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RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS - Ejercicios 3 y 4

#julioprofe explica dos ejercicios sobre radicación con números enteros. Videos de #NúmerosEnteros → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwFmPtR9zFQN2cpK9QL7X8w9 REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver detalladamente estos dos ejercicios que corresponden a radicación de números enteros. Comenzamos con el primer ejercicio, que se lee la raíz sexta de 64. 6 es el índice de la raíz y 64 es el radicando o la cantidad subradical. Vamos entonces con la descomposición en factores primos de 64, o sea del radicando. Trazamos esta línea a la derecha de ese número y vamos entonces con la revisión de los números primos que sean divisores de 64. Comenzamos revisando el 2, que es el primer número primo. Nos preguntamos si 2 es divisor de 64 y vemos que sí porque 64 termina en cifra o dígito par. Entonces mitad de 64 es 32, 32 también termina en cifra par, entonces es divisible por 2, mitad de 32 es 16, también es número par, por lo tanto es divisible por 2, mitad de 16 es 8, 8 es número par, es divisible por 2, mitad de 8 es 4, que es número par, es divisible por 2, mitad de 4 es 2 y 2 lógicamente es divisible por sí mismo, entonces decimos que la mitad de 2 es 1 y con eso terminamos el procedimiento. Vemos entonces que el número 2 se repite 6 veces, el 2 se multiplica por sí mismo 6 veces y nos da como resultado 64, eso se expresa en forma de potenciación de esta manera 2 a la 6 es 64, por lo tanto decimos que la raíz sexta de 64 es igual a 2 si trabajamos en el conjunto de los números naturales, pero como estamos trabajando en el conjunto de los números enteros también debemos tener en cuenta que menos 2 elevado a la 6 da 64 positivo y recordemos que esto sucede porque todo número negativo elevado a un exponente par nos da como resultado un número o una cantidad positiva. Entonces complementamos la respuesta señalando que la raíz sexta de 64 es más o menos 2 porque 2 a la 6 es 64 tal como lo observamos acá y también menos 2 elevado a la 6 es 64. Vamos ahora con el segundo ejercicio que se lee la raíz cúbica de menos 216, 3 es el índice de la raíz y menos 216 es el radicando o la cantidad subradical. Para comenzar recordamos esta propiedad, la raíz de índice impar de un número negativo o una cantidad negativa da como resultado un número negativo. Entonces esta propiedad nos permite extraer el signo negativo de la raíz, lo escribimos por fuera y nos vamos a ocupar de esto que nos queda, la raíz cúbica de 216. En seguida vamos a descomponer en factores primos el número 216, lo escribimos por acá, trazamos la línea vertical a la derecha del número y comenzamos con la revisión de los números primos que sean divisores de 216. Comenzamos revisando el primer número primo que es el 2, nos preguntamos si 2 es divisor de 216, creemos que sí porque termina en dígito par, entonces si es divisible por 2. Mitad de 216 es 108 que también es número par, por lo tanto es divisible por 2. Mitad de 108 es 54 también es número par, se puede dividir por 2, mitad de 54 es 27 que ya es un número impar, termina en 7 que es dígito o cifra impar. Por lo tanto suspendemos el uso del número 2 y pasamos a examinar el siguiente número primo que es el 3, vemos que 3 está contenido en 27 nueve veces, porque 3 por 9 es 27, por lo tanto usamos el número 3, tercera de 27 es 9, 9 es divisible por 3, tercera de 9 es 3 y 3 lógicamente es divisible por sí mismo, tercera de 3 es 1 y con esto terminamos el procedimiento. Como podemos observar el número 216 puede expresarse de la siguiente forma, 2 por 2 por 2 que es 2 al cubo escrito en forma de potencia y esto multiplicado por 3 por 3 por 3 que puede escribirse también como potencia como 3 al cubo o 3 elevado a la 3. Allí podemos aplicar la siguiente propiedad de la potenciación, recordemos que si tenemos un producto a por b, un producto de dos cantidades y eso elevado a un exponente n, entonces este exponente se reparte para estos dos factores, nos queda a a la n por b a la n, es decir el exponente afecta las dos cantidades, pero esta propiedad también podemos aplicarla de derecha a izquierda, es decir que si tenemos esta situación tal como observamos acá donde el exponente se repite y aquí tenemos multiplicación podemos llegar a esta forma, por lo tanto esto puede escribirse como 2 por 3, es decir las dos bases multiplicando dentro del paréntesis y afuera el exponente 3 que es el que se repite. Resolviendo esto que tenemos dentro del paréntesis, nos queda 2 por 3 que es 6 y esto elevado a la 3, entonces 6 al cubo es 216, por lo tanto la raíz cubica de 216 es 6, lo escribimos entonces pero no podemos olvidar el signo menos que acompaña al radical, entonces la raíz cubica de menos 216 es menos 6, porque si elevamos menos 6 al cubo vamos a obtener menos 216, aquí se cumple entonces la propiedad que dice que todo número negativo elevado a un exponente impar da como resultado un número negativo, con eso terminamos este ejercicio.

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"text": " Mitad de 108 es 54 tambi\u00e9n es n\u00famero par, se puede dividir por 2, mitad de 54 es 27"}, {"start": 270.96, "end": 276.71999999999997, "text": " que ya es un n\u00famero impar, termina en 7 que es d\u00edgito o cifra impar."}, {"start": 276.71999999999997, "end": 281.79999999999995, "text": " Por lo tanto suspendemos el uso del n\u00famero 2 y pasamos a examinar el siguiente n\u00famero"}, {"start": 281.8, "end": 290.68, "text": " primo que es el 3, vemos que 3 est\u00e1 contenido en 27 nueve veces, porque 3 por 9 es 27, por"}, {"start": 290.68, "end": 299.04, "text": " lo tanto usamos el n\u00famero 3, tercera de 27 es 9, 9 es divisible por 3, tercera de 9 es"}, {"start": 299.04, "end": 306.40000000000003, "text": " 3 y 3 l\u00f3gicamente es divisible por s\u00ed mismo, tercera de 3 es 1 y con esto terminamos el"}, {"start": 306.40000000000003, "end": 308.36, "text": " procedimiento."}, {"start": 308.36, "end": 316.8, "text": " Como podemos observar el n\u00famero 216 puede expresarse de la siguiente forma, 2 por 2"}, {"start": 316.8, "end": 324.6, "text": " por 2 que es 2 al cubo escrito en forma de potencia y esto multiplicado por 3 por 3 por"}, {"start": 324.6, "end": 332.48, "text": " 3 que puede escribirse tambi\u00e9n como potencia como 3 al cubo o 3 elevado a la 3."}, {"start": 332.48, "end": 337.88, "text": " All\u00ed podemos aplicar la siguiente propiedad de la potenciaci\u00f3n, recordemos que si tenemos"}, {"start": 337.88, "end": 345.84, "text": " un producto a por b, un producto de dos cantidades y eso elevado a un exponente n, entonces este"}, {"start": 345.84, "end": 354.08, "text": " exponente se reparte para estos dos factores, nos queda a a la n por b a la n, es decir"}, {"start": 354.08, "end": 360.36, "text": " el exponente afecta las dos cantidades, pero esta propiedad tambi\u00e9n podemos aplicarla"}, {"start": 360.36, "end": 366.71999999999997, "text": " de derecha a izquierda, es decir que si tenemos esta situaci\u00f3n tal como observamos ac\u00e1 donde"}, {"start": 366.72, "end": 373.68, "text": " el exponente se repite y aqu\u00ed tenemos multiplicaci\u00f3n podemos llegar a esta forma, por lo tanto"}, {"start": 373.68, "end": 382.04, "text": " esto puede escribirse como 2 por 3, es decir las dos bases multiplicando dentro del par\u00e9ntesis"}, {"start": 382.04, "end": 386.56, "text": " y afuera el exponente 3 que es el que se repite."}, {"start": 386.56, "end": 393.40000000000003, "text": " Resolviendo esto que tenemos dentro del par\u00e9ntesis, nos queda 2 por 3 que es 6 y esto elevado"}, {"start": 393.4, "end": 405.2, "text": " a la 3, entonces 6 al cubo es 216, por lo tanto la ra\u00edz cubica de 216 es 6, lo escribimos"}, {"start": 405.2, "end": 412.76, "text": " entonces pero no podemos olvidar el signo menos que acompa\u00f1a al radical, entonces la"}, {"start": 412.76, "end": 423.56, "text": " ra\u00edz cubica de menos 216 es menos 6, porque si elevamos menos 6 al cubo vamos a obtener"}, {"start": 423.56, "end": 431.44, "text": " menos 216, aqu\u00ed se cumple entonces la propiedad que dice que todo n\u00famero negativo elevado"}, {"start": 431.44, "end": 437.62, "text": " a un exponente impar da como resultado un n\u00famero negativo, con eso terminamos este"}, {"start": 437.62, "end": 444.62, "text": " ejercicio."}]

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LÍMITES ALGEBRAICOS - Ejercicio 4

#julioprofe explica cómo resolver un límite algebraico usando la factorización. Tema: #Límites → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEeindtt3TarvkVHRDmqNTf REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver detalladamente este límite al hegebraico. Veremos qué le sucede a esta función cuando x se aproxima a menos 5. Comenzamos evaluando esta expresión justamente en este número. Entonces, ¿dónde está la x? Vamos a reemplazar menos 5. Tenemos 3 por menos 5 al cuadrado más 15 por menos 5. Y todo esto sobre 2 por x que toma el valor menos 5, esto al cuadrado, menos 50. En seguida vamos a resolver esas operaciones. Acá en la parte superior tenemos menos 5 al cuadrado que es 25 positivo, eso por 3 nos da 75. Más 15 por menos 5, eso nos da menos 75. Y en la parte de abajo tenemos menos 5 al cuadrado que es 25 positivo por 2, nos da 50 y eso nos queda menos 50. Efectuamos esas dos restas, en la parte superior tenemos 75 menos 75 que es 0 y 50 menos 50 nos da 0. Tenemos allí entonces lo que se conoce como una indeterminación. Cero sobre cero es algo que no está determinado y constituye una voz de alerta que nos dice que tenemos que hacerle algo a esta función. Entonces vamos a ver cuál será la estrategia apropiada. En este caso vamos a factorizar completamente tanto el numerador como el denominador de esa expresión. Vamos entonces con el numerador, vamos a escribirlo por acá, 3x al cuadrado más 15x. Y revisamos entonces los casos de factorización. Recordemos que el primero que debemos examinar es el que se llama factor común. Aquí tenemos dos términos donde observamos la letra x presente en cada uno de ellos. También tenemos dos números, los coeficientes, cuyo máximo común divisor es el número 3. Entonces podemos extraer como factor común 3x. Recordemos que de la letra repetida se extrae la de menor exponente. 3x será factor común de x, que es lo que nos queda en el primer término, más 5, que es lo que nos queda en el segundo término después de que sale 3x. Allí x más 5 no es posible factorizarlo más, entonces decimos que el numerador será factorizado completamente. Veamos ahora el denominador, donde primero examinamos el caso llamado factor común. Revisamos estos dos términos, vemos que para 2 y 50 el máximo común divisor es el número 2. Entonces podemos extraerlo como factor común. 2 será factor de x al cuadrado menos 25. Y acá revisamos esta expresión. Vemos que allí hay una diferencia de cuadrados perfectos. La raíz cuadrada de este término es x y la raíz cuadrada de 25 nos da 5. Entonces podemos factorizar esta expresión utilizando el caso llamado diferencia de cuadrados. Escribimos x más 5 por x menos 5. Vemos si estos factores pueden factorizarse todavía más. Vemos que no es posible, entonces allí queda completamente factorizado el denominador. Lo que hacemos enseguida es reconstruir el límite. Nos queda límite cuando x tiende a menos 5. Empezamos la línea de la fracción y en la parte superior obtuvimos 3x por x más 5. En la parte inferior nos dio esta expresión. 2 que multiplica con x más 5 y con x menos 5. Aquí vemos que es posible cancelar o simplificar el factor que está repetido tanto en el numerador como en el denominador. Es decir, el factor x más 5. Ese será el factor problema en este ejercicio. El causante del 0 sobre 0 que nos daba al comienzo. Veamos cuando x tiende a menos 5, aquí tenemos menos 5 más 5 que es 0 y lo mismo sucede aquí. Entonces estos dos factores como decíamos ya se pueden cancelar y nos va a quedar un límite mucho más sencillo. Límite cuando x tiende a menos 5 de la expresión 3x en el numerador y 2 por x menos 5 en el denominador. Lo que hacemos ahora es evaluar esta expresión cuando x toma el valor menos 5. Esto ya lo hacemos con total tranquilidad porque como decíamos ya logramos deshacernos del factor problema. Entonces tenemos lo siguiente. 3 por x que es menos 5, esto en el numerador y en el denominador tenemos 2 por x que toma el valor menos 5 y eso menos 5. Ahora resolvemos cada una de esas operaciones. Arriba tenemos 3 por menos 5 que es menos 15 y abajo nos queda menos 5 y menos 5 que es menos 10 multiplicado por 2 es menos 20. Aquí aplicamos la ley de los signos. Menos con menos nos da más. Vamos a obtener una fracción positiva y podemos simplificar los números 15 y 20. Sacamos quinta para ambos. Quinta de 15 nos da 3. Quinta de 20 es 4. Entonces obtenemos la fracción 3 cuartos. Es una fracción irreducible y esa será entonces la respuesta para este ejercicio.

[{"start": 0.0, "end": 8.0, "text": " Vamos a resolver detalladamente este l\u00edmite al hegebraico."}, {"start": 8.0, "end": 14.24, "text": " Veremos qu\u00e9 le sucede a esta funci\u00f3n cuando x se aproxima a menos 5."}, {"start": 14.24, "end": 18.8, "text": " Comenzamos evaluando esta expresi\u00f3n justamente en este n\u00famero."}, {"start": 18.8, "end": 20.84, "text": " Entonces, \u00bfd\u00f3nde est\u00e1 la x?"}, {"start": 20.84, "end": 22.72, "text": " Vamos a reemplazar menos 5."}, {"start": 22.72, "end": 32.0, "text": " Tenemos 3 por menos 5 al cuadrado m\u00e1s 15 por menos 5."}, {"start": 32.0, "end": 45.0, "text": " Y todo esto sobre 2 por x que toma el valor menos 5, esto al cuadrado, menos 50."}, {"start": 45.0, "end": 48.96, "text": " En seguida vamos a resolver esas operaciones."}, {"start": 48.96, "end": 55.44, "text": " Ac\u00e1 en la parte superior tenemos menos 5 al cuadrado que es 25 positivo, eso por 3 nos"}, {"start": 55.44, "end": 57.32, "text": " da 75."}, {"start": 57.32, "end": 63.0, "text": " M\u00e1s 15 por menos 5, eso nos da menos 75."}, {"start": 63.0, "end": 69.88, "text": " Y en la parte de abajo tenemos menos 5 al cuadrado que es 25 positivo por 2, nos da"}, {"start": 69.88, "end": 74.36, "text": " 50 y eso nos queda menos 50."}, {"start": 74.36, "end": 83.12, "text": " Efectuamos esas dos restas, en la parte superior tenemos 75 menos 75 que es 0 y 50 menos 50"}, {"start": 83.12, "end": 85.12, "text": " nos da 0."}, {"start": 85.12, "end": 90.6, "text": " Tenemos all\u00ed entonces lo que se conoce como una indeterminaci\u00f3n."}, {"start": 90.6, "end": 98.88, "text": " Cero sobre cero es algo que no est\u00e1 determinado y constituye una voz de alerta que nos dice"}, {"start": 98.88, "end": 102.44, "text": " que tenemos que hacerle algo a esta funci\u00f3n."}, {"start": 102.44, "end": 107.2, "text": " Entonces vamos a ver cu\u00e1l ser\u00e1 la estrategia apropiada."}, {"start": 107.2, "end": 113.88, "text": " En este caso vamos a factorizar completamente tanto el numerador como el denominador de"}, {"start": 113.88, "end": 115.56, "text": " esa expresi\u00f3n."}, {"start": 115.56, "end": 126.75999999999999, "text": " Vamos entonces con el numerador, vamos a escribirlo por ac\u00e1, 3x al cuadrado m\u00e1s 15x."}, {"start": 126.75999999999999, "end": 130.56, "text": " Y revisamos entonces los casos de factorizaci\u00f3n."}, {"start": 130.56, "end": 136.48, "text": " Recordemos que el primero que debemos examinar es el que se llama factor com\u00fan."}, {"start": 136.48, "end": 143.36, "text": " Aqu\u00ed tenemos dos t\u00e9rminos donde observamos la letra x presente en cada uno de ellos."}, {"start": 143.36, "end": 149.84, "text": " Tambi\u00e9n tenemos dos n\u00fameros, los coeficientes, cuyo m\u00e1ximo com\u00fan divisor es el n\u00famero"}, {"start": 149.84, "end": 151.12, "text": " 3."}, {"start": 151.12, "end": 155.12, "text": " Entonces podemos extraer como factor com\u00fan 3x."}, {"start": 155.12, "end": 160.76, "text": " Recordemos que de la letra repetida se extrae la de menor exponente."}, {"start": 160.76, "end": 167.96, "text": " 3x ser\u00e1 factor com\u00fan de x, que es lo que nos queda en el primer t\u00e9rmino, m\u00e1s 5, que"}, {"start": 167.96, "end": 173.08, "text": " es lo que nos queda en el segundo t\u00e9rmino despu\u00e9s de que sale 3x."}, {"start": 173.08, "end": 180.28, "text": " All\u00ed x m\u00e1s 5 no es posible factorizarlo m\u00e1s, entonces decimos que el numerador ser\u00e1 factorizado"}, {"start": 180.28, "end": 182.04000000000002, "text": " completamente."}, {"start": 182.04, "end": 188.64, "text": " Veamos ahora el denominador, donde primero examinamos el caso llamado factor com\u00fan."}, {"start": 188.64, "end": 195.6, "text": " Revisamos estos dos t\u00e9rminos, vemos que para 2 y 50 el m\u00e1ximo com\u00fan divisor es el n\u00famero"}, {"start": 195.6, "end": 196.6, "text": " 2."}, {"start": 196.6, "end": 200.35999999999999, "text": " Entonces podemos extraerlo como factor com\u00fan."}, {"start": 200.35999999999999, "end": 205.72, "text": " 2 ser\u00e1 factor de x al cuadrado menos 25."}, {"start": 205.72, "end": 208.84, "text": " Y ac\u00e1 revisamos esta expresi\u00f3n."}, {"start": 208.84, "end": 213.0, "text": " Vemos que all\u00ed hay una diferencia de cuadrados perfectos."}, {"start": 213.0, "end": 220.04, "text": " La ra\u00edz cuadrada de este t\u00e9rmino es x y la ra\u00edz cuadrada de 25 nos da 5."}, {"start": 220.04, "end": 228.24, "text": " Entonces podemos factorizar esta expresi\u00f3n utilizando el caso llamado diferencia de cuadrados."}, {"start": 228.24, "end": 235.38, "text": " Escribimos x m\u00e1s 5 por x menos 5."}, {"start": 235.38, "end": 240.0, "text": " Vemos si estos factores pueden factorizarse todav\u00eda m\u00e1s."}, {"start": 240.0, "end": 247.16, "text": " Vemos que no es posible, entonces all\u00ed queda completamente factorizado el denominador."}, {"start": 247.16, "end": 251.51999999999998, "text": " Lo que hacemos enseguida es reconstruir el l\u00edmite."}, {"start": 251.51999999999998, "end": 256.8, "text": " Nos queda l\u00edmite cuando x tiende a menos 5."}, {"start": 256.8, "end": 267.08, "text": " Empezamos la l\u00ednea de la fracci\u00f3n y en la parte superior obtuvimos 3x por x m\u00e1s 5."}, {"start": 267.08, "end": 271.44, "text": " En la parte inferior nos dio esta expresi\u00f3n."}, {"start": 271.44, "end": 280.44, "text": " 2 que multiplica con x m\u00e1s 5 y con x menos 5."}, {"start": 280.44, "end": 287.56, "text": " Aqu\u00ed vemos que es posible cancelar o simplificar el factor que est\u00e1 repetido tanto en el numerador"}, {"start": 287.56, "end": 289.24, "text": " como en el denominador."}, {"start": 289.24, "end": 292.12, "text": " Es decir, el factor x m\u00e1s 5."}, {"start": 292.12, "end": 295.92, "text": " Ese ser\u00e1 el factor problema en este ejercicio."}, {"start": 295.92, "end": 300.2, "text": " El causante del 0 sobre 0 que nos daba al comienzo."}, {"start": 300.2, "end": 306.84, "text": " Veamos cuando x tiende a menos 5, aqu\u00ed tenemos menos 5 m\u00e1s 5 que es 0 y lo mismo sucede"}, {"start": 306.84, "end": 307.84, "text": " aqu\u00ed."}, {"start": 307.84, "end": 315.52, "text": " Entonces estos dos factores como dec\u00edamos ya se pueden cancelar y nos va a quedar un"}, {"start": 315.52, "end": 317.88, "text": " l\u00edmite mucho m\u00e1s sencillo."}, {"start": 317.88, "end": 335.71999999999997, "text": " L\u00edmite cuando x tiende a menos 5 de la expresi\u00f3n 3x en el numerador y 2 por x menos 5 en el"}, {"start": 335.71999999999997, "end": 336.71999999999997, "text": " denominador."}, {"start": 336.72, "end": 343.52000000000004, "text": " Lo que hacemos ahora es evaluar esta expresi\u00f3n cuando x toma el valor menos 5."}, {"start": 343.52000000000004, "end": 349.6, "text": " Esto ya lo hacemos con total tranquilidad porque como dec\u00edamos ya logramos deshacernos"}, {"start": 349.6, "end": 351.76000000000005, "text": " del factor problema."}, {"start": 351.76000000000005, "end": 353.68, "text": " Entonces tenemos lo siguiente."}, {"start": 353.68, "end": 363.92, "text": " 3 por x que es menos 5, esto en el numerador y en el denominador tenemos 2 por x que toma"}, {"start": 363.92, "end": 367.84000000000003, "text": " el valor menos 5 y eso menos 5."}, {"start": 367.84000000000003, "end": 372.40000000000003, "text": " Ahora resolvemos cada una de esas operaciones."}, {"start": 372.40000000000003, "end": 381.28000000000003, "text": " Arriba tenemos 3 por menos 5 que es menos 15 y abajo nos queda menos 5 y menos 5 que"}, {"start": 381.28000000000003, "end": 387.04, "text": " es menos 10 multiplicado por 2 es menos 20."}, {"start": 387.04, "end": 389.76, "text": " Aqu\u00ed aplicamos la ley de los signos."}, {"start": 389.76, "end": 391.6, "text": " Menos con menos nos da m\u00e1s."}, {"start": 391.6, "end": 398.96000000000004, "text": " Vamos a obtener una fracci\u00f3n positiva y podemos simplificar los n\u00fameros 15 y 20."}, {"start": 398.96000000000004, "end": 400.64000000000004, "text": " Sacamos quinta para ambos."}, {"start": 400.64000000000004, "end": 402.84000000000003, "text": " Quinta de 15 nos da 3."}, {"start": 402.84000000000003, "end": 405.72, "text": " Quinta de 20 es 4."}, {"start": 405.72, "end": 409.04, "text": " Entonces obtenemos la fracci\u00f3n 3 cuartos."}, {"start": 409.04, "end": 422.56, "text": " Es una fracci\u00f3n irreducible y esa ser\u00e1 entonces la respuesta para este ejercicio."}]

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RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS - Ejercicios 1 y 2

#julioprofe explica cómo resolver dos ejercicios de radicación con números enteros. Videos de #NúmerosEnteros → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwFmPtR9zFQN2cpK9QL7X8w9 REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver detalladamente estos dos ejercicios que corresponden a radicación con números enteros. Comenzamos con el primer ejercicio, que se lee la raíz cuarta de 16, 4 es el índice de la raíz y 16 es el radicando o la cantidad subradical. Comenzamos entonces descomponiendo este número, o sea el radicando en factores primos. Escrevimos al 16, trazamos esta línea vertical y vamos a descomponer ese número en factores primos. Comenzamos examinando el primer número primo que es el 2. Nos preguntamos si 2 es divisor de 16. Vemos que sí porque 16 es número par. Mitad de 16 nos da 8, 8 es número par, por lo tanto es divisible por 2. Decimos mitad de 8 nos da 4, 4 es número par, es divisible por 2. Mitad de 4 nos da 2, 2 también es divisible por 2 y esto nos da como resultado 1. Allí terminamos el proceso. Como podemos observar el número 2 se repite cuatro veces. 2 por 2 por 2 por 2 es 16 y eso se puede resumir como 2 a la 4, es decir como una potencia. Esto equivale a 16, por lo tanto la raíz cuarta de 16 nos da como resultado 2 porque 2 elevado a la 4 es 16, tal como lo confirma esto que hemos encontrado. Si estuviéramos trabajando en el conjunto de los números naturales, esta sería la respuesta. La raíz cuarta de 16 es únicamente 2, pero como estamos trabajando en el conjunto de los números enteros, también podemos afirmar que menos 2 a la 4 es 16. Y esto sucede porque siempre que tenemos una base negativa elevada a un exponente par, obtenemos un resultado positivo. Entonces 2 a la 4 es 16 y menos 2 elevado a la 4 también es 16. Por lo tanto la respuesta completa para este ejercicio será más o menos 2. Prepetimos trabajando en el conjunto de los números enteros porque 2 a la 4 es 16 y menos 2 elevado a la 4 también es 16. Veamos ahora el segundo ejercicio que se lee la raíz cuinta de menos 243. 5 es el índice de la raíz y menos 243 es ahora el radicando o la cantidad subradical. Una propiedad que podemos utilizar en este caso es la siguiente. Si tenemos la raíz de índice impar de un número negativo o de una cantidad negativa, el resultado será negativo. Entonces esto nos autoriza a extraer el signo menos de esa raíz. Lo dejamos por fuera, nos queda menos la raíz quinta de 243. Y lo que hacemos enseguida es ocuparnos de encontrar esa raíz. Para ello vamos a descomponer en factores primos el radicando, o sea el número 243. Lo escribimos y trazamos esta línea vertical a la derecha del mismo. Comenzamos entonces examinando los números primos. Revisamos el primer número primo que es el 2, pero 2 no es divisor de 243 porque este número es impar. Vemos que su última cifra, la de las unidades, es impar. Entonces descartamos que sea divisible por 2. Ahora revisamos el siguiente número primo que es el 3. Para ver si este número es divisible por 3, sumamos sus dígitos. 2 más 4 nos da 6, 6 más 3 es 9, 9 es múltiplo de 3, por lo tanto 243 sí es divisible por 3. El 3 en 243 cabe 81 veces. Si efectuamos esta división, 243 dividido entre 3 nos da como resultado 81. Acá 8 más 1 nos da 9, otra vez tenemos un número que es divisible por 3. La suma de sus dígitos es 9 y 9 es múltiplo de 3. Decimos tercera de 81, o también 81 dividido entre 3 nos da 27. 27 también es divisible por 3, tercera de 27 nos da 9, 9 es divisible por 3, tercera de 9 es 3 y 3 lógicamente es divisible por 3. Tercera de 3 nos da 1 y así terminamos el procedimiento. Como podemos observar, el número 3 se repite 5 veces. Eso quiere decir que 3 a la 5, es decir el 3 multiplicado por sí mismo, 5 veces como se observa allí nos da 243. Y de acuerdo con esto, podemos ya encontrar el resultado de esa raíz. No podemos olvidar el signo negativo y la raíz quinta de 243 será 3. Repetimos porque 3 a la 5 es 243. Con esto terminamos este ejercicio. La raíz quinta de menos 243 da como resultado menos 3.

[{"start": 0.0, "end": 10.3, "text": " Vamos a resolver detalladamente estos dos ejercicios que corresponden a radicaci\u00f3n"}, {"start": 10.3, "end": 12.8, "text": " con n\u00fameros enteros."}, {"start": 12.8, "end": 19.240000000000002, "text": " Comenzamos con el primer ejercicio, que se lee la ra\u00edz cuarta de 16, 4 es el \u00edndice"}, {"start": 19.240000000000002, "end": 25.16, "text": " de la ra\u00edz y 16 es el radicando o la cantidad subradical."}, {"start": 25.16, "end": 32.2, "text": " Comenzamos entonces descomponiendo este n\u00famero, o sea el radicando en factores primos."}, {"start": 32.2, "end": 40.96, "text": " Escrevimos al 16, trazamos esta l\u00ednea vertical y vamos a descomponer ese n\u00famero en factores"}, {"start": 40.96, "end": 41.96, "text": " primos."}, {"start": 41.96, "end": 45.8, "text": " Comenzamos examinando el primer n\u00famero primo que es el 2."}, {"start": 45.8, "end": 49.72, "text": " Nos preguntamos si 2 es divisor de 16."}, {"start": 49.72, "end": 53.36, "text": " Vemos que s\u00ed porque 16 es n\u00famero par."}, {"start": 53.36, "end": 60.4, "text": " Mitad de 16 nos da 8, 8 es n\u00famero par, por lo tanto es divisible por 2."}, {"start": 60.4, "end": 67.0, "text": " Decimos mitad de 8 nos da 4, 4 es n\u00famero par, es divisible por 2."}, {"start": 67.0, "end": 73.96000000000001, "text": " Mitad de 4 nos da 2, 2 tambi\u00e9n es divisible por 2 y esto nos da como resultado 1."}, {"start": 73.96000000000001, "end": 76.52, "text": " All\u00ed terminamos el proceso."}, {"start": 76.52, "end": 80.52, "text": " Como podemos observar el n\u00famero 2 se repite cuatro veces."}, {"start": 80.52, "end": 89.16, "text": " 2 por 2 por 2 por 2 es 16 y eso se puede resumir como 2 a la 4, es decir como una potencia."}, {"start": 89.16, "end": 97.96, "text": " Esto equivale a 16, por lo tanto la ra\u00edz cuarta de 16 nos da como resultado 2 porque"}, {"start": 97.96, "end": 105.19999999999999, "text": " 2 elevado a la 4 es 16, tal como lo confirma esto que hemos encontrado."}, {"start": 105.2, "end": 111.64, "text": " Si estuvi\u00e9ramos trabajando en el conjunto de los n\u00fameros naturales, esta ser\u00eda la respuesta."}, {"start": 111.64, "end": 118.96000000000001, "text": " La ra\u00edz cuarta de 16 es \u00fanicamente 2, pero como estamos trabajando en el conjunto de"}, {"start": 118.96000000000001, "end": 126.80000000000001, "text": " los n\u00fameros enteros, tambi\u00e9n podemos afirmar que menos 2 a la 4 es 16."}, {"start": 126.80000000000001, "end": 133.04, "text": " Y esto sucede porque siempre que tenemos una base negativa elevada a un exponente par,"}, {"start": 133.04, "end": 136.07999999999998, "text": " obtenemos un resultado positivo."}, {"start": 136.07999999999998, "end": 142.84, "text": " Entonces 2 a la 4 es 16 y menos 2 elevado a la 4 tambi\u00e9n es 16."}, {"start": 142.84, "end": 148.95999999999998, "text": " Por lo tanto la respuesta completa para este ejercicio ser\u00e1 m\u00e1s o menos 2."}, {"start": 148.95999999999998, "end": 156.76, "text": " Prepetimos trabajando en el conjunto de los n\u00fameros enteros porque 2 a la 4 es 16 y menos"}, {"start": 156.76, "end": 161.92, "text": " 2 elevado a la 4 tambi\u00e9n es 16."}, {"start": 161.92, "end": 168.04, "text": " Veamos ahora el segundo ejercicio que se lee la ra\u00edz cuinta de menos 243."}, {"start": 168.04, "end": 178.0, "text": " 5 es el \u00edndice de la ra\u00edz y menos 243 es ahora el radicando o la cantidad subradical."}, {"start": 178.0, "end": 182.26, "text": " Una propiedad que podemos utilizar en este caso es la siguiente."}, {"start": 182.26, "end": 189.35999999999999, "text": " Si tenemos la ra\u00edz de \u00edndice impar de un n\u00famero negativo o de una cantidad negativa,"}, {"start": 189.36, "end": 193.92000000000002, "text": " el resultado ser\u00e1 negativo."}, {"start": 193.92000000000002, "end": 200.4, "text": " Entonces esto nos autoriza a extraer el signo menos de esa ra\u00edz."}, {"start": 200.4, "end": 207.36, "text": " Lo dejamos por fuera, nos queda menos la ra\u00edz quinta de 243."}, {"start": 207.36, "end": 214.12, "text": " Y lo que hacemos enseguida es ocuparnos de encontrar esa ra\u00edz."}, {"start": 214.12, "end": 221.36, "text": " Para ello vamos a descomponer en factores primos el radicando, o sea el n\u00famero 243."}, {"start": 221.36, "end": 226.64000000000001, "text": " Lo escribimos y trazamos esta l\u00ednea vertical a la derecha del mismo."}, {"start": 226.64000000000001, "end": 229.84, "text": " Comenzamos entonces examinando los n\u00fameros primos."}, {"start": 229.84, "end": 236.96, "text": " Revisamos el primer n\u00famero primo que es el 2, pero 2 no es divisor de 243 porque este"}, {"start": 236.96, "end": 238.96, "text": " n\u00famero es impar."}, {"start": 238.96, "end": 243.84, "text": " Vemos que su \u00faltima cifra, la de las unidades, es impar."}, {"start": 243.84, "end": 246.8, "text": " Entonces descartamos que sea divisible por 2."}, {"start": 246.8, "end": 250.0, "text": " Ahora revisamos el siguiente n\u00famero primo que es el 3."}, {"start": 250.0, "end": 254.52, "text": " Para ver si este n\u00famero es divisible por 3, sumamos sus d\u00edgitos."}, {"start": 254.52, "end": 264.72, "text": " 2 m\u00e1s 4 nos da 6, 6 m\u00e1s 3 es 9, 9 es m\u00faltiplo de 3, por lo tanto 243 s\u00ed es divisible por"}, {"start": 264.72, "end": 266.08, "text": " 3."}, {"start": 266.08, "end": 270.42, "text": " El 3 en 243 cabe 81 veces."}, {"start": 270.42, "end": 277.08000000000004, "text": " Si efectuamos esta divisi\u00f3n, 243 dividido entre 3 nos da como resultado 81."}, {"start": 277.08000000000004, "end": 283.56, "text": " Ac\u00e1 8 m\u00e1s 1 nos da 9, otra vez tenemos un n\u00famero que es divisible por 3."}, {"start": 283.56, "end": 287.96000000000004, "text": " La suma de sus d\u00edgitos es 9 y 9 es m\u00faltiplo de 3."}, {"start": 287.96000000000004, "end": 294.68, "text": " Decimos tercera de 81, o tambi\u00e9n 81 dividido entre 3 nos da 27."}, {"start": 294.68, "end": 302.6, "text": " 27 tambi\u00e9n es divisible por 3, tercera de 27 nos da 9, 9 es divisible por 3, tercera"}, {"start": 302.6, "end": 307.92, "text": " de 9 es 3 y 3 l\u00f3gicamente es divisible por 3."}, {"start": 307.92, "end": 313.64, "text": " Tercera de 3 nos da 1 y as\u00ed terminamos el procedimiento."}, {"start": 313.64, "end": 318.16, "text": " Como podemos observar, el n\u00famero 3 se repite 5 veces."}, {"start": 318.16, "end": 324.32, "text": " Eso quiere decir que 3 a la 5, es decir el 3 multiplicado por s\u00ed mismo, 5 veces como"}, {"start": 324.32, "end": 328.8, "text": " se observa all\u00ed nos da 243."}, {"start": 328.8, "end": 335.28, "text": " Y de acuerdo con esto, podemos ya encontrar el resultado de esa ra\u00edz."}, {"start": 335.28, "end": 341.96, "text": " No podemos olvidar el signo negativo y la ra\u00edz quinta de 243 ser\u00e1 3."}, {"start": 341.96, "end": 346.48, "text": " Repetimos porque 3 a la 5 es 243."}, {"start": 346.48, "end": 349.28, "text": " Con esto terminamos este ejercicio."}, {"start": 349.28, "end": 354.47999999999996, "text": " La ra\u00edz quinta de menos 243 da como resultado menos 3."}]

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LÍMITES ALGEBRAICOS - Ejercicio 2

#julioprofe explica cómo resolver un límite algebraico. Tema: #Límites → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEeindtt3TarvkVHRDmqNTf REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver detalladamente este límite algebraico. Veremos que le sucede a esta función cuando x se aproxima al valor menos 2. Comenzamos por evaluar esta expresión en x igual a menos 2. Entonces, donde tenemos x, vamos a reemplazar ese número. Empezamos la línea principal de la fracción. Tenemos 3 sobre 4 menos menos 2, más 1 sobre x, es decir, 1 sobre menos 2. Y acá en el denominador tenemos x más 2, es decir, menos 2 más 2. A continuación vamos a resolver estas operaciones. Vamos a seguir por acá. Trazamos entonces la línea principal de la fracción. Tenemos arriba de ella 3 sobre 4 menos menos 2, que se vuelve 4 más 2, que es 6. Y acá este signo negativo que está en el denominador vuelve negativa toda esta fracción. Y menos con más nos da menos. Anotamos entonces aquí un medio. Y acá en la parte de abajo tenemos menos 2 más 2, que es 0. La fracción tres sextos puede simplificarse. Decimos tercera de 3, 1, tercera de 6, 2. Nos queda entonces la fracción un medio y eso menos un medio nos da 0. Cero en el denominador, cero en el denominador, lo cual constituye una indeterminación. Es decir, una voz de alerta que nos dice que debemos hacerle algo a esta expresión para superar este problema. Lo que vamos a hacer es trabajar lo que hay en esta fracción algebraica. Veamos entonces. Esto nos queda el límite cuando x tiende a menos 2. Trazamos la línea principal de la fracción. Y acá en la parte superior tenemos una suma de fracciones heterogéneas. Fracciones con distinto denominador. Podemos entonces aplicar el truco o la técnica de la calidad feliz. Veamos. Tres por x, que nos da 3x, más el signo que separa las dos fracciones. Cuatro menos x por uno, que nos da cuatro menos x. Y acá en la parte de abajo tenemos cuatro menos x por x. Cuatro menos x se protege con paréntesis y esto queda multiplicado por x. Se llama la carita feliz porque hemos hecho esto. Para formar esa operación. Entonces el truco o la técnica de la carita feliz para sumar o restar dos fracciones con distinto denominador. Ahora, acá en el denominador continúa x más 2. Y a esa expresión podemos colocarle de una vez denominador uno. Para que tengamos fracción sobre fracción. Vamos a seguir por acá. Tenemos entonces límite. Cuando x tiende a menos 2. Trazamos la línea principal de la fracción. Acá trazamos la otra línea. Para la fracción que tenemos en la parte superior. Y acá podemos operar términos semejantes. 3x menos x nos da 2x. Y eso nos queda más 4. Acá continúa esa expresión. Cuatro menos x. Eso multiplicado por x. Y acá volvemos a escribir. X más 2 sobre 1. Tenemos ahora una división de dos fracciones. Podemos aplicar entonces lo que se conoce como ley de la oreja. Veamos, límite. Cuando x tiende a menos 2. Y en la parte superior nos queda el producto de los elementos extremos. 2x más 4 por 1. Que nos da 2x más 4. Y acá en la parte de abajo nos queda la multiplicación de los elementos internos. O sea, los medios. Es decir, 4 menos x por x. Y eso multiplicado por x más 2. Que debemos encerrar en paréntesis. Si observamos el numerador, vemos que aquí es posible factorizar. Podemos extraer factor común el número 2. Vamos a seguir por acá. Nos queda límite. Cuando x tiende a menos 2. Trazamos la línea principal de la fracción. Y como decíamos aquí, sale factor común el número 2. Que será factor de x más 2. Esto continúa igual en la parte de abajo. 4 menos x por x. Por x más 2. Y allí se observa un factor que está repetido arriba y abajo. Es el factor x más 2. Que en este caso es el factor problema. Es decir, el causante del 0 sobre 0 que nos estaba dando al principio. Como x tiende a menos 2. Aquí menos 2 más 2 nos da 0. Y lo mismo sucede acá. Pero allí ya es completamente lícito simplificar estos dos factores repetidos. La expresión nos queda entonces como límite. Cuando x tiende a menos 2. De lo siguiente. En el numerador quedó únicamente el 2. Y en el denominador tenemos 4 menos x por x. Como podemos observar, llegamos a un límite mucho más sencillo donde ya hemos eliminado el factor problema. Entonces vamos a evaluarlo cuando x toma el valor menos 2. Nos queda entonces así. En la parte superior el número 2. Y acá tenemos lo siguiente. 4 menos x que se cambia por menos 2. Cerramos el paréntesis. Por otra vez x. Que se sustituye por menos 2. Resolvemos ahora estas operaciones. Tendremos en la parte superior el número 2. Y acá 4 menos menos 2. O sea, 4 más 2 que es 6. Multiplicado por menos 2. Ahí podemos simplificar por ejemplo el 2 con el 6. Decimos mitad de 2 es 1. Mitad de 6 nos da 3. Y nos queda lo siguiente. 1 en la parte superior. 3 por menos 2 que es menos 6 en la parte inferior. Pero recordemos que en una fracción el signo negativo no debe quedar en la parte de abajo. Lo podemos colocar aquí en la mitad o en la parte superior. Vamos a dejarlo en la mitad para que quede bien presentada la fracción. Y menos 1 sexto será entonces el resultado para ese límite algebraico.

[{"start": 0.0, "end": 8.34, "text": " Vamos a resolver detalladamente este l\u00edmite algebraico."}, {"start": 8.34, "end": 15.280000000000001, "text": " Veremos que le sucede a esta funci\u00f3n cuando x se aproxima al valor menos 2."}, {"start": 15.280000000000001, "end": 21.04, "text": " Comenzamos por evaluar esta expresi\u00f3n en x igual a menos 2."}, {"start": 21.04, "end": 26.12, "text": " Entonces, donde tenemos x, vamos a reemplazar ese n\u00famero."}, {"start": 26.12, "end": 30.04, "text": " Empezamos la l\u00ednea principal de la fracci\u00f3n."}, {"start": 30.04, "end": 40.68, "text": " Tenemos 3 sobre 4 menos menos 2, m\u00e1s 1 sobre x, es decir, 1 sobre menos 2."}, {"start": 40.68, "end": 48.8, "text": " Y ac\u00e1 en el denominador tenemos x m\u00e1s 2, es decir, menos 2 m\u00e1s 2."}, {"start": 48.8, "end": 52.760000000000005, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a resolver estas operaciones."}, {"start": 52.76, "end": 56.28, "text": " Vamos a seguir por ac\u00e1."}, {"start": 56.28, "end": 61.199999999999996, "text": " Trazamos entonces la l\u00ednea principal de la fracci\u00f3n."}, {"start": 61.199999999999996, "end": 69.52, "text": " Tenemos arriba de ella 3 sobre 4 menos menos 2, que se vuelve 4 m\u00e1s 2, que es 6."}, {"start": 69.52, "end": 75.47999999999999, "text": " Y ac\u00e1 este signo negativo que est\u00e1 en el denominador vuelve negativa toda esta fracci\u00f3n."}, {"start": 75.47999999999999, "end": 78.6, "text": " Y menos con m\u00e1s nos da menos."}, {"start": 78.6, "end": 81.52, "text": " Anotamos entonces aqu\u00ed un medio."}, {"start": 81.52, "end": 86.64, "text": " Y ac\u00e1 en la parte de abajo tenemos menos 2 m\u00e1s 2, que es 0."}, {"start": 86.64, "end": 89.88, "text": " La fracci\u00f3n tres sextos puede simplificarse."}, {"start": 89.88, "end": 94.0, "text": " Decimos tercera de 3, 1, tercera de 6, 2."}, {"start": 94.0, "end": 99.6, "text": " Nos queda entonces la fracci\u00f3n un medio y eso menos un medio nos da 0."}, {"start": 99.6, "end": 107.24, "text": " Cero en el denominador, cero en el denominador, lo cual constituye una indeterminaci\u00f3n."}, {"start": 107.24, "end": 115.72, "text": " Es decir, una voz de alerta que nos dice que debemos hacerle algo a esta expresi\u00f3n para"}, {"start": 115.72, "end": 118.52, "text": " superar este problema."}, {"start": 118.52, "end": 123.39999999999999, "text": " Lo que vamos a hacer es trabajar lo que hay en esta fracci\u00f3n algebraica."}, {"start": 123.39999999999999, "end": 124.84, "text": " Veamos entonces."}, {"start": 124.84, "end": 130.64, "text": " Esto nos queda el l\u00edmite cuando x tiende a menos 2."}, {"start": 130.64, "end": 134.07999999999998, "text": " Trazamos la l\u00ednea principal de la fracci\u00f3n."}, {"start": 134.08, "end": 139.08, "text": " Y ac\u00e1 en la parte superior tenemos una suma de fracciones heterog\u00e9neas."}, {"start": 139.08, "end": 141.76000000000002, "text": " Fracciones con distinto denominador."}, {"start": 141.76000000000002, "end": 147.28, "text": " Podemos entonces aplicar el truco o la t\u00e9cnica de la calidad feliz."}, {"start": 147.28, "end": 148.28, "text": " Veamos."}, {"start": 148.28, "end": 155.0, "text": " Tres por x, que nos da 3x, m\u00e1s el signo que separa las dos fracciones."}, {"start": 155.0, "end": 159.36, "text": " Cuatro menos x por uno, que nos da cuatro menos x."}, {"start": 159.36, "end": 163.44, "text": " Y ac\u00e1 en la parte de abajo tenemos cuatro menos x por x."}, {"start": 163.44, "end": 169.0, "text": " Cuatro menos x se protege con par\u00e9ntesis y esto queda multiplicado por x."}, {"start": 169.0, "end": 173.68, "text": " Se llama la carita feliz porque hemos hecho esto."}, {"start": 173.68, "end": 175.84, "text": " Para formar esa operaci\u00f3n."}, {"start": 175.84, "end": 182.07999999999998, "text": " Entonces el truco o la t\u00e9cnica de la carita feliz para sumar o restar dos fracciones con"}, {"start": 182.07999999999998, "end": 183.56, "text": " distinto denominador."}, {"start": 183.56, "end": 189.28, "text": " Ahora, ac\u00e1 en el denominador contin\u00faa x m\u00e1s 2."}, {"start": 189.28, "end": 194.48, "text": " Y a esa expresi\u00f3n podemos colocarle de una vez denominador uno."}, {"start": 194.48, "end": 197.56, "text": " Para que tengamos fracci\u00f3n sobre fracci\u00f3n."}, {"start": 197.56, "end": 201.08, "text": " Vamos a seguir por ac\u00e1."}, {"start": 201.08, "end": 203.2, "text": " Tenemos entonces l\u00edmite."}, {"start": 203.2, "end": 207.24, "text": " Cuando x tiende a menos 2."}, {"start": 207.24, "end": 210.72, "text": " Trazamos la l\u00ednea principal de la fracci\u00f3n."}, {"start": 210.72, "end": 213.24, "text": " Ac\u00e1 trazamos la otra l\u00ednea."}, {"start": 213.24, "end": 216.04, "text": " Para la fracci\u00f3n que tenemos en la parte superior."}, {"start": 216.04, "end": 218.72, "text": " Y ac\u00e1 podemos operar t\u00e9rminos semejantes."}, {"start": 218.72, "end": 222.56, "text": " 3x menos x nos da 2x."}, {"start": 222.56, "end": 225.36, "text": " Y eso nos queda m\u00e1s 4."}, {"start": 225.36, "end": 228.4, "text": " Ac\u00e1 contin\u00faa esa expresi\u00f3n."}, {"start": 228.4, "end": 229.78, "text": " Cuatro menos x."}, {"start": 229.78, "end": 231.7, "text": " Eso multiplicado por x."}, {"start": 231.7, "end": 234.28, "text": " Y ac\u00e1 volvemos a escribir."}, {"start": 234.28, "end": 238.92, "text": " X m\u00e1s 2 sobre 1."}, {"start": 238.92, "end": 242.07999999999998, "text": " Tenemos ahora una divisi\u00f3n de dos fracciones."}, {"start": 242.07999999999998, "end": 246.88, "text": " Podemos aplicar entonces lo que se conoce como ley de la oreja."}, {"start": 246.88, "end": 249.64, "text": " Veamos, l\u00edmite."}, {"start": 249.64, "end": 253.64, "text": " Cuando x tiende a menos 2."}, {"start": 253.64, "end": 258.4, "text": " Y en la parte superior nos queda el producto de los elementos"}, {"start": 258.4, "end": 259.24, "text": " extremos."}, {"start": 259.24, "end": 261.15999999999997, "text": " 2x m\u00e1s 4 por 1."}, {"start": 261.15999999999997, "end": 264.44, "text": " Que nos da 2x m\u00e1s 4."}, {"start": 264.44, "end": 268.04, "text": " Y ac\u00e1 en la parte de abajo nos queda la multiplicaci\u00f3n de los"}, {"start": 268.04, "end": 269.52, "text": " elementos internos."}, {"start": 269.52, "end": 270.92, "text": " O sea, los medios."}, {"start": 270.92, "end": 274.96, "text": " Es decir, 4 menos x por x."}, {"start": 274.96, "end": 277.88, "text": " Y eso multiplicado por x m\u00e1s 2."}, {"start": 277.88, "end": 282.76, "text": " Que debemos encerrar en par\u00e9ntesis."}, {"start": 282.76, "end": 286.52, "text": " Si observamos el numerador, vemos que aqu\u00ed es posible"}, {"start": 286.52, "end": 287.88, "text": " factorizar."}, {"start": 287.88, "end": 291.76, "text": " Podemos extraer factor com\u00fan el n\u00famero 2."}, {"start": 291.76, "end": 293.4, "text": " Vamos a seguir por ac\u00e1."}, {"start": 293.4, "end": 294.91999999999996, "text": " Nos queda l\u00edmite."}, {"start": 294.91999999999996, "end": 297.76, "text": " Cuando x tiende a menos 2."}, {"start": 297.76, "end": 301.28, "text": " Trazamos la l\u00ednea principal de la fracci\u00f3n."}, {"start": 301.28, "end": 305.23999999999995, "text": " Y como dec\u00edamos aqu\u00ed, sale factor com\u00fan el n\u00famero 2."}, {"start": 305.23999999999995, "end": 308.76, "text": " Que ser\u00e1 factor de x m\u00e1s 2."}, {"start": 308.76, "end": 312.08, "text": " Esto contin\u00faa igual en la parte de abajo."}, {"start": 312.08, "end": 314.79999999999995, "text": " 4 menos x por x."}, {"start": 314.79999999999995, "end": 317.32, "text": " Por x m\u00e1s 2."}, {"start": 317.32, "end": 321.88, "text": " Y all\u00ed se observa un factor que est\u00e1 repetido arriba y abajo."}, {"start": 321.88, "end": 323.91999999999996, "text": " Es el factor x m\u00e1s 2."}, {"start": 323.91999999999996, "end": 327.23999999999995, "text": " Que en este caso es el factor problema."}, {"start": 327.24, "end": 331.72, "text": " Es decir, el causante del 0 sobre 0 que nos estaba dando al"}, {"start": 331.72, "end": 332.68, "text": " principio."}, {"start": 332.68, "end": 334.64, "text": " Como x tiende a menos 2."}, {"start": 334.64, "end": 336.88, "text": " Aqu\u00ed menos 2 m\u00e1s 2 nos da 0."}, {"start": 336.88, "end": 338.76, "text": " Y lo mismo sucede ac\u00e1."}, {"start": 338.76, "end": 343.28000000000003, "text": " Pero all\u00ed ya es completamente l\u00edcito simplificar estos dos"}, {"start": 343.28000000000003, "end": 345.92, "text": " factores repetidos."}, {"start": 345.92, "end": 350.2, "text": " La expresi\u00f3n nos queda entonces como l\u00edmite."}, {"start": 350.2, "end": 353.72, "text": " Cuando x tiende a menos 2."}, {"start": 353.72, "end": 355.32, "text": " De lo siguiente."}, {"start": 355.32, "end": 358.12, "text": " En el numerador qued\u00f3 \u00fanicamente el 2."}, {"start": 358.12, "end": 364.12, "text": " Y en el denominador tenemos 4 menos x por x."}, {"start": 364.12, "end": 368.52, "text": " Como podemos observar, llegamos a un l\u00edmite mucho m\u00e1s sencillo"}, {"start": 368.52, "end": 371.84, "text": " donde ya hemos eliminado el factor problema."}, {"start": 371.84, "end": 377.6, "text": " Entonces vamos a evaluarlo cuando x toma el valor menos 2."}, {"start": 377.6, "end": 379.76, "text": " Nos queda entonces as\u00ed."}, {"start": 379.76, "end": 382.32, "text": " En la parte superior el n\u00famero 2."}, {"start": 382.32, "end": 384.76, "text": " Y ac\u00e1 tenemos lo siguiente."}, {"start": 384.76, "end": 388.52, "text": " 4 menos x que se cambia por menos 2."}, {"start": 388.52, "end": 390.2, "text": " Cerramos el par\u00e9ntesis."}, {"start": 390.2, "end": 392.08, "text": " Por otra vez x."}, {"start": 392.08, "end": 396.48, "text": " Que se sustituye por menos 2."}, {"start": 396.48, "end": 398.96, "text": " Resolvemos ahora estas operaciones."}, {"start": 398.96, "end": 402.2, "text": " Tendremos en la parte superior el n\u00famero 2."}, {"start": 402.2, "end": 404.32, "text": " Y ac\u00e1 4 menos menos 2."}, {"start": 404.32, "end": 407.2, "text": " O sea, 4 m\u00e1s 2 que es 6."}, {"start": 407.2, "end": 410.08, "text": " Multiplicado por menos 2."}, {"start": 410.08, "end": 413.88, "text": " Ah\u00ed podemos simplificar por ejemplo el 2 con el 6."}, {"start": 413.88, "end": 416.32, "text": " Decimos mitad de 2 es 1."}, {"start": 416.32, "end": 418.76, "text": " Mitad de 6 nos da 3."}, {"start": 418.76, "end": 420.96, "text": " Y nos queda lo siguiente."}, {"start": 420.96, "end": 422.84, "text": " 1 en la parte superior."}, {"start": 422.84, "end": 426.76, "text": " 3 por menos 2 que es menos 6 en la parte inferior."}, {"start": 426.76, "end": 431.15999999999997, "text": " Pero recordemos que en una fracci\u00f3n el signo negativo no"}, {"start": 431.15999999999997, "end": 433.28, "text": " debe quedar en la parte de abajo."}, {"start": 433.28, "end": 437.08, "text": " Lo podemos colocar aqu\u00ed en la mitad o en la parte superior."}, {"start": 437.08, "end": 440.84, "text": " Vamos a dejarlo en la mitad para que quede bien presentada la"}, {"start": 440.84, "end": 441.71999999999997, "text": " fracci\u00f3n."}, {"start": 441.72, "end": 446.68, "text": " Y menos 1 sexto ser\u00e1 entonces el resultado para ese l\u00edmite"}, {"start": 446.68, "end": 472.44, "text": " algebraico."}]

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PROGRESIONES GEOMÉTRICAS - Ejercicio 3

#julioprofe explica cómo resolver un problema de Progresiones Geométricas: En una Progresión Geométrica el cuarto término es 8 y el noveno término es 1/4. Hallar la suma de todos los términos de la progresión. Tema: #ProgresionesAritmeticasYGeometricas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwFiqf8u82WBHdujX0v31LYQ REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

En una progresión geométrica el cuarto término es 8 y el noveno término es 1 cuarto. Hayar la suma de todos los términos de la progresión. Bien, en este caso tenemos un ejercicio relacionado con progresiones o sucesiones geométricas. Nos dice el enunciado que el cuarto término es 8, entonces lo denotamos como A sub 4, su valor es 8 y que el noveno término es 1 cuarto. Entonces A sub 9 tiene un valor de 1 cuarto. Nos piden hallar la suma de todos los términos de la progresión. Esta será una progresión infinita, entonces debemos hallar la suma de los infinitos términos de esa progresión geométrica. Comenzamos citando la fórmula para hallar la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica. Ella dice A sub 1, o sea el primer término dividido entre 1 menos R. Recordemos que R es la razón común en una progresión o sucesión geométrica, pero esto tiene una condición, si valor absoluto de R es menor que 1. Entonces, vemos que en este caso se desconoce el primer término y la razón R. Tenemos información del cuarto término y del noveno. Entonces comenzaremos por hallar estos dos datos que necesitamos para calcular la suma de los infinitos términos de esa progresión geométrica. Para ello debemos utilizar la fórmula para el término general o término enésimo de este tipo de progresiones, que dice A sub 1, o sea el primer término por la razón común elevada al exponente n menos 1. Vamos entonces con la primera información. El cuarto término vale 8. Entonces n toma el valor 4, nos queda A sub 4 es igual a A sub 1 por R a la 4 menos 1. Y el cuarto término vale 8. Entonces 8 es igual a A sub 1 por R a la 3, efectuando esa resta. Entonces aquí tenemos una primera expresión que vamos a etiquetar como la número 1. Ahora utilizando esta misma fórmula vamos a cambiar n por 9. Para utilizar esta información tenemos A sub 9 es igual a A sub 1 por R a la 9 menos 1. A sub 9, el noveno término, es un cuarto y esto nos queda igual a A sub 1 por R a la 8, resolviendo esa resta que hay en el exponente. Así tenemos otra expresión que etiquetamos como la número 2. Tenemos allí un sistema de dos por dos, dos ecuaciones con dos incógnitas. Podemos utilizar por ejemplo el método de sustitución. Para ello hay que despejar una de las incógnitas de alguna de las ecuaciones. Por ejemplo de la primera ecuación podemos despejar A sub 1, el primer término de la progresión, nos queda A sub 1 igual a 8 sobre R al cubo. Esto que está multiplicando pasa al otro lado a dividir. Y esta nueva expresión la etiquetamos como la número 3. Ahora esto que encontramos podemos sustituirlo en la ecuación número 2. Entonces nos va a quedar así, un cuarto igual a A sub 1 que se cambia por 8 sobre R al cubo y eso multiplicado por R a la 8. Allí hemos hecho la sustitución. Ahora vamos a resolver esta ecuación donde vamos a hallar el valor de R. Tendremos un cuarto igual a 8 por R a la 8 sobre R a la 3 nos da R a la 5. Tenemos allí un cociente de potencias de la misma base. Recordemos que se conserva la base y se restan los exponentes. Ahora aquí vamos a pasar 8 que está multiplicando al otro lado a dividir. Nos queda un cuarto sobre o dividido entre 8 y todo esto igual a R a la 5. A este número 8 podemos colocarle denominador 1 y tenemos allí una división entre fracciones. Podemos aplicar entonces lo que se conoce como ley de la oreja. Arriba multiplicamos los extremos 1 por 1 que nos da 1 y abajo multiplicamos los elementos internos o los medios. Cuatro por 8 nos da 32 y esto nos queda igualado con R a la 5. Ahora para despejar R debemos quitar este exponente 5 y para ello debemos tomar raíz quinta a ambos lados de la igualdad. Entonces decimos raíz quinta de 1 32º igual a la raíz quinta de R a la 5. En el lado izquierdo esta raíz quinta afecta al numerador y también al denominador. Entonces tendremos la raíz quinta de 1 sobre la raíz quinta de 32. Y en el lado derecho tendremos la letra R porque este exponente se cancela con el índice de la raíz por ser iguales. Resolviendo cada una de estas raíces ya podemos encontrar el valor de R. La raíz quinta de 1 es 1 y la raíz quinta de 32 nos da 2. Recordemos que 32 si lo descomponemos en factores primos nos da 2 a la 5 por eso la raíz quinta de 2 a la 5 nos da 2. De esta manera hemos encontrado el valor de la razón común para esa progresión geométrica pero nos queda faltando el primer término. Ese lo hallamos entonces aquí en la ecuación 3, reemplazando un medio acá donde tenemos R. Entonces veamos cómo nos queda a sub 1 será igual a 8 sobre R que es un medio y todo esto elevado al cubo. En la parte de arriba de esta fracción podemos reescribir 8 como 8 sobre 1 y en la parte de abajo este exponente 3 afecta al numerador y también al denominador. 1 al cubo es 1 y 2 al cubo nos da 8. De nuevo tenemos una división entre fracciones podemos aplicar la ley de la oreja entonces multiplicamos los elementos extremos 8 por 8 es 64 esto va arriba y 1 por 1 es 1 que nos queda abajo y 64 sobre 1 es 64. De esta manera ya tenemos el valor del primer término de esa progresión geométrica. Ahora sí tenemos los elementos que se necesitan en esta fórmula para encontrar la suma de todos los términos de esa progresión geométrica. Sin embargo debemos verificar esa condición la razón es un medio entonces revisamos si valor absoluto de un medio es menor que 1 valor absoluto de un medio será un medio y efectivamente es una cantidad menor que 1 entonces aquí se cumple con esta condición y por lo tanto estamos autorizados para reemplazar estos datos en esa fórmula. Tenemos entonces S sub infinito la suma de todos los términos de esa progresión geométrica igual a S sub uno el primer término que es 64 sobre 1 menos R o sea 1 menos un medio que es la razón común. Resolvemos esta operación del denominador 1 menos un medio nos da como resultado un medio y 64 lo escribimos como 64 sobre 1. Una vez tenemos una división entre fracciones aplicamos la ley de la oreja entonces eso nos queda así en la parte de arriba 64 por 2 que es 128 y en la parte de abajo 1 por 1 que es 1 y esto será igual a 128. De esta manera ya tenemos la suma de todos los términos o sea de los infinitos términos que conforman esa progresión geométrica su valor es 128 y así terminamos este ejercicio.

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{"start": 289.12, "end": 298.44, "text": " Nos queda un cuarto sobre o dividido entre 8 y todo esto igual a R a la 5."}, {"start": 298.44, "end": 306.84000000000003, "text": " A este n\u00famero 8 podemos colocarle denominador 1 y tenemos all\u00ed una divisi\u00f3n entre fracciones."}, {"start": 306.84000000000003, "end": 311.56, "text": " Podemos aplicar entonces lo que se conoce como ley de la oreja."}, {"start": 311.56, "end": 318.56, "text": " Arriba multiplicamos los extremos 1 por 1 que nos da 1 y abajo multiplicamos los elementos"}, {"start": 318.56, "end": 321.28000000000003, "text": " internos o los medios."}, {"start": 321.28000000000003, "end": 329.2, "text": " Cuatro por 8 nos da 32 y esto nos queda igualado con R a la 5."}, {"start": 329.2, "end": 335.4, "text": " Ahora para despejar R debemos quitar este exponente 5 y para ello debemos tomar ra\u00edz"}, {"start": 335.4, "end": 338.92, "text": " quinta a ambos lados de la igualdad."}, {"start": 338.92, "end": 351.52000000000004, "text": " Entonces decimos ra\u00edz quinta de 1 32\u00ba igual a la ra\u00edz quinta de R a la 5."}, {"start": 351.52000000000004, "end": 357.96000000000004, "text": " En el lado izquierdo esta ra\u00edz quinta afecta al numerador y tambi\u00e9n al denominador."}, {"start": 357.96000000000004, "end": 365.88, "text": " Entonces tendremos la ra\u00edz quinta de 1 sobre la ra\u00edz quinta de 32."}, {"start": 365.88, "end": 374.04, "text": " Y en el lado derecho tendremos la letra R porque este exponente se cancela con el \u00edndice"}, {"start": 374.04, "end": 377.12, "text": " de la ra\u00edz por ser iguales."}, {"start": 377.12, "end": 382.64, "text": " Resolviendo cada una de estas ra\u00edces ya podemos encontrar el valor de R."}, {"start": 382.64, "end": 389.15999999999997, "text": " La ra\u00edz quinta de 1 es 1 y la ra\u00edz quinta de 32 nos da 2."}, {"start": 389.16, "end": 397.0, "text": " Recordemos que 32 si lo descomponemos en factores primos nos da 2 a 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443.04, "text": " de abajo este exponente 3 afecta al numerador y tambi\u00e9n al denominador."}, {"start": 443.04, "end": 448.24, "text": " 1 al cubo es 1 y 2 al cubo nos da 8."}, {"start": 448.24, "end": 455.52000000000004, "text": " De nuevo tenemos una divisi\u00f3n entre fracciones podemos aplicar la ley de la oreja entonces"}, {"start": 455.52000000000004, "end": 463.52000000000004, "text": " multiplicamos los elementos extremos 8 por 8 es 64 esto va arriba y 1 por 1 es 1 que"}, {"start": 463.52000000000004, "end": 467.84000000000003, "text": " nos queda abajo y 64 sobre 1 es 64."}, {"start": 467.84, "end": 475.56, "text": " De esta manera ya tenemos el valor del primer t\u00e9rmino de esa progresi\u00f3n geom\u00e9trica."}, {"start": 475.56, "end": 482.15999999999997, "text": " Ahora s\u00ed tenemos los elementos que se necesitan en esta f\u00f3rmula para encontrar la suma de"}, {"start": 482.15999999999997, "end": 485.88, "text": " todos los t\u00e9rminos de esa progresi\u00f3n geom\u00e9trica."}, {"start": 485.88, "end": 492.88, "text": " Sin embargo debemos verificar esa condici\u00f3n la raz\u00f3n es un medio entonces revisamos si"}, {"start": 492.88, "end": 499.64, "text": " valor absoluto de un medio es menor que 1 valor absoluto de un medio ser\u00e1 un medio"}, {"start": 499.64, "end": 506.64, "text": " y efectivamente es una cantidad menor que 1 entonces aqu\u00ed se cumple con esta condici\u00f3n"}, {"start": 506.64, "end": 514.12, "text": " y por lo tanto estamos autorizados para reemplazar estos datos en esa f\u00f3rmula."}, {"start": 514.12, "end": 522.38, "text": " Tenemos entonces S sub infinito la suma de todos los t\u00e9rminos de esa progresi\u00f3n geom\u00e9trica"}, {"start": 522.38, "end": 531.68, "text": " igual a S sub uno el primer t\u00e9rmino que es 64 sobre 1 menos R o sea 1 menos un medio"}, {"start": 531.68, "end": 534.32, "text": " que es la raz\u00f3n com\u00fan."}, {"start": 534.32, "end": 541.56, "text": " Resolvemos esta operaci\u00f3n del denominador 1 menos un medio nos da como resultado un"}, {"start": 541.56, "end": 548.28, "text": " medio y 64 lo escribimos como 64 sobre 1."}, {"start": 548.28, "end": 557.4, "text": " Una vez tenemos una divisi\u00f3n entre fracciones aplicamos la ley de la oreja entonces eso"}, {"start": 557.4, "end": 567.56, "text": " nos queda as\u00ed en la parte de arriba 64 por 2 que es 128 y en la parte de abajo 1 por"}, {"start": 567.56, "end": 572.92, "text": " 1 que es 1 y esto ser\u00e1 igual a 128."}, {"start": 572.92, "end": 580.56, "text": " De esta manera ya tenemos la suma de todos los t\u00e9rminos o sea de los infinitos t\u00e9rminos"}, {"start": 580.56, "end": 604.0, "text": " que conforman esa progresi\u00f3n geom\u00e9trica su valor es 128 y as\u00ed terminamos este ejercicio."}]

julioprofe

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PROGRESIONES GEOMÉTRICAS - Ejercicio 2

#julioprofe explica cómo resolver un problema de Progresiones Geométricas: En una Sucesión Geométrica el primer término es -4 y el sexto término es 972. Hallar el valor de la razón común. Tema: #ProgresionesAritmeticasYGeometricas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwFiqf8u82WBHdujX0v31LYQ REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

En una sucesión geométrica, el primer término es menos 4 y el sexto término es 972. Hallar el valor de la razón común. Bien tenemos en este caso un ejercicio sobre progresiones o sucesiones geométricas. Nos dice el enunciado que el primer término es menos 4. Lo denotamos entonces como a sub 1, su valor es menos 4 y nos dice que el sexto término es 972, o sea a sub 6 vale 972. Y nos piden hallar el valor de la razón común de esa progresión geométrica, o sea la que se denota con la letra R. Bien para resolver este ejercicio vamos a utilizar la fórmula para el término general o término enésimo de una progresión o sucesión geométrica. La expresión dice así, a sub 1, o sea el primer término por la razón común R elevada al exponente n menos 1. Como tenemos información acerca del sexto término, entonces vamos a cambiar n por 6. Esto nos queda a sub 1 por R elevado al exponente 6 menos 1. Y allí vamos a reemplazar el resto de datos que nos da el ejercicio. Tenemos a sub 6, el sexto término que es 972, igual a a sub 1, o sea el primer término que es menos 4, por la razón R que la desconocemos y efectuamos esta operación que nos da 5. A continuación, menos 4 que está multiplicando pasa al otro lado a dividir. Nos queda 972 dividido entre menos 4, igual a R a la 5. Resolvemos esa división y obtenemos menos 243, igual a R a la 5. Y de ahí tenemos que despejar R. Como esta letra está elevada al exponente 5, entonces debemos tomar a ambos lados de esa igualdad la raíz de índice 5, o sea raíz quinta de menos 243, igual a la raíz quinta de R elevada al exponente 5. Acá en el lado derecho de la igualdad tenemos que el índice 5 se cancela con el exponente 5. Estos dos números se eliminan y tendremos libre la letra R. Por acá podemos extraer el signo menos porque se tiene la raíz de índice impar de una cantidad negativa. Entonces eso nos va a quedar R igual a menos la raíz quinta de 243. Entonces ahora nos vamos a ocupar de encontrar el valor de esa raíz. Para ello podemos descomponer 243 en factores primos. Nos preguntamos si es divisible por 2, vemos que no, porque termina en número impar. Ahora nos preguntamos si es divisible por 3, para ello sumamos los dígitos de este número, 2 más 4 es 6, 6 más 3 es 9, 9 es múltiplo de 3, por lo tanto 243 confirmado es divisible por 3. Tercera de 243 nos da 81, 8 más 1 es 9, 81 es divisible por 3. Tercera de 81 es 27, 27 tiene tercera nos da 9, 9 tiene tercera nos da 3 y al 3 le sacamos tercera y nos da 1. Vemos que el 3 se repite 5 veces, por lo tanto 3 a la 5 equivale a 243. Si traemos ese resultado acá, tendremos R igual a menos la raíz quinta de 3 a la 5, sustituyendo entonces 243 por su respectiva potencia. Allí volvemos a tener la situación en que el índice de la raíz es igual al exponente que tenemos en el radicando, por lo tanto estos dos números se cancelan o se eliminan y de esa manera obtenemos R igual a menos 3. Y con esto terminamos este ejercicio. Hemos encontrado la razón común que nos preguntaban para esa progresión o sucesión geométrica.

[{"start": 0.0, "end": 12.120000000000001, "text": " En una sucesi\u00f3n geom\u00e9trica, el primer t\u00e9rmino es menos 4 y el sexto t\u00e9rmino es 972."}, {"start": 12.120000000000001, "end": 15.16, "text": " Hallar el valor de la raz\u00f3n com\u00fan."}, {"start": 15.16, "end": 21.28, "text": " Bien tenemos en este caso un ejercicio sobre progresiones o sucesiones geom\u00e9tricas."}, {"start": 21.28, "end": 26.16, "text": " Nos dice el enunciado que el primer t\u00e9rmino es menos 4."}, {"start": 26.16, "end": 33.4, "text": " Lo denotamos entonces como a sub 1, su valor es menos 4 y nos dice que el sexto t\u00e9rmino"}, {"start": 33.4, "end": 40.28, "text": " es 972, o sea a sub 6 vale 972."}, {"start": 40.28, "end": 46.480000000000004, "text": " Y nos piden hallar el valor de la raz\u00f3n com\u00fan de esa progresi\u00f3n geom\u00e9trica, o sea la que"}, {"start": 46.480000000000004, "end": 49.32, "text": " se denota con la letra R."}, {"start": 49.32, "end": 54.94, "text": " 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PROGRESIONES GEOMÉTRICAS - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo resolver un problema de Progresiones Geométricas: En una Progresión Geométrica el primer término es 3 y la razón común es 2. Hallar el quinto término y la suma de los ocho primeros términos de la progresión. Tema: #ProgresionesAritmeticasYGeometricas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwFiqf8u82WBHdujX0v31LYQ REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

En una progresión geométrica, el primer término es 3 y la razón común es 2. Allar el quinto término y la suma de los ocho primeros términos de la progresión. Bien tenemos en este caso un ejercicio sobre progresión o sucesión geométrica, donde el primer término es 3, ese se denota como A1, su valor es 3, y nos dice también el enunciado que la razón común es 2, ella se denota como R y vale 2. Nos piden hallar el quinto término, es decir A5, y la suma de los ocho primeros términos de esa progresión geométrica, es decir S8. Ese será entonces el planteamiento para este ejercicio. Comenzamos utilizando la fórmula para el término general o término enésimo de una progresión geométrica, esto es A1, o sea el primer término por la razón común elevada al exponente n-1. En ese caso debemos hallar A5, o sea el quinto término, entonces n toma ese valor 5 y tenemos A1 que lo conocemos, es 3 por R que es la razón común 2 elevada al exponente n-1, o sea 5-1. Allí resolvemos esta resta, 5-1 es 4, luego resolvemos la potencia, 2 a la 4 que es 16, y tenemos que A5 es 3 por 16, o sea 48. Allí encontramos entonces el quinto término, vamos a anotar ese dato por acá, y allí ya hemos encontrado la primera respuesta para este ejercicio, el quinto término de esa progresión geométrica. Ahora vamos a utilizar la fórmula para la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica, la expresión dice A1, o sea el primer término, por 1 menos R a la n, y todo esto dividido entre 1-R, entonces allí vamos a reemplazar los datos que tenemos. Nos piden la suma de los 8 primeros términos, entonces n toma el valor 8, A1 es el primer término que vale 3, esto por 1 menos la razón común que es 2 elevada al exponente n, pero n vale 8, y todo esto dividido entre 1 menos R, pero R vale 2. Desolvemos ahora estas operaciones, tendremos S8 igual a 3 por, abrimos el paréntesis, 1 menos 2 a la 8 que nos da 256, y todo esto dividido entre 1 menos 2 que es menos 1. Ahora esto nos queda, 3 por el resultado de esa resta que es menos 255, y todo esto dividido entre menos 1. Efectuamos ahora la multiplicación que tenemos en la parte de arriba, 3 por menos 255 da menos 765, y esto dividido entre menos 1 nos da como resultado S8 igual a 765 positivo, y de esta manera encontramos el otro dato que nos pide el ejercicio, la suma de los 8 primeros términos de esa progresión geométrica.

[{"start": 0.0, "end": 10.0, "text": " En una progresi\u00f3n geom\u00e9trica, el primer t\u00e9rmino es 3 y la raz\u00f3n com\u00fan es 2."}, {"start": 10.0, "end": 17.04, "text": " Allar el quinto t\u00e9rmino y la suma de los ocho primeros t\u00e9rminos de la progresi\u00f3n."}, {"start": 17.04, "end": 24.28, "text": " Bien tenemos en este caso un ejercicio sobre progresi\u00f3n o sucesi\u00f3n geom\u00e9trica, donde"}, {"start": 24.28, "end": 32.120000000000005, "text": " el primer t\u00e9rmino es 3, ese se denota como A1, su valor es 3, y nos dice tambi\u00e9n el"}, {"start": 32.120000000000005, "end": 39.32, "text": " enunciado que la raz\u00f3n com\u00fan es 2, ella se denota como R y vale 2."}, {"start": 39.32, "end": 48.68000000000001, "text": " Nos piden hallar el quinto t\u00e9rmino, es decir A5, y la suma de los ocho primeros t\u00e9rminos"}, {"start": 48.68, "end": 54.64, "text": " de esa progresi\u00f3n geom\u00e9trica, es decir S8."}, {"start": 54.64, "end": 59.12, "text": " Ese ser\u00e1 entonces el planteamiento para este ejercicio."}, {"start": 59.12, "end": 65.52, "text": " Comenzamos utilizando la f\u00f3rmula para el t\u00e9rmino general o t\u00e9rmino en\u00e9simo de una"}, {"start": 65.52, "end": 73.52, "text": " progresi\u00f3n geom\u00e9trica, esto es A1, o sea el primer t\u00e9rmino por la raz\u00f3n com\u00fan elevada"}, {"start": 73.52, "end": 76.52, "text": " al exponente n-1."}, {"start": 76.52, "end": 85.6, "text": " En ese caso debemos hallar A5, o sea el quinto t\u00e9rmino, entonces n toma ese valor 5 y tenemos"}, {"start": 85.6, "end": 94.92, "text": " A1 que lo conocemos, es 3 por R que es la raz\u00f3n com\u00fan 2 elevada al exponente n-1,"}, {"start": 94.92, "end": 98.0, "text": " o sea 5-1."}, {"start": 98.0, "end": 110.96000000000001, "text": " All\u00ed resolvemos esta resta, 5-1 es 4, luego resolvemos la potencia, 2 a la 4 que es 16,"}, {"start": 110.96000000000001, "end": 117.72, "text": " y tenemos que A5 es 3 por 16, o sea 48."}, {"start": 117.72, "end": 124.68, "text": " All\u00ed encontramos entonces el quinto t\u00e9rmino, vamos a anotar ese dato por ac\u00e1, y all\u00ed"}, {"start": 124.68, "end": 133.36, "text": " ya hemos encontrado la primera respuesta para este ejercicio, el quinto t\u00e9rmino de esa progresi\u00f3n"}, {"start": 133.36, "end": 135.48000000000002, "text": " geom\u00e9trica."}, {"start": 135.48000000000002, "end": 142.12, "text": " Ahora vamos a utilizar la f\u00f3rmula para la suma de los n primeros t\u00e9rminos de una progresi\u00f3n"}, {"start": 142.12, "end": 151.56, "text": " geom\u00e9trica, la expresi\u00f3n dice A1, o sea el primer t\u00e9rmino, por 1 menos R a la n, y todo"}, {"start": 151.56, "end": 160.76, "text": " esto dividido entre 1-R, entonces all\u00ed vamos a reemplazar los datos que tenemos."}, {"start": 160.76, "end": 168.88, "text": " Nos piden la suma de los 8 primeros t\u00e9rminos, entonces n toma el valor 8, A1 es el primer"}, {"start": 168.88, "end": 177.24, "text": " t\u00e9rmino que vale 3, esto por 1 menos la raz\u00f3n com\u00fan que es 2 elevada al exponente n, pero"}, {"start": 177.24, "end": 186.96, "text": " n vale 8, y todo esto dividido entre 1 menos R, pero R vale 2."}, {"start": 186.96, "end": 197.04000000000002, "text": " Desolvemos ahora estas operaciones, tendremos S8 igual a 3 por, abrimos el par\u00e9ntesis,"}, {"start": 197.04, "end": 209.12, "text": " 1 menos 2 a la 8 que nos da 256, y todo esto dividido entre 1 menos 2 que es menos 1."}, {"start": 209.12, "end": 220.44, "text": " Ahora esto nos queda, 3 por el resultado de esa resta que es menos 255, y todo esto dividido"}, {"start": 220.44, "end": 222.39999999999998, "text": " entre menos 1."}, {"start": 222.4, "end": 229.16, "text": " Efectuamos ahora la multiplicaci\u00f3n que tenemos en la parte de arriba, 3 por menos 255 da"}, {"start": 229.16, "end": 242.32, "text": " menos 765, y esto dividido entre menos 1 nos da como resultado S8 igual a 765 positivo,"}, {"start": 242.32, "end": 248.16, "text": " y de esta manera encontramos el otro dato que nos pide el ejercicio, la suma de los"}, {"start": 248.16, "end": 252.72, "text": " 8 primeros t\u00e9rminos de esa progresi\u00f3n geom\u00e9trica."}]

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PROGRESIONES ARITMÉTICAS - Ejercicio 5

#julioprofe explica cómo resolver un problema de Progresiones Aritméticas: La suma de los primeros 21 términos de una Progresión Aritmética es 420. El décimo noveno término es cuatro veces el tercer término. Encontrar el primer término y la diferencia común. Tema: #ProgresionesAritmeticasYGeometricas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwFiqf8u82WBHdujX0v31LYQ REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

La suma de los primeros 21 términos de una progresión aritmética es 420. El décimo noveno término es cuatro veces el tercer término. Encontrar el primer término y la diferencia común. Bien en este problema tenemos la siguiente información. Nos dice que la suma de los primeros 21 términos de una progresión o sucesión aritmética es 420. Entonces eso lo representamos así. La suma de los primeros 21 términos, ese con sub índice 21, es 420. Luego nos dice el problema que el décimo noveno término es cuatro veces el tercer término. El décimo noveno término se representa como A sub 19 y esto es igual a cuatro veces, o sea cuatro por el tercer término que representamos como A sub 3. Nos piden encontrar el primer término que se denota como A sub 1 y la diferencia común en esa progresión aritmética que se distingue con la letra D. Bien para resolver este problema vamos a recordar las fórmulas de las progresiones aritméticas. Dicimos que para el término enésimo la expresión es A sub 1, o sea el primer término más N menos 1 por D, donde D es la diferencia común. Y para encontrar la suma de los N primeros términos de una progresión o sucesión aritmética la expresión dice así, N por A sub 1 más A sub N y todo esto dividido entre 2. Bien, en este caso vamos a obtener una nueva expresión para S sub N reemplazando A sub N que es toda esta expresión aquí. Entonces veamos cómo nos queda, S sub N será igual a N por, abrimos paréntesis, A sub 1 más A sub N que se reemplaza por A sub 1 más N menos 1 por D. Cerramos el paréntesis y todo esto nos queda dividido entre 2. Aquí podemos sumar estos dos términos, A sub 1 que son semejantes y vamos a obtener entonces la siguiente expresión para S sub N. N por, abrimos un corchete, A sub 1 más A sub 1 nos da 2 A sub 1 más esto que tenemos acá N menos 1 por D, cerramos el corchete y todo esto nos queda sobre 2. Entonces vamos a utilizar la primera información que nos da el enunciado, nos dice que S sub 21 es igual a 420, la suma de los primeros 21 términos de esa progresión aritmética es 420, entonces vamos a utilizar esta expresión cambiando N por el número 21. Nos queda S sub 21 es igual a N que es 21 por, abrimos el corchete, 2 por A sub 1, recordemos que A sub 1, o sea el primer término se desconoce, más abrimos paréntesis, N se cambia por 21, nos queda 21 menos 1, todo esto por D, cerramos el corchete y dividimos todo esto entre 2. Ahora sabemos que S sub 21 es igual a 420, entonces vamos a reemplazar ese valor y esto nos queda 420 igual a 21 por, abrimos el corchete, 2 a sub 1, más, efectuamos esta operación 21 menos 1 nos da 20 por D, cerramos el corchete y todo esto nos queda dividido entre 2. Ahora este número 2 que está dividiendo en el lado derecho lo podemos pasar a multiplicar al lado izquierdo, 2 por 420 nos da 840 y esto queda igual a 21 que multiplica con toda esta expresión 2 a sub 1, más, 20 por D y cerramos el corchete. Ahora 21 que está multiplicando con toda esta expresión lo podemos pasar a dividir al lado izquierdo, nos queda 840 dividido entre 21, igual a todo esto, 2 a sub 1, más, 20 por D. Enseguida resolvemos esta división, 840 dividido entre 21 nos da 40 y esto es igual a 2 a sub 1, más, 20 D. Tenemos entonces allí una igualdad donde aparecen dos letras desconocidas, dos incógnitas que son precisamente los datos que debemos encontrar. Esa ecuación la podemos simplificar dividiéndola por 2, vemos que todos los números son pares, entonces la podemos reducir para trabajarla con números más pequeños, 40 dividido entre 2 nos da 20, acá nos queda 2 dividido entre 2 es 1, o sea que nos queda simplemente a sub 1, más, 20 dividido entre 2 que nos da 10 y que acompaña a la letra D. Esta expresión que hemos obtenido vamos a escribirla por acá como a sub 1, más, 10 D, igual a 20 y constituye la primera ecuación para este ejercicio. Ahora utilizando esta fórmula, la que corresponde al término enésimo de una progresión aritmética, vamos a ver que es a sub 19 y que es a sub 3, vamos con el primero, simplemente en la fórmula del término enésimo N toma el valor 19, esto será igual a a sub 1, más, aquí 19 menos 1 es 18 por D y veamos que es a sub 3, vamos a la misma expresión será a sub 1, más N que ahora toma el valor 3, 3 menos 1 nos da 2 por la letra D. Esto que hemos encontrado vamos a reemplazarlo aquí en la segunda información que nos da el enunciado del problema, tenemos que a sub 19, o sea el 19 término que es a sub 1, más 18 por D es igual a 4 veces el tercer término, o sea a sub 3, abrimos un paréntesis y escribimos a sub 1, más 2 D y vamos a organizar esa ecuación, aquí podemos aplicar la propiedad distributiva para romper ese paréntesis, tenemos que a sub 1, más 18 D es igual a 4 por a sub 1, más 4 por 2 D que nos da 8 D y allí podemos acomodar los términos al lado izquierdo, decimos a sub 1, más 18 D, pasamos entonces estos términos al otro lado, llega a menos 4 a sub 1 y pasa a menos 8 D y todo esto queda igualado a 0, allí podemos operar términos semejantes, es el caso de estos que tienen a sub 1, entonces a sub 1 menos 4 a sub 1 es menos 3 a sub 1 y también es el caso de estos dos términos que tienen la letra D, entonces más 18 D menos 8 D nos da como resultado más 10 D y todo esto nos queda igualado a 0, podemos multiplicar esta igualdad a ambos lados por menos 1, veamos entonces como nos queda, multiplicamos por menos 1 a ambos miembros de la igualdad, acá nos queda entonces 3 a sub 1, acá nos queda menos 10 D y al otro lado 0 por menos 1 sigue siendo 0 y así obtenemos la segunda ecuación para este ejercicio. Llegamos entonces a lo que se conoce como un sistema de ecuaciones lineales de 2 por 2, dos ecuaciones con dos incógnitas, recordemos que aquí tenemos diferentes métodos para solucionar el sistema, está el método de sustitución, también está el método de igualación, tenemos el método de eliminación o si queremos se puede resolver por determinantes, es decir utilizando la regla de Cramer, sin embargo aquí observamos que estos dos términos ya tienen coeficientes opuestos, más 10 y menos 10, entonces nos conviene utilizar el método de eliminación, vamos entonces a sumar verticalmente ambas ecuaciones, sumamos cada uno de los términos y tenemos lo siguiente, a sub 1 más 3 a sub 1 nos da 4 a sub 1, si sumamos estos dos términos ellos se cancelan o se eliminan por ser términos opuestos y al otro lado del signo igual nos queda 20 más 0 que es 20, allí vemos que ya es posible despejar a sub 1, para ello simplemente pasamos 4 que está multiplicando al otro lado a dividir, nos queda 20 dividido entre 4 y resolviendo esa operación obtenemos a sub 1 que vamos a escribir por acá, eso nos da como resultado 5 y allí tenemos el primer término de la progresión alimética, uno de los datos que teníamos que encontrar. Ahora para encontrar la diferencia común de, es decir el otro dato que nos piden, reemplazamos a sub 1 que vale 5 en cualquiera de esas dos ecuaciones, vamos a reemplazar por ejemplo en la primera, tenemos a sub 1 que es 5 más 10d igual a 20, una ecuación de primer grado con una incógnita que es d y que vamos a despejar, primero aislamos el término 10d, pasamos 5 que está sumando al otro lado a restar, esto nos queda 10d igual a 15 y de allí podemos despejar d, para ello 10 que está multiplicando pasa al otro lado a dividir, nos queda 15 sobre 10 y esa fracción puede simplificarse, ambos números son divisibles por 5, decimos quinta de 15 es 3 y quinta de 10 es 2, 3 medios es una fracción que no se puede simplificar más, es una fracción irreducible y allí hemos encontrado la diferencia común, entonces aquí tenemos d, aquí tenemos a sub 1 y así terminamos este ejercicio.

[{"start": 0.0, "end": 10.48, "text": " La suma de los primeros 21 t\u00e9rminos de una progresi\u00f3n aritm\u00e9tica es 420."}, {"start": 10.48, "end": 14.72, "text": " El d\u00e9cimo noveno t\u00e9rmino es cuatro veces el tercer t\u00e9rmino."}, {"start": 14.72, "end": 18.92, "text": " Encontrar el primer t\u00e9rmino y la diferencia com\u00fan."}, {"start": 18.92, "end": 22.16, "text": " Bien en este problema tenemos la siguiente informaci\u00f3n."}, {"start": 22.16, "end": 28.68, "text": " Nos dice que la suma de los primeros 21 t\u00e9rminos de una progresi\u00f3n o sucesi\u00f3n aritm\u00e9tica"}, {"start": 28.68, "end": 30.6, "text": " es 420."}, {"start": 30.6, "end": 33.16, "text": " Entonces eso lo representamos as\u00ed."}, {"start": 33.16, "end": 42.16, "text": " La suma de los primeros 21 t\u00e9rminos, ese con sub \u00edndice 21, es 420."}, {"start": 42.16, "end": 48.879999999999995, "text": " Luego nos dice el problema que el d\u00e9cimo noveno t\u00e9rmino es cuatro veces el tercer t\u00e9rmino."}, {"start": 48.879999999999995, "end": 56.68, "text": " El d\u00e9cimo noveno t\u00e9rmino se representa como A sub 19 y esto es igual a cuatro veces, o"}, {"start": 56.68, "end": 62.92, "text": " sea cuatro por el tercer t\u00e9rmino que representamos como A sub 3."}, {"start": 62.92, "end": 71.52, "text": " Nos piden encontrar el primer t\u00e9rmino que se denota como A sub 1 y la diferencia com\u00fan"}, {"start": 71.52, "end": 78.36, "text": " en esa progresi\u00f3n aritm\u00e9tica que se distingue con la letra D."}, {"start": 78.36, "end": 85.88, "text": " Bien para resolver este problema vamos a recordar las f\u00f3rmulas de las progresiones aritm\u00e9ticas."}, {"start": 85.88, "end": 94.36, "text": " Dicimos que para el t\u00e9rmino en\u00e9simo la expresi\u00f3n es A sub 1, o sea el primer t\u00e9rmino m\u00e1s"}, {"start": 94.36, "end": 100.96, "text": " N menos 1 por D, donde D es la diferencia com\u00fan."}, {"start": 100.96, "end": 109.16, "text": " Y para encontrar la suma de los N primeros t\u00e9rminos de una progresi\u00f3n o sucesi\u00f3n aritm\u00e9tica"}, {"start": 109.16, "end": 119.75999999999999, "text": " la expresi\u00f3n dice as\u00ed, N por A sub 1 m\u00e1s A sub N y todo esto dividido entre 2."}, {"start": 119.75999999999999, "end": 127.08, "text": " Bien, en este caso vamos a obtener una nueva expresi\u00f3n para S sub N reemplazando A sub"}, {"start": 127.08, "end": 130.96, "text": " N que es toda esta expresi\u00f3n aqu\u00ed."}, {"start": 130.96, "end": 141.08, "text": " Entonces veamos c\u00f3mo nos queda, S sub N ser\u00e1 igual a N por, abrimos par\u00e9ntesis, A sub 1"}, {"start": 141.08, "end": 149.76000000000002, "text": " m\u00e1s A sub N que se reemplaza por A sub 1 m\u00e1s N menos 1 por D."}, {"start": 149.76000000000002, "end": 157.32, "text": " Cerramos el par\u00e9ntesis y todo esto nos queda dividido entre 2."}, {"start": 157.32, "end": 164.6, "text": " Aqu\u00ed podemos sumar estos dos t\u00e9rminos, A sub 1 que son semejantes y vamos a obtener"}, {"start": 164.6, "end": 169.0, "text": " entonces la siguiente expresi\u00f3n para S sub N."}, {"start": 169.0, "end": 178.24, "text": " N por, abrimos un corchete, A sub 1 m\u00e1s A sub 1 nos da 2 A sub 1 m\u00e1s esto que tenemos"}, {"start": 178.24, "end": 191.56, "text": " ac\u00e1 N menos 1 por D, cerramos el corchete y todo esto nos queda sobre 2."}, {"start": 191.56, "end": 196.96, "text": " Entonces vamos a utilizar la primera informaci\u00f3n que nos da el enunciado, nos dice que S sub"}, {"start": 196.96, "end": 203.96, "text": " 21 es igual a 420, la suma de los primeros 21 t\u00e9rminos de esa progresi\u00f3n aritm\u00e9tica"}, {"start": 203.96, "end": 211.60000000000002, "text": " es 420, entonces vamos a utilizar esta expresi\u00f3n cambiando N por el n\u00famero 21."}, {"start": 211.60000000000002, "end": 223.0, "text": " Nos queda S sub 21 es igual a N que es 21 por, abrimos el corchete, 2 por A sub 1, recordemos"}, {"start": 223.0, "end": 230.32, "text": " que A sub 1, o sea el primer t\u00e9rmino se desconoce, m\u00e1s abrimos par\u00e9ntesis, N se cambia por"}, {"start": 230.32, "end": 242.44, "text": " 21, nos queda 21 menos 1, todo esto por D, cerramos el corchete y dividimos todo esto"}, {"start": 242.44, "end": 244.88, "text": " entre 2."}, {"start": 244.88, "end": 253.28, "text": " Ahora sabemos que S sub 21 es igual a 420, entonces vamos a reemplazar ese valor y esto"}, {"start": 253.28, "end": 267.32, "text": " nos queda 420 igual a 21 por, abrimos el corchete, 2 a sub 1, m\u00e1s, efectuamos esta operaci\u00f3n"}, {"start": 267.32, "end": 278.68, "text": " 21 menos 1 nos da 20 por D, cerramos el corchete y todo esto nos queda dividido entre 2."}, {"start": 278.68, "end": 284.32, "text": " Ahora este n\u00famero 2 que est\u00e1 dividiendo en el lado derecho lo podemos pasar a multiplicar"}, {"start": 284.32, "end": 294.68, "text": " al lado izquierdo, 2 por 420 nos da 840 y esto queda igual a 21 que multiplica con toda"}, {"start": 294.68, "end": 304.76, "text": " esta expresi\u00f3n 2 a sub 1, m\u00e1s, 20 por D y cerramos el corchete."}, {"start": 304.76, "end": 311.08, "text": " Ahora 21 que est\u00e1 multiplicando con toda esta expresi\u00f3n lo podemos pasar a dividir"}, {"start": 311.08, "end": 323.88, "text": " al lado izquierdo, nos queda 840 dividido entre 21, igual a todo esto, 2 a sub 1, m\u00e1s, 20"}, {"start": 323.88, "end": 325.76, "text": " por D."}, {"start": 325.76, "end": 334.15999999999997, "text": " Enseguida resolvemos esta divisi\u00f3n, 840 dividido entre 21 nos da 40 y esto es igual"}, {"start": 334.16, "end": 339.0, "text": " a 2 a sub 1, m\u00e1s, 20 D."}, {"start": 339.0, "end": 345.20000000000005, "text": " Tenemos entonces all\u00ed una igualdad donde aparecen dos letras desconocidas, dos inc\u00f3gnitas"}, {"start": 345.20000000000005, "end": 348.92, "text": " que son precisamente los datos que debemos encontrar."}, {"start": 348.92, "end": 356.52000000000004, "text": " Esa ecuaci\u00f3n la podemos simplificar dividi\u00e9ndola por 2, vemos que todos los n\u00fameros son pares,"}, {"start": 356.52000000000004, "end": 362.40000000000003, "text": " entonces la podemos reducir para trabajarla con n\u00fameros m\u00e1s peque\u00f1os, 40 dividido entre"}, {"start": 362.4, "end": 368.96, "text": " 2 nos da 20, ac\u00e1 nos queda 2 dividido entre 2 es 1, o sea que nos queda simplemente a"}, {"start": 368.96, "end": 377.44, "text": " sub 1, m\u00e1s, 20 dividido entre 2 que nos da 10 y que acompa\u00f1a a la letra D."}, {"start": 377.44, "end": 384.79999999999995, "text": " Esta expresi\u00f3n que hemos obtenido vamos a escribirla por ac\u00e1 como a sub 1, m\u00e1s, 10"}, {"start": 384.8, "end": 396.6, "text": " D, igual a 20 y constituye la primera ecuaci\u00f3n para este ejercicio."}, {"start": 396.6, "end": 404.04, "text": " Ahora utilizando esta f\u00f3rmula, la que corresponde al t\u00e9rmino en\u00e9simo de una progresi\u00f3n aritm\u00e9tica,"}, {"start": 404.04, "end": 410.0, "text": " vamos a ver que es a sub 19 y que es a sub 3, vamos con el primero, simplemente en la"}, {"start": 410.0, "end": 420.28, "text": " f\u00f3rmula del t\u00e9rmino en\u00e9simo N toma el valor 19, esto ser\u00e1 igual a a sub 1, m\u00e1s, aqu\u00ed"}, {"start": 420.28, "end": 431.16, "text": " 19 menos 1 es 18 por D y veamos que es a sub 3, vamos a la misma expresi\u00f3n ser\u00e1 a sub"}, {"start": 431.16, "end": 441.0, "text": " 1, m\u00e1s N que ahora toma el valor 3, 3 menos 1 nos da 2 por la letra D."}, {"start": 441.0, "end": 446.36, "text": " Esto que hemos encontrado vamos a reemplazarlo aqu\u00ed en la segunda informaci\u00f3n que nos da"}, {"start": 446.36, "end": 455.48, "text": " el enunciado del problema, tenemos que a sub 19, o sea el 19 t\u00e9rmino que es a sub 1, m\u00e1s"}, {"start": 455.48, "end": 465.20000000000005, "text": " 18 por D es igual a 4 veces el tercer t\u00e9rmino, o sea a sub 3, abrimos un par\u00e9ntesis y escribimos"}, {"start": 465.20000000000005, "end": 473.76, "text": " a sub 1, m\u00e1s 2 D y vamos a organizar esa ecuaci\u00f3n, aqu\u00ed podemos aplicar la propiedad"}, {"start": 473.76, "end": 482.52000000000004, "text": " distributiva para romper ese par\u00e9ntesis, tenemos que a sub 1, m\u00e1s 18 D es igual a"}, {"start": 482.52, "end": 492.59999999999997, "text": " 4 por a sub 1, m\u00e1s 4 por 2 D que nos da 8 D y all\u00ed podemos acomodar los t\u00e9rminos al"}, {"start": 492.59999999999997, "end": 501.15999999999997, "text": " lado izquierdo, decimos a sub 1, m\u00e1s 18 D, pasamos entonces estos t\u00e9rminos al otro lado,"}, {"start": 501.15999999999997, "end": 509.71999999999997, "text": " llega a menos 4 a sub 1 y pasa a menos 8 D y todo esto queda igualado a 0, all\u00ed podemos"}, {"start": 509.72, "end": 515.88, "text": " operar t\u00e9rminos semejantes, es el caso de estos que tienen a sub 1, entonces a sub 1"}, {"start": 515.88, "end": 524.64, "text": " menos 4 a sub 1 es menos 3 a sub 1 y tambi\u00e9n es el caso de estos dos t\u00e9rminos que tienen"}, {"start": 524.64, "end": 533.28, "text": " la letra D, entonces m\u00e1s 18 D menos 8 D nos da como resultado m\u00e1s 10 D y todo esto nos"}, {"start": 533.28, "end": 540.88, "text": " queda igualado a 0, podemos multiplicar esta igualdad a ambos lados por menos 1, veamos"}, {"start": 540.88, "end": 547.88, "text": " entonces como nos queda, multiplicamos por menos 1 a ambos miembros de la igualdad, ac\u00e1"}, {"start": 547.88, "end": 559.4399999999999, "text": " nos queda entonces 3 a sub 1, ac\u00e1 nos queda menos 10 D y al otro lado 0 por menos 1 sigue"}, {"start": 559.44, "end": 567.36, "text": " siendo 0 y as\u00ed obtenemos la segunda ecuaci\u00f3n para este ejercicio."}, {"start": 567.36, "end": 572.5200000000001, "text": " Llegamos entonces a lo que se conoce como un sistema de ecuaciones lineales de 2 por"}, {"start": 572.5200000000001, "end": 579.2800000000001, "text": " 2, dos ecuaciones con dos inc\u00f3gnitas, recordemos que aqu\u00ed tenemos diferentes m\u00e9todos para"}, {"start": 579.2800000000001, "end": 584.32, "text": " solucionar el sistema, est\u00e1 el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n, tambi\u00e9n est\u00e1 el m\u00e9todo de"}, {"start": 584.32, "end": 591.8000000000001, "text": " igualaci\u00f3n, tenemos el m\u00e9todo de eliminaci\u00f3n o si queremos se puede resolver por determinantes,"}, {"start": 591.8000000000001, "end": 598.12, "text": " es decir utilizando la regla de Cramer, sin embargo aqu\u00ed observamos que estos dos t\u00e9rminos"}, {"start": 598.12, "end": 604.6400000000001, "text": " ya tienen coeficientes opuestos, m\u00e1s 10 y menos 10, entonces nos conviene utilizar"}, {"start": 604.6400000000001, "end": 613.0, "text": " el m\u00e9todo de eliminaci\u00f3n, vamos entonces a sumar verticalmente ambas ecuaciones, sumamos"}, {"start": 613.0, "end": 621.56, "text": " cada uno de los t\u00e9rminos y tenemos lo siguiente, a sub 1 m\u00e1s 3 a sub 1 nos da 4 a sub 1, si"}, {"start": 621.56, "end": 628.22, "text": " sumamos estos dos t\u00e9rminos ellos se cancelan o se eliminan por ser t\u00e9rminos opuestos"}, {"start": 628.22, "end": 636.72, "text": " y al otro lado del signo igual nos queda 20 m\u00e1s 0 que es 20, all\u00ed vemos que ya es posible"}, {"start": 636.72, "end": 644.8000000000001, "text": " despejar a sub 1, para ello simplemente pasamos 4 que est\u00e1 multiplicando al otro lado a dividir,"}, {"start": 644.8000000000001, "end": 652.0, "text": " nos queda 20 dividido entre 4 y resolviendo esa operaci\u00f3n obtenemos a sub 1 que vamos"}, {"start": 652.0, "end": 658.6, "text": " a escribir por ac\u00e1, eso nos da como resultado 5 y all\u00ed tenemos el primer t\u00e9rmino de la"}, {"start": 658.6, "end": 664.6, "text": " progresi\u00f3n alim\u00e9tica, uno de los datos que ten\u00edamos que encontrar."}, {"start": 664.6, "end": 670.2, "text": " Ahora para encontrar la diferencia com\u00fan de, es decir el otro dato que nos piden, reemplazamos"}, {"start": 670.2, "end": 676.72, "text": " a sub 1 que vale 5 en cualquiera de esas dos ecuaciones, vamos a reemplazar por ejemplo"}, {"start": 676.72, "end": 689.5600000000001, "text": " en la primera, tenemos a sub 1 que es 5 m\u00e1s 10d igual a 20, una ecuaci\u00f3n de primer grado"}, {"start": 689.56, "end": 697.5999999999999, "text": " con una inc\u00f3gnita que es d y que vamos a despejar, primero aislamos el t\u00e9rmino 10d,"}, {"start": 697.5999999999999, "end": 707.4799999999999, "text": " pasamos 5 que est\u00e1 sumando al otro lado a restar, esto nos queda 10d igual a 15 y de"}, {"start": 707.4799999999999, "end": 716.68, "text": " all\u00ed podemos despejar d, para ello 10 que est\u00e1 multiplicando pasa al otro lado a dividir,"}, {"start": 716.68, "end": 723.76, "text": " nos queda 15 sobre 10 y esa fracci\u00f3n puede simplificarse, ambos n\u00fameros son divisibles"}, {"start": 723.76, "end": 731.4799999999999, "text": " por 5, decimos quinta de 15 es 3 y quinta de 10 es 2, 3 medios es una fracci\u00f3n que"}, {"start": 731.4799999999999, "end": 738.5999999999999, "text": " no se puede simplificar m\u00e1s, es una fracci\u00f3n irreducible y all\u00ed hemos encontrado la diferencia"}, {"start": 738.6, "end": 745.96, "text": " com\u00fan, entonces aqu\u00ed tenemos d, aqu\u00ed tenemos a sub 1 y as\u00ed terminamos este ejercicio."}]

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INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN - Ejercicio 23

#julioprofe explica cómo resolver una Integral Indefinida por el Método de Sustitución. Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver esta integral indefinida utilizando el método de sustitución conocido también como cambio de variable. Veremos cómo con esta estrategia logramos transformar esta expresión en varios términos que puedan ser integrados en forma individual de manera fácil. Vamos a cambiar lo que tenemos en el denominador por otra letra, vamos a utilizar n mayúscula, entonces n es igual a x menos 2 y esto tenemos que derivarlo con respecto a x, decimos derivada de n con respecto a esa variable es igual a lo siguiente, aquí tenemos una resta derivada de x es 1 y la derivada de este número es 0, y aquí pasamos de x que está dividiendo al otro lado a multiplicar, nos queda que de n es igual a de x o lo que es lo mismo de x igual a de n, entonces de esta manera hemos despejado el diferencial de x. Con estos dos componentes debemos reconstruir la integral para que nos quede en términos de la nueva letra, es decir para que todo quede controlado por n, veamos x menos 2 se cambia por n, el diferencial de x se cambia por dn, pero seguimos teniendo en el numerador la letra x y eso tenemos que solucionarlo, para ello vamos a despejar x de aquí, entonces para despejar x que está en el lado derecho pasamos 2 que está restando al lado izquierdo a sumar, nos quedaría n más 2, esto es lo mismo que tener x igual a n más 2, y entonces con esto ya podemos ir y reemplazar en la integral original para que nos quede toda en términos de n. Tendremos entonces la integral de x que es n más 2, todo esto elevado al cubo, esto sobre x menos 2 que se cambia por n y el diferencial de x se cambia por el diferencial de n, entonces esta es la integral que vamos a resolver a continuación y como vemos ya está gobernada únicamente por la variable n. Tenemos en el numerador un binomio elevado al cubo que vamos a desarrollar utilizando el siguiente producto notable a más b al cubo es el primer termino al cubo más tres veces el primer termino al cuadrado por el segundo más tres veces el primer termino por el segundo al cuadrado más el segundo termino al cubo. Entonces siguiendo esta fórmula que es un producto notable vamos a desarrollar n más 2 al cubo, vamos a realizar ese procedimiento por acá, n más 2 al cubo será el primer termino que es n al cubo más tres veces el primer termino que es n al cuadrado por el segundo que es 2 más tres veces el primer termino que es n por el segundo termino que es 2 al cuadrado más el segundo termino que es 2 elevado al cubo. Resolvemos ahora estas operaciones el primer termino queda igual n al cubo acá tenemos 3 por 2 que es 6 por n al cuadrado más 3 por 2 al cuadrado 2 al cuadrado es 4 por 3 nos da 12 por n más 2 al cubo que es 8. Entonces esta integral nos va a quedar así continuamos por acá en el numerador tendremos todo este desarrollo que obtuvimos n al cubo más 6 n al cuadrado más 12 n más 8 y todo eso sobre n con el respectivo diferencial de n. Enseguida vamos a repartir este denominador para cada uno de los términos que hay en el numerador seguimos por acá entonces tendremos la integral de n al cubo sobre n más 6 n al cuadrado sobre n después el término 12 n sobre n y luego el término 8 sobre n toda esta expresión la protegemos con paréntesis y escribimos el diferencial de n. Ahora vamos a simplificar y organizar cada uno de esos términos nos queda la integral de n al cubo sobre n que nos da n al cuadrado más 6 n al cuadrado sobre n nos queda 6 n más en este término n se cancela nos queda simplemente 12 y acá podemos subir n nos queda con exponente menos 1 protegemos todo esto con paréntesis y escribimos el diferencial de n. Como podemos observar ya tenemos cuatro términos que se pueden integrar en forma directa veamos entonces la integral de n al cuadrado será n al cubo sobre 3 recordemos que aquí se le suma 1 al exponente y ese mismo número va en el denominador luego tenemos este término donde el 6 se deja quieto y la integral de n a la 1 será n al cuadrado sobre 2 pasamos al otro término 12 cuya integral será 12 por n es decir por la letra que controla el ejercicio y en este término el 8 se deja quieto porque está multiplicando y la integral de n a la menos 1 será logaritmo natural de valor absoluto de n y a todo eso le agregamos por primera vez la constante de integración revisamos ahora esta expresión para ver si de pronto hay algo por simplificar eso ocurre en el segundo término donde 6 y 2 pueden simplificarse sacamos mitad a ambos números mitad de 6 nos da 3 y mitad de 2 es 1 ahora sí podemos dar la respuesta del ejercicio original en esta expresión vamos a cambiar n por x menos 2 veamos en el primer término tendremos x menos 2 todo esto al cubo sobre 3 vamos al siguiente término que nos queda más 3 por n al cuadrado o sea 3 por n que se cambia por x menos 2 y esto queda al cuadrado después tenemos más 12 por n entonces más 12 que multiplica con x menos 2 después tenemos más 8 por logaritmo natural de valor absoluto de n que se cambia por x menos 2 a todo esto le agregamos la constante de integración y así terminamos este ejercicio

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INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN - Ejercicio 22

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Vamos a resolver esta integral indefinida utilizando el método de sustitución conocido también como cambio de variable. Vamos a utilizar esta estrategia porque tenemos en el integrando una expresión que inicialmente no se puede expresar como términos independientes que podamos integrar de manera individual. Vamos entonces a cambiar el denominador x más 5 por otra letra. Vamos a utilizar por ejemplo z. Entonces decimos z es igual a x más 5 y esto tenemos que derivarlo con respecto a x. Decimos derivada de z con respecto a x será igual a lo siguiente. Tenemos una suma entonces se deriva cada término. Derivada de x es 1 y la derivada de 5 es 0. Y de aquí vamos a despejar de x. De x se está dividiendo pasa a multiplicar al otro lado. Nos queda entonces que de z es igual a de x o lo que es lo mismo de x igual a de z. Entonces utilizando estos dos componentes vamos a reconstruir la integral en términos de la nueva letra. Es decir en términos de z. En el numerador tenemos x al cuadrado. Vemos que aquí no hay equivalencia para esa expresión entonces se deja tal como está. Acá tenemos x más 5 que se cambia por z y acá tenemos el diferencial de x que se cambia por dz. Como podemos observar en esta expresión la letra que debe controlar es z porque es la que aparece en el diferencial. Sin embargo aquí todavía tenemos x. O sea que esa variable actúa en este caso como una letra intrusa. Para solucionar ese problema vamos a recurrir a esta expresión de donde vamos a despejar x. X se encuentra en el lado derecho entonces 5 pasa al lado izquierdo a restar. Nos queda z menos 5 en ese lado y esto es lo mismo que decir que x es igual a z menos 5. Y esto vamos a utilizarlo para reemplazarlo acá donde llevamos el ejercicio. Tenemos entonces lo siguiente. Integral de x que se cambia por z menos 5. Todo esto está elevado al cuadrado. Acá en el denominador sigue z y escribimos el diferencial de z. Como se observa ahora sí tenemos toda la integral controlada por la nueva variable que es z. Ahora nos ocupamos del desarrollo de esta integral. Para ello vamos a transformar la expresión que tenemos en el integranto. En la parte superior tenemos un binomio elevado al cuadrado. Recordemos el producto notable para ese caso. Si tenemos a menos b al cuadrado esto será igual al primer término al cuadrado menos dos veces el primer término por el segundo más el segundo término al cuadrado. Entonces vamos a continuar el desarrollo, el ejercicio por acá. Y vamos entonces a aplicar ese producto notable para lo que tenemos en el numerador. Comenzamos entonces con el primer término al cuadrado. Sería z al cuadrado. Luego tenemos menos dos veces el primer término por el segundo. O sea 2 por z por 5 que nos da 10z. Y eso más el segundo término elevado al cuadrado. O sea 5 al cuadrado que es 25. En el denominador escribimos z y a todo eso le agregamos el diferencial de z. Ahora podemos repartir este denominador z para cada uno de los términos que tenemos en el numerador. Entonces esto nos va a quedar de la siguiente forma. Integral de z al cuadrado sobre z menos 10z sobre z más 25 sobre z. Protegemos toda esta expresión con paréntesis y agregamos el diferencial de z. Enseguida vamos a simplificar y organizar cada uno de esos términos. Vamos a continuar el desarrollo del ejercicio por acá. Tendremos entonces la integral de lo siguiente. Z al cuadrado sobre z nos da z. Luego tenemos menos. Este término donde la z puede cancelarse o simplificarse nos queda el número 10 con su signo menos. Y luego tenemos el término más 25 sobre z que podemos reescribir como 25z a la menos 1. Z sube. Aquí tiene exponente 1. Entonces queda acá en la parte superior con exponente menos 1. Protegemos todo esto y escribimos el diferencial de z. Ahora sí tenemos una expresión donde hay términos prestando y sumando que pueden integrarse de manera individual, en forma directa. Comencemos entonces con la integral de z. Esto es z a la 1. Entonces nos queda z a la 2 sobre 2. Luego tenemos menos la integral de 10 que será 10 por z. Recordemos que z es la letra que controla en este ejercicio. Y a esto le sumamos 25 que se queda quieto por la integral de z a la menos 1 que será el logaritmo natural del valor absoluto de z. Recordemos que la integral de z a la menos 1 con su diferencial de z es lo mismo que tener la integral de 1 sobre z también con su diferencial. Y esto nos da como resultado logaritmo natural de valor absoluto de z más la constante de integración porque la derivada de esto, el logaritmo natural de z será 1 sobre z. Recordemos que el valor absoluto es una medida de seguridad para garantizar que el argumento sea positivo en ese logaritmo. Y a todo esto le agregamos la constante de integración. Revisamos la expresión obtenida y vemos que ya no es posible hacer nada en términos de organización o simplificación. Entonces podemos cambiar ya lo que es z por la expresión a la que equivale, es decir, x más 5. Y con eso vamos a construir la respuesta del ejercicio inicial. Comenzamos aquí donde z se cambia por x más 5. Esto nos queda al cuadrado y todo esto sobre 2. Luego tenemos menos 10 por z que es x más 5. Después tenemos más 25 por logaritmo natural de valor absoluto de z que se cambia por x más 5. A todo esto le agregamos la constante de integración y de esa manera hemos terminado este ejercicio.

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Integral de"}, {"start": 163.0, "end": 172.24, "text": " x que se cambia por z menos 5. Todo esto est\u00e1 elevado al cuadrado. Ac\u00e1 en el denominador"}, {"start": 172.24, "end": 178.88, "text": " sigue z y escribimos el diferencial de z. Como se observa ahora s\u00ed tenemos toda la"}, {"start": 178.88, "end": 186.64000000000001, "text": " integral controlada por la nueva variable que es z. Ahora nos ocupamos del desarrollo"}, {"start": 186.64000000000001, "end": 193.20000000000002, "text": " de esta integral. Para ello vamos a transformar la expresi\u00f3n que tenemos en el integranto."}, {"start": 193.20000000000002, "end": 199.04000000000002, "text": " En la parte superior tenemos un binomio elevado al cuadrado. Recordemos el producto notable"}, {"start": 199.04, "end": 206.79999999999998, "text": " para ese caso. Si tenemos a menos b al cuadrado esto ser\u00e1 igual al primer t\u00e9rmino al cuadrado"}, {"start": 206.79999999999998, "end": 214.32, "text": " menos dos veces el primer t\u00e9rmino por el segundo m\u00e1s el segundo t\u00e9rmino al cuadrado. Entonces"}, {"start": 214.32, "end": 223.56, "text": " vamos a continuar el desarrollo, el ejercicio por ac\u00e1. Y vamos entonces a aplicar ese producto"}, {"start": 223.56, "end": 229.28, "text": " notable para lo que tenemos en el numerador. Comenzamos entonces con el primer t\u00e9rmino"}, {"start": 229.28, "end": 238.52, "text": " al cuadrado. Ser\u00eda z al cuadrado. Luego tenemos menos dos veces el primer t\u00e9rmino por el segundo."}, {"start": 238.52, "end": 248.96, "text": " O sea 2 por z por 5 que nos da 10z. Y eso m\u00e1s el segundo t\u00e9rmino elevado al cuadrado."}, {"start": 248.96, "end": 258.2, "text": " O sea 5 al cuadrado que es 25. En el denominador escribimos z y a todo eso le agregamos el"}, {"start": 258.2, "end": 266.64, "text": " diferencial de z. Ahora podemos repartir este denominador z para cada uno de los t\u00e9rminos"}, {"start": 266.64, "end": 272.24, "text": " que tenemos en el numerador. Entonces esto nos va a quedar de la siguiente forma. Integral"}, {"start": 272.24, "end": 290.12, "text": " de z al cuadrado sobre z menos 10z sobre z m\u00e1s 25 sobre z. Protegemos toda esta expresi\u00f3n"}, {"start": 290.12, "end": 297.96000000000004, "text": " con par\u00e9ntesis y agregamos el diferencial de z. Enseguida vamos a simplificar y organizar"}, {"start": 297.96, "end": 305.12, "text": " cada uno de esos t\u00e9rminos. Vamos a continuar el desarrollo del ejercicio por ac\u00e1. Tendremos"}, {"start": 305.12, "end": 313.32, "text": " entonces la integral de lo siguiente. Z al cuadrado sobre z nos da z. Luego tenemos menos."}, {"start": 313.32, "end": 320.08, "text": " Este t\u00e9rmino donde la z puede cancelarse o simplificarse nos queda el n\u00famero 10 con"}, {"start": 320.08, "end": 327.88, "text": " su signo menos. Y luego tenemos el t\u00e9rmino m\u00e1s 25 sobre z que podemos reescribir como"}, {"start": 327.88, "end": 337.24, "text": " 25z a la menos 1. Z sube. Aqu\u00ed tiene exponente 1. Entonces queda ac\u00e1 en la parte superior"}, {"start": 337.24, "end": 344.59999999999997, "text": " con exponente menos 1. Protegemos todo esto y escribimos el diferencial de z. Ahora s\u00ed"}, {"start": 344.6, "end": 351.58000000000004, "text": " tenemos una expresi\u00f3n donde hay t\u00e9rminos prestando y sumando que pueden integrarse"}, {"start": 351.58000000000004, "end": 358.6, "text": " de manera individual, en forma directa. Comencemos entonces con la integral de z. Esto es z a"}, {"start": 358.6, "end": 367.12, "text": " la 1. Entonces nos queda z a la 2 sobre 2. Luego tenemos menos la integral de 10 que"}, {"start": 367.12, "end": 374.12, "text": " ser\u00e1 10 por z. Recordemos que z es la letra que controla en este ejercicio. Y a esto le"}, {"start": 374.12, "end": 382.8, "text": " sumamos 25 que se queda quieto por la integral de z a la menos 1 que ser\u00e1 el logaritmo natural"}, {"start": 382.8, "end": 392.72, "text": " del valor absoluto de z. Recordemos que la integral de z a la menos 1 con su diferencial"}, {"start": 392.72, "end": 401.16, "text": " de z es lo mismo que tener la integral de 1 sobre z tambi\u00e9n con su diferencial. Y esto"}, {"start": 401.16, "end": 408.56, "text": " nos da como resultado logaritmo natural de valor absoluto de z m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n"}, {"start": 408.56, "end": 415.20000000000005, "text": " porque la derivada de esto, el logaritmo natural de z ser\u00e1 1 sobre z. Recordemos que el valor"}, {"start": 415.20000000000005, "end": 423.08000000000004, "text": " absoluto es una medida de seguridad para garantizar que el argumento sea positivo en ese logaritmo."}, {"start": 423.08, "end": 431.32, "text": " Y a todo esto le agregamos la constante de integraci\u00f3n. Revisamos la expresi\u00f3n obtenida"}, {"start": 431.32, "end": 437.36, "text": " y vemos que ya no es posible hacer nada en t\u00e9rminos de organizaci\u00f3n o simplificaci\u00f3n."}, {"start": 437.36, "end": 445.47999999999996, "text": " Entonces podemos cambiar ya lo que es z por la expresi\u00f3n a la que equivale, es decir,"}, {"start": 445.47999999999996, "end": 452.68, "text": " x m\u00e1s 5. Y con eso vamos a construir la respuesta del ejercicio inicial. Comenzamos aqu\u00ed donde"}, {"start": 452.68, "end": 463.04, "text": " z se cambia por x m\u00e1s 5. Esto nos queda al cuadrado y todo esto sobre 2. Luego tenemos"}, {"start": 463.04, "end": 477.14, "text": " menos 10 por z que es x m\u00e1s 5. Despu\u00e9s tenemos m\u00e1s 25 por logaritmo natural de valor absoluto"}, {"start": 477.14, "end": 486.5, "text": " de z que se cambia por x m\u00e1s 5. A todo esto le agregamos la constante de integraci\u00f3n"}, {"start": 486.5, "end": 510.64, "text": " y de esa manera hemos terminado este ejercicio."}]

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INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN - Ejercicio 21

#julioprofe explica cómo resolver una Integral Indefinida por el Método de Sustitución. Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → http://www.julioprofe.net

Vamos a resolver paso a paso esta integral indefinida. En principio revisamos si puede hacerse en forma directa. Hemos que no es posible porque tenemos una expresión un poco compleja que no permite ser expresada como términos independientes que se puedan integrar de manera individual. Vamos entonces a recurrir al método de sustitución conocido también como cambio de variable y vamos a cambiar x más 4 lo que está dentro de la raíz por una letra. Vamos a escoger por ejemplo l, entonces l será igual a x más 4. Esto lo destacamos porque lo vamos a necesitar más adelante y ahora debemos derivar esa expresión con respecto a x. Decimos entonces derivada de l con respecto a x será igual a lo siguiente. Aquí tenemos una suma entonces derivamos cada término. Derivada de x es 1, derivada de 4 será 0 y de allí vamos a despejar de x. De x está dividiendo pasa a este lado a multiplicar con 1 y nos queda entonces que dl es igual a dx o lo que es lo mismo que x igual a dl. Bien entonces ahora con estos dos componentes que encontramos vamos a reconstruir la integral original para que nos quede en términos de l. La expresión x menos 3 se queda intacta luego tenemos la raíz cuadrada de x más 4 que se convierte en l y luego tenemos el diferencial de x que se cambia por dl. Como puede observarse todavía no hemos logrado el objetivo de que esta sea una expresión únicamente en términos de l. Aquí observamos de nuevo la x que en este momento es una letra intrusa porque la que debe controlar es l. Entonces como solucionar este problema recurrimos a esta expresión donde l es igual a x más 4 y de allí vamos a despejar x para que nos quede en términos de l. Veamos entonces. Para despejar x simplemente movemos este 4 que está sumando al otro lado a rezar nos queda l menos 4 igual a x o lo que es lo mismo x igual a l menos 4. Entonces esto que encontramos vamos a traerlo aquí para que de esa forma nos quede la integral escrita solamente en términos de l. Veamos como queda x se cambia por l menos 4. Aquí tenemos que escribir menos 3 y el resto de la expresión la raíz cuadrada de l y esto multiplicado por su diferencial dl. Como se observa allí ya logramos el propósito y es que todo nos quede controlado con la nueva letra que es l. Vamos a transformar esta expresión para después proceder a integrar. Tendremos entonces la integral dl, operamos menos 4 y menos 3 que nos da menos 7 y cambiamos raíz cuadrada de l por l a la un medio y anotamos el diferencial dl. Ahora vamos a transformar esta expresión aplicando la propiedad distributiva. Entonces l a la un medio va a multiplicar a cada uno de esos términos que tenemos dentro del paréntesis. Tendremos lo siguiente l a la un medio multiplicado por l nos queda l a la uno más un medio. Se suman los exponentes porque estamos multiplicando potencias de la misma base. Uno más un medio nos da tres medios y esto nos queda menos l a la un medio por siete que lo organizamos como siete l a la un medio. Cerramos el paréntesis y anotamos el diferencial dl. Hemos llegado a una integral directa. Tenemos la integral de una resta de términos donde cada uno de ellos puede integrarse en forma individual. Aquí observamos potencias de l entonces vamos a aplicar esta propiedad. La integral de l a la n con su diferencial dl será l a la n más uno. Todo esto sobre n más uno más la constante de integración siempre que n sea diferente de menos uno. Entonces vamos con la integral del primer término donde n es tres medios. Entonces trazamos la línea arriba tendremos l a la tres medios más uno siguiendo la propiedad eso nos da lo siguiente tres más dos cinco conservamos el mismo denominador que es dos y este número lo repetimos acá debajo de la línea principal. Pasamos al siguiente término donde siete está multiplicando con esta potencia. Siete se deja allí quieto y procedemos a integrar l a la un medio. De nuevo aplicamos esa propiedad en este caso es un medio entonces un medio más uno será uno más dos tres conservamos el denominador que es dos y este número lo repetimos acá debajo de la línea principal y anotamos por primera vez la constante de integración. Organizamos cada uno de estos términos subiendo estos denominadores acá a multiplicar aplicaríamos lo que se llama la ley de la oreja. Entonces el dos sube a multiplicar con l a la cinco medios en la parte de abajo nos quedaría cinco por uno uno es el denominador de l a las cinco medios entonces nos queda cinco menos veamos cómo queda este término. Dos sube a multiplicar con l a la tres medios pero este dos va a multiplicar con este siete nos queda entonces catorce l a la tres medios y todo esto nos queda sobre tres tres multiplica con este uno que está debajo de l a la tres medios y a todo esto le agregamos la constante de integración. Como aquí ya tenemos la expresión totalmente organizada y simplificada podemos ir ya a la parte final que es cambiar l por x más cuatro entonces con eso tendremos la respuesta al ejercicio. Veamos el primer término nos queda dos quintos que multiplica con l que es x más cuatro todo esto elevado al exponente cinco medios luego tenemos menos catorce tercios que multiplica con l que es x más cuatro y todo esto queda elevado al exponente tres medios anotamos la constante de integración y de esta manera terminamos este ejercicio.

[{"start": 0.0, "end": 10.32, "text": " Vamos a resolver paso a paso esta integral indefinida. En principio revisamos si puede"}, {"start": 10.32, "end": 16.12, "text": " hacerse en forma directa. Hemos que no es posible porque tenemos una expresi\u00f3n un poco"}, {"start": 16.12, "end": 22.36, "text": " compleja que no permite ser expresada como t\u00e9rminos independientes que se puedan integrar"}, {"start": 22.36, "end": 31.08, "text": " de manera individual. Vamos entonces a recurrir al m\u00e9todo de sustituci\u00f3n conocido tambi\u00e9n"}, {"start": 31.08, "end": 38.92, "text": " como cambio de variable y vamos a cambiar x m\u00e1s 4 lo que est\u00e1 dentro de la ra\u00edz por"}, {"start": 38.92, "end": 47.08, "text": " una letra. Vamos a escoger por ejemplo l, entonces l ser\u00e1 igual a x m\u00e1s 4. Esto lo"}, {"start": 47.08, "end": 53.44, "text": " destacamos porque lo vamos a necesitar m\u00e1s adelante y ahora debemos derivar esa expresi\u00f3n"}, {"start": 53.44, "end": 63.959999999999994, "text": " con respecto a x. Decimos entonces derivada de l con respecto a x ser\u00e1 igual a lo siguiente."}, {"start": 63.959999999999994, "end": 70.16, "text": " Aqu\u00ed tenemos una suma entonces derivamos cada t\u00e9rmino. Derivada de x es 1, derivada"}, {"start": 70.16, "end": 76.88, "text": " de 4 ser\u00e1 0 y de all\u00ed vamos a despejar de x. De x est\u00e1 dividiendo pasa a este lado"}, {"start": 76.88, "end": 85.39999999999999, "text": " a multiplicar con 1 y nos queda entonces que dl es igual a dx o lo que es lo mismo que"}, {"start": 85.39999999999999, "end": 95.12, "text": " x igual a dl. 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Entonces l a la un medio va a multiplicar a cada uno de esos t\u00e9rminos"}, {"start": 235.32, "end": 241.04, "text": " que tenemos dentro del par\u00e9ntesis. Tendremos lo siguiente l a la un medio multiplicado"}, {"start": 241.04, "end": 248.67999999999998, "text": " por l nos queda l a la uno m\u00e1s un medio. Se suman los exponentes porque estamos multiplicando"}, {"start": 248.67999999999998, "end": 256.2, "text": " potencias de la misma base. Uno m\u00e1s un medio nos da tres medios y esto nos queda menos"}, {"start": 256.2, "end": 264.5, "text": " l a la un medio por siete que lo organizamos como siete l a la un medio. Cerramos el par\u00e9ntesis"}, {"start": 264.5, "end": 271.76, "text": " y anotamos el diferencial dl. Hemos llegado a una integral directa. Tenemos la integral"}, {"start": 271.76, "end": 278.4, "text": " de una resta de t\u00e9rminos donde cada uno de ellos puede integrarse en forma individual."}, {"start": 278.4, "end": 285.24, "text": " Aqu\u00ed observamos potencias de l entonces vamos a aplicar esta propiedad. La integral de l"}, {"start": 285.24, "end": 294.92, "text": " a la n con su diferencial dl ser\u00e1 l a la n m\u00e1s uno. Todo esto sobre n m\u00e1s uno m\u00e1s"}, {"start": 294.92, "end": 303.08, "text": " la constante de integraci\u00f3n siempre que n sea diferente de menos uno. Entonces vamos"}, {"start": 303.08, "end": 309.52, "text": " con la integral del primer t\u00e9rmino donde n es tres medios. Entonces trazamos la l\u00ednea"}, {"start": 309.52, "end": 315.35999999999996, "text": " arriba tendremos l a la tres medios m\u00e1s uno siguiendo la propiedad eso nos da lo siguiente"}, {"start": 315.35999999999996, "end": 323.15999999999997, "text": " tres m\u00e1s dos cinco conservamos el mismo denominador que es dos y este n\u00famero lo repetimos ac\u00e1"}, {"start": 323.15999999999997, "end": 328.88, "text": " debajo de la l\u00ednea principal. Pasamos al siguiente t\u00e9rmino donde siete est\u00e1 multiplicando"}, {"start": 328.88, "end": 336.47999999999996, "text": " con esta potencia. Siete se deja all\u00ed quieto y procedemos a integrar l a la un medio. De"}, {"start": 336.48, "end": 342.56, "text": " nuevo aplicamos esa propiedad en este caso es un medio entonces un medio m\u00e1s uno ser\u00e1"}, {"start": 342.56, "end": 349.64000000000004, "text": " uno m\u00e1s dos tres conservamos el denominador que es dos y este n\u00famero lo repetimos ac\u00e1"}, {"start": 349.64000000000004, "end": 356.20000000000005, "text": " debajo de la l\u00ednea principal y anotamos por primera vez la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 356.20000000000005, "end": 363.48, "text": " Organizamos cada uno de estos t\u00e9rminos subiendo estos denominadores ac\u00e1 a multiplicar aplicar\u00edamos"}, {"start": 363.48, "end": 370.08000000000004, "text": " lo que se llama la ley de la oreja. Entonces el dos sube a multiplicar con l a la cinco"}, {"start": 370.08000000000004, "end": 376.16, "text": " medios en la parte de abajo nos quedar\u00eda cinco por uno uno es el denominador de l a"}, {"start": 376.16, "end": 383.24, "text": " las cinco medios entonces nos queda cinco menos veamos c\u00f3mo queda este t\u00e9rmino. Dos"}, {"start": 383.24, "end": 388.64000000000004, "text": " sube a multiplicar con l a la tres medios pero este dos va a multiplicar con este siete"}, {"start": 388.64, "end": 397.8, "text": " nos queda entonces catorce l a la tres medios y todo esto nos queda sobre tres tres multiplica"}, {"start": 397.8, "end": 404.03999999999996, "text": " con este uno que est\u00e1 debajo de l a la tres medios y a todo esto le agregamos la constante"}, {"start": 404.03999999999996, "end": 411.08, "text": " de integraci\u00f3n. Como aqu\u00ed ya tenemos la expresi\u00f3n totalmente organizada y simplificada podemos"}, {"start": 411.08, "end": 418.32, "text": " ir ya a la parte final que es cambiar l por x m\u00e1s cuatro entonces con eso tendremos la"}, {"start": 418.32, "end": 425.64, "text": " respuesta al ejercicio. Veamos el primer t\u00e9rmino nos queda dos quintos que multiplica con l"}, {"start": 425.64, "end": 434.74, "text": " que es x m\u00e1s cuatro todo esto elevado al exponente cinco medios luego tenemos menos"}, {"start": 434.74, "end": 446.48, "text": " catorce tercios que multiplica con l que es x m\u00e1s cuatro y todo esto queda elevado al"}, {"start": 446.48, "end": 454.92, "text": " exponente tres medios anotamos la constante de integraci\u00f3n y de esta manera terminamos"}, {"start": 454.92, "end": 465.88, "text": " este ejercicio."}]

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INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN - Ejercicio 20

#julioprofe explica cómo resolver una Integral Indefinida utilizando el Método de Sustitución o Cambio de Variable. Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver detalladamente esta integral indefinida y para empezar vamos a reescribir o transformar la función que tenemos en el integrando. Observamos aquí un cociente de potencias de la misma base, entonces vamos a aplicar esta propiedad de la potenciación. Cuando tenemos una división o cociente de potencias de la misma base, ella se conserva y se restan los exponentes. Pues bien esa es la situación que tenemos allí, entonces esto nos va a quedar como la integral de x menos uno que multiplica al número de Euler y que nos queda elevado a la expresión x al cuadrado menos 2x. Observamos la resta de los exponentes y escribimos el diferencial de x. Ahora vamos a revisar si esta integral puede resolverse en forma directa. Tenemos aquí una expresión que es un poco compleja para resolverla de esa manera. Entonces vamos a intentar el método de sustitución, vamos a considerar esto que tenemos en el exponente para ver si lo cambiamos por otra letra. Echamos la siguiente prueba, derivamos esto que tenemos acá, derivada de x al cuadrado es 2x menos derivada de 2x es 2. Y revisamos si esto tiene alguna relación con el resto de la expresión, o sea con x menos uno. Vemos que en principio no se parece, pero aquí podemos factorizar el 2, sale como factor común de x menos uno y aquí nos aparece esto que tenemos acá. Esto quiere decir que el método de sustitución será el más conveniente en este caso. Entonces vamos a utilizar el método de sustitución conocido también como cambio de variable y vamos a tomar esta expresión como una nueva letra. Vamos a utilizar T, entonces T es igual a x al cuadrado menos 2x. Esto lo destacamos porque vamos a necesitarlo más adelante y enseguida vamos a derivar esta expresión con respecto a x. Derivada de T respecto a x nos da 2x menos 2, tal como vimos ahora y allí dijimos que el 2 puede factorizarse. Entonces nos queda derivada de T con respecto a x igual a 2 que es factor común de x menos uno. Y de allí vamos a despejar de x. En principio dx está dividiendo, lo pasamos al otro lado a multiplicar, entonces nos queda esta expresión y de allí ya podemos hacer el despeje de dx. Vamos a escribirlo por acá. Para ello esto que está multiplicando con dx pasa al otro lado a dividir. Nos queda dt sobre 2 que multiplica a x menos uno. Enseguida vamos a reconstruir esta integral en términos de la nueva letra utilizando esos componentes. Entonces tenemos lo siguiente, integral de x menos uno, esa expresión queda intacta por el número e elevado a esta expresión que se cambia por T y luego el diferencial de x que se cambia por dt sobre 2 que multiplica con x menos uno. Aquí podemos simplificar esta expresión, x menos uno se puede cancelar y podemos sacar este 2 como se encuentra en el denominador, sale como un medio que multiplica con la integral de e a la T con su respectivo diferencial dt. De esta manera hemos llegado a una integral básica o directa, la integral de e a la T nos da e a la T, entonces nos queda un medio por e a la T y a eso le agregamos por primera vez la constante de integración. Como a esta expresión no se le puede hacer más en términos de organización o simplificación, entonces pasamos a escribir la respuesta del ejercicio inicial, nos queda un medio por e elevada al exponente T pero es allí cuando cambiamos T por su expresión original que es x al cuadrado menos 2x, a todo esto le agregamos la constante C y así terminamos este ejercicio.

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INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN - Ejercicio 19

#julioprofe explica cómo resolver una integral indefinida por el método de sustitución. Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver detalladamente esta integral indefinida. Comenzamos por revisar si se puede efectuar en forma directa. Vemos que no es posible porque esta es una expresión bastante compleja. Entonces vamos a utilizar el método de sustitución conocido también como cambio de variable. Vamos a intentar tomando lo que hay dentro del radical. Eso vamos a llamarlo la letra Q. Entonces decimos Q es igual a 3 menos 2 seno al cuadrado de X. Esto será Q. Y vamos a derivarlo. Antes de hacer ese procedimiento, vamos a reescribir Q. Aquí podemos escribir esto como seno de X entre paréntesis y eso elevado al cuadrado. Recordemos que si el 2 está aquí en toda la mitad de la función trigonométrica, la afecta a ella completamente. Entonces se puede ubicar acá por fuera del paréntesis. Ahora sí vamos a derivar esta expresión con respecto a X. Decimos derivada de Q con respecto a esa variable y tendremos lo siguiente. Aquí hay una resta, entonces derivamos cada uno de los términos. La derivada de 3 nos da 0 y pasamos al siguiente término donde vamos a aplicar la regla de la cadena para potencias. El 2 baja a multiplicar con este 2, nos queda 4. Eso queda intacto, seno de X elevado al exponente 2 menos 1, que es 1. Y eso tenemos que multiplicarlo por la derivada interna, la derivada de seno de X, que es coseno de X. Podemos pulir esta expresión. Nos queda derivada de Q con respecto a X igual a menos 4 por seno de X por coseno de X. En principio vemos que esta expresión no se parece a esto que tenemos acá, es decir, lo que no consideramos como Q. Sin embargo esto puede transformarse de la siguiente manera. Demos de Q de X es igual a menos 2 por 2 seno de X por coseno de X. Es decir, este 4 lo reescribimos como 2 por 2 y aquí tenemos esta expresión 2 por seno de X por coseno de X que equivale al seno de 2X. Es la identidad trigonométrica que corresponde al seno del ángulo doble. Entonces, si de allí despejamos de Q, nos queda lo siguiente. Pasa de X a multiplicar con todo esto, es decir, menos 2 por seno de 2X y esto multiplicado por de X. Y de allí podemos despejar de X. Todo esto que está multiplicando pasa al otro lado a dividir. Vamos a escribir eso por acá. Entonces de X nos va a quedar igual a de Q sobre toda esta expresión. Llega aquí a dividir menos 2 por seno de 2X. Bien, entonces ahora con estos dos componentes vamos a reconstruir la integral original en términos de la nueva letra. Es decir, en términos de Q. Tendremos entonces la integral de lo siguiente. Arriba continúa seno de 2X. Abajo tendremos la raíz cuadrada de toda esta expresión que se cambia por Q y el diferencial de X equivale a esa expresión que obtuvimos, que es de Q sobre menos 2 por seno de 2X. Aquí podemos simplificar toda esta expresión. Vemos que seno de X se encuentra arriba y abajo. Entonces podemos cancelarlo. Y podemos sacar este número. Los dos saldrían acá, pero queda como menos un medio porque se encuentra en la parte de abajo. Y esto nos queda multiplicando con la integral de 1 sobre la raíz cuadrada de Q con su respectivo diferencial de Q. Esta integral que nos quedó ya es directa. Entonces vamos a resolverla paso a paso. Nos queda menos un medio que multiplica a la integral de 1 sobre raíz cuadrada de Q que transformamos en Q a la un medio con su respectivo diferencial de Q. Ahora vamos a subir esta potencia. Esto nos va a quedar menos un medio por la integral de Q a la menos un medio con su correspondiente diferencial de Q. Recordemos que si la potencia sube, nos cambia de signo el exponente. Y aquí ya podemos resolver esta integral. Utilizamos la siguiente propiedad. Si tenemos la integral de Q a la n con su diferencial de Q, esto es igual a Q a la n más 1, todo esto sobre n más 1, más su respectiva constante de integración siempre que n sea diferente de menos 1. Esa es la condición que debemos cumplir. En este caso n es menos un medio. Entonces esto nos va a quedar de la siguiente manera, menos un medio por la integral de Q a la menos un medio que siguiendo esta propiedad será Q a la menos un medio más 1 que nos va a dar lo siguiente. Aplicamos el siguiente truco, menos uno más dos, eso nos da uno, conservamos el mismo denominador, ese será el resultado de menos un medio más uno y este mismo exponente se describe acá en el denominador y escribimos por primera vez la constante de integración. Ahora, aquí vamos a subir este número dos. Aplicamos lo que se llama la ley de la oreja y dos llega a multiplicar con Q a la un medio. Tendremos entonces menos un medio por dos que multiplica a Q a la un medio, acá en el denominador nos quedaría uno por uno, uno sería el denominador de Q a la un medio, entonces uno en el denominador y anotamos la constante de integración. Ahora podemos simplificar esta expresión. Este número dos puede cancelarse y nos va a quedar la expresión menos Q a la un medio más la constante de integración. Todos unos simplemente se vuelven invisibles. Allí podríamos dejar la expresión, sin embargo queda mejor si Q a la un medio se vuelve a llevar a la forma de raíz, nos quedaría menos la raíz cuadrada de Q y todo esto más la constante de integración. Como allí ya no se puede hacer nada más en términos de simplificar o organizar la expresión, entonces cambiamos Q por la expresión a la que equivale inicialmente y eso será la respuesta del ejercicio. Tendremos menos la raíz cuadrada de Q, pero Q es tres menos dos seno al cuadrado de X. Todo esto queda más la constante de integración y de esa forma terminamos este ejercicio.

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podemos despejar de X."}, {"start": 204.86, "end": 209.58, "text": " Todo esto que est\u00e1 multiplicando pasa al otro lado a dividir."}, {"start": 209.58, "end": 212.02, "text": " Vamos a escribir eso por ac\u00e1."}, {"start": 212.02, "end": 220.70000000000002, "text": " Entonces de X nos va a quedar igual a de Q sobre toda esta expresi\u00f3n."}, {"start": 220.70000000000002, "end": 226.86, "text": " Llega aqu\u00ed a dividir menos 2 por seno de 2X."}, {"start": 226.86, "end": 234.82000000000002, "text": " Bien, entonces ahora con estos dos componentes vamos a reconstruir la integral original en"}, {"start": 234.82, "end": 236.82, "text": " t\u00e9rminos de la nueva letra."}, {"start": 236.82, "end": 239.06, "text": " Es decir, en t\u00e9rminos de Q."}, {"start": 239.06, "end": 243.62, "text": " Tendremos entonces la integral de lo siguiente."}, {"start": 243.62, "end": 248.78, "text": " Arriba contin\u00faa seno de 2X."}, {"start": 248.78, "end": 259.06, "text": " Abajo tendremos la ra\u00edz cuadrada de toda esta expresi\u00f3n que se cambia por Q y el diferencial"}, {"start": 259.06, "end": 273.46, "text": " de X equivale a esa expresi\u00f3n que obtuvimos, que es de Q sobre menos 2 por seno de 2X."}, {"start": 273.46, "end": 276.66, "text": " Aqu\u00ed podemos simplificar toda esta expresi\u00f3n."}, {"start": 276.66, "end": 280.5, "text": " Vemos que seno de X se encuentra arriba y abajo."}, {"start": 280.5, "end": 283.3, "text": " Entonces podemos cancelarlo."}, {"start": 283.3, "end": 286.62, "text": " Y podemos sacar este n\u00famero."}, {"start": 286.62, "end": 292.74, "text": " Los dos saldr\u00edan ac\u00e1, pero queda como menos un medio porque se encuentra en la parte de"}, {"start": 292.74, "end": 293.74, "text": " abajo."}, {"start": 293.74, "end": 304.86, "text": " Y esto nos queda multiplicando con la integral de 1 sobre la ra\u00edz cuadrada de Q con su respectivo"}, {"start": 304.86, "end": 306.9, "text": " diferencial de Q."}, {"start": 306.9, "end": 310.74, "text": " Esta integral que nos qued\u00f3 ya es directa."}, {"start": 310.74, "end": 313.86, "text": " Entonces vamos a resolverla paso a paso."}, {"start": 313.86, "end": 323.3, "text": " Nos queda menos un medio que multiplica a la integral de 1 sobre ra\u00edz cuadrada de Q"}, {"start": 323.3, "end": 330.38, "text": " que transformamos en Q a la un medio con su respectivo diferencial de Q."}, {"start": 330.38, "end": 333.58000000000004, "text": " Ahora vamos a subir esta potencia."}, {"start": 333.58, "end": 345.65999999999997, "text": " Esto nos va a quedar menos un medio por la integral de Q a la menos un medio con su correspondiente"}, {"start": 345.65999999999997, "end": 347.06, "text": " diferencial de Q."}, {"start": 347.06, "end": 352.21999999999997, "text": " Recordemos que si la potencia sube, nos cambia de signo el exponente."}, {"start": 352.21999999999997, "end": 356.38, "text": " Y aqu\u00ed ya podemos resolver esta integral."}, {"start": 356.38, "end": 358.7, "text": " Utilizamos la siguiente propiedad."}, {"start": 358.7, "end": 366.28, "text": " Si tenemos la integral de Q a la n con su diferencial de Q, esto es igual a Q a la n"}, {"start": 366.28, "end": 376.3, "text": " m\u00e1s 1, todo esto sobre n m\u00e1s 1, m\u00e1s su respectiva constante de integraci\u00f3n siempre que n sea"}, {"start": 376.3, "end": 379.58, "text": " diferente de menos 1."}, {"start": 379.58, "end": 381.82, "text": " Esa es la condici\u00f3n que debemos cumplir."}, {"start": 381.82, "end": 385.41999999999996, "text": " En este caso n es menos un medio."}, {"start": 385.42, "end": 390.54, "text": " Entonces esto nos va a quedar de la siguiente manera, menos un medio por la integral de"}, {"start": 390.54, "end": 398.1, "text": " Q a la menos un medio que siguiendo esta propiedad ser\u00e1 Q a la menos un medio m\u00e1s 1 que nos"}, {"start": 398.1, "end": 399.66, "text": " va a dar lo siguiente."}, {"start": 399.66, "end": 405.16, "text": " Aplicamos el siguiente truco, menos uno m\u00e1s dos, eso nos da uno, conservamos el mismo"}, {"start": 405.16, "end": 411.5, "text": " denominador, ese ser\u00e1 el resultado de menos un medio m\u00e1s uno y este mismo exponente se"}, {"start": 411.5, "end": 418.38, "text": " describe ac\u00e1 en el denominador y escribimos por primera vez la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 418.38, "end": 423.18, "text": " Ahora, aqu\u00ed vamos a subir este n\u00famero dos."}, {"start": 423.18, "end": 428.38, "text": " Aplicamos lo que se llama la ley de la oreja y dos llega a multiplicar con Q a la un medio."}, {"start": 428.38, "end": 437.9, "text": " Tendremos entonces menos un medio por dos que multiplica a Q a la un medio, ac\u00e1 en el denominador"}, {"start": 437.9, "end": 445.02, "text": " nos quedar\u00eda uno por uno, uno ser\u00eda el denominador de Q a la un medio, entonces uno en el denominador"}, {"start": 445.02, "end": 448.62, "text": " y anotamos la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 448.62, "end": 451.78, "text": " Ahora podemos simplificar esta expresi\u00f3n."}, {"start": 451.78, "end": 463.17999999999995, "text": " Este n\u00famero dos puede cancelarse y nos va a quedar la expresi\u00f3n menos Q a la un medio"}, {"start": 463.17999999999995, "end": 465.94, "text": " m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 465.94, "end": 469.1, "text": " Todos unos simplemente se vuelven invisibles."}, {"start": 469.1, "end": 475.3, "text": " All\u00ed podr\u00edamos dejar la expresi\u00f3n, sin embargo queda mejor si Q a la un medio se vuelve"}, {"start": 475.3, "end": 482.0, "text": " a llevar a la forma de ra\u00edz, nos quedar\u00eda menos la ra\u00edz cuadrada de Q y todo esto m\u00e1s"}, {"start": 482.0, "end": 484.34, "text": " la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 484.34, "end": 489.58, "text": " Como all\u00ed ya no se puede hacer nada m\u00e1s en t\u00e9rminos de simplificar o organizar la"}, {"start": 489.58, "end": 497.14, "text": " expresi\u00f3n, entonces cambiamos Q por la expresi\u00f3n a la que equivale inicialmente y eso ser\u00e1"}, {"start": 497.14, "end": 499.14, "text": " la respuesta del ejercicio."}, {"start": 499.14, "end": 513.26, "text": " Tendremos menos la ra\u00edz cuadrada de Q, pero Q es tres menos dos seno al cuadrado de X."}, {"start": 513.26, "end": 521.5, "text": " Todo esto queda m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n y de esa forma terminamos este ejercicio."}]

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INTEGRALES IMPROPIAS - Ejercicio 5

#julioprofe explica cómo resolver una Integral Impropia. Tema: #IntegralesImpropias → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEHO1HueyBZxc-kJ1l7BPVP REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver detalladamente esta integral definida, que es de tipo impropia. Podríamos preguntarnos por qué, siendo que aquí no tenemos menos infinito, ni acá tenemos más infinito. Pues bien, esto sucede porque para esta función, la función 1 sobre x menos 2, tenemos que su dominio son los x que pertenecen al conjunto de los números reales, con excepción del elemento 2. Vemos que aquí, si x toma el valor 2, nos da 0 en el denominador. Por lo tanto, ese valor debe excluirse en el conjunto que representa el dominio para esa función. Tenemos entonces que en esta integral, el límite inferior es justamente 2, o sea el valor prohibido. Entonces ese valor debe cambiarse por una letra. Y por eso tenemos una integral impropia. Vamos a utilizar la letra a. Aquí continúa 5 en el límite superior. La función sigue siendo 1 sobre x menos 2, con su diferencial de x. Y acá, a todo eso vamos a tomarle el límite cuando a tiende a 2. Pero debemos especificar si tiende a 2 por la izquierda, o si tiende a 2 por la derecha. Como en este caso, vamos desde 2 hasta 5, si nos ubicamos en el eje x, entonces aquí tenemos 2 y acá tenemos 5. Vamos a movernos en esta zona. Por lo tanto, los valores de x que empezamos a tomar son los que están situados a la derecha del número 2. Entonces por eso aquí debemos señalar que a tiende a 2 por la derecha. Enseguida debemos buscar la antiderivada para esta función. Y para ello podemos utilizar la siguiente fórmula de las integrales. Si tenemos 1 sobre x más una cantidad p, una constante, todo esto con su diferencial de x. Esto será igual al logaritmo natural de valor absoluto de x más p. Es una integral que se demuestra por el método de sustitución cambiando x más p por otra letra o variable. En este caso, p está representado por menos 2. Entonces vamos a continuarlo por acá. Escribimos límite cuando a tiende a 2 por la derecha. Vamos a abrir un corchete que nos proteja la expresión y la integral de 1 sobre x menos 2 será el logaritmo natural de valor absoluto de x menos 2. Siguiendo esta regla o esa fórmula. Y como tenemos una integral definida, trazamos esta línea y anotamos los límites de integración que son a y 5. Y a continuación cerramos el corchete. Ahora vamos a aplicar el teorema fundamental del cálculo. Vamos a evaluar los límites de integración en la antiderivada que encontramos. Seguimos por acá. Escribimos el límite. Cuando a tiende a 2 por la derecha, abrimos el corchete y reemplazamos el 5. Entra aquí. Nos queda el logaritmo natural de 5 menos 2 que será 3. Valor absoluto de 3 es simplemente 3. Y a eso le restamos el reemplazo de a aquí en la expresión. Nos queda logaritmo natural de valor absoluto de a menos 2 y cerramos el corchete. Ahora vamos a resolver este límite. Vamos a continuar por acá. Y tendremos logaritmo natural de 3. Eso se conserva. Es una constante. Y veamos qué sucede con esto que tenemos acá cuando a tiende a 2 por la derecha. Allí podemos escoger un valor de a que cumpla con esa condición. Que sea ligeramente mayor que 2. Podemos tomar el número 2.0001. Si ese valor lo traemos acá y le restamos 2, nos da como resultado 0.0001. Es decir, un número muy cercano a 0 de naturaleza positiva. Lo podemos representar de esta manera. Y si a eso le tomamos valor absoluto, nos dará esa misma cantidad. Un número cercano a 0 con signo positivo. Si tomamos el logaritmo natural de una cantidad positiva muy cercana a 0, vamos a obtener como resultado un número negativo muy grande. Es decir, que todo esto tiende hacia menos infinito. Y resolviendo esto tendremos logaritmo natural de 3 menos por menos es más infinito. Y en este caso, infinito absorbe esta cantidad que es pequeña. A este número grande le sumamos esto que es pequeño y seguimos obteniendo infinito. Entonces, ese será el resultado para esta integral impropia. Más infinito. Y por eso concluimos que se trata de una integral que diverge. Veamos ahora qué es lo que sucede con esta integral gráficamente. Allí tenemos un bosquejo de la gráfica de la función que tenemos en el integrando. La función 1 sobre x menos 2. Vemos que tiene una asíntota vertical que pasa justamente por el valor 2. El valor que dijimos que no puede tomar x en la función porque nos da 0 en el denominador. El valor que se excluye del dominio. También tenemos que aquí corta el eje y en la ordenada menos un medio. O sea, cuando x toma el valor 0. Y también vemos que el eje x es una asíntota horizontal. Suponiendo que aquí tenemos la abscisa 5. Entonces esa integral representa el área que existe bajo esta curva entre 2 y 5. Es decir, esta región plana que aparece pintada con color verde. Entonces, el área de esta región va a crecer de forma indefinida. A medida que la curva va subiendo y se aproxima a la asíntota vertical, entonces así mismo el área empieza a crecer de forma incontrolada, haciéndose cada vez más grande. Por eso decimos que el área bajo esa curva tiene un valor que es infinito. O sea, no podemos determinarla exactamente. Con eso terminamos este ejercicio.

[{"start": 0.0, "end": 10.56, "text": " Vamos a resolver detalladamente esta integral definida, que es de tipo impropia. Podr\u00edamos"}, {"start": 10.56, "end": 17.06, "text": " preguntarnos por qu\u00e9, siendo que aqu\u00ed no tenemos menos infinito, ni ac\u00e1 tenemos m\u00e1s"}, {"start": 17.06, "end": 26.04, "text": " infinito. Pues bien, esto sucede porque para esta funci\u00f3n, la funci\u00f3n 1 sobre x menos"}, {"start": 26.04, "end": 36.96, "text": " 2, tenemos que su dominio son los x que pertenecen al conjunto de los n\u00fameros reales, con excepci\u00f3n"}, {"start": 36.96, "end": 44.4, "text": " del elemento 2. Vemos que aqu\u00ed, si x toma el valor 2, nos da 0 en el denominador. Por"}, {"start": 44.4, "end": 52.72, "text": " lo tanto, ese valor debe excluirse en el conjunto que representa el dominio para esa funci\u00f3n."}, {"start": 52.72, "end": 60.16, "text": " Tenemos entonces que en esta integral, el l\u00edmite inferior es justamente 2, o sea el valor prohibido."}, {"start": 60.16, "end": 68.72, "text": " Entonces ese valor debe cambiarse por una letra. Y por eso tenemos una integral impropia."}, {"start": 68.72, "end": 75.03999999999999, "text": " Vamos a utilizar la letra a. Aqu\u00ed contin\u00faa 5 en el l\u00edmite superior. La funci\u00f3n sigue"}, {"start": 75.04, "end": 84.0, "text": " siendo 1 sobre x menos 2, con su diferencial de x. Y ac\u00e1, a todo eso vamos a tomarle el"}, {"start": 84.0, "end": 92.36000000000001, "text": " l\u00edmite cuando a tiende a 2. Pero debemos especificar si tiende a 2 por la izquierda,"}, {"start": 92.36000000000001, "end": 100.64000000000001, "text": " o si tiende a 2 por la derecha. Como en este caso, vamos desde 2 hasta 5, si nos ubicamos"}, {"start": 100.64, "end": 107.64, "text": " en el eje x, entonces aqu\u00ed tenemos 2 y ac\u00e1 tenemos 5. Vamos a movernos en esta zona."}, {"start": 107.64, "end": 113.64, "text": " Por lo tanto, los valores de x que empezamos a tomar son los que est\u00e1n situados a la derecha"}, {"start": 113.64, "end": 122.12, "text": " del n\u00famero 2. Entonces por eso aqu\u00ed debemos se\u00f1alar que a tiende a 2 por la derecha."}, {"start": 122.12, "end": 128.76, "text": " Enseguida debemos buscar la antiderivada para esta funci\u00f3n. Y para ello podemos utilizar"}, {"start": 128.76, "end": 135.44, "text": " la siguiente f\u00f3rmula de las integrales. Si tenemos 1 sobre x m\u00e1s una cantidad p, una"}, {"start": 135.44, "end": 142.16, "text": " constante, todo esto con su diferencial de x. Esto ser\u00e1 igual al logaritmo natural de"}, {"start": 142.16, "end": 150.12, "text": " valor absoluto de x m\u00e1s p. Es una integral que se demuestra por el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n"}, {"start": 150.12, "end": 157.64, "text": " cambiando x m\u00e1s p por otra letra o variable. En este caso, p est\u00e1 representado por menos"}, {"start": 157.64, "end": 169.92, "text": " 2. Entonces vamos a continuarlo por ac\u00e1. Escribimos l\u00edmite cuando a tiende a 2 por la derecha."}, {"start": 169.92, "end": 175.23999999999998, "text": " Vamos a abrir un corchete que nos proteja la expresi\u00f3n y la integral de 1 sobre x menos"}, {"start": 175.23999999999998, "end": 184.51999999999998, "text": " 2 ser\u00e1 el logaritmo natural de valor absoluto de x menos 2. Siguiendo esta regla o esa f\u00f3rmula."}, {"start": 184.52, "end": 192.0, "text": " Y como tenemos una integral definida, trazamos esta l\u00ednea y anotamos los l\u00edmites de integraci\u00f3n"}, {"start": 192.0, "end": 200.60000000000002, "text": " que son a y 5. Y a continuaci\u00f3n cerramos el corchete. Ahora vamos a aplicar el teorema"}, {"start": 200.60000000000002, "end": 207.28, "text": " fundamental del c\u00e1lculo. Vamos a evaluar los l\u00edmites de integraci\u00f3n en la antiderivada"}, {"start": 207.28, "end": 216.16, "text": " que encontramos. Seguimos por ac\u00e1. Escribimos el l\u00edmite. Cuando a tiende a 2 por la derecha,"}, {"start": 216.16, "end": 222.76, "text": " abrimos el corchete y reemplazamos el 5. Entra aqu\u00ed. Nos queda el logaritmo natural de 5"}, {"start": 222.76, "end": 230.36, "text": " menos 2 que ser\u00e1 3. Valor absoluto de 3 es simplemente 3. Y a eso le restamos el reemplazo"}, {"start": 230.36, "end": 239.64000000000001, "text": " de a aqu\u00ed en la expresi\u00f3n. Nos queda logaritmo natural de valor absoluto de a menos 2 y cerramos"}, {"start": 239.64000000000001, "end": 249.68, "text": " el corchete. Ahora vamos a resolver este l\u00edmite. Vamos a continuar por ac\u00e1. Y tendremos logaritmo"}, {"start": 249.68, "end": 256.8, "text": " natural de 3. Eso se conserva. Es una constante. Y veamos qu\u00e9 sucede con esto que tenemos"}, {"start": 256.8, "end": 264.08, "text": " ac\u00e1 cuando a tiende a 2 por la derecha. All\u00ed podemos escoger un valor de a que cumpla con"}, {"start": 264.08, "end": 271.8, "text": " esa condici\u00f3n. Que sea ligeramente mayor que 2. Podemos tomar el n\u00famero 2.0001. Si"}, {"start": 271.8, "end": 280.96000000000004, "text": " ese valor lo traemos ac\u00e1 y le restamos 2, nos da como resultado 0.0001. Es decir, un"}, {"start": 280.96, "end": 287.96, "text": " n\u00famero muy cercano a 0 de naturaleza positiva. Lo podemos representar de esta manera. Y si"}, {"start": 287.96, "end": 295.0, "text": " a eso le tomamos valor absoluto, nos dar\u00e1 esa misma cantidad. Un n\u00famero cercano a 0"}, {"start": 295.0, "end": 301.59999999999997, "text": " con signo positivo. Si tomamos el logaritmo natural de una cantidad positiva muy cercana"}, {"start": 301.59999999999997, "end": 308.47999999999996, "text": " a 0, vamos a obtener como resultado un n\u00famero negativo muy grande. Es decir, que todo esto"}, {"start": 308.48, "end": 316.84000000000003, "text": " tiende hacia menos infinito. Y resolviendo esto tendremos logaritmo natural de 3 menos"}, {"start": 316.84000000000003, "end": 325.48, "text": " por menos es m\u00e1s infinito. Y en este caso, infinito absorbe esta cantidad que es peque\u00f1a."}, {"start": 325.48, "end": 330.32, "text": " A este n\u00famero grande le sumamos esto que es peque\u00f1o y seguimos obteniendo infinito."}, {"start": 330.32, "end": 337.36, "text": " Entonces, ese ser\u00e1 el resultado para esta integral impropia. M\u00e1s infinito. Y por eso"}, {"start": 337.36, "end": 345.28000000000003, "text": " concluimos que se trata de una integral que diverge. Veamos ahora qu\u00e9 es lo que sucede"}, {"start": 345.28000000000003, "end": 351.28000000000003, "text": " con esta integral gr\u00e1ficamente. All\u00ed tenemos un bosquejo de la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n"}, {"start": 351.28000000000003, "end": 360.56, "text": " que tenemos en el integrando. La funci\u00f3n 1 sobre x menos 2. Vemos que tiene una as\u00edntota"}, {"start": 360.56, "end": 366.16, "text": " vertical que pasa justamente por el valor 2. El valor que dijimos que no puede tomar"}, {"start": 366.16, "end": 373.28000000000003, "text": " x en la funci\u00f3n porque nos da 0 en el denominador. El valor que se excluye del dominio. Tambi\u00e9n"}, {"start": 373.28000000000003, "end": 380.48, "text": " tenemos que aqu\u00ed corta el eje y en la ordenada menos un medio. O sea, cuando x toma el valor"}, {"start": 380.48, "end": 388.8, "text": " 0. Y tambi\u00e9n vemos que el eje x es una as\u00edntota horizontal. Suponiendo que aqu\u00ed tenemos la"}, {"start": 388.8, "end": 396.48, "text": " abscisa 5. Entonces esa integral representa el \u00e1rea que existe bajo esta curva entre 2"}, {"start": 396.48, "end": 403.72, "text": " y 5. Es decir, esta regi\u00f3n plana que aparece pintada con color verde. Entonces, el \u00e1rea"}, {"start": 403.72, "end": 411.2, "text": " de esta regi\u00f3n va a crecer de forma indefinida. A medida que la curva va subiendo y se aproxima"}, {"start": 411.2, "end": 418.96, "text": " a la as\u00edntota vertical, entonces as\u00ed mismo el \u00e1rea empieza a crecer de forma incontrolada,"}, {"start": 418.96, "end": 424.56, "text": " haci\u00e9ndose cada vez m\u00e1s grande. Por eso decimos que el \u00e1rea bajo esa curva tiene un valor"}, {"start": 424.56, "end": 441.84000000000003, "text": " que es infinito. O sea, no podemos determinarla exactamente. Con eso terminamos este ejercicio."}]

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INTEGRALES IMPROPIAS - Ejercicio 4

#julioprofe explica cómo resolver una Integral Impropia. Tema: #IntegralesImpropias → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEHO1HueyBZxc-kJ1l7BPVP REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver paso a paso esta integral impropia, llamada así porque tenemos menos infinito y más infinito en los límites de integración. Para comenzar vamos a utilizar una propiedad de la integral definida que dice que la integral desde a hasta b de una función f de x con su diferencial puede escribirse como la integral desde a hasta c de esa función con su diferencial más la integral desde c hasta b de la misma función con su diferencial, siempre que c sea un valor comprendido entre a y b. En este caso tenemos la integral de una función que es continua en todos los números reales desde menos infinito hasta más infinito, entonces vamos a escoger un valor intermedio, puede ser cualquier número real para partir esa integral en otras dos siguiendo esta propiedad. Vamos a escoger por ejemplo el valor cero, entonces tendremos la integral desde menos infinito hasta cero de esa función 5 sobre 1 más x al cuadrado con su diferencial de x más la integral desde cero hasta infinito de la misma función con su diferencial de x. Tenemos allí dos integrales impropias que vamos a estudiar por separado, esta la vamos a llamar la integral 1 y esta vamos a llamarla la integral 2. Vamos entonces con la primera integral impropia, allí debemos cambiar el límite inferior que es menos infinito por una letra, vamos a utilizar la letra a, entonces tenemos la integral desde a hasta cero de la función 5 sobre 1 más x al cuadrado con su diferencial de x y a todo esto vamos a tomarle el límite cuando a tiende a menos infinito. Enseguida debemos determinar la antiderivada para esta función, vamos a realizar eso por acá la integral indefinida de 5 sobre 1 más x al cuadrado con su diferencial de x, allí podemos extraer el 5 que multiplica con la integral de 1 sobre 1 más x al cuadrado con su diferencial de x y aquí tenemos una integral directa, nos va a quedar 5 por tangente a la menos 1 de x, recordemos que la derivada de tangente a la menos 1 de x es esto, 1 sobre 1 más x al cuadrado, esta será entonces la antiderivada para esta función. Entonces tendremos el límite cuando a tiende a menos infinito, abrimos un corchete, la integral de esto que nos dio 5 por tangente a la menos 1 de x y como es una integral definida trazamos esta línea y anotamos los límites de integración que son a y cero y cerramos el corchete que nos protege la expresión. Vamos a continuar el desarrollo del ejercicio por acá y enseguida vamos a aplicar el teorema fundamental del cálculo, entonces vamos a evaluar estos límites de integración en la antiderivada, comenzamos reemplazando el cero aquí donde está la x, nos queda 5 por tangente a la menos 1 de cero y a eso le restamos el reemplazo del límite inferior también en la antiderivada, o sea 5 por tangente a la menos 1 de a y cerramos el corchete. Ahora tenemos que resolver este límite, la tangente a la menos 1 de cero nos da como resultado cero grados o cero radianes, acá debemos trabajar en radianes y acá si a toma el valor menos infinito tendremos tangente a la menos 1 de menos infinito que podemos hacerlo en la calculadora científica, hacemos tangente a la menos 1 de menos mil o de menos diez mil y encontramos que el resultado es un valor muy cercano a menos 90 grados, eso en radianes equivale a menos pi medios. Resolvemos ahora estas operaciones, 5 por cero nos da cero, este primer término se elimina, y acá tenemos menos 5 por menos pi medios que nos da 5 pi medios positivo y ese será el resultado de la primera integral, como obtuvimos un número real decimos que esa integral impropia converge. Escribimos entonces ese resultado por aquí, la integral 1 nos dio 5 pi medios, dijimos que converge, escribimos la letra c y ahora debemos entrar a revisar la integral 2, si acá hubiéramos tenido una integral que diverge no habría necesidad de estudiar la integral 2, si acá nos da que diverge el ejercicio original será una integral impropia que diverge, pero como acá nos dio que la primera converge estamos en la obligación de analizar la segunda, si esta converge entonces toda la integral impropia converge, si esta nos da que diverge entonces la original también diverge. Comenzamos con la segunda integral, tenemos infinito en el límite superior entonces vamos a cambiar eso por la letra b, abajo nos queda el cero, la función no cambia, sigue siendo 5 sobre 1 más x al cuadrado con su diferencial de x y a todo esto le tomamos el límite cuando b tiende a infinito, lo que tenemos originalmente en el límite superior. La antiderivada de esta función ya la encontramos, entonces tenemos límite cuando b tiende a infinito, abrimos el corchete, dijimos que la integral de esa expresión es 5 por tangente a la menos 1 de x y esto vamos a evaluarlo en los límites cero y b, los límites de integración y cerramos el corchete que nos protege esa expresión. Ahora vamos a aplicar el teorema fundamental del cálculo, vamos a seguir por acá, tendremos límite cuando b tiende a infinito y vamos a reemplazar primero el límite superior, ahora aquí donde tenemos la x nos queda 5 por tangente a la menos 1 de b menos el reemplazo de cero aquí donde tenemos x, 5 por tangente a la menos 1 de cero y cerramos el corchete. Ahora vamos a resolver este límite, aquí tenemos tangente a la menos 1 de cero que dijimos que da como resultado cero radianes y acá si b toma el valor más infinito tendremos tangente a la menos 1 de un número real muy grande, en calculadora científica podemos hacer tangente a la menos 1 de mil o de 10 mil o de un millón del número que queramos pero muy grande y eso nos da un resultado muy cercano a 90 grados que equivale a pi medios, entonces el resultado de este límite será 5 por pi medios que es 5 pi medios y acá tenemos 5 por cero que nos da cero, este término se elimina y tenemos esta respuesta que será el resultado para la segunda integral impropia, como obtuvimos un número real decimos que esa integral converge, entonces la integral 2 nos dio también 5 pi medios o sea que también converge por lo tanto la integral original va a ser convergente porque las dos integrales que la conforman ambas son convergentes, hacemos entonces la suma de esas dos cantidades y obtenemos 5 pi medios más 5 pi medios eso nos da 10 pi medios que equivale a 5 pi, entonces la conclusión para el ejercicio original es que se trata de una integral impropia que converge, escribimos entonces la respuesta por aquí y a continuación vamos a ver qué es lo que sucede con esta integral gráficamente, allí se observa un bosquejo de la gráfica de la función que tenemos en el integrando, la función 5 sobre 1 más x al cuadrado vemos que se trata de una función continua en todos los números reales, corta el eje y en la ordenada 5 porque si x toma el valor 0 esto nos da cero abajo nos queda denominador 1 y 5 sobre 1 es 5 también se observa que el eje x es asíntota horizontal, esta integral impropia representa el área que hay bajo esta curva desde menos infinito hasta más infinito es decir esta región que aparece señalada con color verde, el área de esa región plana será de 5 pi unidades cuadradas, si multiplicamos 5 por pi nos da aproximadamente 15.71 unidades cuadradas que corresponde al área bajo la curva desde menos infinito hasta más infinito con esto terminamos este ejercicio.

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INTEGRALES IMPROPIAS - Ejercicio 3

#julioprofe explica cómo resolver una Integral Impropia. Tema: #IntegralesImpropias → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEHO1HueyBZxc-kJ1l7BPVP REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver detalladamente esta integral impropia, llamada así porque tenemos menos infinito en el límite inferior. Comenzamos justamente por cambiar este límite de integración por una letra. Vamos a utilizar la letra a, en el límite superior continúa el número 4. La función que vamos a integrar sigue siendo 2 por e a la x con su diferencial de x y a todo esto vamos a tomarle el límite de esta letra a cuando tiende a menos infinito, o sea lo que tenemos originalmente en el límite inferior. Enseguida vamos a integrar esta función, podemos hacerlo directamente, vamos a continuar por acá, escribimos el límite cuando a tiende a menos infinito, vamos a abrir un corchete para proteger lo que sigue, la integral de esto será 2 que se queda quieto por ser el número que está multiplicando y la integral de e a la x es ella misma. Y como tenemos una integral definida, trazamos esta línea, anotamos los límites de integración y allí vamos a cerrar el corchete que nos protege esa expresión. A continuación aplicamos el teorema fundamental del cálculo, vamos a evaluar estos valores acá en la antiderivada, seguimos por acá, escribimos el límite cuando a tiende a menos infinito, abrimos de nuevo el corchete y reemplazamos primero el límite superior que entra donde tenemos la x, nos queda 2 por e a la 4 y a eso le restamos el reemplazo o la evaluación del límite inferior que también entra donde tenemos la x, nos queda 2 por e a la a y cerramos el corchete. Ahora vamos a resolver este límite, para ello vamos a sustituir a por menos infinito, entonces continuamos por acá, esto nos queda igual 2 por e a la 4 y eso nos queda menos 2 por e a la menos infinito. Como vemos el primer componente es una constante, todo esto representa un número real, vamos a ver que pasa con e a la menos infinito, vamos a verlo por acá, e a la menos infinito será 1 sobre e a la infinito, pero recordemos que el número de Euler equivale a 2.71828, puntos suspensivos porque sigue indefinidamente, es un número irracional y cuando este número se eleva a infinito nos da infinito y 1 dividido entre infinito entre una cantidad gigantesca es algo que tiende a cero, por lo tanto e a la menos infinito se convierte en cero y entonces anula este término, por lo tanto eso nos queda 2 por e a la 4 que será entonces el resultado de la integral impropia. Como en este caso el resultado es un número real concluimos que esa integral impropia converge, vamos a ver que es lo que sucede con este ejercicio gráficamente. Allí tenemos un bosquejo de la gráfica que corresponde a la función que hay en el integrando, la función 2 por e a la x, vemos que es una curva creciente que corta el eje y en la ordenada 2 porque cuando x toma el valor cero esto nos da e a la cero que es 1 y 1 por 2 es 2. También se observa que el eje x es asíntota horizontal, suponiendo que aquí tenemos la abscisa 4, entonces esa integral representa el área que hay bajo esta curva comprendida entre menos infinito y 4, es decir el área de esta región que aparece rayada con color verde. Entonces el área de esa región plana será 2 por e a la 4 unidades cuadradas y esto si lo realizamos en calculadora científica nos da aproximadamente 109.2 unidades cuadradas. Con esto terminamos este ejercicio.

[{"start": 0.0, "end": 10.200000000000001, "text": " Vamos a resolver detalladamente esta integral impropia, llamada as\u00ed porque tenemos menos"}, {"start": 10.200000000000001, "end": 12.92, "text": " infinito en el l\u00edmite inferior."}, {"start": 12.92, "end": 19.400000000000002, "text": " Comenzamos justamente por cambiar este l\u00edmite de integraci\u00f3n por una letra."}, {"start": 19.400000000000002, "end": 24.96, "text": " Vamos a utilizar la letra a, en el l\u00edmite superior contin\u00faa el n\u00famero 4."}, {"start": 24.96, "end": 30.96, "text": " La funci\u00f3n que vamos a integrar sigue siendo 2 por e a la x con su diferencial de x y a"}, {"start": 30.96, "end": 40.32, "text": " todo esto vamos a tomarle el l\u00edmite de esta letra a cuando tiende a menos infinito, o"}, {"start": 40.32, "end": 44.760000000000005, "text": " sea lo que tenemos originalmente en el l\u00edmite inferior."}, {"start": 44.760000000000005, "end": 52.28, "text": " Enseguida vamos a 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259.96, "text": " abscisa 4, entonces esa integral representa el \u00e1rea que hay bajo esta curva comprendida"}, {"start": 259.96, "end": 267.56, "text": " entre menos infinito y 4, es decir el \u00e1rea de esta regi\u00f3n que aparece rayada con color"}, {"start": 267.56, "end": 268.56, "text": " verde."}, {"start": 268.56, "end": 279.2, "text": " Entonces el \u00e1rea de esa regi\u00f3n plana ser\u00e1 2 por e a la 4 unidades cuadradas y esto si"}, {"start": 279.2, "end": 287.08, "text": " lo realizamos en calculadora cient\u00edfica nos da aproximadamente 109.2 unidades cuadradas."}, {"start": 287.08, "end": 298.71999999999997, "text": " Con esto terminamos este ejercicio."}]

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INTEGRALES IMPROPIAS - Ejercicio 2

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Vamos a resolver paso a paso esta integral impropia. Se llama así porque se trata de una integral definida que tiene más infinito en el límite superior. Comenzamos por cambiar precisamente el límite superior, o sea, donde tenemos infinito, por una letra y vamos a utilizar la letra B. Acá en el límite inferior sigue el número de Euler, acá en la función que vamos a integrar sigue 3 sobre x, anotamos el diferencial de x y acá escribimos el límite de esta nueva variable, o sea, B, cuando ella tiende a más infinito, o sea, lo que tenemos originalmente en el límite superior. Enseguida debemos determinar la antiderivada de esta función, vamos a realizar eso por acá. La integral de 3 sobre x con su diferencial de x es una integral directa, podemos extraer el número 3 que queda multiplicando con la integral de 1 sobre x con su respectivo diferencial de x. Y esta integral recordemos que es logaritmo natural de valor absoluto de x. Entonces esta expresión es la antiderivada de la función, entonces eso nos queda límite cuando B tiende a infinito de la expresión 3 por logaritmo natural de valor absoluto de x. Pero como esta es una integral definida, trazamos esta línea y anotamos los límites de integración, E es el inferior, B es el superior y cerramos el corchete. Ahora vamos a aplicar el teorema fundamental del cálculo, vamos a evaluar estos límites de integración en la antiderivada. Continuamos por acá, tendremos límite cuando B tiende a más infinito y entra primero el límite superior aquí donde tenemos la x. Nos queda 3 por logaritmo natural de valor absoluto de B y hasta le restamos el reemplazo o la evaluación del límite inferior que es el número de Euler. Entra aquí donde tenemos x, nos queda 3 por logaritmo natural del valor absoluto de E y cerramos el corchete. Ahora debemos resolver este límite, tenemos que B tiende a infinito, entonces vamos a reemplazarlo aquí, nos queda 3 por logaritmo natural de valor absoluto de infinito. B está tomando en este caso un número positivo que es gigantesco y a esto le restamos 3 por logaritmo natural de valor absoluto de E que es simplemente E porque el número de Euler es una cantidad positiva. Aquí tenemos que logaritmo natural de infinito nos da como resultado infinito, recordemos que la función logaritmo natural de x es una curva creciente de tal forma que si x toma valores cada vez más grandes los valores de y también van a ser más grandes, entonces por eso esto se nos va hacia infinito. Por acá tenemos que logaritmo natural de E equivale a 1, entonces nos queda 3 por infinito, eso nos da infinito, o sea un número mucho más grande y a eso le restamos 3 por 1 que nos da 3. Si a infinito le restamos 3 nos sigue dando infinito, entonces esto será el resultado de esta integral impropia nos da más infinito y por ello se concluye que esta integral diverge. Veamos lo que quiere decir esta integral impropia gráficamente, allí tenemos un bosquejo de la gráfica de la función que tenemos en el integrando, la función 3 sobre x se observa que el eje y es asíntota vertical y el eje x es asíntota horizontal, suponemos que aquí se encuentra localizado el número E, recordemos que E equivale a 2.718. Y este número sigue indefinidamente porque es un decimal infinito no periódico, se trata de un número irracional. Entonces esta integral representa el área que existe bajo esta curva comprendida entre el número E y más infinito, es decir esta región que aparece pintada con color verde cuya área no es posible determinar porque crece indefinidamente de tal forma que se va hacia más infinito, con eso terminamos este ejercicio.

