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DESIGUALDADES CÚBICAS - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo hallar el conjunto solución de una desigualdad o inecuación cúbica (o de tercer grado). Al final, hace la comprobación usando calculadora científica. Tema: #Desigualdades → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEZkcrDeNKKyhTxj4A1b83M REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

¿Qué es la desigualdad de la cúbica? Vamos a resolver detalladamente esta desigualdad, que es cúbica o de grado 3. Realizaremos el procedimiento manualmente y al final haremos la comprobación en calculadora. Comenzamos por dejar 0 en el lado derecho, entonces pasamos esta x al lado izquierdo. Nos queda x al cubo menos x mayor o igual que 0. Es lo mismo que restar x a ambos lados de la desigualdad. Ahora vamos a factorizar completamente el lado izquierdo. Comenzamos por extraer factor común, que aquí será la x. Entonces sale x y nos queda dentro del paréntesis x al cuadrado menos 1. Y todo esto mayor o igual que 0. Continuamos factorizando. Aquí tenemos una diferencia de cuadrados perfectos. Entonces vamos a realizar esa factorización. Vamos a abrir dos paréntesis, extraemos la raíz cuadrada de cada uno de estos términos. Para el primer término será x y para el segundo será 1. Entonces aquí anotamos x más 1, la suma de esas raíces cuadradas, y acá x menos 1. O sea la diferencia de ellas. Y todo esto nos queda mayor o igual que 0. Después de haber factorizado completamente el miembro izquierdo de la desigualdad y de tener 0 en el miembro derecho. Entonces procedemos a encontrar los puntos críticos de ella. Entonces para eso vamos a convertir esto momentáneamente en una ecuación. Es decir, x por x más 1 por x menos 1 igual a 0. Repetimos, se cambia por un momento esta desigualdad por una igualdad. O sea que se nos vuelve una ecuación. Para resolver eso entonces aplicamos el teorema del factor nulo. Que para tres componentes dice lo siguiente. Si a por b por c es igual a 0. Entonces a es igual a 0. O b es igual a 0. O c es igual a 0. En otras palabras, se igualan cada uno de los factores a 0. En este caso tendríamos x igual a 0. O x más 1 igual a 0. O x menos 1 igual a 0. Resolvemos cada una de esas situaciones para x. Aquí ya tenemos el valor de x, ya se conoce, es 0. De acá despejamos x, pasamos 1 al otro lado. Entonces llegaría a restar con 0 y nos da menos 1. Es lo mismo que restar 1 a ambos lados de la igualdad. Y por acá también despejamos x. 1 está restando, pasa al otro lado a sumar con 0 y nos da 1. De esa manera tenemos los tres valores de x que satisfacen esa ecuación. A su vez estos serán los puntos críticos de esta desigualdad. Es decir, los valores de x donde esta expresión se convierte en 0. Como tenemos símbolo mayor o igual, entonces cada uno de estos valores se debe incluir cuando ya configuremos el conjunto solución. Anotamos eso que encontramos por acá. Los puntos críticos de la desigualdad con estos punticos llenos que nos indican que se van a tomar como parte de la solución. Enseguida trazamos esta línea recta que representa los valores reales de la variable x, desde menos infinito hasta más infinito. Y en ella vamos a localizar los puntos críticos. El menor de todos ellos es menos 1. Después sigue el 0 y después tenemos el 1. Esos tres valores nos determinan cuatro zonas o cuatro intervalos en los cuales vamos a examinar el comportamiento de esa expresión para ver si su signo es positivo o es negativo. Aclaramos que en este caso nos va a servir que todo esto sea positivo porque tenemos esa expresión mayor o igual que 0. Entonces lo que vamos a hacer es seleccionar valores de prueba de cada uno de esos intervalos. Por ejemplo, en el primero podemos escoger un valor de x comprendido entre menos 1 y menos infinito. Puede ser x igual a menos 2. En el siguiente intervalo, escogemos un valor de x comprendido entre menos 1 y 0. Puede ser menos 0.5 o menos un medio. En el siguiente intervalo, escogemos un valor de x comprendido entre 0 y 1. Puede ser 0.5 positivo. Y en el último intervalo, escogemos un valor de x comprendido entre 1 y más infinito. Ese podría ser el 2. Como vemos, la expresión que vamos a examinar tiene tres componentes, tres factores. Entonces podemos abrir estos paréntesis para anotar el signo que toma cada uno de esos factores cuando se prueban los valores escogidos. Comencemos con x igual a menos 2. Aquí, si x toma ese valor, entonces ese factor será negativo. Acá, si x toma el valor menos 2, nos queda menos 2 más 1, que es menos 1. Signo negativo. Y acá, si x toma el valor menos 2, tendríamos menos 2 menos 1, que es menos 3. Signo negativo. Vamos al siguiente intervalo, donde probamos con x igual a menos 0.5. Acá, si x toma ese valor, entonces será de signo negativo. Si x entra aquí como menos 0.5, tendremos menos 0.5 más 1, eso nos da 0.5 positivo. Y acá, si x toma el valor menos 0.5, nos queda menos 0.5 menos 1, que nos daría menos 1.5. O sea, signo negativo. Vamos al siguiente intervalo. Ahora probamos con x igual a 0.5 positivo. Si x toma ese valor, el primer factor es positivo. Acá, 0.5 más 1, nos daría 1.5 positivo. Y acá, con x igual a 0.5, nos da 0.5 menos 1, es decir, menos 0.5, que es negativo. Vamos al último intervalo, donde probamos con x igual a 2. Si aquí entra el 2, el primer factor es positivo. Si aquí entra 2, nos queda 2 más 1, que es 3 positivo. Y acá, con x igual a 2, tendremos 2 menos 1, que nos da 1 positivo. Ahora, en cada intervalo aplicamos la ley de los signos. Vamos al primero. Menos por menos nos da más, más por menos nos da menos. Esa expresión en el primer intervalo adopta signo negativo. Vamos al segundo intervalo. Menos por menos nos da más, y eso multiplicado por más nos da más. Acá, más por más nos da más, más por menos es menos. Y acá, el producto de signos positivos nos da positivo. Como decíamos ahora, el hecho de que toda esta expresión sea mayor o igual que 0, entonces no se exige que esto sea positivo. Por lo tanto, estas dos zonas, las que dieron signo positivo, son las que sí sirven como conjunto solución del ejercicio. Otras zonas, obviamente, no sirven. Entonces, procedemos a rayar o a destacar aquellas zonas que sí sirvieron. Y también marcamos esto que dijimos. Los puntos críticos van a ser parte de la solución. Entonces, se marcan acá con bolita llena. Vamos entonces a dar la respuesta. Entonces, el conjunto solución de esa desigualdad cúbica o de grado 3 es el siguiente. Son los valores reales de x que pertenecen a los siguientes intervalos. Este que va desde menos 1 hasta 0 incluyendo los extremos. Entonces, por eso utilizamos corchetes unión con este intervalo. El que va desde 1 hasta más infinito. Como se incluye el 1, entonces colocamos aquí corchete. Y el infinito nunca se incluye, por lo tanto lleva paréntesis. Entonces, este es el conjunto solución de esa desigualdad expresado en notación de intervalos. Vamos a expresarlo también en notación de desigualdad. Sería entonces esta zona que son los x mayores o iguales que menos 1, pero al mismo tiempo menores o iguales que 0, unión con esta zona que se representa como los x mayores o iguales que 1. Esto que tenemos acá también se puede leer como 1 menor o igual que x. Es simplemente leer la desigualdad en el otro sentido. Entonces, allí tenemos el conjunto solución para esa desigualdad cúbica o de grado 3. Vamos a ver a continuación la comprobación de este ejercicio en calculadora. Para hacer la comprobación del ejercicio utilizamos esta calculadora. Oprimimos el botón menú y nos desplazamos en la pantalla, inicialmente hacia abajo, luego hacia la derecha, hasta llegar a la opción de inequaciones o desigualdades. En ese caso oprimimos la tecla del signo igual para ingresar a ese modo. Como vemos, la calculadora nos pregunta por el grado del polinomio. En este caso vamos a seleccionar 3. Entonces oprimimos la tecla del número 3 y allí nos aparecen 4 opciones. En nuestro caso debemos escoger la opción 3 porque es la que corresponde a una desigualdad cúbica de grado 3 cuando tenemos la expresión mayor o igual que 0. Entonces seleccionamos la opción 3, oprimimos la tecla del 3 y vemos en pantalla que nos aparecen los diferentes componentes de ese polinomio de grado 3. Lo que tenemos que hacer ahora es ingresar los coeficientes. Como la expresión que tenemos es x al cubo menos x y todo eso está mayor o igual que 0, el coeficiente de x al cubo será 1. Entonces oprimimos la tecla del 1 y le damos igual. Vemos que allí ya ingresa ese valor como coeficiente de x al cubo. No tenemos término con x al cuadrado, por lo tanto ese coeficiente se mantiene en 0. Oprimimos la tecla del 0, le damos igual, pasamos ahora al término que tiene x. En ese caso si tenemos término con x, su coeficiente es menos 1, entonces oprimimos el botón del signo negativo, después el botón del 1, le damos igual, allí vemos que ya nos ingresa menos 1 acompañando a la x y no tenemos término independiente en ese polinomio, por lo tanto allí tecleamos el 0 y le damos igual. Después de haber ingresado los coeficientes de los términos que conforman este polinomio de grado 3, entonces tecleamos nuevamente el igual y allí nos aparece la solución de esa desigualdad o inequación. Aquí tenemos el primer intervalo que nos dio, el que va desde menos 1 hasta 0, incluyendo esos valores extremos, y aquí tenemos el otro, uno menor o igual que x, que correspondía a los x mayores o iguales que uno. Pues de esta manera comprobamos que lo que hicimos manualmente es correcto. ¡Suscríbete al canal!

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llenos"}, {"start": 216.0, "end": 221.0, "text": " que nos indican que se van a tomar como parte de la soluci\u00f3n."}, {"start": 221.0, "end": 225.0, "text": " Enseguida trazamos esta l\u00ednea recta que representa los valores reales"}, {"start": 225.0, "end": 232.0, "text": " de la variable x, desde menos infinito hasta m\u00e1s infinito."}, {"start": 232.0, "end": 235.0, "text": " Y en ella vamos a localizar los puntos cr\u00edticos."}, {"start": 235.0, "end": 238.0, "text": " El menor de todos ellos es menos 1."}, {"start": 238.0, "end": 245.0, "text": " Despu\u00e9s sigue el 0 y despu\u00e9s tenemos el 1."}, {"start": 245.0, "end": 250.0, "text": " Esos tres valores nos determinan cuatro zonas o cuatro intervalos"}, {"start": 250.0, "end": 255.0, "text": " en los cuales vamos a examinar el comportamiento de esa expresi\u00f3n"}, {"start": 255.0, "end": 259.0, "text": " para ver si su signo es positivo o es negativo."}, {"start": 259.0, "end": 264.0, "text": " Aclaramos que en este caso nos va a servir que todo esto sea positivo"}, {"start": 264.0, "end": 268.0, "text": " porque tenemos esa expresi\u00f3n mayor o igual que 0."}, {"start": 268.0, "end": 272.0, "text": " Entonces lo que vamos a hacer es seleccionar valores de prueba"}, {"start": 272.0, "end": 274.0, "text": " de cada uno de esos intervalos."}, {"start": 274.0, "end": 278.0, "text": " Por ejemplo, en el primero podemos escoger un valor de x comprendido"}, {"start": 278.0, "end": 281.0, "text": " entre menos 1 y menos infinito."}, {"start": 281.0, "end": 283.0, "text": " Puede ser x igual a menos 2."}, {"start": 283.0, "end": 288.0, "text": " En el siguiente intervalo, escogemos un valor de x comprendido"}, {"start": 288.0, "end": 290.0, "text": " entre menos 1 y 0."}, {"start": 290.0, "end": 294.0, "text": " Puede ser menos 0.5 o menos un medio."}, {"start": 294.0, "end": 298.0, "text": " En el siguiente intervalo, escogemos un valor de x comprendido"}, {"start": 298.0, "end": 299.0, "text": " entre 0 y 1."}, {"start": 299.0, "end": 302.0, "text": " Puede ser 0.5 positivo."}, {"start": 302.0, "end": 306.0, "text": " Y en el \u00faltimo intervalo, escogemos un valor de x comprendido"}, {"start": 306.0, "end": 308.0, "text": " entre 1 y m\u00e1s infinito."}, {"start": 308.0, "end": 311.0, "text": " Ese podr\u00eda ser el 2."}, {"start": 311.0, "end": 316.0, "text": " Como vemos, la expresi\u00f3n que vamos a examinar tiene tres componentes,"}, {"start": 316.0, "end": 317.0, "text": " tres factores."}, {"start": 317.0, "end": 323.0, "text": " Entonces podemos abrir estos par\u00e9ntesis para anotar el signo"}, {"start": 323.0, "end": 330.0, "text": " que toma cada uno de esos factores cuando se prueban los valores escogidos."}, {"start": 330.0, "end": 332.0, "text": " Comencemos con x igual a menos 2."}, {"start": 332.0, "end": 337.0, "text": " Aqu\u00ed, si x toma ese valor, entonces ese factor ser\u00e1 negativo."}, {"start": 337.0, "end": 342.0, "text": " Ac\u00e1, si x toma el valor menos 2, nos queda menos 2 m\u00e1s 1, que es menos 1."}, {"start": 342.0, "end": 343.0, "text": " Signo negativo."}, {"start": 343.0, "end": 349.0, "text": " Y ac\u00e1, si x toma el valor menos 2, tendr\u00edamos menos 2 menos 1, que es menos 3."}, {"start": 349.0, "end": 351.0, "text": " Signo negativo."}, {"start": 351.0, "end": 356.0, "text": " Vamos al siguiente intervalo, donde probamos con x igual a menos 0.5."}, {"start": 356.0, "end": 360.0, "text": " Ac\u00e1, si x toma ese valor, entonces ser\u00e1 de signo negativo."}, {"start": 360.0, "end": 369.0, "text": " Si x entra aqu\u00ed como menos 0.5, tendremos menos 0.5 m\u00e1s 1, eso nos da 0.5 positivo."}, {"start": 369.0, "end": 376.0, "text": " Y ac\u00e1, si x toma el valor menos 0.5, nos queda menos 0.5 menos 1, que nos dar\u00eda menos 1.5."}, {"start": 376.0, "end": 378.0, "text": " O sea, signo negativo."}, {"start": 378.0, "end": 380.0, "text": " Vamos al siguiente intervalo."}, {"start": 380.0, "end": 384.0, "text": " Ahora probamos con x igual a 0.5 positivo."}, {"start": 384.0, "end": 388.0, "text": " Si x toma ese valor, el primer factor es positivo."}, {"start": 388.0, "end": 393.0, "text": " Ac\u00e1, 0.5 m\u00e1s 1, nos dar\u00eda 1.5 positivo."}, {"start": 393.0, "end": 401.0, "text": " Y ac\u00e1, con x igual a 0.5, nos da 0.5 menos 1, es decir, menos 0.5, que es negativo."}, {"start": 401.0, "end": 405.0, "text": " Vamos al \u00faltimo intervalo, donde probamos con x igual a 2."}, {"start": 405.0, "end": 409.0, "text": " Si aqu\u00ed entra el 2, el primer factor es positivo."}, {"start": 409.0, "end": 413.0, "text": " Si aqu\u00ed entra 2, nos queda 2 m\u00e1s 1, que es 3 positivo."}, {"start": 413.0, "end": 419.0, "text": " Y ac\u00e1, con x igual a 2, tendremos 2 menos 1, que nos da 1 positivo."}, {"start": 419.0, "end": 423.0, "text": " Ahora, en cada intervalo aplicamos la ley de los signos."}, {"start": 423.0, "end": 424.0, "text": " Vamos al primero."}, {"start": 424.0, "end": 428.0, "text": " Menos por menos nos da m\u00e1s, m\u00e1s por menos nos da menos."}, {"start": 428.0, "end": 433.0, "text": " Esa expresi\u00f3n en el primer intervalo adopta signo negativo."}, {"start": 433.0, "end": 434.0, "text": " Vamos al segundo intervalo."}, {"start": 434.0, "end": 439.0, "text": " Menos por menos nos da m\u00e1s, y eso multiplicado por m\u00e1s nos da m\u00e1s."}, {"start": 439.0, "end": 444.0, "text": " Ac\u00e1, m\u00e1s por m\u00e1s nos da m\u00e1s, m\u00e1s por menos es menos."}, {"start": 444.0, "end": 448.0, "text": " Y ac\u00e1, el producto de signos positivos nos da positivo."}, {"start": 448.0, "end": 454.0, "text": " Como dec\u00edamos ahora, el hecho de que toda esta expresi\u00f3n sea mayor o igual que 0,"}, {"start": 454.0, "end": 458.0, "text": " entonces no se exige que esto sea positivo."}, {"start": 458.0, "end": 462.0, "text": " Por lo tanto, estas dos zonas, las que dieron signo positivo,"}, {"start": 462.0, "end": 467.0, "text": " son las que s\u00ed sirven como conjunto soluci\u00f3n del ejercicio."}, {"start": 467.0, "end": 470.0, "text": " Otras zonas, obviamente, no sirven."}, {"start": 470.0, "end": 477.0, "text": " Entonces, procedemos a rayar o a destacar aquellas zonas que s\u00ed sirvieron."}, {"start": 477.0, "end": 480.0, "text": " Y tambi\u00e9n marcamos esto que dijimos."}, {"start": 480.0, "end": 483.0, "text": " Los puntos cr\u00edticos van a ser parte de la soluci\u00f3n."}, {"start": 483.0, "end": 487.0, "text": " Entonces, se marcan ac\u00e1 con bolita llena."}, {"start": 487.0, "end": 490.0, "text": " Vamos entonces a dar la respuesta."}, {"start": 490.0, "end": 496.0, "text": " Entonces, el conjunto soluci\u00f3n de esa desigualdad c\u00fabica o de grado 3 es el siguiente."}, {"start": 496.0, "end": 502.0, "text": " Son los valores reales de x que pertenecen a los siguientes intervalos."}, {"start": 502.0, "end": 508.0, "text": " Este que va desde menos 1 hasta 0 incluyendo los extremos."}, {"start": 508.0, "end": 513.0, "text": " Entonces, por eso utilizamos corchetes uni\u00f3n con este intervalo."}, {"start": 513.0, "end": 517.0, "text": " El que va desde 1 hasta m\u00e1s infinito."}, {"start": 517.0, "end": 521.0, "text": " Como se incluye el 1, entonces colocamos aqu\u00ed corchete."}, {"start": 521.0, "end": 526.0, "text": " Y el infinito nunca se incluye, por lo tanto lleva par\u00e9ntesis."}, {"start": 526.0, "end": 532.0, "text": " Entonces, este es el conjunto soluci\u00f3n de esa desigualdad expresado en notaci\u00f3n de intervalos."}, {"start": 532.0, "end": 537.0, "text": " Vamos a expresarlo tambi\u00e9n en notaci\u00f3n de desigualdad."}, {"start": 537.0, "end": 542.0, "text": " Ser\u00eda entonces esta zona que son los x mayores o iguales que menos 1,"}, {"start": 542.0, "end": 545.0, "text": " pero al mismo tiempo menores o iguales que 0,"}, {"start": 545.0, "end": 552.0, "text": " uni\u00f3n con esta zona que se representa como los x mayores o iguales que 1."}, {"start": 552.0, "end": 558.0, "text": " Esto que tenemos ac\u00e1 tambi\u00e9n se puede leer como 1 menor o igual que x."}, {"start": 558.0, "end": 562.0, "text": " Es simplemente leer la desigualdad en el otro sentido."}, {"start": 562.0, "end": 569.0, "text": " Entonces, all\u00ed tenemos el conjunto soluci\u00f3n para esa desigualdad c\u00fabica o de grado 3."}, {"start": 569.0, "end": 574.0, "text": " Vamos a ver a continuaci\u00f3n la comprobaci\u00f3n de este ejercicio en calculadora."}, {"start": 574.0, "end": 579.0, "text": " Para hacer la comprobaci\u00f3n del ejercicio utilizamos esta calculadora."}, {"start": 579.0, "end": 583.0, "text": " Oprimimos el bot\u00f3n men\u00fa y nos desplazamos en la pantalla,"}, {"start": 583.0, "end": 587.0, "text": " inicialmente hacia abajo, luego hacia la derecha,"}, {"start": 587.0, "end": 592.0, "text": " hasta llegar a la opci\u00f3n de inequaciones o desigualdades."}, {"start": 592.0, "end": 598.0, "text": " En ese caso oprimimos la tecla del signo igual para ingresar a ese modo."}, {"start": 598.0, "end": 602.0, "text": " Como vemos, la calculadora nos pregunta por el grado del polinomio."}, {"start": 602.0, "end": 606.0, "text": " En este caso vamos a seleccionar 3."}, {"start": 606.0, "end": 612.0, "text": " Entonces oprimimos la tecla del n\u00famero 3 y all\u00ed nos aparecen 4 opciones."}, {"start": 612.0, "end": 616.0, "text": " En nuestro caso debemos escoger la opci\u00f3n 3"}, {"start": 616.0, "end": 621.0, "text": " porque es la que corresponde a una desigualdad c\u00fabica de grado 3"}, {"start": 621.0, "end": 625.0, "text": " cuando tenemos la expresi\u00f3n mayor o igual que 0."}, {"start": 625.0, "end": 630.0, "text": " Entonces seleccionamos la opci\u00f3n 3, oprimimos la tecla del 3"}, {"start": 630.0, "end": 637.0, "text": " y vemos en pantalla que nos aparecen los diferentes componentes de ese polinomio de grado 3."}, {"start": 637.0, "end": 641.0, "text": " Lo que tenemos que hacer ahora es ingresar los coeficientes."}, {"start": 641.0, "end": 645.0, "text": " Como la expresi\u00f3n que tenemos es x al cubo menos x"}, {"start": 645.0, "end": 651.0, "text": " y todo eso est\u00e1 mayor o igual que 0, el coeficiente de x al cubo ser\u00e1 1."}, {"start": 651.0, "end": 655.0, "text": " Entonces oprimimos la tecla del 1 y le damos igual."}, {"start": 655.0, "end": 660.0, "text": " Vemos que all\u00ed ya ingresa ese valor como coeficiente de x al cubo."}, {"start": 660.0, "end": 666.0, "text": " No tenemos t\u00e9rmino con x al cuadrado, por lo tanto ese coeficiente se mantiene en 0."}, {"start": 666.0, "end": 669.0, "text": " Oprimimos la tecla del 0, le damos igual,"}, {"start": 669.0, "end": 672.0, "text": " pasamos ahora al t\u00e9rmino que tiene x."}, {"start": 672.0, "end": 677.0, "text": " En ese caso si tenemos t\u00e9rmino con x, su coeficiente es menos 1,"}, {"start": 677.0, "end": 680.0, "text": " entonces oprimimos el bot\u00f3n del signo negativo,"}, {"start": 680.0, "end": 683.0, "text": " despu\u00e9s el bot\u00f3n del 1, le damos igual,"}, {"start": 683.0, "end": 688.0, "text": " all\u00ed vemos que ya nos ingresa menos 1 acompa\u00f1ando a la x"}, {"start": 688.0, "end": 692.0, "text": " y no tenemos t\u00e9rmino independiente en ese polinomio,"}, {"start": 692.0, "end": 697.0, "text": " por lo tanto all\u00ed tecleamos el 0 y le damos igual."}, {"start": 697.0, "end": 704.0, "text": " Despu\u00e9s de haber ingresado los coeficientes de los t\u00e9rminos que conforman este polinomio de grado 3,"}, {"start": 704.0, "end": 708.0, "text": " entonces tecleamos nuevamente el igual"}, {"start": 708.0, "end": 714.0, "text": " y all\u00ed nos aparece la soluci\u00f3n de esa desigualdad o inequaci\u00f3n."}, {"start": 714.0, "end": 719.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos el primer intervalo que nos dio, el que va desde menos 1 hasta 0,"}, {"start": 719.0, "end": 722.0, "text": " incluyendo esos valores extremos,"}, {"start": 722.0, "end": 725.0, "text": " y aqu\u00ed tenemos el otro, uno menor o igual que x,"}, {"start": 725.0, "end": 729.0, "text": " que correspond\u00eda a los x mayores o iguales que uno."}, {"start": 729.0, "end": 738.0, "text": " Pues de esta manera comprobamos que lo que hicimos manualmente es correcto."}, {"start": 759.0, "end": 769.0, "text": " \u00a1Suscr\u00edbete al canal!"}]

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19. DATOS EXPERIMENTALES Y GRÁFICAS

Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España. Clase No. 19: Datos experimentales y gráficas. Elementos de las gráficas para presentar resultados de mediciones. Tema: Magnitudes Físicas y Unidades. Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → http://www.julioprofe.net

Cuando realizamos mediciones de magnitudes físicas, por ejemplo en el laboratorio, obtenemos un conjunto de valores numéricos que son los datos experimentales. Recordemos que la física, como las demás ciencias exactas, se fundamenta en las mediciones y por lo tanto es de gran valor la información que se recopila de la experimentación. Si tomamos varias medidas de una misma magnitud, podemos considerar como valor verdadero el promedio o la media aritmética de ese conjunto de medidas. Que más datos o medidas tengamos, más cerca estará ese promedio del valor verdadero o valor real de la magnitud. Veamos un ejemplo. Medimos la masa de un objeto en 5 oportunidades y obtenemos los siguientes registros. 25.3 gramos, 24.9 gramos, 25.1 gramos, 25.2 gramos y 25.5 gramos. Hallamos el promedio o media aritmética de los datos usando la fórmula que apreciamos en pantalla. La media aritmética de un conjunto de datos X sub Y se denota como X trazo y es la sumatoria de los datos dividido entre el número de datos. En este caso tenemos que será la sumatoria desde Y igual a 1 hasta 5 porque tenemos 5 datos. Allí vemos la sumatoria de los datos desde el X sub 1 hasta el X sub 5, todo eso dividido entre 5. Constituimos los datos, allí vemos los 5 valores de la masa que se obtuvieron en las mediciones, resolvemos, hacemos la suma en el numerador y finalmente la división obteniendo una media aritmética o promedio de 25.2. Luego, con base en estos datos experimentales el valor verdadero de la masa del objeto es 25.2 gramos. Aprender el uso de gráficas Cuando se tienen datos experimentales de magnitudes que tienen relación entre sí, usar gráficas es tal vez la manera más clara de presentar dichos resultados. Para sacar el mayor provecho de las gráficas se recomienda usar papel adecuado, por ejemplo papel cuadriculado, milimetrado, semi logarítmico, polar, etc. según la necesidad. Especificar los ejes, es decir, especificar la magnitud que representa cada eje y las unidades en que están expresados los valores. Elegir escalas adecuadas en cada eje, de manera que los valores se puedan localizar cómodamente y la gráfica ocupe la mayor parte del espacio delimitado por los ejes. Miremos un ejemplo Se deja caer libremente un objeto desde una altura h en metros y se mide el tiempo t en segundos transcurrido hasta que el cuerpo golpea en el suelo. Los datos de este experimento se registran en la siguiente tabla, vemos en la columna izquierda los tiempos en segundos y en la columna derecha las alturas en metros. Miremos entonces como queda la gráfica de h contra t. Observamos el uso de papel o fondo cuadriculado, los nombres de los ejes con sus magnitudes y unidades, en el eje horizontal observamos el tiempo t en segundos y en el eje vertical vemos la altura h en metros. Asimismo apreciamos la escala en cada eje, de manera que podamos localizar cómodamente los datos de la tabla. La escala de un eje puede ser diferente a la del otro, según sea nuestra conveniencia. Los puntos rojos son la representación de cada pareja t,h consignada en la tabla. Usando métodos matemáticos o computacionales es posible hallar la línea de tendencia, es decir la curva que mejor ajusta los puntos obtenidos y la ecuación que relaciona las magnitudes, es decir la que corresponde a la línea de tendencia. Miremos la línea de tendencia para el gráfico anterior, allí la podemos apreciar en color verde, vemos que es una curva y es la que mejor ajusta los puntos obtenidos. También podemos mirar su ecuación, allí la tenemos, en este caso tanto la línea de tendencia como la ecuación han sido obtenidas mediante un método computacional. La ecuación obtenida, es decir la que miramos en pantalla, encaja con el modelo h igual a un medio de g por t al cuadrado, que es la ecuación física que relaciona la altura h y el tiempo t de un cuerpo que se mueve en caída libre, partiendo del reposo y animado por la aceleración gravitacional g.

[{"start": 0.0, "end": 19.04, "text": " Cuando realizamos mediciones de magnitudes f\u00edsicas, por ejemplo en el laboratorio, obtenemos"}, {"start": 19.04, "end": 23.6, "text": " un conjunto de valores num\u00e9ricos que son los datos experimentales."}, {"start": 23.6, "end": 30.12, "text": " Recordemos que la f\u00edsica, como las dem\u00e1s ciencias exactas, se fundamenta en las mediciones"}, {"start": 30.12, "end": 38.04, "text": " y por lo tanto es de gran valor la informaci\u00f3n que se recopila de la experimentaci\u00f3n."}, {"start": 38.04, "end": 43.980000000000004, "text": " Si tomamos varias medidas de una misma magnitud, podemos considerar como valor verdadero el"}, {"start": 43.980000000000004, "end": 50.08, "text": " promedio o la media aritm\u00e9tica de ese conjunto de medidas."}, {"start": 50.08, "end": 56.199999999999996, "text": " Que m\u00e1s datos o medidas tengamos, m\u00e1s cerca estar\u00e1 ese promedio del valor verdadero o"}, {"start": 56.199999999999996, "end": 59.64, "text": " valor real de la magnitud."}, {"start": 59.64, "end": 62.4, "text": " Veamos un ejemplo."}, {"start": 62.4, "end": 69.32, "text": " Medimos la masa de un objeto en 5 oportunidades y obtenemos los siguientes registros."}, {"start": 69.32, "end": 81.16, "text": " 25.3 gramos, 24.9 gramos, 25.1 gramos, 25.2 gramos y 25.5 gramos."}, {"start": 81.16, "end": 87.24, "text": " Hallamos el promedio o media aritm\u00e9tica de los datos usando la f\u00f3rmula que apreciamos"}, {"start": 87.24, "end": 88.32, "text": " en pantalla."}, {"start": 88.32, "end": 96.44, "text": " La media aritm\u00e9tica de un conjunto de datos X sub Y se denota como X trazo y es la sumatoria"}, {"start": 96.44, "end": 101.84, "text": " de los datos dividido entre el n\u00famero de datos."}, {"start": 101.84, "end": 110.32, "text": " En este caso tenemos que ser\u00e1 la sumatoria desde Y igual a 1 hasta 5 porque tenemos 5"}, {"start": 110.32, "end": 111.64, "text": " datos."}, {"start": 111.64, 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libremente un objeto desde una"}, {"start": 208.64, "end": 215.88, "text": " altura h en metros y se mide el tiempo t en segundos transcurrido hasta que el cuerpo"}, {"start": 215.88, "end": 217.76, "text": " golpea en el suelo."}, {"start": 217.76, "end": 223.07999999999998, "text": " Los datos de este experimento se registran en la siguiente tabla, vemos en la columna"}, {"start": 223.07999999999998, "end": 230.27999999999997, "text": " izquierda los tiempos en segundos y en la columna derecha las alturas en metros."}, {"start": 230.27999999999997, "end": 234.27999999999997, "text": " Miremos entonces como queda la gr\u00e1fica de h contra t."}, {"start": 234.28, "end": 240.32, "text": " Observamos el uso de papel o fondo cuadriculado, los nombres de los ejes con sus magnitudes"}, {"start": 240.32, "end": 247.4, "text": " y unidades, en el eje horizontal observamos el tiempo t en segundos y en el eje vertical"}, {"start": 247.4, "end": 250.48, "text": " vemos la altura h en metros."}, {"start": 250.48, "end": 256.3, "text": " Asimismo apreciamos la escala en cada eje, de manera que podamos localizar c\u00f3modamente"}, {"start": 256.3, "end": 258.04, "text": " los datos de la tabla."}, {"start": 258.04, "end": 264.44, "text": " La escala de un eje puede ser diferente a la del otro, seg\u00fan sea nuestra conveniencia."}, {"start": 264.44, "end": 273.16, "text": " Los puntos rojos son la representaci\u00f3n de cada pareja t,h consignada en la tabla."}, {"start": 273.16, "end": 278.88, "text": " Usando m\u00e9todos matem\u00e1ticos o computacionales es posible hallar la l\u00ednea de tendencia,"}, {"start": 278.88, "end": 285.32000000000005, "text": " es decir la curva que mejor ajusta los puntos obtenidos y la ecuaci\u00f3n que relaciona las"}, {"start": 285.32, "end": 291.48, "text": " magnitudes, es decir la que corresponde a la l\u00ednea de tendencia."}, {"start": 291.48, "end": 297.12, "text": " Miremos la l\u00ednea de tendencia para el gr\u00e1fico anterior, all\u00ed la podemos apreciar en color"}, {"start": 297.12, "end": 304.8, "text": " verde, vemos que es una curva y es la que mejor ajusta los puntos obtenidos."}, {"start": 304.8, "end": 309.76, "text": " Tambi\u00e9n podemos mirar su ecuaci\u00f3n, all\u00ed la tenemos, en este caso tanto la l\u00ednea de"}, {"start": 309.76, "end": 316.78, "text": " tendencia como la ecuaci\u00f3n han sido obtenidas mediante un m\u00e9todo computacional."}, {"start": 316.78, "end": 323.76, "text": " La ecuaci\u00f3n obtenida, es decir la que miramos en pantalla, encaja con el modelo h igual"}, {"start": 323.76, "end": 330.08, "text": " a un medio de g por t al cuadrado, que es la ecuaci\u00f3n f\u00edsica que relaciona la altura"}, {"start": 330.08, "end": 337.44, "text": " h y el tiempo t de un cuerpo que se mueve en ca\u00edda libre, partiendo del reposo y animado"}, {"start": 337.44, "end": 339.84, "text": " por la aceleraci\u00f3n gravitacional g."}]

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SISTEMA DE ECUACIONES 3×3 POR GAUSS

#julioprofe explica cómo resolver un Sistema de Ecuaciones Lineales de 3×3 utilizando el Método de Gauss. Tema: #SistemasDeEcuacionesPorGauss → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHIZDUeWJQtdIB9-DmzDfZh REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver este sistema de 3x3, es decir, de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas, utilizando el método de Gauss. Como podemos ver, en esas ecuaciones, las incógnitas que son k1, k2 y k3 se encuentran ya organizadas. Entonces, comenzamos por armar lo que se llama la matriz de coeficientes. Vemos que en la primera ecuación, los coeficientes de las incógnitas son 1. Entonces, allí tendremos la primera fila de la matriz de coeficientes. Vamos ahora con la segunda ecuación. Los coeficientes son 5, 1 y menos 4. Entonces, anotamos esos números. Allí están los coeficientes de la segunda ecuación. Y vamos con la tercera. Los coeficientes son menos 7, 2 y menos 5. Entonces, anotamos esos números y allí tenemos la matriz de coeficientes. A esa matriz le aumentamos una columna, que es la que conforman estos elementos, los que tenemos después del signo igual en cada una de las ecuaciones. Para mayor seguridad, vamos a colocarle a estas columnas los encabezados, que corresponden a las incógnitas del sistema de ecuaciones. K1, K2 y K3. Y las filas son las ecuaciones. Tenemos entonces fila o renglón 1, fila o renglón 2 y la fila o renglón 3. Ahora sí, vamos a iniciar el método de Gauss, que consiste en convertir esta matriz en triangular superior. Eso quiere decir que los elementos que están por debajo de la diagonal principal es de decir, estos tres elementos, debemos convertirlos en ceros. Comenzamos entonces buscando cero en esta celda, la que corresponde a la fila 3 columna 1. Para ello podemos apoyarnos en este elemento, es decir, utilizamos el renglón 1. Si multiplicamos esto por 7 y sumamos con este elemento, allí obtendremos el cero. Entonces vamos a escribir por acá la operación en la fila destino, que es la fila o renglón 3. La operación que vamos a hacer es multiplicar esto por 7, es decir, 7 veces el renglón 1 y eso lo vamos a sumar con lo que tenemos en el renglón 3. Y el resultado de esa operación lo anotamos en el nuevo renglón 3. Entonces nos queda de la siguiente manera, 7 por 1 nos da 7, 7 sumado con menos 7 nos da 0. 7 multiplicado por 1 es 7, 7 sumado con 2 nos da 9. Acá 7 por 1 es 7, sumado con menos 5 nos da 2. Y acá 7 por 2 es 14, 14 sumado con 3 nos da 17. Ahora en este mismo paso podemos buscar el cero que va en esta celda, la que corresponde a la fila 2 columna 1. También podemos apoyarnos en este elemento, es decir, trabajando con el renglón 1. Si multiplicamos esto por menos 5 y sumamos con este número, allí obtendremos el cero. Entonces acá en la nueva fila 2 o renglón 2 anotamos la operación que se hace con estos renglones. Dicemos el renglón 1 por menos 5, es decir, menos 5 R1 y eso lo sumamos con lo que tenemos en el renglón 2. Veamos entonces, menos 5 por 1 nos da menos 5, sumado con 5 es 0. Allí conseguimos el objetivo de convertir esta celda en 0. Acá menos 5 por 1 es menos 5, sumado con 1 nos da menos 4. Acá 1 por menos 5 nos da menos 5, sumado con menos 4 es menos 9. Y acá 2 por menos 5 nos da menos 10, sumado con 1 es menos 9. Ahora el renglón 1 no sufre ninguna variación, entonces lo escribimos por acá. Es el que nos sirvió para obtener los dos primeros ceros, los que van en estas celdas. Nos queda por hallar el 0 que va aquí, es decir, en la celda que corresponde a la fila 3 columna 2. Para ello debemos trabajar necesariamente los renglones 2 y 3 para que no se dañen estos ceros que ya conseguimos. Entonces debemos ingeniarnos una operación con estos números de tal forma que al efectuar la suma nos de 0. Entonces hacemos lo siguiente, en la nueva fila destino, que es la fila o renglón 3, vamos a multiplicar esto por 9 y esto por 4 y vamos a efectuar la suma. Entonces será 9 veces el renglón 2 más 4 veces el renglón 3. Como vimos ahora, estas operaciones que hicimos para obtener estos ceros fueron relativamente sencillas. Se pueden hacer mentalmente sin ningún problema, pero esta operación, hacerla mentalmente es un poco más arriesgado. Entonces se recomienda anotar por acá o en otro espacio los resultados de estas transformaciones que sufren los renglones 2 y 3 para después efectuar la suma. Veamos entonces, si multiplicamos por 9 los elementos del renglón 2 nos queda así. 9 por 0 es 0, 9 por menos 4 es menos 36, 9 por menos 9 nos da menos 81 y 9 por menos 9 también nos da menos 81. Digamos que acá tenemos 9 veces el renglón 2. Ahora vamos con 4 veces el renglón 3. Vamos a anotar eso aquí debajo. Entonces tenemos 4 por 0, 0, 4 por 9, 36, 4 por 2 es 8 y 4 por 17 nos da 68. Ahora sí, vamos a efectuar la suma de estas cantidades para dar cumplimiento a esta condición y los resultados se anotan en este renglón que es el renglón destino, el nuevo renglón 3. Dicimos 0 más 0 nos da 0, menos 36 más 36 es 0, menos 81 más 8 eso es menos 73 y acá menos 81 más 68 eso nos da menos 13. Allí conseguimos entonces el objetivo de convertir en 0 lo que teníamos en esta celda. Las otras filas o renglones se anotan tal como están, ya no presentan ningún cambio. Entonces de esa manera vamos consiguiendo el objetivo del método de Gauss que es obtener aquí una matriz triangular superior, es decir que tenga ceros por debajo de la diagonal principal. Aquí vamos a colocar nuevamente los encabezados, las incógnitas K1, K2, K3 y para las filas o renglones los números de las ecuaciones. Entonces vamos a construir de nuevo esas tres ecuaciones comenzando por la número 3. Vamos a escribir eso por acá. Comenzamos con la ecuación 3 que sería así, 0 por K1 es decir 0 más 0 por K2 que también nos da 0, menos 73 por K3, entonces menos 73 K3 igual a este número que es menos 13. Entonces eso es lo que nos indica el método de Gauss. Después de convertir esta matriz en triangular superior nos va a quedar fácil construir la ecuación inferior, en ese caso la número 3, para poder obtener así la primera incógnita que será K3 porque estos ceros no se eliminan estas dos incógnitas. De allí despejamos K3, pasamos menos 73 al otro lado a dividir, nos queda menos 13 dividido entre menos 73 y allí podemos simplemente simplificar los signos, menos con menos nos da más, esos dos números no se pueden simplificar y así obtenemos el valor de la primera incógnita. Ahora pasamos a la siguiente ecuación de abajo hacia arriba, es decir vamos a la ecuación número 2, vamos a construirla por acá. Entonces tendremos lo siguiente, 0 por K1 eso nos da 0, luego menos 4 por K2, después menos 9 por K3 igual a lo que tenemos acá que es menos 9, pero ya conocemos el valor de K3, entonces vamos a reemplazarlo, nos queda menos 4 K2 menos 9 por el resultado de K3 que es 13 73 y todo esto igual a menos 9. Vamos a continuar el desarrollo de esta ecuación por aquí, nos queda menos 4 K2 menos, aquí multiplicamos 9 por 13 eso es 117 y en el denominador aquí hay 1, 1 por 73 nos da 73 y todo esto igual a menos 9, de allí vamos a despejar menos 4 K2 es decir el término que contiene la incógnita nos queda menos 9 más 117 73, esta cantidad que está restando pasa al otro lado a sumar. Allí podemos resolver esta operación utilizando el truco o la técnica de la carita feliz, se colocamos 1 como denominador a menos 9, entonces vamos a efectuar esa suma de fracciones heterogéneas o fracciones con distinto denominador, acá tendremos menos 9 por 73 que es menos 657, después más 1 por 117 que es 117 y abajo 1 por 73 que nos da 73, repetimos es el truco o la técnica de la carita feliz para efectuar en este caso la suma de dos fracciones heterogéneas. Efectuamos ahora esta operación del numerador, nos queda menos 4 K2 igual a menos 657 más 117 eso nos da menos 540 y esto queda sobre 73. Para encontrar el valor de K2 necesitamos deshacernos de este número que la acompaña de este menos 4, para ello podemos multiplicar ambos lados de la igualdad por menos 1 cuarto, es decir por el recíproco de menos 4, entonces nos queda menos 1 cuarto por menos 4 K2 igual a menos 1 cuarto por menos 540 73 y vamos a resolver a cada lado, acá menos 1 cuarto por menos 4 eso nos da 1 positivo, nos queda 1 acompañando a K2, vamos a escribir eso por acá, K2 será igual y acá también resolvemos menos por menos nos da más, esto nos va a dar como resultado una fracción positiva y allí podemos simplificar 540 y 4, podemos sacar mitad, mitad de 4 nos da 2, mitad de 540 es 270, otra vez podemos simplificar mitad de 2 nos da 1, mitad de 270 es 135, allí no se puede simplificar nada más, entonces nos queda en el numerador 135 y en el denominador 73. Lodamos este resultado por allá y construimos la ecuación número 1, la que nos queda faltando para poder averiguar el valor de la incógnita K1, entonces será 1 por K1 es decir K1 más 1 por K2 es decir más K2 más 1 por K3 o sea más K3 igual a 2, es decir la misma ecuación 1 que nos daban al comienzo. Allí vamos a reemplazar entonces los valores que encontramos para K2 y K3, entonces K1 más el valor de K2 que es 135, 73, más el valor de K3 que es 13, 73 y todo esto igual a 2. Allí podemos efectuar la suma de estas dos fracciones que son homogéneas, tienen el mismo denominador, entonces nos queda K1 más, conservamos el mismo denominador y efectuamos la suma de los numeradores, 135 más 13 es 148 y todo esto queda igualado a 2. De allí vamos a realizar el despeje de K1, entonces K1 es igual a 2 menos 148, 73, esta cantidad que está sumando pasa al otro lado a restar. Nuevamente podemos efectuar esta resta de fracciones heterogéneas utilizando el truco o la técnica de la carita feliz, entonces veamos, en el numerador tendremos 2 por 73 que eso nos da 146 menos 1 por 148, 148 y en el denominador 1 por 73 que es 73, efectuamos la operación del numerador y eso nos da menos 2, nos queda entonces menos 2, 73. Anotamos este resultado por allá y de esta manera terminamos, hemos encontrado los valores de las incógnitas K1, K2 y K3 que satisfacen este sistema de ecuaciones lineales de 3 por 3, como vimos se utilizó el método de Gauss y podemos decir también que se trata de un sistema con solución única.

[{"start": 0.0, "end": 11.040000000000001, "text": " Vamos a resolver este sistema de 3x3, es decir, de tres ecuaciones lineales con tres inc\u00f3gnitas,"}, {"start": 11.040000000000001, "end": 13.22, "text": " utilizando el m\u00e9todo de Gauss."}, {"start": 13.22, "end": 19.98, "text": " Como podemos ver, en esas ecuaciones, las inc\u00f3gnitas que son k1, k2 y k3 se encuentran"}, {"start": 19.98, "end": 21.34, "text": " ya organizadas."}, {"start": 21.34, "end": 27.42, "text": " Entonces, comenzamos por armar lo que se llama la matriz de coeficientes."}, {"start": 27.42, "end": 32.6, "text": " Vemos que en la primera ecuaci\u00f3n, los coeficientes de las inc\u00f3gnitas son 1."}, {"start": 32.6, "end": 39.7, "text": " Entonces, all\u00ed tendremos la primera fila de la matriz de coeficientes."}, {"start": 39.7, "end": 42.56, "text": " Vamos ahora con la segunda ecuaci\u00f3n."}, {"start": 42.56, "end": 46.88, "text": " Los coeficientes son 5, 1 y menos 4."}, {"start": 46.88, "end": 50.2, "text": " Entonces, anotamos esos n\u00fameros."}, {"start": 50.2, "end": 53.68000000000001, "text": " All\u00ed est\u00e1n los coeficientes de la segunda ecuaci\u00f3n."}, {"start": 53.68000000000001, "end": 55.480000000000004, "text": " Y vamos con la tercera."}, {"start": 55.48, "end": 59.68, "text": " Los coeficientes son menos 7, 2 y menos 5."}, {"start": 59.68, "end": 66.64, "text": " Entonces, anotamos esos n\u00fameros y all\u00ed tenemos la matriz de coeficientes."}, {"start": 66.64, "end": 72.88, "text": " A esa matriz le aumentamos una columna, que es la que conforman estos elementos, los que"}, {"start": 72.88, "end": 78.56, "text": " tenemos despu\u00e9s del signo igual en cada una de las ecuaciones."}, {"start": 78.56, "end": 84.9, "text": " Para mayor seguridad, vamos a colocarle a estas columnas los encabezados, que corresponden"}, {"start": 84.9, "end": 88.16000000000001, "text": " a las inc\u00f3gnitas del sistema de ecuaciones."}, {"start": 88.16000000000001, "end": 90.84, "text": " K1, K2 y K3."}, {"start": 90.84, "end": 94.16000000000001, "text": " Y las filas son las ecuaciones."}, {"start": 94.16000000000001, "end": 101.72, "text": " Tenemos entonces fila o rengl\u00f3n 1, fila o rengl\u00f3n 2 y la fila o rengl\u00f3n 3."}, {"start": 101.72, "end": 108.24000000000001, "text": " Ahora s\u00ed, vamos a iniciar el m\u00e9todo de Gauss, que consiste en convertir esta matriz en triangular"}, {"start": 108.24000000000001, "end": 109.24000000000001, "text": " superior."}, {"start": 109.24000000000001, "end": 114.82000000000001, "text": " Eso quiere decir que los elementos que est\u00e1n por debajo de la diagonal principal es de"}, {"start": 114.82, "end": 119.96, "text": " decir, estos tres elementos, debemos convertirlos en ceros."}, {"start": 119.96, "end": 125.91999999999999, "text": " Comenzamos entonces buscando cero en esta celda, la que corresponde a la fila 3 columna"}, {"start": 125.91999999999999, "end": 126.91999999999999, "text": " 1."}, {"start": 126.91999999999999, "end": 132.64, "text": " Para ello podemos apoyarnos en este elemento, es decir, utilizamos el rengl\u00f3n 1."}, {"start": 132.64, "end": 138.56, "text": " Si multiplicamos esto por 7 y sumamos con este elemento, all\u00ed obtendremos el cero."}, {"start": 138.56, "end": 145.72, "text": " Entonces vamos a escribir por ac\u00e1 la operaci\u00f3n en la fila destino, que es la fila o rengl\u00f3n"}, {"start": 145.72, "end": 146.72, "text": " 3."}, {"start": 146.72, "end": 152.64000000000001, "text": " La operaci\u00f3n que vamos a hacer es multiplicar esto por 7, es decir, 7 veces el rengl\u00f3n"}, {"start": 152.64000000000001, "end": 158.68, "text": " 1 y eso lo vamos a sumar con lo que tenemos en el rengl\u00f3n 3."}, {"start": 158.68, "end": 164.32, "text": " Y el resultado de esa operaci\u00f3n lo anotamos en el nuevo rengl\u00f3n 3."}, {"start": 164.32, "end": 170.56, "text": " Entonces nos queda de la siguiente manera, 7 por 1 nos da 7, 7 sumado con menos 7 nos"}, {"start": 170.56, "end": 171.56, "text": " da 0."}, {"start": 171.56, "end": 177.64, "text": " 7 multiplicado por 1 es 7, 7 sumado con 2 nos da 9."}, {"start": 177.64, "end": 182.56, "text": " Ac\u00e1 7 por 1 es 7, sumado con menos 5 nos da 2."}, {"start": 182.56, "end": 189.07999999999998, "text": " Y ac\u00e1 7 por 2 es 14, 14 sumado con 3 nos da 17."}, {"start": 189.08, "end": 194.88000000000002, "text": " Ahora en este mismo paso podemos buscar el cero que va en esta celda, la que corresponde"}, {"start": 194.88000000000002, "end": 197.56, "text": " a la fila 2 columna 1."}, {"start": 197.56, "end": 202.76000000000002, "text": " Tambi\u00e9n podemos apoyarnos en este elemento, es decir, trabajando con el rengl\u00f3n 1."}, {"start": 202.76000000000002, "end": 208.76000000000002, "text": " Si multiplicamos esto por menos 5 y sumamos con este n\u00famero, all\u00ed obtendremos el cero."}, {"start": 208.76000000000002, "end": 215.12, "text": " Entonces ac\u00e1 en la nueva fila 2 o rengl\u00f3n 2 anotamos la operaci\u00f3n que se hace con estos"}, {"start": 215.12, "end": 216.84, "text": " renglones."}, {"start": 216.84, "end": 224.68, "text": " Dicemos el rengl\u00f3n 1 por menos 5, es decir, menos 5 R1 y eso lo sumamos con lo que tenemos"}, {"start": 224.68, "end": 227.12, "text": " en el rengl\u00f3n 2."}, {"start": 227.12, "end": 233.52, "text": " Veamos entonces, menos 5 por 1 nos da menos 5, sumado con 5 es 0."}, {"start": 233.52, "end": 237.76, "text": " All\u00ed conseguimos el objetivo de convertir esta celda en 0."}, {"start": 237.76, "end": 243.68, "text": " Ac\u00e1 menos 5 por 1 es menos 5, sumado con 1 nos da menos 4."}, {"start": 243.68, "end": 251.32, "text": " Ac\u00e1 1 por menos 5 nos da menos 5, sumado con menos 4 es menos 9."}, {"start": 251.32, "end": 258.48, "text": " Y ac\u00e1 2 por menos 5 nos da menos 10, sumado con 1 es menos 9."}, {"start": 258.48, "end": 264.62, "text": " Ahora el rengl\u00f3n 1 no sufre ninguna variaci\u00f3n, entonces lo escribimos por ac\u00e1."}, {"start": 264.62, "end": 273.36, "text": " Es el que nos sirvi\u00f3 para obtener los dos primeros ceros, los que van en estas celdas."}, {"start": 273.36, "end": 279.0, "text": " Nos queda por hallar el 0 que va aqu\u00ed, es decir, en la celda que corresponde a la fila"}, {"start": 279.0, "end": 281.46000000000004, "text": " 3 columna 2."}, {"start": 281.46000000000004, "end": 288.42, "text": " Para ello debemos trabajar necesariamente los renglones 2 y 3 para que no se da\u00f1en estos"}, {"start": 288.42, "end": 291.2, "text": " ceros que ya conseguimos."}, {"start": 291.2, "end": 295.90000000000003, "text": " Entonces debemos ingeniarnos una operaci\u00f3n con estos n\u00fameros de tal forma que al efectuar"}, {"start": 295.90000000000003, "end": 298.56, "text": " la suma nos de 0."}, {"start": 298.56, "end": 304.52, "text": " Entonces hacemos lo siguiente, en la nueva fila destino, que es la fila o rengl\u00f3n 3,"}, {"start": 304.52, "end": 310.04, "text": " vamos a multiplicar esto por 9 y esto por 4 y vamos a efectuar la suma."}, {"start": 310.04, "end": 320.02, "text": " Entonces ser\u00e1 9 veces el rengl\u00f3n 2 m\u00e1s 4 veces el rengl\u00f3n 3."}, {"start": 320.02, "end": 325.52, "text": " Como vimos ahora, estas operaciones que hicimos para obtener estos ceros fueron relativamente"}, {"start": 325.52, "end": 326.52, "text": " sencillas."}, {"start": 326.52, "end": 332.84, "text": " Se pueden hacer mentalmente sin ning\u00fan problema, pero esta operaci\u00f3n, hacerla mentalmente"}, {"start": 332.84, "end": 334.91999999999996, "text": " es un poco m\u00e1s arriesgado."}, {"start": 334.91999999999996, "end": 342.59999999999997, "text": " Entonces se recomienda anotar por ac\u00e1 o en otro espacio los resultados de estas transformaciones"}, {"start": 342.59999999999997, "end": 347.79999999999995, "text": " que sufren los renglones 2 y 3 para despu\u00e9s efectuar la suma."}, {"start": 347.79999999999995, "end": 353.35999999999996, "text": " Veamos entonces, si multiplicamos por 9 los elementos del rengl\u00f3n 2 nos queda as\u00ed."}, {"start": 353.36, "end": 364.2, "text": " 9 por 0 es 0, 9 por menos 4 es menos 36, 9 por menos 9 nos da menos 81 y 9 por menos"}, {"start": 364.2, "end": 367.48, "text": " 9 tambi\u00e9n nos da menos 81."}, {"start": 367.48, "end": 372.04, "text": " Digamos que ac\u00e1 tenemos 9 veces el rengl\u00f3n 2."}, {"start": 372.04, "end": 376.72, "text": " Ahora vamos con 4 veces el rengl\u00f3n 3."}, {"start": 376.72, "end": 379.04, "text": " Vamos a anotar eso aqu\u00ed debajo."}, {"start": 379.04, "end": 391.20000000000005, "text": " Entonces tenemos 4 por 0, 0, 4 por 9, 36, 4 por 2 es 8 y 4 por 17 nos da 68."}, {"start": 391.20000000000005, "end": 397.12, "text": " Ahora s\u00ed, vamos a efectuar la suma de estas cantidades para dar cumplimiento a esta condici\u00f3n"}, {"start": 397.12, "end": 403.04, "text": " y los resultados se anotan en este rengl\u00f3n que es el rengl\u00f3n destino, el nuevo rengl\u00f3n"}, {"start": 403.04, "end": 404.28000000000003, "text": " 3."}, {"start": 404.28, "end": 415.0, "text": " Dicimos 0 m\u00e1s 0 nos da 0, menos 36 m\u00e1s 36 es 0, menos 81 m\u00e1s 8 eso es menos 73 y"}, {"start": 415.0, "end": 420.76, "text": " ac\u00e1 menos 81 m\u00e1s 68 eso nos da menos 13."}, {"start": 420.76, "end": 426.7, "text": " All\u00ed conseguimos entonces el objetivo de convertir en 0 lo que ten\u00edamos en esta celda."}, {"start": 426.7, "end": 433.32, "text": " Las otras filas o renglones se anotan tal como est\u00e1n, ya no presentan ning\u00fan cambio."}, {"start": 433.32, "end": 440.84, "text": " Entonces de esa manera vamos consiguiendo el objetivo del m\u00e9todo de Gauss que es obtener"}, {"start": 440.84, "end": 447.52, "text": " aqu\u00ed una matriz triangular superior, es decir que tenga ceros por debajo de la diagonal"}, {"start": 447.52, "end": 449.04, "text": " principal."}, {"start": 449.04, "end": 458.28, "text": " Aqu\u00ed vamos a colocar nuevamente los encabezados, las inc\u00f3gnitas K1, K2, K3 y para las filas"}, {"start": 458.28, "end": 462.12, "text": " o renglones los n\u00fameros de las ecuaciones."}, {"start": 462.12, "end": 469.36, "text": " Entonces vamos a construir de nuevo esas tres ecuaciones comenzando por la n\u00famero 3."}, {"start": 469.36, "end": 472.7, "text": " Vamos a escribir eso por ac\u00e1."}, {"start": 472.7, "end": 479.2, "text": " Comenzamos con la ecuaci\u00f3n 3 que ser\u00eda as\u00ed, 0 por K1 es decir 0 m\u00e1s 0 por K2 que tambi\u00e9n"}, {"start": 479.2, "end": 490.76, "text": " nos da 0, menos 73 por K3, entonces menos 73 K3 igual a este n\u00famero que es menos 13."}, {"start": 490.76, "end": 494.15999999999997, "text": " Entonces eso es lo que nos indica el m\u00e9todo de Gauss."}, {"start": 494.15999999999997, "end": 499.4, "text": " Despu\u00e9s de convertir esta matriz en triangular superior nos va a quedar f\u00e1cil construir"}, {"start": 499.4, "end": 506.32, "text": " la ecuaci\u00f3n inferior, en ese caso la n\u00famero 3, para poder obtener as\u00ed la primera inc\u00f3gnita"}, {"start": 506.32, "end": 511.12, "text": " que ser\u00e1 K3 porque estos ceros no se eliminan estas dos inc\u00f3gnitas."}, {"start": 511.12, "end": 519.8199999999999, "text": " De all\u00ed despejamos K3, pasamos menos 73 al otro lado a dividir, nos queda menos 13 dividido"}, {"start": 519.82, "end": 525.7600000000001, "text": " entre menos 73 y all\u00ed podemos simplemente simplificar los signos, menos con menos nos"}, {"start": 525.7600000000001, "end": 533.72, "text": " da m\u00e1s, esos dos n\u00fameros no se pueden simplificar y as\u00ed obtenemos el valor de la primera inc\u00f3gnita."}, {"start": 533.72, "end": 540.24, "text": " Ahora pasamos a la siguiente ecuaci\u00f3n de abajo hacia arriba, es decir vamos a la ecuaci\u00f3n"}, {"start": 540.24, "end": 544.6, "text": " n\u00famero 2, vamos a construirla por ac\u00e1."}, {"start": 544.6, "end": 555.2, "text": " Entonces tendremos lo siguiente, 0 por K1 eso nos da 0, luego menos 4 por K2, despu\u00e9s"}, {"start": 555.2, "end": 565.8000000000001, "text": " menos 9 por K3 igual a lo que tenemos ac\u00e1 que es menos 9, pero ya conocemos el valor"}, {"start": 565.8000000000001, "end": 573.44, "text": " de K3, entonces vamos a reemplazarlo, nos queda menos 4 K2 menos 9 por el resultado"}, {"start": 573.44, "end": 581.24, "text": " de K3 que es 13 73 y todo esto igual a menos 9."}, {"start": 581.24, "end": 589.24, "text": " Vamos a continuar el desarrollo de esta ecuaci\u00f3n por aqu\u00ed, nos queda menos 4 K2 menos, aqu\u00ed"}, {"start": 589.24, "end": 600.24, "text": " multiplicamos 9 por 13 eso es 117 y en el denominador aqu\u00ed hay 1, 1 por 73 nos da 73"}, {"start": 600.24, "end": 607.72, "text": " y todo esto igual a menos 9, de all\u00ed vamos a despejar menos 4 K2 es decir el t\u00e9rmino"}, {"start": 607.72, "end": 616.96, "text": " que contiene la inc\u00f3gnita nos queda menos 9 m\u00e1s 117 73, esta cantidad que est\u00e1 restando"}, {"start": 616.96, "end": 619.8, "text": " pasa al otro lado a sumar."}, {"start": 619.8, "end": 625.76, "text": " All\u00ed podemos resolver esta operaci\u00f3n utilizando el truco o la t\u00e9cnica de la carita feliz,"}, {"start": 625.76, "end": 633.68, "text": " se colocamos 1 como denominador a menos 9, entonces vamos a efectuar esa suma de fracciones"}, {"start": 633.68, "end": 641.04, "text": " heterog\u00e9neas o fracciones con distinto denominador, ac\u00e1 tendremos menos 9 por 73 que es menos"}, {"start": 641.04, "end": 653.0, "text": " 657, despu\u00e9s m\u00e1s 1 por 117 que es 117 y abajo 1 por 73 que nos da 73, repetimos es el truco"}, {"start": 653.0, "end": 660.28, "text": " o la t\u00e9cnica de la carita feliz para efectuar en este caso la suma de dos fracciones heterog\u00e9neas."}, {"start": 660.28, "end": 668.64, "text": " Efectuamos ahora esta operaci\u00f3n del numerador, nos queda menos 4 K2 igual a menos 657 m\u00e1s"}, {"start": 668.64, "end": 676.06, "text": " 117 eso nos da menos 540 y esto queda sobre 73."}, {"start": 676.06, "end": 681.36, "text": " Para encontrar el valor de K2 necesitamos deshacernos de este n\u00famero que la acompa\u00f1a"}, {"start": 681.36, "end": 687.8000000000001, "text": " de este menos 4, para ello podemos multiplicar ambos lados de la igualdad por menos 1 cuarto,"}, {"start": 687.8000000000001, "end": 696.36, "text": " es decir por el rec\u00edproco de menos 4, entonces nos queda menos 1 cuarto por menos 4 K2 igual"}, {"start": 696.36, "end": 708.16, "text": " a menos 1 cuarto por menos 540 73 y vamos a resolver a cada lado, ac\u00e1 menos 1 cuarto"}, {"start": 708.16, "end": 714.6, "text": " por menos 4 eso nos da 1 positivo, nos queda 1 acompa\u00f1ando a K2, vamos a escribir eso"}, {"start": 714.6, "end": 722.28, "text": " por ac\u00e1, K2 ser\u00e1 igual y ac\u00e1 tambi\u00e9n resolvemos menos por menos nos da m\u00e1s, esto nos va a"}, {"start": 722.28, "end": 730.7199999999999, "text": " dar como resultado una fracci\u00f3n positiva y all\u00ed podemos simplificar 540 y 4, podemos"}, {"start": 730.72, "end": 739.6, "text": " sacar mitad, mitad de 4 nos da 2, mitad de 540 es 270, otra vez podemos simplificar mitad"}, {"start": 739.6, "end": 747.6, "text": " de 2 nos da 1, mitad de 270 es 135, all\u00ed no se puede simplificar nada m\u00e1s, entonces"}, {"start": 747.6, "end": 753.9200000000001, "text": " nos queda en el numerador 135 y en el denominador 73."}, {"start": 753.92, "end": 762.68, "text": " Lodamos este resultado por all\u00e1 y construimos la ecuaci\u00f3n n\u00famero 1, la que nos queda faltando"}, {"start": 762.68, "end": 770.8, "text": " para poder averiguar el valor de la inc\u00f3gnita K1, entonces ser\u00e1 1 por K1 es decir K1 m\u00e1s"}, {"start": 770.8, "end": 781.9599999999999, "text": " 1 por K2 es decir m\u00e1s K2 m\u00e1s 1 por K3 o sea m\u00e1s K3 igual a 2, es decir la misma ecuaci\u00f3n"}, {"start": 781.96, "end": 785.08, "text": " 1 que nos daban al comienzo."}, {"start": 785.08, "end": 791.44, "text": " All\u00ed vamos a reemplazar entonces los valores que encontramos para K2 y K3, entonces K1"}, {"start": 791.44, "end": 804.0600000000001, "text": " m\u00e1s el valor de K2 que es 135, 73, m\u00e1s el valor de K3 que es 13, 73 y todo esto igual"}, {"start": 804.0600000000001, "end": 805.76, "text": " a 2."}, {"start": 805.76, "end": 810.88, "text": " All\u00ed podemos efectuar la suma de estas dos fracciones que son homog\u00e9neas, tienen el"}, {"start": 810.88, "end": 818.52, "text": " mismo denominador, entonces nos queda K1 m\u00e1s, conservamos el mismo denominador y efectuamos"}, {"start": 818.52, "end": 828.56, "text": " la suma de los numeradores, 135 m\u00e1s 13 es 148 y todo esto queda igualado a 2."}, {"start": 828.56, "end": 839.92, "text": " De all\u00ed vamos a realizar el despeje de K1, entonces K1 es igual a 2 menos 148, 73, esta"}, {"start": 839.92, "end": 843.8399999999999, "text": " cantidad que est\u00e1 sumando pasa al otro lado a restar."}, {"start": 843.8399999999999, "end": 850.0, "text": " Nuevamente podemos efectuar esta resta de fracciones heterog\u00e9neas utilizando el truco"}, {"start": 850.0, "end": 857.7199999999999, "text": " o la t\u00e9cnica de la carita feliz, entonces veamos, en el numerador tendremos 2 por 73"}, {"start": 857.7199999999999, "end": 869.68, "text": " que eso nos da 146 menos 1 por 148, 148 y en el denominador 1 por 73 que es 73, efectuamos"}, {"start": 869.68, "end": 877.16, "text": " la operaci\u00f3n del numerador y eso nos da menos 2, nos queda entonces menos 2, 73."}, {"start": 877.16, "end": 883.3599999999999, "text": " Anotamos este resultado por all\u00e1 y de esta manera terminamos, hemos encontrado los valores"}, {"start": 883.3599999999999, "end": 890.1999999999999, "text": " de las inc\u00f3gnitas K1, K2 y K3 que satisfacen este sistema de ecuaciones lineales de 3 por"}, {"start": 890.1999999999999, "end": 896.68, "text": " 3, como vimos se utiliz\u00f3 el m\u00e9todo de Gauss y podemos decir tambi\u00e9n que se trata de un"}, {"start": 896.68, "end": 899.68, "text": " sistema con soluci\u00f3n \u00fanica."}]

julioprofe

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ECUACIÓN DEL PLANO QUE CONTIENE TRES PUNTOS

#julioprofe explica cómo encontrar la ecuación del plano que contiene tres puntos dados, en el espacio. Tema: #VectoresEnElEspacio → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwFjM17fQYLwVa9p87SiAf1p REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a determinar la ecuación del plano que contiene estos tres puntos en el espacio. Para comenzar hacemos un dibujo que represente el plano y en él vamos a ubicar esos tres puntos. Suponemos que por aquí está el punto P, por acá tenemos el punto Q y por acá tenemos el punto R. Entonces los tres puntos están contenidos en el plano. Enseguida vamos a determinar estos dos vectores, el vector PQ y el vector PR. Esos también serán vectores contenidos en el plano. Comenzamos entonces con el vector PQ. Para determinar este vector hacemos la resta de las coordenadas de esos extremos. Primero el punto final que es el punto Q, coordenadas 2, 3, 1 y a esto le restamos el punto inicial, es decir el punto P que es 1, 2 y menos 3. Entonces siempre hacemos la resta entre el punto final y el punto inicial o entre el extremo y el origen. Entonces de esta manera nos queda así el vector PQ. Una vez utilizamos la notación de vectores. Tenemos 2 menos 1 nos da 1, esa será la componente en X, 3 menos 2 nos da 1, componente en Y y 1 menos menos 3, eso se convierte en 1 más 3 que nos da 4 y es la componente en Z. De forma similar vamos a determinar el vector PR. Entonces hacemos lo mismo, tomamos el punto R, el punto final de coordenadas 0, menos 2, menos 1 y a eso le restamos el punto inicial o el origen que es P, sus coordenadas son 1, 2 y menos 3. Entonces el vector PR nos queda de la siguiente manera, coordenadas en X, 0 menos 1 nos da menos 1, coordenadas en Y sería menos 2, menos 2 es menos 4 y la coordenada en Z sería menos 1 menos menos 3, eso se convierte en menos 1 más 3 que nos da 2. Anotamos esos dos vectores por acá y a continuación vamos a realizar el producto cruz o producto vectorial entre los vectores PQ y el vector PR, entonces hacemos el producto cruz o producto vectorial, eso nos dará como resultado lo siguiente, recordemos la regla de la mano derecha, colocamos nuestra mano derecha con esta parte coincidiendo con el primer vector que es PQ y cerramos los dedos hacia el segundo vector que es PR, hacia donde queda señalando el pulgar entonces será el resultado o la orientación de el vector PQ cruz PR, en este caso haciendo la regla de la mano derecha nos da un vector que sale hacia arriba perpendicular al plano, se trata de este vector entonces este será PQ cruz PR y también será el vector llamado N, vector normal al plano, es decir es perpendicular al mismo, eso quiere decir que va a ser perpendicular a los dos vectores, entonces aquí representamos eso, forma 90 grados con el vector PQ y 90 grados con el vector PR, para efectuar este producto cruz o producto vectorial construimos un determinante de 3x3, en la primera fila anotamos los vectores IJK, recordemos que son los vectores unitarios en las direcciones positivas de los ejes X, Y y Z respectivamente, en la segunda fila anotamos las componentes del primer vector, del vector PQ que son 1, 1, 4 y en la tercera fila anotamos las componentes del segundo vector, el vector PR que son menos 1, menos 4 y 2, enseguida vamos a obtener las tres componentes del vector que buscamos, del vector PQ cruz PR que recordemos es el vector N, es decir normal al plano, la primera componente siempre será positiva, la segunda será negativa y la tercera será positiva, aquí tendremos determinantes de 2x2, vamos con el primero, que resulta de tapar la fila y la columna que contienen a la letra Y, es decir al vector unitario en la dirección positiva del eje X, si tapamos la fila y la columna nos quedan esos cuatro componentes, entonces 1, 4 y menos 4 a 2, con esos componentes armamos este determinante de 2x2, vamos con el siguiente el que corresponde a J, tapamos entonces la fila y la columna que contienen J, nos queda entonces 1, 4 y menos 1, 2, allí está el determinante de 2x2 correspondiente a J y vamos con el determinante que corresponde a K, tapamos entonces la fila y la columna que contienen K, nos queda 1, 1 en la primera fila y menos 1, menos 4 en la segunda fila, a continuación vamos a resolver cada uno de estos determinantes, vamos a continuar por acá, tenemos entonces PQ producto cruz o producto vectorial con PR, entonces comencemos con el primer determinante, vamos a proteger eso usando crochet, multiplicamos entonces primero la diagonal principal 1x2, eso nos da 2 y a eso le restamos el producto de los elementos que hay en la diagonal secundaria, vamos a marcarla con este color, entonces sería 4x-4 eso nos da menos 16, entonces allí cerramos el corchete y eso es lo que corresponde a I, después tenemos menos, vamos a abrir el otro corchete, vamos con la diagonal principal 1x2, eso nos da 2 menos lo que tenemos en la diagonal secundaria que sería 4x-1 es decir menos 4 y cerramos el corchete, esto es lo que corresponde a J y vamos ahora con el otro determinante, abrimos el corchete, tenemos diagonal principal 1x-4 nos da menos 4, esto menos la diagonal secundaria que sería 1x-1, eso es menos 1, cerramos entonces el corchete y eso es lo que corresponde a la componente con K, continuamos por acá nos queda PQ producto cruz con el vector PR igual a lo siguiente, vamos a resolver esta operación, esto será 2 más 16 que es 18, 18 acompaña al vector unitario I, acá tenemos 2 menos menos 4 es 2 más 4 que nos da 6, pero acá tenemos signo menos, entonces menos 6 con J y por acá tenemos menos 4 menos menos 1 es decir menos 4 más 1 que es menos 3, más menos 3 es menos 3 que queda acompañado de K, como decíamos esto equivale al vector normal al plano, es decir el vector N, vamos a escribirlo entonces por acá deshaciendo la anotación IJK, nos queda entonces que el vector normal tiene las componentes 18, 18 en X, menos 6 en Y y menos 3 en Z, a continuación vamos a marcar otro punto en el plano, vamos a llamarlo el punto T, un punto cualquiera que tiene componentes o coordenadas X, Y y Z, recordemos que son puntos en el espacio, entonces con ese nuevo punto podemos determinar el vector PT, veamos entonces vector PT se obtienen restando la coordenada final que será T, componentes X, Y, Z menos la coordenada del punto inicial o del origen que es P, P tiene componentes 1, 2 y menos 3, entonces vamos a ver cuánto nos da ese vector PT, será entonces X menos 1 la componente en X, Y menos 2 componente en Y y Z menos menos 3 es decir Z más 3 la componente en Z, anotamos ese nuevo vector por acá y vemos que también pertenece al plano y como sale del punto P entonces también formará 90 grados con el vector N, serán vectores ortogonales o perpendiculares, recordemos entonces que si los vectores son perpendiculares o ortogonales el producto punto entre ellos debe ser igual a cero, es lo que está pasando entre estos dos vectores, entonces vamos a aplicar esa condición, el vector PT nos dio con componentes X menos 1, Y menos 2, Z más 3 y a esto vamos a hacerle producto punto o producto escalar con N que nos dio 18 menos 6 menos 3 y todo esto debe quedar igualado a cero, vamos entonces a efectuar esa operación producto punto o producto escalar entre dos vectores en el espacio o en R3, comenzamos multiplicando las componentes en X, tenemos X menos 1 por 18 esto más el producto de componentes en Y que será Y menos 2 por menos 6 y luego el producto de componentes en Z sería más Z más 3 que multiplica con menos 3 y todo esto nos queda igual a cero, allí vamos a romper esos paréntesis aplicando la propiedad distributiva, entonces comenzamos aquí 18 por X nos da 18X, 18 por menos 1 es menos 18 luego vamos a distribuir este menos 6, entonces tenemos menos 6 por Y será menos 6 Y y menos 6 por menos 2 nos da más 12, acá hacemos la distributiva con menos 3, entonces menos 3 por Z es menos 3Z y menos 3 por más 3 nos da menos 9 y todo eso igual a cero, organizamos esa expresión de la siguiente manera, comenzamos con el término que contiene la X luego el término que contiene la Y después el término que contiene Z y vamos a operar esos números tenemos menos 18 más 12 eso nos da menos 6 y menos 6 y menos 9 nos da menos 15 y todo esto queda igual a cero, allí podemos pasar este 15 al lado derecho nos queda 18X menos 6 Y menos 3 Z igual a 15, el 15 llega al otro lado a sumar con cero finalmente podemos simplificar esta ecuación vemos que todos estos números son divisibles por 3 entonces vamos a dividir por 3 ambos lados de esa igualdad aquí nos quedaría 6X por acá nos queda menos 2 Y por acá quedaría menos Z y al otro lado 15 dividido entre 3 nos da 5, de esta manera terminamos esta expresión es la ecuación del plano que contiene estos tres puntos P Q y R en el espacio

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cruz o producto vectorial construimos un determinante"}, {"start": 227.72, "end": 237.72, "text": " de 3x3, en la primera fila anotamos los vectores IJK, recordemos que son los vectores unitarios en"}, {"start": 237.72, "end": 245.44, "text": " las direcciones positivas de los ejes X, Y y Z respectivamente, en la segunda fila anotamos las"}, {"start": 245.44, "end": 254.04, "text": " componentes del primer vector, del vector PQ que son 1, 1, 4 y en la tercera fila anotamos las"}, {"start": 254.04, "end": 264.24, "text": " componentes del segundo vector, el vector PR que son menos 1, menos 4 y 2, enseguida vamos a obtener"}, {"start": 264.24, "end": 272.03999999999996, "text": " las tres componentes del vector que buscamos, del vector PQ cruz PR que recordemos es el vector N,"}, {"start": 272.03999999999996, "end": 279.8, "text": " es decir normal al plano, la primera componente siempre ser\u00e1 positiva, la segunda ser\u00e1 negativa"}, {"start": 279.8, "end": 286.88, "text": " y la tercera ser\u00e1 positiva, aqu\u00ed tendremos determinantes de 2x2, vamos con el primero,"}, {"start": 286.88, "end": 294.8, "text": " que resulta de tapar la fila y la columna que contienen a la letra Y, es decir al vector"}, {"start": 294.8, "end": 301.36, "text": " unitario en la direcci\u00f3n positiva del eje X, si tapamos la fila y la columna nos quedan esos"}, {"start": 301.36, "end": 310.44, "text": " cuatro componentes, entonces 1, 4 y menos 4 a 2, con esos componentes armamos este determinante"}, {"start": 310.44, "end": 317.84000000000003, "text": " de 2x2, vamos con el siguiente el que corresponde a J, tapamos entonces la fila y la columna que"}, {"start": 317.84000000000003, "end": 328.44, "text": " contienen J, nos queda entonces 1, 4 y menos 1, 2, all\u00ed est\u00e1 el determinante de 2x2 correspondiente"}, {"start": 328.44, "end": 334.76, "text": " a J y vamos con el determinante que corresponde a K, tapamos entonces la fila y la columna que"}, {"start": 334.76, "end": 344.28, "text": " contienen K, nos queda 1, 1 en la primera fila y menos 1, menos 4 en la segunda fila, a continuaci\u00f3n"}, {"start": 344.28, "end": 350.48, "text": " vamos a resolver cada uno de estos determinantes, vamos a continuar por ac\u00e1, tenemos entonces PQ"}, {"start": 350.48, "end": 359.88, "text": " producto cruz o producto vectorial con PR, entonces comencemos con el primer determinante, vamos a"}, {"start": 359.88, "end": 366.72, "text": " proteger eso usando crochet, multiplicamos entonces primero la diagonal principal 1x2,"}, {"start": 366.72, "end": 373.6, "text": " eso nos da 2 y a eso le restamos el producto de los elementos que hay en la diagonal secundaria,"}, {"start": 373.6, "end": 383.52000000000004, "text": " vamos a marcarla con este color, entonces ser\u00eda 4x-4 eso nos da menos 16, entonces all\u00ed cerramos"}, {"start": 383.52000000000004, "end": 392.84000000000003, "text": " el corchete y eso es lo que corresponde a I, despu\u00e9s tenemos menos, vamos a abrir el otro"}, {"start": 392.84000000000003, "end": 402.16, "text": " corchete, vamos con la diagonal principal 1x2, eso nos da 2 menos lo que tenemos en la diagonal"}, {"start": 402.16, "end": 414.24, "text": " secundaria que ser\u00eda 4x-1 es decir menos 4 y cerramos el corchete, esto es lo que corresponde a J"}, {"start": 415.64000000000004, "end": 425.28000000000003, "text": " y vamos ahora con el otro determinante, abrimos el corchete, tenemos diagonal principal 1x-4 nos da"}, {"start": 425.28, "end": 435.96, "text": " menos 4, esto menos la diagonal secundaria que ser\u00eda 1x-1, eso es menos 1, cerramos entonces"}, {"start": 435.96, "end": 445.91999999999996, "text": " el corchete y eso es lo que corresponde a la componente con K, continuamos por ac\u00e1 nos queda"}, {"start": 445.92, "end": 455.08000000000004, "text": " PQ producto cruz con el vector PR igual a lo siguiente, vamos a resolver esta operaci\u00f3n,"}, {"start": 455.08000000000004, "end": 464.68, "text": " esto ser\u00e1 2 m\u00e1s 16 que es 18, 18 acompa\u00f1a al vector unitario I, ac\u00e1 tenemos 2 menos menos 4"}, {"start": 464.68, "end": 472.72, "text": " es 2 m\u00e1s 4 que nos da 6, pero ac\u00e1 tenemos signo menos, entonces menos 6 con J y por ac\u00e1 tenemos"}, {"start": 472.72, "end": 481.0, "text": " menos 4 menos menos 1 es decir menos 4 m\u00e1s 1 que es menos 3, m\u00e1s menos 3 es menos 3 que queda"}, {"start": 481.0, "end": 490.40000000000003, "text": " acompa\u00f1ado de K, como dec\u00edamos esto equivale al vector normal al plano, es decir el vector N,"}, {"start": 490.40000000000003, "end": 498.56, "text": " vamos a escribirlo entonces por ac\u00e1 deshaciendo la anotaci\u00f3n IJK, nos queda entonces que el vector"}, {"start": 498.56, "end": 510.52, "text": " normal tiene las componentes 18, 18 en X, menos 6 en Y y menos 3 en Z, a continuaci\u00f3n vamos a marcar"}, {"start": 510.52, "end": 518.44, "text": " otro punto en el plano, vamos a llamarlo el punto T, un punto cualquiera que tiene componentes o"}, {"start": 518.44, "end": 525.92, "text": " coordenadas X, Y y Z, recordemos que son puntos en el espacio, entonces con ese nuevo punto podemos"}, {"start": 525.92, "end": 535.04, "text": " determinar el vector PT, veamos entonces vector PT se obtienen restando la coordenada final que"}, {"start": 535.04, "end": 544.64, "text": " ser\u00e1 T, componentes X, Y, Z menos la coordenada del punto inicial o del origen que es P, P tiene"}, {"start": 544.64, "end": 554.16, "text": " componentes 1, 2 y menos 3, entonces vamos a ver cu\u00e1nto nos da ese vector PT, ser\u00e1 entonces X"}, {"start": 554.16, "end": 566.36, "text": " menos 1 la componente en X, Y menos 2 componente en Y y Z menos menos 3 es decir Z m\u00e1s 3 la componente"}, {"start": 566.36, "end": 574.0, "text": " en Z, anotamos ese nuevo vector por ac\u00e1 y vemos que tambi\u00e9n pertenece al plano y como sale del"}, {"start": 574.0, "end": 581.8, "text": " punto P entonces tambi\u00e9n formar\u00e1 90 grados con el vector N, ser\u00e1n vectores ortogonales o"}, {"start": 581.8, "end": 588.56, "text": " perpendiculares, recordemos entonces que si los vectores son perpendiculares o ortogonales el"}, {"start": 588.56, "end": 595.76, "text": " producto punto entre ellos debe ser igual a cero, es lo que est\u00e1 pasando entre estos dos vectores,"}, {"start": 595.76, "end": 605.0799999999999, "text": " entonces vamos a aplicar esa condici\u00f3n, el vector PT nos dio con componentes X menos 1, Y menos 2,"}, {"start": 605.08, "end": 616.84, "text": " Z m\u00e1s 3 y a esto vamos a hacerle producto punto o producto escalar con N que nos dio 18 menos 6"}, {"start": 616.84, "end": 625.24, "text": " menos 3 y todo esto debe quedar igualado a cero, vamos entonces a efectuar esa operaci\u00f3n producto"}, {"start": 625.24, "end": 632.6400000000001, "text": " punto o producto escalar entre dos vectores en el espacio o en R3, comenzamos multiplicando las"}, {"start": 632.64, "end": 641.76, "text": " componentes en X, tenemos X menos 1 por 18 esto m\u00e1s el producto de componentes en Y que ser\u00e1 Y"}, {"start": 641.76, "end": 651.3199999999999, "text": " menos 2 por menos 6 y luego el producto de componentes en Z ser\u00eda m\u00e1s Z m\u00e1s 3 que multiplica"}, {"start": 651.3199999999999, "end": 659.2, "text": " con menos 3 y todo esto nos queda igual a cero, all\u00ed vamos a romper esos par\u00e9ntesis aplicando"}, {"start": 659.2, "end": 668.72, "text": " la propiedad distributiva, entonces comenzamos aqu\u00ed 18 por X nos da 18X, 18 por menos 1 es menos 18"}, {"start": 668.72, "end": 678.32, "text": " luego vamos a distribuir este menos 6, entonces tenemos menos 6 por Y ser\u00e1 menos 6 Y y menos 6"}, {"start": 678.32, "end": 689.9200000000001, "text": " por menos 2 nos da m\u00e1s 12, ac\u00e1 hacemos la distributiva con menos 3, entonces menos 3 por Z es menos 3Z"}, {"start": 689.9200000000001, "end": 698.32, "text": " y menos 3 por m\u00e1s 3 nos da menos 9 y todo eso igual a cero, organizamos esa expresi\u00f3n de la siguiente"}, {"start": 698.32, "end": 705.2800000000001, "text": " manera, comenzamos con el t\u00e9rmino que contiene la X luego el t\u00e9rmino que contiene la Y despu\u00e9s el"}, {"start": 705.28, "end": 712.68, "text": " t\u00e9rmino que contiene Z y vamos a operar esos n\u00fameros tenemos menos 18 m\u00e1s 12 eso nos da menos 6"}, {"start": 712.68, "end": 720.8, "text": " y menos 6 y menos 9 nos da menos 15 y todo esto queda igual a cero, all\u00ed podemos pasar este 15 al"}, {"start": 720.8, "end": 731.1999999999999, "text": " lado derecho nos queda 18X menos 6 Y menos 3 Z igual a 15, el 15 llega al otro lado a sumar con cero"}, {"start": 731.2, "end": 738.24, "text": " finalmente podemos simplificar esta ecuaci\u00f3n vemos que todos estos n\u00fameros son divisibles por 3"}, {"start": 738.24, "end": 746.5600000000001, "text": " entonces vamos a dividir por 3 ambos lados de esa igualdad aqu\u00ed nos quedar\u00eda 6X por ac\u00e1 nos queda"}, {"start": 746.5600000000001, "end": 755.8000000000001, "text": " menos 2 Y por ac\u00e1 quedar\u00eda menos Z y al otro lado 15 dividido entre 3 nos da 5, de esta manera"}, {"start": 755.8, "end": 766.16, "text": " terminamos esta expresi\u00f3n es la ecuaci\u00f3n del plano que contiene estos tres puntos P Q y R en el espacio"}]

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INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES - Ejercicio 6

#julioprofe explica cómo resolver una integral indefinida, utilizando el Método de las Fracciones Parciales. Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Para resolver esta integral indefinida comenzamos analizando esta expresión que tenemos en el integrando. Se trata de una función racional, donde el numerador es un polinomio de grado 2 y el denominador es un polinomio de grado 3. Como el grado del numerador es menor que el grado del denominador, se dice que es una fracción algebraica propia. Eso nos indica que no hay necesidad de efectuar la división de polinomios. Como se observa, no es posible resolver esa integral en forma directa. Entonces vamos a recurrir a los métodos de integración. Podemos iniciar intentando el método de sustitución para ver si se cumple esta propiedad. Si tenemos en el integrando una expresión de esta forma, donde en el numerador tenemos la derivada de lo que hay en el denominador, esto nos dará el logaritmo natural del valor absoluto de la expresión que tenemos en el denominador. Es, digamos, una fórmula que se demuestra por el método de sustitución. Entonces vamos a intentar tomando el denominador, por ejemplo llamándolo P. Entonces P es igual a x al cubo menos 4x al cuadrado más 4x. Y nos damos cuenta si esto funciona haciendo la derivada de esa expresión, derivada de P con respecto a x. Nos da 3x al cuadrado menos la derivada de este término que sería 8x y luego más la derivada de 4x que sería 4. Analizamos si esta expresión se parece o contiene lo que tenemos en el numerador. Vemos que no es así. Entonces descartamos que se pueda efectuar por este camino, es decir, utilizando el método de sustitución. Lo que vamos a intentar es el método de las fracciones parciales. Vamos a ver si el integrando se puede descomponer en expresiones más sencillas que se puedan integrar de manera individual. Tenemos entonces en el numerador x al cuadrado más 3x menos 4. Y en el denominador vamos a factorizar esa expresión. En principio vemos que la x está en todos los términos. Entonces podemos extraer la x como factor común. Si sacamos x nos queda x al cuadrado menos 4x más 4. Y ahora vamos a factorizar ese trinomio. Entonces nos queda en el numerador x al cuadrado más 3x menos 4. Y en el denominador x por, veamos, como tenemos aquí un trinomio de la forma x al cuadrado más bx más c, miramos si se pueden abrir dos paréntesis, repartir la x en cada uno de ellos, cuadramos los signos, más por menos nos da menos, menos por más nos da menos. Buscamos dos números que multiplicados nos den 4 positivo y que al sumarlos nos de menos 4. Esos números son menos 2 y menos 2. Esto se puede expresar como x menos 2 al cuadrado. Es allí cuando nos damos cuenta que esto es un trinomio cuadrado perfecto. Su factorización nos da ese binomio al cuadrado. Entonces de esta manera ya tenemos factorizado completamente el denominador de la expresión. En seguida vamos a configurar las fracciones parciales para esta expresión. Entonces tendremos una fracción con denominador x, otra con denominador x menos 2 y otra con denominador x menos 2 al cuadrado. Para el caso de esa expresión que está al cuadrado, entonces debemos ir ascendiendo poco a poco hasta llegar al exponente que tenemos allí. Comenzamos entonces con x menos 2 elevado al exponente 1 y después esa expresión elevada al exponente 2. Ahora para saber que escribimos en el numerador, vamos a derivar lo que tenemos en el denominador. Aclaramos que en este caso se considera únicamente lo que está en la base. No se mira en conjunto, sino solamente la expresión x menos 2. Vemos que en los tres casos la derivada de eso que hemos señalado nos da 1, es decir, una constante. Esto nos indica que en los numeradores deben ir constantes, que simbolizamos con las letras A, B y C. Nuestra tarea será ahora encontrar los valores de esas letras. Entonces vamos a comenzar por resolver esa operación de fraccionarios. Trazamos entonces esta línea, buscamos el común denominador de estas expresiones. Entonces escogemos la x y para estas dos escogemos la de mayor exponente, x menos 2 al cuadrado. Allí nos aparece esta misma expresión. Veamos entonces si dividimos esto entre esto nos queda x menos 2 al cuadrado y eso multiplica con A. Entonces A por x menos 2 al cuadrado. Después tenemos más, esto dividido entre esto nos quedará x por x menos 2 y eso lo multiplicamos por B. Entonces nos queda Bx por x menos 2. Y pasamos acá donde dividimos esto entre esto nos queda x y eso multiplica con C. Entonces acá escribimos C por x. Si esto lo escribimos acá, tenemos entonces la igualdad de dos fracciones con el mismo denominador. Eso nos permite deshacernos de estas expresiones y nos vamos a concentrar solamente en la igualdad de los numeradores. Nos queda entonces así. Esto se escribe otra vez, x al cuadrado más 3x menos 4 y acabamos a ir desarrollando esas operaciones. Comenzamos expandiendo este binomio al cuadrado. Nos queda el primer término al cuadrado menos dos veces el primer término por el segundo, eso nos da 4x más el segundo término al cuadrado que nos da 4. Después aplicamos aquí la propiedad distributiva. Nos queda más Bx por x es Bx al cuadrado y Bx por menos 2 nos da menos 2Bx y todo esto más Cx. Repetimos lo que hay en el lado izquierdo y acá vamos a distribuir la letra A para esa expresión. A por x cuadrado nos queda Ax al cuadrado, A por menos 4x es menos 4Ax y A por más 4 nos da más 4A. Esto queda igual, más Bx cuadrado menos 2Bx más Cx. De nuevo esto queda igual y aquí vamos a organizar ese polinomio en forma descendente. Comenzamos entonces con los términos que tienen x al cuadrado, va ese término después este, luego los que tienen la x preferiblemente comenzando con un término positivo. Vemos que en ese caso el que cumple esa condición es más Cx, entonces más Cx, después menos 4Ax y luego menos 2Bx. Y por último miramos si hay término independiente, vemos que sí es el término más 4A, aquel que no tiene la x. Allí podemos hacer tranquilamente la agrupación de términos, aquellos que contienen x al cuadrado y aquellos que contienen la x, por eso decíamos que aquí es conveniente iniciar con un término positivo para colocar el paréntesis sin necesidad de cambiar los signos del interior. Entonces ahora extraemos factor común de esos grupos que formamos, en el primer grupo podemos extraer x al cuadrado, pero vamos a extraerla por acá, entonces nos queda dentro del paréntesis A más B. Luego vamos al siguiente grupo donde vamos a extraer la x que está en todos los términos, la escribimos aquí a la derecha y dentro del paréntesis nos queda C menos 4A y luego menos 2B y escribimos el término independiente que es más 4A. Allí vemos que las dos expresiones tienen la misma estructura, vemos el término con x al cuadrado, el término con x y el término independiente. Entonces vamos a igualar los componentes respectivos, entonces aparece una primera igualdad que será A más B, es decir el coeficiente de x al cuadrado en el lado derecho igual con 1 que es el coeficiente de x al cuadrado en el lado izquierdo. Vamos ahora con esta expresión C menos 4A y eso menos 2B que es el coeficiente de x en el lado derecho y eso lo igualamos con el coeficiente de x en el lado izquierdo, es decir con 3. Finalmente igualamos el término independiente en el lado derecho que es 4A con el término independiente en el lado izquierdo que es menos 4. Nos aparece así un sistema de ecuaciones lineales de 3 por 3, tres ecuaciones con tres incógnitas. Vamos a comenzar resolviendo lo que hay en la expresión 3 que está fácil, de allí podemos despejar la letra A, 4 que está multiplicando pasa al otro lado a dividir, nos queda así y resolviendo esa división nos da como resultado menos 1, entonces digamos que aquí ya se conoce el valor de A, A es menos 1. Conociendo ese valor podemos ir a la expresión 1 para averiguar B, veamos entonces como nos queda, A se reemplaza por menos 1 eso nos queda más B igual a 1 y de allí despejamos la letra B nos queda 1 más 1, pasamos este término positivo al lado derecho y efectuando esa operación nos da que B es igual a 2, entonces aquí reemplazamos ese valor, solamente nos falta hallar el valor de C y eso lo hacemos en la expresión 2, vamos a reemplazar los valores de A y B que ya conocemos, nos queda C menos 4 por el valor de A que es menos 1, menos 2 por el valor de B que nos dio 2 y todo eso igual a 3, resolvemos esas operaciones, nos queda C aquí menos 4 por menos 1 es más 4, menos 2 por 2 es menos 4 y todo esto igual a 3, allí estos dos términos se cancelan, esto nos da 0 y entonces nos queda que C es igual a 3, reemplazamos entonces ese valor por acá, como se observa ya tenemos los valores de A, B y C y con ello conocemos las fracciones parciales de la expresión que tenemos en el integrando, si efectuamos toda esta operación nos da esto que tenemos acá, entonces como nuestro objetivo es integrar esa expresión vamos a integrar esto que nos dio y como están sumando esas fracciones se puede integrar cada una de ellas, comenzamos entonces con la integral de la primera donde podemos extraer el signo menos, nos quedaría así menos y acá dentro de la integral 1 sobre x con su respectivo diferencial de x, vamos ahora con la integral de la segunda fracción donde podemos extraer el 2 que está en el numerador, nos queda 2 por la integral de 1 sobre x menos 2 y eso con su diferencial de x, finalmente tenemos la integral de la tercera fracción donde podemos extraer el 3 que va en el numerador, nos queda 3 por la integral de 1 sobre entre paréntesis x menos 2 al cuadrado y eso con su diferencial de x, como se observa aquí ya tenemos integrales sencillas vamos a resolver cada una de ellas, vamos con la primera donde escribimos el menos y la integral de 1 sobre x recordemos que es logaritmo natural de valor absoluto de x, vamos a la siguiente donde aseguramos el 2 y la integral de 1 sobre x menos 2 la resolvemos con este modelo, la integral de 1 sobre x más a con su diferencial de x es igual a logaritmo natural de valor absoluto de x más a es una integral que se demuestra por el método de sustitución cambiando x más a por otra letra, en este caso a está representada por menos 2 entonces simplemente nos queda logaritmo natural de valor absoluto de x menos 2, para el caso de la tercera integral hacemos lo siguiente, nos queda así integral de x menos 2 esto elevado al exponente menos 2 con el diferencial de x subimos esa expresión al numerador y nos queda con exponente negativo continuamos con el desarrollo del ejercicio nos queda menos logaritmo natural de valor absoluto de x aquí podemos aplicar una propiedad de los logaritmos recordemos que si se tiene logaritmo natural de a elevada al exponente b eso es igual a b por logaritmo natural de a el exponente baja a multiplicar pero podemos devolvernos es decir esta cantidad puede situarse aquí como exponente en el argumento luego acá nos queda logaritmo natural de valor absoluto de x menos 2 y esto al cuadrado el 2 entra al valor absoluto como exponente de x menos 2 y vamos a resolver esta integral allí utilizamos el siguiente modelo la integral de x más a a la n con su diferencial de x será x más a a la n más 1 sobre n más 1 también se demuestra por sustitución cambiando x más a por otra letra entonces vemos que esta integral se ajusta perfectamente a ese modelo nos quedaría entonces x menos 2 a la menos 2 más 1 que es menos 1 y esto sobre menos 2 más 1 que es menos 1 y aquí aparece por primera vez la constante de integración allí ya hemos cumplido con el objetivo de integrar esa función racional todo esto es su antiderivada sin embargo vamos a organizar esa expresión para que nos quede de una forma más simple comenzamos escribiendo este término logaritmo natural de valor absoluto de x menos 2 al cuadrado luego este menos logaritmo natural de valor absoluto de x y vamos a organizar este término aquí este 1 puede desaparecer pero el menos interactúa con este más y nos queda signo menos queda 3 acompañado de x menos 2 y esto elevado al exponente menos 1 y todo eso más c con esta resta de logaritmos podemos aplicar la siguiente propiedad si tenemos el logaritmo natural de un cociente a sobre b esto es igual al logaritmo natural de a menos logaritmo natural de b pero podemos aplicar esta propiedad en sentido contrario es decir pasar de la resta de logaritmos al logaritmo de un cociente entonces aplicamos eso acá nos quedaría logaritmo natural de trazamos la línea para el cociente en el numerador tendremos valor absoluto de x menos 2 al cuadrado y en el denominador valor absoluto de x y pasamos ahora al otro término que nos queda menos 3 sobre x menos 2 que nos quedaría simplemente así porque baja al denominador con exponente 1 positivo propiedad de la potenciación propiedad del exponente negativo y todo esto más la constante de integración finalmente aplicamos aquí una propiedad del valor absoluto valor absoluto de un cociente a sobre b es igual a valor absoluto de a sobre valor absoluto de b pero también podemos aplicar esta propiedad en sentido contrario por lo tanto nos quedará logaritmo natural de un solo valor absoluto que contiene en su interior ese cociente en el numerador x menos 2 al cuadrado y en el denominador x y todo esto menos 3 sobre x menos 2 más la constante de integración de esta manera terminamos esta expresión es la forma más simple para la antiderivada o la integral de esa función racional que resolvimos por el método de las fracciones parciales.

