李冶

早年生活

李冶的祖籍是真定府欒城縣，於公元1192年生於大興府城（今北京市）。父親李遹曾在大興府尹胡沙虎手下任推官，讀過醫學、律學，後又改學六經詞賦，博學多才。母親王氏，是李遹的第三個妻子。李冶有兩個同父異母的弟兄，和兩個同胞姐妹。李冶原名治，後來發現與唐高宗相同，於是改為冶。童年的李冶在元氏縣求學，據《元朝名臣事略》記載，李冶喜愛讀書，「手不釋卷」，性格聰穎，「有成人風」。
1213年，胡沙虎廢黜衛紹王完顏永濟，將其毒死，另立宣宗。李遹目睹朝綱敗壞，心灰意冷，託病辭職回到陽翟（今河南禹縣）隱居。這件事對李冶影響很大。李遹隱居後，李冶也遷來河南居住，並與常常登門求教李遹的元好問結交。
興定元年（1217年），李冶隨元好問到汴京向禮部尚書趙秉文求教，並拜趙秉文為師。後來又一起拜翰林楊雲翼為師。楊雲翼通曉曆法算學，曾在司天台任職，後任禮部尚書，和趙秉文合稱「趙楊」。到了正大年間，兩人已與趙楊齊名了。金哀宗正大七年（1230年），李冶赴洛陽應試，中進士，同年任高陵（今陝西高陵）主簿一職。但由於蒙古軍已經攻入陝西，他沒有赴任，被改派往鈞州（在今河南禹縣）任知事兩年。

避難河北，潛心數學

1232年正月，蒙古軍攻破鈞州，李冶不願投降，只得微服北渡黃河，流連於忻山(今山西忻縣)和崞山(今山西崞縣)之間，生活十分辛苦，最後在桐川定居。在此期間，李冶父親病逝。1234年，金朝滅亡。李冶至此無心做官，潛心研究學問。這時李冶生活艱苦，但仍以研究學問為樂。他的研究工作涉及數學、文學、歷史、天文、哲學、醫學。1240年，他得到一本叫做《洞淵九容》的算書，主要探討勾股容圓（也就是現代幾何學里直角三角形的內切圓）的問題。這本書使得李冶開始將主要精力放在研究數學之上。1248年，李冶寫成《測圓海鏡》十二卷，在前人的基礎上改進出「天元術」，以「天元」作為未知數的記號來求解方程式。
李冶在桐川與元好問來往甚密，常常在一起吟詩唱和，世人稱為「元李」。這個時期元好問的詩作中如《桐川與仁卿飲》、《和仁卿演太白詩意二首》等等中的「仁卿」就是指李冶。
李冶隱居著書時，生活艱苦，有時也要求諸他人。當時當地的管理和名儒都賞識他的學問。聶珪、張德輝、王鶚等都曾經給予他不同程度的幫助。
1242年，李冶到河南陽翟領父親遺體，安葬於祖塋，並請元好問為父親作墓誌銘。
李冶寫成《測圓海鏡》後不久，曾遷居太原。藩府官員曾請他出仕，被他拒絕。後來又流落平定，平定侯聶珪很敬重他，把他接到帥府居住，而並不勉強他做官。

歸鄉講學，不願出仕

1251年，李冶的經濟情況有所好轉，便回到元氏縣居住，在封龍山下買田隱居講學。後來學生漸多，達到數十人，家中已經容納不下，於是在北宋李昉讀書堂故基上建起封龍書院。李冶不僅教授數學，也教授文史儒學。王德淵稱讚李冶「於六藝百家，靡不串貫」李冶在封龍書院講學共二十餘年，門下學生極多，培養出了大批人才。在李冶門下求學的有日後的元朝中書右丞相史天澤、集賢學士焦養直、廉訪僉事張翼、翰林纂修承直郎王德淵等等。李冶與張德輝、元好問一起，號稱「龍山三老」。1257年，忽必烈曾在上都開平召見李冶，向他請教用人治國之道以及對不久前發生的地震的看法，李冶對答有度，稱治國之道不外乎「立法度、正紀綱」，主張用人唯賢，賞罰分明，被忽必烈嘉許。1259年，李冶寫成另一部數學著作：《益古演段》。
1260年忽必烈登位後，欲聘請他為官，但李冶以老病為名，婉言拒絕。1264年，元朝為編寫遼、金、元歷史，設立翰林學士院。1265年李冶被召為翰林學士，就職一年之後，又以年老多病為理由辭官，繼續在封龍山隱居。
1279年，李冶在家中去世，享年88歲。

