量子力學入門

烏雲

19世紀末，人們普遍認為，古典物理的宏偉框架似乎已經接近完成了，但對於一些新的實驗發現，古典物理不能作出合理解釋，因此，這種觀念受到了挑戰。在宏觀尺度低速運動狀態下，古典物理學理論有著完美的應用，但在解釋大量微觀粒子運動或物體以極高的速度運動時，古典理論遭受了巨大的困難。一種關於全局的觀點認為，總的來說，從普通的觀測中得到的結果受到了觀測和理論預言的挑戰（古典物理已經給不出可能的解釋）。逐漸顯露的景象是，宇宙表現出的行為倔強地違背著我們的常識。
在大尺度層面，相對論告訴我們對不同的觀測者來說時間流逝的快慢並不相等。物質能轉變為能量，反之亦然。兩個以超過0.5倍光速的速度相向而行的物體無法以超過光的相對速度接近對方，時間歷程會在接近大質量物體時變慢等等。事物並不是以我們的經驗所習慣的方式運作著的。
在小尺度層面，奇異的現象更是無處不在。我們無法描述一個光子或電子從出發點到它被發現點之間的確定的位置或是運動軌跡。我們無法用日常的經驗來判斷一個粒子將在何處出現。它甚至會有一定的機率在一個封閉邊界外出現。機率成為這個尺度上一切交互作用的關鍵因素。討論任何原子尺度上的粒子的運動軌跡是沒有意義的，因為如果我們要精確的測量粒子的位置，對其速度的測量的準確度就會降低，反之亦然。
在古典物理的時代，牛頓和他的追隨者們相信光的本質是粒子，而另外一部分人（惠更斯等人）則認為光是在某種介質中傳播的波。物理學家們並沒有去尋找實驗去證明某一方觀點是否正確，而是設計了能夠顯示出光的頻率等屬於「波動性」的特徵的實驗，同時也有能顯示出動量等「粒子性」特徵的實驗。而在此後的一些實驗觀測中，尺度較大的粒子，比如原子甚至是一些分子都顯示出了「波動性」的特徵。
1927年，尼爾斯·波爾這樣寫到：「如果有人沒有被量子論所震驚的話，他就沒有理解它。」

