矩阵

詞源

中文中矩陣的概念最早見於1922年。1922年，北京師範大學附屬中學數學老師程廷熙在一篇介紹文章中將矩陣譯為「縱橫陣」。1925年，科學名詞審查會算學名詞審查組在《科學》第十卷第四期刊登的審定名詞表中，矩陣被翻譯為「矩陣式」，方塊矩陣翻譯為「方陣式」，而各類矩陣如「正交矩陣」、「伴隨矩陣」中的「矩陣」則被翻譯為「方陣」。1935年，中國數學會審查後，中華民國教育部審定的《數學名詞》（並「通令全國各院校一律遵用，以昭劃一」）中，「矩陣」作為譯名首次出現。1938年，曹惠群在接受科學名詞審查會委託就數學名詞加以校訂的《算學名詞彙編》中，認為應當的譯名是「長方陣」。中華人民共和國成立後編訂的《數學名詞》中，則將譯名定為「（矩）陣」。1993年，中國自然科學名詞審定委員會公布的《數學名詞》中，「矩陣」被定為正式譯名，並沿用至今。

發展

作為解決線性方程式的工具，矩陣也有不短的歷史。成書最遲在東漢前期的《九章算術》中，已經出現過以矩陣形式表示線性方程組係數以解方程式的圖例，可算作是矩陣的雛形。矩陣正式作為數學中的研究物件出現，則是在行列式的研究發展起來後。邏輯上，矩陣的概念先於行列式，但在實際的歷史上則恰好相反。日本數學家關孝和（1683年）與微積分的發現者之一戈特弗里德·威廉·萊布尼茨（1693年）近乎同時地獨立建立了行列式論。其後行列式作為解線性方程組的工具逐步發展。1750年，加布里爾·克拉默發現了克萊姆法則。
進入十九世紀後，行列式的研究進一步發展，矩陣的概念也應運而生。奧古斯丁·路易·柯西是最早將行列式排成方陣並將其元素用雙重下標表示的數學家。他還在1829年就在行列式的框架中證明了實對稱矩陣特徵根為實數的結論。其後，詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特注意到，在作為行列式的計算形式以外，將數以行和列的形式作出的矩形置換本身也是值得研究的。在他希望引用數的矩形陣列而又不能用行列式來形容的時候，就用「matrix」一詞來形容。而在此之前，數學家已經開始將增廣矩陣作為獨立的物件引用了。西爾維斯特使用「matrix」一詞是因為他希望討論行列式的子式，即將矩陣的某幾行和某幾列的共同元素取出來排成的矩陣的行列式，所以實際上「matrix」被他看做是生成各種子式的「母體」：
我在先前的文章中將矩形排布的序列稱為「Matrix」，蓋因從中可以產生出各種不同的行列式，就如由同一個母體的子宮中孕育出來一樣。
阿瑟·凱萊被公認為矩陣論的奠基人。他開始將矩陣作為獨立的數學物件研究時，許多與矩陣有關的性質已經在行列式的研究中被發現了，這也使得凱萊認為矩陣的引進是十分自然的。他說：「我決然不是通過四元數而獲得矩陣概念的；它或是直接從行列式的概念而來，或是作為一個表達線性方程組的方便方法而來的。」他從1858年開始，發表了《矩陣論的研究報告》等一系列關於矩陣的專門論文，研究了矩陣的運算律、矩陣的逆以及轉置和特徵多項式方程式。凱萊還提出了凱萊-哈密爾頓定理，並驗證了3×3矩陣的情況，又說進一步的證明是不必要的。哈密爾頓證明了4×4矩陣的情況，而一般情況下的證明是弗比尼斯於1898年給出的。
此後更多的數學家開始對矩陣進行研究。埃爾米特證明了如果矩陣等於其複共軛轉置，則特徵根為實數。這種矩陣後來被稱為埃爾米特矩陣。弗比尼斯對矩陣的特徵方程式、特徵根、矩陣的秩、正交矩陣、矩陣方程式等方面做了大量工作。1878年，在引進了不變因子、初等因子等概念的同時，弗比尼斯給出了正交矩陣、相似矩陣和合同矩陣的概念。同年，他探討了矩陣的最小多項式（最小方程式）問題。1894年的論文中，他討論了矩陣理論和四元數理論的關係。1896年，他給出了凱萊-哈密爾頓定理的完整證明。矩陣理論在19世紀沿著兩個方向發展，分別是作為抽象代數結構和作為代數工具描述幾何空間的線性變換。矩陣理論為群論和不變數理論的發展。
無限維矩陣的研究始於1884年。龐加萊在兩篇不嚴謹地使用了無限維矩陣和行列式理論的文章後開始了對這一方面的專門研究。1906年，希爾伯特引入無限二次型（相當於無限維矩陣）對積分方程式進行研究，極大地促進了無限維矩陣的研究。在此基礎上，施密茨、赫林格和特普利茨發展出算子理論，而無限維矩陣成為了研究函數空間算子的有力工具。

