量子力学

量子力學（英語：quantum mechanics）是物理學的分支學科。它主要描寫微觀的事物，與相對論一起被認為是現代物理學的兩大基本支柱，許多物理學理論和科學，如原子物理學、固態物理學、核物理學和粒子物理學以及其它相關的學科，都是以其為基礎。
19世紀末，人們發現舊有的古典理論無法解釋微觀系統，於是經由物理學家的努力，在20世紀初創立量子力學，解釋了這些現象。量子力學從根本上改變人類對物質結構及其交互作用的理解。除了透過廣義相對論描寫的重力外，迄今所有基本交互作用均可以在量子力學的框架內描述（量子場論）。
量子理論的重要應用包括量子化學、量子光學、量子計算、超導磁體、發光二極體、雷射器、電晶體和半導體如微處理器等。
愛因斯坦可能是在科學文獻中最先給出術語「量子力學」的物理學者。

黑體輻射

理想黑體可以吸收所有照射到它表面的電磁輻射，並將這些輻射轉化為熱輻射，其光譜特徵僅與該黑體的溫度有關，與黑體的材質無關。從古典物理學出發推導出的維恩定律在低頻區域與實驗數據不相符，而在高頻區域，從古典物理學的能量均分定理推導出瑞立-金斯定律又與實驗數據不相符，在輻射頻率趨向無窮大時，能量也會變得無窮大，這結果被稱作「紫外災變」。然而在那時，普朗克並未注意到紫外災變的嚴重性。
1900年12月4日，後來被定為量子力學的誕辰，馬克斯·普朗克在柏林科學院發表報告，通過將維恩定律加以改良，又將波茲曼熵公式重新詮釋，他得出了一個與實驗數據完全吻合的普朗克公式來描述黑體輻射，但是在詮釋這個公式時，他將在物體裡發射與吸收輻射的原子視為微小的量子諧振子，並且假設這些量子諧振子的能量不是連續的，而是離散的數值，並且單獨量子諧振子吸收和發射的輻射能是量子化的。

數學基礎

在二十世紀二十年代，出現了兩種量子物理的理論，即維爾納·海森堡的矩陣力學和埃爾溫·薛丁格的波動力學。
海森堡主張，只有在實驗裏能夠觀察到的物理量（可觀察量），才具有物理意義，才可以用理論描述其物理行為，例如，不能直接觀察到電子運動於原子裏的位置與週期。因此，他著重於研究電子躍遷時所發射光波的離散頻率和輻照度，這些是可觀察量。但是，他無法實際應用這點子於氫原子問題，因為這問題太過複雜，他只能改應用這點子於比較簡單，但也比較不實際的問題。經過一番努力，他計算出諧振子問題的能譜與零點能量，符合分子光譜學的結果。另外，在海森堡理論中，系統的哈密頓量是位置和動量的函數，但它們不再具有古典力學中的定義，而是由二階（代表著過程的初態和終態）傅立葉係數的矩陣給出。海森堡還發現，這些矩陣互不對易。這些論述後來發展成為矩陣力學。
從德布羅意論文的相對論性理論，薛丁格推導出一種波動方程式，稱為薛丁格方程式；用這方程式可以計算出氫原子的譜線，得到與波耳模型完全相同的答案。波動力學的基礎方程式就是薛丁格方程式
薛丁格率先於1926年證明了這兩種理論的等價性。稍後，卡爾·埃卡特和沃爾夫岡·包立也給出類似證明，約翰·馮·諾伊曼嚴格地證明了波動力學和矩陣力學的等價性。

動力學演化

在量子力學公設裏，第二項直接提到量子系統的動力學演化，其遵守含時薛丁格方程式，因此，量子態的演化在任意時刻可以被完全預測，具有連續性、命定性與可逆性。第四項提到，當對於量子系統作測量時，其量子態會塌縮至幾個本徵態中的一個本徵態，具有不連續性、機率性與不可逆性。怎樣調和這兩種不同的行為，一種是關於量子態的自然演化，另一種是關於測量引發的演化，這仍舊是未解決的物理學問題。
量子系統的動力學演化可以用不同的繪景來表現。通過重新定義，這些不同的繪景可以互相變換，它們實際上是等價的。假若要專注分析量子態怎樣隨著時間的流易而演化，時間演化算符怎樣影響量子態，則可採用薛丁格繪景。假若要專注了解對應於可觀察量的算符怎樣隨著時間的流易而演化、時間演化算符怎樣影響這些算符，則可採用海森堡繪景。

