千禧年大獎難題

緣起與公布

2000年5月24日，克雷數學研究所在巴黎的法蘭西公學院召開了巴黎千年會議（Paris Millennium Event）。一百年前的1900年，德國數學家大衛·希爾伯特宣布了著名的希爾伯特的23個問題，地點正是在巴黎舉行的第二屆國際數學家大會。在二十世紀，對此一系列問題的研究極大地推動了數學的發展。出此考慮，克雷數學研究所決定邀請世界範圍內有影響力的數學家參會，並在會上宣布二十一世紀需要解決的七大數學難題。在宣布這些問題前，當天的會議首先播放了1930年希爾伯特退休時演講的錄音，包括他的名言：「我們必須知道，我們必將知道。」隨後，美國數學家約翰·泰特登台，依如下順序宣布了七個問題中的三個：黎曼猜想、貝赫和斯維訥通-戴爾猜想和P/NP問題，並逐一做了簡單介紹。在此之後是英國數學家麥可·阿蒂亞的演講，他介紹了剩下的四個問題，分別是龐加萊猜想、霍奇猜想、楊-米爾斯存在性與質量間隙和納維-斯托克斯存在性與光滑性。
這七大難題是由克雷數學研究所的科學顧問委員會（Scientific Advisory Board）在諮詢其他頂尖數學家後共同選出的。這一小組有五位國際數學專家，領導者是美國數學家、哈佛大學教授亞瑟·賈菲，此外還包括解決了費馬大定理的安德魯·懷爾斯、法國數學家阿蘭·科納、數學物理學家愛德華·威滕，以及上述提及過的約翰·泰特和麥可·阿蒂亞。他們旨在記錄當今數學家面對的最困難的問題，引起大眾對數學研究的注意，強調為難題尋找答案的重要性。問題甄選完成後，克雷數學研究所董事會撥款七百萬美元，為每個問題設立了一百萬美元獎金，並寫出了授獎規則。

獎勵與規則

總計700萬美元的獎金來源於從事投資基金美國商人蘭登·克雷，作為業餘數學愛好者，他於1999年創立了克雷數學研究所，隨即捐出了這筆款項。克雷數學研究所董事會（Board of Directors）將這筆錢設立為千禧年難題的獎金，每個問題價值一百萬美元。理論上只有該董事會有權授獎。董事會接受研究所科學顧問委員會（Scientific Advisory Board）對得獎人的推薦。
克雷數學研究所規定，任何解題並意在獲獎的研究者，不應把答案直接呈交至研究所，而須先在具有國際聲譽的、同行評審的數學出版物上發表完整解答。否則研究所的科學顧問委員會將評定發表方式是否合格。解答須在兩年內被數學界廣泛接受。若滿足以上條件，科學顧問委員會將成立特別小組以評定獲獎資格，該小組至少包含兩位非委員會成員，其中至少一人會完整校驗解答。特別的，對於P/NP問題和納維-斯托克斯問題，證明或證否皆有獲獎資格。至於其他幾個問題，提出反例亦可獲獎，但若原問題在重構後可以剔除特殊情況而不傷本質，提出者可能僅能獲得一小筆獎金。此外，若多位數學家對題解做出關鍵貢獻，可由多人分享獎金。

龐加萊猜想

在拓撲學的意義上，一個二維球面是緊緻且單連通的。通俗地說，這意味著球面不會無限延伸，並且其上任意一個閉合的圈都可被收緊至一點。龐加萊猜想考慮的是更高維的情況：一個閉的三維空間，若其上的每條閉曲線都可以連續收縮到一個點，那麼拓撲地看，這個空間是否就是球面。它的數學陳述為：一個單連通三維閉流形同胚於三維球面。這一猜想是三維流形的分類問題的核心。1962年，史蒂芬·斯梅爾證明了龐加萊猜想在五維以上的等價結論，四維的情況則在二十年後被麥可·弗里德曼證明，但數學界始終對三維流形束手無策，而我們所處的宇宙是一個三維流形，更顯現出問題的重要。
龐加萊猜想的官方陳述由約翰·米爾諾寫出。
2003年，俄羅斯數學家格里戈里·佩雷爾曼在arXiv貼出了完整證明，先後有兩篇文章，但文字簡略且原創性極強，數學界經過近三年才完成校驗。2006年，多組研究者先後發表論文闡釋了佩雷爾曼的成果，並認定其無誤。由於這一貢獻，國際數學家大會決定授予佩雷爾曼菲爾茲獎，但他本人卻拒絕領獎。2010年3月18日，千禧年大獎正式頒發給佩雷爾曼，但他又一次拒絕領獎，也包括克雷數學研究所的百萬獎金。根據俄羅斯國際文傳電訊社的消息，佩雷爾曼認為此獎不公，他相信哥倫比亞大學數學家理察·哈密頓對這一問題的貢獻絲毫不遜於自己。