[{"start": 0.0, "end": 9.700000000000001, "text": " Para resolver esta integral indefinida comenzamos analizando esta expresi\u00f3n que tenemos en"}, {"start": 9.700000000000001, "end": 16.18, "text": " el integrando. Se trata de una funci\u00f3n racional, donde el numerador es un polinomio de grado"}, {"start": 16.18, "end": 22.38, "text": " 2 y el denominador es un polinomio de grado 3. Como el grado del numerador es menor que"}, {"start": 22.38, "end": 28.68, "text": " el grado del denominador, se dice que es una fracci\u00f3n algebraica propia. Eso nos indica"}, {"start": 28.68, "end": 35.2, "text": " que no hay necesidad de efectuar la divisi\u00f3n de polinomios. Como se observa, no es posible"}, {"start": 35.2, "end": 42.0, "text": " resolver esa integral en forma directa. Entonces vamos a recurrir a los m\u00e9todos de integraci\u00f3n."}, {"start": 42.0, "end": 49.239999999999995, "text": " Podemos iniciar intentando el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n para ver si se cumple esta propiedad. Si tenemos"}, {"start": 49.239999999999995, "end": 56.519999999999996, "text": " en el integrando una expresi\u00f3n de esta forma, donde en el numerador tenemos la derivada"}, {"start": 56.52, "end": 62.0, "text": " de lo que hay en el denominador, esto nos dar\u00e1 el logaritmo natural del valor absoluto"}, {"start": 62.0, "end": 67.2, "text": " de la expresi\u00f3n que tenemos en el denominador. Es, digamos, una f\u00f3rmula que se demuestra"}, {"start": 67.2, "end": 72.56, "text": " por el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n. Entonces vamos a intentar tomando el denominador, por ejemplo"}, {"start": 72.56, "end": 81.5, "text": " llam\u00e1ndolo P. Entonces P es igual a x al cubo menos 4x al cuadrado m\u00e1s 4x. Y nos damos"}, {"start": 81.5, "end": 88.32, "text": " cuenta si esto funciona haciendo la derivada de esa expresi\u00f3n, derivada de P con respecto"}, {"start": 88.32, "end": 97.52, "text": " a x. Nos da 3x al cuadrado menos la derivada de este t\u00e9rmino que ser\u00eda 8x y luego m\u00e1s"}, {"start": 97.52, "end": 104.44, "text": " la derivada de 4x que ser\u00eda 4. Analizamos si esta expresi\u00f3n se parece o contiene lo"}, {"start": 104.44, "end": 110.38, "text": " que tenemos en el numerador. Vemos que no es as\u00ed. Entonces descartamos que se pueda"}, {"start": 110.38, "end": 116.6, "text": " efectuar por este camino, es decir, utilizando el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n. Lo que vamos a"}, {"start": 116.6, "end": 123.44, "text": " intentar es el m\u00e9todo de las fracciones parciales. Vamos a ver si el integrando se puede descomponer"}, {"start": 123.44, "end": 130.01999999999998, "text": " en expresiones m\u00e1s sencillas que se puedan integrar de manera individual. Tenemos entonces"}, {"start": 130.01999999999998, "end": 138.35999999999999, "text": " en el numerador x al cuadrado m\u00e1s 3x menos 4. Y en el denominador vamos a factorizar"}, {"start": 138.36, "end": 143.98000000000002, "text": " esa expresi\u00f3n. En principio vemos que la x est\u00e1 en todos los t\u00e9rminos. Entonces podemos"}, {"start": 143.98000000000002, "end": 153.02, "text": " extraer la x como factor com\u00fan. Si sacamos x nos queda x al cuadrado menos 4x m\u00e1s 4."}, {"start": 153.02, "end": 159.32000000000002, "text": " Y ahora vamos a factorizar ese trinomio. Entonces nos queda en el numerador x al cuadrado m\u00e1s"}, {"start": 159.32, "end": 169.07999999999998, "text": " 3x menos 4. Y en el denominador x por, veamos, como tenemos aqu\u00ed un trinomio de la forma x al cuadrado m\u00e1s"}, {"start": 169.07999999999998, "end": 176.74, "text": " bx m\u00e1s c, miramos si se pueden abrir dos par\u00e9ntesis, repartir la x en cada uno de ellos, cuadramos"}, {"start": 176.74, "end": 182.04, "text": " los signos, m\u00e1s por menos nos da menos, menos por m\u00e1s nos da menos. Buscamos dos n\u00fameros"}, {"start": 182.04, "end": 188.22, "text": " que multiplicados nos den 4 positivo y que al sumarlos nos de menos 4. Esos n\u00fameros"}, {"start": 188.22, "end": 194.42, "text": " son menos 2 y menos 2. Esto se puede expresar como x menos 2 al cuadrado. Es all\u00ed cuando"}, {"start": 194.42, "end": 201.32, "text": " nos damos cuenta que esto es un trinomio cuadrado perfecto. Su factorizaci\u00f3n nos da ese binomio"}, {"start": 201.32, "end": 207.57999999999998, "text": " al cuadrado. Entonces de esta manera ya tenemos factorizado completamente el denominador de"}, {"start": 207.57999999999998, "end": 214.62, "text": " la expresi\u00f3n. En seguida vamos a configurar las fracciones parciales para esta expresi\u00f3n."}, {"start": 214.62, "end": 223.46, "text": " Entonces tendremos una fracci\u00f3n con denominador x, otra con denominador x menos 2 y otra con"}, {"start": 223.46, "end": 232.56, "text": " denominador x menos 2 al cuadrado. Para el caso de esa expresi\u00f3n que est\u00e1 al cuadrado,"}, {"start": 232.56, "end": 237.62, "text": " entonces debemos ir ascendiendo poco a poco hasta llegar al exponente que tenemos all\u00ed."}, {"start": 237.62, "end": 243.64000000000001, "text": " Comenzamos entonces con x menos 2 elevado al exponente 1 y despu\u00e9s esa expresi\u00f3n elevada"}, {"start": 243.64, "end": 250.42, "text": " al exponente 2. Ahora para saber que escribimos en el numerador, vamos a derivar lo que tenemos"}, {"start": 250.42, "end": 255.35999999999999, "text": " en el denominador. Aclaramos que en este caso se considera \u00fanicamente lo que est\u00e1 en la"}, {"start": 255.35999999999999, "end": 260.91999999999996, "text": " base. No se mira en conjunto, sino solamente la expresi\u00f3n x menos 2. Vemos que en los"}, {"start": 260.91999999999996, "end": 267.5, "text": " tres casos la derivada de eso que hemos se\u00f1alado nos da 1, es decir, una constante. Esto nos"}, {"start": 267.5, "end": 274.58, "text": " indica que en los numeradores deben ir constantes, que simbolizamos con las letras A, B y C."}, {"start": 274.58, "end": 279.98, "text": " Nuestra tarea ser\u00e1 ahora encontrar los valores de esas letras. Entonces vamos a comenzar"}, {"start": 279.98, "end": 287.02, "text": " por resolver esa operaci\u00f3n de fraccionarios. Trazamos entonces esta l\u00ednea, buscamos el"}, {"start": 287.02, "end": 293.64, "text": " com\u00fan denominador de estas expresiones. Entonces escogemos la x y para estas dos escogemos"}, {"start": 293.64, "end": 300.97999999999996, "text": " la de mayor exponente, x menos 2 al cuadrado. All\u00ed nos aparece esta misma expresi\u00f3n. Veamos"}, {"start": 300.97999999999996, "end": 306.38, "text": " entonces si dividimos esto entre esto nos queda x menos 2 al cuadrado y eso multiplica"}, {"start": 306.38, "end": 314.21999999999997, "text": " con A. Entonces A por x menos 2 al cuadrado. Despu\u00e9s tenemos m\u00e1s, esto dividido entre"}, {"start": 314.21999999999997, "end": 321.53999999999996, "text": " esto nos quedar\u00e1 x por x menos 2 y eso lo multiplicamos por B. Entonces nos queda Bx"}, {"start": 321.54, "end": 330.42, "text": " por x menos 2. Y pasamos ac\u00e1 donde dividimos esto entre esto nos queda x y eso multiplica"}, {"start": 330.42, "end": 337.18, "text": " con C. Entonces ac\u00e1 escribimos C por x. Si esto lo escribimos ac\u00e1, tenemos entonces"}, {"start": 337.18, "end": 343.74, "text": " la igualdad de dos fracciones con el mismo denominador. Eso nos permite deshacernos de"}, {"start": 343.74, "end": 350.38, "text": " estas expresiones y nos vamos a concentrar solamente en la igualdad de los numeradores."}, {"start": 350.38, "end": 357.74, "text": " Nos queda entonces as\u00ed. Esto se escribe otra vez, x al cuadrado m\u00e1s 3x menos 4 y acabamos"}, {"start": 357.74, "end": 363.78, "text": " a ir desarrollando esas operaciones. Comenzamos expandiendo este binomio al cuadrado. Nos"}, {"start": 363.78, "end": 368.74, "text": " queda el primer t\u00e9rmino al cuadrado menos dos veces el primer t\u00e9rmino por el segundo,"}, {"start": 368.74, "end": 375.3, "text": " eso nos da 4x m\u00e1s el segundo t\u00e9rmino al cuadrado que nos da 4. Despu\u00e9s aplicamos"}, {"start": 375.3, "end": 382.58, "text": " aqu\u00ed la propiedad distributiva. Nos queda m\u00e1s Bx por x es Bx al cuadrado y Bx por"}, {"start": 382.58, "end": 391.82, "text": " menos 2 nos da menos 2Bx y todo esto m\u00e1s Cx. Repetimos lo que hay en el lado izquierdo"}, {"start": 391.82, "end": 398.62, "text": " y ac\u00e1 vamos a distribuir la letra A para esa expresi\u00f3n. A por x cuadrado nos queda"}, {"start": 398.62, "end": 408.58, "text": " Ax al cuadrado, A por menos 4x es menos 4Ax y A por m\u00e1s 4 nos da m\u00e1s 4A. Esto queda"}, {"start": 408.58, "end": 419.66, "text": " igual, m\u00e1s Bx cuadrado menos 2Bx m\u00e1s Cx. De nuevo esto queda igual y aqu\u00ed vamos a organizar"}, {"start": 419.66, "end": 425.06, "text": " ese polinomio en forma descendente. Comenzamos entonces con los t\u00e9rminos que tienen x al"}, {"start": 425.06, "end": 432.02, "text": " cuadrado, va ese t\u00e9rmino despu\u00e9s este, luego los que tienen la x preferiblemente comenzando"}, {"start": 432.02, "end": 437.3, "text": " con un t\u00e9rmino positivo. Vemos que en ese caso el que cumple esa condici\u00f3n es m\u00e1s"}, {"start": 437.3, "end": 447.9, "text": " Cx, entonces m\u00e1s Cx, despu\u00e9s menos 4Ax y luego menos 2Bx. Y por \u00faltimo miramos si"}, {"start": 447.9, "end": 455.41999999999996, "text": " hay t\u00e9rmino independiente, vemos que s\u00ed es el t\u00e9rmino m\u00e1s 4A, aquel que no tiene la x."}, {"start": 455.41999999999996, "end": 461.53999999999996, "text": " All\u00ed podemos hacer tranquilamente la agrupaci\u00f3n de t\u00e9rminos, aquellos que contienen x al cuadrado"}, {"start": 461.53999999999996, "end": 467.58, "text": " y aquellos que contienen la x, por eso dec\u00edamos que aqu\u00ed es conveniente iniciar con un t\u00e9rmino"}, {"start": 467.58, "end": 474.5, "text": " positivo para colocar el par\u00e9ntesis sin necesidad de cambiar los signos del interior. Entonces"}, {"start": 474.5, "end": 481.22, "text": " ahora extraemos factor com\u00fan de esos grupos que formamos, en el primer grupo podemos extraer"}, {"start": 481.22, "end": 487.66, "text": " x al cuadrado, pero vamos a extraerla por ac\u00e1, entonces nos queda dentro del par\u00e9ntesis"}, {"start": 487.66, "end": 494.7, "text": " A m\u00e1s B. Luego vamos al siguiente grupo donde vamos a extraer la x que est\u00e1 en todos los"}, {"start": 494.7, "end": 500.3, "text": " t\u00e9rminos, la escribimos aqu\u00ed a la derecha y dentro del par\u00e9ntesis nos queda C menos"}, {"start": 500.3, "end": 509.74, "text": " 4A y luego menos 2B y escribimos el t\u00e9rmino independiente que es m\u00e1s 4A. All\u00ed vemos"}, {"start": 509.74, "end": 515.7, "text": " que las dos expresiones tienen la misma estructura, vemos el t\u00e9rmino con x al cuadrado, el t\u00e9rmino"}, {"start": 515.7, "end": 523.14, "text": " con x y el t\u00e9rmino independiente. Entonces vamos a igualar los componentes respectivos,"}, {"start": 523.14, "end": 531.14, "text": " entonces aparece una primera igualdad que ser\u00e1 A m\u00e1s B, es decir el coeficiente de x al cuadrado"}, {"start": 531.14, "end": 539.1, "text": " en el lado derecho igual con 1 que es el coeficiente de x al cuadrado en el lado izquierdo. Vamos"}, {"start": 539.1, "end": 549.02, "text": " ahora con esta expresi\u00f3n C menos 4A y eso menos 2B que es el coeficiente de x en el"}, {"start": 549.02, "end": 555.8199999999999, "text": " lado derecho y eso lo igualamos con el coeficiente de x en el lado izquierdo, es decir con 3."}, {"start": 555.8199999999999, "end": 562.5799999999999, "text": " Finalmente igualamos el t\u00e9rmino independiente en el lado derecho que es 4A con el t\u00e9rmino"}, {"start": 562.5799999999999, "end": 569.5, "text": " independiente en el lado izquierdo que es menos 4. Nos aparece as\u00ed un sistema de ecuaciones"}, {"start": 569.5, "end": 575.98, "text": " lineales de 3 por 3, tres ecuaciones con tres inc\u00f3gnitas. Vamos a comenzar resolviendo"}, {"start": 575.98, "end": 582.02, "text": " lo que hay en la expresi\u00f3n 3 que est\u00e1 f\u00e1cil, de all\u00ed podemos despejar la letra A, 4 que"}, {"start": 582.02, "end": 588.74, "text": " est\u00e1 multiplicando pasa al otro lado a dividir, nos queda as\u00ed y resolviendo esa divisi\u00f3n"}, {"start": 588.74, "end": 595.78, "text": " nos da como resultado menos 1, entonces digamos que aqu\u00ed ya se conoce el valor de A, A es"}, {"start": 595.78, "end": 603.14, "text": " menos 1. Conociendo ese valor podemos ir a la expresi\u00f3n 1 para averiguar B, veamos entonces"}, {"start": 603.14, "end": 609.58, "text": " como nos queda, A se reemplaza por menos 1 eso nos queda m\u00e1s B igual a 1 y de all\u00ed"}, {"start": 609.58, "end": 616.74, "text": " despejamos la letra B nos queda 1 m\u00e1s 1, pasamos este t\u00e9rmino positivo al lado derecho"}, {"start": 616.74, "end": 624.02, "text": " y efectuando esa operaci\u00f3n nos da que B es igual a 2, entonces aqu\u00ed reemplazamos ese"}, {"start": 624.02, "end": 630.98, "text": " valor, solamente nos falta hallar el valor de C y eso lo hacemos en la expresi\u00f3n 2,"}, {"start": 630.98, "end": 637.34, "text": " vamos a reemplazar los valores de A y B que ya conocemos, nos queda C menos 4 por el valor"}, {"start": 637.34, "end": 647.1800000000001, "text": " de A que es menos 1, menos 2 por el valor de B que nos dio 2 y todo eso igual a 3, resolvemos"}, {"start": 647.1800000000001, "end": 654.1, "text": " esas operaciones, nos queda C aqu\u00ed menos 4 por menos 1 es m\u00e1s 4, menos 2 por 2 es"}, {"start": 654.1, "end": 660.7, "text": " menos 4 y todo esto igual a 3, all\u00ed estos dos t\u00e9rminos se cancelan, esto nos da 0 y"}, {"start": 660.7, "end": 668.5400000000001, "text": " entonces nos queda que C es igual a 3, reemplazamos entonces ese valor por ac\u00e1, como se observa"}, {"start": 668.5400000000001, "end": 675.58, "text": " ya tenemos los valores de A, B y C y con ello conocemos las fracciones parciales de la expresi\u00f3n"}, {"start": 675.58, "end": 680.58, "text": " que tenemos en el integrando, si efectuamos toda esta operaci\u00f3n nos da esto que tenemos"}, {"start": 680.58, "end": 687.5, "text": " ac\u00e1, entonces como nuestro objetivo es integrar esa expresi\u00f3n vamos a integrar esto que nos"}, {"start": 687.5, "end": 694.74, "text": " dio y como est\u00e1n sumando esas fracciones se puede integrar cada una de ellas, comenzamos"}, {"start": 694.74, "end": 701.7, "text": " entonces con la integral de la primera donde podemos extraer el signo menos, nos quedar\u00eda"}, {"start": 701.7, "end": 709.7, "text": " as\u00ed menos y ac\u00e1 dentro de la integral 1 sobre x con su respectivo diferencial de x,"}, {"start": 709.7, "end": 715.34, "text": " vamos ahora con la integral de la segunda fracci\u00f3n donde podemos extraer el 2 que est\u00e1"}, {"start": 715.34, "end": 724.5400000000001, "text": " en el numerador, nos queda 2 por la integral de 1 sobre x menos 2 y eso con su diferencial"}, {"start": 724.5400000000001, "end": 730.62, "text": " de x, finalmente tenemos la integral de la tercera fracci\u00f3n donde podemos extraer el"}, {"start": 730.62, "end": 738.14, "text": " 3 que va en el numerador, nos queda 3 por la integral de 1 sobre entre par\u00e9ntesis x"}, {"start": 738.14, "end": 745.1800000000001, "text": " menos 2 al cuadrado y eso con su diferencial de x, como se observa aqu\u00ed ya tenemos integrales"}, {"start": 745.18, "end": 751.18, "text": " sencillas vamos a resolver cada una de ellas, vamos con la primera donde escribimos el"}, {"start": 751.18, "end": 757.4599999999999, "text": " menos y la integral de 1 sobre x recordemos que es logaritmo natural de valor absoluto"}, {"start": 757.4599999999999, "end": 764.9799999999999, "text": " de x, vamos a la siguiente donde aseguramos el 2 y la integral de 1 sobre x menos 2 la"}, {"start": 764.9799999999999, "end": 774.0, "text": " resolvemos con este modelo, la integral de 1 sobre x m\u00e1s a con su diferencial de x es"}, {"start": 774.0, "end": 781.3, "text": " igual a logaritmo natural de valor absoluto de x m\u00e1s a es una integral que se demuestra"}, {"start": 781.3, "end": 787.58, "text": " por el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n cambiando x m\u00e1s a por otra letra, en este caso a est\u00e1"}, {"start": 787.58, "end": 794.06, "text": " representada por menos 2 entonces simplemente nos queda logaritmo natural de valor absoluto"}, {"start": 794.06, "end": 801.92, "text": " de x menos 2, para el caso de la tercera integral hacemos lo siguiente, nos queda as\u00ed integral"}, {"start": 801.92, "end": 810.5799999999999, "text": " de x menos 2 esto elevado al exponente menos 2 con el diferencial de x subimos esa expresi\u00f3n"}, {"start": 810.5799999999999, "end": 816.74, "text": " al numerador y nos queda con exponente negativo continuamos con el desarrollo del ejercicio"}, {"start": 816.74, "end": 823.66, "text": " nos queda menos logaritmo natural de valor absoluto de x aqu\u00ed podemos aplicar una propiedad"}, {"start": 823.66, "end": 829.5, "text": " de los logaritmos recordemos que si se tiene logaritmo natural de a elevada al exponente"}, {"start": 829.5, "end": 836.14, "text": " b eso es igual a b por logaritmo natural de a el exponente baja a multiplicar pero podemos"}, {"start": 836.14, "end": 842.7, "text": " devolvernos es decir esta cantidad puede situarse aqu\u00ed como exponente en el argumento luego"}, {"start": 842.7, "end": 850.78, "text": " ac\u00e1 nos queda logaritmo natural de valor absoluto de x menos 2 y esto al cuadrado el 2 entra"}, {"start": 850.78, "end": 859.34, "text": " al valor absoluto como exponente de x menos 2 y vamos a resolver esta integral all\u00ed utilizamos"}, {"start": 859.34, "end": 869.34, "text": " el siguiente modelo la integral de x m\u00e1s a a la n con su diferencial de x ser\u00e1 x m\u00e1s"}, {"start": 869.34, "end": 879.6600000000001, "text": " a a la n m\u00e1s 1 sobre n m\u00e1s 1 tambi\u00e9n se demuestra por sustituci\u00f3n cambiando x m\u00e1s"}, {"start": 879.6600000000001, "end": 886.9000000000001, "text": " a por otra letra entonces vemos que esta integral se ajusta perfectamente a ese modelo nos quedar\u00eda"}, {"start": 886.9, "end": 895.74, "text": " entonces x menos 2 a la menos 2 m\u00e1s 1 que es menos 1 y esto sobre menos 2 m\u00e1s 1 que"}, {"start": 895.74, "end": 902.38, "text": " es menos 1 y aqu\u00ed aparece por primera vez la constante de integraci\u00f3n all\u00ed ya hemos"}, {"start": 902.38, "end": 909.34, "text": " cumplido con el objetivo de integrar esa funci\u00f3n racional todo esto es su antiderivada sin"}, {"start": 909.34, "end": 916.06, "text": " embargo vamos a organizar esa expresi\u00f3n para que nos quede de una forma m\u00e1s simple comenzamos"}, {"start": 916.06, "end": 923.5799999999999, "text": " escribiendo este t\u00e9rmino logaritmo natural de valor absoluto de x menos 2 al cuadrado"}, {"start": 923.5799999999999, "end": 930.42, "text": " luego este menos logaritmo natural de valor absoluto de x y vamos a organizar este t\u00e9rmino"}, {"start": 930.42, "end": 935.6999999999999, "text": " aqu\u00ed este 1 puede desaparecer pero el menos interact\u00faa con este m\u00e1s y nos queda signo"}, {"start": 935.6999999999999, "end": 944.3, "text": " menos queda 3 acompa\u00f1ado de x menos 2 y esto elevado al exponente menos 1 y todo eso m\u00e1s"}, {"start": 944.3, "end": 950.9, "text": " c con esta resta de logaritmos podemos aplicar la siguiente propiedad si tenemos el logaritmo"}, {"start": 950.9, "end": 957.4599999999999, "text": " natural de un cociente a sobre b esto es igual al logaritmo natural de a menos logaritmo"}, {"start": 957.4599999999999, "end": 963.5, "text": " natural de b pero podemos aplicar esta propiedad en sentido contrario es decir pasar de la"}, {"start": 963.5, "end": 970.06, "text": " resta de logaritmos al logaritmo de un cociente entonces aplicamos eso ac\u00e1 nos quedar\u00eda"}, {"start": 970.06, "end": 976.9, "text": " logaritmo natural de trazamos la l\u00ednea para el cociente en el numerador tendremos valor"}, {"start": 976.9, "end": 983.3399999999999, "text": " absoluto de x menos 2 al cuadrado y en el denominador valor absoluto de x y pasamos"}, {"start": 983.3399999999999, "end": 991.6199999999999, "text": " ahora al otro t\u00e9rmino que nos queda menos 3 sobre x menos 2 que nos quedar\u00eda simplemente"}, {"start": 991.6199999999999, "end": 997.5, "text": " as\u00ed porque baja al denominador con exponente 1 positivo propiedad de la potenciaci\u00f3n propiedad"}, {"start": 997.5, "end": 1003.78, "text": " del exponente negativo y todo esto m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n finalmente aplicamos"}, {"start": 1003.78, "end": 1010.14, "text": " aqu\u00ed una propiedad del valor absoluto valor absoluto de un cociente a sobre b es igual"}, {"start": 1010.14, "end": 1017.46, "text": " a valor absoluto de a sobre valor absoluto de b pero tambi\u00e9n podemos aplicar esta propiedad"}, {"start": 1017.46, "end": 1024.64, "text": " en sentido contrario por lo tanto nos quedar\u00e1 logaritmo natural de un solo valor absoluto"}, {"start": 1024.64, "end": 1031.8200000000002, "text": " que contiene en su interior ese cociente en el numerador x menos 2 al cuadrado y en el"}, {"start": 1031.8200000000002, "end": 1041.26, "text": " denominador x y todo esto menos 3 sobre x menos 2 m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n de esta"}, {"start": 1041.26, "end": 1048.8600000000001, "text": " manera terminamos esta expresi\u00f3n es la forma m\u00e1s simple para la antiderivada o la integral"}, {"start": 1048.86, "end": 1054.86, "text": " de esa funci\u00f3n racional que resolvimos por el m\u00e9todo de las fracciones parciales."}]

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ÁREA ENTRE CURVAS - Ejercicio 4

#julioprofe explica cómo determinar el valor del área encerrada por dos curvas dadas. Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a determinar el área de la región encerrada por esas dos curvas que son funciones. En el primer caso tenemos una función cuadrática o de segundo grado cuyo modelo es este. Allí vemos que a es 1, es el coeficiente de x al cuadrado. La gráfica de una función cuadrática es una parábola vertical y cuando a es positivo, pero en este caso la parábola abre sus ramas hacia arriba. En el segundo caso tenemos una función lineal de la forma y igual a mx más b. Su gráfica es una línea recta. Vemos que m en este caso es 2, m es la pendiente, por lo tanto en el plano cartesiano será una recta más o menos así, siendo este el eje y y este el eje x. Este es positivo, es decir una recta ascendente y aquí el corte con el eje y que en este caso es 5, es lo que representa b. Vamos a determinar con precisión cuáles son los puntos de corte de esas dos curvas. Para ello hacemos la igualación de esas dos expresiones. Vemos que en ambos casos está despejada la variable y, entonces tendremos x al cuadrado más 2x más 1, esto lo igualamos con 2x más 5. La expresión de la función cuadrática se iguala con la expresión de la función lineal. En ese caso podemos eliminar a ambos lados de la igualdad el término 2x, porque está sumando, está igual a ambos lados. Entonces nos queda x al cuadrado más 1 igual a 5. Ya vemos entonces que se trata de una ecuación cuadrática o de segundo grado. Vamos a igualarla a cero, pasamos el 5 al lado izquierdo, llega a restar y esto nos queda igual a cero. Resolvemos esta operación de los números, nos queda x al cuadrado menos 4 igual a cero y allí podemos factorizar lo que tenemos en el lado izquierdo, es una diferencia de cuadrados perfectos. Su factorización nos da x más 2 por x menos 2 y todo esto queda igualado a cero. Allí podemos aplicar el teorema del factor nulo, recordemos que si a por b es igual a cero entonces a vale cero o b vale cero, entonces tendremos x más 2 igual a cero o x menos 2 igual a cero. Vamos para x en cada caso, por acá despejando x nos queda menos 2 y en este lado tendremos x igual a 2. Entonces menos 2 y 2, vamos a anotar eso por acá, son los valores de x donde esas dos funciones se intersectan o se cortan. Ahora vamos a elaborar una tabla de valores para estas dos funciones con valores de x comprendidos entre menos 2 y 2. También comenzamos entonces con el valor menos 2 en la función cuadrática, nos queda menos 2 al cuadrado que es 4, aquí más 2 por menos 2 nos da menos 4 y eso más 1, efectuando esta operación esto nos da cero, cero más 1 nos da 1. Ahora vamos con x igual a menos 1, menos 1 al cuadrado nos da 1 positivo, 2 por menos 2 nos da menos 2 y eso más 1, aquí tenemos 1 más 1, 2 menos 2 nos da cero. Vamos ahora con x igual a cero, si cero se reemplaza aquí esos términos se nos van y nos queda solamente 1, vamos con 1, 1 al cuadrado es 1, aquí más 2 por 1 nos da más 2 y eso más 1, haciendo esta operación nos da como resultado 4. Vamos ahora con x igual a 2, 2 al cuadrado nos da 4, aquí más 2 por 2 nos da más 4 y eso más 1, efectuando esa suma nos da como resultado 9. Ahora vamos a reemplazar los mismos valores de x en la función lineal, tenemos que cuando x vale menos 2, 2 por menos 2 es menos 4 y menos 4 más 5 nos da 1 positivo, cuando x vale menos 1, 2 por menos 1 es menos 2, menos 2 más 5 nos da 3, con x igual a 0, 2 por 0 nos da 0 y 0 más 5 es 5, con x igual a 1, 2 por 1 es 2, 2 más 5 nos da 7 y con x igual a 2, 2 por 2 es 4, 4 más 5 nos da 9. Ya con estos valores podemos ir al plano cartesiano y graficar los puntos que corresponden a la función cuadrática y a la función lineal. Comenzamos localizando los puntos que corresponden a la función cuadrática, cuando x vale menos 2, y vale 1, tenemos este punto, cuando x vale menos 1, y vale 0, es este punto sobre el eje x, cuando x vale 0, y vale 1, es este punto sobre el eje y, cuando x vale 1, y vale 4, es decir aquí, y cuando x vale 2, y vale 9, es decir en ese sitio. Uniendo esos puntos tenemos entonces la gráfica de la parábola que abre sus ramas hacia arriba, es la gráfica de la función cuadrática. Ahora vamos a localizar los puntos que corresponden a la función lineal, entonces cuando x vale menos 2, y vale 1, es este punto, cuando x vale menos 1, y vale 3, es decir aquí, cuando x vale 0, y vale 5, es este punto sobre el eje y, cuando x vale 1, y vale 7, es decir este punto, y cuando x vale 2, y vale 9, este punto. Así podemos trazar la recta que corresponde a la función lineal, como decíamos ahora es una recta ascendente con pendiente positiva, la pendiente vale 2, y corta el eje vertical, el eje y en la ordenada 5. Observamos entonces la región que queda encerrada por las dos gráficas, es la zona que hemos pintado con color verde, es el área que debemos averiguar, entonces esa región queda limitada en su parte superior por la función lineal, la función y igual a 2x más 5, en su parte inferior está limitada por la función cuadrática, es decir, y igual a x al cuadrado más 2x más 1, y también queda limitada por las abscisas menos 2 y 2. Entonces, con esta información ya podemos plantear una integral definida para determinar el área que está encerrada por las dos curvas, será entonces una integral comprendida entre x igual a menos 2 y x igual a 2, esos serán los límites de integración, menos 2 es el límite inferior y 2 es el límite superior, a continuación anotamos la función superior que es 2x más 5, esa la escribimos primero, esta es la función superior y a eso le vamos a restar la función inferior, es decir, la parábola que es x al cuadrado más 2x más 1, protegemos todo esto con corchetes y le escribimos el diferencial de x, entonces resolviendo esa integral definida determinamos el área encerrada por las dos funciones. Vamos a resolver entonces paso a paso esta integral, nos queda integral entre menos 2 y 2 y vamos a romper esos paréntesis, nos queda 2x más 5, el primer paréntesis lo quitamos sin problema y acá el signo menos nos cambia todos estos signos, entonces nos queda menos x al cuadrado menos 2x menos 1, protegemos ahora con paréntesis y anotamos el diferencial de x, allí se observa en el integrando dos términos opuestos, dos términos que podemos cancelar o eliminar, nos queda entonces a igual a la integral entre menos 2 y 2 de lo siguiente, efectuamos la operación numérica, 5 menos 1 nos da 4 y eso nos queda menos x al cuadrado, protegemos con paréntesis y escribimos el diferencial de x. Como ya no tenemos nada por resolver en el integrando entonces procedemos a resolver la integral en forma directa, podemos integrar cada uno de estos términos, entonces nos queda integral de 4 será 4x y esto menos la integral de x al cuadrado que es x al cubo sobre 3 y todo esto lo vamos a evaluar en los límites de integración que son menos 2 y 2. Aplicamos ahora el teorema fundamental del cálculo, vamos a evaluar esta expresión primero en el límite superior, es decir cuando x toma el valor 2, eso será 4x2 menos 2 al cubo sobre 3, protegemos todo esto con corchetes y a eso vamos a restarle la evaluación de esta expresión en el límite inferior, cuando x toma el valor menos 2 nos queda 4x-2 y esto menos 2 al cubo sobre 3, es importante usar paréntesis para proteger las cantidades, en especial cuando son negativas. A continuación resolvemos cada una de esas operaciones, entonces tendremos aquí 4x2 es 8 menos 2 al cubo nos da 8 y nos queda sobre 3, 8 tercios, protegemos todo esto con los corchetes, tenemos menos, vamos al otro corchete, aquí tenemos 4x-2 es menos 8, aquí menos 2 al cubo nos da menos 8, pero con este menos nos queda más, entonces 8 tercios y cerramos el corchete. A continuación vamos a destruir esos signos de agrupación, vamos a quitar los corchetes, esta expresión numérica sale tal como está y en esta tenemos cambio de signos, entra este signo menos y entonces nos queda más 8 y menos 8 tercios. Seguimos resolviendo estas operaciones numéricas, nos queda 8 más 8 es 16 y menos 8 tercios con menos 8 tercios es menos 16 tercios, son fracciones homogéneas, fracciones con el mismo denominador, entonces se conserva y operamos los numeradores. Finalmente a este 16 le colocamos denominador 1 y tenemos así la resta de dos fracciones heterogéneas, fracciones con distinto denominador, podemos aplicar entonces el truco o la técnica de la carita feliz, 16x3 nos da 48 menos 1x16 que es 16 y abajo 1x3 que nos da 3, entonces repetimos, se aplicó esto que es el truco o la técnica de la carita feliz. Por último resolvemos esa operación que tenemos en el numerador 48 menos 16 nos da 32, esto nos queda sobre 3, una fracción que no se puede simplificar es una fracción irreducible y a esto le colocamos unidades cuadradas porque es el valor del área encerrada por esas dos funciones, de esta manera terminamos.

[{"start": 0.0, "end": 9.96, "text": " Vamos a determinar el \u00e1rea de la regi\u00f3n encerrada por esas dos curvas que son funciones."}, {"start": 9.96, "end": 17.52, "text": " En el primer caso tenemos una funci\u00f3n cuadr\u00e1tica o de segundo grado cuyo modelo es este."}, {"start": 17.52, "end": 22.62, "text": " All\u00ed vemos que a es 1, es el coeficiente de x al cuadrado."}, {"start": 22.62, "end": 28.84, "text": " La gr\u00e1fica de una funci\u00f3n cuadr\u00e1tica es una par\u00e1bola vertical y cuando a es positivo,"}, {"start": 28.84, "end": 33.519999999999996, "text": " pero en este caso la par\u00e1bola abre sus ramas hacia arriba."}, {"start": 33.519999999999996, "end": 41.0, "text": " En el segundo caso tenemos una funci\u00f3n lineal de la forma y igual a mx m\u00e1s b."}, {"start": 41.0, "end": 43.8, "text": " Su gr\u00e1fica es una l\u00ednea recta."}, {"start": 43.8, "end": 50.36, "text": " Vemos que m en este caso es 2, m es la pendiente, por lo tanto en el plano cartesiano ser\u00e1"}, {"start": 50.36, "end": 55.480000000000004, "text": " una recta m\u00e1s o menos as\u00ed, siendo este el eje y y este el eje x."}, {"start": 55.48, "end": 61.31999999999999, "text": " Este es positivo, es decir una recta ascendente y aqu\u00ed el corte con el eje y que en este"}, {"start": 61.31999999999999, "end": 64.92, "text": " caso es 5, es lo que representa b."}, {"start": 64.92, "end": 71.39999999999999, "text": " Vamos a determinar con precisi\u00f3n cu\u00e1les son los puntos de corte de esas dos curvas."}, {"start": 71.39999999999999, "end": 75.24, "text": " Para ello hacemos la igualaci\u00f3n de esas dos expresiones."}, {"start": 75.24, "end": 81.28, "text": " Vemos que en ambos casos est\u00e1 despejada la variable y, entonces tendremos x al cuadrado"}, {"start": 81.28, "end": 88.4, "text": " m\u00e1s 2x m\u00e1s 1, esto lo igualamos con 2x m\u00e1s 5."}, {"start": 88.4, "end": 95.12, "text": " La expresi\u00f3n de la funci\u00f3n 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{"start": 184.16, "end": 188.88, "text": " Ahora vamos a elaborar una tabla de valores para estas dos funciones con valores de x"}, {"start": 188.88, "end": 192.35999999999999, "text": " comprendidos entre menos 2 y 2."}, {"start": 192.36, "end": 196.96, "text": " Tambi\u00e9n comenzamos entonces con el valor menos 2 en la funci\u00f3n cuadr\u00e1tica, nos queda"}, {"start": 196.96, "end": 205.0, "text": " menos 2 al cuadrado que es 4, aqu\u00ed m\u00e1s 2 por menos 2 nos da menos 4 y eso m\u00e1s 1, efectuando"}, {"start": 205.0, "end": 209.92000000000002, "text": " esta operaci\u00f3n esto nos da cero, cero m\u00e1s 1 nos da 1."}, {"start": 209.92000000000002, "end": 215.44000000000003, "text": " Ahora vamos con x igual a menos 1, menos 1 al cuadrado nos da 1 positivo, 2 por menos"}, {"start": 215.44, "end": 223.24, "text": " 2 nos da menos 2 y eso m\u00e1s 1, aqu\u00ed tenemos 1 m\u00e1s 1, 2 menos 2 nos da cero."}, {"start": 223.24, "end": 228.26, "text": " Vamos ahora con x igual a cero, si cero se reemplaza aqu\u00ed esos t\u00e9rminos se nos van"}, {"start": 228.26, "end": 234.72, "text": " y nos queda solamente 1, vamos con 1, 1 al cuadrado es 1, aqu\u00ed m\u00e1s 2 por 1 nos da m\u00e1s"}, {"start": 234.72, "end": 241.52, "text": " 2 y eso m\u00e1s 1, haciendo esta operaci\u00f3n nos da como resultado 4."}, {"start": 241.52, "end": 248.88000000000002, "text": " Vamos ahora con x igual a 2, 2 al cuadrado nos da 4, aqu\u00ed m\u00e1s 2 por 2 nos da m\u00e1s 4"}, {"start": 248.88000000000002, "end": 254.88, "text": " y eso m\u00e1s 1, efectuando esa suma nos da como resultado 9."}, {"start": 254.88, "end": 260.04, "text": " Ahora vamos a reemplazar los mismos valores de x en la funci\u00f3n lineal, tenemos que cuando"}, {"start": 260.04, "end": 267.32, "text": " x vale menos 2, 2 por menos 2 es menos 4 y menos 4 m\u00e1s 5 nos da 1 positivo, cuando"}, {"start": 267.32, "end": 274.8, "text": " x vale menos 1, 2 por menos 1 es menos 2, menos 2 m\u00e1s 5 nos da 3, con x igual a 0,"}, {"start": 274.8, "end": 284.03999999999996, "text": " 2 por 0 nos da 0 y 0 m\u00e1s 5 es 5, con x igual a 1, 2 por 1 es 2, 2 m\u00e1s 5 nos da 7 y con"}, {"start": 284.03999999999996, "end": 289.8, "text": " x igual a 2, 2 por 2 es 4, 4 m\u00e1s 5 nos da 9."}, {"start": 289.8, "end": 295.8, "text": " Ya con estos valores podemos ir al plano cartesiano y graficar los puntos que corresponden"}, {"start": 295.8, "end": 300.28000000000003, "text": " a la funci\u00f3n cuadr\u00e1tica y a la funci\u00f3n lineal."}, {"start": 300.28000000000003, "end": 305.48, "text": " Comenzamos localizando los puntos que corresponden a la funci\u00f3n cuadr\u00e1tica, cuando x vale menos"}, {"start": 305.48, "end": 312.52, "text": " 2, y vale 1, tenemos este punto, cuando x vale menos 1, y vale 0, es este punto sobre"}, {"start": 312.52, "end": 319.56, "text": " el eje x, cuando x vale 0, y vale 1, es este punto sobre el eje y, cuando x vale 1, y vale"}, {"start": 319.56, "end": 327.0, "text": " 4, es decir aqu\u00ed, y cuando x vale 2, y vale 9, es decir en ese sitio."}, {"start": 327.0, "end": 333.36, "text": " Uniendo esos puntos tenemos entonces la gr\u00e1fica de la par\u00e1bola que abre sus ramas hacia"}, {"start": 333.36, "end": 337.64, "text": " arriba, es la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n cuadr\u00e1tica."}, {"start": 337.64, "end": 343.2, "text": " Ahora vamos a localizar los puntos que corresponden a la funci\u00f3n lineal, entonces cuando x vale"}, {"start": 343.2, "end": 351.32, "text": " menos 2, y vale 1, es este punto, cuando x vale menos 1, y vale 3, es decir aqu\u00ed, cuando"}, {"start": 351.32, "end": 359.48, "text": " x vale 0, y vale 5, es este punto sobre el eje y, cuando x vale 1, y vale 7, es decir"}, {"start": 359.48, "end": 365.14, "text": " este punto, y cuando x vale 2, y vale 9, este punto."}, {"start": 365.14, "end": 370.74, "text": " As\u00ed podemos trazar la recta que corresponde a la funci\u00f3n lineal, como dec\u00edamos ahora"}, {"start": 370.74, "end": 377.48, "text": " es una recta ascendente con pendiente positiva, la pendiente vale 2, y corta el eje vertical,"}, {"start": 377.48, "end": 381.24, "text": " el eje y en la ordenada 5."}, {"start": 381.24, "end": 387.2, "text": " Observamos entonces la regi\u00f3n que queda encerrada por las dos gr\u00e1ficas, es la zona que hemos"}, {"start": 387.2, "end": 393.82, "text": " pintado con color verde, es el \u00e1rea que debemos averiguar, entonces esa regi\u00f3n queda limitada"}, {"start": 393.82, "end": 402.0, "text": " en su parte superior por la funci\u00f3n lineal, la funci\u00f3n y igual a 2x m\u00e1s 5, en su parte"}, {"start": 402.0, "end": 410.84, "text": " inferior est\u00e1 limitada por la funci\u00f3n cuadr\u00e1tica, es decir, y igual a x al cuadrado m\u00e1s 2x"}, {"start": 410.84, "end": 417.32, "text": " m\u00e1s 1, y tambi\u00e9n queda limitada por las abscisas menos 2 y 2."}, {"start": 417.32, "end": 423.64, "text": " Entonces, con esta informaci\u00f3n ya podemos plantear una integral definida para determinar"}, {"start": 423.64, "end": 431.15999999999997, "text": " el \u00e1rea que est\u00e1 encerrada por las dos curvas, ser\u00e1 entonces una integral comprendida entre"}, {"start": 431.15999999999997, "end": 437.4, "text": " x igual a menos 2 y x igual a 2, esos ser\u00e1n los l\u00edmites de integraci\u00f3n, menos 2 es el"}, {"start": 437.4, "end": 444.24, "text": " l\u00edmite inferior y 2 es el l\u00edmite superior, a continuaci\u00f3n anotamos la funci\u00f3n superior"}, {"start": 444.24, "end": 452.04, "text": " que es 2x m\u00e1s 5, esa la escribimos primero, esta es la funci\u00f3n superior y a eso le vamos"}, {"start": 452.04, "end": 460.72, "text": " a restar la funci\u00f3n inferior, es decir, la par\u00e1bola que es x al cuadrado m\u00e1s 2x m\u00e1s"}, {"start": 460.72, "end": 469.94, "text": " 1, protegemos todo esto con corchetes y le escribimos el diferencial de x, entonces resolviendo"}, {"start": 469.94, "end": 476.88, "text": " esa integral definida determinamos el \u00e1rea encerrada por las dos funciones."}, {"start": 476.88, "end": 484.32, "text": " Vamos a resolver entonces paso a paso esta integral, nos queda integral entre menos 2"}, {"start": 484.32, "end": 492.88, "text": " y 2 y vamos a romper esos par\u00e9ntesis, nos queda 2x m\u00e1s 5, el primer par\u00e9ntesis lo quitamos"}, {"start": 492.88, "end": 498.28, "text": " sin problema y ac\u00e1 el signo menos nos cambia todos estos signos, entonces nos queda menos"}, {"start": 498.28, "end": 506.2, "text": " x al cuadrado menos 2x menos 1, protegemos ahora con par\u00e9ntesis y anotamos el diferencial"}, {"start": 506.2, "end": 512.1999999999999, "text": " de x, all\u00ed se observa en el integrando dos t\u00e9rminos opuestos, dos t\u00e9rminos que podemos"}, {"start": 512.1999999999999, "end": 521.12, "text": " cancelar o eliminar, nos queda entonces a igual a la integral entre menos 2 y 2 de lo"}, {"start": 521.12, "end": 527.92, "text": " siguiente, efectuamos la operaci\u00f3n num\u00e9rica, 5 menos 1 nos da 4 y eso nos queda menos x"}, {"start": 527.92, "end": 533.7199999999999, "text": " al cuadrado, protegemos con par\u00e9ntesis y escribimos el diferencial de x."}, {"start": 533.7199999999999, "end": 539.12, "text": " Como ya no tenemos nada por resolver en el integrando entonces procedemos a resolver la"}, {"start": 539.12, "end": 544.7199999999999, "text": " integral en forma directa, podemos integrar cada uno de estos t\u00e9rminos, entonces nos"}, {"start": 544.7199999999999, "end": 553.4599999999999, "text": " queda integral de 4 ser\u00e1 4x y esto menos la integral de x al cuadrado que es x al cubo"}, {"start": 553.46, "end": 560.0, "text": " sobre 3 y todo esto lo vamos a evaluar en los l\u00edmites de integraci\u00f3n que son menos"}, {"start": 560.0, "end": 562.76, "text": " 2 y 2."}, {"start": 562.76, "end": 567.72, "text": " Aplicamos ahora el teorema fundamental del c\u00e1lculo, vamos a evaluar esta expresi\u00f3n"}, {"start": 567.72, "end": 575.84, "text": " primero en el l\u00edmite superior, es decir cuando x toma el valor 2, eso ser\u00e1 4x2 menos 2 al"}, {"start": 575.84, "end": 585.52, "text": " cubo sobre 3, protegemos todo esto con corchetes y a eso vamos a restarle la evaluaci\u00f3n de"}, {"start": 585.52, "end": 594.8000000000001, "text": " esta expresi\u00f3n en el l\u00edmite inferior, cuando x toma el valor menos 2 nos queda 4x-2 y esto"}, {"start": 594.8000000000001, "end": 603.6800000000001, "text": " menos 2 al cubo sobre 3, es importante usar par\u00e9ntesis para proteger las cantidades, en"}, {"start": 603.68, "end": 606.28, "text": " especial cuando son negativas."}, {"start": 606.28, "end": 612.52, "text": " A continuaci\u00f3n resolvemos cada una de esas operaciones, entonces tendremos aqu\u00ed 4x2"}, {"start": 612.52, "end": 620.5999999999999, "text": " es 8 menos 2 al cubo nos da 8 y nos queda sobre 3, 8 tercios, protegemos todo esto con"}, {"start": 620.5999999999999, "end": 629.0, "text": " los corchetes, tenemos menos, vamos al otro corchete, aqu\u00ed tenemos 4x-2 es menos 8, aqu\u00ed"}, {"start": 629.0, "end": 635.64, "text": " menos 2 al cubo nos da menos 8, pero con este menos nos queda m\u00e1s, entonces 8 tercios y"}, {"start": 635.64, "end": 638.04, "text": " cerramos el corchete."}, {"start": 638.04, "end": 643.76, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a destruir esos signos de agrupaci\u00f3n, vamos a quitar los corchetes,"}, {"start": 643.76, "end": 650.2, "text": " esta expresi\u00f3n num\u00e9rica sale tal como est\u00e1 y en esta tenemos cambio de signos, entra"}, {"start": 650.2, "end": 656.92, "text": " este signo menos y entonces nos queda m\u00e1s 8 y menos 8 tercios."}, {"start": 656.92, "end": 665.0799999999999, "text": " Seguimos resolviendo estas operaciones num\u00e9ricas, nos queda 8 m\u00e1s 8 es 16 y menos 8 tercios"}, {"start": 665.0799999999999, "end": 671.36, "text": " con menos 8 tercios es menos 16 tercios, son fracciones homog\u00e9neas, fracciones con el"}, {"start": 671.36, "end": 677.12, "text": " mismo denominador, entonces se conserva y operamos los numeradores."}, {"start": 677.12, "end": 683.8, "text": " Finalmente a este 16 le colocamos denominador 1 y tenemos as\u00ed la resta de dos fracciones"}, {"start": 683.8, "end": 690.5999999999999, "text": " heterog\u00e9neas, fracciones con distinto denominador, podemos aplicar entonces el truco o la t\u00e9cnica"}, {"start": 690.5999999999999, "end": 701.0799999999999, "text": " de la carita feliz, 16x3 nos da 48 menos 1x16 que es 16 y abajo 1x3 que nos da 3, entonces"}, {"start": 701.0799999999999, "end": 706.88, "text": " repetimos, se aplic\u00f3 esto que es el truco o la t\u00e9cnica de la carita feliz."}, {"start": 706.88, "end": 714.48, "text": " Por \u00faltimo resolvemos esa operaci\u00f3n que tenemos en el numerador 48 menos 16 nos da 32, esto"}, {"start": 714.48, "end": 720.8, "text": " nos queda sobre 3, una fracci\u00f3n que no se puede simplificar es una fracci\u00f3n irreducible"}, {"start": 720.8, "end": 727.16, "text": " y a esto le colocamos unidades cuadradas porque es el valor del \u00e1rea encerrada por esas dos"}, {"start": 727.16, "end": 754.16, "text": " funciones, de esta manera terminamos."}]

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18. ERRORES EN LA MEDIDA (Ejercicio 3)

Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España. Clase No. 18: Errores en la Medida (Ejercicio 3). De un grupo de 485 personas, Javier estimó que había 500. De un grupo de 315 personas, Manuel estimó que había 300. ¿Quién fue más acertado en la estimación? Tema: Magnitudes Físicas y Unidades. Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → http://www.julioprofe.net

En este ejercicio tenemos la medición del tamaño de un grupo de personas. Vamos a ver entonces primero lo que tiene que ver con Javier. A Javier le toca un grupo que tiene 485 personas. Ese es el valor verdadero. Javier hace la medición del tamaño de ese grupo. De pronto lo hace a ojo o estimando y él obtiene un valor de 500 personas, que es el valor experimental. Entonces vamos a encontrar el error absoluto y el error relativo de la medición que realizó Javier. Entonces tenemos que el error absoluto será el valor absoluto de la diferencia entre el valor verdadero y el valor experimental. Esa diferencia nos da menos 15 dentro del valor absoluto y esto equivale a 15. Es decir 15 personas. El error absoluto que comete Javier en su medición es de 15 personas. Ahora miremos el error relativo. Recordemos que es el cociente entre el error absoluto, que son 15 personas, y el valor verdadero de la magnitud, en este caso del tamaño del grupo, 485 personas. Aquí podemos observar que personas y personas se cancelan y ese cociente nos da 0.031. Recordemos que esto es un resultado adimensional, es decir, sin unidades. Este valor lo vamos a llevar a porcentaje multiplicándolo por 100 y nos queda 3.1%. Entonces el error relativo en la medición realizada por Javier es de 3.1%. Bien, ahora vamos a mirar el caso de Manuel, a quien le corresponde un grupo cuyo tamaño real es de 315 personas y Manuel estima o hace la medición del grupo y obtiene 300 personas. Ese será el valor experimental. Entonces vamos a mirar cuál es el error absoluto. Sería el valor absoluto de la diferencia entre el valor verdadero, que es 315, y el valor experimental, que es 300. 315 menos 300 nos da 15. Esto en valor absoluto y esto nos da 15 personas. Entonces Manuel comete un error absoluto de 15 personas en la medición. Ahora miremos el error relativo. El cociente entre el error absoluto, que son 15 personas, y el valor verdadero, en este caso, del tamaño del grupo, que son 315 personas. Personas se elimina con personas y ese cociente nos da 0.048. A dimensional, es decir, sin unidades, lo multiplicamos por 100 para llevarlo a porcentaje y nos da 4.8%. Este es el error relativo en la medición realizada por Manuel. Podemos resumir los datos encontrados en este ejercicio. El error absoluto y el error relativo de ambos sujetos, de ambos observadores. Para el caso de Javier y Manuel, el error absoluto es el mismo. Son 15 personas. Pero en el error relativo, si hay diferencia. Javier tuvo un error relativo de 3.1%. Mientras que Manuel tuvo un error relativo de 4.8%. Entonces, es el error relativo el que nos permite elegir quién de los dos fue más acertado en la medición o en la estimación del tamaño del grupo. Entonces, escogemos el menor error relativo. Por lo tanto, es Javier el más acertado.

[{"start": 0.0, "end": 23.44, "text": " En este ejercicio tenemos la medici\u00f3n del tama\u00f1o de un grupo de personas."}, {"start": 23.44, "end": 28.96, "text": " Vamos a ver entonces primero lo que tiene que ver con Javier."}, {"start": 28.96, "end": 35.64, "text": " A Javier le toca un grupo que tiene 485 personas."}, {"start": 35.64, "end": 37.96, "text": " Ese es el valor verdadero."}, {"start": 37.96, "end": 41.6, "text": " Javier hace la medici\u00f3n del tama\u00f1o de ese grupo."}, {"start": 41.6, "end": 50.120000000000005, "text": " De pronto lo hace a ojo o estimando y \u00e9l obtiene un valor de 500 personas,"}, {"start": 50.120000000000005, "end": 52.44, "text": " que es el valor experimental."}, {"start": 52.44, "end": 59.76, "text": " Entonces vamos a encontrar el error absoluto y el error relativo de la medici\u00f3n que realiz\u00f3 Javier."}, {"start": 59.76, "end": 71.72, "text": " Entonces tenemos que el error absoluto ser\u00e1 el valor absoluto de la diferencia entre el valor verdadero y el valor experimental."}, {"start": 71.72, "end": 80.6, "text": " Esa diferencia nos da menos 15 dentro del valor absoluto y esto equivale a 15."}, {"start": 80.6, "end": 83.0, "text": " Es decir 15 personas."}, {"start": 83.0, "end": 89.16, "text": " El error absoluto que comete Javier en su medici\u00f3n es de 15 personas."}, {"start": 89.16, "end": 91.36, "text": " Ahora miremos el error relativo."}, {"start": 91.36, "end": 101.91999999999999, "text": " Recordemos que es el cociente entre el error absoluto, que son 15 personas, y el valor verdadero de la magnitud,"}, {"start": 101.91999999999999, "end": 107.91999999999999, "text": " en este caso del tama\u00f1o del grupo, 485 personas."}, {"start": 107.92, "end": 119.88, "text": " Aqu\u00ed podemos observar que personas y personas se cancelan y ese cociente nos da 0.031."}, {"start": 119.88, "end": 125.2, "text": " Recordemos que esto es un resultado adimensional, es decir, sin unidades."}, {"start": 125.2, "end": 132.48000000000002, "text": " Este valor lo vamos a llevar a porcentaje multiplic\u00e1ndolo por 100 y nos queda 3.1%."}, {"start": 132.48, "end": 140.35999999999999, "text": " Entonces el error relativo en la medici\u00f3n realizada por Javier es de 3.1%."}, {"start": 140.35999999999999, "end": 151.92, "text": " Bien, ahora vamos a mirar el caso de Manuel, a quien le corresponde un grupo cuyo tama\u00f1o real es de 315 personas"}, {"start": 151.92, "end": 159.44, "text": " y Manuel estima o hace la medici\u00f3n del grupo y obtiene 300 personas."}, {"start": 159.44, "end": 161.6, "text": " Ese ser\u00e1 el valor experimental."}, {"start": 161.6, "end": 164.6, "text": " Entonces vamos a mirar cu\u00e1l es el error absoluto."}, {"start": 164.6, "end": 176.44, "text": " Ser\u00eda el valor absoluto de la diferencia entre el valor verdadero, que es 315, y el valor experimental, que es 300."}, {"start": 176.44, "end": 180.44, "text": " 315 menos 300 nos da 15."}, {"start": 180.44, "end": 185.44, "text": " Esto en valor absoluto y esto nos da 15 personas."}, {"start": 185.44, "end": 191.32, "text": " Entonces Manuel comete un error absoluto de 15 personas en la medici\u00f3n."}, {"start": 191.32, "end": 193.4, "text": " Ahora miremos el error relativo."}, {"start": 193.4, "end": 205.95999999999998, "text": " El cociente entre el error absoluto, que son 15 personas, y el valor verdadero, en este caso, del tama\u00f1o del grupo, que son 315 personas."}, {"start": 205.95999999999998, "end": 213.07999999999998, "text": " Personas se elimina con personas y ese cociente nos da 0.048."}, {"start": 213.08, "end": 222.76000000000002, "text": " A dimensional, es decir, sin unidades, lo multiplicamos por 100 para llevarlo a porcentaje y nos da 4.8%."}, {"start": 222.76000000000002, "end": 227.52, "text": " Este es el error relativo en la medici\u00f3n realizada por Manuel."}, {"start": 227.52, "end": 232.96, "text": " Podemos resumir los datos encontrados en este ejercicio."}, {"start": 232.96, "end": 238.96, "text": " El error absoluto y el error relativo de ambos sujetos, de ambos observadores."}, {"start": 238.96, "end": 243.68, "text": " Para el caso de Javier y Manuel, el error absoluto es el mismo."}, {"start": 243.68, "end": 246.20000000000002, "text": " Son 15 personas."}, {"start": 246.20000000000002, "end": 249.48000000000002, "text": " Pero en el error relativo, si hay diferencia."}, {"start": 249.48000000000002, "end": 255.56, "text": " Javier tuvo un error relativo de 3.1%."}, {"start": 255.56, "end": 262.08, "text": " Mientras que Manuel tuvo un error relativo de 4.8%."}, {"start": 262.08, "end": 273.88, "text": " Entonces, es el error relativo el que nos permite elegir qui\u00e9n de los dos fue m\u00e1s acertado en la medici\u00f3n o en la estimaci\u00f3n del tama\u00f1o del grupo."}, {"start": 273.88, "end": 278.88, "text": " Entonces, escogemos el menor error relativo."}, {"start": 278.88, "end": 307.4, "text": " Por lo tanto, es Javier el m\u00e1s acertado."}]

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SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 3×3 - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo resolver un Sistema de Ecuaciones Lineales de 3x3 por el Método de Reducción o Eliminación. Tema: #SistemasDeEcuaciones → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEFAYT8s7eBiUPuANxiqi_l REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Tenemos en este caso lo que se llama un sistema de ecuaciones lineales de 3x3. Observamos tres ecuaciones con tres incógnitas que son las letras A, B y C. Vamos a numerar las ecuaciones. Allí están ecuación 1, ecuación 2 y ecuación 3. Vamos a llevar este sistema a uno de 2x2 y para ello vamos a eliminar una de las incógnitas. Por ejemplo, en este caso vemos que está fácil eliminar la letra B. Por lo menos en la ecuación 1 y en la ecuación 3 vemos más B y menos B. Al sumar eso nos dará cero. Entonces vamos a comenzar utilizando el método de reducción o eliminación para deshacernos de la incógnita B. Entonces como decíamos, se toma la ecuación 1 y la ecuación 3 y vamos a realizar la suma de ellas en forma vertical. Tenemos entonces 2A más A, eso nos da 3A. Tenemos más B y menos B. Es allí donde ocurre la eliminación de esa incógnita, esa suma nos da cero. Por acá tenemos menos 3C con menos 4C, eso nos da menos 7C. Y al otro lado del signo igual tenemos 7 más 4 que nos da 11. Esta ecuación la vamos a escribir por acá, 3A menos 7C, eso igual a 11 y será una nueva ecuación. Por eso la etiquetamos como la ecuación número 4. Ahora vamos a tomar otro par de ecuaciones para eliminar de nuevo la letra B. Puede ser la ecuación 1 y la ecuación 2. Vemos que aquí B tiene coeficiente más 1 y aquí B tiene coeficiente menos 4. Entonces necesitamos aquí un coeficiente más 4 para lograr la eliminación de esa incógnita. Y eso se consigue multiplicando la ecuación 1 por 4. Entonces vamos a realizar la multiplicación por 4 a ambos lados de la igualdad. En el lado izquierdo nos queda 4 por 2A es 8A, 4 por más B nos da más 4B, 4 por menos 13 nos da menos 12C y al otro lado del igual tenemos 4 por 7 que nos da 28. Debajo de ella escribimos la ecuación número 2. Esa ecuación se escribe tal como está, es decir, 5A menos 4B, luego tenemos más C y todo eso igual a menos 19. Ahora efectuamos la suma en forma vertical. Tenemos 8A más 5A eso nos da 13A. Aquí más 4B sumado con menos 4B eso nos da cero. Es allí donde ocurre la eliminación de la letra B. Aquí tenemos menos 12C más 1C eso nos da menos 11C y al otro lado del signo igual tenemos 28 sumado con menos 19 eso nos da 9 positivo. Esta ecuación que es nueva la anotamos por acá, 13A menos 11C igual a 9 y la etiquetamos como la ecuación número 5. Entonces como decíamos este sistema que es de 3 por 3 lo hemos llevado a uno de 2 por 2 utilizando el método de eliminación o reducción, eliminando como vemos la letra B. Vemos que en este sistema solamente tenemos como incógnitas las letras A y C. Este sistema de 2 por 2 vamos a resolverlo otra vez utilizando el método de eliminación o reducción. Podemos deshacernos de la letra C. Para ello podemos multiplicar esta ecuación por 11 y esta por menos 7. Veamos entonces como nos queda. La ecuación 4 se va a multiplicar por 11 multiplicamos por 11 ambos lados de la igualdad. Acá 11 por 3A nos da 33A, 11 por menos 7C nos da menos 77C y al otro lado de la igualdad 11 por 11 nos da 121. Ahora vamos a multiplicar la ecuación 5 por menos 7 multiplicamos por esa cantidad ambos lados de la igualdad. Entonces menos 7 por 13A nos da menos 91A, menos 7 por menos 11C nos da más 77C y al otro lado del signo igual tenemos menos 7 por 9 que es menos 63. Ahora efectuamos la suma de esas dos expresiones en forma vertical. Por acá tenemos 33A sumado con menos 91A eso nos da menos 58A. Acá tenemos menos 77C sumado con 77C eso nos da cero. Es allí donde ocurre la eliminación de la incógnita C. Y por acá tenemos 121 sumado con menos 63 eso nos da 58 positivo. De allí podemos realizar el despeje de la incógnita A. Para ello pasamos menos 58 que está multiplicando al otro lado A dividir o es lo mismo que dividir ambos lados de la igualdad por menos 58. Nos queda entonces 58 dividido entre menos 58 y efectuando esa división nos da el valor de la incógnita A que es menos 1. Conociendo ese valor podemos ir al sistema de 2 por 2 y averiguar el valor de C. Escogemos cualquiera de esas dos ecuaciones la que nos parezca más sencilla. Vamos a utilizar en ese caso la ecuación número 4. Allí vamos a reemplazar el valor que encontramos para A. Nos queda 3 por A que es menos 1, queda menos 7C igual a 11. Y resolvemos esta ecuación. 3 por menos 1 nos da menos 3, queda menos 7C igual a 11. Allí podemos dejar en el lado izquierdo el término menos 7C. Pasamos este número al otro lado, nos queda 11 más 3 y nos queda menos 7C igual a 14. De allí despejamos C. Pasamos menos 7 que está multiplicando al otro lado a dividir. O también es como dividir ambos lados de la igualdad por menos 7. Nos queda 14 dividido entre menos 7 y efectuando esa división nos da el valor de C que sería menos 2. Solo nos queda averiguar el valor de la incógnita B. Para ello utilizamos cualquiera de las tres ecuaciones originales, la que nos parezca más sencilla. Vamos a utilizar por ejemplo la primera. Entonces en la ecuación 1 vamos a reemplazar los valores que encontramos para A y para C. Tenemos 2 por el valor de A que es menos 1. Esto más B luego menos 3 por el valor de C que es menos 2 y todo esto igual a 7. Resolvemos entonces esa ecuación. 2 por menos 1 nos da menos 2 más B. Aquí menos 3 por menos 2 nos da más 6 y esto igual a 7. Efectuamos esta operación nos queda B más 4 igual a 7 y despejamos B. Pasamos el 4 al otro lado nos queda 7 menos 4 y de esa manera obtenemos el valor de B que sería 3. De esta manera podemos conformar la respuesta para este ejercicio. Sería la terna ABC. El valor de A es menos 1, el valor de B es 3 y el valor de C es menos 2. Entonces repetimos esta es la terna ABC y constituye la solución para este sistema de ecuaciones lineales de 3 por 3. Se trata de un sistema con solución única.

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ECUACIONES EXPONENCIALES - Ejercicio 10

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Vamos a resolver detalladamente esta ecuación exponencial llamada así porque la incógnita X está localizada en los exponentes de esas potencias. Debemos encontrar cuánto vale X para que esta igualdad sea cierta. Comenzamos por pasar este número que está dividiendo al otro lado a multiplicar. Entonces esto nos queda 5 a la X menos 5 a la menos X igual a 2 por 3 que nos da 6. Es equivalente a multiplicar ambos lados de la igualdad por 2. Y aquí vamos a cambiar esta potencia aplicando esta propiedad de la potenciación. Recordemos que si tenemos a a la menos n eso es igual a 1 sobre a a la n, la propiedad del exponente negativo. Entonces nos queda 5 a la X menos 1 sobre 5 a la X. Repetimos aplicando esta propiedad y todo esto igualado con 6. Ahora vamos a colocarle a esto denominador 1 para resolver esa resta de fracciones heterogéneas, fracciones con distinto denominador. Entonces nos quedará de la siguiente manera. Vamos a utilizar el truco o la técnica de la carita feliz. Acá en el numerador tenemos esto por esto que nos quedaría 5 a la X, todo esto al cuadrado menos esto por esto que nos da 1 y acá en el denominador 1 por 5 a la X que nos da 5 a la X. Entonces si repetimos hemos hecho esto que es el truco o la técnica de la carita feliz para resolver la resta de dos fracciones con distinto denominador y todo esto queda igualado con 6. Ahora esto que está dividiendo vamos a pasarlo al otro lado a multiplicar. Nos queda 5 a la X, todo esto elevado al cuadrado menos 1 igual a 6 que multiplica con la potencia 5 a la X. Es lo mismo que multiplicar ambos lados de esa igualdad por esta cantidad, por 5 a la X y allí vamos a utilizar un recurso que se llama cambio de variable. Vamos a cambiar 5 a la X por otra letra, vamos a utilizar por ejemplo H. Entonces reescribimos esa expresión, nos quedaría H al cuadrado menos 1 igual a 6 por H, es decir 6H. Repetimos utilizando el cambio de variable. De esta manera llegamos a una ecuación que es de tipo cuadrática o de segundo grado, vamos a organizarla. Entonces a este lado dejamos H al cuadrado menos 1 y pasamos este término al lado izquierdo, llega con signo negativo, menos 6H y todo esto queda igualado a 0. Acomodamos la ecuación en forma descendente H al cuadrado menos 6H menos 1, todo esto igual a 0 para que corresponda al modelo de una ecuación cuadrática. Recordemos que es AX al cuadrado más BX más C igual a 0. En este caso vemos que X es la incógnita en el modelo de una ecuación cuadrática o de segundo grado. Acá está representada por H, entonces vamos a colocar esto por acá. Vemos que A es igual a 1, el coeficiente del primer término, B es menos 6, el coeficiente del segundo término y C es menos 1, es el término independiente. Entonces vamos a resolver esa ecuación cuadrática por el camino de la fórmula cuadrática o fórmula general, porque si lo intentamos por factorización vemos que este trinomio no permite ser factorizado. Entonces vamos a recordar la fórmula cuadrática, AX la tenemos y entonces en ella vamos a reemplazar estas cantidades, X está representada por H, tenemos menos B, abrimos un paréntesis, B se reemplaza por menos 6, más o menos la raíz cuadrada de B al cuadrado, es decir, menos 6 al cuadrado, menos 4 por A por C, o sea 4 por el valor de A que es 1, por el valor de C que es menos 1. Y todo eso sobre 2A, es decir, 2 por 1. Vamos a resolver esas operaciones, tenemos H igual a lo siguiente, menos menos 6, se vuelve 6 positivo, más o menos la raíz cuadrada de menos 6 al cuadrado que es 36, aquí tenemos menos 4 por 1, da menos 4, por menos 1 es más 4, y todo eso sobre 2 por 1 que nos da 2. Continuamos resolviendo, H es igual a 6, más o menos la raíz cuadrada de 36 más 4 que nos da 40, y todo eso sobre 2. Ahora vamos a simplificar la raíz cuadrada de 40, vamos a realizar ese proceso por acá, 40 podemos expresarlo como 4 por 10, y allí podemos repartir la raíz porque tenemos multiplicación en el radicando, es decir, dentro de ella, raíz de 4 por raíz de 10. Hacemos esto porque la raíz cuadrada de 4 es exacta, nos da 2, en cambio la raíz cuadrada de 10 es inexacta, se deja expresada como raíz de 10. Entonces volvemos acá, nos queda H igual a 6, más o menos raíz de 40 que se cambia por 2 raíz de 10, y todo eso sobre 2. Aquí podemos repartir este denominador para cada uno de los dos términos que hay en el numerador, entonces nos queda H igual a 6 medios, más o menos 2 raíz de 10 y eso sobre 2, eso lo hacemos con el objetivo de simplificar esas dos fracciones, tendremos entonces H igual a 6 medios que equivale a 3, más o menos, aquí cancelamos estos números, simplificamos dividiendo por 2 arriba y abajo y nos queda la raíz cuadrada de 10. Cuando ya hemos encontrado los dos valores de H que satisfacen la ecuación cuadrática a la que habíamos llegado, entonces deshacemos el cambio de variable, recordemos que H equivale a 5 a la X, entonces nos queda 5 a la X igual a 3, más o menos la raíz cuadrada de 10, y de allí vamos a encontrar X. Para ello tomamos logaritmo a ambos lados, puede ser logaritmo en base 10, es decir, logaritmo pulgar o de Briggs, o logaritmo en base E, o sea, logaritmo natural, vamos a tomar logaritmo base 10, entonces nos queda logaritmo de 5 a la X, recordemos que el 10 es invisible, y acá logaritmo de la expresión 3, más o menos, la raíz cuadrada de 10. Aquí en el lado izquierdo aplicamos una propiedad de los logaritmos, y es aquella que nos dice que el logaritmo aplicado a una potencia nos permite bajar ese exponente a multiplicar, entonces X por logaritmo en base 10 de 5 es igual a logaritmo en base 10 de esta expresión numérica, 3 más o menos la raíz cuadrada de 10. De allí hacemos el espeje de X, toda esta cantidad que está multiplicando pasa al otro lado a dividir, o es como dividir ambos lados de esta igualdad por logaritmo en base 10 de 5, nos queda entonces logaritmo en base 10 de 3 más o menos la raíz cuadrada de 10, y todo esto sobre logaritmo en base 10 de 5. Allí entramos a revisar estas dos posibilidades, entonces veamos, una primera posibilidad será X igual a logaritmo en base 10 de 3 menos la raíz cuadrada de 10, y todo esto sobre logaritmo en base 10 de 5. La segunda posibilidad será todo eso mismo, pero aquí con signo más, entonces logaritmo en base 10 de 3 más la raíz cuadrada de 10, todo esto sobre logaritmo en base 10 de 5. Si efectuamos esta operación en calculadora, veremos que nos da un resultado negativo, por lo tanto este logaritmo no existe, recordemos que los logaritmos solamente están definidos para cantidades positivas, entonces concluimos que la primera solución no existe, decimos que es conjunto vacío. Nos concentramos ahora acá, esta suma si nos da un resultado positivo, por lo tanto este logaritmo existe, lógicamente ese también, entonces toda esta expresión numérica será la solución para esa ecuación, decimos que esto es el valor para X. Si efectuamos todo esto en calculadora nos da aproximadamente 1.13, de esta manera terminamos este ejercicio, todo esto es la solución de esa ecuación que es de tipo exponencial, es el valor de X que satisface esa igualdad.

[{"start": 0.0, "end": 9.5, "text": " Vamos a resolver detalladamente esta ecuaci\u00f3n exponencial llamada as\u00ed porque la inc\u00f3gnita"}, {"start": 9.5, "end": 14.280000000000001, "text": " X est\u00e1 localizada en los exponentes de esas potencias."}, {"start": 14.280000000000001, "end": 20.2, "text": " Debemos encontrar cu\u00e1nto vale X para que esta igualdad sea cierta."}, {"start": 20.2, "end": 25.52, "text": " Comenzamos por pasar este n\u00famero que est\u00e1 dividiendo al otro lado a multiplicar."}, {"start": 25.52, "end": 34.28, "text": " Entonces esto nos queda 5 a la X menos 5 a la menos X igual a 2 por 3 que nos da 6."}, {"start": 34.28, "end": 39.0, "text": " Es equivalente a multiplicar ambos lados de la igualdad por 2."}, {"start": 39.0, "end": 43.96, "text": " Y aqu\u00ed vamos a cambiar esta potencia aplicando esta propiedad de la potenciaci\u00f3n."}, {"start": 43.96, "end": 50.519999999999996, "text": " Recordemos que si tenemos a a la menos n eso es igual a 1 sobre a a la n, la propiedad"}, {"start": 50.519999999999996, "end": 52.56, "text": " del exponente negativo."}, {"start": 52.56, "end": 60.32, "text": " Entonces nos queda 5 a la X menos 1 sobre 5 a la X."}, {"start": 60.32, "end": 66.08, "text": " Repetimos aplicando esta propiedad y todo esto igualado con 6."}, {"start": 66.08, "end": 73.68, "text": " Ahora vamos a colocarle a esto denominador 1 para resolver esa resta de fracciones heterog\u00e9neas,"}, {"start": 73.68, "end": 76.32000000000001, "text": " fracciones con distinto denominador."}, {"start": 76.32000000000001, "end": 79.64, "text": " Entonces nos quedar\u00e1 de la siguiente manera."}, {"start": 79.64, "end": 83.28, "text": " Vamos a utilizar el truco o la t\u00e9cnica de la carita feliz."}, {"start": 83.28, "end": 91.12, "text": " Ac\u00e1 en el numerador tenemos esto por esto que nos quedar\u00eda 5 a la X, todo esto al cuadrado"}, {"start": 91.12, "end": 98.4, "text": " menos esto por esto que nos da 1 y ac\u00e1 en el denominador 1 por 5 a la X que nos da 5"}, {"start": 98.4, "end": 99.4, "text": " a la X."}, {"start": 99.4, "end": 105.88, "text": " Entonces si repetimos hemos hecho esto que es el truco o la t\u00e9cnica de la carita feliz"}, {"start": 105.88, "end": 112.32, "text": " para resolver la resta de dos fracciones con distinto denominador y todo esto queda igualado"}, {"start": 112.32, "end": 114.03999999999999, "text": " con 6."}, {"start": 114.03999999999999, "end": 119.36, "text": " Ahora esto que est\u00e1 dividiendo vamos a pasarlo al otro lado a multiplicar."}, {"start": 119.36, "end": 129.88, "text": " Nos queda 5 a la X, todo esto elevado al cuadrado menos 1 igual a 6 que multiplica con la potencia"}, {"start": 129.88, "end": 131.28, "text": " 5 a la X."}, {"start": 131.28, "end": 137.32, "text": " Es lo mismo que multiplicar ambos lados de esa igualdad por esta cantidad, por 5 a la"}, {"start": 137.32, "end": 143.68, "text": " X y all\u00ed vamos a utilizar un recurso que se llama cambio de variable."}, {"start": 143.68, "end": 150.68, "text": " Vamos a cambiar 5 a la X por otra letra, vamos a utilizar por ejemplo H."}, {"start": 150.68, "end": 159.24, "text": " Entonces reescribimos esa expresi\u00f3n, nos quedar\u00eda H al cuadrado menos 1 igual a 6"}, {"start": 159.24, "end": 162.52, "text": " por H, es decir 6H."}, {"start": 162.52, "end": 165.76000000000002, "text": " Repetimos utilizando el cambio de variable."}, {"start": 165.76000000000002, "end": 171.48000000000002, "text": " De esta manera llegamos a una ecuaci\u00f3n que es de tipo cuadr\u00e1tica o de segundo grado,"}, {"start": 171.48000000000002, "end": 173.08, "text": " vamos a organizarla."}, {"start": 173.08, "end": 179.4, "text": " Entonces a este lado dejamos H al cuadrado menos 1 y pasamos este t\u00e9rmino al lado izquierdo,"}, {"start": 179.4, "end": 184.48000000000002, "text": " llega con signo negativo, menos 6H y todo esto queda igualado a 0."}, {"start": 184.48, "end": 193.23999999999998, "text": " Acomodamos la ecuaci\u00f3n en forma descendente H al cuadrado menos 6H menos 1, todo esto"}, {"start": 193.23999999999998, "end": 200.0, "text": " igual a 0 para que corresponda al modelo de una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica."}, {"start": 200.0, "end": 207.12, "text": " Recordemos que es AX al cuadrado m\u00e1s BX m\u00e1s C igual a 0."}, {"start": 207.12, "end": 212.44, "text": " En este caso vemos que X es la inc\u00f3gnita en el modelo de una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica"}, {"start": 212.44, "end": 213.79999999999998, "text": " o de segundo grado."}, {"start": 213.8, "end": 219.84, "text": " Ac\u00e1 est\u00e1 representada por H, entonces vamos a colocar esto por ac\u00e1."}, {"start": 219.84, "end": 228.08, "text": " Vemos que A es igual a 1, el coeficiente del primer t\u00e9rmino, B es menos 6, el coeficiente"}, {"start": 228.08, "end": 234.16000000000003, "text": " del segundo t\u00e9rmino y C es menos 1, es el t\u00e9rmino independiente."}, {"start": 234.16000000000003, "end": 239.36, "text": " Entonces vamos a resolver esa ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica por el camino de la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica o"}, {"start": 239.36, "end": 245.16000000000003, "text": " f\u00f3rmula general, porque si lo intentamos por factorizaci\u00f3n vemos que este trinomio"}, {"start": 245.16000000000003, "end": 247.56, "text": " no permite ser factorizado."}, {"start": 247.56, "end": 254.20000000000002, "text": " Entonces vamos a recordar la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica, AX la tenemos y entonces en ella vamos a"}, {"start": 254.20000000000002, "end": 262.8, "text": " reemplazar estas cantidades, X est\u00e1 representada por H, tenemos menos B, abrimos un par\u00e9ntesis,"}, {"start": 262.8, "end": 269.44, "text": " B se reemplaza por menos 6, m\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada de B al cuadrado, es decir,"}, {"start": 269.44, "end": 276.76, "text": " menos 6 al cuadrado, menos 4 por A por C, o sea 4 por el valor de A que es 1, por el"}, {"start": 276.76, "end": 280.08000000000004, "text": " valor de C que es menos 1."}, {"start": 280.08000000000004, "end": 285.28000000000003, "text": " Y todo eso sobre 2A, es decir, 2 por 1."}, {"start": 285.28000000000003, "end": 291.88, "text": " Vamos a resolver esas operaciones, tenemos H igual a lo siguiente, menos menos 6, se"}, {"start": 291.88, "end": 299.52, "text": " vuelve 6 positivo, m\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada de menos 6 al cuadrado que es 36, aqu\u00ed tenemos"}, {"start": 299.52, "end": 307.52, "text": " menos 4 por 1, da menos 4, por menos 1 es m\u00e1s 4, y todo eso sobre 2 por 1 que nos da"}, {"start": 307.52, "end": 309.4, "text": " 2."}, {"start": 309.4, "end": 316.76, "text": " Continuamos resolviendo, H es igual a 6, m\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada de 36 m\u00e1s 4 que"}, {"start": 316.76, "end": 321.32, "text": " nos da 40, y todo eso sobre 2."}, {"start": 321.32, "end": 327.52, "text": " Ahora vamos a simplificar la ra\u00edz cuadrada de 40, vamos a realizar ese proceso por ac\u00e1,"}, {"start": 327.52, "end": 337.08, "text": " 40 podemos expresarlo como 4 por 10, y all\u00ed podemos repartir la ra\u00edz porque tenemos multiplicaci\u00f3n"}, {"start": 337.08, "end": 342.76, "text": " en el radicando, es decir, dentro de ella, ra\u00edz de 4 por ra\u00edz de 10."}, {"start": 342.76, "end": 348.64, "text": " Hacemos esto porque la ra\u00edz cuadrada de 4 es exacta, nos da 2, en cambio la ra\u00edz cuadrada"}, {"start": 348.64, "end": 354.08, "text": " de 10 es inexacta, se deja expresada como ra\u00edz de 10."}, {"start": 354.08, "end": 360.88, "text": " Entonces volvemos ac\u00e1, nos queda H igual a 6, m\u00e1s o menos ra\u00edz de 40 que se cambia"}, {"start": 360.88, "end": 366.76, "text": " por 2 ra\u00edz de 10, y todo eso sobre 2."}, {"start": 366.76, "end": 372.08, "text": " Aqu\u00ed podemos repartir este denominador para cada uno de los dos t\u00e9rminos que hay en el"}, {"start": 372.08, "end": 381.8, "text": " numerador, entonces nos queda H igual a 6 medios, m\u00e1s o menos 2 ra\u00edz de 10 y eso sobre"}, {"start": 381.8, "end": 390.4, "text": " 2, eso lo hacemos con el objetivo de simplificar esas dos fracciones, tendremos entonces H"}, {"start": 390.4, "end": 396.76, "text": " igual a 6 medios que equivale a 3, m\u00e1s o menos, aqu\u00ed cancelamos estos n\u00fameros, simplificamos"}, {"start": 396.76, "end": 402.52, "text": " dividiendo por 2 arriba y abajo y nos queda la ra\u00edz cuadrada de 10."}, {"start": 402.52, "end": 407.2, "text": " Cuando ya hemos encontrado los dos valores de H que satisfacen la ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica"}, {"start": 407.2, "end": 413.59999999999997, "text": " a la que hab\u00edamos llegado, entonces deshacemos el cambio de variable, recordemos que H equivale"}, {"start": 413.59999999999997, "end": 420.68, "text": " a 5 a la X, entonces nos queda 5 a la X igual a 3, m\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada de 10,"}, {"start": 420.68, "end": 423.59999999999997, "text": " y de all\u00ed vamos a encontrar X."}, {"start": 423.6, "end": 429.56, "text": " Para ello tomamos logaritmo a ambos lados, puede ser logaritmo en base 10, es decir,"}, {"start": 429.56, "end": 434.76000000000005, "text": " logaritmo pulgar o de Briggs, o logaritmo en base E, o sea, logaritmo natural, vamos"}, {"start": 434.76000000000005, "end": 441.28000000000003, "text": " a tomar logaritmo base 10, entonces nos queda logaritmo de 5 a la X, recordemos que el 10"}, {"start": 441.28000000000003, "end": 450.68, "text": " es invisible, y ac\u00e1 logaritmo de la expresi\u00f3n 3, m\u00e1s o menos, la ra\u00edz cuadrada de 10."}, {"start": 450.68, "end": 455.32, "text": " Aqu\u00ed en el lado izquierdo aplicamos una propiedad de los logaritmos, y es aquella que nos dice"}, {"start": 455.32, "end": 461.64, "text": " que el logaritmo aplicado a una potencia nos permite bajar ese exponente a multiplicar,"}, {"start": 461.64, "end": 469.08, "text": " entonces X por logaritmo en base 10 de 5 es igual a logaritmo en base 10 de esta expresi\u00f3n"}, {"start": 469.08, "end": 474.6, "text": " num\u00e9rica, 3 m\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada de 10."}, {"start": 474.6, "end": 480.4, "text": " De all\u00ed hacemos el espeje de X, toda esta cantidad que est\u00e1 multiplicando pasa al otro"}, {"start": 480.4, "end": 487.32, "text": " lado a dividir, o es como dividir ambos lados de esta igualdad por logaritmo en base 10"}, {"start": 487.32, "end": 493.03999999999996, "text": " de 5, nos queda entonces logaritmo en base 10 de 3 m\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada de"}, {"start": 493.03999999999996, "end": 499.08, "text": " 10, y todo esto sobre logaritmo en base 10 de 5."}, {"start": 499.08, "end": 505.85999999999996, "text": " All\u00ed entramos a revisar estas dos posibilidades, entonces veamos, una primera posibilidad ser\u00e1"}, {"start": 505.86, "end": 515.96, "text": " X igual a logaritmo en base 10 de 3 menos la ra\u00edz cuadrada de 10, y todo esto sobre"}, {"start": 515.96, "end": 519.28, "text": " logaritmo en base 10 de 5."}, {"start": 519.28, "end": 526.8000000000001, "text": " La segunda posibilidad ser\u00e1 todo eso mismo, pero aqu\u00ed con signo m\u00e1s, entonces logaritmo"}, {"start": 526.8, "end": 536.3, "text": " en base 10 de 3 m\u00e1s la ra\u00edz cuadrada de 10, todo esto sobre logaritmo en base 10 de 5."}, {"start": 536.3, "end": 541.8, "text": " Si efectuamos esta operaci\u00f3n en calculadora, veremos que nos da un resultado negativo,"}, {"start": 541.8, "end": 547.4799999999999, "text": " por lo tanto este logaritmo no existe, recordemos que los logaritmos solamente est\u00e1n definidos"}, {"start": 547.4799999999999, "end": 555.02, "text": " para cantidades positivas, entonces concluimos que la primera soluci\u00f3n no existe, decimos"}, {"start": 555.02, "end": 557.16, "text": " que es conjunto vac\u00edo."}, {"start": 557.16, "end": 562.4399999999999, "text": " Nos concentramos ahora ac\u00e1, esta suma si nos da un resultado positivo, por lo tanto"}, {"start": 562.4399999999999, "end": 568.66, "text": " este logaritmo existe, l\u00f3gicamente ese tambi\u00e9n, entonces toda esta expresi\u00f3n num\u00e9rica ser\u00e1"}, {"start": 568.66, "end": 573.96, "text": " la soluci\u00f3n para esa ecuaci\u00f3n, decimos que esto es el valor para X."}, {"start": 573.96, "end": 581.26, "text": " Si efectuamos todo esto en calculadora nos da aproximadamente 1.13, de esta manera terminamos"}, {"start": 581.26, "end": 590.36, "text": " este ejercicio, todo esto es la soluci\u00f3n de esa ecuaci\u00f3n que es de tipo exponencial,"}, {"start": 590.36, "end": 618.28, "text": " es el valor de X que satisface esa igualdad."}]

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LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS - Ejercicio 9

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Vamos a resolver detalladamente este límite trigonométrico y comenzamos por evaluar esta expresión cuando x toma el valor pi medios radianes. Veamos, en el numerador tendremos seno de 2 por el valor de x que es pi medios y todo esto está al cuadrado. Vamos a expresarlo de esta manera. Ahora, en el denominador tenemos 1 menos seno de x, pero x se cambia por pi medios. Veamos entonces cómo nos queda esto. En el numerador tendremos seno de 2 por pi medios, aquí podemos cancelar el número 2 y nos queda seno de pi. Todo esto elevado al cuadrado. En el denominador dejamos lo mismo, 1 menos el seno de pi medios. Ahora vamos a resolver cada una de esas expresiones trigonométricas. El seno de pi radianes corresponde al seno de 180 grados que equivale a 0. Y el seno de pi medios radianes corresponde al seno de 90 grados que equivale a 1. Entonces en el numerador tendremos 0 al cuadrado que nos da 0 y en el denominador 1 menos 1 que también es 0. Vemos así a una forma indeterminada, 0 sobre 0, que es como una voz de alerta que nos indica que hay que hacerle algo a esa expresión. Comenzamos por utilizar la identidad trigonométrica para el seno del ángulo doble. Recordemos que dice así, seno de 2teta es igual a 2 por seno de teta por coseno del ángulo teta. Entonces acá tenemos seno de 2x, siguiendo esta instrucción será 2 por seno de x por coseno de x. Pero todo esto está elevado al cuadrado. Entonces aquí colocamos ese exponente. En el denominador permanece la misma expresión, 1 menos seno de x. Ahora como aquí tenemos un producto y todo eso está elevado al cuadrado, entonces podemos repartir este exponente para cada uno de los factores. Aplicamos esta propiedad de la potenciación. Si tenemos a por b por c, todo esto elevado al exponente n será igual a a la n por b a la n por c a la n. Entonces veamos, aquí 2 al cuadrado es 4, eso multiplicado por seno de x, todo eso al cuadrado lo escribimos como seno al cuadrado de x, por coseno de x elevado al cuadrado lo escribimos como coseno al cuadrado de x y en el denominador permanece lo mismo, 1 menos seno de x. Ahora aquí podemos utilizar la identidad fundamental de la trigonometría. Recordemos que dice seno al cuadrado de teta más coseno al cuadrado de teta y todo eso igual a 1. Pues bien, de allí podemos despejar lo que es coseno al cuadrado de teta. Entonces nos queda igual a 1 menos seno al cuadrado de teta. Pasamos este componente al otro lado a restar. Eso lo utilizamos aquí para cambiar coseno al cuadrado de x. Entonces nos queda 4 por seno al cuadrado de x, por allí hacemos el cambio siguiendo esta instrucción, coseno al cuadrado de x será 1 menos seno al cuadrado de x. Y en el denominador conservamos lo mismo, 1 menos seno de x. Ahora aquí tenemos lo que se llama una diferencia de cuadrados perfectos. Vamos a recordar el modelo que corresponde a ese caso de factorización. A al cuadrado menos b al cuadrado es igual a más b por a menos b, es decir se extrae la raíz cuadrada de cada uno de estos términos, para el primer caso sería a, para el segundo caso sería b y se anotan esas dos cantidades en una suma y en una diferencia multiplicando entre sí. Entonces vamos a factorizar siguiendo ese modelo esta diferencia de cuadrados perfectos. Lo demás permanece igual, 4 por seno al cuadrado de x. Y vamos entonces con la factorización, raíz cuadrada de uno nos da 1, raíz cuadrada de seno al cuadrado de x será seno de x. Entonces aquí anotamos la suma de esas dos cantidades y enseguida la diferencia de ellas. Como decíamos esas dos expresiones quedan multiplicando entre sí. Y en el denominador permanece lo mismo, 1 menos seno de x. Ahora aquí podemos simplificar esta expresión, vemos que 1 menos seno de x también lo tenemos arriba como factor, entonces podemos cancelar o eliminar ese componente. Nos queda entonces el límite cuando x tiene apimedios de 4 por seno al cuadrado de x y eso multiplicado por 1 más seno de x. Aquí podemos decir que este componente que logramos eliminar era el factor problema, porque como x tiende a apimedios, seno de apimedios nos da 1 y 1 menos 1 da 0. Entonces esto era el causante de la indeterminación inicial 0 sobre 0. Como ya logramos eliminar ese componente ya tenemos una expresión donde tranquilamente podemos volver a evaluar apimedios ya sin el riesgo de tener indeterminación. Entonces nos queda 4 por seno de x, en este caso seno de apimedios, todo esto elevado al cuadrado y eso multiplicado por 1 más seno de x, pero x toma el valor apimedios y protegemos esto con paréntesis. Como decíamos hace un momento, el seno de apimedios radianes, o sea, el seno de 90 grados equivale a 1. Entonces ya podemos reemplazar esos valores y podemos resolver las operaciones. Aquí tenemos 1 al cuadrado, entonces todo esto nos da 1 y por acá tenemos 1 más 1 que nos da como resultado 2. Entonces nos queda 4 por 1 por 2 que es igual a 8. Y de esta manera terminamos el ejercicio. 8 es el resultado para ese límite trigonométrico.

[{"start": 0.0, "end": 9.24, "text": " Vamos a resolver detalladamente este l\u00edmite trigonom\u00e9trico y comenzamos por evaluar esta"}, {"start": 9.24, "end": 13.4, "text": " expresi\u00f3n cuando x toma el valor pi medios radianes."}, {"start": 13.4, "end": 21.5, "text": " Veamos, en el numerador tendremos seno de 2 por el valor de x que es pi medios y todo"}, {"start": 21.5, "end": 23.28, "text": " esto est\u00e1 al cuadrado."}, {"start": 23.28, "end": 26.2, "text": " Vamos a expresarlo de esta manera."}, {"start": 26.2, "end": 36.16, "text": " Ahora, en el denominador tenemos 1 menos seno de x, pero x se cambia por pi medios."}, {"start": 36.16, "end": 38.44, "text": " Veamos entonces c\u00f3mo nos queda esto."}, {"start": 38.44, "end": 44.519999999999996, "text": " En el numerador tendremos seno de 2 por pi medios, aqu\u00ed podemos cancelar el n\u00famero 2"}, {"start": 44.519999999999996, "end": 46.54, "text": " y nos queda seno de pi."}, {"start": 46.54, "end": 49.16, 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100.12, "text": " Comenzamos por utilizar la identidad trigonom\u00e9trica para el seno del \u00e1ngulo doble."}, {"start": 100.12, "end": 106.92, "text": " Recordemos que dice as\u00ed, seno de 2teta es igual a 2 por seno de teta por coseno del"}, {"start": 106.92, "end": 108.60000000000001, "text": " \u00e1ngulo teta."}, {"start": 108.6, "end": 116.08, "text": " Entonces ac\u00e1 tenemos seno de 2x, siguiendo esta instrucci\u00f3n ser\u00e1 2 por seno de x por"}, {"start": 116.08, "end": 117.75999999999999, "text": " coseno de x."}, {"start": 117.75999999999999, "end": 121.39999999999999, "text": " Pero todo esto est\u00e1 elevado al cuadrado."}, {"start": 121.39999999999999, "end": 124.08, "text": " Entonces aqu\u00ed colocamos ese exponente."}, {"start": 124.08, "end": 130.44, "text": " En el denominador permanece la misma expresi\u00f3n, 1 menos seno de x."}, {"start": 130.44, "end": 136.44, "text": " Ahora como aqu\u00ed tenemos un producto y todo eso est\u00e1 elevado al 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podemos utilizar la identidad fundamental de la trigonometr\u00eda."}, {"start": 179.72, "end": 186.38, "text": " Recordemos que dice seno al cuadrado de teta m\u00e1s coseno al cuadrado de teta y todo eso"}, {"start": 186.38, "end": 188.12, "text": " igual a 1."}, {"start": 188.12, "end": 193.72, "text": " Pues bien, de all\u00ed podemos despejar lo que es coseno al cuadrado de teta."}, {"start": 193.72, "end": 200.64000000000001, "text": " Entonces nos queda igual a 1 menos seno al cuadrado de teta."}, {"start": 200.64000000000001, "end": 204.20000000000002, "text": " Pasamos este componente al otro lado a restar."}, {"start": 204.20000000000002, "end": 209.04000000000002, "text": " Eso lo utilizamos aqu\u00ed para cambiar coseno al cuadrado de x."}, {"start": 209.04000000000002, "end": 215.68, "text": " Entonces nos queda 4 por seno al cuadrado de x, por all\u00ed hacemos el cambio siguiendo"}, {"start": 215.68, "end": 222.32, "text": " esta instrucci\u00f3n, coseno al cuadrado de x ser\u00e1 1 menos seno al cuadrado de x."}, {"start": 222.32, "end": 228.88, "text": " Y en el denominador conservamos lo mismo, 1 menos seno de x."}, {"start": 228.88, "end": 233.96, "text": " Ahora aqu\u00ed tenemos lo que se llama una diferencia de cuadrados perfectos."}, {"start": 233.96, "end": 238.56, "text": " Vamos a recordar el modelo que corresponde a ese caso de factorizaci\u00f3n."}, {"start": 238.56, "end": 245.76, "text": " A al cuadrado menos b al cuadrado es igual a m\u00e1s b por a menos b, es decir se extrae"}, {"start": 245.76, "end": 251.36, "text": " la ra\u00edz cuadrada de cada uno de estos t\u00e9rminos, para el primer caso ser\u00eda a, para el segundo"}, {"start": 251.36, "end": 257.56, "text": " caso ser\u00eda b y se anotan esas dos cantidades en una suma y en una diferencia multiplicando"}, {"start": 257.56, "end": 258.56, "text": " entre s\u00ed."}, {"start": 258.56, "end": 263.88, "text": " Entonces vamos a factorizar siguiendo ese modelo esta diferencia de cuadrados perfectos."}, {"start": 263.88, "end": 268.0, "text": " Lo dem\u00e1s permanece igual, 4 por seno al cuadrado de x."}, {"start": 268.0, "end": 273.68, "text": " Y vamos entonces con la factorizaci\u00f3n, ra\u00edz cuadrada de uno nos da 1, ra\u00edz cuadrada de"}, {"start": 273.68, "end": 277.08, "text": " seno al cuadrado de x ser\u00e1 seno de x."}, {"start": 277.08, "end": 283.16, "text": " Entonces aqu\u00ed anotamos la suma de esas dos cantidades y enseguida la diferencia de ellas."}, {"start": 283.16, "end": 287.8, "text": " Como dec\u00edamos esas dos expresiones quedan multiplicando entre s\u00ed."}, {"start": 287.8, "end": 293.24, "text": " Y en el denominador permanece lo mismo, 1 menos seno de x."}, {"start": 293.24, "end": 299.44, "text": " Ahora aqu\u00ed podemos simplificar esta expresi\u00f3n, vemos que 1 menos seno de x tambi\u00e9n lo tenemos"}, {"start": 299.44, "end": 305.52, "text": " arriba como factor, entonces podemos cancelar o eliminar ese componente."}, {"start": 305.52, "end": 313.2, "text": " Nos queda entonces el l\u00edmite cuando x tiene apimedios de 4 por seno al cuadrado de x y"}, {"start": 313.2, "end": 318.48, "text": " eso multiplicado por 1 m\u00e1s seno de x."}, {"start": 318.48, "end": 324.96000000000004, "text": " Aqu\u00ed podemos decir que este componente que logramos eliminar era el factor problema,"}, {"start": 324.96000000000004, "end": 331.36, "text": " porque como x tiende a apimedios, seno de apimedios nos da 1 y 1 menos 1 da 0."}, {"start": 331.36, "end": 336.88, "text": " Entonces esto era el causante de la indeterminaci\u00f3n inicial 0 sobre 0."}, {"start": 336.88, "end": 342.58000000000004, "text": " Como ya logramos eliminar ese componente ya tenemos una expresi\u00f3n donde tranquilamente"}, {"start": 342.58, "end": 349.28, "text": " podemos volver a evaluar apimedios ya sin el riesgo de tener indeterminaci\u00f3n."}, {"start": 349.28, "end": 356.64, "text": " Entonces nos queda 4 por seno de x, en este caso seno de apimedios, todo esto elevado"}, {"start": 356.64, "end": 365.03999999999996, "text": " al cuadrado y eso multiplicado por 1 m\u00e1s seno de x, pero x toma el valor apimedios"}, {"start": 365.03999999999996, "end": 368.0, "text": " y protegemos esto con par\u00e9ntesis."}, {"start": 368.0, "end": 374.36, "text": " Como dec\u00edamos hace un momento, el seno de apimedios radianes, o sea, el seno de 90 grados"}, {"start": 374.36, "end": 376.76, "text": " equivale a 1."}, {"start": 376.76, "end": 382.52, "text": " Entonces ya podemos reemplazar esos valores y podemos resolver las operaciones."}, {"start": 382.52, "end": 388.64, "text": " Aqu\u00ed tenemos 1 al cuadrado, entonces todo esto nos da 1 y por ac\u00e1 tenemos 1 m\u00e1s 1"}, {"start": 388.64, "end": 391.32, "text": " que nos da como resultado 2."}, {"start": 391.32, "end": 395.92, "text": " Entonces nos queda 4 por 1 por 2 que es igual a 8."}, {"start": 395.92, "end": 399.04, "text": " Y de esta 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https://www.youtube.com/watch?v=M0csENZg_zk

17. ERRORES EN LA MEDIDA (Ejercicio 2)

Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España. Clase No. 17: Errores en la Medida (Ejercicio 2). En las especificaciones técnicas de un automóvil dice que es capaz de pasar de 0 a 100 km/h en 6.3 segundos. Si se realiza esta misma experiencia y se registra un tiempo de 6.5 segundos, ¿Cuál es el error absoluto? ¿Cuál es el error relativo? Tema: Magnitudes Físicas y Unidades. Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → http://www.julioprofe.net

En este ejercicio tenemos información de la medición de un tiempo, específicamente el tiempo que tarda un automóvil en pasar de 0 a 100 km por hora. Nos piden encontrar el error absoluto y el error relativo de esa medición. El valor considerado como verdadero es el que trae las especificaciones del auto y es 6.3 segundos. El valor experimental, o sea el que resulta de la medición es 6.5 segundos. Entonces el error absoluto será el valor absoluto de la diferencia entre el valor verdadero que es 6.3 y el valor experimental. Entonces 6.3 menos 6.5, todo eso dentro de valor absoluto. Eso nos da una diferencia de menos 0.2 dentro del valor absoluto y esto sale como 0.5. 0.2 segundos. Entonces el error absoluto en esta medición es de 0.2 segundos. Vamos a calcular el error relativo. Recordemos que este se define como el cociente entre el error absoluto que es 0.2 segundos y el valor verdadero de la magnitud. En este caso 6.3 segundos. Aquí apreciamos que segundos se van a cancelar con segundos dándonos un resultado que es adimensional, es decir sin unidades. Ese cociente nos da un resultado de 0.032. Este es el error relativo. Pero vamos a llevarlo a porcentaje. Entonces multiplicamos este valor por 100 y nos da 3.2 por ciento. Recordemos que multiplicamos por 100 para pasar el error relativo de forma decimal a porcentaje. Entonces el error relativo en esta medición es del 3.2 por ciento. Y ya tenemos el resultado. Ahora vamos a ver si podemos calcular el error relativo. Aquí apreciamos que el error relativo es de 0.2 segundos. Aquí apreciamos que el error relativo es de 0.2 segundos.

