量子纏結

在量子力學裏，當幾個粒子在彼此交互作用後，由於各個粒子所擁有的特性已綜合成為整體性質，無法單獨描述各個粒子的性質，只能描述整體系統的性質，則稱這現象為量子纏結或量子糾纏（quantum entanglement）。量子糾纏是一種純粹發生於量子系統的現象；在古典力學裏，找不到類似的現象。
假若對於兩個相互糾纏的粒子分別測量其物理性質，像位置、動量、自旋、偏振等，則會發現量子關聯現象。例如，假設一個零自旋粒子衰變為兩個以相反方向移動分離的粒子。沿著某特定方向，對於其中一個粒子測量自旋，假若得到結果為上旋，則另外一個粒子的自旋必定為下旋，假若得到結果為下旋，則另外一個粒子的自旋必定為上旋；更特別地是，假設沿著兩個不同方向分別測量兩個粒子的自旋，則會發現結果違反貝爾不等式；除此以外，還會出現貌似悖論般的現象：當對其中一個粒子做測量，另外一個粒子似乎知道測量動作的發生與結果，儘管尚未發現任何傳遞資訊的機制，儘管兩個粒子相隔甚遠。
阿爾伯特·愛因斯坦、鮑里斯·波多爾斯基和納森·羅森於1935年發表的愛因斯坦-波多爾斯基-羅森悖論（EPR悖論）論述到上述現象。埃爾溫·薛丁格稍後也發表了幾篇關於量子糾纏的論文，並且給出了「量子糾纏」這一術語。愛因斯坦認為這種行為違背了定域實在論，稱之為「鬼魅般的超距作用」，他總結，量子力學的標準表述不具完備性。然而，多年來完成的多個實驗證實量子力學的反直覺預言正確無誤，還檢試出定域實在論不可能正確。甚至當對於兩個粒子分別做測量的時間間隔，比光波傳播於兩個測量位置所需的時間間隔還短暫之時，這現象依然發生，也就是說，量子糾纏的作用速度比光速還快。最近完成的一項實驗顯示，量子糾纏的作用速度至少比光速快10,000倍。這還只是速度下限。根據量子理論，測量的效應具有瞬時性質。可是，這效應不能被用來以超光速傳輸古典資訊，否則會違反因果律。
量子糾纏是很熱門的研究領域。像光子、電子一類的微觀粒子，或者像分子、巴克明斯特富勒烯、甚至像小鑽石一類的介觀粒子，都可以觀察到量子糾纏現象。現今，研究焦點已轉至應用性階段，即在通訊、計算機領域的用途，然而，物理學者仍舊不清楚量子糾纏的基礎機制。

歷史

1935年，在普林斯頓高等研究院，愛因斯坦、博士後羅森、研究員波多爾斯基合作完成論文《物理實在的量子力學描述能否被認為是完備的？》，並且將這篇論文發表於5月份的《物理評論》。這是最早探討量子力學理論對於強關聯系統所做的反直覺預測的一篇論文。在這篇論文裏，他們詳細表述EPR悖論，試圖藉著一個思想實驗來論述量子力學的不完備性質。他們並沒有更進一步研究量子糾纏的特性。
薛丁格閱讀完畢EPR論文之後，有很多心得感想，他用德文寫了一封信給愛因斯坦，在這封信裏，他最先使用了術語Verschränkung（他自己將之翻譯為「糾纏」），這是為了要形容在EPR思想實驗裏，兩個暫時耦合的粒子，不再耦合之後彼此之間仍舊維持的關聯。不久之後，薛丁格發表了一篇重要論文，對於「量子糾纏」這術語給予定義，並且研究探索相關概念。薛丁格體會到這概念的重要性，他表明，量子糾纏不只是量子力學的某個很有意思的性質，而是量子力學的特徵性質；量子糾纏在量子力學與古典思路之間做了一個完全切割。如同愛因斯坦一樣，薛丁格對於量子糾纏的概念並不滿意，因為量子糾纏似乎違反在相對論中對於資訊傳遞所設定的速度極限。後來，愛因斯坦更譏諷量子糾纏為鬼魅般的超距作用。
EPR論文很顯然地引起了眾多物理學者的興趣，啟發他們探討量子力學的基礎理論。但是除了這方面以外，物理學者認為這論題與現代量子力學並沒有甚麼牽扯，在之後很長一段時間，物理學術界並沒有特別重視這論題，也沒有發現EPR論文可能有甚麼重大瑕疵。EPR論文試圖建立定域性隱變量理論來替代量子力學理論。1964年，約翰·貝爾提出論文表明，對於EPR思想實驗，量子力學的預測明顯地不同於定域性隱變量理論。概略而言，假若測量兩個粒子分別沿著不同軸向的自旋，則量子力學得到的統計關聯性結果比定域性隱變量理論要強很多，貝爾不等式定性地給出這差別，做實驗應該可以偵測出這差別
。因此，物理學者做了很多檢試貝爾不等式的實驗。
1972年，約翰·克勞澤與史達特·弗利曼（Stuart Freedman）首先完成這種檢試實驗。1982年，阿蘭·阿斯佩的博士論文是以這種檢試實驗為題目。他們得到的實驗結果符合量子力學的預測，不符合定域性隱變量理論的預測，因此證實定域性隱變量理論不成立。但是，至今為止，每一個相關實驗都存在有漏洞，這造成了實驗的正確性遭到質疑，在作總結之前，還需要完成更多精確的實驗。
這些年來，眾多的卓越研究結果促成了應用這些超強關聯來傳遞資訊的可能性，從而導致了量子密碼學的成功發展，最著名的有查理斯·貝內特（Charles Bennett）與吉勒·布拉薩（Gilles Brassard）發明的BB84協議、阿圖爾·艾克特（Artur Eckert）發明的E91協議。
2017年6月16日，量子科學實驗衛星墨子號首先成功實現，兩個量子糾纏光子被分發到相距超過1200公里的距離後，仍可繼續保持其量子糾纏的狀態。
2018年4月25日，芬蘭阿爾托大學教授麥卡﹒習嵐帕（Mika Sillanpää）領導的實驗團隊成功地量子糾纏了兩個獨自震動的鼓膜。每個鼓膜的寬度只有15微米，約為頭髮的寬度，是由10¹⁵個金屬鋁原子製成。通過超導微波電路，在接近絕對零度（-273°C）下，兩個鼓膜持續進行了約30分鐘的互動。這實驗演示出巨觀的量子糾纏。

