毕达哥拉斯主义

兩個學派

按照傳統的說法，畢達哥拉斯主義在發展到某個時刻後便分成兩個獨立的學派，分別為數學家（英語：Mathematikoi，希臘語：Μαθηματικοι，意為學習者）和聲聞家（英語：Akousmatikoi，希臘語：Ακουσματικοι，意為聆聽者）。數學家一般來說是推廣和發展由畢達哥拉斯開始的數學和科學工作，而聲聞家則著重於他在宗教性及偶發性集會禮節性方面的教義。聲聞家稱數學家不是真正的畢達哥拉斯主義者，而是"叛徒"希帕索斯的追隨者。另一方面，數學家則認為聲聞家也是畢達哥拉斯主義者，但認為自己一方更代表畢達哥拉斯主義。

自然哲學

畢達哥拉斯思想由數學佔主要地位，但它也非常接近於神秘主義。在宇宙學方面，對於畢達哥拉斯本人真正教過什麼這一點只有較少的共識，但多數學者相信畢達哥拉斯理論中靈魂轉生的概念不太可能由畢達哥拉斯的追隨者添加，因為它的地位太重要了。另一方面，在畢達哥拉斯世界觀中，物質這個概念的來源不明，部分是因為他的教義的各方描述互相衝突。畢達哥拉斯世界觀的物質概念實際上是源於阿那克西曼德的教義，認為萬物之源是「無限」（the boundless），又或者是阿那克西曼德所稱的「無限定者」（aperion）。畢達哥拉斯世界觀的物質概念認為，只有通過「限制」這一概念，才可以形成「無限」。
畢達哥拉斯沒有留下任何書面作品。而按照巴門尼德、恩培多克勒、菲洛勞斯和柏拉圖（他們一般被認為是畢達哥拉斯主義者，又或者是深受畢達哥拉斯影響）等人的著作，給出的各種表述又非常迥異，以致很難確定畢達哥拉斯主義中有哪些共通的主題。如果以菲洛勞斯（他被多數學者認為是能高度代表畢達哥拉斯學派的人）的表述來看，這個學派是很複雜的。亞里斯多德曾論及畢達哥拉斯主義者（他的意思是指菲洛勞斯的圈子）是如何發展阿那克西曼德的apeiron和peiron，亦即無限定和限定。他寫道：
... 他們（畢達哥拉斯主義者）直說在某物被創建的時候，不論是由平面、表面、種子還是某些他們無法描述的元素而來，最鄰近無限定的部分開始被劃出，而且被限定所限制。
以及：
畢達哥拉斯主義者也認為「虛空」是存在的，並從無限定的氣息進入天國，可以說，是吸入「虛空」。「虛空」區別了物體的本質，因為它是在一個系列中分割和區分相繼項的概念。這個理論首先在數字的自然數裡觀察到，因「虛空」區分了它們的本質
在Apeiron被peiron吸入時，就導致分離，這顯然也意味著它是「在一個系列中分割和區分相繼項」。我們現在有由「虛空」相互分割的互相連接的部分而不是未分化的整體。apeiron的吸入也使得世界數學化，不只是可能透過數學來描述世界，而是真正數學化，因為它顯示數字和現實遵循同樣的原則。數字的連續性 （即一系列由「虛空」分隔的相繼項），以及現實的領域，即宇宙—兩者都是虛空和形式、apeiron和peiron的表現。把這個概念和阿那克西曼德的原始想法區分開來的是這裡apeiron和peiron必須依照和諧來排列。Stobaeus對此評論道：
關於自然和和諧的地位。除了離開有限和無限，宇宙的組成要素之外，任何其他的存在都不可能之外，對象的存在，永恆和自然本身承認神聖、非人間和知識。而且因為這些並不類似或者類同的原理的存在，如果和諧得不到保持，那麼它們就不可能被召喚到宇宙。類似或者類同的物體不需要和諧，但是不類似也不類同的物體必須由和諧鎖定在一起，如果它們在一個有序的宇宙中被聯結起來的話。
畢達哥拉斯、蘇格拉底、柏拉圖的文化遺產由亞歷山大港的希臘化猶太人的智慧傳統繼承，在該些教義可由摩西處推導得出的基礎上。通過亞歷山大港的斐洛，這種傳統被延續到中世紀的文化中，同樣延續的還有相同數量的物件群體是相關或一致這一想法。這顯然也影響了黑格爾的內部關係的概念。

