小波分析

小波的定義

wavelet是指小型波(在傅立葉分析裡的弦波是大型波)，簡單說來，小波(wavelet)是一個衰減迅速的振盪。
有幾種定義小波（或者小波族）的方法:

縮放濾波器

小波完全通過縮放濾波器g——一個低通有限脈衝響應（FIR）長度為2N和為1的濾波器——來定義。在雙正交小波的情況，分解和重建的濾波器分別定義。
高通濾波器的分析作為低通的QMF來計算，而重建濾波器為分解的時間反轉。例如Daubechies和Symlet小波。

縮放函數

小波由時域中的小波函數 (即母小波)和縮放函數 (也稱為父小波)來定義。
小波函數實際上是帶通濾波器，每一級縮放將帶寬減半。這產生了一個問題，如果要覆蓋整個譜需要無窮多的級。縮放函數濾掉變換的最低級並保證整個譜被覆蓋到。詳細解釋請參看 。
對於有緊支撐的小波，可以視為有限長，並等價於縮放濾波器g。例如Meyer小波。

小波函數

小波只有時域表示，作為小波函數。例如墨西哥帽小波。

小波的分類

小波以continuous / discrete 來分，有 3 種:
1. 第一種輸入為: continuous，輸出為: continuous 
-> 稱為 Continuous Wavelet Transform 
2. 第二種輸入為: continuous，輸出為:discrete
-> 稱為 continuous wavelet transform with discrete coefficients
3. 第三種輸入為: discrete，輸出為:discrete
-> 稱為 Discrete Wavelet Transform

邊緣偵測

小波轉換亦常應用於影像的邊緣偵測（edge detection），傳統的影像邊緣偵測採用二維差分運算子以偵測影像邊緣，乃假設影像邊緣上和邊緣旁之影像灰階值必然不同，當取微分時，在邊緣上會呈現非常大梯度值，藉由調整影像灰階值的臨界值參數可強化邊緣，但二維小波轉換則是一種效果較佳的影像邊緣偵測方法，當取小波轉換時，在影像邊緣上亦會呈現非常大的梯度值。在電腦視覺或影像處理上經常使用動態輪廓或蛇行模式來偵測物體的邊界或邊緣。
在物體紋路及表面瑕疵檢測上亦有其應用，由於小波轉換有局部性處理的能力，對於小區域之瑕疵能有效凸顯，其頻率特性使得在處理瑕疵上不易受環境影響。相對於頻率域之轉換方法，小波轉換處理速度快，因不須事先經過訓練與繁複的數學計算，使得小波轉換在速度處理上獲得不錯效果，其具有多解析(Multi-resolution)與多尺度(Multi-scale)能力，使得在處理紋路瑕疵上不會產生方塊效應。小波轉換不會變動影像物體的相對位置，且保留紋路與瑕疵的空間關係與影像大小。

音樂訊號分析

小波轉換亦可用在音樂訊號上，像是樂器自動辨識的應用，第一種為先使用一維小波轉換將聲音訊號分解為不同頻率範圍的各個頻帶，接著再對各個頻帶中擷取能量平均值以及能量標準差視為一維小波轉換之特徵向量。而第二種方法為先將聲音訊號轉成頻譜圖並視為一張二維影像，對此頻譜圖做二維小波轉換分解出各個頻帶，再對頻帶中擷取能量平均值和能量標準差做為二維小波的特徵向量。最後，利用相鄰近似法使用歐基里德距離來計算測試資料的特徵向量和每一樂器的特徵向量之距離，並取最小距離為辨識結果的樂器類別。
而小波轉換也常用在音樂訊號的壓縮，由於人耳對聲音各頻帶是有其感知力的，故有些頻帶人無法聽見，有些頻帶人耳特別靈敏。利用離散小波轉換來將音樂訊號做高低頻切割多次，就可以將原訊號分成許多子頻帶(sub-band)，但傳統離散小波轉換計算架構，將波型分成高頻與低頻後，下一次的切割只對低頻做切割，故沒辦法完全分割出與人耳感知頻帶相符合的子頻帶。於是更精細的計算架構被提出，稱為離散小波包轉換(discrete wavelet packet transform)，原理就是音樂訊號被分成高頻訊號後，會再做分割。一段音樂訊號就可以被分割成更貼近人耳25個頻帶的訊號，這樣的分割法更優於一般傅立葉分析所使用的濾波器，從這些子頻帶中，找出能夠被屏蔽的訊號，濾除之後，就可以將原本音樂訊號檔案大小壓縮了。
在辨識音樂訊號的樂譜上也有其應用，音樂訊號由一個個音符組成，而每個音符以特定的節奏出現，通常是成群的諧音出現，若要分辨出一段訊號最主要的頻率為何，必須濾除其泛音才能判斷，而由離散小波轉換的多重解析度分割就可以將泛音區隔在不同的子頻帶中，而且訊號中的雜訊也可以依同樣方法被濾除。由於是要偵測transient 現象，基於要偵測什麼樣的訊號就使用跟它很像的訊號當作基底拆解它這個原則，故在選擇小波基底時，就要選擇較有突然劇烈變化的母小波，如此一來小波轉換後的小波係數，能量就會聚集在原訊號有劇烈變化之處了，由此方法可有效辨識音樂訊號的音高(也就是頻率)。
音樂訊號簡易壓縮
原始音樂訊號　-> MDCT ->去除不重要的係數 -> IMDCT -> 輸出結果
MDCT: Modified Discrete Cosine Transform

