群

歷史

抽象群的現代概念是從多個數學領域發展出來的。群論的最初動機是為了求解高於4次的多項式方程式。十九世紀法國數學家埃瓦里斯特·伽羅瓦，擴展了保羅·魯菲尼和約瑟夫·拉格朗日先前的工作，依據特定多項式方程式的根（解）的對稱群給出了對它的可解性的判別準則。這個伽羅瓦群的元素對應於根的特定置換。伽羅瓦的想法最初被同代人所拒絕，只在死後才出版。更一般的置換群由奧古斯丁·路易·柯西專門研究。阿瑟·凱萊的《On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θⁿ = 1》（1854年）給出有限群的第一個抽象定義。
幾何是第二個系統性的使用群，特別是對稱群的領域。這類群是菲利克斯·克萊因1872年的愛爾蘭根綱領的一部分。在新型的幾何如雙曲幾何和射影幾何形成之後，克萊因利用群論以更連貫的方式來組織它們。索菲斯·李進一步發展了這些想法，在1884年創立了李群的研究。
對群論有貢獻的第三個領域是數論。一些阿貝爾群結構在卡爾·弗里德里希·高斯的數論著作《算術研究》（1798年）中被隱含地用到，並被利奧波德·克羅內克更明顯地用到。1847年，恩斯特·庫默爾發展了描述用質數做因數分解的理想類群，使證明費馬大定理的早期嘗試達到了高潮。
把上述各種來源融合成一個群的統一理論是從卡米爾·若爾當的《Traité des substitutions et des équations algébriques》（1870年）開始的。瓦爾特·馮·迪克（1882年）給出了第一個抽象群的現代定義的陳述。在二十世紀，群在費迪南德·格奧爾格·弗比尼斯和威廉·伯恩賽德的開拓性著作中獲得了廣泛的認識，他們研究有限群的表示理論，還有理察·布勞爾的模表示論和Issai Schur的論文。赫爾曼·韋伊、埃利·嘉當和很多其他人推進了李群和更一般的局部緊群的理論。它的代數對應者——代數群的理論，由克勞德·舍瓦萊（從1930年代晚期開始）和後來阿爾曼德·波萊爾和雅克·蒂茨的重要著作奠基。
芝加哥大學於1960-61年舉辦的「群論年」活動促使群論家們以丹尼爾·格倫斯坦，約翰·格里格斯·湯普森和瓦爾特·法伊特為基礎展開合作。在大量其他數學家的幫助下，他們完成了有限單純群的分類。這項工程，不論是從證明長度來說還是從參與人數來說，其浩大程度超越了之前一切的數學成果。簡化此證明的研究還在進行中。群論在當下仍是一個活躍的數學分支，並仍在對其他分支產生重大影響。

除法

在群中，可以進行除法：給定群G的元素a和b，G中存在方程式x·a = b的唯一解x。實際上，把方程式右乘以a⁻¹給出解
x = x·a·a⁻¹ = b·a⁻¹。類似地，G中存在方程式
a·y = b的唯一解y，也就是
y = a⁻¹·b。一般地說，x和y不一定相等。
這一結果的一個推論是「乘以某個群中的元素g」是一個對射。特別地，如果g是群G的一個元素，則有G到自身的對射，（稱為由g引起的左平移）它將映射為。類似地，由g引起的右平移是一個G到自身的對射，它將映射為。如果G是阿貝爾群，由同一個元素引起的左平移和右平移是相同的。

子群

非正式的說，子群是包含在更大的群G內的一個群H。具體的說，G的單位元素包含在H中，並且只要h₁和h₂在H中，則h₁·  h₂和h₁⁻¹也在其中，所以H的元素對於限制於H的G上的群運算確實形成了一個群。
在上面例子中，單位元素和旋轉構成了一個子群
R = {id, r₁, r₂, r₃}
，在上面的群表中突出為紅色：任何兩個復合的旋轉仍是一個旋轉，並且旋轉可以被相反方向上的旋轉（它的反元素）所抵消。子群檢驗法是群G的子集H是子群的充分必要條件：對於所有元素
g, h ∈ H，只需檢查g⁻¹h ∈ H。了解子群族對於作為一個整體來理解群是重要的。
給定群G的任何子集S，由S所生成的子群是由S的元素和它們的反元素的乘積組成。它是包含S的G的最小子群。在上面介紹例子中，r₂和fᵥ所生成的子群由這兩個元素本身、單位元素id和
fₕ = fᵥ·r₂構成。這還是個群，因為結合這四個元素或它們的反元素（在這個特殊情況下，是這些相同的元素）中任何兩個仍得到這個子群中的元素。

