采样定理

取樣定理是數位訊號處理領域的重要定理。定理內容是連續訊號（通常稱作「類比訊號」）與離散訊號（通常稱作「數位訊號」）之間的一個基本橋樑。它確定了訊號帶寬的上限，或能捕獲連續訊號的所有資訊的離散取樣訊號所允許的取樣頻率的下限。
嚴格地說，定理僅適用於具有傅立葉轉換的一類數學函數，即頻率在有限區域以外為零（參照圖1）。離散時間傅立葉轉換（泊松求和公式的一種形式）提供了實際訊號的解析延拓，但只能近似該條件。直觀上我們希望，當把連續函數化為取樣值（叫做「樣本」）的離散序列並插值到連續函數中，結果的保真度取決於原始取樣的密度（或取樣率）。取樣定理介紹了對帶寬限制的函數類型來說保真度足夠完整的取樣率的概念；在取樣過程中"資訊"實際沒有損失。定理用函數的帶寬來表示取樣率。定理也導出了一個數學上理想的原連續訊號的重構公式。
該定理沒有排除一些並不滿足取樣率準則的特殊情況下完整重構的可能性。（參見下文非基帶訊號取樣，以及壓縮感知。）
奈奎斯特–夏農取樣定理的名字是為了紀念哈里·奈奎斯特和克勞德·夏農。該定理也被埃德蒙·泰勒·惠特克、弗拉基米爾·科捷利尼科夫等人獨立發現。所以它還叫做奈奎斯特–夏農–科特爾尼科夫定理、惠特克–夏農–科特爾尼科夫定理、惠特克–奈奎斯特–科特爾尼科夫–夏農定理及插值基本定理。

簡介

取樣是將一個訊號（例如時間或空間上連續的函數）轉換為數位序列（時間或空間上離散的函數）的過程。這個定理的夏農版本陳述為：
如果週期函數 x(t) 不包含高於 B cps（次/秒）的頻率，那麼，一系列小於 1/(2B) 秒的x(t)函數值將會受到前一個週期的x(t)函數值影響。
因此 2B 樣本/秒或更高的取樣頻率將能使函數不受干擾。相對的，對於一個給定的取樣頻率 fₛ，完全重構的頻帶限制為 B ≤ fₛ/2。
在頻帶限制過高（或根本沒有頻帶限制）的情形下，重構表現出的缺陷稱為混疊。現在對於此定義的陳述有時會很小心的指出x(t)必須不包括頻率恰好為B的正弦曲線，或是B必須小於½的取樣頻率。這二個門檻，2B及fₛ/2會稱為奈奎斯特速率及奈奎斯特頻率。這些是x(t)及取樣設備的屬性。上述的不等式會稱為奈奎斯特準則，有時會稱為拉貝準則（Raabe condition）。此定理也可以用在其他定義域（例如離散系統）的函數下，唯一的不同是量測t, fₛ和B的單位。
符號 T = 1/fₛ 常用來表示二次取樣之間的時間間隔，稱為取樣周期或是取樣區間。函數x(t)的取樣常用x[n] = x(nT)表示（較早期的文獻會用xₙ），其中n為正整數。在數學上理想的取樣還原（插值）和Sinc函數有關，每次的取樣都用中心點在取樣時間nT，振幅是取樣值x[n]的Sinc函數代替。最後將Sinc函數加總，得到連續的函數。數學上等效的方式是將Sinc函數和一連串的狄拉克δ函數卷積，再依取樣到的值來加權。不過這些方式在數學上都是不實際的。不過有些有限長度的函數可以近似Sinc函數，這種因為近似的不完美造成的誤差稱為插值誤差（interpolation error）。
實際的數位類比轉換器既不會產生加權而有延遲的Sinc函數，也不會產生理想的狄拉克δ函數，若是其類比重建是用零階保持，其輸出的是由不同振幅及有延遲的矩形函數組成的階躍函數，一般後面會有抗鏡像濾波器（anti-imaging filter）來清除假的高頻成份。

