四维空间

在物理學和數學中，可將  個數的序列理解為一個  維空間中的位置。當時，所有這樣的位置的集合就叫做四維空間。四維空間和人居住的三維空間不同，因為多了一個維度。

日常誤用

一般人說到「四維空間」時，經常是誤指愛因斯坦在他的廣義相對論和狹義相對論中提及的四維時空（叫做閔可夫斯基時空）概念。
這種普遍性的誤用，是由於相對論的相關科普和文藝作品的流行。
關於這一點，考克斯特曾寫道：
把時間作為第四維數帶來的好處，即使有也微不足道。實際上，H. G. 威爾斯在《時間機器》中發展的這種十分吸引人的觀點導致了J. W. 杜恩（《時間實驗》）等作者對相對論有非常錯誤的理解。閔可夫斯基的時空幾何是不符合歐幾里得體系的，所以也就與當前的研究沒有關係。- H. S. M. 考克斯特, Regular Polytopes

向量操作

通過改變一個四維向量的長度而不改變它的方向，我們可以對一個向量進行伸縮。這可以被想像成沿著原向量的方向伸長或縮短一段長度。一個長度為負數的向量與和它方向相反、長度相等的正數的向量互為相反向量。這可以想像成面沿著原向量的方向倒著走。
如果沿著兩個首尾相接的向量運動，那麼描述這種運動的直接結果的向量就叫做這兩個向量的向量和。例如，如果一個人從點A開始沿某一向量運動到點B，又從點B開始沿另一個向量運動到點C，那麼這兩個向量的和向量就是從點A徑直到點C的向量。

向量組合

給定一組四維向量，我們可以對它們進行任意的伸縮和求和操作來得到新的四維向量。以這種方式得到的所有的四維向量的集合就叫做這一組向量的組合。這種組合可以認為是一個點通過沿著一組向量中的某些向量移動所能達到的所有位置的集合。
給定幾何圖形X和向量集合S，如果從幾何圖形X內的一個點出發，沿著向量集合S的線性組合中的向量運動，能夠到達X內所有其它的點，那麼我們就說這個向量集合S可以張出幾何圖形X。

向量基底

能夠張出一個幾何圖形X的最小向量集合叫做X的一組基底。不是所有的向量集合都是基底，因為它們可能含有贅余的向量。如果一個向量能通過集合中其他向量經過伸縮、求和而得到，那麼這個向量就是贅余的。例如，如果一個集合中有兩個平行的向量，那麼它們中的一個可以被移除而 X 中的所有點仍然可以達到，因為能通過那個被移除的向量達到的點一定可以通過那個與它平行的向量達到。或者，如果一個向量是其他兩個的和，那麼它也完全可以被移除。零向量總是贅余的，因為它並不能讓一個人達到任意一個除他已經能夠達到的點之外的點。

維數

通過把任意一個可以張出幾何圖形X的向量集合中的所有贅余向量移除，我們可以過的一組X的基底。選定的初始向量集合不同，獲得的能張出 X 的基底也可能不同；但是，可以證明所有這些基底中都含有相同數量的向量。這個數量就叫做X的維數。換句話說，如果 X 最少需要n個向量來張出它，那麼X就是n維的。
直觀地，一個圖形的維數可以認為是一個人要想達到這個圖形中所有的點，需要運動的所有不同方向的數目。
例如，一個點是一個零維圖形。我們不需要任何向量來張出它，因為如果我們從這個點出發，我們已經到達了它所有的位置。
一條直線是一個一維圖形。從直線的某一個點上出發，我們需要一個指向這個直線的方向的向量來到達到直線上的其他點。只要一個向量就足夠了，因為通過不同程度的伸縮它我們可以到達直線上的任意其他點。
一個平面是一個二維圖形。給定平面上的一個起始點，我們至少需要兩個互不平行的向量來張出這個平面。如果只有一個向量，我們只能到達某一條直線上的所有點；所以我們需要有另一個與它不平行的向量來往這條直線的「兩邊」走，從而到達平面上的其他點。只要兩個方向就足夠了，因為我們可以順著（或逆著）前一個向量走不同的距離，再往兩邊走不同的距離來到達平面上的任意點。也可以把平面理解成許多平行線的「堆積」；要想在二維平面上從一點運動到另一點，我們需要首先沿著線平行線運動，再穿過這些平行線向另一個方向運動。
在我們的眼中，空間是三維的。要達到空間中的某一點，我們不僅要向前向後、向兩邊走，還需要上下移動。換句話說，需要第三個向量才能到達空間中的所有點。同樣，也可以把空間理解成許多平行平面的堆積：要想在空間中從一點運動到另一點，我們可以先沿著一個方向前後走，再向兩邊走，最後上下走。
四維空間則是一個需要四個不同方向才能到達其中所有點的空間。這種空間可以認為是許多平行的三維空間的堆積。要理解這個概念，想像一下把一張張紙並列疊起來的過程。如果人不把它們一個個堆疊起來，這些紙張不會延伸進三維空間。以同樣的方式，要想進入四維空間，就必須向一個新的方向運動，這個方向必須是在三維空間以外的。要達到四維空間中的每一個點，一個人不僅需要向前後、左右、上下移動，還要沿著一對新的方向運動，即上文提到的安娜/卡塔，或者叫維因/維奧等等。

