圓周率

名稱

數學家用小寫希臘字母表示圓周和其直徑之比，有時也將其拼寫為pi，這來自於希臘語「περίμετρος」（周長）的首字母。在英語中，的發音與英文單詞「pie」（/paɪ/，西式餡餅）相同。在數學中，的小寫字母（或者是其無襯線體）要和表示連乘積的大寫形式Π相區分開。
關於為何選擇符號的原因，請參見π符號的引入一節。

無理性及正規性

是個無理數，也就是說，無法表示成兩個整數之比的形式（形如的分數常用來近似表達，但是沒有任何普通分數（指整數的比）可以取到的精確值）。由於是無理數，故可表示為無限不循環小數。有多種方法能證明π是無理數，這些證明也都要用到微積分學和反證法。人們還無法準確得知可以用有理數來近似的程度（稱為無理性度量），不過估計其無理性度量比e或ln(2)的要大，但是小於劉維爾數的無理性度量。
人們通過統計隨機性檢驗，包括正規數的檢驗，驗證了的位數沒有明顯的固定模式。因此，的小數中任意固定長度的序列（例如3位數字的000,001……999）出現機率都相同。不過有關π是正規數的猜想既無證明，亦無否證。
電腦的出現使得人們可以生成大量π的不同位數，並進行統計分析。金田康正針對π的十進制數字進行了詳細的統計分析，並驗證了其分布的正規性：例如，將出現0到9十個數字的頻率進行假設檢定，找不到有特定重複規律的證據。根據無限猴子定理，任何任意長度，由隨機內容組成的子序列都有可能看起來像不隨機產生的。因此，就算π的小數序列通過了隨機性統計測試，其中也可能有幾位的數字看起來似有規律可循而非隨機數，例如π的十進制寫法中，自第762位小數後開始出現了連續六個的9。

超越性

不僅是個無理數，還是一個超越數，即不是任何一個有理數係數多項式的根。（比方說，試圖通過解有限項方程，來求得的值。）
的超越性衍生出了一些重要的結果：不能通過有理數經有限次四則運算和開平方運算來獲得，因此不是規矩數。換言之，利用尺規作圖作不出長度為的線段，也就不可能用尺規方法做出一個與已知圓面積相等的正方形。後者即為有名的化圓為方問題，該問題早在古典時代即已提出，曾困擾人們數千年之久。直至今天，依然有民間數學愛好者聲稱他們解決了這一問題。

遠古時期

圓周率在遠古時期（公元前一千紀）已估算至前兩位（「3」和「1」）。有些埃及學家聲稱，遠至古王國時期時期的古埃及人已經用作為圓周率的約數，但這個說法受到了質疑。
最早有記載的對圓周率估值在古埃及和巴比倫出現，兩個估值都與圓周率的正確數值相差不到百分之一。巴比倫曾出土一塊公元前1900至1600年的泥板，泥板上的幾何學陳述暗示了人們當時把圓周率視同（等於3.125）。埃及的萊因德數學紙草書（鑑定撰寫年份為公元前1650年，但抄自一份公元前1850年的文本）載有用作計算圓面積的公式，該公式中圓周率等於（約等於3.1605）。
公元前4世紀的《百道梵書》中的天文學運算把（約等於3.139，精確到99.91%）用作圓周率估值。公元前150年前的其他印度文獻把圓周率視為（約等於3.1622）。

