馬克士威方程組

馬克士威方程組（英語：Maxwell's equations）是一組描述電場、磁場與電荷密度、電流密度之間關係的偏微分方程式。該方程組由四個方程式組成，分別是描述電荷如何產生電場的高斯定律、表明磁單極子不存在的高斯磁定律、解釋時變磁場如何產生電場的法拉第感應定律，以及說明電流和時變電場怎樣產生磁場的馬克士威-安培定律。馬克士威方程組是因英國物理學家詹姆斯·馬克士威而命名。馬克士威在19世紀60年代構想出這方程組的早期形式。
在不同的領域會使用到不同形式的馬克士威方程組。例如，在高能物理學與重力物理學裏，通常會用到時空表述的馬克士威方程組版本。這種表述建立於結合時間與空間在一起的愛因斯坦時空概念，而不是三維空間與第四維時間各自獨立展現的牛頓絕對時空概念。愛因斯坦的時空表述明顯地符合狹義相對論與廣義相對論。在量子力學裏，基於電位與磁勢的馬克士威方程組版本比較獲人們青睞。
自從20世紀中期以來，物理學者已明白馬克士威方程組不是精確規律，精確的描述需要藉助更能顯示背後物理基礎的量子電動力學理論，而馬克士威方程組只是它的一種古典場論近似。儘管如此，對於大多數日常生活中涉及的案例，通過馬克士威方程組計算獲得的解答跟精確解答的分歧甚為微小。而對於非古典光、雙光子散射、量子光學與許多其它與光子或虛光子相關的現象，馬克士威方程組不能給出接近實際情況的解答。
從馬克士威方程組，可以推論出光波是電磁波。馬克士威方程組和勞侖茲力方程式是古典電磁學的基礎方程式。得益於這一組基礎方程式以及相關理論，許多現代的電力科技與電子科技得以被發明並快速發展。

概論

馬克士威方程組是由四個一階線性偏微分方程式共同組成。 雖然一階與線性都是良好的數學性質，除了具有高度對稱性的案例以外，通常找不到它的解析解，因此必須使用數值方法來找到它的數值解。但由於電動力學是一種線性理論，可以利用疊加原理來求解。

高斯定律

高斯定律描述電場是怎樣由電荷生成。電場線開始於正電荷，終止於負電荷。從估算穿過某給定閉曲面的電場線數量，即電通量，可以得知包含在這閉曲面內的總電荷。更詳細地說，該定律描述穿過任意閉曲面的電通量與這閉曲面內的電荷數量之間的關係。

高斯磁定律

高斯磁定律表明，磁單極子（磁荷）並不存在於宇宙。在實驗方面，物理學者迄今仍尚未發現磁單極子存在的明確證據。由物質產生的磁場是被一種稱為偶極子的位形所生成。磁偶極子最好是用電流迴路來表示。磁偶極子好似不可分割地被束縛在一起的正磁荷和負磁荷，其淨磁荷為零。磁場線沒有初始點，也沒有終止點。磁場線會形成迴圈或延伸至無窮遠。換句話說，進入任何區域的磁場線，也必須從那區域離開。以術語來說，通過任意閉曲面的磁通量等於零，磁場是一個螺線向量場。
部分學者認為這個定律沒有名字或稱之為無自由磁單極子定律。

法拉第感應定律

法拉第感應定律描述時變磁場怎樣感應出電場。電磁感應是許多發電機的運作原理。例如，一塊旋轉的條形磁鐵會產生時變磁場，這又會生成電場，使得鄰近的閉迴圈因而感應出電流。。

馬克士威-安培定律

馬克士威-安培定律闡明，磁場可以用兩種方法生成：一種是靠電流（最初安培定律描述的方法）產生，另一種是靠隨時間變化的電場（馬克士威修正項描述的方法）產生。在電磁學裏，馬克士威修正項意味著時變電場可以生成磁場，而由於法拉第感應定律，時變磁場又可以生成電場。這樣，如果時變電場恰好產生了變化的磁場，則根據這兩個方程式，這種相互產生的電場和磁場（即電磁波）將可以自我持續在空間里傳播（更詳盡內容，請參閱條目電磁波方程式）。

方程組彙覽

這裏展示出馬克士威方程組的兩種等價表述：微觀表述與宏觀表述。
微觀表述專門計算在真空裏原子尺度的有限源電荷與有限源電流所產生的電場與磁場。物質可以視為由點電子與點原子核所組成，而內部其它大部分空間都是真空。但是，由於電子與原子核的數量很大，實際而言，無法一一納入計算。事實上，古典電磁學也不需要過度精確的答案。使用微觀馬克士威方程組有兩個主要目的，一是推導出宏觀馬克士威方程組，二是從原子性質估算出宏觀物質參數，例如電容率、磁導率等等。微觀表述可以給出很多宏觀表述所無法給出的極具價值的資訊。
宏觀表述不將物質內部的原子結構納入考量，而是將物質視為一種連續性介質，其性質決定於電容率、磁導率等等宏觀物質參數。從做實驗可以獲得宏觀物質參數與物質的本質、密度、溫度等等的關係。宏觀馬克士威方程組可以用來預測帶電粒子、電場與磁場的平均性質。採用這種表述會使得在介電質或磁化物質內各種物理計算更加簡易。
採用不同的單位制，馬克士威方程組的形式會稍微有所改變，大致形式仍舊相同，只是不同的常數會出現在方程式內部不同位置。國際單位制(SI)是最常使用的單位制，在工程學、化學領域大多都採用這種單位制，大學物理教科書也幾乎都使用這種單位制。其它常用的單位制有高斯單位制、勞侖茲-黑維塞單位制和普朗克單位制。由厘米-克-秒制衍生的高斯單位制，比較適合於教學用途，能夠使得方程式看起來更簡單、更易懂。稍後會詳細闡述高斯單位制。勞侖茲-黑維塞單位制也是衍生於厘米-克-秒制，主要用於粒子物理學。普朗克單位制是一種自然單位制，其單位都是根據大自然的性質定義，不是由人為設定。普朗克單位制是研究理論物理學非常有用的工具，能夠在理論論述裏給出很大的啟示。
在本條目裏，除非特別指出，所有方程式都採用國際單位制。