美學

畢達哥拉斯主義認為數字是美的，例如在禱文中認為1是純潔的，4是聖潔的，而10是萬物之母。在美學中也提出了著名的黃金分割，認為長和寬具有一定比例的時候，矩形才是最美的。
畢達哥拉斯主義認為音樂的和諧和數字的美密切相關。一個音階是假定了有無限的連續音調，而它們必須以某種方式限制來使音級提高。關鍵的一點是，並非隨便一組限幅就可以做到這一點。如果要產生讓人愉快的音樂，就不能隨機在連續的音調中選擇點和音調音階。全音階，也稱為「畢達哥拉斯音階」，是這樣的比例：最高到最低的間距為2:1而產生的八度間隔。該八度又分為到五度音和四度音，分別有3:2和4:3的比例，成為八度。如果我們從最低的八度音提高一個五度音，提高一個四度音，我們將達到八度音的上界。最後，五度音可以分為三個整聲調，每個對應比率為9：8，每個四度音也一樣分成兩個整聲調。這是菲洛勞斯推理的具體應用的一個很好的例子。在菲洛勞斯的世界觀中，限定與無限定一起的擬合方式是依照數字的比例（和聲）及其組合。同樣地，宇宙和單個的物體，不會是由限定與無限定隨機組合所得的，限定和無限定必須以「愉悅」（和聲）方式來擬合，就像使得音階產生的數字那樣。
這一教義是由菲洛勞斯的學生Archytas記錄下來，寫於一本已經不見傳世、題為《關於諧波或對數學》的著作中，這個學說的影響可以一直追溯到柏拉圖。柏拉圖的學生亞里斯多德在他的《形上學》中將畢達哥拉斯主義者與"所謂「的畢達哥拉斯主義者作了區分。他亦錄得對立表，以及評論說這可能是由於阿爾克芒醫學學派的克羅頓的阿爾克邁翁將健康定義為元素之和諧的緣故。
古代畢達哥拉斯五角星繪畫方式是兩角朝上，代表Pentemychos的學說。Pentemychos指「五深處」或者「五個房間」也稱為五角大樓，也是畢達哥拉斯的老師和朋友錫羅斯島費雷西底的作品的標題。

數學

畢達哥拉斯主義者對於數學的研究也導致了無理數的發現。他們用歸謬法和畢達哥拉斯定理證明了正方形的對角線長與邊長之比不可以用整數或者整數的比表示。這對他們的信條是一個致命的打擊。亞歷山大的帕波斯說首先發現無理數的人是淹死的，而楊布里科斯則說希帕索斯因為這個發現被處罰。普羅科拉斯在給《幾何原本》作注時寫道：「聽說，首先泄漏無理數的秘密者們終於悉數覆舟喪命。因為對不可說的和無定型的必須保密。凡揭露了或過問了這種生命的象徵的人必定立遭毀滅 ，並萬世都被永恆的波濤吞噬。」

倫理學

在克羅托內的教團聚會所受到攻擊之後，畢達哥拉斯教團解散，但在同在義大利南部的塔蘭托重新集結。由泰勒收集的畢達哥拉斯主義者的關於倫理的著作顯示了對這一災難的創意性回應。亞里斯多德在批評畢達哥拉斯主義的時候說，他們在強調以牙還牙的同時，著重於公平精確量化而忽略其他因素。

政治

畢達哥拉斯主義者認為政治活動的目的就是美，而符合數學比例關係的和諧是最美的。國家應該提倡教育，培養精英來指導國家，以及通過教育來消除差異，培養社會和諧美需要的公民。個人的權利應該和其貢獻成正比，而社會應該由最優秀的受過教育的人統治。在實行奴隸主民主制的羅馬共和國，贊成奴隸主貴族精英統治的畢達哥拉斯教團因而被壓制。

「生命之輪」與科學的思考

畢達哥拉斯主義者認為跳出輪迴是可能的。他們遵循奧甫斯教的傳統和淨化心靈的做法，但同時他們也更深入地說明了純化是個什麼概念。亞里士多塞諾斯說音樂用來淨化心靈，就像藥用來清洗身體。但除此之外，畢達哥拉斯主義者也區分三種生活：理論、實踐和Apolautic。據說畢達哥拉斯有用奧運會的示例區分這些三種不同的生活。畢達哥拉斯認為最低類的人來運動會是來做生意。下一個更高的類別包括前來參與運動會的人。最高的類包含只是來看看的人。因此畢達哥拉斯表明生活的最高的淨化是純粹的沉思。那些考慮有關科學和數學的哲學家正是得以從「出生周期」釋放出來的人。依照畢達哥拉斯的說法，純粹數學家的生活是存在的最高尚的生活。
因此數學和科學的追求在畢達哥拉斯主義的根源也基於擺脫生與無窮迴圈的精神欲望。這是畢達哥拉斯主義關於世界的思考形成的閃光點。

素食

畢達哥拉斯主義者在古代以素食聞名，這是因為他們實行宗教、倫理和苦行僧修煉，特別是由於相信轉世會造成靈魂投生到其他動物的屍體的原因。「畢達哥拉斯飲食」是代表不吃肉和魚的飲食方式的普遍名字，直到十九世紀的「素食」這個名字的興起。
畢達哥拉斯主義的規則進一步限制其追隨者食用或甚至接觸的任何種類的豆類的飲食。這可能是由於他們信仰靈魂，而豆明顯表現出潛在的生命的事實。一些以西塞羅為代表的人認為豆可能造成腸胃氣脹，也許作為蠶豆症的預防，也許因為他們像生殖器，但是宗教魔力的原因最有可能，例如認為豆子與人類是創建於相同的材料的想法。畢達哥拉斯的謀殺的大多數故事圍繞著他對吃豆子的厭惡。相傳畢達哥拉斯的敵人放火燒他的房子，使這個老人不得不向一個豆田的方向逃避，在他停下來的時候，他聲明他寧願死也不進入豆田，隨後追殺者割斷了他的喉嚨。