割圓時代

第一個有紀錄、嚴謹計算π數值的演算法是透過正多邊形的幾何算法，是在西元前250年由希臘數學家阿基米德所發明。這個算法使用了有一千年之久，因而有時π亦稱阿基米德常數。阿基米德的算法是在計算圓的外切正六邊形及內接正六邊形的邊長，以此計算的上限及下限，之後再將六邊形變成十二邊形，繼續計算邊長……，一直計算到正96邊形為止。他根據多邊形的邊長證明（也就是）。阿基米德得到的上限也造成一個常見誤解，認為就等於。在公元前150年，希臘羅馬的科學家克勞狄烏斯·托勒密在《天文學大成》一書中提到π的數值是3.1416，可能來自阿基米德，也可能來自阿波羅尼奧斯。數學家在1630年利用多邊形的方式計算π到第39位小數，一直到1699年，其他數學家才利用無窮級數的方式打破其紀錄，計算到第71位小數。
中國歷史上，的數值有3、3.1547（公元前一世紀）、（公元前100年，數值約3.1623）及（第三世紀，數值約3.1556）。大約在公元265年，曹魏的數學家劉徽創立了割圓術，用3,072邊的正多邊形計算出π的數值為3.1416。劉徽後來又發明了一個較快的算法，利用邊數差兩倍的正多邊形，其面積的差值會形成等比數列，其公比為的原理，配合96邊形算出的數值為3.14。祖沖之在公元480年利用割圓術計算12,288形的邊長，得到（現在稱為密率），其數值為3.141592920，小數點後的前六位數都是正確值。在之後的八百年內，這都是準確度最高的π估計值。為紀念祖沖之對圓周率發展的貢獻，日本數學家三上義夫將這一推算值命名為「祖沖之圓周率」，簡稱「祖率」。
印度天文學家阿耶波多在公元499年的著作《阿里亞哈塔曆書》中使用了3.1416的數值。斐波那契在大約1220年利用獨立於阿基米德多邊形法，計算出3.1418。義大利作家但丁·阿利吉耶里用的數值則是。
波斯天文學家卡西在1424年利用3×2²⁸邊的多邊形，計算到六十進制的第9位小數，相當十進制的第16位小數。這一突破成為當時的紀錄，延續了約180年。法國數學家弗朗索瓦·韋達在1579年用3×2¹⁷邊形計算到第9位小數，佛蘭芒數學家阿德里安·范·羅門在1593年計算到第15位小數。荷蘭數學家魯道夫·范·科伊倫在1596年計算到第20位小數，他之後又計算到第35位小數（因此在二十世紀初之前，圓周率在德國會稱為魯道夫數）。荷蘭科學家威理博·司乃耳在1621年計算到第34位小數，而奧地利天文學家克里斯托夫·格林伯格在1630年用10⁴⁰邊形計算到第38位小數，至今這仍是利用多邊形算法可以達到最準確的結果。

π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
符號的引入

在用π專指「圓周率」之前，希臘字母即已用於幾何概念中。威廉·奧特雷德在1647年起在《數學之鑰》（Clavis Mathematicae）就已經用及（對應p和d的希臘字母）來表示圓的周長及直徑的比例。
威廉·瓊斯在他1706年出版的《新數學導論》（A New Introduction to the Mathematics）中提到了，是目前已知最早專門用希臘字母表示圓周和其直徑比例的人。這個希臘字母的第一次出現，是在書中討論一個半徑為1的圓時，提到「其圓周長的一半（）」。瓊斯選用了的原因可能是因為它是希臘文中「周邊」一詞「περιφέρεια」的第一個字。不過瓊斯提到，他的那些有關的算式是出自「真正聰明的約翰·梅欽先生」，因此人們推測在瓊斯之前，約翰·梅欽就已經開始使用此希臘字母表示圓周率。
瓊斯是在1706年開始使用此希臘字母，但直到萊昂哈德·歐拉在其1736年出版的《力學》中開始使用之後，其他的數學家們才紛紛開始用來指代圓周率。在此之前，數字家可能用像c或p之類的字母代表圓周率。因為歐拉與歐洲其他數學家之間時常互相寫信來往，的用法迅速傳播開來。1748年歐拉在他的《無窮小分析引論》再一次提到了，寫道：「為了簡潔起見，我們將此數字寫為，等於半徑為1的圓周長的一半。」這個表示方式之後也推展到整個西方世界。

計算
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
的意義

一般而言，值並不需要過於精確便能夠滿足大部分的數學運算的需求。按照約爾格·阿恩特（Jörg Arndt）及克里斯托夫·黑內爾（Christoph Haenel）的計算，39個數位已足夠運算絕大多數的宇宙學的計算需求，因為這個精確度已能夠將可觀測宇宙圓周的精確度準確至一個原子大小。
儘管如此，人們仍然是奮力地運算出小數點後的上千甚至上百萬個數位。這一部分是出於人類對打破記錄的衝動，因為那些和有關的成就往往成為世界各地的新聞頭條。此外，這其中也有一些實際的好處，例如測試超級計算機、測試數值分析算法等（包括高精度乘法算法）。在純粹數學的領域中，計算的位數也能讓人們來評定π的隨機性。

用途

由於與圓密切相關, 它出現了許多幾何學和三角學的公式中（特別是與圓、球體和橢圓相關的那些）。 此外也出現在其他學科的一些重要公式中，比如統計學、物理學，傅立葉分析和數論的公式。

傅立葉級數

周期函數的傅立葉級數中，很自然地出現了。周期函數即實數的小數部分所構成群上的函數。傅立葉分解指出，一個上的復值函數可表示為無窮多個的酉特徵的線性疊加之和。也就是說，到圓群（模為1的複數組成的乘法群）的映射是連續群同態。的特徵都具有的形式，這是一個定理。
在上存在一個唯一的特徵值，直到復共軛，那是一個群同態。在圓群中使用 哈爾測度，常數是這個特徵值的拉東-尼科迪姆導數值的一半。其他的特徵值的導數值為的正整數倍。因此，常數是一個獨特的數字，以至於配備了其哈爾測度的群，具有對於整數倍的點陣的龐特里亞金對偶性。這是泊松和公式的一維版本。

