控制理论

控制理論是工程學與數學的跨領域分支，主要處理在有輸入信號的動力系統的行為。系統的外部輸入稱為「參考值」，系統中的一個或多個變數需隨著參考值變化，控制器處理系統的輸入，使系統輸出得到預期的效果。
控制理論一般的目的是藉由控制器的動作讓系統穩定，也就是系統維持在設定值，而且不會在設定值附近晃動。
連續系統一般會用微分方程來表示。若微分方程是線性常係數，可以將微分方程取拉普拉斯轉換，將其輸入和輸出之間的關係用傳遞函數表示。若微分方程為非線性，已找到其解，可以將非線性方程在此解附近進行線性化。若所得的線性化微分方程是常係數的，也可以用拉普拉斯轉換得到傳遞函數。
傳遞函數也稱為系統函數或網路函數，是一個數學表示法，用時間或是空間的頻率來表示一個線性常係數系統中，輸入和輸出之間的關係。
控制理論中常用方塊圖來說明控制理論的內容。

範例

車輛的巡航定速系統是讓車輛維持在由駕駛者設定的固定參考速度。此時控制器為巡航定速系統，車輛為受控體（plant），而系統是由控制器和車輛所組成，而控制變數是引擎節流閥的位置．會決定引擎可以產生的功率。
一種最單純的作法是當駕駛者啟動巡航定速系統時，固定引擎節流閥的位置。但是若駕駛者在平坦的路面啟動巡航定速系統，車輛在上坡時速度會較慢，車輛在下坡時速度又會較快。這種的控制器稱為開迴路控制器，因為沒有去量測系統輸出（車輛速度）並且影響控制變數（節流閥位置），因此此系統無法去針對車輛遇到的變化（像路面坡度的變動）去進行調整。
在閉迴路控制系統中，利用感測器量測系統輸出（車輛速度），並將資料送入控制器中，控制器依資料調整控制變數（節流閥位置），來達到維持理想系統輸出（使車輛速度和駕駛者設定的參考速度一致）。此時若車輛在上坡時，感測器會量到車輛的速度變慢，因此會調整節流閥位置，加大引擎輸出功率，使馬達加速。因為有量測車輛速度的回授，因此控制器可以配合車輛速度的變化進行動態調整。因此產生了控制系統中的「迴路」範式：控制變數影響系統輸出，而再根據量測到的系統輸出去調整控制變數。

歷史

雖然許多控制系統在古代時就有了，但此領域較正式的分析是從離心式調速器的動態分析開始的，物理學家詹姆斯·馬克士威在1868年為此撰寫了論文《論調速器》（On Governors） ，其中描述了自激振盪的現象－由於系統時間延遲，使得系統過度補償及不穩定的情形。因此也使得得許多科學家對此議題產生興趣，其中馬克士威的同學愛德華·約翰·羅斯將馬克士威的研究結果抽象化，應用在一般的線性系統中，阿道夫·霍維茨在1877年也獨立均分析微分方程的穩定性，其結果即為今日的羅斯-霍維茨定理。
動態系統控制的顯著成就是載人的飛行，人類首次成功的載人飛行是由萊特兄弟在1903年12月17日達成的，其卓越之處不只是可以使機翼產生升力（這對當時的研究者是已知的），而是在於可以長時間控制其飛行。若要使飛行時間超過幾秒鐘，對飛機連續、可靠的控制是重要條件之一。
在二次大戰時，控制系統是火控系統、導引系統及相關電子設備的重要組成之一。
有時會用機械的方式來增加系統的穩定性．例如船舶穩定器就是安裝在船舶吃水線以下．橫向張開的鰭片。現在的船舶有用陀螺儀控制的活動鰭片，可以調整攻角，抵抗風或浪作用在船上產生的橫搖。
AIM-9響尾蛇飛彈在飛彈後方有一個小的控制表面，其外面是一個旋轉的圓盤，稱為陀螺舵或滾轉安定翼。圓盤後的氣流會以高速旋轉，若飛彈開始橫搖，圓盤的陀螺力會使控制表面對正氣流，減少橫搖的影響。因此響尾蛇飛彈用一個簡單的機械組件代替一個可能非常複雜的控制系統。
太空競賽也和精準的航天控制有關，而許多領域也越來越常用到控制理論，例如經濟學。