[{"start": 0.0, "end": 9.96, "text": " Vamos a resolver paso a paso esta integral impropia. Se llama as\u00ed porque se trata de"}, {"start": 9.96, "end": 15.64, "text": " una integral definida que tiene m\u00e1s infinito en el l\u00edmite superior."}, {"start": 15.64, "end": 22.46, "text": " Comenzamos por cambiar precisamente el l\u00edmite superior, o sea, donde tenemos infinito, por"}, {"start": 22.46, "end": 40.24, "text": " una letra y vamos a utilizar la letra B. Ac\u00e1 en el l\u00edmite inferior sigue el n\u00famero de Euler, ac\u00e1 en la funci\u00f3n que vamos a integrar sigue 3 sobre x, anotamos el diferencial de x y ac\u00e1 escribimos el l\u00edmite de esta nueva variable,"}, {"start": 40.24, "end": 48.0, "text": " o sea, B, cuando ella tiende a m\u00e1s infinito, o sea, lo que tenemos originalmente en el l\u00edmite superior."}, {"start": 48.0, "end": 54.96, "text": " Enseguida debemos determinar la antiderivada de esta funci\u00f3n, vamos a realizar eso por ac\u00e1."}, {"start": 54.96, "end": 72.48, "text": " La integral de 3 sobre x con su diferencial de x es una integral directa, podemos extraer el n\u00famero 3 que queda multiplicando con la integral de 1 sobre x con su respectivo diferencial de x."}, {"start": 72.48, "end": 79.92, "text": " Y esta integral recordemos que es logaritmo natural de valor absoluto de x."}, {"start": 79.92, "end": 100.88000000000001, "text": " Entonces esta expresi\u00f3n es la antiderivada de la funci\u00f3n, entonces eso nos queda l\u00edmite cuando B tiende a infinito de la expresi\u00f3n 3 por logaritmo natural de valor absoluto de x."}, {"start": 100.88, "end": 114.8, "text": " Pero como esta es una integral definida, trazamos esta l\u00ednea y anotamos los l\u00edmites de integraci\u00f3n, E es el inferior, B es el superior y cerramos el corchete."}, {"start": 114.8, "end": 123.32, "text": " Ahora vamos a aplicar el teorema fundamental del c\u00e1lculo, vamos a evaluar estos l\u00edmites de integraci\u00f3n en la antiderivada."}, {"start": 123.32, "end": 135.51999999999998, "text": " Continuamos por ac\u00e1, tendremos l\u00edmite cuando B tiende a m\u00e1s infinito y entra primero el l\u00edmite superior aqu\u00ed donde tenemos la x."}, {"start": 135.51999999999998, "end": 146.44, "text": " Nos queda 3 por logaritmo natural de valor absoluto de B y hasta le restamos el reemplazo o la evaluaci\u00f3n del l\u00edmite inferior que es el n\u00famero de Euler."}, {"start": 146.44, "end": 156.76, "text": " Entra aqu\u00ed donde tenemos x, nos queda 3 por logaritmo natural del valor absoluto de E y cerramos el corchete."}, {"start": 156.76, "end": 172.84, "text": " Ahora debemos resolver este l\u00edmite, tenemos que B tiende a infinito, entonces vamos a reemplazarlo aqu\u00ed, nos queda 3 por logaritmo natural de valor absoluto de infinito."}, {"start": 172.84, "end": 189.8, "text": " B est\u00e1 tomando en este caso un n\u00famero positivo que es gigantesco y a esto le restamos 3 por logaritmo natural de valor absoluto de E que es simplemente E porque el n\u00famero de Euler es una cantidad positiva."}, {"start": 189.8, "end": 199.36, "text": " Aqu\u00ed tenemos que logaritmo natural de infinito nos da como resultado infinito, recordemos que la funci\u00f3n logaritmo natural de x es una curva creciente"}, {"start": 199.36, "end": 210.04000000000002, "text": " de tal forma que si x toma valores cada vez m\u00e1s grandes los valores de y tambi\u00e9n van a ser m\u00e1s grandes, entonces por eso esto se nos va hacia infinito."}, {"start": 210.04000000000002, "end": 224.48000000000002, "text": " Por ac\u00e1 tenemos que logaritmo natural de E equivale a 1, entonces nos queda 3 por infinito, eso nos da infinito, o sea un n\u00famero mucho m\u00e1s grande y a eso le restamos 3 por 1 que nos da 3."}, {"start": 224.48, "end": 241.28, "text": " Si a infinito le restamos 3 nos sigue dando infinito, entonces esto ser\u00e1 el resultado de esta integral impropia nos da m\u00e1s infinito y por ello se concluye que esta integral diverge."}, {"start": 241.28, "end": 255.12, "text": " Veamos lo que quiere decir esta integral impropia gr\u00e1ficamente, all\u00ed tenemos un bosquejo de la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n que tenemos en el integrando, la funci\u00f3n 3 sobre x"}, {"start": 255.12, "end": 271.08, "text": " se observa que el eje y es as\u00edntota vertical y el eje x es as\u00edntota horizontal, suponemos que aqu\u00ed se encuentra localizado el n\u00famero E, recordemos que E equivale a 2.718."}, {"start": 271.08, "end": 280.84, "text": " Y este n\u00famero sigue indefinidamente porque es un decimal infinito no peri\u00f3dico, se trata de un n\u00famero irracional."}, {"start": 280.84, "end": 298.36, "text": " Entonces esta integral representa el \u00e1rea que existe bajo esta curva comprendida entre el n\u00famero E y m\u00e1s infinito, es decir esta regi\u00f3n que aparece pintada con color verde cuya \u00e1rea no es posible determinar"}, {"start": 298.36, "end": 307.0, "text": " porque crece indefinidamente de tal forma que se va hacia m\u00e1s infinito, con eso terminamos este ejercicio."}]

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INTEGRALES IMPROPIAS - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo resolver una Integral Impropia. Tema: #IntegralesImpropias → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEHO1HueyBZxc-kJ1l7BPVP REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver detalladamente esta integral impropia, se llama así porque tenemos en el límite superior más infinito. Comenzamos por cambiar este límite superior por una letra, en este caso vamos a usar b, el límite inferior sigue siendo 2 y la función que se va a integrar sigue siendo 4 sobre x al cuadrado con su diferencial de x y acá por fuera de la integral escribimos el límite de esta letra cuando tiende a más infinito, o sea lo que tenemos inicialmente en el límite superior. Enseguida vamos a obtener la antiderivada para esta función, vamos a realizar este procedimiento por acá, la integral de 4 sobre x al cuadrado con su diferencial de x, se puede reescribir como la integral de 4x a la menos 2 con ese mismo diferencial, subimos la potencia y nos cambia de signo el exponente, tenemos allí una integral directa donde dejamos el número 4 quieto y nos ocupamos de integrar x a la menos 2, allí le sumamos 1 a este número, menos 2 más 1 nos da menos 1 y ese mismo número se describe en el denominador. Ahora acomodamos esa expresión de la siguiente manera, trazamos la línea de la fracción, arriba podemos dejar el 4, bajamos x a la menos 1 que llega como x al denominador y este signo menos lo podemos trasladar bien sea a la parte de arriba o en la mitad de la fracción, vamos a dejarlo en este caso en la parte superior, este 1 simplemente desaparece. Continuamos el desarrollo del ejercicio por acá y esto nos queda límite cuando tiende a más infinito y vamos entonces con el resultado de la integral que nos dio menos 4 sobre x, la integral indefinida nos dio esta expresión pero acá tenemos una integral definida por lo tanto trazamos esta línea, anotamos los límites de integración que son 2 y b y cerramos el corchete. Ahora aquí vamos a aplicar el teorema fundamental del cálculo, vamos a evaluar estos límites de integración en la antiderivada que obtuvimos, vamos a seguir por acá, nos queda entonces límite cuando b tiende a más infinito, vamos a abrir corchete y reemplazamos el límite superior aquí donde está la x, nos queda menos 4 sobre b y a eso vamos a restarle el reemplazo o la evaluación del límite inferior también donde tenemos la x, esto nos queda menos 4 sobre 2, cerramos el paréntesis que protege esa cantidad negativa y cerramos el corchete. Ahora tenemos que resolver este límite donde b tiende a infinito, entonces podemos reemplazar aquí en la expresión de por esta cantidad, recordemos que infinito hace referencia a un número muy grande, un número gigantesco que entra a ocupar el lugar de la variable, aquí nos queda menos por menos que es más y cuatro medios se convierte en dos, allí tenemos que menos cuatro dividido entre un número enorme, o sea dividido entre infinito es algo que se convierte en cero, obtiene a cero y cero más dos nos da como resultado dos, que será entonces la respuesta para esa integral impropia, como nos dio un número real concluimos que esta integral convergen. Veamos cómo se interpreta eso gráficamente, allí tenemos un bosquejo de la gráfica de la función que tenemos en el integrando, es decir la función 4 sobre x al cuadrado, se observa que el eje y es asíntota vertical y el eje x es asíntota horizontal, suponiendo que aquí tenemos la abscisa 2, entonces esa integral definida corresponde al área bajo esta curva entre 2 y más infinito, es decir esta región que aparece pintada con color verde, entonces el área de esta región geométricamente tiene un valor de dos unidades cuadradas, con eso terminamos este ejercicio.

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ECUACIONES LOGARÍTMICAS - Ejercicio 15

#julioprofe explica cómo resolver una ecuación que contiene logaritmos. Tema: #EcuacionesLogarítmicas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwGy9_WwQrZrw9iTXiKDua5T REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver esta ecuación donde tenemos logaritmos en la base 10. Recordemos que cuando aquí no se observa ningún número en la base, se trata de logaritmo vulgar o logaritmo de Briggs que contiene la base 10. Comenzamos por transformar esa raíz cúbica de X utilizando lo que es esta propiedad. Si tenemos la raíz de índice N de X a la m, esto es igual a X a la m sobre n, la propiedad que nos permite transformar una raíz en potencia. Para el caso de raíz cúbica de X, es decir, raíz cúbica de X a la 1, si aplicamos esa propiedad nos queda como X a la 1 tercio. Entonces acá en la ecuación original hacemos ese cambio. Aquí nos queda logaritmo en base 10 de X a la 1 tercio igual a la raíz cuadrada del logaritmo en base 10 de X, es decir, lo que tenemos en el lado derecho no presenta ningún cambio. Ahora en el lado izquierdo de la igualdad vamos a aplicar esta propiedad de los logaritmos. Si tenemos el logaritmo en base a de b elevada al exponente k, es decir, el logaritmo de una potencia, entonces este exponente va a multiplicar con el logaritmo en base a de b. Entonces allá podemos aplicar esta propiedad. Un tercio va a multiplicar con el logaritmo en base 10 de X y lo que está en el lado derecho no presenta ningún cambio. Es la raíz cuadrada del logaritmo en base 10 de X. En esta etapa del ejercicio vemos que se repite logaritmo en base 10 de X. Entonces allí es cuando podemos utilizar un recurso bastante útil que se llama cambio de variable. Vamos entonces a llamar el logaritmo en base 10 de X como la letra W. Entonces vamos a reescribir nuestra ecuación en términos de la nueva letra. Tendremos un tercio por esto que es W igual a la raíz cuadrada de esta expresión que también se cambia por W. A esta W podemos colocarle denominador 1 y tendremos aquí una multiplicación de fracciones. Recordemos entonces que se multiplican numeradores entre sí, 1 por W es W y denominadores entre sí, 3 por 1 que nos da 3 y esto nos queda igualado a la raíz cuadrada de W. Hemos llegado a lo que se llama una ecuación con radicales. Tenemos aquí una raíz cuadrada que debemos eliminar. Para ello se necesita elevar ambos miembros de la igualdad al cuadrado. Entonces tendremos W tercios, todo esto al cuadrado igual a la raíz cuadrada de W también elevada al cuadrado. Acá en el lado izquierdo este exponente afecta al numerador y también al denominador. Nos queda entonces W al cuadrado sobre 3 al cuadrado que es igual a 9 y acá el cuadrado destruye la raíz cuadrada y nos queda simplemente W. Allí podemos pasar este número 9 que está dividiendo al otro lado a multiplicar. Nos queda W al cuadrado igual a 9 por W que es 9W. Llegamos así a lo que es una ecuación cuadrática o de segundo grado. Necesitamos tenerla igualada a 0 para poder resolverla. Entonces este término vamos a pasarlo al lado izquierdo. Nos queda W al cuadrado menos 9W igual a 0. Este término que está positivo llega al lado izquierdo con signo negativo. Ahí ya tenemos la ecuación cuadrática y vamos a resolverla por factorización porque aquí vemos que hay factor común W. Entonces por ese camino vamos a resolverla rápidamente. Sacamos entonces factor común que es W y nos queda factor de W menos 9 y todo esto nos queda igualado a 0. Ahora aplicamos el teorema del factor nulo. Recordemos que si se tiene el producto de dos expresiones y eso está igualado a 0 entonces cada una de esas expresiones debe igualarse a 0. Aplicando entonces el teorema nos queda W igual a 0 o W menos 9 igual a 0. Por acá ya tenemos una solución para la variable W y por acá podemos despejarla. Pasamos el 9 que está restando al otro lado a sumar con 0 y nos queda W igual a 9. De esta manera tenemos las dos soluciones de la ecuación cuadrática. Llega el momento de deshacer el cambio de variable. Recordemos que W equivale al logaritmo en base 10 de X. Entonces por acá tendremos que eso se convierte en logaritmo en base 10 de X igual a 0 y por acá tendremos logaritmo en base 10 de X igual a 9. Repetimos, se cambia W por la expresión logaritmo en base 10 de X. Ahora vamos a despejar X en cada caso. Para ello necesitamos pasar de la forma logarítmica a la forma exponencial. Recordemos cómo se hace eso. Si tenemos logaritmo en base a de b igual a una cantidad c, entonces esto quiere decir que a a la c es igual a b. Bueno, esto es de doble vía porque nos permite pasar de la forma logarítmica a la forma exponencial y también nos permite devolvernos. Entonces, en ambos casos dijimos que se tiene logaritmo en base 10. Allí hacemos visible la base que es 10 y vamos a pasar a la forma exponencial. Acá tendremos entonces 10 a la cero igual a X y por acá tendremos 10 a la 9 también igual a X. En el primer caso tenemos que 10 a la cero es igual a 1. Entonces por acá tenemos X igual a 1 y por acá X equivale a 10 a la 9 donde 10 a la 9 será 1 1 seguido de 9 ceros. Aquí lo tenemos, aquí marcamos el punto de los miles, aquí la comita que indica millones y aquí el punto que indica miles de millones. Este es el número mil millones pero podemos dejarlo expresado simplemente como potencia, como 10 a la 9. En principio estas serán las soluciones para esa ecuación, sin embargo tenemos que revisar que estos números no vayan a entorpecer la expresión original. Simplemente revisamos que al reemplazar X a K por estos valores tengamos siempre argumentos positivos. Si el 1 entra aquí nos queda la raíz cúbica de 1, cantidad positiva y si entra acá también es argumento positivo, por lo tanto el logaritmo existe sin ningún problema. Entonces X igual a 1 se acepta. Vamos con 10 a la 9, si entra aquí produce una cantidad positiva y lo mismo sucede acá. Entonces también se acepta ese resultado. Para finalizar simplemente escribimos el conjunto solución de esta ecuación. X puede tomar los valores 1 o 10 a la 9, son los que satisfacen la ecuación original y así terminamos este ejercicio.

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Para ello necesitamos pasar"}, {"start": 367.96, "end": 375.04, "text": " de la forma logar\u00edtmica a la forma exponencial. Recordemos c\u00f3mo se hace eso. Si tenemos logaritmo"}, {"start": 375.04, "end": 383.28000000000003, "text": " en base a de b igual a una cantidad c, entonces esto quiere decir que a a la c es igual a"}, {"start": 383.28000000000003, "end": 388.84000000000003, "text": " b. Bueno, esto es de doble v\u00eda porque nos permite pasar de la forma logar\u00edtmica a la"}, {"start": 388.84000000000003, "end": 395.52000000000004, "text": " forma exponencial y tambi\u00e9n nos permite devolvernos. Entonces, en ambos casos dijimos que se tiene"}, {"start": 395.52000000000004, "end": 403.06, "text": " logaritmo en base 10. All\u00ed hacemos visible la base que es 10 y vamos a pasar a la forma"}, {"start": 403.06, "end": 412.64, "text": " exponencial. Ac\u00e1 tendremos entonces 10 a la cero igual a X y por ac\u00e1 tendremos 10 a"}, {"start": 412.64, "end": 424.76, "text": " la 9 tambi\u00e9n igual a X. En el primer caso tenemos que 10 a la cero es igual a 1. Entonces"}, {"start": 424.76, "end": 433.96, "text": " por ac\u00e1 tenemos X igual a 1 y por ac\u00e1 X equivale a 10 a la 9 donde 10 a la 9 ser\u00e1 1 1 seguido"}, {"start": 433.96, "end": 443.03999999999996, "text": " de 9 ceros. Aqu\u00ed lo tenemos, aqu\u00ed marcamos el punto de los miles, aqu\u00ed la comita que"}, {"start": 443.03999999999996, "end": 449.64, "text": " indica millones y aqu\u00ed el punto que indica miles de millones. Este es el n\u00famero mil millones"}, {"start": 449.64, "end": 457.59999999999997, "text": " pero podemos dejarlo expresado simplemente como potencia, como 10 a la 9. En principio"}, {"start": 457.59999999999997, "end": 462.71999999999997, "text": " estas ser\u00e1n las soluciones para esa ecuaci\u00f3n, sin embargo tenemos que revisar que estos"}, {"start": 462.71999999999997, "end": 470.2, "text": " n\u00fameros no vayan a entorpecer la expresi\u00f3n original. Simplemente revisamos que al reemplazar"}, {"start": 470.2, "end": 477.15999999999997, "text": " X a K por estos valores tengamos siempre argumentos positivos. Si el 1 entra aqu\u00ed nos queda la"}, {"start": 477.16, "end": 483.28000000000003, "text": " ra\u00edz c\u00fabica de 1, cantidad positiva y si entra ac\u00e1 tambi\u00e9n es argumento positivo,"}, {"start": 483.28000000000003, "end": 489.48, "text": " por lo tanto el logaritmo existe sin ning\u00fan problema. Entonces X igual a 1 se acepta."}, {"start": 489.48, "end": 496.20000000000005, "text": " Vamos con 10 a la 9, si entra aqu\u00ed produce una cantidad positiva y lo mismo sucede ac\u00e1."}, {"start": 496.20000000000005, "end": 503.16, "text": " Entonces tambi\u00e9n se acepta ese resultado. Para finalizar simplemente escribimos el conjunto"}, {"start": 503.16, "end": 515.64, "text": " soluci\u00f3n de esta ecuaci\u00f3n. X puede tomar los valores 1 o 10 a la 9, son los que satisfacen"}, {"start": 515.64, "end": 534.04, "text": " la ecuaci\u00f3n original y as\u00ed terminamos este ejercicio."}]

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SISTEMA DE ECUACIONES 4×4 POR GAUSS-JORDAN

Julioprofe explica cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales de 4x4 por el método de Gauss-Jordan. Tema: #SistemasDeEcuacionesPorGauss → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHIZDUeWJQtdIB9-DmzDfZh REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver detalladamente este sistema de cuatro ecuaciones lineales con cuatro incógnitas utilizando el método de Gauss-Georgel. Para comenzar señalamos que las cuatro ecuaciones ya están escritas de la forma AW más BX más CY más DZ igual a E. Tenemos allí las incógnitas que son WXY y Z. En este caso las letras ABCDE representan las constantes en este sistema de ecuaciones. Enseguida vamos a construir la matriz de coeficientes. Para guiarnos vamos a escribir las incógnitas, decíamos que son WXY y Z. Entonces vamos con los coeficientes de la primera ecuación. Aquí tenemos coeficiente 1, para X tenemos coeficiente menos 2, para Y tenemos coeficiente 2 y para Z en la primera ecuación tenemos coeficiente menos 3. Vamos con los de la segunda ecuación, para W tenemos coeficiente 3, para X tenemos coeficiente 4, para Y tenemos coeficiente menos 1 y para Z tenemos coeficiente 1 positivo. Vamos con los de la tercera ecuación, aquí para W tenemos coeficiente 2, para X coeficiente menos 3, para Y tenemos coeficiente 2 y para Z tenemos coeficiente menos 1. Vamos con los de la cuarta ecuación, para W tenemos coeficiente 1, para X también tenemos coeficiente 1 positivo, para Y coeficiente menos 3 y para Z tenemos coeficiente menos 2. Trasamos ahora esta línea y aquí vamos a escribir los términos independientes que corresponden a cada ecuación. En la primera tenemos el número 15, en la segunda tenemos menos 6, en la tercera tenemos 17 y en la cuarta tenemos el número menos 7. De esta manera hemos construido la matriz aumentada para este sistema de ecuaciones lineales de 4x4, cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas. Aquí tenemos los coeficientes de las letras o incógnitas y a la derecha de la línea vertical tenemos los términos independientes. En la matriz de coeficientes, es decir en esta, distinguimos lo que es la diagonal principal y lo que vamos a buscar son cerros debajo y encima de ella. Entonces vamos a ver a continuación cual es el orden recomendado para buscar los cerros. Vamos a comenzar con esta celda que esta en la fila 4 columna 1, entonces es la celda 4 1, después vamos con esta que esta en la fila 3 columna 1, celda 3 1, después esta que esta en la fila 2 columna 1, celda 2 1, después pasamos a esta, fila 4 columna 2, celda 4 2, después esta que esta en la fila 3 columna 2, celda 3 2 y después esta que se encuentra en la fila 4 columna 3, celda 4 3. Estas son las que van a estar debajo de la diagonal principal, después pasamos aca, esta se encuentra en la fila 1 columna 4, celda 1 4, después esta, fila 2 columna 4, celda 2 4, después esta que esta en la fila 3 columna 4, celda 3 4, después esta, fila 1 columna 3, celda 1 3, después esta, fila 2 columna 3, celda 2 3 y terminaríamos con esta que esta en la fila 1 y la columna 2, o sea la celda 1 2. Comenzamos entonces buscando el cero que va en la celda 4 1, es decir aquí, y para ello se recomienda trabajar con estos dos renglones o filas, fila 4 con fila 1, vamos entonces a inventarnos una operación con estos dos valores, de tal forma que al efectuar la suma entre ellos nos de cero, podemos entonces multiplicar esto por menos 1 y sumárselo a esto que tenemos aca, entonces en la fila 4 o renglón 4 vamos a ejecutar la siguiente operación, menos 1 por el renglón 1 y a eso le sumamos lo que hay en el renglón 4. Tenemos entonces lo siguiente, esto por menos 1 nos da menos 1, más 1 es cero, esto por menos 1 nos da 2, sumado con 1 es 3, esto por menos 1 nos da menos 2, sumado con menos 3 nos da menos 5, esto por menos 1 es 3 positivo, sumado con menos 2 nos da 1 positivo y esto por menos 1 nos da menos 15, sumado con menos 7 es menos 22. Entonces lo que hacemos es anotar estos resultados por aquí, ya tenemos entonces el primer cero, el que corresponde a la celda 4 1, vamos ahora con el que va en la celda 3 1 y vamos a trabajar justamente estos dos renglones, renglón 3 con renglón 1, de nuevo nos inventamos una operación con estos dos valores de tal forma que al hacer la suma aquí nos de cero, podemos entonces hacer lo siguiente, multiplicar esto por menos 2, entonces menos 2 por el renglón 1 y esto se lo vamos a sumar a lo que tenemos en el renglón número 3. Veamos entonces, menos 2 por 1 es menos 2, sumado con 2 nos da cero, menos 2 por menos 2 nos da 4 positivo, sumado con menos 3 es 1 positivo, 2 por menos 2 nos da menos 4, sumado con 2 es menos 2, menos 3 por menos 2 da 6 positivo, sumado con menos 1 nos da 5, 15 por menos 2 nos da menos 30, sumado con 17 nos da menos 13. Entonces ahora anotamos estos valores aquí en el renglón 3, ya hemos conseguido el cero que corresponde a la celda 3 1, pasamos ahora al que va en la celda 2 1 y vamos a trabajar con esos dos renglones, renglón 2 y renglón 1, tenemos aquí que podemos hacer la siguiente operación, multiplicar esto por menos 3 y sumárselo a esto que tenemos acá, entonces en el renglón 2 vamos a escribir la operación, multiplicamos por menos 3 el renglón 1 y eso se lo sumamos a lo que hay en el renglón número 2. Entonces ahora anotamos estos resultados aquí en el renglón 2, bien de esa manera ya tenemos el cero que corresponde a la celda 2 1, ahora vamos a buscar el que corresponde a la celda 4 2, inicialmente se recomienda trabajar con estas dos filas o renglones, el número 4 y el número 2, o sea buscando una operación con estos dos números, sin embargo aquí tenemos el 1 que es un número que nos facilita efectuar la operación que buscamos, podemos entonces más bien elegir una operación con estos dos valores, o sea con el renglón 3 y con el renglón 4, entonces al renglón 4 vamos a llevar la siguiente operación, multiplicamos esto por menos 3 y lo que nos dé se lo sumamos a esto que tenemos en el renglón 4, la operación será entonces menos 3 por el renglón 3 y a eso le sumamos lo que hay en el renglón número 4. Veamos entonces, menos 3 por cero nos da cero, sumado con cero es cero, menos 3 por 1 da menos 3, sumado con 3 nos da cero, menos 3 por menos 2 da 6 positivo, sumado con menos 5 da 1, menos 3 por 5 da menos 15, sumado con 1 es menos 14, menos 3 por menos 13 da 39 positivo, sumado con menos 22 nos da 17. Entonces lo que hacemos es anotar estos resultados acá en el renglón 4, de esta manera ya hemos conseguido el cero que va en la celda 4-2, vamos ahora a buscar el que corresponde a la celda 3-2. Inicialmente atendemos esta recomendación, trabajar con el renglón 3 y con el renglón 2, efectivamente esa será la elección correcta porque aquí tenemos el 1, entonces podemos multiplicar esto por menos 10 y sumarlo con 10 para así obtener el cero que necesitamos acá, entonces la operación que vamos a llevar al renglón número 3 es la siguiente, multiplicamos el renglón 3 por menos 10, es decir menos 10 por R3 y eso vamos a sumarlo con el renglón número 2. Tenemos entonces, menos 10 por cero es cero, sumado con cero nos da cero, menos 10 por 1 es menos 10, sumado con 10 nos da cero, menos 10 por menos 2 da 20 positivo, 20 sumado con menos 7 nos da 13, menos 10 por 5 es menos 50, menos 50 sumado con 10 da menos 40 y menos 10 por menos 13 da 130 positivo, sumado con menos 51 nos da como resultado 79. Entonces ahora anotamos estos resultados aquí en el renglón número 3, de esta manera ya hemos conseguido el cero que corresponde a la celda 3-2, vamos ahora con el cero que va en la celda 4-3. En ese caso atendemos esta recomendación, trabajar con los renglones 4 y 3 y debe ser así para no dañar estos ceros que ya obtuvimos y además aquí tenemos el 1 que nos favorece buscar la operación necesaria para que aquí nos de el cero, podemos entonces multiplicar esto por menos 13 y sumarlo con esto que tenemos acá, entonces en el renglón 4 va la siguiente operación, menos 13 por el renglón 4 y eso lo vamos a sumar con lo que hay en el renglón número 3. Veamos entonces, menos 13 por cero da cero, sumado con cero es cero, menos 13 por cero da cero, sumado con cero es cero, menos 13 por 1 da menos 13, sumado con 13 nos da cero, menos 13 por menos 14 da 182, sumado con menos 40 nos da 142, menos 13 por 17 da menos 221, sumado con 79 nos da menos 142. Entonces anotamos estos resultados acá en el renglón 4, de esa manera ya hemos conseguido el cero que va en la celda 4-3 y antes de pasar a la celda 1-4 vamos a transformar este renglón 4, podemos dividir todo ese renglón por 142, entonces escribimos acá la operación, renglón 4 dividido entre 142 para simplificar estos valores, haciendo eso estos ceros permanecen iguales, este número queda convertido en 1 positivo y este queda convertido en menos 1 y eso nos facilita lo que vamos a realizar a continuación. Pasamos entonces a la parte superior, lo que hay por encima de la diagonal principal comenzando con la celda 1-4, esta que tenemos acá, se recomienda entonces trabajar estos dos renglones, renglón 1 y renglón 4, por fortuna aquí tenemos el 1, eso nos va a facilitar la operación que tenemos que hacer entre estos dos valores, podemos entonces multiplicar esto por 3 y sumárselo a esto que tenemos acá, entonces en el renglón 1 va la siguiente operación, tres veces el renglón 4 y eso vamos a sumarlo con lo que tenemos en el renglón número 1. Veamos entonces, 3 por 0 nos da 0 sumado con 1 es 1, 3 por 0 nos da 0 sumado con menos 2 es menos 2, 3 por 0 nos da 0 sumado con 2 es 2, 3 por 1 nos da 3 sumado con menos 3 es 0, 3 por menos 1 nos da menos 3 sumado con 15 nos da 12. Entonces estos valores los vamos a escribir aquí en el renglón 1, de esa manera ya hemos conseguido el 0 que va en la celda 1-4, vamos ahora con el que corresponde a la celda 2-4 y para ello se recomienda trabajar con los renglones 2 y 4, veamos con esta celda y con esta que tenemos acá, de nuevo el 1 nos favorece la operación, podemos multiplicar esto por menos 10 y sumarlo con esto que tenemos acá, entonces en el renglón 2 va la siguiente operación, esto por menos 10, o sea menos 10 por el renglón 4 y eso vamos a sumarlo con lo que tenemos en el renglón número 2. Vemos entonces, menos 10 por 0 nos da 0 sumado con 0 es 0, menos 10 por 0 nos da 0 sumado con 10 es 10, menos 10 por 0 nos da 0 sumado con menos 7 es menos 7, menos 10 por uno nos da menos 10 sumado con 10 nos da 0, menos 10 por minus 1 da 10 positivo, sumado con menos 50 y 1 nos da menosilo 40 y 1. Entonces ahora estos valores pasan a ocupar el espacio del renglón 2. De esa manera ya tenemos el 0 que corresponde a la celda 2-4 y vamos a buscar el que corresponde a la celda 3-4. Seguimos entonces la recomendación que nos dan estos dos números, trabajar con el renglón 3 y con el renglón 4. Y aquí tenemos el 1 que nos facilita la operación. Entonces vamos a inventarnos una operación con estos dos valores. Esto podemos multiplicarlo por 40 y sumarlo con este valor que tenemos acá para obtener el 0 que necesitamos aquí. De esa manera en el renglón 3 va la siguiente operación. 40 por el renglón 4, 40 veces esa fila por renglón y eso vamos a sumarlo con lo que tenemos en el renglón número 3. Decimos entonces 40 por 0 es 0 más 0 nos da 0. 40 por 0 nos da 0 más 0 es 0. 40 por 0 nos da 0 sumado con 13 es 13. 40 por 1 da 40 sumado con menos 40 nos da 0. 40 por menos 1 da menos 40 sumado con 79 nos da 39 positivo. Entonces ahora anotamos estos valores acá en el renglón 3. De esa manera ya conseguimos el 0 que corresponde a la celda 3, 4. Y antes de pasar al 0 que va en la celda 1, 3 revisamos el renglón 3 y vemos que se puede simplificar dividiendo todo por 13. Entonces vamos a efectuar esa operación. Renglón 3 dividido por 13 para reducir estos números. Específicamente la reducción ocurre aquí. 13 dividido entre 13 nos da 1. Entonces cambiamos esto aquí. Y 39 dividido entre 13 nos da como resultado 3. Estos ceros no presentan ningún cambio. Vamos ahora sí con el 0 que corresponde a la celda 1, 3. Y la recomendación es trabajar con estas dos filas o renglones. Renglón 1 y renglón 3. Por suerte aquí tenemos el 1 que nos facilita la operación. Podemos entonces multiplicar esto por menos 2 y sumarlo con este valor para obtener el 0 que buscamos allí. Entonces en el renglón 1 va la siguiente operación. Esto por menos 2, o sea menos 2 veces el renglón 3. Y eso vamos a sumarlo con lo que tenemos en el renglón número 1. Veamos entonces. Menos 2 por 0 nos da 0 sumado con 1 es 1. Menos 2 por 0 da 0 sumado con menos 2 es menos 2. Menos 2 por 1 nos da menos 2 sumado con 2 es 0. Menos 2 por 0 nos da 0 sumado con 0 es 0. Menos 2 por 3 da menos 6 sumado con 12 nos da 6 positivo. Ahora estos valores van a ocupar el renglón número 1. Así hemos conseguido el 0 que corresponde a la celda 1, 3. Y vamos a buscar el que va en la celda 2, 3. Para ello se recomienda trabajar con estas dos filas o renglones. Fila 2 y fila 3. Aquí tenemos el 1 que de nuevo nos favorece la operación. Podemos multiplicar esto por 7 y sumarlo con este número. Entonces en el renglón 2 la operación será lo siguiente. Siete veces el renglón 3 y eso sumado con lo que tenemos en el renglón número 2. Veamos entonces. Siete por cero nos da cero sumado con cero es cero. Siete por cero nos da cero sumado con diez es diez. Siete por uno nos da siete sumado con menos siete nos da cero. Siete por cero es cero más cero sigue siendo cero. Siete por tres veintiuno sumado con menos cuarenta uno nos da menos veinte. Ahora estos valores los vamos a escribir aquí en el renglón 2. De esa manera ya hemos conseguido el cero que corresponde a la celda 2-3. Y antes de pasar a la última a la celda 1-2 vamos a simplificar el renglón número 2. Vemos que estos números permiten que este renglón sea dividido por diez. Entonces escribimos aquí la operación. Renglón 2 dividido por diez para que tengamos números más pequeños. Aca diez dividido entre diez nos da uno y menos veinte dividido entre diez nos da como resultado menos dos. Ahora si vamos a buscar el último cero el que corresponde a la celda 1-2. Y para ello vamos a seguir esta recomendación. Trabajamos con los renglones 1 y 2 o sea con estas dos cantidades. Aquí tenemos el uno que nos facilita la operación y vamos entonces a llevar al renglón 1 la siguiente operación. Multiplicamos esto por dos, dos veces el renglón 2 y eso vamos a sumarlo con lo que hay en el renglón número 1. Decimos entonces dos por cero es cero más uno nos da uno. Dos por uno es dos sumado con menos dos da cero. Dos por cero es cero sumado con cero sigue siendo cero. Dos por cero nos da cero sumado con cero es cero. Dos por menos dos da menos cuatro sumado con seis nos da dos positivo. Entonces estos valores vamos a escribirlos aquí en el renglón 1. De esta manera ya hemos conseguido el último cero el que corresponde a la celda 1-2. Como se observa ya tenemos los ceros que buscábamos y también tenemos unos en la diagonal principal. O sea que aquí hemos conseguido lo que se llama la matriz y 4. La matriz identidad de orden 4 por 4 la que tiene unos en la diagonal principal y el resto de sus celtas o de sus elementos son ceros. Con eso damos por terminado el método de Gauss-Jordan cuando aquí conseguimos la matriz identidad y estos serán los valores de las incógnitas. Habíamos dicho que ellas eran W, X, Y y Z. Por lo tanto damos la respuesta a este ejercicio de la siguiente manera. Tenemos que la incógnita W vale dos. La incógnita X vale menos dos. La incógnita Y vale tres. Y la incógnita Z vale menos uno. Y así damos por terminado este sistema de ecuaciones lineales de 4 por 4. Se trata de un sistema consistente, determinado porque como vemos tiene solución única.

[{"start": 0.0, "end": 11.0, "text": " Vamos a resolver detalladamente este sistema de cuatro ecuaciones lineales con cuatro inc\u00f3gnitas"}, {"start": 11.0, "end": 14.68, "text": " utilizando el m\u00e9todo de Gauss-Georgel."}, {"start": 14.68, "end": 22.8, "text": " Para comenzar se\u00f1alamos que las cuatro ecuaciones ya est\u00e1n escritas de la forma AW m\u00e1s BX"}, {"start": 22.8, "end": 33.6, "text": " m\u00e1s CY m\u00e1s DZ igual a E. Tenemos all\u00ed las inc\u00f3gnitas que son WXY y Z."}, {"start": 33.6, "end": 41.88, "text": " En este caso las letras ABCDE representan las constantes en este sistema de ecuaciones."}, {"start": 41.88, "end": 45.480000000000004, "text": " Enseguida vamos a construir la matriz de coeficientes."}, {"start": 45.48, "end": 54.36, "text": " Para guiarnos vamos a escribir las inc\u00f3gnitas, dec\u00edamos que son WXY y Z."}, {"start": 54.36, "end": 58.239999999999995, "text": " Entonces vamos con los coeficientes de la primera ecuaci\u00f3n."}, {"start": 58.239999999999995, "end": 65.44, "text": " Aqu\u00ed tenemos coeficiente 1, para X tenemos coeficiente menos 2, para Y tenemos coeficiente"}, {"start": 65.44, "end": 71.12, "text": " 2 y para Z en la primera ecuaci\u00f3n tenemos coeficiente menos 3."}, {"start": 71.12, "end": 78.48, "text": " Vamos con los de la segunda ecuaci\u00f3n, para W tenemos coeficiente 3, para X tenemos coeficiente"}, {"start": 78.48, "end": 86.68, "text": " 4, para Y tenemos coeficiente menos 1 y para Z tenemos coeficiente 1 positivo."}, {"start": 86.68, "end": 93.60000000000001, "text": " Vamos con los de la tercera ecuaci\u00f3n, aqu\u00ed para W tenemos coeficiente 2, para X"}, {"start": 93.6, "end": 103.47999999999999, "text": " coeficiente menos 3, para Y tenemos coeficiente 2 y para Z tenemos coeficiente menos 1."}, {"start": 103.47999999999999, "end": 109.33999999999999, "text": " Vamos con los de la cuarta ecuaci\u00f3n, para W tenemos coeficiente 1, para X tambi\u00e9n"}, {"start": 109.33999999999999, "end": 119.03999999999999, "text": " tenemos coeficiente 1 positivo, para Y coeficiente menos 3 y para Z tenemos coeficiente menos"}, {"start": 119.03999999999999, "end": 120.88, "text": " 2."}, {"start": 120.88, "end": 126.08, "text": " Trasamos ahora esta l\u00ednea y aqu\u00ed vamos a escribir los t\u00e9rminos independientes que"}, {"start": 126.08, "end": 128.76, "text": " corresponden a cada ecuaci\u00f3n."}, {"start": 128.76, "end": 135.68, "text": " En la primera tenemos el n\u00famero 15, en la segunda tenemos menos 6, en la tercera tenemos"}, {"start": 135.68, "end": 141.35999999999999, "text": " 17 y en la cuarta tenemos el n\u00famero menos 7."}, {"start": 141.35999999999999, "end": 147.2, "text": " De esta manera hemos construido la matriz aumentada para este sistema de ecuaciones"}, {"start": 147.2, "end": 152.82, "text": " lineales de 4x4, cuatro ecuaciones con cuatro inc\u00f3gnitas."}, {"start": 152.82, "end": 158.23999999999998, "text": " Aqu\u00ed tenemos los coeficientes de las letras o inc\u00f3gnitas y a la derecha de la l\u00ednea"}, {"start": 158.23999999999998, "end": 162.51999999999998, "text": " vertical tenemos los t\u00e9rminos independientes."}, {"start": 162.51999999999998, "end": 168.48, "text": " En la matriz de coeficientes, es decir en esta, distinguimos lo que es la diagonal principal"}, {"start": 168.48, "end": 173.6, "text": " y lo que vamos a buscar son cerros debajo y encima de ella."}, {"start": 173.6, "end": 180.2, "text": " Entonces vamos a ver a continuaci\u00f3n cual es el orden recomendado para buscar los cerros."}, {"start": 180.2, "end": 186.6, "text": " Vamos a comenzar con esta celda que esta en la fila 4 columna 1, entonces es la celda"}, {"start": 186.6, "end": 195.68, "text": " 4 1, despu\u00e9s vamos con esta que esta en la fila 3 columna 1, celda 3 1, despu\u00e9s esta"}, {"start": 195.68, "end": 205.76000000000002, "text": " que esta en la fila 2 columna 1, celda 2 1, despu\u00e9s pasamos a esta, fila 4 columna 2,"}, {"start": 205.76000000000002, "end": 215.32, "text": " celda 4 2, despu\u00e9s esta que esta en la fila 3 columna 2, celda 3 2 y despu\u00e9s esta que"}, {"start": 215.32, "end": 221.16, "text": " se encuentra en la fila 4 columna 3, celda 4 3."}, {"start": 221.16, "end": 227.68, "text": " Estas son las que van a estar debajo de la diagonal principal, despu\u00e9s pasamos aca,"}, {"start": 227.68, "end": 237.72, "text": " esta se encuentra en la fila 1 columna 4, celda 1 4, despu\u00e9s esta, fila 2 columna 4,"}, {"start": 237.72, "end": 248.28, "text": " celda 2 4, despu\u00e9s esta que esta en la fila 3 columna 4, celda 3 4, despu\u00e9s esta, fila"}, {"start": 248.28, "end": 259.72, "text": " 1 columna 3, celda 1 3, despu\u00e9s esta, fila 2 columna 3, celda 2 3 y terminar\u00edamos con"}, {"start": 259.72, "end": 267.84, "text": " esta que esta en la fila 1 y la columna 2, o sea la celda 1 2."}, {"start": 267.84, "end": 273.0, "text": " Comenzamos entonces buscando el cero que va en la celda 4 1, es decir aqu\u00ed, y para ello"}, {"start": 273.0, "end": 280.24, "text": " se recomienda trabajar con estos dos renglones o filas, fila 4 con fila 1, vamos entonces"}, {"start": 280.24, "end": 285.92, "text": " a inventarnos una operaci\u00f3n con estos dos valores, de tal forma que al efectuar la suma"}, {"start": 285.92, "end": 292.26, "text": " entre ellos nos de cero, podemos entonces multiplicar esto por menos 1 y sum\u00e1rselo"}, {"start": 292.26, "end": 299.52, "text": " a esto que tenemos aca, entonces en la fila 4 o rengl\u00f3n 4 vamos a ejecutar la siguiente"}, {"start": 299.52, "end": 307.52, "text": " operaci\u00f3n, menos 1 por el rengl\u00f3n 1 y a eso le sumamos lo que hay en el rengl\u00f3n 4."}, {"start": 307.52, "end": 313.41999999999996, "text": " Tenemos entonces lo siguiente, esto por menos 1 nos da menos 1, m\u00e1s 1 es cero, esto por"}, {"start": 313.41999999999996, "end": 321.32, "text": " menos 1 nos da 2, sumado con 1 es 3, esto por menos 1 nos da menos 2, sumado con menos"}, {"start": 321.32, "end": 330.15999999999997, "text": " 3 nos da menos 5, esto por menos 1 es 3 positivo, sumado con menos 2 nos da 1 positivo y esto"}, {"start": 330.15999999999997, "end": 336.88, "text": " por menos 1 nos da menos 15, sumado con menos 7 es menos 22."}, {"start": 336.88, "end": 343.68, "text": " Entonces lo que hacemos es anotar estos resultados por aqu\u00ed, ya tenemos entonces el primer cero,"}, {"start": 343.68, "end": 350.71999999999997, "text": " el que corresponde a la celda 4 1, vamos ahora con el que va en la celda 3 1 y vamos a trabajar"}, {"start": 350.72, "end": 356.68, "text": " justamente estos dos renglones, rengl\u00f3n 3 con rengl\u00f3n 1, de nuevo nos inventamos una"}, {"start": 356.68, "end": 362.6, "text": " operaci\u00f3n con estos dos valores de tal forma que al hacer la suma aqu\u00ed nos de cero, podemos"}, {"start": 362.6, "end": 368.8, "text": " entonces hacer lo siguiente, multiplicar esto por menos 2, entonces menos 2 por el rengl\u00f3n"}, {"start": 368.8, "end": 376.40000000000003, "text": " 1 y esto se lo vamos a sumar a lo que tenemos en el rengl\u00f3n n\u00famero 3."}, {"start": 376.4, "end": 383.03999999999996, "text": " Veamos entonces, menos 2 por 1 es menos 2, sumado con 2 nos da cero, menos 2 por menos"}, {"start": 383.03999999999996, "end": 391.44, "text": " 2 nos da 4 positivo, sumado con menos 3 es 1 positivo, 2 por menos 2 nos da menos 4,"}, {"start": 391.44, "end": 399.2, "text": " sumado con 2 es menos 2, menos 3 por menos 2 da 6 positivo, sumado con menos 1 nos da"}, {"start": 399.2, "end": 408.32, "text": " 5, 15 por menos 2 nos da menos 30, sumado con 17 nos da menos 13."}, {"start": 408.32, "end": 414.71999999999997, "text": " Entonces ahora anotamos estos valores aqu\u00ed en el rengl\u00f3n 3, ya hemos conseguido el cero"}, {"start": 414.71999999999997, "end": 421.84, "text": " que corresponde a la celda 3 1, pasamos ahora al que va en la celda 2 1 y vamos a trabajar"}, {"start": 421.84, "end": 428.52, "text": " con esos dos renglones, rengl\u00f3n 2 y rengl\u00f3n 1, tenemos aqu\u00ed que podemos hacer la siguiente"}, {"start": 428.52, "end": 434.24, "text": " operaci\u00f3n, multiplicar esto por menos 3 y sum\u00e1rselo a esto que tenemos ac\u00e1, entonces"}, {"start": 434.24, "end": 442.68, "text": " en el rengl\u00f3n 2 vamos a escribir la operaci\u00f3n, multiplicamos por menos 3 el rengl\u00f3n 1 y"}, {"start": 442.68, "end": 448.64, "text": " eso se lo sumamos a lo que hay en el rengl\u00f3n n\u00famero 2."}, {"start": 448.64, "end": 478.15999999999997, "text": " Entonces"}, {"start": 478.16, "end": 485.0, "text": " ahora anotamos estos resultados aqu\u00ed en el rengl\u00f3n 2, bien de esa manera ya tenemos"}, {"start": 485.0, "end": 491.24, "text": " el cero que corresponde a la celda 2 1, ahora vamos a buscar el que corresponde a la celda"}, {"start": 491.24, "end": 497.68, "text": " 4 2, inicialmente se recomienda trabajar con estas dos filas o renglones, el n\u00famero 4"}, {"start": 497.68, "end": 503.20000000000005, "text": " y el n\u00famero 2, o sea buscando una operaci\u00f3n con estos dos n\u00fameros, sin embargo aqu\u00ed"}, {"start": 503.2, "end": 509.12, "text": " tenemos el 1 que es un n\u00famero que nos facilita efectuar la operaci\u00f3n que buscamos, podemos"}, {"start": 509.12, "end": 514.76, "text": " entonces m\u00e1s bien elegir una operaci\u00f3n con estos dos valores, o sea con el rengl\u00f3n 3"}, {"start": 514.76, "end": 521.52, "text": " y con el rengl\u00f3n 4, entonces al rengl\u00f3n 4 vamos a llevar la siguiente operaci\u00f3n,"}, {"start": 521.52, "end": 526.4, "text": " multiplicamos esto por menos 3 y lo que nos d\u00e9 se lo sumamos a esto que tenemos en el"}, {"start": 526.4, "end": 534.0799999999999, "text": " rengl\u00f3n 4, la operaci\u00f3n ser\u00e1 entonces menos 3 por el rengl\u00f3n 3 y a eso le sumamos lo"}, {"start": 534.0799999999999, "end": 537.84, "text": " que hay en el rengl\u00f3n n\u00famero 4."}, {"start": 537.84, "end": 544.52, "text": " Veamos entonces, menos 3 por cero nos da cero, sumado con cero es cero, menos 3 por 1 da"}, {"start": 544.52, "end": 551.52, "text": " menos 3, sumado con 3 nos da cero, menos 3 por menos 2 da 6 positivo, sumado con menos"}, {"start": 551.52, "end": 561.68, "text": " 5 da 1, menos 3 por 5 da menos 15, sumado con 1 es menos 14, menos 3 por menos 13 da"}, {"start": 561.68, "end": 567.92, "text": " 39 positivo, sumado con menos 22 nos da 17."}, {"start": 567.92, "end": 574.64, "text": " Entonces lo que hacemos es anotar estos resultados ac\u00e1 en el rengl\u00f3n 4, de esta manera ya hemos"}, {"start": 574.64, "end": 580.76, "text": " conseguido el cero que va en la celda 4-2, vamos ahora a buscar el que corresponde a"}, {"start": 580.76, "end": 583.16, "text": " la celda 3-2."}, {"start": 583.16, "end": 588.6, "text": " Inicialmente atendemos esta recomendaci\u00f3n, trabajar con el rengl\u00f3n 3 y con el rengl\u00f3n"}, {"start": 588.6, "end": 594.48, "text": " 2, efectivamente esa ser\u00e1 la elecci\u00f3n correcta porque aqu\u00ed tenemos el 1, entonces podemos"}, {"start": 594.48, "end": 600.4399999999999, "text": " multiplicar esto por menos 10 y sumarlo con 10 para as\u00ed obtener el cero que necesitamos"}, {"start": 600.4399999999999, "end": 607.0, "text": " ac\u00e1, entonces la operaci\u00f3n que vamos a llevar al rengl\u00f3n n\u00famero 3 es la siguiente, multiplicamos"}, {"start": 607.0, "end": 616.04, "text": " el rengl\u00f3n 3 por menos 10, es decir menos 10 por R3 y eso vamos a sumarlo con el rengl\u00f3n"}, {"start": 616.04, "end": 619.2, "text": " n\u00famero 2."}, {"start": 619.2, "end": 625.68, "text": " Tenemos entonces, menos 10 por cero es cero, sumado con cero nos da cero, menos 10 por"}, {"start": 625.68, "end": 633.6, "text": " 1 es menos 10, sumado con 10 nos da cero, menos 10 por menos 2 da 20 positivo, 20 sumado"}, {"start": 633.6, "end": 644.16, "text": " con menos 7 nos da 13, menos 10 por 5 es menos 50, menos 50 sumado con 10 da menos 40 y menos"}, {"start": 644.16, "end": 654.2, "text": " 10 por menos 13 da 130 positivo, sumado con menos 51 nos da como resultado 79."}, {"start": 654.2, "end": 661.0, "text": " Entonces ahora anotamos estos resultados aqu\u00ed en el rengl\u00f3n n\u00famero 3, de esta manera ya"}, {"start": 661.0, "end": 666.56, "text": " hemos conseguido el cero que corresponde a la celda 3-2, vamos ahora con el cero que"}, {"start": 666.56, "end": 669.76, "text": " va en la celda 4-3."}, {"start": 669.76, "end": 676.04, "text": " En ese caso atendemos esta recomendaci\u00f3n, trabajar con los renglones 4 y 3 y debe ser"}, {"start": 676.04, "end": 682.4, "text": " as\u00ed para no da\u00f1ar estos ceros que ya obtuvimos y adem\u00e1s aqu\u00ed tenemos el 1 que nos favorece"}, {"start": 682.4, "end": 687.84, "text": " buscar la operaci\u00f3n necesaria para que aqu\u00ed nos de el cero, podemos entonces multiplicar"}, {"start": 687.84, "end": 694.2800000000001, "text": " esto por menos 13 y sumarlo con esto que tenemos ac\u00e1, entonces en el rengl\u00f3n 4 va la siguiente"}, {"start": 694.2800000000001, "end": 704.12, "text": " operaci\u00f3n, menos 13 por el rengl\u00f3n 4 y eso lo vamos a sumar con lo que hay en el rengl\u00f3n"}, {"start": 704.12, "end": 706.64, "text": " n\u00famero 3."}, {"start": 706.64, "end": 712.5600000000001, "text": " Veamos entonces, menos 13 por cero da cero, sumado con cero es cero, menos 13 por cero"}, {"start": 712.56, "end": 720.0799999999999, "text": " da cero, sumado con cero es cero, menos 13 por 1 da menos 13, sumado con 13 nos da cero,"}, {"start": 720.0799999999999, "end": 731.7199999999999, "text": " menos 13 por menos 14 da 182, sumado con menos 40 nos da 142, menos 13 por 17 da menos 221,"}, {"start": 731.7199999999999, "end": 737.88, "text": " sumado con 79 nos da menos 142."}, {"start": 737.88, "end": 745.16, "text": " Entonces anotamos estos resultados ac\u00e1 en el rengl\u00f3n 4, de esa manera ya hemos conseguido"}, {"start": 745.16, "end": 752.56, "text": " el cero que va en la celda 4-3 y antes de pasar a la celda 1-4 vamos a transformar este"}, {"start": 752.56, "end": 761.88, "text": " rengl\u00f3n 4, podemos dividir todo ese rengl\u00f3n por 142, entonces escribimos ac\u00e1 la operaci\u00f3n,"}, {"start": 761.88, "end": 770.28, "text": " rengl\u00f3n 4 dividido entre 142 para simplificar estos valores, haciendo eso estos ceros permanecen"}, {"start": 770.28, "end": 779.2, "text": " iguales, este n\u00famero queda convertido en 1 positivo y este queda convertido en menos"}, {"start": 779.2, "end": 784.96, "text": " 1 y eso nos facilita lo que vamos a realizar a continuaci\u00f3n."}, {"start": 784.96, "end": 790.88, "text": " Pasamos entonces a la parte superior, lo que hay por encima de la diagonal principal comenzando"}, {"start": 790.88, "end": 798.4, "text": " con la celda 1-4, esta que tenemos ac\u00e1, se recomienda entonces trabajar estos dos renglones,"}, {"start": 798.4, "end": 805.16, "text": " rengl\u00f3n 1 y rengl\u00f3n 4, por fortuna aqu\u00ed tenemos el 1, eso nos va a facilitar la operaci\u00f3n"}, {"start": 805.16, "end": 811.28, "text": " que tenemos que hacer entre estos dos valores, podemos entonces multiplicar esto por 3 y sum\u00e1rselo"}, {"start": 811.28, "end": 817.76, "text": " a esto que tenemos ac\u00e1, entonces en el rengl\u00f3n 1 va la siguiente operaci\u00f3n, tres veces el"}, {"start": 817.76, "end": 828.12, "text": " rengl\u00f3n 4 y eso vamos a sumarlo con lo que tenemos en el rengl\u00f3n n\u00famero 1."}, {"start": 828.12, "end": 835.12, "text": " Veamos entonces, 3 por 0 nos da 0 sumado con 1 es 1, 3 por 0 nos da 0 sumado con menos"}, {"start": 835.12, "end": 843.84, "text": " 2 es menos 2, 3 por 0 nos da 0 sumado con 2 es 2, 3 por 1 nos da 3 sumado con menos"}, {"start": 843.84, "end": 852.64, "text": " 3 es 0, 3 por menos 1 nos da menos 3 sumado con 15 nos da 12."}, {"start": 852.64, "end": 859.1800000000001, "text": " Entonces estos valores los vamos a escribir aqu\u00ed en el rengl\u00f3n 1, de esa manera ya hemos"}, {"start": 859.1800000000001, "end": 866.82, "text": " conseguido el 0 que va en la celda 1-4, vamos ahora con el que corresponde a la celda 2-4"}, {"start": 866.82, "end": 873.08, "text": " y para ello se recomienda trabajar con los renglones 2 y 4, veamos con esta celda y con"}, {"start": 873.08, "end": 878.4000000000001, "text": " esta que tenemos ac\u00e1, de nuevo el 1 nos favorece la operaci\u00f3n, podemos multiplicar esto por"}, {"start": 878.4000000000001, "end": 883.94, "text": " menos 10 y sumarlo con esto que tenemos ac\u00e1, entonces en el rengl\u00f3n 2 va la siguiente"}, {"start": 883.94, "end": 892.5200000000001, "text": " operaci\u00f3n, esto por menos 10, o sea menos 10 por el rengl\u00f3n 4 y eso vamos a sumarlo"}, {"start": 892.5200000000001, "end": 897.08, "text": " con lo que tenemos en el rengl\u00f3n n\u00famero 2."}, {"start": 897.08, "end": 904.2800000000001, "text": " Vemos entonces, menos 10 por 0 nos da 0 sumado con 0 es 0, menos 10 por 0 nos da 0 sumado"}, {"start": 904.2800000000001, "end": 913.38, "text": " con 10 es 10, menos 10 por 0 nos da 0 sumado con menos 7 es menos 7, menos 10 por uno"}, {"start": 913.38, "end": 920.6600000000001, "text": " nos da menos 10 sumado con 10 nos da 0, menos 10 por minus 1 da 10 positivo, sumado con"}, {"start": 920.6600000000001, "end": 925.72, "text": " menos 50 y 1 nos da menosilo 40 y 1."}, {"start": 925.72, "end": 931.24, "text": " Entonces ahora estos valores pasan a ocupar el espacio del rengl\u00f3n 2."}, {"start": 931.24, "end": 938.22, "text": " De esa manera ya tenemos el 0 que corresponde a la celda 2-4 y vamos a buscar el que corresponde"}, {"start": 938.22, "end": 940.14, "text": " a la celda 3-4."}, {"start": 940.14, "end": 944.98, "text": " Seguimos entonces la recomendaci\u00f3n que nos dan estos dos n\u00fameros, trabajar con el rengl\u00f3n"}, {"start": 944.98, "end": 947.08, "text": " 3 y con el rengl\u00f3n 4."}, {"start": 947.08, "end": 950.36, "text": " Y aqu\u00ed tenemos el 1 que nos facilita la operaci\u00f3n."}, {"start": 950.36, "end": 953.64, "text": " Entonces vamos a inventarnos una operaci\u00f3n con estos dos valores."}, {"start": 953.64, "end": 959.4399999999999, "text": " Esto podemos multiplicarlo por 40 y sumarlo con este valor que tenemos ac\u00e1 para obtener"}, {"start": 959.4399999999999, "end": 961.6, "text": " el 0 que necesitamos aqu\u00ed."}, {"start": 961.6, "end": 966.68, "text": " De esa manera en el rengl\u00f3n 3 va la siguiente operaci\u00f3n."}, {"start": 966.68, "end": 973.16, "text": " 40 por el rengl\u00f3n 4, 40 veces esa fila por rengl\u00f3n y eso vamos a sumarlo con lo que"}, {"start": 973.16, "end": 977.8, "text": " tenemos en el rengl\u00f3n n\u00famero 3."}, {"start": 977.8, "end": 982.8, "text": " Decimos entonces 40 por 0 es 0 m\u00e1s 0 nos da 0."}, {"start": 982.8, "end": 986.5999999999999, "text": " 40 por 0 nos da 0 m\u00e1s 0 es 0."}, {"start": 986.5999999999999, "end": 991.3199999999999, "text": " 40 por 0 nos da 0 sumado con 13 es 13."}, {"start": 991.3199999999999, "end": 996.3599999999999, "text": " 40 por 1 da 40 sumado con menos 40 nos da 0."}, {"start": 996.3599999999999, "end": 1003.7199999999999, "text": " 40 por menos 1 da menos 40 sumado con 79 nos da 39 positivo."}, {"start": 1003.7199999999999, "end": 1008.9599999999999, "text": " Entonces ahora anotamos estos valores ac\u00e1 en el rengl\u00f3n 3."}, {"start": 1008.96, "end": 1014.2, "text": " De esa manera ya conseguimos el 0 que corresponde a la celda 3, 4."}, {"start": 1014.2, "end": 1020.2800000000001, "text": " Y antes de pasar al 0 que va en la celda 1, 3 revisamos el rengl\u00f3n 3 y vemos que se"}, {"start": 1020.2800000000001, "end": 1024.24, "text": " puede simplificar dividiendo todo por 13."}, {"start": 1024.24, "end": 1026.72, "text": " Entonces vamos a efectuar esa operaci\u00f3n."}, {"start": 1026.72, "end": 1031.56, "text": " Rengl\u00f3n 3 dividido por 13 para reducir estos n\u00fameros."}, {"start": 1031.56, "end": 1033.88, "text": " Espec\u00edficamente la reducci\u00f3n ocurre aqu\u00ed."}, {"start": 1033.88, "end": 1037.76, "text": " 13 dividido entre 13 nos da 1."}, {"start": 1037.76, "end": 1039.6, "text": " Entonces cambiamos esto aqu\u00ed."}, {"start": 1039.6, "end": 1045.4, "text": " Y 39 dividido entre 13 nos da como resultado 3."}, {"start": 1045.4, "end": 1048.4, "text": " Estos ceros no presentan ning\u00fan cambio."}, {"start": 1048.4, "end": 1052.64, "text": " Vamos ahora s\u00ed con el 0 que corresponde a la celda 1, 3."}, {"start": 1052.64, "end": 1056.64, "text": " Y la recomendaci\u00f3n es trabajar con estas dos filas o renglones."}, {"start": 1056.64, "end": 1058.76, "text": " Rengl\u00f3n 1 y rengl\u00f3n 3."}, {"start": 1058.76, "end": 1062.36, "text": " Por suerte aqu\u00ed tenemos el 1 que nos facilita la operaci\u00f3n."}, {"start": 1062.36, "end": 1067.36, "text": " Podemos entonces multiplicar esto por menos 2 y sumarlo con este valor para obtener el"}, {"start": 1067.36, "end": 1068.9599999999998, "text": " 0 que buscamos all\u00ed."}, {"start": 1068.9599999999998, "end": 1073.7199999999998, "text": " Entonces en el rengl\u00f3n 1 va la siguiente operaci\u00f3n."}, {"start": 1073.7199999999998, "end": 1078.8, "text": " Esto por menos 2, o sea menos 2 veces el rengl\u00f3n 3."}, {"start": 1078.8, "end": 1084.04, "text": " Y eso vamos a sumarlo con lo que tenemos en el rengl\u00f3n n\u00famero 1."}, {"start": 1084.04, "end": 1085.04, "text": " Veamos entonces."}, {"start": 1085.04, "end": 1089.36, "text": " Menos 2 por 0 nos da 0 sumado con 1 es 1."}, {"start": 1089.36, "end": 1094.1599999999999, "text": " Menos 2 por 0 da 0 sumado con menos 2 es menos 2."}, {"start": 1094.16, "end": 1098.8400000000001, "text": " Menos 2 por 1 nos da menos 2 sumado con 2 es 0."}, {"start": 1098.8400000000001, "end": 1102.92, "text": " Menos 2 por 0 nos da 0 sumado con 0 es 0."}, {"start": 1102.92, "end": 1108.8400000000001, "text": " Menos 2 por 3 da menos 6 sumado con 12 nos da 6 positivo."}, {"start": 1108.8400000000001, "end": 1114.0, "text": " Ahora estos valores van a ocupar el rengl\u00f3n n\u00famero 1."}, {"start": 1114.0, "end": 1118.5600000000002, "text": " As\u00ed hemos conseguido el 0 que corresponde a la celda 1, 3."}, {"start": 1118.5600000000002, "end": 1122.3600000000001, "text": " Y vamos a buscar el que va en la celda 2, 3."}, {"start": 1122.36, "end": 1126.24, "text": " Para ello se recomienda trabajar con estas dos filas o renglones."}, {"start": 1126.24, "end": 1127.8799999999999, "text": " Fila 2 y fila 3."}, {"start": 1127.8799999999999, "end": 1131.1599999999999, "text": " Aqu\u00ed tenemos el 1 que de nuevo nos favorece la operaci\u00f3n."}, {"start": 1131.1599999999999, "end": 1134.8, "text": " Podemos multiplicar esto por 7 y sumarlo con este n\u00famero."}, {"start": 1134.8, "end": 1138.3999999999999, "text": " Entonces en el rengl\u00f3n 2 la operaci\u00f3n ser\u00e1 lo siguiente."}, {"start": 1138.3999999999999, "end": 1147.9199999999998, "text": " Siete veces el rengl\u00f3n 3 y eso sumado con lo que tenemos en el rengl\u00f3n n\u00famero 2."}, {"start": 1147.9199999999998, "end": 1148.9199999999998, "text": " Veamos entonces."}, {"start": 1148.92, "end": 1152.64, "text": " Siete por cero nos da cero sumado con cero es cero."}, {"start": 1152.64, "end": 1156.8000000000002, "text": " Siete por cero nos da cero sumado con diez es diez."}, {"start": 1156.8000000000002, "end": 1161.2, "text": " Siete por uno nos da siete sumado con menos siete nos da cero."}, {"start": 1161.2, "end": 1165.3200000000002, "text": " Siete por cero es cero m\u00e1s cero sigue siendo cero."}, {"start": 1165.3200000000002, "end": 1172.1200000000001, "text": " Siete por tres veintiuno sumado con menos cuarenta uno nos da menos veinte."}, {"start": 1172.1200000000001, "end": 1178.04, "text": " Ahora estos valores los vamos a escribir aqu\u00ed en el rengl\u00f3n 2."}, {"start": 1178.04, "end": 1183.36, "text": " De esa manera ya hemos conseguido el cero que corresponde a la celda 2-3."}, {"start": 1183.36, "end": 1190.1599999999999, "text": " Y antes de pasar a la \u00faltima a la celda 1-2 vamos a simplificar el rengl\u00f3n n\u00famero 2."}, {"start": 1190.1599999999999, "end": 1196.72, "text": " Vemos que estos n\u00fameros permiten que este rengl\u00f3n sea dividido por diez."}, {"start": 1196.72, "end": 1199.1599999999999, "text": " Entonces escribimos aqu\u00ed la operaci\u00f3n."}, {"start": 1199.1599999999999, "end": 1204.36, "text": " Rengl\u00f3n 2 dividido por diez para que tengamos n\u00fameros m\u00e1s peque\u00f1os."}, {"start": 1204.36, "end": 1216.56, "text": " Aca diez dividido entre diez nos da uno y menos veinte dividido entre diez nos da como resultado menos dos."}, {"start": 1216.56, "end": 1221.6799999999998, "text": " Ahora si vamos a buscar el \u00faltimo cero el que corresponde a la celda 1-2."}, {"start": 1221.6799999999998, "end": 1224.6, "text": " Y para ello vamos a seguir esta recomendaci\u00f3n."}, {"start": 1224.6, "end": 1229.84, "text": " Trabajamos con los renglones 1 y 2 o sea con estas dos cantidades."}, {"start": 1229.84, "end": 1238.76, "text": " Aqu\u00ed tenemos el uno que nos facilita la operaci\u00f3n y vamos entonces a llevar al rengl\u00f3n 1 la siguiente operaci\u00f3n."}, {"start": 1238.76, "end": 1249.8, "text": " Multiplicamos esto por dos, dos veces el rengl\u00f3n 2 y eso vamos a sumarlo con lo que hay en el rengl\u00f3n n\u00famero 1."}, {"start": 1249.8, "end": 1254.9599999999998, "text": " Decimos entonces dos por cero es cero m\u00e1s uno nos da uno."}, {"start": 1254.9599999999998, "end": 1259.24, "text": " Dos por uno es dos sumado con menos dos da cero."}, {"start": 1259.24, "end": 1263.4, "text": " Dos por cero es cero sumado con cero sigue siendo cero."}, {"start": 1263.4, "end": 1267.28, "text": " Dos por cero nos da cero sumado con cero es cero."}, {"start": 1267.28, "end": 1273.4, "text": " Dos por menos dos da menos cuatro sumado con seis nos da dos positivo."}, {"start": 1273.4, "end": 1279.04, "text": " Entonces estos valores vamos a escribirlos aqu\u00ed en el rengl\u00f3n 1."}, {"start": 1279.04, "end": 1285.92, "text": " De esta manera ya hemos conseguido el \u00faltimo cero el que corresponde a la celda 1-2."}, {"start": 1285.92, "end": 1292.8400000000001, "text": " Como se observa ya tenemos los ceros que busc\u00e1bamos y tambi\u00e9n tenemos unos en la diagonal principal."}, {"start": 1292.8400000000001, "end": 1298.52, "text": " O sea que aqu\u00ed hemos conseguido lo que se llama la matriz y 4."}, {"start": 1298.52, "end": 1310.2, "text": " La matriz identidad de orden 4 por 4 la que tiene unos en la diagonal principal y el resto de sus celtas o de sus elementos son ceros."}, {"start": 1310.2, "end": 1320.8400000000001, "text": " Con eso damos por terminado el m\u00e9todo de Gauss-Jordan cuando aqu\u00ed conseguimos la matriz identidad y estos ser\u00e1n los valores de las inc\u00f3gnitas."}, {"start": 1320.8400000000001, "end": 1328.1200000000001, "text": " Hab\u00edamos dicho que ellas eran W, X, Y y Z."}, {"start": 1328.1200000000001, "end": 1334.8400000000001, "text": " Por lo tanto damos la respuesta a este ejercicio de la siguiente manera."}, {"start": 1334.84, "end": 1341.1999999999998, "text": " Tenemos que la inc\u00f3gnita W vale dos."}, {"start": 1341.1999999999998, "end": 1346.76, "text": " La inc\u00f3gnita X vale menos dos."}, {"start": 1346.76, "end": 1351.6, "text": " La inc\u00f3gnita Y vale tres."}, {"start": 1351.6, "end": 1355.6, "text": " Y la inc\u00f3gnita Z vale menos uno."}, {"start": 1355.6, "end": 1363.08, "text": " Y as\u00ed damos por terminado este sistema de ecuaciones lineales de 4 por 4."}, {"start": 1363.08, "end": 1371.08, "text": " Se trata de un sistema consistente, determinado porque como vemos tiene soluci\u00f3n \u00fanica."}]

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DIVISIÓN POR UNA CIFRA - Ejercicio 8

#julioprofe explica cómo efectuar la división 68.425 ÷ 9 y también cómo comprobarla. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver detalladamente esta división. Tenemos en el dividendo el número 68,425 y en el divisor el número 9. Esta será entonces una división por una cifra. Al final vamos a realizar la comprobación de este ejercicio. Comenzamos por anotar el dividendo, que como decíamos es el número 68,425 y por acá vamos a anotar el divisor que como decíamos es el número 9. Y para facilitar el desarrollo de esta división vamos a construir aquí la tabla de multiplicar para el número 9. Tenemos entonces 9 x 1 que es 9, 9 x 2 es 18, 9 x 3 es 27, 9 x 4 es 36, 9 x 5 es 45, 9 x 6 es 54, 9 x 7 es 63, 9 x 8 es 72 y 9 x 9 es 81. Comenzamos el procedimiento de la división tomando la primera cifra del dividendo, en este caso el 6. Nos preguntamos si 9 cabe en 6 y vemos que no es posible porque 9 es más grande que 6. Entonces tomamos las dos primeras cifras en el dividendo, o sea el número 68 y nos preguntamos si 9 cabe en 68. Vemos que ahora sí se puede porque 9 es menor que 68, entonces con esta comita señalamos este número de dos cifras para comenzar la división. Buscamos acá cuál es el número que más se aproxima o que es igual a 68. Revisamos con atención y el que más se acerca es 63, entonces 9 en 63 cabe 7 veces y ese será el número que anotamos en el cosiente. Decimos entonces 7 x 9 o 9 x 7 que es 63 y ese lo escribimos debajo de 68. Hacemos ahora la resta. Comenzamos por las unidades 8 menos 3 es 5, vamos con las decenas 6 menos 6 es 0. Continuamos el procedimiento de la división bajando la siguiente cifra que hay en el dividendo, o sea el 4. Se forma el número 54 y nos preguntamos si 9 cabe en 54. Vemos que sí es posible porque 9 es más pequeño que 54. Buscamos acá cuál es el número que más se aproxima o que es igual a 54 y efectivamente aquí lo tenemos. 9 en 54 cabe 6 veces y ese será el siguiente número que anotamos en el cosiente. Decimos entonces 6 x 9 o 9 x 6 que es 54 y lo anotamos por acá. Enseguida hacemos la resta. Comenzamos por las unidades 4 menos 4 es 0, luego las decenas 5 menos 5 nos da 0. Bajamos la siguiente cifra del dividendo, o sea el número 2. Esto es simplemente 2 y nos preguntamos si 9 cabe en 2. Vemos que no es posible porque 9 es mayor que 2 y en ese caso anotamos 0 en el cosiente. Bajamos enseguida la última cifra que nos queda en el dividendo, o sea el 5 y acá se forma el número 25. Nos preguntamos si 9 cabe en 25. Vemos que sí es posible porque 9 es menor que 25 y ahora buscamos acá cuál es el número que más se aproxima o que sea igual a 25. Revisamos con atención y vemos que es el 18. 9 en 18 cabe 2 veces y ese será el número que escribimos allí en el cosiente. Decimos entonces 2 por 9 o 9 por 2 que es 18 y ese es el número que escribimos debajo de 25 para efectuar la resta. Comenzamos por las unidades, a 5 no podemos quitarle 8, entonces dos decenas presta una decena acá. Son 10 unidades que llegan a sumarse con 5 unidades, aquí nos queda 15 y 15 menos 8 nos da 7. Como 2 presto 1, presto una decena, aquí queda convertido en 1 y 1 menos 1 nos da 0 en la columna de las decenas. Por eso terminamos el procedimiento de la división porque no tenemos más cifras para bajar en el dividendo. Recordemos cómo se llaman los cuatro componentes de esta operación. Este es el dividendo 68425, 9 es el divisor, 7602 es el cosiente y 7 es el residuo o lo que sobra. Como en este caso el residuo es diferente de 0 es esta una división inexacta. Para mayor tranquilidad y saber que esta operación se resolvió correctamente se recomienda hacer la prueba, la prueba de la división que consiste en multiplicar el cosiente por el divisor a eso se le suma el residuo y debemos obtener lo que hay en el dividendo. Entonces escribimos el cosiente que nos dio 7602 y eso lo vamos a multiplicar por el divisor que es 9, o sea vamos a realizar una multiplicación por una cifra. Tenemos 9 por 2 que es 18, escribimos el 8 y llevamos 1, 9 por 0 nos da 0, a 0 le sumamos 1 y nos da 1, 9 por 6 nos da 54, escribimos el 4 y acá llevamos 5, 9 por 7 nos da 63 y a 63 le sumamos 5 que llevamos y eso nos da 68. Obtenemos el número 68418 y a esto tenemos que sumarle el residuo que nos dio 7, vamos a sumarlo allí mismo. Comenzamos entonces por las unidades, 8 más 7 nos da 15, escribimos el 5, llevamos 1 por acá, 1 más 1 nos da 2, bajamos el 4, bajamos el 8 y bajamos el 6 y obtenemos el resultado 68425 que corresponde al dividendo y con esto confirmamos que esta división se resolvió correctamente.

[{"start": 0.0, "end": 11.4, "text": " Vamos a resolver detalladamente esta divisi\u00f3n. Tenemos en el dividendo el n\u00famero 68,425"}, {"start": 11.4, "end": 18.84, "text": " y en el divisor el n\u00famero 9. Esta ser\u00e1 entonces una divisi\u00f3n por una cifra. Al final vamos"}, {"start": 18.84, "end": 26.72, "text": " a realizar la comprobaci\u00f3n de este ejercicio. Comenzamos por anotar el dividendo, que como"}, {"start": 26.72, "end": 39.44, "text": " dec\u00edamos es el n\u00famero 68,425 y por ac\u00e1 vamos a anotar el divisor que como dec\u00edamos es"}, {"start": 39.44, "end": 46.4, "text": " el n\u00famero 9. Y para facilitar el desarrollo de esta divisi\u00f3n vamos a construir aqu\u00ed"}, {"start": 46.4, "end": 56.72, "text": " la tabla de multiplicar para el n\u00famero 9. Tenemos entonces 9 x 1 que es 9, 9 x 2 es"}, {"start": 56.72, "end": 73.0, "text": " 18, 9 x 3 es 27, 9 x 4 es 36, 9 x 5 es 45, 9 x 6 es 54, 9 x 7 es 63, 9 x 8 es 72 y 9"}, {"start": 73.0, "end": 80.52, "text": " x 9 es 81. Comenzamos el procedimiento de la divisi\u00f3n tomando la primera cifra del"}, {"start": 80.52, "end": 87.44, "text": " dividendo, en este caso el 6. Nos preguntamos si 9 cabe en 6 y vemos que no es posible porque"}, {"start": 87.44, "end": 94.32, "text": " 9 es m\u00e1s grande que 6. Entonces tomamos las dos primeras cifras en el dividendo, o sea"}, {"start": 94.32, "end": 100.84, "text": " el n\u00famero 68 y nos preguntamos si 9 cabe en 68. Vemos que ahora s\u00ed se puede porque"}, {"start": 100.84, "end": 108.24000000000001, "text": " 9 es menor que 68, entonces con esta comita se\u00f1alamos este n\u00famero de dos cifras para"}, {"start": 108.24000000000001, "end": 114.0, "text": " comenzar la divisi\u00f3n. Buscamos ac\u00e1 cu\u00e1l es el n\u00famero que m\u00e1s se aproxima o que"}, {"start": 114.0, "end": 123.04, "text": " es igual a 68. Revisamos con atenci\u00f3n y el que m\u00e1s se acerca es 63, entonces 9 en 63"}, {"start": 123.04, "end": 132.12, "text": " cabe 7 veces y ese ser\u00e1 el n\u00famero que anotamos en el cosiente. Decimos entonces 7 x 9 o 9"}, {"start": 132.12, "end": 141.96, "text": " x 7 que es 63 y ese lo escribimos debajo de 68. Hacemos ahora la resta. Comenzamos por"}, {"start": 141.96, "end": 151.72, "text": " las unidades 8 menos 3 es 5, vamos con las decenas 6 menos 6 es 0. Continuamos el procedimiento"}, {"start": 151.72, "end": 158.2, "text": " de la divisi\u00f3n bajando la siguiente cifra que hay en el dividendo, o sea el 4. Se forma"}, {"start": 158.2, "end": 166.64, "text": " el n\u00famero 54 y nos preguntamos si 9 cabe en 54. Vemos que s\u00ed es posible porque 9 es"}, {"start": 166.64, "end": 172.24, "text": " m\u00e1s peque\u00f1o que 54. Buscamos ac\u00e1 cu\u00e1l es el n\u00famero que m\u00e1s se aproxima o que es"}, {"start": 172.24, "end": 181.62, "text": " igual a 54 y efectivamente aqu\u00ed lo tenemos. 9 en 54 cabe 6 veces y ese ser\u00e1 el siguiente"}, {"start": 181.62, "end": 192.72, "text": " n\u00famero que anotamos en el cosiente. Decimos entonces 6 x 9 o 9 x 6 que es 54 y lo anotamos"}, {"start": 192.72, "end": 202.04000000000002, "text": " por ac\u00e1. Enseguida hacemos la resta. Comenzamos por las unidades 4 menos 4 es 0, luego las"}, {"start": 202.04000000000002, "end": 210.96, "text": " decenas 5 menos 5 nos da 0. Bajamos la siguiente cifra del dividendo, o sea el n\u00famero 2."}, {"start": 210.96, "end": 218.0, "text": " Esto es simplemente 2 y nos preguntamos si 9 cabe en 2. Vemos que no es posible porque"}, {"start": 218.0, "end": 226.84, "text": " 9 es mayor que 2 y en ese caso anotamos 0 en el cosiente. Bajamos enseguida la \u00faltima"}, {"start": 226.84, "end": 235.76000000000002, "text": " cifra que nos queda en el dividendo, o sea el 5 y ac\u00e1 se forma el n\u00famero 25. Nos preguntamos"}, {"start": 235.76, "end": 243.51999999999998, "text": " si 9 cabe en 25. Vemos que s\u00ed es posible porque 9 es menor que 25 y ahora buscamos"}, {"start": 243.51999999999998, "end": 250.12, "text": " ac\u00e1 cu\u00e1l es el n\u00famero que m\u00e1s se aproxima o que sea igual a 25. Revisamos con atenci\u00f3n"}, {"start": 250.12, "end": 257.88, "text": " y vemos que es el 18. 9 en 18 cabe 2 veces y ese ser\u00e1 el n\u00famero que escribimos all\u00ed"}, {"start": 257.88, "end": 266.68, "text": " en el cosiente. Decimos entonces 2 por 9 o 9 por 2 que es 18 y ese es el n\u00famero que"}, {"start": 266.68, "end": 275.15999999999997, "text": " escribimos debajo de 25 para efectuar la resta. Comenzamos por las unidades, a 5 no podemos"}, {"start": 275.15999999999997, "end": 281.56, "text": " quitarle 8, entonces dos decenas presta una decena ac\u00e1. Son 10 unidades que llegan a"}, {"start": 281.56, "end": 290.08, "text": " sumarse con 5 unidades, aqu\u00ed nos queda 15 y 15 menos 8 nos da 7. Como 2 presto 1, presto"}, {"start": 290.08, "end": 297.6, "text": " una decena, aqu\u00ed queda convertido en 1 y 1 menos 1 nos da 0 en la columna de las decenas."}, {"start": 297.6, "end": 302.76, "text": " Por eso terminamos el procedimiento de la divisi\u00f3n porque no tenemos m\u00e1s cifras para"}, {"start": 302.76, "end": 309.68, "text": " bajar en el dividendo. Recordemos c\u00f3mo se llaman los cuatro componentes de esta operaci\u00f3n."}, {"start": 309.68, "end": 321.72, "text": " Este es el dividendo 68425, 9 es el divisor, 7602 es el cosiente y 7 es el residuo o lo"}, {"start": 321.72, "end": 330.84000000000003, "text": " que sobra. Como en este caso el residuo es diferente de 0 es esta una divisi\u00f3n inexacta."}, {"start": 330.84000000000003, "end": 337.12, "text": " Para mayor tranquilidad y saber que esta operaci\u00f3n se resolvi\u00f3 correctamente se recomienda hacer"}, {"start": 337.12, "end": 345.68, "text": " la prueba, la prueba de la divisi\u00f3n que consiste en multiplicar el cosiente por el divisor"}, {"start": 345.68, "end": 354.52, "text": " a eso se le suma el residuo y debemos obtener lo que hay en el dividendo. Entonces escribimos"}, {"start": 354.52, "end": 365.08, "text": " el cosiente que nos dio 7602 y eso lo vamos a multiplicar por el divisor que es 9, o sea"}, {"start": 365.08, "end": 372.2, "text": " vamos a realizar una multiplicaci\u00f3n por una cifra. Tenemos 9 por 2 que es 18, escribimos"}, {"start": 372.2, "end": 382.68, "text": " el 8 y llevamos 1, 9 por 0 nos da 0, a 0 le sumamos 1 y nos da 1, 9 por 6 nos da 54,"}, {"start": 382.68, "end": 391.91999999999996, "text": " escribimos el 4 y ac\u00e1 llevamos 5, 9 por 7 nos da 63 y a 63 le sumamos 5 que llevamos"}, {"start": 391.92, "end": 401.04, "text": " y eso nos da 68. Obtenemos el n\u00famero 68418 y a esto tenemos que sumarle el residuo que"}, {"start": 401.04, "end": 410.36, "text": " nos dio 7, vamos a sumarlo all\u00ed mismo. Comenzamos entonces por las unidades, 8 m\u00e1s 7 nos da"}, {"start": 410.36, "end": 419.88, "text": " 15, escribimos el 5, llevamos 1 por ac\u00e1, 1 m\u00e1s 1 nos da 2, bajamos el 4, bajamos el"}, {"start": 419.88, "end": 430.2, "text": " 8 y bajamos el 6 y obtenemos el resultado 68425 que corresponde al dividendo y con esto"}, {"start": 430.2, "end": 450.52, "text": " confirmamos que esta divisi\u00f3n se resolvi\u00f3 correctamente."}]

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DIVISIÓN POR UNA CIFRA - Ejercicio 7

#julioprofe explica cómo efectuar la división 20.296 ÷ 8 y cómo comprobarla. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver paso a paso esta división. Tenemos en el dividendo el número 20,296 y en el divisor el número 8. Tenemos allí lo que es una división por una cifra. Entonces, vamos a ver el procedimiento detalladamente y al final realizaremos la prueba para este ejercicio. Comenzamos anotando el dividendo que como decíamos es el número 20,296 y por acá vamos a escribir el divisor que en este caso es el número 8 y para facilitar el desarrollo de esta división vamos a complementar aquí con la tabla de multiplicar para el número 8. Tenemos entonces 8 por 1 que es 8, 8 por 2 es 16, 8 por 3 es 24, 8 por 4 es 32, 8 por 5 es 40, 8 por 6 es 48, 8 por 7 es 56, 8 por 8 es 64 y 8 por 9 que es 72. Comenzamos el procedimiento de la división tomando la primera cifra que hay en el dividendo, o sea el número 2 y nos preguntamos si 8 cabe en 2. Vemos que no es posible porque 8 es mayor que 2. Entonces tomamos ahora las dos primeras cifras en el dividendo, o sea el número 20. Nos preguntamos si 8 cabe en 20 y vemos que sí es posible porque 8 es menor que 20. Entonces con esta comita señalamos que se toman las dos primeras cifras en el dividendo para comenzar esta operación. Nos fijamos acá cuál es el número que más se aproxima o que es igual a 20. Revisamos con atención y encontramos que es el 16, entonces 8 cabe en 16 dos veces. Entonces aquí en el lugar que corresponde al cociente anotamos el número 2, decimos 2 por 8 o también 8 por 2 es 16 y escribimos ese número debajo del 20 y a continuación vamos a efectuar esa presta. Comenzamos por las unidades, a cero no podemos prestarle 6, entonces dos decenas presta una decena aquí y esto queda como 10 unidades, 10 menos 6 nos da 4. Este 2 como prestó una decena queda convertido en una decena y 1 menos 1 nos da 0. Continuamos la división bajando la siguiente cifra que tenemos en el dividendo, o sea el número 2 y así se forma el 42. Nos preguntamos si 8 cabe en 42, vemos que sí es posible porque 8 es menor que 42 y entonces buscamos acá cuál es el número que más se acerca o que sea igual a 42. Revisamos con atención y vemos que es el 40, entonces 8 en 40 cabe 5 veces y ese es el número que anotamos allí en el cociente. Enseguida decimos 5 por 8 o también 8 por 5 es 40 y anotamos ese número aquí debajo de 42. Procedemos entonces a efectuar la resta. Comenzamos por las unidades, 2 menos 0 nos da 2 y 4 menos 4 nos da 0. Continuamos la división bajando la siguiente cifra que hay en el dividendo, o sea el 9 y se forma el número 29. Nos preguntamos si 8 cabe en 29, vemos que sí es posible porque 8 es menor que 29 y buscamos acá cuál es el número que más se aproxima o que sea igual a 29. Revisamos y encontramos que es 24, entonces 8 en 24 cabe 3 veces y ese es el número que se escribe allí en el cociente. Decimos entonces 3 por 8 o también 8 por 3 es 24 y ese es el número que escribimos aquí debajo de 29. Hacemos ahora la resta, comenzamos por las unidades, 9 menos 4 nos da 5 y 2 menos 2 nos da 0. Seguimos con el proceso bajando la última cifra que nos queda en el dividendo, entonces bajamos este número 6 y se nos forma el número 56. Miramos acá entonces cuál es el número que más se aproxima o que es igual a 56 y aquí lo tenemos, entonces 8 en 56 cabe 7 veces y ese es el número que se escribe en el cociente. Decimos entonces 7 por 8 o también 8 por 7 que es 56 y lo escribimos aquí y procedemos con la resta. Entonces tenemos en las unidades 6 menos 6 es 0 y en las decenas 5 menos 5 que es 0. Como no tenemos más cifras para bajar en el dividendo entonces damos por terminado el procedimiento de la división. Recordemos los nombres de los cuatro componentes de toda división, este es el dividendo el número 20296, este es el divisor en este caso es 8, este que tenemos acá es el cociente 2537 y esto que nos quedó por acá que es 0 constituye el residuo o lo que sobra, bueno en este caso no sobra nada y por eso se dice que esta es una división exacta. Quiere decir que el número 8 cabe en 20296 2537 veces. Para tener plena certeza de que este ejercicio se resolvió correctamente conviene hacer la prueba de la división, para ello se multiplica el cociente por el divisor a ese resultado se le suma el residuo y debemos obtener el dividendo. En este caso como el residuo es 0 entonces es suficiente con multiplicar el cociente por el divisor para ver si obtenemos lo que hay en el dividendo. Vamos entonces con la prueba de esta división, anotamos el cociente 2537 y eso lo vamos a multiplicar por el divisor que es 8, entonces tenemos aquí una multiplicación por una cifra. Comenzamos aquí con 8 por 7 que es 56, anotamos el 6 acá llevamos 5, 8 por 3 es 24, 24 más 5 que llevábamos nos da 29, anotamos el 9 llevamos 2, 8 por 5 40 más 2 que llevamos nos da 42, anotamos el 2 acá llevamos 4, 8 por 2 16 más 4 que llevamos nos da 20 y allí terminamos la multiplicación. Como se observa tenemos acá el número 20296 que corresponde al dividendo y con eso confirmamos que esta división se resolvió correctamente.

[{"start": 0.0, "end": 11.72, "text": " Vamos a resolver paso a paso esta divisi\u00f3n. Tenemos en el dividendo el n\u00famero 20,296"}, {"start": 11.72, "end": 18.96, "text": " y en el divisor el n\u00famero 8. Tenemos all\u00ed lo que es una divisi\u00f3n por una cifra. Entonces,"}, {"start": 18.96, "end": 25.32, "text": " vamos a ver el procedimiento detalladamente y al final realizaremos la prueba para este"}, {"start": 25.32, "end": 36.56, "text": " ejercicio. Comenzamos anotando el dividendo que como dec\u00edamos es el n\u00famero 20,296 y por ac\u00e1"}, {"start": 38.16, "end": 46.400000000000006, "text": " vamos a escribir el divisor que en este caso es el n\u00famero 8 y para facilitar el desarrollo"}, {"start": 46.400000000000006, "end": 53.92, "text": " de esta divisi\u00f3n vamos a complementar aqu\u00ed con la tabla de multiplicar para el n\u00famero 8."}, {"start": 53.92, "end": 67.48, "text": " Tenemos entonces 8 por 1 que es 8, 8 por 2 es 16, 8 por 3 es 24, 8 por 4 es 32, 8 por 5 es 40,"}, {"start": 67.48, "end": 81.48, "text": " 8 por 6 es 48, 8 por 7 es 56, 8 por 8 es 64 y 8 por 9 que es 72. Comenzamos el procedimiento"}, {"start": 81.48, "end": 88.80000000000001, "text": " de la divisi\u00f3n tomando la primera cifra que hay en el dividendo, o sea el n\u00famero 2 y nos preguntamos"}, {"start": 88.80000000000001, "end": 96.60000000000001, "text": " si 8 cabe en 2. Vemos que no es posible porque 8 es mayor que 2. 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Nos preguntamos si 8 cabe en 29, vemos que s\u00ed es posible porque"}, {"start": 238.92, "end": 246.51999999999998, "text": " 8 es menor que 29 y buscamos ac\u00e1 cu\u00e1l es el n\u00famero que m\u00e1s se aproxima o que sea igual a 29."}, {"start": 246.51999999999998, "end": 255.27999999999997, "text": " Revisamos y encontramos que es 24, entonces 8 en 24 cabe 3 veces y ese es el n\u00famero que se"}, {"start": 255.27999999999997, "end": 265.15999999999997, "text": " escribe all\u00ed en el cociente. Decimos entonces 3 por 8 o tambi\u00e9n 8 por 3 es 24 y ese es el n\u00famero"}, {"start": 265.16, "end": 274.84000000000003, "text": " que escribimos aqu\u00ed debajo de 29. Hacemos ahora la resta, comenzamos por las unidades, 9 menos 4 nos"}, {"start": 274.84000000000003, "end": 283.68, "text": " da 5 y 2 menos 2 nos da 0. Seguimos con el proceso bajando la \u00faltima cifra que nos queda en el"}, {"start": 283.68, "end": 293.24, "text": " dividendo, entonces bajamos este n\u00famero 6 y se nos forma el n\u00famero 56. Miramos ac\u00e1 entonces cu\u00e1l"}, {"start": 293.24, "end": 302.12, "text": " es el n\u00famero que m\u00e1s se aproxima o que es igual a 56 y aqu\u00ed lo tenemos, entonces 8 en 56 cabe 7"}, {"start": 302.12, "end": 309.44, "text": " veces y ese es el n\u00famero que se escribe en el cociente. Decimos entonces 7 por 8 o tambi\u00e9n"}, {"start": 309.44, "end": 322.8, "text": " 8 por 7 que es 56 y lo escribimos aqu\u00ed y procedemos con la resta. Entonces tenemos en las unidades 6"}, {"start": 322.8, "end": 330.40000000000003, "text": " menos 6 es 0 y en las decenas 5 menos 5 que es 0. Como no tenemos m\u00e1s cifras para bajar en el"}, {"start": 330.40000000000003, "end": 336.92, "text": " dividendo entonces damos por terminado el procedimiento de la divisi\u00f3n. Recordemos los"}, {"start": 336.92, "end": 345.6, "text": " nombres de los cuatro componentes de toda divisi\u00f3n, este es el dividendo el n\u00famero 20296,"}, {"start": 345.6, "end": 354.96000000000004, "text": " este es el divisor en este caso es 8, este que tenemos ac\u00e1 es el cociente 2537 y esto que nos"}, {"start": 354.96000000000004, "end": 362.92, "text": " qued\u00f3 por ac\u00e1 que es 0 constituye el residuo o lo que sobra, bueno en este caso no sobra nada y"}, {"start": 362.92, "end": 372.36, "text": " por eso se dice que esta es una divisi\u00f3n exacta. Quiere decir que el n\u00famero 8 cabe en 20296"}, {"start": 372.36, "end": 381.48, "text": " 2537 veces. Para tener plena certeza de que este ejercicio se resolvi\u00f3 correctamente conviene"}, {"start": 381.48, "end": 388.0, "text": " hacer la prueba de la divisi\u00f3n, para ello se multiplica el cociente por el divisor a ese"}, {"start": 388.0, "end": 396.40000000000003, "text": " resultado se le suma el residuo y debemos obtener el dividendo. En este caso como el residuo es 0"}, {"start": 396.4, "end": 403.12, "text": " entonces es suficiente con multiplicar el cociente por el divisor para ver si obtenemos"}, {"start": 403.12, "end": 411.4, "text": " lo que hay en el dividendo. Vamos entonces con la prueba de esta divisi\u00f3n, anotamos el cociente"}, {"start": 411.4, "end": 422.15999999999997, "text": " 2537 y eso lo vamos a multiplicar por el divisor que es 8, entonces tenemos aqu\u00ed una multiplicaci\u00f3n"}, {"start": 422.16, "end": 433.40000000000003, "text": " por una cifra. Comenzamos aqu\u00ed con 8 por 7 que es 56, anotamos el 6 ac\u00e1 llevamos 5, 8 por 3 es 24,"}, {"start": 433.40000000000003, "end": 444.76000000000005, "text": " 24 m\u00e1s 5 que llev\u00e1bamos nos da 29, anotamos el 9 llevamos 2, 8 por 5 40 m\u00e1s 2 que llevamos nos da 42,"}, {"start": 444.76, "end": 454.48, "text": " anotamos el 2 ac\u00e1 llevamos 4, 8 por 2 16 m\u00e1s 4 que llevamos nos da 20 y all\u00ed terminamos la"}, {"start": 454.48, "end": 463.15999999999997, "text": " multiplicaci\u00f3n. Como se observa tenemos ac\u00e1 el n\u00famero 20296 que corresponde al dividendo y con"}, {"start": 463.16, "end": 475.16, "text": " eso confirmamos que esta divisi\u00f3n se resolvi\u00f3 correctamente."}]

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DIVISIÓN POR UNA CIFRA - Ejercicio 6

#julioprofe explica cómo efectuar la división 112.061 ÷ 7 y también cómo comprobarla. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver detalladamente esta división. Tenemos en el dividendo el número 112.061 y en el divisor el número 7. Es esta entonces una división por una cifra. Vamos entonces a realizar el procedimiento paso a paso y al final realizaremos la prueba para este ejercicio. Comenzamos por anotar el dividendo que como decíamos es 112.061 y por acá vamos a escribir el divisor que es el número 7. Y para facilitar el desarrollo de esta división vamos a complementar aquí con la tabla de multiplicar para el número 7. Comenzamos entonces 7x1 que es 7, 7x2 es 14, 7x3 es 21, 7x4 es 28, 7x5 es 35, 7x6 es 42, 7x7 es 49, 7x8 es 56 y por último 7x9 que es 63. Comenzamos el procedimiento de la división tomando la primera cifra que hay en el dividendo, en este caso el número 1. Nos preguntamos si 7 cabe en 1 y vemos que no es posible porque 7 es mayor que 1. Entonces tomamos las dos primeras cifras en el dividendo, o sea el número 11 y nos preguntamos si 7 cabe en 11. En este caso vemos que sí es posible porque 7 es menor que 11. Entonces escribimos esa comita para indicar que empezamos el ejercicio tomando las dos primeras cifras en el dividendo. Enseguida buscamos acá cuál es el número que más se aproxima o que es igual a 11. Revisamos con atención y encontramos que es 7. 7 cabe en 7 una vez y este será el primer número que anotamos en el cociente. Decimos 1x7 o 7x1 que es 7 y ese será el número que escribimos debajo de 11 para efectuar la resta. Si a 11 le quitamos 7 nos da como resultado 4. Continuamos la división bajando la siguiente cifra que tenemos en el dividendo, o sea el 2 y se forma el número 42. Nos preguntamos si 7 cabe en 42 y vemos que sí es posible porque 7 es menor que 42. Enseguida buscamos acá cuál es el número que más se aproxima o que es igual a 42. Buscamos con atención y aquí lo tenemos. 7 cabe en 42 seis veces y ese será el siguiente número que se escribe en el cociente. Decimos 6x7 o 7x6 es 42 y ese número lo escribimos por acá para efectuar enseguida la resta. Comenzamos con las unidades 2-2 nos da 0, 4-4 es 0 y bajamos la siguiente cifra del dividendo que es el 0 para continuar la división. Esto es simplemente 0. Nos preguntamos si 7 cabe en 0 vemos que no es posible porque 7 es mayor que 0 y en ese caso anotamos 0 en el cociente. Continuamos el procedimiento bajando la siguiente cifra del dividendo que es el 6. Esto es simplemente 6 y nos preguntamos si 7 cabe en 6. Vemos que no es posible porque 7 es mayor que 6 y en ese caso volvemos a escribir 0 en el cociente. Bajamos ahora la última cifra que nos queda en el dividendo. Este 1 llega aquí y se forma el número 61. Nos preguntamos si 7 cabe en 61. Vemos que sí es posible porque 7 es menor que 61 y buscamos acá cuál es el número que más se aproxima o que es igual a 61. Revisamos con atención y el que más se acerca es 56. Entonces 7 en 56 cabe 8 veces y ese será el número que escribimos en el cociente. Decimos entonces 8 x 7 o 7 x 8 que es 56. Lo escribimos aquí debajo de 61 y vamos a efectuar la resta. Comenzamos por las unidades. A 1 no podemos quitarle 6. 6 decenas presta 1 decena acá. Llega como 10 unidades que al sumarse con 1 nos da 11. 11 menos 6 nos da 5. 6 como prestó 1 decena queda convertido en 5 decenas. 5 menos 5 nos da 0 en esa columna correspondiente a las decenas y allí terminamos el ejercicio porque no tenemos más cifras para bajar en el dividendo. Recordemos los cuatro componentes de una división. Este es el dividendo 112.061. 7 es el divisor 16.008 es el cociente y 5 es el residuo o lo que sobra. Como en este caso el residuo es un número diferente de 0 entonces tenemos el caso de una división inexacta. Para mayor tranquilidad y saber que el ejercicio se resolvió correctamente conviene hacer la prueba de la división. Para ello se multiplica el cociente por el divisor a eso tenemos que sumarle el residuo y debemos obtener lo que hay en el dividendo. Vamos entonces con la prueba de esta división. Anotamos el cociente que nos dio 16.008 y eso lo vamos a multiplicar por el divisor que es 7. Tenemos una multiplicación por una cifra. Decimos 7 por 8 es 56. Anotamos el 6. Llevamos 5. 7 por 0 nos da 0. A 0 le sumamos 5 que llevamos y obtenemos 5. 7 por 0 nos da 0. 7 por 6 es 42. Anotamos el 2. Acá llevamos 4. 7 por 1 nos da 7. Más 4 que llevamos es 11. Obtenemos 112.056 y a eso tenemos que sumarle el residuo que nos dio 5. Entonces allí mismo podemos efectuar esa suma. Comenzamos por la derecha. 6 más 5 nos da 11. Anotamos el 1. Llevamos 1 por acá. 1 más 5 nos da 6. Bajamos el 0. Bajamos el 2. Bajamos el 1. Y bajamos el otro 1. Y obtenemos 112.061 que corresponde a lo que hay en el dividendo. Con esto confirmamos que esta división se resolvió correctamente.

[{"start": 0.0, "end": 8.0, "text": " Vamos a resolver detalladamente esta divisi\u00f3n."}, {"start": 8.0, "end": 14.36, "text": " Tenemos en el dividendo el n\u00famero 112.061 y en el divisor el n\u00famero 7."}, {"start": 14.36, "end": 18.56, "text": " Es esta entonces una divisi\u00f3n por una cifra."}, {"start": 18.56, "end": 24.560000000000002, "text": " Vamos entonces a realizar el procedimiento paso a paso y al final realizaremos la prueba"}, {"start": 24.560000000000002, "end": 27.080000000000002, "text": " para este ejercicio."}, {"start": 27.08, "end": 38.8, "text": " Comenzamos por anotar el dividendo que como dec\u00edamos es 112.061 y por ac\u00e1 vamos a escribir"}, {"start": 38.8, "end": 42.96, "text": " el divisor que es el n\u00famero 7."}, {"start": 42.96, "end": 49.84, "text": " Y para facilitar el desarrollo de esta divisi\u00f3n vamos a complementar aqu\u00ed con la tabla de"}, {"start": 49.84, "end": 53.879999999999995, "text": " multiplicar para el n\u00famero 7."}, {"start": 53.88, "end": 68.8, "text": " Comenzamos entonces 7x1 que es 7, 7x2 es 14, 7x3 es 21, 7x4 es 28, 7x5 es 35, 7x6 es 42,"}, {"start": 68.8, "end": 78.80000000000001, "text": " 7x7 es 49, 7x8 es 56 y por \u00faltimo 7x9 que es 63."}, {"start": 78.8, "end": 83.88, "text": " Comenzamos el procedimiento de la divisi\u00f3n tomando la primera cifra que hay en el dividendo,"}, {"start": 83.88, "end": 85.96, "text": " en este caso el n\u00famero 1."}, {"start": 85.96, "end": 92.84, "text": " Nos preguntamos si 7 cabe en 1 y vemos que no es posible porque 7 es mayor que 1."}, {"start": 92.84, "end": 99.24, "text": " Entonces tomamos las dos primeras cifras en el dividendo, o sea el n\u00famero 11 y nos preguntamos"}, {"start": 99.24, "end": 101.64, "text": " si 7 cabe en 11."}, {"start": 101.64, "end": 106.67999999999999, "text": " En este caso vemos que s\u00ed es posible porque 7 es menor que 11."}, {"start": 106.68, "end": 112.96000000000001, "text": " Entonces escribimos esa comita para indicar que empezamos el ejercicio tomando las dos"}, {"start": 112.96000000000001, "end": 116.08000000000001, "text": " primeras cifras en el dividendo."}, {"start": 116.08000000000001, "end": 121.92, "text": " Enseguida buscamos ac\u00e1 cu\u00e1l es el n\u00famero que m\u00e1s se aproxima o que es igual a 11."}, {"start": 121.92, "end": 125.68, "text": " Revisamos con atenci\u00f3n y encontramos que es 7."}, {"start": 125.68, "end": 132.4, "text": " 7 cabe en 7 una vez y este ser\u00e1 el primer n\u00famero que anotamos en el cociente."}, {"start": 132.4, "end": 142.12, "text": " Decimos 1x7 o 7x1 que es 7 y ese ser\u00e1 el n\u00famero que escribimos debajo de 11 para efectuar"}, {"start": 142.12, "end": 143.12, "text": " la resta."}, {"start": 143.12, "end": 148.0, "text": " Si a 11 le quitamos 7 nos da como resultado 4."}, {"start": 148.0, "end": 154.0, "text": " Continuamos la divisi\u00f3n bajando la siguiente cifra que tenemos en el dividendo, o sea el"}, {"start": 154.0, "end": 157.72, "text": " 2 y se forma el n\u00famero 42."}, {"start": 157.72, "end": 166.4, "text": " Nos preguntamos si 7 cabe en 42 y vemos que s\u00ed es posible porque 7 es menor que 42."}, {"start": 166.4, "end": 173.56, "text": " Enseguida buscamos ac\u00e1 cu\u00e1l es el n\u00famero que m\u00e1s se aproxima o que es igual a 42."}, {"start": 173.56, "end": 176.4, "text": " Buscamos con atenci\u00f3n y aqu\u00ed lo tenemos."}, {"start": 176.4, "end": 184.92, "text": " 7 cabe en 42 seis veces y ese ser\u00e1 el siguiente n\u00famero que se escribe en el cociente."}, {"start": 184.92, "end": 196.48, "text": " Decimos 6x7 o 7x6 es 42 y ese n\u00famero lo escribimos por ac\u00e1 para efectuar enseguida la resta."}, {"start": 196.48, "end": 205.92, "text": " Comenzamos con las unidades 2-2 nos da 0, 4-4 es 0 y bajamos la siguiente cifra del"}, {"start": 205.92, "end": 211.0, "text": " dividendo que es el 0 para continuar la divisi\u00f3n."}, {"start": 211.0, "end": 213.07999999999998, "text": " Esto es simplemente 0."}, {"start": 213.08, "end": 220.16000000000003, "text": " Nos preguntamos si 7 cabe en 0 vemos que no es posible porque 7 es mayor que 0 y en ese"}, {"start": 220.16000000000003, "end": 225.08, "text": " caso anotamos 0 en el cociente."}, {"start": 225.08, "end": 232.32000000000002, "text": " Continuamos el procedimiento bajando la siguiente cifra del dividendo que es el 6."}, {"start": 232.32000000000002, "end": 237.4, "text": " Esto es simplemente 6 y nos preguntamos si 7 cabe en 6."}, {"start": 237.4, "end": 244.52, "text": " Vemos que no es posible porque 7 es mayor que 6 y en ese caso volvemos a escribir 0"}, {"start": 244.52, "end": 246.68, "text": " en el cociente."}, {"start": 246.68, "end": 250.72, "text": " Bajamos ahora la \u00faltima cifra que nos queda en el dividendo."}, {"start": 250.72, "end": 256.0, "text": " Este 1 llega aqu\u00ed y se forma el n\u00famero 61."}, {"start": 256.0, "end": 259.62, "text": " Nos preguntamos si 7 cabe en 61."}, {"start": 259.62, "end": 265.6, "text": " Vemos que s\u00ed es posible porque 7 es menor que 61 y buscamos ac\u00e1 cu\u00e1l es el n\u00famero"}, {"start": 265.6, "end": 269.8, "text": " que m\u00e1s se aproxima o que es igual a 61."}, {"start": 269.8, "end": 274.68, "text": " Revisamos con atenci\u00f3n y el que m\u00e1s se acerca es 56."}, {"start": 274.68, "end": 283.20000000000005, "text": " Entonces 7 en 56 cabe 8 veces y ese ser\u00e1 el n\u00famero que escribimos en el cociente."}, {"start": 283.20000000000005, "end": 288.96000000000004, "text": " Decimos entonces 8 x 7 o 7 x 8 que es 56."}, {"start": 288.96000000000004, "end": 295.04, "text": " Lo escribimos aqu\u00ed debajo de 61 y vamos a efectuar la resta."}, {"start": 295.04, "end": 296.96000000000004, "text": " Comenzamos por las unidades."}, {"start": 296.96000000000004, "end": 299.52000000000004, "text": " A 1 no podemos quitarle 6."}, {"start": 299.52000000000004, "end": 302.24, "text": " 6 decenas presta 1 decena ac\u00e1."}, {"start": 302.24, "end": 306.08000000000004, "text": " Llega como 10 unidades que al sumarse con 1 nos da 11."}, {"start": 306.08000000000004, "end": 309.6, "text": " 11 menos 6 nos da 5."}, {"start": 309.6, "end": 313.72, "text": " 6 como prest\u00f3 1 decena queda convertido en 5 decenas."}, {"start": 313.72, "end": 321.28000000000003, "text": " 5 menos 5 nos da 0 en esa columna correspondiente a las decenas y all\u00ed terminamos el ejercicio"}, {"start": 321.28, "end": 326.47999999999996, "text": " porque no tenemos m\u00e1s cifras para bajar en el dividendo."}, {"start": 326.47999999999996, "end": 329.79999999999995, "text": " Recordemos los cuatro componentes de una divisi\u00f3n."}, {"start": 329.79999999999995, "end": 333.84, "text": " Este es el dividendo 112.061."}, {"start": 333.84, "end": 342.03999999999996, "text": " 7 es el divisor 16.008 es el cociente y 5 es el residuo o lo que sobra."}, {"start": 342.03999999999996, "end": 348.64, "text": " Como en este caso el residuo es un n\u00famero diferente de 0 entonces tenemos el caso de"}, {"start": 348.64, "end": 351.4, "text": " una divisi\u00f3n inexacta."}, {"start": 351.4, "end": 356.56, "text": " Para mayor tranquilidad y saber que el ejercicio se resolvi\u00f3 correctamente conviene hacer"}, {"start": 356.56, "end": 358.68, "text": " la prueba de la divisi\u00f3n."}, {"start": 358.68, "end": 364.38, "text": " Para ello se multiplica el cociente por el divisor a eso tenemos que sumarle el residuo"}, {"start": 364.38, "end": 369.12, "text": " y debemos obtener lo que hay en el dividendo."}, {"start": 369.12, "end": 372.64, "text": " Vamos entonces con la prueba de esta divisi\u00f3n."}, {"start": 372.64, "end": 379.96, "text": " Anotamos el cociente que nos dio 16.008 y eso lo vamos a multiplicar por el divisor"}, {"start": 379.96, "end": 383.24, "text": " que es 7."}, {"start": 383.24, "end": 386.24, "text": " Tenemos una multiplicaci\u00f3n por una cifra."}, {"start": 386.24, "end": 388.91999999999996, "text": " Decimos 7 por 8 es 56."}, {"start": 388.91999999999996, "end": 391.03999999999996, "text": " Anotamos el 6."}, {"start": 391.03999999999996, "end": 392.03999999999996, "text": " Llevamos 5."}, {"start": 392.03999999999996, "end": 393.64, "text": " 7 por 0 nos da 0."}, {"start": 393.64, "end": 397.52, "text": " A 0 le sumamos 5 que llevamos y obtenemos 5."}, {"start": 397.52, "end": 400.12, "text": " 7 por 0 nos da 0."}, {"start": 400.12, "end": 402.68, "text": " 7 por 6 es 42."}, {"start": 402.68, "end": 403.68, "text": " Anotamos el 2."}, {"start": 403.68, "end": 405.48, "text": " Ac\u00e1 llevamos 4."}, {"start": 405.48, "end": 407.48, "text": " 7 por 1 nos da 7."}, {"start": 407.48, "end": 410.64, "text": " M\u00e1s 4 que llevamos es 11."}, {"start": 410.64, "end": 419.12, "text": " Obtenemos 112.056 y a eso tenemos que sumarle el residuo que nos dio 5."}, {"start": 419.12, "end": 423.4, "text": " Entonces all\u00ed mismo podemos efectuar esa suma."}, {"start": 423.4, "end": 425.48, "text": " Comenzamos por la derecha."}, {"start": 425.48, "end": 427.84000000000003, "text": " 6 m\u00e1s 5 nos da 11."}, {"start": 427.84000000000003, "end": 429.32, "text": " Anotamos el 1."}, {"start": 429.32, "end": 430.84, "text": " Llevamos 1 por ac\u00e1."}, {"start": 430.84, "end": 433.12, "text": " 1 m\u00e1s 5 nos da 6."}, {"start": 433.12, "end": 434.71999999999997, "text": " Bajamos el 0."}, {"start": 434.71999999999997, "end": 436.2, "text": " Bajamos el 2."}, {"start": 436.2, "end": 437.56, "text": " Bajamos el 1."}, {"start": 437.56, "end": 439.32, "text": " Y bajamos el otro 1."}, {"start": 439.32, "end": 446.44, "text": " Y obtenemos 112.061 que corresponde a lo que hay en el dividendo."}, {"start": 446.44, "end": 459.96, "text": " Con esto confirmamos que esta divisi\u00f3n se resolvi\u00f3 correctamente."}]

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DIVISIÓN POR UNA CIFRA - Ejercicio 5

#julioprofe explica paso a paso cómo efectuar la división 205.248 ÷ 6 y también cómo probarla. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver detalladamente esta división. Tenemos en el dividendo el número 205,248. En el divisor tenemos el número 6. Como vemos, esta es una división por una cifra. Vamos entonces a realizar el procedimiento paso a paso y al final vamos a efectuar la prueba para esta división. Comenzamos anotando el dividendo que como decíamos es el número 205,248 y por acá vamos a escribir el divisor que en este caso es el número 6. Y para facilitar el desarrollo de este ejercicio vamos a construir aquí la tabla de multiplicar para el número 6. Tenemos entonces 6 por 1 que es 6, 6 por 2 12, 6 por 3 18, 6 por 4 24, 6 por 5 30, 6 por 6 36, 6 por 7 42, 6 por 8 48 y 6 por 9 que es 54. Comenzamos el procedimiento de la división tomando la primera cifra del dividendo, en este caso el 2. Nos preguntamos si 6 cabe en 2 y vemos que no es posible porque 6 es mayor que 2. Tomamos entonces las dos primeras cifras en el dividendo, o sea el número 20 y nos preguntamos si 6 cabe en 20. Vemos que si es posible porque 6 es menor que 20. Entonces con esta comita señalamos que empezamos el ejercicio tomando las dos primeras cifras en el dividendo. Revisamos acá en la tabla de multiplicar del número 6 cual es el número que más se aproxima o que es igual a 20. Miramos con atención y vemos que es el 18. Entonces 6 en 18 cabe tres veces y ese será el primer número que anotamos en el cociente. Decimos 3 por 6 o 6 por 3 es 18 y ese es el número que escribimos debajo del 20 y enseguida vamos a efectuar esa presta. Comenzamos por las unidades. A 0 no podemos quitarle 8, entonces dos decenas presta una decena aquí, o sea 10 unidades y 10 menos 8 nos da 2. El 2 queda convertido en 1 y 1 menos 1 nos da 0. Continuamos la división bajando la siguiente cifra del dividendo que es el 5 y se forma el número 25. Nos preguntamos si 6 cabe en 25. Vemos que si es posible porque 6 es menor que 25 y buscamos acá cual es el número que más se aproxima o que es igual a 25. Buscamos con atención y vemos que es 24 el que más se acerca. 6 en 24 cabe cuatro veces y ese será el siguiente número que anotamos en el cociente. Decimos entonces 4 por 6 o 6 por 4 que es 24 y ese será el número que anotamos debajo de 25. Vamos entonces con la resta. Empezamos por las unidades 5 menos 4 nos da 1 luego las decenas 2 menos 2 nos da 0. Continuamos el procedimiento bajando la siguiente cifra que hay en el dividendo o sea este número 2 y se forma el número 12. Nos preguntamos si 6 cabe en 12. Vemos que si es posible porque 6 es menor que 12 y entonces buscamos acá el número más cercano o que sea igual a 12. Aquí lo tenemos. Entonces 6 en 12 cabe dos veces y ese será el siguiente número que va en el cociente. Decimos entonces 2 por 6 o 6 por 2 que es 12 y ese será el número que escribimos aquí. Y enseguida efectuamos la resta. Comenzamos por las unidades 2 menos 2 nos da 0 luego las decenas 1 menos 1 nos da 0. Continuamos con la división bajando la siguiente cifra del dividendo. En este caso el número 4 esto es simplemente 4 y nos preguntamos si 6 cabe en 4. Vemos que no es posible porque 6 es mayor que 4 y en ese caso anotamos 0 en el cociente. Ahora vamos a bajar la última cifra que nos queda en el dividendo. Este 8 llega aquí y nos forma el número 48. Nos preguntamos si 6 cabe en 48. Vemos que si es posible porque 6 es menor que 48 y entonces buscamos acá el número que más se aproxime o que sea igual a 48. Buscamos y aquí lo tenemos. 6 en 48 cabe 8 veces y entonces ese es el número que anotamos allí en el cociente. Decimos entonces 8 por 6 o 6 por 8 que es 48. Lo escribimos por acá y hacemos la resta. Comenzamos por las unidades 8 menos 8 nos da 0 luego las decenas 4 menos 4 nos da 0 y como no tenemos más cifras para bajar en el dividendo damos por terminado el procedimiento de la división. Recordemos los 4 componentes que participan en esta operación llamada división. Aquí tenemos el dividendo el número 205,248 este es el divisor o sea 6 este es el cociente 34,208 y este es el residuo que nos dio 0. Quiere decir que en este caso no sobra nada y por eso es una división exacta. Significa que el número 6 cabe en 205,248 un total de 34,208 veces. Para verificar que este ejercicio nos haya quedado bien resuelto entonces hacemos la prueba de la división. Para ello vamos a multiplicar el cociente por el divisor a eso tenemos que sumarle el residuo y debemos obtener el dividendo. Como en este caso es una división exacta o sea con residuo 0 simplemente basta con multiplicar estos dos números es decir el cociente por el divisor para ver si nos da lo que tenemos en el dividendo. Vamos entonces con la prueba anotamos el cociente que nos dio 34,208 y eso tenemos que multiplicarlo por el divisor que es 6. Entonces vamos a efectuar lo que es una multiplicación por una cifra. Comenzamos por acá 6 por 8 es 48 anotamos el 8 llevamos 4 6 por 0 nos da 0 más 4 que llevamos es 4 6 por 2 12 anotamos el 2 llevamos 1 6 por 4 24 más 1 que llevamos es 25 anotamos el 5 llevamos 2 6 por 3 es 18 más 2 que llevamos es 20. Vemos que se obtienen el número 205,248 que es el dividendo y con esto confirmamos que esta división se resolvió correctamente.

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julioprofe

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DIVISIÓN POR UNA CIFRA - Ejercicio 4

#julioprofe explica cómo efectuar la división 30.090 ÷ 5 y también cómo probarla. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver detalladamente esta división. Tenemos en el dividendo el número 30,090 y en el divisor el número 5. O sea que tenemos una división por una cifra. Vamos entonces a realizar el procedimiento paso a paso y al final haremos la comprobación de este ejercicio. Comenzamos por anotar el dividendo que como decíamos es el número 30,090 y por acá vamos a escribir el divisor que es el número 5. Y para facilitar el desarrollo de esta división vamos a construir aquí la tabla de multiplicar para el número 5. Tenemos entonces 5 por 1 que es 5, 5 por 2 es 10, 5 por 3 es 15, 5 por 4 es 20, 5 por 5 es 25, 5 por 6 es 30, 5 por 7 es 35, 5 por 8 es 40 y 5 por 9 que es 45. Comenzamos el desarrollo de esta división considerando la primera cifra del dividendo, o sea el 3. Nos preguntamos si 5 cabe en 3 y vemos que no es posible porque 5 es mayor que 3. Tomamos ahora las dos primeras cifras del dividendo, o sea el número 30 y de nuevo nos preguntamos si 5 cabe en 30. Vemos que allí eso sí es posible porque 5 es menor que 30. Entonces con esta comita señalamos que se toman las dos primeras cifras en el dividendo. Revisamos entonces acá cuál es el número que más se aproxima o que es igual a 30 y efectivamente aquí lo tenemos 5 cabe en 36 veces. Entonces aquí en el lugar que corresponde al cociente anotamos el número 6. Decimos 6 por 5 o 5 por 6 es 30 y lo escribimos aquí debajo del primer número seleccionado y procedemos a efectuar la resta. Tenemos 0 menos 0, 0. 3 menos 3 nos da 0. Continuamos la división bajando la siguiente cifra que tenemos en el dividendo, o sea el 0, y todo esto es simplemente 0. Nos preguntamos si 5 cabe en 0, vemos que no es posible y en ese caso anotamos 0 en el cociente. Continuamos con la división bajando la siguiente cifra del dividendo, o sea el 9, y nos preguntamos si 5 cabe en 9. Vemos que sí es posible porque 5 es menor que 9. Entonces buscamos acá cuál es el número que más se aproxima a 9, vemos que es el 5, entonces 5 cabe en 5 una vez. Por lo tanto aquí en el cociente anotamos el número 1. Decimos 1 por 5 o 5 por 1 que es 5 y ese número se escribe debajo del 9. Hacemos entonces la resta, 9 menos 5 nos da como resultado 4. Podemos continuar la división porque aquí tenemos otra cifra para bajar, entonces este 0 lo traemos acá y nos forma el número 40. Entonces nos preguntamos si 5 cabe en 40, vemos que si es posible porque 5 es menor que 40, y entonces buscamos acá el número que más se aproxime o que sea igual a la 40. Aquí lo tenemos, 5 en 40 cabe 8 veces. Entonces aquí en el cociente anotamos el número 8. Decimos 8 por 5 o 5 por 8 que es 40 y ese número se escribe aquí debajo. Hacemos entonces la resta. Comenzamos por las unidades 0 menos 0 nos da 0 y 4 menos 4 nos da 0 y como no tenemos más cifras para bajar en el dividendo entonces allí terminamos el procedimiento de la división. Recordemos los cuatro componentes de toda división. Este es el dividendo, es el número 30,090, este es el divisor, el número 5, este que obtenemos acá es el cociente, el número 6018 y esto que nos queda por acá es el residuo o lo que sobra que en este caso es 0. En seguida vamos a realizar la prueba de esta división, para ello multiplicamos el cociente por el divisor y a ese resultado le sumamos el residuo y debemos obtener lo que es el dividendo. En este caso vemos que el residuo es 0 por lo tanto solamente es suficiente con verificar que el producto o la multiplicación entre el cociente y el divisor nos de como resultado el dividendo. Entonces vamos con la prueba de esta división. Como decíamos se toma el cociente que es 6018 y lo vamos a multiplicar por el divisor que es el número 5. Tenemos una multiplicación por una cifra, decimos 5 por 8 es 40, escribimos el 0, llevamos 4, 5 por 1 es 5, más 4 que llevamos nos da 9, 5 por 0 es 0 y 5 por 6 nos da 30. Como se observa allí tenemos el número 30,090 que es el dividendo y con eso verificamos que esta operación, o sea esa división se resolvió correctamente. Para terminar señalamos que esta es una división exacta porque el residuo nos dio 0, quiere decir que el número 5 cabe en 30,090 exactamente 6018 veces.

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Tenemos entonces 5 por 1 que"}, {"start": 53.800000000000004, "end": 69.36, "text": " es 5, 5 por 2 es 10, 5 por 3 es 15, 5 por 4 es 20, 5 por 5 es 25, 5 por 6 es 30, 5 por 7 es 35,"}, {"start": 69.36, "end": 80.44, "text": " 5 por 8 es 40 y 5 por 9 que es 45. Comenzamos el desarrollo de esta divisi\u00f3n considerando la"}, {"start": 80.44, "end": 87.24, "text": " primera cifra del dividendo, o sea el 3. Nos preguntamos si 5 cabe en 3 y vemos que no es"}, {"start": 87.24, "end": 94.12, "text": " posible porque 5 es mayor que 3. Tomamos ahora las dos primeras cifras del dividendo, o sea el"}, {"start": 94.12, "end": 102.28, "text": " n\u00famero 30 y de nuevo nos preguntamos si 5 cabe en 30. Vemos que all\u00ed eso s\u00ed es posible porque 5"}, {"start": 102.28, "end": 108.76, "text": " es menor que 30. Entonces con esta comita se\u00f1alamos que se toman las dos primeras cifras en el"}, {"start": 108.76, "end": 115.52000000000001, "text": " dividendo. Revisamos entonces ac\u00e1 cu\u00e1l es el n\u00famero que m\u00e1s se aproxima o que es igual a 30"}, {"start": 115.52000000000001, "end": 124.0, "text": " y efectivamente aqu\u00ed lo tenemos 5 cabe en 36 veces. Entonces aqu\u00ed en el lugar que corresponde"}, {"start": 124.0, "end": 134.28, "text": " al cociente anotamos el n\u00famero 6. Decimos 6 por 5 o 5 por 6 es 30 y lo escribimos aqu\u00ed debajo del"}, {"start": 134.28, "end": 144.56, "text": " primer n\u00famero seleccionado y procedemos a efectuar la resta. Tenemos 0 menos 0, 0. 3 menos 3 nos da 0."}, {"start": 144.56, "end": 151.52, "text": " Continuamos la divisi\u00f3n bajando la siguiente cifra que tenemos en el dividendo, o sea el 0,"}, {"start": 151.52, "end": 159.56, "text": " y todo esto es simplemente 0. Nos preguntamos si 5 cabe en 0, vemos que no es posible y en ese caso"}, {"start": 159.56, "end": 167.32000000000002, "text": " anotamos 0 en el cociente. Continuamos con la divisi\u00f3n bajando la siguiente cifra del dividendo,"}, {"start": 167.32000000000002, "end": 176.16000000000003, "text": " o sea el 9, y nos preguntamos si 5 cabe en 9. Vemos que s\u00ed es posible porque 5 es menor que 9."}, {"start": 176.16, "end": 183.8, "text": " Entonces buscamos ac\u00e1 cu\u00e1l es el n\u00famero que m\u00e1s se aproxima a 9, vemos que es el 5, entonces 5"}, {"start": 183.8, "end": 192.6, "text": " cabe en 5 una vez. Por lo tanto aqu\u00ed en el cociente anotamos el n\u00famero 1. Decimos 1 por 5 o 5 por 1"}, {"start": 192.6, "end": 202.84, "text": " que es 5 y ese n\u00famero se escribe debajo del 9. Hacemos entonces la resta, 9 menos 5 nos da como"}, {"start": 202.84, "end": 210.28, "text": " resultado 4. Podemos continuar la divisi\u00f3n porque aqu\u00ed tenemos otra cifra para bajar, entonces este"}, {"start": 210.28, "end": 220.56, "text": " 0 lo traemos ac\u00e1 y nos forma el n\u00famero 40. Entonces nos preguntamos si 5 cabe en 40, vemos que si es"}, {"start": 220.56, "end": 227.84, "text": " posible porque 5 es menor que 40, y entonces buscamos ac\u00e1 el n\u00famero que m\u00e1s se aproxime o que sea igual"}, {"start": 227.84, "end": 236.84, "text": " a la 40. Aqu\u00ed lo tenemos, 5 en 40 cabe 8 veces. Entonces aqu\u00ed en el cociente anotamos el n\u00famero 8."}, {"start": 236.84, "end": 246.2, "text": " Decimos 8 por 5 o 5 por 8 que es 40 y ese n\u00famero se escribe aqu\u00ed debajo. Hacemos entonces la resta."}, {"start": 247.36, "end": 255.92000000000002, "text": " Comenzamos por las unidades 0 menos 0 nos da 0 y 4 menos 4 nos da 0 y como no tenemos m\u00e1s cifras"}, {"start": 255.92, "end": 263.59999999999997, "text": " para bajar en el dividendo entonces all\u00ed terminamos el procedimiento de la divisi\u00f3n. Recordemos los"}, {"start": 263.59999999999997, "end": 271.76, "text": " cuatro componentes de toda divisi\u00f3n. Este es el dividendo, es el n\u00famero 30,090, este es el divisor,"}, {"start": 271.76, "end": 280.32, "text": " el n\u00famero 5, este que obtenemos ac\u00e1 es el cociente, el n\u00famero 6018 y esto que nos queda por ac\u00e1 es el"}, {"start": 280.32, "end": 288.96, "text": " residuo o lo que sobra que en este caso es 0. En seguida vamos a realizar la prueba de esta divisi\u00f3n,"}, {"start": 288.96, "end": 296.88, "text": " para ello multiplicamos el cociente por el divisor y a ese resultado le sumamos el residuo y debemos"}, {"start": 296.88, "end": 304.0, "text": " obtener lo que es el dividendo. En este caso vemos que el residuo es 0 por lo tanto solamente"}, {"start": 304.0, "end": 311.76, "text": " es suficiente con verificar que el producto o la multiplicaci\u00f3n entre el cociente y el divisor nos"}, {"start": 311.76, "end": 320.96, "text": " de como resultado el dividendo. Entonces vamos con la prueba de esta divisi\u00f3n. Como dec\u00edamos se toma"}, {"start": 320.96, "end": 331.6, "text": " el cociente que es 6018 y lo vamos a multiplicar por el divisor que es el n\u00famero 5. Tenemos una"}, {"start": 331.6, "end": 340.32000000000005, "text": " multiplicaci\u00f3n por una cifra, decimos 5 por 8 es 40, escribimos el 0, llevamos 4, 5 por 1 es 5,"}, {"start": 340.32000000000005, "end": 350.8, "text": " m\u00e1s 4 que llevamos nos da 9, 5 por 0 es 0 y 5 por 6 nos da 30. Como se observa all\u00ed tenemos el"}, {"start": 350.8, "end": 358.56, "text": " n\u00famero 30,090 que es el dividendo y con eso verificamos que esta operaci\u00f3n, o sea esa"}, {"start": 358.56, "end": 366.12, "text": " divisi\u00f3n se resolvi\u00f3 correctamente. Para terminar se\u00f1alamos que esta es una divisi\u00f3n exacta porque"}, {"start": 366.12, "end": 389.36, "text": " el residuo nos dio 0, quiere decir que el n\u00famero 5 cabe en 30,090 exactamente 6018 veces."}]

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DIVISIÓN POR UNA CIFRA - Ejercicio 3

#julioprofe explica paso a paso cómo efectuar la división 3.903 ÷ 4 y también cómo probarla. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver detalladamente esta división. Tenemos en el dividendo el número 3903 y en el divisor el número 4. Esta será una división por una cifra. Vamos a desarrollarla paso a paso y al final haremos la comprobación. Comenzamos anotando el dividendo, que es el número 3903 y por acá vamos a escribir el divisor que es el número 4. Y para facilitar el desarrollo de esta división vamos a construir acá la tabla de multiplicar el número 4. Comenzamos entonces 4x1 que es 4, 4x2 es 8, 4x3 es 12, 4x4 es 16, 4x5 es 20, 4x6 es 24, 4x7 es 28, 4x8 es 32 y 4x9 que es 36. Para comenzar el procedimiento de la división tomamos la primera cifra del dividendo y nos preguntamos si 4 cabe en 3. Vemos que no es posible porque 4 es mayor que 3. Entonces consideramos las dos primeras cifras, es decir el número 39. Volvemos a preguntarnos si 4 cabe en 39 y vemos que sí es posible porque 4 es menor que 39. Entonces buscamos acá cuál es el número que más se aproxima o que sea igual a 39. Si revisamos con atención vemos que es 36. Entonces 4 cabe en 36 nueve veces. Y por ello anotamos aquí en lo que corresponde al cociente el número 9. Decimos 9x4 o 4x9, aquí lo tenemos da 36 y ese es el número que escribimos debajo de 39. Hacemos entonces la resta comenzando por las unidades 9-6 nos da 3 y 3-3 nos da 0. Continuamos el procedimiento de la división bajando la siguiente cifra que tenemos en el dividendo, es decir el 0 y tenemos acá el número 30. Nos preguntamos si 4 cabe en 30 y vemos que sí es posible porque 4 es menor que 30. Entonces revisamos acá cuál es el número que más se aproxima a 30 y encontramos que es el 28. 4 cabe en 28 siete veces y entonces acá en el cociente escribimos el número 7. Decimos entonces 7x4 o 4x7 es 28 y ese es el número que escribimos debajo del 30 para realizar la resta. Comenzamos por las unidades. A 0 no podemos quitarle 8, 3 presta una decena acá, es decir 10 unidades, 10 unidades más 0 nos da 10 y 10-8 nos da 2. El 3 queda convertido en 2 porque prestó una decena, entonces tendremos acá 2-2 que nos da como resultado 0. Continuamos la división bajando la siguiente y última cifra que tenemos en el dividendo, es decir el número 3. Tenemos acá el 23. Nos preguntamos si 4 cabe en 23 vemos que sí es posible porque 4 es menor que 23. Miramos acá cuál es el número que más se aproxima a 23 y encontramos que es el 20. 4 cabe en 20 cinco veces entonces aquí en el cociente anotamos el número 5. Decimos entonces 5x4 o 4x5 acá lo tenemos es 20 y ese es el número que escribimos debajo de 23. Hacemos entonces la resta. Comenzamos por las unidades 3-0 nos da 3 y 2-2 nos da 0 y allí terminamos el procedimiento. Recordemos cuales son los componentes de toda división. 3903 es el dividendo, 4 es el divisor, 975 es el cociente y 3 es el residuo o lo que sobra. Para verificar si este procedimiento quedó bien hecho entonces vamos a efectuar la prueba de la división y consiste en lo siguiente vamos a multiplicar el cociente por el divisor a ese resultado le sumamos el residuo y debemos obtener lo que es el dividendo. Comenzamos entonces multiplicando 975x4 es decir el cociente por el divisor. Vamos entonces a efectuar esta multiplicación que es por una cifra. Tenemos entonces 4x5 es 20, anotamos el 0 y acá llevamos 2. 4x7 nos da 28, más 2 que llevamos nos da 30, anotamos el 0, llevamos 3. 4x9 es 36, 36 más 3 nos da como resultado 39. Tenemos el número 3900 al cual tenemos que sumarle el residuo que es el número 3. Entonces podemos hacer allí mismo la suma. Comenzamos por las unidades 0 más 3 nos da 3, aquí no tenemos nada pues como si tuviéramos ceros entonces simplemente bajamos esos números y como se observa obtenemos 3903 es el dividendo y eso nos confirma que la división se resolvió correctamente. Para terminar señalamos que como el residuo es diferente de 0, en ese caso nos dio 3, esta es una división inexacta.

[{"start": 0.0, "end": 11.16, "text": " Vamos a resolver detalladamente esta divisi\u00f3n. Tenemos en el dividendo el n\u00famero 3903 y"}, {"start": 11.16, "end": 18.240000000000002, "text": " en el divisor el n\u00famero 4. Esta ser\u00e1 una divisi\u00f3n por una cifra. Vamos a desarrollarla"}, {"start": 18.240000000000002, "end": 26.16, "text": " paso a paso y al final haremos la comprobaci\u00f3n. Comenzamos anotando el dividendo, que es el"}, {"start": 26.16, "end": 38.8, "text": " n\u00famero 3903 y por ac\u00e1 vamos a escribir el divisor que es el n\u00famero 4. Y para facilitar"}, {"start": 38.8, "end": 47.44, "text": " el desarrollo de esta divisi\u00f3n vamos a construir ac\u00e1 la tabla de multiplicar el n\u00famero 4."}, {"start": 47.44, "end": 63.239999999999995, "text": " Comenzamos entonces 4x1 que es 4, 4x2 es 8, 4x3 es 12, 4x4 es 16, 4x5 es 20, 4x6 es 24,"}, {"start": 63.239999999999995, "end": 75.08, "text": " 4x7 es 28, 4x8 es 32 y 4x9 que es 36. Para comenzar el procedimiento de la divisi\u00f3n"}, {"start": 75.08, "end": 81.25999999999999, "text": " tomamos la primera cifra del dividendo y nos preguntamos si 4 cabe en 3. Vemos que no es"}, {"start": 81.25999999999999, "end": 88.84, "text": " posible porque 4 es mayor que 3. Entonces consideramos las dos primeras cifras, es decir el n\u00famero"}, {"start": 88.84, "end": 97.4, "text": " 39. Volvemos a preguntarnos si 4 cabe en 39 y vemos que s\u00ed es posible porque 4 es menor"}, {"start": 97.4, "end": 103.48, "text": " que 39. Entonces buscamos ac\u00e1 cu\u00e1l es el n\u00famero que m\u00e1s se aproxima o que sea igual"}, {"start": 103.48, "end": 112.92, "text": " a 39. Si revisamos con atenci\u00f3n vemos que es 36. Entonces 4 cabe en 36 nueve veces."}, {"start": 112.92, "end": 122.4, "text": " Y por ello anotamos aqu\u00ed en lo que corresponde al cociente el n\u00famero 9. Decimos 9x4 o 4x9,"}, {"start": 122.4, "end": 130.28, "text": " aqu\u00ed lo tenemos da 36 y ese es el n\u00famero que escribimos debajo de 39. Hacemos entonces"}, {"start": 130.28, "end": 141.44, "text": " la resta comenzando por las unidades 9-6 nos da 3 y 3-3 nos da 0. Continuamos el procedimiento"}, {"start": 141.44, "end": 147.32, "text": " de la divisi\u00f3n bajando la siguiente cifra que tenemos en el dividendo, es decir el 0"}, {"start": 147.32, "end": 153.68, "text": " y tenemos ac\u00e1 el n\u00famero 30. Nos preguntamos si 4 cabe en 30 y vemos que s\u00ed es posible"}, {"start": 153.68, "end": 159.88, "text": " porque 4 es menor que 30. Entonces revisamos ac\u00e1 cu\u00e1l es el n\u00famero que m\u00e1s se aproxima"}, {"start": 159.88, "end": 167.6, "text": " a 30 y encontramos que es el 28. 4 cabe en 28 siete veces y entonces ac\u00e1 en el cociente"}, {"start": 167.6, "end": 177.85999999999999, "text": " escribimos el n\u00famero 7. Decimos entonces 7x4 o 4x7 es 28 y ese es el n\u00famero que escribimos"}, {"start": 177.85999999999999, "end": 186.44, "text": " debajo del 30 para realizar la resta. Comenzamos por las unidades. A 0 no podemos quitarle"}, {"start": 186.44, "end": 194.84, "text": " 8, 3 presta una decena ac\u00e1, es decir 10 unidades, 10 unidades m\u00e1s 0 nos da 10 y 10-8 nos da"}, {"start": 194.84, "end": 202.4, "text": " 2. El 3 queda convertido en 2 porque prest\u00f3 una decena, entonces tendremos ac\u00e1 2-2 que"}, {"start": 202.4, "end": 211.32, "text": " nos da como resultado 0. Continuamos la divisi\u00f3n bajando la siguiente y \u00faltima cifra que tenemos"}, {"start": 211.32, "end": 219.64, "text": " en el dividendo, es decir el n\u00famero 3. Tenemos ac\u00e1 el 23. Nos preguntamos si 4 cabe en 23"}, {"start": 219.64, "end": 225.2, "text": " vemos que s\u00ed es posible porque 4 es menor que 23. Miramos ac\u00e1 cu\u00e1l es el n\u00famero que"}, {"start": 225.2, "end": 233.16, "text": " m\u00e1s se aproxima a 23 y encontramos que es el 20. 4 cabe en 20 cinco veces entonces aqu\u00ed"}, {"start": 233.16, "end": 243.8, "text": " en el cociente anotamos el n\u00famero 5. Decimos entonces 5x4 o 4x5 ac\u00e1 lo tenemos es 20 y"}, {"start": 243.8, "end": 251.0, "text": " ese es el n\u00famero que escribimos debajo de 23. Hacemos entonces la resta. Comenzamos"}, {"start": 251.0, "end": 260.84, "text": " por las unidades 3-0 nos da 3 y 2-2 nos da 0 y all\u00ed terminamos el procedimiento. Recordemos"}, {"start": 260.84, "end": 270.28, "text": " cuales son los componentes de toda divisi\u00f3n. 3903 es el dividendo, 4 es el divisor, 975"}, {"start": 270.28, "end": 277.91999999999996, "text": " es el cociente y 3 es el residuo o lo que sobra. Para verificar si este procedimiento"}, {"start": 277.91999999999996, "end": 287.23999999999995, "text": " qued\u00f3 bien hecho entonces vamos a efectuar la prueba de la divisi\u00f3n y consiste en lo"}, {"start": 287.24, "end": 293.1, "text": " siguiente vamos a multiplicar el cociente por el divisor a ese resultado le sumamos"}, {"start": 293.1, "end": 301.44, "text": " el residuo y debemos obtener lo que es el dividendo. Comenzamos entonces multiplicando"}, {"start": 301.44, "end": 310.72, "text": " 975x4 es decir el cociente por el divisor. Vamos entonces a efectuar esta multiplicaci\u00f3n"}, {"start": 310.72, "end": 319.84000000000003, "text": " que es por una cifra. Tenemos entonces 4x5 es 20, anotamos el 0 y ac\u00e1 llevamos 2. 4x7"}, {"start": 319.84000000000003, "end": 329.76000000000005, "text": " nos da 28, m\u00e1s 2 que llevamos nos da 30, anotamos el 0, llevamos 3. 4x9 es 36, 36"}, {"start": 329.76000000000005, "end": 338.76000000000005, "text": " m\u00e1s 3 nos da como resultado 39. Tenemos el n\u00famero 3900 al cual tenemos que sumarle"}, {"start": 338.76, "end": 347.36, "text": " el residuo que es el n\u00famero 3. Entonces podemos hacer all\u00ed mismo la suma. Comenzamos por"}, {"start": 347.36, "end": 354.24, "text": " las unidades 0 m\u00e1s 3 nos da 3, aqu\u00ed no tenemos nada pues como si tuvi\u00e9ramos ceros entonces"}, {"start": 354.24, "end": 363.4, "text": " simplemente bajamos esos n\u00fameros y como se observa obtenemos 3903 es el dividendo y eso"}, {"start": 363.4, "end": 369.12, "text": " nos confirma que la divisi\u00f3n se resolvi\u00f3 correctamente. Para terminar se\u00f1alamos que"}, {"start": 369.12, "end": 397.12, "text": " como el residuo es diferente de 0, en ese caso nos dio 3, esta es una divisi\u00f3n inexacta."}]

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DIVISIÓN POR UNA CIFRA - Ejercicio 2

#julioprofe explica cómo efectuar la división 12.621 ÷ 3 y también cómo probarla. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver detalladamente esta división. Tenemos en el dividendo el número 12621 y en el divisor el número 3. Entonces, en este caso, vamos a resolver una división por una cifra y al final vamos a realizar su respectiva prueba. Comenzamos anotando el dividendo que como decíamos es 12621 y por acá vamos a escribir el divisor que también dijimos que es el número 3 y vamos a apoyar el desarrollo de este ejercicio construyendo acá la tabla de multiplicar del número 3. Comenzamos entonces 3x1 que es 3, 3x2 es 6, 3x3 es 9, 3x4 es 12, 3x5 es 15, 3x6 es 18, 3x7 es 21, 3x8 es 24 y 3x9 es 27. Comenzamos el procedimiento de la división considerando la primera cifra del dividendo, o sea este número 1. Nos preguntamos si 3 cabe en 1, vemos que no es posible, entonces tomamos ahora las dos primeras cifras, es decir el número 12. Nos preguntamos si 3 cabe en 12 y vemos que sí se puede. Entonces con esta comita señalamos que consideramos las dos primeras cifras del dividendo para comenzar la división. Nos fijamos acá cuál es el número que más se aproxima o es igual a 12, acá lo tenemos, 3 cabe en el 12 cuatro veces. Entonces aquí escribimos el número 4 en la zona que corresponde al cociente, decimos 4x3 o 3x4 nos da 12, lo escribimos por acá y vamos a realizar a continuación la resta. Tenemos entonces 2-2, 0 y 1-1, 0 y bajamos la siguiente cifra que es el 6 para continuar con la división. Nos preguntamos si 3 cabe en 6, vemos que sí es posible, entonces buscamos acá cuál es el número más cercano o que sea igual a 6, aquí lo tenemos, entonces el 3 en el 6 cabe dos veces. Escribimos entonces aquí el número 2, repetimos en la zona que corresponde al cociente, decimos 2x3 o 3x2 es 6, lo escribimos por acá y vamos a realizar la resta. 6-6 nos da como resultado 0 y para continuar con la división bajamos la siguiente cifra que es el número 2, nos preguntamos si 3 cabe en 2, vemos que no se puede porque 3 es mayor que 2 y en ese caso escribimos 0 en el cociente. Podemos continuar con la división porque aquí nos queda una cifra que podemos bajar, entonces traemos el 1 por acá y nos forma el número 21, nos preguntamos si 3 cabe en 21, vemos que sí es posible porque 3 es menor que 21, miramos acá y encontramos el número 21 aquí, entonces 3 en 21 cabe 7 veces, escribimos aquí el 7 donde corresponde al cociente y decimos 7x3 o 3x7 es 21, lo escribimos por acá y enseguida hacemos la resta. Comenzamos por las unidades 1-1 es 0, luego las decenas 2-2 nos da 0 y allí terminamos la división porque no tenemos más cifras para bajar. Recordemos cómo se llaman los componentes de la división, dijimos que 12621 es el dividendo, 13 es el divisor, 4207 es el cociente y acá el número 0 es el residuo o lo que sobra. Podemos probar esta división para ver si nos quedó resuelta de manera correcta, para ello tenemos que multiplicar el cociente por el divisor y a ese resultado tenemos que sumarle el residuo, bueno como en este caso el residuo es 0, bastará con multiplicar cociente por divisor y debemos obtener como resultado el dividendo. Vamos entonces con la prueba de esta división, escribimos el cociente que nos dio 4207 y eso vamos a multiplicarlo por el divisor que es 3, vamos entonces a realizar esta multiplicación que es por una cifra, decimos 3x7 es 21, escribimos el 1 y acá llevamos 2, 3x0 nos da 0 más 2 que llevamos nos da 2, 3x2 nos da 6, no llevamos nada y 3x4 nos da 12, entonces escribimos ese número y como se observa tenemos el dividendo que es 12621, repetimos a esto habría que sumarle el residuo que es 0, pero 0 no le aporta nada a este número, por lo tanto allí verificamos que esta división se resolvió correctamente. Para terminar señalamos que como el residuo de esta división es 0, entonces se trata de una división exacta, esto quiere decir que el número 3 cabe en 12621 4207 veces.

[{"start": 0.0, "end": 12.48, "text": " Vamos a resolver detalladamente esta divisi\u00f3n. Tenemos en el dividendo el n\u00famero 12621 y"}, {"start": 12.48, "end": 18.52, "text": " en el divisor el n\u00famero 3. 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DIVISIÓN POR UNA CIFRA - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo efectuar la división 1.607 ÷ 2 y también cómo probarla. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a realizar paso a paso esta división y al final realizaremos su comprobación. Tenemos 1607 que es el dividendo y 2 que es el divisor. Entonces tenemos en este caso una división por una cifra. Comenzamos anotando el dividendo que es 1607 y por acá vamos a anotar el divisor que es el número 2. Y vamos a comenzar por anotar aquí lo que es la tabla de multiplicar para el número 2. Tenemos entonces 2x1 es 2, 2x2 es 4, 2x3 es 6, 2x4 es 8, 2x5 es 10, 2x6 es 12, 2x7 es 14, 2x8 es 16 y 2x9 es 18. Comenzamos entonces el proceso de la división escogiendo acá la primera cifra. Nos preguntamos si 2 cabe en el 1, vemos que no es posible. Entonces consideramos las dos primeras cifras, es decir el número 16. Nos preguntamos si 2 cabe en 16 y vemos que sí se puede. 2 si cabe en 16. Separamos entonces las dos primeras cifras en el dividendo y buscamos acá cuál es el número que más se aproxima o es igual a 16. Si revisamos los resultados encontramos 16 acá, es decir que 2 cabe en 16 ocho veces. Aquí entonces en el cociente anotamos el número 8. Decimos 8x2 es 16, escribimos aquí el resultado y enseguida vamos a realizar la resta. Comenzamos por las unidades 6-6 nos da 0 y 1-1 nos da 0. Bajamos entonces la siguiente cifra que es el 0. Aquí, acá nos queda el número 0 y nos preguntamos si 2 cabe en 0. Vemos que no es posible, en ese caso anotamos 0 en el cociente. Continuamos la división bajando la siguiente cifra que es el número 7. Esto es simplemente 7 y entonces nos preguntamos si 2 cabe en 7. Vemos que sí es posible, entonces revisamos acá cuál es el número que más se aproxima a 7 o que sea igual a 7. Si revisamos los resultados de la tabla del 2 vemos que el que más se acerca a 7 es el número 6. Entonces utilizamos acá el número 3. El 2 en el 7 cabe tres veces porque 2x3 es 6, anotamos aquí el 6 y entonces realizamos la resta. 7-6 nos da como resultado 1 y allí terminamos la división. Recordemos los nombres de los componentes de esta operación llamada división. 1607 es el dividendo, 2 es el divisor, 803 es el cociente y 1 es el residuo o lo que sobra. Para tener la tranquilidad de que esta división se resolvió correctamente podemos efectuar la prueba. Para ello multiplicamos el cociente por el divisor, a eso tenemos que sumarle el residuo y nos tiene que dar como resultado el dividendo que en este caso es 1607. Vamos entonces a efectuar la prueba de esta división. Comenzamos multiplicando el cociente que es 803 por el divisor que es 2. Entonces realizamos esta multiplicación. Tenemos 2x3 es 6, 2x0 es 0 y 2x8 es 16. A eso tenemos que sumarle el residuo que nos dio 1. Podemos sumarlo allí mismo y comenzamos entonces por la derecha, o sea por las unidades. Tenemos 6 más 1 que es 7, aquí bajamos el 0, bajamos el 6, bajamos el 1 y como se observa obtenemos 1607 que es el dividendo y con eso confirmamos que esta división se realizó correctamente. Por último señalamos que como el residuo es diferente de 0, en este caso nos dio 1, entonces esta será una división inexacta.

[{"start": 0.0, "end": 10.72, "text": " Vamos a realizar paso a paso esta divisi\u00f3n y al final realizaremos su comprobaci\u00f3n."}, {"start": 10.72, "end": 16.4, "text": " Tenemos 1607 que es el dividendo y 2 que es el divisor."}, {"start": 16.4, "end": 21.400000000000002, "text": " Entonces tenemos en este caso una divisi\u00f3n por una cifra."}, {"start": 21.4, "end": 36.2, "text": " Comenzamos anotando el dividendo que es 1607 y por ac\u00e1 vamos a anotar el divisor que es el n\u00famero 2."}, {"start": 36.2, "end": 45.2, "text": " Y vamos a comenzar por anotar aqu\u00ed lo que es la tabla de multiplicar para el n\u00famero 2."}, {"start": 45.2, "end": 67.60000000000001, "text": " Tenemos entonces 2x1 es 2, 2x2 es 4, 2x3 es 6, 2x4 es 8, 2x5 es 10, 2x6 es 12, 2x7 es 14, 2x8 es 16 y 2x9 es 18."}, {"start": 67.60000000000001, "end": 72.60000000000001, "text": " Comenzamos entonces el proceso de la divisi\u00f3n escogiendo ac\u00e1 la primera cifra."}, {"start": 72.6, "end": 77.19999999999999, "text": " Nos preguntamos si 2 cabe en el 1, vemos que no es posible."}, {"start": 77.19999999999999, "end": 83.19999999999999, "text": " Entonces consideramos las dos primeras cifras, es decir el n\u00famero 16."}, {"start": 83.19999999999999, "end": 87.8, "text": " Nos preguntamos si 2 cabe en 16 y vemos que s\u00ed se puede."}, {"start": 87.8, "end": 90.0, "text": " 2 si cabe en 16."}, {"start": 90.0, "end": 99.8, "text": " Separamos entonces las dos primeras cifras en el dividendo y buscamos ac\u00e1 cu\u00e1l es el n\u00famero que m\u00e1s se aproxima o es igual a 16."}, {"start": 99.8, "end": 107.39999999999999, "text": " Si revisamos los resultados encontramos 16 ac\u00e1, es decir que 2 cabe en 16 ocho veces."}, {"start": 107.39999999999999, "end": 111.39999999999999, "text": " Aqu\u00ed entonces en el cociente anotamos el n\u00famero 8."}, {"start": 111.39999999999999, "end": 121.8, "text": " Decimos 8x2 es 16, escribimos aqu\u00ed el resultado y enseguida vamos a realizar la resta."}, {"start": 121.8, "end": 128.2, "text": " Comenzamos por las unidades 6-6 nos da 0 y 1-1 nos da 0."}, {"start": 128.2, "end": 132.6, "text": " Bajamos entonces la siguiente cifra que es el 0."}, {"start": 132.6, "end": 138.79999999999998, "text": " Aqu\u00ed, ac\u00e1 nos queda el n\u00famero 0 y nos preguntamos si 2 cabe en 0."}, {"start": 138.79999999999998, "end": 144.79999999999998, "text": " Vemos que no es posible, en ese caso anotamos 0 en el cociente."}, {"start": 144.79999999999998, "end": 150.6, "text": " Continuamos la divisi\u00f3n bajando la siguiente cifra que es el n\u00famero 7."}, {"start": 150.6, "end": 157.0, "text": " Esto es simplemente 7 y entonces nos preguntamos si 2 cabe en 7."}, {"start": 157.0, "end": 165.6, "text": " Vemos que s\u00ed es posible, entonces revisamos ac\u00e1 cu\u00e1l es el n\u00famero que m\u00e1s se aproxima a 7 o que sea igual a 7."}, {"start": 165.6, "end": 173.0, "text": " Si revisamos los resultados de la 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cociente por el divisor, a eso tenemos que sumarle el residuo"}, {"start": 222.6, "end": 229.2, "text": " y nos tiene que dar como resultado el dividendo que en este caso es 1607."}, {"start": 229.2, "end": 234.6, "text": " Vamos entonces a efectuar la prueba de esta divisi\u00f3n."}, {"start": 234.6, "end": 242.4, "text": " Comenzamos multiplicando el cociente que es 803 por el divisor que es 2."}, {"start": 242.4, "end": 246.4, "text": " Entonces realizamos esta multiplicaci\u00f3n."}, {"start": 246.4, "end": 253.0, "text": " Tenemos 2x3 es 6, 2x0 es 0 y 2x8 es 16."}, {"start": 253.0, "end": 257.8, "text": " A eso tenemos que sumarle el residuo que nos dio 1."}, {"start": 257.8, "end": 265.8, "text": " Podemos sumarlo all\u00ed mismo y comenzamos entonces por la derecha, o sea por las unidades."}, {"start": 265.8, "end": 278.6, "text": " Tenemos 6 m\u00e1s 1 que es 7, aqu\u00ed bajamos el 0, bajamos el 6, bajamos el 1 y como se observa obtenemos 1607 que es el dividendo"}, {"start": 278.6, "end": 284.0, "text": " y con eso confirmamos que esta divisi\u00f3n se realiz\u00f3 correctamente."}, {"start": 284.0, "end": 290.4, "text": " Por \u00faltimo se\u00f1alamos que como el residuo es diferente de 0, en este caso nos dio 1,"}, {"start": 290.4, "end": 318.4, "text": " entonces esta ser\u00e1 una divisi\u00f3n inexacta."}]

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ECUACIONES LOGARÍTMICAS - Ejercicio 14

#julioprofe explica cómo resolver una ecuación logarítmica. Tema: #EcuacionesLogarítmicas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwGy9_WwQrZrw9iTXiKDua5T REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver detalladamente esta ecuación logarítmica. Para empezar observamos estas dos expresiones, que aunque se parecen bastante, son distintas. Veamos, una cosa es tener logaritmo en base a a la n de una cantidad p, y otra cosa diferente es tener logaritmo en base a de b elevada al exponente n. Acá n está situada en la mitad del logaritmo, o sea que afecta como exponente a toda esa expresión, por lo tanto esto puede reescribirse como logaritmo en base a de b y todo esto elevado al exponente n. Mientras tanto acá tenemos el logaritmo de una potencia, n afecta únicamente a la letra b. Por lo tanto aquí es permitido bajar el exponente n a multiplicar, nos queda n por el logaritmo en base a de b y esta es una propiedad de los logaritmos. Entonces utilizando esto podemos reescribir el ejercicio original, acá tendremos logaritmo en base 2 de x y todo esto elevado al cuadrado. Mientras que al otro lado bajamos el exponente 2 que multiplica al logaritmo en base 2 de x y todo esto queda sumando con el número 3. Como se observa acá tenemos una expresión donde se repite logaritmo en base 2 de x, entonces podemos utilizar lo que se llama un cambio de variable, algo que nos va a facilitar el desarrollo del ejercicio. En este caso decimos que logaritmo en base 2 de x puede ser igual a una nueva letra, vamos a escoger por ejemplo la letra c y con eso vamos a reescribir la expresión. Acá tendríamos c elevada al cuadrado, al otro lado tenemos 2 por este logaritmo que es c, entonces nos queda 2c y todo eso más 3. Observamos allí lo que es una ecuación cuadrática o de segundo grado donde la incógnita o la variable ahora es la letra c, para resolver esa ecuación debemos tenerla igualada a cero, entonces vamos a pasar estos dos términos al lado izquierdo, se queda entonces c al cuadrado en ese lado, 2c que está positivo llega con signo negativo al lado izquierdo y lo mismo pasa con este número que está positivo, entonces llega con signo menos al lado izquierdo y todo esto nos queda igualado a cero. Ahora sí tenemos la ecuación cuadrática, entonces podemos resolverla bien sea por factorización o sino por la fórmula cuadrática o fórmula general, podemos intentarlo por factorización, a este lado tenemos un trinomio de la forma x al cuadrado más bx más c, nos preguntamos si existen dos números que multiplicados nos den menos 3 y que sumados entre sí nos den menos 2, pues bien esos números serían menos 3 y más 1, multiplicados nos da menos 3 y al sumarlos entre sí nos da menos 2, entonces vamos a factorizar esta expresión, abrimos dos paréntesis, sacamos la raíz cuadrada del primer termino que es c, la escribimos al comienzo de cada paréntesis, definimos los signos, aquí tenemos signo más, más por menos nos da menos y menos por menos nos da más y aquí van los números que habíamos determinado, el 3 que es el negativo y el 1 que es el positivo y todo esto nos queda igualado a cero. Ahora aplicamos lo que se llama el teorema del factor nulo, que dice lo siguiente, si a por b es igual a cero, entonces a es igual a cero o b es igual a cero y es la situación que tenemos acá, el producto de dos cantidades o de dos expresiones que se encuentra igualado a cero, siguiendo este teorema tendremos c menos 3 es igual a cero o c más 1 también igualado a cero. Resolvemos ahora cada situación para la incógnita c, por aquí si hacemos el despeje de esa letra tenemos que 3 está restando, pasa al otro lado a sumar con cero y nos da 3 positivo, por acá tendremos que c es igual a uno que está sumando pasa al otro lado a restar con cero, cero menos uno nos da como resultado menos uno. Estas serían las soluciones de la ecuación cuadrática que teníamos ahora y que estaba en términos de la letra c, pero no podemos olvidar que c equivale al logaritmo en base 2dx, entonces vamos a deshacer el cambio de variable. Por acá tendremos entonces que logaritmo en base 2dx queda igualado a 3 y por acá tendríamos que logaritmo en base 2dx está igualado a menos uno. Ahora vamos a resolver cada una de estas situaciones para x que es la incógnita original del ejercicio, para ello vamos a pasar de la forma logarítmica a la forma exponencial, recordemos que si se tiene logaritmo en base a de la cantidad b igualado a c, entonces esto quiere decir que a a la c es igual a b, recordemos que esto es de doble vía, para pasar de la forma logarítmica a la forma exponencial o también para devolvernos. Entonces siguiendo esta definición de lo que son los logaritmos, decimos que acá 2 a la 3 es igual a x y por acá decimos que 2 a la menos uno también es igual a x. Ahora vamos a pulir cada uno de estos valores, por acá tendremos que x es igual a 2 al cubo que equivale a 8 y por acá tenemos x igual a 2 a la menos uno que equivale a 1 medio, explicamos allí la propiedad del exponente negativo que nos dice que a a la menos n es igual a 1 sobre a a la n. En principio estos son los valores de x que satisfacen la ecuación original, o sea la ecuación logarítmica, sin embargo debemos verificar que cumplan en la ecuación original, lo que hacemos es revisar que estos valores produzcan argumentos positivos en cada uno de los logaritmos, 8 si entra acá efectivamente es un valor positivo, de igual forma si entra aquí se eleva al cuadrado nos da positivo, por lo tanto se acepta y lo mismo pasa con un medio, si entra aquí es positivo y acá si se eleva al cuadrado también nos da positivo, por lo tanto también se acepta. Para terminar simplemente conformamos el conjunto solución de esta ecuación logarítmica, se describe dentro de llaves los dos valores de x que hacen cierta esa igualdad.

[{"start": 0.0, "end": 8.16, "text": " Vamos a resolver detalladamente esta ecuaci\u00f3n logar\u00edtmica."}, {"start": 8.16, "end": 15.0, "text": " Para empezar observamos estas dos expresiones, que aunque se parecen bastante, son distintas."}, {"start": 15.0, "end": 23.900000000000002, "text": " Veamos, una cosa es tener logaritmo en base a a la n de una cantidad p, y otra cosa diferente"}, {"start": 23.900000000000002, "end": 29.36, "text": " es tener logaritmo en base a de b elevada al exponente n."}, {"start": 29.36, "end": 36.16, "text": " Ac\u00e1 n est\u00e1 situada en la mitad del logaritmo, o sea que afecta como exponente a toda esa"}, {"start": 36.16, "end": 44.4, "text": " expresi\u00f3n, por lo tanto esto puede reescribirse como logaritmo en base a de b y todo esto"}, {"start": 44.4, "end": 46.72, "text": " elevado al exponente n."}, {"start": 46.72, "end": 52.6, "text": " Mientras tanto ac\u00e1 tenemos el logaritmo de una potencia, n afecta \u00fanicamente a la letra"}, {"start": 52.6, "end": 53.84, "text": " b."}, {"start": 53.84, "end": 60.96, "text": " Por lo tanto aqu\u00ed es permitido bajar el exponente n a multiplicar, nos queda n por el logaritmo"}, {"start": 60.96, "end": 65.52000000000001, "text": " en base a de b y esta es una propiedad de los logaritmos."}, {"start": 65.52000000000001, "end": 73.92, "text": " Entonces utilizando esto podemos reescribir el ejercicio original, ac\u00e1 tendremos logaritmo"}, {"start": 73.92, "end": 80.08000000000001, "text": " en base 2 de x y todo esto elevado al cuadrado."}, {"start": 80.08, "end": 86.84, "text": " Mientras que al otro lado bajamos el exponente 2 que multiplica al logaritmo en base 2 de"}, {"start": 86.84, "end": 92.32, "text": " x y todo esto queda sumando con el n\u00famero 3."}, {"start": 92.32, "end": 98.72, "text": " Como se observa ac\u00e1 tenemos una expresi\u00f3n donde se repite logaritmo en base 2 de x,"}, {"start": 98.72, "end": 107.78, "text": " entonces podemos utilizar lo que se llama un cambio de variable, algo que nos va a facilitar"}, {"start": 107.78, "end": 110.84, "text": " el desarrollo del ejercicio."}, {"start": 110.84, "end": 118.46000000000001, "text": " En este caso decimos que logaritmo en base 2 de x puede ser igual a una nueva letra,"}, {"start": 118.46000000000001, "end": 125.28, "text": " vamos a escoger por ejemplo la letra c y con eso vamos a reescribir la expresi\u00f3n."}, {"start": 125.28, "end": 132.72, "text": " Ac\u00e1 tendr\u00edamos c elevada al cuadrado, al otro lado tenemos 2 por este logaritmo que"}, {"start": 132.72, "end": 139.6, "text": " es c, entonces nos queda 2c y todo eso m\u00e1s 3."}, {"start": 139.6, "end": 145.4, "text": " Observamos all\u00ed lo que es una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica o de segundo grado donde la inc\u00f3gnita o la"}, {"start": 145.4, "end": 152.88, "text": " variable ahora es la letra c, para resolver esa ecuaci\u00f3n debemos tenerla igualada a cero,"}, {"start": 152.88, "end": 157.8, 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todo esto nos queda"}, {"start": 238.12, "end": 240.36, "text": " igualado a cero."}, {"start": 240.36, "end": 247.48000000000002, "text": " Ahora aplicamos lo que se llama el teorema del factor nulo, que dice lo siguiente, si"}, {"start": 247.48000000000002, "end": 260.6, "text": " a por b es igual a cero, entonces a es igual a cero o b es igual a cero y es la situaci\u00f3n"}, {"start": 260.6, "end": 267.08000000000004, "text": " que tenemos ac\u00e1, el producto de dos cantidades o de dos expresiones que se encuentra igualado"}, {"start": 267.08, "end": 278.12, "text": " a cero, siguiendo este teorema tendremos c menos 3 es igual a cero o c m\u00e1s 1 tambi\u00e9n"}, {"start": 278.12, "end": 280.84, "text": " igualado a cero."}, {"start": 280.84, "end": 287.12, "text": " Resolvemos ahora cada situaci\u00f3n para la inc\u00f3gnita c, por aqu\u00ed si hacemos el despeje de esa"}, {"start": 287.12, "end": 294.59999999999997, "text": " letra tenemos que 3 est\u00e1 restando, pasa al otro lado a sumar con cero y nos da 3 positivo,"}, {"start": 294.6, "end": 300.72, "text": " por ac\u00e1 tendremos que c es igual a uno que est\u00e1 sumando pasa al otro lado a restar con"}, {"start": 300.72, "end": 306.0, "text": " cero, cero menos uno nos da como resultado menos uno."}, {"start": 306.0, "end": 310.52000000000004, "text": " Estas ser\u00edan las soluciones de la ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica que ten\u00edamos ahora y que estaba"}, {"start": 310.52000000000004, "end": 316.92, "text": " en t\u00e9rminos de la letra c, pero no podemos olvidar que c equivale al logaritmo en base"}, {"start": 316.92, "end": 322.12, "text": " 2dx, entonces vamos a deshacer el cambio de variable."}, {"start": 322.12, "end": 330.52, "text": " Por ac\u00e1 tendremos entonces que logaritmo en base 2dx queda igualado a 3 y por ac\u00e1 tendr\u00edamos"}, {"start": 330.52, "end": 337.92, "text": " que logaritmo en base 2dx est\u00e1 igualado a menos uno."}, {"start": 337.92, "end": 344.36, 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ECUACIONES LOGARÍTMICAS - Ejercicio 13

#julioprofe explica cómo resolver una ecuación logarítmica. Tema: #EcuacionesLogarítmicas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwGy9_WwQrZrw9iTXiKDua5T REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver detalladamente esta ecuación logarítmica. Para empezar vamos a recurrir al concepto de logaritmo. Recordemos que si tenemos el logaritmo en base a de una cantidad b y esto es igual a una cantidad c, entonces debe cumplirse que a elevada al exponente c tiene que ser igual a b. Recordemos que esto es de doble vía. Podemos pasar de la forma logarítmica a la forma exponencial y también podemos devolvernos. Entonces en este caso vamos a utilizar este concepto. Vamos a llevar eso a la forma exponencial. Tenemos que 4 es la base, hace el papel de a. Tenemos que x menos 1 hace el papel de c. Entonces es el exponente y todo esto debe quedar igualado a lo que es b. O sea el argumento del logaritmo que en este caso es 2 a la x más 48. Como se observa hemos transformado la ecuación que originalmente es logaritmica en una ecuación exponencial. Entonces vamos a concentrarnos en el desarrollo de esta ecuación. Comenzamos por expresar el número 4 como la potencia 2 al cuadrado y todo esto queda elevado al exponente x menos 1 y a su vez queda igualado a la expresión 2 a la x más 48 que no presenta ningún cambio. Ahora aquí podemos aplicar la siguiente propiedad de la potenciación. Recordemos que si tenemos una potencia elevada a otro exponente entonces conservamos la base y multiplicamos los exponentes. Entonces aquí tendremos 2, se conserva la base y vamos a expresar la operación con los exponentes. Ellos se multiplican entre sí y esta expresión por ser un binomio se protege con paréntesis. Lo que tenemos en el lado derecho permanece sin ningún cambio. Ahora aquí vamos a aplicar la propiedad distributiva. Os queda entonces 2 elevado a 2 por x que es 2x y 2 por menos 1 que nos da menos 2 y lo del lado derecho permanece intacto. No presenta ningún cambio. Ahora esto que tenemos acá lo podemos transformar utilizando la siguiente propiedad de la potenciación. Si tenemos un cociente de potencias de la misma base entonces la base se conserva y se restan los exponentes. Pues bien acá se observa la resta de exponentes, es decir, esta situación y podemos convertirla en un cociente de potencias de la misma base porque esta propiedad funciona en las dos vías. Entonces esto nos va a quedar 2 elevado al exponente 2x sobre 2 elevado al exponente 2. Aquí tenemos los dos exponentes que acá se están restando y eso queda igualado a la expresión 2 a la x más 48. Aquí en el denominador podemos cambiar 2 al cuadrado por su resultado que será 4 y como este 4 está dividiendo a este lado podemos pasarlo a multiplicar al otro lado. Eso nos va a quedar de la siguiente manera 2 a la 2x es igual a 4 que llega a multiplicar a esa expresión 2 a la x más 48 que protegemos con paréntesis. En lo que tenemos en el lado izquierdo podemos hacer lo siguiente, dejamos la base que es 2 y el producto 2 por x lo podemos escribir como x por 2. Recordemos que la multiplicación es conmutativa, el orden de los factores no altera el producto y en el lado derecho podemos aplicar la propiedad distributiva. Entonces tendremos 4 que multiplica a la potencia 2 a la x más 4 que multiplica con 48 y eso nos da como resultado 192. Aquí aclaramos que estas dos cantidades no pueden multiplicarse porque esto es una potencia que no permite que la base sea multiplicada con una cantidad externa. Esto que tenemos en el lado izquierdo corresponde a la siguiente situación, algo que mencionamos hace un momento, es una propiedad de la potenciación, dijimos que si se tiene una potencia elevada a otro exponente se conserva la base y se multiplican los exponentes. Pues bien, esta situación es esto que tenemos acá y podemos convertirla en una potencia elevada al otro exponente, en este caso sería 2 a la x y todo esto elevado al cuadrado y todo esto nos queda igual a la misma expresión que nos había quedado en el lado derecho. Como podemos observar acá tenemos una ecuación exponencial donde se repite la cantidad 2 a la x, entonces podemos utilizar lo que se llama un cambio de variable, algo que nos va a ayudar a resolver esa ecuación con mayor facilidad, en este caso podemos decir que la expresión 2 a la x puede ser igual a una nueva cantidad que es a, una nueva variable. Entonces si reescribimos la ecuación nos queda de la siguiente manera, eso se cambia por a, nos queda a al cuadrado igual a 4 por 2 a la x, pero 2 a la x es a, entonces nos queda 4a más 192, una ecuación que ya se distingue como ecuación cuadrática o de segundo grado. Recordemos que para resolver ese tipo de ecuaciones es necesario que nos quede igualada a cero, entonces dejamos al cuadrado en el lado izquierdo y pasamos esos dos términos al lado contrario, entonces 4a llega con signo negativo al lado izquierdo y 192 también llega con signo negativo a ese lado y esto nos queda igualado a cero. Entonces aquí ya tenemos la ecuación cuadrática que podemos resolver principalmente por dos caminos, por la factorización o sino por la fórmula cuadrática o fórmula general, en este caso vale la pena intentarlo por factorización, esto del lado izquierdo de la igualdad corresponde a un trinomio de la forma x al cuadrado más bx más c que podemos ver si se puede factorizar, habría que revisar si hay dos números que multiplicados nos den menos 192 y sumados entre sí nos den menos 4. Entonces para ello vamos a descomponer el número 192 en factores primos, comenzamos intentando con el 2, decimos mitad de 192 es 96, otra vez podemos utilizar el 2, decimos mitad de 96 es 48, otra vez utilizamos el 2, mitad de 48 es 24, otra vez utilizamos el 2, mitad de 24 es 12, otra vez mitad de 12 que nos da 6, mitad de 6 nos da 3 y al 3 le sacamos tercera y eso nos da 1. Ahora de este listado de factores tenemos que conformar dos números, uno de ellos será positivo y otro será negativo porque el producto de ellos nos tiene que dar menos 192 y también al sumarlos nos tiene que dar como resultado menos 4, por lo tanto el mayor de esos dos números, el que tenga mayor valor absoluto será el que lleve el signo menos. Comenzamos ensayando estas dos posibilidades, 2x24, 4x28, 2x24, 4x28, 8x3, 24, el que tiene mayor valor absoluto lleva el signo menos, pero si lo sumamos vemos que no nos da como resultado menos 4, la suma de estos dos números nos daría menos 16. Comenzamos intentando y llegamos a esta posibilidad, 2x24, 4x28, 8x2, 16 y acá 2x24, 4x3, 12, el signo menos se lo colocamos al 16 y aquí tenemos los dos números, si se suman entre sí nos da como resultado menos 4 y lógicamente si se multiplican porque provienen de este listado de factores nos va a dar como resultado menos 192. Entonces como decíamos ya se puede factorizar el lado izquierdo, abrimos los dos paréntesis, sacamos la raíz cuadrada del primer término que será a, ella se describe al comienzo de cada paréntesis, definimos los signos, aquí tenemos signo más, más por menos nos da menos, menos por menos nos da más y los dos números que buscamos son estos que ya tenemos acá, el 16 que es el negativo va aquí y el positivo nos dio 12 y todo esto nos queda igualado a cero. Ahora vamos a aplicar lo que se conoce como el teorema del factor nulo que dice lo siguiente, si a por b es igual a cero entonces a es igual a cero o b es igual a cero, es la situación que tenemos acá, el producto de dos expresiones y eso está igualado a cero, entonces decimos que a menos 16 es igual a cero o a más 12 también es igual a cero. En cada caso debemos despejar el valor de la incógnita a, por acá tendremos que a es igual a cero más 16, esta cantidad que está restando pasa al otro lado a sumar con cero y nos queda a igual a 16 y por acá tendremos que a es igual a cero menos 12, 12 está sumando, pasa al otro lado a restar y nos da como resultado menos 12. Cuando ya hemos encontrado los valores de la incógnita a entonces deshacemos el cambio de variable, recordemos que a equivale a 2 a la x, entonces en cada caso hacemos ese cambio para continuar con el desarrollo de la ecuación que originalmente viene con la incógnita x. En la primera opción tenemos que el número 16 es potencia del 2, entonces esto puede escribirse como 2 a la x igual a 2 a la 4, 2 a la 4 equivale a 16, repetimos 16 es una potencia de 2, por acá vemos que este número no es potencia del número 2 y también aquí tenemos una contradicción porque acá en el lado izquierdo tenemos una expresión en forma de potencia donde la base es positiva, si la base es positiva no importa como sea el exponente siempre debemos obtener como resultado una cantidad positiva, por lo tanto esto constituye una falsedad, al ser falso o al no existir entonces debemos descartarlo y por acá x no tiene ningún valor. Entonces nos quedamos únicamente con esta posibilidad donde se observa la igualdad de dos potencias con la misma base, en ese caso los exponentes también deben ser iguales, entonces decimos que x es igual a 4 y en principio será el valor de la incógnita x para esta ecuación logarítmica, sin embargo es conveniente revisar que efectivamente 4 satisface ambos lados de esa igualdad, o sea que cumple en la ecuación, por acá tendríamos 2 a la 4 que es 16, 16 más 48 nos da 64, allá tendríamos logaritmo en base 4 de 64 y al otro lado tendríamos 4 menos 1 que es 3, esto cumpliría lo que decíamos al principio, es decir si lo llevamos a la forma exponencial tendríamos que 4 elevado a la 3 supuestamente es igual a 64, pero si desarrollamos esta potencia efectivamente nos da 64 y la igualdad se cumple. Por lo tanto podemos asegurar que x igual a 4 es la respuesta para este ejercicio, es el valor de x que hace cierta esta ecuación logarítmica.