[{"start": 0.0, "end": 23.580000000000002, "text": " En este ejercicio tenemos informaci\u00f3n de la medici\u00f3n de un tiempo, espec\u00edficamente"}, {"start": 23.580000000000002, "end": 29.0, "text": " el tiempo que tarda un autom\u00f3vil en pasar de 0 a 100 km por hora."}, {"start": 29.0, "end": 36.84, "text": " Nos piden encontrar el error absoluto y el error relativo de esa medici\u00f3n."}, {"start": 36.84, "end": 43.64, "text": " El valor considerado como verdadero es el que trae las especificaciones del auto y es"}, {"start": 43.64, "end": 46.72, "text": " 6.3 segundos."}, {"start": 46.72, "end": 54.6, "text": " El valor experimental, o sea el que resulta de la medici\u00f3n es 6.5 segundos."}, {"start": 54.6, "end": 63.0, "text": " Entonces el error absoluto ser\u00e1 el valor absoluto de la diferencia entre el valor verdadero"}, {"start": 63.0, "end": 68.08, "text": " que es 6.3 y el valor experimental."}, {"start": 68.08, "end": 74.56, "text": " Entonces 6.3 menos 6.5, todo eso dentro de valor absoluto."}, {"start": 74.56, "end": 84.52000000000001, "text": " Eso nos da una diferencia de menos 0.2 dentro del valor absoluto y esto sale como 0.5."}, {"start": 84.52, "end": 87.84, "text": " 0.2 segundos."}, {"start": 87.84, "end": 94.19999999999999, "text": " Entonces el error absoluto en esta medici\u00f3n es de 0.2 segundos."}, {"start": 94.19999999999999, "end": 96.8, "text": " Vamos a calcular el error relativo."}, {"start": 96.8, "end": 106.56, "text": " Recordemos que este se define como el cociente entre el error absoluto que es 0.2 segundos"}, {"start": 106.56, "end": 109.75999999999999, "text": " y el valor verdadero de la magnitud."}, {"start": 109.75999999999999, "end": 114.39999999999999, "text": " En este caso 6.3 segundos."}, {"start": 114.4, "end": 121.56, "text": " Aqu\u00ed apreciamos que segundos se van a cancelar con segundos d\u00e1ndonos un resultado que es"}, {"start": 121.56, "end": 125.28, "text": " adimensional, es decir sin unidades."}, {"start": 125.28, "end": 133.0, "text": " Ese cociente nos da un resultado de 0.032."}, {"start": 133.0, "end": 135.24, "text": " Este es el error relativo."}, {"start": 135.24, "end": 137.52, "text": " Pero vamos a llevarlo a porcentaje."}, {"start": 137.52, "end": 143.96, "text": " Entonces multiplicamos este valor por 100 y nos da 3.2 por ciento."}, {"start": 143.96, "end": 152.84, "text": " Recordemos que multiplicamos por 100 para pasar el error relativo de forma decimal a"}, {"start": 152.84, "end": 154.24, "text": " porcentaje."}, {"start": 154.24, "end": 184.20000000000002, "text": " Entonces el error relativo en esta medici\u00f3n es del 3.2 por ciento."}, {"start": 184.24, "end": 185.24, "text": " Y ya tenemos el resultado."}, {"start": 185.24, "end": 186.24, "text": " Ahora vamos a ver si podemos calcular el error relativo."}, {"start": 186.24, "end": 187.24, "text": " Aqu\u00ed apreciamos que el error relativo es de 0.2 segundos."}, {"start": 187.24, "end": 188.24, "text": " Aqu\u00ed apreciamos que el error relativo es de 0.2 segundos."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=5vuOugRQnXY

FACTORIZAR TRINOMIOS DE LA FORMA ax²+bx+c - Ejercicio 5

#julioprofe explica cómo factorizar un trinomio de la forma ax²+bx+c. Tema: #Factorización de polinomios → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEvndM0YBHiH1LXxjkP0r8d REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Para factorizar esta expresión algebraica de tres términos, es decir, un trinomio, comenzamos revisando el caso número 1, es decir, miramos si hay factor común, por ejemplo, algún número que podamos extraer de esos que tenemos acá. Vemos que eso no es posible, tampoco se puede extraer la letra P porque aquí no la tenemos. Entonces, descartamos el caso número 1 que es el de factor común. También descartamos el caso de factor común por agrupación de términos porque ese se aplica para polinomios de 4, 6, 8 o más términos siempre que la cantidad de ellos sea par. También podemos descartar el caso de la diferencia de cuadrados perfectos porque ese solamente se aplica para binomios. Ahora, ya en los trinomios vemos que se tiene el caso de trinomio cuadrado perfecto, el cual aquí no se aplica porque se necesita que el primer término y el tercero sean positivos, esta condición aquí no se cumple. Y tampoco podríamos aplicar ese que se llama trinomio de la forma x al cuadrado más bx más c porque tenemos acá coeficiente diferente de 1. Entonces, nos queda por utilizar ese que se llama trinomio de la forma ax al cuadrado más bx más c. En realidad podríamos decir que es trinomio de la forma ax a la 2n más bx a la n más c porque se requiere que el exponente o grado del primer término sea el doble del exponente o grado del segundo término, tal como observamos acá 4 es el doble de 2. Y también se necesita que el coeficiente principal, es decir, el término de mayor grado o mayor exponente sea diferente de 1, es el que representa la letra a. En este caso es 6. Comenzamos entonces con el proceso de factorización de este trinomio de acuerdo con el caso que mencionamos. Lo primero que hay que hacer es multiplicar y dividir este trinomio por el coeficiente principal que es 6. Entonces 6 multiplica con 6 e a 4 menos 7 p al cuadrado menos 5. Protegemos el trinomio con paréntesis y todo esto debemos dividirlo por 6 para conservar de esa manera la expresión original. Entonces multiplicamos y dividimos por el coeficiente principal. Enseguida vamos a aplicar la propiedad distributiva en el numerador, es decir, 6 va a multiplicar a cada uno de estos términos y de esa manera rompemos el paréntesis. Entonces tenemos 6 por 6 p al a 4, eso nos da 36 p al a 4. En el segundo término la multiplicación se va a dejar indicada de la siguiente manera. Bueno, más por menos nos da menos, 6 entra y se agrupa con p al cuadrado, eso lo hacemos colocando paréntesis y el coeficiente original queda por fuera. Esto es lo que se llama dejar el producto o la multiplicación de manera indicada. Y ahora 6 por menos 5 que nos da menos 30. Entonces como vemos, en el primero y en el tercer término la multiplicación se hace común y corriente, pero en el segundo término el producto se deja indicado. Y todo esto continúa sobre el número 6. Ahora vamos a expresar el primer término del numerador como el cuadrado, de esto que nos quedó encerrado en paréntesis en el segundo término, es decir, 36 p al a 4 será 6 p al cuadrado, lo que tenemos aquí dentro de los paréntesis y todo esto elevado al cuadrado. Veamos si eso es cierto. Cuando en la potenciación tenemos un producto en la base, el exponente afecta los dos componentes o los dos factores, entonces sería 6 al cuadrado que es 36 y p al cuadrado otra vez elevado al cuadrado, en ese caso se multiplicarían los exponentes y nos queda p al a 4. Entonces efectivamente esto equivale a 36 p al a 4 y todo lo demás lo dejamos tal como está, menos 7 que multiplica con 6 p al cuadrado, eso menos 30 y todo esto sobre el número 6. En seguida vamos a utilizar un recurso que se llama cambio de variable, esto que tenemos dentro de los paréntesis y que se repite podemos hacerlo igual a una nueva letra, por ejemplo vamos a usar h y lo que tenemos que hacer ahora es reconstruir esa expresión en términos de la nueva letra, es decir en términos de h, por acá tendríamos h al cuadrado, luego menos 7 por todo esto que es h, entonces menos 7h, después menos 30 y todo esto nos queda sobre 6. De esa manera tenemos en el numerador un trinomio de la forma x al cuadrado más bx más c, aquel que tiene coeficiente principal 1, entonces vamos a factorizar ese trinomio de acuerdo con lo que nos indica ese caso, hay que abrir dos paréntesis, extraemos la raíz cuadrada del primer término que sería h, se escribe esa letra al comienzo de cada paréntesis, después definimos los signos, más por menos es menos, signo del primer paréntesis, menos por menos nos da más, el signo del segundo paréntesis y ahora buscamos dos números, uno negativo y otro positivo que al multiplicarlos entre sí nos de como resultado menos 30 y que al sumarlos nos de como resultado menos 7, al hacer la búsqueda encontramos que esos números son menos 10 y más 3, veamos, menos 10 por más 3 da menos 30 y menos 10 sumado con 3 es menos 7 y todo esto continúa sobre 6. Después de haber factorizado el numerador entonces deshacemos el cambio de variable, es decir donde tenemos h volvemos a escribir 6p al cuadrado, de esa manera retornamos a la variable original, entonces nos queda 6p al cuadrado menos 10, 6p al cuadrado más 3 y todo esto está sobre el número 6. En seguida revisamos estos dos paréntesis para ver si es posible aplicar el caso número 1 en ellos, es decir el caso de factor común, si revisamos el primer paréntesis vemos los números 6 y 10, allí es posible extraer como factor común el máximo común divisor de esos números que será el 2, entonces si sale el 2 nos queda en el primer término 3p al cuadrado y en el segundo término nos queda menos 5, vamos ahora al otro paréntesis, allí vemos los números 6 y 3, podemos extraer el máximo común divisor de ellos que es 3, si sale 3 nos queda en el primer término 2p al cuadrado y en el segundo término nos queda más 1 y todo esto continúa sobre el número 6. Finalmente hacemos la simplificación de esta fracción, por ejemplo para 2 y 6 podemos sacar mitad, decimos mitad de 2 es 1 y mitad de 6 nos da 3, es como dividir arriba y abajo por 2, ahora también podemos simplificar estos dos números, aquí sacamos tercera, tercera de 3 nos da 1, tercera de 3 es 1, es como dividir arriba y abajo por 3, nos queda entonces el producto de estos dos paréntesis, es decir 3p al cuadrado menos 5 y eso multiplicado por 2p al cuadrado más 1, revisamos si cada uno de estos dos paréntesis se puede factorizar nuevamente, vemos que no es posible, entonces ya podemos escribir acá el resultado del ejercicio, los factores de esa expresión son 3p al cuadrado menos 5 y el otro es 2p al cuadrado más 1, con eso entonces damos cumplimiento al proceso de factorización de este trinomio. Para mayor tranquilidad podemos hacer la prueba de este ejercicio que consiste en hacer la multiplicación de estos dos binomios, vamos a escribirlos por acá, 3p al cuadrado menos 5 y eso multiplicado por 2p al cuadrado más 1, entonces vamos a aplicar la propiedad distributiva, comenzamos con 3p al cuadrado que va a multiplicar a cada uno de estos términos, eso nos queda así, 3p al cuadrado por 2p al cuadrado es 6p al a 4, luego 3p al cuadrado por más 1 nos da más 3p al cuadrado, ahora vamos a distribuir ese término menos 5, va a multiplicar a cada uno de esos dos términos, eso nos da menos 5 por 2p al cuadrado es menos 10p al cuadrado y después tenemos menos 5 por más 1 que nos da menos 5, allí podemos hacer la reducción de términos semejantes, son estos dos que contienen p al cuadrado, entonces nos queda 6p al a 4, operamos estos dos términos, más 3p al cuadrado menos 10p al cuadrado es menos 7p al cuadrado y anotamos menos 5, revisamos y hemos obtenido el trinomio original, con esto comprobamos que el proceso de factorización que realizamos es correcto. ¡Suscríbete al canal!

[{"start": 0.0, "end": 10.24, "text": " Para factorizar esta expresi\u00f3n algebraica de tres t\u00e9rminos, es decir, un trinomio, comenzamos"}, {"start": 10.24, "end": 15.88, "text": " revisando el caso n\u00famero 1, es decir, miramos si hay factor com\u00fan, por ejemplo, alg\u00fan"}, {"start": 15.88, "end": 21.84, "text": " n\u00famero que podamos extraer de esos que tenemos ac\u00e1. Vemos que eso no es posible, tampoco"}, {"start": 21.84, "end": 26.92, "text": " se puede extraer la letra P porque aqu\u00ed no la tenemos. Entonces, descartamos el caso"}, {"start": 26.92, "end": 32.56, "text": " n\u00famero 1 que es el de factor com\u00fan. Tambi\u00e9n descartamos el caso de factor com\u00fan por agrupaci\u00f3n"}, {"start": 32.56, "end": 39.28, "text": " de t\u00e9rminos porque ese se aplica para polinomios de 4, 6, 8 o m\u00e1s t\u00e9rminos siempre que la"}, {"start": 39.28, "end": 45.400000000000006, "text": " cantidad de ellos sea par. Tambi\u00e9n podemos descartar el caso de la diferencia de cuadrados"}, {"start": 45.400000000000006, "end": 52.160000000000004, "text": " perfectos porque ese solamente se aplica para binomios. Ahora, ya en los trinomios vemos"}, {"start": 52.16, "end": 58.599999999999994, "text": " que se tiene el caso de trinomio cuadrado perfecto, el cual aqu\u00ed no se aplica porque se necesita"}, {"start": 58.599999999999994, "end": 65.5, "text": " que el primer t\u00e9rmino y el tercero sean positivos, esta condici\u00f3n aqu\u00ed no se cumple. Y tampoco"}, {"start": 65.5, "end": 72.32, "text": " podr\u00edamos aplicar ese que se llama trinomio de la forma x al cuadrado m\u00e1s bx m\u00e1s c porque"}, {"start": 72.32, "end": 80.4, "text": " tenemos ac\u00e1 coeficiente diferente de 1. Entonces, nos queda por utilizar ese que se llama trinomio"}, {"start": 80.4, "end": 87.64, "text": " de la forma ax al cuadrado m\u00e1s bx m\u00e1s c. En realidad podr\u00edamos decir que es trinomio"}, {"start": 87.64, "end": 95.92, "text": " de la forma ax a la 2n m\u00e1s bx a la n m\u00e1s c porque se requiere que el exponente o grado"}, {"start": 95.92, "end": 102.76, "text": " del primer t\u00e9rmino sea el doble del exponente o grado del segundo t\u00e9rmino, tal como observamos"}, {"start": 102.76, "end": 109.72, "text": " ac\u00e1 4 es el doble de 2. Y tambi\u00e9n se necesita que el coeficiente principal, es decir, el"}, {"start": 109.72, "end": 116.08, "text": " t\u00e9rmino de mayor grado o mayor exponente sea diferente de 1, es el que representa la letra"}, {"start": 116.08, "end": 123.96, "text": " a. En este caso es 6. Comenzamos entonces con el proceso de factorizaci\u00f3n de este trinomio"}, {"start": 123.96, "end": 129.4, "text": " de acuerdo con el caso que mencionamos. Lo primero que hay que hacer es multiplicar y"}, {"start": 129.4, "end": 137.96, "text": " dividir este trinomio por el coeficiente principal que es 6. Entonces 6 multiplica con 6 e a"}, {"start": 137.96, "end": 147.36, "text": " 4 menos 7 p al cuadrado menos 5. Protegemos el trinomio con par\u00e9ntesis y todo esto debemos"}, {"start": 147.36, "end": 155.12, "text": " dividirlo por 6 para conservar de esa manera la expresi\u00f3n original. Entonces multiplicamos"}, {"start": 155.12, "end": 162.08, "text": " y dividimos por el coeficiente principal. Enseguida vamos a aplicar la propiedad distributiva"}, {"start": 162.08, "end": 168.92000000000002, "text": " en el numerador, es decir, 6 va a multiplicar a cada uno de estos t\u00e9rminos y de esa manera"}, {"start": 168.92000000000002, "end": 176.76000000000002, "text": " rompemos el par\u00e9ntesis. Entonces tenemos 6 por 6 p al a 4, eso nos da 36 p al a 4. 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Ahora vamos a expresar el primer t\u00e9rmino del numerador"}, {"start": 222.44, "end": 228.36, "text": " como el cuadrado, de esto que nos qued\u00f3 encerrado en par\u00e9ntesis en el segundo t\u00e9rmino, es"}, {"start": 228.36, "end": 236.08, "text": " decir, 36 p al a 4 ser\u00e1 6 p al cuadrado, lo que tenemos aqu\u00ed dentro de los par\u00e9ntesis"}, {"start": 236.08, "end": 241.08, "text": " y todo esto elevado al cuadrado. Veamos si eso es cierto. Cuando en la potenciaci\u00f3n"}, {"start": 241.08, "end": 247.64000000000001, "text": " tenemos un producto en la base, el exponente afecta los dos componentes o los dos factores,"}, {"start": 247.64000000000001, "end": 253.28, "text": " entonces ser\u00eda 6 al cuadrado que es 36 y p al cuadrado otra vez elevado al cuadrado,"}, {"start": 253.28, "end": 259.28000000000003, "text": " en ese caso se multiplicar\u00edan los exponentes y nos queda p al a 4. Entonces efectivamente"}, {"start": 259.28000000000003, "end": 266.96000000000004, "text": " esto equivale a 36 p al a 4 y todo lo dem\u00e1s lo dejamos tal como est\u00e1, menos 7 que multiplica"}, {"start": 266.96, "end": 275.84, "text": " con 6 p al cuadrado, eso menos 30 y todo esto sobre el n\u00famero 6."}, {"start": 275.84, "end": 281.03999999999996, "text": " En seguida vamos a utilizar un recurso que se llama cambio de variable, esto que tenemos"}, {"start": 281.03999999999996, "end": 287.28, "text": " dentro de los par\u00e9ntesis y que se repite podemos hacerlo igual a una nueva letra, por"}, {"start": 287.28, "end": 293.97999999999996, "text": " ejemplo vamos a usar h y lo que tenemos que hacer ahora es reconstruir esa expresi\u00f3n"}, {"start": 293.98, "end": 299.84000000000003, "text": " en t\u00e9rminos de la nueva letra, es decir en t\u00e9rminos de h, por ac\u00e1 tendr\u00edamos h al"}, {"start": 299.84000000000003, "end": 309.94, "text": " cuadrado, luego menos 7 por todo esto que es h, entonces menos 7h, despu\u00e9s menos 30"}, {"start": 309.94, "end": 317.84000000000003, "text": " y todo esto nos queda sobre 6. De esa manera tenemos en el numerador un trinomio"}, {"start": 317.84, "end": 324.4, "text": " de la forma x al cuadrado m\u00e1s bx m\u00e1s c, aquel que tiene coeficiente principal 1,"}, {"start": 324.4, "end": 330.65999999999997, "text": " entonces vamos a factorizar ese trinomio de acuerdo con lo que nos indica ese caso, hay"}, {"start": 330.65999999999997, "end": 337.03999999999996, "text": " que abrir dos par\u00e9ntesis, extraemos la ra\u00edz cuadrada del primer t\u00e9rmino que ser\u00eda h,"}, {"start": 337.03999999999996, "end": 343.59999999999997, "text": " se escribe esa letra al comienzo de cada par\u00e9ntesis, despu\u00e9s definimos los signos, m\u00e1s por menos"}, {"start": 343.6, "end": 349.68, "text": " es menos, signo del primer par\u00e9ntesis, menos por menos nos da m\u00e1s, el signo del segundo"}, {"start": 349.68, "end": 356.56, "text": " par\u00e9ntesis y ahora buscamos dos n\u00fameros, uno negativo y otro positivo que al multiplicarlos"}, {"start": 356.56, "end": 362.98, "text": " entre s\u00ed nos de como resultado menos 30 y que al sumarlos nos de como resultado menos"}, {"start": 362.98, "end": 370.72, "text": " 7, al hacer la b\u00fasqueda encontramos que esos n\u00fameros son menos 10 y m\u00e1s 3, veamos, menos"}, {"start": 370.72, "end": 379.56, "text": " 10 por m\u00e1s 3 da menos 30 y menos 10 sumado con 3 es menos 7 y todo esto contin\u00faa sobre"}, {"start": 379.56, "end": 386.8, "text": " 6. Despu\u00e9s de haber factorizado el numerador entonces deshacemos el cambio de variable,"}, {"start": 386.8, "end": 393.92, "text": " es decir donde tenemos h volvemos a escribir 6p al cuadrado, de esa manera retornamos a"}, {"start": 393.92, "end": 401.24, "text": " la variable original, entonces nos queda 6p al cuadrado menos 10, 6p al cuadrado m\u00e1s"}, {"start": 401.24, "end": 410.64, "text": " 3 y todo esto est\u00e1 sobre el n\u00famero 6. En seguida revisamos estos dos par\u00e9ntesis para"}, {"start": 410.64, "end": 417.04, "text": " ver si es posible aplicar el caso n\u00famero 1 en ellos, es decir el caso de factor com\u00fan,"}, {"start": 417.04, "end": 423.40000000000003, "text": " si revisamos el primer par\u00e9ntesis vemos los n\u00fameros 6 y 10, all\u00ed es posible extraer"}, {"start": 423.4, "end": 429.84, "text": " como factor com\u00fan el m\u00e1ximo com\u00fan divisor de esos n\u00fameros que ser\u00e1 el 2, entonces"}, {"start": 429.84, "end": 437.59999999999997, "text": " si sale el 2 nos queda en el primer t\u00e9rmino 3p al cuadrado y en el segundo t\u00e9rmino nos"}, {"start": 437.59999999999997, "end": 445.23999999999995, "text": " queda menos 5, vamos ahora al otro par\u00e9ntesis, all\u00ed vemos los n\u00fameros 6 y 3, podemos extraer"}, {"start": 445.23999999999995, "end": 451.71999999999997, "text": " el m\u00e1ximo com\u00fan divisor de ellos que es 3, si sale 3 nos queda en el primer t\u00e9rmino"}, {"start": 451.72, "end": 461.8, "text": " 2p al cuadrado y en el segundo t\u00e9rmino nos queda m\u00e1s 1 y todo esto contin\u00faa sobre el"}, {"start": 461.8, "end": 469.92, "text": " n\u00famero 6. Finalmente hacemos la simplificaci\u00f3n de esta fracci\u00f3n, por ejemplo para 2 y 6"}, {"start": 469.92, "end": 477.48, "text": " podemos sacar mitad, decimos mitad de 2 es 1 y mitad de 6 nos da 3, es como dividir arriba"}, {"start": 477.48, "end": 483.8, "text": " y abajo por 2, ahora tambi\u00e9n podemos simplificar estos dos n\u00fameros, aqu\u00ed sacamos tercera,"}, {"start": 483.8, "end": 490.68, "text": " tercera de 3 nos da 1, tercera de 3 es 1, es como dividir arriba y abajo por 3, nos"}, {"start": 490.68, "end": 500.48, "text": " queda entonces el producto de estos dos par\u00e9ntesis, es decir 3p al cuadrado menos 5 y eso multiplicado"}, {"start": 500.48, "end": 511.3, "text": " por 2p al cuadrado m\u00e1s 1, revisamos si cada uno de estos dos par\u00e9ntesis se puede factorizar"}, {"start": 511.3, "end": 517.48, "text": " nuevamente, vemos que no es posible, entonces ya podemos escribir ac\u00e1 el resultado del"}, {"start": 517.48, "end": 527.08, "text": " ejercicio, los factores de esa expresi\u00f3n son 3p al cuadrado menos 5 y el otro es 2p al"}, {"start": 527.08, "end": 536.36, "text": " cuadrado m\u00e1s 1, con eso entonces damos cumplimiento al proceso de factorizaci\u00f3n de este trinomio."}, {"start": 536.36, "end": 543.0, "text": " Para mayor tranquilidad podemos hacer la prueba de este ejercicio que consiste en hacer la"}, {"start": 543.0, "end": 549.8000000000001, "text": " multiplicaci\u00f3n de estos dos binomios, vamos a escribirlos por ac\u00e1, 3p al cuadrado menos"}, {"start": 549.8, "end": 559.24, "text": " 5 y eso multiplicado por 2p al cuadrado m\u00e1s 1, entonces vamos a aplicar la propiedad distributiva,"}, {"start": 559.24, "end": 566.4, "text": " comenzamos con 3p al cuadrado que va a multiplicar a cada uno de estos t\u00e9rminos, eso nos queda"}, {"start": 566.4, "end": 575.12, "text": " as\u00ed, 3p al cuadrado por 2p al cuadrado es 6p al a 4, luego 3p al cuadrado por m\u00e1s 1"}, {"start": 575.12, "end": 584.54, "text": " nos da m\u00e1s 3p al cuadrado, ahora vamos a distribuir ese t\u00e9rmino menos 5, va a multiplicar"}, {"start": 584.54, "end": 591.72, "text": " a cada uno de esos dos t\u00e9rminos, eso nos da menos 5 por 2p al cuadrado es menos 10p"}, {"start": 591.72, "end": 599.84, "text": " al cuadrado y despu\u00e9s tenemos menos 5 por m\u00e1s 1 que nos da menos 5, all\u00ed podemos hacer"}, {"start": 599.84, "end": 605.96, "text": " la reducci\u00f3n de t\u00e9rminos semejantes, son estos dos que contienen p al cuadrado, entonces"}, {"start": 605.96, "end": 614.2, "text": " nos queda 6p al a 4, operamos estos dos t\u00e9rminos, m\u00e1s 3p al cuadrado menos 10p al cuadrado"}, {"start": 614.2, "end": 624.74, "text": " es menos 7p al cuadrado y anotamos menos 5, revisamos y hemos obtenido el trinomio original,"}, {"start": 624.74, "end": 630.0, "text": " con esto comprobamos que el proceso de factorizaci\u00f3n que realizamos es correcto."}, {"start": 654.74, "end": 656.74, "text": " \u00a1Suscr\u00edbete al canal!"}]

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16. ERRORES EN LA MEDIDA (Ejercicio 1)

Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España. Clase No. 16: Errores en la Medida (Ejercicio 1). Al medir la masa de un objeto se obtiene 2.4 kg. Si el valor considerado como real es 2.5 kg, determinar el error absoluto y el error relativo de la medición. Tema: Magnitudes Físicas y Unidades. Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → http://www.julioprofe.net

En este ejercicio tenemos la información de una medición, más exactamente la medición de una masa. Nos piden encontrar el error absoluto y el error relativo de esa medición. Tenemos que el valor experimental es de 2.4 kg, el que se mide. El valor considerado como verdadero para la masa de ese objeto es de 2.5 kg. Esta es la información que nos da. Entonces el error absoluto se define como el valor absoluto de la diferencia entre el valor verdadero y el valor experimental, es decir 2.5 menos 2.4. Estos valores están en kilogramos, la diferencia nos da 0.1 dentro del valor absoluto y esto es igual a 0.1 y colocamos las unidades correspondientes que son kilogramos. Entonces en esa medición tenemos un error absoluto de 0.1 kg. Ahora vamos a calcular el error relativo. Recordemos que este se define como el cociente entre el error absoluto que es 0.1 kg y el valor verdadero de la magnitud, en este caso 2.5 kg. Aquí podemos apreciar que kilogramos y kilogramos se eliminan y esto nos va a dar un resultado que es adimensional, es decir que no tiene unidades. Ese cociente nos da 0.04. Pero recordemos que el error relativo se suele expresar como porcentaje. Entonces este valor lo multiplicamos por 100. Al multiplicar por 100 el punto avanza dos lugares hacia la derecha y obtenemos 4%. Entonces siempre para pasar a porcentaje el error relativo realizamos la multiplicación por 100. Entonces tenemos un error relativo del 4% en esta medición.

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FACTORIZAR TRINOMIOS DE LA FORMA ax²+bx+c - Ejercicio 6

#julioprofe explica cómo factorizar un trinomio de la forma ax²+bx+c. Tema: #Factorización de polinomios → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEvndM0YBHiH1LXxjkP0r8d REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

¿Qué es el trinomio de la forma ax al cuadrado? Tenemos en este caso un trinomio de la forma ax al cuadrado más bx más c. Bueno, en realidad podríamos decir que es de la forma ax a la 2n más bx a la n más c. Se ve que el exponente o grado de este término del primero tiene que ser el doble del exponente o grado del segundo término. Como acá, 6 es el doble de 3. También identificamos a, que en este caso es 8, el coeficiente principal, diferente de 1. Entonces vamos a realizar el proceso de factorización de este trinomio siguiendo este caso. Ya previamente se ha revisado si hay factor común o si sirven los otros casos de los trinomios y vemos que eso no es posible. Comenzamos entonces multiplicando y dividiendo el trinomio por el coeficiente principal, que es 8. Entonces 8 multiplica a esa expresión que protegemos con paréntesis y tenemos que dividir por esa misma cantidad. Entonces, primer paso es multiplicar y dividir el trinomio por el coeficiente principal. Ahora, en el numerador vamos a romper ese paréntesis aplicando la propiedad distributiva. 8 va a multiplicar a cada uno de esos términos dejando en el segundo término el producto indicado. Veamos cómo nos queda. 8 por 8 u a la 6 nos da 64 u a la 6. Allí se multiplica normalmente. Después tenemos menos, 8 entra y se agrupa con u al cubo. Eso lo encerramos con paréntesis y acá dejamos el coeficiente original que es menos 19. Esto es lo que se llama dejar el producto o la multiplicación de manera indicada. Y ahora multiplicamos 8 por más 6 que es más 48. Allí también el producto se realiza normalmente. Y todo esto continúa sobre el número 8. Como paso siguiente vamos a expresar este primer término del numerador como el cuadrado de esto. De lo que nos quedó encerrado en paréntesis en el segundo término. Es decir, 64 u a la 6 será 8 u al cubo y todo esto elevado al cuadrado. Veamos si eso es cierto. Cuando tenemos una potencia con un producto en la base el exponente afecta a cada uno de los factores. Entonces 8 al cuadrado es 64 y u al cubo elevado al cuadrado. Allí conservamos la base y multiplicamos los exponentes. Vemos que se obtiene el 6. Entonces esto efectivamente equivale al primer término 64 u a la 6. Lo demás se deja tal como está. En los 19 por 8 u al cubo más 48 y todo esto sobre 8. Enseguida vamos a utilizar un recurso que se llama cambio de variable. Esto que tenemos dentro de los paréntesis y que se repite, es decir, 8 u al cubo, podemos igualarlo a una nueva letra. Por ejemplo, vamos a usar L y vamos a reconstruir esta expresión en términos de la nueva letra. En términos de L. Comenzamos acá. Todo esto se cambia por L y nos queda L al cuadrado. Después menos 19 por esto que se cambia por L. Es decir, menos 19 L y luego tenemos más 48. Todo esto está sobre 8 y de esa manera hemos utilizado el cambio de variable para llegar a lo que es un trinomio de la forma x al cuadrado más bx más c. El que tiene coeficiente principal 1. Factorizamos entonces ese trinomio. Se abren dos paréntesis. Extraemos la raíz cuadrada del primer término que sería L. Anotamos eso al comienzo de cada paréntesis. Luego definimos los signos. Aquí tenemos signo positivo. Más por menos nos da menos y menos por más es menos. Ahora buscamos dos números negativos que multiplicados entre sí nos de como resultado más 48 y que al sumarlos nos de como resultado menos 19. Después de hacer la búsqueda encontramos que esos números son menos 16 y menos 3. Veamos, menos 16 por menos 3 nos da más 48 y menos 16 sumado con menos 3 es menos 19. Y todo esto está sobre 8. Cuando ya hemos factorizado el numerador, entonces donde tenemos L se vuelve a escribir 8 u al cubo. De esa manera deshacemos el cambio de variable y así retornamos a la letra original que en este caso es u. Entonces allí hemos cambiado L por su equivalente que es 8 u al cubo. Y todo esto continúa sobre 8. Ahora revisamos esos dos paréntesis que obtuvimos para ver dónde es posible aplicar el primer caso de factorización que es factor común. Revisamos el primer paréntesis y allí observamos los números 8 y 16. Se puede extraer entonces el máximo común divisor de esos dos números que es 8. Si sale 8 nos queda u al cubo en el primer término y eso menos 2 que es lo que nos queda en el segundo término. Vamos al otro paréntesis. Hacemos la revisión y vemos que no es posible extraer ningún factor común. Entonces se queda tal como está, 8 u al cubo menos 3. Y todo esto continúa sobre el número 8. Para terminar simplificamos esa fracción. Podemos cancelar este número 8. Entonces es como si dividimos arriba y abajo por 8. Octava de 8 es 1 y octava de 8 también nos da 1. Entonces en el numerador nos ha quedado el producto de esos dos binomios u al cubo menos 2. Y eso multiplicado por 8 u al cubo menos 3. Revisamos si se puede hacer algo más, si de pronto esos dos paréntesis o estas dos expresiones pueden factorizarse otra vez de acuerdo con los casos conocidos y vemos que eso no es posible. Entonces ya podemos escribir por acá el resultado, es decir la factorización de ese trinomio. El primer factor nos dio u al cubo menos 2. Y el segundo factor nos dio 8 u al cubo menos 3. Para mayor tranquilidad podemos hacer la prueba de este ejercicio que consiste en multiplicar estos dos binomios. Vamos a escribirlos por acá. Tenemos u al cubo menos 2. Este es el primer factor o el primer binomio. Y el otro que es 8 u al cubo menos 3. Entonces vamos a aplicar la propiedad distributiva. Comenzamos con u al cubo que va a multiplicar a cada uno de estos dos términos. Nos queda u al cubo por 8 u al cubo, será 8 u a la 6. Recordemos que al multiplicar potencias de la misma base se suman los exponentes. Después u al cubo por menos 3 nos da menos 3 u al cubo. Ahora vamos a distribuir este término menos 2. Va a multiplicar a cada uno de esos términos. Entonces será menos 2 por 8 u al cubo es menos 16 u al cubo. Y menos 2 por menos 3 nos da más 6. Allí podemos hacer la reducción de términos semejantes. Son estos dos que contienen u al cubo. Entonces esto nos queda 8 u a la 6. Acá menos 3 u al cubo menos 16 u al cubo es menos 19 u al cubo. Recordemos que se operan los coeficientes y se conserva la parte literal con su exponente. Y finalmente tenemos más 6. Revisamos y vemos que se ha obtenido el trinomio original. Con esto comprobamos que el proceso de factorización de esta expresión es correcto. Gracias por ver el vídeo.

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SALUDO DESDE CARTAGENA DE INDIAS (COLOMBIA)

#julioprofe envía un saludo desde la ciudad de Cartagena de Indias, en Colombia. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Hola amigos, les saludo desde la hermosa ciudad de Cartagena de Indias, en la costa atlántica de mi bella Colombia. Por acá me encuentro tomando un descanso antes de retomar la producción de nuevos videos en el último trimestre de este año 2017. Bueno y por aquí me encontré con unos estudiantes de la Universidad Distrital de Bogotá, aquí se los presento. Bueno, aquí me cuentan que les ha servido los videos, que han pasado sus materias,growth en la evidencia!!! y también a seguirme en Facebook, Twitter e Instagram como arroba Julio Profenet, son las cuentas que administro. Un saludo a todos los estudiantes que me envían sus mensajes de agradecimiento y sus palabras de aprecio por el trabajo que vengo realizando, esta es la mayor motivación para yo seguir adelante con la construcción de este proyecto. A todos ustedes muchas gracias por seguir y apoyar mi trabajo educativo, les invito a suscribirse a las cuentas que administro. Un saludo para todos, bendiciones y éxitos en sus estudios, recuerden si pueden visiten Cartagena una ciudad hermosa en la costa atlántica de Colombia. ¡Gracias!

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15. ERRORES EN LA MEDIDA (Teoría)

Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España. Clase No. 15: Errores en la Medida (Teoría). Conceptos y ejemplos de mediciones (directas e indirectas) y errores (absoluto y relativo). Tema: Magnitudes Físicas y Unidades. Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → http://www.julioprofe.net

Las ciencias llamadas exactas como la física, la química o la astronomía se fundamentan en las mediciones. Medir una magnitud es compararla con otra de su misma especie, que se elige como unidad. Si utilizamos un instrumento de medida, decimos que hacemos una medición directa. Si debemos recurrir a cálculos matemáticos para obtener una medida, decimos que hacemos una medición indirecta. Por ejemplo, si vamos a determinar la densidad de un trozo de metal, podemos medir su masa con una balanza y su volumen, sumergiéndolo en agua dentro de una probeta. Para encontrar la densidad, debemos dividir el valor de la masa entre el valor del volumen. Entonces decimos que la masa y el volumen se determinaron por medición directa, y que la densidad fue encontrada por medición indirecta. Al resultado de medir algo se le llama medida. Obviamente al determinar cualquier medida, debemos proceder con gran cuidado, para que el resultado sea confiable. Sin embargo, es inevitable que una medida esté libre de error, bien sea por algún defecto del instrumento utilizado, desajuste, desgaste o las limitaciones del mismo, o simplemente por un imprevisto ocurrido durante el proceso de medición. Los errores en la medida pueden ser de dos clases, error absoluto y error relativo. El error absoluto de una medida es el valor absoluto de la diferencia entre el valor verdadero y el valor experimental de la magnitud que ha sido objeto de medición. Allí tenemos la expresión para el error absoluto. El hecho de que esté con valor absoluto es para garantizar que siempre nos de positivo. El error absoluto tiene la misma dimensión, es decir las mismas unidades que la magnitud que se mide. Por ejemplo, si estamos midiendo una masa en gramos, tanto el valor verdadero como el valor experimental estarán en gramos, luego el error absoluto será un valor también en gramos. El error relativo de una medida es el cosiente entre el error absoluto y el valor verdadero de la magnitud que ha sido objeto de medición. Allí tenemos la expresión para el error relativo. Vemos que es la división entre el error absoluto y el valor verdadero de la magnitud. El error relativo es adimensional, es decir que no tiene unidades y suele expresarse como porcentaje. Para llevar el dato del error relativo a porcentaje lo multiplicamos por 100. Veamos un ejemplo. Supongamos que nos piden medir la longitud de una viga de acero y de un tornillo. Obtenemos 799 centímetros para la viga y 9 centímetros para el tornillo. Si los valores verdaderos son 800 centímetros y 8 centímetros para la viga y el tornillo respectivamente, vamos a determinar el error absoluto y el error relativo para cada medida. Sabemos que el error absoluto es igual al valor absoluto de la diferencia entre el valor verdadero y el valor experimental. Para la viga de acero tenemos que el error absoluto es igual al valor absoluto de 800 centímetros que es el valor verdadero menos 799 centímetros que es el valor experimental. Eso nos da el valor absoluto de 1 centímetro y esto es igual a 1 centímetro positivo. Para el tornillo tenemos que el error absoluto es igual al valor absoluto de 8 centímetros que es el valor verdadero menos 9 centímetros que es el valor experimental. Eso nos da el valor absoluto de menos 1 centímetro y esto es igual a 1 centímetro positivo. Aquí podemos observar que el error absoluto de las medidas de la viga de acero y del tornillo son iguales. Sabemos que en ambos casos nos da 1 centímetro. Por otro lado, sabemos que el error relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor verdadero de la magnitud. Entonces para la viga de acero tenemos que su error relativo es igual a 1 centímetro dividido entre 800 centímetros. Esto es igual a 0.001 y para llevarlo a porcentaje lo multiplicamos por 100. Nos queda entonces como 0.1%. Para el tornillo tenemos que su error relativo es igual a 1 centímetro que es el error absoluto dividido entre 8 centímetros que es el valor verdadero de la medida del tornillo. Ese cociente nos da 0.1 y esto para llevarlo a porcentaje lo multiplicamos por 100. Nos queda entonces como 10%. Sabemos que ambas medidas tienen el mismo error absoluto, es decir 1 centímetro, tal como lo habíamos dicho anteriormente. Pero el error relativo en la medida de la longitud del tornillo es notablemente mayor que el de la viga de acero, 10% contra 0.1%. Con base en lo anterior podemos afirmar que se ha realizado una muy buena medición en la longitud de la viga y una pésima medición de la longitud del tornillo. Como conclusión tenemos que en toda medición el error relativo de una medida es el que nos permite decidir si esta es confiable o no.

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14. PRECISIÓN Y EXACTITUD

Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España. Clase No. 14: Precisión y Exactitud. Conceptos y ejemplos de incertidumbre, precisión y exactitud. Tema: Magnitudes Físicas y Unidades. Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → http://www.julioprofe.net

Sabemos que en la física juegan un papel protagónico las mediciones y que en ellas es muy probable cometer errores. Es importante establecer la incertidumbre de una medición. Esto se hace usando la notación más o menos y definiendo el número correcto de cifras significativas. Por ejemplo, si decimos que el tiempo que emplea un atleta en correr cierta distancia es 10.3 más o menos 0.1 segundos, la incertidumbre es más o menos 0.1 segundos y esto nos permite afirmar que, con toda seguridad, el tiempo está comprendido entre 10.2 segundos y 10.4 segundos. Esta medida consta de tres cifras significativas. Para establecer la incertidumbre se deben considerar dos atributos de las mediciones, la precisión y la exactitud. Aunque en el lenguaje cotidiano es común utilizar los términos precisión y exactitud como si fueran iguales, en física son dos conceptos que presentan diferencias técnicas. Veamos. Precisión hace referencia a la cercanía que varias medidas tengan entre sí. Depende del uso correcto del instrumento de medida por parte del observador. Exactitud se refiere a que tan cerca está la medición del valor real o verdadero. Depende del instrumento de medida. Se puede decir que la precisión es el grado de repetición de un valor y que la exactitud es el grado de veracidad. Para ilustrar gráficamente los conceptos de precisión y exactitud, veamos el clásico ejemplo de una diana para la práctica de tiro. El tirador hace seis disparos, que son como las mediciones. Los agujeros representan los resultados de las mediciones, mientras que el centro del blanco representa la verdad. Veamos. Primer intento. Uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis disparos. En este caso el tirador fue impreciso e inexacto. Impreciso porque los agujeros están separados unos de otros e inexacto porque estos mismos agujeros se encuentran lejos del centro del blanco. Segundo intento. Uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis disparos. En este caso el tirador fue impreciso y exacto. Impreciso porque los agujeros están separados unos de otros y exacto porque estos agujeros están cerca del centro del blanco. Tercer intento. Uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis disparos. En este caso el tirador fue preciso e inexacto. Preciso porque como vemos los agujeros están cerca unos de otros pero inexacto porque los agujeros están lejos del centro del blanco. Cuarto intento. Uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis disparos. En este caso el tirador fue preciso y exacto. Preciso porque los agujeros están cerca unos de otros y exacto porque se encuentran todos en el centro del blanco.

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MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS - Ejercicio 2

#julioprofe explica cómo multiplicar dos fracciones algebraicas. Tema: #FraccionesAlgebraicas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwGGB42_eqSoWl0q-5IyHwzT REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Para resolver esta multiplicación de fracciones algebraicas, comenzamos por transformar el primer componente. Y eso lo hacemos utilizando una propiedad de la potenciación. Si tenemos una fracción elevada a un exponente negativo como menos n, entonces es igual a b sobre a todo esto elevado al exponente n. Es decir, la fracción se invierte y el exponente cambia de signo. Si n toma el valor 1, nos quedaría entonces a sobre b a la menos 1 es igual a b sobre a todo esto entre paréntesis elevado al exponente 1, aplicando eso que tenemos allá. Pero recordemos que toda potencia con exponente 1 nos da lo que tenemos en la base. Es decir, ese exponente se vuelve invisible y nos queda únicamente esta cantidad, la cantidad que tenemos en la base. Entonces aplicando esto acá en el primer componente de la multiplicación, vamos a tener que nos queda la fracción invertida, es decir, m más 3 y todo esto sobre 6. Y esto queda multiplicando por esta fracción, donde ya podemos iniciar el proceso de factorización que se requiere siempre que vamos a multiplicar dos fracciones algebraicas. En esta ocasión podemos aplicar el primer caso de factorización que se llama factor común. En el numerador extraemos el máximo común divisor de 6, 15 y 9, que sería 3. Entonces si sacamos el 3, nos queda 2m al cuadrado en el primer término, luego menos 5m en el segundo término y después menos 3 en el tercer término. Ahora en el denominador también extraemos factor común, el máximo común divisor de 2 y 18 que es 2. Si sale el 2 nos queda m al cuadrado menos 9. Como decíamos para multiplicar fracciones algebraicas, lo primero que hay que hacer es factorizar completamente cada uno de los componentes, todos los numeradores y todos los denominadores. M más 3 no se puede factorizar, acá tampoco podemos hacer nada. Y acá vamos a factorizar esto que tenemos dentro de los paréntesis. Entonces comenzamos con esta expresión, vamos a escribirla por acá, 2m al cuadrado, después menos 5m menos 3. Y aquí vamos a utilizar el caso que se llama trinomio de la forma ax al cuadrado más bx más c. Vemos que este trinomio encaja perfectamente en ese modelo. Pues lo primero que tenemos que hacer es multiplicar y dividir esta expresión por el coeficiente principal, es decir por 2. Entonces nos queda 2 por 2m al cuadrado menos 5m menos 3. Protegemos el trinomio original con paréntesis y todo esto nos queda dividido entre 2. Entonces multiplicamos y dividimos el trinomio original por el coeficiente principal. Enseguida vamos a aplicar la propiedad distributiva en el numerador, vamos a destruir ese paréntesis multiplicando por 2 cada uno de estos términos. Pero en el segundo término vamos a dejar ese producto indicado. Veamos entonces cómo nos queda. 2 por 2m al cuadrado nos queda 4m al cuadrado, ahí se multiplica normalmente. Después aquí 2 por menos 5m lo organizamos como menos 5 por 2m. Esto es lo que se llama dejar el producto indicado. El número entra y se agrupa con la letra y el coeficiente original que es menos 5 queda por fuera. Después tenemos 2 por menos 3 que nos da menos 6. Y todo esto continúa sobre 2. Ahora vamos a expresar el primer término del trinomio como el cuadrado de lo que nos quedó encerrado en paréntesis en el segundo término. Es decir, 4m al cuadrado lo expresamos como 2m, todo esto entre paréntesis al cuadrado. Podemos verificar si eso es cierto. Recordemos que cuando en la potenciación tenemos un producto en la base, entonces el exponente afecta a cada uno de los factores. 2 al cuadrado sería 4 y queda acompañado de m al cuadrado. Entonces esto es equivalente a 4m al cuadrado. Lo demás permanece igual. Menos 5 por 2m, todo esto menos 6 y toda esa expresión continúa sobre 2. Ahora aquí vamos a utilizar un recurso que se llama cambio de variable. Vamos a utilizar una nueva letra, por ejemplo, u que es igual a 2m, este componente que se repite. Entonces vamos a reescribir esa expresión utilizando ese cambio de variable. Nos queda entonces aquí u al cuadrado, 2m se cambia por u, luego tenemos menos 5 por 2m, pero 2m se cambia por u, luego tenemos menos 6 y todo esto sobre 2. De esa manera lo que tenemos acá en el numerador corresponde a un trinomio de la forma x al cuadrado más bx más c. Entonces vamos a realizar la factorización de ese trinomio. Abrimos dos paréntesis, extraemos la raíz cuadrada del primer término que sería u, se escribe entonces esa letra al comienzo de cada paréntesis, después definimos los signos. Aquí tenemos signo positivo, más por menos nos da menos y menos por menos nos da más. Buscamos ahora dos números, uno negativo y otro positivo que al multiplicarlos entre sí nos de menos 6 y que al sumarlos nos de como resultado menos 5. Esos números son menos 6 y más 1 y todo esto nos queda sobre 2. Ahora donde tenemos u vamos a volver a escribir 2m, de esa manera deshacemos el cambio de variable y retornamos a la variable original que es m. Entonces nos queda esto, 2m menos 6 por 2m más 1 y todo esto sobre 2. Enseguida miramos si es posible extraer factor común de estos dos paréntesis que se formaron. En el primero tenemos los números 2 y 6, entonces se puede extraer el máximo común divisor de esos números que será el 2. Si sale el 2 como factor común nos queda m menos 3 dentro del paréntesis. Revisamos el otro paréntesis y vemos que no es posible extraer factor común, entonces se queda tal como está y todo esto continúa sobre 2. Para terminar esa factorización simplificamos estos dos números, eso es posible porque 2 está multiplicando en el numerador, entonces es como dividir por 2 arriba y abajo. Nos queda entonces m menos 3 que multiplica con este factor que es 2m más 1. Si efectuamos el producto de esos dos binomios aplicando propiedad distributiva a todos con todos y después haciendo la reducción de términos semejantes vamos a obtener el trinomio original. Entonces ya tenemos la factorización completa de este trinomio, es decir de este componente. Comenzamos ahora con esto que tenemos en el denominador m al cuadrado menos 9, allí utilizamos el caso llamado diferencia de cuadrados perfectos, entonces se extrae la raíz cuadrada de cada uno de esos términos, para el primero la raíz cuadrada nos da m y para el segundo la raíz cuadrada es 3, entonces se anotan esas dos cantidades en una suma y en una resta. Entonces m más 3 por m menos 3 es la factorización de esa diferencia de cuadrados perfectos. Ya con estas factorizaciones realizadas volvemos al ejercicio original, entonces en la primera fracción tenemos m más 3 todo esto sobre 6, decíamos que eso no se puede factorizar y en la segunda anotamos lo que se obtuvo después de hacer las factorizaciones, en el numerador 3 que multiplica con el resultado de ese trinomio que es m menos 3 y esto por 2 m más 1, aquí tenemos la factorización en el numerador y en el denominador tendremos 2 que multiplica con el resultado de la factorización de esa diferencia de cuadrados perfectos que es m más 3 por m menos 3. Ahora lo que sigue es ensamblar la operación, recordemos que para multiplicar fracciones se procede de manera horizontal, es decir multiplicamos numeradores entre sí y multiplicamos denominadores entre sí, entonces vamos con los numeradores, comenzamos con m más 3 que debemos proteger con paréntesis por ser un binomio, eso multiplica con 3, eso también con m menos 3 y a su vez multiplica con 2 m más 1, ahora vamos al denominador, tenemos 6 por 2 que multiplica con m más 3 y eso multiplica con m menos 3. Después de haber ensamblado la operación, es decir de llegar a esta fracción algebraica, procedemos a simplificarla y eso se hace eliminando los factores que estén repetidos arriba y abajo, es el caso por ejemplo de m más 3, también podemos eliminar m menos 3 y podemos simplificar números, por ejemplo tenemos aquí 3 que puede simplificarse con 6, decimos tercera de 3 es 1 y tercera de 6 nos da 2, es como dividir por 3 tanto en el numerador como en el denominador, revisamos y vemos que no es posible simplificar nada más, entonces ya procedemos a dar el resultado, entonces en el numerador nos ha quedado 2 m más 1 que multiplica con 1, es decir nos queda 2 m más 1 y en el denominador nos ha quedado 2 por 2 que es 4, de esa manera terminamos el ejercicio, esta es la respuesta, allí no se puede hacer nada más, por ejemplo sería un error pensar que 2 puede simplificarse con 4 porque 2 hace parte de este término que a su vez está sumando con 1, recordemos que para hacer simplificaciones se necesita que la cantidad o el componente que vamos a simplificar sea exclusivamente factor, es decir que esté multiplicando con todo lo demás que observemos, por esa razón este 2 y este 4 no se pueden simplificar.

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Ahora vamos"}, {"start": 242.79999999999998, "end": 248.26, "text": " a expresar el primer t\u00e9rmino del trinomio como el cuadrado de lo que nos qued\u00f3 encerrado"}, {"start": 248.26, "end": 256.03999999999996, "text": " en par\u00e9ntesis en el segundo t\u00e9rmino. Es decir, 4m al cuadrado lo expresamos como 2m,"}, {"start": 256.03999999999996, "end": 261.08, "text": " todo esto entre par\u00e9ntesis al cuadrado. Podemos verificar si eso es cierto. Recordemos que"}, {"start": 261.08, "end": 265.96, "text": " cuando en la potenciaci\u00f3n tenemos un producto en la base, entonces el exponente afecta a"}, {"start": 265.96, "end": 272.68, "text": " cada uno de los factores. 2 al cuadrado ser\u00eda 4 y queda acompa\u00f1ado de m al cuadrado. Entonces"}, {"start": 272.68, "end": 280.56, "text": " esto es equivalente a 4m al cuadrado. Lo dem\u00e1s permanece igual. 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Entonces vamos a realizar la factorizaci\u00f3n de ese"}, {"start": 330.6, "end": 336.52000000000004, "text": " trinomio. Abrimos dos par\u00e9ntesis, extraemos la ra\u00edz cuadrada del primer t\u00e9rmino que"}, {"start": 336.52000000000004, "end": 342.84000000000003, "text": " ser\u00eda u, se escribe entonces esa letra al comienzo de cada par\u00e9ntesis, despu\u00e9s definimos"}, {"start": 342.84000000000003, "end": 348.44, "text": " los signos. Aqu\u00ed tenemos signo positivo, m\u00e1s por menos nos da menos y menos por menos"}, {"start": 348.44, "end": 354.82000000000005, "text": " nos da m\u00e1s. Buscamos ahora dos n\u00fameros, uno negativo y otro positivo que al multiplicarlos"}, {"start": 354.82, "end": 361.71999999999997, "text": " entre s\u00ed nos de menos 6 y que al sumarlos nos de como resultado menos 5. Esos n\u00fameros"}, {"start": 361.71999999999997, "end": 370.06, "text": " son menos 6 y m\u00e1s 1 y todo esto nos queda sobre 2. Ahora donde tenemos u vamos a volver"}, {"start": 370.06, "end": 377.6, "text": " a escribir 2m, de esa manera deshacemos el cambio de variable y retornamos a la variable"}, {"start": 377.6, "end": 386.8, "text": " original que es m. Entonces nos queda esto, 2m menos 6 por 2m m\u00e1s 1 y todo esto sobre"}, {"start": 386.8, "end": 393.48, "text": " 2. Enseguida miramos si es posible extraer factor com\u00fan de estos dos par\u00e9ntesis que"}, {"start": 393.48, "end": 400.02000000000004, "text": " se formaron. En el primero tenemos los n\u00fameros 2 y 6, entonces se puede extraer el m\u00e1ximo"}, {"start": 400.02000000000004, "end": 406.0, "text": " com\u00fan divisor de esos n\u00fameros que ser\u00e1 el 2. Si sale el 2 como factor com\u00fan nos"}, {"start": 406.0, "end": 412.22, "text": " queda m menos 3 dentro del par\u00e9ntesis. Revisamos el otro par\u00e9ntesis y vemos que no es posible"}, {"start": 412.22, "end": 420.64, "text": " extraer factor com\u00fan, entonces se queda tal como est\u00e1 y todo esto contin\u00faa sobre 2."}, {"start": 420.64, "end": 425.36, "text": " Para terminar esa factorizaci\u00f3n simplificamos estos dos n\u00fameros, eso es posible porque"}, {"start": 425.36, "end": 432.12, "text": " 2 est\u00e1 multiplicando en el numerador, entonces es como dividir por 2 arriba y abajo. Nos"}, {"start": 432.12, "end": 442.06, "text": " queda entonces m menos 3 que multiplica con este factor que es 2m m\u00e1s 1. Si efectuamos"}, {"start": 442.06, "end": 447.18, "text": " el producto de esos dos binomios aplicando propiedad distributiva a todos con todos y"}, {"start": 447.18, "end": 454.2, "text": " despu\u00e9s haciendo la reducci\u00f3n de t\u00e9rminos semejantes vamos a obtener el trinomio original."}, {"start": 454.2, "end": 460.16, "text": " Entonces ya tenemos la factorizaci\u00f3n completa de este trinomio, es decir de este componente."}, {"start": 460.16, "end": 466.16, "text": " Comenzamos ahora con esto que tenemos en el denominador m al cuadrado menos 9, all\u00ed utilizamos"}, {"start": 466.16, "end": 472.66, "text": " el caso llamado diferencia de cuadrados perfectos, entonces se extrae la ra\u00edz cuadrada de cada"}, {"start": 472.66, "end": 477.66, "text": " uno de esos t\u00e9rminos, para el primero la ra\u00edz cuadrada nos da m y para el segundo"}, {"start": 477.66, "end": 485.96000000000004, "text": " la ra\u00edz cuadrada es 3, entonces se anotan esas dos cantidades en una suma y en una resta."}, {"start": 485.96, "end": 493.12, "text": " Entonces m m\u00e1s 3 por m menos 3 es la factorizaci\u00f3n de esa diferencia de cuadrados perfectos."}, {"start": 493.12, "end": 499.29999999999995, "text": " Ya con estas factorizaciones realizadas volvemos al ejercicio original, entonces en la primera"}, {"start": 499.29999999999995, "end": 506.41999999999996, "text": " fracci\u00f3n tenemos m m\u00e1s 3 todo esto sobre 6, dec\u00edamos que eso no se puede factorizar"}, {"start": 506.41999999999996, "end": 512.96, "text": " y en la segunda anotamos lo que se obtuvo despu\u00e9s de hacer las factorizaciones, en"}, {"start": 512.96, "end": 520.1600000000001, "text": " el numerador 3 que multiplica con el resultado de ese trinomio que es m menos 3 y esto por"}, {"start": 520.1600000000001, "end": 527.2800000000001, "text": " 2 m m\u00e1s 1, aqu\u00ed tenemos la factorizaci\u00f3n en el numerador y en el denominador tendremos"}, {"start": 527.2800000000001, "end": 533.36, "text": " 2 que multiplica con el resultado de la factorizaci\u00f3n de esa diferencia de cuadrados perfectos"}, {"start": 533.36, "end": 538.36, "text": " que es m m\u00e1s 3 por m menos 3."}, {"start": 538.36, "end": 544.64, "text": " Ahora lo que sigue es ensamblar la operaci\u00f3n, recordemos que para multiplicar fracciones"}, {"start": 544.64, "end": 551.36, "text": " se procede de manera horizontal, es decir multiplicamos numeradores entre s\u00ed y multiplicamos"}, {"start": 551.36, "end": 557.84, "text": " denominadores entre s\u00ed, entonces vamos con los numeradores, comenzamos con m m\u00e1s 3 que"}, {"start": 557.84, "end": 564.44, "text": " debemos proteger con par\u00e9ntesis por ser un binomio, eso multiplica con 3, eso tambi\u00e9n"}, {"start": 564.44, "end": 573.8000000000001, "text": " con m menos 3 y a su vez multiplica con 2 m m\u00e1s 1, ahora vamos al denominador, tenemos"}, {"start": 573.8000000000001, "end": 584.4000000000001, "text": " 6 por 2 que multiplica con m m\u00e1s 3 y eso multiplica con m menos 3."}, {"start": 584.4000000000001, "end": 589.6, "text": " Despu\u00e9s de haber ensamblado la operaci\u00f3n, es decir de llegar a esta fracci\u00f3n algebraica,"}, {"start": 589.6, "end": 596.16, "text": " procedemos a simplificarla y eso se hace eliminando los factores que est\u00e9n repetidos arriba y"}, {"start": 596.16, "end": 606.2, "text": " abajo, es el caso por ejemplo de m m\u00e1s 3, tambi\u00e9n podemos eliminar m menos 3 y podemos"}, {"start": 606.2, "end": 612.8000000000001, "text": " simplificar n\u00fameros, por ejemplo tenemos aqu\u00ed 3 que puede simplificarse con 6, decimos tercera"}, {"start": 612.8, "end": 619.7199999999999, "text": " de 3 es 1 y tercera de 6 nos da 2, es como dividir por 3 tanto en el numerador como en"}, {"start": 619.7199999999999, "end": 625.16, "text": " el denominador, revisamos y vemos que no es posible simplificar nada m\u00e1s, entonces ya"}, {"start": 625.16, "end": 631.4799999999999, "text": " procedemos a dar el resultado, entonces en el numerador nos ha quedado 2 m m\u00e1s 1 que"}, {"start": 631.4799999999999, "end": 638.4399999999999, "text": " multiplica con 1, es decir nos queda 2 m m\u00e1s 1 y en el denominador nos ha quedado 2 por"}, {"start": 638.44, "end": 647.2, "text": " 2 que es 4, de esa manera terminamos el ejercicio, esta es la respuesta, all\u00ed no se puede hacer"}, {"start": 647.2, "end": 653.96, "text": " nada m\u00e1s, por ejemplo ser\u00eda un error pensar que 2 puede simplificarse con 4 porque 2 hace"}, {"start": 653.96, "end": 660.0, "text": " parte de este t\u00e9rmino que a su vez est\u00e1 sumando con 1, recordemos que para hacer simplificaciones"}, {"start": 660.0, "end": 666.0, "text": " se necesita que la cantidad o el componente que vamos a simplificar sea exclusivamente"}, {"start": 666.0, "end": 671.36, "text": " factor, es decir que est\u00e9 multiplicando con todo lo dem\u00e1s que observemos, por esa raz\u00f3n"}, {"start": 671.36, "end": 699.6800000000001, "text": " este 2 y este 4 no se pueden simplificar."}]

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13. CIFRAS SIGNIFICATIVAS (Ejercicio 2)

Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España. Clase No. 13: Cifras Significativas (Ejercicio 2). Expresar la suma de las siguientes longitudes con el número correcto de cifras significativas: 235.8 cm, 2.13 m y 3782 mm. Tema: Magnitudes Físicas y Unidades. Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → http://www.julioprofe.net

En esta ocasión debemos realizar la suma de tres longitudes que se encuentran expresadas en diferentes unidades de medida. Vamos a uniformizar todo, por ejemplo llevándolas a metros. Podemos pasar de centímetros a metros, de milímetros a metros, para que las tres cantidades sean compatibles con esta que está en metros. Entonces tenemos lo siguiente, esta magnitud llevándola a metros, lo que tenemos que hacer es correr el punto hacia la izquierda dos lugares, es como dividir por cien, entonces nos queda dos punto treinta y cinco, ocho metros, más esta que nos sufre modificación dos punto trece metros, más esta cantidad que está en milímetros y debemos llevarla a metros. Entonces para pasar de milímetros a metros dividimos por mil. Este número tiene su punto decimal acá a la derecha, entonces lo que hacemos es correrlo hacia la izquierda tres lugares y nos quedaría tres punto setecientos ochenta y dos en metros. Allí ya tenemos entonces los tres números decimales, las tres longitudes expresadas en metros. Dice la regla para la suma teniendo en cuenta las cifras significativas que controla el dato que tenga menos lugares decimales, es decir el dato de menor precisión. Entonces vemos que este dato es el que tiene dos lugares decimales mientras que los otros dos tienen tres lugares decimales, por lo tanto este es el que controla. Luego antes de hacer la suma debemos ajustar estos datos, los de los extremos a dos lugares decimales, entonces nos va a quedar de la siguiente manera, este número a dos lugares decimales nos queda como dos punto treinta y seis, este ocho aproxima el cinco al siguiente dígito que es seis y de esa manera queda redondeado a dos lugares decimales, dos punto trece lo dejamos igual y acá tres punto setecientos ochenta y dos redondeándolo a dos decimales nos queda como tres punto setenta y ocho metros, este dos no afecta a este ocho por lo tanto se queda igual. Allí ya podemos realizar la suma de esos tres decimales, eso nos da un total de ocho punto veintisiete metros y esta sería entonces la respuesta. Muchas gracias.

[{"start": 0.0, "end": 23.080000000000002, "text": " En esta ocasi\u00f3n debemos realizar la suma de tres longitudes que se encuentran expresadas"}, {"start": 23.080000000000002, "end": 26.32, "text": " en diferentes unidades de medida."}, {"start": 26.32, "end": 31.72, "text": " Vamos a uniformizar todo, por ejemplo llev\u00e1ndolas a metros."}, {"start": 31.72, "end": 37.64, "text": " Podemos pasar de cent\u00edmetros a metros, de mil\u00edmetros a metros, para que las tres cantidades"}, {"start": 37.64, "end": 42.120000000000005, "text": " sean compatibles con esta que est\u00e1 en metros."}, {"start": 42.120000000000005, "end": 48.3, "text": " Entonces tenemos lo siguiente, esta magnitud llev\u00e1ndola a metros, lo que tenemos que hacer"}, {"start": 48.3, "end": 55.519999999999996, "text": " es correr el punto hacia la izquierda dos lugares, es como dividir por cien, entonces nos queda"}, {"start": 55.52, "end": 65.84, "text": " dos punto treinta y cinco, ocho metros, m\u00e1s esta que nos sufre modificaci\u00f3n dos punto"}, {"start": 65.84, "end": 73.68, "text": " trece metros, m\u00e1s esta cantidad que est\u00e1 en mil\u00edmetros y debemos llevarla a metros."}, {"start": 73.68, "end": 78.34, "text": " Entonces para pasar de mil\u00edmetros a metros dividimos por mil."}, {"start": 78.34, "end": 83.80000000000001, "text": " Este n\u00famero tiene su punto decimal ac\u00e1 a la derecha, entonces lo que hacemos es correrlo"}, {"start": 83.8, "end": 91.8, "text": " hacia la izquierda tres lugares y nos quedar\u00eda tres punto setecientos ochenta y dos en metros."}, {"start": 91.8, "end": 97.44, "text": " All\u00ed ya tenemos entonces los tres n\u00fameros decimales, las tres longitudes expresadas"}, {"start": 97.44, "end": 98.44, "text": " en metros."}, {"start": 98.44, "end": 105.03999999999999, "text": " Dice la regla para la suma teniendo en cuenta las cifras significativas que controla el"}, {"start": 105.03999999999999, "end": 111.36, "text": " dato que tenga menos lugares decimales, es decir el dato de menor precisi\u00f3n."}, {"start": 111.36, "end": 117.8, "text": " Entonces vemos que este dato es el que tiene dos lugares decimales mientras que los otros"}, {"start": 117.8, "end": 122.72, "text": " dos tienen tres lugares decimales, por lo tanto este es el que controla."}, {"start": 122.72, "end": 129.68, "text": " Luego antes de hacer la suma debemos ajustar estos datos, los de los extremos a dos lugares"}, {"start": 129.68, "end": 136.64, "text": " decimales, entonces nos va a quedar de la siguiente manera, este n\u00famero a dos lugares"}, {"start": 136.64, "end": 143.11999999999998, "text": " decimales nos queda como dos punto treinta y seis, este ocho aproxima el cinco al siguiente"}, {"start": 143.11999999999998, "end": 150.88, "text": " d\u00edgito que es seis y de esa manera queda redondeado a dos lugares decimales, dos punto"}, {"start": 150.88, "end": 160.11999999999998, "text": " trece lo dejamos igual y ac\u00e1 tres punto setecientos ochenta y dos redonde\u00e1ndolo a dos decimales"}, {"start": 160.12, "end": 166.8, "text": " nos queda como tres punto setenta y ocho metros, este dos no afecta a este ocho por"}, {"start": 166.8, "end": 168.6, "text": " lo tanto se queda igual."}, {"start": 168.6, "end": 175.56, "text": " All\u00ed ya podemos realizar la suma de esos tres decimales, eso nos da un total de ocho"}, {"start": 175.56, "end": 192.16, "text": " punto veintisiete metros y esta ser\u00eda entonces la respuesta."}, {"start": 192.16, "end": 206.24, "text": " Muchas gracias."}]

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12. CIFRAS SIGNIFICATIVAS (Ejercicio 1)

Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España. Clase No. 12: Cifras Significativas (Ejercicio 1). Hallar el área de un rectángulo de 14.4 cm de largo y 5.7 cm de ancho, expresándola con el número correcto de cifras significativas. Tema: Magnitudes Físicas y Unidades. Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → http://www.julioprofe.net

Sabemos que el área de un rectángulo es igual al producto de su base por su altura, la base o el largo multiplicado por la altura o ancho. En este caso tenemos que la base de ese rectángulo es 14.4 centímetros y que la altura es de 5.7 centímetros. Estos son los datos que nos da el problema. Como vamos a realizar el producto teniendo en cuenta las cifras significativas, lo recomendable es escribir ambas magnitudes en notación científica. Entonces 14.4 lo escribiríamos como 1.44 por 10 a la 1, eso está en centímetros y eso multiplicado por 5.7, ya se encuentra expresado en notación científica o si queremos podemos acompañarlo de la potencia 10 a la 0, porque el punto no se moviliza para ningún lado. En este caso si vimos que el punto se debe correr un lugar hacia la izquierda para expresarlo como notación científica. A continuación analizamos la cantidad de cifras significativas de cada número. Podemos ver que en 14.4 centímetros al llevarlo a notación científica, esta cantidad nos dice cuantas cifras significativas tenemos. Vemos tres cifras significativas. Y para el caso de 5.7 que expresado en notación científica es así, vemos que tiene dos cifras significativas. Entonces la regla para la multiplicación de números teniendo en cuenta las cifras significativas nos dice que controla el dato que tenga menor cantidad de cifras significativas. Luego nuestro resultado debe tener dos cifras significativas. Entonces hacemos lo siguiente, multiplicamos 1.44 por 5.7, lo podemos hacer en la calculadora, eso nos da 8.208. Y eso multiplicado por 10 a la 1 por 10 a la 0, eso nos queda finalmente 10 a la 1, recordemos que 10 a la 0 es 1 por lo tanto queda 10 a la 1. Y centímetros por centímetros nos queda centímetros cuadrados, las unidades correspondientes al área, en este caso del rectángulo. Pero como decíamos el resultado debe quedar con dos cifras significativas. Como esto ya está en notación científica, lo que hacemos es realizar el redondeo en esta cantidad de tal forma que nos quede con dos cifras significativas. Luego esto nos queda como 8.2, este cero no modifica este 2 y allí nos queda redondeado a dos cifras y esto acompañado de la potencia 10 a la 1 que se encuentra en centímetros cuadrados. Finalmente podríamos deshacer la notación científica, entonces el número 8.2 por 10 a la 1 eso nos da 82 centímetros cuadrados, que sería entonces el dato correcto del área del rectángulo teniendo en cuenta las reglas de cifras significativas en este caso para la multiplicación.

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11. CIFRAS SIGNIFICATIVAS (Teoría)

Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España. Clase No. 11: Cifras Significativas (Teoría). Concepto y ejemplos de cifras significativas. Tema: Magnitudes Físicas y Unidades. Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → http://www.julioprofe.net

En física, cuando se realiza la medición de una magnitud, se obtiene un valor numérico que va acompañado de una unidad. Por ejemplo, al medir la longitud de una barra con una regla graduada en centímetros y milímetros, obtenemos 13.7 centímetros. Allí podemos apreciar la figura. En esta medida tenemos total seguridad de los dos primeros dígitos, el 1 y el 3. Sin embargo, puede haber un error en el último dígito, el 7. Esto se debe a que ninguna medición es totalmente precisa. En las mediciones siempre existe una incertidumbre que obedece a la limitada exactitud de todo instrumento utilizado para medir y lo difícil que resulta tomar la lectura más allá de la división más pequeña. En este caso, la regla utilizada tiene una exactitud de 0.1 centímetros, es decir, 1 milímetro, que es la división más pequeña que presenta este instrumento de medida. Por eso resulta conveniente escribir la longitud de la barra como 13.7 más o menos 0.1 centímetros. El más o menos 0.1 centímetros representa la incertidumbre de la medición, de manera que la longitud real de la barra seguramente estará entre 13.6 centímetros y 13.8 centímetros. Se llaman cifras significativas de una medida a la cantidad de dígitos conocidos con certeza, o sea, el número de dígitos seguros más el dígito dudoso. En el ejemplo anterior, donde la medida de la longitud de la barra es 13.7 centímetros, tenemos tres cifras significativas, dos dígitos seguros, el 1 y el 3, más 1 dudoso, el 7. Si se utiliza un instrumento de mayor exactitud y la longitud se determina como 13.70 centímetros, tendremos cuatro cifras significativas, y por lo tanto, una medida más precisa. Para evitar confusiones al momento de determinar las cifras significativas del valor numérico de una medida, es recomendable usar la notación científica, o notación en potencias de 10, teniendo en cuenta el nivel de confiabilidad del dato. Cuando las cantidades se expresan de esta forma, todos los dígitos que multiplican la potencia de 10 son significativos. Por ejemplo, si tenemos una distancia de 280 metros, al expresarla en notación científica nos queda como 2.8 por 10 a la 2 metros, y esto tiene dos cifras significativas. Vemos que el número que acompaña a la potencia de 10 tiene dos dígitos, estos son los dígitos significativos. Si tenemos una masa de 120.0 kilogramos, expresada en notación científica nos queda como 1.20 por 10 a la 2 kilogramos, y esta cifra tiene tres dígitos significativos, o tres cifras significativas. Son los tres dígitos del número que acompaña a la potencia de 10. Más ejemplos, veamos el número 1.4.100. En notación científica nos queda 1.0041 por 10 a la 6, este número tiene cinco cifras significativas, vemos que el número que acompaña a la potencia de 10 tiene cinco dígitos. El número 0.00039, expresado en notación científica nos queda 3.9 por 10 a la menos 4, este número tiene dos cifras significativas, vemos que la cantidad que acompaña a la potencia de 10 tiene dos dígitos. El número 25.84, expresado en notación científica nos queda 2.584 por 10 a la 1, este tiene cuatro cifras significativas. El número 0.0721, en notación científica nos queda 7.21 por 10 a la menos 2, esta cantidad tiene tres cifras significativas. Es muy importante no confundir el número de lugares decimales con el número de cifras significativas. Por ejemplo, el número 0.00039 tiene cinco lugares decimales y vemos que tiene dos cifras significativas. El número 25.84 tiene dos lugares decimales y tiene cuatro cifras significativas. Entonces, es muy importante no confundir esos dos términos. Más para las operaciones con cifras significativas. Al sumar o restar números decimales, estos deben ajustarse con base en el dato de menor precisión antes de efectuar la operación. En otros términos, controla el número que tenga menos lugares decimales. Por ejemplo, si tenemos 24.6 más 3.72, esto será igual a 24.6 más 3.7, vemos que aquí controla 24.6 porque es el número que tiene menos decimales. Entonces, el 3.72 se debe redondear a una cifra decimal, por esa razón queda como 3.7 y esa suma nos da como resultado 28.3. Miremos otro ejemplo, 17.89 menos 11.4, en este caso controla el 11.4 porque tiene una sola cifra decimal. Por lo tanto, 17.89 debe redondearse a una cifra decimal, por esa razón queda como 17.9. Al efectuar esa resta nos da como resultado 6.5. Al multiplicar o dividir números decimales conviene expresarlos en notación científica antes de efectuar la operación. Esa es la menor cantidad de cifras significativas y el resultado debe tener esa misma cantidad. Por ejemplo, si tenemos 417.8 multiplicado por 53.2, entonces expresamos ambos números en notación científica, allí los podemos apreciar. Convemos la operación de 4.178 por 5.32 y eso nos da 22.226.96. Efectuamos también la operación de las potencias de 10, 10 a la 2 multiplicado por 10 a la 1 nos da 10 a la 3, recordemos que allí se deja la misma base y se suman los exponentes. Pero como dice la instrucción que tenemos en esta imagen, el resultado debe tener la cantidad de cifras significativas menor. Como podemos ver el número 5.32 tiene 3 cifras significativas y este es el que controla, el otro tiene 4 cifras significativas. Por lo tanto nuestro resultado, este número de aquí, debe tener 3 cifras significativas. Haciendo la aproximación a ese número de cifras nos queda 22.2 por 10 a la 3, es decir la potencia de 10 se conserva intacta. Finalmente si queremos podemos deshacer la notación científica y esto nos queda como resultado 22.200.

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confundir el n\u00famero de lugares decimales con el n\u00famero de cifras"}, {"start": 307.04, "end": 308.8, "text": " significativas."}, {"start": 308.8, "end": 319.06, "text": " Por ejemplo, el n\u00famero 0.00039 tiene cinco lugares decimales y vemos que tiene dos cifras"}, {"start": 319.06, "end": 321.16, "text": " significativas."}, {"start": 321.16, "end": 330.56, "text": " El n\u00famero 25.84 tiene dos lugares decimales y tiene cuatro cifras significativas."}, {"start": 330.56, "end": 336.04, "text": " Entonces, es muy importante no confundir esos dos t\u00e9rminos."}, {"start": 336.04, "end": 339.92, "text": " M\u00e1s para las operaciones con cifras significativas."}, {"start": 339.92, "end": 344.96000000000004, "text": " Al sumar o restar n\u00fameros decimales, estos deben ajustarse con base en el dato de menor"}, {"start": 344.96000000000004, "end": 348.52000000000004, "text": " precisi\u00f3n antes de efectuar la operaci\u00f3n."}, {"start": 348.52000000000004, "end": 354.48, "text": " En otros t\u00e9rminos, controla el n\u00famero que tenga menos lugares decimales."}, {"start": 354.48, "end": 364.66, "text": " Por ejemplo, si tenemos 24.6 m\u00e1s 3.72, esto ser\u00e1 igual a 24.6 m\u00e1s 3.7, vemos que aqu\u00ed"}, {"start": 364.66, "end": 369.44, "text": " controla 24.6 porque es el n\u00famero que tiene menos decimales."}, {"start": 369.44, "end": 378.62, "text": " Entonces, el 3.72 se debe redondear a una cifra decimal, por esa raz\u00f3n queda como 3.7"}, {"start": 378.62, "end": 382.96000000000004, "text": " y esa suma nos da como resultado 28.3."}, {"start": 382.96000000000004, "end": 392.34000000000003, "text": " Miremos otro ejemplo, 17.89 menos 11.4, en este caso controla el 11.4 porque tiene una"}, {"start": 392.34000000000003, "end": 394.64000000000004, "text": " sola cifra decimal."}, {"start": 394.64, "end": 404.59999999999997, "text": " Por lo tanto, 17.89 debe redondearse a una cifra decimal, por esa raz\u00f3n queda como 17.9."}, {"start": 404.59999999999997, "end": 410.36, "text": " Al efectuar esa resta nos da como resultado 6.5."}, {"start": 410.36, "end": 416.03999999999996, "text": " Al multiplicar o dividir n\u00fameros decimales conviene expresarlos en notaci\u00f3n cient\u00edfica"}, {"start": 416.03999999999996, "end": 419.12, "text": " antes de efectuar la operaci\u00f3n."}, {"start": 419.12, "end": 427.2, "text": " Esa es la menor cantidad de cifras significativas y el resultado debe tener esa misma cantidad."}, {"start": 427.2, "end": 436.76, "text": " Por ejemplo, si tenemos 417.8 multiplicado por 53.2, entonces expresamos ambos n\u00fameros"}, {"start": 436.76, "end": 441.28000000000003, "text": " en notaci\u00f3n cient\u00edfica, all\u00ed los podemos apreciar."}, {"start": 441.28, "end": 452.03999999999996, "text": " Convemos la operaci\u00f3n de 4.178 por 5.32 y eso nos da 22.226.96."}, {"start": 452.03999999999996, "end": 456.91999999999996, "text": " Efectuamos tambi\u00e9n la operaci\u00f3n de las potencias de 10, 10 a la 2 multiplicado por 10 a la"}, {"start": 456.91999999999996, "end": 464.52, "text": " 1 nos da 10 a la 3, recordemos que all\u00ed se deja la misma base y se suman los exponentes."}, {"start": 464.52, "end": 470.03999999999996, "text": " Pero como dice la instrucci\u00f3n que tenemos en esta imagen, el resultado debe tener la"}, {"start": 470.04, "end": 474.20000000000005, "text": " cantidad de cifras significativas menor."}, {"start": 474.20000000000005, "end": 482.64000000000004, "text": " Como podemos ver el n\u00famero 5.32 tiene 3 cifras significativas y este es el que controla,"}, {"start": 482.64000000000004, "end": 485.92, "text": " el otro tiene 4 cifras significativas."}, {"start": 485.92, "end": 493.24, "text": " Por lo tanto nuestro resultado, este n\u00famero de aqu\u00ed, debe tener 3 cifras significativas."}, {"start": 493.24, "end": 500.72, "text": " Haciendo la aproximaci\u00f3n a ese n\u00famero de cifras nos queda 22.2 por 10 a la 3, es decir"}, {"start": 500.72, "end": 503.8, "text": " la potencia de 10 se conserva intacta."}, {"start": 503.8, "end": 508.24, "text": " Finalmente si queremos podemos deshacer la notaci\u00f3n cient\u00edfica y esto nos queda como"}, {"start": 508.24, "end": 535.44, "text": " resultado 22.200."}]

julioprofe

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FACTORIZAR POR EVALUACIÓN (CON DIVISIÓN SINTÉTICA) - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo factorizar un polinomio de tercer grado por el Método de Evaluación, usando la División Sintética. Tema: #Factorización de polinomios → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEvndM0YBHiH1LXxjkP0r8d REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a factorizar completamente este polinomio que tiene cuatro términos. Comenzamos revisando los casos principales de factorización, que son estos siete. Entonces, como siempre, empezamos revisando si hay factor común. Vemos entonces si en esos cuatro términos hay algo que podamos extraer. Vemos que no es posible. Entonces, descartamos el primer caso de factorización, factor común. Como tenemos cuatro términos, podemos descartar aquellos casos que son para binomios, es decir, para expresiones de dos términos, como son la diferencia de cuadrados y el caso siete, que es suma y diferencia de cubos. Por la misma razón, es decir, porque este polinomio tiene cuatro términos, podemos descartar los casos que corresponden a trinomios, como son el caso cuatro, el caso cinco y el caso seis. Nos queda por revisar el caso número dos, factor común por agrupación de términos, que suele aplicarse en polinomios como este, que tienen cuatro, incluso seis, ocho o más términos, siempre y cuando la cantidad de términos sea un número par. Entonces, vamos a ver si ese caso funciona. Vemos la agrupación de términos, vamos a agrupar con paréntesis los dos primeros y también los dos últimos. Allí colocamos tranquilamente esos paréntesis porque tanto el primero como el tercer término están precedidos de signo positivo. Ahora, en el primer grupo que formamos, allí se puede extraer como factor común x al cuadrado. Si sale x cuadrado, nos queda x menos cinco. Y en el segundo grupo que formamos, se puede extraer como factor común el número dos. Si sale el dos, nos queda x más cuatro. Digamos que hasta allí todo va muy bien, pero llegamos a una expresión que tiene dos términos donde no hay un factor repetido. Por lo tanto, eso nos dice que el caso número dos tampoco podemos aplicarlo. Entonces, como no sirvió ninguno de los siete casos principales de factorización, vamos a utilizar aquel que se llama factorización por evaluación, es decir, el que se realiza mediante la división sintética. Para ello comenzamos determinando el conjunto de valores de P, que son los divisores del término independiente, es decir, divisores de ocho. Veamos, sería más o menos uno, comenzamos por el menor, más o menos dos, más o menos cuatro y más o menos ocho. Es decir, los divisores enteros de ocho. Por eso consideramos las dos opciones, la positiva y la negativa. Una manera de determinar que este conjunto está completo es hacer este apareamiento de números para ver que su producto sea ocho. Allí vemos entonces que dos por cuatro es ocho, uno por ocho nos da ocho y no queda sobrando ningún número. Eso quiere decir que este conjunto de divisores de ocho está completo. Enseguida vamos a determinar el conjunto de valores de Q, que son los divisores del coeficiente principal, es decir, el coeficiente de este término, que es el que tiene mayor grado o mayor exponente. El coeficiente es uno, lo tenemos aquí invisible, entonces los divisores de uno serán más o menos uno. También son los divisores enteros. Ahora, los posibles valores a examinar en ese polinomio, es decir, los que vamos a utilizar en el método de evaluación son las posibles combinaciones P sobre Q que podamos obtener de acá. Es decir, tomamos cada valor del conjunto P y lo dividimos entre cada valor del conjunto Q. En ese caso sería uno dividido entre uno, pues eso nos da más o menos uno, dos entre uno nos da más o menos dos, después cuatro dividido entre uno nos da más o menos cuatro y finalmente ocho entre uno nos da más o menos ocho. En definitiva lo que se obtiene es el mismo conjunto de divisores de ocho. Entonces estos serán los números que vamos a utilizar en el método de evaluación. Vamos a iniciarlo. Comenzamos verificando que el polinomio esté organizado en forma descendente. Efectivamente esa condición se cumple. Empieza con grado tres, luego pasa a grado dos, aquí tenemos grado uno y acá sería grado cero, el que corresponde al término independiente. Entonces vamos a anotar acá los coeficientes de esos términos que repetimos ya están ordenados en forma descendente o decreciente. Comenzamos con el coeficiente principal, el que decíamos que corresponde al primer término, después sigue menos cinco, después tenemos dos y finalmente ocho. Para mayor tranquilidad podemos escribir encima de cada número a qué término corresponde. Entonces tenemos que uno es el coeficiente de x al cubo, menos cinco es coeficiente de x al cuadrado, dos es coeficiente de x y ocho es el término independiente en ese polinomio. Ahora sí comenzamos con el método de evaluación. Vamos a examinar el valor uno positivo. Entonces este número lo traemos acá, lo bajamos tal como está, decimos uno por uno, nos da uno, sumamos en forma vertical, menos cinco más uno es menos cuatro, luego menos cuatro por uno, eso nos da menos cuatro, sumamos en forma vertical, dos sumado con menos cuatro nos da menos dos, menos dos por uno es menos dos, sumamos verticalmente, ocho con menos dos y eso nos da seis. Como aquí no obtenemos cero, que es lo que buscamos, entonces este primer valor se descarta. Pasamos a examinar el siguiente valor que es menos uno. Entonces, de nuevo, este número lo traemos acá, baja tal como está, decimos uno por menos uno, eso nos da como resultado menos uno, sumamos en forma vertical, menos cinco sumado con menos uno nos da menos seis, menos seis por menos uno nos da seis positivo, sumamos en forma vertical, dos más seis es ocho, ocho por menos uno nos da menos ocho y al sumar en forma vertical eso nos da cero, que es lo que estamos buscando. Entonces, x igual a menos uno se acepta. De aquí podemos obtener el primer factor de ese polinomio, para ello pasamos este número al otro lado, al lado izquierdo, de tal forma que acá en el lado derecho nos quede cero. Entonces, si uno está aquí negativo, llega al lado izquierdo con signo positivo, nos queda x más uno igual a cero, es como sumar uno a ambos lados de la igualdad. Y aquí tenemos el primer factor de ese polinomio, vamos a escribirlo por acá, el primer factor será x más uno y lo protegemos con paréntesis. Ahora con estos números que quedan a la izquierda de cero, es decir, con estos valores, se construye un polinomio que será de un grado menos que el original, este era de grado tres, ahora este será de grado dos. Entonces uno será el coeficiente de x al cuadrado, menos seis será el coeficiente de x y ocho será el término independiente. Entonces, ese polinomio nos queda así, x al cuadrado, aquí ya tenemos coeficiente uno, después menos seis x y después más ocho. En realidad es un trinomio que vamos a ver si podemos factorizar utilizando alguno de los casos principales de factorización que mencionamos al comienzo. Si hacemos la revisión de esos siete casos, encontramos que esta expresión encaja perfectamente con el caso número cinco, que se llama trinomio de la forma x al cuadrado más bx más c. Entonces vamos a intentar la factorización por ese camino, abrimos dos paréntesis, extraemos la raíz cuadrada del primer término, raíz cuadrada de x al cuadrado nos da x, se anota esa letra al comienzo de cada paréntesis, después definimos los signos, aquí tenemos signo positivo, más por menos nos da menos en el primer paréntesis y menos por más nos da menos en el segundo paréntesis. Entonces ahora buscamos dos números negativos que multiplicados entre sí nos den más ocho y que al sumarlos nos de como resultado menos seis. Si hacemos la búsqueda encontramos que esos números son menos cuatro y menos dos. Entonces aquí ya tenemos los otros dos factores de ese polinomio, vamos a escribirlos acá enseguida del que ya habíamos determinado, son los factores x menos cuatro y x menos dos. Entonces, esto que tenemos acá después del signo igual, es decir la multiplicación de estos tres binomios sencillos constituyen la factorización completa de ese polinomio de cuatro términos. Para mayor tranquilidad podemos hacer la prueba del ejercicio que consiste en resolver este producto de binomios. Entonces vamos a efectuar la prueba y vamos a utilizar lo que se llama la propiedad asociativa de la multiplicación. Cuando tenemos la multiplicación de tres cantidades, entonces podemos asociar las dos primeras para multiplicar eso por la tercera o también podemos asociar o agrupar las dos últimas para que ese resultado sea multiplicado por la primera. En este caso podríamos asociar las dos primeras cantidades, las dos primeros binomios que serán x más uno por x menos cuatro, allí debemos utilizar corchetes para efectuar esa asociación o agrupación y eso queda multiplicando con x menos dos. Entonces vamos a resolver este producto de binomios utilizando la propiedad distributiva. Vemos entonces que primero se distribuye este término, entonces tenemos que x por x nos da x al cuadrado, después x por menos cuatro es menos cuatro x, ahora vamos a distribuir este número uno positivo, eso nos queda entonces, más uno por x es más x y más uno por menos cuatro es menos cuatro. Esto lo tenemos protegido con corchetes y a su vez multiplicando con x menos dos. Antes de hacer esta multiplicación vamos a reducir términos semejantes en este polinomio, es el caso de estos dos que contienen la x. Entonces vamos a continuar por acá, ya podemos cambiar esos corchetes por paréntesis y nos queda x al cuadrado, después la operación de esos términos semejantes, menos cuatro x más x es menos tres x y luego tenemos menos cuatro. Cerramos el paréntesis que protege esa expresión y eso nos queda multiplicando con x menos dos. Ahora vamos a efectuar la multiplicación de este trinomio por este binomio, entonces aplicamos la propiedad distributiva, vamos a comenzar con este término, vamos a distribuir x al cuadrado, entonces tenemos x cuadrado por x nos da x al cubo, x cuadrado por menos dos nos da menos dos x al cuadrado. Vamos ahora a distribuir este término menos tres x, entonces va a multiplicar a cada uno de estos dos términos, es decir, menos tres x por x nos da menos tres x al cuadrado, después menos tres x por menos dos, eso nos da más seis x y finalmente distribuimos ese término menos cuatro que va a multiplicar a cada uno de estos términos, entonces menos cuatro por x nos da menos cuatro x y menos cuatro por menos dos nos da más ocho. Finalmente reducimos términos semejantes en toda esa expresión que obtuvimos, vamos a seguir por acá, comenzamos con el término de mayor grado o mayor exponente que es x al cubo, después los que tienen x al cuadrado, es el caso de estos dos, si hacemos la suma de esos términos semejantes nos da menos cinco x al cuadrado, después tenemos aquellos términos que contienen la x también son semejantes, entonces la operación de ellos dos da como resultado más dos x y finalmente tenemos el término independiente que es más ocho. Como vemos se ha obtenido el polinomio original organizado en forma descendente o decreciente, con eso confirmamos que esto que obtuvimos es correcto, se trata de la factorización completa del polinomio original.