現代控制理論

經典控制理論以頻域分析為主，而現代控制理論利用時域的狀態空間表示法，將系統中的輸入、輸出及狀態變數之間的關係用一階的微分方程表示。為了抽象化輸入、輸出及狀態變數的數量，這些變數一般會用向量來表示，而微分方程或代數方程（當系統是線性時）則會以矩陣形式表示。狀態空間表示法也稱為時域分析，提供一個方便且簡潔的方式針對多重輸入及輸出的系統建模及分析，在有輸入和輸出時，也可以利用拉氏轉換，將系統所有的資料包括在其中。現代控制理論不同於頻域分析，可以分析非線性或不是零初始條件的系統。狀態空間就是指座標軸為狀態變數的空間，系統的狀態可以表示為狀態空間中的一個向量。

可控制性及可觀測性

可控制性和可觀測性分別是輸入和狀態，輸出和狀態之間的性質。是在分析控制系統，決定控制策略或判斷是否可以使系統穩定時所需要的重要性質。
可控制性是指是可以用適當的控制信號作為輸入，使特定狀態變數的數值變成０，和利用輸入調整狀態變數的能力有關，若一個狀態變數是不可控制的，表示沒有輸入可以調整這一個狀態，若一系統中所有不可控制的狀態變數，其動態特性都是穩定的，則此系統稱為可穩定的（stabilizable）。可觀測性是指可以用輸出的量測及計算得到狀態變數的值，若一個狀態變數是不可觀測的，表示無法確認此一狀態是否穩定，也就無法用此狀態來穩定整個系統。若一系統中所有不可控制的觀測變數都是穩定的，則此系統稱為可檢測的（detectable）。
若以幾何觀點來看，若要控制系統中所有的狀態，那些「不好」的狀態都需是可控制且可觀測的，才能確保閉迴路系統的良好特性。若系統中有一個狀態不是可控制且可觀測的，無法在閉迴路系統中調整其動態特性。若此狀態的動態特性是不穩定的，此特性也會出現在閉迴路系統中，因此整個系統也是不穩定的。在狀態空間轉換到傳遞函數時，不可觀測的的極點不會出現在傳遞函數中，因此在一些動力系統分析時，會選擇使用狀態空間表示法。
不可控制或不可觀察的系統，可以用加入致動器或感測器的方式改善。

控制規格

在控制原理的基礎下，已發展出許多不同的控制策略，從非常通用的（PID控制器），到針對特殊系統的控制，尤其是機器人或是航空器的巡航定速控制。
一個控制問題會有許多的規格，其中穩定性是必要條件的，不論系統開迴路穩定性如何，控制器需確保在閉迴路下是穩定的。性能不佳或是調整不當的控制器可能使系統變的不穩定，甚至可能比開迴路還要不穩定，這是應盡量要避免的。
有時會希望在閉迴路下有較快的動態特性，若是線性時不變系統，其穩定性及動態特性可以用傳遞函數極點的位置來表示，極點的實部越小，表示有更快的動態特性，一個穩定系統，其極點會符合的條件，但再加上動態特性的需求時，系統極點會符合的條件，其中為一個大於零的定值。
另一個常見的規格是對步階擾動的抑制能力，在受控系統前加入積分器即可達到此一需求，其他種類擾動的抑制能力也可以透過其他的子系統才能達成。
其他「經典」的控制系統規格有些和閉迴路系統的時域響應有關：包括上昇時間（控制系統在擾動後，輸出第一次到達理想數值的時間）、峰值過衝（控制系統在擾動後，穩定之前，輸出的最大值）、安定時間（控制系統輸出維持在理想數值範圍的時間）在擾動後，穩定之前，輸出的最大值）、四分之一衰減響應（quarter-decay）或其他規格。頻域規格一般會和系統的強健性（強健性）有關。
現在的性能指標也包括一些用積分量或其變體表示的追隨誤差，像絕對誤差積分（IAE）、絕對時間誤差積分（ITAE）、平方誤差積分（IAE）、慣量中心（COI）等。