思想

1232年北渡黃河以前，李冶的哲學思想偏於孔孟，信守儒家學說。但北渡之後，他的思想逐漸轉為向道家靠攏。從他的讀書筆記《敬齋古今黈》中展現的思想看來，他對莊子的思想理解甚為深刻，也很贊同。他對朱熹的理學思想並不全面認同，認為其中不通和有爭議的地方也十分多，不應該盲目認同。而他認為「數學雖然是六藝中地位最低的一種技藝，但在實際生活中卻是最需要的」的思想，也有可能來源於莊子。

對數學的看法

和秦九韶一樣，李冶並不認為算學是「九九賤技」，認為「小數之假所以為大道所歸」，也就是說「道」既來源於「小數」（技藝），又借「小數」而體現。他曾經在《益古演段》序中說過：「安知軒隸之秘不於是乎始？」（誰知道軒轅隸首得道的秘訣不是始於數學呢？）也許通過對數學這種「小數」的追求也可以達到「技進乎道」的境界。
李冶對當時基於道教和理學的數學神秘主義不以為然。在《測圓海鏡》的序文中，李冶認為自然之數（數字）雖然不可窮盡但數學的道理（自然之理）是可以推導的，而數學的道理如同黑暗中的光亮一般，只要明白了道理，就可以明白數學的奧妙。

文學思想

李冶也是一位著名的文學家，與好友元好問並稱「元李」。由於其著作集《文集》已失佚，後世對他主要的文學思想的了解主要來源於他的《泛說》與《敬齋古今黈》。
李冶文風嚴謹。他曾說：「文章有不當為者五，苟作一也，徇物二也，欺心三也，蠱俗四也，不可以示子孫五也。」在《敬齋古今黈》中，他提出了自己的文學主張。他首先認為，寫文章應當立足實際，但也要善於聯想，不應當穿鑿附會，無中生有。李冶還認為，寫文章應當善於借鑑吸收前人的精華，為己所用，但他同時也嘲笑盲從古人的態度。對於詩文鑑賞，李冶認為詩文的氣質重於文采，重在骨格。

人性論

李冶在《敬齋古今黈》中闡述了自己對人性的看法。他認為，孟子的「性善論」只能說明「萬物皆有效善之質」，即向善的可能性，而事實上是否向善，則取決於後天的環境。他認為，對人的欲望，不可過於約束，也不可不加限制，約束之心太過，就猶如拔苗助長，而放任不理就猶如不耕耘一樣，都無法有好的效果。