[{"start": 0.0, "end": 8.72, "text": " Vamos a factorizar completamente este polinomio que tiene cuatro t\u00e9rminos."}, {"start": 8.72, "end": 14.24, "text": " Comenzamos revisando los casos principales de factorizaci\u00f3n, que son estos siete."}, {"start": 14.24, "end": 19.080000000000002, "text": " Entonces, como siempre, empezamos revisando si hay factor com\u00fan."}, {"start": 19.080000000000002, "end": 23.96, "text": " Vemos entonces si en esos cuatro t\u00e9rminos hay algo que podamos extraer."}, {"start": 23.96, "end": 25.6, "text": " Vemos que no es posible."}, {"start": 25.6, "end": 31.240000000000002, "text": " Entonces, descartamos el primer caso de factorizaci\u00f3n, factor com\u00fan."}, {"start": 31.240000000000002, "end": 38.400000000000006, "text": " Como tenemos cuatro t\u00e9rminos, podemos descartar aquellos casos que son para binomios, es decir,"}, {"start": 38.400000000000006, "end": 44.44, "text": " para expresiones de dos t\u00e9rminos, como son la 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m\u00e1s o menos uno, comenzamos por el menor, m\u00e1s o menos dos, m\u00e1s o menos"}, {"start": 161.56, "end": 165.2, "text": " cuatro y m\u00e1s o menos ocho."}, {"start": 165.2, "end": 167.88, "text": " Es decir, los divisores enteros de ocho."}, {"start": 167.88, "end": 172.56, "text": " Por eso consideramos las dos opciones, la positiva y la negativa."}, {"start": 172.56, "end": 178.35999999999999, "text": " Una manera de determinar que este conjunto est\u00e1 completo es hacer este apareamiento"}, {"start": 178.35999999999999, "end": 182.72, "text": " de n\u00fameros para ver que su producto sea ocho."}, {"start": 182.72, "end": 187.79999999999998, "text": " All\u00ed vemos entonces que dos por cuatro es ocho, uno por ocho nos da ocho y no queda"}, {"start": 187.79999999999998, "end": 189.16, "text": " sobrando ning\u00fan n\u00famero."}, {"start": 189.16, "end": 194.51999999999998, "text": " Eso quiere decir que este conjunto de divisores de ocho est\u00e1 completo."}, {"start": 194.52, "end": 200.64000000000001, "text": " Enseguida vamos a determinar el conjunto de valores de Q, que son los divisores del coeficiente"}, {"start": 200.64000000000001, "end": 205.92000000000002, "text": " principal, es decir, el coeficiente de este t\u00e9rmino, que es el que tiene mayor grado"}, {"start": 205.92000000000002, "end": 207.60000000000002, "text": " o mayor exponente."}, {"start": 207.60000000000002, "end": 214.32000000000002, "text": " El coeficiente es uno, lo tenemos aqu\u00ed invisible, entonces los divisores de uno ser\u00e1n m\u00e1s"}, {"start": 214.32000000000002, "end": 215.96, "text": " o menos uno."}, {"start": 215.96, "end": 217.88, "text": " Tambi\u00e9n son los divisores enteros."}, {"start": 217.88, "end": 224.24, "text": " Ahora, los posibles valores a examinar en ese polinomio, es decir, los que vamos a utilizar"}, {"start": 224.24, "end": 230.88, "text": " en el m\u00e9todo de evaluaci\u00f3n son las posibles combinaciones P sobre Q que podamos obtener"}, {"start": 230.88, "end": 231.88, "text": " de ac\u00e1."}, {"start": 231.88, "end": 237.04000000000002, "text": " Es decir, tomamos cada valor del conjunto P y lo dividimos entre cada valor del conjunto"}, {"start": 237.04000000000002, "end": 238.04000000000002, "text": " Q."}, {"start": 238.04000000000002, "end": 243.20000000000002, "text": " En ese caso ser\u00eda uno dividido entre uno, pues eso nos da m\u00e1s o menos uno, dos entre"}, {"start": 243.20000000000002, "end": 250.22, "text": " uno nos da m\u00e1s o menos dos, despu\u00e9s cuatro dividido entre uno nos da m\u00e1s o menos cuatro"}, {"start": 250.22, "end": 254.48, "text": " y finalmente ocho entre uno nos da m\u00e1s o menos ocho."}, {"start": 254.48, "end": 260.84, "text": " En definitiva lo que se obtiene es el mismo conjunto de divisores de ocho."}, {"start": 260.84, "end": 266.26, "text": " Entonces estos ser\u00e1n los n\u00fameros que vamos a utilizar en el m\u00e9todo de evaluaci\u00f3n."}, {"start": 266.26, "end": 267.6, "text": " Vamos a iniciarlo."}, {"start": 267.6, "end": 272.52, "text": " Comenzamos verificando que el polinomio est\u00e9 organizado en forma descendente."}, {"start": 272.52, "end": 275.28, "text": " Efectivamente esa condici\u00f3n se cumple."}, {"start": 275.28, "end": 280.08, "text": " Empieza con grado tres, luego pasa a grado dos, aqu\u00ed tenemos grado uno y ac\u00e1 ser\u00eda"}, {"start": 280.08, "end": 283.91999999999996, "text": " grado cero, el que corresponde al t\u00e9rmino independiente."}, {"start": 283.91999999999996, "end": 289.84, "text": " Entonces vamos a anotar ac\u00e1 los coeficientes de esos t\u00e9rminos que repetimos ya est\u00e1n"}, {"start": 289.84, "end": 293.91999999999996, "text": " ordenados en forma descendente o decreciente."}, {"start": 293.91999999999996, "end": 299.35999999999996, "text": " Comenzamos con el coeficiente principal, el que dec\u00edamos que corresponde al primer t\u00e9rmino,"}, {"start": 299.35999999999996, "end": 305.2, "text": " despu\u00e9s sigue menos cinco, despu\u00e9s tenemos dos y finalmente ocho."}, {"start": 305.2, "end": 310.88, "text": " Para mayor tranquilidad podemos escribir encima de cada n\u00famero a qu\u00e9 t\u00e9rmino corresponde."}, {"start": 310.88, "end": 316.44, "text": " Entonces tenemos que uno es el coeficiente de x al cubo, menos cinco es coeficiente"}, {"start": 316.44, "end": 323.4, "text": " de x al cuadrado, dos es coeficiente de x y ocho es el t\u00e9rmino independiente en ese"}, {"start": 323.4, "end": 324.68, "text": " polinomio."}, {"start": 324.68, "end": 327.71999999999997, "text": " Ahora s\u00ed comenzamos con el m\u00e9todo de evaluaci\u00f3n."}, {"start": 327.71999999999997, "end": 331.64, "text": " Vamos a examinar el valor uno positivo."}, {"start": 331.64, "end": 337.36, "text": " Entonces este n\u00famero lo traemos ac\u00e1, lo bajamos tal como est\u00e1, decimos uno por uno,"}, {"start": 337.36, "end": 343.12, "text": " nos da uno, sumamos en forma vertical, menos cinco m\u00e1s uno es menos cuatro, luego menos"}, {"start": 343.12, "end": 349.46, "text": " cuatro por uno, eso nos da menos cuatro, sumamos en forma vertical, dos sumado con menos cuatro"}, {"start": 349.46, "end": 356.0, "text": " nos da menos dos, menos dos por uno es menos dos, sumamos verticalmente, ocho con menos"}, {"start": 356.0, "end": 358.32, "text": " dos y eso nos da seis."}, {"start": 358.32, "end": 365.56, "text": " Como aqu\u00ed no obtenemos cero, que es lo que buscamos, entonces este primer valor se descarta."}, {"start": 365.56, "end": 369.28, "text": " Pasamos a examinar el siguiente valor que es menos uno."}, {"start": 369.28, "end": 374.71999999999997, "text": " Entonces, de nuevo, este n\u00famero lo traemos ac\u00e1, baja tal como est\u00e1, decimos uno por"}, {"start": 374.71999999999997, "end": 380.28, "text": " menos uno, eso nos da como resultado menos uno, sumamos en forma vertical, menos cinco"}, {"start": 380.28, "end": 386.36, "text": " sumado con menos uno nos da menos seis, menos seis por menos uno nos da seis positivo,"}, {"start": 386.36, "end": 392.40000000000003, "text": " sumamos en forma vertical, dos m\u00e1s seis es ocho, ocho por menos uno nos da menos ocho"}, {"start": 392.40000000000003, "end": 398.32, "text": " y al sumar en forma vertical eso nos da cero, que es lo que estamos buscando."}, {"start": 398.32, "end": 402.24, "text": " Entonces, x igual a menos uno se acepta."}, {"start": 402.24, "end": 408.12, "text": " De aqu\u00ed podemos obtener el primer factor de ese polinomio, para ello pasamos este n\u00famero"}, {"start": 408.12, "end": 413.44, "text": " al otro lado, al lado izquierdo, de tal forma que ac\u00e1 en el lado derecho nos quede cero."}, {"start": 413.44, "end": 418.98, "text": " Entonces, si uno est\u00e1 aqu\u00ed negativo, llega al lado izquierdo con signo positivo, nos"}, {"start": 418.98, "end": 425.04, "text": " queda x m\u00e1s uno igual a cero, es como sumar uno a ambos lados de la igualdad."}, {"start": 425.04, "end": 432.04, "text": " Y aqu\u00ed tenemos el primer factor de ese polinomio, vamos a escribirlo por ac\u00e1, el primer factor"}, {"start": 432.04, "end": 436.52, "text": " ser\u00e1 x m\u00e1s uno y lo protegemos con par\u00e9ntesis."}, {"start": 436.52, "end": 441.84, "text": " Ahora con estos n\u00fameros que quedan a la izquierda de cero, es decir, con estos valores, se"}, {"start": 441.84, "end": 448.71999999999997, "text": " construye un polinomio que ser\u00e1 de un grado menos que el original, este era de grado tres,"}, {"start": 448.71999999999997, "end": 451.2, "text": " ahora este ser\u00e1 de grado dos."}, {"start": 451.2, "end": 455.44, "text": " Entonces uno ser\u00e1 el coeficiente de x al cuadrado, menos seis ser\u00e1 el coeficiente"}, {"start": 455.44, "end": 459.12, "text": " de x y ocho ser\u00e1 el t\u00e9rmino independiente."}, {"start": 459.12, "end": 464.79999999999995, "text": " Entonces, ese polinomio nos queda as\u00ed, x al cuadrado, aqu\u00ed ya tenemos coeficiente"}, {"start": 464.79999999999995, "end": 469.71999999999997, "text": " uno, despu\u00e9s menos seis x y despu\u00e9s m\u00e1s ocho."}, {"start": 469.72, "end": 475.8, "text": " En realidad es un trinomio que vamos a ver si podemos factorizar utilizando alguno de"}, {"start": 475.8, "end": 481.44000000000005, "text": " los casos principales de factorizaci\u00f3n que mencionamos al comienzo."}, {"start": 481.44000000000005, "end": 487.44000000000005, "text": " Si hacemos la revisi\u00f3n de esos siete casos, encontramos que esta expresi\u00f3n encaja perfectamente"}, {"start": 487.44000000000005, "end": 493.72, "text": " con el caso n\u00famero cinco, que se llama trinomio de la forma x al cuadrado m\u00e1s bx m\u00e1s c."}, {"start": 493.72, "end": 500.24, "text": " Entonces vamos a intentar la factorizaci\u00f3n por ese camino, abrimos dos par\u00e9ntesis, extraemos"}, {"start": 500.24, "end": 506.24, "text": " la ra\u00edz cuadrada del primer t\u00e9rmino, ra\u00edz cuadrada de x al cuadrado nos da x, se anota"}, {"start": 506.24, "end": 511.8, "text": " esa letra al comienzo de cada par\u00e9ntesis, despu\u00e9s definimos los signos, aqu\u00ed tenemos"}, {"start": 511.8, "end": 517.32, "text": " signo positivo, m\u00e1s por menos nos da menos en el primer par\u00e9ntesis y menos por m\u00e1s"}, {"start": 517.32, "end": 520.1600000000001, "text": " nos da menos en el segundo par\u00e9ntesis."}, {"start": 520.16, "end": 527.24, "text": " Entonces ahora buscamos dos n\u00fameros negativos que multiplicados entre s\u00ed nos den m\u00e1s ocho"}, {"start": 527.24, "end": 531.16, "text": " y que al sumarlos nos de como resultado menos seis."}, {"start": 531.16, "end": 537.3199999999999, "text": " Si hacemos la b\u00fasqueda encontramos que esos n\u00fameros son menos cuatro y menos dos."}, {"start": 537.3199999999999, "end": 543.2199999999999, "text": " Entonces aqu\u00ed ya tenemos los otros dos factores de ese polinomio, vamos a escribirlos ac\u00e1"}, {"start": 543.22, "end": 551.6800000000001, "text": " enseguida del que ya hab\u00edamos determinado, son los factores x menos cuatro y x menos"}, {"start": 551.6800000000001, "end": 552.6800000000001, "text": " dos."}, {"start": 552.6800000000001, "end": 558.0400000000001, "text": " Entonces, esto que tenemos ac\u00e1 despu\u00e9s del signo igual, es decir la multiplicaci\u00f3n de"}, {"start": 558.0400000000001, "end": 564.52, "text": " estos tres binomios sencillos constituyen la factorizaci\u00f3n completa de ese polinomio"}, {"start": 564.52, "end": 566.48, "text": " de cuatro t\u00e9rminos."}, {"start": 566.48, "end": 571.72, "text": " Para mayor tranquilidad podemos hacer la prueba del ejercicio que consiste en resolver este"}, {"start": 571.72, "end": 574.24, "text": " producto de binomios."}, {"start": 574.24, "end": 581.48, "text": " Entonces vamos a efectuar la prueba y vamos a utilizar lo que se llama la propiedad asociativa"}, {"start": 581.48, "end": 583.1600000000001, "text": " de la multiplicaci\u00f3n."}, {"start": 583.1600000000001, "end": 589.0400000000001, "text": " Cuando tenemos la multiplicaci\u00f3n de tres cantidades, entonces podemos asociar las dos"}, {"start": 589.0400000000001, "end": 596.3000000000001, "text": " primeras para multiplicar eso por la tercera o tambi\u00e9n podemos asociar o agrupar las"}, {"start": 596.3000000000001, "end": 601.6, "text": " dos \u00faltimas para que ese resultado sea multiplicado por la primera."}, {"start": 601.6, "end": 608.36, "text": " En este caso podr\u00edamos asociar las dos primeras cantidades, las dos primeros binomios que ser\u00e1n"}, {"start": 608.36, "end": 618.0, "text": " x m\u00e1s uno por x menos cuatro, all\u00ed debemos utilizar corchetes para efectuar esa asociaci\u00f3n"}, {"start": 618.0, "end": 624.0400000000001, "text": " o agrupaci\u00f3n y eso queda multiplicando con x menos dos."}, {"start": 624.0400000000001, "end": 630.0, "text": " Entonces vamos a resolver este producto de binomios utilizando la propiedad distributiva."}, {"start": 630.0, "end": 637.04, "text": " Vemos entonces que primero se distribuye este t\u00e9rmino, entonces tenemos que x por x nos"}, {"start": 637.04, "end": 644.78, "text": " da x al cuadrado, despu\u00e9s x por menos cuatro es menos cuatro x, ahora vamos a distribuir"}, {"start": 644.78, "end": 652.64, "text": " este n\u00famero uno positivo, eso nos queda entonces, m\u00e1s uno por x es m\u00e1s x y m\u00e1s uno por menos"}, {"start": 652.64, "end": 655.46, "text": " cuatro es menos cuatro."}, {"start": 655.46, "end": 662.0400000000001, "text": " Esto lo tenemos protegido con corchetes y a su vez multiplicando con x menos dos."}, {"start": 662.0400000000001, "end": 668.0400000000001, "text": " Antes de hacer esta multiplicaci\u00f3n vamos a reducir t\u00e9rminos semejantes en este polinomio,"}, {"start": 668.0400000000001, "end": 672.1600000000001, "text": " es el caso de estos dos que contienen la x."}, {"start": 672.1600000000001, "end": 678.8000000000001, "text": " Entonces vamos a continuar por ac\u00e1, ya podemos cambiar esos corchetes por par\u00e9ntesis y nos"}, {"start": 678.8, "end": 690.3199999999999, "text": " queda x al cuadrado, despu\u00e9s la operaci\u00f3n de esos t\u00e9rminos semejantes, menos cuatro x m\u00e1s x es menos tres x y luego tenemos menos cuatro."}, {"start": 690.3199999999999, "end": 698.24, "text": " Cerramos el par\u00e9ntesis que protege esa expresi\u00f3n y eso nos queda multiplicando con x menos dos."}, {"start": 698.24, "end": 704.4799999999999, "text": " Ahora vamos a efectuar la multiplicaci\u00f3n de este trinomio por este binomio, entonces aplicamos"}, {"start": 704.48, "end": 710.24, "text": " la propiedad distributiva, vamos a comenzar con este t\u00e9rmino, vamos a distribuir x al"}, {"start": 710.24, "end": 717.28, "text": " cuadrado, entonces tenemos x cuadrado por x nos da x al cubo, x cuadrado por menos dos"}, {"start": 717.28, "end": 720.64, "text": " nos da menos dos x al cuadrado."}, {"start": 720.64, "end": 727.5600000000001, "text": " Vamos ahora a distribuir este t\u00e9rmino menos tres x, entonces va a multiplicar a cada uno"}, {"start": 727.56, "end": 734.9599999999999, "text": " de estos dos t\u00e9rminos, es decir, menos tres x por x nos da menos tres x al cuadrado, despu\u00e9s"}, {"start": 734.9599999999999, "end": 742.76, "text": " menos tres x por menos dos, eso nos da m\u00e1s seis x y finalmente distribuimos ese t\u00e9rmino"}, {"start": 742.76, "end": 748.4599999999999, "text": " menos cuatro que va a multiplicar a cada uno de estos t\u00e9rminos, entonces menos cuatro"}, {"start": 748.4599999999999, "end": 756.1999999999999, "text": " por x nos da menos cuatro x y menos cuatro por menos dos nos da m\u00e1s ocho."}, {"start": 756.2, "end": 762.12, "text": " Finalmente reducimos t\u00e9rminos semejantes en toda esa expresi\u00f3n que obtuvimos, vamos"}, {"start": 762.12, "end": 768.4000000000001, "text": " a seguir por ac\u00e1, comenzamos con el t\u00e9rmino de mayor grado o mayor exponente que es x"}, {"start": 768.4000000000001, "end": 774.8000000000001, "text": " al cubo, despu\u00e9s los que tienen x al cuadrado, es el caso de estos dos, si hacemos la suma"}, {"start": 774.8000000000001, "end": 782.0, "text": " de esos t\u00e9rminos semejantes nos da menos cinco x al cuadrado, despu\u00e9s tenemos aquellos"}, {"start": 782.0, "end": 789.24, "text": " t\u00e9rminos que contienen la x tambi\u00e9n son semejantes, entonces la operaci\u00f3n de ellos dos da como"}, {"start": 789.24, "end": 796.28, "text": " resultado m\u00e1s dos x y finalmente tenemos el t\u00e9rmino independiente que es m\u00e1s ocho."}, {"start": 796.28, "end": 804.0, "text": " Como vemos se ha obtenido el polinomio original organizado en forma descendente o decreciente,"}, {"start": 804.0, "end": 809.96, "text": " con eso confirmamos que esto que obtuvimos es correcto, se trata de la factorizaci\u00f3n"}, {"start": 809.96, "end": 812.72, "text": " completa del polinomio original."}]

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10. LAS UNIDADES (Ejercicio 5)

Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España. Clase No. 10: Las Unidades (Ejercicio 5). Uno de los aspectos más importantes en el diseño de mezclas de concreto es su resistencia a la compresión, valor que suele expresarse en Psi. Si una mezcla de concreto se diseña para soportar 3000 Psi, determinar su resistencia en unidades SI. Tema: Magnitudes Físicas y Unidades. Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → http://www.julioprofe.net

La unidad de presión en el sistema anglosahón se conoce como PSI. Esto quiere decir pounds per square inch. Es decir, libras de fuerza sobre pulgadas cuadradas. Eso es lo que quiere decir PSI, la unidad de presión en el sistema anglosahón. Para el caso del concreto, como nos dice este problema, la resistencia a la compresión se suele expresar en PSI. Si tenemos un concreto cuya resistencia a la compresión, dato que se expresa como F'c en el campo de la ingeniería civil, ese concreto tiene una resistencia de 3000 PSI. Y queremos saber esto llevado a unidades del sistema internacional a cuanto equivale. Recordemos que en el sistema internacional la unidad para la presión es el pascal, que equivale a newton sobre metro cuadrado. Acá tenemos que llegar. Entonces vamos a hacer el proceso de conversión de este dato hasta llevarlo a pascales. Entonces tenemos que la resistencia de ese concreto, F'c, son 3000 libras fuerza sobre pulgadas cuadradas, utilizando el equivalente del PSI. Entonces vamos a ir multiplicando por los factores de conversión apropiados. Vamos a llevar primero las libras fuerza a newtons. Y aquí vamos a utilizar una equivalencia que hemos demostrado en un ejercicio anterior y es que un newton equivale a 0.225 libras fuerza. Entonces eso lo escribimos aquí, un newton equivale a 0.225 libras fuerza. De esa manera podemos cancelar libras fuerza. Ya tenemos newtons en el numerador. Y ahora vamos a llevar poco a poco estas pulgadas cuadradas hasta metros cuadrados. Inicialmente vamos a pasar pulgadas a centímetros. La pulgada equivale a 2.54 centímetros. Entonces aquí debemos elevar al cuadrado tanto las unidades como los números para que podamos eliminar pulgadas cuadradas. Aquí ya podemos cancelar pulgadas cuadradas y nos quedan centímetros cuadrados. Utilizamos otro factor de conversión para pasar centímetros cuadrados a metros cuadrados. Inicialmente decimos que un metro tiene 100 centímetros. Y acomodamos de tal forma que se puedan cancelar las unidades que queremos. Pero como eso está al cuadrado, entonces debemos elevar aquí las unidades y también los números. Entonces allí ya podemos decir que centímetros cuadrados se cancelan. Entonces veamos, ya nos queda la operación numérica, la resistencia a la compresión de ese concreto será igual a 3.000 por 100 al cuadrado, o sea por 10.000. Todo eso dividido entre el producto de estas dos cantidades, no podemos olvidar que eso está aquí al cuadrado. Haciendo toda esa operación en calculadora nos da un resultado de 20.666.708 en unidades newtons sobre metro cuadrado, que es la unidad que se conoce como pascal y cuya abreviatura es PA. Esa es la unidad de presión en el sistema internacional. Esto lo podríamos escribir, podemos aproximarlo a 20.67 por 10 a la 6 pascales, es decir utilizando dotación científica pero usando también a propósito la potencia 10 a la 6 para que esto se convierta en el prefijo mega. En la física 10 a la 6, la potencia 10 a la 6 constituye el prefijo mega que se expresa como m mayúscula. Entonces esto nos da 20.67 mega pascales, m mayúscula PA. Entonces esta sería la resistencia a la compresión de ese concreto expresada en unidades del sistema internacional.

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julioprofe

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OPERACIONES COMBINADAS CON DECIMALES - Ejercicio 4

#julioprofe explica cómo resolver paso a paso un ejercicio de operaciones combinadas con números decimales. Al final, hace la comprobación en calculadora. Tema: #DecimalesPrimaria → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwFID2VJp5Qvue_SAifzdGxl Video especialmente dedicado a los niños que trabajan por primera vez con números decimales, a los padres de familia que les apoyan y a los maestros de nivel primaria. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Tenemos en este caso un ejercicio de operaciones combinadas con números decimales. Vamos a resolverlo manualmente y al final haremos la comprobación en calculadora. Como hay signos de agrupación, en este caso paréntesis, debemos comenzar por resolver las operaciones que hay dentro de ellos. Entonces vamos a efectuar esta resta, después esta suma y al final haremos la multiplicación de los dos resultados. Como se observa, para los números decimales se ha utilizado la coma, en otros países se utiliza el punto para denotar esa marca decimal. Entonces vamos a comenzar resolviendo esta resta. Vamos a efectuar el procedimiento por acá. Anotamos el minuendo que es 9, es un número entero y debajo escribimos el sustraendo, y lo hacemos de la siguiente manera, 1,17. Para el caso de 9, su coma está aquí, a la derecha de dicho número, y podemos completar estos lugares con ceros. En realidad aquí debemos llenar esos espacios con ceros para efectuar la operación. Entonces vamos a realizar esta resta paso a paso. Comenzamos por la derecha, donde a cero vamos a restarle 7. Esta operación no es posible. Nos movemos entonces a la siguiente columna para ver si cero puede prestar uno. Tampoco es posible. Entonces vamos a la siguiente columna, donde nos encontramos nueve unidades, y a ese número tenemos que pedirle prestado. Entonces nueve unidades presta una unidad que llega acá convertida como diez décimas. Diez décimas más cero décimas nos da diez décimas, y nueve unidades como prestó una queda convertido en ocho unidades. Ahora a estas diez décimas le pedimos prestado una décima que llega acá convertida en diez centésimas. Diez centésimas más cero centésimas nos da diez centésimas, y estas diez décimas quedan convertidas en nueve décimas. Ahora sí podemos resolver las restas en cada una de esas columnas. Comenzamos por la derecha, diez menos siete nos da tres. Después tenemos nueve menos uno que nos da ocho. Escribimos la coma que va debajo de las otras, y ocho menos uno nos da siete. Entonces ya tenemos el resultado de la operación del primer paréntesis. Nos dio siete coma ochenta y tres. Podemos escribir ya ese número sin necesidad de los paréntesis. Ahora vamos a resolver esta suma, la otra operación que está encerrada con paréntesis. Vamos a resolverla por acá. Tenemos tres coma treinta y nueve, y debajo escribimos uno coma tres. Recordemos, así como en la resta, también en la suma, la coma nos debe quedar en la misma columna, es decir, alineada verticalmente. Entonces vamos a efectuar esa operación. Si queremos se puede llenar este espacio con cero. Aquí es opcional. En el caso de la resta que hicimos anteriormente, si era necesario llenar esos espacios con cero. Entonces comenzamos por la derecha. Nueve más cero nos da nueve. Tres más tres nos da seis. Escribimos la coma debajo de las otras, y tres más uno nos da cuatro. Entonces anotamos el resultado de esta operación. Nos dio cuatro coma sesenta y nueve, que ya podemos escribir sin paréntesis. Y ahora vamos a realizar la multiplicación de estos dos números. Vamos a efectuar esa operación por acá. Escribimos el primer factor, siete coma ochenta y tres, y debajo el otro, que es cuatro coma sesenta y nueve. Entonces vamos a realizar esa multiplicación detalladamente. Vamos a efectuarla haciendo de cuenta que esa coma no está. Es decir, como si multiplicáramos setecientos ochenta y tres por cuatrocientos sesenta y nueve. Comenzamos. Nueve por tres nos da veintisiete. Escribimos el siete, llevamos dos. Nueve por ocho, setenta y dos. Y dos que llevamos es setenta y cuatro. Escribimos el cuatro y llevamos siete. Nueve por siete, sesenta y tres. Y siete que llevamos es setenta. Seguimos. Seis por tres nos da dieciocho. Escribimos el ocho, llevamos uno. Seis por ocho, cuarenta y ocho. Y uno que llevamos es cuarenta y nueve. Escribimos el nueve, llevamos cuatro. Seis por siete, cuarenta y dos. Y cuatro que llevamos es cuarenta y seis. Finalmente tenemos cuatro por tres, que es doce. Escribimos el dos, llevamos uno. Cuatro por ocho, treinta y dos. Y uno que llevamos es treinta y tres. Escribimos el tres, llevamos tres. Cuatro por siete nos da veintiocho. Y tres que llevamos nos da treinta y uno. Ahora efectuamos la suma. Comenzamos por la derecha. Acá tenemos siete. Por acá cuatro más ocho nos da doce. Escribimos el dos, llevamos uno. Uno más cero nos da uno. Más nueve es diez. Y diez más dos es doce. Escribimos el dos, llevamos uno. Acá tenemos uno más siete, ocho. Ocho más seis, catorce. Catorce más tres nos da diecisiete. Escribimos el siete, llevamos uno. Uno más cuatro nos da cinco. Y cinco más uno es seis. Y por acá bajamos el tres. Ahora para determinar cuántas cifras decimales debemos dejar acá en el producto. Es decir, en el resultado de esta multiplicación. Entonces miramos cuántos decimales aportan los dos factores. El primero siete coma ochenta y tres aporta dos cifras decimales. Y el segundo cuatro coma sesenta y nueve también aporta dos cifras decimales. En total son cuatro cifras decimales que son las que tenemos que dejar acá. Por lo tanto la coma va aquí. Entonces el resultado de esa multiplicación nos dio treinta y seis coma siete dos veintisiete. Este número se lee treinta y seis enteros y siete mil doscientos veintisiete diez milésimas. Después de haber resuelto el ejercicio manualmente vamos a realizar su comprobación en una calculadora como esta. Entonces vamos a ingresar esta operación en pantalla. Comenzamos abriendo paréntesis. Después tenemos nueve menos uno coma diecisiete. Cerramos paréntesis. Después por, abrimos el otro paréntesis, tres coma treinta y nueve más uno coma tres. Y cerramos el paréntesis. Después de haber ingresado la operación oprimimos el botón igual y obtenemos este resultado. Treinta y seis coma setenta y dos veintisiete. Que como decíamos se lee treinta y seis enteros y siete mil doscientos veintisiete diez milésimas. Con esto comprobamos que el ejercicio que se hizo manualmente es correcto.

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Escribimos"}, {"start": 335.08, "end": 342.9, "text": " el siete, llevamos uno. Uno m\u00e1s cuatro nos da cinco. Y cinco m\u00e1s uno es seis. Y por ac\u00e1 bajamos el"}, {"start": 342.9, "end": 348.36, "text": " tres. Ahora para determinar cu\u00e1ntas cifras decimales debemos dejar ac\u00e1 en el producto."}, {"start": 348.36, "end": 355.24, "text": " Es decir, en el resultado de esta multiplicaci\u00f3n. Entonces miramos cu\u00e1ntos decimales aportan los"}, {"start": 355.24, "end": 362.12, "text": " dos factores. El primero siete coma ochenta y tres aporta dos cifras decimales. Y el segundo cuatro"}, {"start": 362.12, "end": 368.68, "text": " coma sesenta y nueve tambi\u00e9n aporta dos cifras decimales. En total son cuatro cifras decimales"}, {"start": 368.68, "end": 374.84000000000003, "text": " que son las que tenemos que dejar ac\u00e1. Por lo tanto la coma va aqu\u00ed. Entonces el resultado"}, {"start": 374.84000000000003, "end": 383.36, "text": " de esa multiplicaci\u00f3n nos dio treinta y seis coma siete dos veintisiete. Este n\u00famero se lee"}, {"start": 383.36, "end": 390.16, "text": " treinta y seis enteros y siete mil doscientos veintisiete diez mil\u00e9simas. Despu\u00e9s de haber"}, {"start": 390.16, "end": 395.8, "text": " resuelto el ejercicio manualmente vamos a realizar su comprobaci\u00f3n en una calculadora como esta."}, {"start": 395.8, "end": 401.52000000000004, "text": " Entonces vamos a ingresar esta operaci\u00f3n en pantalla. Comenzamos abriendo par\u00e9ntesis."}, {"start": 401.52000000000004, "end": 410.14000000000004, "text": " Despu\u00e9s tenemos nueve menos uno coma diecisiete. Cerramos par\u00e9ntesis. Despu\u00e9s por, abrimos el otro"}, {"start": 410.14000000000004, "end": 418.32000000000005, "text": " par\u00e9ntesis, tres coma treinta y nueve m\u00e1s uno coma tres. Y cerramos el par\u00e9ntesis. Despu\u00e9s de"}, {"start": 418.32, "end": 424.68, "text": " haber ingresado la operaci\u00f3n oprimimos el bot\u00f3n igual y obtenemos este resultado. Treinta y seis"}, {"start": 424.68, "end": 431.56, "text": " coma setenta y dos veintisiete. Que como dec\u00edamos se lee treinta y seis enteros y siete mil doscientos"}, {"start": 431.56, "end": 448.84000000000003, "text": " veintisiete diez mil\u00e9simas. Con esto comprobamos que el ejercicio que se hizo manualmente es correcto."}]

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9. LAS UNIDADES (Ejercicio 4)

Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España. Clase No. 9: Las Unidades (Ejercicio 4). La densidad del cobre es 8.96 g/cm3. Expresar esta magnitud en unidades SI. Tema: Magnitudes Físicas y Unidades. Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → http://www.julioprofe.net

En este caso nos dan el dato de la densidad del cobre. Usamos para la densidad la letra griega RO. Ese es el símbolo que se utiliza frecuentemente en física para la densidad cobre cuyo símbolo químico es C.U. Entonces tenemos 8.96 gramos sobre centímetro cúbico, es decir tenemos la densidad expresada en unidades del sistema CGS. Y nos piden llevar ese valor a unidades del sistema internacional, es decir donde la masa se encuentra en kilogramos y el volumen en metros cúbicos. Entonces vamos a realizar la conversión de ese valor. Tenemos 8.96 gramos sobre centímetro cúbico. Vamos a multiplicar entonces por el factor de conversión para pasar de gramos a kilogramos. Entonces escribimos 2 gramos abajo y kilogramos arriba. Un kilogramos equivale a mil gramos. Ese mil lo podemos escribir como diez a la tres. Entonces aquí logramos eliminar gramos con gramos. Ahora vamos a utilizar otro factor de conversión que es el que nos permite pasar de centímetros a metros. Sabemos que un metro tiene 100 centímetros. Ese 100 lo podemos escribir como 10 elevado al cuadrado o 10 a la 2. Pero como aquí tenemos centímetros cúbicos, entonces aquí debemos elevar al cubo tanto los números como las unidades. Entonces hacemos esto. Elevamos al cubo y obviamente esa potencia debe también elevarse al cubo. De esa manera tenemos todo listo para cancelar centímetros cúbicos. Ya se pueden ir y podemos observar que ya nos queda kilogramos y metros cúbicos que son las unidades que buscamos. Entonces veamos en definitiva cómo nos queda la densidad del cobre. Sería 8.96 por 10 a la 6. Esto nos da 10 a la 6. Recordemos que aquí se multiplican los exponentes y en la parte de abajo nos queda 10 a la 3. Todo esto expresado en kilogramos sobre metro cúbico. Aquí podemos hacer la simplificación de estas dos potencias. 10 a la 6 simplificado con 10 a la 3 nos queda 10 a la 3. Recordemos que aquí se restan los exponentes. Nos queda 10 a la 3. Entonces tendremos 8.96 por 10 a la 3. O sea 8.96 por 1000. Eso nos da 8.960 kilogramos sobre metro cúbico. Que sería entonces la densidad del cobre en unidades del sistema internacional. Como conclusión tenemos que la densidad del cobre que es 8.96 gramos sobre centímetro cúbico equivale a 8960 kilogramos sobre metro cúbico. Decíamos entonces que esto está en unidades del sistema CGSIMAL. Mientras que esto está en unidades del sistema internacional. Sistema conocido como SI. Entonces aquí podemos sacar como una conclusión, como una especie de clave y es la siguiente. En cuestión de densidades podemos decir que para pasar siempre de la unidad gramos sobre centímetro cúbico a kilogramos sobre metro cúbico. Entonces simplemente multiplicamos por 1000. Aquí lo podemos apreciar. 8.96 al ser multiplicado por 1000 nos da 8.960. Si quisiéramos pasar de esta unidad a esta, sencillamente dividimos por 1000. Entonces es como una especie de clave para cuando debamos hacer la conversión de un dato de densidad que se encuentra en unidades del sistema CGSIMAL al sistema internacional. Ya sabemos que la clave es multiplicar por 1000 si vamos a hacer este paso o dividir por 1000 si vamos a hacer el otro. Un ejemplo para aplicar lo que acabamos de concluir es el caso del mercurio. La densidad del mercurio expresada en el sistema CGSIMAL es 13.6 gramos sobre centímetro cúbico. Entonces simplemente multiplicamos este dato por 1000 nos da 13.600 y ya queda expresado en kilogramos sobre metro cúbico, o sea en unidades del sistema internacional.

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OPERACIONES COMBINADAS CON DECIMALES - Ejercicio 2

#julioprofe explica cómo resolver paso a paso un ejercicio de operaciones combinadas con números decimales. Al final, hace la comprobación en calculadora. Tema: #DecimalesPrimaria → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwFID2VJp5Qvue_SAifzdGxl Video especialmente dedicado a los niños que trabajan por primera vez con números decimales, a los padres de familia que les apoyan y a los maestros de nivel primaria. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

¿Cómo se puede hacer? Tenemos en este caso un ejercicio de operaciones combinadas con números decimales. Vamos a resolverlo manualmente y al final haremos la comprobación en calculadora. Como no tenemos signos de agrupación, es decir, no hay paréntesis, corchetes ni llaves, debemos comenzar por la operación de mayor jerarquía, que en este caso es la división. Aquí la división tiene mayor importancia que la resta. Entonces comenzamos por efectuar esta operación y el resultado que obtengamos se va a restar de 25,04. Aclaramos que en este caso la marca decimal es la coma. En otros países suele utilizarse el punto para denotar esa marca decimal. Como decíamos, debemos resolver primero esta operación, es decir, la división. Vamos a efectuar ese proceso por acá. Allí tenemos tanto el dividendo como el divisor con la misma cantidad de cifras decimales. Ambos tienen una cifra decimal. Entonces eso nos permite suprimir o quitar la marca decimal, que en este caso es la coma. Entonces nos queda 86 dividido entre 0,4. Pero recordemos que este 0 no tiene ningún valor. Entonces será 86 dividido entre 4. Esa operación podríamos convertirla en una fracción. Y allí podemos utilizar la simplificación. Ambos números son divisibles por 2. Si decimos mitad de 86, eso nos da 43. Y mitad de 4 nos da 2. Esta fracción ya no se puede simplificar más. Es irreducible. Entonces allí ya procedemos con la división. Entonces vamos a resolver esa división de dos maneras. Como se suele trabajar en la mayoría de países de América Latina. Es decir, así. Acá está el dividendo, acá tenemos el divisor. Y también cómo se divide en Estados Unidos y otros países. Aquí tenemos el dividendo y por acá el divisor. Vamos a ver que el proceso es exactamente el mismo. Lo que cambia es la ubicación de los números. Comenzamos tomando la primera cifra en el dividendo. Es decir, el 4. Y nos preguntamos si 2 cabe en 4. Vemos que eso sí es posible. Entonces separamos allí esa cifra. Decimos el 2 en el 4 cabe dos veces. Lo escribimos entonces por acá. Decimos 2 por 2 es 4. En ese caso sería 2 por 2, 4. Lo colocamos allí debajo. Y vamos a efectuar enseguida la resta. Entonces tenemos 4 menos 4 nos da 0. Por acá 4 menos 4 también nos da 0. Bajamos la siguiente cifra en el dividendo que es el 3. Acá también la bajamos. Y ahora nos preguntamos si 2 cabe en 3. Aquí la misma pregunta. ¿2 cabe en 3? Vemos que sí es posible. El 2 en el 3 cabe una vez. Entonces también acá lo escribimos en este sitio. Decimos 1 por 2 es 2. Acá sería 1 por 2 o 2 por 1 nos da 2. Efectuamos la resta. Y nos queda 3 menos 2 igual a 1 en ambos casos. Allí podemos decir que la división ha terminado. Porque no tenemos más cifras para bajar en el dividendo. Sin embargo es aquí cuando se puede continuar. Para obtener las posiciones decimales en el cociente. Entonces colocamos una coma aquí en el cociente. Y agregamos un 0 en el residuo. Y continuamos entonces con la división. Nos preguntamos si 2 cabe en 10. Vemos que si es posible. Cabe 5 veces. Entonces 5 por 2 nos da 10. Acá colocaríamos el 5 en este sitio. 2 por 5 nos da 10. Y allí efectuamos la resta. Entonces hacemos esa resta en ambos casos. 10 menos 10 nos da 0. Y por acá también obtenemos 0. Entonces repetimos. Esta es la forma de dividir en la mayoría de países de América Latina. Y esta es la que se utiliza en Estados Unidos y otros países. Vemos que en ambos casos se obtiene el mismo resultado. 21,5 que es el cociente. Y 0 en el residuo. Entonces volvemos acá. Nos queda entonces 25,04. Que será el minuendo de la resta. Y el sustraendo el resultado de esa división. Que como decíamos es 21,5. Entonces vamos a resolver esa resta por acá. En forma vertical. Tenemos 25,04 que es el minuendo. Y debajo anotamos el sustraendo. Que es 21,5. Recordemos que en la resta de decimales. Así como en la suma. El requisito es que los números queden acomodados. De tal forma que la coma nos quede en la misma columna. Es decir, alineada verticalmente. En este caso podríamos completar 0 en esta casilla. Para que ambos números queden con la misma cantidad de decimales. Comenzamos resolviendo por la derecha. 4 menos 0 nos da 4. Pasamos a esta columna. A 0 no podemos quitarle 5. Entonces le pedimos prestado a este 5. 5 presta una unidad que llega acá como 10 decimas. Entonces 10 decimas más 0 nos da 10. Este 5 queda convertido en 4. Y ya podemos efectuar la resta. En esta columna. 10 menos 5 nos da 5. Bajamos la coma. Ella conserva su lugar debajo de las otras. Seguimos acá. 4 menos 1 que es 3. Y 2 menos 2 nos da 0. Entonces el resultado de esta resta. Nos dio 3,54. Este 0 que está a la izquierda del 3. No tiene ningún valor. Entonces podemos omitirlo. De esta manera terminamos el ejercicio. Como vimos se resolvió manualmente. Ahora vamos a comprobarlo utilizando una calculadora como esta. Comenzamos entonces anotando esa operación. Acá en la pantalla. Tenemos 25,04. Después menos 8,6. Dividido entre 0,4. Allí hemos ingresado a la operación original. Oprimimos el botón igual. Y obtenemos 177,50 aos. Es decir un resultado fraccionario. En ese caso debemos oprimir la tecla SD. Que es la que nos permite pasar un número. De su forma estándar a la forma decimal. Y también al contrario de la forma decimal. A la forma estándar. En este caso vemos que se obtiene 3,54. El resultado que habíamos obtenido al resolver manualmente el ejercicio. Por eso comprobamos que se resolvió correctamente.

[{"start": 0.0, "end": 3.0, "text": " \u00bfC\u00f3mo se puede hacer?"}, {"start": 3.0, "end": 8.0, "text": " Tenemos en este caso un ejercicio de operaciones combinadas con n\u00fameros decimales."}, {"start": 8.0, "end": 14.0, "text": " Vamos a resolverlo manualmente y al final haremos la comprobaci\u00f3n en calculadora."}, {"start": 14.0, "end": 19.0, "text": " Como no tenemos signos de agrupaci\u00f3n, es decir, no hay par\u00e9ntesis, corchetes ni llaves,"}, {"start": 19.0, "end": 25.0, "text": " debemos comenzar por la operaci\u00f3n de mayor jerarqu\u00eda, que en este caso es la divisi\u00f3n."}, {"start": 25.0, "end": 29.0, "text": " Aqu\u00ed la divisi\u00f3n tiene mayor importancia que la resta."}, {"start": 29.0, "end": 38.0, "text": " Entonces comenzamos por efectuar esta operaci\u00f3n y el resultado que obtengamos se va a restar de 25,04."}, {"start": 38.0, "end": 42.0, "text": " Aclaramos que en este caso la marca decimal es la coma."}, {"start": 42.0, "end": 49.0, "text": " En otros pa\u00edses suele utilizarse el punto para denotar esa marca decimal."}, {"start": 49.0, "end": 54.0, "text": " Como dec\u00edamos, debemos resolver primero esta operaci\u00f3n, es decir, la divisi\u00f3n."}, {"start": 54.0, "end": 57.0, "text": " Vamos a efectuar ese proceso por ac\u00e1."}, {"start": 57.0, "end": 63.0, "text": " All\u00ed tenemos tanto el dividendo como el divisor con la misma cantidad de cifras decimales."}, {"start": 63.0, "end": 66.0, "text": " Ambos tienen una cifra decimal."}, {"start": 66.0, "end": 72.0, "text": " Entonces eso nos permite suprimir o quitar la marca decimal, que en este caso es la coma."}, {"start": 72.0, "end": 77.0, "text": " Entonces nos queda 86 dividido entre 0,4."}, {"start": 77.0, "end": 80.0, "text": " Pero recordemos que este 0 no tiene ning\u00fan valor."}, {"start": 80.0, "end": 84.0, "text": " Entonces ser\u00e1 86 dividido entre 4."}, {"start": 84.0, "end": 88.0, "text": " Esa operaci\u00f3n podr\u00edamos convertirla en una fracci\u00f3n."}, {"start": 88.0, "end": 92.0, "text": " Y all\u00ed podemos utilizar la simplificaci\u00f3n."}, {"start": 92.0, "end": 95.0, "text": " Ambos n\u00fameros son divisibles por 2."}, {"start": 95.0, "end": 99.0, "text": " Si decimos mitad de 86, eso nos da 43."}, {"start": 99.0, "end": 102.0, "text": " Y mitad de 4 nos da 2."}, {"start": 102.0, "end": 106.0, "text": " Esta fracci\u00f3n ya no se puede simplificar m\u00e1s. Es irreducible."}, {"start": 106.0, "end": 110.0, "text": " Entonces all\u00ed ya procedemos con la divisi\u00f3n."}, {"start": 110.0, "end": 113.0, "text": " Entonces vamos a resolver esa divisi\u00f3n de dos maneras."}, {"start": 113.0, "end": 118.0, "text": " Como se suele trabajar en la mayor\u00eda de pa\u00edses de Am\u00e9rica Latina."}, {"start": 118.0, "end": 120.0, "text": " Es decir, as\u00ed."}, {"start": 120.0, "end": 123.0, "text": " Ac\u00e1 est\u00e1 el dividendo, ac\u00e1 tenemos el divisor."}, {"start": 123.0, "end": 128.0, "text": " Y tambi\u00e9n c\u00f3mo se divide en Estados Unidos y otros pa\u00edses."}, {"start": 128.0, "end": 131.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos el dividendo y por ac\u00e1 el divisor."}, {"start": 131.0, "end": 134.0, "text": " Vamos a ver que el proceso es exactamente el mismo."}, {"start": 134.0, "end": 138.0, "text": " Lo que cambia es la ubicaci\u00f3n de los n\u00fameros."}, {"start": 138.0, "end": 141.0, "text": " Comenzamos tomando la primera cifra en el dividendo."}, {"start": 141.0, "end": 143.0, "text": " Es decir, el 4."}, {"start": 143.0, "end": 146.0, "text": " Y nos preguntamos si 2 cabe en 4."}, {"start": 146.0, "end": 148.0, "text": " Vemos que eso s\u00ed es posible."}, {"start": 148.0, "end": 150.0, "text": " Entonces separamos all\u00ed esa cifra."}, {"start": 150.0, "end": 153.0, "text": " Decimos el 2 en el 4 cabe dos veces."}, {"start": 153.0, "end": 155.0, "text": " Lo escribimos entonces por ac\u00e1."}, {"start": 155.0, "end": 158.0, "text": " Decimos 2 por 2 es 4."}, {"start": 158.0, "end": 161.0, "text": " En ese caso ser\u00eda 2 por 2, 4."}, {"start": 161.0, "end": 163.0, "text": " Lo colocamos all\u00ed debajo."}, {"start": 163.0, "end": 166.0, "text": " Y vamos a efectuar enseguida la resta."}, {"start": 166.0, "end": 170.0, "text": " Entonces tenemos 4 menos 4 nos da 0."}, {"start": 170.0, "end": 173.0, "text": " Por ac\u00e1 4 menos 4 tambi\u00e9n nos da 0."}, {"start": 173.0, "end": 177.0, "text": " Bajamos la siguiente cifra en el dividendo que es el 3."}, {"start": 177.0, "end": 179.0, "text": " Ac\u00e1 tambi\u00e9n la bajamos."}, {"start": 179.0, "end": 182.0, "text": " Y ahora nos preguntamos si 2 cabe en 3."}, {"start": 182.0, "end": 183.0, "text": " Aqu\u00ed la misma pregunta."}, {"start": 183.0, "end": 184.0, "text": " \u00bf2 cabe en 3?"}, {"start": 184.0, "end": 186.0, "text": " Vemos que s\u00ed es posible."}, {"start": 186.0, "end": 188.0, "text": " El 2 en el 3 cabe una vez."}, {"start": 188.0, "end": 191.0, "text": " Entonces tambi\u00e9n ac\u00e1 lo escribimos en este sitio."}, {"start": 191.0, "end": 194.0, "text": " Decimos 1 por 2 es 2."}, {"start": 194.0, "end": 197.0, "text": " Ac\u00e1 ser\u00eda 1 por 2 o 2 por 1 nos da 2."}, {"start": 197.0, "end": 200.0, "text": " Efectuamos la resta."}, {"start": 200.0, "end": 206.0, "text": " Y nos queda 3 menos 2 igual a 1 en ambos casos."}, {"start": 206.0, "end": 209.0, "text": " All\u00ed podemos decir que la divisi\u00f3n ha terminado."}, {"start": 209.0, "end": 212.0, "text": " Porque no tenemos m\u00e1s cifras para bajar en el dividendo."}, {"start": 212.0, "end": 215.0, "text": " Sin embargo es aqu\u00ed cuando se puede continuar."}, {"start": 215.0, "end": 219.0, "text": " Para obtener las posiciones decimales en el cociente."}, {"start": 219.0, "end": 222.0, "text": " Entonces colocamos una coma aqu\u00ed en el cociente."}, {"start": 222.0, "end": 226.0, "text": " Y agregamos un 0 en el residuo."}, {"start": 226.0, "end": 228.0, "text": " Y continuamos entonces con la divisi\u00f3n."}, {"start": 228.0, "end": 230.0, "text": " Nos preguntamos si 2 cabe en 10."}, {"start": 230.0, "end": 232.0, "text": " Vemos que si es posible."}, {"start": 232.0, "end": 233.0, "text": " Cabe 5 veces."}, {"start": 233.0, "end": 236.0, "text": " Entonces 5 por 2 nos da 10."}, {"start": 236.0, "end": 238.0, "text": " Ac\u00e1 colocar\u00edamos el 5 en este sitio."}, {"start": 238.0, "end": 240.0, "text": " 2 por 5 nos da 10."}, {"start": 240.0, "end": 243.0, "text": " Y all\u00ed efectuamos la resta."}, {"start": 243.0, "end": 246.0, "text": " Entonces hacemos esa resta en ambos casos."}, {"start": 246.0, "end": 248.0, "text": " 10 menos 10 nos da 0."}, {"start": 248.0, "end": 251.0, "text": " Y por ac\u00e1 tambi\u00e9n obtenemos 0."}, {"start": 251.0, "end": 252.0, "text": " Entonces repetimos."}, {"start": 252.0, "end": 256.0, "text": " Esta es la forma de dividir en la mayor\u00eda de pa\u00edses de Am\u00e9rica Latina."}, {"start": 256.0, "end": 261.0, "text": " Y esta es la que se utiliza en Estados Unidos y otros pa\u00edses."}, {"start": 261.0, "end": 264.0, "text": " Vemos que en ambos casos se obtiene el mismo resultado."}, {"start": 264.0, "end": 267.0, "text": " 21,5 que es el cociente."}, {"start": 267.0, "end": 269.0, "text": " Y 0 en el residuo."}, {"start": 269.0, "end": 271.0, "text": " Entonces volvemos ac\u00e1."}, {"start": 271.0, "end": 274.0, "text": " Nos queda entonces 25,04."}, {"start": 274.0, "end": 277.0, "text": " Que ser\u00e1 el minuendo de la resta."}, {"start": 277.0, "end": 280.0, "text": " Y el sustraendo el resultado de esa divisi\u00f3n."}, {"start": 280.0, "end": 284.0, "text": " Que como dec\u00edamos es 21,5."}, {"start": 284.0, "end": 287.0, "text": " Entonces vamos a resolver esa resta por ac\u00e1."}, {"start": 287.0, "end": 289.0, "text": " En forma vertical."}, {"start": 289.0, "end": 292.0, "text": " Tenemos 25,04 que es el minuendo."}, {"start": 292.0, "end": 295.0, "text": " Y debajo anotamos el sustraendo."}, {"start": 295.0, "end": 297.0, "text": " Que es 21,5."}, {"start": 297.0, "end": 300.0, "text": " Recordemos que en la resta de decimales."}, {"start": 300.0, "end": 302.0, "text": " As\u00ed como en la suma."}, {"start": 302.0, "end": 305.0, "text": " El requisito es que los n\u00fameros queden acomodados."}, {"start": 305.0, "end": 309.0, "text": " De tal forma que la coma nos quede en la misma columna."}, {"start": 309.0, "end": 312.0, "text": " Es decir, alineada verticalmente."}, {"start": 312.0, "end": 315.0, "text": " En este caso podr\u00edamos completar 0 en esta casilla."}, {"start": 315.0, "end": 320.0, "text": " Para que ambos n\u00fameros queden con la misma cantidad de decimales."}, {"start": 320.0, "end": 323.0, "text": " Comenzamos resolviendo por la derecha."}, {"start": 323.0, "end": 325.0, "text": " 4 menos 0 nos da 4."}, {"start": 325.0, "end": 327.0, "text": " Pasamos a esta columna."}, {"start": 327.0, "end": 329.0, "text": " A 0 no podemos quitarle 5."}, {"start": 329.0, "end": 332.0, "text": " Entonces le pedimos prestado a este 5."}, {"start": 332.0, "end": 337.0, "text": " 5 presta una unidad que llega ac\u00e1 como 10 decimas."}, {"start": 337.0, "end": 340.0, "text": " Entonces 10 decimas m\u00e1s 0 nos da 10."}, {"start": 340.0, "end": 343.0, "text": " Este 5 queda convertido en 4."}, {"start": 343.0, "end": 345.0, "text": " Y ya podemos efectuar la resta."}, {"start": 345.0, "end": 347.0, "text": " En esta columna."}, {"start": 347.0, "end": 349.0, "text": " 10 menos 5 nos da 5."}, {"start": 349.0, "end": 351.0, "text": " Bajamos la coma."}, {"start": 351.0, "end": 353.0, "text": " Ella conserva su lugar debajo de las otras."}, {"start": 353.0, "end": 355.0, "text": " Seguimos ac\u00e1."}, {"start": 355.0, "end": 357.0, "text": " 4 menos 1 que es 3."}, {"start": 357.0, "end": 359.0, "text": " Y 2 menos 2 nos da 0."}, {"start": 359.0, "end": 362.0, "text": " Entonces el resultado de esta resta."}, {"start": 362.0, "end": 365.0, "text": " Nos dio 3,54."}, {"start": 365.0, "end": 368.0, "text": " Este 0 que est\u00e1 a la izquierda del 3."}, {"start": 368.0, "end": 370.0, "text": " No tiene ning\u00fan valor."}, {"start": 370.0, "end": 372.0, "text": " Entonces podemos omitirlo."}, {"start": 372.0, "end": 375.0, "text": " De esta manera terminamos el ejercicio."}, {"start": 375.0, "end": 377.0, "text": " Como vimos se resolvi\u00f3 manualmente."}, {"start": 377.0, "end": 381.0, "text": " Ahora vamos a comprobarlo utilizando una calculadora como esta."}, {"start": 381.0, "end": 384.0, "text": " Comenzamos entonces anotando esa operaci\u00f3n."}, {"start": 384.0, "end": 386.0, "text": " Ac\u00e1 en la pantalla."}, {"start": 386.0, "end": 388.0, "text": " Tenemos 25,04."}, {"start": 388.0, "end": 392.0, "text": " Despu\u00e9s menos 8,6."}, {"start": 392.0, "end": 395.0, "text": " Dividido entre 0,4."}, {"start": 395.0, "end": 398.0, "text": " All\u00ed hemos ingresado a la operaci\u00f3n original."}, {"start": 398.0, "end": 400.0, "text": " Oprimimos el bot\u00f3n igual."}, {"start": 400.0, "end": 403.0, "text": " Y obtenemos 177,50 aos."}, {"start": 403.0, "end": 406.0, "text": " Es decir un resultado fraccionario."}, {"start": 406.0, "end": 409.0, "text": " En ese caso debemos oprimir la tecla SD."}, {"start": 409.0, "end": 412.0, "text": " Que es la que nos permite pasar un n\u00famero."}, {"start": 412.0, "end": 415.0, "text": " De su forma est\u00e1ndar a la forma decimal."}, {"start": 415.0, "end": 417.0, "text": " Y tambi\u00e9n al contrario de la forma decimal."}, {"start": 417.0, "end": 419.0, "text": " A la forma est\u00e1ndar."}, {"start": 419.0, "end": 423.0, "text": " En este caso vemos que se obtiene 3,54."}, {"start": 423.0, "end": 428.0, "text": " El resultado que hab\u00edamos obtenido al resolver manualmente el ejercicio."}, {"start": 428.0, "end": 455.0, "text": " Por eso comprobamos que se resolvi\u00f3 correctamente."}]

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8. LAS UNIDADES (Ejercicio 3)

Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España. Clase No. 8: Las Unidades (Ejercicio 3). ¿A cuántas libras fuerza equivale un newton? Dato: 1 slug = 14.59 kg Tema: Magnitudes Físicas y Unidades. Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → http://www.julioprofe.net

En el sistema internacional de medidas el newton es la unidad de fuerza. Newton equivale a kilogramos por metro sobre segundo cuadrado. En el sistema anglosajón la unidad de fuerza se llama libra fuerza y equivale a slog por pie sobre segundo cuadrado. Slog es la unidad de masa en el sistema anglosajón. Nos piden encontrar a cuanto equivale un newton en libras fuerza. El dato que nos da el ejercicio es que un slog equivale a 14.59 kilogramos. Vamos a realizar el proceso de conversión de un newton hasta llevarlo a libras fuerza. Sabemos que un newton es igual a un kilogramos por metro sobre segundo cuadrado. Allí vamos a empezar a multiplicar por los factores de conversión apropiados para ir llevando hasta las unidades que necesitamos. Es decir, debemos llevar todo a estas unidades. La única que nos va a cambiar es el tiempo que ya se encuentra en segundos. Pero lo que es la masa, es decir, la masa que está en kilogramos debemos llevarla a slog y esta longitud que está en metros debemos llevarla hasta pies. Entonces vamos a comenzar usando el factor de conversión para convertir la masa, para pasar de kilogramos a la unidad slog. Entonces acomodamos así las unidades kilogramos abajo para que se cancele con esos kilogramos. Entonces utilizamos esta relación numérica. Un slog equivale a 14.59 kilogramos. De esa manera lograríamos eliminar kilogramos. Bien, ya obtuvimos esta unidad slog. Ahora vamos a hacer la conversión de los metros hasta llevarlos a pies. Aquí vamos a utilizar esta equivalencia. Sabemos que un pie es igual a 30.48 centímetros. Entonces vamos a llevar primero los metros a centímetros. Colocamos aquí metros y acá centímetros. Un metro equivale a 100 centímetros. De esta manera lograríamos cancelar metros y escribimos el factor de conversión para llevar de centímetros a pies. Es decir, este. Colocamos centímetros en la parte de abajo, pies en la parte de arriba y decimos que un pie equivale a 30.48 centímetros. Aquí logramos cancelar centímetros con centímetros. Ya tenemos las unidades que buscamos. Aquí vemos slog, pie y acá abajo segundos cuadrados. Es decir, estas unidades. Luego este resultado ya estará expresado en libras fuerza. Lo que sigue es la operación en calculadora. Debemos hacer la siguiente operación, 100 que está en el numerador, dividido entre el producto de estos dos números. Eso nos da un total de 0.225 y esto está expresado en libras fuerza. Por lo tanto, un newton equivale a 0.225 libras fuerza y de esta manera hemos terminado el ejercicio.

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RACIONALIZACIÓN MEDIANTE CONJUGACIÓN - Ejercicio 8

#julioprofe explica cómo racionalizar el denominador de una fracción numérica mediante conjugación. Al final, hace la comprobación en calculadora. Tema: #Racionalización → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEhyDZyc08U1WijxsTgX8pa REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a efectuar el proceso de racionalización de esta fracción numérica, es decir, vamos a obtener una expresión equivalente, sin radicales aquí en el denominador. Vamos a resolver este ejercicio manualmente y al final haremos la comprobación en calculadora. Primero revisamos si es posible simplificar esa expresión. Dicemos que no es posible, 7 y 3 son números primos, no pueden ser descompuestos, entonces no hay nada por hacer allí. Vamos a reescribir el ejercicio, raíz cuadrada de 7 más 3 en el numerador y en el denominador, raíz cuadrada de 7 menos 3 y vamos a iniciar el proceso de racionalización que lo vamos a hacer mediante lo que se llama conjugación. Esto consiste en multiplicar por una fracción que equivale a 1, con eso garantizamos que la expresión original no se va a alterar. Entonces esta fracción se conforma con lo que es el conjugado del denominador original. Veamos en qué consiste eso del conjugado. Para una resta de cantidades, como en este caso, para a menos b, su conjugado es a más b. Y viceversa, si tenemos a más b, su conjugado es a menos b. El objetivo de hacer la conjugación es que se produzca una diferencia de cuadrados perfectos. Este es un producto notable que se llama suma por diferencia y genera una diferencia o resta de cuadrados perfectos. La primera cantidad al cuadrado menos la segunda cantidad elevada al cuadrado. Entonces para raíz cuadrada de 7 menos 3, su conjugado será raíz cuadrada de 7 más 3. Y es porque escribimos en el denominador, debemos repetirlo en el numerador. Porque como decíamos, esta fracción tiene que ser equivalente a 1. Para ello tanto el numerador como el denominador deben ser iguales. Ahora vamos a multiplicar esas dos fracciones. Recordemos que eso se hace de manera horizontal. Es decir, se multiplican numeradores entre sí y se multiplican denominadores entre sí. Entonces para el caso de los numeradores vemos que son iguales. Entonces el producto de esa cantidad por ella misma nos va a dar raíz cuadrada de 7 más 3 y todo esto elevado al cuadrado. Para el caso de los denominadores, esta multiplicación la hacemos de acuerdo con este modelo. Aquí tenemos la resta de las cantidades y aquí la suma de ellas, entonces vamos a generar la diferencia de cuadrados perfectos. Es decir, la primera cantidad que es raíz cuadrada de 7, todo esto al cuadrado, menos la segunda cantidad que en este caso es 3, también elevado al cuadrado. Para resolver lo que tenemos en el numerador vamos a aplicar otro producto notable que se llama binomio al cuadrado o el cuadrado de un binomio. El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual a la primera cantidad al cuadrado más dos veces la primera cantidad por la segunda más la segunda cantidad elevada al cuadrado. Es otro producto notable de gran importancia. Entonces vamos a aplicar eso acá en el numerador. Comenzamos con la primera cantidad que es raíz cuadrada de 7 y todo esto elevado al cuadrado. Después tenemos más dos veces la primera cantidad por la segunda, entonces 2 por raíz cuadrada de 7 y eso por 3. Y después tenemos más la segunda cantidad al cuadrado, es decir 3 al cuadrado. Y en el denominador vamos a escribir lo mismo, es decir raíz cuadrada de 7 al cuadrado y eso menos 3 al cuadrado. Resolvemos lo que tenemos allí en el numerador, raíz cuadrada de 7 y eso elevado al cuadrado nos da 7. El exponente 2 elimina la raíz cuadrada. Después tenemos más 2 por raíz de 7 por 3, allí podemos multiplicar 2 por 3 que es 6 y eso queda multiplicando con raíz cuadrada de 7. Después tenemos más 3 al cuadrado que es 9. Ahora en el denominador desarrollamos cada una de estas potencias. Raíz cuadrada de 7 al cuadrado nos da 7 y eso menos 3 al cuadrado que es 9. Continuamos resolviendo. En el numerador pueden sumarse estos dos números, 7 más 9 que nos da 16 y eso queda sumando con 6 raíz cuadrada de 7. Ahora en el denominador resolvemos esa resta 7 menos 9 que nos da menos 2. En el numerador podemos aplicar la factorización. Allí podemos extraer como factor común el máximo común divisor de 16 y 6 que será 2. Entonces, si extraemos el 2 nos queda 8 en el primer término más 3 raíz cuadrada de 7 en el segundo término y en el denominador continúa menos 2. Allí podemos simplificar esta fracción. 2 se está multiplicando en el numerador, puede simplificarse con menos 2. Entonces, sacamos mitad de este número, mitad de 2 nos da 1 y mitad de menos 2 es menos 1. Es como dividir arriba y abajo por 2. En el numerador nos queda 1 por esta expresión numérica que nos da en su mismo 8 más 3 raíz cuadrada de 7. Ya podemos quitarle el paréntesis. Y en el denominador nos ha quedado menos 1. Aquí aplicamos lo siguiente. Recordemos que cuando una fracción es negativa el signo menos puede ocupar tres posiciones. Puede estar en la mitad, puede estar en el numerador o puede estar en el denominador. En este caso tenemos el signo menos ubicado en el denominador. Entonces podemos trasladarlo al numerador tal como aparece aquí. Entonces esto nos queda de la siguiente forma. Sería menos, abrimos paréntesis, 8 más 3 raíz de 7 y de esa manera en el denominador nos quedaría 1 positivo. Por lo tanto ese 1 que está en el denominador podemos omitirlo. Aquí podemos decir que el ejercicio ya terminó porque hemos conseguido una expresión numérica equivalente a la original pero que ya no tiene radicales en el denominador. Repetimos aquí hay denominador 1 invisible. Entonces con eso hemos dado cumplimiento al propósito de la racionalización. Otra forma de presentar el resultado es romper ese paréntesis. Es decir aplicar la propiedad distributiva con ese signo menos. Pues que haría menos por 8 sería menos 8 y menos por más 3 raíz de 7 sería menos 3 raíz de 7. Simplemente los dos términos que están positivos ahora quedan negativos. Entonces la respuesta puede presentarse así o también de esta manera. Ahora vamos a comprobar el ejercicio utilizando esta calculadora científica. Comenzamos oprimiendo el botón de fracción. En el numerador vamos a escribir raíz cuadrada de 7 más 3. Entonces botón de raíz cuadrada escribimos el 7. Corremos el cursor a la derecha y después escribimos más 3. Pasamos al denominador donde debemos escribir esto raíz cuadrada de 7 menos 3. Entonces botón de raíz cuadrada escribimos el 7, corremos el cursor a la derecha y después menos 3. Así ya hemos ingresado la expresión numérica a la calculadora. Enseguida oprimimos el botón igual y obtenemos este resultado, menos 8 menos 3 raíz de 7. Con eso comprobamos que este ejercicio se ha resuelto correctamente.

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podemos decir que el ejercicio ya termin\u00f3 porque hemos conseguido una expresi\u00f3n num\u00e9rica"}, {"start": 413.36, "end": 418.32, "text": " equivalente a la original pero que ya no tiene radicales en el denominador."}, {"start": 418.32, "end": 421.52, "text": " Repetimos aqu\u00ed hay denominador 1 invisible."}, {"start": 421.52, "end": 426.91999999999996, "text": " Entonces con eso hemos dado cumplimiento al prop\u00f3sito de la racionalizaci\u00f3n."}, {"start": 426.91999999999996, "end": 431.08, "text": " Otra forma de presentar el resultado es romper ese par\u00e9ntesis."}, {"start": 431.08, "end": 434.84, "text": " Es decir aplicar la propiedad distributiva con ese signo menos."}, {"start": 434.84, "end": 441.32, "text": " Pues que har\u00eda menos por 8 ser\u00eda menos 8 y menos por m\u00e1s 3 ra\u00edz de 7 ser\u00eda menos"}, {"start": 441.32, "end": 443.08, "text": " 3 ra\u00edz de 7."}, {"start": 443.08, "end": 447.79999999999995, "text": " Simplemente los dos t\u00e9rminos que est\u00e1n positivos ahora quedan negativos."}, {"start": 447.79999999999995, "end": 454.0, "text": " Entonces la respuesta puede presentarse as\u00ed o tambi\u00e9n de esta manera."}, {"start": 454.0, "end": 458.79999999999995, "text": " Ahora vamos a comprobar el ejercicio utilizando esta calculadora cient\u00edfica."}, {"start": 458.79999999999995, "end": 461.2, "text": " Comenzamos oprimiendo el bot\u00f3n de fracci\u00f3n."}, {"start": 461.2, "end": 465.36, "text": " En el numerador vamos a escribir ra\u00edz cuadrada de 7 m\u00e1s 3."}, {"start": 465.36, "end": 468.71999999999997, "text": " Entonces bot\u00f3n de ra\u00edz cuadrada escribimos el 7."}, {"start": 468.71999999999997, "end": 473.15999999999997, "text": " Corremos el cursor a la derecha y despu\u00e9s escribimos m\u00e1s 3."}, {"start": 473.15999999999997, "end": 479.2, "text": " Pasamos al denominador donde debemos escribir esto ra\u00edz cuadrada de 7 menos 3."}, {"start": 479.2, "end": 485.2, "text": " Entonces bot\u00f3n de ra\u00edz cuadrada escribimos el 7, corremos el cursor a la derecha y despu\u00e9s"}, {"start": 485.2, "end": 486.76, "text": " menos 3."}, {"start": 486.76, "end": 491.28, "text": " As\u00ed ya hemos ingresado la expresi\u00f3n num\u00e9rica a la calculadora."}, {"start": 491.28, "end": 498.92, "text": " Enseguida oprimimos el bot\u00f3n igual y obtenemos este resultado, menos 8 menos 3 ra\u00edz de 7."}, {"start": 498.92, "end": 527.76, "text": " Con eso comprobamos que este ejercicio se ha resuelto correctamente."}]

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7. LAS UNIDADES (Ejercicio 2)

Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España. Clase No. 7: Las Unidades (Ejercicio 2). Convertir una velocidad de 50 mph en unidades SI. Tema: Magnitudes Físicas y Unidades. Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → http://www.julioprofe.net

Tenemos esta velocidad de 50 millas por hora que podemos escribir así. Mi sobre h es lo mismo. Tenemos que llevarla a metros sobre segundo que sería las unidades en el sistema internacional para la velocidad. Entonces vamos a multiplicar por los factores de conversión apropiados, por ejemplo para pasar de millas a metros. Entonces escribimos millas por aquí y metros aquí arriba. Sabemos que una milla equivale a 1.609 metros y de esta manera podemos cancelar millas con millas. Ahora debemos hacer la conversión del tiempo que se encuentra en horas, llevarlo a segundos. Entonces podemos escribir horas aquí arriba y segundos aquí abajo. Entonces una hora equivale a 3.600 segundos. Entonces allí podemos cancelar horas con horas. Podemos observar que ya nos quedan metros y segundos que son las unidades que estamos buscando. Hacemos ya la operación numérica en calculadora, es decir 50 por 1.609 y eso dividido entre 3.600. Y eso nos da un resultado que podemos expresar a dos decimales como 22.35. Anotamos las unidades correspondientes que son metros sobre segundos. De esta manera hemos llevado la velocidad de unidades del sistema anglosajón millas por hora a unidades del sistema internacional que son metros sobre segundo. ¡Suscríbete al canal!

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RACIONALIZACIÓN MEDIANTE CONJUGACIÓN - Ejercicio 7

#julioprofe explica cómo racionalizar el denominador de una fracción numérica mediante conjugación. Al final, hace la comprobación en calculadora. Tema: #Racionalización → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEhyDZyc08U1WijxsTgX8pa REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a racionalizar esta fracción numérica, es decir, vamos a conseguir otra expresión equivalente sin radicales en el denominador. Vamos a resolver este ejercicio manualmente y al final haremos la comprobación en calculadora. Comenzamos por simplificar la raíz cuadrada de 12. Veamos, vamos a descomponer ese número en factores primos. Decimos entonces mitad de 12, allí utilizamos el primer número primo que es el 2, entonces mitad de 12 nos da 6, otra vez usamos el 2, mitad de 6 nos da 3 y para el 3 utilizamos el número primo 3, tercera de 3 nos da 1. Entonces 12 es igual a 2 por 2 por 3, es decir, 2 al cuadrado multiplicado por 3. Aquí podemos entonces ya aplicar la raíz cuadrada a ambos lados, raíz cuadrada de 12 será igual a la raíz cuadrada de 2 al cuadrado por 3 y allí podemos aplicar una propiedad de la radicación, esa que nos dice que cuando hay multiplicación dentro de la raíz, esta puede repartirse, entonces tendremos raíz cuadrada de 2 al cuadrado y eso multiplicado por la raíz cuadrada de 3. Ahora la raíz cuadrada de 2 al cuadrado equivale a 2 porque el exponente 2 se elimina o se cancela con la raíz del índice 2, con la raíz cuadrada, visto de otra manera esto nos produce valor absoluto de 2 que es igual a 2 y eso queda multiplicando con raíz cuadrada de 3. Entonces reescribimos la expresión original cambiando raíz cuadrada de 12 por lo que obtuvimos que es 2 raíz de 3 y esto nos queda en el numerador sumando con 1, en el denominador tenemos 7 menos 2 raíz cuadrada de 3, allí no es posible simplificar esa raíz y entonces vamos a utilizar el procedimiento llamado conjugación, es decir vamos a multiplicar por otra fracción que equivale a la unidad y que se conforma con el conjugado de esto que tenemos en el denominador. Para una resta de dos cantidades por ejemplo a menos b su conjugado es a más b y vice versa es decir para a más b su conjugado es a menos b simplemente se cambia el signo de la mitad, el objetivo de la conjugación es aplicar el producto notable llamado suma por diferencia que nos da como resultado una diferencia de cuadrados perfectos, es decir la primera cantidad al cuadrado menos la segunda cantidad elevada al cuadrado. Entonces en este caso para 7 menos 2 raíz de 3 su conjugado será 7 más 2 raíz cuadrada de 3 y esto que escribimos en el denominador debemos repetirlo en el numerador porque como decíamos esta fracción debe ser equivalente a 1, para ello tanto el numerador como el denominador deben ser iguales. Realizamos ahora la multiplicación de estas dos fracciones recordemos que eso se hace multiplicando de manera horizontal numeradores entre sí y denominadores entre sí vamos a escribir acá el producto de numeradores 2 raíz de 3 más 1 y eso multiplicado por 7 más 2 raíz de 3 allí tenemos que proteger con paréntesis cada uno de esos binomios y en el denominador la multiplicación de estas dos cantidades se hace de acuerdo con este modelo aquí tenemos a menos b y aquí tenemos a más b entonces como dice acá tendremos al cuadrado menos b al cuadrado es decir 7 que hace el papel de a elevado al cuadrado menos la cantidad que hace el papel de b que es 2 raíz de 3 y todo eso elevado al cuadrado. Ahora vamos a resolver las operaciones que tenemos tanto en el numerador como en el denominador veamos para el caso del numerador tenemos la multiplicación de dos binomios entonces vamos a aplicar la propiedad distributiva comenzamos con 2 raíz de 3 que va a multiplicar a estos dos términos entonces tenemos 2 raíz de 3 por 7 eso nos da 14 raíz de 3 después tenemos 2 raíz de 3 por más 2 raíz de 3 eso nos queda término positivo y como se está multiplicando la cantidad por sí misma nos queda entonces 2 raíz de 3 todo esto al cuadrado ahora vamos a distribuir este uno multiplica a cada uno de esos términos entonces tenemos más 1 por 7 positivo nos da más 7 y más 1 por más 2 raíz de 3 nos da más 2 raíz de 3 ahora en el denominador vamos a desarrollar esas dos potencias acá 7 al cuadrado nos da 49 y esto menos esto que tenemos acá que resolvemos utilizando una propiedad de la potenciación si tenemos la multiplicación de dos cantidades y eso está elevado a un exponente n entonces se reparte el exponente para cada uno de los factores que tenemos en la base entonces en este caso será 2 al cuadrado y eso multiplicado por el otro componente raíz cuadrada de 3 que también queda elevado al cuadrado en esta expresión numérica este componente es igual a este recordemos que este proviene de acá y este es el mismo que tenemos en el numerador acá se ha repartido el exponente 2 tal como vimos hace un momento con la propiedad de la potenciación entonces vamos a resolver esto aquí tendremos 2 al cuadrado que es 4 por la raíz cuadrada de 3 que al elevarse al cuadrado nos da 3 el exponente 2 elimina la raíz cuadrada y esto nos da como resultado 12 entonces todo este componente equivale a 12 vamos a escribir entonces lo que nos queda en el numerador allí podemos ya operar términos semejantes es el caso de 14 raíz de 3 más 2 raíz de 3 en realidad son radicales semejantes se suma 14 más 2 que es 16 eso queda acompañado de raíz cuadrada de 3 y este número que nos dio 12 toda esta expresión numérica que dio 12 se suma con 7 y nos da 19 positivo en el denominador tenemos 49 menos 12 que nos da como resultado 37 revisamos si esta expresión se puede simplificar vemos que no es posible allí tenemos que dejarla entonces con esto terminamos el ejercicio hemos obtenido una expresión numérica equivalente a la original pero que ya no tiene radicales en el denominador entonces allí damos cumplimiento al propósito de la racionalización otra forma de presentar el resultado es simplemente cambiar la posición de los términos en el numerador entonces nos queda 19 más 16 raíz de 3 aplicamos la propiedad conmutativa de la suma y todo esto nos queda sobre 37 entonces como decíamos allí termina el ejercicio la respuesta puede presentarse así o también de esta manera ahora vamos a comprobar este ejercicio utilizando esta calculadora científica comenzamos oprimiendo el botón de fracción en el numerador vamos a escribir raíz cuadrada de 12 más 1 entonces botón de raíz cuadrada escribimos el 12 corremos el cursor hacia la derecha y escribimos más 1 pasamos ahora al denominador donde tenemos que escribir esto 7 menos 2 raíz de 3 entonces 7 menos 2 botón de raíz cuadrada y el 3 allí hemos ingresado la expresión numérica original oprimimos el botón igual y obtenemos este resultado 19 más 16 raíz de 3 y todo eso sobre 37 con eso comprobamos que este ejercicio sea resuelto correctamente

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la potenciaci\u00f3n entonces vamos a resolver"}, {"start": 373.48, "end": 380.15999999999997, "text": " esto aqu\u00ed tendremos 2 al cuadrado que es 4 por la ra\u00edz cuadrada de 3 que al elevarse"}, {"start": 380.15999999999997, "end": 386.56, "text": " al cuadrado nos da 3 el exponente 2 elimina la ra\u00edz cuadrada y esto nos da como resultado"}, {"start": 386.56, "end": 393.52, "text": " 12 entonces todo este componente equivale a 12 vamos a escribir entonces lo que nos"}, {"start": 393.52, "end": 400.16, "text": " queda en el numerador all\u00ed podemos ya operar t\u00e9rminos semejantes es el caso de 14 ra\u00edz"}, {"start": 400.16, "end": 409.0, "text": " de 3 m\u00e1s 2 ra\u00edz de 3 en realidad son radicales semejantes se suma 14 m\u00e1s 2 que es 16 eso"}, {"start": 409.0, "end": 415.48, "text": " queda acompa\u00f1ado de ra\u00edz cuadrada de 3 y este n\u00famero que nos dio 12 toda esta expresi\u00f3n"}, {"start": 415.48, "end": 425.12, "text": " num\u00e9rica que dio 12 se suma con 7 y nos da 19 positivo en el denominador tenemos 49 menos"}, {"start": 425.12, "end": 433.76, "text": " 12 que nos da como resultado 37 revisamos si esta expresi\u00f3n se puede simplificar vemos"}, {"start": 433.76, "end": 439.56, "text": " que no es posible all\u00ed tenemos que dejarla entonces con esto terminamos el ejercicio"}, {"start": 439.56, "end": 446.32, "text": " hemos obtenido una expresi\u00f3n num\u00e9rica equivalente a la original pero que ya no tiene radicales"}, {"start": 446.32, "end": 452.96, "text": " en el denominador entonces all\u00ed damos cumplimiento al prop\u00f3sito de la racionalizaci\u00f3n otra"}, {"start": 452.96, "end": 458.52, "text": " forma de presentar el resultado es simplemente cambiar la posici\u00f3n de los t\u00e9rminos en el"}, {"start": 458.52, "end": 466.88, "text": " numerador entonces nos queda 19 m\u00e1s 16 ra\u00edz de 3 aplicamos la propiedad conmutativa de"}, {"start": 466.88, "end": 475.04, "text": " la suma y todo esto nos queda sobre 37 entonces como dec\u00edamos all\u00ed termina el ejercicio"}, {"start": 475.04, "end": 482.12, "text": " la respuesta puede presentarse as\u00ed o tambi\u00e9n de esta manera ahora vamos a comprobar este"}, {"start": 482.12, "end": 488.38, "text": " ejercicio utilizando esta calculadora cient\u00edfica comenzamos oprimiendo el bot\u00f3n de fracci\u00f3n"}, {"start": 488.38, "end": 494.82, "text": " en el numerador vamos a escribir ra\u00edz cuadrada de 12 m\u00e1s 1 entonces bot\u00f3n de ra\u00edz cuadrada"}, {"start": 494.82, "end": 501.88, "text": " escribimos el 12 corremos el cursor hacia la derecha y escribimos m\u00e1s 1 pasamos ahora"}, {"start": 501.88, "end": 509.96, "text": " al denominador donde tenemos que escribir esto 7 menos 2 ra\u00edz de 3 entonces 7 menos"}, {"start": 509.96, "end": 517.36, "text": " 2 bot\u00f3n de ra\u00edz cuadrada y el 3 all\u00ed hemos ingresado la expresi\u00f3n num\u00e9rica original"}, {"start": 517.36, "end": 524.5, "text": " oprimimos el bot\u00f3n igual y obtenemos este resultado 19 m\u00e1s 16 ra\u00edz de 3 y todo eso"}, {"start": 524.5, "end": 530.56, "text": " sobre 37 con eso comprobamos que este ejercicio sea resuelto correctamente"}]

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6. LAS UNIDADES (Ejercicio 1)

Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España. Clase No. 6: Las Unidades (Ejercicio 1). Una persona mide 5’ 6’’. Expresar su altura en unidades SI. Tema: Magnitudes Físicas y Unidades. Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → http://www.julioprofe.net

En este caso tenemos la altura de una persona que vamos a llamar H expresada como 5 pies y 6 pulgadas, es decir en unidades del sistema anglosajón. Se utiliza una comita para los pies y dos comitas para denotar las pulgadas. Esto puede escribirse como 5 pies más 6 in que es la abreviatura de pulgadas. Sabemos que un pie equivale a 12 pulgadas, entonces vamos a convertir 5 pies en pulgadas. Debemos multiplicar por el factor de conversión que nos permita eliminar pies y que nos aparezcan pulgadas. Entonces escribimos pies aquí abajo, pulgadas arriba y anotamos esta relación numérica. Un pie corresponde a 12 pulgadas, allí podemos entonces cancelar pies con pies y nos queda 5 por 12 que es igual a 60 pulgadas. Entonces tenemos que estos 5 pies equivalen a 60 pulgadas. Entonces 60 pulgadas sumadas con 6 pulgadas nos da 66 pulgadas. Ahora vamos a llevar este dato, es decir 66 pulgadas a unidades del sistema internacional. Es decir que tenemos que llevarla hasta metros, porque eso es una longitud. Y la unidad de longitud en el sistema internacional es el metro. Entonces vamos a realizar el procedimiento, tomamos la altura de la persona que son 66 pulgadas y vamos a multiplicar por los factores de conversión adecuados para ir llevando este dato hasta metros. Entonces tenemos lo siguiente, aquí podemos colocar pulgadas para eliminar con pulgadas y colocar su equivalente en centímetros. Sabemos que una pulgada equivale a 2.54 centímetros, de esa manera logramos eliminar pulgadas con pulgadas. Y agregamos otro factor de conversión que nos va a permitir pasar de centímetros a metros. Entonces escribimos aquí centímetros para que se cancele con centímetros y arriba la unidad a la que queremos llegar. Sabemos que un metro tiene 100 centímetros, allí podemos cancelar centímetros con centímetros y ya realizaríamos la operación numérica para que nos de en metros el resultado. Esto nos da entonces en definitiva 1.6764 en metros, tomando todos los decimales de la operación, lo que nos da en la calculadora y esto puede aproximarse a 1.68. Podríamos dejarlo en 1.68 que es la altura de la persona, es decir, esta persona tiene una altura de 1 metro con 68 centímetros. De esta manera hemos terminado llevando nuestro dato a unidades del sistema internacional. Muchas gracias.

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julioprofe

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SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 2×2 POR MÉTODO DE SUSTITUCIÓN - Ejercicio 2

#julioprofe explica cómo resolver un Sistema de Ecuaciones Lineales de 2x2 por el Método de Sustitución. Tema: #SistemasDeEcuaciones → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEFAYT8s7eBiUPuANxiqi_l REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

¿Qué es la ecuación número 1? Vamos a resolver detalladamente este sistema de ecuaciones de 2x2. Tenemos allí dos ecuaciones y dos incógnitas, que son las letras X y Y. Vamos a llamar esta la ecuación número 1 y esta de acá la ecuación número 2. Y vamos a conducir ambas ecuaciones al modelo AX más VY igual a C, es decir, el modelo lineal, donde observemos un término con X, un término con Y y al otro lado del signo igual el término independiente. Antes de comenzar a transformar las dos ecuaciones, vamos a ajustar esto que tenemos acá, es decir, las fracciones negativas que aparecen a la derecha del signo igual. Recordemos que cuando una fracción es negativa, el signo menos puede ocupar tres posiciones. Puede estar en la mitad, puede estar en el numerador o puede estar en el denominador. Lo que sucede es que esta forma no es tan usual, es decir, el signo menos no se acostumbra dejarlo en el denominador. Se deja en el numerador o aquí en la mitad, tal como tenemos en este caso. Entonces vamos a llevarlo a esta forma, es decir, vamos a trasladar el signo negativo al numerador en cada una de estas dos fracciones. Ahora sí, vamos a transformar las dos ecuaciones. En ambos casos tenemos la siguiente situación, tenemos la igualdad de dos fracciones, lo que en matemática se conoce también como una proporción, visto desde el punto de vista de la igualdad de dos razones. Entonces recordemos que en toda proporción se cumple que el producto de estos dos elementos, que se llaman extremos, es igual al producto de estos dos elementos, que se llaman medios. Visto de otra manera, lo que está dividiendo pasa al otro lado a multiplicar, tal como se acostumbra en la resolución de ecuaciones. Entonces para el caso de la primera ecuación, vamos a empezar con su transformación. Entonces multiplica con esto que tenemos acá, y más x menos 2. Y al otro lado el signo igual, tenemos menos 1 multiplicando con y menos x. Esas expresiones que tienen dos y tres términos, debemos protegerlas con paréntesis. Entonces aquí hemos aplicado esta propiedad. Enseguida vamos a romper estos paréntesis. Vamos a aplicar la propiedad distributiva en ambos lados de la igualdad. Entonces nos queda de la siguiente manera. Aquí 3 por y será 3y, 3 por más x es más 3x, y 3 por menos 2 nos da menos 6. Al otro lado de la igualdad tenemos menos 1 por y, que es menos y, y menos 1 por menos x, que nos da más x. Ahora vamos a dejar en el lado izquierdo de la igualdad los términos que contienen las letras x y y. Entonces se queda 3y más 3x, esos términos quedan en su territorio, y pasamos estos dos términos al lado izquierdo. Entonces menos y llega como más y, y más x llega como menos x. Y de una vez pasamos este número al otro lado. Entonces 6 que está negativo en el lado izquierdo llega positivo al lado derecho. Esto es lo que se llama transposición de términos. Ahora en el lado izquierdo de la igualdad podemos reducir términos semejantes. Es el caso de estos dos que contienen la x, y también estos dos que contienen la letra y. Entonces la ecuación nos queda así. 3x menos x es 2x, luego tenemos 3y más y, que nos da más 4y. Y al otro lado de la igualdad tenemos el 6. Como se observa esta ecuación ya encaja con el modelo lineal que habíamos mencionado, a x más d y igual a c. Sin embargo estos números que son pares permiten que la ecuación sea simplificada. Podemos dividir por 2 ambos lados de esa igualdad. Y entonces la ecuación nos va a quedar así. Dividiendo ambos lados por 2, aquí tenemos 2x entre 2 es x. Luego tenemos más 4y dividido entre 2 sería más 2y. Y al otro lado de la igualdad 6 dividido entre 2 que es igual a 3. De esta manera ya tenemos la ecuación que reemplaza a la número 1. Y esta vamos a llamarla la ecuación número 3. Repetimos aquí ya encaja con el modelo a x más d y igual a c, el modelo lineal. Ahora vamos a transformar la ecuación número 2. Vamos a realizarle un tratamiento similar al que le hicimos a la ecuación 1. Entonces 11 pasa a multiplicar con esta expresión 3x más y menos 3 que se protege con paréntesis. Y esto nos queda igual a menos 1 por lo que tenemos allá en el denominador 2y menos x. Repetimos, se aplica la propiedad fundamental de las proporciones. Producto de extremos es igual a producto de medios. Ahora vamos a romper los paréntesis a ambos lados de la igualdad. Aplicamos entonces la propiedad distributiva. Entonces esto nos queda así. Veamos acá, 11 por 3x es 33x. 11 por más y nos da más 11y. Y 11 por menos 3 nos da menos 33. Al otro lado tenemos menos 1 por 2y que es menos 2y. Y menos 1 por menos x que nos da más x. Vamos a dejar entonces en el lado izquierdo de la igualdad los términos que contienen las letras. Entonces se queda 33x más 11y. Y pasamos estos dos términos. Menos 2y llega al otro lado como más 2y. Y más x llega como menos x. Y pasamos este número que está negativo al lado derecho. Y lo hacemos entonces con signo positivo. Allí podemos reducir términos semejantes en el lado izquierdo de la igualdad. Es el caso de estos dos que contienen la x. Y también estos dos que contienen la variable y. Entonces la ecuación nos queda así. Veamos, 33x menos x es 32x. Luego tenemos más 11y más 2y. Eso nos da más 13y. Y en el lado derecho tenemos el número 33. Esta ecuación no puede ser simplificada. Es decir, no existe un divisor para 32, 13 y 33. Que nos permita escribirla con números más pequeños. Entonces se queda tal como está. Vamos a escribirla por acá. 32x más 13y. Y esto igual a 33. Entonces esta será la ecuación número 4. Que reemplaza a la ecuación número 2. Entonces el sistema de ecuaciones original. Que estaba conformado por las ecuaciones 1 y 2. Ahora es reemplazado por el sistema de ecuaciones lineales. Formado por las ecuaciones 3 y 4. Entonces vamos a resolver este sistema de 2x2. Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Por cualquiera de los métodos analíticos. Que son sustitución, igualación, eliminación. O el método de los determinantes. Conocido como regla de Cramer. En este caso vamos a elegir el método de sustitución. Que consiste en despejar una letra de una de las ecuaciones. Y lo que obtengamos se reemplaza en la otra ecuación. Por ejemplo, en este caso. Está fácil despejar la letra X de la ecuación número 3. Entonces vamos a realizar ese despeje. De la expresión 3 despejamos X. Entonces nos queda de la siguiente manera. Tenemos X igual a 3 menos 2y. Este término que está sumando pasa al otro lado a restar. Y esta nueva expresión que hemos obtenido. La etiquetamos como la ecuación número 5. Ahora vamos a sustituir la expresión 5 en la número 4. Entonces sustituimos la expresión 5 en la número 4. Es allí donde se aplica el método de sustitución. Nos queda entonces así. 32 por, abrimos un paréntesis. Para insertar aquí lo que nos dio X. Que es 3 menos 2y. Cerramos el paréntesis. Y escribimos lo demás. Más 13y igual a 33. Nos concentramos ahora en resolver esta ecuación. Que es lineal o de primer grado. Con una incógnita. Que es la letra Y. Vamos a romper este paréntesis. Aplicando la propiedad distributiva. Entonces nos queda. 32 por 3 es 96. Después tenemos 32 por menos 2y. Eso es menos 64y. Después tenemos más 13y. Y todo eso. Igual a 33. Aplicamos ahora la transposición de términos. Vamos a dejar en el lado izquierdo de la igualdad. Aquellos términos que contienen la Y. Y en el lado derecho los números. Entonces en el lado izquierdo. Se queda menos 64y. Más 13y. Y en el lado derecho dejamos 33. Y traemos este número que está positivo. Entonces llega acá con signo negativo. Resolvemos ahora cada lado de la igualdad. Por acá tenemos términos semejantes. Menos 64y más 13y. Eso nos da menos 51y. Y por acá 33 menos 96. Nos da menos 63. De allí podemos hacer el despeje de la letra Y. Para ello pasamos este número. Menos 51 que está multiplicando. Al otro lado a dividir. Es como dividir ambos lados de la igualdad. Por menos 51. Y allí podemos simplificar esa fracción. Primero comenzamos con el signo. Menos con menos nos da más. Vamos a obtener una fracción positiva. Y también estos dos números. Son divisibles por 3. 63 dividido entre 3 nos da 21. Y 51 dividido entre 3 nos da 17. Anotamos este resultado por acá. Y vamos a reemplazar este valor de Y. En la expresión número 5. Aprovechamos el despeje que se hizo. De la incógnita X. Entonces esto nos va a quedar de la siguiente manera. X igual a 3 menos 2. Y eso multiplicado por el valor de Y. Que es 21 17aos. Entonces vamos a resolver estas operaciones. Aquí primero debemos resolver la multiplicación. Y después la resta. Para la multiplicación tenemos un número entero. Y una fracción. Entonces al entero le colocamos denominador 1. Nos queda entonces así. X igual a 3 menos. Vamos a efectuar ese producto. Recordemos que las fracciones se multiplican de manera horizontal. Multiplicamos numeradores entre sí. 2 por 21. Que nos da 42. Y multiplicamos denominadores entre sí. 1 por 17. Nos da 17. Ahora sí. Resolvemos la resta que ocurre. Entre un número entero y una fracción. Al número entero le colocamos denominador 1. Y podemos resolver esa resta. De fracciones heterogéneas. Fracciones con distinto denominador. Utilizando el truco o la técnica de la carita feliz. Veamos. 3 por 17. Nos da 51. Después tenemos menos. 1 por 42. Que es 42. Y en el denominador. 1 por 17. Que nos da 17. Entonces hemos aplicado esto. El truco o la técnica. De la carita feliz. Finalmente resolvemos esta resta que tenemos en el numerador. 51 menos 42 nos da 9. Y esto nos queda sobre 17. Revisamos si esa fracción se puede simplificar. Y vemos que no es posible. 17 es número primo. Solamente se puede dividir por 17. Y 9 no permite ser dividido por ese número. Entonces ya podemos escribir por acá. El valor de X en este sistema de ecuaciones. Es 9 17 aos. De esta manera terminamos el ejercicio. La respuesta puede presentarse de esta forma. Aquí tenemos el valor de X y el valor de Y. Que satisfacen el sistema de ecuaciones. O también puede presentarse como una coordenada. En el plano cartesiano. Es decir donde la abscisa es 9 17 aos. Y la coordenada es 21 17 aos. Es un sistema de ecuaciones de 2 por 2. Con solución única. Si graficamos estas dos rectas en el plano cartesiano. Vamos a observar que se cortan en este punto.

