera ra\u00edz racional de este polinomio."}, {"start": 483.0, "end": 491.0, "text": " Vamos a escribirla por ac\u00e1 y tenemos entonces la primera soluci\u00f3n para esa ecuaci\u00f3n."}, {"start": 491.0, "end": 509.0, "text": " Estos n\u00fameros que tenemos hasta aqu\u00ed constituyen los coeficientes de un polinomio de grado 3, porque al realizar la divisi\u00f3n sint\u00e9tica y encontrar un primer valor que sirve,"}, {"start": 509.0, "end": 527.0, "text": " entonces el polinomio original disminuye en un grado. Entonces para este polinomio de grado 3 seguimos intentando con divisi\u00f3n sint\u00e9tica a ver cuales de los valores restantes pueden servir."}, {"start": 527.0, "end": 540.0, "text": " Debemos iniciar con X igual a menos 2, es decir, el valor que nos acabo de servir, debemos volverlo a ensayar para estos nuevos n\u00fameros,"}, {"start": 540.0, "end": 550.0, "text": " porque a veces puede suceder que una misma soluci\u00f3n se repita varias veces, es lo que se llama la multiplicidad."}, {"start": 550.0, "end": 562.0, "text": " Entonces vamos a realizar el intento con X igual a menos 2. Tenemos entonces con X igual a menos 2 lo siguiente,"}, {"start": 562.0, "end": 583.0, "text": " bajamos el 1, 1 por menos 2 nos da menos 2, sumamos nos da menos 11, menos 11 por menos 2 da 22 positivo, sumamos da 53, 53 por menos 2 nos da menos 106,"}, {"start": 583.0, "end": 597.0, "text": " y sumando nos da menos 145. No obtuvimos residuo 0, por lo tanto descartamos que menos 2 vuelva a servir."}, {"start": 597.0, "end": 615.0, "text": " Vamos entonces ahora a probar el siguiente valor que ser\u00eda X igual a 3. Entonces con X igual a 3 tenemos, baja el 1, 1 por 3 nos da 3,"}, {"start": 615.0, "end": 635.0, "text": " menos 9 m\u00e1s 3 nos da menos 6, menos 6 por 3 da menos 18, sumamos da 13 positivo, 13 por 3 da 39, y al sumar en forma vertical nos da residuo 0."}, {"start": 635.0, "end": 652.0, "text": " Por lo tanto aqu\u00ed tenemos otra soluci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n, X igual a 3. Estos n\u00fameros que nos quedan ac\u00e1 son los coeticientes de un polinomio de grado 2."}, {"start": 652.0, "end": 668.0, "text": " Como dec\u00edamos, vuelve a disminuir en un grado. Ten\u00edamos grado 4, grado 3, y esto es un polinomio de grado 2. Este polinomio queda de la siguiente manera,"}, {"start": 668.0, "end": 683.0, "text": " X al cuadrado menos 6X m\u00e1s 13 igual a 0. Lo igualamos a 0 porque desde un comienzo la ecuaci\u00f3n viene igual a 0. Y esto es una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica."}, {"start": 683.0, "end": 700.0, "text": " Vamos entonces a resolverla. Recordemos que una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica o de segundo grado tiene el modelo X al cuadrado m\u00e1s de X m\u00e1s C igual a 0."}, {"start": 700.0, "end": 714.0, "text": " Tenemos dos opciones para resolver esta ecuaci\u00f3n. Una ser\u00eda por factorizaci\u00f3n, si este trinomio se puede factorizar, o el otro camino ser\u00eda utilizando la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica."}, {"start": 714.0, "end": 724.0, "text": " Primero revisamos si esto se puede factorizar. Miramos si hay dos n\u00fameros que multiplicados den 13 y que sumados en tres y nos den menos 6."}, {"start": 724.0, "end": 734.0, "text": " Vemos que no es posible, entonces descartamos la factorizaci\u00f3n y nos vamos por el camino de la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica."}, {"start": 734.0, "end": 756.0, "text": " Para ello identificamos los valores de A, B y C. Tenemos A es igual a 1, el coeficiente de X al cuadrado. Tenemos que B es menos 6, el coeficiente de X y C vale 13 positivo, que es el t\u00e9rmino independiente."}, {"start": 756.0, "end": 771.0, "text": " Procedemos entonces a recordar la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica o f\u00f3rmula del bachiller, o tambi\u00e9n conocida como f\u00f3rmula del estudiante."}, {"start": 771.0, "end": 786.0, "text": " Aqu\u00ed la tenemos y vamos a reemplazar en ella cada uno de estos valores que identificamos."}, {"start": 786.0, "end": 808.0, "text": " Recomendaci\u00f3n, abrir un par\u00e9ntesis para cada letrica para reemplazar correctamente cada valor. Desaparecemos las letras y abrimos un par\u00e9ntesis donde est\u00e1 cada una de ellas."}, {"start": 808.0, "end": 820.0, "text": " Vamos a reemplazar los valores num\u00e9ricos. B vale menos 6, entonces reemplazamos por aqu\u00ed. A vale 1, reemplazamos aqu\u00ed."}, {"start": 820.0, "end": 847.0, "text": " Y C vale 13, all\u00ed lo reemplazamos. Resolviendo cada una de las operaciones tenemos lo siguiente. Por aqu\u00ed nos da 6 positivo, m\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada de menos 6 al cuadrado que es 36, menos 4 por 1 por 13 que nos da 52."}, {"start": 847.0, "end": 868.0, "text": " Y todo esto dentro de la ra\u00edz cuadrada y todo esto sobre 2 por 1 que es 2. Continuamos, nos queda x igual a 6, m\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada de 36 menos 52 nos da como resultado menos 16."}, {"start": 868.0, "end": 889.0, "text": " Y todo esto sobre 2. La ra\u00edz cuadrada de menos 16 es una cantidad que se sale del mundo de los n\u00fameros reales y hace parte del mundo de las cantidades imaginarias."}, {"start": 889.0, "end": 900.0, "text": " Entonces tenemos lo siguiente. Vamos a ver c\u00f3mo se transforma ra\u00edz cuadrada de menos 16 en una cantidad imaginaria."}, {"start": 900.0, "end": 915.0, "text": " Dentro de la ra\u00edz podemos expresar menos 16 como 16 por menos 1. Y esto a su vez es ra\u00edz de 16 por ra\u00edz de menos 1."}, {"start": 915.0, "end": 925.0, "text": " Recordemos que en la radicaci\u00f3n, si hay multiplicaci\u00f3n, podemos separar ra\u00edces para cada componente de esta operaci\u00f3n."}, {"start": 925.0, "end": 937.0, "text": " Entonces, ra\u00edz cuadrada de 16 nos da 4 y la ra\u00edz cuadrada de menos 1 es la unidad imaginaria conocida como I."}, {"start": 937.0, "end": 946.0, "text": " Entonces, la ra\u00edz cuadrada de menos 16 nos da como resultado 4 y, una cantidad imaginaria."}, {"start": 946.0, "end": 948.0, "text": " Entonces, tendremos lo siguiente."}, {"start": 948.0, "end": 967.0, "text": " X es igual a 6 m\u00e1s o menos 4 y y todo esto sobre 2. Aqu\u00ed podemos repartir este denominador para cada uno de estos t\u00e9rminos del numerador."}, {"start": 967.0, "end": 974.0, "text": " Tenemos entonces 6 medios m\u00e1s o menos 4 y medios."}, {"start": 974.0, "end": 986.0, "text": " Y simplificando en cada caso, tenemos 6 medios que es 3 m\u00e1s o menos 4. Se simplifica con 2 y nos queda 2I."}, {"start": 986.0, "end": 993.0, "text": " De esta manera encontramos las otras dos soluciones para la ecuaci\u00f3n."}, {"start": 993.0, "end": 1007.0, "text": " Ser\u00eda entonces 3 m\u00e1s 2I y 3 menos 2I. 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LÍMITES ALGEBRAICOS - Ejercicio 10

#julioprofe explica cómo resolver un límite algebraico usando factorización. Tema: #Límites → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEeindtt3TarvkVHRDmqNTf REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a solucionar este límite algebraico comenzando por evaluar la función cuando x toma el valor 2. Veamos donde está la x, sustituimos el número 2 y vamos a ver cuánto nos da la función evaluándola en ese valor. Tenemos 2 a la 4 que es 16, menos 16 en el numerador y 2 al cubo que es 8, menos 8 en el denominador. Esto nos da arriba 0 y abajo también nos da 0. Tenemos lo que se llama una indeterminación. 0 sobre 0 es una forma indeterminada o también conocida como indeterminación. Esto nos obliga a realizarle alguna transformación a la función porque no podemos dar esto como respuesta. Entonces como estrategia vamos a factorizar tanto el numerador como el denominador. Para la expresión que tenemos en el numerador podemos aplicar el caso llamado diferencia de cuadrados. Entonces sacamos la raíz cuadrada de cada término. Para x a la 4 la raíz cuadrada es x al cuadrado y para 16 la raíz cuadrada es 4. Entonces anotamos eso en una suma y en una resta. Pero aquí observamos otra diferencia de cuadrados, entonces debemos factorizarla. Esta parte de acá que constituye una suma de cuadrados no se puede factorizar. Esa expresión se queda como está y procedemos a factorizar esta diferencia de cuadrados. Raíz cuadrada de x al cuadrado es x, raíz cuadrada de 4 es 2. Entonces escribimos x más 2 por x menos 2. En el denominador la expresión x al cubo menos 8 constituye una diferencia de cubos perfectos. Entonces hacemos la factorización de la siguiente manera. Tendremos un factor corto y otro largo, uno formado por dos términos y otro formado por tres términos. Este se conforma con las raíces cúbicas de los dos términos. Entonces raíz cúbica de x al cubo nos da x, raíz cúbica de 8 nos da 2. Y aquí escribimos el mismo signo de la operación, en este caso diferencia. El factor que tiene los tres términos se construye de la siguiente manera. Comenzamos con este término al cuadrado. Entonces x al cuadrado. Luego escribimos la multiplicación de estos dos términos. Entonces x por 2 nos da 2x. Y luego tendremos este término al cuadrado. Entonces 2 al cuadrado nos da 4. Y en este componente todos los signos son positivos. Cuando tenemos diferencia de cubos perfectos, el factor corto lleva el mismo signo, el decir menos. Y el factor largo lleva signos positivos. Habiendo factorizado completamente tanto el numerador como el denominador de la función, entonces reconstruimos el límite. Tenemos límite cuando x tiende a 2 de la expresión del numerador que es x al cuadrado más 4 por x más 2 por x menos 2. Esto nos dio la factorización del numerador. Y en el denominador nos dio esta expresión. Entonces x menos 2 por x al cuadrado más 2x más 4. Y allí observamos la posibilidad de simplificar este binomio x menos 2. Como se encuentra arriba y abajo multiplicando, entonces lo podemos eliminar. Nos queda entonces el límite cuando x tiende a 2 de x al cuadrado más 4 por x más 2 y todo esto sobre x al cuadrado más 2x más 4. Como paso final, hacemos nuevamente el reemplazo en esta expresión del valor x igual a 2. Evaluamos la expresión resultante cuando x toma el valor 2. Con toda seguridad ya no tendremos el problema de la indeterminación. Porque como observamos acá se nos fue el factor problema. La expresión x menos 2 cuando x toma el valor 2 se convierte en 0. Entonces esta expresión era la causante del problema de la indeterminación. Pero como vemos aquí ya se eliminó esa expresión de manera lícita. Entonces, como decíamos procedemos a evaluar la expresión cuando x toma el valor 2. Tendremos entonces 2 al cuadrado más 4 por 2 más 2 y en el denominador tendremos 2 al cuadrado más 2 por 2 más 4. Resolvemos entonces esas operaciones. Veamos, 2 al cuadrado es 4, 4 más 4 es 8, por 2 más 2 que es 4. Abajo tenemos 2 al cuadrado es 4, 2 por 2 es 4 y otro 4, 4 más 4 más 4 nos da 12. Tenemos entonces 8 por 4 sobre 12 donde podemos simplificar por ejemplo 4 con 12. Entonces sacamos cuarta de 4, 1, cuarta de 12, 3. Nos queda entonces 8 por 1, 8 y abajo el 3. Quiere decir esto que el resultado para este límite es el número real 8 tercios.

[{"start": 0.0, "end": 11.0, "text": " Vamos a solucionar este l\u00edmite algebraico comenzando por evaluar la funci\u00f3n cuando x toma el valor 2."}, {"start": 11.0, "end": 25.0, "text": " Veamos donde est\u00e1 la x, sustituimos el n\u00famero 2 y vamos a ver cu\u00e1nto nos da la funci\u00f3n evalu\u00e1ndola en ese valor."}, {"start": 25.0, "end": 39.0, "text": " Tenemos 2 a la 4 que es 16, menos 16 en el numerador y 2 al cubo que es 8, menos 8 en el denominador."}, {"start": 39.0, "end": 48.0, "text": " Esto nos da arriba 0 y abajo tambi\u00e9n nos da 0. 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INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN - Ejercicio 14

#julioprofe explica cómo resolver una integral indefinida usando el Método de Sustitución y una estrategia especial. Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver esta integral indefinida utilizando el método de sustitución o cambio de variable. Vamos a recurrir a este método porque esta es una integral que no es directa, no va a salir por las reglas básicas de integración. Entonces vamos a tomar el denominador y lo vamos a sustituir por otra letra, por ejemplo usamos la letra P. P es igual a X más 6. Entonces derivamos P con respecto a X, la derivada de X más 6 nos da 1 y de aquí vamos a despejar de X. Dx está dividiendo pasa a multiplicar con 1, entonces nos queda Dx igual a Dp. Procedemos entonces a reconstruir la integral que nos dan ahora en términos de la nueva letra que es P. Tendremos entonces lo siguiente, en el numerador debe quedar nuevamente 3x, en el denominador tenemos X más 6 que se convierte en la letra P y esto ha multiplicado por Dx que sería Dp. Pero aquí tenemos un pequeño problema y es que la nueva integral no queda totalmente en términos de P, sino que tenemos la letra X todavía presente en el integrano. Entonces debemos dar solución a ese problema para que nos quede únicamente en términos de P. No debe quedar la letra X puesto que esa es la letra original y debemos darle paso a la nueva letra elegida que es la letra P. Lo que hacemos en este caso es recurrir a esta igualdad que tenemos y de allí vamos a despejar la X. Hacemos el despeje de X para que nos quede en términos de P. Pasamos el 6 que está sumando al otro lado a restar y nos queda que X es igual a P menos 6. Entonces hacemos aquí la sustitución de esa X por P menos 6 y de esa manera conseguimos que la integral nos quede únicamente en términos de P. Entonces nos queda 3 por P menos 6, todo esto sobre P y esto multiplicado por el diferencial Dp. Continuando con el desarrollo de la integral, hacemos entonces la propiedad distributiva con el 3. Nos queda entonces 3P menos 18, todo esto sobre P y esto por el diferencial Dp. Ahora podemos distribuir este denominador, esa letra P, para cada uno de los términos que tenemos en el numerador. Entonces repartimos la letra P y aquí podemos simplificar estas dos letras P, nos queda el número 3 menos 18 y podemos subir la P que nos queda con exponente menos 1, todo esto por Dp. Llegamos entonces a una integral que es directa, tenemos una resta, por lo tanto, integramos cada uno de los términos. Tenemos entonces que la integral de 3 es 3P y la integral del otro término nos queda 18, que permanece intacto, y la integral de P a la menos 1, que sería el logaritmo natural de valor absoluto de P, y a todo esto agregamos la constante de integración. De esta manera resolveríamos la integral que nos quedó en términos de P, pero recordemos que P equivale a X más 6. Entonces aquí donde tenemos P, debemos cambiarla por la expresión X más 6 para dar la respuesta a la integral original. Nos queda entonces 3 por P que se convierte en X más 6 menos 18 por logaritmo natural de valor absoluto de P que es X más 6, cerramos el valor absoluto y eso más la constante de integración. De esta manera llegamos a la respuesta de este ejercicio. Esta será entonces la antiderivada o el resultado de esa integral indefinida.

[{"start": 0.0, "end": 12.0, "text": " Vamos a resolver esta integral indefinida utilizando el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n o cambio de variable."}, {"start": 13.0, "end": 24.0, "text": " Vamos a recurrir a este m\u00e9todo porque esta es una integral que no es directa, no va a salir por las reglas b\u00e1sicas de integraci\u00f3n."}, {"start": 24.0, "end": 33.0, "text": " Entonces vamos a tomar el denominador y lo vamos a sustituir por otra letra, por ejemplo usamos la letra P."}, {"start": 33.0, "end": 36.0, "text": " P es igual a X m\u00e1s 6."}, {"start": 36.0, "end": 50.0, "text": " Entonces derivamos P con respecto a X, la derivada de X m\u00e1s 6 nos da 1 y de aqu\u00ed vamos a despejar de X."}, {"start": 50.0, "end": 59.0, "text": " Dx est\u00e1 dividiendo pasa a multiplicar con 1, entonces nos queda Dx igual a Dp."}, {"start": 59.0, "end": 71.0, "text": " Procedemos entonces a reconstruir la integral que nos dan ahora en t\u00e9rminos de la nueva letra que es P."}, {"start": 71.0, "end": 85.0, "text": " Tendremos entonces lo siguiente, en el numerador debe quedar nuevamente 3x, en el denominador tenemos X m\u00e1s 6 que se convierte en la letra P"}, {"start": 85.0, "end": 90.0, "text": " y esto ha multiplicado por Dx que ser\u00eda Dp."}, {"start": 90.0, "end": 105.0, "text": " Pero aqu\u00ed tenemos un peque\u00f1o problema y es que la nueva integral no queda totalmente en t\u00e9rminos de P, sino que tenemos la letra X todav\u00eda presente en el integrano."}, {"start": 105.0, "end": 112.0, "text": " Entonces debemos dar soluci\u00f3n a ese problema para que nos quede \u00fanicamente en t\u00e9rminos de P."}, {"start": 112.0, "end": 124.0, "text": " No debe quedar la letra X puesto que esa es la letra original y debemos darle paso a la nueva letra elegida que es la letra P."}, {"start": 124.0, "end": 133.0, "text": " Lo que hacemos en este caso es recurrir a esta igualdad que tenemos y de all\u00ed vamos a despejar la X."}, {"start": 133.0, "end": 139.0, "text": " Hacemos el despeje de X para que nos quede en t\u00e9rminos de P."}, {"start": 139.0, "end": 149.0, "text": " Pasamos el 6 que est\u00e1 sumando al otro lado a restar y nos queda que X es igual a P menos 6."}, {"start": 149.0, "end": 165.0, "text": " Entonces hacemos aqu\u00ed la sustituci\u00f3n de esa X por P menos 6 y de esa manera conseguimos que la integral nos quede \u00fanicamente en t\u00e9rminos de P."}, {"start": 165.0, "end": 176.0, "text": " Entonces nos queda 3 por P menos 6, todo esto sobre P y esto multiplicado por el diferencial Dp."}, {"start": 176.0, "end": 185.0, "text": " Continuando con el desarrollo de la integral, hacemos entonces la propiedad distributiva con el 3."}, {"start": 185.0, "end": 197.0, "text": " Nos queda entonces 3P menos 18, todo esto sobre P y esto por el diferencial Dp."}, {"start": 197.0, "end": 207.0, "text": " Ahora podemos distribuir este denominador, esa letra P, para cada uno de los t\u00e9rminos que tenemos en el numerador."}, {"start": 207.0, "end": 223.0, "text": " Entonces repartimos la letra P y aqu\u00ed podemos simplificar estas dos letras P, nos queda el n\u00famero 3 menos 18"}, {"start": 223.0, "end": 233.0, "text": " y podemos subir la P que nos queda con exponente menos 1, todo esto por Dp."}, {"start": 233.0, "end": 245.0, "text": " Llegamos entonces a una integral que es directa, tenemos una resta, por lo tanto, integramos cada uno de los t\u00e9rminos."}, {"start": 245.0, "end": 258.0, "text": " Tenemos entonces que la integral de 3 es 3P y la integral del otro t\u00e9rmino nos queda 18, que permanece intacto,"}, {"start": 258.0, "end": 272.0, "text": " y la integral de P a la menos 1, que ser\u00eda el logaritmo natural de valor absoluto de P, y a todo esto agregamos la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 272.0, "end": 282.0, "text": " De esta manera resolver\u00edamos la integral que nos qued\u00f3 en t\u00e9rminos de P, pero recordemos que P equivale a X m\u00e1s 6."}, {"start": 282.0, "end": 295.0, "text": " Entonces aqu\u00ed donde tenemos P, debemos cambiarla por la expresi\u00f3n X m\u00e1s 6 para dar la respuesta a la integral original."}, {"start": 295.0, "end": 313.0, "text": " Nos queda entonces 3 por P que se convierte en X m\u00e1s 6 menos 18 por logaritmo natural de valor absoluto de P que es X m\u00e1s 6,"}, {"start": 313.0, "end": 321.0, "text": " cerramos el valor absoluto y eso m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 321.0, "end": 329.0, "text": " De esta manera llegamos a la respuesta de este ejercicio."}, {"start": 329.0, "end": 351.0, "text": " Esta ser\u00e1 entonces la antiderivada o el resultado de esa integral indefinida."}]

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ECUACIONES LOGARÍTMICAS - Ejercicio 5

#julioprofe explica cómo resolver una ecuación logarítmica donde la incógnita se encuentra en la base del logaritmo. Tema: #EcuacionesLogarítmicas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwGy9_WwQrZrw9iTXiKDua5T REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver esta ecuación logaritmica donde podemos observar la incógnita X en la base del logaritmo. Vamos a comenzar por aislar este logaritmo que tiene base X más 2 y que tiene argumento 3. Vamos a pasar este 4 que está sumando al otro lado a restar. Nos queda entonces igual a 6 menos 4. Eso nos queda entonces logaritmo en base X más 2 de 3 es igual a 2. Ahora vamos a pasar de forma logaritmica a forma exponencial, es decir, vamos a reubicar estos tres componentes conformando una potencia. Nos queda entonces X más 2, eso elevado al cuadrado, es decir, a este número y todo eso igual a 3. Recordemos que esto es la base, esto es el exponente y el argumento del logaritmo es el resultado de la potencia. Entonces de esa manera pasamos de forma logaritmica a forma exponencial. A continuación vamos a desarrollar esta ecuación para X. Podemos quitar este exponente 2 sacando raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad. Entonces colocamos el símbolo de la raíz cuadrada a ambos lados y en el lado izquierdo vamos a aplicar la siguiente propiedad. Si tenemos la raíz enésima de A a la N y N es un número par, como en este caso que tenemos 2, entonces eso nos da como resultado valor absoluto de A. Entonces en este caso tendremos valor absoluto de X más 2 y esto igual a la raíz cuadrada de 3. Llegamos a una ecuación con valor absoluto cuyo modelo dice así. Valor absoluto de W igual a una cantidad positiva A. En este caso A vale raíz cuadrada de 3. La forma de solucionar esa ecuación dice así. W es igual a menos A o W es igual a A. Entonces vamos a aplicar esta regla para dar solución a esta ecuación. W es lo que tenemos dentro de las barras. En este caso será X más 2. Entonces decimos X más 2 es igual a menos A, es decir a menos raíz cuadrada de 3. O W que es X más 2 igual a A positivo que es raíz cuadrada de 3. Vamos a solucionar entonces en cada caso para X. Por aquí tenemos que X es igual a menos raíz de 3 menos 2. El 2 se está sumando, vas a restar y por acá X es igual a raíz cuadrada de 3 menos 2. Podríamos pensar que aquí se termina el ejercicio y que estas son las dos soluciones de esa ecuación logarítmica. Pero no es así. Puesto que debemos revisar que los valores obtenidos no vayan a producir aquí en la base del logaritmo una cantidad negativa o incluso cero. Recordemos que para todo logaritmo la base y el argumento deben ser cantidades positivas. Entonces rápidamente examinamos con esta posibilidad. Menos raíz de 3 menos 2 si lo traemos aquí y le sumamos 2 vemos que menos 2 más 2 se elimina y nos quedaría menos raíz de 3. Tendríamos entonces un logaritmo con una base negativa lo cual no puede ser. Por lo tanto esta solución debe descartarse. En cambio si revisamos esta posibilidad raíz cuadrada de 3 menos 2 si lo traemos aquí tendremos que menos 2 y más 2 se eliminan y nos queda raíz de 3 positivo. Eso sí puede ser. Por lo tanto este resultado sí se acepta. La respuesta entonces para esa ecuación logaritmica es x igual a raíz cuadrada de 3 menos 2.

[{"start": 0.0, "end": 12.0, "text": " Vamos a resolver esta ecuaci\u00f3n logaritmica donde podemos observar la inc\u00f3gnita X en la base del logaritmo."}, {"start": 12.0, "end": 23.0, "text": " Vamos a comenzar por aislar este logaritmo que tiene base X m\u00e1s 2 y que tiene argumento 3."}, {"start": 23.0, "end": 32.0, "text": " Vamos a pasar este 4 que est\u00e1 sumando al otro lado a restar. Nos queda entonces igual a 6 menos 4."}, {"start": 32.0, "end": 42.0, "text": " Eso nos queda entonces logaritmo en base X m\u00e1s 2 de 3 es igual a 2."}, {"start": 42.0, "end": 58.0, "text": " Ahora vamos a pasar de forma logaritmica a forma exponencial, es decir, vamos a reubicar estos tres componentes conformando una potencia."}, {"start": 58.0, "end": 70.0, "text": " Nos queda entonces X m\u00e1s 2, eso elevado al cuadrado, es decir, a este n\u00famero y todo eso igual a 3."}, {"start": 70.0, "end": 81.0, "text": " Recordemos que esto es la base, esto es el exponente y el argumento del logaritmo es el resultado de la potencia."}, {"start": 81.0, "end": 87.0, "text": " Entonces de esa manera pasamos de forma logaritmica a forma exponencial."}, {"start": 87.0, "end": 93.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a desarrollar esta ecuaci\u00f3n para X."}, {"start": 93.0, "end": 101.0, "text": " Podemos quitar este exponente 2 sacando ra\u00edz cuadrada a ambos lados de la igualdad."}, {"start": 101.0, "end": 116.0, "text": " Entonces colocamos el s\u00edmbolo de la ra\u00edz cuadrada a ambos lados y en el lado izquierdo vamos a aplicar la siguiente propiedad."}, {"start": 116.0, "end": 133.0, "text": " Si tenemos la ra\u00edz en\u00e9sima de A a la N y N es un n\u00famero par, como en este caso que tenemos 2, entonces eso nos da como resultado valor absoluto de A."}, {"start": 133.0, "end": 145.0, "text": " Entonces en este caso tendremos valor absoluto de X m\u00e1s 2 y esto igual a la ra\u00edz cuadrada de 3."}, {"start": 145.0, "end": 152.0, "text": " Llegamos a una ecuaci\u00f3n con valor absoluto cuyo modelo dice as\u00ed."}, {"start": 152.0, "end": 161.0, "text": " Valor absoluto de W igual a una cantidad positiva A. En este caso A vale ra\u00edz cuadrada de 3."}, {"start": 161.0, "end": 165.0, "text": " La forma de solucionar esa ecuaci\u00f3n dice as\u00ed."}, {"start": 165.0, "end": 173.0, "text": " W es igual a menos A o W es igual a A."}, {"start": 173.0, "end": 179.0, "text": " Entonces vamos a aplicar esta regla para dar soluci\u00f3n a esta ecuaci\u00f3n."}, {"start": 179.0, "end": 185.0, "text": " W es lo que tenemos dentro de las barras. En este caso ser\u00e1 X m\u00e1s 2."}, {"start": 185.0, "end": 207.0, "text": " Entonces decimos X m\u00e1s 2 es igual a menos A, es decir a menos ra\u00edz cuadrada de 3. O W que es X m\u00e1s 2 igual a A positivo que es ra\u00edz cuadrada de 3."}, {"start": 207.0, "end": 218.0, "text": " Vamos a solucionar entonces en cada caso para X. Por aqu\u00ed tenemos que X es igual a menos ra\u00edz de 3 menos 2."}, {"start": 218.0, "end": 228.0, "text": " El 2 se est\u00e1 sumando, vas a restar y por ac\u00e1 X es igual a ra\u00edz cuadrada de 3 menos 2."}, {"start": 228.0, "end": 239.0, "text": " Podr\u00edamos pensar que aqu\u00ed se termina el ejercicio y que estas son las dos soluciones de esa ecuaci\u00f3n logar\u00edtmica."}, {"start": 239.0, "end": 256.0, "text": " Pero no es as\u00ed. Puesto que debemos revisar que los valores obtenidos no vayan a producir aqu\u00ed en la base del logaritmo una cantidad negativa o incluso cero."}, {"start": 256.0, "end": 264.0, "text": " Recordemos que para todo logaritmo la base y el argumento deben ser cantidades positivas."}, {"start": 264.0, "end": 280.0, "text": " Entonces r\u00e1pidamente examinamos con esta posibilidad. Menos ra\u00edz de 3 menos 2 si lo traemos aqu\u00ed y le sumamos 2 vemos que menos 2 m\u00e1s 2 se elimina y nos quedar\u00eda menos ra\u00edz de 3."}, {"start": 280.0, "end": 293.0, "text": " Tendr\u00edamos entonces un logaritmo con una base negativa lo cual no puede ser. Por lo tanto esta soluci\u00f3n debe descartarse."}, {"start": 293.0, "end": 309.0, "text": " En cambio si revisamos esta posibilidad ra\u00edz cuadrada de 3 menos 2 si lo traemos aqu\u00ed tendremos que menos 2 y m\u00e1s 2 se eliminan y nos queda ra\u00edz de 3 positivo."}, {"start": 309.0, "end": 314.0, "text": " Eso s\u00ed puede ser. Por lo tanto este resultado s\u00ed se acepta."}, {"start": 314.0, "end": 340.0, "text": " La respuesta entonces para esa ecuaci\u00f3n logaritmica es x igual a ra\u00edz cuadrada de 3 menos 2."}]

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DERIVACIÓN LOGARÍTMICA - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo derivar una función utilizando la Derivación o Diferenciación Logarítmica. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a derivar esta función donde observamos una potencia que tiene la letra X, es decir, la variable independiente, tanto en la base como en el exponente. En las reglas de derivación tenemos una propiedad para el caso en que la X o la variable independiente se encuentra en la base. Recordemos que la derivada, por ejemplo, de X a la N, donde N es un número real, es N por X a la N menos 1. Entonces esta es la propiedad donde tenemos la X en la base. Y también tenemos la propiedad donde la X se encuentra en el exponente. Cuando tenemos el caso de una función exponencial, recordemos que a es un número real. Para este caso la derivada nos dice que es a a la X por logaritmo natural de a. Pero no tenemos entre las reglas de derivación una propiedad para el caso en que la X está simultáneamente en la base y en el exponente. Entonces es allí cuando nos toca recurrir a lo que se llama la derivación logarítmica o también conocida como diferenciación logarítmica. Comenzamos por tomar logaritmo natural a ambos lados de la igualdad. Tenemos entonces logaritmo natural de y igual a logaritmo natural de X al cuadrado más 3, todo esto elevado a la expresión 5X menos 1. Y en este lado vamos a aplicar la propiedad de los logaritmos que dice, por ejemplo para el caso de logaritmo natural, que si tenemos una potencia entonces el exponente baja a multiplicar. Esto nos queda por ejemplo b por logaritmo natural de a. Entonces tendremos en este lado aplicando esta propiedad 5X menos 1 por logaritmo natural de X al cuadrado más 3. Enseguida procedemos a derivar esta expresión utilizando lo que se llama la derivación implícita. Debemos hacerlo de esta manera porque ya vemos que la letra Y no se encuentra totalmente libre como estaba al comienzo, sino que hace parte de una función logarítmica. Entonces vamos a derivar implícitamente a ambos lados con respecto a la variable X. Recordemos que en estos casos la precaución es agregar Y', es decir de Y de X cada vez que derivemos algo que contenga la letra Y. Por ejemplo para el caso del logaritmo natural de Y su derivada será 1 sobre Y por Y'. Recordemos que este Y' representa a de Y de X. Eso en el lado izquierdo. En el lado derecho tenemos un producto entonces utilizamos la regla del producto para derivadas. Sería la derivada del primer componente derivada de 5X menos 1 que nos da 5 por el segundo sin derivar logaritmo natural de X al cuadrado más 3. Esto más el primero sin derivar 5X menos 1 por la derivada del segundo componente que sería 1 sobre X al cuadrado más 3. Es decir 1 sobre esto y eso multiplicado por la derivada interna. Recordemos que para derivar esto debemos aplicar la regla de la cadena. La derivada interna es decir la derivada de X al cuadrado más 3 es 2X. Entonces nuevamente tenemos derivada del primer componente por el segundo sin derivar más el primero sin derivar por la derivada del segundo componente. Organizamos un poco esta expresión y nos queda en el lado izquierdo Y' sobre Y y en el lado derecho tenemos 5 por logaritmo natural de X al cuadrado más 3. Aquí podemos acomodar esto como 2X que multiplica a 5X menos 1 y todo esto sobre X al cuadrado más 3. En este paso ya podemos hacer el despeje de Y'. Entonces simplemente pasamos esta Y que está dividiendo al otro lado a multiplicar. La podemos colocar al comienzo. Entonces Y multiplica a toda esa expresión. Todo esto sobre X al cuadrado más 3 y cerramos el corchete. Finalmente cambiamos Y' por de Y de X y cambiamos Y por la expresión original que es X al cuadrado más 3. Eso elevado a la expresión 5X menos 1 y todo eso multiplicado por la expresión que tenemos encerrada dentro de los corchetes. Y de esa manera llegaríamos a la respuesta. Obtendríamos entonces la derivada de la función original. Esta es la respuesta a este ejercicio.

[{"start": 0.0, "end": 17.0, "text": " Vamos a derivar esta funci\u00f3n donde observamos una potencia que tiene la letra X, es decir, la variable independiente, tanto en la base como en el exponente."}, {"start": 17.0, "end": 29.0, "text": " En las reglas de derivaci\u00f3n tenemos una propiedad para el caso en que la X o la variable independiente se encuentra en la base."}, {"start": 29.0, "end": 39.0, "text": " Recordemos que la derivada, por ejemplo, de X a la N, donde N es un n\u00famero real, es N por X a la N menos 1."}, {"start": 39.0, "end": 52.0, "text": " Entonces esta es la propiedad donde tenemos la X en la base. Y tambi\u00e9n tenemos la propiedad donde la X se encuentra en el exponente."}, {"start": 52.0, "end": 59.0, "text": " Cuando tenemos el caso de una funci\u00f3n exponencial, recordemos que a es un n\u00famero real."}, {"start": 59.0, "end": 82.0, "text": " Para este caso la derivada nos dice que es a a la X por logaritmo natural de a. Pero no tenemos entre las reglas de derivaci\u00f3n una propiedad para el caso en que la X est\u00e1 simult\u00e1neamente en la base y en el exponente."}, {"start": 82.0, "end": 95.0, "text": " Entonces es all\u00ed cuando nos toca recurrir a lo que se llama la derivaci\u00f3n logar\u00edtmica o tambi\u00e9n conocida como diferenciaci\u00f3n logar\u00edtmica."}, {"start": 95.0, "end": 116.0, "text": " Comenzamos por tomar logaritmo natural a ambos lados de la igualdad. Tenemos entonces logaritmo natural de y igual a logaritmo natural de X al cuadrado m\u00e1s 3, todo esto elevado a la expresi\u00f3n 5X menos 1."}, {"start": 116.0, "end": 134.0, "text": " Y en este lado vamos a aplicar la propiedad de los logaritmos que dice, por ejemplo para el caso de logaritmo natural, que si tenemos una potencia entonces el exponente baja a multiplicar."}, {"start": 134.0, "end": 158.0, "text": " Esto nos queda por ejemplo b por logaritmo natural de a. Entonces tendremos en este lado aplicando esta propiedad 5X menos 1 por logaritmo natural de X al cuadrado m\u00e1s 3."}, {"start": 158.0, "end": 168.0, "text": " Enseguida procedemos a derivar esta expresi\u00f3n utilizando lo que se llama la derivaci\u00f3n impl\u00edcita."}, {"start": 168.0, "end": 183.0, "text": " Debemos hacerlo de esta manera porque ya vemos que la letra Y no se encuentra totalmente libre como estaba al comienzo, sino que hace parte de una funci\u00f3n logar\u00edtmica."}, {"start": 183.0, "end": 192.0, "text": " Entonces vamos a derivar impl\u00edcitamente a ambos lados con respecto a la variable X."}, {"start": 192.0, "end": 204.0, "text": " Recordemos que en estos casos la precauci\u00f3n es agregar Y', es decir de Y de X cada vez que derivemos algo que contenga la letra Y."}, {"start": 204.0, "end": 219.0, "text": " Por ejemplo para el caso del logaritmo natural de Y su derivada ser\u00e1 1 sobre Y por Y'. Recordemos que este Y' representa a de Y de X."}, {"start": 219.0, "end": 246.0, "text": " Eso en el lado izquierdo. En el lado derecho tenemos un producto entonces utilizamos la regla del producto para derivadas. Ser\u00eda la derivada del primer componente derivada de 5X menos 1 que nos da 5 por el segundo sin derivar logaritmo natural de X al cuadrado m\u00e1s 3."}, {"start": 246.0, "end": 269.0, "text": " Esto m\u00e1s el primero sin derivar 5X menos 1 por la derivada del segundo componente que ser\u00eda 1 sobre X al cuadrado m\u00e1s 3. Es decir 1 sobre esto y eso multiplicado por la derivada interna."}, {"start": 269.0, "end": 283.0, "text": " Recordemos que para derivar esto debemos aplicar la regla de la cadena. La derivada interna es decir la derivada de X al cuadrado m\u00e1s 3 es 2X."}, {"start": 283.0, "end": 298.0, "text": " Entonces nuevamente tenemos derivada del primer componente por el segundo sin derivar m\u00e1s el primero sin derivar por la derivada del segundo componente."}, {"start": 298.0, "end": 318.0, "text": " Organizamos un poco esta expresi\u00f3n y nos queda en el lado izquierdo Y' sobre Y y en el lado derecho tenemos 5 por logaritmo natural de X al cuadrado m\u00e1s 3."}, {"start": 318.0, "end": 337.0, "text": " Aqu\u00ed podemos acomodar esto como 2X que multiplica a 5X menos 1 y todo esto sobre X al cuadrado m\u00e1s 3."}, {"start": 337.0, "end": 351.0, "text": " En este paso ya podemos hacer el despeje de Y'. Entonces simplemente pasamos esta Y que est\u00e1 dividiendo al otro lado a multiplicar."}, {"start": 351.0, "end": 374.0, "text": " La podemos colocar al comienzo. Entonces Y multiplica a toda esa expresi\u00f3n. Todo esto sobre X al cuadrado m\u00e1s 3 y cerramos el corchete."}, {"start": 374.0, "end": 391.0, "text": " Finalmente cambiamos Y' por de Y de X y cambiamos Y por la expresi\u00f3n original que es X al cuadrado m\u00e1s 3."}, {"start": 391.0, "end": 407.0, "text": " Eso elevado a la expresi\u00f3n 5X menos 1 y todo eso multiplicado por la expresi\u00f3n que tenemos encerrada dentro de los corchetes."}, {"start": 407.0, "end": 427.0, "text": " Y de esa manera llegar\u00edamos a la respuesta. Obtendr\u00edamos entonces la derivada de la funci\u00f3n original. Esta es la respuesta a este ejercicio."}]

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HALLAR LA INVERSA DE UNA FUNCIÓN

#julioprofe explica cómo determinar la inversa de una función. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a determinar la inversa de esta función. Y para empezar, debemos probar que se trata de una función inyectiva o función uno a uno. La condición para ello es la siguiente. Si f de x1 es igual a f de x2, entonces x1 tiene que ser igual a x2. Esa es la condición que debemos verificar para que una función sea inyectiva. Si logra pasar esa prueba, es decir, si esta función es inyectiva, entonces podemos encontrar su inversa. Entonces vamos a comenzar por conformar esta parte de la condición. f de x1 es tomar la función y cambiar x por x1. Nos queda entonces así. y f de x2 es tomar la función y cambiar x por x2. Tenemos entonces lo que se llama en matemáticas una proporción, que es la igualdad de dos razones. Recordemos que en toda proporción, el producto de extremos es igual al producto de medios. Entonces vamos a aplicar esa propiedad. 2x1 más 3 por 5 menos x2 lo igualamos con 5 menos x1, que multiplica con 2x2 más 3. Hacemos propiedad distributiva a ambos lados de la igualdad. Tenemos 2x1 por 5 nos da 10x1, 2x1 por menos x2 nos da menos 2x1x2, 3 por 5 nos da 15 positivo y 3 por menos x2 nos da menos 3x2. Pasamos al otro lado de la igualdad. Por acá tenemos 5 por 2x2 que nos da 10x2, 5 por 3 nos da más 15, menos x1 por 2x2 nos da menos 2x1x2 y menos x1 por 3 nos da menos 3x1. En esta igualdad podemos observar términos que se repiten a ambos lados, entonces los podemos eliminar o cancelar. Es el caso de este término, menos 2x1x2 y también el término numérico más 15, que se encuentra haciendo la misma operación a ambos lados. Vamos a continuar por aquí escribiendo los términos que nos quedaron. Entonces veamos cómo nos queda. En el lado izquierdo tenemos 10x1 menos 3x2 y en el lado derecho tenemos 10x2 menos 3x1. Podemos agrupar al lado izquierdo los términos que contienen x1 y en el lado derecho podemos dejar los términos que tienen x2. Entonces nos queda en el lado izquierdo 10x1 y pasamos ese término que está negativo al lado izquierdo positivo, llega a sumar esto igual a 10x2 más 3x2. Pasamos ese término que está restando a sumar al lado derecho. Sumamos términos semejantes, en el lado izquierdo nos da 13x1 y en el lado derecho también sumamos términos semejantes y nos da 13x2. Observamos el 13 multiplicando a ambos lados de la igualdad, lo podemos eliminar. Es como si dividiéramos entre 13 ambos lados de la igualdad. Al cancelarse el 13 llegamos a la condición que esperábamos, que es esta que tenemos aquí. Hemos probado que x1 es igual a x2. Por lo tanto esta función es inyectiva y podemos continuar con el proceso de determinar su inversa. Como paso inicial para hallar la inversa vamos a cambiar f de x por y. Recordemos que es lo mismo y vamos entonces a llamar esta función la función original f de x. Tal como viene enunciada desde el comienzo. Paso siguiente vamos a intercambiar las letras, es decir donde está la y vamos a escribir x y donde están las x vamos a escribir y. Nos queda entonces x igual a 2y más 3, todo esto sobre 5 menos y. Hemos realizado el intercambio de letras. A continuación vamos a realizar el procedimiento para despejar la letra y de esta igualdad. Esta expresión que está en el denominador o que está dividiendo en el lado derecho la podemos pasar a multiplicar al lado izquierdo. Nos queda entonces x por 5 menos y y esto igual a 2y más 3. Hacemos aquí la propiedad distributiva x por 5 nos da 5x, x por menos y nos da menos xy igual a 2y más 3. Vamos a agrupar al lado izquierdo de la igualdad los términos que contienen la letra y. Tenemos menos xy menos 2y, este pasa al negativo al lado izquierdo. En el lado derecho nos queda 3 y pasamos ese término que está positivo en el lado izquierdo entonces llega negativo al lado derecho. Podríamos multiplicar toda esa igualdad por menos 1 a ambos lados para deshacernos de ese exceso de signos negativos. Entonces vamos a multiplicar por menos 1 ambos lados de la igualdad nos queda en el lado izquierdo xy más 2y y en el lado derecho nos queda menos 3 más 5x. En el lado izquierdo podemos sacar factor común la y que es factor de x más 2. Y aquí en el lado derecho podemos reescribir los términos iniciando con el término positivo. Finalmente para despejar la letra y tomamos la expresión x más 2 que se encuentra multiplicando y la pasamos a dividir al otro lado. Vamos a escribirla por aquí y es igual a 5x menos 3. Todo esto sobre x más 2. Y de esta manera hemos llegado a la función inversa que se denota como f a la menos 1 de x. Entonces la respuesta la presentamos de la siguiente manera. La pregunta dice determinar la inversa de esta función. Entonces la función inversa es f a la menos 1 de x es igual a 5x menos 3. Todo esto sobre x más 2.

[{"start": 0.0, "end": 5.0, "text": " Vamos a determinar la inversa de esta funci\u00f3n."}, {"start": 5.0, "end": 14.0, "text": " Y para empezar, debemos probar que se trata de una funci\u00f3n inyectiva o funci\u00f3n uno a uno."}, {"start": 14.0, "end": 17.0, "text": " La condici\u00f3n para ello es la siguiente."}, {"start": 17.0, "end": 32.0, "text": " Si f de x1 es igual a f de x2, entonces x1 tiene que ser igual a x2."}, {"start": 32.0, "end": 39.0, "text": " Esa es la condici\u00f3n que debemos verificar para que una funci\u00f3n sea inyectiva."}, {"start": 39.0, "end": 48.0, "text": " Si logra pasar esa prueba, es decir, si esta funci\u00f3n es inyectiva, entonces podemos encontrar su inversa."}, {"start": 48.0, "end": 54.0, "text": " Entonces vamos a comenzar por conformar esta parte de la condici\u00f3n."}, {"start": 54.0, "end": 62.0, "text": " f de x1 es tomar la funci\u00f3n y cambiar x por x1."}, {"start": 62.0, "end": 66.0, "text": " Nos queda entonces as\u00ed."}, {"start": 66.0, "end": 77.0, "text": " y f de x2 es tomar la funci\u00f3n y cambiar x por x2."}, {"start": 77.0, "end": 84.0, "text": " Tenemos entonces lo que se llama en matem\u00e1ticas una proporci\u00f3n, que es la igualdad de dos razones."}, {"start": 84.0, "end": 91.0, "text": " Recordemos que en toda proporci\u00f3n, el producto de extremos es igual al producto de medios."}, {"start": 91.0, "end": 96.0, "text": " Entonces vamos a aplicar esa propiedad."}, {"start": 96.0, "end": 114.0, "text": " 2x1 m\u00e1s 3 por 5 menos x2 lo igualamos con 5 menos x1, que multiplica con 2x2 m\u00e1s 3."}, {"start": 114.0, "end": 118.0, "text": " Hacemos propiedad distributiva a ambos lados de la igualdad."}, {"start": 118.0, "end": 140.0, "text": " Tenemos 2x1 por 5 nos da 10x1, 2x1 por menos x2 nos da menos 2x1x2, 3 por 5 nos da 15 positivo y 3 por menos x2 nos da menos 3x2."}, {"start": 140.0, "end": 151.0, "text": " Pasamos al otro lado de la igualdad. Por ac\u00e1 tenemos 5 por 2x2 que nos da 10x2, 5 por 3 nos da m\u00e1s 15,"}, {"start": 151.0, "end": 165.0, "text": " menos x1 por 2x2 nos da menos 2x1x2 y menos x1 por 3 nos da menos 3x1."}, {"start": 165.0, "end": 174.0, "text": " En esta igualdad podemos observar t\u00e9rminos que se repiten a ambos lados, entonces los podemos eliminar o cancelar."}, {"start": 174.0, "end": 188.0, "text": " Es el caso de este t\u00e9rmino, menos 2x1x2 y tambi\u00e9n el t\u00e9rmino num\u00e9rico m\u00e1s 15, que se encuentra haciendo la misma operaci\u00f3n a ambos lados."}, {"start": 188.0, "end": 196.0, "text": " Vamos a continuar por aqu\u00ed escribiendo los t\u00e9rminos que nos quedaron."}, {"start": 196.0, "end": 219.0, "text": " Entonces veamos c\u00f3mo nos queda. En el lado izquierdo tenemos 10x1 menos 3x2 y en el lado derecho tenemos 10x2 menos 3x1."}, {"start": 219.0, "end": 229.0, "text": " Podemos agrupar al lado izquierdo los t\u00e9rminos que contienen x1 y en el lado derecho podemos dejar los t\u00e9rminos que tienen x2."}, {"start": 229.0, "end": 245.0, "text": " Entonces nos queda en el lado izquierdo 10x1 y pasamos ese t\u00e9rmino que est\u00e1 negativo al lado izquierdo positivo, llega a sumar esto igual a 10x2 m\u00e1s 3x2."}, {"start": 245.0, "end": 250.0, "text": " Pasamos ese t\u00e9rmino que est\u00e1 restando a sumar al lado derecho."}, {"start": 250.0, "end": 262.0, "text": " Sumamos t\u00e9rminos semejantes, en el lado izquierdo nos da 13x1 y en el lado derecho tambi\u00e9n sumamos t\u00e9rminos semejantes y nos da 13x2."}, {"start": 262.0, "end": 268.0, "text": " Observamos el 13 multiplicando a ambos lados de la igualdad, lo podemos eliminar."}, {"start": 268.0, "end": 273.0, "text": " Es como si dividi\u00e9ramos entre 13 ambos lados de la igualdad."}, {"start": 273.0, "end": 283.0, "text": " Al cancelarse el 13 llegamos a la condici\u00f3n que esper\u00e1bamos, que es esta que tenemos aqu\u00ed."}, {"start": 283.0, "end": 287.0, "text": " Hemos probado que x1 es igual a x2."}, {"start": 287.0, "end": 297.0, "text": " Por lo tanto esta funci\u00f3n es inyectiva y podemos continuar con el proceso de determinar su inversa."}, {"start": 297.0, "end": 305.0, "text": " Como paso inicial para hallar la inversa vamos a cambiar f de x por y."}, {"start": 305.0, "end": 317.0, "text": " Recordemos que es lo mismo y vamos entonces a llamar esta funci\u00f3n la funci\u00f3n original f de x."}, {"start": 317.0, "end": 321.0, "text": " Tal como viene enunciada desde el comienzo."}, {"start": 321.0, "end": 331.0, "text": " Paso siguiente vamos a intercambiar las letras, es decir donde est\u00e1 la y vamos a escribir x y donde est\u00e1n las x vamos a escribir y."}, {"start": 331.0, "end": 339.0, "text": " Nos queda entonces x igual a 2y m\u00e1s 3, todo esto sobre 5 menos y."}, {"start": 339.0, "end": 342.0, "text": " Hemos realizado el intercambio de letras."}, {"start": 342.0, "end": 351.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a realizar el procedimiento para despejar la letra y de esta igualdad."}, {"start": 351.0, "end": 361.0, "text": " Esta expresi\u00f3n que est\u00e1 en el denominador o que est\u00e1 dividiendo en el lado derecho la podemos pasar a multiplicar al lado izquierdo."}, {"start": 361.0, "end": 369.0, "text": " Nos queda entonces x por 5 menos y y esto igual a 2y m\u00e1s 3."}, {"start": 369.0, "end": 382.0, "text": " Hacemos aqu\u00ed la propiedad distributiva x por 5 nos da 5x, x por menos y nos da menos xy igual a 2y m\u00e1s 3."}, {"start": 382.0, "end": 388.0, "text": " Vamos a agrupar al lado izquierdo de la igualdad los t\u00e9rminos que contienen la letra y."}, {"start": 388.0, "end": 394.0, "text": " Tenemos menos xy menos 2y, este pasa al negativo al lado izquierdo."}, {"start": 394.0, "end": 404.0, "text": " En el lado derecho nos queda 3 y pasamos ese t\u00e9rmino que est\u00e1 positivo en el lado izquierdo entonces llega negativo al lado derecho."}, {"start": 404.0, "end": 415.0, "text": " Podr\u00edamos multiplicar toda esa igualdad por menos 1 a ambos lados para deshacernos de ese exceso de signos negativos."}, {"start": 415.0, "end": 431.0, "text": " Entonces vamos a multiplicar por menos 1 ambos lados de la igualdad nos queda en el lado izquierdo xy m\u00e1s 2y y en el lado derecho nos queda menos 3 m\u00e1s 5x."}, {"start": 431.0, "end": 438.0, "text": " En el lado izquierdo podemos sacar factor com\u00fan la y que es factor de x m\u00e1s 2."}, {"start": 438.0, "end": 446.0, "text": " Y aqu\u00ed en el lado derecho podemos reescribir los t\u00e9rminos iniciando con el t\u00e9rmino positivo."}, {"start": 446.0, "end": 457.0, "text": " Finalmente para despejar la letra y tomamos la expresi\u00f3n x m\u00e1s 2 que se encuentra multiplicando y la pasamos a dividir al otro lado."}, {"start": 457.0, "end": 463.0, "text": " Vamos a escribirla por aqu\u00ed y es igual a 5x menos 3."}, {"start": 463.0, "end": 467.0, "text": " Todo esto sobre x m\u00e1s 2."}, {"start": 467.0, "end": 478.0, "text": " Y de esta manera hemos llegado a la funci\u00f3n inversa que se denota como f a la menos 1 de x."}, {"start": 478.0, "end": 485.0, "text": " Entonces la respuesta la presentamos de la siguiente manera."}, {"start": 485.0, "end": 489.0, "text": " La pregunta dice determinar la inversa de esta funci\u00f3n."}, {"start": 489.0, "end": 497.0, "text": " Entonces la funci\u00f3n inversa es f a la menos 1 de x es igual a 5x menos 3."}, {"start": 497.0, "end": 525.0, "text": " Todo esto sobre x m\u00e1s 2."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=0iF4MQ9lds8

SIMPLIFICAR FRACCIONES ALGEBRAICAS - Ejercicio 2

#julioprofe explica cómo simplificar una fracción algebraica. Tema: #FraccionesAlgebraicas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwGGB42_eqSoWl0q-5IyHwzT REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

Vamos a realizar la simplificación de esta fracción algebraica. Debemos factorizar el numerador y el denominador completamente para mirar qué factores se pueden cancelar y de esa manera dar la fracción de una manera más sencilla, de la manera más simple posible. Comenzamos por el numerador donde tenemos un trinomio de la forma x al cuadrado más bx más c. Entonces abrimos dos paréntesis, sacamos la raíz cuadrada del primer término, que sería x, la escribimos al comienzo de cada paréntesis, luego definimos los signos de la siguiente manera. Aquí tenemos signo positivo invisible, entonces más por menos nos da menos y menos por más nos da menos. En seguida buscamos dos números negativos que multiplicados entre sí nos den 12 positivo y que al sumarlos nos den como resultado menos 8. Esos números son menos 6 y menos 2. Podemos probar, menos 6 por menos 2 nos da más 12 y menos 6 sumado con menos 2 nos da menos 8. En el denominador tenemos una diferencia de cuadrados perfectos que la factorizamos de la siguiente manera. Sacamos la raíz cuadrada del primer término, que sería x, y la raíz cuadrada del segundo término, que es 6. Y eso lo escribimos en una suma y en una resta. x más 6 por x menos 6 es la factorización de x al cuadrado menos 36. Después de tener factorizado el numerador y el denominador de la fracción algebraica, entramos a revisar que factores se encuentran repetidos arriba y abajo. Es el caso de x menos 6. Vemos que es un factor que está repetido, por lo tanto lo podemos eliminar. Recordemos que para poder cancelar cosas en una fracción tenemos que tener arriba y abajo estrictamente multiplicación. Finalmente, la fracción nos queda así. En el numerador, x menos 2 y en el denominador, x más 6. Esta es la fracción que resulta de simplificar totalmente la fracción algebraica que nos daban al comienzo. Allí no se puede simplificar nada más. No podemos pensar en eliminar la x o en simplificar el 2 con el 6, sacándole mitad. Eso es prohibido. No se pueden simplificar cosas que estén sumando o restando en la fracción. Únicamente, expresiones o cantidades que se encuentren multiplicando arriba y abajo.

[{"start": 0.0, "end": 6.0, "text": " Vamos a realizar la simplificaci\u00f3n de esta fracci\u00f3n algebraica."}, {"start": 6.0, "end": 11.0, "text": " Debemos factorizar el numerador y el denominador completamente"}, {"start": 11.0, "end": 15.0, "text": " para mirar qu\u00e9 factores se pueden cancelar"}, {"start": 15.0, "end": 21.0, "text": " y de esa manera dar la fracci\u00f3n de una manera m\u00e1s sencilla,"}, {"start": 21.0, "end": 24.0, "text": " de la manera m\u00e1s simple posible."}, {"start": 24.0, "end": 27.0, "text": " Comenzamos por el numerador"}, {"start": 27.0, "end": 33.0, "text": " donde tenemos un trinomio de la forma x al cuadrado m\u00e1s bx m\u00e1s c."}, {"start": 33.0, "end": 37.0, "text": " Entonces abrimos dos par\u00e9ntesis,"}, {"start": 37.0, "end": 41.0, "text": " sacamos la ra\u00edz cuadrada del primer t\u00e9rmino, que ser\u00eda x,"}, {"start": 41.0, "end": 44.0, "text": " la escribimos al comienzo de cada par\u00e9ntesis,"}, {"start": 44.0, "end": 47.0, "text": " luego definimos los signos de la siguiente manera."}, {"start": 47.0, "end": 50.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos signo positivo invisible,"}, {"start": 50.0, "end": 53.0, "text": " entonces m\u00e1s por menos nos da menos"}, {"start": 53.0, "end": 57.0, "text": " y menos por m\u00e1s nos da menos."}, {"start": 57.0, "end": 60.0, "text": " En seguida buscamos dos n\u00fameros negativos"}, {"start": 60.0, "end": 64.0, "text": " que multiplicados entre s\u00ed nos den 12 positivo"}, {"start": 64.0, "end": 68.0, "text": " y que al sumarlos nos den como resultado menos 8."}, {"start": 68.0, "end": 72.0, "text": " Esos n\u00fameros son menos 6 y menos 2."}, {"start": 72.0, "end": 77.0, "text": " Podemos probar, menos 6 por menos 2 nos da m\u00e1s 12"}, {"start": 77.0, "end": 83.0, "text": " y menos 6 sumado con menos 2 nos da menos 8."}, {"start": 83.0, "end": 89.0, "text": " En el denominador tenemos una diferencia de cuadrados perfectos"}, {"start": 89.0, "end": 92.0, "text": " que la factorizamos de la siguiente manera."}, {"start": 92.0, "end": 96.0, "text": " Sacamos la ra\u00edz cuadrada del primer t\u00e9rmino, que ser\u00eda x,"}, {"start": 96.0, "end": 101.0, "text": " y la ra\u00edz cuadrada del segundo t\u00e9rmino, que es 6."}, {"start": 101.0, "end": 107.0, "text": " Y eso lo escribimos en una suma y en una resta."}, {"start": 107.0, "end": 114.0, "text": " x m\u00e1s 6 por x menos 6 es la factorizaci\u00f3n de x al cuadrado menos 36."}, {"start": 114.0, "end": 118.0, "text": " Despu\u00e9s de tener factorizado el numerador y el denominador"}, {"start": 118.0, "end": 121.0, "text": " de la fracci\u00f3n algebraica, entramos a revisar"}, {"start": 121.0, "end": 125.0, "text": " que factores se encuentran repetidos arriba y abajo."}, {"start": 125.0, "end": 128.0, "text": " Es el caso de x menos 6."}, {"start": 128.0, "end": 135.0, "text": " Vemos que es un factor que est\u00e1 repetido, por lo tanto lo podemos eliminar."}, {"start": 135.0, "end": 138.0, "text": " Recordemos que para poder cancelar cosas en una fracci\u00f3n"}, {"start": 138.0, "end": 144.0, "text": " tenemos que tener arriba y abajo estrictamente multiplicaci\u00f3n."}, {"start": 144.0, "end": 148.0, "text": " Finalmente, la fracci\u00f3n nos queda as\u00ed."}, {"start": 148.0, "end": 156.0, "text": " En el numerador, x menos 2 y en el denominador, x m\u00e1s 6."}, {"start": 156.0, "end": 162.0, "text": " Esta es la fracci\u00f3n que resulta de simplificar totalmente"}, {"start": 162.0, "end": 166.0, "text": " la fracci\u00f3n algebraica que nos daban al comienzo."}, {"start": 166.0, "end": 170.0, "text": " All\u00ed no se puede simplificar nada m\u00e1s."}, {"start": 170.0, "end": 175.0, "text": " No podemos pensar en eliminar la x o en simplificar el 2 con el 6,"}, {"start": 175.0, "end": 178.0, "text": " sac\u00e1ndole mitad. Eso es prohibido."}, {"start": 178.0, "end": 184.0, "text": " No se pueden simplificar cosas que est\u00e9n sumando o restando en la fracci\u00f3n."}, {"start": 184.0, "end": 192.0, "text": " \u00danicamente, expresiones o cantidades que se encuentren multiplicando arriba y abajo."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=r2ZtYD_hxDw

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME - Problema 1

#julioprofe (miembro de #EdutubersColombia) explica cómo determinar la distancia recorrida por un motociclista en 5 minutos, si viaja por una carretera recta con velocidad constante de 90 km/h. Problema de #MovimientoRectilíneoUniforme REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Un motociclista viaja por una carretera recta a una velocidad constante de 90 km por hora. Determina la distancia que recorre en 5 minutos. Bien, tenemos aquí un problema correspondiente al movimiento rectilíneo uniforme. Recordemos que es aquel cuya trayectoria es una línea recta y el móvil permanece todo el tiempo con velocidad constante. Se mueve siempre con la misma velocidad. Entonces tenemos la siguiente información. Velocidad que es igual a 90 km por hora. Tenemos el tiempo que es 5 minutos y debemos encontrar la distancia recorrida. Vamos a llamarla T que desconocemos. Comenzamos por realizar la conversión de la velocidad y del tiempo a las unidades del sistema internacional. Es decir, vamos a llevar todo a metros y segundos. Entonces vamos a multiplicar por los factores de conversión necesarios para llevar, por ejemplo, la velocidad de km por hora a metros por segundo. Comenzamos por eliminar kilómetros, pasándolo a metros. Sabemos que un kilómetro equivale a mil metros y de esta manera logramos simplificar o eliminar los kilómetros. Usamos otro factor de conversión para pasar de horas a segundos. Escribimos horas en el numerador, segundos en el denominador y sabemos que una hora equivale a 3.600 segundos. De esta manera logramos eliminar horas con horas. Haciendo la multiplicación de los números tenemos 90 por 1000, todo eso dividido entre 3.600. Eso nos da como resultado 25. Y las unidades que nos quedan son metros y segundos. Entonces la velocidad del motociclista es 25 metros por segundo. Ahora vamos a realizar la conversión del tiempo que se encuentra en minutos, vamos a llevarlo a segundos. Entonces multiplicamos por el factor de conversión para pasar de minutos a segundos. Minutos abajo para que se cancele con minutos que tenemos arriba. Tenemos que un minuto equivale a 60 segundos y de esta manera minutos se cancela con minutos. Hacemos la operación numérica 5 por 60, eso nos da 300 segundos. Entonces ya tenemos la velocidad y el tiempo en unidades del sistema internacional, es decir metros y segundos. Para recortar fácilmente las fórmulas del movimiento rectilíneo uniforme podemos utilizar la siguiente estrategia. Dibujamos un triángulo, lo dividimos de esta manera y aquí escribimos las letras D, V y T. Es decir, distancia, velocidad y tiempo. Si necesitamos la distancia simplemente tapamos la letra D y nos queda velocidad por tiempo. Entonces distancia es igual a velocidad por tiempo. Si necesitamos la velocidad simplemente tapamos aquí la letra B y nos queda distancia sobre tiempo. Y si necesitamos la letra T, o sea el tiempo, entonces tapamos aquí la T y nos queda distancia sobre velocidad. En este caso necesitamos la distancia, entonces vamos a utilizar esta formulita para encontrar D. Nos queda entonces que la distancia es igual a la velocidad que nos dio 25 metros por segundo y esto multiplicado por el tiempo que nos dio 300 segundos. En ese caso las unidades segundos se cancelan y nos va a quedar la distancia en metros. Hacemos la multiplicación de los números, 25 por 300 nos da como resultado 7.500 y escribimos los metros como las unidades para la distancia. Esta será entonces la respuesta al problema. 7.500 metros es la distancia recorrida por ese motociclista en un tiempo de 5 minutos cuando el motociclista viaja con velocidad constante de 90 km por hora.

[{"start": 0.0, "end": 8.0, "text": " Un motociclista viaja por una carretera recta a una velocidad constante de 90 km por hora."}, {"start": 8.0, "end": 12.0, "text": " Determina la distancia que recorre en 5 minutos."}, {"start": 12.0, "end": 19.0, "text": " Bien, tenemos aqu\u00ed un problema correspondiente al movimiento rectil\u00edneo uniforme."}, {"start": 19.0, "end": 31.0, "text": " Recordemos que es aquel cuya trayectoria es una l\u00ednea recta y el m\u00f3vil permanece todo el tiempo con velocidad constante."}, {"start": 31.0, "end": 35.0, "text": " Se mueve siempre con la misma velocidad."}, {"start": 35.0, "end": 37.0, "text": " Entonces tenemos la siguiente informaci\u00f3n."}, {"start": 37.0, "end": 44.0, "text": " Velocidad que es igual a 90 km por hora."}, {"start": 44.0, "end": 55.0, "text": " Tenemos el tiempo que es 5 minutos y debemos encontrar la distancia recorrida."}, {"start": 55.0, "end": 60.0, "text": " Vamos a llamarla T que desconocemos."}, {"start": 60.0, "end": 70.0, "text": " Comenzamos por realizar la conversi\u00f3n de la velocidad y del tiempo a las unidades del sistema internacional."}, {"start": 70.0, "end": 74.0, "text": " Es decir, vamos a llevar todo a metros y segundos."}, {"start": 74.0, "end": 87.0, "text": " Entonces vamos a multiplicar por los factores de conversi\u00f3n necesarios para llevar, por ejemplo, la velocidad de km por hora a metros por segundo."}, {"start": 87.0, "end": 93.0, "text": " Comenzamos por eliminar kil\u00f3metros, pas\u00e1ndolo a metros."}, {"start": 93.0, "end": 105.0, "text": " Sabemos que un kil\u00f3metro equivale a mil metros y de esta manera logramos simplificar o eliminar los kil\u00f3metros."}, {"start": 105.0, "end": 111.0, "text": " Usamos otro factor de conversi\u00f3n para pasar de horas a segundos."}, {"start": 111.0, "end": 121.0, "text": " Escribimos horas en el numerador, segundos en el denominador y sabemos que una hora equivale a 3.600 segundos."}, {"start": 121.0, "end": 125.0, "text": " De esta manera logramos eliminar horas con horas."}, {"start": 125.0, "end": 135.0, "text": " Haciendo la multiplicaci\u00f3n de los n\u00fameros tenemos 90 por 1000, todo eso dividido entre 3.600."}, {"start": 135.0, "end": 138.0, "text": " Eso nos da como resultado 25."}, {"start": 138.0, "end": 143.0, "text": " Y las unidades que nos quedan son metros y segundos."}, {"start": 143.0, "end": 149.0, "text": " Entonces la velocidad del motociclista es 25 metros por segundo."}, {"start": 149.0, "end": 157.0, "text": " Ahora vamos a realizar la conversi\u00f3n del tiempo que se encuentra en minutos, vamos a llevarlo a segundos."}, {"start": 157.0, "end": 163.0, "text": " Entonces multiplicamos por el factor de conversi\u00f3n para pasar de minutos a segundos."}, {"start": 163.0, "end": 167.0, "text": " Minutos abajo para que se cancele con minutos que tenemos arriba."}, {"start": 167.0, "end": 177.0, "text": " Tenemos que un minuto equivale a 60 segundos y de esta manera minutos se cancela con minutos."}, {"start": 177.0, "end": 185.0, "text": " Hacemos la operaci\u00f3n num\u00e9rica 5 por 60, eso nos da 300 segundos."}, {"start": 185.0, "end": 195.0, "text": " Entonces ya tenemos la velocidad y el tiempo en unidades del sistema internacional, es decir metros y segundos."}, {"start": 195.0, "end": 204.0, "text": " Para recortar f\u00e1cilmente las f\u00f3rmulas del movimiento rectil\u00edneo uniforme podemos utilizar la siguiente estrategia."}, {"start": 204.0, "end": 213.0, "text": " Dibujamos un tri\u00e1ngulo, lo dividimos de esta manera y aqu\u00ed escribimos las letras D, V y T."}, {"start": 213.0, "end": 217.0, "text": " Es decir, distancia, velocidad y tiempo."}, {"start": 217.0, "end": 225.0, "text": " Si necesitamos la distancia simplemente tapamos la letra D y nos queda velocidad por tiempo."}, {"start": 225.0, "end": 229.0, "text": " Entonces distancia es igual a velocidad por tiempo."}, {"start": 229.0, "end": 239.0, "text": " Si necesitamos la velocidad simplemente tapamos aqu\u00ed la letra B y nos queda distancia sobre tiempo."}, {"start": 239.0, "end": 251.0, "text": " Y si necesitamos la letra T, o sea el tiempo, entonces tapamos aqu\u00ed la T y nos queda distancia sobre velocidad."}, {"start": 251.0, "end": 261.0, "text": " En este caso necesitamos la distancia, entonces vamos a utilizar esta formulita para encontrar D."}, {"start": 261.0, "end": 272.0, "text": " Nos queda entonces que la distancia es igual a la velocidad que nos dio 25 metros por segundo"}, {"start": 272.0, "end": 281.0, "text": " y esto multiplicado por el tiempo que nos dio 300 segundos."}, {"start": 281.0, "end": 289.0, "text": " En ese caso las unidades segundos se cancelan y nos va a quedar la distancia en metros."}, {"start": 289.0, "end": 296.0, "text": " Hacemos la multiplicaci\u00f3n de los n\u00fameros, 25 por 300 nos da como resultado 7.500"}, {"start": 296.0, "end": 302.0, "text": " y escribimos los metros como las unidades para la distancia."}, {"start": 302.0, "end": 306.0, "text": " Esta ser\u00e1 entonces la respuesta al problema."}, {"start": 306.0, "end": 315.0, "text": " 7.500 metros es la distancia recorrida por ese motociclista en un tiempo de 5 minutos"}, {"start": 315.0, "end": 326.0, "text": " cuando el motociclista viaja con velocidad constante de 90 km por hora."}]

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ECUACIONES EXPONENCIALES - Ejercicio 7

#julioprofe explica cómo resolver una ecuación exponencial usando propiedades de la potenciación y un cambio de variable. Tema: #EcuacionesExponenciales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHM4fJbsnC7zzdnwRjc0ojm REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a solucionar esta ecuación que es de tipo exponencial porque la incógnita que es la letra x se encuentra en los exponentes. Comenzamos por desparatar esta expresión utilizando la siguiente propiedad de la potenciación. Recordemos que si tenemos producto de potencias de la misma base, entonces conservamos la base y sumamos los exponentes. Entonces, si tenemos una expresión como esta, similar a esa que tenemos aquí, podemos convertirla en un producto de potencias de la misma base. Entonces aquí tendremos 2 a la 2x por 2 a la 2, 2 al cuadrado. Como vemos, utilizando esta propiedad, al otro lado escribimos la misma expresión. Bien, ahora aquí vamos a utilizar esta otra propiedad. Si tenemos una potencia a la n elevada a otro exponente, por ejemplo m, dejamos la misma base y multiplicamos los exponentes. Entonces, si tenemos multiplicación de exponentes, podemos escribir eso como una potencia de otra potencia. Aquí podemos escribir 2 a la 2x como 2 a la x y todo esto elevado al cuadrado, haciendo uso de esta propiedad. Esto lo multiplicamos por 2 al cuadrado que es 4 igual a lo mismo del lado derecho. En seguida, vamos a utilizar una estrategia que se llama cambio de variable. Vamos a llamar 2 a la x esto que está repetido, 2 a la x, vamos a llamarlo por ejemplo u. Hacemos lo que se llama un cambio de variable o también una sustitución y la ecuación nos queda de la siguiente manera. u al cuadrado por 4 igual a 9 por u menos 2. Como vemos, se cambia 2 a la x por la letra u. Organizamos la ecuación, por aquí nos queda 4 u al cuadrado. Pasamos este término al 9 u al lado izquierdo, llega negativo. Pasamos menos 2 al lado izquierdo, llega como más 2 y esto nos queda igual a 0. Y obtenemos lo que se llama una ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado. Podemos resolver la ecuación cuadrática por la fórmula cuadrática o fórmula del estudiante, aunque también podemos examinar si esta expresión es factorizable. Vamos a mirar, hacemos lo siguiente, 4 por 2 nos da 8. Pensamos saber si hay dos números que multiplicados nos den como resultado 8 y que sumados entre sí nos den como resultado menos 9. Encontramos que si se puede los números son menos 8 y menos 1. Multiplicados dan 8 positivo y sumados entre sí nos dan menos 9. Eso quiere decir que esta expresión es factorizable y podemos utilizar el caso llamado trinomio de la forma a x cuadrado más bx más c. Ese caso dice que debemos multiplicar por 4 la expresión y al mismo tiempo dividir entre 4. Multiplicamos por el coeficiente principal y al mismo tiempo dividimos por él. Esto permanece igual a 0. En el numerador hacemos propiedad distributiva de la siguiente manera, 4 por 4u cuadrado nos da 16u cuadrado, 4 entra y toma la u, se agrupa con la u y el menos 9 se deja a la izquierda, es decir aquí en el segundo término dejamos el producto indicado, no se resuelve, y luego 4 por 2 que nos da 8. Todo esto dividido entre 4 y todo esto igual a 0. En seguida expresamos este primer término como lo que nos quedó en paréntesis, es decir 4u y esto elevado al cuadrado. Lo demás permanece igual. Todo esto dividido entre 4 y esto igual a 0. A continuación factorizamos la parte de arriba utilizando el caso llamado trinomio de la forma x cuadrado más bx más c que consiste en abrir dos paréntesis, sacamos la raíz cuadrada del primer término que sería 4u, es decir lo que tenemos dentro del paréntesis, ese c escribe al comienzo de cada paréntesis, luego cuadramos los signos, más por menos nos da menos, menos por más nos da menos, y aquí es donde vienen los dos números que multiplicados den 8 y que sumados entre sí nos den menos 9. Como vimos ahora esos números son menos 8 y menos 1. Todo esto dividido entre 4 y a su vez igualado a 0. En seguida miramos cada paréntesis por separado para ver dónde hay factor común. Aquí tenemos factor común 4, factor de 1 menos 2, aquí no tenemos factor común, dejamos la expresión igual, todo esto entre 4 y a su vez igual a 0. En esta etapa podemos simplificar estos dos números, nos queda entonces 1 menos 2 por 4 1 menos 1 y todo esto igual a 0. Y allí aplicamos lo que se llama el teorema del factor nulo. Recordemos que este nos dice que si el producto de dos expresiones es igual a 0, entonces cada una de ellas debe igualarse a 0. Nos queda entonces 1 menos 2 igual a 0 o 4 1 menos 1 igual a 0. Y resolvemos en cada caso para despejar U. Por aquí tenemos que U es igual a 0 más 2, 2 está restando, en el lado izquierdo pasa a sumar al lado derecho con 0 y eso nos da U igual a 2. Por este lado primero despejamos 4 U, pasamos el 1 que está restando a sumar al lado derecho, 1 más 0 nos da 1 y después despejamos U, pasando el 4 que está multiplicando a dividir al otro lado. Nos queda U igual a 1 cuarto. Tenemos entonces los valores de U, pero debemos recordar que U equivale a 2 a la X. No podemos olvidar el cambio de variable que habíamos mencionado hace un momento. Entonces este es el instante en que debemos deshacer ese cambio de variable. Cambiamos U por 2 a la X, entonces nos queda 2 a la X igual a 2. Y por aquí también hacemos el cambio, nos queda 2 a la X igual a 1 cuarto. Por este lado tenemos que 2 a la X es igual a 2 elevado al exponente 1. Recordemos que cualquier número o cualquier cantidad que no tenga exponente tiene un 1, que aquí es invisible pero que aquí lo hacemos aparecer. Esto con el fin de aplicar la siguiente propiedad. Si tenemos igualdad de potencias con la misma base, entonces podemos proceder a igualar sus exponentes. Nos queda entonces que X es igual a 1 y es una de las soluciones de la ecuación original. Algo similar vamos a realizar por este lado. Tenemos 2 a la X igual a 1 cuarto, pero 4 lo vamos a expresar como 2 al cuadrado. Y aquí vamos a subir esta potencia, vamos a pasarla del denominador al numerador. Recordemos que allí lo que ocurre es un cambio de signo en el exponente. Nos queda entonces 2 a la menos 2. Y hacemos la misma propiedad que mencionábamos acá. Tenemos igualdad de potencias con la misma base, entonces procedemos a igualar los exponentes. Nos queda que X es igual a menos 2. Tenemos entonces la otra solución de la ecuación. Entonces la respuesta final para este ejercicio es la siguiente. Conjunto solución, es decir, los valores que puede tomar X en la ecuación exponencial original son menos 2 y 1, escribiéndolos de menor a mayor. De esta manera terminamos este ejercicio.

[{"start": 0.0, "end": 12.0, "text": " Vamos a solucionar esta ecuaci\u00f3n que es de tipo exponencial porque la inc\u00f3gnita que es la letra x se encuentra en los exponentes."}, {"start": 12.0, "end": 21.0, "text": " Comenzamos por desparatar esta expresi\u00f3n utilizando la siguiente propiedad de la potenciaci\u00f3n."}, {"start": 21.0, "end": 32.0, "text": " Recordemos que si tenemos producto de potencias de la misma base, entonces conservamos la base y sumamos los exponentes."}, {"start": 32.0, "end": 43.0, "text": " Entonces, si tenemos una expresi\u00f3n como esta, similar a esa que tenemos aqu\u00ed, podemos convertirla en un producto de potencias de la misma base."}, {"start": 43.0, "end": 52.0, "text": " Entonces aqu\u00ed tendremos 2 a la 2x por 2 a la 2, 2 al cuadrado."}, {"start": 52.0, "end": 61.0, "text": " Como vemos, utilizando esta propiedad, al otro lado escribimos la misma expresi\u00f3n."}, {"start": 61.0, "end": 66.0, "text": " Bien, ahora aqu\u00ed vamos a utilizar esta otra propiedad."}, {"start": 66.0, "end": 78.0, "text": " Si tenemos una potencia a la n elevada a otro exponente, por ejemplo m, dejamos la misma base y multiplicamos los exponentes."}, {"start": 78.0, "end": 86.0, "text": " Entonces, si tenemos multiplicaci\u00f3n de exponentes, podemos escribir eso como una potencia de otra potencia."}, {"start": 86.0, "end": 98.0, "text": " Aqu\u00ed podemos escribir 2 a la 2x como 2 a la x y todo esto elevado al cuadrado, haciendo uso de esta propiedad."}, {"start": 98.0, "end": 107.0, "text": " Esto lo multiplicamos por 2 al cuadrado que es 4 igual a lo mismo del lado derecho."}, {"start": 107.0, "end": 120.0, "text": " En seguida, vamos a utilizar una estrategia que se llama cambio de variable."}, {"start": 120.0, "end": 134.0, "text": " Vamos a llamar 2 a la x esto que est\u00e1 repetido, 2 a la x, vamos a llamarlo por ejemplo u."}, {"start": 134.0, "end": 142.0, "text": " Hacemos lo que se llama un cambio de variable o tambi\u00e9n una sustituci\u00f3n y la ecuaci\u00f3n nos queda de la siguiente manera."}, {"start": 142.0, "end": 150.0, "text": " u al cuadrado por 4 igual a 9 por u menos 2."}, {"start": 150.0, "end": 155.0, "text": " Como vemos, se cambia 2 a la x por la letra u."}, {"start": 155.0, "end": 159.0, "text": " Organizamos la ecuaci\u00f3n, por aqu\u00ed nos queda 4 u al cuadrado."}, {"start": 159.0, "end": 165.0, "text": " Pasamos este t\u00e9rmino al 9 u al lado izquierdo, llega negativo."}, {"start": 165.0, "end": 173.0, "text": " Pasamos menos 2 al lado izquierdo, llega como m\u00e1s 2 y esto nos queda igual a 0."}, {"start": 173.0, "end": 183.0, "text": " Y obtenemos lo que se llama una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica o ecuaci\u00f3n de segundo grado."}, {"start": 183.0, "end": 194.0, "text": " Podemos resolver la ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica por la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica o f\u00f3rmula del estudiante,"}, {"start": 194.0, "end": 200.0, "text": " aunque tambi\u00e9n podemos examinar si esta expresi\u00f3n es factorizable."}, {"start": 200.0, "end": 205.0, "text": " Vamos a mirar, hacemos lo siguiente, 4 por 2 nos da 8."}, {"start": 205.0, "end": 211.0, "text": " Pensamos saber si hay dos n\u00fameros que multiplicados nos den como resultado 8"}, {"start": 211.0, "end": 216.0, "text": " y que sumados entre s\u00ed nos den como resultado menos 9."}, {"start": 216.0, "end": 222.0, "text": " Encontramos que si se puede los n\u00fameros son menos 8 y menos 1."}, {"start": 222.0, "end": 227.0, "text": " Multiplicados dan 8 positivo y sumados entre s\u00ed nos dan menos 9."}, {"start": 227.0, "end": 236.0, "text": " Eso quiere decir que esta expresi\u00f3n es factorizable y podemos utilizar el caso llamado trinomio de la forma"}, {"start": 236.0, "end": 240.0, "text": " a x cuadrado m\u00e1s bx m\u00e1s c."}, {"start": 240.0, "end": 254.0, "text": " Ese caso dice que debemos multiplicar por 4 la expresi\u00f3n y al mismo tiempo dividir entre 4."}, {"start": 254.0, "end": 259.0, "text": " Multiplicamos por el coeficiente principal y al mismo tiempo dividimos por \u00e9l."}, {"start": 259.0, "end": 262.0, "text": " Esto permanece igual a 0."}, {"start": 262.0, "end": 266.0, "text": " En el numerador hacemos propiedad distributiva de la siguiente manera,"}, {"start": 266.0, "end": 271.0, "text": " 4 por 4u cuadrado nos da 16u cuadrado,"}, {"start": 271.0, "end": 281.0, "text": " 4 entra y toma la u, se agrupa con la u y el menos 9 se deja a la izquierda,"}, {"start": 281.0, "end": 287.0, "text": " es decir aqu\u00ed en el segundo t\u00e9rmino dejamos el producto indicado, no se resuelve,"}, {"start": 287.0, "end": 291.0, "text": " y luego 4 por 2 que nos da 8."}, {"start": 291.0, "end": 297.0, "text": " Todo esto dividido entre 4 y todo esto igual a 0."}, {"start": 297.0, "end": 302.0, "text": " En seguida expresamos este primer t\u00e9rmino como lo que nos qued\u00f3 en par\u00e9ntesis,"}, {"start": 302.0, "end": 307.0, "text": " es decir 4u y esto elevado al cuadrado."}, {"start": 307.0, "end": 311.0, "text": " Lo dem\u00e1s permanece igual."}, {"start": 311.0, "end": 318.0, "text": " Todo esto dividido entre 4 y esto igual a 0."}, {"start": 318.0, "end": 324.0, "text": " A continuaci\u00f3n factorizamos la parte de arriba utilizando el caso llamado"}, {"start": 324.0, "end": 331.0, "text": " trinomio de la forma x cuadrado m\u00e1s bx m\u00e1s c que consiste en abrir dos par\u00e9ntesis,"}, {"start": 331.0, "end": 335.0, "text": " sacamos la ra\u00edz cuadrada del primer t\u00e9rmino que ser\u00eda 4u,"}, {"start": 335.0, "end": 338.0, "text": " es decir lo que tenemos dentro del par\u00e9ntesis,"}, {"start": 338.0, "end": 342.0, "text": " ese c escribe al comienzo de cada par\u00e9ntesis,"}, {"start": 342.0, "end": 344.0, "text": " luego cuadramos los signos,"}, {"start": 344.0, "end": 349.0, "text": " m\u00e1s por menos nos da menos, menos por m\u00e1s nos da menos,"}, {"start": 349.0, "end": 353.0, "text": " y aqu\u00ed es donde vienen los dos n\u00fameros que multiplicados den 8"}, {"start": 353.0, "end": 356.0, "text": " y que sumados entre s\u00ed nos den menos 9."}, {"start": 356.0, "end": 361.0, "text": " Como vimos ahora esos n\u00fameros son menos 8 y menos 1."}, {"start": 361.0, "end": 367.0, "text": " Todo esto dividido entre 4 y a su vez igualado a 0."}, {"start": 367.0, "end": 373.0, "text": " En seguida miramos cada par\u00e9ntesis por separado para ver d\u00f3nde hay factor com\u00fan."}, {"start": 373.0, "end": 379.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos factor com\u00fan 4, factor de 1 menos 2,"}, {"start": 379.0, "end": 385.0, "text": " aqu\u00ed no tenemos factor com\u00fan, dejamos la expresi\u00f3n igual,"}, {"start": 385.0, "end": 392.0, "text": " todo esto entre 4 y a su vez igual a 0."}, {"start": 392.0, "end": 397.0, "text": " En esta etapa podemos simplificar estos dos n\u00fameros,"}, {"start": 397.0, "end": 410.0, "text": " nos queda entonces 1 menos 2 por 4 1 menos 1 y todo esto igual a 0."}, {"start": 410.0, "end": 417.0, "text": " Y all\u00ed aplicamos lo que se llama el teorema del factor nulo."}, {"start": 417.0, "end": 423.0, "text": " Recordemos que este nos dice que si el producto de dos expresiones es igual a 0,"}, {"start": 423.0, "end": 428.0, "text": " entonces cada una de ellas debe igualarse a 0."}, {"start": 428.0, "end": 437.0, "text": " Nos queda entonces 1 menos 2 igual a 0 o 4 1 menos 1 igual a 0."}, {"start": 437.0, "end": 440.0, "text": " Y resolvemos en cada caso para despejar U."}, {"start": 440.0, "end": 447.0, "text": " Por aqu\u00ed tenemos que U es igual a 0 m\u00e1s 2, 2 est\u00e1 restando,"}, {"start": 447.0, "end": 451.0, "text": " en el lado izquierdo pasa a sumar al lado derecho con 0"}, {"start": 451.0, "end": 454.0, "text": " y eso nos da U igual a 2."}, {"start": 454.0, "end": 458.0, "text": " Por este lado primero despejamos 4 U,"}, {"start": 458.0, "end": 462.0, "text": " pasamos el 1 que est\u00e1 restando a sumar al lado derecho,"}, {"start": 462.0, "end": 466.0, "text": " 1 m\u00e1s 0 nos da 1 y despu\u00e9s despejamos U,"}, {"start": 466.0, "end": 471.0, "text": " pasando el 4 que est\u00e1 multiplicando a dividir al otro lado."}, {"start": 471.0, "end": 474.0, "text": " Nos queda U igual a 1 cuarto."}, {"start": 474.0, "end": 477.0, "text": " Tenemos entonces los valores de U,"}, {"start": 477.0, "end": 486.0, "text": " pero debemos recordar que U equivale a 2 a la X."}, {"start": 486.0, "end": 493.0, "text": " No podemos olvidar el cambio de variable que hab\u00edamos mencionado hace un momento."}, {"start": 493.0, "end": 499.0, "text": " Entonces este es el instante en que debemos deshacer ese cambio de variable."}, {"start": 499.0, "end": 506.0, "text": " Cambiamos U por 2 a la X, entonces nos queda 2 a la X igual a 2."}, {"start": 506.0, "end": 517.0, "text": " Y por aqu\u00ed tambi\u00e9n hacemos el cambio, nos queda 2 a la X igual a 1 cuarto."}, {"start": 517.0, "end": 526.0, "text": " Por este lado tenemos que 2 a la X es igual a 2 elevado al exponente 1."}, {"start": 526.0, "end": 533.0, "text": " Recordemos que cualquier n\u00famero o cualquier cantidad que no tenga exponente tiene un 1,"}, {"start": 533.0, "end": 537.0, "text": " que aqu\u00ed es invisible pero que aqu\u00ed lo hacemos aparecer."}, {"start": 537.0, "end": 540.0, "text": " Esto con el fin de aplicar la siguiente propiedad."}, {"start": 540.0, "end": 544.0, "text": " Si tenemos igualdad de potencias con la misma base,"}, {"start": 544.0, "end": 548.0, "text": " entonces podemos proceder a igualar sus exponentes."}, {"start": 548.0, "end": 557.0, "text": " Nos queda entonces que X es igual a 1 y es una de las soluciones de la ecuaci\u00f3n original."}, {"start": 557.0, "end": 560.0, "text": " Algo similar vamos a realizar por este lado."}, {"start": 560.0, "end": 569.0, "text": " Tenemos 2 a la X igual a 1 cuarto, pero 4 lo vamos a expresar como 2 al cuadrado."}, {"start": 569.0, "end": 576.0, "text": " Y aqu\u00ed vamos a subir esta potencia, vamos a pasarla del denominador al numerador."}, {"start": 576.0, "end": 581.0, "text": " Recordemos que all\u00ed lo que ocurre es un cambio de signo en el exponente."}, {"start": 581.0, "end": 584.0, "text": " Nos queda entonces 2 a la menos 2."}, {"start": 584.0, "end": 588.0, "text": " Y hacemos la misma propiedad que mencion\u00e1bamos ac\u00e1."}, {"start": 588.0, "end": 595.0, "text": " Tenemos igualdad de potencias con la misma base, entonces procedemos a igualar los exponentes."}, {"start": 595.0, "end": 599.0, "text": " Nos queda que X es igual a menos 2."}, {"start": 599.0, "end": 603.0, "text": " Tenemos entonces la otra soluci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n."}, {"start": 603.0, "end": 607.0, "text": " Entonces la respuesta final para este ejercicio es la siguiente."}, {"start": 607.0, "end": 615.0, "text": " Conjunto soluci\u00f3n, es decir, los valores que puede tomar X en la ecuaci\u00f3n exponencial original"}, {"start": 615.0, "end": 623.0, "text": " son menos 2 y 1, escribi\u00e9ndolos de menor a mayor."}, {"start": 623.0, "end": 646.0, "text": " De esta manera terminamos este ejercicio."}]

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INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS - Ejercicio 2

#julioprofe explica cómo resolver una integral trigonométrica. Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a solucionar esta integral que hace parte de las integrales trigonométricas. Comenzamos por desbaratar la potencia secante a la 4 de x. La vamos a escribir como secante al cuadrado de x por secante al cuadrado de x. Todo eso por tangente al cuadrado de x por el respectivo diferencial de x. A continuación vamos a convertir esta secante cuadrado en una expresión que tenga tangente. Aquí es cuando utilizamos la identidad pitagórica que dice tangente cuadrado de un ángulo theta más 1 es igual a secante al cuadrado de theta. Haciendo uso de esta identidad podemos cambiar secante al cuadrado de x y nos queda de la siguiente manera. Integral de secante al cuadrado que nos queda igual por aquí. Hacemos el cambio. Secante al cuadrado de x viene siendo tangente al cuadrado de x más 1. Todo esto multiplicado por lo demás que permanece intacto. A continuación vamos a realizar propiedad distributiva con tangente cuadrado. Vamos a multiplicar aquí y aquí. Vamos a distribuirlo a este binomio que tenemos encerrado en paréntesis. Nos queda entonces de la siguiente manera. Integral de secante al cuadrado de x por... Veamos, tangente al cuadrado de x por tangente al cuadrado de x nos da tangente al cuadrado de x. Más, tangente al cuadrado de x por 1 nos queda tangente al cuadrado de x. Y todo esto por de x. Como vemos, tenemos una expresión dentro del paréntesis en términos de tangente y por fuera tenemos secante al cuadrado de x. Recordemos que la derivada de la función tangente es secante al cuadrado. Por lo tanto aquí podemos realizar una sustitución o cambio de variable. Vamos a llamar, por ejemplo, con la letra a, a lo que es tangente de x. Y de allí vamos a obtener dx. Hacemos la derivada. Tenemos que derivada de a con respecto a x es igual a la derivada de tangente de x que es secante al cuadrado de x. Y de aquí vamos a despejar dx. dx pasa a multiplicar, secante al cuadrado pasa a dividir. Nos queda entonces que dx es igual a de a sobre secante al cuadrado de x. Y con estas dos expresiones vamos a reconstruir esta integral en términos de la nueva letra que es a. Nos queda entonces de la siguiente manera. Tenemos integral de secante al cuadrado de x. Abrimos paréntesis y la tangente de x se cambia por la letra a. Entonces aquí tenemos a al al cuadrado y por acá tenemos a al cuadrado. Y dx lo cambiamos por esta expresión que obtuvimos que nos queda entonces de a sobre secante al cuadrado de x. Allí podemos simplificar secante al cuadrado con secante al cuadrado y nos va a quedar una integral únicamente en términos de a. Nos queda de la siguiente manera. Sigamos por acá. Tenemos integral de a a la 4 más a al cuadrado y todo esto por de a que es el diferencial. Resolvemos esta integral, ya es una integral directa. Tenemos la integral de una suma. En cada término tenemos una potencia. Entonces integramos cada uno de ellos. La integral de a a la 4 nos da a a la 5 sobre 5 más la integral de a al cuadrado que sería a al cubo sobre 3. Y todo esto más la constante de integración. Finalmente cambiamos a por su equivalente que es tangente de x. Entonces a a la 5 sería tangente de x elevado al exponente 5. Eso nos da tangente a la 5 de x. Y todo esto sobre 5. Más por aquí a, cambiamos nuevamente por tangente, nos queda tangente al cubo de x. Todo esto sobre 3 más la constante de integración. Esta será entonces la respuesta al ejercicio propuesto inicialmente. Decimos entonces que la integral original, integral que se cante la 4 de x por tangente al cuadrado de x, es tangente a la 5 de x sobre 5 más tangente al cubo de x sobre 3 más la constante de integración. Allí terminamos.

[{"start": 0.0, "end": 8.0, "text": " Vamos a solucionar esta integral que hace parte de las integrales trigonom\u00e9tricas."}, {"start": 8.0, "end": 14.0, "text": " Comenzamos por desbaratar la potencia secante a la 4 de x."}, {"start": 14.0, "end": 22.0, "text": " La vamos a escribir como secante al cuadrado de x por secante al cuadrado de x."}, {"start": 22.0, "end": 29.0, "text": " Todo eso por tangente al cuadrado de x por el respectivo diferencial de x."}, {"start": 29.0, "end": 37.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a convertir esta secante cuadrado en una expresi\u00f3n que tenga tangente."}, {"start": 37.0, "end": 42.0, "text": " Aqu\u00ed es cuando utilizamos la identidad pitag\u00f3rica que dice"}, {"start": 42.0, "end": 52.0, "text": " tangente cuadrado de un \u00e1ngulo theta m\u00e1s 1 es igual a secante al cuadrado de theta."}, {"start": 52.0, "end": 62.0, "text": " Haciendo uso de esta identidad podemos cambiar secante al cuadrado de x y nos queda de la siguiente manera."}, {"start": 62.0, "end": 70.0, "text": " Integral de secante al cuadrado que nos queda igual por aqu\u00ed."}, {"start": 70.0, "end": 79.0, "text": " Hacemos el cambio. Secante al cuadrado de x viene siendo tangente al cuadrado de x m\u00e1s 1."}, {"start": 79.0, "end": 89.0, "text": " Todo esto multiplicado por lo dem\u00e1s que permanece intacto."}, {"start": 89.0, "end": 97.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a realizar propiedad distributiva con tangente cuadrado."}, {"start": 97.0, "end": 99.0, "text": " Vamos a multiplicar aqu\u00ed y aqu\u00ed."}, {"start": 99.0, "end": 104.0, "text": " Vamos a distribuirlo a este binomio que tenemos encerrado en par\u00e9ntesis."}, {"start": 104.0, "end": 108.0, "text": " Nos queda entonces de la siguiente manera."}, {"start": 108.0, "end": 115.0, "text": " Integral de secante al cuadrado de x por..."}, {"start": 115.0, "end": 122.0, "text": " Veamos, tangente al cuadrado de x por tangente al cuadrado de x nos da tangente al cuadrado de x."}, {"start": 122.0, "end": 129.0, "text": " M\u00e1s, tangente al cuadrado de x por 1 nos queda tangente al cuadrado de x."}, {"start": 129.0, "end": 131.0, "text": " Y 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tangente al cubo de x sobre 3 m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 377.0, "end": 391.0, "text": " All\u00ed terminamos."}]

julioprofe

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ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO - Video 1

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Para resolver ecuaciones con valor absoluto de la forma valor absoluto de W igual a una cantidad positiva A entonces decimos que W es igual a menos A o usamos el conectivo lógico o W es igual a A positivo para que la ecuación tenga sentido se necesita que esta cantidad sea positiva debido a que ningún valor absoluto es igual a una cantidad negativa entonces la manera de solucionar la ecuación es decir de quitar las dos barras del valor absoluto es mediante este modelo que tenemos allí por ejemplo si tenemos valor absoluto de 5X menos 2 y todo esto igual a 3 entonces vemos que es una ecuación que tiene sentido porque se encuentra ese valor absoluto igualado a una cantidad positiva entonces aplicando el modelo que acabamos de ver que es este entonces decimos que W es igual a menos A o W es igual a la letra A positiva tenemos que W es lo que se encuentra dentro de las barras en este caso es 5X menos 2 y lo igualamos a menos A la A está representada por el número 3 entonces por aquí tenemos menos 3 usamos el conectivo lógico o y por acá W que es 5X menos 2 queda igualado a lo que es A es decir 3 eso vemos cada ecuación son ecuaciones lineales o del primer grado entonces por aquí tenemos que 5X es igual a menos 3 más 2 2 que está restando pasa a sumar al otro lado nos queda que 5X es igual a menos 1 y despejando X nos queda igual a menos 1 dividido entre 5 X es igual a menos un quinto por este lado resolvemos la otra posibilidad despejando primero 5X 2 que está restando pasa a sumar al otro lado nos queda 5X es igual a 5 de donde X es igual a 5 dividido entre 5 5 está multiplicando pasa a dividir y obtenemos X igual a 1 simplificando la fracción 5 quintos entonces para esa ecuación tenemos que el conjunto solución son los X iguales a menos un quinto y el valor 1 como vemos es una ecuación que tiene dos soluciones ahora miremos este caso si tenemos valor absoluto de 7X menos 4 por ejemplo más 2 igual a 0 entonces comenzamos por aislar el valor absoluto en ese caso pasamos el 2 que está sumando a restar al otro lado y nos queda menos 2 vemos que es una ecuación que no tiene sentido porque observamos un valor absoluto igualado a una cantidad negativa entonces aquí no tiene ningún objetivo aplicar el modelo que hemos visto con la W y con la A simplemente por análisis de la expresión original concluimos que esa ecuación no tiene solución entonces decimos que X es igual a conjunto vacío finalmente miremos qué sucede cuando tenemos la igualdad de dos valores absolutos como en este caso aquí observamos dos valores absolutos igualados entre sí de entrada vemos que la ecuación tiene sentido porque este valor absoluto está igualado a una cantidad que es positiva entonces vamos a recurrir a la siguiente estrategia vamos a dividir ambos lados de la igualdad entre lo que tenemos en el lado derecho es decir, dividimos entre valor absoluto de 2X más 1 aquí debemos hacer una restricción para esta ecuación y es que 2X más 1 tiene que ser diferente de 0 entonces hacemos esta aclaración y aquí despejamos la X nos queda 2X diferente de menos 1 de donde X es diferente de menos 1 medio es decir, vamos a resolver nuestra ecuación pero entonces X no puede tomar el valor menos 1 medio porque como decíamos, ese valor complica este paso que estamos haciendo si volvería 0 la parte de abajo de cada tracción en el lado izquierdo vamos a aplicar esta propiedad del valor absoluto si tenemos un cociente de valores absolutos entonces esto es igual al valor absoluto del cociente de esas dos cantidades es decir, estos valores absolutos se convierten en uno solo si tenemos la operación división y es lo que vamos a hacer con lo que tenemos en el lado izquierdo nos va a quedar entonces valor absoluto de 6 menos 3X sobre 2X más 1 y en el lado derecho tenemos una fracción donde el numerador es igual al denominador y eso equivale a 1 vamos a escribir esta restricción por aquí para poder continuar con el desarrollo del ejercicio entonces vamos a borrar esto y tenemos ya una ecuación con valor absoluto que encaja perfectamente con el modelo inicial si tenemos eso igualado a una cantidad positiva en ese caso 1 que hace el papel de la A vemos que W está representado por toda esta expresión que se encuentra dentro de las barras entonces para esta ecuación vimos que la solución es W igual a menos A o W igual a A vamos entonces a reemplazar en cada caso por aquí tenemos que W es 6 menos 3X todo esto sobre 2X más 1 y eso es igual a menos A es decir menos 1 o W que es 6 menos 3X todo esto sobre 2X más 1 y eso igualado al valor A que es 1 y vamos a resolver en cada caso las ecuaciones por aquí decimos que 6 menos 3X es igual a esta expresión pasa a multiplicar al otro lado entonces nos queda menos 1 que multiplica 2X más 1 seguimos 6 menos 3X es igual a hacemos propiedad distributiva con este menos 1 menos 1 por 2X da menos 2X y menos 1 por 1 nos da menos 1 pasamos las X a un lado y dejamos los números al otro lado entonces en el lado izquierdo nos queda menos 3X más 2X y en el lado derecho nos queda menos 1 menos 6 resolvemos por aquí nos queda menos X y por acá nos queda menos 7 multiplicamos ambos lados de la igualdad por menos 1 para deshacernos de los signos negativos y obtenemos que X es igual a 7 tenemos entonces una de las soluciones de la ecuación ahora resolvemos por acá tenemos 6 menos 3X es igual a 1 que multiplica con toda esta expresión 2X más 1 pasa a multiplicar con 1 entonces nos queda 2X más 1 nuevamente pasamos las X a un lado y los números al otro lado dejamos en el lado izquierdo las X nos queda menos 3X menos 2X y esto igual a 1 menos 6 6 está positivo pasa al otro lado negativo resolvemos por aquí nos queda menos 5X y despejamos X menos 5 está multiplicando entonces pasa al otro lado a dividir pasa con su mismo signo y simplificando esta fracción nos da 1 positivo entonces de esta manera tenemos el otro valor para X como podemos observar ninguno de estos valores corresponde a la restricción que habíamos mencionado entonces esto quiere decir que ambos resultados se aceptan como solución de la ecuación original entonces damos el conjunto solución para esa ecuación de la siguiente manera X es igual a 1 o 7 X puede tomar cualquiera de estos valores para dar cumplimiento a la ecuación original

[{"start": 0.0, "end": 5.0, "text": " Para resolver ecuaciones con valor absoluto de la forma"}, {"start": 5.0, "end": 13.0, "text": " valor absoluto de W igual a una cantidad positiva A"}, {"start": 13.0, "end": 20.0, "text": " entonces decimos que W es igual a menos A o"}, {"start": 20.0, "end": 27.0, "text": " usamos el conectivo l\u00f3gico o W es igual a A positivo"}, {"start": 27.0, "end": 32.0, "text": " para que la ecuaci\u00f3n tenga sentido se necesita que esta cantidad"}, {"start": 32.0, "end": 37.0, "text": " sea positiva debido a que ning\u00fan valor absoluto"}, {"start": 37.0, "end": 41.0, "text": " es igual a una cantidad negativa"}, {"start": 41.0, "end": 45.0, "text": " entonces la manera de solucionar la ecuaci\u00f3n"}, {"start": 45.0, "end": 50.0, "text": " es decir de quitar las dos barras del valor absoluto"}, {"start": 50.0, "end": 56.0, "text": " es mediante este modelo que tenemos all\u00ed"}, {"start": 56.0, "end": 63.0, "text": " por ejemplo si tenemos valor absoluto de 5X menos 2"}, {"start": 63.0, "end": 66.0, "text": " y todo esto igual a 3"}, {"start": 66.0, "end": 71.0, "text": " entonces vemos que es una ecuaci\u00f3n que tiene sentido"}, {"start": 71.0, "end": 75.0, "text": " porque se encuentra ese valor absoluto"}, {"start": 75.0, "end": 78.0, "text": " igualado a una cantidad positiva"}, {"start": 78.0, "end": 86.0, "text": " entonces aplicando el modelo que acabamos de ver que es este"}, {"start": 86.0, "end": 92.0, "text": " entonces decimos que W es igual a menos A o"}, {"start": 92.0, "end": 97.0, "text": " W es igual a la letra A positiva"}, {"start": 97.0, "end": 102.0, "text": " tenemos que W es lo que se encuentra dentro de las barras"}, {"start": 102.0, "end": 106.0, "text": " en este caso es 5X menos 2"}, {"start": 106.0, "end": 110.0, "text": " y lo igualamos a menos A"}, {"start": 110.0, "end": 113.0, "text": " la A est\u00e1 representada por el n\u00famero 3"}, {"start": 113.0, "end": 117.0, "text": " entonces por aqu\u00ed tenemos menos 3"}, {"start": 117.0, "end": 120.0, "text": " usamos el conectivo l\u00f3gico o"}, {"start": 120.0, "end": 128.0, "text": " y por ac\u00e1 W que es 5X menos 2 queda igualado a lo que es A"}, {"start": 128.0, "end": 131.0, "text": " es decir 3"}, {"start": 131.0, "end": 137.0, "text": " eso vemos cada ecuaci\u00f3n son ecuaciones lineales o del primer grado"}, {"start": 137.0, "end": 144.0, "text": " entonces por aqu\u00ed tenemos que 5X es igual a menos 3 m\u00e1s 2"}, {"start": 144.0, "end": 148.0, "text": " 2 que est\u00e1 restando pasa a sumar al otro lado"}, {"start": 148.0, "end": 153.0, "text": " nos queda que 5X es igual a menos 1"}, {"start": 153.0, "end": 158.0, "text": " y despejando X nos queda igual a menos 1"}, {"start": 158.0, "end": 161.0, "text": " dividido entre 5"}, {"start": 161.0, "end": 165.0, "text": " X es igual a menos un quinto por este lado"}, {"start": 165.0, "end": 172.0, "text": " resolvemos la otra posibilidad despejando primero 5X"}, {"start": 172.0, "end": 177.0, "text": " 2 que est\u00e1 restando pasa a sumar al otro lado"}, {"start": 177.0, "end": 181.0, "text": " nos queda 5X es igual a 5"}, {"start": 181.0, "end": 186.0, "text": " de donde X es igual a 5 dividido entre 5"}, {"start": 186.0, "end": 189.0, "text": " 5 est\u00e1 multiplicando pasa a dividir"}, {"start": 189.0, "end": 194.0, "text": " y obtenemos X igual a 1"}, {"start": 194.0, "end": 197.0, "text": " simplificando la fracci\u00f3n 5 quintos"}, {"start": 197.0, "end": 205.0, "text": " entonces para esa ecuaci\u00f3n tenemos que el conjunto soluci\u00f3n"}, {"start": 205.0, "end": 212.0, "text": " son los X iguales a menos un quinto"}, {"start": 212.0, "end": 216.0, "text": " y el valor 1"}, {"start": 216.0, "end": 223.0, "text": " como vemos es una ecuaci\u00f3n que tiene dos soluciones"}, {"start": 223.0, "end": 231.0, "text": " ahora miremos este caso si tenemos valor absoluto de 7X menos 4"}, {"start": 231.0, "end": 235.0, "text": " por ejemplo m\u00e1s 2 igual a 0"}, {"start": 235.0, "end": 240.0, "text": " entonces comenzamos por aislar el valor absoluto"}, {"start": 240.0, "end": 243.0, "text": " en ese caso pasamos el 2 que est\u00e1 sumando"}, {"start": 243.0, "end": 247.0, "text": " a restar al otro lado y nos queda menos 2"}, {"start": 247.0, "end": 250.0, "text": " vemos que es una ecuaci\u00f3n que no tiene sentido"}, {"start": 250.0, "end": 256.0, "text": " porque observamos un valor absoluto igualado a una cantidad negativa"}, {"start": 256.0, "end": 265.0, "text": " entonces aqu\u00ed no tiene ning\u00fan objetivo aplicar el modelo que hemos visto con la W y con la A"}, {"start": 265.0, "end": 270.0, "text": " simplemente por an\u00e1lisis de la expresi\u00f3n original"}, {"start": 270.0, "end": 275.0, "text": " concluimos que esa ecuaci\u00f3n no tiene soluci\u00f3n"}, {"start": 275.0, "end": 282.0, "text": " entonces decimos que X es igual a conjunto vac\u00edo"}, {"start": 282.0, "end": 292.0, "text": " finalmente miremos qu\u00e9 sucede cuando tenemos la igualdad de dos valores absolutos"}, {"start": 292.0, "end": 295.0, "text": " como en este caso"}, {"start": 295.0, "end": 301.0, "text": " aqu\u00ed observamos dos valores absolutos igualados entre s\u00ed"}, {"start": 301.0, "end": 304.0, "text": " de entrada vemos que la ecuaci\u00f3n tiene sentido"}, {"start": 304.0, "end": 310.0, "text": " porque este valor absoluto est\u00e1 igualado a una cantidad que es positiva"}, {"start": 310.0, "end": 316.0, "text": " entonces vamos a recurrir a la siguiente estrategia"}, {"start": 316.0, "end": 330.0, "text": " vamos a dividir ambos lados de la igualdad entre lo que tenemos en el lado derecho"}, {"start": 330.0, "end": 338.0, "text": " es decir, dividimos entre valor absoluto de 2X m\u00e1s 1"}, {"start": 338.0, "end": 343.0, "text": " aqu\u00ed debemos hacer una restricci\u00f3n para esta ecuaci\u00f3n"}, {"start": 343.0, "end": 349.0, "text": " y es que 2X m\u00e1s 1 tiene que ser diferente de 0"}, {"start": 349.0, "end": 354.0, "text": " entonces hacemos esta aclaraci\u00f3n"}, {"start": 354.0, "end": 357.0, "text": " y aqu\u00ed despejamos la X"}, {"start": 357.0, "end": 360.0, "text": " nos queda 2X diferente de menos 1"}, {"start": 360.0, "end": 364.0, "text": " de donde X es diferente de menos 1 medio"}, {"start": 364.0, "end": 367.0, "text": " es decir, vamos a resolver nuestra ecuaci\u00f3n"}, {"start": 367.0, "end": 372.0, "text": " pero entonces X no puede tomar el valor menos 1 medio"}, {"start": 372.0, "end": 378.0, "text": " porque como dec\u00edamos, ese valor complica este paso que estamos haciendo"}, {"start": 378.0, "end": 383.0, "text": " si volver\u00eda 0 la parte de abajo de cada tracci\u00f3n"}, {"start": 383.0, "end": 390.0, "text": " en el lado izquierdo vamos a aplicar esta propiedad del valor absoluto"}, {"start": 390.0, "end": 394.0, "text": " si tenemos un cociente de valores absolutos"}, {"start": 394.0, "end": 402.0, "text": " entonces esto es igual al valor absoluto del cociente de esas dos cantidades"}, {"start": 402.0, "end": 406.0, "text": " es decir, estos valores absolutos se convierten en uno solo"}, {"start": 406.0, "end": 409.0, "text": " si tenemos la operaci\u00f3n divisi\u00f3n"}, {"start": 409.0, "end": 414.0, "text": " y es lo que vamos a hacer con lo que tenemos en el lado izquierdo"}, {"start": 414.0, "end": 424.0, "text": " nos va a quedar entonces valor absoluto de 6 menos 3X sobre 2X m\u00e1s 1"}, {"start": 424.0, "end": 432.0, "text": " y en el lado derecho tenemos una fracci\u00f3n donde el numerador es igual al denominador"}, {"start": 432.0, "end": 436.0, "text": " y eso equivale a 1"}, {"start": 436.0, "end": 441.0, "text": " vamos a escribir esta restricci\u00f3n por aqu\u00ed"}, {"start": 441.0, "end": 445.0, "text": " para poder continuar con el desarrollo del ejercicio"}, {"start": 445.0, "end": 450.0, "text": " entonces vamos a borrar esto"}, {"start": 450.0, "end": 456.0, "text": " y tenemos ya una ecuaci\u00f3n con valor absoluto"}, {"start": 456.0, "end": 461.0, "text": " que encaja perfectamente con el modelo inicial"}, {"start": 461.0, "end": 466.0, "text": " si tenemos eso igualado a una cantidad positiva"}, {"start": 466.0, "end": 469.0, "text": " en ese caso 1 que hace el papel de la A"}, {"start": 469.0, "end": 477.0, "text": " vemos que W est\u00e1 representado por toda esta expresi\u00f3n que se encuentra dentro de las barras"}, {"start": 477.0, "end": 489.0, "text": " entonces para esta ecuaci\u00f3n vimos que la soluci\u00f3n es W igual a menos A o W igual a A"}, {"start": 489.0, "end": 492.0, "text": " vamos entonces a reemplazar en cada caso"}, {"start": 492.0, "end": 503.0, "text": " por aqu\u00ed tenemos que W es 6 menos 3X todo esto sobre 2X m\u00e1s 1"}, {"start": 503.0, "end": 508.0, "text": " y eso es igual a menos A es decir menos 1"}, {"start": 508.0, "end": 519.0, "text": " o W que es 6 menos 3X todo esto sobre 2X m\u00e1s 1"}, {"start": 519.0, "end": 523.0, "text": " y eso igualado al valor A que es 1"}, {"start": 523.0, "end": 527.0, "text": " y vamos a resolver en cada caso las ecuaciones"}, {"start": 527.0, "end": 532.0, "text": " por aqu\u00ed decimos que 6 menos 3X es igual a"}, {"start": 532.0, "end": 536.0, "text": " esta expresi\u00f3n pasa a multiplicar al otro lado"}, {"start": 536.0, "end": 542.0, "text": " entonces nos queda menos 1 que multiplica 2X m\u00e1s 1"}, {"start": 542.0, "end": 550.0, "text": " seguimos 6 menos 3X es igual a hacemos propiedad distributiva con este menos 1"}, {"start": 550.0, "end": 558.0, "text": " menos 1 por 2X da menos 2X y menos 1 por 1 nos da menos 1"}, {"start": 558.0, "end": 562.0, "text": " pasamos las X a un lado y dejamos los n\u00fameros al otro lado"}, {"start": 562.0, "end": 568.0, "text": " entonces en el lado izquierdo nos queda menos 3X m\u00e1s 2X"}, {"start": 568.0, "end": 574.0, "text": " y en el lado derecho nos queda menos 1 menos 6"}, {"start": 574.0, "end": 581.0, "text": " resolvemos por aqu\u00ed nos queda menos X y por ac\u00e1 nos queda menos 7"}, {"start": 581.0, "end": 586.0, "text": " multiplicamos ambos lados de la igualdad por menos 1"}, {"start": 586.0, "end": 590.0, "text": " para deshacernos de los signos negativos"}, {"start": 590.0, "end": 595.0, "text": " y obtenemos que X es igual a 7"}, {"start": 595.0, "end": 601.0, "text": " tenemos entonces una de las soluciones de la ecuaci\u00f3n"}, {"start": 601.0, "end": 608.0, "text": " ahora resolvemos por ac\u00e1 tenemos 6 menos 3X"}, {"start": 608.0, "end": 613.0, "text": " es igual a 1 que multiplica con toda esta expresi\u00f3n"}, {"start": 613.0, "end": 620.0, "text": " 2X m\u00e1s 1 pasa a multiplicar con 1 entonces nos queda 2X m\u00e1s 1"}, {"start": 620.0, "end": 625.0, "text": " nuevamente pasamos las X a un lado y los n\u00fameros al otro lado"}, {"start": 625.0, "end": 631.0, "text": " dejamos en el lado izquierdo las X nos queda menos 3X menos 2X"}, {"start": 631.0, "end": 636.0, "text": " y esto igual a 1 menos 6"}, {"start": 636.0, "end": 640.0, "text": " 6 est\u00e1 positivo pasa al otro lado negativo"}, {"start": 640.0, "end": 644.0, "text": " resolvemos por aqu\u00ed nos queda menos 5X"}, {"start": 644.0, "end": 650.0, "text": " y despejamos X menos 5 est\u00e1 multiplicando"}, {"start": 650.0, "end": 656.0, "text": " entonces pasa al otro lado a dividir pasa con su mismo signo"}, {"start": 656.0, "end": 662.0, "text": " y simplificando esta fracci\u00f3n nos da 1 positivo"}, {"start": 662.0, "end": 669.0, "text": " entonces de esta manera tenemos el otro valor para X"}, {"start": 669.0, "end": 674.0, "text": " como podemos observar ninguno de estos valores"}, {"start": 674.0, "end": 679.0, "text": " corresponde a la restricci\u00f3n que hab\u00edamos mencionado"}, {"start": 679.0, "end": 684.0, "text": " entonces esto quiere decir que ambos resultados se aceptan"}, {"start": 684.0, "end": 688.0, "text": " como soluci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n original"}, {"start": 688.0, "end": 693.0, "text": " entonces damos el conjunto soluci\u00f3n para esa ecuaci\u00f3n"}, {"start": 693.0, "end": 704.0, "text": " de la siguiente manera X es igual a 1 o 7"}, {"start": 704.0, "end": 710.0, "text": " X puede tomar cualquiera de estos valores para dar cumplimiento"}, {"start": 710.0, "end": 724.0, "text": " a la ecuaci\u00f3n original"}]

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IGUALDAD DE NÚMEROS COMPLEJOS

#julioprofe explica cómo determinar los valores de a y b para que se cumpla la igualdad 2a+3bi-b+ai=2-i Tema: #NumerosComplejos → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwGWSEDj2vQeCAU2VLSQyy9j REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

En este ejercicio debemos encontrar cuanto vale A y cuanto vale B para que se cumpla la igualdad de estos números completos. Bien, comenzamos por organizar el lado izquierdo, vamos a escribir 2A menos B más AY más 3DI y todo esto igual a 2 menos I. Agrupamos los términos que no contienen la I y los términos que sí contienen la I para que se vaya distinguiendo la parte real de la parte imaginaria. A continuación vamos a agrupar términos como decíamos para conformar la parte real y agrupamos los términos que conforman la parte imaginaria. Esto igual a 2 menos I. Este primer componente lo dejamos como está y aquí vamos a sacar factor común la I. Vamos a escribirla aquí a la derecha del paréntesis, nos queda entonces A más 3B dentro del paréntesis después de sacar factor común la I. Y todo esto lo igualamos con 2 menos I que lo podemos escribir como 1I y enseguida vamos a realizar la igualación de las partes reales entre sí y también las partes imaginarias entre sí. Tendremos entonces que 2A menos B es igual a 2 haciendo la igualación de las partes reales. Tenemos entonces una primera ecuación con las incógnitas que son A y B. Esta la vamos a llamar la ecuación número 1 y vamos a hacer lo mismo con las partes imaginarias. Tenemos A más 3B con su respectiva I y eso lo vamos a igualar a menos 1I. Podemos suprimir la unidad imaginaria es decir la I obteniendo la segunda ecuación A más 3B es igual a menos 1. Esa será entonces la ecuación número 2 para este ejercicio. Tenemos entonces dos ecuaciones con dos incógnitas es decir lo que se llama un sistema de ecuaciones lineales de 2 por 2. Lo escribimos por aquí y vamos a dar solución a este sistema utilizando el método de sustitución que consiste en despejar una letra de una de las ecuaciones para reemplazar ese despeje en la otra ecuación. Entonces por ejemplo podemos despejar de la ecuación número 2 lo que es la letra A. Si vemos que está fácil hacer el despeje de esa letra entonces A es igual a menos 1 menos 3B. Simplemente este término que está sumando pasa al otro lado a restar y esta nueva ecuación la llamamos la número 3. Ahora vamos a sustituir 3 en 1 es allí donde viene la sustitución. Entonces sustituimos 3 en 1 nos va a quedar entonces de la siguiente manera. 2 abrimos un paréntesis para reemplazar la expresión que equivale a la letra A. Así que nos dio menos 1 menos 3B y escribimos lo demás. Menos B igual a 2. Vamos entonces a solucionar esa ecuación. Por aquí hacemos propiedad distributiva. Queremos 2 por menos 1 que es menos 2. 2 por menos 3B nos da menos 6B. Escribimos lo demás. Y vamos a dejar en el lado izquierdo los términos que contienen la letra B. En el lado derecho pasamos todos los números. Este que está negativo pasa positivo a la derecha. Resolvemos aquí nos da menos 7B. Sumamos en el lado derecho nos da 4. Despejamos B nos queda 4 dividido entre menos 7. Recordemos que el número que está multiplicando pasa a dividir al otro lado con su signo. No debemos hacer cambio de signo en este caso. Si el número está multiplicando siendo negativo y pasa a dividir al otro lado, entonces conserva su signo. Aquí acomodamos el signo negativo. Este no debe quedar en el denominador. Debería entonces que la letra B equivale a menos 4 septimus. Y de esta manera hemos encontrado una de las incógnitas. Como ya conocemos B, entonces podemos encontrar el valor de A. Para ello podríamos reemplazar este resultado en cualquiera de estas expresiones. Pero debemos escoger la más sencilla. De todas, la expresión número 3 es la más conveniente porque ya tenemos la letra A despejada. Vamos a realizar el reemplazo de lo que nos dio B. B nos dio menos 4 septimus. Entonces allí lo sustituimos y vamos a resolver esas operaciones. Aquí seguimos por acá, nos queda menos 1. Y aquí multiplicamos menos 3 por menos 4 septimus. Menos por menos nos da más. Multiplicamos numeradores 3 por 4 es 12. Y multiplicamos los denominadores. Recordemos que aquí tenemos un 1 invisible. Ese 1 multiplica con 7 y nos queda 7 en el denominador. Podríamos cambiar este 1 por 7 septimus. Para facilitar la suma de fracciones. Debido a que se convierten en fracciones homogéneas. Fracciones de igual denominador. Conservamos ese denominador y hacemos la operación de los numeradores que es menos 7 más 12. Resolvemos y nos da que A es igual a 5 septimus. Y de esta manera encontramos la otra letra que nos pedía el problema. Hemos encontrado los valores de A y B que hacen cierta la igualdad inicial. Es decir, la igualdad de dos números complejos.