全同粒子

粒子具有很多種物理性質，例如質量、電荷、自旋等等。假若兩個粒子具有不同的性質，則可以藉著測量這些不同的性質來區分這兩個粒子。根據許多實驗獲得的結果，同種類的粒子具有完全相同的性質，例如，宇宙裏所有的電子都帶有相等數量的電荷。因此，無法依靠物理性質來區分同種類的粒子，必需使用另一種區分法，即跟蹤每一個粒子的軌道。只要能夠無限精確地測量出每一個粒子的位置，就不會搞不清楚哪一個粒子在哪裡。這個適用於古典力學的方法有一個問題，那就是它與量子力學的基本原理相矛盾。根據量子理論，在位置測量期間，粒子並不會保持明確的位置。粒子的位置具有機率性。隨著時間的流易，幾個粒子的量子態可能會移動蔓延，因此某些部分會互相重疊在一起。假若發生重疊事件，給每個粒子「掛上一個標籤」的方法立刻就失去了意義，就無法區分在重疊區域的兩個粒子。
全同粒子所呈現出的不可區分性，對量子態的對稱性，以及多粒子系統的統計力學，有深遠的影響。比如說，一個由全同粒子組成的多粒子系統量子態，在交換兩個粒子「1」和粒子「2」時，可以證明，不是對稱的  ，就是反對稱的  。具有對稱性的粒子被稱為玻色子，具有反對稱性的粒子被稱為費米子。此外自旋的對換也形成對稱：自旋為半數的粒子（如電子、質子和中子）是反對稱的，因此是費米子；自旋為整數的粒子（如光子）是對稱的，因此是玻色子。
由於費米子系統具有反對稱性，費米子遵守包立不相容原理，即兩個費米子無法占據同一狀態。這個原理擁有極大的實用意義。它表明，在由原子組成的物質世界裡，電子無法同時占據同一狀態，因此在最低狀態被占據後，下一個電子必須占據次低的狀態，直到所有的狀態均被滿足為止。這個現象決定了物質的物理和化學特性。
費米子與玻色子的狀態的熱分布也相差很大：玻色子遵循玻色-愛因斯坦統計，而費米子則遵循費米-狄拉克統計。

量子纏結

假設兩個粒子在經過短暫時間彼此耦合之後，單獨攪擾其中任意一個粒子，儘管兩個粒子之間可能相隔很長一段距離，還是會不可避免地影響到另外一個粒子的性質，這種關聯現象稱為量子糾纏。往往由多個粒子組成的量子系統，其狀態無法被分離為其組成的單個粒子的狀態，在這種情況下，單個粒子的狀態被稱為是纏結的。纏結的粒子有驚人的特性，這些特性違背一般的直覺。比如說，對一個粒子的測量，可以導致整個系統的波包立刻塌縮，因此也影響到另一個、遙遠的、與被測量的粒子纏結的粒子。這個現象並不違背狹義相對論，因為在量子力學的層面上，在測量粒子前，它們不能被單獨各自定義，實際上它們仍是一個整體。不過在測量它們之後，它們就會脫離量子纏結的狀態。

量子去相干

作為一個基本理論，量子力學原則上，應該適用於任何大小的物理系統，也就是說不僅限於微觀系統，那麼，它應該提供一個過渡到宏觀古典物理的方法。量子現象的存在提出了一個問題，即怎樣從量子力學的觀點，解釋宏觀系統的古典現象。尤其無法直接看出的是，量子力學中的量子疊加，在宏觀世界怎樣呈現出來。1954年，愛因斯坦在給馬克斯·玻恩的信中，就提出了怎樣從量子力學的角度，來解釋宏觀世界的物理現象的問題，他指出僅僅量子力學現象太「小」無法解釋這個問題。這個問題的另一個例子是由薛丁格提出的薛丁格貓的思想實驗。
後來，物理學者領會到，上述的思想實驗，實際而言並不合乎現實，因為它們忽略了不可避免地與周圍環境的交互作用，量子系統會因為這交互作用與環境關聯在一起。處於疊加態的量子系統非常容易受周圍環境的影響，而且隨著時間流易，這量子系統會與環境永無休止地越加深入糾纏，這現象稱為「馮紐曼無窮鏈」（Von Neumann's infinite chain）。在疊加態裏，幾個相互正交的量子態疊加在一起，彼此相干。量子去相干是一種過程，能夠將量子系統的約化密度矩陣對角化，而相干性質就是表示於這約化密度矩陣的非對角元素，所以，疊加態的相干性質會快速消失，無法再被探測到，從而呈現出古典的統計性質。雖然量子系統的疊加態不再具有相干性質，整個量子系統與環境共同組成的聯合態仍舊具有相干性質。
對於量子計算機來說，量子去相干也有實際意義。在一台量子計算機中，需要多個量子狀態儘可能地長時間保持疊加。去相干時間短是一個非常大的技術問題，因為它會削弱量子疊加效應，但它也是一個必需的因素，因為儲存在計算機內的數據必需經過量子測量被讀出來。

