量子力學的數學表述

量子力學的數學表述（Mathematical formulation of quantum mechanics）是對量子力學進行嚴謹描述的數學表述體系。與20世紀初發展起來的舊量子論的數學形式不同，它使用了一些抽象的代數結構，如無窮維希爾伯特空間和這些空間上的算子。這些結構中有許多源於泛函分析。這一純粹數學研究領域的發展過程既平行於又受影響於量子力學的需要。簡而言之，物理可觀察量的值，如能量和動量的值不再作為相空間上的函數值，而是作為本徵值，或者更為精確地來說是希爾伯特空間中線性算子的譜值。
這一表述體系一直沿用至今。該體系的核心為「量子態」和「可觀察量」這兩個概念。對於原子尺度的系統來說，這兩個概念與之前用來描述物理現實的模型大相逕庭。雖然數學上允許對許多量的計算結果進行實驗測量，但是實際上，在對於符合一定條件的兩個物理量同時進行精確測量時，卻存在一個理論性限制——不確定性原理。這一原理由維爾納·海森堡通過思想實驗首次闡明，且在該體系中以可觀察量的不可交換性進行表述。
在量子力學作為一支獨立理論形成之前，物理學中用到的數學理論主要是以微積分為源頭、後來又添以微分幾何與偏微分方程式的數學分析。統計力學中還用到機率論。幾何直觀在這兩個理論中扮演重要角色。相對論中的許多概念和方法也是基於幾何理論。量子物理學中對於實驗現象的一系列不同以往的理解在1895年到1915年間開始逐步形成。其中具有代表性的思想為波粒二象性。但在量子理論形成之前的10至15年中，物理學家仍然在古典物理學的框架內思考量子理論，所基於的數學結構也是完全相同的。其中具有代表性的例子是波耳-索末菲量子化條件。這一原理完全建構於古典框架中的相空間。

舊量子論與量子力學的創立

1900年，馬克斯·普朗克提出描述黑體輻射的普朗克公式。普朗克對於黑體的描述規避了古典物理學結果中的紫外災變。他做出了這一假設，在物質與電磁輻射的交互作用中，能量的傳遞只能以一個個分立的單元的形式進行。這些小單元被稱為量子，此外他還提出，量子包含的能量與輻射頻率成正比。比例常數h後來為了紀念普朗克的功績被命名為「普朗克常數」。1905年，阿爾伯特·愛因斯坦引用普朗克的假設，提出了「光子」這一概念，解釋了光電效應的一系列實驗現象。
這兩個對於實驗現象的理論解釋與當時物理學的一些觀念迥異。後來，波耳等人基於這些假設，對於古典力學進行了改造，試圖從第一性原理的角度上推導出原子的波耳模型。他們假設，在一個力學系統相空間所能描述的所有可能的古典軌道中，物體只能在相空間中所圍面積為普朗克常數整數倍的軌道上運動，即角動量量子化假設。後來這一假設進一步發展為波耳-索末菲量子化條件。儘管波耳的氫原子波耳模型可以通過這一假設解釋，但其卻並不適用於氦原子等多電子原子。量子理論的數學表述在一段時期內仍前途未定。
1924年，路易·德布羅意提出了物質波假設，即波粒二象性不只對光子適用，對於電子以及其他物理系統也適用。量子力學的數學表述也於1925年至1930年獲得突破性進展。埃爾溫·薛丁格、維爾納·海森堡、馬克斯·玻恩以及帕斯庫爾·約當為奠定量子力學的數學基礎做出了突破性的工作。約翰·馮·諾伊曼、赫爾曼·外爾以及保羅·狄拉克也為其做出了基礎性的貢獻。基於不同方法的數學表述在後來得到了統一。對於量子理論的物理學解釋也在海森堡發現不確定性原理以及尼爾斯·波耳引入互補原理後得到統一。

新的量子理論

海森堡等人於1926年創立的矩陣力學是首個能夠成功解釋原子光譜量子化的理論。薛丁格也在同一年創立了波動力學。由於是採用當時物理學家已深為熟諳的微分方程式表述的，波動力學更易理解，也更易計算並實現可視化。一年後，兩種表述被發現是等價的。
薛丁格本人起初並沒有提出量子力學中的機率性質，因為他認為電子波函數的模方應該解釋為在空間中彌散的電荷密度。後來玻恩引入了波函數的機率解釋，即某一位置的波函數的模方為一個粒子在該位置出現的機率。玻恩的解釋迅速被波耳接受。薛丁格所提出的方程式與古典力學中的哈密頓-雅可比方程式密切相關。量子力學與古典力學的對應在海森堡的矩陣力學中體現得更為明顯。在博士學位論文中，狄拉克提出海森堡繪景中的算符方程式與哈密頓力學中的動力學方程式形式類似，正則量子化條件與帕松括號也存在一定的相似性。
更為準確地說，海森堡是在薛丁格之前創立矩陣力學的。這一表述是量子力學第一個有效的表述，是一個本質性的突破。海森堡的矩陣力學是基於無窮維矩陣的代數演算。這一表述與古典力學的數學表述方式大相逕庭。不過，他的出發點是實驗研究中所用到的「指標」，並且他也並沒有意識到他的「指標方法」實際上就是矩陣方法。這一點後來是由玻恩闡明的。實際上在那個時代，線性代數並不像現在這樣為物理學家所熟識。
儘管薛丁格在創立波動力學一年後自行證明了自己的方法與海森堡的方法的等價性，但證明兩種方法相互調和並將它們抽象為希爾伯特空間中的運動的工作是由狄拉克完成的。他是在1930年發行的古典著作《量子力學原理》中闡明這一點的。他是量子力學的第三位也可能是最為重要的支柱性的人物。他在不久後發現了該理論的相對論推廣。他還發展出量子力學的狄拉克符號，引入了希爾伯特空間中泛函分析使用到的一些的抽象概念，並發現了系統動力學第三種表述，交互作用繪景。他的工作極大地推廣了量子力學理論。
基於這一思路的第一個完備數學表述體系現在被稱為狄拉克-馮諾伊曼公理體系。這一理論體系現在一般認為是馮·諾伊曼在其1932年發行的專著《量子力學的數學基礎》中提出的。儘管此前外爾已經在其1927年發表的論文著作中引入了希爾伯特空間（他自己將之稱為「么正空間」）。這一體系採用的方法是數學中基於線性算符的譜理論，而非大衛·希爾伯特在一個世代前所採用的二次型方法。儘管量子力學理論如今依然在發展，但所採用的數學表述的基本框架仍是基於馮·諾伊曼的工作的。換言之，目前有關量子力學詮釋的探討及其延伸話題大多是圍繞著數學基礎理論中共用假設的基礎展開的。