對稱

轉置等於自己的矩陣，即滿足的方塊矩陣叫做對稱矩陣。滿足的矩陣稱為反對稱矩陣。在複系數矩陣中，則有埃爾米特矩陣的概念：滿足的方塊矩陣稱為埃爾米特矩陣，其中的表示的共軛轉置矩陣。
根據譜定理，實對稱矩陣和復埃爾米特矩陣擁有特徵基，即由矩陣的特徵向量組成的基底。因此任何向量都能表示成矩陣特徵向量的線性組合。此外，這兩類矩陣的特徵值都是實數。

矩陣的推廣

矩陣的元素除了可以是實數和複數以外，也可以任意環或體中元素。在線性代數中，矩陣的性質可以經由有限維的線性空間中的線性變換定義。更廣泛的，無限維空間中的線性算子，則可以定義更廣泛的無窮維矩陣。矩陣的另一種推廣是張量。純量可以看成零維方式置換的數據（只有一個「點」），向量可以看成是一維方式置換的數據（若干個「點」排成的「線段」），矩陣可以看成是二維方式置換的數據（若干個「線段」排成的「矩形」），而張量的概念則包括了這幾種置換方式。在張量的概念中，純量是零維張量，向量是一維張量，矩陣是二維張量，而更高維方式置換的數據方式就是高維張量。

無限維矩陣

無窮維矩陣可以指行數或列數無窮大，或兩者都是無窮大的矩陣。儘管這樣的矩陣無法完整寫出，但只要知道每行每列的元素的值，仍然可以對它進行矩陣操作和運算。這裡矩陣的行數和列數甚至不一定需要是可數集。需要注意的是，無窮維矩陣的乘法涉及到無窮級數求和，因此只有在相關的無窮級數收斂的時候，才能定義矩陣的乘積。無限維矩陣也可以是方塊矩陣，定義為行標記集合與列標記集合相同的矩陣（如）。
無限矩陣無法定義通常意義上的行列式，因此可逆矩陣不一定是方塊矩陣，同理，么正矩陣也不一定要是方塊矩陣。

空矩陣

空矩陣是指行數或列數為零的矩陣。空矩陣的定義可以完善一些關於零維空間的約定。包括約定一個矩陣與空矩陣相乘得到的也是空矩陣，兩個和的空矩陣相乘是一個的零矩陣（所有元素都是零的矩陣）。0×0的空矩陣的行列式約定為1，所以它也可以有逆矩陣，約定為它自己。

圖論

圖論中可以用矩陣描述一個有限圖。這個矩陣叫做相關矩陣的鄰接矩陣，記錄了圖的每兩個頂點之間是否有邊連接。對簡單圖來說，鄰接矩陣的元素只取兩個值：0和1,第列第行上取值為0，表示沒有從第個頂點連到第個頂點的邊，取值為1則說明有。如果是一般情況的話，第列第 行上的取值是從第個頂點連到第j個頂點的邊的數目。距離矩陣則是表示圖中各頂點之間距離的矩陣。在研究網際網路等複雜網路的時候，鄰接矩陣常常會是稀疏矩陣。因此網路理論中有專門研究稀疏矩陣的方面。