線性系統控制

針對MIMO的系統，極點的指定可以用開迴路系統的狀態空間，再將極點放在指定位置，計算對應的回授矩陣。若在複雜的系統中，上述的程序需要用電腦輔助計算才能達到，而且不保證其強健性。而且一般而言無法量到所有的系統狀態，在極點指定的設計時需加入觀測器（observer）的設計。

非線性系統控制

像機器人學及航天產業中的程序一般都有高度非線性的動態，在控制理論中有時可以用線性化的方式轉換為線性系統，再依線性系統的方式控制。但有時需要用一些可以配合非線性系統使用的非線性控制理論，例如回授線性化、反推控制、滑動模式控制等。軌跡線性化控制一般利用李亞普諾夫穩定性的基礎。微分幾何用做為一數學工具，將許多廣為人知的線性控制概念擴展到非線性控制中，但其中又有其微妙之處，因此變成一個更有挑戰性的問題。

分散式系統

分散控制系統是指一個系統由多個控制器來控制。分散控制有幾個好處，例如可以控制一個位在廣大地理區域的系統，各控制器之間可以用通訊網路彼此交換資料，並協調彼此的行動。

主要控制策略

每一個控制系統首先都要保證其閉迴路特性的穩定性。線性系統可以用極點指定的方式達到。非線性系統一般會根據亞歷山大·李亞普諾夫的理論，來確保系統的穩定性和內部動態無關。控制系統有許多不同的控制規格，是否可以符合所有控制規格則和考慮的系統模型及選擇的控制策略有關。以下是一些主要控制策略的列表：
適應控制會在線識別程序中的參數，或修改控制器的增益，使系統有較佳的強性。適應控制最早在1950年代用在航天產業中，而且應用的非常成功。
分層控制系統是一種設備及控制軟體皆依分層樹方式規劃的控制系統。當樹中的連結用電腦網路來實現時，分層控制系統也可以視為是一種網路控制系統。
智能控制會使用許多人工智慧的方法來控制動態系統，會用到的方式包括人工神經網絡、貝葉斯概率、模糊邏輯、機器學習、進化計算及遺傳算法等。
最優控制是一種特別的控制技術，控制器產生的控制信號需使某特定「成本指數」最佳化。以太空船為例，噴射引擎需在消耗油量最小的情形下將太空船帶到期望的軌道。有二種最優控制的設計方式廣泛的用在工業應用中，而且已證明這二個方式可以確閉迴路的穩定性。這二種方式分別是模式預測控制（MPC）及線性二次高斯控制（LQG）。第一個方式很明確的考慮系統中信號的限制條件，這是很多工業系統都有的重要特徵，但其中的最佳控制只是作為滿足所有限制的一個方式，不是最優化閉迴路系統中的實際性能指標。配合PID控制器的模式預測控制系統常用在程序控制中。
強健控制明確的在控制器設計時考慮其不確定性。強健控制的控制器可以克服分析用理想系統和實際系統之間的小誤差。亨德里克·韋德·波德和其他早期提出的控制方式有一些強健性。而1960到1970年代提出的狀態空間法則較沒有強健性。現代控制中，由英國劍橋大學的 Duncan McFarlane 和Keith Glover提出的H∞迴路函數整形是一種強健控制。強健控制的目的是要在存在小的模型誤差的情形下達到強健性的性能以及穩定性。
隨機控制是在模型有不確定性的情形下進行控制。在典型的統計控制問題中，會假設在模型及控制器中存在隨機的雜訊及擾動，控制器設計時需考慮這些隨機的變異。
能量整型控制將控制器及受控系統視為是能量轉換的元件，其控制策略是以能量保持的方式互連，以達到所需的特性。
自組織臨界控制可定義為試圖用自組織系統耗散能量的方式來影響流程。