[{"start": 0.0, "end": 13.0, "text": " En este ejercicio debemos encontrar cuanto vale A y cuanto vale B para que se cumpla la igualdad de estos n\u00fameros completos."}, {"start": 13.0, "end": 35.0, "text": " Bien, comenzamos por organizar el lado izquierdo, vamos a escribir 2A menos B m\u00e1s AY m\u00e1s 3DI y todo esto igual a 2 menos I."}, {"start": 35.0, "end": 50.0, "text": " Agrupamos los t\u00e9rminos que no contienen la I y los t\u00e9rminos que s\u00ed contienen la I para que se vaya distinguiendo la parte real de la parte imaginaria."}, {"start": 50.0, "end": 70.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a agrupar t\u00e9rminos como dec\u00edamos para conformar la parte real y agrupamos los t\u00e9rminos que conforman la parte imaginaria."}, {"start": 70.0, "end": 86.0, "text": " Esto igual a 2 menos I. Este primer componente lo dejamos como est\u00e1 y aqu\u00ed vamos a sacar factor com\u00fan la I."}, {"start": 86.0, "end": 101.0, "text": " Vamos a escribirla aqu\u00ed a la derecha del par\u00e9ntesis, nos queda entonces A m\u00e1s 3B dentro del par\u00e9ntesis despu\u00e9s de sacar factor com\u00fan la I."}, {"start": 101.0, "end": 126.0, "text": " Y todo esto lo igualamos con 2 menos I que lo podemos escribir como 1I y enseguida vamos a realizar la igualaci\u00f3n de las partes reales entre s\u00ed y tambi\u00e9n las partes imaginarias entre s\u00ed."}, {"start": 126.0, "end": 140.0, "text": " Tendremos entonces que 2A menos B es igual a 2 haciendo la igualaci\u00f3n de las partes reales."}, {"start": 140.0, "end": 148.0, "text": " Tenemos entonces una primera ecuaci\u00f3n con las inc\u00f3gnitas que son A y B."}, {"start": 148.0, "end": 158.0, "text": " Esta la vamos a llamar la ecuaci\u00f3n n\u00famero 1 y vamos a hacer lo mismo con las partes imaginarias."}, {"start": 158.0, "end": 169.0, "text": " Tenemos A m\u00e1s 3B con su respectiva I y eso lo vamos a igualar a menos 1I."}, {"start": 169.0, "end": 187.0, "text": " Podemos suprimir la unidad imaginaria es decir la I obteniendo la segunda ecuaci\u00f3n A m\u00e1s 3B es igual a menos 1."}, {"start": 187.0, "end": 194.0, "text": " Esa ser\u00e1 entonces la ecuaci\u00f3n n\u00famero 2 para este ejercicio."}, {"start": 194.0, "end": 206.0, "text": " Tenemos entonces dos ecuaciones con dos inc\u00f3gnitas es decir lo que se llama un sistema de ecuaciones lineales de 2 por 2."}, {"start": 206.0, "end": 225.0, "text": " Lo escribimos por aqu\u00ed y vamos a dar soluci\u00f3n a este sistema utilizando el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n que consiste en despejar una letra de una de las ecuaciones"}, {"start": 225.0, "end": 229.0, "text": " para reemplazar ese despeje en la otra ecuaci\u00f3n."}, {"start": 229.0, "end": 241.0, "text": " Entonces por ejemplo podemos despejar de la ecuaci\u00f3n n\u00famero 2 lo que es la letra A."}, {"start": 241.0, "end": 251.0, "text": " Si vemos que est\u00e1 f\u00e1cil hacer el despeje de esa letra entonces A es igual a menos 1 menos 3B."}, {"start": 251.0, "end": 264.0, "text": " Simplemente este t\u00e9rmino que est\u00e1 sumando pasa al otro lado a restar y esta nueva ecuaci\u00f3n la llamamos la n\u00famero 3."}, {"start": 264.0, "end": 274.0, "text": " Ahora vamos a sustituir 3 en 1 es all\u00ed donde viene la sustituci\u00f3n."}, {"start": 274.0, "end": 284.0, "text": " Entonces sustituimos 3 en 1 nos va a quedar entonces de la siguiente manera."}, {"start": 284.0, "end": 293.0, "text": " 2 abrimos un par\u00e9ntesis para reemplazar la expresi\u00f3n que equivale a la letra A."}, {"start": 293.0, "end": 298.0, "text": " As\u00ed que nos dio menos 1 menos 3B y escribimos lo dem\u00e1s."}, {"start": 298.0, "end": 301.0, "text": " Menos B igual a 2."}, {"start": 301.0, "end": 305.0, "text": " Vamos entonces a solucionar esa ecuaci\u00f3n."}, {"start": 305.0, "end": 308.0, "text": " Por aqu\u00ed hacemos propiedad distributiva."}, {"start": 308.0, "end": 312.0, "text": " Queremos 2 por menos 1 que es menos 2."}, {"start": 312.0, "end": 317.0, "text": " 2 por menos 3B nos da menos 6B."}, {"start": 317.0, "end": 321.0, "text": " Escribimos lo dem\u00e1s."}, {"start": 321.0, "end": 328.0, "text": " Y vamos a dejar en el lado izquierdo los t\u00e9rminos que contienen la letra B."}, {"start": 328.0, "end": 332.0, "text": " En el lado derecho pasamos todos los n\u00fameros."}, {"start": 332.0, "end": 337.0, "text": " Este que est\u00e1 negativo pasa positivo a la derecha."}, {"start": 337.0, "end": 341.0, "text": " Resolvemos aqu\u00ed nos da menos 7B."}, {"start": 341.0, "end": 346.0, "text": " Sumamos en el lado derecho nos da 4."}, {"start": 346.0, "end": 352.0, "text": " Despejamos B nos queda 4 dividido entre menos 7."}, {"start": 352.0, "end": 360.0, "text": " Recordemos que el n\u00famero que est\u00e1 multiplicando pasa a dividir al otro lado con su signo."}, {"start": 360.0, "end": 364.0, "text": " No debemos hacer cambio de signo en este caso."}, {"start": 364.0, "end": 370.0, "text": " Si el n\u00famero est\u00e1 multiplicando siendo negativo y pasa a dividir al otro lado,"}, {"start": 370.0, "end": 373.0, "text": " entonces conserva su signo."}, {"start": 373.0, "end": 376.0, "text": " Aqu\u00ed acomodamos el signo negativo."}, {"start": 376.0, "end": 379.0, "text": " Este no debe quedar en el denominador."}, {"start": 379.0, "end": 388.0, "text": " Deber\u00eda entonces que la letra B equivale a menos 4 septimus."}, {"start": 388.0, "end": 394.0, "text": " Y de esta manera hemos encontrado una de las inc\u00f3gnitas."}, {"start": 394.0, "end": 399.0, "text": " Como ya conocemos B, entonces podemos encontrar el valor de A."}, {"start": 399.0, "end": 406.0, "text": " Para ello podr\u00edamos reemplazar este resultado en cualquiera de estas expresiones."}, {"start": 406.0, "end": 409.0, "text": " Pero debemos escoger la m\u00e1s sencilla."}, {"start": 409.0, "end": 418.0, "text": " De todas, la expresi\u00f3n n\u00famero 3 es la m\u00e1s conveniente porque ya tenemos la letra A despejada."}, {"start": 418.0, "end": 424.0, "text": " Vamos a realizar el reemplazo de lo que nos dio B."}, {"start": 424.0, "end": 428.0, "text": " B nos dio menos 4 septimus."}, {"start": 428.0, "end": 435.0, "text": " Entonces all\u00ed lo sustituimos y vamos a resolver esas operaciones."}, {"start": 435.0, "end": 439.0, "text": " Aqu\u00ed seguimos por ac\u00e1, nos queda menos 1."}, {"start": 439.0, "end": 443.0, "text": " Y aqu\u00ed multiplicamos menos 3 por menos 4 septimus."}, {"start": 443.0, "end": 446.0, "text": " Menos por menos nos da m\u00e1s."}, {"start": 446.0, "end": 450.0, "text": " Multiplicamos numeradores 3 por 4 es 12."}, {"start": 450.0, "end": 453.0, "text": " Y multiplicamos los denominadores."}, {"start": 453.0, "end": 457.0, "text": " Recordemos que aqu\u00ed tenemos un 1 invisible."}, {"start": 457.0, "end": 462.0, "text": " Ese 1 multiplica con 7 y nos queda 7 en el denominador."}, {"start": 462.0, "end": 468.0, "text": " Podr\u00edamos cambiar este 1 por 7 septimus."}, {"start": 468.0, "end": 473.0, "text": " Para facilitar la suma de fracciones."}, {"start": 473.0, "end": 477.0, "text": " Debido a que se convierten en fracciones homog\u00e9neas."}, {"start": 477.0, "end": 481.0, "text": " Fracciones de igual denominador."}, {"start": 481.0, "end": 492.0, "text": " Conservamos ese denominador y hacemos la operaci\u00f3n de los numeradores que es menos 7 m\u00e1s 12."}, {"start": 492.0, "end": 498.0, "text": " Resolvemos y nos da que A es igual a 5 septimus."}, {"start": 498.0, "end": 506.0, "text": " Y de esta manera encontramos la otra letra que nos ped\u00eda el problema."}, {"start": 506.0, "end": 513.0, "text": " Hemos encontrado los valores de A y B que hacen cierta la igualdad inicial."}, {"start": 513.0, "end": 541.0, "text": " Es decir, la igualdad de dos n\u00fameros complejos."}]

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DESIGUALDADES CUADRÁTICAS - Ejercicio 2

#julioprofe explica cómo solucionar una desigualdad o inecuación cuadrática (o de segundo grado). Tema: #Desigualdades → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEZkcrDeNKKyhTxj4A1b83M REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a encontrar el conjunto solución de esta desigualdad. Para iniciar vamos a realizar propiedad distributiva en el lado izquierdo. Tenemos que x por 3x nos da 3x al cuadrado y x por 2 nos queda 2x, término positivo. Todo esto mayor que lo que tenemos en la derecha que es un binomio al cuadrado. Vamos a recordar cómo se soluciona el binomio al cuadrado. Si tenemos a más b al cuadrado, esto es igual al primer término al cuadrado más dos veces el primer término por el segundo más el segundo término al cuadrado. Entonces vamos a desarrollar esta expresión utilizando este producto notable. Tenemos el primer término al cuadrado que es x al cuadrado más dos veces el primero por el segundo, 2 por x por 2 más el segundo término al cuadrado. Hemos aplicado lo que es el desarrollo de un binomio al cuadrado. Nos queda entonces 3x al cuadrado más 2x mayor que x al cuadrado más 4x resolviendo este producto más 2 al cuadrado que equivale a 4. Y vemos que la desigualdad empieza a tomar forma de desigualdad cuadrática. Entonces vamos a pasar estos términos para el lado izquierdo de tal forma que en este lado derecho nos quede cero. Tenemos entonces 3x al cuadrado más 2x, empiezan a pasar esos términos para llegar todos con signo negativo al lado izquierdo y nos va a quedar mayor o igual que cero. Operamos términos semejantes, tenemos por ejemplo este semejante con este, eso nos da 2x al cuadrado. Tenemos también términos semejantes los que contienen la x que son estos dos. Esa operación nos da menos 2x y el término independiente de la expresión que es menos 4 y todo esto mayor que cero. Podríamos simplicar esta expresión del lado izquierdo multiplicando ambos lados de la desigualdad por un medio. Como vemos todos los números son divisibles entre 2. Entonces si multiplicamos todo por un medio vamos a lograr reducir los números a la mitad. Multiplicamos ambos lados por esta cantidad que es positiva, por lo tanto el signo de la desigualdad no va a presentar ningún cambio. Entonces nos queda x cuadrado menos x menos 2 y al otro lado cero por un medio sigue siendo cero. Tenemos entonces lo que es una desigualdad o inequación cuadrática. Vamos a proceder a factorizar la parte izquierda, vamos a utilizar aquí el caso llamado trinomio de la forma x a la 2n más bx más c. Entonces recordemos que se abren dos paréntesis, se le saca la raíz cuadrada al primer término que es x que se escribe al comienzo de cada paréntesis. A continuación vamos a definir los signos en cada paréntesis. Aquí tenemos signo positivo, más por menos nos da menos, es el signo del primer paréntesis y menos por menos nos da más, signo del segundo paréntesis. A continuación buscamos dos números, uno negativo y otro positivo de tal forma que multiplicados nos de menos 2 y que sumados nos de menos 1. Aquí la x tiene como coeficiente menos 1, esos números son menos 2 y 1. Si los multiplicamos entre sí, menos 2 por 1 nos da menos 2 y si los sumamos, menos 2 más 1 nos da el menos 1 que acompaña a la letra x y todo esto es mayor que cero. A continuación buscamos los puntos críticos de la desigualdad, es decir los valores de x que vuelven cero, la parte izquierda de la misma. Entonces como ya la tenemos factorizada, entonces analizamos en que caso cada factor vale cero, si x menos 2 lo igualamos a cero, entonces vamos a obtener un punto crítico x igual a 2. Si x igual a 2 vuelve cero este primer factor y lo mismo hacemos con el segundo factor, si x más 1 lo igualamos a cero obtenemos que x es igual a menos 1. Entonces estos son los valores de x que vuelven cero la parte izquierda de la desigualdad, enseguida vamos a dibujar una recta que represente el conjunto de los números reales y sobre ella vamos a localizar estos dos números. Allí la podemos observar y tenemos entonces tres intervalos para examinar. Lo que vamos a hacer es seleccionar de cada zona un valor de x que pertenezca a cada conjunto, entonces del primer intervalo vamos a usar un valor de x que esté comprendido entre menos 1 y menos infinito, puede ser menos 2. Del segundo intervalo vamos a usar un valor de x comprendido entre menos 1 y 2 que puede ser por ejemplo el cero y del tercer intervalo podemos seleccionar x igual a 3 que es un número comprendido entre 2 y más infinito. Cada uno de los valores seleccionados los vamos a reemplazar en esta expresión, vamos a analizar que signo adopta cada uno de los factores de esta expresión. Entonces vamos a abrir paréntesis para anotar dentro de ellos los signos que se obtienen, vamos con x igual a menos 2, aquí si aquí se convierte en menos 2 tenemos menos 2 menos 2 que es menos 4 entonces en ese caso el primer paréntesis es negativo. Seguimos con x igual a menos 2 aquí, entonces menos 2 más 1 eso nos da menos 1, es decir signo negativo el segundo paréntesis. Vamos con x igual a 0 hacemos los mismos reemplazos entonces aquí 0 menos 2 eso nos da menos 2 es decir negativo y 0 más 1 nos da 1 positivo, vamos con x igual a 3 aquí 3 menos 2 nos da 1 positivo y 3 más 1 nos da 4 positivo. Efectuamos ley de los signos en cada caso entonces menos por menos nos da más, menos por más nos da menos y más por más nos da más. Vemos que la desigualdad nos dice que esta expresión tiene que ser mayor que 0 entonces debe ser positiva si todo esto es mayor que 0 entonces debe tener signo positivo. Por lo tanto las zonas positivas son las que sirven, entonces esta zona si sirve y esta también sirve, la zona negativa no sirve para esta desigualdad. Entonces vamos a repintar aquellas zonas que si sirvieron. Ahora tenemos que definir que sucede con los puntos críticos de la desigualdad es decir que sucede en menos 1 y en 2. Como la desigualdad tiene signo mayor, únicamente mayor que 0 entonces los puntos críticos de la desigualdad no hacen parte de la solución, se dice que son valores abiertos, entonces se pintan de esta manera con la bolita sin llenar. Si hubiéramos tenido aquí signo mayor o igual entonces los puntos críticos si habrían sido parte de la solución, en ese caso se tendrían que llenar las dos bolitas y significa que son valores cerrados. Para finalizar damos entonces el conjunto solución de la desigualdad de dos maneras, vamos a darlo como desigualdad y como intervalo. Entonces como desigualdad quedaría así, son los x menores que menos 1 unidos con los x mayores que 2, estos son los valores que satisfacen esta desigualdad que nos dan inicialmente. Y ahora como intervalo decimos que la solución son los x pertenecientes al intervalo que va desde menos infinito hasta menos 1 abierto en ambos extremos unión con el intervalo que va desde 2 hasta más infinito también abierto en sus dos extremos. De cualquiera de estas dos formas podemos presentar la respuesta, es así como terminamos la solución de esta desigualdad.

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TEOREMA DE LAMY - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo resolver un problema de estática utilizando el Teorema de Lamy. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

En este problema nos piden determinar las tensiones en las cuerdas 1, 2 y 3. Observamos un bloque de masa 50 kilogramos que se encuentra suspendido de la cuerda número 3. Comenzamos por dibujar las fuerzas que intervienen en el problema. Tenemos el peso del bloque y las tensiones en las cuerdas. Vamos a calcular el peso del bloque. Recordemos que el peso se obtiene multiplicando la masa por la gravedad. Tenemos una masa de 50 kilogramos que vamos a multiplicar por 9,8 metros por segundo cuadrado. Es el valor que se toma para la gravedad. Eso nos da un resultado de 490 newtones. Tenemos de esa manera el valor del peso del bloque. En seguida hacemos el análisis de este cuerpo que se encuentra en equilibrio vertical. Tenemos que en esta dirección se encuentra totalmente estático. Por lo tanto la sumatoria de fuerzas verticales o en dirección del eje Y, imaginando que aquí tenemos un plano cartesiano, la sumatoria de fuerzas en Y es igual a cero, tomando como fuerzas positivas las que van hacia arriba. Nos concentramos únicamente en este bloque donde las fuerzas que actúan son la tensión 3 y el peso W. Entonces T3 será positiva porque va hacia arriba y W será negativa porque va hacia abajo. Esto lo igualamos a cero porque es la condición para que haya equilibrio vertical. Despejamos T3 y nos queda igual a W, es decir al peso, de donde T3 vale 490 newtons. Tenemos entonces el valor de la tensión en la cuerda 3, 490 newtons y es este mismo valor que tenemos aquí. Recordemos que por cada cuerda existe la misma tensión en todos sus puntos. Aquí tenemos el nudo donde concurren las tres cuerdas, entonces esta tensión 3 vale lo mismo que esta, que es 490 newtons. A continuación trazamos por el nudo una línea horizontal que es paralela al techo. Para el caso de la cuerda 1 que actúa como secante o transversal, este ángulo de 30 grados va a ser igual a este que tenemos aquí. Son ángulos alternos e internos entre paralelas. Tenemos 30 grados por acá, pero como aquí tenemos ángulo recto, ángulo de 90 grados, sumamos los dos ángulos para determinar esta abertura. Entonces 30 más 90 nos da un ángulo de 120 grados, que vamos a marcar por aquí, ángulo de 120 grados. Lo mismo hacemos con la cuerda 2, teniendo estas dos líneas paralelas y siendo la cuerda 2 una secante o transversal. Este ángulo de 45 grados va a ser el mismo que este que tenemos aquí, también por ser ángulos alternos e internos entre paralelas. Tenemos entonces 45 grados más 90 grados que tenemos acá, nos da un ángulo total de 135 grados. Que viene siendo entonces el ángulo formado por las tensiones T3 y T2. Ahora utilizamos la propiedad que se cumple en todos los triángulos de que la suma de los ángulos internos es igual a 180 grados. Entonces para el caso de este triángulo conocemos dos de sus ángulos que suman 75 grados, por lo tanto este ángulo será lo que le falta a 75 para llegar a 180 grados. Entonces este ángulo tiene una medida de 105 grados. Observamos entonces una situación donde podemos aplicar el teorema de La Mi, porque tenemos tres fuerzas, en este caso las tres tensiones, que son fuerzas equilibradas. Si sumamos vectorialmente T1 más T2 más T3, si como vectores tendremos que esto es igual al vector nulo, es decir, al vector de módulo o magnitud cero. Esto se debe a que tenemos una situación donde hay perfecto equilibrio, es decir, una situación estática. Vamos entonces a borrar aquello que no necesitamos y vamos a dejar únicamente las fuerzas y los ángulos necesarios para aplicar el teorema de La Mi. Decimos entonces que la tensión 3 es al seno de su ángulo opuesto que es 105 grados, como la tensión 1 es al seno de su ángulo opuesto que es 135 grados. Pero conocemos el valor de la tensión 3, entonces vamos a cambiarlo aquí, tenemos 490 newtons. Entonces de allí despejamos T1, simplemente este término pasa a multiplicar a 490, entonces tenemos la siguiente operación, 490 newtons que multiplica al seno de 135 grados y todo esto dividido entre el seno de 105 grados. Resolviendo todo esto en calculadora nos da como resultado 358,70 newtons, que es el valor de la tensión en la cuerda 1. Anotamos por aquí los resultados obtenidos y nuevamente vamos a utilizar el teorema de La Mi para determinar la tensión que nos falta, es decir la tensión en la cuerda 2. Podemos decir nuevamente que 490 newtons es al seno de 105 grados, haciendo referencia a T3 y el seno de su ángulo opuesto, como T2 es al seno de 120 grados, es decir el seno de su ángulo opuesto. Despejamos T2, nos queda entonces 490 newtons por seno de 120 grados y todo esto dividido entre seno de 105 grados. Resolviendo todo esto en calculadora nos da como resultado 439,32 newtons y de esta manera encontramos la tensión en la cuerda 2. Hemos visto entonces como usando el teorema de La Mi podemos resolver rápidamente una situación estática como la que acabamos de observar. En la vida real un análisis de estos sirve para determinar los materiales que debemos escoger para las cuerdas de tal manera que soporten estas tensiones y ninguna de las cuerdas se vaya a romper.

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136.0, "end": 142.0, "text": " Esto lo igualamos a cero porque es la condici\u00f3n para que haya equilibrio vertical."}, {"start": 142.0, "end": 154.0, "text": " Despejamos T3 y nos queda igual a W, es decir al peso, de donde T3 vale 490 newtons."}, {"start": 154.0, "end": 167.0, "text": " Tenemos entonces el valor de la tensi\u00f3n en la cuerda 3, 490 newtons y es este mismo valor que tenemos aqu\u00ed."}, {"start": 167.0, "end": 175.0, "text": " Recordemos que por cada cuerda existe la misma tensi\u00f3n en todos sus puntos."}, {"start": 175.0, "end": 189.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos el nudo donde concurren las tres cuerdas, entonces esta tensi\u00f3n 3 vale lo mismo que esta, que es 490 newtons."}, {"start": 189.0, "end": 199.0, "text": " A continuaci\u00f3n trazamos por el nudo una l\u00ednea horizontal que es paralela al techo."}, {"start": 199.0, "end": 216.0, "text": " Para el caso de la cuerda 1 que act\u00faa como secante o transversal, este \u00e1ngulo de 30 grados va a ser igual a este que tenemos aqu\u00ed."}, {"start": 216.0, "end": 220.0, "text": " Son \u00e1ngulos alternos e internos entre paralelas."}, {"start": 220.0, "end": 235.0, "text": " Tenemos 30 grados por ac\u00e1, pero como aqu\u00ed tenemos \u00e1ngulo recto, \u00e1ngulo de 90 grados, sumamos los dos \u00e1ngulos para determinar esta abertura."}, {"start": 235.0, "end": 252.0, "text": " Entonces 30 m\u00e1s 90 nos da un \u00e1ngulo de 120 grados, que vamos a marcar por aqu\u00ed, \u00e1ngulo de 120 grados."}, {"start": 252.0, "end": 263.0, "text": " Lo mismo hacemos con la cuerda 2, teniendo estas dos l\u00edneas paralelas y siendo la cuerda 2 una secante o transversal."}, {"start": 263.0, "end": 275.0, "text": " Este \u00e1ngulo de 45 grados va a ser el mismo que este que tenemos aqu\u00ed, tambi\u00e9n por ser \u00e1ngulos alternos e internos entre paralelas."}, {"start": 275.0, "end": 289.0, "text": " Tenemos entonces 45 grados m\u00e1s 90 grados que tenemos ac\u00e1, nos da un \u00e1ngulo total de 135 grados."}, {"start": 289.0, "end": 297.0, "text": " Que viene siendo entonces el \u00e1ngulo formado por las tensiones T3 y T2."}, {"start": 297.0, "end": 310.0, "text": " Ahora utilizamos la propiedad que se cumple en todos los tri\u00e1ngulos de que la suma de los \u00e1ngulos internos es igual a 180 grados."}, {"start": 310.0, "end": 329.0, "text": " Entonces para el caso de este tri\u00e1ngulo conocemos dos de sus \u00e1ngulos que suman 75 grados, por lo tanto este \u00e1ngulo ser\u00e1 lo que le falta a 75 para llegar a 180 grados."}, {"start": 329.0, "end": 336.0, "text": " Entonces este \u00e1ngulo tiene una medida de 105 grados."}, {"start": 336.0, "end": 352.0, "text": " Observamos entonces una situaci\u00f3n donde podemos aplicar el teorema de La Mi, porque tenemos tres fuerzas, en este caso las tres tensiones, que son fuerzas equilibradas."}, {"start": 352.0, "end": 369.0, "text": " Si sumamos vectorialmente T1 m\u00e1s T2 m\u00e1s T3, si como vectores tendremos que esto es igual al vector nulo, es decir, al vector de m\u00f3dulo o magnitud cero."}, {"start": 369.0, "end": 378.0, "text": " Esto se debe a que tenemos una situaci\u00f3n donde hay perfecto equilibrio, es decir, una situaci\u00f3n est\u00e1tica."}, {"start": 378.0, "end": 392.0, "text": " Vamos entonces a borrar aquello que no necesitamos y vamos a dejar \u00fanicamente las fuerzas y los \u00e1ngulos necesarios para aplicar el teorema de La Mi."}, {"start": 392.0, "end": 419.0, "text": " Decimos entonces que la tensi\u00f3n 3 es al seno de su \u00e1ngulo opuesto que es 105 grados, como la tensi\u00f3n 1 es al seno de su \u00e1ngulo opuesto que es 135 grados."}, {"start": 419.0, "end": 431.0, "text": " Pero conocemos el valor de la tensi\u00f3n 3, entonces vamos a cambiarlo aqu\u00ed, tenemos 490 newtons."}, {"start": 431.0, "end": 459.0, "text": " Entonces de all\u00ed despejamos T1, simplemente este t\u00e9rmino pasa a multiplicar a 490, entonces tenemos la siguiente operaci\u00f3n, 490 newtons que multiplica al seno de 135 grados y todo esto dividido entre el seno de 105 grados."}, {"start": 459.0, "end": 477.0, "text": " Resolviendo todo esto en calculadora nos da como resultado 358,70 newtons, que es el valor de la tensi\u00f3n en la cuerda 1."}, {"start": 477.0, "end": 493.0, "text": " Anotamos por aqu\u00ed los resultados obtenidos y nuevamente vamos a utilizar el teorema de La Mi para determinar la tensi\u00f3n que nos falta, es decir la tensi\u00f3n en la cuerda 2."}, {"start": 493.0, "end": 522.0, "text": " Podemos decir nuevamente que 490 newtons es al seno de 105 grados, haciendo referencia a T3 y el seno de su \u00e1ngulo opuesto, como T2 es al seno de 120 grados, es decir el seno de su \u00e1ngulo opuesto."}, {"start": 522.0, "end": 540.0, "text": " Despejamos T2, nos queda entonces 490 newtons por seno de 120 grados y todo esto dividido entre seno de 105 grados."}, {"start": 540.0, "end": 559.0, "text": " Resolviendo todo esto en calculadora nos da como resultado 439,32 newtons y de esta manera encontramos la tensi\u00f3n en la cuerda 2."}, {"start": 559.0, "end": 574.0, "text": " Hemos visto entonces como usando el teorema de La Mi podemos resolver r\u00e1pidamente una situaci\u00f3n est\u00e1tica como la que acabamos de observar."}, {"start": 574.0, "end": 594.0, "text": " En la vida real un an\u00e1lisis de estos sirve para determinar los materiales que debemos escoger para las cuerdas de tal manera que soporten estas tensiones y ninguna de las cuerdas se vaya a romper."}]

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TEOREMA DE LAMY - Demostración

#julioprofe hace la demostración del Teorema de Lamy. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

El francés Bernard Lamy, enunció el siguiente teorema. Si tres fuerzas coplanares están equilibradas, entonces la magnitud de cada una es directamente proporcional al seno de su ángulo opuesto. Como vemos en este dibujo, tenemos tres fuerzas coplanares, es decir que pertenecen al plano de la pizarra y tenemos que se encuentran equilibradas. Esto significa que si hacemos la sumatoria de ellas nos tiene que dar igual a cero, es decir, el vector nulo. En otras palabras, si tenemos f1 más f2 más f3 sumadas como vectores, entonces eso será igual a cero, es decir, el vector nulo. Son fuerzas que se anulan entre sí si las sumamos, produciendo entonces una situación de equilibrio. Lo que enunció el señor Lamy es que la magnitud o el mordo de cada fuerza es directamente proporcional al seno de su ángulo opuesto. Entonces, la magnitud de la fuerza f1, que la llamamos simplemente f1 sin la flechita encima, es al seno del ángulo alfa, es decir, el ángulo opuesto. Como la magnitud de la fuerza 2, es decir, f2 es al seno de beta, es decir, el ángulo opuesto. Y esto como la magnitud de la fuerza 3, es decir, f3 es al seno de su ángulo opuesto, que es theta. Vamos a realizar entonces la demostración de esta expresión que es el enunciado del teorema de Lamy. Comenzamos haciendo lo siguiente. Por el extremo de f1 y de f2 vamos a trazar líneas rectas paralelas a la fuerza 3 y al mismo tiempo, por el extremo de f3 vamos a trazar una línea recta paralela a f1 y otra línea recta paralela a f2. Allí podemos observar esas líneas y lo que hemos construido hasta el momento son dos paralelogramos. Recordemos que en este tipo de cuadrilateros se cumple que ángulos consecutivos son suplementarios, es decir, suman 180 grados. Entonces, si tenemos que este ángulo mide beta, entonces este de aquí será un ángulo cuya medida es 180 grados menos beta, es decir, el suplemento de este ángulo beta. Vamos a quitar este ángulo y otra propiedad que cumplen los paralelogramos es que los lados opuestos son congruentes o son iguales. Entonces podemos tomar este vector f3 y trasladarlo a este lado. Vamos entonces a dibujarlo de tal forma que coincida con esta línea. Aquí tenemos entonces el vector f3 y en este paralelogramos también tenemos que estos ángulos son suplementarios. Por lo tanto, si la medida de este ángulo es alpha, entonces la medida de este será 180 grados menos alpha, es decir, el suplemento de este ángulo cuya medida es alpha. Vamos entonces a dibujar el vector f2 aquí coincidiendo con este lado opuesto y, como decíamos, aprovechando la propiedad de los paralelogramos donde los lados opuestos son iguales. Aquí tenemos entonces la fuerza f2 y a continuación vamos a tomar este mismo vector y lo vamos a dibujar en este sitio. Vamos a dar entonces cumplimiento al hecho de que las tres fuerzas sumadas entre sí se anulan. Aquí tenemos entonces la fuerza f2 y, como observamos en esta parte, el ángulo que forma f3 con f2 es 180 grados menos alpha. Entonces es el mismo ángulo que tenemos aquí formado por f3 y f2, entonces escribimos su valor, 180 grados menos alpha. También podemos observar que estos dos vectores quedan sobre una misma línea recta. Se trata de dos vectores iguales donde esta línea imaginaria determina su dirección. Entonces, si este ángulo es theta, entonces este será el suplemento de theta. Recordemos que son ángulos adyacentes, es decir, ángulos vecinos que forman un ángulo llano, es decir, un ángulo de 180 grados. Entonces la medida de este ángulo será 180 grados menos theta, es decir, el suplemento de este ángulo. Como podemos observar, tenemos un triángulo formado por las tres fuerzas. Vamos a nombrar esta fuerza f1 por aquí. Y podemos apreciar entonces que la suma de esas tres fuerzas, f1 más f2 más f3 sumadas como vectores que son, nos da igual al vector nulo, o sea, al vector de magnitud cero. Vemos que son fuerzas que cierran el triángulo. Entonces eso nos garantiza la condición de equilibrio que debe existir en ellas. Si la sumatoria de fuerzas debe ser igual a cero prácticamente, es decir, la condición que nos plantea el teorema del ámbito. En ese triángulo podemos hacer uso del concepto de la trigonometría conocido como la ley de senos. Esta nos dice que en cualquier triángulo ABC se cumple que el lado A es al seno del ángulo opuesto, es decir, de este ángulo A, como el lado B es al seno del ángulo opuesto, es decir, este ángulo B, como el lado C es al seno del ángulo opuesto C. Entonces, esto mismo podemos aplicarlo en este triángulo. Veamos cómo nos quedaría. Decimos que el módulo con la magnitud de la fuerza 1, es decir, F1 es al seno de 180 grados menos alfa, como F2 es al seno de su ángulo opuesto, que es 180 grados menos beta, como F3 es al seno del ángulo opuesto, que es 180 grados menos beta. Entonces vemos la aplicación de este concepto trigonométrico en la física. También de la trigonometría tenemos la identidad para el seno de la resta de los ángulos. Si tenemos el seno de X menos Y, eso es igual al seno de X por el coseno de Y menos el seno de Y por el coseno de X. Entonces vamos a aplicar esa identidad para ver en qué se convierte cada una de estas expresiones que tenemos en los denominadores. Veamos para el caso de seno de 180 grados, por ejemplo, menos un ángulo T. Lo siguiente sería el seno de 180 grados por el coseno de T menos el seno de T por el coseno de 180 grados, aplicando la identidad trigonométrica. Tenemos que el seno de 180 grados equivale a cero y que el coseno de 180 grados es igual a menos uno. Por lo tanto, este primer término se convierte en cero y el segundo término nos queda positivo y es igual a seno de T. Conclusión, el seno de 180 grados menos T es igual al seno de T. Entonces, utilizando esto que acabamos de demostrar, tenemos que el seno de 180 grados menos alfa equivale al seno de alfa. Tenemos que el seno de 180 grados menos beta equivale al seno de beta y que el seno de 180 grados menos beta equivale al seno de theta. Y de esta manera llegamos a la expresión que damos al comienzo, es decir, lo que enuncia el teorema de LAMY. Tenemos entonces de esta manera la demostración de lo que nos dice ese importante teorema.

[{"start": 0.0, "end": 7.0, "text": " El franc\u00e9s Bernard Lamy, enunci\u00f3 el siguiente teorema."}, {"start": 7.0, "end": 21.0, "text": " Si tres fuerzas coplanares est\u00e1n equilibradas, entonces la magnitud de cada una es directamente proporcional al seno de su \u00e1ngulo opuesto."}, {"start": 21.0, "end": 37.0, "text": " Como vemos en este dibujo, tenemos tres fuerzas coplanares, es decir que pertenecen al plano de la pizarra y tenemos que se encuentran equilibradas."}, {"start": 37.0, "end": 50.0, "text": " Esto significa que si hacemos la sumatoria de ellas nos tiene que dar igual a cero, es decir, el vector nulo."}, {"start": 50.0, "end": 70.0, "text": " En otras palabras, si tenemos f1 m\u00e1s f2 m\u00e1s f3 sumadas como vectores, entonces eso ser\u00e1 igual a cero, es decir, el vector nulo."}, {"start": 70.0, "end": 80.0, "text": " Son fuerzas que se anulan entre s\u00ed si las sumamos, produciendo entonces una situaci\u00f3n de equilibrio."}, {"start": 80.0, "end": 96.0, "text": " Lo que enunci\u00f3 el se\u00f1or Lamy es que la magnitud o el mordo de cada fuerza es directamente proporcional al seno de su \u00e1ngulo opuesto."}, {"start": 96.0, "end": 113.0, "text": " Entonces, la magnitud de la fuerza f1, que la llamamos simplemente f1 sin la flechita encima, es al seno del \u00e1ngulo alfa, es decir, el \u00e1ngulo opuesto."}, {"start": 113.0, "end": 126.0, "text": " Como la magnitud de la fuerza 2, es decir, f2 es al seno de beta, es decir, el \u00e1ngulo opuesto."}, {"start": 126.0, "end": 139.0, "text": " Y esto como la magnitud de la fuerza 3, es decir, f3 es al seno de su \u00e1ngulo opuesto, que es theta."}, {"start": 139.0, "end": 151.0, "text": " Vamos a realizar entonces la demostraci\u00f3n de esta expresi\u00f3n que es el enunciado del teorema de Lamy."}, {"start": 151.0, "end": 155.0, "text": " Comenzamos haciendo lo siguiente."}, {"start": 155.0, "end": 182.0, "text": " Por el extremo de f1 y de f2 vamos a trazar l\u00edneas rectas paralelas a la fuerza 3 y al mismo tiempo, por el extremo de f3 vamos a trazar una l\u00ednea recta paralela a f1 y otra l\u00ednea recta paralela a f2."}, {"start": 182.0, "end": 193.0, "text": " All\u00ed podemos observar esas l\u00edneas y lo que hemos construido hasta el momento son dos paralelogramos."}, {"start": 193.0, "end": 208.0, "text": " Recordemos que en este tipo de cuadrilateros se cumple que \u00e1ngulos consecutivos son suplementarios, es decir, suman 180 grados."}, {"start": 208.0, "end": 230.0, "text": " Entonces, si tenemos que este \u00e1ngulo mide beta, entonces este de aqu\u00ed ser\u00e1 un \u00e1ngulo cuya medida es 180 grados menos beta, es decir, el suplemento de este \u00e1ngulo beta."}, {"start": 230.0, "end": 245.0, "text": " Vamos a quitar este \u00e1ngulo y otra propiedad que cumplen los paralelogramos es que los lados opuestos son congruentes o son iguales."}, {"start": 245.0, "end": 252.0, "text": " Entonces podemos tomar este vector f3 y trasladarlo a este lado."}, {"start": 252.0, "end": 259.0, "text": " Vamos entonces a dibujarlo de tal forma que coincida con esta l\u00ednea."}, {"start": 259.0, "end": 272.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos entonces el vector f3 y en este paralelogramos tambi\u00e9n tenemos que estos \u00e1ngulos son suplementarios."}, {"start": 272.0, "end": 292.0, "text": " Por lo tanto, si la medida de este \u00e1ngulo es alpha, entonces la medida de este ser\u00e1 180 grados menos alpha, es decir, el suplemento de este \u00e1ngulo cuya medida es alpha."}, {"start": 292.0, "end": 313.0, "text": " Vamos entonces a dibujar el vector f2 aqu\u00ed coincidiendo con este lado opuesto y, como dec\u00edamos, aprovechando la propiedad de los paralelogramos donde los lados opuestos son iguales."}, {"start": 313.0, "end": 328.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos entonces la fuerza f2 y a continuaci\u00f3n vamos a tomar este mismo vector y lo vamos a dibujar en este sitio."}, {"start": 328.0, "end": 339.0, "text": " Vamos a dar entonces cumplimiento al hecho de que las tres fuerzas sumadas entre s\u00ed se anulan."}, {"start": 339.0, "end": 356.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos entonces la fuerza f2 y, como observamos en esta parte, el \u00e1ngulo que forma f3 con f2 es 180 grados menos alpha."}, {"start": 356.0, "end": 372.0, "text": " Entonces es el mismo \u00e1ngulo que tenemos aqu\u00ed formado por f3 y f2, entonces escribimos su valor, 180 grados menos alpha."}, {"start": 372.0, "end": 389.0, "text": " Tambi\u00e9n podemos observar que estos dos vectores quedan sobre una misma l\u00ednea recta. Se trata de dos vectores iguales donde esta l\u00ednea imaginaria determina su direcci\u00f3n."}, {"start": 389.0, "end": 411.0, "text": " Entonces, si este \u00e1ngulo es theta, entonces este ser\u00e1 el suplemento de theta. Recordemos que son \u00e1ngulos adyacentes, es decir, \u00e1ngulos vecinos que forman un \u00e1ngulo llano, es decir, un \u00e1ngulo de 180 grados."}, {"start": 411.0, "end": 424.0, "text": " Entonces la medida de este \u00e1ngulo ser\u00e1 180 grados menos theta, es decir, el suplemento de este \u00e1ngulo."}, {"start": 424.0, "end": 438.0, "text": " Como podemos observar, tenemos un tri\u00e1ngulo formado por las tres fuerzas. Vamos a nombrar esta fuerza f1 por aqu\u00ed."}, {"start": 438.0, "end": 464.0, "text": " Y podemos apreciar entonces que la suma de esas tres fuerzas, f1 m\u00e1s f2 m\u00e1s f3 sumadas como vectores que son, nos da igual al vector nulo, o sea, al vector de magnitud cero."}, {"start": 464.0, "end": 478.0, "text": " Vemos que son fuerzas que cierran el tri\u00e1ngulo. Entonces eso nos garantiza la condici\u00f3n de equilibrio que debe existir en ellas."}, {"start": 478.0, "end": 489.0, "text": " Si la sumatoria de fuerzas debe ser igual a cero pr\u00e1cticamente, es decir, la condici\u00f3n que nos plantea el teorema del \u00e1mbito."}, {"start": 489.0, "end": 504.0, "text": " En ese tri\u00e1ngulo podemos hacer uso del concepto de la trigonometr\u00eda conocido como la ley de senos."}, {"start": 504.0, "end": 520.0, "text": " Esta nos dice que en cualquier tri\u00e1ngulo ABC se cumple que el lado A es al seno del \u00e1ngulo opuesto, es decir, de este \u00e1ngulo A,"}, {"start": 520.0, "end": 541.0, "text": " como el lado B es al seno del \u00e1ngulo opuesto, es decir, este \u00e1ngulo B, como el lado C es al seno del \u00e1ngulo opuesto C."}, {"start": 541.0, "end": 550.0, "text": " Entonces, esto mismo podemos aplicarlo en este tri\u00e1ngulo. Veamos c\u00f3mo nos quedar\u00eda."}, {"start": 550.0, "end": 577.0, "text": " Decimos que el m\u00f3dulo con la magnitud de la fuerza 1, es decir, F1 es al seno de 180 grados menos alfa, como F2 es al seno de su \u00e1ngulo opuesto,"}, {"start": 577.0, "end": 599.0, "text": " que es 180 grados menos beta, como F3 es al seno del \u00e1ngulo opuesto, que es 180 grados menos beta."}, {"start": 599.0, "end": 609.0, "text": " Entonces vemos la aplicaci\u00f3n de este concepto trigonom\u00e9trico en la f\u00edsica."}, {"start": 609.0, "end": 620.0, "text": " Tambi\u00e9n de la trigonometr\u00eda tenemos la identidad para el seno de la resta de los \u00e1ngulos."}, {"start": 620.0, "end": 635.0, "text": " Si tenemos el seno de X menos Y, eso es igual al seno de X por el coseno de Y menos el seno de Y por el coseno de X."}, {"start": 635.0, "end": 647.0, "text": " Entonces vamos a aplicar esa identidad para ver en qu\u00e9 se convierte cada una de estas expresiones que tenemos en los denominadores."}, {"start": 647.0, "end": 657.0, "text": " Veamos para el caso de seno de 180 grados, por ejemplo, menos un \u00e1ngulo T."}, {"start": 657.0, "end": 682.0, "text": " Lo siguiente ser\u00eda el seno de 180 grados por el coseno de T menos el seno de T por el coseno de 180 grados, aplicando la identidad trigonom\u00e9trica."}, {"start": 682.0, "end": 695.0, "text": " Tenemos que el seno de 180 grados equivale a cero y que el coseno de 180 grados es igual a menos uno."}, {"start": 695.0, "end": 707.0, "text": " Por lo tanto, este primer t\u00e9rmino se convierte en cero y el segundo t\u00e9rmino nos queda positivo y es igual a seno de T."}, {"start": 707.0, "end": 720.0, "text": " Conclusi\u00f3n, el seno de 180 grados menos T es igual al seno de T."}, {"start": 720.0, "end": 735.0, "text": " Entonces, utilizando esto que acabamos de demostrar, tenemos que el seno de 180 grados menos alfa equivale al seno de alfa."}, {"start": 735.0, "end": 752.0, "text": " Tenemos que el seno de 180 grados menos beta equivale al seno de beta y que el seno de 180 grados menos beta equivale al seno de theta."}, {"start": 752.0, "end": 768.0, "text": " Y de esta manera llegamos a la expresi\u00f3n que damos al comienzo, es decir, lo que enuncia el teorema de LAMY."}, {"start": 768.0, "end": 782.0, "text": " Tenemos entonces de esta manera la demostraci\u00f3n de lo que nos dice ese importante teorema."}]

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ECUACIÓN CON LA PENDIENTE DE UNA RECTA

#julioprofe explica cómo resolver el siguiente ejercicio: Si una recta pasa por los puntos (-2,-6) y (-5,p) y tiene pendiente -9/4, hallar el valor de p. Tema: #RectasEnElPlano → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEE0pZfwFlPSqWqbgnFQTKu REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Si una recta pasa por los puntos, menos 2, menos 6 y menos 5,p y tiene pendiente menos 9 cuartos, hallar el valor de p. Bien, comenzamos escribiendo la información que nos da el problema, es decir, los dos puntos y el valor de la pendiente. Y hacemos uso de la formula para encontrar la pendiente de una recta, que se denota con la letra m. La pendiente es igual a diferencia de coordenadas sobre diferencia de abscisas. Es decir, que la pendiente es igual a y2 menos y1 todo esto sobre x2 menos x1. Esta es la formula con la expresión que nos permite determinar la pendiente de una recta. Nombramos los puntos que nos dan como las parejas x1 y1 y x2 y2. Y entonces vamos a reemplazar toda esta información aquí en la formula de la pendiente. Veamos, la pendiente vale menos 9 cuartos, esto es igual a y2 que vale p, es decir, la letra que buscamos, menos y1 que vale menos 6. Es conveniente escribir ese valor dentro de un paréntesis. Todo esto sobre x2 que vale menos 5 menos x1 que vale menos 2. También se recomienda usar paréntesis para ese valor. Por ser negativo. Entonces vamos a resolver esta ecuación que se nos ha formado donde la incógnita es la letra p. Comenzamos por destruir paréntesis. En el numerador nos queda p más 6, si menos por menos da más. Y en el denominador también hacemos ley de los signos, menos por menos más y nos queda menos 5 más 2. Continuando con el desarrollo de la ecuación, tenemos que menos 9 cuartos es igual a p más 6 sobre el resultado de esta operación. Menos 5 más 2 nos da menos 3. Y allí tenemos lo que es la igualdad de dos fracciones. Entonces hacemos uso de la siguiente propiedad. Si tenemos dos fracciones igualadas, entonces se cumple que a por d es igual a b por c. En términos de lo que es una proporción, es decir la igualdad de dos razones, entonces la propiedad dice que el producto de los extremos, es decir a por d, es igual al producto de los medios, es decir b por c. Entonces vamos a aplicar esta propiedad allí en la ecuación que estamos resolviendo. Tendremos entonces que menos 9 por menos 3 es igual a 4 que multiplica a p más 6. Vamos a resolver en cada caso, menos 9 por menos 3 nos da 27 positivo. Y aquí hacemos la propiedad distributiva. Entonces tenemos 4 por p que es 4p y 4 por 6 que es más 24. De allí debemos dejar solo este término que contiene la letra p, es decir la letra que buscamos. Pasamos entonces este 24 para el otro lado. Nos queda 27 menos 24 es igual a 4p. Resolvemos esa resta, nos da 3, 3 es igual a 4p. Y de aquí esperamos p. Para ello 4 que está multiplicando pasa a dividir al otro lado. Nos queda entonces que p es igual a 3 cuartos. Y de esta manera terminamos este ejercicio. Y hemos encontrado el valor de la letra p.

[{"start": 0.0, "end": 3.0, "text": " Si una recta pasa por los puntos,"}, {"start": 3.0, "end": 7.0, "text": " menos 2, menos 6 y menos 5,p"}, {"start": 7.0, "end": 11.0, "text": " y tiene pendiente menos 9 cuartos,"}, {"start": 11.0, "end": 14.0, "text": " hallar el valor de p."}, {"start": 14.0, "end": 20.0, "text": " Bien, comenzamos escribiendo la informaci\u00f3n que nos da el problema,"}, {"start": 20.0, "end": 25.0, "text": " es decir, los dos puntos y el valor de la pendiente."}, {"start": 25.0, "end": 32.0, "text": " Y hacemos uso de la formula para encontrar la pendiente de una recta,"}, {"start": 32.0, "end": 34.0, "text": " que se denota con la letra m."}, {"start": 34.0, "end": 43.0, "text": " La pendiente es igual a diferencia de coordenadas sobre diferencia de abscisas."}, {"start": 43.0, "end": 55.0, "text": " Es decir, que la pendiente es igual a y2 menos y1 todo esto sobre x2 menos x1."}, {"start": 55.0, "end": 63.0, "text": " Esta es la formula con la expresi\u00f3n que nos permite determinar la pendiente de una recta."}, {"start": 63.0, "end": 73.0, "text": " Nombramos los puntos que nos dan como las parejas x1 y1 y x2 y2."}, {"start": 73.0, "end": 80.0, "text": " Y entonces vamos a reemplazar toda esta informaci\u00f3n aqu\u00ed en la formula de la pendiente."}, {"start": 80.0, "end": 86.0, "text": " Veamos, la pendiente vale menos 9 cuartos,"}, {"start": 86.0, "end": 97.0, "text": " esto es igual a y2 que vale p, es decir, la letra que buscamos, menos y1 que vale menos 6."}, {"start": 97.0, "end": 102.0, "text": " Es conveniente escribir ese valor dentro de un par\u00e9ntesis."}, {"start": 102.0, "end": 111.0, "text": " Todo esto sobre x2 que vale menos 5 menos x1 que vale menos 2."}, {"start": 111.0, "end": 115.0, "text": " Tambi\u00e9n se recomienda usar par\u00e9ntesis para ese valor."}, {"start": 115.0, "end": 117.0, "text": " Por ser negativo."}, {"start": 117.0, "end": 127.0, "text": " Entonces vamos a resolver esta ecuaci\u00f3n que se nos ha formado donde la inc\u00f3gnita es la letra p."}, {"start": 127.0, "end": 130.0, "text": " Comenzamos por destruir par\u00e9ntesis."}, {"start": 130.0, "end": 135.0, "text": " En el numerador nos queda p m\u00e1s 6, si menos por menos da m\u00e1s."}, {"start": 135.0, "end": 139.0, "text": " Y en el denominador tambi\u00e9n hacemos ley de los signos,"}, {"start": 139.0, "end": 146.0, "text": " menos por menos m\u00e1s y nos queda menos 5 m\u00e1s 2."}, {"start": 146.0, "end": 162.0, "text": " Continuando con el desarrollo de la ecuaci\u00f3n, tenemos que menos 9 cuartos es igual a p m\u00e1s 6 sobre el resultado de esta operaci\u00f3n."}, {"start": 162.0, "end": 167.0, "text": " Menos 5 m\u00e1s 2 nos da menos 3."}, {"start": 167.0, "end": 173.0, "text": " Y all\u00ed tenemos lo que es la igualdad de dos fracciones."}, {"start": 173.0, "end": 179.0, "text": " Entonces hacemos uso de la siguiente propiedad."}, {"start": 179.0, "end": 194.0, "text": " Si tenemos dos fracciones igualadas, entonces se cumple que a por d es igual a b por c."}, {"start": 194.0, "end": 200.0, "text": " En t\u00e9rminos de lo que es una proporci\u00f3n, es decir la igualdad de dos razones,"}, {"start": 200.0, "end": 212.0, "text": " entonces la propiedad dice que el producto de los extremos, es decir a por d, es igual al producto de los medios, es decir b por c."}, {"start": 212.0, "end": 219.0, "text": " Entonces vamos a aplicar esta propiedad all\u00ed en la ecuaci\u00f3n que estamos resolviendo."}, {"start": 219.0, "end": 232.0, "text": " Tendremos entonces que menos 9 por menos 3 es igual a 4 que multiplica a p m\u00e1s 6."}, {"start": 232.0, "end": 239.0, "text": " Vamos a resolver en cada caso, menos 9 por menos 3 nos da 27 positivo."}, {"start": 239.0, "end": 242.0, "text": " Y aqu\u00ed hacemos la propiedad distributiva."}, {"start": 242.0, "end": 252.0, "text": " Entonces tenemos 4 por p que es 4p y 4 por 6 que es m\u00e1s 24."}, {"start": 252.0, "end": 259.0, "text": " De all\u00ed debemos dejar solo este t\u00e9rmino que contiene la letra p, es decir la letra que buscamos."}, {"start": 259.0, "end": 263.0, "text": " Pasamos entonces este 24 para el otro lado."}, {"start": 263.0, "end": 269.0, "text": " Nos queda 27 menos 24 es igual a 4p."}, {"start": 269.0, "end": 275.0, "text": " Resolvemos esa resta, nos da 3, 3 es igual a 4p."}, {"start": 275.0, "end": 278.0, "text": " Y de aqu\u00ed esperamos p."}, {"start": 278.0, "end": 283.0, "text": " Para ello 4 que est\u00e1 multiplicando pasa a dividir al otro lado."}, {"start": 283.0, "end": 288.0, "text": " Nos queda entonces que p es igual a 3 cuartos."}, {"start": 288.0, "end": 293.0, "text": " Y de esta manera terminamos este ejercicio."}, {"start": 293.0, "end": 299.0, "text": " Y hemos encontrado el valor de la letra p."}]

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ECUACIÓN GENERAL DE UNA RECTA DADOS DOS PUNTOS

#julioprofe explica cómo hallar la ecuación general de la recta que pasa por los puntos (3,2) y (-1,-2). Tema: #RectasEnElPlano → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEE0pZfwFlPSqWqbgnFQTKu REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a hallar la ecuación general de la recta que pasa por los puntos 3,2 y (-1,-2). Con los puntos que conocemos vamos a determinar lo que es la pendiente de la recta, que se simboliza con la letra M. La pendiente se define como diferencia de ordenadas sobre diferencia de abscisas, es decir, y2-y1, todo esto sobre x2-x1. Entonces lo que hacemos es nombrar los puntos que nos dan como las pareras x1-y1 y x2-y2 y vamos a reemplazar en la expresión para calcular la pendiente. Tenemos entonces y2 que vale menos 2, menos y1 que vale 2. En el denominador tenemos x2 que vale menos 1, menos x1 que vale 3. Esto nos da como resultado menos 4 sobre menos 4 y simplificando nos da 1 positivo. Entonces tenemos una recta con pendiente 1. Por ser un valor positivo, entonces tendremos una recta ascendente. Aquí podemos observar eso gráficamente. Si en el plano pertesiano localizamos los puntos que nos dan, es decir, 3,2 y menos 1, menos 2 y los unimos dibujando la línea recta, observamos que es una recta ascendente. Tiene entonces pendiente positiva igual a 1. Vamos a proceder entonces a encontrar la ecuación de esa recta. Para ese propósito utilizamos el modelo punto pendiente que dice y-y1 es igual a m por x-x1. En él vamos a reemplazar la información de cualquiera de estos dos puntos y la pendiente que ya encontramos. Vamos a utilizar la pareja que ya tenemos nombrada como x1 y y1 para reemplazarla aquí en estos valores. Y donde está la pendiente reemplazamos el valor 1. Esta x y esta y deben dejarse tal como están. Entonces nos queda y-y1 que vale 2 es igual a la pendiente que nos dio 1 por x-x1 que vale 3. Esto nos queda y-2 igual a 1 por esa expresión da ella misma y nos piden la ecuación en la forma general. Entonces vamos a pasar estos términos para el lado izquierdo. Nos quedaría entonces y-2 menos x más 3 igual a 0. Y vamos a organizar una ecuación empezando con la letra x. Tenemos entonces menos x luego seguimos con la letra y, es decir más y. Luego lo que es el término independiente es decir el resultado de esta operación. Menos 2 más 3 que nos da más 1 y todo esto igual a 0. Pero no se acostumbra dar la forma general iniciando con un número negativo. Eso lo corregimos multiplicando la ecuación a ambos lados por menos 1. Lo que sucede es simplemente cambio en los signos. Nos quedará entonces x menos y menos 1 igual a 0. 0 por menos 1 sigue siendo 0. Esta es entonces la ecuación de la recta en su forma general. También conocida como forma implícita es la que dice a x más d y más c igual a 0.

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EJERCICIO 1 CON NÚMEROS COMPLEJOS

#julioprofe explica cómo resolver un ejercicio con números complejos. Tema: #NumerosComplejos → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwGWSEDj2vQeCAU2VLSQyy9j REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Dados los números complejos z1 igual a menos 3 más 4i y el número z2 igual a 5 menos 2i Encontrar el conjugado de z1 elevado al cuadrado menos el número complejo z2 elevado al cubo. Comenzamos por sustituir entonces cada número complejo. Veamos. El conjugado de z1 será menos 3 menos 4i. Recordemos que para obtener el conjugado de un número complejo simplemente cambiamos el signo de la mitad. El que separa la parte real de la parte imaginaria. Entonces en este caso ese signo más cambia por menos porque nos piden el conjugado de z1. Pero todo esto está al cuadrado. Menos z2 que es este número 5 menos 2i y todo esto elevado al cubo. A continuación tenemos que desarrollar este binomio al cuadrado y este binomio elevado al cubo. Y para ello vamos a utilizar los productos notables que llevan esos mismos nombres. Entonces recordemos la formula o el producto notable para desarrollar un binomio al cuadrado. Es el primero al cuadrado menos dos veces el primero por el segundo más el segundo al cuadrado. Entonces con este producto notable desarrollamos esta expresión. Y para el binomio al cubo utilizamos esta que dice a menos b al cubo y es igual a el primer término al cubo menos tres veces el primero al cuadrado por el segundo más tres veces el primero por el segundo al cuadrado menos el segundo al cubo. Vamos entonces a hacer el desarrollo de cada expresión. Comenzamos por acá aplicando esto. Entonces tenemos el primer término al cuadrado es decir menos tres al cuadrado menos dos veces el primero por el segundo es decir menos tres por el segundo término que es 4i más el segundo término al cuadrado es decir 4i elevado al cuadrado. Hasta allí tenemos el desarrollo de este binomio al cuadrado. Ahora seguimos con esto. Tenemos un menos por lo tanto debemos abrir un corchete para proteger todo lo que sigue todo el desarrollo de este binomio al cubo porque este signo menos va a afectar posteriormente todo lo que nos quede como parte de ese desarrollo. Entonces empezamos con el primero al cubo es decir cinco al cubo menos tres veces el primero al cuadrado por el segundo es decir tres por cinco al cuadrado por 2i más vamos aquí tres veces el primero por el segundo al cuadrado es decir tres por cinco por 2i. Al cuadrado y luego menos el segundo al cubo el segundo término es 2i. Entonces todo esto elevado al cubo y cerramos el corchete. Bien a continuación vamos a desarrollar con cuidado cada una de las operaciones que tenemos aquí plan de ablas. Empezamos aquí menos tres al cuadrado eso nos da nueve positivo. Aquí tenemos la multiplicación de tres cantidades dos por tres seis seis por cuatro esto nos da veinticuatro y eso nos queda con signo positivo menos por menos da más más por más es más. Por acá tenemos más dieciséis y al cuadrado si recordemos que el cuadrado afecta al cuatro y afecta a la letra i. Menos abrimos el corchete vamos resolviendo aquí adentro cinco al cubo es ciento veinticinco menos aquí tenemos tres por cinco al cuadrado que es veinticinco por dos i. Y más tres por cinco lo podemos desarrollar de una vez nos da quince por dos y al cuadrado que es cuatro y al cuadrado. Menos aquí el cubo afecta al número y a la letra entonces dos al cubo es ocho y nos queda acompañado de y al cubo. Cerramos entonces el corchete. Aquí podemos observar algunas potencias de i como son i al cuadrado y también i al cubo. Recordemos que i se define como la raíz cuadrada de menos uno es la unidad imaginaria. Entonces i al cuadrado será igual a la raíz cuadrada de menos uno todo eso elevado al cuadrado y el cuadrado destruye la raíz y nos da menos uno. Por lo tanto i al cuadrado es igual a menos uno. Y si hacemos i al cubo entonces podemos escribirlo como i al cuadrado por i a la uno es decir lo descomponemos en dos potencias. I al cuadrado por i a la uno donde la primera nos dio menos uno y eso multiplicado por i a la uno que sería i. Menos uno por i nos da menos i. Conclusión i al cubo es igual a menos i. Entonces vamos a utilizar estas potencias de i que ya tenemos desarrolladas y vamos a reemplazarlas acá en el desarrollo que tenemos. Entonces por acá donde tenemos i al cuadrado vamos a tener menos uno lo mismo que por acá y donde tenemos i al cubo eso nos dará entonces menos i. Continuamos entonces con este desarrollo y nos queda nueve más veinticuatro i. Aquí dieciséis por menos uno nos queda menos dieciséis menos abrimos porchete tenemos ciento veinticinco menos multiplicamos tres por veinticinco por dos. Eso nos da cincuenta por tres ciento cincuenta y aquí tenemos más quince por cuatro eso da sesenta y sesenta por menos uno nos da menos sesenta. Y por acá tenemos menos ocho por menos i que es igual a más ocho i. Cerramos entonces el corchete. Como paso siguiente podemos resolver esta operación nueve menos dieciséis eso nos da menos siete más veinticuatro i. Menos abrimos el corchete y podemos operar los números reales entre sí y también los números imaginarios entre sí. Entonces ciento veinticinco menos sesenta eso nos da sesenta y cinco y menos ciento cincuenta i más ocho i nos da menos ciento cuarenta y dos i. Cerramos entonces el corchete. A continuación vamos a romper ese corchete para ello distribuimos el signo negativo nos queda entonces menos sesenta y cinco más ciento cuarenta y dos i. Y para finalizar sumamos las partes reales entre sí es decir menos siete sumado con menos sesenta y cinco que nos da menos setenta y dos y también sumamos las partes imaginarias entre sí. Esta suma de términos que tienen la i nos da ciento sesenta y seis i. De esta manera encontramos el resultado del ejercicio propuesto. Observamos entonces que el resultado es un número complejo donde se distingue la parte real de la parte imaginaria.

[{"start": 0.0, "end": 12.0, "text": " Dados los n\u00fameros complejos z1 igual a menos 3 m\u00e1s 4i y el n\u00famero z2 igual a 5 menos 2i"}, {"start": 12.0, "end": 24.0, "text": " Encontrar el conjugado de z1 elevado al cuadrado menos el n\u00famero complejo z2 elevado al cubo."}, {"start": 24.0, "end": 31.0, "text": " Comenzamos por sustituir entonces cada n\u00famero complejo. Veamos."}, {"start": 31.0, "end": 38.0, "text": " El conjugado de z1 ser\u00e1 menos 3 menos 4i."}, {"start": 38.0, "end": 47.0, "text": " Recordemos que para obtener el conjugado de un n\u00famero complejo simplemente cambiamos el signo de la mitad."}, {"start": 47.0, "end": 52.0, "text": " El que separa la parte real de la parte imaginaria."}, {"start": 52.0, "end": 61.0, "text": " Entonces en este caso ese signo m\u00e1s cambia por menos porque nos piden el conjugado de z1."}, {"start": 61.0, "end": 75.0, "text": " Pero todo esto est\u00e1 al cuadrado. 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Es el primero al cuadrado menos dos veces el primero por el segundo m\u00e1s el segundo al cuadrado."}, {"start": 110.0, "end": 115.0, "text": " Entonces con este producto notable desarrollamos esta expresi\u00f3n."}, {"start": 115.0, "end": 143.0, "text": " Y para el binomio al cubo utilizamos esta que dice a menos b al cubo y es igual a el primer t\u00e9rmino al cubo menos tres veces el primero al cuadrado por el segundo m\u00e1s tres veces el primero por el segundo al cuadrado menos el segundo al cubo."}, {"start": 143.0, "end": 148.0, "text": " Vamos entonces a hacer el desarrollo de cada expresi\u00f3n."}, {"start": 148.0, "end": 151.0, "text": " Comenzamos por ac\u00e1 aplicando esto."}, {"start": 151.0, "end": 179.0, "text": " Entonces tenemos el primer t\u00e9rmino al cuadrado es decir menos tres al cuadrado menos dos veces el primero por el segundo es decir menos tres por el segundo t\u00e9rmino que es 4i m\u00e1s el segundo t\u00e9rmino al cuadrado es decir 4i elevado al cuadrado."}, {"start": 179.0, "end": 184.0, "text": " Hasta all\u00ed tenemos el desarrollo de este binomio al cuadrado."}, {"start": 184.0, "end": 186.0, "text": " Ahora seguimos con esto."}, {"start": 186.0, "end": 204.0, "text": " Tenemos un menos por lo tanto debemos abrir un corchete para proteger todo lo que sigue todo el desarrollo de este binomio al cubo porque este signo menos va a afectar posteriormente todo lo que nos quede como parte de ese desarrollo."}, {"start": 204.0, "end": 233.0, "text": " Entonces empezamos con el primero al cubo es decir cinco al cubo menos tres veces el primero al cuadrado por el segundo es decir tres por cinco al cuadrado por 2i m\u00e1s vamos aqu\u00ed tres veces el primero por el segundo al cuadrado es decir tres por cinco por 2i."}, {"start": 233.0, "end": 245.0, "text": " Al cuadrado y luego menos el segundo al cubo el segundo t\u00e9rmino es 2i."}, {"start": 245.0, "end": 251.0, "text": " Entonces todo esto elevado al cubo y cerramos el corchete."}, {"start": 251.0, "end": 259.0, "text": " Bien a continuaci\u00f3n vamos a desarrollar con cuidado cada una de las operaciones que tenemos aqu\u00ed plan de ablas."}, {"start": 259.0, "end": 264.0, "text": " Empezamos aqu\u00ed menos tres al cuadrado eso nos da nueve positivo."}, {"start": 264.0, "end": 281.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos la multiplicaci\u00f3n de tres cantidades dos por tres seis seis por cuatro esto nos da veinticuatro y eso nos queda con signo positivo menos por menos da m\u00e1s m\u00e1s por m\u00e1s es m\u00e1s."}, {"start": 281.0, "end": 293.0, "text": " Por ac\u00e1 tenemos m\u00e1s diecis\u00e9is y al cuadrado si recordemos que el cuadrado afecta al cuatro y afecta a la letra i."}, {"start": 293.0, "end": 310.0, "text": " Menos abrimos el corchete vamos resolviendo aqu\u00ed adentro cinco al cubo es ciento veinticinco menos aqu\u00ed tenemos tres por cinco al cuadrado que es veinticinco por dos i."}, {"start": 310.0, "end": 324.0, "text": " Y m\u00e1s tres por cinco lo podemos desarrollar de una vez nos da quince por dos y al cuadrado que es cuatro y al cuadrado."}, {"start": 324.0, "end": 336.0, "text": " Menos aqu\u00ed el cubo afecta al n\u00famero y a la letra entonces dos al cubo es ocho y nos queda acompa\u00f1ado de y al cubo."}, {"start": 336.0, "end": 340.0, "text": " Cerramos entonces el corchete."}, {"start": 340.0, "end": 349.0, "text": " Aqu\u00ed podemos observar algunas potencias de i como son i al cuadrado y tambi\u00e9n i al cubo."}, {"start": 349.0, "end": 359.0, "text": " Recordemos que i se define como la ra\u00edz cuadrada de menos uno es la unidad imaginaria."}, {"start": 359.0, "end": 371.0, "text": " Entonces i al cuadrado ser\u00e1 igual a la ra\u00edz cuadrada de menos uno todo eso elevado al cuadrado y el cuadrado destruye la ra\u00edz y nos da menos uno."}, {"start": 371.0, "end": 377.0, "text": " Por lo tanto i al cuadrado es igual a menos uno."}, {"start": 377.0, "end": 389.0, "text": " Y si hacemos i al cubo entonces podemos escribirlo como i al cuadrado por i a la uno es decir lo descomponemos en dos potencias."}, {"start": 389.0, "end": 399.0, "text": " I al cuadrado por i a la uno donde la primera nos dio menos uno y eso multiplicado por i a la uno que ser\u00eda i."}, {"start": 399.0, "end": 403.0, "text": " Menos uno por i nos da menos i."}, {"start": 403.0, "end": 410.0, "text": " Conclusi\u00f3n i al cubo es igual a menos i."}, {"start": 410.0, "end": 422.0, "text": " Entonces vamos a utilizar estas potencias de i que ya tenemos desarrolladas y vamos a reemplazarlas ac\u00e1 en el desarrollo que tenemos."}, {"start": 422.0, "end": 438.0, "text": " Entonces por ac\u00e1 donde tenemos i al cuadrado vamos a tener menos uno lo mismo que por ac\u00e1 y donde tenemos i al cubo eso nos dar\u00e1 entonces menos i."}, {"start": 438.0, "end": 446.0, "text": " Continuamos entonces con este desarrollo y nos queda nueve m\u00e1s veinticuatro i."}, {"start": 446.0, "end": 459.0, "text": " Aqu\u00ed diecis\u00e9is por menos uno nos queda menos diecis\u00e9is menos abrimos porchete tenemos ciento veinticinco menos multiplicamos tres por veinticinco por dos."}, {"start": 459.0, "end": 475.0, "text": " Eso nos da cincuenta por tres ciento cincuenta y aqu\u00ed tenemos m\u00e1s quince por cuatro eso da sesenta y sesenta por menos uno nos da menos sesenta."}, {"start": 475.0, "end": 482.0, "text": " Y por ac\u00e1 tenemos menos ocho por menos i que es igual a m\u00e1s ocho i."}, {"start": 482.0, "end": 486.0, "text": " Cerramos entonces el corchete."}, {"start": 486.0, "end": 497.0, "text": " Como paso siguiente podemos resolver esta operaci\u00f3n nueve menos diecis\u00e9is eso nos da menos siete m\u00e1s veinticuatro i."}, {"start": 497.0, "end": 509.0, "text": " Menos abrimos el corchete y podemos operar los n\u00fameros reales entre s\u00ed y tambi\u00e9n los n\u00fameros imaginarios entre s\u00ed."}, {"start": 509.0, "end": 523.0, "text": " Entonces ciento veinticinco menos sesenta eso nos da sesenta y cinco y menos ciento cincuenta i m\u00e1s ocho i nos da menos ciento cuarenta y dos i."}, {"start": 523.0, "end": 527.0, "text": " Cerramos entonces el corchete."}, {"start": 527.0, "end": 544.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a romper ese corchete para ello distribuimos el signo negativo nos queda entonces menos sesenta y cinco m\u00e1s ciento cuarenta y dos i."}, {"start": 544.0, "end": 560.0, "text": " Y para finalizar sumamos las partes reales entre s\u00ed es decir menos siete sumado con menos sesenta y cinco que nos da menos setenta y dos y tambi\u00e9n sumamos las partes imaginarias entre s\u00ed."}, {"start": 560.0, "end": 575.0, "text": " Esta suma de t\u00e9rminos que tienen la i nos da ciento sesenta y seis i. De esta manera encontramos el resultado del ejercicio propuesto."}, {"start": 575.0, "end": 590.0, "text": " Observamos entonces que el resultado es un n\u00famero complejo donde se distingue la parte real de la parte imaginaria."}]

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VALOR EXACTO DEL SENO DE UN ÁNGULO DOBLE

#julioprofe explica cómo encontrar el valor exacto del seno de un ángulo doble a partir de información de dicho ángulo. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Si la angente de α es igual a 4 tercios, donde α es un ángulo comprendido entre π radianes y 3 π radianes, determinar el valor exacto de seno de 2α. Bien, en este problema conocemos esta información y debemos encontrar el valor exacto del seno de 2α. Recordemos que esto es igual a 2 por el seno de α por el coseno de α. Se trata de la identidad trigonométrica para el seno del ángulo doble. Entonces, debemos encontrar el valor de seno de α y coseno de α, valores exactos, para poder determinar lo que nos piden en el problema. Esta información de que α es un ángulo comprendido entre π radianes y 3 π radianes, quiere decir que α es un ángulo localizado en el tercer cuadrante. Por aquí tenemos π radianes, es decir, 180 grados, y por acá tenemos 3 π radianes, que corresponde a 270 grados. Por lo tanto, α es un ángulo que pertenece a este cuadrante del plano cartesiano. Entonces, decimos que α pertenece al tercer cuadrante. En el tercer cuadrante del plano cartesiano, tenemos que las funciones seno y coseno tienen signo negativo. Entonces, seno de α y coseno de α, ambas tendrán signo negativo. Como paso siguiente, podemos dibujar un triángulo rectángulo llamando α a uno de sus ángulos agudos. Y entonces, hacemos uso de la definición de la relación trigonométrica tangente. Recordemos que en un triángulo rectángulo, la tangente de uno de los ángulos agudos es igual a la relación entre el cateto opuesto y el cateto adyacente. Entonces, en este triángulo, el cateto opuesto al ángulo α es 4 unidades, mientras que el cateto adyacente al ángulo α tiene un valor de 3 unidades. Y utilizando el teorema de Pitágoras, podemos encontrar el valor de la hipotenusa de ese triángulo. Tenemos que la hipotenusa al cuadrado es igual a 3 al cuadrado más 4 al cuadrado. Recordemos que el teorema de Pitágoras nos dice que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Resolviendo, esto nos da 9 más 16, que es igual a 25. Y despejando H nos queda igual a la raíz cuadrada positiva de 25. Eso nos da una hipotenusa igual a 5 unidades. Ya tenemos entonces los tres lados del triángulo rectángulo conocidos. Utilizando la información que tenemos en este triángulo rectángulo, podemos determinar con exactitud los valores de seno de α y coseno del ángulo α. Para esto, recordemos que utilizar Socatoa es de gran ayuda. Coseno es la relación entre el cateto opuesto y la hipotenusa. Coseno es la relación entre el cateto adyacente y la hipotenusa y tangente. La que tenemos como dato del problema es la relación entre el cateto opuesto y el cateto adyacente, tal como lo habíamos mencionado hace un momento. Entonces, tenemos que seno de α, seno de este ángulo, es cateto opuesto sobre hipotenusa, es decir, 4 quintos. Pero no podemos olvidar que el seno de α tiene signo negativo por ser α un ángulo del tercer cuadrante. Ya tenemos entonces el valor exacto de seno de α. Y coseno α será la relación entre cateto adyacente y la hipotenusa, es decir, 3 quintos. De igual manera, el coseno tiene signo negativo, entonces lo anotamos junto al valor encontrado. Conocidos estos valores de seno de α y coseno de α, vamos entonces a encontrar lo que nos preguntan en este ejercicio. Tenemos que seno de 2 α es igual a 2 por el seno de α que nos dio menos 4 quintos. Y eso multiplicado por el coseno de α que nos dio menos 3 quintos. Resolvemos toda esa multiplicación. Recordemos que a este 2 le podemos colocar denominador 1. Y entonces tenemos la multiplicación de dos cantidades negativas, eso nos dará positivo por otra cantidad positiva. Entonces nuestro resultado será positivo. Multiplicamos numeradores entre sí, 2 por 4, 8, 8 por 3, 24. Y multiplicamos denominadores entre sí, eso nos da 25. Para este ejercicio la respuesta será entonces 24, 25 a 2. Es el valor exacto del seno de 2 α.

[{"start": 0.0, "end": 19.0, "text": " Si la angente de \u03b1 es igual a 4 tercios, donde \u03b1 es un \u00e1ngulo comprendido entre \u03c0 radianes y 3 \u03c0 radianes, determinar el valor exacto de seno de 2\u03b1."}, {"start": 19.0, "end": 30.0, "text": " Bien, en este problema conocemos esta informaci\u00f3n y debemos encontrar el valor exacto del seno de 2\u03b1."}, {"start": 30.0, "end": 38.0, "text": " Recordemos que esto es igual a 2 por el seno de \u03b1 por el coseno de \u03b1."}, {"start": 38.0, "end": 44.0, "text": " Se trata de la identidad trigonom\u00e9trica para el seno del \u00e1ngulo doble."}, {"start": 44.0, "end": 57.0, "text": " Entonces, debemos encontrar el valor de seno de \u03b1 y coseno de \u03b1, valores exactos, para poder determinar lo que nos piden en el problema."}, {"start": 57.0, "end": 75.0, "text": " Esta informaci\u00f3n de que \u03b1 es un \u00e1ngulo comprendido entre \u03c0 radianes y 3 \u03c0 radianes, quiere decir que \u03b1 es un \u00e1ngulo localizado en el tercer cuadrante."}, {"start": 75.0, "end": 90.0, "text": " Por aqu\u00ed tenemos \u03c0 radianes, es decir, 180 grados, y por ac\u00e1 tenemos 3 \u03c0 radianes, que corresponde a 270 grados."}, {"start": 90.0, "end": 105.0, "text": " Por lo tanto, \u03b1 es un \u00e1ngulo que pertenece a este cuadrante del plano cartesiano. Entonces, decimos que \u03b1 pertenece al tercer cuadrante."}, {"start": 105.0, "end": 126.0, "text": " En el tercer cuadrante del plano cartesiano, tenemos que las funciones seno y coseno tienen signo negativo. Entonces, seno de \u03b1 y coseno de \u03b1, ambas tendr\u00e1n signo negativo."}, {"start": 126.0, "end": 136.0, "text": " Como paso siguiente, podemos dibujar un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo llamando \u03b1 a uno de sus \u00e1ngulos agudos."}, {"start": 136.0, "end": 144.0, "text": " Y entonces, hacemos uso de la definici\u00f3n de la relaci\u00f3n trigonom\u00e9trica tangente."}, {"start": 144.0, "end": 160.0, "text": " Recordemos que en un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo, la tangente de uno de los \u00e1ngulos agudos es igual a la relaci\u00f3n entre el cateto opuesto y el cateto adyacente."}, {"start": 160.0, "end": 177.0, "text": " Entonces, en este tri\u00e1ngulo, el cateto opuesto al \u00e1ngulo \u03b1 es 4 unidades, mientras que el cateto adyacente al \u00e1ngulo \u03b1 tiene un valor de 3 unidades."}, {"start": 177.0, "end": 190.0, "text": " Y utilizando el teorema de Pit\u00e1goras, podemos encontrar el valor de la hipotenusa de ese tri\u00e1ngulo."}, {"start": 190.0, "end": 198.0, "text": " Tenemos que la hipotenusa al cuadrado es igual a 3 al cuadrado m\u00e1s 4 al cuadrado."}, {"start": 198.0, "end": 210.0, "text": " Recordemos que el teorema de Pit\u00e1goras nos dice que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos."}, {"start": 210.0, "end": 219.0, "text": " Resolviendo, esto nos da 9 m\u00e1s 16, que es igual a 25."}, {"start": 219.0, "end": 228.0, "text": " Y despejando H nos queda igual a la ra\u00edz cuadrada positiva de 25."}, {"start": 228.0, "end": 234.0, "text": " Eso nos da una hipotenusa igual a 5 unidades."}, {"start": 234.0, "end": 242.0, "text": " Ya tenemos entonces los tres lados del tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo conocidos."}, {"start": 242.0, "end": 255.0, "text": " Utilizando la informaci\u00f3n que tenemos en este tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo, podemos determinar con exactitud los valores de seno de \u03b1 y coseno del \u00e1ngulo \u03b1."}, {"start": 255.0, "end": 265.0, "text": " Para esto, recordemos que utilizar Socatoa es de gran ayuda."}, {"start": 265.0, "end": 273.0, "text": " Coseno es la relaci\u00f3n entre el cateto opuesto y la hipotenusa."}, {"start": 273.0, "end": 281.0, "text": " Coseno es la relaci\u00f3n entre el cateto adyacente y la hipotenusa y tangente."}, {"start": 281.0, "end": 295.0, "text": " La que tenemos como dato del problema es la relaci\u00f3n entre el cateto opuesto y el cateto adyacente, tal como lo hab\u00edamos mencionado hace un momento."}, {"start": 295.0, "end": 308.0, "text": " Entonces, tenemos que seno de \u03b1, seno de este \u00e1ngulo, es cateto opuesto sobre hipotenusa, es decir, 4 quintos."}, {"start": 308.0, "end": 319.0, "text": " Pero no podemos olvidar que el seno de \u03b1 tiene signo negativo por ser \u03b1 un \u00e1ngulo del tercer cuadrante."}, {"start": 319.0, "end": 325.0, "text": " Ya tenemos entonces el valor exacto de seno de \u03b1."}, {"start": 325.0, "end": 335.0, "text": " Y coseno \u03b1 ser\u00e1 la relaci\u00f3n entre cateto adyacente y la hipotenusa, es decir, 3 quintos."}, {"start": 335.0, "end": 345.0, "text": " De igual manera, el coseno tiene signo negativo, entonces lo anotamos junto al valor encontrado."}, {"start": 345.0, "end": 357.0, "text": " Conocidos estos valores de seno de \u03b1 y coseno de \u03b1, vamos entonces a encontrar lo que nos preguntan en este ejercicio."}, {"start": 357.0, "end": 368.0, "text": " Tenemos que seno de 2 \u03b1 es igual a 2 por el seno de \u03b1 que nos dio menos 4 quintos."}, {"start": 368.0, "end": 375.0, "text": " Y eso multiplicado por el coseno de \u03b1 que nos dio menos 3 quintos."}, {"start": 375.0, "end": 377.0, "text": " Resolvemos toda esa multiplicaci\u00f3n."}, {"start": 377.0, "end": 383.0, "text": " Recordemos que a este 2 le podemos colocar denominador 1."}, {"start": 383.0, "end": 392.0, "text": " Y entonces tenemos la multiplicaci\u00f3n de dos cantidades negativas, eso nos dar\u00e1 positivo por otra cantidad positiva."}, {"start": 392.0, "end": 396.0, "text": " Entonces nuestro resultado ser\u00e1 positivo."}, {"start": 396.0, "end": 404.0, "text": " Multiplicamos numeradores entre s\u00ed, 2 por 4, 8, 8 por 3, 24."}, {"start": 404.0, "end": 410.0, "text": " Y multiplicamos denominadores entre s\u00ed, eso nos da 25."}, {"start": 410.0, "end": 418.0, "text": " Para este ejercicio la respuesta ser\u00e1 entonces 24, 25 a 2."}, {"start": 418.0, "end": 447.0, "text": " Es el valor exacto del seno de 2 \u03b1."}]

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PROGRESIONES ARITMÉTICAS - Ejercicio 2

#julioprofe explica cómo hallar la diferencia común de una Sucesión Aritmética si el primer término es -6 y el décimo término es 21. Tema: #ProgresionesAritmeticasYGeometricas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwFiqf8u82WBHdujX0v31LYQ REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

En una sucesión aritmética, el primer término vale menos 6 y el décimo término es 21. Determinad el valor de la diferencia común. En este problema tenemos la siguiente información. Primer término de la sucesión o progresión aritmética es menos 6. Nos dicen que el décimo término es 21. Entonces a sub 10 es igual a 21. Y nos piden encontrar el valor de la diferencia común, es decir, D. Para ello, debemos utilizar la fórmula para el término enésimo en una progresión o sucesión aritmética. Que es esta que tenemos. Allí vamos a reemplazar la información que conocemos. Hacemos n igual a 10 porque tenemos información del décimo término. Entonces decimos a sub 10 es igual a a sub 1 más 10 menos 1 por D. Hemos únicamente cambiado la n por el valor 10. Ahora sí reemplazamos los datos. A sub 10 vale 21. Tenemos que a sub 1 vale menos 6. Aquí podemos resolver la resta y es menos 1. Es la 9 que multiplica a la letra D. Y vamos a resolver esa ecuación para encontrar el valor de la letra que buscamos. Pasamos este 6 que está restando a sumar al otro lado. Nos queda 21 más 6 igual a 9 D. Esto nos da 27 igual a 9 D. Pasamos el 9 que está multiplicando a dividir al otro lado. Y de esta manera encontramos la incógnita buscada. Tenemos 27 novenos que es igual a 3. Este será entonces el valor de la diferencia común en esa sucesión aritmética.

[{"start": 0.0, "end": 9.0, "text": " En una sucesi\u00f3n aritm\u00e9tica, el primer t\u00e9rmino vale menos 6 y el d\u00e9cimo t\u00e9rmino es 21."}, {"start": 9.0, "end": 14.0, "text": " Determinad el valor de la diferencia com\u00fan."}, {"start": 14.0, "end": 19.0, "text": " En este problema tenemos la siguiente informaci\u00f3n."}, {"start": 19.0, "end": 26.0, "text": " Primer t\u00e9rmino de la sucesi\u00f3n o progresi\u00f3n aritm\u00e9tica es menos 6."}, {"start": 26.0, "end": 30.0, "text": " Nos dicen que el d\u00e9cimo t\u00e9rmino es 21."}, {"start": 30.0, "end": 34.0, "text": " Entonces a sub 10 es igual a 21."}, {"start": 34.0, "end": 42.0, "text": " Y nos piden encontrar el valor de la diferencia com\u00fan, es decir, D."}, {"start": 42.0, "end": 55.0, "text": " Para ello, debemos utilizar la f\u00f3rmula para el t\u00e9rmino en\u00e9simo en una progresi\u00f3n o sucesi\u00f3n aritm\u00e9tica."}, {"start": 55.0, "end": 59.0, "text": " Que es esta que tenemos."}, {"start": 59.0, "end": 64.0, "text": " All\u00ed vamos a reemplazar la informaci\u00f3n que conocemos."}, {"start": 64.0, "end": 70.0, "text": " Hacemos n igual a 10 porque tenemos informaci\u00f3n del d\u00e9cimo t\u00e9rmino."}, {"start": 70.0, "end": 81.0, "text": " Entonces decimos a sub 10 es igual a a sub 1 m\u00e1s 10 menos 1 por D."}, {"start": 81.0, "end": 86.0, "text": " Hemos \u00fanicamente cambiado la n por el valor 10."}, {"start": 86.0, "end": 88.0, "text": " Ahora s\u00ed reemplazamos los datos."}, {"start": 88.0, "end": 92.0, "text": " A sub 10 vale 21."}, {"start": 92.0, "end": 96.0, "text": " Tenemos que a sub 1 vale menos 6."}, {"start": 96.0, "end": 101.0, "text": " Aqu\u00ed podemos resolver la resta y es menos 1."}, {"start": 101.0, "end": 105.0, "text": " Es la 9 que multiplica a la letra D."}, {"start": 105.0, "end": 112.0, "text": " Y vamos a resolver esa ecuaci\u00f3n para encontrar el valor de la letra que buscamos."}, {"start": 112.0, "end": 116.0, "text": " Pasamos este 6 que est\u00e1 restando a sumar al otro lado."}, {"start": 116.0, "end": 121.0, "text": " Nos queda 21 m\u00e1s 6 igual a 9 D."}, {"start": 121.0, "end": 128.0, "text": " Esto nos da 27 igual a 9 D."}, {"start": 128.0, "end": 134.0, "text": " Pasamos el 9 que est\u00e1 multiplicando a dividir al otro lado."}, {"start": 134.0, "end": 139.0, "text": " Y de esta manera encontramos la inc\u00f3gnita buscada."}, {"start": 139.0, "end": 143.0, "text": " Tenemos 27 novenos que es igual a 3."}, {"start": 143.0, "end": 165.0, "text": " Este ser\u00e1 entonces el valor de la diferencia com\u00fan en esa sucesi\u00f3n aritm\u00e9tica."}]

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PROGRESIONES ARITMÉTICAS - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo hallar el décimo séptimo término de una Progresión Aritmética si el primer término es 16 y la diferencia común es 5. Tema: #ProgresionesAritmeticasYGeometricas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwFiqf8u82WBHdujX0v31LYQ REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

En una progresión aritmética, el primer término es 16 y la diferencia común es 5. ¿Cuál es el valor del décimo séptimo término? Bien, en este problema tenemos la siguiente información. El primer término de la progresión aritmética es 16. Entonces tenemos a sub 1 igual a 16. Nos dicen que la diferencia común vale 5. Entonces tenemos d igual a 5. Y nos preguntan por el valor del décimo séptimo término. Es decir, el término a sub 17. Este es el que debemos encontrar. Para ello debemos utilizar la fórmula que nos permite encontrar el término enésimo en una progresión o sucesión aritmética. Es esta que tenemos escrita. Entonces allí vamos a reemplazar la información que conocemos. Vamos a hacer el valor n igual a 17. Entonces tendríamos a sub 17 es igual a a sub 1, el primer término de la progresión, que es 16, más n que vale 17 menos 1. Y esto multiplicado por la diferencia común que vale 5. Resolvemos todo el paréntesis. Nos queda a sub 17 igual a 16 más esto que nos da 16 por 5. A continuación resolvemos esta multiplicación que nos da 80. Y podemos determinar el término que buscamos. Sumamos 16 más 80 y nos da 96. Esta será entonces la respuesta a la pregunta. El valor del 17 término de esa progresión aritmética es 96.

[{"start": 0.0, "end": 9.0, "text": " En una progresi\u00f3n aritm\u00e9tica, el primer t\u00e9rmino es 16 y la diferencia com\u00fan es 5."}, {"start": 9.0, "end": 14.0, "text": " \u00bfCu\u00e1l es el valor del d\u00e9cimo s\u00e9ptimo t\u00e9rmino?"}, {"start": 14.0, "end": 19.0, "text": " Bien, en este problema tenemos la siguiente informaci\u00f3n."}, {"start": 19.0, "end": 24.0, "text": " El primer t\u00e9rmino de la progresi\u00f3n aritm\u00e9tica es 16."}, {"start": 24.0, "end": 29.0, "text": " Entonces tenemos a sub 1 igual a 16."}, {"start": 29.0, "end": 33.0, "text": " Nos dicen que la diferencia com\u00fan vale 5."}, {"start": 33.0, "end": 38.0, "text": " Entonces tenemos d igual a 5."}, {"start": 38.0, "end": 44.0, "text": " Y nos preguntan por el valor del d\u00e9cimo s\u00e9ptimo t\u00e9rmino."}, {"start": 44.0, "end": 49.0, "text": " Es decir, el t\u00e9rmino a sub 17."}, {"start": 49.0, "end": 53.0, "text": " Este es el que debemos encontrar."}, {"start": 53.0, "end": 68.0, "text": " Para ello debemos utilizar la f\u00f3rmula que nos permite encontrar el t\u00e9rmino en\u00e9simo en una progresi\u00f3n o sucesi\u00f3n aritm\u00e9tica."}, {"start": 68.0, "end": 74.0, "text": " Es esta que tenemos escrita."}, {"start": 74.0, "end": 79.0, "text": " Entonces all\u00ed vamos a reemplazar la informaci\u00f3n que conocemos."}, {"start": 79.0, "end": 83.0, "text": " Vamos a hacer el valor n igual a 17."}, {"start": 83.0, "end": 98.0, "text": " Entonces tendr\u00edamos a sub 17 es igual a a sub 1, el primer t\u00e9rmino de la progresi\u00f3n, que es 16, m\u00e1s n que vale 17 menos 1."}, {"start": 98.0, "end": 103.0, "text": " Y esto multiplicado por la diferencia com\u00fan que vale 5."}, {"start": 103.0, "end": 115.0, "text": " Resolvemos todo el par\u00e9ntesis. Nos queda a sub 17 igual a 16 m\u00e1s esto que nos da 16 por 5."}, {"start": 115.0, "end": 122.0, "text": " A continuaci\u00f3n resolvemos esta multiplicaci\u00f3n que nos da 80."}, {"start": 122.0, "end": 128.0, "text": " Y podemos determinar el t\u00e9rmino que buscamos."}, {"start": 128.0, "end": 134.0, "text": " Sumamos 16 m\u00e1s 80 y nos da 96."}, {"start": 134.0, "end": 139.0, "text": " Esta ser\u00e1 entonces la respuesta a la pregunta."}, {"start": 139.0, "end": 159.0, "text": " El valor del 17 t\u00e9rmino de esa progresi\u00f3n aritm\u00e9tica es 96."}]

julioprofe

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ANÁLISIS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS - Ejercicio 2

#julioprofe realiza el análisis completo de la función cuadrática o de segundo grado f(x)=x²+8x+15 con sus principales elementos, su gráfica, su dominio y rango, y los intervalos donde la curva crece y decrece. Tema: #FuncionesCuadráticas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwGn_SUgr83mXYV_E3fTGKgO REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a realizar el análisis completo de esta función cuadrática. Para comenzar podemos decir que tener f de x es lo mismo que tener y. Entonces se puede presentar de cualquiera de las dos formas. f de x igual a esto o y igual a esto. Una función cuadrática tiene el modelo y igual a f de x igual a ax al cuadrado más bx más c. Esta es la forma que distingue a una función cuadrática o de segundo grado. Vamos a identificar los valores de a, d y c. Demos que a es el coeficiente de x al cuadrado, es decir 1. Allí tenemos un 1 invisible. b es el coeficiente de x, es decir 8. y c es el término independiente que vale 15. Sabiendo que a es positivo, ya podemos decir que la gráfica de esta función cuadrática, que es una parábola vertical, tendrá su concavidad hacia arriba. Es decir, las ramas de la parábola abrirán hacia arriba por ser a positivo. Y también podemos afirmar que su vértice será su punto mínimo, será su punto más bajo en la gráfica. A continuación podemos encontrar la coordenada del vértice, que usualmente se nombra como hk. Para encontrar h utilizamos la fórmula menos b sobre los a. Entonces allí reemplazamos los valores. Tenemos que b vale 8 y a vale 1. Entonces nos queda menos 8 sobre 2, que es igual a menos 4. Allí tenemos entonces la abscisa del vértice, es decir su algor en x, que es h. Para encontrar k, es decir la ordenada del vértice, tenemos dos opciones. Una es reemplazar en la función el valor encontrado de h, es decir, menos 4. O la otra sería utilizar la fórmula 4ac menos b al cuadrado, todo esto sobre 4a. Reemplazando aquí los valores de a, b y c. Vamos a hacerlo de las dos maneras para comprobar que nos da el mismo valor de k. Si hacemos k igual a f de h, tendríamos que encontrar f de menos 4. Y esto es, evaluar la función original en x igual a menos 4. Eso quiere decir que donde está la x sustituimos el valor menos 4. Y vamos a resolver las operaciones. Tenemos menos 4 al cuadrado es 16, 8 por menos 4, menos 32, más 15. Pues olvidemos eso, 16 más 15 es 31, menos 32 nos da menos 1. Allí tenemos el valor de k encontrándolo por este camino. Ahora vamos a hacerlo por acá. Es la fórmula que k es igual a 4ac menos b al cuadrado, todo esto sobre 4a. Entonces vamos a abrir paréntesis donde va cada letra para luego sustituir sus valores. Entonces veamos, a vale 1, c vale 15 y b vale 8. Y aquí tenemos el valor de a que es 1. Resolvemos, esto nos da 4 por 1 por 15, eso nos da 60. Menos 8 al cuadrado que es 64 y todo esto entre 4. 60 menos 64 nos da menos 4. Y menos 4 dividido entre 4 nos da como resultado menos 1. Allí vemos entonces que nos da el mismo resultado. Conclusión, tenemos que el vértice de esa parabola tiene como coordenadas menos 4, menos 1. Esta será entonces la coordenada del vértice. Como paso siguiente vamos a determinar si la parabola hace contacto o corta el eje x. Para eso hacemos un bosqueo, es decir un dibujo rápido de lo que tenemos hasta el momento. Vemos que el vértice es un punto localizado en el tercer cuadrante del plano cartesiano. Menos 4, menos 1 nos da más o menos por aquí. Allí está localizado el vértice. Y habíamos dicho al comienzo que como A es positivo la parabola abre sus ramas hacia arriba. Entonces si hacemos un bosqueo de la parabola vemos que efectivamente va a cortar el eje x. Entonces vamos a proceder a encontrar con exactitud donde se producen esos cortes. Para hallar los cortes o intersecciones de la función con el eje x, simplemente tomamos la función y la igualamos a cero. Entonces tenemos que x al cuadrado más 8x más 15 es igual a cero. Y se nos forma lo que se llama una ecuación cuadrática o una ecuación de segundo grado cuyo modelo es este. No debemos confundir función cuadrática con ecuación cuadrática. Son cosas totalmente distintas aunque se parecen bastante. Pero como veíamos la función dice y o f de x igual a ax cuadrado más bx más c. Mientras que la ecuación cuadrática tiene esa misma expresión pero igualada a cero. Para resolver una ecuación cuadrática tenemos dos alternativas que son las más utilizadas. Hacerlo por factorización si vemos que esta expresión se deja factorizar o si no hacerlo por fórmula general o fórmula del bachiller. En este caso este trinomio es fácilmente factorizable. Utilizamos ese caso que se llama trinomio de la forma x al cuadrado más bx más c. Donde abrimos dos paréntesis, sacamos la raíz cuadrada de x que sería x al cuadrado que sería x. Y la escribimos al comienzo de cada paréntesis. Luego los signos. Más por más nos da más. Más por más signo más para el segundo paréntesis. A continuación buscamos dos números que multiplicados nos den 15 y cuya suma nos de 8. Esos números son 5 y 3. Entonces vemos que fácilmente pudimos factorizar esa expresión. Esto es mucho más rápido que hacerlo por fórmula general. Entonces si descubrimos que sale por factorización es mejor irnos por ese camino porque lo vamos a resolver con mayor rapidez. Aquí aplicamos el teorema del factor nulo que recordemos dice así. Si a por b es igual a cero entonces a es igual a cero o b es igual a cero. Si el producto de dos expresiones es igual a cero entonces cada una de ellas debe ser igual a cero. Tenemos x más 5 igual a cero o x más 3 igual a cero. En cada caso despejamos x. Por acá nos da x igual a menos 5 y por acá nos da x igual a menos 3. Estos son los valores en el eje x donde la parábola hace contacto o corta dicho eje. Por aquí anotamos entonces los puntos donde tenemos cortes con el eje x. Y vamos a determinar ahora donde se produce el corte o la intersección con el eje y. O sea con el eje vertical. Para ello hacemos simplemente x igual a cero. Entonces veamos el valor de x que se obtiene en ese caso sería si x vale cero estos dos términos se eliminan y nos queda 15. En otras palabras el corte con el eje y está determinado por este valor c que es el término independiente en la función cuadrática. Entonces siempre c nos determinará donde la parábola corta con el eje y. Entonces podemos decir que el corte con el eje y ocurre en la coordenada cero coma quince. x vale cero lleva a quince. Entonces vamos a proceder a localizar en el plano cartesiano la información que hemos encontrado. El vértice y los cortes con los ejes. Aquí tenemos el plano cartesiano y en él vamos a localizar el vértice que es la coordenada menos cuatro coma menos uno. Es decir aquí también podemos localizar los cortes con el eje x que están en menos cinco y menos tres. Y también podemos localizar el corte con el eje y que lo encontramos en quince. Entonces tenemos cuatro puntos y a continuación vamos a trazar lo que se llama el eje de simetría. Una recta vertical que pasa justamente por el vértice. Por allí lo tenemos y la ecuación de esa recta es x igual a menos cuatro. Porque se trata de una recta vertical que pasa por la abscisa menos cuatro. Gracias a ese eje de simetría podemos obtener un quinto punto para el trazado de la parábola. Es el simétrico de este que tenemos aquí. La distancia de este punto al eje de simetría se refleja al otro lado. Entonces vemos que de aquí al eje de simetría hay cuatro unidades. Por lo tanto pasamos otras cuatro unidades a la izquierda del eje de simetría y llegamos al valor menos ocho. Entonces tendríamos aquí el punto menos ocho coma quince. Vamos a escribir la coordenada. El punto menos ocho coma quince y también vamos a escribir las coordenadas de los demás puntos. Por ejemplo este que dijimos es cero coma quince. El corte con el eje vertical. Este punto que es menos cinco coma cero. Uno de los cortes con el eje de x. Aquí tenemos el otro, el menos tres coma cero. Y este que es el vértice de la parábola. La coordenada menos cuatro coma menos uno. Finalmente con un curvígrafo vamos a trazar la parábola. Allí tenemos entonces la gráfica de la función que nos dieron. Una parábola cóncava hacia arriba. Podríamos complementar nuestro análisis determinando lo que es el dominio y el rango de esta función. Recordemos que el dominio hace referencia a los valores de x que participan en la función. Aquí observamos que la parábola abre hacia arriba y da participación a todos los valores del eje x. Por lo tanto decimos que el dominio son los x pertenecientes al conjunto de los números reales. Mientras tanto el rango de la función hace referencia a los valores de y que participan en la función. Aquí observamos que la parábola tiene su punto más bajo, es decir, su punto mínimo en el vértice y corresponde a la ordenada menos uno. Entonces de menos uno hacia arriba es que participan los valores de y. Vemos que de menos uno hacia abajo no tenemos gráfica. Entonces decimos que el rango son los valores de y mayores o iguales que menos uno. O escrito en notación de intervalo, el rango serían los y pertenecientes al intervalo que va desde menos uno hasta más infinito. Desde menos uno cerrado porque se incluye, es el punto del vértice, hasta más infinito abierto. Es decir, desde aquí para arriba. Otra cosa que nos pueden preguntar es determinar donde la función crece y donde decrece. Si recorremos la parábola de izquierda a derecha vemos que es decreciente hasta el vértice. Es decir, desde menos infinito hasta menos cuatro. Entonces escribimos así, la función decrece para los x pertenecientes al intervalo que va desde menos infinito hasta menos cuatro abierto. No tomamos el valor de menos cuatro sino hasta antecito de él. Y vemos que crece en el resto de su dominio. Es decir, desde menos cuatro después de menos cuatro hasta más infinito. Entonces lo escribimos así. La función es creciente para los x pertenecientes al intervalo que va desde menos cuatro hasta más infinito. Siempre los mencionamos como intervalos aviados. De esta manera terminamos el análisis completo de esa función cuadrática.