古典物理

量子力學的預測已被實驗核對至極高準確度，是在科學領域中，最為準確的理論之一。對應原理實現古典力學與量子力學之間的對應關係，根據對應原理，假若量子系統已達到某「古典極限」，則其物理行為可以很精確地用古典理論來描述；這古典極限可以是大量子數極限，也可以是普朗克常數趨零極限。實際而言，許多宏觀系統都是用古典理論（如古典力學和電磁學）來做精確描述。因此在非常「大」的系統中，量子力學的特性應該會逐漸與古典物理的特性相近似，兩者必須相互符合。
對應原理對於建立一個有效的量子力學模型是很重要的輔助工具。量子力學的數學基礎相當廣泛寬鬆，它僅只要求量子系統的態向量屬於希爾伯特空間，其可觀察量是線性的厄米算符，它並沒有規定在實際情況下，應該選擇哪一種希爾伯特空間、哪些厄米算符。因此，在實際情況下，必須選擇相應的希爾伯特空間和算符來描寫一個特定的量子系統。而對應原理則是做出這個選擇的一個重要輔助工具。這個原理要求量子力學所做出的預言，在越來越大的系統中，逐漸近似古典理論的預言。這個大系統的極限，被稱為「古典極限」或者「對應極限」。因此可以使用啟發法的手段，來建立一個量子力學的模型，而這個模型的極限，就是相應的古典物理學的模型。
在古典系統與量子系統之間，量子相干是一種很明顯可以用來區分的性質，具有量子相干性的電子、光子等等微觀粒子可以處於量子疊加態，不具有量子相干性的棒球、老虎等等宏觀系統不可以處於量子疊加態。量子去相干可以用來解釋這些行為。一種應用這性質來區分的工具是貝爾不等式，遭到量子糾纏的系統不遵守貝爾不等式，而量子去相干能夠將量子糾纏性質變換為古典統計性質，系統的物理行為因此可以用隱變數理論解釋，不再不遵守貝爾不等式。簡略而言，量子干涉是將幾個量子態的量子幅總和在一起，而古典干涉則是將幾個古典波動的波強總和在一起。對於微觀物體，整個系統的延伸尺寸超小於相干長度，因此會產生長程量子糾纏與其它非定域現象，一些量子系統的特徵行為。通常，量子相干不會出現於宏觀系統。

狹義相對論

原本量子力學的表述所針對的模型，其對應極限為非相對論性古典力學。例如，眾所皆知的量子諧振子模型使用了非相對論性表達式來表達其動能，因此，這模型是古典諧振子的量子版本。
早期，對於合併量子力學與狹義相對論的試圖，涉及到使用協變方程式，例如，克萊因-戈爾登方程式或狄拉克方程式，來取代薛丁格方程式。這些方程式雖然能夠很成功地描述許多量子現象，但它們目有某些不滿意的問題，它們無法描述在相對論性狀況下，粒子的生成和湮滅。完整的相對論性量子理論需要量子場論的關鍵發展。量子場論能夠將場量子化（而不是一組固定數量的粒子）。第一個量子場論是量子電動力學，它可以精確地描寫電磁交互作用。量子電動力學其對於某些原子性質的理論預測，已被證實準確至10⁸分之一。
對於描述電磁系統，時常不需要使用到量子場論的全部功能。比較簡單的方法，是將帶電粒子當作處於古典電磁場中的量子力學物體。這個手段從量子力學的初期，就已經被使用了。比如說，氫原子的電子狀態，可以近似地使用古典的  庫侖勢來計算。這就是所謂的半古典方法。但是，在電磁場中的量子起伏起一個重要作用的情況下（比如帶電粒子發射一顆光子）這個近似方法就失效了。

粒子物理學

專門描述強交互作用、弱交互作用的量子場論已發展成功。強交互作用的量子場論稱為量子色動力學，這個理論描述亞原子粒子，例如夸克、膠子，它們彼此之間的交互作用。弱交互作用與電磁交互作用也被統一為單獨量子場論，稱為電弱交互作用。

廣義相對論

量子重力是對重力場進行量子化描述的理論，屬於萬有理論之一。物理學者發覺，建造重力的量子模型是一件非常艱難的研究。半古典近似是一種可行方法，推導出一些很有意思的預測，例如，霍金輻射等等。可是，由於廣義相對論（至今為止，最成功的重力理論）與量子力學的一些基礎假說相互矛盾，表述出一個完整的量子重力理論遭到了嚴峻阻礙。嘗試結合廣義相對論與量子力學是熱門研究方向，為當前的物理學尚未解決的問題。當前主流嘗試理論有：超弦理論、迴圈量子重力理論等等。