束縛電荷和束縛電流

假設，施加外電場於介電質。施加這個電場的結果是，介電質的分子會形成一個微觀的電偶極子，其伴隨著電偶極矩。分子的原子核會朝著電場的方向稍微遷移位置，而電子則會朝著相反方向稍微遷移位置。這形成了介電質的電極化。如右圖的理想狀況所示，雖然，所有涉及的電荷都仍舊束縛於其原本的分子，由於這些微小遷移所造成的電荷分布，變得好像是在介電質的一邊形成了一薄層正表面電荷，在另一邊又形成了一薄層負表面電荷。電極化強度定義為介電質內部的的電偶極矩密度，也就是單位體積的電偶極矩。在介電質內部，假設電極化強度是均勻的，則宏觀的面束縛電荷只會出現於介電質表面，即進入或離開介電質之處；否則，假設是不均勻的，則介電質內部也會出現束縛電荷。
與靜電學有些類似的是，在靜磁學裏，假設施加外磁場於物質，響應這動作，物質會被磁化，原子成分會顯示出磁矩。在本質上，這磁矩與原子的各個亞原子粒子的角動量有關。其中，響應最顯著的是電子。這角動量的連結，不禁令人聯想到一副圖畫，在圖畫中，磁化物質變成了一群微觀的束縛電流迴路。雖然每一個電荷只是移動於其原子的微觀迴路，一群微觀的束縛電流迴路聚集在一起會形成宏觀的束縛電流循環流動於物質的表面。這些束縛電流可以用磁化強度來描述。磁化強度定義為磁偶極矩在一個磁化物質內的密度，也就是單位體積的磁偶極矩。
這些非常複雜與粗糙的束縛電荷與束縛電流的物理行為，在宏觀尺度，可以分別以電極化強度與磁化強度來表達。電極化強度與磁化強度分別將這些束縛電荷與束縛電流以恰當的尺度做空間平均，這樣，可以除去單獨整體原子形成的凹凸粗糙結構，但又能夠顯示出強度隨著位置而變化的物理性質。由於所有涉及的向量場都已做過恰當體積的空間平均，宏觀馬克士威方程組忽略了微觀尺度的許多細節。不過，對於了解物質的宏觀尺度性質，這些細節可能不具甚麼重要性。

邊界條件

如同其它微分方程組一般，必須設定邊界條件與初始條件，才能給出馬克士威方程組的唯一解答。
在古典電磁學裏，在一個不含有任何自由電荷和自由電流的區域內的電磁場，必定是來自於其它區域。當解析這狀況時，通過適當的邊界條件或初始條件，可以將區域外的電磁場與這區域的電磁場連結在一起。舉一個電磁波散射的例子，一個來自於散射區域之外的電磁波，遭遇到散射區域內的一個靶子，被這靶子散射出去。在這散射過程裏，由於電磁波與靶子之間交互作用，散射的電磁波含有很多與這靶子性質相關的資訊。經過仔細地分析，將這些資訊萃取出來，就可以更詳細地了解這靶子的性質。
對於某些案例，譬如波導或空腔共振器，因為像金屬牆壁一類的隔離設施，解答區域大部份孤立於外部世界。在金屬牆壁位置的邊界條件決定了解答區域的電磁場。在解答區域以外的外部世界，只能靠著邊界條件來影響內部的狀況。對於另外一些案例，像光導纖維或薄膜，解答區域時常會被分割為幾個亞區域，每個亞區域都有其簡單獨自的性質。通過亞區域與亞區域之間界面的邊界條件，可以將每一個亞區域的解答連結起來。
應用邊界條件，有時也可以簡化問題，使得問題更容易被了解。例如，均勻物體的電極化可以被更換為在這物體外表的一層面電荷分布，或者，均勻物體的磁化被更換為在這物體外表的一層面電流分布。詳盡細節，請參閱束縛電荷和束縛電流段落。

馬克士威方程組的局限

雖然馬克士威方程組能夠非常成功地解釋與預測各種各樣電磁現象，它對於真實物理給出的是一個近似描述，對於某些特別案例，它所估算出的結果可能會不夠準確。例如，在極強勁場狀況下產生的雙光子散射（電場極值約為10²⁰ V/m，位於古典電子表面的電場）、在兩個電荷之間相隔極短距離所產生的真空極化現象（距離約為電子康普頓波長3.86×10⁻¹³ m）。馬克士威方程組無法對於很多現象給出正確解釋，例如，非古典光、電磁場的量子糾纏等等。由於馬克士威方程組完全不能表達光子的概念，任何涉及到單獨光子的現象，例如光電效應、普朗克定律、單光子探測器等等，假若使用馬克士威方程組來解釋，都會遇到困難。對於這些案例，必須用量子電動力學的理論來給予解釋。