時頻分析

歷史

最早的時頻分析方法應見於Alfréd Haar提出的哈爾小波轉換(1909)，然而在當時因時頻分析所需的運算量仍是個無法忽視的議題，因此並未廣泛應用於訊號處理。而後更多的貢獻來自於Dennis Gabor，像是小波前身Gabor atoms (1947)，以及加伯轉換和改進型的短時距傅立葉變換。維格納準機率分布(Ville 1948)也是一個重要的開端。
特別在1930年代及1940年代，早期的時頻分析方法恰好與量子力學的發展一致，這反映了位置-動量平面及時域-頻域平面的數學機制有些共通性，像是海森堡不確定性原理(量子力學)與加伯限制(時頻分析)最終都得出了扭對稱幾何結構。

常見的時頻分布函數

常見的時頻分布函數有短時距傅立葉變換（包含加伯轉換）、科恩分布函數（包含韋格納分布）、改進型韋格納分布 ，以及加伯-韋格納分布（Gabor-Wigner distribution function）函數及S轉換等。
而這些看似不同的時頻分析函數，其數學公式的由來都有些相關性，若想對時頻分析的了解更加透徹，應在學習時將它們一起理解，而非都視為單一函數，像是做1/4次傅立葉變換可以解讀成傅立葉變換在時頻分析平面上轉90°，而這個旋轉做了4次後就會回到原本的函數，只做2次時則會視反轉的圖形。

應用

在接下來即將介紹的應用中，我們除了需要時頻分布函數，還需要搭配其他的運算才能達到目的，而著名的線性標準轉換（Linear canonical transform）可以幫助我們。我們可以利用線性標準轉換來任意的改變一個訊號在時頻分布平面上面的形狀和位置，像是水平以及垂直的移動、擴大、shearing（扭曲），以及旋轉（用分數傅立葉變換，fractional Fourier transform, FRFT）等。由此可見，線性標準轉換讓我們對於時頻分布的處理更靈活。
這邊我們列舉一些時頻分布之應用的例子。

找出瞬間頻率

瞬間頻率的定義是 ，其中 是訊號的瞬時相位。我們可以直接由時頻分布的圖形中看出每個時刻的瞬時頻率是多少，不過前提是這個時頻分布的圖形要夠清晰，因此，我們經常選用韋格納分布函數來做進一步的分析。

濾波器設計

濾波器的目的就是要移除我們不要的部份，並保留我們要的部份。在沒有應用時頻分布之前，我們只能分別在時域跟頻域上面來做過濾的動作，如下所示。

像上面這樣只能分別在時域或頻域上過濾的方式，並不適合處理每一種訊號。如果訊號在時域上或在頻域上有重疊的話，這時候使用時頻分布函數來做分析過濾，並搭配線性完整轉換的操作，就可以做出更有效且靈活的濾波器。讓我們看看以下的例子。

而在濾波器設計的應用中，時頻分布通常處理的訊號是由很多個項所組成的，因此若用韋格納分布來做分析的話，將會產生cross-term的問題。或許加伯轉換、加伯-韋格納分布函數，亦或Cohen's class 分布函數會是比較好的選擇。

訊號分解

訊號分解的概念就跟濾波器設計很類似。

取樣定理

由 Nyquist-Shannon取樣定理且經過一番推導，我們大致上可以說一個訊號經過取樣後而不產生失真（aliasing）的最低取樣點數，會和這訊號在時頻平面上圖形的面積相等（事實上，沒有一個訊號在時頻平面上的面積有限的，因此我們省略了一些精確度）。接下來，讓我們看看傳統取樣定理跟結合了時頻分析以後的取樣定理之差異。

若淺綠色的部份是我們取樣的涵蓋範圍，則我們可以很明顯的看出使用時頻分析後，所需取樣的點數會比之前少了許多，因此加快了我們的運算。當我們使用韋格納分布函數時，可能會產生cross-term；另一方面，若使用加伯轉換做分析的話，又可能會因為清晰度不佳而讓所需要取樣的面積又變大了。因此，選用哪個函數要視訊號的情形而定，如果訊號是單一項組成的，那麼就使用韋格納分布函數；然而，如果訊號是由多項組成的，則用加伯轉換、加伯-韋格納分布函數，或是Cohen's class 分布函數。

調變與多工

傳統上，調變（modulation）與 多工（multiplexing）都只有分別在時域及頻域上下功夫，也就是盡量塞滿時域及頻域上的空間，這都是一維的操作。如果我們利用時頻分布函數，就可以將調變與多工的觸角延伸至二維的時頻平面上，所要做的就是塞滿整個時頻平面，做最有效的利用。由以下例子可以讓我們更瞭解。
由上例可知，使用韋格納分布來分析會有嚴重的cross-term問題，這非常不利於調變與多工的作業，因此不能選擇它來做這種應用。

電磁波的傳遞

應用時頻分析的觀念，我們可以將一個電磁波表示成一個2x1的矩陣。而當電磁波經過一段free-space時，著名的 Fresnel diffraction就產生了。Fresnel diffraction可以用線性完整轉換的參數矩陣來表達，其中z是電磁波在free-space中傳遞的距離，而則是波長。

光學

光也是一種電磁波，所以在光學上的應用就跟電磁波傳遞很類似。
如果電磁波通過一片球面透鏡片或是經過一個碟型面的反射，則線性完整轉換的參數矩陣可分別表示為 和  ，其中f是球面透鏡的焦距，而R是碟型面的半徑。
用 LCT 來分析光學系統的好處是只需要用到2x2的矩陣運算 ，避免了複雜的物理理論和數學積分，但只有在「近軸」的情形下才能準確得到。