維數類比

要理解四維空間的本性，我們可以通過與低維度類比進行推廣。維數類比是指通過研究n - 1維與n維之間的關係，來推斷n維與n + 1維之間會有什麼樣的關係。
埃德溫·阿伯特·阿伯特在他的書平面國中運用維數類比，講述了在一個扁平得就像一張紙的二維世界中生活的一個正方形的故事。在這個正方形的眼中，生活在三維世界中的人們擁有近乎神的力量，因為他們能在不打破（二維的）保險箱的情況下從其中把東西（通過移入移出三維空間的方法）取出，能看到所有在二維世界看來是被擋在牆後面的東西，甚至能站在離二維世界幾英寸的地方來保持「隱形」。
通過應用維數類比，人們可以推斷，四維空間中的人在我們三維的視角看來應該有類似的神奇能力。魯迪·拉克在他的小說《空間世界》（Spaceland）中展示了這一點。小說的主人公就遇到了具有神奇能力的四維人。

陰影

一個與射影有密切關係的方法是把四維幾何體的陰影在三維空間中顯示出來。
假設有一束光射向一個三維物體，則其陰影會在二維平面上顯示出來。如此類推，光射向二維物體會產生一維陰影，射向一維物體會產生零維陰影，也就是無光的一點；另一方面，光射向四維物體會產生三維陰影。
如果一個立方體的線框置於光源下，其陰影為一正方形位於另一正方形以內，並且相對的點相連。同樣，如果四維正方體置於光源下，其陰影便會是一三維正方體位於另一正方體之內，並且相對的點相連。（注意，此處顯示的圖片乃四維正方體的三維陰影在二維平面上的投影。）

邊界

維度類比法也可幫我們推論出高維度物體的基本屬性。例如，二維物體有一維的邊界，正方形的邊界為一維的線；三維物體有二維的邊界（表面），正方體的表面為二維的平面。我們可以推論，四維物體便有三維的「邊界」，就是超正方體的外圍是三維的正方體。以上屬性對如何表達四維物體的三維投影很有幫助。

視覺觀測

作爲三維空間中的生物，我們的眼睛只能看到這個世界的二維投影。生活在四維空間的生物便能看到它們的世界的三維投影。例如，它們可以同時看到一個正方體的所有六面，還能同時看到正方體中的物體；其實我們也可以同時看到二維平面上的正方形的全部四條邊及其中的物體。四維生物能同一時間看到三維空間中的所有點、物體和物體的內部，這些是我們在三維空間中看不到的。

限制

類比法是理解高維度空間的一項很好的方法，但我們若不經過更進一步的計算仍不可以妄下結論。以下是圓形周長公式：

及球體表面積公式：
。
正確公式為。

幾何

四維幾何比三維幾何豐富得多，因爲其額外的維度提供了更多的自由空間。
三維空間中，我們可以從多邊形做出多面體；同樣地，在四維空間中我們可以從多面體做出多胞體（四維多胞形）。三維空間中存在5種正多面體，以柏拉圖立體稱之；而四維空間中存在6種正多胞體，均從柏拉圖立體類比而成。三維空間中存在13種半正多面體（阿基米德立體），而在四維空間中存在58種半正多胞體。
在三維空間，我們可以把圓形向第三維度拉伸形成圓柱體。而在四維空間，我們可以向第四維度拉伸球體形成球柱體（球體為「蓋」的柱體），或拉伸圓柱體形成圓柱棱體。我們還可以取兩個球體的笛卡兒積得到一個雙圓柱體。以上三種均可在四維中「滾動」，但各有不同的屬性。
三維中，曲綫可以形成結，但曲面並不可以（除非互相交叉穿越）。但在四維中，以曲面形成的結可以經過延伸到第四維度而解開。由於自由度更大，四維中的曲面結比三維中的綫結要複雜的多。克萊因瓶便是其中一個例子。另一例子為實射影平面。