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a 3."}, {"start": 280.0, "end": 284.0, "text": " De esta manera ya tenemos la ecuaci\u00f3n que reemplaza a la n\u00famero 1."}, {"start": 284.0, "end": 287.0, "text": " Y esta vamos a llamarla la ecuaci\u00f3n n\u00famero 3."}, {"start": 287.0, "end": 295.0, "text": " Repetimos aqu\u00ed ya encaja con el modelo a x m\u00e1s d y igual a c, el modelo lineal."}, {"start": 295.0, "end": 299.0, "text": " Ahora vamos a transformar la ecuaci\u00f3n n\u00famero 2."}, {"start": 299.0, "end": 305.0, "text": " Vamos a realizarle un tratamiento similar al que le hicimos a la ecuaci\u00f3n 1."}, {"start": 305.0, "end": 315.0, "text": " Entonces 11 pasa a multiplicar con esta expresi\u00f3n 3x m\u00e1s y menos 3 que se protege con par\u00e9ntesis."}, {"start": 315.0, "end": 323.0, "text": " Y esto nos queda igual a menos 1 por lo que tenemos all\u00e1 en el denominador 2y menos x."}, {"start": 323.0, "end": 327.0, "text": " Repetimos, se aplica la propiedad fundamental de las proporciones."}, {"start": 327.0, "end": 331.0, "text": " Producto de extremos es igual a producto de medios."}, {"start": 331.0, "end": 335.0, "text": " Ahora vamos a romper los par\u00e9ntesis a ambos lados de la igualdad."}, {"start": 335.0, "end": 339.0, "text": " Aplicamos entonces la propiedad distributiva."}, {"start": 339.0, "end": 341.0, "text": " Entonces esto nos queda as\u00ed."}, {"start": 341.0, "end": 346.0, "text": " Veamos ac\u00e1, 11 por 3x es 33x."}, {"start": 346.0, "end": 350.0, "text": " 11 por m\u00e1s y nos da m\u00e1s 11y."}, {"start": 350.0, "end": 354.0, "text": " Y 11 por menos 3 nos da menos 33."}, {"start": 354.0, "end": 359.0, "text": " Al otro lado tenemos menos 1 por 2y que es menos 2y."}, {"start": 359.0, "end": 363.0, "text": " Y menos 1 por menos x que nos da m\u00e1s x."}, {"start": 363.0, "end": 369.0, "text": " Vamos a dejar entonces en el lado izquierdo de la igualdad los t\u00e9rminos que contienen las letras."}, {"start": 369.0, "end": 374.0, "text": " Entonces se queda 33x m\u00e1s 11y."}, {"start": 374.0, "end": 376.0, "text": " Y pasamos estos dos t\u00e9rminos."}, {"start": 376.0, "end": 380.0, "text": " Menos 2y llega al otro lado como m\u00e1s 2y."}, {"start": 380.0, "end": 383.0, "text": " Y m\u00e1s x llega como menos x."}, {"start": 383.0, "end": 387.0, "text": " Y pasamos este n\u00famero que est\u00e1 negativo al lado derecho."}, {"start": 387.0, "end": 390.0, "text": " Y lo hacemos entonces con signo positivo."}, {"start": 390.0, "end": 395.0, "text": " All\u00ed podemos reducir t\u00e9rminos semejantes en el lado izquierdo de la igualdad."}, {"start": 395.0, "end": 398.0, "text": " Es el caso de estos dos que contienen la x."}, {"start": 398.0, "end": 402.0, "text": " Y tambi\u00e9n estos dos que contienen la variable y."}, {"start": 402.0, "end": 404.0, "text": " Entonces la ecuaci\u00f3n nos queda as\u00ed."}, {"start": 404.0, "end": 409.0, "text": " Veamos, 33x menos x es 32x."}, {"start": 409.0, "end": 412.0, "text": " Luego tenemos m\u00e1s 11y m\u00e1s 2y."}, {"start": 412.0, "end": 414.0, "text": " Eso nos da m\u00e1s 13y."}, {"start": 414.0, "end": 418.0, "text": " Y en el lado derecho tenemos el n\u00famero 33."}, {"start": 418.0, "end": 421.0, "text": " Esta ecuaci\u00f3n no puede ser simplificada."}, {"start": 421.0, "end": 425.0, "text": " Es decir, no existe un divisor para 32, 13 y 33."}, {"start": 425.0, "end": 428.0, "text": " Que nos permita escribirla con n\u00fameros m\u00e1s peque\u00f1os."}, {"start": 428.0, "end": 430.0, "text": " Entonces se queda tal como est\u00e1."}, {"start": 430.0, "end": 432.0, "text": " Vamos a escribirla por ac\u00e1."}, {"start": 432.0, "end": 435.0, "text": " 32x m\u00e1s 13y."}, {"start": 435.0, "end": 438.0, "text": " Y esto igual a 33."}, {"start": 438.0, "end": 443.0, "text": " Entonces esta ser\u00e1 la ecuaci\u00f3n n\u00famero 4."}, {"start": 443.0, "end": 447.0, "text": " Que reemplaza a la ecuaci\u00f3n n\u00famero 2."}, {"start": 447.0, "end": 450.0, "text": " Entonces el sistema de ecuaciones original."}, {"start": 450.0, "end": 454.0, "text": " Que estaba conformado por las ecuaciones 1 y 2."}, {"start": 454.0, "end": 458.0, "text": " Ahora es reemplazado por el sistema de ecuaciones lineales."}, {"start": 458.0, "end": 461.0, "text": " Formado por las ecuaciones 3 y 4."}, {"start": 461.0, "end": 464.0, "text": " Entonces vamos a resolver este sistema de 2x2."}, {"start": 464.0, "end": 467.0, "text": " Dos ecuaciones lineales con dos inc\u00f3gnitas."}, {"start": 467.0, "end": 470.0, "text": " Por cualquiera de los m\u00e9todos anal\u00edticos."}, {"start": 470.0, "end": 473.0, "text": " Que son sustituci\u00f3n, igualaci\u00f3n, eliminaci\u00f3n."}, {"start": 473.0, "end": 476.0, "text": " O el m\u00e9todo de los determinantes."}, {"start": 476.0, "end": 478.0, "text": " Conocido como regla de Cramer."}, {"start": 478.0, "end": 482.0, "text": " En este caso vamos a elegir el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n."}, {"start": 482.0, "end": 486.0, "text": " Que consiste en despejar una letra de una de las ecuaciones."}, {"start": 486.0, "end": 489.0, "text": " Y lo que obtengamos se reemplaza en la otra ecuaci\u00f3n."}, {"start": 489.0, "end": 491.0, "text": " Por ejemplo, en este caso."}, {"start": 491.0, "end": 494.0, "text": " Est\u00e1 f\u00e1cil despejar la letra X de la ecuaci\u00f3n n\u00famero 3."}, {"start": 494.0, "end": 497.0, "text": " Entonces vamos a realizar ese despeje."}, {"start": 497.0, "end": 501.0, "text": " De la expresi\u00f3n 3 despejamos X."}, {"start": 501.0, "end": 504.0, "text": " Entonces nos queda de la siguiente manera."}, {"start": 504.0, "end": 510.0, "text": " Tenemos X igual a 3 menos 2y."}, {"start": 510.0, "end": 514.0, "text": " Este t\u00e9rmino que est\u00e1 sumando pasa al otro lado a restar."}, {"start": 514.0, "end": 518.0, "text": " Y esta nueva expresi\u00f3n que hemos obtenido."}, {"start": 518.0, "end": 522.0, "text": " La etiquetamos como la ecuaci\u00f3n n\u00famero 5."}, {"start": 522.0, "end": 527.0, "text": " Ahora vamos a sustituir la expresi\u00f3n 5 en la n\u00famero 4."}, {"start": 527.0, "end": 533.0, "text": " Entonces sustituimos la expresi\u00f3n 5 en la n\u00famero 4."}, {"start": 533.0, "end": 536.0, "text": " Es all\u00ed donde se aplica el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n."}, {"start": 536.0, "end": 538.0, "text": " Nos queda entonces as\u00ed."}, {"start": 538.0, "end": 541.0, "text": " 32 por, abrimos un par\u00e9ntesis."}, {"start": 541.0, "end": 544.0, "text": " Para insertar aqu\u00ed lo que nos dio X."}, {"start": 544.0, "end": 547.0, "text": " Que es 3 menos 2y."}, {"start": 547.0, "end": 549.0, "text": " Cerramos el par\u00e9ntesis."}, {"start": 549.0, "end": 551.0, "text": " Y escribimos lo dem\u00e1s."}, {"start": 551.0, "end": 555.0, "text": " M\u00e1s 13y igual a 33."}, {"start": 555.0, "end": 559.0, "text": " Nos concentramos ahora en resolver esta ecuaci\u00f3n."}, {"start": 559.0, "end": 561.0, "text": " Que es lineal o de primer grado."}, {"start": 561.0, "end": 563.0, "text": " Con una inc\u00f3gnita."}, {"start": 563.0, "end": 565.0, "text": " Que es la letra Y."}, {"start": 565.0, "end": 567.0, "text": " Vamos a romper este par\u00e9ntesis."}, {"start": 567.0, "end": 569.0, "text": " Aplicando la propiedad distributiva."}, {"start": 569.0, "end": 571.0, "text": " Entonces nos queda."}, {"start": 571.0, "end": 574.0, "text": " 32 por 3 es 96."}, {"start": 574.0, "end": 577.0, "text": " Despu\u00e9s tenemos 32 por menos 2y."}, {"start": 577.0, "end": 579.0, "text": " Eso es menos 64y."}, {"start": 579.0, "end": 581.0, "text": " Despu\u00e9s tenemos m\u00e1s 13y."}, {"start": 581.0, "end": 583.0, "text": " Y todo eso."}, {"start": 583.0, "end": 586.0, "text": " Igual a 33."}, {"start": 586.0, "end": 589.0, "text": " Aplicamos ahora la transposici\u00f3n de t\u00e9rminos."}, {"start": 589.0, "end": 591.0, "text": " Vamos a dejar en el lado izquierdo de la igualdad."}, {"start": 591.0, "end": 593.0, "text": " Aquellos t\u00e9rminos que contienen la Y."}, {"start": 593.0, "end": 596.0, "text": " Y en el lado derecho los n\u00fameros."}, {"start": 596.0, "end": 598.0, "text": " Entonces en el lado izquierdo."}, {"start": 598.0, "end": 600.0, "text": " Se queda menos 64y."}, {"start": 600.0, "end": 602.0, "text": " M\u00e1s 13y."}, {"start": 602.0, "end": 605.0, "text": " Y en el lado derecho dejamos 33."}, {"start": 605.0, "end": 608.0, "text": " Y traemos este n\u00famero que est\u00e1 positivo."}, {"start": 608.0, "end": 611.0, "text": " Entonces llega ac\u00e1 con signo negativo."}, {"start": 611.0, "end": 614.0, "text": " Resolvemos ahora cada lado de la igualdad."}, {"start": 614.0, "end": 616.0, "text": " Por ac\u00e1 tenemos t\u00e9rminos semejantes."}, {"start": 616.0, "end": 619.0, "text": " Menos 64y m\u00e1s 13y."}, {"start": 619.0, "end": 622.0, "text": " Eso nos da menos 51y."}, {"start": 622.0, "end": 625.0, "text": " Y por ac\u00e1 33 menos 96."}, {"start": 625.0, "end": 628.0, "text": " Nos da menos 63."}, {"start": 628.0, "end": 631.0, "text": " De all\u00ed podemos hacer el despeje de la letra Y."}, {"start": 631.0, "end": 633.0, "text": " Para ello pasamos este n\u00famero."}, {"start": 633.0, "end": 636.0, "text": " Menos 51 que est\u00e1 multiplicando."}, {"start": 636.0, "end": 638.0, "text": " Al otro lado a dividir."}, {"start": 638.0, "end": 641.0, "text": " Es como dividir ambos lados de la igualdad."}, {"start": 641.0, "end": 643.0, "text": " Por menos 51."}, {"start": 643.0, "end": 646.0, "text": " Y all\u00ed podemos simplificar esa fracci\u00f3n."}, {"start": 646.0, "end": 648.0, "text": " Primero comenzamos con el signo."}, {"start": 648.0, "end": 650.0, "text": " Menos con menos nos da m\u00e1s."}, {"start": 650.0, "end": 653.0, "text": " Vamos a obtener una fracci\u00f3n positiva."}, {"start": 653.0, "end": 655.0, "text": " Y tambi\u00e9n estos dos n\u00fameros."}, {"start": 655.0, "end": 657.0, "text": " Son divisibles por 3."}, {"start": 657.0, "end": 660.0, "text": " 63 dividido entre 3 nos da 21."}, {"start": 660.0, "end": 665.0, "text": " Y 51 dividido entre 3 nos da 17."}, {"start": 665.0, "end": 668.0, "text": " Anotamos este resultado por ac\u00e1."}, {"start": 668.0, "end": 671.0, "text": " Y vamos a reemplazar este valor de Y."}, {"start": 671.0, "end": 673.0, "text": " En la expresi\u00f3n n\u00famero 5."}, {"start": 673.0, "end": 676.0, "text": " Aprovechamos el despeje que se hizo."}, {"start": 676.0, "end": 678.0, "text": " De la inc\u00f3gnita X."}, {"start": 678.0, "end": 681.0, "text": " Entonces esto nos va a quedar de la siguiente manera."}, {"start": 681.0, "end": 684.0, "text": " X igual a 3 menos 2."}, {"start": 684.0, "end": 687.0, "text": " Y eso multiplicado por el valor de Y."}, {"start": 687.0, "end": 690.0, "text": " Que es 21 17aos."}, {"start": 690.0, "end": 694.0, "text": " Entonces vamos a resolver estas operaciones."}, {"start": 694.0, "end": 697.0, "text": " Aqu\u00ed primero debemos resolver la multiplicaci\u00f3n."}, {"start": 697.0, "end": 699.0, "text": " Y despu\u00e9s la resta."}, {"start": 699.0, "end": 701.0, "text": " Para la multiplicaci\u00f3n tenemos un n\u00famero entero."}, {"start": 701.0, "end": 702.0, "text": " Y una fracci\u00f3n."}, {"start": 702.0, "end": 706.0, "text": " Entonces al entero le colocamos denominador 1."}, {"start": 706.0, "end": 708.0, "text": " Nos queda entonces as\u00ed."}, {"start": 708.0, "end": 710.0, "text": " X igual a 3 menos."}, {"start": 710.0, "end": 712.0, "text": " Vamos a efectuar ese producto."}, {"start": 712.0, "end": 716.0, "text": " Recordemos que las fracciones se multiplican de manera horizontal."}, {"start": 716.0, "end": 718.0, "text": " Multiplicamos numeradores entre s\u00ed."}, {"start": 718.0, "end": 720.0, "text": " 2 por 21."}, {"start": 720.0, "end": 721.0, "text": " Que nos da 42."}, {"start": 721.0, "end": 724.0, "text": " Y multiplicamos denominadores entre s\u00ed."}, {"start": 724.0, "end": 725.0, "text": " 1 por 17."}, {"start": 725.0, "end": 727.0, "text": " Nos da 17."}, {"start": 727.0, "end": 728.0, "text": " Ahora s\u00ed."}, {"start": 728.0, "end": 730.0, "text": " Resolvemos la resta que ocurre."}, {"start": 730.0, "end": 733.0, "text": " Entre un n\u00famero entero y una fracci\u00f3n."}, {"start": 733.0, "end": 736.0, "text": " Al n\u00famero entero le colocamos denominador 1."}, {"start": 736.0, "end": 739.0, "text": " Y podemos resolver esa resta."}, {"start": 739.0, "end": 741.0, "text": " De fracciones heterog\u00e9neas."}, {"start": 741.0, "end": 744.0, "text": " Fracciones con distinto denominador."}, {"start": 744.0, "end": 748.0, "text": " Utilizando el truco o la t\u00e9cnica de la carita feliz."}, {"start": 748.0, "end": 749.0, "text": " Veamos."}, {"start": 749.0, "end": 750.0, "text": " 3 por 17."}, {"start": 750.0, "end": 752.0, "text": " Nos da 51."}, {"start": 752.0, "end": 753.0, "text": " Despu\u00e9s tenemos menos."}, {"start": 753.0, "end": 755.0, "text": " 1 por 42."}, {"start": 755.0, "end": 756.0, "text": " Que es 42."}, {"start": 756.0, "end": 757.0, "text": " Y en el denominador."}, {"start": 757.0, "end": 759.0, "text": " 1 por 17."}, {"start": 759.0, "end": 761.0, "text": " Que nos da 17."}, {"start": 761.0, "end": 763.0, "text": " Entonces hemos aplicado esto."}, {"start": 763.0, "end": 765.0, "text": " El truco o la t\u00e9cnica."}, {"start": 765.0, "end": 767.0, "text": " De la carita feliz."}, {"start": 767.0, "end": 771.0, "text": " Finalmente resolvemos esta resta que tenemos en el numerador."}, {"start": 771.0, "end": 774.0, "text": " 51 menos 42 nos da 9."}, {"start": 774.0, "end": 777.0, "text": " Y esto nos queda sobre 17."}, {"start": 777.0, "end": 780.0, "text": " Revisamos si esa fracci\u00f3n se puede simplificar."}, {"start": 780.0, "end": 782.0, "text": " Y vemos que no es posible."}, {"start": 782.0, "end": 784.0, "text": " 17 es n\u00famero primo."}, {"start": 784.0, "end": 786.0, "text": " Solamente se puede dividir por 17."}, {"start": 786.0, "end": 789.0, "text": " Y 9 no permite ser dividido por ese n\u00famero."}, {"start": 789.0, "end": 792.0, "text": " Entonces ya podemos escribir por ac\u00e1."}, {"start": 792.0, "end": 795.0, "text": " El valor de X en este sistema de ecuaciones."}, {"start": 795.0, "end": 797.0, "text": " Es 9 17 aos."}, {"start": 797.0, "end": 800.0, "text": " De esta manera terminamos el ejercicio."}, {"start": 800.0, "end": 803.0, "text": " La respuesta puede presentarse de esta forma."}, {"start": 803.0, "end": 805.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos el valor de X y el valor de Y."}, {"start": 805.0, "end": 808.0, "text": " Que satisfacen el sistema de ecuaciones."}, {"start": 808.0, "end": 811.0, "text": " O tambi\u00e9n puede presentarse como una coordenada."}, {"start": 811.0, "end": 813.0, "text": " En el plano cartesiano."}, {"start": 813.0, "end": 817.0, "text": " Es decir donde la abscisa es 9 17 aos."}, {"start": 817.0, "end": 821.0, "text": " Y la coordenada es 21 17 aos."}, {"start": 821.0, "end": 824.0, "text": " Es un sistema de ecuaciones de 2 por 2."}, {"start": 824.0, "end": 826.0, "text": " Con soluci\u00f3n \u00fanica."}, {"start": 826.0, "end": 830.0, "text": " Si graficamos estas dos rectas en el plano cartesiano."}, {"start": 830.0, "end": 835.0, "text": " Vamos a observar que se cortan en este punto."}]

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5. LAS UNIDADES (Teoría)

Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España. Clase No. 5: Las Unidades (Teoría). Unidades de magnitudes físicas (fundamentales y derivadas) en diferentes sistemas (cegesimal, anglosajón e internacional). Tema: Magnitudes Físicas y Unidades. Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → http://www.julioprofe.net

Ya hemos visto que en la física se distinguen dos clases de magnitudes, las magnitudes fundamentales y las magnitudes derivadas. Cuando se hace la medición de una magnitud se obtiene un valor numérico que carece de sentido si no va acompañado de una unidad. Por ejemplo, decir que el tiempo que un motociclista viaja por una autopista E5 no tiene sentido. Sabemos que el tiempo puede medirse en días, en horas, en minutos, en segundos, en milisegundos, etc. Por esa razón se debe especificar la unidad, ya que es evidente que no es lo mismo 5 horas que 5 segundos. Entonces, para dar el dato correcto de una magnitud física se debe proporcionar el valor numérico y la unidad. Una longitud de 3 kilómetros, una masa de 50 miligramos, una velocidad de 80 millas por hora, una fuerza de 200 newtons, etc. En los ejemplos mostrados en esta imagen podemos apreciar en color amarillo la magnitud física, en color violeta el valor numérico y en color rojo la unidad. A lo largo de la historia el hombre ha empleado diferentes sistemas de unidades, un conjunto bien definido de unidades de medida. Esto ha obedecido al momento histórico de los pueblos que crearon e implementaron esos sistemas de unidades. También algunos los impusieron a otras culturas. En realidad cada científico o cada país podría operar con un sistema de unidades propio como es el caso de los países anglosajones que utilizan las millas, los pies, las libras, los grados Fahrenheit, etc. Sin embargo siempre ha existido una tendencia generalizada a usar sistemas de unidades unificados con el fin de facilitar la comunicación y el trabajo conjunto de técnicos, ingenieros y científicos de diferentes nacionalidades. Los sistemas de unidades más utilizados en física son el sistema segecimal conocido como CGS, el sistema anglosajón y el sistema internacional conocido como SI. El sistema segecimal debe su nombre a las iniciales de las unidades asignadas a las magnitudes fundamentales centímetro con su símbolo CM para la longitud, gramo con su símbolo G para la masa, segundo con su símbolo S para el tiempo. En el sistema CGS algunas magnitudes derivadas y sus unidades son, para la superficie la unidad es el centímetro cuadrado, para el volumen la unidad es el centímetro cúbico, para la velocidad la unidad es centímetro sobre segundo, para la fuerza la unidad es gramo por centímetro sobre segundo cuadrado que se llama DINA y para el trabajo o la energía la unidad es gramo por centímetro cuadrado sobre segundo cuadrado, esta unidad se conoce con el nombre de ERGIO. El sistema anglosajón también se conoce como sistema inglés o sistema imperial y se utiliza en Estados Unidos, Inglaterra y otros territorios de influencia anglosajona. En este sistema se utiliza el pie con su símbolo FT para la longitud, slug para la masa, segundo con su símbolo S para el tiempo. Las unidades de longitud del sistema anglosajón y sus equivalencias son, una pulgada su símbolo es IN que equivale a 2.54 centímetros, un pie como decíamos su símbolo es FT que equivale a 12 pulgadas y a su vez equivale a 30.48 centímetros, una llarna cuyo símbolo es YD que equivale a 3 pies y a su vez equivale a 36 pulgadas y esto es igual a 91.44 centímetros, una milla terrestre su símbolo es MI que equivale a 1760 yardas y a su vez es igual a 1609 metros. En el sistema anglosajón algunas magnitudes derivadas y sus unidades son, para la superficie la unidad es el pie cuadrado, para el volumen la unidad es el pie cúbico, para la velocidad la unidad es pie sobre segundo, para la fuerza la unidad es slug por pie sobre segundo cuadrado, esta unidad se conoce como libra fuerza y su símbolo es LBF, para la presión la unidad es libra fuerza sobre pulgada cuadrada, esta unidad se conoce como PSI, el sistema internacional conocido como SI, es el sistema de unidades más utilizado en el mundo y fue adoptado por la decimoprimera conferencia general de pesos y medidas que tuvo lugar en Paris en 1960. Las unidades en el sistema internacional para las siete magnitudes fundamentales de la física son, para la longitud la unidad es el metro, para la masa es el kilogramo, para el tiempo es el segundo, para la intensidad de corriente eléctrica es el amper o amperio, para la temperatura es el kelvin, para la intensidad luminosa es la candela y para la cantidad de sustancia es el mol, entre paréntesis podemos apreciar el símbolo de cada unidad. Como se pudo observar en el sistema internacional la unidad para la longitud es el metro, la unidad para la masa es el kilogramo y la unidad para el tiempo es el segundo, por ello el sistema internacional se conocía con el nombre de sistema MKS. En el sistema internacional algunas magnitudes derivadas y sus unidades son, para la fuerza la unidad es el kilogramo por metro sobre segundo cuadrado, esta unidad se conoce como newton, para el trabajo o energía la unidad es newton por metro, unidad que se conoce como joule, para la presión la unidad es newton sobre metro cuadrado, unidad que se conoce como pascal, para la potencia la unidad es joule sobre segundo, unidad que se conoce como watt o vatio y para la carga eléctrica la unidad es amperio por segundo, unidad que se conoce como coulomb o colombio. Estas son entonces las unidades que más se utilizan en el estudio de la física. Algunas recomendaciones Al resolver problemas de física es muy importante revisar que la información que se tiene sea compatible, es decir que todas las magnitudes conocidas estén expresadas en un mismo sistema de unidades. Para lograr esto es indispensable realizar lo que se conoce como conversión de unidades, un proceso que debe ejecutarse con mucha destreza para tener éxito en el correcto planteamiento y desarrollo de los problemas de física. También es muy importante recordar que al terminar un problema deben escribirse las unidades correspondientes a la magnitud que se ha encontrado para que ésta tenga un verdadero sentido físico.

[{"start": 0.0, "end": 20.56, "text": " Ya hemos visto que en la f\u00edsica se distinguen dos clases de magnitudes, las magnitudes fundamentales"}, {"start": 20.56, "end": 27.0, "text": " y las magnitudes derivadas. Cuando se hace la medici\u00f3n de una magnitud se obtiene un"}, {"start": 27.0, "end": 35.64, "text": " valor num\u00e9rico que carece de sentido si no va acompa\u00f1ado de una unidad. Por ejemplo,"}, {"start": 35.64, "end": 43.74, "text": " decir que el tiempo que un motociclista viaja por una autopista E5 no tiene sentido. Sabemos"}, {"start": 43.74, "end": 51.44, "text": " que el tiempo puede medirse en d\u00edas, en horas, en minutos, en segundos, en milisegundos,"}, {"start": 51.44, "end": 60.4, "text": " etc. Por esa raz\u00f3n se debe especificar la unidad, ya que es evidente que no es lo mismo"}, {"start": 60.4, "end": 69.68, "text": " 5 horas que 5 segundos. 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PRODUCTOS NOTABLES: SUMA POR DIFERENCIA (Ejercicio 2)

#julioprofe explica cómo aplicar el Producto Notable llamado Suma por Diferencia. Tema: #ProductosNotables → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwGZ0Uc88U7suZlA784fjzzj REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver paso a paso esta situación, la multiplicación de dos binomios. Aquí se observa la suma de dos cantidades y acá la diferencia o resta de ellas mismas. Vamos a utilizar entonces un producto notable llamado suma por diferencia, que dice lo siguiente, si tenemos la suma de dos cantidades por ejemplo p y q multiplicada por la diferencia de ellas mismas, esto nos da como resultado p al cuadrado menos q al cuadrado, es decir la primera cantidad elevada al cuadrado menos la segunda cantidad elevada al cuadrado. Este producto notable es de gran importancia y nos ahorra el aplicar la propiedad distributiva que se acostumbra cuando se multiplican dos binomios. Entonces en este caso esta cantidad hace el papel de p y esta que tenemos acá hace el papel de q. Vamos entonces a construir esto, comenzamos con p al cuadrado, es decir la primera cantidad que es 2a a la 4b todo eso protegido con paréntesis y elevado al cuadrado, después tenemos menos la segunda cantidad la que hace el papel de q que es 11c a la 5d a la 8 también todo eso protegido con paréntesis y elevado al cuadrado. Ahora desarrollamos cada una de estas potencias y allí vamos a aplicar la siguiente propiedad de la potenciación, si tenemos un producto de tres cantidades todo eso elevado a un exponente n esto será igual a x a la n por y a la n por z a la n, el exponente se reparte para cada uno de los factores que tenemos en la base. Entonces aquí tendremos lo siguiente 2 al cuadrado eso multiplicado por a a la 4 al cuadrado entonces allí utilizamos paréntesis para proteger a a la 4 todo eso al cuadrado y después b al cuadrado allí podemos colocar el exponente 2 directamente sin necesidad de paréntesis después tenemos menos aquí 11 al cuadrado eso multiplicado por c a la 5 que va entre paréntesis al cuadrado y eso por d a la 8 también encerrado con paréntesis y elevado al cuadrado. Seguimos resolviendo esas potencias por acá tenemos 2 al cuadrado o sea 2 por 2 que nos da 4, aquí tenemos una potencia elevada a otro exponente entonces se aplica esta propiedad de la potenciación si tenemos una potencia x a la n todo eso elevado a otro exponente m entonces dejamos la base y se multiplican los exponentes es lo que se llama potencia de una potencia entonces aquí conservamos la base que es a y se multiplican los exponentes 4 por 2 nos da 8 y eso va acompañado de b al cuadrado después tenemos menos 11 al cuadrado o sea 11 por 11 que nos da 121 aquí tenemos c se conserva la base se multiplican los exponentes 5 por 2 10 y acá aplicamos la misma propiedad conservamos la base que es de y multiplicamos los exponentes 8 por 2 es 16 allí no es posible hacer nada más entonces esto constituye la respuesta para esta multiplicación de binomios que hemos resuelto aplicando el producto notable llamado suma por diferencia.

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4. MAGNITUDES FÍSICAS (Ejercicio 3)

Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España. Clase No. 4: Magnitudes Físicas (Ejercicio 3). Comprobar si la ecuación s = vt² + 2at es dimensionalmente correcta. Tema: Magnitudes Físicas y Unidades. Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → http://www.julioprofe.net

Tenemos esta ecuación donde S es el espacio recorrido o distancia recorrida, V es velocidad, T representa tiempo y A es aceleración. Vamos a realizar el análisis dimensional de esta ecuación para mirar si es dimensionalmente correcta. Entonces tenemos que S por ser una distancia tiene dimensión L, es decir, una longitud, una magnitud fundamental. Aquí tenemos velocidad, velocidad es una magnitud derivada cuya dimensión es L sobre T, longitud sobre tiempo. Esto multiplicado por tiempo al cuadrado, su dimensión será T cuadrado, más tenemos el número 2 que es adimensional, no tiene dimensión ni tampoco unidades. Sigue la aceleración que es una magnitud derivada cuya dimensión es L sobre T cuadrado, longitud sobre tiempo al cuadrado y esto multiplicado por T que es tiempo, su dimensión es T. Vamos a simplificar por ejemplo en este término, tendríamos por ejemplo la posibilidad de cancelar una T, nos queda por acá una T y aquí en este término también podemos simplificar una T con una de abajo y nos queda otra T en la parte de abajo. Entonces veamos que esto es igual a L en el lado izquierdo que es igual a L por T que fue lo que nos quedó en este término, longitud por tiempo, más aquí nos quedó longitud sobre tiempo. Entonces vemos como un desbalance, como algo que no cuadra en el lado derecho de la ecuación, vemos que esto no es compatible con esto, tendríamos que tener longitud aquí y longitud acá para que la suma de dos longitudes nos de esta longitud que tenemos en el lado izquierdo. Por lo tanto aquí podemos concluir que esta ecuación no es dimensionalmente correcta. Muchas gracias por ver este vídeo.

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https://www.youtube.com/watch?v=PitPda9ZXqA

3. MAGNITUDES FÍSICAS (Ejercicio 2)

Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España. Clase No. 3: Magnitudes Físicas (Ejercicio 2). Comprobar si la ecuación T = 2π√(L/g) es dimensionalmente correcta. Tema: Magnitudes Físicas y Unidades. Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → http://www.julioprofe.net

T significa tiempo, L significa longitud y G significa aceleración gravitacional o la gravedad. Entonces vamos a realizar el análisis dimensional para saber si esa ecuación es dimensionalmente correcta. Entonces tenemos que el tiempo tiene dimensión T, es una magnitud fundamental. Pasamos al otro lado de la ecuación, vemos 2π, 2π es un número, un número real, por lo tanto por ser un número no tiene dimensión, es adimensional. Luego no cuenta en el análisis que estamos haciendo, es decir, el análisis dimensional. Pasamos a la raíz cuadrada, dentro de la raíz tenemos una longitud que es una magnitud fundamental, su dimensión es L y aquí tenemos G que es una aceleración, es la aceleración gravitacional. Como la aceleración es una magnitud derivada, su dimensión es L sobre T cuadrado, longitud sobre tiempo al cuadrado. Aquí podemos hacer lo siguiente, a la L le podemos colocar denominador 1 para que hagamos este producto de extremos y de medios. Entonces nos va a quedar lo siguiente, T es igual a la raíz cuadrada de, veamos, en el numerador nos queda L multiplicado por T al cuadrado y en la parte de abajo nos queda 1 por L que es L. Entonces vemos que aquí en esta fracción podemos simplificar la L, debido a que hay multiplicación allí, por lo tanto vamos a seguirlo acá. Nos queda que T es igual a la raíz cuadrada de T al cuadrado que es lo único que nos queda dentro de la raíz cuadrada. Esto nos queda T igual a la raíz cuadrada de T al cuadrado, eso simplificando nos da T, podemos hacerlo de esta manera porque T es un tiempo luego, es una cantidad positiva. Legalmente esta raíz cuadrada de T al cuadrado nos daría valor absoluto de T, pero por ser una cantidad positiva podemos retirarle el valor absoluto. Nos queda entonces que T es igual a T, esto nos dice que esta ecuación si es dimensionalmente correcta. ¡Suscríbete al canal!

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https://www.youtube.com/watch?v=VSL5aFjRR0c

2. MAGNITUDES FÍSICAS (Ejercicio 1)

Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España. Clase No. 2: Magnitudes Físicas (Ejercicio 1). Comprobar si la ecuación d = 1/2at² + Vot es dimensionalmente correcta. Tema: Magnitudes Físicas y Unidades. Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → http://www.julioprofe.net

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https://www.youtube.com/watch?v=bMpHEu-pzhw

1. MAGNITUDES FÍSICAS (Teoría)

Clases de Física para el grado 1° de Bachillerato en España. Clase No. 1: Magnitudes Físicas (Teoría). Magnitudes físicas (fundamentales y derivadas): conceptos y ejemplos. Tema: Magnitudes Físicas y Unidades. Material producido por #julioprofe en 2010, junto con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → http://www.julioprofe.net

La física hace parte de las ciencias exactas, así como la química y la astronomía. Su principal característica es que se basa en las mediciones. Se llama magnitud a la propiedad de un cuerpo o sistema físico que puede expresarse en forma numérica, es decir, que es posible medir. En otros términos, las magnitudes físicas son propiedades o atributos medibles del mundo que nos rodea. Ejemplos de magnitudes físicas son la longitud, la masa, el tiempo, la velocidad, la fuerza, la temperatura, la corriente eléctrica, la energía, la densidad, la presión, entre otras. Cuando se hace una medición se obtiene un número, que es el valor de la magnitud. Ese número expresa la relación que existe entre esa magnitud y la que se ha tomado como unidad. Por ejemplo, si medimos una barra metálica de 10 centímetros, el número 10 nos indica cuantas veces la magnitud unidad llamada centímetro está contenida en la magnitud medida, es decir, la longitud de la barra. En la física se distinguen dos clases de magnitudes. Magnitudes fundamentales y magnitudes derivadas. Magnitudes fundamentales son aquellas que no se pueden definir con respecto a otras y constituyen la base del gran edificio de la física. En mecánica, es decir, la rama de la física que estudia las interacciones que conducen a un cambio de movimiento, las magnitudes fundamentales son tres. Magnitud que se denota con L, masa que se denota con M y tiempo que se denota con T. Estas son las magnitudes fundamentales que trabajaremos por ahora. Otras magnitudes fundamentales de la física son la intensidad de corriente eléctrica, la temperatura absoluta, la intensidad luminosa, la cantidad de sustancia. Magnitudes derivadas son aquellas que se obtienen a partir de las magnitudes fundamentales. En ellas se especifica la dimensión, es decir, cómo se construye la magnitud a partir de las fundamentales. Veamos algunos ejemplos de magnitudes derivadas y sus respectivas dimensiones. Superficie resulta de multiplicar dos longitudes, su dimensión es L al cuadrado. Volumen resulta de multiplicar tres longitudes, su dimensión es L al cubo. Velocidad resulta de dividir una longitud entre un tiempo. Su dimensión es L sobre T o también LT a la menos uno. Aceleración resulta de dividir una longitud entre un tiempo elevado al cuadrado. Su dimensión es L sobre T cuadrado o también LT a la menos dos. Densidad resulta de dividir una masa entre un volumen. Su dimensión es M sobre L al cubo o también ML a la menos tres. Fuerza resulta de multiplicar una masa por una aceleración. Su dimensión es ML sobre T cuadrado o también MLT elevado a la menos dos. En un próximo video veremos cuales son las unidades que más se utilizan para las magnitudes físicas tanto fundamentales como derivadas.

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https://www.youtube.com/watch?v=eGoiGnI0ZGw

RACIONALIZACIÓN MEDIANTE CONJUGACIÓN - Ejercicio 2

#julioprofe explica cómo racionalizar el denominador de una fracción numérica mediante conjugación. Tema: #Racionalización → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEhyDZyc08U1WijxsTgX8pa REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a racionalizar esta expresión numérica, es decir, vamos a quitar estos radicales que tenemos en el denominador de esa fracción. Vamos a resolver ese ejercicio manualmente y al final haremos la comprobación en calculadora. Comenzamos por escribir nuevamente esa fracción numérica, entonces tenemos 6 en el numerador y raíz cuadrada de 5 más raíz cuadrada de 3 en el denominador. Entonces vamos a utilizar el procedimiento llamado conjugación, que consiste en multiplicar por otra fracción que tiene acá en el denominador el conjugado de esta expresión. El conjugado de A más B será A menos B y viceversa, es decir, si tenemos A menos B su conjugado será A más B. El objetivo de la conjugación es aprovechar el producto notable llamado suma por diferencia. Cuando efectuamos esa multiplicación nos da como resultado A al cuadrado menos B al cuadrado, es decir, una diferencia de cuadrados perfectos. Entonces el conjugado de raíz de 5 más raíz de 3 será raíz cuadrada de 5 menos raíz cuadrada de 3. Únicamente cambia el signo de la mitad y esto que hemos escrito en el denominador debemos repetirlo en el numerador, porque esta fracción por la que vamos a multiplicar la fracción original debe ser equivalente a 1, para no alterar esta expresión. Entonces si el numerador es igual al denominador la fracción equivale a 1. Ahora vamos a efectuar esa multiplicación de fracciones. Recordemos que se deben multiplicar numeradores entre sí y denominadores entre sí. La multiplicación de numeradores vamos a dejarla por acá indicada, 6 por raíz cuadrada de 5 menos la raíz cuadrada de 3. Allí protegemos con paréntesis este epinomio, esos dos términos. Y en el denominador este producto corresponde a esta situación, es allí cuando aplicamos el producto notable. Entonces nos da la primera cantidad que es raíz cuadrada de 5, todo esto elevado al cuadrado. Allí tenemos este componente menos la segunda cantidad que es raíz cuadrada de 3, también elevada al cuadrado. Allí tenemos este otro componente. Continuamos con el desarrollo de las operaciones. En el numerador tendremos lo mismo, es decir 6 que multiplica con raíz cuadrada de 5 menos raíz cuadrada de 3. Eso lo dejamos así indicado. Y en el denominador vamos a ejecutar estas dos potencias. Recordemos que el exponente 2 elimina la raíz cuadrada. Entonces aquí nos queda libre el 5 y por acá nos queda libre el 3. Seguimos resolviendo. En el numerador permanece lo mismo, 6 que multiplica con raíz cuadrada de 5 menos raíz cuadrada de 3. Y en el denominador efectuamos esa resta. Tenemos 5 menos 3 que nos da 2. Y allí podemos simplificar esa fracción. 6 se está multiplicando en el numerador, puede simplificarse con 2. Decimos mitad de 2 es 1 y mitad de 6 nos da 3. Entonces esto nos queda igual a 3 que multiplica con raíz cuadrada de 5 menos raíz cuadrada de 3. Y de esa manera terminamos el ejercicio. Porque ya tenemos una expresión equivalente a la original pero sin denominador con radicales. Bueno, en realidad aquí nos queda como denominador 1, pero eso podemos omitirlo. También podríamos dar la respuesta sin ese producto. Entonces aplicamos la propiedad distributiva para romper ese paréntesis. Vamos a seguir por acá, entonces eso nos queda igual a lo siguiente. 3 por raíz cuadrada de 5 es 3 raíz de 5. Y eso menos 3 por raíz cuadrada de 3 que será 3 raíz de 3. Entonces podemos dar la respuesta de esta manera o también presentada así como producto. Ahora vamos a comprobar este ejercicio utilizando esta calculadora científica. Comenzamos oprimiendo el botón de fracción, en el numerador escribimos el 6. Bajamos el denominador utilizando el botón respectivo del navegador. Y allí debemos escribir esto que tenemos acá. Raíz cuadrada de 5 más raíz cuadrada de 3. Entonces botón de raíz cuadrada, luego el 5. Corremos el cursor a la derecha, después más otra vez botón de raíz cuadrada y el 3. Allí hemos ingresado esa expresión. Oprimimos el botón igual y obtenemos esto de acá. 3 raíz de 5 menos 3 raíz de 3. Con esto comprobamos que ese ejercicio sea resuelto correctamente.

[{"start": 0.0, "end": 13.0, "text": " Vamos a racionalizar esta expresi\u00f3n num\u00e9rica, es decir, vamos a quitar estos radicales que tenemos en el denominador de esa fracci\u00f3n."}, {"start": 13.0, "end": 19.0, "text": " Vamos a resolver ese ejercicio manualmente y al final haremos la comprobaci\u00f3n en calculadora."}, {"start": 19.0, "end": 33.0, "text": " Comenzamos por escribir nuevamente esa fracci\u00f3n num\u00e9rica, entonces tenemos 6 en el numerador y ra\u00edz cuadrada de 5 m\u00e1s ra\u00edz cuadrada de 3 en el denominador."}, {"start": 33.0, "end": 47.0, "text": " Entonces vamos a utilizar el procedimiento llamado conjugaci\u00f3n, que consiste en multiplicar por otra fracci\u00f3n que tiene ac\u00e1 en el denominador el conjugado de esta expresi\u00f3n."}, {"start": 47.0, "end": 57.0, "text": " El conjugado de A m\u00e1s B ser\u00e1 A menos B y viceversa, es decir, si tenemos A menos B su conjugado ser\u00e1 A m\u00e1s B."}, {"start": 57.0, "end": 64.0, "text": " El objetivo de la conjugaci\u00f3n es aprovechar el producto notable llamado suma por diferencia."}, {"start": 64.0, "end": 74.0, "text": " Cuando efectuamos esa multiplicaci\u00f3n nos da como resultado A al cuadrado menos B al cuadrado, es decir, una diferencia de cuadrados perfectos."}, {"start": 74.0, "end": 83.0, "text": " Entonces el conjugado de ra\u00edz de 5 m\u00e1s ra\u00edz de 3 ser\u00e1 ra\u00edz cuadrada de 5 menos ra\u00edz cuadrada de 3."}, {"start": 83.0, "end": 92.0, "text": " \u00danicamente cambia el signo de la mitad y esto que hemos escrito en el denominador debemos repetirlo en el numerador,"}, {"start": 92.0, "end": 103.0, "text": " porque esta fracci\u00f3n por la que vamos a multiplicar la fracci\u00f3n original debe ser equivalente a 1, para no alterar esta expresi\u00f3n."}, {"start": 103.0, "end": 110.0, "text": " Entonces si el numerador es igual al denominador la fracci\u00f3n equivale a 1."}, {"start": 110.0, "end": 114.0, "text": " Ahora vamos a efectuar esa multiplicaci\u00f3n de fracciones."}, {"start": 114.0, "end": 120.0, "text": " Recordemos que se deben multiplicar numeradores entre s\u00ed y denominadores entre s\u00ed."}, {"start": 120.0, "end": 130.0, "text": " La multiplicaci\u00f3n de numeradores vamos a dejarla por ac\u00e1 indicada, 6 por ra\u00edz cuadrada de 5 menos la ra\u00edz cuadrada de 3."}, {"start": 130.0, "end": 135.0, "text": " All\u00ed protegemos con par\u00e9ntesis este epinomio, esos dos t\u00e9rminos."}, {"start": 135.0, "end": 143.0, "text": " Y en el denominador este producto corresponde a esta situaci\u00f3n, es all\u00ed cuando aplicamos el producto notable."}, {"start": 143.0, "end": 150.0, "text": " Entonces nos da la primera cantidad que es ra\u00edz cuadrada de 5, todo esto elevado al cuadrado."}, {"start": 150.0, "end": 160.0, "text": " All\u00ed tenemos este componente menos la segunda cantidad que es ra\u00edz cuadrada de 3, tambi\u00e9n elevada al cuadrado."}, {"start": 160.0, "end": 163.0, "text": " All\u00ed tenemos este otro componente."}, {"start": 163.0, "end": 166.0, "text": " Continuamos con el desarrollo de las operaciones."}, {"start": 166.0, "end": 177.0, "text": " En el numerador tendremos lo mismo, es decir 6 que multiplica con ra\u00edz cuadrada de 5 menos ra\u00edz cuadrada de 3."}, {"start": 177.0, "end": 180.0, "text": " Eso lo dejamos as\u00ed indicado."}, {"start": 180.0, "end": 185.0, "text": " Y en el denominador vamos a ejecutar estas dos potencias."}, {"start": 185.0, "end": 189.0, "text": " Recordemos que el exponente 2 elimina la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 189.0, "end": 195.0, "text": " Entonces aqu\u00ed nos queda libre el 5 y por ac\u00e1 nos queda libre el 3."}, {"start": 195.0, "end": 197.0, "text": " Seguimos resolviendo."}, {"start": 197.0, "end": 206.0, "text": " En el numerador permanece lo mismo, 6 que multiplica con ra\u00edz cuadrada de 5 menos ra\u00edz cuadrada de 3."}, {"start": 206.0, "end": 210.0, "text": " Y en el denominador efectuamos esa resta."}, {"start": 210.0, "end": 213.0, "text": " Tenemos 5 menos 3 que nos da 2."}, {"start": 213.0, "end": 216.0, "text": " Y all\u00ed podemos simplificar esa fracci\u00f3n."}, {"start": 216.0, "end": 220.0, "text": " 6 se est\u00e1 multiplicando en el numerador, puede simplificarse con 2."}, {"start": 220.0, "end": 225.0, "text": " Decimos mitad de 2 es 1 y mitad de 6 nos da 3."}, {"start": 225.0, "end": 235.0, "text": " Entonces esto nos queda igual a 3 que multiplica con ra\u00edz cuadrada de 5 menos ra\u00edz cuadrada de 3."}, {"start": 235.0, "end": 238.0, "text": " Y de esa manera terminamos el ejercicio."}, {"start": 238.0, "end": 246.0, "text": " Porque ya tenemos una expresi\u00f3n equivalente a la original pero sin denominador con radicales."}, {"start": 246.0, "end": 251.0, "text": " Bueno, en realidad aqu\u00ed nos queda como denominador 1, pero eso podemos omitirlo."}, {"start": 251.0, "end": 255.0, "text": " Tambi\u00e9n podr\u00edamos dar la respuesta sin ese producto."}, {"start": 255.0, "end": 261.0, "text": " Entonces aplicamos la propiedad distributiva para romper ese par\u00e9ntesis."}, {"start": 261.0, "end": 266.0, "text": " Vamos a seguir por ac\u00e1, entonces eso nos queda igual a lo siguiente."}, {"start": 266.0, "end": 271.0, "text": " 3 por ra\u00edz cuadrada de 5 es 3 ra\u00edz de 5."}, {"start": 271.0, "end": 278.0, "text": " Y eso menos 3 por ra\u00edz cuadrada de 3 que ser\u00e1 3 ra\u00edz de 3."}, {"start": 278.0, "end": 286.0, "text": " Entonces podemos dar la respuesta de esta manera o tambi\u00e9n presentada as\u00ed como producto."}, {"start": 286.0, "end": 291.0, "text": " Ahora vamos a comprobar este ejercicio utilizando esta calculadora cient\u00edfica."}, {"start": 291.0, "end": 296.0, "text": " Comenzamos oprimiendo el bot\u00f3n de fracci\u00f3n, en el numerador escribimos el 6."}, {"start": 296.0, "end": 301.0, "text": " Bajamos el denominador utilizando el bot\u00f3n respectivo del navegador."}, {"start": 301.0, "end": 304.0, "text": " Y all\u00ed debemos escribir esto que tenemos ac\u00e1."}, {"start": 304.0, "end": 307.0, "text": " Ra\u00edz cuadrada de 5 m\u00e1s ra\u00edz cuadrada de 3."}, {"start": 307.0, "end": 311.0, "text": " Entonces bot\u00f3n de ra\u00edz cuadrada, luego el 5."}, {"start": 311.0, "end": 318.0, "text": " Corremos el cursor a la derecha, despu\u00e9s m\u00e1s otra vez bot\u00f3n de ra\u00edz cuadrada y el 3."}, {"start": 318.0, "end": 321.0, "text": " All\u00ed hemos ingresado esa expresi\u00f3n."}, {"start": 321.0, "end": 325.0, "text": " Oprimimos el bot\u00f3n igual y obtenemos esto de ac\u00e1."}, {"start": 325.0, "end": 328.0, "text": " 3 ra\u00edz de 5 menos 3 ra\u00edz de 3."}, {"start": 328.0, "end": 357.0, "text": " Con esto comprobamos que ese ejercicio sea resuelto correctamente."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=6ACzZyn99v8

RACIONALIZACIÓN MEDIANTE CONJUGACIÓN - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo racionalizar el denominador de una fracción numérica mediante conjugación. Tema: #Racionalización → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEhyDZyc08U1WijxsTgX8pa REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a racionalizar esta expresión numérica, es decir, haremos el procedimiento necesario para que no nos queden radicales en el denominador de esa fracción. Vamos a efectuar ese proceso manualmente y al final haremos la comprobación en calculadora. Comenzamos por escribir nuevamente esa expresión numérica. En el numerador tenemos nueve y en el denominador raíz cuadrada de siete más dos. Y vamos a utilizar el procedimiento llamado conjugación, que consiste en lo siguiente. Vamos a multiplicar por otra fracción, donde aquí tendremos el conjugado de esta expresión. Veamos cómo se conforma. El conjugado de una expresión a más b será a menos b y viceversa. Es decir, si tenemos a menos b, su conjugado será a más b. El objetivo de la conjugación es aprovechar un producto notable que se llama suma por diferencia. Si aplicamos esta multiplicación nos da origen a lo que se llama una diferencia de cuadrados perfectos. Recordemos que ese es un producto notable de gran importancia. La suma de dos cantidades multiplicada por la diferencia de ellas nos produce una diferencia de cuadrados perfectos. La primera cantidad elevada al cuadrado menos la segunda cantidad elevada al cuadrado. Entonces, en este caso, el conjugado de raíz cuadrada de siete más dos será raíz cuadrada de siete menos dos. Esto es como tener a más b y aquí tenemos el conjugado que es a menos b. Y esto que escribimos en el denominador debe escribirse también en el numerador. Porque esta fracción debe ser equivalente a uno. Si el numerador es igual al denominador, todo esto es equivalente a uno. Por lo tanto, no se altera la expresión numérica original. Enseguida, resolvemos esta multiplicación de fracciones. Recordemos que eso se efectúa multiplicando numeradores entre sí y denominadores entre sí. Veamos, el producto de numeradores vamos a dejarlo aquí indicado. Es decir, nueve por raíz cuadrada de siete menos dos. Esto lo protegemos con paréntesis por ser una expresión de dos términos, o sea un binomio. Y en el denominador tenemos el producto de estas dos cantidades. Allí aplicamos este producto notable a más b por a menos b que como decíamos es a al cuadrado menos b al cuadrado. Es decir, la primera cantidad que es raíz cuadrada de siete, todo esto al cuadrado, menos la segunda cantidad que es dos también elevada al cuadrado. Allí hemos aplicado ese producto notable. Continuamos resolviendo eso que nos quedó. Vamos a seguir por acá. Entonces, en el numerador continúa lo mismo. Nueve que multiplica con raíz cuadrada de siete y eso menos dos. En el denominador vamos a efectuar estas potencias. Aquí la raíz cuadrada de siete elevado al cuadrado. Todo eso nos da siete. El exponente dos elimina la raíz cuadrada y después tenemos menos dos al cuadrado que nos da cuatro. Seguimos resolviendo. En el numerador permanece lo mismo nueve por la raíz cuadrada de siete, esto menos dos. Y en el denominador efectuamos esa resta. Siete menos cuatro nos da tres. Allí podríamos entonces simplificar esa fracción. Tenemos el caso de nueve que está multiplicando en el numerador y que puede simplificarse con tres. Tercera de tres nos da uno. Tercera de nueve nos da tres. Entonces esto nos queda igual a tres por raíz cuadrada de siete menos dos. Allí nos quedaría denominador uno, pero recordemos que ese denominador puede omitirse. De esta manera hemos terminado el ejercicio. Hemos llegado a una expresión que es equivalente a la original, pero que ya no tiene radicales en el denominador. Entonces hemos cumplido con el propósito de la racionalización. Ahora vamos a comprobar este ejercicio utilizando esta calculadora científica. Comenzamos oprimiendo el botón de fracción. En el numerador escribimos el nueve. Bajamos el cursor al denominador. Eso lo hacemos utilizando el botón respectivo del navegador y allí vamos a escribir raíz cuadrada de siete más dos. Entonces botón de raíz cuadrada, luego el siete, corremos a la derecha el cursor, luego escribimos más dos. Y allí ya hemos ingresado esta expresión numérica. Oprimimos el botón igual y obtenemos menos seis más tres raíz de siete. Inicialmente podríamos pensar que este resultado es incorrecto, pero veamos cómo de allí se puede llegar a este resultado que nos da la calculadora. Aplicamos entonces la propiedad distributiva, vamos a romper este paréntesis y entonces tendremos lo siguiente. Tres por raíz cuadrada de siete, vamos a seguir por acá, eso es tres raíz de siete. Después tenemos tres por menos dos, que es menos seis y reacomodamos esos dos términos. Comenzamos con el término negativo, es decir, menos seis y después con el término positivo, que es más tres raíz de siete. Y ese es el resultado que nos presenta la calculadora. Con esto comprobamos que este ejercicio ha sido resuelto correctamente.

[{"start": 0.0, "end": 9.540000000000001, "text": " Vamos a racionalizar esta expresi\u00f3n num\u00e9rica, es decir, haremos el procedimiento necesario"}, {"start": 9.540000000000001, "end": 14.48, "text": " para que no nos queden radicales en el denominador de esa fracci\u00f3n."}, {"start": 14.48, "end": 20.92, "text": " Vamos a efectuar ese proceso manualmente y al final haremos la comprobaci\u00f3n en calculadora."}, {"start": 20.92, "end": 25.28, "text": " Comenzamos por escribir nuevamente esa expresi\u00f3n num\u00e9rica."}, {"start": 25.28, "end": 31.720000000000002, "text": " En el numerador tenemos nueve y en el denominador ra\u00edz cuadrada de siete m\u00e1s dos."}, {"start": 31.720000000000002, "end": 38.84, "text": " Y vamos a utilizar el procedimiento llamado conjugaci\u00f3n, que consiste en lo siguiente."}, {"start": 38.84, "end": 45.68000000000001, "text": " Vamos a multiplicar por otra fracci\u00f3n, donde aqu\u00ed tendremos el conjugado de esta expresi\u00f3n."}, {"start": 45.68000000000001, "end": 47.44, "text": " Veamos c\u00f3mo se conforma."}, {"start": 47.44, "end": 54.08, "text": " El conjugado de una expresi\u00f3n a m\u00e1s b ser\u00e1 a menos b y viceversa."}, {"start": 54.08, "end": 58.48, "text": " Es decir, si tenemos a menos b, su conjugado ser\u00e1 a m\u00e1s b."}, {"start": 58.48, "end": 65.44, "text": " El objetivo de la conjugaci\u00f3n es aprovechar un producto notable que se llama suma por diferencia."}, {"start": 65.44, "end": 73.36, "text": " Si aplicamos esta multiplicaci\u00f3n nos da origen a lo que se llama una diferencia de cuadrados perfectos."}, {"start": 73.36, "end": 77.36, "text": " Recordemos que ese es un producto notable de gran importancia."}, {"start": 77.36, "end": 84.88, "text": " La suma de dos cantidades multiplicada por la diferencia de ellas nos produce una diferencia de cuadrados perfectos."}, {"start": 84.88, "end": 91.08, "text": " La primera cantidad elevada al cuadrado menos la segunda cantidad elevada al cuadrado."}, {"start": 91.08, "end": 101.0, "text": " Entonces, en este caso, el conjugado de ra\u00edz cuadrada de siete m\u00e1s dos ser\u00e1 ra\u00edz cuadrada de siete menos dos."}, {"start": 101.0, "end": 106.16, "text": " Esto es como tener a m\u00e1s b y aqu\u00ed tenemos el conjugado que es a menos b."}, {"start": 106.16, "end": 111.84, "text": " Y esto que escribimos en el denominador debe escribirse tambi\u00e9n en el numerador."}, {"start": 111.84, "end": 115.6, "text": " Porque esta fracci\u00f3n debe ser equivalente a uno."}, {"start": 115.6, "end": 120.12, "text": " Si el numerador es igual al denominador, todo esto es equivalente a uno."}, {"start": 120.12, "end": 124.64, "text": " Por lo tanto, no se altera la expresi\u00f3n num\u00e9rica original."}, {"start": 124.64, "end": 128.16, "text": " Enseguida, resolvemos esta multiplicaci\u00f3n de fracciones."}, {"start": 128.16, "end": 135.6, "text": " Recordemos que eso se efect\u00faa multiplicando numeradores entre s\u00ed y denominadores entre s\u00ed."}, {"start": 135.6, "end": 140.32, "text": " Veamos, el producto de numeradores vamos a dejarlo aqu\u00ed indicado."}, {"start": 140.32, "end": 144.6, "text": " Es decir, nueve por ra\u00edz cuadrada de siete menos dos."}, {"start": 144.6, "end": 150.76, "text": " Esto lo protegemos con par\u00e9ntesis por ser una expresi\u00f3n de dos t\u00e9rminos, o sea un binomio."}, {"start": 150.76, "end": 154.6, "text": " Y en el denominador tenemos el producto de estas dos cantidades."}, {"start": 154.6, "end": 162.12, "text": " All\u00ed aplicamos este producto notable a m\u00e1s b por a menos b que como dec\u00edamos es a al cuadrado menos b al cuadrado."}, {"start": 162.12, "end": 169.04, "text": " Es decir, la primera cantidad que es ra\u00edz cuadrada de siete, todo esto al cuadrado,"}, {"start": 169.04, "end": 174.56, "text": " menos la segunda cantidad que es dos tambi\u00e9n elevada al cuadrado."}, {"start": 174.56, "end": 178.36, "text": " All\u00ed hemos aplicado ese producto notable."}, {"start": 178.36, "end": 181.56, "text": " Continuamos resolviendo eso que nos qued\u00f3."}, {"start": 181.56, "end": 183.72, "text": " Vamos a seguir por ac\u00e1."}, {"start": 183.72, "end": 186.68, "text": " Entonces, en el numerador contin\u00faa lo mismo."}, {"start": 186.68, "end": 193.48000000000002, "text": " Nueve que multiplica con ra\u00edz cuadrada de siete y eso menos dos."}, {"start": 193.48000000000002, "end": 198.20000000000002, "text": " En el denominador vamos a efectuar estas potencias."}, {"start": 198.20000000000002, "end": 201.52, "text": " Aqu\u00ed la ra\u00edz cuadrada de siete elevado al cuadrado."}, {"start": 201.52, "end": 203.32, "text": " Todo eso nos da siete."}, {"start": 203.32, "end": 211.72, "text": " El exponente dos elimina la ra\u00edz cuadrada y despu\u00e9s tenemos menos dos al cuadrado que nos da cuatro."}, {"start": 211.72, "end": 213.36, "text": " Seguimos resolviendo."}, {"start": 213.36, "end": 220.20000000000002, "text": " En el numerador permanece lo mismo nueve por la ra\u00edz cuadrada de siete, esto menos dos."}, {"start": 220.20000000000002, "end": 223.44000000000003, "text": " Y en el denominador efectuamos esa resta."}, {"start": 223.44000000000003, "end": 226.12, "text": " Siete menos cuatro nos da tres."}, {"start": 226.12, "end": 230.08, "text": " All\u00ed podr\u00edamos entonces simplificar esa fracci\u00f3n."}, {"start": 230.08, "end": 235.72000000000003, "text": " Tenemos el caso de nueve que est\u00e1 multiplicando en el numerador y que puede simplificarse con tres."}, {"start": 235.72000000000003, "end": 237.84, "text": " Tercera de tres nos da uno."}, {"start": 237.84, "end": 240.56, "text": " Tercera de nueve nos da tres."}, {"start": 240.56, "end": 248.32, "text": " Entonces esto nos queda igual a tres por ra\u00edz cuadrada de siete menos dos."}, {"start": 248.32, "end": 254.16, "text": " All\u00ed nos quedar\u00eda denominador uno, pero recordemos que ese denominador puede omitirse."}, {"start": 254.16, "end": 257.64, "text": " De esta manera hemos terminado el ejercicio."}, {"start": 257.64, "end": 265.72, "text": " Hemos llegado a una expresi\u00f3n que es equivalente a la original, pero que ya no tiene radicales en el denominador."}, {"start": 265.72, "end": 270.92, "text": " Entonces hemos cumplido con el prop\u00f3sito de la racionalizaci\u00f3n."}, {"start": 270.92, "end": 276.52000000000004, "text": " Ahora vamos a comprobar este ejercicio utilizando esta calculadora cient\u00edfica."}, {"start": 276.52000000000004, "end": 279.04, "text": " Comenzamos oprimiendo el bot\u00f3n de fracci\u00f3n."}, {"start": 279.04, "end": 281.64000000000004, "text": " En el numerador escribimos el nueve."}, {"start": 281.64000000000004, "end": 284.32000000000005, "text": " Bajamos el cursor al denominador."}, {"start": 284.32000000000005, "end": 291.36, "text": " Eso lo hacemos utilizando el bot\u00f3n respectivo del navegador y all\u00ed vamos a escribir ra\u00edz cuadrada de siete m\u00e1s dos."}, {"start": 291.36, "end": 299.44, "text": " Entonces bot\u00f3n de ra\u00edz cuadrada, luego el siete, corremos a la derecha el cursor, luego escribimos m\u00e1s dos."}, {"start": 299.44, "end": 303.28000000000003, "text": " Y all\u00ed ya hemos ingresado esta expresi\u00f3n num\u00e9rica."}, {"start": 303.28000000000003, "end": 308.76, "text": " Oprimimos el bot\u00f3n igual y obtenemos menos seis m\u00e1s tres ra\u00edz de siete."}, {"start": 308.76, "end": 317.64, "text": " Inicialmente podr\u00edamos pensar que este resultado es incorrecto, pero veamos c\u00f3mo de all\u00ed se puede llegar a este resultado que nos da la calculadora."}, {"start": 317.64, "end": 325.24, "text": " Aplicamos entonces la propiedad distributiva, vamos a romper este par\u00e9ntesis y entonces tendremos lo siguiente."}, {"start": 325.24, "end": 332.47999999999996, "text": " Tres por ra\u00edz cuadrada de siete, vamos a seguir por ac\u00e1, eso es tres ra\u00edz de siete."}, {"start": 332.47999999999996, "end": 339.15999999999997, "text": " Despu\u00e9s tenemos tres por menos dos, que es menos seis y reacomodamos esos dos t\u00e9rminos."}, {"start": 339.16, "end": 348.40000000000003, "text": " Comenzamos con el t\u00e9rmino negativo, es decir, menos seis y despu\u00e9s con el t\u00e9rmino positivo, que es m\u00e1s tres ra\u00edz de siete."}, {"start": 348.40000000000003, "end": 352.44000000000005, "text": " Y ese es el resultado que nos presenta la calculadora."}, {"start": 352.44, "end": 381.68, "text": " Con esto comprobamos que este ejercicio ha sido resuelto correctamente."}]

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ECUACIONES CON RADICALES - Ejercicio 2

#julioprofe explica cómo resolver una ecuación que contiene una raíz cuadrada. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver detalladamente esta ecuación que contiene una raíz cuadrada. Debemos encontrar el valor o los valores de x que hacen cierta esa igualdad. Comenzamos por aislar este componente, es decir, la raíz cuadrada. Nos queda entonces raíz cuadrada de 3x más 1 y esto igual a x menos 3. Elegamos este número que está sumando al otro lado a restar. Es lo mismo que restar 3 a ambos lados de la igualdad. De esa manera ya tenemos aislada esa raíz. Ahora vamos a quitarla y eso se logra elevando ambos lados de la igualdad al exponente 2, es decir, al mismo número que tenemos aquí en el índice de la raíz. Entonces tenemos la raíz cuadrada de 3x más 1, todo eso elevado al exponente 2, es decir, elevado al cuadrado. Y en el lado derecho hacemos lo mismo, x menos 3 nos queda elevado al cuadrado. Ahora en el lado izquierdo este exponente 2 destruye o elimina la raíz cuadrada. Allí ocurre la interacción de dos operaciones contrarias que son la potenciación y la radicación. Nos libera entonces 3x más 1, lo que estaba dentro de la raíz. Y en el lado derecho tenemos un binomio elevado al cuadrado. Vamos a recordar cómo se resuelve esa situación. Si tenemos una resta de dos cantidades y eso elevado al cuadrado, esto es igual a la primera cantidad al cuadrado menos dos veces la primera cantidad por la segunda más la segunda cantidad al cuadrado. Es un producto notable de gran importancia. Entonces vamos a aplicarlo aquí. Tenemos la primera cantidad al cuadrado, es decir, x al cuadrado menos dos veces la primera cantidad por la segunda, es decir, 2 por x por 3 que nos da 6x y después tenemos más la segunda cantidad al cuadrado, es decir, 3 al cuadrado que nos da como resultado 9. Como se puede observar aquí ya tenemos una expresión que corresponde a una ecuación de grado 2, es decir, una ecuación cuadrática. Vamos a organizarla, vamos a dejar cero en el lado izquierdo. Entonces pasamos estos términos para el lado derecho. Esos términos se quedan tal como están, x al cuadrado menos 6x más 9, ellos permanecen en su territorio y pasamos estos que están positivos. Entonces llegan acá con signo negativo. De esa manera todo esto nos queda igualado a cero. A continuación en este lado de la igualdad efectuamos lo que se llama la reducción de términos semejantes, es decir, operamos estos dos que contienen la x y estos dos que son los números o términos independientes. Entonces nos queda así, cero igual a x al cuadrado, luego tenemos menos 6x menos 3x que nos da menos 9x y después más 9 menos 1 que nos da más 8. De esta manera llegamos a la ecuación cuadrática o de segundo grado, cuyo modelo es ax al cuadrado más bx más c igual a cero. Normalmente viene presentado de esta manera, pero también podemos tener el cero en el lado izquierdo. Entonces allí encaja perfectamente con esto que hemos obtenido. Esta ecuación cuadrática o de segundo grado podemos resolverla, bien sea por fórmula cuadrática o fórmula general o también podríamos intentar factorizando esta expresión. Vamos a ver si es posible. Eso corresponde a un trinomio de la forma x al cuadrado más bx más c. Vamos a ver si es posible factorizar ese trinomio. Abrimos dos paréntesis, extraemos la raíz cuadrada del primer termino que sería x, la anotamos al comienzo de cada paréntesis, después definimos los signos, aquí tenemos signo positivo, más por menos nos da menos que es el signo del primer paréntesis y menos por más nos da menos, signo del segundo paréntesis. Ahora buscamos dos números negativos que multiplicados entre sí nos de como resultado más ocho y que al sumarlos nos de como resultado menos nueve, esos números son menos ocho y menos uno, entonces vemos que esto sí se pudo factorizar y por este camino resulta más rápido que tomar el de la fórmula cuadrática o fórmula general. Aquí aplicamos lo que se llama el teorema del factor nulo, que recordemos dice así, si a por b es igual a cero, entonces a es igual a cero o b es igual a cero, en otras palabras si el producto de estas dos expresiones es cero, entonces cada una de ellas tiene la misma oportunidad de ser cero, entonces vamos a igualar a cero cada una de ellas, vamos a seguir por acá, nos queda x menos ocho igual a cero o x menos uno igual a cero, aplicando el teorema del factor nulo. Resolvemos ahora cada situación, por acá despejamos x pasando ocho que está restando al otro lado a sumar con cero, nos queda x igual a ocho, es como sumar ocho a ambos lados de esa igualdad y por acá hacemos algo similar, despejamos x pasando uno que está restando al otro lado a sumar con cero, nos queda x igual a uno, es como sumar uno a ambos lados de esa igualdad. De esta manera obtenemos dos valores candidatos a ser solución del ejercicio original de la ecuación con radical que tenemos propuesta inicialmente, hasta no hacer la prueba no sabremos cual de los dos sirve, entonces vamos a realizar a continuación la verificación de cada uno de estos valores en la ecuación original. Comenzamos entonces probando x igual a ocho, vamos a realizar la prueba con ese valor, entonces acá en la ecuación original vamos a reemplazar ocho donde tenemos x y vemos si esa igualdad se cumple, nos queda entonces tres más la raíz cuadrada de tres por ocho más uno y todo eso supuestamente igual a x que es ocho, seguimos resolviendo, acá tres más la raíz cuadrada de, tenemos acá una multiplicación y una suma, entonces resolvemos primero la multiplicación, tres por ocho veinticuatro, luego veinticuatro le sumamos uno y nos da veinticinco y todo eso es supuestamente igual a ocho, seguimos resolviendo, tres más la raíz cuadrada de veinticinco que nos da cinco y eso supuestamente igual a ocho, resolvemos acá tres más cinco nos da ocho y efectivamente ocho es igual a ocho, como esto es cierto quiere decir que x igual a ocho es solución de esa ecuación. Hacemos ahora la prueba con el otro valor, es decir con x igual a uno, veamos entonces como nos queda en la ecuación original, tendremos tres más la raíz cuadrada de tres por x es decir tres por uno, todo esto más uno y eso supuestamente igual a x que toma el valor uno, resolvemos esto del lado izquierdo, tenemos tres más la raíz cuadrada de, aquí hay una multiplicación y después una suma, primero se hace la multiplicación, tres por uno nos da tres, tres más uno es cuatro y todo esto supuestamente igual a uno, seguimos resolviendo, tres más la raíz cuadrada de cuatro que nos da dos y eso supuestamente igual a uno, resolvemos acá tres más dos cinco y nos queda cinco supuestamente igual a uno lo cual es completamente falso y eso nos permite concluir que x igual a uno no es solución para esa ecuación, de esta manera podemos asegurar que el único valor que satisface esa igualdad es x igual a ocho, o sea que es la única solución para esta ecuación que contiene una raíz cuadrada, con eso terminamos este ejercicio.

[{"start": 0.0, "end": 8.88, "text": " Vamos a resolver detalladamente esta ecuaci\u00f3n que contiene una ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 8.88, "end": 14.48, "text": " Debemos encontrar el valor o los valores de x que hacen cierta esa igualdad."}, {"start": 14.48, "end": 19.68, "text": " Comenzamos por aislar este componente, es decir, la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 19.68, "end": 26.400000000000002, "text": " Nos queda entonces ra\u00edz cuadrada de 3x m\u00e1s 1 y esto igual a x menos 3."}, {"start": 26.4, "end": 30.4, "text": " Elegamos este n\u00famero que est\u00e1 sumando al otro lado a restar."}, {"start": 30.4, "end": 34.16, "text": " Es lo mismo que restar 3 a ambos lados de la igualdad."}, {"start": 34.16, "end": 37.64, "text": " De esa manera ya tenemos aislada esa ra\u00edz."}, {"start": 37.64, "end": 44.0, "text": " Ahora vamos a quitarla y eso se logra elevando ambos lados de la igualdad al exponente 2,"}, {"start": 44.0, "end": 48.92, "text": " es decir, al mismo n\u00famero que tenemos aqu\u00ed en el \u00edndice de la ra\u00edz."}, {"start": 48.92, "end": 55.8, "text": " Entonces tenemos la ra\u00edz cuadrada de 3x m\u00e1s 1, todo eso elevado al exponente 2, es decir,"}, {"start": 55.8, "end": 56.8, "text": " elevado al cuadrado."}, {"start": 56.8, "end": 63.72, "text": " Y en el lado derecho hacemos lo mismo, x menos 3 nos queda elevado al cuadrado."}, {"start": 63.72, "end": 69.56, "text": " Ahora en el lado izquierdo este exponente 2 destruye o elimina la ra\u00edz cuadrada."}, {"start": 69.56, "end": 75.84, "text": " All\u00ed ocurre la interacci\u00f3n de dos operaciones contrarias que son la potenciaci\u00f3n y la radicaci\u00f3n."}, {"start": 75.84, "end": 81.36, "text": " Nos libera entonces 3x m\u00e1s 1, lo que estaba dentro de la ra\u00edz."}, {"start": 81.36, "end": 85.84, "text": " Y en el lado derecho tenemos un binomio elevado al cuadrado."}, {"start": 85.84, "end": 89.08, "text": " Vamos a recordar c\u00f3mo se resuelve esa situaci\u00f3n."}, {"start": 89.08, "end": 95.84, "text": " Si tenemos una resta de dos cantidades y eso elevado al cuadrado, esto es igual a la primera"}, {"start": 95.84, "end": 103.3, "text": " cantidad al cuadrado menos dos veces la primera cantidad por la segunda m\u00e1s la segunda cantidad"}, {"start": 103.3, "end": 104.56, "text": " al cuadrado."}, {"start": 104.56, "end": 107.68, "text": " Es un producto notable de gran importancia."}, {"start": 107.68, "end": 110.48, "text": " Entonces vamos a aplicarlo aqu\u00ed."}, {"start": 110.48, "end": 116.68, "text": " Tenemos la primera cantidad al cuadrado, es decir, x al cuadrado menos dos veces la primera"}, {"start": 116.68, "end": 124.56, "text": " cantidad por la segunda, es decir, 2 por x por 3 que nos da 6x y despu\u00e9s tenemos m\u00e1s"}, {"start": 124.56, "end": 131.28, "text": " la segunda cantidad al cuadrado, es decir, 3 al cuadrado que nos da como resultado 9."}, {"start": 131.28, "end": 136.44, "text": " Como se puede 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perfectamente con esto que hemos obtenido."}, {"start": 219.76, "end": 224.92000000000002, "text": " Esta ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica o de segundo grado podemos resolverla, bien sea por f\u00f3rmula"}, {"start": 224.92000000000002, "end": 232.16, "text": " cuadr\u00e1tica o f\u00f3rmula general o tambi\u00e9n podr\u00edamos intentar factorizando esta expresi\u00f3n."}, {"start": 232.16, "end": 234.0, "text": " Vamos a ver si es posible."}, {"start": 234.0, "end": 239.32, "text": " Eso corresponde a un trinomio de la forma x al cuadrado m\u00e1s bx m\u00e1s c."}, {"start": 239.32, "end": 242.6, "text": " Vamos a ver si es posible factorizar ese trinomio."}, {"start": 242.6, "end": 248.92, "text": " Abrimos dos par\u00e9ntesis, extraemos la ra\u00edz cuadrada del primer termino que ser\u00eda x,"}, {"start": 248.92, "end": 254.12, "text": " la anotamos al comienzo de cada par\u00e9ntesis, despu\u00e9s definimos los signos, aqu\u00ed tenemos"}, {"start": 254.12, "end": 260.04, "text": " signo positivo, m\u00e1s por menos nos da menos que es el signo del primer par\u00e9ntesis y menos"}, {"start": 260.04, "end": 264.08, "text": " por m\u00e1s nos da menos, signo del segundo par\u00e9ntesis."}, {"start": 264.08, "end": 269.5, "text": " Ahora buscamos dos n\u00fameros negativos que multiplicados entre s\u00ed nos de como resultado"}, {"start": 269.5, "end": 276.16, "text": " m\u00e1s ocho y que al sumarlos nos de como resultado menos nueve, esos n\u00fameros son menos ocho"}, {"start": 276.16, "end": 281.8, "text": " y menos uno, entonces vemos que esto s\u00ed se pudo factorizar y por este camino resulta"}, {"start": 281.8, "end": 287.64, "text": " m\u00e1s r\u00e1pido que tomar el de la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica o f\u00f3rmula general."}, {"start": 287.64, "end": 293.94, "text": " Aqu\u00ed aplicamos lo que se llama el teorema del factor nulo, que recordemos dice as\u00ed,"}, {"start": 293.94, "end": 303.4, "text": " si a por b es igual a cero, entonces a es igual a cero o b es igual a cero, en otras"}, {"start": 303.4, "end": 310.0, "text": " palabras si el producto de estas dos expresiones es cero, entonces cada una de ellas tiene"}, {"start": 310.0, "end": 316.26, "text": " la misma oportunidad de ser cero, entonces vamos a igualar a cero cada una de ellas,"}, {"start": 316.26, "end": 324.71999999999997, "text": " vamos a seguir por ac\u00e1, nos queda x menos ocho igual a cero o x menos uno igual a cero,"}, {"start": 324.71999999999997, "end": 328.56, "text": " aplicando el teorema del factor nulo."}, {"start": 328.56, "end": 333.92, "text": " Resolvemos ahora cada situaci\u00f3n, por ac\u00e1 despejamos x pasando ocho que est\u00e1 restando"}, {"start": 333.92, "end": 339.5, "text": " al otro lado a sumar con cero, nos queda x igual a ocho, es como sumar ocho a ambos"}, {"start": 339.5, "end": 345.8, "text": " lados de esa igualdad y por ac\u00e1 hacemos algo similar, despejamos x pasando uno que est\u00e1"}, {"start": 345.8, "end": 352.58, "text": " restando al otro lado a sumar con cero, nos queda x igual a uno, es como sumar uno a ambos"}, {"start": 352.58, "end": 354.92, "text": " lados de esa igualdad."}, {"start": 354.92, "end": 362.0, "text": " De esta manera obtenemos dos valores candidatos a ser soluci\u00f3n del ejercicio original de"}, {"start": 362.0, "end": 367.92, "text": " la ecuaci\u00f3n con radical que tenemos propuesta inicialmente, hasta no hacer la prueba no"}, {"start": 367.92, "end": 373.32, "text": " sabremos cual de los dos sirve, entonces vamos a realizar a continuaci\u00f3n la verificaci\u00f3n"}, {"start": 373.32, "end": 378.4, "text": " de cada uno de estos valores en la ecuaci\u00f3n original."}, {"start": 378.4, "end": 386.24, "text": " Comenzamos entonces probando x igual a ocho, vamos a realizar la prueba con ese valor,"}, {"start": 386.24, "end": 392.15999999999997, "text": " entonces ac\u00e1 en la ecuaci\u00f3n original vamos a reemplazar ocho donde tenemos x y vemos"}, {"start": 392.15999999999997, "end": 398.44, "text": " si esa igualdad se cumple, nos queda entonces tres m\u00e1s la ra\u00edz cuadrada de tres por ocho"}, {"start": 398.44, "end": 405.68, "text": " m\u00e1s uno y todo eso supuestamente igual a x que es ocho, seguimos resolviendo, ac\u00e1"}, {"start": 405.68, "end": 412.08, "text": " tres m\u00e1s la ra\u00edz cuadrada de, tenemos ac\u00e1 una multiplicaci\u00f3n y una suma, entonces resolvemos"}, {"start": 412.08, "end": 417.08, "text": " primero la multiplicaci\u00f3n, tres por ocho veinticuatro, luego veinticuatro le sumamos"}, {"start": 417.08, "end": 426.15999999999997, "text": " uno y nos da veinticinco y todo eso es supuestamente igual a ocho, seguimos resolviendo, tres"}, {"start": 426.16, "end": 433.48, "text": " m\u00e1s la ra\u00edz cuadrada de veinticinco que nos da cinco y eso supuestamente igual a ocho,"}, {"start": 433.48, "end": 439.16, "text": " resolvemos ac\u00e1 tres m\u00e1s cinco nos da ocho y efectivamente ocho es igual a ocho, como"}, {"start": 439.16, "end": 446.8, "text": " esto es cierto quiere decir que x igual a ocho es soluci\u00f3n de esa ecuaci\u00f3n."}, {"start": 446.8, "end": 452.96000000000004, "text": " Hacemos ahora la prueba con el otro valor, es decir con x igual a uno, veamos entonces"}, {"start": 452.96, "end": 463.03999999999996, "text": " como nos queda en la ecuaci\u00f3n original, tendremos tres m\u00e1s la ra\u00edz cuadrada de tres por x"}, {"start": 463.03999999999996, "end": 470.56, "text": " es decir tres por uno, todo esto m\u00e1s uno y eso supuestamente igual a x que toma el valor"}, {"start": 470.56, "end": 477.12, "text": " uno, resolvemos esto del lado izquierdo, tenemos tres m\u00e1s la ra\u00edz cuadrada de, aqu\u00ed hay"}, {"start": 477.12, "end": 482.96, "text": " una multiplicaci\u00f3n y despu\u00e9s una suma, primero se hace la multiplicaci\u00f3n, tres por uno nos"}, {"start": 482.96, "end": 492.08, "text": " da tres, tres m\u00e1s uno es cuatro y todo esto supuestamente igual a uno, seguimos resolviendo,"}, {"start": 492.08, "end": 499.12, "text": " tres m\u00e1s la ra\u00edz cuadrada de cuatro que nos da dos y eso supuestamente igual a uno,"}, {"start": 499.12, "end": 508.0, "text": " resolvemos ac\u00e1 tres m\u00e1s dos cinco y nos queda cinco supuestamente igual a uno lo cual es completamente falso"}, {"start": 508.0, "end": 515.36, "text": " y eso nos permite concluir que x igual a uno no es soluci\u00f3n para esa ecuaci\u00f3n, de esta"}, {"start": 515.36, "end": 523.16, "text": " manera podemos asegurar que el \u00fanico valor que satisface esa igualdad es x igual a ocho,"}, {"start": 523.16, "end": 528.12, "text": " o sea que es la \u00fanica soluci\u00f3n para esta ecuaci\u00f3n que contiene una ra\u00edz cuadrada,"}, {"start": 528.12, "end": 530.12, "text": " con eso terminamos este ejercicio."}]

julioprofe

https://www.youtube.com/watch?v=UCKxsiD5D24

59. Mensaje de PABLO PARDO a Julioprofe

Agradecimiento a Pablo Pardo por su mensaje desde República Dominicana. Graba un corto video y envíamelo al correo julioprofecolombia@gmail.com para publicarlo en este canal. Incluye tu nombre, ciudad, país e institución educativa a la que perteneces y cuéntame cuál ha sido tu experiencia con el material educativo que he producido. De antemano, ¡Muchas Gracias! Julioprofe.

Buenas tardes, mi nombre es Pablo Pardo, vivo en Santiago de los Caballeros, República Dominicana. Quiero mandarle por este medio un cordial saludo a Julio Profe y decirle muchísimas gracias por sus videos educativos, que me han sido de muchísima utilidad ya que me encuentro estudiando Medicina Veterinaria. Quiero mandarle un fuerte abrazo y gracias nuevamente por su video. Graba un corto video y envíamelo al correo JulioProfeColombia.com para publicarlo en este canal. Incluya tu nombre, ciudad, país e institución educativa a la que perteneces y cuéntame cuál ha sido tu experiencia con el material educativo que he producido. De antemano, muchas gracias Julio Profe.

[{"start": 0.0, "end": 8.8, "text": " Buenas tardes, mi nombre es Pablo Pardo, vivo en Santiago de los Caballeros, Rep\u00fablica"}, {"start": 8.8, "end": 15.040000000000001, "text": " Dominicana. Quiero mandarle por este medio un cordial saludo a Julio Profe y decirle"}, {"start": 15.040000000000001, "end": 21.400000000000002, "text": " much\u00edsimas gracias por sus videos educativos, que me han sido de much\u00edsima utilidad ya"}, {"start": 21.400000000000002, "end": 27.68, "text": " que me encuentro estudiando Medicina Veterinaria. Quiero mandarle un fuerte abrazo y gracias"}, {"start": 27.68, "end": 32.64, "text": " nuevamente por su video. Graba un corto video y env\u00edamelo al correo"}, {"start": 32.64, "end": 41.32, "text": " JulioProfeColombia.com para publicarlo en este canal. Incluya tu nombre, ciudad, pa\u00eds e"}, {"start": 41.32, "end": 46.96, "text": " instituci\u00f3n educativa a la que perteneces y cu\u00e9ntame cu\u00e1l ha sido tu experiencia con"}, {"start": 46.96, "end": 71.96000000000001, "text": " el material educativo que he producido. De antemano, muchas gracias Julio Profe."}]

julioprofe

https://www.youtube.com/watch?v=DvmTcN5ZHpY

ÁREAS SOMBREADAS - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo determinar el área de una región sombreada. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a hallar el área de esta región sombreada que se encuentra determinada por un cuadrado del lado 8 centímetros y dos semicírculos que han sido trazados haciendo centro en los puntos medios de estos dos lados del cuadrado. Vamos a dibujar sus radios. Bien, allí los tenemos, entonces estos vamos a llamarlos con la letra R y son los radios de esos semicírculos. Esos radios tienen un valor de 4 centímetros porque como decíamos este es el punto medio del lado del cuadrado cuyo valor es 8 centímetros. Entonces esos dos semicírculos tienen cada uno radio de 4 centímetros. Entonces vamos a realizar un planteamiento para el área sombreada que vamos a denotar como A sub S. En este caso será igual al área del cuadrado que representamos de esta manera, área del cuadrado menos el área de un círculo completo. Repetimos, esos dos semicírculos forman un círculo completo de radio 4 centímetros. Vamos entonces a escribir las fórmulas correspondientes a cada una de estas áreas. El área de un cuadrado está determinada por el valor de su lado elevado al cuadrado y el área de un círculo está determinada por la expresión pi por el radio al cuadrado. Vamos a reemplazar allí entonces los datos de la figura. Repetimos área sombreada igual al lado del cuadrado que es 8 centímetros, en este caso vamos a ingresar únicamente el número 8, ya sabemos que todas las dimensiones están en centímetros haciendo referencia a las longitudes y que por lo tanto el área estará expresada en centímetros cuadrados. Seguimos menos pi por el valor del radio que es 4 centímetros, entonces ingresa allí el número 4 y esto queda elevado al cuadrado. Resolvemos ahora cada una de esas operaciones, entonces tenemos área sombreada igual a 8 al cuadrado que es 64 menos, aquí tenemos 4 al cuadrado que es 16 y 16 por pi lo podemos acomodar como 16 pi. Allí ya podemos dejar la expresión para el área sombreada que como decíamos está expresada en centímetros cuadrados. Si queremos hallar el valor decimal para esta expresión podemos tomar pi como 3.14, entonces vamos a resolver esta operación manualmente, 16 por pi es decir 16 por 3.14, vamos a realizarla por acá, 3.14 que es el valor aproximado de pi y eso multiplicado por 16. Vamos entonces a realizar esta multiplicación manualmente que ocurre entre un número decimal y un número entero, tenemos 6 por 4 nos da 24, llevamos 2, 6 por 1 nos da 6 más 2 que llevamos es 8 y 6 por 3 nos da 18. Seguimos ahora con 1 por 4 que nos da 4, 1 por 1 que nos da 1 y 1 por 3 que nos da como resultado 3. Ahora hacemos la suma en forma vertical comenzando por la derecha tenemos 4, aquí tenemos 8 más 4 que es 12 llevamos 1, 1 más 8 nos da 9 más 1 es 10 escribimos el 0 llevamos 1, 1 más 1 nos da 2 más 3 es 5. Y a este resultado tenemos que dejarle el total de decimales que aportan los factores, 3.14 aporta dos cifras decimales, 16 es un número entero no aporta ningún decimal, entonces el total de decimales que tenemos aquí es 2 es la cantidad que debemos dejar acá por lo tanto el punto va en este sitio nos da 50.24. Entonces el área asombrada será a sub s igual a 64 menos 16 pi que como dijimos nos da 50.24. Ahora vamos a efectuar esta resta que ocurre entre un número entero y un número decimal el minuendo es 64 que podemos escribir como 64.00 es entero pero que colocamos esas dos cifras decimales para ubicar debajo el sustraendo 50.24 recordemos que para restar decimales lo importante es que el punto decimal esté alineado en forma vertical y vamos a realizar la resta de esos dos números. Comenzamos por la derecha donde a cero no podemos quitarle 4 entonces vamos a la cifra de la izquierda también es cero o sea que no puede prestarnos nada vamos a la siguiente cifra de la izquierda que es 4 allí tenemos cuatro unidades entonces 4 presta una unidad que llega acá como diez décimas y acá 4 queda convertido en 3 ahora diez décimas presta una décima que llega acá como diez centésimas y estas diez décimas se convierten en nueve décimas de esta manera ya tenemos todo listo para hacer la resta 10 menos 4 nos da 6 9 menos 2 nos da 7 escribimos el punto decimal 3 menos cero nos da 3 y 6 menos 5 nos da 1 entonces el área sombreada a su s nos da un resultado de 13.76 aproximado a dos cifras decimales porque como decíamos pi se aproximó a 3.14 y recordemos que ese valor está expresado en centímetros cuadrados. Bien de esta manera terminamos el ejercicio hemos encontrado el área de esta región sombreada en forma expresada y también aproximada a dos cifras decimales. Bien de esta manera terminamos el ejercicio hemos encontrado el área de esta región sombreada en forma expresada y también aproximada a dos cifras decimales porque como decimos

[{"start": 0.0, "end": 10.36, "text": " Vamos a hallar el \u00e1rea de esta regi\u00f3n sombreada que se encuentra determinada por un cuadrado"}, {"start": 10.36, "end": 17.86, "text": " del lado 8 cent\u00edmetros y dos semic\u00edrculos que han sido trazados haciendo centro en los"}, {"start": 17.86, "end": 22.080000000000002, "text": " puntos medios de estos dos lados del cuadrado."}, {"start": 22.080000000000002, "end": 24.04, "text": " Vamos a dibujar sus radios."}, {"start": 24.04, "end": 32.04, "text": " Bien, all\u00ed los tenemos, entonces estos vamos a llamarlos con la letra R y son los radios"}, {"start": 32.04, "end": 34.36, "text": " de esos semic\u00edrculos."}, {"start": 34.36, "end": 41.96, "text": " Esos radios tienen un valor de 4 cent\u00edmetros porque como dec\u00edamos este es el punto medio"}, {"start": 41.96, "end": 46.64, "text": " del lado del cuadrado cuyo valor es 8 cent\u00edmetros."}, {"start": 46.64, "end": 52.8, "text": " Entonces esos dos 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pi y eso multiplicado por 16."}, {"start": 183.8, "end": 189.64000000000001, "text": " Vamos entonces a realizar esta multiplicaci\u00f3n manualmente que ocurre entre un n\u00famero decimal"}, {"start": 189.64000000000001, "end": 197.68, "text": " y un n\u00famero entero, tenemos 6 por 4 nos da 24, llevamos 2, 6 por 1 nos da 6 m\u00e1s 2 que"}, {"start": 197.68, "end": 202.36, "text": " llevamos es 8 y 6 por 3 nos da 18."}, {"start": 202.36, "end": 209.02, "text": " Seguimos ahora con 1 por 4 que nos da 4, 1 por 1 que nos da 1 y 1 por 3 que nos da como"}, {"start": 209.02, "end": 210.84, "text": " resultado 3."}, {"start": 210.84, "end": 218.64000000000001, "text": " Ahora hacemos la suma en forma vertical comenzando por la derecha tenemos 4, aqu\u00ed tenemos 8"}, {"start": 218.64000000000001, "end": 226.96, "text": " m\u00e1s 4 que es 12 llevamos 1, 1 m\u00e1s 8 nos da 9 m\u00e1s 1 es 10 escribimos el 0 llevamos 1,"}, {"start": 226.96, "end": 230.36, "text": " 1 m\u00e1s 1 nos da 2 m\u00e1s 3 es 5."}, {"start": 230.36, "end": 236.72, "text": " Y a este resultado tenemos que dejarle el total de decimales que aportan los factores,"}, {"start": 236.72, "end": 244.76, "text": " 3.14 aporta dos cifras decimales, 16 es un n\u00famero entero no aporta ning\u00fan decimal,"}, {"start": 244.76, "end": 249.36, "text": " entonces el total de decimales que tenemos aqu\u00ed es 2 es la cantidad que debemos dejar"}, {"start": 249.36, "end": 255.6, "text": " ac\u00e1 por lo tanto el punto va en este sitio nos da 50.24."}, {"start": 255.6, "end": 269.24, "text": " Entonces el \u00e1rea asombrada ser\u00e1 a sub s igual a 64 menos 16 pi que como dijimos nos da 50.24."}, {"start": 269.24, "end": 275.4, "text": " Ahora vamos a efectuar esta resta que ocurre entre un n\u00famero entero y un n\u00famero decimal"}, {"start": 275.4, "end": 284.2, "text": " el minuendo es 64 que podemos escribir como 64.00 es entero pero que colocamos esas dos"}, {"start": 284.2, "end": 293.84, "text": " cifras decimales para ubicar debajo el sustraendo 50.24 recordemos que para restar decimales"}, {"start": 293.84, "end": 301.0, "text": " lo importante es que el punto decimal est\u00e9 alineado en forma vertical y vamos a realizar"}, {"start": 301.0, "end": 303.84, "text": " la resta de esos dos n\u00fameros."}, {"start": 303.84, "end": 309.36, "text": " Comenzamos por la derecha donde a cero no podemos quitarle 4 entonces vamos a la cifra"}, {"start": 309.36, "end": 314.48, "text": " de la izquierda tambi\u00e9n es cero o sea que no puede prestarnos nada vamos a la siguiente"}, {"start": 314.48, "end": 321.6, "text": " cifra de la izquierda que es 4 all\u00ed tenemos cuatro unidades entonces 4 presta una unidad"}, {"start": 321.6, "end": 329.24, "text": " que llega ac\u00e1 como diez d\u00e9cimas y ac\u00e1 4 queda convertido en 3 ahora diez d\u00e9cimas presta"}, {"start": 329.24, "end": 335.48, "text": " una d\u00e9cima que llega ac\u00e1 como diez cent\u00e9simas y estas diez d\u00e9cimas se convierten en nueve"}, {"start": 335.48, "end": 343.48, "text": " d\u00e9cimas de esta manera ya tenemos todo listo para hacer la resta 10 menos 4 nos da 6 9"}, {"start": 343.48, "end": 353.16, "text": " menos 2 nos da 7 escribimos el punto decimal 3 menos cero nos da 3 y 6 menos 5 nos da 1"}, {"start": 353.16, "end": 362.72, "text": " entonces el \u00e1rea sombreada a su s nos da un resultado de 13.76 aproximado a dos cifras"}, {"start": 362.72, "end": 371.8, "text": " decimales porque como dec\u00edamos pi se aproxim\u00f3 a 3.14 y recordemos que ese valor est\u00e1 expresado"}, {"start": 371.8, "end": 374.24, "text": " en cent\u00edmetros cuadrados."}, {"start": 374.24, "end": 379.24, "text": " Bien de esta manera terminamos el ejercicio hemos encontrado el \u00e1rea de esta regi\u00f3n"}, {"start": 379.24, "end": 393.6, "text": " sombreada en forma expresada y tambi\u00e9n aproximada a dos cifras decimales."}, {"start": 409.24, "end": 413.28000000000003, "text": " Bien de esta manera terminamos el ejercicio hemos encontrado el \u00e1rea de esta regi\u00f3n"}, {"start": 413.28000000000003, "end": 438.52, "text": " sombreada en forma expresada y tambi\u00e9n aproximada a dos cifras decimales porque como decimos"}]

julioprofe

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ECUACIONES CON RADICALES - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo resolver una ecuación que contiene una raíz cúbica. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver detalladamente esta ecuación que contiene un radical. Debemos encontrar el valor o los valores de x que hacen cierta esa igualdad. Comenzamos por aislar este componente, justamente esa raíz cúbica. Entonces tenemos raíz cúbica de 5x menos 2 y eso igual a 9 menos 7. Este número que está sumando pasa al otro lado a restar. Es lo mismo que si restamos 7 a ambos lados de la igualdad. Con eso aislamos este componente, la raíz cúbica. Ahora resolvemos esta operación. Esto nos queda igual raíz cúbica de 5x menos 2 y todo eso igual a 2. El resultado de esta operación. Ahora ya podemos quitar o eliminar esta raíz cúbica y eso se consigue elevando ambos lados de la igualdad al exponente 3. Es decir, al mismo número que tenemos aquí en el índice de la raíz. Entonces en el lado izquierdo tendremos raíz cúbica de 5x menos 2. Todo eso elevado al exponente 3, o sea al cubo. Y al otro lado 2 también elevado al exponente 3, es decir también al cubo. Ahora en el lado izquierdo de la igualdad este exponente 3 cancela o elimina la raíz cúbica. Es la interacción de dos operaciones contrarias que son la potenciación y la radicación. Entonces cancelamos esto y nos queda libre 5x menos 2. Sale lo que está dentro de la raíz. Y ahora resolvemos en el lado derecho esta potencia. 2 al cubo nos da como resultado 8. Llegamos así a una ecuación lineal o de primer grado con una incógnita que es x. Vamos a resolver la paso a paso. Comenzamos por aislar el término 5x. Esto será igual a 8 más 2. 2 que está restando en el lado izquierdo pasa a sumar al lado derecho. Es lo mismo que si sumamos 2 a ambos lados de esa igualdad. Ahora resolvemos esta operación. Nos queda 5x igual a 10. Y enseguida despejamos x. Para ello 5 que está multiplicando pasa al otro lado a dividir. Nos queda x igual a 10 dividido entre 5. Es lo mismo que dividir aquí ambos lados de la igualdad por 5. Y resolviendo esta división nos da como resultado 2. Entonces 2 supuestamente es la solución para esa ecuación. Y decimos supuestamente porque hasta no realizar la prueba no podemos confiar plenamente en esa solución. Hacemos entonces la verificación de este ejercicio. Vamos a probar x igual a 2 en la ecuación original. Siempre es en la expresión que nos dan inicialmente. Entonces vamos a reemplazar x igual a 2 allí para ver si esa igualdad se cumple. Tenemos aquí la raíz cúbica de 5 por x. Es decir por 2. Todo eso menos 2. Y eso supuestamente igual a 9. Como no sabemos si la igualdad se cumple entonces colocamos allí el signo de interrogación. Es decir por ahora se mantiene la duda. Seguimos resolviendo. 7 más la raíz cúbica de. Acá dentro de la raíz tenemos una multiplicación y una resta. Primero se efectúa la multiplicación. 5 por 2 nos da 10. Luego 10 menos 2 nos da como resultado 8. Entonces allí tenemos la raíz cúbica de 8. Y todo eso supuestamente igual a 9. Seguimos resolviendo. 7 más aquí la raíz cúbica de 8 nos da como resultado 2. Y eso supuestamente igual a 9. Resolvemos esta suma. 7 más 2 nos da 9. Y efectivamente 9 es igual a 9. Como esto es cierto entonces podemos afirmar que x igual a 2 es la solución para esta ecuación que contiene una raíz cúbica. Con eso terminamos este ejercicio.

[{"start": 0.0, "end": 9.4, "text": " Vamos a resolver detalladamente esta ecuaci\u00f3n que contiene un radical. Debemos encontrar"}, {"start": 9.4, "end": 17.64, "text": " el valor o los valores de x que hacen cierta esa igualdad. Comenzamos por aislar este componente,"}, {"start": 17.64, "end": 25.16, "text": " justamente esa ra\u00edz c\u00fabica. Entonces tenemos ra\u00edz c\u00fabica de 5x menos 2 y eso igual a"}, {"start": 25.16, "end": 32.2, "text": " 9 menos 7. Este n\u00famero que est\u00e1 sumando pasa al otro lado a restar. Es lo mismo que si restamos"}, {"start": 32.2, "end": 38.92, "text": " 7 a ambos lados de la igualdad. Con eso aislamos este componente, la ra\u00edz c\u00fabica. Ahora"}, {"start": 38.92, "end": 47.16, "text": " resolvemos esta operaci\u00f3n. Esto nos queda igual ra\u00edz c\u00fabica de 5x menos 2 y todo eso igual a 2."}, {"start": 47.16, "end": 54.72, "text": " El resultado de esta operaci\u00f3n. Ahora ya podemos quitar o eliminar esta ra\u00edz c\u00fabica y eso se"}, {"start": 54.72, "end": 61.56, "text": " consigue elevando ambos lados de la igualdad al exponente 3. Es decir, al mismo n\u00famero que tenemos"}, {"start": 61.56, "end": 69.36, "text": " aqu\u00ed en el \u00edndice de la ra\u00edz. Entonces en el lado izquierdo tendremos ra\u00edz c\u00fabica de 5x menos 2."}, {"start": 69.36, "end": 77.75999999999999, "text": " Todo eso elevado al exponente 3, o sea al cubo. Y al otro lado 2 tambi\u00e9n elevado al exponente 3,"}, {"start": 77.76, "end": 85.24000000000001, "text": " es decir tambi\u00e9n al cubo. Ahora en el lado izquierdo de la igualdad este exponente 3 cancela"}, {"start": 85.24000000000001, "end": 91.44, "text": " o elimina la ra\u00edz c\u00fabica. Es la interacci\u00f3n de dos operaciones contrarias que son la potenciaci\u00f3n"}, {"start": 91.44, "end": 100.32000000000001, "text": " y la radicaci\u00f3n. Entonces cancelamos esto y nos queda libre 5x menos 2. Sale lo que est\u00e1 dentro"}, {"start": 100.32000000000001, "end": 107.2, "text": " de la ra\u00edz. Y ahora resolvemos en el lado derecho esta potencia. 2 al cubo nos da como resultado"}, {"start": 107.2, "end": 115.12, "text": " 8. Llegamos as\u00ed a una ecuaci\u00f3n lineal o de primer grado con una inc\u00f3gnita que es x. Vamos a resolver"}, {"start": 115.12, "end": 125.04, "text": " la paso a paso. Comenzamos por aislar el t\u00e9rmino 5x. Esto ser\u00e1 igual a 8 m\u00e1s 2. 2 que est\u00e1"}, {"start": 125.04, "end": 132.04, "text": " restando en el lado izquierdo pasa a sumar al lado derecho. Es lo mismo que si sumamos 2 a ambos"}, {"start": 132.04, "end": 139.95999999999998, "text": " lados de esa igualdad. Ahora resolvemos esta operaci\u00f3n. Nos queda 5x igual a 10. Y enseguida"}, {"start": 139.95999999999998, "end": 147.88, "text": " despejamos x. Para ello 5 que est\u00e1 multiplicando pasa al otro lado a dividir. Nos queda x igual a"}, {"start": 147.88, "end": 156.44, "text": " 10 dividido entre 5. Es lo mismo que dividir aqu\u00ed ambos lados de la igualdad por 5. Y resolviendo"}, {"start": 156.44, "end": 165.04, "text": " esta divisi\u00f3n nos da como resultado 2. Entonces 2 supuestamente es la soluci\u00f3n para esa ecuaci\u00f3n."}, {"start": 165.04, "end": 172.68, "text": " Y decimos supuestamente porque hasta no realizar la prueba no podemos confiar plenamente en esa"}, {"start": 172.68, "end": 180.2, "text": " soluci\u00f3n. Hacemos entonces la verificaci\u00f3n de este ejercicio. Vamos a probar x igual a 2 en la"}, {"start": 180.2, "end": 187.23999999999998, "text": " ecuaci\u00f3n original. Siempre es en la expresi\u00f3n que nos dan inicialmente. Entonces vamos a"}, {"start": 187.23999999999998, "end": 193.23999999999998, "text": " reemplazar x igual a 2 all\u00ed para ver si esa igualdad se cumple. Tenemos aqu\u00ed la ra\u00edz c\u00fabica"}, {"start": 193.23999999999998, "end": 202.64, "text": " de 5 por x. Es decir por 2. Todo eso menos 2. Y eso supuestamente igual a 9. Como no sabemos si"}, {"start": 202.64, "end": 208.39999999999998, "text": " la igualdad se cumple entonces colocamos all\u00ed el signo de interrogaci\u00f3n. Es decir por ahora se"}, {"start": 208.4, "end": 216.4, "text": " mantiene la duda. Seguimos resolviendo. 7 m\u00e1s la ra\u00edz c\u00fabica de. Ac\u00e1 dentro de la ra\u00edz tenemos"}, {"start": 216.4, "end": 224.28, "text": " una multiplicaci\u00f3n y una resta. Primero se efect\u00faa la multiplicaci\u00f3n. 5 por 2 nos da 10. Luego 10 menos"}, {"start": 224.28, "end": 231.96, "text": " 2 nos da como resultado 8. Entonces all\u00ed tenemos la ra\u00edz c\u00fabica de 8. Y todo eso supuestamente igual"}, {"start": 231.96, "end": 240.64000000000001, "text": " a 9. Seguimos resolviendo. 7 m\u00e1s aqu\u00ed la ra\u00edz c\u00fabica de 8 nos da como resultado 2. Y eso"}, {"start": 240.64000000000001, "end": 249.44, "text": " supuestamente igual a 9. Resolvemos esta suma. 7 m\u00e1s 2 nos da 9. Y efectivamente 9 es igual a 9."}, {"start": 249.44, "end": 259.24, "text": " Como esto es cierto entonces podemos afirmar que x igual a 2 es la soluci\u00f3n para esta ecuaci\u00f3n que"}, {"start": 259.24, "end": 263.8, "text": " contiene una ra\u00edz c\u00fabica. Con eso terminamos este ejercicio."}]

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PROBLEMA DE CHOQUE INELÁSTICO

#julioprofe explica cómo resolver un problema de Choque Inelástico: Un patinador de 80 kg se acerca a 3 m/s hacia una bella patinadora. Cuando llega hasta ella la coge en brazos, con lo que la velocidad de ambos ahora es de 2 m/s. Calcule la masa de la patinadora. Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

un patinador de 80 kilogramos se acerca a 3 metros por segundo hacia una bella patinadora cuando llega hasta ella la coge en brazos con lo que la velocidad de ambos ahora es de 2 metros por segundo. cálcule la masa de la patinadora. Este es un problema que corresponde a los choques inelásticos es decir cuando antes de la colisión en este caso digamos del impacto entre las dos personas antes de eso son cuerpos separados y después del impacto son un mismo cuerpo entonces es una situación de choque inelástico. Vamos a hacer entonces un esquema de la situación tenemos aquí el patinador que se aproxima a la chica la masa del patinador son 80 kilogramos y se mueve con una velocidad de 3 metros sobre segundo inicialmente la patinadora está totalmente quieta entonces la masa de la patinadora vamos a llamarla m mayúscula que es la incógnita y la velocidad de la patinadora al comienzo es cero eso sería entonces antes de impactar digamos así el patinador con la patinadora después de que se encuentra de que ocurre el impacto dice que el patinador levanta en sus brazos a la patinadora entonces más o menos tendríamos algo como así y en ese caso el conjunto se movería con una velocidad de 2 metros sobre segundo la masa del conjunto sería la suma de el patinador y la patinadora es decir 80 más m nosotros tenemos que encontrar en este problema el valor de la m esto sería entonces aquí se están moviendo sería entonces después entonces para los choques inelásticos se cumple que la cantidad de movimiento antes del impacto debe ser igual a la cantidad de movimiento después del impacto recordemos que la cantidad de movimiento es vectorial y la cantidad de movimiento de una partícula se define como el producto de su masa por su velocidad esto es vectorial la velocidad es vectorial y la masa sería una cantidad escalar antes del impacto tenemos la cantidad de movimiento de él más la cantidad de movimiento de ella es decir el patinador y la patinadora por separado después tendremos la cantidad de movimiento del conjunto es decir el conjunto formado por ambos patinadores la cantidad de movimiento de el patinador va a ser la masa del patinador por su velocidad es decir 80 kilogramos por la velocidad que son 3 metros sobre segundo como supusimos que el patinador se mueve hacia la derecha entonces la velocidad del patinador tendrá signo positivo más la masa de la patinadora que es m por la velocidad que tiene antes del impacto que es igual a 0 porque ella se encuentra en reposo después del impacto tenemos la masa del conjunto que dijimos que era 80 más m es decir patinador más patinadora por la velocidad con la que se mueven juntos que dijimos que es 2 metros por segundo resolviendo todo esto por aquí esto nos da 0 80 por 3 son 240 igual aquí podríamos hacer propiedad distributiva con el 2 2 por 80 son 160 más 2 por m es 2m resolvemos esto entonces y allí vamos a encontrar el valor de 160 que está aquí sumando lo podemos pasar a restar al otro lado que a 240 menos 160 igual a 2m resolvemos aquí eso nos da 80 igual a 2m y aquí despejamos m pasaríamos este 2 que está multiplicando a dividir con el 80 que da 80 medios y eso nos da una masa de 40 kilogramos recordemos colocar las unidades correspondientes al dato que estamos averiguando en este caso esta sería la masa de la patinadora que es la pregunta de nuestro problema.