P/NP問題

在理論計算機科學中，複雜度類P指所有可由確定型圖靈機在多項式時間內解決的問題，類NP是所有可在多項式時間內驗證解的正確性的問題。這裡所謂「多項式時間」指的是求解算法運行時間至多是輸入規模的多項式函數。粗略地說，P類問題是可以在計算機上快速求解的問題，而對NP問題則可快速確定某個可能的解是否正確。可以看出P類問題也是NP類問題，而兩者是否完全相等便是P/NP問題，即是否所有NP類問題都是P類問題，擁有多項式時間的求解算法。P/NP不單是一個抽象的數學難題；若得以解決，它在運籌學和密碼學等應用領域也將有重大影響，此外還被認為具有特別的哲學意義。
2001年一項針對100名數學和計算機科學家的調查結果是其中61人相信P≠NP，2012年調查者重複了這一問卷，結果是84%的受訪人相信P≠NP，在可能的解決方法上，他們給出了組合數論、邏輯學和代數幾何等答案。在研究方面，對P/NP問題的重大進展來自於1970年代史蒂芬·庫克和列奧尼德·列文的成果，他們證明存在這樣一類問題，若能對任意一個NP問題找到多項式時間的求解算法，那麼所有NP問題都是多項式時間可解的。他們將此類命題命名為NP-完全問題。而對P/NP難題最近一次引起大量討論的嘗試來自於惠普實驗室的印度科學家維奈·迪奧萊里卡（Vinay Deolalikar），2010年8月他在網上貼出了一篇長達100頁的論文，宣稱證明了P≠NP，在計算機科學和數學界的一番討論和校閱中，尼爾·伊莫爾曼等人發現了論文中的致命錯誤。
P/NP問題的官方陳述由史蒂芬·庫克寫出。

霍奇猜想

數學的一大分支代數幾何的中心研究對象是代數簇，簡言之它是由代數方程產生的代數對象，是幾何對象的推廣，人們所熟知的任何幾何對象（如圓）都是一個代數簇，但並非所有代數簇都是幾何的、可以直觀描繪的。在此一猜想中，代數幾何學家關心的是非奇異射影代數簇，粗略而言它是一個光滑的多維曲面，由代數方程解定義產生。霍奇猜想所說的是在這種「形狀完美」的代數簇上，本可能不是幾何對象的霍奇閉鏈（Hodge cycle）卻是由一種名為代數閉鏈的幾何對象組成的。其嚴謹的數學表述為：在非奇異復射影代數簇上，任何一個霍奇閉鏈都可以表示為代數閉鏈類的有理線性組合。誠然，霍奇猜想中的數學名詞可說是令人生畏，在七大千年難題中，它也被認為是對非專業人士而言最難理解的一個。然而霍奇猜想的證明將為代數幾何、拓撲學和數學分析三個領域建立一種基本的聯繫，因此具有重大意義。
蘇格蘭數學家威廉·霍奇在1950年公布猜想後不久，唐納德·斯賓塞和小平邦彥便為其中一種簡單情況做出了證明。近年來的研究方向分為兩支：美國數學家菲利普·格里菲斯等人嘗試將這一猜想化約為霍奇類導出的多元可容正規函數（admissible normal function）的奇點（singularities）存在性問題，克萊爾·瓦贊則力圖在算術簇上證明霍奇猜想。大體而言，霍奇猜想的證明仍然難見突破，它甚至被稱為是一個漫無邊際的猜測，暫時沒有有力證據證據表明霍奇的直覺是正確的。
霍奇猜想的官方陳述由皮埃爾·德利涅寫出。

楊-米爾斯存在性與質量間隙

在物理學中，楊-米爾斯理論是一種基於非阿貝爾群的量子規範理論。20世紀初，物理學家期待量子理論和經典場論兩種思想可以融合。在這一方向上，最早出現的理論是英國物理學家保羅·狄拉克1927年創立的量子電動力學，簡稱QED，它提供了對電磁現象的量子描述，成為麥克斯韋理論的一個量子版本，能極為精確地解釋電磁場和電磁力。自然而然的，物理學家期待後續的理論能將電磁現象與弱力和強力一道統一起來。1954年楊振寧和羅伯特·米爾斯提出了楊-米爾斯理論，它是對QED的進一步推廣。在此基礎上統一電磁力和強弱相互作用時，物理學家發現這一理論的「無質量性」成為癥結所在。經典楊-米爾斯理論的核心是一組非線性偏微分方程，楊-米爾斯存在性與質量間隙難題旨在證明楊-米爾斯方程組有唯一解，並且該解滿足「質量間隙」這一特徵，其官方表述為：對任意緊緻、單的規範群，四維歐幾里得空間中的量子楊-米爾斯理論存在一個正的質量間隙。質量間隙問題是量子色動力學理解強相互作用的理論關鍵，關乎理論物理學的數學基礎，其解決將意味著一個數學上完整的量子規範場論的產生。
這一問題的解決前景不甚樂觀，愛德華·威滕也直言「（它）對現在而言實在是太難了。」物理學家普遍相信質量間隙的存在，但至今未能找到確鑿的數學和物理學證明。
楊-米爾斯存在性與質量間隙問題的官方陳述由亞瑟·賈菲和愛德華·威滕寫出。

貝赫和斯維訥通-戴爾猜想

在數論和代數幾何中，由形如的等式定義、且沒有奇點的曲線被稱為橢圓曲線。橢圓曲線是數論研究的重要領域，例如安德魯·懷爾斯對費馬大定理的證明的關鍵便是橢圓曲線。它在密碼學和數據傳輸上也均有應用。在此一問題上，數學家關心給定一橢圓曲線，其有多少個有理解，即有多少組有理數對滿足橢圓曲線方程。這一問題與該曲線對應的哈瑟-韋伊L函數 密切相關。基於計算機的數值依據，數學家布萊恩·貝赫和彼得·斯維訥通-戴爾猜想，一橢圓曲線有無窮多有理解，當且僅當在時取0。
有大量的數值依據表明猜想的正確。而在1994年前該猜想是否有意義都不甚明確，當時的數學家並不知道是否存在一個合適的函數，使得對所有的都有一個答數，這一猜想直到1994年才作爲谷山－志村定理一個特殊形式被解決。近年來此問題進展不多，特別是對於橢圓曲線秩大於1的情況，數學家所知甚少。
貝赫和斯維訥通-戴爾猜想的官方陳述由安德魯·懷爾斯寫出。