應用

在許多現代技術裝備中，量子效應起了重要的作用，例如，雷射的工作機制是愛因斯坦提出的受激發射、電子顯微鏡利用電子的波粒二象性來增加解析度、原子鐘使用束縛於原子的電子從一個能級躍遷至另一個能級時所發射出的微波信號的頻率來計算與維持時間的準確性、核磁共振成像倚賴核磁共振機制來探測物體內部的結構。對半導體的研究導致了二極體和三極體的發明，這些都是現代電子系統與電子器件不可或缺的元件。
以下列出了一些量子力學的應用，但實際上其應用並不限於這些領域。

電子器件

量子力學在電子器件中得到了廣泛應用。比如發光二極體在日常照明中應用中越來越廣泛。現代計算機的基礎，微處理器，由上億個半導體電晶體集成，且隨著電晶體數量的增加，電晶體中的量子效應越來越明顯。量子力學對於解釋和模擬半導體器件中的電學、光學、熱學性質等尤其重要。
量子力學還是量子穿隧器件工作的基礎。比如USB非易失性快閃記憶體中，資訊的存儲和讀取都通過量子穿隧實現。
超導電子器件也與量子力學有著密切的關係。

計算機

相比於電晶體等電子器件，量子計算機的研製則更為前沿。在一些特定算法下，量子計算機的速度會比古典架構的計算機快成千上萬倍（比如量子退火算法）。古典計算機使用0和1作為比特，而量子計算機則使用量子位作為基本單位。量子位由不同的電子態疊加形成。

宇宙學

量子力學能夠用來解釋很多奇異的宇宙現象，例如，宇宙微波背景的頻譜可以用普朗克黑體輻射定律來解釋。宇宙微波背景證實了大爆炸理論的正確無誤，自此，穩態理論開始式微。從宇宙微波背景可以推論，早期宇宙非常炙熱、對於電磁輻射不透明、具有均質性與各向同性，是標準的黑體。
在恆星的生命終點，當所有核燃料都已用盡，恆星會開始重力塌縮的過程，最終可能變為白矮星、中子星或黑洞。這是因為包立不相容原理的作用。由於電子遵守包立不相容原理，因此在塌縮時，假若電子簡併壓力能夠克服重力，就會形成白矮星，否則會繼續塌縮，由於中子也遵守包立不相容原理，這時假若中子簡併壓力能夠克服重力，則會形成中子星，否則就會塌縮成黑洞。

化學

任何物質的化學性質，均是由其原子或分子的電子結構所決定的。通過解析包括了所有相關的原子核和電子的多粒子薛丁格方程式，可以計算出該原子或分子的電子結構。在實踐中，人們認識到，要計算這樣的方程式實在太複雜，對於許多案例，必需使用簡化的模型，找到可行的數學計算方法，才能夠找到近似的電子結構，從而確定物質的化學性質。實際上，量子電動力學是化學的基礎原理。
量子力學可以詳細描述原子的電子結構與化學性質。對於只擁有一個束縛電子的氫原子，薛丁格方程式有解析解，可以計算出相關的能級與氫原子軌域，而且能級符合氫原子光譜實驗的數據，從每一種氫原子軌域可以得到對應的電子機率分布。對於其它種原子（多電子原子），薛丁格方程式沒有解析解，只能得到近似解，可以計算出近似氫原子軌域的哈特里原子軌域，形狀相同，但尺寸與能級模式不一樣。使用哈特里原子軌域，可以解釋原子的電子結構與化學性質，週期表的元素排列。
量子力學能夠解釋，在分子裏的束縛電子怎樣將分子內部的原子綑綁在一起。對於最為簡單，只擁有一個束縛電子的氫分子離子H₂⁺，應用玻恩–歐本海默近似（兩個原子核固定不動），薛丁格方程式有解析解，可以計算出它的分子軌域。但是對於其它更為複雜的分子，薛丁格方程式沒有解析解，只能得到近似解，只能計算出近似的分子軌域。理論化學中的分支，量子化學和計算化學，專注於使用近似的薛丁格方程式，來計算複雜的分子的結構及其化學性質。

資訊學

目前的研究聚焦於找到可靠與能夠直接處理量子態的方法。量子系統擁有一種特性，即對於量子數據的測量會不可避免地改變數據，這種特性可以用來偵測出任何竊聽動作。倚賴這特性，量子密碼學能夠保證通信安全性，使得通信雙方能夠產生並分享一個隨機的，安全的密鑰，來加密和解密資訊。比較遙遠的目標是發展出量子電腦。由於量子態具有量子疊加的特性，理論而言，量子電腦可以達成高度並行計算，其計算速度有可能以指數函數快過普通電腦。另外，應用量子纏結特性與古典通訊理論，量子遙傳能夠將物體的量子態從某個位置傳送至另一個位置。這是正在積極進行的一門學術領域。