微积分学

歷史

現代微積分是在17世紀的歐洲由艾薩克·牛頓和戈特弗里德·萊布尼茨（相互獨立，在同一時間首次出版）發展起來的，但其中的元素出現在古希臘，然後在中國和中東，再次在中世紀的歐洲和印度。

古代

在古代數學中，產生了一些引申出後來積分學的思想，但當時對該些思想的探討方式並不嚴格、系統。埃及的莫斯克紙莎草手卷（c. 1820 BC）記載了對不同種類的體積和面積的計算，而這即是積分學的目標之一。不過它的公式只屬簡單指示，沒有提及推導方法，有的公式也只是粗疏的估算。
積分的起源很早，古希臘時期歐多克索斯 （c. 408-355 BC）就曾用窮竭法來求面積與體積。阿基米德（c. 287-212 BC） 用內接正多邊形的周長來窮盡圓周長，而求得圓周率的近似值；也用一連串的三角形來填充拋物線的圖形，以求得其面積。這些都是窮盡法的古典例子。
中國的劉徽在公元三世紀也應用窮竭法求圓的面積。在公元五世紀，祖沖之採用祖暅原理計算出球體積，該原理後來也被稱之為卡瓦列里原理。

基礎

在微積分中，「基礎」意味將一個概念從明確的公理和定義中嚴格地建構出來。早期微積分所使用的無窮小被認為是不嚴謹的，遭到了一些作者的嚴厲批評，特別是米歇爾·羅爾和喬治·貝克萊主教。貝克萊因在他1734年出版的《分析學家》（The Analyst）中將無窮小描述為「消失量之鬼」而著名。近代的一篇分析認為萊布尼茨版微積分比起貝克萊的經驗主義批評還更嚴密。為微積分予以嚴謹基礎，成為數學家們在牛頓、萊布尼茨之後幾世紀的重要工作，直至今日仍在某程度上是研究的活躍領域。
一些數學家，包括科林·麥克勞林，試圖證明使用無窮小是可靠的做法，但直到150多年之後才得以成功。奧古斯丁·路易·柯西和卡爾·魏爾斯特拉斯的工作，實現了對無窮小的記號的迴避。微分和積分的基礎終於被打下了。在柯西的著作中，可以看到一系列的基礎進路嘗試，包括通過無窮小來對連續進行定義，和在微分定義中一個不太精確的(ε, δ)-極限定義原型。而在魏爾斯特拉斯的著述中，對極限概念作了形式化，迴避了無窮小的使用。繼魏爾斯特拉斯之後，微積分就常以極限作為基礎，而非無窮小了。波恩哈德·黎曼使用這些概念來對積分進行嚴格定義。在這一時期，微積分的概念也被推廣到歐幾里得空間和複平面。
在現代數學裡，微積分基礎被包含在實變函數論中，後者包括了對微積分理論的完全數學證明。微積分的範圍也被大大拓寬了。昂利·勒貝格建立了測度論，以測度概念來定義絕大多數函數（除卻特別病態的函數）上的積分。洛朗·施瓦茨引入了分布概念，可以用其取任意函數的導數。
極限不是對微積分基礎唯一的嚴格進路。另一種方法是採用亞伯拉罕·魯濱遜的非標準分析。羅賓遜在1960年左右所採取的進路襲承了牛頓——萊布尼茨的最初概念，借用數理邏輯的技術將實數系統擴大，得以將無窮小和無窮大數包含在內。所得出的數為超實數，可以用它們來對微積分法則作萊布尼茨式的推導。

重要性

早期的微積分概念來自於埃及、希臘、中國、印度、伊拉克、波斯、日本，但現代微積分來自於歐洲。17世紀時，艾薩克·牛頓與戈特弗里德·萊布尼茨在前人的基礎上提出微積分的基本理論。微積分基本概念的產生是建立在求瞬間運動和曲線下面積這兩個問題之上的。
微分應用包括對速度、加速度、曲線斜率、最優化等的計算。積分應用包括對面積、體積、弧長、質心、做功、壓力的計算。更高級的應用包括冪級數和傅立葉級數等。
微積分也使人們更加精確地理解到空間、時間和運動的本質。多個世紀以來，數學家和哲學家都在爭論除以零或無限多個數之和的相關悖論。這些問題在研究運動和面積時常常出現。古希臘哲學家埃利亞的芝諾便給出了好幾個著名的悖論例子。微積分提供了工具，特別是極限和無窮級數，以解決該些悖論。

主要概念

微積分主要有三大類分支：極限、微分學、積分學。微積分的基本理論表明了微分和積分是互逆運算，牛頓和萊布尼茨發現了這個定理以後才引起了其他學者對於微積分學的狂熱的研究，而這個發現也使得我們在微分和積分之間可以互相轉換。這個基本理論也提供了一個用代數計算許多積分問題的方法，也就是用不定積分法取代極限運算法。該理論也可以解決一些微分方程的問題，解決未知數的積分。微分問題在科學領域無處不在。
微積分的基本概念還包括函數、無窮序列、無窮級數和連續等，運算方法主要有符號運算技巧，該技巧與初等代數和數學歸納法緊密相連。
微積分被延伸到微分方程、向量分析、變分法、複分析、時域微分和微分拓撲等領域。微積分的現代版本是實分析。

