一个数学家的辩白

概述

本文用詞優美，甚至有幾處引用了威廉·莎士比亞的詩文，這與普通的數學家平時所作的論文在語言方面有著大大的不同。不僅如此，從字裡行間還可以體會到哈代的一種淡淡的憂傷。
《一個數學家的辯白》儘管有著較強的文學性質，行文卻較為雜亂，讀者經常會遇到中途轉移話題的情況。但總體上說，本文主要圍繞這三個主題展開：數學的美，數學的持久性和數學的重要性。

題目

在本書的題目中，哈代所使用的「辯白」一詞表達的意思是一種正式的辯護或抗辯（就如同柏拉圖的《蘇格拉底的申辯》），而不是一種對寬恕的懇求，或對獲得清白的希冀。
哈代覺得有必要為他一生在數學上的事業作辯解的原因有兩個：
第一，62歲的哈代覺得他已經接近衰老（他在1939年曾倖免於一次突發的心臟病），同時，他的數學創造力也在衰退。花時間寫這本辯白，意味著哈代認為自己作為一個開創性的數學家的時期已經結束。在C·P·斯諾為該書1967年版所作的序中，他這樣描述哈代的這本辯白，「（它）是對曾經所擁有的而現在已經一去不返的創造力的深情輓歌」。用哈代本人的話來說，「解釋、評論、鑑賞，是次等工作。作為一個專業的數學家卻來寫關於數學的東西是悲哀的。數學家的使命在於做些實事，證明新的定理，使數學有所發展，而不是談論自己或其他數學家做了些什麼。
哈代認為自己已經沒有能力去積極發展新的數學思想了，他這樣寫到，「我之所以寫關於數學的書是因為，如同其他年過花甲的數學家一樣，我已經沒有新思維，精力，或者說耐心，去繼續有效地做自己的工作。」於是，他覺得自己唯一還能為數學做點貢獻的便是寫一本探討數學的書，藉以表達自己對這門學科的個人看法。
第二，在第二次世界大戰之初，哈代作為一個積極的反戰主義者，想為他的信仰——追求、探索數學的目的應當是出於數學的本身價值，而不是出於應用價值——做出辯護。探索數學是為了數學的單純，為了它內部的完善，為了明晰尚不清楚的概念。他想寫本書，向後輩的數學家闡述自己對數學的哲學認識；從數學自身的重要性出發為數學做辯護，詳細說明純數學本身的價值——並不要依賴於應用數學的成果去證明數學的重要性;同時能夠激勵正在成長中的一代純數學家。鑑於哈代是一個無神論者，他做出他的辯護是為了勉勵他的後繼者而不是為了獻給上帝。

數學的美

本書中一個重要的主題是數學之美。
對於哈代來說，最美的數學應當沒有一點在現實世界的應用，也即是他所說的純數學，尤其是他所鍾情的數論。他在為追求純數學辯解的同時，透露出了他關於純數學的「無用性」（uselessness）的觀點。所謂數學的無用性即是說純數學不會被濫用而導致傷害。而另一方面，哈代貶低應用數學，甚至將其描述成「醜陋」、「瑣碎」和「乏味」的。
值得一提的是，並不是應用數學中概念與定理的實用性使得哈代認為應用數學比純數學更低一等，而是因為通常來說，這樣的數學會有更為普遍的應用。哈代說，是內容的簡單與平凡迫使他如此描述應用數學的。根據哈代的定義，這些描述是否被賦予數學中的某一分支，是由構成這一分支基礎的潛在概念的創造性、深度以及美所決定的。
卡爾·弗雷德里希·高斯曾說過，「數學是科學中的皇后，而數論是數學中的皇后。」哈代教授對高斯這句話的評論則更加強調了這一點。有些人認為是由於數論極端的無應用性才使得高斯做出上述的陳述；然而，哈代指出這並不是主要緣由。就算數論的應用被找到了，也不會有人會因此罷黜這一數學的皇后。哈代認為高斯所想表達的意思是：構成數論的潛在的概念比其它數學分支的更加深刻更加優雅。
在本書中，哈代將數學與繪畫和詩歌作類比。他說道，數學家與畫家和詩人一樣，是模式的創造者。 這一觀點與很多人一致，如科學作家艾薩克·阿西莫夫在第三部自傳《人生舞台》中也提到這一點。