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CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA - Problema 2

#julioprofe explica cómo resolver un problema de aplicación del Principio de Conservación de la Energía: Un padre empuja el trineo de su niña sólo por un instante. El trineo recorre 20 m hasta que se para. Si el coeficiente de rozamiento con la nieve es de 0.2, calcule la velocidad inicial del trineo. Video producido por #julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

Un padre empuja el trineo de su niña solo por un instante. El trineo recorre 20 metros hasta que se para. Si el coeficiente de rozamiento con la nieve es de 0.2, calcule la velocidad inicial del trineo. Para este problema vamos a utilizar el principio de conservación de la energía. Primero realizamos un esquema que nos ilustre lo que está sucediendo. Suponemos que la superficie es completamente horizontal, la nieve. Dibujamos el trineo aquí en el instante inicial cuando recibe el empujón del padre de la niña. Entonces en este momento decimos que la velocidad inicial del trineo puede ser B, que es la que nos preguntan. Y por acá más adelante dice que el trineo se detiene por completo, o sea que aquí podemos decir que la velocidad final es igual a cero. Y se detiene porque en todo este trayecto hay un rozamiento entre el trineo y la nieve. Este trayecto es un desplazamiento de 20 metros. Y existe un coeficiente de rozamiento que es la letra g gneu igual a 0.2. Para ser más exactos eso sería un coeficiente de rozamiento cinético porque es el que se produce mientras el trineo se mueve. Entonces aplicando el principio de conservación de la energía decimos que la energía inicial es igual a la energía final. Es decir, la energía en este momento tiene que ser igual a la energía en este otro momento. Al comienzo, es decir, acá tenemos únicamente energía cinética. Entonces decimos, en la parte inicial la energía cinética es la inicial y en la parte final, es decir, acá no tenemos energía cinética porque el trineo se detuvo por completo, pero tendremos a cambio de ello energía calórica. Entonces energía calórica final porque en todo este trayecto hubo rozamiento. Entonces la energía cinética se obtiene de la siguiente manera, es igual a un medio de la masa m del trineo con la niña por la velocidad inicial al cuadrado. Y la energía calórica en este momento se obtiene con la siguiente expresión, es el coeficiente de rozamiento gneu por la fuerza normal que existe en todo este trayecto por el desplazamiento que ha tenido el trineo. Si miramos que el trineo se mueve por una superficie horizontal, podemos ver que en todo momento la fuerza normal irá dirigida hacia arriba. Esta es la fuerza normal porque es la reacción de la superficie que es la nieve ante el trineo que ejerce un peso. Entonces esta es la acción y esta es la reacción. Este peso recordemos que tiene un equivalente de m por g, o sea la masa del trineo multiplicada por la gravedad. Como en esta dirección existe equilibrio, esta fuerza normal tiene que valer lo mismo que el peso, por lo tanto la fuerza normal podemos tomarla también como mg. Y ese valor lo podríamos reemplazar entonces aquí, entonces nos va a quedar nu por mg por d. En esta expresión podemos cancelar la masa del trineo que está en ambos lados de la igualdad, se encuentra multiplicando, por eso es lícito quitar la masa. Nos quedaría entonces de la siguiente manera, aquí nos quedaría b sub 0 al cuadrado sobre 2, realizando esta multiplicación igual a nu por la gravedad por el desplazamiento. Despejando b sub 0 al cuadrado, el 2 que está dividiendo pasa a multiplicar nos queda 2 por nu por g por d y finalmente despejando b sub 0 nos quedaría la raíz cuadrada de 2 por nu por g y por d. Resolviendo, esta expresión para los valores que tenemos nos quedaría de la siguiente manera. Vamos a reemplazar entonces los valores, b sub 0 es de, que es lo que queremos encontrar, igual a la raíz cuadrada de 2 por el coeficiente de rozamiento que vale 0.2 por la gravedad que la vamos a tomar como 10 metros sobre segundo cuadrado y el desplazamiento del trineo que son 20 metros. Resolviendo todo lo que está dentro de la raíz nos daría un total de 80 y sacando la raíz cuadrada de 80 en calculadora nos daría aproximadamente 8.94 y colocamos las unidades correspondientes a la velocidad que son metros sobre segundo. De esta manera entonces tenemos la velocidad inicial del trineo que era la pregunta de nuestro problema.

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PROBLEMA DE ELONGACIÓN DE UN RESORTE

#julioprofe explica cómo resolver un problema de elongación de un resorte o muelle: Un niño cuelga el valioso jarrón chino de sus padres, de 5 kg de masa, de un muelle anclado al techo con K=200 N/m. El niño sujeta con la mano el jarrón en la posición en la que el muelle no está elongado, de manera que la base del jarrón dista 50 cm del suelo. A continuación suelta el jarrón. ¿Se quedará la familia sin el jarrón? Video producido por #julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

Un niño cuelga el valioso jarrón chino de sus padres de 5 kg de masa de un muelle anclado al techo con constante de resorte o elástica 200 Nm. El niño sujeta con la mano el jarrón en la posición en la que el muelle no está elongado de manera que la base del jarrón dista 50 centímetros del suelo. A continuación suelta el jarrón, se quedará la familia sin jarrón. Veamos entonces tenemos un problema donde aparece un muelle o resorte involucrado al cual le vamos a sujetar un jarrón de 5 kg de masa y el muelle o resorte tendrá una constante de elasticidad de 200 Nm. Veamos entonces un esquema de la situación, un esquema gráfico que nos ubique en lo que tenemos que hacer. Supongamos que aquí tenemos el techo y de aquí sale el muelle que se encuentra en su posición de relajamiento, es decir, no se encuentra elongado. Supongamos que por acá está el piso, esta línea representa el piso y esta línea de acá arriba representa el techo. Entonces dice que el niño cuelga de aquí un jarrón chino, un jarrón muy valioso, donde dice que la base se encuentra a una altura de 50 centímetros del piso, es decir, tenemos una altura de 50 centímetros. Dice que la masa de este jarrón es de 5 kg y que la constante de elasticidad de este muelle o resorte es de 200 Nm. Entonces al sujetar el jarrón del resorte o del muelle tendremos una fuerza dirigida hacia abajo que es el peso del jarrón. Entonces vamos a calcular ese peso, el peso se calcula multiplicando la masa por la gravedad. Entonces tendremos la masa que son 5 kg por la gravedad que la vamos a trabar como 10 metros sobre segundo cuadrado, eso nos daría entonces un peso de 50 Nm. Esa sería entonces la fuerza que va a elongar o que va a estirar el resorte. Para saber entonces cuanto se elonga el resorte, es decir, cuanto bajaría el jarrón y saber si golpea o no el piso, entonces vamos a utilizar lo que se conoce como la ley de Hooke que tiene que ver con la fuerza aplicada a los resortes. La fuerza aplicada a un resorte es directamente proporcional a su elongación, entre más fuerza apliquemos al resorte, mayor longitud se va a elongar. Entonces la fuerza es igual a una constante por la deformación o la elongación del resorte. Esta constante es la constante de elasticidad. En nuestro caso la fuerza aplicada sobre el resorte va a ser el peso del jarrón, entonces podemos cambiar aquí la fuerza por W cuyo valor conocemos y despejaríamos el valor de X. Entonces en términos literales, X va a ser igual a W sobre K. La constante que estamos multiplicando con X pasaría a dividir, pasaría como denominador de W. Reemplazando los valores tendremos el peso del jarrón que son 50 Nm y la constante elástica del resorte que son 200 Nm. Haciendo toda esta operación en la calculadora tendremos un resultado de 0.25 metros que es igual a 25 cm. ¿Qué significa esto entonces? Que la base del jarrón descendería 25 cm, es decir aproximadamente por aquí la mitad de la distancia que existe originalmente entre el jarrón y el piso. Entonces eso quiere decir que si esta base del jarrón queda aproximadamente por acá, restarían otros 25 cm para llegar al piso. Lo que quiere decir que el jarrón no va a ser sacrificado en este caso por el niño. El jarrón entonces continuaría en la familia.

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MOVIMIENTO PARABÓLICO - Problema 1

#julioprofe explica cómo resolver un problema de movimiento parabólico: Una máquina de tiro al plato lanza los mismos con un ángulo de 60° respecto al suelo y a una velocidad inicial de 100 km/h. ¿Qué altura máxima alcanzarán los platos? Video producido por #julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

Una máquina de tiro al plato lanza los mismos con un ángulo de 60 grados respecto al suelo y a una velocidad inicial de 100 km por hora. ¿Qué altura máxima alcanzarán los platos? Veamos que información nos da este problema que se trata de movimiento parabólico. Tenemos el ángulo de lanzamiento que son 60 grados y tenemos la velocidad inicial de los platos y nos preguntan la altura máxima que ellos van a alcanzar. Entonces vamos a colocar nuestra información de la siguiente manera. Decimos que el ángulo de tiro que es theta vale 60 grados, la velocidad inicial vale 100 km por hora y vamos a trabajar la aceleración de la gravedad como 10, o sea su magnitud será 10 metros sobre segundo cuadrado. Esto hace que convirtamos la velocidad en metros sobre segundo para poder trabajar con unidades compatibles con la gravedad. Entonces multiplicamos por el factor de conversión para pasar por ejemplo de kilómetros a metros. Colocamos kilómetros abajo, metros arriba, un kilómetro tiene 1000 metros. De esa manera eliminamos los kilómetros. Y después multiplicamos por el factor de conversión para pasar de horas a segundos. Una hora tiene 3600 segundos. Cancelamos horas con horas y de esa manera nos quedaría metros sobre segundos. Hacemos esta operación en calculadora 100 por 1000 dividido 3600 y eso nos da 27.78 metros sobre segundos. De esa manera ya tenemos nuestra velocidad en unidades de metros y segundos compatible con la aceleración de la gravedad. Para un movimiento parabólico como el que tenemos en este caso, nuestro marco de referencia es el primer cuadrante del plano cartesiano, el eje X y el eje Y o la Y. Vamos a tomar como punto de partida, punto de lanzamiento el origen, el origen de coordenadas, entonces vamos a dibujar la trayectoria parabólica que describen los platos. Es algo como esto, es una parabola, tratamos de hacerla simétrica. Entonces en el momento en que los platos llegan a su punto más alto que es acá, necesitamos saber cuanto es este valor, cuanto es esta altura máxima, vamos a llamarla Y máximo. Esto es lo que necesitamos encontrar. El tiempo cero es el momento del disparo, es decir donde tenemos la velocidad B sub cero, velocidad de lanzamiento y el ángulo de tiro theta, los valores que ya teníamos. En el punto más alto es cuando se cumple el tiempo de subida que lo vamos a llamar TS, desde aquí hasta acá es el ascenso de la partícula, entonces el tiempo que tarda en llegar hasta acá lo vamos a llamar TS, o sea tiempo de subida. En este punto la componente vertical de la velocidad, es decir lo que llamamos B sub g, va a ser igual a cero. Entonces para una situación como esta, la altura máxima, o sea el Y máximo, tiene la siguiente fórmula que dice velocidad inicial al cuadrado por el seno al cuadrado de theta sobre dos veces la gravedad. Entonces vamos a reemplazar aquí nuestros valores. Tendremos entonces lo siguiente, Y máximo, altura máxima alcanzada por los platos va a ser igual a la velocidad inicial que nos dio 27.78 al convertirla en metros sobre segundo, esto va a ir al cuadrado multiplicado por el seno al cuadrado del ángulo de tiro, es decir el seno de 60 grados, todo esto elevado al cuadrado. Todo eso sobre dos veces la gravedad, la magnitud de la gravedad que dijimos que vamos a trabajarla como 10 metros sobre segundo cuadrado. Realizando toda esa operación en calculadora, nos da que la altura máxima alcanzada por los platos tiene un valor de 28.94 metros y de esta manera hemos respondido a la pregunta del problema.

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https://www.youtube.com/watch?v=KE2RZ8niQDo

ALTURA MÁXIMA DE UN MOVIMIENTO PARABÓLICO

#julioprofe explica cómo obtener la fórmula para la altura máxima que alcanza una partícula con movimiento parabólico. Video producido por #julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

En este video vamos a demostrar la formula que nos permite encontrar la altura máxima alcanzada por una partícula que es disparada con una velocidad inicial de sub cero formando un ángulo theta por encima de la horizontal describiendo lo que se llama una trayectoria parabólica. Para ello vamos a elegir un marco de referencia que va a ser el primer cuadrante del plano cartesiano. Entonces trazamos el eje x por acá y trazamos el eje y por acá haciendo coincidir el origen del plano cartesiano con el punto de disparo. Este va a ser el eje y o la letra y y y este va a ser el eje de las x. Entonces cuando la partícula es disparada vamos a llamar el tiempo cero, el momento del disparo. Cuando llega a su punto más alto vamos a llamarlo el tiempo de subida, la vamos a llamar ts. En ese punto la velocidad en y de la partícula vale cero porque en este sitio la componente vertical de la velocidad se anula totalmente. Entonces en este punto este valor de acá es lo que necesitamos encontrar, eso es lo que se va a llamar entonces el y máximo, o sea la altura máxima alcanzada por la partícula con relación al suelo que en este caso es el eje de las x. Entonces esta va a ser la información clave, cuando el tiempo es igual al tiempo de subida la velocidad en y, es decir la componente vertical de la velocidad vale cero. Para ello vamos a construir las ecuaciones cinemáticas de un movimiento parabólico que son las siguientes, la posición en y dice que es igual a menos un medio por la gravedad de tiempo al cuadrado más velocidad inicial por el seno de theta por el tiempo más la posición inicial en y. Para nuestro caso la posición inicial en y tendrá un valor de cero ya que como pudimos ver en el dibujo la partícula sale del origen, entonces podríamos eliminar este término de acá, nos queda solamente esto, aquí vemos la velocidad de disparo de sub cero y el ángulo de tiro, aquí está la gravedad con signo negativo porque recordemos que la gravedad es un vector dirigido hacia abajo y la componente de la velocidad vertical en todo momento tiene un valor de menos gravedad por tiempo más velocidad inicial por el cero del ángulo theta. Entonces vamos a llamar esta la expresión número uno y esta la expresión número dos y vamos a decir lo siguiente, cuando el tiempo es igual al tiempo de subida dijimos que la velocidad en y vale cero, entonces en ese caso debemos utilizar la expresión número dos porque es la que nos da información de velocidad vertical, velocidad en y y tiempo, entonces utilizando la expresión número dos tendremos lo siguiente, la velocidad se convierte en cero igual a menos la gravedad por el tiempo que es tiempo de subida más b sub cero seno de theta, hemos utilizado esta expresión, de allí podemos despejar el tiempo de subida pasando este término que está negativo al otro lado positivo, entonces nos queda la gravedad por tiempo de subida es igual a b sub cero por seno de theta y de aquí despejamos el tiempo de subida pasando la gravedad a dividir, entonces nos queda b sub cero por el seno de theta sobre la gravedad y de esta manera tenemos entonces una expresión para hallar el tiempo de subida de la partícula, entonces ya este valor lo vamos a poder reemplazar en la ecuación número uno porque cuando el tiempo es igual al tiempo de subida la posición en y de la partícula es la posición y máxima, la posición más alta de la partícula, entonces eso es lo que vamos a reemplazar a continuación, veamos aquí en la expresión número uno y se convierte en y máximo cuando el tiempo se vuelve tiempo de subida es decir esta expresión de acá, entonces tendremos menos un medio por la gravedad entre paréntesis entra b sub cero seno de theta sobre la gravedad al cuadrado, porque este tiempo está al cuadrado más b sub cero seno de theta por el tiempo que es igual al tiempo de subida que es b sub cero seno de theta sobre la gravedad, resolvemos toda esa expresión es decir vamos a usar allí la matemática nos queda así, ya máximo es igual, aquí vamos a elevar al cuadrado todo esto entonces nos queda menos un medio por la gravedad por b sub cero cuadrado seno al cuadrado de theta sobre la gravedad al cuadrado y aquí vamos a multiplicar esto podemos colocarle denominador uno a b sub cero seno de theta multiplicamos numeradores entre sí y denominadores entre sí, entonces nos queda b sub cero por b sub cero queda b sub cero al cuadrado seno de theta por seno de theta nos va a quedar seno al cuadrado de theta y abajo uno por la gravedad la gravedad, en este término de aquí vamos a multiplicar y vamos a simplificar también podemos simplificar una gravedad de aquí con una de acá, entonces nos va a quedar en la parte de arriba menos b sub cero al cuadrado seno al cuadrado de theta y en la parte de abajo nos quedaría dos por la gravedad que quedó aquí, porque se va una con una entonces nos queda la otra g más esta expresión que nos sufre modificación, podríamos hacer lo siguiente para que estas dos fracciones nos queden con el mismo denominador entonces podríamos multiplicar aquí por dos al lado de la gravedad y para que la fracción no se altere multiplicaremos también por dos en la parte de arriba, entonces de esa manera conseguimos que las dos fracciones queden con el mismo denominador es decir lo que se conocen como fracciones homogéneas lo que nos permite hacer lo siguiente dejar el mismo denominador que es 2g y arriba efectuar la suma de los numeradores como podemos ver menos b sub cero al cuadrado seno al cuadrado de theta más 2 b sub cero al cuadrado seno al cuadrado de theta son términos semejantes que al sumarlos entra así pues nos va a dar menos uno más dos igual a 1 menos uno b sub cero al cuadrado seno al cuadrado de theta y de esa manera hemos obtenido la fórmula para encontrar la altura máxima de una partícula disparada con movimiento parabólico desde el suelo, que variables necesitamos conocer la velocidad de disparo, la velocidad inicial el ángulo de tiro y obviamente la gravedad con eso obtenemos entonces la altura máxima

[{"start": 0.0, "end": 16.44, "text": " En este video vamos a demostrar la formula que nos permite encontrar la altura m\u00e1xima"}, {"start": 16.44, "end": 22.46, "text": " alcanzada por una part\u00edcula que es disparada con una velocidad inicial de sub cero formando"}, {"start": 22.46, "end": 28.6, "text": " un \u00e1ngulo theta por encima de la horizontal describiendo lo que se llama una trayectoria"}, {"start": 28.6, "end": 35.64, "text": " parab\u00f3lica. Para ello vamos a elegir un marco de referencia que va a ser el primer cuadrante"}, {"start": 35.64, "end": 45.120000000000005, "text": " del plano cartesiano. Entonces trazamos el eje x por ac\u00e1 y trazamos el eje y por ac\u00e1"}, {"start": 45.120000000000005, "end": 52.120000000000005, "text": " haciendo coincidir el origen del plano cartesiano con el punto de disparo. Este va a ser el"}, {"start": 52.12, "end": 59.559999999999995, "text": " eje y o la letra y y y este va a ser el eje de las x. Entonces cuando la part\u00edcula es"}, {"start": 59.559999999999995, "end": 65.58, "text": " disparada vamos a llamar el tiempo cero, el momento del disparo. Cuando llega a su punto"}, {"start": 65.58, "end": 74.16, "text": " m\u00e1s alto vamos a llamarlo el tiempo de subida, la vamos a llamar ts. En ese punto la velocidad"}, {"start": 74.16, "end": 83.08, "text": " en y de la part\u00edcula vale cero porque en este sitio la componente vertical de la velocidad"}, {"start": 83.08, "end": 91.72, "text": " se anula totalmente. Entonces en este punto este valor de ac\u00e1 es lo que necesitamos encontrar,"}, {"start": 91.72, "end": 98.96, "text": " eso es lo que se va a llamar entonces el y m\u00e1ximo, o sea la altura m\u00e1xima alcanzada"}, {"start": 98.96, "end": 105.39999999999999, "text": " por la part\u00edcula con relaci\u00f3n al suelo que en este caso es el eje de las x. Entonces"}, {"start": 105.39999999999999, "end": 109.39999999999999, "text": " esta va a ser la informaci\u00f3n clave, cuando el tiempo es igual al tiempo de subida la"}, {"start": 109.39999999999999, "end": 115.63999999999999, "text": " velocidad en y, es decir la componente vertical de la velocidad vale cero. Para ello vamos"}, {"start": 115.63999999999999, "end": 121.11999999999999, "text": " a construir las ecuaciones cinem\u00e1ticas de un movimiento parab\u00f3lico que son las siguientes,"}, {"start": 121.11999999999999, "end": 126.0, "text": " la posici\u00f3n en y dice que es igual a menos un medio por la gravedad de tiempo al cuadrado"}, {"start": 126.0, "end": 132.52, "text": " m\u00e1s velocidad inicial por el seno de theta por el tiempo m\u00e1s la posici\u00f3n inicial en"}, {"start": 132.52, "end": 138.68, "text": " y. Para nuestro caso la posici\u00f3n inicial en y tendr\u00e1 un valor de cero ya que como"}, {"start": 138.68, "end": 144.48, "text": " pudimos ver en el dibujo la part\u00edcula sale del origen, entonces podr\u00edamos eliminar este"}, {"start": 144.48, "end": 149.76, "text": " t\u00e9rmino de ac\u00e1, nos queda solamente esto, aqu\u00ed vemos la velocidad de disparo de sub"}, {"start": 149.76, "end": 155.04, "text": " cero y el \u00e1ngulo de tiro, aqu\u00ed est\u00e1 la gravedad con signo negativo porque recordemos que la"}, {"start": 155.04, "end": 161.56, "text": " gravedad es un vector dirigido hacia abajo y la componente de la velocidad vertical"}, {"start": 161.56, "end": 168.07999999999998, "text": " en todo momento tiene un valor de menos gravedad por tiempo m\u00e1s velocidad inicial por el"}, {"start": 168.07999999999998, "end": 176.39999999999998, "text": " cero del \u00e1ngulo theta. Entonces vamos a llamar esta la expresi\u00f3n n\u00famero uno y esta la expresi\u00f3n"}, {"start": 176.39999999999998, "end": 184.23999999999998, "text": " n\u00famero dos y vamos a decir lo siguiente, cuando el tiempo es igual al tiempo de subida"}, {"start": 184.24, "end": 191.56, "text": " dijimos que la velocidad en y vale cero, entonces en ese caso debemos utilizar la expresi\u00f3n"}, {"start": 191.56, "end": 198.48000000000002, "text": " n\u00famero dos porque es la que nos da informaci\u00f3n de velocidad vertical, velocidad en y y tiempo,"}, {"start": 198.48000000000002, "end": 203.0, "text": " entonces utilizando la expresi\u00f3n n\u00famero dos tendremos lo siguiente, la velocidad se convierte"}, {"start": 203.0, "end": 212.48000000000002, "text": " en cero igual a menos la gravedad por el tiempo que es tiempo de subida m\u00e1s b sub cero seno"}, {"start": 212.48, "end": 219.72, "text": " de theta, hemos utilizado esta expresi\u00f3n, de all\u00ed podemos despejar el tiempo de subida"}, {"start": 219.72, "end": 224.48, "text": " pasando este t\u00e9rmino que est\u00e1 negativo al otro lado positivo, entonces nos queda la"}, {"start": 224.48, "end": 232.28, "text": " gravedad por tiempo de subida es igual a b sub cero por seno de theta y de aqu\u00ed despejamos"}, {"start": 232.28, "end": 239.0, "text": " el tiempo de subida pasando la gravedad a dividir, entonces nos queda b sub cero por"}, {"start": 239.0, "end": 245.88, "text": " el seno de theta sobre la gravedad y de esta manera tenemos entonces una expresi\u00f3n para"}, {"start": 245.88, "end": 252.64, "text": " hallar el tiempo de subida de la part\u00edcula, entonces ya este valor lo vamos a poder reemplazar"}, {"start": 252.64, "end": 259.4, "text": " en la ecuaci\u00f3n n\u00famero uno porque cuando el tiempo es igual al tiempo de subida la posici\u00f3n"}, {"start": 259.4, "end": 267.0, "text": " en y de la part\u00edcula es la posici\u00f3n y m\u00e1xima, la posici\u00f3n m\u00e1s alta de la part\u00edcula, entonces"}, {"start": 267.0, "end": 273.12, "text": " eso es lo que vamos a reemplazar a continuaci\u00f3n, veamos aqu\u00ed en la expresi\u00f3n n\u00famero uno"}, {"start": 273.12, "end": 281.0, "text": " y se convierte en y m\u00e1ximo cuando el tiempo se vuelve tiempo de subida es decir esta expresi\u00f3n"}, {"start": 281.0, "end": 286.16, "text": " de ac\u00e1, entonces tendremos menos un medio por la gravedad entre par\u00e9ntesis entra b"}, {"start": 286.16, "end": 293.28, "text": " sub cero seno de theta sobre la gravedad al cuadrado, porque este tiempo est\u00e1 al cuadrado"}, {"start": 293.28, "end": 299.64, "text": " m\u00e1s b sub cero seno de theta por el tiempo que es igual al tiempo de subida que es b"}, {"start": 299.64, "end": 308.28, "text": " sub cero seno de theta sobre la gravedad, resolvemos toda esa expresi\u00f3n es decir vamos a usar"}, {"start": 308.28, "end": 314.79999999999995, "text": " all\u00ed la matem\u00e1tica nos queda as\u00ed, ya m\u00e1ximo es igual, aqu\u00ed vamos a elevar al cuadrado"}, {"start": 314.79999999999995, "end": 322.2, "text": " todo esto entonces nos queda menos un medio por la gravedad por b sub cero cuadrado seno"}, {"start": 322.2, "end": 330.47999999999996, "text": " al cuadrado de theta sobre la gravedad al cuadrado y aqu\u00ed vamos a multiplicar esto podemos"}, {"start": 330.47999999999996, "end": 335.42, "text": " colocarle denominador uno a b sub cero seno de theta multiplicamos numeradores entre s\u00ed"}, {"start": 335.42, "end": 340.52, "text": " y denominadores entre s\u00ed, entonces nos queda b sub cero por b sub cero queda b sub cero"}, {"start": 340.52, "end": 345.71999999999997, "text": " al cuadrado seno de theta por seno de theta nos va a quedar seno al cuadrado de theta"}, {"start": 345.72, "end": 352.8, "text": " y abajo uno por la gravedad la gravedad, en este t\u00e9rmino de aqu\u00ed vamos a multiplicar y vamos a simplificar"}, {"start": 352.8, "end": 357.64000000000004, "text": " tambi\u00e9n podemos simplificar una gravedad de aqu\u00ed con una de ac\u00e1, entonces nos va a quedar"}, {"start": 357.64000000000004, "end": 364.32000000000005, "text": " en la parte de arriba menos b sub cero al cuadrado seno al cuadrado de theta y en la"}, {"start": 364.32000000000005, "end": 371.72, "text": " parte de abajo nos quedar\u00eda dos por la gravedad que qued\u00f3 aqu\u00ed, porque se va una con una"}, {"start": 371.72, "end": 378.92, "text": " entonces nos queda la otra g m\u00e1s esta expresi\u00f3n que nos sufre modificaci\u00f3n, podr\u00edamos hacer"}, {"start": 378.92, "end": 383.96000000000004, "text": " lo siguiente para que estas dos fracciones nos queden con el mismo denominador entonces"}, {"start": 383.96000000000004, "end": 389.36, "text": " podr\u00edamos multiplicar aqu\u00ed por dos al lado de la gravedad y para que la fracci\u00f3n no"}, {"start": 389.36, "end": 395.68, "text": " se altere multiplicaremos tambi\u00e9n por dos en la parte de arriba, entonces de esa manera"}, {"start": 395.68, "end": 401.12, "text": " conseguimos que las dos fracciones queden con el mismo denominador es decir lo que se"}, {"start": 401.12, "end": 407.24, "text": " conocen como fracciones homog\u00e9neas lo que nos permite hacer lo siguiente dejar el mismo"}, {"start": 407.24, "end": 415.52, "text": " denominador que es 2g y arriba efectuar la suma de los numeradores como podemos ver menos"}, {"start": 415.52, "end": 420.96, "text": " b sub cero al cuadrado seno al cuadrado de theta m\u00e1s 2 b sub cero al cuadrado seno al cuadrado de theta"}, {"start": 420.96, "end": 427.92, "text": " son t\u00e9rminos semejantes que al sumarlos entra as\u00ed pues nos va a dar menos uno m\u00e1s dos igual a 1"}, {"start": 427.92, "end": 436.96000000000004, "text": " menos uno b sub cero al cuadrado seno al cuadrado de theta y de esa manera hemos obtenido la"}, {"start": 436.96000000000004, "end": 445.84000000000003, "text": " f\u00f3rmula para encontrar la altura m\u00e1xima de una part\u00edcula disparada con movimiento parab\u00f3lico"}, {"start": 445.84000000000003, "end": 452.48, "text": " desde el suelo, que variables necesitamos conocer la velocidad de disparo, la velocidad inicial"}, {"start": 452.48, "end": 458.44, "text": " el \u00e1ngulo de tiro y obviamente la gravedad con eso obtenemos entonces la altura m\u00e1xima"}]

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INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN Y PARTES - Ejercicio 3

#julioprofe explica cómo resolver una integral indefinida utilizando los Métodos de Sustitución y Partes. Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver detalladamente esta integral indefinida. Comenzamos revisando si se puede efectuar en forma directa. Vemos que no es posible porque la expresión está bastante compleja. Entonces vamos a utilizar los métodos de integración. Comenzamos aplicando el de sustitución. Vamos a cambiar x al cuadrado por otra letra. Entonces utilizamos el método de sustitución conocido también como cambio de variable. Entonces decimos por ejemplo que t es igual a x al cuadrado. Allí utilizamos una nueva letra, en este caso t, y esto vamos a derivarlo con respecto a x. Entonces decimos derivada de t con respecto de x será igual a la derivada de x al cuadrado que es 2x. Y de allí vamos a despejar el diferencial dx. Nos queda entonces dt igual a 2x por dx. Esto que está dividiendo pasa al otro lado a multiplicar y de allí despejamos dx. Entonces 2x que está multiplicando pasa a este lado a dividir. Nos queda que dx es igual a dt sobre 2x. Con estos dos componentes vamos a reconstruir la integral. Nos queda de la siguiente manera. Tenemos x al cubo, eso se deja igual, por coseno de x al cuadrado, pero allí cambiamos x al cuadrado por t. Y eso por el diferencial dx que nos dio dt sobre 2x. Allí podemos simplificar esa expresión. Por ejemplo podemos cancelar esta x, con una x de acá nos va a quedar x al cuadrado y también podemos extraer este 2. Nos queda por fuera de la integral como un medio. Entonces eso multiplica con la integral de x al cuadrado por coseno de t por dt. Pero x al cuadrado equivale a t. Entonces se hace nuevamente la sustitución. Y eso nos queda de la siguiente forma. Un medio por la integral de t que multiplica con coseno de t y acompañado del diferencial dt. Vamos a anotar esto por aquí y esta integral por allá. Tenemos ahora una nueva integral que depende de t y que vamos a resolver utilizando el método de integración por partes. Tenemos aquí dos funciones. Una de tipo algebraico y otra de tipo trigonométrico. Entonces aplicamos ilate para determinar cual de las dos expresiones será u. Tenemos entonces una función algebraica y otra trigonométrica. De izquierda a derecha la primera que nos encontramos de esas dos es la algebraica. Por lo tanto t hará el papel de u. Anotamos eso por aquí. U será igual a t y en seguida derivamos esta expresión con respecto a la variable t. Derivada de u con respecto a t. O sea la derivada de t nos da 1. Y de allí despejamos du. Para ello dt que está dividiendo pasa a multiplicar con 1 y nos queda igual a dt. Ya tenemos entonces que t hace el papel de u. El resto de la expresión hace el papel de dv. Entonces dv será igual a cos t con su diferencial dt. Esto tenemos que integrarlo a ambos lados. Entonces integral de dv igual a la integral de cos dt con su diferencial dt. Resolvemos entonces ambas integrales. Integral de dv nos da v y la integral de cos dt nos da sen dt. Estos cuatro componentes que hemos encerrado son los que conforman la fórmula de integración por partes. Vamos a recordarla. La integral de u por dv es igual a u por v menos la integral de v por du. Recordemos que para aprender fácilmente esa fórmula decimos que esto es igual a una paca menos la integral vestida de uniforme. Entonces allí vamos a reemplazar cada uno de estos elementos. Tenemos que u equivale a t. Entonces nos queda t por dv. Aquí lo tenemos. Es cos dt por el diferencial dt. Allí nos aparece esta integral y esto será igual a u que equivale a t por v. Pero v nos dio sen dt. Y eso menos la integral de v que es sen dt y eso multiplicado por du. Pero du nos dio dt. Aquí debemos resolver esta integral que es directa. La integral de sen dt nos da menos cos dt. Entonces la expresión que corresponde a esa integral nos queda así. T por sen dt. T sen dt. Y aquí tenemos menos menos cos dt que nos queda más cos dt. Entonces todo esto será el resultado para esta integral que es la que tenemos aquí. Por lo tanto podemos continuar con el desarrollo del ejercicio. Tenemos un medio que multiplica con el resultado de esa integral y que nos dio t sen dt más cos dt. Protegemos eso con paréntesis. Ahora lo que hacemos en esta expresión es cambiar t por su equivalente que es x al cuadrado. En otras palabras deshacemos el cambio de variable. Nos queda un medio por t que es x al cuadrado. Eso a su vez multiplica con sen dt. O sea sen x al cuadrado más cos dt. Cos x al cuadrado. Cerramos el paréntesis y anotamos la constante de integración para obtener así la respuesta de este ejercicio. Esta expresión es el resultado para esa integral indefinida.

[{"start": 0.0, "end": 8.2, "text": " Vamos a resolver detalladamente esta integral indefinida."}, {"start": 8.2, "end": 12.16, "text": " Comenzamos revisando si se puede efectuar en forma directa."}, {"start": 12.16, "end": 17.04, "text": " Vemos que no es posible porque la expresi\u00f3n est\u00e1 bastante compleja."}, {"start": 17.04, "end": 20.76, "text": " Entonces vamos a utilizar los m\u00e9todos de integraci\u00f3n."}, {"start": 20.76, "end": 22.88, "text": " Comenzamos aplicando el de sustituci\u00f3n."}, {"start": 22.88, "end": 26.12, "text": " Vamos a cambiar x al cuadrado por otra letra."}, {"start": 26.12, "end": 31.92, "text": " Entonces utilizamos el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n conocido tambi\u00e9n como cambio de variable."}, {"start": 31.92, "end": 36.92, "text": " Entonces decimos por ejemplo que t es igual a x al cuadrado."}, {"start": 36.92, "end": 44.2, "text": " All\u00ed utilizamos una nueva letra, en este caso t, y esto vamos a derivarlo con respecto"}, {"start": 44.2, "end": 45.68, "text": " a x."}, {"start": 45.68, "end": 52.52, "text": " Entonces decimos derivada de t con respecto de x ser\u00e1 igual a la derivada de x al cuadrado"}, {"start": 52.52, "end": 54.040000000000006, "text": " que es 2x."}, {"start": 54.04, "end": 57.76, "text": " Y de all\u00ed vamos a despejar el diferencial dx."}, {"start": 57.76, "end": 62.58, "text": " Nos queda entonces dt igual a 2x por dx."}, {"start": 62.58, "end": 68.36, "text": " Esto que est\u00e1 dividiendo pasa al otro lado a multiplicar y de all\u00ed despejamos dx."}, {"start": 68.36, "end": 72.72, "text": " Entonces 2x que est\u00e1 multiplicando pasa a este lado a dividir."}, {"start": 72.72, "end": 79.18, "text": " Nos queda que dx es igual a dt sobre 2x."}, {"start": 79.18, "end": 83.94, "text": " Con estos dos componentes vamos a reconstruir la integral."}, {"start": 83.94, "end": 86.64, "text": " Nos queda de la siguiente manera."}, {"start": 86.64, "end": 93.64, "text": " Tenemos x al cubo, eso se deja igual, por coseno de x al cuadrado, pero all\u00ed cambiamos"}, {"start": 93.64, "end": 95.48, "text": " x al cuadrado por t."}, {"start": 95.48, "end": 102.08, "text": " Y eso por el diferencial dx que nos dio dt sobre 2x."}, {"start": 102.08, "end": 105.03999999999999, "text": " All\u00ed podemos simplificar esa expresi\u00f3n."}, {"start": 105.03999999999999, "end": 111.24, "text": " Por ejemplo podemos cancelar esta x, con una x de ac\u00e1 nos va a quedar x al cuadrado y"}, {"start": 111.24, "end": 113.7, "text": " tambi\u00e9n podemos extraer este 2."}, {"start": 113.7, "end": 117.92, "text": " Nos queda por fuera de la integral como un medio."}, {"start": 117.92, "end": 127.64, "text": " Entonces eso multiplica con la integral de x al cuadrado por coseno de t por dt."}, {"start": 127.64, "end": 131.58, "text": " Pero x al cuadrado equivale a t."}, {"start": 131.58, "end": 135.24, "text": " Entonces se hace nuevamente la sustituci\u00f3n."}, {"start": 135.24, "end": 137.86, "text": " Y eso nos queda de la siguiente forma."}, {"start": 137.86, "end": 146.28, "text": " Un medio por la integral de t que multiplica con coseno de t y acompa\u00f1ado del diferencial"}, {"start": 146.28, "end": 147.82000000000002, "text": " dt."}, {"start": 147.82000000000002, "end": 152.46, "text": " Vamos a anotar esto por aqu\u00ed y esta integral por all\u00e1."}, {"start": 152.46, "end": 158.3, "text": " Tenemos ahora una nueva integral que depende de t y que vamos a resolver utilizando el m\u00e9todo"}, {"start": 158.3, "end": 160.92000000000002, "text": " de integraci\u00f3n por partes."}, {"start": 160.92000000000002, "end": 162.82000000000002, "text": " Tenemos aqu\u00ed dos funciones."}, {"start": 162.82000000000002, "end": 167.44000000000003, "text": " Una de tipo algebraico y otra de tipo trigonom\u00e9trico."}, {"start": 167.44, "end": 174.28, "text": " Entonces aplicamos ilate para determinar cual de las dos expresiones ser\u00e1 u."}, {"start": 174.28, "end": 179.12, "text": " Tenemos entonces una funci\u00f3n algebraica y otra trigonom\u00e9trica."}, {"start": 179.12, "end": 184.68, "text": " De izquierda a derecha la primera que nos encontramos de esas dos es la algebraica."}, {"start": 184.68, "end": 188.56, "text": " Por lo tanto t har\u00e1 el papel de u."}, {"start": 188.56, "end": 190.36, "text": " Anotamos eso por aqu\u00ed."}, {"start": 190.36, "end": 198.16000000000003, "text": " U ser\u00e1 igual a t y en seguida derivamos esta expresi\u00f3n con respecto a la variable t."}, {"start": 198.16000000000003, "end": 199.92000000000002, "text": " Derivada de u con respecto a t."}, {"start": 199.92000000000002, "end": 202.60000000000002, "text": " O sea la derivada de t nos da 1."}, {"start": 202.60000000000002, "end": 205.20000000000002, "text": " Y de all\u00ed despejamos du."}, {"start": 205.20000000000002, "end": 212.16000000000003, "text": " Para ello dt que est\u00e1 dividiendo pasa a multiplicar con 1 y nos queda igual a dt."}, {"start": 212.16000000000003, "end": 215.36, "text": " Ya tenemos entonces que t hace el papel de u."}, {"start": 215.36, "end": 219.84, "text": " El resto de la expresi\u00f3n hace el papel de dv."}, {"start": 219.84, "end": 225.28, "text": " Entonces dv ser\u00e1 igual a cos t con su diferencial dt."}, {"start": 225.28, "end": 228.6, "text": " Esto tenemos que integrarlo a ambos lados."}, {"start": 228.6, "end": 237.68, "text": " Entonces integral de dv igual a la integral de cos dt con su diferencial dt."}, {"start": 237.68, "end": 239.56, "text": " Resolvemos entonces ambas integrales."}, {"start": 239.56, "end": 246.4, "text": " Integral de dv nos da v y la integral de cos dt nos da sen dt."}, {"start": 246.4, "end": 251.88, "text": " Estos cuatro componentes que hemos encerrado son los que conforman la f\u00f3rmula de integraci\u00f3n"}, {"start": 251.88, "end": 253.20000000000002, "text": " por partes."}, {"start": 253.20000000000002, "end": 254.44, "text": " Vamos a recordarla."}, {"start": 254.44, "end": 264.0, "text": " La integral de u por dv es igual a u por v menos la integral de v por du."}, {"start": 264.0, "end": 269.66, "text": " Recordemos que para aprender f\u00e1cilmente esa f\u00f3rmula decimos que esto es igual a una paca"}, {"start": 269.66, "end": 273.6, "text": " menos la integral vestida de uniforme."}, {"start": 273.6, "end": 277.28000000000003, "text": " Entonces all\u00ed vamos a reemplazar cada uno de estos elementos."}, {"start": 277.28000000000003, "end": 280.48, "text": " Tenemos que u equivale a t."}, {"start": 280.48, "end": 283.0, "text": " Entonces nos queda t por dv."}, {"start": 283.0, "end": 284.0, "text": " Aqu\u00ed lo tenemos."}, {"start": 284.0, "end": 288.48, "text": " Es cos dt por el diferencial dt."}, {"start": 288.48, "end": 295.48, "text": " All\u00ed nos aparece esta integral y esto ser\u00e1 igual a u que equivale a t por v."}, {"start": 295.48, "end": 298.68, "text": " Pero v nos dio sen dt."}, {"start": 298.68, "end": 306.92, "text": " Y eso menos la integral de v que es sen dt y eso multiplicado por du."}, {"start": 306.92, "end": 309.8, "text": " Pero du nos dio dt."}, {"start": 309.8, "end": 313.48, "text": " Aqu\u00ed debemos resolver esta integral que es directa."}, {"start": 313.48, "end": 318.04, "text": " La integral de sen dt nos da menos cos dt."}, {"start": 318.04, "end": 322.64, "text": " Entonces la expresi\u00f3n que corresponde a esa integral nos queda as\u00ed."}, {"start": 322.64, "end": 324.4, "text": " T por sen dt."}, {"start": 324.4, "end": 325.4, "text": " T sen dt."}, {"start": 325.4, "end": 332.44, "text": " Y aqu\u00ed tenemos menos menos cos dt que nos queda m\u00e1s cos dt."}, {"start": 332.44, "end": 339.59999999999997, "text": " Entonces todo esto ser\u00e1 el resultado para esta integral que es la que tenemos aqu\u00ed."}, {"start": 339.59999999999997, "end": 343.91999999999996, "text": " Por lo tanto podemos continuar con el desarrollo del ejercicio."}, {"start": 343.91999999999996, "end": 352.56, "text": " Tenemos un medio que multiplica con el resultado de esa integral y que nos dio t sen dt m\u00e1s"}, {"start": 352.56, "end": 354.44, "text": " cos dt."}, {"start": 354.44, "end": 357.16, "text": " Protegemos eso con par\u00e9ntesis."}, {"start": 357.16, "end": 363.64, "text": " Ahora lo que hacemos en esta expresi\u00f3n es cambiar t por su equivalente que es x al cuadrado."}, {"start": 363.64, "end": 366.96, "text": " En otras palabras deshacemos el cambio de variable."}, {"start": 366.96, "end": 370.96, "text": " Nos queda un medio por t que es x al cuadrado."}, {"start": 370.96, "end": 373.12, "text": " Eso a su vez multiplica con sen dt."}, {"start": 373.12, "end": 377.56, "text": " O sea sen x al cuadrado m\u00e1s cos dt."}, {"start": 377.56, "end": 379.72, "text": " Cos x al cuadrado."}, {"start": 379.72, "end": 386.56, "text": " Cerramos el par\u00e9ntesis y anotamos la constante de integraci\u00f3n para obtener as\u00ed la respuesta"}, {"start": 386.56, "end": 388.36, "text": " de este ejercicio."}, {"start": 388.36, "end": 417.64, "text": " Esta expresi\u00f3n es el resultado para esa integral indefinida."}]

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INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN - Ejercicio 29

#julioprofe explica cómo resolver una integral indefinida utilizando el Método de Sustitución o Cambio de Variable. Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Para resolver esta integral indefinida, podríamos efectuar el desarrollo o la expansión de este binomio elevado al exponente 10. Allí nos apoyaríamos en el triángulo de Pascal o podríamos utilizar el binomio de Newton para hacer la expansión de este binomio a la 10. Lo que pasa es que nos daría un polinomio de 11 términos, al cual tendríamos que distribuirle la X para luego integrar cada uno de esos términos. Realmente ese camino sería muy largo. Vamos a utilizar mejor el método de sustitución. En este caso elegimos una letra, por ejemplo M, que va a representar a esto que tenemos dentro del paréntesis, 2X más 5. Y eso tenemos que derivarlo con respecto a X. Veamos entonces cómo nos queda la derivada de M con respecto a la variable X, es decir, la derivada de 2X más 5 nos da como resultado 2. Y de allí tenemos que despejar el diferencial de X. Nos queda DM igual a 2 por DX. DX está dividiendo, pasa al otro lado a multiplicar y de allí hacemos el despeje de DX. Entonces 2 que está multiplicando pasa al otro lado a dividir. Nos queda DM sobre 2. Entonces con estos dos componentes reconstruimos la integral. Vamos a realizar eso por acá. Entonces dejamos X, luego tenemos 2X más 5 que se cambia por M y eso nos queda elevado al exponente 10 y a su vez eso va multiplicado por DX, que equivale a DM sobre 2. Aquí tenemos un inconveniente y es que la nueva integral debe estar controlada por la variable M. Sin embargo aquí permanece la X. Eso lo solucionamos despejando X de esta expresión. Entonces veamos cómo nos queda. Comenzamos pasando el 5 que está sumando al otro lado a restar. Nos queda M menos 5 igual a 2X y a su vez de allí se despeja la X pasando 2 que está multiplicando al otro lado a dividir. Nos queda M menos 5, todo esto sobre 2, igual con X. Entonces esto que equivale a X lo reemplazamos acá y nos queda de la siguiente forma. Integral de M menos 5 sobre 2. Todo eso multiplicando con M a la 10 y eso a su vez multiplicando con DM medios. Entonces allí ya tenemos la nueva integral que está controlada únicamente por la variable M. Vamos a organizar enseguida esta expresión. A M a la 10 podemos colocarle denominador 1. Vamos a continuar por acá. Entonces vamos a multiplicar lo que hay dentro de la integral. Tenemos entonces multiplicación de fracciones, por lo tanto multiplicamos numeradores entre sí y denominadores entre sí. El producto de numeradores nos queda de esta manera. M menos 5 por M a la 10 y eso por el diferencial de M. Y el producto de denominadores nos da como resultado 4. Allí podríamos extraer este número de la integral. Vamos a seguir por acá. Nos queda entonces por fuera un cuarto que multiplica con, veamos, acá dentro de la integral podemos aplicar la propiedad distributiva. M a la 10 multiplica a cada uno de esos términos. Nos queda entonces M a la 10 por M. Nos queda M a la 11. Recordemos que se deja la base y se suman exponentes. Después tenemos menos M a la 10 por 5 que nos queda 5 M a la 10 y todo esto acompañado del diferencial de M. De esta manera llegamos ahora sí a una integral que podemos resolver de manera directa. Entonces nos queda un cuarto por, veamos, abrimos un paréntesis y tenemos aquí dos términos que están restando. Entonces integramos cada uno de ellos. La integral de M a la 11 nos quedaría M a la 12 sobre 12. Recordemos que se le suma 1 al exponente y eso se anota acá en el exponente y también acá en el denominador. Vamos al otro término donde 5 está multiplicando con M a la 10. Entonces 5 se deja quieto, simplemente acompaña y nos ocupamos de integrar M a la 10. Nos queda M a la 10 más 1 que es 11 y todo esto sobre el mismo valor, sobre 11. Cerramos el paréntesis y aparece por primera vez la constante de integración. Allí podríamos romper ese paréntesis distribuyendo un cuarto. Entonces veamos cómo nos queda. Vamos a continuar por acá. Entonces tendremos en el primer término un cuarto que multiplica con esa fracción. Otra vez multiplicamos numeradores entre sí, denominadores entre sí. 1 por M a la 12 nos queda M a la 12 en el numerador y 4 por 12, 48 en el denominador. Vamos al otro término. Tenemos menos. Un cuarto por esta fracción nos queda 1 por 5 por M a la 11 será 5 M a la 11 en el numerador y en el denominador 4 por 11 que nos da 44. Y todo eso más la constante de integración. Finalmente lo que hacemos es cambiar M por su equivalente, es decir, deshacemos el cambio de variable. Vamos a seguir entonces acá ya para escribir el resultado del ejercicio. Ese primer término lo organizamos como un 48 aho que acompaña a M a la 12, pero M se cambia por 2X más 5 y esto queda elevado al exponente 12. Después tenemos menos. Podemos escribir 544 ahos que acompaña a M a la 11, pero M equivale a 2X más 5. Todo esto nos queda elevado a la 11 y esto más la constante de integración. De esta manera terminamos el ejercicio. Esta expresión que hemos obtenido es la respuesta para esa integral indefinida.

[{"start": 0.0, "end": 9.120000000000001, "text": " Para resolver esta integral indefinida, podr\u00edamos efectuar el desarrollo o la expansi\u00f3n de"}, {"start": 9.120000000000001, "end": 12.56, "text": " este binomio elevado al exponente 10."}, {"start": 12.56, "end": 17.400000000000002, "text": " All\u00ed nos apoyar\u00edamos en el tri\u00e1ngulo de Pascal o podr\u00edamos utilizar el binomio de"}, {"start": 17.400000000000002, "end": 21.52, "text": " Newton para hacer la expansi\u00f3n de este binomio a la 10."}, {"start": 21.52, "end": 27.28, "text": " Lo que pasa es que nos dar\u00eda un polinomio de 11 t\u00e9rminos, al cual tendr\u00edamos que distribuirle"}, {"start": 27.28, "end": 31.520000000000003, "text": " la X para luego integrar cada uno de esos t\u00e9rminos."}, {"start": 31.520000000000003, "end": 33.92, "text": " Realmente ese camino ser\u00eda muy largo."}, {"start": 33.92, "end": 37.64, "text": " Vamos a utilizar mejor el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n."}, {"start": 37.64, "end": 43.34, "text": " En este caso elegimos una letra, por ejemplo M, que va a representar a esto que tenemos"}, {"start": 43.34, "end": 46.92, "text": " dentro del par\u00e9ntesis, 2X m\u00e1s 5."}, {"start": 46.92, "end": 51.16, "text": " Y eso tenemos que derivarlo con respecto a X."}, {"start": 51.16, "end": 58.599999999999994, "text": " Veamos entonces c\u00f3mo nos queda la derivada de M con respecto a la variable X, es decir,"}, {"start": 58.599999999999994, "end": 63.17999999999999, "text": " la derivada de 2X m\u00e1s 5 nos da como resultado 2."}, {"start": 63.17999999999999, "end": 66.36, "text": " Y de all\u00ed tenemos que despejar el diferencial de X."}, {"start": 66.36, "end": 69.72, "text": " Nos queda DM igual a 2 por DX."}, {"start": 69.72, "end": 74.96, "text": " DX est\u00e1 dividiendo, pasa al otro lado a multiplicar y de all\u00ed hacemos el despeje"}, {"start": 74.96, "end": 75.96, "text": " de DX."}, {"start": 75.96, "end": 80.64, "text": " Entonces 2 que est\u00e1 multiplicando pasa al otro lado a dividir."}, {"start": 80.64, "end": 84.2, "text": " Nos queda DM sobre 2."}, {"start": 84.2, "end": 88.08, "text": " Entonces con estos dos componentes reconstruimos la integral."}, {"start": 88.08, "end": 90.24, "text": " Vamos a realizar eso por ac\u00e1."}, {"start": 90.24, "end": 97.03999999999999, "text": " Entonces dejamos X, luego tenemos 2X m\u00e1s 5 que se cambia por M y eso nos queda elevado"}, {"start": 97.03999999999999, "end": 105.24000000000001, "text": " al exponente 10 y a su vez eso va multiplicado por DX, que equivale a DM sobre 2."}, {"start": 105.24, "end": 111.03999999999999, "text": " Aqu\u00ed tenemos un inconveniente y es que la nueva integral debe estar controlada por la variable M."}, {"start": 111.03999999999999, "end": 113.83999999999999, "text": " Sin embargo aqu\u00ed permanece la X."}, {"start": 113.83999999999999, "end": 118.19999999999999, "text": " Eso lo solucionamos despejando X de esta expresi\u00f3n."}, {"start": 118.19999999999999, "end": 120.44, "text": " Entonces veamos c\u00f3mo nos queda."}, {"start": 120.44, "end": 124.32, "text": " Comenzamos pasando el 5 que est\u00e1 sumando al otro lado a restar."}, {"start": 124.32, "end": 131.72, "text": " Nos queda M menos 5 igual a 2X y a su vez de all\u00ed se despeja la X pasando 2 que est\u00e1"}, {"start": 131.72, "end": 135.06, "text": " multiplicando al otro lado a dividir."}, {"start": 135.06, "end": 141.56, "text": " Nos queda M menos 5, todo esto sobre 2, igual con X."}, {"start": 141.56, "end": 148.56, "text": " Entonces esto que equivale a X lo reemplazamos ac\u00e1 y nos queda de la siguiente forma."}, {"start": 148.56, "end": 152.88, "text": " Integral de M menos 5 sobre 2."}, {"start": 152.88, "end": 161.24, "text": " Todo eso multiplicando con M a la 10 y eso a su vez multiplicando con DM medios."}, {"start": 161.24, "end": 168.24, "text": " Entonces all\u00ed ya tenemos la nueva integral que est\u00e1 controlada \u00fanicamente por la variable M."}, {"start": 168.24, "end": 171.08, "text": " Vamos a organizar enseguida esta expresi\u00f3n."}, {"start": 171.08, "end": 174.84, "text": " A M a la 10 podemos colocarle denominador 1."}, {"start": 174.84, "end": 177.64000000000001, "text": " Vamos a continuar por ac\u00e1."}, {"start": 177.64000000000001, "end": 182.14000000000001, "text": " Entonces vamos a multiplicar lo que hay dentro de la integral."}, {"start": 182.14000000000001, "end": 186.92000000000002, "text": " Tenemos entonces multiplicaci\u00f3n de fracciones, por lo tanto multiplicamos numeradores entre"}, {"start": 186.92000000000002, "end": 189.56, "text": " s\u00ed y denominadores entre s\u00ed."}, {"start": 189.56, "end": 193.24, "text": " El producto de numeradores nos queda de esta manera."}, {"start": 193.24, "end": 198.92000000000002, "text": " M menos 5 por M a la 10 y eso por el diferencial de M."}, {"start": 198.92000000000002, "end": 203.8, "text": " Y el producto de denominadores nos da como resultado 4."}, {"start": 203.8, "end": 207.2, "text": " All\u00ed podr\u00edamos extraer este n\u00famero de la integral."}, {"start": 207.2, "end": 209.12, "text": " Vamos a seguir por ac\u00e1."}, {"start": 209.12, "end": 217.96, "text": " Nos queda entonces por fuera un cuarto que multiplica con, veamos, ac\u00e1 dentro de la integral"}, {"start": 217.96, "end": 220.84, "text": " podemos aplicar la propiedad distributiva."}, {"start": 220.84, "end": 225.12, "text": " M a la 10 multiplica a cada uno de esos t\u00e9rminos."}, {"start": 225.12, "end": 227.64000000000001, "text": " Nos queda entonces M a la 10 por M."}, {"start": 227.64000000000001, "end": 229.56, "text": " Nos queda M a la 11."}, {"start": 229.56, "end": 232.68, "text": " Recordemos que se deja la base y se suman exponentes."}, {"start": 232.68, "end": 241.4, "text": " Despu\u00e9s tenemos menos M a la 10 por 5 que nos queda 5 M a la 10 y todo esto acompa\u00f1ado"}, {"start": 241.4, "end": 243.96, "text": " del diferencial de M."}, {"start": 243.96, "end": 250.4, "text": " De esta manera llegamos ahora s\u00ed a una integral que podemos resolver de manera directa."}, {"start": 250.4, "end": 255.20000000000002, "text": " Entonces nos queda un cuarto por, veamos, abrimos un par\u00e9ntesis y tenemos aqu\u00ed dos"}, {"start": 255.20000000000002, "end": 257.68, "text": " t\u00e9rminos que est\u00e1n restando."}, {"start": 257.68, "end": 259.8, "text": " Entonces integramos cada uno de ellos."}, {"start": 259.8, "end": 266.16, "text": " La integral de M a la 11 nos quedar\u00eda M a la 12 sobre 12."}, {"start": 266.16, "end": 271.24, "text": " Recordemos que se le suma 1 al exponente y eso se anota ac\u00e1 en el exponente y tambi\u00e9n"}, {"start": 271.24, "end": 273.28000000000003, "text": " ac\u00e1 en el denominador."}, {"start": 273.28, "end": 277.44, "text": " Vamos al otro t\u00e9rmino donde 5 est\u00e1 multiplicando con M a la 10."}, {"start": 277.44, "end": 284.0, "text": " Entonces 5 se deja quieto, simplemente acompa\u00f1a y nos ocupamos de integrar M a la 10."}, {"start": 284.0, "end": 291.23999999999995, "text": " Nos queda M a la 10 m\u00e1s 1 que es 11 y todo esto sobre el mismo valor, sobre 11."}, {"start": 291.23999999999995, "end": 296.96, "text": " Cerramos el par\u00e9ntesis y aparece por primera vez la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 296.96, "end": 301.64, "text": " All\u00ed podr\u00edamos romper ese par\u00e9ntesis distribuyendo un cuarto."}, {"start": 301.64, "end": 303.4, "text": " Entonces veamos c\u00f3mo nos queda."}, {"start": 303.4, "end": 306.53999999999996, "text": " Vamos a continuar por ac\u00e1."}, {"start": 306.53999999999996, "end": 312.24, "text": " Entonces tendremos en el primer t\u00e9rmino un cuarto que multiplica con esa fracci\u00f3n."}, {"start": 312.24, "end": 316.46, "text": " Otra vez multiplicamos numeradores entre s\u00ed, denominadores entre s\u00ed."}, {"start": 316.46, "end": 324.59999999999997, "text": " 1 por M a la 12 nos queda M a la 12 en el numerador y 4 por 12, 48 en el denominador."}, {"start": 324.59999999999997, "end": 326.2, "text": " Vamos al otro t\u00e9rmino."}, {"start": 326.2, "end": 327.2, "text": " Tenemos menos."}, {"start": 327.2, "end": 335.56, "text": " Un cuarto por esta fracci\u00f3n nos queda 1 por 5 por M a la 11 ser\u00e1 5 M a la 11 en el numerador"}, {"start": 335.56, "end": 339.8, "text": " y en el denominador 4 por 11 que nos da 44."}, {"start": 339.8, "end": 343.52, "text": " Y todo eso m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 343.52, "end": 350.15999999999997, "text": " Finalmente lo que hacemos es cambiar M por su equivalente, es decir, deshacemos el cambio"}, {"start": 350.15999999999997, "end": 351.15999999999997, "text": " de variable."}, {"start": 351.15999999999997, "end": 356.36, "text": " Vamos a seguir entonces ac\u00e1 ya para escribir el resultado del ejercicio."}, {"start": 356.36, "end": 363.64, "text": " Ese primer t\u00e9rmino lo organizamos como un 48 aho que acompa\u00f1a a M a la 12, pero M se"}, {"start": 363.64, "end": 370.78000000000003, "text": " cambia por 2X m\u00e1s 5 y esto queda elevado al exponente 12."}, {"start": 370.78000000000003, "end": 372.48, "text": " Despu\u00e9s tenemos menos."}, {"start": 372.48, "end": 382.1, "text": " Podemos escribir 544 ahos que acompa\u00f1a a M a la 11, pero M equivale a 2X m\u00e1s 5."}, {"start": 382.1, "end": 387.48, "text": " Todo esto nos queda elevado a la 11 y esto m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 387.48, "end": 390.44, "text": " De esta manera terminamos el ejercicio."}, {"start": 390.44, "end": 417.36, "text": " Esta expresi\u00f3n que hemos obtenido es la respuesta para esa integral indefinida."}]

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Problema 6 de TRIGONOMETRÍA EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

#julioprofe explica cómo resolver un problema de trigonometría donde intervienen triángulos rectángulos: Desde lo alto de un faro se observa un barco con un ángulo de depresión de 20°, y si el barco se aproxima 500 metros al faro entonces el ángulo pasa a ser de 26°. ¿Qué distancia hay entre el barco y el faro en la segunda observación? REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Desde lo alto de un faro se observa un barco con un ángulo de depresión de 20 grados, y si el barco se aproxima 500 metros al faro, el ángulo pasa a ser 26 grados. ¿Qué distancia hay entre el barco y el faro en la segunda observación? Bien para resolver este problema, hacemos un dibujo de la situación. Aquí tenemos el faro, acá tenemos el nivel del mar y el barco en la primera y en la segunda observación, cuando se ha desplazado 500 metros acercándose hacia el faro. Nos dice el problema que en la primera observación el barco es divisado desde lo alto del faro con un ángulo de depresión de 20 grados. Ese ángulo se mide con respecto de una línea horizontal imaginaria que es paralela al nivel del mar. Entonces, ese primer ángulo de observación que es ángulo de depresión corresponde a 20 grados. Y en la segunda observación, es decir, cuando el barco está en esta posición, el ángulo de depresión que corresponde a esa observación es de 26 grados. Aquí vamos a utilizar el concepto de ángulos alternos internos entre paralelas. Vamos a recordarlo, si tenemos dos líneas rectas que son paralelas entre sí y están cortadas por otra recta que se llama secante o transversal, entonces estos dos ángulos son alternos internos y por estar entre paralelas son congruentes. Se llaman alternos internos porque están a lados distintos del secante o transversal y en la zona interna de las paralelas. Pues bien, eso está sucediendo acá. Tenemos aquí la línea horizontal imaginaria que es paralela al nivel del mar y esta línea roja que corresponde a la primera observación actúa como secante o transversal. Por lo tanto, este ángulo de 20 grados, que es ángulo de depresión, lo tenemos acá, como ángulo de elevación. Aquí tenemos entonces 20 grados y lo mismo se presenta con esta línea verde. Actúa como secante o transversal entre las dos paralelas. Por lo tanto, este ángulo de depresión de 26 grados, acá lo tenemos como ángulo de elevación con la misma medida. Ángulos alternos internos entre paralelas. El problema nos pregunta por esta distancia, la que hay entre el marco y el faro en la segunda observación. Entonces, esa distancia la vamos a llamar X. Y también hemos designado esta distancia, la que hay entre el nivel del mar y la parte alta del faro, la cual vamos a llamar H. Es una altura que necesitamos para los dos triángulos rectángulos que se observan en la figura. El ángulo recto se forma exactamente aquí. Entonces, vamos a nombrar con letras mayúsculas los vértices de esos dos triángulos. Vamos a llamar A este punto, la primera posición del barco. B la segunda posición. C la parte alta del faro, desde donde se hacen las dos observaciones. Y D este punto, el vértice donde está el ángulo recto. Entonces, consideramos primero el triángulo rectángulo grande. Aquel que tiene vértices A, C y D. Veamos las dimensiones de los catetos. El cateto AD será 500 más X. Aclaramos que todas esas dimensiones están en metros. Y el cateto CD corresponde a la altura H que hemos designado. La que hay entre el nivel del mar y la parte alta del faro. Tenemos también este ángulo. El ángulo DAC, acá lo tenemos, que corresponde a 20 grados. Entonces, con esa información vamos a utilizar SOHCATOA. Que es la manera fácil de recordar las tres funciones trigonométricas principales. Seno, coseno y tangente. Seno es cateto opuesto sobre hipotenusa. Coseno es cateto adyacente sobre hipotenusa. Y tangente es cateto opuesto sobre cateto adyacente. En este caso, para el ángulo agudo de 20 grados. Vemos que se tiene el cateto opuesto, es H. Y el cateto adyacente que es 500 más X. Entonces, cateto opuesto con cateto adyacente. Nos indica que debemos relacionar esa información utilizando tangente. Entonces decimos tangente del ángulo 20 grados. Es igual a cateto opuesto. El que está al frente del ángulo, que es H. Sobre el cateto adyacente. El cateto que hace contacto con el ángulo. Es decir, 500 más X. De aquí vamos a realizar el despeje de H. Entonces, 500 más X que está dividiendo, pasa a este lado a multiplicar. Entonces, vamos a escribir eso por acá. H será igual a 500 más X. Que se protege con paréntesis. Y que llega a multiplicar con tangente de 20 grados. Allí hemos despejado H de esta expresión. Eso que hemos obtenido, lo vamos a etiquetar como la expresión número uno. Ahora vamos a considerar el otro triángulo rectángulo. El más pequeño. Cuyos pérpices son D, C y D. Vamos a anotar la información que conocemos de ese triángulo. Tenemos el cateto BD que corresponde a X. El cateto CD que corresponde a H. Y también tenemos la medida de este ángulo. El ángulo DBC. Acá lo tenemos. Y es 26 grados. De nuevo utilizamos Socatoa. Y como se tiene información de los catetos. Utilizamos otra vez tangente. Para relacionar el ángulo agudo con esos dos lados. Entonces decimos tangente de 26 grados. Será igual a cateto opuesto que es H. Sobre el cateto adyacente que es X. Y allí también despejamos H. X que está dividiendo pasa al otro lado a multiplicar. Entonces escribimos eso por acá. H será igual a X. Que multiplica con tangente de 26 grados. Esa nueva expresión que hemos obtenido. La etiquetamos como la número 2. Y como se observa en las expresiones 1 y 2. Está despejada la variable H. Entonces vamos a realizar lo que se llama una igualación. Igualamos las expresiones 1 y 2. Y entonces nos queda así. 500 más X. Que multiplica con tangente de 20 grados. Eso debe ser igual. A lo que nos dice la expresión 2. Que es X por tangente de 26 grados. Allí en el lado izquierdo de la igualdad. Vamos a aplicar la propiedad distributiva. Para romper ese paréntesis. Entonces nos queda así. Tangente de 20 grados por 500. Lo organizamos como 500 tangente de 20 grados. Luego tenemos más. Tangente de 20 grados por X. Lo organizamos como X. Tangente de 20 grados. Y eso queda igual a esto mismo. X por tangente de 26 grados. Como lo que necesitamos despejar en esta ecuación es X. Entonces vamos a pasar este término que contiene dicha letra. Al otro lado. Nos queda entonces 500 por tangente de 20 grados. Igual a este término que permanece tal como está. X tangente de 26 grados. Y pasamos este que está sumando. Entonces llega al otro lado a restar. X tangente de 20 grados. Allí en el lado derecho de la igualdad. Podemos extraer como factor común la X. Entonces esto nos queda 500. Tangente de 20 grados. Igual a X que multiplica a lo siguiente. Tangente de 26 grados. Menos tangente de 20 grados. Repetimos. Se ha extraído la X como factor común en esta expresión. Finalmente de aquí podemos despejar X. Todo esto que está multiplicando en el lado derecho. Pasa a dividir al lado izquierdo. Entonces vamos a escribir lo que nos queda por acá. X será igual a 500. Tangente de 20 grados. Y todo eso sobre tangente de 26 grados. Menos tangente de 20 grados. Bien ahora lo que tenemos que hacer es resolver esta operación. Utilizando una calculadora científica. En esta ocasión lo vamos a resolver en esta. Entonces comenzamos por asegurarnos que la calculadora. Este configurada en el modo DEG. O Degrees. Es decir ángulos expresados en grados sexagesimales. Allí podemos ver en la pantalla la letra D. Lo que nos confirma que está configurada en dicho modo. Ahora lo que hacemos es llevar esta expresión a la calculadora. Comenzamos con el botón de fracción. Y en el numerador vamos a anotar 500. Y enseguida tangente de 20 grados. Escribimos el número 20. Y cerramos el paréntesis. Desplazamos el cursor hacia el denominador de la expresión. Utilizando el botón correspondiente del navegador. Y allí vamos a escribir tangente de 26 grados. Cerramos el paréntesis. Menos tangente de 20 grados. Cerramos el paréntesis. Oprimimos el botón igual. Y allí tenemos el resultado 1470,44. En este caso vamos a sustituir la coma por el punto que es la marca decimal. Entonces, X, el valor de toda esa operación nos dio 1470,44. Y esto está expresado en metros. Es la distancia que hay entre el barco y el faro cuando se realiza la segunda observación. De esta manera terminamos este ejercicio. De aplicación de la trigonometría en triángulos rectángulos.

[{"start": 0.0, "end": 9.34, "text": " Desde lo alto de un faro se observa un barco con un \u00e1ngulo de depresi\u00f3n de 20 grados,"}, {"start": 9.34, "end": 15.56, "text": " y si el barco se aproxima 500 metros al faro, el \u00e1ngulo pasa a ser 26 grados."}, {"start": 15.56, "end": 21.44, "text": " \u00bfQu\u00e9 distancia hay entre el barco y el faro en la segunda observaci\u00f3n?"}, {"start": 21.44, "end": 25.560000000000002, "text": " Bien para resolver este problema, hacemos un dibujo de la situaci\u00f3n."}, {"start": 25.56, "end": 32.96, "text": " Aqu\u00ed tenemos el faro, ac\u00e1 tenemos el nivel del mar y el barco en la primera y en la segunda observaci\u00f3n,"}, {"start": 32.96, "end": 38.84, "text": " cuando se ha desplazado 500 metros acerc\u00e1ndose hacia el faro."}, {"start": 38.84, "end": 45.480000000000004, "text": " Nos dice el problema que en la primera observaci\u00f3n el barco es divisado desde lo alto del faro"}, {"start": 45.480000000000004, "end": 48.56, "text": " con un \u00e1ngulo de depresi\u00f3n de 20 grados."}, {"start": 48.56, "end": 55.96, "text": " Ese \u00e1ngulo se mide con respecto de una l\u00ednea horizontal imaginaria que es paralela al nivel del mar."}, {"start": 55.96, "end": 64.24000000000001, "text": " Entonces, ese primer \u00e1ngulo de observaci\u00f3n que es \u00e1ngulo de depresi\u00f3n corresponde a 20 grados."}, {"start": 64.24000000000001, "end": 69.84, "text": " Y en la segunda observaci\u00f3n, es decir, cuando el barco est\u00e1 en esta posici\u00f3n,"}, {"start": 69.84, "end": 78.04, "text": " el \u00e1ngulo de depresi\u00f3n que corresponde a esa observaci\u00f3n es de 26 grados."}, {"start": 78.04, "end": 83.24000000000001, "text": " Aqu\u00ed vamos a utilizar el concepto de \u00e1ngulos alternos internos entre paralelas."}, {"start": 83.24000000000001, "end": 87.96000000000001, "text": " Vamos a recordarlo, si tenemos dos l\u00edneas rectas que son paralelas entre s\u00ed"}, {"start": 87.96000000000001, "end": 92.04, "text": " y est\u00e1n cortadas por otra recta que se llama secante o transversal,"}, {"start": 92.04, "end": 100.36000000000001, "text": " entonces estos dos \u00e1ngulos son alternos internos y por estar entre paralelas son congruentes."}, {"start": 100.36000000000001, "end": 106.2, "text": " Se llaman alternos internos porque est\u00e1n a lados distintos del secante o transversal"}, {"start": 106.2, "end": 109.4, "text": " y en la zona interna de las paralelas."}, {"start": 109.4, "end": 112.0, "text": " Pues bien, eso est\u00e1 sucediendo ac\u00e1."}, {"start": 112.0, "end": 116.8, "text": " Tenemos aqu\u00ed la l\u00ednea horizontal imaginaria que es paralela al nivel del mar"}, {"start": 116.8, "end": 123.0, "text": " y esta l\u00ednea roja que corresponde a la primera observaci\u00f3n act\u00faa como secante o transversal."}, {"start": 123.0, "end": 129.0, "text": " Por lo tanto, este \u00e1ngulo de 20 grados, que es \u00e1ngulo de depresi\u00f3n, lo tenemos ac\u00e1,"}, {"start": 129.0, "end": 131.4, "text": " como \u00e1ngulo de elevaci\u00f3n."}, {"start": 131.4, "end": 137.20000000000002, "text": " Aqu\u00ed tenemos entonces 20 grados y lo mismo se presenta con esta l\u00ednea verde."}, {"start": 137.20000000000002, "end": 141.8, "text": " Act\u00faa como secante o transversal entre las dos paralelas."}, {"start": 141.8, "end": 145.4, "text": " Por lo tanto, este \u00e1ngulo de depresi\u00f3n de 26 grados,"}, {"start": 145.4, "end": 150.8, "text": " ac\u00e1 lo tenemos como \u00e1ngulo de elevaci\u00f3n con la misma medida."}, {"start": 150.8, "end": 154.20000000000002, "text": " \u00c1ngulos alternos internos entre paralelas."}, {"start": 154.20000000000002, "end": 160.20000000000002, "text": " El problema nos pregunta por esta distancia, la que hay entre el marco y el faro"}, {"start": 160.2, "end": 162.39999999999998, "text": " en la segunda observaci\u00f3n."}, {"start": 162.39999999999998, "end": 165.79999999999998, "text": " Entonces, esa distancia la vamos a llamar X."}, {"start": 165.79999999999998, "end": 171.39999999999998, "text": " Y tambi\u00e9n hemos designado esta distancia, la que hay entre el nivel del mar"}, {"start": 171.39999999999998, "end": 175.79999999999998, "text": " y la parte alta del faro, la cual vamos a llamar H."}, {"start": 175.79999999999998, "end": 181.0, "text": " Es una altura que necesitamos para los dos tri\u00e1ngulos rect\u00e1ngulos"}, {"start": 181.0, "end": 183.2, "text": " que se observan en la figura."}, {"start": 183.2, "end": 186.6, "text": " El \u00e1ngulo recto se forma exactamente aqu\u00ed."}, {"start": 186.6, "end": 192.0, "text": " Entonces, vamos a nombrar con letras may\u00fasculas los v\u00e9rtices de esos dos tri\u00e1ngulos."}, {"start": 192.0, "end": 196.0, "text": " Vamos a llamar A este punto, la primera posici\u00f3n del barco."}, {"start": 196.0, "end": 198.0, "text": " B la segunda posici\u00f3n."}, {"start": 198.0, "end": 203.2, "text": " C la parte alta del faro, desde donde se hacen las dos observaciones."}, {"start": 203.2, "end": 208.6, "text": " Y D este punto, el v\u00e9rtice donde est\u00e1 el \u00e1ngulo recto."}, {"start": 208.6, "end": 212.6, "text": " Entonces, consideramos primero el tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo grande."}, {"start": 212.6, "end": 216.79999999999998, "text": " Aquel que tiene v\u00e9rtices A, C y D."}, {"start": 216.79999999999998, "end": 220.6, "text": " Veamos las dimensiones de los catetos."}, {"start": 220.6, "end": 224.0, "text": " El cateto AD ser\u00e1 500 m\u00e1s X."}, {"start": 224.0, "end": 228.4, "text": " Aclaramos que todas esas dimensiones est\u00e1n en metros."}, {"start": 228.4, "end": 233.2, "text": " Y el cateto CD corresponde a la altura H que hemos designado."}, {"start": 233.2, "end": 237.79999999999998, "text": " La que hay entre el nivel del mar y la parte alta del faro."}, {"start": 237.79999999999998, "end": 240.4, "text": " Tenemos tambi\u00e9n este \u00e1ngulo."}, {"start": 240.4, "end": 246.8, "text": " El \u00e1ngulo DAC, ac\u00e1 lo tenemos, que corresponde a 20 grados."}, {"start": 246.8, "end": 251.6, "text": " Entonces, con esa informaci\u00f3n vamos a utilizar SOHCATOA."}, {"start": 251.6, "end": 257.2, "text": " Que es la manera f\u00e1cil de recordar las tres funciones trigonom\u00e9tricas principales."}, {"start": 257.2, "end": 259.2, "text": " Seno, coseno y tangente."}, {"start": 259.2, "end": 262.2, "text": " Seno es cateto opuesto sobre hipotenusa."}, {"start": 262.2, "end": 265.8, "text": " Coseno es cateto adyacente sobre hipotenusa."}, {"start": 265.8, "end": 269.6, "text": " Y tangente es cateto opuesto sobre cateto adyacente."}, {"start": 269.6, "end": 273.0, "text": " En este caso, para el \u00e1ngulo agudo de 20 grados."}, {"start": 273.0, "end": 276.6, "text": " Vemos que se tiene el cateto opuesto, es H."}, {"start": 276.6, "end": 280.0, "text": " Y el cateto adyacente que es 500 m\u00e1s X."}, {"start": 280.0, "end": 283.20000000000005, "text": " Entonces, cateto opuesto con cateto adyacente."}, {"start": 283.20000000000005, "end": 289.0, "text": " Nos indica que debemos relacionar esa informaci\u00f3n utilizando tangente."}, {"start": 289.0, "end": 293.8, "text": " Entonces decimos tangente del \u00e1ngulo 20 grados."}, {"start": 293.8, "end": 296.40000000000003, "text": " Es igual a cateto opuesto."}, {"start": 296.4, "end": 300.0, "text": " El que est\u00e1 al frente del \u00e1ngulo, que es H."}, {"start": 300.0, "end": 302.2, "text": " Sobre el cateto adyacente."}, {"start": 302.2, "end": 304.79999999999995, "text": " El cateto que hace contacto con el \u00e1ngulo."}, {"start": 304.79999999999995, "end": 308.4, "text": " Es decir, 500 m\u00e1s X."}, {"start": 308.4, "end": 311.2, "text": " De aqu\u00ed vamos a realizar el despeje de H."}, {"start": 311.2, "end": 316.79999999999995, "text": " Entonces, 500 m\u00e1s X que est\u00e1 dividiendo, pasa a este lado a multiplicar."}, {"start": 316.79999999999995, "end": 320.4, "text": " Entonces, vamos a escribir eso por ac\u00e1."}, {"start": 320.4, "end": 324.59999999999997, "text": " H ser\u00e1 igual a 500 m\u00e1s X."}, {"start": 324.6, "end": 327.20000000000005, "text": " Que se protege con par\u00e9ntesis."}, {"start": 327.20000000000005, "end": 331.8, "text": " Y que llega a multiplicar con tangente de 20 grados."}, {"start": 331.8, "end": 335.8, "text": " All\u00ed hemos despejado H de esta expresi\u00f3n."}, {"start": 335.8, "end": 342.0, "text": " Eso que hemos obtenido, lo vamos a etiquetar como la expresi\u00f3n n\u00famero uno."}, {"start": 342.0, "end": 345.40000000000003, "text": " Ahora vamos a considerar el otro tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo."}, {"start": 345.40000000000003, "end": 346.6, "text": " El m\u00e1s peque\u00f1o."}, {"start": 346.6, "end": 350.6, "text": " Cuyos p\u00e9rpices son D, C y D."}, {"start": 350.6, "end": 354.8, "text": " Vamos a anotar la informaci\u00f3n que conocemos de ese tri\u00e1ngulo."}, {"start": 354.8, "end": 358.20000000000005, "text": " Tenemos el cateto BD que corresponde a X."}, {"start": 358.20000000000005, "end": 361.8, "text": " El cateto CD que corresponde a H."}, {"start": 361.8, "end": 365.6, "text": " Y tambi\u00e9n tenemos la medida de este \u00e1ngulo."}, {"start": 365.6, "end": 367.6, "text": " El \u00e1ngulo DBC."}, {"start": 367.6, "end": 369.0, "text": " Ac\u00e1 lo tenemos."}, {"start": 369.0, "end": 371.40000000000003, "text": " Y es 26 grados."}, {"start": 371.40000000000003, "end": 373.8, "text": " De nuevo utilizamos Socatoa."}, {"start": 373.8, "end": 376.8, "text": " Y como se tiene informaci\u00f3n de los catetos."}, {"start": 376.8, "end": 379.8, "text": " Utilizamos otra vez tangente."}, {"start": 379.8, "end": 383.8, "text": " Para relacionar el \u00e1ngulo agudo con esos dos lados."}, {"start": 383.8, "end": 388.40000000000003, "text": " Entonces decimos tangente de 26 grados."}, {"start": 388.40000000000003, "end": 392.40000000000003, "text": " Ser\u00e1 igual a cateto opuesto que es H."}, {"start": 392.40000000000003, "end": 396.6, "text": " Sobre el cateto adyacente que es X."}, {"start": 396.6, "end": 398.8, "text": " Y all\u00ed tambi\u00e9n despejamos H."}, {"start": 398.8, "end": 403.0, "text": " X que est\u00e1 dividiendo pasa al otro lado a multiplicar."}, {"start": 403.0, "end": 405.6, "text": " Entonces escribimos eso por ac\u00e1."}, {"start": 405.6, "end": 407.8, "text": " H ser\u00e1 igual a X."}, {"start": 407.8, "end": 412.6, "text": " Que multiplica con tangente de 26 grados."}, {"start": 412.6, "end": 415.2, "text": " Esa nueva expresi\u00f3n que hemos obtenido."}, {"start": 415.2, "end": 417.40000000000003, "text": " La etiquetamos como la n\u00famero 2."}, {"start": 417.40000000000003, "end": 421.0, "text": " Y como se observa en las expresiones 1 y 2."}, {"start": 421.0, "end": 423.2, "text": " Est\u00e1 despejada la variable H."}, {"start": 423.2, "end": 427.8, "text": " Entonces vamos a realizar lo que se llama una igualaci\u00f3n."}, {"start": 427.8, "end": 430.8, "text": " Igualamos las expresiones 1 y 2."}, {"start": 430.8, "end": 432.8, "text": " Y entonces nos queda as\u00ed."}, {"start": 432.8, "end": 435.2, "text": " 500 m\u00e1s X."}, {"start": 435.2, "end": 440.0, "text": " Que multiplica con tangente de 20 grados."}, {"start": 440.0, "end": 442.59999999999997, "text": " Eso debe ser igual."}, {"start": 442.59999999999997, "end": 444.8, "text": " A lo que nos dice la expresi\u00f3n 2."}, {"start": 444.8, "end": 450.2, "text": " Que es X por tangente de 26 grados."}, {"start": 450.2, "end": 452.8, "text": " All\u00ed en el lado izquierdo de la igualdad."}, {"start": 452.8, "end": 456.0, "text": " Vamos a aplicar la propiedad distributiva."}, {"start": 456.0, "end": 458.4, "text": " Para romper ese par\u00e9ntesis."}, {"start": 458.4, "end": 459.8, "text": " Entonces nos queda as\u00ed."}, {"start": 459.8, "end": 462.8, "text": " Tangente de 20 grados por 500."}, {"start": 462.8, "end": 467.6, "text": " Lo organizamos como 500 tangente de 20 grados."}, {"start": 467.6, "end": 469.2, "text": " Luego tenemos m\u00e1s."}, {"start": 469.2, "end": 471.40000000000003, "text": " Tangente de 20 grados por X."}, {"start": 471.40000000000003, "end": 473.6, "text": " Lo organizamos como X."}, {"start": 473.6, "end": 475.8, "text": " Tangente de 20 grados."}, {"start": 475.8, "end": 478.2, "text": " Y eso queda igual a esto mismo."}, {"start": 478.2, "end": 482.8, "text": " X por tangente de 26 grados."}, {"start": 482.8, "end": 486.8, "text": " Como lo que necesitamos despejar en esta ecuaci\u00f3n es X."}, {"start": 486.8, "end": 490.6, "text": " Entonces vamos a pasar este t\u00e9rmino que contiene dicha letra."}, {"start": 490.6, "end": 491.8, "text": " Al otro lado."}, {"start": 491.8, "end": 497.2, "text": " Nos queda entonces 500 por tangente de 20 grados."}, {"start": 497.2, "end": 501.40000000000003, "text": " Igual a este t\u00e9rmino que permanece tal como est\u00e1."}, {"start": 501.40000000000003, "end": 503.8, "text": " X tangente de 26 grados."}, {"start": 503.8, "end": 505.8, "text": " Y pasamos este que est\u00e1 sumando."}, {"start": 505.8, "end": 508.6, "text": " Entonces llega al otro lado a restar."}, {"start": 508.6, "end": 512.0, "text": " X tangente de 20 grados."}, {"start": 512.0, "end": 514.4, "text": " All\u00ed en el lado derecho de la igualdad."}, {"start": 514.4, "end": 517.4, "text": " Podemos extraer como factor com\u00fan la X."}, {"start": 517.4, "end": 519.6, "text": " Entonces esto nos queda 500."}, {"start": 519.6, "end": 521.8000000000001, "text": " Tangente de 20 grados."}, {"start": 521.8000000000001, "end": 525.2, "text": " Igual a X que multiplica a lo siguiente."}, {"start": 525.2, "end": 528.2, "text": " Tangente de 26 grados."}, {"start": 528.2, "end": 531.6, "text": " Menos tangente de 20 grados."}, {"start": 531.6, "end": 532.6, "text": " Repetimos."}, {"start": 532.6, "end": 537.8000000000001, "text": " Se ha extra\u00eddo la X como factor com\u00fan en esta expresi\u00f3n."}, {"start": 537.8000000000001, "end": 540.6, "text": " Finalmente de aqu\u00ed podemos despejar X."}, {"start": 540.6, "end": 544.0, "text": " Todo esto que est\u00e1 multiplicando en el lado derecho."}, {"start": 544.0, "end": 546.6, "text": " Pasa a dividir al lado izquierdo."}, {"start": 546.6, "end": 550.4, "text": " Entonces vamos a escribir lo que nos queda por ac\u00e1."}, {"start": 550.4, "end": 553.0, "text": " X ser\u00e1 igual a 500."}, {"start": 553.0, "end": 556.4, "text": " Tangente de 20 grados."}, {"start": 556.4, "end": 560.4, "text": " Y todo eso sobre tangente de 26 grados."}, {"start": 560.4, "end": 565.0, "text": " Menos tangente de 20 grados."}, {"start": 565.0, "end": 569.0, "text": " Bien ahora lo que tenemos que hacer es resolver esta operaci\u00f3n."}, {"start": 569.0, "end": 571.8000000000001, "text": " Utilizando una calculadora cient\u00edfica."}, {"start": 571.8000000000001, "end": 574.2, "text": " En esta ocasi\u00f3n lo vamos a resolver en esta."}, {"start": 574.2, "end": 577.4000000000001, "text": " Entonces comenzamos por asegurarnos que la calculadora."}, {"start": 577.4000000000001, "end": 580.0, "text": " Este configurada en el modo DEG."}, {"start": 580.0, "end": 580.8000000000001, "text": " O Degrees."}, {"start": 580.8000000000001, "end": 584.6, "text": " Es decir \u00e1ngulos expresados en grados sexagesimales."}, {"start": 584.6, "end": 587.4000000000001, "text": " All\u00ed podemos ver en la pantalla la letra D."}, {"start": 587.4000000000001, "end": 591.2, "text": " Lo que nos confirma que est\u00e1 configurada en dicho modo."}, {"start": 591.2, "end": 595.6, "text": " Ahora lo que hacemos es llevar esta expresi\u00f3n a la calculadora."}, {"start": 595.6, "end": 597.8000000000001, "text": " Comenzamos con el bot\u00f3n de fracci\u00f3n."}, {"start": 597.8000000000001, "end": 600.8000000000001, "text": " Y en el numerador vamos a anotar 500."}, {"start": 600.8000000000001, "end": 604.0, "text": " Y enseguida tangente de 20 grados."}, {"start": 604.0, "end": 605.8, "text": " Escribimos el n\u00famero 20."}, {"start": 605.8, "end": 607.8, "text": " Y cerramos el par\u00e9ntesis."}, {"start": 607.8, "end": 611.4, "text": " Desplazamos el cursor hacia el denominador de la expresi\u00f3n."}, {"start": 611.4, "end": 614.4, "text": " Utilizando el bot\u00f3n correspondiente del navegador."}, {"start": 614.4, "end": 618.6, "text": " Y all\u00ed vamos a escribir tangente de 26 grados."}, {"start": 618.6, "end": 620.4, "text": " Cerramos el par\u00e9ntesis."}, {"start": 620.4, "end": 623.4, "text": " Menos tangente de 20 grados."}, {"start": 623.4, "end": 625.2, "text": " Cerramos el par\u00e9ntesis."}, {"start": 625.2, "end": 627.0, "text": " Oprimimos el bot\u00f3n igual."}, {"start": 627.0, "end": 631.4, "text": " Y all\u00ed tenemos el resultado 1470,44."}, {"start": 631.4, "end": 637.4, "text": " En este caso vamos a sustituir la coma por el punto que es la marca decimal."}, {"start": 637.4, "end": 646.0, "text": " Entonces, X, el valor de toda esa operaci\u00f3n nos dio 1470,44."}, {"start": 646.0, "end": 648.8, "text": " Y esto est\u00e1 expresado en metros."}, {"start": 648.8, "end": 655.6, "text": " Es la distancia que hay entre el barco y el faro cuando se realiza la segunda observaci\u00f3n."}, {"start": 655.6, "end": 659.1999999999999, "text": " De esta manera terminamos este ejercicio."}, {"start": 659.2, "end": 664.2, "text": " De aplicaci\u00f3n de la trigonometr\u00eda en tri\u00e1ngulos rect\u00e1ngulos."}]

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159. FENÓMENOS LUMINOSOS: REFLEXIÓN TOTAL INTERNA

Curso de Física para el grado 4° de Educación Secundaria Obligatoria (ESO) en España. Clase No. 159: Fenómenos Luminosos: Reflexión Total Interna. Tema: Energía y Ondas. Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook: https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter: https://twitter.com/julioprofenet Instagram: https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL http://www.julioprofe.net APP JULIOPROFE Para Android: https://goo.gl/XsJRwN Para iOS: https://goo.gl/3y2VtR

Consideremos la siguiente situación, supongamos que tenemos un medio 1 de mayor densidad que un medio 2, por ejemplo, cristal y aire, es decir, con un índice de refracción N1 mayor que el índice de refracción del medio 2. Entonces, tenemos un rayo incidente que viene de la zona de la sustancia que tiene mayor densidad y emerge a la zona donde hay menor densidad. Entonces, aquí tenemos el ángulo de incidencia y aquí tenemos el ángulo de refracción. Tenemos el fenómeno de refracción de la luz. Allí tenemos dibujada la normal. Supongamos que entonces este ángulo de incidencia lo empezamos a aumentar más y más hasta que llegue un momento en que este rayo refractado se empieza como a acostar a volverse casi que horizontal hasta un punto en que el rayo refractado viaja por la frontera que divide los dos medios. En ese momento tenemos aquí lo que se llama el ángulo crítico y lo vamos a llamar como Ic. Es decir, para este ángulo de incidencia entonces tenemos rayo incidente y el rayo refractado viaja por toda la frontera entre el medio 1 y el medio 2. Es decir, el rayo no emerge al medio 2. Si continuamos aumentando el ángulo de incidencia, es decir, valores mayores que Ic, tenemos entonces ya el fenómeno de reflexión interna, es decir, el ángulo de incidencia congruente o igual al ángulo de reflexión. Este fenómeno es lo que se conoce con el nombre de reflexión total interna, es decir, lo que apreciamos acá, cuando el rayo queda prácticamente atrapado en el primer medio, si no emerge al segundo medio. Este fenómeno de reflexión total interna es el que se aprovecha en los diamantes para que un rayo de luz que entra al diamante prácticamente se quede atrapado en su interior y produzca el brillo tan espectacular que tienen los diamantes. También tiene una gran aplicación en lo que es la fibra óptica, porque lo que se hace es que la onda electromagnética queda atrapada dentro de la fibra óptica que como sabemos tiene aplicaciones en medicina y en telecomunicaciones. A partir de la ley de Snell vamos a deducir una expresión para calcular el ángulo crítico. Entonces decimos N1 por seno del ángulo de incidencia, ángulo crítico, estamos en esta situación, es igual a N2, el índice de refracción del rayo 2, por el seno del ángulo de refracción. Pero en este caso el ángulo de refracción es de 90 grados, si forma un ángulo recto, seno de 90 grados, el seno de 90 grados equivale a 1, por lo tanto N2 por 1 nos da N2, podemos retirar esto entonces y de allí despejamos la expresión para el seno del ángulo crítico, que será entonces igual a N2 dividido entre N1, este N1 que estamos multiplicando lo pasamos a dividir y con esto, con esa expresión entonces determinaríamos el valor del ángulo crítico, es decir, el ángulo límite para el cual si lo aumentamos un poco más tenemos el fenómeno de reflexión total interna. Música

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https://www.youtube.com/watch?v=UprYWAdIJYQ

58. Mensaje del PROFESOR SERGIO LLANOS a Julioprofe

Agradecimiento al ingeniero Sergio Llanos (canal en YouTube: Profesor Sergio Llanos https://www.youtube.com/user/canalfisicaparatodos) por su mensaje desde Cali (Colombia). Graba un corto video y envíamelo al correo julioprofecolombia@gmail.com para publicarlo en este canal. Incluye tu nombre, ciudad, país e institución educativa a la que perteneces y cuéntame cuál ha sido tu experiencia con el material educativo que he producido. De antemano, ¡Muchas Gracias! #julioprofe

Hola Julio, soy el profesor Sergio Llanos. También como usted tengo un canal educativo con diferentes cursos de física y matemáticas. Quiero felicitarlo por el excelente canal que usted dirige. Su contribución a la educación de jóvenes, profesores y profesionales es muy buena y demuestra con sus clases que aprender matemáticas es muy fácil. Lo invito a que siga con su gran trabajo y le deseo éxitos en su labor. Saludos desde Colombia. Graba un corto video y envíamelo al correo Julio Profe Colombia arroba gmail.com para publicarlo en este canal. Incluya tu nombre, ciudad, país e institución educativa a la que perteneces y cuéntame cuál ha sido tu experiencia con el material educativo que he producido. De antemano muchas gracias Julio Profe.

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https://www.youtube.com/watch?v=IHCwUuZaKfY

158. Problema 3 de REFRACCIÓN DE LA LUZ

Curso de Física para el grado 4° de Educación Secundaria Obligatoria (ESO) en España. Clase No. 158: Problema 3 de Refracción de la Luz. Tema: Energía y Ondas. Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook: https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter: https://twitter.com/julioprofenet Instagram: https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL http://www.julioprofe.net APP JULIOPROFE Para Android: https://goo.gl/XsJRwN Para iOS: https://goo.gl/3y2VtR

Aquí tenemos un dibujo que nos ilustra la situación. Tenemos una piscina, esta línea azul en la superficie del agua, y aquí tenemos el foco que está orientado de tal forma que la luz que envía forma un ángulo de 40 grados con la superficie del agua. Ese rayo de luz sale al aire con un rayo desviado en relación con el original que se llama rayo refractado. Ese se llama rayo incidente y rayo refractado como nos dice el fenómeno de refracción de la luz. El problema nos pide encontrar este ángulo, el ángulo de refracción. Y para ello necesitamos también conocer el ángulo de incidencia, el ángulo que forma el rayo incidente con la normal. Allí hemos dibujado la normal en el punto donde el rayo incidente hace contacto con la línea, es decir, con la frontera entre el agua y el aire. Entonces allí se construye la normal que forma un ángulo de 90 grados con la superficie. El ángulo de incidencia que se llama I, se calcula restandole a 90 grados este ángulo de 40 grados. Entonces tenemos un ángulo de incidencia de 50 grados. Bien, el problema nos dice que el índice de refracción del agua, para nosotros aquí el agua será el primer medio, es igual a 1.3. Y sabemos que el índice de refracción del aire, que será el segundo medio, equivale a 1. Entonces tenemos todo para aplicar la ley de Snell, que es la que aplicamos en refracción de la luz. La ley de Snell dice que N1 por el seno del ángulo de incidencia es igual a N2 por el seno del ángulo de refracción. Entonces vamos a reemplazar los valores. N1 vale 1.3. El seno del ángulo de incidencia es seno de 50 grados. Esto es igual a N2, que es el índice de refracción del aire, 1 por el seno del ángulo de refracción. Haciendo esta operación en la calculadora, eso nos da 0.99586. Lo hemos aproximado a 5 decimales para ganar un poco de precisión en el resultado final. Y esto es igual a seno del ángulo de refracción. Vamos a despejar R', que es el ángulo de refracción. Recordemos que allí se debe utilizar la función inversa del seno. Entonces sería seno a la menos 1 de este valor, 0.99586. Y haciendo esa operación en la calculadora nos da 84.8 grados. Este es entonces el valor del ángulo de refracción de este rayo luminoso. Es el ángulo que forma el rayo que sale de la piscina con la vertical. ¡Suscríbete al canal!

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https://www.youtube.com/watch?v=jTGM9cE0V5o

157. Problema 2 de REFRACCIÓN DE LA LUZ

Curso de Física para el grado 4° de Educación Secundaria Obligatoria (ESO) en España. Clase No. 157: Problema 2 de Refracción de la Luz. Tema: Energía y Ondas. Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook: https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter: https://twitter.com/julioprofenet Instagram: https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL http://www.julioprofe.net APP JULIOPROFE Para Android: https://goo.gl/XsJRwN Para iOS: https://goo.gl/3y2VtR

En este problema nos dan el índice de refracción del aire que es igual a 1 y nos dan el índice de refracción del agua que es igual a 1.3. Con esta información podemos calcular la velocidad de la luz en el aire y la velocidad de la luz en el agua. Veamos, recordemos que el índice de refracción n se define como la relación entre c sobre b, es decir, la velocidad de la luz en el vacío sobre la velocidad de la luz en un medio específico. Entonces de aquí vamos a despejar la letra b, pasamos b a multiplicar con n, nos queda la velocidad por n, es igual a c, y de aquí despejamos b que sería c dividido entre n, n está multiplicando pasa a dividir. Entonces para el caso del aire tendríamos que la velocidad de la luz en el aire sería la velocidad de la luz en el vacío que es 3 por 10 a la 8 metros sobre segundos dividido entre el índice de refracción del aire que es igual a 1. Esto nos da 3 por 10 a la 8 metros sobre segundos, es decir, la velocidad de la luz en el aire es prácticamente la misma velocidad de la luz en el vacío si no presenta ninguna variación. Y para el caso del agua entonces tendríamos la velocidad de la luz en el vacío que es 3 por 10 a la 8 metros sobre segundos dividido entre el índice de refracción del agua que es 1.3. Recurremos que los índices de refracción no tienen unidades, son cantidades adimensionales. Haciendo esa división eso nos da entonces un valor que podemos aproximar en notación científica a 2.31 por 10 a la 8 metros sobre segundos. Entonces veamos que es lo que sucede con un rayo de luz que del aire pasa al agua. Supongamos que esta es la superficie del agua, entonces un rayo de luz que viene desde el aire incide en el agua. Seguramos que aquí se traza una línea que se conoce como la normal que forma 90 grados con la frontera que divide el aire del agua y el rayo sufre una desviación por el fenómeno de refracción. Entonces aquí el rayo de luz cuando viene por el aire trae una velocidad de 3 por 10 a la 8 metros sobre segundo, es decir, 300 millones de metros sobre segundo, es su velocidad. Y cuando entra al agua, es decir, cuando sufre la desviación, la velocidad de la luz se reduce a 2.31 por 10 a la 8 metros sobre segundo, es decir, 231 millones de metros sobre segundo. Eso quiere decir que la velocidad de la luz presenta una reducción en su velocidad de 69 millones de metros sobre segundo. Esa sería entonces la diferencia entre las dos velocidades. Entonces entre la velocidad de la luz en el aire y la velocidad de la luz en el agua existe una diferencia de 69 millones de metros sobre segundo.

