素数

1是否為質數

最早期的希臘人甚至不將1視為是一個數字，因此不會認為1是質數。到了中世紀與文藝復興時期，許多數學家將1納入作為第一個質數。到18世紀中期，基督徒哥德巴赫在他與李昂哈德·歐拉著名的通信裡將1列為第一個質數，但歐拉不同意。然而，到了19世紀，仍有許多數學家認為數字1是個質數。例如，德里克·諾曼·雷默（Derrick Norman Lehmer）在他那最大達10,006,721的質數列表中，將1列為第1個質數。昂利·勒貝格據說是最後一個稱1為質數的職業數學家。到了20世紀初，數學家開始認為1不是個質數，但反而作為「單位」此一特殊類別。
許多數學成果在稱1為質數時，仍將有效，但歐幾里何的算術基本定理（如上所述）則無法不重新敘述而仍然成立。例如，數字15可分解成3 · 5及 1 · 3 · 5；若1被允許為一個質數，則這兩個表示法將會被認為是將15分解至質數的不同方法，使得此一定理的陳述必須被修正。同樣地，若將1視為質數，埃拉托斯特尼篩法將無法正常運作：若將1視為質數，此一篩法將會排除掉所有1的倍數（即所有其他的數），只留下數字1。此外，質數有幾個1所沒有的性質，如歐拉函數的對應值，以及除數函數的總和。

歷史

在古埃及人的倖存紀錄中，有跡象顯示他們對質數已有部分認識：例如，在萊因德數學紙草書中的古埃及分數展開時，對質數與對合數有著完全不同的類型。不過，對質數有過具體研究的最早倖存紀錄來自古希臘。公元前300年左右的《幾何原本》包含與質數有關的重要定理，如有無限多個質數，以及算術基本定理。歐幾里得亦展示如何從梅森質數建構出完全數。埃拉托斯特尼提出的埃拉托斯特尼篩法是用來計算質數的一個簡單方法，雖然今天使用電腦發現的大質數無法使用這個方法找出。
希臘之後，到17世紀之前，質數的研究少有進展。1640年，皮埃爾·德·費馬敘述了費馬小定理（之後才被萊布尼茨與歐拉證明）。費馬亦推測，所有具形式的數均為質數（稱之為費馬數），並驗證至（即2¹⁶ + 1）不過，後來由歐拉發現，下一個費馬數2³² + 1即為合數，且實際上其他已知的費馬數都不是質數。法國修道士馬蘭·梅森發現有的質數具的形式，其中為質數。為紀念他的貢獻，此類質數後來被稱為梅森質數。
歐拉在數論中的成果，許多與質數有關。他證明無窮級數會發散。1747年，歐拉證明每個偶完全數都確實為的形式，其中第二個因數為梅森質數。
19世紀初，勒壤得與高斯獨立推測，當趨向無限大時，小於的質數數量會趨近於，其中為的自然對數。黎曼於1859年有關ζ函數的論文中勾勒出一個程式，導出了質數定理的證明。其大綱由雅克·阿達馬與查爾斯·貞·德·拉·瓦萊-普森所完成，他們於1896年獨立證明出質數定理。
證明一個大數是否為質數通常無法由試除法來達成。許多數學家已研究過大數的質數測試，通常侷限於特定的數字形式。其中包括費馬數的貝潘測試（1877年）、普羅絲定理（約1878年）、盧卡斯-萊默質數判定法（1856年起）及廣義盧卡斯質數測試。較近期的演算法，如APRT-CL、ECPP及AKS等，均可作用於任意數字上，但仍慢上許多。
長期以來，質數被認為在純數學以外的地方只有極少數的應用。到了1970年代，發明公共密鑰加密這個概念之後，情況改變了，質數變成了RSA加密演算法等一階演算法之基礎。
自1951年以來，所有已知最大的質數都由電腦所發現。對更大質數的搜尋已在數學界以外的地方產生出興趣。網際網路梅森質數大搜索及其他用來尋找大質數的分散式運算計畫變得流行，在數學家仍持續與質數理論奮鬥的同時。

測試質數與整數分解

確認一個數是否為質數有許多種方法。最基本的程序為試除法，但因為速率很慢，沒有什麼實際用處。有一類現代的質數測試可適用於任意數字之上，另有一類更有效率的測試方法，則只能適用於特定的數字之上。大多數此類方法只能辨別是否為質數。也能給出的一個（或全部）質因數之程序稱之為因數分解演算法。