遙測影像分析

連續小波轉換常應用於遙測影像分析上，如海底地形之解析，利用具有分析非均勻訊號的高維連續小波轉換理論作為遙測影像的分析工具，從中求取影像波浪譜，再從影像波浪譜中反算出觀測區域的水深值。傳統的研究多將海洋遙測影像假設為均勻(homogeneous)的海面影像，並採用被分析影像為均勻性前提所發展出的方法進行譜轉換，其分析所得之影像譜實際上為整個遙測影像波數譜的平均值。然而自然界的訊號常存在有非均勻的特性，近岸海域的波浪亦不例外。為能從分析非均勻影像訊號中分析得到合理且準確的水深資訊，可引入非均勻訊號分析理論-小波轉換。如高維小波轉換理論可應用在分析海洋遙測影像之研究，藉以從中計算出底床地形的資訊，透過小波轉換的非定常訊號的解析能力，可將整張遙測影像分解為不同的子影像，每一塊子影像區域的波場理論上具有一定程度之均勻性，再進而從各子影像中求解水深值，藉以描繪出觀測海域的水深資訊。

生物醫學訊號分析

離散小波轉換亦常應用在生醫領域中，因為其具有較低的複雜度與較佳的時域-頻域分析之特性，而被選擇作為分析生醫訊號的方法。心電圖 (Electrocardiography) 與腦波圖 (Electroencephalography) 是兩項常見的生醫應用。在心電圖方面，為了診斷心臟相關疾病，可使用離散小波轉換去除原始訊號中冗餘的特徵，並由重建的訊號中偵測R-R區間。
一般而言，病患之心電圖時常需要全天候的觀察與分析，因此資料量相當龐大，此時便需要很大的儲存空間來儲存這些資料，因此有必要將心電圖之資料加以壓縮，才可有效減少所需之儲存設備成本。訊號的壓縮可分為無失真(lossless)壓縮和失真(lossy)壓縮兩種，若是依傳統醫學觀念，或許應該使用無失真壓縮，才可避免因資訊不完整而造成誤診等醫療疏失，但由於傳送資訊之網路頻寬有限且資料龐大，因此使用失真(lossy)壓縮以達到更大的壓縮效率已成必然，在增大壓縮效率的同時，亦可保證其重建訊號之可靠度，以避免不必要的醫療疏失便是一重要課題，小波轉換便可達到此項目標。
而小波轉換亦有去除不必要雜訊之功用，以正確判讀心電圖，此方法稱為小波係數臨界法(wavelet coefficients thresholding)，訊號經小波轉換後，雜訊會成為較小的訊號(low scale)，因此將較小scale的訊號去除，即可去除雜訊，一般的做法為設立一臨界值，將低於此臨界值的訊號捨棄，高於臨界值的訊號保留。而選擇臨界值的方式有兩種，一種為硬式臨界值(hard threshold)，其臨界值為一常數，不隨輸入訊號改變而改變，此法優點為設計簡單，但得到的結果並不理想，若改由不同輸入訊號形成不同臨界值，則稱為軟式臨界值，將經小波轉換後每一頻帶之變異數(variance)開根號後形成標準差，而後以標準差當作參數作為臨界值，此法產生之臨界值會因輸入訊號長度的不同而改變。
另一個小波轉換在生醫領域的應用則是應用在腦電圖上，早期腦電圖訊號分析技術，普遍以傅立葉轉換為主，近年來，小波轉換技術逐漸被採用，其特性在對於未知訊號的頻率分布，在時間軸上可以得到很好的解析度，適合應用於腦波的不穩定訊號分析處理。再配合類神經網路非線性分辨能力，可有效分辨α波、β波。
亦有一個應用是在於腦電圖中正常的背景訊號與不正常的尖峰訊號之區分，患有癲癇的病人其不正常的尖峰訊號其形狀會類似一個凸起的尖峰，故此訊號殼稱為尖峰訊號(spike)，利用多重解析變換的小波轉換(multi-resolution wavelet transform)可用來分析這類型態類似、但大小區間變異很大的癲癇訊號。

歷史

第一個小波轉換是阿爾佛雷德·哈爾在 1909年提出來的哈爾小波(Haar wavelet)，但是當時小波的概念並不存在，直到1981年地球物理學家吉恩·莫萊特才提出小波的概念，且小波轉換變成分析地震波的新工具。
之後在1984年吉恩·莫萊特和 物理學家亞歷克斯·格羅斯曼發明了"wavelet"一詞，並且對於連續小波轉換和其各種應用有比較詳盡的數學研究。
在1985年之前，大家所熟知的正交小波(orthogonal wavelet)只有Haar小波，然而數學家伊夫·梅耶爾在1985年建立了第二種正交小波，即Meyer小波。接著越來越多人投入這個領域並在1987年法國辦了第一屆國際研討會。
1988年, 史蒂芬·馬拉特和伊夫·梅耶爾提出了多解析度的概念，同年(1988)，英格麗·多貝西建立了緊支撐正交小波(compact support orthogonal wavelet)。隔年(1989)史蒂芬·馬拉特提出了快速小波轉換。隨著快速小波轉換的發展，許多小波轉換的應用得以實現。
除了先前許多卓越的數學家像是英格麗·多貝西，亞歷克斯·格羅斯曼，史蒂芬·馬拉特，伊夫·梅耶爾，羅納德·德沃爾，羅納德·科夫曼，維克多·魏克爾豪斯在小波理論上都有顯著的貢獻，之後直到現在也陸續有人提出了許多方法和應用。

小波轉換，傅立葉轉換，Gabor轉換的比較

傅立葉轉換具有局部性，Gabor轉換沒有具有局部性
小波轉換具有局部性，並且可以改變參數來調整頻譜的窗口和結構形狀，進而做到"變焦"的作用.
因此小波分析可以達到多解析度的效果