[{"start": 0.0, "end": 8.24, "text": " Vamos a resolver detalladamente esta ecuaci\u00f3n logar\u00edtmica."}, {"start": 8.24, "end": 12.72, "text": " Para empezar vamos a recurrir al concepto de logaritmo."}, {"start": 12.72, "end": 19.76, "text": " Recordemos que si tenemos el logaritmo en base a de una cantidad b y esto es igual a"}, {"start": 19.76, "end": 27.52, "text": " una cantidad c, entonces debe cumplirse que a elevada al exponente c tiene que ser igual"}, {"start": 27.52, "end": 28.52, "text": " a b."}, {"start": 28.52, "end": 31.56, "text": " Recordemos que esto es de doble v\u00eda."}, {"start": 31.56, "end": 37.4, "text": " Podemos pasar de la forma logar\u00edtmica a la forma exponencial y tambi\u00e9n podemos devolvernos."}, {"start": 37.4, "end": 41.56, "text": " Entonces en este caso vamos a utilizar este concepto."}, {"start": 41.56, "end": 44.92, "text": " Vamos a llevar eso a la forma exponencial."}, {"start": 44.92, "end": 50.019999999999996, "text": " Tenemos que 4 es la base, hace el papel de a."}, {"start": 50.019999999999996, "end": 53.519999999999996, "text": " Tenemos que x menos 1 hace el papel de c."}, {"start": 53.52, "end": 60.800000000000004, "text": " Entonces es el exponente y todo esto debe quedar igualado a lo que es b."}, {"start": 60.800000000000004, "end": 69.32000000000001, "text": " O sea el argumento del logaritmo que en este caso es 2 a la x m\u00e1s 48."}, {"start": 69.32000000000001, "end": 75.96000000000001, "text": " Como se observa hemos transformado la ecuaci\u00f3n que originalmente es logaritmica en una ecuaci\u00f3n"}, {"start": 75.96000000000001, "end": 77.32000000000001, "text": " exponencial."}, {"start": 77.32000000000001, "end": 82.24000000000001, "text": " Entonces vamos a concentrarnos en el desarrollo de esta ecuaci\u00f3n."}, {"start": 82.24, "end": 89.16, "text": " Comenzamos por expresar el n\u00famero 4 como la potencia 2 al cuadrado y todo esto queda"}, {"start": 89.16, "end": 97.0, "text": " elevado al exponente x menos 1 y a su vez queda igualado a la expresi\u00f3n 2 a la x m\u00e1s"}, {"start": 97.0, "end": 100.96, "text": " 48 que no presenta ning\u00fan cambio."}, {"start": 100.96, "end": 105.88, "text": " Ahora aqu\u00ed podemos aplicar la siguiente propiedad de la potenciaci\u00f3n."}, {"start": 105.88, "end": 113.28, "text": " Recordemos que si tenemos una potencia elevada a otro exponente entonces conservamos la base"}, {"start": 113.28, "end": 116.8, "text": " y multiplicamos los exponentes."}, {"start": 116.8, "end": 123.44, "text": " Entonces aqu\u00ed tendremos 2, se conserva la base y vamos a expresar la operaci\u00f3n con"}, {"start": 123.44, "end": 125.47999999999999, "text": " los exponentes."}, {"start": 125.47999999999999, "end": 132.32, "text": " Ellos se multiplican entre s\u00ed y esta expresi\u00f3n por ser un binomio se protege con par\u00e9ntesis."}, {"start": 132.32, "end": 138.2, "text": " Lo que tenemos en el lado derecho permanece sin ning\u00fan cambio."}, {"start": 138.2, "end": 143.07999999999998, "text": " Ahora aqu\u00ed vamos a aplicar la propiedad distributiva."}, {"start": 143.07999999999998, "end": 153.04, "text": " Os queda entonces 2 elevado a 2 por x que es 2x y 2 por menos 1 que nos da menos 2"}, {"start": 153.04, "end": 157.72, "text": " y lo del lado derecho permanece intacto."}, {"start": 157.72, "end": 160.4, "text": " No presenta ning\u00fan cambio."}, {"start": 160.4, "end": 168.08, "text": " Ahora esto que tenemos ac\u00e1 lo podemos transformar utilizando la siguiente propiedad de la potenciaci\u00f3n."}, {"start": 168.08, "end": 174.0, "text": " Si tenemos un cociente de potencias de la misma base entonces la base se conserva y"}, {"start": 174.0, "end": 176.72, "text": " se restan los exponentes."}, {"start": 176.72, "end": 183.8, "text": " Pues bien ac\u00e1 se observa la resta de exponentes, es decir, esta situaci\u00f3n y podemos convertirla"}, {"start": 183.8, "end": 190.64000000000001, "text": " en un cociente de potencias de la misma base porque esta propiedad funciona en las dos"}, {"start": 190.64000000000001, "end": 191.64000000000001, "text": " v\u00edas."}, {"start": 191.64000000000001, "end": 201.12, "text": " Entonces esto nos va a quedar 2 elevado al exponente 2x sobre 2 elevado al exponente"}, {"start": 201.12, "end": 202.12, "text": " 2."}, {"start": 202.12, "end": 209.4, "text": " Aqu\u00ed tenemos los dos exponentes que ac\u00e1 se est\u00e1n restando y eso queda igualado a"}, {"start": 209.4, "end": 214.28, "text": " la expresi\u00f3n 2 a la x m\u00e1s 48."}, {"start": 214.28, "end": 223.64000000000001, "text": " Aqu\u00ed en el denominador podemos cambiar 2 al cuadrado por su resultado que ser\u00e1 4 y"}, {"start": 223.64000000000001, "end": 230.52, "text": " como este 4 est\u00e1 dividiendo a este lado podemos pasarlo a multiplicar al otro lado."}, {"start": 230.52, "end": 238.16, "text": " Eso nos va a quedar de la siguiente manera 2 a la 2x es igual a 4 que llega a multiplicar"}, {"start": 238.16, "end": 246.32, "text": " a esa expresi\u00f3n 2 a la x m\u00e1s 48 que protegemos con par\u00e9ntesis."}, {"start": 246.32, "end": 252.07999999999998, "text": " En lo que tenemos en el lado izquierdo podemos hacer lo siguiente, dejamos la base que es"}, {"start": 252.07999999999998, "end": 257.84, "text": " 2 y el producto 2 por x lo podemos escribir como x por 2."}, {"start": 257.84, "end": 264.92, "text": " Recordemos que la multiplicaci\u00f3n es conmutativa, el orden de los factores no altera el producto"}, {"start": 264.92, "end": 270.2, "text": " y en el lado derecho podemos aplicar la propiedad distributiva."}, {"start": 270.2, "end": 280.16, "text": " Entonces tendremos 4 que multiplica a la potencia 2 a la x m\u00e1s 4 que multiplica con 48 y eso"}, {"start": 280.16, "end": 283.32, "text": " nos da como resultado 192."}, {"start": 283.32, "end": 290.28000000000003, "text": " Aqu\u00ed aclaramos que estas dos cantidades no pueden multiplicarse porque esto es una potencia"}, {"start": 290.28, "end": 296.84, "text": " que no permite que la base sea multiplicada con una cantidad externa."}, {"start": 296.84, "end": 302.73999999999995, "text": " Esto que tenemos en el lado izquierdo corresponde a la siguiente situaci\u00f3n, algo que mencionamos"}, {"start": 302.73999999999995, "end": 310.96, "text": " hace un momento, es una propiedad de la potenciaci\u00f3n, dijimos que si se tiene una potencia elevada"}, {"start": 310.96, "end": 316.71999999999997, "text": " a otro exponente se conserva la base y se multiplican los exponentes."}, {"start": 316.72, "end": 322.64000000000004, "text": " Pues bien, esta situaci\u00f3n es esto que tenemos ac\u00e1 y podemos convertirla en una potencia"}, {"start": 322.64000000000004, "end": 331.26000000000005, "text": " elevada al otro exponente, en este caso ser\u00eda 2 a la x y todo esto elevado al cuadrado y"}, {"start": 331.26000000000005, "end": 340.20000000000005, "text": " todo esto nos queda igual a la misma expresi\u00f3n que nos hab\u00eda quedado en el lado derecho."}, {"start": 340.20000000000005, "end": 346.44000000000005, "text": " Como podemos observar ac\u00e1 tenemos una ecuaci\u00f3n exponencial donde se repite la cantidad 2"}, {"start": 346.44, "end": 355.16, "text": " a la x, entonces podemos utilizar lo que se llama un cambio de variable, algo que nos"}, {"start": 355.16, "end": 363.72, "text": " va a ayudar a resolver esa ecuaci\u00f3n con mayor facilidad, en este caso podemos decir que"}, {"start": 363.72, "end": 372.15999999999997, "text": " la expresi\u00f3n 2 a la x puede ser igual a una nueva cantidad que es a, una nueva variable."}, {"start": 372.16, "end": 377.32000000000005, "text": " Entonces si reescribimos la ecuaci\u00f3n nos queda de la siguiente manera, eso se cambia"}, {"start": 377.32000000000005, "end": 386.92, "text": " por a, nos queda a al cuadrado igual a 4 por 2 a la x, pero 2 a la x es a, entonces nos"}, {"start": 386.92, "end": 396.92, "text": " queda 4a m\u00e1s 192, una ecuaci\u00f3n que ya se distingue como ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica o de"}, {"start": 396.92, "end": 398.92, "text": " segundo grado."}, {"start": 398.92, "end": 405.6, "text": " Recordemos que para resolver ese tipo de ecuaciones es necesario que nos quede igualada a cero,"}, {"start": 405.6, "end": 412.88, "text": " entonces dejamos al cuadrado en el lado izquierdo y pasamos esos dos t\u00e9rminos al lado contrario,"}, {"start": 412.88, "end": 420.68, "text": " entonces 4a llega con signo negativo al lado izquierdo y 192 tambi\u00e9n llega con signo negativo"}, {"start": 420.68, "end": 425.48, "text": " a ese lado y esto nos queda igualado a cero."}, {"start": 425.48, "end": 430.92, "text": " Entonces aqu\u00ed ya tenemos la ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica que podemos resolver principalmente por dos"}, {"start": 430.92, "end": 437.52000000000004, "text": " caminos, por la factorizaci\u00f3n o sino por la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica o f\u00f3rmula general,"}, {"start": 437.52000000000004, "end": 444.64000000000004, "text": " en este caso vale la pena intentarlo por factorizaci\u00f3n, esto del lado izquierdo de la igualdad corresponde"}, {"start": 444.64000000000004, "end": 451.72, "text": " a un trinomio de la forma x al cuadrado m\u00e1s bx m\u00e1s c que podemos ver si se puede factorizar,"}, {"start": 451.72, "end": 458.40000000000003, "text": " habr\u00eda que revisar si hay dos n\u00fameros que multiplicados nos den menos 192 y sumados"}, {"start": 458.40000000000003, "end": 462.28000000000003, "text": " entre s\u00ed nos den menos 4."}, {"start": 462.28000000000003, "end": 468.84000000000003, "text": " Entonces para ello vamos a descomponer el n\u00famero 192 en factores primos, comenzamos"}, {"start": 468.84000000000003, "end": 477.88000000000005, "text": " intentando con el 2, decimos mitad de 192 es 96, otra vez podemos utilizar el 2, decimos"}, {"start": 477.88, "end": 489.12, "text": " mitad de 96 es 48, otra vez utilizamos el 2, mitad de 48 es 24, otra vez utilizamos el"}, {"start": 489.12, "end": 499.32, "text": " 2, mitad de 24 es 12, otra vez mitad de 12 que nos da 6, mitad de 6 nos da 3 y al 3"}, {"start": 499.32, "end": 503.92, "text": " le sacamos tercera y eso nos da 1."}, {"start": 503.92, "end": 508.72, "text": " Ahora de este listado de factores tenemos que conformar dos n\u00fameros, uno de ellos ser\u00e1"}, {"start": 508.72, "end": 516.0, "text": " positivo y otro ser\u00e1 negativo porque el producto de ellos nos tiene que dar menos 192 y tambi\u00e9n"}, {"start": 516.0, "end": 522.32, "text": " al sumarlos nos tiene que dar como resultado menos 4, por lo tanto el mayor de esos dos"}, {"start": 522.32, "end": 528.64, "text": " n\u00fameros, el que tenga mayor valor absoluto ser\u00e1 el que lleve el signo menos."}, {"start": 528.64, "end": 539.62, "text": " Comenzamos ensayando estas dos posibilidades, 2x24, 4x28, 2x24, 4x28, 8x3, 24, el que tiene"}, {"start": 539.62, "end": 545.3199999999999, "text": " mayor valor absoluto lleva el signo menos, pero si lo sumamos vemos que no nos da como"}, {"start": 545.3199999999999, "end": 551.92, "text": " resultado menos 4, la suma de estos dos n\u00fameros nos dar\u00eda menos 16."}, {"start": 551.92, "end": 564.36, "text": " Comenzamos intentando y llegamos a esta posibilidad, 2x24, 4x28, 8x2, 16 y ac\u00e1 2x24, 4x3, 12, el"}, {"start": 564.36, "end": 570.52, "text": " signo menos se lo colocamos al 16 y aqu\u00ed tenemos los dos n\u00fameros, si se suman entre"}, {"start": 570.52, "end": 576.68, "text": " s\u00ed nos da como resultado menos 4 y l\u00f3gicamente si se multiplican porque provienen de este"}, {"start": 576.68, "end": 582.92, "text": " listado de factores nos va a dar como resultado menos 192."}, {"start": 582.92, "end": 589.88, "text": " Entonces como dec\u00edamos ya se puede factorizar el lado izquierdo, abrimos los dos par\u00e9ntesis,"}, {"start": 589.88, "end": 595.4399999999999, "text": " sacamos la ra\u00edz cuadrada del primer t\u00e9rmino que ser\u00e1 a, ella se describe al comienzo"}, {"start": 595.4399999999999, "end": 601.24, "text": " de cada par\u00e9ntesis, definimos los signos, aqu\u00ed tenemos signo m\u00e1s, m\u00e1s por menos nos"}, {"start": 601.24, "end": 607.8, "text": " da menos, menos por menos nos da m\u00e1s y los dos n\u00fameros que buscamos son estos que ya"}, {"start": 607.8, "end": 616.44, "text": " tenemos ac\u00e1, el 16 que es el negativo va aqu\u00ed y el positivo nos dio 12 y todo esto"}, {"start": 616.44, "end": 620.32, "text": " nos queda igualado a cero."}, {"start": 620.32, "end": 628.12, "text": " Ahora vamos a aplicar lo que se conoce como el teorema del factor nulo que dice lo siguiente,"}, {"start": 628.12, "end": 641.12, "text": " si a por b es igual a cero entonces a es igual a cero o b es igual a cero, es la situaci\u00f3n"}, {"start": 641.12, "end": 648.54, "text": " que tenemos ac\u00e1, el producto de dos expresiones y eso est\u00e1 igualado a cero, entonces decimos"}, {"start": 648.54, "end": 660.56, "text": " que a menos 16 es igual a cero o a m\u00e1s 12 tambi\u00e9n es igual a cero."}, {"start": 660.56, "end": 667.04, "text": " En cada caso debemos despejar el valor de la inc\u00f3gnita a, por ac\u00e1 tendremos que a"}, {"start": 667.04, "end": 673.0, "text": " es igual a cero m\u00e1s 16, esta cantidad que est\u00e1 restando pasa al otro lado a sumar con"}, {"start": 673.0, "end": 682.48, "text": " cero y nos queda a igual a 16 y por ac\u00e1 tendremos que a es igual a cero menos 12, 12 est\u00e1 sumando,"}, {"start": 682.48, "end": 688.16, "text": " pasa al otro lado a restar y nos da como resultado menos 12."}, {"start": 688.16, "end": 694.2, "text": " Cuando ya hemos encontrado los valores de la inc\u00f3gnita a entonces deshacemos el cambio"}, {"start": 694.2, "end": 702.12, "text": " de variable, recordemos que a equivale a 2 a la x, entonces en cada caso hacemos ese"}, {"start": 702.12, "end": 710.4, "text": " cambio para continuar con el desarrollo de la ecuaci\u00f3n que originalmente viene con"}, {"start": 710.4, "end": 712.8, "text": " la inc\u00f3gnita x."}, {"start": 712.8, "end": 719.4, "text": " En la primera opci\u00f3n tenemos que el n\u00famero 16 es potencia del 2, entonces esto puede"}, {"start": 719.4, "end": 728.6, "text": " escribirse como 2 a la x igual a 2 a la 4, 2 a la 4 equivale a 16, repetimos 16 es una"}, {"start": 728.6, "end": 735.5, "text": " potencia de 2, por ac\u00e1 vemos que este n\u00famero no es potencia del n\u00famero 2 y tambi\u00e9n aqu\u00ed"}, {"start": 735.5, "end": 742.44, "text": " tenemos una contradicci\u00f3n porque ac\u00e1 en el lado izquierdo tenemos una expresi\u00f3n en"}, {"start": 742.44, "end": 749.5400000000001, "text": " forma de potencia donde la base es positiva, si la base es positiva no importa como sea"}, {"start": 749.5400000000001, "end": 756.88, "text": " el exponente siempre debemos obtener como resultado una cantidad positiva, por lo tanto"}, {"start": 756.88, "end": 768.08, "text": " esto constituye una falsedad, al ser falso o al no existir entonces debemos descartarlo"}, {"start": 768.08, "end": 771.62, "text": " y por ac\u00e1 x no tiene ning\u00fan valor."}, {"start": 771.62, "end": 776.52, "text": " Entonces nos quedamos \u00fanicamente con esta posibilidad donde se observa la igualdad de"}, {"start": 776.52, "end": 783.8, "text": " dos potencias con la misma base, en ese caso los exponentes tambi\u00e9n deben ser iguales,"}, {"start": 783.8, "end": 791.8, "text": " entonces decimos que x es igual a 4 y en principio ser\u00e1 el valor de la inc\u00f3gnita x para esta"}, {"start": 791.8, "end": 799.12, "text": " ecuaci\u00f3n logar\u00edtmica, sin embargo es conveniente revisar que efectivamente 4 satisface ambos"}, {"start": 799.12, "end": 805.64, "text": " lados de esa igualdad, o sea que cumple en la ecuaci\u00f3n, por ac\u00e1 tendr\u00edamos 2 a la 4"}, {"start": 805.64, "end": 816.6, "text": " que es 16, 16 m\u00e1s 48 nos da 64, all\u00e1 tendr\u00edamos logaritmo en base 4 de 64 y al otro lado tendr\u00edamos"}, {"start": 816.6, "end": 823.76, "text": " 4 menos 1 que es 3, esto cumplir\u00eda lo que dec\u00edamos al principio, es decir si lo llevamos"}, {"start": 823.76, "end": 832.52, "text": " a la forma exponencial tendr\u00edamos que 4 elevado a la 3 supuestamente es igual a 64, pero si"}, {"start": 832.52, "end": 839.64, "text": " desarrollamos esta potencia efectivamente nos da 64 y la igualdad se cumple."}, {"start": 839.64, "end": 848.28, "text": " Por lo tanto podemos asegurar que x igual a 4 es la respuesta para este ejercicio, es"}, {"start": 848.28, "end": 863.72, "text": " el valor de x que hace cierta esta ecuaci\u00f3n logar\u00edtmica."}]

julioprofe

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FRACCIONES GENERATRICES DE NÚMEROS DECIMALES INFINITOS PERIÓDICOS MIXTOS

#julioprofe explica cómo hallar la fracción generatriz de cuatro números decimales infinitos periódicos mixtos. Videos de #ConvertirDecimalesEnFracciones → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEhhewNrP2ZjaccJ81lujPW REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a determinar la fracción generatriz para cada uno de estos cuatro números decimales infinitos periódicos mixtos. Se llaman así porque constan de una parte no periódica y de una parte que se repite que es el periodo. Por ejemplo, en el primer número después del punto decimal la parte no periódica es el 5 y el periodo es 1. Acá después del punto decimal la parte no periódica es 93 y lo que se repite, o sea el periodo, es 5. Acá tenemos después del punto decimal la parte no periódica que es 8 y el periodo que es 12 se repite indefinidamente. Y acá tenemos después del punto decimal 06 que es la parte no periódica y 43 que es el periodo o lo que se repite indefinidamente. Comenzamos con el primer número que podemos escribir en forma resumida así, con el circunflejo encima del número 1, o sea señalando el periodo o la cantidad que se repite indefinidamente. Como aquí tenemos antes del punto decimal el número 0 podemos aplicar el siguiente truco rápido. Trazamos la línea de la fracción y en la parte de arriba escribimos la parte no periódica que es 5 seguida de un periodo, o sea seguida del número 1, allí tenemos el 51, a eso le restamos la parte no periódica que es 5 y en la parte de abajo escribimos tantos nueves como cifras tiene el periodo, entonces anotamos un solo 9 porque el periodo tiene una cifra seguido de tantos ceros como cifras tiene la parte no periódica. Como vemos la parte no periódica es 5, tiene una cifra, entonces aquí agregamos un solo 0. En seguida resolvemos la resta que nos quedó en la parte de arriba, 51 menos 5 nos da 46 y esto nos queda sobre 90. Esta fracción puede simplificarse, ambos números tienen mitad, decimos mitad de 46 es 23 y la mitad de 90 es 45, 23 cuarenta y cinco a vos será la fracción generatriz para ese número que es decimal infinito periódico mixto, repetimos este truco que es la forma rápida de obtener la fracción generatriz se aplica si a la izquierda del punto decimal tenemos el número 0. Echamos el segundo número que podemos escribir en forma resumida así, con el circunflejo encima del número 5, o sea encima del periodo o la cantidad que se repite indefinidamente, como a la izquierda del punto decimal tenemos el 0, entonces podemos aplicar el truco rápido que vimos anteriormente, trazamos la línea de la fracción en la parte de arriba anotamos la parte no periódica que es 93 seguida de un periodo, o sea el número 5 tenemos 935 y a eso le restamos la parte no periódica que es 93. En la parte de abajo escribimos tantos nueves como cifras tiene el periodo, vemos que el periodo tiene una cifra entonces anotamos un 9 seguido de tantos ceros como cifras tiene la parte no periódica, vemos que la parte no periódica es 93 tiene dos cifras entonces aquí anotamos dos ceros. En seguida resolvemos esta resta que nos quedó en el numerador 935 menos 93 nos da 842 y esto nos queda sobre 900, esta fracción puede simplificarse ambos números son pares o sea que tienen mitad, mitad de 842 nos da 421 y la mitad de 900 es 450, esta fracción no se puede simplificar más es una fracción irreducible y constituye la fracción generatriz para este número decimal infinito periódico mixto. Pasamos al tercer número que podemos escribir en forma resumida así con el circunflejo encima del número 12 o sea señalando el periodo o la cantidad que se repite indefinidamente como acá a la izquierda del punto decimal no tenemos el cero todavía no podemos aplicar el truco rápido que vimos en los ejemplos anteriores entonces primero debemos descomponer este número en su parte entera y su parte decimal nos queda 3 más 0.812 con el circunflejo encima del 12 entonces aquí ya podemos aplicar el truco porque como vemos a la izquierda del punto decimal tenemos el cero este número 3 se queda allí en espera y entonces vamos a aplicar aquí la técnica que hemos venido utilizando escribimos en la parte de arriba la parte no periódica que es 8 seguida de un periodo o sea seguida del 12 tenemos el número 812 a eso tenemos que restarle la parte no periódica que es 8 y abajo escribimos tantos 9 como cifras tiene el periodo en este caso hay dos cifras entonces anotamos dos nueves seguidos de tantos ceros como cifras tiene la parte no periódica como vemos la parte no periódica es 8 tiene una cifra entonces aquí agregamos un solo cero en seguida resolvemos esta resta nos queda 3 más 812 menos 8 es 804 y esto nos queda sobre 990 revisamos si esta fracción puede simplificarse vemos que ambos números son pares entonces a ambos podemos sacarles mitad decimos mitad de 804 es 402 y la mitad de 990 es 495 revisamos de nuevo esa fracción y vemos que ambos números son divisibles por 3 porque la suma de los dígitos nos da como resultado un múltiplo de 3 aquí tendremos 4 más 0 más 2 que es 6 múltiplo de 3 y acá 4 más 9 13 13 más 5 18 que también es múltiplo de 3 entonces decimos tercera de 402 nos da 134 y tercera de 495 es 165 como esta fracción es irreducible no se puede simplificar más y está sumando con un número entero entonces podemos conformar el número mixto que es este y que se lee tres enteros y 134 165 abos ahora podemos convertir este número mixto en fracción hacemos lo siguiente en la parte de arriba multiplicamos 3 por 165 eso nos da 495 a eso le sumamos 134 y obtenemos 629 y abajo conservamos el mismo denominador que es 165 entonces esta será la fracción generatriz ya completamente simplificada para este número decimal infinito periódico mixto finalizamos con este número que podemos escribir en forma resumida así con el circunflejo encima del 43 que es la cantidad que se repite indefinidamente o sea el periodo como se observa a la izquierda del punto decimal no tenemos el 0 en este caso tenemos el 1 entonces debemos descomponer ese número en su parte entera y su parte decimal para poder aplicar el truco nos queda 1 más 0.0643 con el circunflejo encima del 43 entonces ya en este número como tenemos el 0 a la izquierda del punto decimal podemos aplicar el truco trazamos la línea de la fracción en la parte de arriba anotamos la parte no periódica 06 seguida de un periodo o sea el 4 y el 3 a eso le restamos la parte no periódica que es 06 y abajo escribimos tantos nueve como cifras tiene el periodo vemos que el periodo tiene dos cifras entonces anotamos dos nueve y enseguida tanto ceros como cifras tiene la parte no periódica vemos que la parte no periódica tiene dos cifras entonces acá anotamos dos ceros enseguida tenemos que realizar esta resta allí podemos quitar estos ceros que no tienen ningún valor y entonces tendremos 643 menos 6 esto nos queda 1 más el resultado de esta resta que es 637 y acá abajo tenemos el número 9900 si realizamos con atención esta fracción vemos que no es posible simplificar la será entonces una fracción irreducible y allí ya podemos conformar el número mixto será un entero acompañado de la fracción 637 sobre 9900 y de allí podemos pasar a obtener la fracción la fracción que equivale a ese número mixto en la parte de arriba hacemos la operación 1 por 9900 que nos da 9900 a eso le sumamos 637 eso nos da 10.537 y acá conservamos el mismo denominador que es 9900 con eso terminamos esta será entonces la fracción generatriz para este número decimal infinito periodico mixto.

[{"start": 0.0, "end": 9.44, "text": " Vamos a determinar la fracci\u00f3n generatriz para cada uno de estos cuatro n\u00fameros decimales"}, {"start": 9.44, "end": 12.16, "text": " infinitos peri\u00f3dicos mixtos."}, {"start": 12.16, "end": 18.080000000000002, "text": " Se llaman as\u00ed porque constan de una parte no peri\u00f3dica y de una parte que se repite"}, {"start": 18.080000000000002, "end": 19.6, "text": " que es el periodo."}, {"start": 19.6, "end": 24.12, "text": " Por ejemplo, en el primer n\u00famero despu\u00e9s del punto decimal la parte no peri\u00f3dica es"}, {"start": 24.12, "end": 26.84, "text": " el 5 y el periodo es 1."}, {"start": 26.84, "end": 33.36, "text": " Ac\u00e1 despu\u00e9s del punto decimal la parte no peri\u00f3dica es 93 y lo que se repite, o sea"}, {"start": 33.36, "end": 35.519999999999996, "text": " el periodo, es 5."}, {"start": 35.519999999999996, "end": 40.92, "text": " Ac\u00e1 tenemos despu\u00e9s del punto decimal la parte no 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{"start": 130.88, "end": 137.48, "text": " Esta fracci\u00f3n puede simplificarse, ambos n\u00fameros tienen mitad, decimos mitad de 46"}, {"start": 137.48, "end": 145.73999999999998, "text": " es 23 y la mitad de 90 es 45, 23 cuarenta y cinco a vos ser\u00e1 la fracci\u00f3n generatriz"}, {"start": 145.73999999999998, "end": 153.56, "text": " para ese n\u00famero que es decimal infinito peri\u00f3dico mixto, repetimos este truco que es la forma"}, {"start": 153.56, "end": 159.92, "text": " r\u00e1pida de obtener la fracci\u00f3n generatriz se aplica si a la izquierda del punto decimal"}, {"start": 159.92, "end": 163.67999999999998, "text": " tenemos el n\u00famero 0."}, {"start": 163.68, "end": 171.56, "text": " Echamos el segundo n\u00famero que podemos escribir en forma resumida as\u00ed, con el circunflejo"}, {"start": 171.56, "end": 178.8, "text": " encima del n\u00famero 5, o sea encima del periodo o la cantidad que se repite indefinidamente,"}, {"start": 178.8, "end": 185.02, 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indefinidamente"}, {"start": 287.02, "end": 292.52, "text": " como ac\u00e1 a la izquierda del punto decimal no tenemos el cero todav\u00eda no podemos aplicar"}, {"start": 292.52, "end": 298.4, "text": " el truco r\u00e1pido que vimos en los ejemplos anteriores entonces primero debemos descomponer"}, {"start": 298.4, "end": 309.96, "text": " este n\u00famero en su parte entera y su parte decimal nos queda 3 m\u00e1s 0.812 con el circunflejo"}, {"start": 309.96, "end": 316.91999999999996, "text": " encima del 12 entonces aqu\u00ed ya podemos aplicar el truco porque como vemos a la izquierda"}, {"start": 316.91999999999996, "end": 324.23999999999995, "text": " del punto decimal tenemos el cero este n\u00famero 3 se queda all\u00ed en espera y entonces vamos"}, {"start": 324.24, "end": 331.64, "text": " a aplicar aqu\u00ed la t\u00e9cnica que hemos venido utilizando escribimos en la parte de arriba"}, {"start": 331.64, "end": 337.94, "text": " la parte no peri\u00f3dica que es 8 seguida de un periodo o sea seguida del 12 tenemos el"}, {"start": 337.94, "end": 345.44, "text": " n\u00famero 812 a eso tenemos que restarle la parte no peri\u00f3dica que es 8 y abajo escribimos"}, {"start": 345.44, "end": 352.42, "text": " tantos 9 como cifras tiene el periodo en este caso hay dos cifras entonces anotamos dos"}, {"start": 352.42, "end": 358.68, "text": " nueves seguidos de tantos ceros como cifras tiene la parte no peri\u00f3dica como vemos la"}, {"start": 358.68, "end": 367.44, "text": " parte no peri\u00f3dica es 8 tiene una cifra entonces aqu\u00ed agregamos un solo cero en seguida resolvemos"}, {"start": 367.44, "end": 380.92, "text": " esta resta nos queda 3 m\u00e1s 812 menos 8 es 804 y esto nos queda sobre 990 revisamos si"}, {"start": 380.92, "end": 386.8, "text": " esta fracci\u00f3n puede simplificarse vemos que ambos n\u00fameros son pares entonces a ambos"}, {"start": 386.8, "end": 399.72, "text": " podemos sacarles mitad decimos mitad de 804 es 402 y la mitad de 990 es 495 revisamos"}, {"start": 399.72, "end": 406.0, "text": " de nuevo esa fracci\u00f3n y vemos que ambos n\u00fameros son divisibles por 3 porque la suma de los"}, {"start": 406.0, "end": 411.6, "text": " d\u00edgitos nos da como resultado un m\u00faltiplo de 3 aqu\u00ed tendremos 4 m\u00e1s 0 m\u00e1s 2 que es"}, {"start": 411.6, "end": 421.32, "text": " 6 m\u00faltiplo de 3 y ac\u00e1 4 m\u00e1s 9 13 13 m\u00e1s 5 18 que tambi\u00e9n es m\u00faltiplo de 3 entonces decimos"}, {"start": 421.32, "end": 435.0, "text": " tercera de 402 nos da 134 y tercera de 495 es 165 como esta fracci\u00f3n es irreducible"}, {"start": 435.0, "end": 441.32, "text": " no se puede simplificar m\u00e1s y est\u00e1 sumando con un n\u00famero entero entonces podemos conformar"}, {"start": 441.32, "end": 453.52, "text": " el n\u00famero mixto que es este y que se lee tres enteros y 134 165 abos ahora podemos convertir"}, {"start": 453.52, "end": 460.28, "text": " este n\u00famero mixto en fracci\u00f3n hacemos lo siguiente en la parte de arriba multiplicamos"}, {"start": 460.28, "end": 472.4, "text": " 3 por 165 eso nos da 495 a eso le sumamos 134 y obtenemos 629 y abajo conservamos el"}, {"start": 472.4, "end": 480.52, "text": " mismo denominador que es 165 entonces esta ser\u00e1 la fracci\u00f3n generatriz ya completamente"}, {"start": 480.52, "end": 488.88, "text": " simplificada para este n\u00famero decimal infinito peri\u00f3dico mixto finalizamos con este n\u00famero"}, {"start": 488.88, "end": 499.04, "text": " que podemos escribir en forma resumida as\u00ed con el circunflejo encima del 43 que es la"}, {"start": 499.04, "end": 504.92, "text": " cantidad que se repite indefinidamente o sea el periodo como se observa a la izquierda"}, {"start": 504.92, "end": 511.48, "text": " del punto decimal no tenemos el 0 en este caso tenemos el 1 entonces debemos descomponer"}, {"start": 511.48, "end": 517.88, "text": " ese n\u00famero en su parte entera y su parte decimal para poder aplicar el truco nos queda"}, {"start": 517.88, "end": 529.6, "text": " 1 m\u00e1s 0.0643 con el circunflejo encima del 43 entonces ya en este n\u00famero como tenemos"}, {"start": 529.6, "end": 536.16, "text": " el 0 a la izquierda del punto decimal podemos aplicar el truco trazamos la l\u00ednea de la"}, {"start": 536.16, "end": 544.28, "text": " fracci\u00f3n en la parte de arriba anotamos la parte no peri\u00f3dica 06 seguida de un periodo"}, {"start": 544.28, "end": 553.12, "text": " o sea el 4 y el 3 a eso le restamos la parte no peri\u00f3dica que es 06 y abajo escribimos"}, {"start": 553.12, "end": 559.66, "text": " tantos nueve como cifras tiene el periodo vemos que el periodo tiene dos cifras entonces"}, {"start": 559.66, "end": 566.36, "text": " anotamos dos nueve y enseguida tanto ceros como cifras tiene la parte no peri\u00f3dica vemos"}, {"start": 566.36, "end": 574.16, "text": " que la parte no peri\u00f3dica tiene dos cifras entonces ac\u00e1 anotamos dos ceros enseguida"}, {"start": 574.16, "end": 581.44, "text": " tenemos que realizar esta resta all\u00ed podemos quitar estos ceros que no tienen ning\u00fan valor"}, {"start": 581.44, "end": 590.6, "text": " y entonces tendremos 643 menos 6 esto nos queda 1 m\u00e1s el resultado de esta resta que"}, {"start": 590.6, "end": 601.2, "text": " es 637 y ac\u00e1 abajo tenemos el n\u00famero 9900 si realizamos con atenci\u00f3n esta fracci\u00f3n"}, {"start": 601.2, "end": 607.48, "text": " vemos que no es posible simplificar la ser\u00e1 entonces una fracci\u00f3n irreducible y all\u00ed"}, {"start": 607.48, "end": 616.36, "text": " ya podemos conformar el n\u00famero mixto ser\u00e1 un entero acompa\u00f1ado de la fracci\u00f3n 637"}, {"start": 616.36, "end": 626.88, "text": " sobre 9900 y de all\u00ed podemos pasar a obtener la fracci\u00f3n la fracci\u00f3n que equivale a ese"}, {"start": 626.88, "end": 634.84, "text": " n\u00famero mixto en la parte de arriba hacemos la operaci\u00f3n 1 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FRACCIONES GENERATRICES DE NÚMEROS DECIMALES INFINITOS PERIÓDICOS PUROS

#julioprofe explica cómo obtener la fracción generatriz de diferentes números decimales infinitos periódicos puros. #julioprofe explica cómo obtener la fracción generatriz de un número decimal infinito periódico puro. Videos de #ConvertirDecimalesEnFracciones → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEhhewNrP2ZjaccJ81lujPW REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

En esta ocasión vamos a determinar la fracción generatriz para cada uno de estos cinco números que son decimales infinitos periódicos puros. Se llaman así porque después del punto decimal se observa una cantidad que se repite indefinidamente y que se llama periodo. Acá el periodo es 8, tiene una cifra. Acá el periodo es 21, tiene dos cifras. Acá el periodo es 537, tiene tres cifras. Acá el periodo es 4, tiene una cifra. Y acá el periodo es 48, tiene dos cifras. Comenzamos con el primer número que podemos escribir de la siguiente manera. 0.8 con el circunflejo encima del número 8, es decir encima del periodo, indicando que es la cantidad que se repite indefinidamente. Para encontrar la fracción generatriz utilizamos el siguiente truco rápido. Trazamos la línea de la fracción. En la parte superior escribimos el periodo que es 8 y en la parte inferior escribimos tantos nueves como cifras tiene el periodo. Como el periodo tiene en este caso una cifra, entonces anotamos solamente un 9. Entonces 8 novenos, que es una fracción irreducible porque no se puede simplificar, corresponde a la fracción generatriz de este número decimal infinito periódico puro. Note que para poder aplicar este truco rápido se necesita que antes del punto decimal tengamos el número 0. Vamos con el segundo número que podemos escribir en forma resumida. Así, 0.21 con el circunflejo encima del periodo, encima de la cantidad que se repite indefinidamente y que en este caso tiene dos cifras. Como se observa a la izquierda del punto decimal tenemos el 0, entonces podemos aplicar el truco rápido que veíamos en el ejercicio anterior. Trazamos la línea de la fracción. En la parte de arriba escribimos el periodo que es 21 y acá en la parte de abajo escribimos tantos nueves como cifras tiene el periodo. Como vemos el periodo tiene dos cifras, por lo tanto en la parte de abajo escribimos dos nueves. Esta es la fracción generatriz para este número decimal infinito periódico puro, pero esta fracción puede simplificarse. Ambos números son divisibles por 3, tercera de 21 nos da 7 y tercera de 99 nos da 33. 7.33 es ya una fracción irreducible, o sea que no se puede simplificar más y constituye la fracción generatriz para este número decimal infinito periódico puro. En el caso del tercer número lo escribimos también en forma resumida así, con el circunflejo encima de 537 que es el periodo, o sea la cantidad que se repite indefinidamente. Como a la izquierda del punto decimal tenemos el 0, podemos aplicar el truco rápido. Trazamos la línea, encima de ella anotamos el periodo que es 537 y acá en la parte de abajo escribimos tantos nueves como cifras tiene el periodo. Como vemos se trata de un número de tres cifras, por lo tanto en la parte de abajo escribimos tres nueves. Miramos si esta fracción se puede simplificar. 537 podemos revisar si es divisible por 3, 5 más 3 nos da 8, 8 más 7 es 15, 15 es múltiplo de 3 por lo tanto 537 puede dividirse entre 3, esa división nos da 179 y si este número lo dividimos por 3 nos da 333. Esta será entonces la fracción irreducible, o sea que no se puede simplificar más y constituye la fracción generatriz para este número decimal infinito periódico puro. Para el caso del cuarto número vamos a escribirlo en forma resumida así, con el circunflejo encima del 4 que en este caso es el periodo o la cantidad que se repite indefinidamente. Como se observa a la izquierda del punto decimal ya no tenemos el 0, entonces inicialmente no podemos aplicar el truco rápido de los nueves, pero podemos solucionar esto de la siguiente manera, descomponemos este número como 2 más 0.4 periódico, es decir, independizamos lo que está a la izquierda del punto, o sea la parte entera de la parte decimal y a esto si podemos aplicarle el truco porque tenemos a la izquierda del punto el número 0, entonces el 2 se queda allí y acá aplicamos el truco rápido, trazamos la línea, en la parte superior el 4, o sea el periodo y en la parte inferior tantos nueves como cifras tiene el periodo, en este caso un solo 9. Como tenemos la suma de un número entero y una fracción podemos escribir eso en forma de número mixto, se lee 2 enteros y 4 novenos y eso ya podemos pasarlo a fracción. Hacemos lo siguiente, en la parte de arriba multiplicamos 2 por 9 que nos da 18, a eso le sumamos 4 que nos da 22 y en la parte de abajo conservamos el mismo denominador que es 9, 22 novenos es una fracción irreducible, no se puede simplificar más y constituye la fracción generatriz para este número decimal infinito periódico puro. Finalizamos con este número que podemos escribir en forma resumida así, con el circunflejo encima del 48 porque es el periodo, la cantidad que se repite indefinidamente, como vemos a la izquierda del punto decimal no tenemos el 0 sino el número 10, entonces todavía no podemos aplicar el truco de los nueves sino que tenemos que descomponer este número en su parte entera y su parte decimal, nos queda 10 más 0.48 periódico y acá si podemos aplicar el truco. Conservamos entonces el número 10 y acá trazamos la línea, en la parte superior escribimos el periodo que es 48 y acá escribimos tantos nueves como cifras tiene el periodo, como se observa tenemos dos cifras por lo tanto anotamos dos nueves. Antes de conformar el número mixto revisamos si esta fracción puede simplificarse, te busques si porque 48 y 99 son números divisibles por 3, entonces realizamos esa simplificación tercera de 48 nos da 16 y tercera de 99 nos da 33, revisamos y vemos que no se puede simplificar más entonces procedemos a conformar el número mixto que en este caso se lee 10 enteros y 16 33 abos y de allí podemos pasarlo a fracción. Entonces en la parte de arriba multiplicamos 10 por 33 que es 330 a eso le sumamos 16 que nos da 346 y acá conservamos el mismo denominador. Esta fracción ya no se puede simplificar más, es irreducible y constituye la fracción generatriz para ese número decimal infinito periódico puro.

[{"start": 0.0, "end": 10.16, "text": " En esta ocasi\u00f3n vamos a determinar la fracci\u00f3n generatriz para cada uno de estos cinco n\u00fameros"}, {"start": 10.16, "end": 13.72, "text": " que son decimales infinitos peri\u00f3dicos puros."}, {"start": 13.72, "end": 20.64, "text": " Se llaman as\u00ed porque despu\u00e9s del punto decimal se observa una cantidad que se repite indefinidamente"}, {"start": 20.64, "end": 22.44, "text": " y que se llama periodo."}, {"start": 22.44, "end": 25.76, "text": " Ac\u00e1 el periodo es 8, tiene una cifra."}, {"start": 25.76, "end": 28.96, "text": " Ac\u00e1 el periodo es 21, tiene dos cifras."}, {"start": 28.96, "end": 33.160000000000004, "text": " Ac\u00e1 el periodo es 537, tiene tres cifras."}, {"start": 33.160000000000004, "end": 36.56, "text": " Ac\u00e1 el periodo es 4, tiene una cifra."}, {"start": 36.56, "end": 41.64, "text": " Y ac\u00e1 el periodo es 48, tiene dos cifras."}, {"start": 41.64, "end": 46.28, "text": " Comenzamos con el primer n\u00famero que podemos escribir de la siguiente manera."}, {"start": 46.28, "end": 53.94, "text": " 0.8 con el circunflejo encima del n\u00famero 8, es decir encima del periodo, indicando"}, {"start": 53.94, "end": 57.84, "text": " que es la cantidad que se repite indefinidamente."}, {"start": 57.84, "end": 62.440000000000005, "text": " Para encontrar la fracci\u00f3n generatriz utilizamos el siguiente truco r\u00e1pido."}, {"start": 62.440000000000005, "end": 65.0, "text": " Trazamos la l\u00ednea de la fracci\u00f3n."}, {"start": 65.0, "end": 71.08, "text": " En la parte superior escribimos el periodo que es 8 y en la parte inferior escribimos"}, {"start": 71.08, "end": 74.88, "text": " tantos nueves como cifras tiene el periodo."}, {"start": 74.88, "end": 81.52000000000001, "text": " Como el periodo tiene en este caso una cifra, entonces anotamos solamente un 9."}, {"start": 81.52, "end": 88.19999999999999, "text": " Entonces 8 novenos, que es una fracci\u00f3n irreducible porque no se puede simplificar, corresponde"}, {"start": 88.19999999999999, "end": 94.08, "text": " a la fracci\u00f3n generatriz de este n\u00famero decimal infinito peri\u00f3dico puro."}, {"start": 94.08, "end": 100.44, "text": " Note que para poder aplicar este truco r\u00e1pido se necesita que antes del punto decimal tengamos"}, {"start": 100.44, "end": 103.19999999999999, "text": " el n\u00famero 0."}, {"start": 103.19999999999999, "end": 108.24, "text": " Vamos con el segundo n\u00famero que podemos escribir en forma resumida."}, {"start": 108.24, "end": 117.69999999999999, "text": " As\u00ed, 0.21 con el circunflejo encima del periodo, encima de la cantidad que se repite indefinidamente"}, {"start": 117.69999999999999, "end": 120.72, "text": " y que en este caso tiene dos cifras."}, {"start": 120.72, "end": 126.72, "text": " Como se observa a la izquierda del punto decimal tenemos el 0, entonces podemos aplicar el"}, {"start": 126.72, "end": 130.6, "text": " truco r\u00e1pido que ve\u00edamos en el ejercicio anterior."}, {"start": 130.6, "end": 132.6, "text": " Trazamos la l\u00ednea de la fracci\u00f3n."}, {"start": 132.6, "end": 138.92, "text": " En la parte de arriba escribimos el periodo que es 21 y ac\u00e1 en la parte de abajo escribimos"}, {"start": 138.92, "end": 142.51999999999998, "text": " tantos nueves como cifras tiene el periodo."}, {"start": 142.51999999999998, "end": 148.12, "text": " Como vemos el periodo tiene dos cifras, por lo tanto en la parte de abajo escribimos dos"}, {"start": 148.12, "end": 149.51999999999998, "text": " nueves."}, {"start": 149.51999999999998, "end": 156.01999999999998, "text": " Esta es la fracci\u00f3n generatriz para este n\u00famero decimal infinito peri\u00f3dico puro, pero esta"}, {"start": 156.01999999999998, "end": 158.2, "text": " fracci\u00f3n puede simplificarse."}, {"start": 158.2, "end": 167.76, "text": " Ambos n\u00fameros son divisibles por 3, tercera de 21 nos da 7 y tercera de 99 nos da 33."}, {"start": 167.76, "end": 174.88, "text": " 7.33 es ya una fracci\u00f3n irreducible, o sea que no se puede simplificar m\u00e1s y constituye"}, {"start": 174.88, "end": 182.35999999999999, "text": " la fracci\u00f3n generatriz para este n\u00famero decimal infinito peri\u00f3dico puro."}, {"start": 182.36, "end": 190.76000000000002, "text": " En el caso del tercer n\u00famero lo escribimos tambi\u00e9n en forma resumida as\u00ed, con el circunflejo"}, {"start": 190.76000000000002, "end": 198.36, "text": " encima de 537 que es el periodo, o sea la cantidad que se repite indefinidamente."}, {"start": 198.36, "end": 204.0, "text": " Como a la izquierda del punto decimal tenemos el 0, podemos aplicar el truco r\u00e1pido."}, {"start": 204.0, "end": 211.20000000000002, "text": " Trazamos la l\u00ednea, encima de ella anotamos el periodo que es 537 y ac\u00e1 en la parte de"}, {"start": 211.2, "end": 216.28, "text": " abajo escribimos tantos nueves como cifras tiene el periodo."}, {"start": 216.28, "end": 221.56, "text": " Como vemos se trata de un n\u00famero de tres cifras, por lo tanto en la parte de abajo"}, {"start": 221.56, "end": 223.79999999999998, "text": " escribimos tres nueves."}, {"start": 223.79999999999998, "end": 226.35999999999999, "text": " Miramos si esta fracci\u00f3n se puede simplificar."}, {"start": 226.35999999999999, "end": 235.6, "text": " 537 podemos revisar si es divisible por 3, 5 m\u00e1s 3 nos da 8, 8 m\u00e1s 7 es 15, 15 es m\u00faltiplo"}, {"start": 235.6, "end": 245.2, "text": " de 3 por lo tanto 537 puede dividirse entre 3, esa divisi\u00f3n nos da 179 y si este n\u00famero"}, {"start": 245.2, "end": 249.48, "text": " lo dividimos por 3 nos da 333."}, {"start": 249.48, "end": 255.35999999999999, "text": " Esta ser\u00e1 entonces la fracci\u00f3n irreducible, o sea que no se puede simplificar m\u00e1s y constituye"}, {"start": 255.35999999999999, "end": 263.04, "text": " la fracci\u00f3n generatriz para este n\u00famero decimal infinito peri\u00f3dico puro."}, {"start": 263.04, "end": 270.08000000000004, "text": " Para el caso del cuarto n\u00famero vamos a escribirlo en forma resumida as\u00ed, con el circunflejo"}, {"start": 270.08000000000004, "end": 276.28000000000003, "text": " encima del 4 que en este caso es el periodo o la cantidad que se repite indefinidamente."}, {"start": 276.28000000000003, "end": 281.88, "text": " Como se observa a la izquierda del punto decimal ya no tenemos el 0, entonces inicialmente"}, {"start": 281.88, "end": 288.14000000000004, "text": " no podemos aplicar el truco r\u00e1pido de los nueves, pero podemos solucionar esto de la"}, {"start": 288.14, "end": 296.68, "text": " siguiente manera, descomponemos este n\u00famero como 2 m\u00e1s 0.4 peri\u00f3dico, es decir, independizamos"}, {"start": 296.68, "end": 303.4, "text": " lo que est\u00e1 a la izquierda del punto, o sea la parte entera de la parte decimal y a esto"}, {"start": 303.4, "end": 309.96, "text": " si podemos aplicarle el truco porque tenemos a la izquierda del punto el n\u00famero 0, entonces"}, {"start": 309.96, "end": 316.94, "text": " el 2 se queda all\u00ed y ac\u00e1 aplicamos el truco r\u00e1pido, trazamos la l\u00ednea, en la parte superior"}, {"start": 316.94, "end": 323.52, "text": " el 4, o sea el periodo y en la parte inferior tantos nueves como cifras tiene el periodo,"}, {"start": 323.52, "end": 326.26, "text": " en este caso un solo 9."}, {"start": 326.26, "end": 332.84, "text": " Como tenemos la suma de un n\u00famero entero y una fracci\u00f3n podemos escribir eso en forma"}, {"start": 332.84, "end": 340.9, "text": " de n\u00famero mixto, se lee 2 enteros y 4 novenos y eso ya podemos pasarlo a fracci\u00f3n."}, {"start": 340.9, "end": 346.54, "text": " Hacemos lo siguiente, en la parte de arriba multiplicamos 2 por 9 que nos da 18, a eso"}, {"start": 346.54, "end": 352.98, "text": " le sumamos 4 que nos da 22 y en la parte de abajo conservamos el mismo denominador que"}, {"start": 352.98, "end": 360.24, "text": " es 9, 22 novenos es una fracci\u00f3n irreducible, no se puede simplificar m\u00e1s y constituye"}, {"start": 360.24, "end": 367.02000000000004, "text": " la fracci\u00f3n generatriz para este n\u00famero decimal infinito peri\u00f3dico puro."}, {"start": 367.02000000000004, "end": 374.78000000000003, "text": " Finalizamos con este n\u00famero que podemos escribir en forma resumida as\u00ed, con el circunflejo"}, {"start": 374.78, "end": 381.78, "text": " encima del 48 porque es el periodo, la cantidad que se repite indefinidamente, como vemos"}, {"start": 381.78, "end": 387.5, "text": " a la izquierda del punto decimal no tenemos el 0 sino el n\u00famero 10, entonces todav\u00eda"}, {"start": 387.5, "end": 393.52, "text": " no podemos aplicar el truco de los nueves sino que tenemos que descomponer este n\u00famero"}, {"start": 393.52, "end": 402.94, "text": " en su parte entera y su parte decimal, nos queda 10 m\u00e1s 0.48 peri\u00f3dico y ac\u00e1 si podemos"}, {"start": 402.94, "end": 405.9, "text": " aplicar el truco."}, {"start": 405.9, "end": 413.8, "text": " Conservamos entonces el n\u00famero 10 y ac\u00e1 trazamos la l\u00ednea, en la parte superior escribimos"}, {"start": 413.8, "end": 421.42, "text": " el periodo que es 48 y ac\u00e1 escribimos tantos nueves como cifras tiene el periodo, como"}, {"start": 421.42, "end": 427.14, "text": " se observa tenemos dos cifras por lo tanto anotamos dos nueves."}, {"start": 427.14, "end": 432.5, "text": " Antes de conformar el n\u00famero mixto revisamos si esta fracci\u00f3n puede simplificarse, te"}, {"start": 432.5, "end": 441.34, "text": " busques si porque 48 y 99 son n\u00fameros divisibles por 3, entonces realizamos esa simplificaci\u00f3n"}, {"start": 441.34, "end": 450.58, "text": " tercera de 48 nos da 16 y tercera de 99 nos da 33, revisamos y vemos que no se puede simplificar"}, {"start": 450.58, "end": 458.42, "text": " m\u00e1s entonces procedemos a conformar el n\u00famero mixto que en este caso se lee 10 enteros y"}, {"start": 458.42, "end": 464.26, "text": " 16 33 abos y de all\u00ed podemos pasarlo a fracci\u00f3n."}, {"start": 464.26, "end": 471.54, "text": " Entonces en la parte de arriba multiplicamos 10 por 33 que es 330 a eso le sumamos 16 que"}, {"start": 471.54, "end": 476.74, "text": " nos da 346 y ac\u00e1 conservamos el mismo denominador."}, {"start": 476.74, "end": 482.18, "text": " Esta fracci\u00f3n ya no se puede simplificar m\u00e1s, es irreducible y constituye la fracci\u00f3n"}, {"start": 482.18, "end": 488.82, "text": " generatriz para ese n\u00famero decimal infinito peri\u00f3dico puro."}]

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INTEGRAL DEFINIDA - Ejercicio 15

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Vamos a resolver detalladamente esta integral definida y lo primero que tenemos que hacer es encontrar una antiderivada para esta expresión, o sea la función que tenemos en el integrando. Para ello la escribimos por acá y vamos a realizar su transformación llevándola a una forma más sencilla. Comenzamos con este logaritmo donde vamos a utilizar la siguiente propiedad que es de los logaritmos. Si tenemos el logaritmo de una potencia el exponente puede bajar a multiplicar, entonces en este caso nos queda Q por el logaritmo en la base A del argumento P. Entonces acá tendremos lo siguiente, X al cubo por esta X que baja a multiplicar al logaritmo natural del número E. Ahora vamos a recordar a que es igual el logaritmo natural de E. Recordemos que logaritmo natural es aquel que tiene como base el número P. Si tenemos logaritmo en base E del número E esto será igual a 1 porque E elevado al exponente 1 nos da como resultado la misma cantidad, o sea el número de Euler. Conclusión logaritmo natural de E equivale a 1 y de esa manera tendremos X al cubo por X por 1 nos da X a la 4. Recordemos que aquí esta X tiene exponente 1 y al multiplicarse potencias de la misma base se suman los exponentes. De esta manera la expresión que tenemos en el integrando equivale a X a la 4, entonces podemos reescribir el ejercicio, la integral definida desde menos 2 hasta 3 de la función X a la 4 con su respectivo diferencial de X. Esto que tenemos acá ya es una integral directa, recordemos que allí se utiliza esta propiedad, la integral de X a la N con su diferencial de X es igual a X a la N más 1 sobre N más 1 más la constante de integración, siempre que N sea una cantidad diferente de menos 1. Entonces en este caso tendremos que la integral es igual a X elevada a la 4 más 1 que es 5, esto sobre 5 utilizando esta propiedad y como tenemos una integral definida no se escribe la constante C sino que se traza esta línea y se anotan los límites de integración. Enseguida aplicamos el teorema fundamental del cálculo, recordemos que se evalúa primero el límite superior en la antiderivada y después se evalúa el límite inferior también en la antiderivada. Replazamos entonces el límite superior donde está la X, nos queda 3 a la 5 sobre 5 y a eso le restamos el reemplazo del límite inferior en esa expresión, tenemos menos 2, eso elevado a la 5 y todo sobre 5. Se recomienda utilizar paréntesis cuando los números entran a ocupar el lugar de la X. Lo que hacemos ahora es resolver con cuidado estas operaciones que corresponden a la aritmética, veamos entonces cómo nos queda, 3 elevado al exponente 5 nos da como resultado 243 y todo esto nos queda sobre 5, acá nos queda menos, menos 2 elevado al exponente 5 eso nos da menos 32, recordemos que toda cantidad negativa elevada a un exponente impar produce como resultado una cantidad negativa y nos queda sobre 5. Aquí podemos aplicar ley de los signos, nos queda 243 sobre 5 más porque menos por menos nos da más la fracción 32 quintos. Llegamos así a una suma de fracciones homogéneas, fracciones con el mismo denominador, recordemos que allí se conserva el denominador y se efectúa la suma de los numeradores. Resolvemos entonces esa operación que nos quedó en la parte de arriba, 243 más 32 nos da como resultado 275 y eso queda sobre 5. Finalmente resolvemos esta operación, 275 dividido entre 5 nos da como resultado 55 y esta será la respuesta para este ejercicio.

[{"start": 0.0, "end": 9.6, "text": " Vamos a resolver detalladamente esta integral definida y lo primero que tenemos que hacer"}, {"start": 9.6, "end": 17.92, "text": " es encontrar una antiderivada para esta expresi\u00f3n, o sea la funci\u00f3n que tenemos en el integrando."}, {"start": 17.92, "end": 23.68, "text": " Para ello la escribimos por ac\u00e1 y vamos a realizar su transformaci\u00f3n llev\u00e1ndola a"}, {"start": 23.68, "end": 26.16, "text": " una forma m\u00e1s sencilla."}, {"start": 26.16, "end": 33.8, "text": " Comenzamos con este logaritmo donde vamos a utilizar la siguiente propiedad que es de"}, {"start": 33.8, "end": 35.24, "text": " los logaritmos."}, {"start": 35.24, "end": 41.96, "text": " Si tenemos el logaritmo de una potencia el exponente puede bajar a multiplicar, entonces"}, {"start": 41.96, "end": 48.64, "text": " en este caso nos queda Q por el logaritmo en la base A del argumento P."}, {"start": 48.64, "end": 57.36, "text": " Entonces ac\u00e1 tendremos lo siguiente, X al cubo por esta X que baja a multiplicar al"}, {"start": 57.36, "end": 61.04, "text": " logaritmo natural del n\u00famero E."}, {"start": 61.04, "end": 67.04, "text": " Ahora vamos a recordar a que es igual el logaritmo natural de E."}, {"start": 67.04, "end": 73.6, "text": " Recordemos que logaritmo natural es aquel que tiene como base el n\u00famero P."}, {"start": 73.6, "end": 81.16, "text": " Si tenemos logaritmo en base E del n\u00famero E esto ser\u00e1 igual a 1 porque E elevado al"}, {"start": 81.16, "end": 87.91999999999999, "text": " exponente 1 nos da como resultado la misma cantidad, o sea el n\u00famero de Euler."}, {"start": 87.91999999999999, "end": 95.32, "text": " Conclusi\u00f3n logaritmo natural de E equivale a 1 y de esa manera tendremos X al cubo por"}, {"start": 95.32, "end": 98.88, "text": " X por 1 nos da X a la 4."}, {"start": 98.88, "end": 104.92, "text": " Recordemos que aqu\u00ed esta X tiene exponente 1 y al multiplicarse potencias de la misma"}, {"start": 104.92, "end": 108.96, "text": " base se suman los exponentes."}, {"start": 108.96, "end": 115.28, "text": " De esta manera la expresi\u00f3n que tenemos en el integrando equivale a X a la 4, entonces"}, {"start": 115.28, "end": 123.47999999999999, "text": " podemos reescribir el ejercicio, la integral definida desde menos 2 hasta 3 de la funci\u00f3n"}, {"start": 123.48, "end": 129.0, "text": " X a la 4 con su respectivo diferencial de X."}, {"start": 129.0, "end": 136.84, "text": " Esto que tenemos ac\u00e1 ya es una integral directa, recordemos que all\u00ed se utiliza esta propiedad,"}, {"start": 136.84, "end": 145.48000000000002, "text": " la integral de X a la N con su diferencial de X es igual a X a la N m\u00e1s 1 sobre N m\u00e1s"}, {"start": 145.48, "end": 154.67999999999998, "text": " 1 m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n, siempre que N sea una cantidad diferente de menos"}, {"start": 154.67999999999998, "end": 155.67999999999998, "text": " 1."}, {"start": 155.67999999999998, "end": 166.76, "text": " Entonces en este caso tendremos que la integral es igual a X elevada a la 4 m\u00e1s 1 que es"}, {"start": 166.76, "end": 175.72, "text": " 5, esto sobre 5 utilizando esta propiedad y como tenemos una integral definida no se"}, {"start": 175.72, "end": 184.92, "text": " escribe la constante C sino que se traza esta l\u00ednea y se anotan los l\u00edmites de integraci\u00f3n."}, {"start": 184.92, "end": 191.16, "text": " Enseguida aplicamos el teorema fundamental del c\u00e1lculo, recordemos que se eval\u00faa primero"}, {"start": 191.16, "end": 198.48, "text": " el l\u00edmite superior en la antiderivada y despu\u00e9s se eval\u00faa el l\u00edmite inferior tambi\u00e9n en"}, {"start": 198.48, "end": 200.48, "text": " la antiderivada."}, {"start": 200.48, "end": 207.48, "text": " Replazamos entonces el l\u00edmite superior donde est\u00e1 la X, nos queda 3 a la 5 sobre 5 y a"}, {"start": 207.48, "end": 216.07999999999998, "text": " eso le restamos el reemplazo del l\u00edmite inferior en esa expresi\u00f3n, tenemos menos 2, eso elevado"}, {"start": 216.07999999999998, "end": 219.32, "text": " a la 5 y todo sobre 5."}, {"start": 219.32, "end": 225.28, "text": " Se recomienda utilizar par\u00e9ntesis cuando los n\u00fameros entran a ocupar el lugar de la"}, {"start": 225.28, "end": 226.28, "text": " X."}, {"start": 226.28, "end": 234.2, "text": " Lo que hacemos ahora es resolver con cuidado estas operaciones que corresponden a la aritm\u00e9tica,"}, {"start": 234.2, "end": 243.48, "text": " veamos entonces c\u00f3mo nos queda, 3 elevado al exponente 5 nos da como resultado 243 y"}, {"start": 243.48, "end": 252.48, "text": " todo esto nos queda sobre 5, ac\u00e1 nos queda menos, menos 2 elevado al exponente 5 eso"}, {"start": 252.48, "end": 259.71999999999997, "text": " nos da menos 32, recordemos que toda cantidad negativa elevada a un exponente impar produce"}, {"start": 259.71999999999997, "end": 266.15999999999997, "text": " como resultado una cantidad negativa y nos queda sobre 5."}, {"start": 266.16, "end": 274.16, "text": " Aqu\u00ed podemos aplicar ley de los signos, nos queda 243 sobre 5 m\u00e1s porque menos por menos"}, {"start": 274.16, "end": 280.24, "text": " nos da m\u00e1s la fracci\u00f3n 32 quintos."}, {"start": 280.24, "end": 287.40000000000003, "text": " Llegamos as\u00ed a una suma de fracciones homog\u00e9neas, fracciones con el mismo denominador, recordemos"}, {"start": 287.4, "end": 297.32, "text": " que all\u00ed se conserva el denominador y se efect\u00faa la suma de los numeradores."}, {"start": 297.32, "end": 303.91999999999996, "text": " Resolvemos entonces esa operaci\u00f3n que nos qued\u00f3 en la parte de arriba, 243 m\u00e1s 32 nos"}, {"start": 303.91999999999996, "end": 309.84, "text": " da como resultado 275 y eso queda sobre 5."}, {"start": 309.84, "end": 319.52, "text": " Finalmente resolvemos esta operaci\u00f3n, 275 dividido entre 5 nos da como resultado 55 y"}, {"start": 319.52, "end": 340.56, "text": " esta ser\u00e1 la respuesta para este ejercicio."}]

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INTEGRAL DEFINIDA - Ejercicio 14

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Vamos a resolver detalladamente esta integral definida. Lo primero que tenemos que hacer es encontrar una antiderivada para esta expresión, o sea la función que tenemos en el integrando. Vamos entonces a desarrollar este binomio que se encuentra elevado al cuadrado y para ello vamos a recordar la fórmula correspondiente. Si tenemos un binomio elevado al cuadrado eso es igual al primer termino elevado al cuadrado más dos veces el primer termino por el segundo más el segundo termino elevado al cuadrado. Entonces, si tenemos secante de x más tangente de x, todo esto elevado al cuadrado, vamos a seguir esta fórmula o este desarrollo. Comenzamos entonces con el primer termino elevado al cuadrado que será secante al cuadrado de x más dos veces el primer termino por el segundo, entonces dos veces secante de x por tangente de x y esto nos queda más el segundo termino elevado al cuadrado, o sea tangente al cuadrado de x. Revisamos si los términos obtenidos pueden integrarse directamente, para el caso de secante al cuadrado de x vemos que sí porque la integral de esta expresión es tangente de x, para el caso de secante de x por tangente de x su integral también es directa, nos daría como resultado secante de x, pero para el caso de tangente al cuadrado de x no la podemos hacer de una vez, sino que nos toca recurrir a una identidad trigonométrica que dice lo siguiente tangente al cuadrado de x más uno es igual a secante al cuadrado de x, es una de las identidades pitagóricas, entonces de aquí vamos a despejar tangente al cuadrado de x, pasamos uno que está sumando al otro lado a restar y nos queda secante al cuadrado de x menos uno, entonces si aquí cambiamos tangente al cuadrado de x por la expresión obtenida secante al cuadrado de x menos uno podemos reducir esta expresión a lo siguiente, estos dos términos son semejantes pueden sumarse entre sí, nos queda dos secante al cuadrado de x, luego escribimos el término más dos secante de x por tangente de x y finalmente el menos uno y repetimos ya tenemos términos que son directamente integrables, entonces lo que hacemos ahora es reescribir el ejercicio original, es la integral definida desde menos pi cuartos hasta pi cuartos y aquí vamos a escribir la expresión que obtuvimos, abrimos paréntesis dos secante al cuadrado de x, luego tenemos más dos secante de x por tangente de x, después tenemos menos uno, cerramos el paréntesis y escribimos el diferencial de x, como decíamos ahora estos términos pueden integrarse de manera directa, entonces vamos a continuar por acá y comenzamos con el primer término donde el número dos se deja quieto porque es la constante que está multiplicando y decimos la integral de secante al cuadrado de x es tangente de x, es una integral directa porque la derivada de tangente de x es secante al cuadrado de x, pasamos al siguiente término donde este número dos se conserva, se queda quieto y vamos a integrar secante de x por tangente de x, la integral de esta expresión es secante de x porque la derivada de secante de x es secante de x por tangente de x y finalmente la integral de uno será x, o sea la variable que controla el ejercicio y como tenemos una integral definida, trazamos esta línea y anotamos los límites de integración, menos pi cuartos que es el inferior y pi cuartos que es el superior. Ahora vamos a reemplazar estos valores en la antiderivada que obtuvimos, vamos entonces a aplicar el teorema fundamental del cálculo, reemplazamos primero el límite superior en la antiderivada, nos queda dos tangente de pi cuartos, luego tenemos más dos por secante de pi cuartos y después tenemos menos x, o sea menos pi cuartos, esa expresión vamos a protegerla utilizando corcheten y a eso vamos a restarle el reemplazo del límite inferior que es menos pi cuartos, también en la antiderivada, tendremos dos tangente de menos pi cuartos, lo protegemos con paréntesis por ser una cantidad negativa, más dos por secante de menos pi cuartos y después tenemos menos x, o sea menos pi cuartos protegido con paréntesis y cerramos el corchete. A continuación vamos a organizar esto que tenemos acá, funciones trigonométricas con ángulos negativos, para el caso de la función tangente tenemos que tangente de menos theta es igual a menos tangente de theta, la tangente es una función impar, y para el caso de la secante de menos theta, esto es igual a secante de theta, la secante es una función par. Entonces, según esto, la tangente de menos pi cuartos equivale a menos la tangente de pi cuartos y la secante de menos pi cuartos equivale a secante de pi cuartos. Vamos entonces a reescribir todo esto de una manera más sencilla, incluso ya podemos quitar los corchetes. Veamos, aquí salen los términos que tenemos, dos tangente de pi cuartos, más dos secante de pi cuartos, menos pi cuartos. Y acá el signo negativo va a afectar a cada uno de los términos, este término nos quedaría menos dos tangente de pi cuartos, pero con este menos queda positivo, más dos tangente de pi cuartos. Ese término nos queda positivo, dos secante de pi cuartos, pero con este menos ahora queda negativo, en los dos secante de pi cuartos, y acá menos por menos nos da más, pero si entra este menos vuelve a quedar negativo, nos queda menos pi cuartos. Si revisamos esto con atención vemos que allí hay términos semejantes, por ejemplo estos dos que contienen tangente de pi cuartos, también estos dos que contienen secante de pi cuartos, y también tenemos los términos independientes, o sea estos dos números. Entonces vamos a operar entre sí estos términos semejantes, los que marcamos con color rojo se suman entre sí y eso nos da cuatro tangente de pi cuartos, los que marcamos con color verde vemos que son opuestos, este está positivo y este está negativo, por lo tanto si se suman nos da como resultado cero, entonces se eliminan entre sí. Y los que marcamos con color azul también se pueden sumar, vemos que son fracciones con el mismo denominador, entonces conservamos el cuatro como denominador y operamos los numeradores, menos pi y menos pi nos da como resultado menos dos pi, aquí tenemos el signo menos. Recordemos que la tangente de pi cuartos radianes equivale a la tangente de 45 grados y su valor es uno, y por acá podemos simplificar estos dos números, mitad de cuatro dos y mitad de dos nos da uno, entonces la respuesta nos va a quedar así, cuatro por uno es cuatro menos pi medios que es el resultado simplificado de esta fracción, esta será entonces la respuesta, o sea el valor numérico de esa integral definida.

[{"start": 0.0, "end": 7.92, "text": " Vamos a resolver detalladamente esta integral definida."}, {"start": 7.92, "end": 13.96, "text": " Lo primero que tenemos que hacer es encontrar una antiderivada para esta expresi\u00f3n, o sea"}, {"start": 13.96, "end": 16.7, "text": " la funci\u00f3n que tenemos en el integrando."}, {"start": 16.7, "end": 22.96, "text": " Vamos entonces a desarrollar este binomio que se encuentra elevado al cuadrado y para"}, {"start": 22.96, "end": 27.46, "text": " ello vamos a recordar la f\u00f3rmula correspondiente."}, {"start": 27.46, "end": 32.24, "text": " Si tenemos un binomio elevado al cuadrado eso es igual al primer termino elevado al"}, {"start": 32.24, "end": 38.8, "text": " cuadrado m\u00e1s dos veces el primer termino por el segundo m\u00e1s el segundo termino elevado"}, {"start": 38.8, "end": 39.8, "text": " al cuadrado."}, {"start": 39.8, "end": 50.519999999999996, "text": " Entonces, si tenemos secante de x m\u00e1s tangente de x, todo esto elevado al cuadrado, vamos"}, {"start": 50.519999999999996, "end": 54.24, "text": " a seguir esta f\u00f3rmula o este desarrollo."}, {"start": 54.24, "end": 59.84, "text": " Comenzamos entonces con el primer termino elevado al cuadrado que ser\u00e1 secante al cuadrado"}, {"start": 59.84, "end": 66.56, "text": " de x m\u00e1s dos veces el primer termino por el segundo, entonces dos veces secante de"}, {"start": 66.56, "end": 76.38, "text": " x por tangente de x y esto nos queda m\u00e1s el segundo termino elevado al cuadrado, o"}, {"start": 76.38, "end": 82.36, "text": " sea tangente al cuadrado de x."}, {"start": 82.36, "end": 88.72, "text": " Revisamos si los t\u00e9rminos obtenidos pueden integrarse directamente, para el caso de secante"}, {"start": 88.72, "end": 95.76, "text": " al cuadrado de x vemos que s\u00ed porque la integral de esta expresi\u00f3n es tangente de x, para"}, {"start": 95.76, "end": 101.64, "text": " el caso de secante de x por tangente de x su integral tambi\u00e9n es directa, nos dar\u00eda"}, {"start": 101.64, "end": 108.2, "text": " como resultado secante de x, pero para el caso de tangente al cuadrado de x no la podemos"}, {"start": 108.2, "end": 115.04, "text": " hacer de una vez, sino que nos toca recurrir a una identidad trigonom\u00e9trica que dice lo"}, {"start": 115.04, "end": 123.04, "text": " siguiente tangente al cuadrado de x m\u00e1s uno es igual a secante al cuadrado de x, es una"}, {"start": 123.04, "end": 130.28, "text": " de las identidades pitag\u00f3ricas, entonces de aqu\u00ed vamos a despejar tangente al cuadrado"}, {"start": 130.28, "end": 137.16, "text": " de x, pasamos uno que est\u00e1 sumando al otro lado a restar y nos queda secante al cuadrado"}, {"start": 137.16, "end": 146.96, "text": " de x menos uno, entonces si aqu\u00ed cambiamos tangente al cuadrado de x por la expresi\u00f3n"}, {"start": 146.96, "end": 156.24, "text": " obtenida secante al cuadrado de x menos uno podemos reducir esta expresi\u00f3n a lo siguiente,"}, {"start": 156.24, "end": 161.96, "text": " estos dos t\u00e9rminos son semejantes pueden sumarse entre s\u00ed, nos queda dos secante al"}, {"start": 161.96, "end": 170.60000000000002, "text": " cuadrado de x, luego escribimos el t\u00e9rmino m\u00e1s dos secante de x por tangente de x y"}, {"start": 170.60000000000002, "end": 178.8, "text": " finalmente el menos uno y repetimos ya tenemos t\u00e9rminos que son directamente integrables,"}, {"start": 178.8, "end": 185.8, "text": " entonces lo que hacemos ahora es reescribir el ejercicio original, es la integral definida"}, {"start": 185.8, "end": 194.88000000000002, "text": " desde menos pi cuartos hasta pi cuartos y aqu\u00ed vamos a escribir la expresi\u00f3n que obtuvimos,"}, {"start": 194.88000000000002, "end": 205.24, "text": " abrimos par\u00e9ntesis dos secante al cuadrado de x, luego tenemos m\u00e1s dos secante de x"}, {"start": 205.24, "end": 212.92000000000002, "text": " por tangente de x, despu\u00e9s tenemos menos uno, cerramos el par\u00e9ntesis y escribimos"}, {"start": 212.92, "end": 221.44, "text": " el diferencial de x, como dec\u00edamos ahora estos t\u00e9rminos pueden integrarse de manera directa,"}, {"start": 221.44, "end": 228.48, "text": " entonces vamos a continuar por ac\u00e1 y comenzamos con el primer t\u00e9rmino donde el n\u00famero dos"}, {"start": 228.48, "end": 233.27999999999997, "text": " se deja quieto porque es la constante que est\u00e1 multiplicando y decimos la integral"}, {"start": 233.27999999999997, "end": 240.48, "text": " de secante al cuadrado de x es tangente de x, es una integral directa porque la derivada"}, {"start": 240.48, "end": 246.76, "text": " de tangente de x es secante al cuadrado de x, pasamos al siguiente t\u00e9rmino donde este"}, {"start": 246.76, "end": 253.44, "text": " n\u00famero dos se conserva, se queda quieto y vamos a integrar secante de x por tangente"}, {"start": 253.44, "end": 261.76, "text": " de x, la integral de esta expresi\u00f3n es secante de x porque la derivada de secante de x es"}, {"start": 261.76, "end": 270.12, "text": " secante de x por tangente de x y finalmente la integral de uno ser\u00e1 x, o sea la variable"}, {"start": 270.12, "end": 277.24, "text": " que controla el ejercicio y como tenemos una integral definida, trazamos esta l\u00ednea y"}, {"start": 277.24, "end": 284.72, "text": " anotamos los l\u00edmites de integraci\u00f3n, menos pi cuartos que es el inferior y pi cuartos"}, {"start": 284.72, "end": 292.6, "text": " que es el superior. Ahora vamos a reemplazar estos valores en la antiderivada que obtuvimos,"}, {"start": 292.6, "end": 299.26, "text": " vamos entonces a aplicar el teorema fundamental del c\u00e1lculo, reemplazamos primero el l\u00edmite"}, {"start": 299.26, "end": 308.88, "text": " superior en la antiderivada, nos queda dos tangente de pi cuartos, luego tenemos m\u00e1s"}, {"start": 308.88, "end": 320.56, "text": " dos por secante de pi cuartos y despu\u00e9s tenemos menos x, o sea menos pi cuartos, esa expresi\u00f3n"}, {"start": 320.56, "end": 329.88, "text": " vamos a protegerla utilizando corcheten y a eso vamos a restarle el reemplazo del l\u00edmite"}, {"start": 329.88, "end": 337.28, "text": " inferior que es menos pi cuartos, tambi\u00e9n en la antiderivada, tendremos dos tangente"}, {"start": 337.28, "end": 345.82, "text": " de menos pi cuartos, lo protegemos con par\u00e9ntesis por ser una cantidad negativa, m\u00e1s dos por"}, {"start": 345.82, "end": 356.88, "text": " secante de menos pi cuartos y despu\u00e9s tenemos menos x, o sea menos pi cuartos protegido"}, {"start": 356.88, "end": 364.2, "text": " con par\u00e9ntesis y cerramos el corchete. A continuaci\u00f3n vamos a organizar esto que tenemos"}, {"start": 364.2, "end": 371.03999999999996, "text": " ac\u00e1, funciones trigonom\u00e9tricas con \u00e1ngulos negativos, para el caso de la funci\u00f3n tangente"}, {"start": 371.04, "end": 377.88, "text": " tenemos que tangente de menos theta es igual a menos tangente de theta, la tangente es"}, {"start": 377.88, "end": 385.84000000000003, "text": " una funci\u00f3n impar, y para el caso de la secante de menos theta, esto es igual a secante de"}, {"start": 385.84000000000003, "end": 394.06, "text": " theta, la secante es una funci\u00f3n par. Entonces, seg\u00fan esto, la tangente de menos pi cuartos"}, {"start": 394.06, "end": 402.08, "text": " equivale a menos la tangente de pi cuartos y la secante de menos pi cuartos equivale"}, {"start": 402.08, "end": 412.88, "text": " a secante de pi cuartos. Vamos entonces a reescribir todo esto de una manera m\u00e1s sencilla,"}, {"start": 412.88, "end": 419.28, "text": " incluso ya podemos quitar los corchetes. Veamos, aqu\u00ed salen los t\u00e9rminos que tenemos, dos"}, {"start": 419.28, "end": 433.03999999999996, "text": " tangente de pi cuartos, m\u00e1s dos secante de pi cuartos, menos pi cuartos. Y ac\u00e1 el signo"}, {"start": 433.03999999999996, "end": 439.88, "text": " negativo va a afectar a cada uno de los t\u00e9rminos, este t\u00e9rmino nos quedar\u00eda menos dos tangente"}, {"start": 439.88, "end": 449.56, "text": " de pi cuartos, pero con este menos queda positivo, m\u00e1s dos tangente de pi cuartos. Ese t\u00e9rmino"}, {"start": 449.56, "end": 455.76, "text": " nos queda positivo, dos secante de pi cuartos, pero con este menos ahora queda negativo,"}, {"start": 455.76, "end": 463.76, "text": " en los dos secante de pi cuartos, y ac\u00e1 menos por menos nos da m\u00e1s, pero si entra este"}, {"start": 463.76, "end": 471.88, "text": " menos vuelve a quedar negativo, nos queda menos pi cuartos. Si revisamos esto con atenci\u00f3n"}, {"start": 471.88, "end": 477.84, "text": " vemos que all\u00ed hay t\u00e9rminos semejantes, por ejemplo estos dos que contienen tangente"}, {"start": 477.84, "end": 485.84, "text": " de pi cuartos, tambi\u00e9n estos dos que contienen secante de pi cuartos, y tambi\u00e9n tenemos"}, {"start": 485.84, "end": 493.56, "text": " los t\u00e9rminos independientes, o sea estos dos n\u00fameros. Entonces vamos a operar entre s\u00ed"}, {"start": 493.56, "end": 500.96, "text": " estos t\u00e9rminos semejantes, los que marcamos con color rojo se suman entre s\u00ed y eso nos"}, {"start": 500.96, "end": 510.28, "text": " da cuatro tangente de pi cuartos, los que marcamos con color verde vemos que son opuestos,"}, {"start": 510.28, "end": 515.8399999999999, "text": " este est\u00e1 positivo y este est\u00e1 negativo, por lo tanto si se suman nos da como resultado"}, {"start": 515.8399999999999, "end": 521.6, "text": " cero, entonces se eliminan entre s\u00ed. Y los que marcamos con color azul tambi\u00e9n se pueden"}, {"start": 521.6, "end": 527.92, "text": " sumar, vemos que son fracciones con el mismo denominador, entonces conservamos el cuatro"}, {"start": 527.92, "end": 534.52, "text": " como denominador y operamos los numeradores, menos pi y menos pi nos da como resultado"}, {"start": 534.52, "end": 541.84, "text": " menos dos pi, aqu\u00ed tenemos el signo menos. Recordemos que la tangente de pi cuartos radianes"}, {"start": 541.84, "end": 550.12, "text": " equivale a la tangente de 45 grados y su valor es uno, y por ac\u00e1 podemos simplificar estos"}, {"start": 550.12, "end": 557.6, "text": " dos n\u00fameros, mitad de cuatro dos y mitad de dos nos da uno, entonces la respuesta nos"}, {"start": 557.6, "end": 567.2, "text": " va a quedar as\u00ed, cuatro por uno es cuatro menos pi medios que es el resultado simplificado"}, {"start": 567.2, "end": 575.44, "text": " de esta fracci\u00f3n, esta ser\u00e1 entonces la respuesta, o sea el valor num\u00e9rico de esa"}, {"start": 575.44, "end": 588.24, "text": " integral definida."}]

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ECUACIONES EXPONENCIALES - Ejercicio 4

#julioprofe explica cómo resolver una ecuación exponencial. Tema: #EcuacionesExponenciales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHM4fJbsnC7zzdnwRjc0ojm REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver detalladamente esta ecuación exponencial, llamada así porque la incógnita x se encuentra ubicada en los exponentes de esas dos potencias. Lo primero que hacemos es revisar si las bases tienen alguna relación, es decir, si son potencias de un mismo número. Vemos que eso no se cumple, entonces tenemos que aplicar logaritmo a ambos lados. Podemos utilizar el logaritmo en la base 10 o el logaritmo natural, o sea, el que tiene la base e, es decir, el número de Euler. En este caso vamos a utilizar logaritmo natural. Entonces lo escribimos a ambos lados de la igualdad, a la izquierda de cada una de las potencias. Ese será entonces el primer paso, tomar logaritmo natural a ambos lados. Como se observa, tenemos dos situaciones que corresponden al logaritmo de una potencia. Entonces vamos a aplicar esta propiedad de los logaritmos. Si tenemos el logaritmo en base a de m elevada al exponente k, o sea, el logaritmo de una potencia, entonces el exponente k pasa acá adelante a multiplicar con el logaritmo en base a de m. Esto lo vamos a aplicar a ambos lados de la igualdad. Aquí el exponente x-2 baja a multiplicar protegido con paréntesis a lo que es logaritmo natural de 12. Y acá lo que es el exponente x baja a multiplicar con logaritmo natural de 4. Ahora, en el lado izquierdo de la igualdad vamos a aplicar la propiedad distributiva. Recordemos que logaritmo natural de 12 representa una cantidad numérica. Entonces vamos a distribuirla para cada uno de estos términos que tenemos dentro del paréntesis. Logaritmo natural de 12 por x podemos escribirlo como x por logaritmo natural de 12. Y esto menos logaritmo natural de 12 por 2 que podemos escribir como 2 por logaritmo natural de 12. Y al otro lado escribimos x que multiplica al logaritmo natural de 4. Como se observa tenemos allí lo que es una ecuación lineal o de primer grado con una incógnita que es la x. Vamos a aplicar lo que se llama la transposición de términos dejando en el lado izquierdo aquellos que contienen la x y en el lado derecho únicamente la cantidad numérica. Entonces se queda x logaritmo natural de 12 en el lado izquierdo. Pasamos esto que está positivo llega al lado izquierdo con signo negativo en los x logaritmo natural de 4 y esta cantidad que está negativa pasa al lado derecho con signo positivo. 2 que multiplica al logaritmo natural de 12. Luego, en el lado izquierdo de la igualdad vemos que la x se encuentra multiplicando en ambos términos. Entonces podemos extraerla como factor común. Aplicamos entonces la factorización. Sale la x que será factor de logaritmo natural de 12 menos logaritmo natural de 4. Cerramos el paréntesis y esto nos queda igualado a 2 que multiplica al logaritmo natural de 12. Esta expresión que nos quedó dentro del paréntesis podemos escribirla de una manera más simple y para ello vamos a recordar esta propiedad de los logaritmos. Si tenemos el logaritmo en base a de un cociente m sobre n, entonces esto será igual al logaritmo en base a de m, o sea del numerador, menos el logaritmo en base a de n, o sea del denominador. Pero esta propiedad se puede aplicar de derecha a izquierda, es decir que es reversible. Entonces tenemos aquí la resta de logaritmos, que es esto que tenemos acá. Podemos volverlo entonces, el logaritmo de un cociente. Tendremos entonces x que multiplica a logaritmo natural de 12 que hace el papel de m sobre 4 que hace el papel de la letra n. Y al otro lado tenemos también la posibilidad de escribir esto de una forma también más simple. Allí aplicamos la propiedad que citamos ahora, logaritmo en base a de una potencia m elevada a la k. Entonces, dijimos que es k por logaritmo en base a de m. Pues también la propiedad es reversible. Si tenemos una cantidad multiplicando acá a la izquierda del logaritmo, puede situarse como exponente acá en el argumento. Entonces es lo que podemos hacer con este número 2, que está multiplicando. Nos queda el logaritmo natural de 12 elevado al exponente 2. Lo pasamos de esta posición acá como exponente. Podemos resolver esta división y también esta potencia. Nos queda x por logaritmo natural de 3 que es el resultado de 12 dividido entre 4. Y esto es igual al logaritmo natural de 144 que es el resultado de efectuar 12 elevado al cuadrado. Como ya ambos logaritmos están reducidos a su mínima expresión, entonces podemos despejar x, o sea la incógnita en esta ecuación. Esta cantidad que está multiplicando la pasamos al otro lado a dividir. Nos queda logaritmo natural de 144 y esto sobre el logaritmo natural de 3. Esto que hemos obtenido ya es la respuesta para esa ecuación exponencial. Si utilizamos la calculadora, esto nos va a dar aproximadamente igual a 4.5237, que es el valor de x que satisface esa igualdad, o sea la solución de esta ecuación exponencial. Esta sería entonces la respuesta a este ejercicio. Es importante señalar que en un logaritmo aquí no existe multiplicación. 144 es propiedad de este logaritmo natural. Es el argumento que le da sentido a este logaritmo. Lo mismo pasa acá, 3 es propiedad del logaritmo natural. Entonces por el hecho de que aquí no hay multiplicación, por favor no podemos pensar en quitar los logaritmos naturales, o sea cancelarlos, ni tampoco simplificar 144 con 3. Sencillamente eso se deja allí y como decíamos, si se utiliza la calculadora llegamos al resultado decimal. Con esto terminamos este ejercicio.

[{"start": 0.0, "end": 10.5, "text": " Vamos a resolver detalladamente esta ecuaci\u00f3n exponencial, llamada as\u00ed porque la inc\u00f3gnita"}, {"start": 10.5, "end": 16.04, "text": " x se encuentra ubicada en los exponentes de esas dos potencias."}, {"start": 16.04, "end": 21.6, "text": " Lo primero que hacemos es revisar si las bases tienen alguna relaci\u00f3n, es decir, si son"}, {"start": 21.6, "end": 24.400000000000002, "text": " potencias de un mismo n\u00famero."}, {"start": 24.400000000000002, "end": 29.8, "text": " Vemos que eso no se cumple, entonces tenemos que aplicar logaritmo a ambos lados."}, {"start": 29.8, "end": 35.44, "text": " Podemos utilizar el logaritmo en la base 10 o el logaritmo natural, o sea, el que tiene"}, {"start": 35.44, "end": 39.32, "text": " la base e, es decir, el n\u00famero de Euler."}, {"start": 39.32, "end": 44.0, "text": " En este caso vamos a utilizar logaritmo natural."}, {"start": 44.0, "end": 49.64, "text": " Entonces lo escribimos a ambos lados de la igualdad, a la izquierda de cada una de las"}, {"start": 49.64, "end": 50.64, "text": " potencias."}, {"start": 50.64, "end": 58.760000000000005, "text": " Ese ser\u00e1 entonces el primer paso, tomar logaritmo natural a ambos lados."}, {"start": 58.76, "end": 65.4, "text": " Como se observa, tenemos dos situaciones que corresponden al logaritmo de una potencia."}, {"start": 65.4, "end": 69.75999999999999, "text": " Entonces vamos a aplicar esta propiedad de los logaritmos."}, {"start": 69.75999999999999, "end": 76.56, "text": " Si tenemos el logaritmo en base a de m elevada al exponente k, o sea, el logaritmo de una"}, {"start": 76.56, "end": 83.84, "text": " potencia, entonces el exponente k pasa ac\u00e1 adelante a multiplicar con el logaritmo en"}, {"start": 83.84, "end": 86.44, "text": " base a de m."}, {"start": 86.44, "end": 89.6, "text": " Esto lo vamos a aplicar a ambos lados de la igualdad."}, {"start": 89.6, "end": 97.75999999999999, "text": " Aqu\u00ed el exponente x-2 baja a multiplicar protegido con par\u00e9ntesis a lo que es logaritmo"}, {"start": 97.75999999999999, "end": 100.03999999999999, "text": " natural de 12."}, {"start": 100.03999999999999, "end": 107.44, "text": " Y ac\u00e1 lo que es el exponente x baja a multiplicar con logaritmo natural de 4."}, {"start": 107.44, "end": 113.92, "text": " Ahora, en el lado izquierdo de la igualdad vamos a aplicar la propiedad distributiva."}, {"start": 113.92, "end": 119.24000000000001, "text": " Recordemos que logaritmo natural de 12 representa una cantidad num\u00e9rica."}, {"start": 119.24000000000001, "end": 127.52, "text": " Entonces vamos a distribuirla para cada uno de estos t\u00e9rminos que tenemos dentro del par\u00e9ntesis."}, {"start": 127.52, "end": 133.68, "text": " Logaritmo natural de 12 por x podemos escribirlo como x por logaritmo natural de 12."}, {"start": 133.68, "end": 140.24, "text": " Y esto menos logaritmo natural de 12 por 2 que podemos escribir como 2 por logaritmo"}, {"start": 140.24, "end": 142.24, "text": " natural de 12."}, {"start": 142.24, "end": 149.72, "text": " Y al otro lado escribimos x que multiplica al logaritmo natural de 4."}, {"start": 149.72, "end": 155.56, "text": " Como se observa tenemos all\u00ed lo que es una ecuaci\u00f3n lineal o de primer grado con una"}, {"start": 155.56, "end": 158.12, "text": " inc\u00f3gnita que es la x."}, {"start": 158.12, "end": 163.56, "text": " Vamos a aplicar lo que se llama la transposici\u00f3n de t\u00e9rminos dejando en el lado izquierdo"}, {"start": 163.56, "end": 170.0, "text": " aquellos que contienen la x y en el lado derecho \u00fanicamente la cantidad num\u00e9rica."}, {"start": 170.0, "end": 176.04, "text": " Entonces se queda x logaritmo natural de 12 en el lado izquierdo."}, {"start": 176.04, "end": 182.16, "text": " Pasamos esto que est\u00e1 positivo llega al lado izquierdo con signo negativo en los x logaritmo"}, {"start": 182.16, "end": 189.48, "text": " natural de 4 y esta cantidad que est\u00e1 negativa pasa al lado derecho con signo positivo."}, {"start": 189.48, "end": 192.8, "text": " 2 que multiplica al logaritmo natural de 12."}, {"start": 192.8, "end": 198.28, "text": " Luego, en el lado izquierdo de la igualdad vemos que la x se encuentra multiplicando"}, {"start": 198.28, "end": 199.6, "text": " en ambos t\u00e9rminos."}, {"start": 199.6, "end": 203.4, "text": " Entonces podemos extraerla como factor com\u00fan."}, {"start": 203.4, "end": 206.0, "text": " Aplicamos entonces la factorizaci\u00f3n."}, {"start": 206.0, "end": 215.12, "text": " Sale la x que ser\u00e1 factor de logaritmo natural de 12 menos logaritmo natural de 4."}, {"start": 215.12, "end": 221.72, "text": " Cerramos el par\u00e9ntesis y esto nos queda igualado a 2 que multiplica al logaritmo natural de"}, {"start": 221.72, "end": 223.4, "text": " 12."}, {"start": 223.4, "end": 228.44, "text": " Esta expresi\u00f3n que nos qued\u00f3 dentro del par\u00e9ntesis podemos escribirla de una manera"}, {"start": 228.44, "end": 233.8, "text": " m\u00e1s simple y para ello vamos a recordar esta propiedad de los logaritmos."}, {"start": 233.8, "end": 242.56, "text": " Si tenemos el logaritmo en base a de un cociente m sobre n, entonces esto ser\u00e1 igual al logaritmo"}, {"start": 242.56, "end": 251.64, "text": " en base a de m, o sea del numerador, menos el logaritmo en base a de n, o sea del denominador."}, {"start": 251.64, "end": 258.56, "text": " Pero esta propiedad se puede aplicar de derecha a izquierda, es decir que es reversible."}, {"start": 258.56, "end": 263.64, "text": " Entonces tenemos aqu\u00ed la resta de logaritmos, que es esto que tenemos ac\u00e1."}, {"start": 263.64, "end": 267.64, "text": " Podemos volverlo entonces, el logaritmo de un cociente."}, {"start": 267.64, "end": 276.56, "text": " Tendremos entonces x que multiplica a logaritmo natural de 12 que hace el papel de m sobre"}, {"start": 276.56, "end": 281.88, "text": " 4 que hace el papel de la letra n."}, {"start": 281.88, "end": 288.52, "text": " Y al otro lado tenemos tambi\u00e9n la posibilidad de escribir esto de una forma tambi\u00e9n m\u00e1s"}, {"start": 288.52, "end": 289.52, "text": " simple."}, {"start": 289.52, "end": 297.3, "text": " All\u00ed aplicamos la propiedad que citamos ahora, logaritmo en base a de una potencia m elevada"}, {"start": 297.3, "end": 298.3, "text": " a la k."}, {"start": 298.3, "end": 304.84000000000003, "text": " Entonces, dijimos que es k por logaritmo en base a de m."}, {"start": 304.84, "end": 307.35999999999996, "text": " Pues tambi\u00e9n la propiedad es reversible."}, {"start": 307.35999999999996, "end": 312.2, "text": " Si tenemos una cantidad multiplicando ac\u00e1 a la izquierda del logaritmo, puede situarse"}, {"start": 312.2, "end": 316.03999999999996, "text": " como exponente ac\u00e1 en el argumento."}, {"start": 316.03999999999996, "end": 320.47999999999996, "text": " Entonces es lo que podemos hacer con este n\u00famero 2, que est\u00e1 multiplicando."}, {"start": 320.47999999999996, "end": 325.71999999999997, "text": " Nos queda el logaritmo natural de 12 elevado al exponente 2."}, {"start": 325.71999999999997, "end": 330.44, "text": " Lo pasamos de esta posici\u00f3n ac\u00e1 como exponente."}, {"start": 330.44, "end": 334.41999999999996, "text": " Podemos resolver esta divisi\u00f3n y tambi\u00e9n esta potencia."}, {"start": 334.42, "end": 341.7, "text": " Nos queda x por logaritmo natural de 3 que es el resultado de 12 dividido entre 4."}, {"start": 341.7, "end": 349.34000000000003, "text": " Y esto es igual al logaritmo natural de 144 que es el resultado de efectuar 12 elevado"}, {"start": 349.34000000000003, "end": 351.0, "text": " al cuadrado."}, {"start": 351.0, "end": 357.64, "text": " Como ya ambos logaritmos est\u00e1n reducidos a su m\u00ednima expresi\u00f3n, entonces podemos despejar"}, {"start": 357.64, "end": 361.62, "text": " x, o sea la inc\u00f3gnita en esta ecuaci\u00f3n."}, {"start": 361.62, "end": 366.32, "text": " Esta cantidad que est\u00e1 multiplicando la pasamos al otro lado a dividir."}, {"start": 366.32, "end": 374.92, "text": " Nos queda logaritmo natural de 144 y esto sobre el logaritmo natural de 3."}, {"start": 374.92, "end": 380.56, "text": " Esto que hemos obtenido ya es la respuesta para esa ecuaci\u00f3n exponencial."}, {"start": 380.56, "end": 389.12, "text": " Si utilizamos la calculadora, esto nos va a dar aproximadamente igual a 4.5237, que es"}, {"start": 389.12, "end": 399.36, "text": " el valor de x que satisface esa igualdad, o sea la soluci\u00f3n de esta ecuaci\u00f3n exponencial."}, {"start": 399.36, "end": 403.6, "text": " Esta ser\u00eda entonces la respuesta a este ejercicio."}, {"start": 403.6, "end": 409.0, "text": " Es importante se\u00f1alar que en un logaritmo aqu\u00ed no existe multiplicaci\u00f3n."}, {"start": 409.0, "end": 413.36, "text": " 144 es propiedad de este logaritmo natural."}, {"start": 413.36, "end": 417.44, "text": " Es el argumento que le da sentido a este logaritmo."}, {"start": 417.44, "end": 422.64, "text": " Lo mismo pasa ac\u00e1, 3 es propiedad del logaritmo natural."}, {"start": 422.64, "end": 427.12, "text": " Entonces por el hecho de que aqu\u00ed no hay multiplicaci\u00f3n, por favor no podemos pensar"}, {"start": 427.12, "end": 433.6, "text": " en quitar los logaritmos naturales, o sea cancelarlos, ni tampoco simplificar 144 con"}, {"start": 433.6, "end": 434.6, "text": " 3."}, {"start": 434.6, "end": 441.15999999999997, "text": " Sencillamente eso se deja all\u00ed y como dec\u00edamos, si se utiliza la calculadora llegamos al resultado"}, {"start": 441.15999999999997, "end": 442.32, "text": " decimal."}, {"start": 442.32, "end": 449.32, "text": " Con esto terminamos este ejercicio."}]

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ECUACIONES EXPONENCIALES - Ejercicio 3

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Vamos a resolver detalladamente esta ecuación exponencial. Si revisamos las bases que tenemos en estas potencias y el número que tenemos después del signo igual, vemos que se tratan de potencias del número 2. 8 es 2 al cubo, 4 es 2 al cuadrado y 16 es 2 a la 4. Entonces vamos a reescribir esta ecuación haciendo esos cambios. Como decíamos 8 es 2 al cubo, esto quedará elevado a la expresión x más 2, esto multiplicando por 4 que es 2 al cuadrado y que queda elevado a la expresión x menos 6 y al otro lado tenemos 16 que como decíamos es 2 a la 4. Ahora en estas dos situaciones podemos aplicar la siguiente propiedad de la potenciación. Si tenemos una potencia elevada a otro exponente, entonces conservamos la base y multiplicamos esos exponentes. Entonces en el primer caso tendremos 2 elevado a la operación 3 por x más 2, esto debe protegerse con paréntesis. Acá tendremos 2, nos queda elevado a la operación 2 por x menos 6, también protegemos x menos 6 con paréntesis y acá dejamos la potencia 2 a la 4. Ahora vamos a efectuar estos productos, allí aplicamos la propiedad distributiva, entonces tendremos lo siguiente, por acá 2 que nos queda elevado a 3 por x que es 3x más 3 por 2 que es 6, en la otra potencia tenemos 2 y nos queda elevado a 2 por x que es 2x menos 2 por 6 que es 12 y al otro lado sigue la potencia 2 a la 4. Vemos ahora la multiplicación de dos potencias con la misma base, recordemos que la propiedad nos dice que en ese caso se conserva la base y se suman los exponentes, entonces vamos a aplicar esa propiedad en el lado izquierdo de la igualdad, conservamos la base que es 2 y vamos a escribir la suma de exponentes, la expresión 3x más 6 sumada con la expresión 2x menos 12, allí no es necesario protegerlas con paréntesis porque están sumando entre sí y en el otro lado tenemos la potencia 2 a la 4. Ahora en esta expresión vamos a reducir términos semejantes, nos queda la base 2 y podemos operar estos dos términos que tienen la x, 3x más 2x nos da 5x y también podemos operar los dos números que están solos, 6 menos 12 nos da menos 6 y al otro lado sigue la potencia 2 a la 4. Como podemos observar tenemos la igualdad de dos potencias que tienen la misma base, entonces allí aplicamos esta propiedad, si tenemos la potencia a a la n igualada a la potencia a a la n, repetimos dos potencias que tienen la misma base, entonces se puede asegurar que sus exponentes son iguales, en ese caso acá podemos decir que 5x menos 6 es igual a 4, igualamos los exponentes. De esa manera llegamos a una ecuación lineal o de primer grado, vamos a dejar en el lado izquierdo el término que contiene la x, o sea 5x y vamos a dejar en el otro lado los números, el 4 se queda en su territorio, no presenta ningún cambio y pasamos este número 6 que está restando al otro lado a sumar, resolvemos esta suma y nos queda que 5x es igual a 10. Finalmente despejamos x, o sea la incógnita, para ello 5 que está multiplicando pasa al otro lado a dividir, nos queda x es igual a 10 dividido entre 5, lo cual nos da como resultado 2. x igual a 2 será entonces la solución de esta ecuación exponencial y así terminamos este ejercicio.

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queda que 5x es"}, {"start": 270.12, "end": 272.4, "text": " igual a 10."}, {"start": 272.4, "end": 279.08, "text": " Finalmente despejamos x, o sea la inc\u00f3gnita, para ello 5 que est\u00e1 multiplicando pasa al"}, {"start": 279.08, "end": 286.0, "text": " otro lado a dividir, nos queda x es igual a 10 dividido entre 5, lo cual nos da como"}, {"start": 286.0, "end": 288.28, "text": " resultado 2."}, {"start": 288.28, "end": 295.76, "text": " x igual a 2 ser\u00e1 entonces la soluci\u00f3n de esta ecuaci\u00f3n exponencial y as\u00ed terminamos"}, {"start": 295.76, "end": 309.28, "text": " este ejercicio."}]

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INTEGRAL DEFINIDA - Ejercicio 12

#julioprofe explica cómo resolver una integral definida. Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver detalladamente esta integral definida y lo primero que debemos hacer es encontrar la antiderivada de esta función que es el integrando. La integral de coseno de x es seno de x. Se trata de una integral directa porque la derivada de seno de x es coseno de x. En este caso trazamos esta línea vertical donde anotamos los límites de integración que son 0 y pi medios. 0 es el límite inferior y pi medios es el límite superior. Ahora vamos a aplicar el teorema fundamental del cálculo que nos dice que la integral definida desde a hasta b de una función f minúscula de x con su diferencial de x será igual a la antiderivada que llamamos f mayúscula de x evaluada en los límites de integración que son a y b. Y lo que nos dice el teorema es que primero se reemplaza el límite superior, o sea en la antiderivada entra b y a eso se le resta el reemplazo o la evaluación del límite inferior que es a. Entonces nos queda la antiderivada evaluada en a. Esto es el teorema fundamental del cálculo y vamos a aplicarlo en este caso. Tenemos entonces que primero se reemplaza pi medios, el límite superior. Tendremos seno de pi medios menos el reemplazo del límite inferior, o sea seno de cero. Allí hemos aplicado el teorema fundamental del cálculo. Resolvemos ahora esto que nos quedó que corresponde a la trigonometría. Entonces tenemos el seno de pi medios radianes, o sea el seno de 90 grados que equivale a 1 y acá tenemos el seno de cero radianes o el seno de cero grados que corresponde a cero. Efectuando esa operación tenemos 1 menos cero que es igual a 1 y es el resultado de esa integral definida. Geométricamente lo que hemos hecho es encontrar el área bajo esta curva que corresponde a esta función y igual a coseno de x, es decir la que tenemos en el integrando entre los valores cero y pi medios que son los que aparecen en los límites de integración. Entonces esta zona que aparece rayada con color verde tiene un área igual a una unidad cuadrada que es el resultado de esa integral definida.

[{"start": 0.0, "end": 10.120000000000001, "text": " Vamos a resolver detalladamente esta integral definida y lo primero que debemos hacer es"}, {"start": 10.120000000000001, "end": 15.08, "text": " encontrar la antiderivada de esta funci\u00f3n que es el integrando."}, {"start": 15.08, "end": 18.8, "text": " La integral de coseno de x es seno de x."}, {"start": 18.8, "end": 25.82, "text": " Se trata de una integral directa porque la derivada de seno de x es coseno de x."}, {"start": 25.82, "end": 31.84, "text": " En este caso trazamos esta l\u00ednea vertical donde anotamos los l\u00edmites de integraci\u00f3n"}, {"start": 31.84, "end": 34.32, "text": " que son 0 y pi medios."}, {"start": 34.32, "end": 39.480000000000004, "text": " 0 es el l\u00edmite inferior y pi medios es el l\u00edmite superior."}, {"start": 39.480000000000004, "end": 46.760000000000005, "text": " Ahora vamos a aplicar el teorema fundamental del c\u00e1lculo que nos dice que la integral"}, {"start": 46.760000000000005, "end": 54.6, "text": " definida desde a hasta b de una funci\u00f3n f min\u00fascula de x con su diferencial de x ser\u00e1"}, {"start": 54.6, "end": 62.64, "text": " igual a la antiderivada que llamamos f may\u00fascula de x evaluada en los l\u00edmites de integraci\u00f3n"}, {"start": 62.64, "end": 64.6, "text": " que son a y b."}, {"start": 64.6, "end": 70.28, "text": " Y lo que nos dice el teorema es que primero se reemplaza el l\u00edmite superior, o sea en"}, {"start": 70.28, "end": 77.12, "text": " la antiderivada entra b y a eso se le resta el reemplazo o la evaluaci\u00f3n del l\u00edmite"}, {"start": 77.12, "end": 78.6, "text": " inferior que es a."}, {"start": 78.6, "end": 83.2, "text": " Entonces nos queda la antiderivada evaluada en a."}, {"start": 83.2, "end": 89.2, "text": " Esto es el teorema fundamental del c\u00e1lculo y vamos a aplicarlo en este caso."}, {"start": 89.2, "end": 94.28, "text": " Tenemos entonces que primero se reemplaza pi medios, el l\u00edmite superior."}, {"start": 94.28, "end": 103.36, "text": " Tendremos seno de pi medios menos el reemplazo del l\u00edmite inferior, o sea seno de cero."}, {"start": 103.36, "end": 107.72, "text": " All\u00ed hemos aplicado el teorema fundamental del c\u00e1lculo."}, {"start": 107.72, "end": 112.80000000000001, "text": " Resolvemos ahora esto que nos qued\u00f3 que corresponde a la trigonometr\u00eda."}, {"start": 112.8, "end": 120.28, "text": " Entonces tenemos el seno de pi medios radianes, o sea el seno de 90 grados que equivale a"}, {"start": 120.28, "end": 127.2, "text": " 1 y ac\u00e1 tenemos el seno de cero radianes o el seno de cero grados que corresponde a"}, {"start": 127.2, "end": 128.35999999999999, "text": " cero."}, {"start": 128.35999999999999, "end": 135.44, "text": " Efectuando esa operaci\u00f3n tenemos 1 menos cero que es igual a 1 y es el resultado de"}, {"start": 135.44, "end": 137.96, "text": " esa integral definida."}, {"start": 137.96, "end": 143.96, "text": " Geom\u00e9tricamente lo que hemos hecho es encontrar el \u00e1rea bajo esta curva que corresponde a"}, {"start": 143.96, "end": 151.64000000000001, "text": " esta funci\u00f3n y igual a coseno de x, es decir la que tenemos en el integrando entre los"}, {"start": 151.64000000000001, "end": 157.12, "text": " valores cero y pi medios que son los que aparecen en los l\u00edmites de integraci\u00f3n."}, {"start": 157.12, "end": 166.12, "text": " Entonces esta zona que aparece rayada con color verde tiene un \u00e1rea igual a una unidad"}, {"start": 166.12, "end": 170.96, "text": " cuadrada que es el resultado de esa integral definida."}]

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OPERACIONES COMBINADAS CON FRACCIONARIOS - Ejercicio 5

#julioprofe explica cómo resolver un ejercicio donde hay diferentes operaciones con números mixtos. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver detalladamente este ejercicio donde observamos diferentes operaciones con números fraccionarios. Para ser más precisos, tenemos en este caso números mixtos o fracciones mixtas. Para comenzar, vamos a convertir cada uno de estos números mixtos en fracciones impropias. Comenzamos con 3 enteros 1 cuarto. Vamos a recordar ese procedimiento para obtener la fracción impropia que corresponde a este número mixto. Multiplicamos 3 por 4 y a eso le sumamos 1. Esto va en la parte de arriba y acá conservamos el mismo denominador, o sea 4. En la parte de arriba primero resolvemos la multiplicación. 3 por 4 nos da 12, 12 más 1 nos da 13 y abajo escribimos el 4. Entonces tenemos que el primer número mixto se convierte en la fracción impropia 13 cuartos. Siguiendo el mismo procedimiento, transformamos los demás números mixtos. Vamos con la siguiente. 2 por 5 nos da 10, 10 más 3 nos da 13, ese será el numerador y conservamos el mismo denominador que es 5. Pasamos ahora a lo que hay dentro del otro paréntesis. Acá tenemos 5 por 3, 15, 15 más 2, 17 en el numerador y abajo conservamos el 3. Pasamos al otro número mixto, 1 por 2 nos da 2, 2 más 1 nos da 3 y conservamos el mismo denominador que es 2 y cerramos el paréntesis. Enseguida vamos a resolver las operaciones que tenemos dentro de los paréntesis. Comenzamos con esta resta que vamos a realizar por acá. Tenemos allí una resta de dos fracciones heterogéneas o fracciones con distinto denominador. Lo primero que debemos hacer es buscar el mínimo común múltiplo de los denominadores, o sea de 4 y 5. Vamos a realizar ese procedimiento por acá. El MCM de 4 y 5, entonces escribimos el número 4 y el número 5 separados entre sí y trazamos esta línea vertical a la derecha del último número. Comenzamos acá con el primer número primo que es el 2 para ver si es divisor de alguno de ellos. Vemos que le sirve al 4, entonces utilizamos el 2. Decimos mitante 4 2, al 5 no le sirve, entonces el 5 se deja igual. Volvemos a preguntarnos si el 2 sirve, vemos que sí, le sirve a este número 2, entonces utilizamos otra vez el número primo 2. Decimos mitante 2 es 1, al 5 no le sirve, entonces se deja igual. Acá con este 1 ya hemos terminado, nos queda este número 5 al cual solamente le sirve el número primo 5. Decimos quinta de 5 es 1 y así terminamos el proceso. Ahora multiplicamos estos números 2 por 2 es 4, 4 por 5 nos da 20 y ese es el mínimo común múltiplo de los denominadores. Como se observa allí el mínimo común múltiplo da lo mismo que multiplicar ambos denominadores, en ese caso es cuando resulta conveniente utilizar el truco o la técnica de la carita feliz para realizar esa operación con mayor rapidez. Vamos entonces a aplicar esa técnica. En la parte de arriba tenemos la multiplicación de estos dos números, o sea 13 por 5, luego escribimos el signo menos, después multiplicamos estos dos, o sea 4 por 13, y en la parte de abajo multiplicamos estos dos números, o sea 4 por 5. Allí se observa entonces la figura conocida como la carita feliz, es la que nos permite hacer esa operación con mayor rapidez. Seguimos ahora resolviendo las operaciones que tenemos allí. En la parte de arriba primero se resuelven las multiplicaciones y después la resta, 13 por 5 nos da 65, esto menos 4 por 13 que es 52, y en la parte de abajo tenemos 4 por 5 que es 20. Resolvemos ahora la resta del numerador, 65 menos 52 nos da como resultado 13 y esto nos queda sobre 20. 13 a 20 abos es una fracción que no se puede simplificar, es irreducible y constituye el resultado de la operación del primer paréntesis. Entonces vamos a escribirla por acá. Luego escribimos el símbolo de la división y vamos a resolver esta operación, la que tenemos dentro del segundo paréntesis. Vamos a realizarla por acá, tenemos 17 tercios más tres medios. Otra vez tenemos la suma de dos fracciones con distinto denominador, o sea fracciones heterogeneous. También deberíamos comenzar por buscar el mínimo común múltiplo de los denominadores, en este caso 3 y 2. Un truco que podemos utilizar en este caso, una técnica fácil, es que cuando se trata de dos números primos, entonces el mínimo común múltiplo de ellos será precisamente la multiplicación de esos números, en ese caso 3 por 2 que nos da 6, y así ya tenemos el mínimo común múltiplo de los denominadores. Como decíamos, el MCM es la misma multiplicación de estos dos números. Luego allí también es conveniente utilizar el truco o la técnica de la carita feliz para realizar esta operación con mayor agilidad. Comenzamos entonces con 17 por 2, en la parte de arriba a eso le vamos a sumar la multiplicación de estos dos números, o sea 3 por 3. Y en la parte de abajo multiplicamos estos dos números, o sea los denominadores, que es 3 por 2. Allí se observa de nuevo la figura que caracteriza la carita feliz. Continuamos resolviendo estas operaciones. De nuevo, en la parte superior se resuelven primero las multiplicaciones y luego la suma. Tenemos 17 por 2 que es 34, esto más 3 por 3 que nos da 9, y en la parte de abajo 3 por 2 que es 6. Sumamos en la parte de arriba 34 más 9 nos da 43, y abajo conservamos el 6. Revisamos si esa fracción se puede simplificar, vemos que no es posible, es una fracción irreducible y constituye el resultado de la segunda operación encerrada con paréntesis. Entonces la escribimos allí. Llegamos entonces a una división de números fraccionarios. Vamos a resolverla paso a paso, comenzando por ensamblar la operación. En la parte de arriba se escribe 13 por 6, y en la parte de abajo escribimos 20 por 43. Recordemos que la división de fracciones se ensambla multiplicando los elementos en cruz, este por este en la parte de arriba y este por este en la parte de abajo. Aquí podríamos pensar en multiplicar 13 por 6 y 20 por 43. El problema es que vamos a obtener números muy grandes que nos van a demorar el proceso de simplificación. Lo conveniente es simplificar al máximo aquí, en esta etapa, cuando los números todavía no han sido multiplicados. Entonces revisamos si por ejemplo 13 puede simplificarse con 20, vemos que no es posible. Revisamos 13 con 43 a ver si de pronto se pueden simplificar, tampoco se puede. Revisamos 6 con 20 y vemos que sí es posible. Ambos números tienen mitad, decimos mitad de 6, 3 y mitad de 20 nos da 10. Continuamos revisando y vemos que ya no se puede simplificar nada más. Recordemos que siempre se revisa un número de arriba con un número de abajo. Cuando ya estamos seguros que no se puede simplificar más, entonces procedemos a multiplicar los números que quedaron, o sea los números sobrevivientes. En la parte de arriba tenemos 13 por 3 que es 39 y en la parte de abajo nos quedó 10 por 43 que nos da 430. Con toda seguridad esa será una fracción irreducible, no se puede simplificar porque acá ya hicimos la revisión y vimos que no se podía simplificar nada más. Entonces esta será la respuesta para este ejercicio.

[{"start": 0.0, "end": 10.28, "text": " Vamos a resolver detalladamente este ejercicio donde observamos diferentes operaciones con"}, {"start": 10.28, "end": 17.92, "text": " n\u00fameros fraccionarios. Para ser m\u00e1s precisos, tenemos en este caso n\u00fameros mixtos o fracciones"}, {"start": 17.92, "end": 24.78, "text": " mixtas. Para comenzar, vamos a convertir cada uno de estos n\u00fameros mixtos en fracciones"}, {"start": 24.78, "end": 32.88, "text": " impropias. Comenzamos con 3 enteros 1 cuarto. Vamos a recordar ese procedimiento para obtener"}, {"start": 32.88, "end": 42.480000000000004, "text": " la fracci\u00f3n impropia que corresponde a este n\u00famero mixto. Multiplicamos 3 por 4 y a eso le sumamos"}, {"start": 42.480000000000004, "end": 51.0, "text": " 1. Esto va en la parte de arriba y ac\u00e1 conservamos el mismo denominador, o sea 4. En la parte de"}, {"start": 51.0, "end": 60.84, "text": " arriba primero resolvemos la multiplicaci\u00f3n. 3 por 4 nos da 12, 12 m\u00e1s 1 nos da 13 y abajo escribimos"}, {"start": 60.84, "end": 71.16, "text": " el 4. Entonces tenemos que el primer n\u00famero mixto se convierte en la fracci\u00f3n impropia 13 cuartos."}, {"start": 71.16, "end": 78.72, "text": " Siguiendo el mismo procedimiento, transformamos los dem\u00e1s n\u00fameros mixtos. Vamos con la siguiente."}, {"start": 78.72, "end": 88.12, "text": " 2 por 5 nos da 10, 10 m\u00e1s 3 nos da 13, ese ser\u00e1 el numerador y conservamos el mismo denominador que"}, {"start": 88.12, "end": 96.72, "text": " es 5. Pasamos ahora a lo que hay dentro del otro par\u00e9ntesis. Ac\u00e1 tenemos 5 por 3, 15, 15 m\u00e1s 2,"}, {"start": 96.72, "end": 106.12, "text": " 17 en el numerador y abajo conservamos el 3. Pasamos al otro n\u00famero mixto, 1 por 2 nos da 2,"}, {"start": 106.12, "end": 115.68, "text": " 2 m\u00e1s 1 nos da 3 y conservamos el mismo denominador que es 2 y cerramos el par\u00e9ntesis. Enseguida vamos"}, {"start": 115.68, "end": 123.24000000000001, "text": " a resolver las operaciones que tenemos dentro de los par\u00e9ntesis. Comenzamos con esta resta que vamos"}, {"start": 123.24000000000001, "end": 131.88, "text": " a realizar por ac\u00e1. Tenemos all\u00ed una resta de dos fracciones heterog\u00e9neas o fracciones con distinto"}, {"start": 131.88, "end": 139.2, "text": " denominador. Lo primero que debemos hacer es buscar el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de los denominadores,"}, {"start": 139.2, "end": 148.51999999999998, "text": " o sea de 4 y 5. Vamos a realizar ese procedimiento por ac\u00e1. El MCM de 4 y 5,"}, {"start": 150.04, "end": 157.44, "text": " entonces escribimos el n\u00famero 4 y el n\u00famero 5 separados entre s\u00ed y trazamos esta l\u00ednea vertical"}, {"start": 157.44, "end": 163.56, "text": " a la derecha del \u00faltimo n\u00famero. Comenzamos ac\u00e1 con el primer n\u00famero primo que es el 2 para ver"}, {"start": 163.56, "end": 170.4, "text": " si es divisor de alguno de ellos. Vemos que le sirve al 4, entonces utilizamos el 2. Decimos mitante"}, {"start": 170.4, "end": 178.04, "text": " 4 2, al 5 no le sirve, entonces el 5 se deja igual. Volvemos a preguntarnos si el 2 sirve,"}, {"start": 178.04, "end": 185.64, "text": " vemos que s\u00ed, le sirve a este n\u00famero 2, entonces utilizamos otra vez el n\u00famero primo 2. Decimos"}, {"start": 185.64, "end": 192.83999999999997, "text": " mitante 2 es 1, al 5 no le sirve, entonces se deja igual. Ac\u00e1 con este 1 ya hemos terminado,"}, {"start": 192.83999999999997, "end": 200.64, "text": " nos queda este n\u00famero 5 al cual solamente le sirve el n\u00famero primo 5. Decimos quinta de 5 es 1 y as\u00ed"}, {"start": 200.64, "end": 208.83999999999997, "text": " terminamos el proceso. Ahora multiplicamos estos n\u00fameros 2 por 2 es 4, 4 por 5 nos da 20 y ese es"}, {"start": 208.84, "end": 215.76, "text": " el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de los denominadores. Como se observa all\u00ed el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo"}, {"start": 215.76, "end": 223.56, "text": " da lo mismo que multiplicar ambos denominadores, en ese caso es cuando resulta conveniente utilizar"}, {"start": 223.56, "end": 231.92000000000002, "text": " el truco o la t\u00e9cnica de la carita feliz para realizar esa operaci\u00f3n con mayor rapidez. Vamos"}, {"start": 231.92, "end": 242.44, "text": " entonces a aplicar esa t\u00e9cnica. En la parte de arriba tenemos la multiplicaci\u00f3n de estos dos n\u00fameros,"}, {"start": 242.44, "end": 255.04, "text": " o sea 13 por 5, luego escribimos el signo menos, despu\u00e9s multiplicamos estos dos, o sea 4 por 13,"}, {"start": 255.04, "end": 265.15999999999997, "text": " y en la parte de abajo multiplicamos estos dos n\u00fameros, o sea 4 por 5. All\u00ed se observa entonces"}, {"start": 265.15999999999997, "end": 273.76, "text": " la figura conocida como la carita feliz, es la que nos permite hacer esa operaci\u00f3n con mayor rapidez."}, {"start": 273.76, "end": 281.68, "text": " Seguimos ahora resolviendo las operaciones que tenemos all\u00ed. En la parte de arriba primero se"}, {"start": 281.68, "end": 292.24, "text": " resuelven las multiplicaciones y despu\u00e9s la resta, 13 por 5 nos da 65, esto menos 4 por 13 que es 52,"}, {"start": 292.24, "end": 302.24, "text": " y en la parte de abajo tenemos 4 por 5 que es 20. Resolvemos ahora la resta del numerador, 65 menos"}, {"start": 302.24, "end": 310.88, "text": " 52 nos da como resultado 13 y esto nos queda sobre 20. 13 a 20 abos es una fracci\u00f3n que no se puede"}, {"start": 310.88, "end": 319.15999999999997, "text": " simplificar, es irreducible y constituye el resultado de la operaci\u00f3n del primer par\u00e9ntesis. Entonces"}, {"start": 319.15999999999997, "end": 328.96, "text": " vamos a escribirla por ac\u00e1. Luego escribimos el s\u00edmbolo de la divisi\u00f3n y vamos a resolver esta"}, {"start": 328.96, "end": 335.6, "text": " operaci\u00f3n, la que tenemos dentro del segundo par\u00e9ntesis. Vamos a realizarla por ac\u00e1, tenemos"}, {"start": 335.6, "end": 344.48, "text": " 17 tercios m\u00e1s tres medios. Otra vez tenemos la suma de dos fracciones con distinto denominador,"}, {"start": 344.48, "end": 352.6, "text": " o sea fracciones heterogeneous. Tambi\u00e9n deber\u00edamos comenzar por buscar el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de"}, {"start": 352.6, "end": 360.6, "text": " los denominadores, en este caso 3 y 2. Un truco que podemos utilizar en este caso, una t\u00e9cnica f\u00e1cil,"}, {"start": 360.6, "end": 367.52000000000004, "text": " es que cuando se trata de dos n\u00fameros primos, entonces el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de ellos ser\u00e1"}, {"start": 367.52000000000004, "end": 374.20000000000005, "text": " precisamente la multiplicaci\u00f3n de esos n\u00fameros, en ese caso 3 por 2 que nos da 6, y as\u00ed ya tenemos"}, {"start": 374.20000000000005, "end": 381.28000000000003, "text": " el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de los denominadores. Como dec\u00edamos, el MCM es la misma multiplicaci\u00f3n"}, {"start": 381.28000000000003, "end": 388.92, "text": " de estos dos n\u00fameros. Luego all\u00ed tambi\u00e9n es conveniente utilizar el truco o la t\u00e9cnica de la"}, {"start": 388.92, "end": 397.08000000000004, "text": " carita feliz para realizar esta operaci\u00f3n con mayor agilidad. Comenzamos entonces con 17 por 2,"}, {"start": 399.08000000000004, "end": 406.24, "text": " en la parte de arriba a eso le vamos a sumar la multiplicaci\u00f3n de estos dos n\u00fameros,"}, {"start": 406.24, "end": 416.88, "text": " o sea 3 por 3. Y en la parte de abajo multiplicamos estos dos n\u00fameros, o sea los denominadores,"}, {"start": 416.88, "end": 424.84, "text": " que es 3 por 2. All\u00ed se observa de nuevo la figura que caracteriza la carita feliz."}, {"start": 424.84, "end": 431.68, "text": " Continuamos resolviendo estas operaciones. De nuevo, en la parte superior se resuelven"}, {"start": 431.68, "end": 440.36, "text": " primero las multiplicaciones y luego la suma. Tenemos 17 por 2 que es 34, esto m\u00e1s 3 por 3 que"}, {"start": 440.36, "end": 450.2, "text": " nos da 9, y en la parte de abajo 3 por 2 que es 6. Sumamos en la parte de arriba 34 m\u00e1s 9 nos da 43,"}, {"start": 450.2, "end": 457.12, "text": " y abajo conservamos el 6. Revisamos si esa fracci\u00f3n se puede simplificar, vemos que no es posible,"}, {"start": 457.12, "end": 464.92, "text": " es una fracci\u00f3n irreducible y constituye el resultado de la segunda operaci\u00f3n encerrada"}, {"start": 464.92, "end": 472.48, "text": " con par\u00e9ntesis. Entonces la escribimos all\u00ed. Llegamos entonces a una divisi\u00f3n de n\u00fameros"}, {"start": 472.48, "end": 480.0, "text": " fraccionarios. Vamos a resolverla paso a paso, comenzando por ensamblar la operaci\u00f3n. En la"}, {"start": 480.0, "end": 490.12, "text": " parte de arriba se escribe 13 por 6, y en la parte de abajo escribimos 20 por 43. Recordemos"}, {"start": 490.12, "end": 497.0, "text": " que la divisi\u00f3n de fracciones se ensambla multiplicando los elementos en cruz, este por"}, {"start": 497.0, "end": 503.16, "text": " este en la parte de arriba y este por este en la parte de abajo. Aqu\u00ed podr\u00edamos pensar en"}, {"start": 503.16, "end": 510.4, "text": " multiplicar 13 por 6 y 20 por 43. El problema es que vamos a obtener n\u00fameros muy grandes que"}, {"start": 510.4, "end": 517.36, "text": " nos van a demorar el proceso de simplificaci\u00f3n. Lo conveniente es simplificar al m\u00e1ximo aqu\u00ed,"}, {"start": 517.36, "end": 524.6800000000001, "text": " en esta etapa, cuando los n\u00fameros todav\u00eda no han sido multiplicados. Entonces revisamos si por"}, {"start": 524.6800000000001, "end": 531.94, "text": " ejemplo 13 puede simplificarse con 20, vemos que no es posible. Revisamos 13 con 43 a ver si de"}, {"start": 531.94, "end": 539.52, "text": " pronto se pueden simplificar, tampoco se puede. 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Con toda"}, {"start": 579.84, "end": 586.96, "text": " seguridad esa ser\u00e1 una fracci\u00f3n irreducible, no se puede simplificar porque ac\u00e1 ya hicimos la revisi\u00f3n"}, {"start": 586.96, "end": 600.4000000000001, "text": " y vimos que no se pod\u00eda simplificar nada m\u00e1s. Entonces esta ser\u00e1 la respuesta para este ejercicio."}]

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OPERACIONES COMBINADAS CON FRACCIONARIOS - Ejercicio 4

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Vamos a resolver este ejercicio donde tenemos la combinación de operaciones con números fraccionarios. Como se observa, tenemos en este caso signos de agrupación, específicamente paréntesis, lo que nos indica que debemos comenzar por resolver las operaciones que se encuentran dentro de ellos. Vamos a resolver entonces primero esta suma, después esta resta, y al final vamos a multiplicar los resultados de dichas operaciones. Comenzamos entonces resolviendo la suma, que ocurre entre dos fracciones con distinto denominador, fracciones heterogéneas. Vamos entonces a buscar el mínimo común múltiplo de los denominadores, en este caso el mínimo común múltiplo de 6 y 4. Entonces vamos a realizar por acá el proceso de obtención del mínimo común múltiplo. Escribimos los dos números separados entre sí y esta línea vertical a la derecha del último. Comenzamos examinando el primer número primo, que es el 2. Nos preguntamos si 2 es divisor de alguno de estos números. Vemos que le sirve a ambos, entonces utilizamos el número 2. Mi tas de 6 nos da 3, mi tas de 4 es 2. Nos preguntamos si el 2 vuelve a servir, vemos que sí le sirve a este número, entonces utilizamos de nuevo el 2. Mi tas de 2 es 1, y al 3 no le sirve el 2, por lo tanto el 3 se deja tal como está. Acá, como ya obtuvimos 1, hemos terminado, y nos concentramos en este número que nos quedó. Como 3 es número primo, quiere decir que aquí se debe utilizar justamente el 3. Decimos tercera de 3 es 1, y con eso terminamos el proceso. Multiplicamos estos números entre sí, 2 por 2 es 4, 4 por 3 es 12, y así obtuvimos el mínimo común múltiplo de los denominadores. Como en este caso el mínimo común múltiplo nos da un número distinto a la multiplicación de estos dos denominadores, 6 por 4 nos da 24. Entonces, quiere decir que acá no es conveniente utilizar el método o la técnica de la carita feliz, sino que vamos a realizar el procedimiento con el mínimo común múltiplo. En ese caso, debemos amplificar ambas fracciones para que nos queden con denominador 12. Las escribimos, y vamos a multiplicar por los números necesarios para que en el denominador obtengamos el 12. Acá nos preguntamos 6 multiplicado por qué número nos da 12, y encontramos que es el 2. Entonces multiplicamos por 2 abajo y también arriba. Acá, 4 multiplicado por qué número nos da 12, y encontramos que es el 3. Entonces se debe multiplicar por 3 abajo y también arriba. Resolvemos ahora esas operaciones. Tendremos en la primera fracción 5 por 2 10, 6 por 2 12, y en la segunda tenemos 5 por 3 15, y 4 por 3 12. Hemos convertido las dos fracciones heterogéneas en fracciones homogéneas utilizando la amplificación y el mínimo común múltiplo de los denominadores. Enseguida vamos a resolver esta suma de fracciones homogéneas. Fracciones con el mismo denominador, entonces recordemos que se conserva ese denominador, o sea el 12, y vamos a efectuar la suma de los numeradores, o sea 10 más 15. Eso nos da como resultado 25 y nos queda sobre 12. 25 doceados, que es una fracción irreducible, o sea que no se puede simplificar y constituye el resultado de la operación del primer paréntesis. Entonces vamos a escribirla por acá. Ahora escribimos esta operación por acá y observamos la resta o sustracción de dos fracciones con distinto denominador, fracciones heterogéneas. Entonces comenzamos por buscar el mínimo común múltiplo de los denominadores que son 10 y 4. Entonces escribimos por acá los dos números espaciados entre sí, trazamos esta línea vertical a la derecha del último y comenzamos examinando el primer número primo que es el 2. Nos preguntamos si 2 es divisor de alguno de estos números, vemos que le sirve a ambos, entonces lo utilizamos. Mitad de 10 es 5, mitad de 4 es 2. Nos preguntamos si el 2 vuelve a servir, efectivamente le sirve a este número, entonces se utiliza. Decimos mitad de 2 es 1, al 5 no le sirve, entonces el 5 se deja tal como está. Acá ya terminamos y para el número 5 efectivamente sirve el número primo 5, decimos quinta de 5 es 1 y con eso terminamos el proceso. Multiplicamos estos números, 2 por 2 es 4, 4 por 5 es 20 y así hemos encontrado el mínimo común múltiplo de los denominadores. De nuevo revisamos cuánto nos da la multiplicación de los denominadores para ver si es conveniente utilizar el truco o la técnica de la carita feliz. 10 por 4 es 40, que es un número diferente al mínimo común múltiplo. Conclusión, no es conveniente irnos por el camino de la carita feliz, sino utilizar el mínimo común múltiplo. Entonces vamos a amplificar ambas fracciones para que nos queden con denominador 20. Entonces vamos a multiplicar por los números necesarios para que tengamos 20 en el denominador. Acá nos preguntamos 10 multiplicado por qué número nos da 20 y encontramos que es el 2, entonces debe multiplicarse por 2 abajo y también arriba. Acá nos preguntamos 4 multiplicado por qué número nos da 20 y encontramos que es el 5, entonces debemos multiplicar abajo y arriba por 5. Ahora vamos a resolver estas operaciones. En el caso de la primera fracción tenemos 7 por 2 es 14 y 10 por 2 es 20. En el caso de la segunda fracción tenemos 1 por 5 es 5 y 4 por 5 es 20. Vemos entonces cómo las dos fracciones heterogéneas se han transformado en fracciones homogéneas mediante amplificación y utilizando como guía el mínimo común múltiplo de los denominadores. En seguida resolvemos esta operación. Como son fracciones homogéneas, entonces conservamos el mismo denominador que en este caso es 20 y vamos a efectuar la operación de los numeradores. 14 menos 5 que nos da como resultado 9 que nos queda sobre 20 y la fracción 9 20 abos tampoco se puede simplificar. De nuevo tenemos una fracción irreducible y es el resultado de esta operación contenida en el segundo paréntesis. Entonces escribimos el signo por y el resultado obtenido que es 9 20 abos. El paso siguiente será resolver esta multiplicación de fracciones. Entonces recordemos que lo recomendable es ensamblar primero la operación. En la parte de arriba tenemos la multiplicación de 25 por 9, o sea la multiplicación de los numeradores y en la parte de abajo escribimos 12 por 20, o sea la multiplicación de los denominadores. Recordemos que la multiplicación de fracciones se efectúa de manera horizontal. Numeradores entre sí y denominadores entre sí. En esta etapa es que se debe hacer el proceso de simplificación. No es conveniente multiplicar 25 por 9 ni 12 por 20 porque nos van a dar números grandes cuyo proceso de simplificación va a ser un poco más demorado. Entonces aquí cuando los números no han sido todavía multiplicados es cuando resulta conveniente simplificar al máximo. Recordemos que siempre debe ser un número de arriba con un número de abajo. Revisamos por ejemplo si 25 puede simplificarse con 12, vemos que no es posible, revisamos 25 con 20 y vemos que ambos son múltiplos de 5, entonces podemos sacar quinta de ellos. Quinta de 25 nos da 5 y quinta de 20 nos da 4. Seguimos revisando y encontramos que 9 puede simplificarse con 12, ambos números son divisibles por 3, decimos entonces tercera de 9 es 3 y tercera de 12 que nos da 4. Si volvemos a revisar vemos que no es posible simplificar nada más, 5 no puede simplificarse con 4 y 3 tampoco puede simplificarse con 4. Entonces procedemos a multiplicar los números sobrevivientes, los que nos quedaron. En la parte de arriba tenemos 5 por 3 que nos da 15 y en la parte de abajo 4 por 4 que nos da 16. Con toda certeza esta fracción ya es irreducible porque acá hicimos todo el proceso de simplificación. Esta será entonces la respuesta para este ejercicio donde hay combinación de operaciones con números fraccionarios.

[{"start": 0.0, "end": 9.4, "text": " Vamos a resolver este ejercicio donde tenemos la combinaci\u00f3n de operaciones con n\u00fameros"}, {"start": 9.4, "end": 15.4, "text": " fraccionarios. Como se observa, tenemos en este caso signos de agrupaci\u00f3n, espec\u00edficamente"}, {"start": 15.4, "end": 21.6, "text": " par\u00e9ntesis, lo que nos indica que debemos comenzar por resolver las operaciones que"}, {"start": 21.6, "end": 28.2, "text": " se encuentran dentro de ellos. Vamos a resolver entonces primero esta suma, despu\u00e9s esta resta,"}, {"start": 28.2, "end": 35.04, "text": " y al final vamos a multiplicar los resultados de dichas operaciones. Comenzamos entonces"}, {"start": 35.04, "end": 41.5, "text": " resolviendo la suma, que ocurre entre dos fracciones con distinto denominador, fracciones"}, {"start": 41.5, "end": 48.08, "text": " heterog\u00e9neas. Vamos entonces a buscar el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de los denominadores,"}, {"start": 48.08, "end": 57.04, "text": " en este caso el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de 6 y 4. Entonces vamos a realizar por ac\u00e1"}, {"start": 57.04, "end": 63.68, "text": " el proceso de obtenci\u00f3n del m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo. Escribimos los dos n\u00fameros separados"}, {"start": 63.68, "end": 69.16, "text": " entre s\u00ed y esta l\u00ednea vertical a la derecha del \u00faltimo. Comenzamos examinando el primer"}, {"start": 69.16, "end": 75.0, "text": " n\u00famero primo, que es el 2. Nos preguntamos si 2 es divisor de alguno de estos n\u00fameros."}, {"start": 75.0, "end": 81.56, "text": " Vemos que le sirve a ambos, entonces utilizamos el n\u00famero 2. Mi tas de 6 nos da 3, mi tas"}, {"start": 81.56, "end": 89.16, "text": " de 4 es 2. Nos preguntamos si el 2 vuelve a servir, vemos que s\u00ed le sirve a este n\u00famero,"}, {"start": 89.16, "end": 96.32000000000001, "text": " entonces utilizamos de nuevo el 2. Mi tas de 2 es 1, y al 3 no le sirve el 2, por lo tanto"}, {"start": 96.32000000000001, "end": 102.36, "text": " el 3 se deja tal como est\u00e1. Ac\u00e1, como ya obtuvimos 1, hemos terminado, y nos concentramos"}, {"start": 102.36, "end": 107.56, "text": " en este n\u00famero que nos qued\u00f3. Como 3 es n\u00famero primo, quiere decir que aqu\u00ed se debe"}, {"start": 107.56, "end": 115.76, "text": " utilizar justamente el 3. Decimos tercera de 3 es 1, y con eso terminamos el proceso."}, {"start": 115.76, "end": 122.76, "text": " Multiplicamos estos n\u00fameros entre s\u00ed, 2 por 2 es 4, 4 por 3 es 12, y as\u00ed obtuvimos"}, {"start": 122.76, "end": 129.2, "text": " el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de los denominadores. Como en este caso el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo"}, {"start": 129.2, "end": 135.76, "text": " nos da un n\u00famero distinto a la multiplicaci\u00f3n de estos dos denominadores, 6 por 4 nos da"}, {"start": 135.76, "end": 143.84, "text": " 24. Entonces, quiere decir que ac\u00e1 no es conveniente utilizar el m\u00e9todo o la t\u00e9cnica de la carita"}, {"start": 143.84, "end": 152.44, "text": " feliz, sino que vamos a realizar el procedimiento con el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo. En ese caso,"}, {"start": 152.44, "end": 161.0, "text": " debemos amplificar ambas fracciones para que nos queden con denominador 12. Las escribimos,"}, {"start": 161.0, "end": 170.2, "text": " y vamos a multiplicar por los n\u00fameros necesarios para que en el denominador obtengamos el 12."}, {"start": 170.2, "end": 175.44, "text": " Ac\u00e1 nos preguntamos 6 multiplicado por qu\u00e9 n\u00famero nos da 12, y encontramos que es el"}, {"start": 175.44, "end": 182.72, "text": " 2. Entonces multiplicamos por 2 abajo y tambi\u00e9n arriba. Ac\u00e1, 4 multiplicado por qu\u00e9 n\u00famero"}, {"start": 182.72, "end": 189.36, "text": " nos da 12, y encontramos que es el 3. Entonces se debe multiplicar por 3 abajo y tambi\u00e9n"}, {"start": 189.36, "end": 197.0, "text": " arriba. Resolvemos ahora esas operaciones. Tendremos en la primera fracci\u00f3n 5 por 2"}, {"start": 197.0, "end": 210.92000000000002, "text": " 10, 6 por 2 12, y en la segunda tenemos 5 por 3 15, y 4 por 3 12. Hemos convertido las"}, {"start": 210.92000000000002, "end": 217.4, "text": " dos fracciones heterog\u00e9neas en fracciones homog\u00e9neas utilizando la amplificaci\u00f3n"}, {"start": 217.4, "end": 225.0, "text": " y el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de los denominadores. Enseguida vamos a resolver esta suma de fracciones"}, {"start": 225.0, "end": 234.72, "text": " homog\u00e9neas. Fracciones con el mismo denominador, entonces recordemos que se conserva ese denominador,"}, {"start": 234.72, "end": 243.04000000000002, "text": " o sea el 12, y vamos a efectuar la suma de los numeradores, o sea 10 m\u00e1s 15. Eso nos"}, {"start": 243.04, "end": 251.64, "text": " da como resultado 25 y nos queda sobre 12. 25 doceados, que es una fracci\u00f3n irreducible,"}, {"start": 251.64, "end": 259.48, "text": " o sea que no se puede simplificar y constituye el resultado de la operaci\u00f3n del primer par\u00e9ntesis."}, {"start": 259.48, "end": 268.03999999999996, "text": " Entonces vamos a escribirla por ac\u00e1. Ahora escribimos esta operaci\u00f3n por ac\u00e1 y observamos"}, {"start": 268.04, "end": 275.16, "text": " la resta o sustracci\u00f3n de dos fracciones con distinto denominador, fracciones heterog\u00e9neas."}, {"start": 275.16, "end": 282.24, "text": " Entonces comenzamos por buscar el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de los denominadores que son 10 y"}, {"start": 282.24, "end": 289.20000000000005, "text": " 4. Entonces escribimos por ac\u00e1 los dos n\u00fameros espaciados entre s\u00ed, trazamos esta l\u00ednea"}, {"start": 289.20000000000005, "end": 294.96000000000004, "text": " vertical a la derecha del \u00faltimo y comenzamos examinando el primer n\u00famero primo que es"}, {"start": 294.96, "end": 302.12, "text": " el 2. Nos preguntamos si 2 es divisor de alguno de estos n\u00fameros, vemos que le sirve a ambos,"}, {"start": 302.12, "end": 308.84, "text": " entonces lo utilizamos. Mitad de 10 es 5, mitad de 4 es 2. Nos preguntamos si el 2 vuelve"}, {"start": 308.84, "end": 314.84, "text": " a servir, efectivamente le sirve a este n\u00famero, entonces se utiliza. Decimos mitad de 2 es"}, {"start": 314.84, "end": 321.32, "text": " 1, al 5 no le sirve, entonces el 5 se deja tal como est\u00e1. Ac\u00e1 ya terminamos y para"}, {"start": 321.32, "end": 328.92, "text": " el n\u00famero 5 efectivamente sirve el n\u00famero primo 5, decimos quinta de 5 es 1 y con eso"}, {"start": 328.92, "end": 337.15999999999997, "text": " terminamos el proceso. Multiplicamos estos n\u00fameros, 2 por 2 es 4, 4 por 5 es 20 y as\u00ed"}, {"start": 337.15999999999997, "end": 344.52, "text": " hemos encontrado el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de los denominadores. De nuevo revisamos cu\u00e1nto"}, {"start": 344.52, "end": 350.64, "text": " nos da la multiplicaci\u00f3n de los denominadores para ver si es conveniente utilizar el truco"}, {"start": 350.64, "end": 357.12, "text": " o la t\u00e9cnica de la carita feliz. 10 por 4 es 40, que es un n\u00famero diferente al m\u00ednimo"}, {"start": 357.12, "end": 363.64, "text": " com\u00fan m\u00faltiplo. Conclusi\u00f3n, no es conveniente irnos por el camino de la carita feliz, sino"}, {"start": 363.64, "end": 371.59999999999997, "text": " utilizar el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo. Entonces vamos a amplificar ambas fracciones para que"}, {"start": 371.6, "end": 380.76000000000005, "text": " nos queden con denominador 20. Entonces vamos a multiplicar por los n\u00fameros necesarios"}, {"start": 380.76000000000005, "end": 386.92, "text": " para que tengamos 20 en el denominador. Ac\u00e1 nos preguntamos 10 multiplicado por qu\u00e9 n\u00famero"}, {"start": 386.92, "end": 393.56, "text": " nos da 20 y encontramos que es el 2, entonces debe multiplicarse por 2 abajo y tambi\u00e9n"}, {"start": 393.56, "end": 399.72, "text": " arriba. Ac\u00e1 nos preguntamos 4 multiplicado por qu\u00e9 n\u00famero nos da 20 y encontramos que"}, {"start": 399.72, "end": 407.20000000000005, "text": " es el 5, entonces debemos multiplicar abajo y arriba por 5. Ahora vamos a resolver estas"}, {"start": 407.20000000000005, "end": 417.24, "text": " operaciones. En el caso de la primera fracci\u00f3n tenemos 7 por 2 es 14 y 10 por 2 es 20. En"}, {"start": 417.24, "end": 424.72, "text": " el caso de la segunda fracci\u00f3n tenemos 1 por 5 es 5 y 4 por 5 es 20. Vemos entonces"}, {"start": 424.72, "end": 430.84000000000003, "text": " c\u00f3mo las dos fracciones heterog\u00e9neas se han transformado en fracciones homog\u00e9neas mediante"}, {"start": 430.84000000000003, "end": 438.32000000000005, "text": " amplificaci\u00f3n y utilizando como gu\u00eda el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de los denominadores. En"}, {"start": 438.32000000000005, "end": 446.72, "text": " seguida resolvemos esta operaci\u00f3n. Como son fracciones homog\u00e9neas, entonces conservamos"}, {"start": 446.72, "end": 454.68, "text": " el mismo denominador que en este caso es 20 y vamos a efectuar la operaci\u00f3n de los numeradores."}, {"start": 454.68, "end": 464.84000000000003, "text": " 14 menos 5 que nos da como resultado 9 que nos queda sobre 20 y la fracci\u00f3n 9 20 abos"}, {"start": 464.84000000000003, "end": 471.12, "text": " tampoco se puede simplificar. De nuevo tenemos una fracci\u00f3n irreducible y es el resultado"}, {"start": 471.12, "end": 476.76, "text": " de esta operaci\u00f3n contenida en el segundo par\u00e9ntesis. Entonces escribimos el signo"}, {"start": 476.76, "end": 487.15999999999997, "text": " por y el resultado obtenido que es 9 20 abos. El paso siguiente ser\u00e1 resolver esta multiplicaci\u00f3n"}, {"start": 487.15999999999997, "end": 495.56, "text": " de fracciones. Entonces recordemos que lo recomendable es ensamblar primero la operaci\u00f3n."}, {"start": 495.56, "end": 502.71999999999997, "text": " En la parte de arriba tenemos la multiplicaci\u00f3n de 25 por 9, o sea la multiplicaci\u00f3n de los"}, {"start": 502.72, "end": 509.92, "text": " numeradores y en la parte de abajo escribimos 12 por 20, o sea la multiplicaci\u00f3n de los"}, {"start": 509.92, "end": 516.72, "text": " denominadores. Recordemos que la multiplicaci\u00f3n de fracciones se efect\u00faa de manera horizontal."}, {"start": 516.72, "end": 523.5600000000001, "text": " Numeradores entre s\u00ed y denominadores entre s\u00ed. En esta etapa es que se debe hacer el"}, {"start": 523.5600000000001, "end": 530.32, "text": " proceso de simplificaci\u00f3n. No es conveniente multiplicar 25 por 9 ni 12 por 20 porque nos"}, {"start": 530.32, "end": 537.1600000000001, "text": " van a dar n\u00fameros grandes cuyo proceso de simplificaci\u00f3n va a ser un poco m\u00e1s demorado."}, {"start": 537.1600000000001, "end": 543.96, "text": " Entonces aqu\u00ed cuando los n\u00fameros no han sido todav\u00eda multiplicados es cuando resulta conveniente"}, {"start": 543.96, "end": 550.0400000000001, "text": " simplificar al m\u00e1ximo. Recordemos que siempre debe ser un n\u00famero de arriba con un n\u00famero"}, {"start": 550.0400000000001, "end": 556.36, "text": " de abajo. Revisamos por ejemplo si 25 puede simplificarse con 12, vemos que no es posible,"}, {"start": 556.36, "end": 563.08, "text": " revisamos 25 con 20 y vemos que ambos son m\u00faltiplos de 5, entonces podemos sacar quinta"}, {"start": 563.08, "end": 571.76, "text": " de ellos. Quinta de 25 nos da 5 y quinta de 20 nos da 4. Seguimos revisando y encontramos"}, {"start": 571.76, "end": 578.84, "text": " que 9 puede simplificarse con 12, ambos n\u00fameros son divisibles por 3, decimos entonces tercera"}, {"start": 578.84, "end": 586.6, "text": " de 9 es 3 y tercera de 12 que nos da 4. Si volvemos a revisar vemos que no es posible"}, {"start": 586.6, "end": 593.0, "text": " simplificar nada m\u00e1s, 5 no puede simplificarse con 4 y 3 tampoco puede simplificarse con"}, {"start": 593.0, "end": 600.2800000000001, "text": " 4. Entonces procedemos a multiplicar los n\u00fameros sobrevivientes, los que nos quedaron. En la"}, {"start": 600.2800000000001, "end": 607.52, "text": " parte de arriba tenemos 5 por 3 que nos da 15 y en la parte de abajo 4 por 4 que nos"}, {"start": 607.52, "end": 615.1999999999999, "text": " da 16. Con toda certeza esta fracci\u00f3n ya es irreducible porque ac\u00e1 hicimos todo el"}, {"start": 615.1999999999999, "end": 622.64, "text": " proceso de simplificaci\u00f3n. Esta ser\u00e1 entonces la respuesta para este ejercicio donde hay"}, {"start": 622.64, "end": 638.08, "text": " combinaci\u00f3n de operaciones con n\u00fameros fraccionarios."}]

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OPERACIONES COMBINADAS CON FRACCIONARIOS - Ejercicio 2

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Vamos a resolver detalladamente este ejercicio donde tenemos una combinación de operaciones con números fraccionarios. Como se observa no hay signos de agrupación, es decir, no hay paréntesis, corchetes ni llaves y también vemos que hay una división y una resta. En este caso debemos comenzar por resolver esa división porque es una operación de mayor jerarquía o mayor importancia que la resta. Anotamos por acá la división y vamos a resolverla paso a paso. Comenzamos ensamblando la operación. Acá en la parte de arriba vamos a escribir la multiplicación de estos dos números, es decir, 21 por 5 y en la parte de abajo escribimos la multiplicación de 10 por 6. Recordemos que el ensamble de la división de dos fracciones se hace multiplicando las cantidades en cruz. Entonces eso es lo que hemos hecho en este paso, construir o ensamblar la operación. A continuación vamos a simplificar aquí todo lo que sea posible, siempre un número de arriba con un número de abajo. Revisamos si 21 se puede simplificar con 10, vemos que no es posible. Revisamos 21 con 6 y vemos que ambos números son divisibles por 3. Entonces decimos tercera de 21, 7 y tercera de 6 es 2. Vamos revisando y encontramos que 5 puede simplificarse con 10, ambos números tienen quinta o son divisibles por 5. Quinta de 10 nos da 2 y quinta de 5 nos da 1. Hacemos la revisión de los números que quedaron para ver si es posible hacer otra simplificación y vemos que no es posible. 7 no se puede simplificar con 2, a este 1 no le podemos hacer nada. Entonces procedemos a multiplicar los números que nos quedaron, o sea los números sobrevivientes. En la parte de arriba nos quedó 7 por 1 que nos da 7 y en la parte de abajo nos quedó 2 por 2 que nos da 4. Regresando al ejercicio original, entonces vamos a anotar el resultado de la primera operación que hicimos, que fue la división y que nos dio 7 cuartos. Y enseguida escribimos la otra fracción que es 3 quinto y ellas van a quedar restando entre sí. Como vemos tenemos aquí una resta de dos fracciones con distinto denominador, o sea fracciones heterogéneas. Vamos entonces a buscar el mínimo común múltiplo de los denominadores que son 4 y 5. Vamos entonces a realizar ese procedimiento por acá. Deslizamos los dos números espaciados entre sí y trazamos esta línea vertical a la derecha del último número. Comenzamos examinando el primer número primo que es el 2 y vemos si es divisor de alguno de ellos. Hemos que le sirve al 4, entonces utilizamos el 2. Decimos mitad de 4, 2 y el 2 no le sirve al 5, por lo tanto el 5 se deja tal como está. Vamos a preguntarnos si el 2 sirve en este caso, vemos que le sirve a este número 2, entonces de nuevo se usa el 2. Decimos mitad de 2 es 1 y al 5 no le sirve, por lo tanto lo dejamos igual. Acá ya terminamos y nos ocupamos de este número 5 al cual solamente le sirve el número primo 5. Quinta de 5 nos da 1 y allí terminamos el proceso. Complicamos estos tres números 2x24, 4x5, 20 y allí tenemos el mínimo común múltiplo de 4 y 5 que son los denominadores. Como podemos observar el mínimo común múltiplo de los denominadores es el mismo resultado de multiplicarlos entre sí. Eso nos indica que aquí podemos utilizar el truco o la técnica de la carita feliz que nos permite desarrollar esta resta de fracciones heterogéneas de una forma un poco más rápida. Entonces vamos a aplicar esa técnica. En la parte de arriba tenemos 7x5 menos 4x3 y en la parte de abajo tenemos 4x5. Entonces esta es la técnica o el truco de la carita feliz por esta figura que se forma y es la que nos permite armar esta operación de manera rápida. Continuamos el desarrollo del ejercicio por acá y en la parte de arriba tenemos multiplicación, resta y multiplicación y no tenemos signos de agrupación. Repetimos, no hay paréntesis, corchetes ni llaves. Entonces primero debemos resolver las multiplicaciones porque son operaciones de mayor importancia que la resta. 7x5 nos da 35, esto menos 4x3 que es 12 y en la parte de abajo efectuamos esta multiplicación 4x5 que nos da 20. Ahora resolvemos la operación que nos quedó en el numerador, esa resta. 35 menos 12 nos da 23 y abajo conservamos el número 20. Revisamos ahora si esta fracción puede simplificarse, es decir si 23 y 20 tienen algún divisor en común que nos permita llevar esta fracción a una que tenga cantidades más pequeñas. Vemos que no es posible, se trata de una fracción irreducible y entonces ésta constituye la respuesta para ese ejercicio.

[{"start": 0.0, "end": 10.48, "text": " Vamos a resolver detalladamente este ejercicio donde tenemos una combinaci\u00f3n de operaciones"}, {"start": 10.48, "end": 12.72, "text": " con n\u00fameros fraccionarios."}, {"start": 12.72, "end": 18.900000000000002, "text": " Como se observa no hay signos de agrupaci\u00f3n, es decir, no hay par\u00e9ntesis, corchetes ni"}, {"start": 18.900000000000002, "end": 23.64, "text": " llaves y tambi\u00e9n vemos que hay una divisi\u00f3n y una resta."}, {"start": 23.64, "end": 30.32, "text": " En este caso debemos comenzar por resolver esa divisi\u00f3n porque es una operaci\u00f3n de"}, {"start": 30.32, "end": 35.84, "text": " mayor jerarqu\u00eda o mayor importancia que la resta."}, {"start": 35.84, "end": 41.760000000000005, "text": " Anotamos por ac\u00e1 la divisi\u00f3n y vamos a resolverla paso a paso."}, {"start": 41.760000000000005, "end": 44.68, "text": " Comenzamos ensamblando la operaci\u00f3n."}, {"start": 44.68, "end": 50.0, "text": " Ac\u00e1 en la parte de arriba vamos a escribir la multiplicaci\u00f3n de estos dos n\u00fameros,"}, {"start": 50.0, "end": 60.92, "text": " es decir, 21 por 5 y en la parte de abajo escribimos la multiplicaci\u00f3n de 10 por 6."}, {"start": 60.92, "end": 67.92, "text": " Recordemos que el ensamble de la divisi\u00f3n de dos fracciones se hace multiplicando las"}, {"start": 67.92, "end": 70.92, "text": " cantidades en cruz."}, {"start": 70.92, "end": 78.16, "text": " Entonces eso es lo que hemos hecho en este paso, construir o ensamblar la operaci\u00f3n."}, {"start": 78.16, "end": 83.28, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a simplificar aqu\u00ed todo lo que sea posible, siempre un n\u00famero"}, {"start": 83.28, "end": 86.52, "text": " de arriba con un n\u00famero de abajo."}, {"start": 86.52, "end": 91.2, "text": " Revisamos si 21 se puede simplificar con 10, vemos que no es posible."}, {"start": 91.2, "end": 96.67999999999999, "text": " Revisamos 21 con 6 y vemos que ambos n\u00fameros son divisibles por 3."}, {"start": 96.67999999999999, "end": 103.03999999999999, "text": " Entonces decimos tercera de 21, 7 y tercera de 6 es 2."}, {"start": 103.04, "end": 108.76, "text": " Vamos revisando y encontramos que 5 puede simplificarse con 10, ambos n\u00fameros tienen"}, {"start": 108.76, "end": 112.24000000000001, "text": " quinta o son divisibles por 5."}, {"start": 112.24000000000001, "end": 118.12, "text": " Quinta de 10 nos da 2 y quinta de 5 nos da 1."}, {"start": 118.12, "end": 124.32000000000001, "text": " Hacemos la revisi\u00f3n de los n\u00fameros que quedaron para ver si es posible hacer otra simplificaci\u00f3n"}, {"start": 124.32000000000001, "end": 126.48, "text": " y vemos que no es posible."}, {"start": 126.48, "end": 131.54000000000002, "text": " 7 no se puede simplificar con 2, a este 1 no le podemos hacer nada."}, {"start": 131.54, "end": 137.88, "text": " Entonces procedemos a multiplicar los n\u00fameros que nos quedaron, o sea los n\u00fameros sobrevivientes."}, {"start": 137.88, "end": 143.88, "text": " En la parte de arriba nos qued\u00f3 7 por 1 que nos da 7 y en la parte de abajo nos qued\u00f3"}, {"start": 143.88, "end": 147.68, "text": " 2 por 2 que nos da 4."}, {"start": 147.68, "end": 154.0, "text": " Regresando al ejercicio original, entonces vamos a anotar el resultado de la primera"}, {"start": 154.0, "end": 159.76, "text": " operaci\u00f3n que hicimos, que fue la divisi\u00f3n y que nos dio 7 cuartos."}, {"start": 159.76, "end": 166.5, "text": " Y enseguida escribimos la otra fracci\u00f3n que es 3 quinto y ellas van a quedar restando"}, {"start": 166.5, "end": 167.84, "text": " entre s\u00ed."}, {"start": 167.84, "end": 173.76, "text": " Como vemos tenemos aqu\u00ed una resta de dos fracciones con distinto denominador, o sea"}, {"start": 173.76, "end": 175.92, "text": " fracciones heterog\u00e9neas."}, {"start": 175.92, "end": 182.79999999999998, "text": " Vamos entonces a buscar el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de los denominadores que son 4 y"}, {"start": 182.79999999999998, "end": 184.68, "text": " 5."}, {"start": 184.68, "end": 189.12, "text": " Vamos entonces a realizar ese procedimiento por ac\u00e1."}, {"start": 189.12, "end": 195.32, "text": " Deslizamos los dos n\u00fameros espaciados entre s\u00ed y trazamos esta l\u00ednea vertical a la derecha"}, {"start": 195.32, "end": 197.16, "text": " del \u00faltimo n\u00famero."}, {"start": 197.16, "end": 202.08, "text": " Comenzamos examinando el primer n\u00famero primo que es el 2 y vemos si es divisor de alguno"}, {"start": 202.08, "end": 203.08, "text": " de ellos."}, {"start": 203.08, "end": 206.72, "text": " Hemos que le sirve al 4, entonces utilizamos el 2."}, {"start": 206.72, "end": 215.12, "text": " Decimos mitad de 4, 2 y el 2 no le sirve al 5, por lo tanto el 5 se deja tal como est\u00e1."}, {"start": 215.12, "end": 221.04, "text": " Vamos a preguntarnos si el 2 sirve en este caso, vemos que le sirve a este n\u00famero 2,"}, {"start": 221.04, "end": 223.88, "text": " entonces de nuevo se usa el 2."}, {"start": 223.88, "end": 230.44, "text": " Decimos mitad de 2 es 1 y al 5 no le sirve, por lo tanto lo dejamos igual."}, {"start": 230.44, "end": 236.56, "text": " Ac\u00e1 ya terminamos y nos ocupamos de este n\u00famero 5 al cual solamente le sirve el n\u00famero"}, {"start": 236.56, "end": 238.24, "text": " primo 5."}, {"start": 238.24, "end": 242.96, "text": " Quinta de 5 nos da 1 y all\u00ed terminamos el proceso."}, {"start": 242.96, "end": 249.8, "text": " Complicamos estos tres n\u00fameros 2x24, 4x5, 20 y all\u00ed tenemos el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo"}, {"start": 249.8, "end": 254.44, "text": " de 4 y 5 que son los denominadores."}, {"start": 254.44, "end": 260.64, "text": " Como podemos observar el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de los denominadores es el mismo resultado"}, {"start": 260.64, "end": 263.16, "text": " de multiplicarlos entre s\u00ed."}, {"start": 263.16, "end": 269.48, "text": " Eso nos indica que aqu\u00ed podemos utilizar el truco o la t\u00e9cnica de la carita feliz que"}, {"start": 269.48, "end": 276.36, "text": " nos permite desarrollar esta resta de fracciones heterog\u00e9neas de una forma un poco m\u00e1s r\u00e1pida."}, {"start": 276.36, "end": 280.68, "text": " Entonces vamos a aplicar esa t\u00e9cnica."}, {"start": 280.68, "end": 296.88, "text": " En la parte de arriba tenemos 7x5 menos 4x3 y en la parte de abajo tenemos 4x5."}, {"start": 296.88, "end": 303.88, "text": " Entonces esta es la t\u00e9cnica o el truco de la carita feliz por esta figura que se forma"}, {"start": 303.88, "end": 309.44, "text": " y es la que nos permite armar esta operaci\u00f3n de manera r\u00e1pida."}, {"start": 309.44, "end": 318.88, "text": " Continuamos el desarrollo del ejercicio por ac\u00e1 y en la parte de arriba tenemos multiplicaci\u00f3n,"}, {"start": 318.88, "end": 322.84, "text": " resta y multiplicaci\u00f3n y no tenemos signos de agrupaci\u00f3n."}, {"start": 322.84, "end": 326.64, "text": " Repetimos, no hay par\u00e9ntesis, corchetes ni llaves."}, {"start": 326.64, "end": 332.76, "text": " Entonces primero debemos resolver las multiplicaciones porque son operaciones de mayor importancia"}, {"start": 332.76, "end": 334.12, "text": " que la resta."}, {"start": 334.12, "end": 346.03999999999996, "text": " 7x5 nos da 35, esto menos 4x3 que es 12 y en la parte de abajo efectuamos esta multiplicaci\u00f3n"}, {"start": 346.03999999999996, "end": 349.96, "text": " 4x5 que nos da 20."}, {"start": 349.96, "end": 355.08, "text": " Ahora resolvemos la operaci\u00f3n que nos qued\u00f3 en el numerador, esa resta."}, {"start": 355.08, "end": 362.91999999999996, "text": " 35 menos 12 nos da 23 y abajo conservamos el n\u00famero 20."}, {"start": 362.91999999999996, "end": 369.56, "text": " Revisamos ahora si esta fracci\u00f3n puede simplificarse, es decir si 23 y 20 tienen alg\u00fan divisor"}, {"start": 369.56, "end": 375.56, "text": " en com\u00fan que nos permita llevar esta fracci\u00f3n a una que tenga cantidades m\u00e1s peque\u00f1as."}, {"start": 375.56, "end": 382.0, "text": " Vemos que no es posible, se trata de una fracci\u00f3n irreducible y entonces \u00e9sta constituye la"}, {"start": 382.0, "end": 384.88, "text": " respuesta para ese ejercicio."}]

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OPERACIONES COMBINADAS CON FRACCIONARIOS - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo resolver un ejercicio donde hay suma y multiplicación de números fraccionarios. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver detalladamente este ejercicio donde tenemos una combinación de operaciones con números fraccionarios. Observamos una suma y una multiplicación. Como no tenemos signos de agrupación, es decir, no hay paréntesis, ni corchetes, ni llaves, debemos comenzar por resolver la multiplicación, que es una operación de mayor jerarquía que la suma. Comenzamos entonces escribiendo esta operación por acá y vamos a resolverla paso a paso. Recordemos que la multiplicación de fracciones debe resolverse multiplicando numeradores entre sí y denominadores entre sí. Entonces, escribimos en la parte de arriba la multiplicación de los numeradores y en la parte de abajo la multiplicación de los denominadores. Esto es lo que se llama ensamblar la operación. A continuación, vamos a revisar aquí qué números se pueden simplificar. Siempre será un número de arriba con un número de abajo. Por ejemplo, podemos simplificar 6 con 20, ambos números tienen mitad, o también podríamos simplificar 6 con 9 porque ambos números tienen tercera. Vamos con la primera elección. Mitad de 6 nos da 3, mitad de 20 nos da 10. Revisamos el resto de números y encontramos que, por ejemplo, 3 y 9 pueden simplificarse. Ambos tienen tercera. Decimos tercera de 3 es 1 y tercera de 9 nos da 13. Si continuamos revisando vemos que 16 y 10 pueden simplificarse porque son números pares. Entonces decimos mitad de 10 es 5 y mitad de 16 nos da 8. Revisamos los números que quedaron para ver si es posible hacer otra simplificación. Por ejemplo, 1 con 5 no se puede, 1 con 3 tampoco se puede, 8 con 5 no se puede y 8 con 3 tampoco se puede. Entonces procedemos a multiplicar los números que quedaron o los números sobrevivientes. En la parte de arriba 1 por 8 que es 8 y en la parte de abajo 5 por 3 que nos da 15. 8 y 15 es la fracción simplificada resultante de este producto o multiplicación de fracciones. Entonces vamos a escribir como nos queda la operación. La primera fracción 4 quintos más el resultado de esta multiplicación que nos dio 8 quinceavos. Tenemos ahora la suma de dos fracciones que tienen distinto denominador, o sea, fracciones heterogéneas. Vamos entonces a buscar el mínimo común múltiplo de los denominadores, es decir, el MCM para 5 y 15. Entonces vamos a realizar ese procedimiento por acá. Escribimos los dos números espaciados entre sí y trazamos esta línea vertical a la derecha del último número. Y acá vamos a intentar con números primos que sean divisores de estos que tenemos acá. Comenzamos con el 2 que es el primer número primo, pero 2 no le sirve a ninguno de estos números. Intentamos ahora con el 3 que es el siguiente número primo y vemos que le sirve al 15. Decimos tercera de 15, 5. El 3 no le sirve al 5, entonces ese número se deja igual. Como nos queda únicamente el número 5, utilizamos justamente el siguiente número primo que es el 5. 5 le sirve a estos dos. Decimos quinta de 5, 1. Y quinta de 5 es 1. Allí terminamos el proceso, multiplicamos estos dos números, 3 por 5 que nos da 15, y allí hemos encontrado el mítimo común múltiplo de los denominadores. Aquí podemos notar lo siguiente. Si multiplicamos 5 por 15 nos da 75, que es un número más grande que el mítimo común múltiplo que encontramos. Eso quiere decir que acá el truco o la técnica de la carita feliz no es tan conveniente porque trabajaríamos con cantidades más grandes de lo necesario. Entonces, repetimos, vamos a trabajar en esta ocasión con el mínimo común múltiplo. Entonces vamos a amplificar las fracciones que sean necesarias para que nos queden con denominador 15. Vamos con la primera. Tenemos cuatro quintos, entonces allí será necesario multiplicar por el número tal que en el denominador nos de 15. Nos preguntamos 5 por qué número nos da 15, encontramos que es el 3. Y ese mismo número debemos escribirlo en la parte de arriba porque eso es lo que ordena la amplificación de fracciones. Multiplicar arriba y abajo por la misma cantidad. Vamos a la otra fracción y vemos que ya tiene el 15. Por lo tanto, no es necesario modificarla. Esto nos va a quedar entonces de la siguiente manera. 4 por 3 es 12 y 5 por 3 es 15 para la primera fracción y la otra la dejamos tal como está. O sea, 8, 15 aos. Como se observa, ya tenemos aquí la suma de dos fracciones homogéneas. Fracciones con el mismo denominador. Entonces, en ese caso vamos a conservar ese denominador que es 15 y vamos a escribir la suma de los numeradores. 12 más 8. Efectuamos esa suma, nos da 20 y abajo nos queda el número 15. Finalmente revisamos si esta fracción puede simplificarse. Revisamos si el numerador y el denominador tienen un divisor en común. Como estos números terminan en 0 y en 5, entonces son divisibles por 5. Decimos quinta de 20 es 4 y quinta de 15 nos da 3. Entonces repetimos. Aquí hemos utilizado el proceso de simplificación dividiendo arriba y abajo por 5. Revisamos y 4 tercios es una fracción que no se puede simplificar más. Es una fracción irreducible y constituye la respuesta para este ejercicio.

[{"start": 0.0, "end": 10.200000000000001, "text": " Vamos a resolver detalladamente este ejercicio donde tenemos una combinaci\u00f3n de operaciones"}, {"start": 10.200000000000001, "end": 16.16, "text": " con n\u00fameros fraccionarios. Observamos una suma y una multiplicaci\u00f3n. Como no tenemos"}, {"start": 16.16, "end": 22.76, "text": " signos de agrupaci\u00f3n, es decir, no hay par\u00e9ntesis, ni corchetes, ni llaves, debemos comenzar"}, {"start": 22.76, "end": 30.48, "text": " por resolver la multiplicaci\u00f3n, que es una operaci\u00f3n de mayor jerarqu\u00eda que la suma."}, {"start": 30.48, "end": 37.24, "text": " Comenzamos entonces escribiendo esta operaci\u00f3n por ac\u00e1 y vamos a resolverla paso a paso."}, {"start": 37.24, "end": 42.8, "text": " Recordemos que la multiplicaci\u00f3n de fracciones debe resolverse multiplicando numeradores"}, {"start": 42.8, "end": 50.28, "text": " entre s\u00ed y denominadores entre s\u00ed. Entonces, escribimos en la parte de arriba la multiplicaci\u00f3n"}, {"start": 50.28, "end": 57.480000000000004, "text": " de los numeradores y en la parte de abajo la multiplicaci\u00f3n de los denominadores. Esto"}, {"start": 57.480000000000004, "end": 62.84, "text": " es lo que se llama ensamblar la operaci\u00f3n. A continuaci\u00f3n, vamos a revisar aqu\u00ed qu\u00e9"}, {"start": 62.84, "end": 69.44, "text": " n\u00fameros se pueden simplificar. Siempre ser\u00e1 un n\u00famero de arriba con un n\u00famero de abajo."}, {"start": 69.44, "end": 75.44, "text": " Por ejemplo, podemos simplificar 6 con 20, ambos n\u00fameros tienen mitad, o tambi\u00e9n podr\u00edamos"}, {"start": 75.44, "end": 83.03999999999999, "text": " simplificar 6 con 9 porque ambos n\u00fameros tienen tercera. Vamos con la primera elecci\u00f3n. Mitad"}, {"start": 83.03999999999999, "end": 92.03999999999999, "text": " de 6 nos da 3, mitad de 20 nos da 10. Revisamos el resto de n\u00fameros y encontramos que, por"}, {"start": 92.03999999999999, "end": 99.86, "text": " ejemplo, 3 y 9 pueden simplificarse. Ambos tienen tercera. Decimos tercera de 3 es 1"}, {"start": 99.86, "end": 108.48, "text": " y tercera de 9 nos da 13. Si continuamos revisando vemos que 16 y 10 pueden simplificarse porque"}, {"start": 108.48, "end": 118.56, "text": " son n\u00fameros pares. Entonces decimos mitad de 10 es 5 y mitad de 16 nos da 8. Revisamos"}, {"start": 118.56, "end": 124.4, "text": " los n\u00fameros que quedaron para ver si es posible hacer otra simplificaci\u00f3n. Por ejemplo, 1"}, {"start": 124.4, "end": 133.32, "text": " con 5 no se puede, 1 con 3 tampoco se puede, 8 con 5 no se puede y 8 con 3 tampoco se puede."}, {"start": 133.32, "end": 139.56, "text": " Entonces procedemos a multiplicar los n\u00fameros que quedaron o los n\u00fameros sobrevivientes."}, {"start": 139.56, "end": 147.76, "text": " En la parte de arriba 1 por 8 que es 8 y en la parte de abajo 5 por 3 que nos da 15. 8"}, {"start": 147.76, "end": 156.48, "text": " y 15 es la fracci\u00f3n simplificada resultante de este producto o multiplicaci\u00f3n de fracciones."}, {"start": 156.48, "end": 163.14, "text": " Entonces vamos a escribir como nos queda la operaci\u00f3n. La primera fracci\u00f3n 4 quintos"}, {"start": 163.14, "end": 171.84, "text": " m\u00e1s el resultado de esta multiplicaci\u00f3n que nos dio 8 quinceavos. 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Intentamos ahora con el 3 que es el siguiente n\u00famero primo y vemos"}, {"start": 220.36, "end": 228.04000000000002, "text": " que le sirve al 15. Decimos tercera de 15, 5. El 3 no le sirve al 5, entonces ese n\u00famero"}, {"start": 228.04000000000002, "end": 234.52, "text": " se deja igual. Como nos queda \u00fanicamente el n\u00famero 5, utilizamos justamente el siguiente"}, {"start": 234.52, "end": 241.24, "text": " n\u00famero primo que es el 5. 5 le sirve a estos dos. Decimos quinta de 5, 1. Y quinta de"}, {"start": 241.24, "end": 249.60000000000002, "text": " 5 es 1. All\u00ed terminamos el proceso, multiplicamos estos dos n\u00fameros, 3 por 5 que nos da 15,"}, {"start": 249.6, "end": 255.51999999999998, "text": " y all\u00ed hemos encontrado el m\u00edtimo com\u00fan m\u00faltiplo de los denominadores. Aqu\u00ed podemos"}, {"start": 255.51999999999998, "end": 262.71999999999997, "text": " notar lo siguiente. Si multiplicamos 5 por 15 nos da 75, que es un n\u00famero m\u00e1s grande"}, {"start": 262.71999999999997, "end": 269.08, "text": " que el m\u00edtimo com\u00fan m\u00faltiplo que encontramos. Eso quiere decir que ac\u00e1 el truco o la t\u00e9cnica"}, {"start": 269.08, "end": 275.2, "text": " de la carita feliz no es tan conveniente porque trabajar\u00edamos con cantidades m\u00e1s grandes"}, {"start": 275.2, "end": 280.84, "text": " de lo necesario. Entonces, repetimos, vamos a trabajar en esta ocasi\u00f3n con el m\u00ednimo"}, {"start": 280.84, "end": 288.03999999999996, "text": " com\u00fan m\u00faltiplo. Entonces vamos a amplificar las fracciones que sean necesarias para que"}, {"start": 288.03999999999996, "end": 295.0, "text": " nos queden con denominador 15. Vamos con la primera. Tenemos cuatro quintos, entonces"}, {"start": 295.0, "end": 304.4, "text": " all\u00ed ser\u00e1 necesario multiplicar por el n\u00famero tal que en el denominador nos de 15. Nos preguntamos"}, {"start": 304.4, "end": 311.17999999999995, "text": " 5 por qu\u00e9 n\u00famero nos da 15, encontramos que es el 3. Y ese mismo n\u00famero debemos escribirlo"}, {"start": 311.17999999999995, "end": 318.35999999999996, "text": " en la parte de arriba porque eso es lo que ordena la amplificaci\u00f3n de fracciones. Multiplicar"}, {"start": 318.35999999999996, "end": 324.71999999999997, "text": " arriba y abajo por la misma cantidad. Vamos a la otra fracci\u00f3n y vemos que ya tiene el"}, {"start": 324.71999999999997, "end": 333.15999999999997, "text": " 15. Por lo tanto, no es necesario modificarla. Esto nos va a quedar entonces de la siguiente"}, {"start": 333.16, "end": 342.68, "text": " manera. 4 por 3 es 12 y 5 por 3 es 15 para la primera fracci\u00f3n y la otra la dejamos"}, {"start": 342.68, "end": 350.48, "text": " tal como est\u00e1. O sea, 8, 15 aos. Como se observa, ya tenemos aqu\u00ed la suma de dos fracciones"}, {"start": 350.48, "end": 359.12, "text": " homog\u00e9neas. Fracciones con el mismo denominador. Entonces, en ese caso vamos a conservar ese"}, {"start": 359.12, "end": 369.56, "text": " denominador que es 15 y vamos a escribir la suma de los numeradores. 12 m\u00e1s 8. Efectuamos"}, {"start": 369.56, "end": 379.04, "text": " esa suma, nos da 20 y abajo nos queda el n\u00famero 15. Finalmente revisamos si esta fracci\u00f3n"}, {"start": 379.04, "end": 386.0, "text": " puede simplificarse. Revisamos si el numerador y el denominador tienen un divisor en com\u00fan."}, {"start": 386.0, "end": 392.76, "text": " Como estos n\u00fameros terminan en 0 y en 5, entonces son divisibles por 5. Decimos quinta"}, {"start": 392.76, "end": 401.8, "text": " de 20 es 4 y quinta de 15 nos da 3. Entonces repetimos. Aqu\u00ed hemos utilizado el proceso"}, {"start": 401.8, "end": 411.0, "text": " de simplificaci\u00f3n dividiendo arriba y abajo por 5. Revisamos y 4 tercios es una fracci\u00f3n"}, {"start": 411.0, "end": 418.28, "text": " que no se puede simplificar m\u00e1s. Es una fracci\u00f3n irreducible y constituye la respuesta para"}, {"start": 418.28, "end": 442.11999999999995, "text": " este ejercicio."}]

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POTENCIACIÓN CON FRACCIONES - Ejercicio 2

#julioprofe explica cómo resolver un ejercicio con fracciones, donde se aplican las propiedades de la potenciación. Videos de #PotenciaciónYRadicaciónDeFracciones → https://www.youtube.com/watch?v=yw1lx9htI2I&list=PLC6o1uTspYwH53F2LtiHNkN6Wd3489yPE REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver detalladamente este ejercicio llevándolo hasta su forma más simple. Vamos a utilizar en este caso las propiedades de la potenciación aplicadas a los números fraccionarios. Como se observa tanto en el numerador como en el denominador tenemos producto de potencias de la misma base. Allí aplicamos entonces esta propiedad. Si tenemos A a la M multiplicado por A a la M, es decir potencias de la misma base multiplicando entre sí, conservamos la base y sumamos los exponentes. Entonces tendremos en el numerador que se deja la misma base el fraccionario tres cuartos y vamos a escribir la suma de los exponentes. Cinco más menos dos. En este caso menos dos por ser una cantidad negativa se protege con paréntesis. Ahora en el denominador tenemos la misma situación. Conservamos la base que es tres cuartos y escribimos la suma de exponentes que es menos uno más seis. A continuación vamos a resolver estas operaciones. Tenemos en la parte de arriba tres cuartos y veamos cuánto nos da cinco más menos dos. Esto es lo mismo que decir cinco menos dos. Recordemos que aquí como tenemos signos vecinos se aplica la ley de los signos. Más por menos nos da menos y cinco menos dos nos da como resultado tres, que será el exponente de ese fraccionario del numerador. Ahora en el denominador dejamos la fracción tres cuartos y efectuamos la operación menos uno más seis que nos da como resultado cinco. Vamos a continuar el desarrollo del ejercicio por acá. Y tenemos ahora lo que es un cociente o división de potencias de la misma base. En ese caso la propiedad de la potenciación dice que se conserva la base y se restan los exponentes. Siempre el de arriba menos el de abajo. En ese caso conservamos la base que es la fracción tres cuartos y esto nos queda elevado a la operación tres menos cinco, la resta de exponentes. Ahora resolvemos esta operación. Entonces escribimos tres cuartos, la fracción protegida con paréntesis y tres menos cinco nos da menos dos. Y allí vamos a utilizar otra propiedad de la potenciación. Cuando tenemos una fracción elevada a un exponente negativo, entonces la fracción se invierte y el exponente cambia de signo. En ese caso quedaría positivo. Entonces vamos a aplicar esa propiedad aquí. La fracción se invierte, nos queda cuatro tercios y ahora el exponente nos queda como dos positivo. Tenemos ahora una fracción elevada a un exponente. Y en ese caso la propiedad de la potenciación es esta que nos dice que el exponente afecta tanto al numerador como al denominador. Entonces vamos a aplicar esa propiedad y acá tendremos cuatro al cuadrado sobre tres al cuadrado. Para terminar, resolvemos esas dos potencias. Tenemos que cuatro al cuadrado nos da dieciséis y tres al cuadrado es igual a nueve. Esto menos será entonces la respuesta para este ejercicio.