從烏雲走向曙光

量子力學的基本問題源自17世紀對光的本質的研究以及19世紀初電和磁的本質被揭示出來。
1690年，惠更斯提出了光波動說用以解釋干涉和折射現象，而艾薩克·牛頓堅信光微粒說，即光是由極其微小的粒子構成的，他把這種粒子叫作「光微粒」。
由於牛頓本人的高度權威，光微粒說在很長的一段時間占據著上風，1827年，托馬斯·楊和奧古斯丁·菲涅耳用實驗證明了光存在干涉現象，這是和「光微粒說」不相容的。隨著光波動說的數學理論逐漸完善，到19世紀末，無論是實驗還是理論上，牛頓的理論都失去了以往的地位。
不久之後的一些實驗現象如光電效應，只能把光看作「一份一份」的或是將其量子化才能得到合理的解釋。當光照射在金屬表面，電子會離開初始位置逸出。這種現象的一些特點只能在光的能量不連續的假設下才能被合理解釋。在一個光電設備（照相機的曝光表等）中，光照射在金屬感應器表面使得電子逸出。增加光的強度（同一頻率的光）能夠讓更多的電子逸出。而如果想要使電子的速度更快也就是動能更大，必須增加光的頻率。因此，光強只決定了光電流的大小，也可以說是電路中電壓的大小。這個現象和傳統的波動模型相悖，因為傳統模型是源自對聲波和海洋波的研究，這個模型的結論是，振動源的初相位也就是強度大小決定了所產生波的能量大小。同時，如何讓表現出光的粒子性和波動性的實驗現象和諧共處的問題，也擺在了物理學家的面前。
1874年，喬治·強斯頓·史東尼首次提出了電荷的概念，它是帶電體的基本量，不能再被拆分成更小的部分。電荷也就成為了第一個被量子化的物理量。
1873年，詹姆斯·克拉克·馬克士威給出了著名的馬克士威方程式，在理論上證明振盪的電路能夠產生電磁波，這使得純粹的通過電磁測量手段來測量電磁波的速度成為了可能。而測量結果顯示電磁波的速度非常的接近於光速。也就是說，光也是一種電磁波。亨里克·赫茲製作了一個能夠產生低於可見光頻率的電磁波（現在我們稱之為微波）的儀器。早期研究的爭議在於如何解釋電磁輻射的本質，一些人認為這是因為其的粒子性，而另一些人宣稱這是一種波動現象。在古典物理里，這兩種思想是完全相悖的。
量子力學正式開始於馬克斯·普朗克里程碑式的於1900年發表的關於黑體輻射的論文，在這篇論文裡，第一次出現了量子假設。普朗克的工作讓人們認識到，無論是光波動說還是光微粒說都不能單獨地合理地說明電磁輻射現象。
1905年，愛因斯坦擴展了普朗克的量子假設，並用其成功的解釋了光電效應現象。 波爾給出了他的原子模型，這個模型充分的吸收了普朗克的量子假設。這些工作和20世紀初的其他一些工作創立了「舊量子論」。
1924年，路易·德布羅意提出了物質波假設。此假設的提出成為了一個轉折點，從那以後，一個更高級且更完整的量子力學逐漸出現了。在20年代中期對「新量子力學」或「新物理學」做出了重要貢獻的物理學家還有，馬克斯·波恩， 保羅·狄拉克， 維爾納·海森堡， 沃爾夫岡·包立，以及埃爾溫·薛丁格。 
20世紀40代末到50年代初，朱利安·施溫格、朝永振一郎、理察·費曼和弗里曼·戴森合作或分別同時發展了量子電動力學，它研究的對象是電磁交互作用的量子性質（即光子的發射和吸收）、帶電粒子的產生和湮沒、帶電粒子間的散射、帶電粒子與光子間的散射等等。此後，穆雷·格爾曼發展了描述夸克膠子之間強交互作用的量子色動力學。

古典量子論

量子力學始於對電磁波的譜系分析。我們最熟悉的電磁波就是可見光了。電磁波的頻率（或波長）決定了它的能量，紫外線，X射線和伽瑪射線具有比可見光更大的能量，而紅外線，微波，無線電波的能量比可見光的小。電磁波在真空中以光速傳播。從此以後，粒子通常是指基本粒子或亞原子粒子。

波耳的原子模型

1887年，J·J·湯姆生領導的一個研究小組發現了一種帶著一個單位負電荷且質量極小的基本粒子並把它命名為電子。通過金箔實驗，物理學家認識到物質的內部幾乎是真空的，原子核只占了原子很小的一部分。這個事實清楚之後，就可以很自然的假設負電子在軌域上環繞著原子核運動，就像太陽系的行星那樣。但這種簡單的類比的後果就是：根據古典電動力學，電子在運動時會不斷向外輻射電磁波，失去能量的電子最終將會墜入原子核中。以此推論，電子大約只能存在百分之一微秒。因此，20世紀初困擾物理學家們最大的問題就是：電子是如何保持穩定軌域的？
1913年，為了解決這個問題，尼爾斯·波耳假設了電子的軌域是量子化的（不連續）。這就是著名的波耳原子模型。波耳的基本假設是：電子只能占據原子核外的特定軌域這些軌域能夠在對單一元素的原子的光譜分析後得出。