[{"start": 0.0, "end": 6.0, "text": " Vamos a realizar el an\u00e1lisis completo de esta funci\u00f3n cuadr\u00e1tica."}, {"start": 6.0, "end": 14.0, "text": " Para comenzar podemos decir que tener f de x es lo mismo que tener y."}, {"start": 14.0, "end": 17.0, "text": " Entonces se puede presentar de cualquiera de las dos formas."}, {"start": 17.0, "end": 21.0, "text": " f de x igual a esto o y igual a esto."}, {"start": 21.0, "end": 33.0, "text": " Una funci\u00f3n cuadr\u00e1tica tiene el modelo y igual a f de x igual a ax al cuadrado m\u00e1s bx m\u00e1s c."}, {"start": 33.0, "end": 41.0, "text": " Esta es la forma que distingue a una funci\u00f3n cuadr\u00e1tica o de segundo grado."}, {"start": 41.0, "end": 47.0, "text": " Vamos a identificar los valores de a, d y c."}, {"start": 47.0, "end": 53.0, "text": " Demos que a es el coeficiente de x al cuadrado, es decir 1."}, {"start": 53.0, "end": 56.0, "text": " All\u00ed tenemos un 1 invisible."}, {"start": 56.0, "end": 59.0, "text": 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par\u00e9ntesis donde va cada letra para luego sustituir sus valores."}, {"start": 255.0, "end": 264.0, "text": " Entonces veamos, a vale 1, c vale 15 y b vale 8."}, {"start": 264.0, "end": 268.0, "text": " Y aqu\u00ed tenemos el valor de a que es 1."}, {"start": 268.0, "end": 275.0, "text": " Resolvemos, esto nos da 4 por 1 por 15, eso nos da 60."}, {"start": 275.0, "end": 282.0, "text": " Menos 8 al cuadrado que es 64 y todo esto entre 4."}, {"start": 282.0, "end": 287.0, "text": " 60 menos 64 nos da menos 4."}, {"start": 287.0, "end": 294.0, "text": " Y menos 4 dividido entre 4 nos da como resultado menos 1."}, {"start": 294.0, "end": 298.0, "text": " All\u00ed vemos entonces que nos da el mismo resultado."}, {"start": 298.0, "end": 311.0, "text": " Conclusi\u00f3n, tenemos que el v\u00e9rtice de esa parabola tiene como coordenadas menos 4, menos 1."}, {"start": 311.0, "end": 316.0, "text": " Esta ser\u00e1 entonces la coordenada del v\u00e9rtice."}, {"start": 316.0, "end": 326.0, "text": " Como paso siguiente vamos a determinar si la parabola hace contacto o corta el eje x."}, {"start": 326.0, "end": 332.0, "text": " Para eso hacemos un bosqueo, es decir un dibujo r\u00e1pido de lo que tenemos hasta el momento."}, {"start": 332.0, "end": 339.0, "text": " Vemos que el v\u00e9rtice es un punto localizado en el tercer cuadrante del plano cartesiano."}, {"start": 339.0, "end": 343.0, "text": " Menos 4, menos 1 nos da m\u00e1s o menos por aqu\u00ed."}, {"start": 343.0, "end": 346.0, "text": " All\u00ed est\u00e1 localizado el v\u00e9rtice."}, {"start": 346.0, "end": 353.0, "text": " Y hab\u00edamos dicho al comienzo que como A es positivo la parabola abre sus ramas hacia arriba."}, {"start": 353.0, "end": 362.0, "text": " Entonces si hacemos un bosqueo de la parabola vemos que efectivamente va a cortar el eje x."}, {"start": 362.0, "end": 369.0, "text": " Entonces vamos a proceder a encontrar con exactitud donde se producen esos cortes."}, {"start": 369.0, "end": 381.0, "text": " Para hallar los cortes o intersecciones de la funci\u00f3n con el eje x, simplemente tomamos la funci\u00f3n y la igualamos a cero."}, {"start": 381.0, "end": 389.0, "text": " Entonces tenemos que x al cuadrado m\u00e1s 8x m\u00e1s 15 es igual a cero."}, {"start": 389.0, "end": 400.0, "text": " Y se nos forma lo que se llama una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica o una ecuaci\u00f3n de segundo grado cuyo modelo es este."}, {"start": 400.0, "end": 405.0, "text": " No debemos confundir funci\u00f3n cuadr\u00e1tica con ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica."}, {"start": 405.0, "end": 410.0, "text": " Son cosas totalmente distintas aunque se parecen bastante."}, {"start": 410.0, "end": 424.0, "text": " Pero como ve\u00edamos la funci\u00f3n dice y o f de x igual a ax cuadrado m\u00e1s bx m\u00e1s c. Mientras que la ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica tiene esa misma expresi\u00f3n pero igualada a cero."}, {"start": 424.0, "end": 431.0, "text": " Para resolver una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica tenemos dos alternativas que son las m\u00e1s utilizadas."}, {"start": 431.0, "end": 442.0, "text": " Hacerlo por factorizaci\u00f3n si vemos que esta expresi\u00f3n se deja factorizar o si no hacerlo por f\u00f3rmula general o f\u00f3rmula del bachiller."}, {"start": 442.0, "end": 447.0, "text": " En este caso este trinomio es f\u00e1cilmente factorizable."}, {"start": 447.0, "end": 462.0, "text": " Utilizamos ese caso que se llama trinomio de la forma x al cuadrado m\u00e1s bx m\u00e1s c. Donde abrimos dos par\u00e9ntesis, sacamos la ra\u00edz cuadrada de x que ser\u00eda x al cuadrado que ser\u00eda x."}, {"start": 462.0, "end": 466.0, "text": " Y la escribimos al comienzo de cada par\u00e9ntesis."}, {"start": 466.0, "end": 475.0, "text": " Luego los signos. M\u00e1s por m\u00e1s nos da m\u00e1s. M\u00e1s por m\u00e1s signo m\u00e1s para el segundo par\u00e9ntesis."}, {"start": 475.0, "end": 485.0, "text": " A continuaci\u00f3n buscamos dos n\u00fameros que multiplicados nos den 15 y cuya suma nos de 8. Esos n\u00fameros son 5 y 3."}, {"start": 485.0, "end": 491.0, "text": " Entonces vemos que f\u00e1cilmente pudimos factorizar esa expresi\u00f3n."}, {"start": 491.0, "end": 495.0, "text": " Esto es mucho m\u00e1s r\u00e1pido que hacerlo por f\u00f3rmula general."}, {"start": 495.0, "end": 505.0, "text": " Entonces si descubrimos que sale por factorizaci\u00f3n es mejor irnos por ese camino porque lo vamos a resolver con mayor rapidez."}, {"start": 505.0, "end": 510.0, "text": " Aqu\u00ed aplicamos el teorema del factor nulo que recordemos dice as\u00ed."}, {"start": 510.0, "end": 521.0, "text": " Si a por b es igual a cero entonces a es igual a cero o b es igual a cero."}, {"start": 521.0, "end": 529.0, "text": " Si el producto de dos expresiones es igual a cero entonces cada una de ellas debe ser igual a cero."}, {"start": 529.0, "end": 537.0, "text": " Tenemos x m\u00e1s 5 igual a cero o x m\u00e1s 3 igual a cero."}, {"start": 537.0, "end": 547.0, "text": " En cada caso despejamos x. Por ac\u00e1 nos da x igual a menos 5 y por ac\u00e1 nos da x igual a menos 3."}, {"start": 547.0, "end": 560.0, "text": " Estos son los valores en el eje x donde la par\u00e1bola hace contacto o corta dicho eje."}, {"start": 560.0, "end": 566.0, "text": " Por aqu\u00ed anotamos entonces los puntos donde tenemos cortes con el eje x."}, {"start": 566.0, "end": 578.0, "text": " Y vamos a determinar ahora donde se produce el corte o la intersecci\u00f3n con el eje y."}, {"start": 578.0, "end": 585.0, "text": " O sea con el eje vertical. Para ello hacemos simplemente x igual a cero."}, {"start": 585.0, "end": 596.0, "text": " Entonces veamos el valor de x que se obtiene en ese caso ser\u00eda si x vale cero estos dos t\u00e9rminos se eliminan y nos queda 15."}, {"start": 596.0, "end": 607.0, "text": " En otras palabras el corte con el eje y est\u00e1 determinado por este valor c que es el t\u00e9rmino independiente en la funci\u00f3n cuadr\u00e1tica."}, {"start": 607.0, "end": 615.0, "text": " Entonces siempre c nos determinar\u00e1 donde la par\u00e1bola corta con el eje y."}, {"start": 615.0, "end": 623.0, "text": " Entonces podemos decir que el corte con el eje y ocurre en la coordenada cero coma quince."}, {"start": 623.0, "end": 626.0, "text": " x vale cero lleva a quince."}, {"start": 626.0, "end": 632.0, "text": " Entonces vamos a proceder a localizar en el plano cartesiano la informaci\u00f3n que hemos encontrado."}, {"start": 632.0, "end": 637.0, "text": " El v\u00e9rtice y los cortes con los ejes."}, {"start": 637.0, "end": 646.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos el plano cartesiano y en \u00e9l vamos a localizar el v\u00e9rtice que es la coordenada menos cuatro coma menos uno."}, {"start": 646.0, "end": 658.0, "text": " Es decir aqu\u00ed tambi\u00e9n podemos localizar los cortes con el eje x que est\u00e1n en menos cinco y menos tres."}, {"start": 658.0, "end": 666.0, "text": " Y tambi\u00e9n podemos localizar el corte con el eje y que lo encontramos en quince."}, {"start": 666.0, "end": 675.0, "text": " Entonces tenemos cuatro puntos y a continuaci\u00f3n vamos a trazar lo que se llama el eje de simetr\u00eda."}, {"start": 675.0, "end": 681.0, "text": " Una recta vertical que pasa justamente por el v\u00e9rtice."}, {"start": 681.0, "end": 691.0, "text": " Por all\u00ed lo tenemos y la ecuaci\u00f3n de esa recta es x igual a menos cuatro."}, {"start": 691.0, "end": 698.0, "text": " Porque se trata de una recta vertical que pasa por la abscisa menos cuatro."}, {"start": 698.0, "end": 705.0, "text": " Gracias a ese eje de simetr\u00eda podemos obtener un quinto punto para el trazado de la par\u00e1bola."}, {"start": 705.0, "end": 714.0, "text": " Es el sim\u00e9trico de este que tenemos aqu\u00ed. La distancia de este punto al eje de simetr\u00eda se refleja al otro lado."}, {"start": 714.0, "end": 719.0, "text": " Entonces vemos que de aqu\u00ed al eje de simetr\u00eda hay cuatro unidades."}, {"start": 719.0, "end": 727.0, "text": " Por lo tanto pasamos otras cuatro unidades a la izquierda del eje de simetr\u00eda y llegamos al valor menos ocho."}, {"start": 727.0, "end": 736.0, "text": " Entonces tendr\u00edamos aqu\u00ed el punto menos ocho coma quince. Vamos a escribir la coordenada."}, {"start": 736.0, "end": 741.0, "text": " El punto menos ocho coma quince y tambi\u00e9n vamos a escribir las coordenadas de los dem\u00e1s puntos."}, {"start": 741.0, "end": 749.0, "text": " Por ejemplo este que dijimos es cero coma quince. El corte con el eje vertical."}, {"start": 749.0, "end": 756.0, "text": " Este punto que es menos cinco coma cero. Uno de los cortes con el eje de x."}, {"start": 756.0, "end": 764.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos el otro, el menos tres coma cero. Y este que es el v\u00e9rtice de la par\u00e1bola."}, {"start": 764.0, "end": 767.0, "text": " La coordenada menos cuatro coma menos uno."}, {"start": 767.0, "end": 772.0, "text": " Finalmente con un curv\u00edgrafo vamos a trazar la par\u00e1bola."}, {"start": 772.0, "end": 778.0, "text": " All\u00ed tenemos entonces la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n que nos dieron."}, {"start": 778.0, "end": 782.0, "text": " Una par\u00e1bola c\u00f3ncava hacia arriba."}, {"start": 782.0, "end": 789.0, "text": " Podr\u00edamos complementar nuestro an\u00e1lisis determinando lo que es el dominio y el rango de esta funci\u00f3n."}, {"start": 789.0, "end": 797.0, "text": " Recordemos que el dominio hace referencia a los valores de x que participan en la funci\u00f3n."}, {"start": 797.0, "end": 805.0, "text": " Aqu\u00ed observamos que la par\u00e1bola abre hacia arriba y da participaci\u00f3n a todos los valores del eje x."}, {"start": 805.0, "end": 814.0, "text": " Por lo tanto decimos que el dominio son los x pertenecientes al conjunto de los n\u00fameros reales."}, {"start": 814.0, "end": 824.0, "text": " Mientras tanto el rango de la funci\u00f3n hace referencia a los valores de y que participan en la funci\u00f3n."}, {"start": 824.0, "end": 835.0, "text": " Aqu\u00ed observamos que la par\u00e1bola tiene su punto m\u00e1s bajo, es decir, su punto m\u00ednimo en el v\u00e9rtice y corresponde a la ordenada menos uno."}, {"start": 835.0, "end": 841.0, "text": " Entonces de menos uno hacia arriba es que participan los valores de y."}, {"start": 841.0, "end": 846.0, "text": " Vemos que de menos uno hacia abajo no tenemos gr\u00e1fica."}, {"start": 846.0, "end": 854.0, "text": " Entonces decimos que el rango son los valores de y mayores o iguales que menos uno."}, {"start": 854.0, "end": 866.0, "text": " O escrito en notaci\u00f3n de intervalo, el rango ser\u00edan los y pertenecientes al intervalo que va desde menos uno hasta m\u00e1s infinito."}, {"start": 866.0, "end": 875.0, "text": " Desde menos uno cerrado porque se incluye, es el punto del v\u00e9rtice, hasta m\u00e1s infinito abierto."}, {"start": 875.0, "end": 878.0, "text": " Es decir, desde aqu\u00ed para arriba."}, {"start": 878.0, "end": 884.0, "text": " Otra cosa que nos pueden preguntar es determinar donde la funci\u00f3n crece y donde decrece."}, {"start": 884.0, "end": 891.0, "text": " Si recorremos la par\u00e1bola de izquierda a derecha vemos que es decreciente hasta el v\u00e9rtice."}, {"start": 891.0, "end": 896.0, "text": " Es decir, desde menos infinito hasta menos cuatro."}, {"start": 896.0, "end": 907.0, "text": " Entonces escribimos as\u00ed, la funci\u00f3n decrece para los x pertenecientes al intervalo que va desde menos infinito hasta menos cuatro abierto."}, {"start": 907.0, "end": 912.0, "text": " No tomamos el valor de menos cuatro sino hasta antecito de \u00e9l."}, {"start": 912.0, "end": 918.0, "text": " Y vemos que crece en el resto de su dominio."}, {"start": 918.0, "end": 925.0, "text": " Es decir, desde menos cuatro despu\u00e9s de menos cuatro hasta m\u00e1s infinito."}, {"start": 925.0, "end": 927.0, "text": " Entonces lo escribimos as\u00ed."}, {"start": 927.0, "end": 936.0, "text": " La funci\u00f3n es creciente para los x pertenecientes al intervalo que va desde menos cuatro hasta m\u00e1s infinito."}, {"start": 936.0, "end": 940.0, "text": " Siempre los mencionamos como intervalos aviados."}, {"start": 940.0, "end": 956.0, "text": " De esta manera terminamos el an\u00e1lisis completo de esa funci\u00f3n cuadr\u00e1tica."}]

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Ejercicio 3 de CIRCUNFERENCIA

#julioprofe explica cómo hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(1,3) y B(4,6) y cuyo centro está sobre el Eje X. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

Allá es la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A de coordenadas 1,3 y B de coordenadas 4,6 y cuyo centro está sobre el eje X. Bien, comenzamos anotando los puntos A y B cuyas coordenadas nos dan y vamos a llamar el centro de la circunferencia la pareja H,K. Usualmente se utilizan estas dos letras para denotar el centro de una circunferencia, pero en esta ocasión nos dicen que el centro está localizado sobre el eje X. Por lo tanto el valor de K será igual a cero. Si recordemos que cualquier punto que se localice sobre el eje X tendrá como coordenada cero. Entonces a continuación vamos a realizar el siguiente planteamiento. La distancia del centro a cualquiera de esos dos puntos será el radio de la circunferencia. Por lo tanto la distancia desde el punto C hasta el punto A, es decir, uno de los radios será igual a la distancia desde C hasta B. Este será el punto de partida para comenzar a dar solución a este ejercicio. Para determinar estas distancias vamos a utilizar una fórmula que nos permite encontrar la longitud del segmento comprendido entre dos puntos del plano cartesiano. La distancia entre un punto P1 y P2 del plano cartesiano, cuyas coordenadas son estas, viene dada por la siguiente expresión. Será la raíz cuadrada de X2 menos X1 al cuadrado más Y2 menos Y1 al cuadrado. Entonces vamos a utilizar esta fórmula para plantear las expresiones para estas dos longitudes de los segmentos. Entonces vamos a comenzar con CA. Podemos llamar, por ejemplo, a estos dos puntos las coordenadas X2, Y2 y X1, Y1, para hacer el planteamiento de CA. Entonces, usando esta fórmula nos queda de la siguiente manera. Será la raíz cuadrada de X2 menos X1, es decir, H menos uno al cuadrado más Y2 menos Y1, es decir, cero menos tres al cuadrado. Allí tenemos entonces la expresión para CA. Y ahora vamos a hacer lo mismo para CB. En este caso consideramos ahora estos dos puntos, este lo podemos dejar nombrado como X2, Y2 y ahora nombramos el punto B como X1, Y1. Entonces vamos a utilizar nuevamente esta fórmula. Veamos, X2 menos X1 sería H menos cuatro al cuadrado más Y2 menos Y1, es decir, cero menos seis al cuadrado. Y aquí cerramos la raíz. Los concentramos ahora en darle solución a esta ecuación. Para iniciar podríamos pensar en elevar ambos miembros de la igualdad al cuadrado. Con eso logramos suprimir las raíces cuadradas. Entonces nos quedaría simplemente lo que está dentro de ellas. H menos uno al cuadrado más aquí cero menos tres da menos tres al cuadrado, es nueve, igual a lo que tenemos dentro de la otra raíz. Es H menos cuatro al cuadrado más cero menos seis da menos seis al cuadrado, es treinta y seis. Continuamos ahora desarrollando estos binomios al cuadrado. Vamos a recordar la fórmula para resolver un binomio al cuadrado. Si tenemos A menos B al cuadrado es igual a A al cuadrado menos dos AB más B al cuadrado. Entonces con base en esto vamos a desarrollar estos dos binomios al cuadrado. Por aquí tenemos entonces H al cuadrado, es decir el primero al cuadrado, menos dos veces el primero por el segundo, es decir dos por H por uno, que nos da dos H. Más el segundo término al cuadrado, uno al cuadrado nos da uno y esto más nueve. Igual a que hacemos lo mismo, el primer término al cuadrado es H al cuadrado menos dos veces el primero por el segundo nos da ocho H, más el segundo al cuadrado sería dieciséis y esto más treinta y seis. En esta igualdad podemos suprimir H al cuadrado porque es un término que se encuentra a ambos lados de la igualdad con el mismo signo, entonces podemos eliminar H al cuadrado. Por acá nos queda entonces menos dos H más diez y por acá nos queda menos ocho H más cincuenta y dos. Entonces vemos esa ecuación pasando al lado izquierdo los términos que tienen la letra H, o sea la incógnita y en el lado derecho los números, entonces nos queda menos dos H más ocho H igual a cincuenta y dos menos diez. Entonces vemos que esto nos da seis H y por acá nos da cuarenta y dos y a continuación vamos a despejar H. Para ello el seis que está multiplicando pasa al otro lado a dividir, nos queda cuarenta y dos dividido entre seis y obtenemos que el valor de H es siete. De esta manera ya podemos afirmar que el centro de la circunferencia tiene como coordenadas siete coma cero. Tenemos entonces que la circunferencia pasa por los puntos A y B que nos dan y tiene centro en siete coma cero. A continuación vamos a determinar entonces el valor del radio que sería R. R podemos encontrarlo como la distancia del centro al punto A o del centro al punto B. Escogemos cualquiera de las dos posibilidades. Vamos a hacerlo con la distancia de C al punto A. Entonces aplicamos la fórmula de distancia entre los puntos, la que veíamos al comienzo. Entonces tenemos siete menos uno al cuadrado más cero menos tres al cuadrado y resolvemos esas operaciones. Tenemos siete menos uno es seis, seis al cuadrado es treinta y seis, cero menos tres da menos tres y menos tres al cuadrado nos da nueve. Y todo eso nos da un radio igual a la raíz cuadrada de cuarenta y cinco. Aunque esta raíz cuadrada de cuarenta y cinco puede simplificarse, vamos a dejarla así expresada. Conociendo entonces el centro de la circunferencia y el valor de su radio podemos utilizar el modelo que dice X menos H al cuadrado más Y menos K al cuadrado igual a R al cuadrado para encontrar la ecuación de la circunferencia. El centro es la pareja HK. Entonces vamos a sustituir en el modelo los datos que tenemos. Veamos, X menos H que vale siete al cuadrado más Y menos K, K vale cero al cuadrado igual al radio que es raíz de cuarenta y cinco al cuadrado. Esto nos queda X menos siete al cuadrado más Y menos cero nos queda simplemente Y al cuadrado y por acá nos queda cuarenta y cinco. El cuadrado destruye la raíz cuadrada. Y de esta manera tenemos la ecuación de la circunferencia expresada en la forma estándar. Esta sería entonces una forma de presentar la respuesta a este ejercicio. También podemos llevar la ecuación a la forma general. Para ello tenemos que desarrollar este binomio al cuadrado. Entonces veamos, sería X al cuadrado menos dos por X por siete que nos da catorce X más siete al cuadrado que es cuarenta y nueve. Esto más Y al cuadrado igual a cuarenta y cinco. Pero podemos pasar cuarenta y cinco al lado izquierdo a restar para que nos quede igual a cero. Y finalmente organizamos la expresión. Hacemos X al cuadrado más Y al cuadrado, luego el término que lleva la X es decir menos catorce X, luego iría el término que contiene la Y pero en este caso no tenemos. Si no hay término con la Y elevada al exponente uno y finalmente nos quedan los términos independientes cuya operación nos da más cuatro. Y todo esto quedaría igual a cero. Esta sería entonces la otra forma de presentar la ecuación de la circunferencia. Aquí se encuentra en lo que se llama la forma general. De esta manera terminamos el ejercicio.

[{"start": 0.0, "end": 16.0, "text": " All\u00e1 es la ecuaci\u00f3n de la circunferencia que pasa por los puntos A de coordenadas 1,3 y B de coordenadas 4,6 y cuyo centro est\u00e1 sobre el eje X."}, {"start": 16.0, "end": 30.0, "text": " Bien, comenzamos anotando los puntos A y B cuyas coordenadas nos dan y vamos a llamar el centro de la circunferencia la pareja H,K."}, {"start": 30.0, "end": 45.0, "text": " Usualmente se utilizan estas dos letras para denotar el centro de una circunferencia, pero en esta ocasi\u00f3n nos dicen que el centro est\u00e1 localizado sobre el eje X."}, {"start": 45.0, "end": 50.0, "text": " Por lo tanto el valor de K ser\u00e1 igual a cero."}, {"start": 50.0, "end": 58.0, "text": " Si recordemos que cualquier punto que se localice sobre el eje X tendr\u00e1 como coordenada cero."}, {"start": 58.0, "end": 64.0, "text": " Entonces a continuaci\u00f3n vamos a realizar el siguiente planteamiento."}, {"start": 64.0, "end": 72.0, "text": " La distancia del centro a cualquiera de esos dos puntos ser\u00e1 el radio de la circunferencia."}, {"start": 72.0, "end": 86.0, "text": " Por lo tanto la distancia desde el punto C hasta el punto A, es decir, uno de los radios ser\u00e1 igual a la distancia desde C hasta B."}, {"start": 86.0, "end": 95.0, "text": " Este ser\u00e1 el punto de partida para comenzar a dar soluci\u00f3n a este ejercicio."}, {"start": 95.0, "end": 114.0, "text": " Para determinar estas distancias vamos a utilizar una f\u00f3rmula que nos permite encontrar la longitud del segmento comprendido entre dos puntos del plano cartesiano."}, {"start": 114.0, "end": 127.0, "text": " La distancia entre un punto P1 y P2 del plano cartesiano, cuyas coordenadas son estas, viene dada por la siguiente expresi\u00f3n."}, {"start": 127.0, "end": 141.0, "text": " Ser\u00e1 la ra\u00edz cuadrada de X2 menos X1 al cuadrado m\u00e1s Y2 menos Y1 al cuadrado."}, {"start": 141.0, "end": 151.0, "text": " Entonces vamos a utilizar esta f\u00f3rmula para plantear las expresiones para estas dos longitudes de los segmentos."}, {"start": 151.0, "end": 154.0, "text": " Entonces vamos a comenzar con CA."}, {"start": 154.0, "end": 169.0, "text": " Podemos llamar, por ejemplo, a estos dos puntos las coordenadas X2, Y2 y X1, Y1, para hacer el planteamiento de CA."}, {"start": 169.0, "end": 175.0, "text": " Entonces, usando esta f\u00f3rmula nos queda de la siguiente manera."}, {"start": 175.0, "end": 194.0, "text": " Ser\u00e1 la ra\u00edz cuadrada de X2 menos X1, es decir, H menos uno al cuadrado m\u00e1s Y2 menos Y1, es decir, cero menos tres al cuadrado."}, {"start": 194.0, "end": 200.0, "text": " All\u00ed tenemos entonces la expresi\u00f3n para CA."}, {"start": 200.0, "end": 204.0, "text": " Y ahora vamos a hacer lo mismo para CB."}, {"start": 204.0, "end": 219.0, "text": " En este caso consideramos ahora estos dos puntos, este lo podemos dejar nombrado como X2, Y2 y ahora nombramos el punto B como X1, Y1."}, {"start": 219.0, "end": 225.0, "text": " Entonces vamos a utilizar nuevamente esta f\u00f3rmula."}, {"start": 225.0, "end": 243.0, "text": " Veamos, X2 menos X1 ser\u00eda H menos cuatro al cuadrado m\u00e1s Y2 menos Y1, es decir, cero menos seis al cuadrado."}, {"start": 243.0, "end": 246.0, "text": " Y aqu\u00ed cerramos la ra\u00edz."}, {"start": 246.0, "end": 251.0, "text": " Los concentramos ahora en darle soluci\u00f3n a esta ecuaci\u00f3n."}, {"start": 251.0, "end": 258.0, "text": " Para iniciar podr\u00edamos pensar en elevar ambos miembros de la igualdad al cuadrado."}, {"start": 258.0, "end": 262.0, "text": " Con eso logramos suprimir las ra\u00edces cuadradas."}, {"start": 262.0, "end": 267.0, "text": " Entonces nos quedar\u00eda simplemente lo que est\u00e1 dentro de ellas."}, {"start": 267.0, "end": 279.0, "text": " H menos uno al cuadrado m\u00e1s aqu\u00ed cero menos tres da menos tres al cuadrado, es nueve, igual a lo que tenemos dentro de la otra ra\u00edz."}, {"start": 279.0, "end": 289.0, "text": " Es H menos cuatro al cuadrado m\u00e1s cero menos seis da menos seis al cuadrado, es treinta y seis."}, {"start": 289.0, "end": 294.0, "text": " Continuamos ahora desarrollando estos binomios al cuadrado."}, {"start": 294.0, "end": 299.0, "text": " Vamos a recordar la f\u00f3rmula para resolver un binomio al cuadrado."}, {"start": 299.0, "end": 309.0, "text": " Si tenemos A menos B al cuadrado es igual a A al cuadrado menos dos AB m\u00e1s B al cuadrado."}, {"start": 309.0, "end": 315.0, "text": " Entonces con base en esto vamos a desarrollar estos dos binomios al cuadrado."}, {"start": 315.0, "end": 329.0, "text": " Por aqu\u00ed tenemos entonces H al cuadrado, es decir el primero al cuadrado, menos dos veces el primero por el segundo, es decir dos por H por uno, que nos da dos H."}, {"start": 329.0, "end": 337.0, "text": " M\u00e1s el segundo t\u00e9rmino al cuadrado, uno al cuadrado nos da uno y esto m\u00e1s nueve."}, {"start": 337.0, "end": 356.0, "text": " Igual a que hacemos lo mismo, el primer t\u00e9rmino al cuadrado es H al cuadrado menos dos veces el primero por el segundo nos da ocho H, m\u00e1s el segundo al cuadrado ser\u00eda diecis\u00e9is y esto m\u00e1s treinta y seis."}, {"start": 356.0, "end": 370.0, "text": " En esta igualdad podemos suprimir H al cuadrado porque es un t\u00e9rmino que se encuentra a ambos lados de la igualdad con el mismo signo, entonces podemos eliminar H al cuadrado."}, {"start": 370.0, "end": 386.0, "text": " Por ac\u00e1 nos queda entonces menos dos H m\u00e1s diez y por ac\u00e1 nos queda menos ocho H m\u00e1s cincuenta y dos."}, {"start": 386.0, "end": 407.0, "text": " Entonces vemos esa ecuaci\u00f3n pasando al lado izquierdo los t\u00e9rminos que tienen la letra H, o sea la inc\u00f3gnita y en el lado derecho los n\u00fameros, entonces nos queda menos dos H m\u00e1s ocho H igual a cincuenta y dos menos diez."}, {"start": 407.0, "end": 420.0, "text": " Entonces vemos que esto nos da seis H y por ac\u00e1 nos da cuarenta y dos y a continuaci\u00f3n vamos a despejar H."}, {"start": 420.0, "end": 437.0, "text": " Para ello el seis que est\u00e1 multiplicando pasa al otro lado a dividir, nos queda cuarenta y dos dividido entre seis y obtenemos que el valor de H es siete."}, {"start": 437.0, "end": 450.0, "text": " De esta manera ya podemos afirmar que el centro de la circunferencia tiene como coordenadas siete coma cero."}, {"start": 450.0, "end": 459.0, "text": " Tenemos entonces que la circunferencia pasa por los puntos A y B que nos dan y tiene centro en siete coma cero."}, {"start": 459.0, "end": 475.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a determinar entonces el valor del radio que ser\u00eda R. R podemos encontrarlo como la distancia del centro al punto A o del centro al punto B."}, {"start": 475.0, "end": 484.0, "text": " Escogemos cualquiera de las dos posibilidades. Vamos a hacerlo con la distancia de C al punto A."}, {"start": 484.0, "end": 491.0, "text": " Entonces aplicamos la f\u00f3rmula de distancia entre los puntos, la que ve\u00edamos al comienzo."}, {"start": 491.0, "end": 508.0, "text": " Entonces tenemos siete menos uno al cuadrado m\u00e1s cero menos tres al cuadrado y resolvemos esas operaciones."}, {"start": 508.0, "end": 520.0, "text": " Tenemos siete menos uno es seis, seis al cuadrado es treinta y seis, cero menos tres da menos tres y menos tres al cuadrado nos da nueve."}, {"start": 520.0, "end": 528.0, "text": " Y todo eso nos da un radio igual a la ra\u00edz cuadrada de cuarenta y cinco."}, {"start": 528.0, "end": 536.0, "text": " Aunque esta ra\u00edz cuadrada de cuarenta y cinco puede simplificarse, vamos a dejarla as\u00ed expresada."}, {"start": 536.0, "end": 545.0, "text": " Conociendo entonces el centro de la circunferencia y el valor de su radio podemos utilizar el modelo que dice"}, {"start": 545.0, "end": 560.0, "text": " X menos H al cuadrado m\u00e1s Y menos K al cuadrado igual a R al cuadrado para encontrar la ecuaci\u00f3n de la circunferencia."}, {"start": 560.0, "end": 570.0, "text": " El centro es la pareja HK. Entonces vamos a sustituir en el modelo los datos que tenemos."}, {"start": 570.0, "end": 590.0, "text": " Veamos, X menos H que vale siete al cuadrado m\u00e1s Y menos K, K vale cero al cuadrado igual al radio que es ra\u00edz de cuarenta y cinco al cuadrado."}, {"start": 590.0, "end": 602.0, "text": " Esto nos queda X menos siete al cuadrado m\u00e1s Y menos cero nos queda simplemente Y al cuadrado y por ac\u00e1 nos queda cuarenta y cinco."}, {"start": 602.0, "end": 606.0, "text": " El cuadrado destruye la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 606.0, "end": 619.0, "text": " Y de esta manera tenemos la ecuaci\u00f3n de la circunferencia expresada en la forma est\u00e1ndar."}, {"start": 619.0, "end": 626.0, "text": " Esta ser\u00eda entonces una forma de presentar la respuesta a este ejercicio."}, {"start": 626.0, "end": 631.0, "text": " Tambi\u00e9n podemos llevar la ecuaci\u00f3n a la forma general."}, {"start": 631.0, "end": 634.0, "text": " Para ello tenemos que desarrollar este binomio al cuadrado."}, {"start": 634.0, "end": 647.0, "text": " Entonces veamos, ser\u00eda X al cuadrado menos dos por X por siete que nos da catorce X m\u00e1s siete al cuadrado que es cuarenta y nueve."}, {"start": 647.0, "end": 651.0, "text": " Esto m\u00e1s Y al cuadrado igual a cuarenta y cinco."}, {"start": 651.0, "end": 660.0, "text": " Pero podemos pasar cuarenta y cinco al lado izquierdo a restar para que nos quede igual a cero."}, {"start": 660.0, "end": 663.0, "text": " Y finalmente organizamos la expresi\u00f3n."}, {"start": 663.0, "end": 677.0, "text": " Hacemos X al cuadrado m\u00e1s Y al cuadrado, luego el t\u00e9rmino que lleva la X es decir menos catorce X, luego ir\u00eda el t\u00e9rmino que contiene la Y pero en este caso no tenemos."}, {"start": 677.0, "end": 688.0, "text": " Si no hay t\u00e9rmino con la Y elevada al exponente uno y finalmente nos quedan los t\u00e9rminos independientes cuya operaci\u00f3n nos da m\u00e1s cuatro."}, {"start": 688.0, "end": 691.0, "text": " Y todo esto quedar\u00eda igual a cero."}, {"start": 691.0, "end": 697.0, "text": " Esta ser\u00eda entonces la otra forma de presentar la ecuaci\u00f3n de la circunferencia."}, {"start": 697.0, "end": 703.0, "text": " Aqu\u00ed se encuentra en lo que se llama la forma general."}, {"start": 703.0, "end": 722.0, "text": " De esta manera terminamos el ejercicio."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=FUZzUalCxlo

INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo resolver una integral trigonométrica. Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver esta integral trigonométrica comenzando por reescribir cos x como cos²x por cos x y vamos a cambiar cos²x por su equipa lente en la identidad fundamental de la trigonometría recordemos que esa identidad dice que 0²x más cos²x es igual a 1 entonces si de aquí despejamos cos²x tendremos 1 menos sen²x entonces hacemos ese cambio allí donde tenemos cos²x nos queda entonces esta expresión y allí vamos a manejar una sustitución vamos a cambiar la función sen²x por una nueva letra, por ejemplo la letra P debido a que la derivada de sen²x nos da cos²x entonces hacemos la sustitución P igual a sen²x y esto lo derivamos con respecto de x esa derivada nos da cos²x y de aquí vemos la posibilidad de pasar de x a multiplicar para que nos quede cos²x por dx, es decir, este componente nos queda entonces de P igual a cos²x por dx entonces con estos dos componentes que tenemos vamos a reconstruir la integral en términos de la nueva letra que es P nos queda entonces así, integral de P a 4 por 1 menos P² y todo esto por dP vemos entonces como la integral ha cambiado a una forma mucho más sencilla vamos a resolver esa integral, hacemos aquí propiedad distributiva con P a la 4 nos queda entonces la integral de P a la 4 menos P a la 6 y todo esto con su correspondiente diferencial dP vamos a integrar cada término, la integral de P a la 4 es P a la 5 sobre 5 menos la integral de P a la 6 que es P a la 7 sobre 7 y todo esto más la constante de integración ahora deshacemos el cambio que hicimos con la sustitución, recordemos que P equivale a sen x entonces esto nos queda sen x elevado a la 5 todo sobre 5 menos sen x elevado a la 7 todo sobre 7 más la constante de integración esta respuesta puede escribirse también de la siguiente manera 1 quinto de sen x a la 5 de x menos 1 septimo de sen x a la 7 de x más la constante de integración de esta manera terminamos y hemos solucionado la integral trigonométrica

[{"start": 0.0, "end": 19.0, "text": " Vamos a resolver esta integral trigonom\u00e9trica comenzando por reescribir cos x como cos\u00b2x por cos x"}, {"start": 19.0, "end": 33.0, "text": " y vamos a cambiar cos\u00b2x por su equipa lente en la identidad fundamental de la trigonometr\u00eda"}, {"start": 33.0, "end": 42.0, "text": " recordemos que esa identidad dice que 0\u00b2x m\u00e1s cos\u00b2x es igual a 1"}, {"start": 42.0, "end": 51.0, "text": " entonces si de aqu\u00ed despejamos cos\u00b2x tendremos 1 menos sen\u00b2x"}, {"start": 51.0, "end": 59.0, "text": " entonces hacemos ese cambio all\u00ed donde tenemos cos\u00b2x"}, {"start": 59.0, "end": 66.0, "text": " nos queda entonces esta expresi\u00f3n y all\u00ed vamos a manejar una sustituci\u00f3n"}, {"start": 66.0, "end": 74.0, "text": " vamos a cambiar la funci\u00f3n sen\u00b2x por una nueva letra, por ejemplo la letra P"}, {"start": 74.0, "end": 81.0, "text": " debido a que la derivada de sen\u00b2x nos da cos\u00b2x"}, {"start": 81.0, "end": 91.0, "text": " entonces hacemos la sustituci\u00f3n P igual a sen\u00b2x y esto lo derivamos con respecto de x"}, {"start": 91.0, "end": 101.0, "text": " esa derivada nos da cos\u00b2x y de aqu\u00ed vemos la posibilidad de pasar de x a multiplicar"}, {"start": 101.0, "end": 106.0, "text": " para que nos quede cos\u00b2x por dx, es decir, este componente"}, {"start": 106.0, "end": 113.0, "text": " nos queda entonces de P igual a cos\u00b2x por dx"}, {"start": 113.0, "end": 127.0, "text": " entonces con estos dos componentes que tenemos vamos a reconstruir la integral en t\u00e9rminos de la nueva letra que es P"}, {"start": 127.0, "end": 142.0, "text": " nos queda entonces as\u00ed, integral de P a 4 por 1 menos P\u00b2 y todo esto por dP"}, {"start": 142.0, "end": 149.0, "text": " vemos entonces como la integral ha cambiado a una forma mucho m\u00e1s sencilla"}, {"start": 149.0, "end": 157.0, "text": " vamos a resolver esa integral, hacemos aqu\u00ed propiedad distributiva con P a la 4"}, {"start": 157.0, "end": 172.0, "text": " nos queda entonces la integral de P a la 4 menos P a la 6 y todo esto con su correspondiente diferencial dP"}, {"start": 172.0, "end": 187.0, "text": " vamos a integrar cada t\u00e9rmino, la integral de P a la 4 es P a la 5 sobre 5 menos la integral de P a la 6 que es P a la 7 sobre 7"}, {"start": 187.0, "end": 193.0, "text": " y todo esto m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n"}, {"start": 193.0, "end": 203.0, "text": " ahora deshacemos el cambio que hicimos con la sustituci\u00f3n, recordemos que P equivale a sen x"}, {"start": 203.0, "end": 221.0, "text": " entonces esto nos queda sen x elevado a la 5 todo sobre 5 menos sen x elevado a la 7 todo sobre 7 m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n"}, {"start": 221.0, "end": 225.0, "text": " esta respuesta puede escribirse tambi\u00e9n de la siguiente manera"}, {"start": 225.0, "end": 241.0, "text": " 1 quinto de sen x a la 5 de x menos 1 septimo de sen x a la 7 de x m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n"}, {"start": 241.0, "end": 251.0, "text": " de esta manera terminamos y hemos solucionado la integral trigonom\u00e9trica"}]

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ECUACIONES EXPONENCIALES - Ejercicio 6

#julioprofe explica cómo resolver una ecuación exponencial, donde un cambio de variable permite convertirla en ecuación cuadrática. Tema: #EcuacionesExponenciales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHM4fJbsnC7zzdnwRjc0ojm REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Para resolver esta ecuación comenzamos por reescribir el primer término de la siguiente manera. Como 3 a la x y eso a su vez al cuadrado. Lo demás se deja igual. Este cambio podemos hacerlo porque recordemos que cuando se tiene una potencia elevada a otro exponente ellos se multiplican y los exponentes se multiplican por lo tanto nos da 2x. Y aquí podemos utilizar un recurso bastante útil en matemáticas que se llama cambio de variable. Vamos a cambiar la expresión 3 a la x por otra letra, por ejemplo la letra u. Y con esto vamos a reescribir la ecuación. Nos queda entonces u al cuadrado más 9 igual a 10 u. Como vemos donde estaba 3 a la x se escribe ahora la letra u y la ecuación ya toma otro aspecto. Empieza a tomar forma de ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado. Recordemos que para poderla resolver debemos igualarla a cero. Entonces pasamos este término para el lado izquierdo, llega negativo, nos queda como menos 10 u más 9 que queda igual. Y todo eso igualado a cero. Tenemos entonces una ecuación cuadrática. En este caso podemos resolver la ecuación cuadrática por factorización. Ya que tenemos un trinomio que se puede factorizar fácilmente. Por ese caso que se llama trinomio de la forma x al cuadrado más bx más c. En este caso lo tenemos con la letra u. Entonces abrimos dos paréntesis, sacamos la raíz cuadrada de este término que es u. La escribimos al comienzo de cada paréntesis. Luego cuadramos los signos así. Más por menos nos da menos, menos por más nos da menos. Todo esto está igualado a cero. Y ahora buscamos dos números que van a ser negativos y que multiplicados nos tienen que dar nueve positivo. Y que sumados nos tienen que dar menos diez. Esos números son menos nueve y menos uno. Entonces como vemos esta expresión se factoriza fácilmente y nos queda así. A continuación aplicamos el teorema del factor nulo. Recordemos que si tenemos el producto de dos expresiones igualado a cero. Entonces cada una de ellas se debe igualar a cero. Nos queda u menos nueve igual a cero o u menos uno igual a cero. En cada caso se resuelve para la variable u. Entonces tenemos u es igual a nueve que está restando pasa a sumar al otro lado con el cero. Nos queda u igual a nueve. Y por acá nos queda u igual a uno positivo. Uno está restando pasa a sumar con el cero. Hemos encontrado entonces la solución para esa ecuación cuadrática en términos de u. Sin las dos soluciones u igual a nueve y u igual a uno. Pero allí no termina nuestro ejercicio porque debemos recordar que u equivale a tres a la x. Entonces debemos deshacer el cambio de variable. Cambiando la letra u por su equivalente que es tres a la x. Nos queda entonces tres a la x igual a nueve y por acá tres a la x igual a uno. Vamos a resolver entonces en cada caso para la variable x. En este caso podemos decir que tres a la x es igual a tres al cuadrado. Simplemente cambiando nueve por la potencia tres al cuadrado. Y en este caso como nos quedan dos potencias igualadas con la misma base. Entonces podemos igualar sus exponentes. Nos queda entonces que x es igual a dos. Y ya tenemos una solución para la ecuación original. Uno de los valores de x será dos. Ahora veamos por acá. Podemos escribir eso como tres a la x igual a tres a la cero. Si recordemos que tres a la cero equivale a uno. Y aquí tenemos la misma situación que teníamos acá. Igualdad de potencias de la misma base. Por lo tanto sus exponentes se pueden igualar. Nos queda entonces que x vale cero. Y de esta manera encontramos la otra solución. Como respuesta final del ejercicio tenemos entonces que el conjunto solución de la ecuación son los valores cero y dos. Esta será entonces la respuesta.

[{"start": 0.0, "end": 9.0, "text": " Para resolver esta ecuaci\u00f3n comenzamos por reescribir el primer t\u00e9rmino de la siguiente manera."}, {"start": 9.0, "end": 14.0, "text": " Como 3 a la x y eso a su vez al cuadrado."}, {"start": 14.0, "end": 18.0, "text": " Lo dem\u00e1s se deja igual."}, {"start": 18.0, "end": 27.0, "text": " Este cambio podemos hacerlo porque recordemos que cuando se tiene una potencia elevada a otro exponente"}, {"start": 27.0, "end": 34.0, "text": " ellos se multiplican y los exponentes se multiplican por lo tanto nos da 2x."}, {"start": 34.0, "end": 47.0, "text": " Y aqu\u00ed podemos utilizar un recurso bastante \u00fatil en matem\u00e1ticas que se llama cambio de variable."}, {"start": 47.0, "end": 58.0, "text": " Vamos a cambiar la expresi\u00f3n 3 a la x por otra letra, por ejemplo la letra u."}, {"start": 58.0, "end": 62.0, "text": " Y con esto vamos a reescribir la ecuaci\u00f3n."}, {"start": 62.0, "end": 70.0, "text": " Nos queda entonces u al cuadrado m\u00e1s 9 igual a 10 u."}, {"start": 70.0, "end": 81.0, "text": " Como vemos donde estaba 3 a la x se escribe ahora la letra u y la ecuaci\u00f3n ya toma otro aspecto."}, {"start": 81.0, "end": 89.0, "text": " Empieza a tomar forma de ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica o ecuaci\u00f3n de segundo grado."}, {"start": 89.0, "end": 95.0, "text": " Recordemos que para poderla resolver debemos igualarla a cero."}, {"start": 95.0, "end": 106.0, "text": " Entonces pasamos este t\u00e9rmino para el lado izquierdo, llega negativo, nos queda como menos 10 u m\u00e1s 9 que queda igual."}, {"start": 106.0, "end": 110.0, "text": " Y todo eso igualado a cero."}, {"start": 110.0, "end": 115.0, "text": " Tenemos entonces una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica."}, {"start": 115.0, "end": 125.0, "text": " En este caso podemos resolver la ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica por factorizaci\u00f3n."}, {"start": 125.0, "end": 133.0, "text": " Ya que tenemos un trinomio que se puede factorizar f\u00e1cilmente."}, {"start": 133.0, "end": 139.0, "text": " Por ese caso que se llama trinomio de la forma x al cuadrado m\u00e1s bx m\u00e1s c."}, {"start": 139.0, "end": 142.0, "text": " En este caso lo tenemos con la letra u."}, {"start": 142.0, "end": 150.0, "text": " Entonces abrimos dos par\u00e9ntesis, sacamos la ra\u00edz cuadrada de este t\u00e9rmino que es u."}, {"start": 150.0, "end": 153.0, "text": " La escribimos al comienzo de cada par\u00e9ntesis."}, {"start": 153.0, "end": 156.0, "text": " Luego cuadramos los signos as\u00ed."}, {"start": 156.0, "end": 163.0, "text": " M\u00e1s por menos nos da menos, menos por m\u00e1s nos da menos."}, {"start": 163.0, "end": 166.0, "text": " Todo esto est\u00e1 igualado a cero."}, {"start": 166.0, "end": 176.0, "text": " Y ahora buscamos dos n\u00fameros que van a ser negativos y que multiplicados nos tienen que dar nueve positivo."}, {"start": 176.0, "end": 180.0, "text": " Y que sumados nos tienen que dar menos diez."}, {"start": 180.0, "end": 185.0, "text": " Esos n\u00fameros son menos nueve y menos uno."}, {"start": 185.0, "end": 195.0, "text": " Entonces como vemos esta expresi\u00f3n se factoriza f\u00e1cilmente y nos queda as\u00ed."}, {"start": 195.0, "end": 200.0, "text": " A continuaci\u00f3n aplicamos el teorema del factor nulo."}, {"start": 200.0, "end": 207.0, "text": " Recordemos que si tenemos el producto de dos expresiones igualado a cero."}, {"start": 207.0, "end": 212.0, "text": " Entonces cada una de ellas se debe igualar a cero."}, {"start": 212.0, "end": 220.0, "text": " Nos queda u menos nueve igual a cero o u menos uno igual a cero."}, {"start": 220.0, "end": 225.0, "text": " En cada caso se resuelve para la variable u."}, {"start": 225.0, "end": 233.0, "text": " Entonces tenemos u es igual a nueve que est\u00e1 restando pasa a sumar al otro lado con el cero."}, {"start": 233.0, "end": 236.0, "text": " Nos queda u igual a nueve."}, {"start": 236.0, "end": 240.0, "text": " Y por ac\u00e1 nos queda u igual a uno positivo."}, {"start": 240.0, "end": 244.0, "text": " Uno est\u00e1 restando pasa a sumar con el cero."}, {"start": 244.0, "end": 254.0, "text": " Hemos encontrado entonces la soluci\u00f3n para esa ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica en t\u00e9rminos de u."}, {"start": 254.0, "end": 260.0, "text": " Sin las dos soluciones u igual a nueve y u igual a uno."}, {"start": 260.0, "end": 268.0, "text": " Pero all\u00ed no termina nuestro ejercicio porque debemos recordar que u equivale a tres a la x."}, {"start": 268.0, "end": 272.0, "text": " Entonces debemos deshacer el cambio de variable."}, {"start": 272.0, "end": 278.0, "text": " Cambiando la letra u por su equivalente que es tres a la x."}, {"start": 278.0, "end": 286.0, "text": " Nos queda entonces tres a la x igual a nueve y por ac\u00e1 tres a la x igual a uno."}, {"start": 286.0, "end": 291.0, "text": " Vamos a resolver entonces en cada caso para la variable x."}, {"start": 291.0, "end": 298.0, "text": " En este caso podemos decir que tres a la x es igual a tres al cuadrado."}, {"start": 298.0, "end": 303.0, "text": " Simplemente cambiando nueve por la potencia tres al cuadrado."}, {"start": 303.0, "end": 308.0, "text": " Y en este caso como nos quedan dos potencias igualadas con la misma base."}, {"start": 308.0, "end": 312.0, "text": " Entonces podemos igualar sus exponentes."}, {"start": 312.0, "end": 317.0, "text": " Nos queda entonces que x es igual a dos."}, {"start": 317.0, "end": 323.0, "text": " Y ya tenemos una soluci\u00f3n para la ecuaci\u00f3n original."}, {"start": 323.0, "end": 328.0, "text": " Uno de los valores de x ser\u00e1 dos."}, {"start": 328.0, "end": 330.0, "text": " Ahora veamos por ac\u00e1."}, {"start": 330.0, "end": 336.0, "text": " Podemos escribir eso como tres a la x igual a tres a la cero."}, {"start": 336.0, "end": 340.0, "text": " Si recordemos que tres a la cero equivale a uno."}, {"start": 340.0, "end": 345.0, "text": " Y aqu\u00ed tenemos la misma situaci\u00f3n que ten\u00edamos ac\u00e1."}, {"start": 345.0, "end": 348.0, "text": " Igualdad de potencias de la misma base."}, {"start": 348.0, "end": 353.0, "text": " Por lo tanto sus exponentes se pueden igualar."}, {"start": 353.0, "end": 357.0, "text": " Nos queda entonces que x vale cero."}, {"start": 357.0, "end": 364.0, "text": " Y de esta manera encontramos la otra soluci\u00f3n."}, {"start": 364.0, "end": 377.0, "text": " Como respuesta final del ejercicio tenemos entonces que el conjunto soluci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n son los valores cero y dos."}, {"start": 377.0, "end": 382.0, "text": " Esta ser\u00e1 entonces la respuesta."}]

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RECTA TANGENTE A UNA CURVA - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo hallar la ecuación de la recta tangente a la curva y=1/(x-2) en el punto (4,1/2). REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

En este ejercicio vamos a hallar la ecuación de la recta tangente a la curva y igual a 1 sobre x menos 2 en el punto de coordenadas 4,1 medio. Para comenzar vamos a reescribir la función de la siguiente manera, 1 sobre x menos 2 equivale a x menos 2 elevado al exponente en menos 1. Simplemente trasladamos esta expresión a la parte de arriba, por lo tanto el signo del exponente cambia, nos queda x menos 2 elevado a la menos 1. Vamos entonces a derivar esa función. Para realizar la derivada de esa función vamos a utilizar la regla de la cadena para potencias, cuyo modelo dice lo siguiente. Si tenemos una expresión que vamos a simbolizar con esta manzanita elevada a un exponente n, su derivada tiene la siguiente forma. Baja el exponente n multiplicar, queda la manzanita intacta a la n menos 1 y es un multiplicado por la derivada de la manzanita. La manzanita está representada en este caso por x menos 2 y el exponente n es menos 1. Vamos a seguir esa instrucción. Nos queda que la derivada de esa función, es decir, f' de x es igual a menos 1 que va a multiplicar eso por x menos 2 a la menos 1 menos 1. Estamos haciendo esto, nos queda menos 2 y eso por la derivada interna, es decir, la derivada de x menos 2 que equivale a 1. Vamos a pulir esa expresión. Nos queda entonces f' de x igual a menos 1 y eso sobre x menos 2 al cuadrado. Esa será entonces la primera derivada de la función. Esa expresión nos sirve para encontrar la pendiente de la recta tangente, de la recta que nos piden en el problema. Para ello tenemos que evaluar la derivada en el valor de x del punto que nos dan, que es la coordenada 4,1 medio. Esto es lo que se conoce como punto de tangencia, es el punto donde la recta tangente hace contacto con la curva. Entonces la primera derivada debe evaluarse en 4, que es el valor de x del punto. Ese 4 lo reemplazamos en esa expresión que nos dio. Nos queda entonces menos 1 sobre 4 menos 2 al cuadrado, eso es igual a menos 1, sobre 4 menos 2 nos da 2 al cuadrado y finalmente eso nos da menos 1 cuarto. Por lo tanto la pendiente de la recta tangente en ese punto tiene el valor menos 1 cuarto. Por la información que tenemos ya podemos encontrar la ecuación de la recta tangente que vamos a denotar con sus iniciales. Tenemos el punto de tangencia que es la coordenada 4,1 medio y tenemos la pendiente de la recta tangente que nos dio menos 1 cuarto. Con esta información utilizamos lo que se llama el modelo punto pendiente para hallar la ecuación de una recta. Este es el modelo punto pendiente. X1 y1 son los valores del punto de tangencia. Vamos a reemplazar entonces nos queda y menos y1 que vale 1 medio es igual a la pendiente que es menos 1 cuarto que multiplica a x menos x1 que vale 4. Vamos a organizar entonces esa expresión. Podemos hacer propiedad distributiva en el lado derecho y nos queda y menos 1 medio es igual a menos 1 cuarto por x es menos 1 cuarto de x menos 1 cuarto por menos 4 nos da más 4 cuartos que sería más 1. Y de aquí vamos a despejar y nos queda menos 1 cuarto de x más 1 más 1 medio que está restando a este lado pasa al otro lado a sumar. Finalmente nos queda y igual a menos 1 cuarto de x más 1 más 1 medio que nos da 3 medios. Y hemos encontrado la ecuación de la recta tangente escrita en la forma y igual a mx más b que se conoce como la forma explícita de la ecuación de una recta. Esta es la respuesta al ejercicio.

[{"start": 0.0, "end": 15.0, "text": " En este ejercicio vamos a hallar la ecuaci\u00f3n de la recta tangente a la curva y igual a 1 sobre x menos 2 en el punto de coordenadas 4,1 medio."}, {"start": 15.0, "end": 31.0, "text": " Para comenzar vamos a reescribir la funci\u00f3n de la siguiente manera, 1 sobre x menos 2 equivale a x menos 2 elevado al exponente en menos 1."}, {"start": 31.0, "end": 45.0, "text": " Simplemente trasladamos esta expresi\u00f3n a la parte de arriba, por lo tanto el signo del exponente cambia, nos queda x menos 2 elevado a la menos 1."}, {"start": 46.0, "end": 58.0, "text": " Vamos entonces a derivar esa funci\u00f3n. Para realizar la derivada de esa funci\u00f3n vamos a utilizar la regla de la cadena para potencias, cuyo modelo dice lo siguiente."}, {"start": 58.0, "end": 72.0, "text": " Si tenemos una expresi\u00f3n que vamos a simbolizar con esta manzanita elevada a un exponente n, su derivada tiene la siguiente forma."}, {"start": 73.0, "end": 85.0, "text": " Baja el exponente n multiplicar, queda la manzanita intacta a la n menos 1 y es un multiplicado por la derivada de la manzanita."}, {"start": 85.0, "end": 93.0, "text": " La manzanita est\u00e1 representada en este caso por x menos 2 y el exponente n es menos 1."}, {"start": 94.0, "end": 112.0, "text": " Vamos a seguir esa instrucci\u00f3n. Nos queda que la derivada de esa funci\u00f3n, es decir, f' de x es igual a menos 1 que va a multiplicar eso por x menos 2 a la menos 1 menos 1."}, {"start": 112.0, "end": 124.0, "text": " Estamos haciendo esto, nos queda menos 2 y eso por la derivada interna, es decir, la derivada de x menos 2 que equivale a 1."}, {"start": 124.0, "end": 142.0, "text": " Vamos a pulir esa expresi\u00f3n. Nos queda entonces f' de x igual a menos 1 y eso sobre x menos 2 al cuadrado."}, {"start": 142.0, "end": 157.0, "text": " Esa ser\u00e1 entonces la primera derivada de la funci\u00f3n. Esa expresi\u00f3n nos sirve para encontrar la pendiente de la recta tangente, de la recta que nos piden en el problema."}, {"start": 157.0, "end": 172.0, "text": " Para ello tenemos que evaluar la derivada en el valor de x del punto que nos dan, que es la coordenada 4,1 medio."}, {"start": 172.0, "end": 190.0, "text": " Esto es lo que se conoce como punto de tangencia, es el punto donde la recta tangente hace contacto con la curva. Entonces la primera derivada debe evaluarse en 4, que es el valor de x del punto."}, {"start": 190.0, "end": 212.0, "text": " Ese 4 lo reemplazamos en esa expresi\u00f3n que nos dio. Nos queda entonces menos 1 sobre 4 menos 2 al cuadrado, eso es igual a menos 1, sobre 4 menos 2 nos da 2 al cuadrado y finalmente eso nos da menos 1 cuarto."}, {"start": 212.0, "end": 221.0, "text": " Por lo tanto la pendiente de la recta tangente en ese punto tiene el valor menos 1 cuarto."}, {"start": 222.0, "end": 232.0, "text": " Por la informaci\u00f3n que tenemos ya podemos encontrar la ecuaci\u00f3n de la recta tangente que vamos a denotar con sus iniciales."}, {"start": 232.0, "end": 247.0, "text": " Tenemos el punto de tangencia que es la coordenada 4,1 medio y tenemos la pendiente de la recta tangente que nos dio menos 1 cuarto."}, {"start": 247.0, "end": 261.0, "text": " Con esta informaci\u00f3n utilizamos lo que se llama el modelo punto pendiente para hallar la ecuaci\u00f3n de una recta. Este es el modelo punto pendiente."}, {"start": 261.0, "end": 287.0, "text": " X1 y1 son los valores del punto de tangencia. Vamos a reemplazar entonces nos queda y menos y1 que vale 1 medio es igual a la pendiente que es menos 1 cuarto que multiplica a x menos x1 que vale 4."}, {"start": 287.0, "end": 291.0, "text": " Vamos a organizar entonces esa expresi\u00f3n."}, {"start": 291.0, "end": 315.0, "text": " Podemos hacer propiedad distributiva en el lado derecho y nos queda y menos 1 medio es igual a menos 1 cuarto por x es menos 1 cuarto de x menos 1 cuarto por menos 4 nos da m\u00e1s 4 cuartos que ser\u00eda m\u00e1s 1."}, {"start": 315.0, "end": 334.0, "text": " Y de aqu\u00ed vamos a despejar y nos queda menos 1 cuarto de x m\u00e1s 1 m\u00e1s 1 medio que est\u00e1 restando a este lado pasa al otro lado a sumar."}, {"start": 334.0, "end": 345.0, "text": " Finalmente nos queda y igual a menos 1 cuarto de x m\u00e1s 1 m\u00e1s 1 medio que nos da 3 medios."}, {"start": 345.0, "end": 367.0, "text": " Y hemos encontrado la ecuaci\u00f3n de la recta tangente escrita en la forma y igual a mx m\u00e1s b que se conoce como la forma expl\u00edcita de la ecuaci\u00f3n de una recta."}, {"start": 367.0, "end": 374.0, "text": " Esta es la respuesta al ejercicio."}]

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MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS

#julioprofe explica cómo multiplicar monomios. Tema: #PolinomiosAlgebraicos → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEyIs_s2RKgIPueyKz2pawL REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Veamos la multiplicación de estos dos monomios. Recordemos que en cada monomio el coeficiente y las letras con dos exponentes, todo esto se encuentra multiplicando entre sí. Todo esto es multiplicación. Vamos a realizar esta multiplicación de manera detallada, mirando que sucede paso por paso y en los próximos ejemplos la hacemos de la forma rápida. Inicialmente hacemos la organización de los factores. Todos estos elementos son factores porque son cantidades que están multiplicando entre sí. Recordemos que en la multiplicación se aplica la propiedad conmutativa, esa que nos dice que el orden de los factores no altera el producto. Entonces podemos comenzar agrupando aquí los coeficientes, es decir la parte numérica, y luego las letras. Entonces puede escribirse x al cuadrado, luego por x a la 6, luego y al cubo, por y a la 9 y finalmente la letra z. Ahora vamos a resolver las operaciones. 3 por menos 2 nos da menos 6. Aquí, x al cuadrado por x a la 6, recordemos que allí se deja la misma base y se suman los exponentes. Aquí, y al cubo por y a la 9, dejamos la misma base y hacemos la suma de exponentes y luego la letra z que está completamente sola, simplemente acompaña. Nos queda entonces menos 6 por x a la 8, por y a la 3 más 9 que es 12 y eso por z. Para terminar simplemente desaparecemos los punticos que indican multiplicación y nos queda el resultado de la multiplicación de estos dos monomios. Vamos a ver a continuación otro ejemplo, pero miramos la manera de pasar directamente de aquí a esta respuesta. Tenemos esta multiplicación de dos monomios, entonces hacemos lo siguiente. Vamos a multiplicar los coeficientes, menos 4 por menos 5 nos da 20 positivo, recordemos que allí se tiene en cuenta la ley de los signos. Luego tenemos al cubo por a que tiene exponente 1, entonces dejamos la misma base y sumamos los exponentes. Entonces 3 más 1 nos da 4, b al cuadrado por b a la 4 dejamos la base que es la letra b y sumamos los exponentes nos da 6 y luego la letra c donde también sumamos sus exponentes. 5 más 6 nos da 11, este es el resultado de multiplicar esos dos monomios. Veamos ahora la multiplicación de estos tres monomios, entonces tenemos la multiplicación de sus coeficientes nos da 7 por menos 3 menos 21 y menos 21 por 2 da menos 42. Ahora vamos con la letra m, tenemos m a la 8 por m a la 7 por m a la 1, entonces dejamos la base que es m y sumamos los exponentes. 8 más 7 es 15, 15 más 1 es 16, ahora vamos con la letra n, entonces conservamos la base y sumamos los exponentes, 10 más 3 es 13, 13 más 6 es 19. Y por último escribimos la letra p que simplemente nos acompaña como parte del monomio resultante de la multiplicación de los tres monomios que nos daban. Veamos este caso donde tenemos la multiplicación de dos monomios con coeficientes fraccionarios. Comenzamos por definir el signo del resultado, tenemos menos por menos que nos da más, tendremos un monomio resultante de signo positivo. La multiplicación de los coeficientes que son fraccionarios vamos a efectuarla aparte, entonces ensamblamos la operación en el numerador 4 por 35 y en el denominador 15 por 26. Y allí simplificamos al máximo, por ejemplo 4 con 26 podemos sacar mitad, mitad de 4 es 2, mitad de 26 nos da 13, podemos sacar quinta de 15 y 35, quinta de 35 nos da 7, quinta de 15 nos da 3. Revisamos los números que quedaron y nos damos cuenta que no se puede simplificar más, por lo tanto procedemos a multiplicar los números que quedaron, arriba 2 por 7 que es 14 y abajo 3 por 13 que nos da 39. Por lo tanto el coeficiente del monomio resultante será 14 39. Y hacemos la multiplicación de la parte literal, es decir lo correspondiente a las letras, tenemos p al cubo por p a la 7, entonces dejamos la misma base que es p y sumamos los exponentes, 3 más 7 nos da 10. Y vamos con la letra q, entonces nos queda q a la 4 más 2 que nos da 6 y r a la 5 simplemente acompaña. De esa manera entonces hemos realizado la multiplicación de estos dos monomios.

[{"start": 0.0, "end": 25.0, "text": " Veamos la multiplicaci\u00f3n de estos dos monomios. Recordemos que en cada monomio el coeficiente y las letras con dos exponentes, todo esto se encuentra multiplicando entre s\u00ed."}, {"start": 25.0, "end": 41.0, "text": " Todo esto es multiplicaci\u00f3n. Vamos a realizar esta multiplicaci\u00f3n de manera detallada, mirando que sucede paso por paso y en los pr\u00f3ximos ejemplos la hacemos de la forma r\u00e1pida."}, {"start": 41.0, "end": 54.0, "text": " Inicialmente hacemos la organizaci\u00f3n de los factores. Todos estos elementos son factores porque son cantidades que est\u00e1n multiplicando entre s\u00ed."}, {"start": 54.0, "end": 64.0, "text": " Recordemos que en la multiplicaci\u00f3n se aplica la propiedad conmutativa, esa que nos dice que el orden de los factores no altera el producto."}, {"start": 64.0, "end": 73.0, "text": " Entonces podemos comenzar agrupando aqu\u00ed los coeficientes, es decir la parte num\u00e9rica, y luego las letras."}, {"start": 73.0, "end": 88.0, "text": " Entonces puede escribirse x al cuadrado, luego por x a la 6, luego y al cubo, por y a la 9 y finalmente la letra z."}, {"start": 88.0, "end": 96.0, "text": " Ahora vamos a resolver las operaciones. 3 por menos 2 nos da menos 6."}, {"start": 96.0, "end": 106.0, "text": " Aqu\u00ed, x al cuadrado por x a la 6, recordemos que all\u00ed se deja la misma base y se suman los exponentes."}, {"start": 106.0, "end": 123.0, "text": " Aqu\u00ed, y al cubo por y a la 9, dejamos la misma base y hacemos la suma de exponentes y luego la letra z que est\u00e1 completamente sola, simplemente acompa\u00f1a."}, {"start": 123.0, "end": 138.0, "text": " Nos queda entonces menos 6 por x a la 8, por y a la 3 m\u00e1s 9 que es 12 y eso por z."}, {"start": 138.0, "end": 152.0, "text": " Para terminar simplemente desaparecemos los punticos que indican multiplicaci\u00f3n y nos queda el resultado de la multiplicaci\u00f3n de estos dos monomios."}, {"start": 152.0, "end": 163.0, "text": " Vamos a ver a continuaci\u00f3n otro ejemplo, pero miramos la manera de pasar directamente de aqu\u00ed a esta respuesta."}, {"start": 163.0, "end": 174.0, "text": " Tenemos esta multiplicaci\u00f3n de dos monomios, entonces hacemos lo siguiente."}, {"start": 174.0, "end": 186.0, "text": " Vamos a multiplicar los coeficientes, menos 4 por menos 5 nos da 20 positivo, recordemos que all\u00ed se tiene en cuenta la ley de los signos."}, {"start": 186.0, "end": 196.0, "text": " Luego tenemos al cubo por a que tiene exponente 1, entonces dejamos la misma base y sumamos los exponentes."}, {"start": 196.0, "end": 215.0, "text": " Entonces 3 m\u00e1s 1 nos da 4, b al cuadrado por b a la 4 dejamos la base que es la letra b y sumamos los exponentes nos da 6 y luego la letra c donde tambi\u00e9n sumamos sus exponentes."}, {"start": 215.0, "end": 227.0, "text": " 5 m\u00e1s 6 nos da 11, este es el resultado de multiplicar esos dos monomios."}, {"start": 227.0, "end": 245.0, "text": " Veamos ahora la multiplicaci\u00f3n de estos tres monomios, entonces tenemos la multiplicaci\u00f3n de sus coeficientes nos da 7 por menos 3 menos 21 y menos 21 por 2 da menos 42."}, {"start": 245.0, "end": 258.0, "text": " Ahora vamos con la letra m, tenemos m a la 8 por m a la 7 por m a la 1, entonces dejamos la base que es m y sumamos los exponentes."}, {"start": 258.0, "end": 278.0, "text": " 8 m\u00e1s 7 es 15, 15 m\u00e1s 1 es 16, ahora vamos con la letra n, entonces conservamos la base y sumamos los exponentes, 10 m\u00e1s 3 es 13, 13 m\u00e1s 6 es 19."}, {"start": 278.0, "end": 293.0, "text": " Y por \u00faltimo escribimos la letra p que simplemente nos acompa\u00f1a como parte del monomio resultante de la multiplicaci\u00f3n de los tres monomios que nos daban."}, {"start": 297.0, "end": 305.0, "text": " Veamos este caso donde tenemos la multiplicaci\u00f3n de dos monomios con coeficientes fraccionarios."}, {"start": 305.0, "end": 318.0, "text": " Comenzamos por definir el signo del resultado, tenemos menos por menos que nos da m\u00e1s, tendremos un monomio resultante de signo positivo."}, {"start": 318.0, "end": 339.0, "text": " La multiplicaci\u00f3n de los coeficientes que son fraccionarios vamos a efectuarla aparte, entonces ensamblamos la operaci\u00f3n en el numerador 4 por 35 y en el denominador 15 por 26."}, {"start": 339.0, "end": 364.0, "text": " Y all\u00ed simplificamos al m\u00e1ximo, por ejemplo 4 con 26 podemos sacar mitad, mitad de 4 es 2, mitad de 26 nos da 13, podemos sacar quinta de 15 y 35, quinta de 35 nos da 7, quinta de 15 nos da 3."}, {"start": 364.0, "end": 385.0, "text": " Revisamos los n\u00fameros que quedaron y nos damos cuenta que no se puede simplificar m\u00e1s, por lo tanto procedemos a multiplicar los n\u00fameros que quedaron, arriba 2 por 7 que es 14 y abajo 3 por 13 que nos da 39."}, {"start": 385.0, "end": 394.0, "text": " Por lo tanto el coeficiente del monomio resultante ser\u00e1 14 39."}, {"start": 394.0, "end": 415.0, "text": " Y hacemos la multiplicaci\u00f3n de la parte literal, es decir lo correspondiente a las letras, tenemos p al cubo por p a la 7, entonces dejamos la misma base que es p y sumamos los exponentes, 3 m\u00e1s 7 nos da 10."}, {"start": 415.0, "end": 428.0, "text": " Y vamos con la letra q, entonces nos queda q a la 4 m\u00e1s 2 que nos da 6 y r a la 5 simplemente acompa\u00f1a."}, {"start": 428.0, "end": 447.0, "text": " De esa manera entonces hemos realizado la multiplicaci\u00f3n de estos dos monomios."}]

julioprofe

https://www.youtube.com/watch?v=QqGNPVq5h7I

DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO - Caso 4

#julioprofe explica cómo resolver una desigualdad con valor absoluto. Tema: #Desigualdades → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEZkcrDeNKKyhTxj4A1b83M REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver esta desigualdad con valor absoluto utilizando el siguiente modelo. V valor absoluto de A mayor o igual que una cantidad positiva B se resuelve así. Sustituimos cada componente, por ejemplo A es lo que tenemos dentro de las barras, es decir, x más 6. Ahora B está representado por el 1, por aquí tenemos menos 1 y aquí 1 positivo. Y entre estas dos desigualdades debemos realizar la unión de conjuntos. Ahora resolvemos cada una por separado. En ambos casos tenemos desigualdades lineales, por lo tanto despejamos x pasando el 6 al otro lado. Nos queda menos 1 menos 6, de donde x es menor o igual que menos 7. Y tenemos la solución de este lado. Ahora vamos con esta, tenemos x mayor o igual que 1 menos 6, x mayor o igual que menos 5. Y tenemos la solución del otro lado. Y entre estos dos conjuntos debemos realizar la unión. Vamos a llevar esto a una recta numérica para verlo mejor. Allí tenemos la recta que representa los valores de x desde menos infinito hasta más infinito. Localizamos el 0 y estos dos números, ambos están en la zona negativa, acá tenemos menos 7 y por acá menos 5. Nos dice entonces que son los x menores o iguales que menos 7, o sea que menos 7 se incluye como parte de la solución y son todos los números que están a la izquierda de menos 7 hasta menos infinito. Y eso debemos unirlo con los x mayores o iguales que menos 5, es decir, desde menos 5 incluyéndolo hacia más infinito. Y los mayores que menos 5, es decir, los que se encuentran hacia la derecha. Finalmente entonces expresamos este conjunto, es decir, la unión de las dos regiones sombreadas en forma de intervalo. Tenemos entonces los x que pertenecen al intervalo que va desde menos infinito, que es abierto, hasta menos 7, cerrado. Unión con el intervalo que va desde menos 5, cerrado, hasta más infinito, abierto. En este caso, menos 7 y menos 5 hacen parte de la solución de la desigualdad con valor absoluto y menos infinito y más infinito llevan paréntesis porque siempre van abiertos. De esta manera, terminamos.

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https://www.youtube.com/watch?v=iD8YpnONpMU

DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO - Caso 3

#julioprofe explica cómo resolver una desigualdad con valor absoluto. Tema: #Desigualdades → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEZkcrDeNKKyhTxj4A1b83M REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver esta desigualdad con valor absoluto utilizando el siguiente modelo. Valor absoluto de A mayor que una cantidad positiva B tal como en este caso se soluciona así. A menor que menos B unión con A mayor que B. Y procedemos a sustituir cada componente. A representa lo que se encuentra dentro de las barras, es decir 8X más 1. Entonces sustituimos A por 8X más 1. Aquí tenemos menor, aquí mayor. Ahora sustituimos el valor de B que es igual a 3. Entonces por aquí tenemos menos 3 y 3 en este lado. Entre estas dos desigualdades debemos al final realizar la unión de sus respectivos conjunto solución. Entonces comenzamos por esta. Ambas son desigualdades de tipo lineal. Entonces comenzamos por pasar el número, en este caso el más 1 que se encuentra solo al otro lado. Nos queda entonces menos 3 menos 1. Es como si restáramos 1 a ambos lados de la desigualdad. Aquí nos queda 8X menor que menos 4. Y para poder deshacernos de este 8, debemos dividir ambos lados de la desigualdad entre 8. En este caso el signo de la desigualdad no presenta ningún cambio porque hemos dividido a ambos lados por número positivo. En este lado se nos cancela el 8 y nos queda X. Y por acá la fracción menos 4 octavos la podemos simplificar sacando cuarta en el numerador y en el denominador. Eso nos da menos 1 medio. Esta será entonces la solución de esta parte del ejercicio. Ahora vamos con la otra. Tenemos otra desigualdad lineal. Nuevamente pasamos este 1 que está sumando a restar al otro lado. Queda 3 menos 1. Nos queda que 8X es mayor que 2. Y nuevamente para poder quitar este 8, dividimos ambos lados de la desigualdad entre 8. Aquí se cancela el 8. Nos queda X mayor que 2 octavos que simplificando nos queda como 1 cuarto. Y tenemos la solución de la otra desigualdad. Finalmente entre ambas debemos realizar la unión. Lo mejor para hacer la unión de estos dos conjuntos de manera acertada es llevarlos a una misma recta numérica. Allí dibujamos la recta que simbolice los valores de la variable X desde menos infinito hasta más infinito. Es decir considerando todos los números reales. Localizamos el cero y vamos a localizar también estos dos números. Menos 1 medio en la zona negativa a la izquierda de cero y 1 cuarto en la zona positiva a la derecha de cero. Entonces tenemos que los X menores que menos 1 medio sería la zona que va desde menos 1 medio hasta menos infinito. Es decir todo esto. Y la zona correspondiente a los X mayores que 1 cuarto sería lo que está a la derecha de ese valor. A la derecha de 1 cuarto. Observamos que menos 1 medio y 4 son valores que no hacen parte de la solución. Entonces van abiertos. Para terminar podemos dar entonces la solución de la desigualdad en forma de intervalo. Tenemos entonces que somos X que pertenecen al intervalo que va desde menos infinito hasta menos 1 medio. Es decir desde aquí hasta aquí abierto en menos 1 medio y eso unión con el intervalo que va desde 1 cuarto abierto. Es decir desde este valor hasta más infinito también abierto. Recordemos que tanto menos infinito como más infinito siempre van abiertos. Siempre se representan con paríntesis. De esta manera terminamos el ejercicio.

[{"start": 0.0, "end": 22.0, "text": " Vamos a resolver esta desigualdad con valor absoluto utilizando el siguiente modelo."}, {"start": 22.0, "end": 33.0, "text": " Valor absoluto de A mayor que una cantidad positiva B tal como en este caso se soluciona as\u00ed."}, {"start": 33.0, "end": 41.0, "text": " A menor que menos B uni\u00f3n con A mayor que B."}, {"start": 41.0, "end": 54.0, "text": " Y procedemos a sustituir cada componente. A representa lo que se encuentra dentro de las barras, es decir 8X m\u00e1s 1."}, {"start": 54.0, "end": 67.0, "text": " Entonces sustituimos A por 8X m\u00e1s 1. Aqu\u00ed tenemos menor, aqu\u00ed mayor."}, {"start": 67.0, "end": 77.0, "text": " Ahora sustituimos el valor de B que es igual a 3. Entonces por aqu\u00ed tenemos menos 3 y 3 en este lado."}, {"start": 77.0, "end": 90.0, "text": " Entre estas dos desigualdades debemos al final realizar la uni\u00f3n de sus respectivos conjunto soluci\u00f3n."}, {"start": 90.0, "end": 97.0, "text": " Entonces comenzamos por esta. Ambas son desigualdades de tipo lineal."}, {"start": 97.0, "end": 106.0, "text": " Entonces comenzamos por pasar el n\u00famero, en este caso el m\u00e1s 1 que se encuentra solo al otro lado."}, {"start": 106.0, "end": 115.0, "text": " Nos queda entonces menos 3 menos 1. Es como si rest\u00e1ramos 1 a ambos lados de la desigualdad."}, {"start": 115.0, "end": 130.0, "text": " Aqu\u00ed nos queda 8X menor que menos 4. Y para poder deshacernos de este 8, debemos dividir ambos lados de la desigualdad entre 8."}, {"start": 130.0, "end": 141.0, "text": " En este caso el signo de la desigualdad no presenta ning\u00fan cambio porque hemos dividido a ambos lados por n\u00famero positivo."}, {"start": 141.0, "end": 156.0, "text": " En este lado se nos cancela el 8 y nos queda X. Y por ac\u00e1 la fracci\u00f3n menos 4 octavos la podemos simplificar sacando cuarta en el numerador y en el denominador."}, {"start": 156.0, "end": 166.0, "text": " Eso nos da menos 1 medio. Esta ser\u00e1 entonces la soluci\u00f3n de esta parte del ejercicio."}, {"start": 166.0, "end": 178.0, "text": " Ahora vamos con la otra. Tenemos otra desigualdad lineal. Nuevamente pasamos este 1 que est\u00e1 sumando a restar al otro lado."}, {"start": 178.0, "end": 193.0, "text": " Queda 3 menos 1. Nos queda que 8X es mayor que 2. Y nuevamente para poder quitar este 8, dividimos ambos lados de la desigualdad entre 8."}, {"start": 193.0, "end": 205.0, "text": " Aqu\u00ed se cancela el 8. Nos queda X mayor que 2 octavos que simplificando nos queda como 1 cuarto."}, {"start": 205.0, "end": 227.0, "text": " Y tenemos la soluci\u00f3n de la otra desigualdad. Finalmente entre ambas debemos realizar la uni\u00f3n. Lo mejor para hacer la uni\u00f3n de estos dos conjuntos de manera acertada es llevarlos a una misma recta num\u00e9rica."}, {"start": 227.0, "end": 243.0, "text": " All\u00ed dibujamos la recta que simbolice los valores de la variable X desde menos infinito hasta m\u00e1s infinito. Es decir considerando todos los n\u00fameros reales."}, {"start": 243.0, "end": 259.0, "text": " Localizamos el cero y vamos a localizar tambi\u00e9n estos dos n\u00fameros. Menos 1 medio en la zona negativa a la izquierda de cero y 1 cuarto en la zona positiva a la derecha de cero."}, {"start": 259.0, "end": 273.0, "text": " Entonces tenemos que los X menores que menos 1 medio ser\u00eda la zona que va desde menos 1 medio hasta menos infinito. Es decir todo esto."}, {"start": 273.0, "end": 286.0, "text": " Y la zona correspondiente a los X mayores que 1 cuarto ser\u00eda lo que est\u00e1 a la derecha de ese valor. A la derecha de 1 cuarto."}, {"start": 286.0, "end": 295.0, "text": " Observamos que menos 1 medio y 4 son valores que no hacen parte de la soluci\u00f3n. Entonces van abiertos."}, {"start": 295.0, "end": 312.0, "text": " Para terminar podemos dar entonces la soluci\u00f3n de la desigualdad en forma de intervalo. Tenemos entonces que somos X que pertenecen al intervalo que va desde menos infinito hasta menos 1 medio."}, {"start": 312.0, "end": 331.0, "text": " Es decir desde aqu\u00ed hasta aqu\u00ed abierto en menos 1 medio y eso uni\u00f3n con el intervalo que va desde 1 cuarto abierto. Es decir desde este valor hasta m\u00e1s infinito tambi\u00e9n abierto."}, {"start": 331.0, "end": 344.0, "text": " Recordemos que tanto menos infinito como m\u00e1s infinito siempre van abiertos. Siempre se representan con par\u00edntesis. De esta manera terminamos el ejercicio."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=kqRQvcoh9aI

DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO - Caso 2 (Ejercicio 1)

#julioprofe explica cómo resolver una desigualdad con valor absoluto. Tema: #Desigualdades → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEZkcrDeNKKyhTxj4A1b83M REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver esta desigualdad con valor absoluto utilizando para ello el siguiente modelo valor absoluto de a menor o igual que una cantidad positiva b como el 5 en este caso se resuelve de la siguiente manera menos b menor o igual que a menor o igual que b esta sería entonces la solución para este tipo de desigualdad con valor absoluto ahora lo que hacemos es reemplazar cada componente tenemos que b es el 5 por lo tanto reemplazamos 5 en los extremos menos 5 y 5 y aquí en el centro tenemos a que esta representado por lo que tenemos dentro de las barras es decir la expresión x menos 10 todo eso entre 7 ahora debemos dar solución a esta desigualdad que es de tipo lineal porque la x se encuentra elevada al exponente 1 comenzamos por deshacernos de este denominador 7 para lo cual tenemos que multiplicar por 7 los tres miembros de la desigualdad en este caso como vamos a multiplicar por un número positivo entonces los signos de la desigualdad no presentan ningún cambio permanecen tal como se encuentran originalmente en el centro tenemos que menos espero que este 7 con este 7 se simplifican por acá la resolvemos esto nos da menos 35 menor o igual que x menos 10 menor o igual que 35 y vamos ahora a dejar sola aquí en el centro la letra x esto se consigue sumando 10 a los tres miembros de la desigualdad tenemos entonces que menos 35 más 10 es menor o igual que x menos 10 más 10 menor o igual que 35 más 10 en el centro menos 10 y más 10 se eliminan porque su suma nos da 0 menos 35 más 10 nos da menos 25 menor o igual que x menor o igual que 45 que es el resultado de esta suma tenemos entonces la solución de la desigualdad con valor absoluto que nos propone inicialmente expresada en forma de desigualdad vamos a llevarla a la forma gráfica para ello dibujamos una recta que simbolice los valores de x desde menos infinito hasta más infinito localizamos el 0 y los números menos 25 y 45 y la solución nos está diciendo que los valores que sirven o la zona que sirve como solución de la desigualdad es la que está comprendida entre menos 25 y 45 incluyendo ambos valores entonces esto se pinta con la bolita totalmente llena y la solución hace referencia a todos estos números comprendidos entre menos 25 y 45 esa misma solución escrita en forma de intervalo queda así son los x pertenecientes al intervalo que va desde menos 25 cerrado si por eso usamos corchete hasta 45 también cerrado esto significa que tanto menos 25 como 45 hacen parte de la solución de la desigualdad por eso es intervalo cerrado en ambos extremos.

[{"start": 0.0, "end": 21.76, "text": " Vamos a resolver esta desigualdad con valor absoluto utilizando para ello el siguiente"}, {"start": 21.76, "end": 30.12, "text": " modelo valor absoluto de a menor o igual que una cantidad positiva b como el 5 en este"}, {"start": 30.12, "end": 39.68000000000001, "text": " caso se resuelve de la siguiente manera menos b menor o igual que a menor o igual que b"}, {"start": 39.68000000000001, "end": 46.56, "text": " esta ser\u00eda entonces la soluci\u00f3n para este tipo de desigualdad con valor absoluto ahora"}, {"start": 46.56, "end": 56.96, "text": " lo que hacemos es reemplazar cada componente tenemos que b es el 5 por lo tanto reemplazamos"}, {"start": 56.96, "end": 67.36, "text": " 5 en los extremos menos 5 y 5 y aqu\u00ed en el centro tenemos a que esta representado por"}, {"start": 67.36, "end": 78.56, "text": " lo que tenemos dentro de las barras es decir la expresi\u00f3n x menos 10 todo eso entre 7"}, {"start": 78.56, "end": 85.94, "text": " ahora debemos dar soluci\u00f3n a esta desigualdad que es de tipo lineal porque la x se encuentra"}, {"start": 85.94, "end": 94.56, "text": " elevada al exponente 1 comenzamos por deshacernos de este denominador 7 para lo cual tenemos"}, {"start": 94.56, "end": 105.36, "text": " que multiplicar por 7 los tres miembros de la desigualdad en este caso como vamos a multiplicar"}, {"start": 105.36, "end": 114.32000000000001, "text": " por un n\u00famero positivo entonces los signos de la desigualdad no presentan ning\u00fan cambio"}, {"start": 114.32000000000001, "end": 121.64, "text": " permanecen tal como se encuentran originalmente en el centro tenemos que menos espero que"}, {"start": 121.64, "end": 133.0, "text": " este 7 con este 7 se simplifican por ac\u00e1 la resolvemos esto nos da menos 35 menor o"}, {"start": 133.0, "end": 147.2, "text": " igual que x menos 10 menor o igual que 35 y vamos ahora a dejar sola aqu\u00ed en el centro"}, {"start": 147.2, "end": 157.23999999999998, "text": " la letra x esto se consigue sumando 10 a los tres miembros de la desigualdad tenemos entonces"}, {"start": 157.23999999999998, "end": 169.64, "text": " que menos 35 m\u00e1s 10 es menor o igual que x menos 10 m\u00e1s 10 menor o igual que 35 m\u00e1s"}, {"start": 169.64, "end": 181.44, "text": " 10 en el centro menos 10 y m\u00e1s 10 se eliminan porque su suma nos da 0 menos 35 m\u00e1s 10 nos"}, {"start": 181.44, "end": 192.64, "text": " da menos 25 menor o igual que x menor o igual que 45 que es el resultado de esta suma tenemos"}, {"start": 192.64, "end": 202.79999999999998, "text": " entonces la soluci\u00f3n de la desigualdad con valor absoluto que nos propone inicialmente"}, {"start": 202.79999999999998, "end": 211.88, "text": " expresada en forma de desigualdad vamos a llevarla a la forma gr\u00e1fica para ello dibujamos"}, {"start": 211.88, "end": 222.48, "text": " una recta que simbolice los valores de x desde menos infinito hasta m\u00e1s infinito localizamos"}, {"start": 222.48, "end": 236.76, "text": " el 0 y los n\u00fameros menos 25 y 45 y la soluci\u00f3n nos est\u00e1 diciendo que los valores que sirven"}, {"start": 236.76, "end": 244.23999999999998, "text": " o la zona que sirve como soluci\u00f3n de la desigualdad es la que est\u00e1 comprendida entre menos 25"}, {"start": 244.23999999999998, "end": 255.35999999999999, "text": " y 45 incluyendo ambos valores entonces esto se pinta con la bolita totalmente llena y"}, {"start": 255.35999999999999, "end": 264.48, "text": " la soluci\u00f3n hace referencia a todos estos n\u00fameros comprendidos entre menos 25 y 45 esa"}, {"start": 264.48, "end": 274.72, "text": " misma soluci\u00f3n escrita en forma de intervalo queda as\u00ed son los x pertenecientes al intervalo"}, {"start": 274.72, "end": 288.92, "text": " que va desde menos 25 cerrado si por eso usamos corchete hasta 45 tambi\u00e9n cerrado esto significa"}, {"start": 288.92, "end": 298.56, "text": " que tanto menos 25 como 45 hacen parte de la soluci\u00f3n de la desigualdad por eso es"}, {"start": 298.56, "end": 322.72, "text": " intervalo cerrado en ambos extremos."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=Ogxr5wwVMAw

DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO - Caso 1

#julioprofe explica cómo resolver una desigualdad con valor absoluto. Tema: #Desigualdades → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEZkcrDeNKKyhTxj4A1b83M REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver esta desigualdad con valor absoluto. Para ello vamos a utilizar el siguiente modelo. Si tenemos valor absoluto de una cantidad a menor que una cantidad de positiva, tal como tenemos en este caso, entonces la solución es la siguiente. Tendríamos a comprendido entre menos b y b. Entonces lo que hacemos es sustituir cada componente. Veamos, b está representado por el número 5. Entonces por aquí escribimos el equivalente de b, colocamos los signos menor, y aquí en el centro el equivalente de a. Vemos que a es lo que se encuentra dentro de las barras, es decir, 3x menos 2. Y resolvemos esta desigualdad. Comenzamos por deshacernos de este menos 2. Para ello debemos sumar 2 a los tres miembros de la desigualdad. Entonces a los tres componentes le sumamos 2. Eso con el objetivo de deshacernos de este menos 2, porque menos 2 más 2 se elimina, eso nos da 0. Tenemos entonces, menos 5 más 2 igual a menos 3, menor que 3x, menor que 5 más 2 que es igual a 7. Vemos que ya nos queda en el centro únicamente 3x. Ahora debemos deshacernos de este 3 que acompaña a la x. Por ello dividimos entre 3 los tres miembros de la desigualdad. Como hemos dividido por un número positivo, los signos de la desigualdad permanecen iguales, no sufren ningún cambio. Esta división nos da menos 1. Aquí tenemos que el número 3 se simplifica, nos queda entonces x menor que 7 tercios, que es una fracción que no se puede simplificar más. Esta sería entonces la solución de esta desigualdad con valor absoluto expresada en términos de desigualdad. Ahora vamos a representarla gráficamente. Para ello dibujamos una recta que represente el conjunto de valores de x, es decir, los números reales que van desde menos infinito hasta más infinito. Por acá podemos marcar el cero como elemento neutro, como el valor que nos divide la zona negativa de la zona positiva. Y allí vamos a localizar estos números, el menos 1 a la izquierda de cero y 7 tercios en la zona positiva a la derecha del cerdo. A continuación vamos a rayar o a asombrear en esa recta numérica la zona comprendida a este intervalo. Tenemos entonces que son los x comprendidos entre menos 1 y 7 tercios sin considerar los extremos. Entonces vamos a tener intervalo abierto en los dos extremos, es decir, menos 1 y 7 tercios no hacen parte de la solución. Finalmente damos la respuesta como intervalo. Tenemos entonces que la solución para esa desigualdad son los x que pertenecen al intervalo que va desde menos 1 hasta 7 tercios. Utilizamos paréntesis en ambos extremos porque ni menos 1 ni 7 tercios se toman como parte de la solución.

[{"start": 0.0, "end": 19.240000000000002, "text": " Vamos a resolver esta desigualdad con valor absoluto."}, {"start": 19.240000000000002, "end": 22.64, "text": " Para ello vamos a utilizar el siguiente modelo."}, {"start": 22.64, "end": 30.64, "text": " Si tenemos valor absoluto de una cantidad a menor que una cantidad de positiva,"}, {"start": 30.64, "end": 37.64, "text": " tal como tenemos en este caso, entonces la soluci\u00f3n es la siguiente."}, {"start": 37.64, "end": 45.64, "text": " Tendr\u00edamos a comprendido entre menos b y b."}, {"start": 45.64, "end": 49.64, "text": " Entonces lo que hacemos es sustituir cada componente."}, {"start": 49.64, "end": 53.64, "text": " Veamos, b est\u00e1 representado por el n\u00famero 5."}, {"start": 53.64, "end": 61.64, "text": " Entonces por aqu\u00ed escribimos el equivalente de b, colocamos los signos menor,"}, {"start": 61.64, "end": 64.64, "text": " y aqu\u00ed en el centro el equivalente de a."}, {"start": 64.64, "end": 73.64, "text": " Vemos que a es lo que se encuentra dentro de las barras, es decir, 3x menos 2."}, {"start": 73.64, "end": 76.64, "text": " Y resolvemos esta desigualdad."}, {"start": 76.64, "end": 80.64, "text": " Comenzamos por deshacernos de este menos 2."}, {"start": 80.64, "end": 90.64, "text": " Para ello debemos sumar 2 a los tres miembros de la desigualdad."}, {"start": 90.64, "end": 95.64, "text": " Entonces a los tres componentes le sumamos 2."}, {"start": 95.64, "end": 104.64, "text": " Eso con el objetivo de deshacernos de este menos 2, porque menos 2 m\u00e1s 2 se elimina, eso nos da 0."}, {"start": 104.64, "end": 116.64, "text": " Tenemos entonces, menos 5 m\u00e1s 2 igual a menos 3, menor que 3x, menor que 5 m\u00e1s 2 que es igual a 7."}, {"start": 116.64, "end": 122.64, "text": " Vemos que ya nos queda en el centro \u00fanicamente 3x."}, {"start": 122.64, "end": 128.64, "text": " Ahora debemos deshacernos de este 3 que acompa\u00f1a a la x."}, {"start": 128.64, "end": 136.64, "text": " Por ello dividimos entre 3 los tres miembros de la desigualdad."}, {"start": 136.64, "end": 145.64, "text": " Como hemos dividido por un n\u00famero positivo, los signos de la desigualdad permanecen iguales, no sufren ning\u00fan cambio."}, {"start": 145.64, "end": 150.64, "text": " Esta divisi\u00f3n nos da menos 1."}, {"start": 150.64, "end": 165.64, "text": " Aqu\u00ed tenemos que el n\u00famero 3 se simplifica, nos queda entonces x menor que 7 tercios, que es una fracci\u00f3n que no se puede simplificar m\u00e1s."}, {"start": 165.64, "end": 176.64, "text": " Esta ser\u00eda entonces la soluci\u00f3n de esta desigualdad con valor absoluto expresada en t\u00e9rminos de desigualdad."}, {"start": 176.64, "end": 180.64, "text": " Ahora vamos a representarla gr\u00e1ficamente."}, {"start": 180.64, "end": 195.64, "text": " Para ello dibujamos una recta que represente el conjunto de valores de x, es decir, los n\u00fameros reales que van desde menos infinito hasta m\u00e1s infinito."}, {"start": 195.64, "end": 206.64, "text": " Por ac\u00e1 podemos marcar el cero como elemento neutro, como el valor que nos divide la zona negativa de la zona positiva."}, {"start": 206.64, "end": 221.64, "text": " Y all\u00ed vamos a localizar estos n\u00fameros, el menos 1 a la izquierda de cero y 7 tercios en la zona positiva a la derecha del cerdo."}, {"start": 221.64, "end": 231.64, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a rayar o a asombrear en esa recta num\u00e9rica la zona comprendida a este intervalo."}, {"start": 231.64, "end": 239.64, "text": " Tenemos entonces que son los x comprendidos entre menos 1 y 7 tercios sin considerar los extremos."}, {"start": 239.64, "end": 253.64, "text": " Entonces vamos a tener intervalo abierto en los dos extremos, es decir, menos 1 y 7 tercios no hacen parte de la soluci\u00f3n."}, {"start": 253.64, "end": 258.64, "text": " Finalmente damos la respuesta como intervalo."}, {"start": 258.64, "end": 271.64, "text": " Tenemos entonces que la soluci\u00f3n para esa desigualdad son los x que pertenecen al intervalo que va desde menos 1 hasta 7 tercios."}, {"start": 271.64, "end": 289.64, "text": " Utilizamos par\u00e9ntesis en ambos extremos porque ni menos 1 ni 7 tercios se toman como parte de la soluci\u00f3n."}]

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REGLA DE L'HOPITAL - Ejercicio 3

#julioprofe explica cómo resolver un límite usando la Regla de L'Hopital. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver este límite comenzando por evaluar la función cuando x toma el valor 0. Nos quedaría el logaritmo natural de 1 más 6 por 0 y todo esto sobre 0. Tenemos en el numerador el logaritmo natural de 1, 6 por 0 nos da 0, 0 más 1 es igual a 1, todo esto sobre 0. Y recordemos que el logaritmo natural de 1 equivale a 0. Nos queda entonces la forma indeterminada 0 sobre 0. Es una indeterminación. Este tipo de indeterminación nos autoriza utilizar la regla del óptico. Recordemos que consiste en derivar el numerador y el denominador de la función o de la expresión en forma independiente. Entonces veamos, tendremos límite cuando x tiende a 0 de la derivada del logaritmo natural de 1 más 6x. Vamos a recordar cómo se deriva el logaritmo natural de una expresión. Por ejemplo si tenemos logaritmo natural de manzanita, la derivada de eso es igual a manzanita prima sobre la manzanita. La manzanita está representando a la función o a la expresión que hace parte del logaritmo natural. En este caso 1 más 6x viene siendo la manzanita. Entonces, para el caso de la derivada de ese logaritmo natural, si seguimos esta regla nos queda de la siguiente manera. Trasamos la línea de la fracción. Aquí en el numerador escribimos la derivada de 1 más 6x. Eso nos da 6. Y en el denominador colocamos la manzanita, es decir, lo que originalmente está con el logaritmo natural. Eso sería 1 más 6x. Eso fue la derivada del numerador. Ahora vamos con la derivada del denominador. Tenemos una simple x. Su derivada equivale a 1. Continuando con el desarrollo de este ejercicio tenemos límite cuando x tiende a 0 de la expresión de arriba. Es decir, 6 sobre 1 más 6x. Recuerde que cualquier expresión sobre 1 da la misma expresión. Y aquí volvemos a evaluar cuando x toma el valor 0. Nos quedaría 1 más 6 por 0. Esto nos queda 6 sobre 1. Y eso equivale a 6. Esta será entonces la respuesta para el límite propuesto. Y como vemos, la estrategia de solución es la regla del lópital.

[{"start": 0.0, "end": 10.0, "text": " Vamos a resolver este l\u00edmite comenzando por evaluar la funci\u00f3n cuando x toma el valor 0."}, {"start": 10.0, "end": 19.0, "text": " Nos quedar\u00eda el logaritmo natural de 1 m\u00e1s 6 por 0 y todo esto sobre 0."}, {"start": 19.0, "end": 24.0, "text": " Tenemos en el numerador el logaritmo natural de 1,"}, {"start": 24.0, "end": 31.0, "text": " 6 por 0 nos da 0, 0 m\u00e1s 1 es igual a 1, todo esto sobre 0."}, {"start": 31.0, "end": 36.0, "text": " Y recordemos que el logaritmo natural de 1 equivale a 0."}, {"start": 36.0, "end": 44.0, "text": " Nos queda entonces la forma indeterminada 0 sobre 0. Es una indeterminaci\u00f3n."}, {"start": 44.0, "end": 54.0, "text": " Este tipo de indeterminaci\u00f3n nos autoriza utilizar la regla del \u00f3ptico."}, {"start": 54.0, "end": 67.0, "text": " Recordemos que consiste en derivar el numerador y el denominador de la funci\u00f3n o de la expresi\u00f3n en forma independiente."}, {"start": 67.0, "end": 80.0, "text": " Entonces veamos, tendremos l\u00edmite cuando x tiende a 0 de la derivada del logaritmo natural de 1 m\u00e1s 6x."}, {"start": 80.0, "end": 84.0, "text": " Vamos a recordar c\u00f3mo se deriva el logaritmo natural de una expresi\u00f3n."}, {"start": 84.0, "end": 89.0, "text": " Por ejemplo si tenemos logaritmo natural de manzanita,"}, {"start": 89.0, "end": 99.0, "text": " la derivada de eso es igual a manzanita prima sobre la manzanita."}, {"start": 99.0, "end": 107.0, "text": " La manzanita est\u00e1 representando a la funci\u00f3n o a la expresi\u00f3n que hace parte del logaritmo natural."}, {"start": 107.0, "end": 112.0, "text": " En este caso 1 m\u00e1s 6x viene siendo la manzanita."}, {"start": 112.0, "end": 121.0, "text": " Entonces, para el caso de la derivada de ese logaritmo natural, si seguimos esta regla nos queda de la siguiente manera."}, {"start": 121.0, "end": 124.0, "text": " Trasamos la l\u00ednea de la fracci\u00f3n."}, {"start": 124.0, "end": 132.0, "text": " Aqu\u00ed en el numerador escribimos la derivada de 1 m\u00e1s 6x. Eso nos da 6."}, {"start": 132.0, "end": 140.0, "text": " Y en el denominador colocamos la manzanita, es decir, lo que originalmente est\u00e1 con el logaritmo natural."}, {"start": 140.0, "end": 147.0, "text": " Eso ser\u00eda 1 m\u00e1s 6x. Eso fue la derivada del numerador."}, {"start": 147.0, "end": 156.0, "text": " Ahora vamos con la derivada del denominador. Tenemos una simple x. Su derivada equivale a 1."}, {"start": 156.0, "end": 166.0, "text": " Continuando con el desarrollo de este ejercicio tenemos l\u00edmite cuando x tiende a 0 de la expresi\u00f3n de arriba."}, {"start": 166.0, "end": 177.0, "text": " Es decir, 6 sobre 1 m\u00e1s 6x. Recuerde que cualquier expresi\u00f3n sobre 1 da la misma expresi\u00f3n."}, {"start": 177.0, "end": 187.0, "text": " Y aqu\u00ed volvemos a evaluar cuando x toma el valor 0. Nos quedar\u00eda 1 m\u00e1s 6 por 0."}, {"start": 187.0, "end": 194.0, "text": " Esto nos queda 6 sobre 1. Y eso equivale a 6."}, {"start": 194.0, "end": 200.0, "text": " Esta ser\u00e1 entonces la respuesta para el l\u00edmite propuesto."}, {"start": 200.0, "end": 228.0, "text": " Y como vemos, la estrategia de soluci\u00f3n es la regla del l\u00f3pital."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=2GHnrLd8Ta0

INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN - Ejercicio 13

#julioprofe explica cómo resolver una integral indefinida por el Método de Sustitución o Cambio de Variable. Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Bien, vamos a resolver esta integral indefinida utilizando el método de integración llamado sustitución o cambio de variable. Para comenzar vamos entonces a utilizar una letra para expresar lo que tenemos dentro de la raíz. Por ejemplo, vamos a utilizar la letra m, m es igual a x al cubo menos 3x más 16. Esta expresión vamos a derivarla con respecto a x. Entonces tenemos que dm dx es igual a 3x al cuadrado menos 3, es decir, la derivada es en polinomio. Y aquí vamos a despejar dm, pasando dx a multiplicar y de una vez vamos a factorizar el 3, factor común dx al cuadrado menos 1 por dx que como decíamos pasa a multiplicar. De esta igualdad vamos a despejar dx. Para despejar dx tomamos esta expresión que está multiplicando y la pasamos a dividir quedando dm sobre 3 por x al cuadrado menos 1. Con estas dos expresiones que tenemos encerradas en las nubecillas vamos a reconstruir la integral. Vamos a armar esa integral para que nos quede en términos de la nueva variable que es la letra m. Nos queda entonces la integral de x al cuadrado menos 1. El numerador vuelve y se escribe. En el denominador tenemos la raíz cúbica de esta expresión que es m. Y hacemos la sustitución y esto multiplicado por dx que es esta expresión. Tenemos entonces dm sobre 3 por x al cuadrado menos 1. Observamos que x al cuadrado menos 1 se puede simplificar. También podemos sacar este 3, nos quedaría un tercio de la integral de dm sobre la raíz cúbica de m. Ahora esto nos queda como un tercio de la integral de dm sobre m a la un tercio. Recordemos que la raíz cúbica de m se convierte en m a la un tercio y procedemos a subir esta potencia quedando como m a la menos un tercio por dm. Y esa constituye una integral básica o una integral directa. Recordemos que allí la propiedad que utilizamos es la integral de x a la n de x. Donde tenemos que esto es igual a x a la n más 1 sobre n más 1 más c siempre y cuando n sea diferente de 1. Entonces simplemente lo que vamos a hacer es sumarle 1 a la exponente menos un tercio. Esto nos queda así. Sería m a la menos un tercio más 1 que podemos obtener fácilmente sumando estos dos numeritos. Menos 1 más 3 nos da 2 y conservamos el denominador. Con este truquito sale rápidamente el resultado de hacer menos un tercio más 1. Entonces se suman estos dos números, el resultado se coloca en el numerador y se conserva el mismo denominador. Este mismo resultado se escribe debajo de la línea principal de la fracción y todo esto nos queda más la constante de integración. Ahora hacemos aquí la idea de la oreja sube s3 a multiplicar nos queda 3 por m a la 2 tercios por nuestro sobre 2 más la constante de integración. Aquí podemos simplificar el 3, se elimina y nos queda entonces la expresión m a la 2 tercios sobre 2 y todo esto más la constante de integración. Cuando ya no podemos simplificar más esa expresión entonces cambiamos m por la expresión a la cual equivale. Quedando entonces x al cubo menos 3x más 16 todo esto elevado al exponente 2 tercios y todo esto dividido entre 2 más la constante de integración. Esta será entonces la respuesta a esta integral indefinida. Allí terminamos.

[{"start": 0.0, "end": 13.0, "text": " Bien, vamos a resolver esta integral indefinida utilizando el m\u00e9todo de integraci\u00f3n llamado sustituci\u00f3n o cambio de variable."}, {"start": 13.0, "end": 24.0, "text": " Para comenzar vamos entonces a utilizar una letra para expresar lo que tenemos dentro de la ra\u00edz."}, {"start": 24.0, "end": 36.0, "text": " Por ejemplo, vamos a utilizar la letra m, m es igual a x al cubo menos 3x m\u00e1s 16."}, {"start": 36.0, "end": 44.0, "text": " Esta expresi\u00f3n vamos a derivarla con respecto a x."}, {"start": 44.0, "end": 58.0, "text": " Entonces tenemos que dm dx es igual a 3x al cuadrado menos 3, es decir, la derivada es en polinomio."}, {"start": 58.0, "end": 80.0, "text": " Y aqu\u00ed vamos a despejar dm, pasando dx a multiplicar y de una vez vamos a factorizar el 3, factor com\u00fan dx al cuadrado menos 1 por dx que como dec\u00edamos pasa a multiplicar."}, {"start": 80.0, "end": 85.0, "text": " De esta igualdad vamos a despejar dx."}, {"start": 85.0, "end": 103.0, "text": " Para despejar dx tomamos esta expresi\u00f3n que est\u00e1 multiplicando y la pasamos a dividir quedando dm sobre 3 por x al cuadrado menos 1."}, {"start": 103.0, "end": 115.0, "text": " Con estas dos expresiones que tenemos encerradas en las nubecillas vamos a reconstruir la integral."}, {"start": 115.0, "end": 135.0, "text": " Vamos a armar esa integral para que nos quede en t\u00e9rminos de la nueva variable que es la letra m. Nos queda entonces la integral de x al cuadrado menos 1."}, {"start": 135.0, "end": 147.0, "text": " El numerador vuelve y se escribe. En el denominador tenemos la ra\u00edz c\u00fabica de esta expresi\u00f3n que es m."}, {"start": 147.0, "end": 165.0, "text": " Y hacemos la sustituci\u00f3n y esto multiplicado por dx que es esta expresi\u00f3n. Tenemos entonces dm sobre 3 por x al cuadrado menos 1."}, {"start": 165.0, "end": 191.0, "text": " Observamos que x al cuadrado menos 1 se puede simplificar. Tambi\u00e9n podemos sacar este 3, nos quedar\u00eda un tercio de la integral de dm sobre la ra\u00edz c\u00fabica de m."}, {"start": 191.0, "end": 207.0, "text": " Ahora esto nos queda como un tercio de la integral de dm sobre m a la un tercio."}, {"start": 207.0, "end": 226.0, "text": " Recordemos que la ra\u00edz c\u00fabica de m se convierte en m a la un tercio y procedemos a subir esta potencia quedando como m a la menos un tercio por dm."}, {"start": 226.0, "end": 242.0, "text": " Y esa constituye una integral b\u00e1sica o una integral directa. Recordemos que all\u00ed la propiedad que utilizamos es la integral de x a la n de x."}, {"start": 242.0, "end": 256.0, "text": " Donde tenemos que esto es igual a x a la n m\u00e1s 1 sobre n m\u00e1s 1 m\u00e1s c siempre y cuando n sea diferente de 1."}, {"start": 256.0, "end": 276.0, "text": " Entonces simplemente lo que vamos a hacer es sumarle 1 a la exponente menos un tercio. Esto nos queda as\u00ed. Ser\u00eda m a la menos un tercio m\u00e1s 1 que podemos obtener f\u00e1cilmente sumando estos dos numeritos."}, {"start": 276.0, "end": 289.0, "text": " Menos 1 m\u00e1s 3 nos da 2 y conservamos el denominador. Con este truquito sale r\u00e1pidamente el resultado de hacer menos un tercio m\u00e1s 1."}, {"start": 289.0, "end": 297.0, "text": " Entonces se suman estos dos n\u00fameros, el resultado se coloca en el numerador y se conserva el mismo denominador."}, {"start": 297.0, "end": 310.0, "text": " Este mismo resultado se escribe debajo de la l\u00ednea principal de la fracci\u00f3n y todo esto nos queda m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 310.0, "end": 328.0, "text": " Ahora hacemos aqu\u00ed la idea de la oreja sube s3 a multiplicar nos queda 3 por m a la 2 tercios por nuestro sobre 2 m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 328.0, "end": 349.0, "text": " Aqu\u00ed podemos simplificar el 3, se elimina y nos queda entonces la expresi\u00f3n m a la 2 tercios sobre 2 y todo esto m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 349.0, "end": 360.0, "text": " Cuando ya no podemos simplificar m\u00e1s esa expresi\u00f3n entonces cambiamos m por la expresi\u00f3n a la cual equivale."}, {"start": 360.0, "end": 380.0, "text": " Quedando entonces x al cubo menos 3x m\u00e1s 16 todo esto elevado al exponente 2 tercios y todo esto dividido entre 2 m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 380.0, "end": 390.0, "text": " Esta ser\u00e1 entonces la respuesta a esta integral indefinida. All\u00ed terminamos."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=Mzq_0WGBtSo

RAZÓN DE CAMBIO - Problema 1

#julioprofe explica cómo resolver un problema de razón de cambio: Si la arista de un cubo crece a razón de 2 cm/s, ¿A qué velocidad cambia el volumen del cubo en el instante en que la arista mide 5 cm? REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Si la arista de un cubo crece a razón de 2 cm por segundo, ¿a qué velocidad cambia el volumen del cubo en el instante en que la arista mide 5 cm? Bien, para este problema hacemos el dibujo de un cubo cuya arista es A. Tenemos que el problema nos dice que esa arista está creciendo a razón de 2 cm por segundo. Entonces eso es lo que se conoce como una razón de cambio. Tenemos que DADT es igual a 2 cm por segundo. Es una razón de cambio positiva porque nos dice que la arista está creciendo, es decir, está aumentando de tamaño a este ritmo, a 2 cm cada segundo. Nos preguntan que a qué velocidad cambia el volumen del cubo, es decir, ¿cuál será la razón de cambio del volumen con respecto al tiempo en el instante en que la arista mide 5 cm? Entonces, debemos encontrar una expresión matemática que relacione el volumen del cubo con el valor de su arista. Esa expresión es la fórmula de la geometría que nos dice que el volumen de un cubo es igual al valor de su arista elevado al cubo. Recordemos que el volumen de esta figura se obtiene multiplicando las tres dimensiones, largo por ancho por altura. Pero como las tres dimensiones o todas las dimensiones son iguales, entonces A por A por A nos da A al cubo. Entonces ahora lo que tenemos que hacer es derivar esa expresión con respecto al tiempo para que nos aparezcan estas razones de cambio que necesitamos involucrar en este problema. Entonces, derivada del volumen con respecto al tiempo nos queda dv dt. Pasamos al otro lado y hacemos también la derivada de A al cubo con respecto al tiempo. En principio, debemos derivar A al cubo que nos queda 3A al cuadrado y eso multiplicado por la derivada interna, en este caso la derivada de la variable A, con respecto al tiempo. Allí conocemos el valor de la arista que es 5 centímetros y conocemos la razón de cambio de la arista con respecto al tiempo que es 2 centímetros por segundo. Entonces vamos a reemplazar allí la información que tenemos. Nos queda 3 por el valor de la arista que es 5 centímetros, eso al cuadrado, por dA dt que tiene un valor de 2 centímetros por segundo. Ya solvemos todo esto. Veamos, esto nos queda 5 al cuadrado, 25, 25 por 2, 50, y 50 por 3 nos da 150. Las unidades centímetro al cuadrado por centímetro nos queda centímetros cúbicos y abajo nos queda segundos. Estas unidades deben ser consistentes con las variables que tenemos acá, el volumen en centímetros cúbicos y el tiempo en segundos. De esta manera terminamos este problema, un problema que es una de las aplicaciones de la derivada y que se conoce como razón de cambio o tasas o ritmos relacionados.

