希爾伯特-黃轉換

希爾伯特-黃轉換（Hilbert-Huang Transform），由台灣中央研究院院士黃鍔（Norden E. Huang）等人提出，將欲分析數據分解為本質模態函數（intrinsic mode functions, IMF），這樣的分解流程稱為經驗模態分解(Empirical Mode Decomposition, EMD)的方法。然後將IMF作希爾伯特轉換(Hilbert Transform)，正確地獲得資料的瞬時頻率。此方法處理對象乃針對非穩態與非線性訊號。與其他數學轉換運算（如傅立葉變換）不同，希爾伯特-黃轉換算是一種應用在數據資料上的演算法，而非理論工具。

停止準則(Stopping Criterion)

為了確保經驗模態分析法分解出的本質模態函數能夠保留瞬時頻率與瞬時振幅的物理意義，必須設定篩選的停止準則來決定篩選的次數，以避免次數過多，破壞其信號的物理性質。而大部分的判斷準則建立在振幅及能量的判斷上，以下將介紹幾種不同的停止準則。
標準差準則:利用連續兩次篩選結果的分量標準差 (Standard Deviation, SD) 作為停止準則如下式所示，一般當標準差小於0.2到0.3間時，即停止篩選動作。
S數準則(S Number Criterion):訂連續S次的篩選，當極值數目與跨零點數目相同時，即停止篩選動作。若S值夠小，疊代的速度較快，但不能確保本質模態函數為嚴格對稱；當S值越大時，所需的疊代過程不但越費時，且可能破壞瞬時頻率和瞬時振幅所代表的物理意義。通常S值介於3到5之間為最佳的停止準則。
能量差異追蹤法(Energy Different Tracking):假設原始訊號x(t)包含著有限個彼此不相關的正交分量xᵢ(t)
則原始訊號x(t)的總能量可以表示為
如果從經驗模態分析法分解出的訊號本質模態函數c₁(t)正好就是正交分量x₁(t) ，則維持能量守恆；但如果c₁(t)並非與原始訊號x(t)正交，則總能量表示為
此時Eₜₒₜ ≠Eₓ ，會產生一個能量差異Eₑᵣᵣ 。若分量彼此間是正交的特性，表示所得到的本質模態函數不會有尺度混合的問題。實際上必然存在能量洩漏的現象，故本質模態函數分量間並非完全正交，所以只要假設一個夠小的|Eₑᵣᵣ| 當作停止準則，所分解出來的IMF正交性越高，其訊號的完整性、瞬時振幅與瞬時頻率特性也會比以標準差(SD)為停止準則來的好，可以降低不必要的振盪，尤其在初始邊界的部分。
閾值準則:以兩閾值θ₁和θ₂作為停止準則。先用上下包絡線算出模態振福(mode amplitude)，其式為

再求出包絡線均值m(t)與模態振幅的絕對比值，稱之為估計函數(evaluation function,e(t) )：
當整體資料中規定的部分(1-α)達到e(t)<θ₁，而且其剩餘部分達到e(t)<θ₂ ，則疊代停止。訂定θ₁的目的是確保全域的小波動為均值使得本質模態函數不會產生不必要的振盪；而θ₂是考量到局部可能發生的間斷性大偏離情況。典型的參數設定為α ≈ 0.05，θ₁ ≈ 0.05 ，θ₂ ≈ 10θ₁ 。

混模問題(Mode Mixing Problem)

在經驗模態分解的過程中，會有混模問題產生，混模問題就是在同一個本質模態函數裡會有不同尺度的訊號混雜，或者是同一尺度的訊號出現在不同的本質模態函數裡。混模問題的發生是因為某些系統訊發生間斷性訊號 (intermittence)，間斷性訊號會使經驗模態分析法分解無法正確分解出同一尺度的訊號。混模會造成本質模態函數失去物理意義。此外，混模問題也可能使經驗模態分解的演算法不穩定，任何擾動都可能會產生新的本質模態函數。
有關於混模問題的解決，在2005年有人提出了以弦波輔助的遮罩方法(masking method)來解決混模問題，而在2009年黃鍔等人提出了以雜訊輔助的總體經驗模態分解法(Ensemble Empirical Mode Decomposition)，利用加入白雜訊(white noise)來解決混模問題。

IMF的統計特性(Statistical Significance of IMFs)

EMD能夠將一個信號拆解成數個部分，但通常不能夠將訊號與雜訊徹底分開來，在每一個輸出的軌道之中，或多或少都參雜著一些雜訊。
由於自然中常見的雜訊都是白噪音，藉由混雜不同振幅程度的白噪音至原訊號，可以得到不同的曲線，藉由設定不同的邊界之後，再匯入EMD得到的各個IMF，便可以得知該IMF投射到這個信號-雜訊座標圖上的位置，藉此作為權重各個IMF的有效性，分別出何者含有較多的目標訊息量，何者含有較多的雜訊。此類方法用來分類各種IMF的有效性上有非常好的成效，唯一的缺點是由於必須要建構出一張信號-雜訊座標圖，會產生許多額外的運算量。而這樣的缺點，在資料量非常大的時候，如果要得到一個夠準確信號-雜訊座標圖，會造成系統稍大的負擔。