複變動態系統

大衛·波爾（David Boll）在1991年發現在曼德博集合碎形中也有π的出現。他檢查在曼德博集合在位置的特性。若考慮坐標在「頸部」的點，而趨近於零，在發散之前疊代的次數和相乘，會趨近於。若是在右側尖點處附近的點也會有類似的特性：在發散之前疊代的次數和的平方根相乘，也會趨近於。

π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
的記憶技巧

π文字學（或譯作圓周率π的語言學）是指人們記住大量的位值，並將其世界紀錄載於金氏世界紀錄大全中的做法。維爾·米納（Rajveer Meena）於2015年3月21日在印度於9小時27分鐘內背誦了7萬位的，創下金氏世界紀錄大全認證的世界紀錄。2006年，日本退休工程師原口證，自稱已經背誦了十萬個小數位，但他未獲金氏世界紀錄大全認證。
一個常用於記憶π的技巧是背誦一個以單詞的長度代表數值的故事或詩歌：第一個單詞有三個字母，第二個單詞有一個字母，第三個單詞有四個字母，第四個單詞有一個字母，第五個單詞有五個字母，如此類推。一個早期的例子是由英國科學家詹姆士·金斯設計的詩歌：「How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics.」這一類的詩歌有時在英文中稱為「piem」。除了英文，用於記憶π的詩歌亦有不同語言的版本。但是，創下紀錄的記憶的人一般並不以詩歌記憶，而是用如記憶數字規律或軌跡法的方法。
有好幾位作家仿照上述記憶技巧，用的數值創作了新型的約束寫作方式，其中單詞的長度須符合的數值。《The Cadaeic Cadenza》以上述技巧包含了前3835位的值，一本標準長度的書《Not a Wake》有一萬個單詞，其中每個單詞亦代表了的一個位值。

大眾文化中的
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }

也許因為的公式很簡短而且四處可見， 比其他數學常數在流行文化中更常見。
在2008年由英國公開大學及英國廣播公司聯合製作的記錄片《數學的故事》於2008年十月由英國廣播公司第四台播放。影片講述了英國數學家馬庫斯·杜·索托伊在到訪印度研究當地三角學的貢獻時，展示出歷史上π最精確的計算公式的信息圖形 。
在巴黎的科學博物館發現宮中有一個稱為「房」的圓形房間。牆上刻有的707位數字。數字貼在圓頂狀的天花板上，由大型的木製字符組成。數值是1853年由英國數學家威廉·尚克思的計算結果，但是該結果於第528位後開始出現謬誤，其在1946年發現，1949年修正。
卡爾·薩根的小說《接觸未來》中則暗示說，宇宙的創造者在π的數字中暗藏了一則信息。π的數字也用在凱特·布希所出的專輯Aerial中的《Pi》的歌詞裡。
在美國，人們在3月14日慶祝圓周率日，一個在學生中很流行的節日。一些自稱「數學極客」的人常常用與其數位來創作一些數學或技術圈內人士才能領會到的笑話。麻省理工學院則有幾個包含「3.14159」的大學歡呼口號。2015年的圓周率日格外重要，因為按照美式的寫法，當天的日期時間3/14/15 9:26:53較之於其他的圓周率日包含了更多位數的。
在北電網絡於2011年舉行的技術專利拍賣會上，谷歌使用了一些包含在內的數學或科學常數進行競價。
 
在1958年，阿爾伯特·伊格爾提議將換成τ（tau）以便簡化公式。在此定義為的兩倍。然而，沒有任何其他作者曾這樣使用過。有些人使用一個不同的值，。這些人辯稱，不論是作為弧度制下一個圓形周長的1轉，還是作為弧長與半徑的比值（而不是與直徑的比值），都比顯得更加自然，也能因此簡化掉許多公式。已經有媒體報導稱，有人在6月28日慶祝「節」，並吃「兩個派」，因為的值大小約為6.28。然而，對於的使用還並沒有在數學界成為主流。
在1897年，一個業餘的美國數學家試圖通過印第安納州議會來通過後世所謂印第安納圓周率法案的法案。這一法案因試圖以法律命令強制規定一個數學常數而臭名遠揚。該法案描述了一個化圓為方的方法，並間接提到了的錯誤值，例如3.2。該法案通過了印第安納州眾議院的表決，但是被參議院否決。