[{"start": 0.0, "end": 9.76, "text": " Vamos a resolver detalladamente este ejercicio llev\u00e1ndolo hasta su forma m\u00e1s simple."}, {"start": 9.76, "end": 15.68, "text": " Vamos a utilizar en este caso las propiedades de la potenciaci\u00f3n aplicadas a los n\u00fameros"}, {"start": 15.68, "end": 17.240000000000002, "text": " fraccionarios."}, {"start": 17.240000000000002, "end": 22.580000000000002, "text": " Como se observa tanto en el numerador como en el denominador tenemos producto de potencias"}, {"start": 22.580000000000002, "end": 24.080000000000002, "text": " de la misma base."}, {"start": 24.080000000000002, "end": 28.76, "text": " All\u00ed aplicamos entonces esta propiedad."}, {"start": 28.76, "end": 36.08, "text": " Si tenemos A a la M multiplicado por A a la M, es decir potencias de la misma base multiplicando"}, {"start": 36.08, "end": 41.96, "text": " entre s\u00ed, conservamos la base y sumamos los exponentes."}, {"start": 41.96, "end": 50.120000000000005, "text": " Entonces tendremos en el numerador que se deja la misma base el fraccionario tres cuartos"}, {"start": 50.120000000000005, "end": 54.68000000000001, "text": " y vamos a escribir la suma de los exponentes."}, {"start": 54.68000000000001, "end": 56.2, "text": " Cinco m\u00e1s menos dos."}, {"start": 56.2, "end": 62.2, "text": " En este caso menos dos por ser una cantidad negativa se protege con par\u00e9ntesis."}, {"start": 62.2, "end": 65.88, "text": " Ahora en el denominador tenemos la misma situaci\u00f3n."}, {"start": 65.88, "end": 73.12, "text": " Conservamos la base que es tres cuartos y escribimos la suma de exponentes que es menos"}, {"start": 73.12, "end": 75.08, "text": " uno m\u00e1s seis."}, {"start": 75.08, "end": 79.08, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a resolver estas operaciones."}, {"start": 79.08, "end": 86.96, "text": " Tenemos en la parte de arriba tres cuartos y veamos cu\u00e1nto nos da cinco m\u00e1s menos dos."}, {"start": 86.96, "end": 90.6, "text": " Esto es lo mismo que decir cinco menos dos."}, {"start": 90.6, "end": 96.08, "text": " Recordemos que aqu\u00ed como tenemos signos vecinos se aplica la ley de los signos."}, {"start": 96.08, "end": 101.72, "text": " M\u00e1s por menos nos da menos y cinco menos dos nos da como resultado tres, que ser\u00e1"}, {"start": 101.72, "end": 105.72, "text": " el exponente de ese fraccionario del numerador."}, {"start": 105.72, "end": 112.56, "text": " Ahora en el denominador dejamos la fracci\u00f3n tres cuartos y efectuamos la operaci\u00f3n menos"}, {"start": 112.56, "end": 117.16, "text": " uno m\u00e1s seis que nos da como resultado cinco."}, {"start": 117.16, "end": 123.2, "text": " Vamos a continuar el desarrollo del ejercicio por ac\u00e1."}, {"start": 123.2, "end": 129.56, "text": " Y tenemos ahora lo que es un cociente o divisi\u00f3n de potencias de la misma base."}, {"start": 129.56, "end": 137.28, "text": " En ese caso la propiedad de la potenciaci\u00f3n dice que se conserva la base y se restan los"}, {"start": 137.28, "end": 138.4, "text": " exponentes."}, {"start": 138.4, "end": 141.04, "text": " Siempre el de arriba menos el de abajo."}, {"start": 141.04, "end": 149.38, "text": " En ese caso conservamos la base que es la fracci\u00f3n tres cuartos y esto nos queda elevado"}, {"start": 149.38, "end": 155.68, "text": " a la operaci\u00f3n tres menos cinco, la resta de exponentes."}, {"start": 155.68, "end": 158.76, "text": " Ahora resolvemos esta operaci\u00f3n."}, {"start": 158.76, "end": 165.48, "text": " Entonces escribimos tres cuartos, la fracci\u00f3n protegida con par\u00e9ntesis y tres menos cinco"}, {"start": 165.48, "end": 167.39999999999998, "text": " nos da menos dos."}, {"start": 167.39999999999998, "end": 172.06, "text": " Y all\u00ed vamos a utilizar otra propiedad de la potenciaci\u00f3n."}, {"start": 172.06, "end": 177.79999999999998, "text": " Cuando tenemos una fracci\u00f3n elevada a un exponente negativo, entonces la fracci\u00f3n"}, {"start": 177.79999999999998, "end": 182.92, "text": " se invierte y el exponente cambia de signo."}, {"start": 182.92, "end": 185.56, "text": " En ese caso quedar\u00eda positivo."}, {"start": 185.56, "end": 188.92000000000002, "text": " Entonces vamos a aplicar esa propiedad aqu\u00ed."}, {"start": 188.92000000000002, "end": 194.76, "text": " La fracci\u00f3n se invierte, nos queda cuatro tercios y ahora el exponente nos queda como"}, {"start": 194.76, "end": 197.18, "text": " dos positivo."}, {"start": 197.18, "end": 200.0, "text": " Tenemos ahora una fracci\u00f3n elevada a un exponente."}, {"start": 200.0, "end": 207.76, "text": " Y en ese caso la propiedad de la potenciaci\u00f3n es esta que nos dice que el exponente afecta"}, {"start": 207.76, "end": 212.48000000000002, "text": " tanto al numerador como al denominador."}, {"start": 212.48, "end": 221.35999999999999, "text": " Entonces vamos a aplicar esa propiedad y ac\u00e1 tendremos cuatro al cuadrado sobre tres al"}, {"start": 221.35999999999999, "end": 222.79999999999998, "text": " cuadrado."}, {"start": 222.79999999999998, "end": 226.88, "text": " Para terminar, resolvemos esas dos potencias."}, {"start": 226.88, "end": 236.07999999999998, "text": " Tenemos que cuatro al cuadrado nos da diecis\u00e9is y tres al cuadrado es igual a nueve."}, {"start": 236.08, "end": 242.56, "text": " Esto menos ser\u00e1 entonces la respuesta para este ejercicio."}]

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INTEGRAL DEFINIDA - Ejercicio 11

#julioprofe explica cómo resolver una integral definida. Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → http://www.julioprofe.net

Vamos a resolver detalladamente esta integral definida. Lo primero que tenemos que hacer es encontrar una antiderivada para esta función, es decir, para el integrando. Como se observa, tenemos allí una expresión un poco complicada. Entonces vamos a utilizar el algebra para llevarla a una forma más sencilla, es decir, a una expresión que sea fácilmente integrable. Comenzamos anotando esa expresión por acá y como vemos en el numerador tenemos un binomio elevado al cuadrado. Vamos a recordar ese producto notable. Si tenemos a más b al cuadrado, esto es igual al primer término al cuadrado más dos veces el primer término por el segundo más el segundo término elevado al cuadrado. Entonces vamos a utilizar eso para expandir ese binomio al cuadrado. Comenzamos con el primer término que es raíz cuadrada de x elevado al cuadrado más dos veces el primer término por el segundo. Entonces dos por raíz cuadrada de x por tres y luego más el segundo término que es tres elevado al cuadrado. Y todo eso nos queda sobre dos raíz cuadrada de x. Enseguida vamos a resolver lo que hay en el numerador. Vamos a continuar por acá. Tenemos raíz cuadrada de x elevada al cuadrado, en ese caso nos da x. El cuadrado destruye la raíz cuadrada. Luego tenemos más dos por raíz de x por tres, multiplicamos dos por tres que es seis y ese número queda acompañado de raíz de x. Y por acá tenemos más tres al cuadrado que nos da nueve. Y todo eso queda sobre dos raíz de x. Ahora vamos a repartir este denominador para cada uno de los términos que tenemos en el numerador. Nos queda x sobre dos raíz de x más seis raíz de x sobre dos raíz de x y el otro término que será más nueve sobre dos raíz de x. Vamos a continuar la transformación de esa expresión por acá. En el primer término vamos a cambiar raíz cuadrada de x por x a un medio para que nos quede en forma de potencia. En el segundo término podemos simplificar raíz cuadrada de x y nos queda seis medios que equivale a tres. Y en el otro término tenemos nueve sobre dos raíz de x. Aquí también cambiamos raíz de x por x a la un medio. En el primer término tenemos un cociente de potencias de la misma base. Recordemos que allí se deja la base y se restan los exponentes. Aquí tenemos exponente uno. Entonces uno menos un medio nos da un medio. Nos queda x a la un medio en el numerador y en el denominador tendremos el número dos. Ese término no cambia. Y en el otro término vamos a subir esta potencia. Nos queda x a la menos un medio y en el denominador permanece el número dos. Esto que hemos obtenido constituye una expresión que ya se puede integrar de forma directa. Entonces vamos a traerla acá, vamos a reconstruir la integral definida escribiendo estos términos de la siguiente manera. El primero puede escribirse como un medio de x a la un medio. El siguiente queda como tres. El otro nos queda como nueve medios de x a la menos un medio. Protegemos todo esto con paréntesis y escribimos el diferencial de x. Ahora sí podemos proceder a integrar esta función. Repetimos, esta expresión es equivalente a la que teníamos originalmente. Vamos a continuar por acá. Y como tenemos una suma de términos, integramos cada uno de ellos. Comenzamos con el primero donde un medio se queda quieto porque es la constante de ese término y nos ocupamos de integrar x a la un medio. En ese caso nos queda x a la un medio más uno que nos da tres medios. Recordemos que el truco rápido para obtener ese resultado es sumar estos dos números. Uno más dos nos da tres que es el numerador y conservamos el denominador. Y luego este número se escribe acá debajo. Vamos al siguiente término. La integral de tres será tres x. Vamos al siguiente donde nueve medios también se deja quieto porque es la constante de ese término y vamos a integrar x a la menos un medio. De nuevo escribimos x a menos un medio le sumamos uno. Entonces aplicando el truco efectuamos menos uno más dos que nos da uno. Eso va en el numerador. Conservamos el mismo denominador y luego ese número lo escribimos acá debajo. Y trazamos la línea donde van los límites de integración que son cuatro y nueve. Antes de aplicar el teorema fundamental del cálculo, es decir antes de reemplazar estos números en la antiderivada es conveniente organizar y simplificar esta expresión para que el reemplazo de estos números sea más sencillo. Veamos entonces cómo nos quedará esa expresión de una manera más sencilla. En el primer término dejamos un medio y esto queda multiplicando por este dos que sube a multiplicar con x a la tres medios y abajo se queda el tres. Estamos aplicando allí la ley de extremos y medios o lo que se conoce también como la ley de la oreja. Aquí nos queda el término más tres x. Por acá dejamos nueve medios. Acá hacemos lo mismo. El dos sube a multiplicar con x a un medio. Luego se queda el uno y trazamos la línea donde van los límites de integración. Vamos a continuar el desarrollo del ejercicio por acá. Y en el primer término se puede simplificar el número dos. Este se cancela y nos va a quedar x a la tres medios sobre tres. En el segundo término permanece tres x y acá en el tercer término también puede simplificarse el número dos. Nos quedará entonces nueve por x a la un medio y el denominador es uno entonces lo podemos omitir y escribimos los límites de integración. Enseguida vamos a escribir x a la tres medios y x a la un medio como radicales totalmente simplificados y eso lo vamos a hacer utilizando esta propiedad que nos conecta la potenciación con la radicación. Entonces veamos. X a la tres medios nos va a quedar raíz de índice dos con x a la tres. El índice dos puede volverse invisible porque es raíz cuadrada y descomponemos x a la tres como x a la dos por x a la uno o simplemente por x. Allí repartimos la raíz. Nos queda raíz cuadrada de x al cuadrado por raíz cuadrada de x. Esto nos daría legalmente valor absoluto de x, pero en este caso x es una cantidad que está comprendida entre cuatro y nueve es positiva por lo tanto valor absoluto de x en ese caso sería x y queda acompañada de la raíz cuadrada de x. Entonces x a la tres medios es raíz de x que queda sobre tres luego tenemos el término más tres x y acá tendremos nueve por raíz cuadrada de x. De nuevo esto se convierte en esta raíz apoyándonos en esa propiedad y escribimos de nuevo los límites de integración. Ahora sí cuando tenemos la antidenivada totalmente organizada y simplificada proceso que hicimos utilizando el algebra es el momento de reemplazar estos valores. Es decir vamos a utilizar allí el teorema fundamental del cálculo. Comenzamos reemplazando el límite superior. Tendremos entonces nueve por raíz cuadrada de nueve todo esto sobre tres más tres por x o sea tres por nueve y acá tenemos más nueve que multiplica a la raíz cuadrada de nueve. Repetimos nueve está ocupando el lugar de la x todo esto lo protegemos utilizando corchete y vamos a restarle lo que es el reemplazo del límite inferior o sea del número cuatro también donde tenemos las x. En el primer término nos queda cuatro raíz de cuatro sobre tres más tres por cuatro en el segundo término y acá tenemos más nueve raíz de cuatro y cerramos el corchete que protege esa expresión. Bien ahora entramos en la recta final del ejercicio que es resolver con cuidado todas estas operaciones que corresponden a la aritmética. Vamos entonces a continuar por acá. Acá tenemos raíz de nueve que nos da tres, tres por nueve es veintisiete, veintisiete sobre tres nos da nueve más tres por nueve que es veintisiete y acá tenemos raíz de nueve que es tres, tres por nueve veintisiete y protegemos esto utilizando corchete. Vamos a restarle ahora eso que tenemos acá y vamos a ir desarrollando esas operaciones. Raíz de cuatro nos da dos, dos por cuatro es ocho y nos queda ocho sobre tres o sea ocho tercios más tres por cuatro que nos da doce, acá tenemos raíz de cuatro que es dos, dos por nueve nos da dieciocho y cerramos el corchete. Continuamos por acá. Comenzamos la operación que tenemos en el primer corchete, veintisiete más veintisiete nos da cincuenta y cuatro eso más nueve nos da sesenta y tres menos vamos al siguiente tenemos ocho tercios y doce más dieciocho que nos da más treinta. Ahora vamos a quitar esos signos de agrupación en el primer caso sale sesenta y tres en el segundo caso entra el signo menos nos queda menos ocho tercios y menos treinta. Continuamos lo que nos queda por acá tenemos sesenta y tres menos treinta que nos da treinta y tres y eso nos va a quedar menos ocho tercios. Al número treinta y tres le podemos colocar denominador uno y tenemos aquí la resta de dos fracciones heterogenias que podemos resolver utilizando la carita feliz este por este, este por este y estos dos. Entonces arriba tenemos treinta y tres por tres que nos da noventa y nueve menos uno por ocho que es ocho y abajo uno por tres que nos da tres. Noventa y nueve menos ocho nos da noventa y uno y nos queda esto sobre tres. Una fracción que no se puede simplificar es irreducible y que constituye la respuesta para esa integral definida.

[{"start": 0.0, "end": 8.120000000000001, "text": " Vamos a resolver detalladamente esta integral definida."}, {"start": 8.120000000000001, "end": 14.92, "text": " Lo primero que tenemos que hacer es encontrar una antiderivada para esta funci\u00f3n, es decir,"}, {"start": 14.92, "end": 16.54, "text": " para el integrando."}, {"start": 16.54, "end": 21.0, "text": " Como se observa, tenemos all\u00ed una expresi\u00f3n un poco complicada."}, {"start": 21.0, "end": 26.92, "text": " Entonces vamos a utilizar el algebra para llevarla a una forma m\u00e1s sencilla, es decir,"}, {"start": 26.92, "end": 31.32, "text": " a una expresi\u00f3n que sea f\u00e1cilmente integrable."}, {"start": 31.32, "end": 38.1, "text": " Comenzamos anotando esa expresi\u00f3n por ac\u00e1 y como vemos en el numerador tenemos un binomio"}, {"start": 38.1, "end": 39.760000000000005, "text": " elevado al cuadrado."}, {"start": 39.760000000000005, "end": 42.64, "text": " Vamos a recordar ese producto notable."}, {"start": 42.64, "end": 48.92, "text": " Si tenemos a m\u00e1s b al cuadrado, esto es igual al primer t\u00e9rmino al cuadrado m\u00e1s dos veces"}, {"start": 48.92, "end": 54.64, "text": " el primer t\u00e9rmino por el segundo m\u00e1s el segundo t\u00e9rmino elevado al cuadrado."}, {"start": 54.64, "end": 60.88, "text": " Entonces vamos a utilizar eso para expandir ese binomio al cuadrado."}, {"start": 60.88, "end": 67.48, "text": " Comenzamos con el primer t\u00e9rmino que es ra\u00edz cuadrada de x elevado al cuadrado m\u00e1s dos"}, {"start": 67.48, "end": 70.2, "text": " veces el primer t\u00e9rmino por el segundo."}, {"start": 70.2, "end": 80.66, "text": " Entonces dos por ra\u00edz cuadrada de x por tres y luego m\u00e1s el segundo t\u00e9rmino que es tres"}, {"start": 80.66, "end": 83.08, "text": " elevado al cuadrado."}, {"start": 83.08, "end": 89.32, "text": " Y todo eso nos queda sobre dos ra\u00edz cuadrada de x."}, {"start": 89.32, "end": 93.64, "text": " Enseguida vamos a resolver lo que hay en el numerador."}, {"start": 93.64, "end": 97.32, "text": " Vamos a continuar por ac\u00e1."}, {"start": 97.32, "end": 102.48, "text": " Tenemos ra\u00edz cuadrada de x elevada al cuadrado, en ese caso nos da x."}, {"start": 102.48, "end": 105.24, "text": " El cuadrado destruye la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 105.24, "end": 111.44, "text": " Luego tenemos m\u00e1s dos por ra\u00edz de x por tres, multiplicamos dos por tres que es seis"}, {"start": 111.44, "end": 114.86, "text": " y ese n\u00famero queda acompa\u00f1ado de ra\u00edz de x."}, {"start": 114.86, "end": 119.39999999999999, "text": " Y por ac\u00e1 tenemos m\u00e1s tres al cuadrado que nos da nueve."}, {"start": 119.39999999999999, "end": 123.75999999999999, "text": " Y todo eso queda sobre dos ra\u00edz de x."}, {"start": 123.75999999999999, "end": 129.4, "text": " Ahora vamos a repartir este denominador para cada uno de los t\u00e9rminos que tenemos en el"}, {"start": 129.4, "end": 130.68, "text": " numerador."}, {"start": 130.68, "end": 142.92000000000002, "text": " Nos queda x sobre dos ra\u00edz de x m\u00e1s seis ra\u00edz de x sobre dos ra\u00edz de x y el otro"}, {"start": 142.92000000000002, "end": 149.52, "text": " t\u00e9rmino que ser\u00e1 m\u00e1s nueve sobre dos ra\u00edz de x."}, {"start": 149.52, "end": 155.96, "text": " Vamos a continuar la transformaci\u00f3n de esa expresi\u00f3n por ac\u00e1."}, {"start": 155.96, "end": 165.24, "text": " En el primer t\u00e9rmino vamos a cambiar ra\u00edz cuadrada de x por x a un medio para que nos"}, {"start": 165.24, "end": 167.28, "text": " quede en forma de potencia."}, {"start": 167.28, "end": 174.84, "text": " En el segundo t\u00e9rmino podemos simplificar ra\u00edz cuadrada de x y nos queda seis medios"}, {"start": 174.84, "end": 177.14000000000001, "text": " que equivale a tres."}, {"start": 177.14000000000001, "end": 183.0, "text": " Y en el otro t\u00e9rmino tenemos nueve sobre dos ra\u00edz de x."}, {"start": 183.0, "end": 189.48, "text": " Aqu\u00ed tambi\u00e9n cambiamos ra\u00edz de x por x a la un medio."}, {"start": 189.48, "end": 195.04, "text": " En el primer t\u00e9rmino tenemos un cociente de potencias de la misma base."}, {"start": 195.04, "end": 199.72, "text": " Recordemos que all\u00ed se deja la base y se restan los exponentes."}, {"start": 199.72, "end": 201.8, "text": " Aqu\u00ed tenemos exponente uno."}, {"start": 201.8, "end": 205.68, "text": " Entonces uno menos un medio nos da un medio."}, {"start": 205.68, "end": 211.72, "text": " Nos queda x a la un medio en el numerador y en el denominador tendremos el n\u00famero dos."}, {"start": 211.72, "end": 215.32, "text": " Ese t\u00e9rmino no cambia."}, {"start": 215.32, "end": 219.0, "text": " Y en el otro t\u00e9rmino vamos a subir esta potencia."}, {"start": 219.0, "end": 227.6, "text": " Nos queda x a la menos un medio y en el denominador permanece el n\u00famero dos."}, {"start": 227.6, "end": 234.76, "text": " Esto que hemos obtenido constituye una expresi\u00f3n que ya se puede integrar de forma directa."}, {"start": 234.76, "end": 242.6, "text": " Entonces vamos a traerla ac\u00e1, vamos a reconstruir la integral definida escribiendo estos t\u00e9rminos"}, {"start": 242.6, "end": 244.16, "text": " de la siguiente manera."}, {"start": 244.16, "end": 251.28, "text": " El primero puede escribirse como un medio de x a la un medio."}, {"start": 251.28, "end": 254.32, "text": " El siguiente queda como tres."}, {"start": 254.32, "end": 261.64, "text": " El otro nos queda como nueve medios de x a la menos un medio."}, {"start": 261.64, "end": 268.56, "text": " Protegemos todo esto con par\u00e9ntesis y escribimos el diferencial de x."}, {"start": 268.56, "end": 272.59999999999997, "text": " Ahora s\u00ed podemos proceder a integrar esta funci\u00f3n."}, {"start": 272.59999999999997, "end": 278.56, "text": " Repetimos, esta expresi\u00f3n es equivalente a la que ten\u00edamos originalmente."}, {"start": 278.56, "end": 282.47999999999996, "text": " Vamos a continuar por ac\u00e1."}, {"start": 282.47999999999996, "end": 286.88, "text": " Y como tenemos una suma de t\u00e9rminos, integramos cada uno de ellos."}, {"start": 286.88, "end": 292.08, "text": " Comenzamos con el primero donde un medio se queda quieto porque es la constante de ese"}, {"start": 292.08, "end": 297.0, "text": " t\u00e9rmino y nos ocupamos de integrar x a la un medio."}, {"start": 297.0, "end": 303.76, "text": " En ese caso nos queda x a la un medio m\u00e1s uno que nos da tres medios."}, {"start": 303.76, "end": 309.52, "text": " Recordemos que el truco r\u00e1pido para obtener ese resultado es sumar estos dos n\u00fameros."}, {"start": 309.52, "end": 314.44, "text": " Uno m\u00e1s dos nos da tres que es el numerador y conservamos el denominador."}, {"start": 314.44, "end": 318.8, "text": " Y luego este n\u00famero se escribe ac\u00e1 debajo."}, {"start": 318.8, "end": 320.71999999999997, "text": " Vamos al siguiente t\u00e9rmino."}, {"start": 320.71999999999997, "end": 324.52, "text": " La integral de tres ser\u00e1 tres x."}, {"start": 324.52, "end": 330.96, "text": " Vamos al siguiente donde nueve medios tambi\u00e9n se deja quieto porque es la constante de ese"}, {"start": 330.96, "end": 335.04, "text": " t\u00e9rmino y vamos a integrar x a la menos un medio."}, {"start": 335.04, "end": 339.12, "text": " De nuevo escribimos x a menos un medio le sumamos uno."}, {"start": 339.12, "end": 344.8, "text": " Entonces aplicando el truco efectuamos menos uno m\u00e1s dos que nos da uno."}, {"start": 344.8, "end": 347.6, "text": " Eso va en el numerador."}, {"start": 347.6, "end": 353.4, "text": " Conservamos el mismo denominador y luego ese n\u00famero lo escribimos ac\u00e1 debajo."}, {"start": 353.4, "end": 363.16, "text": " Y trazamos la l\u00ednea donde van los l\u00edmites de integraci\u00f3n que son cuatro y nueve."}, {"start": 363.16, "end": 368.2, "text": " Antes de aplicar el teorema fundamental del c\u00e1lculo, es decir antes de reemplazar estos"}, {"start": 368.2, "end": 375.32, "text": " n\u00fameros en la antiderivada es conveniente organizar y simplificar esta expresi\u00f3n para"}, {"start": 375.32, "end": 379.47999999999996, "text": " que el reemplazo de estos n\u00fameros sea m\u00e1s sencillo."}, {"start": 379.47999999999996, "end": 386.44, "text": " Veamos entonces c\u00f3mo nos quedar\u00e1 esa expresi\u00f3n de una manera m\u00e1s sencilla."}, {"start": 386.44, "end": 392.36, "text": " En el primer t\u00e9rmino dejamos un medio y esto queda multiplicando por este dos que sube"}, {"start": 392.36, "end": 398.68, "text": " a multiplicar con x a la tres medios y abajo se queda el tres."}, {"start": 398.68, "end": 403.56, "text": " Estamos aplicando all\u00ed la ley de extremos y medios o lo que se conoce tambi\u00e9n como"}, {"start": 403.56, "end": 405.24, "text": " la ley de la oreja."}, {"start": 405.24, "end": 408.34000000000003, "text": " Aqu\u00ed nos queda el t\u00e9rmino m\u00e1s tres x."}, {"start": 408.34000000000003, "end": 410.88, "text": " Por ac\u00e1 dejamos nueve medios."}, {"start": 410.88, "end": 412.68, "text": " Ac\u00e1 hacemos lo mismo."}, {"start": 412.68, "end": 417.74, "text": " El dos sube a multiplicar con x a un medio."}, {"start": 417.74, "end": 425.32, "text": " Luego se queda el uno y trazamos la l\u00ednea donde van los l\u00edmites de integraci\u00f3n."}, {"start": 425.32, "end": 431.2, "text": " Vamos a continuar el desarrollo del ejercicio por ac\u00e1."}, {"start": 431.2, "end": 437.16, "text": " Y en el primer t\u00e9rmino se puede simplificar el n\u00famero dos."}, {"start": 437.16, "end": 445.36, "text": " Este se cancela y nos va a quedar x a la tres medios sobre tres."}, {"start": 445.36, "end": 453.08000000000004, "text": " En el segundo t\u00e9rmino permanece tres x y ac\u00e1 en el tercer t\u00e9rmino tambi\u00e9n puede simplificarse"}, {"start": 453.08000000000004, "end": 455.16, "text": " el n\u00famero dos."}, {"start": 455.16, "end": 463.04, "text": " Nos quedar\u00e1 entonces nueve por x a la un medio y el denominador es uno entonces lo"}, {"start": 463.04, "end": 469.40000000000003, "text": " podemos omitir y escribimos los l\u00edmites de integraci\u00f3n."}, {"start": 469.4, "end": 475.56, "text": " Enseguida vamos a escribir x a la tres medios y x a la un medio como radicales totalmente"}, {"start": 475.56, "end": 484.28, "text": " simplificados y eso lo vamos a hacer utilizando esta propiedad que nos conecta la potenciaci\u00f3n"}, {"start": 484.28, "end": 487.2, "text": " con la radicaci\u00f3n."}, {"start": 487.2, "end": 488.71999999999997, "text": " Entonces veamos."}, {"start": 488.71999999999997, "end": 498.14, "text": " X a la tres medios nos va a quedar ra\u00edz de \u00edndice dos con x a la tres."}, {"start": 498.14, "end": 504.88, "text": " El \u00edndice dos puede volverse invisible porque es ra\u00edz cuadrada y descomponemos x a la tres"}, {"start": 504.88, "end": 509.56, "text": " como x a la dos por x a la uno o simplemente por x."}, {"start": 509.56, "end": 512.42, "text": " All\u00ed repartimos la ra\u00edz."}, {"start": 512.42, "end": 518.4399999999999, "text": " Nos queda ra\u00edz cuadrada de x al cuadrado por ra\u00edz cuadrada de x."}, {"start": 518.4399999999999, "end": 524.4, "text": " Esto nos dar\u00eda legalmente valor absoluto de x, pero en este caso x es una cantidad que"}, {"start": 524.4, "end": 531.24, "text": " est\u00e1 comprendida entre cuatro y nueve es positiva por lo tanto valor absoluto de x en"}, {"start": 531.24, "end": 537.56, "text": " ese caso ser\u00eda x y queda acompa\u00f1ada de la ra\u00edz cuadrada de x."}, {"start": 537.56, "end": 548.3199999999999, "text": " Entonces x a la tres medios es ra\u00edz de x que queda sobre tres luego tenemos el t\u00e9rmino"}, {"start": 548.32, "end": 555.5600000000001, "text": " m\u00e1s tres x y ac\u00e1 tendremos nueve por ra\u00edz cuadrada de x."}, {"start": 555.5600000000001, "end": 563.48, "text": " De nuevo esto se convierte en esta ra\u00edz apoy\u00e1ndonos en esa propiedad y escribimos de nuevo los"}, {"start": 563.48, "end": 566.84, "text": " l\u00edmites de integraci\u00f3n."}, {"start": 566.84, "end": 573.5200000000001, "text": " Ahora s\u00ed cuando tenemos la antidenivada totalmente organizada y simplificada proceso que hicimos"}, {"start": 573.5200000000001, "end": 577.96, "text": " utilizando el algebra es el momento de reemplazar estos valores."}, {"start": 577.96, "end": 583.44, "text": " Es decir vamos a utilizar all\u00ed el teorema fundamental del c\u00e1lculo."}, {"start": 583.44, "end": 586.5600000000001, "text": " Comenzamos reemplazando el l\u00edmite superior."}, {"start": 586.5600000000001, "end": 595.88, "text": " Tendremos entonces nueve por ra\u00edz cuadrada de nueve todo esto sobre tres m\u00e1s tres por"}, {"start": 595.88, "end": 604.1600000000001, "text": " x o sea tres por nueve y ac\u00e1 tenemos m\u00e1s nueve que multiplica a la ra\u00edz cuadrada de"}, {"start": 604.1600000000001, "end": 605.1600000000001, "text": " nueve."}, {"start": 605.16, "end": 614.7199999999999, "text": " Repetimos nueve est\u00e1 ocupando el lugar de la x todo esto lo protegemos utilizando corchete"}, {"start": 614.7199999999999, "end": 621.54, "text": " y vamos a restarle lo que es el reemplazo del l\u00edmite inferior o sea del n\u00famero cuatro"}, {"start": 621.54, "end": 624.36, "text": " tambi\u00e9n donde tenemos las x."}, {"start": 624.36, "end": 632.56, "text": " En el primer t\u00e9rmino nos queda cuatro ra\u00edz de cuatro sobre tres m\u00e1s tres por cuatro"}, {"start": 632.56, "end": 641.7199999999999, "text": " en el segundo t\u00e9rmino y ac\u00e1 tenemos m\u00e1s nueve ra\u00edz de cuatro y cerramos el corchete"}, {"start": 641.7199999999999, "end": 644.3599999999999, "text": " que protege esa expresi\u00f3n."}, {"start": 644.3599999999999, "end": 650.0799999999999, "text": " Bien ahora entramos en la recta final del ejercicio que es resolver con cuidado todas"}, {"start": 650.0799999999999, "end": 654.88, "text": " estas operaciones que corresponden a la aritm\u00e9tica."}, {"start": 654.88, "end": 657.28, "text": " Vamos entonces a continuar por ac\u00e1."}, {"start": 657.28, "end": 662.28, "text": " Ac\u00e1 tenemos ra\u00edz de nueve que nos da tres, tres por nueve es veintisiete, veintisiete"}, {"start": 662.28, "end": 670.76, "text": " sobre tres nos da nueve m\u00e1s tres por nueve que es veintisiete y ac\u00e1 tenemos ra\u00edz de"}, {"start": 670.76, "end": 679.0799999999999, "text": " nueve que es tres, tres por nueve veintisiete y protegemos esto utilizando corchete."}, {"start": 679.0799999999999, "end": 685.56, "text": " Vamos a restarle ahora eso que tenemos ac\u00e1 y vamos a ir desarrollando esas operaciones."}, {"start": 685.56, "end": 691.7199999999999, "text": " Ra\u00edz de cuatro nos da dos, dos por cuatro es ocho y nos queda ocho sobre tres o sea"}, {"start": 691.7199999999999, "end": 699.0799999999999, "text": " ocho tercios m\u00e1s tres por cuatro que nos da doce, ac\u00e1 tenemos ra\u00edz de cuatro que es"}, {"start": 699.0799999999999, "end": 706.7199999999999, "text": " dos, dos por nueve nos da dieciocho y cerramos el corchete."}, {"start": 706.7199999999999, "end": 709.8399999999999, "text": " Continuamos por ac\u00e1."}, {"start": 709.84, "end": 715.84, "text": " Comenzamos la operaci\u00f3n que tenemos en el primer corchete, veintisiete m\u00e1s veintisiete"}, {"start": 715.84, "end": 724.12, "text": " nos da cincuenta y cuatro eso m\u00e1s nueve nos da sesenta y tres menos vamos al siguiente"}, {"start": 724.12, "end": 733.24, "text": " tenemos ocho tercios y doce m\u00e1s dieciocho que nos da m\u00e1s treinta."}, {"start": 733.24, "end": 738.88, "text": " Ahora vamos a quitar esos signos de agrupaci\u00f3n en el primer caso sale sesenta y tres en el"}, {"start": 738.88, "end": 747.12, "text": " segundo caso entra el signo menos nos queda menos ocho tercios y menos treinta."}, {"start": 747.12, "end": 756.16, "text": " Continuamos lo que nos queda por ac\u00e1 tenemos sesenta y tres menos treinta que nos da treinta"}, {"start": 756.16, "end": 762.04, "text": " y tres y eso nos va a quedar menos ocho tercios."}, {"start": 762.04, "end": 770.3199999999999, "text": " Al n\u00famero treinta y tres le podemos colocar denominador uno y tenemos aqu\u00ed la resta de dos fracciones heterogenias"}, {"start": 770.3199999999999, "end": 777.9599999999999, "text": " que podemos resolver utilizando la carita feliz este por este, este por este y estos dos."}, {"start": 777.9599999999999, "end": 783.16, "text": " Entonces arriba tenemos treinta y tres por tres que nos da noventa y nueve menos uno"}, {"start": 783.16, "end": 788.12, "text": " por ocho que es ocho y abajo uno por tres que nos da tres."}, {"start": 788.12, "end": 793.6, "text": " Noventa y nueve menos ocho nos da noventa y uno y nos queda esto sobre tres."}, {"start": 793.6, "end": 800.24, "text": " Una fracci\u00f3n que no se puede simplificar es irreducible y que constituye la respuesta"}, {"start": 800.24, "end": 818.64, "text": " para esa integral definida."}]

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INTEGRAL DEFINIDA - Ejercicio 10

#julioprofe explica cómo resolver una integral definida que contiene un binomio al cuadrado en el integrando. Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → http://www.julioprofe.net

Vamos a resolver detalladamente esta integral definida y vamos a comenzar por transformar el integrando, es decir, esta expresión que se presenta como un binomio elevado al cuadrado. Vamos a recordar ese producto notable, la fórmula para desarrollar o expandir un binomio al cuadrado. Recordemos que es el primer término al cuadrado más dos veces el primero por el segundo y eso más el segundo término elevado al cuadrado. Entonces, tenemos en este caso la expresión dos sobre x más tres x, todo esto elevado al cuadrado. Como se observa, A está representada por dos sobre x y B está representada por el término tres x. Entonces vamos a aplicar esa fórmula o ese producto notable. Comenzamos con el primer término elevado al cuadrado, es decir, dos sobre x, todo eso al cuadrado, más dos veces el primer término por el segundo, o sea, dos sobre x por tres x y a eso vamos a sumarle el segundo término elevado al cuadrado, es decir, tres x entre paréntesis y eso elevado al cuadrado. Enseguida vamos a desarrollar cada una de estas operaciones. Comenzamos aquí con esta potencia. Tenemos una fracción elevada al cuadrado, en ese caso el exponente afecta al numerador y también al denominador. Tendríamos dos al cuadrado, que es cuatro, sobre x elevada al cuadrado. Esto más la multiplicación de estos tres componentes, en ese caso vemos que la x puede cancelarse o eliminarse y nos quedaría dos por dos por tres, que nos da como resultado doce. Y acá tenemos la multiplicación de dos cantidades y todo eso elevado al cuadrado. Allí el exponente afecta a cada uno de estos dos factores. Entonces tres al cuadrado será nueve y también la x queda elevada al cuadrado. Lo que buscamos es que esta expresión que tenemos en el integrando se transforme en otra expresión que sea fácil de integrar. Como se observa, aquí ya tenemos tres términos sumando, por lo tanto al momento de integrar podemos trabajar cada uno de ellos. Sin embargo, este primer término es conveniente reescribirlo como cuatro x a la menos dos. Recordemos que si esta potencia se sube, entonces cambia de signo el exponente. Los demás términos se dejan tal como están. Ya están listos para ser integrados. Entonces traemos esa expresión acá a la integral definida que va desde dos hasta cuatro. Entonces escribimos cuatro x a la menos dos más doce y todo esto más el término nueve x al cuadrado y escribimos el diferencial de x. Ahora sí, como decíamos hace un momento, ya podemos integrar cada uno de esos términos que están sumando entre sí. Comenzamos con el primero donde el número cuatro se deja quieto, es la constante de ese término y procedemos a integrar x a la menos dos. Recordemos que en ese caso se le suma uno al exponente. Menos dos más uno nos da menos uno y ese mismo número se escribe acá en el denominador. 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Abrimos el corchete, dos va a entrar donde tenemos las x, quedaría menos cuatro sobre dos, más doce por dos y acá tenemos más tres por dos elevado al cubo y cerramos ese corchete. Vamos a continuar el desarrollo del ejercicio por acá. Y vamos a desarrollar cada una de estas operaciones que corresponden a la aritmética. Por acá tenemos menos cuatro sobre cuatro, que es menos uno, más doce por cuatro que es cuarenta y ocho y aquí tenemos cuatro al cubo que es sesenta y cuatro y sesenta y cuatro por tres nos da ciento noventa y dos. Esto lo protegemos y a eso vamos a restarle lo que nos den estas operaciones. Por acá tenemos menos cuatro medios o menos cuatro sobre dos que es menos dos. Acá tenemos más doce por dos que es más veinticuatro y acá tenemos dos al cubo que es ocho y ocho por tres nos da veinticuatro y cerramos el corchete. Seguimos ahora por acá y tenemos dentro del primer corchete la operación ciento noventa y dos más cuarenta y ocho que nos da doscientos cuarenta y doscientos cuarenta menos uno que es doscientos treinta y nueve. Protegemos por seguridad abrimos el otro corchete acá tenemos veinticuatro más veinticuatro que es cuarenta y ocho, cuarenta y ocho menos dos nos da cuarenta y seis. Allí ya podemos destruir o romper los corchetes y nos queda doscientos treinta y nueve menos cuarenta y seis. Por último resolvemos esta resta y obtenemos ciento noventa y tres que será el resultado o la respuesta para esta integral definida.

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INTEGRAL DEFINIDA - Ejercicio 7

#julioprofe explica cómo resolver una integral definida. Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → http://www.julioprofe.net

Vamos a resolver detalladamente esta integral definida y para comenzar vamos a transformar esta función, es decir, el integrando. Como se observa aparece como el producto de dos binomios. Recordemos que en las integrales si tenemos un producto de funciones no es permitido repartir la integral para cada una de esas expresiones o funciones que están multiplicando. Es la situación que tenemos acá, dos expresiones que están multiplicando, entonces no podemos hacer esto, no podemos repartir la integral. Entonces vamos a transformar el integrando. Vamos a escribir por acá ese producto 2x menos 1 por 4x más 5 y lo vamos a desarrollar. Entonces vamos a aplicar la propiedad distributiva todos con todos. Tenemos entonces lo siguiente, 2x por 4x nos da 8x al cuadrado, 2x por más 5 nos da más 10x, luego tenemos menos 1 por 4x que es menos 4x y menos 1 por más 5 que nos da menos 5. Acá podemos operar o reducir términos semejantes, estos que contienen la x. Tendremos entonces 8x al cuadrado más 10x menos 4x nos da más 6x y tenemos el término independiente que es menos 5. Entonces esta expresión es la que vamos a escribir en el integrando. Tenemos la integral desde menos 1 hasta 2 de 8x al cuadrado más 6x menos 5 y le escribimos el diferencial de x. Ahora sí podemos continuar con el desarrollo del ejercicio. Vamos a obtener una antiderivada para esta expresión que obtuvimos. Como allí tenemos suma y resta de términos entonces procedemos a integrar cada uno de ellos. Comencemos con el primero donde dejamos quieto el número 8 y vamos a integrar x al cuadrado. Eso nos va a dar x a la 2 más 1 que es 3 y todo esto sobre 3. Recordemos que este mismo número se escribe debajo. Pasamos al siguiente término donde también dejamos quieto el número 6 y vamos a integrar x que tiene exponente 1. Entonces será x a la 1 más 1 que es 2 y escribimos debajo el mismo número. Y pasamos al otro término que sería menos 5x. La integral de este número será el mismo número acompañado de la variable. Recordemos que la derivada de menos 5x es menos 5 y como es una integral definida trazamos esa línea y anotamos los límites de integración. Antes de evaluar estos dos números en la antiderivada, es decir antes de aplicar el teorema fundamental del cálculo, es conveniente revisar si acá se puede simplificar algo. Vemos que en el segundo término 6 y 2 pueden simplificarse. Decimos mitad de 2 es 1 y mitad de 6 es 3. Entonces la expresión nos queda 8x al cubo sobre 3 más 3x al cuadrado esto menos 5x y todo eso va a ser evaluado en los límites de integración. Menos 1 que es el inferior y 2 que es el superior. Ahora sí podemos aplicar el teorema fundamental del cálculo. Vamos a comenzar por evaluar el límite superior acá en la antiderivada. Vamos a continuar por acá. Entonces tendremos 8 por 2 al cubo sobre 3. Allí se recomienda utilizar paréntesis para lo que son las x que ahora van a ser ocupadas por el número 6. Luego tenemos más 3 por 2 al cuadrado y acá tenemos menos 5 por 2. Esto es conveniente protegerlo con corchetes. Y ahora vamos a restarle la evaluación del límite inferior también en la antiderivada. También es conveniente utilizar paréntesis donde están las x que ahora serán ocupadas por el número menos 1. Acá tendremos menos 5 por menos 1 y también vamos a cerrar el corchete. Lo que hacemos enseguida es resolver con bastante cuidado cada una de esas operaciones que corresponden a la aritmética. Comenzamos acá. 2 al cubo nos da 8. 8 por 8 es 64 y esto queda con denominador 3. Luego tenemos más 2 al cuadrado que es 4. 4 por 3 nos da 12 y acá tenemos menos 5 por 2 que es menos 10. Y protegemos todo esto utilizando corchetes. Ahora vamos a restarle esto que tenemos acá. Menos 1 al cubo nos da menos 1. Menos 1 por 8 es menos 8 con denominador 3. Acá tenemos menos 1 al cuadrado que es 1 positivo y 1 positivo por más 3 nos da más 3. Y acá tenemos menos 5 por menos 1 que será más 5. Y de nuevo cerramos el corchete. Vamos a continuar el desarrollo del ejercicio. Por acá tendremos entonces 64 tercios y acá tenemos más 12 menos 10 que es más 2. Esto ya lo podemos sacar del corchete. Podemos desaparecer esos signos de agrupación. Y acá vamos a introducir o vamos a distribuir el signo negativo. Por acá tendremos en ese término menos por menos más o sea más 8 tercios. Y acá 3 más 5 nos da 8 positivo pero afectado por ese signo menos nos daría menos 8. Y vamos a resolver esas operaciones. Tenemos 64 tercios más 8 tercios. Son fracciones homogéneas. Podemos dejar el mismo denominador y sumar los numeradores. 64 más 8 nos da 72. Y por acá más 2 menos 8 nos da menos 6. Tenemos que la fracción 72 tercios puede simplificarse. Eso equivale a 24. Y a eso le restamos 6. 24 menos 6 nos da como resultado 18. Y esa será la respuesta para esta integral definida.

[{"start": 0.0, "end": 11.16, "text": " Vamos a resolver detalladamente esta integral definida y para comenzar vamos a transformar"}, {"start": 11.16, "end": 18.400000000000002, "text": " esta funci\u00f3n, es decir, el integrando. Como se observa aparece como el producto de dos"}, {"start": 18.400000000000002, "end": 28.240000000000002, "text": " binomios. Recordemos que en las integrales si tenemos un producto de funciones no es"}, {"start": 28.24, "end": 39.0, "text": " permitido repartir la integral para cada una de esas expresiones o funciones que est\u00e1n"}, {"start": 39.0, "end": 45.68, "text": " multiplicando. Es la situaci\u00f3n que tenemos ac\u00e1, dos expresiones que est\u00e1n multiplicando,"}, {"start": 45.68, "end": 53.28, "text": " entonces no podemos hacer esto, no podemos repartir la integral. Entonces vamos a transformar"}, {"start": 53.28, "end": 63.56, "text": " el integrando. Vamos a escribir por ac\u00e1 ese producto 2x menos 1 por 4x m\u00e1s 5 y lo vamos"}, {"start": 63.56, "end": 73.36, "text": " a desarrollar. Entonces vamos a aplicar la propiedad distributiva todos con todos. Tenemos"}, {"start": 73.36, "end": 84.28, "text": " entonces lo siguiente, 2x por 4x nos da 8x al cuadrado, 2x por m\u00e1s 5 nos da m\u00e1s 10x,"}, {"start": 84.28, "end": 94.36, "text": " luego tenemos menos 1 por 4x que es menos 4x y menos 1 por m\u00e1s 5 que nos da menos 5."}, {"start": 94.36, "end": 102.06, "text": " Ac\u00e1 podemos operar o reducir t\u00e9rminos semejantes, estos que contienen la x. Tendremos entonces"}, {"start": 102.06, "end": 111.68, "text": " 8x al cuadrado m\u00e1s 10x menos 4x nos da m\u00e1s 6x y tenemos el t\u00e9rmino independiente que"}, {"start": 111.68, "end": 121.32000000000001, "text": " es menos 5. Entonces esta expresi\u00f3n es la que vamos a escribir en el integrando. Tenemos"}, {"start": 121.32, "end": 134.2, "text": " la integral desde menos 1 hasta 2 de 8x al cuadrado m\u00e1s 6x menos 5 y le escribimos el"}, {"start": 134.2, "end": 143.24, "text": " diferencial de x. Ahora s\u00ed podemos continuar con el desarrollo del ejercicio. Vamos a obtener"}, {"start": 143.24, "end": 152.12, "text": " una antiderivada para esta expresi\u00f3n que obtuvimos. Como all\u00ed tenemos suma y resta de t\u00e9rminos"}, {"start": 152.12, "end": 158.84, "text": " entonces procedemos a integrar cada uno de ellos. Comencemos con el primero donde dejamos"}, {"start": 158.84, "end": 166.92000000000002, "text": " quieto el n\u00famero 8 y vamos a integrar x al cuadrado. Eso nos va a dar x a la 2 m\u00e1s"}, {"start": 166.92, "end": 174.95999999999998, "text": " 1 que es 3 y todo esto sobre 3. Recordemos que este mismo n\u00famero se escribe debajo."}, {"start": 174.95999999999998, "end": 181.95999999999998, "text": " Pasamos al siguiente t\u00e9rmino donde tambi\u00e9n dejamos quieto el n\u00famero 6 y vamos a integrar"}, {"start": 181.95999999999998, "end": 190.7, "text": " x que tiene exponente 1. Entonces ser\u00e1 x a la 1 m\u00e1s 1 que es 2 y escribimos debajo"}, {"start": 190.7, "end": 199.04, "text": " el mismo n\u00famero. Y pasamos al otro t\u00e9rmino que ser\u00eda menos 5x. La integral de este n\u00famero"}, {"start": 199.04, "end": 206.6, "text": " ser\u00e1 el mismo n\u00famero acompa\u00f1ado de la variable. Recordemos que la derivada de menos 5x es"}, {"start": 206.6, "end": 217.76, "text": " menos 5 y como es una integral definida trazamos esa l\u00ednea y anotamos los l\u00edmites de integraci\u00f3n."}, {"start": 217.76, "end": 224.2, "text": " Antes de evaluar estos dos n\u00fameros en la antiderivada, es decir antes de aplicar el"}, {"start": 224.2, "end": 230.67999999999998, "text": " teorema fundamental del c\u00e1lculo, es conveniente revisar si ac\u00e1 se puede simplificar algo."}, {"start": 230.67999999999998, "end": 238.48, "text": " Vemos que en el segundo t\u00e9rmino 6 y 2 pueden simplificarse. Decimos mitad de 2 es 1 y"}, {"start": 238.48, "end": 252.67999999999998, "text": " mitad de 6 es 3. Entonces la expresi\u00f3n nos queda 8x al cubo sobre 3 m\u00e1s 3x al cuadrado"}, {"start": 252.67999999999998, "end": 260.4, "text": " esto menos 5x y todo eso va a ser evaluado en los l\u00edmites de integraci\u00f3n. Menos 1 que"}, {"start": 260.4, "end": 267.15999999999997, "text": " es el inferior y 2 que es el superior. Ahora s\u00ed podemos aplicar el teorema fundamental"}, {"start": 267.16, "end": 274.08000000000004, "text": " del c\u00e1lculo. Vamos a comenzar por evaluar el l\u00edmite superior ac\u00e1 en la antiderivada."}, {"start": 274.08000000000004, "end": 285.92, "text": " Vamos a continuar por ac\u00e1. Entonces tendremos 8 por 2 al cubo sobre 3. All\u00ed se recomienda"}, {"start": 285.92, "end": 292.04, "text": " utilizar par\u00e9ntesis para lo que son las x que ahora van a ser ocupadas por el n\u00famero"}, {"start": 292.04, "end": 306.56, "text": " 6. Luego tenemos m\u00e1s 3 por 2 al cuadrado y ac\u00e1 tenemos menos 5 por 2. Esto es conveniente"}, {"start": 306.56, "end": 316.62, "text": " protegerlo con corchetes. Y ahora vamos a restarle la evaluaci\u00f3n del l\u00edmite inferior"}, {"start": 316.62, "end": 325.4, "text": " tambi\u00e9n en la antiderivada. Tambi\u00e9n es conveniente utilizar par\u00e9ntesis donde est\u00e1n las x que"}, {"start": 325.4, "end": 337.72, "text": " ahora ser\u00e1n ocupadas por el n\u00famero menos 1. Ac\u00e1 tendremos menos 5 por menos 1 y tambi\u00e9n"}, {"start": 337.72, "end": 346.34000000000003, "text": " vamos a cerrar el corchete. Lo que hacemos enseguida es resolver con bastante cuidado"}, {"start": 346.34, "end": 354.76, "text": " cada una de esas operaciones que corresponden a la aritm\u00e9tica. Comenzamos ac\u00e1. 2 al cubo"}, {"start": 354.76, "end": 364.88, "text": " nos da 8. 8 por 8 es 64 y esto queda con denominador 3. Luego tenemos m\u00e1s 2 al cuadrado que es"}, {"start": 364.88, "end": 374.35999999999996, "text": " 4. 4 por 3 nos da 12 y ac\u00e1 tenemos menos 5 por 2 que es menos 10. Y protegemos todo"}, {"start": 374.36, "end": 385.32, "text": " esto utilizando corchetes. Ahora vamos a restarle esto que tenemos ac\u00e1. Menos 1 al cubo nos"}, {"start": 385.32, "end": 395.12, "text": " da menos 1. Menos 1 por 8 es menos 8 con denominador 3. Ac\u00e1 tenemos menos 1 al cuadrado que es"}, {"start": 395.12, "end": 403.0, "text": " 1 positivo y 1 positivo por m\u00e1s 3 nos da m\u00e1s 3. Y ac\u00e1 tenemos menos 5 por menos 1"}, {"start": 403.0, "end": 412.8, "text": " que ser\u00e1 m\u00e1s 5. Y de nuevo cerramos el corchete. Vamos a continuar el desarrollo del ejercicio."}, {"start": 412.8, "end": 425.24, "text": " Por ac\u00e1 tendremos entonces 64 tercios y ac\u00e1 tenemos m\u00e1s 12 menos 10 que es m\u00e1s 2. Esto"}, {"start": 425.24, "end": 431.32, "text": " ya lo podemos sacar del corchete. Podemos desaparecer esos signos de agrupaci\u00f3n. Y"}, {"start": 431.32, "end": 437.68, "text": " ac\u00e1 vamos a introducir o vamos a distribuir el signo negativo. Por ac\u00e1 tendremos en ese"}, {"start": 437.68, "end": 447.36, "text": " t\u00e9rmino menos por menos m\u00e1s o sea m\u00e1s 8 tercios. Y ac\u00e1 3 m\u00e1s 5 nos da 8 positivo"}, {"start": 447.36, "end": 456.06, "text": " pero afectado por ese signo menos nos dar\u00eda menos 8. Y vamos a resolver esas operaciones."}, {"start": 456.06, "end": 464.24, "text": " Tenemos 64 tercios m\u00e1s 8 tercios. Son fracciones homog\u00e9neas. Podemos dejar el mismo denominador"}, {"start": 464.24, "end": 474.6, "text": " y sumar los numeradores. 64 m\u00e1s 8 nos da 72. Y por ac\u00e1 m\u00e1s 2 menos 8 nos da menos"}, {"start": 474.6, "end": 485.64, "text": " 6. Tenemos que la fracci\u00f3n 72 tercios puede simplificarse. Eso equivale a 24. Y a eso"}, {"start": 485.64, "end": 497.47999999999996, "text": " le restamos 6. 24 menos 6 nos da como resultado 18. Y esa ser\u00e1 la respuesta para esta integral"}, {"start": 497.48, "end": 517.8000000000001, "text": " definida."}]

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INTEGRAL DEFINIDA - Ejercicio 6

#julioprofe explica cómo resolver una integral definida. Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → http://www.julioprofe.net

Vamos a resolver detalladamente este ejercicio que corresponde a una integral definida. Lo primero que tenemos que hacer es encontrar la antiderivada de esta función que se presenta como un trinomio. Entonces vamos a integrar cada uno de esos términos. Comenzamos con el primero donde el número 5 lo dejamos quieto y procedemos a integrar x a la 4. La integral de x a la 4 será x a la 5 sobre 5. Recordemos que lo que hacemos allí es sumarle 1 a este exponente. Por eso obtenemos 5 y ese mismo número se repite en el denominador. Pasamos al siguiente término donde dejamos quieto el número 8 y vamos a integrar x al cubo. Allí también le vamos a sumar 1 a este número. 3 más 1 nos da 4 y escribimos también el 4 en el denominador. Finalmente integramos este término 6. Su integral será 6x y esto porque la derivada de 6x nos da como resultado 6. Trazamos ahora esta línea donde vamos a escribir los límites de integración. Menos 1 es el límite inferior y 4 es el límite superior. Antes de aplicar el teorema fundamental del cálculo que nos dice que tenemos que evaluar estos límites de integración en esta expresión, vamos a ver si aquí es posible realizar alguna simplificación. Vemos que en el primer término puede simplificarse el número 5. Si cancelamos el 5, tendremos el término x a la 5. En el segundo término podemos simplificar 8 con 4. Decimos cuarta de 4, 1 y cuarta de 8 que es 12. Entonces tendremos el término 2x a la 4. El tercer término se deja tal como está porque no se puede simplificar y trazamos de nuevo esta línea con los dos límites de integración. Ahora sí, en esta expresión que ya no se puede simplificar más, vamos a evaluar estos valores utilizando el teorema fundamental del cálculo. Vamos a recordarlo. Si tenemos la integral desde a hasta b de una función f minúscula de x con su respectivo diferencial de x, eso es igual a la antiderivada que vamos a llamar f mayúscula de x evaluada entre los valores a y b, o sea, los límites de integración. Y lo que nos dice el teorema fundamental del cálculo es que primero debemos evaluar el límite superior en la antiderivada, es decir, f mayúscula de b. Y a eso tenemos que restarle la evaluación del límite inferior también en la antiderivada, es decir, f mayúscula de a. En este caso tenemos que f minúscula de x es esta expresión y f mayúscula de x es la antiderivada que ya obtuvimos y que también simplificamos. Entonces vamos a aplicar esto que nos dice el teorema fundamental del cálculo. Vamos a evaluar primero el límite superior, o sea, b, que en este caso es 4. Vamos a reemplazarlo acá sustituyéndolo donde están las x. Y para eso se recomienda utilizar paréntesis. Abrimos entonces esta expresión que como se observa es la antiderivada evaluada en el límite superior que es 4. Protegemos esto utilizando corchetes. Y ahora vamos a restarle la misma expresión evaluada en el límite inferior que es menos 1. Abrimos corchete y vamos a reemplazar menos 1 donde están las x. Utilizamos también paréntesis. Menos 1 a la 5, menos 2 por menos 1 a la 4 y esto más 6 por menos 1 y allí cerramos el corchete. Ahora vamos a resolver con mucho cuidado estas operaciones que corresponden a la aritmética. Comenzamos por acá donde tenemos 4 elevado a la 5 y eso nos da como resultado 1024. Por acá tenemos 4 elevado a la 4 que nos da 256 y 256 multiplicado por menos 2 nos da menos 512. Por acá tenemos más 6 por 4 que es más 24. Abrimos entonces el corchete y pasamos al siguiente, menos 1 a la 5 nos da menos 1. Por acá tenemos menos 1 a la 4 que nos daría 1 positivo y 1 positivo multiplicado por menos 2 nos da menos 2 y acá tenemos más 6 por menos 1 que es menos 6 y cerramos el corchete. Continuamos ahora resolviendo cada una de las operaciones que tenemos dentro de los corchetes. 1024 menos 512 más 24 nos da como resultado 536 y pasando al otro tenemos menos 1 menos 2 menos 6 que nos da como resultado menos 9. Ahora rompemos esos corchetes, este número sale tal como está porque acá tenemos signo más invisible y aquí multiplicamos los signos menos por menos nos da más 9 y efectuando esa suma nos da como resultado 545 que será la respuesta a este ejercicio sobre integral definida.

[{"start": 0.0, "end": 10.8, "text": " Vamos a resolver detalladamente este ejercicio que corresponde a una integral definida."}, {"start": 10.8, "end": 17.78, "text": " Lo primero que tenemos que hacer es encontrar la antiderivada de esta funci\u00f3n que se presenta"}, {"start": 17.78, "end": 19.56, "text": " como un trinomio."}, {"start": 19.56, "end": 24.6, "text": " Entonces vamos a integrar cada uno de esos t\u00e9rminos."}, {"start": 24.6, "end": 31.200000000000003, "text": " Comenzamos con el primero donde el n\u00famero 5 lo dejamos quieto y procedemos a integrar"}, {"start": 31.200000000000003, "end": 32.7, "text": " x a la 4."}, {"start": 32.7, "end": 37.760000000000005, "text": " La integral de x a la 4 ser\u00e1 x a la 5 sobre 5."}, {"start": 37.760000000000005, "end": 42.88, "text": " Recordemos que lo que hacemos all\u00ed es sumarle 1 a este exponente."}, {"start": 42.88, "end": 49.0, "text": " Por eso obtenemos 5 y ese mismo n\u00famero se repite en el denominador."}, {"start": 49.0, "end": 55.76, "text": " Pasamos al siguiente t\u00e9rmino donde dejamos quieto el n\u00famero 8 y vamos a integrar x al"}, {"start": 55.76, "end": 56.76, "text": " cubo."}, {"start": 56.76, "end": 60.04, "text": " All\u00ed tambi\u00e9n le vamos a sumar 1 a este n\u00famero."}, {"start": 60.04, "end": 66.56, "text": " 3 m\u00e1s 1 nos da 4 y escribimos tambi\u00e9n el 4 en el denominador."}, {"start": 66.56, "end": 69.84, "text": " Finalmente integramos este t\u00e9rmino 6."}, {"start": 69.84, "end": 78.88, "text": " Su integral ser\u00e1 6x y esto porque la derivada de 6x nos da como resultado 6."}, {"start": 78.88, "end": 86.16, "text": " Trazamos ahora esta l\u00ednea donde vamos a escribir los l\u00edmites de integraci\u00f3n."}, {"start": 86.16, "end": 92.0, "text": " Menos 1 es el l\u00edmite inferior y 4 es el l\u00edmite superior."}, {"start": 92.0, "end": 97.75999999999999, "text": " Antes de aplicar el teorema fundamental del c\u00e1lculo que nos dice que tenemos que evaluar"}, {"start": 97.75999999999999, "end": 105.17999999999999, "text": " estos l\u00edmites de integraci\u00f3n en esta expresi\u00f3n, vamos a ver si aqu\u00ed es posible realizar alguna"}, {"start": 105.17999999999999, "end": 106.66, "text": " simplificaci\u00f3n."}, {"start": 106.66, "end": 112.11999999999999, "text": " Vemos que en el primer t\u00e9rmino puede simplificarse el n\u00famero 5."}, {"start": 112.11999999999999, "end": 118.12, "text": " Si cancelamos el 5, tendremos el t\u00e9rmino x a la 5."}, {"start": 118.12, "end": 122.36, "text": " En el segundo t\u00e9rmino podemos simplificar 8 con 4."}, {"start": 122.36, "end": 127.88, "text": " Decimos cuarta de 4, 1 y cuarta de 8 que es 12."}, {"start": 127.88, "end": 132.2, "text": " Entonces tendremos el t\u00e9rmino 2x a la 4."}, {"start": 132.2, "end": 138.64, "text": " El tercer t\u00e9rmino se deja tal como est\u00e1 porque no se puede simplificar y trazamos de nuevo"}, {"start": 138.64, "end": 144.07999999999998, "text": " esta l\u00ednea con los dos l\u00edmites de integraci\u00f3n."}, {"start": 144.07999999999998, "end": 149.35999999999999, "text": " Ahora s\u00ed, en esta expresi\u00f3n que ya no se puede simplificar m\u00e1s, vamos a evaluar estos"}, {"start": 149.35999999999999, "end": 153.95999999999998, "text": " valores utilizando el teorema fundamental del c\u00e1lculo."}, {"start": 153.95999999999998, "end": 155.23999999999998, "text": " Vamos a recordarlo."}, {"start": 155.24, "end": 162.16, "text": " Si tenemos la integral desde a hasta b de una funci\u00f3n f min\u00fascula de x con su respectivo"}, {"start": 162.16, "end": 170.46, "text": " diferencial de x, eso es igual a la antiderivada que vamos a llamar f may\u00fascula de x evaluada"}, {"start": 170.46, "end": 175.28, "text": " entre los valores a y b, o sea, los l\u00edmites de integraci\u00f3n."}, {"start": 175.28, "end": 180.8, "text": " Y lo que nos dice el teorema fundamental del c\u00e1lculo es que primero debemos evaluar el"}, {"start": 180.8, "end": 186.72, "text": " l\u00edmite superior en la antiderivada, es decir, f may\u00fascula de b."}, {"start": 186.72, "end": 193.84, "text": " Y a eso tenemos que restarle la evaluaci\u00f3n del l\u00edmite inferior tambi\u00e9n en la antiderivada,"}, {"start": 193.84, "end": 197.24, "text": " es decir, f may\u00fascula de a."}, {"start": 197.24, "end": 204.04000000000002, "text": " En este caso tenemos que f min\u00fascula de x es esta expresi\u00f3n y f may\u00fascula de x es"}, {"start": 204.04000000000002, "end": 208.8, "text": " la antiderivada que ya obtuvimos y que tambi\u00e9n simplificamos."}, {"start": 208.8, "end": 214.88000000000002, "text": " Entonces vamos a aplicar esto que nos dice el teorema fundamental del c\u00e1lculo."}, {"start": 214.88000000000002, "end": 220.08, "text": " Vamos a evaluar primero el l\u00edmite superior, o sea, b, que en este caso es 4."}, {"start": 220.08, "end": 224.76000000000002, "text": " Vamos a reemplazarlo ac\u00e1 sustituy\u00e9ndolo donde est\u00e1n las x."}, {"start": 224.76000000000002, "end": 230.48000000000002, "text": " Y para eso se recomienda utilizar par\u00e9ntesis."}, {"start": 230.48, "end": 239.83999999999997, "text": " Abrimos entonces esta expresi\u00f3n que como se observa es la antiderivada evaluada en el"}, {"start": 239.83999999999997, "end": 243.51999999999998, "text": " l\u00edmite superior que es 4."}, {"start": 243.51999999999998, "end": 246.6, "text": " Protegemos esto utilizando corchetes."}, {"start": 246.6, "end": 253.64, "text": " Y ahora vamos a restarle la misma expresi\u00f3n evaluada en el l\u00edmite inferior que es menos"}, {"start": 253.64, "end": 254.64, "text": " 1."}, {"start": 254.64, "end": 259.56, "text": " Abrimos corchete y vamos a reemplazar menos 1 donde est\u00e1n las x."}, {"start": 259.56, "end": 261.88, "text": " Utilizamos tambi\u00e9n par\u00e9ntesis."}, {"start": 261.88, "end": 274.12, "text": " Menos 1 a la 5, menos 2 por menos 1 a la 4 y esto m\u00e1s 6 por menos 1 y all\u00ed cerramos"}, {"start": 274.12, "end": 276.16, "text": " el corchete."}, {"start": 276.16, "end": 282.76, "text": " Ahora vamos a resolver con mucho cuidado estas operaciones que corresponden a la aritm\u00e9tica."}, {"start": 282.76, "end": 291.28, "text": " Comenzamos por ac\u00e1 donde tenemos 4 elevado a la 5 y eso nos da como resultado 1024."}, {"start": 291.28, "end": 299.71999999999997, "text": " Por ac\u00e1 tenemos 4 elevado a la 4 que nos da 256 y 256 multiplicado por menos 2 nos da"}, {"start": 299.71999999999997, "end": 302.48, "text": " menos 512."}, {"start": 302.48, "end": 307.56, "text": " Por ac\u00e1 tenemos m\u00e1s 6 por 4 que es m\u00e1s 24."}, {"start": 307.56, "end": 315.76, "text": " Abrimos entonces el corchete y pasamos al siguiente, menos 1 a la 5 nos da menos 1."}, {"start": 315.76, "end": 321.8, "text": " Por ac\u00e1 tenemos menos 1 a la 4 que nos dar\u00eda 1 positivo y 1 positivo multiplicado por menos"}, {"start": 321.8, "end": 331.2, "text": " 2 nos da menos 2 y ac\u00e1 tenemos m\u00e1s 6 por menos 1 que es menos 6 y cerramos el corchete."}, {"start": 331.2, "end": 337.28, "text": " Continuamos ahora resolviendo cada una de las operaciones que tenemos dentro de los"}, {"start": 337.28, "end": 338.28, "text": " corchetes."}, {"start": 338.28, "end": 348.4, "text": " 1024 menos 512 m\u00e1s 24 nos da como resultado 536 y pasando al otro tenemos menos 1 menos"}, {"start": 348.4, "end": 353.23999999999995, "text": " 2 menos 6 que nos da como resultado menos 9."}, {"start": 353.23999999999995, "end": 359.64, "text": " Ahora rompemos esos corchetes, este n\u00famero sale tal como est\u00e1 porque ac\u00e1 tenemos signo"}, {"start": 359.64, "end": 367.8, "text": " m\u00e1s invisible y aqu\u00ed multiplicamos los signos menos por menos nos da m\u00e1s 9 y efectuando"}, {"start": 367.8, "end": 378.12, "text": " esa suma nos da como resultado 545 que ser\u00e1 la respuesta a este ejercicio sobre integral"}, {"start": 378.12, "end": 389.76, "text": " definida."}]

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INTEGRAL DEFINIDA - Ejercicio 3

#julioprofe explica cómo resolver una integral definida. Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver detalladamente esta integral definida. Se lee la integral desde 1 hasta 8 de la función raíz cúbica de P con su diferencial de P. Debemos encontrar primero la antiderivada de esta función y para ello vamos a transformar esa raíz a una potencia. Vamos a utilizar entonces la siguiente propiedad. Si tenemos la raíz enésima de a a la m, esto es igual a a elevada al exponente m sobre n, siempre el exponente interno sobre el índice de la raíz. En este caso tenemos P a la 1 y el índice de la raíz es 3. Entonces en este caso tendremos P a la 1 tercio aplicando esta propiedad y escribimos el diferencial de P. Ahora sí podemos encontrar la antiderivada de P a la 1 tercio y en ese caso vamos a utilizar esta propiedad básica de la integración. La integral de x a la n con su diferencial de x es igual a x a la n más 1, todo esto sobre n más 1 y a esto se le agrega la constante de integración cuando trabajamos una integral indefinida. En este caso se advierte que n debe ser diferente de menos 1, en este caso n es 1 tercio. Entonces vamos a aplicar esta propiedad. Como en este caso la variable es P, tendremos P a la 1 tercio más 1 que nos da 4 tercios. Una forma fácil de obtener este resultado es hacer lo siguiente, sumamos estos dos números, 1 más 3 nos da 4, ese es el numerador y conservamos el mismo denominador. Es la forma rápida de hacer 1 tercio más 1 y escribimos debajo ese mismo exponente, 4 tercios tal como nos indica la propiedad. Trasamos esta línea para anotar allí los límites de integración, 1 que es el inferior y 8 que es el superior. Recordemos que cuando hacemos una integral definida no se escribe la constante C, pero a cambio de eso se escriben los límites de integración. Antes de aplicar el teorema fundamental del cálculo, es decir la evaluación de los límites de integración acá en la antiderivada es conveniente organizar esa expresión. Entonces vamos a realizar ese procedimiento. Este número 3 sube a multiplicar con P, nos queda 3 P a la 4 tercios y todo esto nos queda sobre 4 y escribimos acá los límites de integración que son 1 y 8. A su vez vamos a cambiar P a la 4 tercios a la forma de raíz. Volvemos a aplicar la propiedad de la radicación que vimos ahora. Si tenemos A a la n sobre n eso será la raíz n encima de A a la m. Entonces P a la 4 tercios nos quedará la raíz cúbica de P a la 4 aplicando esta propiedad y todo esto nos queda sobre 4 y escribimos los límites de integración. Ahora esta raíz podemos simplificarla, veamos cómo lo podemos conseguir. La raíz cúbica de P a la 4 la podemos escribir como la raíz cúbica de P a la 3 por P a la 1. Como 4 es mayor que 3 podemos descomponer esta potencia en P a la 3 por P a la 1 y allí podemos repartir la raíz cúbica para los dos componentes, raíz cúbica de P al cubo por la raíz cúbica de P a la 1. Esta raíz cúbica de P al cubo se convierte en P porque estas dos cantidades son iguales y queda multiplicando con la raíz cúbica de P. Este 1 se puede hacer invisible. Entonces vamos a escribir este resultado por acá. Tenemos 3 que multiplica a esta expresión que nos dio esto, o sea P, raíz cúbica de P, todo esto sobre 4 y de nuevo escribimos los límites de integración. Ahora sí, cuando hemos simplificado totalmente esta expresión, o sea la antiderivada, podemos evaluar los dos límites de integración. Primero entra el superior, recordemos que eso es lo que nos dice el teorema fundamental del cálculo y luego va a entrar el inferior. Entonces, reemplazamos el límite superior acá donde tenemos la letra P. Tendríamos 3 por 8 por la raíz cúbica de 8 y todo esto sobre 4 y ahora le restamos la evaluación del límite inferior también en la antiderivada. Tendríamos 3 por 1 por la raíz cúbica de 1 y todo esto sobre 4. Repetimos, estamos aplicando allí el teorema fundamental del cálculo. Enseguida debemos resolver cada una de estas operaciones. Por ejemplo acá tenemos la raíz cúbica de 8 que se convierte en 2 y por acá tenemos la raíz cúbica de 1 que es igual a 1. Entonces vamos a efectuar esas operaciones. Por acá tenemos 3 por 8, 24, 24 por 2 nos da 48, nos queda 48 cuartos y esto menos 3 por 1 por 1 nos da 3, nos queda sobre 4 y tenemos aquí la resta de dos fracciones homogéneas, fracciones con el mismo denominador. Conservamos ese denominador y efectuamos la operación de los numeradores. 48 menos 3 nos da 45. Revisamos si esa fracción se puede simplificar, vemos que no es así, es una fracción irreducible, entonces esta será la respuesta para esa integral definida.

[{"start": 0.0, "end": 8.2, "text": " Vamos a resolver detalladamente esta integral definida."}, {"start": 8.2, "end": 16.88, "text": " Se lee la integral desde 1 hasta 8 de la funci\u00f3n ra\u00edz c\u00fabica de P con su diferencial de P."}, {"start": 16.88, "end": 24.0, "text": " Debemos encontrar primero la antiderivada de esta funci\u00f3n y para ello vamos a transformar"}, {"start": 24.0, "end": 28.76, "text": " esa ra\u00edz a una potencia."}, {"start": 28.76, "end": 32.2, "text": " Vamos a utilizar entonces la siguiente propiedad."}, {"start": 32.2, "end": 40.6, "text": " Si tenemos la ra\u00edz en\u00e9sima de a a la m, esto es igual a a elevada al exponente m sobre"}, {"start": 40.6, "end": 46.44, "text": " n, siempre el exponente interno sobre el \u00edndice de la ra\u00edz."}, {"start": 46.44, "end": 51.84, "text": " En este caso tenemos P a la 1 y el \u00edndice de la ra\u00edz es 3."}, {"start": 51.84, "end": 59.760000000000005, "text": " Entonces en este caso tendremos P a la 1 tercio aplicando esta propiedad y escribimos el diferencial"}, {"start": 59.760000000000005, "end": 61.040000000000006, "text": " de P."}, {"start": 61.040000000000006, "end": 67.76, "text": " Ahora s\u00ed podemos encontrar la antiderivada de P a la 1 tercio y en ese caso vamos a"}, {"start": 67.76, "end": 72.08000000000001, "text": " utilizar esta propiedad b\u00e1sica de la integraci\u00f3n."}, {"start": 72.08000000000001, "end": 79.56, "text": " La integral de x a la n con su diferencial de x es igual a x a la n m\u00e1s 1, todo esto"}, {"start": 79.56, "end": 87.2, "text": " sobre n m\u00e1s 1 y a esto se le agrega la constante de integraci\u00f3n cuando trabajamos una integral"}, {"start": 87.2, "end": 88.32000000000001, "text": " indefinida."}, {"start": 88.32000000000001, "end": 96.52000000000001, "text": " En este caso se advierte que n debe ser diferente de menos 1, en este caso n es 1 tercio."}, {"start": 96.52000000000001, "end": 99.4, "text": " Entonces vamos a aplicar esta propiedad."}, {"start": 99.4, "end": 106.84, "text": " Como en este caso la variable es P, tendremos P a la 1 tercio m\u00e1s 1 que nos da 4 tercios."}, {"start": 106.84, "end": 113.04, "text": " Una forma f\u00e1cil de obtener este resultado es hacer lo siguiente, sumamos estos dos n\u00fameros,"}, {"start": 113.04, "end": 119.36, "text": " 1 m\u00e1s 3 nos da 4, ese es el numerador y conservamos el mismo denominador."}, {"start": 119.36, "end": 126.52000000000001, "text": " Es la forma r\u00e1pida de hacer 1 tercio m\u00e1s 1 y escribimos debajo ese mismo exponente,"}, {"start": 126.52000000000001, "end": 130.12, "text": " 4 tercios tal como nos indica la propiedad."}, {"start": 130.12, "end": 138.28, "text": " Trasamos esta l\u00ednea para anotar all\u00ed los l\u00edmites de integraci\u00f3n, 1 que es el inferior"}, {"start": 138.28, "end": 140.28, "text": " y 8 que es el superior."}, {"start": 140.28, "end": 146.0, "text": " Recordemos que cuando hacemos una integral definida no se escribe la constante C, pero"}, {"start": 146.0, "end": 150.36, "text": " a cambio de eso se escriben los l\u00edmites de integraci\u00f3n."}, {"start": 150.36, "end": 156.12, "text": " Antes de aplicar el teorema fundamental del c\u00e1lculo, es decir la evaluaci\u00f3n de los l\u00edmites"}, {"start": 156.12, "end": 163.48000000000002, "text": " de integraci\u00f3n ac\u00e1 en la antiderivada es conveniente organizar esa expresi\u00f3n."}, {"start": 163.48000000000002, "end": 168.34, "text": " Entonces vamos a realizar ese procedimiento."}, {"start": 168.34, "end": 177.04000000000002, "text": " Este n\u00famero 3 sube a multiplicar con P, nos queda 3 P a la 4 tercios y todo esto nos queda"}, {"start": 177.04000000000002, "end": 184.88, "text": " sobre 4 y escribimos ac\u00e1 los l\u00edmites de integraci\u00f3n que son 1 y 8."}, {"start": 184.88, "end": 189.92, "text": " A su vez vamos a cambiar P a la 4 tercios a la forma de ra\u00edz."}, {"start": 189.92, "end": 193.96, "text": " Volvemos a aplicar la propiedad de la radicaci\u00f3n que vimos ahora."}, {"start": 193.96, "end": 200.96, "text": " Si tenemos A a la n sobre n eso ser\u00e1 la ra\u00edz n encima de A a la m."}, {"start": 200.96, "end": 211.51999999999998, "text": " Entonces P a la 4 tercios nos quedar\u00e1 la ra\u00edz c\u00fabica de P a la 4 aplicando esta propiedad"}, {"start": 211.52, "end": 219.24, "text": " y todo esto nos queda sobre 4 y escribimos los l\u00edmites de integraci\u00f3n."}, {"start": 219.24, "end": 225.32000000000002, "text": " Ahora esta ra\u00edz podemos simplificarla, veamos c\u00f3mo lo podemos conseguir."}, {"start": 225.32000000000002, "end": 235.8, "text": " La ra\u00edz c\u00fabica de P a la 4 la podemos escribir como la ra\u00edz c\u00fabica de P a la 3 por P a"}, {"start": 235.8, "end": 236.88, "text": " la 1."}, {"start": 236.88, "end": 244.32, "text": " Como 4 es mayor que 3 podemos descomponer esta potencia en P a la 3 por P a la 1 y all\u00ed"}, {"start": 244.32, "end": 250.92, "text": " podemos repartir la ra\u00edz c\u00fabica para los dos componentes, ra\u00edz c\u00fabica de P al cubo"}, {"start": 250.92, "end": 255.96, "text": " por la ra\u00edz c\u00fabica de P a la 1."}, {"start": 255.96, "end": 262.06, "text": " Esta ra\u00edz c\u00fabica de P al cubo se convierte en P porque estas dos cantidades son iguales"}, {"start": 262.06, "end": 266.1, "text": " y queda multiplicando con la ra\u00edz c\u00fabica de P."}, {"start": 266.1, "end": 268.52000000000004, "text": " Este 1 se puede hacer invisible."}, {"start": 268.52000000000004, "end": 272.48, "text": " Entonces vamos a escribir este resultado por ac\u00e1."}, {"start": 272.48, "end": 279.6, "text": " Tenemos 3 que multiplica a esta expresi\u00f3n que nos dio esto, o sea P, ra\u00edz c\u00fabica de"}, {"start": 279.6, "end": 288.6, "text": " P, todo esto sobre 4 y de nuevo escribimos los l\u00edmites de integraci\u00f3n."}, {"start": 288.6, "end": 295.16, "text": " Ahora s\u00ed, cuando hemos simplificado totalmente esta expresi\u00f3n, o sea la antiderivada, podemos"}, {"start": 295.16, "end": 298.52000000000004, "text": " evaluar los dos l\u00edmites de integraci\u00f3n."}, {"start": 298.52000000000004, "end": 304.04, "text": " Primero entra el superior, recordemos que eso es lo que nos dice el teorema fundamental"}, {"start": 304.04, "end": 308.48, "text": " del c\u00e1lculo y luego va a entrar el inferior."}, {"start": 308.48, "end": 313.28000000000003, "text": " Entonces, reemplazamos el l\u00edmite superior ac\u00e1 donde tenemos la letra P."}, {"start": 313.28, "end": 325.52, "text": " Tendr\u00edamos 3 por 8 por la ra\u00edz c\u00fabica de 8 y todo esto sobre 4 y ahora le restamos"}, {"start": 325.52, "end": 330.47999999999996, "text": " la evaluaci\u00f3n del l\u00edmite inferior tambi\u00e9n en la antiderivada."}, {"start": 330.47999999999996, "end": 339.47999999999996, "text": " Tendr\u00edamos 3 por 1 por la ra\u00edz c\u00fabica de 1 y todo esto sobre 4."}, {"start": 339.48, "end": 345.16, "text": " Repetimos, estamos aplicando all\u00ed el teorema fundamental del c\u00e1lculo."}, {"start": 345.16, "end": 349.12, "text": " Enseguida debemos resolver cada una de estas operaciones."}, {"start": 349.12, "end": 355.56, "text": " Por ejemplo ac\u00e1 tenemos la ra\u00edz c\u00fabica de 8 que se convierte en 2 y por ac\u00e1 tenemos"}, {"start": 355.56, "end": 359.92, "text": " la ra\u00edz c\u00fabica de 1 que es igual a 1."}, {"start": 359.92, "end": 362.88, "text": " Entonces vamos a efectuar esas operaciones."}, {"start": 362.88, "end": 372.92, "text": " Por ac\u00e1 tenemos 3 por 8, 24, 24 por 2 nos da 48, nos queda 48 cuartos y esto menos 3"}, {"start": 372.92, "end": 381.44, "text": " por 1 por 1 nos da 3, nos queda sobre 4 y tenemos aqu\u00ed la resta de dos fracciones homog\u00e9neas,"}, {"start": 381.44, "end": 383.96, "text": " fracciones con el mismo denominador."}, {"start": 383.96, "end": 389.28, "text": " Conservamos ese denominador y efectuamos la operaci\u00f3n de los numeradores."}, {"start": 389.28, "end": 393.11999999999995, "text": " 48 menos 3 nos da 45."}, {"start": 393.11999999999995, "end": 399.67999999999995, "text": " Revisamos si esa fracci\u00f3n se puede simplificar, vemos que no es as\u00ed, es una fracci\u00f3n irreducible,"}, {"start": 399.68, "end": 420.08, "text": " entonces esta ser\u00e1 la respuesta para esa integral definida."}]

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INTEGRAL DEFINIDA - Ejercicio 2

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Vamos a resolver detalladamente esta integral definida. Se lee la integral desde menos 1 hasta 3 de la función 8t al cubo con su diferencial dt. Lo primero que tenemos que hacer es encontrar una antiderivada para la función 8t al cubo. Y en ese caso vamos a dejar quieto el número 8, o sea la constante. Es como si saliera de la integral. Y nos ocupamos de integrar t al cubo. En ese caso tendríamos t a la 4 sobre 4. Recordemos que lo que se hace en ese caso es sumarle 1 a este número. 3 más 1 nos da 4 y ese mismo número se repite en el denominador. Y trazamos esta línea donde vamos a ubicar los límites de integración. Menos 1 que es el inferior y 3 que es el superior. Antes de aplicar el teorema fundamental del cálculo es conveniente revisar si esta expresión puede darse de una forma más sencilla. Hemos que allí es posible simplificar 8 y 4. En ese caso decimos cuarta de 4, 1 y cuarta de 8, 2. Entonces la antiderivada nos queda como 2t a la 4 y esa expresión va a ser evaluada en los límites de integración que son menos 1 y 3. Ahora sí podemos aplicar el teorema fundamental del cálculo. Vamos a recordarlo si tenemos la integral definida entre a y b de una función f minúscula de t con su diferencial de t. Esto es igual a la antiderivada que llamamos f mayúscula de t evaluada entre los límites de integración que son a y b. En ese caso reemplazamos primero el límite superior en la antiderivada, es decir f mayúscula de b y a eso le restamos el reemplazo del límite inferior también en la antiderivada, o sea f mayúscula de a. En este caso f minúscula de t es 8t al cubo y f mayúscula de t, o sea la antiderivada, es 2t a la 4. Como se observa a será menos 1 y b será el número 3. Entonces vamos a aplicar esto que nos dice el teorema fundamental del cálculo. Vamos a reemplazar 3, es decir el límite superior en la antiderivada, o sea en esta expresión. Tenemos 2 por 3 a la 4. Se utiliza paréntesis para lo que es la letra t que en ese caso es ocupada por el número 3. Y a eso tenemos que restarle el reemplazo del límite inferior en esta expresión, o sea 2 por menos 1 a la 4. Lo que sigue ahora es resolver con cuidado cada una de estas operaciones que corresponden a la aritmética. Primero debemos desarrollar esas potencias. Tendremos entonces 2 por 3 a la 4 que equivale a 81 y esto menos 2 por el resultado de menos 1 a la 4 que es 1. Recordemos que todo número negativo elevado a un exponente par nos da un resultado positivo. Ahora vamos a resolver las multiplicaciones antes que la resta 2 por 81 nos da 162 y a eso le restamos 2 por 1 que nos da 2. Esa resta nos da como resultado 160 y ese número es la respuesta para esa integral definida.

[{"start": 0.0, "end": 8.0, "text": " Vamos a resolver detalladamente esta integral definida."}, {"start": 8.0, "end": 15.6, "text": " Se lee la integral desde menos 1 hasta 3 de la funci\u00f3n 8t al cubo con su diferencial"}, {"start": 15.6, "end": 16.8, "text": " dt."}, {"start": 16.8, "end": 23.68, "text": " Lo primero que tenemos que hacer es encontrar una antiderivada para la funci\u00f3n 8t al cubo."}, {"start": 23.68, "end": 28.88, "text": " Y en ese caso vamos a dejar quieto el n\u00famero 8, o sea la constante."}, {"start": 28.88, "end": 31.32, "text": " Es como si saliera de la integral."}, {"start": 31.32, "end": 35.519999999999996, "text": " Y nos ocupamos de integrar t al cubo."}, {"start": 35.519999999999996, "end": 40.36, "text": " En ese caso tendr\u00edamos t a la 4 sobre 4."}, {"start": 40.36, "end": 45.84, "text": " Recordemos que lo que se hace en ese caso es sumarle 1 a este n\u00famero."}, {"start": 45.84, "end": 51.56, "text": " 3 m\u00e1s 1 nos da 4 y ese mismo 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243.92000000000002, "text": " eso le restamos 2 por 1 que nos da 2."}, {"start": 243.92000000000002, "end": 253.32, "text": " Esa resta nos da como resultado 160 y ese n\u00famero es la respuesta para esa integral"}, {"start": 253.32, "end": 260.32, "text": " definida."}]

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INTEGRAL DEFINIDA - Ejercicio 1

#julioprofe explica paso a paso cómo resolver una integral definida. Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver paso a paso esta integral definida. Se lee la integral que va desde menos 3 hasta 2 de la función x al cuadrado con su respectivo diferencial dx. Para comenzar debemos encontrar la antiderivada dx al cuadrado y para ello utilizamos la siguiente regla o propiedad básica de la integración. La integral de x a la n con su diferencial dx es igual a x a la n más 1 y todo esto sobre n más 1 y a su vez a eso se le debe agregar la constante de integración. Recordemos que esta propiedad es para las integrales indefinidas. Aquí tenemos una restricción y es que n no puede tomar el valor menos 1. Esto porque acá nos daría 0 y toda fracción con denominador 0 no existe. Entonces aplicando esta propiedad obtenemos la integral de x al cuadrado. Tendremos x a la 2 más 1, en este caso 2 es n, 2 más 1 nos da 3 y esto nos queda sobre 3. Acérvese que este exponente es el mismo número que debemos escribir en el denominador y trazamos esta línea que nos permite localizar los límites de integración, el inferior que es menos 3 y el superior que es 2. Como estamos resolviendo una integral definida no escribimos la constante de integración. Ahora vamos a utilizar lo que se llama el teorema fundamental del cálculo. Nos dice que la integral desde a hasta b de una función f minúscula de x con su diferencial de x será igual a la antiderivada de esa función f minúscula que la vamos a llamar f minúscula de x evaluada en los límites de integración que son a y b, a es el inferior y b es el superior. Y lo que nos dice el teorema fundamental del cálculo es que primero tenemos que evaluar este límite en la antiderivada, o sea f minúscula de b y a esto tenemos que restarle la evaluación del límite inferior también en la antiderivada, es decir f minúscula de a. Entonces en este caso esta expresión actúa como f minúscula de x, es la antiderivada de x al cuadrado. Vamos a hacer a continuación esto, es decir vamos a evaluar esta expresión en el límite superior. Tendríamos 2 al cubo sobre 3, como se observa 2 ocupa el lugar de la x y a esto tenemos que restarle la misma expresión evaluada en menos 3, o sea en el límite inferior. Abrimos paréntesis, escribimos menos 3 en lugar de la x y de esa manera ya hemos aplicado esto que es el teorema fundamental del cálculo. Lo que tenemos que hacer ahora con bastante cuidado es resolver estas operaciones que son de aritmética. Vamos a continuar el desarrollo del ejercicio por acá y comenzamos resolviendo las potencias. 2 al cubo nos da 8, nos queda 8 tercios y acá tenemos menos, menos 3 al cubo que nos da menos 27, recordemos que toda cantidad negativa elevada a un exponente impar nos da como resultado un número negativo y nos queda sobre 3. Ahora aquí tenemos 2 signos negativos que son vecinos, entonces esto nos queda 8 tercios, menos por menos nos da más y nos queda aquí la fracción 27 tercios. Este menos vuelve negativa toda esta fracción y al interactuar con este menos es por eso que nos da más. Y aquí tenemos la suma de dos fracciones del mismo denominador, fracciones homogéneas. En ese caso conservamos el denominador y vamos a efectuar la suma de los numeradores. Vemos esa operación 8 más 27 que nos da 35 y esto nos queda sobre 3. Revisamos si esa fracción se puede simplificar, vemos que no es posible, es una fracción irreducible y de esa manera terminamos el ejercicio. Este es el valor de esa integral definida.

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"text": " Abrimos par\u00e9ntesis, escribimos menos 3 en lugar de la x y de esa manera ya hemos aplicado"}, {"start": 200.72, "end": 204.56, "text": " esto que es el teorema fundamental del c\u00e1lculo."}, {"start": 204.56, "end": 210.32, "text": " Lo que tenemos que hacer ahora con bastante cuidado es resolver estas operaciones que"}, {"start": 210.32, "end": 212.4, "text": " son de aritm\u00e9tica."}, {"start": 212.4, "end": 219.04, "text": " Vamos a continuar el desarrollo del ejercicio por ac\u00e1 y comenzamos resolviendo las potencias."}, {"start": 219.04, "end": 229.38, "text": " 2 al cubo nos da 8, nos queda 8 tercios y ac\u00e1 tenemos menos, menos 3 al cubo que nos da"}, {"start": 229.38, "end": 237.76, "text": " menos 27, recordemos que toda cantidad negativa elevada a un exponente impar nos da como resultado"}, {"start": 237.76, "end": 243.04, "text": " un n\u00famero negativo y nos queda sobre 3."}, {"start": 243.04, "end": 250.68, "text": " Ahora aqu\u00ed tenemos 2 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VALOR EXACTO DE Tan75°

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Vamos a determinar el valor exacto de la tangente de 75 grados utilizando identidades trigonométricas y también los ángulos notables del primer cuadrante. Para comenzar utilizamos esta identidad trigonométrica, la tangente de un ángulo theta equivale al seno de ese ángulo sobre el coseno del mismo ángulo, entonces en este caso tangente de 75 grados podemos escribirla como seno de 75 grados sobre el coseno de ese mismo ángulo. Enseguida vamos a expresar 75 grados como una operación sencilla que involucre dos ángulos notables del primer cuadrante. Vamos a utilizar entonces 30 grados más 45 grados, entonces tendremos en el numerador seno de 30 grados más 45 grados y en el denominador coseno de esa misma suma, 30 grados más 45 grados. Ahora vamos a utilizar otras dos identidades trigonométricas, aquellas que se utilizan para el seno de la suma de dos ángulos y para el coseno de la misma situación. Vamos a recordarlas, el seno de alfa más beta, el seno de la suma de dos ángulos es igual a seno de alfa por coseno de beta más seno de beta por coseno de alfa y para el caso de coseno también de la suma de dos ángulos tendremos lo siguiente, coseno de alfa por coseno de beta menos seno de alfa por seno de beta. Entonces en el numerador tendremos lo siguiente, seno del primer ángulo que es 30 grados por coseno del segundo ángulo, coseno de 45 grados más seno del segundo ángulo, seno de 45 grados por coseno del primer ángulo, es decir, coseno de 30 grados. Y en la parte de abajo utilizando esta identidad tendremos lo siguiente, coseno del primer ángulo que es 30 grados por coseno del segundo ángulo, coseno de 45 grados menos seno del primer ángulo, seno de 30 grados por el seno del segundo ángulo que es 45 grados. Ahora vamos a reemplazar cada una de esas expresiones trigonométricas por sus valores exactos, tenemos que el seno de 30 grados equivale a un medio, esto multiplicado por el coseno de 45 grados que es raíz de dos medios, luego tenemos más seno de 45 grados que es raíz de dos medios, multiplicado por el coseno de 30 grados que es raíz de tres medios. Ahora en la parte de abajo tenemos coseno de 30 grados que es raíz de tres medios por coseno de 45 grados que es raíz de dos medios, esto menos seno de 30 grados que es un medio y esto multiplicado por el seno de 45 grados que es raíz de dos medios. Ahora vamos a resolver estas operaciones, como se observa tenemos multiplicación con suma y multiplicación con resta, en ese caso se deben resolver primero las multiplicaciones y como se observa tenemos allí fracciones, entonces recordemos que se multiplican numeradores entre sí y denominadores entre sí, vamos con esta primera multiplicación, tenemos en la parte de arriba uno por raíz de dos que nos da raíz de dos y abajo dos por dos que nos da cuatro, esto más, vamos al siguiente producto, raíz de dos por raíz de tres nos da raíz de seis, se conserva la raíz cuadrada y se multiplican las cantidades de adentro y en la parte de abajo tenemos dos por dos que es cuatro. Ahora en el denominador hacemos un procedimiento similar, multiplicamos estas dos fracciones, raíz de tres por raíz de dos nos da raíz de seis, abajo dos por dos que es cuatro y esto menos, uno por raíz de dos que nos da raíz de dos y dos por dos que nos da cuatro. Vamos a continuar el desarrollo de este ejercicio por acá y tenemos tanto arriba como abajo lo que es la suma y resta de fracciones con el mismo denominador, fracciones homogéneas, recordemos que en ese caso debemos conservar el denominador y efectuar la operación de los numeradores, en este caso dejamos indicada la operación raíz de dos más raíz de seis. Ahora en la parte de abajo conservamos el denominador que es cuatro y dejamos expresada la operación de los numeradores, raíz de seis menos raíz de dos. Aquí podemos aplicar lo siguiente, si tenemos una fracción A sobre C dividida entre otra fracción B sobre C, es decir, fracciones con el mismo denominador, este se puede cancelar o simplificar y nos quedaría A sobre B, es la situación que tenemos acá, se observa el mismo denominador por lo tanto lo podemos cancelar o eliminar y tendremos en la parte de arriba raíz de dos más raíz de seis sobre raíz de seis menos raíz de dos. Ahora nos vamos a ocupar del proceso de racionalización de esta expresión porque como se observa tenemos raíces cuadradas en el denominador, en este caso vamos a utilizar lo que se llama la conjugación, vamos a escribir la parte de arriba como raíz de seis más raíz de dos, simplemente cambiamos el orden de los sumandos, es la propiedad conmutativa de la suma y abajo tenemos raíz de seis menos raíz de dos y eso tenemos que multiplicarlo por el conjugado del denominador, en este caso sería raíz de seis más raíz de dos, recordemos que el conjugado de una diferencia es la suma y viceversa y esta cantidad debemos repetirla en la parte de arriba, raíz de seis más raíz de dos. De nuevo tenemos una multiplicación de fracciones, entonces multiplicamos los numeradores entre sí, en este caso tenemos raíz de seis más raíz de dos multiplicada por la misma cantidad, entonces podemos expresarla como raíz de seis más raíz de dos al cuadrado y en la parte de abajo vamos a dejar expresada esa operación, raíz de seis menos raíz de dos por raíz de seis más raíz de dos, recordemos que se utilizan paréntesis para proteger cada una de esas expresiones. Vamos a continuar el desarrollo del ejercicio por acá y en la parte de arriba observamos lo que se llama un binomio elevado al cuadrado, vamos a recordar la fórmula para ese producto notable, a más b al cuadrado, o sea un binomio elevado al cuadrado es igual al cuadrado del primer término más dos veces el primero por el segundo más el cuadrado del segundo término, entonces vamos a aplicar eso acá en el numerador, tenemos la primera cantidad, raíz de seis elevada al cuadrado, luego tenemos más dos veces la primera cantidad por la segunda, o sea raíz de seis por raíz de dos y esto más el cuadrado de la segunda cantidad, o sea raíz de dos elevado al cuadrado. En la parte de abajo vamos a aplicar otro producto notable que se llama suma por diferencia, bueno en este caso tenemos diferencia por suma, pero recordemos que el orden de los factores no altera el producto, es lo que nos dice la propiedad conmutativa de la multiplicación. En este producto notable a más b por a menos b obtenemos el cuadrado de la primera cantidad menos el cuadrado de la segunda cantidad, entonces vamos a utilizar eso acá, tendríamos raíz de seis la primera cantidad elevada al cuadrado y eso menos raíz de dos que es la segunda cantidad también elevada al cuadrado. Vamos a continuar el desarrollo del ejercicio por acá y vamos a resolver cada una de esas operaciones, aquí el cuadrado destruye la raíz cuadrada y nos queda libre el número seis, por acá tenemos dos que multiplica al producto de esas dos raíces conservamos la raíz cuadrada y se multiplican las cantidades de adentro, seis por dos nos da doce y por acá también tenemos que el cuadrado destruye la raíz y nos queda libre el número dos. En la parte de abajo tenemos que el cuadrado rompe la raíz cuadrada, nos queda el seis y esto menos dos que resulta también de la interacción de la potenciación con la radicación, queda libre ese número. Ahora en el numerador podemos sumar estas dos cantidades, seis más dos nos da ocho que queda sumando con el término dos raíz de doce y en el denominador tenemos seis menos dos que es cuatro. A continuación vamos a simplificar la raíz cuadrada de doce y para ello vamos a descomponer en factores primos ese número, decimos mitad de doce es seis, mitad de seis es tres y a tres le sacamos tercera que nos da uno, por lo tanto doce se puede expresar como dos por dos que es dos al cuadrado multiplicado por tres, entonces la raíz cuadrada de doce nos queda como la raíz cuadrada de dos al cuadrado por tres y allí podemos repartir esa raíz cuadrada, raíz cuadrada de dos al cuadrado por la raíz cuadrada de tres, esto nos da como resultado dos, de nuevo interactúan la radicación con la potenciación y liberan el número dos y esto nos queda acompañado de raíz de tres. Raíz cuadrada de doce equivale a dos raíz de tres, con eso podemos continuar el ejercicio por acá, tendremos ocho más dos que multiplica a raíz de doce pero raíz de doce nos dio dos raíz de tres, dos por dos raíz de tres nos da como resultado cuatro raíz de tres y eso nos queda sobre cuatro, finalmente podemos repartir este denominador para cada una de las cantidades que tenemos en el numerador, esto nos va a quedar como ocho sobre cuatro más cuatro raíz de tres sobre cuatro y allí podemos simplificar cada una de esas dos expresiones, ocho cuartos nos da como resultado dos y acá podemos simplificar el número cuatro, cuatro se nos cancela y nos queda libre raíz de tres, de esta manera terminamos, dos más raíz de tres será el valor exacto y totalmente simplificado para la tangente de setenta y cinco grados.

[{"start": 0.0, "end": 12.040000000000001, "text": " Vamos a determinar el valor exacto de la tangente de 75 grados utilizando identidades trigonom\u00e9tricas"}, {"start": 12.040000000000001, "end": 16.8, "text": " y tambi\u00e9n los \u00e1ngulos notables del primer cuadrante."}, {"start": 16.8, "end": 23.76, "text": " Para comenzar utilizamos esta identidad trigonom\u00e9trica, la tangente de un \u00e1ngulo theta equivale al"}, {"start": 23.76, "end": 30.78, "text": " seno de ese \u00e1ngulo sobre el coseno del mismo \u00e1ngulo, entonces en este caso tangente de"}, {"start": 30.78, "end": 43.8, "text": " 75 grados podemos escribirla como seno de 75 grados sobre el coseno de ese mismo \u00e1ngulo."}, {"start": 43.8, "end": 51.760000000000005, "text": " Enseguida vamos a expresar 75 grados como una operaci\u00f3n sencilla que involucre dos"}, {"start": 51.76, "end": 54.96, "text": " \u00e1ngulos notables del primer cuadrante."}, {"start": 54.96, "end": 63.96, "text": " Vamos a utilizar entonces 30 grados m\u00e1s 45 grados, entonces tendremos en el numerador"}, {"start": 63.96, "end": 80.56, "text": " seno de 30 grados m\u00e1s 45 grados y en el denominador coseno de esa misma suma, 30 grados m\u00e1s 45"}, {"start": 80.56, "end": 82.08, "text": " grados."}, {"start": 82.08, "end": 88.8, "text": " Ahora vamos a utilizar otras dos identidades trigonom\u00e9tricas, aquellas que se utilizan"}, {"start": 88.8, "end": 95.16, "text": " para el seno de la suma de dos \u00e1ngulos y para el coseno de la misma situaci\u00f3n."}, {"start": 95.16, "end": 102.52, "text": " Vamos a recordarlas, el seno de alfa m\u00e1s beta, el seno de la suma de dos \u00e1ngulos es"}, {"start": 102.52, "end": 113.72, "text": " igual a seno de alfa por coseno de beta m\u00e1s seno de beta por coseno de alfa y para el"}, {"start": 113.72, "end": 123.72, "text": " caso de coseno tambi\u00e9n de la suma de dos \u00e1ngulos tendremos lo siguiente, coseno de"}, {"start": 123.72, "end": 134.8, "text": " alfa por coseno de beta menos seno de alfa por seno de beta."}, {"start": 134.8, "end": 143.12, "text": " Entonces en el numerador tendremos lo siguiente, seno del primer \u00e1ngulo que es 30 grados"}, {"start": 143.12, "end": 153.84, "text": " por coseno del segundo \u00e1ngulo, coseno de 45 grados m\u00e1s seno del segundo \u00e1ngulo, seno"}, {"start": 153.84, "end": 163.36, "text": " de 45 grados por coseno del primer \u00e1ngulo, es decir, coseno de 30 grados."}, {"start": 163.36, "end": 170.68, "text": " Y en la parte de abajo utilizando esta identidad tendremos lo siguiente, coseno del primer"}, {"start": 170.68, "end": 181.44, "text": " \u00e1ngulo que es 30 grados por coseno del segundo \u00e1ngulo, coseno de 45 grados menos seno del"}, {"start": 181.44, "end": 192.76000000000002, "text": " primer \u00e1ngulo, seno de 30 grados por el seno del segundo \u00e1ngulo que es 45 grados."}, {"start": 192.76000000000002, "end": 198.96, "text": " Ahora vamos a reemplazar cada una de esas expresiones trigonom\u00e9tricas por sus valores"}, {"start": 198.96, "end": 206.68, "text": " exactos, tenemos que el seno de 30 grados equivale a un medio, esto multiplicado por"}, {"start": 206.68, "end": 216.20000000000002, "text": " el coseno de 45 grados que es ra\u00edz de dos medios, luego tenemos m\u00e1s seno de 45 grados"}, {"start": 216.20000000000002, "end": 224.56, "text": " que es ra\u00edz de dos medios, multiplicado por el coseno de 30 grados que es ra\u00edz de tres"}, {"start": 224.56, "end": 229.32, "text": " medios. Ahora en la parte de abajo tenemos coseno de"}, {"start": 229.32, "end": 239.36, "text": " 30 grados que es ra\u00edz de tres medios por coseno de 45 grados que es ra\u00edz de dos medios,"}, {"start": 239.36, "end": 249.12, "text": " esto menos seno de 30 grados que es un medio y esto multiplicado por el seno de 45 grados"}, {"start": 249.12, "end": 255.88, "text": " que es ra\u00edz de dos medios. Ahora vamos a resolver estas operaciones,"}, {"start": 255.88, "end": 262.12, "text": " como se observa tenemos multiplicaci\u00f3n con suma y multiplicaci\u00f3n con resta, en ese caso"}, {"start": 262.12, "end": 268.96, "text": " se deben resolver primero las multiplicaciones y como se observa tenemos all\u00ed fracciones,"}, {"start": 268.96, "end": 274.96, "text": " entonces recordemos que se multiplican numeradores entre s\u00ed y denominadores entre s\u00ed, vamos"}, {"start": 274.96, "end": 281.12, "text": " con esta primera multiplicaci\u00f3n, tenemos en la parte de arriba uno por ra\u00edz de dos"}, {"start": 281.12, "end": 289.47999999999996, "text": " que nos da ra\u00edz de dos y abajo dos por dos que nos da cuatro, esto m\u00e1s, vamos al siguiente"}, {"start": 289.47999999999996, "end": 296.96, "text": " producto, ra\u00edz de dos por ra\u00edz de tres nos da ra\u00edz de seis, se conserva la ra\u00edz cuadrada"}, {"start": 296.96, "end": 303.32, "text": " y se multiplican las cantidades de adentro y en la parte de abajo tenemos dos por dos"}, {"start": 303.32, "end": 308.59999999999997, "text": " que es cuatro. Ahora en el denominador hacemos un procedimiento"}, {"start": 308.59999999999997, "end": 315.24, "text": " similar, multiplicamos estas dos fracciones, ra\u00edz de tres por ra\u00edz de dos nos da ra\u00edz"}, {"start": 315.24, "end": 323.6, "text": " de seis, abajo dos por dos que es cuatro y esto menos, uno por ra\u00edz de dos que nos da"}, {"start": 323.6, "end": 332.84, "text": " ra\u00edz de dos y dos por dos que nos da cuatro. Vamos a continuar el desarrollo de este ejercicio"}, {"start": 332.84, "end": 341.59999999999997, "text": " por ac\u00e1 y tenemos tanto arriba como abajo lo que es la suma y resta de fracciones con"}, {"start": 341.59999999999997, "end": 348.79999999999995, "text": " el mismo denominador, fracciones homog\u00e9neas, recordemos que en ese caso debemos conservar"}, {"start": 348.79999999999995, "end": 355.71999999999997, "text": " el denominador y efectuar la operaci\u00f3n de los numeradores, en este caso dejamos indicada"}, {"start": 355.72, "end": 364.24, "text": " la operaci\u00f3n ra\u00edz de dos m\u00e1s ra\u00edz de seis. Ahora en la parte de abajo conservamos el"}, {"start": 364.24, "end": 372.44000000000005, "text": " denominador que es cuatro y dejamos expresada la operaci\u00f3n de los numeradores, ra\u00edz de"}, {"start": 372.44000000000005, "end": 379.6, "text": " seis menos ra\u00edz de dos. Aqu\u00ed podemos aplicar lo siguiente, si tenemos"}, {"start": 379.6, "end": 387.28000000000003, "text": " una fracci\u00f3n A sobre C dividida entre otra fracci\u00f3n B sobre C, es decir, fracciones"}, {"start": 387.28000000000003, "end": 396.64000000000004, "text": " con el mismo denominador, este se puede cancelar o simplificar y nos quedar\u00eda A sobre B, es"}, {"start": 396.64000000000004, "end": 403.36, "text": " la situaci\u00f3n que tenemos ac\u00e1, se observa el mismo denominador por lo tanto lo podemos"}, {"start": 403.36, "end": 411.76, "text": " cancelar o eliminar y tendremos en la parte de arriba ra\u00edz de dos m\u00e1s ra\u00edz de seis"}, {"start": 411.76, "end": 424.32, "text": " sobre ra\u00edz de seis menos ra\u00edz de dos. Ahora nos vamos a ocupar del proceso de racionalizaci\u00f3n"}, {"start": 424.32, "end": 431.72, "text": " de esta expresi\u00f3n porque como se observa tenemos ra\u00edces cuadradas en el denominador,"}, {"start": 431.72, "end": 439.08000000000004, "text": " en este caso vamos a utilizar lo que se llama la conjugaci\u00f3n, vamos a escribir la parte"}, {"start": 439.08000000000004, "end": 446.40000000000003, "text": " de arriba como ra\u00edz de seis m\u00e1s ra\u00edz de dos, simplemente cambiamos el orden de los"}, {"start": 446.40000000000003, "end": 454.56, "text": " sumandos, es la propiedad conmutativa de la suma y abajo tenemos ra\u00edz de seis menos"}, {"start": 454.56, "end": 462.88, "text": " ra\u00edz de dos y eso tenemos que multiplicarlo por el conjugado del denominador, en este"}, {"start": 462.88, "end": 470.82, "text": " caso ser\u00eda ra\u00edz de seis m\u00e1s ra\u00edz de dos, recordemos que el conjugado de una diferencia"}, {"start": 470.82, "end": 478.56, "text": " es la suma y viceversa y esta cantidad debemos repetirla en la parte de arriba, ra\u00edz de"}, {"start": 478.56, "end": 487.44, "text": " seis m\u00e1s ra\u00edz de dos. De nuevo tenemos una multiplicaci\u00f3n de fracciones, entonces multiplicamos"}, {"start": 487.44, "end": 495.32, "text": " los numeradores entre s\u00ed, en este caso tenemos ra\u00edz de seis m\u00e1s ra\u00edz de dos multiplicada"}, {"start": 495.32, "end": 504.76, "text": " por la misma cantidad, entonces podemos expresarla como ra\u00edz de seis m\u00e1s ra\u00edz de dos al cuadrado"}, {"start": 504.76, "end": 512.2, "text": " y en la parte de abajo vamos a dejar expresada esa operaci\u00f3n, ra\u00edz de seis menos ra\u00edz"}, {"start": 512.2, "end": 520.52, "text": " de dos por ra\u00edz de seis m\u00e1s ra\u00edz de dos, recordemos que se utilizan par\u00e9ntesis para"}, {"start": 520.52, "end": 528.16, "text": " proteger cada una de esas expresiones. Vamos a continuar el desarrollo del ejercicio por"}, {"start": 528.16, "end": 537.12, "text": " ac\u00e1 y en la parte de arriba observamos lo que se llama un binomio elevado al cuadrado,"}, {"start": 537.12, "end": 544.9599999999999, "text": " vamos a recordar la f\u00f3rmula para ese producto notable, a m\u00e1s b al cuadrado, o sea un binomio"}, {"start": 544.9599999999999, "end": 552.28, "text": " elevado al cuadrado es igual al cuadrado del primer t\u00e9rmino m\u00e1s dos veces el primero"}, {"start": 552.28, "end": 560.3199999999999, "text": " por el segundo m\u00e1s el cuadrado del segundo t\u00e9rmino, entonces vamos a aplicar eso ac\u00e1"}, {"start": 560.3199999999999, "end": 568.28, "text": " en el numerador, tenemos la primera cantidad, ra\u00edz de seis elevada al cuadrado, luego"}, {"start": 568.28, "end": 576.48, "text": " tenemos m\u00e1s dos veces la primera cantidad por la segunda, o sea ra\u00edz de seis por ra\u00edz"}, {"start": 576.48, "end": 586.6800000000001, "text": " de dos y esto m\u00e1s el cuadrado de la segunda cantidad, o sea ra\u00edz de dos elevado al cuadrado."}, {"start": 586.6800000000001, "end": 597.08, "text": " En la parte de abajo vamos a aplicar otro producto notable que se llama suma por diferencia,"}, {"start": 597.08, "end": 603.3000000000001, "text": " bueno en este caso tenemos diferencia por suma, pero recordemos que el orden de los factores"}, {"start": 603.3, "end": 610.04, "text": " no altera el producto, es lo que nos dice la propiedad conmutativa de la multiplicaci\u00f3n."}, {"start": 610.04, "end": 616.9599999999999, "text": " En este producto notable a m\u00e1s b por a menos b obtenemos el cuadrado de la primera cantidad"}, {"start": 616.9599999999999, "end": 624.16, "text": " menos el cuadrado de la segunda cantidad, entonces vamos a utilizar eso ac\u00e1, tendr\u00edamos"}, {"start": 624.16, "end": 634.04, "text": " ra\u00edz de seis la primera cantidad elevada al cuadrado y eso menos ra\u00edz de dos que es la segunda cantidad"}, {"start": 634.04, "end": 636.92, "text": " tambi\u00e9n elevada al cuadrado."}, {"start": 636.92, "end": 645.56, "text": " Vamos a continuar el desarrollo del ejercicio por ac\u00e1 y vamos a resolver cada una de esas"}, {"start": 645.56, "end": 652.48, "text": " operaciones, aqu\u00ed el cuadrado destruye la ra\u00edz cuadrada y nos queda libre el n\u00famero"}, {"start": 652.48, "end": 660.08, "text": " seis, por ac\u00e1 tenemos dos que multiplica al producto de esas dos ra\u00edces conservamos"}, {"start": 660.08, "end": 667.2, "text": " la ra\u00edz cuadrada y se multiplican las cantidades de adentro, seis por dos nos da doce y por"}, {"start": 667.2, "end": 674.12, "text": " ac\u00e1 tambi\u00e9n tenemos que el cuadrado destruye la ra\u00edz y nos queda libre el n\u00famero dos."}, {"start": 674.12, "end": 680.5600000000001, "text": " En la parte de abajo tenemos que el cuadrado rompe la ra\u00edz cuadrada, nos queda el seis"}, {"start": 680.56, "end": 688.64, "text": " y esto menos dos que resulta tambi\u00e9n de la interacci\u00f3n de la potenciaci\u00f3n con la radicaci\u00f3n,"}, {"start": 688.64, "end": 690.9599999999999, "text": " queda libre ese n\u00famero."}, {"start": 690.9599999999999, "end": 697.5999999999999, "text": " Ahora en el numerador podemos sumar estas dos cantidades, seis m\u00e1s dos nos da ocho"}, {"start": 697.5999999999999, "end": 705.2399999999999, "text": " que queda sumando con el t\u00e9rmino dos ra\u00edz de doce y en el denominador tenemos seis menos"}, {"start": 705.2399999999999, "end": 707.8399999999999, "text": " dos que es cuatro."}, {"start": 707.84, "end": 714.36, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a simplificar la ra\u00edz cuadrada de doce y para ello vamos a descomponer"}, {"start": 714.36, "end": 722.1600000000001, "text": " en factores primos ese n\u00famero, decimos mitad de doce es seis, mitad de seis es tres y"}, {"start": 722.1600000000001, "end": 728.6800000000001, "text": " a tres le sacamos tercera que nos da uno, por lo tanto doce se puede expresar como dos"}, {"start": 728.6800000000001, "end": 737.2, "text": " por dos que es dos al cuadrado multiplicado por tres, entonces la ra\u00edz cuadrada de doce"}, {"start": 737.2, "end": 745.9200000000001, "text": " nos queda como la ra\u00edz cuadrada de dos al cuadrado por tres y all\u00ed podemos repartir"}, {"start": 745.9200000000001, "end": 753.9200000000001, "text": " esa ra\u00edz cuadrada, ra\u00edz cuadrada de dos al cuadrado por la ra\u00edz cuadrada de tres,"}, {"start": 753.9200000000001, "end": 761.48, "text": " esto nos da como resultado dos, de nuevo interact\u00faan la radicaci\u00f3n con la potenciaci\u00f3n y liberan"}, {"start": 761.48, "end": 766.9200000000001, "text": " el n\u00famero dos y esto nos queda acompa\u00f1ado de ra\u00edz de tres."}, {"start": 766.92, "end": 775.0, "text": " Ra\u00edz cuadrada de doce equivale a dos ra\u00edz de tres, con eso podemos continuar el ejercicio"}, {"start": 775.0, "end": 786.8, "text": " por ac\u00e1, tendremos ocho m\u00e1s dos que multiplica a ra\u00edz de doce pero ra\u00edz de doce nos dio"}, {"start": 786.8, "end": 796.28, "text": " dos ra\u00edz de tres, dos por dos ra\u00edz de tres nos da como resultado cuatro ra\u00edz de tres"}, {"start": 796.28, "end": 804.88, "text": " y eso nos queda sobre cuatro, finalmente podemos repartir este denominador para cada una de"}, {"start": 804.88, "end": 811.5799999999999, "text": " las cantidades que tenemos en el numerador, esto nos va a quedar como ocho sobre cuatro"}, {"start": 811.5799999999999, "end": 822.36, "text": " m\u00e1s cuatro ra\u00edz de tres sobre cuatro y all\u00ed podemos simplificar cada una de esas dos expresiones,"}, {"start": 822.36, "end": 829.72, "text": " ocho cuartos nos da como resultado dos y ac\u00e1 podemos simplificar el n\u00famero cuatro, cuatro"}, {"start": 829.72, "end": 838.08, "text": " se nos cancela y nos queda libre ra\u00edz de tres, de esta manera terminamos, dos m\u00e1s ra\u00edz"}, {"start": 838.08, "end": 847.2, "text": " de tres ser\u00e1 el valor exacto y totalmente simplificado para la tangente de setenta y"}, {"start": 847.2, "end": 852.6, "text": " cinco grados."}]

julioprofe

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VALOR EXACTO DE Cos105°

#julioprofe explica cómo determinar el valor exacto de Cos 105° utilizando ángulos notables. Tema: #ExpresionesTrigonométricas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwFlBrNZ8-r2N31lp0Rj-HQe REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Para hallar el valor exacto del coseno de 105 grados, vamos a escribir ese ángulo como la suma de 45 grados y 60 grados. Es decir, utilizamos dos ángulos notables del primer cuadrante. Y aquí vamos a utilizar la identidad trigonométrica para el coseno de la suma de dos ángulos. Esa identidad dice lo siguiente. Coseno de alfa más beta es igual a coseno de alfa por coseno de beta menos seno de alfa por seno de beta. Haciendo de cuenta que alfa es 45 grados y beta es 60 grados, entonces eso nos va a quedar así. Coseno del primer ángulo, coseno de 45 grados por coseno del segundo ángulo, coseno de 60 grados menos seno del primer ángulo, es decir, seno de 45 grados por seno del segundo ángulo, o sea, seno de 60 grados. Ahora vamos a reemplazar cada una de estas funciones trigonométricas por sus valores exactos. Tenemos que el coseno de 45 grados es raíz de dos medios por coseno de 60 grados, que es un medio, esto menos el seno de 45 grados, que es raíz de dos medios, y esto multiplicado por el seno de 60 grados, que equivale a raíz de tres medios. A continuación, resolvemos estas operaciones. Si tenemos multiplicación y resta, primero se deben efectuar las multiplicaciones. Y como acá tenemos el producto de dos fracciones, entonces multiplicamos numeradores entre sí y denominadores entre sí. Tenemos arriba raíz de dos por uno, que es raíz de dos, y abajo tenemos dos por dos, que es cuatro. Por acá tenemos la misma situación. Multiplicamos numeradores entre sí, raíz de dos por raíz de tres, que nos da raíz de seis. Se conserva la raíz y se multiplican las cantidades de adentro. Y en la parte de abajo, dos por dos nos da cuatro. Finalmente, tenemos la resta de dos fracciones que tienen el mismo denominador, es decir, fracciones homogéneas. En este caso, debemos conservar el denominador y hacer la resta de los numeradores, que en este caso se deja indicada. De esta manera, terminamos este ejercicio. Esta expresión numérica será el valor exacto del coseno de 105 grados.

[{"start": 0.0, "end": 13.120000000000001, "text": " Para hallar el valor exacto del coseno de 105 grados, vamos a escribir ese \u00e1ngulo como"}, {"start": 13.120000000000001, "end": 22.6, "text": " la suma de 45 grados y 60 grados. Es decir, utilizamos dos \u00e1ngulos notables del primer"}, {"start": 22.6, "end": 30.520000000000003, "text": " cuadrante. Y aqu\u00ed vamos a utilizar la identidad trigonom\u00e9trica para el coseno de la suma de"}, {"start": 30.520000000000003, "end": 39.36, "text": " dos \u00e1ngulos. Esa identidad dice lo siguiente. Coseno de alfa m\u00e1s beta es igual a coseno de"}, {"start": 39.36, "end": 52.92, "text": " alfa por coseno de beta menos seno de alfa por seno de beta. Haciendo de cuenta que alfa es 45"}, {"start": 52.92, "end": 61.480000000000004, "text": " grados y beta es 60 grados, entonces eso nos va a quedar as\u00ed. Coseno del primer \u00e1ngulo, coseno"}, {"start": 61.48, "end": 71.2, "text": " de 45 grados por coseno del segundo \u00e1ngulo, coseno de 60 grados menos seno del primer \u00e1ngulo,"}, {"start": 71.2, "end": 81.52, "text": " es decir, seno de 45 grados por seno del segundo \u00e1ngulo, o sea, seno de 60 grados."}, {"start": 81.52, "end": 88.4, "text": " Ahora vamos a reemplazar cada una de estas funciones trigonom\u00e9tricas por sus valores"}, {"start": 88.4, "end": 97.44000000000001, "text": " exactos. Tenemos que el coseno de 45 grados es ra\u00edz de dos medios por coseno de 60 grados,"}, {"start": 97.44000000000001, "end": 107.48, "text": " que es un medio, esto menos el seno de 45 grados, que es ra\u00edz de dos medios, y esto multiplicado"}, {"start": 107.48, "end": 116.32000000000001, "text": " por el seno de 60 grados, que equivale a ra\u00edz de tres medios. A continuaci\u00f3n, resolvemos estas"}, {"start": 116.32, "end": 123.63999999999999, "text": " operaciones. Si tenemos multiplicaci\u00f3n y resta, primero se deben efectuar las multiplicaciones."}, {"start": 123.63999999999999, "end": 130.68, "text": " Y como ac\u00e1 tenemos el producto de dos fracciones, entonces multiplicamos numeradores entre s\u00ed y"}, {"start": 130.68, "end": 137.88, "text": " denominadores entre s\u00ed. Tenemos arriba ra\u00edz de dos por uno, que es ra\u00edz de dos, y abajo tenemos"}, {"start": 137.88, "end": 145.28, "text": " dos por dos, que es cuatro. Por ac\u00e1 tenemos la misma situaci\u00f3n. Multiplicamos numeradores entre s\u00ed,"}, {"start": 145.28, "end": 152.68, "text": " ra\u00edz de dos por ra\u00edz de tres, que nos da ra\u00edz de seis. Se conserva la ra\u00edz y se multiplican"}, {"start": 152.68, "end": 159.96, "text": " las cantidades de adentro. Y en la parte de abajo, dos por dos nos da cuatro. Finalmente,"}, {"start": 159.96, "end": 168.08, "text": " tenemos la resta de dos fracciones que tienen el mismo denominador, es decir, fracciones homog\u00e9neas."}, {"start": 168.08, "end": 177.64000000000001, "text": " En este caso, debemos conservar el denominador y hacer la resta de los numeradores, que en este caso"}, {"start": 177.64000000000001, "end": 186.96, "text": " se deja indicada. De esta manera, terminamos este ejercicio. Esta expresi\u00f3n num\u00e9rica ser\u00e1 el valor"}, {"start": 186.96, "end": 198.52, "text": " exacto del coseno de 105 grados."}]

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VALOR EXACTO DE Sen15°

#julioprofe explica cómo determinar el valor exacto de Sen 15° utilizando ángulos notables. Tema: #ExpresionesTrigonométricas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwFlBrNZ8-r2N31lp0Rj-HQe REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Para hallar el valor exacto del seno de 15 grados, vamos a escribir esa medida como 45 grados menos 30 grados. Es decir, hacemos uso de dos ángulos notables, dos ángulos de uso frecuente en el primer cuadrante. Y a continuación, vamos a utilizar la identidad trigonométrica para el seno de la resta de dos ángulos, que nos dice lo siguiente. Seno de alfa menos beta es igual a seno de alfa por coseno de beta menos seno de beta por coseno de alfa. Entonces, simplemente alfa está representado por 45 grados y beta está representada por 30 grados. Entonces aplicamos esta fórmula. Tenemos seno del primer ángulo, que es 45 grados, por coseno de beta, o sea, el segundo ángulo, coseno de 30 grados, menos seno del segundo ángulo, en este caso, seno de 30 grados, por coseno de alfa, o sea, coseno del primer ángulo, que es 45 grados. Bien, aquí tenemos seno y coseno de los ángulos notables 45 grados y 30 grados. Entonces, vamos a reemplazar sus respectivos valores. Seno de 45 grados equivale a raíz de dos medios, el coseno de 30 grados equivale a raíz de tres medios, menos seno de 30 grados, que es un medio, y esto multiplicado por el coseno de 45 grados, que es raíz de dos medios. Ahora vamos a resolver estas operaciones. Aquí se observa multiplicación y resta. Primero se efectúan las multiplicaciones. Para el caso de esta primera, tenemos el producto o la multiplicación de dos fracciones. Entonces, se multiplican numeradores entre sí y denominadores entre sí. Al multiplicar numeradores, tenemos allí el producto de dos raíces del mismo índice, dos raíces cuadradas. Entonces, se conserva esa raíz, raíz cuadrada, y se multiplican las cantidades de adentro. Dos por tres nos da seis. Entonces, raíz de dos por raíz de tres nos da raíz de seis. Abajo tenemos dos por dos, que es cuatro. Por acá tenemos otro producto de fracciones. Al multiplicar numeradores, tenemos uno por raíz de dos, que es raíz de dos, y abajo tenemos dos por dos, que es cuatro. Finalmente, tenemos la resta de dos fracciones que tienen el mismo denominador, o sea, dos fracciones homogéneas. En este caso, conservamos el denominador, que es cuatro, y escribimos en el numerador la resta de estos dos números, raíz de seis menos raíz de dos. Y allí hemos terminado el ejercicio. Esta expresión numérica será el valor exacto del seno de 15 grados.

[{"start": 0.0, "end": 13.280000000000001, "text": " Para hallar el valor exacto del seno de 15 grados, vamos a escribir esa medida como 45"}, {"start": 13.280000000000001, "end": 22.080000000000002, "text": " grados menos 30 grados. Es decir, hacemos uso de dos \u00e1ngulos notables, dos \u00e1ngulos"}, {"start": 22.080000000000002, "end": 29.36, "text": " de uso frecuente en el primer cuadrante. Y a continuaci\u00f3n, vamos a utilizar la identidad"}, {"start": 29.36, "end": 36.08, "text": " trigonom\u00e9trica para el seno de la resta de dos \u00e1ngulos, que nos dice lo siguiente."}, {"start": 36.08, "end": 49.120000000000005, "text": " Seno de alfa menos beta es igual a seno de alfa por coseno de beta menos seno de beta"}, {"start": 49.120000000000005, "end": 58.04, "text": " por coseno de alfa. Entonces, simplemente alfa est\u00e1 representado por 45 grados y beta"}, {"start": 58.04, "end": 66.48, "text": " est\u00e1 representada por 30 grados. Entonces aplicamos esta f\u00f3rmula. Tenemos seno del"}, {"start": 66.48, "end": 74.8, "text": " primer \u00e1ngulo, que es 45 grados, por coseno de beta, o sea, el segundo \u00e1ngulo, coseno"}, {"start": 74.8, "end": 83.88, "text": " de 30 grados, menos seno del segundo \u00e1ngulo, en este caso, seno de 30 grados, por coseno"}, {"start": 83.88, "end": 93.36, "text": " de alfa, o sea, coseno del primer \u00e1ngulo, que es 45 grados. Bien, aqu\u00ed tenemos seno"}, {"start": 93.36, "end": 102.08, "text": " y coseno de los \u00e1ngulos notables 45 grados y 30 grados. Entonces, vamos a reemplazar"}, {"start": 102.08, "end": 110.88, "text": " sus respectivos valores. Seno de 45 grados equivale a ra\u00edz de dos medios, el coseno"}, {"start": 110.88, "end": 121.08, "text": " de 30 grados equivale a ra\u00edz de tres medios, menos seno de 30 grados, que es un medio,"}, {"start": 121.08, "end": 129.48, "text": " y esto multiplicado por el coseno de 45 grados, que es ra\u00edz de dos medios. Ahora vamos a"}, {"start": 129.48, "end": 136.24, "text": " resolver estas operaciones. Aqu\u00ed se observa multiplicaci\u00f3n y resta. Primero se efect\u00faan"}, {"start": 136.24, "end": 143.32000000000002, "text": " las multiplicaciones. Para el caso de esta primera, tenemos el producto o la multiplicaci\u00f3n"}, {"start": 143.32000000000002, "end": 149.56, "text": " de dos fracciones. Entonces, se multiplican numeradores entre s\u00ed y denominadores entre"}, {"start": 149.56, "end": 157.96, "text": " s\u00ed. Al multiplicar numeradores, tenemos all\u00ed el producto de dos ra\u00edces del mismo \u00edndice,"}, {"start": 157.96, "end": 164.64000000000001, "text": " dos ra\u00edces cuadradas. Entonces, se conserva esa ra\u00edz, ra\u00edz cuadrada, y se multiplican"}, {"start": 164.64, "end": 171.23999999999998, "text": " las cantidades de adentro. Dos por tres nos da seis. Entonces, ra\u00edz de dos por ra\u00edz"}, {"start": 171.23999999999998, "end": 179.2, "text": " de tres nos da ra\u00edz de seis. Abajo tenemos dos por dos, que es cuatro. Por ac\u00e1 tenemos"}, {"start": 179.2, "end": 186.35999999999999, "text": " otro producto de fracciones. Al multiplicar numeradores, tenemos uno por ra\u00edz de dos,"}, {"start": 186.35999999999999, "end": 193.72, "text": " que es ra\u00edz de dos, y abajo tenemos dos por dos, que es cuatro. Finalmente, tenemos la"}, {"start": 193.72, "end": 201.68, "text": " resta de dos fracciones que tienen el mismo denominador, o sea, dos fracciones homog\u00e9neas."}, {"start": 201.68, "end": 209.88, "text": " En este caso, conservamos el denominador, que es cuatro, y escribimos en el numerador"}, {"start": 209.88, "end": 216.88, "text": " la resta de estos dos n\u00fameros, ra\u00edz de seis menos ra\u00edz de dos. Y all\u00ed hemos terminado"}, {"start": 216.88, "end": 225.07999999999998, "text": " el ejercicio. Esta expresi\u00f3n num\u00e9rica ser\u00e1 el valor exacto del seno de 15 grados."}]

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ECUACIONES LINEALES - Problema 7

#julioprofe explica cómo determinar el área de un rectángulo si se conoce su perímetro y la razón entre sus lados. Tema: #EcuacionesLineales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwFaAaS3cm5sKZ3gFlxcML1E REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Determinar el área de un rectángulo que tiene 60 centímetros de perímetro si la razón entre su largo y su ancho es de 3 a 2. Bien, para resolver este problema dibujamos un rectángulo en el cual su largo lo podemos denotar con la letra L y su ancho con la letra A. Nos dice el enunciado que el perímetro de ese rectángulo es 60 centímetros. Recordemos que el perímetro es la suma de las longitudes de sus lados. Entonces tendremos largo L más ancho A, más otra vez esta dimensión que es L, más esta que tenemos acá que es el ancho A y todo eso lo igualamos a 60 centímetros. Aquí tenemos el perímetro de ese rectángulo. En este lado de la expresión tenemos términos semejantes L se puede sumar con L, eso nos daría como resultado 2L y también A se puede sumar con A, eso nos daría como resultado más 2A y todo esto lo igualamos a 60 centímetros. También nos dice el problema que entre el largo y el ancho del rectángulo existe una razón de 3 a 2. Eso se representa de la siguiente manera L sobre A es igual a 3 sobre 2, el largo es al ancho como 3 es a 2. Esto quiere decir que podemos representar el largo como 3x y el ancho como 2x, es como si a esta fracción la multiplicamos arriba y abajo por x, se obtiene así una fracción equivalente a la original. Entonces si el largo está definido como 3x y el ancho está definido como 2x, podemos reemplazar en esta igualdad de la siguiente manera 2 por L que es 3x más 2 por A que es 2x igual a 60 centímetros y vamos a resolver esa ecuación que será de tipo lineal. 2 por 3x nos da 6x más 2 por 2x nos da 4x y esto lo igualamos a 60 centímetros. De nuevo encontramos dos términos semejantes que contienen x y que se pueden sumar entre sí 6x más 4x nos da como resultado 10x y eso lo igualamos a 60 centímetros. Finalmente podemos despejar la incógnita x, entonces tenemos que x será igual a 60 centímetros todo esto dividido entre 10, este 10 que está multiplicando pasa al otro lado a dividir y efectuamos esa división 60 dividido entre 10 nos da como resultado 6, 6 centímetros, no podemos perder de vista las unidades. Como ya encontramos el valor de x podemos determinar las dimensiones del rectángulo el largo L es igual a 3 veces x es decir 3 por 6 centímetros eso nos da como resultado 18 centímetros y el ancho del rectángulo es igual a 2 veces x es decir 2 por x que vale 6 centímetros y eso nos da como resultado 12 centímetros. Bien esos datos que encontramos los anotamos acá en el dibujo tenemos el largo 18 centímetros y el ancho 12 centímetros y ya podemos proceder a determinar el área de ese rectángulo recordemos que la fórmula para hallar el área de este tipo de cuadriláteros es base por altura en este caso será el largo que representa la base por el ancho que representa a la altura tenemos el largo L que es 18 centímetros multiplicado por el ancho A que es 12 centímetros y efectuando esa multiplicación 18 por 12 obtenemos como resultado 216 y multiplicamos también las unidades centímetros por centímetros nos da como resultado centímetros al cuadrado. De esta manera hemos terminado este problema esta será la respuesta.

[{"start": 0.0, "end": 9.540000000000001, "text": " Determinar el \u00e1rea de un rect\u00e1ngulo que tiene 60 cent\u00edmetros de per\u00edmetro si la"}, {"start": 9.540000000000001, "end": 14.44, "text": " raz\u00f3n entre su largo y su ancho es de 3 a 2."}, {"start": 14.44, "end": 21.3, "text": " Bien, para resolver este problema dibujamos un rect\u00e1ngulo en el cual su largo lo podemos"}, {"start": 21.3, "end": 26.8, "text": " denotar con la letra L y su ancho con la letra A."}, {"start": 26.8, "end": 33.36, "text": " Nos dice el enunciado que el per\u00edmetro de ese rect\u00e1ngulo es 60 cent\u00edmetros."}, {"start": 33.36, "end": 39.64, "text": " Recordemos que el per\u00edmetro es la suma de las longitudes de sus lados."}, {"start": 39.64, "end": 50.68, "text": " Entonces tendremos largo L m\u00e1s ancho A, m\u00e1s otra vez esta dimensi\u00f3n que es L, m\u00e1s esta"}, {"start": 50.68, "end": 58.519999999999996, "text": " que tenemos ac\u00e1 que es el ancho A y todo eso 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como resultado"}, {"start": 237.04, "end": 255.92, "text": " 18 cent\u00edmetros y el ancho del rect\u00e1ngulo es igual a 2 veces x es decir 2 por x que vale 6 cent\u00edmetros y eso nos da como resultado 12 cent\u00edmetros."}, {"start": 255.92, "end": 262.6, "text": " Bien esos datos que encontramos los anotamos ac\u00e1 en el dibujo tenemos el largo 18 cent\u00edmetros"}, {"start": 262.6, "end": 270.72, "text": " y el ancho 12 cent\u00edmetros y ya podemos proceder a determinar el \u00e1rea de ese rect\u00e1ngulo recordemos"}, {"start": 270.72, "end": 278.70000000000005, "text": " que la f\u00f3rmula para hallar el \u00e1rea de este tipo de cuadril\u00e1teros es base por altura"}, {"start": 278.70000000000005, "end": 287.6, "text": " en este caso ser\u00e1 el largo que representa la base por el ancho que representa a la altura"}, {"start": 287.6, "end": 298.68, "text": " tenemos el largo L que es 18 cent\u00edmetros multiplicado por el ancho A que es 12 cent\u00edmetros"}, {"start": 298.68, "end": 308.0, "text": " y efectuando esa multiplicaci\u00f3n 18 por 12 obtenemos como resultado 216 y multiplicamos"}, {"start": 308.0, "end": 315.84000000000003, "text": " tambi\u00e9n las unidades cent\u00edmetros por cent\u00edmetros nos da como resultado cent\u00edmetros al cuadrado."}, {"start": 315.84, "end": 323.11999999999995, "text": " De esta manera hemos terminado este problema esta ser\u00e1 la respuesta."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=n7quvqHd2oY

LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS - Ejercicio 3

#julioprofe explica cómo resolver un límite trigonométrico. Tema: #Límites → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEeindtt3TarvkVHRDmqNTf REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

Para resolver este límite trigonométrico, lo primero que hacemos es evaluar esta expresión que corresponde a una función cuando x toma el valor pi. Veamos, en el numerador tendremos sen pi y en el denominador tendremos pi menos pi. Repetimos, x se cambia por el número pi. Tenemos sen pi radianes, o sea sen 180 grados, que equivale a 0 sobre pi menos pi, que también nos da como resultado 0. Y 0 sobre 0 es una indeterminación, algo que no está definido y que nos dice que debemos utilizar alguna estrategia para resolver ese límite. En esta ocasión vamos a utilizar lo que se llama un cambio de variable. Vamos a llamar con la letra T a la expresión que tenemos en el denominador de la función. T será igual a x menos pi. Y de allí vamos a despejar la letra X. Entonces, para ello pasamos pi que está restando al lado izquierdo a sumar. Nos queda T más pi igual a x, o lo que es lo mismo, x es igual a T más pi. Con esto ya tenemos cómo cambiar la función original. X menos pi será T y la X que está en el numerador será cambiada por T más pi. Ahora también debemos definir la tendencia de la variable original, que es X. Tenemos que ver qué le sucede a la nueva variable que es T cuando X se aproxima a pi. Entonces, eso lo revisamos acá. Decimos, si X tiende o se aproxima a pi, veamos aquí qué sucede, pi menos pi nos da 0. Entonces, la variable T tiende a 0. Ahora sí podemos reescribir el límite utilizando la nueva variable que es T. Tendremos entonces límite ya no cuando X tiende a pi, sino cuando T tiende a 0 de seno de X. Pero dijimos que X es T más pi. Entonces, tendremos seno de T más pi y todo esto sobre X menos pi. Aquí lo tenemos y eso equivale a T. Veamos ahora a qué equivale seno de T más pi. Vamos a utilizar allí una identidad trigonométrica. El seno de la suma de dos ángulos. Seno de A más B es igual a seno de A por coseno de B más seno de B por coseno de A. Entonces, veamos cómo nos queda seno de T más pi. Tendremos seno de T por coseno de pi más seno de pi por coseno de T. Tenemos que el coseno de pi, es decir, el coseno de pi radianes, que es el coseno de 180 grados, equivale a menos 1. Y el seno de pi, el mismo que habíamos evaluado al comienzo, seno de pi radianes, o sea, seno de 180 grados, equivale a 0. 0 por coseno de T nos da 0. Todo este término desaparece. Y acá tenemos seno de T por menos 1, que equivale a menos seno de T. Entonces, esto lo podemos sustituir acá en el numerador. Y tendremos el límite cuando T tiende a 0 de menos seno de T, todo esto sobre T. Aquí podemos reescribir esta expresión de la siguiente manera. Límite de menos 1 que multiplica a la expresión seno de T sobre T cuando T tiende a 0. Vamos a continuar el ejercicio por acá. Y a continuación vamos a aplicar una propiedad de los límites. Una que dice que el límite de un producto de dos expresiones será igual al producto de los límites. Es decir, límite del primer componente por límite del segundo componente. Eso será entonces límite de menos 1 cuando T tiende a 0, todo esto multiplicando al límite cuando T tiende a 0 de seno de T sobre T. Y allí también aplicamos otra propiedad de los límites. Esa que nos dice que el límite de una constante es la misma constante. Luego todo este límite equivale a menos 1. Y este límite, límite cuando T tiende a 0, del seno de T sobre T, por definición, equivale a 1. Por lo tanto tenemos menos 1 por 1 que da como resultado menos 1. Y esta será la respuesta para este ejercicio.

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DESIGUALDADES RACIONALES - Ejercicio 4

#julioprofe explica cómo resolver una desigualdad o inecuación racional. Tema: #Desigualdades → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEZkcrDeNKKyhTxj4A1b83M REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver esta desigualdad que es de tipo racional y comenzamos por dejar el 0 en el lado derecho, para ello debemos pasar esta expresión al lado izquierdo. Tendremos entonces 1 sobre x más 2 menos 1 sobre 3 menos x y todo esto mayor o igual que 0, esa expresión que está aquí positiva llega al lado izquierdo con signo negativo. A continuación vamos a resolver esta operación que nos quedó en el lado izquierdo de la desigualdad, vamos a reducir todo esto a una sola expresión racional, es decir a una sola fracción, vamos a restar esas dos fracciones que tienen distinto denominador utilizando el método más sencillo que existe que es el de la carita feliz, es decir vamos a multiplicar estas dos cantidades 1 por 3 menos x que nos da 3 menos x menos esto por esto, es decir x más 2 por 1 que nos dará x más 2 y que protegemos con paréntesis porque queda precedida de signo menos y abajo multiplicamos estas dos cantidades x más 2 entre paréntesis por 3 menos x también protegida con paréntesis. Entonces repetimos se hizo esto que es lo que se conoce como la carita feliz para restar dos fracciones con distinto denominador y todo esto nos queda mayor o igual que 0. Ahora en el numerador vamos a destruir este paréntesis, tendremos 3 menos x menos x menos 2, se distribuye el signo menos y nos cambia los signos de esos dos términos que se encuentran dentro del paréntesis y todo esto nos queda sobre x más 2 que está multiplicando por 3 menos x y todo esto sigue siendo mayor o igual que 0. Ahora en el numerador vamos a reducir términos semejantes, es el caso de estos dos que contiene la x menos x menos x nos da menos 2x y también es el caso de los números 3 menos 2 nos da 1 positivo entonces menos 2x más 1 será el resultado de las operaciones del numerador y en el denominador continúa el producto de x más 2 por 3 menos x y todo esto sigue siendo mayor o igual que 0. Esta expresión que hemos obtenido es equivalente a la original pero acá ya tenemos el 0 en el lado derecho y en el lado izquierdo ya se observa una sola expresión racional o sea una sola fracción donde también el denominador está factorizado en el numerador no es posible realizar ninguna factorización. Lo que hacemos enseguida es determinar los puntos críticos de la desigualdad es decir aquellos valores de la variable x que vuelven 0 tanto el numerador como el denominador de la expresión racional. En el caso del numerador tomamos la expresión que tenemos allí y la igualamos a 0 menos 2x más 1 se iguala a 0 y vamos a despejar la variable x tenemos menos 2x igual a menos 1 pasamos este número que está sumando al lado contrario a restar y allí vamos a despejar x pasando menos 2 que está multiplicando al otro lado a dividir nos queda menos 1 dividido entre menos 2 recordemos que al pasar esa cantidad a dividir conserva su signo aquí aplicamos ley de los signos menos con menos nos da más recordemos que ella se aplica en la multiplicación y la división por lo tanto aquí tendremos que x es igual a un medio y será el punto crítico del numerador ese valor lo vamos a escribir por acá y también vamos a decidir si será parte de la solución de la desigualdad como tenemos signo mayor o igual entonces este punto crítico que corresponde al numerador se debe tomar va a ir cerrado ahora vamos a hallar los puntos críticos del denominador y para ello igualamos a 0 toda esta expresión tenemos x más 2 por 3 menos x y esto queda igualado a 0 para resolver esto aplicamos el teorema del factor nulo ese que nos dice que si el producto de dos cantidades o expresiones es igual a 0 entonces cada una de ellas debe igualarse a 0 tenemos que x más 2 es igual a 0 o 3 menos x es igual a 0 y en cada caso vamos a despejar x por acá tenemos que x será igual a menos 2 2 que está sumando pasa al otro lado a restar y por acá si despejamos el 3 pasaríamos entonces la x que está restando luego pasa al otro lado a sumar con 0 nos queda x en el lado derecho y esto es lo mismo que decir x igual a 3 esos dos valores vamos a anotarlos por acá x igual a menos 2 y x igual a 3 que serán los puntos críticos del denominador y por pertenecer al denominador entonces no se pueden tomar ambos van a ir abiertos no pueden ser parte de la solución porque en una expresión racional no se puede permitir que el denominador sea 0 después de haber determinado los puntos críticos de la desigualdad vamos entonces a realizar el análisis de signos de esta expresión y para ello vamos a trazar una recta que represente el conjunto de los números reales allí podemos observarla va desde menos infinito hasta más infinito y esa recta va a representar los valores de la variable x y también en ella vamos a localizar los tres puntos críticos que encontramos el menor de todos ellos es menos 2 después le sigue un medio y por último tenemos el número 3 y vamos a marcar también aquello que determinamos que es si se toman o no se toman como parte de la solución de la desigualdad dijimos que menos 2 no se toma será abierto un medio si se toma será cerrado y para el caso del número 3 también será abierto o sea que no pertenece al conjunto solución ahora tenemos que revisar en cada uno de estos cuatro intervalos cuál es el signo resultante de esta expresión fraccionaria que al final debe ser positiva porque aquí se observa que todo esto tiene que ser mayor o igual que 0 para ello vamos a elegir de cada uno de los intervalos un valor de x que pertenezca a cada uno de ellos vamos al primero necesitamos un valor real de x que esté comprendido entre menos 2 y menos infinito puede ser el número menos 3 en el siguiente intervalo necesitamos usar un valor de x que esté comprendido entre menos 2 y un medio puede ser el 0 vamos al siguiente intervalo donde usamos un valor de x comprendido entre un medio y 3 puede ser el número 1 y en el último intervalo usamos un valor de x mayor que 3 o comprendido entre 3 y más infinito en ese caso podría ser el número 4 como se observa la expresión que vamos a revisar tiene la siguiente estructura en el numerador una sola expresión y en el denominador dos expresiones que están multiplicando entre sí entonces vamos a repetir este esquema en cada uno de los intervalos bien aquí ya lo tenemos y vamos a comenzar a anotar dentro de cada paréntesis el signo que adopta cada expresión cuando se evalúa el valor seleccionado de x comencemos con x igual a menos 3 vamos al numerador decimos menos 2 por menos 3 eso nos daría 6 positivo y 6 más 1 nos da 7 positivo entonces escribimos signo más en ese paréntesis del numerador vamos ahora a este paréntesis cuando x toma el valor menos 3 menos 3 más 2 nos da como resultado 1 signo negativo y en este paréntesis si x toma el valor menos 3 tendremos 3 menos menos 3 o sea 3 más 3 que nos daría 6 positivo entonces signo más en ese paréntesis vamos ahora con x igual a 0 vamos al numerador menos 2 por 0 da 0 0 más 1 nos da 1 positivo vamos ahora al denominador comenzamos con este paréntesis si x vale 0 tenemos 0 más 2 que es 2 positivo y acá 3 menos 0 nos daría 3 también positivo seguimos ahora con x igual a 1 vamos al numerador menos 2 por 1 da menos 2 menos 2 más 1 nos daría menos 1 signo negativo en el numerador vamos acá cuando x toma el valor 1 tenemos 1 más 2 que es 3 positivo y acá 3 menos 1 nos daría 2 también positivo finalmente vamos con x igual a 4 vamos al numerador menos 2 por 4 daría menos 8 menos 8 más 1 es menos 7 signo negativo en el numerador vamos acá con x igual a 4 4 más 2 nos daría 6 positivo y acá tendríamos 3 menos 4 que nos da menos 1 entonces signo negativo en ese paréntesis ahora en cada caso vamos a aplicar la ley de los signos para establecer el signo resultante realmente por los signos positivos no debemos preocuparnos recordemos que es el signo menos al que debemos ponerle mucha atención en este caso todo esto nos quedará con signo negativo acá tenemos todo positivo signo más como signo resultante acá también tenemos un signo menos luego todo eso es negativo y acá tenemos dos signos negativos menos con menos nos daría más como decíamos ahora toda esta expresión debe ser positiva porque repetimos todo esto tiene que ser mayor o igual que cero por lo tanto las zonas positivas son las que sirven las zonas negativas lógicamente no van a servir entonces rayamos o destacamos aquellas zonas que sí sirvieron las que quedaron con signo más como signo resultante de esta manera ya podemos dar la respuesta para este ejercicio para esta desigualdad racional que como decíamos se transformó en esta que es la que al final analizamos la variable x debe pertenecer a los siguientes intervalos en el conjunto de los reales el intervalo que va desde menos 2 hasta un medio en este caso es abierto en menos 2 y cerrado en un medio y todo esto unido con el intervalo que va desde 3 abierto hasta más infinito que también será abierto de esta manera terminamos este ejercicio.

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{"start": 163.28, "end": 171.88, "text": " y en el denominador contin\u00faa el producto de x m\u00e1s 2 por 3 menos x y todo esto sigue"}, {"start": 171.88, "end": 175.68, "text": " siendo mayor o igual que 0."}, {"start": 175.68, "end": 182.4, "text": " Esta expresi\u00f3n que hemos obtenido es equivalente a la original pero ac\u00e1 ya tenemos el 0 en"}, {"start": 182.4, "end": 188.96, "text": " el lado derecho y en el lado izquierdo ya se observa una sola expresi\u00f3n racional o"}, {"start": 188.96, "end": 196.60000000000002, "text": " sea una sola fracci\u00f3n donde tambi\u00e9n el denominador est\u00e1 factorizado en el numerador no es posible"}, {"start": 196.60000000000002, "end": 199.68, "text": " realizar ninguna factorizaci\u00f3n."}, {"start": 199.68, "end": 205.92000000000002, "text": " Lo que hacemos enseguida es determinar los puntos cr\u00edticos de la desigualdad es decir"}, {"start": 205.92000000000002, "end": 213.04000000000002, "text": " aquellos valores de la variable x que vuelven 0 tanto el numerador como el denominador de"}, {"start": 213.04000000000002, "end": 215.44, "text": " la expresi\u00f3n racional."}, {"start": 215.44, "end": 222.32, "text": " En el caso del numerador tomamos la expresi\u00f3n que tenemos all\u00ed y la igualamos a 0 menos"}, {"start": 222.32, "end": 232.2, "text": " 2x m\u00e1s 1 se iguala a 0 y vamos a despejar la variable x tenemos menos 2x igual a menos"}, {"start": 232.2, "end": 238.64, "text": " 1 pasamos este n\u00famero que est\u00e1 sumando al lado contrario a restar y all\u00ed vamos a despejar"}, {"start": 238.64, "end": 246.6, "text": " x pasando menos 2 que est\u00e1 multiplicando al otro lado a dividir nos queda menos 1 dividido"}, {"start": 246.6, "end": 253.51999999999998, "text": " entre menos 2 recordemos que al pasar esa cantidad a dividir conserva su signo aqu\u00ed"}, {"start": 253.51999999999998, "end": 259.06, "text": " aplicamos ley de los signos menos con menos nos da m\u00e1s recordemos que ella se aplica"}, {"start": 259.06, "end": 265.52, "text": " en la multiplicaci\u00f3n y la divisi\u00f3n por lo tanto aqu\u00ed tendremos que x es igual a un"}, {"start": 265.52, "end": 274.15999999999997, "text": " medio y ser\u00e1 el punto cr\u00edtico del numerador ese valor lo vamos a escribir por ac\u00e1 y tambi\u00e9n"}, {"start": 274.15999999999997, "end": 282.52, "text": " vamos a decidir si ser\u00e1 parte de la soluci\u00f3n de la desigualdad como tenemos signo mayor"}, {"start": 282.52, "end": 291.08, "text": " o igual entonces este punto cr\u00edtico que corresponde al numerador se debe tomar va a ir cerrado"}, {"start": 291.08, "end": 298.28, "text": " ahora vamos a hallar los puntos cr\u00edticos del denominador y para ello igualamos a 0 toda"}, {"start": 298.28, "end": 309.78, "text": " esta expresi\u00f3n tenemos x m\u00e1s 2 por 3 menos x y esto queda igualado a 0 para resolver"}, {"start": 309.78, "end": 316.47999999999996, "text": " esto aplicamos el teorema del factor nulo ese que nos dice que si el producto de dos"}, {"start": 316.48, "end": 325.48, "text": " cantidades o expresiones es igual a 0 entonces cada una de ellas debe igualarse a 0 tenemos"}, {"start": 325.48, "end": 337.04, "text": " que x m\u00e1s 2 es igual a 0 o 3 menos x es igual a 0 y en cada caso vamos a despejar x por"}, {"start": 337.04, "end": 343.68, "text": " ac\u00e1 tenemos que x ser\u00e1 igual a menos 2 2 que est\u00e1 sumando pasa al otro lado a restar"}, {"start": 343.68, "end": 350.76, "text": " y por ac\u00e1 si despejamos el 3 pasar\u00edamos entonces la x que est\u00e1 restando luego pasa"}, {"start": 350.76, "end": 358.52, "text": " al otro lado a sumar con 0 nos queda x en el lado derecho y esto es lo mismo que decir"}, {"start": 358.52, "end": 368.68, "text": " x igual a 3 esos dos valores vamos a anotarlos por ac\u00e1 x igual a menos 2 y x igual a 3 que"}, {"start": 368.68, "end": 376.68, "text": " ser\u00e1n los puntos cr\u00edticos del denominador y por pertenecer al denominador entonces no"}, {"start": 376.68, "end": 384.24, "text": " se pueden tomar ambos van a ir abiertos no pueden ser parte de la soluci\u00f3n porque en"}, {"start": 384.24, "end": 392.66, "text": " una expresi\u00f3n racional no se puede permitir que el denominador sea 0 despu\u00e9s de haber"}, {"start": 392.66, "end": 399.04, "text": " determinado los puntos cr\u00edticos de la desigualdad vamos entonces a realizar el an\u00e1lisis de"}, {"start": 399.04, "end": 406.52000000000004, "text": " signos de esta expresi\u00f3n y para ello vamos a trazar una recta que represente el conjunto"}, {"start": 406.52000000000004, "end": 414.08000000000004, "text": " de los n\u00fameros reales all\u00ed podemos observarla va desde menos infinito hasta m\u00e1s infinito"}, {"start": 414.08000000000004, "end": 421.0, "text": " y esa recta va a representar los valores de la variable x y tambi\u00e9n en ella vamos"}, {"start": 421.0, "end": 427.12, "text": " a localizar los tres puntos cr\u00edticos que encontramos el menor de todos ellos es menos"}, {"start": 427.12, "end": 438.6, "text": " 2 despu\u00e9s le sigue un medio y por \u00faltimo tenemos el n\u00famero 3 y vamos a marcar tambi\u00e9n"}, {"start": 438.6, "end": 444.72, "text": " aquello que determinamos que es si se toman o no se toman como parte de la soluci\u00f3n de"}, {"start": 444.72, "end": 454.96000000000004, "text": " la desigualdad dijimos que menos 2 no se toma ser\u00e1 abierto un medio si se toma ser\u00e1 cerrado"}, {"start": 454.96000000000004, "end": 461.56, "text": " y para el caso del n\u00famero 3 tambi\u00e9n ser\u00e1 abierto o sea que no pertenece al conjunto"}, {"start": 461.56, "end": 468.6, "text": " soluci\u00f3n ahora tenemos que revisar en cada uno de estos cuatro intervalos cu\u00e1l es el"}, {"start": 468.6, "end": 476.56, "text": " signo resultante de esta expresi\u00f3n fraccionaria que al final debe ser positiva porque aqu\u00ed"}, {"start": 476.56, "end": 483.44, "text": " se observa que todo esto tiene que ser mayor o igual que 0 para ello vamos a elegir de"}, {"start": 483.44, "end": 492.28000000000003, "text": " cada uno de los intervalos un valor de x que pertenezca a cada uno de ellos vamos al primero"}, {"start": 492.28, "end": 499.23999999999995, "text": " necesitamos un valor real de x que est\u00e9 comprendido entre menos 2 y menos infinito puede ser el"}, {"start": 499.23999999999995, "end": 507.52, "text": " n\u00famero menos 3 en el siguiente intervalo necesitamos usar un valor de x que est\u00e9 comprendido"}, {"start": 507.52, "end": 516.28, "text": " entre menos 2 y un medio puede ser el 0 vamos al siguiente intervalo donde usamos un valor"}, {"start": 516.28, "end": 525.0, "text": " de x comprendido entre un medio y 3 puede ser el n\u00famero 1 y en el \u00faltimo intervalo"}, {"start": 525.0, "end": 532.92, "text": " usamos un valor de x mayor que 3 o comprendido entre 3 y m\u00e1s infinito en ese caso podr\u00eda"}, {"start": 532.92, "end": 541.8399999999999, "text": " ser el n\u00famero 4 como se observa la expresi\u00f3n que vamos a revisar tiene la siguiente estructura"}, {"start": 541.84, "end": 549.0400000000001, "text": " en el numerador una sola expresi\u00f3n y en el denominador dos expresiones que est\u00e1n multiplicando"}, {"start": 549.0400000000001, "end": 557.48, "text": " entre s\u00ed entonces vamos a repetir este esquema en cada uno de los intervalos bien aqu\u00ed ya"}, {"start": 557.48, "end": 565.22, "text": " lo tenemos y vamos a comenzar a anotar dentro de cada par\u00e9ntesis el signo que adopta cada"}, {"start": 565.22, "end": 573.4, "text": " expresi\u00f3n cuando se eval\u00faa el valor seleccionado de x comencemos con x igual a menos 3 vamos"}, {"start": 573.4, "end": 580.96, "text": " al numerador decimos menos 2 por menos 3 eso nos dar\u00eda 6 positivo y 6 m\u00e1s 1 nos da 7"}, {"start": 580.96, "end": 587.84, "text": " positivo entonces escribimos signo m\u00e1s en ese par\u00e9ntesis del numerador vamos ahora"}, {"start": 587.84, "end": 595.44, "text": " a este par\u00e9ntesis cuando x toma el valor menos 3 menos 3 m\u00e1s 2 nos da como resultado"}, {"start": 595.44, "end": 602.48, "text": " 1 signo negativo y en este par\u00e9ntesis si x toma el valor menos 3 tendremos 3 menos"}, {"start": 602.48, "end": 611.6, "text": " menos 3 o sea 3 m\u00e1s 3 que nos dar\u00eda 6 positivo entonces signo m\u00e1s en ese par\u00e9ntesis vamos"}, {"start": 611.6, "end": 621.5600000000001, "text": " ahora con x igual a 0 vamos al numerador menos 2 por 0 da 0 0 m\u00e1s 1 nos da 1 positivo vamos"}, {"start": 621.5600000000001, "end": 630.52, "text": " ahora al denominador comenzamos con este par\u00e9ntesis si x vale 0 tenemos 0 m\u00e1s 2 que es 2 positivo"}, {"start": 630.52, "end": 640.52, "text": " y ac\u00e1 3 menos 0 nos dar\u00eda 3 tambi\u00e9n positivo seguimos ahora con x igual a 1 vamos al numerador"}, {"start": 640.52, "end": 648.88, "text": " menos 2 por 1 da menos 2 menos 2 m\u00e1s 1 nos dar\u00eda menos 1 signo negativo en el numerador"}, {"start": 648.88, "end": 657.1999999999999, "text": " vamos ac\u00e1 cuando x toma el valor 1 tenemos 1 m\u00e1s 2 que es 3 positivo y ac\u00e1 3 menos"}, {"start": 657.1999999999999, "end": 666.0799999999999, "text": " 1 nos dar\u00eda 2 tambi\u00e9n positivo finalmente vamos con x igual a 4 vamos al numerador menos"}, {"start": 666.08, "end": 674.9200000000001, "text": " 2 por 4 dar\u00eda menos 8 menos 8 m\u00e1s 1 es menos 7 signo negativo en el numerador vamos ac\u00e1"}, {"start": 674.9200000000001, "end": 683.6800000000001, "text": " con x igual a 4 4 m\u00e1s 2 nos dar\u00eda 6 positivo y ac\u00e1 tendr\u00edamos 3 menos 4 que nos da menos"}, {"start": 683.6800000000001, "end": 691.76, "text": " 1 entonces signo negativo en ese par\u00e9ntesis ahora en cada caso vamos a aplicar la ley"}, {"start": 691.76, "end": 699.4399999999999, "text": " de los signos para establecer el signo resultante realmente por los signos positivos no debemos"}, {"start": 699.4399999999999, "end": 706.04, "text": " preocuparnos recordemos que es el signo menos al que debemos ponerle mucha atenci\u00f3n en"}, {"start": 706.04, "end": 713.38, "text": " este caso todo esto nos quedar\u00e1 con signo negativo ac\u00e1 tenemos todo positivo signo"}, {"start": 713.38, "end": 719.84, "text": " m\u00e1s como signo resultante ac\u00e1 tambi\u00e9n tenemos un signo menos luego todo eso es negativo"}, {"start": 719.84, "end": 727.1600000000001, "text": " y ac\u00e1 tenemos dos signos negativos menos con menos nos dar\u00eda m\u00e1s como dec\u00edamos ahora"}, {"start": 727.1600000000001, "end": 735.6800000000001, "text": " toda esta expresi\u00f3n debe ser positiva porque repetimos todo esto tiene que ser mayor o"}, {"start": 735.6800000000001, "end": 745.32, "text": " igual que cero por lo tanto las zonas positivas son las que sirven las zonas negativas l\u00f3gicamente"}, {"start": 745.32, "end": 754.88, "text": " no van a servir entonces rayamos o destacamos aquellas zonas que s\u00ed sirvieron las que quedaron"}, {"start": 754.88, "end": 763.88, "text": " con signo m\u00e1s como signo resultante de esta manera ya podemos dar la respuesta para este"}, {"start": 763.88, "end": 771.0, "text": " ejercicio para esta desigualdad racional que como dec\u00edamos se transform\u00f3 en esta que"}, {"start": 771.0, "end": 778.88, "text": " es la que al final analizamos la variable x debe pertenecer a los siguientes intervalos"}, {"start": 778.88, "end": 788.6, "text": " en el conjunto de los reales el intervalo que va desde menos 2 hasta un medio en este"}, {"start": 788.6, "end": 799.38, "text": " caso es abierto en menos 2 y cerrado en un medio y todo esto unido con el intervalo que"}, {"start": 799.38, "end": 813.32, "text": " va desde 3 abierto hasta m\u00e1s infinito que tambi\u00e9n ser\u00e1 abierto de esta manera terminamos"}, {"start": 813.32, "end": 829.9200000000001, "text": " este ejercicio."}]

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VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO - Ejercicio 3

#julioprofe explica cómo determinar el valor numérico de un polinomio algebraico de dos variables. Tema: #PolinomiosAlgebraicos → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEyIs_s2RKgIPueyKz2pawL REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a hallar el valor numérico de este polinomio de cuatro términos cuando A toma el valor menos cuatro y B toma el valor menos uno. Para comenzar, reescribimos este polinomio desapareciendo las letras o las variables, en este caso A y B. Para ello vamos a dejar paréntesis en blanco, paréntesis vacíos, de tal forma que después podamos llenarlos con los números que han sido asignados a cada una de esas letras. Entonces allí tenemos este polinomio escrito con paréntesis en blanco donde cada uno de ellos es el lugar que ocupa las variables A y B. Vamos a llenar entonces los lugares que corresponden a la letra A con el número menos cuatro, sería por aquí para este término, en el siguiente aquí tenemos menos cuatro y en el tercer término por aquí también tenemos menos cuatro. Ahora el siguiente paréntesis que nos queda en blanco es el que corresponde a la letra B y allí vamos a reemplazar el número menos uno. Y a continuación vamos a resolver todas esas operaciones. Comenzamos entonces resolviendo las potencias, entonces tenemos lo siguiente, menos cuatro elevado al cubo, veamos, sería menos cuatro multiplicado por menos cuatro y otra vez multiplicado por menos cuatro, menos cuatro por menos cuatro nos da dieciséis positivo y dieciséis multiplicado por menos cuatro nos da menos sesenta y cuatro, ese será entonces el resultado de la primera potencia. Recordemos que todo número negativo elevado a un exponente impar da como resultado un número negativo. Vamos ahora con el siguiente término, tenemos menos cuatro por el resultado de efectuar menos cuatro al cuadrado, en ese caso sería menos cuatro por menos cuatro, eso nos da dieciséis positivo y ese será el resultado que escribimos aquí y esto multiplicado por menos uno. Vamos al siguiente término donde tenemos cinco por menos cuatro por menos uno al cuadrado, eso sería menos uno por menos uno que nos da como resultado uno positivo. Siempre que tenemos una cantidad negativa elevada a un exponente par obtenemos resultado positivo. Y por acá vamos con la última potencia, menos uno al cubo que sería menos uno por menos uno y eso nos da como resultado menos uno. Número negativo elevado a un exponente impar da como resultado un número negativo. Ahora vamos a resolver estos productos y también vamos a destruir este último paréntesis. Tenemos entonces el primer término menos sesenta y cuatro que permanece intacto. Vamos al segundo término donde tenemos cuatro por dieciséis que es sesenta y cuatro, sesenta y cuatro por uno sesenta y cuatro y definimos el signo aplicando la ley de los signos, menos por más nos da menos y menos por menos nos da más. Vamos al siguiente término cinco por cuatro veinte, veinte por uno nos da veinte, escribimos el número y definimos el signo, más por menos nos da menos y menos por más es menos. Y como decíamos se destruye este paréntesis. Aquí tenemos signos vecinos que se tienen que multiplicar entre sí, más por menos nos da menos y escribimos este número. Y de esa manera ya no tenemos productos sino únicamente operaciones de suma y presta. Como se puede observar aquí tenemos dos números que son opuestos que al sumarlos se eliminan entre sí, entonces menos sesenta y cuatro más sesenta y cuatro nos dará como resultado cero, entonces los podemos cancelar. Nos queda entonces menos veinte y menos uno, la suma de dos cantidades negativas que nos va a producir como resultado menos veintiuno. De esa manera terminamos este ejercicio, menos veintiuno es el valor numérico de este polinomio de cuatro términos cuando a toma el valor menos cuatro y b toma el valor menos uno.

[{"start": 0.0, "end": 10.0, "text": " Vamos a hallar el valor num\u00e9rico de este polinomio de cuatro t\u00e9rminos cuando A toma"}, {"start": 10.0, "end": 15.120000000000001, "text": " el valor menos cuatro y B toma el valor menos uno."}, {"start": 15.120000000000001, "end": 21.64, "text": " Para comenzar, reescribimos este polinomio desapareciendo las letras o las variables,"}, {"start": 21.64, "end": 24.04, "text": " en este caso A y B."}, {"start": 24.04, "end": 31.64, "text": " Para ello vamos a dejar par\u00e9ntesis en blanco, par\u00e9ntesis vac\u00edos, de tal forma que despu\u00e9s"}, {"start": 31.64, "end": 41.56, "text": " podamos llenarlos con los n\u00fameros que han sido asignados a cada una de esas letras."}, {"start": 41.56, "end": 48.76, "text": " Entonces all\u00ed tenemos este polinomio escrito con par\u00e9ntesis en blanco donde cada uno"}, {"start": 48.76, "end": 54.04, "text": " de ellos es el lugar que ocupa las variables A y B."}, {"start": 54.04, "end": 60.76, "text": " Vamos a llenar entonces los lugares que corresponden a la letra A con el n\u00famero menos cuatro,"}, {"start": 60.76, "end": 67.96, "text": " ser\u00eda por aqu\u00ed para este t\u00e9rmino, en el siguiente aqu\u00ed tenemos menos cuatro y en"}, {"start": 67.96, "end": 73.03999999999999, "text": " el tercer t\u00e9rmino por aqu\u00ed tambi\u00e9n tenemos menos cuatro."}, {"start": 73.04, "end": 78.84, "text": " Ahora el siguiente par\u00e9ntesis que nos queda en blanco es el que corresponde a la letra"}, {"start": 78.84, "end": 82.96000000000001, "text": " B y all\u00ed vamos a reemplazar el n\u00famero menos uno."}, {"start": 82.96000000000001, "end": 89.36000000000001, "text": " Y a continuaci\u00f3n vamos a resolver todas esas operaciones."}, {"start": 89.36000000000001, "end": 96.56, "text": " Comenzamos entonces resolviendo las potencias, entonces tenemos lo siguiente, menos cuatro"}, {"start": 96.56, "end": 103.76, "text": " elevado al cubo, veamos, ser\u00eda menos cuatro multiplicado por menos cuatro y otra vez multiplicado"}, {"start": 103.76, "end": 110.7, "text": " por menos cuatro, menos cuatro por menos cuatro nos da diecis\u00e9is positivo y diecis\u00e9is multiplicado"}, {"start": 110.7, "end": 117.9, "text": " por menos cuatro nos da menos sesenta y cuatro, ese ser\u00e1 entonces el resultado de la primera"}, {"start": 117.9, "end": 118.9, "text": " potencia."}, {"start": 118.9, "end": 124.96000000000001, "text": " Recordemos que todo n\u00famero negativo elevado a un exponente impar da como resultado un"}, {"start": 124.96, "end": 126.96, "text": " n\u00famero negativo."}, {"start": 126.96, "end": 133.95999999999998, "text": " Vamos ahora con el siguiente t\u00e9rmino, tenemos menos cuatro por el resultado de efectuar"}, {"start": 133.95999999999998, "end": 141.72, "text": " menos cuatro al cuadrado, en ese caso ser\u00eda menos cuatro por menos cuatro, eso nos da"}, {"start": 141.72, "end": 148.95999999999998, "text": " diecis\u00e9is positivo y ese ser\u00e1 el resultado que escribimos aqu\u00ed y esto multiplicado por"}, {"start": 148.95999999999998, "end": 150.85999999999999, "text": " menos uno."}, {"start": 150.86, "end": 158.20000000000002, "text": " Vamos al siguiente t\u00e9rmino donde tenemos cinco por menos cuatro por menos uno al cuadrado,"}, {"start": 158.20000000000002, "end": 163.56, "text": " eso ser\u00eda menos uno por menos uno que nos da como resultado uno positivo."}, {"start": 163.56, "end": 170.16000000000003, "text": " Siempre que tenemos una cantidad negativa elevada a un exponente par obtenemos resultado"}, {"start": 170.16000000000003, "end": 171.16000000000003, "text": " positivo."}, {"start": 171.16000000000003, "end": 178.28000000000003, "text": " Y por ac\u00e1 vamos con la \u00faltima potencia, menos uno al cubo que ser\u00eda menos uno por menos"}, {"start": 178.28, "end": 182.88, "text": " uno y eso nos da como resultado menos uno."}, {"start": 182.88, "end": 190.6, "text": " N\u00famero negativo elevado a un exponente impar da como resultado un n\u00famero negativo."}, {"start": 190.6, "end": 197.44, "text": " Ahora vamos a resolver estos productos y tambi\u00e9n vamos a destruir este \u00faltimo par\u00e9ntesis."}, {"start": 197.44, "end": 202.84, "text": " Tenemos entonces el primer t\u00e9rmino menos sesenta y cuatro que permanece intacto."}, {"start": 202.84, "end": 208.36, "text": " Vamos al segundo t\u00e9rmino donde tenemos cuatro por diecis\u00e9is que es sesenta y cuatro, sesenta"}, {"start": 208.36, "end": 214.88, "text": " y cuatro por uno sesenta y cuatro y definimos el signo aplicando la ley de los signos, menos"}, {"start": 214.88, "end": 218.64000000000001, "text": " por m\u00e1s nos da menos y menos por menos nos da m\u00e1s."}, {"start": 218.64000000000001, "end": 225.48000000000002, "text": " Vamos al siguiente t\u00e9rmino cinco por cuatro veinte, veinte por uno nos da veinte, escribimos"}, {"start": 225.48, "end": 233.07999999999998, "text": " el n\u00famero y definimos el signo, m\u00e1s por menos nos da menos y menos por m\u00e1s es menos."}, {"start": 233.07999999999998, "end": 236.28, "text": " Y como dec\u00edamos se destruye este par\u00e9ntesis."}, {"start": 236.28, "end": 241.79999999999998, "text": " Aqu\u00ed tenemos signos vecinos que se tienen que multiplicar entre s\u00ed, m\u00e1s por menos"}, {"start": 241.79999999999998, "end": 244.95999999999998, "text": " nos da menos y escribimos este n\u00famero."}, {"start": 244.95999999999998, "end": 252.88, "text": " Y de esa manera ya no tenemos productos sino \u00fanicamente operaciones de suma y presta."}, {"start": 252.88, "end": 259.64, "text": " Como se puede observar aqu\u00ed tenemos dos n\u00fameros que son opuestos que al sumarlos se eliminan"}, {"start": 259.64, "end": 264.88, "text": " entre s\u00ed, entonces menos sesenta y cuatro m\u00e1s sesenta y cuatro nos dar\u00e1 como resultado"}, {"start": 264.88, "end": 268.52, "text": " cero, entonces los podemos cancelar."}, {"start": 268.52, "end": 275.6, "text": " Nos queda entonces menos veinte y menos uno, la suma de dos cantidades negativas que nos"}, {"start": 275.6, "end": 279.44, "text": " va a producir como resultado menos veintiuno."}, {"start": 279.44, "end": 287.0, "text": " De esa manera terminamos este ejercicio, menos veintiuno es el valor num\u00e9rico de este polinomio"}, {"start": 287.0, "end": 310.24, "text": " de cuatro t\u00e9rminos cuando a toma el valor menos cuatro y b toma el valor menos uno."}]

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VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO - Ejercicio 2

#julioprofe explica cómo determinar el valor numérico de un polinomio. Tema: #PolinomiosAlgebraicos → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEyIs_s2RKgIPueyKz2pawL REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a determinar P de menos 2 si P de X está dado por esta expresión algebraica. En otras palabras, vamos a encontrar el valor numérico de este polinomio de cinco términos que depende de la variable X cuando dicha letra toma el valor menos 2. Lo que se recomienda en este caso es volver a escribir este polinomio desapareciendo la letra X. Es decir, vamos a dejar en lugar de esa variable un paréntesis en blanco o un paréntesis vacío. Entonces, reescribimos ese polinomio dejando el lugar de la X disponible para que ingrese allí lo que es el valor que ella toma. En este caso, X toma el valor menos 2. Entonces, vamos a reemplazar ese número en cada uno de esos espacios que dejamos y en seguida vamos a resolver cada una de esas operaciones. Comenzamos resolviendo las potencias. Entonces, tenemos lo siguiente, menos 2 que multiplica al resultado de efectuar menos 2 a la 4. Recordemos que toda cantidad negativa cuando se eleva a un exponente par produce un resultado positivo. Menos 2 a la 4 es multiplicar menos 2 por menos 2 por menos 2 por menos 2. Es decir, el número menos 2 se multiplica por sí mismo cuatro veces. Esto nos da como resultado 4 positivo. Aquí tenemos también 4 positivo y 4 por 4 nos da como resultado 16. Entonces, ese es el resultado de esa primera potencia. Continuamos con el siguiente término donde tenemos menos 5 que multiplica al resultado de efectuar menos 2 elevado a la 3 o menos 2 al cubo. En ese caso multiplicamos el número menos 2 por sí mismo tres veces. Veamos, menos 2 por menos 2 nos da como resultado 4 y 4 multiplicado por menos 2 nos da como resultado menos 8. Todo número negativo elevado a un exponente impar da como resultado un número negativo. Entonces, tenemos menos 8 como resultado de esa potencia. Ahora vamos con el siguiente término. Tenemos más 7 por el resultado de efectuar menos 2 elevado a la 2, o sea menos 2 al cuadrado. En ese caso multiplicamos menos 2 por menos 2 y esto nos da como resultado 4 positivo. De nuevo, si tenemos un número negativo elevado a un exponente par nos da como resultado un número positivo y esto lo dejamos indicado. Como decíamos, primero se deben resolver las potencias. Enseguida vamos a resolver las multiplicaciones o productos que tenemos en esa expresión. Por acá tenemos menos 2 por 16, esto nos da como resultado menos 32. Recordemos que en la multiplicación se aplica la ley de los signos. Menos por más nos da menos. Por acá tenemos menos 5 por menos 8, menos por menos nos da más y 5 por 8 es 40. Acá tenemos más 7 que multiplica con más 4, 7 por 4 nos da 28 y más por más nos da más. Acá tenemos menos 9 por menos 2, 9 por 2 es 18, menos por menos nos da más y escribimos el número más 6. Como se observa ya solamente tenemos operaciones de suma y resta. En ese caso podemos señalar las cantidades positivas para sumarlas entre sí. La única cantidad negativa es menos 32. Entonces escribimos este número que queda intacto y realizando la suma de estos números positivos tenemos lo siguiente. 40 más 28 nos da 68, 68 más 18 nos da 86 y 86 más 6 nos da como resultado más 92. Ahora vamos a resolver esta operación final donde tenemos una cantidad negativa y otra que es positiva. En ese caso recordemos que se deben restar sus valores absolutos. El valor absoluto de este número es 32 y el valor absoluto de este otro número es 92. Si a 92 le restamos 32 nos da como resultado 60 y este número debe llevar el signo de la mayor de estas dos cantidades. En ese caso signo más que aquí lo tenemos invisible y que constituye entonces el resultado de evaluar este polinomio cuando la variable X toma el valor menos 2.