數學的持久性

在第八節中，哈代談到數學的持久性。他提到，在所有的學科中，數學是最能使人好奇的，因為在其他學科中，真理都沒有占據如此重要的位置。後面他總結道，正如歷史所證實的，數學成就是最為持久的。接著他舉例，巴比倫和亞述文化都衰亡了，漢謨拉比，薩爾貢和尼布甲尼撒都成為了空洞的名字，然而巴比倫的數學仍然是精彩的——巴比倫所創造的60進位仍然在天文學中使用。

數學的重要性

在第十一節中，哈代通過數學與西洋棋的比較，說明了數學的重要性（importance）。哈代談到，一個西洋棋問題的確是數學問題，但卻是「瑣碎的」（trivial）數學，不管每一步是如何的精巧，都不重要。哈代甚至因為這一言論而受到批評。 在此處，哈代所指的「重要」並不是說某一數學所帶來的直接實際作用，而是數學思想所聯繫的更多更有意義的內容。一個重要的數學發現，會帶來一些十分有意義的想法，聯繫起很多個數學分支中各不相干的內容，還可能會給數學甚至其他的科學帶來重大的進步。而象棋，即使是最重要的棋局，也從來都沒有帶來任何的科學進展。
他同時舉了羅爾定理作例子，這個定理雖然在在微積分中具有一定的重要性，但是卻不能與萊昂哈德·歐拉與埃瓦里斯特·伽羅瓦等純數學家工作的優雅和卓越相比。
正如他在他的書中寫道的：「就算在數學界，歷史也常常玩奇怪的把戲：羅爾在初等微積分中如此地經常出現，就好像他是和牛頓齊名的一個數學家。」

「年輕人的遊戲」

另一個重要的主題是「數學是一個『年輕人的遊戲』」，即是說任何有著數學天賦的人應當趁他們還年輕的時候發展並利用這些天賦，不至於等到中年，數學的創造力開始衰退的時候。
在本書一開始，哈代就寫到，「當一個職業數學家發現他自己在寫有關數學的東西的時候，他會很悲傷的。」（It is a melancholy experience for a professional mathematician to find himself writing about mathematics.）哈代繼續解釋道，數學家的作用應該是去做一些事情，證明一些新的定理，為數學做些貢獻，而不是去談論他或者其他的數學家已經做過的事情。 在年輕的時候，因為擁有豐富的靈感，數學家都忙於進行數學研究。而當靈感逐漸衰竭之時，數學家才會有時間寫一些關於數學的文章而非論文。
哈代還舉到艾薩克·牛頓的例子：牛頓在24歲時，即產生了流數與萬有引力的想法。而當他50歲時，對數學有了更為深刻的理解，可能是因為一些能力已經消退，卻放棄了數學。
這一觀點反映出了哈代對他數學能力衰退與日俱增的沮喪。對於哈代，真正的數學本質上應是一種創造的能力，而並非像哈代本人寫這本書一樣，對數學的闡述或是解釋。
正專心致志的寫《辯白》之時，哈代承認他作為一個有創造性的數學家的時期已經結束了。正如在本書1967年版的的前言中，斯諾將這本「辯白」稱為「對以前屬於他的創造力再也不會回來所作的深切的痛惜」。

精英主義

哈代的思想曾被一戰和二戰間劍橋大學和牛津大學的學術文化深深地影響。他的猜測——只有每個領域的極好的原創性工作才會有深遠持久的價值——在現在聽起來是帶有精英主義思想的。
哈代在劍橋大學時，曾經加入一個精英協會——劍橋使徒會，這也在一定程度上解釋了哈代精英主義思想的來源。
在本書末尾的註解中，哈代教授提起他和洛馬斯先生經過特拉法加廣場的納爾遜紀念碑的經歷。哈代自己認為，如果自己能夠在倫敦有一個紀念碑，會希望這個紀念碑如同納爾遜紀念碑一樣高聳如雲，以至於在低端根本看不見；而他猜測，斯諾博士則會希望紀念碑的細節都能夠被辨認。這一段話從某種角度上說，正是哈代精英主義的寫照。

過時內容

現在回顧起來，哈代的一些例子已經過時。譬如說，他寫道，「到目前為止，還尚未有人能夠發現數論和相對論用於任何與戰爭有關的目的，而且在今後許多年，也不太可能會有人能夠做到這一點。」而在這之後，相對論用以解釋核武器為何威力如此巨大，與此同時，數論在公鑰加密中起到顯著的作用。但是不管怎樣，哈代的更加明顯的關於美麗的數學發現（關於質數無窮多以及2的平方根的無理性的證明）是無用的的例子仍然是成立的。