數學研究

在數學方面，李冶一共寫了兩本著作《測圓海鏡》和《益古演段》，都是使用天元術來解幾何問題。

測圓海鏡

《測圓海鏡》一書共分十二卷一百七十問，主要探討勾股容圓的問題。所謂勾股容圓，即是勾股形（邊長為整數的直角三角形）的內切圓和旁切圓。測圓海鏡一書從九種勾股容圓（勾上容圓、股上容圓、弦上容圓、勾股上容圓、 勾外容圓、 股外容圓、弦外容圓、勾外容半圓、股外容半圓）的性質以及計算開始，給出了一系列數值題目的解答。其中為了計算而引入的天元術實際上是一種用一元高次方程式解題的方法。在唐代，王孝通曾經描述和解決過三次方程式，但由於沒有設未知數的概念，只能用文字敘述，而沒有給出列方程式的一般方法。宋元時代，列方程式的思想逐漸成熟，據祖頤在《四元玉鑒》的後序中所列的天元術著作，有蔣周的《益古集》、李文一的《照膽》等。但除了《測圓海鏡》，其它較早的天元術著作都已散佚。而李冶在《敬齋古今黈》中也提到曾經在東平（今山東東平）得到一本算經，裡面將未知數的不同冪次從上到下置換，並各取名稱。比如未知數的立方被稱為「高」，未知數自身稱為「天」，常數被稱為「人」，而負一次方被稱為「地」。
在《測圓海鏡》中，李冶沿用了將含未知數的多項式（天元式）按照冪次一層層從高到低置換的方法，但取消了未知數的各種次冪的名稱，而以「天元」作為未知數的統一名稱。天元的上層表示比一高的冪次，其下表示比一低的冪次。有時也用「太」表示常數項，太以上各層為未知數的正次冪，其下為負次冪。列出方程式後則使用卷首的「識別雜記」中的公式和開方術求解。
結構上，《測圓海鏡》以所有勾股容圓的公式作為開頭，並給出所有所涉及線段的長度。後面的題目中都是假設有一所圓形的城池，已知一些相關的長度，而求城池的大小，也就是圓形的半徑。每道題先敘述題目，然後給出解法（法），最後帶入數字演算（演草）得出答案。
《測圓海鏡》於1248年寫成，但直到1279年李冶去世，也未能付梓。李冶對這本書極其重視，臨終時曾對兒子說：「吾生平著述，死後盡可燔去，獨測圓海鏡一書，雖九九小數，吾曾精思致力也，後世必有知者。（我生平寫的書都可以燒掉，唯獨《測圓海鏡》這本書不可以。雖然只是區區算書，卻記錄了我努力思考的結果，後世必有能夠理解我的思想的人。）」清代數學家對李冶的工作給予很高評價，阮元認為《測圓海鏡》是「中土數學之寶書」；李善蘭稱讚它是「中華算書，無有勝於此者」。

益古演段

李冶的另一部數學著作是《益古演段》三卷。書名中的「演」是指「推演」的意思，而「段」是指「條段法」，也就是方程式的意思。古時方程式的各項常用一段段的條形面積來表示，因此方程式也叫條段。該書是用天元術解釋蔣周的算書《益古集》，一共64題，基本上都是已知平面圖形的面積，求圓的半徑、正方形的邊長和周長等等。上卷22問，內容不超過正方形與圓的互容；中卷20問，把正方形推廣為長方形；下卷22問，涉及更為複雜的圖形。條書中用人們易懂的幾何方法對天元術進行解釋，圖文並茂，全部是一次或二次方程式問題。據李冶在自序中說，他編寫這本書，是要使粗知數學的人，便可以讀懂此書，學習天元術的方法。

其它著作

李冶在晚年還寫過《敬齋古今黈》與《泛說》兩部內容豐富的著作。《泛說》四十卷一書今已散佚，根據《元朝名臣事略》中的引用文段來看，是一本隨感錄，記錄李冶對世間事物的見解。《敬齋古今黈》是一本讀書筆記。另外，李冶生平亦作詩不少，《元詩選癸集》保存有五首。此外李冶還有《文集》四十卷、《璧書叢削》十二卷，均已失傳。