波粒二象性

波耳指出了光微粒說和光波動說都不能獨立的說明經實驗觀測到得光的特性。所有形式的電磁輻射都在一些實驗中表現出波動性，卻又在別的一些實驗中表現出粒子性。以此為根據，波耳闡明了對應原理，此原理針對一些相對應的概念，如波動性和粒子性，位置和動量等。
1924年，德布羅意從波耳的發現中發展出了波粒二象性理論用以描述亞原子粒子同時具有的波和粒子性質的特性，並給出了數學表述。德布羅意推廣了波耳模型，一個繞著原子核旋轉的電子能夠被看作具有一些類似于波的性質。特別的是，只有環繞原子核形成駐波時，電子才能被觀測到。「駐波」的波形無法前進，因此無法傳播能量。它的一個典型例子是兩端固定的一根弦，撥動兩端固定張緊的弦使其振動，一開始需使弦的兩端的振幅為零，使波經兩固定端反射可干涉產生駐波。同時，弦的兩固定端必為節點（也就是振幅為零的點）。當弦上產生駐波時，弦長L為半波長的正整數倍。而回到原子模型上，如果要使波動運動軌跡光滑銜接形成一個簡單閉合曲線，波必須由波峰和波谷連續構成。而電子的軌域是圓周軌域，每一個電子就必須以它自己的駐波形式來占據特定軌域。

完整的量子論

1932年諾貝爾物理學獎獲得者，維爾納·海森堡在1925年建立起了完整的量子力學理論。

不確定性原理

1927年，海森堡利用他的矩陣力學和一些理想實驗推導出了一個微觀尺度下物質和能量的重要結論。他發現在測量粒子動量和位置的時候會導致h/4π的殘留誤差（兩者殘留誤差相乘）。測量時位置的殘留誤差越小，動量的殘留誤差就會變得相當大。而h/4π就是這個殘留誤差的下限（也就是說兩者殘留誤差的乘積大於等於h/4π）。這一結論最終被稱作不確定性原理。
量子力學嚴格限制了測量處於運動狀態的亞原子粒子時的精確度。觀測者可以精確測量粒子的位置或是動量，但無法同時精確測量兩者。這個限制意味著對其中一種屬性的測量達到極高的精確度時，對另一種屬性的測量的殘留誤差將會趨於無窮大。
海森堡在早期一個關於不確定原理的演講里這樣提到了波耳模型：
「你大可以認為，電子的軌域並不是真正的軌域。實際上，在每一時刻電子總有一個屬性是我們無法確定的，要嘛是動量，要嘛是它的位置，這是不確定關係得出的結論。只有接受了這種理念，我們才可能描述電子的軌域是什麼，而它的確是這樣的。」
不確定性原理給出的一個重要結論就是在某一時刻，我們不能確定電子在軌域上的確切位置，我們只能給出電子在某一位置出現的可能性。計算出電子可能出現的位置，給出可能出現的相關軌域，我們就可以給出一種和傳統圖景不同的原子描述——電子在原子核周圍形成了電子云，它分布在原子核周圍，在靠近原子核的一些區域，電子云擁有最大的密集度，這代表電子在這些區域出現的機率最大，在遠離原子核的區域，電子云變得稀疏了，電子在這些區域出現的機率較小。數學上我們把這種點狀雲稱為機率分布，這是它的一種較形象的表述方式。波爾的原子模型中每個軌域對應的量子數n就成為了n維球面，被描繪成環繞原子核的機率電子云。
如果一個電子的位置無法被測量出，我們就不能描述它處於哪一個特殊的位置了。我們能做的就是計算出電子在軌域上某些位置出現的機率。換句話說，量子力學只能給出發生某種可能的結果的機率。海森堡從不確定原理出發，繼續思考觀測電子的問題，得出的結論居然是微觀粒子只在我們觀察它的時候才存在！注意他針對的是粒子本身，而不是它們的軌域。儘管他所闡述的理論看上去是荒誕且強烈的違背著我們的直覺的，量子力學仍然只能從機率分布出發來計算給定軌域下電子的位置。
儘管海森堡的矩陣力學允許電子出現在無限多的位置，這並不意味著電子可以出現在空間中的每一個地方。有一些條件限制了電子，使其必須占據某些特定的機率分布描述的位置。波爾模型是通過電子的能階來描述電子行為的，矩陣力學和它是相容的。因此，一個電子所出現的n維球面對應著離原子核某一特定距離，而正是這個距離決定了電子的能量。正是這個條件制約了電子的位置。電子可能存在的位置的數目又被稱為相空間中的相格數根據不確定原理，古典相空間不能被無限細分，因此在一個軌域上電子能占據的位置數就是有限的了。電子在原子裡的位置取決於它的軌域，而一個軌域終止於原子核，並且離下一個軌域開始的位置很近。
自牛頓以來的古典物理學告訴我們，如果我們知道某一時刻行星和恆星的位置和運動狀態，我們就能夠預測它們在未來任何時刻運動狀態。不確定原理則告訴我們這對於亞原子世界是不適用的。我們不能同時精確測量出微觀粒子位置和動量，對於粒子未來的運動狀態，我們只能給出一種機率分布，該分布只能告訴我們在未來它處在這種狀態的可能性。
源自波粒二象性的不確定性原理的影響只在亞原子尺度時顯現出來。儘管這些現象違背了我們的直覺，以不確定原理著稱的量子力學仍然不斷引領著科學技術的進步，如果沒有它，我們也就不會擁有電子計算機，螢光燈以及醫學影像設備。

