一阶逻辑

一階邏輯是使用於數學、哲學、語言學及電腦科學中的一種形式系統。
過去一百多年，一階邏輯出現過許多種名稱，包括：一階斷言演算、低階斷言演算、量化理論或謂詞邏輯。一階邏輯和命題邏輯的不同之處在於，一階邏輯有使用量化變數。一個一階邏輯，若具有由一系列量化變數、一個以上有意義的斷言字母及包含了有意義的斷言字母的純公理所組成的特定論域，即是一個一階理論。
一階邏輯和其他高階邏輯不同之處在於，高階邏輯的斷言可以有斷言或函數當做引數，且允許斷言量詞或函數量詞的（同時或不同時）存在。在一階邏輯中，斷言通常和集合相關連。在有意義的高階邏輯中，斷言則會被解釋為集合的集合。
存在許多對一階邏輯是可靠（所有可證的敘述皆為真）且完備（所有為真的敘述皆可證）的演繹系統。雖然一階邏輯的邏輯歸結只是半可判定性的，但還是有許多用於一階邏輯上的自動定理證明。一階邏輯也符合一些使其能通過證明論分析的元邏輯定理，如勒文海姆–斯科倫定理及緊緻性定理。
一階邏輯是數學基礎中很重要的一部份，因為它是公理系統的標準形式邏輯。許多常見的公理系統，如一階皮亞諾公理和包含策梅洛-弗蘭克爾集合論的公理化集合論等，都可以形式化成一階理論。然而，一階定理並沒有能力去完整描述及範疇性地建構如自然數或實數之類無限的概念。這些結構的公理系統可以由如二階邏輯之類更強的邏輯來取得。

語法

一階邏輯可分成兩個主要的部份：語法決定哪些符號的組合是一階邏輯內的合法表示式，而語義則決定這些表示式之前的意思。

詞彙表

和英語之類的自然語言不同，一階邏輯的語言是完全形式的，因為可以機械式地判斷一個給定的表示式是否合法。存在兩種合法的表示式：「項」（直觀上代表物件）和「公式」（直觀上代表可真或偽的斷言）。一階邏輯的項與公式是一串符號，這些符號一起形成了這個語言的詞彙表。如同所有的形式語言一般，符號本身的性質不在形式邏輯討論的範圍之內；它們通常只被當成字母及標點符號。
一般會將詞彙表中的符號分成「邏輯符號」（總有相同的意思）及「非邏輯符號」（意思依解釋不同而變動）。例如，邏輯符號總是解釋成「且」，而絕不會解釋成「或」。另一方面，一個非邏輯斷言符號，如Phil(x），可以解釋成「x是哲學家」、「x的個名為Philip　的人」或任何其他的1元斷言，單看其解釋為何。

形成規則

形成規則定義一階邏輯的項及公式。因為項及公式被表示為一串符號，這些規則可被用來寫成項及公式的形式文法。這些規則通常是上下文無關的（規則的每個結果在其左側都會有單一個符號），除非允許有無限多符號，且有許多開始符號，如項中的變數。

語義

一階語言的解釋會對語言內的所有非邏輯常數賦予上意義，同時也決定能指明量化範圍的論域。其結果為，每個項都會被賦予其代表的元件，每個句子也都會被賦予上一個真值。這樣，解釋即對語言內的項及公式提供了語義。研究形式語言的解釋的學科稱為形式語義學。
論域D是由某種類型的「物件」所組成的非空集合。直觀上來看，一階公式是有關這些物件的敘述。例如，敘述存在一個物件x，能使得指涉此物件的斷言P為真。論域即是此類考量的物件的集合，例如可取D為整數的集合。
函數符號的解釋是函數。舉例來說，若論域由整數所組成，則一個2元的函數符號f能解釋為給出其參數之和的函數。換句話說，符號f和在此解釋下為加法的函數I(f)是相關連的。
常數符號的解釋是一個從單元素集合D⁰對映至D的函數，也可簡單視為是D內的一個物件。例如，一個解釋可將值賦予常數符號。
n元斷言符號的解釋是由論域中的元素所組成的n對有序集。這意味著，給定一個解釋、一個斷言符號及論域中的n個元素，則可依給定的解釋判斷這些元素的斷言是否為真。例如，一個2元斷言符號P的解釋I(P)可以是一對整數，能使得第一個整數小於第二個整數。依據這個解釋，斷言P在其第一個參數小於第二個參數時為真。

有效性、可滿足性及邏輯結論

若句子φ在一給定解釋M下為真，則稱M 滿足φ，標記為。一個句子稱為可滿足的，若存在某個解釋使其為真。
具自由變數的公式的可滿足性就較為複雜了，因為只用解釋並無法決定此類公式的真值。一個常見的慣例是稱一個具自由變數的公式在一個解釋下為可滿足的，若不論如何將論域中的個體賦予其自由變數，這個公式皆為真。這等價於稱公式為可從足的，若且唯若其全稱閉包為可滿足的。
一個公式是邏輯有效的（或簡單稱為有效的），若在每一個解釋之下皆為真。此類的公式和命題邏輯中的重言式扮演著相似的角色。
一個公式φ是公式ψ的邏輯結論，若每個使得ψ為真的解釋皆會使得φ為真。在此一狀況下，稱φ被ψ邏輯蘊涵著。

