齐次坐标

在數學裡，齊次坐標（homogeneous coordinates），或投影坐標（projective coordinates）是指一個用於投影幾何裡的坐標系統，如同用於歐氏幾何裡的笛卡兒坐標一般。該詞由奧古斯特·費迪南德·莫比烏斯於1827年在其著作《Der barycentrische Calcul》一書內引入。齊次坐標可讓包括無窮遠點的點坐標以有限坐標表示。使用齊次坐標的公式通常會比用笛卡兒坐標表示更為簡單，且更為對稱。齊次坐標有著廣泛的應用，包括電腦圖形及3D電腦視覺。使用齊次坐標可讓電腦進行仿射變換，並通常，其投影變換能簡單地使用矩陣來表示。
如一個點的齊次坐標乘上一個非零純量，則所得之坐標會表示同一個點。因為齊次坐標也用來表示無窮遠點，為此一擴展而需用來標示坐標之數值比投影空間之維度多一。例如，在齊次坐標裡，需要兩個值來表示在投影線上的一點，需要三個值來表示投影平面上的一點。

符號

有些作者會使用不同的符號表示齊次坐標，以與笛卡兒坐標相區別，如以冒號代替逗號，以 (x:y:z) 代替 (x, y, z)，以強調該坐標有著比例的性質。亦有以方括號代替括弧，以 [x, y, z] 來強調有多個坐標表示同一個點。有些作者則會同時使用冒號與方括號，如 [x:y:z]。

其他維度

上一節的敘述可類比適用於平面以外的投影空間。因此，投影線上的點可表示成二元組 (x, y)，其中 x 與 y 不全為 0。在此情況下，無窮遠點為 (1, 0)。同樣地，在投影 n 維空間內的點可表示成 n+1 元組。

其他投影空間

齊次坐標的數值若為實數，則會得出一般實投影空間內的一個點。不過，該數值可以為任意的體，特別是在複投影空間裡，使用的數值為複數。例如，複投影線在齊次坐標中以兩個數值表示之，稱之為黎曼球面。其他的體，包括有限體，也都可以被使用。
用於投影空間的齊次坐標亦可使用除環來建立。不過，在此情況下，必須小心考慮其乘法可能是不可交換的。

另一種定義

另一種實投影平面的定義可用等價類來給出。對R³內的非零元素，定義 (x₁, y₁, z₁) ~ (x₂, y₂, z₂)，表示存在一非零數 λ，使得 (x₁, y₁, z₁) = (λx₂, λy₂, λz₂)。其中，~ 為等價關係，而投影平面則可被定義為 R³ ∖ {0}. 的等價類。若 (x, y, z) 為等價類 p 內的一元素，則可取之作為 p 的齊次坐標。
此空間內的線可定義成由方程 ax + by + cz = 0 的解所組成之集合，其中 a、b 及 c 不全為零。方程 ax + by + cz = 0 的非平凡解僅會由等價類所組成，所以該方程可定義投影平面上的線。映射 (x, y) → (x, y, 1) 為一包含映射，可定義為R³內的等價類至投影平面的一個函式，R3 內的其他元素則為 z = 0 的點。因此，該方程可定義為投影平面上的線，其他元素組成之集合則可稱之為無窮遠線。
等價類 p 為通過原點的線，但不包括原點。因為原點在前面的討論中並沒有扮演著關鍵的角色，所以可以將原點加回，而不改變投影平面之性質。這會產生一個不同的定義，即投影平面可被定義為 R³ 內通過原點的線所組成的集合，且線上的非零元素之坐標 (x, y, z) 可取之作為該線的齊次坐標。這些線現在被解釋為投影平面上的點。
在其他維度裡，也可以類推適用上述的推論。因此，n 維投影空間可被定義為 Rⁿ⁺¹ 內通過原點的線所組成之集合。

線坐標與對偶性

投影平面上的線方程可給定為 sx + ty + uz = 0，其中 s、t 及 u 為常數。每個三元組 (s, t, u) 可決定一條線，將三個值同乘上一非零純量不會改變這條線，且 s、t 及 u 至少有一個值為非零。因此，三元組 (s, t, u) 可取之作為投影平面上一條線的齊次坐標，為相對於點坐標的線坐標。若將 sx + ty + uz = 0 內的字母 s、t 及 u 作為變數，x、y 及 z 作為常數，則該方程在由所有平面上之線組成的空間內的線之集合的方程。幾何上來說，通過點 (x, y, z) 的線之集合可解釋為線坐標內該點之方程。以同樣的方式，在三維空間內之平面亦可給出四個數值的齊次坐標之集合，更高維度空間亦然。
同一關係式 sx + ty + uz = 0 可以被視為線的方式或點的方程。通常，點與線的齊次坐標在代數上或邏輯上並沒有什麼不同。因此，以點為基本元素的平面幾何與以線為基本元素的平面幾何，除了在解釋上外，其他都一樣。這導致了投影幾何內的對偶性，該原則描述，將投影幾何內一定理的點與線之角色互換，其結果也會是一個定理。類似 地，在三維投影空間內的點亦對偶於在三維投影空間內的平面，更高維度空間亦然。