試除法

測試是否為質數的最基本方法為試除法。此一程序將n除以每個大於1且小於等於的平方根之整數。若存在一個相除為整數的結果，則不是質數；反之則是個質數。實際上，若是個合數（其中與），則其中一個因數或必定至大為。例如，對使用試除法，將37除以，沒有一個數能整除37，因此37為質數。此一程序若能知道直至的所有質數列表，因為試除法只檢查為質數的狀況，所以會更有效率。例如，為檢查37是否為質數，只有3個相除是必要的（），因為4與6為合數。
作為一個簡單的方法，試除法在測試大整數時很快地會變得不切實際，因為可能的因數數量會隨著n的增加而迅速增加。依據下文所述之質數定理，小於的質數之數量約為，因此使用試除法測試是否為質數時，大約會需要用到這麼多的數字。對，此一數值約為4.5億，對許多實際應用而言都太過龐大。

篩法

一個能給出某個數值以下的所有質數之演算法，稱之為質數篩法，可用於只使用質數的試除法內。最古老的一個例子為埃拉托斯特尼篩法（見上文），至今仍最常被使用。阿特金篩法為另外一例。在電腦出現之前，篩法曾被用來給出10⁷以下的質數列表。

整數分解

給定一合數n，給出一個（或全部）質因數的工作稱之為n的因數分解。橢圓曲線分解是一個依靠橢圓曲線上的運算來分解質因數的演算法。

其他猜想

除了黎曼猜想之外，還有許多其他的猜想存在。雖然這些猜想的陳述大多很簡單，但許多猜想經過了數十年仍提不出證明，如4個蘭道問題，從1912年提出至今仍然未解。其中一個為哥德巴赫猜想，該猜想認為每個大於2的偶數n都可表示成兩個質數之和。至於2011年2月，這個猜想對最大達n = 2 · 10¹⁷的所有數字都會成立。較弱形式的哥德巴赫猜想已被證明，如維諾格拉多夫定理，該定理表示每個足夠大的奇數都可表示成三個質數之和。陳氏定理表示，每個足夠大的偶數都可表示成一個質數與一個半質數（兩個質數的乘積）之和。此外，任一個偶數均可寫成六個質數之和。數論研究這些問題的分支稱之為加法數論。反哥德巴赫猜想，所有的正偶數n都可以表示成兩個質數之差，但此猜想可由波利尼亞克猜想類推證明。
其他猜想處理是否有無限多個具某些限制的質數這類問題。據猜想，存在無限多個斐波那契質數與無限多個梅森質數，但沒有無限多個費馬質數。還不知道是否存在無限多個維費里希質數與歐幾里得質數。
第三種類型的猜想涉及到質數的分布情形。據猜想，存在無限多對孿生質數，即有無限多對相差2的質數（孿生質數猜想）。波利尼亞克猜想是比孿生質數猜想更強的一個猜想，該猜想表示存在無限多對相差2n的連續質數。據猜想，存在無限多個具n² + 1形式的質數。上述猜想都是申策爾猜想的特例。布羅卡猜想表示，在兩個大於2的連續質數之平方數之間，總是會有至少4個質數。勒讓德猜想表示，對每個正整數n，n²與(n + 1)²間總會存在一個質數。克拉梅爾猜想可導出勒讓德猜想。

應用

長期以來，數論，尤其是對質數的研究，一般都會被認為是典型的純數學，除了求知的趣味之外，沒有其他應用。特別是，一些數論學家，如英國數學家戈弗雷·哈羅德·哈代即對其工作絕對不會有任何在軍事上的重大性感到自豪。然而，此一觀點在1970年代時遭到粉碎，當質數被公開宣布可以作為產生公鑰加密演算法的基礎之時。質數現在也被用在雜湊表與偽亂數產生器裡。
旋轉機被設計成在每個轉片上有不同數目的銷，在每個轉片上的銷的數量都會是質數，亦或是會與其他轉片上的銷的數量互質。這有助於在重復所有的組合之前，讓所有轉片的可能組合都能出現過一次。
國際標準書號的最後一碼為校驗碼，其演算法使用到了11是個質數的這個事實。
在汽車變速箱齒輪的設計上，相鄰的兩個大小齒輪齒數最好設計成質數，以增加兩齒輪內兩個相同的齒相遇嚙合次數的最小公倍數，可增強耐用度減少故障。
在害蟲的生物生長週期與殺蟲劑使用之間的關係上，殺蟲劑的質數次數的使用也得到了證明。實驗表明，質數次數地使用殺蟲劑是最合理的：都是使用在害蟲繁殖的高潮期，而且害蟲很難産生抗藥性。

