记数系统

歷史

在木頭、骨頭或石頭上的計數符號從史前時代就開始被使用了。石器時代的文化，包括古代印第安人，使用計數符號進行賭博、私人服務和交易。
在公元前8000年至前3500年間，蘇美爾人發明了使用粘土保留數字信息。他們的做法是將各種形狀的小的粘土記號像珠子一樣串在一起。從大約前3500年開始，粘土記號逐漸被數字符號取代。這些數字符號是使用圓的筆針刻在粘土塊上，然後燒制而成的。大約前3100年，數字符號與被計數的事物分離，成為抽象的符號。在前2700年至前2000年間，圓的筆針逐漸被一種尖的筆針取代，這種筆針可以在粘土上刻出楔形符號。這種楔形數字和圓形數字相似，並保留了符號數值記數法。這些記數系統逐漸演變成了一種常見的六十進位系統。這個系統是一種位置數值記數法，只使用豎向的楔形和人形兩種符號，而且能夠表示分數。這個系統在古巴比倫的初期（大約前1950年）得到了充分的發展，並成為巴比倫尼亞的標準。
上述六十進位系統是一種混合進位制系統，它的一個符號序列的不同位置上使用10和6兩個基數。這個系統被廣泛地應用於商業，同時也在天文學和其他計算中被使用。這個系統從巴比倫尼亞輸出，並傳遍了美索不達米亞，包括希臘，羅馬和埃及。今天，我們仍然用它來計算時間（1小時=60分鐘）和角度（1度=60分）。
中國古代採用算籌記數，個位百位萬位等奇數位用縱籌，偶數位用橫籌，零用空位表示。有時，軍隊人數和供給品記數採用質數的算籌，並按照模算術運算。（參看：大衍求一術，中國剩餘定理）。模算術的好處在於，儘管其加法相對困難，但乘法很容易。這使得模算術很適合軍需品的計算。在現代，同樣的模算術有時用於數位訊號處理。
羅馬帝國使用臘、紙草、和石頭上的割符，大致遵從希臘人將字母對應不同數的習慣。羅馬數字在歐洲被普遍使用，直到1500年代進位制開始流行。
中美洲的瑪雅數字採用20或18為基數的系統，可能繼承自奧爾梅克文明，它包含了位置數值記數法和零這樣的高級屬性。他們將此用於高級的天文計算，包括高精度的太陽年長度和金星軌道的計算。
印加帝國採用奇普，一種打結的帶顏色的繩子來記數。關於使用結和顏色來編碼的知識被西班牙征服者於16世紀所擯棄，並因此失傳。今天，簡單的結繩工具仍在安地斯山脈地區使用。
有些權威認為數位算術隨著中國的算盤的廣泛使用而開始。最早的書面數位記錄似乎是大約400年的算盤計算的結果。特別在大約932年，零已被中國數學家正確地表述了，並且似乎是因為採用一個圓圈表示沒有算盤珠子的那一位而產生的。
在印度，現代數位數字系統被傳給阿拉伯人。可能是和天文表格一起，這一系統被一位印度大使在約773年帶到巴格達。對於印度的數字系統的詳細討論，參看阿拉伯數字和印度數字。
從印度出發，伊斯蘭蘇丹們和非洲的旺盛貿易將此數字系統的概念帶到了開羅。阿拉伯數學家們將此系統推廣到十進位分數。在9世紀，花拉子密寫下了關於該系統的重要著作。隨著12世紀該著作在西班牙被翻譯和斐波那契的《計算書》在1201年的出版，該系統傳入歐洲。在歐洲，完整的帶零的印度系統是於12世紀由阿拉伯人帶來的。
二進位系統由萊布尼茲在17世紀傳播，萊布尼茲在他工作的早期形成了這一概念，並在閱讀中國的《易經》再次鞏固了這一想法。由於計算機的使用，二進位系統在20世紀變得更加普遍。

二

基數為2的系統（二進制）的流行及應用主要是因為電子計算機的發明。以2為基數，也代表只有兩種變化：不是1就是0。最初的電子計算機以開關電路組成，只有兩種狀態：開（1）及關（0），並以此引申作各種複雜的邏輯變化。而現今二進制亦普遍使用於數碼影音系統中。