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https://www.youtube.com/watch?v=NbunQfg0SAM

156. Problema 1 de REFRACCIÓN DE LA LUZ

Curso de Física para el grado 4° de Educación Secundaria Obligatoria (ESO) en España. Clase No. 156: Problema 1 de Refracción de la Luz. Tema: Energía y Ondas. Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook: https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter: https://twitter.com/julioprofenet Instagram: https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL http://www.julioprofe.net APP JULIOPROFE Para Android: https://goo.gl/XsJRwN Para iOS: https://goo.gl/3y2VtR

En este problema nos dan el índice de refracción N del vidrio CROWN que es 1.52. Nos preguntan cuál es la velocidad de propagación de la luz en ese tipo de vidrio y sabemos que la velocidad de la luz en el vacío se propaga con una velocidad que se conoce como C y que vale 3 por 10 a la 8 metros sobre segundos. Entonces, sabemos que el índice de refracción N se define como la relación entre la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad de la luz en un medio específico, en este caso en el vidrio CROWN. Entonces, de aquí vamos a despejar la variable B, la velocidad de la luz en el vidrio. Entonces, B la pasamos a multiplicar con N, nos queda B por N igual a C y despejando la velocidad nos queda C dividido entre N. N está multiplicando pasa a dividir debajo de la C. Entonces, reemplazamos los valores. Tenemos que C tiene un valor de 3 por 10 a la 8 metros sobre segundos y N tiene un valor de 1.52. Recordemos que el índice de refracción es un valor adimensional, es decir, que no tiene unidades. Efectuando esa división en calculadora nos da 197.368.421.1 y esto queda en metros sobre segundos. Sí, metros sobre segundos es la unidad que queda porque aquí no tenemos ninguna unidad. Ese valor lo podríamos aproximar a 1.97 por 10 a la 8 metros sobre segundos y de esta manera hemos encontrado la velocidad de propagación de la luz en el vidrio CROWN. Música

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155. FENÓMENOS LUMINOSOS: REFRACCIÓN DE LA LUZ

Curso de Física para el grado 4° de Educación Secundaria Obligatoria (ESO) en España. Clase No. 155: Fenómenos Luminosos: Refracción de la Luz. Tema: Energía y Ondas. Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook: https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter: https://twitter.com/julioprofenet Instagram: https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL http://www.julioprofe.net APP JULIOPROFE Para Android: https://goo.gl/XsJRwN Para iOS: https://goo.gl/3y2VtR

El fenómeno de refracción de la luz se produce cuando un rayo luminoso pasa de un medio transparente 1, vamos a llamar esto el medio 1, a un medio transparente 2. Cuando el rayo se encuentra con la frontera que divide los dos medios transparentes, entonces el rayo sufre una desviación con respecto a su trayectoria original. El rayo originalmente venía así, pero entonces se desvía de esta manera. Miremos entonces los principales elementos que tiene el fenómeno de la refracción de la luz. Tenemos el rayo incidente, el rayo refractado, el que sufre la desviación. En el punto donde el rayo incidente hace contacto con la frontera que divide los dos medios, trazamos una línea perpendicular a la frontera que se llama la normal. Y también distinguimos dos ángulos que son el ángulo de incidencia que vamos a llamar I, es decir el ángulo que forma el rayo incidente con la normal, y este ángulo que es el que forma el rayo refractado con la normal y que se llama R', que es el ángulo de refracción. Adicionalmente, cada medio transparente tiene algo que se llama el índice de refracción, que se representa con la letra N, y que es igual al cosiente entre C, que es la velocidad de la luz en el vacío, recordemos que es 3 por 10 a la 8 metros sobre segundo, y la velocidad de la luz en el medio que nos interesa, por ejemplo para el caso del medio 1, tendremos un índice de refracción N1 que es igual a C sobre V1, y para el caso del medio 2, tendremos un índice de refracción N2 que es igual a C sobre V2. Entonces, cuando la luz viaja por diferentes medios, se presenta un cambio en su velocidad, esa es la razón por la cual se presenta la desviación del rayo, es decir la refracción de la luz. Para el caso de sustancias como el aire, tenemos un índice de refracción de 1, porque la velocidad de la luz en el aire es prácticamente igual a la velocidad de la luz en el vacío, entonces como estos valores son casi iguales, el cosiente entre ellos se aproxima a 1. Para el caso del agua, tenemos un índice de refracción de 1.33, esto es para el aire, este es para el agua, y para sustancias sólidas como por ejemplo el diamante, tenemos un índice de refracción de 2.42, este sería entonces para el diamante. Esto entonces nos dice que a medida que aumenta la densidad de la sustancia, la luz viaja con menor velocidad. Debemos anotar que la velocidad de la luz en el medio de interés, V1 o V2 por ejemplo, debe ir en metros sobre segundo, de esa manera C, que está en metros sobre segundos, y la velocidad de la luz en el medio de interés, que también está en metros sobre segundos, nos produce un índice de refracción que es adimensional, porque metros sobre segundo del numerador se cancela con metros sobre segundo del denominador, y nos queda un numerito sin unidades, es decir, una cantidad adimensional. Para relacionar estos datos que tenemos aquí, es decir, N1, el ángulo de incidencia, el ángulo de refracción y N2, existe una relación matemática que se conoce como la ley de Snell, y esta ley dice lo siguiente, N1 por el seno del ángulo de incidencia es igual a N2 por el seno del ángulo de refracción, esa es entonces la formulita que nos permite relacionar en un fenómeno de refracción de la luz, los valores de los índices de refracción de los dos medios transparentes, el ángulo de incidencia y el ángulo de refracción. Para finalizar, anotamos que el fenómeno de refracción de la luz tiene su principal aplicación en las lentes. ¡Suscríbete al canal!

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154. FENÓMENOS LUMINOSOS: REFLEXIÓN DE LA LUZ

Curso de Física para el grado 4° de Educación Secundaria Obligatoria (ESO) en España. Clase No. 154: Fenómenos Luminosos: Reflexión de la Luz. Tema: Energía y Ondas. Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook: https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter: https://twitter.com/julioprofenet Instagram: https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL http://www.julioprofe.net APP JULIOPROFE Para Android: https://goo.gl/XsJRwN Para iOS: https://goo.gl/3y2VtR

La reflexión de la luz es un fenómeno luminoso que se presenta cuando un rayo de luz que incide sobre una superficie que no puede penetrar presenta un rebote. Vamos a ver las dos clases de reflexión que se presentan para la luz. Existe reflexión difusa y reflexión especular. En la reflexión difusa los rayos de luz que pegan en la superficie que por cierto es rugosa y regular entonces presentan rebote en direcciones aleatorias, es decir, al azar. En cambio, en la reflexión especular los rayos de luz que vienen paralelos entre sí al pegar en esa superficie que es perfectamente lisa y pulida entonces presentan un rebote ordenado en forma paralela unos con otros. Entonces son los dos tipos de reflexiones que podemos encontrar. En el fenómeno de reflexión de la luz distinguimos los siguientes elementos. Apreciamos un rayo que se llama rayo incidente, un rayo de luz que pega en la superficie, en ese punto se traza una línea perpendicular a la superficie que se llama normal y de allí se produce el rebote. Ese rayo que rebota se llama rayo reflejado y la característica fundamental del fenómeno de reflexión de la luz es que el ángulo que se llama ángulo de incidencia y el que forma el rayo incidente con la normal es igual al ángulo de reflexión que vamos a llamar R. Estos dos ángulos son congruentes, tienen el mismo valor. Entonces el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión. Esta es la característica fundamental del fenómeno de reflexión de la luz. Otra característica muy importante es que tanto el rayo incidente como el rayo reflejado como la normal deben estar contenidas en el mismo plano. En este caso las tres líneas hacen parte del plano del tablero. Para terminar tenemos que decir que el fenómeno de reflexión de la luz tiene su principal aplicación en los espejos.

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153. Problema 4 de LA LUZ Y SU PROPAGACIÓN

Curso de Física para el grado 4° de Educación Secundaria Obligatoria (ESO) en España. Clase No. 153: Problema 4 de la luz y su propagación. Tema: Energía y Ondas. Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook: https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter: https://twitter.com/julioprofenet Instagram: https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL http://www.julioprofe.net APP JULIOPROFE Para Android: https://goo.gl/XsJRwN Para iOS: https://goo.gl/3y2VtR

En este problema nos dicen que el rango de longitudes de onda de la luz que apreciamos con los ojos está comprendido entre un valor mínimo de 380 nanómetros que se simboliza con Nm y un valor máximo de 760 nanómetros. El rango de longitudes de onda oscila entre 380 y 760 nanómetros y nos piden encontrar a qué frecuencias corresponden esas longitudes de onda para encontrar el rango de frecuencias de la luz visible. Entonces vamos a comenzar por convertir estas longitudes de onda que se encuentran en nanómetros a metros. El prefijo nano corresponde a 10 a la menos 9 por lo tanto esto nos queda 380 por 10 a la menos 9 metros y este nos queda 760 por 10 a la menos 9 metros. Como la luz viaja con la velocidad que es C que es 3 por 10 a la 8 metros sobre segundo y la velocidad de una onda es igual a lambda por la frecuencia entonces de aquí podemos despejar la frecuencia. Pasamos longitudes de onda a dividir debajo de la C nos queda C sobre lambda y podemos reemplazar entonces los valores correspondientes a estas dos longitudes de onda. Entonces veamos para esta si tomamos la velocidad de la luz que es 3 por 10 a la 8 metros sobre segundos y lo dividimos entre los longitudes de onda la menor que es 380 por 10 a la menos 9 metros entonces obtenemos una frecuencia de 7.9 por 10 a la 14 hertz. Recordemos que hertz es la unidad de frecuencia. Entonces para esta longitud de onda tenemos una frecuencia igual a 7.9 por 10 a la 14 hertz. Bien y para el caso de la otra longitud de onda entonces simplemente cambiamos este número de acá para encontrar la nueva frecuencia. Entonces aquí tenemos 760 haciendo esta operación en la calculadora eso nos da 3.9 por 10 a la 14 hertz. Entonces para esta longitud de onda la frecuencia es de 3.9 por 10 a la 14 hertz. Entonces tenemos las dos frecuencias asociadas a las longitudes de onda que nos dieron. Vemos entonces que este es el valor más pequeño o sea que si se convierte en el valor mínimo y este es el más grande entonces esta será la frecuencia máxima. Entonces la respuesta la vamos a realizar de la siguiente manera. El rango de frecuencias de la luz visible va entre 3.9 por 10 a la 14 hertz hasta 7.9 por 10 a la 14 hertz. Recordemos que en el espectro electromagnético esta es la zona de la luz visible. Por debajo de esto, de este valor tenemos las ondas que se llaman infrarrojas o sea que esta frecuencia es la que corresponde al color rojo y por encima de este valor de esta frecuencia tenemos las ondas que se llaman ultravioleta y las que le siguen radio cx, radio gamma. Esta entonces es la frecuencia que corresponde al color violeta. Entonces son estas las frecuencias, el rango de frecuencias que corresponden a la luz que podemos apreciar con los ojos.

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152. Problema 3 de LA LUZ Y SU PROPAGACIÓN

Curso de Física para el grado 4° de Educación Secundaria Obligatoria (ESO) en España. Clase No. 152: Problema 3 de la luz y su propagación. Tema: Energía y Ondas. Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook: https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter: https://twitter.com/julioprofenet Instagram: https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL http://www.julioprofe.net APP JULIOPROFE Para Android: https://goo.gl/XsJRwN Para iOS: https://goo.gl/3y2VtR

En este problema nos dan la longitud de onda, es decir, lambda, del infrarrojo medio, que es igual a 10 micrómetros. El prefijo micro se simboliza con la letra griega nu o mu y nos preguntan por la frecuencia de esta onda. Esa onda es de tipo electromagnético y todas las ondas electromagnéticas viajan a una velocidad de 3 por 10 a la 8 metros sobre segundos, que es la misma velocidad de propagación de la luz en el vacío. Entonces, para comenzar vamos a cambiar el prefijo micro por su equivalente que es 10 a la menos 6, entonces nos queda 10 por 10 a la menos 6 metros, esto equivale a 10 a la menos 5 metros. Recordemos que aquí sumamos los exponentes, aquí tenemos exponente 1, por tener la misma base y estar multiplicando las dos potencias, entonces sumamos los exponentes y nos da exponente menos 5, 10 a la menos 5 metros. Recordemos que las ondas cumplen la siguiente relación, velocidad de propagación de una onda es igual a longitud de onda lambda por la frecuencia. Si nosotros necesitamos la frecuencia, entonces la podemos despejar de aquí, nos quedaría velocidad sobre longitud de onda. Reemplazamos los valores, la velocidad de propagación de esta onda electromagnética, que es el infrarrojo medio, nos quedaría en 3 por 10 a la 8 metros sobre segundos y la longitud de onda es 10 a la menos 5 metros. Lo podemos hacer manualmente para obtener la frecuencia, nos queda 3 por 10 a la, restamos los exponentes, a 8 le restamos menos 5 y eso nos da 13 y esto nos queda en la unidad correspondiente a la frecuencia que son los hertz. Entonces esta es la frecuencia de esta onda electromagnética conocida como el infrarrojo medio.

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151. Problema 2 de LA LUZ Y SU PROPAGACIÓN

Curso de Física para el grado 4° de Educación Secundaria Obligatoria (ESO) en España. Clase No. 151: Problema 2 de La luz y su propagación. Tema: Energía y Ondas. Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook: https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter: https://twitter.com/julioprofenet Instagram: https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL http://www.julioprofe.net APP JULIOPROFE Para Android: https://goo.gl/XsJRwN Para iOS: https://goo.gl/3y2VtR

En este problema nos dan la distancia que hay entre la luna y la tierra, 384.400 km. Sabemos que la luz viaja en el vacío a una velocidad que se llama C y que equivale a 3 por 10 a la 8 metros sobre segundos. Y nos preguntan por el tiempo que tarda la luz de la luna en llegar hasta la tierra. La luz que proyecta el sol en la luna y que nosotros vemos desde la tierra. Entonces vamos a comenzar por convertir esta distancia en metros. 384.400 km para pasarlo a metros lo multiplicamos por 1000. Entonces simplemente a este número le agregamos 3 ceros y nos queda convertido en metros. Es decir 384.400.000 metros es la distancia que separa la tierra de la luna. Para llegar al tiempo vamos a hacer lo siguiente, como la luz viaja con velocidad constante, velocidad es igual a distancia sobre tiempo, entonces de aquí podemos despejar el tiempo. Tiempo es igual a distancia dividido entre velocidad si hacemos como un intercambio entre estas dos letras. Pero la velocidad de la luz ya tiene un valor establecido que es C, entonces lo cambiamos aquí y vamos a reemplazar los valores. La distancia es 384.400.000 metros y C que es la velocidad de la luz en el vacío es 3 por 10 a la 8 metros sobre segundos. Haciendo esa división en calculadora nos da aproximadamente igual a 1.3 y la unidad que nos queda es segundos. Metros se nos cancela con metros, subes segundos y este es entonces el tiempo que tarda la luz de la luna, es decir, la luz que el sol proyecta en la luna y ese reflejo tarda 1.3 segundos en llegar hasta la tierra. ¡Suscríbete al canal!

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150. Problema 1 de LA LUZ Y SU PROPAGACIÓN

Curso de Física para el grado 4° de Educación Secundaria Obligatoria (ESO) en España. Clase No. 150: Problema 1 de La luz y su propagación. Tema: Energía y Ondas. Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook: https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter: https://twitter.com/julioprofenet Instagram: https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL http://www.julioprofe.net APP JULIOPROFE Para Android: https://goo.gl/XsJRwN Para iOS: https://goo.gl/3y2VtR

En este problema tenemos los siguientes datos. Distancia entre el Sol y la Tierra, cuando la Tierra está en el periélio, es igual a 0.983 unidades astronómicas. Tenemos el valor de una unidad astronómica que es igual a 1.496 por 10 a la 11 metros. Tenemos también el dato de la velocidad de la luz en el vacío, C, que es igual a 3 por 10 a la 8 metros sobre segundos. Y nos preguntan el tiempo que tarda la luz solar en llegar a la Tierra. Recordemos que aquí tenemos el Sol y la Tierra gira a su alrededor en órbita líptica, por lo tanto el periélio es aquí. El momento en el que la Tierra está más cerca del Sol. La distancia que nos dan es esta, es esta distancia, y nos preguntan por el tiempo que tarda la onda de luz en viajar desde el Sol hasta la Tierra. Entonces vamos a comenzar convirtiendo la distancia que se encuentra en unidades astronómicas, vamos a llevarla a metros. Entonces hacemos la conversión, multiplicamos por el factor de conversión para pasar de esta unidad a metros. Entonces escribimos aquí abajo unidades astronómicas, arriba metros, y escribimos la equivalencia numérica. Una unidad astronómica es igual a 1.496 por 10 a la 11 metros. Aquí podemos simplificar unidades astronómicas, se nos va, y entonces nos queda ya la distancia en metros. Eso nos da 1.47 por 10 a la 11 metros. La distancia del Sol a la Tierra en el periélio. Entonces como la luz viaja con velocidad constante, es válido aplicar la relación velocidad igual a distancia sobre tiempo. La del movimiento rectilíneo uniforme. Pero la velocidad de la luz tiene un valor ya establecido que es C, cuando la luz viaja por el vacío. Y aquí entonces vamos a despejar el tiempo. Para despejar el tiempo, tiempo pasa a multiplicar con la velocidad de la luz, la velocidad de la luz vendría a dividir, por lo tanto nos queda T sobre C. Y allí vamos a reemplazar los datos que tenemos. La distancia que es 1.47 por 10 a la 11 metros. Y esto dividido entre C, que es la velocidad de la luz en el vacío, que es 3 por 10 a la 8 metros sobre segundos. Haciendo la operación, en la calculadora eso nos da un total de 490 segundos. Que es la unidad que nos queda aquí. Metros con metros se va, subimos los segundos y tenemos el tiempo en segundos. Este tiempo, 490 segundos, podríamos descomponerlo en 480 segundos más 10 segundos. Y 480 segundos corresponde a 8 minutos. Entonces serían 8 minutos y 10 segundos. Entonces este es el tiempo que tarda la luz solar en llegar a la Tierra. ¡Suscríbete al canal!

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https://www.youtube.com/watch?v=FP7Lr6dFqVk

57. Mensaje de CLEBER CABELLO RAFAEL a Julioprofe

Agradecimiento a Cleber Cabello Rafael por su mensaje desde Lima (Perú). Graba un corto video y envíamelo al correo julioprofecolombia@gmail.com para publicarlo en este canal. Incluye tu nombre, ciudad, país e institución educativa a la que perteneces y cuéntame cuál ha sido tu experiencia con el material educativo que he producido. De antemano, ¡Muchas Gracias! Julioprofe.

Hola Profesor, mi nombre es Clever Cabello Rafael, soy de Lima, Perú, pertenezco a una institución llamada Avansys, el objetivo de este video es para poder agradecerle y además enviarle mis saludos desde aquí de Perú, agradecerte por todo este video que usted sube a su canal pues me ha servido mucho, no entendía a los profesores en la clase y yo llegando a mi casa acudía a su canal y a ver razón, sus videos son fáciles de entender, explica muy bien y yo creo que cualquier persona te puede entender de manera sencilla, de manera fácil, simplemente es agradecerte Profesor y darle las gracias por todo eso, voy a seguir viendo tus videos, todos los videos que subes porque no me lo pierdo, aprendí muchos de tus videos, voy a seguir aprendiendo de todos los videos que usted sube Profesor, gracias, un saludo, un abrazo a la distancia, de aquí de Lima, Perú, que Dios le cuida, chao. Graba un corto video y enviamelo al correo culioprofecolombia.gmail.com para publicarlo en este canal, incluya tu nombre, ciudad, país e institución educativa a la que perteneces y cuéntame cual ha sido tu experiencia con el material educativo que he producido, de antemano muchas gracias, culioprofe.

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149. LA LUZ Y SU PROPAGACIÓN

Curso de Física para el grado 4° de Educación Secundaria Obligatoria (ESO) en España. Clase No. 149: La luz y su propagación. Tema: Energía y Ondas. Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook: https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter: https://twitter.com/julioprofenet Instagram: https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL http://www.julioprofe.net APP JULIOPROFE Para Android: https://goo.gl/XsJRwN Para iOS: https://goo.gl/3y2VtR

Vamos a ver la luz y su propagación. La luz es una onda de naturaleza electromagnética y transversal. ¿Por qué es una onda electromagnética? Porque no requiere de un medio elástico para propagarse. Las ondas luminosas pueden viajar perfectamente por el vacío. Como por ejemplo cuando la luz del sol llega a la Tierra. El viaje de las ondas luminosas es a lo largo del espacio donde no tenemos moléculas, no hay materia. Si, viaja perfectamente por el vacío. ¿Y por qué es una onda transversal? Porque cuando la luz llega a la Tierra que atraviesa aire, o puede atravesar el agua, o puede atravesar sustancias sólidas como por ejemplo un cristal, entonces las partículas del medio vibran en una dirección perpendicular a la dirección en que viaja la onda luminosa. La luz es una onda que se propaga en línea recta. Por tratarse de una onda cumple la relación velocidad es igual a lambda, que es la longitud de onda por la frecuencia de la onda. Para el caso del vacío, cuando la luz viaja por el vacío, esta velocidad tiene un valor que se denota con la letra C. Y la velocidad de la luz en el vacío equivale a 300.000 km por segundo. Esto equivale a 300 millones de metros por segundo. Aquí hemos convertido los 300.000 km en metros. Simplemente multiplicamos por mil, es decir, agregamos tres ceros. Este valor usualmente se expresa en notación científica como 3 por 10 a la 8 metros sobre segundos. Este es el valor de la velocidad de la luz en el vacío. En el siglo XVII Isaac Newton logró descomponer la luz blanca en los colores que conforman el arcoíris, que son los siguientes, rojo, naranja, amarillo, verde, azul y violeta. Cada color tiene una frecuencia específica y una longitud de onda específica. Pero para todos se cumple que lambda por frecuencia, longitud de onda por la frecuencia correspondiente, es igual a la velocidad de la luz en el vacío, que es C, 3 por 10 a la 8 metros sobre segundo. El color rojo es el que tiene la frecuencia más baja. Tiene una frecuencia de 4 por 10 a la 14 hertz. Y las frecuencias van aumentando en este orden hasta llegar al color violeta, que tiene una frecuencia de 7.5 por 10 a la 14 hertz. Cuando la luz blanca incide sobre cuerpos opacos, parte de esa luz es reflejada y otra parte es absorbida. Por ejemplo, si tenemos una manzana de color rojo, entonces vemos la manzana de ese color porque ella refleja el color rojo, mientras que los demás colores son absorbidos. Para terminar, debemos anotar que la luz no es la única onda electromagnética que existe. La luz visible apenas ocupa una franja de lo que se llama el espectro electromagnético, es decir, una recopilación de todas las ondas electromagnéticas que existen. Entonces, decíamos que la luz visible se ubica aquí. La luz que percibe nuestros ojos, que se descompone en los colores del arco iris, comienza en el color rojo con una frecuencia de 4 por 10 a la 14 hertz y termina en el color violeta con una frecuencia de 7.5 por 10 a la 14 hertz, como pudimos ver anteriormente. Entonces, este rango de frecuencias son las que perciben nuestros ojos. Por debajo de la luz visible, es decir, con frecuencias inferiores, encontramos el infra rojo, se llama así porque está por debajo del color rojo, luego le siguen las microondas donde se encuentran lo que es la televisión por satélite, las ondas de los teléfonos celulares, por acá tenemos las ondas de radio, por ejemplo el radio AM, el radio FM, ondas de radio. Por estos lados se manejan frecuencias del orden de 10 a la 6 hertz, más o menos. Por estos lados, frecuencias mucho más bajas que las de la luz visible, que están por el orden de 10 a la 14 hertz. Y por encima del color violeta encontramos lo que es el ultravioleta, lo que conocemos como UV, por encima del color violeta, luego encontramos los rayos X y por último los rayos gamma. Por acá se manejan frecuencias altísimas del orden de 10 a la 20 hertz. Entonces toda esta gama, digámoslo así, de frecuencias y de tipos de ondas electromagnéticas constituyen lo que se llama el espectro electromagnético. Recordemos que estas ondas se llaman electromagnéticas, además de no necesitar un medio elástico para propagarse, porque transportan energía de tipo eléctrica y de tipo magnética. ¡Suscríbete al canal!

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https://www.youtube.com/watch?v=VfUDP4CK5xE

148. Problema 1 de CUALIDADES DEL SONIDO

Curso de Física para el grado 4° de Educación Secundaria Obligatoria (ESO) en España. Clase No. 148: Problema 1 de Cualidades del sonido. Tema: Energía y Ondas. Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook: https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter: https://twitter.com/julioprofenet Instagram: https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL http://www.julioprofe.net APP JULIOPROFE Para Android: https://goo.gl/XsJRwN Para iOS: https://goo.gl/3y2VtR

Un sonido puede ser grave o agudo y a su vez puede ser fuerte o puede ser débil. Veamos el ejemplo de un sonido grave y a la vez fuerte. Escuchemos. Allí he tocado la nota musical do en un teclado en la primera tecla de la izquierda, es decir, en la primera octava. Entonces es un ejemplo de un sonido grave y fuerte. Ahora voy a tocar la misma nota musical pero con un poco menos de volumen. Sí, entonces tenemos, primero fue un sonido fuerte, después fue un sonido débil. Aquí teníamos alto el volumen del teclado y aquí lo bajamos un poco. En ambos casos tuvimos un sonido grave. Ahora veamos un sonido agudo, primero fuerte y después débil. Sonido agudo fuerte es como este. Ahora sonido agudo y débil es como este. Nuevamente vemos que fuerte es con alto volumen, débil es con bajo volumen. Entonces, el hecho de que un sonido sea grave o sea agudo está determinado por el tono y el tono de un sonido está estrechamente relacionado con la frecuencia del mismo. Entonces, un sonido grave tiene baja frecuencia y un sonido agudo tiene alta frecuencia. El hecho de que un sonido sea fuerte o sea débil está determinado por la intensidad del sonido. Y la intensidad está estrechamente relacionada con la amplitud de la onda sonora. Entonces vemos que el tono y la intensidad son cualidades que nos definen diferentes tipos de sonido.

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147. CUALIDADES DEL SONIDO

Curso de Física para el grado 4° de Educación Secundaria Obligatoria (ESO) en España. Clase No. 147: Cualidades del sonido. Tema: Energía y Ondas. Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook: https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter: https://twitter.com/julioprofenet Instagram: https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL http://www.julioprofe.net APP JULIOPROFE Para Android: https://goo.gl/XsJRwN Para iOS: https://goo.gl/3y2VtR

Las cualidades que caracterizan a un sonido son tres. La intensidad, el tono y el timbre. Entonces vamos a ver cada una de ellas. En una explicación anterior dijimos que la intensidad se define como la relación entre la potencia de la fuente que emite la onda sonora y el área de la esfera que forma la onda en su propagación. Recordemos que el sonido se propaga en forma de esferas concéntricas y que esta área es igual a 4 pi R cuadrado. Así en el área de una esfera. Entonces la intensidad hace referencia a la cantidad de energía por unidad de tiempo, es decir la potencia que transporta la onda sonora por unidad de área. La intensidad es la que nos dice si un sonido es fuerte o si es débil. Es decir si tiene una gran intensidad o poca intensidad. Recordemos que aquí hacíamos mención a lo que era el umbral auditivo y sub cero que era 10 a la menos 12 vatios sobre metro cuadrado. Si un sonido bastante débil que es el sonido más leve que percibe el oído humano normal y también hablábamos del nivel de intensidad correspondiente al umbral de dolor que era un vatio sobre metro cuadrado. Entonces esa es una de las tres cualidades del sonido la intensidad. El tono es la cualidad del sonido que distingue un sonido alto de un sonido bajo. Es decir un sonido agudo de un sonido grave. Un sonido agudo tiene más o menos esta forma si la onda sonora. Es decir es un sonido de frecuencia alta mientras que un sonido grave puede producir una forma como esta. Es decir un sonido de baja frecuencia. Eso es entonces el tono. Finalmente el timbre es la cualidad por la cual dos sonidos de la misma intensidad y tono producen sensaciones distintas. Por ejemplo si en un piano y en una guitarra se toca la misma nota musical podemos distinguir cual sonido corresponde al piano y cual corresponde a la guitarra. Si son sonidos diferentes por el timbre que caracteriza a cada uno de los instrumentos.

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56. Mensaje de EDUARDO APONTE a Julioprofe

Agradecimiento al economista Eduardo Aponte (canal en YouTube: Eduardo Aponte https://www.youtube.com/user/sonlasnueveyseis) por su mensaje desde Bogotá (Colombia). Graba un corto video y envíamelo al correo julioprofecolombia@gmail.com para publicarlo en este canal. Incluye tu nombre, ciudad, país e institución educativa a la que perteneces y cuéntame cuál ha sido tu experiencia con el material educativo que he producido. De antemano, ¡Muchas Gracias! Julioprofe.

Hola Hola Hola, mi nombre es Eduardo Ponte, quiero invitarte a que te suscribas al canal de Julio Profe. Personalmente me he inspirado y aprendido mucho sobre su forma de enseñar. Hace un par de meses empecé con un proyecto que me apasiona mucho y es la enseñanza de las finanzas, en donde explico de forma similar al profe Julio pero dando mi toque personal. El primer curso es de matemáticas financieras, así que si te gustan las finanzas y quieres aprender de ellas te invito a mi página web www.finanzas96.com o a que te suscribas en mi canal en YouTube, me encuentras como Eduardo Ponte, que tengas un excelente día. Graba un corto video y enviamelo al correo Julio Profe Colombia arroba gmail.com para publicarlo en este canal. Incluya tu nombre, ciudad, país e institución educativa a la que perteneces y cuéntame cual ha sido tu experiencia con el material educativo que he producido. De antemano muchas gracias Julio Profe.

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146. FENÓMENOS SONOROS

Curso de Física para el grado 4° de Educación Secundaria Obligatoria (ESO) en España. Clase No. 146: Fenómenos sonoros. Tema: Energía y Ondas. Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook: https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter: https://twitter.com/julioprofenet Instagram: https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL http://www.julioprofe.net APP JULIOPROFE Para Android: https://goo.gl/XsJRwN Para iOS: https://goo.gl/3y2VtR

Vamos a ver los fenómenos sonoros, específicamente lo que es la reflexión y la refracción de las ondas de sonido. La reflexión del sonido es el fenómeno por el cual una onda sonora que se acerca, por ejemplo, a una superficie lisa y sólida, entonces rebota al hacer contacto con ella. Entonces, por ejemplo, tenemos este movimiento, una onda sonora que se aproxima, por ejemplo, a una pared y al pegar con la pared entonces presenta como un rebote en esa dirección. El fenómeno de reflexión es lo que comúnmente conocemos como eco. Si, por ejemplo, entramos a una casa que se encuentra totalmente deshabitada, sin muebles, sin cortinas y hablamos o producimos un ruido, vamos a encontrar que pasado un tiempo después de que se produce el ruido lo volvemos a escuchar. Eso es porque se presenta el eco. Ahora, si ese ruido se produce repetitivamente, entonces tendremos un fenómeno que se llama reverberación, que es cuando hay una serie de reflexiones repetidas, entonces se llama reverberación. Este fenómeno de la reverberación es lo que se busca tratar de contrarrestar en el diseño de, por ejemplo, un auditorio o una sala de música o un cuarto de ensayo. Precisamente para evitar esto, la reverberación y los ecos molestos, entonces las paredes se recubren de alguna superficie absorbente, algún material que absorba el sonido, como por ejemplo, el copor, o en el caso de los auditorios se utilizan cortinas, precisamente para evitar ese molesto ruido que se produce por las reflexiones continuas del sonido. Entonces allí es cuando la acústica se encarga del estudio de estas propiedades del sonido para un diseño adecuado de, por ejemplo, auditorios o salas de música. La retracción del sonido es el fenómeno por el cual las ondas sonoras sufren una desviación como consecuencia de un cambio en su velocidad de propagación. Por ejemplo, cuando el sonido viaja por el aire puede presentar desviaciones como consecuencia de los cambios de temperatura. Recordemos que en el aire la velocidad del sonido depende de la temperatura del aire, la temperatura ambiente. Entonces tenemos esta relación, 331 más 0.6 por T, donde T es la temperatura ambiente en grados Celsius o grados Centígrados y la velocidad del sonido está en metros sobre segundos. A medida que la temperatura aumenta, entonces la velocidad del sonido también aumenta. Entonces, si el sonido pasa de una zona de baja temperatura a una zona de alta temperatura, entonces lo más seguro es que presente una desviación en su dirección de propagación. Ese es entonces el fenómeno de refracción. Otra situación donde se presenta refracción del sonido es, por ejemplo, cuando un barco desea cartografiar el fondo marino. Para ello, el barco envía unas ondas ultrasonicas, es decir, ondas de alta frecuencia, pero como es posible que la temperatura del agua por acá en el fondo sea menor que la que tenemos en la superficie, entonces esas ondas se pueden desviar y aquí producirían reflexión. Por lo tanto, no sería conveniente para el barco el fenómeno de refracción porque produciría digamos una lectura equivocada del fondo marino, debido a que la onda sufre una desviación como consecuencia de los cambios de velocidad. Una de las aplicaciones más importantes de la reflexión y de la refracción del sonido está en la medicina, en el uso de procedimientos como la ecografía y el Doppler. En ambos procedimientos se envían ondas ultrasonicas, es decir, ondas de alta frecuencia, hacia el interior del cuerpo y ello permite ver el contorno de los órganos en el caso de la ecografía y también permite, por ejemplo, escuchar los latidos del corazón de un feto de aproximadamente 11 o 12 semanas de gestación en el vientre materno.

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https://www.youtube.com/watch?v=GLj-dLITzOw

145. NIVEL DE INTENSIDAD DEL SONIDO

Curso de Física para el grado 4° de Educación Secundaria Obligatoria (ESO) en España. Clase No. 145: Nivel de intensidad del sonido. Tema: Energía y Ondas. Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook: https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter: https://twitter.com/julioprofenet Instagram: https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL http://www.julioprofe.net APP JULIOPROFE Para Android: https://goo.gl/XsJRwN Para iOS: https://goo.gl/3y2VtR

Otra característica bien importante del sonido es lo que se conoce como nivel de intensidad. El nivel de intensidad de un sonido se denota con la letra griega beta y está dado por la siguiente expresión beta es igual a 10 por el logaritmo en base 10 de I sobre I sub cero. Veamos que significa cada una de estas variables en que en realidad se expresa. Tenemos I es la intensidad del sonido que se expresa en vatios sobre metro cuadrado. I sub cero es lo que se conoce como el umbral auditivo, es decir la intensidad más baja que puede registrar o percibir el oído humano normal que tiene un valor de 10 a la menos 12 vatios sobre metro cuadrado y beta es el nivel de intensidad que se mide en decibeles. Su abreviatura es Db de minúscula con D mayúscula. Esta D mayúscula corresponde a la unidad Bell que es la unidad del nivel de intensidad pero corrientemente la que más se utiliza es el decibel. Esta unidad fue establecida en honor al señor Alexander Graham Bell quien fue el inventor del teléfono. Entonces para el caso del nivel de intensidad beta que de pronto puede confundirse con intensidad del sonido, son conceptos bien diferenciados, vamos a ver a continuación algunos valores que se presentan en la cotidianidad. Aquí podemos apreciar diferentes tipos de sonido, sus intensidades en vatios sobre metro cuadrado y sus niveles de intensidad beta expresados en decibeles. Vemos entonces como el umbral auditivo que es el sonido más leve que puede percibir el oído humano normal tiene una intensidad de 10 a la menos 12 vatios sobre metro cuadrado y eso corresponde a 0 decibeles de nivel de intensidad. Vemos como va aumentando, por ejemplo la conversación tiene una intensidad de 10 a la menos 7, 50 decibeles, una sirena de un carro de policía o de una ambulancia si a unos 20 o 30 metros de distancia produce una intensidad de 10 a la menos 2 vatios por metro cuadrado eso corresponde a 100 decibeles, el umbral de dolor que es correspondiente a una intensidad de 1 vatio por metro cuadrado es decir 120 decibeles si cuando el oído ya está a punto de colapsar y sonidos mucho más fuertes como el caso de estar cerca de un avión, una reacción que tiene una intensidad, ese sonido de 100 vatios por metro cuadrado y un nivel de intensidad de 140 decibeles.

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https://www.youtube.com/watch?v=ZA2MEc2_Mzc

144. INTENSIDAD DEL SONIDO

Curso de Física para el grado 4° de Educación Secundaria Obligatoria (ESO) en España. Clase No. 144: Intensidad del sonido. Tema: Energía y Ondas. Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook: https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter: https://twitter.com/julioprofenet Instagram: https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL http://www.julioprofe.net APP JULIOPROFE Para Android: https://goo.gl/XsJRwN Para iOS: https://goo.gl/3y2VtR

Veamos otra característica importante del sonido que se llama la intensidad. Entonces si tenemos por ejemplo una fuente, por ejemplo como un parlante de un equipo de sonido que está sonando, sabemos que las ondas sonoras se empiezan a propagar en todas las direcciones en forma de esferas concéntricas. Este parlante emite una potencia, una potencia que vamos a llamar P y cada una de estas esferas que conforman la onda sonora tiene un área, el área de una esfera está determinada por la relación matemática 4 pi por el radio al cuadrado, siendo por ejemplo el radio la distancia que hay desde el punto desde donde se genera el sonido, en este caso la fuente hasta la esfera que queremos considerar. Entonces se define intensidad del sonido como la relación que hay entre la potencia de la fuente que emite el sonido y el área de la onda, es decir el área de la esfera que constituye la onda a una distancia R. Entonces intensidad es igual a P sobre A, potencia sobre área, en esta expresión, en la expresión de la intensidad del sonido la potencia se expresa en watts o vatios, recordemos la unidad de potencia en el sistema internacional. El área que como dijimos es igual a 4 pi por el radio al cuadrado, por tratarse del área de una esfera, se expresa en metros cuadrados, obviamente si el radio entra en metros y la intensidad del sonido se expresa entonces en vatios sobre metro cuadrado, recordemos que el símbolo de vatios o watts es la letra W o W, entonces W sobre metro cuadrado, la unidad de la intensidad. Para el caso del oído humano la intensidad más baja que puede registrar se denota como I sub cero y equivale a 10 a la menos 12 vatios sobre metro cuadrado, esto se llama umbral auditivo, es la intensidad del sonido más baja que puede percibir un oído humano normal y lo que se llama el umbral de dolor que es la intensidad más alta que puede resistir el oído humano es de 1, 1 vatio sobre metro cuadrado, entonces vemos como el rango de intensidades que puede percibir e incluso soportar el oído humano normal va desde 10 a la menos 12 hasta 1, esta es entonces la intensidad del sonido..

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https://www.youtube.com/watch?v=ny6g4rzgYeo

143. Problema 6 del SONIDO Y SU PROPAGACIÓN

Curso de Física para el grado 4° de Educación Secundaria Obligatoria (ESO) en España. Clase No. 143: Problema 6 del sonido y su propagación. Tema: Energía y Ondas. Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook: https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter: https://twitter.com/julioprofenet Instagram: https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL http://www.julioprofe.net APP JULIOPROFE Para Android: https://goo.gl/XsJRwN Para iOS: https://goo.gl/3y2VtR

En ese problema vamos a suponer que tenemos un barco en la superficie del mar y por acá más abajo tenemos por ejemplo un submarino, entonces este barco envía un sonido, es decir, utiliza el sonar para enviar un sonido que se refleja en el submarino y regresa nuevamente el barco, entonces nos dice el problema que el tiempo que tarda entre la emisión del sonido y el momento en el cual se escucha el eco es de 3.3 segundos, eso quiere decir que el tiempo que tarda el sonido en ir desde este punto hasta este es la mitad de 3.3 segundos, es decir, un tiempo de 1.65 segundos. Y nos están dando el dato de la velocidad del sonido en el agua, que es de 1.493 metros sobre segundos, nos preguntan entonces a qué profundidad se encuentra el objeto, es decir, cuál es la distancia a la cual se encuentra por debajo del emisor del sonido, entonces como la onda sonora se mueve con velocidad constante podemos utilizar la relación velocidad igual a distancia sobre tiempo, de donde podemos despejar la distancia que es la incógnita, distancia es igual a la velocidad por tiempo, entonces reemplazamos los valores 1.493 metros sobre segundos que es la velocidad y esto multiplicado por el tiempo que es 1.65 segundos, entonces haciendo esa operación nos queda una distancia de 2.463.45 metros, que es entonces la profundidad a la cual se encuentra en este caso el submarino por debajo del barco.

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https://www.youtube.com/watch?v=eGRXhcvLigU

142. Problema 5 del SONIDO Y SU PROPAGACIÓN

Curso de Física para el grado 4° de Educación Secundaria Obligatoria (ESO) en España. Clase No. 142: Problema 5 del sonido y su propagación. Tema: Energía y Ondas. Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook: https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter: https://twitter.com/julioprofenet Instagram: https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL http://www.julioprofe.net APP JULIOPROFE Para Android: https://goo.gl/XsJRwN Para iOS: https://goo.gl/3y2VtR

En este problema nos dicen que la velocidad del sonido en el aire es igual a 1235 km por hora y nos dicen que a qué distancia está una tormenta si desde que vimos el rayo pasan 4.5 segundos, es decir, tenemos el tiempo, 4.5 segundos hasta que escuchamos el truero. Entonces nos preguntan cuál es la distancia que hay entre nosotros y el sitio de la tormenta. Entonces para comenzar vamos a convertir esta velocidad a metros sobre segundos. Entonces usamos el factor de conversión para pasar de kilómetros a metros. Recordemos que un kilómetro tiene mil metros. Allí podemos cancelar los kilómetros. Y después usamos el factor de conversión para pasar de horas a segundos. Una hora tiene 3.600 segundos. De esa manera eliminamos horas con horas y esa operación nos da en total, aproximando, 343 metros sobre segundos, que es la velocidad del sonido aproximadamente a unos 20 grados centígrados de temperatura ambiente, de temperatura del aire. Bien, entonces como el sonido viaja con velocidad constante, es válido utilizar la relación velocidad igual a distancia dividida entre tiempo. Como necesitamos la distancia, entonces la despejamos de esta relación, el tiempo está dividiendo, lo pasamos a multiplicar, nos queda entonces velocidad por tiempo. Reemplazamos los valores. La velocidad son 343 metros sobre segundos y el tiempo es 4.5 segundos. Realizando esa operación y cancelando los segundos entre sí, nos da un resultado de 1543.5 metros, que sería entonces la distancia a la cual se encuentra la tormenta.

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https://www.youtube.com/watch?v=37I43lHzl74

141. Problema 4 del SONIDO Y SU PROPAGACIÓN

Curso de Física para el grado 4° de Educación Secundaria Obligatoria (ESO) en España. Clase No. 141: Problema 4 del sonido y su propagación. Tema: Energía y Ondas. Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook: https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter: https://twitter.com/julioprofenet Instagram: https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL http://www.julioprofe.net APP JULIOPROFE Para Android: https://goo.gl/XsJRwN Para iOS: https://goo.gl/3y2VtR

En este problema nos dan la frecuencia de la nota Sol que son 196 Hz, nos dan la velocidad del sonido que son 340 ms y nos preguntan por la longitud de onda de la nota Sol. Entonces, como el sonido es una onda cumple la siguiente relación, velocidad de propagación es igual a lambda por frecuencia. Entonces de aquí podemos despejar lambda que es lo que tenemos que averiguar, lambda será igual a velocidad dividido entre la frecuencia, tenemos que la frecuencia está multiplicando con lambda por lo tanto pasa a dividir a la velocidad de propagación de la onda. Entonces, en este caso tenemos los valores, velocidad de la onda son 340 ms y la frecuencia de la onda son 196 Hz, la frecuencia de la nota Sol. Realizando esa división nos da entonces el valor de lambda de la longitud de onda que es igual a unos.73 ms y de esta manera hemos solucionado el problema.

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https://www.youtube.com/watch?v=N7e4cTIVEg8

55. Mensaje de ÓSCAR ALBERTO CASTAÑO a Julioprofe

Agradecimiento al ingeniero y docente Óscar Alberto Castaño por su mensaje desde la ciudad de Envigado, departamento de Antioquia (Colombia). Graba un corto video y envíamelo al correo julioprofecolombia@gmail.com para publicarlo en este canal. Incluye tu nombre, ciudad, país e institución educativa a la que perteneces y cuéntame cuál ha sido tu experiencia con el material educativo que he producido. De antemano, ¡Muchas Gracias! Julioprofe.

Bueno un cordial saludo para el profesor Julio Profe, que sea la oportunidad para indicar que como docente ha sido una inspiración, el profesor Julio Profe ha hecho un camino más fácil y aprovechamos sus enseñanzas para mejorar nuestros métodos pedagógicos. La forma en que aborda cada tema, cada situación problemica, lo hace de una manera sencilla de amena. Su estilo de escritura es un ejemplo a seguir por muchos docentes, ya que visualiza claramente lo que quiere plantear en cada situación problemica. Lo hace con mucha claridad y sencillez. Así que profesor Julio, muchas gracias por sus enseñanzas y aportes. Saludos desde Envigado Colombia. Graba un corto video y envíamelo al correo JulioProfeColombia.com para publicarlo en este canal. Incluya tu nombre, ciudad, país e institución educativa a la que perteneces y cuéntame cuál ha sido tu experiencia con el material educativo que he producido. De antemano muchas gracias Julio Profe.

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https://www.youtube.com/watch?v=fgGPRauQJuc

140. Problema 3 del SONIDO Y SU PROPAGACIÓN

Curso de Física para el grado 4° de Educación Secundaria Obligatoria (ESO) en España. Clase No. 140: Problema 3 del sonido y su propagación. Tema: Energía y Ondas. Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook: https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter: https://twitter.com/julioprofenet Instagram: https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL http://www.julioprofe.net APP JULIOPROFE Para Android: https://goo.gl/XsJRwN Para iOS: https://goo.gl/3y2VtR

Entre dos satélites artificiales que orbitan la Tierra a una altitud de 1000 kilómetros por encima de la superficie terrestre, el sonido entre ellos no puede propagarse, es decir, la velocidad de propagación del sonido entre ellos dos sería cero porque acá en el espacio exterior no tenemos moléculas, no tenemos un medio elástico que transmita una onda sonora recordemos que la onda de sonido es una onda mecánica que requiere de un medio elástico, un medio físico para que pueda propagarse y acá tenemos vacío, recordemos que en el vacío el sonido no se propaga

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https://www.youtube.com/watch?v=ZCjrYfW1RqU

139. Problema 2 del SONIDO Y SU PROPAGACIÓN

Curso de Física para el grado 4° de Educación Secundaria Obligatoria (ESO) en España. Clase No. 139: Problema 2 del sonido y su propagación. Tema: Energía y Ondas. Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook: https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter: https://twitter.com/julioprofenet Instagram: https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL http://www.julioprofe.net APP JULIOPROFE Para Android: https://goo.gl/XsJRwN Para iOS: https://goo.gl/3y2VtR

El sonido se propaga con mayor velocidad en el agua que en el aire porque en el agua las partículas están mucho más cercanas que en el aire. En el aire las partículas que lo conforman están un poco más dispersas. Entonces como la onda sonora transporta energía, ese transporte de energía, esa transmisión de energía se realiza con una mayor efectividad en el agua que en el aire. Simplemente por la cercanía que existe entre las partículas. Entonces para citar un ejemplo, la velocidad del sonido por ejemplo en el agua de mar es de 1560 metros sobre segundos. Mientras que la velocidad del sonido en el aire a unos 20 grados centígrados es de 343 metros sobre segundos. Vemos claramente como la velocidad del sonido en el agua es mayor que la velocidad del sonido en el aire. Entonces incluso podríamos asegurar que en el agua el sonido viaja aproximadamente unas cuatro veces más rápido de lo que lo hace en el aire. Música

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https://www.youtube.com/watch?v=TKsMdN7xFco

138. Problema 1 del SONIDO Y SU PROPAGACIÓN

Curso de Física para el grado 4° de Educación Secundaria Obligatoria (ESO) en España. Clase No. 138: Problema 1 del sonido y su propagación. Tema: Energía y Ondas. Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook: https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter: https://twitter.com/julioprofenet Instagram: https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL http://www.julioprofe.net APP JULIOPROFE Para Android: https://goo.gl/XsJRwN Para iOS: https://goo.gl/3y2VtR

El sonido no se propaga en el vacío porque es una onda mecánica. Recordemos que ondas mecánicas son las que necesitan de un medio elástico para propagarse. El sonido es una onda mecánica porque solamente puede viajar a través de la materia. Recordemos que el sonido puede propagarse en sólidos, en líquidos y en gases porque en estas tres presentaciones de la materia hay moléculas, moléculas que transfieren la onda de una partícula a la otra. Entonces en el vacío no tenemos esto, no tenemos materia, no tenemos moléculas, por lo tanto en el vacío el sonido no puede viajar.

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https://www.youtube.com/watch?v=OcYhkgTjHV8

54. Mensaje del PROFESAMI a Julioprofe

Agradecimiento a Samil Acevedo (canal en YouTube: Profesami https://www.youtube.com/user/samil727) por su mensaje desde República Dominicana. Graba un corto video y envíamelo al correo julioprofecolombia@gmail.com para publicarlo en este canal. Incluye tu nombre, ciudad, país e institución educativa a la que perteneces y cuéntame cuál ha sido tu experiencia con el material educativo que he producido. De antemano, ¡Muchas Gracias! Julioprofe.

Hola, ¿qué tal? Mi nombre es Sami. Quiero hablar de mi testimonio con Julio Profes. Mi testimonio con Julio Profes es que yo soy profesor de matemática y él me enseña por medio de viendo videos en su canal. Yo puedo ver métodos para enseñarme de una manera más fácil a los estudiantes. Uno de los testimonios que más me ha impactado es que, por ejemplo, el método de Gauss-Jordan, cómo resolver un sistema de cohesión usando el método de Gauss-Jordan, Julio Profes le explica de la manera más fácil que yo lo he visto en toda la internet. Y de manera en general, Julio Profes siempre vive recordándole a uno estrategias y técnicas de cómo resolver ejercicio de matemática de lo más fácil. Yo soy el Profes Sami. Pueden visitar mi canal de YouTube y les mando un saludo a Julio Profes desde la República Dominicana Santo Domingo. Graba un corto video y envíamelo al correo Julio Profes Colombia arroba gmail.com para publicarlo en este canal. Incluye tu nombre, ciudad, país e institución educativa a la que perteneces y cuéntame cuál ha sido tu experiencia con el material educativo que he producido. De antemano muchas gracias Julio Profes

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https://www.youtube.com/watch?v=CYivNIQHL7Q

137. EL SONIDO Y SU PROPAGACIÓN

Curso de Física para el grado 4° de Educación Secundaria Obligatoria (ESO) en España. Clase No. 137: El sonido y su propagación. Tema: Energía y Ondas. Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook: https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter: https://twitter.com/julioprofenet Instagram: https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL http://www.julioprofe.net APP JULIOPROFE Para Android: https://goo.gl/XsJRwN Para iOS: https://goo.gl/3y2VtR

Vamos a ver el sonido y su propagación. El sonido es una onda mecánica longitudinal y tridimensional. ¿Por qué es una onda mecánica? Porque requiere de un medio elástico, un medio físico donde haya moléculas para que pueda propagarse. Es una onda longitudinal porque las partículas del medio vibran en la misma dirección en que viaja la onda, en que se propaga. Y es una onda tridimensional porque a partir de la fuente se propaga en todas las direcciones. Por ejemplo, si tenemos una ambulancia que pone a sonar la sirena, la sirenidad empieza a sonar, entonces el sonido empieza a propagarse en forma de esferas concéntricas en todas las direcciones. Por eso se trata de una onda tridimensional. La velocidad de propagación del sonido depende de las características del medio por el cual viaja la onda sonora. Entonces miremoslo de la siguiente manera. La velocidad del sonido en un sólido es mayor que la velocidad del sonido en un líquido y a su vez mayor que la velocidad del sonido en un gas. Esto se explica por la proximidad de las moléculas que hay en cada una de estas tres sustancias. En un sólido las partículas, las moléculas están muy cerca unas de otras, por lo tanto el sonido pasa con mayor rapidez de una molécula a la otra. En el caso del líquido están un poco más separadas y para el caso del gas están bastante dispersas. Entonces, por esa razón, la velocidad del sonido es mayor en un sólido que en un líquido y a su vez mayor que en un gas. Para citar algunos valores, veamos por ejemplo la velocidad del sonido en el aluminio para el caso del aluminio tenemos una velocidad del sonido de 5100 metros sobre segundos. Para el caso de un líquido como por ejemplo el agua de mar, tenemos que la velocidad del sonido es de 1560 metros sobre segundos. Y para el caso del aire, aire a una temperatura de 20 grados Celsius, la velocidad del sonido tiene un valor de 343 metros sobre segundos. Entonces podemos apreciar como la velocidad del sonido es mayor en el sólido que en el líquido y a su vez que en el gas. Entonces vemos que la propagación del sonido depende de las características del medio en el cual se mueve dicha onda sonora. Entonces también podemos ver como el sonido no se propaga en el vacío, tiene que haber materia en cualquiera de estos tres estados para que la onda sonora se pueda propagar. Para el caso del aire, la velocidad de propagación del sonido tiene una relación estrecha con la temperatura ambiente y está dado por la siguiente expresión matemática. Velocidad del sonido es igual a 331 más 0.6 por T. Esa T significa la temperatura ambiente que debe darse en grados Celsius o grados centígrados para que la velocidad del sonido salga en metros sobre segundos. Si por ejemplo la temperatura es de 20 grados centígrados, entonces, repasamos aquí el 20, 20 por 0.6 nos da 12, 12 más 331 nos da 343. Entonces por eso a 20 grados centígrados la velocidad del sonido equivale a 343 metros sobre segundos. Por ejemplo, a una temperatura de 0 grados centígrados, si te vale 0, ese término se nos va y nos da la velocidad del sonido igual a 331 metros sobre segundos. En los problemas de este tema de física, si no se advierte nada acerca de la temperatura, se trabaja con una velocidad del sonido de 340 metros sobre segundos. Se redondea el valor de la velocidad del sonido a 340 para efectos de facilitar los cálculos matemáticos.

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188.76, "end": 192.6, "text": " en el cual se mueve dicha onda sonora."}, {"start": 192.6, "end": 197.96, "text": " Entonces tambi\u00e9n podemos ver como el sonido no se propaga en el vac\u00edo, tiene que haber"}, {"start": 197.96, "end": 205.76, "text": " materia en cualquiera de estos tres estados para que la onda sonora se pueda propagar."}, {"start": 205.76, "end": 212.4, "text": " Para el caso del aire, la velocidad de propagaci\u00f3n del sonido tiene una relaci\u00f3n estrecha con"}, {"start": 212.4, "end": 219.95999999999998, "text": " la temperatura ambiente y est\u00e1 dado por la siguiente expresi\u00f3n matem\u00e1tica."}, {"start": 219.96, "end": 226.60000000000002, "text": " Velocidad del sonido es igual a 331 m\u00e1s 0.6 por T."}, {"start": 226.60000000000002, "end": 236.08, "text": " Esa T significa la temperatura ambiente que debe darse en grados Celsius o grados cent\u00edgrados"}, {"start": 236.08, "end": 244.28, "text": " para que la velocidad del sonido salga en metros sobre segundos."}, {"start": 244.28, "end": 250.84, "text": " Si por ejemplo la temperatura es de 20 grados cent\u00edgrados, entonces, repasamos aqu\u00ed el 20,"}, {"start": 250.84, "end": 258.8, "text": " 20 por 0.6 nos da 12, 12 m\u00e1s 331 nos da 343."}, {"start": 258.8, "end": 268.48, "text": " Entonces por eso a 20 grados cent\u00edgrados la velocidad del sonido equivale a 343 metros"}, {"start": 268.48, "end": 269.48, "text": " sobre segundos."}, {"start": 269.48, "end": 274.88, "text": " Por ejemplo, a una temperatura de 0 grados cent\u00edgrados, si te vale 0, ese t\u00e9rmino se"}, {"start": 274.88, "end": 283.08000000000004, "text": " nos va y nos da la velocidad del sonido igual a 331 metros sobre segundos."}, {"start": 283.08000000000004, "end": 289.92, "text": " En los problemas de este tema de f\u00edsica, si no se advierte nada acerca de la temperatura,"}, {"start": 289.92, "end": 296.08000000000004, "text": " se trabaja con una velocidad del sonido de 340 metros sobre segundos."}, {"start": 296.08, "end": 304.12, "text": " Se redondea el valor de la velocidad del sonido a 340 para efectos de facilitar los c\u00e1lculos"}, {"start": 304.12, "end": 329.52, "text": " matem\u00e1ticos."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=2XaDHcj4F9o

136. ONDAS EN CUERDAS

Curso de Física para el grado 4° de Educación Secundaria Obligatoria (ESO) en España. Clase No. 136: Ondas en cuerdas. Tema: Energía y Ondas. Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook: https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter: https://twitter.com/julioprofenet Instagram: https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL http://www.julioprofe.net APP JULIOPROFE Para Android: https://goo.gl/XsJRwN Para iOS: https://goo.gl/3y2VtR

Para el caso de ondas en cuerdas tenemos la siguiente situación. Tenemos aquí una cuerda que vamos a templar y en ella vamos a producir una perturbación continua, es decir, una vibración que hace que se propague una onda a lo largo de ella. Entonces, recordemos que las ondas en las cuerdas son mecánicas y son transversales. Mecánicas porque la cuerda es el medio físico a través del cual se propaga la onda y transversales porque las partículas, en este caso del medio, o sea de la cuerda, vibran en dirección perpendicular a la dirección de propagación de la onda. Estas ondas en las cuerdas se propagan con una velocidad que tiene una fórmula especial. La fórmula dice así, velocidad de propagación de la onda es igual a la raíz cuadrada de la fuerza de tensión en la cuerda, es decir, la tensión que actúa a lo largo de la cuerda, dividido entre el cociente M sobre L. M es la masa de la cuerda y L es la longitud de la cuerda. Esta es la fórmula propia para determinar la velocidad de propagación de una onda en una cuerda. Veamos entonces las unidades con que debe trabajarse cada uno de estos valores. Para el caso de la fuerza que tensiona la cuerda, por tratarse de una fuerza debe ir en newtons. Si recordemos que newton es la unidad de fuerza en el sistema internacional. La masa de la cuerda debe trabajarse en kilogramos. La longitud de la cuerda debe estar expresada en metros para que la velocidad de propagación de las ondas en la cuerda nos de en metros sobre segundos. Entonces, con esta expresión, como decíamos, tenemos la velocidad con que se propagan las ondas a lo largo de una cuerda que se encuentra tensionada o templada. En algunos textos de física podemos encontrar que este cociente, masa sobre longitud de la cuerda, lo podemos encontrar expresado con la letra griega newt. Si recordemos, la misma que se utilizaba en fuerzas como coeficiente de rozamiento o coeficiente de fricción ahora simboliza el cociente entre la masa de la cuerda y la longitud de la cuerda. Es decir, lo que se conoce como masa por unidad de longitud. Entonces podemos encontrar aquí en el denominador la letra griega newt o podemos encontrarlo como m sobre l. Es exactamente lo mismo.

[{"start": 0.0, "end": 24.0, "text": " Para el caso de ondas en cuerdas tenemos la siguiente situaci\u00f3n. Tenemos aqu\u00ed una cuerda que vamos a templar y en ella vamos a producir una perturbaci\u00f3n continua,"}, {"start": 24.0, "end": 31.0, "text": " es decir, una vibraci\u00f3n que hace que se propague una onda a lo largo de ella."}, {"start": 31.0, "end": 36.0, "text": " Entonces, recordemos que las ondas en las cuerdas son mec\u00e1nicas y son transversales."}, {"start": 36.0, "end": 47.0, "text": " Mec\u00e1nicas porque la cuerda es el medio f\u00edsico a trav\u00e9s del cual se propaga la onda y transversales porque las part\u00edculas, en este caso del medio, o sea de la cuerda,"}, {"start": 47.0, "end": 54.0, "text": " vibran en direcci\u00f3n perpendicular a la direcci\u00f3n de propagaci\u00f3n de la onda."}, {"start": 54.0, "end": 62.0, "text": " Estas ondas en las cuerdas se propagan con una velocidad que tiene una f\u00f3rmula especial."}, {"start": 62.0, "end": 78.0, "text": " La f\u00f3rmula dice as\u00ed, velocidad de propagaci\u00f3n de la onda es igual a la ra\u00edz cuadrada de la fuerza de tensi\u00f3n en la cuerda, es decir, la tensi\u00f3n que act\u00faa a lo largo de la cuerda,"}, {"start": 78.0, "end": 89.0, "text": " dividido entre el cociente M sobre L. M es la masa de la cuerda y L es la longitud de la cuerda."}, {"start": 89.0, "end": 97.0, "text": " Esta es la f\u00f3rmula propia para determinar la velocidad de propagaci\u00f3n de una onda en una cuerda."}, {"start": 97.0, "end": 102.0, "text": " Veamos entonces las unidades con que debe trabajarse cada uno de estos valores."}, {"start": 102.0, "end": 110.0, "text": " Para el caso de la fuerza que tensiona la cuerda, por tratarse de una fuerza debe ir en newtons."}, {"start": 110.0, "end": 116.0, "text": " Si recordemos que newton es la unidad de fuerza en el sistema internacional."}, {"start": 116.0, "end": 121.0, "text": " La masa de la cuerda debe trabajarse en kilogramos."}, {"start": 121.0, "end": 135.0, "text": " La longitud de la cuerda debe estar expresada en metros para que la velocidad de propagaci\u00f3n de las ondas en la cuerda nos de en metros sobre segundos."}, {"start": 135.0, "end": 150.0, "text": " Entonces, con esta expresi\u00f3n, como dec\u00edamos, tenemos la velocidad con que se propagan las ondas a lo largo de una cuerda que se encuentra tensionada o templada."}, {"start": 150.0, "end": 162.0, "text": " En algunos textos de f\u00edsica podemos encontrar que este cociente, masa sobre longitud de la cuerda, lo podemos encontrar expresado con la letra griega newt."}, {"start": 162.0, "end": 174.0, "text": " Si recordemos, la misma que se utilizaba en fuerzas como coeficiente de rozamiento o coeficiente de fricci\u00f3n ahora simboliza el cociente entre la masa de la cuerda y la longitud de la cuerda."}, {"start": 174.0, "end": 178.0, "text": " Es decir, lo que se conoce como masa por unidad de longitud."}, {"start": 178.0, "end": 192.0, "text": " Entonces podemos encontrar aqu\u00ed en el denominador la letra griega newt o podemos encontrarlo como m sobre l. Es exactamente lo mismo."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=w_K6XOt13tc

135. Problema 1 de CARACTERÍSTICAS DE UNA ONDA

Curso de Física para el grado 4° de Educación Secundaria Obligatoria (ESO) en España. Clase No. 135: Problema 1 de Características de una onda. Tema: Energía y Ondas. Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook: https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter: https://twitter.com/julioprofenet Instagram: https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL http://www.julioprofe.net APP JULIOPROFE Para Android: https://goo.gl/XsJRwN Para iOS: https://goo.gl/3y2VtR

Vamos a ver en qué unidades del sistema internacional se expresan cada una de estas magnitudes que son propias de las ondas. Para ello, miremos este dibujito donde vamos a poder apreciar lo que es la elongación y la amplitud. La elongación se define como la distancia que hay de un punto cualquiera de la onda hasta la línea que va por todo el centro, recordemos que se llama el nivel normal o nivel de equilibrio. Entonces la distancia de este punto a esta línea es la elongación de este punto. En este caso, para este punto, la elongación sería esta distancia. Por lo tanto, la elongación es una longitud y por tratarse de una longitud va en metros. Ahora miremos la amplitud. La amplitud ha sido dibujada como un segmento que va desde el nivel normal o de equilibrio hasta los puntos más extremos de la onda, es decir, hasta la cresta o hasta el valle. Entonces aquí tenemos señalada la amplitud que viene siendo la máxima elongación de la onda, es decir, los valores más grandes que puede alcanzar la elongación. Entonces la amplitud por tratarse de una longitud también irá en metros. El periodo. El periodo recordemos que es el tiempo que tarda la onda en efectuar una oscilación completa, por lo tanto, por tratarse de un tiempo va en segundos. La frecuencia. Recordemos que es el número de ciclos u oscilaciones que la onda realiza en la unidad de tiempo, es decir, en un segundo. Y la unidad de frecuencia en el sistema internacional es el hertz, es decir, hz, que viene siendo lo mismo que ciclos sobre segundo u oscilaciones sobre segundos o también segundos a la menos uno. Y por último la velocidad de propagación. Recordemos que la onda viaja con velocidad constante, por lo tanto, la velocidad de propagación tiene unidades en el sistema internacional de metros sobre segundo. Es decir, unidad de longitud sobre unidad de tiempo.

[{"start": 0.0, "end": 27.0, "text": " Vamos a ver en qu\u00e9 unidades del sistema internacional se expresan cada una de estas magnitudes que son propias de las ondas."}, {"start": 27.0, "end": 34.0, "text": " Para ello, miremos este dibujito donde vamos a poder apreciar lo que es la elongaci\u00f3n y la amplitud."}, {"start": 34.0, "end": 47.0, "text": " La elongaci\u00f3n se define como la distancia que hay de un punto cualquiera de la onda hasta la l\u00ednea que va por todo el centro, recordemos que se llama el nivel normal o nivel de equilibrio."}, {"start": 47.0, "end": 57.0, "text": " Entonces la distancia de este punto a esta l\u00ednea es la elongaci\u00f3n de este punto. En este caso, para este punto, la elongaci\u00f3n ser\u00eda esta distancia."}, {"start": 57.0, "end": 63.0, "text": " Por lo tanto, la elongaci\u00f3n es una longitud y por tratarse de una longitud va en metros."}, {"start": 63.0, "end": 81.0, "text": " Ahora miremos la amplitud. La amplitud ha sido dibujada como un segmento que va desde el nivel normal o de equilibrio hasta los puntos m\u00e1s extremos de la onda, es decir, hasta la cresta o hasta el valle."}, {"start": 81.0, "end": 91.0, "text": " Entonces aqu\u00ed tenemos se\u00f1alada la amplitud que viene siendo la m\u00e1xima elongaci\u00f3n de la onda, es decir, los valores m\u00e1s grandes que puede alcanzar la elongaci\u00f3n."}, {"start": 91.0, "end": 97.0, "text": " Entonces la amplitud por tratarse de una longitud tambi\u00e9n ir\u00e1 en metros."}, {"start": 97.0, "end": 109.0, "text": " El periodo. El periodo recordemos que es el tiempo que tarda la onda en efectuar una oscilaci\u00f3n completa, por lo tanto, por tratarse de un tiempo va en segundos."}, {"start": 109.0, "end": 117.0, "text": " La frecuencia. Recordemos que es el n\u00famero de ciclos u oscilaciones que la onda realiza en la unidad de tiempo, es decir, en un segundo."}, {"start": 117.0, "end": 133.0, "text": " Y la unidad de frecuencia en el sistema internacional es el hertz, es decir, hz, que viene siendo lo mismo que ciclos sobre segundo u oscilaciones sobre segundos o tambi\u00e9n segundos a la menos uno."}, {"start": 133.0, "end": 146.0, "text": " Y por \u00faltimo la velocidad de propagaci\u00f3n. Recordemos que la onda viaja con velocidad constante, por lo tanto, la velocidad de propagaci\u00f3n tiene unidades en el sistema internacional de metros sobre segundo."}, {"start": 146.0, "end": 150.0, "text": " Es decir, unidad de longitud sobre unidad de tiempo."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=GSsHrx8zjKI

53. Mensaje de CRISTIAN MARIN a Julioprofe

Agradecimiento a Cristian Alexander Marín (canal en YouTube: Cristian Marin https://www.youtube.com/channel/UCMyo9uE1V3lBZJI70w7hPCQ) por su mensaje desde Colombia. Graba un corto video y envíamelo al correo julioprofecolombia@gmail.com para publicarlo en este canal. Incluye tu nombre, ciudad, país e institución educativa a la que perteneces y cuéntame cuál ha sido tu experiencia con el material educativo que he producido. De antemano, ¡Muchas Gracias! Julioprofe.

Hola, ¿qué tal está? Espero que muy bien. Solamente le quería agradecer por todo el contenido que usted está creando. Que a nosotros los universitarios nos ayudan demasiado. Nosotros a veces venimos con dudas de la universidad o simplemente queremos complementar y sabemos que su canal es un recurso, un sitio donde podemos ir a que nos ayude. Muchísimas gracias. Graba un corto video y envíamelo al correo Julio Profe Colombia arroba gmail.com para publicarlo en este canal. Incluya tu nombre, ciudad, país e institución educativa a la que perteneces y cuéntame cuál ha sido tu experiencia con el material educativo que he producido. De antemano muchas gracias Julio Profe.

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https://www.youtube.com/watch?v=8IrYxyp9BTk

134. CARACTERÍSTICAS DE UNA ONDA

Curso de Física para el grado 4° de Educación Secundaria Obligatoria (ESO) en España. Clase No. 134: Características de una onda. Tema: Energía y Ondas. Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook: https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter: https://twitter.com/julioprofenet Instagram: https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL http://www.julioprofe.net APP JULIOPROFE Para Android: https://goo.gl/XsJRwN Para iOS: https://goo.gl/3y2VtR

Vamos a ver las características de las ondas. Para comenzar veamos un dibujo donde podamos identificar sus principales elementos. Aquí tenemos una onda representada por la línea de color azul, la línea curva y vemos también una línea de color negro, una línea recta que representa el nivel normal o nivel de equilibrio. Por ejemplo si tenemos agua tranquila en un estanque la línea de color negro indica el nivel del agua cuando está totalmente en reposo, está tranquila. Si tiramos una piedra en el agua sabemos que se empiezan a generar ondas, ondas circulares que se empiezan a propagar hacia el exterior del punto donde la piedra hizo contacto con el agua. Entonces al producir la perturbación se genera esta onda, entonces la onda empieza a presentar una oscilación con relación al nivel normal o nivel de equilibrio. Podemos apreciar en la onda unos puntos máximos, es decir los puntos más elevados que se llaman crestas. Estas son crestas y también apreciamos unos puntos mínimos, es decir los puntos más bajos de la onda que se llaman valles. Entonces aquí tenemos un valle y por acá tenemos otro valle. La distancia entre dos crestas consecutivas o dos valles consecutivos es lo que se conoce como longitud de onda, allí está determinada. Esa longitud de onda se simboliza con la letra griega lambda. También podríamos decir que la longitud de onda es la distancia desde este punto hasta este punto porque es cuando la onda realiza un ciclo o una oscilación completa. Por ejemplo en este caso podemos apreciar dos longitudes de onda, una hasta aquí y la otra hasta este punto. También podemos apreciar la amplitud de la onda que es esta distancia. Es la amplitud de la onda que se denota con la letra a mayúscula, es la máxima altura de una cresta o la máxima profundidad de un valle en relación con la línea que representa el nivel normal o de equilibrio. Otros elementos propios de una onda son el periodo, la frecuencia y la velocidad de propagación. El periodo que se simboliza con la letra T mayúscula se define como el tiempo que la onda tarda en recorrer una longitud de onda. Es decir, sería el tiempo que la onda tarda en ir desde este punto hasta este de aquí o el tiempo que tarda en ir desde esta cresta hasta la siguiente o el tiempo que tarda en ir desde este valle hasta el siguiente. Entonces, tiempo que tarda en recorrer una longitud de onda. Usualmente el periodo se expresa en segundos por tratarse de un tiempo. La frecuencia se define como el número de ciclos o el número de oscilaciones que la onda realiza en la unidad de tiempo. Si tomamos como unidad de tiempo el segundo, entonces la frecuencia que se denota con la letra F minúscula se expresaría en oscilaciones sobre segundo o ciclos sobre segundo. Esto es lo mismo que tener la unidad conocida como Hertz. La misma que se utilizaba en el movimiento circular uniforme. La velocidad de propagación. Las ondas viajan o se propagan con movimiento rectilíneo uniforme, es decir, con velocidad constante. Entonces, la velocidad de propagación de la onda se denota con la letra B y nos indica que tan rápido se desplaza, en este caso, la onda. Así como en el movimiento circular uniforme, en los movimientos ondulatorios se cumple que el periodo y la frecuencia son cantidades recíprocas, es decir, que multiplicadas entre sí nos dan 1. De aquí tenemos que el periodo es igual al inverso de la frecuencia y que la frecuencia es igual al inverso del periodo. Recordemos que el periodo va en segundos y la frecuencia se expresa en Hertz, que es lo mismo que decir oscilaciones sobre segundo o ciclos sobre segundo o también segundos a la menos 1. Y para el caso de la velocidad de propagación, como dijimos que la onda se mueve con movimiento rectilíneo uniforme, es decir, con velocidad constante, entonces se cumple la relación velocidad igual a distancia sobre tiempo. Si nosotros pensamos en una longitud de onda, es decir, una distancia lambda, sabemos que el tiempo que tarda la onda en recorrer esta distancia es el periodo. Entonces sustituimos aquí periodo y nos queda una primera formulita para encontrar la velocidad de propagación de una onda. Adicionalmente, si aquí donde está el periodo, reemplazamos por 1 sobre f, periodo es igual al inverso de la frecuencia, entonces tendremos lo siguiente. Cambiamos periodo por 1 sobre f, lambda, le colocamos denominador 1, multiplicamos extremos y medios y nos queda en el numerador lambda por f y en el denominador 1, pero este denominador 1 lo podemos quitar y nos queda simplemente lambda por la frecuencia. Entonces sintetizando tenemos lo siguiente. La velocidad de propagación de una onda tiene dos expresiones, lambda sobre periodo o lambda por la frecuencia. Con cualquiera de estas dos formulitas podemos encontrar la velocidad de propagación de la onda. Veamos las unidades de cada uno de estos simbolitos. Lambda, es decir, la longitud de onda se expresa en metros por tratarse de una distancia, el periodo de mayúscula por tratarse de un tiempo va en segundos, la frecuencia va en hertz cuyo símbolo es hz y la velocidad de propagación de la onda va en metros sobre segundos. Unidades de longitud sobre unidades de tiempo.

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ac\u00e1 tenemos otro valle."}, {"start": 108.16, "end": 115.28, "text": " La distancia entre dos crestas consecutivas o dos valles consecutivos es lo que se conoce"}, {"start": 115.28, "end": 119.88, "text": " como longitud de onda, all\u00ed est\u00e1 determinada."}, {"start": 119.88, "end": 125.19999999999999, "text": " Esa longitud de onda se simboliza con la letra griega lambda."}, {"start": 125.19999999999999, "end": 130.92, "text": " Tambi\u00e9n podr\u00edamos decir que la longitud de onda es la distancia desde este punto hasta"}, {"start": 130.92, "end": 138.51999999999998, "text": " este punto porque es cuando la onda realiza un ciclo o una oscilaci\u00f3n completa."}, {"start": 138.51999999999998, "end": 145.32, "text": " Por ejemplo en este caso podemos apreciar dos longitudes de onda, una hasta aqu\u00ed y"}, {"start": 145.32, "end": 149.07999999999998, "text": " la otra hasta este punto."}, {"start": 149.07999999999998, "end": 156.2, "text": " Tambi\u00e9n podemos apreciar la amplitud de la onda que es esta distancia."}, {"start": 156.2, "end": 163.07999999999998, "text": " Es la amplitud de la onda que se denota con la letra a may\u00fascula, es la m\u00e1xima altura"}, {"start": 163.07999999999998, "end": 171.07999999999998, "text": " de una cresta o la m\u00e1xima profundidad de un valle en relaci\u00f3n con la l\u00ednea que representa"}, {"start": 171.07999999999998, "end": 174.67999999999998, "text": " el nivel normal o de equilibrio."}, {"start": 174.67999999999998, "end": 182.6, "text": " Otros elementos propios de una onda son el periodo, la frecuencia y la velocidad de propagaci\u00f3n."}, {"start": 182.6, "end": 188.23999999999998, "text": " El periodo que se simboliza con la letra T may\u00fascula se define como el tiempo que la"}, {"start": 188.23999999999998, "end": 192.12, "text": " onda tarda en recorrer una longitud de onda."}, {"start": 192.12, "end": 198.94, "text": " Es decir, ser\u00eda el tiempo que la onda tarda en ir desde este punto hasta este de aqu\u00ed"}, {"start": 198.94, "end": 205.42, "text": " o el tiempo que tarda en ir desde esta cresta hasta la siguiente o el tiempo que tarda en"}, {"start": 205.42, "end": 208.84, "text": " ir desde este valle hasta el siguiente."}, {"start": 208.84, "end": 213.48, "text": " Entonces, tiempo que tarda en recorrer una longitud de onda."}, {"start": 213.48, "end": 220.88, "text": " Usualmente el periodo se expresa en segundos por tratarse de un tiempo."}, {"start": 220.88, "end": 226.92000000000002, "text": " La frecuencia se define como el n\u00famero de ciclos o el n\u00famero de oscilaciones que la"}, {"start": 226.92000000000002, "end": 230.56, "text": " onda realiza en la unidad de tiempo."}, {"start": 230.56, "end": 236.88, "text": " Si tomamos como unidad de tiempo el segundo, entonces la frecuencia que se denota con la"}, {"start": 236.88, "end": 248.6, "text": " letra F min\u00fascula se expresar\u00eda en oscilaciones sobre segundo o ciclos sobre segundo."}, {"start": 248.6, "end": 255.0, "text": " Esto es lo mismo que tener la unidad conocida como Hertz."}, {"start": 255.0, "end": 260.2, "text": " La misma que se utilizaba en el movimiento circular uniforme."}, {"start": 260.2, "end": 262.15999999999997, "text": " La velocidad de propagaci\u00f3n."}, {"start": 262.16, "end": 269.64000000000004, "text": " Las ondas viajan o se propagan con movimiento rectil\u00edneo uniforme, es decir, con velocidad"}, {"start": 269.64000000000004, "end": 270.64000000000004, "text": " constante."}, {"start": 270.64000000000004, "end": 278.04, "text": " Entonces, la velocidad de propagaci\u00f3n de la onda se denota con la letra B y nos indica"}, {"start": 278.04, "end": 283.40000000000003, "text": " que tan r\u00e1pido se desplaza, en este caso, la onda."}, {"start": 283.40000000000003, "end": 290.56, "text": " As\u00ed como en el movimiento circular uniforme, en los movimientos ondulatorios se cumple"}, {"start": 290.56, "end": 297.6, "text": " que el periodo y la frecuencia son cantidades rec\u00edprocas, es decir, que multiplicadas entre"}, {"start": 297.6, "end": 300.48, "text": " s\u00ed nos dan 1."}, {"start": 300.48, "end": 309.04, "text": " De aqu\u00ed tenemos que el periodo es igual al inverso de la frecuencia y que la frecuencia"}, {"start": 309.04, "end": 312.32, "text": " es igual al inverso del periodo."}, {"start": 312.32, "end": 317.96, "text": " Recordemos que el periodo va en segundos y la frecuencia se expresa en Hertz, que es"}, {"start": 317.96, "end": 323.47999999999996, "text": " lo mismo que decir oscilaciones sobre segundo o ciclos sobre segundo o tambi\u00e9n segundos"}, {"start": 323.47999999999996, "end": 325.32, "text": " a la menos 1."}, {"start": 325.32, "end": 331.0, "text": " Y para el caso de la velocidad de propagaci\u00f3n, como dijimos que la onda se mueve con movimiento"}, {"start": 331.0, "end": 337.91999999999996, "text": " rectil\u00edneo uniforme, es decir, con velocidad constante, entonces se cumple la relaci\u00f3n"}, {"start": 337.91999999999996, "end": 340.71999999999997, "text": " velocidad igual a distancia sobre tiempo."}, {"start": 340.72, "end": 349.0, "text": " Si nosotros pensamos en una longitud de onda, es decir, una distancia lambda, sabemos que"}, {"start": 349.0, "end": 354.64000000000004, "text": " el tiempo que tarda la onda en recorrer esta distancia es el periodo."}, {"start": 354.64000000000004, "end": 360.84000000000003, "text": " Entonces sustituimos aqu\u00ed periodo y nos queda una primera formulita para encontrar la velocidad"}, {"start": 360.84000000000003, "end": 363.12, "text": " de propagaci\u00f3n de una onda."}, {"start": 363.12, "end": 369.12, "text": " Adicionalmente, si aqu\u00ed donde est\u00e1 el periodo, reemplazamos por 1 sobre f, periodo es igual"}, {"start": 369.12, "end": 373.24, "text": " al inverso de la frecuencia, entonces tendremos lo siguiente."}, {"start": 373.24, "end": 382.24, "text": " Cambiamos periodo por 1 sobre f, lambda, le colocamos denominador 1, multiplicamos extremos"}, {"start": 382.24, "end": 390.52, "text": " y medios y nos queda en el numerador lambda por f y en el denominador 1, pero este denominador"}, {"start": 390.52, "end": 397.4, "text": " 1 lo podemos quitar y nos queda simplemente lambda por la frecuencia."}, {"start": 397.4, "end": 401.59999999999997, "text": " Entonces sintetizando tenemos lo siguiente."}, {"start": 401.59999999999997, "end": 411.0, "text": " La velocidad de propagaci\u00f3n de una onda tiene dos expresiones, lambda sobre periodo o lambda"}, {"start": 411.0, "end": 413.59999999999997, "text": " por la frecuencia."}, {"start": 413.59999999999997, "end": 418.91999999999996, "text": " Con cualquiera de estas dos formulitas podemos encontrar la velocidad de propagaci\u00f3n de"}, {"start": 418.91999999999996, "end": 419.91999999999996, "text": " la onda."}, {"start": 419.91999999999996, "end": 422.59999999999997, "text": " Veamos las unidades de cada uno de estos simbolitos."}, {"start": 422.6, "end": 431.96000000000004, "text": " Lambda, es decir, la longitud de onda se expresa en metros por tratarse de una distancia, el"}, {"start": 431.96000000000004, "end": 443.12, "text": " periodo de may\u00fascula por tratarse de un tiempo va en segundos, la frecuencia va en hertz cuyo"}, {"start": 443.12, "end": 451.88, "text": " s\u00edmbolo es hz y la velocidad de propagaci\u00f3n de la onda va en metros sobre segundos."}, {"start": 451.88, "end": 456.52, "text": " Unidades de longitud sobre unidades de tiempo."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=Vo09UJl7K6E

133. Problema 1 de TIPOS DE ONDAS

Curso de Física para el grado 4° de Educación Secundaria Obligatoria (ESO) en España. Clase No. 133: Problema 1 de Tipos de ondas. Tema: Energía y Ondas. Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook: https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter: https://twitter.com/julioprofenet Instagram: https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL http://www.julioprofe.net APP JULIOPROFE Para Android: https://goo.gl/XsJRwN Para iOS: https://goo.gl/3y2VtR

Las olas en el mar son ondas clasificadas como mecánicas porque requieren de un medio elástico para propagarse, en este caso el medio elástico es el agua, son transversales porque las partículas del medio vibran en dirección perpendicular a la dirección de propagación de la onda, supongamos que esta es una onda en el agua y supongamos que tenemos una embarcación en el océano, entonces si la embarcación está totalmente en reposo, es decir sin sus motores prendidos, entonces vemos que a medida que pasa el agua la embarcación hace este movimiento, por lo tanto la embarcación se mueve de una manera perpendicular a la dirección de propagación de la onda, entonces por eso es una onda transversal, son ondas continuas porque tienen varias crestas, recordemos que las crestas son esos puntos superiores y tienen varios valles que son los puntos inferiores de la onda, entonces es una onda continua con varias crestas y varios valles y por último son ondas bidimensionales porque son ondas que se propagan a lo largo de una superficie, en este caso la superficie del mar.

[{"start": 0.0, "end": 24.04, "text": " Las olas en el mar son ondas clasificadas como mec\u00e1nicas porque requieren de un medio"}, {"start": 24.04, "end": 33.4, "text": " el\u00e1stico para propagarse, en este caso el medio el\u00e1stico es el agua, son transversales"}, {"start": 33.4, "end": 40.56, "text": " porque las part\u00edculas del medio vibran en direcci\u00f3n perpendicular a la direcci\u00f3n de"}, {"start": 40.56, "end": 46.519999999999996, "text": " propagaci\u00f3n de la onda, supongamos que esta es una onda en el agua y supongamos que tenemos"}, {"start": 46.52, "end": 54.0, "text": " una embarcaci\u00f3n en el oc\u00e9ano, entonces si la embarcaci\u00f3n est\u00e1 totalmente en reposo,"}, {"start": 54.0, "end": 59.800000000000004, "text": " es decir sin sus motores prendidos, entonces vemos que a medida que pasa el agua la embarcaci\u00f3n"}, {"start": 59.800000000000004, "end": 66.44, "text": " hace este movimiento, por lo tanto la embarcaci\u00f3n se mueve de una manera perpendicular a la"}, {"start": 66.44, "end": 72.76, "text": " direcci\u00f3n de propagaci\u00f3n de la onda, entonces por eso es una onda transversal, son ondas"}, {"start": 72.76, "end": 81.60000000000001, "text": " continuas porque tienen varias crestas, recordemos que las crestas son esos puntos superiores"}, {"start": 81.60000000000001, "end": 88.92, "text": " y tienen varios valles que son los puntos inferiores de la onda, entonces es una onda"}, {"start": 88.92, "end": 98.96000000000001, "text": " continua con varias crestas y varios valles y por \u00faltimo son ondas bidimensionales porque"}, {"start": 98.96, "end": 105.32, "text": " son ondas que se propagan a lo largo de una superficie, en este caso la superficie del"}, {"start": 105.32, "end": 130.64, "text": " mar."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=PYbUJXzZGhQ

132. TIPOS DE ONDAS

Curso de Física para el grado 4° de Educación Secundaria Obligatoria (ESO) en España. Clase No. 132: Tipos de ondas. Tema: Energía y Ondas. Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook: https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter: https://twitter.com/julioprofenet Instagram: https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL http://www.julioprofe.net APP JULIOPROFE Para Android: https://goo.gl/XsJRwN Para iOS: https://goo.gl/3y2VtR

Vamos a ver qué tipos de ondas podemos encontrar. Tenemos las ondas mecánicas y las ondas electromagnéticas. Las ondas mecánicas son las que necesitan de un medio elástico para su propagación. Son ejemplos de ondas mecánicas, las ondas en una cuerda, las ondas en el agua, el sonido. Para que estas ondas se puedan propagar se requiere de un medio elástico, algo que permita su transmisión, su propagación. Y las ondas electromagnéticas son las que no requieren de un medio elástico para su propagación. Pueden viajar incluso en el vacío. Es el caso de la luz y todas las ondas de radio, televisión y todo lo que tiene que ver con telecomunicaciones, rayos X. Todos estos son ejemplos de ondas electromagnéticas. Otra clasificación son las ondas transversales y las ondas longitudinales. En las ondas transversales las partículas del medio vibran en una dirección perpendicular a la dirección de propagación de la onda. La flecha roja indica la dirección de propagación de la onda y la doble flecha azul indica la dirección en la cual se mueven las partículas del medio. Vemos que forman 90 grados, es decir, son perpendiculares. Ejemplos de ondas transversales son las ondas en una cuerda y las ondas en el agua. Si recordemos el caso de un corcho que se mueve de esta manera mientras la onda viaja horizontalmente, por ejemplo, es decir, perpendicularmente a la dirección del movimiento del corcho. Y las ondas longitudinales son aquellas donde las partículas del medio vibran en la misma dirección en que se propaga la onda. Es decir, en una dirección paralela a la dirección de propagación de la onda. Ejemplos de ondas longitudinales son las ondas en un resorte. Un resorte que se le produce una perturbación en esta dirección, una rápida perturbación horizontal. Entonces vemos que la onda empieza a viajar en forma horizontal y las partículas del resorte empiezan también a moverse en la misma dirección horizontalmente. Ese es el caso de ondas longitudinales. Otro ejemplo de ondas longitudinales es lo que sucede con el sonido. Cuando el sonido se propaga, entonces las partículas de aire empiezan a moverse de esta manera mientras la onda sonora se desplaza. Bien, entonces como hemos visto en ondas transversales y ondas longitudinales hablamos de la dirección de movimiento de las partículas del medio. Por lo tanto, esto nos ubica dentro de las ondas mecánicas que son las que necesitan de un medio elástico para su propagación. También encontramos ondas constituidas por un solo pulso. Es decir, cuando se produce una sola perturbación de tal forma que se genera esto. Un pulso que viaja. Esto se llama una cresta, entonces un pulso tiene una sola cresta. O también las ondas que son continuas, que es cuando se producen varias perturbaciones. Por ejemplo, cuando la fuente vibra de manera constante, entonces se genera esto. Esto es una onda continua. Una onda que tiene varias crestas, todas estas son crestas. Y también tiene lo que se llaman valles. Los puntos superiores se llaman crestas y los puntos inferiores se llaman valles. En ese caso la onda se está propagando también en forma horizontal. Finalmente tenemos las ondas unidimensionales, las ondas bidimensionales y las ondas tridimensionales. Las ondas unidimensionales son las que viajan a lo largo de una línea, como el caso de las ondas en una cuerda. Las ondas bidimensionales son las que viajan a lo largo de una superficie, como el caso de las ondas en el agua. Y las ondas tridimensionales son las que se propagan a partir de una fuente en todas las direcciones. Es el caso del sonido. Cuando se produce un sonido se propaga en forma de esferas concéntricas en todas las direcciones. O el caso de un sismo. Cuando se produce un sismo se genera una onda que viaja en todas las direcciones. Entonces es una onda tridimensional.

[{"start": 0.0, "end": 21.5, "text": " Vamos a ver qu\u00e9 tipos de ondas podemos encontrar. Tenemos las ondas mec\u00e1nicas y las ondas electromagn\u00e9ticas."}, {"start": 21.5, "end": 28.400000000000002, "text": " Las ondas mec\u00e1nicas son las que necesitan de un medio el\u00e1stico para su propagaci\u00f3n."}, {"start": 28.4, "end": 37.7, "text": " Son ejemplos de ondas mec\u00e1nicas, las ondas en una cuerda, las ondas en el agua, el sonido."}, {"start": 37.7, "end": 47.0, "text": " Para que estas ondas se puedan propagar se requiere de un medio el\u00e1stico, algo que permita su transmisi\u00f3n, su propagaci\u00f3n."}, {"start": 47.0, "end": 54.099999999999994, "text": " Y las ondas electromagn\u00e9ticas son las que no requieren de un medio el\u00e1stico para su propagaci\u00f3n."}, {"start": 54.1, "end": 68.1, "text": " Pueden viajar incluso en el vac\u00edo. Es el caso de la luz y todas las ondas de radio, televisi\u00f3n y todo lo que tiene que ver con telecomunicaciones, rayos X."}, {"start": 68.1, "end": 72.4, "text": " Todos estos son ejemplos de ondas electromagn\u00e9ticas."}, {"start": 72.4, "end": 78.2, "text": " Otra clasificaci\u00f3n son las ondas transversales y las ondas longitudinales."}, {"start": 78.2, "end": 89.8, "text": " En las ondas transversales las part\u00edculas del medio vibran en una direcci\u00f3n perpendicular a la direcci\u00f3n de propagaci\u00f3n de la onda."}, {"start": 89.8, "end": 102.2, "text": " La flecha roja indica la direcci\u00f3n de propagaci\u00f3n de la onda y la doble flecha azul indica la direcci\u00f3n en la cual se mueven las part\u00edculas del medio."}, {"start": 102.2, "end": 106.30000000000001, "text": " Vemos que forman 90 grados, es decir, son perpendiculares."}, {"start": 106.3, "end": 113.7, "text": " Ejemplos de ondas transversales son las ondas en una cuerda y las ondas en el agua."}, {"start": 113.7, "end": 127.7, "text": " Si recordemos el caso de un corcho que se mueve de esta manera mientras la onda viaja horizontalmente, por ejemplo, es decir, perpendicularmente a la direcci\u00f3n del movimiento del corcho."}, {"start": 127.7, "end": 138.0, "text": " Y las ondas longitudinales son aquellas donde las part\u00edculas del medio vibran en la misma direcci\u00f3n en que se propaga la onda."}, {"start": 138.0, "end": 142.5, "text": " Es decir, en una direcci\u00f3n paralela a la direcci\u00f3n de propagaci\u00f3n de la onda."}, {"start": 142.5, "end": 147.5, "text": " Ejemplos de ondas longitudinales son las ondas en un resorte."}, {"start": 147.5, "end": 157.5, "text": " Un resorte que se le produce una perturbaci\u00f3n en esta direcci\u00f3n, una r\u00e1pida perturbaci\u00f3n horizontal."}, {"start": 157.5, "end": 168.5, "text": " Entonces vemos que la onda empieza a viajar en forma horizontal y las part\u00edculas del resorte empiezan tambi\u00e9n a moverse en la misma direcci\u00f3n horizontalmente."}, {"start": 168.5, "end": 171.5, "text": " Ese es el caso de ondas longitudinales."}, {"start": 171.5, "end": 174.5, "text": " Otro ejemplo de ondas longitudinales es lo que sucede con el sonido."}, {"start": 174.5, "end": 184.5, "text": " Cuando el sonido se propaga, entonces las part\u00edculas de aire empiezan a moverse de esta manera mientras la onda sonora se desplaza."}, {"start": 184.5, "end": 194.5, "text": " Bien, entonces como hemos visto en ondas transversales y ondas longitudinales hablamos de la direcci\u00f3n de movimiento de las part\u00edculas del medio."}, {"start": 194.5, "end": 205.5, "text": " Por lo tanto, esto nos ubica dentro de las ondas mec\u00e1nicas que son las que necesitan de un medio el\u00e1stico para su propagaci\u00f3n."}, {"start": 205.5, "end": 210.5, "text": " Tambi\u00e9n encontramos ondas constituidas por un solo pulso."}, {"start": 210.5, "end": 216.5, "text": " Es decir, cuando se produce una sola perturbaci\u00f3n de tal forma que se genera esto."}, {"start": 216.5, "end": 218.5, "text": " Un pulso que viaja."}, {"start": 218.5, "end": 224.5, "text": " Esto se llama una cresta, entonces un pulso tiene una sola cresta."}, {"start": 224.5, "end": 231.5, "text": " O tambi\u00e9n las ondas que son continuas, que es cuando se producen varias perturbaciones."}, {"start": 231.5, "end": 238.5, "text": " Por ejemplo, cuando la fuente vibra de manera constante, entonces se genera esto."}, {"start": 238.5, "end": 241.5, "text": " Esto es una onda continua."}, {"start": 241.5, "end": 249.5, "text": " Una onda que tiene varias crestas, todas estas son crestas."}, {"start": 249.5, "end": 253.5, "text": " Y tambi\u00e9n tiene lo que se llaman valles."}, {"start": 253.5, "end": 258.5, "text": " Los puntos superiores se llaman crestas y los puntos inferiores se llaman valles."}, {"start": 258.5, "end": 262.5, "text": " En ese caso la onda se est\u00e1 propagando tambi\u00e9n en forma horizontal."}, {"start": 262.5, "end": 271.5, "text": " Finalmente tenemos las ondas unidimensionales, las ondas bidimensionales y las ondas tridimensionales."}, {"start": 271.5, "end": 281.5, "text": " Las ondas unidimensionales son las que viajan a lo largo de una l\u00ednea, como el caso de las ondas en una cuerda."}, {"start": 281.5, "end": 290.5, "text": " Las ondas bidimensionales son las que viajan a lo largo de una superficie, como el caso de las ondas en el agua."}, {"start": 290.5, "end": 298.5, "text": " Y las ondas tridimensionales son las que se propagan a partir de una fuente en todas las direcciones."}, {"start": 298.5, "end": 300.5, "text": " Es el caso del sonido."}, {"start": 300.5, "end": 307.5, "text": " Cuando se produce un sonido se propaga en forma de esferas conc\u00e9ntricas en todas las direcciones."}, {"start": 307.5, "end": 310.5, "text": " O el caso de un sismo."}, {"start": 310.5, "end": 316.5, "text": " Cuando se produce un sismo se genera una onda que viaja en todas las direcciones."}, {"start": 316.5, "end": 320.5, "text": " Entonces es una onda tridimensional."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=NmvBcxXssQ0

52. Mensaje de MARCOS ANTONIO CONTRERAS a Julioprofe

Agradecimiento a Marcos Antonio Contreras por su mensaje desde México. Graba un corto video y envíamelo al correo julioprofecolombia@gmail.com para publicarlo en este canal. Incluye tu nombre, ciudad, país e institución educativa a la que perteneces y cuéntame cuál ha sido tu experiencia con el material educativo que he producido. De antemano, ¡Muchas Gracias! Julioprofe.

Hola, que tal, profe Julio Rios, saludos a Colombia, yo le saludo a Marcos Antonio Contreras desde México. Estudié lo que es la secundaria abierta, porque yo ya no terminé la secundaria normal. Yo decidí retomar mis estudios, pues se me dificultó mucho lo que fueron las matemáticas, al empezar a retomar nuevamente las ecuaciones, muchas fracciones que me dejaban, entré aquí a YouTube, por cierto, por suerte encontré su canal de ustedes que realmente me sorprendía encontrar bastante todo lo que yo necesitaba. Para terminar la escuela, pues gracias a Dios me esforcé bastante en entender todo, pero vi que en su canal había todo lo indispensable. Terminé la secundaria, entré a la preparatoria, pues empecé a ver nuevas ecuaciones como fueron el cálculo integral, cálculo diferencial, la trigonometría, la geometría analítica, pues realmente estoy muy agradecido con usted, pues ahí encontré todas mis fórmulas, todo para concluir mis estudios, la verdad estoy muy agradecido con usted, le mando un fuerte saludo aquí desde México y muchas gracias y Dios lo bendiga. Graba un corto video y envíamelo al correo Julio Profe Colombia arroba gmail.com para publicarlo en este canal. Incluya tu nombre, ciudad, país e institución educativa a la que perteneces y cuéntame cuál ha sido tu experiencia con el material educativo que he producido. De antemano muchas gracias Julio Profe.