[{"start": 0.0, "end": 6.0, "text": " Si la arista de un cubo crece a raz\u00f3n de 2 cm por segundo,"}, {"start": 6.0, "end": 14.0, "text": " \u00bfa qu\u00e9 velocidad cambia el volumen del cubo en el instante en que la arista mide 5 cm?"}, {"start": 14.0, "end": 21.0, "text": " Bien, para este problema hacemos el dibujo de un cubo cuya arista es A."}, {"start": 21.0, "end": 31.0, "text": " Tenemos que el problema nos dice que esa arista est\u00e1 creciendo a raz\u00f3n de 2 cm por segundo."}, {"start": 31.0, "end": 35.0, "text": " Entonces eso es lo que se conoce como una raz\u00f3n de cambio."}, {"start": 35.0, "end": 42.0, "text": " Tenemos que DADT es igual a 2 cm por segundo."}, {"start": 42.0, "end": 48.0, "text": " Es una raz\u00f3n de cambio positiva porque nos dice que la arista est\u00e1 creciendo,"}, {"start": 48.0, "end": 56.0, "text": " es decir, est\u00e1 aumentando de tama\u00f1o a este ritmo, a 2 cm cada segundo."}, {"start": 56.0, "end": 61.0, "text": " Nos preguntan que a qu\u00e9 velocidad cambia el volumen del cubo,"}, {"start": 61.0, "end": 67.0, "text": " es decir, \u00bfcu\u00e1l ser\u00e1 la raz\u00f3n de cambio del volumen con respecto al tiempo"}, {"start": 67.0, "end": 75.0, "text": " en el instante en que la arista mide 5 cm?"}, {"start": 75.0, "end": 81.0, "text": " Entonces, debemos encontrar una expresi\u00f3n matem\u00e1tica"}, {"start": 81.0, "end": 88.0, "text": " que relacione el volumen del cubo con el valor de su arista."}, {"start": 88.0, "end": 96.0, "text": " Esa expresi\u00f3n es la f\u00f3rmula de la geometr\u00eda que nos dice que el volumen de un cubo"}, {"start": 96.0, "end": 101.0, "text": " es igual al valor de su arista elevado al cubo."}, {"start": 101.0, "end": 107.0, "text": " Recordemos que el volumen de esta figura se obtiene multiplicando las tres dimensiones,"}, {"start": 107.0, "end": 110.0, "text": " largo por ancho por altura."}, {"start": 110.0, "end": 113.0, "text": " Pero como las tres dimensiones o todas las dimensiones son iguales,"}, {"start": 113.0, "end": 118.0, "text": " entonces A por A por A nos da A al cubo."}, {"start": 118.0, "end": 124.0, "text": " Entonces ahora lo que tenemos que hacer es derivar esa expresi\u00f3n con respecto al tiempo"}, {"start": 124.0, "end": 128.0, "text": " para que nos aparezcan estas razones de cambio"}, {"start": 128.0, "end": 132.0, "text": " que necesitamos involucrar en este problema."}, {"start": 132.0, "end": 138.0, "text": " Entonces, derivada del volumen con respecto al tiempo nos queda dv dt."}, {"start": 138.0, "end": 145.0, "text": " Pasamos al otro lado y hacemos tambi\u00e9n la derivada de A al cubo con respecto al tiempo."}, {"start": 145.0, "end": 150.0, "text": " En principio, debemos derivar A al cubo que nos queda 3A al cuadrado"}, {"start": 150.0, "end": 153.0, "text": " y eso multiplicado por la derivada interna,"}, {"start": 153.0, "end": 160.0, "text": " en este caso la derivada de la variable A, con respecto al tiempo."}, {"start": 160.0, "end": 166.0, "text": " All\u00ed conocemos el valor de la arista que es 5 cent\u00edmetros"}, {"start": 166.0, "end": 172.0, "text": " y conocemos la raz\u00f3n de cambio de la arista con respecto al tiempo"}, {"start": 172.0, "end": 175.0, "text": " que es 2 cent\u00edmetros por segundo."}, {"start": 175.0, "end": 180.0, "text": " Entonces vamos a reemplazar all\u00ed la informaci\u00f3n que tenemos."}, {"start": 180.0, "end": 187.0, "text": " Nos queda 3 por el valor de la arista que es 5 cent\u00edmetros,"}, {"start": 187.0, "end": 197.0, "text": " eso al cuadrado, por dA dt que tiene un valor de 2 cent\u00edmetros por segundo."}, {"start": 197.0, "end": 200.0, "text": " Ya solvemos todo esto."}, {"start": 200.0, "end": 206.0, "text": " Veamos, esto nos queda 5 al cuadrado, 25, 25 por 2, 50,"}, {"start": 206.0, "end": 210.0, "text": " y 50 por 3 nos da 150."}, {"start": 210.0, "end": 216.0, "text": " Las unidades cent\u00edmetro al cuadrado por cent\u00edmetro nos queda cent\u00edmetros c\u00fabicos"}, {"start": 216.0, "end": 219.0, "text": " y abajo nos queda segundos."}, {"start": 219.0, "end": 223.0, "text": " Estas unidades deben ser consistentes con las variables que tenemos ac\u00e1,"}, {"start": 223.0, "end": 228.0, "text": " el volumen en cent\u00edmetros c\u00fabicos y el tiempo en segundos."}, {"start": 228.0, "end": 231.0, "text": " De esta manera terminamos este problema,"}, {"start": 231.0, "end": 236.0, "text": " un problema que es una de las aplicaciones de la derivada"}, {"start": 236.0, "end": 265.0, "text": " y que se conoce como raz\u00f3n de cambio o tasas o ritmos relacionados."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=2LX0H0Wd6oQ

SISTEMA DE ECUACIONES 2×2 USANDO CAMBIO DE VARIABLE - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo resolver un sistema de ecuaciones de 2x2, donde es conveniente usar un cambio de variable. Tema: #SistemasDeEcuaciones → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEFAYT8s7eBiUPuANxiqi_l REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver este sistema de ecuaciones de 2x2, es decir, tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas. Pero observamos que las letras X y Y, que son las incógnitas, se encuentran localizadas en los denominadores de esas fracciones. Entonces conviene reescribir las ecuaciones de la siguiente manera, es decir, independizando los números, es decir, el 3 y el 4, digamos, de las fracciones que contienen las letras. 3 sobre X es lo mismo que decir 3 por 1 sobre X, así como 4 sobre Y es lo mismo que decir 4 por 1 sobre Y. La ecuación de abajo, la ecuación número 2, también vamos a realizarle la misma transformación. Y esto lo hacemos con el objetivo de realizar lo que se conoce como un cambio de variable. Es un recurso que se utiliza en matemática y que facilita el desarrollo de ejercicios como este. Podemos cambiar 1 sobre X, por ejemplo, por la letra A, y lo que es 1 sobre Y, podemos cambiarla por la letra B. Entonces lo que hacemos es reescribir estas dos ecuaciones. Veamos, esta primera ecuación nos quedaría así, 3A menos 4B menos 7 igual a 0. Mientras que la segunda ecuación nos queda 2A más 3B más 1 igual a 0. Vemos que ya el sistema se vuelve un poco más sencillo, ya no tenemos letras en los denominadores. Tenemos como incógnitas las letras A y B. Vamos a realizar otro poco estas dos ecuaciones. Podemos escribirlas así, la primera 3A menos 4B igual a 7. Simplemente pasamos el término independiente al otro lado, para que nos queden al lado izquierdo las letras. Lo mismo hacemos con la segunda ecuación, decimos 2A más 3B igual a menos 1. Este 1 que está sumando lo pasamos a restar al otro lado. Y este será el nuevo sistema de ecuaciones, vamos a llamar estas las ecuaciones 3 y 4, para diferenciarlas de la 1 y 2, que eran las ecuaciones originales que nos daba el ejercicio. A continuación vamos a resolver este sistema por cualquiera de los métodos conocidos. Tenemos sustitución, igualación, eliminación, también conocido como reducción o método de suma y resta. O incluso podríamos usar el método de los determinantes, es decir, lo que se conoce la regla de Cramer. En este caso vamos a resolver utilizando el método de igualación, que consiste en despejar la misma letra en las dos ecuaciones. Vamos a despejar por ejemplo la letra A en las dos ecuaciones. En la ecuación 3 tenemos que 3A menos 4B es igual a 7, de donde 3A es igual a 7 más 4B, y A es igual a 7 más 4B sobre 3. Esta expresión, que es nueva, la vamos a llamar la ecuación número 5. Y ahora, en la ecuación 4 tenemos que 2A más 3B es igual a menos 1, de donde 2A es igual a menos 1 menos 3B, y A equivale a menos 1 menos 3B, todo esto sobre 2. Esta expresión la etiquetamos con el número 6. Y a continuación vamos a igualar las expresiones 5 y 6, porque en ambas tenemos despejada la misma variable, es decir, la letra A. Para hacer la igualación nos queda entonces 7 más 4B sobre 3 es igual a menos 1 menos 3B sobre 2. Vamos a dar solución a esta ecuación. Aquí vamos a pasar el 2 a multiplicar al lado izquierdo, y el 3 lo pasamos a multiplicar al lado derecho. Y queda entonces así, 2 por 7 más 4B es igual a 3 que multiplica a menos 1 menos 3B. Continuamos con el desarrollo de la ecuación, hacemos aquí propiedad distributiva, lo mismo que aquí. Tenemos 2 por 7 es 14, más 2 por 4B que es 8B es igual a 3 por menos 1 que nos da menos 3, y 3 por menos 3B que es menos 9B. Pasamos las letras B al lado izquierdo, es decir, los términos que contienen la incógnita B los dejamos en el lado izquierdo. 8B se queda y este pasa allá, como este está restando pasa a sumar. Menos 3 queda en su territorio, queda en el lado derecho, y pasamos este 14 para acá, llega negativo, llega a restar. 8B más 9B son términos semejantes cuya suma nos da 17B, y estos dos números enteros operados entre sí nos da menos 17. Despejando B nos queda menos 17 dividido entre 17, de donde B es igual a menos 1. Y hemos encontrado el valor de la incógnita B. Conocido el valor B podemos encontrar A. Para ello podemos hacer uso de cualquiera de las dos expresiones 5 o 6. Recordemos que la expresión 5 decía que A es igual a 7 más 4B sobre 3, y la expresión 6 decía que A es igual a menos 1 menos 3B sobre 2. Replazamos en cualquiera de las dos. Vamos a elegir por ejemplo la expresión 5, donde nos queda entonces que A es igual a 7 más 4 por el valor de la letra B, que nos dio menos 1, y todo esto sobre 3. Resolvemos, esto nos queda 7 menos 4, aquí multiplicamos 4 positivo por 1 negativo, nos queda menos 4, y esto dividido entre 3. Resolvemos, 7 menos 4 nos da 3, y nos queda 3 tercios, por lo tanto A equivale a 1. Entonces ya hemos encontrado los valores de las letras A y B. Ahora debemos retornar a las letras originales, es decir, debemos encontrar X y Y. Para ello debemos recordar que 1 sobre X, habíamos dicho que representa a la letra A, y 1 sobre Y representa a la letra B, cuando hicimos el cambio de variable. Ahora lo que vamos a hacer es deshacer ese cambio de variable. Por ejemplo A equivale a 1, entonces tenemos que 1 sobre X es igual a 1, de donde X que está dividiendo pasa a multiplicar, nos queda que 1 es igual a 1 por X, 1 es igual a X, y lo escribimos como X igual a 1. Aquí tenemos entonces el valor de la incógnita X. Ahora vamos por acá, B es igual a menos 1, tenemos entonces que 1 sobre Y es igual a menos 1, nos queda que 1 es igual a menos 1 por Y, Y está dividiendo pasa a multiplicar, nos queda que 1 es igual a menos Y, efectuando esta multiplicación. Y aquí podemos pasar la Y para el lado izquierdo, llega a positiva, y el 1 que está positivo pasa negativo al lado derecho. Hacemos un intercambio entre la letra y el número y obtenemos el resultado para Y. Entonces, como respuesta de este ejercicio tenemos que la solución del sistema es la siguiente, X es igual a 1 y Y es igual a menos 1. Recordemos que A y B son letras transitorias en el ejercicio, hacen parte del cambio de variable que lo único que pretende es facilitar el desarrollo del sistema de ecuaciones. Pero al final debemos recordar que la respuesta debe darse en términos de las letras originales.

[{"start": 0.0, "end": 9.0, "text": " Vamos a resolver este sistema de ecuaciones de 2x2, es decir, tenemos dos ecuaciones y dos inc\u00f3gnitas."}, {"start": 9.0, "end": 21.0, "text": " Pero observamos que las letras X y Y, que son las inc\u00f3gnitas, se encuentran localizadas en los denominadores de esas fracciones."}, {"start": 21.0, "end": 40.0, "text": " Entonces conviene reescribir las ecuaciones de la siguiente manera, es decir, independizando los n\u00fameros, es decir, el 3 y el 4, digamos, de las fracciones que contienen las letras."}, {"start": 40.0, "end": 50.0, "text": " 3 sobre X es lo mismo que decir 3 por 1 sobre X, as\u00ed como 4 sobre Y es lo mismo que decir 4 por 1 sobre Y."}, {"start": 50.0, "end": 61.0, "text": " La ecuaci\u00f3n de abajo, la ecuaci\u00f3n n\u00famero 2, tambi\u00e9n vamos a realizarle la misma transformaci\u00f3n."}, {"start": 61.0, "end": 70.0, "text": " Y esto lo hacemos con el objetivo de realizar lo que se conoce como un cambio de variable."}, {"start": 70.0, "end": 79.0, "text": " Es un recurso que se utiliza en matem\u00e1tica y que facilita el desarrollo de ejercicios como este."}, {"start": 79.0, "end": 96.0, "text": " Podemos cambiar 1 sobre X, por ejemplo, por la letra A, y lo que es 1 sobre Y, podemos cambiarla por la letra B."}, {"start": 96.0, "end": 100.0, "text": " Entonces lo que hacemos es reescribir estas dos ecuaciones."}, {"start": 100.0, "end": 112.0, "text": " Veamos, esta primera ecuaci\u00f3n nos quedar\u00eda as\u00ed, 3A menos 4B menos 7 igual a 0."}, {"start": 112.0, "end": 122.0, "text": " Mientras que la segunda ecuaci\u00f3n nos queda 2A m\u00e1s 3B m\u00e1s 1 igual a 0."}, {"start": 122.0, "end": 129.0, "text": " Vemos que ya el sistema se vuelve un poco m\u00e1s sencillo, ya no tenemos letras en los denominadores."}, {"start": 129.0, "end": 138.0, "text": " Tenemos como inc\u00f3gnitas las letras A y B. Vamos a realizar otro poco estas dos ecuaciones."}, {"start": 138.0, "end": 149.0, "text": " Podemos escribirlas as\u00ed, la primera 3A menos 4B igual a 7."}, {"start": 149.0, "end": 155.0, "text": " Simplemente pasamos el t\u00e9rmino independiente al otro lado, para que nos queden al lado izquierdo las letras."}, {"start": 155.0, "end": 165.0, "text": " Lo mismo hacemos con la segunda ecuaci\u00f3n, decimos 2A m\u00e1s 3B igual a menos 1."}, {"start": 165.0, "end": 170.0, "text": " Este 1 que est\u00e1 sumando lo pasamos a restar al otro lado."}, {"start": 170.0, "end": 177.0, "text": " Y este ser\u00e1 el nuevo sistema de ecuaciones, vamos a llamar estas las ecuaciones 3 y 4,"}, {"start": 177.0, "end": 184.0, "text": " para diferenciarlas de la 1 y 2, que eran las ecuaciones originales que nos daba el ejercicio."}, {"start": 184.0, "end": 189.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a resolver este sistema por cualquiera de los m\u00e9todos conocidos."}, {"start": 189.0, "end": 197.0, "text": " Tenemos sustituci\u00f3n, igualaci\u00f3n, eliminaci\u00f3n, tambi\u00e9n conocido como reducci\u00f3n o m\u00e9todo de suma y resta."}, {"start": 197.0, "end": 205.0, "text": " O incluso podr\u00edamos usar el m\u00e9todo de los determinantes, es decir, lo que se conoce la regla de Cramer."}, {"start": 205.0, "end": 219.0, "text": " En este caso vamos a resolver utilizando el m\u00e9todo de igualaci\u00f3n, que consiste en despejar la misma letra en las dos ecuaciones."}, {"start": 219.0, "end": 229.0, "text": " Vamos a despejar por ejemplo la letra A en las dos ecuaciones."}, {"start": 229.0, "end": 252.0, "text": " En la ecuaci\u00f3n 3 tenemos que 3A menos 4B es igual a 7, de donde 3A es igual a 7 m\u00e1s 4B, y A es igual a 7 m\u00e1s 4B sobre 3."}, {"start": 252.0, "end": 263.0, "text": " Esta expresi\u00f3n, que es nueva, la vamos a llamar la ecuaci\u00f3n n\u00famero 5."}, {"start": 263.0, "end": 286.0, "text": " Y ahora, en la ecuaci\u00f3n 4 tenemos que 2A m\u00e1s 3B es igual a menos 1, de donde 2A es igual a menos 1 menos 3B, y A equivale a menos 1 menos 3B, todo esto sobre 2."}, {"start": 286.0, "end": 293.0, "text": " Esta expresi\u00f3n la etiquetamos con el n\u00famero 6."}, {"start": 293.0, "end": 307.0, "text": " Y a continuaci\u00f3n vamos a igualar las expresiones 5 y 6, porque en ambas tenemos despejada la misma variable, es decir, la letra A."}, {"start": 307.0, "end": 319.0, "text": " Para hacer la igualaci\u00f3n nos queda entonces 7 m\u00e1s 4B sobre 3 es igual a menos 1 menos 3B sobre 2."}, {"start": 319.0, "end": 323.0, "text": " Vamos a dar soluci\u00f3n a esta ecuaci\u00f3n."}, {"start": 323.0, "end": 333.0, "text": " Aqu\u00ed vamos a pasar el 2 a multiplicar al lado izquierdo, y el 3 lo pasamos a multiplicar al lado derecho."}, {"start": 333.0, "end": 351.0, "text": " Y queda entonces as\u00ed, 2 por 7 m\u00e1s 4B es igual a 3 que multiplica a menos 1 menos 3B."}, {"start": 351.0, "end": 358.0, "text": " Continuamos con el desarrollo de la ecuaci\u00f3n, hacemos aqu\u00ed propiedad distributiva, lo mismo que aqu\u00ed."}, {"start": 358.0, "end": 374.0, "text": " Tenemos 2 por 7 es 14, m\u00e1s 2 por 4B que es 8B es igual a 3 por menos 1 que nos da menos 3, y 3 por menos 3B que es menos 9B."}, {"start": 374.0, "end": 382.0, "text": " Pasamos las letras B al lado izquierdo, es decir, los t\u00e9rminos que contienen la inc\u00f3gnita B los dejamos en el lado izquierdo."}, {"start": 382.0, "end": 390.0, "text": " 8B se queda y este pasa all\u00e1, como este est\u00e1 restando pasa a sumar."}, {"start": 390.0, "end": 401.0, "text": " Menos 3 queda en su territorio, queda en el lado derecho, y pasamos este 14 para ac\u00e1, llega negativo, llega a restar."}, {"start": 401.0, "end": 415.0, "text": " 8B m\u00e1s 9B son t\u00e9rminos semejantes cuya suma nos da 17B, y estos dos n\u00fameros enteros operados entre s\u00ed nos da menos 17."}, {"start": 415.0, "end": 427.0, "text": " Despejando B nos queda menos 17 dividido entre 17, de donde B es igual a menos 1."}, {"start": 427.0, "end": 433.0, "text": " Y hemos encontrado el valor de la inc\u00f3gnita B."}, {"start": 433.0, "end": 438.0, "text": " Conocido el valor B podemos encontrar A."}, {"start": 438.0, "end": 446.0, "text": " Para ello podemos hacer uso de cualquiera de las dos expresiones 5 o 6."}, {"start": 446.0, "end": 463.0, "text": " Recordemos que la expresi\u00f3n 5 dec\u00eda que A es igual a 7 m\u00e1s 4B sobre 3, y la expresi\u00f3n 6 dec\u00eda que A es igual a menos 1 menos 3B sobre 2."}, {"start": 463.0, "end": 466.0, "text": " Replazamos en cualquiera de las dos."}, {"start": 466.0, "end": 486.0, "text": " Vamos a elegir por ejemplo la expresi\u00f3n 5, donde nos queda entonces que A es igual a 7 m\u00e1s 4 por el valor de la letra B, que nos dio menos 1, y todo esto sobre 3."}, {"start": 486.0, "end": 498.0, "text": " Resolvemos, esto nos queda 7 menos 4, aqu\u00ed multiplicamos 4 positivo por 1 negativo, nos queda menos 4, y esto dividido entre 3."}, {"start": 498.0, "end": 507.0, "text": " Resolvemos, 7 menos 4 nos da 3, y nos queda 3 tercios, por lo tanto A equivale a 1."}, {"start": 507.0, "end": 513.0, "text": " Entonces ya hemos encontrado los valores de las letras A y B."}, {"start": 513.0, "end": 522.0, "text": " Ahora debemos retornar a las letras originales, es decir, debemos encontrar X y Y."}, {"start": 522.0, "end": 538.0, "text": " Para ello debemos recordar que 1 sobre X, hab\u00edamos dicho que representa a la letra A, y 1 sobre Y representa a la letra B, cuando hicimos el cambio de variable."}, {"start": 538.0, "end": 543.0, "text": " Ahora lo que vamos a hacer es deshacer ese cambio de variable."}, {"start": 543.0, "end": 565.0, "text": " Por ejemplo A equivale a 1, entonces tenemos que 1 sobre X es igual a 1, de donde X que est\u00e1 dividiendo pasa a multiplicar, nos queda que 1 es igual a 1 por X, 1 es igual a X, y lo escribimos como X igual a 1."}, {"start": 565.0, "end": 569.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos entonces el valor de la inc\u00f3gnita X."}, {"start": 569.0, "end": 590.0, "text": " Ahora vamos por ac\u00e1, B es igual a menos 1, tenemos entonces que 1 sobre Y es igual a menos 1, nos queda que 1 es igual a menos 1 por Y, Y est\u00e1 dividiendo pasa a multiplicar, nos queda que 1 es igual a menos Y, efectuando esta multiplicaci\u00f3n."}, {"start": 590.0, "end": 600.0, "text": " Y aqu\u00ed podemos pasar la Y para el lado izquierdo, llega a positiva, y el 1 que est\u00e1 positivo pasa negativo al lado derecho."}, {"start": 600.0, "end": 607.0, "text": " Hacemos un intercambio entre la letra y el n\u00famero y obtenemos el resultado para Y."}, {"start": 607.0, "end": 623.0, "text": " Entonces, como respuesta de este ejercicio tenemos que la soluci\u00f3n del sistema es la siguiente, X es igual a 1 y Y es igual a menos 1."}, {"start": 623.0, "end": 637.0, "text": " Recordemos que A y B son letras transitorias en el ejercicio, hacen parte del cambio de variable que lo \u00fanico que pretende es facilitar el desarrollo del sistema de ecuaciones."}, {"start": 637.0, "end": 653.0, "text": " Pero al final debemos recordar que la respuesta debe darse en t\u00e9rminos de las letras originales."}]

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TEOREMA DE THALES - Ejercicio 1

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En este ejercicio nos dan la siguiente información. Nos dicen que hay tres rectas que son paralelas entre sí. La recta AA', la recta BB' y la recta CC', las tres son paralelas entre sí, tal como nos dice esta información. Nos dan las longitudes de los segmentos que observamos en la figura. Entonces tenemos que el segmento AB mide X más dos metros. Vamos a escribirlo por aquí. El segmento BC mide 2X menos uno, también en metros. Entonces lo anotamos por aquí. El segmento AB' mide 6 metros y el segmento BC' mide 8 metros. Y nos piden encontrar la longitud del segmento AC. Como en este caso tenemos rectas paralelas cortadas por dos secantes o transversales, entonces podemos aplicar el teorema de tales. ¿Qué nos dice que cuando se presenta esta situación, rectas paralelas cortadas por dos secantes o transversales, entonces los segmentos en que quedan divididas las transversales son proporcionales? Entonces podemos decir que el segmento AB es al segmento BC como el segmento AB' es al segmento BC'. Esto es lo que nos dice el teorema de tales. Vamos a reemplazar entonces los valores para cada segmento, lo que nos dio la información del ejercicio. El segmento AB mide X más dos, el segmento BC mide 2X menos uno, AB' mide 6 metros y BC' mide 8 metros. Esta fracción 6 octavos puede ser simplificada si sacamos mitad en el numerador y en el denominador. Mitad de 6 es 3, mitad de 8 es 4. Y tenemos lo que se llama una proporción, es decir la igualdad de dos razones. Recordemos que en una proporción estos dos componentes se llaman extremos y estos dos se llaman medios. Y dice la propiedad fundamental de las proporciones que el producto de los extremos es igual al producto de los medios. Entonces tenemos que 4 por X más 2, esto es producto de extremos, es igual a 3 por 2X menos uno, es decir producto de medios. Aquí hacemos propiedad distributiva con el 4, 4 por X nos da 4X, 4 por 2 nos da 8, aquí 3 por 2X nos da 6X y 3 por menos uno nos queda menos 3. Continuando con el desarrollo de esta ecuación, vamos a pasar al lado izquierdo los términos que tiene la X y dejamos en el lado derecho los números, entonces nos queda 4X menos 6X igual a menos 3 menos 8. Si vemos que 6X está positivo pasa negativo al lado izquierdo, mientras que 8 que estaba positivo pasa negativo al lado derecho. Resolvemos esta resta de términos semejantes nos da menos 2X y esta operación nos da menos 11. Y aquí vamos a despejar X, nos queda menos 11 dividido entre menos 2, menos 2 se está multiplicando con X por lo tanto pasa a dividir al otro lado. Debemos tener la precaución de que este número cuando pasa a dividir pasa con su signo, no debe cambiar su signo. Finalmente aquí simplificamos haciéndole de los signos menos con menos nos da más en la división por lo tanto el valor de X es 11 medios y tenemos el resultado para la incógnita X en este problema. Anotamos por aquí el resultado de X y ahora vamos a encontrar la longitud del segmento AC que es lo que nos preguntan en este ejercicio. De la figura observamos que el segmento AC puede obtenerse como la suma del segmento AB y el segmento BC. Entonces podemos reemplazar las medidas de cada segmento AB vale X más 2 más la medida de BC que es 2X menos 1. Operamos términos semejantes tenemos que X más 2X nos da 3X y 2 menos 1 nos da más 1. Y en esta expresión sustituimos el valor de X nos queda entonces 3 por 11 medios y todo esto más 1. Veamos 3 por 11 medios multiplicamos numeradores entre sí nos da 33 aquí tenemos un 1 invisible como denominador del 3 1 por 2 nos da 2 nos queda 33 medios. Y este 1 podemos convertirlo en 2 medios para que nos queden fracciones homogéneas es decir fracciones de igual denominador. Dejamos el mismo denominador y sumamos los numeradores 33 más 2 nos da 35. Esta fracción no se puede simplificar queda así ya es una fracción irreducible y esta es la medida para el segmento AC que va en metros. De esta manera terminamos el ejercicio hemos encontrado la medida del segmento AC.

[{"start": 0.0, "end": 10.0, "text": " En este ejercicio nos dan la siguiente informaci\u00f3n. Nos dicen que hay tres rectas que son paralelas entre s\u00ed."}, {"start": 10.0, "end": 23.0, "text": " La recta AA', la recta BB' y la recta CC', las tres son paralelas entre s\u00ed, tal como nos dice esta informaci\u00f3n."}, {"start": 23.0, "end": 34.0, "text": " Nos dan las longitudes de los segmentos que observamos en la figura. Entonces tenemos que el segmento AB mide X m\u00e1s dos metros."}, {"start": 34.0, "end": 43.0, "text": " Vamos a escribirlo por aqu\u00ed. El segmento BC mide 2X menos uno, tambi\u00e9n en metros."}, {"start": 43.0, "end": 57.0, "text": " Entonces lo anotamos por aqu\u00ed. 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del ejercicio."}, {"start": 132.0, "end": 151.0, "text": " El segmento AB mide X m\u00e1s dos, el segmento BC mide 2X menos uno, AB' mide 6 metros y BC' mide 8 metros."}, {"start": 151.0, "end": 159.0, "text": " Esta fracci\u00f3n 6 octavos puede ser simplificada si sacamos mitad en el numerador y en el denominador."}, {"start": 159.0, "end": 165.0, "text": " Mitad de 6 es 3, mitad de 8 es 4."}, {"start": 165.0, "end": 171.0, "text": " Y tenemos lo que se llama una proporci\u00f3n, es decir la igualdad de dos razones."}, {"start": 171.0, "end": 179.0, "text": " Recordemos que en una proporci\u00f3n estos dos componentes se llaman extremos y estos dos se llaman medios."}, {"start": 179.0, "end": 190.0, "text": " Y dice la propiedad fundamental de las proporciones que el producto de los extremos es igual al producto de los medios."}, {"start": 190.0, "end": 207.0, "text": " Entonces tenemos que 4 por X m\u00e1s 2, esto es producto de extremos, es igual a 3 por 2X menos uno, es decir producto de medios."}, {"start": 207.0, "end": 227.0, "text": " Aqu\u00ed hacemos propiedad distributiva con el 4, 4 por X nos da 4X, 4 por 2 nos da 8, aqu\u00ed 3 por 2X nos da 6X y 3 por menos uno nos queda menos 3."}, {"start": 227.0, "end": 235.0, "text": " Continuando con el desarrollo de esta ecuaci\u00f3n, vamos a pasar al lado izquierdo los t\u00e9rminos que tiene la X"}, {"start": 235.0, "end": 250.0, "text": " y dejamos en el lado derecho los n\u00fameros, entonces nos queda 4X menos 6X igual a menos 3 menos 8."}, {"start": 250.0, "end": 261.0, "text": " Si vemos que 6X est\u00e1 positivo pasa negativo al lado izquierdo, mientras que 8 que estaba positivo pasa negativo al lado derecho."}, {"start": 261.0, "end": 270.0, "text": " Resolvemos esta resta de t\u00e9rminos semejantes nos da menos 2X y esta operaci\u00f3n nos da menos 11."}, {"start": 270.0, "end": 282.0, "text": " Y aqu\u00ed vamos a despejar X, nos queda menos 11 dividido entre menos 2, menos 2 se est\u00e1 multiplicando con X por lo tanto pasa a dividir al otro lado."}, {"start": 282.0, "end": 291.0, "text": " Debemos tener la precauci\u00f3n de que este n\u00famero cuando pasa a dividir pasa con su signo, no debe cambiar su signo."}, {"start": 291.0, "end": 305.0, "text": " Finalmente aqu\u00ed simplificamos haci\u00e9ndole de los signos menos con menos nos da m\u00e1s en la divisi\u00f3n por lo tanto el valor de X es 11 medios"}, {"start": 305.0, "end": 314.0, "text": " y tenemos el resultado para la inc\u00f3gnita X en este problema."}, {"start": 314.0, "end": 330.0, "text": " Anotamos por aqu\u00ed el resultado de X y ahora vamos a encontrar la longitud del segmento AC que es lo que nos preguntan en este ejercicio."}, {"start": 330.0, "end": 344.0, "text": " De la figura observamos que el segmento AC puede obtenerse como la suma del segmento AB y el segmento BC."}, {"start": 344.0, "end": 360.0, "text": " Entonces podemos reemplazar las medidas de cada segmento AB vale X m\u00e1s 2 m\u00e1s la medida de BC que es 2X menos 1."}, {"start": 360.0, "end": 371.0, "text": " Operamos t\u00e9rminos semejantes tenemos que X m\u00e1s 2X nos da 3X y 2 menos 1 nos da m\u00e1s 1."}, {"start": 371.0, "end": 384.0, "text": " Y en esta expresi\u00f3n sustituimos el valor de X nos queda entonces 3 por 11 medios y todo esto m\u00e1s 1."}, {"start": 384.0, "end": 399.0, "text": " Veamos 3 por 11 medios multiplicamos numeradores entre s\u00ed nos da 33 aqu\u00ed tenemos un 1 invisible como denominador del 3 1 por 2 nos da 2 nos queda 33 medios."}, {"start": 399.0, "end": 408.0, "text": " Y este 1 podemos convertirlo en 2 medios para que nos queden fracciones homog\u00e9neas es decir fracciones de igual denominador."}, {"start": 408.0, "end": 416.0, "text": " Dejamos el mismo denominador y sumamos los numeradores 33 m\u00e1s 2 nos da 35."}, {"start": 416.0, "end": 427.0, "text": " Esta fracci\u00f3n no se puede simplificar queda as\u00ed ya es una fracci\u00f3n irreducible y esta es la medida para el segmento AC que va en metros."}, {"start": 427.0, "end": 439.0, "text": " De esta manera terminamos el ejercicio hemos encontrado la medida del segmento AC."}]

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DESIGUALDADES LINEALES - Ejercicio 2

#julioprofe explica cómo resolver una desigualdad lineal, expresando su conjunto solución de tres formas. Tema: #Desigualdades → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEZkcrDeNKKyhTxj4A1b83M REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver esta desigualdad o inequación que se clasifica como lineal ya que la x se encuentra elevada al exponente 1. Para iniciar vamos a transformar el lado derecho. Nos queda en el lado izquierdo lo mismo, menor o igual que. Este menos 3 podemos repartirlo para los dos términos que hay en el numerador. Entonces nos queda de esta manera. El menos 3 queda como denominador de los dos términos que tenemos en el numerador. Nuevamente, el lado izquierdo queda igual. Aquí vamos a simplificar signos. Menos con menos nos queda más. Queda 2x tercios, fracción positiva. Menos con menos nos da más. Y 3 tercios equivale a 1. A continuación vamos a deshacernos de los denominadores. Buscamos el mínimo común múltiplo de 3 y 5. Por tratarse de números primos los multiplicamos entre sí y nos da 15. 15 es el mínimo común múltiplo de 3 y 5. ¿Qué hacemos con este 15? Vamos a multiplicar el lado izquierdo y el lado derecho de la desigualdad por 15. Como vamos a multiplicar por un número positivo, este signo de la desigualdad no se altera o no se modifica. Veamos. Si 15 multiplica en el lado izquierdo afecta este término y afecta este. Veamos cuánto da 15 por el primer término. Lo escribimos así. Mejor esto con paréntesis. El siguiente nos queda 15 que multiplica a 2 quintos. Y en el lado derecho lo mismo. 15 afecta a estos dos. En realidad lo que ocurre es la propiedad distributiva. Nos queda 15 por 2x tercios más 15 por 1. Podemos realizar las siguientes simplificaciones. Aquí 15 por 3 podemos sacar tercera. Tercera de 3 es 1. Tercera de 15 es 5. Aquí también lo mismo. Entonces quinta de 5 es 1. Quinta de 15 es 3. Aquí también podemos simplificar 15 y 3. Tercera de 3 es 1. Tercera de 15 nos da 5. Entonces veamos. Esto nos queda 5 que multiplica a 4 menos x. Menos 3 que multiplica a 2. Menor o igual que 5 que multiplica a 2x. Más 15 por 1 que ya podemos resolver y nos da 15. Vamos a continuar por acá. Hacemos propiedad distributiva con el 5. 5 por 4 nos da 20. 5 por menos x nos queda menos 5x. Menos 3 por 2 es 6. Menor o igual que 5 por 2x nos da 10x más 15. Ahora vamos a resolver en el lado izquierdo. Por ejemplo 20 menos 6 nos queda menos 5x más 14. Y aquí en el lado derecho nos queda igual. Ahora vamos a pasar las x al lado izquierdo. Los términos que contienen x van para el lado izquierdo. Y los números quedan en el lado derecho. Esto nos da menos 5x menos 10x. 10x está positivo pasa a negativo. Y acá 15 queda igual porque no se mueve. Y pasamos el 14 que está positivo o está sumando. Pasa acá a restar o pasa a negativo. Resolvemos esta operación. Eso nos da menos 15x. Y acá resolvemos nos da 1 positivo. Para poder despejar x vemos la necesidad de dividir ambos lados entre menos 15. Entonces debemos tener mucho cuidado porque al dividir por una cantidad negativa la desigualdad esta cambia de signo. Deja de ser menor o igual para convertirse en mayor o igual. En el lado izquierdo menos 15 y menos 15 se simplifican con signo y todo. Nos queda ya la x positiva. Y en el lado derecho simplemente reacomodamos el signo negativo que no puede quedar en el denominador. Entonces lo subimos, podemos colocarlo en la mitad, es decir con la línea de la fracción o también en el numerador. Nos queda entonces como solución que x es mayor o igual que menos un 15a. Esta sería entonces la respuesta en forma de desigualdad. Otra forma de presentar la respuesta es gráficamente. Para ello dibujamos una recta que represente la recta real donde por acá tenemos menos infinito, por acá a la derecha tenemos más infinito y por acá tenemos el 0. Recordemos que el 0 es neutro, es la frontera entre lo positivo y lo negativo. Localizamos el valor menos un 15a por aquí en la zona negativa y como esta recta representa los valores de x, entonces representamos aquí los valores mayores o iguales que menos un 15a. Entonces como tiene el signo mayor o igual, quiere decir que menos un 15a es parte de la solución, va incluida en la solución, entonces se dibuja con un circulito lleno. Y como es lo que está a la derecha o lo que es mayor que este número, entonces pintamos todo esto. Allí tenemos entonces la representación gráfica de esta solución para esa desigualdad. Y de aquí nos queda fácil dar la respuesta en forma de intervalo. Decimos que la solución de la desigualdad son los x pertenecientes al intervalo y va desde menos un 15a hasta más infinito. Aquí vemos que inicia en menos un 15a y se va hasta más infinito. Como menos un 15a hace parte de la solución utilizamos corchete, eso quiere decir que va cerrado y el más infinito siempre lleva paréntesis, es decir que va abierto. De esta manera terminamos la solución de esta desigualdad lineal dando la respuesta de tres formas, como desigualdad en forma gráfica y en forma de intervalo.

[{"start": 0.0, "end": 7.0, "text": " Vamos a resolver esta desigualdad o inequaci\u00f3n que se clasifica como lineal"}, {"start": 7.0, "end": 12.0, "text": " ya que la x se encuentra elevada al exponente 1."}, {"start": 12.0, "end": 18.0, "text": " Para iniciar vamos a transformar el lado derecho."}, {"start": 18.0, "end": 26.0, "text": " Nos queda en el lado izquierdo lo mismo, menor o igual que."}, {"start": 26.0, "end": 35.0, "text": " Este menos 3 podemos repartirlo para los dos t\u00e9rminos que hay en el numerador."}, {"start": 35.0, "end": 39.0, "text": " Entonces nos queda de esta manera."}, {"start": 39.0, "end": 46.0, "text": " El menos 3 queda como denominador de los dos t\u00e9rminos que tenemos en el numerador."}, {"start": 46.0, "end": 53.0, "text": " Nuevamente, el lado izquierdo queda igual."}, {"start": 53.0, "end": 56.0, "text": " Aqu\u00ed vamos a simplificar signos."}, {"start": 56.0, "end": 58.0, "text": " Menos con menos nos queda m\u00e1s."}, {"start": 58.0, "end": 62.0, "text": " Queda 2x tercios, fracci\u00f3n positiva."}, {"start": 62.0, "end": 65.0, "text": " Menos con menos nos da m\u00e1s."}, {"start": 65.0, "end": 69.0, "text": " Y 3 tercios equivale a 1."}, {"start": 69.0, "end": 74.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a deshacernos de los denominadores."}, {"start": 74.0, "end": 81.0, "text": " Buscamos el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de 3 y 5."}, {"start": 81.0, "end": 88.0, "text": " Por tratarse de n\u00fameros primos los multiplicamos entre s\u00ed y nos da 15."}, {"start": 88.0, "end": 93.0, "text": " 15 es el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de 3 y 5."}, {"start": 93.0, "end": 95.0, "text": " \u00bfQu\u00e9 hacemos con este 15?"}, {"start": 95.0, "end": 101.0, "text": " Vamos a multiplicar el lado izquierdo y el lado derecho de la desigualdad por 15."}, {"start": 101.0, "end": 110.0, "text": " Como vamos a multiplicar por un n\u00famero positivo, este signo de la desigualdad no se altera o no se modifica."}, {"start": 110.0, "end": 118.0, "text": " Veamos. Si 15 multiplica en el lado izquierdo afecta este t\u00e9rmino y afecta este."}, {"start": 118.0, "end": 124.0, "text": " Veamos cu\u00e1nto da 15 por el primer t\u00e9rmino."}, {"start": 124.0, "end": 127.0, "text": " Lo escribimos as\u00ed."}, {"start": 127.0, "end": 130.0, "text": " Mejor esto con par\u00e9ntesis."}, {"start": 130.0, "end": 137.0, "text": " El siguiente nos queda 15 que multiplica a 2 quintos."}, {"start": 137.0, "end": 143.0, "text": " Y en el lado derecho lo mismo. 15 afecta a estos dos."}, {"start": 143.0, "end": 146.0, "text": " En realidad lo que ocurre es la propiedad distributiva."}, {"start": 146.0, "end": 158.0, "text": " Nos queda 15 por 2x tercios m\u00e1s 15 por 1."}, {"start": 158.0, "end": 163.0, "text": " Podemos realizar las siguientes simplificaciones."}, {"start": 163.0, "end": 167.0, "text": " Aqu\u00ed 15 por 3 podemos sacar tercera."}, {"start": 167.0, "end": 172.0, "text": " Tercera de 3 es 1. Tercera de 15 es 5."}, {"start": 172.0, "end": 174.0, "text": " Aqu\u00ed tambi\u00e9n lo mismo."}, {"start": 174.0, "end": 181.0, "text": " Entonces quinta de 5 es 1. Quinta de 15 es 3."}, {"start": 181.0, "end": 184.0, "text": " Aqu\u00ed tambi\u00e9n podemos simplificar 15 y 3."}, {"start": 184.0, "end": 190.0, "text": " Tercera de 3 es 1. Tercera de 15 nos da 5."}, {"start": 190.0, "end": 196.0, "text": " Entonces veamos. Esto nos queda 5 que multiplica a 4 menos x."}, {"start": 196.0, "end": 201.0, "text": " Menos 3 que multiplica a 2."}, {"start": 201.0, "end": 207.0, "text": " Menor o igual que 5 que multiplica a 2x."}, {"start": 207.0, "end": 214.0, "text": " M\u00e1s 15 por 1 que ya podemos resolver y nos da 15."}, {"start": 214.0, "end": 217.0, "text": " Vamos a continuar por ac\u00e1."}, {"start": 217.0, "end": 223.0, "text": " Hacemos propiedad distributiva con el 5. 5 por 4 nos da 20."}, {"start": 223.0, "end": 228.0, "text": " 5 por menos x nos queda menos 5x."}, {"start": 228.0, "end": 233.0, "text": " Menos 3 por 2 es 6."}, {"start": 233.0, "end": 243.0, "text": " Menor o igual que 5 por 2x nos da 10x m\u00e1s 15."}, {"start": 243.0, "end": 249.0, "text": " Ahora vamos a resolver en el lado izquierdo."}, {"start": 249.0, "end": 259.0, "text": " Por ejemplo 20 menos 6 nos queda menos 5x m\u00e1s 14."}, {"start": 259.0, "end": 264.0, "text": " Y aqu\u00ed en el lado derecho nos queda igual."}, {"start": 264.0, "end": 267.0, "text": " Ahora vamos a pasar las x al lado izquierdo."}, {"start": 267.0, "end": 271.0, "text": " Los t\u00e9rminos que contienen x van para el lado izquierdo."}, {"start": 271.0, "end": 274.0, "text": " Y los n\u00fameros quedan en el lado derecho."}, {"start": 274.0, "end": 279.0, "text": " Esto nos da menos 5x menos 10x."}, {"start": 279.0, "end": 283.0, "text": " 10x est\u00e1 positivo pasa a negativo."}, {"start": 283.0, "end": 288.0, "text": " Y ac\u00e1 15 queda igual porque no se mueve."}, {"start": 288.0, "end": 292.0, "text": " Y pasamos el 14 que est\u00e1 positivo o est\u00e1 sumando."}, {"start": 292.0, "end": 296.0, "text": " Pasa ac\u00e1 a restar o pasa a negativo."}, {"start": 296.0, "end": 301.0, "text": " Resolvemos esta operaci\u00f3n. Eso nos da menos 15x."}, {"start": 301.0, "end": 305.0, "text": " Y ac\u00e1 resolvemos nos da 1 positivo."}, {"start": 305.0, "end": 315.0, "text": " Para poder despejar x vemos la necesidad de dividir ambos lados entre menos 15."}, {"start": 315.0, "end": 322.0, "text": " Entonces debemos tener mucho cuidado porque al dividir por una cantidad negativa"}, {"start": 322.0, "end": 326.0, "text": " la desigualdad esta cambia de signo."}, {"start": 326.0, "end": 332.0, "text": " Deja de ser menor o igual para convertirse en mayor o igual."}, {"start": 332.0, "end": 338.0, "text": " En el lado izquierdo menos 15 y menos 15 se simplifican con signo y todo."}, {"start": 338.0, "end": 341.0, "text": " Nos queda ya la x positiva."}, {"start": 341.0, "end": 347.0, "text": " Y en el lado derecho simplemente reacomodamos el signo negativo"}, {"start": 347.0, "end": 350.0, "text": " que no puede quedar en el denominador."}, {"start": 350.0, "end": 355.0, "text": " Entonces lo subimos, podemos colocarlo en la mitad,"}, {"start": 355.0, "end": 360.0, "text": " es decir con la l\u00ednea de la fracci\u00f3n o tambi\u00e9n en el numerador."}, {"start": 360.0, "end": 368.0, "text": " Nos queda entonces como soluci\u00f3n que x es mayor o igual que menos un 15a."}, {"start": 368.0, "end": 374.0, "text": " Esta ser\u00eda entonces la respuesta en forma de desigualdad."}, {"start": 374.0, "end": 379.0, "text": " Otra forma de presentar la respuesta es gr\u00e1ficamente."}, {"start": 379.0, "end": 385.0, "text": " Para ello dibujamos una recta que represente la recta real"}, {"start": 385.0, "end": 391.0, "text": " donde por ac\u00e1 tenemos menos infinito, por ac\u00e1 a la derecha tenemos m\u00e1s infinito"}, {"start": 391.0, "end": 393.0, "text": " y por ac\u00e1 tenemos el 0."}, {"start": 393.0, "end": 401.0, "text": " Recordemos que el 0 es neutro, es la frontera entre lo positivo y lo negativo."}, {"start": 401.0, "end": 408.0, "text": " Localizamos el valor menos un 15a por aqu\u00ed en la zona negativa"}, {"start": 408.0, "end": 413.0, "text": " y como esta recta representa los valores de x,"}, {"start": 413.0, "end": 420.0, "text": " entonces representamos aqu\u00ed los valores mayores o iguales que menos un 15a."}, {"start": 420.0, "end": 427.0, "text": " Entonces como tiene el signo mayor o igual, quiere decir que menos un 15a es parte de la soluci\u00f3n,"}, {"start": 427.0, "end": 434.0, "text": " va incluida en la soluci\u00f3n, entonces se dibuja con un circulito lleno."}, {"start": 434.0, "end": 442.0, "text": " Y como es lo que est\u00e1 a la derecha o lo que es mayor que este n\u00famero, entonces pintamos todo esto."}, {"start": 442.0, "end": 448.0, "text": " All\u00ed tenemos entonces la representaci\u00f3n gr\u00e1fica de esta soluci\u00f3n para esa desigualdad."}, {"start": 448.0, "end": 454.0, "text": " Y de aqu\u00ed nos queda f\u00e1cil dar la respuesta en forma de intervalo."}, {"start": 454.0, "end": 461.0, "text": " Decimos que la soluci\u00f3n de la desigualdad son los x pertenecientes al intervalo"}, {"start": 461.0, "end": 466.0, "text": " y va desde menos un 15a hasta m\u00e1s infinito."}, {"start": 466.0, "end": 472.0, "text": " Aqu\u00ed vemos que inicia en menos un 15a y se va hasta m\u00e1s infinito."}, {"start": 472.0, "end": 477.0, "text": " Como menos un 15a hace parte de la soluci\u00f3n utilizamos corchete,"}, {"start": 477.0, "end": 486.0, "text": " eso quiere decir que va cerrado y el m\u00e1s infinito siempre lleva par\u00e9ntesis, es decir que va abierto."}, {"start": 486.0, "end": 494.0, "text": " De esta manera terminamos la soluci\u00f3n de esta desigualdad lineal dando la respuesta de tres formas,"}, {"start": 494.0, "end": 517.0, "text": " como desigualdad en forma gr\u00e1fica y en forma de intervalo."}]

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Problema 2 de TRIGONOMETRÍA EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

#julioprofe explica cómo resolver un problema con triángulos rectángulos. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

En este problema tenemos la siguiente situación, un globo aerostático que es observado desde dos puntos A y B separados entre sí, una distancia de 100 metros. Desde el punto A tenemos un ángulo de elevación de 60 grados al globo y desde el punto B tenemos un ángulo de elevación de 30 grados mirando el globo. Nos pide encontrar a qué altura se encuentra el globo por encima del suelo, entonces nuestro objetivo será encontrar el valor de H. Antes de comenzar vamos a nombrar este punto con la letra C, este punto con la letra D donde tenemos ángulo recto, ángulo de 90 grados y vamos a llamar esta distancia con la letra X. La distancia comprendida entre los puntos D y A. A continuación vamos entonces a dibujar el triángulo C, D, A, vamos a hacerlo por acá. Aquí lo tenemos y como se trata de un triángulo rectángulo entonces vamos a utilizar SOH CAH TOA para relacionar la información que tenemos allí. Recordemos que SOH CAH TOA es la manera de recordar fácilmente que es seno, coseno y tangente, recordemos que el seno, la relación seno se define como cateto opuesto sobre hipotenusa, el coseno se define como cateto adyacente sobre hipotenusa y tangente se define como cateto opuesto sobre cateto adyacente. En este caso tenemos que relacionar los catetos por lo tanto utilizamos la tangente. Planeamos entonces la tangente de 60 grados que es igual a el cateto opuesto que sería H sobre el cateto adyacente que es X si el cateto adyacente al ángulo de 60 grados. Entonces allí ya tenemos una primera relación vamos a determinar el valor exacto de la tangente de 60 grados. Recordemos que hay una identidad trigonométrica que dice que la tangente de un ángulo theta equivale a seno de theta sobre coseno de theta. También para el caso de tangente de 60 grados tenemos que es igual a seno de 60 grados sobre el coseno de 60 grados. El seno de 60 grados equivale a raíz de tres medios y el coseno de 60 grados equivale a un medio. Como aquí tenemos el cosiente de dos tracciones del mismo denominador entonces podemos suprimir los denominadores y nos quedaría raíz de tres sobre uno es decir raíz cuadrada de tres. Por lo tanto el valor exacto de la tangente de 60 grados es raíz cuadrada de tres y vamos a sustituirlo por aquí. Entonces tenemos que raíz cuadrada de tres es igual a h sobre x. De aquí vamos a despejar x en términos de h. Entonces x que está dividiendo pasa a multiplicar con raíz de tres nos queda x por raíz de tres igual a h de donde x es igual a h sobre raíz cuadrada de tres. Raíz de tres que está multiplicando pasa a dividir al otro lado. Esta será entonces la ecuación número uno para este problema. Vamos a escribirla por aquí. x es igual a h sobre raíz cuadrada de tres. A continuación vamos a considerar el otro triángulo rectángulo es decir el triángulo C de B. Vamos a dibujarlo por acá. Allí lo tenemos y nuevamente podemos utilizar Soccatoa en este triángulo por tratarse de un triángulo rectángulo. Necesitamos relacionar los catetos porque es donde tenemos la información. Entonces utilizamos la relación tangente. Decimos tangente de 30 grados es igual a cateto opuesto. El cateto opuesto al ángulo de 30 grados es h sobre cateto adyacente que sería x más 100. Es decir toda la distancia de B que tenemos acá como la suma de los segmentos x y el que vale 100 metros. Vamos a encontrar el valor exacto de la tangente de 30 grados. Tangente de 30 grados es igual a seno de 30 grados sobre coseno de 30 grados. El valor exacto de seno de 30 grados es 1 medio y el de coseno de 30 grados es raíz de 3 medios. Por tener el cosiente de dos fracciones con el mismo denominador, entonces podemos suprimir dichos denominadores y nos queda como resultado 1 sobre raíz cuadrada de 3. Entonces ese resultado lo vamos a anotar por aquí para poder continuar con el desarrollo de esa expresión. Entonces aquí donde teníamos tangente de 30 grados escribimos el resultado obtenido que es 1 sobre raíz cuadrada de 3. Vamos a despejar de esta relación la letra x en términos de h y podemos aplicar producto en cruz. Recordemos que si tenemos una proporción, es decir la igualdad de dos razones, el producto de los extremos es igual al producto de los medios. Entonces 1 por x más 100 es x más 100 igual a raíz cuadrada de 3 por h, o sea raíz de 3h. Y allí despejamos x, nos queda raíz de 3h menos 100. Si en que está sumando pasa al otro lado a restar. Esto constituye la ecuación número 2 para este ejercicio. Dice que x es igual a raíz de 3h menos 100. Tenemos entonces dos ecuaciones con dos sincórnitas, es decir lo que en álgebra se conoce como un sistema de ecuaciones de 2 por 2. Como tenemos la letra x despejada en ambas ecuaciones, entonces podemos resolver por el método de igualación. Entonces igualamos las expresiones 1 y 2. Nos queda entonces h sobre raíz de 3 igual a raíz de 3h menos 100. Y de esta igualdad vamos a realizar el despeje de h. Decimos que h es igual a este raíz de 3 que pasa a multiplicar al otro lado. Nos queda raíz de 3 que multiplica a raíz de 3h menos 100. Hacemos propiedad distributiva. Raíz de 3 por raíz de 3h, eso nos da 3h. Y recordemos que raíz de 3 por raíz de 3 nos da raíz de 3 al cuadrado y allí se destruye la raíz y queda libre el 3 menos raíz de 3 por 100 que podemos escribir como 100 raíz de 3. Podemos pasar este término al lado izquierdo. Nos queda h menos 3h es igual a menos 100 raíz de 3. Operamos estos dos términos. H menos 3h nos da menos 2h igual a menos 100 raíz de 3. Y de allí vamos a despejar h. Hacemos entonces lo siguiente. Menos 2 que está multiplicando pasa a dividir al otro lado. Nos queda menos 100 raíz de 3 dividido entre menos 2. Y simplificando, es decir, lente los signos, menos con menos nos da más. Obtenemos el valor de h en metros. Esta será entonces la respuesta a este ejercicio. Si queremos encontrar el valor decimal para h, vamos a la calculadora y efectuamos esta operación.

[{"start": 0.0, "end": 16.0, "text": " En este problema tenemos la siguiente situaci\u00f3n, un globo aerost\u00e1tico que es observado desde dos puntos A y B separados entre s\u00ed, una distancia de 100 metros."}, {"start": 16.0, "end": 33.0, "text": " Desde el punto A tenemos un \u00e1ngulo de elevaci\u00f3n de 60 grados al globo y desde el punto B tenemos un \u00e1ngulo de elevaci\u00f3n de 30 grados mirando el globo."}, {"start": 33.0, "end": 48.0, "text": " Nos pide encontrar a qu\u00e9 altura se encuentra el globo por encima del suelo, entonces nuestro objetivo ser\u00e1 encontrar el valor de H."}, {"start": 48.0, "end": 70.0, "text": " Antes de comenzar vamos a nombrar este punto con la letra C, este punto con la letra D donde tenemos \u00e1ngulo recto, \u00e1ngulo de 90 grados y vamos a llamar esta distancia con la letra X."}, {"start": 70.0, "end": 77.0, "text": " La distancia comprendida entre los puntos D y A."}, {"start": 77.0, "end": 88.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos entonces a dibujar el tri\u00e1ngulo C, D, A, vamos a hacerlo por ac\u00e1."}, {"start": 88.0, "end": 104.0, "text": " Aqu\u00ed lo tenemos y como se trata de un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo entonces vamos a utilizar SOH CAH TOA para relacionar la informaci\u00f3n que tenemos all\u00ed."}, {"start": 104.0, "end": 132.0, "text": " Recordemos que SOH CAH TOA es la manera de recordar f\u00e1cilmente que es seno, coseno y tangente, recordemos que el seno, la relaci\u00f3n seno se define como cateto opuesto sobre hipotenusa, el coseno se define como cateto adyacente sobre hipotenusa y tangente se define como cateto opuesto sobre cateto adyacente."}, {"start": 132.0, "end": 141.0, "text": " En este caso tenemos que relacionar los catetos por lo tanto utilizamos la tangente."}, {"start": 141.0, "end": 162.0, "text": " Planeamos entonces la tangente de 60 grados que es igual a el cateto opuesto que ser\u00eda H sobre el cateto adyacente que es X si el cateto adyacente al \u00e1ngulo de 60 grados."}, {"start": 162.0, "end": 172.0, "text": " Entonces all\u00ed ya tenemos una primera relaci\u00f3n vamos a determinar el valor exacto de la tangente de 60 grados."}, {"start": 172.0, "end": 186.0, "text": " Recordemos que hay una identidad trigonom\u00e9trica que dice que la tangente de un \u00e1ngulo theta equivale a seno de theta sobre coseno de theta."}, {"start": 186.0, "end": 199.0, "text": " Tambi\u00e9n para el caso de tangente de 60 grados tenemos que es igual a seno de 60 grados sobre el coseno de 60 grados."}, {"start": 199.0, "end": 209.0, "text": " El seno de 60 grados equivale a ra\u00edz de tres medios y el coseno de 60 grados equivale a un medio."}, {"start": 209.0, "end": 225.0, "text": " Como aqu\u00ed tenemos el cosiente de dos tracciones del mismo denominador entonces podemos suprimir los denominadores y nos quedar\u00eda ra\u00edz de tres sobre uno es decir ra\u00edz cuadrada de tres."}, {"start": 225.0, "end": 236.0, "text": " Por lo tanto el valor exacto de la tangente de 60 grados es ra\u00edz cuadrada de tres y vamos a sustituirlo por aqu\u00ed."}, {"start": 236.0, "end": 244.0, "text": " Entonces tenemos que ra\u00edz cuadrada de tres es igual a h sobre x."}, {"start": 244.0, "end": 248.0, "text": " De aqu\u00ed vamos a despejar x en t\u00e9rminos de h."}, {"start": 248.0, "end": 264.0, "text": " Entonces x que est\u00e1 dividiendo pasa a multiplicar con ra\u00edz de tres nos queda x por ra\u00edz de tres igual a h de donde x es igual a h sobre ra\u00edz cuadrada de tres."}, {"start": 264.0, "end": 269.0, "text": " Ra\u00edz de tres que est\u00e1 multiplicando pasa a dividir al otro lado."}, {"start": 269.0, "end": 276.0, "text": " Esta ser\u00e1 entonces la ecuaci\u00f3n n\u00famero uno para este problema."}, {"start": 276.0, "end": 278.0, "text": " Vamos a escribirla por aqu\u00ed."}, {"start": 278.0, "end": 286.0, "text": " x es igual a h sobre ra\u00edz cuadrada de tres."}, {"start": 286.0, "end": 295.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a considerar el otro tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo es decir el tri\u00e1ngulo C de B."}, {"start": 295.0, "end": 298.0, "text": " Vamos a dibujarlo por ac\u00e1."}, {"start": 298.0, "end": 313.0, "text": " All\u00ed lo tenemos y nuevamente podemos utilizar Soccatoa en este tri\u00e1ngulo por tratarse de un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo."}, {"start": 313.0, "end": 319.0, "text": " Necesitamos relacionar los catetos porque es donde tenemos la informaci\u00f3n."}, {"start": 319.0, "end": 323.0, "text": " Entonces utilizamos la relaci\u00f3n tangente."}, {"start": 323.0, "end": 330.0, "text": " Decimos tangente de 30 grados es igual a cateto opuesto."}, {"start": 330.0, "end": 341.0, "text": " El cateto opuesto al \u00e1ngulo de 30 grados es h sobre cateto adyacente que ser\u00eda x m\u00e1s 100."}, {"start": 341.0, "end": 352.0, "text": " Es decir toda la distancia de B que tenemos ac\u00e1 como la suma de los segmentos x y el que vale 100 metros."}, {"start": 352.0, "end": 356.0, "text": " Vamos a encontrar el valor exacto de la tangente de 30 grados."}, {"start": 356.0, "end": 365.0, "text": " Tangente de 30 grados es igual a seno de 30 grados sobre coseno de 30 grados."}, {"start": 365.0, "end": 375.0, "text": " El valor exacto de seno de 30 grados es 1 medio y el de coseno de 30 grados es ra\u00edz de 3 medios."}, {"start": 375.0, "end": 385.0, "text": " Por tener el cosiente de dos fracciones con el mismo denominador, entonces podemos suprimir dichos denominadores"}, {"start": 385.0, "end": 391.0, "text": " y nos queda como resultado 1 sobre ra\u00edz cuadrada de 3."}, {"start": 391.0, "end": 401.0, "text": " Entonces ese resultado lo vamos a anotar por aqu\u00ed para poder continuar con el desarrollo de esa expresi\u00f3n."}, {"start": 401.0, "end": 411.0, "text": " Entonces aqu\u00ed donde ten\u00edamos tangente de 30 grados escribimos el resultado obtenido que es 1 sobre ra\u00edz cuadrada de 3."}, {"start": 411.0, "end": 420.0, "text": " Vamos a despejar de esta relaci\u00f3n la letra x en t\u00e9rminos de h y podemos aplicar producto en cruz."}, {"start": 420.0, "end": 430.0, "text": " Recordemos que si tenemos una proporci\u00f3n, es decir la igualdad de dos razones, el producto de los extremos es igual al producto de los medios."}, {"start": 430.0, "end": 442.0, "text": " Entonces 1 por x m\u00e1s 100 es x m\u00e1s 100 igual a ra\u00edz cuadrada de 3 por h, o sea ra\u00edz de 3h."}, {"start": 442.0, "end": 453.0, "text": " Y all\u00ed despejamos x, nos queda ra\u00edz de 3h menos 100. Si en que est\u00e1 sumando pasa al otro lado a restar."}, {"start": 453.0, "end": 468.0, "text": " Esto constituye la ecuaci\u00f3n n\u00famero 2 para este ejercicio. Dice que x es igual a ra\u00edz de 3h menos 100."}, {"start": 468.0, "end": 480.0, "text": " Tenemos entonces dos ecuaciones con dos sinc\u00f3rnitas, es decir lo que en \u00e1lgebra se conoce como un sistema de ecuaciones de 2 por 2."}, {"start": 480.0, "end": 489.0, "text": " Como tenemos la letra x despejada en ambas ecuaciones, entonces podemos resolver por el m\u00e9todo de igualaci\u00f3n."}, {"start": 489.0, "end": 507.0, "text": " Entonces igualamos las expresiones 1 y 2. Nos queda entonces h sobre ra\u00edz de 3 igual a ra\u00edz de 3h menos 100."}, {"start": 507.0, "end": 513.0, "text": " Y de esta igualdad vamos a realizar el despeje de h."}, {"start": 513.0, "end": 527.0, "text": " Decimos que h es igual a este ra\u00edz de 3 que pasa a multiplicar al otro lado. Nos queda ra\u00edz de 3 que multiplica a ra\u00edz de 3h menos 100."}, {"start": 527.0, "end": 536.0, "text": " Hacemos propiedad distributiva. Ra\u00edz de 3 por ra\u00edz de 3h, eso nos da 3h."}, {"start": 536.0, "end": 554.0, "text": " Y recordemos que ra\u00edz de 3 por ra\u00edz de 3 nos da ra\u00edz de 3 al cuadrado y all\u00ed se destruye la ra\u00edz y queda libre el 3 menos ra\u00edz de 3 por 100 que podemos escribir como 100 ra\u00edz de 3."}, {"start": 554.0, "end": 566.0, "text": " Podemos pasar este t\u00e9rmino al lado izquierdo. Nos queda h menos 3h es igual a menos 100 ra\u00edz de 3."}, {"start": 566.0, "end": 577.0, "text": " Operamos estos dos t\u00e9rminos. H menos 3h nos da menos 2h igual a menos 100 ra\u00edz de 3."}, {"start": 577.0, "end": 584.0, "text": " Y de all\u00ed vamos a despejar h. Hacemos entonces lo siguiente."}, {"start": 584.0, "end": 610.0, "text": " Menos 2 que est\u00e1 multiplicando pasa a dividir al otro lado. Nos queda menos 100 ra\u00edz de 3 dividido entre menos 2. Y simplificando, es decir, lente los signos, menos con menos nos da m\u00e1s."}, {"start": 610.0, "end": 620.0, "text": " Obtenemos el valor de h en metros. Esta ser\u00e1 entonces la respuesta a este ejercicio."}, {"start": 620.0, "end": 649.0, "text": " Si queremos encontrar el valor decimal para h, vamos a la calculadora y efectuamos esta operaci\u00f3n."}]

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ECUACIONES EXPONENCIALES - Ejercicio 5

#julioprofe explica cómo resolver una ecuación exponencial. Tema: #EcuacionesExponenciales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHM4fJbsnC7zzdnwRjc0ojm REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Tenemos en este caso una ecuación llamada ecuación exponencial porque la incógnita X se encuentra precisamente en los exponentes. Vamos a darle solución. Comenzamos por expresar el 9, el 1 tercio, el 27 como potencias de 3. Si todos estos números pueden escribirse como potencias del 3. Por ejemplo, 9 es 3 al cuadrado. Entonces, sustituimos 9 por 3 al cuadrado, conservamos el exponente X. Un tercio puede escribirse como 3 elevado al exponente menos 1. Y todo eso elevado al exponente X más 2. Allí aplicamos esta propiedad de la potenciación. Recordemos que si tenemos A elevado al exponente menos n, esto es igual a 1 sobre A a la n. Si las propiedades de pronto vienen en esta dirección, pero también podemos devolvernos. Entonces, si tenemos A a la menos 1, esto es igual a 1 sobre A. Aplicando esta misma propiedad para el caso en que n vale 1. Entonces, si tenemos 1 sobre A, se convierte en A a la menos 1. Eso es justamente lo que estamos haciendo con un tercio. Nos queda 3 elevado al exponente menos 1. Al otro lado tenemos 27, que si lo descomponemos en factores primos, nos da 3 al cubo. Por esto que lo dejamos igual, porque ya tiene la base que es 3. Entonces, como primera medida, tratar de que todas las bases queden iguales. En este caso vemos que es posible, porque los números que tenemos son potencias del 3. A continuación, vamos a aplicar esta propiedad de la potenciación. Cuando tenemos una potencia elevada a otro exponente, entonces dejamos la misma base y multiplicamos los exponentes. Vemos que aquí, aquí y aquí podemos aplicar esa propiedad. Nos queda entonces así. 3 elevado al exponente 2 por x, que es 2x, por 3 elevado al exponente que resulta de multiplicar menos 1 por x más 2. En ese caso, menos 1 se distribuye a lo que es el binomio x más 2 y nos queda menos x menos 2. En el otro lado, 3 al cubo, lo dejamos igual. Y aquí tenemos 3 elevado al exponente que resulta de multiplicar x por menos 2. Y eso nos da menos 2x. Ahora tenemos a ambos lados de la igualdad lo que se llama producto de potencias de la misma base. En ese caso, la propiedad dice lo siguiente, cuando se multiplican potencias de la misma base, se conserva la base y se suman los exponentes. Entonces, en este caso, dejamos la base que es 3 y vamos a sumar 2x con menos x menos 2. En principio, esa suma se hace así, es decir, se protege con paréntesis lo que es el binomio que tenemos en la segunda potencia. Destruimos el paréntesis, nos queda 2x menos x menos 2. Y se puede operar 2x y menos x. Esto nos da x, x positivo y menos 2. Estos son términos semejantes, la operación de ellos nos da x y este menos 2 queda allí porque no tiene con quien ser operado. Por lo tanto, el exponente de este 3 es x menos 2. Y en el otro lado, también dejamos la misma base. Haríamos la suma de exponentes, vamos a realizarla por acá. Protegemos el segundo término por ser negativo, le colocamos un paréntesis, luego destruimos ese paréntesis y nos queda 3 menos 2x. Estos no son términos semejantes, por lo tanto, no pueden operarse. Nos queda entonces 3 menos 2x. Ahora, hacemos uso de la siguiente propiedad. Si tenemos la igualdad de dos potencias y observamos que la base es la misma, entonces se cumple que los exponentes deben ser iguales. Para que la igualdad se cumpla, si las bases son iguales, entonces necesariamente los exponentes también deben ser iguales. Vamos a continuar por acá. Entonces, tenemos justamente la igualdad de dos potencias, observamos la misma base, por lo tanto, hacemos la igualdad de los exponentes. Tenemos x menos 2 igual a 3 menos 2x. Finalmente, hacemos la solución de esta ecuación, que es una ecuación de primer grado o una ecuación lineal con una incógnita. Entonces, pasamos al lado izquierdo los términos que tiene la x y dejamos en el lado derecho los números. Tenemos entonces x, pasa este menos 2x al lado izquierdo, llega como más 2x, igual a 3 que queda en el lado derecho y pasamos este menos 2 al otro lado positivo. Sumamos esos términos semejantes, x más 2x nos da 3x y al otro lado 3 más 2 nos da 5. Finalmente despejamos x, este 3 que está multiplicando con x pasa a dividir al otro lado y nos queda 5 tercios, que es una fracción irreducible, es decir, que no se puede simplificar. Esta será entonces la respuesta a esa ecuación, es el valor de la incógnita.

[{"start": 0.0, "end": 13.0, "text": " Tenemos en este caso una ecuaci\u00f3n llamada ecuaci\u00f3n exponencial porque la inc\u00f3gnita X se encuentra precisamente en los exponentes."}, {"start": 13.0, "end": 15.0, "text": " Vamos a darle soluci\u00f3n."}, {"start": 15.0, "end": 25.0, "text": " Comenzamos por expresar el 9, el 1 tercio, el 27 como potencias de 3."}, {"start": 25.0, "end": 29.0, "text": " Si todos estos n\u00fameros pueden escribirse como potencias del 3."}, {"start": 29.0, "end": 34.0, "text": " Por ejemplo, 9 es 3 al cuadrado."}, {"start": 34.0, "end": 40.0, "text": " Entonces, sustituimos 9 por 3 al cuadrado, conservamos el exponente X."}, {"start": 40.0, "end": 47.0, "text": " Un tercio puede escribirse como 3 elevado al exponente menos 1."}, {"start": 47.0, "end": 52.0, "text": " Y todo eso elevado al exponente X m\u00e1s 2."}, {"start": 52.0, "end": 55.0, "text": " All\u00ed aplicamos esta propiedad de la potenciaci\u00f3n."}, {"start": 55.0, "end": 65.0, "text": " Recordemos que si tenemos A elevado al exponente menos n, esto es igual a 1 sobre A a la n."}, {"start": 65.0, "end": 71.0, "text": " Si las propiedades de pronto vienen en esta direcci\u00f3n, pero tambi\u00e9n podemos devolvernos."}, {"start": 71.0, "end": 76.0, "text": " Entonces, si tenemos A a la menos 1, esto es igual a 1 sobre A."}, {"start": 76.0, "end": 81.0, "text": " Aplicando esta misma propiedad para el caso en que n vale 1."}, {"start": 81.0, "end": 85.0, "text": " Entonces, si tenemos 1 sobre A, se convierte en A a la menos 1."}, {"start": 85.0, "end": 88.0, "text": " Eso es justamente lo que estamos haciendo con un tercio."}, {"start": 88.0, "end": 92.0, "text": " Nos queda 3 elevado al exponente menos 1."}, {"start": 92.0, "end": 100.0, "text": " Al otro lado tenemos 27, que si lo descomponemos en factores primos, nos da 3 al cubo."}, {"start": 100.0, "end": 106.0, "text": " Por esto que lo dejamos igual, porque ya tiene la base que es 3."}, {"start": 106.0, "end": 111.0, "text": " Entonces, como primera medida, tratar de que todas las bases queden iguales."}, {"start": 111.0, "end": 118.0, "text": " En este caso vemos que es posible, porque los n\u00fameros que tenemos son potencias del 3."}, {"start": 118.0, "end": 124.0, "text": " A continuaci\u00f3n, vamos a aplicar esta propiedad de la potenciaci\u00f3n."}, {"start": 124.0, "end": 135.0, "text": " Cuando tenemos una potencia elevada a otro exponente, entonces dejamos la misma base y multiplicamos los exponentes."}, {"start": 135.0, "end": 141.0, "text": " Vemos que aqu\u00ed, aqu\u00ed y aqu\u00ed podemos aplicar esa propiedad."}, {"start": 141.0, "end": 143.0, "text": " Nos queda entonces as\u00ed."}, {"start": 143.0, "end": 155.0, "text": " 3 elevado al exponente 2 por x, que es 2x, por 3 elevado al exponente que resulta de multiplicar menos 1 por x m\u00e1s 2."}, {"start": 155.0, "end": 164.0, "text": " En ese caso, menos 1 se distribuye a lo que es el binomio x m\u00e1s 2 y nos queda menos x menos 2."}, {"start": 164.0, "end": 168.0, "text": " En el otro lado, 3 al cubo, lo dejamos igual."}, {"start": 168.0, "end": 176.0, "text": " Y aqu\u00ed tenemos 3 elevado al exponente que resulta de multiplicar x por menos 2."}, {"start": 176.0, "end": 180.0, "text": " Y eso nos da menos 2x."}, {"start": 180.0, "end": 188.0, "text": " Ahora tenemos a ambos lados de la igualdad lo que se llama producto de potencias de la misma base."}, {"start": 188.0, "end": 199.0, "text": " En ese caso, la propiedad dice lo siguiente, cuando se multiplican potencias de la misma base, se conserva la base y se suman los exponentes."}, {"start": 199.0, "end": 207.0, "text": " Entonces, en este caso, dejamos la base que es 3 y vamos a sumar 2x con menos x menos 2."}, {"start": 207.0, "end": 219.0, "text": " En principio, esa suma se hace as\u00ed, es decir, se protege con par\u00e9ntesis lo que es el binomio que tenemos en la segunda potencia."}, {"start": 219.0, "end": 227.0, "text": " Destruimos el par\u00e9ntesis, nos queda 2x menos x menos 2."}, {"start": 227.0, "end": 231.0, "text": " Y se puede operar 2x y menos x."}, {"start": 231.0, "end": 235.0, "text": " Esto nos da x, x positivo y menos 2."}, {"start": 235.0, "end": 245.0, "text": " Estos son t\u00e9rminos semejantes, la operaci\u00f3n de ellos nos da x y este menos 2 queda all\u00ed porque no tiene con quien ser operado."}, {"start": 245.0, "end": 251.0, "text": " Por lo tanto, el exponente de este 3 es x menos 2."}, {"start": 251.0, "end": 255.0, "text": " Y en el otro lado, tambi\u00e9n dejamos la misma base."}, {"start": 255.0, "end": 260.0, "text": " Har\u00edamos la suma de exponentes, vamos a realizarla por ac\u00e1."}, {"start": 260.0, "end": 271.0, "text": " Protegemos el segundo t\u00e9rmino por ser negativo, le colocamos un par\u00e9ntesis, luego destruimos ese par\u00e9ntesis y nos queda 3 menos 2x."}, {"start": 271.0, "end": 276.0, "text": " Estos no son t\u00e9rminos semejantes, por lo tanto, no pueden operarse."}, {"start": 276.0, "end": 280.0, "text": " Nos queda entonces 3 menos 2x."}, {"start": 280.0, "end": 285.0, "text": " Ahora, hacemos uso de la siguiente propiedad."}, {"start": 285.0, "end": 301.0, "text": " Si tenemos la igualdad de dos potencias y observamos que la base es la misma, entonces se cumple que los exponentes deben ser iguales."}, {"start": 301.0, "end": 310.0, "text": " Para que la igualdad se cumpla, si las bases son iguales, entonces necesariamente los exponentes tambi\u00e9n deben ser iguales."}, {"start": 310.0, "end": 314.0, "text": " Vamos a continuar por ac\u00e1."}, {"start": 314.0, "end": 325.0, "text": " Entonces, tenemos justamente la igualdad de dos potencias, observamos la misma base, por lo tanto, hacemos la igualdad de los exponentes."}, {"start": 325.0, "end": 333.0, "text": " Tenemos x menos 2 igual a 3 menos 2x."}, {"start": 333.0, "end": 344.0, "text": " Finalmente, hacemos la soluci\u00f3n de esta ecuaci\u00f3n, que es una ecuaci\u00f3n de primer grado o una ecuaci\u00f3n lineal con una inc\u00f3gnita."}, {"start": 344.0, "end": 352.0, "text": " Entonces, pasamos al lado izquierdo los t\u00e9rminos que tiene la x y dejamos en el lado derecho los n\u00fameros."}, {"start": 352.0, "end": 359.0, "text": " Tenemos entonces x, pasa este menos 2x al lado izquierdo, llega como m\u00e1s 2x,"}, {"start": 359.0, "end": 368.0, "text": " igual a 3 que queda en el lado derecho y pasamos este menos 2 al otro lado positivo."}, {"start": 368.0, "end": 377.0, "text": " Sumamos esos t\u00e9rminos semejantes, x m\u00e1s 2x nos da 3x y al otro lado 3 m\u00e1s 2 nos da 5."}, {"start": 377.0, "end": 386.0, "text": " Finalmente despejamos x, este 3 que est\u00e1 multiplicando con x pasa a dividir al otro lado y nos queda 5 tercios,"}, {"start": 386.0, "end": 391.0, "text": " que es una fracci\u00f3n irreducible, es decir, que no se puede simplificar."}, {"start": 391.0, "end": 420.0, "text": " Esta ser\u00e1 entonces la respuesta a esa ecuaci\u00f3n, es el valor de la inc\u00f3gnita."}]

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REGLA DE L'HOPITAL - Ejercicio 2

#julioprofe explica cómo resolver un límite usando la Regla de L'Hopital REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver este límite comenzando por analizar que le sucede a la función cuando n toma el valor infinito. Veamos, eso será igual a infinito por el seno de pi sobre infinito. Aquí tenemos el número pi que es 3.14 aproximadamente dividido entre infinito, es decir, entre un número grandísimo, un número gigante. Por lo tanto, esta expresión de aquí tiende a cero. Tenemos entonces infinito por el seno de cero. Y el seno de cero, es decir, cero grados o cero radianes, en este caso cero radianes, vale cero. Por lo tanto, tenemos infinito por cero que es una forma indeterminada o lo que se conoce como una indeterminación. Esto nos dice que no podemos dejar el límite allí, tenemos que buscarle solución. Para ello, vamos a realizar la siguiente transformación. Límite cuando n tiende a infinito de... vamos a dejar la expresión como una fracción donde en el numerador tenemos el seno de pi sobre n. Y esta n que la teníamos por aquí, la podemos bajar y llega como n a la menos uno. Simplemente la trasladamos del numerador al denominador. Y eso se puede hacer porque aquí tenemos multiplicación. Nos queda entonces así. Seno de pi sobre n, vamos a escribirlo como pi por uno sobre n. Es lo mismo. N a la menos uno lo escribimos como uno sobre n. Y aquí tenemos que n tiende a infinito. Y allí podemos utilizar un recurso que es bastante útil llamado cambio de variable. Vamos a cambiar uno sobre n, por ejemplo, por la variable x. Hacemos ese cambio, vamos a llamar uno sobre n como x. Y analicemos qué sucede cuando n tiende a infinito en esta expresión. Vemos que si n toma valores muy grandes, si n tiende a infinito, entonces el comportamiento de x es que tiende a cero. Porque tendríamos uno dividido entre un número gigante, entre infinito. Por lo tanto esto se va hacia cero. Con estos cambios reconstruimos el límite. Nos queda entonces así. Límite del seno de pi x sobre x cuando x tiende a cero. Vemos que el límite ya no tiene la variable n, sino que tiene la variable x. Porque hemos realizado un cambio de variable. Analizamos este límite, lo evaluamos cuando x toma el valor cero. Veamos, tenemos el seno de pi por cero, o sea, el seno de cero, que es cero. Y abajo x, que vale cero. Tenemos otra forma indeterminada, es decir, otra indeterminación que nos autoriza el uso de la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital puede aplicarse en límites como este, que da una forma indeterminada como cero sobre cero, o incluso en aquellos que nos da infinito sobre infinito. La regla de l'Hôpital consiste en derivar la expresión arriba y abajo por separado. Entonces, derivamos el seno de pi x, y eso nos da coseno de pi x por la derivada interna, es decir, la derivada de pi x que es igual a pi. Aquí hemos derivado el numerador. Ahora vamos con el denominador. La derivada de x nos da uno. Y volvemos a evaluar este límite. Entonces tenemos coseno de pi por x que toma el valor cero, todo eso por pi, y todo esto dividido entre uno. Arriba tenemos el coseno de cero, pi por cero nos da cero. Por lo tanto, el coseno de cero equivale a uno. Y finalmente nos queda uno por pi que es igual a pi. Recordemos que este uno puede incluso desaparecer. Esta es entonces la respuesta a ese límite propuesto, y vemos que la solución se obtiene utilizando la regla de L'Hôpital.

[{"start": 0.0, "end": 10.0, "text": " Vamos a resolver este l\u00edmite comenzando por analizar que le sucede a la funci\u00f3n cuando n toma el valor infinito."}, {"start": 10.0, "end": 19.0, "text": " Veamos, eso ser\u00e1 igual a infinito por el seno de pi sobre infinito."}, {"start": 19.0, "end": 32.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos el n\u00famero pi que es 3.14 aproximadamente dividido entre infinito, es decir, entre un n\u00famero grand\u00edsimo, un n\u00famero gigante."}, {"start": 32.0, "end": 37.0, "text": " Por lo tanto, esta expresi\u00f3n de aqu\u00ed tiende a cero."}, {"start": 37.0, "end": 43.0, "text": " Tenemos entonces infinito por el seno de cero."}, {"start": 43.0, "end": 51.0, "text": " Y el seno de cero, es decir, cero grados o cero radianes, en este caso cero radianes, vale cero."}, {"start": 51.0, "end": 61.0, "text": " Por lo tanto, tenemos infinito por cero que es una forma indeterminada o lo que se conoce como una indeterminaci\u00f3n."}, {"start": 61.0, "end": 67.0, "text": " Esto nos dice que no podemos dejar el l\u00edmite all\u00ed, tenemos que buscarle soluci\u00f3n."}, {"start": 67.0, "end": 73.0, "text": " Para ello, vamos a realizar la siguiente transformaci\u00f3n."}, {"start": 73.0, "end": 86.0, "text": " L\u00edmite cuando n tiende a infinito de... vamos a dejar la expresi\u00f3n como una fracci\u00f3n donde en el numerador tenemos el seno de pi sobre n."}, {"start": 86.0, "end": 93.0, "text": " Y esta n que la ten\u00edamos por aqu\u00ed, la podemos bajar y llega como n a la menos uno."}, {"start": 93.0, "end": 97.0, "text": " Simplemente la trasladamos del numerador al denominador."}, {"start": 97.0, "end": 102.0, "text": " Y eso se puede hacer porque aqu\u00ed tenemos multiplicaci\u00f3n."}, {"start": 102.0, "end": 105.0, "text": " Nos queda entonces as\u00ed."}, {"start": 105.0, "end": 114.0, "text": " Seno de pi sobre n, vamos a escribirlo como pi por uno sobre n."}, {"start": 114.0, "end": 116.0, "text": " Es lo mismo."}, {"start": 116.0, "end": 120.0, "text": " N a la menos uno lo escribimos como uno sobre n."}, {"start": 120.0, "end": 124.0, "text": " Y aqu\u00ed tenemos que n tiende a infinito."}, {"start": 124.0, "end": 136.0, "text": " Y all\u00ed podemos utilizar un recurso que es bastante \u00fatil llamado cambio de variable."}, {"start": 136.0, "end": 142.0, "text": " Vamos a cambiar uno sobre n, por ejemplo, por la variable x."}, {"start": 142.0, "end": 150.0, "text": " Hacemos ese cambio, vamos a llamar uno sobre n como x."}, {"start": 150.0, "end": 155.0, "text": " Y analicemos qu\u00e9 sucede cuando n tiende a infinito en esta expresi\u00f3n."}, {"start": 155.0, "end": 165.0, "text": " Vemos que si n toma valores muy grandes, si n tiende a infinito, entonces el comportamiento de x es que tiende a cero."}, {"start": 165.0, "end": 171.0, "text": " Porque tendr\u00edamos uno dividido entre un n\u00famero gigante, entre infinito."}, {"start": 171.0, "end": 174.0, "text": " Por lo tanto esto se va hacia cero."}, {"start": 174.0, "end": 178.0, "text": " Con estos cambios reconstruimos el l\u00edmite."}, {"start": 178.0, "end": 181.0, "text": " Nos queda entonces as\u00ed."}, {"start": 181.0, "end": 193.0, "text": " L\u00edmite del seno de pi x sobre x cuando x tiende a cero."}, {"start": 193.0, "end": 199.0, "text": " Vemos que el l\u00edmite ya no tiene la variable n, sino que tiene la variable x."}, {"start": 199.0, "end": 203.0, "text": " Porque hemos realizado un cambio de variable."}, {"start": 203.0, "end": 208.0, "text": " Analizamos este l\u00edmite, lo evaluamos cuando x toma el valor cero."}, {"start": 208.0, "end": 215.0, "text": " Veamos, tenemos el seno de pi por cero, o sea, el seno de cero, que es cero."}, {"start": 215.0, "end": 219.0, "text": " Y abajo x, que vale cero."}, {"start": 219.0, "end": 225.0, "text": " Tenemos otra forma indeterminada, es decir, otra indeterminaci\u00f3n"}, {"start": 225.0, "end": 230.0, "text": " que nos autoriza el uso de la regla de l'H\u00f4pital."}, {"start": 230.0, "end": 236.0, "text": " La regla de l'H\u00f4pital puede aplicarse en l\u00edmites como este,"}, {"start": 236.0, "end": 240.0, "text": " que da una forma indeterminada como cero sobre cero,"}, {"start": 240.0, "end": 245.0, "text": " o incluso en aquellos que nos da infinito sobre infinito."}, {"start": 245.0, "end": 256.0, "text": " La regla de l'H\u00f4pital consiste en derivar la expresi\u00f3n arriba y abajo por separado."}, {"start": 256.0, "end": 266.0, "text": " Entonces, derivamos el seno de pi x, y eso nos da coseno de pi x por la derivada interna,"}, {"start": 266.0, "end": 271.0, "text": " es decir, la derivada de pi x que es igual a pi."}, {"start": 271.0, "end": 275.0, "text": " Aqu\u00ed hemos derivado el numerador. Ahora vamos con el denominador."}, {"start": 275.0, "end": 278.0, "text": " La derivada de x nos da uno."}, {"start": 278.0, "end": 281.0, "text": " Y volvemos a evaluar este l\u00edmite."}, {"start": 281.0, "end": 287.0, "text": " Entonces tenemos coseno de pi por x que toma el valor cero,"}, {"start": 287.0, "end": 293.0, "text": " todo eso por pi, y todo esto dividido entre uno."}, {"start": 293.0, "end": 297.0, "text": " Arriba tenemos el coseno de cero, pi por cero nos da cero."}, {"start": 297.0, "end": 301.0, "text": " Por lo tanto, el coseno de cero equivale a uno."}, {"start": 301.0, "end": 306.0, "text": " Y finalmente nos queda uno por pi que es igual a pi."}, {"start": 306.0, "end": 310.0, "text": " Recordemos que este uno puede incluso desaparecer."}, {"start": 310.0, "end": 316.0, "text": " Esta es entonces la respuesta a ese l\u00edmite propuesto,"}, {"start": 316.0, "end": 328.0, "text": " y vemos que la soluci\u00f3n se obtiene utilizando la regla de L'H\u00f4pital."}]

julioprofe

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REGLA DE L'HOPITAL - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo resolver un límite usando la Regla de L´Hopital. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a dar solución a este límite comenzando por evaluar la función cuando x toma el valor 1. Veamos, nos queda en el numerador 1 menos 1 al cuadrado y en el denominador tenemos sen pi por 1. Resolviendo, en el numerador tenemos 1 menos 1 que es igual a 0 y en el denominador tenemos el sen pi. Es decir, sen pi radianes o sen 180 grados que equivale a 0. Hemos llegado a una forma indeterminada 0 sobre 0 que nos permite utilizar la regla del lopital para buscar la solución de este límite. El lopital se puede aplicar cuando el límite nos dan formas indeterminadas como 0 sobre 0 o incluso infinito sobre infinito. En esta ocasión tenemos un límite que nos da 0 sobre 0 por lo tanto esto es permitido aplicarlo. La regla del lopital nos dice que debemos derivar el numerador y el denominador de la función de manera independiente. Tenemos la derivada de 1 menos x cuadrado que es igual a menos 2x y en el denominador la derivada de sen pi x que será cos pi x. Es decir, el coseno del ángulo por la derivada interna, es decir, la derivada de pi x que viene siendo igual a pi. Recordemos que ahí estamos utilizando la regla de la cadena, en este caso para una función trigonométrica. Ahora evaluamos este límite, esta nueva función cuando de x toma el valor 1. Eso nos queda así, en el numerador menos 2x1 y en el denominador tenemos cos pi x1 y todo eso multiplicado por pi. Menos 2x1 nos da menos 2, queda menos 2 en el numerador. En el denominador podemos organizar esa expresión como pi que multiplica al coseno de pi. Simplemente este número pi lo ponemos aquí al comienzo multiplicando al coseno de pi. Este coseno de pi radianes equivale a menos 1 y por lo tanto esto nos va a quedar así. En el numerador menos 2 y en el denominador pi x menos 1 que es igual a menos pi. Aplicamos ley de los signos negativo con negativo, da positivo, por lo tanto el resultado final es 2 sobre pi. Esta será entonces la respuesta a este límite y como vemos hemos utilizado la regla de l'hôpital.

[{"start": 0.0, "end": 8.0, "text": " Vamos a dar soluci\u00f3n a este l\u00edmite comenzando por evaluar la funci\u00f3n cuando x toma el valor 1."}, {"start": 8.0, "end": 20.0, "text": " Veamos, nos queda en el numerador 1 menos 1 al cuadrado y en el denominador tenemos sen pi por 1."}, {"start": 20.0, "end": 29.0, "text": " Resolviendo, en el numerador tenemos 1 menos 1 que es igual a 0 y en el denominador tenemos el sen pi."}, {"start": 29.0, "end": 36.0, "text": " Es decir, sen pi radianes o sen 180 grados que equivale a 0."}, {"start": 36.0, "end": 50.0, "text": " Hemos llegado a una forma indeterminada 0 sobre 0 que nos permite utilizar la regla del lopital para buscar la soluci\u00f3n de este l\u00edmite."}, {"start": 50.0, "end": 62.0, "text": " El lopital se puede aplicar cuando el l\u00edmite nos dan formas indeterminadas como 0 sobre 0 o incluso infinito sobre infinito."}, {"start": 62.0, "end": 70.0, "text": " En esta ocasi\u00f3n tenemos un l\u00edmite que nos da 0 sobre 0 por lo tanto esto es permitido aplicarlo."}, {"start": 70.0, "end": 82.0, "text": " La regla del lopital nos dice que debemos derivar el numerador y el denominador de la funci\u00f3n de manera independiente."}, {"start": 82.0, "end": 96.0, "text": " Tenemos la derivada de 1 menos x cuadrado que es igual a menos 2x y en el denominador la derivada de sen pi x que ser\u00e1 cos pi x."}, {"start": 96.0, "end": 105.0, "text": " Es decir, el coseno del \u00e1ngulo por la derivada interna, es decir, la derivada de pi x que viene siendo igual a pi."}, {"start": 105.0, "end": 112.0, "text": " Recordemos que ah\u00ed estamos utilizando la regla de la cadena, en este caso para una funci\u00f3n trigonom\u00e9trica."}, {"start": 112.0, "end": 120.0, "text": " Ahora evaluamos este l\u00edmite, esta nueva funci\u00f3n cuando de x toma el valor 1."}, {"start": 120.0, "end": 136.0, "text": " Eso nos queda as\u00ed, en el numerador menos 2x1 y en el denominador tenemos cos pi x1 y todo eso multiplicado por pi."}, {"start": 136.0, "end": 142.0, "text": " Menos 2x1 nos da menos 2, queda menos 2 en el numerador."}, {"start": 142.0, "end": 150.0, "text": " En el denominador podemos organizar esa expresi\u00f3n como pi que multiplica al coseno de pi."}, {"start": 150.0, "end": 156.0, "text": " Simplemente este n\u00famero pi lo ponemos aqu\u00ed al comienzo multiplicando al coseno de pi."}, {"start": 156.0, "end": 166.0, "text": " Este coseno de pi radianes equivale a menos 1 y por lo tanto esto nos va a quedar as\u00ed."}, {"start": 166.0, "end": 175.0, "text": " En el numerador menos 2 y en el denominador pi x menos 1 que es igual a menos pi."}, {"start": 175.0, "end": 185.0, "text": " Aplicamos ley de los signos negativo con negativo, da positivo, por lo tanto el resultado final es 2 sobre pi."}, {"start": 185.0, "end": 196.0, "text": " Esta ser\u00e1 entonces la respuesta a este l\u00edmite y como vemos hemos utilizado la regla de l'h\u00f4pital."}]

julioprofe

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REGLA DE TRES COMPUESTA - Problema 3

#julioprofe explica cómo resolver el siguiente problema utilizando la Regla de Tres Compuesta: Con 12 latas de 1/2 kg de pintura cada una se han pintado 90 m de un muro de 80 cm de altura. ¿Cuántas latas de 2 kg de pintura serán necesarias para pintar un muro similar de 120 cm de altura y 200 m de longitud? REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Con 12 latas de medio kilogramo de pintura cada una se han pintado 90 metros de muro de 80 centímetros de altura. ¿Cuántas latas de 2 kilogramos de pintura serán necesarias para pintar un muro similar de 120 centímetros de altura y 200 metros de longitud? En ese problema podemos reconocer información que nos dan acerca de la pintura y acerca del muro. ¿Qué sabemos de la pintura? La cantidad de latas y el contenido de cada lata en kilogramos. También tenemos sobre el muro información sobre su longitud en metros y su altura en centímetros. Vamos a localizar la información que nos dan. El problema nos dice que con 12 latas de medio kilogramo de pintura cada una se pueden pintar 90 metros de longitud de un muro de 80 centímetros de altura. Nos preguntan cuántas latas son necesarias si cada una tiene 2 kilogramos de contenido para pintar un muro similar de 120 centímetros de altura y 200 metros de longitud. Entonces tenemos un caso de regla de tres compuesta. Procedemos con el análisis de la columna que contiene la incógnita con cada una de las otras columnas de datos. Para empezar, al número que conocemos en la columna que contiene la incógnita siempre le vamos a colocar un signo más. Comencemos con latas y contenido. Vamos a suponer que esto permanece constante, es decir, pensemos en un muro de dimensiones fijas. Entonces veamos, si aumenta el contenido en kilogramos, el contenido de pintura de las latas es de esperar que para pintar un mismo muro necesitemos menos latas. Por lo tanto, la relación entre estas dos columnas, es decir, entre latas y contenido será una relación inversa. En ese caso escribimos los signos más y menos. Más en el de arriba, menos en el de abajo. Ahora analizamos latas con longitud del muro. Pensamos que esto permanece constante al igual que la altura del muro. Entonces vemos que si nos aumenta la longitud del muro, entonces es razonable pensar que necesitamos más latas de pintura de un mismo contenido. Y siendo el muro de una misma altura. Repetimos, esta columna y esta se asumen como constantes. Únicamente examinamos latas con longitud de muro. Entonces a mayor longitud de muro esperamos usar mayor cantidad de latas. Entonces la relación entre estas dos variables, latas y longitud de muro, es una relación directa. En ese caso escribimos los signos menos arriba y más en la parte de abajo. Por último analizamos latas con altura del muro. Ahora suponemos que el contenido de pintura de las latas y la longitud de muro permanecen constantes. Entonces si aumenta la altura del muro, también es razonable pensar que necesitemos mayor cantidad de latas. Luego latas y altura del muro también tienen una relación directa. Nuevamente anotamos los signos menos y más. Menos arriba y más en la parte de abajo. Después de haber realizado este análisis viene la parte más sencilla que es encontrar el valor de la incógnita X. Para ello vamos a realizar lo siguiente. Armamos una fracción donde aquí en el numerador vamos a multiplicar todos los números que quedaron con signo más. Es decir, con signo positivo. Es decir, multiplicamos 12 por 1 medio por 200 por 120. Eso en el numerador. Aquí en el denominador vamos a multiplicar todos los números que quedaron con signo menos. Es decir, con signo negativo. Tendremos 2 por 90 por 80. Entonces siempre producto de positivos en el numerador y producto de negativos en el denominador. Luego podemos manejar la simplificación para hacer de una manera más fácil esta operación. Por ejemplo 12 por 1 medio nos daría 6. Podríamos sacar mitad de 2, mitad de 12 nos queda 6 y aquí nos queda simplemente 1. Este 6 lo podemos simplificar con el 2. Sacamos mitad de 6 que nos da 3. Mitad de 2 es 1. Podríamos simplificar por ejemplo 200 con el 90. Le podemos quitar un 0. Es como sacar décima. Podríamos quitar otro 0 por aquí al 20 y este 0 al 80. Nuevamente es como sacar décima. Podríamos simplificar por ejemplo el 2 con el 8. Mitad de 2 es 1. Mitad de 8 es 4. Podríamos simplificar 120 con 4. Cuarta de 4 es 1. Cuarta de 120 nos da 30. Tenemos en el numerador 3 por 30 que es 90. Acá abajo nos quedó 9. Finalmente nos quedaría 90 dividido entre 9 y eso da un total de 10. Vemos que al simplificar se reduce al final las operaciones que debemos realizar. ¿Qué significa este 10? Para realizar la tarea final, es decir, pintar 200 metros de muro de 120 cm de altura, necesitaremos entonces 10 latas de 2 kg de pintura cada una. De esta manera entonces terminamos la solución de este problema de regla de 3 compuesta.

[{"start": 0.0, "end": 11.0, "text": " Con 12 latas de medio kilogramo de pintura cada una se han pintado 90 metros de muro de 80 cent\u00edmetros de altura."}, {"start": 11.0, "end": 25.0, "text": " \u00bfCu\u00e1ntas latas de 2 kilogramos de pintura ser\u00e1n necesarias para pintar un muro similar de 120 cent\u00edmetros de altura y 200 metros de longitud?"}, {"start": 25.0, "end": 37.0, "text": " En ese problema podemos reconocer informaci\u00f3n que nos dan acerca de la pintura y acerca del muro."}, {"start": 37.0, "end": 50.0, "text": " \u00bfQu\u00e9 sabemos de la pintura? 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185.0, "text": " Ahora analizamos latas con longitud del muro."}, {"start": 185.0, "end": 191.0, "text": " Pensamos que esto permanece constante al igual que la altura del muro."}, {"start": 191.0, "end": 206.0, "text": " Entonces vemos que si nos aumenta la longitud del muro, entonces es razonable pensar que necesitamos m\u00e1s latas de pintura de un mismo contenido."}, {"start": 206.0, "end": 210.0, "text": " Y siendo el muro de una misma altura."}, {"start": 210.0, "end": 215.0, "text": " Repetimos, esta columna y esta se asumen como constantes."}, {"start": 215.0, "end": 219.0, "text": " \u00danicamente examinamos latas con longitud de muro."}, {"start": 219.0, "end": 225.0, "text": " Entonces a mayor longitud de muro esperamos usar mayor cantidad de latas."}, {"start": 225.0, "end": 233.0, "text": " Entonces la relaci\u00f3n entre estas dos variables, latas y longitud de muro, es una relaci\u00f3n directa."}, {"start": 233.0, "end": 240.0, "text": " En ese caso escribimos los signos menos arriba y m\u00e1s en la parte de abajo."}, {"start": 240.0, "end": 245.0, "text": " Por \u00faltimo analizamos latas con altura del muro."}, {"start": 245.0, "end": 253.0, "text": " Ahora suponemos que el contenido de pintura de las latas y la longitud de muro permanecen constantes."}, {"start": 253.0, "end": 262.0, "text": " Entonces si aumenta la altura del muro, tambi\u00e9n es razonable pensar que necesitemos mayor cantidad de latas."}, {"start": 262.0, "end": 269.0, "text": " Luego latas y altura del muro tambi\u00e9n tienen una relaci\u00f3n directa."}, {"start": 269.0, "end": 273.0, "text": " Nuevamente anotamos los signos menos y m\u00e1s."}, {"start": 273.0, "end": 278.0, "text": " Menos arriba y m\u00e1s en la parte de abajo."}, {"start": 278.0, "end": 290.0, "text": " Despu\u00e9s de haber realizado este an\u00e1lisis viene la parte m\u00e1s sencilla que es encontrar el valor de la inc\u00f3gnita X."}, {"start": 290.0, "end": 295.0, "text": " Para ello vamos a realizar lo siguiente."}, {"start": 295.0, "end": 303.0, "text": " Armamos una fracci\u00f3n donde aqu\u00ed en el numerador vamos a multiplicar todos los n\u00fameros que quedaron con signo m\u00e1s."}, {"start": 303.0, "end": 306.0, "text": " Es decir, con signo positivo."}, {"start": 306.0, "end": 316.0, "text": " Es decir, multiplicamos 12 por 1 medio por 200 por 120."}, {"start": 316.0, "end": 319.0, "text": " Eso en el numerador."}, {"start": 319.0, "end": 326.0, "text": " Aqu\u00ed en el denominador vamos a multiplicar todos los n\u00fameros que quedaron con signo menos."}, {"start": 326.0, "end": 328.0, "text": " Es decir, con signo negativo."}, {"start": 328.0, "end": 334.0, "text": " Tendremos 2 por 90 por 80."}, {"start": 334.0, "end": 342.0, "text": " Entonces siempre producto de positivos en el numerador y producto de negativos en el denominador."}, {"start": 342.0, "end": 349.0, "text": " Luego podemos manejar la simplificaci\u00f3n para hacer de una manera m\u00e1s f\u00e1cil esta operaci\u00f3n."}, {"start": 349.0, "end": 353.0, "text": " Por ejemplo 12 por 1 medio nos dar\u00eda 6."}, {"start": 353.0, "end": 359.0, "text": " Podr\u00edamos sacar mitad de 2, mitad de 12 nos queda 6 y aqu\u00ed nos queda simplemente 1."}, {"start": 359.0, "end": 362.0, "text": " Este 6 lo podemos simplificar con el 2."}, {"start": 362.0, "end": 365.0, "text": " Sacamos mitad de 6 que nos da 3."}, {"start": 365.0, "end": 367.0, "text": " Mitad de 2 es 1."}, {"start": 367.0, "end": 374.0, "text": " Podr\u00edamos simplificar por ejemplo 200 con el 90. Le podemos quitar un 0. Es como sacar d\u00e9cima."}, {"start": 374.0, "end": 381.0, "text": " Podr\u00edamos quitar otro 0 por aqu\u00ed al 20 y este 0 al 80. Nuevamente es como sacar d\u00e9cima."}, {"start": 381.0, "end": 385.0, "text": " Podr\u00edamos simplificar por ejemplo el 2 con el 8."}, {"start": 385.0, "end": 387.0, "text": " Mitad de 2 es 1."}, {"start": 387.0, "end": 389.0, "text": " Mitad de 8 es 4."}, {"start": 389.0, "end": 393.0, "text": " Podr\u00edamos simplificar 120 con 4."}, {"start": 393.0, "end": 400.0, "text": " Cuarta de 4 es 1. Cuarta de 120 nos da 30."}, {"start": 400.0, "end": 407.0, "text": " Tenemos en el numerador 3 por 30 que es 90. Ac\u00e1 abajo nos qued\u00f3 9."}, {"start": 407.0, "end": 413.0, "text": " Finalmente nos quedar\u00eda 90 dividido entre 9 y eso da un total de 10."}, {"start": 413.0, "end": 419.0, "text": " Vemos que al simplificar se reduce al final las operaciones que debemos realizar."}, {"start": 419.0, "end": 432.0, "text": " \u00bfQu\u00e9 significa este 10? Para realizar la tarea final, es decir, pintar 200 metros de muro de 120 cm de altura,"}, {"start": 432.0, "end": 440.0, "text": " necesitaremos entonces 10 latas de 2 kg de pintura cada una."}, {"start": 440.0, "end": 449.0, "text": " De esta manera entonces terminamos la soluci\u00f3n de este problema de regla de 3 compuesta."}]

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RECTA TANGENTE Y NORMAL A UNA CURVA - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo encontrar la ecuación de la recta tangente y normal a una curva en un punto específico. Tema: #Derivadas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwF9r-Y_Gpuq45VP0qnJIJL1 REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a encontrar la ecuación de la recta tangente y la recta normal a la curva y igual a x cubo más 1 en el punto de abscisa 1. ¿Qué información tenemos en esta ocasión? Tenemos la función, es decir, la curva que es x al cubo más 1 y conocemos el valor x, es decir, la abscisa del punto de tangencia. Es decir, el punto donde la recta tangente hace contacto con la curva. Tenemos entonces x igual a 1. Para esta función vamos a determinar su derivada. Entonces tenemos que f' de x es igual a lo siguiente. Derivamos esta expresión utilizando las reglas de derivación. Como tenemos una suma, entonces derivamos cada término. La derivada de x al cubo es 3x al cuadrado y la derivada de 1 es 0. Recordemos que la derivada de una constante siempre es 0. Esta es entonces la expresión para la derivada de la función. Para este valor x igual a 1 hacemos lo siguiente. Para la abscisa 1 vamos a encontrar la ordenada correspondiente, es decir, el valor en y. Ese valor lo encontramos en la función original. Entonces nos queda f' de 1. Pasamos en la función y nos queda 1 al cubo más 1 y resolviendo todo eso nos da 2. Por lo tanto el punto de tangencia es la pareja 1,2. Es el punto donde la recta tangente hace contacto con esta curva. Y con este mismo valor de x averiguamos cuanto vale la pendiente de la recta tangente. La llamamos mt. Ese valor se averigua en la derivada. Recordemos que la derivada representa la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto específico. En este caso en el punto 1,2. Entonces reemplazamos en la derivada el valor x igual a 1. Nos queda entonces 3 por 1 al cuadrado y eso nos da como resultado 3. Por lo tanto tenemos que la pendiente de la recta tangente tiene un valor igual a 3. Con este punto y con la pendiente podemos encontrar la ecuación de la recta tangente. La denotamos con las iniciales ERT. Y para ello utilizamos el modelo punto pendiente. Aquel que dice y menos y1 es igual a m por x menos x1. Recordemos que esta es la formulita con la cual se encuentra la ecuación de una recta cuando se conoce un punto y la pendiente. El punto conocido es x1 y1. Entonces vamos a reemplazar acá la información. Tenemos y menos y1 que vale 2 igual a la pendiente que es igual a 3 por x menos x1. X1 es igual a 1. Aquí hacemos propiedad distributiva. Nos queda 3x menos 3 y podemos acomodar la ecuación en la forma general. Es decir la forma a x más b y más c igual a 0. Es decir pasando todo para el lado izquierdo. Nos queda entonces y menos 2 pasa menos 3x y pasa más 3. Todo eso queda en el lado izquierdo y nos queda igual a 0. Allí vamos a organizar la ecuación de tal manera que nos quede primero el término con x, es decir, menos 3x, luego el término con y, es decir, más y y después el término independiente que es el resultado de la operación menos 2 más 3. Eso nos da más 1 y esto igual a 0. En la forma general de una recta no es usual que el coeficiente de x sea negativo. Entonces eso se soluciona multiplicando por menos 1 ambos lados de la igualdad. En el lado izquierdo nos queda 3x menos y menos 1 igual a 0. Y esta es la ecuación de la recta tangente que nos pide este problema. Está escrita en la forma a x más b y más c igual a 0. Es decir la forma general para una recta. Para encontrar la ecuación de la recta normal que la vamos a llamar Ern vamos a hacer lo siguiente. Necesitamos el valor de la pendiente que la vamos a llamar Mn. Usamos el siguiente truquito. Como conocemos la pendiente de la recta tangente que es igual a 3, simplemente invertimos este número y le cambiamos el signo. Eso nos daría menos 1 tercio. ¿Por qué razón? Porque las dos rectas, la tangente y la normal son perpendiculares. Por lo tanto deben cumplir esta condición. El producto de sus pendientes debe ser igual a menos 1. Si conocemos una de las pendientes simplemente la invertimos. Es decir, hallamos su recíproco y le cambiamos el signo. Si esta está positiva, acá nos da negativa. Tenemos la pendiente de la recta normal y conocemos el punto que es el mismo punto de tangencia. Es decir, el punto 1,2. Con esta información, es decir, un punto y la pendiente conocida utilizamos nuevamente el modelo punto pendiente que es y menos y1 igual a M por x menos x1. Recordemos que esta pareja es x1 y1. Entonces, reemplazamos y menos y1 que vale 2 igual a la pendiente que es menos 1 tercio por x menos x1 que vale 1. Aquí podríamos pasar este 3 que se encuentra dividiendo a este lado. Lo pasamos a multiplicar al otro lado. Nos queda 3 por y menos 2. Recordemos que y menos 2 se debe proteger con paréntesis. Nos queda al otro lado menos 1 que multiplica a x menos 1. Hacemos propiedad distributiva. Nos queda 3y menos 6 igual a menos 1 por x que es menos x y menos 1 por menos 1 que es más 1. Pasamos estos términos para el otro lado para organizar la ecuación también en la forma general. Entonces pasa más x y menos 1 igual a 0. Sigamos por acá. Nos queda x, luego más 3y y operamos menos 6 con menos 1. Por eso nos da menos 7 y todo eso igual a 0. Esta es la ecuación de la recta normal. También expresada en la forma general. Es decir, la forma ax más dy más c igual a 0. La forma general para presentar la ecuación de una recta. De esta manera terminamos.