數學表述

以下各小節是為那些具有量子力學正式的數學描述的一個良好的工作知識的讀者而寫，包括文章推導中熟悉的形式和理論框架：狄拉克符號(BRA-KET符號)和量子力學的數學表述。本章節涉及到密度算符概念，若不熟悉密度算符相關概念，請先閱讀條目密度算符。

量子糾纏與不可分性

假設一個量子系統是由幾個處於量子糾纏的子系統組成，而整體系統所具有的某種物理性質，子系統不能私自具有，這時，不能夠對子系統給定這種物理性質，只能對整體系統給定這種物理性質，它具有「不可分性」。不可分性不一定與空間有關，處於同一區域的幾個物理系統，只要彼此之間沒有任何糾纏，則它們各自可擁有自己的物理性質。物理學者艾雪·佩雷斯（Asher Peres）給出不可分性的數學定義式，可以計算出整體系統到底具有可分性還是不可分性。假設整體系統具有不可分性，並且這不可分性與空間無關，則可將它的幾個子系統分離至兩個相隔遙遠的區域，這動作凸顯出不可分性與定域性的不同──雖然幾個子系統分別處於兩個相隔遙遠的區域，仍舊不可將它們個別處理。在EPR悖論裏，由於兩個粒子分別處於兩個相隔遙遠的區域，整體系統被認為具有可分性，但因量子糾纏，整體系統實際具有不可分性，整體系統所具有明確的自旋z分量，兩個粒子各自都不具有。