八

基數8的系統（八進位）是北加利福尼亞的Yuki部落設計的，他們使用了手指間的間隔來數數。也有語言學證據顯示青銅時代印歐人（多數歐洲和印度語言來源於此）可能用基數10的系統取代了基數8系統（或者一個只能數到8的系統）。證據是代表9的詞，newm，根據一些歷史學家推測來源於「新」（'new', newo-），這表示數字9是當時最近發明的，所以稱為『新數』（'new number'） (Mallory & Adams 1997年)。

九

涅涅茨語曾經使用基數9的系統（九進位），但在俄語的影響下轉變為十進位。yúq一詞最初表示9，但在俄語影響下變成了10的意思；所以在現在的涅涅茨，9現在是xasu-yúq，也就是「涅涅茨yúq」，而10就是yúq，但在東部方言中也作lúca-yúq, 也就是「俄語yúq」。

十

十進位是今天最為常用的系統。它被視為因為人類具有十根手指而產生。

十二

基數12的系統（十二進位）曾經很流行，因為乘法和除法比十進位方便，而加法同樣簡單。12很有用，因為它有很多因子。它是1到4最小的公倍數。我們對十二有一個特殊的詞「打」(dozen)，並且使用12小時作為一個白天或者一個黑夜。十二進位可能來自於一隻手除了拇指以外的四個手指的指節個數，它們曾被用來記數。

十六

基數為16的系統（十六進制）曾經在中國的重量單位上使用過，比如，規定16兩為一斤。現在的16進位則普遍應用在電腦領域，這是因為將二進位數字轉化為十六進位數字非常容易，用十六進位表達數字比用二進制方便。1位元組（一個8個位的二進位數字）可以很方便的表示成一個兩個位的16進位數字。

二十

瑪雅文明和其它前哥倫布時期中美洲文明使用二十進位、因努伊特的因努伊特數字，可能是源於人的手指和腳趾總數。

六十

基數為60的系統（六十進位）是蘇美爾人和他們在美索不達米亞的繼承者所使用的，今天還在我們的計時系統中存在（所以一小時有60分鐘而一分鐘有60秒）。60也有大量因子，包括前六個自然數。六十進位系統被認為是因為十進位和十二進位合併過程中產生的。中國曆法中，六十進位的甲子系統用於表示年，每個60年循環中的年用兩個符號代表，第一個符號是十進位的天干，第二個符號是十二進位的地支。兩個符號在後續一年中同時前進一，這樣同樣的組合在60年後再現。該系統的第二個符號也和12個動物的生肖系統對應。

進位轉換

轉換正整數的進位的有一個簡單算法，就是通過用目標基數作長除法；餘數給出從最低位開始的「數字」。例如，1020304從10進位轉到7進位：
1020304 / 7 = 145757 r 5 ↑  => 11446435
 145757 / 7 =  20822 r 3 │
  20822 / 7 =   2974 r 4 │
   2974 / 7 =    424 r 6 │
    424 / 7 =     60 r 4 │
     60 / 7 =      8 r 4 │
      8 / 7 =      1 r 1 │
      1 / 7 =      0 r 1 │
再如，10110111 從2進位到5進位：
10110111 / 101 = 100100 r 11  (3) ↑  => 1213
  100100 / 101 =    111 r  1  (1) │
     111 / 101 =      1 r 10  (2) │
       1 / 101 =      0 r  1  (1) │
轉換一個「十進位」小數，可以用重複乘法，將整數部分作為「數字」。不幸的是有限小數不一定轉換成為有限小數，例如0.1A4C從16進位轉換到9進位：
0.1A4C × 9 = 0.ECAC │
0.ECAC × 9 = 8.520C │
0.520C × 9 = 2.E26C │
0.E26C × 9 = 7.F5CC │
0.F5CC × 9 = 8.A42C │
0.A42C × 9 = 5.C58C ↓  => 0.082785...a

一般化變長整數

更一般化的有一種記法(這裡寫作小頭式)，例如a₀a₁a₂ 用作a₀ + a₁b₁ + a₂b₁b₂, etc.