新里曼理论

新里曼理論（Neo-Riemannian theory）是一些現代音樂理論學家，例如戴維·勒溫，布賴恩·海爾（Brian Hyer），理察·孔恩與亨利·科朗彭霍沃爾（Henry Klumpenhouwer）等人所發表的某些鬆散觀點的集合。這些觀點均在不藉助相對主音關係的條件下，致力於構造一種和聲之間的直接聯繫。最初被研究的和聲是大小三和弦；之後，新里曼理論將研究範圍拓展到一般的不協和的和弦。聲部進行的效率可被用於規範化地表徵和聲接近度（harmonic proximity）；例如，若比較C大三和弦和E小三和弦，即可發現兩個和弦只有一個音不同，而這兩個不同的音之間只有半音的差距，因此這兩個和弦被認為在和聲上是相互接近的。相近的和聲之間的運動可由簡單的變換（transformations）來描述。例如，從C大三和弦到E小三和弦的運動（或從E小三和弦到C大三和弦），可由「L」變換來實現。延伸出的和聲進行可以在一個幾何平面上特徵性地表示出來，由此描繪出表示整個和聲關係的系統。大家還未就新里曼理論的核心達成共識：到底是平滑的聲部進行，還是變換，亦或是通過幾何進行映射的關係系統。在浪漫主義晚期音樂（包括舒伯特、李斯特、華格納和布魯克納的音樂）的和聲實踐的分析中，新里曼理論常常被援引，因為這些音樂中出現了高度的半音創作手法。
新里曼理論得名於胡戈·里曼（1849–1919），他的用於聯繫各個三和弦的「二元（dualist）」系統取自於早期的19世紀和聲理論家。術語「二元論（dualism）」強調了大調與小調可相互轉換的關係；即小三和弦是「倒影」的大三和弦。這種二元性造成了右圖中音階方向的不同。在1880年代，里曼提出了變換系統（system of transformations），將三和弦直接兩兩聯繫在一起。David Lewin（1933–2003）在他的文章《Amfortas's Prayer to Titurel and the Role of D in Parsifal》（1984）以及他的一本具有影響力的書——《Generalized Musical Intervals and Transformations》（1987）中獨立於里曼最初的構想，不把二元性作為前提的情況下，重新發展了這一方面的工作。1990年代與2000年代後續的發展，將數學系統進一步整合到理論的基本原則中，並且加入了二十世紀的音樂作品以及音樂心理學，極大地拓寬了新里曼理論的研究範圍。

圖形表示

新里曼理論的變換可以通過一些相關的幾何結構來進行建模。里曼調性網絡（Riemannian Tonnetz，如右圖所示）將音高沿著三條單純軸（simplicial axes）排列為一個平面陣列（planar array）；這三條單純軸對應著三種和諧音程；鋪滿調性網絡的三角形表示著大三和弦和小三和弦。共用一條邊的三角形所表示的兩個三和弦共用兩個相同的音符，因此上一節的主要變換也可以被表示成調性網絡中的最小運動。不同於之前歷史上的某些音樂理論學家，新里曼理論一般假設異名同音等價（G♯ = A♭），使平面的調性網絡圖可被捲曲為一個環面。
新里曼理論中也討論了另一種調性幾何結構，其將傳統調性網絡中特定的性質分離出來或是進行延伸擴充。Richard Cohn 發展了超六音系統（Hyper Hexatonic system）用於描述在分離的大三和弦循環之內和之間的運動。他將其規範化地表示為「極大平滑性（maximal smoothness）」。Jack Douthett 發明了另一種幾何圖像，方塊舞蹈（Cube Dance）；它表徵了音調網絡的幾何對偶。頂點（而非三角形）被用來表示三和弦（Douthett 和 Steinbach，1998），其間插入增三和弦，允許更加平滑的聲部進行。
許多與新里曼理論相關的幾何表示通過 Clifton Callender、Ian Quinn 和 Dmitri Tymoczko 提出的連續的聲部連接空間（continuous voice-leading space）被合併到一個更加一般的框架中。在這個始於2004年的工作中，Callender 描述了一種連續空間；連續空間中的一個點代表著一個三音符「和弦類型」（例如「大三和弦」）；利用這個空間可以為「連續變換」（即音符可以從一個音符連續地滑向另一個的變換）建模。之後，Tymoczko 展示了Callender空間中的路徑同構於聲部進行的某些特定類型；「單獨T聯繫（individually T related）」聲部進行在 Tymoczko 於2008年發表的論文中被提到。同時，Tymoczko 發展了更相似於新里曼理論中的空間的一族。在Tymoczko空間中，點表示任意大小的某個特定和弦（例如C大三和弦），而不是更為一般的和弦類型（例如大三和弦）。最後，Callender、Quinn 和 Tymoczko 同時提出了一個統一的框架，將這些表示著廣泛音樂理論性質的幾何空間聯繫在一起。
和聲表音符布局是現代的一種創建圖形化表示音樂界面的實現手段。
2011年，Gilles Baroin 提出了Planet-4D模型。這是基於圖論的一個可視化系統，將傳統的調性網絡嵌入到一個4D超球體上。最近提出的調性網絡的另一個連續版本——同時有原形式和二元形式——叫做相位環面（Torus of phases）。更為細緻的樂理分析，例如對早期浪漫主義音樂的分析，可以在相位環面上實現。