量子力學的數學結構

對於一個物理學系統的描述基於以下三個基本要素：量子態、可觀測量以及動力學表述（或者說時間演化規則），或者更普遍的來說是物理對稱群。古典力學中，物理學系統直接在相空間中進行描述：相空間是一個辛流形，系統的狀態是相空間中的一個點，可觀測量是相空間上的實函數，時間演化規則由描述相空間辛變換的單參數群給出，物理對稱性由辛變換實現。量子力學的描述則是：系統的狀態構成一個希爾伯特空間，可觀測量是狀態空間的自共軛算符，時間演化規則由狀態空間么正變換的單參數群給出，物理對稱性是由么正變換實現的。

基本表述

以下幾條對於量子力學的數學框架的總結部分源於狄拉克-馮諾伊曼公理體系。除了下面幾條性質外，還需要考慮到系統的一些基本性質與原理，如下文提到的自旋及包立不相容原理。

量子態

每個物理學系統的狀態都與一個拓撲可分復希爾伯特空間有關，這個希爾伯特空間具有內積。H中的束（一維亞空間）與系統的量子態有關。換言之，物理學系統的狀態可以利用H中長度為1的向量等價類表述，兩個向量只有在相差一個相位因子時才能表示同一個態。可分性這一假設在詮釋當狀態經過有限次的測量可以確定時的情形中可以用到。一個量子態是射影希爾伯特空間中的一個「束」，而並非一個「向量」。但在一些現實情景中，卻並不強調這兩個概念間的區別。這一點部分源於薛丁格方程式的表述中涉及到的是希爾伯特空間「向量」，並近而衍生出「態矢」這一併不嚴格的術語。
複合系統的狀態空間是分系統狀態空間的希爾伯特空間張量積。對於一個由可數的可分粒子組成的非相對論系統，其分系統就是單一的粒子。

對稱性

依據維格納定理，作用於狀態空間的物理學對稱性是么正的或是反么正的。超對稱性的情況與之不同。

動力學繪景

依據所關注的問題不同，我們可以構造不同的動力學繪景。較為重要的繪景包括：薛丁格繪景、海森堡繪景以及交互作用繪景。

三種繪景的比較

海森堡繪景與古典物理學中的哈密頓力學的聯繫最為密切，例如海森堡方程式中出現的對易子的性質與帕松括號的性質就存在類似之處。從教學的角度上來說，薛丁格繪景一般認為是三種繪景中最易於理解、可視化的。交互作用繪景常用於微擾理論，在量子場論及多體問題中特別常用。
通過物理系統的對稱性的單參數群，還可以構造類似的繪景。時間可以由一個合適的表徵酉群的參數取代，例如旋轉角或是平移距離，而哈密頓量則可以由與對稱性有關的守恆量取代，例如動量或者角動量。

表象

薛丁格方程式的形式取決於海森堡正則對易關係所選定的表象。依據斯通-馮諾伊曼定理，所有不可約的有限維海森堡對易關係都是酉等價的。由此可以得到量子力學的相空間表述，即可以在相空間而不一定是希爾伯特空間中解決問題。這一方法與古典力學的直觀聯繫更為密切，同時可以簡化由古典力學到量子力學的量子化問題。
選定不同表象的結果在量子諧振子這個精確可解的系統中體現得尤為明顯。在這一系統中，除了可以選定位置表象與動量表象以及相空間表象外，還可以選定量子數表象以及諧振子表象。這幾種表象都是酉等價的。

作為算符的時間

在上文已經述及的框架中，時間一直作為其他變量變化所依靠的參數，但時間自身作為可觀察量的量子力學表述也是存在的。在古典力學中，可以以任意一個非物理參數s來去描述粒子運動軌跡。在這樣的情況中，時間t成為了系統額外的一個廣義座標。在量子力學中，系統在s中的平移可以由「哈密頓算符」H − E表述，其中E為能量算符，H為「一般」哈密頓算符。然而，由於s是一個非物理學參數，系統在s演化前後保持不變，所以物理狀態空間是H − E的零空間。這需要用到結構希爾伯特空間以及範數的重正化。這一問題與約束系統的量子化及規範量子化理論有關。

相對態詮釋

休·艾弗雷特三世曾提出測量問題的另一種詮釋——相對態詮釋。後世的物理學家一般稱其為多世界詮釋。