影響

天元術並非李冶的獨創，而是從金代起便在中國北方開始萌芽。據祖頤在《四元玉鑒後序》中的記載，李冶以前研究天元術的學者至少有蔣周、李文一、石信道、劉汝諧、李德載等等，但並未提到李冶。而除李冶之外，其它早期天元術的著作也已經失傳。1303年朱世傑的《四元玉鑒》問世，其中將天元術擴展為含有天元、地元、人元和物元的「四元術」，即四元高次方程組的解法，將天元術發展到了一個新的高度。
明代算學比起宋元時期並沒有什麼進展，尤其是天元術因為艱深難懂而少人研究，幾近失傳。明代顧應祥曾經撰寫《測圓海鏡分類釋術》，在序中稱「細考《測圓海鏡》，如求城徑即以二百四十為天元，半徑則以一百二十為天元，既知其數，何用算為？似不必立可也。……每條下細草，雖徑立天元一，反復合之，而無下手之處，使後學之士茫然無門路之可入。……每章去其細草，立一算術，……各以類分之，語義稍繁者，略加芟損，名曰《測圓海鏡分類釋術》。（仔細考查《測圓海鏡》，求直徑時就令二百四十為天元，求半徑的話則令一百二十為天元，既然已經知道了天元的大小，為什麼還要設天元呢？似乎沒有必要」，完全沒有明白天元術中天元為未知數的含義。他認為書中「每道題的演算中，雖然設立天元，但反覆查看，覺得無從下手，後來的學習者茫然摸不到門道）」，因而將《測圓海鏡》中關於立天元列方程式的演算全部刪去，只留下用開方術解方程式的過程，以方便後人學習。李儼認為宋金元發展起來的天元術至此已被遺忘。
十八世紀時，隨著西洋算學傳入中國，李冶等人的天元術著作才被後來的數學家重新發現。清朝梅瑴成（梅文鼎之孫）曾經研讀顧應祥的《測圓海鏡分類釋術》，對其中的天元之術感到不解，後來在研習西方的「借根方」法時發現所謂的「借根」就是「立天元」（都是設未知數），方才重新開始認識天元術。之後，《四元玉鑒》等其它天元術著作也被重新認識。後來的《四庫全書》中收錄了李潢家藏本的《測圓海鏡》。1798年，清代大藏書家鮑廷博刊印的《知不足齋叢書》中收錄了李銳校勘的《測圓海鏡細草》十二卷。之後又有焦循和李銳在研究了《測圓海鏡》、《益古演段》和《術數九章》後寫的《天元一釋》和《開方通釋》兩書，用較為明白的語言詳細解釋了李冶的天元術和秦九韶的正負開方術。至此，天元術和現代的方程式論逐漸融合，而十八世紀末期以後方程式論的研究也開始蓬勃發展。之後的相關作品包括1861年朝鮮數學家南秉哲著的《海鏡細草解》、1873年張楚鐘的《測圓海鏡識別詳解》、1896年劉岳雲出版的《測圓海鏡通釋》、1898年葉耀元《測圓海鏡解》，還有李善蘭的《測圓海鏡解》等等。

現代研究

二十世紀以來，李冶作為中國歷史上重要的數學家，其思想和著作被許多學者所研究。李儼、錢寶琮、梅榮照都曾經對李冶和他的著作進行過研究和考證。孔國平的《李冶傳》是第一本全面論述李冶生平及學術成就的專著。白尚恕、李迪、郭書春、沈康身、洪萬生等對李冶都有深入的研究。李冶和楊輝、秦九韶、朱世傑一起被認為是宋元時期的四大數學家。
1982年法國林立娜以測圓海鏡為題的論文獲得巴黎大學博士學位。

名字的考證

關於李冶的名字，《元朝名臣事略》、《元史本傳》、《永樂大典》、《四庫全書總目》、《皕宋樓藏書志》等都寫作李冶。柯劭忞在《新元史》中說李冶本名治，後改成冶。清朝的施國祁認為李冶真名應該是李治，而被稱為李冶是後來以訛傳訛之誤。繆荃孫在《藕香零拾》中也為這種說法提出三條佐證：首先元代王惲的《中堂記事》中有「李治，授翰林學士，知制誥，同修國史」的記載，與李冶的經歷相吻合。其次，元好問的《金故少中大夫程震墓碑》中由李冶題額，上面刻的是李治而不是李冶。最後，元好問在為李冶父親寫的墓志銘上有寫其三個兒子的名字，其中李冶的名字被寫為李治。他的兄弟名字分別是李澈和李滋。按照漢人起名的習慣，李冶作為三兄弟之一，名也應該是五行帶水的。余嘉錫在《四庫提要辨證》中亦詳加考證，說明李冶原來應該叫李治，但後來改為冶。