共軛

如果同一個群中的兩個元素p和q 滿足關係：p = x⁻¹qx，其中x也是同一個群中的元素，則稱元素p和q 共軛。共軛關係是一個等價關係，即它滿足三個性質：共軛是自反的、對稱的和遞移的。
在群中可以找到一個集合，這個集合中每一個元素都相互共軛，而在這個集合以外群的其他部分已經沒有任何元素與他們具有共軛關係了。稱這種集合為群中的一個共軛類。同一個群的兩個類之間一定沒有共同的元素。群中一個元素一定屬於且僅屬於一個類。如果群中沒有元素與該元素共軛，則該元素自成一類。

例子和應用

群的例子和應用大量存在。起點是上面介紹過的整數的群Z帶有加法作為群運算。如果把加法替代為乘法，就得到了乘法群。這些群是抽象代數中重要概念的前身。
群應用於很多數學領域中。數學對象的性質經常是通過將群關聯與數學物件關聯，並研究相應的群的性質來研究的。例如，儒勒·昂利·龐加萊通過引入基本群創立了現在所謂的代數拓撲。通過這種連接方式，拓撲性質比如臨近和連續轉換成了群的性質。例如，右側的圖像描繪了平面減去一個點的基本群的元素。這個群的元素給出為在這個區域內的環路。藍色環路被認為是零同倫（因此是無關緊要的），因為它可以收縮為一個點。圓孔的存在防止了橙色環路被收縮。橙色環路（或任何環繞這個圓孔一次的其他環路）所生成的，去掉了一個點的平面的基本群是無限循環群。基本群以這種方式探測到了這個圓孔。
在更新近的應用中，影響已經被倒轉過來，由群論背景來激發幾何結構了。在類似的脈絡下，幾何群論採用了幾何概念，比如在雙曲群的研究中。其他一些大量應用群論的數學分支包括代數幾何和數論。例如，古典群和Picard群在代數幾何上有重要應用；參見
除了上述理論應用之外，還存在很多群的實踐應用。密碼學依賴於抽象群論方式和從計算群論中特別是實現於有限群上的時候所得到的算法知識的結合。群論的應用不限於數學；科學如物理、化學和計算機科學都受益於這個概念。

數

很多數系統，比如整數和有理數享有自然給予的群結構。在某些情況下比如對於有理數，加法和乘法運算二者都引發群結構。這種系統是叫做環和體的更一般的代數結構的前身。

整數

整數Z在加法下的群記為（Z, +），它在上面已經描述了。整數帶有用乘法替代加法的運算，(Z, ·)不形成群。閉合、結合律和單位元素公理滿足，但反元素不存在：例如，
a = 2
是整數，但方程式
a·b = 1
的唯一解在這種情況下是b = 1/2，它是有理數而非整數。因此不是所有Z的元素都有（乘法）反元素。

有限群

一個群被稱為有限群，如果它有有限個元素。元素的數目叫做群G的階。一類重要的有限群是n次對稱群SN，它是N個字母的置換的群。例如，在3個字母上的n次對稱群S₃是由三個字母ABC的所有可能置換構成的群，就是說它包含元素ABC, ACB, ...,直到CBA，總共有6（或3的階乘）個元素。這類群是基礎性的，因為任何有限群都可以表達為n次對稱群SN在適合的整數N下的子群（凱萊定理）。相似於上述正方形的對稱的群，S₃還可以解釋為等邊三角形的對稱的群。
在群G中的一個元素a的階是最小的使得aⁿ = e的正整數n，這里的  aⁿ表示，就是應用運算·於a的n個復本上。（如果·代表乘法則aⁿ對應於a的n次冪）。在無限群中，這個n可能不存在，在這種情況下a的階被稱為無限的。一個元素的階等於這個元素生成的循環子群的階。
更復雜的計數技術例如計數陪集，產生關於有限群的更精確陳述：拉格朗日定理聲稱有限群G的任何有限子群H的階整除G的階。西羅定理證明了它的部分逆命題。
上面討論的二面體群是8階有限群。r₁的階為4，這是它生成的子群R（見上）的階。反射元素fᵥ等的階是2。如拉格朗日定理所述這兩個階都整除8。上面的群Fₚ×有階p − 1。