以質數形式無規律變化的飛彈和魚雷可以使敵人不易攔截。

其他數學裡出現的質數

許多數學領域裡會大量使用到質數。舉有限群的理論為例，西羅定理即是一例。該定理表示，若G是個有限群，且pⁿ為質數p可整除G的階的最大冪次，則G會有個pⁿ階的子群。此外，任意質數階的群均為循環群（拉格朗日定理）。

公開金鑰加密

幾個公開金鑰加密演算法，如RSA與迪菲－赫爾曼金鑰交換，都是以大質數為其基礎（如512位元的質數常被用於RSA裡，而1024位元的質數則一般被迪菲-赫爾曼金鑰交換所採用）。RSA依靠計算出兩個（大）質數的相乘會比找出相乘後的數的兩個質因數容易出許多這個假設。迪菲－赫爾曼金鑰交換依靠存在模冪次的有效演算法，但相反運算的離散對數仍被認為是個困難的問題此一事實。

自然裡的質數

週期蟬屬裡的蟬在其演化策略上使用到質數。蟬會在地底下以幼蟲的形態度過其一生中的大部分時間。週期蟬只會在7年、13年或17年後化蛹，然後從洞穴裡出現、飛行、交配、產卵，並在至多數週後死亡。此一演化策略的原因據信是因為若出現的週期為質數年，掠食者就很難演化成以週期蟬為主食的動物。若週期蟬出現的週期為非質數年，如12年，則每2年、3年、4年、6年或12年出現一次的掠食者就一定遇得到週期蟬。經過200年以後，假設14年與15年出現一次的週期蟬，其掠食者的平均數量，會比13年與17年出現一次的週期蟬，高出2%。雖然相差不大，此一優勢似乎已足夠驅動天擇，選擇具質數年生命週期的這些昆蟲。
據猜測，ζ函數的根與複數量子系統的能階有關。

推廣

質數的概念是如此的重要，以致此一概念被以不同方式推廣至數學的不同領域裡去。通常，「質」（prime）可在適當的意義下，用來表示具有最小性或不可分解性。例如，質體是指一個包含0與1的體F的最小子體。質體必為有理數或具有p個元素的有限體，這也是其名稱的緣由。若任一物件基本上均可唯一地分解成較小的部分，則這些較小的部分也會用「質」這個字來形容。例如，在紐結理論裡，質紐結是指不可分解的紐結，亦即該紐結不可寫成兩個非平凡紐結的連通和。任一紐結均可唯一地表示為質紐約的連通和。質模型與三維質流形亦為此類型的例子。

在藝術與文學裡

質數也影響了許多的藝術家與作家。法國作曲家奧立佛·梅湘使用質數創造出無節拍音樂。在《La Nativite du Seigneur》與《Quatre etudes de rythme》等作品裡，梅湘同時採用由不同質數給定之長度的基調，創造出不可預測的節奏：第三個練習曲《Neumes rythmiques》中出現了質數41、43、47及53。據梅湘所述，此類作曲方式是「由自然的運動，自由且不均勻的持續運動中獲得的靈感」。
NASA科學家卡爾·薩根在他的科幻小說《接觸未來》（Contact）裡，認為質數可作為與外星人溝通的一種方式。這種想法是他與美國天文學家法蘭克·德雷克於1975年閒聊時形成的。
許多電影，如《異次元殺陣》（Cube）、《神鬼尖兵》（Sneakers）、《越愛越美麗》（The Mirror Has Two Faces）及《美麗境界》（A Beautiful Mind），均反映出大眾對質數與密碼學之神秘的迷戀。保羅·裘唐諾所著的小說《質數的孤獨》（The Solitude of Prime Numbers）裡，質數被用來比喻寂寞與孤獨，被描述成整數之間的「局外人」。
荒木飛呂彥所創作的日本漫畫《JoJo的奇妙冒險》第六部《石之海》的反派普奇神父喜歡數質數，他認為質數是孤獨的數字，並透過數質數安撫他緊張的情緒。