對婦女的看法

婦女被給予了如一般畢達哥拉斯主義者學習的平等機會，在哲學之外也學習實際的家務技能。婦女也被區別對待，但有時是偏向好的方面。祭司、哲學家和數學家Themistoclea被視為畢達哥拉斯的老師；西雅娜、達蒙和梅利莎都是畢達哥拉斯的女弟子。據說畢達哥拉斯也鼓吹男性和女性不應在夏季性交，而認為冬季比較適當。

宇宙學

畢達哥拉斯主義者以他們對靈魂輪迴的理論，以及其數字構成物體的本質的理論而著稱。他們執行淨化儀式，並且延續和發展了他們認為將會使靈魂達到眾神的高度的各項規則。他們很多關於靈魂的神秘主義似乎離不開奧甫斯教的傳統。奧甫斯教包含各種淨化儀式和修煉，以及潛入地下世界的儀式。除了被連結到奧甫斯教之外，畢達哥拉斯也和錫羅斯島的費雷西底密切相關，他往往被認為是第一個教授靈魂輪迴的希臘人。古代的評論家認為費雷西底是畢達克拉斯最「親密」的老師。費雷西底以pentemychos （"五犄角"或五個隱藏型腔"）闡述了他關於靈魂的教義——這最有可能作為畢達哥拉斯主義者使用五角星的起源，它作為成員之間的識別標誌和內部健康標誌。
亞里斯多德在《論天體》第二卷第13章中說，畢達哥拉斯主義者認為天體在運行時也遵循物體運動的規律，如果把體積和速度看作音調的話，那麼天體會發出和諧的聲音。他們關於天體沿著最美麗的平面圖形做勻速圓周運動的思想從托勒密一直影響到哥白尼和克卜勒，雖然克卜勒最終發現天體的運行軌道是橢圓，但是他認為天體運動也可以數位化的觀點還是延續自畢達哥拉斯主義。

新畢達哥拉斯主義

新畢達哥拉斯主義是畢達哥拉斯的追隨者相關聯的各種學說在公元前2世紀至公元2世紀的復興。著名新畢達哥拉斯主義者包括第一世紀的蒂亞納的阿波羅尼烏斯和西班牙的摩德拉圖斯。中世紀和新柏拉圖主義者如努墨尼奧斯和普羅提諾也受到一些新畢達哥拉斯主義者的影響。
新畢達哥拉斯主義者強調靈魂和身體之間的區別。神必須通過祈禱和良好的意願來在精神上敬拜。靈魂必須通過苦行僧式的生活習慣擺脫其物質的環境。身體的樂趣和所有的感性沖動必須拋棄，因為對純潔的靈魂是有害的。上帝是良好的原則；而物質是邪惡的基礎。非物質宇宙被視為是意識或靈魂的領域。
1915年，在古羅馬的Via Praenestina路的馬焦雷門附近發現了地下的巴西利卡，是1世紀新畢達哥拉斯主義者進行會議的地方。底層顯示三個中殿和一個聖殿，類似很久之後在第四世紀早期才出現的早期基督教的教堂。倉庫由象徵新畢達哥拉斯主義者信仰的白色灰泥所裝飾，但其確切含義仍是受爭議的話題。

影響

在畢達哥拉斯主義中，完整的數字和諧波（美聲）在音樂中密切相關的這一想法，應該被伽利略·伽利萊之父、詩琴製造和演奏者文森佐·伽利萊所熟知。可能是遵循畢達哥拉斯的思維模式的原因，他發現了琴弦張力和音調之間的數學關係，因此抽象化出音樂和樂器可以用數學關係精確量化和描述的想法。這可能致使他兒子得出關於所有的物理現象都可用數學量化（作為物理「定律」）這一具洞察力的見解，從而開始並定義了現代物理學時代。
畢達哥拉斯主義者的清晰和明顯的影響可以在赫爾墨斯教文獻中找到，並因此流傳到赫爾墨斯主義、諾斯底主義和煉金術。
畢達哥拉斯宇宙學也激發了阿拉伯的諾斯底主義者Monoimus，將這個系統結合一元論和其它的思想，從而形成自己的宇宙學。
五角星是畢達哥拉斯主義者使用的一個重要宗教符號，往往被視為和恩培多克勒的組成所有物質的元素的理論有關。
畢達哥拉斯主義學派無疑對數秘術和數字神秘主義的發展具有極大的影響。舉例來說，3是最高尚的數字的現代聲譽是來自畢達哥拉斯主義學派。
畢達哥拉斯主義建議在所有情況下實話實說。畢達哥拉斯說他是從巴比倫的博士學會這一點的。