[{"start": 0.0, "end": 12.0, "text": " Vamos a encontrar la ecuaci\u00f3n de la recta tangente y la recta normal a la curva y igual a x cubo m\u00e1s 1 en el punto de abscisa 1."}, {"start": 12.0, "end": 29.0, "text": " \u00bfQu\u00e9 informaci\u00f3n tenemos en esta ocasi\u00f3n? Tenemos la funci\u00f3n, es decir, la curva que es x al cubo m\u00e1s 1 y conocemos el valor x, es decir, la abscisa del punto de tangencia."}, {"start": 29.0, "end": 40.0, "text": " Es decir, el punto donde la recta tangente hace contacto con la curva. Tenemos entonces x igual a 1."}, {"start": 40.0, "end": 50.0, "text": " Para esta funci\u00f3n vamos a determinar su derivada. Entonces tenemos que f' de x es igual a lo siguiente."}, {"start": 50.0, "end": 59.0, "text": " Derivamos esta expresi\u00f3n utilizando las reglas de derivaci\u00f3n. Como tenemos una suma, entonces derivamos cada t\u00e9rmino."}, {"start": 59.0, "end": 72.0, "text": " La derivada de x al cubo es 3x al cuadrado y la derivada de 1 es 0. Recordemos que la derivada de una constante siempre es 0."}, {"start": 72.0, "end": 77.0, "text": " Esta es entonces la expresi\u00f3n para la derivada de la funci\u00f3n."}, {"start": 77.0, "end": 89.0, "text": " Para este valor x igual a 1 hacemos lo siguiente. Para la abscisa 1 vamos a encontrar la ordenada correspondiente, es decir, el valor en y."}, {"start": 89.0, "end": 97.0, "text": " Ese valor lo encontramos en la funci\u00f3n original. Entonces nos queda f' de 1."}, {"start": 97.0, "end": 112.0, "text": " Pasamos en la funci\u00f3n y nos queda 1 al cubo m\u00e1s 1 y resolviendo todo eso nos da 2. Por lo tanto el punto de tangencia es la pareja 1,2."}, {"start": 112.0, "end": 120.0, "text": " Es el punto donde la recta tangente hace contacto con esta curva."}, {"start": 120.0, "end": 129.0, "text": " Y con este mismo valor de x averiguamos cuanto vale la pendiente de la recta tangente. La llamamos mt."}, {"start": 129.0, "end": 142.0, "text": " Ese valor se averigua en la derivada. Recordemos que la derivada representa la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto espec\u00edfico."}, {"start": 142.0, "end": 159.0, "text": " En este caso en el punto 1,2. Entonces reemplazamos en la derivada el valor x igual a 1. Nos queda entonces 3 por 1 al cuadrado y eso nos da como resultado 3."}, {"start": 159.0, "end": 168.0, "text": " Por lo tanto tenemos que la pendiente de la recta tangente tiene un valor igual a 3."}, {"start": 168.0, "end": 180.0, "text": " Con este punto y con la pendiente podemos encontrar la ecuaci\u00f3n de la recta tangente. La denotamos con las iniciales ERT."}, {"start": 180.0, "end": 191.0, "text": " Y para ello utilizamos el modelo punto pendiente. Aquel que dice y menos y1 es igual a m por x menos x1."}, {"start": 191.0, "end": 200.0, "text": " Recordemos que esta es la formulita con la cual se encuentra la ecuaci\u00f3n de una recta cuando se conoce un punto y la pendiente."}, {"start": 200.0, "end": 207.0, "text": " El punto conocido es x1 y1. Entonces vamos a reemplazar ac\u00e1 la informaci\u00f3n."}, {"start": 207.0, "end": 222.0, "text": " Tenemos y menos y1 que vale 2 igual a la pendiente que es igual a 3 por x menos x1. X1 es igual a 1."}, {"start": 222.0, "end": 237.0, "text": " Aqu\u00ed hacemos propiedad distributiva. Nos queda 3x menos 3 y podemos acomodar la ecuaci\u00f3n en la forma general. Es decir la forma a x m\u00e1s b y m\u00e1s c igual a 0."}, {"start": 237.0, "end": 255.0, "text": " Es decir pasando todo para el lado izquierdo. Nos queda entonces y menos 2 pasa menos 3x y pasa m\u00e1s 3. Todo eso queda en el lado izquierdo y nos queda igual a 0."}, {"start": 255.0, "end": 273.0, "text": " All\u00ed vamos a organizar la ecuaci\u00f3n de tal manera que nos quede primero el t\u00e9rmino con x, es decir, menos 3x, luego el t\u00e9rmino con y, es decir, m\u00e1s y y despu\u00e9s el t\u00e9rmino independiente que es el resultado de la operaci\u00f3n menos 2 m\u00e1s 3."}, {"start": 273.0, "end": 277.0, "text": " Eso nos da m\u00e1s 1 y esto igual a 0."}, {"start": 277.0, "end": 289.0, "text": " En la forma general de una recta no es usual que el coeficiente de x sea negativo. Entonces eso se soluciona multiplicando por menos 1 ambos lados de la igualdad."}, {"start": 289.0, "end": 297.0, "text": " En el lado izquierdo nos queda 3x menos y menos 1 igual a 0."}, {"start": 297.0, "end": 320.0, "text": " Y esta es la ecuaci\u00f3n de la recta tangente que nos pide este problema. Est\u00e1 escrita en la forma a x m\u00e1s b y m\u00e1s c igual a 0. Es decir la forma general para una recta."}, {"start": 320.0, "end": 334.0, "text": " Para encontrar la ecuaci\u00f3n de la recta normal que la vamos a llamar Ern vamos a hacer lo siguiente. Necesitamos el valor de la pendiente que la vamos a llamar Mn."}, {"start": 334.0, "end": 351.0, "text": " Usamos el siguiente truquito. Como conocemos la pendiente de la recta tangente que es igual a 3, simplemente invertimos este n\u00famero y le cambiamos el signo. Eso nos dar\u00eda menos 1 tercio."}, {"start": 351.0, "end": 366.0, "text": " \u00bfPor qu\u00e9 raz\u00f3n? Porque las dos rectas, la tangente y la normal son perpendiculares. Por lo tanto deben cumplir esta condici\u00f3n. El producto de sus pendientes debe ser igual a menos 1."}, {"start": 366.0, "end": 386.0, "text": " Si conocemos una de las pendientes simplemente la invertimos. Es decir, hallamos su rec\u00edproco y le cambiamos el signo. Si esta est\u00e1 positiva, ac\u00e1 nos da negativa. Tenemos la pendiente de la recta normal y conocemos el punto que es el mismo punto de tangencia."}, {"start": 386.0, "end": 403.0, "text": " Es decir, el punto 1,2. Con esta informaci\u00f3n, es decir, un punto y la pendiente conocida utilizamos nuevamente el modelo punto pendiente que es y menos y1 igual a M por x menos x1."}, {"start": 403.0, "end": 422.0, "text": " Recordemos que esta pareja es x1 y1. Entonces, reemplazamos y menos y1 que vale 2 igual a la pendiente que es menos 1 tercio por x menos x1 que vale 1."}, {"start": 422.0, "end": 436.0, "text": " Aqu\u00ed podr\u00edamos pasar este 3 que se encuentra dividiendo a este lado. Lo pasamos a multiplicar al otro lado. Nos queda 3 por y menos 2. Recordemos que y menos 2 se debe proteger con par\u00e9ntesis."}, {"start": 436.0, "end": 453.0, "text": " Nos queda al otro lado menos 1 que multiplica a x menos 1. Hacemos propiedad distributiva. Nos queda 3y menos 6 igual a menos 1 por x que es menos x y menos 1 por menos 1 que es m\u00e1s 1."}, {"start": 453.0, "end": 474.0, "text": " Pasamos estos t\u00e9rminos para el otro lado para organizar la ecuaci\u00f3n tambi\u00e9n en la forma general. Entonces pasa m\u00e1s x y menos 1 igual a 0. Sigamos por ac\u00e1. Nos queda x, luego m\u00e1s 3y y operamos menos 6 con menos 1."}, {"start": 474.0, "end": 496.0, "text": " Por eso nos da menos 7 y todo eso igual a 0. Esta es la ecuaci\u00f3n de la recta normal. Tambi\u00e9n expresada en la forma general. Es decir, la forma ax m\u00e1s dy m\u00e1s c igual a 0."}, {"start": 496.0, "end": 504.0, "text": " La forma general para presentar la ecuaci\u00f3n de una recta. De esta manera terminamos."}]

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SUMA DE FRACCIONES CON DISTINTO DENOMINADOR (HETEROGÉNEAS)

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¿Qué es el mínimo común múltiplo de los denominadores? Vamos a realizar la suma de esas dos fracciones, que se llaman fracciones heterogéneas porque tienen distinto denominador. Para comenzar vamos a obtener el mínimo común múltiplo de los denominadores, es decir, mínimo común múltiplo de 6 y 3. Veamos el procedimiento, vamos a descomponer de manera simultánea en factores primos los números 6 y 3. Comenzamos con el 2, que es el primer número primo que examinamos. 2 es divisor del 6, por lo tanto lo utilizamos. Decimos mitad de 6 es 3, y al 3 no podemos sacarle mitad exacta, entonces lo dejamos igual. Nos queda el número 3, al cual solamente le sirve la tercera, es decir, el número primo 3. Tercera de 3, 1. Tercera de 3, 1. Aquí cuando hemos obtenido 1, ya hemos finalizado el proceso. Multiplicamos estos números 2 por 3 es 6, luego el mínimo común múltiplo de 6 y 3 es el 6. Entonces lo que tenemos que hacer es hacer que las dos fracciones se conviertan en fracciones con denominador 6. Es decir, que dejen de ser heterogéneas y se conviertan en homogéneas. Vemos que la primera fracción ya cumple con esa condición, ya tiene denominador 6, por lo tanto la dejamos igual. Y vamos con la segunda fracción, 2 percios, la cual debemos amplificar, es decir, debemos multiplicar arriba y abajo por un mismo número, de tal forma que el denominador se convierta en 6. Entonces 3 debe multiplicarse por 2 para que nos de 6. Si abajo multiplicamos por 2, arriba también debe multiplicarse por 2. Esa es la amplificación de una fracción. Nos queda entonces 5 sextos más la otra fracción que se convierte en 4 sextos, resolviendo las dos multiplicaciones. Aquí ya tenemos fracciones homogéneas, fracciones con el mismo denominador, entonces se conserva ese denominador y se hace la suma de los numeradores. Resolviendo, eso nos da 9 en el numerador y 6 en el denominador, es decir, obtenemos la fracción 9 sextos. Pero también debemos revisar que esa fracción sea simplificada al máximo, es decir, que se convierta en fracción irreducible. Vemos en este caso que 9 y 6 son números que tienen tercera, ambos son divisibles por 3. Entonces decimos tercera de 9 es 3 y tercera de 6 nos da 2. Tres medios es una fracción que no se puede simplificar más, es una fracción irreducible y esta se convierte en la respuesta de este ejercicio. ¿Cómo podemos ver la suma de fracciones heterogéneas? Miremos otro ejercicio de suma de fracciones heterogéneas, fracciones con distinto denominador. Entonces comenzamos buscando el mínimo común múltiplo de 8 y 10, es decir, de los denominadores. Veamos el procedimiento, escribimos el 8 y el 10, tenemos que ambos se les puede sacar mitad, usamos el divisor 2, mitad de 8 es 4, mitad de 10 es 5. Para este 4 podemos sacar nuevamente mitad, mitad de 4 es 2, el 5 no tiene mitad, se deja igual. Para este 2 nuevamente sacamos mitad, nos da 1 y el 5 se deja igual. Con este 1 ya hemos terminado por acá, nos queda este 5 al cual podemos sacarle quinta y nos da 1. Multiplicando todos estos números tenemos 2 por 2 es 4, 4 por 2 es 8 y 8 por 5 es 40. Entonces el mínimo común múltiplo de 8 y 10 es 40. Lo que hacemos ahora es hacer que estas dos fracciones queden con denominador 40, es decir, que dejen de ser heterogéneas y se conviertan en homogéneas. Para ello hacemos la amplificación de ambas fracciones, tenemos 7 octavos en la primera, 3 décimos en la segunda. Entonces vamos a multiplicar por los números necesarios para que ambos denominadores queden en 40. Veamos, 8 debe ser multiplicado por 5 para que nos de 40, por lo tanto acá arriba también se multiplica por 5. Y de esta fracción 10 debe ser multiplicado por 4 para que nos de el 40, por lo tanto arriba también se multiplica por 4. Resolvemos ambas operaciones, 7 por 5 es 35, 8 por 5 es 40, más aquí 3 por 4 es 12 y 10 por 4 es 40. Ya tenemos la suma de dos fracciones homogéneas, entonces dejamos el mismo denominador que es 40 y hacemos la suma de los numeradores. Efectuamos 35 más 12, eso nos da como resultado 47. Y en el denominador tenemos 40. Revisamos si esa fracción se puede simplificar, vemos que no, entonces ya es una fracción irreducible y esta es la respuesta al ejercicio propuesto. Miren este otro ejemplo, tenemos la suma de tres fracciones heterogéneas con distintos denominadores. Comenzamos por obtener el mínimo común múltiplo de los denominadores, es decir de 12, 9 y 18. Entonces veamos el procedimiento, tenemos 12, 9 y 18, vamos a descomponer simultáneamente en factores primos. Comenzamos utilizando el número 2, el primer número primo, entonces decimos mitad de 12 es 6, el 9 no tiene mitad exacta, se deja igual, mitad de 18 es 9. El 2 sirve de nuevo para este 6, mitad de 6 es 3, estos dos 9 se dejan iguales. Y ahora pasamos a usar el número 3, el siguiente número primo después de haber descartado el 2 que ya no sirve más. Entonces tercera de 3 es 1, tercera de 9 es 3, tercera de 9 es 3. Aquí ya hemos terminado, nos quedan estos dos por descomponer, sacamos tercera, nos da 1 en cada caso. Ya hemos finalizado, ahora multiplicamos estos números, veamos, 2 por 2 es 4, 4 por 3 es 12 y 12 por 3 es 36. Por lo tanto 36 se convierte en el mínimo común múltiplo de estos números, es decir de los denominadores. Ahora lo que hacemos es convertir las tres fracciones en fracciones con denominador 36 y eso vamos a conseguir amplificando cada una. Entonces anotamos las fracciones originales y vamos a multiplicar en cada caso el numerador y el denominador por los números necesarios para que en los denominadores nos quede 36. Veamos, 12 debe ser multiplicado por 3 para que nos de 36, por lo tanto arriba también se multiplica por 3. Aquí 9 debe ser multiplicado por 4 para que nos de 36, por lo tanto arriba también se multiplica por 4. Y 18 debe ser multiplicado por 2 para que nos de 36, luego arriba también se multiplica por 2. Resolvemos todas estas multiplicaciones, tenemos 7 por 3 es 21, 12 por 3 es 36, 5 por 4 es 20, 9 por 4 es 36, 11 por 2 es 22, 18 por 2 es 36. Entonces vemos que las fracciones ya se convirtieron en homogéneas, todas con el mismo denominador. Para hacer esa suma, entonces dejamos el mismo denominador y efectuamos la suma de los numeradores. Esa suma de esos tres números nos da como resultado 63, nos queda 63,36 y revisamos si esa fracción se puede simplificar. Vemos que ambos números tienen tercera, recordemos que un número es divisible por 3 cuando la suma de sus dígitos da como resultado un múltiplo de 3. Vemos que en ambos casos la suma de los dígitos da 9, 9 es múltiplo de 3, por lo tanto 63 y 36 son números divisibles por 3. Sacamos tercera de 63 nos da 21 y tercera de 36 que nos da 12. A su vez 21 y 12 son números que también se pueden dividir por 3, ambos tienen tercera, entonces tercera de 21 nos da 7 y tercera de 12 nos da 4. También hubiera sido posible sacar novena a ambos números, 63 y 36 son números divisibles por 9, de esa manera hubiéramos llegado directamente a 7 cuartos que es la fracción irreducible. De esta manera terminamos el ejercicio.

[{"start": 0.0, "end": 8.0, "text": " \u00bfQu\u00e9 es el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de los denominadores?"}, {"start": 8.0, "end": 17.0, "text": " Vamos a realizar la suma de esas dos fracciones, que se llaman fracciones heterog\u00e9neas porque tienen distinto denominador."}, {"start": 17.0, "end": 27.0, "text": " Para comenzar vamos a obtener el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de los denominadores, es decir, m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de 6 y 3."}, {"start": 27.0, "end": 36.0, "text": " Veamos el procedimiento, vamos a descomponer de manera simult\u00e1nea en factores primos los n\u00fameros 6 y 3."}, {"start": 36.0, "end": 41.0, "text": " Comenzamos con el 2, que es el primer n\u00famero primo que examinamos."}, {"start": 41.0, "end": 45.0, "text": " 2 es divisor del 6, por lo tanto lo utilizamos."}, {"start": 45.0, "end": 54.0, "text": " Decimos mitad de 6 es 3, y al 3 no podemos sacarle mitad exacta, entonces lo dejamos igual."}, {"start": 54.0, "end": 61.0, "text": " Nos queda el n\u00famero 3, al cual solamente le sirve la tercera, es decir, el n\u00famero primo 3."}, {"start": 61.0, "end": 65.0, "text": " Tercera de 3, 1. Tercera de 3, 1."}, {"start": 65.0, "end": 70.0, "text": " Aqu\u00ed cuando hemos obtenido 1, ya hemos finalizado el proceso."}, {"start": 70.0, "end": 79.0, "text": " Multiplicamos estos n\u00fameros 2 por 3 es 6, luego el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de 6 y 3 es el 6."}, {"start": 79.0, "end": 87.0, "text": " Entonces lo que tenemos que hacer es hacer que las dos fracciones se conviertan en fracciones con denominador 6."}, {"start": 87.0, "end": 93.0, "text": " Es decir, que dejen de ser heterog\u00e9neas y se conviertan en homog\u00e9neas."}, {"start": 93.0, "end": 102.0, "text": " Vemos que la primera fracci\u00f3n ya cumple con esa condici\u00f3n, ya tiene denominador 6, por lo tanto la dejamos igual."}, {"start": 102.0, "end": 115.0, "text": " Y vamos con la segunda fracci\u00f3n, 2 percios, la cual debemos amplificar, es decir, debemos multiplicar arriba y abajo por un mismo n\u00famero,"}, {"start": 115.0, "end": 119.0, "text": " de tal forma que el denominador se convierta en 6."}, {"start": 119.0, "end": 124.0, "text": " Entonces 3 debe multiplicarse por 2 para que nos de 6."}, {"start": 124.0, "end": 130.0, "text": " Si abajo multiplicamos por 2, arriba tambi\u00e9n debe multiplicarse por 2."}, {"start": 130.0, "end": 133.0, "text": " Esa es la amplificaci\u00f3n de una fracci\u00f3n."}, {"start": 133.0, "end": 144.0, "text": " Nos queda entonces 5 sextos m\u00e1s la otra fracci\u00f3n que se convierte en 4 sextos, resolviendo las dos multiplicaciones."}, {"start": 144.0, "end": 159.0, "text": " Aqu\u00ed ya tenemos fracciones homog\u00e9neas, fracciones con el mismo denominador, entonces se conserva ese denominador y se hace la suma de los numeradores."}, {"start": 159.0, "end": 169.0, "text": " Resolviendo, eso nos da 9 en el numerador y 6 en el denominador, es decir, obtenemos la fracci\u00f3n 9 sextos."}, {"start": 169.0, "end": 180.0, "text": " Pero tambi\u00e9n debemos revisar que esa fracci\u00f3n sea simplificada al m\u00e1ximo, es decir, que se convierta en fracci\u00f3n irreducible."}, {"start": 180.0, "end": 188.0, "text": " Vemos en este caso que 9 y 6 son n\u00fameros que tienen tercera, ambos son divisibles por 3."}, {"start": 188.0, "end": 196.0, "text": " Entonces decimos tercera de 9 es 3 y tercera de 6 nos da 2."}, {"start": 196.0, "end": 207.0, "text": " Tres medios es una fracci\u00f3n que no se puede simplificar m\u00e1s, es una fracci\u00f3n irreducible y esta se convierte en la respuesta de este ejercicio."}, {"start": 207.0, "end": 212.0, "text": " \u00bfC\u00f3mo podemos ver la suma de fracciones heterog\u00e9neas?"}, {"start": 212.0, "end": 220.0, "text": " Miremos otro ejercicio de suma de fracciones heterog\u00e9neas, fracciones con distinto denominador."}, {"start": 220.0, "end": 229.0, "text": " Entonces comenzamos buscando el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de 8 y 10, es decir, de los denominadores."}, {"start": 229.0, "end": 244.0, "text": " Veamos el procedimiento, escribimos el 8 y el 10, tenemos que ambos se les puede sacar mitad, usamos el divisor 2, mitad de 8 es 4, mitad de 10 es 5."}, {"start": 244.0, "end": 252.0, "text": " Para este 4 podemos sacar nuevamente mitad, mitad de 4 es 2, el 5 no tiene mitad, se deja igual."}, {"start": 252.0, "end": 259.0, "text": " Para este 2 nuevamente sacamos mitad, nos da 1 y el 5 se deja igual."}, {"start": 259.0, "end": 267.0, "text": " Con este 1 ya hemos terminado por ac\u00e1, nos queda este 5 al cual podemos sacarle quinta y nos da 1."}, {"start": 267.0, "end": 275.0, "text": " Multiplicando todos estos n\u00fameros tenemos 2 por 2 es 4, 4 por 2 es 8 y 8 por 5 es 40."}, {"start": 275.0, "end": 281.0, "text": " Entonces el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de 8 y 10 es 40."}, {"start": 281.0, "end": 293.0, "text": " Lo que hacemos ahora es hacer que estas dos fracciones queden con denominador 40, es decir, que dejen de ser heterog\u00e9neas y se conviertan en homog\u00e9neas."}, {"start": 293.0, "end": 303.0, "text": " Para ello hacemos la amplificaci\u00f3n de ambas fracciones, tenemos 7 octavos en la primera, 3 d\u00e9cimos en la segunda."}, {"start": 303.0, "end": 312.0, "text": " Entonces vamos a multiplicar por los n\u00fameros necesarios para que ambos denominadores queden en 40."}, {"start": 312.0, "end": 321.0, "text": " Veamos, 8 debe ser multiplicado por 5 para que nos de 40, por lo tanto ac\u00e1 arriba tambi\u00e9n se multiplica por 5."}, {"start": 321.0, "end": 332.0, "text": " Y de esta fracci\u00f3n 10 debe ser multiplicado por 4 para que nos de el 40, por lo tanto arriba tambi\u00e9n se multiplica por 4."}, {"start": 332.0, "end": 346.0, "text": " Resolvemos ambas operaciones, 7 por 5 es 35, 8 por 5 es 40, m\u00e1s aqu\u00ed 3 por 4 es 12 y 10 por 4 es 40."}, {"start": 346.0, "end": 359.0, "text": " Ya tenemos la suma de dos fracciones homog\u00e9neas, entonces dejamos el mismo denominador que es 40 y hacemos la suma de los numeradores."}, {"start": 359.0, "end": 370.0, "text": " Efectuamos 35 m\u00e1s 12, eso nos da como resultado 47. Y en el denominador tenemos 40."}, {"start": 370.0, "end": 382.0, "text": " Revisamos si esa fracci\u00f3n se puede simplificar, vemos que no, entonces ya es una fracci\u00f3n irreducible y esta es la respuesta al ejercicio propuesto."}, {"start": 382.0, "end": 395.0, "text": " Miren este otro ejemplo, tenemos la suma de tres fracciones heterog\u00e9neas con distintos denominadores."}, {"start": 395.0, "end": 406.0, "text": " Comenzamos por obtener el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de los denominadores, es decir de 12, 9 y 18."}, {"start": 406.0, "end": 418.0, "text": " Entonces veamos el procedimiento, tenemos 12, 9 y 18, vamos a descomponer simult\u00e1neamente en factores primos."}, {"start": 418.0, "end": 433.0, "text": " Comenzamos utilizando el n\u00famero 2, el primer n\u00famero primo, entonces decimos mitad de 12 es 6, el 9 no tiene mitad exacta, se deja igual, mitad de 18 es 9."}, {"start": 433.0, "end": 442.0, "text": " El 2 sirve de nuevo para este 6, mitad de 6 es 3, estos dos 9 se dejan iguales."}, {"start": 442.0, "end": 451.0, "text": " Y ahora pasamos a usar el n\u00famero 3, el siguiente n\u00famero primo despu\u00e9s de haber descartado el 2 que ya no sirve m\u00e1s."}, {"start": 451.0, "end": 459.0, "text": " Entonces tercera de 3 es 1, tercera de 9 es 3, tercera de 9 es 3."}, {"start": 459.0, "end": 467.0, "text": " Aqu\u00ed ya hemos terminado, nos quedan estos dos por descomponer, sacamos tercera, nos da 1 en cada caso."}, {"start": 467.0, "end": 477.0, "text": " Ya hemos finalizado, ahora multiplicamos estos n\u00fameros, veamos, 2 por 2 es 4, 4 por 3 es 12 y 12 por 3 es 36."}, {"start": 477.0, "end": 485.0, "text": " Por lo tanto 36 se convierte en el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de estos n\u00fameros, es decir de los denominadores."}, {"start": 485.0, "end": 498.0, "text": " Ahora lo que hacemos es convertir las tres fracciones en fracciones con denominador 36 y eso vamos a conseguir amplificando cada una."}, {"start": 498.0, "end": 517.0, "text": " Entonces anotamos las fracciones originales y vamos a multiplicar en cada caso el numerador y el denominador por los n\u00fameros necesarios para que en los denominadores nos quede 36."}, {"start": 517.0, "end": 526.0, "text": " Veamos, 12 debe ser multiplicado por 3 para que nos de 36, por lo tanto arriba tambi\u00e9n se multiplica por 3."}, {"start": 526.0, "end": 536.0, "text": " Aqu\u00ed 9 debe ser multiplicado por 4 para que nos de 36, por lo tanto arriba tambi\u00e9n se multiplica por 4."}, {"start": 536.0, "end": 545.0, "text": " Y 18 debe ser multiplicado por 2 para que nos de 36, luego arriba tambi\u00e9n se multiplica por 2."}, {"start": 545.0, "end": 564.0, "text": " Resolvemos todas estas multiplicaciones, tenemos 7 por 3 es 21, 12 por 3 es 36, 5 por 4 es 20, 9 por 4 es 36, 11 por 2 es 22, 18 por 2 es 36."}, {"start": 564.0, "end": 570.0, "text": " Entonces vemos que las fracciones ya se convirtieron en homog\u00e9neas, todas con el mismo denominador."}, {"start": 570.0, "end": 580.0, "text": " Para hacer esa suma, entonces dejamos el mismo denominador y efectuamos la suma de los numeradores."}, {"start": 580.0, "end": 593.0, "text": " Esa suma de esos tres n\u00fameros nos da como resultado 63, nos queda 63,36 y revisamos si esa fracci\u00f3n se puede simplificar."}, {"start": 593.0, "end": 605.0, "text": " Vemos que ambos n\u00fameros tienen tercera, recordemos que un n\u00famero es divisible por 3 cuando la suma de sus d\u00edgitos da como resultado un m\u00faltiplo de 3."}, {"start": 605.0, "end": 616.0, "text": " Vemos que en ambos casos la suma de los d\u00edgitos da 9, 9 es m\u00faltiplo de 3, por lo tanto 63 y 36 son n\u00fameros divisibles por 3."}, {"start": 616.0, "end": 624.0, "text": " Sacamos tercera de 63 nos da 21 y tercera de 36 que nos da 12."}, {"start": 624.0, "end": 640.0, "text": " A su vez 21 y 12 son n\u00fameros que tambi\u00e9n se pueden dividir por 3, ambos tienen tercera, entonces tercera de 21 nos da 7 y tercera de 12 nos da 4."}, {"start": 640.0, "end": 657.0, "text": " Tambi\u00e9n hubiera sido posible sacar novena a ambos n\u00fameros, 63 y 36 son n\u00fameros divisibles por 9, de esa manera hubi\u00e9ramos llegado directamente a 7 cuartos que es la fracci\u00f3n irreducible."}, {"start": 657.0, "end": 671.0, "text": " De esta manera terminamos el ejercicio."}]

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DERIVADA DE UNA FUNCIÓN USANDO LA DEFINICIÓN - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo derivar una función usando el límite que corresponde a la definición de derivada. Video del tema de #Derivadas REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a encontrar la derivada de esta función utilizando la definición para la derivada. Esa definición dice lo siguiente, la derivada de una función f de x, es decir f' de x, se define como el límite de f de x más delta de x menos f de x, todo esto sobre delta de x cuando delta de x tiende a cero. Esta es la definición de la derivada de una función f de x, como decíamos se denota como f' de x. Podemos hacer un cambio que nos puede facilitar el trabajo y es sustituir delta x por h. Colocamos h en lugar de delta de x y entonces vamos a encontrar este componente debido a que este ya lo tenemos, esta es la función que nos da. Entonces ahora vamos a determinar f de x más h para posteriormente ensamblar ese límite y darle solución. En la función original podemos desaparecer la x y luego llenamos ese espacio que quedó en blanco con x más h. Allí lo que estamos haciendo es evaluar la función en x más h, x se cambia por x más h y vamos a desarrollar esta expresión. Nos queda entonces f de x más h igual, tenemos tres y aquí vamos a desarrollar este binomio al cuadrado. Recordemos que es el primero al cuadrado más dos veces el primero por el segundo, x por h, más el segundo término al cuadrado, h cuadrado. Aquí podemos hacer distributiva con el menos cinco, entonces tenemos menos cinco por x que es menos cinco x y menos cinco por h que es menos cinco h y todo eso más uno. Ahora distribuimos el tres, entonces nos va a quedar f de x más h es igual a tres x al cuadrado más seis x h más tres h cuadrado menos cinco x menos cinco h más uno. Y de esta manera tenemos el componente f de x más h. Ahora vamos a ensamblar este límite como decíamos que es la definición para la derivada de la función. Entonces tenemos lo siguiente, límite cuando h tiende a cero de f de x más h que es toda esta expresión la sustituimos más seis x h más tres h cuadrado menos cinco x menos cinco h más uno. Y todo esto menos la función original, es decir esta. De una vez podemos aplicarle este signo negativo a esta expresión que cambia todos los signos. Entonces nos quedan los tres x al cuadrado más cinco x menos uno haciendo como la destrucción el paréntesis que protegería inicialmente a la función original. Y en el denominador tenemos la h. A continuación revisamos acá en el numerador que términos podemos de pronto simplificar o cancelar. Vemos tres x al cuadrado y por acá menos tres x al cuadrado por lo tanto esos dos términos se eliminan. También tenemos por ejemplo menos cinco x y más cinco x también son términos opuestos que se cancelan y lo mismo sucederá con más uno y menos uno. Entonces también los cancelamos. Nos queda entonces que f' de x es igual al límite cuando h tiende a cero de seis x h más tres h cuadrado menos cinco h. Todo esto sobre h. Vemos que si reemplazamos h por el valor cero en este límite nos daría cero en el numerador y cero en el denominador. Nos daría una forma indeterminada que es cero sobre cero si evaluamos el límite cuando h es cero. Entonces como eso no podemos dejarlo así, no nos puede dar una forma indeterminada como cero sobre cero. Podemos usar la factorización en el numerador. Vemos que se puede sacar factor común h. Entonces nos queda límite cuando h tiende a cero de h factor común de seis x más tres h menos cinco y todo esto sobre h. Aquí podemos simplificar esta h y nos queda el límite de esta expresión. Por aquí lo tenemos y finalmente lo que hacemos es evaluar ese límite cuando h vale cero. Nos queda entonces f' de x es igual a seis x más tres por cero menos cinco. Vemos que h se ha cambiado por cero. Finalmente esto nos queda seis x menos cinco puesto que este término se convierte en cero. Esta sería la derivada entonces para esta función habiendo utilizado la definición de derivada, es decir la definición por el límite.

[{"start": 0.0, "end": 10.0, "text": " Vamos a encontrar la derivada de esta funci\u00f3n utilizando la definici\u00f3n para la derivada."}, {"start": 10.0, "end": 37.0, "text": " Esa definici\u00f3n dice lo siguiente, la derivada de una funci\u00f3n f de x, es decir f' de x, se define como el l\u00edmite de f de x m\u00e1s delta de x menos f de x, todo esto sobre delta de x cuando delta de x tiende a cero."}, {"start": 37.0, "end": 47.0, "text": " Esta es la definici\u00f3n de la derivada de una funci\u00f3n f de x, como dec\u00edamos se denota como f' de x."}, {"start": 47.0, "end": 57.0, "text": " Podemos hacer un cambio que nos puede facilitar el trabajo y es sustituir delta x por h."}, {"start": 57.0, "end": 71.0, "text": " Colocamos h en lugar de delta de x y entonces vamos a encontrar este componente debido a que este ya lo tenemos, esta es la funci\u00f3n que nos da."}, {"start": 71.0, "end": 82.0, "text": " Entonces ahora vamos a determinar f de x m\u00e1s h para posteriormente ensamblar ese l\u00edmite y darle soluci\u00f3n."}, {"start": 82.0, "end": 100.0, "text": " En la funci\u00f3n original podemos desaparecer la x y luego llenamos ese espacio que qued\u00f3 en blanco con x m\u00e1s h."}, {"start": 100.0, "end": 113.0, "text": " All\u00ed lo que estamos haciendo es evaluar la funci\u00f3n en x m\u00e1s h, x se cambia por x m\u00e1s h y vamos a desarrollar esta expresi\u00f3n."}, {"start": 113.0, "end": 121.0, "text": " Nos queda entonces f de x m\u00e1s h igual, tenemos tres y aqu\u00ed vamos a desarrollar este binomio al cuadrado."}, {"start": 121.0, "end": 133.0, "text": " Recordemos que es el primero al cuadrado m\u00e1s dos veces el primero por el segundo, x por h, m\u00e1s el segundo t\u00e9rmino al cuadrado, h cuadrado."}, {"start": 133.0, "end": 147.0, "text": " Aqu\u00ed podemos hacer distributiva con el menos cinco, entonces tenemos menos cinco por x que es menos cinco x y menos cinco por h que es menos cinco h y todo eso m\u00e1s uno."}, {"start": 147.0, "end": 167.0, "text": " Ahora distribuimos el tres, entonces nos va a quedar f de x m\u00e1s h es igual a tres x al cuadrado m\u00e1s seis x h m\u00e1s tres h cuadrado menos cinco x menos cinco h m\u00e1s uno."}, {"start": 167.0, "end": 174.0, "text": " Y de esta manera tenemos el componente f de x m\u00e1s h."}, {"start": 174.0, "end": 183.0, "text": " Ahora vamos a ensamblar este l\u00edmite como dec\u00edamos que es la definici\u00f3n para la derivada de la funci\u00f3n."}, {"start": 183.0, "end": 210.0, "text": " Entonces tenemos lo siguiente, l\u00edmite cuando h tiende a cero de f de x m\u00e1s h que es toda esta expresi\u00f3n la sustituimos m\u00e1s seis x h m\u00e1s tres h cuadrado menos cinco x menos cinco h m\u00e1s uno."}, {"start": 210.0, "end": 216.0, "text": " Y todo esto menos la funci\u00f3n original, es decir esta."}, {"start": 216.0, "end": 223.0, "text": " De una vez podemos aplicarle este signo negativo a esta expresi\u00f3n que cambia todos los signos."}, {"start": 223.0, "end": 238.0, "text": " Entonces nos quedan los tres x al cuadrado m\u00e1s cinco x menos uno haciendo como la destrucci\u00f3n el par\u00e9ntesis que proteger\u00eda inicialmente a la funci\u00f3n original."}, {"start": 238.0, "end": 242.0, "text": " Y en el denominador tenemos la h."}, {"start": 242.0, "end": 250.0, "text": " A continuaci\u00f3n revisamos ac\u00e1 en el numerador que t\u00e9rminos podemos de pronto simplificar o cancelar."}, {"start": 250.0, "end": 258.0, "text": " Vemos tres x al cuadrado y por ac\u00e1 menos tres x al cuadrado por lo tanto esos dos t\u00e9rminos se eliminan."}, {"start": 258.0, "end": 270.0, "text": " Tambi\u00e9n tenemos por ejemplo menos cinco x y m\u00e1s cinco x tambi\u00e9n son t\u00e9rminos opuestos que se cancelan y lo mismo suceder\u00e1 con m\u00e1s uno y menos uno."}, {"start": 270.0, "end": 273.0, "text": " Entonces tambi\u00e9n los cancelamos."}, {"start": 273.0, "end": 290.0, "text": " Nos queda entonces que f' de x es igual al l\u00edmite cuando h tiende a cero de seis x h m\u00e1s tres h cuadrado menos cinco h."}, {"start": 290.0, "end": 295.0, "text": " Todo esto sobre h."}, {"start": 295.0, "end": 305.0, "text": " Vemos que si reemplazamos h por el valor cero en este l\u00edmite nos dar\u00eda cero en el numerador y cero en el denominador."}, {"start": 305.0, "end": 313.0, "text": " Nos dar\u00eda una forma indeterminada que es cero sobre cero si evaluamos el l\u00edmite cuando h es cero."}, {"start": 313.0, "end": 320.0, "text": " Entonces como eso no podemos dejarlo as\u00ed, no nos puede dar una forma indeterminada como cero sobre cero."}, {"start": 320.0, "end": 324.0, "text": " Podemos usar la factorizaci\u00f3n en el numerador."}, {"start": 324.0, "end": 330.0, "text": " Vemos que se puede sacar factor com\u00fan h."}, {"start": 330.0, "end": 346.0, "text": " Entonces nos queda l\u00edmite cuando h tiende a cero de h factor com\u00fan de seis x m\u00e1s tres h menos cinco y todo esto sobre h."}, {"start": 346.0, "end": 355.0, "text": " Aqu\u00ed podemos simplificar esta h y nos queda el l\u00edmite de esta expresi\u00f3n."}, {"start": 355.0, "end": 366.0, "text": " Por aqu\u00ed lo tenemos y finalmente lo que hacemos es evaluar ese l\u00edmite cuando h vale cero."}, {"start": 366.0, "end": 376.0, "text": " Nos queda entonces f' de x es igual a seis x m\u00e1s tres por cero menos cinco."}, {"start": 376.0, "end": 379.0, "text": " Vemos que h se ha cambiado por cero."}, {"start": 379.0, "end": 389.0, "text": " Finalmente esto nos queda seis x menos cinco puesto que este t\u00e9rmino se convierte en cero."}, {"start": 389.0, "end": 404.0, "text": " Esta ser\u00eda la derivada entonces para esta funci\u00f3n habiendo utilizado la definici\u00f3n de derivada, es decir la definici\u00f3n por el l\u00edmite."}]

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POTENCIACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS - Ejercicios 1, 2 y 3

#julioprofe explica cómo resolver tres ejercicios con números enteros, aplicando las propiedades de la potenciación. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a realizar la simplificación de este ejercicio utilizando las propiedades de la potenciación. Para comenzar vamos a escribirle a este 5 el exponente 1, porque toda cantidad elevada al exponente 1 es ella misma. Entonces podemos escribirle el exponente 1. Ahora en el numerador y en el denominador tenemos la oportunidad de aplicar esta propiedad. Cuando se tiene producto o multiplicación de potencias de la misma base, entonces la propiedad dice que se deja la misma base y se suman los exponentes. Entonces podemos aplicarla aquí y también en el denominador. Nos queda en el numerador 5 elevado al exponente 13. 5 elevado al exponente 13 más 17. Y en el denominador tenemos 5 elevado al exponente 11 más 16 más 1. Allí tenemos la suma de exponentes. Vamos a resolver esas operaciones. En el numerador nos queda 5 elevado al exponente 13 más 17, que nos da 30. Y en el denominador hacemos esta suma que nos da 28. A continuación vamos a aplicar esta propiedad. Cuando tenemos un cociente o una división de potencias de la misma base, entonces conservamos la base y restamos los exponentes. Siempre el exponente de arriba menos el exponente de abajo. Entonces esto nos va a quedar como 5 elevado al exponente 30 menos 28. Aplicando esta propiedad. Resolvemos 30 menos 28 nos da 2. Y finalmente desarrollamos 5 al cuadrado. Recordemos que eso es 5 por 5 que nos da 25. Esta sería entonces la respuesta a este ejercicio. Vamos a realizar la simplificación de este ejercicio utilizando las propiedades de la potenciación. Tanto en el numerador como en el denominador observamos multiplicación o producto de potencias de la misma base. Entonces podemos aplicar esta propiedad. A a la n por a a la m es igual a a la n más m. Es decir se conserva la misma base y se suman los exponentes. Entonces esto nos va a quedar así. En el numerador menos 4 y en el exponente tenemos 6 más 5 más 20 más 3. La suma de todos los exponentes. En el denominador tenemos también base de menos 4 y la suma de esos exponentes. 8 más 19 más 4. Resolvemos ambas sumas. En el numerador nos queda 34. Y en el denominador nos queda 31. El resultado de esa suma. A continuación vamos a utilizar esta propiedad. Que dice que cuando tenemos cociente o división de potencias de la misma base. Entonces conservamos la base y restamos los exponentes. Siempre este exponente de arriba menos el exponente de abajo. Entonces aplicando esa propiedad en esa situación dejamos la misma base que es menos 4. Y nos queda 34 menos 31. Resolvemos esa resta y nos da 3. Y vamos a aplicar la propiedad que dice que si tenemos una base negativa. Elevada a un exponente ímpar. Entonces el resultado será negativo. Cuando tenemos base negativa con exponente par. El resultado es positivo. Pero entonces en este caso debemos aplicar esta propiedad. Tenemos exponente ímpar. Es decir el 3. Nos queda entonces negativo. 4 elevado al exponente 3. Es decir 4 al cubo. Negativo. Entonces finalmente. Resolvemos esta potencia. 4 al cubo. Sería 4 por 4 por 4. Es decir 64. Pero no podemos olvidar el signo negativo. Entonces el resultado de todo este ejercicio es menos 64. De esta manera terminamos. ¿Cómo podemos aplicar la potencia? Vamos a realizar la simplificación de todo este ejercicio. Utilizando las propiedades de la potenciación. Para comenzar podemos trabajar lo que tenemos dentro de los paréntesis. Aquí tenemos un producto de potencia de la misma base. Lo mismo que dentro de esos paréntesis. Entonces podemos aplicar esta propiedad. La que dice que cuando se multiplican potencias de la misma base. Entonces se conserva la base. Y se suman los exponentes. Entonces por aquí tendremos lo siguiente. Conservamos la base que es 2. Y efectuamos la suma de exponentes. 3 más 6 nos da 9. Y esto queda elevado al exponente menos 2. Esto lo vamos a dejar igual 3 a la 4 elevado al cubo. Por 3 que podríamos colocarle de una vez el exponente 1. Recordemos que todo número tiene un exponente invisible que es 1. En el denominador tendremos aquí otra vez el uso de esta propiedad. Nos quedará 2 a la 6 más 10 que es 16. Y todo esto elevado al exponente menos 1. Por aquí hacemos lo mismo. Tenemos la base que es 3. Y sumamos los exponentes. 6 más 2 es 8. 8 más 5 nos da 13. Y no podemos olvidar el exponente que tenemos por fuera. Del corchete que es el 10. Entonces ahí hemos avanzado un poco en el desarrollo de este ejercicio. Ahora vamos a aplicar esta propiedad. Cuando tenemos una potencia elevada a otro exponente. Se deja la misma base y se multiplican los exponentes. Esa situación se presenta aquí, aquí y acá. Entonces vamos a aplicar esa propiedad. Nos va a quedar entonces 2 a la 9 por menos 2. 9 por menos 2 nos da menos 18. Debemos tener presente allí la ley de los signos. Por aquí 3 se deja la misma base y se multiplican los exponentes. 4 por 3 nos da 12. Y esto multiplicado por 3 elevado al exponente 1. Todo esto sobre. Aquí tenemos 2. Dejamos la misma base y multiplicamos los exponentes. 16 por menos 1 nos da menos 16. Y esto multiplicado por 3 a la 13. Aquí simplemente quitamos el paréntesis y ya nos queda. Entonces colocamos el corchete y por fuera el exponente 10. A continuación podemos aplicar aquí nuevamente esta propiedad. Porque tenemos producto o multiplicación de potencias de la misma base. Entonces nos va a quedar de la siguiente manera. 2 a la menos 18. Eso multiplicado por 3, es decir la base se deja igual. Y sumamos los exponentes. 12 más 1 nos da 13. En el denominador sigue esto mismo. Es decir 2 a la menos 16 por 3 a la 13. Y todo eso dentro del corchete y por fuera el exponente 10. Ahora en esta expresión que tenemos dentro del corchete. Observamos que arriba y abajo está multiplicando exactamente la misma cantidad. Es 3 elevado al exponente 13. Eso nos permite simplificar ese número. Nos queda entonces 2 a la menos 18. Sobre 2 a la menos 16. Y todo eso elevado al exponente 10. A continuación podemos aplicar dentro del corchete esta propiedad. Que dice que cuando tenemos consciente de potencias de la misma base. Entonces se conserva la base y se restan los exponentes. Entonces dejamos la base que es 2. Y en ese caso debemos efectuar la siguiente resta. Menos 18 menos menos 16. Debemos tener cuidado porque se trata de una resta entre números negativos. Entonces el sustraendo debe protegerse con un paréntesis. Resolvemos esa operación. Veamos si tenemos menos 18 menos menos 16 es como si tuviéramos menos 18 más 16. Porque aquí cuando tenemos signos consecutivos o signos vecinos hacemos la ley de los signos. Menos por menos nos da más. Y ahora efectuamos esta operación. Menos 18 más 16 nos da como resultado menos 2. Entonces vamos a escribir el resultado. Nos queda 2 elevado al exponente menos 2. Y todo esto elevado al exponente 10. Borramos esto. Y ahora podemos aplicar nuevamente esta propiedad. Cuando tenemos una potencia elevada a otro exponente. Aplicamos la misma base y multiplicamos los exponentes. Esto nos queda entonces la misma base que es 2. Y multiplicamos estos dos números. Entonces menos 2 multiplicado por 10 nos da menos 20. Finalmente aplicamos la propiedad del exponente negativo. Esa propiedad dice lo siguiente. Si tenemos una potencia con exponente negativo esto es igual a 1 sobre la misma potencia. Pero ahora con exponente positivo. Entonces en ese caso nos queda 1 sobre 2 elevado al exponente 20. Vemos que cuando se ubica en el denominador la potencia entonces cambia de signo el exponente. Si ahora estaba negativo, ahora queda positivo. Allí podemos dejar la respuesta. Debido a que 2 elevado al exponente 20 es un número bastante grande. Entonces de esta manera terminamos el ejercicio.

[{"start": 0.0, "end": 7.0, "text": " Vamos a realizar la simplificaci\u00f3n de este ejercicio utilizando las propiedades de la potenciaci\u00f3n."}, {"start": 7.0, "end": 14.0, "text": " Para comenzar vamos a escribirle a este 5 el exponente 1,"}, {"start": 14.0, "end": 21.0, "text": " porque toda cantidad elevada al exponente 1 es ella misma."}, {"start": 21.0, "end": 30.0, "text": " Entonces podemos escribirle el exponente 1."}, {"start": 30.0, "end": 38.0, "text": " Ahora en el numerador y en el denominador tenemos la oportunidad de aplicar esta propiedad."}, {"start": 38.0, "end": 44.0, "text": " Cuando se tiene producto o multiplicaci\u00f3n de potencias de la misma base,"}, {"start": 44.0, "end": 53.0, "text": " entonces la propiedad dice que se deja la misma base y se suman los exponentes."}, {"start": 53.0, "end": 60.0, "text": " Entonces podemos aplicarla aqu\u00ed y tambi\u00e9n en el denominador."}, {"start": 60.0, "end": 69.0, "text": " Nos queda en el numerador 5 elevado al exponente 13."}, {"start": 69.0, "end": 76.0, "text": " 5 elevado al exponente 13 m\u00e1s 17."}, {"start": 76.0, "end": 85.0, "text": " Y en el denominador tenemos 5 elevado al exponente 11 m\u00e1s 16 m\u00e1s 1."}, {"start": 85.0, "end": 89.0, "text": " All\u00ed tenemos la suma de exponentes."}, {"start": 89.0, "end": 92.0, "text": " Vamos a resolver esas operaciones."}, {"start": 92.0, "end": 100.0, "text": " En el numerador nos queda 5 elevado al exponente 13 m\u00e1s 17, que nos da 30."}, {"start": 100.0, "end": 107.0, "text": " Y en el denominador hacemos esta suma que nos da 28."}, {"start": 107.0, "end": 112.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a aplicar esta propiedad."}, {"start": 112.0, "end": 118.0, "text": " Cuando tenemos un cociente o una divisi\u00f3n de potencias de la misma base,"}, {"start": 118.0, "end": 124.0, "text": " entonces conservamos la base y restamos los exponentes."}, {"start": 124.0, "end": 130.0, "text": " Siempre el exponente de arriba menos el exponente de abajo."}, {"start": 130.0, "end": 139.0, "text": " Entonces esto nos va a quedar como 5 elevado al exponente 30 menos 28."}, {"start": 139.0, "end": 141.0, "text": " Aplicando esta propiedad."}, {"start": 141.0, "end": 145.0, "text": " Resolvemos 30 menos 28 nos da 2."}, {"start": 145.0, "end": 149.0, "text": " Y finalmente desarrollamos 5 al cuadrado."}, {"start": 149.0, "end": 154.0, "text": " Recordemos que eso es 5 por 5 que nos da 25."}, {"start": 154.0, "end": 161.0, "text": " Esta ser\u00eda entonces la respuesta a este ejercicio."}, {"start": 165.0, "end": 173.0, "text": " Vamos a realizar la simplificaci\u00f3n de este ejercicio utilizando las propiedades de la potenciaci\u00f3n."}, {"start": 173.0, "end": 184.0, "text": " Tanto en el numerador como en el denominador observamos multiplicaci\u00f3n o producto de potencias de la misma base."}, {"start": 184.0, "end": 188.0, "text": " Entonces podemos aplicar esta propiedad."}, {"start": 188.0, "end": 196.0, "text": " A a la n por a a la m es igual a a la n m\u00e1s m."}, {"start": 196.0, "end": 203.0, "text": " Es decir se conserva la misma base y se suman los exponentes."}, {"start": 203.0, "end": 206.0, "text": " Entonces esto nos va a quedar as\u00ed."}, {"start": 206.0, "end": 215.0, "text": " En el numerador menos 4 y en el exponente tenemos 6 m\u00e1s 5 m\u00e1s 20 m\u00e1s 3."}, {"start": 215.0, "end": 218.0, "text": " La suma de todos los exponentes."}, {"start": 218.0, "end": 227.0, "text": " En el denominador tenemos tambi\u00e9n base de menos 4 y la suma de esos exponentes."}, {"start": 227.0, "end": 230.0, "text": " 8 m\u00e1s 19 m\u00e1s 4."}, {"start": 230.0, "end": 233.0, "text": " Resolvemos ambas sumas."}, {"start": 233.0, "end": 238.0, "text": " En el numerador nos queda 34."}, {"start": 238.0, "end": 243.0, "text": " Y en el denominador nos queda 31."}, {"start": 243.0, "end": 246.0, "text": " El resultado de esa suma."}, {"start": 246.0, "end": 250.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a utilizar esta propiedad."}, {"start": 250.0, "end": 257.0, "text": " Que dice que cuando tenemos cociente o divisi\u00f3n de potencias de la misma base."}, {"start": 257.0, "end": 263.0, "text": " Entonces conservamos la base y restamos los exponentes."}, {"start": 263.0, "end": 268.0, "text": " Siempre este exponente de arriba menos el exponente de abajo."}, {"start": 268.0, "end": 276.0, "text": " Entonces aplicando esa propiedad en esa situaci\u00f3n dejamos la misma base que es menos 4."}, {"start": 276.0, "end": 281.0, "text": " Y nos queda 34 menos 31."}, {"start": 281.0, "end": 286.0, "text": " Resolvemos esa resta y nos da 3."}, {"start": 286.0, "end": 292.0, "text": " Y vamos a aplicar la propiedad que dice que si tenemos una base negativa."}, {"start": 292.0, "end": 296.0, "text": " Elevada a un exponente \u00edmpar."}, {"start": 296.0, "end": 301.0, "text": " Entonces el resultado ser\u00e1 negativo."}, {"start": 301.0, "end": 305.0, "text": " Cuando tenemos base negativa con exponente par."}, {"start": 305.0, "end": 307.0, "text": " El resultado es positivo."}, {"start": 307.0, "end": 311.0, "text": " Pero entonces en este caso debemos aplicar esta propiedad."}, {"start": 311.0, "end": 313.0, "text": " Tenemos exponente \u00edmpar."}, {"start": 313.0, "end": 315.0, "text": " Es decir el 3."}, {"start": 315.0, "end": 317.0, "text": " Nos queda entonces negativo."}, {"start": 317.0, "end": 321.0, "text": " 4 elevado al exponente 3."}, {"start": 321.0, "end": 323.0, "text": " Es decir 4 al cubo."}, {"start": 323.0, "end": 324.0, "text": " Negativo."}, {"start": 324.0, "end": 326.0, "text": " Entonces finalmente."}, {"start": 326.0, "end": 328.0, "text": " Resolvemos esta potencia."}, {"start": 328.0, "end": 329.0, "text": " 4 al cubo."}, {"start": 329.0, "end": 332.0, "text": " Ser\u00eda 4 por 4 por 4."}, {"start": 332.0, "end": 334.0, "text": " Es decir 64."}, {"start": 334.0, "end": 337.0, "text": " Pero no podemos olvidar el signo negativo."}, {"start": 337.0, "end": 343.0, "text": " Entonces el resultado de todo este ejercicio es menos 64."}, {"start": 343.0, "end": 346.0, "text": " De esta manera terminamos."}, {"start": 346.0, "end": 350.0, "text": " \u00bfC\u00f3mo podemos aplicar la potencia?"}, {"start": 350.0, "end": 356.0, "text": " Vamos a realizar la simplificaci\u00f3n de todo este ejercicio."}, {"start": 356.0, "end": 359.0, "text": " Utilizando las propiedades de la potenciaci\u00f3n."}, {"start": 359.0, "end": 364.0, "text": " Para comenzar podemos trabajar lo que tenemos dentro de los par\u00e9ntesis."}, {"start": 364.0, "end": 368.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos un producto de potencia de la misma base."}, {"start": 368.0, "end": 372.0, "text": " Lo mismo que dentro de esos par\u00e9ntesis."}, {"start": 372.0, "end": 375.0, "text": " Entonces podemos aplicar esta propiedad."}, {"start": 375.0, "end": 380.0, "text": " La que dice que cuando se multiplican potencias de la misma base."}, {"start": 380.0, "end": 383.0, "text": " Entonces se conserva la base."}, {"start": 383.0, "end": 386.0, "text": " Y se suman los exponentes."}, {"start": 386.0, "end": 390.0, "text": " Entonces por aqu\u00ed tendremos lo siguiente."}, {"start": 390.0, "end": 393.0, "text": " Conservamos la base que es 2."}, {"start": 393.0, "end": 395.0, "text": " Y efectuamos la suma de exponentes."}, {"start": 395.0, "end": 398.0, "text": " 3 m\u00e1s 6 nos da 9."}, {"start": 398.0, "end": 402.0, "text": " Y esto queda elevado al exponente menos 2."}, {"start": 402.0, "end": 407.0, "text": " Esto lo vamos a dejar igual 3 a la 4 elevado al cubo."}, {"start": 407.0, "end": 413.0, "text": " Por 3 que podr\u00edamos colocarle de una vez el exponente 1."}, {"start": 413.0, "end": 419.0, "text": " Recordemos que todo n\u00famero tiene un exponente invisible que es 1."}, {"start": 419.0, "end": 424.0, "text": " En el denominador tendremos aqu\u00ed otra vez el uso de esta propiedad."}, {"start": 424.0, "end": 430.0, "text": " Nos quedar\u00e1 2 a la 6 m\u00e1s 10 que es 16."}, {"start": 430.0, "end": 435.0, "text": " Y todo esto elevado al exponente menos 1."}, {"start": 435.0, "end": 438.0, "text": " Por aqu\u00ed hacemos lo mismo."}, {"start": 438.0, "end": 441.0, "text": " Tenemos la base que es 3."}, {"start": 441.0, "end": 443.0, "text": " Y sumamos los exponentes."}, {"start": 443.0, "end": 448.0, "text": " 6 m\u00e1s 2 es 8. 8 m\u00e1s 5 nos da 13."}, {"start": 448.0, "end": 454.0, "text": " Y no podemos olvidar el exponente que tenemos por fuera."}, {"start": 454.0, "end": 457.0, "text": " Del corchete que es el 10."}, {"start": 457.0, "end": 465.0, "text": " Entonces ah\u00ed hemos avanzado un poco en el desarrollo de este ejercicio."}, {"start": 465.0, "end": 469.0, "text": " Ahora vamos a aplicar esta propiedad."}, {"start": 469.0, "end": 474.0, "text": " Cuando tenemos una potencia elevada a otro exponente."}, {"start": 474.0, "end": 480.0, "text": " Se deja la misma base y se multiplican los exponentes."}, {"start": 480.0, "end": 485.0, "text": " Esa situaci\u00f3n se presenta aqu\u00ed, aqu\u00ed y ac\u00e1."}, {"start": 485.0, "end": 489.0, "text": " Entonces vamos a aplicar esa propiedad."}, {"start": 489.0, "end": 494.0, "text": " Nos va a quedar entonces 2 a la 9 por menos 2."}, {"start": 494.0, "end": 497.0, "text": " 9 por menos 2 nos da menos 18."}, {"start": 497.0, "end": 501.0, "text": " Debemos tener presente all\u00ed la ley de los signos."}, {"start": 501.0, "end": 507.0, "text": " Por aqu\u00ed 3 se deja la misma base y se multiplican los exponentes."}, {"start": 507.0, "end": 510.0, "text": " 4 por 3 nos da 12."}, {"start": 510.0, "end": 515.0, "text": " Y esto multiplicado por 3 elevado al exponente 1."}, {"start": 515.0, "end": 518.0, "text": " Todo esto sobre."}, {"start": 518.0, "end": 520.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos 2."}, {"start": 520.0, "end": 524.0, "text": " Dejamos la misma base y multiplicamos los exponentes."}, {"start": 524.0, "end": 529.0, "text": " 16 por menos 1 nos da menos 16."}, {"start": 529.0, "end": 531.0, "text": " Y esto multiplicado por 3 a la 13."}, {"start": 531.0, "end": 536.0, "text": " Aqu\u00ed simplemente quitamos el par\u00e9ntesis y ya nos queda."}, {"start": 536.0, "end": 546.0, "text": " Entonces colocamos el corchete y por fuera el exponente 10."}, {"start": 546.0, "end": 551.0, "text": " A continuaci\u00f3n podemos aplicar aqu\u00ed nuevamente esta propiedad."}, {"start": 551.0, "end": 556.0, "text": " Porque tenemos producto o multiplicaci\u00f3n de potencias de la misma base."}, {"start": 556.0, "end": 559.0, "text": " Entonces nos va a quedar de la siguiente manera."}, {"start": 559.0, "end": 562.0, "text": " 2 a la menos 18."}, {"start": 562.0, "end": 567.0, "text": " Eso multiplicado por 3, es decir la base se deja igual."}, {"start": 567.0, "end": 569.0, "text": " Y sumamos los exponentes."}, {"start": 569.0, "end": 572.0, "text": " 12 m\u00e1s 1 nos da 13."}, {"start": 572.0, "end": 576.0, "text": " En el denominador sigue esto mismo."}, {"start": 576.0, "end": 582.0, "text": " Es decir 2 a la menos 16 por 3 a la 13."}, {"start": 582.0, "end": 591.0, "text": " Y todo eso dentro del corchete y por fuera el exponente 10."}, {"start": 591.0, "end": 596.0, "text": " Ahora en esta expresi\u00f3n que tenemos dentro del corchete."}, {"start": 596.0, "end": 602.0, "text": " Observamos que arriba y abajo est\u00e1 multiplicando exactamente la misma cantidad."}, {"start": 602.0, "end": 605.0, "text": " Es 3 elevado al exponente 13."}, {"start": 605.0, "end": 609.0, "text": " Eso nos permite simplificar ese n\u00famero."}, {"start": 609.0, "end": 614.0, "text": " Nos queda entonces 2 a la menos 18."}, {"start": 614.0, "end": 618.0, "text": " Sobre 2 a la menos 16."}, {"start": 618.0, "end": 624.0, "text": " Y todo eso elevado al exponente 10."}, {"start": 624.0, "end": 631.0, "text": " A continuaci\u00f3n podemos aplicar dentro del corchete esta propiedad."}, {"start": 631.0, "end": 636.0, "text": " Que dice que cuando tenemos consciente de potencias de la misma base."}, {"start": 636.0, "end": 641.0, "text": " Entonces se conserva la base y se restan los exponentes."}, {"start": 641.0, "end": 645.0, "text": " Entonces dejamos la base que es 2."}, {"start": 645.0, "end": 649.0, "text": " Y en ese caso debemos efectuar la siguiente resta."}, {"start": 649.0, "end": 653.0, "text": " Menos 18 menos menos 16."}, {"start": 653.0, "end": 660.0, "text": " Debemos tener cuidado porque se trata de una resta entre n\u00fameros negativos."}, {"start": 660.0, "end": 666.0, "text": " Entonces el sustraendo debe protegerse con un par\u00e9ntesis."}, {"start": 666.0, "end": 668.0, "text": " Resolvemos esa operaci\u00f3n."}, {"start": 668.0, "end": 677.0, "text": " Veamos si tenemos menos 18 menos menos 16 es como si tuvi\u00e9ramos menos 18 m\u00e1s 16."}, {"start": 677.0, "end": 685.0, "text": " Porque aqu\u00ed cuando tenemos signos consecutivos o signos vecinos hacemos la ley de los signos."}, {"start": 685.0, "end": 688.0, "text": " Menos por menos nos da m\u00e1s."}, {"start": 688.0, "end": 691.0, "text": " Y ahora efectuamos esta operaci\u00f3n."}, {"start": 691.0, "end": 697.0, "text": " Menos 18 m\u00e1s 16 nos da como resultado menos 2."}, {"start": 697.0, "end": 701.0, "text": " Entonces vamos a escribir el resultado."}, {"start": 701.0, "end": 708.0, "text": " Nos queda 2 elevado al exponente menos 2."}, {"start": 708.0, "end": 713.0, "text": " Y todo esto elevado al exponente 10."}, {"start": 713.0, "end": 715.0, "text": " Borramos esto."}, {"start": 715.0, "end": 721.0, "text": " Y ahora podemos aplicar nuevamente esta propiedad."}, {"start": 721.0, "end": 725.0, "text": " Cuando tenemos una potencia elevada a otro exponente."}, {"start": 725.0, "end": 730.0, "text": " Aplicamos la misma base y multiplicamos los exponentes."}, {"start": 730.0, "end": 733.0, "text": " Esto nos queda entonces la misma base que es 2."}, {"start": 733.0, "end": 735.0, "text": " Y multiplicamos estos dos n\u00fameros."}, {"start": 735.0, "end": 741.0, "text": " Entonces menos 2 multiplicado por 10 nos da menos 20."}, {"start": 741.0, "end": 745.0, "text": " Finalmente aplicamos la propiedad del exponente negativo."}, {"start": 745.0, "end": 748.0, "text": " Esa propiedad dice lo siguiente."}, {"start": 748.0, "end": 757.0, "text": " Si tenemos una potencia con exponente negativo esto es igual a 1 sobre la misma potencia."}, {"start": 757.0, "end": 760.0, "text": " Pero ahora con exponente positivo."}, {"start": 760.0, "end": 769.0, "text": " Entonces en ese caso nos queda 1 sobre 2 elevado al exponente 20."}, {"start": 769.0, "end": 777.0, "text": " Vemos que cuando se ubica en el denominador la potencia entonces cambia de signo el exponente."}, {"start": 777.0, "end": 780.0, "text": " Si ahora estaba negativo, ahora queda positivo."}, {"start": 780.0, "end": 782.0, "text": " All\u00ed podemos dejar la respuesta."}, {"start": 782.0, "end": 788.0, "text": " Debido a que 2 elevado al exponente 20 es un n\u00famero bastante grande."}, {"start": 788.0, "end": 808.0, "text": " Entonces de esta manera terminamos el ejercicio."}]

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ECUACIONES CUADRÁTICAS POR FACTORIZACIÓN - Ejercicio 3

#julioprofe explica cómo resolver una ecuación que se convierte en cuadrática o de segundo grado, usando la factorización. Tema: #EcuacionesCuadráticas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEpWydxanXYPVtKm67Wn9HN REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver esta ecuación y comenzamos por establecer lo que se llaman las restricciones para la variable X. Esto debemos hacerlo porque observamos que la X se encuentra en los denominadores de estas dos expresiones. Por lo tanto, aquí X menos 4 debe ser diferente de 0 y acá X debe ser diferente de 0. Por acá obtenemos que X debe ser diferente de 4. Pasamos el 4 que está restando a sumar en el lado derecho. Nos queda entonces la prohibición para X que sea 4 y 0. Luego, como restricciones, tenemos que X debe ser diferente de los valores 0 y 4 en esa ecuación. Anotamos por acá la restricción y ahora sí podemos comenzar a desarrollar esa expresión. Tenemos una suma de fracciones de distinto denominador. Vamos a utilizar este modelo que es la manera más elemental de hacer una suma de fracciones heterogéneas. Abajo tenemos B por D, arriba tendremos A por D más B por C. Es lo que se conoce como la suma en cruz. Entonces, en este caso nos va a quedar de la siguiente manera. En el denominador X menos 4 que multiplica con X. Estos binomios deben protegerse con paréntesis. Arriba nos queda 3 por X, es decir, 3X, más X menos 4 en paréntesis que multiplica con X menos 3 también en paréntesis. Y todo esto igual a 2. En el numerador nos queda 3X más, aquí hacemos la multiplicación de esos dos binomios. Hacemos propiedad distributiva. Entonces, X por X, X al cuadrado. X por menos 3 da menos 3X. Menos 4 por X da menos 4X. Y menos 4 por menos 3 nos da más 12. En el denominador también hacemos propiedad distributiva. Entra esta X, entonces, X por X, X al cuadrado. Y X por menos 4 nos da menos 4X. Todo esto igualado a 2. En el numerador observamos que este término se puede cancelar con este. Son términos opuestos. Entonces, 3X y menos 3X se suman 0. Y nos queda X al cuadrado menos 4X más 12. Todo esto sobre X al cuadrado menos 4X igualado a 2. Aquí debemos tener cuidado con lo siguiente. Porque observemos X al cuadrado arriba y abajo y menos 4X también arriba y abajo. No podemos pensar en cancelar esos términos. Eso sería un error fatal para este ejercicio. No se puede porque arriba vemos operaciones de resta y suma. Y abajo tenemos resta. Entonces, no es permitido hacer ese tipo de cancelaciones. Lo correcto es pasar esta expresión que está dividiendo al otro lado a multiplicar con el 2. Entonces, nos queda X al cuadrado menos 4X más 12 igual a 2 que multiplica a esta expresión. Y ya debe protegerse con paréntesis por tratarse de un binomio. Ahora, en el lado derecho vamos a hacer propiedad distributiva con el 2. Nos queda X al cuadrado menos 4X más 12 igual a 2X al cuadrado menos 8X distribuyendo el número 2. Esto toma la forma de ecuación cuadrática. Entonces, vamos a pasar esos términos para el lado izquierdo para que acá nos quede 0. Entonces, queda X al cuadrado menos 4X más 12 menos 2X al cuadrado más 8X igual a 0. Operamos términos semejantes. Vemos por ejemplo X al cuadrado semejante con menos 2X al cuadrado. Ellos dan como resultado menos X al cuadrado. También observamos los términos que tienen X que son menos 4X y más 8X. Ellos suman más 4X y el término independiente que es el más 12. Y esto igualado a 0. No es usual que la ecuación cuadrática inicie con signo negativo. Eso se puede corregir multiplicando la ecuación ambos lados por menos 1. De esa manera nos cambian todos los signos del lado izquierdo y del lado derecho sigue el 0 porque 0 por menos 1 da 0. Llegamos a una ecuación cuadrática. Recordemos que una ecuación cuadrática tiene la forma AX al cuadrado más BX más C igual a 0. Y tenemos la opción de resolverla por factorización, por fórmula cuadrática o también podríamos hacerlo por completación de cuadrados. Vamos a resolverla por factorización debido a que este trinomio es fácilmente factorizable. Utilizamos el caso llamado trinomio de la forma X a la 2N más BX a la N más C. Entonces la factorización de ese trinomio nos queda así. Abrimos dos paréntesis. Sacamos la raíz cuadrada de X cuadrado que es X. Cuadramos los signos. Más por menos nos da menos. Menos por menos nos da más. Buscamos dos números que multiplicados nos den menos 12 y que sumados entre sí nos den menos 4. Aquí tenemos una pista. Uno de ellos es negativo y el otro es positivo. Esos números son menos 6 y más 2. Podemos verificar. Menos 6 por 2 nos da menos 12 y menos 6 más 2 nos da menos 4. Esos son los números buscados y todo esto está igualado a cero. Ahora resolvemos esto que nos quedó utilizando el teorema del factor nulo que dice lo siguiente. Si A por B es igual a cero, entonces A es igual a cero o B es igual a cero. Cada una de las dos expresiones debe igualarse a cero. Entonces tenemos X menos 6 es igual a cero o X más 2 es igual a cero. Apoyándonos en este teorema. Ahora en cada caso despejamos X. Por aquí obtenemos que X es igual a 6 y por acá obtenemos X igual a menos 2. Estas son las dos soluciones de esa ecuación. Pero debemos fijarnos que no estén aquí en las restricciones. Vemos que no está ni cero ni cuatro. Por lo tanto ambos valores se aceptan. Porque no están prohibidos para X. Entonces la respuesta para esta ecuación es que el conjunto solución, es decir, los valores que puede tomar X para que esa ecuación sea cierta son menos 2 y 6.

[{"start": 0.0, "end": 10.0, "text": " Vamos a resolver esta ecuaci\u00f3n y comenzamos por establecer lo que se llaman las restricciones para la variable X."}, {"start": 10.0, "end": 20.0, "text": " Esto debemos hacerlo porque observamos que la X se encuentra en los denominadores de estas dos expresiones."}, {"start": 20.0, "end": 30.0, "text": " Por lo tanto, aqu\u00ed X menos 4 debe ser diferente de 0 y ac\u00e1 X debe ser diferente de 0."}, {"start": 30.0, "end": 35.0, "text": " Por ac\u00e1 obtenemos que X debe ser diferente de 4."}, {"start": 35.0, "end": 39.0, "text": " Pasamos el 4 que est\u00e1 restando a sumar en el lado derecho."}, {"start": 39.0, "end": 47.0, "text": " Nos queda entonces la prohibici\u00f3n para X que sea 4 y 0."}, {"start": 47.0, "end": 58.0, "text": " Luego, como restricciones, tenemos que X debe ser diferente de los valores 0 y 4 en esa ecuaci\u00f3n."}, {"start": 58.0, "end": 67.0, "text": " Anotamos por ac\u00e1 la restricci\u00f3n y ahora s\u00ed podemos comenzar a desarrollar esa expresi\u00f3n."}, {"start": 67.0, "end": 71.0, "text": " Tenemos una suma de fracciones de distinto denominador."}, {"start": 71.0, "end": 81.0, "text": " Vamos a utilizar este modelo que es la manera m\u00e1s elemental de hacer una suma de fracciones heterog\u00e9neas."}, {"start": 81.0, "end": 91.0, "text": " Abajo tenemos B por D, arriba tendremos A por D m\u00e1s B por C."}, {"start": 91.0, "end": 95.0, "text": " Es lo que se conoce como la suma en cruz."}, {"start": 95.0, "end": 100.0, "text": " Entonces, en este caso nos va a quedar de la siguiente manera."}, {"start": 100.0, "end": 105.0, "text": " En el denominador X menos 4 que multiplica con X."}, {"start": 105.0, "end": 109.0, "text": " Estos binomios deben protegerse con par\u00e9ntesis."}, {"start": 109.0, "end": 123.0, "text": " Arriba nos queda 3 por X, es decir, 3X, m\u00e1s X menos 4 en par\u00e9ntesis que multiplica con X menos 3 tambi\u00e9n en par\u00e9ntesis."}, {"start": 123.0, "end": 126.0, "text": " Y todo esto igual a 2."}, {"start": 126.0, "end": 134.0, "text": " En el numerador nos queda 3X m\u00e1s, aqu\u00ed hacemos la multiplicaci\u00f3n de esos dos binomios."}, {"start": 134.0, "end": 136.0, "text": " Hacemos propiedad distributiva."}, {"start": 136.0, "end": 139.0, "text": " Entonces, X por X, X al cuadrado."}, {"start": 139.0, "end": 143.0, "text": " X por menos 3 da menos 3X."}, {"start": 143.0, "end": 148.0, "text": " Menos 4 por X da menos 4X."}, {"start": 148.0, "end": 153.0, "text": " Y menos 4 por menos 3 nos da m\u00e1s 12."}, {"start": 153.0, "end": 157.0, "text": " En el denominador tambi\u00e9n hacemos propiedad distributiva."}, {"start": 157.0, "end": 163.0, "text": " Entra esta X, entonces, X por X, X al cuadrado."}, {"start": 163.0, "end": 167.0, "text": " Y X por menos 4 nos da menos 4X."}, {"start": 167.0, "end": 171.0, "text": " Todo esto igualado a 2."}, {"start": 171.0, "end": 176.0, "text": " En el numerador observamos que este t\u00e9rmino se puede cancelar con este."}, {"start": 176.0, "end": 178.0, "text": " Son t\u00e9rminos opuestos."}, {"start": 178.0, "end": 183.0, "text": " Entonces, 3X y menos 3X se suman 0."}, {"start": 183.0, "end": 190.0, "text": " Y nos queda X al cuadrado menos 4X m\u00e1s 12."}, {"start": 190.0, "end": 199.0, "text": " Todo esto sobre X al cuadrado menos 4X igualado a 2."}, {"start": 199.0, "end": 203.0, "text": " Aqu\u00ed debemos tener cuidado con lo siguiente."}, {"start": 203.0, "end": 209.0, "text": " Porque observemos X al cuadrado arriba y abajo y menos 4X tambi\u00e9n arriba y abajo."}, {"start": 209.0, "end": 212.0, "text": " No podemos pensar en cancelar esos t\u00e9rminos."}, {"start": 212.0, "end": 215.0, "text": " Eso ser\u00eda un error fatal para este ejercicio."}, {"start": 215.0, "end": 221.0, "text": " No se puede porque arriba vemos operaciones de resta y suma."}, {"start": 221.0, "end": 223.0, "text": " Y abajo tenemos resta."}, {"start": 223.0, "end": 227.0, "text": " Entonces, no es permitido hacer ese tipo de cancelaciones."}, {"start": 227.0, "end": 235.0, "text": " Lo correcto es pasar esta expresi\u00f3n que est\u00e1 dividiendo al otro lado a multiplicar con el 2."}, {"start": 235.0, "end": 247.0, "text": " Entonces, nos queda X al cuadrado menos 4X m\u00e1s 12 igual a 2 que multiplica a esta expresi\u00f3n."}, {"start": 247.0, "end": 254.0, "text": " Y ya debe protegerse con par\u00e9ntesis por tratarse de un binomio."}, {"start": 254.0, "end": 259.0, "text": " Ahora, en el lado derecho vamos a hacer propiedad distributiva con el 2."}, {"start": 259.0, "end": 272.0, "text": " Nos queda X al cuadrado menos 4X m\u00e1s 12 igual a 2X al cuadrado menos 8X distribuyendo el n\u00famero 2."}, {"start": 272.0, "end": 276.0, "text": " Esto toma la forma de ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica."}, {"start": 276.0, "end": 282.0, "text": " Entonces, vamos a pasar esos t\u00e9rminos para el lado izquierdo para que ac\u00e1 nos quede 0."}, {"start": 282.0, "end": 294.0, "text": " Entonces, queda X al cuadrado menos 4X m\u00e1s 12 menos 2X al cuadrado m\u00e1s 8X igual a 0."}, {"start": 294.0, "end": 297.0, "text": " Operamos t\u00e9rminos semejantes."}, {"start": 297.0, "end": 302.0, "text": " Vemos por ejemplo X al cuadrado semejante con menos 2X al cuadrado."}, {"start": 302.0, "end": 306.0, "text": " Ellos dan como resultado menos X al cuadrado."}, {"start": 306.0, "end": 314.0, "text": " Tambi\u00e9n observamos los t\u00e9rminos que tienen X que son menos 4X y m\u00e1s 8X."}, {"start": 314.0, "end": 323.0, "text": " Ellos suman m\u00e1s 4X y el t\u00e9rmino independiente que es el m\u00e1s 12."}, {"start": 323.0, "end": 325.0, "text": " Y esto igualado a 0."}, {"start": 325.0, "end": 330.0, "text": " No es usual que la ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica inicie con signo negativo."}, {"start": 330.0, "end": 336.0, "text": " Eso se puede corregir multiplicando la ecuaci\u00f3n ambos lados por menos 1."}, {"start": 336.0, "end": 349.0, "text": " De esa manera nos cambian todos los signos del lado izquierdo y del lado derecho sigue el 0 porque 0 por menos 1 da 0."}, {"start": 349.0, "end": 351.0, "text": " Llegamos a una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica."}, {"start": 351.0, "end": 361.0, "text": " Recordemos que una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica tiene la forma AX al cuadrado m\u00e1s BX m\u00e1s C igual a 0."}, {"start": 361.0, "end": 370.0, "text": " Y tenemos la opci\u00f3n de resolverla por factorizaci\u00f3n, por f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica o tambi\u00e9n podr\u00edamos hacerlo por completaci\u00f3n de cuadrados."}, {"start": 370.0, "end": 379.0, "text": " Vamos a resolverla por factorizaci\u00f3n debido a que este trinomio es f\u00e1cilmente factorizable."}, {"start": 379.0, "end": 387.0, "text": " Utilizamos el caso llamado trinomio de la forma X a la 2N m\u00e1s BX a la N m\u00e1s C."}, {"start": 387.0, "end": 391.0, "text": " Entonces la factorizaci\u00f3n de ese trinomio nos queda as\u00ed."}, {"start": 391.0, "end": 393.0, "text": " Abrimos dos par\u00e9ntesis."}, {"start": 393.0, "end": 398.0, "text": " Sacamos la ra\u00edz cuadrada de X cuadrado que es X."}, {"start": 398.0, "end": 400.0, "text": " Cuadramos los signos."}, {"start": 400.0, "end": 402.0, "text": " M\u00e1s por menos nos da menos."}, {"start": 402.0, "end": 405.0, "text": " Menos por menos nos da m\u00e1s."}, {"start": 405.0, "end": 412.0, "text": " Buscamos dos n\u00fameros que multiplicados nos den menos 12 y que sumados entre s\u00ed nos den menos 4."}, {"start": 412.0, "end": 414.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos una pista."}, {"start": 414.0, "end": 417.0, "text": " Uno de ellos es negativo y el otro es positivo."}, {"start": 417.0, "end": 421.0, "text": " Esos n\u00fameros son menos 6 y m\u00e1s 2."}, {"start": 421.0, "end": 423.0, "text": " Podemos verificar."}, {"start": 423.0, "end": 429.0, "text": " Menos 6 por 2 nos da menos 12 y menos 6 m\u00e1s 2 nos da menos 4."}, {"start": 429.0, "end": 435.0, "text": " Esos son los n\u00fameros buscados y todo esto est\u00e1 igualado a cero."}, {"start": 435.0, "end": 450.0, "text": " Ahora resolvemos esto que nos qued\u00f3 utilizando el teorema del factor nulo que dice lo siguiente."}, {"start": 450.0, "end": 462.0, "text": " Si A por B es igual a cero, entonces A es igual a cero o B es igual a cero."}, {"start": 462.0, "end": 467.0, "text": " Cada una de las dos expresiones debe igualarse a cero."}, {"start": 467.0, "end": 476.0, "text": " Entonces tenemos X menos 6 es igual a cero o X m\u00e1s 2 es igual a cero."}, {"start": 476.0, "end": 480.0, "text": " Apoy\u00e1ndonos en este teorema."}, {"start": 480.0, "end": 483.0, "text": " Ahora en cada caso despejamos X."}, {"start": 483.0, "end": 492.0, "text": " Por aqu\u00ed obtenemos que X es igual a 6 y por ac\u00e1 obtenemos X igual a menos 2."}, {"start": 492.0, "end": 499.0, "text": " Estas son las dos soluciones de esa ecuaci\u00f3n."}, {"start": 499.0, "end": 505.0, "text": " Pero debemos fijarnos que no est\u00e9n aqu\u00ed en las restricciones."}, {"start": 505.0, "end": 508.0, "text": " Vemos que no est\u00e1 ni cero ni cuatro."}, {"start": 508.0, "end": 512.0, "text": " Por lo tanto ambos valores se aceptan."}, {"start": 512.0, "end": 515.0, "text": " Porque no est\u00e1n prohibidos para X."}, {"start": 515.0, "end": 522.0, "text": " Entonces la respuesta para esta ecuaci\u00f3n es que el conjunto soluci\u00f3n,"}, {"start": 522.0, "end": 535.0, "text": " es decir, los valores que puede tomar X para que esa ecuaci\u00f3n sea cierta son menos 2 y 6."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=-AR42voyFuQ

CONVERSIÓN DE RADIANES A GRADOS - Ejercicio 4

#julioprofe explica cómo convertir la medida de un ángulo de radianes a grados. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a convertir un ángulo de 7 epitercios radianes en grados. Para ello, tomamos el valor que nos dan 7 epitercios radianes y multiplicamos por el factor de conversión que nos permite pasar de radianes a grados. Escribimos radianes en la parte de abajo para que se nos cancele con radianes y acá arriba el símbolo de los grados. La equivalencia numérica entre radianes y grados dice que pi radianes equivale a 180 grados. Esa es la regla que debemos aprendernos. Pi radianes es equivalente a 180 grados. De esa manera conseguimos eliminar radianes y también eliminar pi. Lo que nos queda ya es una operación numérica. Arriba tendríamos 7 por 180 grados y todo esto dividido entre 3. Podemos simplificar 180 con 3. Sacamos tercera de 3, 1. Tercera de 180 nos da 60. La operación final es 7 por 60 que nos da un total de 420 grados. Por lo tanto, 7 pi tercios radianes es un ángulo equivalente a 420 grados.

[{"start": 0.0, "end": 6.0, "text": " Vamos a convertir un \u00e1ngulo de 7 epitercios radianes en grados."}, {"start": 6.0, "end": 12.0, "text": " Para ello, tomamos el valor que nos dan 7 epitercios radianes"}, {"start": 12.0, "end": 19.0, "text": " y multiplicamos por el factor de conversi\u00f3n que nos permite pasar de radianes a grados."}, {"start": 19.0, "end": 24.0, "text": " Escribimos radianes en la parte de abajo para que se nos cancele con radianes"}, {"start": 24.0, "end": 28.0, "text": " y ac\u00e1 arriba el s\u00edmbolo de los grados."}, {"start": 28.0, "end": 38.0, "text": " La equivalencia num\u00e9rica entre radianes y grados dice que pi radianes equivale a 180 grados."}, {"start": 38.0, "end": 43.0, "text": " Esa es la regla que debemos aprendernos."}, {"start": 43.0, "end": 49.0, "text": " Pi radianes es equivalente a 180 grados."}, {"start": 49.0, "end": 57.0, "text": " De esa manera conseguimos eliminar radianes y tambi\u00e9n eliminar pi."}, {"start": 57.0, "end": 62.0, "text": " Lo que nos queda ya es una operaci\u00f3n num\u00e9rica."}, {"start": 62.0, "end": 69.0, "text": " Arriba tendr\u00edamos 7 por 180 grados y todo esto dividido entre 3."}, {"start": 69.0, "end": 73.0, "text": " Podemos simplificar 180 con 3."}, {"start": 73.0, "end": 77.0, "text": " Sacamos tercera de 3, 1."}, {"start": 77.0, "end": 81.0, "text": " Tercera de 180 nos da 60."}, {"start": 81.0, "end": 90.0, "text": " La operaci\u00f3n final es 7 por 60 que nos da un total de 420 grados."}, {"start": 90.0, "end": 112.0, "text": " Por lo tanto, 7 pi tercios radianes es un \u00e1ngulo equivalente a 420 grados."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=4L6H9sEnmyg

TEOREMA DE THALES - Parte 2 (EJEMPLO)

#julioprofe expone un ejemplo donde se utiliza el Teorema de Thales. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

¿Qué es el segmento de la F? Supongamos que en esta figura nos dicen que las tres rectas L1, L2, L3 son paralelas, que tenemos dos transversales T1 y T2, y que el segmento AB mide 6 unidades, el segmento BC mide 9 unidades, y el segmento EF mide 21 unidades. Y nos preguntan cuanto mide el segmento DE. Entonces allí es cuando podemos utilizar el teorema de Thales. Decimos que el segmento AB es el segmento BC, como el segmento DE es el segmento EF. Y a continuación sustituimos los valores. Entonces AB vale 6, el segmento BC vale 9, el segmento DE no lo conocemos, allí colocamos la X, y el segmento EF vale 21. Y allí aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones, que dice que el producto de los extremos es igual al producto de los medios. Entonces 6 por 21 es igual a 9 por X. Allí tenemos producto de extremos igual a producto de medios, que es la propiedad que cumplen todas las proporciones. Y allí despejamos X, el 9 que se encuentra multiplicando con X pasa al otro lado a dividir, nos queda entonces así. Y allí podemos usar la simplificación. Por ejemplo podríamos sacar tercera de 9, que nos da 3, tercera de 21 que nos da 7. Y al 3 y al 6 podemos sacarle nuevamente tercera. Tercera de 3 es 1, tercera de 6 nos da 2. Que nos queda en definitiva 7 por 2 que es 14, el denominador 1 lo podemos despreciar y nos queda entonces como resultado X es igual a 14. De esta manera hemos encontrado el valor del segmento D en 14 unidades utilizando el teorema de Tarras.

[{"start": 0.0, "end": 7.0, "text": " \u00bfQu\u00e9 es el segmento de la F?"}, {"start": 7.0, "end": 16.0, "text": " Supongamos que en esta figura nos dicen que las tres rectas L1, L2, L3 son paralelas, que tenemos dos transversales T1 y T2,"}, {"start": 16.0, "end": 28.0, "text": " y que el segmento AB mide 6 unidades, el segmento BC mide 9 unidades, y el segmento EF mide 21 unidades."}, {"start": 28.0, "end": 38.0, "text": " Y nos preguntan cuanto mide el segmento DE. Entonces all\u00ed es cuando podemos utilizar el teorema de Thales."}, {"start": 38.0, "end": 51.0, "text": " Decimos que el segmento AB es el segmento BC, como el segmento DE es el segmento EF."}, {"start": 51.0, "end": 67.0, "text": " Y a continuaci\u00f3n sustituimos los valores. Entonces AB vale 6, el segmento BC vale 9, el segmento DE no lo conocemos, all\u00ed colocamos la X,"}, {"start": 67.0, "end": 80.0, "text": " y el segmento EF vale 21. Y all\u00ed aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones, que dice que el producto de los extremos es igual al producto de los medios."}, {"start": 80.0, "end": 95.0, "text": " Entonces 6 por 21 es igual a 9 por X. All\u00ed tenemos producto de extremos igual a producto de medios, que es la propiedad que cumplen todas las proporciones."}, {"start": 95.0, "end": 106.0, "text": " Y all\u00ed despejamos X, el 9 que se encuentra multiplicando con X pasa al otro lado a dividir, nos queda entonces as\u00ed."}, {"start": 106.0, "end": 116.0, "text": " Y all\u00ed podemos usar la simplificaci\u00f3n. Por ejemplo podr\u00edamos sacar tercera de 9, que nos da 3, tercera de 21 que nos da 7."}, {"start": 116.0, "end": 126.0, "text": " Y al 3 y al 6 podemos sacarle nuevamente tercera. Tercera de 3 es 1, tercera de 6 nos da 2."}, {"start": 126.0, "end": 139.0, "text": " Que nos queda en definitiva 7 por 2 que es 14, el denominador 1 lo podemos despreciar y nos queda entonces como resultado X es igual a 14."}, {"start": 139.0, "end": 156.0, "text": " De esta manera hemos encontrado el valor del segmento D en 14 unidades utilizando el teorema de Tarras."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=YvUwxGs8n30

TEOREMA DE THALES - Parte 1 (DEMOSTRACIÓN)

#julioprofe hace la demostración del Teorema de Thales. En la segunda parte, hace un ejemplo donde se utiliza dicho teorema. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

En esta figura podemos apreciar dos líneas rectas paralelas que vamos a llamar L1 y L2. Se simbolizan así. L1 es paralela a L2. Y tenemos una recta que atraviesa o corta las dos rectas paralelas. Esta recta la vamos a llamar T. T quiere decir una transversal o secante. Así se llama porque corta las dos rectas paralelas. En esa figura se van a formar unos ángulos que son estos que vamos a señalar y que se llaman ángulos correspondientes. Vamos a llamarlos ángulos 1 y 2. Y esos ángulos tienen una característica bien especial y es que son congruentes. El ángulo 1 es congruente con el ángulo 2. Es decir, tienen la misma medida por ser ángulos correspondientes comprendidos entre paralelas. Se llaman ángulos correspondientes cuando uno está en la zona exterior de las paralelas, el otro está en la zona interior. Están del mismo lado de la transversal o secante y son ángulos que no hacen contacto entre sí. Entonces ángulo 1 congruente con ángulo 2 por ser correspondientes entre paralelas. Consideremos ahora esta figura donde observamos un triángulo grande ACE que tiene un segmento BD que se ha trazado paralelo al lado CE. Para indicar que estos dos segmentos son paralelos podemos colocar estas marquitas con unas flechitas que nos indican que los dos segmentos llevan la misma dirección. Es decir, que son paralelos. Si consideramos este segmento ACE como si fuera un ACEcante o transversal que corta estas dos paralelas, entonces podemos decir que estos dos ángulos son ángulos correspondientes entre paralelas y por lo tanto son congruentes. Entonces podemos colocar esas marquitas. Lo mismo sucede en este lado. Si consideramos ACE como una ACEcante o transversal que corta las dos paralelas, entonces tenemos que este ángulo es congruente con este por ser ángulos correspondientes entre paralelas. Este ángulo que se forma en el vértice A, este ángulo de aquí, será un ángulo común para el triángulo pequeño, el triángulo ABD y el triángulo grande. Es un ángulo compartido por los dos triángulos. Le pertenece a los dos. Como paso siguiente separamos los dos triángulos. Aquí observamos el pequeño, el triángulo ABD y aquí tenemos el grande ACE. Y observamos los ángulos marcados con los mismos colores y señales que habíamos colocado en esta figura. Entonces vemos dos triángulos que tienen exactamente los mismos ángulos. Por lo tanto estos dos triángulos son triángulos semejantes y se escribe de la siguiente manera. El triángulo ABD es semejante con el triángulo ACE. Y la justificación es el criterio opostulado llamado ángulo, ángulo, ángulo. Si dos triángulos tienen exactamente los mismos ángulos entonces son semejantes. Como los triángulos son semejantes entonces podemos armar una proporción comparando lados correspondientes. Por ejemplo, decimos que el lado AB es al lado AC como el lado AD es al lado AE. Allí tenemos entonces una proporción, recordemos que eso es la igualdad de dos razones. Y una razón es la comparación de dos cantidades. Ahí lo que estamos haciendo es comparar lados correspondientes y vemos que guardan la misma relación. En una proporción los términos que tenemos en la parte de arriba se llaman antecedentes y los que tenemos en la parte de abajo se llaman consecuentes. La propiedad de las proporciones dice que podemos invertir las dos razones, es decir, trasladar los consecuentes arriba y los antecedentes abajo. Entonces nos queda la proporción escrita de esta manera. Simplemente invertimos ambas razones y la igualdad se sigue conservando. Ahora vamos a hacer lo siguiente, vamos a expresar AC, todo este segmento, como la suma de AB más BC. Vamos a continuarlo por acá. Entonces AC será la suma de AB con BC y todo esto queda sobre AB. Y al otro lado vamos a hacer algo similar, el segmento AE que es todo este, vamos a expresarlo como la suma de AD más DE. Entonces AD más DE y todo esto sobre el segmento AD que queda igual. Ahora vamos a hacer lo siguiente, en cada miembro de la igualdad vamos a repartir el denominador para cada uno de los términos que tenemos en el numerador. Nos queda entonces AB sobre AB más BC sobre AB igual a AD sobre AD más DE sobre AD. Y entonces tenemos aquí el caso de fracciones donde el numerador es igual al denominador. Luego estas fracciones equivalen a la unidad, equivalen a 1. Y esto nos queda como 1 más BC sobre AB igual a 1 más DE sobre AD. Por estar el uno sumando a ambos lados de la igualdad podemos eliminarlo. Y nos queda que BC es a AB como DE es igual a AD. Finalmente vamos a invertir nuevamente ambas razones. Nos queda entonces que AB es a BC como AD es a DE. Entonces de esta manera llegamos a una propiedad que es bastante útil para lo que queremos demostrar en este video que es el teorima de Tales. En esa figura donde tenemos un triángulo con dos lados paralelos entonces se cumple esto. Que este segmento es a este como este es a este. Es decir, los segmentos en que quedan divididos los lados que son cortados por la paralela a la base guardan una proporción. Ahora consideremos el siguiente caso. Tenemos tres rectas paralelas entre sí que vamos a llamar las rectas L1, L2 y L3. Y dos rectas que son secantes o transversales. Y vamos a llamarlas T1 y T2. Se determinan los siguientes puntos A, B, C. Por acá tenemos D, E, I, F. Y vamos a trazar el segmento AF. Allí lo tenemos y vamos a llamar P a este punto donde ese segmento AF corta la recta L2. Ahora podemos observar una situación parecida a la que acabamos de demostrar. Tenemos el triángulo ACF con un segmento BP paralelo ACF. Por lo tanto podemos hacer uso de la proporción que demostramos. Entonces decimos AB es ABC como AP es al segmento BF. Eso se está cumpliendo en esta figura que tenemos aquí con BP paralelo ACF. Y una situación similar se presenta aquí en este triángulo ADF. Donde el segmento PE es paralelo al segmento AD. Por lo tanto también podemos hacer uso de la relación que ya demostramos. Podemos decir entonces que el segmento FP es al segmento PA como el segmento FE es al segmento ET. Y tenemos otra proporción. Vamos entonces a cambiar el orden de las letras en esta última proporción. Vamos a llamar en lugar de FP, lo llamamos el segmento PF. Abajo lo cambiamos por AP, acá EF y por acá DE. Y vamos a invertir los elementos de esta proporción. Vamos a pasar los consecuentes arriba y los antecedentes abajo. Nos queda entonces que AP es APF como DE es AEF. Y podemos observar una relación entre esta proporción y esta que tenemos acá. La relación es que tenemos una razón en común. Se trata de esta de aquí. Entonces esta razón se convierte en una especie de puente entre esta igualdad y esta de acá. Si esto es igual a esto y esto que tenemos acá es igual a esto, entonces podemos afirmar que esto es igual a esto. Es lo que se conoce en geometría como la propiedad transitiva. Entonces nos queda que AB es ACB como DE es AEF. Y esa es la relación que se obtiene del teorema de Thales. Vamos entonces a enunciar ese teorema y vamos a mirarlo en la figura. El teorema de Thales de Mileto, un gran matemático griego que vivió por allá en el siglo IV a.C., dice así. Si varias rectas paralelas son cortadas por dos secantes, entonces los segmentos determinados sobre las secantes son proporcionales. Entonces aquí tenemos esa situación. Tenemos tres rectas paralelas cortadas por dos secantes o transversales. Entonces los segmentos que se forman sobre dichas secantes guardan una proporción. Entonces lo que te mostramos hace un momento, el segmento AB es al segmento BC como el segmento DE es al segmento EF. Esto es lo que nos dice el teorema de Thales.

[{"start": 0.0, "end": 9.0, "text": " En esta figura podemos apreciar dos l\u00edneas rectas paralelas que vamos a llamar L1 y L2."}, {"start": 9.0, "end": 16.0, "text": " Se simbolizan as\u00ed. L1 es paralela a L2."}, {"start": 16.0, "end": 23.0, "text": " Y tenemos una recta que atraviesa o corta las dos rectas paralelas."}, {"start": 23.0, "end": 34.0, "text": " Esta recta la vamos a llamar T. T quiere decir una transversal o secante."}, {"start": 34.0, "end": 40.0, "text": " As\u00ed se llama porque corta las dos rectas paralelas."}, {"start": 40.0, "end": 51.0, "text": " En esa figura se van a formar unos \u00e1ngulos que son estos que vamos a se\u00f1alar y que se llaman \u00e1ngulos correspondientes."}, {"start": 51.0, "end": 56.0, "text": " Vamos a llamarlos \u00e1ngulos 1 y 2."}, {"start": 56.0, "end": 63.0, "text": " Y esos \u00e1ngulos tienen una caracter\u00edstica bien especial y es que son congruentes."}, {"start": 63.0, "end": 68.0, "text": " El \u00e1ngulo 1 es congruente con el \u00e1ngulo 2."}, {"start": 68.0, "end": 76.0, "text": " Es decir, tienen la misma medida por ser \u00e1ngulos correspondientes comprendidos entre paralelas."}, {"start": 76.0, "end": 86.0, "text": " Se llaman \u00e1ngulos correspondientes cuando uno est\u00e1 en la zona exterior de las paralelas, el otro est\u00e1 en la zona interior."}, {"start": 86.0, "end": 94.0, "text": " Est\u00e1n del mismo lado de la transversal o secante y son \u00e1ngulos que no hacen contacto entre s\u00ed."}, {"start": 94.0, "end": 101.0, "text": " Entonces \u00e1ngulo 1 congruente con \u00e1ngulo 2 por ser correspondientes entre paralelas."}, {"start": 101.0, "end": 114.0, "text": " Consideremos ahora esta figura donde observamos un tri\u00e1ngulo grande ACE que tiene un segmento BD que se ha trazado paralelo al lado CE."}, {"start": 114.0, "end": 127.0, "text": " Para indicar que estos dos segmentos son paralelos podemos colocar estas marquitas con unas flechitas que nos indican que los dos segmentos llevan la misma direcci\u00f3n."}, {"start": 127.0, "end": 129.0, "text": " Es decir, que son paralelos."}, {"start": 129.0, "end": 137.0, "text": " Si consideramos este segmento ACE como si fuera un ACEcante o transversal que corta estas dos paralelas,"}, {"start": 137.0, "end": 147.0, "text": " entonces podemos decir que estos dos \u00e1ngulos son \u00e1ngulos correspondientes entre paralelas y por lo tanto son congruentes."}, {"start": 147.0, "end": 150.0, "text": " Entonces podemos colocar esas marquitas."}, {"start": 150.0, "end": 152.0, "text": " Lo mismo sucede en este lado."}, {"start": 152.0, "end": 168.0, "text": " Si consideramos ACE como una ACEcante o transversal que corta las dos paralelas, entonces tenemos que este \u00e1ngulo es congruente con este por ser \u00e1ngulos correspondientes entre paralelas."}, {"start": 168.0, "end": 182.0, "text": " Este \u00e1ngulo que se forma en el v\u00e9rtice A, este \u00e1ngulo de aqu\u00ed, ser\u00e1 un \u00e1ngulo com\u00fan para el tri\u00e1ngulo peque\u00f1o, el tri\u00e1ngulo ABD y el tri\u00e1ngulo grande."}, {"start": 182.0, "end": 186.0, "text": " Es un \u00e1ngulo compartido por los dos tri\u00e1ngulos."}, {"start": 186.0, "end": 188.0, "text": " Le pertenece a los dos."}, {"start": 188.0, "end": 192.0, "text": " Como paso siguiente separamos los dos tri\u00e1ngulos."}, {"start": 192.0, "end": 199.0, "text": " Aqu\u00ed observamos el peque\u00f1o, el tri\u00e1ngulo ABD y aqu\u00ed tenemos el grande ACE."}, {"start": 199.0, "end": 207.0, "text": " Y observamos los \u00e1ngulos marcados con los mismos colores y se\u00f1ales que hab\u00edamos colocado en esta figura."}, {"start": 207.0, "end": 212.0, "text": " Entonces vemos dos tri\u00e1ngulos que tienen exactamente los mismos \u00e1ngulos."}, {"start": 212.0, "end": 221.0, "text": " Por lo tanto estos dos tri\u00e1ngulos son tri\u00e1ngulos semejantes y se escribe de la siguiente manera."}, {"start": 221.0, "end": 228.0, "text": " El tri\u00e1ngulo ABD es semejante con el tri\u00e1ngulo ACE."}, {"start": 228.0, "end": 237.0, "text": " Y la justificaci\u00f3n es el criterio opostulado llamado \u00e1ngulo, \u00e1ngulo, \u00e1ngulo."}, {"start": 237.0, "end": 245.0, "text": " Si dos tri\u00e1ngulos tienen exactamente los mismos \u00e1ngulos entonces son semejantes."}, {"start": 245.0, "end": 254.0, "text": " Como los tri\u00e1ngulos son semejantes entonces podemos armar una proporci\u00f3n comparando lados correspondientes."}, {"start": 254.0, "end": 271.0, "text": " Por ejemplo, decimos que el lado AB es al lado AC como el lado AD es al lado AE."}, {"start": 271.0, "end": 278.0, "text": " All\u00ed tenemos entonces una proporci\u00f3n, recordemos que eso es la igualdad de dos razones."}, {"start": 278.0, "end": 282.0, "text": " Y una raz\u00f3n es la comparaci\u00f3n de dos cantidades."}, {"start": 282.0, "end": 289.0, "text": " Ah\u00ed lo que estamos haciendo es comparar lados correspondientes y vemos que guardan la misma relaci\u00f3n."}, {"start": 289.0, "end": 295.0, "text": " En una proporci\u00f3n los t\u00e9rminos que tenemos en la parte de arriba se llaman antecedentes"}, {"start": 295.0, "end": 299.0, "text": " y los que tenemos en la parte de abajo se llaman consecuentes."}, {"start": 299.0, "end": 305.0, "text": " La propiedad de las proporciones dice que podemos invertir las dos razones,"}, {"start": 305.0, "end": 312.0, "text": " es decir, trasladar los consecuentes arriba y los antecedentes abajo."}, {"start": 312.0, "end": 318.0, "text": " Entonces nos queda la proporci\u00f3n escrita de esta manera."}, {"start": 318.0, "end": 324.0, "text": " Simplemente invertimos ambas razones y la igualdad se sigue conservando."}, {"start": 324.0, "end": 334.0, "text": " Ahora vamos a hacer lo siguiente, vamos a expresar AC, todo este segmento, como la suma de AB m\u00e1s BC."}, {"start": 334.0, "end": 336.0, "text": " Vamos a continuarlo por ac\u00e1."}, {"start": 336.0, "end": 347.0, "text": " Entonces AC ser\u00e1 la suma de AB con BC y todo esto queda sobre AB."}, {"start": 347.0, "end": 352.0, "text": " Y al otro lado vamos a hacer algo similar, el segmento AE que es todo este,"}, {"start": 352.0, "end": 357.0, "text": " vamos a expresarlo como la suma de AD m\u00e1s DE."}, {"start": 357.0, "end": 366.0, "text": " Entonces AD m\u00e1s DE y todo esto sobre el segmento AD que queda igual."}, {"start": 366.0, "end": 372.0, "text": " Ahora vamos a hacer lo siguiente, en cada miembro de la igualdad vamos a repartir el denominador"}, {"start": 372.0, "end": 377.0, "text": " para cada uno de los t\u00e9rminos que tenemos en el numerador."}, {"start": 377.0, "end": 399.0, "text": " Nos queda entonces AB sobre AB m\u00e1s BC sobre AB igual a AD sobre AD m\u00e1s DE sobre AD."}, {"start": 399.0, "end": 406.0, "text": " Y entonces tenemos aqu\u00ed el caso de fracciones donde el numerador es igual al denominador."}, {"start": 406.0, "end": 412.0, "text": " Luego estas fracciones equivalen a la unidad, equivalen a 1."}, {"start": 412.0, "end": 425.0, "text": " Y esto nos queda como 1 m\u00e1s BC sobre AB igual a 1 m\u00e1s DE sobre AD."}, {"start": 425.0, "end": 432.0, "text": " Por estar el uno sumando a ambos lados de la igualdad podemos eliminarlo."}, {"start": 432.0, "end": 444.0, "text": " Y nos queda que BC es a AB como DE es igual a AD."}, {"start": 444.0, "end": 449.0, "text": " Finalmente vamos a invertir nuevamente ambas razones."}, {"start": 449.0, "end": 460.0, "text": " Nos queda entonces que AB es a BC como AD es a DE."}, {"start": 460.0, "end": 475.0, "text": " Entonces de esta manera llegamos a una propiedad que es bastante \u00fatil para lo que queremos demostrar en este video que es el teorima de Tales."}, {"start": 475.0, "end": 482.0, "text": " En esa figura donde tenemos un tri\u00e1ngulo con dos lados paralelos entonces se cumple esto."}, {"start": 482.0, "end": 498.0, "text": " Que este segmento es a este como este es a este. Es decir, los segmentos en que quedan divididos los lados que son cortados por la paralela a la base guardan una proporci\u00f3n."}, {"start": 498.0, "end": 515.0, "text": " Ahora consideremos el siguiente caso. Tenemos tres rectas paralelas entre s\u00ed que vamos a llamar las rectas L1, L2 y L3. Y dos rectas que son secantes o transversales."}, {"start": 515.0, "end": 534.0, "text": " Y vamos a llamarlas T1 y T2. Se determinan los siguientes puntos A, B, C. Por ac\u00e1 tenemos D, E, I, F."}, {"start": 534.0, "end": 547.0, "text": " Y vamos a trazar el segmento AF. All\u00ed lo tenemos y vamos a llamar P a este punto donde ese segmento AF corta la recta L2."}, {"start": 547.0, "end": 559.0, "text": " Ahora podemos observar una situaci\u00f3n parecida a la que acabamos de demostrar. Tenemos el tri\u00e1ngulo ACF con un segmento BP paralelo ACF."}, {"start": 559.0, "end": 579.0, "text": " Por lo tanto podemos hacer uso de la proporci\u00f3n que demostramos. Entonces decimos AB es ABC como AP es al segmento BF."}, {"start": 579.0, "end": 593.0, "text": " Eso se est\u00e1 cumpliendo en esta figura que tenemos aqu\u00ed con BP paralelo ACF. Y una situaci\u00f3n similar se presenta aqu\u00ed en este tri\u00e1ngulo ADF."}, {"start": 593.0, "end": 616.0, "text": " Donde el segmento PE es paralelo al segmento AD. Por lo tanto tambi\u00e9n podemos hacer uso de la relaci\u00f3n que ya demostramos. Podemos decir entonces que el segmento FP es al segmento PA"}, {"start": 616.0, "end": 635.0, "text": " como el segmento FE es al segmento ET. Y tenemos otra proporci\u00f3n. Vamos entonces a cambiar el orden de las letras en esta \u00faltima proporci\u00f3n."}, {"start": 635.0, "end": 649.0, "text": " Vamos a llamar en lugar de FP, lo llamamos el segmento PF. Abajo lo cambiamos por AP, ac\u00e1 EF y por ac\u00e1 DE."}, {"start": 649.0, "end": 668.0, "text": " Y vamos a invertir los elementos de esta proporci\u00f3n. Vamos a pasar los consecuentes arriba y los antecedentes abajo. Nos queda entonces que AP es APF como DE es AEF."}, {"start": 668.0, "end": 686.0, "text": " Y podemos observar una relaci\u00f3n entre esta proporci\u00f3n y esta que tenemos ac\u00e1. La relaci\u00f3n es que tenemos una raz\u00f3n en com\u00fan. Se trata de esta de aqu\u00ed."}, {"start": 686.0, "end": 698.0, "text": " Entonces esta raz\u00f3n se convierte en una especie de puente entre esta igualdad y esta de ac\u00e1. Si esto es igual a esto y esto que tenemos ac\u00e1 es igual a esto,"}, {"start": 698.0, "end": 706.0, "text": " entonces podemos afirmar que esto es igual a esto. Es lo que se conoce en geometr\u00eda como la propiedad transitiva."}, {"start": 706.0, "end": 727.0, "text": " Entonces nos queda que AB es ACB como DE es AEF. Y esa es la relaci\u00f3n que se obtiene del teorema de Thales."}, {"start": 727.0, "end": 736.0, "text": " Vamos entonces a enunciar ese teorema y vamos a mirarlo en la figura."}, {"start": 736.0, "end": 746.0, "text": " El teorema de Thales de Mileto, un gran matem\u00e1tico griego que vivi\u00f3 por all\u00e1 en el siglo IV a.C., dice as\u00ed."}, {"start": 746.0, "end": 757.0, "text": " Si varias rectas paralelas son cortadas por dos secantes, entonces los segmentos determinados sobre las secantes son proporcionales."}, {"start": 757.0, "end": 766.0, "text": " Entonces aqu\u00ed tenemos esa situaci\u00f3n. Tenemos tres rectas paralelas cortadas por dos secantes o transversales."}, {"start": 766.0, "end": 773.0, "text": " Entonces los segmentos que se forman sobre dichas secantes guardan una proporci\u00f3n."}, {"start": 773.0, "end": 792.0, "text": " Entonces lo que te mostramos hace un momento, el segmento AB es al segmento BC como el segmento DE es al segmento EF."}, {"start": 792.0, "end": 804.0, "text": " Esto es lo que nos dice el teorema de Thales."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=aQV_aVQmR5c

Problema 3 con ECUACIONES CUADRÁTICAS

#julioprofe explica cómo resolver un problema relacionado con un triángulo rectángulo: Si los catetos de un triángulo rectángulo son dos números enteros pares consecutivos, y el área del triángulo es de 24 cm², ¿Cuánto mide la hipotenusa? REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

Si los catetos de un triángulo rectángulo son dos números enteros pares consecutivos y el área del triángulo es de 24 cm², ¿cuánto mide la hipotenusa? Comenzamos el desarrollo de este problema dibujando un triángulo rectángulo y vamos a localizar en él la información que nos da el enunciado. Nos dicen que los catetos son números enteros pares consecutivos, entonces al cateto menor podríamos llamarlo X y al cateto mayor X más 2. Allí quedan representados como números enteros pares consecutivos y nos dice también el problema que este triángulo tiene un área de 24 cm². Entonces vamos a usar la formulita para calcular el área de un triángulo. El área de un triángulo es igual al producto de la base por la altura y todo eso dividido entre 2. Entonces vamos a reemplazar allá la información que tenemos. Este lado, este cateto, X más 2 actúa como base y este otro cateto, X, actúa como altura. Recordemos que el requisito para la base y la altura es que formen ángulo recto, ángulo de 90 grados, es decir que sean perpendiculares. Entonces vamos a reemplazar el área por el valor que nos da 24, la base que es X más 2 la colocamos en paréntesis por la altura que es X y todo esto dividido entre 2. Vamos a pasar este 2 que se encuentra dividiendo a multiplicar al lado izquierdo. Nos queda 24 por 2 es igual a X más 2 todo esto multiplicado por X. Resolvemos 24 por 2 nos da 48 y aquí vamos a hacer propiedad distributiva. Entonces X por X nos queda X al cuadrado más X por 2, 2X. Entonces tenemos una ecuación cuadrática, lo que pasa es que está desorganizada, vamos a acomodarla, pasamos este 48 para el lado de acá, llega negativo y allí tenemos la ecuación cuadrática. Esta ecuación vamos a reescribirla de esta manera dejando el 0 en el lado derecho. Entonces tenemos una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática que tiene la forma AX cuadrado más BX más C igual a 0. Y se presenta como una ecuación mónica porque tiene coeficiente principal 1. Vamos a resolverla por el método de completación del trinomio cuadrado perfecto o lo que llaman también completación de cuadrados. Para ello vamos a escribir la ecuación de la siguiente manera, dejamos un espacio por acá el menos 48 y esto está igualado a 0. Entonces vamos a hacer la completación de estos dos términos, hace falta otro término para que se forme un trinomio cuadrado perfecto. El procedimiento es el siguiente, primer requisito que tengamos aquí coeficiente principal 1, como decía hace un momento que la ecuación sea mónica. Entonces cuando ya ese requisito se cumple hacemos lo siguiente, a este número al que acompaña la X le sacamos la mitad. La mitad de 2 es igual a 1 y este número lo elevamos al cuadrado, entonces 1 al cuadrado es igual a 1 y ese resultado lo anotamos por aquí. Pero como hemos sumado una cantidad debemos restarla inmediatamente para que la ecuación se siga conservando tal como estaba originalmente para que no se desbalancee. De esta manera conseguimos que estos tres términos conformen lo que se llama un trinomio cuadrado perfecto, entonces podemos escribirlo dentro de un paréntesis, lo protegemos y por fuera del paréntesis nos queda menos 1 menos 48 igual a 0. Y procedemos a factorizar este trinomio cuadrado perfecto, recordemos que la factorización de un trinomio cuadrado perfecto siempre es un binomio al cuadrado conformado por la raíz cuadrada del primer término que sería X y la raíz cuadrada del último término que es 1. Y aquí en medio de ellos colocamos el signo del segundo término, allí tenemos entonces la factorización de ese trinomio cuadrado perfecto. Operamos estos dos números, eso nos da menos 49 igual a 0 y vamos a pasar este 49 para el lado derecho, nos queda entonces X más 1 al cuadrado igual a 49, este 49 llega a sumar con 0 nos da 49 positivo. A continuación vamos a sacar raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad, nos queda entonces raíz cuadrada de X más 1 al cuadrado y en el lado derecho raíz cuadrada de 49. En el lado izquierdo vamos a aplicar la siguiente propiedad, dice una propiedad de la radicación que si tenemos raíz enésima que A a la N y N es un número par como la situación que tenemos aquí, este es N y aquí tenemos el mismo valor de N, un 2 invisible. Entonces esto equivale al valor absoluto de A, debe salir con las dos barras que indican valor absoluto, por lo tanto esto nos queda convertido en valor absoluto de X más 1, apoyándonos en esta propiedad. En el lado derecho nos queda 7 que es la raíz cuadrada de 49. Llegamos entonces a una ecuación con valor absoluto, una ecuación que sigue este modelo, valor absoluto de U igual a un valor positivo K, se resuelve de la siguiente manera, U es igual a menos K o U es igual a K, debemos igualar lo que tenemos dentro de las barras a más o menos este número que tenemos aquí, siendo 7 una cantidad positiva, tal como dice el modelo. Entonces tendremos que X más 1 es igual a menos 7 o X más 1 es igual a 7, apoyándonos en esta propiedad. Resolvemos en cada caso para X, por acá tendremos que X es igual a menos 7 menos 1 y esto es igual a menos 8, por acá tendremos que X es igual a 7 menos 1 donde X es igual a 6. Como estamos buscando dimensiones de un triángulo rectángulo, los valores de los catetos debemos quedarnos con este valor que es el positivo, este valor tenemos que descartarlo porque una longitud no puede ser negativa. Conociendo ya el valor de X, regresamos al triángulo, recordemos que este cateto era X y este X más 2, números enteros pares consecutivos, entonces sustituimos allá el valor 6, entonces donde está X vamos a escribir 6, tendremos 6 centímetros el valor de este cateto y aquí tendremos 6 más 2, es decir 8 centímetros el valor del otro cateto. Ya con esa información podemos encontrar el valor de la hipotenusa, vamos a llamarla H, vamos a encontrarla utilizando el teorema de Pitágoras. El teorema de Pitágoras nos dice que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, en este caso 6 al cuadrado más 8 al cuadrado. Entonces vamos a resolver 6 al cuadrado nos da 36, 8 al cuadrado 64, continuamos por acá, H al cuadrado es igual a la suma de estos dos números que es 100 y vamos a sacar raíz cuadrada a ambos lados. En el lado izquierdo por tener raíz cuadrada de H al cuadrado, es decir índice y exponente iguales y número par, eso nos da valor absoluto de H, y en el lado derecho nos da 10, la raíz cuadrada es 100. Resolviendo esta ecuación con valor absoluto obtenemos que H es igual a menos 10 o H es igual a 10, porque esa es la regla para resolver una ecuación con valor absoluto. Sabe el valor que está dentro de las barras igualado al negativo de este número e igualado al positivo. Vemos entonces que la hipotenusa es una longitud, es una distancia, por lo tanto descartamos la opción negativa. Nos quedamos entonces con H igual a 10, entonces la hipotenusa del triángulo es igual a 10 centímetros y de esta manera terminamos el ejercicio.