糾纏系統的製備

量子糾纏通常是因為亞原子粒子直接耦合而產生的。早期，原子級聯就是用來製備糾纏態的一種方法。例如，處於激發態的鈣原子，會先後發射出兩個光子，因此衰變至基態。假若第一個光子具有左旋圓偏振，則第二個光子具有左旋圓偏振；假若第一個光子具有右旋圓偏振，則第二個光子具有右旋圓偏振。假若不做測量，則不能知道到底哪個光子具有左旋圓偏振，哪個光子具有右旋圓偏振。因此這兩個光子被糾纏在一起，糾纏態為分別描述這兩種組合的兩個直積態的疊加：；其中，、分別是左旋圓偏振態、右旋圓偏振態，下標、分別標示第一個、第二個光子。
現今最常用的方法之一是自發參量下轉換。這自發參量下轉換方法的一種實現是照射雷射束於偏硼酸鋇晶體（beta-barium borate crystal，一種非線性晶體），大多數光子會穿透過晶體，只有少數光子，會因第二型自發參量下轉換，生成一對一對的孿生光子。這些孿生光子對的直線軌道分別包含於兩個圓錐面，如引言段落的繪圖所示，一個圓錐面包含水平偏振軌道，另一個圓錐面包含垂直偏振軌道，而兩個圓錐面的交集是兩條直線，軌道為這兩條直線的兩個光子可以具有水平偏振或垂直偏振，假若一個具有水平偏振，則另一個具有垂直偏振；假若一個具有垂直偏振，則另一個具有水平偏振。假若不做測量，則不能知道到底哪個光子具有水平偏振，哪個光子具有垂直偏振，因此，這兩個偏振相互垂直的光子糾纏在一起，糾纏態為；其中，是水平偏振，是垂直偏振。
在凝聚態量子計算機裏，最具有潛力的候選之一是量子點科技。量子點是一種半導體奈米晶體，能夠束縛激子於微小三維空間內。激子是一對電子與電洞因靜電庫侖作用相互吸引而構成的束縛態。假若電子與電洞復合，造成激子衰變，過剩能量會以光子形式發射釋出。在量子點裏，也可能找到雙激子（biexciton），這是由兩個電子與兩個電洞組成的束縛態。雙激子會先發射一個光子，衰變成一個激子，然後再發射一個光子，衰變至基態。假若第一個光子具有水平偏振，則第二個光子也具有水平偏振，否則，兩個光子都具有垂直偏振。這兩種過程疊加而生成一對偏振糾纏的光子，其糾纏態為。
在光學諧振腔內，芮得柏原子會因拉比振動發射或吸收光子的機制，應用這機制來交換光子，兩個或三個芮得柏原子可以形成糾纏態。
幾個囚禁在離子阱內的囚禁離子可以被糾纏在一起。給定離子的兩個內態分別為基態與激發態，每一種內態都有其特定的內能。囚禁在諧振子位勢內的離子會擁有離散的振動能級與對應的振動能態。照射邊帶頻率（sandband frequency）雷射於離子，可以將內態與振動能級態糾纏在一起，糾纏態為；其中，是與之間的拉比頻率，是振動能級與之間的頻率差。

時間奧秘

亞瑟·愛丁頓認為，能量的緩慢散布是時間流向不可逆反的證據。但是，從基本的物理定律，並無法觀測到時間流向；順著時間流向或逆著時間流向，這些物理定律都能同樣成立，這引起物理學者極大的困惑，他們只能從熱力學的統計分布給出時間流向的理論論述。物理學者賽斯·勞埃德（Seth Lloyd）在1988年博士論文裏猜想，量子糾纏是時間流向的源頭；時間的流向是關聯遞加的方向，這機制源自於量子糾纏。起初，這點子並未受到學術界重視。後來，越來越多物理學者在這方面有所突破，他們發現了時間流向的更基礎源頭，微觀粒子彼此交互作用產生量子糾纏，因此形成能量散布與平衡的現象，關於微觀粒子的資訊通過量子糾纏機制，從一至十、從十至百，逐步洩露到整個環境，因此顯示出時間流向。
有些物理學者主張，時間是一種從量子糾纏衍生出來的凸顯現象。於1960年代提出的惠勒－德威特方程式嘗試將量子力學與廣義相對論連結在一起，但是，這方程式並沒有將時間納入考量，因此引發了時間問題（problem of time）。直到1983年為止，這是學術界一大難題。在那年，檔恩·佩吉（Don Page）與威廉·烏特斯（William Wooters）找到一個建基於量子糾纏現象的解答，說明怎樣用量子糾纏來測量時間。
2013年，義大利都靈的國立計量研究院（Istituto Nazionale di Ricerca Metrologica）實驗團隊完成實驗檢試佩吉與烏特斯的點子，證實這點子值得進一步研究。

蟲洞

將兩個黑洞糾纏在一起，然後再將它們分離，就可製成一個蟲洞連結在它們之間。將這論述加以延伸，物理學者質疑，蟲洞的連結與量子糾纏的連結是同一種現象，只有系統的尺寸如同天壤之別。
類似地從弦理論來檢視，糾纏兩個夸克也會有同樣的作用。
這些理論結果為一些新理論提供支持。這些新理論表明，重力與它的物理性質不是基礎的，而是來自於量子糾纏。雖然量子力學正確地描述在微觀層次的交互作用，它尚未能夠解釋重力。量子重力理論應該能夠演示出古典重力不是基礎的，就如同阿爾伯特·愛因斯坦所提議，而是從更基礎的量子現象產生。
施溫格效應（Schwinger effect）從真空生成的糾纏粒子對，處於電場的作用下，可以被捕獲，不讓它們湮滅回真空。這些被捕獲的粒子相互糾纏，可以映射到閔可夫斯基時空。閔可夫斯基時空的意思為三維的空間和一維的時間，也被人們常誤會為四維空間。與之不同，有些物理學者認為，重力存在於第五維。按照愛因斯坦的定律，將時空彎曲與變形。
根據全像原理（holographic principle），所有在第五維的事件可以變換為在其它四維的事件，因此，在糾纏粒子被生成的同時，蟲洞也被生成。更基礎地，這論述建議，重力與它彎曲時空的能力來自於量子糾纏。