導數

在運動學中，平均速度等於位移除以所花費的時間——在一小段間隔的時間內，除上其位移，等於這一小段時間內的速度，但是當這一小段間隔的時間趨於零，也就是瞬時速度時，則無法按照通常的除法計算，這時的速度為時間的導數，得用求導的方法計算。而引入導數概念前，一般會先引入函數的平均變化率的概念。函數在某點處的平均變化率是指函數在該點處的因變量的增量和自變量的增量的比值。一個函數的自變量趨近某一極限時，其平均變化率的極限即為導數。在速度問題上，距離是時間的因變量，隨時間變化而變化；當時間趨於某一極限時，距離增量除以時間增量的極限即為距離對時間的導數。
導數的幾何意義是該函數曲線在這一點上的切線斜率。

微積分基本定理

微積分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus）又稱微積分基本公式，證實微分和積分互為逆運算。更精確地說，它將一個反導數的具體值與定積分聯繫起來。因為計算反導數通常比應用定積分定義更加簡單，微積分基本公式為計算定積分提供了一個行之有效的方式。它也可以被理解為微分是積分逆運算的精確解釋。
微積分基本公式：如果函數f在區間是連續的，函數F在區間(a, b)的導數是f，那麼，
設 
                           
這成為日後數學分析碩果的重要基石。基本公式為計算定積分提供了簡單的計算反導數的代數方法，而無須使用其極限定義來計算。它也是解微分方程的雛形。微分方程把一個未知函數與其導數相關連，而在科學的不同領域中，微分方程都很常見。

微積分的符號

微分學中的符號「」、「」等，是由萊布尼茨首先使用。其中的源自拉丁語中「差」（Differentia）的第一個字母。積分符號「」亦由萊布尼茨所創，它是拉丁語「總和」（Summa）的第一個字母s的伸長（和Σ有相同的意義）。

微積分學的應用

微積分學的發展與應用幾乎影響了現代生活的所有領域。它與大部分科學分支關係密切，包括精算、計算機、統計、工業工程、商業管理、醫藥、護理、人口統計，特別是物理學；經濟學亦經常會用到微積分學。幾乎所有現代科學技術，如：機械、水利、土木、建築、航空及航海等工業工程都以微積分學作為基本數學工具。微積分使得數學可以在（非常數）變化率和總改變之間互相轉化，讓我們可以在已知其中一者時求出另一者。
物理學大量應用微積分；古典力學、熱傳和電磁學都與微積分有密切聯繫。已知密度的物體質量、物體的轉動慣量、物體在保守力場的總能量都可用微積分來計算。牛頓第二定律便是微積分在力學中的一個應用例子：它的最初陳述使用了「變化率」一詞，而「變化率」即是指導數。陳述大意為：物體動量的變化率等於作用在物體上的力，而且朝同一方向。今天常用的表達方式是 ，它包括了微分，因為加速度是速度的導數，或是位置矢量的二階導數。已知物體的加速度，我們就可以得出它的路徑。
麥克斯韋爾的電磁學理論和愛因斯坦的廣義相對論都應用了微分。化學使用微積分來計算反應速率，放射性衰退。生物學用微積分來計算種群動態，輸入繁殖率和死亡率來模擬種群改變。
微積分可以與其他數學分支並用。例如，可與線性代數並用，來求得某區域中一組點的「最佳」線性近似。它也可以用在概率論中，來確定由給定密度函數所給出的連續隨機變量之概率。在解析幾何對函數圖像的研究中，微積分可以用來求得最大值、最小值、斜率、凹度、拐點等。
格林公式將一個封閉曲線上的線積分，與一個邊界為且平面區域為的雙重積分聯繫起來。這一點被應用於求積儀這個工具，它用於量度在平面上的不規則圖形面積。例如，它可以在設計住宅擺設時，計算不規則的花瓣床、游泳池所佔的面積。
在醫療領域，微積分可以計算血管最優支角，將血流最大化。通過藥物在體內的衰退規律，微積分可以推導出服藥規律。
在經濟學中，微積分可以通過計算邊際成本和邊際收益來確定最大利潤。
微積分也被用於尋找方程的近似值；實踐中，它是在各種應用裡解微分方程、求根的標準做法。典型的方法有牛頓法、定點疊代法、線性近似等。比如：宇宙飛船利用一種歐拉方法的變體來求得零重力環境下的近似航線。

微積分學課程

在大學的理工科教學中，微積分是「高等數學」的主要內容之一。其教學法由學科創立一開始就受到人們重視。
在美國大學先修課程中，AP微積分AB、BC分別為對應大學一元微積分半年、全年課程。
在香港，微積分是新高中課程數學（延展部分）的一部份，這部分是選修的。
在台灣，高中數學分成「數學甲」與「數學乙」兩種。數學甲是自然組數學，三年級下學期才有基礎微積分課程；數學乙是社會組數學，僅有提到極限的概念而已。高職數學分成「數學A」、「數學B」、「數學C」與「數學S」四種，各四冊。數學A是家政數學，並未列入；數學B商業數學，於第四冊才有；數學C是工業工程數學，於第四冊才有；數學S是影視數學，並未列入。