[{"start": 0.0, "end": 15.0, "text": " Si los catetos de un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo son dos n\u00fameros enteros pares consecutivos y el \u00e1rea del tri\u00e1ngulo es de 24 cm\u00b2, \u00bfcu\u00e1nto mide la hipotenusa?"}, {"start": 15.0, "end": 25.0, "text": " Comenzamos el desarrollo de este problema dibujando un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo y vamos a localizar en \u00e9l la informaci\u00f3n que nos da el enunciado."}, {"start": 25.0, "end": 39.0, "text": " Nos dicen que los catetos son n\u00fameros enteros pares consecutivos, entonces al cateto menor podr\u00edamos llamarlo X y al cateto mayor X m\u00e1s 2."}, {"start": 39.0, "end": 55.0, "text": " All\u00ed quedan representados como n\u00fameros enteros pares consecutivos y nos dice tambi\u00e9n el problema que este tri\u00e1ngulo tiene un \u00e1rea de 24 cm\u00b2."}, {"start": 55.0, "end": 63.0, "text": " Entonces vamos a usar la formulita para calcular el \u00e1rea de un tri\u00e1ngulo."}, {"start": 63.0, "end": 74.0, "text": " El \u00e1rea de un tri\u00e1ngulo es igual al producto de la base por la altura y todo eso dividido entre 2."}, {"start": 74.0, "end": 78.0, "text": " Entonces vamos a reemplazar all\u00e1 la informaci\u00f3n que tenemos."}, {"start": 78.0, "end": 87.0, "text": " Este lado, este cateto, X m\u00e1s 2 act\u00faa como base y este otro cateto, X, act\u00faa como altura."}, {"start": 87.0, "end": 97.0, "text": " Recordemos que el requisito para la base y la altura es que formen \u00e1ngulo recto, \u00e1ngulo de 90 grados, es decir que sean perpendiculares."}, {"start": 97.0, "end": 115.0, "text": " Entonces vamos a reemplazar el \u00e1rea por el valor que nos da 24, la base que es X m\u00e1s 2 la colocamos en par\u00e9ntesis por la altura que es X y todo esto dividido entre 2."}, {"start": 115.0, "end": 121.0, "text": " Vamos a pasar este 2 que se encuentra dividiendo a multiplicar al lado izquierdo."}, {"start": 121.0, "end": 129.0, "text": " Nos queda 24 por 2 es igual a X m\u00e1s 2 todo esto multiplicado por X."}, {"start": 129.0, "end": 135.0, "text": " Resolvemos 24 por 2 nos da 48 y aqu\u00ed vamos a hacer propiedad distributiva."}, {"start": 135.0, "end": 143.0, "text": " Entonces X por X nos queda X al cuadrado m\u00e1s X por 2, 2X."}, {"start": 143.0, "end": 160.0, "text": " Entonces tenemos una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica, lo que pasa es que est\u00e1 desorganizada, vamos a acomodarla, pasamos este 48 para el lado de ac\u00e1, llega negativo y all\u00ed tenemos la ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica."}, {"start": 160.0, "end": 172.0, "text": " Esta ecuaci\u00f3n vamos a reescribirla de esta manera dejando el 0 en el lado derecho."}, {"start": 172.0, "end": 182.0, "text": " Entonces tenemos una ecuaci\u00f3n de segundo grado o ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica que tiene la forma AX cuadrado m\u00e1s BX m\u00e1s C igual a 0."}, {"start": 182.0, "end": 188.0, "text": " Y se presenta como una ecuaci\u00f3n m\u00f3nica porque tiene coeficiente principal 1."}, {"start": 188.0, "end": 198.0, "text": " Vamos a resolverla por el m\u00e9todo de completaci\u00f3n del trinomio cuadrado perfecto o lo que llaman tambi\u00e9n completaci\u00f3n de cuadrados."}, {"start": 198.0, "end": 211.0, "text": " Para ello vamos a escribir la ecuaci\u00f3n de la siguiente manera, dejamos un espacio por ac\u00e1 el menos 48 y esto est\u00e1 igualado a 0."}, {"start": 211.0, "end": 220.0, "text": " Entonces vamos a hacer la completaci\u00f3n de estos dos t\u00e9rminos, hace falta otro t\u00e9rmino para que se forme un trinomio cuadrado perfecto."}, {"start": 220.0, "end": 231.0, "text": " El procedimiento es el siguiente, primer requisito que tengamos aqu\u00ed coeficiente principal 1, como dec\u00eda hace un momento que la ecuaci\u00f3n sea m\u00f3nica."}, {"start": 231.0, "end": 243.0, "text": " Entonces cuando ya ese requisito se cumple hacemos lo siguiente, a este n\u00famero al que acompa\u00f1a la X le sacamos la mitad."}, {"start": 243.0, "end": 258.0, "text": " La mitad de 2 es igual a 1 y este n\u00famero lo elevamos al cuadrado, entonces 1 al cuadrado es igual a 1 y ese resultado lo anotamos por aqu\u00ed."}, {"start": 258.0, "end": 274.0, "text": " Pero como hemos sumado una cantidad debemos restarla inmediatamente para que la ecuaci\u00f3n se siga conservando tal como estaba originalmente para que no se desbalancee."}, {"start": 274.0, "end": 298.0, "text": " De esta manera conseguimos que estos tres t\u00e9rminos conformen lo que se llama un trinomio cuadrado perfecto, entonces podemos escribirlo dentro de un par\u00e9ntesis, lo protegemos y por fuera del par\u00e9ntesis nos queda menos 1 menos 48 igual a 0."}, {"start": 298.0, "end": 318.0, "text": " Y procedemos a factorizar este trinomio cuadrado perfecto, recordemos que la factorizaci\u00f3n de un trinomio cuadrado perfecto siempre es un binomio al cuadrado conformado por la ra\u00edz cuadrada del primer t\u00e9rmino que ser\u00eda X y la ra\u00edz cuadrada del \u00faltimo t\u00e9rmino que es 1."}, {"start": 318.0, "end": 328.0, "text": " Y aqu\u00ed en medio de ellos colocamos el signo del segundo t\u00e9rmino, all\u00ed tenemos entonces la factorizaci\u00f3n de ese trinomio cuadrado perfecto."}, {"start": 328.0, "end": 348.0, "text": " Operamos estos dos n\u00fameros, eso nos da menos 49 igual a 0 y vamos a pasar este 49 para el lado derecho, nos queda entonces X m\u00e1s 1 al cuadrado igual a 49, este 49 llega a sumar con 0 nos da 49 positivo."}, {"start": 348.0, "end": 364.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a sacar ra\u00edz cuadrada a ambos lados de la igualdad, nos queda entonces ra\u00edz cuadrada de X m\u00e1s 1 al cuadrado y en el lado derecho ra\u00edz cuadrada de 49."}, {"start": 364.0, "end": 386.0, "text": " En el lado izquierdo vamos a aplicar la siguiente propiedad, dice una propiedad de la radicaci\u00f3n que si tenemos ra\u00edz en\u00e9sima que A a la N y N es un n\u00famero par como la situaci\u00f3n que tenemos aqu\u00ed, este es N y aqu\u00ed tenemos el mismo valor de N, un 2 invisible."}, {"start": 386.0, "end": 405.0, "text": " Entonces esto equivale al valor absoluto de A, debe salir con las dos barras que indican valor absoluto, por lo tanto esto nos queda convertido en valor absoluto de X m\u00e1s 1, apoy\u00e1ndonos en esta propiedad."}, {"start": 405.0, "end": 426.0, "text": " En el lado derecho nos queda 7 que es la ra\u00edz cuadrada de 49. Llegamos entonces a una ecuaci\u00f3n con valor absoluto, una ecuaci\u00f3n que sigue este modelo, valor absoluto de U igual a un valor positivo K, se resuelve de la siguiente manera,"}, {"start": 426.0, "end": 445.0, "text": " U es igual a menos K o U es igual a K, debemos igualar lo que tenemos dentro de las barras a m\u00e1s o menos este n\u00famero que tenemos aqu\u00ed, siendo 7 una cantidad positiva, tal como dice el modelo."}, {"start": 445.0, "end": 459.0, "text": " Entonces tendremos que X m\u00e1s 1 es igual a menos 7 o X m\u00e1s 1 es igual a 7, apoy\u00e1ndonos en esta propiedad."}, {"start": 459.0, "end": 476.0, "text": " Resolvemos en cada caso para X, por ac\u00e1 tendremos que X es igual a menos 7 menos 1 y esto es igual a menos 8, por ac\u00e1 tendremos que X es igual a 7 menos 1 donde X es igual a 6."}, {"start": 476.0, "end": 493.0, "text": " Como estamos buscando dimensiones de un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo, los valores de los catetos debemos quedarnos con este valor que es el positivo, este valor tenemos que descartarlo porque una longitud no puede ser negativa."}, {"start": 493.0, "end": 509.0, "text": " Conociendo ya el valor de X, regresamos al tri\u00e1ngulo, recordemos que este cateto era X y este X m\u00e1s 2, n\u00fameros enteros pares consecutivos, entonces sustituimos all\u00e1 el valor 6,"}, {"start": 509.0, "end": 526.0, "text": " entonces donde est\u00e1 X vamos a escribir 6, tendremos 6 cent\u00edmetros el valor de este cateto y aqu\u00ed tendremos 6 m\u00e1s 2, es decir 8 cent\u00edmetros el valor del otro cateto."}, {"start": 526.0, "end": 539.0, "text": " Ya con esa informaci\u00f3n podemos encontrar el valor de la hipotenusa, vamos a llamarla H, vamos a encontrarla utilizando el teorema de Pit\u00e1goras."}, {"start": 539.0, "end": 553.0, "text": " El teorema de Pit\u00e1goras nos dice que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, en este caso 6 al cuadrado m\u00e1s 8 al cuadrado."}, {"start": 553.0, "end": 572.0, "text": " Entonces vamos a resolver 6 al cuadrado nos da 36, 8 al cuadrado 64, continuamos por ac\u00e1, H al cuadrado es igual a la suma de estos dos n\u00fameros que es 100 y vamos a sacar ra\u00edz cuadrada a ambos lados."}, {"start": 572.0, "end": 592.0, "text": " En el lado izquierdo por tener ra\u00edz cuadrada de H al cuadrado, es decir \u00edndice y exponente iguales y n\u00famero par, eso nos da valor absoluto de H, y en el lado derecho nos da 10, la ra\u00edz cuadrada es 100."}, {"start": 592.0, "end": 609.0, "text": " Resolviendo esta ecuaci\u00f3n con valor absoluto obtenemos que H es igual a menos 10 o H es igual a 10, porque esa es la regla para resolver una ecuaci\u00f3n con valor absoluto."}, {"start": 609.0, "end": 627.0, "text": " Sabe el valor que est\u00e1 dentro de las barras igualado al negativo de este n\u00famero e igualado al positivo. Vemos entonces que la hipotenusa es una longitud, es una distancia, por lo tanto descartamos la opci\u00f3n negativa."}, {"start": 627.0, "end": 639.0, "text": " Nos quedamos entonces con H igual a 10, entonces la hipotenusa del tri\u00e1ngulo es igual a 10 cent\u00edmetros y de esta manera terminamos el ejercicio."}]

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ECUACIONES CUADRÁTICAS POR COMPLETACIÓN DE CUADRADOS - Ejercicio 2

#julioprofe explica cómo resolver una ecuación de segundo grado o cuadrática por el Método de Completación de Cuadrados. Tema: #EcuacionesCuadráticas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEpWydxanXYPVtKm67Wn9HN REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Tenemos una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática que se ajusta perfectamente al modelo ax2 más bx más c igual a cero. Una ecuación de estas puede resolverse de varias formas. Una de ellas es la factorización, otra es por la fórmula cuadrática y otro camino es utilizar el método de la completación de cuadrados. O lo que se conoce también como la completación del trinomio cuadrado. Perfecto. Vamos a ver la solución de esta ecuación por este último método. Para comenzar debemos convertir la ecuación en ecuación mónica, es decir, que tenga coeficiente principal 1. Como en este caso tenemos un 2, entonces podemos decir que dividimos la ecuación ambos lados entre 2. De esa manera nos queda x al cuadrado más 7 medios de x menos 15 medios igual a cero medios que equivale a cero. Vemos que en el caso del 7 y del 15, por ser números que no tienen mitades exactas, se deja expresada esa cantidad como 7 medios y menos 15 medios. A continuación escribimos los términos que tienen la x, dejamos un espacio y anotamos menos 15 medios igual a cero. En este espacio vamos a insertar unos números que son los que nos permiten completar un trinomio cuadrado perfecto. Aquí tenemos dos términos, nos falta otro que completaría el trinomio cuadrado perfecto. El procedimiento es el siguiente, sacamos la mitad de este número del que acompaña la x, en este caso la mitad de 7 medios sería igual a 7 cuartos. Este número que obtenemos lo elevamos al cuadrado, hacemos esto, 7 cuartos al cuadrado, esto equivale a 7 al cuadrado sobre 4 al cuadrado, es decir 49 dieciséis aos. Este número que acabamos de obtener debe escribirse aquí, más 49 dieciséis aos e inmediatamente debe restarse. Hacemos esto para que la ecuación no se desbalancee, para que se conserve tal como viene originalmente. Finalmente es como si estuviéramos sumando cero porque estamos sumando y a la vez restando la misma cantidad. De esa manera tenemos garantizado que aquí hay un trinomio cuadrado perfecto. Estos tres términos conforman esa expresión algebraica y por lo tanto puede factorizarse. Siempre la factorización de un trinomio cuadrado perfecto nos da como resultado un binomio al cuadrado. Aquí escribimos la raíz cuadrada del primer término que sería x y aquí escribimos la raíz cuadrada del tercer término. La raíz cuadrada de 49 dieciséis aos es igual a 7 cuartos. Aquí en medio vamos a colocar el signo del segundo término, en este caso signo positivo. Podríamos pasar estos números para el otro lado. Pasaría 49 dieciséis aos positivo, lo mismo que 15 medios y vamos a realizar esta suma. Tenemos aquí dos fracciones de distinto denominador, es decir, fracciones heterogéneas. Necesitamos entonces el mínimo común múltiplo de sus denominadores de 16 y 2 que es igual a 16. Entonces la primera fracción ya tiene denominador 16, la segunda debe amplificarse multiplicando en este caso por 8 arriba y en la parte de abajo. Para que en el denominador nos de el 16 que necesitamos. Nos queda entonces x más 7 cuartos al cuadrado igual a 49 dieciséis aos más 15 por 8 nos da 120 y acá queda 16 en el denominador. Y hemos conseguido que las fracciones se conviertan en homogéneas, es decir, fracciones con el mismo denominador. Entonces aquí dejamos el 16, dejamos el mismo denominador y sumamos los numeradores. 49 más 120 nos da 169 y a este lado tenemos x más 7 cuartos elevado al cuadrado. A continuación vamos a sacar raíz cuadrada a ambos lados. Entonces tendremos dentro de la raíz x más 7 cuartos al cuadrado y por acá la raíz cuadrada de 169 dieciséis aos. Como aquí tenemos la raíz cuadrada de una expresión al cuadrado, es decir, estos dos números son iguales y son pares. Entonces esto se convierte en x más 7 cuartos en valor absoluto. Y al otro lado sacamos la raíz cuadrada del numerador y del denominador. Es una propiedad de la radicación. Entonces la raíz cuadrada de 169 es igual a 13 y la raíz cuadrada de 16 es igual a 4. Resolviendo esta ecuación con valor absoluto tenemos que x más 7 cuartos es igual a menos 13 cuartos o x más 7 cuartos es igual a 13 cuartos positivo. Y consideramos esas dos opciones y vamos a resolver para x en cada caso. Por acá tenemos que x es igual a menos 13 cuartos menos 7 cuartos. Ese 7 cuartos se está sumando pasa a restar. Tenemos fracciones homogéneas, dejamos el mismo denominador y operamos los numeradores. Menos 13 menos 7 nos da menos 20 y menos 20 cuartos equivale a menos 5. De esa manera tenemos una solución de la ecuación cuadrática. Vamos por acá, tenemos que x es igual a 13 cuartos menos 7 cuartos. Tenemos fracciones homogéneas, dejamos el mismo denominador, restamos los numeradores. 13 menos 7 nos da 6. Y allí podemos simplificar, mitad de 6 es igual a 3, mitad de 4 es igual a 2. Tenemos la otra solución de la ecuación cuadrática. De esa manera hemos terminado, hemos encontrado las dos soluciones de la ecuación original utilizando el método de completación de cuadrados.

[{"start": 0.0, "end": 14.0, "text": " Tenemos una ecuaci\u00f3n de segundo grado o ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica que se ajusta perfectamente al modelo ax2 m\u00e1s bx m\u00e1s c igual a cero."}, {"start": 14.0, "end": 18.0, "text": " Una ecuaci\u00f3n de estas puede resolverse de varias formas."}, {"start": 18.0, "end": 29.0, "text": " Una de ellas es la factorizaci\u00f3n, otra es por la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica y otro camino es utilizar el m\u00e9todo de la completaci\u00f3n de cuadrados."}, {"start": 29.0, "end": 33.0, "text": " O lo que se conoce tambi\u00e9n como la completaci\u00f3n del trinomio cuadrado."}, {"start": 33.0, "end": 38.0, "text": " Perfecto. Vamos a ver la soluci\u00f3n de esta ecuaci\u00f3n por este \u00faltimo m\u00e9todo."}, {"start": 38.0, "end": 47.0, "text": " Para comenzar debemos convertir la ecuaci\u00f3n en ecuaci\u00f3n m\u00f3nica, es decir, que tenga coeficiente principal 1."}, {"start": 47.0, "end": 57.0, "text": " Como en este caso tenemos un 2, entonces podemos decir que dividimos la ecuaci\u00f3n ambos lados entre 2."}, {"start": 57.0, "end": 71.0, "text": " De esa manera nos queda x al cuadrado m\u00e1s 7 medios de x menos 15 medios igual a cero medios que equivale a cero."}, {"start": 71.0, "end": 84.0, "text": " Vemos que en el caso del 7 y del 15, por ser n\u00fameros que no tienen mitades exactas, se deja expresada esa cantidad como 7 medios y menos 15 medios."}, {"start": 84.0, "end": 98.0, "text": " A continuaci\u00f3n escribimos los t\u00e9rminos que tienen la x, dejamos un espacio y anotamos menos 15 medios igual a cero."}, {"start": 98.0, "end": 107.0, "text": " En este espacio vamos a insertar unos n\u00fameros que son los que nos permiten completar un trinomio cuadrado perfecto."}, {"start": 107.0, "end": 114.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos dos t\u00e9rminos, nos falta otro que completar\u00eda el trinomio cuadrado perfecto."}, {"start": 114.0, "end": 129.0, "text": " El procedimiento es el siguiente, sacamos la mitad de este n\u00famero del que acompa\u00f1a la x, en este caso la mitad de 7 medios ser\u00eda igual a 7 cuartos."}, {"start": 129.0, "end": 148.0, "text": " Este n\u00famero que obtenemos lo elevamos al cuadrado, hacemos esto, 7 cuartos al cuadrado, esto equivale a 7 al cuadrado sobre 4 al cuadrado, es decir 49 diecis\u00e9is aos."}, {"start": 148.0, "end": 160.0, "text": " Este n\u00famero que acabamos de obtener debe escribirse aqu\u00ed, m\u00e1s 49 diecis\u00e9is aos e inmediatamente debe restarse."}, {"start": 160.0, "end": 170.0, "text": " Hacemos esto para que la ecuaci\u00f3n no se desbalancee, para que se conserve tal como viene originalmente."}, {"start": 170.0, "end": 178.0, "text": " Finalmente es como si estuvi\u00e9ramos sumando cero porque estamos sumando y a la vez restando la misma cantidad."}, {"start": 178.0, "end": 185.0, "text": " De esa manera tenemos garantizado que aqu\u00ed hay un trinomio cuadrado perfecto."}, {"start": 185.0, "end": 193.0, "text": " Estos tres t\u00e9rminos conforman esa expresi\u00f3n algebraica y por lo tanto puede factorizarse."}, {"start": 193.0, "end": 200.0, "text": " Siempre la factorizaci\u00f3n de un trinomio cuadrado perfecto nos da como resultado un binomio al cuadrado."}, {"start": 200.0, "end": 210.0, "text": " Aqu\u00ed escribimos la ra\u00edz cuadrada del primer t\u00e9rmino que ser\u00eda x y aqu\u00ed escribimos la ra\u00edz cuadrada del tercer t\u00e9rmino."}, {"start": 210.0, "end": 216.0, "text": " La ra\u00edz cuadrada de 49 diecis\u00e9is aos es igual a 7 cuartos."}, {"start": 216.0, "end": 223.0, "text": " Aqu\u00ed en medio vamos a colocar el signo del segundo t\u00e9rmino, en este caso signo positivo."}, {"start": 223.0, "end": 227.0, "text": " Podr\u00edamos pasar estos n\u00fameros para el otro lado."}, {"start": 227.0, "end": 236.0, "text": " Pasar\u00eda 49 diecis\u00e9is aos positivo, lo mismo que 15 medios y vamos a realizar esta suma."}, {"start": 236.0, "end": 243.0, "text": " Tenemos aqu\u00ed dos fracciones de distinto denominador, es decir, fracciones heterog\u00e9neas."}, {"start": 243.0, "end": 252.0, "text": " Necesitamos entonces el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de sus denominadores de 16 y 2 que es igual a 16."}, {"start": 252.0, "end": 266.0, "text": " Entonces la primera fracci\u00f3n ya tiene denominador 16, la segunda debe amplificarse multiplicando en este caso por 8 arriba y en la parte de abajo."}, {"start": 266.0, "end": 271.0, "text": " Para que en el denominador nos de el 16 que necesitamos."}, {"start": 271.0, "end": 291.0, "text": " Nos queda entonces x m\u00e1s 7 cuartos al cuadrado igual a 49 diecis\u00e9is aos m\u00e1s 15 por 8 nos da 120 y ac\u00e1 queda 16 en el denominador."}, {"start": 291.0, "end": 300.0, "text": " Y hemos conseguido que las fracciones se conviertan en homog\u00e9neas, es decir, fracciones con el mismo denominador."}, {"start": 300.0, "end": 307.0, "text": " Entonces aqu\u00ed dejamos el 16, dejamos el mismo denominador y sumamos los numeradores."}, {"start": 307.0, "end": 319.0, "text": " 49 m\u00e1s 120 nos da 169 y a este lado tenemos x m\u00e1s 7 cuartos elevado al cuadrado."}, {"start": 319.0, "end": 324.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a sacar ra\u00edz cuadrada a ambos lados."}, {"start": 324.0, "end": 339.0, "text": " Entonces tendremos dentro de la ra\u00edz x m\u00e1s 7 cuartos al cuadrado y por ac\u00e1 la ra\u00edz cuadrada de 169 diecis\u00e9is aos."}, {"start": 339.0, "end": 348.0, "text": " Como aqu\u00ed tenemos la ra\u00edz cuadrada de una expresi\u00f3n al cuadrado, es decir, estos dos n\u00fameros son iguales y son pares."}, {"start": 348.0, "end": 356.0, "text": " Entonces esto se convierte en x m\u00e1s 7 cuartos en valor absoluto."}, {"start": 356.0, "end": 361.0, "text": " Y al otro lado sacamos la ra\u00edz cuadrada del numerador y del denominador."}, {"start": 361.0, "end": 363.0, "text": " Es una propiedad de la radicaci\u00f3n."}, {"start": 363.0, "end": 373.0, "text": " Entonces la ra\u00edz cuadrada de 169 es igual a 13 y la ra\u00edz cuadrada de 16 es igual a 4."}, {"start": 373.0, "end": 395.0, "text": " Resolviendo esta ecuaci\u00f3n con valor absoluto tenemos que x m\u00e1s 7 cuartos es igual a menos 13 cuartos o x m\u00e1s 7 cuartos es igual a 13 cuartos positivo."}, {"start": 395.0, "end": 401.0, "text": " Y consideramos esas dos opciones y vamos a resolver para x en cada caso."}, {"start": 401.0, "end": 409.0, "text": " Por ac\u00e1 tenemos que x es igual a menos 13 cuartos menos 7 cuartos."}, {"start": 409.0, "end": 413.0, "text": " Ese 7 cuartos se est\u00e1 sumando pasa a restar."}, {"start": 413.0, "end": 420.0, "text": " Tenemos fracciones homog\u00e9neas, dejamos el mismo denominador y operamos los numeradores."}, {"start": 420.0, "end": 428.0, "text": " Menos 13 menos 7 nos da menos 20 y menos 20 cuartos equivale a menos 5."}, {"start": 428.0, "end": 433.0, "text": " De esa manera tenemos una soluci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica."}, {"start": 433.0, "end": 443.0, "text": " Vamos por ac\u00e1, tenemos que x es igual a 13 cuartos menos 7 cuartos."}, {"start": 443.0, "end": 449.0, "text": " Tenemos fracciones homog\u00e9neas, dejamos el mismo denominador, restamos los numeradores."}, {"start": 449.0, "end": 453.0, "text": " 13 menos 7 nos da 6."}, {"start": 453.0, "end": 461.0, "text": " Y all\u00ed podemos simplificar, mitad de 6 es igual a 3, mitad de 4 es igual a 2."}, {"start": 461.0, "end": 465.0, "text": " Tenemos la otra soluci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica."}, {"start": 465.0, "end": 487.0, "text": " De esa manera hemos terminado, hemos encontrado las dos soluciones de la ecuaci\u00f3n original utilizando el m\u00e9todo de completaci\u00f3n de cuadrados."}]

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ECUACIONES CUADRÁTICAS POR COMPLETACIÓN DE CUADRADOS - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo resolver una ecuación cuadrática por el Método de Completación de Cuadrados. Tema: #EcuacionesCuadráticas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEpWydxanXYPVtKm67Wn9HN REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Tenemos en este caso una ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado que se ajusta perfectamente al modelo a x cuadrado más bx más c igual a cero. Es una ecuación que podríamos resolver por factorización, por fórmula cuadrática o también por un método que se llama completación del cuadrado. O también conocido como completación del trinomio cuadrado perfecto. Vamos a ver en qué consiste este método. Para iniciar se requiere que x al cuadrado tenga coeficiente 1, tal como lo tenemos allí. Es decir que la ecuación sea mónica. Entonces lo que hacemos es escribir x cuadrado más 6x los términos que contienen x y corremos el menos 7 igual a cero un poco a la derecha dejando este espacio. Y allí vamos a realizar la completación del trinomio cuadrado perfecto. Tenemos dos términos y vamos a buscar un tercer término que nos genere un trinomio cuadrado perfecto. El procedimiento es el siguiente. A este número que acompaña x vamos a sacarle la mitad. La mitad de 6 es igual a 3 y ese 3 lo vamos a elevar al cuadrado. Entonces 3 al cuadrado es igual a 9 y ese 9 es el que anotamos aquí. Pero si sumamos 9 debemos restar 9 para que la ecuación mantenga su equilibrio original. En últimas es como si hubiéramos sumado 0. Esta suma de estos dos números nos da 0. Por lo tanto podemos garantizar que nuestra ecuación se conserva como estaba originalmente. Entonces con este procedimiento tenemos la garantía de que estos tres términos conforman un trinomio cuadrado perfecto. Allí lo señalamos. Y entonces este trinomio cuadrado perfecto puede factorizarse, recordemos que esto da como resultado un binomio al cuadrado. Aquí adentro tendremos dos términos que se obtienen de la siguiente manera. La raíz cuadrada del primer término que es x será el primer término del binomio. Y la raíz cuadrada de este número, es decir 3 será el segundo término. Y el signo que tendremos entre ellos dos será el del segundo término, es decir signo positivo. Luego la factorización de este trinomio cuadrado perfecto es este binomio al cuadrado. Y esto se reescribe, menos 9 menos 7 igual a 0. Ahora más adelante vamos a explicar cómo esta expresión que tenemos aquí es equivalente a esta en términos geométricos. Vamos a utilizar la geometría para mostrar cómo esa expresión equivale a esta y podamos dar soporte a lo que acabamos de hacer en términos algebraicos. Continuando con el desarrollo de la ecuación por el método de completación de cuadrados, tenemos entonces que estos dos números se pueden operar. Eso nos da menos 16, queda igual a 0 y vamos a dejar solo el binomio al cuadrado. Entonces pasamos el 16 que se encuentra restando a sumar al lado derecho. Vas a sumar con 0 y nos queda igual a 16. A continuación vamos a sacar raíz cuadrada a ambos lados. Entonces nos queda raíz cuadrada de x más 3 al cuadrado igual a la raíz cuadrada de 16. Y entonces aquí tenemos lo que se llama valor absoluto de x más 3. Por acá raíz cuadrada de 16 es igual al cuadro. Vamos a ver por qué esto se convierte en valor absoluto. Una propiedad de la radicación dice que si tenemos raíz enésima de a a la n, si n es un número par, entonces esto es igual al valor absoluto de a. Efectivamente n para nosotros es este 2. Recordemos que hay índice 2 invisible, pero ahí está. Entonces apoyándonos en esta propiedad podemos decir que esto equivale al valor absoluto de x más 3. Esto que acabamos de obtener es lo que se conoce como una ecuación con valor absoluto. El modelo para resolver una ecuación de este estilo dice así. Si tenemos valor absoluto de u igual a una cantidad positiva k, entonces resultan dos posibilidades, que u sea igual a menos k o que u sea igual a k. Entonces eso nos dice que aquí debemos igualar x más 3 por menos 4 o x más 3 debemos igualarlo con 4. Apoyándonos en esta propiedad. Finalmente despejamos para x en cada caso. Por acá tendremos que x es igual a menos 4 menos 3 de donde x es igual a menos 7. Y por acá tenemos que x es igual a 4 menos 3 de donde x es igual a 1. Entonces hemos obtenido las dos soluciones de la ecuación cuadrática utilizando el método de completación de cuadrados. Como decíamos hace un momento, vamos a demostrar geométricamente porque esta expresión es equivalente a esta. Es decir, lo que obtuvimos cuando hicimos la completación de cuadrados. Comenzamos por factorizar esta expresión. Aquí podemos sacar factor común x. x es factor de x más 6. Y entonces vamos a dibujar un rectángulo que tenga estas dimensiones, que tenga altura x más 6 y base x. Allí lo tenemos, un rectángulo con base x y con altura x más 6. Al tener el producto x por x más 6 estamos representando el área de este rectángulo. Recordemos que el área de un rectángulo se obtiene multiplicando el valor de la base por el valor de la altura. En el rectángulo trazamos este segmento paralelo a la base de tal manera que esta distancia tenga la misma medida que esta. Entonces tendremos que de aquí a acá es x. Por lo tanto este pedacito que queda es 6. Para que cumpla con esta condición, que todo esto sume x más 6. Nos queda entonces un cuadrado del lado x y un rectángulo que tiene dimensiones x por 6. Si vemos el área de este cuadrado que es x por x nos da x cuadrado. Es este valor de aquí. Y el área de este rectángulo será x por 6, es decir 6x. Aquí lo tenemos. La suma de esas dos cantidades nos está representando el área de todo el rectángulo. Ahora trazamos este segmento que nos divide a la mitad este rectángulo. Por lo tanto este segmento que vale 6 ahora queda dividido en dos segmentos pequeños de 3 cada uno. Y a continuación vamos a tomar este rectángulo de dimensiones 3 por x y vamos a recortarlo y vamos a pegarlo acá. Allí lo tenemos. Un rectángulo de dimensiones x por 3. Este pedacito vale 3. Y entonces observamos que la longitud de todo este segmento será 3 más x o x más 3. Y es la misma que tenemos acá. X más 3. Nos hace falta llenar este espacio. Entonces vamos a insertar aquí un cuadradito de dimensiones 3 por 3. Allí lo tenemos. Un cuadradito de dimensiones 3 por 3. Pero si hemos añadido esa figura entonces también debemos restarla para que se siga conservando la figura original. La figura que teníamos en color azul que representaba el área del primer rectángulo. Es decir, la que estaba expresada por este producto. Entonces como vemos sumamos esa cantidad para completar el cuadrado pero al mismo tiempo la restamos. Lo que hemos obtenido entonces es un cuadrado ya completo con lado x más 3. Recordemos que es la suma de estas dimensiones. Entonces podemos representarlo de esta manera. Es el cuadrado de lado x más 3 y por acá también x más 3. Y este cuadradito tiene un área de 9. 3 por 3 que es 9. Y vemos que el área de todo este cuadrado que será lado por lado. Es decir, x más 3 por x más 3 es lo que tenemos aquí. X más 3 al cuadrado menos el área de este cuadradito que es igual a 9. De esta manera probamos que esta expresión es equivalente a esta utilizando la geometría y lo que en algebras se conoce como la completación de cuadrados.

[{"start": 0.0, "end": 13.0, "text": " Tenemos en este caso una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica o ecuaci\u00f3n de segundo grado que se ajusta perfectamente al modelo a x cuadrado m\u00e1s bx m\u00e1s c igual a cero."}, {"start": 13.0, "end": 22.0, "text": " Es una ecuaci\u00f3n que podr\u00edamos resolver por factorizaci\u00f3n, por f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica o tambi\u00e9n por un m\u00e9todo que se llama completaci\u00f3n del cuadrado."}, {"start": 22.0, "end": 30.0, "text": " O tambi\u00e9n conocido como completaci\u00f3n del trinomio cuadrado perfecto. Vamos a ver en qu\u00e9 consiste este m\u00e9todo."}, {"start": 30.0, "end": 41.0, "text": " Para iniciar se requiere que x al cuadrado tenga coeficiente 1, tal como lo tenemos all\u00ed. Es decir que la ecuaci\u00f3n sea m\u00f3nica."}, {"start": 41.0, "end": 57.0, "text": " Entonces lo que hacemos es escribir x cuadrado m\u00e1s 6x los t\u00e9rminos que contienen x y corremos el menos 7 igual a cero un poco a la derecha dejando este espacio."}, {"start": 57.0, "end": 69.0, "text": " Y all\u00ed vamos a realizar la completaci\u00f3n del trinomio cuadrado perfecto. Tenemos dos t\u00e9rminos y vamos a buscar un tercer t\u00e9rmino que nos genere un trinomio cuadrado perfecto."}, {"start": 69.0, "end": 82.0, "text": " El procedimiento es el siguiente. A este n\u00famero que acompa\u00f1a x vamos a sacarle la mitad. La mitad de 6 es igual a 3 y ese 3 lo vamos a elevar al cuadrado."}, {"start": 82.0, "end": 96.0, "text": " Entonces 3 al cuadrado es igual a 9 y ese 9 es el que anotamos aqu\u00ed. Pero si sumamos 9 debemos restar 9 para que la ecuaci\u00f3n mantenga su equilibrio original."}, {"start": 96.0, "end": 108.0, "text": " En \u00faltimas es como si hubi\u00e9ramos sumado 0. Esta suma de estos dos n\u00fameros nos da 0. Por lo tanto podemos garantizar que nuestra ecuaci\u00f3n se conserva como estaba originalmente."}, {"start": 108.0, "end": 118.0, "text": " Entonces con este procedimiento tenemos la garant\u00eda de que estos tres t\u00e9rminos conforman un trinomio cuadrado perfecto."}, {"start": 118.0, "end": 130.0, "text": " All\u00ed lo se\u00f1alamos. Y entonces este trinomio cuadrado perfecto puede factorizarse, recordemos que esto da como resultado un binomio al cuadrado."}, {"start": 130.0, "end": 141.0, "text": " Aqu\u00ed adentro tendremos dos t\u00e9rminos que se obtienen de la siguiente manera. La ra\u00edz cuadrada del primer t\u00e9rmino que es x ser\u00e1 el primer t\u00e9rmino del binomio."}, {"start": 141.0, "end": 155.0, "text": " Y la ra\u00edz cuadrada de este n\u00famero, es decir 3 ser\u00e1 el segundo t\u00e9rmino. Y el signo que tendremos entre ellos dos ser\u00e1 el del segundo t\u00e9rmino, es decir signo positivo."}, {"start": 155.0, "end": 167.0, "text": " Luego la factorizaci\u00f3n de este trinomio cuadrado perfecto es este binomio al cuadrado. Y esto se reescribe, menos 9 menos 7 igual a 0."}, {"start": 167.0, "end": 182.0, "text": " Ahora m\u00e1s adelante vamos a explicar c\u00f3mo esta expresi\u00f3n que tenemos aqu\u00ed es equivalente a esta en t\u00e9rminos geom\u00e9tricos."}, {"start": 182.0, "end": 195.0, "text": " Vamos a utilizar la geometr\u00eda para mostrar c\u00f3mo esa expresi\u00f3n equivale a esta y podamos dar soporte a lo que acabamos de hacer en t\u00e9rminos algebraicos."}, {"start": 195.0, "end": 205.0, "text": " Continuando con el desarrollo de la ecuaci\u00f3n por el m\u00e9todo de completaci\u00f3n de cuadrados, tenemos entonces que estos dos n\u00fameros se pueden operar."}, {"start": 205.0, "end": 218.0, "text": " Eso nos da menos 16, queda igual a 0 y vamos a dejar solo el binomio al cuadrado. Entonces pasamos el 16 que se encuentra restando a sumar al lado derecho."}, {"start": 218.0, "end": 226.0, "text": " Vas a sumar con 0 y nos queda igual a 16. A continuaci\u00f3n vamos a sacar ra\u00edz cuadrada a ambos lados."}, {"start": 226.0, "end": 243.0, "text": " Entonces nos queda ra\u00edz cuadrada de x m\u00e1s 3 al cuadrado igual a la ra\u00edz cuadrada de 16. Y entonces aqu\u00ed tenemos lo que se llama valor absoluto de x m\u00e1s 3."}, {"start": 243.0, "end": 253.0, "text": " Por ac\u00e1 ra\u00edz cuadrada de 16 es igual al cuadro. Vamos a ver por qu\u00e9 esto se convierte en valor absoluto."}, {"start": 253.0, "end": 268.0, "text": " Una propiedad de la radicaci\u00f3n dice que si tenemos ra\u00edz en\u00e9sima de a a la n, si n es un n\u00famero par, entonces esto es igual al valor absoluto de a."}, {"start": 268.0, "end": 276.0, "text": " Efectivamente n para nosotros es este 2. Recordemos que hay \u00edndice 2 invisible, pero ah\u00ed est\u00e1."}, {"start": 276.0, "end": 283.0, "text": " Entonces apoy\u00e1ndonos en esta propiedad podemos decir que esto equivale al valor absoluto de x m\u00e1s 3."}, {"start": 283.0, "end": 289.0, "text": " Esto que acabamos de obtener es lo que se conoce como una ecuaci\u00f3n con valor absoluto."}, {"start": 289.0, "end": 299.0, "text": " El modelo para resolver una ecuaci\u00f3n de este estilo dice as\u00ed. Si tenemos valor absoluto de u igual a una cantidad positiva k,"}, {"start": 299.0, "end": 324.0, "text": " entonces resultan dos posibilidades, que u sea igual a menos k o que u sea igual a k. Entonces eso nos dice que aqu\u00ed debemos igualar x m\u00e1s 3 por menos 4 o x m\u00e1s 3 debemos igualarlo con 4."}, {"start": 324.0, "end": 337.0, "text": " Apoy\u00e1ndonos en esta propiedad. Finalmente despejamos para x en cada caso. Por ac\u00e1 tendremos que x es igual a menos 4 menos 3 de donde x es igual a menos 7."}, {"start": 337.0, "end": 344.0, "text": " Y por ac\u00e1 tenemos que x es igual a 4 menos 3 de donde x es igual a 1."}, {"start": 344.0, "end": 355.0, "text": " Entonces hemos obtenido las dos soluciones de la ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica utilizando el m\u00e9todo de completaci\u00f3n de cuadrados."}, {"start": 359.0, "end": 367.0, "text": " Como dec\u00edamos hace un momento, vamos a demostrar geom\u00e9tricamente porque esta expresi\u00f3n es equivalente a esta."}, {"start": 367.0, "end": 372.0, "text": " Es decir, lo que obtuvimos cuando hicimos la completaci\u00f3n de cuadrados."}, {"start": 372.0, "end": 380.0, "text": " Comenzamos por factorizar esta expresi\u00f3n. Aqu\u00ed podemos sacar factor com\u00fan x."}, {"start": 380.0, "end": 384.0, "text": " x es factor de x m\u00e1s 6."}, {"start": 384.0, "end": 395.0, "text": " Y entonces vamos a dibujar un rect\u00e1ngulo que tenga estas dimensiones, que tenga altura x m\u00e1s 6 y base x."}, {"start": 395.0, "end": 403.0, "text": " All\u00ed lo tenemos, un rect\u00e1ngulo con base x y con altura x m\u00e1s 6."}, {"start": 403.0, "end": 411.0, "text": " Al tener el producto x por x m\u00e1s 6 estamos representando el \u00e1rea de este rect\u00e1ngulo."}, {"start": 411.0, "end": 420.0, "text": " Recordemos que el \u00e1rea de un rect\u00e1ngulo se obtiene multiplicando el valor de la base por el valor de la altura."}, {"start": 420.0, "end": 431.0, "text": " En el rect\u00e1ngulo trazamos este segmento paralelo a la base de tal manera que esta distancia tenga la misma medida que esta."}, {"start": 431.0, "end": 439.0, "text": " Entonces tendremos que de aqu\u00ed a ac\u00e1 es x. Por lo tanto este pedacito que queda es 6."}, {"start": 439.0, "end": 444.0, "text": " Para que cumpla con esta condici\u00f3n, que todo esto sume x m\u00e1s 6."}, {"start": 444.0, "end": 454.0, "text": " Nos queda entonces un cuadrado del lado x y un rect\u00e1ngulo que tiene dimensiones x por 6."}, {"start": 454.0, "end": 461.0, "text": " Si vemos el \u00e1rea de este cuadrado que es x por x nos da x cuadrado. Es este valor de aqu\u00ed."}, {"start": 461.0, "end": 468.0, "text": " Y el \u00e1rea de este rect\u00e1ngulo ser\u00e1 x por 6, es decir 6x. Aqu\u00ed lo tenemos."}, {"start": 468.0, "end": 473.0, "text": " La suma de esas dos cantidades nos est\u00e1 representando el \u00e1rea de todo el rect\u00e1ngulo."}, {"start": 473.0, "end": 480.0, "text": " Ahora trazamos este segmento que nos divide a la mitad este rect\u00e1ngulo."}, {"start": 480.0, "end": 490.0, "text": " Por lo tanto este segmento que vale 6 ahora queda dividido en dos segmentos peque\u00f1os de 3 cada uno."}, {"start": 490.0, "end": 501.0, "text": " Y a continuaci\u00f3n vamos a tomar este rect\u00e1ngulo de dimensiones 3 por x y vamos a recortarlo y vamos a pegarlo ac\u00e1."}, {"start": 501.0, "end": 509.0, "text": " All\u00ed lo tenemos. Un rect\u00e1ngulo de dimensiones x por 3. Este pedacito vale 3."}, {"start": 509.0, "end": 517.0, "text": " Y entonces observamos que la longitud de todo este segmento ser\u00e1 3 m\u00e1s x o x m\u00e1s 3."}, {"start": 517.0, "end": 524.0, "text": " Y es la misma que tenemos ac\u00e1. X m\u00e1s 3. Nos hace falta llenar este espacio."}, {"start": 524.0, "end": 536.0, "text": " Entonces vamos a insertar aqu\u00ed un cuadradito de dimensiones 3 por 3. All\u00ed lo tenemos. Un cuadradito de dimensiones 3 por 3."}, {"start": 536.0, "end": 548.0, "text": " Pero si hemos a\u00f1adido esa figura entonces tambi\u00e9n debemos restarla para que se siga conservando la figura original."}, {"start": 548.0, "end": 555.0, "text": " La figura que ten\u00edamos en color azul que representaba el \u00e1rea del primer rect\u00e1ngulo."}, {"start": 555.0, "end": 560.0, "text": " Es decir, la que estaba expresada por este producto."}, {"start": 560.0, "end": 569.0, "text": " Entonces como vemos sumamos esa cantidad para completar el cuadrado pero al mismo tiempo la restamos."}, {"start": 569.0, "end": 578.0, "text": " Lo que hemos obtenido entonces es un cuadrado ya completo con lado x m\u00e1s 3."}, {"start": 578.0, "end": 586.0, "text": " Recordemos que es la suma de estas dimensiones. Entonces podemos representarlo de esta manera."}, {"start": 586.0, "end": 601.0, "text": " Es el cuadrado de lado x m\u00e1s 3 y por ac\u00e1 tambi\u00e9n x m\u00e1s 3. Y este cuadradito tiene un \u00e1rea de 9. 3 por 3 que es 9."}, {"start": 601.0, "end": 611.0, "text": " Y vemos que el \u00e1rea de todo este cuadrado que ser\u00e1 lado por lado. Es decir, x m\u00e1s 3 por x m\u00e1s 3 es lo que tenemos aqu\u00ed."}, {"start": 611.0, "end": 619.0, "text": " X m\u00e1s 3 al cuadrado menos el \u00e1rea de este cuadradito que es igual a 9."}, {"start": 619.0, "end": 642.0, "text": " De esta manera probamos que esta expresi\u00f3n es equivalente a esta utilizando la geometr\u00eda y lo que en algebras se conoce como la completaci\u00f3n de cuadrados."}]

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CUERDAS QUE SE CORTAN EN UNA CIRCUNFERENCIA (Parte 2)

#julioprofe expone otro ejemplo de la propiedad que cumplen dos cuerdas que se cortan en una circunferencia. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

Miren este ejemplo donde nos dan esta figura y esta información. Nos dan dos cuerdas que se están cortando. Allí se observan los segmentos, aquí están las medidas de esos segmentos en términos de X y nos van a preguntar cuánto vale X. Esa será entonces la pregunta en este ejercicio. Entonces comenzamos por aplicar la propiedad de las cuerdas que se cortan. El producto de este segmento por este, es decir, Kp por Pj es igual al producto de este segmento por este de acá, es decir, Qp por Pl. Aplicamos esa propiedad y entonces vamos a sustituir cada medida de cada segmento por el equivalente que nos dan en los datos. Entonces tenemos que Kp vale X más 1 por Pj que equivale a 3X más 1. Esto es igual a Qp o Pq que equivale a X más 7 multiplicado por Pl o el segmento Lp que equivale a X más 3. Vamos a realizar entonces el desarrollo de esta ecuación. Vamos a efectuar cada producto, aquí tenemos producto de dos binomios y aquí también. Entonces vamos haciendo propiedad distributiva con cada uno de los términos. Veamos, X por 3X nos da 3X al cuadrado, X por más 1 nos queda más X, más 1 por 3X nos da más 3X y más 1 por más 1 nos queda más 1. En el otro lado tenemos X por X, X al cuadrado, X por más 3 nos da más 3X, más 7 por X nos queda más 7X y más 7 por más 3 nos da más 21. Vamos a reducir términos semejantes en cada lado, acá tenemos 3X al cuadrado, más podemos sumar estos dos, X más 3X nos da 4X, queda más 1. Y en este lado tenemos X al cuadrado, más la suma de 3X con 7X nos da 10X y todo eso más 21. Y esto empieza a tomar forma de ecuación cuadrática, nos damos cuenta porque la variable X aparece elevada al cuadrado. Entonces vamos a pasar estos términos para el lado de allá, para el lado izquierdo, buscando que acá nos quede 0. Nos queda entonces así, 3X al cuadrado, más 4X más 1, menos X al cuadrado, menos 10X, menos 21 y todo esto igual a 0. Reducimos términos semejantes, vamos a quitar esto de aquí y nos queda así, 3X al cuadrado, menos X al cuadrado nos da 2X al cuadrado. 4X menos 10X nos queda menos 6X y 1 menos 21 nos da menos 20 y todo esto igualado a 0. Tenemos entonces una ecuación cuadrática que incluso podemos simplificar debido a que todos los números son divisibles entre 2. Entonces podemos colocar esa instrucción, dividimos todo por 2 a los dos lados y nos queda así, X al cuadrado, menos 3X, menos 10 y al otro lado 0 dividido entre 2 sigue siendo 0. Allí tenemos la ecuación cuadrática que se ha convertido incluso en ecuación mónica porque tiene coeficiente principal 1. Y vamos a resolverla por ejemplo por el método de factorización. Tenemos entonces que la factorización de este trinomio que la hacemos por el caso llamado trinomio de la forma X cuadrado más BX más C nos queda así, 2 paréntesis, eso está igualado a 0, este de acá. Y entonces sacamos la raíz cuadrada de este término que sería X, la anotamos al comienzo de cada paréntesis. Hacemos producto de signos, más por menos nos da menos, da el signo del primer paréntesis, menos por menos nos da más, nos da el signo del segundo paréntesis y buscamos dos números, uno negativo y otro positivo que multiplicados entre sí nos den menos 10 y que sumados entre sí nos den menos 3. Esos dos números son menos 5 y 2, vamos a verificar, menos 5 por más 2 nos da menos 10 y menos 5 sumado con 2 nos da menos 3. Quiere decir que son correctos esos números. Y a continuación vamos a utilizar aquí el teorema del factor nulo. Recordemos que ese teorema dice lo siguiente, si A por B es igual a 0, si el producto de dos cantidades es 0, entonces cada una de ellas tiene la oportunidad de ser 0. Entonces A es igual a 0 o B es igual a 0. Entonces en este caso tenemos que el factor x menos 5 se iguala a 0, este hace el papel de la A o este factor x más 2 se iguala a 0, este hace el papel de la B. Despejamos para x en cada caso, por acá nos da que x equivale a 5 y por acá x equivale a menos 2. Pero como x está involucrado en lo que son medidas de segmentos, no podemos considerar el caso de menos 2, por ejemplo aquí tendríamos problemas. Si x se reemplaza aquí, menos 2 más 1 nos daría menos 1 y tendríamos un segmento de longitud negativa, lo cual es completamente ilógico. Entonces esta opción se descarta y nos quedamos con esta. Entonces en este problema el valor de x es 5. Podríamos verificar si todo esto nos quedó bien haciendo lo siguiente, como x nos dio 5, entonces encontramos la medida de cada segmento que nos dan al comienzo. Veamos, 5 más 1 nos da 6, 5 más 3 nos da 8, 5 más 7 son 12 y aquí 3 por 5 son 15, 15 más 1 es 16. Vamos a llevar estos valores a la figura. Tenemos entonces que el segmento KP vale 6, o sea este de aquí, el segmento LP vale 8, el segmento PQ vale 12 y el segmento PJ vale 16. Y pongamos a prueba la propiedad de las cuerdas que se cortan. Dice la propiedad que este segmento por este, es decir 16 por 6, tiene que ser igual al producto de estos dos segmentos, es decir 12 por 8. Si efectuamos cada multiplicación vemos que 16 por 6 nos da 96 y 12 por 8 es 96. Vemos entonces que se está cumpliendo la igualdad y por lo tanto nuestra solución x igual a 5 es correcta.

[{"start": 0.0, "end": 13.0, "text": " Miren este ejemplo donde nos dan esta figura y esta informaci\u00f3n."}, {"start": 13.0, "end": 17.0, "text": " Nos dan dos cuerdas que se est\u00e1n cortando."}, {"start": 17.0, "end": 30.0, "text": " All\u00ed se observan los segmentos, aqu\u00ed est\u00e1n las medidas de esos segmentos en t\u00e9rminos de X y nos van a preguntar cu\u00e1nto vale X."}, {"start": 30.0, "end": 34.0, "text": " Esa ser\u00e1 entonces la pregunta en este ejercicio."}, {"start": 34.0, "end": 40.0, "text": " Entonces comenzamos por aplicar la propiedad de las cuerdas que se cortan."}, {"start": 40.0, "end": 61.0, "text": " El producto de este segmento por este, es decir, Kp por Pj es igual al producto de este segmento por este de ac\u00e1, es decir, Qp por Pl."}, {"start": 61.0, "end": 72.0, "text": " Aplicamos esa propiedad y entonces vamos a sustituir cada medida de cada segmento por el equivalente que nos dan en los datos."}, {"start": 72.0, "end": 84.0, "text": " Entonces tenemos que Kp vale X m\u00e1s 1 por Pj que equivale a 3X m\u00e1s 1."}, {"start": 84.0, "end": 102.0, "text": " Esto es igual a Qp o Pq que equivale a X m\u00e1s 7 multiplicado por Pl o el segmento Lp que equivale a X m\u00e1s 3."}, {"start": 102.0, "end": 106.0, "text": " Vamos a realizar entonces el desarrollo de esta ecuaci\u00f3n."}, {"start": 106.0, "end": 112.0, "text": " Vamos a efectuar cada producto, aqu\u00ed tenemos producto de dos binomios y aqu\u00ed tambi\u00e9n."}, {"start": 112.0, "end": 117.0, "text": " Entonces vamos haciendo propiedad distributiva con cada uno de los t\u00e9rminos."}, {"start": 117.0, "end": 132.0, "text": " Veamos, X por 3X nos da 3X al cuadrado, X por m\u00e1s 1 nos queda m\u00e1s X, m\u00e1s 1 por 3X nos da m\u00e1s 3X y m\u00e1s 1 por m\u00e1s 1 nos queda m\u00e1s 1."}, {"start": 132.0, "end": 151.0, "text": " En el otro lado tenemos X por X, X al cuadrado, X por m\u00e1s 3 nos da m\u00e1s 3X, m\u00e1s 7 por X nos queda m\u00e1s 7X y m\u00e1s 7 por m\u00e1s 3 nos da m\u00e1s 21."}, {"start": 151.0, "end": 166.0, "text": " Vamos a reducir t\u00e9rminos semejantes en cada lado, ac\u00e1 tenemos 3X al cuadrado, m\u00e1s podemos sumar estos dos, X m\u00e1s 3X nos da 4X, queda m\u00e1s 1."}, {"start": 166.0, "end": 179.0, "text": " Y en este lado tenemos X al cuadrado, m\u00e1s la suma de 3X con 7X nos da 10X y todo eso m\u00e1s 21."}, {"start": 179.0, "end": 188.0, "text": " Y esto empieza a tomar forma de ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica, nos damos cuenta porque la variable X aparece elevada al cuadrado."}, {"start": 188.0, "end": 195.0, "text": " Entonces vamos a pasar estos t\u00e9rminos para el lado de all\u00e1, para el lado izquierdo, buscando que ac\u00e1 nos quede 0."}, {"start": 195.0, "end": 210.0, "text": " Nos queda entonces as\u00ed, 3X al cuadrado, m\u00e1s 4X m\u00e1s 1, menos X al cuadrado, menos 10X, menos 21 y todo esto igual a 0."}, {"start": 210.0, "end": 221.0, "text": " Reducimos t\u00e9rminos semejantes, vamos a quitar esto de aqu\u00ed y nos queda as\u00ed, 3X al cuadrado, menos X al cuadrado nos da 2X al cuadrado."}, {"start": 221.0, "end": 233.0, "text": " 4X menos 10X nos queda menos 6X y 1 menos 21 nos da menos 20 y todo esto igualado a 0."}, {"start": 233.0, "end": 243.0, "text": " Tenemos entonces una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica que incluso podemos simplificar debido a que todos los n\u00fameros son divisibles entre 2."}, {"start": 243.0, "end": 257.0, "text": " Entonces podemos colocar esa instrucci\u00f3n, dividimos todo por 2 a los dos lados y nos queda as\u00ed, X al cuadrado, menos 3X, menos 10"}, {"start": 257.0, "end": 262.0, "text": " y al otro lado 0 dividido entre 2 sigue siendo 0."}, {"start": 262.0, "end": 270.0, "text": " All\u00ed tenemos la ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica que se ha convertido incluso en ecuaci\u00f3n m\u00f3nica porque tiene coeficiente principal 1."}, {"start": 270.0, "end": 276.0, "text": " Y vamos a resolverla por ejemplo por el m\u00e9todo de factorizaci\u00f3n."}, {"start": 276.0, "end": 288.0, "text": " Tenemos entonces que la factorizaci\u00f3n de este trinomio que la hacemos por el caso llamado trinomio de la forma X cuadrado m\u00e1s BX m\u00e1s C nos queda as\u00ed,"}, {"start": 288.0, "end": 293.0, "text": " 2 par\u00e9ntesis, eso est\u00e1 igualado a 0, este de ac\u00e1."}, {"start": 293.0, "end": 299.0, "text": " Y entonces sacamos la ra\u00edz cuadrada de este t\u00e9rmino que ser\u00eda X, la anotamos al comienzo de cada par\u00e9ntesis."}, {"start": 299.0, "end": 307.0, "text": " Hacemos producto de signos, m\u00e1s por menos nos da menos, da el signo del primer par\u00e9ntesis, menos por menos nos da m\u00e1s,"}, {"start": 307.0, "end": 317.0, "text": " nos da el signo del segundo par\u00e9ntesis y buscamos dos n\u00fameros, uno negativo y otro positivo que multiplicados entre s\u00ed nos den menos 10"}, {"start": 317.0, "end": 320.0, "text": " y que sumados entre s\u00ed nos den menos 3."}, {"start": 320.0, "end": 335.0, "text": " Esos dos n\u00fameros son menos 5 y 2, vamos a verificar, menos 5 por m\u00e1s 2 nos da menos 10 y menos 5 sumado con 2 nos da menos 3."}, {"start": 335.0, "end": 338.0, "text": " Quiere decir que son correctos esos n\u00fameros."}, {"start": 338.0, "end": 343.0, "text": " Y a continuaci\u00f3n vamos a utilizar aqu\u00ed el teorema del factor nulo."}, {"start": 343.0, "end": 353.0, "text": " Recordemos que ese teorema dice lo siguiente, si A por B es igual a 0, si el producto de dos cantidades es 0,"}, {"start": 353.0, "end": 359.0, "text": " entonces cada una de ellas tiene la oportunidad de ser 0."}, {"start": 359.0, "end": 364.0, "text": " Entonces A es igual a 0 o B es igual a 0."}, {"start": 364.0, "end": 378.0, "text": " Entonces en este caso tenemos que el factor x menos 5 se iguala a 0, este hace el papel de la A o este factor x m\u00e1s 2 se iguala a 0,"}, {"start": 378.0, "end": 382.0, "text": " este hace el papel de la B."}, {"start": 382.0, "end": 391.0, "text": " Despejamos para x en cada caso, por ac\u00e1 nos da que x equivale a 5 y por ac\u00e1 x equivale a menos 2."}, {"start": 391.0, "end": 401.0, "text": " Pero como x est\u00e1 involucrado en lo que son medidas de segmentos, no podemos considerar el caso de menos 2, por ejemplo aqu\u00ed tendr\u00edamos problemas."}, {"start": 401.0, "end": 410.0, "text": " Si x se reemplaza aqu\u00ed, menos 2 m\u00e1s 1 nos dar\u00eda menos 1 y tendr\u00edamos un segmento de longitud negativa, lo cual es completamente il\u00f3gico."}, {"start": 410.0, "end": 414.0, "text": " Entonces esta opci\u00f3n se descarta y nos quedamos con esta."}, {"start": 414.0, "end": 423.0, "text": " Entonces en este problema el valor de x es 5."}, {"start": 423.0, "end": 435.0, "text": " Podr\u00edamos verificar si todo esto nos qued\u00f3 bien haciendo lo siguiente, como x nos dio 5, entonces encontramos la medida de cada segmento que nos dan al comienzo."}, {"start": 435.0, "end": 447.0, "text": " Veamos, 5 m\u00e1s 1 nos da 6, 5 m\u00e1s 3 nos da 8, 5 m\u00e1s 7 son 12 y aqu\u00ed 3 por 5 son 15, 15 m\u00e1s 1 es 16."}, {"start": 447.0, "end": 450.0, "text": " Vamos a llevar estos valores a la figura."}, {"start": 450.0, "end": 463.0, "text": " Tenemos entonces que el segmento KP vale 6, o sea este de aqu\u00ed, el segmento LP vale 8, el segmento PQ vale 12"}, {"start": 463.0, "end": 467.0, "text": " y el segmento PJ vale 16."}, {"start": 467.0, "end": 471.0, "text": " Y pongamos a prueba la propiedad de las cuerdas que se cortan."}, {"start": 471.0, "end": 483.0, "text": " Dice la propiedad que este segmento por este, es decir 16 por 6, tiene que ser igual al producto de estos dos segmentos, es decir 12 por 8."}, {"start": 483.0, "end": 492.0, "text": " Si efectuamos cada multiplicaci\u00f3n vemos que 16 por 6 nos da 96 y 12 por 8 es 96."}, {"start": 492.0, "end": 502.0, "text": " Vemos entonces que se est\u00e1 cumpliendo la igualdad y por lo tanto nuestra soluci\u00f3n x igual a 5 es correcta."}]

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CUERDAS QUE SE CORTAN EN UNA CIRCUNFERENCIA (Parte 1)

#julioprofe demuestra la propiedad que cumplen dos cuerdas que se cortan en una circunferencia. Luego, explica un ejemplo. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

Si en una circunferencia trazamos un segmento que une dos puntos A y B de la circunferencia, entonces tenemos lo que se llama una cuerda. Si se define cuerda como el segmento que une dos puntos de la circunferencia. En este caso tenemos la cuerda AB. Si desde el punto A trazamos otra cuerda, es decir otro segmento en la circunferencia que llega a este punto que vamos a llamar C. Entonces tenemos este ángulo que se llama ángulo inscrito. Entonces ángulo inscrito es aquel que tiene su vértice en la circunferencia, sobre la línea y sus lados son cuerdas de la circunferencia. En este caso tenemos el ángulo BAC. Se denota con las tres letras colocando en el centro la letra correspondiente al vértice. Vemos que este ángulo subtiende o abarca este arco llamado BC. Entonces la medida del ángulo inscrito, en este caso la medida del ángulo BAC, será igual a la mitad del arco que subtiende. Es decir, será la medida del arco BC dividida entre dos. Usualmente estos arcos se denotan en grados, por lo tanto si por ejemplo este arco vale 60 grados, entonces este ángulo vale la mitad de 60 grados, es decir 30 grados. Siempre la medida de un ángulo inscrito será la mitad del arco que subtiende. Bien, ahora conseguiremos el siguiente caso. Tenemos una circunferencia con centro NO y hemos dibujado dos cuerdas que vamos a llamar la cuerda AB y la cuerda CD. Cuerdas que se intersectan en el punto que vamos a llamar B. Entonces vemos que las cuerdas quedan divididas en segmentos. Por ejemplo la cuerda AB queda dividida en el segmento AP y el segmento PB. Y la cuerda DC queda dividida en el segmento DP y el segmento PC. Si unimos el punto A con el punto D con un segmento y el punto C con el punto B con otro segmento, es decir, otras dos cuerdas, entonces vemos dos triángulos que se nos forman que son el triángulo APD y el triángulo CPB. Y entonces vamos a mirar en esos triángulos las siguientes características. Tenemos que este ángulo, el ángulo DAB es un ángulo inscrito porque tiene su vértice sobre la circunferencia, es decir, el punto A y sus lados son las cuerdas AD y AB. Igual sucede con este ángulo que también tiene su vértice sobre la circunferencia, que es el punto C, y sus lados son las cuerdas CD y CB. Pero observamos que estos dos ángulos inscritos subtienden el mismo arco de B. Por lo tanto, sus medidas van a ser iguales. Entonces podemos marcarlos como ángulos congruentes, ángulos que tienen la misma medida. Son ángulos inscritos que subtienden el mismo arco. Situación similar sucede para estos dos ángulos. Así que el ángulo ADC y el ángulo ABC son ángulos inscritos, también congruentes, que vamos a marcar con estas tres líneas, porque subtienden el mismo arco AC. Ambos ángulos formados por cuerdas comprenden el mismo arco, por lo tanto tienen la misma medida. Entonces son congruentes. Y también tenemos el caso de este ángulo, que es congruente con este. Vamos a colocarle esta marquita. Estos ángulos se llaman opuestos por el vértice. Tienen la misma medida. Tenemos entonces dos triángulos que tienen exactamente los mismos ángulos. Vemos que el triángulo ADP, que se representa de esta manera, y el triángulo CPB tienen exactamente los mismos ángulos. Aquí los podemos apreciar. Por lo tanto, son triángulos semejantes. Este es el símbolo de semejanza, en este caso entre triángulos. Y la justificación de eso es el criterio o el postulado ángulo-ángulo-ángulo. Por tener exactamente los mismos ángulos, las dos figuras, es decir, los dos triángulos, son semejantes. Por tratarse de triángulos semejantes, podemos armar una proporción entre lados correspondientes. Por ejemplo, podríamos tomar este lado con este y este con este, guiándonos por las marcas o los colores que utilizamos. Entonces decimos AP es APC, como DP es APB. Hemos armado una proporción. Recordemos que en matemáticas una proporción es la igualdad de dos razones. Es la comparación de lados. Entonces este lado con este guarda la misma relación que este con este de acá. Y en toda proporción recordemos que se cumple que el producto de los extremos, que son estos dos elementos, es igual al producto de los medios, que son estos dos de acá. Entonces tenemos que AP por PB es igual a PC por DP. Esta propiedad es la que cumplen dos cuerdas que se cortan en una circunferencia. Que tenemos aquí? Que el segmento AP multiplicado por la medida del segmento PB es igual a la medida de PC por la medida del segmento DP. Entonces esto dice en palabras así. Si dos cuerdas se cortan en una circunferencia, entonces el producto de los segmentos en que quedan divididas dichas cuerdas es igual. Aquí tenemos entonces la propiedad demostrada. Veamos un ejemplo de aplicación de esta propiedad. Vemos que tenemos las mismas dos cuerdas y tenemos unos valores. El segmento AP vale 10, el segmento PB vale 6, el segmento PT vale 15. Y nos preguntan por la medida del segmento PC que hemos llamado X. Entonces aplicando la propiedad que mencionábamos ahora y que demostramos, la propiedad de las cuerdas tenemos que AP por PB. Este segmento por este tiene que ser igual a este por este. Es decir CP por PD. Entonces, reemplazamos los valores. AP vale 10 por PB que vale 6. Esto es igual a CP que es X. El tramo desconocido por PD que vale 15. Y tenemos entonces una ecuación de donde tenemos que despejar X. Vamos a pasar este 15 que está multiplicando a dividir al otro lado. Aquí tenemos 10 por 6 y nos queda dividido entre 15. Allí podríamos simplificar por ejemplo 10 con 15. Le sacamos quinta. Quinta de 10 es 2. Quinta de 15 es 3. Y podríamos sacarle también tercera a 3 y a 6. Tercera de 3 es 1. Tercera de 6 nos da 2. ¿Qué nos quedó? 2 por 2 que es 4. Por lo tanto, X vale 4. Sería entonces la medida del segmento CP.

[{"start": 0.0, "end": 16.0, "text": " Si en una circunferencia trazamos un segmento que une dos puntos A y B de la circunferencia, entonces tenemos lo que se llama una cuerda."}, {"start": 16.0, "end": 23.0, "text": " Si se define cuerda como el segmento que une dos puntos de la circunferencia."}, {"start": 23.0, "end": 26.0, "text": " En este caso tenemos la cuerda AB."}, {"start": 26.0, "end": 40.0, "text": " Si desde el punto A trazamos otra cuerda, es decir otro segmento en la circunferencia que llega a este punto que vamos a llamar C."}, {"start": 40.0, "end": 48.0, "text": " Entonces tenemos este \u00e1ngulo que se llama \u00e1ngulo inscrito."}, {"start": 48.0, "end": 61.0, "text": " Entonces \u00e1ngulo inscrito es aquel que tiene su v\u00e9rtice en la circunferencia, sobre la l\u00ednea y sus lados son cuerdas de la circunferencia."}, {"start": 61.0, "end": 66.0, "text": " En este caso tenemos el \u00e1ngulo BAC."}, {"start": 66.0, "end": 73.0, "text": " Se denota con las tres letras colocando en el centro la letra correspondiente al v\u00e9rtice."}, {"start": 73.0, "end": 81.0, "text": " Vemos que este \u00e1ngulo subtiende o abarca este arco llamado BC."}, {"start": 81.0, "end": 95.0, "text": " Entonces la medida del \u00e1ngulo inscrito, en este caso la medida del \u00e1ngulo BAC, ser\u00e1 igual a la mitad del arco que subtiende."}, {"start": 95.0, "end": 102.0, "text": " Es decir, ser\u00e1 la medida del arco BC dividida entre dos."}, {"start": 102.0, "end": 117.0, "text": " Usualmente estos arcos se denotan en grados, por lo tanto si por ejemplo este arco vale 60 grados, entonces este \u00e1ngulo vale la mitad de 60 grados, es decir 30 grados."}, {"start": 117.0, "end": 124.0, "text": " Siempre la medida de un \u00e1ngulo inscrito ser\u00e1 la mitad del arco que subtiende."}, {"start": 124.0, "end": 127.0, "text": " Bien, ahora conseguiremos el siguiente caso."}, {"start": 127.0, "end": 139.0, "text": " Tenemos una circunferencia con centro NO y hemos dibujado dos cuerdas que vamos a llamar la cuerda AB y la cuerda CD."}, {"start": 139.0, "end": 144.0, "text": " Cuerdas que se intersectan en el punto que vamos a llamar B."}, {"start": 144.0, "end": 149.0, "text": " Entonces vemos que las cuerdas quedan divididas en segmentos."}, {"start": 149.0, "end": 157.0, "text": " Por ejemplo la cuerda AB queda dividida en el segmento AP y el segmento PB."}, {"start": 157.0, "end": 164.0, "text": " Y la cuerda DC queda dividida en el segmento DP y el segmento PC."}, {"start": 164.0, "end": 175.0, "text": " Si unimos el punto A con el punto D con un segmento y el punto C con el punto B con otro segmento, es decir, otras dos cuerdas,"}, {"start": 175.0, "end": 185.0, "text": " entonces vemos dos tri\u00e1ngulos que se nos forman que son el tri\u00e1ngulo APD y el tri\u00e1ngulo CPB."}, {"start": 185.0, "end": 190.0, "text": " Y entonces vamos a mirar en esos tri\u00e1ngulos las siguientes caracter\u00edsticas."}, {"start": 190.0, "end": 200.0, "text": " Tenemos que este \u00e1ngulo, el \u00e1ngulo DAB es un \u00e1ngulo inscrito porque tiene su v\u00e9rtice sobre la circunferencia,"}, {"start": 200.0, "end": 206.0, "text": " es decir, el punto A y sus lados son las cuerdas AD y AB."}, {"start": 206.0, "end": 219.0, "text": " Igual sucede con este \u00e1ngulo que tambi\u00e9n tiene su v\u00e9rtice sobre la circunferencia, que es el punto C, y sus lados son las cuerdas CD y CB."}, {"start": 219.0, "end": 227.0, "text": " Pero observamos que estos dos \u00e1ngulos inscritos subtienden el mismo arco de B."}, {"start": 227.0, "end": 231.0, "text": " Por lo tanto, sus medidas van a ser iguales."}, {"start": 231.0, "end": 238.0, "text": " Entonces podemos marcarlos como \u00e1ngulos congruentes, \u00e1ngulos que tienen la misma medida."}, {"start": 238.0, "end": 243.0, "text": " Son \u00e1ngulos inscritos que subtienden el mismo arco."}, {"start": 243.0, "end": 248.0, "text": " Situaci\u00f3n similar sucede para estos dos \u00e1ngulos."}, {"start": 248.0, "end": 262.0, "text": " As\u00ed que el \u00e1ngulo ADC y el \u00e1ngulo ABC son \u00e1ngulos inscritos, tambi\u00e9n congruentes, que vamos a marcar con estas tres l\u00edneas,"}, {"start": 262.0, "end": 266.0, "text": " porque subtienden el mismo arco AC."}, {"start": 266.0, "end": 275.0, "text": " Ambos \u00e1ngulos formados por cuerdas comprenden el mismo arco, por lo tanto tienen la misma medida."}, {"start": 275.0, "end": 278.0, "text": " Entonces son congruentes."}, {"start": 278.0, "end": 283.0, "text": " Y tambi\u00e9n tenemos el caso de este \u00e1ngulo, que es congruente con este."}, {"start": 283.0, "end": 286.0, "text": " Vamos a colocarle esta marquita."}, {"start": 286.0, "end": 290.0, "text": " Estos \u00e1ngulos se llaman opuestos por el v\u00e9rtice."}, {"start": 290.0, "end": 293.0, "text": " Tienen la misma medida."}, {"start": 293.0, "end": 299.0, "text": " Tenemos entonces dos tri\u00e1ngulos que tienen exactamente los mismos \u00e1ngulos."}, {"start": 299.0, "end": 316.0, "text": " Vemos que el tri\u00e1ngulo ADP, que se representa de esta manera, y el tri\u00e1ngulo CPB tienen exactamente los mismos \u00e1ngulos."}, {"start": 316.0, "end": 319.0, "text": " Aqu\u00ed los podemos apreciar."}, {"start": 319.0, "end": 322.0, "text": " Por lo tanto, son tri\u00e1ngulos semejantes."}, {"start": 322.0, "end": 327.0, "text": " Este es el s\u00edmbolo de semejanza, en este caso entre tri\u00e1ngulos."}, {"start": 327.0, "end": 334.0, "text": " Y la justificaci\u00f3n de eso es el criterio o el postulado \u00e1ngulo-\u00e1ngulo-\u00e1ngulo."}, {"start": 334.0, "end": 343.0, "text": " Por tener exactamente los mismos \u00e1ngulos, las dos figuras, es decir, los dos tri\u00e1ngulos, son semejantes."}, {"start": 343.0, "end": 351.0, "text": " Por tratarse de tri\u00e1ngulos semejantes, podemos armar una proporci\u00f3n entre lados correspondientes."}, {"start": 351.0, "end": 363.0, "text": " Por ejemplo, podr\u00edamos tomar este lado con este y este con este, gui\u00e1ndonos por las marcas o los colores que utilizamos."}, {"start": 363.0, "end": 379.0, "text": " Entonces decimos AP es APC, como DP es APB."}, {"start": 379.0, "end": 388.0, "text": " Hemos armado una proporci\u00f3n. Recordemos que en matem\u00e1ticas una proporci\u00f3n es la igualdad de dos razones."}, {"start": 388.0, "end": 390.0, "text": " Es la comparaci\u00f3n de lados."}, {"start": 390.0, "end": 396.0, "text": " Entonces este lado con este guarda la misma relaci\u00f3n que este con este de ac\u00e1."}, {"start": 396.0, "end": 408.0, "text": " Y en toda proporci\u00f3n recordemos que se cumple que el producto de los extremos, que son estos dos elementos, es igual al producto de los medios, que son estos dos de ac\u00e1."}, {"start": 408.0, "end": 421.0, "text": " Entonces tenemos que AP por PB es igual a PC por DP."}, {"start": 421.0, "end": 428.0, "text": " Esta propiedad es la que cumplen dos cuerdas que se cortan en una circunferencia."}, {"start": 428.0, "end": 442.0, "text": " Que tenemos aqu\u00ed? Que el segmento AP multiplicado por la medida del segmento PB es igual a la medida de PC por la medida del segmento DP."}, {"start": 442.0, "end": 445.0, "text": " Entonces esto dice en palabras as\u00ed."}, {"start": 445.0, "end": 458.0, "text": " Si dos cuerdas se cortan en una circunferencia, entonces el producto de los segmentos en que quedan divididas dichas cuerdas es igual."}, {"start": 458.0, "end": 462.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos entonces la propiedad demostrada."}, {"start": 466.0, "end": 470.0, "text": " Veamos un ejemplo de aplicaci\u00f3n de esta propiedad."}, {"start": 470.0, "end": 476.0, "text": " Vemos que tenemos las mismas dos cuerdas y tenemos unos valores."}, {"start": 476.0, "end": 484.0, "text": " El segmento AP vale 10, el segmento PB vale 6, el segmento PT vale 15."}, {"start": 484.0, "end": 490.0, "text": " Y nos preguntan por la medida del segmento PC que hemos llamado X."}, {"start": 490.0, "end": 504.0, "text": " Entonces aplicando la propiedad que mencion\u00e1bamos ahora y que demostramos, la propiedad de las cuerdas tenemos que AP por PB."}, {"start": 504.0, "end": 510.0, "text": " Este segmento por este tiene que ser igual a este por este."}, {"start": 510.0, "end": 515.0, "text": " Es decir CP por PD."}, {"start": 515.0, "end": 520.0, "text": " Entonces, reemplazamos los valores."}, {"start": 520.0, "end": 527.0, "text": " AP vale 10 por PB que vale 6."}, {"start": 527.0, "end": 531.0, "text": " Esto es igual a CP que es X."}, {"start": 531.0, "end": 535.0, "text": " El tramo desconocido por PD que vale 15."}, {"start": 535.0, "end": 541.0, "text": " Y tenemos entonces una ecuaci\u00f3n de donde tenemos que despejar X."}, {"start": 541.0, "end": 546.0, "text": " Vamos a pasar este 15 que est\u00e1 multiplicando a dividir al otro lado."}, {"start": 546.0, "end": 552.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos 10 por 6 y nos queda dividido entre 15."}, {"start": 552.0, "end": 556.0, "text": " All\u00ed podr\u00edamos simplificar por ejemplo 10 con 15."}, {"start": 556.0, "end": 561.0, "text": " Le sacamos quinta. Quinta de 10 es 2. Quinta de 15 es 3."}, {"start": 561.0, "end": 565.0, "text": " Y podr\u00edamos sacarle tambi\u00e9n tercera a 3 y a 6."}, {"start": 565.0, "end": 570.0, "text": " Tercera de 3 es 1. Tercera de 6 nos da 2."}, {"start": 570.0, "end": 576.0, "text": " \u00bfQu\u00e9 nos qued\u00f3? 2 por 2 que es 4. Por lo tanto, X vale 4."}, {"start": 576.0, "end": 605.0, "text": " Ser\u00eda entonces la medida del segmento CP."}]

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Problema 2 con ECUACIONES CUADRÁTICAS

#julioprofe explica cómo resolver un problema de geometría, que involucra una ecuación cuadrática y el uso del Teorema de Pitágoras: En un triángulo rectángulo un cateto excede al otro en 3 cm. Determinar el perímetro del triángulo si su área es 54 cm². REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

En un triángulo rectángulo un cateto excede al otro en 3 centímetros. Determinar el perímetro del triángulo si su área es 54 centímetros cuadrados. Para resolver este problema hacemos un dibujo de un triángulo rectángulo. Recordemos que triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto o ángulo de 90 grados. Los lados que forman ese ángulo recto se llaman catetos y este lado, el que se opone al ángulo recto se llama la hipotenusa. Entonces nos dice el problema que un cateto excede al otro en 3 centímetros. Podríamos llamar a este cateto el menor como x y por lo tanto este lo expresamos como x más 3. Debido a que este es mayor que este en 3 centímetros. Entonces allí tenemos ya la información que nos da el problema traducida en términos matemáticos. Nos dice también el problema que este triángulo tiene un área de 54 centímetros cuadrados. Entonces vamos a plantear una ecuación que nos permita encontrar el área de ese triángulo. Recordemos que el área de un triángulo se obtiene multiplicando la base por la altura y todo eso dividido entre 2. En este caso esta puede ser la base y esta puede ser la altura. Recordemos que la condición para la base y la altura es que sean perpendiculares que formen 90 grados. Efectivamente allí tenemos ángulo recto entre estos dos lados. Entonces decimos el área es igual a 54 igual a la base que sería x más 3 por la altura que sería x y todo esto dividido entre 2. Podríamos pasar este 2 que se encuentra dividiendo a multiplicar al otro lado. Entonces nos queda 54 por 2 igual a x más 3 todo esto por x. 54 por 2 nos da 108 y aquí vamos a realizar la propiedad distributiva. Entonces tenemos x por x, x al cuadrado más x por 3 que sería 3x. Pasando este 108 para el lado derecho nos queda aquí 0, 0 es igual a x al cuadrado más 3x menos 108 y tenemos una ecuación cuadrática. Vamos a reescribirla como suele darse el modelo. Allí tenemos la ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado cuyo modelo dice a x al cuadrado más bx más c igual a 0. Vamos a resolver esta ecuación cuadrática por el método de factorización. Esto es un trinomio de la forma x al cuadrado más bx más c. Entonces recordemos que se factoriza así, se abren dos paréntesis, se le saca la raíz cuadrada a este término, es decir x, y se escribe al comienzo de cada paréntesis. Luego decimos más por más nos da más, signo del primer paréntesis, más por menos nos da menos, signo del segundo paréntesis y todo esto está igualado a 0. Ahora debemos buscar dos números, uno positivo y otro negativo que multiplicados entre sí nos den menos 108 y que sumados entre sí nos den 3. Para facilitar la búsqueda de esos dos números entonces podemos descomponer el 108. Vamos a descomponerlo en factores primos, sacamos mitad de 108 es 54, mitad de 54 es 27, aquí sacamos tercera de 27 nos da 9, tercera de 9 nos da 3 y tercera de 3 es 1. Entonces empezamos a buscar parejas de números, los sacamos de este listado de factores tales que sumados entre sí nos den 3. Recordemos que uno de ellos será positivo y el otro será negativo, por ejemplo tomemos estos dos, 2x2 es 4 y 3x3 es 9, 9x3 es 27. Como la suma de ellos debe darnos 3 positivo entonces 27 debe ser el positivo y 4 el negativo, entonces la suma de estos dos nos daría 23, luego no sirve entonces descartamos esta posibilidad. Ahora ensayemos esta, tomemos estos tres números 2x2 es 4, 4x3 es 12 y 3x3 es 9. Como la suma debe dar 3 entonces el positivo será el mayor y obviamente el otro será el negativo. Si sumamos 12 con menos 9 efectivamente nos da 3, o sea que esta es la pareja que buscamos, entonces el 12 lo escribimos por aquí y el menos 9 queda aquí. Entonces tenemos que 12 por menos 9 da menos 108 y 12 sumado con menos 9 nos da este 3. Después de haber factorizado la expresión entonces aplicamos el teorema del factor nulo. Entonces este teorema dice lo siguiente, si a por b es igual a 0 entonces a es igual a 0 o b es igual a 0. Entonces aquí tenemos la multiplicación de 12 expresiones igualadas a 0, hacemos de cuenta que esto es a y esto es b y aplicamos este teorema. Entonces cada factor debe igualarse a 0, x más 12 es igual a 0 o x menos 9 es igual a 0. Resolvemos para x en cada caso, por acá nos queda que x es igual a menos 12 y por acá x es igual a 9. Como estamos buscando lados de un triángulo no podemos aceptar un valor negativo por lo tanto esto se descarta, sería algo ilógico para el problema que estamos trabajando. Y entonces nos quedamos con esta opción, si x es igual a 9 centímetros, aquí tendríamos el valor del cateto menor. Regresamos al triángulo rectángulo original donde ya conocemos x, x es igual a 9 centímetros, por lo tanto ya podemos encontrar este cateto, sería 9 más 3 es decir 12 centímetros. Claro aquí observamos que este cateto excede a este en 3 centímetros. Bien, nos pregunta el problema por el perímetro de este triángulo, es decir por la suma de sus lados, desconocemos el valor de la hipotenusa. Entonces vamos a encontrarla utilizando el teorema de Pitágoras. Recordemos que el teorema de Pitágoras dice que en todo triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa, a y b son los catetos, c es la hipotenusa. Esta expresión entonces es la que vamos a utilizar para encontrar el valor de la hipotenusa, vamos a llamarla c, tal como aparece en este triángulo. Entonces tenemos que 12 al cuadrado, este cateto al cuadrado, más 9 al cuadrado, este otro cateto al cuadrado, es igual a la hipotenusa que es c al cuadrado. Allí estamos aplicando el teorema de Pitágoras, 12 al cuadrado nos da 144, más 9 al cuadrado que es 81, es igual a c al cuadrado. Esta suma nos da 225 y esto es igual a c al cuadrado. Sacamos raíz cuadrada a ambos lados, raíz cuadrada de 225 es igual a raíz cuadrada de c al cuadrado y entonces la raíz cuadrada de este número es igual a 15. Y por este lado nos da c, pero legalmente debemos considerar las dos opciones, la positiva y la negativa. Pero nuevamente como c es una longitud en este triángulo, entonces debemos descartar la opción negativa, por lo tanto c equivale a 15 centímetros. Este sería entonces el valor de la hipotenusa del triángulo rectángulo. Entonces ya podemos escribir las medidas de los lados de este triángulo rectángulo. Ya conocemos el valor de la hipotenusa y el valor de los catetos. Entonces este cateto vale 9 centímetros, este vale 12 centímetros y la hipotenusa que nos dio 15 centímetros. Conocidos los tres lados de ese triángulo podemos encontrar el perímetro que vamos a llamar p. Recordemos que es la suma de los lados, entonces tenemos 15 más 12 más 9, todo esto en centímetros y eso nos da un total de 36 centímetros. Ese sería el perímetro de ese triángulo y de esta manera terminamos este problema.

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es la que vamos a utilizar para encontrar el valor de la hipotenusa, vamos a llamarla c, tal como aparece en este tri\u00e1ngulo."}, {"start": 502.0, "end": 517.0, "text": " Entonces tenemos que 12 al cuadrado, este cateto al cuadrado, m\u00e1s 9 al cuadrado, este otro cateto al cuadrado, es igual a la hipotenusa que es c al cuadrado."}, {"start": 517.0, "end": 528.0, "text": " All\u00ed estamos aplicando el teorema de Pit\u00e1goras, 12 al cuadrado nos da 144, m\u00e1s 9 al cuadrado que es 81, es igual a c al cuadrado."}, {"start": 528.0, "end": 534.0, "text": " Esta suma nos da 225 y esto es igual a c al cuadrado."}, {"start": 534.0, "end": 549.0, "text": " Sacamos ra\u00edz cuadrada a ambos lados, ra\u00edz cuadrada de 225 es igual a ra\u00edz cuadrada de c al cuadrado y entonces la ra\u00edz cuadrada de este n\u00famero es igual a 15."}, {"start": 549.0, "end": 558.0, "text": " Y por este lado nos da c, pero legalmente debemos considerar las dos opciones, la positiva y la 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ECUACIONES CUADRÁTICAS POR MÉTODO GRÁFICO - Ejercicio 2

#julioprofe explica cómo resolver una ecuación cuadrática usando regla y compás. Al final, se comprueba solucionando la ecuación por la fórmula cuadrática. Tema: #EcuacionesCuadráticas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEpWydxanXYPVtKm67Wn9HN REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a mostrar como se resuelve esta ecuación cuadratica por un método gráfico. Para comenzar debemos convertir esta ecuación en ecuación mónica. Es decir, una ecuación que tenga coeficiente principal 1. Necesitamos que aquí haya un 1. Entonces vamos a dividir toda la ecuación entre 2. De esa manera conseguiríamos el 1 que necesito como coeficiente principal. Es como si dividiéramos cada término entre 2 a ambos lados de la ecuación. Entonces por acá nos queda x al cuadrado, ya nos queda con coeficiente 1, menos 7 medios de x, más 5 medios, igual a 0. Ya tenemos la ecuación cuadratica expresada como ecuación mónica, donde el coeficiente principal es 1. Vamos a determinar entonces los valores de a, b y c. Entonces a equivale a 1, b equivale a menos 7 medios y c equivale a 5 medios. Vamos a ir al plano cartesiano a localizar esta información y a dar solución a nuestra ecuación por el método gráfico. Bien, allí tenemos el plano cartesiano y en él vamos a localizar los valores de a, b y c. Entonces partimos siempre del origen, este punto que vamos a llamar el punto o. A siempre la localizamos en la dirección del eje y o eje y. Es positiva esa distancia, entonces nos movemos hacia arriba, una unidad y tenemos el punto a. Para localizar b, debemos movernos en la dirección del eje x, para obtener el punto b. A partir del origen nos movemos menos 7 medios en la dirección del eje x, es decir hacia la izquierda. Eso sería como localizar menos 3.5, aquí, ese sería entonces el punto b. Y para localizar c nos movemos de nuevo en el eje y o eje y, sería hacia arriba por ser positiva. Y eso nos va a permitir encontrar el punto c. Entonces tenemos 5 medios, es decir 2.5, aquí queda localizado el punto c. Después de tener localizados los puntos a, b y c hacemos lo siguiente. Buscamos el opuesto del punto b, con relación al origen, es decir sobre el eje x nos movemos una distancia de 3.5 unidades a la derecha a partir del origen. Y llegamos aquí a este punto que vamos a llamar b'. Es el opuesto del punto b con relación al origen. Y ahora vamos a movernos a partir de b' hacia arriba y a partir de c hacia la derecha hasta que se encuentren en un punto que vamos a llamar d. Nos movemos verticalmente por b', horizontalmente por c y donde se encuentren allí tendremos el punto d que tendrá coordenada 7 medios, 5 medios. A continuación vamos a trazar con una regla el segmento a, d. Allí tenemos el segmento a, d y vamos a encontrar analíticamente la coordenada del punto medio de ese segmento. Ese punto lo vamos a llamar m y se obtiene con la siguiente formulita. x1 más x2 sobre 2, y1 más y2 sobre 2. Con esta formulita encontramos el punto medio del segmento a, d. Entonces, ¿quién es a? a es la coordenada 0,1 que hace el papel de x1 y1 y d, el otro extremo del segmento, tiene coordenada 7 medios, 5 medios. Y esta coordenada hace el papel de x2 y2. Si reemplazamos estos valores de x1 y x2 aquí en esta parte, vamos a tener para el punto m lo siguiente. x1 más x2 sería 0 más 7 medios, eso nos da 7 medios. 7 medios dividido entre 2 nos queda 7 cuartos. Es la coordenada en x del punto m. Para la coordenada en y, sumamos y1 y y2. Entonces, 1 más 5 medios, eso nos da 7 medios. Y 7 medios dividido entre 2 nos da como resultado 7 cuartos. Por lo tanto, ya tenemos el punto m, que sería entonces 7 cuartos, eso es aproximadamente por aquí. Es como dividir la unidad en cuartos y contar 7 pedacitos. Llegamos aquí a 7 cuartos, y acá lo mismo, llegamos como a este lugar. Y entonces, donde se encuentren, es decir, por aquí, tendremos localizado el punto m, que es el punto medio del segmento a, d. Ahora, utilizando un compás, vamos a trazar la circunferencia que tiene centro en m y que pasa por los puntos a y d. Como la distancia de m a a y de m a d es igual, estos segmentos se convierten en los radios de esa circunferencia. Entonces, vamos a dibujarla. Bien, allí tenemos dibujada la circunferencia, está en color rojo, y vemos que corta el eje x aquí en 1 y aquí en 2.5. Entonces, esta será una raíz de la ecuación, r1 es igual a 1, y esta será la otra raíz, en 2.5 que equivale a 5 medios. De esa manera, solucionamos gráficamente nuestra ecuación cuadrática. Como vimos, debió ser necesario convertirla en ecuación mónica para poder localizar los puntos a, b, c, y poder hacer el trazo para llegar a las soluciones de la ecuación. Vamos a resolver analíticamente esta ecuación cuadrática para comprobar o verificar que las soluciones son las mismas que acabamos de obtener por el método gráfico. Esta ecuación ya está organizada según el modelo de una ecuación cuadrática o de segundo grado. Entonces, tenemos los valores de a igual a 2, b igual a menos 7, y c igual a 5. Y vamos a resolver por la fórmula cuadrática. Entonces, vamos a escribir la fórmula y vamos a reemplazar cada uno de los valores numéricos para encontrar las soluciones de la ecuación. Se recomienda abrir un espacio a cada letra, un paréntesis, para luego llenarlo con el valor numérico. Entonces, alistamos la fórmula cuadrática y vamos reemplazando. Aquí tenemos el valor de b, que es menos 7. Aquí también, menos 7. Por aquí tendremos el valor de a, que vale 2. Aquí tendremos el valor de c, que vale 5. Y por acá tendremos el valor de a, que equivale a 2. Bien, continuamos por acá. Nos queda x igual a 7 positivo, más o menos la raíz cuadrada de menos 7 al cuadrado, que nos da 49, menos 4 por 2, 8, 8 por 5, 40. Todo esto dentro de la raíz y todo esto dividido entre 2 por 2, que es 4. Esto nos queda 7 más o menos la raíz cuadrada de 9. Esta diferencia nos da 9. Todo eso entre 4. Vamos entonces a resolver la raíz cuadrada y nos queda que x es igual a 7 más o menos 3. Todo esto sobre 4. Y entonces allí vamos a tomar las dos opciones. Opción x1 sería 7 menos 3 sobre 4. Esto es igual a 4 cuartos, que equivale a 1. Opción 2, x2, sería 7 más 3 sobre 4, es decir, 10 cuartos, que simplificando nos da 5 medios. Entonces se verifica que las soluciones de la ecuación cuadrática son 1 y 5 medios. Las mismas que obtuvimos utilizando el método gráfico.

[{"start": 0.0, "end": 11.0, "text": " Vamos a mostrar como se resuelve esta ecuaci\u00f3n cuadratica por un m\u00e9todo gr\u00e1fico."}, {"start": 11.0, "end": 19.0, "text": " Para comenzar debemos convertir esta ecuaci\u00f3n en ecuaci\u00f3n m\u00f3nica."}, {"start": 19.0, "end": 24.0, "text": " Es decir, una ecuaci\u00f3n que tenga coeficiente principal 1."}, {"start": 24.0, "end": 26.0, "text": " Necesitamos que aqu\u00ed haya un 1."}, {"start": 26.0, "end": 31.0, "text": " Entonces vamos a dividir toda la ecuaci\u00f3n entre 2."}, {"start": 31.0, "end": 36.0, "text": " De esa manera conseguir\u00edamos el 1 que necesito como coeficiente principal."}, {"start": 36.0, "end": 46.0, "text": " Es como si dividi\u00e9ramos cada t\u00e9rmino entre 2 a ambos lados de la ecuaci\u00f3n."}, {"start": 46.0, "end": 59.0, "text": " Entonces por ac\u00e1 nos queda x al cuadrado, ya nos queda con coeficiente 1, menos 7 medios de x, m\u00e1s 5 medios, igual a 0."}, {"start": 59.0, "end": 67.0, "text": " Ya tenemos la ecuaci\u00f3n cuadratica expresada como ecuaci\u00f3n m\u00f3nica, donde el coeficiente principal es 1."}, {"start": 67.0, "end": 73.0, "text": " Vamos a determinar entonces los valores de a, b y c."}, {"start": 73.0, "end": 82.0, "text": " Entonces a equivale a 1, b equivale a menos 7 medios y c equivale a 5 medios."}, {"start": 82.0, "end": 91.0, "text": " Vamos a ir al plano cartesiano a localizar esta informaci\u00f3n y a dar soluci\u00f3n a nuestra ecuaci\u00f3n por el m\u00e9todo gr\u00e1fico."}, {"start": 91.0, "end": 104.0, "text": " Bien, all\u00ed tenemos el plano cartesiano y en \u00e9l vamos a localizar los valores de a, b y c."}, {"start": 104.0, "end": 110.0, "text": " Entonces partimos siempre del origen, este punto que vamos a llamar el punto o."}, {"start": 110.0, "end": 117.0, "text": " A siempre la localizamos en la direcci\u00f3n del eje y o eje y."}, {"start": 117.0, "end": 126.0, "text": " Es positiva esa distancia, entonces nos movemos hacia arriba, una unidad y tenemos el punto a."}, {"start": 126.0, "end": 136.0, "text": " Para localizar b, debemos movernos en la direcci\u00f3n del eje x, para obtener el punto b."}, {"start": 136.0, "end": 143.0, "text": " A partir del origen nos movemos menos 7 medios en la direcci\u00f3n del eje x, es decir hacia la izquierda."}, {"start": 143.0, "end": 151.0, "text": " Eso ser\u00eda como localizar menos 3.5, aqu\u00ed, ese ser\u00eda entonces el punto b."}, {"start": 151.0, "end": 162.0, "text": " Y para localizar c nos movemos de nuevo en el eje y o eje y, ser\u00eda hacia arriba por ser positiva."}, {"start": 162.0, "end": 166.0, "text": " Y eso nos va a permitir encontrar el punto c."}, {"start": 166.0, "end": 176.0, "text": " Entonces tenemos 5 medios, es decir 2.5, aqu\u00ed queda localizado el punto c."}, {"start": 176.0, "end": 181.0, "text": " Despu\u00e9s de tener localizados los puntos a, b y c hacemos lo siguiente."}, {"start": 181.0, "end": 194.0, "text": " Buscamos el opuesto del punto b, con relaci\u00f3n al origen, es decir sobre el eje x nos movemos una distancia de 3.5 unidades a la derecha a partir del origen."}, {"start": 194.0, "end": 203.0, "text": " Y llegamos aqu\u00ed a este punto que vamos a llamar b'. Es el opuesto del punto b con relaci\u00f3n al origen."}, {"start": 203.0, "end": 215.0, "text": " Y ahora vamos a movernos a partir de b' hacia arriba y a partir de c hacia la derecha hasta que se encuentren en un punto que vamos a llamar d."}, {"start": 215.0, "end": 229.0, "text": " Nos movemos verticalmente por b', horizontalmente por c y donde se encuentren all\u00ed tendremos el punto d que tendr\u00e1 coordenada 7 medios, 5 medios."}, {"start": 229.0, "end": 235.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a trazar con una regla el segmento a, d."}, {"start": 235.0, "end": 243.0, "text": " All\u00ed tenemos el segmento a, d y vamos a encontrar anal\u00edticamente la coordenada del punto medio de ese segmento."}, {"start": 243.0, "end": 250.0, "text": " Ese punto lo vamos a llamar m y se obtiene con la siguiente formulita."}, {"start": 250.0, "end": 258.0, "text": " x1 m\u00e1s x2 sobre 2, y1 m\u00e1s y2 sobre 2."}, {"start": 258.0, "end": 263.0, "text": " Con esta formulita encontramos el punto medio del segmento a, d."}, {"start": 263.0, "end": 265.0, "text": " Entonces, \u00bfqui\u00e9n es a?"}, {"start": 265.0, "end": 284.0, "text": " a es la coordenada 0,1 que hace el papel de x1 y1 y d, el otro extremo del segmento, tiene coordenada 7 medios, 5 medios."}, {"start": 284.0, "end": 289.0, "text": " Y esta coordenada hace el papel de x2 y2."}, {"start": 289.0, "end": 297.0, "text": " Si reemplazamos estos valores de x1 y x2 aqu\u00ed en esta parte, vamos a tener para el punto m lo siguiente."}, {"start": 297.0, "end": 301.0, "text": " x1 m\u00e1s x2 ser\u00eda 0 m\u00e1s 7 medios, eso nos da 7 medios."}, {"start": 301.0, "end": 305.0, "text": " 7 medios dividido entre 2 nos queda 7 cuartos."}, {"start": 305.0, "end": 308.0, "text": " Es la coordenada en x del punto m."}, {"start": 308.0, "end": 312.0, "text": " Para la coordenada en y, sumamos y1 y y2."}, {"start": 312.0, "end": 322.0, "text": " Entonces, 1 m\u00e1s 5 medios, eso nos da 7 medios. Y 7 medios dividido entre 2 nos da como resultado 7 cuartos."}, {"start": 322.0, "end": 329.0, "text": " Por lo tanto, ya tenemos el punto m, que ser\u00eda entonces 7 cuartos, eso es aproximadamente por aqu\u00ed."}, {"start": 329.0, "end": 334.0, "text": " Es como dividir la unidad en cuartos y contar 7 pedacitos."}, {"start": 334.0, "end": 339.0, "text": " Llegamos aqu\u00ed a 7 cuartos, y ac\u00e1 lo mismo, llegamos como a este lugar."}, {"start": 339.0, "end": 349.0, "text": " Y entonces, donde se encuentren, es decir, por aqu\u00ed, tendremos localizado el punto m, que es el punto medio del segmento a, d."}, {"start": 349.0, "end": 358.0, "text": " Ahora, utilizando un comp\u00e1s, vamos a trazar la circunferencia que tiene centro en m y que pasa por los puntos a y d."}, {"start": 358.0, "end": 367.0, "text": " Como la distancia de m a a y de m a d es igual, estos segmentos se convierten en los radios de esa circunferencia."}, {"start": 367.0, "end": 369.0, "text": " Entonces, vamos a dibujarla."}, {"start": 369.0, "end": 380.0, "text": " Bien, all\u00ed tenemos dibujada la circunferencia, est\u00e1 en color rojo, y vemos que corta el eje x aqu\u00ed en 1 y aqu\u00ed en 2.5."}, {"start": 380.0, "end": 393.0, "text": " Entonces, esta ser\u00e1 una ra\u00edz de la ecuaci\u00f3n, r1 es igual a 1, y esta ser\u00e1 la otra ra\u00edz, en 2.5 que equivale a 5 medios."}, {"start": 393.0, "end": 398.0, "text": " De esa manera, solucionamos gr\u00e1ficamente nuestra ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica."}, {"start": 398.0, "end": 412.0, "text": " Como vimos, debi\u00f3 ser necesario convertirla en ecuaci\u00f3n m\u00f3nica para poder localizar los puntos a, b, c, y poder hacer el trazo para llegar a las soluciones de la ecuaci\u00f3n."}, {"start": 412.0, "end": 428.0, "text": " Vamos a resolver anal\u00edticamente esta ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica para comprobar o verificar que las soluciones son las mismas que acabamos de obtener por el m\u00e9todo gr\u00e1fico."}, {"start": 428.0, "end": 436.0, "text": " Esta ecuaci\u00f3n ya est\u00e1 organizada seg\u00fan el modelo de una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica o de segundo grado."}, {"start": 436.0, "end": 446.0, "text": " Entonces, tenemos los valores de a igual a 2, b igual a menos 7, y c igual a 5."}, {"start": 446.0, "end": 451.0, "text": " Y vamos a resolver por la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica."}, {"start": 451.0, "end": 467.0, "text": " Entonces, vamos a escribir la f\u00f3rmula y vamos a reemplazar cada uno de los valores num\u00e9ricos para encontrar las soluciones de la ecuaci\u00f3n."}, {"start": 467.0, "end": 479.0, "text": " Se recomienda abrir un espacio a cada letra, un par\u00e9ntesis, para luego llenarlo con el valor num\u00e9rico."}, {"start": 479.0, "end": 487.0, "text": " Entonces, alistamos la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica y vamos reemplazando."}, {"start": 487.0, "end": 493.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos el valor de b, que es menos 7. Aqu\u00ed tambi\u00e9n, menos 7."}, {"start": 493.0, "end": 497.0, "text": " Por aqu\u00ed tendremos el valor de a, que vale 2."}, {"start": 497.0, "end": 501.0, "text": " Aqu\u00ed tendremos el valor de c, que vale 5."}, {"start": 501.0, "end": 505.0, "text": " Y por ac\u00e1 tendremos el valor de a, que equivale a 2."}, {"start": 505.0, "end": 520.0, "text": " Bien, continuamos por ac\u00e1. Nos queda x igual a 7 positivo, m\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada de menos 7 al cuadrado, que nos da 49, menos 4 por 2, 8, 8 por 5, 40."}, {"start": 520.0, "end": 527.0, "text": " Todo esto dentro de la ra\u00edz y todo esto dividido entre 2 por 2, que es 4."}, {"start": 527.0, "end": 538.0, "text": " Esto nos queda 7 m\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada de 9. Esta diferencia nos da 9. Todo eso entre 4."}, {"start": 538.0, "end": 550.0, "text": " Vamos entonces a resolver la ra\u00edz cuadrada y nos queda que x es igual a 7 m\u00e1s o menos 3. Todo esto sobre 4."}, {"start": 550.0, "end": 564.0, "text": " Y entonces all\u00ed vamos a tomar las dos opciones. Opci\u00f3n x1 ser\u00eda 7 menos 3 sobre 4. Esto es igual a 4 cuartos, que equivale a 1."}, {"start": 564.0, "end": 577.0, "text": " Opci\u00f3n 2, x2, ser\u00eda 7 m\u00e1s 3 sobre 4, es decir, 10 cuartos, que simplificando nos da 5 medios."}, {"start": 577.0, "end": 592.0, "text": " Entonces se verifica que las soluciones de la ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica son 1 y 5 medios. Las mismas que obtuvimos utilizando el m\u00e9todo gr\u00e1fico."}]

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ECUACIONES CUADRÁTICAS POR MÉTODO GRÁFICO - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo resolver una ecuación de segundo grado gráficamente, usando regla y compás. Al final, comprueba resolviendo la ecuación por factorización. Tema: #EcuacionesCuadráticas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEpWydxanXYPVtKm67Wn9HN REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a mirar cómo se resuelve esta ecuación cuadrática, una ecuación de segundo grado, que en este caso se llama ecuación mónica. Y se llama de esa manera porque tiene coeficiente principal 1. Siempre que tenga coeficiente principal 1 se llamará ecuación mónica. Vamos a ver entonces cómo se soluciona utilizando un método gráfico. Entonces vamos a determinar los valores de A, B y C. Los mismos que lleva el modelo de una ecuación cuadrática. Recordemos que es este. Entonces tenemos que A vale 1. Si recordemos que A tiene que ser 1 para que sea ecuación mónica, B vale 4 y C vale menos 5. Entonces vamos a ir al plano cartesiano y vamos a localizar esta información para mostrar el método de solución de esta ecuación cuadrática. Bien, allí tenemos el plano cartesiano y en él vamos a localizar los valores de A, B y C. A nos dio 1, B es igual a 4 y C vale menos 5. Lo hacemos de la siguiente manera. A partir del origen, que vamos a llamar el punto O, vamos a representar la distancia A en el eje Y. Vamos a movernos entonces hacia arriba por lo que A es positivo y vamos a obtener el punto A. Entonces a partir de O subimos una unidad y aquí tenemos el punto A. Para localizar B nos movemos en el eje X a partir del origen. Entonces como es positivo nos movemos hacia la derecha 4 unidades y localizamos el punto B mayúscula, es decir aquí. Finalmente C que vale menos 5 lo localizamos en el eje Y entonces como es negativo nos movemos hacia abajo a partir del origen. 5 unidades hacia abajo nos da aquí y tenemos el punto C mayúscula. Entonces hemos determinado los puntos A, B y C mayúsculas. Ahora hacemos lo siguiente, vamos a obtener el opuesto de este punto, es decir como el reflejo de B en el eje X, es decir aquí en menos 4. Buscamos el punto opuesto a este con relación al origen, este punto lo vamos a llamar B'. El opuesto al punto B y ahora vamos a movernos en esta dirección a partir de B' a encontrarnos con C. Entonces nos vamos a encontrar en este punto, bajamos verticalmente por aquí, nos movemos horizontalmente por acá y llegamos a un punto que vamos a llamar D. Este punto tendría la coordenada menos 4, menos 5. Ahora vamos a trazar con una regla el segmento que va desde A hasta D. Allí lo tenemos y vamos a encontrar el punto medio de este segmento AD. Vamos a encontrarlo en forma analítica, vamos a tomar los puntos extremos, es decir el punto A de coordenada 0,1 y el punto D de coordenada menos 4, menos 5. Y vamos a llamar M al punto medio del segmento AD. Vamos a utilizar una formulita que dice así, si los extremos del segmento son los puntos X1, Y1 y X2, Y2, entonces el punto medio se encuentra con esta formulita. X1 más X2 sobre 2 y Y1 más Y2 sobre 2. Entonces vamos a aplicarla para encontrar las coordenadas del punto M. Entonces veamos, X1 más X2 sería 0 sumado con menos 4, eso nos da menos 4, dividido entre 2 nos queda menos 2. Y por este lado sería 1 sumado con menos 5, eso nos da menos 4, menos 4 dividido entre 2 nos queda menos 2. Entonces localizamos en nuestro segmento el punto menos 2, menos 2. Nos ubicamos por aquí en menos 2, nos encontramos con este menos 2 y aquí tenemos el punto M que es el punto medio del segmento AD. Ahora utilizando un compás vamos a trazar la circunferencia que tiene centro en el punto M y cuyo radio es la distancia que hay de M a A o de M a D, si por ser distancias iguales. Entonces va a ser una circunferencia que pasa por los puntos A y D y tiene centro en M. Allí tenemos la circunferencia dibujada, la podemos observar en color rojo y entonces los puntos donde esa circunferencia corta al eje X, es decir en menos 5 y en 1, serán las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática. Entonces tenemos que una primera raíz R1 es igual a menos 5 y la otra raíz R2 equivale a 1. De esa manera solucionamos gráficamente esa ecuación cuadrática llamada ecuación Mónica. Vamos a comprobar que efectivamente las soluciones de esta ecuación cuadrática son las que acabamos de obtener utilizando el método gráfico. Vamos a resolverla analíticamente utilizando por ejemplo la factorización. Esto que tenemos aquí es un trinomio de la forma X cuadrado más BX más C que se puede factorizar. Veamos, abrimos dos grupos de paréntesis, sacamos la raíz cuadrada del primer término que sería X y la anotamos al comienzo de cada paréntesis. Si alteramos los signos, veamos, positivo por positivo nos da positivo, positivo por negativo nos da negativo y a continuación buscamos dos números, uno positivo y otro negativo que multiplicados nos de menos 5 y cuya suma nos de 4 positivo. Esos números son 5 y menos 1. Entonces vemos que el trinomio es factorizable. A continuación utilizamos el teorema del factor nulo. Recordemos que dice lo siguiente, si A por B es igual a 0, entonces A es igual a 0 o B es igual a 0. Entonces cada factor se iguala a 0, X más 5 igual a 0 o X menos 1 igual a 0 y resolvemos para X en cada caso. Por acá obtenemos que X es igual a menos 5 y por acá X es igual a 1 y obtenemos los mismos valores y las mismas raíces, menos 5 y 1 que obtuvimos en el método gráfico. Luego ese procedimiento es correcto y aquí lo acabamos de verificar en forma analítica.