訊號鑑別

以下兩個訊號無法經由單純的傅立葉分析分辨出來，它們的頻譜都長得一樣。

不過幸虧有時頻分布函數，我們可以看出隨時間改變之頻率的起落，進而鑑別訊號。這個想法也可以應用至模式識別。

語音

語音訊號的特性就是它的頻率隨著時間劇烈變化。因為語音訊號所涵蓋的資訊非常的多，所以相對的計算時間會是很重要的考量。
根據Nyquist criterion及人耳可聽的的頻率上限約為20000Hz這兩個條件，因此語音信號的取樣頻率需為40000左右。
然而我們對於時頻分析的輸出在時間軸的解析度要求往往不會到這麼高，加上時頻分析出來的結果為原本輸入訊號維度的兩倍，為減少運算時間，我們會降低輸出的取樣頻率，如100Hz。

以短時距傅立葉變換為例
可改寫為
其中為輸入信號的取樣間隔，
為輸出信號的取樣間隔 
其中需滿足下列條件
(1) N為一整數
(2)
(3)
令
其中

近岸高頻測流雷達

運用無線電受到海面反射來的回波頻譜來估算表層海流。原理包括了幾種物理現象，布拉格散射、都卜勒效應、深水波假設。
海洋的表面是粗糙的，其中包含了各種波長的波浪，當一個近岸的測站發射無線電波，電波碰撞到海面，因為布拉格散射，波浪波長為二分之一的無線電波長的波浪會造成強的回波。
若是打向一靜止的粗糙面，回波訊號的頻率應該與發射頻率相符，但海面上的波浪是行進的，對於電波接收站而言，其所收到的訊號，是一個移動中的訊號來源，所以觀察到的回波頻率因為都卜勒效應，回波訊號頻率不再是原發射頻率，而會發生在發射頻率加上一偏移頻率。
因為波浪沒有特定的方向，可說是在海面往四面傳遞，對於無線電側站位置而言，遠離的波會造成負的偏移頻率，即回波頻率降低，反之，靠近測站的波浪會形成一偏移頻率為正的回波。
其偏移頻率的大小值與波速相關，波浪波速根據深水波的假設，波速是波長之函數，因為先前布拉格散射，當無線電波頻率給定，其回波訊號主要是二分之一無線電波長的波浪，故此偏移頻率可以估計出來。
由於表層海流載著海表面的波浪走，所以觀測到的無線電頻譜，和預測上的頻譜會有所不同，而這中間不同的量可以來估算出表層海流。
通常無線電波站都有Ｘ, Y, Z軸三個方向的天線，藉由三個方向的接收訊號，雷達可以分辨出回波的方位，藉由到達回波在時間軸上可以分辨出回波的距離。
以下舉一個虛構的例子來解說。
無線電測站發出一頻率為Fc，也就是波長為的無線電波，因為1) 海表面有波長不一的波浪2) 因為布拉格散射，波長為的波浪會產生較大的回波能量 3)這些波浪四面傳遞，且波浪波速在深水波假設中，可以近似成。
回波的產生源，波浪，因為以波浪波速移動，都卜勒現象的緣故，回波訊號會有一個頻率位移Δf，遠離測站靠近測站的波浪分別造成Fc-Δf， Fc+Δf的回波（如虛線所示）。
假設又一個靠岸（流向測站）表層海流，海流帶著波浪行進，其結果是離岸的浪減速，靠岸的流加速，其在頻率域相當於右偏（頻率增加）。藉著觀察回波頻率極強值（實線）和無流情況推算出來的頻率強值之間的差距，來推算出逕向上流速（遠離或靠近測站方向上的流速）。

鯨豚研究

鯨豚的研究常常仰賴著研究者現場目視觀察，由於人力物力有限，只能在小範圍內，海況佳，日間的情況下來研究。鯨豚的一大習性是發聲，透過被動地監聽鯨豚，研究者可以更進一步的來研究。以海豚的聲音為例，最粗淺地看至少有兩種，即click 和 whistle。二種聲音從時頻圖來看是一目了然，二種在時頻圖有截然不同的特性，click是短時間(50-150 μs)寬頻的信號(65 – 100kHz)，whistle是頻率調變的訊號（2 – 20kHz）。一般來說，click信號和海豚用來定位導航，獵食有關，而whistle和海豚的社交，溝通有關。也有可能同一時間發出兩種聲音。這當中許多學問，包含各種聲音的功能，發聲的機制，有待釐清。

資料壓縮

資料的壓縮包含圖像、影像及語音的壓縮，其中最廣為利用的時頻分析方法應為小波分析。以影像來說，是用二維離散的小波轉換進行壓縮，圖一為二維離散小波轉換的結構圖，所得的四個結果分別為影像中的低頻及不同範圍的高頻成分，為影像中的低頻成分，為水平方向的邊緣，為垂直方向的邊緣，為圖像中的角落。而保留低頻成分，捨棄其他高頻部分，再進行數次的二維離散的小波轉換，可得粗略但很接近原圖的縮圖，以達到縮圖的效果，每進行一次二維離散的小波轉換可將資料量縮為原圖的1/4倍左右，其中小波分析的影像壓縮以JPEG 2000為主。