波函數塌縮

對於單個電子而言，薛丁格的波動方程式及其獨特的波函數和海森堡的量子化的點粒子的機率分布一樣在空間中散開，因為波本身就是分布很廣的擾動而不是點粒子。因此，薛丁格的波動方程式能夠得到和不確定性原理相同的結果，因為位置的不確定性在波的擾動的定義中就表現出來了。只有海森堡的矩陣力學才需要定義不確定性，因為它是從粒子的觀點出發的。薛丁格的波函數顯示電子總是處於機率雲中，在它像波一樣展開的機率分布中。
馬克斯·玻恩在1928年發現，薛丁格的波函數的平方（為了得到振幅的平方）是電子位置的機率分布。對於電子的位置可以直接測量而不會得到一個機率分布，是因為電子暫時失去了波的性質。沒有了波的性質，薛丁格的關於電子的波的特性的預言也都失效了。對粒子的位置的測量使粒子失去了波的性質，以至於薛丁格的波動方程式失效了。電子一經測量再也不能被波函數所描述，它的波長變得很短並且它與測量設備的粒子相互纏結，這種現象就是所謂的塌縮。

狄拉克波動方程式

1928年，保羅·狄拉克推廣了用於描述自旋電子的包立方程式而使之與狹義相對論相容。於是這個理論便能夠處理速度接近光速的微觀粒子的運動問題，比如在軌域上運動的電子。使用最簡單的電磁交互作用理論，狄拉克算出了由電子自旋而產生的磁矩，他發現實驗觀測到的值和古典物理所想像的那種自旋所得出的值大了很多。他完全的解決了氫原子光譜的問題，並從他的理論中推導出了索末菲關於氫原子光譜精細結構的公式。
狄拉克方程式有時會解出電子具有負能階，於是他提出了一個新穎的假設：在動力學空間中存在著正電子。這最終導致了多粒子量子場論的誕生。1930年，狄拉克編寫了關於量子力學的第一本現代意義上的教科書，書中整合了海森堡的矩陣力學，薛丁格的波動力學和他自己的量子變換理論，同時也使之與狹義相對論相適應。《量子力學原理》（The Principles of Quantum Mechanics）是公認的古典著作，直到今天也具有相當的參考價值。
直到現在，所有的量子理論主要都是集中在對氫原子光譜的研究上。根據舊量子論，每一種元素的原子的光譜都是獨特的。由於電子和原子核不能被直接觀測到，科學家們不可能直接去研究它們的行為。即使在今天，我們使用掃描式穿隧電子顯微鏡，也只能得到模糊不清的原子圖像。迄今為止，對量子力學的實驗驗證還只是在對氦和氫原子的輻射光譜研究上，它的數學表述被用來解釋和說明輻射光譜。因此，量子力學有時也被認為是一種數理物理學。