遮罩方法(Masking Method)

為一種弦波輔助的資料分析方法(sinusoidal assisted data analysis)，利用加減一個高於所有訊號頻率的弦波，使得極值出現的速率一致(消除間斷性特性)來解決混模問題。
主要流程為
步驟 1 :利用頻譜分析方法找出頻譜的組成
步驟 2 :加減一個高於頻譜上最高頻率的遮罩弦波訊號以消除間斷性特性
步驟 3 :分別做經驗模態分解得到良好的本質模態函數
步驟 4 :將其相加除以二來抵消遮罩訊號
遮罩方法有三個問題
1.沒有針對相位做處理，使極值點出現錯誤。
2.遮罩的弦波訊號頻率需要遠小於取樣頻率。
3.只能針對比較簡單的合成訊號做處理。

總體經驗模態分解法(Ensemble Empirical Mode Decomposition)

針對混模問題，黃鍔等人在2009年提出總體經驗模態分析法(Ensemble Empirical Mode Decomposition, EEMD) 做為改善，總體經驗模態分解法為一種雜訊輔助的資料分析方法(noise-assisted data analysis)，首先對訊號加入白雜訊(white noise)，再對訊號作經驗模態分解，並重覆做以上兩個步驟若干次後得到若干組本質模態函數，最後將各自的本質模態函數取平均來抵銷雜訊造成的影響。
總體個數的選擇：加入的白雜訊造成的影響，根據已知的統計理論，其影響與總體個數的關係為

,其中N是總體個數，是加入雜訊的大小，是最後誤差的標準差，誤差為輸入訊號和對應的本質模態函數的差值。
雜訊強度的選擇：提出者建議以0.2倍原始資料的標準差當作雜訊強度，另外當資料以高頻訊號為主體時，雜訊強度需要下降；當資料以低頻訊號為主體時，雜訊強度需要提高。
後處理：因為總體經驗模態分解做完後所得到的本質模態函數並不是真的符合先前本質模態函數的定義，因此黃鍔院士等人又提出了總體經驗模態分解法的後處理 (Post-processing)，其方法為做完總體經驗模態分解法後，把所得到的本質模態函數再去各自做經驗模態分解，其處理流程主要是把總體經驗模態函數處理過的第一個得到的本質模態函數再經過經驗模態分解分解成第一個真正的本質模態函數和第一個殘差，再把總體經驗模態函數處理過的第二個本質模態函數加上第一個殘差做經驗模態分解成第二個真正的本質模態函數和第二個殘差，以此類推。
總體經驗模態分解法雖然可以解決混模問題，但是運算複雜度比傳統經驗模態分解多了總體數量的倍數，難以運用在需要即時運算或是資料量大的訊號上。

應用

由前述可知，希爾伯特-黃轉換與傳統的傅立葉轉換、小波轉換（wavelet）、短時間傅立葉轉換（short-time fourier transform, STFT）不同等建立在卷積（Convolution）上的訊號處理方式，希爾伯特-黃轉換是一套基於差值所建立出來的訊號處理模式，在大多數的情況下，運算量會遠小於上述基於旋積所延伸出來的訊號轉換方式。
由於本質上的差異，透過希爾伯特-黃轉換在各種應用上，皆有可能得到一種新的解讀方式與成果，因此希爾伯特-黃轉換被廣泛到運用到各個領域之中：
1.ECG的分析：
由於ECG再測量時，常會有基準線(baseline)的偏移，因此使用希爾伯特-黃轉換最後可以在EMD中，找到整體的趨勢線，將之屏棄之後就能得到基準線校準之後的ECG信號。
除此之外，ECG經過希爾伯特-黃轉換處理之後，可以有效的濾掉原本的高頻雜訊，使得相較於FFT之後的頻譜，相較於直接轉換的原訊號相比，在ECG相對應的峰值頻率能夠較為專一清楚。
2.太陽黑子的觀測： 2015年1月21日 (三) 17:56 (UTC)
太陽黑子是觀察太陽活動的一個重要依據，透過太陽黑子的觀測，人們可以得知太陽目前的活躍程度，由於太陽黑子的多寡大小等，皆為不穩定、非線性的訊號，因此對於傅立葉變換來說，
可能會因為Windows Function的性質差異，使得反映出來當下的資料有所誤差。而對於希爾伯特-黃轉換來說，並不會造成太大的影響，因此希爾伯特-黃轉換在太陽黑子的觀測上能有較佳的結果。
3.語音辨識：
由於每個人的音色、說話習慣是截然不同的，透過希爾伯特-黃轉換，能夠將各種不同頻率的泛音以及振幅有規律且有效的分離出來，對於語音辨識來說是非常好的轉換工具。同時，除了作為區分人與人之間身份的特性之外，希爾伯特-黃轉換之後的語音訊號，對於應用大量機器學習的語音相關技術來說，是一個分類清楚且特性明顯的訓練資料，能夠進一步用來發展語意辨識等需要依靠大量資料，才能建構出有效模型的技術。此類特性為傅立葉轉換難以比擬的。
4.建築結構的檢測：
希爾伯特-黃轉換能將訊號拆解成許多種子訊號，透過比對結構檢測產生的訊號，能清楚的找到異常的檢測訊號，並進一步找出建築結構有安全疑慮之處。
5.經濟數據的預測：
希爾伯特-黃轉換可以處理金融相關的趨勢，找到短期中期長期的相關趨勢。
6.影像處理：
希爾伯特-黃轉換在改良EMD之後,在影像的融合與增強上，相較於原本的EMD快上一倍。
7.地震研究：
希爾伯特-黃轉換用來處理地震表面波的散射並比對經過傅立葉轉換後之後的地震信號，提供另一種角度研究並解析地震信號。
西元1999年時，台灣發生慘重的集集大地震，在事後比對由傅立葉轉換所產生的頻譜分析，發現在非靜態、非線性的的表面信號之中，因為傅立葉轉換本身線性的特性，使得低頻信號被嚴重低估，同時產生大力的高頻泛音。
由於地震訊號大多為非靜態、非線性的，這樣的特性透過希爾伯特-黃轉換分析，可能可以得到重大的分析成果，透過分離並保真原有信號，可以得知高頻訊號與低頻訊號可能發別來自於不同的區域，藉此研究地殼運動。
8.神經科學：
EEG運用希爾伯特-黃轉換之後，將之與TMS做比對，找尋腦部對於輸入信號的反應。
9.大氣科學：