普呂克坐標

在三維投影空間內為線配置坐標會較為複雜，因為似乎需要總計8個坐標值，兩個處於該線上的點之坐標，或兩個相交為該線的平面。尤利烏斯·普呂克提出了一個有用的方法，由兩個點之齊次坐標 (x₁, x₂, x₃, x₄) 及 (y₁, y₂, y₃, y₄) 的行列式 xᵢyⱼ − xⱼyᵢ (1 ≤ i < j ≤ 4)，建立其6個坐標值。普呂克嵌入為普呂克坐標的廣義化，為在 n 維投影空間內建立任一 m 維元素之齊次坐標。

貝祖定理的應用

貝祖定理預測兩條曲線相交點之數量等於該多項式次數之相乘（假設一代數封閉體，且具某一計算相交次數的規則）。貝祖定理預測兩條直線會相交於一點，而這通常是正確的，但當兩條直線平行時，相交的點會在無窮遠處。齊次坐標被用來定位此一情形之相交點。同樣地，貝祖定理預測一條直線會與一條圓錐曲線相交於兩個點，但在某些情形下，有其中一個點或兩個點會在無窮遠處，而必須使用齊次坐標定位這些點。例如， y = x² 及 x = 0 在有限（仿射）平面上只有一個點。為了找出另一個相交點，可將方程變換成齊次形式　yz = x² 及 x = 0。這會導出 x = yz = 0，且假設 x 、y 及 z 不全為 0，其解答為 x = y = 0, z ≠ 0 及 x = z = 0, y ≠ 0。第一個解答為笛卡兒坐標內的點 (0, 0)，有限的相交點。第二個解答為齊次坐標內的 (0, 1, 0)，對應於 y 軸的方向。對方程 xy = 1 及 x = 0 則不存在有限的相交點。將此方程變換成齊次形式將給出 xy = z² 及 x = 0。可導出方程 z² = 0，其中在 z = 0 有兩個根。由原方程 x = 0 可知 y ≠ 0，因為齊次坐標內至少有一值必須為非零。因此， (0, 1, 0) 會是在符合此定理下，具重數 2 的相交點。

圓點

圓方程在實（或複）投影平面上之齊次形式為 x² + y² + 2axz + 2byz + cz² = 0。該圓與直線在無窮遠處之相交點可透過設定 z = 0 而取得。這會導出方程 x² + y² = 0，該方程有兩個複數解，分別對應複投影平面內齊次坐標為 (1, i, 0) 及 (1, −i, 0) 的兩點。這兩點稱之為虛圓點（circular points at infinity），且可被視為所有圓的共同相交點。圓點亦可擴展至更高次曲線，稱之為圓代數曲線。

重心坐標

莫比烏斯原本建立齊次坐標時，會指定一點位於置作為將重量放在一固定三角形之三個頂點的三個點組成之系統的重心。在三角形內的點會表示成具正的重量，而在三角形外的點則表示成負的重量。將該系統內的重量乘上一純量不會影響其重心，因此為齊次坐標系統的一個特例。

三線坐標

令 l、m、n 為平面上的三條線，並定義點 p 的坐標 X、Y 及 Z 為 p 至這三條線間的有號距離。這被稱之為 p 相應於三條線兩兩相交之頂點組成的三角形之三線坐標。嚴格來說，該坐標並不是齊次的，因為 X、 Y 及 Z 的值是絕對的，而不只有等比例而已。不過，在這些值間有著線性關係，所以可透過允許 (X, Y, Z) 的倍數表示同一點來讓該坐標變得齊次。更一般性地說， X、Y 及 Z 可定義為常數 p、r 及 q 乘上至 l、 m 及 n 的距離，產生一個具相同參考坐標三角形的不同齊次坐標系。實際上，若沒有線是無窮遠線，則該坐標系為點在平面上之齊次坐標系最一般的類型。