批評

新里曼理論學家常常用三種基本LPR變換的組合來分析和弦進行。C大三和弦到E大三和弦的進行會被分析為L-P變換；此變換也可將C小三和弦變為A♭小三和弦。然而，通過變換定義出的和聲間距並不能完美地反映出聲部進行。例如，根據新里曼理論的共同音保留（common-tone preservation）優先的原則，C大三和弦距離F大三和弦比距離F小三和弦近（從C大三和弦變換到F大三和弦需經過R-L兩次變換，而變換到F小三和弦需經過R-L-P三次變換）。但是，從半音聲部進行的角度來看，F小三和弦相比於F大三和弦距離C大三和弦近；因為只要將F小三和弦上的兩個音移動半音就可以變為C大三和弦（A♭->G 與 F->E），而F大三和弦需要移動三個半音才能變為C大三和弦。因此，LPR變換無法用於考慮 IV-iv-I進行（19世紀的一個基本和聲套路）的聲部進行效率。關於共同音也能得出相似的結論：在調性網絡上，F小三和弦與E♭小三和弦一樣，需經三次變換才能從C大三和弦變換而來，然而F小三和弦與C大三和弦已經有一個共同音了，E♭小三和弦和C大三和弦卻沒有共同音。
上述矛盾的背後是關於最多的共同音，或是最短的聲部進行總距離是否能最大化和聲臨近度（harmonic proximity）的不同意見。例如，R變換將某個音移動了一個全音，而N變換或S變換則是將某個音移動半音。當共同音最大化比較優先的時候，R變換的效率較高；若通過假設單音移動來測量聲部進行的效率，則三種變換的效率是一樣的。早期的新里曼理論同時採用了這兩種概念。最近的工作已把這兩者分離開，獨立於共同音保留的原則，單方面地只通過對聲部進行鄰近度的分析來測量和聲距離。由此產生的問題是，初級變換和次級變換會分辨不清。早在1992年，Jack Douthett 建立了一個三和弦間聲部進行的準確幾何模型。這個模型是通過在R變換相關的三和弦之間內插增三和弦——一種被他稱作「方塊舞蹈（Cube Dance）」的機制——建立起來的。雖然 Douthett 的圖像在1998年就已發表，它作為聲部進行模型的優越性直到更晚的時候，由於Callender、Quinn 和 Tymoczko 在幾何相關工作的涉及，才為人所知。實際上直到2009年，對方塊舞蹈與新里曼理論調性網絡的詳細比較才出現。在這一系列的研究中，三元變換（triadic transformations）不再像在早期新里曼理論中一樣具有基本的地位。聲部進行鄰近度衍生出的幾何表示取得了中心地位；而LPR變換成為了特定類型套路的一種啟發性的思考方式（而不是作為像是定義的性質）。
雖說如此，在所有二十四種里曼三元變換中，相比於其他任何的變換組合，LPR變換的長度與半音聲部進行距離更為相關。例如，若只使用L變換和R變換來測定三和弦之間的距離，上述例子的情況下產生的矛盾數量比使用L、P、R三種變換要來得多。這也在某種程度上體現了初級變換和次級變換的不同。