[{"start": 0.0, "end": 11.68, "text": " Vamos a determinar P de menos 2 si P de X est\u00e1 dado por esta expresi\u00f3n algebraica."}, {"start": 11.68, "end": 18.48, "text": " En otras palabras, vamos a encontrar el valor num\u00e9rico de este polinomio de cinco t\u00e9rminos"}, {"start": 18.48, "end": 25.560000000000002, "text": " que depende de la variable X cuando dicha letra toma el valor menos 2."}, {"start": 25.56, "end": 32.04, "text": " Lo que se recomienda en este caso es volver a escribir este polinomio desapareciendo la"}, {"start": 32.04, "end": 33.68, "text": " letra X."}, {"start": 33.68, "end": 41.519999999999996, "text": " Es decir, vamos a dejar en lugar de esa variable un par\u00e9ntesis en blanco o un par\u00e9ntesis"}, {"start": 41.519999999999996, "end": 42.8, "text": " vac\u00edo."}, {"start": 42.8, "end": 52.92, "text": " Entonces, reescribimos ese polinomio dejando el lugar de la X disponible para que ingrese"}, {"start": 52.92, "end": 57.24, "text": " all\u00ed lo que es el valor que ella toma."}, {"start": 57.24, "end": 60.84, "text": " En este caso, X toma el valor menos 2."}, {"start": 60.84, "end": 68.32000000000001, "text": " Entonces, vamos a reemplazar ese n\u00famero en cada uno de esos espacios que dejamos y"}, {"start": 68.32000000000001, "end": 73.56, "text": " en seguida vamos a resolver cada una de esas operaciones."}, {"start": 73.56, "end": 76.6, "text": " Comenzamos resolviendo las potencias."}, {"start": 76.6, "end": 84.03999999999999, "text": " Entonces, tenemos lo siguiente, menos 2 que multiplica al resultado de efectuar menos"}, {"start": 84.03999999999999, "end": 85.6, "text": " 2 a la 4."}, {"start": 85.6, "end": 91.83999999999999, "text": " Recordemos que toda cantidad negativa cuando se eleva a un exponente par produce un resultado"}, {"start": 91.83999999999999, "end": 92.84, "text": " positivo."}, {"start": 92.84, "end": 102.11999999999999, "text": " Menos 2 a la 4 es multiplicar menos 2 por menos 2 por menos 2 por menos 2."}, {"start": 102.12, "end": 106.92, "text": " Es decir, el n\u00famero menos 2 se multiplica por s\u00ed mismo cuatro veces."}, {"start": 106.92, "end": 109.84, "text": " Esto nos da como resultado 4 positivo."}, {"start": 109.84, "end": 115.96000000000001, "text": " Aqu\u00ed tenemos tambi\u00e9n 4 positivo y 4 por 4 nos da como resultado 16."}, {"start": 115.96000000000001, "end": 121.56, "text": " Entonces, ese es el resultado de esa primera potencia."}, {"start": 121.56, "end": 129.0, "text": " Continuamos con el siguiente t\u00e9rmino donde tenemos menos 5 que multiplica al resultado"}, {"start": 129.0, "end": 134.48, "text": " de efectuar menos 2 elevado a la 3 o menos 2 al cubo."}, {"start": 134.48, "end": 139.88, "text": " En ese caso multiplicamos el n\u00famero menos 2 por s\u00ed mismo tres veces."}, {"start": 139.88, "end": 147.44, "text": " Veamos, menos 2 por menos 2 nos da como resultado 4 y 4 multiplicado por menos 2 nos da como"}, {"start": 147.44, "end": 149.56, "text": " resultado menos 8."}, {"start": 149.56, "end": 156.04, "text": " Todo n\u00famero negativo elevado a un exponente impar da como resultado un n\u00famero negativo."}, {"start": 156.04, "end": 161.23999999999998, "text": " Entonces, tenemos menos 8 como resultado de esa potencia."}, {"start": 161.23999999999998, "end": 164.23999999999998, "text": " Ahora vamos con el siguiente t\u00e9rmino."}, {"start": 164.23999999999998, "end": 172.23999999999998, "text": " Tenemos m\u00e1s 7 por el resultado de efectuar menos 2 elevado a la 2, o sea menos 2 al cuadrado."}, {"start": 172.23999999999998, "end": 179.92, "text": " En ese caso multiplicamos menos 2 por menos 2 y esto nos da como resultado 4 positivo."}, {"start": 179.92, "end": 186.35999999999999, "text": " De nuevo, si tenemos un n\u00famero negativo elevado a un exponente par nos da como resultado un"}, {"start": 186.35999999999999, "end": 191.27999999999997, "text": " n\u00famero positivo y esto lo dejamos indicado."}, {"start": 191.27999999999997, "end": 197.16, "text": " Como dec\u00edamos, primero se deben resolver las potencias."}, {"start": 197.16, "end": 204.83999999999997, "text": " Enseguida vamos a resolver las multiplicaciones o productos que tenemos en esa expresi\u00f3n."}, {"start": 204.84, "end": 210.88, "text": " Por ac\u00e1 tenemos menos 2 por 16, esto nos da como resultado menos 32."}, {"start": 210.88, "end": 214.72, "text": " Recordemos que en la multiplicaci\u00f3n se aplica la ley de los signos."}, {"start": 214.72, "end": 216.92000000000002, "text": " Menos por m\u00e1s nos da menos."}, {"start": 216.92000000000002, "end": 224.72, "text": " Por ac\u00e1 tenemos menos 5 por menos 8, menos por menos nos da m\u00e1s y 5 por 8 es 40."}, {"start": 224.72, "end": 232.96, "text": " Ac\u00e1 tenemos m\u00e1s 7 que multiplica con m\u00e1s 4, 7 por 4 nos da 28 y m\u00e1s por m\u00e1s nos da"}, {"start": 232.96, "end": 233.96, "text": " m\u00e1s."}, {"start": 233.96, "end": 242.24, "text": " Ac\u00e1 tenemos menos 9 por menos 2, 9 por 2 es 18, menos por menos nos da m\u00e1s y escribimos"}, {"start": 242.24, "end": 245.28, "text": " el n\u00famero m\u00e1s 6."}, {"start": 245.28, "end": 250.38, "text": " Como se observa ya solamente tenemos operaciones de suma y resta."}, {"start": 250.38, "end": 257.38, "text": " En ese caso podemos se\u00f1alar las cantidades positivas para sumarlas entre s\u00ed."}, {"start": 257.38, "end": 261.56, "text": " La \u00fanica cantidad negativa es menos 32."}, {"start": 261.56, "end": 267.52, "text": " Entonces escribimos este n\u00famero que queda intacto y realizando la suma de estos n\u00fameros"}, {"start": 267.52, "end": 270.52, "text": " positivos tenemos lo siguiente."}, {"start": 270.52, "end": 282.08, "text": " 40 m\u00e1s 28 nos da 68, 68 m\u00e1s 18 nos da 86 y 86 m\u00e1s 6 nos da como resultado m\u00e1s 92."}, {"start": 282.08, "end": 287.98, "text": " Ahora vamos a resolver esta operaci\u00f3n final donde tenemos una cantidad negativa y otra"}, {"start": 287.98, "end": 289.68, "text": " que es positiva."}, {"start": 289.68, "end": 295.24, "text": " En ese caso recordemos que se deben restar sus valores absolutos."}, {"start": 295.24, "end": 302.36, "text": " El valor absoluto de este n\u00famero es 32 y el valor absoluto de este otro n\u00famero es 92."}, {"start": 302.36, "end": 310.72, "text": " Si a 92 le restamos 32 nos da como resultado 60 y este n\u00famero debe llevar el signo de"}, {"start": 310.72, "end": 313.28000000000003, "text": " la mayor de estas dos cantidades."}, {"start": 313.28, "end": 320.2, "text": " En ese caso signo m\u00e1s que aqu\u00ed lo tenemos invisible y que constituye entonces el resultado"}, {"start": 320.2, "end": 343.64, "text": " de evaluar este polinomio cuando la variable X toma el valor menos 2."}]

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VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo hallar el valor numérico de un polinomio de una variable. Tema: #PolinomiosAlgebraicos → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEyIs_s2RKgIPueyKz2pawL REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a hallar el valor numérico de este polinomio de cuatro términos cuando x toma el valor menos tres. Para resolver este tipo de ejercicio es recomendable volver a escribir el polinomio desapareciendo la letra, en este caso la x. Entonces en su lugar vamos a utilizar paréntesis en blanco. Vamos a escribir entonces el polinomio desapareciendo la variable o la letra x y vamos a llenar esos espacios con el número menos tres. Allí estamos reemplazando el valor que toma la variable x. Ahora tenemos que resolver estas operaciones y vamos a comenzar por desarrollar las potencias. Tenemos entonces dos que multiplica al resultado de efectuar menos tres al cubo, o sea menos tres multiplicado por sí mismo tres veces. Eso nos da como resultado menos veintisiete. Recordemos que toda cantidad negativa elevada a un exponente impar da como resultado un número negativo. Ahora tenemos más cinco que multiplica al resultado de elevar menos tres al cuadrado, o sea menos tres por menos tres que nos da como resultado nueve positivo. Una cantidad negativa elevada a un exponente par da como resultado un número positivo y dejamos el resto de las operaciones indicadas. Entonces hemos desarrollado las potencias. Ahora vamos a desarrollar los productos. Tenemos entonces dos por menos veintisiete nos da menos cincuenta y cuatro. Luego tenemos más cinco por nueve que sería más cuarenta y cinco. Acá tenemos más ocho por menos tres que nos da menos veinticuatro y escribimos el número menos diez. Recordemos que al efectuar estas multiplicaciones tenemos en cuenta la ley de los signos. Aquí más por menos da menos, más por más da más y más por menos da menos. Ahora vamos a resolver estas operaciones que como se observa ya son únicamente de suma y resta. Ya no tenemos productos. Entonces vamos a señalar las cantidades negativas y vamos a sumarlas entre sí. Demos entonces cincuenta y cuatro sumado con veinticuatro eso nos da setenta y ocho y eso más diez nos da como resultado ochenta y ocho. Pero como son cantidades negativas conservamos el signo menos. La suma de varios números negativos produce otro número negativo y escribimos el único número positivo que tenemos en ese caso. Para terminar efectuamos esta operación tenemos un número negativo y otro positivo. En ese caso recordemos que se deben restar sus valores absolutos. El valor absoluto de menos ochenta y ocho es ochenta y ocho y el de cuarenta y cinco es cuarenta y cinco. Si a ochenta y ocho le restamos cuarenta y cinco nos da como resultado cuarenta y tres y el resultado debe llevar el signo de la mayor de estas dos cantidades, o sea el signo negativo, el signo que tenía el ochenta y ocho. Entonces el resultado de todo este ejercicio es menos cuarenta y tres y es el valor numérico de este polinomio de cuatro términos cuando x toma el valor menos tres.

[{"start": 0.0, "end": 9.56, "text": " Vamos a hallar el valor num\u00e9rico de este polinomio de cuatro t\u00e9rminos cuando x toma"}, {"start": 9.56, "end": 11.98, "text": " el valor menos tres."}, {"start": 11.98, "end": 19.66, "text": " Para resolver este tipo de ejercicio es recomendable volver a escribir el polinomio desapareciendo"}, {"start": 19.66, "end": 22.34, "text": " la letra, en este caso la x."}, {"start": 22.34, "end": 29.62, "text": " Entonces en su lugar vamos a utilizar par\u00e9ntesis en blanco."}, {"start": 29.62, "end": 37.64, "text": " Vamos a escribir entonces el polinomio desapareciendo la variable o la letra x y vamos a llenar"}, {"start": 37.64, "end": 42.72, "text": " esos espacios con el n\u00famero menos tres."}, {"start": 42.72, "end": 48.96, "text": " All\u00ed estamos reemplazando el valor que toma la variable x."}, {"start": 48.96, "end": 57.34, "text": " Ahora tenemos que resolver estas operaciones y vamos a comenzar por desarrollar las potencias."}, {"start": 57.34, "end": 64.22, "text": " Tenemos entonces dos que multiplica al resultado de efectuar menos tres al cubo, o sea menos"}, {"start": 64.22, "end": 67.60000000000001, "text": " tres multiplicado por s\u00ed mismo tres veces."}, {"start": 67.60000000000001, "end": 71.24000000000001, "text": " Eso nos da como resultado menos veintisiete."}, {"start": 71.24000000000001, "end": 77.9, "text": " Recordemos que toda cantidad negativa elevada a un exponente impar da como resultado un"}, {"start": 77.9, "end": 79.64, "text": " n\u00famero negativo."}, {"start": 79.64, "end": 87.4, "text": " Ahora tenemos m\u00e1s cinco que multiplica al resultado de elevar menos tres al cuadrado, o sea menos"}, {"start": 87.4, "end": 92.24, "text": " tres por menos tres que nos da como resultado nueve positivo."}, {"start": 92.24, "end": 98.92, "text": " Una cantidad negativa elevada a un exponente par da como resultado un n\u00famero positivo"}, {"start": 98.92, "end": 104.76, "text": " y dejamos el resto de las operaciones indicadas."}, {"start": 104.76, "end": 107.76, "text": " Entonces hemos desarrollado las potencias."}, {"start": 107.76, "end": 111.76, "text": " Ahora vamos a desarrollar los productos."}, {"start": 111.76, "end": 117.68, "text": " Tenemos entonces dos por menos veintisiete nos da menos cincuenta y cuatro."}, {"start": 117.68, "end": 123.44, "text": " Luego tenemos m\u00e1s cinco por nueve que ser\u00eda m\u00e1s cuarenta y cinco."}, {"start": 123.44, "end": 129.48000000000002, "text": " Ac\u00e1 tenemos m\u00e1s ocho por menos tres que nos da menos veinticuatro y escribimos el"}, {"start": 129.48000000000002, "end": 131.52, "text": " n\u00famero menos diez."}, {"start": 131.52, "end": 137.4, "text": " Recordemos que al efectuar estas multiplicaciones tenemos en cuenta la ley de los signos."}, {"start": 137.4, "end": 145.88, "text": " Aqu\u00ed m\u00e1s por menos da menos, m\u00e1s por m\u00e1s da m\u00e1s y m\u00e1s por menos da menos."}, {"start": 145.88, "end": 151.84, "text": " Ahora vamos a resolver estas operaciones que como se observa ya son \u00fanicamente de suma"}, {"start": 151.84, "end": 152.92000000000002, "text": " y resta."}, {"start": 152.92000000000002, "end": 155.4, "text": " Ya no tenemos productos."}, {"start": 155.4, "end": 162.0, "text": " Entonces vamos a se\u00f1alar las cantidades negativas y vamos a sumarlas entre s\u00ed."}, {"start": 162.0, "end": 167.76, "text": " Demos entonces cincuenta y cuatro sumado con veinticuatro eso nos da setenta y ocho y"}, {"start": 167.76, "end": 172.4, "text": " eso m\u00e1s diez nos da como resultado ochenta y ocho."}, {"start": 172.4, "end": 176.72, "text": " Pero como son cantidades negativas conservamos el signo menos."}, {"start": 176.72, "end": 183.96, "text": " La suma de varios n\u00fameros negativos produce otro n\u00famero negativo y escribimos el \u00fanico"}, {"start": 183.96, "end": 188.92000000000002, "text": " n\u00famero positivo que tenemos en ese caso."}, {"start": 188.92, "end": 195.23999999999998, "text": " Para terminar efectuamos esta operaci\u00f3n tenemos un n\u00famero negativo y otro positivo."}, {"start": 195.23999999999998, "end": 200.72, "text": " En ese caso recordemos que se deben restar sus valores absolutos."}, {"start": 200.72, "end": 205.6, "text": " El valor absoluto de menos ochenta y ocho es ochenta y ocho y el de cuarenta y cinco"}, {"start": 205.6, "end": 207.27999999999997, "text": " es cuarenta y cinco."}, {"start": 207.27999999999997, "end": 212.6, "text": " Si a ochenta y ocho le restamos cuarenta y cinco nos da como resultado cuarenta y tres"}, {"start": 212.6, "end": 219.6, "text": " y el resultado debe llevar el signo de la mayor de estas dos cantidades, o sea el signo"}, {"start": 219.6, "end": 223.79999999999998, "text": " negativo, el signo que ten\u00eda el ochenta y ocho."}, {"start": 223.79999999999998, "end": 229.64, "text": " Entonces el resultado de todo este ejercicio es menos cuarenta y tres y es el valor num\u00e9rico"}, {"start": 229.64, "end": 243.16, "text": " de este polinomio de cuatro t\u00e9rminos cuando x toma el valor menos tres."}]

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AGRADECIMIENTO A GOOGLE

#julioprofe expresa su agradecimiento a Google y sus productos. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Hola, reciban un cordial saludo desde la ciudad de Cali en Colombia. Soy Julio Ríos y desde hace 24 años me dedico a enseñar matemática y física a chicos y grandes. A comienzos del año 2009 abrí el canal Julio Profe en YouTube para publicar allí videos que yo grababa en casa explicando paso a paso problemas y ejercicios de los temas que dictaba a mis estudiantes del colegio y la universidad donde trabajaba en ese entonces. Mi propósito era que ellos pudieran reforzar los temas vistos en clase, mirando los videos cuantas veces quisieran con tranquilidad en el momento y lugar que mejor estuvieran dispuestos para atender esas explicaciones. Incluso eso me servía para poner al día a aquellos estudiantes que, por diversas razones, no asistían a clase. La gran sorpresa que me llevé fue que estudiantes de otras ciudades de Colombia e incluso de otros países comenzaron a utilizar este recurso y a dejar comentarios muy positivos en mi canal. Esto me animó a grabar más y más videos abarcando así temas de aritmética, álgebra, geometría, trigonometría, cálculo y física. Hoy que estamos a principios de diciembre de 2014 en mi canal Julio Profe de YouTube he publicado 440 videos que registran más de 90 millones de reproducciones en los cinco continentes y cuento con más de 450 mil suscriptores. Les confieso que nunca imaginé que esto pudiera llegar a suceder, pero sin duda es el poder que tiene Internet para difundir la información y para que nuestro mensaje llegue a lugares que jamás habíamos pensado. Como consecuencia de este trabajo educativo que emprendí hace un poco más de cinco años, he recibido gran cantidad de mensajes, principalmente de personas de habla hispana, aunque también los he recibido en idiomas como ruso, japonés y dialectos africanos, para lo cual he tenido que utilizar el traductor de Google. En dichos mensajes, estudiantes, maestros y padres de familia me han expresado sus agradecimientos por los video tutoriales que he producido. En el caso de los estudiantes, manifiestan que este recurso tecnológico les ha permitido estudiar a su propio ritmo, mejorar la comprensión de los temas y con ello vencer el temor que generalmente existe hacia la matemática y la física. Otros utilizan estos videos como preparación para presentar pruebas de ingreso a la universidad o para participar en olimpiadas de matemáticas. En el caso de los maestros, la mayoría manifiesta que estos videos sirven como apoyo para sus clases y en cuanto a los padres de familia, me han dicho que con este recurso logran desempolvar aquellos temas que vieron hace tantos años y que necesitan reactivar para brindar apoyo a sus hijos. De verdad que para mí esto ha sido una gran experiencia, pues es satisfactorio contribuir a la educación de niños, jóvenes y adultos de hoy y de los próximos años y también saber que entidades gubernamentales aprecian mi trabajo y van a incorporarlo en plataformas virtuales educativas, como es el caso de Colombia, Chile y República Dominicana. En el mismo año 2009, meses después de haber creado mi canal Julio Profe en YouTube, abrí el blog www.julioprofe.blogspot.com en la plataforma de Blogger, otro producto de Google. Mi propósito fue organizar allí, por categorías y temas, todos los videos producidos y publicados en YouTube. Posteriormente adquirí el dominio www.julioprofe.net para dicho blog y desde entonces ese es mi sitio oficial donde recopilo toda mi producción, las notas de prensa que destacan mi trabajo educativo, donde también comunico novedades a mis seguidores y donde también se establece conexión con las redes sociales que administro. También utilizo Google Plus para dar a conocer los nuevos videos que publico en YouTube y para realizar videoconferencias grupales a través de Hangouts. A comienzos de este año 2014, abrí en la ciudad de Cali la Academia Julio Profe.net, donde con mi equipo de profesores dictamos clases presenciales y virtuales de matemática y física a estudiantes de primaria, secundaria y universidad. En el caso de las clases virtuales, establecemos comunicación con nuestros estudiantes que viven en otras ciudades a través de los Hangouts de Google. Con esta herramienta maravillosa, logramos brindar una atención personalizada, una clase en vivo con explicación paso a paso de acuerdo con las necesidades del estudiante y sin que él tenga que salir de casa. Bueno, sea esta la oportunidad de agradecer a Google y a todos sus productos como YouTube, Blogger, Google Plus y los Hangouts entre otros, porque para mí han representado potentes medios para compartir mis conocimientos de matemática y física con la comunidad académica, no solamente de América Latina, sino también de otras regiones del mundo, y apoyar así los procesos de aprendizaje y enseñanza de estas disciplinas. Muchas gracias por su amable atención y hasta la próxima.

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https://www.youtube.com/watch?v=kTmvME9DK2M

ORDENAR CUATRO FRACCIONES EN FORMA DESCENDENTE

#julioprofe explica cómo ordenar cuatro fracciones heterogéneas e impropias en forma descendente. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a ordenar en forma descendente las fracciones 11 novenos, 3 medios, 7 sextos y 4 tercios. Como podemos observar, se trata de fracciones que tienen distinto denominador, o sea que son fracciones heterogéneas. Y también se puede notar que en todas ellas el numerador siempre es mayor que el denominador. Entonces tenemos fracciones impropias. Para comenzar debemos determinar el mínimo común múltiplo de los denominadores. Es decir, vamos a encontrar por acá el MCM de los números 9, 2, 6 y 3. Entonces vamos a realizar ese procedimiento. Escribimos los 4 números espaciados entre sí y trazamos esta línea vertical a la derecha del último. Y vamos a efectuar lo que se llama la descomposición simultánea en factores primos de estos números. Comenzamos examinando el número primo 2. Nos fijamos si 2 es divisor de algunos de ellos. Vemos que sí para lo que son los números pares. Entonces utilizamos el 2, decimos mitad de 2 es 1 y mitad de 6 nos da 3. Para el caso de los números impares 2 no los divide exactamente. Entonces 9 y 3 se dejan intactos. Como se observa en esta columna ya obtuvimos el número 1, lo cual es una señal de que ya terminamos allí. Nos quedan entonces estos números y nos preguntamos si el número 2 vuelve a servir. Vemos que no es así porque se trata de números impares. Pasamos entonces a examinar el siguiente número primo que será el 3. Y 3 efectivamente le sirve a estos números. Entonces lo utilizamos. Decimos tercera de 9 es 3, tercera de 3 es 1 y tercera de 3 también es 1. Ahora acá ya terminamos y nos queda solamente este número al cual debemos sacarle tercera. Tercera de 3 nos da 1 y así terminamos el procedimiento. Multiplicamos los números que nos quedaron 2 por 3 es 6, 6 por 3 es 18 y de esa manera hemos encontrado el mínimo común múltiplo de los cuatro números que corresponden a los denominadores de las fracciones. Ahora utilizando la amplificación vamos a convertir las cuatro fracciones en fracciones equivalentes que tengan denominador 18. Comencemos con la fracción 11 novenos, la cual vamos a multiplicar arriba y abajo por el número necesario para que el denominador sea 18. Nos preguntamos 9 multiplicado por qué número nos da 18 y encontramos que es el 2. Entonces multiplicamos por 2 arriba y abajo para obtener así la siguiente fracción. 11 por 2 es 22, 9 por 2 es 18, 22 dieciochoavos es una fracción equivalente a 11 novenos y que hemos obtenido mediante amplificación. Continuamos con la fracción tres medios a la cual vamos a realizar el procedimiento de amplificación. Nos preguntamos 2 por qué número nos da 18 y encontramos que se trata del número 9. Entonces nuevamente se multiplica por 9 tanto en el numerador como en el denominador. Resolvemos esas operaciones 3 por 9 nos da 27, 2 por 9 es 18, 27 dieciochoavos es una fracción equivalente a tres medios y de nuevo se ha obtenido mediante amplificación. Seguimos ahora con la fracción siete sextos a la cual vamos a realizar también la amplificación. Nos preguntamos 6 multiplicado por qué número nos da 18 y encontramos que es el número 3. Entonces multiplicamos por ese número arriba y también abajo. Resolvemos esas multiplicaciones 7 por 3 es 21 y 6 por 3 es 18. De esa manera 21 dieciochoavos es una fracción equivalente a siete sextos. Entonces amplificamos la fracción que nos queda o sea cuatro tercios. Vamos a multiplicar arriba y abajo por un número tal que el denominador sea 18. Entonces 3 multiplicado por qué número nos da 18 y encontramos que es el número 6. Entonces multiplicamos arriba y abajo por dicho número. Resolvimos 4 por 6 es 24 y 3 por 6 es 18. Entonces 24 dieciochoavos es una fracción equivalente a cuatro tercios. Como podemos observar las cuatro fracciones ya son homogéneas. Todas tienen el mismo denominador que es 18. Entonces ya podemos proceder a ordenarlas en forma descendente o decreciente. Es decir que vamos a comenzar con la más grande y vamos a terminar con la más pequeña. Buscamos entonces la que tiene mayor numerador. Vemos que es 27 dieciochoavos y esa es la que escribimos primero. 27 dieciochoavos será mayor que veamos cuál le sigue. Sería 24 dieciochoavos. Esto será entonces mayor que la que sigue que es 22 dieciochoavos y a su vez mayor que la que nos queda que es 21 dieciochoavos. Allí están ordenadas en forma descendente o decreciente fijándonos en los numeradores porque son fracciones homogéneas. Tienen el mismo denominador. Para terminar damos la respuesta a lo que se pide en el ejercicio cambiando estas fracciones por sus fracciones equivalentes originales. Entonces tenemos 27 dieciochoavos que es la fracción tres medios y que será mayor que la fracción 24 dieciochoavos. Aquí la tenemos equivale a cuatro tercios. Esto será mayor que 22 dieciochoavos. Aquí la tenemos equivalente a once novenos y finalmente esto mayor que 21 dieciochoavos que es equivalente a la fracción siete sextos. Con esto terminamos este ejercicio.

[{"start": 0.0, "end": 13.32, "text": " Vamos a ordenar en forma descendente las fracciones 11 novenos, 3 medios, 7 sextos y 4 tercios."}, {"start": 13.32, "end": 19.04, "text": " Como podemos observar, se trata de fracciones que tienen distinto denominador, o sea que"}, {"start": 19.04, "end": 21.56, "text": " son fracciones heterog\u00e9neas."}, {"start": 21.56, "end": 29.66, "text": " Y tambi\u00e9n se puede notar que en todas ellas el numerador siempre es mayor que el denominador."}, {"start": 29.66, "end": 33.04, "text": " Entonces tenemos fracciones impropias."}, {"start": 33.04, "end": 38.6, "text": " Para comenzar debemos determinar el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de los denominadores."}, {"start": 38.6, "end": 51.04, "text": " Es decir, vamos a encontrar por ac\u00e1 el MCM de los n\u00fameros 9, 2, 6 y 3."}, {"start": 51.04, "end": 54.879999999999995, "text": " Entonces vamos a realizar ese procedimiento."}, {"start": 54.88, "end": 62.68, "text": " Escribimos los 4 n\u00fameros espaciados entre s\u00ed y trazamos esta l\u00ednea vertical a la derecha"}, {"start": 62.68, "end": 63.68000000000001, "text": " del \u00faltimo."}, {"start": 63.68000000000001, "end": 71.68, "text": " Y vamos a efectuar lo que se llama la descomposici\u00f3n simult\u00e1nea en factores primos de estos n\u00fameros."}, {"start": 71.68, "end": 74.44, "text": " Comenzamos examinando el n\u00famero primo 2."}, {"start": 74.44, "end": 78.36, "text": " Nos fijamos si 2 es divisor de algunos de ellos."}, {"start": 78.36, "end": 82.48, "text": " Vemos que s\u00ed para lo que son los n\u00fameros pares."}, {"start": 82.48, "end": 89.80000000000001, "text": " Entonces utilizamos el 2, decimos mitad de 2 es 1 y mitad de 6 nos da 3."}, {"start": 89.80000000000001, "end": 94.92, "text": " Para el caso de los n\u00fameros impares 2 no los divide exactamente."}, {"start": 94.92, "end": 99.4, "text": " Entonces 9 y 3 se dejan intactos."}, {"start": 99.4, "end": 105.36, "text": " Como se observa en esta columna ya obtuvimos el n\u00famero 1, lo cual es una se\u00f1al de que"}, {"start": 105.36, "end": 107.16, "text": " ya terminamos all\u00ed."}, {"start": 107.16, "end": 113.32, "text": " Nos quedan entonces estos n\u00fameros y nos preguntamos si el n\u00famero 2 vuelve a servir."}, {"start": 113.32, "end": 117.44, "text": " Vemos que no es as\u00ed porque se trata de n\u00fameros impares."}, {"start": 117.44, "end": 121.88, "text": " Pasamos entonces a examinar el siguiente n\u00famero primo que ser\u00e1 el 3."}, {"start": 121.88, "end": 125.6, "text": " Y 3 efectivamente le sirve a estos n\u00fameros."}, {"start": 125.6, "end": 127.6, "text": " Entonces lo utilizamos."}, {"start": 127.6, "end": 134.96, "text": " Decimos tercera de 9 es 3, tercera de 3 es 1 y tercera de 3 tambi\u00e9n es 1."}, {"start": 134.96, "end": 142.12, "text": " Ahora ac\u00e1 ya terminamos y nos queda solamente este n\u00famero al cual debemos sacarle tercera."}, {"start": 142.12, "end": 146.20000000000002, "text": " Tercera de 3 nos da 1 y as\u00ed terminamos el procedimiento."}, {"start": 146.20000000000002, "end": 154.84, "text": " Multiplicamos los n\u00fameros que nos quedaron 2 por 3 es 6, 6 por 3 es 18 y de esa manera"}, {"start": 154.84, "end": 160.56, "text": " hemos encontrado el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de los cuatro n\u00fameros que corresponden a"}, {"start": 160.56, "end": 164.68, "text": " los denominadores de las fracciones."}, {"start": 164.68, "end": 170.48000000000002, "text": " Ahora utilizando la amplificaci\u00f3n vamos a convertir las cuatro fracciones en fracciones"}, {"start": 170.48000000000002, "end": 174.32, "text": " equivalentes que tengan denominador 18."}, {"start": 174.32, "end": 183.28, "text": " Comencemos con la fracci\u00f3n 11 novenos, la cual vamos a multiplicar arriba y abajo por"}, {"start": 183.28, "end": 187.76000000000002, "text": " el n\u00famero necesario para que el denominador sea 18."}, {"start": 187.76, "end": 195.28, "text": " Nos preguntamos 9 multiplicado por qu\u00e9 n\u00famero nos da 18 y encontramos que es el 2."}, {"start": 195.28, "end": 202.04, "text": " Entonces multiplicamos por 2 arriba y abajo para obtener as\u00ed la siguiente fracci\u00f3n."}, {"start": 202.04, "end": 211.84, "text": " 11 por 2 es 22, 9 por 2 es 18, 22 dieciochoavos es una fracci\u00f3n equivalente a 11 novenos"}, {"start": 211.84, "end": 216.0, "text": " y que hemos obtenido mediante amplificaci\u00f3n."}, {"start": 216.0, "end": 223.0, "text": " Continuamos con la fracci\u00f3n tres medios a la cual vamos a realizar el procedimiento"}, {"start": 223.0, "end": 225.12, "text": " de amplificaci\u00f3n."}, {"start": 225.12, "end": 231.96, "text": " Nos preguntamos 2 por qu\u00e9 n\u00famero nos da 18 y encontramos que se trata del n\u00famero"}, {"start": 231.96, "end": 232.96, "text": " 9."}, {"start": 232.96, "end": 239.56, "text": " Entonces nuevamente se multiplica por 9 tanto en el numerador como en el denominador."}, {"start": 239.56, "end": 248.84, "text": " Resolvemos esas operaciones 3 por 9 nos da 27, 2 por 9 es 18, 27 dieciochoavos es una"}, {"start": 248.84, "end": 256.2, "text": " fracci\u00f3n equivalente a tres medios y de nuevo se ha obtenido mediante amplificaci\u00f3n."}, {"start": 256.2, "end": 264.96, "text": " Seguimos ahora con la fracci\u00f3n siete sextos a la cual vamos a realizar tambi\u00e9n la amplificaci\u00f3n."}, {"start": 264.96, "end": 271.23999999999995, "text": " Nos preguntamos 6 multiplicado por qu\u00e9 n\u00famero nos da 18 y encontramos que es el n\u00famero"}, {"start": 271.23999999999995, "end": 272.23999999999995, "text": " 3."}, {"start": 272.23999999999995, "end": 277.68, "text": " Entonces multiplicamos por ese n\u00famero arriba y tambi\u00e9n abajo."}, {"start": 277.68, "end": 283.91999999999996, "text": " Resolvemos esas multiplicaciones 7 por 3 es 21 y 6 por 3 es 18."}, {"start": 283.91999999999996, "end": 291.52, "text": " De esa manera 21 dieciochoavos es una fracci\u00f3n equivalente a siete sextos."}, {"start": 291.52, "end": 297.12, "text": " Entonces amplificamos la fracci\u00f3n que nos queda o sea cuatro tercios."}, {"start": 297.12, "end": 304.71999999999997, "text": " Vamos a multiplicar arriba y abajo por un n\u00famero tal que el denominador sea 18."}, {"start": 304.71999999999997, "end": 311.47999999999996, "text": " Entonces 3 multiplicado por qu\u00e9 n\u00famero nos da 18 y encontramos que es el n\u00famero 6."}, {"start": 311.47999999999996, "end": 316.03999999999996, "text": " Entonces multiplicamos arriba y abajo por dicho n\u00famero."}, {"start": 316.04, "end": 321.56, "text": " Resolvimos 4 por 6 es 24 y 3 por 6 es 18."}, {"start": 321.56, "end": 328.08000000000004, "text": " Entonces 24 dieciochoavos es una fracci\u00f3n equivalente a cuatro tercios."}, {"start": 328.08000000000004, "end": 332.88, "text": " Como podemos observar las cuatro fracciones ya son homog\u00e9neas."}, {"start": 332.88, "end": 337.04, "text": " Todas tienen el mismo denominador que es 18."}, {"start": 337.04, "end": 343.32000000000005, "text": " Entonces ya podemos proceder a ordenarlas en forma descendente o decreciente."}, {"start": 343.32, "end": 349.08, "text": " Es decir que vamos a comenzar con la m\u00e1s grande y vamos a terminar con la m\u00e1s peque\u00f1a."}, {"start": 349.08, "end": 352.2, "text": " Buscamos entonces la que tiene mayor numerador."}, {"start": 352.2, "end": 358.15999999999997, "text": " Vemos que es 27 dieciochoavos y esa es la que escribimos primero."}, {"start": 358.15999999999997, "end": 364.0, "text": " 27 dieciochoavos ser\u00e1 mayor que veamos cu\u00e1l le sigue."}, {"start": 364.0, "end": 367.68, "text": " Ser\u00eda 24 dieciochoavos."}, {"start": 367.68, "end": 378.56, "text": " Esto ser\u00e1 entonces mayor que la que sigue que es 22 dieciochoavos y a su vez mayor que"}, {"start": 378.56, "end": 384.68, "text": " la que nos queda que es 21 dieciochoavos."}, {"start": 384.68, "end": 391.76, "text": " All\u00ed est\u00e1n ordenadas en forma descendente o decreciente fij\u00e1ndonos en los numeradores"}, {"start": 391.76, "end": 394.68, "text": " porque son fracciones homog\u00e9neas."}, {"start": 394.68, "end": 397.8, "text": " Tienen el mismo denominador."}, {"start": 397.8, "end": 405.08, "text": " Para terminar damos la respuesta a lo que se pide en el ejercicio cambiando estas fracciones"}, {"start": 405.08, "end": 408.6, "text": " por sus fracciones equivalentes originales."}, {"start": 408.6, "end": 417.76, "text": " Entonces tenemos 27 dieciochoavos que es la fracci\u00f3n tres medios y que ser\u00e1 mayor que"}, {"start": 417.76, "end": 420.52, "text": " la fracci\u00f3n 24 dieciochoavos."}, {"start": 420.52, "end": 425.84, "text": " Aqu\u00ed la tenemos equivale a cuatro tercios."}, {"start": 425.84, "end": 429.56, "text": " Esto ser\u00e1 mayor que 22 dieciochoavos."}, {"start": 429.56, "end": 440.18, "text": " Aqu\u00ed la tenemos equivalente a once novenos y finalmente esto mayor que 21 dieciochoavos"}, {"start": 440.18, "end": 444.59999999999997, "text": " que es equivalente a la fracci\u00f3n siete sextos."}, {"start": 444.6, "end": 450.6, "text": " Con esto terminamos este ejercicio."}]

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ORDENAR TRES FRACCIONES EN FORMA ASCENDENTE

#julioprofe explica cómo ordenar tres fracciones heterogéneas y propias en forma ascendente o creciente. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a ordenar en forma ascendente las fracciones 2 tercios, 3 cuartos y 1 medio. Vemos que se trata de fracciones con distinto denominador, o sea, lo que se conoce como fracciones heterogéneas. Y también otra característica que tienen esas tres fracciones es que el numerador siempre es menor que el denominador, o sea, que se trata de fracciones propias. Para comenzar vamos a encontrar el mínimo común múltiplo de los denominadores. Entonces vamos a hallar por aquí el mcm de 3, 4 y 2. Hacemos este procedimiento de la siguiente manera. Escribimos esos tres números espaciados entre sí y trazamos esta línea vertical a la derecha del último. Y vamos a realizar lo que se llama la descomposición simultánea en factores primos de estos tres números. Comenzamos examinando el primer número primo, que es el 2, y nos preguntamos si 2 es divisor de alguno de estos números. Vemos que sirve para aquellos que son pares. Entonces utilizamos el número 2. Decimos mitad de 3 no tiene mitad exacta, por lo tanto el 3 se deja intacto y a estos dos números les vamos a extraer la mitad. Decimos mitad de 4, 2, y mitad de 2 es 1. Por aquí ya terminamos. Volvemos a preguntarnos si el 2 sirve. Efectivamente le sirve a este que es número par. Otra vez decimos mitad de 3 no tiene, no es exacta, entonces el 3 se deja igual y la mitad de 2 es 1. Aquí ya terminamos, nos queda pendiente este número 3 al cual solamente podemos sacarle tercera. Es allí cuando utilizamos el siguiente número primo que es el 3. Decimos tercera de 3 es 1 y de esa manera terminamos el procedimiento. Multiplicamos estos tres números, 2 por 2 es 4, 4 por 3 es 12, y así hemos hallado el mínimo común múltiplo de los números 3, 4, y 2. Ahora utilizando la amplificación vamos a convertir las tres fracciones a fracciones equivalentes que tengan denominador 12. Veamos, la fracción dos tercios vamos a multiplicarla arriba y abajo por el número necesario para que en el denominador tengamos el 12. Nos preguntamos 3 multiplicado por qué número nos da 12 y encontramos que es el número 4. Entonces multiplicamos arriba y abajo por 4, estamos aplicando la amplificación de fracciones y vamos a obtener 2 por 4 es 8, 3 por 4 es 12. La fracción 8 doceavos es equivalente a la fracción original dos tercios. Ahora pasamos a la fracción tres cuartos con la que vamos a realizar un procedimiento similar. Vamos a multiplicar por el número necesario para que en el denominador tengamos el 12. Nos preguntamos 4 multiplicado por qué número nos da 12 y encontramos que es el 3. Entonces multiplicamos arriba y abajo por 3 y vamos a obtener 3 por 3 es 9, 4 por 3 es 12. La fracción nueve doceavos es equivalente a tres cuartos. Finalmente tomamos la fracción un medio a la que vamos a realizar también el proceso de amplificación. Vamos a multiplicar por un número que nos produzca en el denominador el 12. Entonces nos preguntamos 2 por qué número nos da 12 y encontramos que se trata del número 6. Entonces multiplicamos arriba y abajo por 6, repetimos es lo que se conoce como amplificar una fracción y obtenemos 1 por 6 es 6, 2 por 6 es 12. La fracción seis doceavos que será equivalente a la fracción original que es un medio. Como podemos observar ya las tres fracciones obtenidas son homogéneas, todas tienen el mismo denominador. Entonces nos queda fácil organizarlas en forma ascendente o creciente, es decir empezando con la más pequeña y terminando con la más grande. Si revisamos con atención esas tres fracciones encontramos que la menor de ellas será seis doceavos porque es la que tiene menor numerador. Entonces comenzaríamos con seis doceavos que será menor que la que sigue que sería ocho doceavos y a su vez esa será menor que la fracción que nos queda que es nueve doceavos. Allí están organizadas en forma ascendente o creciente, es decir de menor a mayor las tres fracciones. Repetimos nos guiamos por los numeradores ellos deben quedar en forma ascendente o creciente porque se trata de fracciones homogéneas o fracciones con el mismo denominador. Para terminar el ejercicio y dar la respuesta a lo que se pide en el enunciado, entonces cambiamos estas fracciones por las originales. Vemos que seis doceavos es la fracción un medio que será menor que ocho doceavos que equivale a la fracción dos tercios y a su vez eso será menor que la fracción nueve doceavos que equivale a tres cuartos. Allí están ordenadas en forma ascendente o creciente las tres fracciones que nos dieron y así terminamos este ejercicio.

[{"start": 0.0, "end": 11.68, "text": " Vamos a ordenar en forma ascendente las fracciones 2 tercios, 3 cuartos y 1 medio. Vemos que se"}, {"start": 11.68, "end": 19.64, "text": " trata de fracciones con distinto denominador, o sea, lo que se conoce como fracciones heterog\u00e9neas."}, {"start": 19.64, "end": 25.7, "text": " Y tambi\u00e9n otra caracter\u00edstica que tienen esas tres fracciones es que el numerador siempre"}, {"start": 25.7, "end": 32.32, "text": " es menor que el denominador, o sea, que se trata de fracciones propias."}, {"start": 32.32, "end": 39.6, "text": " Para comenzar vamos a encontrar el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de los denominadores. Entonces"}, {"start": 39.6, "end": 51.72, "text": " vamos a hallar por aqu\u00ed el mcm de 3, 4 y 2. Hacemos este procedimiento de la siguiente"}, {"start": 51.72, "end": 59.28, "text": " manera. Escribimos esos tres n\u00fameros espaciados entre s\u00ed y trazamos esta l\u00ednea vertical"}, {"start": 59.28, "end": 65.6, "text": " a la derecha del \u00faltimo. Y vamos a realizar lo que se llama la descomposici\u00f3n simult\u00e1nea"}, {"start": 65.6, "end": 72.52, "text": " en factores primos de estos tres n\u00fameros. Comenzamos examinando el primer n\u00famero primo,"}, {"start": 72.52, "end": 79.6, "text": " que es el 2, y nos preguntamos si 2 es divisor de alguno de estos n\u00fameros. Vemos que sirve"}, {"start": 79.6, "end": 87.24, "text": " para aquellos que son pares. Entonces utilizamos el n\u00famero 2. Decimos mitad de 3 no tiene"}, {"start": 87.24, "end": 95.03999999999999, "text": " mitad exacta, por lo tanto el 3 se deja intacto y a estos dos n\u00fameros les vamos a extraer"}, {"start": 95.03999999999999, "end": 103.32, "text": " la mitad. Decimos mitad de 4, 2, y mitad de 2 es 1. Por aqu\u00ed ya terminamos. Volvemos"}, {"start": 103.32, "end": 110.27999999999999, "text": " a preguntarnos si el 2 sirve. Efectivamente le sirve a este que es n\u00famero par. Otra vez"}, {"start": 110.27999999999999, "end": 117.91999999999999, "text": " decimos mitad de 3 no tiene, no es exacta, entonces el 3 se deja igual y la mitad de"}, {"start": 117.91999999999999, "end": 126.16, "text": " 2 es 1. Aqu\u00ed ya terminamos, nos queda pendiente este n\u00famero 3 al cual solamente podemos sacarle"}, {"start": 126.16, "end": 132.42, "text": " tercera. Es all\u00ed cuando utilizamos el siguiente n\u00famero primo que es el 3. Decimos tercera"}, {"start": 132.42, "end": 141.35999999999999, "text": " de 3 es 1 y de esa manera terminamos el procedimiento. Multiplicamos estos tres n\u00fameros, 2 por 2"}, {"start": 141.35999999999999, "end": 149.64, "text": " es 4, 4 por 3 es 12, y as\u00ed hemos hallado el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de los n\u00fameros"}, {"start": 149.64, "end": 159.76, "text": " 3, 4, y 2. Ahora utilizando la amplificaci\u00f3n vamos a convertir las tres fracciones a fracciones"}, {"start": 159.76, "end": 168.67999999999998, "text": " equivalentes que tengan denominador 12. Veamos, la fracci\u00f3n dos tercios vamos a multiplicarla"}, {"start": 168.67999999999998, "end": 175.56, "text": " arriba y abajo por el n\u00famero necesario para que en el denominador tengamos el 12. Nos"}, {"start": 175.56, "end": 181.23999999999998, "text": " preguntamos 3 multiplicado por qu\u00e9 n\u00famero nos da 12 y encontramos que es el n\u00famero"}, {"start": 181.23999999999998, "end": 187.92, "text": " 4. Entonces multiplicamos arriba y abajo por 4, estamos aplicando la amplificaci\u00f3n de"}, {"start": 187.92, "end": 196.44, "text": " fracciones y vamos a obtener 2 por 4 es 8, 3 por 4 es 12. La fracci\u00f3n 8 doceavos es"}, {"start": 196.44, "end": 204.06, "text": " equivalente a la fracci\u00f3n original dos tercios. Ahora pasamos a la fracci\u00f3n tres cuartos"}, {"start": 204.06, "end": 210.51999999999998, "text": " con la que vamos a realizar un procedimiento similar. Vamos a multiplicar por el n\u00famero"}, {"start": 210.51999999999998, "end": 217.26, "text": " necesario para que en el denominador tengamos el 12. Nos preguntamos 4 multiplicado por"}, {"start": 217.26, "end": 223.72, "text": " qu\u00e9 n\u00famero nos da 12 y encontramos que es el 3. Entonces multiplicamos arriba y abajo"}, {"start": 223.72, "end": 234.6, "text": " por 3 y vamos a obtener 3 por 3 es 9, 4 por 3 es 12. La fracci\u00f3n nueve doceavos es equivalente"}, {"start": 234.6, "end": 242.64, "text": " a tres cuartos. Finalmente tomamos la fracci\u00f3n un medio a la que vamos a realizar tambi\u00e9n"}, {"start": 242.64, "end": 250.16, "text": " el proceso de amplificaci\u00f3n. Vamos a multiplicar por un n\u00famero que nos produzca en el denominador"}, {"start": 250.16, "end": 257.18, "text": " el 12. Entonces nos preguntamos 2 por qu\u00e9 n\u00famero nos da 12 y encontramos que se trata"}, {"start": 257.18, "end": 263.12, "text": " del n\u00famero 6. Entonces multiplicamos arriba y abajo por 6, repetimos es lo que se conoce"}, {"start": 263.12, "end": 271.12, "text": " como amplificar una fracci\u00f3n y obtenemos 1 por 6 es 6, 2 por 6 es 12. La fracci\u00f3n"}, {"start": 271.12, "end": 279.8, "text": " seis doceavos que ser\u00e1 equivalente a la fracci\u00f3n original que es un medio. Como podemos observar"}, {"start": 279.8, "end": 287.0, "text": " ya las tres fracciones obtenidas son homog\u00e9neas, todas tienen el mismo denominador. Entonces"}, {"start": 287.0, "end": 294.12, "text": " nos queda f\u00e1cil organizarlas en forma ascendente o creciente, es decir empezando con la m\u00e1s"}, {"start": 294.12, "end": 301.12, "text": " peque\u00f1a y terminando con la m\u00e1s grande. Si revisamos con atenci\u00f3n esas tres fracciones"}, {"start": 301.12, "end": 308.2, "text": " encontramos que la menor de ellas ser\u00e1 seis doceavos porque es la que tiene menor numerador."}, {"start": 308.2, "end": 318.28000000000003, "text": " Entonces comenzar\u00edamos con seis doceavos que ser\u00e1 menor que la que sigue que ser\u00eda"}, {"start": 318.28, "end": 332.44, "text": " ocho doceavos y a su vez esa ser\u00e1 menor que la fracci\u00f3n que nos queda que es nueve doceavos."}, {"start": 332.44, "end": 339.96, "text": " All\u00ed est\u00e1n organizadas en forma ascendente o creciente, es decir de menor a mayor las"}, {"start": 339.96, "end": 346.15999999999997, "text": " tres fracciones. Repetimos nos guiamos por los numeradores ellos deben quedar en forma"}, {"start": 346.16, "end": 352.40000000000003, "text": " ascendente o creciente porque se trata de fracciones homog\u00e9neas o fracciones con el"}, {"start": 352.40000000000003, "end": 360.44000000000005, "text": " mismo denominador. Para terminar el ejercicio y dar la respuesta a lo que se pide en el"}, {"start": 360.44000000000005, "end": 367.8, "text": " enunciado, entonces cambiamos estas fracciones por las originales. Vemos que seis doceavos"}, {"start": 367.8, "end": 377.96000000000004, "text": " es la fracci\u00f3n un medio que ser\u00e1 menor que ocho doceavos que equivale a la fracci\u00f3n"}, {"start": 377.96000000000004, "end": 387.28000000000003, "text": " dos tercios y a su vez eso ser\u00e1 menor que la fracci\u00f3n nueve doceavos que equivale"}, {"start": 387.28000000000003, "end": 395.24, "text": " a tres cuartos. All\u00ed est\u00e1n ordenadas en forma ascendente o creciente las tres fracciones"}, {"start": 395.24, "end": 398.56, "text": " que nos dieron y as\u00ed terminamos este ejercicio."}]

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COMPARACIÓN DE DOS FRACCIONES

#julioprofe explica cómo realizar la comparación de dos fracciones. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

En esta ocasión vamos a ver cómo se realiza la comparación de dos fracciones y vamos a comenzar con aquellas que tienen el mismo denominador conocidas como fracciones homogéneas. En este caso únicamente nos fijamos en lo que sucede con los numeradores. Vemos que relación existe entre ellos. Por ejemplo en el primer caso 2 es mayor que 1, por lo tanto ese será el símbolo que escribimos dentro del cuadrito. De esa manera la fracción dos tercios es mayor que la fracción un tercio. En el segundo caso miramos que relación existe entre los números 4 y 6. 4 es menor que 6, por lo tanto ese es el símbolo que escribimos dentro del cuadrito, menor que. De esa manera la fracción cuatro séptimos es menor que la fracción seis séptimos. Y en el tercer caso miramos los numeradores. Vemos que son iguales, por lo tanto esa será la relación que existe entre las dos fracciones. Nueve décimos es igual a la fracción nueve décimos. Veamos ahora cómo se realiza la comparación de dos fracciones que tienen distinto denominador, es decir, fracciones que se conocen como heterogéneas. La forma más sencilla de efectuar esa comparación consiste en multiplicar los dos componentes de cada fracción por el denominador contrario. Veamos entonces cómo nos quedaría en el primer caso. Multiplicamos la fracción cinco octavos por el denominador contrario que sería cuatro. Y vamos a multiplicar la fracción tres cuartos, tanto en la parte de arriba como en la parte de abajo, por el denominador contrario que sería ocho. De esa manera vamos a establecer ahora la comparación o la relación que existe entre ambas fracciones. Si resolvemos las operaciones tenemos lo siguiente. Cinco por cuatro nos da veinte, ocho por cuatro es treinta y dos. Y al otro lado tenemos tres por ocho veinticuatro sobre cuatro por ocho que es treinta y dos. Y allí hemos conseguido que las dos fracciones se conviertan en homogéneas, es decir, que tengan el mismo denominador. Estas fracciones obtenidas van a ser equivalentes a las originales. Y allí ya nos queda fácil comparar ambas fracciones. Como decíamos anteriormente, nos fijamos en los numeradores. Veinte es menor que veinticuatro. Por lo tanto aquí escribimos dentro del cuadrito el símbolo menor que. Y ese es el que traemos acá. De esa manera concluimos que la fracción cinco octavos es menor que la fracción tres cuartos. Miremos ahora el segundo caso donde vamos a utilizar la misma estrategia. Vamos a multiplicar los dos componentes de la primera fracción por el denominador contrario que es ocho. Tendremos entonces quince por ocho en el numerador y doce por ocho en el denominador. Y tomamos la segunda fracción y la vamos a multiplicar por doce tanto arriba como abajo. Tendremos diez por doce en el numerador y ocho por doce en el denominador. Y vamos a efectuar la comparación entre ellas. Si multiplicamos quince por ocho obtenemos ciento veinte. Al multiplicar doce por ocho nos da noventa y seis. En la otra fracción tenemos diez por doce que es ciento veinte y ocho por doce que nos da noventa y seis. De esa manera tenemos ya dos fracciones con el mismo denominador, o sea fracciones homogéneas y vemos que sus numeradores son iguales. Por eso concluimos que estas dos fracciones son exactamente iguales. Finalmente vamos al tercer caso donde vamos a usar la misma estrategia. Tomamos la primera fracción que es ocho novenos y la vamos a multiplicar por seis, tanto en el numerador como en el denominador. Y tomamos la segunda fracción que es cinco sextos y la vamos a multiplicar arriba y abajo por el denominador contrario que es nueve. Y vamos a efectuar la comparación entre ellas. Resolvemos esas multiplicaciones. Ocho por seis nos da cuarenta y ocho. Abajo tenemos nueve por seis que es cincuenta y cuatro. Pasamos a la otra fracción, cinco por nueve cuarenta y cinco. Y abajo tenemos seis por nueve que es cincuenta y cuatro. Dos fracciones con el mismo denominador, o sea homogéneas, donde vemos que cuarenta y ocho es mayor que cuarenta y cinco. Entonces escribimos el símbolo mayor que dentro del cuadrito y de esa manera hemos terminado de comparar esas dos fracciones que son heterogéneas.

[{"start": 0.0, "end": 9.94, "text": " En esta ocasi\u00f3n vamos a ver c\u00f3mo se realiza la comparaci\u00f3n de dos fracciones y vamos"}, {"start": 9.94, "end": 17.22, "text": " a comenzar con aquellas que tienen el mismo denominador conocidas como fracciones homog\u00e9neas."}, {"start": 17.22, "end": 23.080000000000002, "text": " En este caso \u00fanicamente nos fijamos en lo que sucede con los numeradores."}, {"start": 23.080000000000002, "end": 26.02, "text": " Vemos que relaci\u00f3n existe entre ellos."}, {"start": 26.02, "end": 32.8, "text": " Por ejemplo en el primer caso 2 es mayor que 1, por lo tanto ese ser\u00e1 el s\u00edmbolo que"}, {"start": 32.8, "end": 35.44, "text": " escribimos dentro del cuadrito."}, {"start": 35.44, "end": 41.96, "text": " De esa manera la fracci\u00f3n dos tercios es mayor que la fracci\u00f3n un tercio."}, {"start": 41.96, "end": 48.0, "text": " En el segundo caso miramos que relaci\u00f3n existe entre los n\u00fameros 4 y 6."}, {"start": 48.0, "end": 56.08, "text": " 4 es menor que 6, por lo tanto ese es el s\u00edmbolo que escribimos dentro del cuadrito, menor"}, {"start": 56.08, "end": 57.08, "text": " que."}, {"start": 57.08, "end": 63.480000000000004, "text": " De esa manera la fracci\u00f3n cuatro s\u00e9ptimos es menor que la fracci\u00f3n seis s\u00e9ptimos."}, {"start": 63.480000000000004, "end": 67.4, "text": " Y en el tercer caso miramos los numeradores."}, {"start": 67.4, "end": 74.6, "text": " Vemos que son iguales, por lo tanto esa ser\u00e1 la relaci\u00f3n que existe entre las dos fracciones."}, {"start": 74.6, "end": 81.8, "text": " Nueve d\u00e9cimos es igual a la fracci\u00f3n nueve d\u00e9cimos."}, {"start": 81.8, "end": 88.14, "text": " Veamos ahora c\u00f3mo se realiza la comparaci\u00f3n de dos fracciones que tienen distinto denominador,"}, {"start": 88.14, "end": 93.03999999999999, "text": " es decir, fracciones que se conocen como heterog\u00e9neas."}, {"start": 93.03999999999999, "end": 99.5, "text": " La forma m\u00e1s sencilla de efectuar esa comparaci\u00f3n consiste en multiplicar los dos componentes"}, {"start": 99.5, "end": 103.0, "text": " de cada fracci\u00f3n por el denominador contrario."}, {"start": 103.0, "end": 106.8, "text": " Veamos entonces c\u00f3mo nos quedar\u00eda en el primer caso."}, {"start": 106.8, "end": 113.76, "text": " Multiplicamos la fracci\u00f3n cinco octavos por el denominador contrario que ser\u00eda cuatro."}, {"start": 113.76, "end": 119.72, "text": " Y vamos a multiplicar la fracci\u00f3n tres cuartos, tanto en la parte de arriba como en la parte"}, {"start": 119.72, "end": 124.8, "text": " de abajo, por el denominador contrario que ser\u00eda ocho."}, {"start": 124.8, "end": 130.94, "text": " De esa manera vamos a establecer ahora la comparaci\u00f3n o la relaci\u00f3n que existe entre"}, {"start": 130.94, "end": 132.48, "text": " ambas fracciones."}, {"start": 132.48, "end": 135.98, "text": " Si resolvemos las operaciones tenemos lo 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178.83999999999997, "text": " Por lo tanto aqu\u00ed escribimos dentro del cuadrito el s\u00edmbolo menor que."}, {"start": 178.83999999999997, "end": 181.07999999999998, "text": " Y ese es el que traemos ac\u00e1."}, {"start": 181.08, "end": 189.20000000000002, "text": " De esa manera concluimos que la fracci\u00f3n cinco octavos es menor que la fracci\u00f3n tres cuartos."}, {"start": 189.20000000000002, "end": 194.8, "text": " Miremos ahora el segundo caso donde vamos a utilizar la misma estrategia."}, {"start": 194.8, "end": 200.08, "text": " Vamos a multiplicar los dos componentes de la primera fracci\u00f3n por el denominador contrario"}, {"start": 200.08, "end": 201.4, "text": " que es ocho."}, {"start": 201.4, "end": 208.56, "text": " Tendremos entonces quince por ocho en el numerador y doce por ocho en el denominador."}, {"start": 208.56, "end": 215.24, "text": " Y tomamos la segunda fracci\u00f3n y la vamos a multiplicar por doce tanto arriba como abajo."}, {"start": 215.24, "end": 223.04, "text": " Tendremos diez por doce en el numerador y ocho por doce en el denominador."}, {"start": 223.04, "end": 227.56, "text": " Y vamos a efectuar la comparaci\u00f3n entre ellas."}, {"start": 227.56, "end": 233.02, "text": " Si multiplicamos quince por ocho obtenemos ciento veinte."}, {"start": 233.02, "end": 237.26, "text": " Al multiplicar doce por ocho nos da noventa y seis."}, {"start": 237.26, "end": 244.0, "text": " En la otra fracci\u00f3n tenemos diez por doce que es ciento veinte y ocho por doce que"}, {"start": 244.0, "end": 246.48, "text": " nos da noventa y seis."}, {"start": 246.48, "end": 252.92, "text": " De esa manera tenemos ya dos fracciones con el mismo denominador, o sea fracciones homog\u00e9neas"}, {"start": 252.92, "end": 256.76, "text": " y vemos que sus numeradores son iguales."}, {"start": 256.76, "end": 264.28, "text": " Por eso concluimos que estas dos fracciones son exactamente iguales."}, {"start": 264.28, "end": 269.84, "text": " Finalmente vamos al tercer caso donde vamos a usar la misma estrategia."}, {"start": 269.84, "end": 275.67999999999995, "text": " Tomamos la primera fracci\u00f3n que es ocho novenos y la vamos a multiplicar por seis,"}, {"start": 275.67999999999995, "end": 278.91999999999996, "text": " tanto en el numerador como en el denominador."}, {"start": 278.91999999999996, "end": 285.38, "text": " Y tomamos la segunda fracci\u00f3n que es cinco sextos y la vamos a multiplicar arriba y abajo"}, {"start": 285.38, "end": 289.02, "text": " por el denominador contrario que es nueve."}, {"start": 289.02, "end": 293.0, "text": " Y vamos a efectuar la comparaci\u00f3n entre ellas."}, {"start": 293.0, "end": 295.44, "text": " Resolvemos esas multiplicaciones."}, {"start": 295.44, "end": 298.24, "text": " Ocho por seis nos da cuarenta y ocho."}, {"start": 298.24, "end": 302.28, "text": " Abajo tenemos nueve por seis que es cincuenta y cuatro."}, {"start": 302.28, "end": 306.08, "text": " Pasamos a la otra fracci\u00f3n, cinco por nueve cuarenta y cinco."}, {"start": 306.08, "end": 310.52, "text": " Y abajo tenemos seis por nueve que es cincuenta y cuatro."}, {"start": 310.52, "end": 315.9, "text": " Dos fracciones con el mismo denominador, o sea homog\u00e9neas, donde vemos que cuarenta"}, {"start": 315.9, "end": 319.32, "text": " y ocho es mayor que cuarenta y cinco."}, {"start": 319.32, "end": 326.2, "text": " Entonces escribimos el s\u00edmbolo mayor que dentro del cuadrito y de esa manera hemos"}, {"start": 326.2, "end": 350.12, "text": " terminado de comparar esas dos fracciones que son heterog\u00e9neas."}]

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Estimados estudiantes, maestros y padres de familia, reciban un saludo especial desde Colombia. Soy Julio Alberto Ríos Gallego y quiero darles la más cordial bienvenida a mi canal Julio Profe que abrí a comienzos del año 2009. Aquí tienen a sus órdenes todos los videos que he producido con explicaciones detalladas de ejercicios y problemas de matemática y física para apoyarles en los procesos de aprendizaje y enseñanza de estas disciplinas. Les invito a suscribirse a este canal para que permanezcan al tanto de las nuevas publicaciones y también a que visiten mi sitio oficial julio profe.net donde se encuentra recopilado y organizado todo el material que he producido. Gracias por su amable atención.

[{"start": 0.0, "end": 6.5, "text": " Estimados estudiantes, maestros y padres de familia, reciban un saludo especial desde Colombia."}, {"start": 6.5, "end": 13.3, "text": " Soy Julio Alberto R\u00edos Gallego y quiero darles la m\u00e1s cordial bienvenida a mi canal Julio Profe"}, {"start": 13.3, "end": 16.7, "text": " que abr\u00ed a comienzos del a\u00f1o 2009."}, {"start": 16.7, "end": 23.3, "text": " Aqu\u00ed tienen a sus \u00f3rdenes todos los videos que he producido con explicaciones detalladas"}, {"start": 23.3, "end": 30.700000000000003, "text": " de ejercicios y problemas de matem\u00e1tica y f\u00edsica para apoyarles en los procesos de aprendizaje"}, {"start": 30.700000000000003, "end": 34.2, "text": " y ense\u00f1anza de estas disciplinas."}, {"start": 34.2, "end": 40.3, "text": " Les invito a suscribirse a este canal para que permanezcan al tanto de las nuevas publicaciones"}, {"start": 40.3, "end": 44.7, "text": " y tambi\u00e9n a que visiten mi sitio oficial julio profe.net"}, {"start": 44.7, "end": 50.2, "text": " donde se encuentra recopilado y organizado todo el material que he producido."}, {"start": 50.2, "end": 53.7, "text": " Gracias por su amable atenci\u00f3n."}]

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INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES - Ejercicio 5

#julioprofe explica cómo resolver una integral indefinida, utilizando el Método de las Fracciones Parciales. Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver esta integral indefinida utilizando el método de las fracciones parciales. Vemos que no se puede resolver en forma directa, ni tampoco por los métodos de sustitución o partes. Como se observa, tenemos en el integrando una función de tipo racional. Observamos en el numerador un polinomio de grado 3 y en el denominador un polinomio de grado 2. Como el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, entonces tenemos que comenzar por realizar esta división entre polinomios. Escribimos entonces el dividendo que como se observa ya está organizado en forma descendente o decreciente. Tenemos 3x al cubo menos 4x al cuadrado más 3x y vemos que hace falta el término independiente. En ese caso tenemos que respetar ese lugar dejando el espacio en blanco o completando con cero. En este caso vamos a agregar el número cero que representa el término independiente en ese polinomio. Ahora en este espacio vamos a escribir el divisor que es x al cuadrado más 1. Vemos que ya se encuentra organizado en forma descendente o decreciente, pero acá no es necesario dejar el espacio en blanco de aquellos términos que hagan falta. Entonces repetimos, dividendo y divisor ordenados en forma descendente o decreciente y en el dividendo respetamos el lugar de los términos que falten. Comenzamos entonces la división entre polinomios. Para obtener el primer término del cociente dividimos el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, es decir 3x al cubo dividido entre x al cuadrado. Efectuando esa división entre monomios obtenemos como resultado 3x y este será el primer término del cociente. En seguida multiplicamos 3x por x al cuadrado, eso nos da como resultado 3x al cubo y debemos traerlo a este lado con signo contrario y también tenemos que ubicarlo debajo de su término semejante. Entonces acá vamos a escribir menos 3x al cubo. Ahora multiplicamos 3x por más 1, eso nos da como resultado 3x positivo y debemos traerlo a este lado con signo contrario y lo ubicamos debajo de su término semejante, o sea de aquellos que tienen la variable x. Entonces por acá escribimos menos 3x. A continuación debemos efectuar la suma en forma vertical, si sumamos estos dos términos vemos que nos da como resultado 0, son términos opuestos que se cancelan entre sí. Este término tenemos que bajarlo porque aquí no tenemos nada, pues como si tuviéramos un 0, entonces acá escribimos menos 4x al cuadrado. Sumamos estos dos términos donde también vemos que se eliminan, también son términos opuestos, por lo tanto aquí nos daría 0 y ese 0 bajaría acá, lo cual también nos deja el espacio en blanco. Como tenemos que esta expresión es del mismo grado que el divisor, entonces podemos continuar con la división. Para obtener el siguiente término del cociente dividimos el primer término que nos quedó acá entre el primer término del divisor, o sea menos 4x al cuadrado se divide entre x al cuadrado y efectuando esa división entre monomios obtenemos como resultado menos 4 que será el segundo término del cociente. En seguida realizamos el mismo procedimiento que hicimos anteriormente, multiplicamos menos 4 por x al cuadrado, eso nos da menos 4x al cuadrado y lo traemos a este lado con signo contrario y lo ubicamos debajo de su término semejante, entonces nos llega acá como más 4x al cuadrado. Ahora multiplicamos menos 4 por más 1, eso nos da menos 4 y lo traemos acá con signo contrario en el lugar correspondiente a los términos independientes, llega entonces como más 4. Efectuamos ahora la suma en forma vertical, esos dos términos si los sumamos nos da como resultado 0, son términos opuestos, entonces podemos decir que se eliminan y por acá tenemos 0 más 4 que nos da como resultado 4, en ese caso podemos decir que la división ha terminado porque esta expresión es de grado inferior a lo que tenemos en el divisor, recordemos que esto es de grado 0 mientras que el divisor es de grado 2. Habiendo realizado ya la división de polinomios vamos a escribir por acá sus componentes, tenemos que el dividendo que lo vamos a llamar con D mayúscula es 3x al cubo menos 4x al cuadrado más 3x, el divisor que lo vamos a llamar como D minúscula es x al cuadrado más 1. Tenemos que el cociente nos dio 3x menos 4, lo derrotamos con la letra C y el residuo de la división nos dio como resultado 4. Ahora vamos a recordar lo siguiente, en una división tenemos los cuatro componentes que acabamos de nombrar acá, son ellos entonces el dividendo, el divisor, el cociente y el residuo, y recordemos que para probar una división siempre multiplicamos el cociente por el divisor a eso le sumamos el residuo y nos tiene que dar como resultado el dividendo, entonces dividendo tiene que ser igual a cociente por divisor, C por D minúscula más el residuo que es R. Esta expresión podemos dividirla a ambos lados por D minúscula, entonces nos queda de esta manera y acá en el lado derecho podemos repartir esta letra de minúscula para cada uno de los términos que tenemos en el numerador, nos quedará entonces de la siguiente manera, dividendo sobre divisor es igual a cociente por divisor sobre divisor más residuo sobre divisor, y acá podemos simplificar la letra de minúscula porque está multiplicando arriba y también se encuentra en la parte de abajo, con esto llegamos a la siguiente expresión, dividendo sobre divisor es igual a cociente más residuo sobre divisor, entonces haciendo uso de esta expresión que acabamos de obtener vamos a reconstruir el ejercicio original, tenemos que el dividendo es lo que tenemos en el numerador, o sea 3x al cubo menos 4x al cuadrado más 3x, tenemos que el divisor es lo que tenemos acá, x al cuadrado más 1, o sea el mismo denominador de la función racional y esto tiene que ser igual al cociente que nos dio 3x menos 4 más el residuo que nos dio 4 sobre el divisor que es x al cuadrado más 1, como se observa tenemos acá la función que vamos a integrar, la función racional y esta equivale a otra expresión en términos mucho más sencillos, por lo tanto podemos decir que esta integral va a ser igual a la integral de toda esta expresión, 3x menos 4 más 4 sobre x al cuadrado más 1, protegemos todo esto con paréntesis y escribimos el diferencial de x, ahora tenemos que concentrarnos en resolver esto que tenemos acá y para ello vamos a repartir la integral para cada uno de esos términos, tendremos entonces la integral de 3x con su respectivo diferencial de x, luego menos la integral de 4 con su diferencial de x y por último más la integral de 4 sobre x al cuadrado más 1 también con su diferencial de x, continuamos entonces el ejercicio por acá donde podemos ya resolver esta primera integral, es directa nos quedará 3x al cuadrado sobre 2, recordemos que el 3 es la constante que queda quieta y la integral de x que tiene exponente 1 es x al cuadrado sobre 2, esto menos la integral de 4 que será 4x y acá vamos a extraer el número 4 de esa integral, sale la constante y nos queda multiplicando por la integral de 1 sobre x al cuadrado más 1 y todo esto con su diferencial de x, como se observa esta integral también corresponde a una de las integrales básicas, su resultado será tangente a la menos 1 de x o también arco tangente de x, entonces vamos ya a dar la respuesta, por acá tendremos 3 medios de x al cuadrado reescribiendo ese primer término menos 4x y acá tenemos más 4 que multiplica al resultado de esta integral que vamos a escribir en esta ocasión como arco tangente de x y a esto le agregamos la constante de integración porque se trata de una integral indefinida, de esta manera terminamos este ejercicio.

[{"start": 0.0, "end": 9.88, "text": " Vamos a resolver esta integral indefinida utilizando el m\u00e9todo de las fracciones parciales."}, {"start": 9.88, "end": 16.28, "text": " Vemos que no se puede resolver en forma directa, ni tampoco por los m\u00e9todos de sustituci\u00f3n"}, {"start": 16.28, "end": 17.76, "text": " o partes."}, {"start": 17.76, "end": 22.66, "text": " Como se observa, tenemos en el integrando una funci\u00f3n de tipo racional."}, {"start": 22.66, "end": 28.88, "text": " Observamos en el numerador un polinomio de grado 3 y en el denominador un polinomio de"}, {"start": 28.88, "end": 30.4, "text": " grado 2."}, {"start": 30.4, "end": 36.04, "text": " Como el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, entonces tenemos que"}, {"start": 36.04, "end": 42.04, "text": " comenzar por realizar esta divisi\u00f3n entre polinomios."}, {"start": 42.04, "end": 49.44, "text": " Escribimos entonces el dividendo que como se observa ya est\u00e1 organizado en forma descendente"}, {"start": 49.44, "end": 51.08, "text": " o decreciente."}, {"start": 51.08, "end": 62.599999999999994, "text": " Tenemos 3x al cubo menos 4x al cuadrado m\u00e1s 3x y vemos que hace falta el t\u00e9rmino independiente."}, {"start": 62.599999999999994, "end": 69.28, "text": " En ese caso tenemos que respetar ese lugar dejando el espacio en blanco o completando"}, {"start": 69.28, "end": 70.28, "text": " con cero."}, {"start": 70.28, "end": 77.08, "text": " En este caso vamos a agregar el n\u00famero cero que representa el t\u00e9rmino independiente en"}, {"start": 77.08, "end": 79.16, "text": " ese polinomio."}, {"start": 79.16, "end": 87.0, "text": " Ahora en este espacio vamos a escribir el divisor que es x al cuadrado m\u00e1s 1."}, {"start": 87.0, "end": 93.24, "text": " Vemos que ya se encuentra organizado en forma descendente o decreciente, pero ac\u00e1 no es"}, {"start": 93.24, "end": 98.84, "text": " necesario dejar el espacio en blanco de aquellos t\u00e9rminos que hagan falta."}, {"start": 98.84, "end": 105.12, "text": " Entonces repetimos, dividendo y divisor ordenados en forma descendente o decreciente y en el"}, {"start": 105.12, "end": 110.60000000000001, "text": " dividendo respetamos el lugar de los t\u00e9rminos que falten."}, {"start": 110.60000000000001, "end": 113.60000000000001, "text": " Comenzamos entonces la divisi\u00f3n entre polinomios."}, {"start": 113.60000000000001, "end": 119.56, "text": " Para obtener el primer t\u00e9rmino del cociente dividimos el primer t\u00e9rmino del dividendo"}, {"start": 119.56, "end": 128.4, "text": " entre el primer t\u00e9rmino del divisor, es decir 3x al cubo dividido entre x al cuadrado."}, {"start": 128.4, "end": 136.84, "text": " Efectuando esa divisi\u00f3n entre monomios obtenemos como resultado 3x y este ser\u00e1 el primer t\u00e9rmino"}, {"start": 136.84, "end": 139.08, "text": " del cociente."}, {"start": 139.08, "end": 146.32, "text": " En seguida multiplicamos 3x por x al cuadrado, eso nos da como resultado 3x al cubo y debemos"}, {"start": 146.32, "end": 152.72, "text": " traerlo a este lado con signo contrario y tambi\u00e9n tenemos que ubicarlo debajo de su"}, {"start": 152.72, "end": 154.28, "text": " t\u00e9rmino semejante."}, {"start": 154.28, "end": 159.16, "text": " Entonces ac\u00e1 vamos a escribir menos 3x al cubo."}, {"start": 159.16, "end": 166.28, "text": " Ahora multiplicamos 3x por m\u00e1s 1, eso nos da como resultado 3x positivo y debemos traerlo"}, {"start": 166.28, "end": 172.76, "text": " a este lado con signo contrario y lo ubicamos debajo de su t\u00e9rmino semejante, o sea de"}, {"start": 172.76, "end": 175.52, "text": " aquellos que tienen la variable x."}, {"start": 175.52, "end": 180.4, "text": " Entonces por ac\u00e1 escribimos menos 3x."}, {"start": 180.4, "end": 186.68, "text": " A continuaci\u00f3n debemos efectuar la suma en forma vertical, si sumamos estos dos t\u00e9rminos"}, {"start": 186.68, "end": 193.16, "text": " vemos que nos da como resultado 0, son t\u00e9rminos opuestos que se cancelan entre s\u00ed."}, {"start": 193.16, "end": 197.72, "text": " Este t\u00e9rmino tenemos que bajarlo porque aqu\u00ed no tenemos nada, pues como si tuvi\u00e9ramos"}, {"start": 197.72, "end": 203.52, "text": " un 0, entonces ac\u00e1 escribimos menos 4x al cuadrado."}, {"start": 203.52, "end": 208.04000000000002, "text": " Sumamos estos dos t\u00e9rminos donde tambi\u00e9n vemos que se eliminan, tambi\u00e9n son t\u00e9rminos"}, {"start": 208.04, "end": 214.07999999999998, "text": " opuestos, por lo tanto aqu\u00ed nos dar\u00eda 0 y ese 0 bajar\u00eda ac\u00e1, lo cual tambi\u00e9n nos"}, {"start": 214.07999999999998, "end": 217.14, "text": " deja el espacio en blanco."}, {"start": 217.14, "end": 224.23999999999998, "text": " Como tenemos que esta expresi\u00f3n es del mismo grado que el divisor, entonces podemos continuar"}, {"start": 224.23999999999998, "end": 226.0, "text": " con la divisi\u00f3n."}, {"start": 226.0, "end": 231.57999999999998, "text": " Para obtener el siguiente t\u00e9rmino del cociente dividimos el primer t\u00e9rmino que nos qued\u00f3"}, {"start": 231.58, "end": 240.12, "text": " ac\u00e1 entre el primer t\u00e9rmino del divisor, o sea menos 4x al cuadrado se divide entre"}, {"start": 240.12, "end": 247.98000000000002, "text": " x al cuadrado y efectuando esa divisi\u00f3n entre monomios obtenemos como resultado menos 4"}, {"start": 247.98000000000002, "end": 252.96, "text": " que ser\u00e1 el segundo t\u00e9rmino del cociente."}, {"start": 252.96, "end": 259.24, "text": " En seguida realizamos el mismo procedimiento que hicimos anteriormente, multiplicamos menos"}, {"start": 259.24, "end": 265.40000000000003, "text": " 4 por x al cuadrado, eso nos da menos 4x al cuadrado y lo traemos a este lado con signo"}, {"start": 265.40000000000003, "end": 272.72, "text": " contrario y lo ubicamos debajo de su t\u00e9rmino semejante, entonces nos llega ac\u00e1 como m\u00e1s"}, {"start": 272.72, "end": 275.6, "text": " 4x al cuadrado."}, {"start": 275.6, "end": 281.40000000000003, "text": " Ahora multiplicamos menos 4 por m\u00e1s 1, eso nos da menos 4 y lo traemos ac\u00e1 con signo"}, {"start": 281.40000000000003, "end": 287.76, "text": " contrario en el lugar correspondiente a los t\u00e9rminos independientes, llega entonces como"}, {"start": 287.76, "end": 291.08, "text": " m\u00e1s 4."}, {"start": 291.08, "end": 296.84, "text": " Efectuamos ahora la suma en forma vertical, esos dos t\u00e9rminos si los sumamos nos da como"}, {"start": 296.84, "end": 304.03999999999996, "text": " resultado 0, son t\u00e9rminos opuestos, entonces podemos decir que se eliminan y por ac\u00e1 tenemos"}, {"start": 304.03999999999996, "end": 311.76, "text": " 0 m\u00e1s 4 que nos da como resultado 4, en ese caso podemos decir que la divisi\u00f3n ha terminado"}, {"start": 311.76, "end": 317.76, "text": " porque esta expresi\u00f3n es de grado inferior a lo que tenemos en el divisor, recordemos"}, {"start": 317.76, "end": 324.36, "text": " que esto es de grado 0 mientras que el divisor es de grado 2."}, {"start": 324.36, "end": 330.84, "text": " Habiendo realizado ya la divisi\u00f3n de polinomios vamos a escribir por ac\u00e1 sus componentes,"}, {"start": 330.84, "end": 340.24, "text": " tenemos que el dividendo que lo vamos a llamar con D may\u00fascula es 3x al cubo menos 4x al"}, {"start": 340.24, "end": 349.68, "text": " cuadrado m\u00e1s 3x, el divisor que lo vamos a llamar como D min\u00fascula es x al cuadrado"}, {"start": 349.68, "end": 352.0, "text": " m\u00e1s 1."}, {"start": 352.0, "end": 361.8, "text": " Tenemos que el cociente nos dio 3x menos 4, lo derrotamos con la letra C y el residuo"}, {"start": 361.8, "end": 366.94, "text": " de la divisi\u00f3n nos dio como resultado 4."}, {"start": 366.94, "end": 373.64, "text": " Ahora vamos a recordar lo siguiente, en una divisi\u00f3n tenemos los cuatro componentes que"}, {"start": 373.64, "end": 381.68, "text": " acabamos de nombrar ac\u00e1, son ellos entonces el dividendo, el divisor, el cociente y el"}, {"start": 381.68, "end": 387.6, "text": " residuo, y recordemos que para probar una divisi\u00f3n siempre multiplicamos el cociente"}, {"start": 387.6, "end": 394.52, "text": " por el divisor a eso le sumamos el residuo y nos tiene que dar como resultado el dividendo,"}, {"start": 394.52, "end": 402.76, "text": " entonces dividendo tiene que ser igual a cociente por divisor, C por D min\u00fascula m\u00e1s el residuo"}, {"start": 402.76, "end": 405.2, "text": " que es R."}, {"start": 405.2, "end": 413.2, "text": " Esta expresi\u00f3n podemos dividirla a ambos lados por D min\u00fascula, entonces nos queda"}, {"start": 413.2, "end": 421.32, "text": " de esta manera y ac\u00e1 en el lado derecho podemos repartir esta letra de min\u00fascula para cada"}, {"start": 421.32, "end": 428.0, "text": " uno de los t\u00e9rminos que tenemos en el numerador, nos quedar\u00e1 entonces de la siguiente manera,"}, {"start": 428.0, "end": 435.08, "text": " dividendo sobre divisor es igual a cociente por divisor sobre divisor m\u00e1s residuo sobre"}, {"start": 435.08, "end": 442.71999999999997, "text": " divisor, y ac\u00e1 podemos simplificar la letra de min\u00fascula porque est\u00e1 multiplicando arriba"}, {"start": 442.71999999999997, "end": 450.24, "text": " y tambi\u00e9n se encuentra en la parte de abajo, con esto llegamos a la siguiente expresi\u00f3n,"}, {"start": 450.24, "end": 458.36, "text": " dividendo sobre divisor es igual a cociente m\u00e1s residuo sobre divisor, entonces haciendo"}, {"start": 458.36, "end": 465.16, "text": " uso de esta expresi\u00f3n que acabamos de obtener vamos a reconstruir el ejercicio original,"}, {"start": 465.16, "end": 472.84000000000003, "text": " tenemos que el dividendo es lo que tenemos en el numerador, o sea 3x al cubo menos 4x"}, {"start": 472.84, "end": 482.79999999999995, "text": " al cuadrado m\u00e1s 3x, tenemos que el divisor es lo que tenemos ac\u00e1, x al cuadrado m\u00e1s"}, {"start": 482.79999999999995, "end": 490.28, "text": " 1, o sea el mismo denominador de la funci\u00f3n racional y esto tiene que ser igual al cociente"}, {"start": 490.28, "end": 504.11999999999995, "text": " que nos dio 3x menos 4 m\u00e1s el residuo que nos dio 4 sobre el divisor que es x al cuadrado"}, {"start": 504.11999999999995, "end": 512.8, "text": " m\u00e1s 1, como se observa tenemos ac\u00e1 la funci\u00f3n que vamos a integrar, la funci\u00f3n racional"}, {"start": 512.8, "end": 520.0799999999999, "text": " y esta equivale a otra expresi\u00f3n en t\u00e9rminos mucho m\u00e1s sencillos, por lo tanto podemos"}, {"start": 520.0799999999999, "end": 529.4399999999999, "text": " decir que esta integral va a ser igual a la integral de toda esta expresi\u00f3n, 3x menos"}, {"start": 529.4399999999999, "end": 540.7199999999999, "text": " 4 m\u00e1s 4 sobre x al cuadrado m\u00e1s 1, protegemos todo esto con par\u00e9ntesis y escribimos el"}, {"start": 540.72, "end": 549.0, "text": " diferencial de x, ahora tenemos que concentrarnos en resolver esto que tenemos ac\u00e1 y para ello"}, {"start": 549.0, "end": 557.8000000000001, "text": " vamos a repartir la integral para cada uno de esos t\u00e9rminos, tendremos entonces la integral"}, {"start": 557.8000000000001, "end": 568.6800000000001, "text": " de 3x con su respectivo diferencial de x, luego menos la integral de 4 con su diferencial"}, {"start": 568.68, "end": 580.0799999999999, "text": " de x y por \u00faltimo m\u00e1s la integral de 4 sobre x al cuadrado m\u00e1s 1 tambi\u00e9n con su diferencial"}, {"start": 580.0799999999999, "end": 589.64, "text": " de x, continuamos entonces el ejercicio por ac\u00e1 donde podemos ya resolver esta primera"}, {"start": 589.64, "end": 597.9399999999999, "text": " integral, es directa nos quedar\u00e1 3x al cuadrado sobre 2, recordemos que el 3 es la constante"}, {"start": 597.94, "end": 605.4000000000001, "text": " que queda quieta y la integral de x que tiene exponente 1 es x al cuadrado sobre 2, esto"}, {"start": 605.4000000000001, "end": 614.9200000000001, "text": " menos la integral de 4 que ser\u00e1 4x y ac\u00e1 vamos a extraer el n\u00famero 4 de esa integral,"}, {"start": 614.9200000000001, "end": 622.48, "text": " sale la constante y nos queda multiplicando por la integral de 1 sobre x al cuadrado m\u00e1s"}, {"start": 622.48, "end": 630.48, "text": " 1 y todo esto con su diferencial de x, como se observa esta integral tambi\u00e9n corresponde"}, {"start": 630.48, "end": 636.86, "text": " a una de las integrales b\u00e1sicas, su resultado ser\u00e1 tangente a la menos 1 de x o tambi\u00e9n"}, {"start": 636.86, "end": 646.48, "text": " arco tangente de x, entonces vamos ya a dar la respuesta, por ac\u00e1 tendremos 3 medios"}, {"start": 646.48, "end": 654.9, "text": " de x al cuadrado reescribiendo ese primer t\u00e9rmino menos 4x y ac\u00e1 tenemos m\u00e1s 4 que"}, {"start": 654.9, "end": 661.2, "text": " multiplica al resultado de esta integral que vamos a escribir en esta ocasi\u00f3n como arco"}, {"start": 661.2, "end": 670.52, "text": " tangente de x y a esto le agregamos la constante de integraci\u00f3n porque se trata de una integral"}, {"start": 670.52, "end": 677.52, "text": " indefinida, de esta manera terminamos este ejercicio."}]

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ÁREA Y PERÍMETRO DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO

#julioprofe explica cómo determinar el área y el perímetro de un triángulo rectángulo del cual se conocen las medidas de sus catetos. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

Hayar el área y el perímetro de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 7 cm y 24 cm. Bien, comenzamos el desarrollo de este ejercicio dibujando un triángulo rectángulo. Recordemos que es aquel que tiene un ángulo recto o de 90 grados. En este caso estos dos lados que forman el ángulo recto son los catetos. Este que es el mayor mide 24 cm y este que es el más pequeño tiene una longitud de 7 cm. Tenemos que encontrar para este triángulo rectángulo el valor de su perímetro y también de su área. Con esta información ya podemos averiguar el área del triángulo. Utilizamos la siguiente expresión, área de un triángulo es igual a base por altura dividido entre dos. En este caso podemos considerar que este cateto es la base y este otro es la altura. Recordemos que la altura y la base siempre tienen que ser perpendiculares, es decir que deben formar ángulo recto o de 90 grados. En este caso la base es 24 cm, eso lo vamos a multiplicar por la altura que es 7 cm y todo esto lo vamos a dividir entre dos. En ese caso podríamos simplificar los números 24 y 2 porque ambos tienen mitad. Decimos mitad de 2 es 1 y mitad de 24 es 12. Complicaríamos entonces 12 por 7 que nos da como resultado 84 ya esto nos queda con denominador 1, o sea que este número se vuelve invisible y multiplicamos las unidades de longitud centímetros por centímetros nos dará centímetros cuadrados. De esta manera ya tenemos el área de ese triángulo es 84 cm cuadrados. Ahora para hallar el perímetro de este triángulo necesitamos conocer el valor de este lado que se llama la hipotenusa siempre es el lado más largo y es el que está al frente del ángulo recto o de 90 grados. Como en este caso no conocemos la hipotenusa vamos a llamarla con la letra x y vamos a utilizar lo que se llama el teorema de pitágoras. Con esto vamos a poder averiguar la longitud de la hipotenusa que está representada por x. El teorema de pitágoras nos dice que la hipotenusa al cuadrado en este caso x al cuadrado debe ser igual a la suma de los cuadrados de los catetos es decir 24 al cuadrado más 7 al cuadrado. Repetimos esto es lo que enuncia el teorema de pitágoras la hipotenusa al cuadrado debe ser igual a la suma de los cuadrados de los catetos. A continuación vamos a resolver estas operaciones tendremos que x al cuadrado es igual a 24 al cuadrado o sea 24 por 24 que nos da 576 más 7 al cuadrado o sea 7 por 7 que es 49 y allí podemos realizar esa suma 576 más 49 nos da como resultado 625. Ahora para poder despejar x que es la incógnita que buscamos debemos extraer raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad decimos raíz cuadrada de x al cuadrado tiene que ser igual a la raíz cuadrada de 625 en este lado la raíz cuadrada con el exponente 2 se cancelan mutuamente y nos liberan la letra x en el lado derecho vamos a resolver la raíz cuadrada de 625 para ello vamos a descomponer en factores primos el número 625 recordemos que acá tenemos que intentar únicamente con números primos vamos a recordar rápidamente cuáles son los números primos ellos comienzan en el 2 después tenemos el 3 luego tenemos el 5 después tenemos el 7 luego tenemos el 11 bueno etcétera ese es un conjunto infinito formado por aquellos números que solamente tienen dos divisores es decir ellos mismos y el número 1 comenzamos revisando si 625 es divisible por 2 recordemos que los números que son divisibles por 2 son aquellos que terminan en dígito par como en este caso 625 termina en dígito impar entonces no es divisible por 2 pasamos a revisar si es divisible por 3 recordemos que los números que son divisibles por 3 cumplen con la condición de que la suma de sus dígitos nos da como resultado un múltiplo de 3 o un número que es divisible por 3 en este caso 6 más 2 nos da 8 y 8 más 5 nos da 13 13 no es divisible por 3 por lo tanto decimos que 625 tampoco es divisible por 3 ahora vamos a revisar si este número es divisible por 5 recordemos que todos los números que terminan en 5 o en 0 son divisibles por 5 entonces podemos utilizar acá ese número primo decimos quinta de 625 o lo que es lo mismo 625 dividido entre 5 nos da 125 otro número que termina en 5 podemos volver a utilizar acá el número primo 5 quinta de 125 nos da 25 podemos utilizar otra vez el número 5 decimos quinta de 25 5 y para el 5 utilizamos lógicamente el 5 quinta de 5 nos da como resultado 1 como estamos buscando la raíz cuadrada de 625 podemos acá formar grupos de 2 es decir 5 por 5 que es 25 y 5 por 5 que es 25 entonces 25 por 25 nos da 625 o sea que la raíz cuadrada de 625 es 25 porque repetimos este número multiplicado por sí mismo o sea 25 al cuadrado nos da como resultado 625 siendo más estrictos para esta situación x debería tomar dos valores que serían más 25 y menos 25 si venimos acá 25 positivo elevado al cuadrado nos da 625 pero si consideramos x igual a menos 25 tendremos que menos 25 al cuadrado también da como resultado 625 sin embargo en este caso x representa la longitud de la hipotenusa de ese triángulo rectángulo por lo tanto debemos considerar únicamente la opción positiva entonces x tiene el valor de 25 centímetros entonces conociendo ya el valor de este lado que nos hacía falta ya podemos determinar el perímetro de ese triángulo vamos a hacer entonces la suma de las longitudes de sus lados comenzamos con la hipotenusa que nos dio 25 centímetros a eso vamos a sumarle este cateto que es 7 centímetros y le sumamos la longitud del otro cateto que es 24 centímetros efectuando esa operación obtenemos 25 más 7 que es 32 y 32 más 24 nos da 56 centímetros de esa manera ya tenemos la otra respuesta para este ejercicio el perímetro de ese triángulo es 56 centímetros

[{"start": 0.0, "end": 13.0, "text": " Hayar el \u00e1rea y el per\u00edmetro de un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo cuyos catetos miden 7 cm y 24 cm."}, {"start": 13.0, "end": 20.28, "text": " Bien, comenzamos el desarrollo de este ejercicio dibujando un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo. Recordemos"}, {"start": 20.28, "end": 27.82, "text": " que es aquel que tiene un \u00e1ngulo recto o de 90 grados. En este caso estos dos lados"}, {"start": 27.82, "end": 36.08, "text": " que forman el \u00e1ngulo recto son los catetos. Este que es el mayor mide 24 cm y este que"}, {"start": 36.08, "end": 43.6, "text": " es el m\u00e1s peque\u00f1o tiene una longitud de 7 cm. Tenemos que encontrar para este tri\u00e1ngulo"}, {"start": 43.6, "end": 51.28, "text": " rect\u00e1ngulo el valor de su per\u00edmetro y tambi\u00e9n de su \u00e1rea. Con esta informaci\u00f3n"}, {"start": 51.28, "end": 57.480000000000004, "text": " ya podemos averiguar el \u00e1rea del tri\u00e1ngulo. Utilizamos la siguiente expresi\u00f3n, \u00e1rea"}, {"start": 57.48, "end": 64.8, "text": " de un tri\u00e1ngulo es igual a base por altura dividido entre dos. En este caso podemos considerar"}, {"start": 64.8, "end": 72.12, "text": " que este cateto es la base y este otro es la altura. Recordemos que la altura y la base"}, {"start": 72.12, "end": 78.16, "text": " siempre tienen que ser perpendiculares, es decir que deben formar \u00e1ngulo recto o de"}, {"start": 78.16, "end": 87.92, "text": " 90 grados. En este caso la base es 24 cm, eso lo vamos a multiplicar por la altura que"}, {"start": 87.92, "end": 97.44, "text": " es 7 cm y todo esto lo vamos a dividir entre dos. En ese caso podr\u00edamos simplificar los"}, {"start": 97.44, "end": 108.12, "text": " n\u00fameros 24 y 2 porque ambos tienen mitad. Decimos mitad de 2 es 1 y mitad de 24 es 12."}, {"start": 108.12, "end": 115.32000000000001, "text": " Complicar\u00edamos entonces 12 por 7 que nos da como resultado 84 ya esto nos queda con"}, {"start": 115.32000000000001, "end": 121.84, "text": " denominador 1, o sea que este n\u00famero se vuelve invisible y multiplicamos las unidades de"}, {"start": 121.84, "end": 128.64000000000001, "text": " longitud cent\u00edmetros por cent\u00edmetros nos dar\u00e1 cent\u00edmetros cuadrados. De esta manera"}, {"start": 128.64, "end": 139.23999999999998, "text": " ya tenemos el \u00e1rea de ese tri\u00e1ngulo es 84 cm cuadrados. Ahora para hallar el per\u00edmetro"}, {"start": 139.23999999999998, "end": 146.06, "text": " de este tri\u00e1ngulo necesitamos conocer el valor de este lado que se llama la hipotenusa"}, {"start": 146.06, "end": 153.11999999999998, "text": " siempre es el lado m\u00e1s largo y es el que est\u00e1 al frente del \u00e1ngulo recto o de 90"}, {"start": 153.12, "end": 160.72, "text": " grados. Como en este caso no conocemos la hipotenusa vamos a llamarla con la letra x"}, {"start": 160.72, "end": 173.96, "text": " y vamos a utilizar lo que se llama el teorema de pit\u00e1goras. Con esto vamos a poder averiguar"}, {"start": 173.96, "end": 181.84, "text": " la longitud de la hipotenusa que est\u00e1 representada por x. El teorema de pit\u00e1goras nos dice que"}, {"start": 181.84, "end": 189.16, "text": " la hipotenusa al cuadrado en este caso x al cuadrado debe ser igual a la suma de los cuadrados"}, {"start": 189.16, "end": 200.02, "text": " de los catetos es decir 24 al cuadrado m\u00e1s 7 al cuadrado. Repetimos esto es lo que enuncia"}, {"start": 200.02, "end": 207.48000000000002, "text": " el teorema de pit\u00e1goras la hipotenusa al cuadrado debe ser igual a la suma de los cuadrados"}, {"start": 207.48, "end": 215.92, "text": " de los catetos. A continuaci\u00f3n vamos a resolver estas operaciones tendremos que x al cuadrado"}, {"start": 215.92, "end": 226.72, "text": " es igual a 24 al cuadrado o sea 24 por 24 que nos da 576 m\u00e1s 7 al cuadrado o sea 7"}, {"start": 226.72, "end": 240.32, "text": " por 7 que es 49 y all\u00ed podemos realizar esa suma 576 m\u00e1s 49 nos da como resultado 625."}, {"start": 240.32, "end": 248.24, "text": " Ahora para poder despejar x que es la inc\u00f3gnita que buscamos debemos extraer ra\u00edz cuadrada"}, {"start": 248.24, "end": 255.04, "text": " a ambos lados de la igualdad decimos ra\u00edz cuadrada de x al cuadrado tiene que ser igual"}, {"start": 255.04, "end": 263.68, "text": " a la ra\u00edz cuadrada de 625 en este lado la ra\u00edz cuadrada con el exponente 2 se cancelan"}, {"start": 263.68, "end": 271.52, "text": " mutuamente y nos liberan la letra x en el lado derecho vamos a resolver la ra\u00edz cuadrada"}, {"start": 271.52, "end": 280.76, "text": " de 625 para ello vamos a descomponer en factores primos el n\u00famero 625 recordemos que ac\u00e1"}, {"start": 280.76, "end": 287.03999999999996, "text": " tenemos que intentar \u00fanicamente con n\u00fameros primos vamos a recordar r\u00e1pidamente cu\u00e1les"}, {"start": 287.03999999999996, "end": 293.64, "text": " son los n\u00fameros primos ellos comienzan en el 2 despu\u00e9s tenemos el 3 luego tenemos el"}, {"start": 293.64, "end": 302.08, "text": " 5 despu\u00e9s tenemos el 7 luego tenemos el 11 bueno etc\u00e9tera ese es un conjunto infinito"}, {"start": 302.08, "end": 307.96, "text": " formado por aquellos n\u00fameros que solamente tienen dos divisores es decir ellos mismos"}, {"start": 307.96, "end": 316.52, "text": " y el n\u00famero 1 comenzamos revisando si 625 es divisible por 2 recordemos que los n\u00fameros"}, {"start": 316.52, "end": 322.15999999999997, "text": " que son divisibles por 2 son aquellos que terminan en d\u00edgito par como en este caso"}, {"start": 322.15999999999997, "end": 330.56, "text": " 625 termina en d\u00edgito impar entonces no es divisible por 2 pasamos a revisar si es divisible"}, {"start": 330.56, "end": 336.84, "text": " por 3 recordemos que los n\u00fameros que son divisibles por 3 cumplen con la condici\u00f3n"}, {"start": 336.84, "end": 343.59999999999997, "text": " de que la suma de sus d\u00edgitos nos da como resultado un m\u00faltiplo de 3 o un n\u00famero que"}, {"start": 343.59999999999997, "end": 353.12, "text": " es divisible por 3 en este caso 6 m\u00e1s 2 nos da 8 y 8 m\u00e1s 5 nos da 13 13 no es divisible"}, {"start": 353.12, "end": 363.0, "text": " por 3 por lo tanto decimos que 625 tampoco es divisible por 3 ahora vamos a revisar si"}, {"start": 363.0, "end": 369.24, "text": " este n\u00famero es divisible por 5 recordemos que todos los n\u00fameros que terminan en 5 o"}, {"start": 369.24, "end": 377.76, "text": " en 0 son divisibles por 5 entonces podemos utilizar ac\u00e1 ese n\u00famero primo decimos quinta"}, {"start": 377.76, "end": 389.48, "text": " de 625 o lo que es lo mismo 625 dividido entre 5 nos da 125 otro n\u00famero que termina en 5"}, {"start": 389.48, "end": 398.34000000000003, "text": " podemos volver a utilizar ac\u00e1 el n\u00famero primo 5 quinta de 125 nos da 25 podemos utilizar"}, {"start": 398.34000000000003, "end": 406.96000000000004, "text": " otra vez el n\u00famero 5 decimos quinta de 25 5 y para el 5 utilizamos l\u00f3gicamente el 5"}, {"start": 406.96000000000004, "end": 416.14000000000004, "text": " quinta de 5 nos da como resultado 1 como estamos buscando la ra\u00edz cuadrada de 625 podemos"}, {"start": 416.14, "end": 426.84, "text": " ac\u00e1 formar grupos de 2 es decir 5 por 5 que es 25 y 5 por 5 que es 25 entonces 25 por"}, {"start": 426.84, "end": 437.3, "text": " 25 nos da 625 o sea que la ra\u00edz cuadrada de 625 es 25 porque repetimos este n\u00famero"}, {"start": 437.3, "end": 447.44, "text": " multiplicado por s\u00ed mismo o sea 25 al cuadrado nos da como resultado 625 siendo m\u00e1s estrictos"}, {"start": 447.44, "end": 455.54, "text": " para esta situaci\u00f3n x deber\u00eda tomar dos valores que ser\u00edan m\u00e1s 25 y menos 25 si"}, {"start": 455.54, "end": 463.42, "text": " venimos ac\u00e1 25 positivo elevado al cuadrado nos da 625 pero si consideramos x igual a"}, {"start": 463.42, "end": 471.86, "text": " menos 25 tendremos que menos 25 al cuadrado tambi\u00e9n da como resultado 625 sin embargo"}, {"start": 471.86, "end": 478.84000000000003, "text": " en este caso x representa la longitud de la hipotenusa de ese tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo"}, {"start": 478.84000000000003, "end": 486.56, "text": " por lo tanto debemos considerar \u00fanicamente la opci\u00f3n positiva entonces x tiene el valor"}, {"start": 486.56, "end": 494.22, "text": " de 25 cent\u00edmetros entonces conociendo ya el valor de este lado que nos hac\u00eda falta"}, {"start": 494.22, "end": 500.72, "text": " ya podemos determinar el per\u00edmetro de ese tri\u00e1ngulo vamos a hacer entonces la suma"}, {"start": 500.72, "end": 508.74, "text": " de las longitudes de sus lados comenzamos con la hipotenusa que nos dio 25 cent\u00edmetros"}, {"start": 508.74, "end": 516.36, "text": " a eso vamos a sumarle este cateto que es 7 cent\u00edmetros y le sumamos la longitud del"}, {"start": 516.36, "end": 525.5, "text": " otro cateto que es 24 cent\u00edmetros efectuando esa operaci\u00f3n obtenemos 25 m\u00e1s 7 que es"}, {"start": 525.5, "end": 536.66, "text": " 32 y 32 m\u00e1s 24 nos da 56 cent\u00edmetros de esa manera ya tenemos la otra respuesta para"}, {"start": 536.66, "end": 543.5, "text": " este ejercicio el per\u00edmetro de ese tri\u00e1ngulo es 56 cent\u00edmetros"}]

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DESIGUALDAD LINEAL CON TRES MIEMBROS - Ejercicio 4

#julioprofe explica cómo resolver una desigualdad lineal que tiene tres miembros o componentes. Tema: #Desigualdades → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEZkcrDeNKKyhTxj4A1b83M REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver detalladamente esta desigualdad que es de tipo lineal porque la letra X siempre tiene exponente 1 y que también posee tres componentes. Comenzamos separando el ejercicio en dos desigualdades. Esta la vamos a llamar la número 1 y esta que tenemos acá la llamamos la desigualdad número 2. Describimos entonces las dos desigualdades por acá y cuando las resolvamos vamos a realizar la intersección entre los dos conjuntos solución. De esa manera encontraremos la solución de toda la desigualdad que como decíamos tiene tres componentes. Comenzamos entonces resolviendo la primera desigualdad que es de tipo lineal. Vamos a dejar en el lado izquierdo los términos que contienen la X y acá en el lado derecho los números. Se queda entonces el término 3X y pasamos este como acá está positivo llega al lado izquierdo con signo negativo. Nos queda menor o igual que 2 y pasamos este número que está positivo a este lado con signo negativo. Operamos a este lado los términos semejantes 3X menos 5X nos da menos 2X y por acá operamos estos números 2 menos 4 nos da menos 2. Enseguida tenemos que dividir ambos lados de esta desigualdad por menos 2. Tendremos entonces menos 2X dividido entre menos 2 con el objetivo de liberar o despejar esa X y por acá también dividimos por menos 2. En ese caso como hemos dividido por una cantidad negativa entonces este signo cambia la desigualdad cambia de sentido ahora es mayor o igual. Resolviendo a este lado tenemos como resultado X en este caso menos 2 se cancela y efectuando esta operación nos da como resultado 1 positivo y tenemos el signo mayor o igual. De esa manera tenemos la solución de la primera desigualdad. Tenemos entonces ese conjunto que vamos a llamar S1 la solución de la desigualdad número 1. Pasamos ahora a resolver la segunda desigualdad que también es de tipo lineal. Vamos a utilizar la misma estrategia que usamos en la primera. Vamos a dejar en el lado izquierdo los términos que contienen la X. Pasamos este término que está positivo al lado izquierdo con signo negativo. Nos queda menor que 1, este 1 se queda en su territorio no cambia y pasamos este número 2 que está positivo entonces llega acá con signo negativo. Pasamos esta operación 5X menos 7X nos da menos 2X y acá también resolvemos 1 menos 2 que nos da como resultado menos 1. Tenemos el signo menor. Ahora para despejar X necesitamos dividir ambos lados de la desigualdad por menos 2. Nos queda menos 2X dividido entre menos 2 y por acá menos 1 dividido entre menos 2. De nuevo como hemos tenido que dividir por un número negativo entonces el sentido de la desigualdad nos cambia. Ahora tenemos signo mayor. Transvolviendo a este lado tenemos como resultado X menos 2 se cancela con menos 2 y acá simplemente aplicamos la ley de los signos menos con menos en la división nos da más y nos queda la fracción un medio positiva y el signo es mayor. De esa manera tenemos ya la solución de la segunda desigualdad. La llamamos entonces la solución 2. Como decíamos ahora tenemos que realizar la intersección de estos dos conjuntos y para ello vamos a trazar una recta. Bien aquí la observamos va desde menos infinito hasta más infinito o sea que comprende todos los números reales para la variable X que es la que controla el ejercicio. Vamos a localizar en esta recta estos dos números el menor de ellos será un medio y marcamos luego el mayor que es el número 1. Ahora utilizando este tipo de rayado en esta dirección vamos a representar la solución 1 este conjunto que comprende los valores de X mayores o iguales que 1 es decir iniciamos en 1 tomándolo o sea con bolita llena porque acá tenemos signo mayor o igual y debemos rayar todo lo que está a su derecha utilizando como decíamos este tipo de rayado entonces allí hemos representado gráficamente el conjunto S1. Ahora vamos a representar el conjunto S2 iniciamos en un medio que no se toma porque aquí tenemos signo mayor entonces se representa con la bolita sin llenar y rayamos entonces todos los valores que estén a la derecha de un medio utilizando el rayado en la otra dirección entonces tenemos toda esta zona que representa gráficamente el conjunto S2. Con esta representación gráfica se observa claramente cuál es la zona que corresponde a la intersección de estos dos conjuntos será la zona que presenta los dos tipos de rayado es decir desde 1 hasta más infinito con eso vamos a dar la respuesta a este ejercicio el conjunto Solution se puede escribir de dos maneras como los X mayores o iguales que 1 desde 1 incluyéndolo hacia la derecha o también en formate intervalo son los valores reales de X pertenecientes al intervalo que va desde 1 cerrado hasta más infinito que siempre es abierto con esto terminamos este ejercicio.

[{"start": 0.0, "end": 10.36, "text": " Vamos a resolver detalladamente esta desigualdad que es de tipo lineal porque la letra X siempre"}, {"start": 10.36, "end": 15.280000000000001, "text": " tiene exponente 1 y que tambi\u00e9n posee tres componentes."}, {"start": 15.280000000000001, "end": 19.6, "text": " Comenzamos separando el ejercicio en dos desigualdades."}, {"start": 19.6, "end": 26.84, "text": " Esta la vamos a llamar la n\u00famero 1 y esta que tenemos ac\u00e1 la llamamos la desigualdad"}, {"start": 26.84, "end": 29.28, "text": " n\u00famero 2."}, {"start": 29.28, "end": 36.32, "text": " Describimos entonces las dos desigualdades por ac\u00e1 y cuando las resolvamos vamos a realizar"}, {"start": 36.32, "end": 41.2, "text": " la intersecci\u00f3n entre los dos conjuntos soluci\u00f3n."}, {"start": 41.2, "end": 47.96, "text": " De esa manera encontraremos la soluci\u00f3n de toda la desigualdad que como dec\u00edamos tiene"}, {"start": 47.96, "end": 50.24, "text": " tres 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n\u00fameros 2 menos 4 nos da menos 2."}, {"start": 93.08, "end": 99.48, "text": " Enseguida tenemos que dividir ambos lados de esta desigualdad por menos 2."}, {"start": 99.48, "end": 106.32000000000001, "text": " Tendremos entonces menos 2X dividido entre menos 2 con el objetivo de liberar o despejar"}, {"start": 106.32, "end": 111.55999999999999, "text": " esa X y por ac\u00e1 tambi\u00e9n dividimos por menos 2."}, {"start": 111.55999999999999, "end": 119.03999999999999, "text": " En ese caso como hemos dividido por una cantidad negativa entonces este signo cambia la desigualdad"}, {"start": 119.03999999999999, "end": 124.44, "text": " cambia de sentido ahora es mayor o igual."}, {"start": 124.44, "end": 131.62, "text": " Resolviendo a este lado tenemos como resultado X en este caso menos 2 se cancela y efectuando"}, {"start": 131.62, "end": 138.68, "text": " esta operaci\u00f3n nos da como resultado 1 positivo y tenemos el signo mayor o igual."}, {"start": 138.68, "end": 144.54, "text": " De esa manera tenemos la soluci\u00f3n de la primera desigualdad."}, {"start": 144.54, "end": 152.36, "text": " Tenemos entonces ese conjunto que vamos a llamar S1 la soluci\u00f3n de la desigualdad n\u00famero"}, {"start": 152.36, "end": 154.6, "text": " 1."}, {"start": 154.6, "end": 160.68, "text": " Pasamos ahora a resolver la segunda desigualdad que tambi\u00e9n es de tipo lineal."}, {"start": 160.68, "end": 164.92000000000002, "text": " Vamos a utilizar la misma estrategia que usamos en la primera."}, {"start": 164.92000000000002, "end": 169.4, "text": " Vamos a dejar en el lado izquierdo los t\u00e9rminos que contienen la X."}, {"start": 169.4, "end": 174.92000000000002, "text": " Pasamos este t\u00e9rmino que est\u00e1 positivo al lado izquierdo con signo negativo."}, {"start": 174.92000000000002, "end": 181.56, "text": " Nos queda menor que 1, este 1 se queda en su territorio no cambia y pasamos este n\u00famero"}, {"start": 181.56, "end": 187.12, "text": " 2 que est\u00e1 positivo entonces llega ac\u00e1 con signo negativo."}, {"start": 187.12, "end": 194.56, "text": " Pasamos esta operaci\u00f3n 5X menos 7X nos da menos 2X y ac\u00e1 tambi\u00e9n resolvemos 1 menos"}, {"start": 194.56, "end": 197.96, "text": " 2 que nos da como resultado menos 1."}, {"start": 197.96, "end": 199.72, "text": " Tenemos el signo menor."}, {"start": 199.72, "end": 206.28, "text": " Ahora para despejar X necesitamos dividir ambos lados de la desigualdad por menos 2."}, {"start": 206.28, "end": 214.68, "text": " Nos queda menos 2X dividido entre menos 2 y por ac\u00e1 menos 1 dividido entre menos 2."}, {"start": 214.68, "end": 221.04000000000002, "text": " De nuevo como hemos tenido que dividir por un n\u00famero negativo entonces el sentido de"}, {"start": 221.04000000000002, "end": 223.6, "text": " la desigualdad nos cambia."}, {"start": 223.6, "end": 226.92000000000002, "text": " Ahora tenemos signo mayor."}, {"start": 226.92000000000002, "end": 233.88, "text": " Transvolviendo a este lado tenemos como resultado X menos 2 se cancela con menos 2 y ac\u00e1 simplemente"}, {"start": 233.88, "end": 239.48000000000002, "text": " aplicamos la ley de los signos menos con menos en la divisi\u00f3n nos da m\u00e1s y nos queda la"}, {"start": 239.48000000000002, "end": 243.88, "text": " fracci\u00f3n un medio positiva y el signo es mayor."}, {"start": 243.88, "end": 250.48, "text": " De esa manera tenemos ya la soluci\u00f3n de la segunda desigualdad."}, {"start": 250.48, "end": 255.12, "text": " La llamamos entonces la soluci\u00f3n 2."}, {"start": 255.12, "end": 261.32, "text": " Como dec\u00edamos ahora tenemos que realizar la intersecci\u00f3n de estos dos conjuntos y para"}, {"start": 261.32, "end": 264.36, "text": " ello vamos a trazar una recta."}, {"start": 264.36, "end": 271.24, "text": " Bien aqu\u00ed la observamos va desde menos infinito hasta m\u00e1s infinito o sea que comprende todos"}, {"start": 271.24, "end": 278.44, "text": " los n\u00fameros reales para la variable X que es la que controla el ejercicio."}, {"start": 278.44, "end": 286.04, "text": " Vamos a localizar en esta recta estos dos n\u00fameros el menor de ellos ser\u00e1 un medio"}, {"start": 286.04, "end": 291.6, "text": " y marcamos luego el mayor que es el n\u00famero 1."}, {"start": 291.6, "end": 298.96000000000004, "text": " Ahora utilizando este tipo de rayado en esta direcci\u00f3n vamos a representar la soluci\u00f3n"}, {"start": 298.96, "end": 306.35999999999996, "text": " 1 este conjunto que comprende los valores de X mayores o iguales que 1 es decir iniciamos"}, {"start": 306.35999999999996, "end": 313.59999999999997, "text": " en 1 tom\u00e1ndolo o sea con bolita llena porque ac\u00e1 tenemos signo mayor o igual y debemos"}, {"start": 313.59999999999997, "end": 320.91999999999996, "text": " rayar todo lo que est\u00e1 a su derecha utilizando como dec\u00edamos este tipo de rayado entonces"}, {"start": 320.91999999999996, "end": 327.74, "text": " all\u00ed hemos representado gr\u00e1ficamente el conjunto S1."}, {"start": 327.74, "end": 335.64, "text": " Ahora vamos a representar el conjunto S2 iniciamos en un medio que no se toma porque aqu\u00ed tenemos"}, {"start": 335.64, "end": 343.16, "text": " signo mayor entonces se representa con la bolita sin llenar y rayamos entonces todos"}, {"start": 343.16, "end": 350.44, "text": " los valores que est\u00e9n a la derecha de un medio utilizando el rayado en la otra direcci\u00f3n"}, {"start": 350.44, "end": 359.48, "text": " entonces tenemos toda esta zona que representa gr\u00e1ficamente el conjunto S2."}, {"start": 359.48, "end": 365.48, "text": " Con esta representaci\u00f3n gr\u00e1fica se observa claramente cu\u00e1l es la zona que corresponde"}, {"start": 365.48, "end": 372.6, "text": " a la intersecci\u00f3n de estos dos conjuntos ser\u00e1 la zona que presenta los dos tipos de rayado"}, {"start": 372.6, "end": 379.88, "text": " es decir desde 1 hasta m\u00e1s infinito con eso vamos a dar la respuesta a este ejercicio"}, {"start": 379.88, "end": 386.04, "text": " el conjunto Solution se puede escribir de dos maneras como los X mayores o iguales que"}, {"start": 386.04, "end": 393.64, "text": " 1 desde 1 incluy\u00e9ndolo hacia la derecha o tambi\u00e9n en formate intervalo son los valores"}, {"start": 393.64, "end": 403.08, "text": " reales de X pertenecientes al intervalo que va desde 1 cerrado hasta m\u00e1s infinito que"}, {"start": 403.08, "end": 410.4, "text": " siempre es abierto con esto terminamos este ejercicio."}]

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ECUACIONES LOGARÍTMICAS - Ejercicio 12

#julioprofe explica cómo resolver una ecuación logarítmica. Tema: #EcuacionesLogarítmicas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwGy9_WwQrZrw9iTXiKDua5T REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver esta ecuación logarítmica. Observamos en ella el logaritmo natural que es el que tiene la base E, o sea el número de Euler. Vamos a encontrar en esta ocasión el valor o los valores de la incógnita X que hacen verdadera esa igualdad. Comenzamos aplicando estas propiedades de los logaritmos. En el lado izquierdo observamos el número 2 que multiplica al logaritmo natural de X, es decir tenemos esta situación y podemos llevarla a esto que tenemos acá en el lado izquierdo de esta igualdad. Como se observa esta cantidad que está multiplicando pasa a convertirse en exponente en el argumento tal como observamos aquí. Entonces allá tendremos logaritmo natural de X al cuadrado. El 2 pasa a convertirse en exponente de X. Y en el lado derecho tenemos una resta de logaritmos, es decir esta situación que como se observa puede convertirse en el logaritmo de un cociente. Entonces de acuerdo con esta propiedad esto nos va a quedar como logaritmo natural de 4X más 6 sobre 2. Ahora utilizamos esta otra propiedad. Si tenemos la igualdad de dos logaritmos en la misma base, en este caso se trata de logaritmo natural, entonces sus argumentos necesariamente tienen que ser iguales. En este caso podemos decir entonces que X al cuadrado debe ser igual a 4X más 6 y todo esto sobre 2. Ahora tenemos que concentrarnos en resolver esta ecuación. Para ello pasamos este número 2 que está dividiendo al otro lado a multiplicar. Dividimos 2X al cuadrado igual a 4X más 6. Una ecuación que es de segundo grado, o sea una ecuación cuadrática. Como se observa todos los números que tenemos en esta ecuación son números pares, o sea que son divisibles por 2. Podemos entonces dividir ambos lados de esa igualdad entre 2 con el fin de simplificar esa ecuación. Si acá dividimos entre 2, tendremos X al cuadrado. Y en el lado derecho dividimos por 2 cada uno de los términos. 4X dividido entre 2 nos da 2X y el término más 6 dividido entre 2 nos dará más 3. Ahora vamos a pasar estos términos para el lado izquierdo con el fin de que la ecuación cuadrática nos quede igualada a 0. Tendremos X al cuadrado menos 2X menos 3 y todo esto igual a 0. Estos términos que están positivos pasan al lado izquierdo con signo negativo. Y aquí ya hemos llevado la ecuación a la forma X al cuadrado más BX más C igual a 0. O sea, la forma que distingue una ecuación cuadrática o de segundo grado. Para resolver este tipo de ecuaciones contamos con dos caminos principales. Uno de ellos es la factorización si vemos que esta expresión es fácilmente factorizable. Y el otro es el de la fórmula cuadrática o fórmula general. En este caso esta expresión la podemos factorizar, corresponde a un trinomio de la forma X al cuadrado más BX más C. Entonces abrimos dos paréntesis, extraemos la raíz cuadrada de este término que es X y la escribimos al comienzo de cada paréntesis. Luego definimos los signos. Acá tenemos signo positivo, más por menos nos da menos que es el signo del primer paréntesis y acá tenemos menos por menos que nos da más y es el signo del segundo paréntesis. Ahora tenemos que buscar dos números, uno negativo y otro positivo que multiplicados nos den menos tres y que al sumarlos entre sí nos den como resultado menos dos. Esos números son menos tres y uno. Y todo esto debe quedar igualado a cero. Y debemos aplicar el teorema del factor nulo que dice lo siguiente. Si A por B es igual a cero, entonces A es igual a cero o B es igual a cero. En este caso X menos tres actúa como A y X más uno actúa como B. Entonces siguiendo esta indicación tendremos que X menos tres es igual a cero o X más uno también debe ser igual a cero. Enseguida debemos resolver cada una de estas situaciones para la variable X. De aquí X nos da como resultado tres. Tres que está restando pasa al otro lado a sumar con cero y de acá obtenemos que X es igual a menos uno. Uno que está sumando pasa al otro lado a restar y por eso obtenemos ese resultado. De esta manera hemos obtenido las dos soluciones de la ecuación cuadrática o de segundo grado. Pero allí no termina nuestro ejercicio porque no podemos olvidar que se trata de una ecuación logarítmica. Debemos revisar si estas soluciones realmente satisfacen la expresión original. Por ejemplo menos uno tiene problemas aquí porque recordemos que los logaritmos no están definidos para cantidades negativas. Por lo tanto esta opción debe descartarse. Revisando la otra opción X igual a tres vemos que en estos logaritmos no hay ningún inconveniente porque siempre nos garantiza argumento positivo. Por eso concluimos que X igual a tres es la única solución de esta ecuación logarítmica.

[{"start": 0.0, "end": 6.36, "text": " Vamos a resolver esta ecuaci\u00f3n logar\u00edtmica."}, {"start": 6.36, "end": 13.08, "text": " Observamos en ella el logaritmo natural que es el que tiene la base E, o sea el n\u00famero"}, {"start": 13.08, "end": 14.16, "text": " de Euler."}, {"start": 14.16, "end": 20.44, "text": " Vamos a encontrar en esta ocasi\u00f3n el valor o los valores de la inc\u00f3gnita X que hacen"}, {"start": 20.44, "end": 23.32, "text": " verdadera esa igualdad."}, {"start": 23.32, "end": 27.6, "text": " Comenzamos aplicando estas propiedades de los logaritmos."}, {"start": 27.6, "end": 33.64, "text": " En el lado izquierdo observamos el n\u00famero 2 que multiplica al logaritmo natural de X,"}, {"start": 33.64, "end": 39.160000000000004, "text": " es decir tenemos esta situaci\u00f3n y podemos llevarla a esto que tenemos ac\u00e1 en el lado"}, {"start": 39.160000000000004, "end": 41.84, "text": " izquierdo de esta igualdad."}, {"start": 41.84, "end": 48.88, "text": " Como se observa esta cantidad que est\u00e1 multiplicando pasa a convertirse en exponente en el argumento"}, {"start": 48.88, "end": 51.24, "text": " tal como observamos aqu\u00ed."}, {"start": 51.24, "end": 56.760000000000005, "text": " Entonces all\u00e1 tendremos logaritmo natural de X al cuadrado."}, {"start": 56.76, "end": 61.68, "text": " El 2 pasa a convertirse en exponente de X."}, {"start": 61.68, "end": 69.4, "text": " Y en el lado derecho tenemos una resta de logaritmos, es decir esta situaci\u00f3n que como se observa"}, {"start": 69.4, "end": 73.24, "text": " puede convertirse en el logaritmo de un cociente."}, {"start": 73.24, "end": 79.88, "text": " Entonces de acuerdo con esta propiedad esto nos va a quedar como logaritmo natural de"}, {"start": 79.88, "end": 88.44, "text": " 4X m\u00e1s 6 sobre 2."}, {"start": 88.44, "end": 91.64, "text": " Ahora utilizamos esta otra propiedad."}, {"start": 91.64, "end": 98.84, "text": " Si tenemos la igualdad de dos logaritmos en la misma base, en este caso se trata de logaritmo"}, {"start": 98.84, "end": 104.96, "text": " natural, entonces sus argumentos necesariamente tienen que ser iguales."}, {"start": 104.96, "end": 114.55999999999999, "text": " En este caso podemos decir entonces que X al cuadrado debe ser igual a 4X m\u00e1s 6 y todo"}, {"start": 114.55999999999999, "end": 118.16, "text": " esto sobre 2."}, {"start": 118.16, "end": 122.52, "text": " Ahora tenemos que concentrarnos en resolver esta ecuaci\u00f3n."}, {"start": 122.52, "end": 128.4, "text": " Para ello pasamos este n\u00famero 2 que est\u00e1 dividiendo al otro lado a multiplicar."}, {"start": 128.4, "end": 136.28, "text": " Dividimos 2X al cuadrado igual a 4X m\u00e1s 6."}, {"start": 136.28, "end": 142.36, "text": " Una ecuaci\u00f3n que es de segundo grado, o sea una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica."}, {"start": 142.36, "end": 148.20000000000002, "text": " Como se observa todos los n\u00fameros que tenemos en esta ecuaci\u00f3n son n\u00fameros pares, o sea"}, {"start": 148.20000000000002, "end": 150.76, "text": " que son divisibles por 2."}, {"start": 150.76, "end": 157.4, "text": " Podemos entonces dividir ambos lados de esa igualdad entre 2 con el fin de simplificar"}, {"start": 157.4, "end": 158.92000000000002, "text": " esa ecuaci\u00f3n."}, {"start": 158.92000000000002, "end": 163.20000000000002, "text": " Si ac\u00e1 dividimos entre 2, tendremos X al cuadrado."}, {"start": 163.20000000000002, "end": 168.12, "text": " Y en el lado derecho dividimos por 2 cada uno de los t\u00e9rminos."}, {"start": 168.12, "end": 177.68, "text": " 4X dividido entre 2 nos da 2X y el t\u00e9rmino m\u00e1s 6 dividido entre 2 nos dar\u00e1 m\u00e1s 3."}, {"start": 177.68, "end": 183.32, "text": " Ahora vamos a pasar estos t\u00e9rminos para el lado izquierdo con el fin de que la ecuaci\u00f3n"}, {"start": 183.32, "end": 186.68, "text": " cuadr\u00e1tica nos quede igualada a 0."}, {"start": 186.68, "end": 194.92000000000002, "text": " Tendremos X al cuadrado menos 2X menos 3 y todo esto igual a 0."}, {"start": 194.92000000000002, "end": 200.72, "text": " Estos t\u00e9rminos que est\u00e1n positivos pasan al lado izquierdo con signo negativo."}, {"start": 200.72, "end": 209.76000000000002, "text": " Y aqu\u00ed ya hemos llevado la ecuaci\u00f3n a la forma X al cuadrado m\u00e1s BX m\u00e1s C igual a"}, {"start": 209.76000000000002, "end": 210.76000000000002, "text": " 0."}, {"start": 210.76, "end": 217.44, "text": " O sea, la forma que distingue una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica o de segundo grado."}, {"start": 217.44, "end": 222.72, "text": " Para resolver este tipo de ecuaciones contamos con dos caminos principales."}, {"start": 222.72, "end": 230.12, "text": " Uno de ellos es la factorizaci\u00f3n si vemos que esta expresi\u00f3n es f\u00e1cilmente factorizable."}, {"start": 230.12, "end": 234.64, "text": " Y el otro es el de la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica o f\u00f3rmula general."}, {"start": 234.64, "end": 242.07999999999998, "text": " En este caso esta expresi\u00f3n la podemos factorizar, corresponde a un trinomio de la forma X al"}, {"start": 242.07999999999998, "end": 244.48, "text": " cuadrado m\u00e1s BX m\u00e1s C."}, {"start": 244.48, "end": 251.04, "text": " Entonces abrimos dos par\u00e9ntesis, extraemos la ra\u00edz cuadrada de este t\u00e9rmino que es"}, {"start": 251.04, "end": 255.0, "text": " X y la escribimos al comienzo de cada par\u00e9ntesis."}, {"start": 255.0, "end": 257.32, "text": " Luego definimos los signos."}, {"start": 257.32, "end": 264.08, "text": " Ac\u00e1 tenemos signo positivo, m\u00e1s por menos nos da menos que es el signo del primer par\u00e9ntesis"}, {"start": 264.08, "end": 270.91999999999996, "text": " y ac\u00e1 tenemos menos por menos que nos da m\u00e1s y es el signo del segundo par\u00e9ntesis."}, {"start": 270.91999999999996, "end": 277.3, "text": " Ahora tenemos que buscar dos n\u00fameros, uno negativo y otro positivo que multiplicados"}, {"start": 277.3, "end": 283.32, "text": " nos den menos tres y que al sumarlos entre s\u00ed nos den como resultado menos dos."}, {"start": 283.32, "end": 287.0, "text": " Esos n\u00fameros son menos tres y uno."}, {"start": 287.0, "end": 291.91999999999996, "text": " Y todo esto debe quedar igualado a cero."}, {"start": 291.92, "end": 297.56, "text": " Y debemos aplicar el teorema del factor nulo que dice lo siguiente."}, {"start": 297.56, "end": 304.20000000000005, "text": " Si A por B es igual a cero, entonces A es igual a cero o B es igual a cero."}, {"start": 304.20000000000005, "end": 310.84000000000003, "text": " En este caso X menos tres act\u00faa como A y X m\u00e1s uno act\u00faa como B."}, {"start": 310.84000000000003, "end": 319.08000000000004, "text": " Entonces siguiendo esta indicaci\u00f3n tendremos que X menos tres es igual a cero o X m\u00e1s"}, {"start": 319.08, "end": 323.71999999999997, "text": " uno tambi\u00e9n debe ser igual a cero."}, {"start": 323.71999999999997, "end": 329.64, "text": " Enseguida debemos resolver cada una de estas situaciones para la variable X."}, {"start": 329.64, "end": 333.8, "text": " De aqu\u00ed X nos da como resultado tres."}, {"start": 333.8, "end": 340.2, "text": " Tres que est\u00e1 restando pasa al otro lado a sumar con cero y de ac\u00e1 obtenemos que X"}, {"start": 340.2, "end": 342.15999999999997, "text": " es igual a menos uno."}, {"start": 342.15999999999997, "end": 348.68, "text": " Uno que est\u00e1 sumando pasa al otro lado a restar y por eso obtenemos ese resultado."}, {"start": 348.68, "end": 355.2, "text": " De esta manera hemos obtenido las dos soluciones de la ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica o de segundo grado."}, {"start": 355.2, "end": 362.96000000000004, "text": " Pero all\u00ed no termina nuestro ejercicio porque no podemos olvidar que se trata de una ecuaci\u00f3n"}, {"start": 362.96000000000004, "end": 364.2, "text": " logar\u00edtmica."}, {"start": 364.2, "end": 371.88, "text": " Debemos revisar si estas soluciones realmente satisfacen la expresi\u00f3n original."}, {"start": 371.88, "end": 378.08, "text": " Por ejemplo menos uno tiene problemas aqu\u00ed porque recordemos que los logaritmos no est\u00e1n"}, {"start": 378.08, "end": 381.2, "text": " definidos para cantidades negativas."}, {"start": 381.2, "end": 385.47999999999996, "text": " Por lo tanto esta opci\u00f3n debe descartarse."}, {"start": 385.47999999999996, "end": 392.03999999999996, "text": " Revisando la otra opci\u00f3n X igual a tres vemos que en estos logaritmos no hay ning\u00fan"}, {"start": 392.03999999999996, "end": 397.15999999999997, "text": " inconveniente porque siempre nos garantiza argumento positivo."}, {"start": 397.16, "end": 408.68, "text": " Por eso concluimos que X igual a tres es la \u00fanica soluci\u00f3n de esta ecuaci\u00f3n logar\u00edtmica."}]

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DESIGUALDADES CUADRÁTICAS - Ejercicio 3

#julioprofe explica cómo hallar el conjunto solución de una desigualdad o inecuación cuadrática (o de segundo grado). Tema: #Desigualdades → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEZkcrDeNKKyhTxj4A1b83M REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver detalladamente esta desigualdad. Comenzamos por resolver este producto de binomios. Para ello vamos a aplicar la propiedad distributiva. Multiplicamos entonces x por x, que nos da x al cuadrado, x por menos 4, que es menos 4x, luego multiplicamos menos 5 por cada uno de esos términos, menos 5 por x es menos 5x, y menos 5 por menos 4 nos da más 20 y todo esto queda menor o igual que 6. Enseguida vamos a reducir a este lado términos semejantes. Es el caso de estos dos que contienen la letra x, tendremos x al cuadrado, menos 4x menos 5x nos da menos 9x más 20 y esto nos queda menor o igual que 6. Como se puede observar la desigualdad adquiere forma de desigualdad cuadrática o de segundo grado y en ese caso necesitamos que acá nos quede el número 0, para ello vamos a pasar este número 6 al lado izquierdo, entonces tendremos x al cuadrado, menos 9x más 20, menos 6, menor o igual que 0. 6 que está positivo llega al lado izquierdo con signo negativo. Ahora vamos a resolver la operación de estos dos números, tendremos x al cuadrado, menos 9x, más 20, menos 6, nos da más 14 y todo esto nos queda menor o igual que 0. Enseguida vamos a factorizar esta expresión, allí aplicamos el caso llamado trinomio de la forma x al cuadrado más bx más c, abrimos dos paréntesis, sacamos la raíz cuadrada de este término que es x y la escribimos al comienzo de cada paréntesis. Ahora vamos a definir los signos, aquí tenemos signo positivo, más por menos nos da menos, signo del primer paréntesis y menos por más nos da menos que es el signo del segundo paréntesis. Enseguida buscamos dos números negativos que multiplicados entre sí nos den más 14 y que al sumarlos nos de como resultado menos 9, esos números son menos 7 y menos 2 y todo esto quedará menor o igual que 0. Cuando ya tenemos esta expresión factorizada y acá el número 0 procedemos a buscar lo que se llaman los puntos críticos de la desigualdad, es decir aquellos valores de la letra x que vuelven 0 este lado de la expresión, para ello igualamos a 0 cada uno de los dos factores, decimos x menos 7 será igual a 0 y x menos 2 también igual a 0, en cada caso hallamos el valor de x. Por acá vamos a obtener x igual a 7 y por acá obtenemos x igual a 2. Estos dos números son los puntos críticos de esta desigualdad y como acá tenemos el signo menor o igual ellos van a formar parte de la solución, o sea que se van a tomar y eso lo denotamos con esta bolita llena. Ahora trazamos esta recta que simboliza los valores reales de la variable x y en ella localizamos los puntos críticos que acabamos de encontrar, escribimos el 2 que es el número menor y el 7 que es el número mayor, como dijimos acá ambos números se deben tomar, entonces marcamos aquí la bolita llena que nos indica que ellos van a ser parte de la solución. Como vemos tenemos tres intervalos o tres zonas en las cuales debemos examinar el comportamiento del signo de esta expresión, para ello vamos a seleccionar un valor de prueba, por ejemplo el primer intervalo seleccionamos un valor de x que esté comprendido entre menos infinito y 2, podemos seleccionar el valor x igual a 0. Del segundo intervalo seleccionamos un valor de x que esté comprendido entre 2 y 7, podríamos escoger por ejemplo el número 4 y del tercer intervalo escogemos un valor de x que esté comprendido entre 7 y más infinito, podemos escoger el número 8. Como se puede observar la expresión que vamos a examinar consta de dos factores, entonces vamos a abrir dos paréntesis que representan cada uno de esos factores. Comenzamos entonces la prueba con x igual a 0, en ese factor si x toma el valor 0 tendremos 0 menos 7 que nos da menos 7, eso quiere decir que acá marcamos el signo menos, no nos interesa el número sino el signo que toma ese factor. Vamos al siguiente, probamos otra vez x igual a 0 donde 0 menos 2 nos da menos 2, o sea que ese factor es de signo negativo. Continuamos la prueba con x igual a 4, de nuevo reemplazamos en cada una de estas dos expresiones, en la primera tendremos 4 menos 7, eso nos da como resultado menos 3, marcamos entonces el signo menos y acá reemplazando el 4 tendremos 4 menos 2 que nos da como resultado 2 positivo. Ahora probamos con x igual a 8, de nuevo vamos a estos dos factores, si traemos el 8 acá tenemos 8 menos 7 que es 1 positivo y si reemplazamos 8 acá tendremos 8 menos 2 que nos da 6 positivo. Aplicamos ahora el producto de signos en cada uno de los intervalos, menos por menos nos da más, aquí menos por más nos da menos y acá más por más nos da signo más. Como la expresión que estamos examinando tiene que ser menor que 0 entonces ella debe ser negativa, eso quiere decir que nos sirve únicamente la zona del centro, esta si sirve y las otras por ser positivas no sirven, esta tampoco sirve y procedemos a rayar o destacar la zona que si sirvió y con eso procedemos a dar la respuesta. Decimos entonces que el conjunto solución de esa desigualdad son los valores reales de x que pertenecen al intervalo que va desde 2 hasta 7 cerrado en sus dos extremos, entonces utilizamos corchetes, como decíamos eso quiere decir que el 2 y el 7 se incluyen y son parciales en parte de la solución. Otra manera de presentar la respuesta es escribiéndola en forma de desigualdad, se escribe de esta manera, los x que son mayores o iguales que 2 y al mismo tiempo menores o iguales que 7. Y con esto terminamos este ejercicio.

[{"start": 0.0, "end": 6.8, "text": " Vamos a resolver detalladamente esta desigualdad."}, {"start": 6.8, "end": 11.200000000000001, "text": " Comenzamos por resolver este producto de binomios."}, {"start": 11.200000000000001, "end": 16.4, "text": " Para ello vamos a aplicar la propiedad distributiva."}, {"start": 16.4, "end": 24.400000000000002, "text": " Multiplicamos entonces x por x, que nos da x al cuadrado, x por menos 4, que es menos"}, {"start": 24.4, "end": 34.2, "text": " 4x, luego multiplicamos menos 5 por cada uno de esos t\u00e9rminos, menos 5 por x es menos"}, {"start": 34.2, "end": 44.3, "text": " 5x, y menos 5 por menos 4 nos da m\u00e1s 20 y todo esto queda menor o igual que 6."}, {"start": 44.3, "end": 49.099999999999994, "text": " Enseguida vamos a reducir a este lado t\u00e9rminos semejantes."}, {"start": 49.1, "end": 57.2, "text": " Es el caso de estos dos que contienen la letra x, tendremos x al cuadrado, menos 4x menos"}, {"start": 57.2, "end": 67.4, "text": " 5x 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estamos examinando tiene que ser menor que 0 entonces ella debe"}, {"start": 423.6, "end": 433.88, "text": " ser negativa, eso quiere decir que nos sirve \u00fanicamente la zona del centro, esta si sirve"}, {"start": 433.88, "end": 446.68, "text": " y las otras por ser positivas no sirven, esta tampoco sirve y procedemos a rayar o destacar"}, {"start": 446.68, "end": 454.32, "text": " la zona que si sirvi\u00f3 y con eso procedemos a dar la respuesta."}, {"start": 454.32, "end": 459.58, "text": " Decimos entonces que el conjunto soluci\u00f3n de esa desigualdad son los valores reales"}, {"start": 459.58, "end": 468.28000000000003, "text": " de x que pertenecen al intervalo que va desde 2 hasta 7 cerrado en sus dos extremos, entonces"}, {"start": 468.28000000000003, "end": 476.64, "text": " utilizamos corchetes, como dec\u00edamos eso quiere decir que el 2 y el 7 se incluyen y son parciales"}, {"start": 476.64, "end": 478.91999999999996, "text": " en parte de la soluci\u00f3n."}, 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julioprofe

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DIVISIÓN DE NÚMEROS FRACCIONARIOS

#julioprofe explica cómo dividir dos números fraccionarios. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver detalladamente estos dos ejercicios que corresponden a división de números fraccionarios. En el primer caso comenzamos por ensamblar la operación. Para ello trazamos esta línea y en la parte superior escribimos el producto o la multiplicación de estos dos componentes, es decir, 32 por 21. Y acá en la parte de abajo escribimos el producto o la multiplicación de estos dos componentes, o sea, 9 por 16. Como se observa, al ensamblar la operación efectuamos el producto en cruz. El producto de estos dos números se escribe en la parte de arriba y el producto de estos otros dos números se escribe en la parte de abajo. Otra manera de llegar a esto es la siguiente. Si tenemos la fracción 32 novenos dividida entre la fracción 16 21, entonces se deja la primera fracción tal como está y se multiplica por el recíproco o el inverso multiplicativo de esta fracción, o sea que se invierte, nos queda 21 16. Y allí procederíamos a ensamblar lo que es esa multiplicación. Recordemos que se deben multiplicar numeradores entre sí, 32 por 21 y denominadores entre sí, o sea, 9 por 16. Vemos que se obtiene lo mismo que nos dio en la primera forma. También existe otra manera de llegar a esto y es escribir esa división de fracciones de la siguiente manera, la primera fracción que es 32 novenos sobre la otra que es 16 21. Y allí hacemos el ensamble multiplicando los elementos extremos en la parte superior, es decir, 32 por 21 y multiplicamos los elementos internos o lo que se llaman medios en la parte inferior. Esto es lo que se conoce como la ley de la oreja. Entonces vemos que también se llega a lo mismo que hicimos en la primera forma. Después de haber ensamblado o armado la operación, tenemos dos opciones. Una sería multiplicar 32 por 21, que nos da 672, y multiplicar 9 por 16, que nos da 144. Y luego proceder a simplificar al máximo este resultado. El problema que vamos a tener aquí es que estos números son grandes y el proceso de simplificación nos va a tomar más tiempo. Entonces, ¿qué es lo recomendable? Aprovechar aquí donde los números todavía no han sido multiplicados y que todavía están pequeños para realizar todo el proceso de simplificación. Recordemos que para ello siempre debemos tomar un número de la parte superior con otro número de la parte inferior. Revisamos si por ejemplo 32 se puede simplificar con 9. Vemos que no es posible porque no tienen un divisor en común. Entonces revisamos 32 con 16. Esos dos números sí son simplificables entre sí. Ambos tienen mitad o también tienen cuarta. O podemos buscar un número más grande como el 16 que está contenido en ellos dos. Decimos entonces 16aba de 32 que nos da 2 y 16aba de 16 que nos da 1. Seguimos revisando y encontramos que 21 se puede simplificar con 9. Ambos números son múltiplos de 3 o ambos tienen tercera. Decimos entonces tercera de 21 es 7 y tercera de 9 nos da 3. Continuamos revisando si 2 se puede simplificar con 3 vemos que no es posible. Si 7 se puede simplificar con 3 tampoco se puede. Entonces cuando ya vemos que no hay más posibilidad de simplificar procedemos a escribir la respuesta. Y para ello multiplicamos los números sobrevivientes. Los que quedaron en la parte superior, o sea 2 por 7 que es 14 y los que quedaron en la parte inferior, o sea 3 por 1 que nos da 3. De esta manera obtenemos el resultado de la división de esas dos fracciones en forma de fracción irreducible. O sea que no se puede simplificar más. Vamos a resolver ahora la segunda división de números fraccionarios. Trazamos entonces esta línea y vamos a ensamblar la operación de acuerdo con la primera forma que vimos. En la parte superior vamos a escribir la multiplicación o el producto de los números 55 y 24. Y en la parte inferior vamos a escribir el producto o la multiplicación de los números 18 y 77. De nuevo se advierte que si se multiplican estos números vamos a obtener una fracción con cantidades muy grandes. Por ejemplo 55 por 24 nos daría 1320 y 18 por 77 nos daría 1386. Simplificar al máximo esta fracción nos va a tomar bastante tiempo porque como se observa los números ahora son mucho más grandes. ¿Qué es lo conveniente? Realizar el proceso de simplificación en esta etapa cuando los números todavía están pequeños y no han sido multiplicados. Revisamos por ejemplo 55 y 18 son números que no tienen un divisor en común. En cambio 55 y 77 son números que pertenecen a la tabla de multiplicar del número 11. Entonces ambos tienen 11. Decimos 11 de 55 es 5 y 11 de 77 nos da 7. Si continuamos revisando encontramos que 24 y 18 se pueden simplificar. Vemos que son números pares o sea que ambos tendrían mitad. Sin embargo podemos explorar un divisor más grande. Por ejemplo ambos números son divisibles por 6. Decimos 6 de 24 es 4 y 6 de 18 nos da 3. Allí volvemos a revisar si por ejemplo 5 puede simplificarse con 3 vemos que no se puede 5 tampoco se puede simplificar con 7, 4 no se puede simplificar con 3 y 4 tampoco se puede simplificar con 7. Cuando ya estamos seguros de que hemos agotado el proceso de simplificación entonces procedemos a escribir la respuesta. Multiplicamos los números que quedaron en la parte de arriba o sea 5 por 4 que es 20 y multiplicamos los que quedaron en la parte de abajo 3 por 7 es 21. 20 21 es la fracción completamente simplificada o sea fracción irreducible que corresponde al resultado de esa división de números fraccionarios.

[{"start": 0.0, "end": 9.36, "text": " Vamos a resolver detalladamente estos dos ejercicios que corresponden a divisi\u00f3n de"}, {"start": 9.36, "end": 11.56, "text": " n\u00fameros fraccionarios."}, {"start": 11.56, "end": 16.48, "text": " En el primer caso comenzamos por ensamblar la operaci\u00f3n."}, {"start": 16.48, "end": 24.240000000000002, "text": " Para ello trazamos esta l\u00ednea y en la parte superior escribimos el producto o la multiplicaci\u00f3n"}, {"start": 24.24, "end": 31.119999999999997, "text": " de estos dos componentes, es decir, 32 por 21."}, {"start": 31.119999999999997, "end": 37.879999999999995, "text": " Y ac\u00e1 en la parte de abajo escribimos el producto o la multiplicaci\u00f3n de estos dos"}, {"start": 37.879999999999995, "end": 43.56, "text": " componentes, o sea, 9 por 16."}, {"start": 43.56, "end": 49.68, "text": " Como se observa, al ensamblar la operaci\u00f3n efectuamos el producto en cruz."}, {"start": 49.68, "end": 57.0, "text": " El producto de estos dos n\u00fameros se escribe en la parte de arriba y el producto de estos"}, {"start": 57.0, "end": 62.08, "text": " otros dos n\u00fameros se escribe en la parte de abajo."}, {"start": 62.08, "end": 66.0, "text": " Otra manera de llegar a esto es la siguiente."}, {"start": 66.0, "end": 76.52, "text": " Si tenemos la fracci\u00f3n 32 novenos dividida entre la fracci\u00f3n 16 21, entonces se deja"}, {"start": 76.52, "end": 85.47999999999999, "text": " la primera fracci\u00f3n tal como est\u00e1 y se multiplica por el rec\u00edproco o el inverso multiplicativo"}, {"start": 85.47999999999999, "end": 93.03999999999999, "text": " de esta fracci\u00f3n, o sea que se invierte, nos queda 21 16."}, {"start": 93.03999999999999, "end": 98.52, "text": " Y all\u00ed proceder\u00edamos a ensamblar lo que es esa multiplicaci\u00f3n."}, {"start": 98.52, "end": 107.44, "text": " Recordemos que se deben multiplicar numeradores entre s\u00ed, 32 por 21 y denominadores entre"}, {"start": 107.44, "end": 111.03999999999999, "text": " s\u00ed, o sea, 9 por 16."}, {"start": 111.03999999999999, "end": 116.64, "text": " Vemos que se obtiene lo mismo que nos dio en la primera forma."}, {"start": 116.64, "end": 123.08, "text": " Tambi\u00e9n existe otra manera de llegar a esto y es escribir esa divisi\u00f3n de fracciones"}, {"start": 123.08, "end": 132.48, "text": " de la siguiente manera, la primera fracci\u00f3n que es 32 novenos sobre la otra que es 16"}, {"start": 132.48, "end": 134.8, "text": " 21."}, {"start": 134.8, "end": 144.24, "text": " Y all\u00ed hacemos el ensamble multiplicando los elementos extremos en la parte superior,"}, {"start": 144.24, "end": 156.88, "text": " es decir, 32 por 21 y multiplicamos los elementos internos o lo que se llaman medios en la parte"}, {"start": 156.88, "end": 159.12, "text": " inferior."}, {"start": 159.12, "end": 163.36, "text": " Esto es lo que se conoce como la ley de la oreja."}, {"start": 163.36, "end": 170.16000000000003, "text": " Entonces vemos que tambi\u00e9n se llega a lo mismo que hicimos en la primera forma."}, {"start": 170.16, "end": 176.07999999999998, "text": " Despu\u00e9s de haber ensamblado o armado la operaci\u00f3n, tenemos dos opciones."}, {"start": 176.07999999999998, "end": 185.16, "text": " Una ser\u00eda multiplicar 32 por 21, que nos da 672, y multiplicar 9 por 16, que nos da"}, {"start": 185.16, "end": 187.2, "text": " 144."}, {"start": 187.2, "end": 192.24, "text": " Y luego proceder a simplificar al m\u00e1ximo este resultado."}, {"start": 192.24, "end": 198.01999999999998, "text": " El problema que vamos a tener aqu\u00ed es que estos n\u00fameros son grandes y el proceso de"}, {"start": 198.02, "end": 201.84, "text": " simplificaci\u00f3n nos va a tomar m\u00e1s tiempo."}, {"start": 201.84, "end": 204.8, "text": " Entonces, \u00bfqu\u00e9 es lo recomendable?"}, {"start": 204.8, "end": 210.64000000000001, "text": " Aprovechar aqu\u00ed donde los n\u00fameros todav\u00eda no han sido multiplicados y que todav\u00eda est\u00e1n"}, {"start": 210.64000000000001, "end": 216.60000000000002, "text": " peque\u00f1os para realizar todo el proceso de simplificaci\u00f3n."}, {"start": 216.60000000000002, "end": 222.92000000000002, "text": " Recordemos que para ello siempre debemos tomar un n\u00famero de la parte superior con otro n\u00famero"}, {"start": 222.92000000000002, "end": 224.60000000000002, "text": " de la parte inferior."}, {"start": 224.6, "end": 229.2, "text": " Revisamos si por ejemplo 32 se puede simplificar con 9."}, {"start": 229.2, "end": 233.2, "text": " Vemos que no es posible porque no tienen un divisor en com\u00fan."}, {"start": 233.2, "end": 236.44, "text": " Entonces revisamos 32 con 16."}, {"start": 236.44, "end": 239.76, "text": " Esos dos n\u00fameros s\u00ed son simplificables entre s\u00ed."}, {"start": 239.76, "end": 243.16, "text": " Ambos tienen mitad o tambi\u00e9n tienen cuarta."}, {"start": 243.16, "end": 250.51999999999998, "text": " O podemos buscar un n\u00famero m\u00e1s grande como el 16 que est\u00e1 contenido en ellos dos."}, {"start": 250.52, "end": 260.36, "text": " Decimos entonces 16aba de 32 que nos da 2 y 16aba de 16 que nos da 1."}, {"start": 260.36, "end": 265.88, "text": " Seguimos revisando y encontramos que 21 se puede simplificar con 9."}, {"start": 265.88, "end": 270.96000000000004, "text": " Ambos n\u00fameros son m\u00faltiplos de 3 o ambos tienen tercera."}, {"start": 270.96000000000004, "end": 278.92, "text": " Decimos entonces tercera de 21 es 7 y tercera de 9 nos da 3."}, {"start": 278.92, "end": 285.04, "text": " Continuamos revisando si 2 se puede simplificar con 3 vemos que no es posible."}, {"start": 285.04, "end": 289.16, "text": " Si 7 se puede simplificar con 3 tampoco se puede."}, {"start": 289.16, "end": 297.40000000000003, "text": " Entonces cuando ya vemos que no hay m\u00e1s posibilidad de simplificar procedemos a escribir la respuesta."}, {"start": 297.40000000000003, "end": 301.32, "text": " Y para ello multiplicamos los n\u00fameros sobrevivientes."}, {"start": 301.32, "end": 308.20000000000005, "text": " Los que quedaron en la parte superior, o sea 2 por 7 que es 14 y los que quedaron en la"}, {"start": 308.2, "end": 312.36, "text": " parte inferior, o sea 3 por 1 que nos da 3."}, {"start": 312.36, "end": 318.71999999999997, "text": " De esta manera obtenemos el resultado de la divisi\u00f3n de esas dos fracciones en forma"}, {"start": 318.71999999999997, "end": 321.03999999999996, "text": " de fracci\u00f3n irreducible."}, {"start": 321.03999999999996, "end": 325.84, "text": " O sea que no se puede simplificar m\u00e1s."}, {"start": 325.84, "end": 330.84, "text": " Vamos a resolver ahora la segunda divisi\u00f3n de n\u00fameros fraccionarios."}, {"start": 330.84, "end": 337.59999999999997, "text": " Trazamos entonces esta l\u00ednea y vamos a ensamblar la operaci\u00f3n de acuerdo con la primera forma"}, {"start": 337.6, "end": 338.6, "text": " que vimos."}, {"start": 338.6, "end": 349.40000000000003, "text": " En la parte superior vamos a escribir la multiplicaci\u00f3n o el producto de los n\u00fameros 55 y 24."}, {"start": 349.40000000000003, "end": 358.32000000000005, "text": " Y en la parte inferior vamos a escribir el producto o la multiplicaci\u00f3n de los n\u00fameros"}, {"start": 358.32000000000005, "end": 362.04, "text": " 18 y 77."}, {"start": 362.04, "end": 368.40000000000003, "text": " De nuevo se advierte que si se multiplican estos n\u00fameros vamos a obtener una fracci\u00f3n"}, {"start": 368.40000000000003, "end": 370.64000000000004, "text": " con cantidades muy grandes."}, {"start": 370.64000000000004, "end": 383.08000000000004, "text": " Por ejemplo 55 por 24 nos dar\u00eda 1320 y 18 por 77 nos dar\u00eda 1386."}, {"start": 383.08000000000004, "end": 389.44, "text": " Simplificar al m\u00e1ximo esta fracci\u00f3n nos va a tomar bastante tiempo porque como se observa"}, {"start": 389.44, "end": 392.52, "text": " los n\u00fameros ahora son mucho m\u00e1s grandes."}, {"start": 392.52, "end": 394.0, "text": " \u00bfQu\u00e9 es lo conveniente?"}, {"start": 394.0, "end": 399.68, "text": " Realizar el proceso de simplificaci\u00f3n en esta etapa cuando los n\u00fameros todav\u00eda est\u00e1n"}, {"start": 399.68, "end": 404.04, "text": " peque\u00f1os y no han sido multiplicados."}, {"start": 404.04, "end": 410.8, "text": " Revisamos por ejemplo 55 y 18 son n\u00fameros que no tienen un divisor en com\u00fan."}, {"start": 410.8, "end": 419.32, "text": " En cambio 55 y 77 son n\u00fameros que pertenecen a la tabla de multiplicar del n\u00famero 11."}, {"start": 419.32, "end": 422.0, "text": " Entonces ambos tienen 11."}, {"start": 422.0, "end": 430.24, "text": " Decimos 11 de 55 es 5 y 11 de 77 nos da 7."}, {"start": 430.24, "end": 436.68, "text": " Si continuamos revisando encontramos que 24 y 18 se pueden simplificar."}, {"start": 436.68, "end": 440.48, "text": " Vemos que son n\u00fameros pares o sea que ambos tendr\u00edan mitad."}, {"start": 440.48, "end": 444.15999999999997, "text": " Sin embargo podemos explorar un divisor m\u00e1s grande."}, {"start": 444.15999999999997, "end": 448.32, "text": " Por ejemplo ambos n\u00fameros son divisibles por 6."}, {"start": 448.32, "end": 456.04, "text": " Decimos 6 de 24 es 4 y 6 de 18 nos da 3."}, {"start": 456.04, "end": 461.48, "text": " All\u00ed volvemos a revisar si por ejemplo 5 puede simplificarse con 3 vemos que no se"}, {"start": 461.48, "end": 469.32, "text": " puede 5 tampoco se puede simplificar con 7, 4 no se puede simplificar con 3 y 4 tampoco"}, {"start": 469.32, "end": 471.84, "text": " se puede simplificar con 7."}, {"start": 471.84, "end": 478.28, "text": " Cuando ya estamos seguros de que hemos agotado el proceso de simplificaci\u00f3n entonces procedemos"}, {"start": 478.28, "end": 481.08, "text": " a escribir la respuesta."}, {"start": 481.08, "end": 487.67999999999995, "text": " Multiplicamos los n\u00fameros que quedaron en la parte de arriba o sea 5 por 4 que es 20"}, {"start": 487.67999999999995, "end": 493.84, "text": " y multiplicamos los que quedaron en la parte de abajo 3 por 7 es 21."}, {"start": 493.84, "end": 501.52, "text": " 20 21 es la fracci\u00f3n completamente simplificada o sea fracci\u00f3n irreducible que corresponde"}, {"start": 501.52, "end": 508.52, "text": " al resultado de esa divisi\u00f3n de n\u00fameros fraccionarios."}]

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MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS FRACCIONARIOS

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En esta ocasión vamos a resolver detalladamente cada uno de estos ejercicios donde tenemos la multiplicación de números fraccionarios. En el primer caso, debemos comenzar por ensamblar la operación. Para ello, trazamos esta línea y en la parte superior escribimos la multiplicación de los numeradores, es decir, 4 por 3, y acá en la parte de abajo escribimos la multiplicación de los denominadores, o sea, 9 por 10. Esto es lo que se llama ensamblar o armar la operación teniendo en cuenta que la multiplicación de fraccionarios debe realizarse de manera horizontal, es decir, se multiplican numeradores entre sí y se multiplican denominadores entre sí. Ahora, en esta etapa lo que hacemos es simplificar al máximo los números que tenemos allí. Siempre debe simplificarse un número de arriba con un número de abajo. Miramos por ejemplo si el 4 y el 9 se pueden simplificar, vemos que no tienen un divisor común, entonces examinamos por ejemplo 4 con 10. Por ser números pares se pueden dividir entre 2 o se pueden simplificar sacándoles mitad. Decimos mitad de 4, 2, y mitad de 10 es 5. Seguimos revisando y encontramos que 3 puede simplificarse con 9. Ambos números son divisibles entre 3 o tienen tercera. Vemos entonces tercera de 3, 1, y tercera de 9 nos da 3. Continuamos con la revisión, vemos si 2 se puede simplificar con 3, vemos que no es posible, si 2 puede simplificarse con 5, vemos que tampoco se puede, el 1 no se podría simplificar con estos números que tenemos abajo, por lo tanto es allí cuando decimos que esto está completamente simplificado y ya podemos proceder a dar la respuesta. Trazamos la línea y vamos a multiplicar los números sobrevivientes. En la parte de arriba quedó 2 por 1 que nos da 2 y en la parte de abajo nos quedó 3 por 5 que nos da 15. Dos quinceavos es el resultado de esta multiplicación de fracciones y ya tenemos la certeza de que es una fracción irreducible, o sea que no se puede simplificar más. Otra manera de resolver esta operación es la siguiente, si tenemos 4 novenos por 3 décimos, aplicamos lo que dijimos anteriormente, es decir que se multiplican numeradores entre sí, podríamos efectuar 4 por 3 que nos da 12 y multiplicamos denominadores entre sí, es decir 9 por 10 que nos da 90. El inconveniente de realizar el ejercicio de esta manera es que como se observa se tienen números más grandes cuyo proceso de simplificación puede resultar un poco más demorado, lo recomendable es hacerlo de esta manera ya que acá los números que tenemos todavía están pequeños y son fácilmente simplificables. Lógicamente si esta fracción la simplificamos al máximo vamos a llegar a este resultado que es dos quinceavos. Vamos con el siguiente ejercicio, de nuevo vamos a comenzar ensamblando la operación, entonces trazamos esta línea y acá en la parte superior escribimos 14 por 15, escribimos la multiplicación de los numeradores y en la parte de abajo escribimos 35 por 20, es decir la multiplicación de los denominadores. Repetimos aquí se podría multiplicar 14 por 15 que nos da 210 y 35 por 20 que nos da 700, pero como se observa los números que hemos obtenido son más grandes que los originales y el proceso de simplificación de esta fracción nos va a tomar más tiempo. Entonces lo recomendable como vimos en el ejercicio anterior es realizar aquí en esta etapa todo el proceso de simplificación. Hacemos la revisión de los números que tenemos arriba y los que tenemos abajo para ver que parejas de ellos se pueden simplificar, por ejemplo 14 y 35 son números que son divisibles por 7, 14 y 20 son números divisibles por 2, también tenemos que 15 y 35 son divisibles por 5 y también 15 y 20 son divisibles por 5. Elegimos entonces cualquiera de esas posibilidades para hacer el proceso de simplificación. Comenzamos con 14 y 35 que como decíamos ambos son divisibles por 7, decimos séptima de 14 es 2 y séptima de 35 nos da 5. Podríamos simplificar también 15 con 20 porque ambos terminan en 5 y en 0, o sea que tienen quinta, quinta de 15 nos da 3 y quinta de 20 nos da 4. Comenzamos revisando para ver que otros números pueden simplificarse, repetimos siempre tiene que ser un número de arriba con un número de abajo, revisamos 2 con 5 vemos que no se pueden simplificar entre sí pero 2 y 4 son números pares y ellos tienen mitad, decimos mitad de 2 es 1 y mitad de 4 nos da 2. Si revisamos de nuevo vemos que ya no es posible simplificar nada más, entonces procedemos a efectuar las multiplicaciones de los números sobrevivientes, en la parte de arriba nos quedó 1 por 3 que es 3 y en la parte de abajo tenemos 5 por 2 que nos da 10, 3 décimos es el resultado completamente simplificado de realizar esta multiplicación de números fraccionarios. Por último tenemos esta situación, la multiplicación de tres fracciones, vamos entonces con el procedimiento que hemos visto hasta el momento. Ensamplamos la operación escribiendo encima de la línea la multiplicación de los numeradores 8 por 25 por 6 y acá debajo la multiplicación de los denominadores 5 por 12 por 28, repetimos si se quiere se puede multiplicar todas esas cantidades y tendríamos en el numerador 8 por 25 por 6 que nos da 1200 y en el denominador 5 por 12 por 28 que nos da como resultado 1680, números bastante grandes y eso haría que la simplificación de esta fracción fuera más dispendiosa y por lo tanto tardaríamos más tiempo. Entonces para resolver esto de manera más sencilla vamos a simplificar aquí todos los números que podamos, por ejemplo podríamos simplificar 8 y 12 porque ambos números son divisibles por 4, decimos cuarta de 8 es 2 y cuarta de 12 nos da 3. También podríamos simplificar 25 y 5, ambos números tienen quinta, quinta de 5 nos da 1 y quinta de 25 es 5. De igual manera podemos simplificar 6 y 28, ambos números son pares por lo tanto son divisibles por 2, decimos mitad de 6 es 3 y mitad de 28 es 14. Revisamos con atención los números que nos quedaron arriba y abajo y vemos que se puede simplificar 2 con 14, ambos números tienen mitad, decimos mitad de 2 es 1 y mitad de 14 nos da 7. También vemos el número 3 repetido arriba y abajo, entonces podemos simplificar esos dos números, decimos tercera de 3 es 1 y tercera de 3 también es 1. Allí volvemos a revisar y vemos que ya no es posible simplificar nada más, entonces vamos ya a la etapa final del ejercicio que es multiplicar los números que nos quedaron en la parte de arriba y también en la parte de abajo, arriba tenemos 1 por 5 por 1 que nos da 5 y acá en la parte de abajo tenemos 1 por 1 por 7 que nos da como resultado 7. Cinco séptimos es el resultado de esa operación y como decíamos ya es una fracción irreducible, o sea que no se puede simplificar más.

[{"start": 0.0, "end": 9.96, "text": " En esta ocasi\u00f3n vamos a resolver detalladamente cada uno de estos ejercicios donde tenemos"}, {"start": 9.96, "end": 14.24, "text": " la multiplicaci\u00f3n de n\u00fameros fraccionarios."}, {"start": 14.24, "end": 19.56, "text": " En el primer caso, debemos comenzar por ensamblar la operaci\u00f3n."}, {"start": 19.56, "end": 26.04, "text": " Para ello, trazamos esta l\u00ednea y en la parte superior escribimos la multiplicaci\u00f3n de"}, {"start": 26.04, "end": 34.08, "text": " los numeradores, es decir, 4 por 3, y ac\u00e1 en la parte de abajo escribimos la multiplicaci\u00f3n"}, {"start": 34.08, "end": 38.44, "text": " de los denominadores, o sea, 9 por 10."}, {"start": 38.44, "end": 45.480000000000004, "text": " Esto es lo que se llama ensamblar o armar la operaci\u00f3n teniendo en cuenta que la multiplicaci\u00f3n"}, {"start": 45.480000000000004, "end": 52.58, "text": " de fraccionarios debe realizarse de manera horizontal, es decir, se multiplican numeradores"}, {"start": 52.58, "end": 57.519999999999996, "text": " entre s\u00ed y se multiplican denominadores entre s\u00ed."}, {"start": 57.519999999999996, "end": 64.84, "text": " Ahora, en esta etapa lo que hacemos es simplificar al m\u00e1ximo los n\u00fameros que tenemos all\u00ed."}, {"start": 64.84, "end": 70.28, "text": " Siempre debe simplificarse un n\u00famero de arriba con un n\u00famero de abajo."}, {"start": 70.28, "end": 75.72, "text": " Miramos por ejemplo si el 4 y el 9 se pueden simplificar, vemos que no tienen un divisor"}, {"start": 75.72, "end": 80.0, "text": " com\u00fan, entonces examinamos por ejemplo 4 con 10."}, {"start": 80.0, "end": 87.52, "text": " Por ser n\u00fameros pares se pueden dividir entre 2 o se pueden simplificar sac\u00e1ndoles mitad."}, {"start": 87.52, "end": 94.32, "text": " Decimos mitad de 4, 2, y mitad de 10 es 5."}, {"start": 94.32, "end": 100.08, "text": " Seguimos revisando y encontramos que 3 puede simplificarse con 9."}, {"start": 100.08, "end": 105.12, "text": " Ambos n\u00fameros son divisibles entre 3 o tienen tercera."}, {"start": 105.12, "end": 112.76, "text": " Vemos entonces tercera de 3, 1, y tercera de 9 nos da 3."}, {"start": 112.76, "end": 119.0, "text": " Continuamos con la revisi\u00f3n, vemos si 2 se puede simplificar con 3, vemos que no es posible,"}, {"start": 119.0, "end": 125.68, "text": " si 2 puede simplificarse con 5, vemos que tampoco se puede, el 1 no se podr\u00eda simplificar"}, {"start": 125.68, "end": 131.28, "text": " con estos n\u00fameros que tenemos abajo, por lo tanto es all\u00ed cuando decimos que esto"}, {"start": 131.28, "end": 137.64000000000001, "text": " est\u00e1 completamente simplificado y ya podemos proceder a dar la respuesta."}, {"start": 137.64000000000001, "end": 143.0, "text": " Trazamos la l\u00ednea y vamos a multiplicar los n\u00fameros sobrevivientes."}, {"start": 143.0, "end": 149.84, "text": " En la parte de arriba qued\u00f3 2 por 1 que nos da 2 y en la parte de abajo nos qued\u00f3 3"}, {"start": 149.84, "end": 153.16, "text": " por 5 que nos da 15."}, {"start": 153.16, "end": 160.88, "text": " Dos quinceavos es el resultado de esta multiplicaci\u00f3n de fracciones y ya tenemos la certeza de"}, {"start": 160.88, "end": 167.68, "text": " que es una fracci\u00f3n irreducible, o sea que no se puede simplificar m\u00e1s."}, {"start": 167.68, "end": 177.12, "text": " Otra manera de resolver esta operaci\u00f3n es la siguiente, si tenemos 4 novenos por 3 d\u00e9cimos,"}, {"start": 177.12, "end": 182.68, "text": " aplicamos lo que dijimos anteriormente, es decir que se multiplican numeradores entre"}, {"start": 182.68, "end": 190.32, "text": " s\u00ed, podr\u00edamos efectuar 4 por 3 que nos da 12 y multiplicamos denominadores entre s\u00ed,"}, {"start": 190.32, "end": 193.76, "text": " es decir 9 por 10 que nos da 90."}, {"start": 193.76, "end": 199.88, "text": " El inconveniente de realizar el ejercicio de esta manera es que como se observa se tienen"}, {"start": 199.88, "end": 208.2, "text": " n\u00fameros m\u00e1s grandes cuyo proceso de simplificaci\u00f3n puede resultar un poco m\u00e1s demorado, lo recomendable"}, {"start": 208.2, "end": 215.24, "text": " es hacerlo de esta manera ya que ac\u00e1 los n\u00fameros que tenemos todav\u00eda est\u00e1n peque\u00f1os y son"}, {"start": 215.24, "end": 217.6, "text": " f\u00e1cilmente simplificables."}, {"start": 217.6, "end": 224.16, "text": " L\u00f3gicamente si esta fracci\u00f3n la simplificamos al m\u00e1ximo vamos a llegar a este resultado"}, {"start": 224.16, "end": 227.56, "text": " que es dos quinceavos."}, {"start": 227.56, "end": 234.35999999999999, "text": " Vamos con el siguiente ejercicio, de nuevo vamos a comenzar ensamblando la operaci\u00f3n,"}, {"start": 234.35999999999999, "end": 243.32, "text": " entonces trazamos esta l\u00ednea y ac\u00e1 en la parte superior escribimos 14 por 15, escribimos"}, {"start": 243.32, "end": 251.32, "text": " la multiplicaci\u00f3n de los numeradores y en la parte de abajo escribimos 35 por 20, es"}, {"start": 251.32, "end": 255.35999999999999, "text": " decir la multiplicaci\u00f3n de los denominadores."}, {"start": 255.35999999999999, "end": 265.56, "text": " Repetimos aqu\u00ed se podr\u00eda multiplicar 14 por 15 que nos da 210 y 35 por 20 que nos da 700,"}, {"start": 265.56, "end": 270.92, "text": " pero como se observa los n\u00fameros que hemos obtenido son m\u00e1s grandes que los originales"}, {"start": 270.92, "end": 276.32, "text": " y el proceso de simplificaci\u00f3n de esta fracci\u00f3n nos va a tomar m\u00e1s tiempo."}, {"start": 276.32, "end": 283.04, "text": " Entonces lo recomendable como vimos en el ejercicio anterior es realizar aqu\u00ed en esta"}, {"start": 283.04, "end": 287.64, "text": " etapa todo el proceso de simplificaci\u00f3n."}, {"start": 287.64, "end": 293.18, "text": " Hacemos la revisi\u00f3n de los n\u00fameros que tenemos arriba y los que tenemos abajo para ver que"}, {"start": 293.18, "end": 300.56, "text": " parejas de ellos se pueden simplificar, por ejemplo 14 y 35 son n\u00fameros que son divisibles"}, {"start": 300.56, "end": 309.28000000000003, "text": " por 7, 14 y 20 son n\u00fameros divisibles por 2, tambi\u00e9n tenemos que 15 y 35 son divisibles"}, {"start": 309.28000000000003, "end": 315.36, "text": " por 5 y tambi\u00e9n 15 y 20 son divisibles por 5."}, {"start": 315.36, "end": 322.2, "text": " Elegimos entonces cualquiera de esas posibilidades para hacer el proceso de simplificaci\u00f3n."}, {"start": 322.2, "end": 329.0, "text": " Comenzamos con 14 y 35 que como dec\u00edamos ambos son divisibles por 7, decimos s\u00e9ptima"}, {"start": 329.0, "end": 335.24, "text": " de 14 es 2 y s\u00e9ptima de 35 nos da 5."}, {"start": 335.24, "end": 341.52, "text": " Podr\u00edamos simplificar tambi\u00e9n 15 con 20 porque ambos terminan en 5 y en 0, o sea que tienen"}, {"start": 341.52, "end": 349.52, "text": " quinta, quinta de 15 nos da 3 y quinta de 20 nos da 4."}, {"start": 349.52, "end": 355.08, "text": " Comenzamos revisando para ver que otros n\u00fameros pueden simplificarse, repetimos siempre tiene"}, {"start": 355.08, "end": 361.4, "text": " que ser un n\u00famero de arriba con un n\u00famero de abajo, revisamos 2 con 5 vemos que no"}, {"start": 361.4, "end": 368.68, "text": " se pueden simplificar entre s\u00ed pero 2 y 4 son n\u00fameros pares y ellos tienen mitad, decimos"}, {"start": 368.68, "end": 374.76, "text": " mitad de 2 es 1 y mitad de 4 nos da 2."}, {"start": 374.76, "end": 381.48, "text": " Si revisamos de nuevo vemos que ya no es posible simplificar nada m\u00e1s, entonces procedemos"}, {"start": 381.48, "end": 388.03999999999996, "text": " a efectuar las multiplicaciones de los n\u00fameros sobrevivientes, en la parte de arriba nos"}, {"start": 388.03999999999996, "end": 396.38, "text": " qued\u00f3 1 por 3 que es 3 y en la parte de abajo tenemos 5 por 2 que nos da 10, 3 d\u00e9cimos"}, {"start": 396.38, "end": 403.24, "text": " es el resultado completamente simplificado de realizar esta multiplicaci\u00f3n de n\u00fameros"}, {"start": 403.24, "end": 406.04, "text": " fraccionarios."}, {"start": 406.04, "end": 411.68, "text": " Por \u00faltimo tenemos esta situaci\u00f3n, la multiplicaci\u00f3n de tres fracciones, vamos entonces con el"}, {"start": 411.68, "end": 416.04, "text": " procedimiento que hemos visto hasta el momento."}, {"start": 416.04, "end": 422.44, "text": " Ensamplamos la operaci\u00f3n escribiendo encima de la l\u00ednea la multiplicaci\u00f3n de los numeradores"}, {"start": 422.44, "end": 434.5, "text": " 8 por 25 por 6 y ac\u00e1 debajo la multiplicaci\u00f3n de los denominadores 5 por 12 por 28, repetimos"}, {"start": 434.5, "end": 440.52, "text": " si se quiere se puede multiplicar todas esas cantidades y tendr\u00edamos en el numerador 8"}, {"start": 440.52, "end": 449.4, "text": " por 25 por 6 que nos da 1200 y en el denominador 5 por 12 por 28 que nos da como resultado"}, {"start": 449.4, "end": 456.71999999999997, "text": " 1680, n\u00fameros bastante grandes y eso har\u00eda que la simplificaci\u00f3n de esta fracci\u00f3n fuera"}, {"start": 456.71999999999997, "end": 462.12, "text": " m\u00e1s dispendiosa y por lo tanto tardar\u00edamos m\u00e1s tiempo."}, {"start": 462.12, "end": 467.44, "text": " Entonces para resolver esto de manera m\u00e1s sencilla vamos a simplificar aqu\u00ed todos los"}, {"start": 467.44, "end": 474.2, "text": " n\u00fameros que podamos, por ejemplo podr\u00edamos simplificar 8 y 12 porque ambos n\u00fameros son"}, {"start": 474.2, "end": 483.36, "text": " divisibles por 4, decimos cuarta de 8 es 2 y cuarta de 12 nos da 3."}, {"start": 483.36, "end": 489.88, "text": " Tambi\u00e9n podr\u00edamos simplificar 25 y 5, ambos n\u00fameros tienen quinta, quinta de 5 nos da"}, {"start": 489.88, "end": 494.36, "text": " 1 y quinta de 25 es 5."}, {"start": 494.36, "end": 500.71999999999997, "text": " De igual manera podemos simplificar 6 y 28, ambos n\u00fameros son pares por lo tanto son"}, {"start": 500.72, "end": 510.24, "text": " divisibles por 2, decimos mitad de 6 es 3 y mitad de 28 es 14."}, {"start": 510.24, "end": 515.6, "text": " Revisamos con atenci\u00f3n los n\u00fameros que nos quedaron arriba y abajo y vemos que se puede"}, {"start": 515.6, "end": 523.32, "text": " simplificar 2 con 14, ambos n\u00fameros tienen mitad, decimos mitad de 2 es 1 y mitad de"}, {"start": 523.32, "end": 526.6, "text": " 14 nos da 7."}, {"start": 526.6, "end": 531.96, "text": " Tambi\u00e9n vemos el n\u00famero 3 repetido arriba y abajo, entonces podemos simplificar esos"}, {"start": 531.96, "end": 539.5600000000001, "text": " dos n\u00fameros, decimos tercera de 3 es 1 y tercera de 3 tambi\u00e9n es 1."}, {"start": 539.5600000000001, "end": 545.64, "text": " All\u00ed volvemos a revisar y vemos que ya no es posible simplificar nada m\u00e1s, entonces"}, {"start": 545.64, "end": 551.64, "text": " vamos ya a la etapa final del ejercicio que es multiplicar los n\u00fameros que nos quedaron"}, {"start": 551.64, "end": 557.92, "text": " en la parte de arriba y tambi\u00e9n en la parte de abajo, arriba tenemos 1 por 5 por 1 que"}, {"start": 557.92, "end": 566.04, "text": " nos da 5 y ac\u00e1 en la parte de abajo tenemos 1 por 1 por 7 que nos da como resultado 7."}, {"start": 566.04, "end": 573.8, "text": " Cinco s\u00e9ptimos es el resultado de esa operaci\u00f3n y como dec\u00edamos ya es una fracci\u00f3n irreducible,"}, {"start": 573.8, "end": 581.9599999999999, "text": " o sea que no se puede simplificar m\u00e1s."}]

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DERIVACIÓN IMPLÍCITA - Ejercicio 5

#julioprofe explica cómo obtener dy/dx derivando implícitamente una expresión. Tema: #Derivadas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwF9r-Y_Gpuq45VP0qnJIJL1 REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

En esta ocasión vamos a obtener de y de x de esta expresión que es de tipo implícita porque las variables x y y se encuentran combinadas. Entonces para empezar derivamos implícitamente ambos lados de esa igualdad con respecto a la variable x. En el lado izquierdo tenemos una suma de términos por lo tanto debemos derivar cada uno de ellos. Derivada de x al cubo es 3x al cuadrado y la dejamos así porque estamos derivando con respecto a x más derivada de y al cubo que sería 3y al cuadrado por la derivada de y con respecto a x que sería de y de x pero que podemos denotar como y' por comodidad. Esta es la precaución más importante que debemos tener en cuenta al momento de derivar implícitamente una expresión. Cada vez que se derive algo que tenga la letra y debemos agregar y' o sea de y de x. Pasamos al otro lado de la igualdad donde tenemos un producto. Entonces utilizamos la regla del producto para la derivación. Derivada del primer componente derivada de 3x nos da 3. Esto multiplicado por el segundo componente sin derivar que es y más el primer componente sin derivar que es 3x multiplicado por la derivada del segundo componente. La derivada de y con respecto a x sería de y de x pero como dijimos se puede denotar como y'. A continuación debemos dejar a un mismo lado de la igualdad aquellos términos que contienen y'. Podemos dejarlos entonces en el lado izquierdo. Se queda este término 3y al cuadrado por y' y pasamos este término que está positivo entonces acá llega negativo. Sería 3x por y'. En el lado derecho dejamos este término que es 3y y traemos este término que está positivo a este lado con signo negativo. Llega como menos 3x al cuadrado. Ahora podemos extraer factor común en el lado izquierdo. Sería 3y'. Esto será factor de y al cuadrado menos x. También en el lado derecho podemos extraer factor común el número 3. 3 será factor de y menos x al cuadrado. Enseguida vamos a despejar y'. Para ello todo esto que está multiplicando con y' pasa al otro lado a dividir. Nos queda entonces 3 por y menos x al cuadrado sobre 3 y esta expresión que llega acá a dividir al lado derecho. Tenemos que acá en esta fracción podemos cancelar o eliminar el número 3 porque está multiplicando arriba y abajo y ya podemos cambiar y' por de y de x. Entonces esto será igual a la fracción que nos quedó que es y menos x al cuadrado sobre y al cuadrado menos x. De esa manera hemos encontrado de y de x haciendo uso de la derivación implícita.