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131. LAS ONDAS Y LA TRANSMISIÓN DE ENERGÍA

Curso de Física para el grado 4° de Educación Secundaria Obligatoria (ESO) en España. Clase No. 131: Las ondas y la transmisión de energía. Tema: Energía y Ondas. Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook: https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter: https://twitter.com/julioprofenet Instagram: https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL http://www.julioprofe.net APP JULIOPROFE Para Android: https://goo.gl/XsJRwN Para iOS: https://goo.gl/3y2VtR

Vamos a ver las ondas y su relación con la transmisión de energía. Para comenzar vamos a definir qué es una onda. Una onda es un fenómeno oscilatorio que se caracteriza por la propagación de una perturbación sin que haya transporte de materia, solo de energía. Entonces una onda transporta energía, no transporta materia, únicamente energía. Por eso decimos que las ondas tienen una estrecha relación con la transmisión de energía. Se dice que es un fenómeno oscilatorio porque se trata de algo que va y viene o que sube y baja. Cualquier cuerpo que presente vibración se convierte en una fuente que genera ondas, que salen desde la fuente y se propagan en diferentes direcciones. Veamos algunos ejemplos que nos ilustran las ondas. Si tomamos una cuerda y hacemos un nudo en ella, allí tenemos el nudo y la fijamos de uno de sus extremos apreciando el nudo y con la otra mano producimos un movimiento en la cuerda, es decir generamos una perturbación en ella. Vemos cómo se genera una onda, es decir una perturbación que empieza a viajar por la cuerda pero que no desplaza este nudo, es decir no hay un desplazamiento de materia, sino únicamente de energía. Al producir la perturbación vemos cómo se generan una especie de ondulaciones o una especie de pulsos que empiezan a viajar por la cuerda y regresan de tal forma que este puntito se mueve, es decir va y viene, por eso hablamos de un fenómeno oscilatorio pero que no presenta un desplazamiento. Otra situación es por ejemplo si templamos un poco la cuerda y producimos este tipo de perturbación, vemos también cómo la cuerda presenta una vibración, un movimiento en esta dirección y el puntico representado por el nudo se mueve de esta manera pero no se desplaza a lo largo de la cuerda, entonces vemos un ejemplo de una onda en una cuerda, una onda que se genera por una perturbación que se produce en la cuerda y donde hay un transporte de energía más no de materia. Otra situación que seguramente hemos observado es cuando lanzamos una piedra en un estanque que tiene agua tranquila, inmediatamente la piedra hace contacto con el agua, se empiezan a generar unos círculos concéntricos en el agua que se van propagando hacia el exterior del punto donde la piedra hizo impacto con el agua, es decir, del punto donde se produjo la perturbación, entonces estos círculos son ondas que están viajando en el agua hacia afuera de la fuente que en este caso es el sitio donde se produce la perturbación, esas ondas si las miramos así como haciendo un corte de la superficie del agua, supongamos que aquí es el punto donde se produce la perturbación, entonces las ondas viajarían en esta dirección, aquí entró la piedra en el agua, inmediatamente empieza a producir hacia el exterior del sitio de la perturbación, entonces las ondas que lo que hacen es transportar energía, si por ejemplo tenemos un corcho flotando en el agua en ese momento, este es el corcho, entonces a medida que las ondas empiezan a viajar este corcho presenta este movimiento, si sube y baja constantemente a medida que la onda del agua pasa por él, entonces el corcho en este caso lo que está mostrándonos es que no hay un transporte de materia sino únicamente de energía, en este caso una onda que viaja en el agua, otro tipo de ondas que podemos apreciar a nuestro alrededor son por ejemplo las ondas de sonido o las ondas de luz, por ejemplo si una persona A necesita enviarle un mensaje a una persona B, hay varias alternativas, una podría ser que la persona A por ejemplo escriba en un papel el mensaje, lo arrugue formando una bolita y se lo lance a la persona B, en ese caso tendríamos un transporte de materia, pero otra posibilidad es que esta persona grite para que la persona B le escuche y de esa manera le transmita el mensaje, cuando se produce entonces el grito tenemos un sonido que viaja en este caso a través del aire, entonces ha habido un transporte de energía en una onda de tipo sonoro, otra situación por ejemplo si este individuo quiere mandarle una señal luminosa a B por ejemplo con la linterna, entonces al prender la linterna la luz viaja hasta la persona B, también vemos que ha habido un transporte de energía más no de materia, entonces la luz y el sonido son ejemplos de ondas donde hay transmisión de energía y no de materia, entonces tenemos que las ondas transportan energía, veamos que formas de energía, para el caso de las ondas en la cuerda, ondas en el agua, las ondas sonoras es decir el sonido, ese tipo de ondas lo que sucede en ellas es que transmiten energía de molécula en molécula, en este caso las moléculas de la cuerda, las moléculas del agua, para el caso del sonido las moléculas de aire son las que transportan esa energía y se tienen en ese caso lo que es la energía cinética y energía potencial elástica, son las dos formas de energía que se transmiten en este tipo de ondas, para ondas como la luz o como la señal de radio y televisión todo lo que son telecomunicaciones, entonces tenemos ondas que transportan energía eléctrica y energía magnética, otras formas de energía, entonces resumiendo las ondas transportan energía, no transportan materia.

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https://www.youtube.com/watch?v=eVUJnhoPErc

130. Problema 1 de DILATACIÓN CÚBICA O VOLUMÉTRICA

Curso de Física para el grado 4° de Educación Secundaria Obligatoria (ESO) en España. Clase No. 130: Problema 1 de Dilatación Cúbica o Volumétrica. Tema: Energía y Calor. Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook: https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter: https://twitter.com/julioprofenet Instagram: https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL http://www.julioprofe.net APP JULIOPROFE Para Android: https://goo.gl/XsJRwN Para iOS: https://goo.gl/3y2VtR

En ese problema nos dan el volumen inicial de mercurio que es 1 litro, B0 igual a 1 litro. Nos dan la variación de temperatura, dice que la temperatura va a sufrir un incremento de 100 grados centígrados o Celsius. Y nos preguntan cuanto aumenta el volumen de mercurio, es decir, vamos a calcular entonces el volumen final y luego miramos cual fue la variación en el volumen. Y ese problema nos da el dato del coeficiente de dilatación volumétrico o cubico del mercurio, símbolo químico HG y vale 180 por 10 a la menos 6 grados centígrados elevado a la menos 1. Entonces vamos a utilizar la formulita, la expresión para la dilatación volumétrica o dilatación cubica que es B0 por 1 más beta por delta de T. Esta es la expresión, entonces vamos a reemplazar los valores, B0 es 1 litro de mercurio, vamos a ver aquí una llavecita, nos queda 1 más el valor de beta que es este, el coeficiente de dilatación volumétrico del mercurio, 180 por 10 a la menos 6 grados centígrados o grados Celsius a la menos 1, cierra el corchete por el valor de delta de T, la variación de temperatura que es un incremento de 100 grados centígrados o Celsius. Efectuando toda esta operación en la calculadora nos da un resultado de 1.018 litros, ese es el volumen final después del incremento de temperatura, por lo tanto la variación en el volumen se obtiene restando el volumen final menos el volumen inicial, si a 1.018 le restamos 1 nos da 0.018 litros, este es entonces el incremento de volumen en ese litro de mercurio cuando su temperatura se eleva en 100 grados centígrados.

[{"start": 0.0, "end": 25.72, "text": " En ese problema nos dan el volumen inicial de mercurio que es 1 litro, B0 igual a 1 litro."}, {"start": 25.72, "end": 36.92, "text": " Nos dan la variaci\u00f3n de temperatura, dice que la temperatura va a sufrir un incremento de 100 grados cent\u00edgrados o Celsius."}, {"start": 36.92, "end": 51.480000000000004, "text": " Y nos preguntan cuanto aumenta el volumen de mercurio, es decir, vamos a calcular entonces el volumen final y luego miramos cual fue la variaci\u00f3n en el volumen."}, {"start": 51.48, "end": 73.72, "text": " Y ese problema nos da el dato del coeficiente de dilataci\u00f3n volum\u00e9trico o cubico del mercurio, s\u00edmbolo qu\u00edmico HG y vale 180 por 10 a la menos 6 grados cent\u00edgrados elevado a la menos 1."}, {"start": 73.72, "end": 89.88, "text": " Entonces vamos a utilizar la formulita, la expresi\u00f3n para la dilataci\u00f3n volum\u00e9trica o dilataci\u00f3n cubica que es B0 por 1 m\u00e1s beta por delta de T."}, {"start": 89.88, "end": 105.47999999999999, "text": " Esta es la expresi\u00f3n, entonces vamos a reemplazar los valores, B0 es 1 litro de mercurio, vamos a ver aqu\u00ed una llavecita, nos queda 1 m\u00e1s el valor de beta que es este,"}, {"start": 105.48, "end": 126.44, "text": " el coeficiente de dilataci\u00f3n volum\u00e9trico del mercurio, 180 por 10 a la menos 6 grados cent\u00edgrados o grados Celsius a la menos 1, cierra el corchete por el valor de delta de T, la variaci\u00f3n de temperatura que es un incremento de 100 grados cent\u00edgrados o Celsius."}, {"start": 126.44, "end": 148.2, "text": " Efectuando toda esta operaci\u00f3n en la calculadora nos da un resultado de 1.018 litros, ese es el volumen final despu\u00e9s del incremento de temperatura, por lo tanto la variaci\u00f3n en el volumen se obtiene restando el volumen final menos el volumen inicial,"}, {"start": 148.2, "end": 168.83999999999997, "text": " si a 1.018 le restamos 1 nos da 0.018 litros, este es entonces el incremento de volumen en ese litro de mercurio cuando su temperatura se eleva en 100 grados cent\u00edgrados."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=kJnqM5KnlsI

129. DILATACIÓN CÚBICA O VOLUMÉTRICA

Curso de Física para el grado 4° de Educación Secundaria Obligatoria (ESO) en España. Clase No. 129: Dilatación Cúbica o Volumétrica. Tema: Energía y Calor. Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook: https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter: https://twitter.com/julioprofenet Instagram: https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL http://www.julioprofe.net APP JULIOPROFE Para Android: https://goo.gl/XsJRwN Para iOS: https://goo.gl/3y2VtR

Veamos la dilatación cúbica o volumétrica. Supongamos que tenemos un cuerpo en estado sólido, imaginemos este cubito con un volumen inicial de sub cero y con una temperatura inicial de sub cero. Y vamos a elevar la temperatura, supongamos que se eleva la temperatura de ese cubito entonces se va a presentar una dilatación o una expansión volumétrica, es decir su volumen se incrementa. Recordemos que esta dilatación cúbica o volumétrica no solamente es aplicable a sólidos sino también a líquidos y gases, pero aquí vamos a hacer el ejemplo por el caso de un sólido. Entonces tenemos un volumen final B y tenemos una temperatura final que vamos a llamar Tf, entonces ha habido un incremento en la temperatura, o sea un delta de T positivo que es la diferencia entre Tf, temperatura final y T sub cero que es la temperatura inicial. Ese incremento de temperatura viene entonces acompañado también de un incremento en el volumen, un delta de B que se obtiene de la siguiente manera. Beta multiplicado por B sub cero multiplicado por delta de T. Beta es lo que se conoce como el coeficiente de dilatación o coeficiente de expansión volumétrica. B sub cero constituye el volumen inicial del cuerpo y delta de T es la variación de temperatura que se ha presentado. Entonces vamos a deducir una expresión para determinar el volumen final en términos del volumen inicial y las variaciones que han ocurrido. Entonces vamos a hacer lo siguiente, borramos por aquí, dejamos únicamente esta expresión y tenemos que el volumen final es igual al volumen inicial más la variación en el volumen. Entonces sustituimos delta de D por esto que tenemos aquí, beta por B sub cero por delta de T y en esta expresión podemos sacar factor común el volumen inicial. Volumen inicial es factor común de uno más beta por delta de T. Esta expresión entonces es la que nos permite determinar el volumen final de un cuerpo cuando tiene un volumen inicial B sub cero y cuando ha presentado una variación en su temperatura delta de T. Beta como decíamos es el coeficiente de dilatación o de expansión volumétrica. Este beta tiene las mismas unidades que alfa que es el coeficiente de dilatación lineal grados Celsius a la menos uno. Así como alfa beta también tiene valores muy pequeños, por ejemplo para el caso del aluminio símbolo químico AL, beta tiene un valor de 75 por 10 a la menos 6 grados Celsius a la menos uno. Vemos que es un valor pequeño. Para el caso de un líquido como el mercurio símbolo químico HG tenemos que beta tiene un valor de 180 por 10 a la menos 6 grados Celsius a la menos uno. También es un valor pequeño. Para el caso de los gases, para la mayoría de los gases a presión atmosférica normal se maneja un valor de beta de aproximadamente 0.0034 grados Celsius a la menos uno. Y para lo que se conoce como sólidos isotrópicos, es decir aquellos que tienen las mismas propiedades en todas las direcciones se maneja la siguiente relación. El valor de beta, es decir el coeficiente de dilatación volumétrica es aproximadamente igual a tres veces alfa. Recordemos que alfa es el coeficiente de dilatación lineal, entonces esta relación se cumple en lo que son sólidos isotrópicos. Bien, tenemos entonces la explicación de dilatación cúbica o volumétrica.

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128. Problema 1 de DILATACIÓN SUPERFICIAL

Curso de Física para el grado 4° de Educación Secundaria Obligatoria (ESO) en España. Clase No. 128: Problema 1 de Dilatación Superficial. Tema: Energía y Calor. Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook: https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter: https://twitter.com/julioprofenet Instagram: https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL http://www.julioprofe.net APP JULIOPROFE Para Android: https://goo.gl/XsJRwN Para iOS: https://goo.gl/3y2VtR

En este problema nos preguntan cual es el área de una placa de aluminio cuando se encuentra a una temperatura de 100 grados centígrados o Celsius sabiendo que su área es de 200 centímetros cuadrados cuando se encuentra a una temperatura de 0 grados Celsius o centígrados. Entonces este dato de los 0 grados centígrados será la temperatura inicial y esto corresponde a un área inicial a sub cero de 200 centímetros cuadrados. Lo que nos dice el problema es que la temperatura se va a elevar hasta 100 grados centígrados por lo tanto esta será la temperatura final y en ese momento nos piden calcular el área de la placa de aluminio. El problema nos da el coeficiente de dilatación lineal del aluminio que es igual a 24 por 10 a la menos 6 grados centígrados a la menos 1. Bien, entonces vamos a comenzar por hallar cual es la variación en la temperatura. Entonces es igual a la temperatura final menos la temperatura inicial. La temperatura final son 100 grados centígrados menos la temperatura inicial que son 0 grados centígrados y esto nos da 100 grados centígrados. La temperatura ha presentado un incremento de 100 grados centígrados. A continuación vamos a utilizar la formulita o la expresión para la dilatación superficial. Entonces dice lo siguiente, área final es igual al área inicial y todo esto multiplicado por 1 más 2 por alfa por delta de T. Entonces vamos a reemplazar los valores. Área final será igual al área inicial que vale 200 centímetros cuadrados por, vamos a abrir aquí una llave, entonces escribimos el 1 más 2 veces, abrimos un corchete y vamos a reemplazar alfa, el coeficiente de dilatación lineal del aluminio que es 24 por 10 a la menos 6 grados centígrados elevados a la menos 1. Cerramos el corchete y esto multiplicado por delta de T que vale 100 grados centígrados. Cerramos la llave. Efectando toda esta operación en la calculadora eso nos da entonces un área final de 200.96 centímetros cuadrados. Esta será entonces el área de la placa de aluminio cuando llega a los 100 grados centígrados.

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https://www.youtube.com/watch?v=9zr2QJDBagU

127. DILATACIÓN SUPERFICIAL

Curso de Física para el grado 4° de Educación Secundaria Obligatoria (ESO) en España. Clase No. 127: Dilatación Superficial. Tema: Energía y Calor. Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook: https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter: https://twitter.com/julioprofenet Instagram: https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL http://www.julioprofe.net APP JULIOPROFE Para Android: https://goo.gl/XsJRwN Para iOS: https://goo.gl/3y2VtR

Vamos a ver la dilatación superficial. Supongamos que tenemos una placa rectangular que tiene un coeficiente de dilatación lineal para el material del cual está hecha la placa que es alfa. Que la placa tiene originalmente dimensiones L sub cero y H sub cero. Largo inicial, altura inicial. Por lo tanto tiene un área inicial que vamos a llamar A sub cero y que se obtiene multiplicando la base por la altura del rectángulo. Es decir L sub cero por H sub cero. Bien, esta placa está sometida a una temperatura inicial que vamos a llamar T sub cero y suponemos que elevamos la temperatura hasta un valor de F. Temperatura final de tal forma que la placa ha presentado una dilatación o expansión superficial. Vemos que el área se ha incrementado. Entonces el área de la nueva placa la vamos a llamar A. Y vamos a ver cuáles son sus nuevas dimensiones. L sub cero se ha dilatado o se ha expandido hasta un valor que vamos a llamar L y que lo obtenemos mediante la expresión que vimos en dilatación lineal. Sería entonces igual a L sub cero por 1 más alfa por delta de T. Donde delta de T recordemos que es el incremento de temperatura en este caso. Es la diferencia entre la temperatura final y la temperatura inicial. Y alfa, repetimos, es el valor del coeficiente de dilatación lineal del material sólido del cual está fabricada la placa. Y esta distancia que va a ser la altura final de la placa, vamos a llamarla H, se obtiene de la siguiente manera. Muy similar a éste, pero toma el valor de la altura inicial o la altura original multiplicada por 1 más alfa por delta de T. Bien, entonces vamos a deducir la expresión para el área final de la placa en términos de el área inicial y de la variación de temperatura. Y también de alfa que es el coeficiente de dilatación lineal del material. Tenemos entonces que el área final de la placa se obtiene multiplicando L por H, base por altura. Si nosotros sustituimos L por esta expresión, tenemos L sub cero por 1 más alfa por delta de T. Y H, que es ésta, la sustituimos por esta expresión, que es H sub cero por 1 más alfa por delta de T. Tenemos entonces lo siguiente, aquí podemos aplicar propiedad conmutativa de la multiplicación, cambiamos el orden de los factores, nos queda L sub cero por H sub cero y estos dos que quedaría multiplicando entre sí por ser iguales quedan elevado al cuadrado. Entonces 1 más alfa por delta de T elevado al cuadrado. Vamos a borrar esto de por aquí para poder continuar con la demostración. Veamos qué es L sub cero por H sub cero. Aquí lo tenemos, es el valor del área inicial de la placa, esto es A sub cero. Entonces nos queda así, A es igual a A sub cero multiplicado por, aquí tenemos un binomio al cuadrado. Vamos a hacer el desarrollo algebraico de esta expresión. Sería entonces el primer término elevado al cuadrado, 1 al cuadrado es 1, más dos veces el primer término por el segundo término. Es decir, 2 por 1 por alfa por delta de T, eso nos queda 2 alfa delta de T, más el segundo término elevado al cuadrado. Si nosotros esto lo elevamos al cuadrado, el exponente 2 afecta a alfa y afecta a delta de T. Entonces nos queda alfa al cuadrado por delta de T al cuadrado. Pero veamos lo siguiente, dijimos en dilatación lineal que alfa toma valores muy pequeños, alfa toma valores del orden de 10 a la menos 6 grados Celsius o centígrados a la menos 1. Si alfa se eleva al cuadrado, si nosotros tomamos 10 a la menos 6 y lo elevamos al cuadrado, eso nos da 10 a la menos 6 por 2 es igual a menos 12. Es decir, se hace muchísimo más pequeño. Por lo tanto, alfa al cuadrado es tan pequeño que lo podríamos aproximar a cero, podríamos despreciarlo y entonces este último término de la expresión se nos va. Y nos queda que a es igual a sub cero que multiplica a 1 más 2 alfa por delta de T. Aquí tenemos la expresión para la dilatación superficial. Es decir, el área final de la placa es igual al área inicial de la placa multiplicado por 1 más 2 veces el coeficiente de dilatación lineal o de expansión lineal del material del que está hecho la placa multiplicado por la variación de temperatura que se ha presentado. Música

[{"start": 0.0, "end": 15.0, "text": " Vamos a ver la dilataci\u00f3n superficial."}, {"start": 15.0, "end": 23.0, "text": " Supongamos que tenemos una placa rectangular que tiene un coeficiente de dilataci\u00f3n lineal"}, {"start": 23.0, "end": 28.0, "text": " para el material del cual est\u00e1 hecha la placa que es alfa."}, {"start": 28.0, "end": 34.0, "text": " Que la placa tiene originalmente dimensiones L sub cero y H sub cero."}, {"start": 34.0, "end": 37.0, "text": " Largo inicial, altura inicial."}, {"start": 37.0, "end": 42.0, "text": " Por lo tanto tiene un \u00e1rea inicial que vamos a llamar A sub cero"}, {"start": 42.0, "end": 48.0, "text": " y que se obtiene multiplicando la base por la altura del rect\u00e1ngulo."}, {"start": 48.0, "end": 51.0, "text": " Es decir L sub cero por H sub cero."}, {"start": 51.0, "end": 57.0, "text": " Bien, esta placa est\u00e1 sometida a una temperatura inicial que vamos a llamar T sub cero"}, {"start": 57.0, "end": 62.0, "text": " y suponemos que elevamos la temperatura hasta un valor de F."}, {"start": 62.0, "end": 69.0, "text": " Temperatura final de tal forma que la placa ha presentado una dilataci\u00f3n o expansi\u00f3n superficial."}, {"start": 69.0, "end": 72.0, "text": " Vemos que el \u00e1rea se ha incrementado."}, {"start": 72.0, "end": 77.0, "text": " Entonces el \u00e1rea de la nueva placa la vamos a llamar A."}, {"start": 77.0, "end": 81.0, "text": " Y vamos a ver cu\u00e1les son sus nuevas dimensiones."}, {"start": 81.0, "end": 88.0, "text": " L sub cero se ha dilatado o se ha expandido hasta un valor que vamos a llamar L"}, {"start": 88.0, "end": 94.0, "text": " y que lo obtenemos mediante la expresi\u00f3n que vimos en dilataci\u00f3n lineal."}, {"start": 94.0, "end": 102.0, "text": " Ser\u00eda entonces igual a L sub cero por 1 m\u00e1s alfa por delta de T."}, {"start": 102.0, "end": 107.0, "text": " Donde delta de T recordemos que es el incremento de temperatura en este caso."}, {"start": 107.0, "end": 111.0, "text": " Es la diferencia entre la temperatura final y la temperatura inicial."}, {"start": 111.0, "end": 122.0, "text": " Y alfa, repetimos, es el valor del coeficiente de dilataci\u00f3n lineal del material s\u00f3lido del cual est\u00e1 fabricada la placa."}, {"start": 122.0, "end": 131.0, "text": " Y esta distancia que va a ser la altura final de la placa, vamos a llamarla H, se obtiene de la siguiente manera."}, {"start": 131.0, "end": 143.0, "text": " Muy similar a \u00e9ste, pero toma el valor de la altura inicial o la altura original multiplicada por 1 m\u00e1s alfa por delta de T."}, {"start": 143.0, "end": 153.0, "text": " Bien, entonces vamos a deducir la expresi\u00f3n para el \u00e1rea final de la placa en t\u00e9rminos de el \u00e1rea inicial y de la variaci\u00f3n de temperatura."}, {"start": 153.0, "end": 158.0, "text": " Y tambi\u00e9n de alfa que es el coeficiente de dilataci\u00f3n lineal del material."}, {"start": 158.0, "end": 165.0, "text": " Tenemos entonces que el \u00e1rea final de la placa se obtiene multiplicando L por H, base por altura."}, {"start": 165.0, "end": 174.0, "text": " Si nosotros sustituimos L por esta expresi\u00f3n, tenemos L sub cero por 1 m\u00e1s alfa por delta de T."}, {"start": 174.0, "end": 184.0, "text": " Y H, que es \u00e9sta, la sustituimos por esta expresi\u00f3n, que es H sub cero por 1 m\u00e1s alfa por delta de T."}, {"start": 184.0, "end": 192.0, "text": " Tenemos entonces lo siguiente, aqu\u00ed podemos aplicar propiedad conmutativa de la multiplicaci\u00f3n, cambiamos el orden de los factores,"}, {"start": 192.0, "end": 202.0, "text": " nos queda L sub cero por H sub cero y estos dos que quedar\u00eda multiplicando entre s\u00ed por ser iguales quedan elevado al cuadrado."}, {"start": 202.0, "end": 206.0, "text": " Entonces 1 m\u00e1s alfa por delta de T elevado al cuadrado."}, {"start": 206.0, "end": 211.0, "text": " Vamos a borrar esto de por aqu\u00ed para poder continuar con la demostraci\u00f3n."}, {"start": 211.0, "end": 220.0, "text": " Veamos qu\u00e9 es L sub cero por H sub cero. Aqu\u00ed lo tenemos, es el valor del \u00e1rea inicial de la placa, esto es A sub cero."}, {"start": 220.0, "end": 228.0, "text": " Entonces nos queda as\u00ed, A es igual a A sub cero multiplicado por, aqu\u00ed tenemos un binomio al cuadrado."}, {"start": 228.0, "end": 232.0, "text": " Vamos a hacer el desarrollo algebraico de esta expresi\u00f3n."}, {"start": 232.0, "end": 240.0, "text": " Ser\u00eda entonces el primer t\u00e9rmino elevado al cuadrado, 1 al cuadrado es 1, m\u00e1s dos veces el primer t\u00e9rmino por el segundo t\u00e9rmino."}, {"start": 240.0, "end": 251.0, "text": " Es decir, 2 por 1 por alfa por delta de T, eso nos queda 2 alfa delta de T, m\u00e1s el segundo t\u00e9rmino elevado al cuadrado."}, {"start": 251.0, "end": 258.0, "text": " Si nosotros esto lo elevamos al cuadrado, el exponente 2 afecta a alfa y afecta a delta de T."}, {"start": 258.0, "end": 262.0, "text": " Entonces nos queda alfa al cuadrado por delta de T al cuadrado."}, {"start": 262.0, "end": 276.0, "text": " Pero veamos lo siguiente, dijimos en dilataci\u00f3n lineal que alfa toma valores muy peque\u00f1os, alfa toma valores del orden de 10 a la menos 6 grados Celsius o cent\u00edgrados a la menos 1."}, {"start": 276.0, "end": 287.0, "text": " Si alfa se eleva al cuadrado, si nosotros tomamos 10 a la menos 6 y lo elevamos al cuadrado, eso nos da 10 a la menos 6 por 2 es igual a menos 12."}, {"start": 287.0, "end": 302.0, "text": " Es decir, se hace much\u00edsimo m\u00e1s peque\u00f1o. Por lo tanto, alfa al cuadrado es tan peque\u00f1o que lo podr\u00edamos aproximar a cero, podr\u00edamos despreciarlo y entonces este \u00faltimo t\u00e9rmino de la expresi\u00f3n se nos va."}, {"start": 302.0, "end": 310.0, "text": " Y nos queda que a es igual a sub cero que multiplica a 1 m\u00e1s 2 alfa por delta de T."}, {"start": 310.0, "end": 336.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos la expresi\u00f3n para la dilataci\u00f3n superficial. Es decir, el \u00e1rea final de la placa es igual al \u00e1rea inicial de la placa multiplicado por 1 m\u00e1s 2 veces el coeficiente de dilataci\u00f3n lineal o de expansi\u00f3n lineal del material del que est\u00e1 hecho la placa multiplicado por la variaci\u00f3n de temperatura que se ha presentado."}, {"start": 340.0, "end": 360.0, "text": " M\u00fasica"}]

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https://www.youtube.com/watch?v=IwGm-Gphumo

126. Problema 1 de DILATACIÓN LINEAL

Curso de Física para el grado 4° de Educación Secundaria Obligatoria (ESO) en España. Clase No. 126: Problema 1 de Dilatación Lineal. Tema: Energía y Calor. Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook: https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter: https://twitter.com/julioprofenet Instagram: https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL http://www.julioprofe.net APP JULIOPROFE Para Android: https://goo.gl/XsJRwN Para iOS: https://goo.gl/3y2VtR

En este problema tenemos que una barra de cobre mide 90 cm, es decir, tiene una longitud inicial o longitud original de 90 cm cuando su temperatura es de 20 ºC, es la temperatura inicial. Y nos dice que ¿cuál es la longitud de la barra? Nos preguntan por esto cuando su temperatura, es decir, la temperatura final sea de 100 ºC, es decir, cuando la barra presente un calentamiento de 20 ºC. Nos dan el dato del coeficiente de dilatación lineal del cobre que es de 17 x 10±6 ºC elevado a la menos 1. Bien, entonces para empezar vamos a calcular cuál es la variación de temperatura delta de T. Recordemos que es la diferencia entre la temperatura final y la temperatura inicial, es decir, 100 ºC menos 20 ºC, esto nos da 80 ºC. Tenemos un incremento en la temperatura de 80 ºC. A continuación utilizamos la formulita para la dilatación lineal. Longitud final es igual a longitud inicial, todo esto multiplicado por 1 más alfa, que es el coeficiente de dilatación lineal, por delta de T, que es la variación de temperatura. Vamos a reemplazar entonces los valores. Longitud inicial son 90 cm. Vamos a abrir aquí una llave, escribimos 1 más, abrimos un corchete, ingresa el valor de alfa, el coeficiente de dilatación lineal del cobre, que es 17 x 10±6 ºC elevado a la menos 1. Cerramos el corchete y esto multiplicado por delta de T nos dio 80 ºC, la variación de temperatura. En este caso como la variación es positiva significa que hubo un incremento de temperatura. Haciendo toda esta operación en la calculadora nos da una longitud de 90.12 cm. Y esa sería entonces la respuesta. Esta es la longitud que alcanza esa barra de cobre cuando llega a los 100 ºC. Podemos apreciar entonces una variación en la longitud, un delta de L que es igual a restar 90.12 menos 90 longitud final menos longitud inicial. Esa diferencia nos da de 0.12 cm. Y esto corresponde a 1.2 mm. Lo que quiere decir entonces que el incremento de 80 ºC en esa barra de 90 cm produce una dilatación o una expansión en su longitud de 1.2 mm. ºC

[{"start": 0.0, "end": 24.2, "text": " En este problema tenemos que una barra de cobre mide 90 cm, es decir, tiene una longitud"}, {"start": 24.2, "end": 36.16, "text": " inicial o longitud original de 90 cm cuando su temperatura es de 20 \u00baC, es la temperatura"}, {"start": 36.16, "end": 43.8, "text": " inicial. Y nos dice que \u00bfcu\u00e1l es la longitud de la barra? Nos preguntan por esto cuando"}, {"start": 43.8, "end": 52.879999999999995, "text": " su temperatura, es decir, la temperatura final sea de 100 \u00baC, es decir, cuando la barra"}, {"start": 52.88, "end": 61.52, "text": " presente un calentamiento de 20 \u00baC. Nos dan el dato del coeficiente de dilataci\u00f3n"}, {"start": 61.52, "end": 73.92, "text": " lineal del cobre que es de 17 x 10\u00b16 \u00baC elevado a la menos 1. Bien, entonces para empezar"}, {"start": 73.92, "end": 79.0, "text": " vamos a calcular cu\u00e1l es la variaci\u00f3n de temperatura delta de T. Recordemos que es"}, {"start": 79.0, "end": 87.2, "text": " la diferencia entre la temperatura final y la temperatura inicial, es decir, 100 \u00baC"}, {"start": 87.2, "end": 99.48, "text": " menos 20 \u00baC, esto nos da 80 \u00baC. Tenemos un incremento en la temperatura de 80 \u00baC."}, {"start": 99.48, "end": 107.56, "text": " A continuaci\u00f3n utilizamos la formulita para la dilataci\u00f3n lineal. Longitud final es igual"}, {"start": 107.56, "end": 113.68, "text": " a longitud inicial, todo esto multiplicado por 1 m\u00e1s alfa, que es el coeficiente de"}, {"start": 113.68, "end": 119.96000000000001, "text": " dilataci\u00f3n lineal, por delta de T, que es la variaci\u00f3n de temperatura. Vamos a reemplazar"}, {"start": 119.96000000000001, "end": 130.32, "text": " entonces los valores. Longitud inicial son 90 cm. Vamos a abrir aqu\u00ed una llave, escribimos"}, {"start": 130.32, "end": 137.95999999999998, "text": " 1 m\u00e1s, abrimos un corchete, ingresa el valor de alfa, el coeficiente de dilataci\u00f3n lineal"}, {"start": 137.95999999999998, "end": 150.68, "text": " del cobre, que es 17 x 10\u00b16 \u00baC elevado a la menos 1. Cerramos el corchete y esto multiplicado"}, {"start": 150.68, "end": 160.96, "text": " por delta de T nos dio 80 \u00baC, la variaci\u00f3n de temperatura. En este caso como la variaci\u00f3n"}, {"start": 160.96, "end": 166.16, "text": " es positiva significa que hubo un incremento de temperatura. Haciendo toda esta operaci\u00f3n"}, {"start": 166.16, "end": 178.32, "text": " en la calculadora nos da una longitud de 90.12 cm. Y esa ser\u00eda entonces la respuesta. Esta"}, {"start": 178.32, "end": 186.51999999999998, "text": " es la longitud que alcanza esa barra de cobre cuando llega a los 100 \u00baC. Podemos apreciar"}, {"start": 186.51999999999998, "end": 195.6, "text": " entonces una variaci\u00f3n en la longitud, un delta de L que es igual a restar 90.12 menos"}, {"start": 195.6, "end": 206.68, "text": " 90 longitud final menos longitud inicial. Esa diferencia nos da de 0.12 cm. Y esto corresponde"}, {"start": 206.68, "end": 216.88, "text": " a 1.2 mm. Lo que quiere decir entonces que el incremento de 80 \u00baC en esa barra de 90"}, {"start": 216.88, "end": 239.04, "text": " cm produce una dilataci\u00f3n o una expansi\u00f3n en su longitud de 1.2 mm."}, {"start": 246.88, "end": 248.88, "text": " \u00baC"}]

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https://www.youtube.com/watch?v=VS1UccvJ_Wk

125. DILATACIÓN LINEAL

Curso de Física para el grado 4° de Educación Secundaria Obligatoria (ESO) en España. Clase No. 125: Dilatación Lineal. Tema: Energía y Calor. Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook: https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter: https://twitter.com/julioprofenet Instagram: https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL http://www.julioprofe.net APP JULIOPROFE Para Android: https://goo.gl/XsJRwN Para iOS: https://goo.gl/3y2VtR

La dilatación lineal se presenta cuando tenemos un cuerpo en forma de barra. Consideremos una barra de un material que tiene una longitud original que vamos a llamar L sub cero. Y entonces la barra se encuentra sometida a una temperatura inicial que vamos a llamar T sub cero. Y vamos a incrementar esa temperatura. Entonces la barra va a presentar una dilatación o una expansión. Aquí tenemos entonces la barra cuando ha sido llevada hasta una temperatura final que vamos a llamar T sub f. Vemos que entonces se ha dilatado una distancia que vamos a llamar delta L. La distancia que se ha dilatado o expandido. Aquí hemos hecho un poco de exageración en la cantidad que se expande linealmente de la barra. En la realidad no es tan considerable. Entonces la barra tiene una longitud final que vamos a llamar L. Esta distancia es L. Entonces tenemos lo siguiente. Esta cantidad que se ha estirado la barra que vamos a llamar delta L se obtiene de la siguiente manera. Aparece lo que se llama el coeficiente de dilatación o coeficiente de expansión lineal del material de la barra. Que se representa con la letra griega alfa multiplicada por L sub cero, es decir por la longitud inicial de la barra. Y multiplicada por delta de T. Delta de T es el incremento de temperatura en este caso. Es la variación de temperatura. Entonces tenemos que delta de T siempre será la diferencia entre la temperatura final y la temperatura inicial. Temperatura final menos temperatura inicial nos da cambio en la temperatura. Si hemos incrementado la temperatura este delta de T nos da positivo. Ahora si hubiéramos disminuido la temperatura supongamos que hubiéramos enfriado la barra. Entonces en lugar de estirarse esta barra se va a acortar. Entonces delta L se mide en la otra dirección porque se acortaría la barra. En este caso el delta de T sería negativo porque la temperatura final sería menor que la temperatura inicial. Entonces si delta L nos da negativo es porque ha habido un acortamiento de la barra y eso obedece a una disminución en la temperatura. Bien, vamos a ver entonces como se determina la longitud final de la barra. Entonces la longitud final de la barra como podemos apreciar en este dibujo sería la suma de la longitud original L sub cero y delta de L. Pero delta de L nos dio esta expresión. Alfa por L sub cero por delta de T. Nosotros sacamos aquí factor común L sub cero, es decir usamos la factorización L sub cero nos queda factor de 1 más alfa por delta de T. Y tenemos la expresión para la longitud final de una barra que tiene longitud inicial o longitud original L sub cero que tiene un coeficiente de dilatación lineal o de expansión lineal alfa, el material de la barra y que presenta una variación de temperatura delta de T. Como decíamos alfa es el símbolo que representa el coeficiente de dilatación o coeficiente de expansión lineal. Las unidades en que se presenta alfa es grados Celsius o grados centígrados elevados a la menos 1. Esas son las unidades de este simbolito. El alfa normalmente toma valores muy pequeños, por ejemplo el coeficiente de dilatación lineal del cobre, recordemos el símbolo químico del cobre C-U, es de aproximadamente 17 por 10 a la menos 6 grados centígrados a la menos 1. Entonces vemos que es un valor bastante pequeño. Usualmente entonces los valores de alfa son así, son valores muy pequeños. Tenemos entonces dilatación lineal.

[{"start": 0.0, "end": 18.0, "text": " La dilataci\u00f3n lineal se presenta cuando tenemos un cuerpo en forma de barra."}, {"start": 18.0, "end": 32.0, "text": " Consideremos una barra de un material que tiene una longitud original que vamos a llamar L sub cero."}, {"start": 32.0, "end": 39.0, "text": " Y entonces la barra se encuentra sometida a una temperatura inicial que vamos a llamar T sub cero."}, {"start": 39.0, "end": 51.0, "text": " Y vamos a incrementar esa temperatura. Entonces la barra va a presentar una dilataci\u00f3n o una expansi\u00f3n."}, {"start": 51.0, "end": 59.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos entonces la barra cuando ha sido llevada hasta una temperatura final que vamos a llamar T sub f."}, {"start": 59.0, "end": 71.0, "text": " Vemos que entonces se ha dilatado una distancia que vamos a llamar delta L. La distancia que se ha dilatado o expandido."}, {"start": 71.0, "end": 81.0, "text": " Aqu\u00ed hemos hecho un poco de exageraci\u00f3n en la cantidad que se expande linealmente de la barra. En la realidad no es tan considerable."}, {"start": 81.0, "end": 89.0, "text": " Entonces la barra tiene una longitud final que vamos a llamar L. Esta distancia es L."}, {"start": 89.0, "end": 99.0, "text": " Entonces tenemos lo siguiente. Esta cantidad que se ha estirado la barra que vamos a llamar delta L se obtiene de la siguiente manera."}, {"start": 99.0, "end": 108.0, "text": " Aparece lo que se llama el coeficiente de dilataci\u00f3n o coeficiente de expansi\u00f3n lineal del material de la barra."}, {"start": 108.0, "end": 117.0, "text": " Que se representa con la letra griega alfa multiplicada por L sub cero, es decir por la longitud inicial de la barra."}, {"start": 117.0, "end": 126.0, "text": " Y multiplicada por delta de T. Delta de T es el incremento de temperatura en este caso. Es la variaci\u00f3n de temperatura."}, {"start": 126.0, "end": 135.0, "text": " Entonces tenemos que delta de T siempre ser\u00e1 la diferencia entre la temperatura final y la temperatura inicial."}, {"start": 135.0, "end": 139.0, "text": " Temperatura final menos temperatura inicial nos da cambio en la temperatura."}, {"start": 139.0, "end": 145.0, "text": " Si hemos incrementado la temperatura este delta de T nos da positivo."}, {"start": 145.0, "end": 150.0, "text": " Ahora si hubi\u00e9ramos disminuido la temperatura supongamos que hubi\u00e9ramos enfriado la barra."}, {"start": 150.0, "end": 154.0, "text": " Entonces en lugar de estirarse esta barra se va a acortar."}, {"start": 154.0, "end": 159.0, "text": " Entonces delta L se mide en la otra direcci\u00f3n porque se acortar\u00eda la barra."}, {"start": 159.0, "end": 166.0, "text": " En este caso el delta de T ser\u00eda negativo porque la temperatura final ser\u00eda menor que la temperatura inicial."}, {"start": 166.0, "end": 175.0, "text": " Entonces si delta L nos da negativo es porque ha habido un acortamiento de la barra y eso obedece a una disminuci\u00f3n en la temperatura."}, {"start": 175.0, "end": 180.0, "text": " Bien, vamos a ver entonces como se determina la longitud final de la barra."}, {"start": 180.0, "end": 192.0, "text": " Entonces la longitud final de la barra como podemos apreciar en este dibujo ser\u00eda la suma de la longitud original L sub cero y delta de L."}, {"start": 192.0, "end": 197.0, "text": " Pero delta de L nos dio esta expresi\u00f3n."}, {"start": 197.0, "end": 201.0, "text": " Alfa por L sub cero por delta de T."}, {"start": 201.0, "end": 215.0, "text": " Nosotros sacamos aqu\u00ed factor com\u00fan L sub cero, es decir usamos la factorizaci\u00f3n L sub cero nos queda factor de 1 m\u00e1s alfa por delta de T."}, {"start": 215.0, "end": 228.0, "text": " Y tenemos la expresi\u00f3n para la longitud final de una barra que tiene longitud inicial o longitud original L sub cero"}, {"start": 228.0, "end": 239.0, "text": " que tiene un coeficiente de dilataci\u00f3n lineal o de expansi\u00f3n lineal alfa, el material de la barra y que presenta una variaci\u00f3n de temperatura delta de T."}, {"start": 239.0, "end": 247.0, "text": " Como dec\u00edamos alfa es el s\u00edmbolo que representa el coeficiente de dilataci\u00f3n o coeficiente de expansi\u00f3n lineal."}, {"start": 247.0, "end": 254.0, "text": " Las unidades en que se presenta alfa es grados Celsius o grados cent\u00edgrados elevados a la menos 1."}, {"start": 254.0, "end": 257.0, "text": " Esas son las unidades de este simbolito."}, {"start": 257.0, "end": 267.0, "text": " El alfa normalmente toma valores muy peque\u00f1os, por ejemplo el coeficiente de dilataci\u00f3n lineal del cobre, recordemos el s\u00edmbolo qu\u00edmico del cobre C-U,"}, {"start": 267.0, "end": 275.0, "text": " es de aproximadamente 17 por 10 a la menos 6 grados cent\u00edgrados a la menos 1."}, {"start": 275.0, "end": 278.0, "text": " Entonces vemos que es un valor bastante peque\u00f1o."}, {"start": 278.0, "end": 282.0, "text": " Usualmente entonces los valores de alfa son as\u00ed, son valores muy peque\u00f1os."}, {"start": 282.0, "end": 309.0, "text": " Tenemos entonces dilataci\u00f3n lineal."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=klo7rRWKFOQ

124. DILATACIÓN O EXPANSIÓN TÉRMICA

Curso de Física para el grado 4° de Educación Secundaria Obligatoria (ESO) en España. Clase No. 124: Dilatación o expansión térmica. Tema: Energía y Calor. Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook: https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter: https://twitter.com/julioprofenet Instagram: https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL http://www.julioprofe.net APP JULIOPROFE Para Android: https://goo.gl/XsJRwN Para iOS: https://goo.gl/3y2VtR

Vamos a ver el concepto de dilatación. La mayoría de sustancias se dilatan o se expanden cuando se calientan y se contraen cuando se enfrían. Por ejemplo, en el caso de un termómetro de vidrio, recordemos que el termómetro contiene en su interior mercurio o en ocasiones alcohol teñido de color rojo. Entonces si tenemos un incremento en la temperatura, entonces tanto el mercurio como el vidrio se van a dilatar, se van a expandir, pero lo hacen de manera distinta. El vidrio se dilata de una manera y el mercurio de otra. De hecho el mercurio presenta una mayor dilatación. Entonces el volumen de mercurio aumenta y por esa razón vemos que la linecita de mercurio sube su nivel registrando el incremento de temperatura. Entonces vemos el ejemplo en el caso del termómetro. Al subir la temperatura los materiales, las sustancias se dilatan o se expanden y si hay un descenso en la temperatura se contraen. La dilatación también se conoce con el nombre de expansión térmica porque depende exclusivamente de las variaciones de temperatura. Se aplica básicamente a las tres formas de la materia, sólidos, líquidos y gases. La mayoría de sustancias cumplen con lo que hemos dicho. Ante un incremento de temperatura se expanden o se dilatan. Ante un descenso en la temperatura se contraen. Solamente hay algunas excepciones como el caso del caucho. El caucho cuando se calienta en lugar de expandirse se contrae. Vamos a ver tres tipos de dilatación en la materia que son dilatación lineal, dilatación superficial y dilatación cúbica o volumétrica. Estos tres tipos de dilatación. La dilatación lineal y superficial únicamente se aplica para sólidos. Si por ejemplo lineal si tenemos una barra de cobre, superficial si tenemos una placa de acero como veremos más adelante. En cambio la dilatación cúbica o volumétrica si se aplica para las tres formas de la materia, para los sólidos, para los líquidos y para los gases. Vamos entonces a ver cada una de ellas.

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123. VARIACIÓN DE LA TEMPERATURA Y CAMBIOS DE ESTADO ASOCIADOS

Curso de Física para el grado 4° de Educación Secundaria Obligatoria (ESO) en España. Clase No. 123: Variación de la Temperatura y cambios de estado asociados. Tema: Energía y Calor. Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook: https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter: https://twitter.com/julioprofenet Instagram: https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL http://www.julioprofe.net APP JULIOPROFE Para Android: https://goo.gl/XsJRwN Para iOS: https://goo.gl/3y2VtR

En la naturaleza la materia puede existir en tres estados o fases que son el estado sólido, el estado líquido y el estado gaseoso o en forma de gas. Entonces, para pasar de estado sólido a estado líquido necesitamos agregar una cantidad de energía para que se produzca ese cambio de estado o de fase. Ese cambio de estado sólido a estado líquido es lo que se conoce como fusión y requiere de agregar una cantidad de energía, por ejemplo si queremos derretir hielo para convertirlo en agua. Ahora para pasar de estado líquido a estado gaseoso también necesitamos agregar una cantidad de energía. Este cambio de estado de líquido a gaseoso es lo que se conoce como ebullición. Entonces si nos movemos en esta dirección, es decir de sólido a líquido y de líquido a gas necesitamos agregar energía, necesitamos absorber energía. Entonces hay una absorción de energía, es decir necesitamos agregar calor. El proceso contrario también se puede dar, es decir pasar del estado gaseoso al estado líquido es lo que se conoce como condensación y para ello se debe extraer o liberar una cantidad de energía. De igual manera para pasar de estado líquido a estado sólido que es lo que se conoce como congelación también entonces se requiere extraer o liberar otra cantidad de energía. Entonces si nos movemos en la otra dirección, es decir de gas a líquido y de líquido a sólido vemos que hay un desprendimiento o una liberación de energía. Y todo esto, todos estos cambios de estados o de fases están asociados a una variación de la temperatura. Al incrementar la temperatura entonces nos movemos en esta dirección porque estamos absorbiendo o agregando energía. Al disminuir la temperatura entonces logramos el proceso inverso porque estamos logrando una liberación o desprendimiento de energía. En el caso del agua a presión atmosférica normal recordemos que el punto de fusión es cero grados Celsius hablando de la escala Celsius y el punto de ebullición ocurre a cien grados Celsius. Entonces a cero grados Celsius el agua pasa de estado sólido a estado líquido o también podemos pasar de estado líquido a estado sólido, es decir congelar agua. Y a cien grados Celsius el agua se convierte en vapor de agua o también el vapor de agua se puede convertir nuevamente en agua líquida. Cuando la materia cambia de estado sólido a estado líquido o de estado líquido a estado gaseoso hay una energía que participa en ese cambio de estado o fase. Esta energía se llama calor latente o calor de transformación y se denota con la letra L y es igual al cociente entre la cantidad de calor necesaria Q para producir ese cambio de estado o fase y la masa del cuerpo. Usualmente el calor latente se expresa en calorías sobre gramo, es como la unidad más utilizada. Veamos lo que sucede con el agua. Si tenemos hielo y queremos derretirlo para convertirlo en agua líquida, es decir el cambio de estado que se llama fusión, necesitamos una cantidad de calor, es decir un calor latente o calor de transformación de 80 calorías por cada gramo de hielo. Un gramo de hielo necesita que se le incorporen 80 calorías de calor de energía en forma de calor para que se convierta en agua líquida. De igual manera si quisiéramos convertir agua líquida en hielo, es decir el proceso de congelación, necesitamos esta misma cantidad de calor por cada gramo de agua líquida. Ese es el calor latente de fusión o de congelación para el agua. Para pasar de agua líquida a vapor de agua, es decir el proceso llamado ebullición, necesitamos un calor latente de 540 calorías por cada gramo de agua. Ese sería entonces el calor latente de ebullición o a veces también conocido como calor latente de vaporización. 540 calorías por cada gramo de agua. De igual forma si queremos regresar, es decir el proceso conocido como condensación, necesitamos esta misma cantidad de calor por cada gramo de vapor de agua. Entonces eso es lo que se llama calor latente o calor de transformación cuando se producen cambios de estado en la materia. En esta gráfica de temperatura contra calor, temperatura en grados Celsius y calor expresado en calorías, vamos a ver qué le sucede a un gramo de hielo a menos 40 grados. Vamos a mostrar cómo a medida que sube la temperatura hasta llegar a 100 grados Celsius, entonces convertimos este gramo de hielo en vapor de agua, es decir producimos los cambios de estado o fase. Veamos qué cantidad de calor se requiere para empezar a derretir un gramo de hielo, es decir llevándolo desde menos 40 grados Celsius hasta cero grados Celsius, es decir hasta el punto de fusión del agua. Aquí en cero grados Celsius comienza el proceso de fusión, es decir el hielo se empieza a derretir. Para ello utilizamos la expresión para calcular la cantidad de calor, calor es igual a m por c por delta de t. En este caso sería masa del hielo que es un gramo por el calor específico del hielo que es 0.5, esto está en calorías sobre gramo por grados centígrados por el incremento de temperatura. Para pasar de menos 40 hasta cero entonces hay un aumento de temperatura de 40 grados centígrados, eso sería delta de t, temperatura final menos temperatura inicial. Haciendo toda esta operación eso nos da un total de 20 calorías. Voy a decir esto, que si empezamos en cero, cero calorías, debemos agregar 20 calorías, vamos a suponer que es por aquí, para que ese gramo de hielo entonces pase de menos 40 grados hasta cero grados. Entonces tenemos aquí un primer punto de la gráfica que vamos a unir con una línea recta. Entonces allí tenemos el primer trámito de la gráfica, es cuando se está produciendo entonces el aumento de temperatura que empieza a derretir el hielo. A continuación viene el cambio de estado, es decir, el hielo pasa de estado sólido a convertirse en agua líquida. Para eso requerimos de un calor latente de 80 calorías por gramo, pero como estamos trabajando con un gramo de hielo que se va a convertir luego en agua, entonces necesitamos de 80 calorías, 20 más 80 calorías nos da un total de 100 calorías. De esa manera llegaríamos a este punto y nuevamente unimos con una línea horizontal, con línea recta para mostrar entonces el cambio de estado. Esta línea horizontal indica el cambio de fase de la fase sólida a la fase líquida de ese gramo de hielo. Entonces aquí en este sitio ya tenemos totalmente agua líquida y vamos a seguir subiendo la temperatura desde cero hasta cien grados Celsius, es decir, hasta conseguir la ebullición de ese gramo de agua líquida. Vamos a ver entonces qué cantidad de calor necesitamos. Nuevamente aplicamos la fórmula M por C por delta de T. Tenemos un gramo de agua líquida, el calor específico del agua líquida es igual a una caloría sobre gramo por grados Celsius o grados centígrados por el incremento de temperatura. Vamos a pasar de cero a cien grados Celsius, es decir, un incremento de cien grados Celsius o centígrados. Multiplicando todo eso tenemos un total de cien calorías. Por lo tanto si estábamos en cien y agregamos otras cien calorías vamos a llegar hasta 200. Supongamos que es por aquí, aclaro esta escala no está uniformemente graduada, es solamente para efecto de la explicación. Entonces para 200, o sea al llegar a 200 calorías ya tenemos la temperatura del agua en cien grados Celsius. Nuevamente unimos con línea recta y tenemos el siguiente tramo de la gráfica. En este punto tenemos un gramo de agua totalmente líquida. Si continuamos elevando la temperatura para que esa agua líquida luego se convierta en vapor de agua, es decir, para que se presente el cambio de estado, entonces ahí es cuando necesitamos incorporar el calor latente de cambio de fase, de la fase líquida a la fase gaseosa. Para el caso del agua ese calor latente vale 540 calorías por gramo, pero como estamos trabajando con un gramo de agua entonces necesitamos incorporar 540 calorías. Como estábamos en 200 calorías si agregamos 540 nos da 740 calorías y de esa manera obtenemos este puntico, 740 lo conectamos con cien y allí unimos con un tramo recto horizontal que es lo que nos indica el cambio de estado de la fase líquida a la fase gaseosa. En este punto tenemos entonces un gramo de vapor de agua. Si continuáramos elevando la temperatura de cien hacia arriba entonces aquí también tendríamos que seguir añadiendo calor para que el agua se mantenga en su fase gaseosa. En resumen, esta gráfica nos muestra como una variación de temperatura, es decir, un incremento de temperatura puede producir unos cambios de estado o de fase. En el caso de un gramo de hielo que se convirtió luego en agua líquida y después en vapor de agua. Entonces aquí tenemos hielo en esta zona, aquí tenemos agua líquida, totalmente líquida y en esta zona tenemos vapor de agua, o sea agua en estado gaseoso. Ahí tenemos entonces los tres estados, estado sólido, estado líquido y estado gaseoso. Y en las zonas intermedias lo que tenemos son los cambios de estado, es decir, donde se aplica el calor latente. Entonces aquí tendríamos hielo con agua que es cuando se incorporan 80 calorías para ese gramo de hielo y aquí tenemos lo que es agua junto con vapor, vapor de agua, que es cuando se incorporaron 540 calorías para ese gramo de agua, calor latente de fusión y calor latente de vaporización. Bien, entonces vemos cómo los cambios de estado o de fase en la materia se encuentran asociados a las variaciones de temperatura.

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calor por cada gramo de vapor de agua."}, {"start": 328.84, "end": 333.71999999999997, "text": " Entonces eso es lo que se llama calor latente o calor de transformaci\u00f3n cuando se producen"}, {"start": 333.71999999999997, "end": 336.71999999999997, "text": " cambios de estado en la materia."}, {"start": 336.71999999999997, "end": 343.84, "text": " En esta gr\u00e1fica de temperatura contra calor, temperatura en grados Celsius y calor expresado"}, {"start": 343.84, "end": 350.96, "text": " en calor\u00edas, vamos a ver qu\u00e9 le sucede a un gramo de hielo a menos 40 grados."}, {"start": 350.96, "end": 357.12, "text": " Vamos a mostrar c\u00f3mo a medida que sube la temperatura hasta llegar a 100 grados Celsius,"}, {"start": 357.12, "end": 363.79999999999995, "text": " entonces convertimos este gramo de hielo en vapor de agua, es decir producimos los cambios"}, {"start": 363.79999999999995, "end": 365.4, "text": " de estado o fase."}, {"start": 365.4, "end": 371.96, "text": " Veamos qu\u00e9 cantidad de calor se requiere para empezar a derretir un gramo de hielo,"}, {"start": 371.96, "end": 377.15999999999997, "text": " es decir llev\u00e1ndolo desde menos 40 grados Celsius hasta cero grados Celsius, es decir"}, {"start": 377.15999999999997, "end": 379.32, "text": " hasta el punto de fusi\u00f3n del agua."}, {"start": 379.32, "end": 385.64, "text": " Aqu\u00ed en cero grados Celsius comienza el proceso de fusi\u00f3n, es decir el hielo se empieza a"}, {"start": 385.64, "end": 386.64, "text": " derretir."}, {"start": 386.64, "end": 392.71999999999997, "text": " Para ello utilizamos la expresi\u00f3n para calcular la cantidad de calor, calor es igual a m por"}, {"start": 392.71999999999997, "end": 394.71999999999997, "text": " c por delta de t."}, {"start": 394.71999999999997, "end": 400.47999999999996, "text": " En este caso ser\u00eda masa del hielo que es un gramo por el calor espec\u00edfico del hielo"}, {"start": 400.48, "end": 408.96000000000004, "text": " que es 0.5, esto est\u00e1 en calor\u00edas sobre gramo por grados cent\u00edgrados por el incremento"}, {"start": 408.96000000000004, "end": 410.36, "text": " de temperatura."}, {"start": 410.36, "end": 417.12, "text": " Para pasar de menos 40 hasta cero entonces hay un aumento de temperatura de 40 grados"}, {"start": 417.12, "end": 422.84000000000003, "text": " cent\u00edgrados, eso ser\u00eda delta de t, temperatura final menos temperatura inicial."}, {"start": 422.84000000000003, "end": 428.40000000000003, "text": " Haciendo toda esta operaci\u00f3n eso nos da un total de 20 calor\u00edas."}, {"start": 428.4, "end": 434.79999999999995, "text": " Voy a decir esto, que si empezamos en cero, cero calor\u00edas, debemos agregar 20 calor\u00edas,"}, {"start": 434.79999999999995, "end": 439.96, "text": " vamos a suponer que es por aqu\u00ed, para que ese gramo de hielo entonces pase de menos"}, {"start": 439.96, "end": 443.15999999999997, "text": " 40 grados hasta cero grados."}, {"start": 443.15999999999997, "end": 448.64, "text": " Entonces tenemos aqu\u00ed un primer punto de la gr\u00e1fica que vamos a unir con una l\u00ednea"}, {"start": 448.64, "end": 449.64, "text": " recta."}, {"start": 449.64, "end": 455.23999999999995, "text": " Entonces all\u00ed tenemos el primer tr\u00e1mito de la gr\u00e1fica, es cuando se est\u00e1 produciendo"}, {"start": 455.24, "end": 460.32, "text": " entonces el aumento de temperatura que empieza a derretir el hielo."}, {"start": 460.32, "end": 467.72, "text": " A continuaci\u00f3n viene el cambio de estado, es decir, el hielo pasa de estado s\u00f3lido"}, {"start": 467.72, "end": 470.40000000000003, "text": " a convertirse en agua l\u00edquida."}, {"start": 470.40000000000003, "end": 476.76, "text": " Para eso requerimos de un calor latente de 80 calor\u00edas por gramo, pero como estamos"}, {"start": 476.76, "end": 482.0, "text": " trabajando con un gramo de hielo que se va a convertir luego en agua, entonces necesitamos"}, {"start": 482.0, "end": 489.96, "text": " de 80 calor\u00edas, 20 m\u00e1s 80 calor\u00edas nos da un total de 100 calor\u00edas."}, {"start": 489.96, "end": 497.36, "text": " De esa manera llegar\u00edamos a este punto y nuevamente unimos con una l\u00ednea horizontal,"}, {"start": 497.36, "end": 502.12, "text": " con l\u00ednea recta para mostrar entonces el cambio de estado."}, {"start": 502.12, "end": 508.16, "text": " Esta l\u00ednea horizontal indica el cambio de fase de la fase s\u00f3lida a la fase l\u00edquida"}, {"start": 508.16, "end": 509.8, "text": " de ese gramo de hielo."}, {"start": 509.8, "end": 515.16, "text": " Entonces aqu\u00ed en este sitio ya tenemos totalmente agua l\u00edquida y vamos a seguir subiendo la"}, {"start": 515.16, "end": 521.92, "text": " temperatura desde cero hasta cien grados Celsius, es decir, hasta conseguir la ebullici\u00f3n de"}, {"start": 521.92, "end": 524.5600000000001, "text": " ese gramo de agua l\u00edquida."}, {"start": 524.5600000000001, "end": 527.64, "text": " Vamos a ver entonces qu\u00e9 cantidad de calor necesitamos."}, {"start": 527.64, "end": 531.88, "text": " Nuevamente aplicamos la f\u00f3rmula M por C por delta de T."}, {"start": 531.88, "end": 537.84, "text": " Tenemos un gramo de agua l\u00edquida, el calor espec\u00edfico del agua l\u00edquida es igual a una"}, {"start": 537.84, "end": 546.12, "text": " calor\u00eda sobre gramo por grados Celsius o grados cent\u00edgrados por el incremento de temperatura."}, {"start": 546.12, "end": 552.6, "text": " Vamos a pasar de cero a cien grados Celsius, es decir, un incremento de cien grados Celsius"}, {"start": 552.6, "end": 553.88, "text": " o cent\u00edgrados."}, {"start": 553.88, "end": 558.52, "text": " Multiplicando todo eso tenemos un total de cien calor\u00edas."}, {"start": 558.52, "end": 563.9200000000001, "text": " Por lo tanto si est\u00e1bamos en cien y agregamos otras cien calor\u00edas vamos a llegar hasta"}, {"start": 563.9200000000001, "end": 564.9200000000001, "text": " 200."}, {"start": 564.92, "end": 571.04, "text": " Supongamos que es por aqu\u00ed, aclaro esta escala no est\u00e1 uniformemente graduada, es solamente"}, {"start": 571.04, "end": 572.8, "text": " para efecto de la explicaci\u00f3n."}, {"start": 572.8, "end": 579.8399999999999, "text": " Entonces para 200, o sea al llegar a 200 calor\u00edas ya tenemos la temperatura del agua en cien"}, {"start": 579.8399999999999, "end": 581.68, "text": " grados Celsius."}, {"start": 581.68, "end": 587.38, "text": " Nuevamente unimos con l\u00ednea recta y tenemos el siguiente tramo de la gr\u00e1fica."}, {"start": 587.38, "end": 592.38, "text": " En este punto tenemos un gramo de agua totalmente l\u00edquida."}, {"start": 592.38, "end": 597.48, "text": " Si continuamos elevando la temperatura para que esa agua l\u00edquida luego se convierta en"}, {"start": 597.48, "end": 602.64, "text": " vapor de agua, es decir, para que se presente el cambio de estado, entonces ah\u00ed es cuando"}, {"start": 602.64, "end": 609.2, "text": " necesitamos incorporar el calor latente de cambio de fase, de la fase l\u00edquida a la fase"}, {"start": 609.2, "end": 610.2, "text": " gaseosa."}, {"start": 610.2, "end": 616.88, "text": " Para el caso del agua ese calor latente vale 540 calor\u00edas por gramo, pero como estamos"}, {"start": 616.88, "end": 622.96, "text": " trabajando con un gramo de agua entonces necesitamos incorporar 540 calor\u00edas."}, {"start": 622.96, "end": 633.08, "text": " Como est\u00e1bamos en 200 calor\u00edas si agregamos 540 nos da 740 calor\u00edas y de esa manera obtenemos"}, {"start": 633.08, "end": 641.68, "text": " este puntico, 740 lo conectamos con cien y all\u00ed unimos con un tramo recto horizontal"}, {"start": 641.68, "end": 648.64, "text": " que es lo que nos indica el cambio de estado de la fase l\u00edquida a la fase gaseosa."}, {"start": 648.64, "end": 652.4399999999999, "text": " En este punto tenemos entonces un gramo de vapor de agua."}, {"start": 652.4399999999999, "end": 657.52, "text": " Si continu\u00e1ramos elevando la temperatura de cien hacia arriba entonces aqu\u00ed tambi\u00e9n"}, {"start": 657.52, "end": 664.56, "text": " tendr\u00edamos que seguir a\u00f1adiendo calor para que el agua se mantenga en su fase gaseosa."}, {"start": 664.56, "end": 670.56, "text": " En resumen, esta gr\u00e1fica nos muestra como una variaci\u00f3n de temperatura, es decir, un"}, {"start": 670.56, "end": 676.1199999999999, "text": " incremento de temperatura puede producir unos cambios de estado o de fase."}, {"start": 676.1199999999999, "end": 683.4399999999999, "text": " En el caso de un gramo de hielo que se convirti\u00f3 luego en agua l\u00edquida y despu\u00e9s en vapor"}, {"start": 683.4399999999999, "end": 684.4399999999999, "text": " de agua."}, {"start": 684.4399999999999, "end": 691.76, "text": " Entonces aqu\u00ed tenemos hielo en esta zona, aqu\u00ed tenemos agua l\u00edquida, totalmente l\u00edquida"}, {"start": 691.76, "end": 697.5999999999999, "text": " y en esta zona tenemos vapor de agua, o sea agua en estado gaseoso."}, {"start": 697.6, "end": 703.64, "text": " Ah\u00ed tenemos entonces los tres estados, estado s\u00f3lido, estado l\u00edquido y estado gaseoso."}, {"start": 703.64, "end": 709.48, "text": " Y en las zonas intermedias lo que tenemos son los cambios de estado, es decir, donde"}, {"start": 709.48, "end": 711.76, "text": " se aplica el calor latente."}, {"start": 711.76, "end": 719.28, "text": " Entonces aqu\u00ed tendr\u00edamos hielo con agua que es cuando se incorporan 80 calor\u00edas para"}, {"start": 719.28, "end": 727.64, "text": " ese gramo de hielo y aqu\u00ed tenemos lo que es agua junto con vapor, vapor de agua, que"}, {"start": 727.64, "end": 736.0799999999999, "text": " es cuando se incorporaron 540 calor\u00edas para ese gramo de agua, calor latente de fusi\u00f3n"}, {"start": 736.0799999999999, "end": 738.8399999999999, "text": " y calor latente de vaporizaci\u00f3n."}, {"start": 738.8399999999999, "end": 745.1999999999999, "text": " Bien, entonces vemos c\u00f3mo los cambios de estado o de fase en la materia se encuentran asociados"}, {"start": 745.2, "end": 752.2, "text": " a las variaciones de temperatura."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=PnT1aN6nZAw

51. Mensaje de MATES CON ANDRÉS a Julioprofe

Agradecimiento al ingeniero y profesor Andrés Cebrián (canal en YouTube: Mates con Andrés https://www.youtube.com/channel/UC73702acnOOmrWMzFRHe4oA) por su mensaje desde España. Graba un corto video y envíamelo al correo julioprofecolombia@gmail.com para publicarlo en este canal. Incluye tu nombre, ciudad, país e institución educativa a la que perteneces y cuéntame cuál ha sido tu experiencia con el material educativo que he producido. De antemano, ¡Muchas Gracias! Julioprofe.

Hola Julio Profe, ¿qué tal? Mi nombre es Andrés Zebrían y soy profesor de matemáticas en un instituto público en España y recientemente he abierto un canal de matemáticas en YouTube que se llama Mates con Andrés del que ya tengo grabados 70 vídeos. En primer lugar quería darte la enhorabuena por la gran labor social que llevas haciendo durante todos estos años a través de tu canal, ayudando a millones de personas con los recursos que les ofreces. Y en segundo lugar quería darte las gracias por dos motivos. El primero de ellos es por haberme inspirado junto a mi compatriota David Calle del canal Únicos a decidirme a dar un paso hacia adelante y abrir mi propio canal. La verdad es que me considero un profe innovador y me gusta mucho utilizar las nuevas tecnologías y de esta forma llevo un tiempo practicando con mis alumnos Flip Classroom o lo que llamamos Aula Invertida compartiendo vuestros vídeos. Y la verdad es que se nota que los resultados mejoran muchísimo porque accedemos a los chavales mediante unas herramientas que están más próximas a sus intereses y motivaciones. Y la verdad es que después de un tiempo compartiendo vuestros vídeos es cuando me hice yo la pregunta de ¿por qué no me convierto yo también en el chico de los vídeos? Y de esta forma es cuando di el paso hacia adelante y abrí mi propio canal para poder ayudar a mis alumnos y ya de paso con las ventajas que nos ofrece internet hoy en día poder llegar a cuanta más gente mejor. Y el segundo motivo por el que te quería dar las gracias es por brindarme la oportunidad de publicar este vídeo en tu canal y así darme a conocer un poquito más porque al principio cuesta muchísimo. Pues nada lo dicho, muchas gracias y muchos saludos desde España. Chao.

[{"start": 0.0, "end": 7.0, "text": " Hola Julio Profe, \u00bfqu\u00e9 tal? Mi nombre es Andr\u00e9s Zebr\u00edan y soy profesor de matem\u00e1ticas"}, {"start": 7.2, "end": 11.56, "text": " en un instituto p\u00fablico en Espa\u00f1a y recientemente he abierto un canal de matem\u00e1ticas en YouTube"}, {"start": 11.56, "end": 15.6, "text": " que se llama Mates con Andr\u00e9s del que ya tengo grabados 70 v\u00eddeos."}, {"start": 15.6, "end": 18.84, "text": " En primer lugar quer\u00eda darte la enhorabuena por la gran labor social que llevas haciendo"}, {"start": 18.84, "end": 23.16, "text": " durante todos estos a\u00f1os a trav\u00e9s de tu canal, ayudando a millones de personas con"}, {"start": 23.16, "end": 26.8, "text": " los recursos que les ofreces. Y en segundo lugar quer\u00eda darte las gracias"}, {"start": 26.8, "end": 31.0, "text": " por dos motivos. El primero de ellos es por haberme inspirado junto a mi compatriota David"}, {"start": 31.0, "end": 35.4, "text": " Calle del canal \u00danicos a decidirme a dar un paso hacia adelante y abrir mi propio"}, {"start": 35.4, "end": 37.92, "text": " canal. La verdad es que me considero un profe innovador"}, {"start": 37.92, "end": 41.88, "text": " y me gusta mucho utilizar las nuevas tecnolog\u00edas y de esta forma llevo un tiempo practicando"}, {"start": 41.88, "end": 47.2, "text": " con mis alumnos Flip Classroom o lo que llamamos Aula Invertida compartiendo vuestros v\u00eddeos."}, {"start": 47.2, "end": 50.68, "text": " Y la verdad es que se nota que los resultados mejoran much\u00edsimo porque accedemos a los"}, {"start": 50.68, "end": 56.28, "text": " chavales mediante unas herramientas que est\u00e1n m\u00e1s pr\u00f3ximas a sus intereses y motivaciones."}, {"start": 56.28, "end": 60.6, "text": " Y la verdad es que despu\u00e9s de un tiempo compartiendo vuestros v\u00eddeos es cuando me hice yo la pregunta"}, {"start": 60.6, "end": 63.800000000000004, "text": " de \u00bfpor qu\u00e9 no me convierto yo tambi\u00e9n en el chico de los v\u00eddeos?"}, {"start": 63.800000000000004, "end": 67.76, "text": " Y de esta forma es cuando di el paso hacia adelante y abr\u00ed mi propio canal para poder"}, {"start": 67.76, "end": 72.12, "text": " ayudar a mis alumnos y ya de paso con las ventajas que nos ofrece internet hoy en d\u00eda"}, {"start": 72.12, "end": 75.84, "text": " poder llegar a cuanta m\u00e1s gente mejor. Y el segundo motivo por el que te quer\u00eda"}, {"start": 75.84, "end": 80.28, "text": " dar las gracias es por brindarme la oportunidad de publicar este v\u00eddeo en tu canal y as\u00ed"}, {"start": 80.28, "end": 84.4, "text": " darme a conocer un poquito m\u00e1s porque al principio cuesta much\u00edsimo."}, {"start": 84.4, "end": 88.88000000000001, "text": " Pues nada lo dicho, muchas gracias y muchos saludos desde Espa\u00f1a. Chao."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=kKdyNU3uzJU

122. Problema 1 de CAPACIDAD CALORÍFICA Y CALOR ESPECÍFICO

Curso de Física para el grado 4° de Educación Secundaria Obligatoria (ESO) en España. Clase No. 122: Problema 1 de Capacidad Calorífica y Calor Específico. Tema: Energía y Calor. Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook: https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter: https://twitter.com/julioprofenet Instagram: https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL http://www.julioprofe.net APP JULIOPROFE Para Android: https://goo.gl/XsJRwN Para iOS: https://goo.gl/3y2VtR

En este problema conocemos la cantidad de calor Q que transfiere el dispositivo térmico al agua, esa cantidad de calor es de 67000 J, conocemos también el volumen de agua que recibe esa cantidad de calor que es de 4.3 litros y nos piden calcular la variación de temperatura que sufre el agua, es decir delta de T, esta es la incógnita. Adicionalmente el problema nos da la densidad del agua igual a 1 kg sobre litro y nos da el calor específico del agua que es igual a 4.180 J sobre kg por grados Kelvin, aquí tenemos el calor específico del agua expresado en unidades del sistema internacional. Bien entonces vamos a calcular primero la masa de agua que recibe la cantidad de calor, para ello utilizamos la relación de densidad, sabemos que densidad rho es igual a masa sobre volumen, y de aquí podemos despejar la masa, masa es igual a densidad por volumen, el volumen está dividiendo pasa a multiplicar con la densidad, entonces vamos a reemplazar los valores, densidad del agua es 1 kg sobre litro y eso multiplicado por el volumen de agua que es de 4.3 litros, aquí encontramos que litros con litros se nos cancela y el resultado es 4.3 kg, entonces tenemos una masa de agua de 4.3 kg que recibe esta cantidad de calor. Entonces a continuación vamos a utilizar la expresión Q es igual a m por C por delta de T, cantidad de calor es igual a la masa por el calor específico de la sustancia por la variación de temperatura, entonces de aquí vamos a despejar lo que nos piden que es la variación de temperatura delta de T, para ello las letras digamos lo así las letras m y c que se encuentran multiplicando con delta de T pasan a dividir debajo de la letra Q, entonces nos queda Q sobre m por C, entonces vamos a reemplazar los valores, tenemos cantidad de calor en el numerador es de 67000 J, masa de agua que nos dio 4.3 kg y esto multiplicado por el calor específico del agua que nos dieron en el problema 4.180 J sobre kg por grado kelvin, veamos entonces que pasa aquí con las unidades, kg se nos va con kg, en el numerador tenemos J y abajo también tenemos J, se nos cancela, por lo tanto cuando hagamos la operación numérica grado kelvin que esta por acá en el denominador entonces sube y queda como la unidad correspondiente a la variación de temperatura, esta variación de temperatura entonces nos da, haciendo toda esta operación en la calculadora nos da 3.73 grados kelvin, eso que significa que cuando esta masa de agua 4.3 kg que corresponde a un volumen de 4.3 litros recibe esta cantidad de calor 67000 J, su temperatura sufre un incremento de 3.73 grados kelvin, ahora bien recordemos que en las escalas de temperatura la escala kelvin iba desde 273 K hasta 373 K, esta era la escala kelvin y en la escala centígrada 273 K correspondía a 0 grados centígrados o Celsius y 373 K correspondía a 100 grados Celsius, recordemos que este era el punto de fusión del agua y aquí teníamos el punto de ebullición, vemos que de 273 a 373 tenemos 100 grados, 100 K, asimismo de 0 grados Celsius a 100 grados Celsius tenemos 100 grados Celsius, esto que quiere decir que 100 grados kelvin corresponden a 100 grados Celsius, por lo tanto si nosotros hacemos la siguiente equivalencia 100 K igual a 100 grados Celsius y dividimos ambos lados por 100 nos queda una relación de 1 a 1 es decir 1 grado kelvin corresponde a 1 grados centígrado, entonces un incremento de 3.73 grados kelvin, un incremento de la temperatura de ese valor corresponde a 3.73 grados Celsius, por lo que acabamos de explicar aquí de que la relación entre grados kelvin y grados Celsius es de 1 a 1, entonces esta es la respuesta para nuestro problema, el incremento de temperatura que registra el agua.

[{"start": 0.0, "end": 24.580000000000002, "text": " En este problema conocemos la cantidad de calor Q que transfiere el dispositivo t\u00e9rmico"}, {"start": 24.58, "end": 34.04, "text": " al agua, esa cantidad de calor es de 67000 J, conocemos tambi\u00e9n el volumen de agua que"}, {"start": 34.04, "end": 42.4, "text": " recibe esa cantidad de calor que es de 4.3 litros y nos piden calcular la variaci\u00f3n"}, {"start": 42.4, "end": 49.84, "text": " de temperatura que sufre el agua, es decir delta de T, esta es la inc\u00f3gnita."}, {"start": 49.84, "end": 60.88, "text": " Adicionalmente el problema nos da la densidad del agua igual a 1 kg sobre litro y nos da"}, {"start": 60.88, "end": 77.5, "text": " el calor espec\u00edfico del agua que es igual a 4.180 J sobre kg por grados Kelvin, aqu\u00ed"}, {"start": 77.5, "end": 83.96, "text": " tenemos el calor espec\u00edfico del agua expresado en unidades del sistema internacional."}, {"start": 83.96, "end": 91.44, "text": " Bien entonces vamos a calcular primero la masa de agua que recibe la cantidad de calor,"}, {"start": 91.44, "end": 98.62, "text": " para ello utilizamos la relaci\u00f3n de densidad, sabemos que densidad rho es igual a masa sobre"}, {"start": 98.62, "end": 107.48, "text": " volumen, y de aqu\u00ed podemos despejar la masa, masa es igual a densidad por volumen, el volumen"}, {"start": 107.48, "end": 113.72, "text": " est\u00e1 dividiendo pasa a multiplicar con la densidad, entonces vamos a reemplazar los"}, {"start": 113.72, "end": 123.42, "text": " valores, densidad del agua es 1 kg sobre litro y eso multiplicado por el volumen de agua"}, {"start": 123.42, "end": 133.8, "text": " que es de 4.3 litros, aqu\u00ed encontramos que litros con litros se nos cancela y el resultado"}, {"start": 133.8, "end": 146.20000000000002, "text": " es 4.3 kg, entonces tenemos una masa de agua de 4.3 kg que recibe esta cantidad de calor."}, {"start": 146.20000000000002, "end": 153.48000000000002, "text": " Entonces a continuaci\u00f3n vamos a utilizar la expresi\u00f3n Q es igual a m por C por delta"}, {"start": 153.48000000000002, "end": 160.84, "text": " de T, cantidad de calor es igual a la masa por el calor espec\u00edfico de la sustancia por"}, {"start": 160.84, "end": 166.04, "text": " la variaci\u00f3n de temperatura, entonces de aqu\u00ed vamos a despejar lo que nos piden que"}, {"start": 166.04, "end": 173.16, "text": " es la variaci\u00f3n de temperatura delta de T, para ello las letras digamos lo as\u00ed las letras"}, {"start": 173.16, "end": 179.32, "text": " m y c que se encuentran multiplicando con delta de T pasan a dividir debajo de la letra"}, {"start": 179.32, "end": 188.76, "text": " Q, entonces nos queda Q sobre m por C, entonces vamos a reemplazar los valores, tenemos cantidad"}, {"start": 188.76, "end": 204.72, "text": " de calor en el numerador es de 67000 J, masa de agua que nos dio 4.3 kg y esto multiplicado"}, {"start": 204.72, "end": 216.12, "text": " por el calor espec\u00edfico del agua que nos dieron en el problema 4.180 J sobre kg por"}, {"start": 216.12, "end": 224.44, "text": " grado kelvin, veamos entonces que pasa aqu\u00ed con las unidades, kg se nos va con kg, en"}, {"start": 224.44, "end": 231.04, "text": " el numerador tenemos J y abajo tambi\u00e9n tenemos J, se nos cancela, por lo tanto cuando hagamos"}, {"start": 231.04, "end": 237.76, "text": " la operaci\u00f3n num\u00e9rica grado kelvin que esta por ac\u00e1 en el denominador entonces sube y"}, {"start": 237.76, "end": 242.76, "text": " queda como la unidad correspondiente a la variaci\u00f3n de temperatura, esta variaci\u00f3n"}, {"start": 242.76, "end": 251.44, "text": " de temperatura entonces nos da, haciendo toda esta operaci\u00f3n en la calculadora nos da 3.73"}, {"start": 251.44, "end": 259.2, "text": " grados kelvin, eso que significa que cuando esta masa de agua 4.3 kg que corresponde a"}, {"start": 259.2, "end": 267.15999999999997, "text": " un volumen de 4.3 litros recibe esta cantidad de calor 67000 J, su temperatura sufre un"}, {"start": 267.16, "end": 275.64000000000004, "text": " incremento de 3.73 grados kelvin, ahora bien recordemos que en las escalas de temperatura"}, {"start": 275.64000000000004, "end": 288.84000000000003, "text": " la escala kelvin iba desde 273 K hasta 373 K, esta era la escala kelvin y en la escala"}, {"start": 288.84, "end": 298.88, "text": " cent\u00edgrada 273 K correspond\u00eda a 0 grados cent\u00edgrados o Celsius y 373 K correspond\u00eda"}, {"start": 298.88, "end": 305.52, "text": " a 100 grados Celsius, recordemos que este era el punto de fusi\u00f3n del agua y aqu\u00ed ten\u00edamos"}, {"start": 305.52, "end": 316.08, "text": " el punto de ebullici\u00f3n, vemos que de 273 a 373 tenemos 100 grados, 100 K, asimismo de"}, {"start": 316.08, "end": 322.12, "text": " 0 grados Celsius a 100 grados Celsius tenemos 100 grados Celsius, esto que quiere decir"}, {"start": 322.12, "end": 328.91999999999996, "text": " que 100 grados kelvin corresponden a 100 grados Celsius, por lo tanto si nosotros hacemos"}, {"start": 328.91999999999996, "end": 337.15999999999997, "text": " la siguiente equivalencia 100 K igual a 100 grados Celsius y dividimos ambos lados por"}, {"start": 337.15999999999997, "end": 344.76, "text": " 100 nos queda una relaci\u00f3n de 1 a 1 es decir 1 grado kelvin corresponde a 1 grados cent\u00edgrado,"}, {"start": 344.76, "end": 351.64, "text": " entonces un incremento de 3.73 grados kelvin, un incremento de la temperatura de ese valor"}, {"start": 351.64, "end": 360.4, "text": " corresponde a 3.73 grados Celsius, por lo que acabamos de explicar aqu\u00ed de que la relaci\u00f3n"}, {"start": 360.4, "end": 368.84, "text": " entre grados kelvin y grados Celsius es de 1 a 1, entonces esta es la respuesta para"}, {"start": 368.84, "end": 375.11999999999995, "text": " nuestro problema, el incremento de temperatura que registra el agua."}]

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121. CAPACIDAD CALORÍFICA Y CALOR ESPECÍFICO

Curso de Física para el grado 4° de Educación Secundaria Obligatoria (ESO) en España. Clase No. 121: Capacidad Calorífica y Calor Específico. Tema: Energía y Calor. Video producido por Julioprofe en asociación con el proyecto educativo CIBERMATEX (http://cibermatex.net). REDES SOCIALES Facebook: https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter: https://twitter.com/julioprofenet Instagram: https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL http://www.julioprofe.net APP JULIOPROFE Para Android: https://goo.gl/XsJRwN Para iOS: https://goo.gl/3y2VtR

Vamos a ver los conceptos de capacidad calorífica y calor específico. La capacidad calorífica de un cuerpo es la razón entre la cantidad de calor Q suministrado y el correspondiente aumento de temperatura delta T del cuerpo. Claro cuando le suministramos calor a un cuerpo este presenta un aumento de temperatura. Entonces como dice la definición anterior, capacidad calorífica de un cuerpo es igual a la razón o al cociente entre la cantidad de calor suministrado y el incremento de temperatura. Las unidades en las cuales se expresa la capacidad calorífica pueden ser las siguientes, Joules o Joules sobre grado Kelvin, el calor se mide en Joules y la temperatura se mide en grados Kelvin en el sistema internacional. Grado Kelvin es la unidad de temperatura en el sistema internacional, así como Joules o Joules es la unidad de energía y también de calor en el sistema internacional. También podría expresarse en calorías por grado centígrado o grado Celsius o también podría expresarse en BTU, recordemos que es la unidad térmica británica por grado Fahrenheit. Entonces en cualquiera de estas unidades se puede expresar la capacidad calorífica de un cuerpo. Por otro lado tenemos que el calor específico de la sustancia o material del que está constituido un cuerpo es la razón entre la capacidad calorífica del cuerpo, es decir Q sobre delta de T y la masa del cuerpo M. Se denota con la letra C minúscula, el calor específico se denota con C minúscula. Entonces tenemos que calor específico C minúscula es igual a la razón o el cociente entre la capacidad calorífica del cuerpo que es Q sobre delta de T y la masa del cuerpo. A esta M le podemos colocar denominador 1 y entonces aplicamos la ley de extremos y medios también conocida como ley de la oreja. En la parte de acá arriba nos queda el producto entre Q y 1, Q por 1 nos da Q y en la parte inferior es decir en el denominador nos queda el producto entre M y delta de T, o sea el cambio de temperatura. Esta expresión entonces es la del calor específico de una sustancia. Veamos las unidades en las cuales entonces se expresa el calor específico. Si estamos en el sistema internacional tenemos que la cantidad de calor va en julios o jul, la unidad de masa es el kilogramos y la unidad de temperatura sería el grado kelvin. Esas serán entonces las unidades para el calor específico en el sistema internacional. Pero una unidad o un conjunto de unidades más utilizadas, o sea con mayor frecuencia son las siguientes. La cantidad de calor expresada en calorías, la masa expresada en gramos y la temperatura expresada en grados centígrados. Esta unidad es más usual que esta, entonces con esta unidad expresamos el calor específico. De aquí podríamos entonces obtener otra definición para el calor específico que dice lo siguiente. El calor específico es la cantidad de calor que se necesita para elevar un grado la temperatura de una unidad de masa de una sustancia. Esta definición sale entonces de la relación que acabamos de mostrar. Cantidad de calor necesaria para elevar en un grado de temperatura la unidad de masa de una sustancia. Veamos el ejemplo del agua. El calor específico del agua es igual a una caloría sobre gramo por grado centígrado, agua en estado líquido. Entonces vemos que es necesario una cantidad de calor de una caloría para elevar en un grado centígrado un gramo de agua en estado líquido. En el caso del hierro, el calor específico del hierro, recordemos el símbolo químico del hierro Fm, es igual a 0.11 en las mismas unidades, 0.11 calorías sobre gramo por grado centígrado. ¿Qué quiere decir esto? Que un gramo de hierro requiere de 0.11 calorías para elevar su temperatura en un grado centígrado. Vemos entonces que el calor específico del hierro es menor que el calor específico del agua en estado líquido. Esto significa que si tomamos una misma cantidad de hierro que de agua, por ejemplo un kilogramos de hierro y un kilogramos de agua que corresponde a un litro de agua y los colocamos sobre una estufa, entonces vemos que el hierro necesita menor cantidad de calor para elevar la temperatura que el agua. Esto quiere decir que se calentará con mayor rapidez la masa de hierro, el kilogramos de hierro que el kilogramos de agua. Por ejemplo puede tardar dos minutos calentar ese kilogramos de hierro mientras que calentar ese kilogramos de agua nos puede tardar 15 minutos. Esa es entonces el calor específico de diferentes sustancias, en este caso hierro y agua. Para terminar tenemos que de la expresión del calor específico, calor específico igual a Q sobre m por delta de T, podemos despejar la letra Q, es decir la cantidad de calor. Simplemente pasamos esa expresión m por delta de T que se encuentra dividiendo, la pasamos a multiplicar con el calor específico y podemos organizar la expresión de la siguiente manera, m por c por delta de T. Con esta expresión entonces vamos a encontrar en diferentes situaciones donde se presenta transferencia de energía en forma de calor, pues vamos a encontrar la cantidad de calor transferida que es igual como vemos aquí al producto entre la masa del cuerpo, el calor específico de la sustancia que conforma el cuerpo y la variación de temperatura. Si esta variación es positiva, es decir si tenemos un incremento de temperatura hablaremos de un calor suministrado o un calor que se gana. Si esta variación de temperatura es negativa, es decir hay un descenso de temperatura, entonces hablaremos de un calor que se pierde, que se pierde entre comillas, pero recordemos que la energía no se crea ni se destruye sino que se transforma. En realidad lo que sucede cuando se pierde calor es que hay una transferencia de energía térmica. Bien, entonces hemos visto los conceptos de capacidad calorífica de un cuerpo y calor específico de una sustancia.

[{"start": 0.0, "end": 18.66, "text": " Vamos a ver los conceptos de capacidad calor\u00edfica y calor espec\u00edfico."}, {"start": 18.66, "end": 26.1, "text": " La capacidad calor\u00edfica de un cuerpo es la raz\u00f3n entre la cantidad de calor Q suministrado"}, {"start": 26.1, "end": 32.24, "text": " y el correspondiente aumento de temperatura delta T del cuerpo."}, {"start": 32.24, "end": 40.400000000000006, "text": " Claro cuando le suministramos calor a un cuerpo este presenta un aumento de temperatura."}, {"start": 40.400000000000006, "end": 46.7, "text": " Entonces como dice la definici\u00f3n anterior, capacidad calor\u00edfica de un cuerpo es igual"}, {"start": 46.7, "end": 55.68000000000001, "text": " a la raz\u00f3n o al cociente entre la cantidad de calor suministrado y el incremento de temperatura."}, {"start": 55.68, "end": 62.2, "text": " Las unidades en las cuales se expresa la capacidad calor\u00edfica pueden ser las siguientes, Joules"}, {"start": 62.2, "end": 71.52, "text": " o Joules sobre grado Kelvin, el calor se mide en Joules y la temperatura se mide en grados"}, {"start": 71.52, "end": 74.76, "text": " Kelvin en el sistema internacional."}, {"start": 74.76, "end": 80.2, "text": " Grado Kelvin es la unidad de temperatura en el sistema internacional, as\u00ed como Joules"}, {"start": 80.2, "end": 86.84, "text": " o Joules es la unidad de energ\u00eda y tambi\u00e9n de calor en el sistema internacional."}, {"start": 86.84, "end": 95.8, "text": " Tambi\u00e9n podr\u00eda expresarse en calor\u00edas por grado cent\u00edgrado o grado Celsius o tambi\u00e9n"}, {"start": 95.8, "end": 106.08, "text": " podr\u00eda expresarse en BTU, recordemos que es la unidad t\u00e9rmica brit\u00e1nica por grado Fahrenheit."}, {"start": 106.08, "end": 111.92, "text": " Entonces en cualquiera de estas unidades se puede expresar la capacidad calor\u00edfica de"}, {"start": 111.92, "end": 113.2, "text": " un cuerpo."}, {"start": 113.2, "end": 120.28, "text": " Por otro lado tenemos que el calor espec\u00edfico de la sustancia o material del que est\u00e1 constituido"}, {"start": 120.28, "end": 128.38, "text": " un cuerpo es la raz\u00f3n entre la capacidad calor\u00edfica del cuerpo, es decir Q sobre delta"}, {"start": 128.38, "end": 133.07999999999998, "text": " de T y la masa del cuerpo M."}, {"start": 133.08, "end": 139.92000000000002, "text": " Se denota con la letra C min\u00fascula, el calor espec\u00edfico se denota con C min\u00fascula."}, {"start": 139.92000000000002, "end": 148.0, "text": " Entonces tenemos que calor espec\u00edfico C min\u00fascula es igual a la raz\u00f3n o el cociente entre la"}, {"start": 148.0, "end": 156.20000000000002, "text": " capacidad calor\u00edfica del cuerpo que es Q sobre delta de T y la masa del cuerpo."}, {"start": 156.2, "end": 166.2, "text": " A esta M le podemos colocar denominador 1 y entonces aplicamos la ley de extremos y medios"}, {"start": 166.2, "end": 168.72, "text": " tambi\u00e9n conocida como ley de la oreja."}, {"start": 168.72, "end": 177.39999999999998, "text": " En la parte de ac\u00e1 arriba nos queda el producto entre Q y 1, Q por 1 nos da Q y en la parte"}, {"start": 177.39999999999998, "end": 185.6, "text": " inferior es decir en el denominador nos queda el producto entre M y delta de T, o sea el"}, {"start": 185.6, "end": 187.68, "text": " cambio de temperatura."}, {"start": 187.68, "end": 195.76, "text": " Esta expresi\u00f3n entonces es la del calor espec\u00edfico de una sustancia."}, {"start": 195.76, "end": 201.04, "text": " Veamos las unidades en las cuales entonces se expresa el calor espec\u00edfico."}, {"start": 201.04, "end": 209.16, "text": " Si estamos en el sistema internacional tenemos que la cantidad de calor va en julios o jul,"}, {"start": 209.16, "end": 216.56, "text": " la unidad de masa es el kilogramos y la unidad de temperatura ser\u00eda el grado kelvin."}, {"start": 216.56, "end": 222.16, "text": " Esas ser\u00e1n entonces las unidades para el calor espec\u00edfico en el sistema internacional."}, {"start": 222.16, "end": 228.32, "text": " Pero una unidad o un conjunto de unidades m\u00e1s utilizadas, o sea con mayor frecuencia"}, {"start": 228.32, "end": 229.96, "text": " son las siguientes."}, {"start": 229.96, "end": 239.96, "text": " La cantidad de calor expresada en calor\u00edas, la masa expresada en gramos y la temperatura"}, {"start": 239.96, "end": 243.52, "text": " expresada en grados cent\u00edgrados."}, {"start": 243.52, "end": 251.60000000000002, "text": " Esta unidad es m\u00e1s usual que esta, entonces con esta unidad expresamos el calor espec\u00edfico."}, {"start": 251.60000000000002, "end": 259.24, "text": " De aqu\u00ed podr\u00edamos entonces obtener otra definici\u00f3n para el calor espec\u00edfico que dice lo siguiente."}, {"start": 259.24, "end": 266.40000000000003, "text": " El calor espec\u00edfico es la cantidad de calor que se necesita para elevar un grado la temperatura"}, {"start": 266.40000000000003, "end": 270.48, "text": " de una unidad de masa de una sustancia."}, {"start": 270.48, "end": 278.96000000000004, "text": " Esta definici\u00f3n sale entonces de la relaci\u00f3n que acabamos de mostrar."}, {"start": 278.96000000000004, "end": 286.8, "text": " Cantidad de calor necesaria para elevar en un grado de temperatura la unidad de masa"}, {"start": 286.8, "end": 288.44, "text": " de una sustancia."}, {"start": 288.44, "end": 290.88, "text": " Veamos el ejemplo del agua."}, {"start": 290.88, "end": 299.84, "text": " El calor espec\u00edfico del agua es igual a una calor\u00eda sobre gramo por grado cent\u00edgrado,"}, {"start": 299.84, "end": 301.68, "text": " agua en estado l\u00edquido."}, {"start": 301.68, "end": 308.2, "text": " Entonces vemos que es necesario una cantidad de calor de una calor\u00eda para elevar en un"}, {"start": 308.2, "end": 313.8, "text": " grado cent\u00edgrado un gramo de agua en estado l\u00edquido."}, {"start": 313.8, "end": 320.04, "text": " En el caso del hierro, el calor espec\u00edfico del hierro, recordemos el s\u00edmbolo qu\u00edmico"}, {"start": 320.04, "end": 331.44, "text": " del hierro Fm, es igual a 0.11 en las mismas unidades, 0.11 calor\u00edas sobre gramo por grado"}, {"start": 331.44, "end": 332.44, "text": " cent\u00edgrado."}, {"start": 332.44, "end": 333.84000000000003, "text": " \u00bfQu\u00e9 quiere decir esto?"}, {"start": 333.84000000000003, "end": 343.64, "text": " Que un gramo de hierro requiere de 0.11 calor\u00edas para elevar su temperatura en un grado cent\u00edgrado."}, {"start": 343.64, "end": 348.8, "text": " Vemos entonces que el calor espec\u00edfico del hierro es menor que el calor espec\u00edfico del"}, {"start": 348.8, "end": 350.88, "text": " agua en estado l\u00edquido."}, {"start": 350.88, "end": 357.91999999999996, "text": " Esto significa que si tomamos una misma cantidad de hierro que de agua, por ejemplo un kilogramos"}, {"start": 357.91999999999996, "end": 364.36, "text": " de hierro y un kilogramos de agua que corresponde a un litro de agua y los colocamos sobre una"}, {"start": 364.36, "end": 371.96, "text": " estufa, entonces vemos que el hierro necesita menor cantidad de calor para elevar la temperatura"}, {"start": 371.96, "end": 373.12, "text": " que el agua."}, {"start": 373.12, "end": 379.44, "text": " Esto quiere decir que se calentar\u00e1 con mayor rapidez la masa de hierro, el kilogramos de"}, {"start": 379.44, "end": 382.64, "text": " hierro que el kilogramos de agua."}, {"start": 382.64, "end": 390.2, "text": " Por ejemplo puede tardar dos minutos calentar ese kilogramos de hierro mientras que calentar"}, {"start": 390.2, "end": 394.72, "text": " ese kilogramos de agua nos puede tardar 15 minutos."}, {"start": 394.72, "end": 402.32, "text": " Esa es entonces el calor espec\u00edfico de diferentes sustancias, en este caso hierro y agua."}, {"start": 402.32, "end": 410.24, "text": " Para terminar tenemos que de la expresi\u00f3n del calor espec\u00edfico, calor espec\u00edfico igual"}, {"start": 410.24, "end": 419.32, "text": " a Q sobre m por delta de T, podemos despejar la letra Q, es decir la cantidad de calor."}, {"start": 419.32, "end": 424.94, "text": " Simplemente pasamos esa expresi\u00f3n m por delta de T que se encuentra dividiendo, la pasamos"}, {"start": 424.94, "end": 431.92, "text": " a multiplicar con el calor espec\u00edfico y podemos organizar la expresi\u00f3n de la siguiente manera,"}, {"start": 431.92, "end": 434.28000000000003, "text": " m por c por delta de T."}, {"start": 434.28000000000003, "end": 441.28000000000003, "text": " Con esta expresi\u00f3n entonces vamos a encontrar en diferentes situaciones donde se presenta"}, {"start": 441.28000000000003, "end": 447.18, "text": " transferencia de energ\u00eda en forma de calor, pues vamos a encontrar la cantidad de calor"}, {"start": 447.18, "end": 454.28000000000003, "text": " transferida que es igual como vemos aqu\u00ed al producto entre la masa del cuerpo, el calor"}, {"start": 454.28000000000003, "end": 461.16, "text": " espec\u00edfico de la sustancia que conforma el cuerpo y la variaci\u00f3n de temperatura."}, {"start": 461.16, "end": 466.6, "text": " Si esta variaci\u00f3n es positiva, es decir si tenemos un incremento de temperatura hablaremos"}, {"start": 466.6, "end": 470.84000000000003, "text": " de un calor suministrado o un calor que se gana."}, {"start": 470.84000000000003, "end": 476.56, "text": " Si esta variaci\u00f3n de temperatura es negativa, es decir hay un descenso de temperatura, entonces"}, {"start": 476.56, "end": 482.08000000000004, "text": " hablaremos de un calor que se pierde, que se pierde entre comillas, pero recordemos que"}, {"start": 482.08000000000004, "end": 485.52000000000004, "text": " la energ\u00eda no se crea ni se destruye sino que se transforma."}, {"start": 485.52, "end": 491.24, "text": " En realidad lo que sucede cuando se pierde calor es que hay una transferencia de energ\u00eda"}, {"start": 491.24, "end": 492.24, "text": " t\u00e9rmica."}, {"start": 492.24, "end": 498.28, "text": " Bien, entonces hemos visto los conceptos de capacidad calor\u00edfica de un cuerpo y calor"}, {"start": 498.28, "end": 525.4399999999999, "text": " espec\u00edfico de una sustancia."}]