在多變數訊號及圖形上的應用

取樣定理常表示為單一變數的函數，因此定理可以直接應用到和時間相關的一維訊號。不過取樣定理可以直接延伸到任意數量變數的函數。例如像灰階影像常表示為二維的實數陣列（或是矩陣），其中的實數表示在對應行及列的取樣位置下，像素的相對強度。因此圖案會需要二個獨立的變數來表示其位置，一個表示對應的行，一個表示對應的列。
彩色影像一般會包括三個獨立的灰階值，分別表示紅色、綠色及藍色等三原色（三原色光模式，簡稱RGB）的強度。其他用三個元素的向量表示一個點的顏色空間有HSL和HSV色彩空間、CIELAB及XYZ等。而像CMYK則是用淺藍色、紫紅色、黃色及黑色的強度來表示。這些色彩空間都是二維空間上的向量值函數。
和一維離散訊號的情形類似，若圖形的採樣解析度（或是像素密度）不適當，可能會有混疊的情形。例如密條紋襯衫若是用的數值若是用數位相機的圖像傳感器取樣時，可能會造成混疊，這種二維的混疊會形成莫列波紋，改善方式是提高空間的取樣率，例如拍照時更靠近襯衫，用高解析度的感測器，或是在取樣前先進行光學模糊處理。
另一個例子是右邊的方格條紋，上方的圖是不滿足取樣定理下的訊號。下方則是先經過低通濾波器再降取樣，得到一個較小，但沒有莫列波紋。上圖則是直接降取樣，沒有先經過低通處理後的圖。
取樣定理在影像上的應用需小心的進行。例如相機中標準影像感測器（CCD或CMOS）的取樣程序和理想的取樣程序有相當的差距，理想的取樣程序會在一個點量測其影像強度，但影像感測器中為了獲得足夠的光量，其感測影像的區域較。換句話說，感測器是一個有限寬度的點擴散函數。一般而言這類感測器采樣到的類比光學資訊不是有限頻寬的，而不理想的采樣本身即為低通濾波器，不過不一定可以移除會造成混疊的高頻雜訊。若取樣區域（感測器大小）沒有大到可以有反鋸齒效果時，一般會需要獨立的反鋸齒濾鏡（光學低通濾鏡）來使影像模糊。雖然影像有這些和采樣定理有關的問題，不過采樣定理可以描述提升取樣及減取樣的基礎。

非均勻採樣

香農的取樣定理可以延伸到非均勻採樣，也就是採樣的時間間隔非一定值。非均勻採樣的取樣定理指出針對band-limited的訊號，只要平均採樣頻率滿足奈奎斯特條件，就可以從採樣訊號完整重建原始訊號。因此雖然均勻採樣在訊號重建的演算法上比較簡單，但這不是完整重建的必要條件。
非基帶及非均勻採樣的泛用理論是在1967年由亨利·藍道提出。簡單的說，藍道證明了平均取樣率至少需要是訊號佔據頻寬的二倍，但前提是已知訊號的頻譜及其佔據的頻寬。
在1990年代末期，此研究已延伸到訊號佔據頻寬的數量已知，但實際在頻譜上位置未知的情形。在2000年代已利用壓縮感知發展了一個完整的理論。此理論用訊號處理的語言寫成，在2009年的論文中發表。論文中證明，若頻率的位置未知，則取樣頻率需至少為奈奎斯特準則的二倍。換句話說，因為不知道光學頻譜的位置，需要將取樣頻率乘二為代價。注意此最小取樣頻率的要求不一定保證其數值穩定性。

欠取樣

當一個訊號被欠取樣時，必須滿足取樣定理以避免混疊。為了滿足取樣定理的要求，訊號在進行減取樣操作前，必須通過一個具有適當截止頻率的低通濾波器。這個用於避免混疊的低通濾波器，稱為抗混疊濾波器。

在奈奎斯特速率以下，有額外限制條件的取樣

奈奎斯特–夏農取樣定理是對於帶限函數取樣及重建的充分條件。若是用惠特克–夏農內插公式重建原訊號，奈奎斯特準則也是避免混疊的必要條件，因為若採樣速率小於訊號頻帶限制的二倍，可能有些訊號無法正確重建。不過若訊號有其他的限制，則奈奎斯特準則就不是混疊的必要條件了。
像近來在進行研究的壓縮感知就是一個利用對訊號額外假設來進行壓縮的例子，壓縮感知可以用奈奎斯特速率要慢的速率採樣，然後可以完整的重建原訊號。這特別用在訊號在一些層面較稀疏（或可壓縮）的情形。像壓縮感知可以處理有效頻寬（EB)）很低，但不確定其頻率分布位置的訊號（此時取樣定理就不適用了）。換句話說，其頻譜較稀疏。若用取樣定理，最小的採樣速率是2B，若是用壓縮感知，採樣速率若略低於2EB，仍可以完整的重建。不過此作法的重建已不再是用公式處理，而是要求解凸優化，需要有良好研究，而可能是非線性的方式處理。

歷史背景

哈里·奈奎斯特1928年的論文《Certain topics in telegraph transmission theory》中就已隱含了取樣定理，他證明了一個頻寬為B的系統可以傳送最多2B個獨立的脈波，不過他沒有直接處理連續訊號取樣及重建的問題。同一時期的卡爾·庫普夫米勒證明了類似的結果，也討論到頻帶限制濾波器的sinc函數脈衝響應，以及其積分，步階響應的三角積分，頻帶限制濾波器及訊號重建濾波器是採樣定理的核心，因此在一些地區會將這二個濾波器稱為Küpfmüller filter。
取樣定理是在夏農在1949年《Communication in the presence of noise》中提出。之前相關的研究有V. A. Kotelnikov在1933年《在電纜及"以太"中電子通訊的傳輸能力》（翻譯自俄文），以及數學家埃德蒙·泰勒·惠特克在1915年的《Expansions of the Interpolation-Theory》（Theorie der Kardinalfunktionen）、J. M. Whittaker在1935年的《Interpolatory function theory》以及丹尼斯·加博爾1946年提出的《Theory of communication》。1999年時愛德華萊茵基金會給予科捷利尼科夫基礎研究獎，原因是「第一位提出理論正確的採樣定理」。