由於大氣科學中，無論是氣流、降雨等，多半皆為間歇性的訊號，並不會是一個穩定的連續信號，不過透過頻寬較窄的IMF，使得最後得到的結果，可以呈現一個週期且有趨勢的變化。例如：曾經有研究運用希爾伯特-黃轉換以3至5年為週期分析後指出維吉尼亞（Virginia）的降雨與Southern Oscillation 指數的相關係數高達0.65。

總結以上，可以發現希爾伯特-黃轉換與傳統的頻譜分析有極大的差異，希爾伯特-黃轉換由於透過EMD來分析，使得其在預測趨勢、分類資料（頻率、時間）上，相較於傳統的基於傅立葉轉換所發展出來的信號技術，更能夠讓使用者從信號之中找到想要的趨勢，因此在各個不同領域之中，都能或多或少看到希爾伯特-黃轉換的應用。這些應用在傳統信號處理領域是較為少見的，不過由於希爾伯特-黃轉的建立方式的特性，使得他在統計上擁有極大的優點。

曲線選擇

由上述可知，經驗模態分解(EMD)是透過最大值重建訊號，並剔除之。因此，漸進的方式對於希爾伯特-黃轉換來說，是一個非常重要的選擇，不同的漸進選擇會影響到希爾伯特-黃轉換最後的結果。在大多數的情況之中，所選擇的大多都是貝茲曲線，其能夠有效產生出弦波，不過在某些極端例子中，例如脈衝波等，使用貝茲曲線作為希爾伯特-黃轉換的漸進方式，會使得得出來的結果變得平滑而喪失了脈衝波的特性。因此針對輸入信號選擇適當的漸進方式，對於希爾伯特-黃轉換是非常重要的課題。一般而言，越多階（order）的曲線會得到較佳的漸進效果，不過同時的也會增加計算量。
同時，倘若沒有設定結束遞回的條件，任意一個訊號最後是否都能製造出有限組IMF，換言之，IMF的疊加是否可以收斂成任意一個訊號，這個問題在經過證明之後，發現是一個NP問題。

結論

傅立葉變換是將一個訊號分解成無限多個弦波來分析資料，但是希爾伯特-黃轉換則是將一個訊號分解成數個近似於弦波的訊號（周期、振幅不固定）和一個趨勢函數來做分析。
兩者各有其優缺點，整理如下
優點：
1.避免複雜的數學運算
2.可分析頻率會隨時間變化的訊號
3.較適於分析氣候、經濟等具有趨勢的資料
4.可以找出一個函數的趨勢

缺點：
1.缺乏嚴謹的物理及數學上的意義
2.需要複雜的遞迴，運算時間反而比短時距傅立葉變換要長
3.希爾伯特轉換未必能正確計算出本質模態函數之瞬時頻率
4.無法使用快速傅立葉變換
5.只有在特例（組合較簡單的資料）時使用希爾伯特-黃轉換較快
傳統上認為希爾伯特-黃轉換是一套無用且精準度低的方式，同時在發展前期，受到Bedrosian theorem的限制，直到後續又許多改良方法之後，使得希爾伯特-黃轉換的缺點得到改善。同時其善於處理非靜態、非線性的特性使得希爾伯特-黃轉換提供了另外一套分析工具，彌補了傅立葉轉換先天上的系統限制。混合兩種方式之後，相較於單用一種方式的信號，能夠得到更多的資訊提供判讀及分析。