经典统一场论

古典統一場論（英語：classical unified field theory）是試圖在古典物理的框架下建立一個單一自洽的場論模型，從而能夠解釋自然界中所有基本交互作用的所有這類嘗試的總稱。古典統一場論可以被認為是統一場論的一個分支，在第一次世界大戰和第二次世界大戰之間有很多物理學家和數學家都致力於統一重力和電磁理論方面的研究，這些工作促進了微分幾何在純數學領域的發展。愛因斯坦是最被人熟知的嘗試建立統一場論的物理學家之一。
本條目意在介紹歷史上多種嘗試建立一個古典的、相對論性的統一場理論；至於現代物理學中試圖建立一個相容於量子理論的重力理論的嘗試，請參見量子重力。

概述

早期的古典統一場論的問題的提出主要來自廣義相對論中的黎曼幾何，以及將電磁場理論納入廣義相對論框架中的嘗試。這是由於一般的黎曼幾何無法正確地描述電磁場的屬性。進行這些工作的物理學家並不只有愛因斯坦一個，包括赫爾曼·外爾、亞瑟·愛丁頓、西奧多·卡魯扎在內的多個物理學家和數學家都曾建立發展過統一基本交互作用的理論。他們採用的推廣方法不盡相同，包括擴展幾何學基礎以及引入新的空間維度。

早期工作

古典統一場論的最早嘗試來自古斯塔夫·米和恩斯特·賴因巴赫分別於1912年和1916年提出的理論。不過這些理論並不能讓人滿意，原因在於它們和廣義相對論不相容：前者是由於理論提出時廣義相對論尚未公式化，後者則是欠缺對這一新理論的透徹理解。這些理論都使用了反對稱或/且具有複數值的度規張量（一般假設都認為度規張量應當是對稱且組成是實數的），並且都嘗試為物質同樣建立相應的場論。

微分幾何和場論

在1918年至1923年間提出了四個重要的統一場理論：外爾的規範場論、卡魯扎的第五維理論、蘭斯洛特·勞·懷特所基於的唯一性原理的理論以及愛丁頓發展的仿射幾何。愛因斯坦對這些研究者做出過回應，並與卡魯扎有過合作，但並未投入全部精力與他一起進行統一場論的研究工作。

外爾的無窮小几何

為了能夠將電磁理論納入廣義相對論的幾何學中，赫爾曼·外爾對廣義相對論所依賴的黎曼幾何進行了推廣：他建立了一種更廣義的無窮小几何。他注意到在一個流形上的連接兩個點的路徑上除了度規場外還可以存在額外的自由度，他通過用規範場的語言引入一種能夠比較這類路徑上局部尺度的基本方法，試圖籍此來推廣黎曼幾何。這種幾何學作為黎曼幾何的推廣，還在度規場的基礎上引入了一個向量場，兩者結合可以生成電磁場和重力場。這個理論在數學上合理，但形式很複雜，並會導出很難求解的高階場方程式。理論中關鍵的數學要素，包括拉格朗日量和曲率張量，被外爾和其同事解出。其後外爾向愛因斯坦等其他物理學家廣泛討論了這個理論在物理上的正確性，但最終這個理論被證明是在物理上不合理的。儘管如此，外爾所用到的規範不變性原理，在其形式被修正後應用到了量子場論中。

卡魯扎的第五維

卡魯扎建立統一場論的方法是將時空嵌入一個五維的圓柱體世界中：它具有四維空間和一維時間。不同於外爾的方法，這裡黎曼幾何的形式不變，而正是額外的維度使得電磁場能夠被納入黎曼幾何中。儘管這一理論在數學上相對優雅，在與愛因斯坦的合作討論中它被證明無法對應一個非奇性的靜態球對稱解。不過這一理論確實影響到了愛因斯坦的後續工作；更為重要的是，瑞典理論物理學家奧斯卡·克萊因其後發展了這一理論以嘗試將相對論納入量子理論中，從而建立了卡魯扎-克萊因理論。

蘭斯洛特·勞·懷特的唯一場理論

蘭斯洛特·勞·懷特的統一場論是基於所謂的「唯一性原理」，他聲稱他的理論來源於十八世紀義大利自然哲學家博斯科維奇的理論。歷史上法拉第和馬克士威曾接觸過博斯科維奇關於非歐幾何和高維幾何的研究，這使得像高斯和黎曼這樣的數學家投入到這些領域當中。其中黎曼所創立的黎曼幾何被愛因斯坦應用到廣義相對論中，但它並不能廣泛全面地描述博斯科維奇的理論。蘭斯洛特·勞·懷特本人則聲稱自己與愛因斯坦在統一場理論上有過合作。