[{"start": 0.0, "end": 10.56, "text": " En esta ocasi\u00f3n vamos a obtener de y de x de esta expresi\u00f3n que es de tipo impl\u00edcita"}, {"start": 10.56, "end": 15.4, "text": " porque las variables x y y se encuentran combinadas."}, {"start": 15.4, "end": 22.04, "text": " Entonces para empezar derivamos impl\u00edcitamente ambos lados de esa igualdad con respecto a"}, {"start": 22.04, "end": 23.92, "text": " la variable x."}, {"start": 23.92, "end": 31.96, "text": " En el lado izquierdo tenemos una suma de t\u00e9rminos por lo tanto debemos derivar cada uno de ellos."}, {"start": 31.96, "end": 39.480000000000004, "text": " Derivada de x al cubo es 3x al cuadrado y la dejamos as\u00ed porque estamos derivando con"}, {"start": 39.480000000000004, "end": 48.32000000000001, "text": " respecto a x m\u00e1s derivada de y al cubo que ser\u00eda 3y al cuadrado por la derivada de y"}, {"start": 48.32, "end": 56.36, "text": " con respecto a x que ser\u00eda de y de x pero que podemos denotar como y' por comodidad."}, {"start": 56.36, "end": 63.08, "text": " Esta es la precauci\u00f3n m\u00e1s importante que debemos tener en cuenta al momento de derivar"}, {"start": 63.08, "end": 66.24000000000001, "text": " impl\u00edcitamente una expresi\u00f3n."}, {"start": 66.24000000000001, "end": 74.6, "text": " Cada vez que se derive algo que tenga la letra y debemos agregar y' o sea de y de x."}, {"start": 74.6, "end": 79.39999999999999, "text": " Pasamos al otro lado de la igualdad donde tenemos un producto."}, {"start": 79.39999999999999, "end": 85.39999999999999, "text": " Entonces utilizamos la regla del producto para la derivaci\u00f3n."}, {"start": 85.39999999999999, "end": 90.47999999999999, "text": " Derivada del primer componente derivada de 3x nos da 3."}, {"start": 90.47999999999999, "end": 98.16, "text": " Esto multiplicado por el segundo componente sin derivar que es y m\u00e1s el primer componente"}, {"start": 98.16, "end": 105.28, "text": " sin derivar que es 3x multiplicado por la derivada del segundo componente."}, {"start": 105.28, "end": 112.75999999999999, "text": " La derivada de y con respecto a x ser\u00eda de y de x pero como dijimos se puede denotar"}, {"start": 112.75999999999999, "end": 115.44, "text": " como y'."}, {"start": 115.44, "end": 121.03999999999999, "text": " A continuaci\u00f3n debemos dejar a un mismo lado de la igualdad aquellos t\u00e9rminos que contienen"}, {"start": 121.03999999999999, "end": 122.03999999999999, "text": " y'."}, {"start": 122.03999999999999, "end": 126.0, "text": " Podemos dejarlos entonces en el lado izquierdo."}, {"start": 126.0, "end": 134.76, "text": " Se queda este t\u00e9rmino 3y al cuadrado por y' y pasamos este t\u00e9rmino que est\u00e1 positivo"}, {"start": 134.76, "end": 136.88, "text": " entonces ac\u00e1 llega negativo."}, {"start": 136.88, "end": 141.52, "text": " Ser\u00eda 3x por y'."}, {"start": 141.52, "end": 149.36, "text": " En el lado derecho dejamos este t\u00e9rmino que es 3y y traemos este t\u00e9rmino que est\u00e1 positivo"}, {"start": 149.36, "end": 152.36, "text": " a este lado con signo negativo."}, {"start": 152.36, "end": 155.52, "text": " Llega como menos 3x al cuadrado."}, {"start": 155.52, "end": 159.92000000000002, "text": " Ahora podemos extraer factor com\u00fan en el lado izquierdo."}, {"start": 159.92000000000002, "end": 164.56, "text": " Ser\u00eda 3y'."}, {"start": 164.56, "end": 171.8, "text": " Esto ser\u00e1 factor de y al cuadrado menos x."}, {"start": 171.8, "end": 176.96, "text": " Tambi\u00e9n en el lado derecho podemos extraer factor com\u00fan el n\u00famero 3."}, {"start": 176.96, "end": 183.8, "text": " 3 ser\u00e1 factor de y menos x al cuadrado."}, {"start": 183.8, "end": 187.4, "text": " Enseguida vamos a despejar y'."}, {"start": 187.4, "end": 195.88000000000002, "text": " Para ello todo esto que est\u00e1 multiplicando con y' pasa al otro lado a dividir."}, {"start": 195.88000000000002, "end": 211.28, "text": " Nos queda entonces 3 por y menos x al cuadrado sobre 3 y esta expresi\u00f3n que llega ac\u00e1 a"}, {"start": 211.28, "end": 215.0, "text": " dividir al lado derecho."}, {"start": 215.0, "end": 221.16, "text": " Tenemos que ac\u00e1 en esta fracci\u00f3n podemos cancelar o eliminar el n\u00famero 3 porque est\u00e1"}, {"start": 221.16, "end": 229.4, "text": " multiplicando arriba y abajo y ya podemos cambiar y' por de y de x."}, {"start": 229.4, "end": 241.8, "text": " Entonces esto ser\u00e1 igual a la fracci\u00f3n que nos qued\u00f3 que es y menos x al cuadrado sobre"}, {"start": 241.8, "end": 244.8, "text": " y al cuadrado menos x."}, {"start": 244.8, "end": 256.8, "text": " De esa manera hemos encontrado de y de x haciendo uso de la derivaci\u00f3n impl\u00edcita."}]

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ÁREA ENTRE CURVAS - Ejercicio 6

#julioprofe explica cómo determinar el valor del área encerrada por dos curvas dadas. Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a determinar el valor del área encerrada por las curvas f de x igual a 3 más 2x menos x cuadrado y g de x igual a x cuadrado menos 4x más 3. Lo primero que tenemos que hallar son los puntos de corte o puntos de intersección de esas dos curvas. Para ello vamos a igualar las expresiones que corresponden a esas dos funciones. Tenemos que f de x es 3 más 2x menos x al cuadrado y eso lo igualamos con g de x que es x al cuadrado menos 4x más 3 y vamos a resolver esa ecuación. Como se observa tenemos la incógnita x elevada al cuadrado por lo tanto eso será una ecuación cuadrática o de segundo grado. Lo recomendable es igualarla a cero. Entonces vamos a pasar estos términos al lado izquierdo. Este llega negativo, este pasa positivo y este llega negativo y todo esto nos queda igualado a cero. Allí podemos observar que el número 3 se elimina porque tenemos 3 y menos 3 números opuestos. Podemos operar estos términos semejantes 2x más 4x que nos da 6x y estos dos términos que también son semejantes. La operación entre ellos nos da menos 2x cuadrado y eso queda igualado a cero. Como decíamos se obtiene una ecuación cuadrática o de segundo grado y que podemos resolver mediante la factorización. Acá podemos extraer factor común que será 2x y eso va a quedar multiplicando con 3 menos x y esto queda igualado a cero. Como aquí tenemos multiplicación podemos aplicar el teorema del factor nulo. Recordemos que nos dice que si el producto de dos cantidades es cero entonces cada una de ellas debe igualarse a cero. Tenemos 2x igual a cero o 3 menos x igual a cero y vamos a despejar x en cada caso. Por acá para despejar x 2 está multiplicando entonces pasa al otro lado a dividir y nos queda x igual a cero. Por acá para despejar x podemos pasar justamente la incógnita que está negativa al otro lado con signo positivo y nos queda que 3 es igual a x o lo que es lo mismo x igual a 3. Estos dos valores que encontramos para x son las soluciones de esta ecuación cuadrática y también se convierten en las abscisas de los puntos de corte de esas dos curvas. Ahora vamos a construir una tabla de valores para esas dos funciones considerando valores de x que estén comprendidos entre cero y tres. Allí podemos observarla tenemos valores de x comprendidos entre cero y tres como decíamos y entonces vamos a reemplazar cada uno de estos valores de x en cada una de las dos funciones para encontrar sus respectivos valores de y. Aquí podemos observarlos y ahora con esa información vamos a construir un plano cartesiano de tal forma que podamos localizar esos puntos y también trazar las gráficas de las dos curvas. Aquí tenemos el plano cartesiano en seguida vamos a localizar acá los puntos que corresponden a la primera función. Tenemos el punto cero coma tres que es aquí tenemos el punto uno coma cuatro que es por acá el punto dos coma tres que tenemos acá y el punto tres coma cero que lo marcamos por allí. Uniendo esos puntos tenemos ya la gráfica de la primera función comprendida entre las abscisas cero y tres. Vemos que se trata una parábola y esto se debe a que esta es una función cuadrática o de segundo grado entonces esta será y o f de x igual a tres más dos x menos x al cuadrado. Ahora vamos a localizar los puntos que corresponden a la segunda función tenemos que si x vale cero y vale tres es decir que es este mismo punto tenemos ahora el punto uno coma cero es decir aquí tenemos el punto dos coma menos uno que es por acá y finalmente el punto tres coma cero que es allí. De nuevo unimos esos puntos y así tenemos la gráfica de esta función comprendida entre las abscisas cero y tres esta línea de color azul será y o g de x igual a x al cuadrado menos cuatro x más tres. Como se puede observar los puntos de contacto o de corte de esas dos parábolas ocurren justamente en los valores x igual a cero y x igual a tres que fueron los que encontramos cuando resolvimos la ecuación cuadrática de esta manera ya podemos observar la región que queda encerrada o acotada por las dos curvas que nos dieron es esta figura cuya área debemos determinar entonces vamos a realizar el planteamiento utilizando para ello una integral definida que va entre las abscisas o valores de x cero y tres justamente los valores de corte que nos dieron cuando resolvimos la ecuación cuadrática enseguida debemos anotar aquí las dos funciones las dos curvas comenzando con la superior la curva superior es f de x o sea tres más dos x menos x al cuadrado la vamos a proteger y a eso vamos a restarle la curva inferior que es la que tenemos en color azul y que corresponde a g de x es decir x al cuadrado menos 4x más tres todo esto lo protegemos utilizando corchetes y le escribimos el diferencial de x entonces repetimos planteando esta integral definida donde se observa la curva superior menos la curva inferior vamos a encontrar el valor del área de esta región que queda encerrada por esas dos líneas vamos entonces a desarrollar lo que tenemos en el integrando comenzamos por destruir los paréntesis en el caso del primero los términos salen tal como están sin presentar ningún cambio y en el segundo el signo menos lo distribuimos tenemos menos x al cuadrado más 4x menos tres cerramos el corchete y escribimos el diferencial de x en esta expresión podemos eliminar el número tres porque aparece positivo y negativo y vamos a reducir términos semejantes podemos cambiar ya el corchete por paréntesis tenemos 2x más 4x que nos da 6x y menos x cuadrado con menos x cuadrado nos da menos 2x al cuadrado cerramos paréntesis y escribimos el diferencial de x como tenemos aquí una resta de términos podemos entonces integrar cada uno de ellos tenemos que la integral de 6x será 6 por x al cuadrado sobre 2 menos la integral de 2x al cuadrado donde el 2 se deja quieto integramos x al cuadrado que nos da x al cubo sobre 3 y eso lo vamos a evaluar en los límites de integración que son 0 y 3 observamos que aquí se puede simplificar 6 con 2 entonces tendremos área igual a 6 medios que es 3 por x al cuadrado eso menos 2x al cubo sobre 3 y esto va a estar evaluado entre 0 y 3 allí vamos a aplicar el teorema fundamental del cálculo vamos a evaluar primero el límite superior en esa expresión tendremos área igual a 3 por 3 al cuadrado menos 2 por 3 al cubo sobre 3 protegemos todo esto y después tenemos que restarle la evaluación de esta expresión en el límite inferior como se observa si 0 entra aquí donde está la x vamos a observar que este término nos da 0 y este también se convierte en 0 por lo tanto esa evaluación en el límite inferior nos va a dar como resultado 0 finalmente resolvemos estas operaciones tenemos que 3 al cuadrado es 9 9 por 3 nos da 27 y esto nos queda menos 3 al cubo que es 27 27 por 2 nos da 54 y 54 dividido entre 3 nos da como resultado 18 resolviendo esa resta tenemos como resultado 9 que será el valor del área expresado en unidades cuadradas de esta manera terminamos el ejercicio hemos encontrado el valor del área encerrada por las dos curvas o funciones que nos dieron

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julioprofe

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RAZÓN DE CAMBIO - Problema 3

#julioprofe explica cómo resolver un problema de razón de cambio: Una barra de metal tiene la forma de un cilindro circular recto. Cuando se calienta, su longitud y su diámetro aumentan a razón de 0.04 cm/min y 0.01 cm/min respectivamente. ¿A qué razón aumenta el volumen de la barra en el instante en que el largo mide 20 cm y el diámetro 3 cm? Tema: #Derivadas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwF9r-Y_Gpuq45VP0qnJIJL1 REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Una barra de metal tiene la forma de un cilindro circular recto. Cuando se calienta, su longitud y su diámetro aumentan a razón de 0.04 cm por minuto y 0.01 cm por minuto respectivamente. ¿A qué razón aumenta el volumen de la barra en el instante en que el largo mide 20 cm y el diámetro 3 cm? Bien, para resolver este problema dibujamos un cilindro que representa la barra metálica. Vemos que tiene longitud L, radio R y diámetro D. Nos dice el problema que cuando esa barra se calienta, su longitud aumenta a razón de 0.04 cm por minuto. Entonces tenemos allí una primera razón de cambio. DLDT es igual a 0.04 cm por minuto. Es positiva porque nos dice el problema que la longitud está aumentando con el paso del tiempo. También nos dice el enunciado que el diámetro está aumentando a razón de 0.01 cm por minuto. Entonces allí tenemos otra razón de cambio. ¿Cómo cambia el diámetro con relación al tiempo? Es 0.01 cm por minuto y también será una razón de cambio positiva porque el diámetro aumenta con el paso del tiempo. La pregunta que nos hace el problema es ¿con qué razón o con qué rapidez aumenta el volumen de esa barra metálica en el instante en que su longitud es de 20 cm y su diámetro es de 3 cm? Enseguida debemos utilizar una expresión matemática que relacione las variables que tenemos en el problema. En este caso vamos a utilizar la fórmula que nos da el volumen del cilindro. Y esa fórmula de la geometría dice que el volumen de un cilindro es igual a pi por el radio al cuadrado y eso multiplicado por su altura. En este caso tenemos lo siguiente. Sabemos que el radio es la mitad del diámetro entonces sustituimos R por de medios, esto está al cuadrado, y la altura del cilindro en este caso corresponde a la longitud L de esa barra metálica. Tenemos entonces una expresión que podemos transformar de la siguiente manera. Tenemos pi por, aquí el exponente 2 afecta al numerador y al denominador. Tendremos d al cuadrado sobre 2 al cuadrado que es 4 y esto multiplicado por L. Este 4 podemos colocarlo como denominador del número pi. Entonces reescribimos la expresión como pi cuartos por d al cuadrado y esto multiplicado por L. De esta manera tenemos ya una expresión matemática que relaciona las magnitudes que cambian en el problema. Tenemos L, la longitud de la barra, d que es su diámetro y b que es su volumen. Ahora lo que tenemos que hacer es derivar ambos lados de esta expresión con respecto al tiempo. Entonces vamos al lado izquierdo. La derivada de b con respecto al tiempo se deja expresada como de v dt. Pasamos al lado derecho donde pi cuartos es una constante que está multiplicando, por lo tanto se puede dejar allí quieta y procedemos a derivar esto que contiene las variables diámetro y longitud. Tenemos allí un producto, entonces vamos a derivar utilizando precisamente la regla del producto. Comenzamos con la derivada del primer componente, derivada de d al cuadrado será 2d y esto multiplicado por la derivada interna que será la derivada del diámetro con respecto al tiempo y esto se multiplica por el segundo componente sin derivar que es L. A esto tenemos que sumarle el primer componente sin derivar y eso multiplicado por la derivada del segundo componente. La derivada de L con respecto al tiempo se deja indicada como dL dt. Entonces repetimos, esto es el resultado de derivar este producto donde aparecen las dos variables diámetro y longitud utilizando justamente la regla del producto. En esta expresión que acabamos de obtener ya podemos reemplazar los datos que conocemos. Aclaramos que todas las distancias están en centímetros y los tiempos están en minutos, por lo tanto cuando encontremos la razón de cambio del volumen con respecto al tiempo nos dará en centímetros cúbicos por minuto. Tenemos entonces que dV dt va a ser igual a pi cuartos por, abrimos un corchete, tenemos 2 por el diámetro que es 3 centímetros, esto multiplicado por la razón de cambio del diámetro con respecto al tiempo que es 0.01, ya sabemos que está en centímetros por minuto y esto multiplicado por la longitud de la barra que es 20 centímetros. A esto tenemos que sumarle el diámetro que es 3 elevado al cuadrado y esto multiplicado por la razón de cambio de la longitud con respecto al tiempo que es 0.04 y cerramos el corchete. Ahora vamos a efectuar estas operaciones, tendremos dV dt igual a pi cuartos por, abrimos corchete, 2 por 3 nos da 6, 6 por 0.01 nos daría 0.06 y 0.06 multiplicado por 20 nos da como resultado 1.2, esto lo sumamos con 3 al cuadrado que es 9, 9 multiplicado por 0.04 nos da 0.36 y cerramos el corchete. En seguida tenemos que dV dt va a ser igual a pi cuartos por el resultado de efectuar esta operación 1.2 más 0.36 nos da como resultado 1.56 y esto lo vamos a multiplicar por pi cuartos. Si disponemos de calculadora podemos efectuar toda esta operación y dar el resultado en forma decimal, sin embargo en muchas ocasiones nos piden dar esta respuesta de manera indicada, veamos entonces como quedaría, se deja pi cuartos y esto va a multiplicarse por 1.56 que corresponde a la fracción 156 sobre 100, se trata de un número decimal finito y como tiene dos lugares decimales es por eso que tiene denominador 100. En esta fracción tanto el numerador como el denominador se pueden dividir entre 4, decimos cuarta de 156 es 39 y cuarta de 100 es 25, por lo tanto el resultado nos va a quedar de la siguiente manera, dV dt es igual a pi por 39, o sea 39 pi en el numerador y en el denominador tenemos 4 por 25 que nos da como resultado 100 y a eso le escribimos las unidades correspondientes, dijimos que el volumen va en centímetros cúbicos y el tiempo está expresado en minutos. Como decía si disponemos de calculadora podemos efectuar esa operación y nos va a dar aproximadamente lo siguiente, 39 por pi que podemos utilizarlo como 3.14 y eso dividido entre 100 es aproximadamente igual a 1.22 centímetros cúbicos por minuto y de esta manera hemos terminado el problema, esta será la respuesta y corresponde a la razón de cambio del volumen con respecto al tiempo en este instante, como nos dio un resultado positivo significa que en ese momento el volumen se está incrementando con el paso del tiempo.

[{"start": 0.0, "end": 10.120000000000001, "text": " Una barra de metal tiene la forma de un cilindro circular recto. Cuando se calienta, su longitud"}, {"start": 10.120000000000001, "end": 21.68, "text": " y su di\u00e1metro aumentan a raz\u00f3n de 0.04 cm por minuto y 0.01 cm por minuto respectivamente."}, {"start": 21.68, "end": 28.7, "text": " \u00bfA qu\u00e9 raz\u00f3n aumenta el volumen de la barra en el instante en que el largo mide 20 cm"}, {"start": 28.7, "end": 36.96, "text": " y el di\u00e1metro 3 cm? Bien, para resolver este problema dibujamos un cilindro que representa"}, {"start": 36.96, "end": 45.96, "text": " la barra met\u00e1lica. Vemos que tiene longitud L, radio R y di\u00e1metro D. Nos dice el problema"}, {"start": 45.96, "end": 56.0, "text": " que cuando esa barra se calienta, su longitud aumenta a raz\u00f3n de 0.04 cm por minuto. Entonces"}, {"start": 56.0, "end": 69.04, "text": " tenemos all\u00ed una primera raz\u00f3n de cambio. DLDT es igual a 0.04 cm por minuto. Es positiva"}, {"start": 69.04, "end": 76.16, "text": " porque nos dice el problema que la longitud est\u00e1 aumentando con el paso del tiempo. Tambi\u00e9n"}, {"start": 76.16, "end": 86.75999999999999, "text": " nos dice el enunciado que el di\u00e1metro est\u00e1 aumentando a raz\u00f3n de 0.01 cm por minuto."}, {"start": 86.75999999999999, "end": 93.19999999999999, "text": " Entonces all\u00ed tenemos otra raz\u00f3n de cambio. \u00bfC\u00f3mo cambia el di\u00e1metro con relaci\u00f3n"}, {"start": 93.19999999999999, "end": 103.12, "text": " al tiempo? Es 0.01 cm por minuto y tambi\u00e9n ser\u00e1 una raz\u00f3n de cambio positiva porque"}, {"start": 103.12, "end": 110.76, "text": " el di\u00e1metro aumenta con el paso del tiempo. La pregunta que nos hace el problema es \u00bfcon"}, {"start": 110.76, "end": 119.96000000000001, "text": " qu\u00e9 raz\u00f3n o con qu\u00e9 rapidez aumenta el volumen de esa barra met\u00e1lica en el instante en que"}, {"start": 119.96000000000001, "end": 131.72, "text": " su longitud es de 20 cm y su di\u00e1metro es de 3 cm? Enseguida debemos utilizar una expresi\u00f3n"}, {"start": 131.72, "end": 138.32, "text": " matem\u00e1tica que relacione las variables que tenemos en el problema. En este caso vamos"}, {"start": 138.32, "end": 150.84, "text": " a utilizar la f\u00f3rmula que nos da el volumen del cilindro. Y esa f\u00f3rmula de la geometr\u00eda"}, {"start": 150.84, "end": 160.96, "text": " dice que el volumen de un cilindro es igual a pi por el radio al cuadrado y eso multiplicado"}, {"start": 160.96, "end": 170.96, "text": " por su altura. En este caso tenemos lo siguiente. Sabemos que el radio es la mitad del di\u00e1metro"}, {"start": 170.96, "end": 179.54000000000002, "text": " entonces sustituimos R por de medios, esto est\u00e1 al cuadrado, y la altura del cilindro"}, {"start": 179.54000000000002, "end": 187.44, "text": " en este caso corresponde a la longitud L de esa barra met\u00e1lica. Tenemos entonces una"}, {"start": 187.44, "end": 195.16, "text": " expresi\u00f3n que podemos transformar de la siguiente manera. Tenemos pi por, aqu\u00ed el exponente"}, {"start": 195.16, "end": 203.8, "text": " 2 afecta al numerador y al denominador. Tendremos d al cuadrado sobre 2 al cuadrado que es 4"}, {"start": 203.8, "end": 211.9, "text": " y esto multiplicado por L. Este 4 podemos colocarlo como denominador del n\u00famero pi."}, {"start": 211.9, "end": 219.64000000000001, "text": " Entonces reescribimos la expresi\u00f3n como pi cuartos por d al cuadrado y esto multiplicado"}, {"start": 219.64000000000001, "end": 228.0, "text": " por L. De esta manera tenemos ya una expresi\u00f3n matem\u00e1tica que relaciona las magnitudes que"}, {"start": 228.0, "end": 235.96, "text": " cambian en el problema. Tenemos L, la longitud de la barra, d que es su di\u00e1metro y b que"}, {"start": 235.96, "end": 243.76000000000002, "text": " es su volumen. Ahora lo que tenemos que hacer es derivar ambos lados de esta expresi\u00f3n"}, {"start": 243.76000000000002, "end": 251.12, "text": " con respecto al tiempo. Entonces vamos al lado izquierdo. La derivada de b con respecto"}, {"start": 251.12, "end": 259.2, "text": " al tiempo se deja expresada como de v dt. Pasamos al lado derecho donde pi cuartos es"}, {"start": 259.2, "end": 266.0, "text": " una constante que est\u00e1 multiplicando, por lo tanto se puede dejar all\u00ed quieta y procedemos"}, {"start": 266.0, "end": 273.8, "text": " a derivar esto que contiene las variables di\u00e1metro y longitud. Tenemos all\u00ed un producto,"}, {"start": 273.8, "end": 280.84, "text": " entonces vamos a derivar utilizando precisamente la regla del producto. Comenzamos con la derivada"}, {"start": 280.84, "end": 288.15999999999997, "text": " del primer componente, derivada de d al cuadrado ser\u00e1 2d y esto multiplicado por la derivada"}, {"start": 288.16, "end": 295.48, "text": " interna que ser\u00e1 la derivada del di\u00e1metro con respecto al tiempo y esto se multiplica"}, {"start": 295.48, "end": 302.24, "text": " por el segundo componente sin derivar que es L. A esto tenemos que sumarle el primer"}, {"start": 302.24, "end": 309.68, "text": " componente sin derivar y eso multiplicado por la derivada del segundo componente. La"}, {"start": 309.68, "end": 319.68, "text": " derivada de L con respecto al tiempo se deja indicada como dL dt. Entonces repetimos, esto"}, {"start": 319.68, "end": 327.8, "text": " es el resultado de derivar este producto donde aparecen las dos variables di\u00e1metro y longitud"}, {"start": 327.8, "end": 335.04, "text": " utilizando justamente la regla del producto. En esta expresi\u00f3n que acabamos de obtener"}, {"start": 335.04, "end": 341.20000000000005, "text": " ya podemos reemplazar los datos que conocemos. Aclaramos que todas las distancias est\u00e1n"}, {"start": 341.20000000000005, "end": 347.72, "text": " en cent\u00edmetros y los tiempos est\u00e1n en minutos, por lo tanto cuando encontremos la raz\u00f3n"}, {"start": 347.72, "end": 354.56, "text": " de cambio del volumen con respecto al tiempo nos dar\u00e1 en cent\u00edmetros c\u00fabicos por minuto."}, {"start": 354.56, "end": 364.0, "text": " Tenemos entonces que dV dt va a ser igual a pi cuartos por, abrimos un corchete, tenemos"}, {"start": 364.0, "end": 371.28, "text": " 2 por el di\u00e1metro que es 3 cent\u00edmetros, esto multiplicado por la raz\u00f3n de cambio"}, {"start": 371.28, "end": 379.2, "text": " del di\u00e1metro con respecto al tiempo que es 0.01, ya sabemos que est\u00e1 en cent\u00edmetros"}, {"start": 379.2, "end": 386.24, "text": " por minuto y esto multiplicado por la longitud de la barra que es 20 cent\u00edmetros. A esto"}, {"start": 386.24, "end": 394.2, "text": " tenemos que sumarle el di\u00e1metro que es 3 elevado al cuadrado y esto multiplicado por"}, {"start": 394.2, "end": 406.04, "text": " la raz\u00f3n de cambio de la longitud con respecto al tiempo que es 0.04 y cerramos el corchete."}, {"start": 406.04, "end": 415.84000000000003, "text": " Ahora vamos a efectuar estas operaciones, tendremos dV dt igual a pi cuartos por, abrimos"}, {"start": 415.84, "end": 426.96, "text": " corchete, 2 por 3 nos da 6, 6 por 0.01 nos dar\u00eda 0.06 y 0.06 multiplicado por 20 nos"}, {"start": 426.96, "end": 435.2, "text": " da como resultado 1.2, esto lo sumamos con 3 al cuadrado que es 9, 9 multiplicado por"}, {"start": 435.2, "end": 446.4, "text": " 0.04 nos da 0.36 y cerramos el corchete. En seguida tenemos que dV dt va a ser igual"}, {"start": 446.4, "end": 456.03999999999996, "text": " a pi cuartos por el resultado de efectuar esta operaci\u00f3n 1.2 m\u00e1s 0.36 nos da como resultado"}, {"start": 456.04, "end": 465.20000000000005, "text": " 1.56 y esto lo vamos a multiplicar por pi cuartos. Si disponemos de calculadora podemos"}, {"start": 465.20000000000005, "end": 472.24, "text": " efectuar toda esta operaci\u00f3n y dar el resultado en forma decimal, sin embargo en muchas ocasiones"}, {"start": 472.24, "end": 479.28000000000003, "text": " nos piden dar esta respuesta de manera indicada, veamos entonces como quedar\u00eda, se deja pi"}, {"start": 479.28, "end": 490.4, "text": " cuartos y esto va a multiplicarse por 1.56 que corresponde a la fracci\u00f3n 156 sobre 100,"}, {"start": 490.4, "end": 496.52, "text": " se trata de un n\u00famero decimal finito y como tiene dos lugares decimales es por eso que"}, {"start": 496.52, "end": 504.0, "text": " tiene denominador 100. En esta fracci\u00f3n tanto el numerador como el denominador se pueden"}, {"start": 504.0, "end": 515.6, "text": " dividir entre 4, decimos cuarta de 156 es 39 y cuarta de 100 es 25, por lo tanto el"}, {"start": 515.6, "end": 523.6, "text": " resultado nos va a quedar de la siguiente manera, dV dt es igual a pi por 39, o sea"}, {"start": 523.6, "end": 532.24, "text": " 39 pi en el numerador y en el denominador tenemos 4 por 25 que nos da como resultado"}, {"start": 532.24, "end": 539.24, "text": " 100 y a eso le escribimos las unidades correspondientes, dijimos que el volumen va en cent\u00edmetros"}, {"start": 539.24, "end": 548.48, "text": " c\u00fabicos y el tiempo est\u00e1 expresado en minutos. Como dec\u00eda si disponemos de calculadora podemos"}, {"start": 548.48, "end": 558.66, "text": " efectuar esa operaci\u00f3n y nos va a dar aproximadamente lo siguiente, 39 por pi que podemos utilizarlo"}, {"start": 558.66, "end": 570.48, "text": " como 3.14 y eso dividido entre 100 es aproximadamente igual a 1.22 cent\u00edmetros c\u00fabicos por minuto"}, {"start": 570.48, "end": 579.76, "text": " y de esta manera hemos terminado el problema, esta ser\u00e1 la respuesta y corresponde a la"}, {"start": 579.76, "end": 586.24, "text": " raz\u00f3n de cambio del volumen con respecto al tiempo en este instante, como nos dio un"}, {"start": 586.24, "end": 593.84, "text": " resultado positivo significa que en ese momento el volumen se est\u00e1 incrementando con el paso"}, {"start": 593.84, "end": 618.0400000000001, "text": " del tiempo."}]

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INTEGRACIÓN POR PARTES - Ejercicio 13

#julioprofe explica cómo resolver una integral indefinida utilizando el Método de Integración por Partes. Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver esta integral indefinida utilizando el método de integración por partes debido a que no se puede resolver por integración directa ni tampoco utilizando el método de sustitución. Comenzamos por reescribir esa integral de la siguiente manera, coseno a la menos uno de x por uno por dx, es decir, hacemos aparecer el uno que acá estaba invisible y eso lo hacemos para clasificar las dos expresiones que tenemos allí en las categorías de ilate. Recordemos que ilate significa lo siguiente, y función inversa, l función logarítmica, a función algebraica, t función trigonométrica y e función exponencial. Si miramos las dos expresiones que aparecen en la integral tenemos aquí un componente que se clasifica como función inversa, es una función trigonométrica inversa y acá tenemos uno que podríamos entenderlo como x al acero, es decir, una expresión de categoría algebraica. Entonces tenemos y y tenemos la letra a. Al pronunciar la palabra ilate, obviamente de izquierda a derecha, la primera que encontramos de las que fueron señaladas es la letra y. Eso quiere decir entonces que la función inversa hará el papel de la letra u. Queremos entonces que coseno a la menos uno de x, como decíamos, hace el papel de u y el resto de la expresión incluyendo al diferencial de x, hace el papel de db. Estos son los componentes de la integración por partes. A continuación escribimos por acá los componentes que encontramos, u es coseno a la menos uno de x, vamos a destacarlo y esto tenemos que derivarlo con respecto a x. De u de x será igual a la derivada de coseno a la menos uno de x, que es menos uno sobre la raíz cuadrada de uno menos x al cuadrado y de allí vamos a despejar de u. Para ello, de x que está dividiendo pasa al otro lado a multiplicarlo. Tendremos menos uno sobre la raíz cuadrada de uno menos x al cuadrado y todo esto multiplicado por dx. Tenemos allí el componente de u que también destacamos. Ahora vamos con db. Tenemos que db es uno por dx y eso vamos a integrarlo a ambos lados. Decimos la integral de db igual a la integral de uno por dx. La integral de db será b y la integral de uno por dx es lo mismo que tener la integral de dx que nos da x. Y tenemos allí los cuatro componentes de la fórmula de integración por partes que dice lo siguiente, la integral de u por db es igual a una vaca menos la integral vestida de uniforme. Recordemos que de esa manera aprendemos fácilmente la fórmula de integración por partes. A continuación vamos a reemplazar cada uno de los componentes. Dicemos por acá la integral de u que es coseno a la menos uno de x. Eso multiplicado por db que es uno por dx. Esto igual a u que es coseno a la menos uno de x por b que es x. Y esto menos la integral de b que es x por du que nos dio esta expresión. Como es negativa la vamos a proteger con paréntesis. Tenemos menos uno sobre la raíz cuadrada de uno menos x al cuadrado y todo esto con su diferencial de x. Esto que nos quedó al lado izquierdo del signo igual es el ejercicio original y va a ser igual a todo esto que tenemos acá y que vamos a organizar un poco. Aquí coseno a la menos uno de x multiplicado por x se organiza como x por coseno a la menos uno de x. No podemos multiplicar estas dos letras porque esta es propiedad de la función inversa del coseno. Entonces por eso esta x se localiza acá tal como hemos escrito en esto que observamos. Tenemos ahora menos esta integral donde este signo menos puede salir y tendremos entonces signo más. Y acomodando eso que tenemos allí nos va a quedar lo siguiente. X multiplicado por uno en el numerador. En el denominador tendremos esa raíz cuadrada, raíz de uno menos x al cuadrado y todo eso con el diferencial de x. Ahora debemos resolver esta integral que nos apareció aquí. Para ello vamos a utilizar el método de sustitución. Entonces vamos a escoger como la letra h a lo que tenemos dentro de la raíz, es decir uno menos x al cuadrado. Allí tenemos que derivar h con respecto a x y la derivada de esta expresión nos dará menos dos x. Recordemos que la derivada de uno es cero y la derivada de menos x al cuadrado nos da menos dos x. De allí vamos a despejar de x. Pasa de x aquí a multiplicar y menos dos x viene acá a dividir. En cierto modo estos dos componentes se intercambian. Tendremos entonces que de x es igual a dh sobre menos dos x. Y ahora con estos dos componentes vamos a reconstruir esa integral. Tendremos entonces lo siguiente. Acá en el numerador continúa la x. En el denominador tendremos la raíz cuadrada dh porque uno menos x al cuadrado equivale a h. Y esto lo vamos a multiplicar por dx que nos dio la expresión dh sobre menos dos x. Ahora en esta nueva integral es posible simplificar o cancelar la x. Y también podemos extraer este número que daría acá por fuera de la integral. Como es negativo sale a interactuar con ese signo positivo y nos va a quedar signo menos y tendremos el número un medio que acompaña o que multiplica a la integral de uno sobre la raíz cuadrada dh y eso con su respectivo diferencial dh. Ahora vamos a cambiar raíz cuadrada dh por h elevada al exponente un medio y eso con el diferencial dh. Y enseguida vamos a subir esta potencia. Nos va a quedar h a la menos un medio y eso acompañado con el diferencial dh. De esa manera hemos logrado llevar esta integral a uno de los modelos básicos. Ya podemos resolverla. Tendremos entonces x por coseno a la menos uno de x eso menos un medio y vamos entonces a resolver esa integral que nos dará h a la menos un medio más uno que es un medio sobre menos un medio más uno que también es un medio. Y allí es el momento de escribir por primera vez la constante de integración. Como paso siguiente vamos a subir este número dos a multiplicar con h a la un medio. Esto nos quedaría con denominador uno y de nuevo escribimos la constante c. Ahora podemos simplificar el número dos y nos va a quedar h a la un medio que podemos escribir otra vez como raíz cuadrada de h y eso más la constante de integración. Como ya no es posible hacer nada más aquí entonces cambiamos h por su expresión equivalente. Nos queda entonces x por coseno a la menos uno de x menos la raíz cuadrada de h que es uno menos x al cuadrado y a todo esto le agregamos la constante de integración. De esta manera hemos encontrado ya la respuesta a ese ejercicio. Esta integral también puede venir presentada como la integral de arco coseno de x con su diferencial de x. Esto y esto es exactamente lo mismo. Entonces con esto hemos terminado este ejercicio.

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algebraica, t funci\u00f3n trigonom\u00e9trica y e funci\u00f3n exponencial."}, {"start": 60.68, "end": 67.1, "text": " Si miramos las dos expresiones que aparecen en la integral tenemos aqu\u00ed un componente"}, {"start": 67.1, "end": 73.64, "text": " que se clasifica como funci\u00f3n inversa, es una funci\u00f3n trigonom\u00e9trica inversa y ac\u00e1"}, {"start": 73.64, "end": 83.72, "text": " tenemos uno que podr\u00edamos entenderlo como x al acero, es decir, una expresi\u00f3n de categor\u00eda algebraica."}, {"start": 83.72, "end": 88.36, "text": " Entonces tenemos y y tenemos la letra a."}, {"start": 88.36, "end": 94.96000000000001, "text": " Al pronunciar la palabra ilate, obviamente de izquierda a derecha, la primera que encontramos"}, {"start": 94.96000000000001, "end": 99.08, "text": " de las que fueron se\u00f1aladas es la letra y."}, {"start": 99.08, "end": 106.28, "text": " Eso quiere decir entonces que la funci\u00f3n inversa har\u00e1 el papel de la letra u."}, {"start": 106.28, "end": 113.03999999999999, "text": " Queremos entonces que coseno a la menos uno de x, como dec\u00edamos, hace el papel de u y"}, {"start": 113.03999999999999, "end": 120.44, "text": " el resto de la expresi\u00f3n incluyendo al diferencial de x, hace el papel de db."}, {"start": 120.44, "end": 125.08, "text": " Estos son los componentes de la integraci\u00f3n por partes."}, {"start": 125.08, "end": 132.16, "text": " A continuaci\u00f3n escribimos por ac\u00e1 los componentes que encontramos, u es coseno a la menos uno"}, {"start": 132.16, "end": 141.88, "text": " de x, vamos a destacarlo y esto tenemos que derivarlo con respecto a x."}, {"start": 141.88, "end": 150.66, "text": " De u de x ser\u00e1 igual a la derivada de coseno a la menos uno de x, que es menos uno sobre"}, {"start": 150.66, "end": 161.6, "text": " la ra\u00edz cuadrada de uno menos x al cuadrado y de all\u00ed vamos a despejar de u."}, {"start": 161.6, "end": 166.84, "text": " Para ello, de x que est\u00e1 dividiendo pasa al otro lado a multiplicarlo."}, {"start": 166.84, "end": 175.85999999999999, "text": " Tendremos menos uno sobre la ra\u00edz cuadrada de uno menos x al cuadrado y todo esto multiplicado"}, {"start": 175.85999999999999, "end": 177.9, "text": " por dx."}, {"start": 177.9, "end": 182.44, "text": " Tenemos all\u00ed el componente de u que tambi\u00e9n destacamos."}, {"start": 182.44, "end": 185.36, "text": " Ahora vamos con db."}, {"start": 185.36, "end": 193.9, "text": " Tenemos que db es uno por dx y eso vamos a integrarlo a ambos lados."}, {"start": 193.9, "end": 201.28, "text": " Decimos la integral de db igual a la integral de uno por dx."}, {"start": 201.28, "end": 208.52, "text": " La integral de db ser\u00e1 b y la integral de uno por dx es lo mismo que tener la integral"}, {"start": 208.52, "end": 212.04, "text": " de dx que nos da x."}, {"start": 212.04, "end": 218.2, "text": " Y tenemos all\u00ed los cuatro componentes de la f\u00f3rmula de integraci\u00f3n por partes que"}, {"start": 218.2, "end": 231.35999999999999, "text": " dice lo siguiente, la integral de u por db es igual a una vaca menos la integral vestida"}, {"start": 231.35999999999999, "end": 232.35999999999999, "text": " de uniforme."}, {"start": 232.35999999999999, "end": 239.16, "text": " Recordemos que de esa manera aprendemos f\u00e1cilmente la f\u00f3rmula de integraci\u00f3n por partes."}, {"start": 239.16, "end": 244.48, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a reemplazar cada uno de los componentes."}, {"start": 244.48, "end": 252.07999999999998, "text": " Dicemos por ac\u00e1 la integral de u que es coseno a la menos uno de x."}, {"start": 252.07999999999998, "end": 258.02, "text": " Eso multiplicado por db que es uno por dx."}, {"start": 258.02, "end": 268.8, "text": " Esto igual a u que es coseno a la menos uno de x por b que es x."}, {"start": 268.8, "end": 278.12, "text": " Y esto menos la integral de b que es x por du que nos dio esta expresi\u00f3n."}, {"start": 278.12, "end": 282.64, "text": " Como es negativa la vamos a proteger con par\u00e9ntesis."}, {"start": 282.64, "end": 291.84000000000003, "text": " Tenemos menos uno sobre la ra\u00edz cuadrada de uno menos x al cuadrado y todo esto con"}, {"start": 291.84000000000003, "end": 295.48, "text": " su diferencial de x."}, {"start": 295.48, "end": 301.72, "text": " Esto que nos qued\u00f3 al lado izquierdo del signo igual es el ejercicio original y va"}, {"start": 301.72, "end": 307.76, "text": " a ser igual a todo esto que tenemos ac\u00e1 y que vamos a organizar un poco."}, {"start": 307.76, "end": 314.68, "text": " Aqu\u00ed coseno a la menos uno de x multiplicado por x se organiza como x por coseno a la menos"}, {"start": 314.68, "end": 316.44, "text": " uno de x."}, {"start": 316.44, "end": 322.92, "text": " No podemos multiplicar estas dos letras porque esta es propiedad de la funci\u00f3n inversa del"}, {"start": 322.92, "end": 323.92, "text": " coseno."}, {"start": 323.92, "end": 330.96000000000004, "text": " Entonces por eso esta x se localiza ac\u00e1 tal como hemos escrito en esto que observamos."}, {"start": 330.96000000000004, "end": 337.6, "text": " Tenemos ahora menos esta integral donde este signo menos puede salir y tendremos entonces"}, {"start": 337.6, "end": 338.88, "text": " signo m\u00e1s."}, {"start": 338.88, "end": 345.20000000000005, "text": " Y acomodando eso que tenemos all\u00ed nos va a quedar lo siguiente."}, {"start": 345.20000000000005, "end": 348.36, "text": " X multiplicado por uno en el numerador."}, {"start": 348.36, "end": 358.32, "text": " En el denominador tendremos esa ra\u00edz cuadrada, ra\u00edz de uno menos x al cuadrado y todo eso"}, {"start": 358.32, "end": 362.04, "text": " con el diferencial de x."}, {"start": 362.04, "end": 366.76, "text": " Ahora debemos resolver esta integral que nos apareci\u00f3 aqu\u00ed."}, {"start": 366.76, "end": 373.72, "text": " Para ello vamos a utilizar el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n."}, {"start": 373.72, "end": 384.24, "text": " Entonces vamos a escoger como la letra h a lo que tenemos dentro de la ra\u00edz, es decir"}, {"start": 384.24, "end": 389.52000000000004, "text": " uno menos x al cuadrado."}, {"start": 389.52000000000004, "end": 398.3, "text": " All\u00ed tenemos que derivar h con respecto a x y la derivada de esta expresi\u00f3n nos dar\u00e1"}, {"start": 398.3, "end": 400.12, "text": " menos dos x."}, {"start": 400.12, "end": 406.32, "text": " Recordemos que la derivada de uno es cero y la derivada de menos x al cuadrado nos da"}, {"start": 406.32, "end": 407.76, "text": " menos dos x."}, {"start": 407.76, "end": 410.16, "text": " De all\u00ed vamos a despejar de x."}, {"start": 410.16, "end": 415.48, "text": " Pasa de x aqu\u00ed a multiplicar y menos dos x viene ac\u00e1 a dividir."}, {"start": 415.48, "end": 419.68, "text": " En cierto modo estos dos componentes se intercambian."}, {"start": 419.68, "end": 427.44, "text": " Tendremos entonces que de x es igual a dh sobre menos dos x."}, {"start": 427.44, "end": 434.52, "text": " Y ahora con estos dos componentes vamos a reconstruir esa integral."}, {"start": 434.52, "end": 436.92, "text": " Tendremos entonces lo siguiente."}, {"start": 436.92, "end": 440.08, "text": " Ac\u00e1 en el numerador contin\u00faa la x."}, {"start": 440.08, "end": 447.92, "text": " En el denominador tendremos la ra\u00edz cuadrada dh porque uno menos x al cuadrado equivale"}, {"start": 447.92, "end": 448.92, "text": " a h."}, {"start": 448.92, "end": 459.76, "text": " Y esto lo vamos a multiplicar por dx que nos dio la expresi\u00f3n dh sobre menos dos x."}, {"start": 459.76, "end": 466.0, "text": " Ahora en esta nueva integral es posible simplificar o cancelar la x."}, {"start": 466.0, "end": 471.32, "text": " Y tambi\u00e9n podemos extraer este n\u00famero que dar\u00eda ac\u00e1 por fuera de la integral."}, {"start": 471.32, "end": 477.8, "text": " Como es negativo sale a interactuar con ese signo positivo y nos va a quedar signo menos"}, {"start": 477.8, "end": 486.24, "text": " y tendremos el n\u00famero un medio que acompa\u00f1a o que multiplica a la integral de uno sobre"}, {"start": 486.24, "end": 494.44, "text": " la ra\u00edz cuadrada dh y eso con su respectivo diferencial dh."}, {"start": 494.44, "end": 504.24, "text": " Ahora vamos a cambiar ra\u00edz cuadrada dh por h elevada al exponente un medio y eso con"}, {"start": 504.24, "end": 506.82, "text": " el diferencial dh."}, {"start": 506.82, "end": 510.2, "text": " Y enseguida vamos a subir esta potencia."}, {"start": 510.2, "end": 519.64, "text": " Nos va a quedar h a la menos un medio y eso acompa\u00f1ado con el diferencial dh."}, {"start": 519.64, "end": 525.52, "text": " De esa manera hemos logrado llevar esta integral a uno de los modelos b\u00e1sicos."}, {"start": 525.52, "end": 527.36, "text": " Ya podemos resolverla."}, {"start": 527.36, "end": 536.92, "text": " Tendremos entonces x por coseno a la menos uno de x eso menos un medio y vamos entonces"}, {"start": 536.92, "end": 546.36, "text": " a resolver esa integral que nos dar\u00e1 h a la menos un medio m\u00e1s uno que es un medio"}, {"start": 546.36, "end": 551.0, "text": " sobre menos un medio m\u00e1s uno que tambi\u00e9n es un medio."}, {"start": 551.0, "end": 558.16, "text": " Y all\u00ed es el momento de escribir por primera vez la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 558.16, "end": 566.88, "text": " Como paso siguiente vamos a subir este n\u00famero dos a multiplicar con h a la un medio."}, {"start": 566.88, "end": 574.88, "text": " Esto nos quedar\u00eda con denominador uno y de nuevo escribimos la constante c."}, {"start": 574.88, "end": 583.64, "text": " Ahora podemos simplificar el n\u00famero dos y nos va a quedar h a la un medio que podemos"}, {"start": 583.64, "end": 592.2, "text": " escribir otra vez como ra\u00edz cuadrada de h y eso m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 592.2, "end": 600.28, "text": " Como ya no es posible hacer nada m\u00e1s aqu\u00ed entonces cambiamos h por su expresi\u00f3n equivalente."}, {"start": 600.28, "end": 607.56, "text": " Nos queda entonces x por coseno a la menos uno de x menos la ra\u00edz cuadrada de h que"}, {"start": 607.56, "end": 618.0, "text": " es uno menos x al cuadrado y a todo esto le agregamos la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 618.0, "end": 623.64, "text": " De esta manera hemos encontrado ya la respuesta a ese ejercicio."}, {"start": 623.64, "end": 632.0, "text": " Esta integral tambi\u00e9n puede venir presentada como la integral de arco coseno de x con su"}, {"start": 632.0, "end": 633.96, "text": " diferencial de x."}, {"start": 633.96, "end": 638.12, "text": " Esto y esto es exactamente lo mismo."}, {"start": 638.12, "end": 654.92, "text": " Entonces con esto hemos terminado este ejercicio."}]

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INTEGRACIÓN POR PARTES - Ejercicio 15

#julioprofe explica cómo resolver un ejercicio aplicando el Método de Integración por Partes dos veces. Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver este ejercicio utilizando el método de integración por partes, debido a que por integración directa y por el método de sustitución no es posible realizarlo. En este caso la variable es X, A y B son constantes, o sea que representan números reales. Comenzamos clasificando las dos expresiones que tenemos allí en las categorías de I la T. Recordemos que I significa función inversa, L logarítmica, A algebraica, E trigonométrica y N exponencial. Tenemos que E a la AX será categoría exponencial y seno de BX será categoría trigonométrica. Entonces señalamos aquí las dos categorías que encontramos y al pronunciar la palabra I la T, es decir de izquierda a derecha, la primera que nos encontramos de las que señalamos es la trigonométrica, o sea que ella hará el papel de Q en la fórmula de integración por partes. En ese caso es conveniente reescribir el ejercicio de la siguiente manera, integral de seno de BX por E a la AX con el diferencial de X, es decir que primero tengamos el componente que va a ser U, o sea la expresión trigonométrica y todo lo demás incluido de X hará el papel de DB. Deseamos entonces que U es seno de BX y esto tenemos que derivarlo. Entonces realizamos la derivada de U con respecto a X, la derivada del seno de BX es coseno de BX por la derivada interna, es decir por la derivada de BX que será B y de allí vamos a despejar de U, pasamos de X que está dividiendo al otro lado a multiplicar, podemos también reacomodar esta letra B al principio de la expresión, nos queda B por coseno de BX y todo esto por el diferencial de X, esto lo destacamos porque lo vamos a necesitar ahora en la fórmula de integración por partes. Ahora tenemos que DB es igual a E a la AX con su diferencial de X, esto lo destacamos y vamos a integrar ambos miembros de esa igualdad, integral de DB y al otro lado la integral de E a la AX con su diferencial de X. En el lado izquierdo la integral de DB nos da B y en el lado derecho tenemos la integral de E a la AX que podemos efectuar utilizando el siguiente modelo, recordemos que la integral de E a la MX con su de X es igual a 1 sobre m por E a la mX más E, es una integral que se demuestra utilizando el método de sustitución cambiando mX por otra letra, entonces aplicando eso acá tendremos 1 sobre A por E a la AX, en este caso A representa la letra M que tenemos en ese modelo y de esta manera ya tenemos el otro componente que es B. Enseguida escribimos la fórmula que distingue el método de integración por partes, ella dice que la integral de U por DB es igual a U por B menos la integral de B por DU, para aprender esto de manera fácil decimos una vaca menos la integral vestida de uniforme. Empezamos entonces a reemplazar allí cada uno de los cuatro componentes, por acá tenemos la integral de U que es seno de BX por DB que es E a la AX con el diferencial de X y esto es igual a U que es seno de BX por B que nos dio 1 sobre A por E a la AX y esto menos la integral de B que es 1 sobre A por E a la AX y eso multiplicado por DU que nos dio esta expresión de porcoseno de BX y todo eso con el diferencial de X. Como podemos observar esto que tenemos aquí es el mismo ejercicio original y va a ser igual a todo esto, entonces vamos a escribirlo por acá organizando lo que podamos hasta el momento, por ejemplo en el caso del primer término se puede escribir como 1 sobre A por seno de BX por E a la AX, acá en este término podemos extraer B y también 1 sobre A como eso está multiplicando nos queda por fuera de la integral como B sobre A y adentro tendremos la integral de E a la AX por coseno de BX y todo eso con el diferencial de X. Ahora tenemos que concentrarnos en resolver esta integral que nos queda pendiente, entonces hacemos de cuenta que entramos a un nuevo ejercicio, vamos a escribirla por acá integral de E a la AX por coseno de BX con su diferencial de X, esta integral también vamos a resolverla por el método de integración por partes y como se observa viene la misma estructura que el ejercicio original, tenemos allí una expresión exponencial y una expresión trigonométrica utilizando ilate, vimos que si tenemos trigonométrica y exponencial la primera que encontramos de izquierda a derecha es la trigonométrica y ella hará el papel de U, entonces como decíamos se cambia el orden de las dos expresiones para que primero nos quede la U que será esto que tenemos aquí, la expresión trigonométrica y lo que nos queda enseguida será DB. De nuevo vamos a escribir por acá aparte lo que es U y DB para encontrar de U y B, es decir los cuatro componentes que necesitamos para plantear la fórmula de integración por partes, vemos que U es coseno de BX y esto tenemos que derivarlo con respecto a X, derivada de U respecto a X será derivada del coseno de BX será menos seno de BX por la derivada interna es decir la derivada de BX que nos da B y de allí vamos a despejar de U, pasamos de X que está dividiendo al otro lado a multiplicar y acomodamos esta letra B al principio de la expresión nos queda menos B seno de BX y eso multiplicado por de X, aquí tenemos entonces el componente llamado de U, enseguida tenemos que DB es igual a E a la AX con su diferencial de X, esto tenemos que integrarlo a ambos lados y allí vamos a aplicar la fórmula que vimos anteriormente para integrar este lado, acá tenemos que la integral de DB es B y acá tendremos 1 sobre A por E a la AX, tenemos así el componente DB que necesitamos para plantear la fórmula de integración por partes, escribimos entonces dicha fórmula la integral de U por DB es igual a 1 vaca menos la integral vestida de uniforme y vamos a reemplazar allí cada uno de los componentes, tenemos integral de U que es coseno de BX por DB que es E a la AX por DX y esto es igual a U que vale coseno de BX por B que es 1 sobre A por E a la AX y eso menos la integral de B que es 1 sobre A por E a la AX y eso multiplicado por DU que es esta expresión, como es negativa la protegemos menos B seno de DX y eso con el diferencial de X, como podemos observar esto que tenemos aquí es exactamente lo mismo que habíamos obtenido por acá, entonces vamos a cambiar esto por toda esta expresión, comenzamos entonces por acá donde nos queda 1 sobre A seno de DX por E a la AX menos B sobre A y vamos a abrir una llave para reemplazar aquí toda esta expresión la cual vamos a ir organizando, comenzamos con este término donde podemos escribir primero 1 sobre A luego coseno de BX y después E a la AX y luego tenemos menos por acá tendremos 1 sobre A que multiplica con menos B, esto nos quedaría menos B sobre A dentro de la integral pero al salir con este signo menos nos queda más, más B sobre A por la integral de esto que nos queda dentro que será el componente exponencial y el componente trigonométrico, entonces E a la AX por seno de BX y todo eso con su diferencial de X y cerramos esa llave. Ahora esta expresión nos queda de la siguiente manera 1 sobre A por seno de BX por E a la AX, esto no presenta ninguna variación y aquí vamos a aplicar la propiedad distributiva, tenemos menos B sobre A que multiplica con ese término entonces tendremos aquí el producto de estas dos fracciones y eso nos queda menos B sobre A al cuadrado, recordemos que se multiplican en forma horizontal y esto por coseno de BX por E a la AX, ahora multiplicamos menos B sobre A por más B sobre A eso nos va a quedar menos B al cuadrado sobre A al cuadrado, de nuevo multiplicamos las fracciones en forma horizontal y eso nos queda acompañando a la integral de E a la AX por el seno de BX y todo eso con su diferencial de X. La integral que tenemos en el lado izquierdo digamos que se viene repitiendo y vamos a escribirla por acá, integral de E a la AX por el seno de BX con su diferencial de X y se observa que esta integral aparece también por acá, entonces podemos trasladar este término al otro lado como acá está negativo va a llegar al lado izquierdo con signo positivo es decir sumando. Nos va a quedar entonces de la siguiente manera, integral de E a la AX por seno de BX con su diferencial de X, esta que no cambia y esta es la que llega con signo más queda de cuadrado sobre A cuadrado por la integral de E a la AX seno de BX con su diferencial de X y eso será igual a estos dos términos que se quedan a este lado es decir 1 sobre A seno de BX E a la AX y eso menos B sobre A cuadrado por coseno de BX y eso por E a la AX. En el lado izquierdo podemos extraer factor común vemos que esta integral se repite en los dos términos entonces se extrae tenemos la integral de E a la AX seno de BX con su diferencial de X que como decíamos es el factor común y eso va a multiplicar a la siguiente expresión como aquí este término abandona por completo nos queda uno y en el otro nos queda el componente de al cuadrado sobre a al cuadrado acá en el lado derecho también podemos extraer factor común el componente exponencial sale a la AX y eso va a multiplicar abrimos corchete a 1 sobre A seno de BX menos B sobre A cuadrado por coseno de BX y cerramos el corchete ahora de esta igualdad podemos despejar todo este componente que es precisamente la integral que pretendemos resolver nos queda integral de E a la AX por el seno de BX con su diferencial de X va a ser igual a todo esto que tenemos acá entonces E a la AX por abrimos corchete 1 sobre A seno de BX esto menos B sobre A cuadrado coseno de BX cerramos el corchete y todo eso nos queda sobre esta expresión que pasa a dividir al otro lado es decir 1 más B al cuadrado sobre A al cuadrado esta expresión que tenemos a este lado ya constituye la respuesta para esa integral entonces acá ya se puede escribir la constante de integración que es C podemos también hacer el trabajo algebraico de esta expresión para llevarla a una forma más sencilla veamos entonces cómo se puede conseguir eso dejamos E a la AX por abrimos el corchete y esta expresión la escribimos como seno de BX y esto sobre A en el otro caso en el otro término nos va a quedar B coseno de BX en el numerador y tendremos A al cuadrado en el denominador y debajo de la línea principal vamos a tener esta suma que vamos a escribir de nuevo y donde a este 1 le vamos a completar con denominador 1 para el caso de estas dos fracciones que son heterogéneas o sea que tienen distinto denominador podemos convertirlas en homogéneas simplemente tomamos esta fracción y la multiplicamos por A tanto en la parte de arriba como en la parte de abajo entonces arriba nos quedaría A multiplicando con el seno de BX y en la parte de abajo si multiplicamos A por esta A nos queda A al cuadrado y de esa manera ya tenemos fracciones con el mismo denominador eso nos permite entonces efectuar esta resta con mayor facilidad escribimos E a la AX abrimos el corchete trazamos la línea de la fracción conservamos el mismo denominador y escribimos la operación que tenemos arriba A seno de BX menos de coseno de BX cerramos el corchete y vamos a resolver la operación que tenemos acá en la parte de abajo allí podemos aplicar lo que se conoce como la carita feliz pegamos en la parte de arriba tendremos 1 por A al cuadrado que es A al cuadrado más 1 por B al cuadrado que es B al cuadrado y en la parte de abajo 1 por A al cuadrado que es A al cuadrado en este caso como tenemos aquí una fracción sobre otra que poseen el mismo denominador entonces lo podemos suprimir o cancelar y nos va a quedar que la siguiente manera E a la AX que multiplica A a seno de BX eso menos de coseno de BX cerramos el paréntesis cerramos el corchete y todo eso sobre A al cuadrado más de A al cuadrado y escribimos por acá la constante de integración bien así hemos encontrado entonces la expresión más sencilla es decir en su forma más simple que constituye la antiderivada de esta función es el resultado entonces de esa integral que hemos resuelto como decíamos utilizando el método de integración por partes dos veces.

[{"start": 0.0, "end": 9.9, "text": " Vamos a resolver este ejercicio utilizando el m\u00e9todo de integraci\u00f3n por partes, debido"}, {"start": 9.9, "end": 17.34, "text": " a que por integraci\u00f3n directa y por el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n no es posible realizarlo."}, {"start": 17.34, "end": 26.3, "text": " En este caso la variable es X, A y B son constantes, o sea que representan n\u00fameros reales."}, {"start": 26.3, "end": 32.24, "text": " Comenzamos clasificando las dos expresiones que tenemos all\u00ed en las categor\u00edas de I"}, {"start": 32.24, "end": 33.980000000000004, "text": " la T."}, {"start": 33.980000000000004, "end": 42.96, "text": " Recordemos que I significa funci\u00f3n inversa, L logar\u00edtmica, A algebraica, E trigonom\u00e9trica"}, {"start": 42.96, "end": 44.96, "text": " y N exponencial."}, {"start": 44.96, "end": 54.96, "text": " Tenemos que E a la AX ser\u00e1 categor\u00eda exponencial y seno de BX ser\u00e1 categor\u00eda trigonom\u00e9trica."}, {"start": 54.96, "end": 62.28, "text": " Entonces se\u00f1alamos aqu\u00ed las dos categor\u00edas que encontramos y al pronunciar la palabra"}, {"start": 62.28, "end": 69.1, "text": " I la T, es decir de izquierda a derecha, la primera que nos encontramos de las que se\u00f1alamos"}, {"start": 69.1, "end": 76.86, "text": " es la trigonom\u00e9trica, o sea que ella har\u00e1 el papel de Q en la f\u00f3rmula de integraci\u00f3n"}, {"start": 76.86, "end": 78.44, "text": " por partes."}, {"start": 78.44, "end": 86.42, "text": " En ese caso es conveniente reescribir el ejercicio de la siguiente manera, integral de seno de"}, {"start": 86.42, "end": 96.0, "text": " BX por E a la AX con el diferencial de X, es decir que primero tengamos el componente"}, {"start": 96.0, "end": 104.96, "text": " que va a ser U, o sea la expresi\u00f3n trigonom\u00e9trica y todo lo dem\u00e1s incluido de X har\u00e1 el papel"}, {"start": 104.96, "end": 106.92, "text": " de DB."}, {"start": 106.92, "end": 117.52, "text": " Deseamos entonces que U es seno de BX y esto tenemos que derivarlo."}, {"start": 117.52, "end": 127.04, "text": " Entonces realizamos la derivada de U con respecto a X, la derivada del seno de BX es coseno de"}, {"start": 127.04, "end": 135.6, "text": " BX por la derivada interna, es decir por la derivada de BX que ser\u00e1 B y de all\u00ed vamos"}, {"start": 135.6, "end": 142.76, "text": " a despejar de U, pasamos de X que est\u00e1 dividiendo al otro lado a multiplicar, podemos tambi\u00e9n"}, {"start": 142.76, "end": 150.92, "text": " reacomodar esta letra B al principio de la expresi\u00f3n, nos queda B por coseno de BX y"}, {"start": 150.92, "end": 157.95999999999998, "text": " todo esto por el diferencial de X, esto lo destacamos porque lo vamos a necesitar ahora"}, {"start": 157.95999999999998, "end": 161.56, "text": " en la f\u00f3rmula de integraci\u00f3n por partes."}, {"start": 161.56, "end": 173.28, "text": " Ahora tenemos que DB es igual a E a la AX con su diferencial de X, esto lo destacamos"}, {"start": 173.28, "end": 182.72, "text": " y vamos a integrar ambos miembros de esa igualdad, integral de DB y al otro lado la integral"}, {"start": 182.72, "end": 187.32, "text": " de E a la AX con su diferencial de X."}, {"start": 187.32, "end": 194.07999999999998, "text": " En el lado izquierdo la integral de DB nos da B y en el lado derecho tenemos la integral"}, {"start": 194.07999999999998, "end": 201.23999999999998, "text": " de E a la AX que podemos efectuar utilizando el siguiente modelo, recordemos que la integral"}, {"start": 201.23999999999998, "end": 211.6, "text": " de E a la MX con su de X es igual a 1 sobre m por E a la mX m\u00e1s E, es una integral que"}, {"start": 211.6, "end": 220.0, "text": " se demuestra utilizando el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n cambiando mX por otra letra, entonces aplicando"}, {"start": 220.0, "end": 230.04, "text": " eso ac\u00e1 tendremos 1 sobre A por E a la AX, en este caso A representa la letra M que tenemos"}, {"start": 230.04, "end": 237.4, "text": " en ese modelo y de esta manera ya tenemos el otro componente que es B."}, {"start": 237.4, "end": 244.04000000000002, "text": " Enseguida escribimos la f\u00f3rmula que distingue el m\u00e9todo de integraci\u00f3n por partes, ella"}, {"start": 244.04000000000002, "end": 252.96, "text": " dice que la integral de U por DB es igual a U por B menos la integral de B por DU, para"}, {"start": 252.96, "end": 261.0, "text": " aprender esto de manera f\u00e1cil decimos una vaca menos la integral vestida de uniforme."}, {"start": 261.0, "end": 267.12, "text": " Empezamos entonces a reemplazar all\u00ed cada uno de los cuatro componentes, por ac\u00e1 tenemos"}, {"start": 267.12, "end": 281.48, "text": " la integral de U que es seno de BX por DB que es E a la AX con el diferencial de X y"}, {"start": 281.48, "end": 296.6, "text": " esto es igual a U que es seno de BX por B que nos dio 1 sobre A por E a la AX y esto"}, {"start": 296.6, "end": 309.08000000000004, "text": " menos la integral de B que es 1 sobre A por E a la AX y eso multiplicado por DU que nos"}, {"start": 309.08, "end": 320.44, "text": " dio esta expresi\u00f3n de porcoseno de BX y todo eso con el diferencial de X."}, {"start": 320.44, "end": 326.71999999999997, "text": " Como podemos observar esto que tenemos aqu\u00ed es el mismo ejercicio original y va a ser"}, {"start": 326.71999999999997, "end": 333.03999999999996, "text": " igual a todo esto, entonces vamos a escribirlo por ac\u00e1 organizando lo que podamos hasta"}, {"start": 333.03999999999996, "end": 339.03999999999996, "text": " el momento, por ejemplo en el caso del primer t\u00e9rmino se puede escribir como 1 sobre A"}, {"start": 339.04, "end": 353.6, "text": " por seno de BX por E a la AX, ac\u00e1 en este t\u00e9rmino podemos extraer B y tambi\u00e9n 1 sobre"}, {"start": 353.6, "end": 362.36, "text": " A como eso est\u00e1 multiplicando nos queda por fuera de la integral como B sobre A y adentro"}, {"start": 362.36, "end": 374.52000000000004, "text": " tendremos la integral de E a la AX por coseno de BX y todo eso con el diferencial de X."}, {"start": 374.52000000000004, "end": 381.08000000000004, "text": " Ahora tenemos que concentrarnos en resolver esta integral que nos queda pendiente, entonces"}, {"start": 381.08000000000004, "end": 387.8, "text": " hacemos de cuenta que entramos a un nuevo ejercicio, vamos a escribirla por ac\u00e1 integral"}, {"start": 387.8, "end": 399.36, "text": " de E a la AX por coseno de BX con su diferencial de X, esta integral tambi\u00e9n vamos a resolverla"}, {"start": 399.36, "end": 405.92, "text": " por el m\u00e9todo de integraci\u00f3n por partes y como se observa viene la misma estructura"}, {"start": 405.92, "end": 415.16, "text": " que el ejercicio original, tenemos all\u00ed una expresi\u00f3n exponencial y una expresi\u00f3n trigonom\u00e9trica"}, {"start": 415.16, "end": 422.44, "text": " utilizando ilate, vimos que si tenemos trigonom\u00e9trica y exponencial la primera que encontramos"}, {"start": 422.44, "end": 429.44000000000005, "text": " de izquierda a derecha es la trigonom\u00e9trica y ella har\u00e1 el papel de U, entonces como dec\u00edamos"}, {"start": 429.44000000000005, "end": 438.88, "text": " se cambia el orden de las dos expresiones para que primero nos quede la U que ser\u00e1 esto"}, {"start": 438.88, "end": 446.12, "text": " que tenemos aqu\u00ed, la expresi\u00f3n trigonom\u00e9trica y lo que nos queda enseguida ser\u00e1 DB. De"}, {"start": 446.12, "end": 453.08, "text": " nuevo vamos a escribir por ac\u00e1 aparte lo que es U y DB para encontrar de U y B, es decir"}, {"start": 453.08, "end": 459.36, "text": " los cuatro componentes que necesitamos para plantear la f\u00f3rmula de integraci\u00f3n por partes,"}, {"start": 459.36, "end": 468.88, "text": " vemos que U es coseno de BX y esto tenemos que derivarlo con respecto a X, derivada de"}, {"start": 468.88, "end": 478.04, "text": " U respecto a X ser\u00e1 derivada del coseno de BX ser\u00e1 menos seno de BX por la derivada"}, {"start": 478.04, "end": 486.40000000000003, "text": " interna es decir la derivada de BX que nos da B y de all\u00ed vamos a despejar de U, pasamos"}, {"start": 486.4, "end": 491.96, "text": " de X que est\u00e1 dividiendo al otro lado a multiplicar y acomodamos esta letra B al"}, {"start": 491.96, "end": 501.76, "text": " principio de la expresi\u00f3n nos queda menos B seno de BX y eso multiplicado por de X,"}, {"start": 501.76, "end": 510.91999999999996, "text": " aqu\u00ed tenemos entonces el componente llamado de U, enseguida tenemos que DB es igual a"}, {"start": 510.92, "end": 522.32, "text": " E a la AX con su diferencial de X, esto tenemos que integrarlo a ambos lados y all\u00ed vamos"}, {"start": 522.32, "end": 528.6800000000001, "text": " a aplicar la f\u00f3rmula que vimos anteriormente para integrar este lado, ac\u00e1 tenemos que"}, {"start": 528.6800000000001, "end": 538.88, "text": " la integral de DB es B y ac\u00e1 tendremos 1 sobre A por E a la AX, tenemos as\u00ed el componente"}, {"start": 538.88, "end": 546.72, "text": " DB que necesitamos para plantear la f\u00f3rmula de integraci\u00f3n por partes, escribimos entonces"}, {"start": 546.72, "end": 557.28, "text": " dicha f\u00f3rmula la integral de U por DB es igual a 1 vaca menos la integral vestida de"}, {"start": 557.28, "end": 564.64, "text": " uniforme y vamos a reemplazar all\u00ed cada uno de los componentes, tenemos integral de U"}, {"start": 564.64, "end": 580.52, "text": " que es coseno de BX por DB que es E a la AX por DX y esto es igual a U que vale coseno"}, {"start": 580.52, "end": 598.1999999999999, "text": " de BX por B que es 1 sobre A por E a la AX y eso menos la integral de B que es 1 sobre"}, {"start": 598.2, "end": 612.12, "text": " A por E a la AX y eso multiplicado por DU que es esta expresi\u00f3n, como es negativa la"}, {"start": 612.12, "end": 624.72, "text": " protegemos menos B seno de DX y eso con el diferencial de X, como podemos observar esto"}, {"start": 624.72, "end": 633.6, "text": " que tenemos aqu\u00ed es exactamente lo mismo que hab\u00edamos obtenido por ac\u00e1, entonces vamos"}, {"start": 633.6, "end": 644.44, "text": " a cambiar esto por toda esta expresi\u00f3n, comenzamos entonces por ac\u00e1 donde nos queda 1 sobre A"}, {"start": 644.44, "end": 656.2, "text": " seno de DX por E a la AX menos B sobre A y vamos a abrir una llave para reemplazar aqu\u00ed"}, {"start": 656.2, "end": 663.12, "text": " toda esta expresi\u00f3n la cual vamos a ir organizando, comenzamos con este t\u00e9rmino donde podemos"}, {"start": 663.12, "end": 676.32, "text": " escribir primero 1 sobre A luego coseno de BX y despu\u00e9s E a la AX y luego tenemos menos"}, {"start": 676.32, "end": 682.16, "text": " por ac\u00e1 tendremos 1 sobre A que multiplica con menos B, esto nos quedar\u00eda menos B sobre"}, {"start": 682.16, "end": 688.72, "text": " A dentro de la integral pero al salir con este signo menos nos queda m\u00e1s, m\u00e1s B sobre"}, {"start": 688.72, "end": 696.76, "text": " A por la integral de esto que nos queda dentro que ser\u00e1 el componente exponencial y el componente"}, {"start": 696.76, "end": 709.32, "text": " trigonom\u00e9trico, entonces E a la AX por seno de BX y todo eso con su diferencial de X y"}, {"start": 709.32, "end": 712.96, "text": " cerramos esa llave."}, {"start": 712.96, "end": 723.32, "text": " Ahora esta expresi\u00f3n nos queda de la siguiente manera 1 sobre A por seno de BX por E a la"}, {"start": 723.32, "end": 729.2, "text": " AX, esto no presenta ninguna variaci\u00f3n y aqu\u00ed vamos a aplicar la propiedad distributiva,"}, {"start": 729.2, "end": 734.48, "text": " tenemos menos B sobre A que multiplica con ese t\u00e9rmino entonces tendremos aqu\u00ed el producto"}, {"start": 734.48, "end": 741.46, "text": " de estas dos fracciones y eso nos queda menos B sobre A al cuadrado, recordemos que se multiplican"}, {"start": 741.46, "end": 750.08, "text": " en forma horizontal y esto por coseno de BX por E a la AX, ahora multiplicamos menos B"}, {"start": 750.08, "end": 758.2800000000001, "text": " sobre A por m\u00e1s B sobre A eso nos va a quedar menos B al cuadrado sobre A al cuadrado, de"}, {"start": 758.2800000000001, "end": 764.0, "text": " nuevo multiplicamos las fracciones en forma horizontal y eso nos queda acompa\u00f1ando a"}, {"start": 764.0, "end": 773.96, "text": " la integral de E a la AX por el seno de BX y todo eso con su diferencial de X."}, {"start": 773.96, "end": 780.08, "text": " La integral que tenemos en el lado izquierdo digamos que se viene repitiendo y vamos a"}, {"start": 780.08, "end": 789.36, "text": " escribirla por ac\u00e1, integral de E a la AX por el seno de BX con su diferencial de X"}, {"start": 789.36, "end": 795.28, "text": " y se observa que esta integral aparece tambi\u00e9n por ac\u00e1, entonces podemos trasladar este"}, {"start": 795.28, "end": 802.96, "text": " t\u00e9rmino al otro lado como ac\u00e1 est\u00e1 negativo va a llegar al lado izquierdo con signo positivo"}, {"start": 802.96, "end": 808.84, "text": " es decir sumando. Nos va a quedar entonces de la siguiente manera,"}, {"start": 808.84, "end": 818.8000000000001, "text": " integral de E a la AX por seno de BX con su diferencial de X, esta que no cambia y esta"}, {"start": 818.8, "end": 828.4, "text": " es la que llega con signo m\u00e1s queda de cuadrado sobre A cuadrado por la integral de E a la"}, {"start": 828.4, "end": 838.88, "text": " AX seno de BX con su diferencial de X y eso ser\u00e1 igual a estos dos t\u00e9rminos que se quedan"}, {"start": 838.88, "end": 853.08, "text": " a este lado es decir 1 sobre A seno de BX E a la AX y eso menos B sobre A cuadrado por"}, {"start": 853.08, "end": 864.16, "text": " coseno de BX y eso por E a la AX. En el lado izquierdo podemos extraer factor"}, {"start": 864.16, "end": 871.64, "text": " com\u00fan vemos que esta integral se repite en los dos t\u00e9rminos entonces se extrae tenemos"}, {"start": 871.64, "end": 881.1999999999999, "text": " la integral de E a la AX seno de BX con su diferencial de X que como dec\u00edamos es el factor"}, {"start": 881.1999999999999, "end": 888.04, "text": " com\u00fan y eso va a multiplicar a la siguiente expresi\u00f3n como aqu\u00ed este t\u00e9rmino abandona"}, {"start": 888.04, "end": 896.5999999999999, "text": " por completo nos queda uno y en el otro nos queda el componente de al cuadrado sobre a"}, {"start": 896.5999999999999, "end": 903.5999999999999, "text": " al cuadrado ac\u00e1 en el lado derecho tambi\u00e9n podemos extraer factor com\u00fan el componente"}, {"start": 903.5999999999999, "end": 917.88, "text": " exponencial sale a la AX y eso va a multiplicar abrimos corchete a 1 sobre A seno de BX menos"}, {"start": 917.88, "end": 931.0, "text": " B sobre A cuadrado por coseno de BX y cerramos el corchete ahora de esta igualdad podemos"}, {"start": 931.0, "end": 938.88, "text": " despejar todo este componente que es precisamente la integral que pretendemos resolver nos queda"}, {"start": 938.88, "end": 947.4, "text": " integral de E a la AX por el seno de BX con su diferencial de X va a ser igual a todo"}, {"start": 947.4, "end": 960.72, "text": " esto que tenemos ac\u00e1 entonces E a la AX por abrimos corchete 1 sobre A seno de BX esto"}, {"start": 960.72, "end": 974.0799999999999, "text": " menos B sobre A cuadrado coseno de BX cerramos el corchete y todo eso nos queda sobre esta"}, {"start": 974.08, "end": 985.2, "text": " expresi\u00f3n que pasa a dividir al otro lado es decir 1 m\u00e1s B al cuadrado sobre A al cuadrado"}, {"start": 985.2, "end": 991.96, "text": " esta expresi\u00f3n que tenemos a este lado ya constituye la respuesta para esa integral"}, {"start": 991.96, "end": 999.6, "text": " entonces ac\u00e1 ya se puede escribir la constante de integraci\u00f3n que es C podemos tambi\u00e9n"}, {"start": 999.6, "end": 1006.5600000000001, "text": " hacer el trabajo algebraico de esta expresi\u00f3n para llevarla a una forma m\u00e1s sencilla veamos"}, {"start": 1006.5600000000001, "end": 1015.76, "text": " entonces c\u00f3mo se puede conseguir eso dejamos E a la AX por abrimos el corchete y esta expresi\u00f3n"}, {"start": 1015.76, "end": 1024.1200000000001, "text": " la escribimos como seno de BX y esto sobre A en el otro caso en el otro t\u00e9rmino nos"}, {"start": 1024.12, "end": 1034.3999999999999, "text": " va a quedar B coseno de BX en el numerador y tendremos A al cuadrado en el denominador"}, {"start": 1034.3999999999999, "end": 1045.0, "text": " y debajo de la l\u00ednea principal vamos a tener esta suma que vamos a escribir de nuevo y"}, {"start": 1045.0, "end": 1052.9199999999998, "text": " donde a este 1 le vamos a completar con denominador 1 para el caso de estas dos fracciones que"}, {"start": 1052.92, "end": 1059.44, "text": " son heterog\u00e9neas o sea que tienen distinto denominador podemos convertirlas en homog\u00e9neas"}, {"start": 1059.44, "end": 1065.6000000000001, "text": " simplemente tomamos esta fracci\u00f3n y la multiplicamos por A tanto en la parte de arriba como en"}, {"start": 1065.6000000000001, "end": 1072.72, "text": " la parte de abajo entonces arriba nos quedar\u00eda A multiplicando con el seno de BX y en la"}, {"start": 1072.72, "end": 1079.4, "text": " parte de abajo si multiplicamos A por esta A nos queda A al cuadrado y de esa manera"}, {"start": 1079.4, "end": 1087.1000000000001, "text": " ya tenemos fracciones con el mismo denominador eso nos permite entonces efectuar esta resta"}, {"start": 1087.1000000000001, "end": 1095.1200000000001, "text": " con mayor facilidad escribimos E a la AX abrimos el corchete trazamos la l\u00ednea de"}, {"start": 1095.1200000000001, "end": 1102.24, "text": " la fracci\u00f3n conservamos el mismo denominador y escribimos la operaci\u00f3n que tenemos arriba"}, {"start": 1102.24, "end": 1115.24, "text": " A seno de BX menos de coseno de BX cerramos el corchete y vamos a resolver la operaci\u00f3n"}, {"start": 1115.24, "end": 1124.72, "text": " que tenemos ac\u00e1 en la parte de abajo all\u00ed podemos aplicar lo que se conoce como la carita"}, {"start": 1124.72, "end": 1132.6000000000001, "text": " feliz pegamos en la parte de arriba tendremos 1 por A al cuadrado que es A al cuadrado"}, {"start": 1132.6000000000001, "end": 1139.04, "text": " m\u00e1s 1 por B al cuadrado que es B al cuadrado y en la parte de abajo 1 por A al cuadrado"}, {"start": 1139.04, "end": 1146.56, "text": " que es A al cuadrado en este caso como tenemos aqu\u00ed una fracci\u00f3n sobre otra que poseen"}, {"start": 1146.56, "end": 1154.68, "text": " el mismo denominador entonces lo podemos suprimir o cancelar y nos va a quedar que la siguiente"}, {"start": 1154.68, "end": 1171.96, "text": " manera E a la AX que multiplica A a seno de BX eso menos de coseno de BX cerramos el par\u00e9ntesis"}, {"start": 1171.96, "end": 1181.48, "text": " cerramos el corchete y todo eso sobre A al cuadrado m\u00e1s de A al cuadrado y escribimos"}, {"start": 1181.48, "end": 1188.32, "text": " por ac\u00e1 la constante de integraci\u00f3n bien as\u00ed hemos encontrado entonces la expresi\u00f3n"}, {"start": 1188.32, "end": 1196.88, "text": " m\u00e1s sencilla es decir en su forma m\u00e1s simple que constituye la antiderivada de esta funci\u00f3n"}, {"start": 1196.88, "end": 1203.44, "text": " es el resultado entonces de esa integral que hemos resuelto como dec\u00edamos utilizando el"}, {"start": 1203.44, "end": 1220.68, "text": " m\u00e9todo de integraci\u00f3n por partes dos veces."}]

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INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN - Ejercicios 1, 2 y 3

#julioprofe demuestra tres fórmulas de integración de uso frecuente, usando el Método de Sustitución. Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver estas tres integrales donde m representa cualquier número real utilizando el método de sustitución conocido también como cambio de variable. Vamos a utilizar la letra t para representar a lo que es mx. Esto vamos a derivarlo con respecto a x. Tendremos derivada de t respecto a x igual a m, o sea la derivada de mx. Recordemos que m es un número real. Y aquí despejamos de t, de x está dividiendo, pasa al otro lado a multiplicar, nos queda m por dx y de allí vamos a despejar de x. m que está multiplicando pasa al otro lado a dividir y nos queda igual a dt sobre m. Entonces con estos dos componentes vamos a resolver cada una de esas integrales. Para el caso de la primera, tendremos lo siguiente, integral del seno de mx que se cambia por t y esto multiplicado por dx que es dt sobre m. Allí podemos extraer m como se encuentra en la parte de abajo, nos queda como 1 sobre m por fuera de la integral de seno de t con su correspondiente diferencial de t. Y esto que tenemos aquí ya constituye una integral básica o una integral directa. Tendremos 1 sobre m por la integral de seno de t con su diferencial de t que nos da como resultado menos coseno de t. Y tendremos por primera vez la constante de integración. Luego esto lo podemos organizar de la siguiente manera, 1 sobre m por menos 1 nos queda menos 1 sobre m que multiplica al coseno de t más c. Y finalmente cambiamos lo que es t por su equivalente que es mx. Tendremos entonces menos 1 sobre m por el coseno de mx. Y todo esto más la constante de integración. De esta manera ya tenemos el resultado de esta primera integral y hemos utilizado el método de sustitución. En el segundo caso tenemos la integral de coseno de mx con su diferencial dx. Entonces vamos a reescribirla como coseno de t, cambiamos mx por t y también cambiamos dx por su equivalente que es dt sobre m. De nuevo podemos extraer m, nos queda 1 sobre m por la integral de coseno de t con su diferencial dt. Y otra vez hemos llegado a una integral que es directa o una integral básica. Tendremos 1 sobre m por la integral de coseno de t con su diferencial dt que nos da seno de t y escribimos la constante de integración. Allí cambiamos t por su equivalente y nos queda 1 sobre m por el seno de mx y todo esto más c. Esta será entonces la respuesta para esa integral. En el tercer caso tenemos la integral de e a la mx con su diferencial dx. También hacemos el cambio de mx por la letra t y cambiamos el diferencial dx por su equivalente que es dt sobre m. Otra vez podemos extraer m, nos queda 1 sobre m por la integral de e a la t con su diferencial dt. Y aquí observamos otra integral que es directa o que es básica. Tendremos 1 sobre m por la integral de e a la t con su diferencial dt que nos da la misma expresión e a la t y esto más la constante de integración. Esto será entonces igual a 1 sobre m por e a la t pero t se cambia por su equivalente que es mx y a esto le añadimos la constante de integración. Esta será entonces la respuesta para esa integral. En resumen tenemos estas tres expresiones que constituyen fórmulas que nos permiten resolver de manera rápida situaciones como estas que se nos van a presentar con frecuencia en los métodos de integración por partes o integrales por fracciones parciales o también las integrales trigonométricas. Veamos algunos ejemplos de aplicación de esas tres fórmulas. Si tenemos por ejemplo la integral del seno de 3x con su diferencial dx vemos que encaja perfectamente con la primera situación. En ese caso 3 está representando a la letra m. Si aplicamos la fórmula tendremos menos 1 sobre 3 o sea menos 1 tercio por el coseno de 3x más c y así ya hemos resuelto esa situación. Si tenemos por ejemplo la integral del coseno de x medios con su diferencial dx entonces podemos reescribir eso como la integral del coseno de 1 medio de x con su diferencial dx y vemos que se ajusta perfectamente a el segundo caso. En ese caso m es 1 medio. Si aplicamos la fórmula tendremos lo siguiente 1 sobre m o sea 1 sobre 1 medio por el seno de mx o sea 1 medio por x y todo esto más la constante de integración. Esta expresión la podemos organizar de una forma más sencilla. Vamos a seguirla por acá tendremos que 1 sobre 1 medio aplicando lo que se llama ley de la oreja podemos cambiar este 1 como 1 sobre 1 multiplicamos extremos y medios entonces nos queda convertido en 2 o sea 2 sobre 1 y acá tendremos el seno de 1 medio de x que puede escribirse como x medios tal como venía inicialmente y todo esto le agregamos la constante c o sea la constante de integración repetimos esta integral da como resultado esto que tenemos acá utilizando la segunda fórmula. Veamos ahora un caso que se ajusta a la tercera situación si tenemos la integral de e a la menos x con su diferencial dx esto lo podemos escribir como integral de e a la menos 1 por x con su diferencial dx en ese caso observamos que m es menos 1 y aplicando la fórmula tendremos 1 sobre m o sea 1 sobre menos 1 por e a la mx o sea a la menos 1 por x y todo esto más c organizando esa expresión tendremos que 1 sobre menos 1 nos da menos 1 o sea simplemente anotamos el menos y acompaña a e a la menos x el resultado de efectuar menos 1 por x y todo esto más la constante de integración.

[{"start": 0.0, "end": 10.84, "text": " Vamos a resolver estas tres integrales donde m representa cualquier n\u00famero real utilizando"}, {"start": 10.84, "end": 17.82, "text": " el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n conocido tambi\u00e9n como cambio de variable."}, {"start": 17.82, "end": 25.400000000000002, "text": " Vamos a utilizar la letra t para representar a lo que es mx. Esto vamos a derivarlo con"}, {"start": 25.4, "end": 34.64, "text": " respecto a x. Tendremos derivada de t respecto a x igual a m, o sea la derivada de mx. Recordemos"}, {"start": 34.64, "end": 42.08, "text": " que m es un n\u00famero real. Y aqu\u00ed despejamos de t, de x est\u00e1 dividiendo, pasa al otro"}, {"start": 42.08, "end": 52.239999999999995, "text": " lado a multiplicar, nos queda m por dx y de all\u00ed vamos a despejar de x. m que est\u00e1 multiplicando"}, {"start": 52.24, "end": 62.08, "text": " pasa al otro lado a dividir y nos queda igual a dt sobre m. Entonces con estos dos componentes"}, {"start": 62.08, "end": 70.92, "text": " vamos a resolver cada una de esas integrales. Para el caso de la primera, tendremos lo siguiente,"}, {"start": 70.92, "end": 79.92, "text": " integral del seno de mx que se cambia por t y esto multiplicado por dx que es dt sobre"}, {"start": 79.92, "end": 88.56, "text": " m. All\u00ed podemos extraer m como se encuentra en la parte de abajo, nos queda como 1 sobre"}, {"start": 88.56, "end": 98.0, "text": " m por fuera de la integral de seno de t con su correspondiente diferencial de t. Y esto"}, {"start": 98.0, "end": 105.84, "text": " que tenemos aqu\u00ed ya constituye una integral b\u00e1sica o una integral directa. Tendremos"}, {"start": 105.84, "end": 115.32000000000001, "text": " 1 sobre m por la integral de seno de t con su diferencial de t que nos da como resultado"}, {"start": 115.32000000000001, "end": 123.68, "text": " menos coseno de t. Y tendremos por primera vez la constante de integraci\u00f3n. Luego esto"}, {"start": 123.68, "end": 130.28, "text": " lo podemos organizar de la siguiente manera, 1 sobre m por menos 1 nos queda menos 1 sobre"}, {"start": 130.28, "end": 143.56, "text": " m que multiplica al coseno de t m\u00e1s c. Y finalmente cambiamos lo que es t por su equivalente que"}, {"start": 143.56, "end": 156.84, "text": " es mx. Tendremos entonces menos 1 sobre m por el coseno de mx. Y todo esto m\u00e1s la constante"}, {"start": 156.84, "end": 163.24, "text": " de integraci\u00f3n. De esta manera ya tenemos el resultado de esta primera integral y hemos"}, {"start": 163.24, "end": 172.2, "text": " utilizado el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n. En el segundo caso tenemos la integral de coseno"}, {"start": 172.2, "end": 182.12, "text": " de mx con su diferencial dx. Entonces vamos a reescribirla como coseno de t, cambiamos"}, {"start": 182.12, "end": 191.48000000000002, "text": " mx por t y tambi\u00e9n cambiamos dx por su equivalente que es dt sobre m. De nuevo podemos extraer"}, {"start": 191.48000000000002, "end": 201.76, "text": " m, nos queda 1 sobre m por la integral de coseno de t con su diferencial dt. Y otra"}, {"start": 201.76, "end": 209.68, "text": " vez hemos llegado a una integral que es directa o una integral b\u00e1sica. Tendremos 1 sobre"}, {"start": 209.68, "end": 220.56, "text": " m por la integral de coseno de t con su diferencial dt que nos da seno de t y escribimos la constante"}, {"start": 220.56, "end": 229.24, "text": " de integraci\u00f3n. All\u00ed cambiamos t por su equivalente y nos queda 1 sobre m por el seno"}, {"start": 229.24, "end": 239.36, "text": " de mx y todo esto m\u00e1s c. Esta ser\u00e1 entonces la respuesta para esa integral."}, {"start": 239.36, "end": 249.72000000000003, "text": " En el tercer caso tenemos la integral de e a la mx con su diferencial dx. Tambi\u00e9n hacemos"}, {"start": 249.72000000000003, "end": 258.24, "text": " el cambio de mx por la letra t y cambiamos el diferencial dx por su equivalente que es"}, {"start": 258.24, "end": 269.56, "text": " dt sobre m. Otra vez podemos extraer m, nos queda 1 sobre m por la integral de e a la"}, {"start": 269.56, "end": 278.48, "text": " t con su diferencial dt. Y aqu\u00ed observamos otra integral que es directa o que es b\u00e1sica."}, {"start": 278.48, "end": 287.48, "text": " Tendremos 1 sobre m por la integral de e a la t con su diferencial dt que nos da la misma"}, {"start": 287.48, "end": 295.12, "text": " expresi\u00f3n e a la t y esto m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n. Esto ser\u00e1 entonces igual"}, {"start": 295.12, "end": 304.76, "text": " a 1 sobre m por e a la t pero t se cambia por su equivalente que es mx y a esto le a\u00f1adimos"}, {"start": 304.76, "end": 312.92, "text": " la constante de integraci\u00f3n. Esta ser\u00e1 entonces la respuesta para esa integral."}, {"start": 312.92, "end": 318.68, "text": " En resumen tenemos estas tres expresiones que constituyen f\u00f3rmulas que nos permiten"}, {"start": 318.68, "end": 324.38, "text": " resolver de manera r\u00e1pida situaciones como estas que se nos van a presentar con frecuencia"}, {"start": 324.38, "end": 330.62, "text": " en los m\u00e9todos de integraci\u00f3n por partes o integrales por fracciones parciales o tambi\u00e9n"}, {"start": 330.62, "end": 337.16, "text": " las integrales trigonom\u00e9tricas. Veamos algunos ejemplos de aplicaci\u00f3n de esas tres f\u00f3rmulas."}, {"start": 337.16, "end": 344.90000000000003, "text": " Si tenemos por ejemplo la integral del seno de 3x con su diferencial dx vemos que encaja"}, {"start": 344.90000000000003, "end": 351.20000000000005, "text": " perfectamente con la primera situaci\u00f3n. En ese caso 3 est\u00e1 representando a la letra"}, {"start": 351.20000000000005, "end": 359.32000000000005, "text": " m. Si aplicamos la f\u00f3rmula tendremos menos 1 sobre 3 o sea menos 1 tercio por el coseno"}, {"start": 359.32000000000005, "end": 366.38, "text": " de 3x m\u00e1s c y as\u00ed ya hemos resuelto esa situaci\u00f3n."}, {"start": 366.38, "end": 377.56, "text": " Si tenemos por ejemplo la integral del coseno de x medios con su diferencial dx entonces"}, {"start": 377.56, "end": 386.52, "text": " podemos reescribir eso como la integral del coseno de 1 medio de x con su diferencial"}, {"start": 386.52, "end": 394.4, "text": " dx y vemos que se ajusta perfectamente a el segundo caso. En ese caso m es 1 medio."}, {"start": 394.4, "end": 403.28, "text": " Si aplicamos la f\u00f3rmula tendremos lo siguiente 1 sobre m o sea 1 sobre 1 medio por el seno"}, {"start": 403.28, "end": 411.88, "text": " de mx o sea 1 medio por x y todo esto m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 411.88, "end": 417.34, "text": " Esta expresi\u00f3n la podemos organizar de una forma m\u00e1s sencilla. Vamos a seguirla por"}, {"start": 417.34, "end": 424.88, "text": " ac\u00e1 tendremos que 1 sobre 1 medio aplicando lo que se llama ley de la oreja podemos cambiar"}, {"start": 424.88, "end": 431.47999999999996, "text": " este 1 como 1 sobre 1 multiplicamos extremos y medios entonces nos queda convertido en"}, {"start": 431.47999999999996, "end": 441.2, "text": " 2 o sea 2 sobre 1 y ac\u00e1 tendremos el seno de 1 medio de x que puede escribirse como"}, {"start": 441.2, "end": 448.96, "text": " x medios tal como ven\u00eda inicialmente y todo esto le agregamos la constante c o sea la"}, {"start": 448.96, "end": 456.8, "text": " constante de integraci\u00f3n repetimos esta integral da como resultado esto que tenemos ac\u00e1 utilizando"}, {"start": 456.8, "end": 462.15999999999997, "text": " la segunda f\u00f3rmula. Veamos ahora un caso que se ajusta a la tercera"}, {"start": 462.15999999999997, "end": 469.68, "text": " situaci\u00f3n si tenemos la integral de e a la menos x con su diferencial dx esto lo podemos"}, {"start": 469.68, "end": 478.12, "text": " escribir como integral de e a la menos 1 por x con su diferencial dx en ese caso observamos"}, {"start": 478.12, "end": 487.84000000000003, "text": " que m es menos 1 y aplicando la f\u00f3rmula tendremos 1 sobre m o sea 1 sobre menos 1 por e a la"}, {"start": 487.84000000000003, "end": 496.8, "text": " mx o sea a la menos 1 por x y todo esto m\u00e1s c organizando esa expresi\u00f3n tendremos que"}, {"start": 496.8, "end": 504.56, "text": " 1 sobre menos 1 nos da menos 1 o sea simplemente anotamos el menos y acompa\u00f1a a e a la menos"}, {"start": 504.56, "end": 527.44, "text": " x el resultado de efectuar menos 1 por x y todo esto m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}]

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INTEGRACIÓN POR PARTES - Ejercicio 14

#julioprofe explica cómo resolver un ejercicio utilizando el Método de Integración por Partes. Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver esta integral utilizando el método de integración por partes, debido a que no se puede resolver en forma directa ni tampoco por el método de sustitución. Comenzamos clasificando estas dos expresiones en las categorías de ilate. Ahora vemos que ilate significa lo siguiente, función inversa, función logarítmica, función algebraica, función trigonométrica y función exponencial. En este caso tenemos que el componente x corresponde a la categoría de función algebraica y el caso de tangente a la menos uno de x corresponde al caso de la función inversa. Es una función trigonométrica inversa. Recordemos que utilizando ilate vamos a detectar fácilmente cuál de las dos expresiones va a representar u en el método de integración por partes. Será la primera letra que encontremos al nombrar esta palabra. De izquierda a derecha la primera que encontramos señalada es la inversa, entonces ella va a ser u. En este caso estamos hablando de tangente a la menos uno de x, entonces vamos a cambiar el orden de esas dos expresiones. Escribimos primero tangente a la menos uno de x porque va a representar u y eso queda multiplicado por x y por el diferencial de x. De esta manera ya podemos señalar que este componente va a ser u, o sea la función inversa y el resto, o sea x por dx hará el papel ddp. Tenemos allí los dos componentes del método de integración por partes. A continuación escribimos por acá que u es igual a tangente a la menos uno de x. Este componente lo destacamos porque lo vamos a necesitar más adelante y de aquí vamos a derivar esa expresión, derivamos u con respecto a x, lo cual nos va a dar la derivada de tangente a la menos uno de x, que es uno sobre uno más x al cuadrado. De allí vamos a despejar de u, para ello de x que está dividiendo pasa al otro lado a multiplicar con esta expresión. Entonces tendremos uno sobre uno más x al cuadrado y esto multiplicado por dx. Entonces tenemos allí otro componente que destacamos y que es dq. En seguida vamos a destacar o señalar lo que es dv, x por dx y esto lo vamos a integrar a ambos lados. Decimos la integral de dv igual a la integral de x por dx. Resolvemos entonces ambas integrales. Integral de dv nos da b y la integral de x con su diferencial de x nos dará x al cuadrado sobre 2. Destacamos esto y de esa manera tenemos ya los cuatro componentes que vamos a utilizar en la fórmula de integración por partes. Esa fórmula dice lo siguiente, la integral de u por dv es igual a u por b menos la integral de b por du. Es la fórmula de integración por partes. Para aprenderla fácilmente este lado lo podemos nombrar así, una vaca menos la integral vestida de uniforme. Vamos entonces a reemplazar allí cada uno de los cuatro componentes. Tenemos por acá la integral de u que es tangente a la menos uno de x por dv que es x por dx. Esto es igual a u que es tangente a la menos uno de x. Eso multiplicado por b que nos dio x al cuadrado sobre 2. Esto menos la integral de b que es x al cuadrado sobre 2. Y eso multiplicado por du que nos dio esta expresión, 1 sobre 1 más x al cuadrado y todo eso multiplicado por el diferencial de x. Como podemos observar esto que tenemos aquí es el mismo ejercicio original. Únicamente se han cambiado de orden las dos expresiones pero es exactamente la misma. Entonces esto lo vamos a continuar acá y esto va a ser igual a este producto que podemos organizar como x al cuadrado por tangente a la menos uno de x y todo esto sobre 2. Es la forma como comprimimos y organizamos esta parte de la expresión. Acá tenemos menos este 2 que puede salir de la integral que queda como un medio y que va a multiplicar a la siguiente expresión. Tenemos acá x al cuadrado por 1, es decir x al cuadrado en el numerador. Abajo tendremos 1 más x al cuadrado y todo eso multiplicado por el diferencial de x. Ahora nos vamos a ocupar por resolver esta integral. Vamos entonces a efectuar ese procedimiento por acá. Tenemos la integral de x al cuadrado sobre 1 más x al cuadrado y todo eso con su diferencial de x. Aquí vamos a realizar la siguiente estrategia. En el numerador tenemos x al cuadrado y vamos a sumar y al mismo tiempo vamos a restar 1. En el denominador nos queda 1 más x al cuadrado y esto multiplicado por dx. Lo que hicimos en el numerador es completamente lícito porque es como si a x al cuadrado le sumáramos 0. Ese 0 está representado por la operación más 1 y menos 1. A continuación vamos a repartir este denominador para esta expresión x al cuadrado más 1 y para ese menos 1 que están en el numerador. Tendremos entonces x al cuadrado más 1 sobre 1 más x al cuadrado y esto menos 1 sobre 1 más x al cuadrado. Protejemos todo esto con paréntesis y escribimos el diferencial de x. Con esa transformación que hicimos vemos que esto aquí va a ser equivalente a 1 porque el numerador es exactamente igual al denominador. Entonces todo esto se convierte en 1 y así vamos a poder repartir esta integral para estos dos componentes que están restando. Tendremos entonces la integral de 1 con su diferencial de x y esto menos la integral de 1 sobre 1 más x al cuadrado y esto también con su diferencial de x. Ya podemos entonces resolver ambas integrales que serán directas o inmediatas. La integral de 1 por dx, que es lo mismo que decir la integral de dx será igual a x y esto menos la integral de 1 sobre 1 más x al cuadrado que nos da tangente a la menos 1 dx. Y allí aparecería por primera vez la constante de integración para esta integral indefinida. Como se observa ya podemos reemplazar esta integral por el resultado obtenido. Tendremos lo siguiente, este termino puede reescribirse como 1 medio de x al cuadrado por tangente a la menos 1 de x. Esto menos 1 medio que multiplica a el resultado de esta integral que nos dio x menos tangente a la menos 1 de x. Cerramos el paréntesis y escribimos la constante de integración. Esta expresión que tenemos aquí ya constituye la respuesta para ese ejercicio. Sin embargo, podemos escribir todo esto de una forma un poco más sencilla. Podemos extraer factor común 1 medio y eso nos va a quedar multiplicando con x al cuadrado tangente a la menos 1 de x y esto menos lo que tenemos dentro del paréntesis. Pero podemos romperlo. Aplicamos la propiedad distributiva ingresando ese signo negativo. Tenemos menos por más x nos da menos x y menos por menos tangente a la menos 1 de x nos va a dar más tangente a la menos 1 de x. Cerramos el paréntesis y escribimos la constante de integración. Ahora sí podemos decir que todo eso es la respuesta para esa integral indefinida.

[{"start": 0.0, "end": 9.68, "text": " Vamos a resolver esta integral utilizando el m\u00e9todo de integraci\u00f3n por partes, debido"}, {"start": 9.68, "end": 16.32, "text": " a que no se puede resolver en forma directa ni tampoco por el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n."}, {"start": 16.32, "end": 24.28, "text": " Comenzamos clasificando estas dos expresiones en las categor\u00edas de ilate."}, {"start": 24.28, "end": 31.12, "text": " Ahora vemos que ilate significa lo siguiente, funci\u00f3n inversa, funci\u00f3n logar\u00edtmica, funci\u00f3n"}, {"start": 31.12, "end": 36.72, "text": " algebraica, funci\u00f3n trigonom\u00e9trica y funci\u00f3n exponencial."}, {"start": 36.72, "end": 45.760000000000005, "text": " En este caso tenemos que el componente x corresponde a la categor\u00eda de funci\u00f3n algebraica y el"}, {"start": 45.760000000000005, "end": 53.36, "text": " caso de tangente a la menos uno de x corresponde al caso de la funci\u00f3n inversa."}, {"start": 53.36, "end": 57.08, "text": " Es una funci\u00f3n trigonom\u00e9trica inversa."}, {"start": 57.08, "end": 63.68, "text": " Recordemos que utilizando ilate vamos a detectar f\u00e1cilmente cu\u00e1l de las dos expresiones va"}, {"start": 63.68, "end": 68.24, "text": " a representar u en el m\u00e9todo de integraci\u00f3n por partes."}, {"start": 68.24, "end": 72.68, "text": " Ser\u00e1 la primera letra que encontremos al nombrar esta palabra."}, {"start": 72.68, "end": 79.32, "text": " De izquierda a derecha la primera que encontramos se\u00f1alada es la inversa, entonces ella va"}, {"start": 79.32, "end": 80.68, "text": " a ser u."}, {"start": 80.68, "end": 86.56, "text": " En este caso estamos hablando de tangente a la menos uno de x, entonces vamos a cambiar"}, {"start": 86.56, "end": 89.84, "text": " el orden de esas dos expresiones."}, {"start": 89.84, "end": 95.48, "text": " Escribimos primero tangente a la menos uno de x porque va a representar u y eso queda"}, {"start": 95.48, "end": 101.24000000000001, "text": " multiplicado por x y por el diferencial de x."}, {"start": 101.24000000000001, "end": 108.84, "text": " De esta manera ya podemos se\u00f1alar que este componente va a ser u, o sea la funci\u00f3n inversa"}, {"start": 108.84, "end": 114.8, "text": " y el resto, o sea x por dx har\u00e1 el papel ddp."}, {"start": 114.8, "end": 120.12, "text": " Tenemos all\u00ed los dos componentes del m\u00e9todo de integraci\u00f3n por partes."}, {"start": 120.12, "end": 127.88, "text": " A continuaci\u00f3n escribimos por ac\u00e1 que u es igual a tangente a la menos uno de x."}, {"start": 127.88, "end": 134.04, "text": " Este componente lo destacamos porque lo vamos a necesitar m\u00e1s adelante y de aqu\u00ed vamos"}, {"start": 134.04, "end": 142.39999999999998, "text": " a derivar esa expresi\u00f3n, derivamos u con respecto a x, lo cual nos va a dar la derivada"}, {"start": 142.39999999999998, "end": 149.0, "text": " de tangente a la menos uno de x, que es uno sobre uno m\u00e1s x al cuadrado."}, {"start": 149.0, "end": 155.38, "text": " De all\u00ed vamos a despejar de u, para ello de x que est\u00e1 dividiendo pasa al otro lado"}, {"start": 155.38, "end": 158.79999999999998, "text": " a multiplicar con esta expresi\u00f3n."}, {"start": 158.8, "end": 165.88000000000002, "text": " Entonces tendremos uno sobre uno m\u00e1s x al cuadrado y esto multiplicado por dx."}, {"start": 165.88000000000002, "end": 171.0, "text": " Entonces tenemos all\u00ed otro componente que destacamos y que es dq."}, {"start": 171.0, "end": 181.9, "text": " En seguida vamos a destacar o se\u00f1alar lo que es dv, x por dx y esto lo vamos a integrar"}, {"start": 181.9, "end": 183.4, "text": " a ambos lados."}, {"start": 183.4, "end": 190.92000000000002, "text": " Decimos la integral de dv igual a la integral de x por dx."}, {"start": 190.92000000000002, "end": 193.6, "text": " Resolvemos entonces ambas integrales."}, {"start": 193.6, "end": 201.70000000000002, "text": " Integral de dv nos da b y la integral de x con su diferencial de x nos dar\u00e1 x al cuadrado"}, {"start": 201.70000000000002, "end": 203.44, "text": " sobre 2."}, {"start": 203.44, "end": 210.0, "text": " Destacamos esto y de esa manera tenemos ya los cuatro componentes que vamos a utilizar"}, {"start": 210.0, "end": 213.82, "text": " en la f\u00f3rmula de integraci\u00f3n por partes."}, {"start": 213.82, "end": 224.2, "text": " Esa f\u00f3rmula dice lo siguiente, la integral de u por dv es igual a u por b menos la integral"}, {"start": 224.2, "end": 226.46, "text": " de b por du."}, {"start": 226.46, "end": 229.84, "text": " Es la f\u00f3rmula de integraci\u00f3n por partes."}, {"start": 229.84, "end": 238.32, "text": " Para aprenderla f\u00e1cilmente este lado lo podemos nombrar as\u00ed, una vaca menos la integral vestida"}, {"start": 238.32, "end": 239.8, "text": " de uniforme."}, {"start": 239.8, "end": 244.52, "text": " Vamos entonces a reemplazar all\u00ed cada uno de los cuatro componentes."}, {"start": 244.52, "end": 257.32, "text": " Tenemos por ac\u00e1 la integral de u que es tangente a la menos uno de x por dv que es x por dx."}, {"start": 257.32, "end": 263.88, "text": " Esto es igual a u que es tangente a la menos uno de x."}, {"start": 263.88, "end": 271.0, "text": " Eso multiplicado por b que nos dio x al cuadrado sobre 2."}, {"start": 271.0, "end": 278.56, "text": " Esto menos la integral de b que es x al cuadrado sobre 2."}, {"start": 278.56, "end": 287.56, "text": " Y eso multiplicado por du que nos dio esta expresi\u00f3n, 1 sobre 1 m\u00e1s x al cuadrado y"}, {"start": 287.56, "end": 292.71999999999997, "text": " todo eso multiplicado por el diferencial de x."}, {"start": 292.72, "end": 298.32000000000005, "text": " Como podemos observar esto que tenemos aqu\u00ed es el mismo ejercicio original."}, {"start": 298.32000000000005, "end": 305.04, "text": " \u00danicamente se han cambiado de orden las dos expresiones pero es exactamente la misma."}, {"start": 305.04, "end": 311.64000000000004, "text": " Entonces esto lo vamos a continuar ac\u00e1 y esto va a ser igual a este producto que podemos"}, {"start": 311.64000000000004, "end": 321.28000000000003, "text": " organizar como x al cuadrado por tangente a la menos uno de x y todo esto sobre 2."}, {"start": 321.28, "end": 326.84, "text": " Es la forma como comprimimos y organizamos esta parte de la expresi\u00f3n."}, {"start": 326.84, "end": 333.2, "text": " Ac\u00e1 tenemos menos este 2 que puede salir de la integral que queda como un medio y que"}, {"start": 333.2, "end": 337.79999999999995, "text": " va a multiplicar a la siguiente expresi\u00f3n."}, {"start": 337.79999999999995, "end": 343.08, "text": " Tenemos ac\u00e1 x al cuadrado por 1, es decir x al cuadrado en el numerador."}, {"start": 343.08, "end": 351.91999999999996, "text": " Abajo tendremos 1 m\u00e1s x al cuadrado y todo eso multiplicado por el diferencial de x."}, {"start": 351.91999999999996, "end": 356.88, "text": " Ahora nos vamos a ocupar por resolver esta integral."}, {"start": 356.88, "end": 360.91999999999996, "text": " Vamos entonces a efectuar ese procedimiento por ac\u00e1."}, {"start": 360.91999999999996, "end": 368.91999999999996, "text": " Tenemos la integral de x al cuadrado sobre 1 m\u00e1s x al cuadrado y todo eso con su diferencial"}, {"start": 368.91999999999996, "end": 370.0, "text": " de x."}, {"start": 370.0, "end": 374.04, "text": " Aqu\u00ed vamos a realizar la siguiente estrategia."}, {"start": 374.04, "end": 381.64, "text": " En el numerador tenemos x al cuadrado y vamos a sumar y al mismo tiempo vamos a restar 1."}, {"start": 381.64, "end": 387.88, "text": " En el denominador nos queda 1 m\u00e1s x al cuadrado y esto multiplicado por dx."}, {"start": 387.88, "end": 393.88, "text": " Lo que hicimos en el numerador es completamente l\u00edcito porque es como si a x al cuadrado"}, {"start": 393.88, "end": 395.88, "text": " le sum\u00e1ramos 0."}, {"start": 395.88, "end": 401.44, "text": " Ese 0 est\u00e1 representado por la operaci\u00f3n m\u00e1s 1 y menos 1."}, {"start": 401.44, "end": 408.76, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a repartir este denominador para esta expresi\u00f3n x al cuadrado m\u00e1s 1"}, {"start": 408.76, "end": 413.08, "text": " y para ese menos 1 que est\u00e1n en el numerador."}, {"start": 413.08, "end": 421.88, "text": " Tendremos entonces x al cuadrado m\u00e1s 1 sobre 1 m\u00e1s x al cuadrado y esto menos 1 sobre"}, {"start": 421.88, "end": 425.08, "text": " 1 m\u00e1s x al cuadrado."}, {"start": 425.08, "end": 431.12, "text": " Protejemos todo esto con par\u00e9ntesis y escribimos el diferencial de x."}, {"start": 431.12, "end": 437.12, "text": " Con esa transformaci\u00f3n que hicimos vemos que esto aqu\u00ed va a ser equivalente a 1 porque"}, {"start": 437.12, "end": 441.91999999999996, "text": " el numerador es exactamente igual al denominador."}, {"start": 441.91999999999996, "end": 448.91999999999996, "text": " Entonces todo esto se convierte en 1 y as\u00ed vamos a poder repartir esta integral para"}, {"start": 448.91999999999996, "end": 452.64, "text": " estos dos componentes que est\u00e1n restando."}, {"start": 452.64, "end": 462.84, "text": " Tendremos entonces la integral de 1 con su diferencial de x y esto menos la integral"}, {"start": 462.84, "end": 471.32, "text": " de 1 sobre 1 m\u00e1s x al cuadrado y esto tambi\u00e9n con su diferencial de x."}, {"start": 471.32, "end": 477.88, "text": " Ya podemos entonces resolver ambas integrales que ser\u00e1n directas o inmediatas."}, {"start": 477.88, "end": 485.28, "text": " La integral de 1 por dx, que es lo mismo que decir la integral de dx ser\u00e1 igual a x y"}, {"start": 485.28, "end": 491.88, "text": " esto menos la integral de 1 sobre 1 m\u00e1s x al cuadrado que nos da tangente a la menos"}, {"start": 491.88, "end": 493.52, "text": " 1 dx."}, {"start": 493.52, "end": 502.28, "text": " Y all\u00ed aparecer\u00eda por primera vez la constante de integraci\u00f3n para esta integral indefinida."}, {"start": 502.28, "end": 508.64, "text": " Como se observa ya podemos reemplazar esta integral por el resultado obtenido."}, {"start": 508.64, "end": 516.0799999999999, "text": " Tendremos lo siguiente, este termino puede reescribirse como 1 medio de x al cuadrado"}, {"start": 516.0799999999999, "end": 519.8399999999999, "text": " por tangente a la menos 1 de x."}, {"start": 519.8399999999999, "end": 529.24, "text": " Esto menos 1 medio que multiplica a el resultado de esta integral que nos dio x menos tangente"}, {"start": 529.24, "end": 532.0799999999999, "text": " a la menos 1 de x."}, {"start": 532.08, "end": 538.0, "text": " Cerramos el par\u00e9ntesis y escribimos la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 538.0, "end": 543.88, "text": " Esta expresi\u00f3n que tenemos aqu\u00ed ya constituye la respuesta para ese ejercicio."}, {"start": 543.88, "end": 550.0, "text": " Sin embargo, podemos escribir todo esto de una forma un poco m\u00e1s sencilla."}, {"start": 550.0, "end": 558.44, "text": " Podemos extraer factor com\u00fan 1 medio y eso nos va a quedar multiplicando con x al cuadrado"}, {"start": 558.44, "end": 564.9200000000001, "text": " tangente a la menos 1 de x y esto menos lo que tenemos dentro del par\u00e9ntesis."}, {"start": 564.9200000000001, "end": 566.6, "text": " Pero podemos romperlo."}, {"start": 566.6, "end": 571.36, "text": " Aplicamos la propiedad distributiva ingresando ese signo negativo."}, {"start": 571.36, "end": 577.48, "text": " Tenemos menos por m\u00e1s x nos da menos x y menos por menos tangente a la menos 1 de"}, {"start": 577.48, "end": 583.2800000000001, "text": " x nos va a dar m\u00e1s tangente a la menos 1 de x."}, {"start": 583.28, "end": 589.28, "text": " Cerramos el par\u00e9ntesis y escribimos la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 589.28, "end": 617.8399999999999, "text": " Ahora s\u00ed podemos decir que todo eso es la respuesta para esa integral indefinida."}]

julioprofe

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PROGRESIONES ARITMÉTICAS - Ejercicio 4

#julioprofe explica cómo resolver un problema de Progresiones Aritméticas: El segundo término de una Progresión Aritmética es 20 y el quinto término es 56. ¿Cuál es el décimo término? ¿Cuál es el valor de la suma de los primeros 10 términos? Tema: #ProgresionesAritmeticasYGeometricas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwFiqf8u82WBHdujX0v31LYQ REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

El segundo término de una progresión aritmética es 20 y el quinto término es 56. ¿Cuál es el décimo término? ¿Cuál es el valor de la suma de los primeros diez términos? Bien, en este problema tenemos la siguiente información. Se trata de una progresión aritmética donde conocemos el segundo término, su valor es 20. Conocemos también el quinto término, A sub 5, que es 56. Nos preguntan cuál es el valor del décimo término, o sea, A sub 10, y cuál es la suma de los primeros diez términos de esa progresión, o sea, lo que se representa como S sub 10. Para resolver esta situación vamos a utilizar la fórmula del término enésimo de una progresión aritmética. A sub n es igual a A sub 1, o sea, el primer término, más n menos 1 por D. En este caso D es la diferencia común en esa progresión o sucesión aritmética. Conocemos entonces el valor del segundo término, que es 20. Entonces en esta expresión vamos a reemplazar n por el número 2. Tendremos que esto es igual a A sub 1 más 2 menos 1 por D. Sustituimos A sub 2 por el valor que conocemos que es 20. Tendremos 20 igual a A sub 1 más 2 menos 1 que nos da 1, y 1 multiplicado por D es igual a D. Entonces tenemos una primera ecuación con las incógnitas A sub 1 y D, y la vamos a llamar entonces la ecuación número 1. Enseguida utilizamos otra vez esta expresión, pero cambiando n por el número 5. Tendremos A sub 5 igual a A sub 1 más n que vale 5 menos 1 y eso multiplicado por D. Conocemos el quinto término que es 56, y esto nos queda igual a A sub 1 más 5 menos 1 que es 4 y que multiplica a la diferencia común que es D. Esta será entonces la ecuación número 2. Tenemos allí lo que se llama un sistema de ecuaciones lineales de 2 por 2. Dos ecuaciones con dos incógnitas. Vamos a utilizar el método de igualación. Para ello tenemos que despejar la misma letra o la misma incógnita en ambas ecuaciones. Vamos a despejar entonces A sub 1. Decimos que de la ecuación 1 el despeje de A sub 1 será igual a lo siguiente. Pasamos D que está sumando al otro lado a restar. Tendremos entonces 20 menos D igual a A sub 1. Esta expresión que es nueva la vamos a etiquetar con el número 3. Y enseguida de la ecuación 2 vamos también a despejar A sub 1. Tendremos lo siguiente. Pasamos el término 4D que está sumando al otro lado a restar y tendremos 56 menos 4D. De esa manera tenemos otra expresión nueva que vamos a etiquetar con el número 4. Allí es el momento de realizar la igualación. Decimos entonces que la expresión 3 se iguala con la número 4. Entonces 20 menos D va a ser igual a la expresión 56 menos 4D. Una ecuación de primer grado con una incógnita que es la letra D. Para resolverla vamos a dejar en el lado izquierdo de la igualdad aquellos términos que contienen la letra D. Entonces se queda menos D y pasamos este término que está restando al otro lado a sumar. Llega como más 4D. Al lado derecho dejamos el número 56 y pasamos este número 20 como acá está positivo. Llega al lado derecho con signo negativo. Resolvemos aquí términos semejantes. Menos D más 4D nos da como resultado 3D y acá resolvemos la resta. 56 menos 20 nos da como resultado 36. Allí despejamos D y nos queda 36 dividido entre 3. Este número que está multiplicando pasa al otro lado a dividir y efectuando esa operación obtenemos como resultado 12. Es allí entonces cuando ya conocemos el valor de la diferencia común en esa progresión aritmética. Con ese dato que encontramos podemos averiguar en cualquiera de estas dos ecuaciones el valor del primer término, o sea A sub 1. Escogemos la más sencilla. Entonces vamos a la expresión número 3. En ella vamos a encontrar el valor de A sub 1. Será 20 menos el valor que encontramos para D, o sea 12. Tenemos entonces que A sub 1 es igual a 8. Y así encontramos el primer término de la progresión aritmética. Con esta información ya podemos averiguar el décimo término. Simplemente vamos a esta expresión y donde está la N escribimos el número 10. Y también vamos reemplazando los demás componentes. El primer término nos dio 8. Aquí tendremos más N que vale 10 menos 1. Y esto multiplicado por D, la diferencia común que nos dio 12. Resolvemos ahora estas operaciones. Comenzamos por lo que hay dentro del paréntesis. Tendremos A sub 10 igual a 8 más 10 menos 1, 9 que multiplica con 12. Enseguida resolvemos primero la multiplicación antes que la suma. Tendremos 8 más 9 por 12 que nos da 108. Y de allí podemos averiguar el valor de A sub 10. 8 más 108 nos da como resultado 116. Entonces así podemos decir que ya se conoce el décimo término. A sub 10 vale 116 en esa progresión aritmética. Ahora para encontrar la suma de los primeros 10 términos en esa progresión aritmética utilizamos la siguiente fórmula. S sub N será igual a N que multiplica A sub 1 más A sub N y todo esto dividido entre 2. Esta expresión nos permite hallar la suma de los N primeros términos de una progresión aritmética cuando se conoce el primer término y el último de ellos. En este caso como queremos averiguar S sub 10 necesitamos el décimo término y ya lo encontramos. Es 116. En ese caso lo que hacemos es cambiar N por el número 10. Tendremos S sub 10 igual a 10 que multiplica a A sub 1 más A sub 10 y todo esto dividido entre 2. Conocemos A sub 1 que es 8. Entonces tendremos S sub 10 igual a 10 que multiplica con 8 más A sub 10 que nos dio 116 y todo esto estará dividido entre 2. Aquí podemos simplificar estos dos números. Tenemos mitad de 2 que es 1 y la mitad de 10 que es 5. Entonces tendremos que S sub 10 va a ser igual a 5 que multiplica al resultado de esta suma. 8 más 116 nos da 124 y efectuando esa multiplicación tenemos como resultado 620. De esa manera ya conocemos el otro dato que nos preguntaban en este problema. La suma de los primeros 10 términos de esa progresión aritmética es 620 y de esa manera hemos terminado este ejercicio. Aquí tenemos las dos respuestas.

[{"start": 0.0, "end": 11.0, "text": " El segundo t\u00e9rmino de una progresi\u00f3n aritm\u00e9tica es 20 y el quinto t\u00e9rmino es 56. \u00bfCu\u00e1l es"}, {"start": 11.0, "end": 17.78, "text": " el d\u00e9cimo t\u00e9rmino? \u00bfCu\u00e1l es el valor de la suma de los primeros diez t\u00e9rminos? Bien,"}, {"start": 17.78, "end": 24.64, "text": " en este problema tenemos la siguiente informaci\u00f3n. Se trata de una progresi\u00f3n aritm\u00e9tica donde"}, {"start": 24.64, "end": 31.8, "text": " conocemos el segundo t\u00e9rmino, su valor es 20. Conocemos tambi\u00e9n el quinto t\u00e9rmino,"}, {"start": 31.8, "end": 40.64, "text": " A sub 5, que es 56. Nos preguntan cu\u00e1l es el valor del d\u00e9cimo t\u00e9rmino, o sea, A sub"}, {"start": 40.64, "end": 48.6, "text": " 10, y cu\u00e1l es la suma de los primeros diez t\u00e9rminos de esa progresi\u00f3n, o sea, lo que"}, {"start": 48.6, "end": 56.52, "text": " se representa como S sub 10. Para resolver esta situaci\u00f3n vamos a utilizar la f\u00f3rmula"}, {"start": 56.52, "end": 65.06, "text": " del t\u00e9rmino en\u00e9simo de una progresi\u00f3n aritm\u00e9tica. A sub n es igual a A sub 1, o sea, el primer"}, {"start": 65.06, "end": 74.8, "text": " t\u00e9rmino, m\u00e1s n menos 1 por D. En este caso D es la diferencia com\u00fan en esa progresi\u00f3n"}, {"start": 74.8, "end": 82.08, "text": " o sucesi\u00f3n aritm\u00e9tica. Conocemos entonces el valor del segundo t\u00e9rmino, que es 20."}, {"start": 82.08, "end": 88.32, "text": " Entonces en esta expresi\u00f3n vamos a reemplazar n por el n\u00famero 2. Tendremos que esto es"}, {"start": 88.32, "end": 98.67999999999999, "text": " igual a A sub 1 m\u00e1s 2 menos 1 por D. Sustituimos A sub 2 por el valor que conocemos que es"}, {"start": 98.68, "end": 108.84, "text": " 20. Tendremos 20 igual a A sub 1 m\u00e1s 2 menos 1 que nos da 1, y 1 multiplicado por D es"}, {"start": 108.84, "end": 117.16000000000001, "text": " igual a D. Entonces tenemos una primera ecuaci\u00f3n con las inc\u00f3gnitas A sub 1 y D, y la vamos"}, {"start": 117.16000000000001, "end": 126.04, "text": " a llamar entonces la ecuaci\u00f3n n\u00famero 1. Enseguida utilizamos otra vez esta expresi\u00f3n,"}, {"start": 126.04, "end": 138.48000000000002, "text": " pero cambiando n por el n\u00famero 5. Tendremos A sub 5 igual a A sub 1 m\u00e1s n que vale 5"}, {"start": 138.48000000000002, "end": 147.38, "text": " menos 1 y eso multiplicado por D. Conocemos el quinto t\u00e9rmino que es 56, y esto nos queda"}, {"start": 147.38, "end": 156.96, "text": " igual a A sub 1 m\u00e1s 5 menos 1 que es 4 y que multiplica a la diferencia com\u00fan que es D."}, {"start": 156.96, "end": 165.72, "text": " Esta ser\u00e1 entonces la ecuaci\u00f3n n\u00famero 2. Tenemos all\u00ed lo que se llama un sistema de"}, {"start": 165.72, "end": 173.28, "text": " ecuaciones lineales de 2 por 2. Dos ecuaciones con dos inc\u00f3gnitas. Vamos a utilizar el m\u00e9todo"}, {"start": 173.28, "end": 180.48, "text": " de igualaci\u00f3n. Para ello tenemos que despejar la misma letra o la misma inc\u00f3gnita en ambas"}, {"start": 180.48, "end": 187.8, "text": " ecuaciones. Vamos a despejar entonces A sub 1. Decimos que de la ecuaci\u00f3n 1 el despeje"}, {"start": 187.8, "end": 195.0, "text": " de A sub 1 ser\u00e1 igual a lo siguiente. Pasamos D que est\u00e1 sumando al otro lado a restar."}, {"start": 195.0, "end": 203.56, "text": " Tendremos entonces 20 menos D igual a A sub 1. Esta expresi\u00f3n que es nueva la vamos a"}, {"start": 203.56, "end": 213.72, "text": " etiquetar con el n\u00famero 3. Y enseguida de la ecuaci\u00f3n 2 vamos tambi\u00e9n a despejar A"}, {"start": 213.72, "end": 221.24, "text": " sub 1. Tendremos lo siguiente. Pasamos el t\u00e9rmino 4D que est\u00e1 sumando al otro lado"}, {"start": 221.24, "end": 232.68, "text": " a restar y tendremos 56 menos 4D. De esa manera tenemos otra expresi\u00f3n nueva que vamos a"}, {"start": 232.68, "end": 242.24, "text": " etiquetar con el n\u00famero 4. All\u00ed es el momento de realizar la igualaci\u00f3n. Decimos entonces"}, {"start": 242.24, "end": 253.60000000000002, "text": " que la expresi\u00f3n 3 se iguala con la n\u00famero 4. Entonces 20 menos D va a ser igual a la"}, {"start": 253.60000000000002, "end": 265.24, "text": " expresi\u00f3n 56 menos 4D. Una ecuaci\u00f3n de primer grado con una inc\u00f3gnita que es la letra D."}, {"start": 265.24, "end": 270.96000000000004, "text": " Para resolverla vamos a dejar en el lado izquierdo de la igualdad aquellos t\u00e9rminos que contienen"}, {"start": 270.96, "end": 278.68, "text": " la letra D. Entonces se queda menos D y pasamos este t\u00e9rmino que est\u00e1 restando al otro lado"}, {"start": 278.68, "end": 289.64, "text": " a sumar. Llega como m\u00e1s 4D. Al lado derecho dejamos el n\u00famero 56 y pasamos este n\u00famero"}, {"start": 289.64, "end": 296.96, "text": " 20 como ac\u00e1 est\u00e1 positivo. Llega al lado derecho con signo negativo. Resolvemos aqu\u00ed"}, {"start": 296.96, "end": 304.47999999999996, "text": " t\u00e9rminos semejantes. Menos D m\u00e1s 4D nos da como resultado 3D y ac\u00e1 resolvemos la resta."}, {"start": 304.47999999999996, "end": 314.35999999999996, "text": " 56 menos 20 nos da como resultado 36. All\u00ed despejamos D y nos queda 36 dividido entre"}, {"start": 314.35999999999996, "end": 321.91999999999996, "text": " 3. Este n\u00famero que est\u00e1 multiplicando pasa al otro lado a dividir y efectuando esa operaci\u00f3n"}, {"start": 321.92, "end": 329.22, "text": " obtenemos como resultado 12. Es all\u00ed entonces cuando ya conocemos el valor de la diferencia"}, {"start": 329.22, "end": 335.96000000000004, "text": " com\u00fan en esa progresi\u00f3n aritm\u00e9tica. Con ese dato que encontramos podemos averiguar"}, {"start": 335.96000000000004, "end": 342.6, "text": " en cualquiera de estas dos ecuaciones el valor del primer t\u00e9rmino, o sea A sub 1. Escogemos"}, {"start": 342.6, "end": 350.48, "text": " la m\u00e1s sencilla. Entonces vamos a la expresi\u00f3n n\u00famero 3. En ella vamos a encontrar el valor"}, {"start": 350.48, "end": 360.16, "text": " de A sub 1. Ser\u00e1 20 menos el valor que encontramos para D, o sea 12. Tenemos entonces que A sub"}, {"start": 360.16, "end": 369.52000000000004, "text": " 1 es igual a 8. Y as\u00ed encontramos el primer t\u00e9rmino de la progresi\u00f3n aritm\u00e9tica. Con"}, {"start": 369.52000000000004, "end": 375.68, "text": " esta informaci\u00f3n ya podemos averiguar el d\u00e9cimo t\u00e9rmino. Simplemente vamos a esta"}, {"start": 375.68, "end": 383.22, "text": " expresi\u00f3n y donde est\u00e1 la N escribimos el n\u00famero 10. Y tambi\u00e9n vamos reemplazando"}, {"start": 383.22, "end": 390.96000000000004, "text": " los dem\u00e1s componentes. El primer t\u00e9rmino nos dio 8. Aqu\u00ed tendremos m\u00e1s N que vale"}, {"start": 390.96000000000004, "end": 400.8, "text": " 10 menos 1. Y esto multiplicado por D, la diferencia com\u00fan que nos dio 12."}, {"start": 400.8, "end": 407.52000000000004, "text": " Resolvemos ahora estas operaciones. Comenzamos por lo que hay dentro del par\u00e9ntesis. Tendremos"}, {"start": 407.52000000000004, "end": 417.12, "text": " A sub 10 igual a 8 m\u00e1s 10 menos 1, 9 que multiplica con 12. Enseguida resolvemos primero"}, {"start": 417.12, "end": 425.8, "text": " la multiplicaci\u00f3n antes que la suma. Tendremos 8 m\u00e1s 9 por 12 que nos da 108. Y de all\u00ed"}, {"start": 425.8, "end": 435.32, "text": " podemos averiguar el valor de A sub 10. 8 m\u00e1s 108 nos da como resultado 116. Entonces"}, {"start": 435.32, "end": 444.8, "text": " as\u00ed podemos decir que ya se conoce el d\u00e9cimo t\u00e9rmino. A sub 10 vale 116 en esa progresi\u00f3n"}, {"start": 444.8, "end": 451.84000000000003, "text": " aritm\u00e9tica. Ahora para encontrar la suma de los primeros 10 t\u00e9rminos en esa progresi\u00f3n"}, {"start": 451.84, "end": 460.88, "text": " aritm\u00e9tica utilizamos la siguiente f\u00f3rmula. S sub N ser\u00e1 igual a N que multiplica A sub"}, {"start": 460.88, "end": 471.0, "text": " 1 m\u00e1s A sub N y todo esto dividido entre 2. Esta expresi\u00f3n nos permite hallar la suma"}, {"start": 471.0, "end": 477.71999999999997, "text": " de los N primeros t\u00e9rminos de una progresi\u00f3n aritm\u00e9tica cuando se conoce el primer t\u00e9rmino"}, {"start": 477.72, "end": 484.24, "text": " y el \u00faltimo de ellos. En este caso como queremos averiguar S sub 10 necesitamos el d\u00e9cimo"}, {"start": 484.24, "end": 493.52000000000004, "text": " t\u00e9rmino y ya lo encontramos. Es 116. En ese caso lo que hacemos es cambiar N por el n\u00famero"}, {"start": 493.52, "end": 507.28, "text": " 10. Tendremos S sub 10 igual a 10 que multiplica a A sub 1 m\u00e1s A sub 10 y todo esto dividido"}, {"start": 507.28, "end": 517.52, "text": " entre 2. Conocemos A sub 1 que es 8. Entonces tendremos S sub 10 igual a 10 que multiplica"}, {"start": 517.52, "end": 530.68, "text": " con 8 m\u00e1s A sub 10 que nos dio 116 y todo esto estar\u00e1 dividido entre 2. Aqu\u00ed podemos"}, {"start": 530.68, "end": 539.6, "text": " simplificar estos dos n\u00fameros. Tenemos mitad de 2 que es 1 y la mitad de 10 que es 5. Entonces"}, {"start": 539.6, "end": 550.84, "text": " tendremos que S sub 10 va a ser igual a 5 que multiplica al resultado de esta suma. 8 m\u00e1s"}, {"start": 550.84, "end": 563.24, "text": " 116 nos da 124 y efectuando esa multiplicaci\u00f3n tenemos como resultado 620. De esa manera"}, {"start": 563.24, "end": 570.6, "text": " ya conocemos el otro dato que nos preguntaban en este problema. La suma de los primeros"}, {"start": 570.6, "end": 578.8, "text": " 10 t\u00e9rminos de esa progresi\u00f3n aritm\u00e9tica es 620 y de esa manera hemos terminado este"}, {"start": 578.8, "end": 594.24, "text": " ejercicio. Aqu\u00ed tenemos las dos respuestas."}]

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TEOREMA DE LA BISECTRIZ - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo resolver un ejercicio aplicando el Teorema de la Bisectriz. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

Veamos cómo se resuelve esta situación. Si en este triángulo ABC nos dicen que el segmento BD es bisectriz del ángulo ABC, entonces vamos a hallar la medida del segmento AD. Recordemos que la bisectriz de un ángulo lo divide en dos ángulos del mismo tamaño o de la misma medida. Entonces podemos colocar estas marcas para señalar que estos dos ángulos van a ser congruentes. Para resolver entonces este problema vamos a utilizar el teorema de la bisectriz. Este teorema nos dice lo siguiente. La bisectriz que se traza a cualquier ángulo de un triángulo divide al lado opuesto en dos segmentos que son proporcionales a los otros dos lados del triángulo. Entonces, en este caso decimos que DC, este segmento va a ser al lado BC, como el segmento AD es al lado AB. Ese es el planteamiento que hacemos gracias al teorema de la bisectriz. Como en este caso nos están pidiendo la medida del segmento AD, entonces podemos asignarle a ese segmento la letra X. Decimos que mide X centímetros y podemos expresar la medida del segmento DC como 18 menos X. Es decir, todo este lado AC menos el tramo AD. Es decir, 18 menos X es la medida o la longitud del segmento DC. Con esa información que tenemos en la figura ya podemos reemplazar acá en la proporción los valores de cada uno de los componentes. Decimos que DC es 18 menos X. Por acá tenemos BC que mide 10 centímetros. Por acá tenemos el segmento AD que dijimos es X. Y por acá tenemos el segmento AB que tiene una longitud de 14 centímetros. Ahora tenemos que concentrarnos en resolver esta ecuación. Podemos pasar estos números que están dividiendo a los lados contrarios a multiplicar. Entonces 14 llega a multiplicar con 18 menos X. Nos queda 14 por 18 menos X que debe protegerse con paréntesis. Y esto es igual a 10 que llega a multiplicar con X. O sea, 10X. En el lado izquierdo vamos a aplicar la propiedad distributiva. Tenemos 14 por 18 que nos da 252. Y 14 por menos X que nos da menos 14X. En el lado derecho permanece 10X. Ahora vamos a realizar lo que se llama transposición de términos. Vamos a dejar acá en el lado derecho aquellos términos que contienen la X. Se queda en el lado izquierdo únicamente el número, o sea, el término independiente. Acá en el lado derecho, como decíamos, permanece 10X. Y llega este término. Como acá está restando, llega al otro lado a sumar. Dejamos en el lado izquierdo 252. Y acá efectuamos la suma de estos términos semejantes. 10X más 14X nos da como resultado 24X. Enseguida vamos a despejar la incógnita X. Para ello, el número 24 que está multiplicando pasa al otro lado a dividir. Tendremos 252 sobre 24. Allí podríamos realizar la simplificación de esa fracción. Podemos sacarle mitad a ambos números. Mital de 252 nos da 126. Y la mitad de 24 es 12. A su vez podemos seguir sacando mitad. Decimos, mitad de 126 nos da 63. Y la mitad de 12 es 6. Estos dos números que nos quedan se pueden dividir entre tres. Entonces decimos, tercera de 63 es 21. Y tercera de 6 es 2. Como ya esta fracción no se puede simplificar más. Es una fracción irreducible. Entonces podemos obtener su valor decimal. La mitad de 21 es 10.5. Y le escribimos las unidades correspondientes a lo que estamos buscando. Como X es la longitud del segmento AD, debe expresarse en centímetros. Bien, de esta manera podemos dar la respuesta para este ejercicio. Decimos entonces que la medida del segmento AD es el valor de X. O sea, 10.5 centímetros.

[{"start": 0.0, "end": 6.0, "text": " Veamos c\u00f3mo se resuelve esta situaci\u00f3n."}, {"start": 6.0, "end": 15.0, "text": " Si en este tri\u00e1ngulo ABC nos dicen que el segmento BD es bisectriz del \u00e1ngulo ABC,"}, {"start": 15.0, "end": 20.0, "text": " entonces vamos a hallar la medida del segmento AD."}, {"start": 20.0, "end": 29.0, "text": " Recordemos que la bisectriz de un \u00e1ngulo lo divide en dos \u00e1ngulos del mismo tama\u00f1o o de la misma medida."}, {"start": 29.0, "end": 38.0, "text": " Entonces podemos colocar estas marcas para se\u00f1alar que estos dos \u00e1ngulos van a ser congruentes."}, {"start": 38.0, "end": 45.0, "text": " Para resolver entonces este problema vamos a utilizar el teorema de la bisectriz."}, {"start": 45.0, "end": 47.0, "text": " Este teorema nos dice lo siguiente."}, {"start": 47.0, "end": 55.0, "text": " La bisectriz que se traza a cualquier \u00e1ngulo de un tri\u00e1ngulo divide al lado opuesto en dos segmentos"}, {"start": 55.0, "end": 60.0, "text": " que son proporcionales a los otros dos lados del tri\u00e1ngulo."}, {"start": 60.0, "end": 69.0, "text": " Entonces, en este caso decimos que DC, este segmento va a ser al lado BC,"}, {"start": 69.0, "end": 78.0, "text": " como el segmento AD es al lado AB."}, {"start": 78.0, "end": 85.0, "text": " Ese es el planteamiento que hacemos gracias al teorema de la bisectriz."}, {"start": 85.0, "end": 90.0, "text": " Como en este caso nos est\u00e1n pidiendo la medida del segmento AD,"}, {"start": 90.0, "end": 96.0, "text": " entonces podemos asignarle a ese segmento la letra X."}, {"start": 96.0, "end": 106.0, "text": " Decimos que mide X cent\u00edmetros y podemos expresar la medida del segmento DC como 18 menos X."}, {"start": 106.0, "end": 111.0, "text": " Es decir, todo este lado AC menos el tramo AD."}, {"start": 111.0, "end": 117.0, "text": " Es decir, 18 menos X es la medida o la longitud del segmento DC."}, {"start": 117.0, "end": 128.0, "text": " Con esa informaci\u00f3n que tenemos en la figura ya podemos reemplazar ac\u00e1 en la proporci\u00f3n los valores de cada uno de los componentes."}, {"start": 128.0, "end": 133.0, "text": " Decimos que DC es 18 menos X."}, {"start": 133.0, "end": 139.0, "text": " Por ac\u00e1 tenemos BC que mide 10 cent\u00edmetros."}, {"start": 139.0, "end": 144.0, "text": " Por ac\u00e1 tenemos el segmento AD que dijimos es X."}, {"start": 144.0, "end": 152.0, "text": " Y por ac\u00e1 tenemos el segmento AB que tiene una longitud de 14 cent\u00edmetros."}, {"start": 152.0, "end": 156.0, "text": " Ahora tenemos que concentrarnos en resolver esta ecuaci\u00f3n."}, {"start": 156.0, "end": 163.0, "text": " Podemos pasar estos n\u00fameros que est\u00e1n dividiendo a los lados contrarios a multiplicar."}, {"start": 163.0, "end": 168.0, "text": " Entonces 14 llega a multiplicar con 18 menos X."}, {"start": 168.0, "end": 175.0, "text": " Nos queda 14 por 18 menos X que debe protegerse con par\u00e9ntesis."}, {"start": 175.0, "end": 179.0, "text": " Y esto es igual a 10 que llega a multiplicar con X."}, {"start": 179.0, "end": 182.0, "text": " O sea, 10X."}, {"start": 182.0, "end": 187.0, "text": " En el lado izquierdo vamos a aplicar la propiedad distributiva."}, {"start": 187.0, "end": 192.0, "text": " Tenemos 14 por 18 que nos da 252."}, {"start": 192.0, "end": 197.0, "text": " Y 14 por menos X que nos da menos 14X."}, {"start": 197.0, "end": 201.0, "text": " En el lado derecho permanece 10X."}, {"start": 201.0, "end": 205.0, "text": " Ahora vamos a realizar lo que se llama transposici\u00f3n de t\u00e9rminos."}, {"start": 205.0, "end": 210.0, "text": " Vamos a dejar ac\u00e1 en el lado derecho aquellos t\u00e9rminos que contienen la X."}, {"start": 210.0, "end": 216.0, "text": " Se queda en el lado izquierdo \u00fanicamente el n\u00famero, o sea, el t\u00e9rmino independiente."}, {"start": 216.0, "end": 221.0, "text": " Ac\u00e1 en el lado derecho, como dec\u00edamos, permanece 10X."}, {"start": 221.0, "end": 223.0, "text": " Y llega este t\u00e9rmino."}, {"start": 223.0, "end": 228.0, "text": " Como ac\u00e1 est\u00e1 restando, llega al otro lado a sumar."}, {"start": 228.0, "end": 232.0, "text": " Dejamos en el lado izquierdo 252."}, {"start": 232.0, "end": 236.0, "text": " Y ac\u00e1 efectuamos la suma de estos t\u00e9rminos semejantes."}, {"start": 236.0, "end": 242.0, "text": " 10X m\u00e1s 14X nos da como resultado 24X."}, {"start": 242.0, "end": 246.0, "text": " Enseguida vamos a despejar la inc\u00f3gnita X."}, {"start": 246.0, "end": 253.0, "text": " Para ello, el n\u00famero 24 que est\u00e1 multiplicando pasa al otro lado a dividir."}, {"start": 253.0, "end": 258.0, "text": " Tendremos 252 sobre 24."}, {"start": 258.0, "end": 263.0, "text": " All\u00ed podr\u00edamos realizar la simplificaci\u00f3n de esa fracci\u00f3n."}, {"start": 263.0, "end": 266.0, "text": " Podemos sacarle mitad a ambos n\u00fameros."}, {"start": 266.0, "end": 271.0, "text": " Mital de 252 nos da 126."}, {"start": 271.0, "end": 274.0, "text": " Y la mitad de 24 es 12."}, {"start": 274.0, "end": 277.0, "text": " A su vez podemos seguir sacando mitad."}, {"start": 277.0, "end": 282.0, "text": " Decimos, mitad de 126 nos da 63."}, {"start": 282.0, "end": 286.0, "text": " Y la mitad de 12 es 6."}, {"start": 286.0, "end": 290.0, "text": " Estos dos n\u00fameros que nos quedan se pueden dividir entre tres."}, {"start": 290.0, "end": 295.0, "text": " Entonces decimos, tercera de 63 es 21."}, {"start": 295.0, "end": 299.0, "text": " Y tercera de 6 es 2."}, {"start": 299.0, "end": 302.0, "text": " Como ya esta fracci\u00f3n no se puede simplificar m\u00e1s."}, {"start": 302.0, "end": 305.0, "text": " Es una fracci\u00f3n irreducible."}, {"start": 305.0, "end": 308.0, "text": " Entonces podemos obtener su valor decimal."}, {"start": 308.0, "end": 312.0, "text": " La mitad de 21 es 10.5."}, {"start": 312.0, "end": 318.0, "text": " Y le escribimos las unidades correspondientes a lo que estamos buscando."}, {"start": 318.0, "end": 325.0, "text": " Como X es la longitud del segmento AD, debe expresarse en cent\u00edmetros."}, {"start": 325.0, "end": 331.0, "text": " Bien, de esta manera podemos dar la respuesta para este ejercicio."}, {"start": 331.0, "end": 339.0, "text": " Decimos entonces que la medida del segmento AD es el valor de X."}, {"start": 339.0, "end": 348.0, "text": " O sea, 10.5 cent\u00edmetros."}]

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TEOREMA DE LA BISECTRIZ (DEMOSTRACIÓN)

#julioprofe hace la demostración del Teorema de la Bisectriz REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

En esta ocasión vamos a ver lo que es el teorema de la bisectriz y vamos a realizar su demostración. Este teorema dice lo siguiente, la bisectriz de un ángulo de un triángulo divide al lado opuesto en dos segmentos que son proporcionales a los otros dos lados del triángulo. Vamos a ver a continuación la demostración de este teorema. Tenemos un triángulo cualquiera ABC y en él trazamos el segmento AD que es la bisectriz de este ángulo BAC. Si es así entonces tendremos que este ángulo va a tener la misma medida que este de acá. Son ángulos congruentes porque recordemos la bisectriz de un ángulo cumple con la función de dividirlo en dos ángulos de la misma medida. Entonces como información conocida tenemos que el segmento AD es bisectriz del ángulo BAC, es lo que tenemos en este dibujo. Este segmento que trazamos divide a este ángulo que se llama BAC en dos ángulos del mismo tamaño o de la misma medida. Y vamos a demostrar lo que nos dice el teorema y es que al trazar la bisectriz de un ángulo el lado opuesto queda dividido en dos segmentos que son proporcionales a los otros dos lados del triángulo. Simbólicamente eso se describe así, el segmento BD será al segmento AB como el segmento DC es al segmento AC. O sea lo que se llama una proporción, la igualdad de dos razones. Entonces esto es lo que vamos a demostrar y es lo que enuncia el teorema de la bisectriz. Para ello realizamos la siguiente construcción, por el punto B trazamos esta línea paralela al lado AC del triángulo y también extendemos el segmento AD hasta que se corte con la línea que trazamos. Vamos a retirar estos pedazos que ya no necesitamos y vamos a llamar este punto con la letra E mayúscula. Como decíamos esta línea es paralela a este lado, entonces para denotar esa condición de segmentos paralelos vamos a colocarles estas flechitas que nos indican que las dos líneas tienen la misma dirección y que son paralelas. Cuando se nos presenta el caso de dos rectas paralelas cortadas por otra recta que es secante o transversal, vamos a encontrar que este ángulo es congruente con este de acá. Se llaman ángulos alternos internos entre paralelas y tienen la misma medida. Pues bien eso está sucediendo acá. Demos que el segmento BE es paralelo con el segmento AC y el segmento AE actúa como secante o transversal. Entonces este ángulo que tenemos aquí va a ser congruente con este que estamos señalando acá por ser ángulos alternos internos entre paralelas. También podemos afirmar que este ángulo va a ser congruente con este, se llaman ángulos opuestos por el vértice y tienen la misma medida. Ahora, si consideramos el triángulo ADC y el triángulo BDE vemos que comparten los mismos ángulos. Este ángulo de color verde lo tenemos acá, también tenemos el ángulo de color rojo, por lo tanto el tercer ángulo, es decir este que estamos señalando con color azul, debe ser igual en los dos triángulos. Recordemos que eso se debe a que en todo triángulo los ángulos interiores suman 180 grados. Como tenemos que estos dos triángulos tienen exactamente los mismos ángulos, entonces podemos decir que son semejantes. Entonces, el triángulo ADC, este que tenemos acá, va a ser semejante con el triángulo BDE y eso se justifica por el postulado o por el criterio ángulo ángulo ángulo. Como decíamos, por tener los mismos ángulos, entonces esos dos triángulos son semejantes. Esa condición de semejanza nos permite también establecer una proporcionalidad entre los lados de esos triángulos. Por ejemplo, podemos decir que el lado BDE que está comprendido entre los ángulos azul y rojo en el triángulo pequeño va a ser proporcional con el lado DC, el que también está comprendido entre los ángulos del mismo color. Entonces lo escribimos acá. Y eso guarda la misma relación que por ejemplo el lado BF con el lado AC, es decir, los que están comprendidos entre los ángulos de color azul y verde en los dos triángulos. Y eso a su vez va a guardar la misma relación que el lado DEN con el lado AD, o sea, los que se encuentran comprendidos entre los ángulos de colores rojo y verde. Como se observa en la parte superior, siempre tenemos los lados de este triángulo pequeño y en la parte de abajo los lados respectivos del triángulo grande. Ahora de esta proporción que tiene tres razones, podemos considerar únicamente las dos primeras. Vamos a retirar la tercera razón y ahora vamos a mirar lo siguiente. Como podemos observar, el triángulo ABE cuenta con dos ángulos congruentes, o dos ángulos que tienen la misma medida. Entonces podemos asegurar que ese triángulo ABE es isósceles porque tiene dos ángulos iguales. Y consecuencia de ello es que va a tener dos lados iguales. En este caso el lado AB va a ser igual al lado BE, es decir, los lados distintos a la base, siendo en este caso la base el lado AE, o sea, el que contiene los dos ángulos de la misma medida. Haciendo uso de esta igualdad que acabamos de demostrar, podemos cambiar aquí el segmento BE por su equivalente que es AB. Entonces hacemos ese cambio en esta proporción. Ahora bien, recordando los elementos de una proporción, tenemos que estos dos se llaman extremos y que estos dos se llaman medios. Y dice una propiedad de las proporciones que los medios son intercambiables, o sea que podemos hacer esto. Esto nos va a llevar a lo siguiente. BD sobre AB será igual a DC sobre AC. De esa manera llegamos a lo que queríamos demostrar, esto que tenemos acá, y es lo que nos anuncia el Teorema de la Bicentris.

[{"start": 0.0, "end": 9.08, "text": " En esta ocasi\u00f3n vamos a ver lo que es el teorema de la bisectriz y vamos a realizar"}, {"start": 9.08, "end": 11.22, "text": " su demostraci\u00f3n."}, {"start": 11.22, "end": 18.12, "text": " Este teorema dice lo siguiente, la bisectriz de un \u00e1ngulo de un tri\u00e1ngulo divide al lado"}, {"start": 18.12, "end": 25.18, "text": " opuesto en dos segmentos que son proporcionales a los otros dos lados del tri\u00e1ngulo."}, {"start": 25.18, "end": 31.08, "text": " Vamos a ver a continuaci\u00f3n la demostraci\u00f3n de este teorema."}, {"start": 31.08, "end": 38.8, "text": " Tenemos un tri\u00e1ngulo cualquiera ABC y en \u00e9l trazamos el segmento AD que es la bisectriz"}, {"start": 38.8, "end": 41.8, "text": " de este \u00e1ngulo BAC."}, {"start": 41.8, "end": 51.24, "text": " Si es as\u00ed entonces tendremos que este \u00e1ngulo va a tener la misma medida que este de ac\u00e1."}, {"start": 51.24, "end": 59.120000000000005, "text": " Son \u00e1ngulos congruentes porque recordemos la bisectriz de un \u00e1ngulo cumple con la funci\u00f3n"}, {"start": 59.120000000000005, "end": 64.16, "text": " de dividirlo en dos \u00e1ngulos de la misma medida."}, {"start": 64.16, "end": 70.08, "text": " Entonces como informaci\u00f3n conocida tenemos que el segmento AD es bisectriz del \u00e1ngulo"}, {"start": 70.08, "end": 73.72, "text": " BAC, es lo que tenemos en este dibujo."}, {"start": 73.72, "end": 80.56, "text": " Este segmento que trazamos divide a este \u00e1ngulo que se llama BAC en dos \u00e1ngulos del mismo"}, {"start": 80.56, "end": 83.64, "text": " tama\u00f1o o de la misma medida."}, {"start": 83.64, "end": 93.66, "text": " Y vamos a demostrar lo que nos dice el teorema y es que al trazar la bisectriz de un \u00e1ngulo"}, {"start": 93.66, "end": 101.56, "text": " el lado opuesto queda dividido en dos segmentos que son proporcionales a los otros dos lados"}, {"start": 101.56, "end": 102.80000000000001, "text": " del tri\u00e1ngulo."}, {"start": 102.8, "end": 120.32, "text": " Simb\u00f3licamente eso se describe as\u00ed, el segmento BD ser\u00e1 al segmento AB como el segmento DC"}, {"start": 120.32, "end": 123.32, "text": " es al segmento AC."}, {"start": 123.32, "end": 129.36, "text": " O sea lo que se llama una proporci\u00f3n, la igualdad de dos razones."}, {"start": 129.36, "end": 138.08, "text": " Entonces esto es lo que vamos a demostrar y es lo que enuncia el teorema de la bisectriz."}, {"start": 138.08, "end": 144.64000000000001, "text": " Para ello realizamos la siguiente construcci\u00f3n, por el punto B trazamos esta l\u00ednea paralela"}, {"start": 144.64000000000001, "end": 153.20000000000002, "text": " al lado AC del tri\u00e1ngulo y tambi\u00e9n extendemos el segmento AD hasta que se corte con la l\u00ednea"}, {"start": 153.20000000000002, "end": 154.56, "text": " que trazamos."}, {"start": 154.56, "end": 162.76, "text": " Vamos a retirar estos pedazos que ya no necesitamos y vamos a llamar este punto con la letra E"}, {"start": 162.76, "end": 164.76, "text": " may\u00fascula."}, {"start": 164.76, "end": 173.0, "text": " Como dec\u00edamos esta l\u00ednea es paralela a este lado, entonces para denotar esa condici\u00f3n"}, {"start": 173.0, "end": 180.8, "text": " de segmentos paralelos vamos a colocarles estas flechitas que nos indican que las dos"}, {"start": 180.8, "end": 185.68, "text": " l\u00edneas tienen la misma direcci\u00f3n y que son paralelas."}, {"start": 185.68, "end": 192.36, "text": " Cuando se nos presenta el caso de dos rectas paralelas cortadas por otra recta que es secante"}, {"start": 192.36, "end": 199.64000000000001, "text": " o transversal, vamos a encontrar que este \u00e1ngulo es congruente con este de ac\u00e1."}, {"start": 199.64000000000001, "end": 206.32000000000002, "text": " Se llaman \u00e1ngulos alternos internos entre paralelas y tienen la misma medida."}, {"start": 206.32000000000002, "end": 209.12, "text": " Pues bien eso est\u00e1 sucediendo ac\u00e1."}, {"start": 209.12, "end": 217.76, "text": " Demos que el segmento BE es paralelo con el segmento AC y el segmento AE act\u00faa como secante"}, {"start": 217.76, "end": 219.68, "text": " o transversal."}, {"start": 219.68, "end": 225.68, "text": " Entonces este \u00e1ngulo que tenemos aqu\u00ed va a ser congruente con este que estamos se\u00f1alando"}, {"start": 225.68, "end": 231.68, "text": " ac\u00e1 por ser \u00e1ngulos alternos internos entre paralelas."}, {"start": 231.68, "end": 239.72, "text": " Tambi\u00e9n podemos afirmar que este \u00e1ngulo va a ser congruente con este, se llaman \u00e1ngulos"}, {"start": 239.72, "end": 244.28, "text": " opuestos por el v\u00e9rtice y tienen la misma medida."}, {"start": 244.28, "end": 253.0, "text": " Ahora, si consideramos el tri\u00e1ngulo ADC y el tri\u00e1ngulo BDE vemos que comparten los"}, {"start": 253.0, "end": 254.56, "text": " mismos \u00e1ngulos."}, {"start": 254.56, "end": 260.28000000000003, "text": " Este \u00e1ngulo de color verde lo tenemos ac\u00e1, tambi\u00e9n tenemos el \u00e1ngulo de color rojo,"}, {"start": 260.28, "end": 266.71999999999997, "text": " por lo tanto el tercer \u00e1ngulo, es decir este que estamos se\u00f1alando con color azul, debe"}, {"start": 266.71999999999997, "end": 269.79999999999995, "text": " ser igual en los dos tri\u00e1ngulos."}, {"start": 269.79999999999995, "end": 278.35999999999996, "text": " Recordemos que eso se debe a que en todo tri\u00e1ngulo los \u00e1ngulos interiores suman 180 grados."}, {"start": 278.35999999999996, "end": 284.85999999999996, "text": " Como tenemos que estos dos tri\u00e1ngulos tienen exactamente los mismos \u00e1ngulos, entonces"}, {"start": 284.85999999999996, "end": 287.79999999999995, "text": " podemos decir que son semejantes."}, {"start": 287.8, "end": 295.88, "text": " Entonces, el tri\u00e1ngulo ADC, este que tenemos ac\u00e1, va a ser semejante con el tri\u00e1ngulo"}, {"start": 295.88, "end": 307.64, "text": " BDE y eso se justifica por el postulado o por el criterio \u00e1ngulo \u00e1ngulo \u00e1ngulo."}, {"start": 307.64, "end": 316.12, "text": " Como dec\u00edamos, por tener los mismos \u00e1ngulos, entonces esos dos tri\u00e1ngulos son semejantes."}, {"start": 316.12, "end": 323.72, "text": " Esa condici\u00f3n de semejanza nos permite tambi\u00e9n establecer una proporcionalidad entre los"}, {"start": 323.72, "end": 325.96, "text": " lados de esos tri\u00e1ngulos."}, {"start": 325.96, "end": 333.6, "text": " Por ejemplo, podemos decir que el lado BDE que est\u00e1 comprendido entre los \u00e1ngulos azul"}, {"start": 333.6, "end": 340.16, "text": " y rojo en el tri\u00e1ngulo peque\u00f1o va a ser proporcional con el lado DC, el que tambi\u00e9n"}, {"start": 340.16, "end": 344.84000000000003, "text": " est\u00e1 comprendido entre los \u00e1ngulos del mismo color."}, {"start": 344.84, "end": 346.64, "text": " Entonces lo escribimos ac\u00e1."}, {"start": 346.64, "end": 357.44, "text": " Y eso guarda la misma relaci\u00f3n que por ejemplo el lado BF con el lado AC, es decir, los que"}, {"start": 357.44, "end": 364.15999999999997, "text": " est\u00e1n comprendidos entre los \u00e1ngulos de color azul y verde en los dos tri\u00e1ngulos."}, {"start": 364.16, "end": 376.56, "text": " Y eso a su vez va a guardar la misma relaci\u00f3n que el lado DEN con el lado AD, o sea, los"}, {"start": 376.56, "end": 382.64000000000004, "text": " que se encuentran comprendidos entre los \u00e1ngulos de colores rojo y verde."}, {"start": 382.64000000000004, "end": 388.6, "text": " Como se observa en la parte superior, siempre tenemos los lados de este tri\u00e1ngulo peque\u00f1o"}, {"start": 388.6, "end": 394.52000000000004, "text": " y en la parte de abajo los lados respectivos del tri\u00e1ngulo grande."}, {"start": 394.52000000000004, "end": 402.6, "text": " Ahora de esta proporci\u00f3n que tiene tres razones, podemos considerar \u00fanicamente las dos primeras."}, {"start": 402.6, "end": 409.16, "text": " Vamos a retirar la tercera raz\u00f3n y ahora vamos a mirar lo siguiente."}, {"start": 409.16, "end": 416.64000000000004, "text": " Como podemos observar, el tri\u00e1ngulo ABE cuenta con dos \u00e1ngulos congruentes, o dos \u00e1ngulos"}, {"start": 416.64, "end": 418.76, "text": " que tienen la misma medida."}, {"start": 418.76, "end": 430.68, "text": " Entonces podemos asegurar que ese tri\u00e1ngulo ABE es is\u00f3sceles porque tiene dos \u00e1ngulos"}, {"start": 430.68, "end": 431.8, "text": " iguales."}, {"start": 431.8, "end": 437.56, "text": " Y consecuencia de ello es que va a tener dos lados iguales."}, {"start": 437.56, "end": 448.88, "text": " En este caso el lado AB va a ser igual al lado BE, es decir, los lados distintos a la"}, {"start": 448.88, "end": 456.96, "text": " base, siendo en este caso la base el lado AE, o sea, el que contiene los dos \u00e1ngulos"}, {"start": 456.96, "end": 459.2, "text": " de la misma medida."}, {"start": 459.2, "end": 466.2, "text": " Haciendo uso de esta igualdad que acabamos de demostrar, podemos cambiar aqu\u00ed el segmento"}, {"start": 466.2, "end": 470.64, "text": " BE por su equivalente que es AB."}, {"start": 470.64, "end": 476.52, "text": " Entonces hacemos ese cambio en esta proporci\u00f3n."}, {"start": 476.52, "end": 482.26, "text": " Ahora bien, recordando los elementos de una proporci\u00f3n, tenemos que estos dos se llaman"}, {"start": 482.26, "end": 485.68, "text": " extremos y que estos dos se llaman medios."}, {"start": 485.68, "end": 492.44, "text": " Y dice una propiedad de las proporciones que los medios son intercambiables, o sea que"}, {"start": 492.44, "end": 495.71999999999997, "text": " podemos hacer esto."}, {"start": 495.72, "end": 498.96000000000004, "text": " Esto nos va a llevar a lo siguiente."}, {"start": 498.96000000000004, "end": 509.48, "text": " BD sobre AB ser\u00e1 igual a DC sobre AC."}, {"start": 509.48, "end": 515.8000000000001, "text": " De esa manera llegamos a lo que quer\u00edamos demostrar, esto que tenemos ac\u00e1, y es lo que"}, {"start": 515.8, "end": 526.56, "text": " nos anuncia el Teorema de la Bicentris."}]

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LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS - Ejercicio 2

#julioprofe explica cómo resolver un límite trigonométrico. Tema: #Límites → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEeindtt3TarvkVHRDmqNTf REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

Para resolver este límite trigonométrico, lo primero que hacemos es evaluar esta expresión cuando x toma el valor pi medios. Veamos, en el numerador tendremos pi medios menos pi medios y en el denominador tendremos coseno de pi medios. Veamos lo que hay en la parte de arriba, vemos que pi medios menos pi medios es cero y en la parte de abajo tenemos el coseno de pi medios radianes, que es lo mismo que decir coseno de 90 grados y eso equivale a cero. Cero sobre cero constituye una indeterminación o también lo que se conoce como una forma indeterminada. Quiere decir que esta función no existe o no está definida cuando x toma el valor pi medios. También nos dice esto, que hay que realizar alguna transformación en el límite para ver a qué valor tiende la función cuando x tiende o se aproxima a pi medios. La estrategia que vamos a utilizar en este caso se llama cambio de variable. Vamos a tomar esto que está en el numerador de la expresión y vamos a llamarlo u. Entonces u será igual a pi medios menos x. Por acá vemos que x tiende a pi medios, entonces vamos a ver qué le sucede a u cuando ocurre esa tendencia para x. Decimos, si x tiende o se aproxima al valor pi medios, entonces veamos u a cuánto tiende. Si acá reemplazamos el valor pi medios, tenemos pi medios menos pi medios, eso nos da cero. Por lo tanto decimos que u tiende a cero cuando x tiende o se aproxima a pi medios. Con esta información vamos a reconstruir el límite original. Vamos a procurar que nos quede todo en términos de la nueva letra que es u. Vemos acá, límite cuando x tiende a pi medios, pero vimos que si x tiende a pi medios, entonces u tiende a cero. Ahora acá tenemos límite cuando u tiende a cero. En la parte de arriba tenemos pi medios menos x, pero acá dijimos que eso equivale a u. Y acá tenemos coseno de x, pero no podemos acá escribir x como tal porque necesitamos que todo esto nos quede en términos de la nueva letra o la nueva variable que es u. Entonces de esta igualdad vamos a despejar x. Inicialmente x como está restando a este lado, lo pasamos al otro lado a sumar. Tenemos u más x igual a pi medios. Y de allí ya nos queda más sencillo hacer el despeje de x. Para ello pasamos u que está sumando al otro lado a restar. Entonces x será igual a pi medios menos u. Y con eso hacemos acá el cambio. En lugar de x vamos a escribir pi medios menos u. De esa manera conseguimos que nuestro límite que inicialmente estaba en términos de x, ahora nos quede escrito en términos de la nueva variable que es u. Enseguida vamos a desarrollar esto que nos quedó en el denominador de la expresión. Para ello vamos a utilizar la identidad trigonométrica para el coseno de la diferencia de dos ángulos. Esto es igual a coseno de alfa por coseno de beta más seno de alfa por seno de beta. Vamos entonces a escribir acá debajo lo que tenemos acá en el denominador. Sería coseno de pi medios menos u. Vemos que pi medios actúa como alfa y la letra u actúa como beta. Entonces reemplazamos acá. Seríamos coseno de pi medios por coseno de u y esto más seno de pi medios por el seno de u. Como vimos ahora, el coseno de pi medios radianes equivale a cero. Recordemos que es el coseno de 90 grados. Y por acá tenemos el seno de pi medios radianes, o sea, el seno de 90 grados que equivale a uno. Entonces, si por acá tenemos cero por coseno de u, todo esto nos da cero. Y por acá tenemos uno por seno de u que equivale a seno de u. Por lo tanto, toda esa expresión equivale a seno de u. Y esto lo vamos a sustituir acá en el denominador de la expresión. Tenemos entonces límite de u sobre el seno de u cuando u tiende a cero. Ahora veamos lo siguiente. Si tenemos una fracción a sobre b elevada al exponente menos n, eso será igual a b sobre a, eso elevado al exponente n, una propiedad de la potenciación. Si cambiamos n por el valor uno, vemos que en el lado derecho podríamos hacer invisible este exponente. Recordemos que cualquier cantidad elevada al exponente uno es ella misma. Entonces podemos quitar este paréntesis y este exponente uno. Entonces, apoyándonos en esta propiedad, podemos cambiar esta fracción por su recíproca o su inversa elevada al exponente menos uno. Tendremos entonces lo siguiente. Límite cuando u tiende a cero de seno de u, todo esto sobre u, y elevado al exponente menos uno. Repetimos, pasamos de aquí a esto que tenemos acá, apoyados en esta propiedad de la potenciación. Ahora vamos a recordar la siguiente propiedad de los límites. Si tenemos el límite de una función f de u elevada a un número real n, todo esto cuando u tiende a otro número real c, entonces eso será igual al límite de f de u cuando u tiende a c y todo esto elevado al exponente n. Pues bien, eso podemos aplicar en este caso. Entonces tendremos el límite de seno de u sobre u cuando u tiende a cero y todo esto estará elevado al exponente menos uno. Acá dentro del paréntesis tenemos una situación que seguramente ya conocemos. El límite de seno de x sobre x cuando x tiende a cero y que esto está demostrado que equivale a uno. Como se observa es exactamente lo mismo, solamente que acá tenemos x y acá tenemos la letra u. Entonces podemos afirmar que todo este límite de la base equivale a uno y tendremos uno elevado al exponente menos uno. Aquí aplicamos otra propiedad de la potenciación. Si tenemos a a la menos n, eso es igual a uno sobre a a la n. Entonces vamos a continuar el desarrollo por acá. Eso nos va a quedar uno sobre uno a la uno, aplicando esta propiedad de la potenciación. Para terminar desarrollamos lo que hay en el denominador uno elevado al exponente uno es uno, arriba tenemos uno y finalmente uno sobre uno equivale a uno. Y esa será entonces la respuesta para ese límite trigonométrico.

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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 3×3 - Problema 3

#julioprofe explica cómo plantear y resolver un problema de tres ecuaciones con tres incógnitas: Un comerciante vende quesos de tres tipos: curado, semicurado y tierno. Los precios de cada uno de ellos son: 12 €/kg, 10 €/kg y 9 €/kg, respectivamente. Se sabe que el total de kilos vendidos son 44, que el importe total de la venta son 436 € y que el número de kilos vendidos del queso semicurado es el doble que del curado. Determinar cuántos kilos de cada clase vendió el comerciante. Tema: #SistemasDeEcuaciones → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEFAYT8s7eBiUPuANxiqi_l REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Un comerciante vende quesos de tres tipos, curado, semicurado y tierno. Los precios de cada uno de ellos son 12 euros por kilogramo, 10 euros por kilogramo y 9 euros por kilogramo respectivamente. Se sabe que el total de kilos vendidos son 44, que el importe total de la venta son 436 euros y que el número de kilos vendidos del queso semicurado es el doble que del curado. Determinar cuántos kilos de cada clase vendió el comerciante. Bien para resolver este problema vamos a utilizar tres letras o tres incógnitas que representen la cantidad de kilos de cada tipo de queso que vende el comerciante. Llamamos X a los kilos de queso curado, aquel que se vende a 12 euros el kilogramo. Llamamos Y a los kilos de queso semicurado, aquel que se vende a 10 euros el kilogramo. Y llamamos Z a los kilos de queso tierno, aquel que se vende a 9 euros el kilogramo. La primera información del problema nos dice que el total de kilos vendidos es 44. Entonces allí tendremos la primera ecuación. X más Y más Z será igual a 44. El total de kilos de queso que vendió el comerciante. Entonces aquí tenemos la primera ecuación. La segunda información nos dice que el importe total de la venta es 436 euros. Entonces si el comerciante vende X kilos de queso curado a 12 euros el kilo, por ese concepto tendrá un importe de 12 X euros. Es decir, multiplicamos la cantidad de kilos por su valor unitario. 12 por X es el total de dinero recaudado en euros por la venta de queso curado. A eso le vamos a sumar lo que recauda por la venta de queso semicurado. Son Y kilos a 10 euros el kilo. O sea 10 por Y que será 10 Y. Esto está en euros. Y a eso le sumamos el importe por la venta de queso tierno. Son Z kilos a 9 euros el kilo. Eso nos da 9 Z euros. Y todo eso debe totalizar 436 euros que es el importe total de la venta de queso. De esa manera tenemos ya la segunda ecuación. Vamos ahora con la tercera información que nos da el problema. Nos dice que la cantidad de kilos de queso semicurado es el doble de la cantidad de kilos de queso curado. Entonces Y será igual a 2X. Y es el doble de X. La cantidad de queso semicurado es el doble de la cantidad de queso curado. De esa manera tenemos la tercera ecuación. Tenemos en este caso lo que se llama en matemáticas un sistema de ecuaciones lineales de 3 por 3. Tres ecuaciones con tres incógnitas. Como en la tercera ecuación observamos Y despejada en términos de X. Entonces podemos sustituir esto que tenemos acá tanto en la ecuación 1 como en la ecuación 2. De esa manera vamos a conseguir que nuestro sistema de 3 por 3 nos quede reducido a uno más sencillo de 2 por 2. Comenzamos sustituyendo la expresión 3 en la expresión 1. Entonces nos queda así. X más Y que se cambia por 2X. Eso más Z igual a 44. Aquí podemos sumar estos dos términos semejantes. X más 2X nos da 3X. Y eso más Z será igual a 44. Entonces esa expresión vamos a anotarla por acá. 3X más Z igual a 44. Y esa expresión la vamos a etiquetar con el número 4. Será la cuarta ecuación que ahora nos queda con las incógnitas X y Z. Ahora vamos a sustituir la expresión 3 en la expresión 2. Tendremos lo siguiente. 12X más 10 por Y es decir 10 por 2X. Allí hacemos la sustitución. Todo eso más 9Z igual a 436. Tendremos 12X más 10 por 2X que nos da 20X. Eso más 9Z igual a 436. Acá podemos sumar esos dos términos semejantes. 12X más 20X nos da 32X. Nos queda más 9Z. Y esto igual a 436. Entonces esa expresión la vamos a escribir por acá. 32X más 9Z igual a 436. Y esa expresión nueva la etiquetamos con el número 5. Es la quinta ecuación que también tiene las incógnitas X y Z. Bien, como decíamos ahora, esto constituye un sistema de 2 por 2. Dos ecuaciones con dos incógnitas. Mucho más fácil de resolver que el sistema original que era de 3 por 3. Aquí también podemos utilizar el método de sustitución. Como vemos en la cuarta ecuación está fácil despejar la incógnita Z. Entonces decimos que de la expresión 4 despejamos Z y nos queda Z igual a 44 menos 3X. Este término que está positivo pasa al otro lado negativo. Y esta expresión que es nueva la vamos a escribir por acá etiquetada con el número 6. Tenemos Z igual a 44 menos 3X. Ahora vamos a reemplazar la expresión 6 en la número 5. Entonces 6 se sustituye en 5 y nos queda de la siguiente manera 32X más 9 por Z. Pero Z se cambia por 44 menos 3X. Cerramos el paréntesis y todo eso se iguala a 436. En resumen, lo que estamos haciendo es resolver este sistema de ecuaciones lineales de 2 por 2 utilizando el método de sustitución. Enseguida vamos a romper este paréntesis. Vamos a aplicar la propiedad distributiva. Entonces nos queda así 32X más 9 por 44 que nos da 396. 9 por menos 3X que nos da menos 27X. Y esto igual a 436. Enseguida hacemos transposición de términos. Dejamos a este lado aquellos términos que contienen la X y dejamos al otro lado los números o términos independientes. Nos queda entonces 32X menos 27X y al otro lado nos queda 436 menos 396. Este número que está sumando pasa al otro lado a restar. Enseguida resolvemos las operaciones que tenemos a cada lado. Por acá resta de términos semejantes. 32X menos 27X nos da 5X y por acá restamos esos dos números y nos da como resultado 40. De allí podemos hacer el despeje de X. Para ello este número 5 que está multiplicando pasa al otro lado a dividir. Nos queda X igual a 40 dividido entre 5. Resolviendo esta operación encontramos que el valor de X es 8 y de esa manera hemos encontrado el valor de la primera incógnita. Ya sabemos que X vale 8. Ahora revisamos en las ecuaciones que tenemos que otra incógnita nos queda fácil de encontrar. Si observamos en la ecuación número 3 tenemos que Y es igual a 2X. Por lo tanto aquí podemos decir que Y será igual a 2 por el valor de X que es 8 y eso nos da 2 por 8 es 16. De esa manera conocemos el valor de la otra incógnita, o sea, Y que es 16. Para encontrar el valor de Z que es la incógnita que nos queda faltando buscamos cuál ecuación es más sencilla para ese propósito. Pues bien, la ecuación 6 presenta Z despejada en términos de X. Por lo tanto aquí podemos decir que Z va a ser igual a 44 menos 3 por el valor de X que es 8. Resolvemos esas operaciones Z es igual a 44 menos 3 por 8 que es 24 y efectuando esa resta nos da como resultado 20. Entonces por acá ya podemos escribir el valor de Z. Z equivale a 20. Bien, de esta manera hemos terminado de resolver este problema. A continuación vamos a dar la respuesta. Decimos entonces que el comerciante vendió 8 kilos de queso curado, 16 kilos de queso semi curado y 20 kilos de queso tierno.