[{"start": 0.0, "end": 13.0, "text": " Vamos a mirar c\u00f3mo se resuelve esta ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica, una ecuaci\u00f3n de segundo grado,"}, {"start": 13.0, "end": 19.0, "text": " que en este caso se llama ecuaci\u00f3n m\u00f3nica."}, {"start": 19.0, "end": 25.0, "text": " Y se llama de esa manera porque tiene coeficiente principal 1."}, {"start": 25.0, "end": 29.0, "text": " Siempre que tenga coeficiente principal 1 se llamar\u00e1 ecuaci\u00f3n m\u00f3nica."}, {"start": 29.0, "end": 34.0, "text": " Vamos a ver entonces c\u00f3mo se soluciona utilizando un m\u00e9todo gr\u00e1fico."}, {"start": 34.0, "end": 41.0, "text": " Entonces vamos a determinar los valores de A, B y C."}, {"start": 41.0, "end": 50.0, "text": " Los mismos que lleva el modelo de una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica. Recordemos que es este."}, {"start": 50.0, "end": 52.0, "text": " Entonces tenemos que A vale 1."}, {"start": 52.0, "end": 61.0, "text": " Si recordemos que A tiene que ser 1 para que sea ecuaci\u00f3n m\u00f3nica, B vale 4 y C vale menos 5."}, {"start": 61.0, "end": 66.0, "text": " Entonces vamos a ir al plano cartesiano y vamos a localizar esta informaci\u00f3n"}, {"start": 66.0, "end": 72.0, "text": " para mostrar el m\u00e9todo de soluci\u00f3n de esta ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica."}, {"start": 72.0, "end": 82.0, "text": " Bien, all\u00ed tenemos el plano cartesiano y en \u00e9l vamos a localizar los valores de A, B y C."}, {"start": 82.0, "end": 90.0, "text": " A nos dio 1, B es igual a 4 y C vale menos 5."}, {"start": 90.0, "end": 92.0, "text": " Lo hacemos de la siguiente manera."}, {"start": 92.0, "end": 104.0, "text": " A partir del origen, que vamos a llamar el punto O, vamos a representar la distancia A en el eje Y."}, {"start": 104.0, "end": 112.0, "text": " Vamos a movernos entonces hacia arriba por lo que A es positivo y vamos a obtener el punto A."}, {"start": 112.0, "end": 120.0, "text": " Entonces a partir de O subimos una unidad y aqu\u00ed tenemos el punto A."}, {"start": 120.0, "end": 128.0, "text": " Para localizar B nos movemos en el eje X a partir del origen."}, {"start": 128.0, "end": 140.0, "text": " Entonces como es positivo nos movemos hacia la derecha 4 unidades y localizamos el punto B may\u00fascula, es decir aqu\u00ed."}, {"start": 140.0, "end": 154.0, "text": " Finalmente C que vale menos 5 lo localizamos en el eje Y entonces como es negativo nos movemos hacia abajo a partir del origen."}, {"start": 154.0, "end": 160.0, "text": " 5 unidades hacia abajo nos da aqu\u00ed y tenemos el punto C may\u00fascula."}, {"start": 160.0, "end": 166.0, "text": " Entonces hemos determinado los puntos A, B y C may\u00fasculas."}, {"start": 166.0, "end": 180.0, "text": " Ahora hacemos lo siguiente, vamos a obtener el opuesto de este punto, es decir como el reflejo de B en el eje X, es decir aqu\u00ed en menos 4."}, {"start": 180.0, "end": 188.0, "text": " Buscamos el punto opuesto a este con relaci\u00f3n al origen, este punto lo vamos a llamar B'."}, {"start": 188.0, "end": 198.0, "text": " El opuesto al punto B y ahora vamos a movernos en esta direcci\u00f3n a partir de B' a encontrarnos con C."}, {"start": 198.0, "end": 209.0, "text": " Entonces nos vamos a encontrar en este punto, bajamos verticalmente por aqu\u00ed, nos movemos horizontalmente por ac\u00e1 y llegamos a un punto que vamos a llamar D."}, {"start": 209.0, "end": 214.0, "text": " Este punto tendr\u00eda la coordenada menos 4, menos 5."}, {"start": 214.0, "end": 222.0, "text": " Ahora vamos a trazar con una regla el segmento que va desde A hasta D."}, {"start": 222.0, "end": 228.0, "text": " All\u00ed lo tenemos y vamos a encontrar el punto medio de este segmento AD."}, {"start": 228.0, "end": 244.0, "text": " Vamos a encontrarlo en forma anal\u00edtica, vamos a tomar los puntos extremos, es decir el punto A de coordenada 0,1 y el punto D de coordenada menos 4, menos 5."}, {"start": 244.0, "end": 250.0, "text": " Y vamos a llamar M al punto medio del segmento AD."}, {"start": 250.0, "end": 265.0, "text": " Vamos a utilizar una formulita que dice as\u00ed, si los extremos del segmento son los puntos X1, Y1 y X2, Y2, entonces el punto medio se encuentra con esta formulita."}, {"start": 265.0, "end": 273.0, "text": " X1 m\u00e1s X2 sobre 2 y Y1 m\u00e1s Y2 sobre 2."}, {"start": 273.0, "end": 288.0, "text": " Entonces vamos a aplicarla para encontrar las coordenadas del punto M. Entonces veamos, X1 m\u00e1s X2 ser\u00eda 0 sumado con menos 4, eso nos da menos 4, dividido entre 2 nos queda menos 2."}, {"start": 288.0, "end": 298.0, "text": " Y por este lado ser\u00eda 1 sumado con menos 5, eso nos da menos 4, menos 4 dividido entre 2 nos queda menos 2."}, {"start": 298.0, "end": 314.0, "text": " Entonces localizamos en nuestro segmento el punto menos 2, menos 2. Nos ubicamos por aqu\u00ed en menos 2, nos encontramos con este menos 2 y aqu\u00ed tenemos el punto M que es el punto medio del segmento AD."}, {"start": 314.0, "end": 330.0, "text": " Ahora utilizando un comp\u00e1s vamos a trazar la circunferencia que tiene centro en el punto M y cuyo radio es la distancia que hay de M a A o de M a D, si por ser distancias iguales."}, {"start": 330.0, "end": 337.0, "text": " Entonces va a ser una circunferencia que pasa por los puntos A y D y tiene centro en M."}, {"start": 337.0, "end": 358.0, "text": " All\u00ed tenemos la circunferencia dibujada, la podemos observar en color rojo y entonces los puntos donde esa circunferencia corta al eje X, es decir en menos 5 y en 1, ser\u00e1n las ra\u00edces o soluciones de la ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica."}, {"start": 358.0, "end": 377.0, "text": " Entonces tenemos que una primera ra\u00edz R1 es igual a menos 5 y la otra ra\u00edz R2 equivale a 1. De esa manera solucionamos gr\u00e1ficamente esa ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica llamada ecuaci\u00f3n M\u00f3nica."}, {"start": 377.0, "end": 391.0, "text": " Vamos a comprobar que efectivamente las soluciones de esta ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica son las que acabamos de obtener utilizando el m\u00e9todo gr\u00e1fico."}, {"start": 391.0, "end": 397.0, "text": " Vamos a resolverla anal\u00edticamente utilizando por ejemplo la factorizaci\u00f3n."}, {"start": 397.0, "end": 415.0, "text": " Esto que tenemos aqu\u00ed es un trinomio de la forma X cuadrado m\u00e1s BX m\u00e1s C que se puede factorizar. Veamos, abrimos dos grupos de par\u00e9ntesis, sacamos la ra\u00edz cuadrada del primer t\u00e9rmino que ser\u00eda X y la anotamos al comienzo de cada par\u00e9ntesis."}, {"start": 415.0, "end": 433.0, "text": " Si alteramos los signos, veamos, positivo por positivo nos da positivo, positivo por negativo nos da negativo y a continuaci\u00f3n buscamos dos n\u00fameros, uno positivo y otro negativo que multiplicados nos de menos 5 y cuya suma nos de 4 positivo."}, {"start": 433.0, "end": 441.0, "text": " Esos n\u00fameros son 5 y menos 1. Entonces vemos que el trinomio es factorizable."}, {"start": 441.0, "end": 454.0, "text": " A continuaci\u00f3n utilizamos el teorema del factor nulo. Recordemos que dice lo siguiente, si A por B es igual a 0, entonces A es igual a 0 o B es igual a 0."}, {"start": 454.0, "end": 467.0, "text": " Entonces cada factor se iguala a 0, X m\u00e1s 5 igual a 0 o X menos 1 igual a 0 y resolvemos para X en cada caso."}, {"start": 467.0, "end": 483.0, "text": " Por ac\u00e1 obtenemos que X es igual a menos 5 y por ac\u00e1 X es igual a 1 y obtenemos los mismos valores y las mismas ra\u00edces, menos 5 y 1 que obtuvimos en el m\u00e9todo gr\u00e1fico."}, {"start": 483.0, "end": 500.0, "text": " Luego ese procedimiento es correcto y aqu\u00ed lo acabamos de verificar en forma anal\u00edtica."}]

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INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN - Ejercicio 12

#julioprofe explica cómo resolver una integral por el Método de Sustitución. Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a realizar esta integral por el método de sustitución, ya que por integración directa no es posible realizarla. Comenzaríamos por reescribir x al cubo como x por x al cuadrado por x al cuadrado más 1 elevado al exponente 8 con su diferencial de x. Entonces la sustitución que vamos a utilizar será cambiar esto, x al cuadrado más 1 por ser la base de la potencia más importante, lo que está elevado al exponente 8. Entonces vamos a llamarlo p, p sería igual a x al cuadrado más 1, tenemos entonces lo que vamos a sustituir y esto vamos a derivarlo. Entonces decimos derivada de p con respecto a x será igual a 2x, si la derivada de x al cuadrado más 1 es 2x. Y de aquí vamos a despejar de x, si despejamos de x nos queda de p sobre 2x, encerramos esto que lo vamos a necesitar más adelante. Y también vamos a despejar lo que es x al cuadrado de esta expresión, para reemplazar este x al cuadrado que nos queda por aquí solo, vamos a despejarlo de aquí. Entonces tenemos que x al cuadrado será igual a, pasamos este 1 a restar a este lado y nos queda p menos 1. Entonces allí tenemos el despeje de x al cuadrado. Entonces con estas tres expresiones vamos a reconstruir nuestra integral. Nos queda entonces así, integral de esta x la dejamos quieta, si en realidad esa x no tiene reemplazo por acá. Entonces x al cuadrado vamos a sustituirla por p menos 1, la escribimos en un paréntesis, por x al cuadrado más 1 que lo tenemos aquí y es p, queda elevado al exponente 8 por dx, aquí tenemos dx que sería dp sobre 2x. Allí hemos entonces reconstruido nuestra integral en términos de lo que teníamos por acá. Vamos a escribir por acá el equivalente de p, p es igual a x al cuadrado más 1, porque esto lo vamos a necesitar más adelante, cuando ya tengamos el resultado de esa integral. Vamos entonces a borrar esta parte para que hagamos el desarrollo de esa integral. Veamos lo siguiente, x se puede cancelar, esta x de aquí se puede ir con esta de acá y podríamos sacar este 2. Este 2 queda por fuera de la integral como un medio por estar situado en el denominador, sale un medio a multiplicar fuera de la integral y nos queda dentro de ella p menos 1 por p a la 8 con su respectivo diferencial de p. A continuación vamos a realizar la propiedad distributiva, vamos a multiplicar p a la 8 por estos dos términos que tenemos aquí y nos queda lo siguiente, integral de p a la 9 menos p a la 8, eso por dp. Y hemos llegado a una integral directa, una integral que se puede resolver de una sola vez porque tenemos dos términos fácilmente integrables y que se encuentran restando. Entonces abrimos un paréntesis, integral de p a la 9 sería p a la 10 sobre 10 menos la integral de p a la 8 que sería p a la 9 sobre 9. Cerramos el paréntesis y aparece por primera vez la constante de integración. Podríamos hacer propiedad distributiva con un medio, entra a multiplicar los dos términos y nos queda entonces p a la 10 sobre 20 menos aquí quedaría p a la 9 sobre 18. Y todo esto más la constante de integración. Finalmente lo que tenemos que hacer es cambiar p por su equivalente, si no podemos dejar nuestra respuesta en términos de p. Debemos cambiar p por su equivalente original que es x al cuadrado más 1, entonces hacemos la sustitución, x al cuadrado más 1 a la 10 sobre 20 menos x al cuadrado más 1 a la 9 sobre 18. Y todo esto más la constante de integración. De esta manera hemos encontrado la respuesta al ejercicio.

[{"start": 0.0, "end": 11.0, "text": " Vamos a realizar esta integral por el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n, ya que por integraci\u00f3n directa no es posible realizarla."}, {"start": 11.0, "end": 27.0, "text": " Comenzar\u00edamos por reescribir x al cubo como x por x al cuadrado por x al cuadrado m\u00e1s 1 elevado al exponente 8 con su diferencial de x."}, {"start": 27.0, "end": 47.0, "text": " Entonces la sustituci\u00f3n que vamos a utilizar ser\u00e1 cambiar esto, x al cuadrado m\u00e1s 1 por ser la base de la potencia m\u00e1s importante, lo que est\u00e1 elevado al exponente 8."}, {"start": 47.0, "end": 61.0, "text": " Entonces vamos a llamarlo p, p ser\u00eda igual a x al cuadrado m\u00e1s 1, tenemos entonces lo que vamos a sustituir y esto vamos a derivarlo."}, {"start": 61.0, "end": 71.0, "text": " Entonces decimos derivada de p con respecto a x ser\u00e1 igual a 2x, si la derivada de x al cuadrado m\u00e1s 1 es 2x."}, {"start": 71.0, "end": 85.0, "text": " Y de aqu\u00ed vamos a despejar de x, si despejamos de x nos queda de p sobre 2x, encerramos esto que lo vamos a necesitar m\u00e1s adelante."}, {"start": 85.0, "end": 99.0, "text": " Y tambi\u00e9n vamos a despejar lo que es x al cuadrado de esta expresi\u00f3n, para reemplazar este x al cuadrado que nos queda por aqu\u00ed solo, vamos a despejarlo de aqu\u00ed."}, {"start": 99.0, "end": 107.0, "text": " Entonces tenemos que x al cuadrado ser\u00e1 igual a, pasamos este 1 a restar a este lado y nos queda p menos 1."}, {"start": 107.0, "end": 112.0, "text": " Entonces all\u00ed tenemos el despeje de x al cuadrado."}, {"start": 112.0, "end": 119.0, "text": " Entonces con estas tres expresiones vamos a reconstruir nuestra integral."}, {"start": 119.0, "end": 130.0, "text": " Nos queda entonces as\u00ed, integral de esta x la dejamos quieta, si en realidad esa x no tiene reemplazo por ac\u00e1."}, {"start": 130.0, "end": 155.0, "text": " Entonces x al cuadrado vamos a sustituirla por p menos 1, la escribimos en un par\u00e9ntesis, por x al cuadrado m\u00e1s 1 que lo tenemos aqu\u00ed y es p, queda elevado al exponente 8 por dx, aqu\u00ed tenemos dx que ser\u00eda dp sobre 2x."}, {"start": 155.0, "end": 164.0, "text": " All\u00ed hemos entonces reconstruido nuestra integral en t\u00e9rminos de lo que ten\u00edamos por ac\u00e1."}, {"start": 164.0, "end": 180.0, "text": " Vamos a escribir por ac\u00e1 el equivalente de p, p es igual a x al cuadrado m\u00e1s 1, porque esto lo vamos a necesitar m\u00e1s adelante, cuando ya tengamos el resultado de esa integral."}, {"start": 180.0, "end": 189.0, "text": " Vamos entonces a borrar esta parte para que hagamos el desarrollo de esa integral."}, {"start": 189.0, "end": 198.0, "text": " Veamos lo siguiente, x se puede cancelar, esta x de aqu\u00ed se puede ir con esta de ac\u00e1 y podr\u00edamos sacar este 2."}, {"start": 198.0, "end": 217.0, "text": " Este 2 queda por fuera de la integral como un medio por estar situado en el denominador, sale un medio a multiplicar fuera de la integral y nos queda dentro de ella p menos 1 por p a la 8 con su respectivo diferencial de p."}, {"start": 217.0, "end": 237.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a realizar la propiedad distributiva, vamos a multiplicar p a la 8 por estos dos t\u00e9rminos que tenemos aqu\u00ed y nos queda lo siguiente, integral de p a la 9 menos p a la 8, eso por dp."}, {"start": 237.0, "end": 251.0, "text": " Y hemos llegado a una integral directa, una integral que se puede resolver de una sola vez porque tenemos dos t\u00e9rminos f\u00e1cilmente integrables y que se encuentran restando."}, {"start": 251.0, "end": 265.0, "text": " Entonces abrimos un par\u00e9ntesis, integral de p a la 9 ser\u00eda p a la 10 sobre 10 menos la integral de p a la 8 que ser\u00eda p a la 9 sobre 9."}, {"start": 265.0, "end": 273.0, "text": " Cerramos el par\u00e9ntesis y aparece por primera vez la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 273.0, "end": 293.0, "text": " Podr\u00edamos hacer propiedad distributiva con un medio, entra a multiplicar los dos t\u00e9rminos y nos queda entonces p a la 10 sobre 20 menos aqu\u00ed quedar\u00eda p a la 9 sobre 18."}, {"start": 293.0, "end": 297.0, "text": " Y todo esto m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 297.0, "end": 308.0, "text": " Finalmente lo que tenemos que hacer es cambiar p por su equivalente, si no podemos dejar nuestra respuesta en t\u00e9rminos de p."}, {"start": 308.0, "end": 331.0, "text": " Debemos cambiar p por su equivalente original que es x al cuadrado m\u00e1s 1, entonces hacemos la sustituci\u00f3n, x al cuadrado m\u00e1s 1 a la 10 sobre 20 menos x al cuadrado m\u00e1s 1 a la 9 sobre 18."}, {"start": 331.0, "end": 335.0, "text": " Y todo esto m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 335.0, "end": 339.0, "text": " De esta manera hemos encontrado la respuesta al ejercicio."}]

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DESARROLLO DE BINOMIOS CON EXPONENTES 5 Y 6

#julioprofe explica cómo desarrollar o expandir binomios elevados a los exponentes 6 y 5, usando el Triángulo de Pascal y el Binomio de Newton. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a mirar el desarrollo de este binomio elevado al exponente 6 de dos maneras. Primero utilizando el triángulo de Pascal, es un primer camino. Y el otro es utilizando el binomio de Newton. Entonces dos maneras de realizar el desarrollo de ese binomio que se encuentra elevado al exponente 6. Miremos la primera opción construyendo el triángulo de Pascal. Comenzamos con 1, luego colocamos 1, 2, 1. Y a continuación vamos sumando los numeritos y en los extremos vamos colocando siempre 1. Veamos, 1 más 2, 3, 2 más 1, 3 y 1 en los extremos. 1 más 3, 4, 3 más 3, 6, 3 más 1, 4 y 1 en los extremos. 1 más 4, 5, 4 más 6, son 10, 6 más 4, 10, 4 más 1, 5 y 1 en los extremos. 1 más 5 son 6, 5 más 10 son 15, 10 más 10, 20, 10 más 5, 15, 5 más 1, 6 y 1 en los extremos. Llegamos hasta el nivel 6 porque ese es el exponente que tenemos en el binomio. Entonces estos números que tenemos aquí van a ser los coeficientes de los términos que constituyen el desarrollo de este binomio elevado al exponente 6. Entonces veamos, comenzaríamos con 1, 1 a la 6. Siempre comenzamos con este primer término elevado a este exponente. Seguimos, más 6 a a la 5 b. Es decir, a comienza a disminuir su exponente y aparece por primera vez la letra b, es decir, el segundo término. Más, seguimos con el 15, a disminuye al exponente 4 y b aumenta al exponente 2. Vemos que mientras a disminuye b aumenta en su exponente. Aquí no teníamos la b, aquí apareció b a la 1 y aquí tenemos b a la 2. Seguimos con 20, a disminuye al exponente 3 y b aumenta al exponente 3. Más, vamos a continuarlo por acá. Seguimos con el 15, a elevado al exponente 2. Estabamos en 3, disminuimos a 2 y b incrementa a 4. Estabamos en 3, sube a 4. Más, 6, tenemos a elevado al exponente 1, o sea, simplemente a b a la 5 y terminamos con 1, b elevado a la 6. Estos unos de los extremos los podríamos borrar o también omitir. Y allí tenemos entonces el desarrollo de ese binomio elevado al exponente 6 mediante el triángulo de Pascal. Repetimos, estos numeritos que tenemos aquí constituyen los coeficientes de los términos que conforman el desarrollo de ese binomio a la 6. El otro camino para desarrollar o expandir un binomio a la 6 es el binomio de Newton, que es una fórmula que en términos generales dice lo siguiente. Si tenemos a más b a la n, eso es igual a la sumatoria desde k igual a 0 hasta n del combinatorio nk por a elevado al exponente n menos k por b elevado al exponente k. El combinatorio nk, esto que va aquí al comienzo de cada término, es una fórmula que lleva factoriales. Sería n factorial, aquí tendremos k factorial que multiplica a n menos k factorial. Pero si no hemos visto hasta este momento factoriales ni sumatorias, no nos vamos a complicar con esta fórmula que es un tanto compleja. Vamos a mirar cómo se puede desarrollar este binomio a la 6 apoyándonos en el binomio de Newton, pero por un camino más simplificado. La forma simplificada es la siguiente, comenzamos con el primer término elevado al exponente que tenemos aquí, es decir 6. Ya tenemos listo el primer término. Vamos con el segundo término, usamos como coeficiente este numerito, es decir el 6, a lo disminuimos en una unidad, su exponente queda a a la 5 y aparece la b por primera vez. Para el siguiente coeficiente hacemos la siguiente operación, multiplicamos 6 por 5, eso nos da 30, y lo dividimos entre el exponente que tenemos aquí que es 1, 1 incrementado en una unidad, es decir 2. 30 dividido entre 2 nos da 15, 15 a a la 4, b a la 2, vemos que la a va disminuyendo su exponente mientras que la b lo va aumentando. Más, nuevamente 15 por 4 son 60, dividido entre este exponente incrementado en una unidad, es decir 3, 60 dividido 3 nos da 20, entonces 20 a a la 3, b a la 3, más, sigamos por acá. El siguiente coeficiente será 20 por 3, 60 dividido entre 3 más 1 que es 4, 60 dividido 4 nos da 15, 15 a a la 2, b a la 4, sigue disminuyendo la a y b sigue aumentando. El siguiente coeficiente tenemos 15 por 2, 30 dividido entre 4 más 1 que es 5, 30 dividido entre 5 nos da 6, a b a la 5, más, siguiente coeficiente 6 por 1 es 6, dividido entre 5 más 1 que es 6, eso nos da 1 y aparece b a la 6, recordemos que la a ya no aparece en ese término pero aparece en b a la 6. Este 1 lo podemos retirar, se vuelve invisible y tenemos el mismo desarrollo que obtuvimos con el triángulo de Pascal. Como vemos por un camino un poco más rápido o más simple que es el binomio de Newton, allí podemos contabilizar los 7 términos que decía hace un momento para este desarrollo. Miremos como sería el desarrollo de este binomio elevado al exponente 5 utilizando el último método, es decir el binomio de Newton. Entonces veamos, comenzamos con x a la 5, primer término elevado al exponente del binomio tenemos x a la 5, aquí el siguiente término será negativo, si aquí tenemos signo menos los términos nos van a quedar con signos intercalados, iniciamos siempre con signo positivo por lo tanto el siguiente término será negativo. Bajamos este exponente aquí sería el siguiente coeficiente, x disminuye en una unidad su exponente y aparece la letra y por primera vez, es decir y elevada al exponente 1. Signo más para el siguiente término tenemos la operación 5 por 4, 20 dividido entre 1 más 1 que es 2, 20 entre 2 nos da 10, nos queda x a la 3, y a la 2, si x disminuye y aumenta. Siguiente término sería negativo por lo de los signos intercalados y el coeficiente será 10 por 3, 30 dividido entre 2 más 1 que es 3, 30 dividido 3 nos da 10, x disminuye al exponente 2, y aumenta al exponente 3. Siguiente término será positivo y el coeficiente será 10 por 2, 20 dividido entre 3 más 1 que es 4, 20 dividido entre 4 nos da 5, x quedaría al exponente 1 y y quedaría con exponente 4. Finalmente nos queda signo negativo para el otro término y el coeficiente será 5 por 1, 5 dividido entre 4 más 1 que es 5, 5 dividido entre 5 nos da 1, ya no aparece la x y y queda con exponente 5. Este 1 lo podemos quitar y se vuelve invisible. Y allí tenemos entonces el desarrollo de ese binomio a la 5 por el binomio de Newton, por el método simplificado del binomio de Newton. Si se quiere puede hacerse también por triángulo de Pascal y se pueden observar que los números que se obtienen son estos que tenemos aquí, 1, 5, 10, 10, 5 y 1.

[{"start": 0.0, "end": 9.0, "text": " Vamos a mirar el desarrollo de este binomio elevado al exponente 6 de dos maneras."}, {"start": 9.0, "end": 19.0, "text": " Primero utilizando el tri\u00e1ngulo de Pascal, es un primer camino."}, {"start": 19.0, "end": 30.0, "text": " Y el otro es utilizando el binomio de Newton."}, {"start": 30.0, "end": 40.0, "text": " Entonces dos maneras de realizar el desarrollo de ese binomio que se encuentra elevado al exponente 6."}, {"start": 40.0, "end": 46.0, "text": " Miremos la primera opci\u00f3n construyendo el tri\u00e1ngulo de Pascal."}, {"start": 46.0, "end": 52.0, "text": " Comenzamos con 1, luego colocamos 1, 2, 1."}, {"start": 52.0, "end": 60.0, "text": " Y a continuaci\u00f3n vamos sumando los numeritos y en los extremos vamos colocando siempre 1."}, {"start": 60.0, "end": 67.0, "text": " Veamos, 1 m\u00e1s 2, 3, 2 m\u00e1s 1, 3 y 1 en los extremos."}, {"start": 67.0, "end": 76.0, "text": " 1 m\u00e1s 3, 4, 3 m\u00e1s 3, 6, 3 m\u00e1s 1, 4 y 1 en los extremos."}, {"start": 76.0, "end": 88.0, "text": " 1 m\u00e1s 4, 5, 4 m\u00e1s 6, son 10, 6 m\u00e1s 4, 10, 4 m\u00e1s 1, 5 y 1 en los extremos."}, {"start": 88.0, "end": 102.0, "text": " 1 m\u00e1s 5 son 6, 5 m\u00e1s 10 son 15, 10 m\u00e1s 10, 20, 10 m\u00e1s 5, 15, 5 m\u00e1s 1, 6 y 1 en los extremos."}, {"start": 102.0, "end": 110.0, "text": " Llegamos hasta el nivel 6 porque ese es el exponente que tenemos en el binomio."}, {"start": 110.0, "end": 123.0, "text": " Entonces estos n\u00fameros que tenemos aqu\u00ed van a ser los coeficientes de los t\u00e9rminos que constituyen el desarrollo de este binomio elevado al exponente 6."}, {"start": 123.0, "end": 130.0, "text": " Entonces veamos, comenzar\u00edamos con 1, 1 a la 6."}, {"start": 130.0, "end": 135.0, "text": " Siempre comenzamos con este primer t\u00e9rmino elevado a este exponente."}, {"start": 135.0, "end": 143.0, "text": " Seguimos, m\u00e1s 6 a a la 5 b."}, {"start": 143.0, "end": 153.0, "text": " Es decir, a comienza a disminuir su exponente y aparece por primera vez la letra b, es decir, el segundo t\u00e9rmino."}, {"start": 153.0, "end": 165.0, "text": " M\u00e1s, seguimos con el 15, a disminuye al exponente 4 y b aumenta al exponente 2."}, {"start": 165.0, "end": 171.0, "text": " Vemos que mientras a disminuye b aumenta en su exponente."}, {"start": 171.0, "end": 178.0, "text": " Aqu\u00ed no ten\u00edamos la b, aqu\u00ed apareci\u00f3 b a la 1 y aqu\u00ed tenemos b a la 2."}, {"start": 178.0, "end": 190.0, "text": " Seguimos con 20, a disminuye al exponente 3 y b aumenta al exponente 3."}, {"start": 190.0, "end": 194.0, "text": " M\u00e1s, vamos a continuarlo por ac\u00e1."}, {"start": 194.0, "end": 201.0, "text": " Seguimos con el 15, a elevado al exponente 2."}, {"start": 201.0, "end": 208.0, "text": " Estabamos en 3, disminuimos a 2 y b incrementa a 4."}, {"start": 208.0, "end": 211.0, "text": " Estabamos en 3, sube a 4."}, {"start": 211.0, "end": 230.0, "text": " M\u00e1s, 6, tenemos a elevado al exponente 1, o sea, simplemente a b a la 5 y terminamos con 1, b elevado a la 6."}, {"start": 230.0, "end": 238.0, "text": " Estos unos de los extremos los podr\u00edamos borrar o tambi\u00e9n omitir."}, {"start": 238.0, "end": 248.0, "text": " Y all\u00ed tenemos entonces el desarrollo de ese binomio elevado al exponente 6 mediante el tri\u00e1ngulo de Pascal."}, {"start": 248.0, "end": 261.0, "text": " Repetimos, estos numeritos que tenemos aqu\u00ed constituyen los coeficientes de los t\u00e9rminos que conforman el desarrollo de ese binomio a la 6."}, {"start": 261.0, "end": 276.0, "text": " El otro camino para desarrollar o expandir un binomio a la 6 es el binomio de Newton, que es una f\u00f3rmula que en t\u00e9rminos generales dice lo siguiente."}, {"start": 276.0, "end": 296.0, "text": " Si tenemos a m\u00e1s b a la n, eso es igual a la sumatoria desde k igual a 0 hasta n del combinatorio nk por a elevado al exponente n menos k por b elevado al exponente k."}, {"start": 296.0, "end": 306.0, "text": " El combinatorio nk, esto que va aqu\u00ed al comienzo de cada t\u00e9rmino, es una f\u00f3rmula que lleva factoriales."}, {"start": 306.0, "end": 315.0, "text": " Ser\u00eda n factorial, aqu\u00ed tendremos k factorial que multiplica a n menos k factorial."}, {"start": 315.0, "end": 327.0, "text": " Pero si no hemos visto hasta este momento factoriales ni sumatorias, no nos vamos a complicar con esta f\u00f3rmula que es un tanto compleja."}, {"start": 327.0, "end": 339.0, "text": " Vamos a mirar c\u00f3mo se puede desarrollar este binomio a la 6 apoy\u00e1ndonos en el binomio de Newton, pero por un camino m\u00e1s simplificado."}, {"start": 339.0, "end": 350.0, "text": " La forma simplificada es la siguiente, comenzamos con el primer t\u00e9rmino elevado al exponente que tenemos aqu\u00ed, es decir 6."}, {"start": 350.0, "end": 368.0, "text": " Ya tenemos listo el primer t\u00e9rmino. Vamos con el segundo t\u00e9rmino, usamos como coeficiente este numerito, es decir el 6, a lo disminuimos en una unidad, su exponente queda a a la 5 y aparece la b por primera vez."}, {"start": 368.0, "end": 385.0, "text": " Para el siguiente coeficiente hacemos la siguiente operaci\u00f3n, multiplicamos 6 por 5, eso nos da 30, y lo dividimos entre el exponente que tenemos aqu\u00ed que es 1, 1 incrementado en una unidad, es decir 2."}, {"start": 385.0, "end": 403.0, "text": " 30 dividido entre 2 nos da 15, 15 a a la 4, b a la 2, vemos que la a va disminuyendo su exponente mientras que la b lo va aumentando."}, {"start": 403.0, "end": 429.0, "text": " M\u00e1s, nuevamente 15 por 4 son 60, dividido entre este exponente incrementado en una unidad, es decir 3, 60 dividido 3 nos da 20, entonces 20 a a la 3, b a la 3, m\u00e1s, sigamos por ac\u00e1."}, {"start": 429.0, "end": 451.0, "text": " El siguiente coeficiente ser\u00e1 20 por 3, 60 dividido entre 3 m\u00e1s 1 que es 4, 60 dividido 4 nos da 15, 15 a a la 2, b a la 4, sigue disminuyendo la a y b sigue aumentando."}, {"start": 451.0, "end": 475.0, "text": " El siguiente coeficiente tenemos 15 por 2, 30 dividido entre 4 m\u00e1s 1 que es 5, 30 dividido entre 5 nos da 6, a b a la 5, m\u00e1s, siguiente coeficiente 6 por 1 es 6,"}, {"start": 475.0, "end": 486.0, "text": " dividido entre 5 m\u00e1s 1 que es 6, eso nos da 1 y aparece b a la 6, recordemos que la a ya no aparece en ese t\u00e9rmino pero aparece en b a la 6."}, {"start": 486.0, "end": 495.0, "text": " Este 1 lo podemos retirar, se vuelve invisible y tenemos el mismo desarrollo que obtuvimos con el tri\u00e1ngulo de Pascal."}, {"start": 495.0, "end": 510.0, "text": " Como vemos por un camino un poco m\u00e1s r\u00e1pido o m\u00e1s simple que es el binomio de Newton, all\u00ed podemos contabilizar los 7 t\u00e9rminos que dec\u00eda hace un momento para este desarrollo."}, {"start": 510.0, "end": 521.0, "text": " Miremos como ser\u00eda el desarrollo de este binomio elevado al exponente 5 utilizando el \u00faltimo m\u00e9todo, es decir el binomio de Newton."}, {"start": 521.0, "end": 534.0, "text": " Entonces veamos, comenzamos con x a la 5, primer t\u00e9rmino elevado al exponente del binomio tenemos x a la 5, aqu\u00ed el siguiente t\u00e9rmino ser\u00e1 negativo,"}, {"start": 534.0, "end": 545.0, "text": " si aqu\u00ed tenemos signo menos los t\u00e9rminos nos van a quedar con signos intercalados, iniciamos siempre con signo positivo por lo tanto el siguiente t\u00e9rmino ser\u00e1 negativo."}, {"start": 545.0, "end": 561.0, "text": " Bajamos este exponente aqu\u00ed ser\u00eda el siguiente coeficiente, x disminuye en una unidad su exponente y aparece la letra y por primera vez, es decir y elevada al exponente 1."}, {"start": 561.0, "end": 582.0, "text": " Signo m\u00e1s para el siguiente t\u00e9rmino tenemos la operaci\u00f3n 5 por 4, 20 dividido entre 1 m\u00e1s 1 que es 2, 20 entre 2 nos da 10, nos queda x a la 3, y a la 2, si x disminuye y aumenta."}, {"start": 582.0, "end": 598.0, "text": " Siguiente t\u00e9rmino ser\u00eda negativo por lo de los signos intercalados y el coeficiente ser\u00e1 10 por 3, 30 dividido entre 2 m\u00e1s 1 que es 3, 30 dividido 3 nos da 10,"}, {"start": 598.0, "end": 620.0, "text": " x disminuye al exponente 2, y aumenta al exponente 3. Siguiente t\u00e9rmino ser\u00e1 positivo y el coeficiente ser\u00e1 10 por 2, 20 dividido entre 3 m\u00e1s 1 que es 4, 20 dividido entre 4 nos da 5,"}, {"start": 620.0, "end": 641.0, "text": " x quedar\u00eda al exponente 1 y y quedar\u00eda con exponente 4. Finalmente nos queda signo negativo para el otro t\u00e9rmino y el coeficiente ser\u00e1 5 por 1, 5 dividido entre 4 m\u00e1s 1 que es 5,"}, {"start": 641.0, "end": 652.0, "text": " 5 dividido entre 5 nos da 1, ya no aparece la x y y queda con exponente 5. Este 1 lo podemos quitar y se vuelve invisible."}, {"start": 652.0, "end": 677.0, "text": " Y all\u00ed tenemos entonces el desarrollo de ese binomio a la 5 por el binomio de Newton, por el m\u00e9todo simplificado del binomio de Newton. Si se quiere puede hacerse tambi\u00e9n por tri\u00e1ngulo de Pascal y se pueden observar que los n\u00fameros que se obtienen son estos que tenemos aqu\u00ed, 1, 5, 10, 10, 5 y 1."}]

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Ejercicio 1 de HIPÉRBOLA (Parte 2)

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Conociendo A y B vamos a encontrar el valor de C, C minúscula que se define en la hipérbola como la distancia que hay del centro a los focos. Entonces C se determina con esta formulita raíz cuadrada de A cuadrado más B al cuadrado. Entonces veamos, podríamos hacer uso de estos valores que ya están listos, A cuadrado equivale a 9 y B al cuadrado equivale a 16. Todo esto dentro de la raíz cuadrada. Esa suma nos da 25 y por lo tanto C es igual a 5. Entonces ya tenemos todos los elementos para ir al plano cartesiano y localizar el centro, los valores de A, B y C y de allí poder obtener los demás puntos importantes de la hipérbola. Aquí tenemos el plano cartesiano donde vamos a dibujar la hipérbola con sus elementos principales. Comenzamos por localizar el centro que está en la coordenada 6,4. 6,4 aquí está el centro y colocamos la letra C. Como se trata de una hipérbola vertical, es decir, ella va a tener como esta forma, entonces a partir del centro vamos a medir hacia arriba y hacia abajo la distancia A. Esa distancia nos dio tres unidades, entonces subimos tres unidades llegamos a este punto, bajamos tres unidades y llegamos a este punto. Todo a partir del centro. Nos podemos guiar por el número que tenemos acá, 4 más 3 nos da 7, en 7 va a este punto y 4 menos 3 nos da 1, este punto corresponde a la ordenada 1. Ahora hacia los lados, a partir del centro vamos a contabilizar la distancia B que nos dio cuatro unidades. Entonces del centro hacia la derecha contamos cuatro unidades y llegamos aquí, nos guiamos por este número 6 más 4 nos da 10. Y del centro hacia la izquierda también cuatro unidades, llegamos a este punto, nos guiamos por acá 6 menos 4 y nos da 2. Ahora con esos cuatro puntos que tenemos vamos a construir un rectángulo, trazando líneas paralelas a los ejes, X y Y, de tal forma que esto nos forme un rectángulo delimitado por esos cuatro puntos que trazamos. Allí tenemos el rectángulo y a continuación vamos a trazar sus diagonales extendiéndolas por fuera de la figura. Allí tenemos las dos diagonales del rectángulo que constituyen las asíntotas de la hipérbola. Ahora que dibujemos la curva, las dos ramas de la hipérbola veremos que la curva, la línea se va a aproximar a estas dos rectas sin haber contacto, por esa razón se llaman asíntotas de la hipérbola. En seguida vamos a marcar la distancia C, C minúscula recordemos que nos dio 5, entonces a partir del centro de la hipérbola vamos a contar 5 unidades hacia arriba y 5 unidades hacia abajo. Lo hacemos en esa dirección por ser hipérbola vertical, nos controla siempre lo que sucede en sentido vertical. Entonces del centro hacia arriba 5 unidades vamos a llegar a este punto, nos guiamos por el 4, 4 más 5 nos da 9, llegamos a este punto y allí tendremos uno de los focos, vamos a llamarlo el foco 1. Y del centro hacia abajo contamos también C unidades, es decir 5 y vamos a llegar aquí a este punto, nos guiamos por 4 menos 5 que nos da menos 1, entonces este puntico da con la ordenada menos 1, este sería el foco 2. Bien, ya podemos entonces determinar lo que son los vértices de la hipérbola, serán esos dos punticos, vamos a llamarlo el vértice 1 y el vértice 2 y vamos a dibujar las ramas, nos va a quedar una rama así como esta y la otra por acá. Recordemos sin que hagan contacto con las asintotas. Allí tenemos las dos ramas de la hipérbola dibujadas en color rojo, recuerden utilizar curvígrafo para hacer el dibujo, yo particularmente lo he utilizado aquí en el tablero para que me queden más o menos como debe ser las dos ramas de la hipérbola, para que queden bien trazadas. Vamos entonces a sacar el listado de coordenadas principales, es decir los focos, los vértices y bueno el centro que ya lo teníamos desde un comienzo. Entonces comencemos con el foco 1, la coordenada de ese foco la leemos aquí en el plano cartesiano, tiene coordenada 6,9, abscisa 6, ordenada 9, vamos con el foco 2 que sería el punto 6,-1, ya tenemos los focos de la hipérbola, vamos con los vértices, entonces vértice 1 tiene coordenada 6,7, vértice 2 tiene coordenada 6,1 y podríamos colocar nuevamente el centro, este punto que tiene coordenada 6,4. Esos son entonces los puntos principales de la hipérbola, nos faltan dar las ecuaciones de las dos asíntotas, vamos a llamar la asíntota ascendente, la vamos a llamar la asíntota número 1, la que va a tener pendiente positiva por ser ascendente y asíntota 2 a la que es descendente, vamos a colocar por acá el numerito y vamos entonces a proceder a encontrar sus ecuaciones. Para encontrar las asíntotas de una hipérbola vertical vamos a utilizar la siguiente formulita, y-k es igual a más o menos a sobre b que multiplica a x-h, simplemente reemplazamos allí los valores que ya tenemos, es decir k nos dio 4, aquí más o menos a que nos dio 3, b nos dio 4 y h que nos dio 6, entonces de allí vamos a organizar poco a poco las dos ecuaciones de las asíntotas, vamos a pasar este 4 al lado derecho y entonces vamos a tomar las dos opciones, la opción positiva que corresponde a la asíntota 1, la que es ascendente, la que tiene pendiente positiva y luego la opción negativa que es la que corresponde a la asíntota 2, es decir la que es descendente. Entonces para la asíntota 1 tendremos y es igual a 3 cuartos que multiplica a x-6 más 4, vamos a organizar la ecuación, nos queda 3 cuartos de x menos 3 cuartos por 6 nos da 18 cuartos que simplificando es menos 9 medios y este 4 lo podemos sustituir por 8 medios para que quede más fácil la operación de fraccionarios, entonces nos queda 3 cuartos de x menos 1 medio. Allí tenemos entonces la ecuación de la primera asíntota, es decir la que es ascendente, recordemos que esto corresponde a la ecuación de una recta, está en la forma y igual a mx más b, la recta tiene pendiente 3 cuartos, pendiente positiva por eso es ascendente y corte con el eje y o con el eje vertical en menos 1 medio. Ahora la asíntota 2 que será y igual a menos 3 cuartos que multiplica a x menos 6 más 4, entonces tendremos menos 3 cuartos de x menos 3 cuartos por menos 6 nos queda más 18 cuartos que es 9 medios y 4 nuevamente lo sustituimos por 8 medios, esto nos queda entonces menos 3 cuartos de x más 17 medios. Tenemos entonces la ecuación de la asíntota 2 también escrita en la forma y igual a mx más b, la pendiente m vale menos 3 cuartos por eso es que es descendente y corta el eje vertical o el eje y en la ordenada 17 medios. Finalmente vamos a determinar la excentricidad de la hipérbola que es la relación entre c y a, en nuestro caso c nos dio 5 y a nos dio 3, 5 tercios es una cantidad mayor que 1 y se cumple entonces la condición para toda hipérbola que es que su excentricidad sea mayor que 1.

[{"start": 0.0, "end": 16.0, "text": " Conociendo A y B vamos a encontrar el valor de C, C min\u00fascula que se define en la hip\u00e9rbola como la distancia que hay del centro a los focos."}, {"start": 16.0, "end": 23.0, "text": " Entonces C se determina con esta formulita ra\u00edz cuadrada de A cuadrado m\u00e1s B al cuadrado."}, {"start": 23.0, "end": 35.0, "text": " Entonces veamos, podr\u00edamos hacer uso de estos valores que ya est\u00e1n listos, A cuadrado equivale a 9 y B al cuadrado equivale a 16."}, {"start": 35.0, "end": 38.0, "text": " Todo esto dentro de la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 38.0, "end": 44.0, "text": " Esa suma nos da 25 y por lo tanto C es igual a 5."}, {"start": 44.0, "end": 59.0, "text": " Entonces ya tenemos todos los elementos para ir al plano cartesiano y localizar el centro, los valores de A, B y C y de all\u00ed poder obtener los dem\u00e1s puntos importantes de la hip\u00e9rbola."}, {"start": 59.0, "end": 66.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos el plano cartesiano donde vamos a dibujar la hip\u00e9rbola con sus elementos principales."}, {"start": 66.0, "end": 77.0, "text": " Comenzamos por localizar el centro que est\u00e1 en la coordenada 6,4. 6,4 aqu\u00ed est\u00e1 el centro y colocamos la letra C."}, {"start": 77.0, "end": 89.0, "text": " Como se trata de una hip\u00e9rbola vertical, es decir, ella va a tener como esta forma, entonces a partir del centro vamos a medir hacia arriba y hacia abajo la distancia A."}, {"start": 89.0, "end": 99.0, "text": " Esa distancia nos dio tres unidades, entonces subimos tres unidades llegamos a este punto, bajamos tres unidades y llegamos a este punto."}, {"start": 99.0, "end": 101.0, "text": " Todo a partir del centro."}, {"start": 101.0, "end": 114.0, "text": " Nos podemos guiar por el n\u00famero que tenemos ac\u00e1, 4 m\u00e1s 3 nos da 7, en 7 va a este punto y 4 menos 3 nos da 1, este punto corresponde a la ordenada 1."}, {"start": 114.0, "end": 122.0, "text": " Ahora hacia los lados, a partir del centro vamos a contabilizar la distancia B que nos dio cuatro unidades."}, {"start": 122.0, "end": 130.0, "text": " Entonces del centro hacia la derecha contamos cuatro unidades y llegamos aqu\u00ed, nos guiamos por este n\u00famero 6 m\u00e1s 4 nos da 10."}, {"start": 130.0, "end": 140.0, "text": " Y del centro hacia la izquierda tambi\u00e9n cuatro unidades, llegamos a este punto, nos guiamos por ac\u00e1 6 menos 4 y nos da 2."}, {"start": 140.0, "end": 156.0, "text": " Ahora con esos cuatro puntos que tenemos vamos a construir un rect\u00e1ngulo, trazando l\u00edneas paralelas a los ejes, X y Y, de tal forma que esto nos forme un rect\u00e1ngulo delimitado por esos cuatro puntos que trazamos."}, {"start": 156.0, "end": 166.0, "text": " All\u00ed tenemos el rect\u00e1ngulo y a continuaci\u00f3n vamos a trazar sus diagonales extendi\u00e9ndolas por fuera de la figura."}, {"start": 166.0, "end": 176.0, "text": " All\u00ed tenemos las dos diagonales del rect\u00e1ngulo que constituyen las as\u00edntotas de la hip\u00e9rbola."}, {"start": 176.0, "end": 196.0, "text": " Ahora que dibujemos la curva, las dos ramas de la hip\u00e9rbola veremos que la curva, la l\u00ednea se va a aproximar a estas dos rectas sin haber contacto, por esa raz\u00f3n se llaman as\u00edntotas de la hip\u00e9rbola."}, {"start": 196.0, "end": 212.0, "text": " En seguida vamos a marcar la distancia C, C min\u00fascula recordemos que nos dio 5, entonces a partir del centro de la hip\u00e9rbola vamos a contar 5 unidades hacia arriba y 5 unidades hacia abajo."}, {"start": 212.0, "end": 221.0, "text": " Lo hacemos en esa direcci\u00f3n por ser hip\u00e9rbola vertical, nos controla siempre lo que sucede en sentido vertical."}, {"start": 221.0, "end": 237.0, "text": " Entonces del centro hacia arriba 5 unidades vamos a llegar a este punto, nos guiamos por el 4, 4 m\u00e1s 5 nos da 9, llegamos a este punto y all\u00ed tendremos uno de los focos, vamos a llamarlo el foco 1."}, {"start": 237.0, "end": 255.0, "text": " Y del centro hacia abajo contamos tambi\u00e9n C unidades, es decir 5 y vamos a llegar aqu\u00ed a este punto, nos guiamos por 4 menos 5 que nos da menos 1, entonces este puntico da con la ordenada menos 1, este ser\u00eda el foco 2."}, {"start": 255.0, "end": 274.0, "text": " Bien, ya podemos entonces determinar lo que son los v\u00e9rtices de la hip\u00e9rbola, ser\u00e1n esos dos punticos, vamos a llamarlo el v\u00e9rtice 1 y el v\u00e9rtice 2 y vamos a dibujar las ramas, nos va a quedar una rama as\u00ed como esta y la otra por ac\u00e1."}, {"start": 274.0, "end": 299.0, "text": " Recordemos sin que hagan contacto con las asintotas. All\u00ed tenemos las dos ramas de la hip\u00e9rbola dibujadas en color rojo, recuerden utilizar curv\u00edgrafo para hacer el dibujo, yo particularmente lo he utilizado aqu\u00ed en el tablero para que me queden m\u00e1s o menos como debe ser las dos ramas de la hip\u00e9rbola, para que queden bien trazadas."}, {"start": 299.0, "end": 310.0, "text": " Vamos entonces a sacar el listado de coordenadas principales, es decir los focos, los v\u00e9rtices y bueno el centro que ya lo ten\u00edamos desde un comienzo."}, {"start": 310.0, "end": 336.0, "text": " Entonces comencemos con el foco 1, la coordenada de ese foco la leemos aqu\u00ed en el plano cartesiano, tiene coordenada 6,9, abscisa 6, ordenada 9, vamos con el foco 2 que ser\u00eda el punto 6,-1, ya tenemos los focos de la hip\u00e9rbola,"}, {"start": 336.0, "end": 360.0, "text": " vamos con los v\u00e9rtices, entonces v\u00e9rtice 1 tiene coordenada 6,7, v\u00e9rtice 2 tiene coordenada 6,1 y podr\u00edamos colocar nuevamente el centro, este punto que tiene coordenada 6,4."}, {"start": 360.0, "end": 376.0, "text": " Esos son entonces los puntos principales de la hip\u00e9rbola, nos faltan dar las ecuaciones de las dos as\u00edntotas, vamos a llamar la as\u00edntota ascendente, la vamos a llamar la as\u00edntota n\u00famero 1,"}, {"start": 376.0, "end": 392.0, "text": " la que va a tener pendiente positiva por ser ascendente y as\u00edntota 2 a la que es descendente, vamos a colocar por ac\u00e1 el numerito y vamos entonces a proceder a encontrar sus ecuaciones."}, {"start": 392.0, "end": 408.0, "text": " Para encontrar las as\u00edntotas de una hip\u00e9rbola vertical vamos a utilizar la siguiente formulita, y-k es igual a m\u00e1s o menos a sobre b que multiplica a x-h,"}, {"start": 408.0, "end": 424.0, "text": " simplemente reemplazamos all\u00ed los valores que ya tenemos, es decir k nos dio 4, aqu\u00ed m\u00e1s o menos a que nos dio 3, b nos dio 4 y h que nos dio 6,"}, {"start": 424.0, "end": 439.0, "text": " entonces de all\u00ed vamos a organizar poco a poco las dos ecuaciones de las as\u00edntotas, vamos a pasar este 4 al lado derecho y entonces vamos a tomar las dos opciones,"}, {"start": 439.0, "end": 453.0, "text": " la opci\u00f3n positiva que corresponde a la as\u00edntota 1, la que es ascendente, la que tiene pendiente positiva y luego la opci\u00f3n negativa que es la que corresponde a la as\u00edntota 2, es decir la que es descendente."}, {"start": 453.0, "end": 475.0, "text": " Entonces para la as\u00edntota 1 tendremos y es igual a 3 cuartos que multiplica a x-6 m\u00e1s 4, vamos a organizar la ecuaci\u00f3n, nos queda 3 cuartos de x menos 3 cuartos por 6 nos da 18 cuartos que simplificando es"}, {"start": 475.0, "end": 488.0, "text": " menos 9 medios y este 4 lo podemos sustituir por 8 medios para que quede m\u00e1s f\u00e1cil la operaci\u00f3n de fraccionarios, entonces nos queda 3 cuartos de x menos 1 medio."}, {"start": 488.0, "end": 503.0, "text": " All\u00ed tenemos entonces la ecuaci\u00f3n de la primera as\u00edntota, es decir la que es ascendente, recordemos que esto corresponde a la ecuaci\u00f3n de una recta, est\u00e1 en la forma y igual a mx m\u00e1s b,"}, {"start": 503.0, "end": 513.0, "text": " la recta tiene pendiente 3 cuartos, pendiente positiva por eso es ascendente y corte con el eje y o con el eje vertical en menos 1 medio."}, {"start": 513.0, "end": 538.0, "text": " Ahora la as\u00edntota 2 que ser\u00e1 y igual a menos 3 cuartos que multiplica a x menos 6 m\u00e1s 4, entonces tendremos menos 3 cuartos de x menos 3 cuartos por menos 6 nos queda m\u00e1s 18 cuartos que es 9 medios"}, {"start": 538.0, "end": 550.0, "text": " y 4 nuevamente lo sustituimos por 8 medios, esto nos queda entonces menos 3 cuartos de x m\u00e1s 17 medios."}, {"start": 550.0, "end": 564.0, "text": " Tenemos entonces la ecuaci\u00f3n de la as\u00edntota 2 tambi\u00e9n escrita en la forma y igual a mx m\u00e1s b, la pendiente m vale menos 3 cuartos por eso es que es descendente"}, {"start": 564.0, "end": 570.0, "text": " y corta el eje vertical o el eje y en la ordenada 17 medios."}, {"start": 570.0, "end": 585.0, "text": " Finalmente vamos a determinar la excentricidad de la hip\u00e9rbola que es la relaci\u00f3n entre c y a, en nuestro caso c nos dio 5 y a nos dio 3, 5 tercios es una cantidad mayor que 1"}, {"start": 585.0, "end": 594.0, "text": " y se cumple entonces la condici\u00f3n para toda hip\u00e9rbola que es que su excentricidad sea mayor que 1."}]

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Ejercicio 1 de HIPÉRBOLA (Parte 1)

#julioprofe explica cómo llevar la ecuación general de una hipérbola a su forma estándar. También construye la gráfica y determina sus principales elementos. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

Nos dan esta ecuación que corresponde a una sección cónica. Se trata de una hipérbola porque tanto x al cuadrado como y al cuadrado tienen coeficientes de signos contrarios. Vemos aquí que el coeficiente es positivo y aquí es negativo. Siempre que tengamos ese comportamiento, entonces la ecuación corresponde a una hipérbola. Vamos a realizar todo el análisis hasta llevarla a la forma estándar y allí podremos decidir si se trata de una hipérbola horizontal o vertical y vamos a encontrar sus principales elementos. Para comenzar vamos a organizar la ecuación de tal manera que las x queden seguidas y también los términos que contienen la y. Entonces vemos que hemos dejado 9x al cuadrado, pasamos este término acá para que las x, los términos que tienen la x queden consecutivos y lo mismo los términos que contienen la letra y. Y pasamos este número, 212 pasa al lado derecho por lo tanto llega negativo. Ahora vamos a agrupar los términos que contienen la x agrupamos colocando paréntesis y los términos que contienen la letra y. Aquí debemos tener cuidado porque este signo nos cambia debido a que colocamos un paréntesis y afuera teníamos signo negativo. Entonces cambia el signo interno igual a menos 212. Bien, ahora vamos a sacar factor común de cada paréntesis este número que acompaña la letra que se encuentra al cuadrado únicamente ese número. Entonces por acá sale el 9 factor común de x al cuadrado menos 12x. Y de aquí sacamos el 16 factor común de y al cuadrado menos 8y cierra paréntesis igual a menos 212. Ahora vamos a realizar la completación del trinomio cuadrado perfecto dentro de cada paréntesis. Eso se hace de la siguiente manera. Aquí vamos a sacar la mitad a este número la mitad de 12 sería 6. Únicamente miramos el 12 no consideramos el signo negativo no es necesario. Únicamente la mitad del número la mitad de 12 es 6 y 6 lo elevamos al cuadrado 6 al cuadrado es 36. Por lo tanto 36 es el número que falta allí para que se conforme un trinomio cuadrado perfecto. Menos 16 abrimos paréntesis queda y al cuadrado menos 8y. Y todo esto le hacemos el mismo procedimiento sacamos la mitad de 8 que sería 4. 4 lo elevamos al cuadrado y nos da 16. Luego 16 es el numerito que nos falta allí para conformar el trinomio cuadrado perfecto. Bien y esto es igual a menos 212. Veamos debemos también colocar acá en el lado derecho los números que insertamos en el lado izquierdo. Pero sin olvidar que por ejemplo este 36 está afectado por este 9 y este 16 está afectado por este menos 16. Entonces hacemos lo siguiente 9 por 36 eso nos da 324. Es el número que va en el lado derecho y menos 16 por 16 eso nos da menos 256. Vamos a colocarlo por acá por razones de espacio para que no se nos salga de foco los números. Entonces a continuación vamos a factorizar estos trinomios cuadrados perfectos. Esto nos va a quedar entonces 9 por la factorización de este trinomio cuadrado perfecto nos queda x menos 6 al cuadrado. Siempre la factorización de un trinomio cuadrado perfecto nos dará como resultado un binomio al cuadrado. Menos 16 por la factorización de este otro trinomio cuadrado perfecto nos da y menos 4 al cuadrado. Igual a la suma de todos estos números en los 212 más 324 menos 256 nos da un total de menos 144. Ahora vamos a dividir toda la ecuación por menos 144 a los dos lados. Eso con el objetivo de obtener 1 en el lado derecho. Entonces nos va a quedar 9 por x menos 6 al cuadrado todo esto dividido entre menos 144 y en el lado derecho queda menos 144 dividido entre menos 144. Entonces vamos a simplificar, podemos borrar esto, vamos a simplificar entonces aquí novena de 9 es 1, novena de 144 es 16, por acá dieciséisaba de 16 nos da 1, dieciséisaba de 144 nos da 9 y por acá este cociente nos dará como resultado 1, 1 positivo. Entonces nos va a quedar así, la primera fracción queda negativa, por este negativo que no podemos olvidar, arriba tendremos x menos 6 al cuadrado y abajo 16. La segunda fracción nos va a quedar positiva, negativo con negativo da positivo, arriba nos queda y menos 4 al cuadrado y abajo nos queda 9 y todo esto igual a 1 positivo. Ya vemos que la ecuación toma forma de hipérbola ya se aproxima al modelo estándar pero debemos organizarla, la ecuación debe quedar con el término positivo en primer lugar, nos queda menos x menos 6 al cuadrado sobre 16 igual a 1 y allí ya tenemos entonces el modelo de una hipérbola que será vertical y la reconocemos porque el término positivo es el que contiene la letra y, entonces es una hipérbola vertical con centro HK. Vamos a escribir entonces su modelo correspondiente, ese modelo dice así, y menos k al cuadrado sobre a al cuadrado menos x menos h al cuadrado sobre b al cuadrado igual a 1. Si vemos que encaja perfectamente la ecuación que obtuvimos y el modelo de la hipérbola vertical con centro HK. Vamos entonces a confrontar las dos ecuaciones para sacar los componentes que necesitamos que son HK, A y B. Entonces tendremos menos h es igual a menos 6, tenemos que menos h es igual a menos 6 es decir lo que está después de la x multiplicando por menos 1 ambos lados nos queda que h es igual a 6. Por acá menos k lo igualamos con menos 4, lo que está después de la letra y se iguala en ambos casos, multiplicamos por menos 1 ambos lados y nos queda que k es igual a 4, por lo tanto aquí ya tenemos el centro de la hipérbola, será la coordenada 6,4 que es la pareja HK tal como dice por acá. Ahora tenemos que a cuadrado es igual a 9, sacamos raíz cuadrada en ambos lados eso nos da a igual a más o menos 3 pero tomamos la opción positiva porque a es una distancia, por lo tanto debe tomarse positiva y b cuadrado lo igualamos con 16. Sacando raíz cuadrada a los dos lados nos queda que b es igual a 4, realmente nos da más o menos 4 pero también como b es una distancia tomamos la opción positiva.

[{"start": 0.0, "end": 6.0, "text": " Nos dan esta ecuaci\u00f3n que corresponde a una secci\u00f3n c\u00f3nica."}, {"start": 6.0, "end": 20.0, "text": " Se trata de una hip\u00e9rbola porque tanto x al cuadrado como y al cuadrado tienen coeficientes de signos contrarios."}, {"start": 20.0, "end": 24.0, "text": " Vemos aqu\u00ed que el coeficiente es positivo y aqu\u00ed es negativo."}, {"start": 24.0, "end": 31.0, "text": " Siempre que tengamos ese comportamiento, entonces la ecuaci\u00f3n corresponde a una hip\u00e9rbola."}, {"start": 31.0, "end": 46.0, "text": " Vamos a realizar todo el an\u00e1lisis hasta llevarla a la forma est\u00e1ndar y all\u00ed podremos decidir si se trata de una hip\u00e9rbola horizontal o vertical y vamos a encontrar sus principales elementos."}, {"start": 46.0, "end": 60.0, "text": " Para comenzar vamos a organizar la ecuaci\u00f3n de tal manera que las x queden seguidas y tambi\u00e9n los t\u00e9rminos que contienen la y."}, {"start": 60.0, "end": 73.0, "text": " Entonces vemos que hemos dejado 9x al cuadrado, pasamos este t\u00e9rmino ac\u00e1 para que las x, los t\u00e9rminos que tienen la x queden consecutivos y lo mismo los t\u00e9rminos que contienen la letra y."}, {"start": 73.0, "end": 80.0, "text": " Y pasamos este n\u00famero, 212 pasa al lado derecho por lo tanto llega negativo."}, {"start": 80.0, "end": 93.0, "text": " Ahora vamos a agrupar los t\u00e9rminos que contienen la x agrupamos colocando par\u00e9ntesis y los t\u00e9rminos que contienen la letra y."}, {"start": 93.0, "end": 103.0, "text": " Aqu\u00ed debemos tener cuidado porque este signo nos cambia debido a que colocamos un par\u00e9ntesis y afuera ten\u00edamos signo negativo."}, {"start": 103.0, "end": 110.0, "text": " Entonces cambia el signo interno igual a menos 212."}, {"start": 110.0, "end": 120.0, "text": " Bien, ahora vamos a sacar factor com\u00fan de cada par\u00e9ntesis este n\u00famero que acompa\u00f1a la letra que se encuentra al cuadrado \u00fanicamente ese n\u00famero."}, {"start": 120.0, "end": 128.0, "text": " Entonces por ac\u00e1 sale el 9 factor com\u00fan de x al cuadrado menos 12x."}, {"start": 128.0, "end": 142.0, "text": " Y de aqu\u00ed sacamos el 16 factor com\u00fan de y al cuadrado menos 8y cierra par\u00e9ntesis igual a menos 212."}, {"start": 142.0, "end": 150.0, "text": " Ahora vamos a realizar la completaci\u00f3n del trinomio cuadrado perfecto dentro de cada par\u00e9ntesis."}, {"start": 150.0, "end": 154.0, "text": " Eso se hace de la siguiente manera."}, {"start": 154.0, "end": 163.0, "text": " Aqu\u00ed vamos a sacar la mitad a este n\u00famero la mitad de 12 ser\u00eda 6."}, {"start": 163.0, "end": 168.0, "text": " \u00danicamente miramos el 12 no consideramos el signo negativo no es necesario."}, {"start": 168.0, "end": 176.0, "text": " \u00danicamente la mitad del n\u00famero la mitad de 12 es 6 y 6 lo elevamos al cuadrado 6 al cuadrado es 36."}, {"start": 176.0, "end": 184.0, "text": " Por lo tanto 36 es el n\u00famero que falta all\u00ed para que se conforme un trinomio cuadrado perfecto."}, {"start": 184.0, "end": 192.0, "text": " Menos 16 abrimos par\u00e9ntesis queda y al cuadrado menos 8y."}, {"start": 192.0, "end": 200.0, "text": " Y todo esto le hacemos el mismo procedimiento sacamos la mitad de 8 que ser\u00eda 4."}, {"start": 200.0, "end": 204.0, "text": " 4 lo elevamos al cuadrado y nos da 16."}, {"start": 204.0, "end": 211.0, "text": " Luego 16 es el numerito que nos falta all\u00ed para conformar el trinomio cuadrado perfecto."}, {"start": 211.0, "end": 215.0, "text": " Bien y esto es igual a menos 212."}, {"start": 215.0, "end": 223.0, "text": " Veamos debemos tambi\u00e9n colocar ac\u00e1 en el lado derecho los n\u00fameros que insertamos en el lado izquierdo."}, {"start": 223.0, "end": 232.0, "text": " Pero sin olvidar que por ejemplo este 36 est\u00e1 afectado por este 9 y este 16 est\u00e1 afectado por este menos 16."}, {"start": 232.0, "end": 238.0, "text": " Entonces hacemos lo siguiente 9 por 36 eso nos da 324."}, {"start": 238.0, "end": 248.0, "text": " Es el n\u00famero que va en el lado derecho y menos 16 por 16 eso nos da menos 256."}, {"start": 248.0, "end": 256.0, "text": " Vamos a colocarlo por ac\u00e1 por razones de espacio para que no se nos salga de foco los n\u00fameros."}, {"start": 256.0, "end": 262.0, "text": " Entonces a continuaci\u00f3n vamos a factorizar estos trinomios cuadrados perfectos."}, {"start": 262.0, "end": 271.0, "text": " Esto nos va a quedar entonces 9 por la factorizaci\u00f3n de este trinomio cuadrado perfecto nos queda x menos 6 al cuadrado."}, {"start": 271.0, "end": 278.0, "text": " Siempre la factorizaci\u00f3n de un trinomio cuadrado perfecto nos dar\u00e1 como resultado un binomio al cuadrado."}, {"start": 278.0, "end": 290.0, "text": " Menos 16 por la factorizaci\u00f3n de este otro trinomio cuadrado perfecto nos da y menos 4 al cuadrado."}, {"start": 290.0, "end": 302.0, "text": " Igual a la suma de todos estos n\u00fameros en los 212 m\u00e1s 324 menos 256 nos da un total de menos 144."}, {"start": 302.0, "end": 309.0, "text": " Ahora vamos a dividir toda la ecuaci\u00f3n por menos 144 a los dos lados."}, {"start": 309.0, "end": 323.0, "text": " Eso con el objetivo de obtener 1 en el lado derecho. Entonces nos va a quedar 9 por x menos 6 al cuadrado todo esto dividido entre menos 144"}, {"start": 323.0, "end": 343.0, "text": " y en el lado derecho queda menos 144 dividido entre menos 144."}, {"start": 343.0, "end": 358.0, "text": " Entonces vamos a simplificar, podemos borrar esto, vamos a simplificar entonces aqu\u00ed novena de 9 es 1, novena de 144 es 16,"}, {"start": 358.0, "end": 373.0, "text": " por ac\u00e1 diecis\u00e9isaba de 16 nos da 1, diecis\u00e9isaba de 144 nos da 9 y por ac\u00e1 este cociente nos dar\u00e1 como resultado 1, 1 positivo."}, {"start": 373.0, "end": 381.0, "text": " Entonces nos va a quedar as\u00ed, la primera fracci\u00f3n queda negativa, por este negativo que no podemos olvidar,"}, {"start": 381.0, "end": 393.0, "text": " arriba tendremos x menos 6 al cuadrado y abajo 16. La segunda fracci\u00f3n nos va a quedar positiva, negativo con negativo da positivo,"}, {"start": 393.0, "end": 402.0, "text": " arriba nos queda y menos 4 al cuadrado y abajo nos queda 9 y todo esto igual a 1 positivo."}, {"start": 402.0, "end": 412.0, "text": " Ya vemos que la ecuaci\u00f3n toma forma de hip\u00e9rbola ya se aproxima al modelo est\u00e1ndar pero debemos organizarla,"}, {"start": 412.0, "end": 428.0, "text": " la ecuaci\u00f3n debe quedar con el t\u00e9rmino positivo en primer lugar, nos queda menos x menos 6 al cuadrado sobre 16 igual a 1"}, {"start": 428.0, "end": 444.0, "text": " y all\u00ed ya tenemos entonces el modelo de una hip\u00e9rbola que ser\u00e1 vertical y la reconocemos porque el t\u00e9rmino positivo es el que contiene la letra y,"}, {"start": 444.0, "end": 457.0, "text": " entonces es una hip\u00e9rbola vertical con centro HK. Vamos a escribir entonces su modelo correspondiente,"}, {"start": 457.0, "end": 472.0, "text": " ese modelo dice as\u00ed, y menos k al cuadrado sobre a al cuadrado menos x menos h al cuadrado sobre b al cuadrado igual a 1."}, {"start": 472.0, "end": 481.0, "text": " Si vemos que encaja perfectamente la ecuaci\u00f3n que obtuvimos y el modelo de la hip\u00e9rbola vertical con centro HK."}, {"start": 481.0, "end": 491.0, "text": " Vamos entonces a confrontar las dos ecuaciones para sacar los componentes que necesitamos que son HK, A y B."}, {"start": 491.0, "end": 502.0, "text": " Entonces tendremos menos h es igual a menos 6, tenemos que menos h es igual a menos 6 es decir lo que est\u00e1 despu\u00e9s de la x multiplicando por menos 1"}, {"start": 502.0, "end": 514.0, "text": " ambos lados nos queda que h es igual a 6. Por ac\u00e1 menos k lo igualamos con menos 4, lo que est\u00e1 despu\u00e9s de la letra y se iguala en ambos casos,"}, {"start": 514.0, "end": 524.0, "text": " multiplicamos por menos 1 ambos lados y nos queda que k es igual a 4, por lo tanto aqu\u00ed ya tenemos el centro de la hip\u00e9rbola,"}, {"start": 524.0, "end": 536.0, "text": " ser\u00e1 la coordenada 6,4 que es la pareja HK tal como dice por ac\u00e1. Ahora tenemos que a cuadrado es igual a 9,"}, {"start": 536.0, "end": 547.0, "text": " sacamos ra\u00edz cuadrada en ambos lados eso nos da a igual a m\u00e1s o menos 3 pero tomamos la opci\u00f3n positiva porque a es una distancia,"}, {"start": 547.0, "end": 559.0, "text": " por lo tanto debe tomarse positiva y b cuadrado lo igualamos con 16. Sacando ra\u00edz cuadrada a los dos lados nos queda que b es igual a 4,"}, {"start": 559.0, "end": 578.0, "text": " realmente nos da m\u00e1s o menos 4 pero tambi\u00e9n como b es una distancia tomamos la opci\u00f3n positiva."}]

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INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA - Ejercicio 2 (Parte 2)

#julioprofe continúa con el desarrollo del ejercicio del video anterior (integral por el método de sustitución trigonométrica). Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

¿Qué es el siguiente? Para resolver la integral de secante de theta, debemos utilizar un artificio matemático. ¿Qué es el siguiente? Tenemos secante de theta, tenemos que multiplicarlo por secante de theta más tangente de theta y dividir por esa misma cantidad secante de theta más tangente de theta para no alterar la expresión original. Colocamos el diferencial. Entonces, en la parte de arriba vamos a distribuir secante de theta. Entonces secante por secante nos queda secante al cuadrado de theta más secante por tangente nos queda secante de theta por tangente de theta. Y todo esto sobre secante de theta más tangente de theta. Todo esto con su correspondiente diferencial de theta. Ahora hacemos una sustitución para resolver esta integral. Una sustitución normal. Vamos a tomar esta parte de abajo como una nueva letra. Por ejemplo, usemos la letra K. K será igual a secante de theta más tangente de theta. Y esto vamos a derivarlo. Entonces decimos que la derivada de K con respecto a theta será igual a derivada de la secante es secante de theta por tangente de theta. Más derivada de la tangente es secante al cuadrado de theta. Y observamos que al derivar esto, o sea la derivada del denominador nos está dando lo que tenemos en el numerador. O este es el camino correcto de esta sustitución. Vamos a despejar de K. Entonces podemos cambiar el orden de esta suma. Nos queda secante al cuadrado de theta más secante de theta por tangente de theta. Y todo esto multiplicado por de theta. Allí podemos apreciar entonces que todo esto con el de theta es lo que tenemos aquí en el numerador. Por lo tanto, allí lo podemos dejar para realizar la sustitución a K. Entonces esta integral nos queda convertida en lo siguiente. Haciendo los cambios correspondientes tendremos en la parte de arriba, es decir, esto queda como de K. Y en la parte de abajo, esto es lo que teníamos acá y eso equivale a la letra K. Esta integral, recordemos que se puede también escribir como la integral de K a la menos 1. Con su respectivo diferencial de K. Esto y esto es lo mismo. Y la integral de K a la menos 1 será el logaritmo natural de valor absoluto de K. Y todo esto más la constante de integración. Pero debemos hacer el cambio de K. K era esta expresión que tenemos aquí. Entonces nos queda igual al logaritmo natural de valor absoluto de secante de theta más tangente de theta. Todo esto más la constante de integración. Repetimos, hemos cambiado K por su equivalente dentro del valor absoluto. Entonces vamos a retomar todo lo que hemos obtenido. Este resultado, este de aquí, es el que corresponde a la integral de secante de theta con su respectivo de theta. Allí tenemos el resultado de esta integral. Y recordemos que esta era a su vez el resultado de la integral que traíamos como de P sobre la raíz cuadrada de 1 más P cuadrado. Cuando hicimos la sustitución trigonométrica, esto se convirtió en esto. Por lo tanto esto va a ser también equivalente a esto. Pero de una vez hacemos los cambios correspondientes a estas dos funciones trigonométricas. Recordemos que secante de theta, lo hicimos más atrás, equivale a la raíz cuadrada de 1 más P al cuadrado. Más tangente de theta nos había dado P. Entonces ya hemos logrado cambiar esta expresión en términos de theta a esta expresión que es equivalente en términos de P. Y para regresar a la integral original, recordemos que ella decía la integral de e a la x sobre la raíz cuadrada de 1 más e a la 2x. Todo esto con su respectivo de x. Esta integral en algún momento se nos convirtió en esto, haciendo la sustitución. Pero como son equivalentes, entonces hacemos el cambio aquí también. Recordemos que por allá al comienzo dijimos que P era e a la x. Por lo tanto nos queda la raíz cuadrada de 1 más P que se cambia por e a la x. Entonces e a la x al cuadrado nos queda e a la 2x. Cerramos la raíz más P que se cambia por e a la x. Cerramos el valor absoluto más C. Y de esta manera hemos encontrado entonces la integral que nos solicitaban al comienzo de este ejercicio. Y esta sería entonces la respuesta.

[{"start": 0.0, "end": 4.0, "text": " \u00bfQu\u00e9 es el siguiente?"}, {"start": 4.0, "end": 12.0, "text": " Para resolver la integral de secante de theta, debemos utilizar un artificio matem\u00e1tico."}, {"start": 12.0, "end": 14.0, "text": " \u00bfQu\u00e9 es el siguiente?"}, {"start": 14.0, "end": 23.0, "text": " Tenemos secante de theta, tenemos que multiplicarlo por secante de theta m\u00e1s tangente de theta"}, {"start": 23.0, "end": 35.0, "text": " y dividir por esa misma cantidad secante de theta m\u00e1s tangente de theta para no alterar la expresi\u00f3n original."}, {"start": 35.0, "end": 37.0, "text": " Colocamos el diferencial."}, {"start": 37.0, "end": 43.0, "text": " Entonces, en la parte de arriba vamos a distribuir secante de theta."}, {"start": 43.0, "end": 54.0, "text": " Entonces secante por secante nos queda secante al cuadrado de theta m\u00e1s secante por tangente nos queda secante de theta por tangente de theta."}, {"start": 54.0, "end": 62.0, "text": " Y todo esto sobre secante de theta m\u00e1s tangente de theta."}, {"start": 62.0, "end": 66.0, "text": " Todo esto con su correspondiente diferencial de theta."}, {"start": 66.0, "end": 74.0, "text": " Ahora hacemos una sustituci\u00f3n para resolver esta integral."}, {"start": 74.0, "end": 76.0, "text": " Una sustituci\u00f3n normal."}, {"start": 76.0, "end": 80.0, "text": " Vamos a tomar esta parte de abajo como una nueva letra."}, {"start": 80.0, "end": 83.0, "text": " Por ejemplo, usemos la letra K."}, {"start": 83.0, "end": 90.0, "text": " K ser\u00e1 igual a secante de theta m\u00e1s tangente de theta."}, {"start": 90.0, "end": 93.0, "text": " Y esto vamos a derivarlo."}, {"start": 93.0, "end": 107.0, "text": " Entonces decimos que la derivada de K con respecto a theta ser\u00e1 igual a derivada de la secante es secante de theta por tangente de theta."}, {"start": 107.0, "end": 114.0, "text": " M\u00e1s derivada de la tangente es secante al cuadrado de theta."}, {"start": 114.0, "end": 121.0, "text": " Y observamos que al derivar esto, o sea la derivada del denominador nos est\u00e1 dando lo que tenemos en el numerador."}, {"start": 121.0, "end": 125.0, "text": " O este es el camino correcto de esta sustituci\u00f3n."}, {"start": 125.0, "end": 127.0, "text": " Vamos a despejar de K."}, {"start": 127.0, "end": 131.0, "text": " Entonces podemos cambiar el orden de esta suma."}, {"start": 131.0, "end": 139.0, "text": " Nos queda secante al cuadrado de theta m\u00e1s secante de theta por tangente de theta."}, {"start": 139.0, "end": 142.0, "text": " Y todo esto multiplicado por de theta."}, {"start": 142.0, "end": 148.0, "text": " All\u00ed podemos apreciar entonces que todo esto con el de theta es lo que tenemos aqu\u00ed en el numerador."}, {"start": 148.0, "end": 155.0, "text": " Por lo tanto, all\u00ed lo podemos dejar para realizar la sustituci\u00f3n a K."}, {"start": 155.0, "end": 159.0, "text": " Entonces esta integral nos queda convertida en lo siguiente."}, {"start": 159.0, "end": 168.0, "text": " Haciendo los cambios correspondientes tendremos en la parte de arriba, es decir, esto queda como de K."}, {"start": 168.0, "end": 176.0, "text": " Y en la parte de abajo, esto es lo que ten\u00edamos ac\u00e1 y eso equivale a la letra K."}, {"start": 176.0, "end": 186.0, "text": " Esta integral, recordemos que se puede tambi\u00e9n escribir como la integral de K a la menos 1."}, {"start": 186.0, "end": 189.0, "text": " Con su respectivo diferencial de K."}, {"start": 189.0, "end": 191.0, "text": " Esto y esto es lo mismo."}, {"start": 191.0, "end": 197.0, "text": " Y la integral de K a la menos 1 ser\u00e1 el logaritmo natural de valor absoluto de K."}, {"start": 197.0, "end": 201.0, "text": " Y todo esto m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 201.0, "end": 204.0, "text": " Pero debemos hacer el cambio de K."}, {"start": 204.0, "end": 208.0, "text": " K era esta expresi\u00f3n que tenemos aqu\u00ed."}, {"start": 208.0, "end": 220.0, "text": " Entonces nos queda igual al logaritmo natural de valor absoluto de secante de theta m\u00e1s tangente de theta."}, {"start": 220.0, "end": 224.0, "text": " Todo esto m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 224.0, "end": 229.0, "text": " Repetimos, hemos cambiado K por su equivalente dentro del valor absoluto."}, {"start": 229.0, "end": 234.0, "text": " Entonces vamos a retomar todo lo que hemos obtenido."}, {"start": 234.0, "end": 244.0, "text": " Este resultado, este de aqu\u00ed, es el que corresponde a la integral de secante de theta con su respectivo de theta."}, {"start": 244.0, "end": 248.0, "text": " All\u00ed tenemos el resultado de esta integral."}, {"start": 248.0, "end": 261.0, "text": " Y recordemos que esta era a su vez el resultado de la integral que tra\u00edamos como de P sobre la ra\u00edz cuadrada de 1 m\u00e1s P cuadrado."}, {"start": 261.0, "end": 265.0, "text": " Cuando hicimos la sustituci\u00f3n trigonom\u00e9trica, esto se convirti\u00f3 en esto."}, {"start": 265.0, "end": 269.0, "text": " Por lo tanto esto va a ser tambi\u00e9n equivalente a esto."}, {"start": 269.0, "end": 276.0, "text": " Pero de una vez hacemos los cambios correspondientes a estas dos funciones trigonom\u00e9tricas."}, {"start": 276.0, "end": 287.0, "text": " Recordemos que secante de theta, lo hicimos m\u00e1s atr\u00e1s, equivale a la ra\u00edz cuadrada de 1 m\u00e1s P al cuadrado."}, {"start": 287.0, "end": 292.0, "text": " M\u00e1s tangente de theta nos hab\u00eda dado P."}, {"start": 292.0, "end": 302.0, "text": " Entonces ya hemos logrado cambiar esta expresi\u00f3n en t\u00e9rminos de theta a esta expresi\u00f3n que es equivalente en t\u00e9rminos de P."}, {"start": 302.0, "end": 320.0, "text": " Y para regresar a la integral original, recordemos que ella dec\u00eda la integral de e a la x sobre la ra\u00edz cuadrada de 1 m\u00e1s e a la 2x."}, {"start": 320.0, "end": 323.0, "text": " Todo esto con su respectivo de x."}, {"start": 323.0, "end": 327.0, "text": " Esta integral en alg\u00fan momento se nos convirti\u00f3 en esto, haciendo la sustituci\u00f3n."}, {"start": 327.0, "end": 331.0, "text": " Pero como son equivalentes, entonces hacemos el cambio aqu\u00ed tambi\u00e9n."}, {"start": 331.0, "end": 337.0, "text": " Recordemos que por all\u00e1 al comienzo dijimos que P era e a la x."}, {"start": 337.0, "end": 343.0, "text": " Por lo tanto nos queda la ra\u00edz cuadrada de 1 m\u00e1s P que se cambia por e a la x."}, {"start": 343.0, "end": 349.0, "text": " Entonces e a la x al cuadrado nos queda e a la 2x."}, {"start": 349.0, "end": 355.0, "text": " Cerramos la ra\u00edz m\u00e1s P que se cambia por e a la x."}, {"start": 355.0, "end": 359.0, "text": " Cerramos el valor absoluto m\u00e1s C."}, {"start": 359.0, "end": 370.0, "text": " Y de esta manera hemos encontrado entonces la integral que nos solicitaban al comienzo de este ejercicio."}, {"start": 370.0, "end": 398.0, "text": " Y esta ser\u00eda entonces la respuesta."}]

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INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA - Ejercicio 2 (Parte 1)

#julioprofe explica cómo resolver una integral usando los Métodos de Sustitución y Sustitución Trigonométrica. Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver esta integral comenzando por reescribir e a la 2x. Tendríamos en la parte de arriba lo mismo y en la parte de abajo raíz cuadrada de 1 más entre paréntesis e a la x elevado al cuadrado. Esto es lo mismo que esto. Y allí vamos a hacer entonces una sustitución para comenzar. Vamos a usar por ejemplo, usemos la letra P para e a la x. Para cambiar este e a la x, también el que tenemos en la parte de arriba. Entonces esto lo debemos derivar, decimos derivada de P con respecto a x sería igual a e a la x. Recordemos que la derivada de e a la x es ella misma. Y aquí podríamos despejar por ejemplo de P que sería entonces e a la x dx. Aprovechando que aquí en la parte de arriba tenemos justamente ese producto, e a la x por dx. Si queremos este dx lo podríamos colocar aquí y es exactamente lo mismo. Entonces aprovechando esta situación vamos a dejarlo aquí y vamos a reconstruir la integral. Entonces va a quedar así. Integral de toda la parte de arriba es esto, se convierte en dP. Y la parte de abajo nos va a quedar la raíz cuadrada de 1 más e a la x se cambia por P y nos queda P al cuadrado. Entonces la integral ahora es esta y la vamos a resolver por el método de sustitución trigonométrica. Entonces para comenzar trazamos un triángulo, hacemos un triángulo rectángulo y en él vamos a ubicar la siguiente información. Tenemos que aquí hay una suma de cuadrados, entonces la raíz cuadrada de 1 que es 1 y la raíz cuadrada de P cuadrado que sería P, es decir 1 y P serán los catetos del triángulo. Podemos ubicarlos así o al contrario, no interesa, el hecho es que tienen que ser catetos. Y la hipótenusa del triángulo si la calculamos por el teorema de Pitágoras será la raíz cuadrada de este al cuadrado, es decir 1 más este al cuadrado que sería P al cuadrado. Ahí logramos que nos aparezca esta raíz en el triángulo y este ángulo lo vamos a llamar el ángulo theta. Buscamos entonces una relación trigonométrica que nos relacione este lado con este, es decir el que tiene el valor numérico con el que tiene la raíz. En este caso sería el cateto adyacente con la hipotenusa, teniendo como referencia el ángulo theta luego allí debemos utilizar coseno. Entonces coseno de theta será igual a cateto adyacente que es 1 sobre la hipotenusa que es la raíz cuadrada de 1 más P al cuadrado. Esta raíz pasa a multiplicar acá y el coseno viene a dividir, es decir hacemos un intercambio entre estos dos elementos, nos queda entonces la raíz cuadrada de 1 más P al cuadrado es igual a 1 sobre el coseno de theta y entonces podemos decir que la raíz cuadrada de 1 más P al cuadrado es igual a secante de theta. Entonces ya tenemos el reemplazo para la raíz que nos aparece en la integral, esta raíz más adelante se cambiará por secante de theta. Aquí hemos anotado la expresión que acabamos de obtener para desocupar aquí, vamos entonces a buscar una relación trigonométrica que nos vincule estos dos lados, es decir el que tiene la P con el que tiene el número, es decir el 1, esa relación será la tangente, entonces tangente del ángulo theta será igual a cateto opuesto sobre cateto adyacente, es decir P sobre 1. Y allí tenemos que P es igual a tangente de theta y de esta igualdad vamos a derivar para poder obtener Dp, entonces derivamos ambos lados con respecto a theta, nos queda Dp de theta es igual a la derivada de tangente de theta que sería secante al cuadrado de theta, despejando Dp nos va a quedar secante al cuadrado de theta por D theta. Y ya tenemos entonces lista la otra expresión que vamos a sustituir aquí en la integral. Entonces reconstruimos esta integral usando estas dos equivalencias y nos queda de la siguiente manera, en el numerador tenemos Dp que es secante al cuadrado de theta por D theta y en el denominador tenemos la raíz, aquí la tenemos y ella equivale a secante de theta, esto simplificando nos queda secante de theta por D theta, entonces vamos a realizar esa integral.

[{"start": 0.0, "end": 9.0, "text": " Vamos a resolver esta integral comenzando por reescribir e a la 2x."}, {"start": 9.0, "end": 22.0, "text": " Tendr\u00edamos en la parte de arriba lo mismo y en la parte de abajo ra\u00edz cuadrada de 1 m\u00e1s entre par\u00e9ntesis e a la x elevado al cuadrado."}, {"start": 22.0, "end": 30.0, "text": " Esto es lo mismo que esto. Y all\u00ed vamos a hacer entonces una sustituci\u00f3n para comenzar."}, {"start": 30.0, "end": 38.0, "text": " Vamos a usar por ejemplo, usemos la letra P para e a la x."}, {"start": 38.0, "end": 42.0, "text": " Para cambiar este e a la x, tambi\u00e9n el que tenemos en la parte de arriba."}, {"start": 42.0, "end": 52.0, "text": " Entonces esto lo debemos derivar, decimos derivada de P con respecto a x ser\u00eda igual a e a la x."}, {"start": 52.0, "end": 56.0, "text": " Recordemos que la derivada de e a la x es ella misma."}, {"start": 56.0, "end": 64.0, "text": " Y aqu\u00ed podr\u00edamos despejar por ejemplo de P que ser\u00eda entonces e a la x dx."}, {"start": 64.0, "end": 70.0, "text": " Aprovechando que aqu\u00ed en la parte de arriba tenemos justamente ese producto, e a la x por dx."}, {"start": 70.0, "end": 76.0, "text": " Si queremos este dx lo podr\u00edamos colocar aqu\u00ed y es exactamente lo mismo."}, {"start": 76.0, "end": 84.0, "text": " Entonces aprovechando esta situaci\u00f3n vamos a dejarlo aqu\u00ed y vamos a reconstruir la integral."}, {"start": 84.0, "end": 92.0, "text": " Entonces va a quedar as\u00ed. Integral de toda la parte de arriba es esto, se convierte en dP."}, {"start": 92.0, "end": 104.0, "text": " Y la parte de abajo nos va a quedar la ra\u00edz cuadrada de 1 m\u00e1s e a la x se cambia por P y nos queda P al cuadrado."}, {"start": 104.0, "end": 112.0, "text": " Entonces la integral ahora es esta y la vamos a resolver por el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n trigonom\u00e9trica."}, {"start": 112.0, "end": 124.0, "text": " Entonces para comenzar trazamos un tri\u00e1ngulo, hacemos un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo y en \u00e9l vamos a ubicar la siguiente informaci\u00f3n."}, {"start": 124.0, "end": 138.0, "text": " Tenemos que aqu\u00ed hay una suma de cuadrados, entonces la ra\u00edz cuadrada de 1 que es 1 y la ra\u00edz cuadrada de P cuadrado que ser\u00eda P, es decir 1 y P ser\u00e1n los catetos del tri\u00e1ngulo."}, {"start": 138.0, "end": 143.0, "text": " Podemos ubicarlos as\u00ed o al contrario, no interesa, el hecho es que tienen que ser catetos."}, {"start": 143.0, "end": 156.0, "text": " Y la hip\u00f3tenusa del tri\u00e1ngulo si la calculamos por el teorema de Pit\u00e1goras ser\u00e1 la ra\u00edz cuadrada de este al cuadrado, es decir 1 m\u00e1s este al cuadrado que ser\u00eda P al cuadrado."}, {"start": 156.0, "end": 165.0, "text": " Ah\u00ed logramos que nos aparezca esta ra\u00edz en el tri\u00e1ngulo y este \u00e1ngulo lo vamos a llamar el \u00e1ngulo theta."}, {"start": 165.0, "end": 176.0, "text": " Buscamos entonces una relaci\u00f3n trigonom\u00e9trica que nos relacione este lado con este, es decir el que tiene el valor num\u00e9rico con el que tiene la ra\u00edz."}, {"start": 176.0, "end": 185.0, "text": " En este caso ser\u00eda el cateto adyacente con la hipotenusa, teniendo como referencia el \u00e1ngulo theta luego all\u00ed debemos utilizar coseno."}, {"start": 185.0, "end": 198.0, "text": " Entonces coseno de theta ser\u00e1 igual a cateto adyacente que es 1 sobre la hipotenusa que es la ra\u00edz cuadrada de 1 m\u00e1s P al cuadrado."}, {"start": 198.0, "end": 207.0, "text": " Esta ra\u00edz pasa a multiplicar ac\u00e1 y el coseno viene a dividir, es decir hacemos un intercambio entre estos dos elementos,"}, {"start": 207.0, "end": 224.0, "text": " nos queda entonces la ra\u00edz cuadrada de 1 m\u00e1s P al cuadrado es igual a 1 sobre el coseno de theta y entonces podemos decir que la ra\u00edz cuadrada de 1 m\u00e1s P al cuadrado es igual a secante de theta."}, {"start": 224.0, "end": 237.0, "text": " Entonces ya tenemos el reemplazo para la ra\u00edz que nos aparece en la integral, esta ra\u00edz m\u00e1s adelante se cambiar\u00e1 por secante de theta."}, {"start": 237.0, "end": 249.0, "text": " Aqu\u00ed hemos anotado la expresi\u00f3n que acabamos de obtener para desocupar aqu\u00ed, vamos entonces a buscar una relaci\u00f3n trigonom\u00e9trica que nos vincule estos dos lados,"}, {"start": 249.0, "end": 265.0, "text": " es decir el que tiene la P con el que tiene el n\u00famero, es decir el 1, esa relaci\u00f3n ser\u00e1 la tangente, entonces tangente del \u00e1ngulo theta ser\u00e1 igual a cateto opuesto sobre cateto adyacente, es decir P sobre 1."}, {"start": 265.0, "end": 279.0, "text": " Y all\u00ed tenemos que P es igual a tangente de theta y de esta igualdad vamos a derivar para poder obtener Dp, entonces derivamos ambos lados con respecto a theta,"}, {"start": 279.0, "end": 295.0, "text": " nos queda Dp de theta es igual a la derivada de tangente de theta que ser\u00eda secante al cuadrado de theta, despejando Dp nos va a quedar secante al cuadrado de theta por D theta."}, {"start": 295.0, "end": 306.0, "text": " Y ya tenemos entonces lista la otra expresi\u00f3n que vamos a sustituir aqu\u00ed en la integral."}, {"start": 306.0, "end": 315.0, "text": " Entonces reconstruimos esta integral usando estas dos equivalencias y nos queda de la siguiente manera,"}, {"start": 315.0, "end": 331.0, "text": " en el numerador tenemos Dp que es secante al cuadrado de theta por D theta y en el denominador tenemos la ra\u00edz, aqu\u00ed la tenemos y ella equivale a secante de theta,"}, {"start": 331.0, "end": 341.0, "text": " esto simplificando nos queda secante de theta por D theta, entonces vamos a realizar esa integral."}]

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LÍMITES ALGEBRAICOS - Ejercicio 14

#julioprofe explica cómo resolver un límite algebraico usando racionalización y factorización. Tema: #Límites → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEeindtt3TarvkVHRDmqNTf REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver este límite comenzando por evaluar la función, es decir, toda esta expresión cuando x es igual a 4. Entonces vamos a reemplazar nos quedaría raíz de 4 menos 2 y aquí tendríamos 4 al cubo menos 64. Hemos reemplazado el 4 donde se encontraba la x. Vamos a resolver raíz cuadrada de 4 es 2, nos queda 2 menos 2 arriba y abajo 4 al cubo es igual a 64 menos 64. Claramente observamos que esto nos da 0 sobre 0 que es una indeterminación o una forma indeterminada. Es decir, algo que nos dice que debemos transformar esta expresión para superar este problema. Entonces como estrategia vamos a racionalizar el numerador, vamos a utilizar la conjugación y vamos también a factorizar el denominador. Vamos a comenzar por factorizar el denominador. Aquí aplicamos el caso llamado diferencia de cubos. Entonces veamos, la raíz cubica del primer término sería x, la raíz cubica del segundo sería 4. Esto nos forma el factor corto, el que lleva dos términos con el mismo signo que tenemos en la operación, es decir, resta. Ahora vamos a armar el factor largo que sería el primero al cuadrado, es decir, x al cuadrado más este por este, o sea, x por 4, que esto nos da 4x más el segundo al cuadrado, 4 al cuadrado es 16. Y hemos entonces factorizado esta diferencia de cubos. Ahora en el numerador teníamos raíz cuadrada de x menos 2 y dijimos que esto lo vamos a racionalizar. Vamos a multiplicar entonces por el conjugado de esa expresión que sería raíz cuadrada de x más 2. Pero si multiplicamos arriba, debemos también multiplicar en la parte de abajo para que se conserve la fracción. En la parte de arriba vamos entonces a multiplicar esas dos expresiones utilizando el producto notable llamado suma por diferencia. Si recordemos que si se multiplica la suma de dos cantidades por la diferencia de ellas nos queda la primera cantidad al cuadrado menos la segunda cantidad al cuadrado. En la parte de abajo nos quedaría exactamente lo mismo, vamos a colocar comillitas para no tener que repetirlo. Entonces nos queda límite cuando x tiende a 4, en el numerador tendremos raíz cuadrada de x al cuadrado, eso nos da x menos 2 al cuadrado que es igual a 4. Y en la parte de abajo anotamos toda la expresión, x menos 4 por x al cuadrado más 4x más 16 y todo esto multiplicado por la raíz cuadrada de x más 2. Allí ya podemos observar que tanto en el numerador como en el denominador está x menos 4. Ese es el factor problema, miremos como x tiende a 4, aquí 4 menos 4 da 0 y 4 menos 4 da 0. O sea que este factor era el causante del 0 sobre 0. Ya lo podemos eliminar lícitamente. Y entonces nos queda el límite cuando x tiende a 4 de 1, en el numerador queda 1 y nos queda en la parte de abajo x al cuadrado más 4x más 16 que multiplica a la raíz cuadrada de x más 2. Cuando ya hemos logrado deshacernos de lo que nos estaba produciendo la indeterminación, es decir del factor problema x menos 4, volvemos a evaluar la expresión cuando x vale 4. Entonces vamos a hacer el reemplazo, arriba tendremos 1, abajo tendremos 4 al cuadrado, se reemplaza donde está la x al 4, más 4 por 4 más 16 y acá tendremos la raíz cuadrada de 4 más 2. Aquí tendremos 16 más 16 más 16, eso nos da 48 y aquí tendremos la raíz cuadrada de 4 que es 2 más 2 que eso es igual a 4. Entonces nos va a quedar 1 en el numerador y abajo 48 por 4 que nos da 192. Y entonces esta sería la respuesta para ese límite propuesto.

[{"start": 0.0, "end": 10.0, "text": " Vamos a resolver este l\u00edmite comenzando por evaluar la funci\u00f3n, es decir, toda esta expresi\u00f3n cuando x es igual a 4."}, {"start": 10.0, "end": 19.0, "text": " Entonces vamos a reemplazar nos quedar\u00eda ra\u00edz de 4 menos 2 y aqu\u00ed tendr\u00edamos 4 al cubo menos 64."}, {"start": 19.0, "end": 28.0, "text": " Hemos reemplazado el 4 donde se encontraba la x. Vamos a resolver ra\u00edz cuadrada de 4 es 2, nos queda 2 menos 2 arriba"}, {"start": 28.0, "end": 34.0, "text": " y abajo 4 al cubo es igual a 64 menos 64."}, {"start": 34.0, "end": 42.0, "text": " Claramente observamos que esto nos da 0 sobre 0 que es una indeterminaci\u00f3n o una forma indeterminada."}, {"start": 42.0, "end": 49.0, "text": " Es decir, algo que nos dice que debemos transformar esta expresi\u00f3n para superar este problema."}, {"start": 49.0, "end": 61.0, "text": " Entonces como estrategia vamos a racionalizar el numerador, vamos a utilizar la conjugaci\u00f3n y vamos tambi\u00e9n a factorizar el denominador."}, {"start": 61.0, "end": 69.0, "text": " Vamos a comenzar por factorizar el denominador. Aqu\u00ed aplicamos el caso llamado diferencia de cubos."}, {"start": 69.0, "end": 76.0, "text": " Entonces veamos, la ra\u00edz cubica del primer t\u00e9rmino ser\u00eda x, la ra\u00edz cubica del segundo ser\u00eda 4."}, {"start": 76.0, "end": 84.0, "text": " Esto nos forma el factor corto, el que lleva dos t\u00e9rminos con el mismo signo que tenemos en la operaci\u00f3n, es decir, resta."}, {"start": 84.0, "end": 94.0, "text": " Ahora vamos a armar el factor largo que ser\u00eda el primero al cuadrado, es decir, x al cuadrado m\u00e1s este por este, o sea, x por 4,"}, {"start": 94.0, "end": 103.0, "text": " que esto nos da 4x m\u00e1s el segundo al cuadrado, 4 al cuadrado es 16."}, {"start": 103.0, "end": 107.0, "text": " Y hemos entonces factorizado esta diferencia de cubos."}, {"start": 107.0, "end": 115.0, "text": " Ahora en el numerador ten\u00edamos ra\u00edz cuadrada de x menos 2 y dijimos que esto lo vamos a racionalizar."}, {"start": 115.0, "end": 122.0, "text": " Vamos a multiplicar entonces por el conjugado de esa expresi\u00f3n que ser\u00eda ra\u00edz cuadrada de x m\u00e1s 2."}, {"start": 122.0, "end": 133.0, "text": " Pero si multiplicamos arriba, debemos tambi\u00e9n multiplicar en la parte de abajo para que se conserve la fracci\u00f3n."}, {"start": 133.0, "end": 144.0, "text": " En la parte de arriba vamos entonces a multiplicar esas dos expresiones utilizando el producto notable llamado suma por diferencia."}, {"start": 144.0, "end": 154.0, "text": " Si recordemos que si se multiplica la suma de dos cantidades por la diferencia de ellas nos queda la primera cantidad al cuadrado"}, {"start": 154.0, "end": 157.0, "text": " menos la segunda cantidad al cuadrado."}, {"start": 157.0, "end": 165.0, "text": " En la parte de abajo nos quedar\u00eda exactamente lo mismo, vamos a colocar comillitas para no tener que repetirlo."}, {"start": 165.0, "end": 176.0, "text": " Entonces nos queda l\u00edmite cuando x tiende a 4, en el numerador tendremos ra\u00edz cuadrada de x al cuadrado,"}, {"start": 176.0, "end": 182.0, "text": " eso nos da x menos 2 al cuadrado que es igual a 4."}, {"start": 182.0, "end": 193.0, "text": " Y en la parte de abajo anotamos toda la expresi\u00f3n, x menos 4 por x al cuadrado m\u00e1s 4x m\u00e1s 16"}, {"start": 193.0, "end": 199.0, "text": " y todo esto multiplicado por la ra\u00edz cuadrada de x m\u00e1s 2."}, {"start": 199.0, "end": 209.0, "text": " All\u00ed ya podemos observar que tanto en el numerador como en el denominador est\u00e1 x menos 4."}, {"start": 209.0, "end": 217.0, "text": " Ese es el factor problema, miremos como x tiende a 4, aqu\u00ed 4 menos 4 da 0 y 4 menos 4 da 0."}, {"start": 217.0, "end": 225.0, "text": " O sea que este factor era el causante del 0 sobre 0. Ya lo podemos eliminar l\u00edcitamente."}, {"start": 225.0, "end": 238.0, "text": " Y entonces nos queda el l\u00edmite cuando x tiende a 4 de 1, en el numerador queda 1"}, {"start": 238.0, "end": 250.0, "text": " y nos queda en la parte de abajo x al cuadrado m\u00e1s 4x m\u00e1s 16 que multiplica a la ra\u00edz cuadrada de x m\u00e1s 2."}, {"start": 250.0, "end": 258.0, "text": " Cuando ya hemos logrado deshacernos de lo que nos estaba produciendo la indeterminaci\u00f3n,"}, {"start": 258.0, "end": 266.0, "text": " es decir del factor problema x menos 4, volvemos a evaluar la expresi\u00f3n cuando x vale 4."}, {"start": 266.0, "end": 274.0, "text": " Entonces vamos a hacer el reemplazo, arriba tendremos 1, abajo tendremos 4 al cuadrado,"}, {"start": 274.0, "end": 287.0, "text": " se reemplaza donde est\u00e1 la x al 4, m\u00e1s 4 por 4 m\u00e1s 16 y ac\u00e1 tendremos la ra\u00edz cuadrada de 4 m\u00e1s 2."}, {"start": 287.0, "end": 302.0, "text": " Aqu\u00ed tendremos 16 m\u00e1s 16 m\u00e1s 16, eso nos da 48 y aqu\u00ed tendremos la ra\u00edz cuadrada de 4 que es 2 m\u00e1s 2 que eso es igual a 4."}, {"start": 302.0, "end": 311.0, "text": " Entonces nos va a quedar 1 en el numerador y abajo 48 por 4 que nos da 192."}, {"start": 311.0, "end": 319.0, "text": " Y entonces esta ser\u00eda la respuesta para ese l\u00edmite propuesto."}]

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DERIVACIÓN IMPLÍCITA - Ejercicio 2

#julioprofe explica cómo derivar implícitamente una expresión para obtener dy/dx. Tema: #Derivadas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwF9r-Y_Gpuq45VP0qnJIJL1 REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

En este ejercicio nos dan esta expresión y nos piden encontrar la derivada de y de x. Entonces vamos a proceder con la derivación implícita. Para iniciar vamos a cambiar esto aquí por exponente fraccionario. Entonces nos queda 3xy cuadrado menos 5x más entre paréntesis xy y esto elevado al exponente 1 medio igual a 4. Allí ya podemos iniciar la derivación implícita. Derivamos implícitamente ambos miembros de la igualdad con respecto a x. Teniendo presente que cada vez que derivemos algo con y debemos agregar y', es decir el mismo de y de x. Entonces comencemos con ese término. Aquí tenemos un producto, vamos a derivar usando la regla del producto. La derivada del primero, es decir la derivada de 3x sería 3. Por el segundo sin derivar que es y al cuadrado más el primero sin derivar 3x por la derivada del segundo. La derivada de y al cuadrado sería 2y pero multiplicamos por y' porque acabamos de derivar algo que contiene la letra y. Seguimos menos la derivada de 5x que sería 5 más la derivada de esto lo hacemos con la regla de la cadena para potencias. Baja el exponente 1 medio a multiplicar queda dentro del paréntesis el producto xy intacto elevado a la menos 1 medio. Que es el resultado de efectuar un medio menos 1 y todo esto multiplicado por la derivada interna que vamos a dejar indicada. La derivada de x por y en el próximo paso la realizamos igual a la derivada de 4 que sería 0. Recordemos que la derivada de una constante siempre es 0. Esto nos queda 3 por y cuadrado más aquí podemos multiplicar nos quedaría 6xy por y' menos 5 más 1 medio por este xy ala menos 1 medio. Podríamos escribir como 1 sobre xy ala 1 medio para que de una vez nos quede con exponente positivo. Esto multiplicado por la derivada de x por y entonces allí vamos a abrir un paréntesis y vamos a hacer la derivada usando la regla del producto. La derivada del primero es decir de x nos da 1 por el segundo sin derivar que sería y más el primero sin derivar es decir x por la derivada del segundo. La derivada de y sería 1 por y' entonces escribimos directamente y'. Cerramos el paréntesis y todo esto igual a 0. Esto lo podemos escribir como 3y cuadrado más 6xy por y' menos 5 más aquí vamos a multiplicar 1 por 1 es 1 los numeradores y abajo también multiplicamos y de una vez podemos cambiar xy ala 1 medio por la raíz cuadrada de xy. Y todo esto que va a multiplicar a 1 por y que es y más xy' y todo esto igual a 0. A continuación vamos a hacer aquí propiedad distributiva vamos a multiplicar esta expresión por estos dos términos y entonces nos va a quedar así 3y cuadrado más 6xy por y' menos 5. Y aquí esto por y nos va a quedar positivo y en el numerador y en el denominador 2 raíz cuadrada de xy. Y todo eso igual a 0. Ahora vamos a dejar en el lado izquierdo los términos que contienen y' es decir estos dos entonces nos queda 6xy por y' más xy' todo esto sobre 2 raíz cuadrada de xy. Igual los demás los pasamos al lado derecho este 5 llega positivo este término llega negativo y este también llega negativo. Ahora sacamos factor común en el lado izquierdo y' y' será factor común de 6xy más x sobre 2 raíz cuadrada de xy cerramos el paréntesis igual a esto mismo que tenemos en el lado derecho. Bien y enseguida vamos a despejar y' para despejar y' entonces pasamos toda esta expresión que está multiplicando a dividir al otro lado. Entonces nos va a quedar de la siguiente manera en el numerador 5 menos 3y cuadrado menos y sobre 2 raíz cuadrada de xy y en el denominador tendremos 6xy más x sobre 2 raíz cuadrada de xy. Como siguiente paso cambiamos y' por dy de x en el proceso utilizamos y' por comodidad pero al final debe cambiarse por dy de x. Al otro lado vamos a resolver las operaciones que tenemos en el numerador y en el denominador en la parte de arriba el común denominador será 2 raíz cuadrada de xy y entonces acá nos va a quedar 10 raíz cuadrada de xy menos 3y cuadrado multiplicado por 2 raíz de xy nos queda 6y cuadrado raíz cuadrada de xy menos y todo esto nos queda encima de la línea principal. En la parte de abajo nos va a quedar como común denominador también 2 raíz cuadrada de xy y aquí nos va a quedar esto por esto sería 12xy raíz cuadrada de xy más x. Bien allí podemos cancelar los denominadores por ser iguales y la respuesta para este ejercicio nos va a quedar así. Dy de x es igual a en la parte de arriba tenemos 10 raíz cuadrada de xy menos 6y cuadrado raíz cuadrada de xy menos y. En la parte de abajo tenemos 12xy raíz cuadrada de xy más x. De esta manera hemos terminado este ejercicio. Hemos encontrado dy de x utilizando derivación implícita.