愛丁頓的仿射幾何

亞瑟·斯坦利·愛丁頓爵士是著名的天體物理學家，他還以驗證並熱心宣傳廣義相對論而聞名於世。愛丁頓首次提出了一種基於仿射聯絡，而非廣義相對論所集中討論的度規張量作為基礎結構場的重力擴展理論。仿射聯絡是向量從時空流形中一點平行輸運到另一點的基礎；愛丁頓假設了仿射聯絡在協變下標下是對稱的，這是由於將一個無窮小向量在另一個無窮小向量的方向上進行平行輸運所得的結果，和反過來進行平行輸運所得的結果應當是相同的。
和大多數古典統一場論的研究者一樣，愛丁頓也認為在廣義相對論的場方程式中引入的用於描述物質和能量（即源）的能量-動量張量只是一種權宜之計，而在一個「真正」的統一場論中，代表源的項應當很自然地從一個自由空間的場方程式中顯現出來。他還表示希望改進的統一場論能夠解釋當時知道的兩種基本粒子：電子和光子，為何具有不同的內秉質量。
在相對論量子力學中，描述旋量場的狄拉克方程式使得愛丁頓重新審視了他原先的論斷：基礎物理理論必須以張量的形式給出。隨即他著手開始了發展一個新「基礎理論」的研究，這個理論使用了大量的代數符號（被他本人稱作「E-frame」），但由於他對這一理論的描述比較簡略而且難懂，幾乎沒有物理學家能夠跟進這一研究。

愛因斯坦的幾何方法

在廣義相對論中，描述電磁理論的馬克士威方程組也被等效地公式化，從而納入廣義相對論的框架。這意味著電磁場的能量對場方程式中的能量-動量張量有貢獻，從而對廣義相對論所描述的重力場——時空曲率也有貢獻。也就是說，某些特定的時空曲率正是電磁場效應的具體化表現形式，因此應當有一種純粹的幾何理論能夠將重力場和電磁場處理為同一基礎現象的兩種不同表現形式；然而一般的黎曼幾何是無法將電磁理論完全幾何化的。
基于堅信整套物理定律都應發自同一起源的信仰，愛因斯坦試圖建立這樣一種能夠統一重力和電磁力（或者還有其他交互作用）的推廣的重力理論。起初這些嘗試集中在加入額外的幾何符號上，如採用嘉當聯絡和所謂超距平移理論，但他最終考慮將度規張量和仿射聯絡都作為基礎場的形式。在廣義相對論中度規場是對稱的，但反對稱似乎對電磁理論又非常關鍵，因此對這兩種場而言對稱的要求需要有所放鬆。愛因斯坦所建議的統一場方程式推導自對一個預設的時空流形採用的黎曼曲率張量表達的變分原理。
在這樣的場論中，物質粒子是以時空中出現的場強或能量密度非常高的有限區域的形式出現的。愛因斯坦和他的同事利奧波德·英費爾德證明了，在愛因斯坦的統一場論中，場的奇異點和質點粒子類似具有運動軌跡。然而奇異點的本性就是物理定律失效的區域，而愛因斯坦則相信終極理論的物理定律應當處處有效，而粒子則應當對應著（高度非線性的）場方程式的類似孤波解。另外，宇宙在大尺度上的拓撲應當對解加以約束，例如量子化或離散的對稱性。
由於這一理論本身的高度抽象性，以及好的用於分析非線性系統的數學手段的相對缺乏，使得這一理論難於和它所要描述的物理現象相聯繫。愛因斯坦在這個領域的研究變得愈加孤立，而大多數物理學家都認為他的這些嘗試最終都是不成功的。特別是他在對統一基本交互作用的追尋中完全忽略了量子理論的發展（而反之亦然），特別是強交互作用和弱交互作用的發現。

後續工作

二十世紀三十年代後，研究古典統一場論的物理學家就逐漸減少了，原因則是量子理論的持續發展和建立量子重力理論的困難性。愛因斯坦則繼續著他統一電磁理論和重力理論的嘗試，但他在這片領域中的研究越來越孤立並直到最後。儘管由於他的聲望，他的這些工作依然不斷地被發表，卻從未取得真正令人滿意的成功。
除了愛因斯坦等少數外，大多數物理學家都最終放棄了古典統一場論。當今對於統一場論的研究主要集中在建立量子重力理論，以及將這一理論和其他基礎量子理論統一起來的工作上。（某些理論，例如最著名的弦理論，則將兩者合二為一。）直至今日，重力在四種基本交互作用中仍然是一個難以統一的未決問題。