物理學上的對稱性及線性變換

線性變換及其所對應的對稱，在現代物理學中有著重要的角色。例如，在量子場論中，基本粒子是由狹義相對論的勞侖茲群所表示，具體來說，即它們在旋量群下的表現。內含包立矩陣及更通用的狄拉克矩陣的具體表示，在費米子的物理描述中，是一項不可或缺的構成部分，而費米子的表現可以用旋量來表述。描述最輕的三種夸克時，需要用到一種內含特殊么正群SU(3)的群論表示；物理學家在計算時會用一種更簡便的矩陣表示，叫蓋爾曼矩陣，這種矩陣也被用作SU(3)規範群，而強核力的現代描述──量子色動力學的基礎正是SU(3)。還有卡比博-小林-益川矩陣（CKM矩陣）：在弱交互作用中重要的基本夸克態，與指定粒子間不同質量的夸克態不一樣，但兩者卻是成線性關係，而CKM矩陣所表達的就是這一點。

量子態的線性組合

1925年海森堡提出第一個量子力學模型時，使用了無限維矩陣來表示理論中作用在量子態上的算子。這種做法在矩陣力學中也能見到。例如密度矩陣就是用來刻畫量子系統中「純」量子態的線性組合表示的「混合」量子態。 
另一種矩陣是用來描述構成實驗粒子物理基石的散射實驗的重要工具。當粒子在加速器中發生碰撞，原本沒有交互作用的粒子在高速運動中進入其它粒子的作用區，動量改變，形成一系列新的粒子。這種碰撞可以解釋為結果粒子狀態和入射粒子狀態線性組合的純量積。其中的線性組合可以表達為一個矩陣，稱為S矩陣，其中記錄了所有可能的粒子間交互作用。

簡正模式

矩陣在物理學中的另一類泛應用是描述線性耦合調和系統。這類系統的運動方程式可以用矩陣的形式來表示，即用一個質量矩陣乘以一個廣義速度來給出運動項，用力矩陣乘以位移向量來刻畫交互作用。求系統的解的最佳方法是將矩陣的特徵向量求出（通過對角化等方式），稱為系統的簡正模式。這種求解方式在研究分子內部動力學模式時十分重要：系統內部由化學鍵結合的原子的振動可以表示成簡正振動模式的疊加。描述力學振動或電路振盪時，也需要使用簡正模式求解。

幾何光學

在幾何光學裏，可以找到很多需要用到矩陣的地方。幾何光學是一種忽略了光波波動性的近似理論，這理論的模型將光線視為幾何射線。採用近軸近似，假若光線與光軸之間的夾角很小，則透鏡或反射元件對於光線的作用，可以表達為2×2矩陣與向量的乘積。這向量的兩個分量是光線的幾何性質（光線的斜率、光線跟光軸之間在主平面的垂直距離）。這矩陣稱為光線傳輸矩陣，內中元素編碼了光學元件的性質。對於折射，這矩陣又細分為兩種：「折射矩陣」與「平移矩陣」。折射矩陣描述光線遇到透鏡的折射行為。平移矩陣描述光線從一個主平面傳播到另一個主平面的平移行為。
由一系列透鏡或反射元件組成的光學系統，可以很簡單地以對應的矩陣組合來描述其光線傳播路徑。

電子學

在電子學裏，傳統的網目分析或節點分析會獲得一個線性方程組，這可以以矩陣來表示與計算。
很多種電子元件的電路行為可以用矩陣來描述。設定為輸入向量，其兩個分量為輸入電壓與輸入電流。設定為輸出向量，其兩個分量為輸出電壓與輸出電流。這電子元件的電路行為可以描述為；其中，是2×2矩陣，內有一個阻抗元素、一個導納元素、兩個無量綱元素與。這樣，電路的計算可以約化為矩陣計算。