[{"start": 0.0, "end": 10.0, "text": " En este ejercicio nos dan esta expresi\u00f3n y nos piden encontrar la derivada de y de x."}, {"start": 11.0, "end": 16.0, "text": " Entonces vamos a proceder con la derivaci\u00f3n impl\u00edcita."}, {"start": 16.0, "end": 21.0, "text": " Para iniciar vamos a cambiar esto aqu\u00ed por exponente fraccionario."}, {"start": 21.0, "end": 34.0, "text": " Entonces nos queda 3xy cuadrado menos 5x m\u00e1s entre par\u00e9ntesis xy y esto elevado al exponente 1 medio igual a 4."}, {"start": 34.0, "end": 39.0, "text": " All\u00ed ya podemos iniciar la derivaci\u00f3n impl\u00edcita."}, {"start": 39.0, "end": 46.0, "text": " Derivamos impl\u00edcitamente ambos miembros de la igualdad con respecto a x."}, {"start": 46.0, "end": 56.0, "text": " Teniendo presente que cada vez que derivemos algo con y debemos agregar y', es decir el mismo de y de x."}, {"start": 56.0, "end": 58.0, "text": " Entonces comencemos con ese t\u00e9rmino."}, {"start": 58.0, "end": 63.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos un producto, vamos a derivar usando la regla del producto."}, {"start": 63.0, "end": 68.0, "text": " La derivada del primero, es decir la derivada de 3x ser\u00eda 3."}, {"start": 68.0, "end": 79.0, "text": " Por el segundo sin derivar que es y al cuadrado m\u00e1s el primero sin derivar 3x por la derivada del segundo."}, {"start": 79.0, "end": 90.0, "text": " La derivada de y al cuadrado ser\u00eda 2y pero multiplicamos por y' porque acabamos de derivar algo que contiene la letra y."}, {"start": 90.0, "end": 103.0, "text": " Seguimos menos la derivada de 5x que ser\u00eda 5 m\u00e1s la derivada de esto lo hacemos con la regla de la cadena para potencias."}, {"start": 103.0, "end": 114.0, "text": " Baja el exponente 1 medio a multiplicar queda dentro del par\u00e9ntesis el producto xy intacto elevado a la menos 1 medio."}, {"start": 114.0, "end": 124.0, "text": " Que es el resultado de efectuar un medio menos 1 y todo esto multiplicado por la derivada interna que vamos a dejar indicada."}, {"start": 124.0, "end": 134.0, "text": " La derivada de x por y en el pr\u00f3ximo paso la realizamos igual a la derivada de 4 que ser\u00eda 0."}, {"start": 134.0, "end": 140.0, "text": " Recordemos que la derivada de una constante siempre es 0."}, {"start": 140.0, "end": 162.0, "text": " Esto nos queda 3 por y cuadrado m\u00e1s aqu\u00ed podemos multiplicar nos quedar\u00eda 6xy por y' menos 5 m\u00e1s 1 medio por este xy ala menos 1 medio."}, {"start": 162.0, "end": 171.0, "text": " Podr\u00edamos escribir como 1 sobre xy ala 1 medio para que de una vez nos quede con exponente positivo."}, {"start": 171.0, "end": 180.0, "text": " Esto multiplicado por la derivada de x por y entonces all\u00ed vamos a abrir un par\u00e9ntesis y vamos a hacer la derivada usando la regla del producto."}, {"start": 180.0, "end": 194.0, "text": " La derivada del primero es decir de x nos da 1 por el segundo sin derivar que ser\u00eda y m\u00e1s el primero sin derivar es decir x por la derivada del segundo."}, {"start": 194.0, "end": 201.0, "text": " La derivada de y ser\u00eda 1 por y' entonces escribimos directamente y'."}, {"start": 201.0, "end": 206.0, "text": " Cerramos el par\u00e9ntesis y todo esto igual a 0."}, {"start": 206.0, "end": 230.0, "text": " Esto lo podemos escribir como 3y cuadrado m\u00e1s 6xy por y' menos 5 m\u00e1s aqu\u00ed vamos a multiplicar 1 por 1 es 1 los numeradores y abajo tambi\u00e9n multiplicamos y de una vez podemos cambiar xy ala 1 medio por la ra\u00edz cuadrada de xy."}, {"start": 230.0, "end": 242.0, "text": " Y todo esto que va a multiplicar a 1 por y que es y m\u00e1s xy' y todo esto igual a 0."}, {"start": 242.0, "end": 263.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a hacer aqu\u00ed propiedad distributiva vamos a multiplicar esta expresi\u00f3n por estos dos t\u00e9rminos y entonces nos va a quedar as\u00ed 3y cuadrado m\u00e1s 6xy por y' menos 5."}, {"start": 263.0, "end": 275.0, "text": " Y aqu\u00ed esto por y nos va a quedar positivo y en el numerador y en el denominador 2 ra\u00edz cuadrada de xy."}, {"start": 275.0, "end": 293.0, "text": " Y todo eso igual a 0."}, {"start": 293.0, "end": 316.0, "text": " Ahora vamos a dejar en el lado izquierdo los t\u00e9rminos que contienen y' es decir estos dos entonces nos queda 6xy por y' m\u00e1s xy' todo esto sobre 2 ra\u00edz cuadrada de xy."}, {"start": 316.0, "end": 336.0, "text": " Igual los dem\u00e1s los pasamos al lado derecho este 5 llega positivo este t\u00e9rmino llega negativo y este tambi\u00e9n llega negativo."}, {"start": 336.0, "end": 360.0, "text": " Ahora sacamos factor com\u00fan en el lado izquierdo y' y' ser\u00e1 factor com\u00fan de 6xy m\u00e1s x sobre 2 ra\u00edz cuadrada de xy cerramos el par\u00e9ntesis igual a esto mismo que tenemos en el lado derecho."}, {"start": 360.0, "end": 374.0, "text": " Bien y enseguida vamos a despejar y' para despejar y' entonces pasamos toda esta expresi\u00f3n que est\u00e1 multiplicando a dividir al otro lado."}, {"start": 374.0, "end": 400.0, "text": " Entonces nos va a quedar de la siguiente manera en el numerador 5 menos 3y cuadrado menos y sobre 2 ra\u00edz cuadrada de xy y en el denominador tendremos 6xy m\u00e1s x sobre 2 ra\u00edz cuadrada de xy."}, {"start": 400.0, "end": 413.0, "text": " Como siguiente paso cambiamos y' por dy de x en el proceso utilizamos y' por comodidad pero al final debe cambiarse por dy de x."}, {"start": 413.0, "end": 435.0, "text": " Al otro lado vamos a resolver las operaciones que tenemos en el numerador y en el denominador en la parte de arriba el com\u00fan denominador ser\u00e1 2 ra\u00edz cuadrada de xy y entonces ac\u00e1 nos va a quedar 10 ra\u00edz cuadrada de xy"}, {"start": 435.0, "end": 455.0, "text": " menos 3y cuadrado multiplicado por 2 ra\u00edz de xy nos queda 6y cuadrado ra\u00edz cuadrada de xy menos y todo esto nos queda encima de la l\u00ednea principal."}, {"start": 455.0, "end": 478.0, "text": " En la parte de abajo nos va a quedar como com\u00fan denominador tambi\u00e9n 2 ra\u00edz cuadrada de xy y aqu\u00ed nos va a quedar esto por esto ser\u00eda 12xy ra\u00edz cuadrada de xy m\u00e1s x."}, {"start": 478.0, "end": 493.0, "text": " Bien all\u00ed podemos cancelar los denominadores por ser iguales y la respuesta para este ejercicio nos va a quedar as\u00ed."}, {"start": 493.0, "end": 509.0, "text": " Dy de x es igual a en la parte de arriba tenemos 10 ra\u00edz cuadrada de xy menos 6y cuadrado ra\u00edz cuadrada de xy menos y."}, {"start": 509.0, "end": 523.0, "text": " En la parte de abajo tenemos 12xy ra\u00edz cuadrada de xy m\u00e1s x. De esta manera hemos terminado este ejercicio."}, {"start": 523.0, "end": 539.0, "text": " Hemos encontrado dy de x utilizando derivaci\u00f3n impl\u00edcita."}]

julioprofe

https://www.youtube.com/watch?v=ABMnpHahDic

OPERACIONES CON ENTEROS Y SIGNOS DE AGRUPACIÓN - Ejercicios 1, 2 y 3

#julioprofe explica cómo resolver tres ejercicios de operaciones combinadas con números enteros y signos de agrupación (paréntesis, corchetes y llaves). Videos de #NúmerosEnteros → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwFmPtR9zFQN2cpK9QL7X8w9 REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

En este ejercicio vamos a comenzar por quitar los paréntesis, entonces nos va a quedar así, aquí sale menos 7, podemos quitar tranquilamente el paréntesis porque a su izquierda tenemos un signo positivo que se encuentra invisible, luego sale el mismo número, abrimos la llave, nos queda 9, menos, abrimos el corchete, entonces aquí sale menos 7, aquí más con menos nos queda menos 13 y menos con menos nos queda más 5, cerramos el corchete, más, abrimos el otro corchete, nos queda 23, aquí sale el 18, entonces queda menos 18 y aquí más con menos nos queda menos 6, cerramos el corchete y por último la llave, luego podemos hacer la destrucción de los corchetes, entonces nos queda menos 7, menos, abrimos la llave, queda el 9 y aquí todos estos números van a salir con signos contrarios porque a la izquierda del corchete tenemos un signo negativo, ese signo negativo nos cambia todos estos signos, entonces nos sale más 7, más 13, menos 5, más, aquí salen estos números iguales, no sufren ningún cambio porque a la izquierda del corchete tenemos un signo positivo, entonces los números salen tal como se encuentran dentro del corchete, cerramos la llave, finalmente destruimos la llave, nos fijamos que a la izquierda de ella hay un signo negativo, por lo tanto todos estos números van a salir con signos contrarios, entonces nos va a quedar así, menos 7 queda menos 9, menos 7, menos 13, más 5, menos 23, más 18, más 6, si vemos que todo lo que estaba dentro de las llaves, todos esos números salieron con signos contrarios como consecuencia de este signo negativo, ahora vamos a sumar los positivos aparte y los negativos aparte, podemos señalar todos los que son negativos, colocarles una marca para realizar la suma entre ellos y lo mismo con los positivos, entonces vamos a realizar esa suma, la suma de negativos nos da menos 59, todos los que están señalados con color rojo suman menos 59 y los que están señalados con color azul suman 29, finalmente la operación menos 59 más 29 nos da menos 30, entonces menos 30 es el resultado de todo este polinomio aritmético, para desarrollar este polinomio aritmético comenzamos por destruir los paréntesis, entonces veamos nos queda menos 13, aquí menos por más da menos, queda menos 21, se destruye el paréntesis, más 73, aquí menos con menos nos queda más, se rompe el paréntesis y sale el 48 y queda menos 29, bien vamos a señalar en este caso los números que son negativos, por ejemplo estos que estamos marcando con color rojo son negativos y los positivos son estos dos que señalamos con color azul, la suma de los negativos, si la suma de estos tres numeritos nos da menos 63 y la suma de los positivos nos da más 121, la operación final es decir menos 63 más 121 nos da un total de 58 positivo, esa seria entonces la respuesta a este polinomio aritmético. Para resolver este polinomio aritmético comenzamos por destruir el paréntesis, entonces nos va a quedar así, 1 menos abrimos la llave, 4 menos abrimos corchete, menos 2, a ver como el paréntesis tiene a su izquierda un signo positivo entonces estos números salen tal como están, no presentan cambio de signo, seguimos con lo demás hasta llegar al final del polinomio, a continuación vamos a destruir el corchete, en este caso podemos observar que el corchete tiene a su izquierda un signo negativo por lo tanto estos números van a salir con signos contrarios, entonces menos 2 se convierte en más 2, más 5 se convierte en menos 5, menos 1 se convierte en más 1, menos 9 se convierte en más 9 y menos 1 se convierte en más 1, completamos con lo demás, bien, ahora por ultimo destruimos la llave y vemos que a la izquierda de la llave hay un signo negativo por lo tanto todos estos números salen con signos contrarios, nos queda entonces 1 menos 4 menos 2 más 5 menos 1 menos 9 menos 1 menos 2 y empatamos con este más 3, finalmente vamos a señalar los números que son por ejemplo negativos, tenemos el caso de menos 4 menos 2 menos 1 menos 9 menos 1 y menos 2, todos esos números son negativos y los positivos son 1, este 5 y este 3, vamos a realizar entonces la operación de los números que son negativos, menos 4 y menos 2 nos da menos 6 y menos 1 da menos 7, menos 9 queda menos 16 menos 1 menos 17 menos 2 nos queda menos 19 y ahora los números que son positivos, 1 más 5 nos da 6, 6 más 3 nos da 9 positivo, finalmente la operación menos 19 más 9 nos da un total de menos 10 y esa seria entonces la respuesta a este polinomio aritmético.

[{"start": 0.0, "end": 16.8, "text": " En este ejercicio vamos a comenzar por quitar los par\u00e9ntesis, entonces nos va a quedar"}, {"start": 16.8, "end": 23.8, "text": " as\u00ed, aqu\u00ed sale menos 7, podemos quitar tranquilamente el par\u00e9ntesis porque a su izquierda tenemos"}, {"start": 23.8, "end": 31.240000000000002, "text": " un signo positivo que se encuentra invisible, luego sale el mismo n\u00famero, abrimos la llave,"}, {"start": 31.240000000000002, "end": 37.8, "text": " nos queda 9, menos, abrimos el corchete, entonces aqu\u00ed sale menos 7, aqu\u00ed m\u00e1s con"}, {"start": 37.8, "end": 48.400000000000006, "text": " menos nos queda menos 13 y menos con menos nos queda m\u00e1s 5, cerramos el corchete, m\u00e1s,"}, {"start": 48.4, "end": 57.44, "text": " abrimos el otro corchete, nos queda 23, aqu\u00ed sale el 18, entonces queda menos 18 y aqu\u00ed"}, {"start": 57.44, "end": 67.52, "text": " m\u00e1s con menos nos queda menos 6, cerramos el corchete y por \u00faltimo la llave, luego"}, {"start": 67.52, "end": 77.03999999999999, "text": " podemos hacer la destrucci\u00f3n de los corchetes, entonces nos queda menos 7, menos, abrimos"}, {"start": 77.04, "end": 83.88000000000001, "text": " la llave, queda el 9 y aqu\u00ed todos estos n\u00fameros van a salir con signos contrarios porque a"}, {"start": 83.88000000000001, "end": 89.2, "text": " la izquierda del corchete tenemos un signo negativo, ese signo negativo nos cambia todos"}, {"start": 89.2, "end": 99.80000000000001, "text": " estos signos, entonces nos sale m\u00e1s 7, m\u00e1s 13, menos 5, m\u00e1s, aqu\u00ed salen estos n\u00fameros"}, {"start": 99.8, "end": 106.92, "text": " iguales, no sufren ning\u00fan cambio porque a la izquierda del corchete tenemos un signo"}, {"start": 106.92, "end": 115.0, "text": " positivo, entonces los n\u00fameros salen tal como se encuentran dentro del corchete, cerramos"}, {"start": 115.0, "end": 121.56, "text": " la llave, finalmente destruimos la 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menos 59, todos los que"}, {"start": 186.84, "end": 194.76000000000002, "text": " est\u00e1n se\u00f1alados con color rojo suman menos 59 y los que est\u00e1n se\u00f1alados con color azul"}, {"start": 194.76000000000002, "end": 206.08, "text": " suman 29, finalmente la operaci\u00f3n menos 59 m\u00e1s 29 nos da menos 30, entonces menos 30"}, {"start": 206.08, "end": 219.48000000000002, "text": " es el resultado de todo este polinomio aritm\u00e9tico, para desarrollar este polinomio aritm\u00e9tico"}, {"start": 219.48000000000002, "end": 227.96, "text": " comenzamos por destruir los par\u00e9ntesis, entonces veamos nos queda menos 13, aqu\u00ed menos por"}, {"start": 227.96, "end": 237.08, "text": " m\u00e1s da menos, queda menos 21, se destruye el par\u00e9ntesis, m\u00e1s 73, aqu\u00ed menos con menos"}, {"start": 237.08, "end": 246.58, "text": " nos queda m\u00e1s, se rompe el par\u00e9ntesis y sale el 48 y queda menos 29, bien vamos a se\u00f1alar"}, {"start": 246.58, "end": 253.76000000000002, "text": " en este caso los n\u00fameros que son negativos, por ejemplo estos que estamos marcando con"}, {"start": 253.76, "end": 261.36, "text": " color rojo son negativos y los positivos son estos dos que se\u00f1alamos con color azul,"}, {"start": 261.36, "end": 269.8, "text": " la suma de los negativos, si la suma de estos tres numeritos nos da menos 63 y la suma de"}, {"start": 269.8, "end": 281.03999999999996, "text": " los positivos nos da m\u00e1s 121, la operaci\u00f3n final es decir menos 63 m\u00e1s 121 nos da un"}, {"start": 281.04, "end": 294.12, "text": " total de 58 positivo, esa seria entonces la respuesta a este polinomio aritm\u00e9tico."}, {"start": 294.12, "end": 301.12, "text": " Para resolver este polinomio aritm\u00e9tico comenzamos por destruir el par\u00e9ntesis, entonces nos"}, {"start": 301.12, "end": 309.52000000000004, "text": " va a quedar as\u00ed, 1 menos abrimos la llave, 4 menos abrimos corchete, menos 2, a ver"}, {"start": 309.52, "end": 315.76, "text": " como el par\u00e9ntesis tiene a su izquierda un signo positivo entonces estos n\u00fameros salen"}, {"start": 315.76, "end": 326.4, "text": " tal como est\u00e1n, no presentan cambio de signo, seguimos con lo dem\u00e1s hasta llegar al final"}, {"start": 326.4, "end": 334.24, "text": " del polinomio, a continuaci\u00f3n vamos a destruir el corchete, en este caso podemos observar"}, {"start": 334.24, "end": 339.84000000000003, "text": " que el corchete tiene a su izquierda un signo negativo por lo tanto estos n\u00fameros van a"}, {"start": 339.84000000000003, "end": 347.72, "text": " salir con signos contrarios, entonces menos 2 se convierte en m\u00e1s 2, m\u00e1s 5 se convierte"}, {"start": 347.72, "end": 355.36, "text": " en menos 5, menos 1 se convierte en m\u00e1s 1, menos 9 se convierte en m\u00e1s 9 y menos 1"}, {"start": 355.36, "end": 367.24, "text": " se convierte en m\u00e1s 1, completamos con lo dem\u00e1s, bien, ahora por ultimo destruimos"}, {"start": 367.24, "end": 372.88, "text": " la llave y vemos que a la izquierda de la llave hay un signo negativo por lo tanto todos"}, {"start": 372.88, "end": 381.64, "text": " estos n\u00fameros salen con signos contrarios, nos queda entonces 1 menos 4 menos 2 m\u00e1s"}, {"start": 381.64, "end": 396.15999999999997, "text": " 5 menos 1 menos 9 menos 1 menos 2 y empatamos con este m\u00e1s 3, finalmente vamos a se\u00f1alar"}, {"start": 396.15999999999997, "end": 403.15999999999997, "text": " los n\u00fameros que son por ejemplo negativos, tenemos el caso de menos 4 menos 2 menos 1"}, {"start": 403.16, "end": 412.12, "text": " menos 9 menos 1 y menos 2, todos esos n\u00fameros son negativos y los positivos son 1, este"}, {"start": 412.12, "end": 423.72, "text": " 5 y este 3, vamos a realizar entonces la operaci\u00f3n de los n\u00fameros que son negativos, menos 4"}, {"start": 423.72, "end": 432.18, "text": " y menos 2 nos da menos 6 y menos 1 da menos 7, menos 9 queda menos 16 menos 1 menos 17"}, {"start": 432.18, "end": 442.0, "text": " menos 2 nos queda menos 19 y ahora los n\u00fameros que son positivos, 1 m\u00e1s 5 nos da 6, 6 m\u00e1s"}, {"start": 442.0, "end": 452.64, "text": " 3 nos da 9 positivo, finalmente la operaci\u00f3n menos 19 m\u00e1s 9 nos da un total de menos 10"}, {"start": 452.64, "end": 459.59999999999997, "text": " y esa seria entonces la respuesta a este polinomio aritm\u00e9tico."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=_exKGOyFZ50

Problema 1 de OPTIMIZACIÓN

#julioprofe explica cómo resolver un problema de optimización aplicando las derivadas: El costo total (en miles de pesos) de pedido y almacenaje de x automóviles es C(x)=4x+720+921600/x. Determine el tamaño del pedido que minimiza el costo total. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

En este problema nos dan la función de costo total de pedido y almacenaje de X automóviles. Es la función que apreciamos en pantalla. Ese costo se expresa en miles de pesos. Nos piden determinar el tamaño del pedido que minimiza el costo total. Bien, este es un problema de optimización, una de las aplicaciones de las derivadas. En este caso nos piden minimizar el valor de una variable que es el costo total. Entonces vamos a requerir derivar esta función que se conoce con el nombre de función objetivo. Vamos a comenzar por reescribirla. Entonces nos queda de la siguiente manera. CDX es igual a 4X más 720 más 921600 X elevado a la menos 1. Esta X que tenemos aquí en el denominador la pasamos acá al numerador. Entonces se nos presenta un cambio de signo en el exponente. Entonces vamos a proceder ahora sí con la derivada. Vamos a derivar esa función. Entonces nos va a quedar como C' de X, la función derivada. Vamos derivando entonces cada uno de los términos por tratarse de una suma. Entonces la derivada de 4X es 4, la derivada de 720 es 0. Recordemos que la derivada de una constante siempre es 0 y la derivada de este término nos queda menos 921600 X elevado al exponente menos 2. Recordemos que este exponente baja a multiplicar con este número, por esa razón nos queda menos 921600 y al exponente que teníamos le restamos 1. Menos 1 menos 1 nos da menos 2. Bien, a continuación vamos a determinar los puntos críticos de la función. Para ya los puntos críticos tomamos la primera derivada, es decir C' de X y la igualamos a 0. Entonces tomamos la expresión que obtuvimos, 4 menos 921600 X elevado al exponente menos 2 y eso lo igualamos a 0. Entonces vamos a resolver esta ecuación. Esto podemos reescribirlo como 4 menos 921600 sobre X elevado al cuadrado. Entonces lo que hemos hecho es pasar esta potencia, la pasamos al denominador para que nos quede con exponente positivo. Esto está igualado a 0. Ahora vamos a pasar la fracción, toda esta fracción que está negativa la pasamos al otro lado, es decir que nos llega positiva, nos quedaría 4 igual a 921600 sobre X al cuadrado. Ahora podemos pasar X al cuadrado que se encuentra dividiendo al otro lado a multiplicar. Entonces nos queda 4X al cuadrado igual a 921600. Despejamos X al cuadrado nos queda igual a 921600, todo esto dividido entre 4. Resolvemos esa división y nos queda que X al cuadrado es igual a 230400. Para despejar X sacamos raíz cuadrada a ambos lados. Sin olvidar que en el lado derecho debemos colocar las dos opciones más y menos, entonces nos queda más o menos la raíz cuadrada de 230400. En el lado izquierdo nos queda X y en el lado derecho nos daría más o menos 480. Pero en este problema X representa automóviles, es el tamaño del pedido, por lo tanto es ilógico pensar en una cantidad de automóviles negativa. Luego nos quedamos únicamente con la opción positiva. Entonces X igual a 480 viene siendo el valor donde hay punto crítico para esta función, es decir donde probablemente vamos a tener el mínimo de la función de costo. Para verificar si el valor obtenido es decir X igual a 480 maximiza o minimiza la función objetivo, es decir la función de costo, podemos hacer esto que apreciamos en la tabla, es decir una tabulación en la función objetivo, es decir en la función de costo total. Tomamos diferentes valores de X, entre ellos el valor obtenido que es 480 y cada uno de estos valores los reemplazamos en la función objetivo. Estos son los valores obtenidos, recordemos que estos valores son de costo total expresados en miles de pesos. Como vemos de todos los valores obtenidos el que corresponde a 480 es decir 4560 es el más pequeño de todos, por lo tanto esto nos confirma que 480 es el valor que produce el costo mínimo. Este valor se interpretaría como 4.560.000 pesos, si recordemos que acá nos dicen que el costo total está expresado en miles de pesos, luego a estos valores tendríamos que agregarles tres ceros, es decir multiplicarlos por mil para obtener el dato real. Entonces terminamos el problema diciendo que el tamaño del pedido que minimiza el costo total es de 480 automóviles.

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ECUACIONES LINEALES - Problema 1

#julioprofe explica cómo resolver un problema geométrico mediante una ecuación de primer grado con una incógnita. Tema: #EcuacionesLineales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwFaAaS3cm5sKZ3gFlxcML1E REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

En este problema nos dan un polígono de 5 lados, es decir, un pentágono, donde nos dicen que su perímetro es 2 metros. Podemos apreciar las medidas de 4 de sus lados y nos piden encontrar el valor de X. Bien, debemos entonces plantear una ecuación. Vamos a utilizar el concepto de perímetro. Recordemos que el perímetro de un polígono es la suma de sus lados. Entonces vamos a decir que 1 tercio más 1 sexto más 1 medio más 1 cuarto más X es igual a 2. Aquí tenemos la suma de los 5 lados igualado a 2, que es el dato que nos da el enunciado del problema. Vamos entonces a resolver esa ecuación, comenzando por realizar la suma de estas 4 fracciones, que son fracciones de distinto denominador, es decir, fracciones heterogéneas. Vamos a buscar entonces el mínimo común múltiplo de los denominadores. Realizamos entonces la descomposición simultánea en factores primos de los denominadores. Comenzamos utilizando el 2, que es el primer número primo que podemos utilizar. Mitad de 6 es 3, mitad de 2 es 1, mitad de 4 es 2. A este 3 no le sirve el 2 como divisor, por lo tanto lo dejamos igual. Aquí donde tenemos 1, podemos encerrarlo para indicar que ya terminamos en esta parte. Nuevamente utilizamos el 2, que le sirve a este. Mitad de 2 es 1, terminamos y al 3 no le sirve el 2, por lo tanto los volvemos a escribir. Pasamos al siguiente número primo, que es el 3, que es el que debemos utilizar para dividir estos 2. Tercera de 3 es 1, tercera de 3 es 1 y terminamos. De esta manera hemos encontrado el mínimo común múltiplo de estos cuatro números. Entonces hacemos la multiplicación de estos numeritos, 2 por 2 es 4, 4 por 3 nos da 12 y entonces el mcm de los denominadores es 12. Es lo que se conoce también como el común denominador. A continuación vamos a convertir las fracciones en fracciones con denominador 12. Vamos a volverlas homogéneas y esto lo vamos a conseguir utilizando la amplificación. Recordemos que amplificar una fracción consiste en multiplicar su numerador y denominador por la misma cantidad. Entonces escribimos nuevamente las fracciones con la linecita más larga y vamos a empezar a multiplicar por los números necesarios para que los denominadores queden en 12, es decir en lo que nos dio el mcm o común denominador. Entonces 3 debe ser multiplicado por 4 para que nos de 12, por lo tanto arriba también se debe multiplicar por 4. Aquí 6 debe ser multiplicado por 2 para que nos de 12, por lo tanto arriba también va multiplicado por 2. Aquí 2 debe ser multiplicado por 6, entonces arriba también multiplicamos por 6 y 4 debe ser multiplicado por 3 y por lo tanto arriba también se multiplica por 3. Vamos a realizar entonces esas multiplicaciones. La primera fracción nos queda como 4 doceavos, la segunda nos queda convertida en 2 doceavos, la tercera queda como 6 doceavos y la cuarta nos queda como 3 doceavos, más x igual a 2. Aquí tenemos 4 fracciones homogéneas, es decir fracciones con el mismo denominador. Recordemos que para sumarlas trazamos una sola línea, dejamos ese denominador que es 12, y hacemos la operación de los numeradores, en este caso la suma. Entonces anotamos la operación encima de la línea y vamos a resolverla. Esta suma nos da un total de 15, 15 doceavos que sumado con x es igual a 2. Podemos simplificar la fracción 15 doceavos, a estos números podemos sacarles tercera, tercera de 15 nos da 5, tercera de 12 nos da 4, entonces esa fracción queda convertida en 5 cuartos, entonces tenemos 5 cuartos más x es igual a 2. Ya llega el momento de despejar la x, para ello pasamos 5 cuartos que está sumando, pasamos al otro lado a restar, entonces nos queda 2 menos 5 cuartos. A ese 2 podríamos colocarle denominador 1, y entonces realizamos esta resta de fracciones heterogéneas. El mínimo común múltiplo entre 1 y 4 será 4, siempre que tengamos el 1 y otro número diferente de 1, el mínimo común múltiplo de ellos dos será el número diferente de 1, entonces en este caso es el 4. Entonces debemos convertir ambas fracciones en fracciones con denominador 4, realmente la única que necesita ser cambiada es la primera fracción, porque como vemos la segunda ya tiene el 4 en el denominador, para ello multiplicamos por 4 arriba y abajo, es decir hacemos la amplificación, eso nos queda entonces x igual a 8 cuartos menos 5 cuartos, una resta de fracciones homogéneas. Dejamos entonces el mismo denominador 4 y efectuamos la resta de los numeradores. Resolviendo nos queda que 8 menos 5 es 3, y nos da 3 cuartos que es el resultado definitivo del problema, esto debe ir en metros, que es la unidad de medida que nos dieron en el enunciado, de esta manera hemos encontrado el valor de la x, y esto constituye la respuesta al problema.

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12,"}, {"start": 236.56, "end": 242.0, "text": " es decir en lo que nos dio el mcm o com\u00fan denominador."}, {"start": 242.0, "end": 247.88, "text": " Entonces 3 debe ser multiplicado por 4 para que nos de 12, por lo tanto arriba tambi\u00e9n"}, {"start": 247.88, "end": 250.24, "text": " se debe multiplicar por 4."}, {"start": 250.24, "end": 256.38, "text": " Aqu\u00ed 6 debe ser multiplicado por 2 para que nos de 12, por lo tanto arriba tambi\u00e9n va"}, {"start": 256.38, "end": 258.36, "text": " multiplicado por 2."}, {"start": 258.36, "end": 266.04, "text": " Aqu\u00ed 2 debe ser multiplicado por 6, entonces arriba tambi\u00e9n multiplicamos por 6 y 4 debe"}, {"start": 266.04, "end": 272.48, "text": " ser multiplicado por 3 y por lo tanto arriba tambi\u00e9n se multiplica por 3."}, {"start": 272.48, "end": 277.26, "text": " Vamos a realizar entonces esas multiplicaciones."}, {"start": 277.26, "end": 288.76, "text": " La primera fracci\u00f3n nos queda como 4 doceavos, la segunda nos queda convertida en 2 doceavos,"}, {"start": 288.76, "end": 303.59999999999997, "text": " la tercera queda como 6 doceavos y la cuarta nos queda como 3 doceavos, m\u00e1s x igual a"}, {"start": 303.59999999999997, "end": 305.56, "text": " 2."}, {"start": 305.56, "end": 312.64, "text": " Aqu\u00ed tenemos 4 fracciones homog\u00e9neas, es decir fracciones con el mismo denominador."}, {"start": 312.64, "end": 318.88, "text": " Recordemos que para sumarlas trazamos una sola l\u00ednea, dejamos ese denominador que es"}, {"start": 318.88, "end": 325.64, "text": " 12, y hacemos la operaci\u00f3n de los numeradores, en este caso la suma."}, {"start": 325.64, "end": 334.0, "text": " Entonces anotamos la operaci\u00f3n encima de la l\u00ednea y vamos a resolverla."}, {"start": 334.0, "end": 350.68, "text": " Esta suma nos da un total de 15, 15 doceavos que sumado con x es igual a 2."}, {"start": 350.68, "end": 357.6, "text": " Podemos simplificar la fracci\u00f3n 15 doceavos, a estos n\u00fameros podemos sacarles tercera,"}, {"start": 357.6, "end": 366.52000000000004, "text": " tercera de 15 nos da 5, tercera de 12 nos da 4, entonces esa fracci\u00f3n queda convertida"}, {"start": 366.52000000000004, "end": 375.08000000000004, "text": " en 5 cuartos, entonces tenemos 5 cuartos m\u00e1s x es igual a 2."}, {"start": 375.08000000000004, "end": 384.20000000000005, "text": " Ya llega el momento de despejar la x, para ello pasamos 5 cuartos que est\u00e1 sumando,"}, {"start": 384.2, "end": 391.71999999999997, "text": " pasamos al otro lado a restar, entonces nos queda 2 menos 5 cuartos."}, {"start": 391.71999999999997, "end": 401.44, "text": " A ese 2 podr\u00edamos colocarle denominador 1, y entonces realizamos esta resta de fracciones"}, {"start": 401.44, "end": 404.56, "text": " heterog\u00e9neas."}, {"start": 404.56, "end": 417.72, "text": " El m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo entre 1 y 4 ser\u00e1 4, siempre que tengamos el 1 y otro n\u00famero"}, {"start": 417.72, "end": 425.28, "text": " diferente de 1, el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de ellos dos ser\u00e1 el n\u00famero diferente de"}, {"start": 425.28, "end": 430.04, "text": " 1, entonces en este caso es el 4."}, {"start": 430.04, "end": 436.86, "text": " Entonces debemos convertir ambas fracciones en fracciones con denominador 4, realmente"}, {"start": 436.86, "end": 444.68, "text": " la \u00fanica que necesita ser cambiada es la primera fracci\u00f3n, porque como vemos la segunda"}, {"start": 444.68, "end": 454.68, "text": " ya tiene el 4 en el denominador, para ello multiplicamos por 4 arriba y abajo, es decir"}, {"start": 454.68, "end": 467.92, "text": " hacemos la amplificaci\u00f3n, eso nos queda entonces x igual a 8 cuartos menos 5 cuartos, una resta"}, {"start": 467.92, "end": 470.44, "text": " de fracciones homog\u00e9neas."}, {"start": 470.44, "end": 479.68, "text": " Dejamos entonces el mismo denominador 4 y efectuamos la resta de los numeradores."}, {"start": 479.68, "end": 487.44, "text": " Resolviendo nos queda que 8 menos 5 es 3, y nos da 3 cuartos que es el resultado definitivo"}, {"start": 487.44, "end": 494.16, "text": " del problema, esto debe ir en metros, que es la unidad de medida que nos dieron en el"}, {"start": 494.16, "end": 502.12, "text": " enunciado, de esta manera hemos encontrado el valor de la x, y esto constituye la respuesta"}, {"start": 502.12, "end": 510.28000000000003, "text": " al problema."}]

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ECUACIONES LINEALES - Problema 2

#julioprofe explica cómo resolver una ecuación que se construye con las medidas de los ángulos de un triángulo. Tema: #EcuacionesLineales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwFaAaS3cm5sKZ3gFlxcML1E REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Bien, en este problema nos dan la siguiente información, dice que en un triángulo ABC, las medidas de sus ángulos se encuentran en términos de X, tal como podemos apreciar en el enunciado. Nos piden encontrar el valor de X y la medida de cada ángulo. Nuestro punto de partida será la propiedad de los triángulos, que dice que la suma de sus ángulos interiores siempre es igual a 180 grados. Entonces decimos que la medida del ángulo A más la medida del ángulo B más la medida del ángulo C debe ser igual a 180 grados. Ese será el punto de partida para la solución de este problema. Sustituimos los valores que nos dan en el problema para cada ángulo. Tenemos que la medida del ángulo A es 2X menos 30, eso lo sumamos con la medida del ángulo B que es X más 15 y eso lo sumamos con la medida del ángulo C que es 3X más 75 y esto debe quedar igualado a 180. Bien, como vemos en este paso hemos suprimido la bolita o el simbolito de los grados para efectos de solucionar más fácilmente la ecuación. Vamos a operar términos semejantes, por ejemplo este 2X se puede sumar con esta X y se puede sumar con 3X. La suma de esos tres términos semejantes nos da un total de 6X. Ahora veamos los numeritos que están solos, por ejemplo menos 30 se puede sumar con 15 y se puede sumar con 75. La suma de esos tres números nos da un total de 60 positivo y esto queda igualado a 180. Bien, tenemos la ecuación 6X más 60 igual a 180. Vamos a avanzar en el despeje de la X. Primero pasamos este 60 que está sumando, lo pasamos al otro lado a restar, entonces nos queda 180 menos 60. De allí tenemos que 6X es igual a 120 resolviendo la resta y de allí tenemos que X será igual a 120 dividido entre 6. Como el 6 está multiplicando con X, se encuentra aquí multiplicando pasa a dividir al otro lado, nos queda 120 sobre 6 y eso es igual a 20. Resolviendo esa división nos da un total de 20 y 20 será entonces el valor para la X y de esa manera respondemos la primera pregunta de este problemita. Vamos a encontrar entonces las medidas de los tres ángulos. Tenemos que la medida del ángulo A es igual a 2X menos 30. Entonces lo que debemos hacer es sustituir el valor que encontramos para X. X nos dio 20, entonces nos queda 2 por 20 menos 30. Allí resolvemos primero la multiplicación, 2 por 20 eso nos da 40 y a 40 le restamos 30. 40 menos 30 nos da 10. Esto quiere decir que la medida del ángulo A son 10 grados. Allí ya tenemos el primer ángulo. Vamos con la medida del ángulo B. Es el problema que es igual a X más 15. El valor de X fue 20, entonces 20 se suma con 15 y eso nos da 35. Entonces la medida del ángulo B es 35 grados. Finalmente encontramos la medida del ángulo C cuya expresión es 3X más 75. Entonces reemplazamos el valor de X que es 20. Nos queda 3 por 20 más 75. Resolvemos primero la multiplicación, 3 por 20 nos da 60. A 60 le sumamos 75 y esa suma nos da 135 grados. De esta manera hemos encontrado las medidas de los tres ángulos. El ángulo A mide 10 grados, el ángulo B mide 35 grados y el ángulo C mide 135 grados. Podríamos hacer la suma de estos tres valores y vemos que nos da 180 grados, con lo cual se cumple la propiedad que mencionábamos de los triángulos, la propiedad que dice que la suma de los ángulos interiores siempre es igual a 180 grados.

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PUNTOS DE INTERSECCIÓN DE DOS FUNCIONES POLINÓMICAS

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Vamos a determinar los puntos de intersección de las funciones f de x y g de x que nos dan en este momento. Para ello tenemos que hacer la igualación de las dos funciones. Si deseamos encontrar los puntos en común o puntos de intersección de ambas funciones, entonces las igualamos. Entonces igualamos ambas expresiones y de esa manera se nos va a formar una ecuación. Entonces aquí tenemos ya la igualdad de las dos expresiones. Vamos a pasar todos los términos que se encuentran en el lado derecho. Vamos a llevarlos al lado izquierdo para que la ecuación nos quede igualada a cero. Entonces nos queda así. Pasa menos 6x a la 3, pasa menos 6x al cuadrado, pasa menos 6x y más 26 y esto es igual a cero. Operamos términos semejantes. Empezamos con los que tienen x a la 3. Esta diferencia nos da x a la 3. Luego seguimos con los que tienen x a la 2 que serían estos dos de aquí. 3 menos 6 eso nos queda menos 3x al cuadrado. Después los que tienen las x que serían menos 4x y menos 6x eso nos da menos 10x. Y por último los términos independientes, menos 2 más 26 nos queda más 24 y esto es igual a cero. Tenemos que dar entonces solución a esta ecuación que es de tercer grado. Bien, aquí tenemos la ecuación de tercer grado que vamos a resolver. En esta ecuación primero la podemos examinar si se puede resolver por factorización de pronto usando el caso de factor común por agrupación de términos. Si hacemos el intento veremos que no es posible. Por lo tanto descartaríamos esa posibilidad de resolver por factorización. Vamos entonces a resolver por el método de la división sintética. Para ello necesitamos los divisores del término independiente que es 24. Entonces vamos a sacar el listado de divisores del 24. Comenzamos por el 1. A todos les colocamos signo positivo y negativo porque estamos buscando todos los divisores que sean enteros. Seguimos con más o menos 2, más o menos 3, más o menos 4, más o menos 6, más o menos 8, más o menos 12 y llegamos a más o menos 24. Todos estos números son los divisores enteros de 24. Como en este caso el polinomio tiene coeficiente principal 1, aquí x a la 3 tiene coeficiente 1, entonces no necesitamos sacar los divisores de 1 y trabajaríamos solamente con los divisores de 24. Es decir que las posibles raíces reales de este polinomio serán números enteros. Procedemos entonces a realizar la división sintética. Para hacer división sintética se requiere que el polinomio esté organizado en forma descendente, tal como lo tenemos en esta ocasión. Y anotamos los coeficientes correspondientes a cada uno de los términos. Entonces para el primer término, el de x a la 3, el coeficiente es 1. Luego sigue menos 3, luego sigue menos 10 y después sigue 24. En este caso el polinomio está completo, no hay ningún término que haga falta, por lo tanto no hay necesidad de dejar ceros. Es bueno escribir aquí arriba a qué letra o a qué grado corresponde cada uno de los números anotados. Este último corresponde al término independiente, por esa razón le ponemos las iniciales. Y trazamos por aquí una línea y esta que nos va a permitir empezar a hacer la división sintética intentando con cada uno de estos numeritos. Vamos a comenzar con x igual a 1, el primer número que tenemos para examinar. Este valor siempre se anota por aquí, el primer numerito cae debajo de la línea. Y empezamos, 1 por 1 nos da 1, sumamos, menos 3 más 1 da menos 2, menos 2 por 1 nos queda menos 2, sumamos esto nos da menos 12, menos 12 por 1 queda menos 12 y sumando esto nos da 12. Como no nos dio el último número 0, es decir el residuo no nos dio 0, entonces quiere decir que el 1 no nos sirve. Entonces borramos todo esto y vamos a realizar el intento con el siguiente número que es el menos 1. Entonces volvemos a hacer lo mismo, 1 por menos 1 da menos 1, sumamos da menos 4, menos 4 por menos 1 nos da 4 positivo, sumamos nos da menos 6, menos 6 por menos 1 queda 6 positivo y sumando nos da 30. Tampoco nos sirve porque no nos dio residuo 0. Entonces borramos por aquí y vamos a realizar el intento con el siguiente número que es el 2. Veamos, 1 por 2 nos da 2, sumamos da menos 1, menos 1 por 2 nos queda menos 2, sumamos da menos 12, menos 12 por 2 queda menos 24 y al sumar nos da 0. Esto es lo que buscábamos, que nos de residuo 0. Por lo tanto ya tenemos una de las soluciones de la ecuación. Bien, entonces x igual a 2 ya es una solución de la ecuación y aquí podemos armar el polinomio que nos queda. Esta expresión será un grado menos de la que teníamos originalmente y estos son sus coeficientes. Por lo tanto será 1x cuadrado, es decir, x cuadrado, menos 1x, es decir, menos x y menos 12. Como vemos es un trinomio de grado 2, como decíamos un grado menos de la expresión original. Esta expresión debemos igualarla a 0 porque tenemos desde el comienzo una ecuación que está igualada a 0. Vamos a resolver esta ecuación que sería de tipo cuadrática. Allí tenemos la ecuación cuadrática escrita nuevamente y la vamos a resolver mediante la factorización. Vamos a factorizar este trinomio usando el caso que se llama trinomio de la forma x al cuadrado más bx más c. Abrimos dos paréntesis y eso está igualado a 0. Sacamos la raíz cuadrada del primer término que sería x, esa la escribimos al comienzo de cada paréntesis. Cuadramos los signos, veamos, positivo por negativo nos da negativo, negativo por negativo nos da positivo. Buscamos dos números que multiplicados nos de menos 12 y cuya suma nos de menos 1. Esos números son menos 4 y 3. A continuación aplicamos el teorema del factor nulo. Si el producto de dos expresiones es igual a 0, cada una de ellas debe igualarse a 0. Entonces x menos 4 es igual a 0 o x más 3 es igual a 0. Despejamos x en cada caso, por acá nos da que x vale 4 y por acá nos da que x vale menos 3. Y de esta manera hemos obtenido los otros valores que hacían falta para completar las soluciones de la ecuación. Entonces esto quiere decir que las dos funciones fdx y gdx que nos daban al comienzo tendrán sus puntos de corte o puntos de intersección en las abscisas 2, menos 3 y 4.

[{"start": 0.0, "end": 11.0, "text": " Vamos a determinar los puntos de intersecci\u00f3n de las funciones f de x y g de x que nos dan en este momento."}, {"start": 11.0, "end": 17.0, "text": " Para ello tenemos que hacer la igualaci\u00f3n de las dos funciones."}, {"start": 17.0, "end": 26.0, "text": " Si deseamos encontrar los puntos en com\u00fan o puntos de intersecci\u00f3n de ambas funciones, entonces las igualamos."}, {"start": 26.0, "end": 41.0, "text": " Entonces igualamos ambas expresiones y de esa manera se nos va a formar una ecuaci\u00f3n."}, {"start": 41.0, "end": 47.0, "text": " Entonces aqu\u00ed tenemos ya la igualdad de las dos expresiones."}, {"start": 47.0, "end": 53.0, "text": " Vamos a pasar todos los t\u00e9rminos que se encuentran en el lado derecho."}, {"start": 53.0, "end": 60.0, "text": " Vamos a llevarlos al lado izquierdo para que la ecuaci\u00f3n nos quede igualada a cero."}, {"start": 60.0, "end": 63.0, "text": " Entonces nos queda as\u00ed."}, {"start": 63.0, "end": 74.0, "text": " Pasa menos 6x a la 3, pasa menos 6x al cuadrado, pasa menos 6x y m\u00e1s 26 y esto es igual a cero."}, {"start": 74.0, "end": 76.0, "text": " Operamos t\u00e9rminos semejantes."}, {"start": 76.0, "end": 78.0, "text": " Empezamos con los que tienen x a la 3."}, {"start": 78.0, "end": 83.0, "text": " Esta diferencia nos da x a la 3."}, {"start": 83.0, "end": 88.0, "text": " Luego seguimos con los que tienen x a la 2 que ser\u00edan estos dos de aqu\u00ed."}, {"start": 88.0, "end": 93.0, "text": " 3 menos 6 eso nos queda menos 3x al cuadrado."}, {"start": 93.0, "end": 102.0, "text": " Despu\u00e9s los que tienen las x que ser\u00edan menos 4x y menos 6x eso nos da menos 10x."}, {"start": 102.0, "end": 111.0, "text": " Y por \u00faltimo los t\u00e9rminos independientes, menos 2 m\u00e1s 26 nos queda m\u00e1s 24 y esto es igual a cero."}, {"start": 111.0, "end": 116.0, "text": " Tenemos que dar entonces soluci\u00f3n a esta ecuaci\u00f3n que es de tercer grado."}, {"start": 116.0, "end": 122.0, "text": " Bien, aqu\u00ed tenemos la ecuaci\u00f3n de tercer grado que vamos a resolver."}, {"start": 122.0, "end": 133.0, "text": " En esta ecuaci\u00f3n primero la podemos examinar si se puede resolver por factorizaci\u00f3n de pronto usando el caso de factor com\u00fan por agrupaci\u00f3n de t\u00e9rminos."}, {"start": 133.0, "end": 137.0, "text": " Si hacemos el intento veremos que no es posible."}, {"start": 137.0, "end": 142.0, "text": " Por lo tanto descartar\u00edamos esa posibilidad de resolver por factorizaci\u00f3n."}, {"start": 142.0, "end": 147.0, "text": " Vamos entonces a resolver por el m\u00e9todo de la divisi\u00f3n sint\u00e9tica."}, {"start": 147.0, "end": 152.0, "text": " Para ello necesitamos los divisores del t\u00e9rmino independiente que es 24."}, {"start": 152.0, "end": 157.0, "text": " Entonces vamos a sacar el listado de divisores del 24."}, {"start": 157.0, "end": 166.0, "text": " Comenzamos por el 1. A todos les colocamos signo positivo y negativo porque estamos buscando todos los divisores que sean enteros."}, {"start": 166.0, "end": 184.0, "text": " Seguimos con m\u00e1s o menos 2, m\u00e1s o menos 3, m\u00e1s o menos 4, m\u00e1s o menos 6, m\u00e1s o menos 8, m\u00e1s o menos 12 y llegamos a m\u00e1s o menos 24."}, {"start": 184.0, "end": 190.0, "text": " Todos estos n\u00fameros son los divisores enteros de 24."}, {"start": 190.0, "end": 206.0, "text": " Como en este caso el polinomio tiene coeficiente principal 1, aqu\u00ed x a la 3 tiene coeficiente 1, entonces no necesitamos sacar los divisores de 1 y trabajar\u00edamos solamente con los divisores de 24."}, {"start": 206.0, "end": 214.0, "text": " Es decir que las posibles ra\u00edces reales de este polinomio ser\u00e1n n\u00fameros enteros."}, {"start": 214.0, "end": 219.0, "text": " Procedemos entonces a realizar la divisi\u00f3n sint\u00e9tica."}, {"start": 219.0, "end": 228.0, "text": " Para hacer divisi\u00f3n sint\u00e9tica se requiere que el polinomio est\u00e9 organizado en forma descendente, tal como lo tenemos en esta ocasi\u00f3n."}, {"start": 228.0, "end": 234.0, "text": " Y anotamos los coeficientes correspondientes a cada uno de los t\u00e9rminos."}, {"start": 234.0, "end": 239.0, "text": " Entonces para el primer t\u00e9rmino, el de x a la 3, el coeficiente es 1."}, {"start": 239.0, "end": 246.0, "text": " Luego sigue menos 3, luego sigue menos 10 y despu\u00e9s sigue 24."}, {"start": 246.0, "end": 254.0, "text": " En este caso el polinomio est\u00e1 completo, no hay ning\u00fan t\u00e9rmino que haga falta, por lo tanto no hay necesidad de dejar ceros."}, {"start": 254.0, "end": 263.0, "text": " Es bueno escribir aqu\u00ed arriba a qu\u00e9 letra o a qu\u00e9 grado corresponde cada uno de los n\u00fameros anotados."}, {"start": 263.0, "end": 270.0, "text": " Este \u00faltimo corresponde al t\u00e9rmino independiente, por esa raz\u00f3n le ponemos las iniciales."}, {"start": 270.0, "end": 285.0, "text": " Y trazamos por aqu\u00ed una l\u00ednea y esta que nos va a permitir empezar a hacer la divisi\u00f3n sint\u00e9tica intentando con cada uno de estos numeritos."}, {"start": 285.0, "end": 292.0, "text": " Vamos a comenzar con x igual a 1, el primer n\u00famero que tenemos para examinar."}, {"start": 292.0, "end": 300.0, "text": " Este valor siempre se anota por aqu\u00ed, el primer numerito cae debajo de la l\u00ednea."}, {"start": 300.0, "end": 311.0, "text": " Y empezamos, 1 por 1 nos da 1, sumamos, menos 3 m\u00e1s 1 da menos 2, menos 2 por 1 nos queda menos 2, sumamos esto nos da menos 12,"}, {"start": 311.0, "end": 316.0, "text": " menos 12 por 1 queda menos 12 y sumando esto nos da 12."}, {"start": 316.0, "end": 325.0, "text": " Como no nos dio el \u00faltimo n\u00famero 0, es decir el residuo no nos dio 0, entonces quiere decir que el 1 no nos sirve."}, {"start": 325.0, "end": 333.0, "text": " Entonces borramos todo esto y vamos a realizar el intento con el siguiente n\u00famero que es el menos 1."}, {"start": 333.0, "end": 345.0, "text": " Entonces volvemos a hacer lo mismo, 1 por menos 1 da menos 1, sumamos da menos 4, menos 4 por menos 1 nos da 4 positivo,"}, {"start": 345.0, "end": 353.0, "text": " sumamos nos da menos 6, menos 6 por menos 1 queda 6 positivo y sumando nos da 30."}, {"start": 353.0, "end": 358.0, "text": " Tampoco nos sirve porque no nos dio residuo 0."}, {"start": 358.0, "end": 366.0, "text": " Entonces borramos por aqu\u00ed y vamos a realizar el intento con el siguiente n\u00famero que es el 2."}, {"start": 366.0, "end": 377.0, "text": " Veamos, 1 por 2 nos da 2, sumamos da menos 1, menos 1 por 2 nos queda menos 2, sumamos da menos 12,"}, {"start": 377.0, "end": 383.0, "text": " menos 12 por 2 queda menos 24 y al sumar nos da 0."}, {"start": 383.0, "end": 387.0, "text": " Esto es lo que busc\u00e1bamos, que nos de residuo 0."}, {"start": 387.0, "end": 392.0, "text": " Por lo tanto ya tenemos una de las soluciones de la ecuaci\u00f3n."}, {"start": 392.0, "end": 402.0, "text": " Bien, entonces x igual a 2 ya es una soluci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n y aqu\u00ed podemos armar el polinomio que nos queda."}, {"start": 402.0, "end": 409.0, "text": " Esta expresi\u00f3n ser\u00e1 un grado menos de la que ten\u00edamos originalmente y estos son sus coeficientes."}, {"start": 409.0, "end": 418.0, "text": " Por lo tanto ser\u00e1 1x cuadrado, es decir, x cuadrado, menos 1x, es decir, menos x y menos 12."}, {"start": 418.0, "end": 426.0, "text": " Como vemos es un trinomio de grado 2, como dec\u00edamos un grado menos de la expresi\u00f3n original."}, {"start": 426.0, "end": 434.0, "text": " Esta expresi\u00f3n debemos igualarla a 0 porque tenemos desde el comienzo una ecuaci\u00f3n que est\u00e1 igualada a 0."}, {"start": 434.0, "end": 439.0, "text": " Vamos a resolver esta ecuaci\u00f3n que ser\u00eda de tipo cuadr\u00e1tica."}, {"start": 439.0, "end": 447.0, "text": " All\u00ed tenemos la ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica escrita nuevamente y la vamos a resolver mediante la factorizaci\u00f3n."}, {"start": 447.0, "end": 456.0, "text": " Vamos a factorizar este trinomio usando el caso que se llama trinomio de la forma x al cuadrado m\u00e1s bx m\u00e1s c."}, {"start": 456.0, "end": 460.0, "text": " Abrimos dos par\u00e9ntesis y eso est\u00e1 igualado a 0."}, {"start": 460.0, "end": 467.0, "text": " Sacamos la ra\u00edz cuadrada del primer t\u00e9rmino que ser\u00eda x, esa la escribimos al comienzo de cada par\u00e9ntesis."}, {"start": 467.0, "end": 475.0, "text": " Cuadramos los signos, veamos, positivo por negativo nos da negativo, negativo por negativo nos da positivo."}, {"start": 475.0, "end": 480.0, "text": " Buscamos dos n\u00fameros que multiplicados nos de menos 12 y cuya suma nos de menos 1."}, {"start": 480.0, "end": 484.0, "text": " Esos n\u00fameros son menos 4 y 3."}, {"start": 484.0, "end": 488.0, "text": " A continuaci\u00f3n aplicamos el teorema del factor nulo."}, {"start": 488.0, "end": 495.0, "text": " Si el producto de dos expresiones es igual a 0, cada una de ellas debe igualarse a 0."}, {"start": 495.0, "end": 502.0, "text": " Entonces x menos 4 es igual a 0 o x m\u00e1s 3 es igual a 0."}, {"start": 502.0, "end": 512.0, "text": " Despejamos x en cada caso, por ac\u00e1 nos da que x vale 4 y por ac\u00e1 nos da que x vale menos 3."}, {"start": 512.0, "end": 524.0, "text": " Y de esta manera hemos obtenido los otros valores que hac\u00edan falta para completar las soluciones de la ecuaci\u00f3n."}, {"start": 524.0, "end": 540.0, "text": " Entonces esto quiere decir que las dos funciones fdx y gdx que nos daban al comienzo tendr\u00e1n sus puntos de corte o puntos de intersecci\u00f3n en las abscisas 2, menos 3 y 4."}]

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DETERMINAR UN POLINOMIO SI SE CONOCEN SUS CEROS

#julioprofe explica cómo determinar un polinomio si se conocen sus ceros o raíces. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

determinar el polinomio que tiene por raíces 2, 3 y menos 1 de multiplicidad 2 esta información nos dice que x es igual a 2, x es igual a 3 y x es igual a menos 1 estas son las raíces o ceros del polinomio a partir de estos valores podemos construir los factores que conforman el polinomio eso se logra pasando estos números al lado izquierdo es decir, dejando la expresión igualada a 0 entonces aquí nos queda x menos 2 igual a 0 por aquí nos queda x menos 3 igual a 0 y por acá nos queda x más 1 igual a 0 pero adicionalmente nos dice que menos 1 es un 0 o una raíz de multiplicidad 2 entonces eso nos obliga a colocar este factor, es decir, x más 1 elevado al cuadrado este 2 obedece a la multiplicidad de la raíz menos 1 del 0 que nos dan con multiplicidad 2 entonces el polinomio será el resultado de multiplicar estos factores entre sí veamos, allí tenemos el polinomio solicitado que vamos a llamar px y como vemos es el producto de los factores que mencionábamos vamos a desarrollar entonces todas esas operaciones tenemos aquí una situación algebraica que consiste en una multiplicación de polinomios vamos a comenzar por multiplicar estos dos binomios veamos, x por x nos da x al cuadrado x por menos 3 nos da menos 3x menos 2 por x nos queda menos 2x y menos 2 multiplicado por menos 3 nos queda más 6 cerramos el paréntesis aprovechamos también para desarrollar este binomio al cuadrado recordemos que esto es igual al primer término al cuadrado es decir x al cuadrado más dos veces el primero por el segundo entonces 2 por x por 1 nos da 2x más el segundo término elevado al cuadrado es decir 1 aquí podemos operar términos semejantes como es el caso de estos dos términos que tienen la x eso nos da menos 5x más 6 que multiplica a este trinomio bien, vamos a multiplicar estos dos trinomios hacemos propiedad distributiva todos con todos empecemos con x al cuadrado x al cuadrado por x al cuadrado nos queda x a la 4 x al cuadrado por 2x nos queda más 2x a la 3 x al cuadrado por 1 positivo nos queda más x al cuadrado ahora pasamos a hacer distributiva con menos 5x menos 5x por x al cuadrado nos queda menos 5x a la 3 menos 5x por 2x nos queda menos 10x al cuadrado y menos 5x por 1 positivo nos queda menos 5x a continuación hacemos distributiva con el 6 positivo 6 por x al cuadrado nos queda más 6x al cuadrado 6 por 2x nos queda más 12x y 6 por 1 nos queda más 6 finalmente organizamos el polinomio y de una vez reducimos términos semejantes entonces nos queda así p de x es igual comenzamos por el de mayor exponente que sería x a la 4 luego los que tienen x a la 3 es decir estos dos términos la operación entre ellos nos queda menos 3 x a la 3 después los términos que contienen x al cuadrado es decir este, este y este la operación de ellos nos da 7 menos 10 es decir menos 3x al cuadrado luego los que tienen las x sería este con este menos 5 más 12 nos queda más 7x y por último el término independiente que sería el 6 de esta manera hemos encontrado entonces el polinomio que reúne las características o las condiciones que nos daban al comienzo esta sería entonces la respuesta de este ejercicio

[{"start": 0.0, "end": 9.0, "text": " determinar el polinomio que tiene por ra\u00edces 2, 3 y menos 1 de multiplicidad 2"}, {"start": 9.0, "end": 12.0, "text": " esta informaci\u00f3n nos dice que"}, {"start": 12.0, "end": 20.0, "text": " x es igual a 2, x es igual a 3 y x es igual a menos 1"}, {"start": 20.0, "end": 24.0, "text": " estas son las ra\u00edces o ceros del polinomio"}, {"start": 24.0, "end": 31.0, "text": " a partir de estos valores podemos construir los factores que conforman el polinomio"}, {"start": 31.0, "end": 35.0, "text": " eso se logra pasando estos n\u00fameros al lado izquierdo"}, {"start": 35.0, "end": 40.0, "text": " es decir, dejando la expresi\u00f3n igualada a 0"}, {"start": 40.0, "end": 43.0, "text": " entonces aqu\u00ed nos queda x menos 2 igual a 0"}, {"start": 43.0, "end": 47.0, "text": " por aqu\u00ed nos queda x menos 3 igual a 0"}, {"start": 47.0, "end": 52.0, "text": " y por ac\u00e1 nos queda x m\u00e1s 1 igual a 0"}, {"start": 52.0, "end": 59.0, "text": " pero adicionalmente nos dice que menos 1 es un 0 o una ra\u00edz de multiplicidad 2"}, {"start": 59.0, "end": 68.0, "text": " entonces eso nos obliga a colocar este factor, es decir, x m\u00e1s 1 elevado al cuadrado"}, {"start": 68.0, "end": 74.0, "text": " este 2 obedece a la multiplicidad de la ra\u00edz menos 1"}, {"start": 74.0, "end": 77.0, "text": " del 0 que nos dan con multiplicidad 2"}, {"start": 77.0, "end": 83.0, "text": " entonces el polinomio ser\u00e1 el resultado de multiplicar estos factores entre s\u00ed"}, {"start": 83.0, "end": 89.0, "text": " veamos, all\u00ed tenemos el polinomio solicitado que vamos a llamar px"}, {"start": 89.0, "end": 94.0, "text": " y como vemos es el producto de los factores que mencion\u00e1bamos"}, {"start": 94.0, "end": 98.0, "text": " vamos a desarrollar entonces todas esas operaciones"}, {"start": 98.0, "end": 105.0, "text": " tenemos aqu\u00ed una situaci\u00f3n algebraica que consiste en una multiplicaci\u00f3n de polinomios"}, {"start": 105.0, "end": 108.0, "text": " vamos a comenzar por multiplicar estos dos binomios"}, {"start": 108.0, "end": 111.0, "text": " veamos, x por x nos da x al cuadrado"}, {"start": 111.0, "end": 115.0, "text": " x por menos 3 nos da menos 3x"}, {"start": 115.0, "end": 118.0, "text": " menos 2 por x nos queda menos 2x"}, {"start": 118.0, "end": 123.0, "text": " y menos 2 multiplicado por menos 3 nos queda m\u00e1s 6"}, {"start": 123.0, "end": 125.0, "text": " cerramos el par\u00e9ntesis"}, {"start": 125.0, "end": 129.0, "text": " aprovechamos tambi\u00e9n para desarrollar este binomio al cuadrado"}, {"start": 129.0, "end": 133.0, "text": " recordemos que esto es igual al primer t\u00e9rmino al cuadrado"}, {"start": 133.0, "end": 135.0, "text": " es decir x al cuadrado"}, {"start": 135.0, "end": 138.0, "text": " m\u00e1s dos veces el primero por el segundo"}, {"start": 138.0, "end": 143.0, "text": " entonces 2 por x por 1 nos da 2x"}, {"start": 143.0, "end": 147.0, "text": " m\u00e1s el segundo t\u00e9rmino elevado al cuadrado"}, {"start": 147.0, "end": 149.0, "text": " es decir 1"}, {"start": 149.0, "end": 154.0, "text": " aqu\u00ed podemos operar t\u00e9rminos semejantes"}, {"start": 154.0, "end": 157.0, "text": " como es el caso de estos dos t\u00e9rminos que tienen la x"}, {"start": 157.0, "end": 161.0, "text": " eso nos da menos 5x"}, {"start": 161.0, "end": 165.0, "text": " m\u00e1s 6 que multiplica a este trinomio"}, {"start": 165.0, "end": 170.0, "text": " bien, vamos a multiplicar estos dos trinomios"}, {"start": 170.0, "end": 174.0, "text": " hacemos propiedad distributiva todos con todos"}, {"start": 174.0, "end": 176.0, "text": " empecemos con x al cuadrado"}, {"start": 176.0, "end": 179.0, "text": " x al cuadrado por x al cuadrado nos queda x a la 4"}, {"start": 179.0, "end": 184.0, "text": " x al cuadrado por 2x nos queda m\u00e1s 2x a la 3"}, {"start": 184.0, "end": 188.0, "text": " x al cuadrado por 1 positivo nos queda m\u00e1s x al cuadrado"}, {"start": 188.0, "end": 192.0, "text": " ahora pasamos a hacer distributiva con menos 5x"}, {"start": 192.0, "end": 197.0, "text": " menos 5x por x al cuadrado nos queda menos 5x a la 3"}, {"start": 197.0, "end": 202.0, "text": " menos 5x por 2x nos queda menos 10x al cuadrado"}, {"start": 202.0, "end": 208.0, "text": " y menos 5x por 1 positivo nos queda menos 5x"}, {"start": 208.0, "end": 212.0, "text": " a continuaci\u00f3n hacemos distributiva con el 6 positivo"}, {"start": 212.0, "end": 219.0, "text": " 6 por x al cuadrado nos queda m\u00e1s 6x al cuadrado"}, {"start": 219.0, "end": 224.0, "text": " 6 por 2x nos queda m\u00e1s 12x"}, {"start": 224.0, "end": 228.0, "text": " y 6 por 1 nos queda m\u00e1s 6"}, {"start": 228.0, "end": 231.0, "text": " finalmente organizamos el polinomio"}, {"start": 231.0, "end": 235.0, "text": " y de una vez reducimos t\u00e9rminos semejantes"}, {"start": 235.0, "end": 237.0, "text": " entonces nos queda as\u00ed"}, {"start": 237.0, "end": 239.0, "text": " p de x es igual"}, {"start": 239.0, "end": 243.0, "text": " comenzamos por el de mayor exponente que ser\u00eda x a la 4"}, {"start": 243.0, "end": 246.0, "text": " luego los que tienen x a la 3"}, {"start": 246.0, "end": 249.0, "text": " es decir estos dos t\u00e9rminos"}, {"start": 249.0, "end": 252.0, "text": " la operaci\u00f3n entre ellos nos queda menos 3"}, {"start": 252.0, "end": 254.0, "text": " x a la 3"}, {"start": 254.0, "end": 257.0, "text": " despu\u00e9s los t\u00e9rminos que contienen x al cuadrado"}, {"start": 257.0, "end": 262.0, "text": " es decir este, este y este"}, {"start": 262.0, "end": 266.0, "text": " la operaci\u00f3n de ellos nos da 7 menos 10"}, {"start": 266.0, "end": 270.0, "text": " es decir menos 3x al cuadrado"}, {"start": 270.0, "end": 273.0, "text": " luego los que tienen las x"}, {"start": 273.0, "end": 276.0, "text": " ser\u00eda este con este"}, {"start": 276.0, "end": 280.0, "text": " menos 5 m\u00e1s 12 nos queda m\u00e1s 7x"}, {"start": 280.0, "end": 285.0, "text": " y por \u00faltimo el t\u00e9rmino independiente que ser\u00eda el 6"}, {"start": 285.0, "end": 290.0, "text": " de esta manera hemos encontrado entonces el polinomio"}, {"start": 290.0, "end": 294.0, "text": " que re\u00fane las caracter\u00edsticas o las condiciones"}, {"start": 294.0, "end": 296.0, "text": " que nos daban al comienzo"}, {"start": 296.0, "end": 324.0, "text": " esta ser\u00eda entonces la respuesta de este ejercicio"}]

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CEROS DE UNA FUNCIÓN POLINÓMICA

#julioprofe explica cómo determinar los ceros o raíces de una función polinómica. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a determinar los ceros de la función que nos dan con su correspondiente multiplicidad. Los ceros de una función son los valores donde la curva, donde la gráfica de esa función corta al eje de las X. Y para obtenerlos debemos hacer lo siguiente, tomar la función e igualarla a cero. Entonces, en otras palabras, los ceros de la función o lo que también se conocen como raíces son aquellos valores de X que hacen verdadera esta igualdad. Vamos a ver entonces cómo se determina. Comenzamos por tomar la función que nos dan y vamos a factorizarla al máximo. 3X-5 es una expresión que no se puede factorizar más, pero este trinomio sí se puede factorizar. Y allí podemos aplicar el caso denominado trinomio cuadrado perfecto. Vamos a revisar rápidamente sus características. El trinomio debe estar organizado en forma ascendente o descendente. Aquí vemos que está organizado en forma descendente. El primer término y el tercero deben ser positivos y deben tener raíz cuadrada exacta. La raíz cuadrada del primer término será X y la raíz cuadrada del tercer término será 3. Y se debe cumplir que el doble producto de estos dos elementos obtenidos, es decir, 2XX3, nos dé como resultado lo que está en el segundo término. Efectivamente esta multiplicación nos da 6X, que es lo que tenemos aquí en el segundo término. Esto nos confirma que esta expresión es un trinomio cuadrado perfecto. Por lo tanto procedemos a factorizarlo. Esta primera expresión queda igual, 3X-5, y factorizamos este trinomio. Para ello tomamos estos dos elementos, es decir, X y 3, que van al cuadrado y aquí en medio de ellos va el signo del segundo término, es decir, signo negativo. De esa manera tenemos la factorización de ese trinomio cuadrado perfecto, que es un binomio al cuadrado. Ahora vamos a proceder a igualar la función a cero. Al igualar a cero esta función, entonces tenemos que esta expresión que ya está factorizada, entonces queda igual a cero. Y allí vamos a aplicar el teorema del factor nulo. Recordemos que este teorema dice que si el producto de dos expresiones es igual a cero, entonces cada una de ellas debe igualarse a cero. Entonces tenemos 3X-5 igual a cero, o X-3 al cuadrado igual a cero. Por aquí vamos a despejar X, entonces primero pasamos el 5 que está restando, pasa a sumar al otro lado con el cero y nos queda 5. Despejamos X, pasando el 3 que se encuentra multiplicando a dividir al otro lado. Nos queda X igual a 5 tercios, que no se puede simplificar más. Aquí ya tenemos entonces uno de los ceros de la función. Y por acá para quitar este cuadrado, entonces sacamos raíz cuadrada en ambos lados. De esa manera nos deshacemos de ese exponente. Entonces aquí se cancela el 2 con la raíz y nos queda que X-3 es igual a cero. De allí despejamos X y obtenemos 3. En este caso, como este 3 proviene de un factor o una expresión que se encuentra elevado al cuadrado, entonces decimos que este cero, o esta raíz, es de multiplicidad 2. Eso está determinado por este exponente. Mientras que este resultado, o este cero, que es 5 tercios, es de multiplicidad 1. Vamos entonces a dar la respuesta. Para la función que nos dieron, resumimos los ceros y su multiplicidad en esta tablita. Tenemos que 5 tercios es uno de los ceros y tiene multiplicidad 1, porque cuenta una sola vez. Y el otro cero es el valor X igual a 3, que tiene multiplicidad 2. De esta manera hemos dado solución a este ejercicio.

[{"start": 0.0, "end": 7.0, "text": " Vamos a determinar los ceros de la funci\u00f3n que nos dan con su correspondiente multiplicidad."}, {"start": 7.0, "end": 17.0, "text": " Los ceros de una funci\u00f3n son los valores donde la curva, donde la gr\u00e1fica de esa funci\u00f3n corta al eje de las X."}, {"start": 17.0, "end": 23.0, "text": " Y para obtenerlos debemos hacer lo siguiente, tomar la funci\u00f3n e igualarla a cero."}, {"start": 23.0, "end": 35.0, "text": " Entonces, en otras palabras, los ceros de la funci\u00f3n o lo que tambi\u00e9n se conocen como ra\u00edces son aquellos valores de X que hacen verdadera esta igualdad."}, {"start": 35.0, "end": 39.0, "text": " Vamos a ver entonces c\u00f3mo se determina."}, {"start": 39.0, "end": 45.0, "text": " Comenzamos por tomar la funci\u00f3n que nos dan y vamos a factorizarla al m\u00e1ximo."}, {"start": 45.0, "end": 54.0, "text": " 3X-5 es una expresi\u00f3n que no se puede factorizar m\u00e1s, pero este trinomio s\u00ed se puede factorizar."}, {"start": 54.0, "end": 60.0, "text": " Y all\u00ed podemos aplicar el caso denominado trinomio cuadrado perfecto."}, {"start": 60.0, "end": 63.0, "text": " Vamos a revisar r\u00e1pidamente sus caracter\u00edsticas."}, {"start": 63.0, "end": 67.0, "text": " El trinomio debe estar organizado en forma ascendente o descendente."}, {"start": 67.0, "end": 71.0, "text": " Aqu\u00ed vemos que est\u00e1 organizado en forma descendente."}, {"start": 71.0, "end": 77.0, "text": " El primer t\u00e9rmino y el tercero deben ser positivos y deben tener ra\u00edz cuadrada exacta."}, {"start": 77.0, "end": 84.0, "text": " La ra\u00edz cuadrada del primer t\u00e9rmino ser\u00e1 X y la ra\u00edz cuadrada del tercer t\u00e9rmino ser\u00e1 3."}, {"start": 84.0, "end": 96.0, "text": " Y se debe cumplir que el doble producto de estos dos elementos obtenidos, es decir, 2XX3, nos d\u00e9 como resultado lo que est\u00e1 en el segundo t\u00e9rmino."}, {"start": 96.0, "end": 103.0, "text": " Efectivamente esta multiplicaci\u00f3n nos da 6X, que es lo que tenemos aqu\u00ed en el segundo t\u00e9rmino."}, {"start": 103.0, "end": 109.0, "text": " Esto nos confirma que esta expresi\u00f3n es un trinomio cuadrado perfecto."}, {"start": 109.0, "end": 112.0, "text": " Por lo tanto procedemos a factorizarlo."}, {"start": 112.0, "end": 120.0, "text": " Esta primera expresi\u00f3n queda igual, 3X-5, y factorizamos este trinomio."}, {"start": 120.0, "end": 133.0, "text": " Para ello tomamos estos dos elementos, es decir, X y 3, que van al cuadrado y aqu\u00ed en medio de ellos va el signo del segundo t\u00e9rmino, es decir, signo negativo."}, {"start": 133.0, "end": 140.0, "text": " De esa manera tenemos la factorizaci\u00f3n de ese trinomio cuadrado perfecto, que es un binomio al cuadrado."}, {"start": 140.0, "end": 144.0, "text": " Ahora vamos a proceder a igualar la funci\u00f3n a cero."}, {"start": 144.0, "end": 159.0, "text": " Al igualar a cero esta funci\u00f3n, entonces tenemos que esta expresi\u00f3n que ya est\u00e1 factorizada, entonces queda igual a cero."}, {"start": 159.0, "end": 163.0, "text": " Y all\u00ed vamos a aplicar el teorema del factor nulo."}, {"start": 163.0, "end": 173.0, "text": " Recordemos que este teorema dice que si el producto de dos expresiones es igual a cero, entonces cada una de ellas debe igualarse a cero."}, {"start": 173.0, "end": 183.0, "text": " Entonces tenemos 3X-5 igual a cero, o X-3 al cuadrado igual a cero."}, {"start": 183.0, "end": 191.0, "text": " Por aqu\u00ed vamos a despejar X, entonces primero pasamos el 5 que est\u00e1 restando, pasa a sumar al otro lado con el cero y nos queda 5."}, {"start": 191.0, "end": 198.0, "text": " Despejamos X, pasando el 3 que se encuentra multiplicando a dividir al otro lado."}, {"start": 198.0, "end": 203.0, "text": " Nos queda X igual a 5 tercios, que no se puede simplificar m\u00e1s."}, {"start": 203.0, "end": 208.0, "text": " Aqu\u00ed ya tenemos entonces uno de los ceros de la funci\u00f3n."}, {"start": 208.0, "end": 216.0, "text": " Y por ac\u00e1 para quitar este cuadrado, entonces sacamos ra\u00edz cuadrada en ambos lados."}, {"start": 216.0, "end": 220.0, "text": " De esa manera nos deshacemos de ese exponente."}, {"start": 220.0, "end": 227.0, "text": " Entonces aqu\u00ed se cancela el 2 con la ra\u00edz y nos queda que X-3 es igual a cero."}, {"start": 227.0, "end": 231.0, "text": " De all\u00ed despejamos X y obtenemos 3."}, {"start": 231.0, "end": 241.0, "text": " En este caso, como este 3 proviene de un factor o una expresi\u00f3n que se encuentra elevado al cuadrado,"}, {"start": 241.0, "end": 247.0, "text": " entonces decimos que este cero, o esta ra\u00edz, es de multiplicidad 2."}, {"start": 247.0, "end": 251.0, "text": " Eso est\u00e1 determinado por este exponente."}, {"start": 251.0, "end": 258.0, "text": " Mientras que este resultado, o este cero, que es 5 tercios, es de multiplicidad 1."}, {"start": 258.0, "end": 262.0, "text": " Vamos entonces a dar la respuesta."}, {"start": 262.0, "end": 269.0, "text": " Para la funci\u00f3n que nos dieron, resumimos los ceros y su multiplicidad en esta tablita."}, {"start": 269.0, "end": 278.0, "text": " Tenemos que 5 tercios es uno de los ceros y tiene multiplicidad 1, porque cuenta una sola vez."}, {"start": 278.0, "end": 284.0, "text": " Y el otro cero es el valor X igual a 3, que tiene multiplicidad 2."}, {"start": 284.0, "end": 312.0, "text": " De esta manera hemos dado soluci\u00f3n a este ejercicio."}]

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APLICACIÓN DEL TEOREMA DEL RESIDUO

#julioprofe explica cómo hallar el residuo de una división de polinomios utilizando el Teorema del Residuo o Teorema del Resto. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

Vamos a hallar el residuo que resulta al dividir este trinomio entre este binomio. En este caso, este será el dividendo y este será el divisor. Al dividendo lo vamos a llamar el polinomio P de X. Y como el divisor es un binomio de primer grado, es decir, X se encuentra elevado al exponente 1, entonces podemos aplicar el teorema del residuo para encontrar rápidamente el dato que nos piden en este problema. Veamos. El teorema del residuo dice lo siguiente. El residuo de dividir el polinomio P de X entre X menos A, es decir, entre un binomio de primer grado, es P de A. ¿Qué quiere decir esto? En otras palabras, que debemos tomar el divisor, igualarlo a cero, si esto se iguala a cero, y despejamos X nos queda A. Entonces este valor se reemplaza o se evalúa en la expresión que constituye el dividendo, es decir, P de A, y de esa manera se encuentra el residuo de la división de manera rápida. Como podemos ver, tiene una restricción este teorema, y es que el divisor debe ser una expresión de primer grado. Únicamente para este caso es que funciona. Entonces vamos a aplicarlo para el ejercicio que estamos trabajando. Tenemos entonces que el dividendo es el polinomio al cual llamamos P de X, es decir, el trinomio que nos dan. El divisor nos dijeron que es X más 2. Como veíamos hace un momento, ese divisor se iguala a cero, y de allí despejamos X. Podemos ver que el despeje de X nos da menos 2. 2 está sumando, pasa a restar al otro lado, y cero menos 2 nos queda menos 2. Entonces ya podemos aplicar el teorema del residuo. Según lo que veíamos, el residuo será igual a P evaluado en menos 2. Este menos 2 hace el papel de la letra A que veíamos hace un momento. Entonces el residuo que vamos a llamar R será igual. A reemplazar menos 2 en este polinomio. Hacemos el reemplazo donde se encuentran las X. Para mayor seguridad abrimos paríntesis donde se encuentran las X y llenamos los espacios en blanco con el menos 2. Ahora procedemos a resolver esas operaciones. Veamos, menos 2 al cubo nos da menos 8. Menos, aquí menos 2 al cuadrado nos da 4 positivo. Y 4 multiplicado por menos 2 nos queda menos 8. Y esto más 9. Resolviendo todo esto, tenemos que a menos 8, menos 8 da menos 16. Y menos 16 más 9 es igual a menos 7. Este sería entonces el residuo de esa división. Que fue encontrado de manera rápida utilizando el teorema del residuo.

[{"start": 0.0, "end": 8.0, "text": " Vamos a hallar el residuo que resulta al dividir este trinomio entre este binomio."}, {"start": 8.0, "end": 14.0, "text": " En este caso, este ser\u00e1 el dividendo y este ser\u00e1 el divisor."}, {"start": 14.0, "end": 20.0, "text": " Al dividendo lo vamos a llamar el polinomio P de X."}, {"start": 20.0, "end": 29.0, "text": " Y como el divisor es un binomio de primer grado, es decir, X se encuentra elevado al exponente 1,"}, {"start": 29.0, "end": 40.0, "text": " entonces podemos aplicar el teorema del residuo para encontrar r\u00e1pidamente el dato que nos piden en este problema."}, {"start": 40.0, "end": 41.0, "text": " Veamos."}, {"start": 41.0, "end": 44.0, "text": " El teorema del residuo dice lo siguiente."}, {"start": 44.0, "end": 56.0, "text": " El residuo de dividir el polinomio P de X entre X menos A, es decir, entre un binomio de primer grado, es P de A."}, {"start": 56.0, "end": 66.0, "text": " \u00bfQu\u00e9 quiere decir esto? En otras palabras, que debemos tomar el divisor, igualarlo a cero, si esto se iguala a cero,"}, {"start": 66.0, "end": 69.0, "text": " y despejamos X nos queda A."}, {"start": 69.0, "end": 79.0, "text": " Entonces este valor se reemplaza o se eval\u00faa en la expresi\u00f3n que constituye el dividendo, es decir, P de A,"}, {"start": 79.0, "end": 85.0, "text": " y de esa manera se encuentra el residuo de la divisi\u00f3n de manera r\u00e1pida."}, {"start": 85.0, "end": 95.0, "text": " Como podemos ver, tiene una restricci\u00f3n este teorema, y es que el divisor debe ser una expresi\u00f3n de primer grado."}, {"start": 95.0, "end": 99.0, "text": " \u00danicamente para este caso es que funciona."}, {"start": 99.0, "end": 103.0, "text": " Entonces vamos a aplicarlo para el ejercicio que estamos trabajando."}, {"start": 103.0, "end": 112.0, "text": " Tenemos entonces que el dividendo es el polinomio al cual llamamos P de X, es decir, el trinomio que nos dan."}, {"start": 112.0, "end": 116.0, "text": " El divisor nos dijeron que es X m\u00e1s 2."}, {"start": 116.0, "end": 123.0, "text": " Como ve\u00edamos hace un momento, ese divisor se iguala a cero, y de all\u00ed despejamos X."}, {"start": 123.0, "end": 127.0, "text": " Podemos ver que el despeje de X nos da menos 2."}, {"start": 127.0, "end": 133.0, "text": " 2 est\u00e1 sumando, pasa a restar al otro lado, y cero menos 2 nos queda menos 2."}, {"start": 133.0, "end": 137.0, "text": " Entonces ya podemos aplicar el teorema del residuo."}, {"start": 137.0, "end": 144.0, "text": " Seg\u00fan lo que ve\u00edamos, el residuo ser\u00e1 igual a P evaluado en menos 2."}, {"start": 144.0, "end": 150.0, "text": " Este menos 2 hace el papel de la letra A que ve\u00edamos hace un momento."}, {"start": 150.0, "end": 154.0, "text": " Entonces el residuo que vamos a llamar R ser\u00e1 igual."}, {"start": 154.0, "end": 157.0, "text": " A reemplazar menos 2 en este polinomio."}, {"start": 157.0, "end": 161.0, "text": " Hacemos el reemplazo donde se encuentran las X."}, {"start": 161.0, "end": 172.0, "text": " Para mayor seguridad abrimos par\u00edntesis donde se encuentran las X y llenamos los espacios en blanco con el menos 2."}, {"start": 172.0, "end": 175.0, "text": " Ahora procedemos a resolver esas operaciones."}, {"start": 175.0, "end": 179.0, "text": " Veamos, menos 2 al cubo nos da menos 8."}, {"start": 179.0, "end": 184.0, "text": " Menos, aqu\u00ed menos 2 al cuadrado nos da 4 positivo."}, {"start": 184.0, "end": 188.0, "text": " Y 4 multiplicado por menos 2 nos queda menos 8."}, {"start": 188.0, "end": 190.0, "text": " Y esto m\u00e1s 9."}, {"start": 190.0, "end": 198.0, "text": " Resolviendo todo esto, tenemos que a menos 8, menos 8 da menos 16."}, {"start": 198.0, "end": 202.0, "text": " Y menos 16 m\u00e1s 9 es igual a menos 7."}, {"start": 202.0, "end": 206.0, "text": " Este ser\u00eda entonces el residuo de esa divisi\u00f3n."}, {"start": 206.0, "end": 220.0, "text": " Que fue encontrado de manera r\u00e1pida utilizando el teorema del residuo."}]

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Ejercicio 1 de PARÁBOLA

#julioprofe explica cómo graficar una parábola si se conoce su vértice y foco. Además, cómo hallar su ecuación estándar y general. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

Construir la parábola con vértice en el punto 3,2 y foco en el punto 3,4. Haya su ecuación estándar y su ecuación general. Bien, comenzamos este ejercicio dibujando un plano cartesiano y en él vamos a localizar la información que nos dan. Entonces ubicamos el vértice que se encuentra en la coordenada 3,2. Entonces subimos por 3 hasta llegar a 2 y allí tenemos el vértice. Es la coordenada 3,2. Y nos dan también el foco que se encuentra en la coordenada 3,4. Subimos por 3 hasta llegar a 4, tenemos este punto y allí ubicamos el foco. Coordenada 3,4. Allí ya podemos ver que el eje de la parábola, lo que se llama el eje de simetría, será vertical. Será una recta que pasa por el foco y por el vértice y por el número 3. Entonces el eje de simetría será la recta x igual a 3. Vamos a dibujarla. Allí tenemos el eje de simetría que como dijimos es la ecuación x igual a 3. Una recta vertical que pasa por la abscisa 3. Ya podemos decidir qué tipo de parábola vamos a trabajar. Sería una parábola vertical que abre hacia arriba. Recordemos que la parábola pasa por el vértice y su foco debe quedar en el interior de la misma. Entonces más o menos esta será la forma de esa parábola. Vamos a conseguir más información que nos permita dibujarla con precisión. Sabemos que la distancia del vértice al foco es lo que se conoce como P. En este caso P vale 2 unidades. La distancia que hay desde 2 hasta 4. Esa misma distancia tenemos que contabilizarla hacia afuera de la parábola. Hemos dicho que la parábola viene así. Entonces hacia el exterior de la misma medimos esa misma distancia P que vale 2 unidades. Por lo tanto llegamos aquí al eje x. Por allí va a pasar lo que se llama la directriz de la parábola. En este caso la directriz será una recta que coincide con el eje x. Y su ecuación es y igual a 0. Entonces ya tenemos la directriz con su ecuación. Otro elemento importante de la parábola es el lado recto. El lado recto es un segmento que es perpendicular al eje de simetría y que pasa por el foco. Y su longitud es igual a 4 veces P. Como en este caso P vale 2. Entonces 2 lo multiplicamos por 4 y eso nos da 8. Entonces este segmento tendrá una longitud de 8 unidades. Lo que hacemos es repartir del foco a la izquierda 4 unidades y del foco a la derecha otras 4 unidades. Entonces si del foco hacia la izquierda nos movemos 4 unidades, estaríamos haciendo lo siguiente. A 3 le restamos 4 y llegamos a menos 1. Por lo tanto tendremos este punto. Y del foco hacia la derecha nos movemos 4 unidades. Entonces a 3 le sumamos 4 y llegamos a 7. Por lo tanto aquí tenemos el otro punto. Este lo podemos llamar el punto L y este lo podemos llamar R. Como las iniciales de lo que será el lado recto. Es decir todo este segmento. Vamos a trazar entonces el lado recto y también la parábola. Allí tenemos en color verde el lado recto que se define como la cuerda perpendicular al eje de simetría que pasa por el foco. Se llama cuerda porque toca dos puntos de la parábola. Como habíamos dicho los extremos son los puntos L y R. Por ejemplo L tiene coordenada menos 1,4 y R tiene coordenada 7,4. Bien, allí tenemos entonces ya la parábola dibujada con un poco más de precisión. Vamos a entrar a encontrar las ecuaciones que nos pide el ejercicio. Para ello necesitamos entonces el vértice que es la coordenada 3,2 y que será la pareja H,K. Y también necesitamos el valor de P que es igual a 2 y el modelo correspondiente a una parábola vertical que abre hacia arriba. Ese modelo es el que apreciamos en este momento. Dice que x menos h al cuadrado es igual a más 4p que multiplica a y menos k. El signo más se debe a que la parábola abre sus ramas hacia arriba. Decíamos que necesitamos el vértice y el valor de P. El vértice es la pareja H,K que son los valores que van a ingresar a la formulita. Entonces vamos a reemplazar. Sería x menos el valor de h que es 3 al cuadrado es igual a más 4 que multiplica P que es igual a 2. Y que multiplica a y menos k que vale 2. Esto nos queda x menos 3 al cuadrado es igual a 8 que multiplica a y menos 2. Esta sería entonces la ecuación estándar o ecuación canónica. También se conoce con ese nombre para esta parábola. Entonces ya hemos dado cumplimiento a la primera pregunta. A partir de esta ecuación de este modelo encontrado vamos a llegar a la ecuación general. Veamos, debemos hacer el desarrollo de este binomio al cuadrado y hacer aquí la propiedad distributiva con el 8. Entonces recordemos que un binomio al cuadrado se desarrolla así. El cuadrado del primer término es decir x al cuadrado menos el doble producto del primero por el segundo. Entonces 2 por x por 3 nos da 6x. Más el segundo término elevado al cuadrado 3 al cuadrado nos da 9. Y esto es igual a la propiedad distributiva con el 8 nos queda 8y menos 16. Ahora lo que hacemos es pasar estos dos términos al lado izquierdo de tal manera que la ecuación nos quede igualada a 0. Entonces nos queda así, pasa menos 8y, pasa más 16 y esto queda igualado a 0. Finalmente organizamos la ecuación de la siguiente manera. Primero con la variable que se encuentra al cuadrado, en este caso x. Luego el término que contiene la x que sería 6x. Después el que contiene la y, menos 8y. Y al final la suma de los términos independientes 9 más 16 nos da 25 y esto queda igualado a 0. Esa sería entonces la ecuación general para esta parábola. Y de esta manera hemos terminado nuestro ejercicio. Hemos encontrado las dos ecuaciones que nos pedían.

[{"start": 0.0, "end": 9.0, "text": " Construir la par\u00e1bola con v\u00e9rtice en el punto 3,2 y foco en el punto 3,4."}, {"start": 9.0, "end": 15.0, "text": " Haya su ecuaci\u00f3n est\u00e1ndar y su ecuaci\u00f3n general."}, {"start": 15.0, "end": 24.0, "text": " Bien, comenzamos este ejercicio dibujando un plano cartesiano y en \u00e9l vamos a localizar la informaci\u00f3n que nos dan."}, {"start": 24.0, "end": 31.0, "text": " Entonces ubicamos el v\u00e9rtice que se encuentra en la coordenada 3,2."}, {"start": 31.0, "end": 37.0, "text": " Entonces subimos por 3 hasta llegar a 2 y all\u00ed tenemos el v\u00e9rtice."}, {"start": 37.0, "end": 42.0, "text": " Es la coordenada 3,2."}, {"start": 42.0, "end": 48.0, "text": " Y nos dan tambi\u00e9n el foco que se encuentra en la coordenada 3,4."}, {"start": 48.0, "end": 57.0, "text": " Subimos por 3 hasta llegar a 4, tenemos este punto y all\u00ed ubicamos el foco."}, {"start": 57.0, "end": 59.0, "text": " Coordenada 3,4."}, {"start": 59.0, "end": 67.0, "text": " All\u00ed ya podemos ver que el eje de la par\u00e1bola, lo que se llama el eje de simetr\u00eda, ser\u00e1 vertical."}, {"start": 67.0, "end": 73.0, "text": " Ser\u00e1 una recta que pasa por el foco y por el v\u00e9rtice y por el n\u00famero 3."}, {"start": 73.0, "end": 78.0, "text": " Entonces el eje de simetr\u00eda ser\u00e1 la recta x igual a 3."}, {"start": 78.0, "end": 80.0, "text": " Vamos a dibujarla."}, {"start": 80.0, "end": 88.0, "text": " All\u00ed tenemos el eje de simetr\u00eda que como dijimos es la ecuaci\u00f3n x igual a 3."}, {"start": 88.0, "end": 93.0, "text": " Una recta vertical que pasa por la abscisa 3."}, {"start": 93.0, "end": 98.0, "text": " Ya podemos decidir qu\u00e9 tipo de par\u00e1bola vamos a trabajar."}, {"start": 98.0, "end": 101.0, "text": " Ser\u00eda una par\u00e1bola vertical que abre hacia arriba."}, {"start": 101.0, "end": 110.0, "text": " Recordemos que la par\u00e1bola pasa por el v\u00e9rtice y su foco debe quedar en el interior de la misma."}, {"start": 110.0, "end": 114.0, "text": " Entonces m\u00e1s o menos esta ser\u00e1 la forma de esa par\u00e1bola."}, {"start": 114.0, "end": 120.0, "text": " Vamos a conseguir m\u00e1s informaci\u00f3n que nos permita dibujarla con precisi\u00f3n."}, {"start": 120.0, "end": 128.0, "text": " Sabemos que la distancia del v\u00e9rtice al foco es lo que se conoce como P."}, {"start": 128.0, "end": 132.0, "text": " En este caso P vale 2 unidades."}, {"start": 132.0, "end": 135.0, "text": " La distancia que hay desde 2 hasta 4."}, {"start": 135.0, "end": 142.0, "text": " Esa misma distancia tenemos que contabilizarla hacia afuera de la par\u00e1bola."}, {"start": 142.0, "end": 144.0, "text": " Hemos dicho que la par\u00e1bola viene as\u00ed."}, {"start": 144.0, "end": 151.0, "text": " Entonces hacia el exterior de la misma medimos esa misma distancia P que vale 2 unidades."}, {"start": 151.0, "end": 155.0, "text": " Por lo tanto llegamos aqu\u00ed al eje x."}, {"start": 155.0, "end": 161.0, "text": " Por all\u00ed va a pasar lo que se llama la directriz de la par\u00e1bola."}, {"start": 161.0, "end": 169.0, "text": " En este caso la directriz ser\u00e1 una recta que coincide con el eje x."}, {"start": 169.0, "end": 173.0, "text": " Y su ecuaci\u00f3n es y igual a 0."}, {"start": 173.0, "end": 178.0, "text": " Entonces ya tenemos la directriz con su ecuaci\u00f3n."}, {"start": 178.0, "end": 184.0, "text": " Otro elemento importante de la par\u00e1bola es el lado recto."}, {"start": 184.0, "end": 191.0, "text": " El lado recto es un segmento que es perpendicular al eje de simetr\u00eda y que pasa por el foco."}, {"start": 191.0, "end": 195.0, "text": " Y su longitud es igual a 4 veces P."}, {"start": 195.0, "end": 197.0, "text": " Como en este caso P vale 2."}, {"start": 197.0, "end": 202.0, "text": " Entonces 2 lo multiplicamos por 4 y eso nos da 8."}, {"start": 202.0, "end": 207.0, "text": " Entonces este segmento tendr\u00e1 una longitud de 8 unidades."}, {"start": 207.0, "end": 217.0, "text": " Lo que hacemos es repartir del foco a la izquierda 4 unidades y del foco a la derecha otras 4 unidades."}, {"start": 217.0, "end": 223.0, "text": " Entonces si del foco hacia la izquierda nos movemos 4 unidades, estar\u00edamos haciendo lo siguiente."}, {"start": 223.0, "end": 226.0, "text": " A 3 le restamos 4 y llegamos a menos 1."}, {"start": 226.0, "end": 230.0, "text": " Por lo tanto tendremos este punto."}, {"start": 230.0, "end": 234.0, "text": " Y del foco hacia la derecha nos movemos 4 unidades."}, {"start": 234.0, "end": 238.0, "text": " Entonces a 3 le sumamos 4 y llegamos a 7."}, {"start": 238.0, "end": 242.0, "text": " Por lo tanto aqu\u00ed tenemos el otro punto."}, {"start": 242.0, "end": 247.0, "text": " Este lo podemos llamar el punto L y este lo podemos llamar R."}, {"start": 247.0, "end": 251.0, "text": " Como las iniciales de lo que ser\u00e1 el lado recto."}, {"start": 251.0, "end": 253.0, "text": " Es decir todo este segmento."}, {"start": 253.0, "end": 258.0, "text": " Vamos a trazar entonces el lado recto y tambi\u00e9n la par\u00e1bola."}, {"start": 258.0, "end": 270.0, "text": " All\u00ed tenemos en color verde el lado recto que se define como la cuerda perpendicular al eje de simetr\u00eda que pasa por el foco."}, {"start": 270.0, "end": 274.0, "text": " Se llama cuerda porque toca dos puntos de la par\u00e1bola."}, {"start": 274.0, "end": 278.0, "text": " Como hab\u00edamos dicho los extremos son los puntos L y R."}, {"start": 278.0, "end": 289.0, "text": " Por ejemplo L tiene coordenada menos 1,4 y R tiene coordenada 7,4."}, {"start": 289.0, "end": 296.0, "text": " Bien, all\u00ed tenemos entonces ya la par\u00e1bola dibujada con un poco m\u00e1s de precisi\u00f3n."}, {"start": 296.0, "end": 301.0, "text": " Vamos a entrar a encontrar las ecuaciones que nos pide el ejercicio."}, {"start": 301.0, "end": 310.0, "text": " Para ello necesitamos entonces el v\u00e9rtice que es la coordenada 3,2 y que ser\u00e1 la pareja H,K."}, {"start": 310.0, "end": 320.0, "text": " Y tambi\u00e9n necesitamos el valor de P que es igual a 2 y el modelo correspondiente a una par\u00e1bola vertical que abre hacia arriba."}, {"start": 320.0, "end": 324.0, "text": " Ese modelo es el que apreciamos en este momento."}, {"start": 324.0, "end": 331.0, "text": " Dice que x menos h al cuadrado es igual a m\u00e1s 4p que multiplica a y menos k."}, {"start": 331.0, "end": 336.0, "text": " El signo m\u00e1s se debe a que la par\u00e1bola abre sus ramas hacia arriba."}, {"start": 336.0, "end": 341.0, "text": " Dec\u00edamos que necesitamos el v\u00e9rtice y el valor de P."}, {"start": 341.0, "end": 348.0, "text": " El v\u00e9rtice es la pareja H,K que son los valores que van a ingresar a la formulita."}, {"start": 348.0, "end": 361.0, "text": " Entonces vamos a reemplazar. Ser\u00eda x menos el valor de h que es 3 al cuadrado es igual a m\u00e1s 4 que multiplica P que es igual a 2."}, {"start": 361.0, "end": 367.0, "text": " Y que multiplica a y menos k que vale 2."}, {"start": 367.0, "end": 377.0, "text": " Esto nos queda x menos 3 al cuadrado es igual a 8 que multiplica a y menos 2."}, {"start": 377.0, "end": 383.0, "text": " Esta ser\u00eda entonces la ecuaci\u00f3n est\u00e1ndar o ecuaci\u00f3n can\u00f3nica."}, {"start": 383.0, "end": 387.0, "text": " Tambi\u00e9n se conoce con ese nombre para esta par\u00e1bola."}, {"start": 387.0, "end": 394.0, "text": " Entonces ya hemos dado cumplimiento a la primera pregunta."}, {"start": 394.0, "end": 403.0, "text": " A partir de esta ecuaci\u00f3n de este modelo encontrado vamos a llegar a la ecuaci\u00f3n general."}, {"start": 403.0, "end": 411.0, "text": " Veamos, debemos hacer el desarrollo de este binomio al cuadrado y hacer aqu\u00ed la propiedad distributiva con el 8."}, {"start": 411.0, "end": 415.0, "text": " Entonces recordemos que un binomio al cuadrado se desarrolla as\u00ed."}, {"start": 415.0, "end": 422.0, "text": " El cuadrado del primer t\u00e9rmino es decir x al cuadrado menos el doble producto del primero por el segundo."}, {"start": 422.0, "end": 427.0, "text": " Entonces 2 por x por 3 nos da 6x."}, {"start": 427.0, "end": 433.0, "text": " M\u00e1s el segundo t\u00e9rmino elevado al cuadrado 3 al cuadrado nos da 9."}, {"start": 433.0, "end": 442.0, "text": " Y esto es igual a la propiedad distributiva con el 8 nos queda 8y menos 16."}, {"start": 442.0, "end": 454.0, "text": " Ahora lo que hacemos es pasar estos dos t\u00e9rminos al lado izquierdo de tal manera que la ecuaci\u00f3n nos quede igualada a 0."}, {"start": 454.0, "end": 461.0, "text": " Entonces nos queda as\u00ed, pasa menos 8y, pasa m\u00e1s 16 y esto queda igualado a 0."}, {"start": 461.0, "end": 464.0, "text": " Finalmente organizamos la ecuaci\u00f3n de la siguiente manera."}, {"start": 464.0, "end": 468.0, "text": " Primero con la variable que se encuentra al cuadrado, en este caso x."}, {"start": 468.0, "end": 472.0, "text": " Luego el t\u00e9rmino que contiene la x que ser\u00eda 6x."}, {"start": 472.0, "end": 475.0, "text": " Despu\u00e9s el que contiene la y, menos 8y."}, {"start": 475.0, "end": 483.0, "text": " Y al final la suma de los t\u00e9rminos independientes 9 m\u00e1s 16 nos da 25 y esto queda igualado a 0."}, {"start": 483.0, "end": 491.0, "text": " Esa ser\u00eda entonces la ecuaci\u00f3n general para esta par\u00e1bola."}, {"start": 491.0, "end": 497.0, "text": " Y de esta manera hemos terminado nuestro ejercicio."}, {"start": 497.0, "end": 514.0, "text": " Hemos encontrado las dos ecuaciones que nos ped\u00edan."}]

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VOLUMEN DE UN CILINDRO CON UNA SEMIESFERA

#julioprofe explica cómo hallar el volumen de un sólido compuesto por un cilindro y una semiesfera en uno de sus extremos. Tema: #VolúmenesDeSólidos → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEr0PdY0PKGImaumr_U3dyE REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a determinar el volumen de este sólido que como podemos apreciar es una figura compuesta, consta de un cilindro y está rematado en la parte superior por una semiesfera. Entonces con las dimensiones que nos da el dibujo vemos que el cilindro tiene 6 cm de diámetro y 5 cm de altura, vamos a proceder a encontrar por separado el volumen del cilindro y el volumen de la semiesfera para después sumarlos y encontrar el volumen de todo el sólido. Comenzamos entonces con el cilindro, cuya fórmula para encontrar el volumen dice pi por el radio al cuadrado por la altura. En este caso si el diámetro del cilindro son 6 cm podemos asegurar que su radio, es decir esta distancia, es de 3 cm. Recordemos que el radio es igual a la mitad del diámetro. Entonces traemos esos valores a la formulita, nos queda pi por el radio que son 3 cm, escribimos el 3 al cuadrado por la altura del cilindro que son 5 cm. Resolvemos, nos queda pi por 3 elevado al cuadrado que será 9 y eso multiplicado por 5 nos da entonces que 9 por 5 es 45 que da 45 por pi, es decir 45 pi y escribimos las unidades correspondientes al volumen que en este caso serían cm³ porque todas las dimensiones de la figura se encuentran en cm. Así entonces el volumen de la parte cilíndrica es igual a 45 pi cm³. Ahora vamos con la semiesfera, la parte superior de este sólido. Esta semiesfera entonces tendrá la siguiente expresión para el volumen. El volumen de una esfera completa es 4³ pi por el radio al cubo, pero como tenemos una semiesfera, es decir la mitad, entonces debemos multiplicar por 1 medio. En este caso podemos simplificar el 4 con el 2, por lo que hay multiplicación podemos sacar mitad de 2 que es 1, mitad de 4 que es 2 y entonces nos queda una fórmula un poco más simple, nos queda 2³ pi por el radio al cubo. Esta sería entonces la formulita para encontrar el volumen de una semiesfera. En este caso necesitamos el radio, el radio de la semiesfera será el mismo radio del cilindro. Podemos marcarlo aquí, este sería el radio que equivale a 3 cm. Entonces ese es el dato que debemos ingresar a la fórmula. Entonces nos queda volumen es igual a 2³ pi por el radio que son 3 cm y esto elevado al cubo. Resolvemos, esto nos queda 2³ pi por 3 elevado al cubo que es igual a 27. Y allí podemos simplificar el 27 con el 3, sacamos 3³ que es 1, 3³ de 27 nos da 9 y nos queda 2 por pi por 9 que es igual a 18 cm cúbicos. Sería entonces el volumen de la semiesfera. Nuevamente debemos anotar las unidades correspondientes al volumen. Entonces para la semiesfera el volumen nos dio 18 cm cúbicos. Finalmente hallamos el volumen del sonido completo haciendo la suma de los volúmenes encontrados. Entonces es el volumen del cilindro que nos dio 45 cm cúbicos y eso sumado con el volumen de la semiesfera que nos dio 18 cm cúbicos. Al sumar 45 pi más 18 pi eso nos da 63 pi. Sumamos 45 más 18 que es 63 y acompañamos de pi tal como aparece en estos dos números. Y esto nos queda en cm cúbicos. De esta manera hemos encontrado el volumen del solido dejándolo indicado en términos de pi. Si quisiéramos ver el resultado decimal simplemente cambiamos pi por 3.14. Entonces al multiplicar 63 por 3.14 nos da un volumen igual a 197.82 cm cúbicos. Entonces podríamos darlo de cualquiera de las dos formas. Expresado en términos de pi o como decimal. De esta manera hemos encontrado el volumen de este solido.

[{"start": 0.0, "end": 9.0, "text": " Vamos a determinar el volumen de este s\u00f3lido que como podemos apreciar es una figura compuesta,"}, {"start": 9.0, "end": 18.0, "text": " consta de un cilindro y est\u00e1 rematado en la parte superior por una semiesfera."}, {"start": 18.0, "end": 26.0, "text": " Entonces con las dimensiones que nos da el dibujo vemos que el cilindro tiene 6 cm de di\u00e1metro"}, {"start": 26.0, "end": 36.0, "text": " y 5 cm de altura, vamos a proceder a encontrar por separado el volumen del cilindro y el volumen de la semiesfera"}, {"start": 36.0, "end": 43.0, "text": " para despu\u00e9s sumarlos y encontrar el volumen de todo el s\u00f3lido."}, {"start": 43.0, "end": 50.0, "text": " Comenzamos entonces con el cilindro,"}, {"start": 50.0, "end": 59.0, "text": " cuya f\u00f3rmula para encontrar el volumen dice pi por el radio al cuadrado por la altura."}, {"start": 59.0, "end": 68.0, "text": " En este caso si el di\u00e1metro del cilindro son 6 cm podemos asegurar que su radio,"}, {"start": 68.0, "end": 73.0, "text": " es decir esta distancia, es de 3 cm."}, {"start": 73.0, "end": 79.0, "text": " Recordemos que el radio es igual a la mitad del di\u00e1metro."}, {"start": 79.0, "end": 90.0, "text": " Entonces traemos esos valores a la formulita, nos queda pi por el radio que son 3 cm,"}, {"start": 90.0, "end": 99.0, "text": " escribimos el 3 al cuadrado por la altura del cilindro que son 5 cm."}, {"start": 99.0, "end": 108.0, "text": " Resolvemos, nos queda pi por 3 elevado al cuadrado que ser\u00e1 9 y eso multiplicado por 5"}, {"start": 108.0, "end": 116.0, "text": " nos da entonces que 9 por 5 es 45 que da 45 por pi, es decir 45 pi"}, {"start": 116.0, "end": 122.0, "text": " y escribimos las unidades correspondientes al volumen que en este caso ser\u00edan cm\u00b3"}, {"start": 122.0, "end": 127.0, "text": " porque todas las dimensiones de la figura se encuentran en cm."}, {"start": 127.0, "end": 138.0, "text": " As\u00ed entonces el volumen de la parte cil\u00edndrica es igual a 45 pi cm\u00b3."}, {"start": 138.0, "end": 150.0, "text": " Ahora vamos con la semiesfera, la parte superior de este s\u00f3lido."}, {"start": 150.0, "end": 155.0, "text": " Esta semiesfera entonces tendr\u00e1 la siguiente expresi\u00f3n para el volumen."}, {"start": 155.0, "end": 165.0, "text": " El volumen de una esfera completa es 4\u00b3 pi por el radio al cubo, pero como tenemos una semiesfera,"}, {"start": 165.0, "end": 170.0, "text": " es decir la mitad, entonces debemos multiplicar por 1 medio."}, {"start": 170.0, "end": 177.0, "text": " En este caso podemos simplificar el 4 con el 2, por lo que hay multiplicaci\u00f3n"}, {"start": 177.0, "end": 182.0, "text": " podemos sacar mitad de 2 que es 1, mitad de 4 que es 2"}, {"start": 182.0, "end": 192.0, "text": " y entonces nos queda una f\u00f3rmula un poco m\u00e1s simple, nos queda 2\u00b3 pi por el radio al cubo."}, {"start": 192.0, "end": 198.0, "text": " Esta ser\u00eda entonces la formulita para encontrar el volumen de una semiesfera."}, {"start": 198.0, "end": 206.0, "text": " En este caso necesitamos el radio, el radio de la semiesfera ser\u00e1 el mismo radio del cilindro."}, {"start": 206.0, "end": 216.0, "text": " Podemos marcarlo aqu\u00ed, este ser\u00eda el radio que equivale a 3 cm."}, {"start": 216.0, "end": 221.0, "text": " Entonces ese es el dato que debemos ingresar a la f\u00f3rmula."}, {"start": 221.0, "end": 233.0, "text": " Entonces nos queda volumen es igual a 2\u00b3 pi por el radio que son 3 cm y esto elevado al cubo."}, {"start": 233.0, "end": 242.0, "text": " Resolvemos, esto nos queda 2\u00b3 pi por 3 elevado al cubo que es igual a 27."}, {"start": 242.0, "end": 251.0, "text": " Y all\u00ed podemos simplificar el 27 con el 3, sacamos 3\u00b3 que es 1, 3\u00b3 de 27 nos da 9"}, {"start": 251.0, "end": 260.0, "text": " y nos queda 2 por pi por 9 que es igual a 18 cm c\u00fabicos."}, {"start": 260.0, "end": 264.0, "text": " Ser\u00eda entonces el volumen de la semiesfera."}, {"start": 264.0, "end": 269.0, "text": " Nuevamente debemos anotar las unidades correspondientes al volumen."}, {"start": 269.0, "end": 280.0, "text": " Entonces para la semiesfera el volumen nos dio 18 cm c\u00fabicos."}, {"start": 280.0, "end": 289.0, "text": " Finalmente hallamos el volumen del sonido completo haciendo la suma de los vol\u00famenes encontrados."}, {"start": 289.0, "end": 300.0, "text": " Entonces es el volumen del cilindro que nos dio 45 cm c\u00fabicos y eso sumado con el volumen de la semiesfera"}, {"start": 300.0, "end": 305.0, "text": " que nos dio 18 cm c\u00fabicos."}, {"start": 305.0, "end": 311.0, "text": " Al sumar 45 pi m\u00e1s 18 pi eso nos da 63 pi."}, {"start": 311.0, "end": 318.0, "text": " Sumamos 45 m\u00e1s 18 que es 63 y acompa\u00f1amos de pi tal como aparece en estos dos n\u00fameros."}, {"start": 318.0, "end": 321.0, "text": " Y esto nos queda en cm c\u00fabicos."}, {"start": 321.0, "end": 329.0, "text": " De esta manera hemos encontrado el volumen del solido dej\u00e1ndolo indicado en t\u00e9rminos de pi."}, {"start": 329.0, "end": 335.0, "text": " Si quisi\u00e9ramos ver el resultado decimal simplemente cambiamos pi por 3.14."}, {"start": 335.0, "end": 350.0, "text": " Entonces al multiplicar 63 por 3.14 nos da un volumen igual a 197.82 cm c\u00fabicos."}, {"start": 350.0, "end": 354.0, "text": " Entonces podr\u00edamos darlo de cualquiera de las dos formas."}, {"start": 354.0, "end": 359.0, "text": " Expresado en t\u00e9rminos de pi o como decimal."}, {"start": 359.0, "end": 365.0, "text": " De esta manera hemos encontrado el volumen de este solido."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=lXyeAUx0gd0

VOLUMEN DE UN PARALELEPÍPEDO RECTO

#julioprofe explica cómo hallar el volumen de un paralelepípedo recto si se conocen sus dimensiones. Tema: #VolúmenesDeSólidos → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEr0PdY0PKGImaumr_U3dyE REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a determinar el volumen de esta figura tridimensional, un sólido que se conoce con el nombre de prisma recto o paralel epípedo recto. Se llama así porque en todas sus esquinas tenemos ángulos rectos, ángulos de 90 grados. Para encontrar el volumen de un sólido de estos simplemente multiplicamos sus tres dimensiones, es decir, el largo que sería 12.4 centímetros lo multiplicamos por el ancho 8.5 centímetros y eso multiplicado por la altura que es 6.2 centímetros. Al hacer la multiplicación de esos tres números nos daría el volumen del sólido en centímetros cúbicos. Vamos a realizar por acá las operaciones. Vamos a comenzar por multiplicar 12.4 por 8.5, vamos a hacerlo por acá, 12.4 multiplicado por 8.5, entonces multiplicamos común y corriente los dos números sin tener en cuenta el punto decimal. Entonces veamos, 5 por 4 es 20, llevamos 2, 5 por 2 es 10 y 2 que llevamos son 12, llevamos 1, 5 por 1 es 5 y 1 que llevamos son 6. Seguimos con el 8, 8 por 4 es 32, llevamos 3, 8 por 2 es 16 y 3 que llevamos es 19, llevamos 1, 8 por 1 es 8 y 1 que llevamos son 9. Hacemos la suma, tenemos 0, 2 y 2 son 4, 6 y 9 son 15, llevamos 1, 1 y 9 son 10. Como los factores, es decir, los dos números que participan en la multiplicación tienen cada uno una cifra decimal, entonces en total aquí tenemos dos decimales que son los que tenemos que dejar aquí en el resultado. Es decir, en el producto. Entonces nos queda 105.40 que podemos escribir como 105.4. Este 0 que queda a la derecha se puede omitir y nos queda como 105.4. Ahora vamos a multiplicar 105.4 por 6.2. Allí tenemos la operación 105.4 multiplicado por 6.2. Nuevamente multiplicamos común y corriente sin tener en cuenta el punto decimal. 2 por 4 es 8, 2 por 5 es 10, llevamos 1, 2 por 0 es 0 y 1 que llevamos nos da 1, 2 por 1 sería 2. Ahora seguimos con el 6. 6 por 4 son 24, llevamos 2, 6 por 5 son 30 y 2 que llevamos 32. Escribimos el 2 y llevamos 3, 6 por 0, 0 y 3 que llevamos son 3 y 6 por 1 nos da 6. Hacemos la suma, tendremos 8, 4, 1 y 2 son 3, 2 y 3 son 5 y el 6. Nuevamente vemos que aquí en los factores hay en total dos lugares decimales. Uno que aporta este número y otro que aporta el otro número. Entonces en la respuesta debemos dejar dos lugares decimales. Tendremos entonces que el resultado final de esta operación es 653.48 que constituye el volumen del sólido. No podemos olvidar las unidades centímetro por centímetro por centímetro nos da centímetros cúbicos que sería entonces la unidad de volumen para este caso. De esta manera hemos hallado el volumen de ese prisma recto.

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