有限單純群分類

數學家們常常為尋求一種數學物件的完備分類（或列表）而努力。在有限群的領域內，這個目標迅速引出了一系列困難而意義深遠的數學問題。根據拉格朗日定理，p階有限群（p為質數）必定是循環（阿貝爾）群Zₚ。p²階群也被證明是阿貝爾群。但這一命題並不能推廣到p³階群，如上面的非阿貝爾群——8階二面體群D₄所示，其中8 = 2³。可以利用計算機代數系統來給較小的群列表，但沒有對一切有限群的分類。一個中間步驟是有限單純群分類。如果一個非平凡群僅有的正規子群是平凡群和它自身，那麼這個群叫做一個單純群或簡單純群。若爾當-赫爾德定理說明單純群可以作為建構有限群的「磚塊」。有限單純群列表是當代群論的一個主要成就。1998年的菲爾茲獎得主理查·伯切德斯成功地證明了所謂怪獸-胡言亂語猜想。該猜想指出了最大有限簡單散在群——「怪獸群」與一種來自經典複分析和弦理論（一種被認為統一了對許多物理學現象的描述的理論）的物件模函數之間的驚人而深刻的聯繫。

帶有額外結構的群

很多群同時是群和其他數學結構的例子。用范疇論的語言來說，它們是在范疇中的群對象，這意味著它們是帶著模仿群公理的（叫做態射的）變換的對象（就是說其他數學結構的例子）。例如，所有群（如上面定義的）也是一個集合，所以群是在集合范疇中的群對象。

注釋

  a:  《數學評論》列出了3,224篇2005年寫的關於群論和它的應用的研究論文。
 
  b:  閉合公理已經由·是二元運算的條件所蘊含。因此有些作者省略這個公理。Lang 2002。
 
  c:  比如參見Lang (2002, 2005)和Herstein (1996, 1975)的書。
 
  d:  但是一個群不由它的子群的格所決定。參見Suzuki 1951。
 
  e:  群運算的這麼規范的擴展是泛性質的實例。
 
  f:  例如，依據拉格朗日定理，如果G是有限的，則任何子群和任何商群的大小整除G的大小。
 
  g:  詞同態演化自希臘語ὁμός—相同和μορφή—結構。
 
  h:  循環群的加法符號是t·a, t ∈ Z。
 
  i:  例子參見塞弗特－范坎彭定理。
 
  j:  一個例子是群的群上同調，它等於它的分類空間的單同調。
 
  k:  有乘法反元素的元素叫做可逆元素，參見Lang 2002, §II.1, p. 84。
 
  l:  通過增加分數的從整數到有理數的轉變推廣為分式體。
 
  m:  用任何體F替代Q同樣是真的。參見Lang 2005, §III.1, p. 86。
 
  n:  例如，體的乘法群的有限子群必然是循環群。參見Lang 2002, Theorem IV.1.9。模和單純代數的撓概念是這個原理的另一個實例。
 
  o:  陳述的性質是質數的一個可能定義。參見質元素。
 
  p:  例如，迪菲-赫爾曼密鑰交換協議使用離散對數。
 
  q:  階不超過2000的群是已知的。這些群在同構意義下約有490億個。參見Besche, Eick & O'Brien 2001.
 
  r:  在單純群和一般群分類之間的缺口在於擴張問題，一個很難一般性求解的問題。參見Aschbacher 2004, p. 737.
 
  s:  等價地說，一個非平凡群是單純群若且唯若它僅有的商群是平凡群和自身。參見Michler 2006, Carter 1989.
 
  t:  更嚴格的說，所有群都是某個圖的對稱群，參見Frucht 1939。
 
  u:  更精確地說，monodromy作用在要考慮的微分方程式的解的向量空間上。參見Kuga 1993, pp. 105–113。
 
  v:  例如參見史瓦西度規，這里的對稱極大的減小了物理系統的復雜性。
 
  w:  例如，這是有限簡單群的分類的關鍵。參見Aschbacher 2004。
 
  x:  例如，群作用在單模上的效果的Schur引理。更加復雜的例子是絕對伽羅瓦群作用在平展餘調上。
 
  y:  單射和滿射分別對應於單同態和滿同態。在傳給對偶范疇的時候它們是可互換的。