消失動量

定義

首先定義第 k 個動量( k_{th} moment):
 m_k = \int t^k\psi(t)\, dt 
若  m_0 = m_1 = m_2 = ... = m_{p-1} = 0 ，
則我們說 \psi(t) 有 p 個消失動量。

如何計算消失動量

我們可以看到 m_k = \int t^k\psi(t)\, dt 不太好計算，尤其是 k 很大的時候。
此時，可以善用傅立葉轉換來進行計算。

計算第0個動量

首先，觀察傅立葉轉換的公式:
G(f) = \int g(t)e^{-j2 \pi ft}\, dt
當令 f=0 時，可以看到以上公式變成:
G(0) = \int g(t)\, dt
正是第0個動量 m_0。
因此，若要計算 g(t) 的第0個動量，可以先計算 g(t) 的傅立葉轉換，再取直流項(也就是  f=0  )。

計算第k個動量

我們可以同樣利用傅立葉轉換來計算第 k 個動量。
首先，傅立葉轉換有一個性質: 在頻域微分 k 次，就相當於時域乘上 t^k :
\frac{1}{(-j2 \pi)^k}G^{(k)}(f) = \int t^kg(t)e^{-j2 \pi ft}\, dt
當令 f=0 時，可以看到以上公式變成:
\frac{1}{(-j2 \pi)^k}G^{(k)}(0) = \int t^kg(t)\, dt
正是第 k 個動量 m_k。
因此，若要計算 g(t) 的第k個動量，可以先計算 g(t) 的傅立葉轉換的k次微分，再取直流項(也就是  f=0  )。

連續函數

哈爾小波轉換是最簡單的一種小波轉換，使用哈爾基底(Haar Basis)來做母小波。
而墨西哥帽函數(Mexican hat function)也常被用來當母小波。

哈爾基底

哈爾基底的數學表示式如下:
\psi(t) =  \begin{cases}1 \quad & 0 \leq  t < 1/2,\\
 -1 & 1/2 \leq t < 1,\\0 &\mbox{otherwise.}\end{cases}
\psi(t) 是一個奇函數，所以
m_0= \int \psi(t)\, dt =0
但 t\psi(t) 是偶函數，所以
m_1= \int t\psi(t)\, dt \neq 0
因此，哈爾基底的消失動量為1。

墨西哥帽函數

墨西哥帽函數的數學表示式:
 \psi(t)=\frac{2^{5/4}}{\sqrt{3}}(1-2 \pi t^2)e^{- \pi t^2} 
仔細觀察，\psi(t) 其實是高斯函數的二次微分:
\psi(t) = C \frac{d^2}{dt^2}e^{- \pi t^2}, C=  常數。 
而高斯函數做傅立葉轉換仍是高斯函數:
\psi(t) = C \frac{d^2}{dt^2}e^{- \pi t^2} \to -C4 \pi ^2 f^2 e^{- \pi f^2} 。
利用
\frac{1}{(-j2 \pi)^k}G^{(k)}(0) = \int t^kg(t)\, dt
可以算出
m_0=m_1=0, m_2 \neq 0。
所以墨西哥帽函數的消失動量為2。

高斯函數的p次微分

墨西哥帽函數是高斯函數的二次微分，所以消失動量為2。
當
\psi(t) = \frac{d^p}{dt^p}e^{- \pi t^2}
其傅立葉轉換為
(j2 \pi f)^p e^{- \pi f^2} 。
利用
\frac{1}{(-j2 \pi)^k}G^{(k)}(0) = \int t^kg(t)\, dt
可以算出
m_0=m_1=m_{p-1}, m_p \neq 0。
所以高斯函數p次微分的消失動量為p。

連續函數的離散係數

多貝西小波(Daubechies wavelet)、Symlet 都是一些常用的離散小波，而且都是由連續小波的離散係數推導而來。

多貝西小波

2n  點的多貝西小波，消失動量 =n

Symlet

2n  點的Symlet，消失動量 =n 
Symlet和多貝西小波非常類似，但是比多貝西小波還要對稱。

消失動量對於函數的意義

消失動量是用以判斷一個函數如何遞減的指標。舉例來說，對於函數
f(t) = \frac{\sin(t)}{t^2}
當輸入值 t 逐漸往無限大增加時，此函數會以\frac{1}{t^2}的速率遞減。 我們可用利用定義中的動量積分式\int_{-\infty}^{\infty} t^k f(t)\, dt來評估此函數的遞減速率。
回到此範例中的函數，當k=0時，由於分子\sin(t)會在[-1,1]之間震盪，使得整個函數在[-\frac{1}{t^2},\frac{1}{t^2}]震盪。
此性質使得 k=0時，
 \int_{-\infty}^{\infty} t^k (\frac{\sin(t)}{t^2})\, dt \to 0 
函數積分式必定會收斂於0，代表第0個動量 m_0 = 0 
當 k = 1時，
\int_{-\infty}^{\infty} t^k (\frac{\sin(t)}{t})\, dt = \pi
因此第1個動量 m_1 = \pi \neq 0
對於k > 1 的情況，動量積分式均會隨著 t \to\infty 而發散。
由以上的範例，我們可藉由能夠讓動量積分式收斂為0的最大k值來判斷函數的遞減速率，而此最大k值便是函數的消失動量。
在連續小波轉換中，設計母小波的其中一個條件是有值區間比須是有限的，而母小波在有值區間內如何遞減的特性，則可由消失動量來描述。

消失動量與小波函數的設計

當濾波器的傅立葉轉換滿足以下的條件時，
 {\left| H_\varphi (\omega) \right|}^2 + {\left| H_\varphi (\omega + \pi) \right|}^2 = 2 
此濾波器滿足共軛鏡像濾波器的條件。其中 H_\varphi (\omega)代表離散低通濾波器h_\varphi[n]離散低通濾波器的傅立葉轉換。
結合共軛鏡像濾波器的條件與消失動量的第3個等價敘述，我們可以將低通濾波器表示為
 H_\varphi (e^{j\omega}) = \sqrt{2} { (\frac{1+e^{j\omega}}{2})) }^p L(e^{j\omega}) 
其中 L(x) 為一多項式函數。
利用上述條件與消失動量的等價敘述，可以簡化設計小波函數的步驟。

消失動量與濾波器長度

在小波轉換中，尺度函數和小波母函數可利用離散濾波器來定義：
\varphi(t) = \sum_{n}^{} h_\varphi [n] \sqrt{2}\varphi(2t-n) \psi(t) = \sum_{n}^{} h_\psi [n] \sqrt{2}\varphi(2t-n) 
其中h_\varphi[n]為離散低通濾波器，h_\psi[n]則為離散高通濾波器，通常會利用支撐大小(Size of support)來表示濾波器的長度。
從上述 H_\varphi (e^{j\omega}) = \sqrt{2} { (\frac{1+e^{j\omega}}{2})) }^p L(e^{j\omega}) 的表示式可得知，
當我們選擇較高的消失動量p時， H_\varphi (e^{j\omega})將會是具有較高 e^{j\omega}次方的多項式函數，因此對應到的h_\varphi[n]便有較長的濾波器長度。
一般而言，擁有較高的消失動量與較短的濾波器長度是一個交換條件的關係，無法兩者同時滿足。
因此在設計連續小波轉換中的小波母函數時，除了消失動量外，也應當把所對應到的濾波器長度考慮進去。