量子纏結

包立不相容原理指出在同一系統下的兩個電子不可能處於同一狀態。大自然拋棄了這種可能性，但卻允許兩個電子可以在上面「疊」有兩種狀態。回想波函數，穿過雙狹縫並在一瞬間以疊加的其中一種狀態呈現在顯示屏幕上。沒有什麼是確定的，除非疊加的波「坍縮」，這時候就會有一個電子以符合機率的方式立即顯示在某個地方，這個機率即波形疊加後的振幅的平方。上述情況已十分抽象難解了。關於光子的纏結，在此有一個較為具體的思考方式，有兩個光子在同一事件中疊加了兩個相對立的狀態，如下︰
可以試著在腦海中想像，把疊加的其中一個狀態標記為藍色，再把另一個狀態標記為紅色，在稍後會顯現成紫色的狀態。兩個光子是在同一個原子事件中產生出來的。這兩個光子可能是水晶吸收特定頻率的光子並發射出頻率為原始值之半的兩個光子所激發而成的。因此這兩個光子顯現出「紫色」。如果有位實驗者現在要作測定光子是紅或藍的實驗，這個實驗會把光子從原本具有「紅」、「藍」兩個狀態改變成只有其中一個狀態。這個愛因斯坦曾經如此想像過的問題是，如果其中一個光子不斷在實驗室的鏡子之間持續彈跳，而另一個光子已經移動到最近的星星的一半路程，當成對的其中一個光子顯現出自身是紅或是藍的時候，就意味著那顆遠在千里之遙的光子也必須失去「紫色」的狀態。故每當檢查光子的時候，光子就必定顯現成相對於成對光子的另一個狀態。
假設有某些物種帶有雄性或雌性這兩種性別特徵的遺傳潛力。牠們會隨著環境的變化轉變成雄性或雌性。牠們也許會一直保持著不確定的狀態直到天氣轉變成嚴寒或酷暑。然後牠們會顯現出一種性別特徵，以後天改變的方式、雄激素或雌激素等高階系統鎖定到那個性別狀態。自然界中確實有符合上述情節的情況，不過現在要再想像如果有一對雙胞胎出生，並且有一股自然之力禁止這對雙胞胎顯現出同一性別。之後如果雙胞胎的其中一個到了南極，並轉變成雌性，此時另一個雙胞胎將無視當地氣候直接轉變成雄性。這樣的世界相當難以解釋。在南極洲的一隻動物會影響到牠那遠在紅木市的雙胞胎兄弟這種事要怎麼樣才會發生？美國加州？心電感應？什麼？要怎麼樣才能瞬間作出變化？即使是來自南極洲的無線電訊息都要花費一段時間。
為了證明量子力學是個不完備的理論，愛因斯坦從理論的預言開始著手，該理論預言，那些過去已經交互作用的兩個或更多粒子，在之後的測量中，可以顯示出很強的聯繫。他試圖用古典的方法來解釋這個看似的交互作用，即通過他們平常的過去，而不是幽靈般的超距作用。這個爭論最終在一篇著名的論文中得到了解決，愛因斯坦，波多爾斯基和羅森（1935，Einstein-Podolsky-Rosen，簡寫為EPR）在這篇文章中提出了現在所謂的EPR悖論。在假設定域實在性的基礎上，EPR試圖從量子論的角度出發，解釋一個粒子同時具有位置和動量兩種屬性，而對應的哥本哈根解釋則認為只有其中之一實際存在且僅僅在被測量的時刻存在。EPR總結說量子論是不完整的，因為它沒有考慮到自然世界中明顯存在的物理屬性（愛因斯坦，波多爾斯基和羅森，1935，已經是在物理雜誌上被引用最多的愛因斯坦的文章）。同一年，埃爾溫·薛丁格使用「纏結」這個詞並且聲稱：「相對於把它稱為量子動力學的特徵之一，我更想稱它為量子動力學的專有特徵」。纏結是否是一個真實的條件這個問題一直到現在仍然存在爭議。貝爾不等式是對愛因斯坦聲明最有力的挑戰。