[{"start": 0.0, "end": 9.42, "text": " Un comerciante vende quesos de tres tipos, curado, semicurado y tierno. Los precios de"}, {"start": 9.42, "end": 17.46, "text": " cada uno de ellos son 12 euros por kilogramo, 10 euros por kilogramo y 9 euros por kilogramo"}, {"start": 17.46, "end": 25.36, "text": " respectivamente. Se sabe que el total de kilos vendidos son 44, que el importe total de la"}, {"start": 25.36, "end": 34.68, "text": " venta son 436 euros y que el n\u00famero de kilos vendidos del queso semicurado es el doble"}, {"start": 34.68, "end": 41.92, "text": " que del curado. Determinar cu\u00e1ntos kilos de cada clase vendi\u00f3 el comerciante. Bien"}, {"start": 41.92, "end": 47.04, "text": " para resolver este problema vamos a utilizar tres letras o tres inc\u00f3gnitas que representen"}, {"start": 47.04, "end": 53.96, "text": " la cantidad de kilos de cada tipo de queso que vende el comerciante. Llamamos X a los"}, {"start": 53.96, "end": 61.92, "text": " kilos de queso curado, aquel que se vende a 12 euros el kilogramo. Llamamos Y a los"}, {"start": 61.92, "end": 70.72, "text": " kilos de queso semicurado, aquel que se vende a 10 euros el kilogramo. Y llamamos Z a los"}, {"start": 70.72, "end": 77.88, "text": " kilos de queso tierno, aquel que se vende a 9 euros el kilogramo. La primera informaci\u00f3n"}, {"start": 77.88, "end": 85.0, "text": " del problema nos dice que el total de kilos vendidos es 44. Entonces all\u00ed tendremos la"}, {"start": 85.0, "end": 97.47999999999999, "text": " primera ecuaci\u00f3n. X m\u00e1s Y m\u00e1s Z ser\u00e1 igual a 44. El total de kilos de queso que vendi\u00f3"}, {"start": 97.47999999999999, "end": 104.91999999999999, "text": " el comerciante. Entonces aqu\u00ed tenemos la primera ecuaci\u00f3n. La segunda informaci\u00f3n"}, {"start": 104.92, "end": 113.16, "text": " nos dice que el importe total de la venta es 436 euros. Entonces si el comerciante vende"}, {"start": 113.16, "end": 122.12, "text": " X kilos de queso curado a 12 euros el kilo, por ese concepto tendr\u00e1 un importe de 12"}, {"start": 122.12, "end": 130.08, "text": " X euros. Es decir, multiplicamos la cantidad de kilos por su valor unitario. 12 por X es"}, {"start": 130.08, "end": 136.78, "text": " el total de dinero recaudado en euros por la venta de queso curado. A eso le vamos a"}, {"start": 136.78, "end": 145.56, "text": " sumar lo que recauda por la venta de queso semicurado. Son Y kilos a 10 euros el kilo."}, {"start": 145.56, "end": 155.04000000000002, "text": " O sea 10 por Y que ser\u00e1 10 Y. Esto est\u00e1 en euros. Y a eso le sumamos el importe por"}, {"start": 155.04, "end": 165.23999999999998, "text": " la venta de queso tierno. Son Z kilos a 9 euros el kilo. Eso nos da 9 Z euros. Y todo"}, {"start": 165.23999999999998, "end": 175.95999999999998, "text": " eso debe totalizar 436 euros que es el importe total de la venta de queso. De esa manera"}, {"start": 175.95999999999998, "end": 182.32, "text": " tenemos ya la segunda ecuaci\u00f3n. Vamos ahora con la tercera informaci\u00f3n que nos da el"}, {"start": 182.32, "end": 189.72, "text": " problema. Nos dice que la cantidad de kilos de queso semicurado es el doble de la cantidad"}, {"start": 189.72, "end": 199.64, "text": " de kilos de queso curado. Entonces Y ser\u00e1 igual a 2X. Y es el doble de X. La cantidad"}, {"start": 199.64, "end": 207.35999999999999, "text": " de queso semicurado es el doble de la cantidad de queso curado. De esa manera tenemos la"}, {"start": 207.36, "end": 213.8, "text": " tercera ecuaci\u00f3n. Tenemos en este caso lo que se llama en matem\u00e1ticas un sistema de"}, {"start": 213.8, "end": 221.88000000000002, "text": " ecuaciones lineales de 3 por 3. Tres ecuaciones con tres inc\u00f3gnitas. Como en la tercera ecuaci\u00f3n"}, {"start": 221.88000000000002, "end": 228.20000000000002, "text": " observamos Y despejada en t\u00e9rminos de X. Entonces podemos sustituir esto que tenemos"}, {"start": 228.20000000000002, "end": 235.02, "text": " ac\u00e1 tanto en la ecuaci\u00f3n 1 como en la ecuaci\u00f3n 2. De esa manera vamos a conseguir que nuestro"}, {"start": 235.02, "end": 243.72, "text": " sistema de 3 por 3 nos quede reducido a uno m\u00e1s sencillo de 2 por 2. Comenzamos sustituyendo"}, {"start": 243.72, "end": 252.16000000000003, "text": " la expresi\u00f3n 3 en la expresi\u00f3n 1. Entonces nos queda as\u00ed. X m\u00e1s Y que se cambia por"}, {"start": 252.16, "end": 265.44, "text": " 2X. Eso m\u00e1s Z igual a 44. Aqu\u00ed podemos sumar estos dos t\u00e9rminos semejantes. X m\u00e1s 2X"}, {"start": 265.44, "end": 276.84, "text": " nos da 3X. Y eso m\u00e1s Z ser\u00e1 igual a 44. Entonces esa expresi\u00f3n vamos a anotarla por ac\u00e1."}, {"start": 276.84, "end": 288.28, "text": " 3X m\u00e1s Z igual a 44. Y esa expresi\u00f3n la vamos a etiquetar con el n\u00famero 4. Ser\u00e1"}, {"start": 288.28, "end": 297.0, "text": " la cuarta ecuaci\u00f3n que ahora nos queda con las inc\u00f3gnitas X y Z. Ahora vamos a sustituir"}, {"start": 297.0, "end": 312.12, "text": " la expresi\u00f3n 3 en la expresi\u00f3n 2. Tendremos lo siguiente. 12X m\u00e1s 10 por Y es decir 10"}, {"start": 312.12, "end": 328.0, "text": " por 2X. All\u00ed hacemos la sustituci\u00f3n. Todo eso m\u00e1s 9Z igual a 436. Tendremos 12X m\u00e1s"}, {"start": 328.0, "end": 339.36, "text": " 10 por 2X que nos da 20X. Eso m\u00e1s 9Z igual a 436. Ac\u00e1 podemos sumar esos dos t\u00e9rminos"}, {"start": 339.36, "end": 351.72, "text": " semejantes. 12X m\u00e1s 20X nos da 32X. Nos queda m\u00e1s 9Z. Y esto igual a 436. Entonces"}, {"start": 351.72, "end": 364.92, "text": " esa expresi\u00f3n la vamos a escribir por ac\u00e1. 32X m\u00e1s 9Z igual a 436. Y esa expresi\u00f3n"}, {"start": 364.92, "end": 371.44, "text": " nueva la etiquetamos con el n\u00famero 5. Es la quinta ecuaci\u00f3n que tambi\u00e9n tiene las"}, {"start": 371.44, "end": 380.88, "text": " inc\u00f3gnitas X y Z. Bien, como dec\u00edamos ahora, esto constituye un sistema de 2 por 2. Dos"}, {"start": 380.88, "end": 387.16, "text": " ecuaciones con dos inc\u00f3gnitas. Mucho m\u00e1s f\u00e1cil de resolver que el sistema original"}, {"start": 387.16, "end": 393.48, "text": " que era de 3 por 3. Aqu\u00ed tambi\u00e9n podemos utilizar el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n. Como vemos"}, {"start": 393.48, "end": 400.28000000000003, "text": " en la cuarta ecuaci\u00f3n est\u00e1 f\u00e1cil despejar la inc\u00f3gnita Z. Entonces decimos que de la"}, {"start": 400.28000000000003, "end": 414.70000000000005, "text": " expresi\u00f3n 4 despejamos Z y nos queda Z igual a 44 menos 3X. Este t\u00e9rmino que est\u00e1 positivo"}, {"start": 414.70000000000005, "end": 422.16, "text": " pasa al otro lado negativo. Y esta expresi\u00f3n que es nueva la vamos a escribir por ac\u00e1"}, {"start": 422.16, "end": 435.04, "text": " etiquetada con el n\u00famero 6. Tenemos Z igual a 44 menos 3X. Ahora vamos a reemplazar la"}, {"start": 435.04, "end": 444.04, "text": " expresi\u00f3n 6 en la n\u00famero 5. Entonces 6 se sustituye en 5 y nos queda de la siguiente"}, {"start": 444.04, "end": 459.28000000000003, "text": " manera 32X m\u00e1s 9 por Z. Pero Z se cambia por 44 menos 3X. Cerramos el par\u00e9ntesis y"}, {"start": 459.28000000000003, "end": 467.76, "text": " todo eso se iguala a 436. En resumen, lo que estamos haciendo es resolver este sistema"}, {"start": 467.76, "end": 474.76, "text": " de ecuaciones lineales de 2 por 2 utilizando el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n. Enseguida vamos"}, {"start": 474.76, "end": 481.84, "text": " a romper este par\u00e9ntesis. Vamos a aplicar la propiedad distributiva. Entonces nos queda"}, {"start": 481.84, "end": 495.36, "text": " as\u00ed 32X m\u00e1s 9 por 44 que nos da 396. 9 por menos 3X que nos da menos 27X. Y esto igual"}, {"start": 495.36, "end": 503.92, "text": " a 436. Enseguida hacemos transposici\u00f3n de t\u00e9rminos. Dejamos a este lado aquellos t\u00e9rminos"}, {"start": 503.92, "end": 509.88, "text": " que contienen la X y dejamos al otro lado los n\u00fameros o t\u00e9rminos independientes. Nos"}, {"start": 509.88, "end": 522.72, "text": " queda entonces 32X menos 27X y al otro lado nos queda 436 menos 396. Este n\u00famero que"}, {"start": 522.72, "end": 529.28, "text": " est\u00e1 sumando pasa al otro lado a restar. Enseguida resolvemos las operaciones que tenemos"}, {"start": 529.28, "end": 539.12, "text": " a cada lado. Por ac\u00e1 resta de t\u00e9rminos semejantes. 32X menos 27X nos da 5X y por ac\u00e1 restamos"}, {"start": 539.12, "end": 546.72, "text": " esos dos n\u00fameros y nos da como resultado 40. De all\u00ed podemos hacer el despeje de X."}, {"start": 546.72, "end": 554.6, "text": " Para ello este n\u00famero 5 que est\u00e1 multiplicando pasa al otro lado a dividir. Nos queda X igual"}, {"start": 554.6, "end": 564.36, "text": " a 40 dividido entre 5. Resolviendo esta operaci\u00f3n encontramos que el valor de X es 8 y de esa"}, {"start": 564.36, "end": 573.64, "text": " manera hemos encontrado el valor de la primera inc\u00f3gnita. Ya sabemos que X vale 8. Ahora"}, {"start": 573.64, "end": 580.24, "text": " revisamos en las ecuaciones que tenemos que otra inc\u00f3gnita nos queda f\u00e1cil de encontrar."}, {"start": 580.24, "end": 587.04, "text": " Si observamos en la ecuaci\u00f3n n\u00famero 3 tenemos que Y es igual a 2X. Por lo tanto aqu\u00ed podemos"}, {"start": 587.04, "end": 597.1999999999999, "text": " decir que Y ser\u00e1 igual a 2 por el valor de X que es 8 y eso nos da 2 por 8 es 16. De"}, {"start": 597.2, "end": 606.1600000000001, "text": " esa manera conocemos el valor de la otra inc\u00f3gnita, o sea, Y que es 16. Para encontrar el valor"}, {"start": 606.1600000000001, "end": 613.44, "text": " de Z que es la inc\u00f3gnita que nos queda faltando buscamos cu\u00e1l ecuaci\u00f3n es m\u00e1s sencilla para"}, {"start": 613.44, "end": 621.44, "text": " ese prop\u00f3sito. Pues bien, la ecuaci\u00f3n 6 presenta Z despejada en t\u00e9rminos de X. Por lo tanto"}, {"start": 621.44, "end": 634.6, "text": " aqu\u00ed podemos decir que Z va a ser igual a 44 menos 3 por el valor de X que es 8. Resolvemos"}, {"start": 634.6, "end": 645.0400000000001, "text": " esas operaciones Z es igual a 44 menos 3 por 8 que es 24 y efectuando esa resta nos da como"}, {"start": 645.04, "end": 655.76, "text": " resultado 20. Entonces por ac\u00e1 ya podemos escribir el valor de Z. Z equivale a 20. Bien,"}, {"start": 655.76, "end": 661.0, "text": " de esta manera hemos terminado de resolver este problema. A continuaci\u00f3n vamos a dar"}, {"start": 661.0, "end": 668.5999999999999, "text": " la respuesta. Decimos entonces que el comerciante vendi\u00f3 8 kilos de queso curado, 16 kilos de"}, {"start": 668.6, "end": 675.6, "text": " queso semi curado y 20 kilos de queso tierno."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=KqdoIr-cms4

LAC2025 Educación

LAC2025 es una iniciativa del BID sobre tendencias que impactarán el futuro de la región. Más información: http://publications.iadb.org/handle/11319/6428 En YouTube: http://www.youtube.com/watch?v=YXkw9VXBGDU En Twitter: http://twitter.com/el_BID La publicación de este video ha sido autorizada por el Banco Interamericano de Desarrollo BID. REDES SOCIALES DE #julioprofe Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

You But perhaps the most affected public service by hyperconnectivity will be education. In the last decades, Latin America and the Caribbean have achieved great advances in education. Today, almost all children attend primary school and continue to go to secondary school. But as the latest PISA tests show, the quality of education in the region is still very poor. Unfortunately, almost half of the children who attend secondary school leave this level without finishing it. In 2025, these will probably be the same challenges that the region faces. The wide range will provide an alternative for all children who want to learn more and better. And the interesting thing is that many of these alternatives will be out of the classroom. Today, it is estimated that at least half a million people in the region are already taking online courses, called MOOCs, for their English titles. Companies such as Cursera or EdX, which offer high-level university courses such as Harvard, Stanford or MIT, indicate that approximately 10% of their students are in Latin America. In addition, companies and Latin American universities are also beginning to offer their own courses. But what is even more interesting is that it is not only the companies and professors of the most prestigious universities who are innovating in this field. Other professionals are also sharing their knowledge online, designing and giving their own courses online. Some of them have actually been quite successful and have a great influence on the way we learn. Hola, reciban un cordial saludo desde Colombia. Soy Julio Alberto Ríos Gallego, conocido en Internet como Julio Profe. Hace 5 años me aventuré a grabar videos con explicaciones de ejercicios y problemas de matemáticas con el propósito de apoyar a mis estudiantes presenciales. Abrí el canal Julio Profe en YouTube para que ellos pudieran ver los videotutoriales en su computador y desde la comodidad de su casa. Lo que no esperaba fue que esas explicaciones empezaran a ser vistas por estudiantes de otras ciudades de Colombia y también de otros países. Hola, que tal. Mi nombre es Francisco. Vivo en la ciudad de Guadalajara, en México. Soy estudiante de la carrera de Ingeniería Civil en la Universidad de Guadalajara. Y soy fan de los videos de Julio Profe. Gracias a ellos pude superar con éxito mis asignaturas de matemáticas en escuela. Me gustan los videos de Julio Profe porque se toma su tiempo en explicarlo todo de forma clara, sencilla y ordenada. Es verdaderamente genial. Es como tener al Profe en casa. Si mi canal Julio Profe en YouTube conserva este ritmo de crecimiento, mis videos podrían alcanzar 800 millones de reproducciones en el año 2025. Este pronóstico significa un gran reto para mí y me compromete a continuar produciendo material de excelente calidad que beneficie a los estudiantes, a los maestros y a los padres de familia. Gracias por su amable atención y hasta la próxima. Todo este nuevo contenido académico, gratuito y de fácil acceso, dará lugar a un nuevo método de enseñanza, la denominada clase invertida o clase al revés, que se extenderá por toda América Latina. Pero, ¿qué es la clase invertida? La clase invertida es una reinterpretación de los roles de los estudiantes y de los docentes, así como una forma distinta de realizar las actividades diarias en el aula. ¿Y cómo funciona? Simple. La clase se traslada a la vivienda del estudiante, donde éste podrá ver videos. Y las tareas se realizan en el aula, con el apoyo del docente. Así, el aula se convierte en un espacio que permite practicar e investigar, experimentar y trabajar en grupo. Imaginemos entonces si al recurso tecnológico le agregamos contenido de óptima calidad de Internet, así como una adecuada preparación del docente en el manejo de estos nuevos procesos en el aula. ¿Qué es lo que obtendremos? Obtendremos la revolución educativa con la que soñamos en América Latina.

[{"start": 0.0, "end": 2.0, "text": " You"}, {"start": 30.0, "end": 36.0, "text": " But perhaps the most affected public service by hyperconnectivity will be education."}, {"start": 36.0, "end": 41.0, "text": " In the last decades, Latin America and the Caribbean have achieved great advances in education."}, {"start": 41.0, "end": 49.0, "text": " Today, almost all children attend primary school and continue to go to secondary school."}, {"start": 49.0, "end": 55.0, "text": " But as the latest PISA tests show, the quality of education in the region is still very poor."}, {"start": 55.0, "end": 62.0, "text": " Unfortunately, almost half of the children who attend secondary school leave this level without finishing it."}, {"start": 62.0, "end": 67.0, "text": " In 2025, these will probably be the same challenges that the region faces."}, {"start": 67.0, "end": 73.0, "text": " The wide range will provide an alternative for all children who want to learn more and better."}, {"start": 73.0, "end": 78.0, "text": " And the interesting thing is that many of these alternatives will be out of the classroom."}, {"start": 78.0, "end": 86.0, "text": " Today, it is estimated that at least half a million people in the region are already taking online courses,"}, {"start": 86.0, "end": 89.0, "text": " called MOOCs, for their English titles."}, {"start": 89.0, "end": 97.0, "text": " Companies such as Cursera or EdX, which offer high-level university courses such as Harvard, Stanford or MIT,"}, {"start": 97.0, "end": 102.0, "text": " indicate that approximately 10% of their students are in Latin America."}, {"start": 102.0, "end": 108.0, "text": " In addition, companies and Latin American universities are also beginning to offer their own courses."}, {"start": 108.0, "end": 115.0, "text": " But what is even more interesting is that it is not only the companies and professors of the most prestigious universities"}, {"start": 115.0, "end": 117.0, "text": " who are innovating in this field."}, {"start": 117.0, "end": 124.0, "text": " Other professionals are also sharing their knowledge online, designing and giving their own courses online."}, {"start": 124.0, "end": 129.0, "text": " Some of them have actually been quite successful and have a great influence on the way we learn."}, {"start": 129.0, "end": 133.0, "text": " Hola, reciban un cordial saludo desde Colombia."}, {"start": 133.0, "end": 137.0, "text": " Soy Julio Alberto R\u00edos Gallego, conocido en Internet como Julio Profe."}, {"start": 137.0, "end": 144.0, "text": " Hace 5 a\u00f1os me aventur\u00e9 a grabar videos con explicaciones de ejercicios y problemas de matem\u00e1ticas"}, {"start": 144.0, "end": 148.0, "text": " con el prop\u00f3sito de apoyar a mis estudiantes presenciales."}, {"start": 148.0, "end": 155.0, "text": " Abr\u00ed el canal Julio Profe en YouTube para que ellos pudieran ver los videotutoriales en su computador"}, {"start": 155.0, "end": 158.0, "text": " y desde la comodidad de su casa."}, {"start": 158.0, "end": 166.0, "text": " Lo que no esperaba fue que esas explicaciones empezaran a ser vistas por estudiantes de otras ciudades de Colombia"}, {"start": 166.0, "end": 168.0, "text": " y tambi\u00e9n de otros pa\u00edses."}, {"start": 168.0, "end": 174.0, "text": " Hola, que tal. Mi nombre es Francisco. Vivo en la ciudad de Guadalajara, en M\u00e9xico."}, {"start": 174.0, "end": 179.0, "text": " Soy estudiante de la carrera de Ingenier\u00eda Civil en la Universidad de Guadalajara."}, {"start": 179.0, "end": 182.0, "text": " Y soy fan de los videos de Julio Profe."}, {"start": 182.0, "end": 187.0, "text": " Gracias a ellos pude superar con \u00e9xito mis asignaturas de matem\u00e1ticas en escuela."}, {"start": 187.0, "end": 194.0, "text": " Me gustan los videos de Julio Profe porque se toma su tiempo en explicarlo todo de forma clara, sencilla y ordenada."}, {"start": 194.0, "end": 199.0, "text": " Es verdaderamente genial. Es como tener al Profe en casa."}, {"start": 199.0, "end": 204.0, "text": " Si mi canal Julio Profe en YouTube conserva este ritmo de crecimiento,"}, {"start": 204.0, "end": 210.0, "text": " mis videos podr\u00edan alcanzar 800 millones de reproducciones en el a\u00f1o 2025."}, {"start": 210.0, "end": 218.0, "text": " Este pron\u00f3stico significa un gran reto para m\u00ed y me compromete a continuar produciendo material de excelente calidad"}, {"start": 218.0, "end": 223.0, "text": " que beneficie a los estudiantes, a los maestros y a los padres de familia."}, {"start": 223.0, "end": 227.0, "text": " Gracias por su amable atenci\u00f3n y hasta la pr\u00f3xima."}, {"start": 230.0, "end": 236.0, "text": " Todo este nuevo contenido acad\u00e9mico, gratuito y de f\u00e1cil acceso, dar\u00e1 lugar a un nuevo m\u00e9todo de ense\u00f1anza,"}, {"start": 236.0, "end": 241.0, "text": " la denominada clase invertida o clase al rev\u00e9s, que se extender\u00e1 por toda Am\u00e9rica Latina."}, {"start": 241.0, "end": 244.0, "text": " Pero, \u00bfqu\u00e9 es la clase invertida?"}, {"start": 244.0, "end": 249.0, "text": " La clase invertida es una reinterpretaci\u00f3n de los roles de los estudiantes y de los docentes,"}, {"start": 249.0, "end": 255.0, "text": " as\u00ed como una forma distinta de realizar las actividades diarias en el aula."}, {"start": 255.0, "end": 258.0, "text": " \u00bfY c\u00f3mo funciona? Simple."}, {"start": 258.0, "end": 263.0, "text": " La clase se traslada a la vivienda del estudiante, donde \u00e9ste podr\u00e1 ver videos."}, {"start": 263.0, "end": 267.0, "text": " Y las tareas se realizan en el aula, con el apoyo del docente."}, {"start": 267.0, "end": 276.0, "text": " As\u00ed, el aula se convierte en un espacio que permite practicar e investigar, experimentar y trabajar en grupo."}, {"start": 276.0, "end": 284.0, "text": " Imaginemos entonces si al recurso tecnol\u00f3gico le agregamos contenido de \u00f3ptima calidad de Internet,"}, {"start": 284.0, "end": 290.0, "text": " as\u00ed como una adecuada preparaci\u00f3n del docente en el manejo de estos nuevos procesos en el aula."}, {"start": 290.0, "end": 292.0, "text": " \u00bfQu\u00e9 es lo que obtendremos?"}, {"start": 292.0, "end": 296.0, "text": " Obtendremos la revoluci\u00f3n educativa con la que so\u00f1amos en Am\u00e9rica Latina."}]

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Problema 4 de TRIGONOMETRÍA EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

#julioprofe explica cómo resolver un problema de trigonometría donde intervienen triángulos rectángulos: El piloto de un avión divisa una pequeña isla con un ángulo de depresión de 30°. Transcurridos 3 segundos, el aviador nota que ese ángulo pasa a ser de 45°. Determinar a qué altura vuela el avión sobre el mar, sabiendo que su velocidad es de 400 m/s. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

El piloto de un avión divisa una pequeña isla con un ángulo de depresión de 30 grados. Transcurridos tres segundos, el aviador nota que ese ángulo pasa a ser de 45 grados. Determinar a qué altura vuela el avión sobre el mar, sabiendo que su velocidad es de 400 metros por segundo. Bien, para resolver este problema hacemos un dibujo que nos muestre la situación. Tenemos aquí el nivel del mar, por acá tenemos el avión y acá tenemos la isla que divisa el piloto. Nos dice el problema que en la primera observación el piloto divisa la isla con un ángulo de depresión de 30 grados. Recordemos que se llama ángulo de depresión aquel que se cuenta con respecto de una línea horizontal imaginaria y bajando la mirada para divisar un objeto que se encuentra más abajo. Entonces, en la primera observación tenemos ángulo de depresión de 30 grados. Después el piloto divisa la isla con un ángulo de depresión mayor que en este caso es de 45 grados. Nos dice el problema que entre estas dos observaciones transcurre un tiempo de 3 segundos y también que el avión vuela con una velocidad de 400 metros por segundo. En ese caso asumimos que el avión presenta movimiento rectilíneo uniforme, es decir, su trayectoria es una línea recta y se mueve con velocidad constante. Para este caso las variables distancia, velocidad y tiempo se pueden representar en este triángulo. Tenemos distancia, velocidad y tiempo. Si necesitamos la distancia, entonces tapamos esta letra y nos queda velocidad por tiempo. Y estos dos datos los conocemos. Con esto vamos a encontrar la distancia que recorre el avión entre esos dos puntos. Tenemos entonces velocidad del avión, 400 metros por segundo y eso multiplicado por el tiempo que es 3 segundos. En ese caso las unidades de tiempo, o sea, los segundos se cancelan y tendremos 400 por 3 que es 1200 y escribimos las unidades que nos quedan que son metros. La distancia recorrida por el avión en esos tres segundos es 1200 metros, que será entonces este tramo que tenemos entre las dos observaciones. Bien, allí tenemos en el dibujo el dato que acabamos de encontrar, 1200 metros. Y también observamos la distancia que tenemos que encontrar en el problema, es decir, la altura a la que vuela el avión sobre el nivel del mar. En seguida vamos a recordar un concepto de la geometría. Si tenemos dos rectas paralelas cortadas por otra recta que es secante o transversal, vamos a tener que este ángulo de aquí va a ser congruente o igual con este que tenemos acá. Estos ángulos se llaman alternos internos entre paralelas y son congruentes o tienen la misma medida. Pues bien, eso es lo que va a suceder con este ángulo que tenemos allí de 30 grados y este que vamos a señalar por acá. También tenemos aquí 30 grados. Cuando se observa, la línea horizontal imaginaria y el nivel del mar actúan como las rectas paralelas y esta línea de color rojo actúa como la secante o transversal. La misma situación vamos a encontrar con este ángulo de 45 grados y este que vamos a señalar aquí. También mide 45 grados. Son ángulos alternos internos entre paralelas y por lo tanto son congruentes. A continuación trazamos esta línea vertical imaginaria para llamar esta distancia que tenemos entre la segunda posición del avión y la isla como la distancia x. Como no la conocemos, entonces le asignamos una letra. En este caso podemos escoger x y ya sabemos que la distancia que hay desde este punto, o sea la posición del avión y este otro será 1200 metros que ya la habíamos encontrado. Hasta allí podemos observar que tenemos dos triángulos rectángulos. Por aquí tenemos uno y por acá tendremos el otro. Vamos a nombrar entonces con letras mayúsculas sus vértices a la primera posición del avión b la segunda posición del avión. Vamos a nombrar con la letra y la isla con la letra c este punto y con la letra d este otro que tenemos por allí. Vemos ahora el primer triángulo rectángulo aquel que tiene vértices a, c y la letra i. Tenemos ángulo recto en c acá tenemos ángulo de 30 grados. Tenemos que el segmento ac corresponde a la altura h que debemos averiguar y también vemos que el segmento c y o sea toda esta distancia será la suma de 1200 metros más x. Entonces vamos a expresarlo así 1200 más x como la longitud del segmento c y. Ahora vamos a utilizar las razones trigonométricas porque tenemos un triángulo rectángulo. Podemos que ellas se pueden resumir con lo que se conoce como Zocatoa. Acá tenemos el seno que es cateto opuesto sobre hipotenusa. Tenemos acá el coseno que es cateto adyacente sobre hipotenusa y acá tenemos tangente que es cateto opuesto sobre cateto adyacente. Como en este caso debemos relacionar los catetos entonces vamos a utilizar lo que es tangente. Decimos tangente de 30 grados será igual al cateto opuesto que es h sobre el cateto adyacente que es 1200 más x. De esa manera conseguimos relacionar la información que conocemos en ese triángulo rectángulo. Para encontrar el valor exacto de la tangente de 30 grados hacemos lo siguiente. Recordemos que tangente de un ángulo equivale a seno de ese ángulo sobre coseno del mismo ángulo. Tenemos que el seno de 30 grados equivale a 1 medio y el coseno de 30 grados equivale a raíz de 3 medios. En ese caso como las dos fracciones poseen el mismo denominador entonces podemos simplificarlo y tendremos 1 sobre raíz de 3. Una fracción que si queremos se puede racionalizar pero que también podemos dejar así para resolver este problema. Entonces tangente de 30 grados es 1 sobre raíz de 3 y esto se iguala a la expresión h sobre 1200 más x. Vemos aquí lo que se llama una proporción es decir la igualdad de dos razones. En toda proporción estos componentes se llaman los extremos y estos se llaman los medios y dice la propiedad fundamental de las proporciones que el producto de los extremos debe ser igual al producto de los medios. Entonces 1 por 1200 más x que nos da 1200 más x debe ser igual a raíz de 3 por h y de allí podemos despejar la incógnita x. Para ello 1200 que está sumando pasa al otro lado a restar. Vamos a escribir eso por acá x será igual a raíz de 3 por h y todo eso menos 1200 y de esta manera obtenemos una primera expresión que vamos a etiquetar con el número 1. Ahora vamos a considerar el otro triángulo rectángulo. Aquí podemos observarlo. Tenemos los vértices B, este que tenemos arriba, por acá tenemos el vértice D y acá tenemos el vértice I. También vemos que este ángulo es de 45 grados, tendremos ángulo recto acá en el vértice D. También se observa que el segmento de I tiene longitud x y que la altura h corresponde al segmento BD. De nuevo buscamos una razón trigonométrica que nos relacione los catetos entre seno, coseno y tangente. Debemos elegir tangente porque recordemos que equivale a cateto opuesto sobre cateto adyacente. En ese caso tangente de 45 grados será cateto opuesto h sobre cateto adyacente que es x. Para encontrar el valor exacto de tangente de 45 grados hacemos lo siguiente. Tangente de 45 grados es igual a seno de 45 grados sobre coseno de 45 grados. Coseno de 45 grados es raíz de dos medios y el coseno de 45 grados también tiene ese valor. Por lo tanto por tener una fracción con numerador y denominador iguales esa fracción equivale a la unidad. Entonces decimos que la tangente de 45 grados es igual a 1 y a su vez eso lo igualamos a la expresión h sobre x. De allí podemos hacer el despeje de la variable x. X está dividiendo a este lado por lo tanto pasa al otro lado a multiplicar. Tenemos que x por 1 nos da x y eso es igual a la variable h. Tenemos así otra expresión que vamos a etiquetar con el número 2. Hemos llegado a lo que se llama un sistema de ecuaciones lineales de 2 por 2. Dos ecuaciones con dos incógnitas. Y como se observa la letra x se encuentra despejada en ambas ecuaciones. Por lo tanto podemos igualarlas. Usamos entonces el método conocido como igualación. Decimos que la expresión 1 es raíz de 3 por h menos 1.200. Y esto lo vamos a igualar a la expresión 2 que es h. Esto corresponde a una ecuación de primer grado con una incógnita. Debemos encontrar el valor de h. Para ello podemos hacer transposición de términos. Es decir dejamos los términos que contengan la h al lado izquierdo y pasamos el número al lado derecho. Entonces tenemos raíz de 3 por h menos h. Esta h está positiva, llega a este lado negativa y acá tendremos esto igual a 1200. 1200 que está negativo pasa al otro lado positivo a sumar con el 0 que deja la h cuando pasa al otro lado. Acá podemos aplicar la factorización. Factorizamos h factor común de raíz de 3 menos 1. Y esto está igualado a 1200. De allí podemos despejar la incógnita h. Esta cantidad que está multiplicando pasa al otro lado a dividir. Nos queda 1200 sobre raíz de 3 menos 1. A su vez esta expresión puede ser racionalizada para que no nos quede con radical en el denominador. Vamos entonces a realizar ese procedimiento. Tenemos h igual a 1200 sobre raíz cuadrada de 3 menos 1. En ese caso debemos multiplicar por el conjugado del denominador que será raíz de 3 más 1. Multiplicamos por eso arriba y abajo y tendremos lo siguiente. Multiplicamos numeradores entre sí. Eso nos da 1200. Factor de raíz de 3 más 1. Esto se debe proteger con paréntesis. Y en el denominador tenemos la multiplicación de estas dos expresiones que corresponde a una suma por una diferencia. Y es allí cuando utilizamos el producto notable que lleva ese nombre. Una suma multiplicada por una diferencia nos origina una diferencia de cuadrados perfectos. Es decir, el primer componente al cuadrado menos el segundo componente también elevado al cuadrado. Entonces, raíz de 3 más 1 por raíz de 3 menos 1 será el primer componente, raíz de 3 al cuadrado menos el segundo componente que es 1 también elevado al cuadrado. El numerador vamos a dejarlo tal como está. 1200 que multiplica a raíz cuadrada de 3 más 1. Y en el denominador desarrollamos estas operaciones. Raíz cuadrada de 3 elevado al cuadrado nos da 3. Recordemos que el exponente 2 destruye la raíz cuadrada y esto nos queda menos 1 al cuadrado que es 1. Resolviendo lo del denominador, tenemos que h es igual a 1200 por raíz de 3 más 1 y todo esto sobre 2. Aquí podemos simplificar 1200 con 2 y eso no podemos hacer porque aquí tenemos multiplicación. Decimos mitad de 2,1 y mitad de 1200 es 600. Entonces, para h tendremos el resultado 600 que multiplica a la expresión raíz cuadrada de 3 más 1. Aquí ya no podemos simplificar nada más y le asignamos las unidades correspondientes a esto que estamos encontrando. Como es una altura, entonces va en metros. Bien de esta manera terminamos este problema. Hemos encontrado el valor indicado para h sin utilizar calculadora. Esa es la altura a la que vuela el avión sobre el nivel del mar.

[{"start": 0.0, "end": 10.96, "text": " El piloto de un avi\u00f3n divisa una peque\u00f1a isla con un \u00e1ngulo de depresi\u00f3n de 30 grados."}, {"start": 10.96, "end": 18.16, "text": " Transcurridos tres segundos, el aviador nota que ese \u00e1ngulo pasa a ser de 45 grados."}, {"start": 18.16, "end": 25.12, "text": " Determinar a qu\u00e9 altura vuela el avi\u00f3n sobre el mar, sabiendo que su velocidad es de 400"}, {"start": 25.12, "end": 26.72, "text": " metros por segundo."}, {"start": 26.72, "end": 34.0, "text": " Bien, para resolver este problema hacemos un dibujo que nos muestre la situaci\u00f3n."}, {"start": 34.0, "end": 40.879999999999995, "text": " Tenemos aqu\u00ed el nivel del mar, por ac\u00e1 tenemos el avi\u00f3n y ac\u00e1 tenemos la isla que divisa"}, {"start": 40.879999999999995, "end": 42.84, "text": " el piloto."}, {"start": 42.84, "end": 50.599999999999994, "text": " Nos dice el problema que en la primera observaci\u00f3n el piloto divisa la isla con un 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horizontal imaginaria y el nivel del mar act\u00faan como las rectas"}, {"start": 253.0, "end": 260.48, "text": " paralelas y esta l\u00ednea de color rojo act\u00faa como la secante o transversal."}, {"start": 260.48, "end": 267.4, "text": " La misma situaci\u00f3n vamos a encontrar con este \u00e1ngulo de 45 grados y este que vamos"}, {"start": 267.4, "end": 270.04, "text": " a se\u00f1alar aqu\u00ed."}, {"start": 270.04, "end": 273.16, "text": " Tambi\u00e9n mide 45 grados."}, {"start": 273.16, "end": 280.12, "text": " Son \u00e1ngulos alternos internos entre paralelas y por lo tanto son congruentes."}, {"start": 280.12, "end": 287.0, "text": " A continuaci\u00f3n trazamos esta l\u00ednea vertical imaginaria para llamar esta distancia que tenemos"}, {"start": 287.0, "end": 294.12, "text": " entre la segunda posici\u00f3n del avi\u00f3n y la isla como la distancia x."}, {"start": 294.12, "end": 298.36, "text": " Como no la conocemos, entonces le asignamos una letra."}, {"start": 298.36, "end": 304.40000000000003, "text": " En este caso podemos escoger x y ya sabemos que la distancia que hay desde este punto,"}, {"start": 304.40000000000003, "end": 313.12, "text": " o sea la posici\u00f3n del avi\u00f3n y este otro ser\u00e1 1200 metros que ya la hab\u00edamos encontrado."}, {"start": 313.12, "end": 318.40000000000003, "text": " Hasta all\u00ed podemos observar que tenemos dos tri\u00e1ngulos rect\u00e1ngulos."}, {"start": 318.40000000000003, "end": 322.58000000000004, "text": " Por aqu\u00ed tenemos uno y por ac\u00e1 tendremos el otro."}, {"start": 322.58, "end": 330.56, "text": " Vamos a nombrar entonces con letras may\u00fasculas sus v\u00e9rtices a la primera posici\u00f3n del avi\u00f3n"}, {"start": 330.56, "end": 333.65999999999997, "text": " b la segunda posici\u00f3n del avi\u00f3n."}, {"start": 333.65999999999997, "end": 341.86, "text": " Vamos a nombrar con la letra y la isla con la letra c este punto y con la letra d este"}, {"start": 341.86, "end": 345.36, "text": " otro que tenemos por all\u00ed."}, {"start": 345.36, "end": 356.76, "text": " Vemos ahora el primer tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo aquel que tiene v\u00e9rtices a, c y la letra i."}, {"start": 356.76, "end": 366.52000000000004, "text": " Tenemos \u00e1ngulo recto en c ac\u00e1 tenemos \u00e1ngulo de 30 grados."}, {"start": 366.52000000000004, "end": 374.52000000000004, "text": " Tenemos que el segmento ac corresponde a la altura h que debemos averiguar y tambi\u00e9n"}, {"start": 374.52, "end": 382.35999999999996, "text": " vemos que el segmento c y o sea toda esta distancia ser\u00e1 la suma de 1200 metros m\u00e1s"}, {"start": 382.35999999999996, "end": 383.35999999999996, "text": " x."}, {"start": 383.35999999999996, "end": 393.79999999999995, "text": " Entonces vamos a expresarlo as\u00ed 1200 m\u00e1s x como la longitud del segmento c y."}, {"start": 393.79999999999995, "end": 401.03999999999996, "text": " Ahora vamos a utilizar las razones trigonom\u00e9tricas porque tenemos un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo."}, {"start": 401.04, "end": 407.0, "text": " Podemos que ellas se pueden resumir con lo que se conoce como Zocatoa."}, {"start": 407.0, "end": 411.84000000000003, "text": " Ac\u00e1 tenemos el seno que es cateto opuesto sobre hipotenusa."}, {"start": 411.84000000000003, "end": 418.8, "text": " Tenemos ac\u00e1 el coseno que es cateto adyacente sobre hipotenusa y ac\u00e1 tenemos tangente que"}, {"start": 418.8, "end": 422.66, "text": " es cateto opuesto sobre cateto adyacente."}, {"start": 422.66, "end": 430.72, "text": " Como en este caso debemos relacionar los catetos entonces vamos a utilizar lo que es tangente."}, {"start": 430.72, "end": 440.48, "text": " Decimos tangente de 30 grados ser\u00e1 igual al cateto opuesto que es h sobre el cateto"}, {"start": 440.48, "end": 445.36, "text": " adyacente que es 1200 m\u00e1s x."}, {"start": 445.36, "end": 453.52000000000004, "text": " De esa manera conseguimos relacionar la informaci\u00f3n que conocemos en ese tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo."}, {"start": 453.52000000000004, "end": 460.20000000000005, "text": " Para encontrar el valor exacto de la tangente de 30 grados hacemos lo siguiente."}, {"start": 460.2, "end": 468.52, "text": " Recordemos que tangente de un \u00e1ngulo equivale a seno de ese \u00e1ngulo sobre coseno del mismo"}, {"start": 468.52, "end": 470.32, "text": " \u00e1ngulo."}, {"start": 470.32, "end": 477.9, "text": " Tenemos que el seno de 30 grados equivale a 1 medio y el coseno de 30 grados equivale"}, {"start": 477.9, "end": 480.46, "text": " a ra\u00edz de 3 medios."}, {"start": 480.46, "end": 487.84, "text": " En ese caso como las dos fracciones poseen el mismo denominador entonces podemos simplificarlo"}, {"start": 487.84, "end": 491.91999999999996, "text": " y tendremos 1 sobre ra\u00edz de 3."}, {"start": 491.91999999999996, "end": 498.7, "text": " Una fracci\u00f3n que si queremos se puede racionalizar pero que tambi\u00e9n podemos dejar as\u00ed para"}, {"start": 498.7, "end": 501.32, "text": " resolver este problema."}, {"start": 501.32, "end": 509.38, "text": " Entonces tangente de 30 grados es 1 sobre ra\u00edz de 3 y esto se iguala a la expresi\u00f3n"}, {"start": 509.38, "end": 514.64, "text": " h sobre 1200 m\u00e1s x."}, {"start": 514.64, "end": 520.6, "text": " Vemos aqu\u00ed lo que se llama una proporci\u00f3n es decir la igualdad de dos razones."}, {"start": 520.6, "end": 527.08, "text": " En toda proporci\u00f3n estos componentes se llaman los extremos y estos se llaman los medios"}, {"start": 527.08, "end": 533.36, "text": " y dice la propiedad fundamental de las proporciones que el producto de los extremos debe ser igual"}, {"start": 533.36, "end": 536.4, "text": " al producto de los medios."}, {"start": 536.4, "end": 547.28, "text": " Entonces 1 por 1200 m\u00e1s x que nos da 1200 m\u00e1s x debe ser igual a ra\u00edz de 3 por h y"}, {"start": 547.28, "end": 551.76, "text": " de all\u00ed podemos despejar la inc\u00f3gnita x."}, {"start": 551.76, "end": 557.1999999999999, "text": " Para ello 1200 que est\u00e1 sumando pasa al otro lado a restar."}, {"start": 557.2, "end": 571.1600000000001, "text": " Vamos a escribir eso por ac\u00e1 x ser\u00e1 igual a ra\u00edz de 3 por h y todo eso menos 1200 y"}, {"start": 571.1600000000001, "end": 582.24, "text": " de esta manera obtenemos una primera expresi\u00f3n que vamos a etiquetar con el n\u00famero 1."}, {"start": 582.24, "end": 587.88, "text": " Ahora vamos a considerar el otro tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo."}, {"start": 587.88, "end": 590.12, "text": " Aqu\u00ed podemos observarlo."}, {"start": 590.12, "end": 597.34, "text": " Tenemos los v\u00e9rtices B, este que tenemos arriba, por ac\u00e1 tenemos el v\u00e9rtice D y ac\u00e1 tenemos"}, {"start": 597.34, "end": 599.48, "text": " el v\u00e9rtice I."}, {"start": 599.48, "end": 609.36, "text": " Tambi\u00e9n vemos que este \u00e1ngulo es de 45 grados, tendremos \u00e1ngulo recto ac\u00e1 en el v\u00e9rtice"}, {"start": 609.36, "end": 610.36, "text": " D."}, {"start": 610.36, "end": 618.48, "text": " Tambi\u00e9n se observa que el segmento de I tiene longitud x y que la altura h corresponde"}, {"start": 618.48, "end": 621.76, "text": " al segmento BD."}, {"start": 621.76, "end": 627.72, "text": " De nuevo buscamos una raz\u00f3n trigonom\u00e9trica que nos relacione los catetos entre seno,"}, {"start": 627.72, "end": 629.52, "text": " coseno y tangente."}, {"start": 629.52, "end": 635.72, "text": " Debemos elegir tangente porque recordemos que equivale a cateto opuesto sobre cateto"}, {"start": 635.72, "end": 637.08, "text": " adyacente."}, {"start": 637.08, "end": 647.48, "text": " En ese caso tangente de 45 grados ser\u00e1 cateto opuesto h sobre cateto adyacente que es x."}, {"start": 647.48, "end": 654.44, "text": " Para encontrar el valor exacto de tangente de 45 grados hacemos lo siguiente."}, {"start": 654.44, "end": 664.5200000000001, "text": " Tangente de 45 grados es igual a seno de 45 grados sobre coseno de 45 grados."}, {"start": 664.52, "end": 672.6, "text": " Coseno de 45 grados es ra\u00edz de dos medios y el coseno de 45 grados tambi\u00e9n tiene ese"}, {"start": 672.6, "end": 673.6, "text": " valor."}, {"start": 673.6, "end": 681.24, "text": " Por lo tanto por tener una fracci\u00f3n con numerador y denominador iguales esa fracci\u00f3n equivale"}, {"start": 681.24, "end": 682.96, "text": " a la unidad."}, {"start": 682.96, "end": 689.16, "text": " Entonces decimos que la tangente de 45 grados es igual a 1 y a su vez eso lo igualamos a"}, {"start": 689.16, "end": 693.36, "text": " la expresi\u00f3n h sobre x."}, {"start": 693.36, "end": 697.0, "text": " De all\u00ed podemos hacer el despeje de la variable x."}, {"start": 697.0, "end": 703.36, "text": " X est\u00e1 dividiendo a este lado por lo tanto pasa al otro lado a multiplicar."}, {"start": 703.36, "end": 711.0, "text": " Tenemos que x por 1 nos da x y eso es igual a la variable h."}, {"start": 711.0, "end": 720.12, "text": " Tenemos as\u00ed otra expresi\u00f3n que vamos a etiquetar con el n\u00famero 2."}, {"start": 720.12, "end": 725.5600000000001, "text": " Hemos llegado a lo que se llama un sistema de ecuaciones lineales de 2 por 2."}, {"start": 725.5600000000001, "end": 727.76, "text": " Dos ecuaciones con dos inc\u00f3gnitas."}, {"start": 727.76, "end": 733.44, "text": " Y como se observa la letra x se encuentra despejada en ambas ecuaciones."}, {"start": 733.44, "end": 736.52, "text": " Por lo tanto podemos igualarlas."}, {"start": 736.52, "end": 741.16, "text": " Usamos entonces el m\u00e9todo conocido como igualaci\u00f3n."}, {"start": 741.16, "end": 748.5600000000001, "text": " Decimos que la expresi\u00f3n 1 es ra\u00edz de 3 por h menos 1.200."}, {"start": 748.56, "end": 754.9599999999999, "text": " Y esto lo vamos a igualar a la expresi\u00f3n 2 que es h."}, {"start": 754.9599999999999, "end": 759.7199999999999, "text": " Esto corresponde a una ecuaci\u00f3n de primer grado con una inc\u00f3gnita."}, {"start": 759.7199999999999, "end": 762.4, "text": " Debemos encontrar el valor de h."}, {"start": 762.4, "end": 765.3599999999999, "text": " Para ello podemos hacer transposici\u00f3n de t\u00e9rminos."}, {"start": 765.3599999999999, "end": 771.26, "text": " Es decir dejamos los t\u00e9rminos que contengan la h al lado izquierdo y pasamos el n\u00famero"}, {"start": 771.26, "end": 773.0799999999999, "text": " al lado derecho."}, {"start": 773.0799999999999, "end": 777.4399999999999, "text": " Entonces tenemos ra\u00edz de 3 por h menos h."}, {"start": 777.44, "end": 783.32, "text": " Esta h est\u00e1 positiva, llega a este lado negativa y ac\u00e1 tendremos esto igual a 1200."}, {"start": 783.32, "end": 791.32, "text": " 1200 que est\u00e1 negativo pasa al otro lado positivo a sumar con el 0 que deja la h cuando"}, {"start": 791.32, "end": 793.44, "text": " pasa al otro lado."}, {"start": 793.44, "end": 797.2, "text": " Ac\u00e1 podemos aplicar la factorizaci\u00f3n."}, {"start": 797.2, "end": 802.72, "text": " Factorizamos h factor com\u00fan de ra\u00edz de 3 menos 1."}, {"start": 802.72, "end": 808.0, "text": " Y esto est\u00e1 igualado a 1200."}, {"start": 808.0, "end": 811.64, "text": " De all\u00ed podemos despejar la inc\u00f3gnita h."}, {"start": 811.64, "end": 817.28, "text": " Esta cantidad que est\u00e1 multiplicando pasa al otro lado a dividir."}, {"start": 817.28, "end": 823.52, "text": " Nos queda 1200 sobre ra\u00edz de 3 menos 1."}, {"start": 823.52, "end": 830.5600000000001, "text": " A su vez esta expresi\u00f3n puede ser racionalizada para que no nos quede con radical en el denominador."}, {"start": 830.56, "end": 834.52, "text": " Vamos entonces a realizar ese procedimiento."}, {"start": 834.52, "end": 842.2399999999999, "text": " Tenemos h igual a 1200 sobre ra\u00edz cuadrada de 3 menos 1."}, {"start": 842.2399999999999, "end": 850.88, "text": " En ese caso debemos multiplicar por el conjugado del denominador que ser\u00e1 ra\u00edz de 3 m\u00e1s"}, {"start": 850.88, "end": 853.3599999999999, "text": " 1."}, {"start": 853.36, "end": 861.0, "text": " Multiplicamos por eso arriba y abajo y tendremos lo siguiente."}, {"start": 861.0, "end": 863.32, "text": " Multiplicamos numeradores entre s\u00ed."}, {"start": 863.32, "end": 866.28, "text": " Eso nos da 1200."}, {"start": 866.28, "end": 869.6800000000001, "text": " Factor de ra\u00edz de 3 m\u00e1s 1."}, {"start": 869.6800000000001, "end": 872.4, "text": " Esto se debe proteger con par\u00e9ntesis."}, {"start": 872.4, "end": 879.52, "text": " Y en el denominador tenemos la multiplicaci\u00f3n de estas dos expresiones que corresponde a"}, {"start": 879.52, "end": 882.2, "text": " una suma por una diferencia."}, {"start": 882.2, "end": 888.0400000000001, "text": " Y es all\u00ed cuando utilizamos el producto notable que lleva ese nombre."}, {"start": 888.0400000000001, "end": 895.72, "text": " Una suma multiplicada por una diferencia nos origina una diferencia de cuadrados perfectos."}, {"start": 895.72, "end": 902.2800000000001, "text": " Es decir, el primer componente al cuadrado menos el segundo componente tambi\u00e9n elevado"}, {"start": 902.2800000000001, "end": 903.2800000000001, "text": " al cuadrado."}, {"start": 903.2800000000001, "end": 910.4000000000001, "text": " Entonces, ra\u00edz de 3 m\u00e1s 1 por ra\u00edz de 3 menos 1 ser\u00e1 el primer componente, ra\u00edz"}, {"start": 910.4, "end": 919.16, "text": " de 3 al cuadrado menos el segundo componente que es 1 tambi\u00e9n elevado al cuadrado."}, {"start": 919.16, "end": 922.4, "text": " El numerador vamos a dejarlo tal como est\u00e1."}, {"start": 922.4, "end": 929.0799999999999, "text": " 1200 que multiplica a ra\u00edz cuadrada de 3 m\u00e1s 1."}, {"start": 929.0799999999999, "end": 933.12, "text": " Y en el denominador desarrollamos estas operaciones."}, {"start": 933.12, "end": 936.8, "text": " Ra\u00edz cuadrada de 3 elevado al cuadrado nos da 3."}, {"start": 936.8, "end": 942.56, "text": " Recordemos que el exponente 2 destruye la ra\u00edz cuadrada y esto nos queda menos 1 al"}, {"start": 942.56, "end": 945.1999999999999, "text": " cuadrado que es 1."}, {"start": 945.1999999999999, "end": 957.0, "text": " Resolviendo lo del denominador, tenemos que h es igual a 1200 por ra\u00edz de 3 m\u00e1s 1 y"}, {"start": 957.0, "end": 961.5999999999999, "text": " todo esto sobre 2."}, {"start": 961.6, "end": 969.08, "text": " Aqu\u00ed podemos simplificar 1200 con 2 y eso no podemos hacer porque aqu\u00ed tenemos multiplicaci\u00f3n."}, {"start": 969.08, "end": 975.2, "text": " Decimos mitad de 2,1 y mitad de 1200 es 600."}, {"start": 975.2, "end": 987.32, "text": " Entonces, para h tendremos el resultado 600 que multiplica a la expresi\u00f3n ra\u00edz cuadrada"}, {"start": 987.32, "end": 989.5600000000001, "text": " de 3 m\u00e1s 1."}, {"start": 989.56, "end": 996.04, "text": " Aqu\u00ed ya no podemos simplificar nada m\u00e1s y le asignamos las unidades correspondientes"}, {"start": 996.04, "end": 998.1999999999999, "text": " a esto que estamos encontrando."}, {"start": 998.1999999999999, "end": 1003.1999999999999, "text": " Como es una altura, entonces va en metros."}, {"start": 1003.1999999999999, "end": 1006.4399999999999, "text": " Bien de esta manera terminamos este problema."}, {"start": 1006.4399999999999, "end": 1012.88, "text": " Hemos encontrado el valor indicado para h sin utilizar calculadora."}, {"start": 1012.88, "end": 1019.96, "text": " Esa es la altura a la que vuela el avi\u00f3n sobre el nivel del mar."}]

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Problema 2 de MEZCLA

#julioprofe explica cómo resolver un problema de mezcla: ¿Cuántos litros de una solución de alcohol al 30% deben mezclarse con 90 litros de otra solución al 70% para obtener una solución al 60%? Tema: #ProblemasDeMezclas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHoS3jOSnaT0V_34sWbf89X REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

¿Cuántos litros de una solución de alcohol al 30% deben mezclarse con 90 litros de otra solución al 70% para obtener una solución al 60%? Bien, tenemos en este caso un problema de mezclas y vamos a plantearlo utilizando la siguiente expresión. Tenemos cantidad por el porcentaje de concentración del componente 1 más cantidad por el porcentaje de concentración del componente 2 y todo eso igual a la cantidad por el porcentaje de concentración de la mezcla. Entonces, en el lado izquierdo de la igualdad, los componentes y en el lado derecho tenemos la mezcla. Vamos entonces a situar en esta expresión los datos del problema. Nos preguntan ¿Cuántos litros de una solución de alcohol al 30%? Entonces, allí decimos que la cantidad del componente 1 es x litros y eso multiplicado por su porcentaje de concentración que es el 30% deben mezclarse con 90 litros de otra solución al 70%, entonces cantidad 90 litros por su respectivo porcentaje de concentración que es 70 y esto lo igualamos a la cantidad de la mezcla que será la suma de los litros, en este caso x litros más 90 litros, o sea lo que aporta cada uno de los componentes y eso multiplicado por el porcentaje de concentración que debe tener la mezcla final, que es 60. Bien, tenemos en este caso lo que es una ecuación de primer grado con una incógnita, en este caso la letra x. Vamos entonces a resolver esta ecuación, es decir, vamos a encontrar el valor de x que hace verdadera esa igualdad. Comenzamos entonces por acá, x por 30 se puede escribir como 30x más 90 por 70, 9 por 7 nos da 63 y agregamos 2 ceros nos da 6300. Acá vamos a aplicar la propiedad distributiva, este número 60 va a afectar a cada uno de estos términos, tenemos 60 por x que es 60x y esto más 60 por 90, 6 por 9 es 54 y agregamos 2 ceros para obtener 5400. A continuación hacemos lo que se llama transposición de términos, vamos a dejar en el lado izquierdo de la igualdad aquellos que contienen la x y dejamos en el lado derecho los números. Se queda entonces en el lado izquierdo 30x y pasamos este término, como acá está positivo entonces llega al lado izquierdo con signo negativo. Pasamos al otro lado donde 5400 se conserva igual porque no se mueve y traemos este término para acá, como acá está positivo llega a este lado con signo negativo. Ahora acá en el lado izquierdo reducimos términos semejantes 30x menos 60x nos da como resultado menos 30x y acá en el lado derecho resolvemos esta operación 5400 menos 6300 nos da como resultado menos 900. Finalmente vamos a despejar x, para ello este número que está multiplicando pasa al otro lado a dividir y pasa con su mismo signo, nos queda entonces menos 900 dividido entre menos 30. Y efectuando esa división vamos a encontrar el valor de x, recordemos que en la división se aplica la ley de los signos, menos con menos nos da más y 900 dividido entre 30 nos da como resultado 30. X toma entonces el valor de 30 positivo, recordemos que este signo más puede hacerse invisible. Bien de esta manera encontramos el valor de x que satisface la ecuación que habíamos planteado inicialmente. Vamos entonces a dar la respuesta, decimos entonces que se deben utilizar 30 litros de la solución de alcohol que tiene 30% de concentración.

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DERIVACIÓN DE FUNCIONES - Ejercicio 19

#julioprofe explica cómo hallar la derivada de una función exponencial utilizando la regla de la cadena. Tema: #Derivadas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwF9r-Y_Gpuq45VP0qnJIJL1 REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a derivar esta función donde observamos el número e elevado a una expresión en términos de x. Comenzamos utilizando el siguiente modelo, derivada de e a la manzanita. En este caso, la manzanita es toda esta expresión. Será e a la manzanita por la derivada de la manzanita. Es la regla de la cadena para esta función exponencial. Entonces, tenemos que f' de x, o sea, la derivada de la función que nos dieron, será esa misma expresión, e a la x al cuadrado por la raíz cuadrada de 3x menos 1. Allí tenemos e a la manzanita y todo eso multiplicado por la derivada de la manzanita. Entonces, vamos a escribir esa expresión acá en seguida y vamos a colocarle esta comita para indicar que tenemos que derivar esa expresión. Ese procedimiento lo vamos a realizar por acá. Abrimos corchete, tenemos x al cuadrado y reescribimos esa raíz cuadrada como 3x menos 1, esto elevado al exponente 1 medio. Y todo esto vamos a derivarlo. Tenemos acá un producto. Entonces, vamos a utilizar la regla para ese caso. La derivada de un producto a por b es la derivada del primer componente por el segundo sin derivar más el primer componente sin derivar por la derivada del segundo componente. Tenemos entonces en este caso que x al cuadrado hace el papel de a y esta potencia hace el papel de la letra b. Comenzamos entonces con la derivada del primer componente. Derivada de x al cuadrado es 2x. Eso multiplicado por el segundo componente sin derivar. O sea, 3x menos 1 elevado al exponente 1 medio. Ahora tenemos más a, o sea, el primer componente sin derivar x al cuadrado por la derivada del segundo componente. En ese caso vamos a utilizar el siguiente modelo. Si tenemos manzanita a la n. En este caso la manzanita es 3x menos 1 y n es un medio. Entonces la derivada de eso será n por manzanita al exponente n menos 1 y eso multiplicado por la derivada de la manzanita. Es la regla de la cadena para potencias. Esto es lo que se conoce como la derivada interna. Entonces siguiendo este modelo vamos a derivar 3x menos 1 eso elevado al exponente 1 medio. Tenemos entonces n, o sea, un medio que multiplica a 3x menos 1. Eso al exponente n menos 1, o sea, un medio menos 1 que nos da como resultado menos un medio y eso multiplicado por la derivada interna. O sea, por la derivada de 3x menos 1, que será únicamente 3. Recordemos que cuando se deriva una resta entonces derivamos cada término. Derivada de 3x es 3 y la derivada de este número es 0. Por lo tanto, la derivada de esto nos da el número 3. Ahora vamos a organizar esta expresión. Tenemos 2x que multiplica a 3x menos 1 todo esto elevado al exponente 1 medio y si acomodamos esto que tenemos acá vamos a construir una fracción. En la parte de arriba tendremos x al cuadrado por 1 y por 3 que nos da como resultado 3x al cuadrado. En la parte de abajo tenemos el 2 y esta expresión que tiene exponente negativo nos queda acá en el denominador con exponente positivo. Ahora vamos a realizar esta suma. Acá le escribimos denominador 1 a esta expresión. Tenemos entonces una suma de fracciones con distinto denominador. Entonces trazamos la línea y hacemos lo siguiente. Este componente se multiplica por este. Tenemos 2x por 2 que nos da 4x y 3x menos 1 al 1 medio multiplicada por la misma expresión. Allí dejamos la misma base, 3x menos 1 y sumamos los exponentes. Un medio más un medio nos da 2 medios que es igual a 1. Esto nos queda entonces con exponente 1 que podemos hacer invisible. Esto nos queda más 1 por 3x al cuadrado que nos da 3x al cuadrado y acá en el denominador escribimos el producto de estos dos denominadores. O sea 1 por esto que nos da 2 por 3x menos 1 y eso elevado al exponente un medio. Lo que hemos utilizado acá es lo que se conoce como la técnica de la carita feliz. En la parte de arriba estos dos componentes, luego estos dos y en el denominador el producto de los dos denominadores. Entonces por eso se llama la técnica de la carita feliz para realizar la suma o incluso la resta de dos fracciones con distinto denominador. A su vez acá podemos trabajar el numerador para que esta expresión nos quede un poco más sencilla. Tendremos lo siguiente. Acá podemos aplicar la propiedad distributiva. 4x multiplica a cada uno de esos términos y tendremos 4x por 3x que nos da 12x al cuadrado 4x por menos 1 que nos da menos 4x y escribimos el término más 3x al cuadrado. El denominador se queda tal como está. 2 que multiplica a 3x menos 1 y todo eso elevado al exponente un medio. Finalmente en el numerador podemos reducir términos semejantes. Son estos dos que contienen x al cuadrado. Entonces 12x al cuadrado más 3x al cuadrado nos da como resultado 15x al cuadrado. Anotamos el término menos 4x que no tiene semejante y todo esto nos va a quedar sobre 2 que multiplica a esta expresión y que podemos volver a escribir con su raíz cuadrada. Deshacemos la anotación de potencia y lo volvemos en forma de raíz. Acá dentro tendremos 3x menos 1. De esa manera tenemos ya el resultado de esta derivada. Recordemos que se trataba de un producto. Este resultado lo vamos a escribir por acá. Tendremos entonces aquí en este lugar la fracción que tiene 15x al cuadrado menos 4x en el numerador y 2 por la raíz cuadrada de 3x menos 1 en el denominador. Aquí ya tenemos el resultado del ejercicio. Toda esta expresión es la derivada de la función que nos dieron. Sin embargo se puede expresar de una forma más compacta. A todo esto le escribimos denominador 1 y vamos a multiplicar las dos fracciones. Tendremos entonces que f' de x será... Trazamos la línea de la fracción final y multiplicamos numeradores entre sí. Vamos a escribir primero la expresión 15x al cuadrado menos 4x, eso por e elevado al exponente x al cuadrado por la raíz cuadrada de 3x menos 1. Y todo esto nos queda sobre 1 que multiplica con esta expresión. Eso nos da 2 por la raíz cuadrada de 3x menos 1. Como decíamos, es una forma más compacta para dar la respuesta. De esta manera terminamos este ejercicio.

[{"start": 0.0, "end": 9.3, "text": " Vamos a derivar esta funci\u00f3n donde observamos el n\u00famero e elevado a una expresi\u00f3n en t\u00e9rminos de x."}, {"start": 9.3, "end": 16.3, "text": " Comenzamos utilizando el siguiente modelo, derivada de e a la manzanita."}, {"start": 16.3, "end": 20.3, "text": " En este caso, la manzanita es toda esta expresi\u00f3n."}, {"start": 20.3, "end": 26.7, "text": " Ser\u00e1 e a la manzanita por la derivada de la manzanita."}, {"start": 26.7, "end": 31.7, "text": " Es la regla de la cadena para esta funci\u00f3n exponencial."}, {"start": 31.7, "end": 40.2, "text": " Entonces, tenemos que f' de x, o sea, la derivada de la funci\u00f3n que nos dieron,"}, {"start": 40.2, "end": 50.7, "text": " ser\u00e1 esa misma expresi\u00f3n, e a la x al cuadrado por la ra\u00edz cuadrada de 3x menos 1."}, {"start": 50.7, "end": 59.2, "text": " All\u00ed tenemos e a la manzanita y todo eso multiplicado por la derivada de la manzanita."}, {"start": 59.2, 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{"start": 302.2, "end": 304.7, "text": " Este componente se multiplica por este."}, {"start": 304.7, "end": 308.7, "text": " Tenemos 2x por 2 que nos da 4x"}, {"start": 308.7, "end": 314.2, "text": " y 3x menos 1 al 1 medio multiplicada por la misma expresi\u00f3n."}, {"start": 314.2, "end": 318.2, "text": " All\u00ed dejamos la misma base, 3x menos 1"}, {"start": 318.2, "end": 320.7, "text": " y sumamos los exponentes."}, {"start": 320.7, "end": 325.2, "text": " Un medio m\u00e1s un medio nos da 2 medios que es igual a 1."}, {"start": 325.2, "end": 327.7, "text": " Esto nos queda entonces con exponente 1"}, {"start": 327.7, "end": 330.7, "text": " que podemos hacer invisible."}, {"start": 330.7, "end": 334.7, "text": " Esto nos queda m\u00e1s 1 por 3x al cuadrado"}, {"start": 334.7, "end": 337.2, "text": " que nos da 3x al cuadrado"}, {"start": 337.2, "end": 340.7, "text": " y ac\u00e1 en el denominador escribimos el producto"}, {"start": 340.7, "end": 343.2, "text": " de estos dos denominadores."}, {"start": 343.2, "end": 350.7, "text": " O sea 1 por esto que nos da 2 por 3x menos 1"}, {"start": 350.7, "end": 355.2, "text": " y eso elevado al exponente un medio."}, {"start": 355.2, "end": 358.7, "text": " Lo que hemos utilizado ac\u00e1 es lo que se conoce"}, {"start": 358.7, "end": 361.2, "text": " como la t\u00e9cnica de la carita feliz."}, {"start": 361.2, "end": 364.2, "text": " En la parte de arriba estos dos componentes,"}, {"start": 364.2, "end": 367.7, "text": " luego estos dos y en el denominador"}, {"start": 367.7, "end": 370.2, "text": " el producto de los dos denominadores."}, {"start": 370.2, "end": 374.2, "text": " Entonces por eso se llama la t\u00e9cnica de la carita feliz"}, {"start": 374.2, "end": 377.7, "text": " para realizar la suma o incluso la resta"}, {"start": 377.7, "end": 381.2, "text": " de dos fracciones con distinto denominador."}, {"start": 381.2, "end": 384.7, "text": " A su vez ac\u00e1 podemos trabajar el numerador"}, {"start": 384.7, "end": 389.2, "text": " para que esta expresi\u00f3n nos quede un poco m\u00e1s sencilla."}, {"start": 389.2, "end": 391.7, "text": " Tendremos lo siguiente."}, {"start": 391.7, "end": 396.7, "text": " Ac\u00e1 podemos aplicar la propiedad distributiva."}, {"start": 396.7, "end": 400.2, "text": " 4x multiplica a cada uno de esos t\u00e9rminos"}, {"start": 400.2, "end": 405.7, "text": " y tendremos 4x por 3x que nos da 12x al cuadrado"}, {"start": 405.7, "end": 409.7, "text": " 4x por menos 1 que nos da menos 4x"}, {"start": 409.7, "end": 413.7, "text": " y escribimos el t\u00e9rmino m\u00e1s 3x al cuadrado."}, {"start": 413.7, "end": 417.2, "text": " El denominador se queda tal como est\u00e1."}, {"start": 417.2, "end": 420.7, "text": " 2 que multiplica a 3x menos 1"}, {"start": 420.7, "end": 424.7, "text": " y todo eso elevado al exponente un medio."}, {"start": 424.7, "end": 426.7, "text": " Finalmente en el numerador"}, {"start": 426.7, "end": 429.7, "text": " podemos reducir t\u00e9rminos semejantes."}, {"start": 429.7, "end": 433.7, "text": " Son estos dos que contienen x al cuadrado."}, {"start": 433.7, "end": 437.7, "text": " Entonces 12x al cuadrado m\u00e1s 3x al cuadrado"}, {"start": 437.7, "end": 441.2, "text": " nos da como resultado 15x al cuadrado."}, {"start": 441.2, "end": 445.7, "text": " Anotamos el t\u00e9rmino menos 4x que no tiene semejante"}, {"start": 445.7, "end": 448.7, "text": " y todo esto nos va a quedar sobre 2"}, {"start": 448.7, "end": 451.2, "text": " que multiplica a esta expresi\u00f3n"}, {"start": 451.2, "end": 455.7, "text": " y que podemos volver a escribir con su ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 455.7, "end": 458.2, "text": " Deshacemos la anotaci\u00f3n de potencia"}, {"start": 458.2, "end": 461.2, "text": " y lo volvemos en forma de ra\u00edz."}, {"start": 461.2, "end": 465.7, "text": " Ac\u00e1 dentro tendremos 3x menos 1."}, {"start": 465.7, "end": 470.2, "text": " De esa manera tenemos ya el resultado de esta derivada."}, {"start": 470.2, "end": 473.2, "text": " Recordemos que se trataba de un producto."}, {"start": 473.2, "end": 477.2, "text": " Este resultado lo vamos a escribir por ac\u00e1."}, {"start": 477.2, "end": 480.7, "text": " Tendremos entonces aqu\u00ed en este lugar"}, {"start": 480.7, "end": 485.2, "text": " la fracci\u00f3n que tiene 15x al cuadrado"}, {"start": 485.2, "end": 488.7, "text": " menos 4x en el numerador"}, {"start": 488.7, "end": 493.7, "text": " y 2 por la ra\u00edz cuadrada de 3x menos 1"}, {"start": 493.7, "end": 496.7, "text": " en el denominador."}, {"start": 496.7, "end": 500.2, "text": " Aqu\u00ed ya tenemos el resultado del ejercicio."}, {"start": 500.2, "end": 503.2, "text": " Toda esta expresi\u00f3n es la derivada"}, {"start": 503.2, "end": 505.2, "text": " de la funci\u00f3n que nos dieron."}, {"start": 505.2, "end": 509.7, "text": " Sin embargo se puede expresar de una forma m\u00e1s compacta."}, {"start": 509.7, "end": 513.2, "text": " A todo esto le escribimos denominador 1"}, {"start": 513.2, "end": 516.7, "text": " y vamos a multiplicar las dos fracciones."}, {"start": 516.7, "end": 521.7, "text": " Tendremos entonces que f' de x ser\u00e1..."}, {"start": 521.7, "end": 525.2, "text": " Trazamos la l\u00ednea de la fracci\u00f3n final"}, {"start": 525.2, "end": 528.2, "text": " y multiplicamos numeradores entre s\u00ed."}, {"start": 528.2, "end": 533.2, "text": " Vamos a escribir primero la expresi\u00f3n 15x al cuadrado"}, {"start": 533.2, "end": 540.7, "text": " menos 4x, eso por e elevado al exponente x al cuadrado"}, {"start": 540.7, "end": 545.2, "text": " por la ra\u00edz cuadrada de 3x menos 1."}, {"start": 545.2, "end": 548.7, "text": " Y todo esto nos queda sobre 1"}, {"start": 548.7, "end": 551.2, "text": " que multiplica con esta expresi\u00f3n."}, {"start": 551.2, "end": 556.7, "text": " Eso nos da 2 por la ra\u00edz cuadrada de 3x menos 1."}, {"start": 556.7, "end": 560.2, "text": " Como dec\u00edamos, es una forma m\u00e1s compacta"}, {"start": 560.2, "end": 562.7, "text": " para dar la respuesta."}, {"start": 562.7, "end": 566.2, "text": " De esta manera terminamos este ejercicio."}]

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REGLA DE TRES COMPUESTA - Problema 5

#julioprofe explica cómo resolver el siguiente problema utilizando la Regla de Tres Compuesta: 6 grifos tardan 16 horas en llenar 2 depósitos de 400 m³ cada uno. ¿Cuántas horas tardarán 4 grifos en llenar 3 depósitos de 500 m³ cada uno? REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Seis grifos tardan 16 horas en llenar dos depósitos de 400 metros cúbicos cada uno. ¿Cuántas horas tardarán cuatro grifos en llenar tres depósitos de 500 metros cúbicos cada uno? Bien, tenemos en este caso un problema que vamos a resolver utilizando la regla de tres compuesta. Comenzamos por identificar las magnitudes que intervienen en esta situación. Comenzamos con grifos. Por acá nos habla de horas. También tenemos depósitos. Y también observamos el volumen en metros cúbicos de cada uno de esos depósitos. Enseguida vamos a escribir en la primera fila la información conocida. Tenemos seis grifos tardan 16 horas en llenar dos depósitos de 400 metros cúbicos cada uno. Esta es la información que se conoce. Ahora en la segunda fila anotamos el resto de la información y es allí donde vamos a encontrar la incógnita. Dice ¿Cuántas horas? Entonces escribimos la X en la columna de horas. Tardarán cuatro grifos en llenar tres depósitos de 500 metros cúbicos cada uno. Bien, ya tenemos los datos del problema y también hemos identificado la incógnita. Entonces hacemos lo siguiente, nos situamos en esta columna aquella donde está la X y al número que acompaña le vamos a escribir siempre el signo más. A continuación vamos a examinar la magnitud que contiene la incógnita con cada una de las demás para establecer si guardan relación directa o relación inversa. Comenzamos entonces con horas y grifos. Dejando esto de acá constante. Nos imaginamos que es un solo depósito con un volumen fijo. Entonces si con seis grifos se demora 16 horas es natural que si se reduce la cantidad de grifos necesitemos más tiempo. Entonces a menor cantidad de grifos necesitamos más horas. Por lo tanto entre estas dos magnitudes tenemos una relación inversa. Repetimos, a menor cantidad de grifos necesitamos más tiempo para llenar un mismo depósito. En ese caso escribimos acá los signos más y menos. Siempre que tengamos relación inversa más en la parte de arriba y menos en la parte de abajo. Ahora vamos a examinar las horas con los depósitos. Suponiendo que la cantidad de grifos y el volumen de esos depósitos permanece constante. Nos vamos a concentrar únicamente en estas dos magnitudes. Si para dos depósitos se requieren 16 horas, entonces al aumentar la cantidad de depósitos es lógico pensar que también aumenta la cantidad de horas necesarias para llenarlos. Entonces a mayor cantidad de depósitos mayor cantidad de horas. Por lo tanto acá tenemos una relación directa. Y siempre que tengamos esa relación directa vamos a escribir acá signo menos y acá signo más. Menos en la fila superior y más en la fila inferior. Finalmente examinamos horas con volumen en metros cúbicos. Suponiendo que la cantidad de grifos y de depósitos permanece constante. Nos concentramos únicamente en estas dos magnitudes. Si para llenar 400 metros cúbicos necesitamos 16 horas, entonces al aumentar la cantidad de metros cúbicos a 500 es lógico pensar que necesitemos mayor cantidad de horas. A mayor volumen más tiempo de llenado. Entonces entre estas dos magnitudes tenemos una relación directa. Y por esa razón escribimos signo menos en la parte superior y signo más en la parte inferior tal como había sucedido en esta situación. Después de hacer este análisis procedemos a encontrar el valor de la incógnita X de la siguiente manera. Construimos una fracción donde en el numerador tendremos el producto de números que quedaron marcados con signo positivo y en el denominador tendremos el producto de números marcados con signo negativo. Entonces en la parte superior vamos a anotar el número 6 por el número 16 por el número 3 y esto multiplicado por el número 500. Aquellos que quedaron señalados con el signo positivo. Ahora en la parte de abajo vamos a escribir el producto de los números que quedaron marcados con signo negativo. Tenemos 4 por 2 y eso multiplicado por 400. Para resolver esto con mayor facilidad vamos a simplificar al máximo. Tenemos por ejemplo estos dos números que pueden ser divididos por 4. Decimos cuarta de 4 es 1 y cuarta de 16 nos da 4. Por acá tenemos 4 y 400 que también pueden dividirse por 4. Decimos cuarta de 4 es 1 y cuarta de 400 nos da 100. Podemos dividir estos dos números entre 100. 100 dividido entre 100 nos da 1 y 500 dividido entre 100 nos da como resultado 5. También podemos simplificar 2 con 6. Decimos mitad de 2 es 1 y mitad de 6 es 3. Como se observa ya no es posible simplificar nada más. Entonces procedemos a efectuar la multiplicación de los números que nos quedaron. Arriba tenemos 3 por 1 por 3 por 5. O sea 9 por 5 que es 45. En la parte de abajo tenemos el producto de estos números 1 que nos da como resultado 1. Pero sabemos que este denominador puede volverse invisible y nuestra respuesta será únicamente 45. Para terminar escribimos la respuesta. Los cuatro grifos tardarán 45 horas en llenar tres depósitos de 500 metros cúbicos cada uno.

[{"start": 0.0, "end": 7.36, "text": " Seis grifos tardan 16 horas en llenar dos dep\u00f3sitos de 400 metros c\u00fabicos cada uno."}, {"start": 7.36, "end": 14.96, "text": " \u00bfCu\u00e1ntas horas tardar\u00e1n cuatro grifos en llenar tres dep\u00f3sitos de 500 metros c\u00fabicos cada uno?"}, {"start": 14.96, "end": 22.48, "text": " Bien, tenemos en este caso un problema que vamos a resolver utilizando la regla de tres compuesta."}, {"start": 22.48, "end": 28.72, "text": " Comenzamos por identificar las magnitudes que intervienen en esta situaci\u00f3n."}, {"start": 28.72, "end": 30.64, "text": " Comenzamos con grifos."}, {"start": 30.64, "end": 36.16, "text": " Por ac\u00e1 nos habla de horas."}, {"start": 38.16, "end": 40.8, "text": " Tambi\u00e9n tenemos dep\u00f3sitos."}, {"start": 44.96, "end": 55.4, "text": " Y tambi\u00e9n observamos el volumen en metros c\u00fabicos de cada uno de esos dep\u00f3sitos."}, {"start": 55.4, "end": 61.92, "text": " Enseguida vamos a escribir en la primera fila la informaci\u00f3n conocida."}, {"start": 61.92, "end": 74.16, "text": " Tenemos seis grifos tardan 16 horas en llenar dos dep\u00f3sitos de 400 metros c\u00fabicos cada uno."}, {"start": 74.16, "end": 77.56, "text": " Esta es la informaci\u00f3n que se conoce."}, {"start": 77.56, "end": 84.96000000000001, "text": " Ahora en la segunda fila anotamos el resto de la informaci\u00f3n y es all\u00ed donde vamos a"}, {"start": 84.96, "end": 87.75999999999999, "text": " encontrar la inc\u00f3gnita."}, {"start": 87.75999999999999, "end": 89.67999999999999, "text": " Dice \u00bfCu\u00e1ntas horas?"}, {"start": 89.67999999999999, "end": 94.24, "text": " Entonces escribimos la X en la columna de horas."}, {"start": 94.24, "end": 104.16, "text": " Tardar\u00e1n cuatro grifos en llenar tres dep\u00f3sitos de 500 metros c\u00fabicos cada uno."}, {"start": 104.16, "end": 110.28, "text": " Bien, ya tenemos los datos del problema y tambi\u00e9n hemos identificado la inc\u00f3gnita."}, {"start": 110.28, "end": 117.6, "text": " Entonces hacemos lo siguiente, nos situamos en esta columna aquella donde est\u00e1 la X y"}, {"start": 117.6, "end": 123.68, "text": " al n\u00famero que acompa\u00f1a le vamos a escribir siempre el signo m\u00e1s."}, {"start": 123.68, "end": 129.32, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a examinar la magnitud que contiene la inc\u00f3gnita con cada una de"}, {"start": 129.32, "end": 137.0, "text": " las dem\u00e1s para establecer si guardan relaci\u00f3n directa o relaci\u00f3n inversa."}, {"start": 137.0, "end": 140.0, "text": " Comenzamos entonces con horas y grifos."}, {"start": 140.0, "end": 142.6, "text": " Dejando esto de ac\u00e1 constante."}, {"start": 142.6, "end": 147.44, "text": " Nos imaginamos que es un solo dep\u00f3sito con un volumen fijo."}, {"start": 147.44, "end": 155.08, "text": " Entonces si con seis grifos se demora 16 horas es natural que si se reduce la cantidad"}, {"start": 155.08, "end": 158.04, "text": " de grifos necesitemos m\u00e1s tiempo."}, {"start": 158.04, "end": 162.84, "text": " Entonces a menor cantidad de grifos necesitamos m\u00e1s horas."}, {"start": 162.84, "end": 169.36, "text": " Por lo tanto entre estas dos magnitudes tenemos una relaci\u00f3n inversa."}, {"start": 169.36, "end": 176.72000000000003, "text": " Repetimos, a menor cantidad de grifos necesitamos m\u00e1s tiempo para llenar un mismo dep\u00f3sito."}, {"start": 176.72000000000003, "end": 182.4, "text": " En ese caso escribimos ac\u00e1 los signos m\u00e1s y menos."}, {"start": 182.4, "end": 188.04000000000002, "text": " Siempre que tengamos relaci\u00f3n inversa m\u00e1s en la parte de arriba y menos en la parte"}, {"start": 188.04000000000002, "end": 190.12, "text": " de abajo."}, {"start": 190.12, "end": 193.60000000000002, "text": " Ahora vamos a examinar las horas con los dep\u00f3sitos."}, {"start": 193.6, "end": 200.88, "text": " Suponiendo que la cantidad de grifos y el volumen de esos dep\u00f3sitos permanece constante."}, {"start": 200.88, "end": 205.6, "text": " Nos vamos a concentrar \u00fanicamente en estas dos magnitudes."}, {"start": 205.6, "end": 212.2, "text": " Si para dos dep\u00f3sitos se requieren 16 horas, entonces al aumentar la cantidad de dep\u00f3sitos"}, {"start": 212.2, "end": 218.68, "text": " es l\u00f3gico pensar que tambi\u00e9n aumenta la cantidad de horas necesarias para llenarlos."}, {"start": 218.68, "end": 223.48, "text": " Entonces a mayor cantidad de dep\u00f3sitos mayor cantidad de horas."}, {"start": 223.48, "end": 228.92, "text": " Por lo tanto ac\u00e1 tenemos una relaci\u00f3n directa."}, {"start": 228.92, "end": 235.64, "text": " Y siempre que tengamos esa relaci\u00f3n directa vamos a escribir ac\u00e1 signo menos y ac\u00e1 signo"}, {"start": 235.64, "end": 236.88, "text": " m\u00e1s."}, {"start": 236.88, "end": 241.72, "text": " Menos en la fila superior y m\u00e1s en la fila inferior."}, {"start": 241.72, "end": 246.28, "text": " Finalmente examinamos horas con volumen en metros c\u00fabicos."}, {"start": 246.28, "end": 251.67999999999998, "text": " Suponiendo que la cantidad de grifos y de dep\u00f3sitos permanece constante."}, {"start": 251.68, "end": 256.0, "text": " Nos concentramos \u00fanicamente en estas dos magnitudes."}, {"start": 256.0, "end": 263.52, "text": " Si para llenar 400 metros c\u00fabicos necesitamos 16 horas, entonces al aumentar la cantidad"}, {"start": 263.52, "end": 270.68, "text": " de metros c\u00fabicos a 500 es l\u00f3gico pensar que necesitemos mayor cantidad de horas."}, {"start": 270.68, "end": 273.84000000000003, "text": " A mayor volumen m\u00e1s tiempo de llenado."}, {"start": 273.84000000000003, "end": 281.08, "text": " Entonces entre estas dos magnitudes tenemos una relaci\u00f3n directa."}, {"start": 281.08, "end": 287.91999999999996, "text": " Y por esa raz\u00f3n escribimos signo menos en la parte superior y signo m\u00e1s en la parte"}, {"start": 287.91999999999996, "end": 293.56, "text": " inferior tal como hab\u00eda sucedido en esta situaci\u00f3n."}, {"start": 293.56, "end": 300.88, "text": " Despu\u00e9s de hacer este an\u00e1lisis procedemos a encontrar el valor de la inc\u00f3gnita X de"}, {"start": 300.88, "end": 302.88, "text": " la siguiente manera."}, {"start": 302.88, "end": 309.15999999999997, "text": " Construimos una fracci\u00f3n donde en el numerador tendremos el producto de n\u00fameros que quedaron"}, {"start": 309.16, "end": 316.04, "text": " marcados con signo positivo y en el denominador tendremos el producto de n\u00fameros marcados"}, {"start": 316.04, "end": 318.16, "text": " con signo negativo."}, {"start": 318.16, "end": 328.44000000000005, "text": " Entonces en la parte superior vamos a anotar el n\u00famero 6 por el n\u00famero 16 por el n\u00famero"}, {"start": 328.44000000000005, "end": 334.16, "text": " 3 y esto multiplicado por el n\u00famero 500."}, {"start": 334.16, "end": 339.0, "text": " Aquellos que quedaron se\u00f1alados con el signo positivo."}, {"start": 339.0, "end": 344.88, "text": " Ahora en la parte de abajo vamos a escribir el producto de los n\u00fameros que quedaron marcados"}, {"start": 344.88, "end": 346.52, "text": " con signo negativo."}, {"start": 346.52, "end": 355.48, "text": " Tenemos 4 por 2 y eso multiplicado por 400."}, {"start": 355.48, "end": 360.48, "text": " Para resolver esto con mayor facilidad vamos a simplificar al m\u00e1ximo."}, {"start": 360.48, "end": 365.84, "text": " Tenemos por ejemplo estos dos n\u00fameros que pueden ser divididos por 4."}, {"start": 365.84, "end": 372.03999999999996, "text": " Decimos cuarta de 4 es 1 y cuarta de 16 nos da 4."}, {"start": 372.03999999999996, "end": 377.23999999999995, "text": " Por ac\u00e1 tenemos 4 y 400 que tambi\u00e9n pueden dividirse por 4."}, {"start": 377.23999999999995, "end": 384.4, "text": " Decimos cuarta de 4 es 1 y cuarta de 400 nos da 100."}, {"start": 384.4, "end": 387.47999999999996, "text": " Podemos dividir estos dos n\u00fameros entre 100."}, {"start": 387.47999999999996, "end": 395.71999999999997, "text": " 100 dividido entre 100 nos da 1 y 500 dividido entre 100 nos da como resultado 5."}, {"start": 395.72, "end": 399.48, "text": " Tambi\u00e9n podemos simplificar 2 con 6."}, {"start": 399.48, "end": 405.6, "text": " Decimos mitad de 2 es 1 y mitad de 6 es 3."}, {"start": 405.6, "end": 409.88000000000005, "text": " Como se observa ya no es posible simplificar nada m\u00e1s."}, {"start": 409.88000000000005, "end": 415.6, "text": " Entonces procedemos a efectuar la multiplicaci\u00f3n de los n\u00fameros que nos quedaron."}, {"start": 415.6, "end": 419.64000000000004, "text": " Arriba tenemos 3 por 1 por 3 por 5."}, {"start": 419.64000000000004, "end": 423.8, "text": " O sea 9 por 5 que es 45."}, {"start": 423.8, "end": 430.16, "text": " En la parte de abajo tenemos el producto de estos n\u00fameros 1 que nos da como resultado"}, {"start": 430.16, "end": 431.16, "text": " 1."}, {"start": 431.16, "end": 438.76, "text": " Pero sabemos que este denominador puede volverse invisible y nuestra respuesta ser\u00e1 \u00fanicamente"}, {"start": 438.76, "end": 440.88, "text": " 45."}, {"start": 440.88, "end": 444.36, "text": " Para terminar escribimos la respuesta."}, {"start": 444.36, "end": 452.36, "text": " Los cuatro grifos tardar\u00e1n 45 horas en llenar tres dep\u00f3sitos de 500 metros c\u00fabicos cada"}, {"start": 452.36, "end": 454.2, "text": " uno."}]

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DIÁMETRO Y ÁREA DE UN CÍRCULO

#julioprofe explica cómo determinar el diámetro y el área de un círculo si se conoce la longitud de la circunferencia. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

Determinar el diámetro y el área de un círculo cuya circunferencia mide 188.4 centímetros. Vamos a usar en este problema el número pi como 3.14. Tenemos en este caso la siguiente información. Se conoce la longitud de la circunferencia C, que es 188.4 centímetros, y tenemos que encontrar el diámetro y el área de ese círculo, sabiendo que el número pi será 3.14. Podemos utilizar la expresión matemática que relaciona estos dos datos. Ella es C igual a pi por D, longitud de la circunferencia igual al número pi multiplicado por el diámetro. Y de allí podemos encontrar el dato que buscamos. Tenemos que el diámetro será igual a C dividido entre pi. Este número que está multiplicando pasa al otro lado a dividir. Reemplazamos entonces los datos que conocemos. C es 188.4 centímetros, y el número pi nos dice el problema que se va a trabajar como 3.14. Y esto será igual al diámetro. Vamos a efectuar esta división manualmente. Si tenemos 188.4 dividido entre 3.14, lo primero que tenemos que hacer es equilibrar la cantidad de decimales en ambos números. Acá tenemos dos decimales y acá tenemos solamente uno. Entonces a este lado agregamos un cero para que los dos números tengan igual cantidad de decimales. Habiendo realizado ese ajuste, entonces podemos quitar el punto decimal. Y tenemos ya una división entre números enteros. Acá el número 18840, y acá el número 314. Recordemos que este es el dividendo y este es el divisor. Procedemos entonces a escribir estos números de la siguiente manera. Dividendo 18840, y por acá vamos a escribir el divisor que es 314. Y nos vamos a apoyar con la tabla de multiplicar del número 314. Bien, aquí la tenemos y vamos a comenzar con el desarrollo de la división. Nos preguntamos si 314 cabe en 1, tomando acá una cifra. Vemos que no es posible. Tomamos entonces dos cifras, el número 18. Nos preguntamos si 314 cabe en 18, y vemos que tampoco es posible. Tomamos ahora tres cifras, 188, y nos preguntamos si 314 cabe en este número. Vemos que tampoco se puede. Entonces tomamos cuatro cifras en el dividendo, el número 1884. En ese caso 314 si cabe en este número, por ser este menor que el que hemos seleccionado en el dividendo. Entonces nos fijamos acá en la tabla de multiplicar cuál es el número que más se aproxima o que es igual a 1884. Si revisamos con atención vemos que aquí se encuentra ese número, lo que significa que 314 cabe exactamente seis veces en el número que buscamos. Lo escribimos acá, 6 por 314 nos da 1884, y efectuamos la resta. Tenemos que como los dos números son iguales, la diferencia entre ellos nos va a dar cero. Bajamos ahora la siguiente cifra, este cero, y nos preguntamos si 314 cabe en cero. Como no es posible, entonces colocamos cero en el cociente, y de esa manera hemos terminado la división. De esta manera concluimos que el diámetro del círculo tiene un valor de 60 centímetros. El resultado de efectuar esa división. Ahora necesitamos encontrar el área del círculo. La expresión que se suele emplear en este caso es pi por el radio elevado al cuadrado, pero sabemos que el radio equivale a la mitad del diámetro, o sea, r igual a d medios. Si esto lo reemplazamos acá, vamos a tener lo siguiente, pi por d medios, todo esto elevado al cuadrado. Debe protegerse con paréntesis. Ahora, este exponente 2 afecta al numerador y también afecta al denominador. Entonces tendremos pi por diámetro al cuadrado sobre 4. Con esta expresión podemos encontrar directamente el área del círculo si conocemos el diámetro, tal como sucede en este caso. Reemplazamos entonces los valores en esta expresión. Área del círculo será igual al número pi, que es 3.14, y eso va a multiplicar con el diámetro al cuadrado. El diámetro nos dio 60 centímetros, todo esto entre paréntesis y elevado al cuadrado. Y toda esa expresión va a estar dividida entre 4. Vamos entonces a resolver esas operaciones. Comenzamos por desarrollar esta potencia. Tendremos área igual a 3.14 por 60 al cuadrado, 60 por 60, que nos da 3.600. Y las unidades también se ven afectadas por ese exponente. Tendremos entonces centímetros cuadrados. Y todo esto lo dividimos entre 4. Aquí tenemos la posibilidad de simplificar estos dos números. 36 es divisible por 4. Por lo tanto, 3.600 también se podrá dividir por 4. Decimos cuarta de 4, 1. Y cuarta de 36 es 9. Con estos dos ceros, decimos que la cuarta de 3.600 es 900. Entonces nuestra operación queda reducida a efectuar la multiplicación entre 3.14 y 900. Ya este denominador 1 lo podemos obviar, y esto nos va a quedar en centímetros cuadrados. Aquí podemos utilizar la siguiente estrategia. Podemos descomponer el número 900 como 9 por 100. Todo esto en centímetros cuadrados. Esto lo hacemos para facilitar el procedimiento haciendo lo siguiente. Si multiplicamos 100 por 3.14 nos dará como resultado 314. El punto decimal se corre a la derecha dos lugares. Y ahora eso nos queda multiplicado por 9. Y vamos a obtener así el resultado en centímetros cuadrados. Efectuamos entonces esta operación por acá. 314 multiplicado por 9. Tenemos lo siguiente. 9 por 4, 36. Llevamos 3. 9 por 1 nos da 9. 9 más 3 es 12. Escribimos el 2, llevamos 1. Y 9 por 3 nos da 27. 27 más 1 nos da como resultado 28. Tenemos entonces que el área del círculo será 2826 centímetros cuadrados. No podemos olvidar las unidades. Bien, de esta manera hemos terminado el problema. Tenemos acá los dos datos que nos pedían. El diámetro del círculo y también su área. Conociendo como datos iniciales la longitud de la circunferencia y lógicamente el número pi que es una constante matemática.

[{"start": 0.0, "end": 8.5, "text": " Determinar el di\u00e1metro y el \u00e1rea de un c\u00edrculo cuya circunferencia mide 188.4 cent\u00edmetros."}, {"start": 8.5, "end": 14.5, "text": " Vamos a usar en este problema el n\u00famero pi como 3.14."}, {"start": 14.5, "end": 17.5, "text": " Tenemos en este caso la siguiente informaci\u00f3n."}, {"start": 17.5, "end": 26.5, "text": " Se conoce la longitud de la circunferencia C, que es 188.4 cent\u00edmetros,"}, {"start": 26.5, "end": 34.5, "text": " y tenemos que encontrar el di\u00e1metro y el \u00e1rea de ese c\u00edrculo,"}, {"start": 34.5, "end": 39.0, "text": " sabiendo que el n\u00famero pi ser\u00e1 3.14."}, {"start": 39.0, "end": 45.0, "text": " Podemos utilizar la expresi\u00f3n matem\u00e1tica que relaciona estos dos datos."}, {"start": 45.0, "end": 49.5, "text": " Ella es C igual a pi por D,"}, {"start": 49.5, "end": 56.0, "text": " longitud de la circunferencia igual al n\u00famero pi multiplicado por el di\u00e1metro."}, {"start": 56.0, "end": 60.0, "text": " Y de all\u00ed podemos encontrar el dato que buscamos."}, {"start": 60.0, "end": 65.5, "text": " Tenemos que el di\u00e1metro ser\u00e1 igual a C dividido entre pi."}, {"start": 65.5, "end": 70.5, "text": " Este n\u00famero que est\u00e1 multiplicando pasa al otro lado a dividir."}, {"start": 70.5, "end": 74.0, "text": " Reemplazamos entonces los datos que conocemos."}, {"start": 74.0, "end": 79.5, "text": " C es 188.4 cent\u00edmetros,"}, {"start": 79.5, "end": 87.5, "text": " y el n\u00famero pi nos dice el problema que se va a trabajar como 3.14."}, {"start": 87.5, "end": 91.0, "text": " Y esto ser\u00e1 igual al di\u00e1metro."}, {"start": 91.0, "end": 95.0, "text": " Vamos a efectuar esta divisi\u00f3n manualmente."}, {"start": 95.0, "end": 102.5, "text": " Si tenemos 188.4 dividido entre 3.14,"}, {"start": 102.5, "end": 109.0, "text": " lo primero que tenemos que hacer es equilibrar la cantidad de decimales en ambos n\u00fameros."}, {"start": 109.0, "end": 113.5, "text": " Ac\u00e1 tenemos dos decimales y ac\u00e1 tenemos solamente uno."}, {"start": 113.5, "end": 122.5, "text": " Entonces a este lado agregamos un cero para que los dos n\u00fameros tengan igual cantidad de decimales."}, {"start": 122.5, "end": 125.0, "text": " Habiendo realizado ese ajuste,"}, {"start": 125.0, "end": 128.5, "text": " entonces podemos quitar el punto decimal."}, {"start": 128.5, "end": 132.5, "text": " Y tenemos ya una divisi\u00f3n entre n\u00fameros enteros."}, {"start": 132.5, "end": 136.0, "text": " Ac\u00e1 el n\u00famero 18840,"}, {"start": 136.0, "end": 139.0, "text": " y ac\u00e1 el n\u00famero 314."}, {"start": 139.0, "end": 144.0, "text": " Recordemos que este es el dividendo y este es el divisor."}, {"start": 144.0, "end": 150.0, "text": " Procedemos entonces a escribir estos n\u00fameros de la siguiente manera."}, {"start": 150.0, "end": 153.5, "text": " Dividendo 18840,"}, {"start": 153.5, "end": 161.0, "text": " y por ac\u00e1 vamos a escribir el divisor que es 314."}, {"start": 161.0, "end": 168.0, "text": " Y nos vamos a apoyar con la tabla de multiplicar del n\u00famero 314."}, {"start": 168.0, "end": 173.5, "text": " Bien, aqu\u00ed la tenemos y vamos a comenzar con el desarrollo de la divisi\u00f3n."}, {"start": 173.5, "end": 178.5, "text": " Nos preguntamos si 314 cabe en 1, tomando ac\u00e1 una cifra."}, {"start": 178.5, "end": 180.0, "text": " Vemos que no es posible."}, {"start": 180.0, "end": 183.5, "text": " Tomamos entonces dos cifras, el n\u00famero 18."}, {"start": 183.5, "end": 186.5, "text": " Nos preguntamos si 314 cabe en 18,"}, {"start": 186.5, "end": 189.0, "text": " y vemos que tampoco es posible."}, {"start": 189.0, "end": 192.5, "text": " Tomamos ahora tres cifras, 188,"}, {"start": 192.5, "end": 196.5, "text": " y nos preguntamos si 314 cabe en este n\u00famero."}, {"start": 196.5, "end": 198.5, "text": " Vemos que tampoco se puede."}, {"start": 198.5, "end": 204.5, "text": " Entonces tomamos cuatro cifras en el dividendo, el n\u00famero 1884."}, {"start": 204.5, "end": 208.0, "text": " En ese caso 314 si cabe en este n\u00famero,"}, {"start": 208.0, "end": 213.0, "text": " por ser este menor que el que hemos seleccionado en el dividendo."}, {"start": 213.0, "end": 216.5, "text": " Entonces nos fijamos ac\u00e1 en la tabla de multiplicar"}, {"start": 216.5, "end": 222.5, "text": " cu\u00e1l es el n\u00famero que m\u00e1s se aproxima o que es igual a 1884."}, {"start": 222.5, "end": 227.0, "text": " Si revisamos con atenci\u00f3n vemos que aqu\u00ed se encuentra ese n\u00famero,"}, {"start": 227.0, "end": 234.0, "text": " lo que significa que 314 cabe exactamente seis veces en el n\u00famero que buscamos."}, {"start": 234.0, "end": 241.5, "text": " Lo escribimos ac\u00e1, 6 por 314 nos da 1884,"}, {"start": 241.5, "end": 246.0, "text": " y efectuamos la resta."}, {"start": 246.0, "end": 249.0, "text": " Tenemos que como los dos n\u00fameros son iguales,"}, {"start": 249.0, "end": 253.0, "text": " la diferencia entre ellos nos va a dar cero."}, {"start": 253.0, "end": 256.0, "text": " Bajamos ahora la siguiente cifra, este cero,"}, {"start": 256.0, "end": 260.0, "text": " y nos preguntamos si 314 cabe en cero."}, {"start": 260.0, "end": 265.0, "text": " Como no es posible, entonces colocamos cero en el cociente,"}, {"start": 265.0, "end": 269.5, "text": " y de esa manera hemos terminado la divisi\u00f3n."}, {"start": 269.5, "end": 274.5, "text": " De esta manera concluimos que el di\u00e1metro del c\u00edrculo"}, {"start": 274.5, "end": 278.5, "text": " tiene un valor de 60 cent\u00edmetros."}, {"start": 278.5, "end": 283.0, "text": " El resultado de efectuar esa divisi\u00f3n."}, {"start": 283.0, "end": 287.5, "text": " Ahora necesitamos encontrar el \u00e1rea del c\u00edrculo."}, {"start": 287.5, "end": 291.0, "text": " La expresi\u00f3n que se suele emplear en este caso"}, {"start": 291.0, "end": 295.5, "text": " es pi por el radio elevado al cuadrado,"}, {"start": 295.5, "end": 300.5, "text": " pero sabemos que el radio equivale a la mitad del di\u00e1metro,"}, {"start": 300.5, "end": 303.5, "text": " o sea, r igual a d medios."}, {"start": 303.5, "end": 308.0, "text": " Si esto lo reemplazamos ac\u00e1, vamos a tener lo siguiente,"}, {"start": 308.0, "end": 313.5, "text": " pi por d medios, todo esto elevado al cuadrado."}, {"start": 313.5, "end": 316.0, "text": " Debe protegerse con par\u00e9ntesis."}, {"start": 316.0, "end": 320.0, "text": " Ahora, este exponente 2 afecta al numerador"}, {"start": 320.0, "end": 322.5, "text": " y tambi\u00e9n afecta al denominador."}, {"start": 322.5, "end": 328.5, "text": " Entonces tendremos pi por di\u00e1metro al cuadrado sobre 4."}, {"start": 328.5, "end": 332.5, "text": " Con esta expresi\u00f3n podemos encontrar directamente"}, {"start": 332.5, "end": 336.0, "text": " el \u00e1rea del c\u00edrculo si conocemos el di\u00e1metro,"}, {"start": 336.0, "end": 339.0, "text": " tal como sucede en este caso."}, {"start": 339.0, "end": 343.5, "text": " Reemplazamos entonces los valores en esta expresi\u00f3n."}, {"start": 343.5, "end": 350.0, "text": " \u00c1rea del c\u00edrculo ser\u00e1 igual al n\u00famero pi, que es 3.14,"}, {"start": 350.0, "end": 354.5, "text": " y eso va a multiplicar con el di\u00e1metro al cuadrado."}, {"start": 354.5, "end": 358.0, "text": " El di\u00e1metro nos dio 60 cent\u00edmetros,"}, {"start": 358.0, "end": 361.5, "text": " todo esto entre par\u00e9ntesis y elevado al cuadrado."}, {"start": 361.5, "end": 367.5, "text": " Y toda esa expresi\u00f3n va a estar dividida entre 4."}, {"start": 367.5, "end": 371.5, "text": " Vamos entonces a resolver esas operaciones."}, {"start": 371.5, "end": 374.5, "text": " Comenzamos por desarrollar esta potencia."}, {"start": 374.5, "end": 381.5, "text": " Tendremos \u00e1rea igual a 3.14 por 60 al cuadrado,"}, {"start": 381.5, "end": 386.0, "text": " 60 por 60, que nos da 3.600."}, {"start": 386.0, "end": 390.5, "text": " Y las unidades tambi\u00e9n se ven afectadas por ese exponente."}, {"start": 390.5, "end": 393.5, "text": " Tendremos entonces cent\u00edmetros cuadrados."}, {"start": 393.5, "end": 397.5, "text": " Y todo esto lo dividimos entre 4."}, {"start": 397.5, "end": 402.5, "text": " Aqu\u00ed tenemos la posibilidad de simplificar estos dos n\u00fameros."}, {"start": 402.5, "end": 405.5, "text": " 36 es divisible por 4."}, {"start": 405.5, "end": 411.0, "text": " Por lo tanto, 3.600 tambi\u00e9n se podr\u00e1 dividir por 4."}, {"start": 411.0, "end": 413.5, "text": " Decimos cuarta de 4, 1."}, {"start": 413.5, "end": 416.0, "text": " Y cuarta de 36 es 9."}, {"start": 416.0, "end": 422.5, "text": " Con estos dos ceros, decimos que la cuarta de 3.600 es 900."}, {"start": 422.5, "end": 426.5, "text": " Entonces nuestra operaci\u00f3n queda reducida"}, {"start": 426.5, "end": 433.0, "text": " a efectuar la multiplicaci\u00f3n entre 3.14 y 900."}, {"start": 433.0, "end": 437.0, "text": " Ya este denominador 1 lo podemos obviar,"}, {"start": 437.0, "end": 441.5, "text": " y esto nos va a quedar en cent\u00edmetros cuadrados."}, {"start": 441.5, "end": 444.5, "text": " Aqu\u00ed podemos utilizar la siguiente estrategia."}, {"start": 444.5, "end": 453.5, "text": " Podemos descomponer el n\u00famero 900 como 9 por 100."}, {"start": 453.5, "end": 457.5, "text": " Todo esto en cent\u00edmetros cuadrados."}, {"start": 457.5, "end": 460.5, "text": " Esto lo hacemos para facilitar el procedimiento"}, {"start": 460.5, "end": 462.5, "text": " haciendo lo siguiente."}, {"start": 462.5, "end": 470.0, "text": " Si multiplicamos 100 por 3.14 nos dar\u00e1 como resultado 314."}, {"start": 470.0, "end": 474.0, "text": " El punto decimal se corre a la derecha dos lugares."}, {"start": 474.0, "end": 477.5, "text": " Y ahora eso nos queda multiplicado por 9."}, {"start": 477.5, "end": 482.5, "text": " Y vamos a obtener as\u00ed el resultado en cent\u00edmetros cuadrados."}, {"start": 482.5, "end": 486.5, "text": " Efectuamos entonces esta operaci\u00f3n por ac\u00e1."}, {"start": 486.5, "end": 490.5, "text": " 314 multiplicado por 9."}, {"start": 490.5, "end": 493.0, "text": " Tenemos lo siguiente."}, {"start": 493.0, "end": 496.5, "text": " 9 por 4, 36. Llevamos 3."}, {"start": 496.5, "end": 498.5, "text": " 9 por 1 nos da 9."}, {"start": 498.5, "end": 500.5, "text": " 9 m\u00e1s 3 es 12."}, {"start": 500.5, "end": 503.0, "text": " Escribimos el 2, llevamos 1."}, {"start": 503.0, "end": 505.5, "text": " Y 9 por 3 nos da 27."}, {"start": 505.5, "end": 509.5, "text": " 27 m\u00e1s 1 nos da como resultado 28."}, {"start": 509.5, "end": 512.5, "text": " Tenemos entonces que el \u00e1rea del c\u00edrculo"}, {"start": 512.5, "end": 518.5, "text": " ser\u00e1 2826 cent\u00edmetros cuadrados."}, {"start": 518.5, "end": 522.5, "text": " No podemos olvidar las unidades."}, {"start": 522.5, "end": 526.5, "text": " Bien, de esta manera hemos terminado el problema."}, {"start": 526.5, "end": 530.5, "text": " Tenemos ac\u00e1 los dos datos que nos ped\u00edan."}, {"start": 530.5, "end": 535.5, "text": " El di\u00e1metro del c\u00edrculo y tambi\u00e9n su \u00e1rea."}, {"start": 535.5, "end": 540.5, "text": " Conociendo como datos iniciales la longitud de la circunferencia"}, {"start": 540.5, "end": 560.5, "text": " y l\u00f3gicamente el n\u00famero pi que es una constante matem\u00e1tica."}]

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DERIVACIÓN DE FUNCIONES - Ejercicio 20

#julioprofe explica cómo hallar la #derivada de una función que contiene arcoseno. Tema: #Derivadas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwF9r-Y_Gpuq45VP0qnJIJL1 REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

En esta ocasión vamos a obtener la derivada de esta función y vamos a comenzar por reescribir esto que tenemos dentro del paréntesis. Entonces la función queda igual a menos 1 octavo que multiplica a arco seno de 4x a la menos 2. Recordemos que esta potencia si sube cambia de signo su exponente. En este caso vamos a necesitar el modelo para derivar esto que tenemos acá arco seno de una expresión. Vamos a recordar ese modelo por acá. Si tenemos arco seno de manzanita, en este caso la manzanita es 4x a la menos 2. Entonces la derivada de eso será igual a lo siguiente. Vamos a construir una fracción. Acá en el numerador tendremos la derivada de la manzanita y acá en el denominador tendremos la raíz cuadrada de 1 menos la manzanita elevada al cuadrado. Entonces de acuerdo con este modelo vamos a iniciar el proceso de derivación para esa función. Tendremos entonces que la derivada de f de x puede denotarse como f' de x. Y en este caso el número menos 1 octavo como está multiplicando a toda esta expresión que depende de x entonces lo podemos dejar quieto. Menos 1 octavo por la derivada de esto que tenemos acá y que lo vamos a efectuar siguiendo el modelo que hemos citado. Entonces trazamos una línea. En el numerador tendremos la derivada de la manzanita es decir la derivada de 4x a la menos 2. Vamos a indicar eso de esta manera. En el denominador tenemos la raíz cuadrada de 1 menos la manzanita que es 4x a la menos 2 y todo esto elevado al cuadrado. A continuación vamos a efectuar esta derivada y vamos a desarrollar esta potencia. Tendremos entonces menos 1 octavo que multiplica a la derivada de 4x a la menos 2 que nos da menos 2 por 4 menos 8 por x elevada a la menos 2 menos 1 que es menos 3. Allí hemos derivado el numerador. Y en el denominador vamos a tener lo siguiente la raíz cuadrada de 1 menos esta potencia donde aplicamos la siguiente propiedad. Recordemos que si tenemos un producto a por b elevado al exponente n esto es igual a a la n por b a la n. En otras palabras el exponente afecta los dos componentes de la multiplicación. Lo mismo va a suceder aquí. Tendremos 4 al cuadrado que es 16 y x a la menos 2 elevado otra vez a la menos 2. Allí aplicamos esta propiedad. Potencia de una potencia. Quejamos la misma base y multiplicamos los exponentes. Entonces si tenemos x a la menos 2 y todo esto elevado al cuadrado quejamos la misma base y multiplicamos los exponentes menos 2 por 2 nos da menos 4. Eso es lo que escribimos por acá. Vamos a continuar el desarrollo del ejercicio por acá. Tendremos lo siguiente. Por acá este número es negativo y está multiplicando con una fracción que también es negativa porque eso es lo que observamos en el numerador. Entonces menos por menos nos va a producir signo más. Este número 8 se puede simplificar con el 8 que tenemos en la parte de arriba. Es como si dijéramos octava de 8 1 y octava de 8 también 1. Tendremos entonces en el numerador 1 por x a la menos 3 es decir, x a la menos 3 y en el denominador tendríamos 1 por esa raíz es decir, esa misma expresión. La raíz cuadrada de 1 menos 16 x a la menos 4. Vamos a continuar el desarrollo por aquí. Trazamos la línea de la fracción y en el numerador x a la menos 3 equivale a 1 sobre x a la 3 o 1 sobre x al cubo. Y en el denominador vamos a realizar algo similar. Tenemos 1 menos 16 y esto va a multiplicar a x a la menos 4 que será 1 sobre x a la 4. Recordemos la propiedad de la potenciación que justifica eso que hemos hecho. Si tenemos a a la menos n, eso equivale a 1 sobre a a la n. A su vez, esto nos queda de la siguiente manera. En el numerador 1 sobre x al cubo y en el denominador tenemos la raíz cuadrada de 1 que podemos escribir sobre 1 y esto menos 16 sobre x a la 4. Aquí multiplicamos en forma horizontal. Recordemos que aquí hay un 1 invisible que al multiplicar con x a la 4 nos produce x a la 4 en el denominador. Ahora vamos a resolver esta operación que tenemos dentro de la raíz. Tenemos en el numerador la misma expresión 1 sobre x al cubo y en el denominador tendremos la raíz cuadrada de lo siguiente. Trazamos esta línea. Decimos 1 por x a la 4 es x a la 4 menos 1 por 16 que nos da 16 y en el denominador 1 por x a la 4 que nos da x a la 4. Recordemos que es el truco o la técnica de la carita feliz para efectuar la resta de dos fracciones con distinto denominador. Vamos a continuar transformando esta expresión por acá. Trazamos la línea principal de la fracción. Acá en el numerador tenemos 1 sobre x al cubo y en el denominador vamos a aplicar la siguiente propiedad de la radicación. Si tenemos la raíz enésima de a sobre b, o sea la raíz de un cociente, entonces la raíz se reparte para el numerador y para el denominador. Entonces vamos a realizar eso allá debajo de la línea. Tendremos la raíz cuadrada de x a la 4 menos 16 y todo eso sobre la raíz cuadrada de x a la 4. A su vez esta expresión nos queda de la siguiente manera. Trazamos la línea principal de la fracción. Acá tenemos 1 sobre x al cubo que no presenta ningún cambio y por acá escribimos también la raíz cuadrada sin modificarla. Y vamos a simplificar esa raíz que tenemos por acá. Aplicamos entonces la siguiente propiedad. Si tenemos la raíz enésima de a a la m, eso será igual a a elevada al exponente m sobre n. Es decir, se divide este exponente interno entre el índice de la raíz. Tendremos entonces para este caso que la raíz cuadrada de x a la 4, recordemos que aquí tenemos índice 2, entonces será x elevada al exponente 4 medios, es decir, x elevada al exponente 2, o sea, x al cuadrado. Tenemos aquí la situación correspondiente a una división de fracciones. Entonces vamos a utilizar lo que se conoce como la ley de la oreja. En la parte de arriba vamos a multiplicar estos dos componentes. Eso nos da x al cuadrado y acá en la parte de abajo realizamos la multiplicación de los componentes internos, es decir, x al cubo que multiplica a la raíz cuadrada de x a la 4 menos 16. Aquí podemos simplificar x al cuadrado con x al cubo. Imaginemos que dividimos arriba y abajo entre x al cuadrado. Tendríamos acá arriba 1 y por acá x al cubo sobre x al cuadrado nos da como resultado x. Por lo tanto, el resultado que vamos a obtener para la derivada será 1 en el numerador y en el denominador x que multiplica a la raíz cuadrada de x a la 4 menos 16. Como aquí no podemos simplificar nada más, entonces damos por terminado el ejercicio. Tenemos la respuesta. Esta expresión es la derivada de esta función.

[{"start": 0.0, "end": 5.2, "text": " En esta ocasi\u00f3n vamos a obtener la derivada de esta funci\u00f3n"}, {"start": 5.2, "end": 11.0, "text": " y vamos a comenzar por reescribir esto que tenemos dentro del par\u00e9ntesis."}, {"start": 11.0, "end": 15.8, "text": " Entonces la funci\u00f3n queda igual a menos 1 octavo"}, {"start": 15.8, "end": 23.0, "text": " que multiplica a arco seno de 4x a la menos 2."}, {"start": 23.0, "end": 29.8, "text": " Recordemos que esta potencia si sube cambia de signo su exponente."}, {"start": 29.8, "end": 35.8, "text": " En este caso vamos a necesitar el modelo para derivar esto que tenemos ac\u00e1"}, {"start": 35.8, "end": 38.6, "text": " arco seno de una expresi\u00f3n."}, {"start": 38.6, "end": 41.6, "text": " Vamos a recordar ese modelo por ac\u00e1."}, {"start": 41.6, "end": 49.8, "text": " Si tenemos arco seno de manzanita, en este caso la manzanita es 4x a la menos 2."}, {"start": 49.8, "end": 54.6, "text": " Entonces la derivada de eso ser\u00e1 igual a lo siguiente."}, {"start": 54.6, "end": 57.0, "text": " Vamos a construir una fracci\u00f3n."}, {"start": 57.0, "end": 62.8, "text": " Ac\u00e1 en el numerador tendremos la derivada de la manzanita"}, {"start": 62.8, "end": 69.4, "text": " y ac\u00e1 en el denominador tendremos la ra\u00edz cuadrada de 1"}, {"start": 69.4, "end": 75.4, "text": " menos la manzanita elevada al cuadrado."}, {"start": 75.4, "end": 81.0, "text": " Entonces de acuerdo con este modelo vamos a iniciar el proceso de derivaci\u00f3n"}, {"start": 81.0, "end": 83.2, "text": " para esa funci\u00f3n."}, {"start": 83.2, "end": 91.2, "text": " Tendremos entonces que la derivada de f de x puede denotarse como f' de x."}, {"start": 91.2, "end": 94.2, "text": " Y en este caso el n\u00famero menos 1 octavo"}, {"start": 94.2, "end": 99.2, "text": " como est\u00e1 multiplicando a toda esta expresi\u00f3n que depende de x"}, {"start": 99.2, "end": 102.4, "text": " entonces lo podemos dejar quieto."}, {"start": 102.4, "end": 106.4, "text": " Menos 1 octavo por la derivada de esto que tenemos ac\u00e1"}, {"start": 106.4, "end": 111.4, "text": " y que lo vamos a efectuar siguiendo el modelo que hemos citado."}, {"start": 111.4, "end": 114.80000000000001, "text": " Entonces trazamos una l\u00ednea."}, {"start": 114.80000000000001, "end": 119.0, "text": " En el numerador tendremos la derivada de la manzanita"}, {"start": 119.0, "end": 123.4, "text": " es decir la derivada de 4x a la menos 2."}, {"start": 123.4, "end": 127.0, "text": " Vamos a indicar eso de esta manera."}, {"start": 127.0, "end": 135.6, "text": " En el denominador tenemos la ra\u00edz cuadrada de 1"}, {"start": 135.6, "end": 142.6, "text": " menos la manzanita que es 4x a la menos 2"}, {"start": 142.6, "end": 146.6, "text": " y todo esto elevado al cuadrado."}, {"start": 146.6, "end": 150.6, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a efectuar esta derivada"}, {"start": 150.6, "end": 153.6, "text": " y vamos a desarrollar esta potencia."}, {"start": 153.6, "end": 157.6, "text": " Tendremos entonces menos 1 octavo"}, {"start": 157.6, "end": 163.6, "text": " que multiplica a la derivada de 4x a la menos 2"}, {"start": 163.6, "end": 172.6, "text": " que nos da menos 2 por 4 menos 8 por x elevada a la menos 2 menos 1 que es menos 3."}, {"start": 172.6, "end": 175.6, "text": " All\u00ed hemos derivado el numerador."}, {"start": 175.6, "end": 179.6, "text": " Y en el denominador vamos a tener lo siguiente"}, {"start": 179.6, "end": 187.6, "text": " la ra\u00edz cuadrada de 1 menos esta potencia donde aplicamos la siguiente propiedad."}, {"start": 187.6, "end": 192.6, "text": " Recordemos que si tenemos un producto a por b elevado al exponente n"}, {"start": 192.6, "end": 196.6, "text": " esto es igual a a la n por b a la n."}, {"start": 196.6, "end": 202.6, "text": " En otras palabras el exponente afecta los dos componentes de la multiplicaci\u00f3n."}, {"start": 202.6, "end": 204.6, "text": " Lo mismo va a suceder aqu\u00ed."}, {"start": 204.6, "end": 208.6, "text": " Tendremos 4 al cuadrado que es 16"}, {"start": 208.6, "end": 213.6, "text": " y x a la menos 2 elevado otra vez a la menos 2."}, {"start": 213.6, "end": 216.6, "text": " All\u00ed aplicamos esta propiedad."}, {"start": 216.6, "end": 219.6, "text": " Potencia de una potencia."}, {"start": 219.6, "end": 224.6, "text": " Quejamos la misma base y multiplicamos los exponentes."}, {"start": 224.6, "end": 230.6, "text": " Entonces si tenemos x a la menos 2 y todo esto elevado al cuadrado"}, {"start": 230.6, "end": 235.6, "text": " quejamos la misma base y multiplicamos los exponentes"}, {"start": 235.6, "end": 238.6, "text": " menos 2 por 2 nos da menos 4."}, {"start": 238.6, "end": 241.6, "text": " Eso es lo que escribimos por ac\u00e1."}, {"start": 241.6, "end": 248.6, "text": " Vamos a continuar el desarrollo del ejercicio por ac\u00e1."}, {"start": 248.6, "end": 250.6, "text": " Tendremos lo siguiente."}, {"start": 250.6, "end": 256.6, "text": " Por ac\u00e1 este n\u00famero es negativo y est\u00e1 multiplicando con una fracci\u00f3n que tambi\u00e9n es negativa"}, {"start": 256.6, "end": 259.6, "text": " porque eso es lo que observamos en el numerador."}, {"start": 259.6, "end": 264.6, "text": " Entonces menos por menos nos va a producir signo m\u00e1s."}, {"start": 264.6, "end": 269.6, "text": " Este n\u00famero 8 se puede simplificar con el 8 que tenemos en la parte de arriba."}, {"start": 269.6, "end": 275.6, "text": " Es como si dij\u00e9ramos octava de 8 1 y octava de 8 tambi\u00e9n 1."}, {"start": 275.6, "end": 280.6, "text": " Tendremos entonces en el numerador 1 por x a la menos 3"}, {"start": 280.6, "end": 284.6, "text": " es decir, x a la menos 3"}, {"start": 284.6, "end": 288.6, "text": " y en el denominador tendr\u00edamos 1 por esa ra\u00edz"}, {"start": 288.6, "end": 291.6, "text": " es decir, esa misma expresi\u00f3n."}, {"start": 291.6, "end": 301.6, "text": " La ra\u00edz cuadrada de 1 menos 16 x a la menos 4."}, {"start": 301.6, "end": 303.6, "text": " Vamos a continuar el desarrollo por aqu\u00ed."}, {"start": 303.6, "end": 306.6, "text": " Trazamos la l\u00ednea de la fracci\u00f3n"}, {"start": 306.6, "end": 316.6, "text": " y en el numerador x a la menos 3 equivale a 1 sobre x a la 3 o 1 sobre x al cubo."}, {"start": 316.6, "end": 320.6, "text": " Y en el denominador vamos a realizar algo similar."}, {"start": 320.6, "end": 324.6, "text": " Tenemos 1 menos 16"}, {"start": 324.6, "end": 331.6, "text": " y esto va a multiplicar a x a la menos 4 que ser\u00e1 1 sobre x a la 4."}, {"start": 331.6, "end": 336.6, "text": " Recordemos la propiedad de la potenciaci\u00f3n que justifica eso que hemos hecho."}, {"start": 336.6, "end": 343.6, "text": " Si tenemos a a la menos n, eso equivale a 1 sobre a a la n."}, {"start": 343.6, "end": 348.6, "text": " A su vez, esto nos queda de la siguiente manera."}, {"start": 348.6, "end": 352.6, "text": " En el numerador 1 sobre x al cubo"}, {"start": 352.6, "end": 357.6, "text": " y en el denominador tenemos la ra\u00edz cuadrada de 1"}, {"start": 357.6, "end": 364.6, "text": " que podemos escribir sobre 1 y esto menos 16 sobre x a la 4."}, {"start": 364.6, "end": 367.6, "text": " Aqu\u00ed multiplicamos en forma horizontal."}, {"start": 367.6, "end": 369.6, "text": " Recordemos que aqu\u00ed hay un 1 invisible"}, {"start": 369.6, "end": 375.6, "text": " que al multiplicar con x a la 4 nos produce x a la 4 en el denominador."}, {"start": 375.6, "end": 381.6, "text": " Ahora vamos a resolver esta operaci\u00f3n que tenemos dentro de la ra\u00edz."}, {"start": 381.6, "end": 384.6, "text": " Tenemos en el numerador la misma expresi\u00f3n"}, {"start": 384.6, "end": 392.6, "text": " 1 sobre x al cubo y en el denominador tendremos la ra\u00edz cuadrada de lo siguiente."}, {"start": 392.6, "end": 398.6, "text": " Trazamos esta l\u00ednea. Decimos 1 por x a la 4 es x a la 4"}, {"start": 398.6, "end": 402.6, "text": " menos 1 por 16 que nos da 16"}, {"start": 402.6, "end": 408.6, "text": " y en el denominador 1 por x a la 4 que nos da x a la 4."}, {"start": 408.6, "end": 412.6, "text": " Recordemos que es el truco o la t\u00e9cnica de la carita feliz"}, {"start": 412.6, "end": 418.6, "text": " para efectuar la resta de dos fracciones con distinto denominador."}, {"start": 418.6, "end": 422.6, "text": " Vamos a continuar transformando esta expresi\u00f3n por ac\u00e1."}, {"start": 422.6, "end": 426.6, "text": " Trazamos la l\u00ednea principal de la fracci\u00f3n."}, {"start": 426.6, "end": 432.6, "text": " Ac\u00e1 en el numerador tenemos 1 sobre x al cubo"}, {"start": 432.6, "end": 438.6, "text": " y en el denominador vamos a aplicar la siguiente propiedad de la radicaci\u00f3n."}, {"start": 438.6, "end": 444.6, "text": " Si tenemos la ra\u00edz en\u00e9sima de a sobre b, o sea la ra\u00edz de un cociente,"}, {"start": 444.6, "end": 451.6, "text": " entonces la ra\u00edz se reparte para el numerador y para el denominador."}, {"start": 451.6, "end": 456.6, "text": " Entonces vamos a realizar eso all\u00e1 debajo de la l\u00ednea."}, {"start": 456.6, "end": 463.6, "text": " Tendremos la ra\u00edz cuadrada de x a la 4 menos 16"}, {"start": 463.6, "end": 471.6, "text": " y todo eso sobre la ra\u00edz cuadrada de x a la 4."}, {"start": 471.6, "end": 476.6, "text": " A su vez esta expresi\u00f3n nos queda de la siguiente manera."}, {"start": 476.6, "end": 479.6, "text": " Trazamos la l\u00ednea principal de la fracci\u00f3n."}, {"start": 479.6, "end": 484.6, "text": " Ac\u00e1 tenemos 1 sobre x al cubo que no presenta ning\u00fan cambio"}, {"start": 484.6, "end": 490.6, "text": " y por ac\u00e1 escribimos tambi\u00e9n la ra\u00edz cuadrada sin modificarla."}, {"start": 490.6, "end": 496.6, "text": " Y vamos a simplificar esa ra\u00edz que tenemos por ac\u00e1."}, {"start": 496.6, "end": 499.6, "text": " Aplicamos entonces la siguiente propiedad."}, {"start": 499.6, "end": 508.6, "text": " Si tenemos la ra\u00edz en\u00e9sima de a a la m, eso ser\u00e1 igual a a elevada al exponente m sobre n."}, {"start": 508.6, "end": 514.6, "text": " Es decir, se divide este exponente interno entre el \u00edndice de la ra\u00edz."}, {"start": 514.6, "end": 521.6, "text": " Tendremos entonces para este caso que la ra\u00edz cuadrada de x a la 4,"}, {"start": 521.6, "end": 528.6, "text": " recordemos que aqu\u00ed tenemos \u00edndice 2, entonces ser\u00e1 x elevada al exponente 4 medios,"}, {"start": 528.6, "end": 536.6, "text": " es decir, x elevada al exponente 2, o sea, x al cuadrado."}, {"start": 536.6, "end": 542.6, "text": " Tenemos aqu\u00ed la situaci\u00f3n correspondiente a una divisi\u00f3n de fracciones."}, {"start": 542.6, "end": 548.6, "text": " Entonces vamos a utilizar lo que se conoce como la ley de la oreja."}, {"start": 548.6, "end": 552.6, "text": " En la parte de arriba vamos a multiplicar estos dos componentes."}, {"start": 552.6, "end": 561.6, "text": " Eso nos da x al cuadrado y ac\u00e1 en la parte de abajo realizamos la multiplicaci\u00f3n de los componentes internos,"}, {"start": 561.6, "end": 570.6, "text": " es decir, x al cubo que multiplica a la ra\u00edz cuadrada de x a la 4 menos 16."}, {"start": 570.6, "end": 575.6, "text": " Aqu\u00ed podemos simplificar x al cuadrado con x al cubo."}, {"start": 575.6, "end": 580.6, "text": " Imaginemos que dividimos arriba y abajo entre x al cuadrado."}, {"start": 580.6, "end": 588.6, "text": " Tendr\u00edamos ac\u00e1 arriba 1 y por ac\u00e1 x al cubo sobre x al cuadrado nos da como resultado x."}, {"start": 588.6, "end": 596.6, "text": " Por lo tanto, el resultado que vamos a obtener para la derivada ser\u00e1 1 en el numerador"}, {"start": 596.6, "end": 606.6, "text": " y en el denominador x que multiplica a la ra\u00edz cuadrada de x a la 4 menos 16."}, {"start": 606.6, "end": 614.6, "text": " Como aqu\u00ed no podemos simplificar nada m\u00e1s, entonces damos por terminado el ejercicio."}, {"start": 614.6, "end": 626.6, "text": " Tenemos la respuesta. Esta expresi\u00f3n es la derivada de esta funci\u00f3n."}]

julioprofe

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RECTA NORMAL A UNA CURVA - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo hallar la ecuación de la recta normal a una curva en un punto específico. Tema: #Derivadas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwF9r-Y_Gpuq45VP0qnJIJL1 REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a encontrar la ecuación de la recta normal a la curva y igual a 3x menos 1 sobre x cuadrado más 1 en el punto de abscisa 3. Comenzamos derivando la función utilizando para ello la regla del cociente. Vamos a recordarla. Si tenemos el cociente a sobre b, su derivada será igual a la derivada del numerador por el denominador sin derivar menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador y todo eso sobre el denominador elevado al cuadrado. Entonces, siguiendo esta regla, vamos a derivar la función que nos dan. Tenemos que la función viene denotada como y igual a una expresión en términos de x. Entonces, su derivada se puede denotar como de y de x. Comenzamos entonces con la derivada del numerador, es decir, la derivada de 3x menos 1. Como allí tenemos una resta, derivamos entonces cada término. Derivada de 3x nos da 3 y la derivada de este número nos da 0. Por lo tanto, la derivada del numerador será igual a 3. Eso lo vamos a multiplicar por el denominador sin derivar, o sea, la expresión x al cuadrado más 1 que protegemos con paréntesis. Ahora tenemos menos el numerador sin derivar, es decir, la expresión 3x menos 1, también protegida con paréntesis, y eso se multiplica por la derivada del denominador, es decir, la derivada de x al cuadrado más 1. Como acá tenemos una suma, entonces derivamos cada término. Derivada de x al cuadrado nos da 2x y la derivada de este número nos da 0. Por lo tanto, la derivada del denominador nos da únicamente 2x. Ahora, todo eso nos va a quedar sobre el denominador elevado al cuadrado, es decir, x al cuadrado más 1 que protegemos con paréntesis y que elevamos al cuadrado. Podemos trabajar el numerador de esta expresión para que nos quede un poco más corto. Tendremos entonces de y de x igual a 3 que se distribuye para estos dos términos. 3 por x al cuadrado nos da 3x al cuadrado y eso más 3 por 1 que nos da 3. Acá también vamos a realizar la propiedad distributiva con 2x, pero debemos tener cuidado con este signo negativo que también afecta a estos términos cuando el paréntesis se destruye. Entonces, como decíamos, vamos a multiplicar estos términos por 2x, pero también introducimos el signo negativo. Veamos, 2x por 3x nos da 6x al cuadrado positivo, pero si se afecta por este signo menos nos quedará menos 6x al cuadrado. Ahora, 2x por menos 1 nos da menos 2x, pero si es afectado por este menos nos queda como más 2x. Ahora, en el denominador dejamos la misma expresión. No es necesario desarrollarla, simplemente se deja así indicada. Tenemos que en el numerador hay términos semejantes. Se trata de estos dos que contienen x al cuadrado. Entonces podemos operarlos entre sí. Nos va a quedar la derivada de y de x como 3x al cuadrado menos 6x al cuadrado. Eso nos da menos 3x al cuadrado, después podemos escribir el término más 2x y finalmente el término más 3 para que en el numerador nos quede la expresión ordenada en forma descendente o decreciente. Y todo eso nos queda sobre la misma expresión, x al cuadrado más 1, todo eso elevado al cuadrado. Ahora, esta expresión que acabamos de obtener y que corresponde a la derivada de la función, vamos a evaluarla en la abscisa 3 para encontrar así la pendiente de la recta tangente a esta curva en el punto que nos han especificado. Entonces, pendiente de la recta tangente será igual a la derivada de la función evaluada en la abscisa 3, es decir, en x igual a 3. Lo que vamos a hacer es reemplazar x por el número 3 y vamos a evaluar de esa manera la expresión. En el numerador tendremos menos 3 que multiplica a x que es 3 al cuadrado, esto más 2 por 3 y eso más 3. Para el caso del denominador tenemos 3 elevado al cuadrado, eso más 1 y todo esto elevado al cuadrado. Resolvemos entonces estas operaciones. Veamos, por acá tenemos 3 al cuadrado que es 9, 9 multiplicado por menos 3 nos da menos 27, por acá tenemos más 2 por 3 que nos da más 6 y acá tenemos más 3. Para el caso del denominador tenemos 3 al cuadrado que es 9, eso más 1 y todo esto elevado al cuadrado. Vamos a continuar el desarrollo del ejercicio por acá y en el numerador tendremos menos 27 más 6 que nos da menos 21 y menos 21 más 3 que nos da como resultado menos 18. En el denominador tenemos 9 más 1 que nos da 10 y 10 elevado al cuadrado nos da como resultado 100. Esta fracción podemos simplificarla, ambos números tienen mitad, entonces decimos mitad de 18 es 9 y la mitad de 100 es 50. De esta manera tenemos que el valor de la pendiente de la recta tangente es menos 9, 50. Conociendo este valor podemos encontrar la pendiente de la recta normal, recordemos que si esta es la curva y este es el punto P del cual nos están dando información, entonces allí tenemos la recta tangente, aquella que hace contacto con la curva únicamente en ese punto. Y aquí tenemos la recta normal, es decir aquella que forma 90 grados con la recta tangente en el punto de tangencia o punto de contacto. Estas dos rectas son perpendiculares, como son perpendiculares entonces la pendiente de la recta tangente multiplicada por la pendiente de la recta normal tiene que dar como resultado menos 1. Recordemos que es la condición que deben cumplir dos rectas que sean perpendiculares, el producto de sus pendientes debe ser igual a menos 1. Como ya conocemos el valor de la pendiente de la recta tangente que es menos 9, 50, entonces podemos determinar fácilmente el valor de la pendiente de la recta normal. Simplemente tomamos este número, lo invertimos y le cambiamos el signo, es decir que nos va a dar 59. Si multiplicamos este número por este que tenemos acá, efectivamente vamos a obtener menos 1 y de esa manera cumplimos con la condición que deben cumplir dos rectas perpendiculares como en este caso son la tangente y la normal. Ahora tenemos que encontrar las coordenadas del punto P, es decir del punto de tangencia. Ya conocemos el valor en X porque el problema nos da la abscisa que es 3. Nos queda faltando el valor de la ordenada, es decir el valor de Y y ese valor lo vamos a obtener reemplazando en la función original X igual a 3, o sea la abscisa. Tendremos 3 por 3 menos 1 para el numerador y 3 al cuadrado más 1 en el denominador. Vamos a resolver esas operaciones, 3 por 3 nos da 9 y tenemos 9 menos 1 en el numerador y en el denominador tendremos 3 al cuadrado que es 9 más 1. Esto nos va a dar 9 menos 1, 8 en el numerador y 9 más 1, 10 en el denominador. Esta fracción se puede simplificar, decimos mitad de 8 es 4 y mitad de 10 es 5. Cuatro quintos no se puede simplificar más, entonces esa será la ordenada del punto de tangencia. Ya conocemos su valor en X y su valor en Y. Como ya conocemos las coordenadas del punto de tangencia y la pendiente de la recta normal, entonces ya podemos encontrar la ecuación de la recta normal y para ello vamos a utilizar el modelo punto pendiente que nos dice Y menos Y1 igual a M que multiplica a X menos X1. En este caso tenemos X1 y Y1 lo que son las coordenadas del punto de tangencia y para el caso de M usaremos el valor de la pendiente de la recta normal. Replazamos entonces en el modelo, tendremos Y menos Y1 que es 4 quintos, esto igual a la pendiente que es 50 novenos y que multiplica a X menos X1, pero X1 es 3. Vamos a resolver las operaciones que tenemos a ambos lados, esto lo podemos escribir como Y sobre 1 menos 4 quintos y lo que tenemos en el lado derecho lo podemos escribir como 50 novenos que multiplica a X menos 3 todo eso sobre 1. Acá en el lado izquierdo tenemos una resta de fracciones con distinto denominador, vamos entonces a resolverla. Tendremos Y por 5, o sea 5Y menos 1 por 4 que es 4 y en el denominador 1 por 5, es lo que conocemos como la técnica de la carita feliz, la estamos utilizando allí para resolver esa operación. Pasamos al otro lado donde observamos una multiplicación de fracciones, recordemos que se multiplican numeradores entre sí y denominadores entre sí, en el numerador 50 por X menos 3 nos dará 50X menos 50 por 3 que nos da 150, aplicamos la propiedad distributiva y en el denominador tendremos 9 por 1 que nos da como resultado 9. Ahora vamos a pasar estos números que están dividiendo a los lados contrarios a multiplicar, 9 quedará entonces multiplicando con 5Y menos 4 y al otro lado tendremos 5 que multiplica a la expresión 50X menos 150. Aplicamos ahora la propiedad distributiva a ambos lados de la igualdad, tenemos 9 por 5Y nos da 45Y y 9 por menos 4 nos da menos 36, por acá tenemos 5 por 50X que nos da 250X y esto menos 5 por 150 que nos da 750. Para terminar podemos pasar estos términos al lado derecho, nos quedará entonces 0 igual a 250X menos 750 llega menos 45Y y llega más 36. Acá podemos operar estos dos números y vamos a organizar la expresión de la siguiente forma, 250X después menos 45Y y menos 750 más 36 nos da como resultado menos 714. Terminamos cambiando de sentido esta igualdad, es decir colocamos el 0 a este lado y así hemos encontrado la ecuación de la recta normal que nos han solicitado, se trata de una ecuación expresada en la forma ax más by más c igual a 0, es decir la forma implícita o general para una recta, en ese caso la recta normal a esta curva en el punto de abscisa 3.

[{"start": 0.0, "end": 8.6, "text": " Vamos a encontrar la ecuaci\u00f3n de la recta normal a la curva y igual a 3x menos 1 sobre x cuadrado m\u00e1s 1"}, {"start": 8.6, "end": 11.8, "text": " en el punto de abscisa 3."}, {"start": 11.8, "end": 18.0, "text": " Comenzamos derivando la funci\u00f3n utilizando para ello la regla del cociente."}, {"start": 18.0, "end": 19.6, "text": " Vamos a recordarla."}, {"start": 19.6, "end": 28.0, "text": " Si tenemos el cociente a sobre b, su derivada ser\u00e1 igual a la derivada del numerador"}, {"start": 28.0, "end": 37.6, "text": " por el denominador sin derivar menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador"}, {"start": 37.6, "end": 42.2, "text": " y todo eso sobre el denominador elevado al cuadrado."}, {"start": 42.2, "end": 47.8, "text": " Entonces, siguiendo esta regla, vamos a derivar la funci\u00f3n que nos dan."}, {"start": 47.8, "end": 54.400000000000006, "text": " Tenemos que la funci\u00f3n viene denotada como y igual a una expresi\u00f3n en t\u00e9rminos de x."}, {"start": 54.4, "end": 60.199999999999996, "text": " Entonces, su derivada se puede denotar como de y de x."}, {"start": 60.199999999999996, "end": 67.4, "text": " Comenzamos entonces con la derivada del numerador, es decir, la derivada de 3x menos 1."}, {"start": 67.4, "end": 71.4, "text": " Como all\u00ed tenemos una resta, derivamos entonces cada t\u00e9rmino."}, {"start": 71.4, "end": 77.2, "text": " Derivada de 3x nos da 3 y la derivada de este n\u00famero nos da 0."}, {"start": 77.2, "end": 82.0, "text": " Por lo tanto, la derivada del numerador ser\u00e1 igual a 3."}, {"start": 82.0, "end": 86.2, "text": " Eso lo vamos a multiplicar por el denominador sin derivar,"}, {"start": 86.2, "end": 91.8, "text": " o sea, la expresi\u00f3n x al cuadrado m\u00e1s 1 que protegemos con par\u00e9ntesis."}, {"start": 91.8, "end": 99.2, "text": " Ahora tenemos menos el numerador sin derivar, es decir, la expresi\u00f3n 3x menos 1,"}, {"start": 99.2, "end": 106.0, "text": " tambi\u00e9n protegida con par\u00e9ntesis, y eso se multiplica por la derivada del denominador,"}, {"start": 106.0, "end": 109.8, "text": " es decir, la derivada de x al cuadrado m\u00e1s 1."}, {"start": 109.8, "end": 114.0, "text": " Como ac\u00e1 tenemos una suma, entonces derivamos cada t\u00e9rmino."}, {"start": 114.0, "end": 120.8, "text": " Derivada de x al cuadrado nos da 2x y la derivada de este n\u00famero nos da 0."}, {"start": 120.8, "end": 127.4, "text": " Por lo tanto, la derivada del denominador nos da \u00fanicamente 2x."}, {"start": 127.4, "end": 133.6, "text": " Ahora, todo eso nos va a quedar sobre el denominador elevado al cuadrado,"}, {"start": 133.6, "end": 142.2, "text": " es decir, x al cuadrado m\u00e1s 1 que protegemos con par\u00e9ntesis y que elevamos al cuadrado."}, {"start": 142.2, "end": 148.79999999999998, "text": " Podemos trabajar el numerador de esta expresi\u00f3n para que nos quede un poco m\u00e1s corto."}, {"start": 148.79999999999998, "end": 158.6, "text": " Tendremos entonces de y de x igual a 3 que se distribuye para estos dos t\u00e9rminos."}, {"start": 158.6, "end": 166.79999999999998, "text": " 3 por x al cuadrado nos da 3x al cuadrado y eso m\u00e1s 3 por 1 que nos da 3."}, {"start": 166.79999999999998, "end": 171.2, "text": " Ac\u00e1 tambi\u00e9n vamos a realizar la propiedad distributiva con 2x,"}, {"start": 171.2, "end": 176.79999999999998, "text": " pero debemos tener cuidado con este signo negativo que tambi\u00e9n afecta a estos t\u00e9rminos"}, {"start": 176.79999999999998, "end": 179.79999999999998, "text": " cuando el par\u00e9ntesis se destruye."}, {"start": 179.79999999999998, "end": 184.4, "text": " Entonces, como dec\u00edamos, vamos a multiplicar estos t\u00e9rminos por 2x,"}, {"start": 184.4, "end": 188.2, "text": " pero tambi\u00e9n introducimos el signo negativo."}, {"start": 188.2, "end": 193.79999999999998, "text": " Veamos, 2x por 3x nos da 6x al cuadrado positivo,"}, {"start": 193.79999999999998, "end": 200.79999999999998, "text": " pero si se afecta por este signo menos nos quedar\u00e1 menos 6x al cuadrado."}, {"start": 200.79999999999998, "end": 204.79999999999998, "text": " Ahora, 2x por menos 1 nos da menos 2x,"}, {"start": 204.79999999999998, "end": 210.79999999999998, "text": " pero si es afectado por este menos nos queda como m\u00e1s 2x."}, {"start": 210.79999999999998, "end": 215.39999999999998, "text": " Ahora, en el denominador dejamos la misma expresi\u00f3n."}, {"start": 215.4, "end": 221.6, "text": " No es necesario desarrollarla, simplemente se deja as\u00ed indicada."}, {"start": 221.6, "end": 225.4, "text": " Tenemos que en el numerador hay t\u00e9rminos semejantes."}, {"start": 225.4, "end": 229.6, "text": " Se trata de estos dos que contienen x al cuadrado."}, {"start": 229.6, "end": 232.8, "text": " Entonces podemos operarlos entre s\u00ed."}, {"start": 232.8, "end": 240.20000000000002, "text": " Nos va a quedar la derivada de y de x como 3x al cuadrado menos 6x al cuadrado."}, {"start": 240.2, "end": 246.79999999999998, "text": " Eso nos da menos 3x al cuadrado, despu\u00e9s podemos escribir el t\u00e9rmino m\u00e1s 2x"}, {"start": 246.79999999999998, "end": 253.6, "text": " y finalmente el t\u00e9rmino m\u00e1s 3 para que en el numerador nos quede la expresi\u00f3n ordenada"}, {"start": 253.6, "end": 256.59999999999997, "text": " en forma descendente o decreciente."}, {"start": 256.59999999999997, "end": 261.2, "text": " Y todo eso nos queda sobre la misma expresi\u00f3n,"}, {"start": 261.2, "end": 266.4, "text": " x al cuadrado m\u00e1s 1, todo eso elevado al cuadrado."}, {"start": 266.4, "end": 273.4, "text": " Ahora, esta expresi\u00f3n que acabamos de obtener y que corresponde a la derivada de la funci\u00f3n,"}, {"start": 273.4, "end": 281.0, "text": " vamos a evaluarla en la abscisa 3 para encontrar as\u00ed la pendiente de la recta tangente"}, {"start": 281.0, "end": 286.0, "text": " a esta curva en el punto que nos han especificado."}, {"start": 286.0, "end": 293.0, "text": " Entonces, pendiente de la recta tangente ser\u00e1 igual a la derivada de la funci\u00f3n"}, {"start": 293.0, "end": 299.8, "text": " evaluada en la abscisa 3, es decir, en x igual a 3."}, {"start": 299.8, "end": 304.4, "text": " Lo que vamos a hacer es reemplazar x por el n\u00famero 3"}, {"start": 304.4, "end": 308.4, "text": " y vamos a evaluar de esa manera la expresi\u00f3n."}, {"start": 308.4, "end": 315.0, "text": " En el numerador tendremos menos 3 que multiplica a x que es 3 al cuadrado,"}, {"start": 315.0, "end": 321.4, "text": " esto m\u00e1s 2 por 3 y eso m\u00e1s 3."}, {"start": 321.4, "end": 327.79999999999995, "text": " Para el caso del denominador tenemos 3 elevado al cuadrado,"}, {"start": 327.79999999999995, "end": 334.4, "text": " eso m\u00e1s 1 y todo esto elevado al cuadrado."}, {"start": 334.4, "end": 338.0, "text": " Resolvemos entonces estas operaciones."}, {"start": 338.0, "end": 341.79999999999995, "text": " Veamos, por ac\u00e1 tenemos 3 al cuadrado que es 9,"}, {"start": 341.79999999999995, "end": 346.4, "text": " 9 multiplicado por menos 3 nos da menos 27,"}, {"start": 346.4, "end": 350.4, "text": " por ac\u00e1 tenemos m\u00e1s 2 por 3 que nos da m\u00e1s 6"}, {"start": 350.4, "end": 353.59999999999997, "text": " y ac\u00e1 tenemos m\u00e1s 3."}, {"start": 353.59999999999997, "end": 359.0, "text": " Para el caso del denominador tenemos 3 al cuadrado que es 9,"}, {"start": 359.0, "end": 364.4, "text": " eso m\u00e1s 1 y todo esto elevado al cuadrado."}, {"start": 364.4, "end": 370.0, "text": " Vamos a continuar el desarrollo del ejercicio por ac\u00e1"}, {"start": 370.0, "end": 376.0, "text": " y en el numerador tendremos menos 27 m\u00e1s 6 que nos da menos 21"}, {"start": 376.0, "end": 381.6, "text": " y menos 21 m\u00e1s 3 que nos da como resultado menos 18."}, {"start": 381.6, "end": 385.6, "text": " En el denominador tenemos 9 m\u00e1s 1 que nos da 10"}, {"start": 385.6, "end": 390.8, "text": " y 10 elevado al cuadrado nos da como resultado 100."}, {"start": 390.8, "end": 395.8, "text": " Esta fracci\u00f3n podemos simplificarla, ambos n\u00fameros tienen mitad,"}, {"start": 395.8, "end": 403.4, "text": " entonces decimos mitad de 18 es 9 y la mitad de 100 es 50."}, {"start": 403.4, "end": 408.59999999999997, "text": " De esta manera tenemos que el valor de la pendiente de la recta tangente"}, {"start": 408.59999999999997, "end": 411.79999999999995, "text": " es menos 9, 50."}, {"start": 411.79999999999995, "end": 417.4, "text": " Conociendo este valor podemos encontrar la pendiente de la recta normal,"}, {"start": 417.4, "end": 422.2, "text": " recordemos que si esta es la curva y este es el punto P"}, {"start": 422.2, "end": 425.79999999999995, "text": " del cual nos est\u00e1n dando informaci\u00f3n,"}, {"start": 425.79999999999995, "end": 429.2, "text": " entonces all\u00ed tenemos la recta tangente,"}, {"start": 429.2, "end": 435.0, "text": " aquella que hace contacto con la curva \u00fanicamente en ese punto."}, {"start": 435.0, "end": 438.59999999999997, "text": " Y aqu\u00ed tenemos la recta normal,"}, {"start": 438.59999999999997, "end": 443.8, "text": " es decir aquella que forma 90 grados con la recta tangente"}, {"start": 443.8, "end": 448.2, "text": " en el punto de tangencia o punto de contacto."}, {"start": 448.2, "end": 451.4, "text": " Estas dos rectas son perpendiculares,"}, {"start": 451.4, "end": 456.4, "text": " como son perpendiculares entonces la pendiente de la recta tangente"}, {"start": 456.4, "end": 460.0, "text": " multiplicada por la pendiente de la recta normal"}, {"start": 460.0, "end": 463.59999999999997, "text": " tiene que dar como resultado menos 1."}, {"start": 463.59999999999997, "end": 469.59999999999997, "text": " Recordemos que es la condici\u00f3n que deben cumplir dos rectas que sean perpendiculares,"}, {"start": 469.59999999999997, "end": 474.4, "text": " el producto de sus pendientes debe ser igual a menos 1."}, {"start": 474.4, "end": 478.4, "text": " Como ya conocemos el valor de la pendiente de la recta tangente"}, {"start": 478.4, "end": 480.79999999999995, "text": " que es menos 9, 50,"}, {"start": 480.79999999999995, "end": 484.0, "text": " entonces podemos determinar f\u00e1cilmente"}, {"start": 484.0, "end": 487.2, "text": " el valor de la pendiente de la recta normal."}, {"start": 487.2, "end": 490.6, "text": " Simplemente tomamos este n\u00famero,"}, {"start": 490.6, "end": 493.6, "text": " lo invertimos y le cambiamos el signo,"}, {"start": 493.6, "end": 497.4, "text": " es decir que nos va a dar 59."}, {"start": 497.4, "end": 501.4, "text": " Si multiplicamos este n\u00famero por este que tenemos ac\u00e1,"}, {"start": 501.4, "end": 504.6, "text": " efectivamente vamos a obtener menos 1"}, {"start": 504.6, "end": 507.8, "text": " y de esa manera cumplimos con la condici\u00f3n"}, {"start": 507.8, "end": 511.6, "text": " que deben cumplir dos rectas perpendiculares"}, {"start": 511.6, "end": 516.8000000000001, "text": " como en este caso son la tangente y la normal."}, {"start": 516.8000000000001, "end": 520.4, "text": " Ahora tenemos que encontrar las coordenadas del punto P,"}, {"start": 520.4, "end": 523.0, "text": " es decir del punto de tangencia."}, {"start": 523.0, "end": 529.4, "text": " Ya conocemos el valor en X porque el problema nos da la abscisa que es 3."}, {"start": 529.4, "end": 532.4, "text": " Nos queda faltando el valor de la ordenada,"}, {"start": 532.4, "end": 534.6, "text": " es decir el valor de Y"}, {"start": 534.6, "end": 539.6, "text": " y ese valor lo vamos a obtener reemplazando en la funci\u00f3n original"}, {"start": 539.6, "end": 543.0, "text": " X igual a 3, o sea la abscisa."}, {"start": 543.0, "end": 548.6, "text": " Tendremos 3 por 3 menos 1 para el numerador"}, {"start": 548.6, "end": 554.4, "text": " y 3 al cuadrado m\u00e1s 1 en el denominador."}, {"start": 554.4, "end": 556.8000000000001, "text": " Vamos a resolver esas operaciones,"}, {"start": 556.8000000000001, "end": 559.0, "text": " 3 por 3 nos da 9"}, {"start": 559.0, "end": 562.2, "text": " y tenemos 9 menos 1 en el numerador"}, {"start": 562.2, "end": 567.2, "text": " y en el denominador tendremos 3 al cuadrado que es 9 m\u00e1s 1."}, {"start": 567.2, "end": 571.0, "text": " Esto nos va a dar 9 menos 1, 8 en el numerador"}, {"start": 571.0, "end": 574.4000000000001, "text": " y 9 m\u00e1s 1, 10 en el denominador."}, {"start": 574.4000000000001, "end": 576.8000000000001, "text": " Esta fracci\u00f3n se puede simplificar,"}, {"start": 576.8000000000001, "end": 582.6, "text": " decimos mitad de 8 es 4 y mitad de 10 es 5."}, {"start": 582.6, "end": 585.4000000000001, "text": " Cuatro quintos no se puede simplificar m\u00e1s,"}, {"start": 585.4000000000001, "end": 590.2, "text": " entonces esa ser\u00e1 la ordenada del punto de tangencia."}, {"start": 590.2, "end": 594.8000000000001, "text": " Ya conocemos su valor en X y su valor en Y."}, {"start": 594.8, "end": 598.5999999999999, "text": " Como ya conocemos las coordenadas del punto de tangencia"}, {"start": 598.5999999999999, "end": 601.0, "text": " y la pendiente de la recta normal,"}, {"start": 601.0, "end": 605.8, "text": " entonces ya podemos encontrar la ecuaci\u00f3n de la recta normal"}, {"start": 605.8, "end": 611.0, "text": " y para ello vamos a utilizar el modelo punto pendiente"}, {"start": 611.0, "end": 614.1999999999999, "text": " que nos dice Y menos Y1"}, {"start": 614.1999999999999, "end": 619.5999999999999, "text": " igual a M que multiplica a X menos X1."}, {"start": 619.6, "end": 625.0, "text": " En este caso tenemos X1 y Y1"}, {"start": 625.0, "end": 629.2, "text": " lo que son las coordenadas del punto de tangencia"}, {"start": 629.2, "end": 633.4, "text": " y para el caso de M usaremos el valor de la pendiente"}, {"start": 633.4, "end": 635.6, "text": " de la recta normal."}, {"start": 635.6, "end": 637.6, "text": " Replazamos entonces en el modelo,"}, {"start": 637.6, "end": 643.0, "text": " tendremos Y menos Y1 que es 4 quintos,"}, {"start": 643.0, "end": 648.4, "text": " esto igual a la pendiente que es 50 novenos"}, {"start": 648.4, "end": 656.1999999999999, "text": " y que multiplica a X menos X1, pero X1 es 3."}, {"start": 656.1999999999999, "end": 660.0, "text": " Vamos a resolver las operaciones que tenemos a ambos lados,"}, {"start": 660.0, "end": 666.4, "text": " esto lo podemos escribir como Y sobre 1 menos 4 quintos"}, {"start": 666.4, "end": 668.8, "text": " y lo que tenemos en el lado derecho"}, {"start": 668.8, "end": 672.0, "text": " lo podemos escribir como 50 novenos"}, {"start": 672.0, "end": 678.1999999999999, "text": " que multiplica a X menos 3 todo eso sobre 1."}, {"start": 678.2, "end": 682.2, "text": " Ac\u00e1 en el lado izquierdo tenemos una resta de fracciones"}, {"start": 682.2, "end": 686.4000000000001, "text": " con distinto denominador, vamos entonces a resolverla."}, {"start": 686.4000000000001, "end": 694.2, "text": " Tendremos Y por 5, o sea 5Y menos 1 por 4 que es 4"}, {"start": 694.2, "end": 697.4000000000001, "text": " y en el denominador 1 por 5,"}, {"start": 697.4000000000001, "end": 701.6, "text": " es lo que conocemos como la t\u00e9cnica de la carita feliz,"}, {"start": 701.6, "end": 706.6, "text": " la estamos utilizando all\u00ed para resolver esa operaci\u00f3n."}, {"start": 706.6, "end": 711.2, "text": " Pasamos al otro lado donde observamos una multiplicaci\u00f3n de fracciones,"}, {"start": 711.2, "end": 714.2, "text": " recordemos que se multiplican numeradores entre s\u00ed"}, {"start": 714.2, "end": 716.6, "text": " y denominadores entre s\u00ed,"}, {"start": 716.6, "end": 724.8000000000001, "text": " en el numerador 50 por X menos 3 nos dar\u00e1 50X menos 50 por 3"}, {"start": 724.8000000000001, "end": 730.4, "text": " que nos da 150, aplicamos la propiedad distributiva"}, {"start": 730.4, "end": 737.0, "text": " y en el denominador tendremos 9 por 1 que nos da como resultado 9."}, {"start": 737.0, "end": 740.6, "text": " Ahora vamos a pasar estos n\u00fameros que est\u00e1n dividiendo"}, {"start": 740.6, "end": 743.8, "text": " a los lados contrarios a multiplicar,"}, {"start": 743.8, "end": 750.1999999999999, "text": " 9 quedar\u00e1 entonces multiplicando con 5Y menos 4"}, {"start": 750.1999999999999, "end": 756.1999999999999, "text": " y al otro lado tendremos 5 que multiplica a la expresi\u00f3n"}, {"start": 756.2, "end": 761.0, "text": " 50X menos 150."}, {"start": 761.0, "end": 767.6, "text": " Aplicamos ahora la propiedad distributiva a ambos lados de la igualdad,"}, {"start": 767.6, "end": 776.4000000000001, "text": " tenemos 9 por 5Y nos da 45Y y 9 por menos 4 nos da menos 36,"}, {"start": 776.4000000000001, "end": 781.8000000000001, "text": " por ac\u00e1 tenemos 5 por 50X que nos da 250X"}, {"start": 781.8, "end": 788.1999999999999, "text": " y esto menos 5 por 150 que nos da 750."}, {"start": 788.1999999999999, "end": 792.0, "text": " Para terminar podemos pasar estos t\u00e9rminos al lado derecho,"}, {"start": 792.0, "end": 802.0, "text": " nos quedar\u00e1 entonces 0 igual a 250X menos 750"}, {"start": 802.0, "end": 809.8, "text": " llega menos 45Y y llega m\u00e1s 36."}, {"start": 809.8, "end": 814.8, "text": " Ac\u00e1 podemos operar estos dos n\u00fameros y vamos a organizar"}, {"start": 814.8, "end": 817.1999999999999, "text": " la expresi\u00f3n de la siguiente forma,"}, {"start": 817.1999999999999, "end": 828.4, "text": " 250X despu\u00e9s menos 45Y y menos 750 m\u00e1s 36 nos da como resultado"}, {"start": 828.4, "end": 832.0999999999999, "text": " menos 714."}, {"start": 832.0999999999999, "end": 835.6999999999999, "text": " Terminamos cambiando de sentido esta igualdad,"}, {"start": 835.7, "end": 841.6, "text": " es decir colocamos el 0 a este lado y as\u00ed hemos encontrado"}, {"start": 841.6, "end": 847.4000000000001, "text": " la ecuaci\u00f3n de la recta normal que nos han solicitado,"}, {"start": 847.4000000000001, "end": 852.6, "text": " se trata de una ecuaci\u00f3n expresada en la forma"}, {"start": 852.6, "end": 856.1, "text": " ax m\u00e1s by m\u00e1s c igual a 0,"}, {"start": 856.1, "end": 860.9000000000001, "text": " es decir la forma impl\u00edcita o general para una recta,"}, {"start": 860.9, "end": 868.3, "text": " en ese caso la recta normal a esta curva en el punto de abscisa 3."}]

julioprofe

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INTEGRAL DOBLE CON CAMBIO EN ORDEN DE INTEGRACIÓN - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo resolver una integral doble, donde es necesario cambiar el orden de integración. Tema: #IntegralesDobles → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHjJMXGUDWy2-rLa3YDhE5a REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver esta integral doble donde podemos observar que estos límites de integración corresponden a la variable x, mientras que estos que observamos acá corresponden a la variable y. Entonces podemos reescribir el ejercicio como la integral que va desde x igual a 0 hasta x igual a 1, después la integral que va desde y igual a x al cuadrado hasta y igual a 1 de la función x al cubo, seno de y al cubo y todo esto con los diferenciales de y de x. Con la información que tenemos acá podemos detectar cuál es la región de integración. Vemos entonces que x está comprendida entre 0 y 1, aquí lo observamos, mientras que y está comprendida entre x al cuadrado y 1. Esto nos dice entonces que la región de integración está definida como región tipo 1, es decir con x entre números y y entre curvas. Tal como nos aparece planteado el ejercicio, deberíamos comenzar por integrar con respecto a la variable y, siendo x una constante, pero nos queda seno de y al cubo, lo cual no es fácil de integrar. Para solucionar ese problema vamos a dibujar la región de integración y vamos a cambiarla a tipo 2. Comenzamos por trazar la gráfica de x igual a 1, que será una recta vertical que pasa por la abscisa 1. Bien, allí podemos observarla. Ahora vamos a dibujar x igual a 0, que será una recta vertical que pasa por la abscisa 0, es decir el mismo eje y. Bien, allí podemos observarlo. Ahora trazamos la gráfica de y igual a 1, que será una recta horizontal que pasa por la ordenada 1. Bien, allí podemos observarla. Y finalmente dibujamos la gráfica de y igual a x al cuadrado. Recordemos que es una parábola que abre sus ramas hacia arriba y que pasa por el origen. Cuando x vale 0, y vale 0. Cuando x vale 1, y vale 1. Y cuando x vale menos 1, y vale 1. Entonces vamos a dibujar esa parábola. Bien, allí podemos observarla. Tenemos la parábola y igual a x al cuadrado. Revisamos entonces cuál es la región. Tenemos que x está comprendida entre 0 y 1, es decir entre estas dos líneas verticales y y debe estar comprendida entre x al cuadrado y y igual a 1. Entonces la región de integración, es decir la región R, será esta que tenemos acá. La destacamos entonces con este color. Allí tenemos la región R y como decíamos vamos a pasarla a región tipo 2. Decimos que la región está definida como tipo 2 cuando y está comprendida entre números. Si observamos la región vemos que está comprendida entre y igual a 0 y y igual a 1. Entonces esos eran los valores que definen la variable y. Y ahora x debe estar definida o comprendida entre curvas. Si entramos de izquierda a derecha vemos que la primera línea o el primer borde que nos encontramos es x igual a 0, o sea el eje y. Ese será nuestro límite izquierdo y si avanzamos dentro de la figura, dentro de la región R, vemos que a la salida siempre nos vamos a encontrar esta curva, es decir y igual a x al cuadrado. De allí tenemos que despejar x. x será igual a más o menos la raíz cuadrada de y. Pero en este caso tenemos la porción de curva que reside en el primer cuadrante, es decir donde los valores de x tienen que ser positivos. Entonces descartamos la opción negativa y por acá tendremos la curva raíz de y. Teniendo ya la región R definida como tipo 2, entonces podemos volver a escribir la integral doble pero ahora con el nuevo orden de integración, es decir con y comprendida entre 0 y 1 y x comprendida entre 0 y x igual a raíz cuadrada de y. La función sigue siendo la misma, x al cubo seno de y al cubo y ahora cambia el orden de los diferenciales, primero de x y después de y. Vamos a continuar el desarrollo del ejercicio por acá y dejamos la integral externa tal como está desde y igual a 0 hasta y igual a 1. Y vamos a ocuparnos de la integral interna, es decir la que se debe realizar con respecto de la variable x. Podemos dejar aquello que permanece constante totalmente quieto, en este caso seno de y al cubo. Y esto multiplica por la integral de x al cubo, recordemos que estamos integrando con respecto a la variable x. Integral de x al cubo será x a la 4 sobre 4 y eso tenemos que evaluarlo entre x igual a 0 y x igual a la raíz cuadrada de y. Cerramos la llave que protege este desarrollo y escribimos el diferencial de y. En esta integral podemos extraer este número por ser una constante, lo podemos ubicar por fuera como 1 cuarto, esto multiplica a la integral que va desde y igual a 0 hasta y igual a 1 y vamos a evaluar lo que nos queda en estos límites de integración. Primero entra el límite superior, si raíz cuadrada de y entra aquí donde tenemos la x, tenemos raíz cuadrada de y elevada a la 4 y eso nos da y al cuadrado que multiplica con seno de y al cubo. Si luego evaluamos x igual a 0 vemos que aquí tenemos 0 a la 4 que nos da 0 y anula completamente la expresión, entonces sería esto menos 0 que nos da esto mismo y no podemos olvidar el diferencial de y. Ahora tenemos que concentrarnos en el desarrollo de esta integral que ya está en términos de la variable y. Si observamos con atención vemos que no se puede resolver en forma directa, entonces podemos recurrir al método de sustitución o cambio de variable porque encontramos que la derivada de y al cubo nos da 3y al cuadrado y acá por fuera tenemos justamente y al cuadrado. Entonces vamos a utilizar el método de sustitución o cambio de variable, vamos a utilizar por ejemplo la letra k para llamar lo que es y al cubo y esto tenemos que derivarlo, decimos entonces derivada de k con respecto a y, es decir la derivada de y al cubo nos da 3y al cuadrado y de allí podemos despejar de y, para despejar de y esto pasa a multiplicar y 3y al cuadrado pasa a k a dividir. En otras palabras estos dos componentes se intercambian y nos queda que de y es igual a de k sobre 3y al cuadrado, aquí tenemos otro componente que vamos a necesitar. Podemos también hacer el cambio de los límites de integración, estos valores de y se pueden llevar a valores de la nueva variable k, entonces tenemos que si y es igual a 1, es decir el límite superior, entonces el valor correspondiente de k será 1 al cubo, es decir 1, y si tenemos y igual a 0, es decir el límite inferior, entonces el valor de k será 0 al cubo que nos da 0. Ahora con esta información vamos a reconstruir esta integral en términos de la nueva letra que es k, vamos a continuar por acá, tenemos 1 cuarto que multiplica a la integral que va desde y igual a 0, pero y igual a 0 corresponde a k igual a 0 hasta y igual a 1 que corresponde a k igual a 1. Tenemos por acá y al cuadrado que se queda como está, después tenemos seno de y al cubo, pero y al cubo equivale a la letra k y tenemos el diferencial de y que equivale a dk sobre 3y al cuadrado. Aquí podemos simplificar y al cuadrado y también podemos extraer este número 3, nos queda entonces 1 cuarto por 1 tercio y esto multiplicado por la integral que va desde k igual a 0 hasta k igual a 1, y en el integrando tenemos seno de k por su respectivo diferencial de k. Continuamos el desarrollo del ejercicio por acá y multiplicamos estas dos fracciones, eso nos da un doceavo que multiplica a esta integral definida, vamos entonces a resolverla, la integral de seno de k nos da menos coseno de k y esto debe estar evaluado entre k igual a 0 y k igual a 1. Para evitar complicaciones con este signo negativo podemos escribirlo por fuera de esta llave, entonces tendremos menos un doceavo que multiplica a coseno de 1, reemplazamos el límite superior menos coseno de 0, reemplazando el límite inferior. Acá tenemos lo que es coseno de un radian y eso lo podemos dejar indicado, y acá tenemos el coseno de cero radianes que equivale a 1, entonces esta expresión nos va a quedar como menos un doceavo que multiplica a coseno de un radian menos 1. Podemos multiplicar en forma horizontal, recordemos que acá tenemos denominador 1 y tendremos en el numerador menos coseno de 1 más 1 y en el denominador tendremos el número 12, o sea 12 por 1. Podemos reescribir el numerador como 1 menos coseno de 1 y de nuevo todo esto sobre 12. De esta manera terminamos el ejercicio, este será el resultado de esa integral doble, 1 menos el coseno de 1, todo esto sobre 12 que en calculadora nos da aproximadamente 0.038. Recordemos que se debe colocar la calculadora en el modo de radianes para que esto nos produzca el resultado correcto. De esta manera terminamos este ejercicio.