一階理論、模型及基本類

一階理論是由在一特定一階標識內的一組公理所組成的。公理所組成的集合通常是有限的或遞迴可枚舉的，此類的理論稱為是有效的。有些作者要求理論也要包括所有由公理導出的邏輯結論。
滿足給定理論內的所有句子的一階結構稱為此理論的模型。基本類是由所有滿足特定理論的結構所組成的集合。這些類是類型論裡的研究主題。
許多理論都有一個預期解釋，即一個在研究理論時會在意的某種模型。例如，皮亞諾公理的預期解釋是由一般的自然數和其一般的運算所組成的。不過，勒文海姆–斯科倫定理證明，大多數的一階理論也都會有其他的非標準模型。
一個理論是相容的，若不可能由這個理論的公理中證明出矛盾來。一個理論是完備的，若對每個其標識內的公式，此公式或公式的否定會是個由理論公理導出的邏輯結論。哥德爾不完備定理證明，有效的一階理論只要它強到足以蘊涵自然數的理論，即無法同時是相容且完備的。

代換

設
t是項。φ(x)是可能包含x作為自由變數的公式。
φ(t)可定義為把自由變數x替代為t的結果，但前提是必須沒有任何t在φ(x)中是約束的。
若非如此，則x替代成t之前，必須先把φ中的約束變數，改為不同於t的符號。
例如把公式φ(x)假定為∀y:y ≤ x（"x是極大的"）。
若用t代換x，則φ(t)即∀y:y ≤ t就表示t是極大的。
這裡舉個錯誤的例子，若在φ(x)中含有約束變數y的狀況下，不去修改φ(x)中含有約束變數y，直接把x代換成y，代換結果如下
∀y:y ≤ y
如此一來即成為跟φ(x)意義完全不同的公式。
正確的演算方法為先把φ(x)中的約束變數用到y的地方改成不同於y的符號，好比z
即把∀y:y ≤ x改成∀z:z ≤ x，這兩命題的意義一致。
再把x代換成y，即為∀z:z ≤ y
所以φ(y)表示∀z:z ≤ y，而不是∀y:y ≤ y
忘記這個條件是聲名狼籍的犯錯誤原因。

公理

下面描述一階邏輯的公理。如上所述，一個給定的一階理論有進一步的非邏輯公理。下列邏輯公理刻畫了本文的樣例一階邏輯的一種演算。
對於任何理論，知道公理的集合是否可用演算法生成，或是否存在演算法確定合式公式為公理，是很有價值的。
如果存在生成所有公理的演算法，則公理的集合被稱為遞迴可列舉的。
如果存在演算法在有限步驟後確定一個公式是否是公理，則公理的集合被稱為遞迴的或「可判定的」。在這種情況下，你還可以構造一個演算法來生成所有的公理：這個演算法簡單的（隨著長度增長）一個接一個的生成所有可能的公式，而演算法對每個公式確定它是否是個公理。
一階邏輯的公理總是可判定的。但是在一階理論中非邏輯公式就不必需如此。

轉換自然語言到一階邏輯

用自然語言表達的概念必須在一階邏輯（FOL）可以為為其效力之前必須被轉換到FOL，而在這種轉換中可能有一些潛在的缺陷。在FOL中，意味著「要麼p要麼q要麼二者」，就是說它是「包容性」的。在英語中，單詞「or」有時是包容性的（比如，「加牛奶或糖？」），有時是排斥性的（比如，「喝咖啡或茶？」，通常意味著取其中一個或另一個但非二者）。類似的，英語單詞「some」可以意味著「至少一個，可能全部」，有時意味著「不是全部，可能沒有」。英語單詞「and」有時要按「or」轉換（比如，「男人和女人可以申請」）。

一階邏輯的限制

所有數學概念都有它的強項和弱點；下面列出一階邏輯的一些問題。

難於表達if-then-else

帶有等式的FOL不包含或允許定義if-then-else斷言或函數if（c,a,b），這裡的c是表達為公式的條件，而a和b是要麼都是項要麼都是公式，並且它的結果是a如果c為真，或者b如果它為假。問題在於FOL中，斷言和函數二者只接受（「非布林類型」）項作為參數，而條件的明確表達是（「布林類型」）公式。這是不幸的，因為很多數學函數是依據if-then-else而方便的表達的，而if-then-else是描述大多數電腦程式的基礎。
在數學上，有可能重定義符合公式算子的新函數的完備集合，但是這是非常笨拙的。
斷言if（c,a,b）如果重寫為就可以在FOL中表達，但是如果條件c是複雜的這就是笨拙的。很多人擴充FOL增加特殊情況斷言叫做「if（條件，a, b）」（這裡a和b是公式）和／或函數「ite（條件，a, b）」（這裡的a和b是項），它們都接受一個公式作為條件，並且等於a如果條件為真，或b如果條件為假。這些擴充使FOL易於用於某些問題，並使某類自動定理證明更容易。
其他人進一步擴充FOL使得函數和斷言可以在任何位置接受項和公式二者。

難於刻畫有限性或可數性

從Löwenheim–Skolem定理得出在一階邏輯中不可能刻畫有限性或可數性。例如，在一階邏輯中你不能斷言實數的集合的上確界性質，它聲稱實數的所有有界的、非空集合都有上確界；這就需要二階邏輯了。

圖可及性不能表達

很多情況可以被建模為節點和有向連接（邊）的圖。例如，效驗很多系統要求展示不能從「好」狀態觸及到「壞」狀態，而狀態的相互連接經常可以建模為圖。但是，可以證明這種可及性不能用斷言邏輯完全表達。換句話說，沒有斷言邏輯公式f，帶有u和v作為它的唯一自由變數，而R作為它唯一的（2元）斷言符號，使得f在一個有向圖中成立，如果在這個圖中存在從關聯於u的節點到關聯於v的節點的路徑。