量子電動力學

量子電動力學是關於電磁力的量子理論。要理解它需要先理解電磁學。電磁學之所以被稱作「電動力學」因為它描述了電和磁力之間的動力學作用。而電磁學又要從電荷開始講起。
電荷是電場的源，也可以說是它產生了電場。電場是能夠對空間中任意位置的任何帶電粒子施加作用力的場。這些粒子包括電子，質子，甚至是夸克等等。當有力施加時，電荷開始運動，於是就產生了電流和磁場。而變化的磁場又導致了電流的產生（運動的電子）。這個電和磁交互作用的場被作為一個整體而成為電磁場。
描述帶電粒子的交互作用，電流，電場，以及磁場的物理學理論就是電磁學。
1928年，保羅·狄拉克給出了關於電磁學的相對論性質的量子理論。這就是現代量子電動力學的原型，在這個理論里已經有了現代理論中的很多重要基礎。但是，在這個理論中的計算中出現了無法消除無窮大的問題。這個問題最初被理論的創始人看做暫時的疑難並終將得到解決。而重整化方法的出現最終解決了這個問題，它也成為量子電動力學和其他一些物理學理論自我完善的重要工具。並且，在1940年代末，費曼圖向人們展示了所有交互作用的圖景。它展示出了電磁力的本質是帶電粒子交換光子的交互作用。
量子電動力學所預測的一個例子是已經被實驗證實的蘭姆移位。由於電磁場的量子效應，一個原子或離子的能階會輕微的偏離沒有量子效應時的位置。而表觀上，光譜譜線會平移或分裂。
20世紀60年代，物理學家們意識到量子電動力學在高能狀態將徹底失效。這也導致了粒子物理學標準模型的建立，它的出現解決了高能狀態下的失效問題。標準模型使得電磁作用和弱交互作用相統一。這就是弱電作用理論。

詮釋

毫無疑問，量子力學的威力是人類之前建立的任何一個理論無法匹敵的。它完美地解釋了古典力學無法解釋的物理現象，並成功地預言了後來的許多實驗發現。量子力學還把大量的其他理論融入自己的體系中。量子力學（特別是量子電動力學被稱為人類有史以來最精確的理論）在實驗預測上的精確度超出了幾乎其餘所有科學理論。現代物理學的絕大多數基礎理論，包括狹義相對論，都被量子力學納入量子場論的範疇中。古典力學在人們生活中仍舊起作用，這是因為幾乎所有的古典物理內容都可以被看做是量子物理和相對論的近似情況。古典物理仍能處理自然界的一種基本力——因質量而產生的萬物之間相互吸引的萬有引力的問題，廣義相對論是成熟的並被廣泛接受的重力理論。目前量子場論還沒有真正的滲透到廣義相對論中。將廣義相對論和相對論性量子力學聯合起來的終極理論被譽為當代理論物理學的聖杯。
儘管量子力學在預言和實用上取得了空前的成功，它的很多方面卻一直在挑戰著我們的直覺。量子力學所描述的微觀物質的行為，和我們由日常經驗所能想像的實在是相差甚遠。
有趣的是，對應原理和埃倫費斯特定理預言了當一個系統尺度增大到一定程度時（使得普朗克常數可以忽略不計而趨於0），量子力學將會退化到古典力學（有一些例外，比如超流動性和超導性等等）。對於我們的日常生活來說，量子力學的效應完全可以忽略不計，古典描述已經足夠了。但即便如此，物理學家們為了理解這個量子世界，已經做出了許多的量子力學詮釋，從最正統的哥本哈根詮釋到隱變量理論詮釋再到多世界詮釋等等。這些詮釋已經超出了物理學的範圍，也引起了更多人對它的關注。