[{"start": 0.0, "end": 7.24, "text": " Vamos a resolver esta integral doble donde podemos observar que estos l\u00edmites de integraci\u00f3n"}, {"start": 7.24, "end": 14.56, "text": " corresponden a la variable x, mientras que estos que observamos ac\u00e1 corresponden a la variable y."}, {"start": 14.56, "end": 26.6, "text": " Entonces podemos reescribir el ejercicio como la integral que va desde x igual a 0 hasta x igual a 1,"}, {"start": 26.6, "end": 37.72, "text": " despu\u00e9s la integral que va desde y igual a x al cuadrado hasta y igual a 1 de la funci\u00f3n x al cubo,"}, {"start": 37.72, "end": 45.760000000000005, "text": " seno de y al cubo y todo esto con los diferenciales de y de x."}, {"start": 45.760000000000005, "end": 53.0, "text": " Con la informaci\u00f3n que tenemos ac\u00e1 podemos detectar cu\u00e1l es la regi\u00f3n de integraci\u00f3n."}, {"start": 53.0, "end": 61.0, "text": " Vemos entonces que x est\u00e1 comprendida entre 0 y 1, aqu\u00ed lo observamos,"}, {"start": 61.0, "end": 68.2, "text": " mientras que y est\u00e1 comprendida entre x al cuadrado y 1."}, {"start": 68.2, "end": 76.8, "text": " Esto nos dice entonces que la regi\u00f3n de integraci\u00f3n est\u00e1 definida como regi\u00f3n tipo 1,"}, {"start": 76.8, "end": 82.6, "text": " es decir con x entre n\u00fameros y y entre curvas."}, {"start": 82.6, "end": 85.6, "text": " Tal como nos aparece planteado el ejercicio,"}, {"start": 85.6, "end": 93.0, "text": " deber\u00edamos comenzar por integrar con respecto a la variable y, siendo x una constante,"}, {"start": 93.0, "end": 99.39999999999999, "text": " pero nos queda seno de y al cubo, lo cual no es f\u00e1cil de integrar."}, {"start": 99.39999999999999, "end": 108.39999999999999, "text": " Para solucionar ese problema vamos a dibujar la regi\u00f3n de integraci\u00f3n y vamos a cambiarla a tipo 2."}, {"start": 108.4, "end": 118.60000000000001, "text": " Comenzamos por trazar la gr\u00e1fica de x igual a 1, que ser\u00e1 una recta vertical que pasa por la abscisa 1."}, {"start": 118.60000000000001, "end": 121.0, "text": " Bien, all\u00ed podemos observarla."}, {"start": 121.0, "end": 128.8, "text": " Ahora vamos a dibujar x igual a 0, que ser\u00e1 una recta vertical que pasa por la abscisa 0,"}, {"start": 128.8, "end": 131.8, "text": " es decir el mismo eje y."}, {"start": 131.8, "end": 134.20000000000002, "text": " Bien, all\u00ed podemos observarlo."}, {"start": 134.2, "end": 144.0, "text": " Ahora trazamos la gr\u00e1fica de y igual a 1, que ser\u00e1 una recta horizontal que pasa por la ordenada 1."}, {"start": 144.0, "end": 146.39999999999998, "text": " Bien, all\u00ed podemos observarla."}, {"start": 146.39999999999998, "end": 151.79999999999998, "text": " Y finalmente dibujamos la gr\u00e1fica de y igual a x al cuadrado."}, {"start": 151.79999999999998, "end": 159.0, "text": " Recordemos que es una par\u00e1bola que abre sus ramas hacia arriba y que pasa por el origen."}, {"start": 159.0, "end": 164.8, "text": " Cuando x vale 0, y vale 0. Cuando x vale 1, y vale 1."}, {"start": 164.8, "end": 169.0, "text": " Y cuando x vale menos 1, y vale 1."}, {"start": 169.0, "end": 173.0, "text": " Entonces vamos a dibujar esa par\u00e1bola."}, {"start": 173.0, "end": 175.2, "text": " Bien, all\u00ed podemos observarla."}, {"start": 175.2, "end": 179.0, "text": " Tenemos la par\u00e1bola y igual a x al cuadrado."}, {"start": 179.0, "end": 182.0, "text": " Revisamos entonces cu\u00e1l es la regi\u00f3n."}, {"start": 182.0, "end": 186.0, "text": " Tenemos que x est\u00e1 comprendida entre 0 y 1,"}, {"start": 186.0, "end": 195.2, "text": " es decir entre estas dos l\u00edneas verticales y y debe estar comprendida entre x al cuadrado y y igual a 1."}, {"start": 195.2, "end": 202.6, "text": " Entonces la regi\u00f3n de integraci\u00f3n, es decir la regi\u00f3n R, ser\u00e1 esta que tenemos ac\u00e1."}, {"start": 202.6, "end": 205.4, "text": " La destacamos entonces con este color."}, {"start": 205.4, "end": 213.2, "text": " All\u00ed tenemos la regi\u00f3n R y como dec\u00edamos vamos a pasarla a regi\u00f3n tipo 2."}, {"start": 213.2, "end": 220.79999999999998, "text": " Decimos que la regi\u00f3n est\u00e1 definida como tipo 2 cuando y est\u00e1 comprendida entre n\u00fameros."}, {"start": 220.79999999999998, "end": 228.2, "text": " Si observamos la regi\u00f3n vemos que est\u00e1 comprendida entre y igual a 0 y y igual a 1."}, {"start": 228.2, "end": 233.39999999999998, "text": " Entonces esos eran los valores que definen la variable y."}, {"start": 233.39999999999998, "end": 239.6, "text": " Y ahora x debe estar definida o comprendida entre curvas."}, {"start": 239.6, "end": 248.79999999999998, "text": " Si entramos de izquierda a derecha vemos que la primera l\u00ednea o el primer borde que nos encontramos es x igual a 0,"}, {"start": 248.79999999999998, "end": 250.79999999999998, "text": " o sea el eje y."}, {"start": 250.79999999999998, "end": 258.8, "text": " Ese ser\u00e1 nuestro l\u00edmite izquierdo y si avanzamos dentro de la figura, dentro de la regi\u00f3n R,"}, {"start": 258.8, "end": 266.8, "text": " vemos que a la salida siempre nos vamos a encontrar esta curva, es decir y igual a x al cuadrado."}, {"start": 266.8, "end": 270.0, "text": " De all\u00ed tenemos que despejar x."}, {"start": 270.0, "end": 275.6, "text": " x ser\u00e1 igual a m\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada de y."}, {"start": 275.6, "end": 282.40000000000003, "text": " Pero en este caso tenemos la porci\u00f3n de curva que reside en el primer cuadrante,"}, {"start": 282.40000000000003, "end": 287.6, "text": " es decir donde los valores de x tienen que ser positivos."}, {"start": 287.6, "end": 295.8, "text": " Entonces descartamos la opci\u00f3n negativa y por ac\u00e1 tendremos la curva ra\u00edz de y."}, {"start": 295.8, "end": 299.8, "text": " Teniendo ya la regi\u00f3n R definida como tipo 2,"}, {"start": 299.8, "end": 307.8, "text": " entonces podemos volver a escribir la integral doble pero ahora con el nuevo orden de integraci\u00f3n,"}, {"start": 307.8, "end": 323.8, "text": " es decir con y comprendida entre 0 y 1 y x comprendida entre 0 y x igual a ra\u00edz cuadrada de y."}, {"start": 323.8, "end": 333.8, "text": " La funci\u00f3n sigue siendo la misma, x al cubo seno de y al cubo y ahora cambia el orden de los diferenciales,"}, {"start": 333.8, "end": 338.8, "text": " primero de x y despu\u00e9s de y."}, {"start": 338.8, "end": 345.8, "text": " Vamos a continuar el desarrollo del ejercicio por ac\u00e1"}, {"start": 345.8, "end": 355.8, "text": " y dejamos la integral externa tal como est\u00e1 desde y igual a 0 hasta y igual a 1."}, {"start": 355.8, "end": 365.8, "text": " Y vamos a ocuparnos de la integral interna, es decir la que se debe realizar con respecto de la variable x."}, {"start": 365.8, "end": 374.8, "text": " Podemos dejar aquello que permanece constante totalmente quieto, en este caso seno de y al cubo."}, {"start": 374.8, "end": 382.8, "text": " Y esto multiplica por la integral de x al cubo, recordemos que estamos integrando con respecto a la variable x."}, {"start": 382.8, "end": 400.8, "text": " Integral de x al cubo ser\u00e1 x a la 4 sobre 4 y eso tenemos que evaluarlo entre x igual a 0 y x igual a la ra\u00edz cuadrada de y."}, {"start": 400.8, "end": 408.8, "text": " Cerramos la llave que protege este desarrollo y escribimos el diferencial de y."}, {"start": 408.8, "end": 419.8, "text": " En esta integral podemos extraer este n\u00famero por ser una constante, lo podemos ubicar por fuera como 1 cuarto,"}, {"start": 419.8, "end": 433.8, "text": " esto multiplica a la integral que va desde y igual a 0 hasta y igual a 1 y vamos a evaluar lo que nos queda en estos l\u00edmites de integraci\u00f3n."}, {"start": 433.8, "end": 440.8, "text": " Primero entra el l\u00edmite superior, si ra\u00edz cuadrada de y entra aqu\u00ed donde tenemos la x,"}, {"start": 440.8, "end": 453.8, "text": " tenemos ra\u00edz cuadrada de y elevada a la 4 y eso nos da y al cuadrado que multiplica con seno de y al cubo."}, {"start": 453.8, "end": 462.8, "text": " Si luego evaluamos x igual a 0 vemos que aqu\u00ed tenemos 0 a la 4 que nos da 0 y anula completamente la expresi\u00f3n,"}, {"start": 462.8, "end": 470.8, "text": " entonces ser\u00eda esto menos 0 que nos da esto mismo y no podemos olvidar el diferencial de y."}, {"start": 470.8, "end": 479.8, "text": " Ahora tenemos que concentrarnos en el desarrollo de esta integral que ya est\u00e1 en t\u00e9rminos de la variable y."}, {"start": 479.8, "end": 483.8, "text": " Si observamos con atenci\u00f3n vemos que no se puede resolver en forma directa,"}, {"start": 483.8, "end": 494.8, "text": " entonces podemos recurrir al m\u00e9todo de sustituci\u00f3n o cambio de variable porque encontramos que la derivada de y al cubo nos da 3y al cuadrado"}, {"start": 494.8, "end": 497.8, "text": " y ac\u00e1 por fuera tenemos justamente y al cuadrado."}, {"start": 497.8, "end": 505.8, "text": " Entonces vamos a utilizar el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n o cambio de variable,"}, {"start": 505.8, "end": 518.8, "text": " vamos a utilizar por ejemplo la letra k para llamar lo que es y al cubo y esto tenemos que derivarlo,"}, {"start": 518.8, "end": 528.8, "text": " decimos entonces derivada de k con respecto a y, es decir la derivada de y al cubo nos da 3y al cuadrado"}, {"start": 528.8, "end": 539.8, "text": " y de all\u00ed podemos despejar de y, para despejar de y esto pasa a multiplicar y 3y al cuadrado pasa a k a dividir."}, {"start": 539.8, "end": 549.8, "text": " En otras palabras estos dos componentes se intercambian y nos queda que de y es igual a de k sobre 3y al cuadrado,"}, {"start": 549.8, "end": 553.8, "text": " aqu\u00ed tenemos otro componente que vamos a necesitar."}, {"start": 553.8, "end": 558.8, "text": " Podemos tambi\u00e9n hacer el cambio de los l\u00edmites de integraci\u00f3n,"}, {"start": 558.8, "end": 563.8, "text": " estos valores de y se pueden llevar a valores de la nueva variable k,"}, {"start": 563.8, "end": 571.8, "text": " entonces tenemos que si y es igual a 1, es decir el l\u00edmite superior,"}, {"start": 571.8, "end": 578.8, "text": " entonces el valor correspondiente de k ser\u00e1 1 al cubo, es decir 1,"}, {"start": 578.8, "end": 591.8, "text": " y si tenemos y igual a 0, es decir el l\u00edmite inferior, entonces el valor de k ser\u00e1 0 al cubo que nos da 0."}, {"start": 591.8, "end": 600.8, "text": " Ahora con esta informaci\u00f3n vamos a reconstruir esta integral en t\u00e9rminos de la nueva letra que es k,"}, {"start": 600.8, "end": 611.8, "text": " vamos a continuar por ac\u00e1, tenemos 1 cuarto que multiplica a la integral que va desde y igual a 0,"}, {"start": 611.8, "end": 622.8, "text": " pero y igual a 0 corresponde a k igual a 0 hasta y igual a 1 que corresponde a k igual a 1."}, {"start": 622.8, "end": 630.8, "text": " Tenemos por ac\u00e1 y al cuadrado que se queda como est\u00e1, despu\u00e9s tenemos seno de y al cubo,"}, {"start": 630.8, "end": 645.8, "text": " pero y al cubo equivale a la letra k y tenemos el diferencial de y que equivale a dk sobre 3y al cuadrado."}, {"start": 645.8, "end": 652.8, "text": " Aqu\u00ed podemos simplificar y al cuadrado y tambi\u00e9n podemos extraer este n\u00famero 3,"}, {"start": 652.8, "end": 666.8, "text": " nos queda entonces 1 cuarto por 1 tercio y esto multiplicado por la integral que va desde k igual a 0 hasta k igual a 1,"}, {"start": 666.8, "end": 673.8, "text": " y en el integrando tenemos seno de k por su respectivo diferencial de k."}, {"start": 673.8, "end": 682.8, "text": " Continuamos el desarrollo del ejercicio por ac\u00e1 y multiplicamos estas dos fracciones,"}, {"start": 682.8, "end": 691.8, "text": " eso nos da un doceavo que multiplica a esta integral definida, vamos entonces a resolverla,"}, {"start": 691.8, "end": 706.8, "text": " la integral de seno de k nos da menos coseno de k y esto debe estar evaluado entre k igual a 0 y k igual a 1."}, {"start": 706.8, "end": 715.8, "text": " Para evitar complicaciones con este signo negativo podemos escribirlo por fuera de esta llave,"}, {"start": 715.8, "end": 723.8, "text": " entonces tendremos menos un doceavo que multiplica a coseno de 1,"}, {"start": 723.8, "end": 732.8, "text": " reemplazamos el l\u00edmite superior menos coseno de 0, reemplazando el l\u00edmite inferior."}, {"start": 732.8, "end": 739.8, "text": " Ac\u00e1 tenemos lo que es coseno de un radian y eso lo podemos dejar indicado,"}, {"start": 739.8, "end": 751.8, "text": " y ac\u00e1 tenemos el coseno de cero radianes que equivale a 1, entonces esta expresi\u00f3n nos va a quedar como"}, {"start": 751.8, "end": 762.8, "text": " menos un doceavo que multiplica a coseno de un radian menos 1."}, {"start": 762.8, "end": 770.8, "text": " Podemos multiplicar en forma horizontal, recordemos que ac\u00e1 tenemos denominador 1 y tendremos en el numerador"}, {"start": 770.8, "end": 778.8, "text": " menos coseno de 1 m\u00e1s 1 y en el denominador tendremos el n\u00famero 12, o sea 12 por 1."}, {"start": 778.8, "end": 788.8, "text": " Podemos reescribir el numerador como 1 menos coseno de 1 y de nuevo todo esto sobre 12."}, {"start": 788.8, "end": 796.8, "text": " De esta manera terminamos el ejercicio, este ser\u00e1 el resultado de esa integral doble,"}, {"start": 796.8, "end": 808.8, "text": " 1 menos el coseno de 1, todo esto sobre 12 que en calculadora nos da aproximadamente 0.038."}, {"start": 808.8, "end": 817.8, "text": " Recordemos que se debe colocar la calculadora en el modo de radianes para que esto nos produzca el resultado correcto."}, {"start": 817.8, "end": 821.8, "text": " De esta manera terminamos este ejercicio."}]

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DEMOSTRACIÓN DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS - Ejercicio 5

#julioprofe explica cómo comprobar una Identidad Trigonométrica. Tema: #IdentidadesTrigonometricas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwGAmMC3k5sI2VGHFnVdlLif REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a realizar la comprobación de esta identidad trigonométrica comenzando por trabajar lo que tenemos en el lado derecho. Vamos a desarrollar las operaciones que tenemos acá para llegar a la expresión más sencilla que es la que tenemos en el lado izquierdo. Escribimos entonces la expresión que tenemos en el lado derecho y allí comenzamos por cambiar tangente de X por su equivalente en términos de seno y coseno. Tenemos que tangente de X equivale a seno de X sobre coseno de X. Pero acá observamos tangente al cuadrado de X. Entonces debemos elevar ambos lados de esta igualdad al cuadrado. Por acá tendremos tangente al cuadrado de X y acá esta fracción, si se eleva al cuadrado, nos afecta tanto el numerador como el denominador. Entonces tendremos seno al cuadrado de X sobre coseno al cuadrado de X. Hacemos entonces el cambio de tangente al cuadrado de X por esta expresión. Tenemos acá 1 menos seno al cuadrado de X sobre coseno al cuadrado de X. Y acá tenemos 1 más seno al cuadrado de X sobre coseno al cuadrado de X. A continuación vamos a resolver estas dos operaciones. Vamos a completar aquí con denominador 1 y tenemos una resta y una suma de fracciones con distinto denominador o fracciones heterogéneas. Para resolverlas fácilmente podemos utilizar la técnica de la calita feliz. Vamos a recordarla. Allí tenemos dos fracciones con distinto denominador que pueden estar sumando o también restando. Entonces decimos A por D en la parte de arriba más o menos según el signo que tengamos entre las dos fracciones. Luego B por C también en la parte de arriba y en la parte de abajo tenemos B por D. Entonces hicimos A por D, B por C en la parte de arriba y B por D en la parte de abajo. Por esta figura es que esa técnica se conoce como la calita feliz. Tenemos entonces lo siguiente. Con esta operación trazamos esta línea y aplicamos la calita feliz. 1 por coseno al cuadrado de X nos da coseno al cuadrado de X menos 1 por seno al cuadrado de X nos da seno al cuadrado de X y abajo tenemos 1 por coseno al cuadrado de X que nos da coseno al cuadrado de X. Vamos ahora con esta operación. La suma de fracciones con distinto denominador. Tenemos 1 por coseno al cuadrado de X que nos da coseno al cuadrado de X más 1 por seno al cuadrado de X que nos da seno al cuadrado de X y abajo 1 por coseno al cuadrado de X que nos da coseno al cuadrado de X. Vamos a continuar el ejercicio por acá más abajo y aquí tenemos la siguiente situación. Observamos aquí dos fracciones que están dividiendo y que poseen el mismo denominador. Vamos entonces a aplicar lo siguiente. Si tenemos una fracción A sobre C sobre otra fracción B sobre C ambas con el mismo denominador entonces allí podemos quitar o eliminar esos denominadores y nos va a quedar A sobre B. Entonces acá podemos aplicar esa técnica o ese truco. Podemos eliminar entonces coseno al cuadrado de X o sea los denominadores que son iguales y tendremos coseno al cuadrado de X menos seno al cuadrado de X sobre coseno al cuadrado de X más seno al cuadrado de X. Ahora tenemos acá en el denominador lo que es la identidad fundamental de la trigonometría coseno al cuadrado de X más seno al cuadrado de X equivale a 1. Entonces esto nos va a quedar únicamente lo que tenemos en el numerador coseno al cuadrado de X menos seno al cuadrado de X. A su vez en esta expresión vamos a realizar lo siguiente. Tomamos de nuevo la identidad fundamental de la trigonometría la misma que acabamos de citar donde esto equivale a 1 y como tenemos que llegar a una expresión que únicamente contiene seno entonces vamos a cambiar coseno al cuadrado de X por una expresión que contenga seno y esa la vamos a obtener de aquí. Vamos a despejar coseno al cuadrado de X que será 1 menos seno al cuadrado de X. Esto que está sumando pasa al otro lado a restar. Ahora lo que hacemos es cambiar coseno al cuadrado de X por esta expresión. Vamos a continuar por acá y hacemos ese cambio. En lugar de coseno al cuadrado de X escribimos 1 menos seno al cuadrado de X y no podemos olvidar este término. Otra vez, menos seno al cuadrado de X. Finalmente tenemos acá términos semejantes que podemos operar entre sí. Entonces esto nos va a quedar como 1 menos 2 seno al cuadrado de X. El resultado de reducir estos dos términos semejantes. Y como podemos observar esto es lo que tenemos en el lado izquierdo de la igualdad. Entonces, de esta manera hemos terminado el ejercicio. Hemos comprobado la validez de esta identidad trigonométrica.

[{"start": 0.0, "end": 5.2, "text": " Vamos a realizar la comprobaci\u00f3n de esta identidad trigonom\u00e9trica"}, {"start": 5.2, "end": 8.9, "text": " comenzando por trabajar lo que tenemos en el lado derecho."}, {"start": 8.9, "end": 12.700000000000001, "text": " Vamos a desarrollar las operaciones que tenemos ac\u00e1"}, {"start": 12.700000000000001, "end": 15.700000000000001, "text": " para llegar a la expresi\u00f3n m\u00e1s sencilla"}, {"start": 15.700000000000001, "end": 19.0, "text": " que es la que tenemos en el lado izquierdo."}, {"start": 19.0, "end": 23.2, "text": " Escribimos entonces la expresi\u00f3n que tenemos en el lado derecho"}, {"start": 23.2, "end": 26.7, "text": " y all\u00ed comenzamos por cambiar tangente de X"}, {"start": 26.7, "end": 30.799999999999997, "text": " por su equivalente en t\u00e9rminos de seno y coseno."}, {"start": 30.799999999999997, "end": 33.8, "text": " Tenemos que tangente de X"}, {"start": 33.8, "end": 36.7, "text": " equivale a seno de X"}, {"start": 36.7, "end": 39.4, "text": " sobre coseno de X."}, {"start": 39.4, "end": 43.599999999999994, "text": " Pero ac\u00e1 observamos tangente al cuadrado de X."}, {"start": 43.599999999999994, "end": 48.6, "text": " Entonces debemos elevar ambos lados de esta igualdad al cuadrado."}, {"start": 48.6, "end": 51.8, "text": " Por ac\u00e1 tendremos tangente al cuadrado de X"}, {"start": 51.8, "end": 55.4, "text": " y ac\u00e1 esta fracci\u00f3n, si se eleva al cuadrado,"}, {"start": 55.4, "end": 59.699999999999996, "text": " nos afecta tanto el numerador como el denominador."}, {"start": 59.699999999999996, "end": 62.9, "text": " Entonces tendremos seno al cuadrado de X"}, {"start": 62.9, "end": 66.9, "text": " sobre coseno al cuadrado de X."}, {"start": 66.9, "end": 71.5, "text": " Hacemos entonces el cambio de tangente al cuadrado de X"}, {"start": 71.5, "end": 73.5, "text": " por esta expresi\u00f3n."}, {"start": 73.5, "end": 79.5, "text": " Tenemos ac\u00e1 1 menos seno al cuadrado de X"}, {"start": 79.5, "end": 82.7, "text": " sobre coseno al cuadrado de X."}, {"start": 82.7, "end": 88.7, "text": " Y ac\u00e1 tenemos 1 m\u00e1s seno al cuadrado de X"}, {"start": 88.7, "end": 93.4, "text": " sobre coseno al cuadrado de X."}, {"start": 93.4, "end": 96.9, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a resolver estas dos operaciones."}, {"start": 96.9, "end": 100.80000000000001, "text": " Vamos a completar aqu\u00ed con denominador 1"}, {"start": 100.80000000000001, "end": 104.10000000000001, "text": " y tenemos una resta y una suma de fracciones"}, {"start": 104.10000000000001, "end": 108.60000000000001, "text": " con distinto denominador o fracciones heterog\u00e9neas."}, {"start": 108.60000000000001, "end": 110.60000000000001, "text": " Para resolverlas f\u00e1cilmente"}, {"start": 110.6, "end": 113.89999999999999, "text": " podemos utilizar la t\u00e9cnica de la calita feliz."}, {"start": 113.89999999999999, "end": 115.89999999999999, "text": " Vamos a recordarla."}, {"start": 115.89999999999999, "end": 119.5, "text": " All\u00ed tenemos dos fracciones con distinto denominador"}, {"start": 119.5, "end": 122.6, "text": " que pueden estar sumando o tambi\u00e9n restando."}, {"start": 122.6, "end": 126.89999999999999, "text": " Entonces decimos A por D en la parte de arriba"}, {"start": 126.89999999999999, "end": 130.0, "text": " m\u00e1s o menos seg\u00fan el signo que tengamos"}, {"start": 130.0, "end": 132.1, "text": " entre las dos fracciones."}, {"start": 132.1, "end": 136.0, "text": " Luego B por C tambi\u00e9n en la parte de arriba"}, {"start": 136.0, "end": 139.2, "text": " y en la parte de abajo tenemos B por D."}, {"start": 139.2, "end": 144.89999999999998, "text": " Entonces hicimos A por D, B por C en la parte de arriba"}, {"start": 144.89999999999998, "end": 147.5, "text": " y B por D en la parte de abajo."}, {"start": 147.5, "end": 151.29999999999998, "text": " Por esta figura es que esa t\u00e9cnica se conoce"}, {"start": 151.29999999999998, "end": 153.7, "text": " como la calita feliz."}, {"start": 153.7, "end": 155.7, "text": " Tenemos entonces lo siguiente."}, {"start": 155.7, "end": 159.29999999999998, "text": " Con esta operaci\u00f3n trazamos esta l\u00ednea"}, {"start": 159.29999999999998, "end": 161.5, "text": " y aplicamos la calita feliz."}, {"start": 161.5, "end": 166.7, "text": " 1 por coseno al cuadrado de X nos da coseno al cuadrado de X"}, {"start": 166.7, "end": 173.89999999999998, "text": " menos 1 por seno al cuadrado de X nos da seno al cuadrado de X"}, {"start": 173.89999999999998, "end": 177.7, "text": " y abajo tenemos 1 por coseno al cuadrado de X"}, {"start": 177.7, "end": 180.89999999999998, "text": " que nos da coseno al cuadrado de X."}, {"start": 180.89999999999998, "end": 183.2, "text": " Vamos ahora con esta operaci\u00f3n."}, {"start": 183.2, "end": 186.6, "text": " La suma de fracciones con distinto denominador."}, {"start": 186.6, "end": 189.7, "text": " Tenemos 1 por coseno al cuadrado de X"}, {"start": 189.7, "end": 192.39999999999998, "text": " que nos da coseno al cuadrado de X"}, {"start": 192.4, "end": 196.9, "text": " m\u00e1s 1 por seno al cuadrado de X"}, {"start": 196.9, "end": 199.6, "text": " que nos da seno al cuadrado de X"}, {"start": 199.6, "end": 202.5, "text": " y abajo 1 por coseno al cuadrado de X"}, {"start": 202.5, "end": 206.6, "text": " que nos da coseno al cuadrado de X."}, {"start": 206.6, "end": 213.70000000000002, "text": " Vamos a continuar el ejercicio por ac\u00e1 m\u00e1s abajo"}, {"start": 213.70000000000002, "end": 217.1, "text": " y aqu\u00ed tenemos la siguiente situaci\u00f3n."}, {"start": 217.1, "end": 220.3, "text": " Observamos aqu\u00ed dos fracciones que est\u00e1n dividiendo"}, {"start": 220.3, "end": 223.20000000000002, "text": " y que poseen el mismo denominador."}, {"start": 223.20000000000002, "end": 226.0, "text": " Vamos entonces a aplicar lo siguiente."}, {"start": 226.0, "end": 228.9, "text": " Si tenemos una fracci\u00f3n A sobre C"}, {"start": 228.9, "end": 232.4, "text": " sobre otra fracci\u00f3n B sobre C"}, {"start": 232.4, "end": 234.9, "text": " ambas con el mismo denominador"}, {"start": 234.9, "end": 240.4, "text": " entonces all\u00ed podemos quitar o eliminar esos denominadores"}, {"start": 240.4, "end": 244.4, "text": " y nos va a quedar A sobre B."}, {"start": 244.4, "end": 249.20000000000002, "text": " Entonces ac\u00e1 podemos aplicar esa t\u00e9cnica o ese truco."}, {"start": 249.2, "end": 253.0, "text": " Podemos eliminar entonces coseno al cuadrado de X"}, {"start": 253.0, "end": 255.79999999999998, "text": " o sea los denominadores que son iguales"}, {"start": 255.79999999999998, "end": 260.9, "text": " y tendremos coseno al cuadrado de X"}, {"start": 260.9, "end": 265.9, "text": " menos seno al cuadrado de X"}, {"start": 265.9, "end": 271.0, "text": " sobre coseno al cuadrado de X"}, {"start": 271.0, "end": 276.09999999999997, "text": " m\u00e1s seno al cuadrado de X."}, {"start": 276.09999999999997, "end": 278.9, "text": " Ahora tenemos ac\u00e1 en el denominador"}, {"start": 278.9, "end": 283.0, "text": " lo que es la identidad fundamental de la trigonometr\u00eda"}, {"start": 283.0, "end": 287.79999999999995, "text": " coseno al cuadrado de X m\u00e1s seno al cuadrado de X"}, {"start": 287.79999999999995, "end": 290.2, "text": " equivale a 1."}, {"start": 290.2, "end": 294.2, "text": " Entonces esto nos va a quedar \u00fanicamente"}, {"start": 294.2, "end": 296.29999999999995, "text": " lo que tenemos en el numerador"}, {"start": 296.29999999999995, "end": 299.2, "text": " coseno al cuadrado de X"}, {"start": 299.2, "end": 303.79999999999995, "text": " menos seno al cuadrado de X."}, {"start": 303.79999999999995, "end": 306.09999999999997, "text": " A su vez en esta expresi\u00f3n"}, {"start": 306.09999999999997, "end": 308.5, "text": " vamos a realizar lo siguiente."}, {"start": 308.5, "end": 313.1, "text": " Tomamos de nuevo la identidad fundamental de la trigonometr\u00eda"}, {"start": 313.1, "end": 315.4, "text": " la misma que acabamos de citar"}, {"start": 315.4, "end": 317.7, "text": " donde esto equivale a 1"}, {"start": 317.7, "end": 320.9, "text": " y como tenemos que llegar a una expresi\u00f3n"}, {"start": 320.9, "end": 323.0, "text": " que \u00fanicamente contiene seno"}, {"start": 323.0, "end": 327.0, "text": " entonces vamos a cambiar coseno al cuadrado de X"}, {"start": 327.0, "end": 329.8, "text": " por una expresi\u00f3n que contenga seno"}, {"start": 329.8, "end": 332.2, "text": " y esa la vamos a obtener de aqu\u00ed."}, {"start": 332.2, "end": 336.0, "text": " Vamos a despejar coseno al cuadrado de X"}, {"start": 336.0, "end": 340.6, "text": " que ser\u00e1 1 menos seno al cuadrado de X."}, {"start": 340.6, "end": 342.1, "text": " Esto que est\u00e1 sumando"}, {"start": 342.1, "end": 345.2, "text": " pasa al otro lado a restar."}, {"start": 345.2, "end": 349.0, "text": " Ahora lo que hacemos es cambiar coseno al cuadrado de X"}, {"start": 349.0, "end": 350.7, "text": " por esta expresi\u00f3n."}, {"start": 350.7, "end": 353.7, "text": " Vamos a continuar por ac\u00e1"}, {"start": 353.7, "end": 355.6, "text": " y hacemos ese cambio."}, {"start": 355.6, "end": 358.1, "text": " En lugar de coseno al cuadrado de X"}, {"start": 358.1, "end": 363.1, "text": " escribimos 1 menos seno al cuadrado de X"}, {"start": 363.1, "end": 365.6, "text": " y no podemos olvidar este t\u00e9rmino."}, {"start": 365.6, "end": 370.20000000000005, "text": " Otra vez, menos seno al cuadrado de X."}, {"start": 370.20000000000005, "end": 374.0, "text": " Finalmente tenemos ac\u00e1 t\u00e9rminos semejantes"}, {"start": 374.0, "end": 376.6, "text": " que podemos operar entre s\u00ed."}, {"start": 376.6, "end": 379.6, "text": " Entonces esto nos va a quedar como"}, {"start": 379.6, "end": 384.8, "text": " 1 menos 2 seno al cuadrado de X."}, {"start": 384.8, "end": 389.3, "text": " El resultado de reducir estos dos t\u00e9rminos semejantes."}, {"start": 389.3, "end": 391.1, "text": " Y como podemos observar"}, {"start": 391.1, "end": 392.8, "text": " esto es lo que tenemos"}, {"start": 392.8, "end": 396.8, "text": " en el lado izquierdo de la igualdad."}, {"start": 396.8, "end": 399.3, "text": " Entonces, de esta manera"}, {"start": 399.3, "end": 402.40000000000003, "text": " hemos terminado el ejercicio."}, {"start": 402.40000000000003, "end": 404.6, "text": " Hemos comprobado la validez"}, {"start": 404.6, "end": 423.6, "text": " de esta identidad trigonom\u00e9trica."}]

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ECUACIONES LOGARÍTMICAS - Ejercicio 11

#julioprofe explica cómo resolver una ecuación que contiene logaritmos de bases distintas. Tema: #EcuacionesLogarítmicas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwGy9_WwQrZrw9iTXiKDua5T REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver esta ecuación que contiene logaritmos de diferentes bases. Debemos encontrar el valor o los valores de la incógnita X que hacen verdadera esta igualdad. Comenzamos utilizando una propiedad de los logaritmos que se llama cambio de base. Esta propiedad dice lo siguiente. Si tenemos el logaritmo en base A de X, esto será igual al logaritmo en base C de X sobre logaritmo en base C de A. Es decir, podemos llevar un logaritmo que tiene base A a una expresión que contiene logaritmos en otra base. En este caso denotada por la letra C. Para el caso de estos dos logaritmos que como se observa tienen bases diferentes, vamos a llevarlas a la base 2. En este caso 2 hará el papel de la letra C. Tenemos entonces que el logaritmo en base 4 de X nos queda como logaritmo en base 2 de X sobre logaritmo en base 2 de 4. Como se observa hemos aplicado esta propiedad llamada cambio de base. De base 4 pasamos a la base 2 aplicando esta propiedad. Ahora tenemos más logaritmo en base 8 de X utilizando este cambio de base. Tendremos logaritmo en base 2 de X y todo esto sobre el logaritmo en base 2 de 8. Y todo esto nos queda igualado a 1. La razón de haber escogido base 2 para transformar estos logaritmos es que 4 y 8 son potencias del número 2. Sabemos que 4 equivale a 2 al cuadrado y que 8 equivale a 2 al cubo. 4 y 8 son potencias del número 2. Eso nos permite conocer entonces el valor de estos logaritmos que tenemos en los denominadores. Por ejemplo para el caso del logaritmo en la base 2 de 4 tenemos que el resultado es 2. Porque 2 elevado al exponente 2 nos da 4 tal como observamos en esta igualdad. Y de igual forma logaritmo en base 2 de 8 será igual a 3. Porque 2 elevado al exponente 3 nos da como resultado 8 tal como observamos aquí en esta otra igualdad. Entonces teniendo ya estos dos resultados podemos reescribir esta expresión. Tendremos logaritmo en base 2 de X todo esto sobre este resultado que es 2. Acá lo tenemos y esto más logaritmo en base 2 de X todo esto sobre este resultado que nos dio 3. Y todo esto está igualado a 1. Continuamos con el desarrollo del ejercicio resolviendo esta suma de fracciones del diferente denominador. Vamos a utilizar allí la técnica o el truco de la carita feliz. Vamos a recordarlo. Para sumar estas dos fracciones heterogéneas, fracciones con distinto denominador, decimos B por D. Acá abajo. Acá arriba tendremos A por D más B por C. Sirve para sumar o incluso para restar fracciones con distinto denominador. Esto que hemos hecho acá, B por D en el denominador, A por D acá arriba y luego B por C también arriba, es el truco o la técnica de la carita feliz. Con base en esta técnica vamos a resolver esta operación. Trazamos esta línea. Acá tendremos 2 por 3 que nos da 6. Luego tenemos logaritmo en base 2 de X multiplicado por 3. Es decir, 3 por logaritmo en base 2 de X. Luego tenemos más este número 2 multiplicado por esta expresión que nos da 2 logaritmo en base 2 de X y todo eso se encuentra igualado a 1. Ahora, en el numerador tenemos una suma de términos semejantes. Eso nos dará como resultado 5 logaritmo en base 2 de X. Recordemos que se suman los coeficientes y se conserva la parte literal o aquello que hace esos términos semejantes. Todo esto se encuentra sobre 6 y a su vez igualado a 1. De aquí nuestro objetivo es despejar la expresión logaritmo en base 2 de X y para ello comenzamos por pasar este número 6 que está dividiendo al otro lado a multiplicar. Tendremos 5 que multiplica al logaritmo en base 2 de X igual a 6 por 1 que nos da como resultado 6. Ahora, pasamos este número 5 que está multiplicando al otro lado a dividir y tendremos logaritmo en base 2 de X igual a 6 sobre 5 o 6 quintos. Bien, ahora tenemos que encontrar el valor de la letra o incógnita X de esta expresión y para ello vamos a recordar la definición o el concepto de logaritmo. Decimos que el logaritmo en base a de b es igual a c si y solamente si a elevada al exponente c es igual a b. Fue lo que vimos al comienzo de este ejercicio. Cuando teníamos logaritmo en base 2 de 4 que nos dio como resultado 2, esto debido a que 2 elevado al exponente 2 o 2 al cuadrado es igual a 4 o también cuando teníamos que el logaritmo en base 2 de 8 es igual a 3. Esto porque 2 elevado al exponente 3, 2 al cubo nos da como resultado 8. Pues bien, siguiendo esta instrucción o el concepto de logaritmo vamos a pasar esta expresión a la forma de potencia. Decimos 2 elevado al exponente 6 quintos igual a X. Bien, aquí podemos afirmar que ya conocemos el valor de X que hace verdadera esta igualdad, o sea que satisface la ecuación original. Esta será la solución y se acepta porque es una cantidad positiva, requisito para que estos dos organismos existan. Sin embargo, podemos pulir o refinar este resultado utilizando la siguiente propiedad. Si tenemos una cantidad a elevada al exponente m sobre n como en este caso, esto corresponde a una raíz donde tenemos acá en el radicando a a la m y acá en el índice de la raíz la letra n, propiedad de la radicación que conecta con la potenciación. Entonces vamos a transformar esta expresión a la forma de raíz. Tendremos raíz, acá dentro 2 a la 6 y acá afuera el 5. Siguiendo esta instrucción y todo esto igual a X. Ahora, como en el radicando tenemos una potencia cuyo exponente es mayor que el índice de la raíz, entonces podemos descomponerla de tal forma que podamos simplificar ese radical. Tendremos entonces que X será igual a la raíz quinta de 2 a la 6 que se puede descomponer como 2 a la 5 por 2 a la 1. Escogemos aquí el 5 para que pueda simplificarse con el índice de la raíz. Entonces 2 a la 6 lo desbaratamos o descomponemos como 2 a la 5 por 2 a la 1. Ahora aquí podemos aplicar otra propiedad de la radicación. Aquella que nos dice que la raíz enésima de A por B es igual a la raíz enésima de A por la raíz enésima de B. Si tenemos la raíz de un producto, entonces la raíz puede repartirse para cada uno de sus componentes, o sea de los factores. Esto nos va a quedar entonces como la raíz quinta de 2 a la 5 por la raíz quinta de 2 a la 1. Ahora para el caso de este radical donde tenemos estas dos cantidades iguales, podemos aplicar la siguiente propiedad. Si tenemos raíz enésima de A a la N, esto será igual a valor absoluto de A si N es un número par, y será igual a la letra A si N es impar. Entonces como en este caso tenemos un número impar, esta raíz será simplemente igual a A, es decir en este caso al número 2. Tenemos entonces que X será igual a 2, resultado de este radical que multiplica a la raíz quinta de 2 a la 1, pero acá podemos hacer invisible el exponente 1 y nos queda simplemente 2. Bien, de esta manera ya hemos encontrado el valor de X, la solución de la ecuación inicial expresada en una forma un poco mejor que la que habíamos obtenido inicialmente. Habíamos tenido X igual a 2 elevado al exponente 6 quintos, o también se puede expresar como 2 por la raíz quinta de 2. Entonces podemos suprimir este punto que sabemos que indica multiplicación, y de esta manera encontramos la respuesta para este ejercicio.

[{"start": 0.0, "end": 5.8, "text": " Vamos a resolver esta ecuaci\u00f3n que contiene logaritmos de diferentes bases."}, {"start": 5.8, "end": 14.6, "text": " Debemos encontrar el valor o los valores de la inc\u00f3gnita X que hacen verdadera esta igualdad."}, {"start": 14.6, "end": 26.6, "text": " Comenzamos utilizando una propiedad de los logaritmos que se llama cambio de base."}, {"start": 26.6, "end": 30.200000000000003, "text": " Esta propiedad dice lo siguiente."}, {"start": 30.200000000000003, "end": 44.8, "text": " Si tenemos el logaritmo en base A de X, esto ser\u00e1 igual al logaritmo en base C de X sobre logaritmo en base C de A."}, {"start": 44.8, "end": 53.6, "text": " Es decir, podemos llevar un logaritmo que tiene base A a una expresi\u00f3n que contiene logaritmos en otra base."}, {"start": 53.6, "end": 57.6, "text": " En este caso denotada por la letra C."}, {"start": 57.6, "end": 66.6, "text": " Para el caso de estos dos logaritmos que como se observa tienen bases diferentes, vamos a llevarlas a la base 2."}, {"start": 66.6, "end": 71.4, "text": " En este caso 2 har\u00e1 el papel de la letra C."}, {"start": 71.4, "end": 83.80000000000001, "text": " Tenemos entonces que el logaritmo en base 4 de X nos queda como logaritmo en base 2 de X sobre logaritmo en base 2 de 4."}, {"start": 83.80000000000001, "end": 89.80000000000001, "text": " Como se observa hemos aplicado esta propiedad llamada cambio de base."}, {"start": 89.80000000000001, "end": 96.4, "text": " De base 4 pasamos a la base 2 aplicando esta propiedad."}, {"start": 96.4, "end": 103.80000000000001, "text": " Ahora tenemos m\u00e1s logaritmo en base 8 de X utilizando este cambio de base."}, {"start": 103.80000000000001, "end": 113.60000000000001, "text": " Tendremos logaritmo en base 2 de X y todo esto sobre el logaritmo en base 2 de 8."}, {"start": 113.60000000000001, "end": 118.2, "text": " Y todo esto nos queda igualado a 1."}, {"start": 118.2, "end": 128.6, "text": " La raz\u00f3n de haber escogido base 2 para transformar estos logaritmos es que 4 y 8 son potencias del n\u00famero 2."}, {"start": 128.6, "end": 138.2, "text": " Sabemos que 4 equivale a 2 al cuadrado y que 8 equivale a 2 al cubo."}, {"start": 138.2, "end": 142.4, "text": " 4 y 8 son potencias del n\u00famero 2."}, {"start": 142.4, "end": 149.4, "text": " Eso nos permite conocer entonces el valor de estos logaritmos que tenemos en los denominadores."}, {"start": 149.4, "end": 159.0, "text": " Por ejemplo para el caso del logaritmo en la base 2 de 4 tenemos que el resultado es 2."}, {"start": 159.0, "end": 166.8, "text": " Porque 2 elevado al exponente 2 nos da 4 tal como observamos en esta igualdad."}, {"start": 166.8, "end": 174.4, "text": " Y de igual forma logaritmo en base 2 de 8 ser\u00e1 igual a 3."}, {"start": 174.4, "end": 185.4, "text": " Porque 2 elevado al exponente 3 nos da como resultado 8 tal como observamos aqu\u00ed en esta otra igualdad."}, {"start": 185.4, "end": 192.60000000000002, "text": " Entonces teniendo ya estos dos resultados podemos reescribir esta expresi\u00f3n."}, {"start": 192.6, "end": 200.79999999999998, "text": " Tendremos logaritmo en base 2 de X todo esto sobre este resultado que es 2."}, {"start": 200.79999999999998, "end": 212.4, "text": " Ac\u00e1 lo tenemos y esto m\u00e1s logaritmo en base 2 de X todo esto sobre este resultado que nos dio 3."}, {"start": 212.4, "end": 216.4, "text": " Y todo esto est\u00e1 igualado a 1."}, {"start": 216.4, "end": 224.4, "text": " Continuamos con el desarrollo del ejercicio resolviendo esta suma de fracciones del diferente denominador."}, {"start": 224.4, "end": 230.0, "text": " Vamos a utilizar all\u00ed la t\u00e9cnica o el truco de la carita feliz."}, {"start": 230.0, "end": 234.0, "text": " Vamos a recordarlo."}, {"start": 234.0, "end": 239.4, "text": " Para sumar estas dos fracciones heterog\u00e9neas, fracciones con distinto denominador,"}, {"start": 239.4, "end": 241.6, "text": " decimos B por D."}, {"start": 241.6, "end": 243.20000000000002, "text": " Ac\u00e1 abajo."}, {"start": 243.2, "end": 250.2, "text": " Ac\u00e1 arriba tendremos A por D m\u00e1s B por C."}, {"start": 250.2, "end": 256.4, "text": " Sirve para sumar o incluso para restar fracciones con distinto denominador."}, {"start": 256.4, "end": 265.2, "text": " Esto que hemos hecho ac\u00e1, B por D en el denominador, A por D ac\u00e1 arriba y luego B por C tambi\u00e9n arriba,"}, {"start": 265.2, "end": 270.2, "text": " es el truco o la t\u00e9cnica de la carita feliz."}, {"start": 270.2, "end": 275.4, "text": " Con base en esta t\u00e9cnica vamos a resolver esta operaci\u00f3n."}, {"start": 275.4, "end": 278.2, "text": " Trazamos esta l\u00ednea."}, {"start": 278.2, "end": 282.4, "text": " Ac\u00e1 tendremos 2 por 3 que nos da 6."}, {"start": 282.4, "end": 286.59999999999997, "text": " Luego tenemos logaritmo en base 2 de X multiplicado por 3."}, {"start": 286.59999999999997, "end": 291.59999999999997, "text": " Es decir, 3 por logaritmo en base 2 de X."}, {"start": 291.6, "end": 302.0, "text": " Luego tenemos m\u00e1s este n\u00famero 2 multiplicado por esta expresi\u00f3n que nos da 2 logaritmo en base 2 de X"}, {"start": 302.0, "end": 307.0, "text": " y todo eso se encuentra igualado a 1."}, {"start": 307.0, "end": 312.6, "text": " Ahora, en el numerador tenemos una suma de t\u00e9rminos semejantes."}, {"start": 312.6, "end": 319.20000000000005, "text": " Eso nos dar\u00e1 como resultado 5 logaritmo en base 2 de X."}, {"start": 319.2, "end": 329.2, "text": " Recordemos que se suman los coeficientes y se conserva la parte literal o aquello que hace esos t\u00e9rminos semejantes."}, {"start": 329.2, "end": 335.2, "text": " Todo esto se encuentra sobre 6 y a su vez igualado a 1."}, {"start": 335.2, "end": 341.8, "text": " De aqu\u00ed nuestro objetivo es despejar la expresi\u00f3n logaritmo en base 2 de X"}, {"start": 341.8, "end": 349.2, "text": " y para ello comenzamos por pasar este n\u00famero 6 que est\u00e1 dividiendo al otro lado a multiplicar."}, {"start": 349.2, "end": 360.0, "text": " Tendremos 5 que multiplica al logaritmo en base 2 de X igual a 6 por 1 que nos da como resultado 6."}, {"start": 360.0, "end": 366.40000000000003, "text": " Ahora, pasamos este n\u00famero 5 que est\u00e1 multiplicando al otro lado a dividir"}, {"start": 366.4, "end": 377.59999999999997, "text": " y tendremos logaritmo en base 2 de X igual a 6 sobre 5 o 6 quintos."}, {"start": 377.59999999999997, "end": 384.59999999999997, "text": " Bien, ahora tenemos que encontrar el valor de la letra o inc\u00f3gnita X de esta expresi\u00f3n"}, {"start": 384.59999999999997, "end": 391.2, "text": " y para ello vamos a recordar la definici\u00f3n o el concepto de logaritmo."}, {"start": 391.2, "end": 404.2, "text": " Decimos que el logaritmo en base a de b es igual a c si y solamente si a elevada al exponente c es igual a b."}, {"start": 404.2, "end": 408.59999999999997, "text": " Fue lo que vimos al comienzo de este ejercicio."}, {"start": 408.59999999999997, "end": 415.4, "text": " Cuando ten\u00edamos logaritmo en base 2 de 4 que nos dio como resultado 2,"}, {"start": 415.4, "end": 423.59999999999997, "text": " esto debido a que 2 elevado al exponente 2 o 2 al cuadrado es igual a 4"}, {"start": 423.59999999999997, "end": 430.0, "text": " o tambi\u00e9n cuando ten\u00edamos que el logaritmo en base 2 de 8 es igual a 3."}, {"start": 430.0, "end": 438.4, "text": " Esto porque 2 elevado al exponente 3, 2 al cubo nos da como resultado 8."}, {"start": 438.4, "end": 443.4, "text": " Pues bien, siguiendo esta instrucci\u00f3n o el concepto de logaritmo"}, {"start": 443.4, "end": 447.59999999999997, "text": " vamos a pasar esta expresi\u00f3n a la forma de potencia."}, {"start": 447.59999999999997, "end": 457.59999999999997, "text": " Decimos 2 elevado al exponente 6 quintos igual a X."}, {"start": 457.59999999999997, "end": 464.79999999999995, "text": " Bien, aqu\u00ed podemos afirmar que ya conocemos el valor de X que hace verdadera esta igualdad,"}, {"start": 464.79999999999995, "end": 468.79999999999995, "text": " o sea que satisface la ecuaci\u00f3n original."}, {"start": 468.8, "end": 474.6, "text": " Esta ser\u00e1 la soluci\u00f3n y se acepta porque es una cantidad positiva,"}, {"start": 474.6, "end": 479.0, "text": " requisito para que estos dos organismos existan."}, {"start": 479.0, "end": 485.8, "text": " Sin embargo, podemos pulir o refinar este resultado utilizando la siguiente propiedad."}, {"start": 485.8, "end": 493.6, "text": " Si tenemos una cantidad a elevada al exponente m sobre n como en este caso,"}, {"start": 493.6, "end": 501.0, "text": " esto corresponde a una ra\u00edz donde tenemos ac\u00e1 en el radicando a a la m"}, {"start": 501.0, "end": 505.40000000000003, "text": " y ac\u00e1 en el \u00edndice de la ra\u00edz la letra n,"}, {"start": 505.40000000000003, "end": 510.40000000000003, "text": " propiedad de la radicaci\u00f3n que conecta con la potenciaci\u00f3n."}, {"start": 510.40000000000003, "end": 515.6, "text": " Entonces vamos a transformar esta expresi\u00f3n a la forma de ra\u00edz."}, {"start": 515.6, "end": 523.4, "text": " Tendremos ra\u00edz, ac\u00e1 dentro 2 a la 6 y ac\u00e1 afuera el 5."}, {"start": 523.4, "end": 529.6, "text": " Siguiendo esta instrucci\u00f3n y todo esto igual a X."}, {"start": 529.6, "end": 538.6, "text": " Ahora, como en el radicando tenemos una potencia cuyo exponente es mayor que el \u00edndice de la ra\u00edz,"}, {"start": 538.6, "end": 545.4, "text": " entonces podemos descomponerla de tal forma que podamos simplificar ese radical."}, {"start": 545.4, "end": 560.0, "text": " Tendremos entonces que X ser\u00e1 igual a la ra\u00edz quinta de 2 a la 6 que se puede descomponer como 2 a la 5 por 2 a la 1."}, {"start": 560.0, "end": 566.1999999999999, "text": " Escogemos aqu\u00ed el 5 para que pueda simplificarse con el \u00edndice de la ra\u00edz."}, {"start": 566.1999999999999, "end": 574.6, "text": " Entonces 2 a la 6 lo desbaratamos o descomponemos como 2 a la 5 por 2 a la 1."}, {"start": 574.6, "end": 580.2, "text": " Ahora aqu\u00ed podemos aplicar otra propiedad de la radicaci\u00f3n."}, {"start": 580.2, "end": 590.6, "text": " Aquella que nos dice que la ra\u00edz en\u00e9sima de A por B es igual a la ra\u00edz en\u00e9sima de A por la ra\u00edz en\u00e9sima de B."}, {"start": 590.6, "end": 598.6, "text": " Si tenemos la ra\u00edz de un producto, entonces la ra\u00edz puede repartirse para cada uno de sus componentes,"}, {"start": 598.6, "end": 611.6, "text": " o sea de los factores. Esto nos va a quedar entonces como la ra\u00edz quinta de 2 a la 5 por la ra\u00edz quinta de 2 a la 1."}, {"start": 611.6, "end": 617.6, "text": " Ahora para el caso de este radical donde tenemos estas dos cantidades iguales,"}, {"start": 617.6, "end": 620.6, "text": " podemos aplicar la siguiente propiedad."}, {"start": 620.6, "end": 630.6, "text": " Si tenemos ra\u00edz en\u00e9sima de A a la N, esto ser\u00e1 igual a valor absoluto de A si N es un n\u00famero par,"}, {"start": 630.6, "end": 638.6, "text": " y ser\u00e1 igual a la letra A si N es impar."}, {"start": 638.6, "end": 646.6, "text": " Entonces como en este caso tenemos un n\u00famero impar, esta ra\u00edz ser\u00e1 simplemente igual a A,"}, {"start": 646.6, "end": 650.6, "text": " es decir en este caso al n\u00famero 2."}, {"start": 650.6, "end": 660.6, "text": " Tenemos entonces que X ser\u00e1 igual a 2, resultado de este radical que multiplica a la ra\u00edz quinta de 2 a la 1,"}, {"start": 660.6, "end": 666.6, "text": " pero ac\u00e1 podemos hacer invisible el exponente 1 y nos queda simplemente 2."}, {"start": 666.6, "end": 677.6, "text": " Bien, de esta manera ya hemos encontrado el valor de X, la soluci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n inicial expresada en una forma un poco mejor"}, {"start": 677.6, "end": 680.6, "text": " que la que hab\u00edamos obtenido inicialmente."}, {"start": 680.6, "end": 692.6, "text": " Hab\u00edamos tenido X igual a 2 elevado al exponente 6 quintos, o tambi\u00e9n se puede expresar como 2 por la ra\u00edz quinta de 2."}, {"start": 692.6, "end": 698.6, "text": " Entonces podemos suprimir este punto que sabemos que indica multiplicaci\u00f3n,"}, {"start": 698.6, "end": 726.6, "text": " y de esta manera encontramos la respuesta para este ejercicio."}]

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Problema 1 de MEZCLA

#julioprofe explica cómo resolver un problema de mezcla: Se dispone de dos clases de café: uno de $1.05 y otro de $1.25 la libra. ¿Qué cantidad se utiliza de cada uno para obtener café de $1.20 la libra, si de la mejor clase se toman 20 libras más que la otra? Tema: #ProblemasDeMezclas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHoS3jOSnaT0V_34sWbf89X REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Se dispone de dos clases de café, uno de un dólar con 5 centavos y otro de un dólar con 25 centavos la libra. ¿Qué cantidad se utiliza de cada uno para obtener café de un dólar con 20 centavos la libra? Si de la mejor clase se toman 20 libras más que la otra. Bien, tenemos en este caso un problema de mezcla y lo vamos a plantear de la siguiente manera. Llamamos X a la cantidad de café, esa cantidad expresada en libras, que tiene un precio de un dólar con 5 centavos la libra. En este caso será el café de menor calidad. Y por acá al final nos dicen que de la mejor clase, es decir del café que cuesta un dólar con 25 centavos la libra, se van a utilizar 20 libras más que la otra. Entonces podemos expresar como X más 20 la cantidad de café también expresada en libras que tiene un precio de un dólar con 25 centavos. Lo podemos expresar así en forma decimal. Para que en este problema no tengamos que trabajar con cantidades decimales, podemos transformar estos valores a centavos. Recordemos que un dólar equivale a 100 centavos. Entonces si multiplicamos este número por 100 nos queda 105. Recordemos que el punto decimal se corre dos lugares a la derecha y nos da de esa manera un número entero. Son 105 centavos el precio del café de menor calidad. Y acá también multiplicando por 100 nos da 125 centavos que es el precio por libra del café de mejor calidad. Nos dice el problema que se quiere obtener un café de un dólar con 20 centavos la libra. Es decir que la mezcla final debe tener un precio por libra de un dólar con 20 centavos. También expresamos este valor en centavos. Multiplicamos este número por 100 y de esa forma ya tenemos un número entero. Para plantear un problema como este que tiene que ver con mezcla entonces hacemos lo siguiente. Tomamos la cantidad del componente 1 multiplicada por el precio unitario del componente 1. Esto más la cantidad del componente 2 multiplicada por el precio unitario del componente 2. Y al otro lado de la igualdad colocamos la cantidad de la mezcla multiplicada por el precio unitario de la mezcla. Siempre en el lado izquierdo se acostumbra colocar o escribir los componentes y en el lado derecho la mezcla. Acá tenemos como parámetro el precio de cada uno de los componentes. En otras ocasiones se puede hablar de concentración. Entonces acá también hablaríamos de concentración final de la mezcla. Esto que tenemos aquí hace referencia al café de menor calidad el que cuesta un dólar con 5 centavos la libra. Esto que tenemos acá hace referencia al café de mejor calidad que es de un dólar con 25 centavos la libra. Y acá tenemos lo relacionado con la mezcla que va a tener un precio de un dólar con 20 centavos la libra. Comenzamos entonces. Cantidad del componente 1 es x y esto multiplicado por el precio unitario de ese componente que dijimos es 105. Para trabajar con centavos o sea con números enteros. Vamos al componente 2 el café de mejor calidad. La cantidad es x más 20. Recordemos que el enunciado nos dice que se utilizan 20 libras más que lo que se usa del otro café. Y esto multiplicado por el precio unitario del café de mejor calidad que es 125 centavos. Pasamos al otro lado de la igualdad donde vamos a tener que la cantidad de la mezcla es la suma de estas dos que tenemos en sus elementos que la conforman. X más x más 20 la cantidad de libras que se utilizan de cada tipo de café. Y esto multiplicado por el precio unitario de la mezcla que es 120 centavos. Bien ahora tenemos que concentrarnos en resolver esta ecuación. Vamos a organizar esto. X por 105 se puede escribir como 105x. X más 20 por 125 lo podemos acomodar como 125 que multiplica a x más 20. Y al otro lado de la igualdad podemos sumar estos dos términos semejantes. Tenemos x más x que es 2x esto más 20. Y como todo eso multiplica con 120 podemos acomodar este número por allí. Enseguida vamos a romper estos paréntesis. Tenemos 105x más aplicamos acá la propiedad distributiva. 125 por x nos da 125x. Luego tenemos 125 que multiplica a más 20. Y eso nos da como resultado 2500. Vamos al otro lado de la igualdad donde también rompemos el paréntesis aplicando la propiedad distributiva. 120 por 2x nos da como resultado 240x. Y esto más 120 por 20 que nos da como resultado 2400. A continuación vamos a realizar lo que se llama transposición de términos. Vamos a dejar en el lado izquierdo de la igualdad aquellos que contienen la incógnita x. Y en el lado derecho dejamos únicamente los números. Comenzamos con 105x más 125x. Pasamos este término que está positivo a este lado negativo. Menos 240x. Y al otro lado tendremos 2400. Y pasamos este número como está positivo llega a este lado con signo negativo. Hacemos en el lado izquierdo la reducción de términos semejantes. Tenemos 105x más 125x. Eso nos da 230x. Y 230x menos 240x nos da como resultado menos 10x. Resolvemos al otro lado esta operación que nos da como resultado menos 100. De allí podemos despejar x. Para ello este número que está multiplicando pasa al otro lado a dividir. Y conserva su signo. Entonces pasa siendo negativo. Por último efectuamos esta división. Menos con menos nos da más. 100 dividido entre 10 nos da como resultado 10. De esta manera ya conocemos el valor de la incógnita x. La que habíamos utilizado para plantear el problema. Procedemos entonces a escribir la respuesta. Decimos que para obtener la mezcla de 1 dólar con 20 centavos la libra se utilizan x es decir 10 libras de café de menor calidad. Es decir el que cuesta 1 dólar con 5 centavos la libra. Y se usan x más 20. O sea 10 más 20 que nos da 30 libras de café de mejor calidad. O sea el que tiene un costo de 1 dólar con 25 centavos por libra. Así terminamos este problema.

[{"start": 0.0, "end": 9.5, "text": " Se dispone de dos clases de caf\u00e9, uno de un d\u00f3lar con 5 centavos y otro de un d\u00f3lar con 25 centavos la libra."}, {"start": 9.5, "end": 17.0, "text": " \u00bfQu\u00e9 cantidad se utiliza de cada uno para obtener caf\u00e9 de un d\u00f3lar con 20 centavos la libra?"}, {"start": 17.0, "end": 22.3, "text": " Si de la mejor clase se toman 20 libras m\u00e1s que la otra."}, {"start": 22.3, "end": 29.7, "text": " Bien, tenemos en este caso un problema de mezcla y lo vamos a plantear de la siguiente manera."}, {"start": 29.7, "end": 48.2, "text": " Llamamos X a la cantidad de caf\u00e9, esa cantidad expresada en libras, que tiene un precio de un d\u00f3lar con 5 centavos la libra."}, {"start": 48.2, "end": 52.8, "text": " En este caso ser\u00e1 el caf\u00e9 de menor calidad."}, {"start": 52.8, "end": 65.8, "text": " Y por ac\u00e1 al final nos dicen que de la mejor clase, es decir del caf\u00e9 que cuesta un d\u00f3lar con 25 centavos la libra, se van a utilizar 20 libras m\u00e1s que la otra."}, {"start": 65.8, "end": 87.3, "text": " Entonces podemos expresar como X m\u00e1s 20 la cantidad de caf\u00e9 tambi\u00e9n expresada en libras que tiene un precio de un d\u00f3lar con 25 centavos."}, {"start": 87.3, "end": 91.8, "text": " Lo podemos expresar as\u00ed en forma decimal."}, {"start": 91.8, "end": 100.8, "text": " Para que en este problema no tengamos que trabajar con cantidades decimales, podemos transformar estos valores a centavos."}, {"start": 100.8, "end": 104.8, "text": " Recordemos que un d\u00f3lar equivale a 100 centavos."}, {"start": 104.8, "end": 109.8, "text": " Entonces si multiplicamos este n\u00famero por 100 nos queda 105."}, {"start": 109.8, "end": 117.8, "text": " Recordemos que el punto decimal se corre dos lugares a la derecha y nos da de esa manera un n\u00famero entero."}, {"start": 117.8, "end": 123.8, "text": " Son 105 centavos el precio del caf\u00e9 de menor calidad."}, {"start": 123.8, "end": 134.8, "text": " Y ac\u00e1 tambi\u00e9n multiplicando por 100 nos da 125 centavos que es el precio por libra del caf\u00e9 de mejor calidad."}, {"start": 134.8, "end": 141.8, "text": " Nos dice el problema que se quiere obtener un caf\u00e9 de un d\u00f3lar con 20 centavos la libra."}, {"start": 141.8, "end": 153.8, "text": " Es decir que la mezcla final debe tener un precio por libra de un d\u00f3lar con 20 centavos."}, {"start": 153.8, "end": 157.8, "text": " Tambi\u00e9n expresamos este valor en centavos."}, {"start": 157.8, "end": 164.8, "text": " Multiplicamos este n\u00famero por 100 y de esa forma ya tenemos un n\u00famero entero."}, {"start": 164.8, "end": 171.8, "text": " Para plantear un problema como este que tiene que ver con mezcla entonces hacemos lo siguiente."}, {"start": 171.8, "end": 179.8, "text": " Tomamos la cantidad del componente 1 multiplicada por el precio unitario del componente 1."}, {"start": 179.8, "end": 188.8, "text": " Esto m\u00e1s la cantidad del componente 2 multiplicada por el precio unitario del componente 2."}, {"start": 188.8, "end": 198.8, "text": " Y al otro lado de la igualdad colocamos la cantidad de la mezcla multiplicada por el precio unitario de la mezcla."}, {"start": 198.8, "end": 207.8, "text": " Siempre en el lado izquierdo se acostumbra colocar o escribir los componentes y en el lado derecho la mezcla."}, {"start": 207.8, "end": 213.8, "text": " Ac\u00e1 tenemos como par\u00e1metro el precio de cada uno de los componentes."}, {"start": 213.8, "end": 216.8, "text": " En otras ocasiones se puede hablar de concentraci\u00f3n."}, {"start": 216.8, "end": 222.8, "text": " Entonces ac\u00e1 tambi\u00e9n hablar\u00edamos de concentraci\u00f3n final de la mezcla."}, {"start": 222.8, "end": 231.8, "text": " Esto que tenemos aqu\u00ed hace referencia al caf\u00e9 de menor calidad el que cuesta un d\u00f3lar con 5 centavos la libra."}, {"start": 231.8, "end": 239.8, "text": " Esto que tenemos ac\u00e1 hace referencia al caf\u00e9 de mejor calidad que es de un d\u00f3lar con 25 centavos la libra."}, {"start": 239.8, "end": 248.8, "text": " Y ac\u00e1 tenemos lo relacionado con la mezcla que va a tener un precio de un d\u00f3lar con 20 centavos la libra."}, {"start": 248.8, "end": 250.8, "text": " Comenzamos entonces."}, {"start": 250.8, "end": 261.8, "text": " Cantidad del componente 1 es x y esto multiplicado por el precio unitario de ese componente que dijimos es 105."}, {"start": 261.8, "end": 266.8, "text": " Para trabajar con centavos o sea con n\u00fameros enteros."}, {"start": 266.8, "end": 270.8, "text": " Vamos al componente 2 el caf\u00e9 de mejor calidad."}, {"start": 270.8, "end": 273.8, "text": " La cantidad es x m\u00e1s 20."}, {"start": 273.8, "end": 281.8, "text": " Recordemos que el enunciado nos dice que se utilizan 20 libras m\u00e1s que lo que se usa del otro caf\u00e9."}, {"start": 281.8, "end": 290.8, "text": " Y esto multiplicado por el precio unitario del caf\u00e9 de mejor calidad que es 125 centavos."}, {"start": 290.8, "end": 303.8, "text": " Pasamos al otro lado de la igualdad donde vamos a tener que la cantidad de la mezcla es la suma de estas dos que tenemos en sus elementos que la conforman."}, {"start": 303.8, "end": 311.8, "text": " X m\u00e1s x m\u00e1s 20 la cantidad de libras que se utilizan de cada tipo de caf\u00e9."}, {"start": 311.8, "end": 318.8, "text": " Y esto multiplicado por el precio unitario de la mezcla que es 120 centavos."}, {"start": 318.8, "end": 323.8, "text": " Bien ahora tenemos que concentrarnos en resolver esta ecuaci\u00f3n."}, {"start": 323.8, "end": 325.8, "text": " Vamos a organizar esto."}, {"start": 325.8, "end": 330.8, "text": " X por 105 se puede escribir como 105x."}, {"start": 330.8, "end": 340.8, "text": " X m\u00e1s 20 por 125 lo podemos acomodar como 125 que multiplica a x m\u00e1s 20."}, {"start": 340.8, "end": 345.8, "text": " Y al otro lado de la igualdad podemos sumar estos dos t\u00e9rminos semejantes."}, {"start": 345.8, "end": 351.8, "text": " Tenemos x m\u00e1s x que es 2x esto m\u00e1s 20."}, {"start": 351.8, "end": 358.8, "text": " Y como todo eso multiplica con 120 podemos acomodar este n\u00famero por all\u00ed."}, {"start": 358.8, "end": 362.8, "text": " Enseguida vamos a romper estos par\u00e9ntesis."}, {"start": 362.8, "end": 369.8, "text": " Tenemos 105x m\u00e1s aplicamos ac\u00e1 la propiedad distributiva."}, {"start": 369.8, "end": 375.8, "text": " 125 por x nos da 125x."}, {"start": 375.8, "end": 380.8, "text": " Luego tenemos 125 que multiplica a m\u00e1s 20."}, {"start": 380.8, "end": 384.8, "text": " Y eso nos da como resultado 2500."}, {"start": 384.8, "end": 392.8, "text": " Vamos al otro lado de la igualdad donde tambi\u00e9n rompemos el par\u00e9ntesis aplicando la propiedad distributiva."}, {"start": 392.8, "end": 398.8, "text": " 120 por 2x nos da como resultado 240x."}, {"start": 398.8, "end": 408.8, "text": " Y esto m\u00e1s 120 por 20 que nos da como resultado 2400."}, {"start": 408.8, "end": 413.8, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a realizar lo que se llama transposici\u00f3n de t\u00e9rminos."}, {"start": 413.8, "end": 419.8, "text": " Vamos a dejar en el lado izquierdo de la igualdad aquellos que contienen la inc\u00f3gnita x."}, {"start": 419.8, "end": 423.8, "text": " Y en el lado derecho dejamos \u00fanicamente los n\u00fameros."}, {"start": 423.8, "end": 430.8, "text": " Comenzamos con 105x m\u00e1s 125x."}, {"start": 430.8, "end": 435.8, "text": " Pasamos este t\u00e9rmino que est\u00e1 positivo a este lado negativo."}, {"start": 435.8, "end": 438.8, "text": " Menos 240x."}, {"start": 438.8, "end": 442.8, "text": " Y al otro lado tendremos 2400."}, {"start": 442.8, "end": 449.8, "text": " Y pasamos este n\u00famero como est\u00e1 positivo llega a este lado con signo negativo."}, {"start": 449.8, "end": 454.8, "text": " Hacemos en el lado izquierdo la reducci\u00f3n de t\u00e9rminos semejantes."}, {"start": 454.8, "end": 458.8, "text": " Tenemos 105x m\u00e1s 125x."}, {"start": 458.8, "end": 461.8, "text": " Eso nos da 230x."}, {"start": 461.8, "end": 469.8, "text": " Y 230x menos 240x nos da como resultado menos 10x."}, {"start": 469.8, "end": 474.8, "text": " Resolvemos al otro lado esta operaci\u00f3n que nos da como resultado menos 100."}, {"start": 474.8, "end": 476.8, "text": " De all\u00ed podemos despejar x."}, {"start": 476.8, "end": 482.8, "text": " Para ello este n\u00famero que est\u00e1 multiplicando pasa al otro lado a dividir."}, {"start": 482.8, "end": 484.8, "text": " Y conserva su signo."}, {"start": 484.8, "end": 487.8, "text": " Entonces pasa siendo negativo."}, {"start": 487.8, "end": 490.8, "text": " Por \u00faltimo efectuamos esta divisi\u00f3n."}, {"start": 490.8, "end": 492.8, "text": " Menos con menos nos da m\u00e1s."}, {"start": 492.8, "end": 497.8, "text": " 100 dividido entre 10 nos da como resultado 10."}, {"start": 497.8, "end": 502.8, "text": " De esta manera ya conocemos el valor de la inc\u00f3gnita x."}, {"start": 502.8, "end": 506.8, "text": " La que hab\u00edamos utilizado para plantear el problema."}, {"start": 506.8, "end": 510.8, "text": " Procedemos entonces a escribir la respuesta."}, {"start": 510.8, "end": 517.8, "text": " Decimos que para obtener la mezcla de 1 d\u00f3lar con 20 centavos la libra se utilizan"}, {"start": 517.8, "end": 527.8, "text": " x es decir 10 libras de caf\u00e9 de menor calidad."}, {"start": 527.8, "end": 533.8, "text": " Es decir el que cuesta 1 d\u00f3lar con 5 centavos la libra."}, {"start": 533.8, "end": 537.8, "text": " Y se usan x m\u00e1s 20."}, {"start": 537.8, "end": 547.8, "text": " O sea 10 m\u00e1s 20 que nos da 30 libras de caf\u00e9 de mejor calidad."}, {"start": 547.8, "end": 555.8, "text": " O sea el que tiene un costo de 1 d\u00f3lar con 25 centavos por libra."}, {"start": 555.8, "end": 557.8, "text": " As\u00ed terminamos este problema."}]

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INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES - Ejercicio 4

#julioprofe explica cómo resolver una integral indefinida por el Método de las Fracciones Parciales. Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver esta integral indefinida donde observamos en el integrando una función racional. Vemos en el numerador un polinomio de grado 4 y en el denominador un binomio que tiene grado 2. Como tenemos grado del numerador mayor que el grado del denominador, entonces debemos comenzar por efectuar esta división de polinomios. Comenzamos escribiendo el dividendo que es 6x a la 4. Luego tenemos que el término que contiene x al cubo no aparece, entonces debemos dejar el espacio en blanco. Después más adelante escribimos más 23x al cuadrado, luego el término más 4x, el que corresponde al grado 1 y después más 15, o sea el término independiente. Entonces repetimos, primer requisito para efectuar la división de polinomios es que el dividendo esté organizado en forma descendente y que si hace falta algún término de esa secuencia, entonces respetamos su lugar, dejando el espacio en blanco o también podemos completar con 0. Ahora en este espacio vamos a escribir el divisor que en este caso es x al cuadrado más 3. También debe estar organizado en forma descendente, pero si hace falta algún término de la secuencia como en este caso que nos falta el término x a la 1, entonces no es necesario dejar el espacio en blanco como si ocurre con el dividendo. Damos inicio al procedimiento dividiendo el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, es decir 6x a la 4 dividido entre x al cuadrado. Repetimos, primer término del dividendo dividido entre el primer término del divisor, eso nos da como resultado 6x al cuadrado, recordemos que aquí se restan los exponentes y por eso obtenemos ese resultado, eso lo escribimos aquí, será el primer término del cociente. Entonces hacemos ahora lo siguiente, multiplicamos 6x al cuadrado por x al cuadrado, eso nos da como resultado 6x a la 4 y lo pasamos al otro lado con signo contrario, es decir como menos 6x a la 4 y lo escribimos debajo de su término semejante. Vamos ahora con 6x al cuadrado por más 3, eso nos da como resultado 18x al cuadrado positivo, entonces lo llevamos allá con signo contrario, es decir con signo negativo y lo escribimos en la columna correspondiente al grado 2, es decir debajo de su término semejante. Ahora vamos a efectuar la suma en forma vertical, este término sumado con este nos da como resultado 0, se cancelan entre sí por ser términos opuestos, vamos con estos dos, 23 con menos 18 nos da 5 positivo, 5x al cuadrado es el resultado de esa suma. Y estos dos términos los escribimos debajo de la línea horizontal, porque aquí no tenemos nada o es como si tuviéramos 0. Vamos ahora con el siguiente término del cociente, para ello tomamos el primer término del nuevo dividendo, es decir 5x al cuadrado y vamos a dividirlo entre el primer término del divisor que es x al cuadrado, esa división nos da como resultado 5, se cancela x al cuadrado. Ese 5 positivo será el siguiente término del cociente y vamos a repetir el procedimiento, 5x al cuadrado nos da 5x al cuadrado, pasa al otro lado con signo negativo, es decir menos 5x al cuadrado y lo localizamos en la columna que corresponde a ese grado, es decir debajo de su término semejante. Vamos ahora con 5 por 3 que nos da 15 positivo, entonces pasa al otro lado con signo contrario, es decir como 15 negativo en la columna que corresponde a los términos independientes. Efectuamos ahora la suma en forma vertical, 5x al cuadrado sumado con menos 5x al cuadrado nos da 0, son términos opuestos que podemos cancelar, más 4x lo vamos a escribir debajo de la línea, porque aquí no tenemos nada, es como si tuviéramos 0. Y finalmente la suma de estos dos números también nos da 0, por tratarse de números opuestos. En este momento podemos decir que ya la división terminó, porque tenemos en el residuo una expresión de grado inferior a lo que tenemos en el divisor. Vemos que aquí es el grado 1 y acá tenemos grado 2, entonces eso nos permite finalizar el procedimiento de la división de polinomios. Podemos identificar allí los siguientes componentes, dividendo, o sea el numerador de esta función racional, acá tenemos el divisor que corresponde al denominador, tenemos el cociente que vamos a escribir por acá, cociente 6x al cuadrado más 5, y tenemos como residuo la expresión 4x, entonces repetimos, el numerador será el dividendo, el denominador será el divisor, esto es el cociente y este es el residuo de esa división. Con esos cuatro componentes vamos a recordar lo siguiente, dividendo, divisor, cociente y residuo, los cuatro componentes de una división como la que acabamos de realizar. Sabemos que para probar una división el dividendo tiene que ser igual al cociente por el divisor más el residuo, esto es lo que se llama la prueba de la división. Entonces vamos a realizar lo siguiente, vamos a dividir ambos lados por D minúscula, o sea por el divisor, hacemos esa división y vamos a repartir este denominador para cada uno de los términos que tenemos en el numerador. Aquí queda entonces esto, allí hicimos la repartición y a su vez tendremos que dividendo sobre divisor será igual a, esto se nos cancela, entonces nos queda el cociente más el residuo sobre el divisor. Entonces de esta manera expresamos una división utilizando esos cuatro componentes, dividendo, divisor, cociente y residuo. Entonces utilizando los componentes que habíamos citado y esto que acabamos de demostrar tenemos que el dividendo es el numerador, o sea 6x a la 4 más 23x al cuadrado más 4x más 15. Todo eso sobre el divisor que es x al cuadrado más 3 y entonces esto será igual al cociente que nos dio 6x al cuadrado más 5 y esto más el residuo sobre el divisor. Tenemos entonces residuo 4x y eso sobre el divisor que es x al cuadrado más 3. Como podemos observar esta expresión es la misma que tenemos acá, se trata de la función racional que constituye el integrando. Y acá demostramos que esta expresión equivale a la suma de estas otras dos más sencillas. Entonces si nos piden resolver esta integral será lo mismo que efectuar la integral de esta expresión. Repetimos porque son equivalentes. Entonces tenemos integral de 6x al cuadrado más 5 y esto más 4x, todo esto sobre x al cuadrado más 3. Protegemos todo esto con paréntesis y escribimos el diferencial de x. Bien, vamos a continuar el desarrollo de este ejercicio por acá. Y como tenemos la integral de una suma entonces vamos a repartir este símbolo para esta expresión y para esta otra. Tenemos entonces integral de 6x al cuadrado más 5 con su respectivo diferencial de x y esto más la integral de 4x sobre x al cuadrado más 3 y también con su respectivo diferencial de x. Tenemos que esta primera integral puede resolverse de manera directa o en forma inmediata. Tenemos la integral de una suma y se trata de dos términos que son fácilmente integrables. Entonces integral de 6x al cuadrado será 6x al cubo sobre 3. Vamos al otro término integral de 5 será 5x. Vamos a continuar por acá con la otra integral donde ya no podemos proceder en forma directa o en forma inmediata como lo hicimos con esta. Acá tenemos que recurrir a un método de integración y en este caso será el de sustitución o cambio de variable. Vamos a elegir una letra por ejemplo q para llamar así lo que es el denominador es decir x al cuadrado más 3. Hacemos esa elección porque al derivar x al cuadrado más 3 nos da 2x y esta x la tenemos en el numerador. Esto es el indicador de que el método de sustitución es el más apropiado para este caso. Entonces procedemos a derivar q con respecto a x derivada de x al cuadrado más 3 nos da 2x como decíamos ahora. De allí despejamos de q nos queda 2x por dx. Esto que está dividiendo pasa al otro lado a multiplicar y a su vez de aquí vamos a despejar dx. Para ello pasamos 2x que está multiplicando a este lado a dividir nos queda dq sobre 2x. Y utilizando estos dos componentes vamos a reconstruir esa integral. Tendremos entonces 4x en el numerador en el denominador x al cuadrado más 3 que se cambia por la letra q y esto multiplicado por el diferencial de x que equivale a dq sobre 2x. Entonces escribimos eso por acá y de esa manera hemos cambiado esta integral a esta otra utilizando la sustitución. Continuamos con el desarrollo del ejercicio resolviendo esto que teníamos por acá. Aquí podemos simplificar 6 con 3 esa división nos da 2 que queda a su vez acompañado con x al cubo. 2x al cubo más 5x y esto más esa integral que vamos a simplificarla de la siguiente forma. Tenemos que x se nos cancela con x, 4 puede simplificarse con 2. Sacamos mitad de 2 que es 1 y mitad de 4 que es 2. Entonces finalmente eso nos queda como 2dq y todo esto sobre q. Es la forma más simple para esa integral. Vamos a continuar el ejercicio por acá. Tenemos 2x al cubo, esto más 5x y esto más esta integral en la cual podemos extraer el número 2 porque está multiplicando. En el integrando tendremos dq sobre q que es lo mismo que tener 1 sobre q por el diferencial dq. Continuamos con el desarrollo por acá más abajo donde tenemos 2x al cubo, esto más 5x más 2 que multiplica a esta integral. Ahora se trata de una integral directa o inmediata. La integral de 1 sobre q será el logaritmo natural de valor absoluto de q. Y como ya no tenemos más integrales aparece por primera vez la constante de integración. Llega el momento de cambiar q. Recordemos que q equivale a x al cuadrado más 3. Entonces vamos a realizar ese cambio para deshacer la sustitución. Repetimos, cuando hicimos el método de sustitución o cambio de variable habíamos escogido como q a la expresión x al cuadrado más 3. Entonces hacemos ese cambio dentro del valor absoluto para de esa manera retornar a la variable original que es x. Recordemos que la función de este valor absoluto es garantizar que el argumento del logaritmo sea siempre positivo. Sin embargo cualquier cantidad x elevada al cuadrado será positiva y si a eso le sumamos 3 con mayor razón se tratará de una cantidad positiva. Eso nos permite quitar este valor absoluto y dejar simplemente paréntesis. Podemos escribir esta respuesta de una manera un poco más corta aplicando aquí una propiedad de los logaritmos. Este primer término se deja igual, el segundo también y veamos cómo nos queda esto. Si tenemos el logaritmo de una potencia, por ejemplo logaritmo de a elevada al exponente b, este exponente puede bajar a multiplicar. Nos queda b por logaritmo natural de a, una propiedad de los logaritmos. Pues bien, esta propiedad es reversible. Si tenemos aquí una cantidad multiplicando, como en este caso el número 2, ella puede volver a situarse acá como exponente en el argumento. Entonces esto nos quedará como logaritmo natural de x al cuadrado más 3 y todo esto elevado al cuadrado. Repetimos este número que está multiplicando, se sitúa ahora acá como exponente en el argumento. Y no podemos olvidar la constante de integración. Bien, de esta manera hemos terminado el ejercicio. Esta expresión es la antiderivada de esta función racional, la que teníamos en el integrando. Eso que hemos hecho corresponde al método de integración conocido como fracciones parciales. Como puedo observarse, fue necesario realizar una división de polinomios para expresar esta fracción algebraica o esta función racional como una suma de expresiones más sencillas que pudiéramos integrar de manera individual para llegar así a la respuesta.

[{"start": 0.0, "end": 8.0, "text": " Vamos a resolver esta integral indefinida donde observamos en el integrando una funci\u00f3n racional."}, {"start": 8.0, "end": 16.0, "text": " Vemos en el numerador un polinomio de grado 4 y en el denominador un binomio que tiene grado 2."}, {"start": 16.0, "end": 28.0, "text": " Como tenemos grado del numerador mayor que el grado del denominador, entonces debemos comenzar por efectuar esta divisi\u00f3n de polinomios."}, {"start": 28.0, "end": 35.0, "text": " Comenzamos escribiendo el dividendo que es 6x a la 4."}, {"start": 35.0, "end": 44.0, "text": " Luego tenemos que el t\u00e9rmino que contiene x al cubo no aparece, entonces debemos dejar el espacio en blanco."}, {"start": 44.0, "end": 60.0, "text": " Despu\u00e9s m\u00e1s adelante escribimos m\u00e1s 23x al cuadrado, luego el t\u00e9rmino m\u00e1s 4x, el que corresponde al grado 1 y despu\u00e9s m\u00e1s 15, o sea el t\u00e9rmino independiente."}, {"start": 60.0, "end": 83.0, "text": " Entonces repetimos, primer requisito para efectuar la divisi\u00f3n de polinomios es que el dividendo est\u00e9 organizado en forma descendente y que si hace falta alg\u00fan t\u00e9rmino de esa secuencia, entonces respetamos su lugar, dejando el espacio en blanco o tambi\u00e9n podemos completar con 0."}, {"start": 83.0, "end": 92.0, "text": " Ahora en este espacio vamos a escribir el divisor que en este caso es x al cuadrado m\u00e1s 3."}, {"start": 92.0, "end": 112.0, "text": " Tambi\u00e9n debe estar organizado en forma descendente, pero si hace falta alg\u00fan t\u00e9rmino de la secuencia como en este caso que nos falta el t\u00e9rmino x a la 1, entonces no es necesario dejar el espacio en blanco como si ocurre con el dividendo."}, {"start": 112.0, "end": 127.0, "text": " Damos inicio al procedimiento dividiendo el primer t\u00e9rmino del dividendo entre el primer t\u00e9rmino del divisor, es decir 6x a la 4 dividido entre x al cuadrado."}, {"start": 127.0, "end": 148.0, "text": " Repetimos, primer t\u00e9rmino del dividendo dividido entre el primer t\u00e9rmino del divisor, eso nos da como resultado 6x al cuadrado, recordemos que aqu\u00ed se restan los exponentes y por eso obtenemos ese resultado, eso lo escribimos aqu\u00ed, ser\u00e1 el primer t\u00e9rmino del cociente."}, {"start": 148.0, "end": 168.0, "text": " Entonces hacemos ahora lo siguiente, multiplicamos 6x al cuadrado por x al cuadrado, eso nos da como resultado 6x a la 4 y lo pasamos al otro lado con signo contrario, es decir como menos 6x a la 4 y lo escribimos debajo de su t\u00e9rmino semejante."}, {"start": 168.0, "end": 191.0, "text": " Vamos ahora con 6x al cuadrado por m\u00e1s 3, eso nos da como resultado 18x al cuadrado positivo, entonces lo llevamos all\u00e1 con signo contrario, es decir con signo negativo y lo escribimos en la columna correspondiente al grado 2, es decir debajo de su t\u00e9rmino semejante."}, {"start": 191.0, "end": 213.0, "text": " Ahora vamos a efectuar la suma en forma vertical, este t\u00e9rmino sumado con este nos da como resultado 0, se cancelan entre s\u00ed por ser t\u00e9rminos opuestos, vamos con estos dos, 23 con menos 18 nos da 5 positivo, 5x al cuadrado es el resultado de esa suma."}, {"start": 213.0, "end": 223.0, "text": " Y estos dos t\u00e9rminos los escribimos debajo de la l\u00ednea horizontal, porque aqu\u00ed no tenemos nada o es como si tuvi\u00e9ramos 0."}, {"start": 223.0, "end": 248.0, "text": " Vamos ahora con el siguiente t\u00e9rmino del cociente, para ello tomamos el primer t\u00e9rmino del nuevo dividendo, es decir 5x al cuadrado y vamos a dividirlo entre el primer t\u00e9rmino del divisor que es x al cuadrado, esa divisi\u00f3n nos da como resultado 5, se cancela x al cuadrado."}, {"start": 248.0, "end": 273.0, "text": " Ese 5 positivo ser\u00e1 el siguiente t\u00e9rmino del cociente y vamos a repetir el procedimiento, 5x al cuadrado nos da 5x al cuadrado, pasa al otro lado con signo negativo, es decir menos 5x al cuadrado y lo localizamos en la columna que corresponde a ese grado, es decir debajo de su t\u00e9rmino semejante."}, {"start": 273.0, "end": 287.0, "text": " Vamos ahora con 5 por 3 que nos da 15 positivo, entonces pasa al otro lado con signo contrario, es decir como 15 negativo en la columna que corresponde a los t\u00e9rminos independientes."}, {"start": 287.0, "end": 307.0, "text": " Efectuamos ahora la suma en forma vertical, 5x al cuadrado sumado con menos 5x al cuadrado nos da 0, son t\u00e9rminos opuestos que podemos cancelar, m\u00e1s 4x lo vamos a escribir debajo de la l\u00ednea, porque aqu\u00ed no tenemos nada, es como si tuvi\u00e9ramos 0."}, {"start": 307.0, "end": 326.0, "text": " Y finalmente la suma de estos dos n\u00fameros tambi\u00e9n nos da 0, por tratarse de n\u00fameros opuestos. En este momento podemos decir que ya la divisi\u00f3n termin\u00f3, porque tenemos en el residuo una expresi\u00f3n de grado inferior a lo que tenemos en el divisor."}, {"start": 326.0, "end": 337.0, "text": " Vemos que aqu\u00ed es el grado 1 y ac\u00e1 tenemos grado 2, entonces eso nos permite finalizar el procedimiento de la divisi\u00f3n de polinomios."}, {"start": 337.0, "end": 358.0, "text": " Podemos identificar all\u00ed los siguientes componentes, dividendo, o sea el numerador de esta funci\u00f3n racional, ac\u00e1 tenemos el divisor que corresponde al denominador, tenemos el cociente que vamos a escribir por ac\u00e1, cociente 6x al cuadrado m\u00e1s 5,"}, {"start": 358.0, "end": 377.0, "text": " y tenemos como residuo la expresi\u00f3n 4x, entonces repetimos, el numerador ser\u00e1 el dividendo, el denominador ser\u00e1 el divisor, esto es el cociente y este es el residuo de esa divisi\u00f3n."}, {"start": 377.0, "end": 392.0, "text": " Con esos cuatro componentes vamos a recordar lo siguiente, dividendo, divisor, cociente y residuo, los cuatro componentes de una divisi\u00f3n como la que acabamos de realizar."}, {"start": 392.0, "end": 406.0, "text": " Sabemos que para probar una divisi\u00f3n el dividendo tiene que ser igual al cociente por el divisor m\u00e1s el residuo, esto es lo que se llama la prueba de la divisi\u00f3n."}, {"start": 406.0, "end": 426.0, "text": " Entonces vamos a realizar lo siguiente, vamos a dividir ambos lados por D min\u00fascula, o sea por el divisor, hacemos esa divisi\u00f3n y vamos a repartir este denominador para cada uno de los t\u00e9rminos que tenemos en el numerador."}, {"start": 426.0, "end": 447.0, "text": " Aqu\u00ed queda entonces esto, all\u00ed hicimos la repartici\u00f3n y a su vez tendremos que dividendo sobre divisor ser\u00e1 igual a, esto se nos cancela, entonces nos queda el cociente m\u00e1s el residuo sobre el divisor."}, {"start": 447.0, "end": 459.0, "text": " Entonces de esta manera expresamos una divisi\u00f3n utilizando esos cuatro componentes, dividendo, divisor, cociente y residuo."}, {"start": 459.0, "end": 480.0, "text": " Entonces utilizando los componentes que hab\u00edamos citado y esto que acabamos de demostrar tenemos que el dividendo es el numerador, o sea 6x a la 4 m\u00e1s 23x al cuadrado m\u00e1s 4x m\u00e1s 15."}, {"start": 480.0, "end": 501.0, "text": " Todo eso sobre el divisor que es x al cuadrado m\u00e1s 3 y entonces esto ser\u00e1 igual al cociente que nos dio 6x al cuadrado m\u00e1s 5 y esto m\u00e1s el residuo sobre el divisor."}, {"start": 501.0, "end": 512.0, "text": " Tenemos entonces residuo 4x y eso sobre el divisor que es x al cuadrado m\u00e1s 3."}, {"start": 512.0, "end": 522.0, "text": " Como podemos observar esta expresi\u00f3n es la misma que tenemos ac\u00e1, se trata de la funci\u00f3n racional que constituye el integrando."}, {"start": 522.0, "end": 539.0, "text": " Y ac\u00e1 demostramos que esta expresi\u00f3n equivale a la suma de estas otras dos m\u00e1s sencillas. Entonces si nos piden resolver esta integral ser\u00e1 lo mismo que efectuar la integral de esta expresi\u00f3n."}, {"start": 539.0, "end": 555.0, "text": " Repetimos porque son equivalentes. Entonces tenemos integral de 6x al cuadrado m\u00e1s 5 y esto m\u00e1s 4x, todo esto sobre x al cuadrado m\u00e1s 3."}, {"start": 555.0, "end": 561.0, "text": " Protegemos todo esto con par\u00e9ntesis y escribimos el diferencial de x."}, {"start": 561.0, "end": 568.0, "text": " Bien, vamos a continuar el desarrollo de este ejercicio por ac\u00e1."}, {"start": 568.0, "end": 578.0, "text": " Y como tenemos la integral de una suma entonces vamos a repartir este s\u00edmbolo para esta expresi\u00f3n y para esta otra."}, {"start": 578.0, "end": 602.0, "text": " Tenemos entonces integral de 6x al cuadrado m\u00e1s 5 con su respectivo diferencial de x y esto m\u00e1s la integral de 4x sobre x al cuadrado m\u00e1s 3 y tambi\u00e9n con su respectivo diferencial de x."}, {"start": 602.0, "end": 610.0, "text": " Tenemos que esta primera integral puede resolverse de manera directa o en forma inmediata."}, {"start": 610.0, "end": 616.0, "text": " Tenemos la integral de una suma y se trata de dos t\u00e9rminos que son f\u00e1cilmente integrables."}, {"start": 616.0, "end": 623.0, "text": " Entonces integral de 6x al cuadrado ser\u00e1 6x al cubo sobre 3."}, {"start": 623.0, "end": 643.0, "text": " Vamos al otro t\u00e9rmino integral de 5 ser\u00e1 5x. Vamos a continuar por ac\u00e1 con la otra integral donde ya no podemos proceder en forma directa o en forma inmediata como lo hicimos con esta."}, {"start": 643.0, "end": 651.0, "text": " Ac\u00e1 tenemos que recurrir a un m\u00e9todo de integraci\u00f3n y en este caso ser\u00e1 el de sustituci\u00f3n o cambio de variable."}, {"start": 651.0, "end": 660.0, "text": " Vamos a elegir una letra por ejemplo q para llamar as\u00ed lo que es el denominador es decir x al cuadrado m\u00e1s 3."}, {"start": 660.0, "end": 669.0, "text": " Hacemos esa elecci\u00f3n porque al derivar x al cuadrado m\u00e1s 3 nos da 2x y esta x la tenemos en el numerador."}, {"start": 669.0, "end": 677.0, "text": " Esto es el indicador de que el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n es el m\u00e1s apropiado para este caso."}, {"start": 677.0, "end": 689.0, "text": " Entonces procedemos a derivar q con respecto a x derivada de x al cuadrado m\u00e1s 3 nos da 2x como dec\u00edamos ahora."}, {"start": 689.0, "end": 695.0, "text": " De all\u00ed despejamos de q nos queda 2x por dx."}, {"start": 695.0, "end": 702.0, "text": " Esto que est\u00e1 dividiendo pasa al otro lado a multiplicar y a su vez de aqu\u00ed vamos a despejar dx."}, {"start": 702.0, "end": 712.0, "text": " Para ello pasamos 2x que est\u00e1 multiplicando a este lado a dividir nos queda dq sobre 2x."}, {"start": 712.0, "end": 719.0, "text": " Y utilizando estos dos componentes vamos a reconstruir esa integral."}, {"start": 719.0, "end": 730.0, "text": " Tendremos entonces 4x en el numerador en el denominador x al cuadrado m\u00e1s 3 que se cambia por la letra q"}, {"start": 730.0, "end": 737.0, "text": " y esto multiplicado por el diferencial de x que equivale a dq sobre 2x."}, {"start": 737.0, "end": 749.0, "text": " Entonces escribimos eso por ac\u00e1 y de esa manera hemos cambiado esta integral a esta otra utilizando la sustituci\u00f3n."}, {"start": 749.0, "end": 754.0, "text": " Continuamos con el desarrollo del ejercicio resolviendo esto que ten\u00edamos por ac\u00e1."}, {"start": 754.0, "end": 762.0, "text": " Aqu\u00ed podemos simplificar 6 con 3 esa divisi\u00f3n nos da 2 que queda a su vez acompa\u00f1ado con x al cubo."}, {"start": 762.0, "end": 774.0, "text": " 2x al cubo m\u00e1s 5x y esto m\u00e1s esa integral que vamos a simplificarla de la siguiente forma."}, {"start": 774.0, "end": 780.0, "text": " Tenemos que x se nos cancela con x, 4 puede simplificarse con 2."}, {"start": 780.0, "end": 785.0, "text": " Sacamos mitad de 2 que es 1 y mitad de 4 que es 2."}, {"start": 785.0, "end": 793.0, "text": " Entonces finalmente eso nos queda como 2dq y todo esto sobre q."}, {"start": 793.0, "end": 797.0, "text": " Es la forma m\u00e1s simple para esa integral."}, {"start": 797.0, "end": 804.0, "text": " Vamos a continuar el ejercicio por ac\u00e1."}, {"start": 804.0, "end": 820.0, "text": " Tenemos 2x al cubo, esto m\u00e1s 5x y esto m\u00e1s esta integral en la cual podemos extraer el n\u00famero 2 porque est\u00e1 multiplicando."}, {"start": 820.0, "end": 829.0, "text": " En el integrando tendremos dq sobre q que es lo mismo que tener 1 sobre q por el diferencial dq."}, {"start": 829.0, "end": 845.0, "text": " Continuamos con el desarrollo por ac\u00e1 m\u00e1s abajo donde tenemos 2x al cubo, esto m\u00e1s 5x m\u00e1s 2 que multiplica a esta integral."}, {"start": 845.0, "end": 849.0, "text": " Ahora se trata de una integral directa o inmediata."}, {"start": 849.0, "end": 855.0, "text": " La integral de 1 sobre q ser\u00e1 el logaritmo natural de valor absoluto de q."}, {"start": 855.0, "end": 862.0, "text": " Y como ya no tenemos m\u00e1s integrales aparece por primera vez la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 862.0, "end": 865.0, "text": " Llega el momento de cambiar q."}, {"start": 865.0, "end": 872.0, "text": " Recordemos que q equivale a x al cuadrado m\u00e1s 3."}, {"start": 872.0, "end": 879.0, "text": " Entonces vamos a realizar ese cambio para deshacer la sustituci\u00f3n."}, {"start": 879.0, "end": 890.0, "text": " Repetimos, cuando hicimos el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n o cambio de variable hab\u00edamos escogido como q a la expresi\u00f3n x al cuadrado m\u00e1s 3."}, {"start": 890.0, "end": 900.0, "text": " Entonces hacemos ese cambio dentro del valor absoluto para de esa manera retornar a la variable original que es x."}, {"start": 900.0, "end": 909.0, "text": " Recordemos que la funci\u00f3n de este valor absoluto es garantizar que el argumento del logaritmo sea siempre positivo."}, {"start": 909.0, "end": 920.0, "text": " Sin embargo cualquier cantidad x elevada al cuadrado ser\u00e1 positiva y si a eso le sumamos 3 con mayor raz\u00f3n se tratar\u00e1 de una cantidad positiva."}, {"start": 920.0, "end": 927.0, "text": " Eso nos permite quitar este valor absoluto y dejar simplemente par\u00e9ntesis."}, {"start": 927.0, "end": 939.0, "text": " Podemos escribir esta respuesta de una manera un poco m\u00e1s corta aplicando aqu\u00ed una propiedad de los logaritmos."}, {"start": 939.0, "end": 946.0, "text": " Este primer t\u00e9rmino se deja igual, el segundo tambi\u00e9n y veamos c\u00f3mo nos queda esto."}, {"start": 946.0, "end": 957.0, "text": " Si tenemos el logaritmo de una potencia, por ejemplo logaritmo de a elevada al exponente b, este exponente puede bajar a multiplicar."}, {"start": 957.0, "end": 963.0, "text": " Nos queda b por logaritmo natural de a, una propiedad de los logaritmos."}, {"start": 963.0, "end": 966.0, "text": " Pues bien, esta propiedad es reversible."}, {"start": 966.0, "end": 976.0, "text": " Si tenemos aqu\u00ed una cantidad multiplicando, como en este caso el n\u00famero 2, ella puede volver a situarse ac\u00e1 como exponente en el argumento."}, {"start": 976.0, "end": 986.0, "text": " Entonces esto nos quedar\u00e1 como logaritmo natural de x al cuadrado m\u00e1s 3 y todo esto elevado al cuadrado."}, {"start": 986.0, "end": 994.0, "text": " Repetimos este n\u00famero que est\u00e1 multiplicando, se sit\u00faa ahora ac\u00e1 como exponente en el argumento."}, {"start": 994.0, "end": 999.0, "text": " Y no podemos olvidar la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 999.0, "end": 1003.0, "text": " Bien, de esta manera hemos terminado el ejercicio."}, {"start": 1003.0, "end": 1011.0, "text": " Esta expresi\u00f3n es la antiderivada de esta funci\u00f3n racional, la que ten\u00edamos en el integrando."}, {"start": 1011.0, "end": 1018.0, "text": " Eso que hemos hecho corresponde al m\u00e9todo de integraci\u00f3n conocido como fracciones parciales."}, {"start": 1018.0, "end": 1028.0, "text": " Como puedo observarse, fue necesario realizar una divisi\u00f3n de polinomios para expresar esta fracci\u00f3n algebraica o esta funci\u00f3n racional"}, {"start": 1028.0, "end": 1049.0, "text": " como una suma de expresiones m\u00e1s sencillas que pudi\u00e9ramos integrar de manera individual para llegar as\u00ed a la respuesta."}]

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Problema 1 con SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2×2

#julioprofe explica cómo plantear y resolver un problema con un sistema de ecuaciones lineales de 2x2: Hace cuatro años la edad de un padre era nueve veces la edad de su hijo, y dentro de ocho años será el triple. ¿Cuáles son sus edades actuales? Tema: #SistemasDeEcuaciones → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEFAYT8s7eBiUPuANxiqi_l REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Hace cuatro años la edad de un padre era nueve veces la edad de su hijo y dentro de ocho años será el triple. ¿Cuáles son sus edades actuales? Bien, tenemos en esta ocasión un problema relacionado con los sistemas de ecuaciones lineales de dos por dos. Vamos entonces a plantearlo. Tenemos allí en la pregunta dos edades actuales que tenemos que averiguar. Si leemos el enunciado nos damos cuenta que se trata del padre y su hijo. Podemos llamar entonces con la letra P la edad actual del padre. Y con la letra H lo que es la edad actual del hijo. Entonces con base en esas dos letras que hemos escogido vamos a plantear las ecuaciones que corresponden a la información del problema. La primera información nos dice que hace cuatro años la edad de un padre era nueve veces la edad de su hijo. Entonces vamos a escribir por acá eso en lenguaje matemático. Primera información. Hace cuatro años la edad del padre se representa como P menos cuatro. P es la edad actual y hace cuatro años esa edad se expresa como P menos cuatro. En ese entonces la edad del hijo se expresa también como H menos cuatro. Ambas edades actuales se llevan al pasado cuatro años. Y en ese momento dice el problema que la edad del padre es nueve veces la edad de su hijo. Entonces P menos cuatro será igual a nueve veces esta cantidad. Entonces la protegemos con paréntesis. Ahora la segunda información nos dice lo siguiente. Dentro de ocho años la edad del padre será el triple de la edad de su hijo. Entonces dentro de ocho años el padre tendrá P más ocho años y su hijo tendrá H más ocho años. Y en ese entonces la edad del padre será tres veces la edad de su hijo o el triple como nos dice el problema. Entonces esta cantidad es igual a tres veces esta de acá. Entonces debemos protegerla con paréntesis. Bien tenemos de esta manera dos ecuaciones con dos incógnitas. O sea lo que se llama un sistema de ecuaciones lineales de dos por dos. Vamos a organizar esas expresiones para que nos queden más fáciles de trabajar. Vamos con la primera. Vamos a aplicar aquí la propiedad distributiva. Y entonces esa ecuación nos queda así. P menos cuatro es igual a nueve por H que es nueve H y nueve por menos cuatro que es menos treinta y seis. Y a su vez vamos a despejar la letra P. Para ello pasamos este número cuatro que está restando al otro lado a sumar. Nos queda P igual a nueve H menos treinta y seis y eso nos queda más cuatro. Y entonces podemos operar estos dos números. Eso nos va a producir una nueva ecuación que vamos a llamar la número tres. La ecuación tres va a reemplazar la ecuación uno. Nos queda entonces como P igual a nueve H y menos treinta y seis más cuatro nos da como resultado menos treinta y dos. Enseguida hacemos una transformación similar con la expresión número dos. Vamos a aplicar la propiedad distributiva acá en el lado derecho. Entonces tendremos P más ocho igual a tres por H que es tres H y tres por más ocho que es más veinticuatro. Y allí vamos a despejar también la letra P. Pasamos ocho que está sumando al otro lado a restar. Nos queda P igual a tres H más veinticuatro y esto menos ocho. Y de esta manera vamos a obtener una nueva expresión que vamos a llamar la número cuatro y que nos va a reemplazar la ecuación dos. Tendremos entonces P igual a tres H y más veinticuatro menos ocho nos da como resultado más dieciséis. De esta manera hemos conformado ya el sistema de ecuaciones lineales de dos por dos. Con dos expresiones mucho más sencillas que las primeras que habíamos obtenido. Cuando hicimos la traducción del lenguaje de texto al lenguaje matemático. Entonces vamos a trabajar con estas dos ecuaciones. Como se observa la letra P o la incógnita P está despejada en ambas ecuaciones. Y eso nos favorece para utilizar el método de igualación. Entonces vamos a resolver el sistema por este método debido a que ya tenemos la misma letra despejada en ambas ecuaciones. Entonces igualamos lo que tenemos en la expresión tres con lo que tenemos en la expresión cuatro. Es decir nueve H menos treinta y dos igual a tres H más dieciséis. Una ecuación lineal o de primer grado con una incógnita que es la letra H. Aplicamos entonces lo que se llama transposición de términos. Vamos a dejar en el lado izquierdo los términos que contienen la H y dejamos en el lado derecho únicamente los números. Se queda entonces nueve H y pasamos este término que está positivo. Entonces llega al lado izquierdo con signo negativo. Acá se queda el número dieciséis que es positivo y pasamos este número que está negativo al otro lado con signo positivo. Resolvemos acá términos semejantes nueve H menos tres H nos da como resultado seis H. Y acá resolvemos dieciséis más treinta y dos que nos da como resultado cuarenta y ocho. Finalmente para despejar H pasamos el número seis que está multiplicando al otro lado a dividir. Nos queda cuarenta y ocho dividido entre seis o cuarenta y ocho sextos. Y resolviendo esa división nos da como resultado ocho. De esta manera encontramos una de las incógnitas H vale ocho. Como ya se conoce el valor de H entonces podemos hallar fácilmente el valor de P. Remplazando esta cantidad en cualquiera de las ecuaciones tres o cuatro. La que mejor nos parezca. Vamos entonces a reemplazar en este caso en la ecuación número tres. Decimos que P es igual a nueve por H. Pero H nos dio como resultado ocho nos queda nueve por ocho y esto menos treinta y dos. Entonces resolvemos esas operaciones. Acá primero la multiplicación antes que la resta. Nueve por ocho es setenta y dos y esto nos queda menos treinta y dos. Ahora sí ejecutamos esta resta o sustracción y nos da como resultado cuarenta. De esta manera conocemos el valor de la otra incógnita P es igual a cuarenta. Bien de esta manera conocemos ya los valores de las incógnitas del sistema de ecuaciones que hemos planteado. P vale cuarenta y H es igual a ocho. Esto corresponde a las edades actuales del padre y del hijo. La respuesta al problema será esta. Actualmente el padre tiene cuarenta años y su hijo tiene ocho años.

[{"start": 0.0, "end": 9.0, "text": " Hace cuatro a\u00f1os la edad de un padre era nueve veces la edad de su hijo y dentro de ocho a\u00f1os ser\u00e1 el triple."}, {"start": 9.0, "end": 12.0, "text": " \u00bfCu\u00e1les son sus edades actuales?"}, {"start": 12.0, "end": 20.0, "text": " Bien, tenemos en esta ocasi\u00f3n un problema relacionado con los sistemas de ecuaciones lineales de dos por dos."}, {"start": 20.0, "end": 22.0, "text": " Vamos entonces a plantearlo."}, {"start": 22.0, "end": 28.0, "text": " Tenemos all\u00ed en la pregunta dos edades actuales que tenemos que averiguar."}, {"start": 28.0, "end": 34.0, "text": " Si leemos el enunciado nos damos cuenta que se trata del padre y su hijo."}, {"start": 34.0, "end": 43.0, "text": " Podemos llamar entonces con la letra P la edad actual del padre."}, {"start": 45.0, "end": 52.0, "text": " Y con la letra H lo que es la edad actual del hijo."}, {"start": 52.0, "end": 62.0, "text": " Entonces con base en esas dos letras que hemos escogido vamos a plantear las ecuaciones que corresponden a la informaci\u00f3n del problema."}, {"start": 62.0, "end": 70.0, "text": " La primera informaci\u00f3n nos dice que hace cuatro a\u00f1os la edad de un padre era nueve veces la edad de su hijo."}, {"start": 70.0, "end": 75.0, "text": " Entonces vamos a escribir por ac\u00e1 eso en lenguaje matem\u00e1tico."}, {"start": 75.0, "end": 77.0, "text": " Primera informaci\u00f3n."}, {"start": 77.0, "end": 83.0, "text": " Hace cuatro a\u00f1os la edad del padre se representa como P menos cuatro."}, {"start": 83.0, "end": 91.0, "text": " P es la edad actual y hace cuatro a\u00f1os esa edad se expresa como P menos cuatro."}, {"start": 91.0, "end": 98.0, "text": " En ese entonces la edad del hijo se expresa tambi\u00e9n como H menos cuatro."}, {"start": 98.0, "end": 103.0, "text": " Ambas edades actuales se llevan al pasado cuatro a\u00f1os."}, {"start": 103.0, "end": 111.0, "text": " Y en ese momento dice el problema que la edad del padre es nueve veces la edad de su hijo."}, {"start": 111.0, "end": 116.0, "text": " Entonces P menos cuatro ser\u00e1 igual a nueve veces esta cantidad."}, {"start": 116.0, "end": 120.0, "text": " Entonces la protegemos con par\u00e9ntesis."}, {"start": 121.0, "end": 125.0, "text": " Ahora la segunda informaci\u00f3n nos dice lo siguiente."}, {"start": 125.0, "end": 132.0, "text": " Dentro de ocho a\u00f1os la edad del padre ser\u00e1 el triple de la edad de su hijo."}, {"start": 132.0, "end": 142.0, "text": " Entonces dentro de ocho a\u00f1os el padre tendr\u00e1 P m\u00e1s ocho a\u00f1os y su hijo tendr\u00e1 H m\u00e1s ocho a\u00f1os."}, {"start": 142.0, "end": 152.0, "text": " Y en ese entonces la edad del padre ser\u00e1 tres veces la edad de su hijo o el triple como nos dice el problema."}, {"start": 152.0, "end": 156.0, "text": " Entonces esta cantidad es igual a tres veces esta de ac\u00e1."}, {"start": 156.0, "end": 160.0, "text": " Entonces debemos protegerla con par\u00e9ntesis."}, {"start": 160.0, "end": 165.0, "text": " Bien tenemos de esta manera dos ecuaciones con dos inc\u00f3gnitas."}, {"start": 165.0, "end": 170.0, "text": " O sea lo que se llama un sistema de ecuaciones lineales de dos por dos."}, {"start": 170.0, "end": 175.0, "text": " Vamos a organizar esas expresiones para que nos queden m\u00e1s f\u00e1ciles de trabajar."}, {"start": 175.0, "end": 180.0, "text": " Vamos con la primera. Vamos a aplicar aqu\u00ed la propiedad distributiva."}, {"start": 180.0, "end": 183.0, "text": " Y entonces esa ecuaci\u00f3n nos queda as\u00ed."}, {"start": 183.0, "end": 194.0, "text": " P menos cuatro es igual a nueve por H que es nueve H y nueve por menos cuatro que es menos treinta y seis."}, {"start": 194.0, "end": 197.0, "text": " Y a su vez vamos a despejar la letra P."}, {"start": 197.0, "end": 203.0, "text": " Para ello pasamos este n\u00famero cuatro que est\u00e1 restando al otro lado a sumar."}, {"start": 203.0, "end": 210.0, "text": " Nos queda P igual a nueve H menos treinta y seis y eso nos queda m\u00e1s cuatro."}, {"start": 210.0, "end": 214.0, "text": " Y entonces podemos operar estos dos n\u00fameros."}, {"start": 214.0, "end": 219.0, "text": " Eso nos va a producir una nueva ecuaci\u00f3n que vamos a llamar la n\u00famero tres."}, {"start": 219.0, "end": 223.0, "text": " La ecuaci\u00f3n tres va a reemplazar la ecuaci\u00f3n uno."}, {"start": 223.0, "end": 236.0, "text": " Nos queda entonces como P igual a nueve H y menos treinta y seis m\u00e1s cuatro nos da como resultado menos treinta y dos."}, {"start": 236.0, "end": 242.0, "text": " Enseguida hacemos una transformaci\u00f3n similar con la expresi\u00f3n n\u00famero dos."}, {"start": 242.0, "end": 248.0, "text": " Vamos a aplicar la propiedad distributiva ac\u00e1 en el lado derecho."}, {"start": 248.0, "end": 262.0, "text": " Entonces tendremos P m\u00e1s ocho igual a tres por H que es tres H y tres por m\u00e1s ocho que es m\u00e1s veinticuatro."}, {"start": 262.0, "end": 265.0, "text": " Y all\u00ed vamos a despejar tambi\u00e9n la letra P."}, {"start": 265.0, "end": 269.0, "text": " Pasamos ocho que est\u00e1 sumando al otro lado a restar."}, {"start": 269.0, "end": 276.0, "text": " Nos queda P igual a tres H m\u00e1s veinticuatro y esto menos ocho."}, {"start": 276.0, "end": 286.0, "text": " Y de esta manera vamos a obtener una nueva expresi\u00f3n que vamos a llamar la n\u00famero cuatro y que nos va a reemplazar la ecuaci\u00f3n dos."}, {"start": 286.0, "end": 299.0, "text": " Tendremos entonces P igual a tres H y m\u00e1s veinticuatro menos ocho nos da como resultado m\u00e1s diecis\u00e9is."}, {"start": 299.0, "end": 306.0, "text": " De esta manera hemos conformado ya el sistema de ecuaciones lineales de dos por dos."}, {"start": 306.0, "end": 311.0, "text": " Con dos expresiones mucho m\u00e1s sencillas que las primeras que hab\u00edamos obtenido."}, {"start": 311.0, "end": 317.0, "text": " Cuando hicimos la traducci\u00f3n del lenguaje de texto al lenguaje matem\u00e1tico."}, {"start": 317.0, "end": 320.0, "text": " Entonces vamos a trabajar con estas dos ecuaciones."}, {"start": 320.0, "end": 326.0, "text": " Como se observa la letra P o la inc\u00f3gnita P est\u00e1 despejada en ambas ecuaciones."}, {"start": 326.0, "end": 333.0, "text": " Y eso nos favorece para utilizar el m\u00e9todo de igualaci\u00f3n."}, {"start": 333.0, "end": 344.0, "text": " Entonces vamos a resolver el sistema por este m\u00e9todo debido a que ya tenemos la misma letra despejada en ambas ecuaciones."}, {"start": 344.0, "end": 351.0, "text": " Entonces igualamos lo que tenemos en la expresi\u00f3n tres con lo que tenemos en la expresi\u00f3n cuatro."}, {"start": 351.0, "end": 360.0, "text": " Es decir nueve H menos treinta y dos igual a tres H m\u00e1s diecis\u00e9is."}, {"start": 360.0, "end": 368.0, "text": " Una ecuaci\u00f3n lineal o de primer grado con una inc\u00f3gnita que es la letra H."}, {"start": 368.0, "end": 372.0, "text": " Aplicamos entonces lo que se llama transposici\u00f3n de t\u00e9rminos."}, {"start": 372.0, "end": 380.0, "text": " Vamos a dejar en el lado izquierdo los t\u00e9rminos que contienen la H y dejamos en el lado derecho \u00fanicamente los n\u00fameros."}, {"start": 380.0, "end": 385.0, "text": " Se queda entonces nueve H y pasamos este t\u00e9rmino que est\u00e1 positivo."}, {"start": 385.0, "end": 390.0, "text": " Entonces llega al lado izquierdo con signo negativo."}, {"start": 390.0, "end": 400.0, "text": " Ac\u00e1 se queda el n\u00famero diecis\u00e9is que es positivo y pasamos este n\u00famero que est\u00e1 negativo al otro lado con signo positivo."}, {"start": 400.0, "end": 407.0, "text": " Resolvemos ac\u00e1 t\u00e9rminos semejantes nueve H menos tres H nos da como resultado seis H."}, {"start": 407.0, "end": 414.0, "text": " Y ac\u00e1 resolvemos diecis\u00e9is m\u00e1s treinta y dos que nos da como resultado cuarenta y ocho."}, {"start": 414.0, "end": 422.0, "text": " Finalmente para despejar H pasamos el n\u00famero seis que est\u00e1 multiplicando al otro lado a dividir."}, {"start": 422.0, "end": 427.0, "text": " Nos queda cuarenta y ocho dividido entre seis o cuarenta y ocho sextos."}, {"start": 427.0, "end": 432.0, "text": " Y resolviendo esa divisi\u00f3n nos da como resultado ocho."}, {"start": 432.0, "end": 439.0, "text": " De esta manera encontramos una de las inc\u00f3gnitas H vale ocho."}, {"start": 439.0, "end": 445.0, "text": " Como ya se conoce el valor de H entonces podemos hallar f\u00e1cilmente el valor de P."}, {"start": 445.0, "end": 451.0, "text": " Remplazando esta cantidad en cualquiera de las ecuaciones tres o cuatro."}, {"start": 451.0, "end": 453.0, "text": " La que mejor nos parezca."}, {"start": 453.0, "end": 458.0, "text": " Vamos entonces a reemplazar en este caso en la ecuaci\u00f3n n\u00famero tres."}, {"start": 458.0, "end": 464.0, "text": " Decimos que P es igual a nueve por H."}, {"start": 464.0, "end": 471.0, "text": " Pero H nos dio como resultado ocho nos queda nueve por ocho y esto menos treinta y dos."}, {"start": 471.0, "end": 474.0, "text": " Entonces resolvemos esas operaciones."}, {"start": 474.0, "end": 478.0, "text": " Ac\u00e1 primero la multiplicaci\u00f3n antes que la resta."}, {"start": 478.0, "end": 483.0, "text": " Nueve por ocho es setenta y dos y esto nos queda menos treinta y dos."}, {"start": 483.0, "end": 489.0, "text": " Ahora s\u00ed ejecutamos esta resta o sustracci\u00f3n y nos da como resultado cuarenta."}, {"start": 489.0, "end": 496.0, "text": " De esta manera conocemos el valor de la otra inc\u00f3gnita P es igual a cuarenta."}, {"start": 496.0, "end": 504.0, "text": " Bien de esta manera conocemos ya los valores de las inc\u00f3gnitas del sistema de ecuaciones que hemos planteado."}, {"start": 504.0, "end": 507.0, "text": " P vale cuarenta y H es igual a ocho."}, {"start": 507.0, "end": 512.0, "text": " Esto corresponde a las edades actuales del padre y del hijo."}, {"start": 512.0, "end": 516.0, "text": " La respuesta al problema ser\u00e1 esta."}, {"start": 516.0, "end": 522.0, "text": " Actualmente el padre tiene cuarenta a\u00f1os y su hijo tiene ocho a\u00f1os."}]

julioprofe

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LÍMITES INFINITOS - Ejercicio 4

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Vamos a resolver este límite, donde queremos saber qué le sucede a esta función, que es de tipo racional, cuando x se aproxima al valor 2. Lo primero que tenemos que hacer es evaluar esta expresión en este número. Entonces vamos a realizar ese procedimiento. Vamos a desaparecer la letra x en la expresión y en ese lugar vamos a escribir el número 2. De esa manera estamos evaluando la función en x igual a 2, para ver qué le sucede en ese número. Vamos a resolver las operaciones. 2 al cuadrado es 4, tenemos menos 2 y más 5 en el numerador y 2 menos 2 en el denominador. Allí como se observa estamos destruyendo los paréntesis. A su vez, resolvemos arriba, tenemos 4 menos 2 que nos da 2 y 2 más 5 es 7 y en el denominador tenemos 2 menos 2 que es igual a 0. Este resultado vamos a escribirlo por aquí. 7 sobre 0. Lo primero que se nos ocurre es pensar que esto se nos va hacia infinito. Sabemos que en el estudio del cálculo, si tenemos un número que se divide entre una cantidad muy cercana a 0, entonces el resultado es un número cada vez más grande. Entonces tiende a infinito. El problema que tenemos es que no sabemos si se trata de más infinito o de menos infinito. Entonces nos queda ese gran interrogante que tenemos que resolver. Esta duda surge porque no sabemos con certeza cuál es la naturaleza de este número que se aproxima a 0. Sabemos que a 0 nos podemos acercar por el lado de los números positivos o por el lado de los números negativos. Entonces aquí nos sabemos si se trata de un número próximo a 0 por el lado positivo, como estos de por aquí, o por el lado negativo como estos que tenemos acá. En cuanto al numerador no hay ninguna duda, no hay ningún problema porque sabemos que se trata de 7 positivo. Entonces para resolver este interrogante vamos a analizar este límite tanto por izquierda como por derecha del número 2. Decimos entonces, límite cuando x tiende a 2 por la izquierda, que se simboliza con este signo menos, arriba y a la derecha del 2, de la misma función racional, la que tenemos originalmente. Entonces vamos a ver cuál es el comportamiento de esta expresión cuando x se aproxima a 2 por la izquierda. Entonces podemos pensar en una cantidad como por ejemplo x igual a 1.9999. Veamos acá por qué escogemos ese número. Si tenemos el número 2, por acá tenemos el número 1 y acá tenemos el número 3 en la recta numérica o en el eje x, si lo queremos ver de esa manera. Si nos aproximamos a 2 por la izquierda, es decir por acá, estamos pensando en estos números que están muy cerca de 2 pero que son menores que 2. Entonces por eso escogemos el número 1.9999. Entre más 9 escojamos, más cercanos vamos a estar del número 2. Esto para tener digamos una idea de cuál es el número que vamos a reemplazar en esta expresión. Entonces si reemplazamos un número que es prácticamente 2 en el numerador, nos va a dar prácticamente 7. No importa si nos acercamos a 7 por la izquierda o por la derecha, el hecho es que allí vamos a tener un número que indiscutiblemente está cercano a 7 y es de naturaleza positiva. Lo que nos interesa es acá en el denominador. Si pensamos en este número que entra a ocupar el lugar de la x y a eso le restamos 2, vamos a obtener un número muy próximo a 0 pero de naturaleza negativa porque este número es menor que 2. Entonces nos da consigno negativo y aquí ya podemos precisar el resultado. Aplicamos la ley de los signos, más con menos nos da menos y 7 sobre 0 o 7 sobre un número muy próximo a 0 nos da como resultado infinito. Entonces el límite de esta función cuando x tiende a 2 por la izquierda se nos va hacia menos infinito. Ahora hacemos el otro límite, entonces decimos límite cuando x tiende a 2 por la derecha que se simboliza con ese signo más arriba y a la derecha del 2 de la misma función racional. Entonces vamos a pensar en un número que esté muy próximo a 2 por el lado derecho o que se acerque por la derecha. Puede ser entonces el número 2.0001 veamos por qué. Otra vez tenemos la recta numérica o el eje x, allí tenemos el número 2, por acá está el número 1 y por acá tenemos el número 3. Entonces nos vamos a aproximar a 2 por el lado de la derecha, o sea que estamos pensando en estos números que están muy cercanos a 2 pero que son mayores que 2. Entonces por esa razón escogemos este número 2.0001 muy cercano a 2 por el lado derecho. De nuevo reemplazamos esta cantidad que es prácticamente 2 en el numerador y volvemos a obtener más 7, un número próximo a 7 de naturaleza positiva. Y nos concentramos ahora en el denominador, tenemos entonces un número muy próximo a 0 pero este número si ingresa aquí donde tenemos x y después le restamos 2, vemos que este es mayor que 2. Entonces nos va a producir un número cercano a 0 pero de naturaleza positiva y eso nos permite precisar el resultado. Más con más nos da signo más y 7 sobre 0 es infinito. Entonces el límite de esta función, cuando x tiende a 2 por la derecha se nos va hacia más infinito. De acuerdo con estos dos análisis ya podemos precisar el resultado de este límite. Como vimos cuando x se aproxima a 2 por la izquierda esta función tiende hacia menos infinito. Y cuando x se aproxima a 2 por la derecha la misma función se nos va hacia más infinito. Eso nos permite concluir que este límite no existe y se representa con este símbolo. Entonces esta es la respuesta para este ejercicio. Lo que acabamos de hacer se puede comprobar gráficamente. Para ello consideramos la función que teníamos en el límite, es decir la función racional y vamos a comenzar por establecer su dominio. O sea cuál es el conjunto de valores que puede tomar x para que la función siempre produzca valores reales. Como tenemos una función racional o fraccionaria tenemos que garantizar que el denominador no sea 0. Entonces establecemos esta condición, la expresión que tenemos en el denominador diferente de 0. Y esto se resuelve como una ecuación. Dejamos la x en el lado izquierdo y el 2 que está restando pasa al otro lado a sumar con 0 y nos queda acá 2. Entonces esto nos está diciendo que en esa función x puede tomar cualquier valor real. X pertenece al conjunto de los números reales con excepción del número 2. X no puede tomar ese valor porque complica la función, vuelve 0 el denominador. Como el numerador de esta fracción es una expresión que no se puede factorizar entonces no hay posibilidad de simplificar esta fracción algebraica. O sea de cancelar por ejemplo x menos 2. Eso quiere decir que x igual a 2, o sea el valor prohibido para x, o sea el que no puede tomar en el dominio se convierte automáticamente en una asíntota vertical. Es decir una línea recta vertical a la cual la gráfica de la función se va a aproximar sin llegar a tocarla, es decir sin tener contacto con ella. Eso lo veremos ahora en la gráfica. Otra característica de esta función es que como el grado del numerador es 2 y el grado del denominador es 1, es decir tenemos grado del numerador mayor que el grado del denominador. Entonces vamos a tener otra asíntota que no es precisamente vertical ni tampoco horizontal. Y nos damos cuenta de que tipo es haciendo la resta de los grados. Grado del numerador es 2 menos grado del denominador que es 1. Esto nos da como resultado 1. Y eso quiere decir que tendremos una asíntota oblicua, o sea una recta inclinada a la cual la curva o la gráfica de la función se va a aproximar sin llegar a tocarla. Para establecer con exactitud cuál es esa asíntota oblicua, es decir cuál es su ecuación, debemos realizar esta división. Lo que en álgebra se conoce como la división de polinomios. Tenemos que el numerador, o sea el dividendo, ya se encuentra organizado en forma descendente. Entonces vamos a escribirlo. X al cuadrado menos X más 5. Vemos que tampoco falta ningún término de la secuencia. Tenemos aquí grado 2, grado 1 y acá el término independiente, o sea el que tiene grado 0. Y vamos a escribir aquí lo que es el divisor, o sea el denominador, que también se escribe en forma descendente. Ahí ya lo tenemos ordenado de esa manera. Para encontrar el primer término del cociente, dividimos el primer término del dividendo entre el primer término del divisor. Es decir, hacemos X al cuadrado sobre X y esto nos da como resultado X. Y eso constituye el primer término del cociente. Decimos ahora, X por X nos da X al cuadrado con signo positivo. Y pasa acá con signo contrario, es decir, con signo negativo y se localiza debajo del término correspondiente. O sea del término que tiene el mismo grado. Después hacemos X por menos 2, que nos da menos 2X y llega a este lado con signo contrario, o sea más 2X, también localizado debajo de su respectivo término semejante. Efectuamos ahora la suma en forma vertical. Tenemos que X al cuadrado sumado con menos X al cuadrado nos da 0. Son términos opuestos que se pueden eliminar. Tenemos por acá menos X más 2X y eso nos da como resultado más 1X o simplemente X. Y bajamos el número 5. Para encontrar el siguiente término del cociente, entonces dividimos el primer término del nuevo dividendo, por así decirlo. O sea, el que tenemos ya actualizado entre el primer término del divisor. Es decir, que hacemos X dividido entre X. Y eso nos da como resultado 1 positivo. Y ese es el siguiente término del cociente. Decimos entonces 1 por X nos da más X. Pasa a este lado con signo contrario, o sea como menos X y se localiza debajo de su término semejante. Decimos ahora 1 por menos 2, que es menos 2, pasa a este lado como más 2 y se localiza debajo del término independiente. Hacemos entonces la suma en forma vertical. Tenemos X que sumado con menos X nos da 0. También son términos opuestos que se eliminan entre sí. Y por acá tenemos 5 más 2 que nos da como resultado 7 positivo. Allí termina la división, porque como se observa el residuo es una expresión de grado inferior que el divisor. Esto es un término independiente de grado 0, mientras que el divisor es un binomio de primer grado. Entonces, como allí termina el procedimiento, el cociente es la asíntota oblicua. Decimos entonces que esa asíntota, que es como decíamos una recta oblicua o una recta inclinada, será la que tiene por ecuación Y igual a X más 1. Con esta información ya podemos ir construyendo la gráfica de la función. Comenzamos entonces por trazar el plano cartesiano. Bien, allí lo tenemos. Y vamos a trazar la asíntota X igual a 2, es decir, una recta vertical que pasa por este número. Allí podemos observarla. Vamos a escribirle su nombre, la recta X igual a 2, que es la asíntota vertical para esta función. Vamos ahora con la asíntota oblicua. Como decíamos, se trata de una recta inclinada. Y para trazarla podemos determinar dos de sus puntos. Por ejemplo, si X toma el valor 4, entonces tenemos que Y es igual a 4 más 1 igual a 5. Es decir, la pareja 4,5. Nos ubicamos aquí en X igual a 4 y subimos hasta 5. Y de esa manera tenemos un primer punto. Ahora, por ejemplo, si X toma el valor menos 4, decimos que Y es igual a menos 4 más 1, que es igual a menos 3. Entonces es la pareja menos 4, menos 3. Nos ubicamos aquí en X igual a menos 4 y bajamos hasta llegar a menos 3. Y de esa manera tenemos el otro punto para trazar la recta que corresponde a la asíntota oblicua. Bien, allí podemos observarla. Es la recta Y igual a X más 1. Escribimos su nombre y corresponde a la asíntota oblicua de esta función. También podemos determinar cuál es el punto de corte de la función con el eje Y. Y eso se consigue haciendo X igual a 0. Entonces, imaginamos que la X desaparece porque toma el valor 0 y nos queda únicamente 5 sobre menos 2. Y eso equivale a menos 2,5. Entonces, cuando X vale 0, Y vale menos 2,5. Es decir, aquí y constituye el punto de corte de la función con el eje Y. Si queremos obtener más puntos para la gráfica, entonces podemos hacer una tabulación o una tabla de valores. Escogiendo para X valores reales que sean diferentes del número 2. Entonces podemos tabular valores negativos, positivos, pero no podemos tomar el 2. La gráfica que obtenemos al conectar esos puntos es muy aproximada a esa que tenemos en color rojo. Vemos entonces que por acá la gráfica sigue extendiéndose de tal forma que no llega a tocar esta línea recta, que es la asíntota oblicua. Y lo mismo sucede por acá. La gráfica de la función sigue extendiéndose hacia abajo sin llegar a tocar la asíntota vertical. Lo mismo sucede por acá arriba. Acá esta parte de la gráfica sigue extendiéndose hacia arriba sin tocar la asíntota vertical. Y esta parte sigue extendiéndose en esta dirección sin hacer contacto con la recta Y igual a X más 1, que constituye la asíntota oblicua. Con base en esta gráfica podemos establecer cuál es el límite de esta función que vamos a llamar f de X cuando X tiende a 2 por la izquierda. Entonces veamos. Si nos ubicamos por aquí valores de X muy cercanos a 2 por la izquierda, como decíamos 1.9 o 1.99, vemos que la gráfica tiene su tendencia hacia abajo. Es decir que los valores de Y tienden hacia menos infinito. Y esto fue lo que obtuvimos ahora cuando lo hicimos analíticamente. Ahora con base en esta misma gráfica, veamos qué sucede con el límite de la función cuando X tiende a 2 por la derecha. Entonces nos vamos a situar por aquí valores muy próximos a 2 por la derecha, como 2.1 o 2.01 o 2.0001, muy próximo a 2 por ese lado, por el lado derecho. Si nos ubicamos aquí y vamos a buscar la gráfica de la función tenemos que subir y encontramos que los puntos se nos van hacia arriba. O sea que los valores de Y tienden hacia más infinito. Como podemos observar cuando X se aproxima a 2 por izquierda y por derecha la tendencia de la función es totalmente distinta. Por izquierda tiende hacia menos infinito y por la derecha tiende hacia más infinito. Por esa razón dijimos ahora que el límite de la función, de esta función racional, cuando X tiende a 2 entonces no existe. Esa es la respuesta que obtuvimos analíticamente y que aquí podemos comprobar gráficamente. Vemos entonces que en X igualados está la asíntota vertical y por ambos lados la función tiene tendencias totalmente diferentes. De esta manera terminamos este ejercicio.

[{"start": 0.0, "end": 12.0, "text": " Vamos a resolver este l\u00edmite, donde queremos saber qu\u00e9 le sucede a esta funci\u00f3n, que es de tipo racional, cuando x se aproxima al valor 2."}, {"start": 12.0, "end": 18.0, "text": " Lo primero que tenemos que hacer es evaluar esta expresi\u00f3n en este n\u00famero."}, {"start": 18.0, "end": 22.0, "text": " Entonces vamos a realizar ese procedimiento."}, {"start": 22.0, "end": 35.0, "text": " Vamos a desaparecer la letra x en la expresi\u00f3n y en ese lugar vamos a escribir el n\u00famero 2."}, {"start": 35.0, "end": 44.0, "text": " De esa manera estamos evaluando la funci\u00f3n en x igual a 2, para ver qu\u00e9 le sucede en ese n\u00famero."}, {"start": 44.0, "end": 58.0, "text": " Vamos a resolver las operaciones. 2 al cuadrado es 4, tenemos menos 2 y m\u00e1s 5 en el numerador y 2 menos 2 en el denominador."}, {"start": 58.0, "end": 63.0, "text": " All\u00ed como se observa estamos destruyendo los par\u00e9ntesis."}, {"start": 63.0, "end": 77.0, "text": " A su vez, resolvemos arriba, tenemos 4 menos 2 que nos da 2 y 2 m\u00e1s 5 es 7 y en el denominador tenemos 2 menos 2 que es igual a 0."}, {"start": 77.0, "end": 84.0, "text": " Este resultado vamos a escribirlo por aqu\u00ed. 7 sobre 0."}, {"start": 84.0, "end": 91.0, "text": " Lo primero que se nos ocurre es pensar que esto se nos va hacia infinito."}, {"start": 91.0, "end": 100.0, "text": " Sabemos que en el estudio del c\u00e1lculo, si tenemos un n\u00famero que se divide entre una cantidad muy cercana a 0,"}, {"start": 100.0, "end": 104.0, "text": " entonces el resultado es un n\u00famero cada vez m\u00e1s grande."}, {"start": 104.0, "end": 107.0, "text": " Entonces tiende a infinito."}, {"start": 107.0, "end": 114.0, "text": " El problema que tenemos es que no sabemos si se trata de m\u00e1s infinito o de menos infinito."}, {"start": 114.0, "end": 120.0, "text": " Entonces nos queda ese gran interrogante que tenemos que resolver."}, {"start": 120.0, "end": 130.0, "text": " Esta duda surge porque no sabemos con certeza cu\u00e1l es la naturaleza de este n\u00famero que se aproxima a 0."}, {"start": 130.0, "end": 140.0, "text": " Sabemos que a 0 nos podemos acercar por el lado de los n\u00fameros positivos o por el lado de los n\u00fameros negativos."}, {"start": 140.0, "end": 148.0, "text": " Entonces aqu\u00ed nos sabemos si se trata de un n\u00famero pr\u00f3ximo a 0 por el lado positivo, como estos de por aqu\u00ed,"}, {"start": 148.0, "end": 151.0, "text": " o por el lado negativo como estos que tenemos ac\u00e1."}, {"start": 151.0, "end": 159.0, "text": " En cuanto al numerador no hay ninguna duda, no hay ning\u00fan problema porque sabemos que se trata de 7 positivo."}, {"start": 159.0, "end": 170.0, "text": " Entonces para resolver este interrogante vamos a analizar este l\u00edmite tanto por izquierda como por derecha del n\u00famero 2."}, {"start": 170.0, "end": 181.0, "text": " Decimos entonces, l\u00edmite cuando x tiende a 2 por la izquierda, que se simboliza con este signo menos, arriba y a la derecha del 2,"}, {"start": 181.0, "end": 186.0, "text": " de la misma funci\u00f3n racional, la que tenemos originalmente."}, {"start": 186.0, "end": 195.0, "text": " Entonces vamos a ver cu\u00e1l es el comportamiento de esta expresi\u00f3n cuando x se aproxima a 2 por la izquierda."}, {"start": 195.0, "end": 204.0, "text": " Entonces podemos pensar en una cantidad como por ejemplo x igual a 1.9999."}, {"start": 204.0, "end": 207.0, "text": " Veamos ac\u00e1 por qu\u00e9 escogemos ese n\u00famero."}, {"start": 207.0, "end": 218.0, "text": " Si tenemos el n\u00famero 2, por ac\u00e1 tenemos el n\u00famero 1 y ac\u00e1 tenemos el n\u00famero 3 en la recta num\u00e9rica o en el eje x, si lo queremos ver de esa manera."}, {"start": 218.0, "end": 229.0, "text": " Si nos aproximamos a 2 por la izquierda, es decir por ac\u00e1, estamos pensando en estos n\u00fameros que est\u00e1n muy cerca de 2 pero que son menores que 2."}, {"start": 229.0, "end": 235.0, "text": " Entonces por eso escogemos el n\u00famero 1.9999."}, {"start": 235.0, "end": 240.0, "text": " Entre m\u00e1s 9 escojamos, m\u00e1s cercanos vamos a estar del n\u00famero 2."}, {"start": 240.0, "end": 247.0, "text": " Esto para tener digamos una idea de cu\u00e1l es el n\u00famero que vamos a reemplazar en esta expresi\u00f3n."}, {"start": 247.0, "end": 256.0, "text": " Entonces si reemplazamos un n\u00famero que es pr\u00e1cticamente 2 en el numerador, nos va a dar pr\u00e1cticamente 7."}, {"start": 256.0, "end": 261.0, "text": " No importa si nos acercamos a 7 por la izquierda o por la derecha,"}, {"start": 261.0, "end": 270.0, "text": " el hecho es que all\u00ed vamos a tener un n\u00famero que indiscutiblemente est\u00e1 cercano a 7 y es de naturaleza positiva."}, {"start": 270.0, "end": 274.0, "text": " Lo que nos interesa es ac\u00e1 en el denominador."}, {"start": 274.0, "end": 280.0, "text": " Si pensamos en este n\u00famero que entra a ocupar el lugar de la x y a eso le restamos 2,"}, {"start": 280.0, "end": 289.0, "text": " vamos a obtener un n\u00famero muy pr\u00f3ximo a 0 pero de naturaleza negativa porque este n\u00famero es menor que 2."}, {"start": 289.0, "end": 295.0, "text": " Entonces nos da consigno negativo y aqu\u00ed ya podemos precisar el resultado."}, {"start": 295.0, "end": 307.0, "text": " Aplicamos la ley de los signos, m\u00e1s con menos nos da menos y 7 sobre 0 o 7 sobre un n\u00famero muy pr\u00f3ximo a 0 nos da como resultado infinito."}, {"start": 307.0, "end": 315.0, "text": " Entonces el l\u00edmite de esta funci\u00f3n cuando x tiende a 2 por la izquierda se nos va hacia menos infinito."}, {"start": 315.0, "end": 334.0, "text": " Ahora hacemos el otro l\u00edmite, entonces decimos l\u00edmite cuando x tiende a 2 por la derecha que se simboliza con ese signo m\u00e1s arriba y a la derecha del 2 de la misma funci\u00f3n racional."}, {"start": 334.0, "end": 342.0, "text": " Entonces vamos a pensar en un n\u00famero que est\u00e9 muy pr\u00f3ximo a 2 por el lado derecho o que se acerque por la derecha."}, {"start": 342.0, "end": 348.0, "text": " Puede ser entonces el n\u00famero 2.0001 veamos por qu\u00e9."}, {"start": 348.0, "end": 358.0, "text": " Otra vez tenemos la recta num\u00e9rica o el eje x, all\u00ed tenemos el n\u00famero 2, por ac\u00e1 est\u00e1 el n\u00famero 1 y por ac\u00e1 tenemos el n\u00famero 3."}, {"start": 358.0, "end": 369.0, "text": " Entonces nos vamos a aproximar a 2 por el lado de la derecha, o sea que estamos pensando en estos n\u00fameros que est\u00e1n muy cercanos a 2 pero que son mayores que 2."}, {"start": 369.0, "end": 378.0, "text": " Entonces por esa raz\u00f3n escogemos este n\u00famero 2.0001 muy cercano a 2 por el lado derecho."}, {"start": 378.0, "end": 392.0, "text": " De nuevo reemplazamos esta cantidad que es pr\u00e1cticamente 2 en el numerador y volvemos a obtener m\u00e1s 7, un n\u00famero pr\u00f3ximo a 7 de naturaleza positiva."}, {"start": 392.0, "end": 406.0, "text": " Y nos concentramos ahora en el denominador, tenemos entonces un n\u00famero muy pr\u00f3ximo a 0 pero este n\u00famero si ingresa aqu\u00ed donde tenemos x y despu\u00e9s le restamos 2, vemos que este es mayor que 2."}, {"start": 406.0, "end": 415.0, "text": " Entonces nos va a producir un n\u00famero cercano a 0 pero de naturaleza positiva y eso nos permite precisar el resultado."}, {"start": 415.0, "end": 430.0, "text": " M\u00e1s con m\u00e1s nos da signo m\u00e1s y 7 sobre 0 es infinito. Entonces el l\u00edmite de esta funci\u00f3n, cuando x tiende a 2 por la derecha se nos va hacia m\u00e1s infinito."}, {"start": 430.0, "end": 446.0, "text": " De acuerdo con estos dos an\u00e1lisis ya podemos precisar el resultado de este l\u00edmite. Como vimos cuando x se aproxima a 2 por la izquierda esta funci\u00f3n tiende hacia menos infinito."}, {"start": 446.0, "end": 460.0, "text": " Y cuando x se aproxima a 2 por la derecha la misma funci\u00f3n se nos va hacia m\u00e1s infinito. Eso nos permite concluir que este l\u00edmite no existe y se representa con este s\u00edmbolo."}, {"start": 460.0, "end": 465.0, "text": " Entonces esta es la respuesta para este ejercicio."}, {"start": 465.0, "end": 480.0, "text": " Lo que acabamos de hacer se puede comprobar gr\u00e1ficamente. Para ello consideramos la funci\u00f3n que ten\u00edamos en el l\u00edmite, es decir la funci\u00f3n racional y vamos a comenzar por establecer su dominio."}, {"start": 480.0, "end": 488.0, "text": " O sea cu\u00e1l es el conjunto de valores que puede tomar x para que la funci\u00f3n siempre produzca valores reales."}, {"start": 488.0, "end": 496.0, "text": " Como tenemos una funci\u00f3n racional o fraccionaria tenemos que garantizar que el denominador no sea 0."}, {"start": 496.0, "end": 503.0, "text": " Entonces establecemos esta condici\u00f3n, la expresi\u00f3n que tenemos en el denominador diferente de 0."}, {"start": 503.0, "end": 514.0, "text": " Y esto se resuelve como una ecuaci\u00f3n. Dejamos la x en el lado izquierdo y el 2 que est\u00e1 restando pasa al otro lado a sumar con 0 y nos queda ac\u00e1 2."}, {"start": 514.0, "end": 520.0, "text": " Entonces esto nos est\u00e1 diciendo que en esa funci\u00f3n x puede tomar cualquier valor real."}, {"start": 520.0, "end": 527.0, "text": " X pertenece al conjunto de los n\u00fameros reales con excepci\u00f3n del n\u00famero 2."}, {"start": 527.0, "end": 535.0, "text": " X no puede tomar ese valor porque complica la funci\u00f3n, vuelve 0 el denominador."}, {"start": 535.0, "end": 547.0, "text": " Como el numerador de esta fracci\u00f3n es una expresi\u00f3n que no se puede factorizar entonces no hay posibilidad de simplificar esta fracci\u00f3n algebraica."}, {"start": 547.0, "end": 550.0, "text": " O sea de cancelar por ejemplo x menos 2."}, {"start": 550.0, "end": 567.0, "text": " Eso quiere decir que x igual a 2, o sea el valor prohibido para x, o sea el que no puede tomar en el dominio se convierte autom\u00e1ticamente en una as\u00edntota vertical."}, {"start": 567.0, "end": 581.0, "text": " Es decir una l\u00ednea recta vertical a la cual la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n se va a aproximar sin llegar a tocarla, es decir sin tener contacto con ella."}, {"start": 581.0, "end": 584.0, "text": " Eso lo veremos ahora en la gr\u00e1fica."}, {"start": 584.0, "end": 598.0, "text": " Otra caracter\u00edstica de esta funci\u00f3n es que como el grado del numerador es 2 y el grado del denominador es 1, es decir tenemos grado del numerador mayor que el grado del denominador."}, {"start": 598.0, "end": 605.0, "text": " Entonces vamos a tener otra as\u00edntota que no es precisamente vertical ni tampoco horizontal."}, {"start": 605.0, "end": 610.0, "text": " Y nos damos cuenta de que tipo es haciendo la resta de los grados."}, {"start": 610.0, "end": 615.0, "text": " Grado del numerador es 2 menos grado del denominador que es 1."}, {"start": 615.0, "end": 617.0, "text": " Esto nos da como resultado 1."}, {"start": 617.0, "end": 636.0, "text": " Y eso quiere decir que tendremos una as\u00edntota oblicua, o sea una recta inclinada a la cual la curva o la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n se va a aproximar sin llegar a tocarla."}, {"start": 636.0, "end": 645.0, "text": " Para establecer con exactitud cu\u00e1l es esa as\u00edntota oblicua, es decir cu\u00e1l es su ecuaci\u00f3n, debemos realizar esta divisi\u00f3n."}, {"start": 645.0, "end": 650.0, "text": " Lo que en \u00e1lgebra se conoce como la divisi\u00f3n de polinomios."}, {"start": 650.0, "end": 656.0, "text": " Tenemos que el numerador, o sea el dividendo, ya se encuentra organizado en forma descendente."}, {"start": 656.0, "end": 658.0, "text": " Entonces vamos a escribirlo."}, {"start": 658.0, "end": 661.0, "text": " X al cuadrado menos X m\u00e1s 5."}, {"start": 661.0, "end": 664.0, "text": " Vemos que tampoco falta ning\u00fan t\u00e9rmino de la secuencia."}, {"start": 664.0, "end": 672.0, "text": " Tenemos aqu\u00ed grado 2, grado 1 y ac\u00e1 el t\u00e9rmino independiente, o sea el que tiene grado 0."}, {"start": 672.0, "end": 681.0, "text": " Y vamos a escribir aqu\u00ed lo que es el divisor, o sea el denominador, que tambi\u00e9n se escribe en forma descendente."}, {"start": 681.0, "end": 684.0, "text": " Ah\u00ed ya lo tenemos ordenado de esa manera."}, {"start": 684.0, "end": 692.0, "text": " Para encontrar el primer t\u00e9rmino del cociente, dividimos el primer t\u00e9rmino del dividendo entre el primer t\u00e9rmino del divisor."}, {"start": 692.0, "end": 698.0, "text": " Es decir, hacemos X al cuadrado sobre X y esto nos da como resultado X."}, {"start": 698.0, "end": 702.0, "text": " Y eso constituye el primer t\u00e9rmino del cociente."}, {"start": 702.0, "end": 707.0, "text": " Decimos ahora, X por X nos da X al cuadrado con signo positivo."}, {"start": 707.0, "end": 716.0, "text": " Y pasa ac\u00e1 con signo contrario, es decir, con signo negativo y se localiza debajo del t\u00e9rmino correspondiente."}, {"start": 716.0, "end": 719.0, "text": " O sea del t\u00e9rmino que tiene el mismo grado."}, {"start": 719.0, "end": 733.0, "text": " Despu\u00e9s hacemos X por menos 2, que nos da menos 2X y llega a este lado con signo contrario, o sea m\u00e1s 2X, tambi\u00e9n localizado debajo de su respectivo t\u00e9rmino semejante."}, {"start": 733.0, "end": 736.0, "text": " Efectuamos ahora la suma en forma vertical."}, {"start": 736.0, "end": 741.0, "text": " Tenemos que X al cuadrado sumado con menos X al cuadrado nos da 0."}, {"start": 741.0, "end": 744.0, "text": " Son t\u00e9rminos opuestos que se pueden eliminar."}, {"start": 744.0, "end": 752.0, "text": " Tenemos por ac\u00e1 menos X m\u00e1s 2X y eso nos da como resultado m\u00e1s 1X o simplemente X."}, {"start": 752.0, "end": 755.0, "text": " Y bajamos el n\u00famero 5."}, {"start": 755.0, "end": 764.0, "text": " Para encontrar el siguiente t\u00e9rmino del cociente, entonces dividimos el primer t\u00e9rmino del nuevo dividendo, por as\u00ed decirlo."}, {"start": 764.0, "end": 769.0, "text": " O sea, el que tenemos ya actualizado entre el primer t\u00e9rmino del divisor."}, {"start": 769.0, "end": 772.0, "text": " Es decir, que hacemos X dividido entre X."}, {"start": 772.0, "end": 775.0, "text": " Y eso nos da como resultado 1 positivo."}, {"start": 775.0, "end": 779.0, "text": " Y ese es el siguiente t\u00e9rmino del cociente."}, {"start": 779.0, "end": 783.0, "text": " Decimos entonces 1 por X nos da m\u00e1s X."}, {"start": 783.0, "end": 791.0, "text": " Pasa a este lado con signo contrario, o sea como menos X y se localiza debajo de su t\u00e9rmino semejante."}, {"start": 791.0, "end": 801.0, "text": " Decimos ahora 1 por menos 2, que es menos 2, pasa a este lado como m\u00e1s 2 y se localiza debajo del t\u00e9rmino independiente."}, {"start": 801.0, "end": 805.0, "text": " Hacemos entonces la suma en forma vertical."}, {"start": 805.0, "end": 809.0, "text": " Tenemos X que sumado con menos X nos da 0."}, {"start": 809.0, "end": 813.0, "text": " Tambi\u00e9n son t\u00e9rminos opuestos que se eliminan entre s\u00ed."}, {"start": 813.0, "end": 818.0, "text": " Y por ac\u00e1 tenemos 5 m\u00e1s 2 que nos da como resultado 7 positivo."}, {"start": 818.0, "end": 827.0, "text": " All\u00ed termina la divisi\u00f3n, porque como se observa el residuo es una expresi\u00f3n de grado inferior que el divisor."}, {"start": 827.0, "end": 835.0, "text": " Esto es un t\u00e9rmino independiente de grado 0, mientras que el divisor es un binomio de primer grado."}, {"start": 835.0, "end": 842.0, "text": " Entonces, como all\u00ed termina el procedimiento, el cociente es la as\u00edntota oblicua."}, {"start": 842.0, "end": 853.0, "text": " Decimos entonces que esa as\u00edntota, que es como dec\u00edamos una recta oblicua o una recta inclinada,"}, {"start": 853.0, "end": 859.0, "text": " ser\u00e1 la que tiene por ecuaci\u00f3n Y igual a X m\u00e1s 1."}, {"start": 859.0, "end": 865.0, "text": " Con esta informaci\u00f3n ya podemos ir construyendo la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n."}, {"start": 865.0, "end": 869.0, "text": " Comenzamos entonces por trazar el plano cartesiano."}, {"start": 869.0, "end": 871.0, "text": " Bien, all\u00ed lo tenemos."}, {"start": 871.0, "end": 880.0, "text": " Y vamos a trazar la as\u00edntota X igual a 2, es decir, una recta vertical que pasa por este n\u00famero."}, {"start": 880.0, "end": 891.0, "text": " All\u00ed podemos observarla. Vamos a escribirle su nombre, la recta X igual a 2, que es la as\u00edntota vertical para esta funci\u00f3n."}, {"start": 891.0, "end": 897.0, "text": " Vamos ahora con la as\u00edntota oblicua. Como dec\u00edamos, se trata de una recta inclinada."}, {"start": 897.0, "end": 901.0, "text": " Y para trazarla podemos determinar dos de sus puntos."}, {"start": 901.0, "end": 909.0, "text": " Por ejemplo, si X toma el valor 4, entonces tenemos que Y es igual a 4 m\u00e1s 1 igual a 5."}, {"start": 909.0, "end": 917.0, "text": " Es decir, la pareja 4,5. Nos ubicamos aqu\u00ed en X igual a 4 y subimos hasta 5."}, {"start": 917.0, "end": 920.0, "text": " Y de esa manera tenemos un primer punto."}, {"start": 920.0, "end": 930.0, "text": " Ahora, por ejemplo, si X toma el valor menos 4, decimos que Y es igual a menos 4 m\u00e1s 1, que es igual a menos 3."}, {"start": 930.0, "end": 934.0, "text": " Entonces es la pareja menos 4, menos 3."}, {"start": 934.0, "end": 940.0, "text": " Nos ubicamos aqu\u00ed en X igual a menos 4 y bajamos hasta llegar a menos 3."}, {"start": 940.0, "end": 949.0, "text": " Y de esa manera tenemos el otro punto para trazar la recta que corresponde a la as\u00edntota oblicua."}, {"start": 949.0, "end": 956.0, "text": " Bien, all\u00ed podemos observarla. Es la recta Y igual a X m\u00e1s 1."}, {"start": 956.0, "end": 963.0, "text": " Escribimos su nombre y corresponde a la as\u00edntota oblicua de esta funci\u00f3n."}, {"start": 963.0, "end": 969.0, "text": " Tambi\u00e9n podemos determinar cu\u00e1l es el punto de corte de la funci\u00f3n con el eje Y."}, {"start": 969.0, "end": 972.0, "text": " Y eso se consigue haciendo X igual a 0."}, {"start": 972.0, "end": 981.0, "text": " Entonces, imaginamos que la X desaparece porque toma el valor 0 y nos queda \u00fanicamente 5 sobre menos 2."}, {"start": 981.0, "end": 983.0, "text": " Y eso equivale a menos 2,5."}, {"start": 983.0, "end": 987.0, "text": " Entonces, cuando X vale 0, Y vale menos 2,5."}, {"start": 987.0, "end": 994.0, "text": " Es decir, aqu\u00ed y constituye el punto de corte de la funci\u00f3n con el eje Y."}, {"start": 994.0, "end": 1002.0, "text": " Si queremos obtener m\u00e1s puntos para la gr\u00e1fica, entonces podemos hacer una tabulaci\u00f3n o una tabla de valores."}, {"start": 1002.0, "end": 1009.0, "text": " Escogiendo para X valores reales que sean diferentes del n\u00famero 2."}, {"start": 1009.0, "end": 1016.0, "text": " Entonces podemos tabular valores negativos, positivos, pero no podemos tomar el 2."}, {"start": 1016.0, "end": 1024.0, "text": " La gr\u00e1fica que obtenemos al conectar esos puntos es muy aproximada a esa que tenemos en color rojo."}, {"start": 1024.0, "end": 1035.0, "text": " Vemos entonces que por ac\u00e1 la gr\u00e1fica sigue extendi\u00e9ndose de tal forma que no llega a tocar esta l\u00ednea recta, que es la as\u00edntota oblicua."}, {"start": 1035.0, "end": 1037.0, "text": " Y lo mismo sucede por ac\u00e1."}, {"start": 1037.0, "end": 1045.0, "text": " La gr\u00e1fica de la funci\u00f3n sigue extendi\u00e9ndose hacia abajo sin llegar a tocar la as\u00edntota vertical."}, {"start": 1045.0, "end": 1047.0, "text": " Lo mismo sucede por ac\u00e1 arriba."}, {"start": 1047.0, "end": 1056.0, "text": " Ac\u00e1 esta parte de la gr\u00e1fica sigue extendi\u00e9ndose hacia arriba sin tocar la as\u00edntota vertical."}, {"start": 1056.0, "end": 1069.0, "text": " Y esta parte sigue extendi\u00e9ndose en esta direcci\u00f3n sin hacer contacto con la recta Y igual a X m\u00e1s 1, que constituye la as\u00edntota oblicua."}, {"start": 1069.0, "end": 1082.0, "text": " Con base en esta gr\u00e1fica podemos establecer cu\u00e1l es el l\u00edmite de esta funci\u00f3n que vamos a llamar f de X cuando X tiende a 2 por la izquierda."}, {"start": 1082.0, "end": 1084.0, "text": " Entonces veamos."}, {"start": 1084.0, "end": 1098.0, "text": " Si nos ubicamos por aqu\u00ed valores de X muy cercanos a 2 por la izquierda, como dec\u00edamos 1.9 o 1.99, vemos que la gr\u00e1fica tiene su tendencia hacia abajo."}, {"start": 1098.0, "end": 1103.0, "text": " Es decir que los valores de Y tienden hacia menos infinito."}, {"start": 1103.0, "end": 1108.0, "text": " Y esto fue lo que obtuvimos ahora cuando lo hicimos anal\u00edticamente."}, {"start": 1108.0, "end": 1119.0, "text": " Ahora con base en esta misma gr\u00e1fica, veamos qu\u00e9 sucede con el l\u00edmite de la funci\u00f3n cuando X tiende a 2 por la derecha."}, {"start": 1119.0, "end": 1134.0, "text": " Entonces nos vamos a situar por aqu\u00ed valores muy pr\u00f3ximos a 2 por la derecha, como 2.1 o 2.01 o 2.0001, muy pr\u00f3ximo a 2 por ese lado, por el lado derecho."}, {"start": 1134.0, "end": 1143.0, "text": " Si nos ubicamos aqu\u00ed y vamos a buscar la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n tenemos que subir y encontramos que los puntos se nos van hacia arriba."}, {"start": 1143.0, "end": 1148.0, "text": " O sea que los valores de Y tienden hacia m\u00e1s infinito."}, {"start": 1148.0, "end": 1158.0, "text": " Como podemos observar cuando X se aproxima a 2 por izquierda y por derecha la tendencia de la funci\u00f3n es totalmente distinta."}, {"start": 1158.0, "end": 1165.0, "text": " Por izquierda tiende hacia menos infinito y por la derecha tiende hacia m\u00e1s infinito."}, {"start": 1165.0, "end": 1177.0, "text": " Por esa raz\u00f3n dijimos ahora que el l\u00edmite de la funci\u00f3n, de esta funci\u00f3n racional, cuando X tiende a 2 entonces no existe."}, {"start": 1177.0, "end": 1185.0, "text": " Esa es la respuesta que obtuvimos anal\u00edticamente y que aqu\u00ed podemos comprobar gr\u00e1ficamente."}, {"start": 1185.0, "end": 1195.0, "text": " Vemos entonces que en X igualados est\u00e1 la as\u00edntota vertical y por ambos lados la funci\u00f3n tiene tendencias totalmente diferentes."}, {"start": 1195.0, "end": 1208.0, "text": " De esta manera terminamos este ejercicio."}]

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MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE DESACELERADO - Problema 2

#julioprofe explica cómo resolver un problema sobre #MovimientoRectilíneoUniformementeDesacelerado : Una partícula que se mueve a 20 m/s en línea recta, desacelera uniformemente a razón de 4 m/s². ¿Qué distancia recorre al cabo de 2 s? ¿Cuál es su rapidez en ese instante? REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Una partícula que se mueve a 20 metros por segundo en línea recta desacelera uniformemente a razón de 4 metros por segundo cuadrado. ¿Qué distancia recorre al cabo de 2 segundos? ¿Cuál es su rapidez en ese instante? Bien, tenemos en esta ocasión un problema sobre movimiento rectilíneo uniformemente variado. Si leemos con atención el enunciado nos damos cuenta de que la partícula desacelera de manera uniforme. Entonces, como este movimiento puede ser acelerado o desacelerado, tenemos en este caso una situación de movimiento desacelerado. Estas son las iniciales. Movimiento rectilíneo uniformemente desacelerado. Vamos a extraer de esta información los datos. Tenemos que la partícula se mueve a 20 metros por segundo en línea recta. Esa será su velocidad inicial. Entonces, decimos que es 20 metros por segundo. También nos dice que desacelera uniformemente a razón de 4 metros por segundo cuadrado. Allí tenemos el valor de A, que será negativo porque es una desaceleración. Entonces, la aceleración es menos 4 metros por segundo cuadrado. Nos preguntan cuál es la distancia que recorre al cabo de 2 segundos. Entonces, D es una pregunta. Tenemos el tiempo que son 2 segundos. Y también nos preguntan cuál es su rapidez en ese instante. O sea, cuando se cumplen los 2 segundos. Esa será entonces la velocidad final de la partícula. Para un movimiento rectilíneo uniformemente variado, que como decía puede ser acelerado o desacelerado, contamos con 4 expresiones o 4 fórmulas. Vamos a escribirlas. La primera dice que la aceleración es igual a la velocidad final menos la velocidad inicial. Y esto sobre el tiempo. Veamos la segunda. Dice distancia recorrida es igual a 1 medio por la aceleración por el tiempo al cuadrado más la velocidad inicial por el tiempo. La tercera dice que la velocidad final al cuadrado es igual a la velocidad inicial al cuadrado más 2 veces la aceleración por la distancia. Y la cuarta dice que la distancia recorrida es igual a la velocidad inicial más la velocidad final. Esto sobre 2 y todo esto multiplicado por el tiempo. Si observamos los datos del problema, que por cierto ya los tenemos todos en metros y segundos. Y no tenemos que hacer ninguna conversión, vemos que se conoce la velocidad inicial, la aceleración, el tiempo y necesitamos la distancia. Buscamos una fórmula que tenga estos 4 datos. Es decir que no tenga velocidad final. Si realizamos con atención nos damos cuenta que es la segunda. Entonces vamos a utilizar esa expresión. Decimos distancia recorrida que es el dato que buscamos será igual a 1 medio por la aceleración que es menos 4. Entonces escribimos ese dato entre paréntesis por el tiempo al cuadrado. El tiempo es 2 al cuadrado más la velocidad inicial que es 20 por el tiempo que es 2. Y vamos a resolver estas operaciones. Por aquí tenemos 2 al cuadrado es 4. 4 por menos 4 es menos 16. Y menos 16 por 1 medio será lo mismo que menos 16 medios que equivale a menos 8. Por acá tenemos más 20 por 2 que es 40. Así efectuando esta operación nos da como resultado 32. No podemos olvidar las unidades correspondientes a este dato. O sea para la distancia que serán metros. De esta manera tenemos la primera respuesta. La distancia que recorre esa partícula al cabo de 2 segundos es 32 metros. Vamos a escribir ese resultado por aquí. Distancia recorrida 32 metros. Y a continuación vamos a determinar el dato que nos falta. La velocidad final. Elegimos entonces una de las fórmulas que contenga ese dato. Puede ser la primera, la tercera o la cuarta. Vamos a trabajar en este caso con la número 3. Tenemos velocidad final al cuadrado igual a la velocidad inicial que es 20 al cuadrado más 2 por la aceleración que es menos 4 por la distancia que es 32. El dato que acabamos de encontrar. Enseguida vamos a resolver esas operaciones. Tenemos 20 al cuadrado que es 400. Y acá tenemos 2 por menos 4 que es menos 8. Y menos 8 por 32 nos da como resultado menos 256. Efectuando esa resta obtenemos como resultado 144. Y para despejar la velocidad final entonces extraemos la raíz cuadrada al número 144. Eso nos da como resultado velocidad final de la partícula igual a 12. Y escribimos las unidades respectivas que son metros por segundo. De esta manera encontramos la otra respuesta para este problema.

[{"start": 0.0, "end": 10.0, "text": " Una part\u00edcula que se mueve a 20 metros por segundo en l\u00ednea recta desacelera uniformemente a raz\u00f3n de 4 metros por segundo cuadrado."}, {"start": 10.0, "end": 17.0, "text": " \u00bfQu\u00e9 distancia recorre al cabo de 2 segundos? \u00bfCu\u00e1l es su rapidez en ese instante?"}, {"start": 17.0, "end": 24.0, "text": " Bien, tenemos en esta ocasi\u00f3n un problema sobre movimiento rectil\u00edneo uniformemente variado."}, {"start": 24.0, "end": 33.0, "text": " Si leemos con atenci\u00f3n el enunciado nos damos cuenta de que la part\u00edcula desacelera de manera uniforme."}, {"start": 33.0, "end": 44.0, "text": " Entonces, como este movimiento puede ser acelerado o desacelerado, tenemos en este caso una situaci\u00f3n de movimiento desacelerado."}, {"start": 44.0, "end": 50.0, "text": " Estas son las iniciales. Movimiento rectil\u00edneo uniformemente desacelerado."}, {"start": 50.0, "end": 60.0, "text": " Vamos a extraer de esta informaci\u00f3n los datos. Tenemos que la part\u00edcula se mueve a 20 metros por segundo en l\u00ednea recta."}, {"start": 60.0, "end": 68.0, "text": " Esa ser\u00e1 su velocidad inicial. Entonces, decimos que es 20 metros por segundo."}, {"start": 68.0, "end": 74.0, "text": " Tambi\u00e9n nos dice que desacelera uniformemente a raz\u00f3n de 4 metros por segundo cuadrado."}, {"start": 74.0, "end": 81.0, "text": " All\u00ed tenemos el valor de A, que ser\u00e1 negativo porque es una desaceleraci\u00f3n."}, {"start": 81.0, "end": 87.0, "text": " Entonces, la aceleraci\u00f3n es menos 4 metros por segundo cuadrado."}, {"start": 87.0, "end": 93.0, "text": " Nos preguntan cu\u00e1l es la distancia que recorre al cabo de 2 segundos."}, {"start": 93.0, "end": 101.0, "text": " Entonces, D es una pregunta. Tenemos el tiempo que son 2 segundos."}, {"start": 101.0, "end": 109.0, "text": " Y tambi\u00e9n nos preguntan cu\u00e1l es su rapidez en ese instante. O sea, cuando se cumplen los 2 segundos."}, {"start": 109.0, "end": 115.0, "text": " Esa ser\u00e1 entonces la velocidad final de la part\u00edcula."}, {"start": 115.0, "end": 123.0, "text": " Para un movimiento rectil\u00edneo uniformemente variado, que como dec\u00eda puede ser acelerado o desacelerado,"}, {"start": 123.0, "end": 129.0, "text": " contamos con 4 expresiones o 4 f\u00f3rmulas. Vamos a escribirlas."}, {"start": 129.0, "end": 136.0, "text": " La primera dice que la aceleraci\u00f3n es igual a la velocidad final menos la velocidad inicial."}, {"start": 136.0, "end": 141.0, "text": " Y esto sobre el tiempo. Veamos la segunda."}, {"start": 141.0, "end": 155.0, "text": " Dice distancia recorrida es igual a 1 medio por la aceleraci\u00f3n por el tiempo al cuadrado m\u00e1s la velocidad inicial por el tiempo."}, {"start": 155.0, "end": 171.0, "text": " La tercera dice que la velocidad final al cuadrado es igual a la velocidad inicial al cuadrado m\u00e1s 2 veces la aceleraci\u00f3n por la distancia."}, {"start": 171.0, "end": 188.0, "text": " Y la cuarta dice que la distancia recorrida es igual a la velocidad inicial m\u00e1s la velocidad final. Esto sobre 2 y todo esto multiplicado por el tiempo."}, {"start": 188.0, "end": 195.0, "text": " Si observamos los datos del problema, que por cierto ya los tenemos todos en metros y segundos."}, {"start": 195.0, "end": 205.0, "text": " Y no tenemos que hacer ninguna conversi\u00f3n, vemos que se conoce la velocidad inicial, la aceleraci\u00f3n, el tiempo y necesitamos la distancia."}, {"start": 205.0, "end": 212.0, "text": " Buscamos una f\u00f3rmula que tenga estos 4 datos. Es decir que no tenga velocidad final."}, {"start": 212.0, "end": 217.0, "text": " Si realizamos con atenci\u00f3n nos damos cuenta que es la segunda."}, {"start": 217.0, "end": 233.0, "text": " Entonces vamos a utilizar esa expresi\u00f3n. Decimos distancia recorrida que es el dato que buscamos ser\u00e1 igual a 1 medio por la aceleraci\u00f3n que es menos 4."}, {"start": 233.0, "end": 252.0, "text": " Entonces escribimos ese dato entre par\u00e9ntesis por el tiempo al cuadrado. El tiempo es 2 al cuadrado m\u00e1s la velocidad inicial que es 20 por el tiempo que es 2."}, {"start": 252.0, "end": 263.0, "text": " Y vamos a resolver estas operaciones. Por aqu\u00ed tenemos 2 al cuadrado es 4. 4 por menos 4 es menos 16."}, {"start": 263.0, "end": 276.0, "text": " Y menos 16 por 1 medio ser\u00e1 lo mismo que menos 16 medios que equivale a menos 8. Por ac\u00e1 tenemos m\u00e1s 20 por 2 que es 40."}, {"start": 276.0, "end": 286.0, "text": " As\u00ed efectuando esta operaci\u00f3n nos da como resultado 32. No podemos olvidar las unidades correspondientes a este dato."}, {"start": 286.0, "end": 295.0, "text": " O sea para la distancia que ser\u00e1n metros. De esta manera tenemos la primera respuesta."}, {"start": 295.0, "end": 303.0, "text": " La distancia que recorre esa part\u00edcula al cabo de 2 segundos es 32 metros."}, {"start": 303.0, "end": 310.0, "text": " Vamos a escribir ese resultado por aqu\u00ed. Distancia recorrida 32 metros."}, {"start": 310.0, "end": 316.0, "text": " Y a continuaci\u00f3n vamos a determinar el dato que nos falta. La velocidad final."}, {"start": 316.0, "end": 325.0, "text": " Elegimos entonces una de las f\u00f3rmulas que contenga ese dato. Puede ser la primera, la tercera o la cuarta."}, {"start": 325.0, "end": 350.0, "text": " Vamos a trabajar en este caso con la n\u00famero 3. Tenemos velocidad final al cuadrado igual a la velocidad inicial que es 20 al cuadrado m\u00e1s 2 por la aceleraci\u00f3n que es menos 4 por la distancia que es 32."}, {"start": 350.0, "end": 356.0, "text": " El dato que acabamos de encontrar. Enseguida vamos a resolver esas operaciones."}, {"start": 356.0, "end": 364.0, "text": " Tenemos 20 al cuadrado que es 400. Y ac\u00e1 tenemos 2 por menos 4 que es menos 8."}, {"start": 364.0, "end": 370.0, "text": " Y menos 8 por 32 nos da como resultado menos 256."}, {"start": 370.0, "end": 388.0, "text": " Efectuando esa resta obtenemos como resultado 144. Y para despejar la velocidad final entonces extraemos la ra\u00edz cuadrada al n\u00famero 144."}, {"start": 388.0, "end": 400.0, "text": " Eso nos da como resultado velocidad final de la part\u00edcula igual a 12. Y escribimos las unidades respectivas que son metros por segundo."}, {"start": 400.0, "end": 419.0, "text": " De esta manera encontramos la otra respuesta para este problema."}]

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MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE DESACELERADO - Problema 1

#julioprofe explica cómo resolver un problema sobre #MovimientoRectilíneoUniformementeDesacelerado : El conductor de un automóvil, que se mueve a 108 km/h, acciona los frenos y logra detenerlo en 60 m. ¿Cuánto tiempo duró el frenado? ¿Cuál fue la desaceleración? REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

El conductor de un automóvil que se mueve a 108 km por hora, acciona los frenos y logra detenerlo en 60 metros. ¿Cuánto tiempo duró el frenado? ¿Cuál fue la desaceleración? Bien, tenemos en esta ocasión un problema sobre movimiento rectilíneo uniformemente variado. Pero si leemos con atención nos damos cuenta que esta situación trata de un frenado, o sea donde hay una desaceleración. Como el movimiento rectilíneo uniformemente variado puede ser acelerado o desacelerado, entonces en este caso precisamos que se trata de uno desacelerado. Entonces estas son las iniciales, movimiento rectilíneo uniformemente desacelerado. Vamos a extraer de esta información los datos del problema. Nos dice que inicialmente el automóvil se mueve a 108 km por hora, esa será la velocidad inicial, entonces 108 km por hora. Nos dice que el conductor acciona los frenos y logra detenerlo en 60 metros, o sea que la velocidad final es cero porque el auto se detiene y la distancia recorrida es 60 metros. Nos preguntan ¿Cuánto tiempo duró el frenado? Entonces ¿Cuánto vale T y cuál fue la desaceleración? O sea el valor de A. Como se trata de un movimiento desacelerado esperamos que la aceleración nos de negativa. Lo primero que debemos revisar es que todos los datos se encuentren en metros y segundos, como se observa la velocidad inicial está en kilómetros por hora, entonces tenemos que hacer la conversión de ese dato a metros por segundo. Tenemos velocidad inicial igual a 108 km por hora, entonces vamos a multiplicar por los factores de conversión adecuados para hacer esa conversión. Para pasar de kilómetros a metros utilizamos este factor de conversión, kilómetros abajo, metros arriba, sabemos que un kilómetro equivale a 1000 metros. De esa manera logramos eliminar los kilómetros y agregamos otro factor de conversión para pasar de horas a segundos, escribimos horas en la parte de arriba y segundos en la parte de abajo, sabemos que una hora equivale a 3600 segundos, entonces de esta manera logramos eliminar las horas. Si efectuamos la operación de los números tenemos 108 por 1000, o sea 108000 y dividimos por 3600, eso nos da como resultado 30, y las unidades son metros por segundo, entonces de esta manera ya logramos transformar esta velocidad a las unidades metros por segundo. Entonces escribimos aquí el resultado obtenido, velocidad inicial 30 metros por segundo, para un movimiento rectilíneo uniformemente variado, bien sea acelerado o desacelerado como el que tenemos en esta ocasión, contamos con cuatro fórmulas, vamos a escribirlas, la primera nos dice que la aceleración es igual a la velocidad final menos la velocidad inicial sobre el tiempo, la segunda dice que la distancia recorrida es igual a un medio por la aceleración por el tiempo al cuadrado y esto más la velocidad inicial por el tiempo, la tercera nos dice que la velocidad final al cuadrado es igual a la velocidad inicial al cuadrado más dos veces la aceleración por la distancia, y la cuarta dice que la distancia recorrida es igual a la velocidad inicial más la velocidad final, esto sobre 2 y todo esto multiplicado por el tiempo, como se conoce la velocidad inicial, la velocidad final, la distancia y nos piden el tiempo, buscamos una fórmula que contenga esos cuatro datos, se trata de la número 4, entonces vamos a utilizar esa fórmula, tenemos distancia que es 60 metros, entonces 60 es igual a la velocidad inicial que es 30 más la velocidad final que es 0, esto sobre 2 y todo esto multiplicado por el tiempo que es el dato que tenemos que encontrar, vamos a resolver lo que tenemos en el paréntesis, 30 más 0 nos da 30, 30 sobre 2 es 30 medios que equivale a 15, nos queda entonces 15 por T acá en el lado derecho, para despejarte pasamos este número que está multiplicando al otro lado a dividir, nos queda 60 dividido entre 15, y resolviendo esa operación tenemos como resultado T igual a 4, como es un tiempo entonces escribimos las unidades correspondientes que son segundos, entonces tenemos que el tiempo que tarda el conductor del automóvil en frenar dicho vehículo es 4 segundos, y de esa manera tenemos la primera respuesta, vamos a escribir ese resultado por aquí, tiempo igual a 4 segundos, es el tiempo que dura el frenado del automóvil, bien ahora para encontrar la aceleración miramos cual de las fórmulas es más conveniente, buscamos una que contenga la letra A, puede ser la primera, la segunda o la tercera, de todas la más sencilla es la primera, porque ya tenemos allí la letra A despejada, entonces vamos a usar esa expresión, decimos aceleración es igual a la velocidad final que es 0, menos la velocidad inicial que es 30, y esto sobre el tiempo que nos dio 4, resolviendo todo esto nos queda lo siguiente, arriba 0 menos 30 nos da menos 30, y menos 30 dividido entre 4 nos da como resultado menos 7.5, y escribimos las unidades correspondientes a la aceleración, que son metros por segundo cuadrado, este es el otro dato que nos preguntan, es la desaceleración del automóvil, por esa razón como decíamos, se trata de una aceleración negativa.

[{"start": 0.0, "end": 5.4, "text": " El conductor de un autom\u00f3vil que se mueve a 108 km por hora,"}, {"start": 5.4, "end": 9.700000000000001, "text": " acciona los frenos y logra detenerlo en 60 metros."}, {"start": 9.700000000000001, "end": 14.4, "text": " \u00bfCu\u00e1nto tiempo dur\u00f3 el frenado? \u00bfCu\u00e1l fue la desaceleraci\u00f3n?"}, {"start": 14.4, "end": 22.0, "text": " Bien, tenemos en esta ocasi\u00f3n un problema sobre movimiento rectil\u00edneo uniformemente variado."}, {"start": 22.0, "end": 30.4, "text": " Pero si leemos con atenci\u00f3n nos damos cuenta que esta situaci\u00f3n trata de un frenado,"}, {"start": 30.4, "end": 33.8, "text": " o sea donde hay una desaceleraci\u00f3n."}, {"start": 33.8, "end": 40.2, "text": " Como el movimiento rectil\u00edneo uniformemente variado puede ser acelerado o desacelerado,"}, {"start": 40.2, "end": 46.8, "text": " entonces en este caso precisamos que se trata de uno desacelerado."}, {"start": 46.8, "end": 53.8, "text": " Entonces estas son las iniciales, movimiento rectil\u00edneo uniformemente desacelerado."}, {"start": 53.8, "end": 59.3, "text": " Vamos a extraer de esta informaci\u00f3n los datos del problema."}, {"start": 59.3, "end": 65.4, "text": " Nos dice que inicialmente el autom\u00f3vil se mueve a 108 km por hora,"}, {"start": 65.4, "end": 72.8, "text": " esa ser\u00e1 la velocidad inicial, entonces 108 km por hora."}, {"start": 72.8, "end": 79.3, "text": " Nos dice que el conductor acciona los frenos y logra detenerlo en 60 metros,"}, {"start": 79.3, "end": 91.0, "text": " o sea que la velocidad final es cero porque el auto se detiene y la distancia recorrida es 60 metros."}, {"start": 91.0, "end": 95.4, "text": " Nos preguntan \u00bfCu\u00e1nto tiempo dur\u00f3 el frenado?"}, {"start": 95.4, "end": 102.80000000000001, "text": " Entonces \u00bfCu\u00e1nto vale T y cu\u00e1l fue la desaceleraci\u00f3n? O sea el valor de A."}, {"start": 102.80000000000001, "end": 110.60000000000001, "text": " Como se trata de un movimiento desacelerado esperamos que la aceleraci\u00f3n nos de negativa."}, {"start": 110.60000000000001, "end": 117.80000000000001, "text": " Lo primero que debemos revisar es que todos los datos se encuentren en metros y segundos,"}, {"start": 117.80000000000001, "end": 122.9, "text": " como se observa la velocidad inicial est\u00e1 en kil\u00f3metros por hora,"}, {"start": 122.9, "end": 128.8, "text": " entonces tenemos que hacer la conversi\u00f3n de ese dato a metros por segundo."}, {"start": 128.8, "end": 134.0, "text": " Tenemos velocidad inicial igual a 108 km por hora,"}, {"start": 134.0, "end": 141.3, "text": " entonces vamos a multiplicar por los factores de conversi\u00f3n adecuados para hacer esa conversi\u00f3n."}, {"start": 141.3, "end": 146.1, "text": " Para pasar de kil\u00f3metros a metros utilizamos este factor de conversi\u00f3n,"}, {"start": 146.1, "end": 152.8, "text": " kil\u00f3metros abajo, metros arriba, sabemos que un kil\u00f3metro equivale a 1000 metros."}, {"start": 152.8, "end": 157.60000000000002, "text": " De esa manera logramos eliminar los kil\u00f3metros"}, {"start": 157.60000000000002, "end": 163.60000000000002, "text": " y agregamos otro factor de conversi\u00f3n para pasar de horas a segundos,"}, {"start": 163.60000000000002, "end": 169.3, "text": " escribimos horas en la parte de arriba y segundos en la parte de abajo,"}, {"start": 169.3, "end": 175.10000000000002, "text": " sabemos que una hora equivale a 3600 segundos,"}, {"start": 175.10000000000002, "end": 180.60000000000002, "text": " entonces de esta manera logramos eliminar las horas."}, {"start": 180.6, "end": 187.0, "text": " Si efectuamos la operaci\u00f3n de los n\u00fameros tenemos 108 por 1000,"}, {"start": 187.0, "end": 194.9, "text": " o sea 108000 y dividimos por 3600, eso nos da como resultado 30,"}, {"start": 194.9, "end": 199.29999999999998, "text": " y las unidades son metros por segundo,"}, {"start": 199.29999999999998, "end": 208.7, "text": " entonces de esta manera ya logramos transformar esta velocidad a las unidades metros por segundo."}, {"start": 208.7, "end": 217.0, "text": " Entonces escribimos aqu\u00ed el resultado obtenido, velocidad inicial 30 metros por segundo,"}, {"start": 217.0, "end": 220.79999999999998, "text": " para un movimiento rectil\u00edneo uniformemente variado,"}, {"start": 220.79999999999998, "end": 226.5, "text": " bien sea acelerado o desacelerado como el que tenemos en esta ocasi\u00f3n,"}, {"start": 226.5, "end": 230.6, "text": " contamos con cuatro f\u00f3rmulas, vamos a escribirlas,"}, {"start": 230.6, "end": 235.7, "text": " la primera nos dice que la aceleraci\u00f3n es igual a la velocidad final"}, {"start": 235.7, "end": 240.0, "text": " menos la velocidad inicial sobre el tiempo,"}, {"start": 240.0, "end": 248.29999999999998, "text": " la segunda dice que la distancia recorrida es igual a un medio"}, {"start": 248.29999999999998, "end": 256.59999999999997, "text": " por la aceleraci\u00f3n por el tiempo al cuadrado y esto m\u00e1s la velocidad inicial por el tiempo,"}, {"start": 256.59999999999997, "end": 263.5, "text": " la tercera nos dice que la velocidad final al cuadrado"}, {"start": 263.5, "end": 272.1, "text": " es igual a la velocidad inicial al cuadrado m\u00e1s dos veces la aceleraci\u00f3n por la distancia,"}, {"start": 272.1, "end": 282.7, "text": " y la cuarta dice que la distancia recorrida es igual a la velocidad inicial m\u00e1s la velocidad final,"}, {"start": 282.7, "end": 288.3, "text": " esto sobre 2 y todo esto multiplicado por el tiempo,"}, {"start": 288.3, "end": 295.40000000000003, "text": " como se conoce la velocidad inicial, la velocidad final, la distancia y nos piden el tiempo,"}, {"start": 295.40000000000003, "end": 299.1, "text": " buscamos una f\u00f3rmula que contenga esos cuatro datos,"}, {"start": 299.1, "end": 305.0, "text": " se trata de la n\u00famero 4, entonces vamos a utilizar esa f\u00f3rmula,"}, {"start": 305.0, "end": 309.40000000000003, "text": " tenemos distancia que es 60 metros,"}, {"start": 309.4, "end": 320.7, "text": " entonces 60 es igual a la velocidad inicial que es 30 m\u00e1s la velocidad final que es 0,"}, {"start": 320.7, "end": 328.59999999999997, "text": " esto sobre 2 y todo esto multiplicado por el tiempo que es el dato que tenemos que encontrar,"}, {"start": 328.59999999999997, "end": 331.7, "text": " vamos a resolver lo que tenemos en el par\u00e9ntesis,"}, {"start": 331.7, "end": 338.79999999999995, "text": " 30 m\u00e1s 0 nos da 30, 30 sobre 2 es 30 medios que equivale a 15,"}, {"start": 338.8, "end": 343.1, "text": " nos queda entonces 15 por T ac\u00e1 en el lado derecho,"}, {"start": 343.1, "end": 350.40000000000003, "text": " para despejarte pasamos este n\u00famero que est\u00e1 multiplicando al otro lado a dividir,"}, {"start": 350.40000000000003, "end": 354.1, "text": " nos queda 60 dividido entre 15,"}, {"start": 354.1, "end": 360.5, "text": " y resolviendo esa operaci\u00f3n tenemos como resultado T igual a 4,"}, {"start": 360.5, "end": 367.3, "text": " como es un tiempo entonces escribimos las unidades correspondientes que son segundos,"}, {"start": 367.3, "end": 377.90000000000003, "text": " entonces tenemos que el tiempo que tarda el conductor del autom\u00f3vil en frenar dicho veh\u00edculo es 4 segundos,"}, {"start": 377.90000000000003, "end": 382.40000000000003, "text": " y de esa manera tenemos la primera respuesta,"}, {"start": 382.40000000000003, "end": 385.90000000000003, "text": " vamos a escribir ese resultado por aqu\u00ed,"}, {"start": 385.90000000000003, "end": 388.5, "text": " tiempo igual a 4 segundos,"}, {"start": 388.5, "end": 392.2, "text": " es el tiempo que dura el frenado del autom\u00f3vil,"}, {"start": 392.2, "end": 398.3, "text": " bien ahora para encontrar la aceleraci\u00f3n miramos cual de las f\u00f3rmulas es m\u00e1s conveniente,"}, {"start": 398.3, "end": 400.4, "text": " buscamos una que contenga la letra A,"}, {"start": 400.4, "end": 404.3, "text": " puede ser la primera, la segunda o la tercera,"}, {"start": 404.3, "end": 407.8, "text": " de todas la m\u00e1s sencilla es la primera,"}, {"start": 407.8, "end": 411.09999999999997, "text": " porque ya tenemos all\u00ed la letra A despejada,"}, {"start": 411.09999999999997, "end": 413.9, "text": " entonces vamos a usar esa expresi\u00f3n,"}, {"start": 413.9, "end": 420.4, "text": " decimos aceleraci\u00f3n es igual a la velocidad final que es 0,"}, {"start": 420.4, "end": 424.5, "text": " menos la velocidad inicial que es 30,"}, {"start": 424.5, "end": 428.29999999999995, "text": " y esto sobre el tiempo que nos dio 4,"}, {"start": 428.29999999999995, "end": 431.09999999999997, "text": " resolviendo todo esto nos queda lo siguiente,"}, {"start": 431.09999999999997, "end": 434.5, "text": " arriba 0 menos 30 nos da menos 30,"}, {"start": 434.5, "end": 440.9, "text": " y menos 30 dividido entre 4 nos da como resultado menos 7.5,"}, {"start": 440.9, "end": 445.09999999999997, "text": " y escribimos las unidades correspondientes a la aceleraci\u00f3n,"}, {"start": 445.09999999999997, "end": 447.9, "text": " que son metros por segundo cuadrado,"}, {"start": 447.9, "end": 450.79999999999995, "text": " este es el otro dato que nos preguntan,"}, {"start": 450.79999999999995, "end": 454.29999999999995, "text": " es la desaceleraci\u00f3n del autom\u00f3vil,"}, {"start": 454.29999999999995, "end": 456.5, "text": " por esa raz\u00f3n como dec\u00edamos,"}, {"start": 456.5, "end": 485.1, "text": " se trata de una aceleraci\u00f3n negativa."}]