行列式

幾何意義：二維和三維歐氏空間中的例子

行列式的一個自然的源起是n維平行體的體積。行列式的定義和n維平行體的體積有著本質上的關聯。

基底的選擇

在以上的行列式中，我們不加選擇地將向量在所謂的正交基（即直角坐標系）下分解，實際上在不同的基底之下，行列式的值並不相同。這並不是說平行六面體的體積不唯一。恰恰相反，這說明體積的概念依賴于衡量空間的尺度，也就是基底的取法。用基底的變換可以看作線性映射對基底的作用，而不同基底下的行列式代表了基變換對「體積」的影響。可以證明，對於所有同定向的標準正交基，向量組的行列式的值在絕對值意義上是一樣的。也就是說，如果我們選擇的基底都是「單位長度」，並且兩兩正交，那麼在這樣的基之下，平行六面體的體積的絕對值是唯一的。

行列式與空間定向

以上二維和三維行列式的例子中，行列式被解釋為向量形成的圖形的面積或體積。面積或體積的定義是恆正的，而行列式是有正有負的，因此需要引入有向面積和有向體積的概念。負的面積或體積在物理學中可能難以理解，但在數學中，它們和有向角的概念類似，都是對空間鏡面對稱特性的一種刻畫。如果行列式表示的是線性變換對體積的影響，那麼行列式的正負就表示了空間的定向。
如上圖中，左邊的黃色骰子（可以看成有單位的有向體積的物體）在經過了線性變換後變成中間綠色的平行六面體，這時行列式為正，兩者是同定向的，可以通過旋轉和拉伸從一個變成另一個。而骰子和右邊的紅色平行六面體之間也是通過線性變換得到的，但是無論怎樣旋轉和拉伸，都無法使一個變成另一個，一定要通過鏡面反射才行。這時兩者之間的線性變換的行列式是負的。可以看出，線性變換可以分為兩類，一類對應著正的行列式，保持空間的定向不變，另一類對應負的行列式，顛倒空間的定向。

一般域上的行列式：嚴格的定義

由二維及三維的例子，可以看到一般的行列式應該具有怎樣的性質。在維歐幾里得空間中，作為「平行多面體」的「體積」的概念的推廣，行列式繼承了「體積」函數的性質。首先，行列式需要是線性的，這可以由面積的性質類比得到。這裡的線性是對於每一個向量來說的，因為當一個向量變為原來的倍時，「平行多面體」的「體積」也變為原來的倍。其次，當一個向量在其它向量組成的「超平面」上時，維「平行多面體」的「體積」是零（可以想像三維空間的例子）。也就是說，當向量線性相依時，行列式為零。在一般係數域上的線性空間中，行列式也正是由這樣的特性所刻劃的：

代數餘子式

關於元素的代數餘子式記作。。

行列式的計算

計算行列式的值是一個常見的問題。最簡單的方法是按照定義計算或按照拉普拉斯公式進行遞迴運算。這樣的算法需要計算次的加法，複雜度是指數函數。在實際的計算中只能用於計算階數很小的行列式。注意到拉普拉斯公式的性質，如果一行或一列裡面有很多個0，那麼就可以把行列式按這一行或一列展開，這時數值為零的係數所對應的代數餘子式就不必計算了，因為最後要乘以0，這樣就可以簡化計算。然而更加簡便的算法是利用高斯消去法或LU分解法，把矩陣通過初等變換變成三角矩陣或三角矩陣的乘積來計算行列式的值。這些算法的複雜度都是級別，遠遠小於直接計算的複雜度。
如果一個算法可以在時間內算出矩陣乘法，那麼可以構造出一種時間內的行列式求值算法。這說明求矩陣的行列式的值和矩陣的乘法有相同的複雜度。於是，通過分治算法或者其它的方法，可以達到比更好的結果。比如，存在複雜度的行列式求值算法。

行列式函數

由行列式的一般表達形式中可以看出，矩陣的行列式是關於其係數的多項式。因此行列式函數具有良好的光滑性質。

歷史

行列式的概念最初是伴隨著方程式組的求解而發展起來的。行列式的提出可以追溯到十七世紀，最初的雛形由日本數學家關孝和與德國數學家戈特弗里德·萊布尼茨各自獨立得出，時間相差132年。

早期研究

1545年，卡當在著作《大術》（Ars Magna）中給出了一種解兩個一次方程組的方法。他把這種方法稱為「母法」（regula de modo）。這種方法和後來的克萊姆法則已經很相似了，但卡當並沒有給出行列式的概念。
1683年，日本數學家關孝和在其著作《解伏題之法》中首次引進了行列式的概念。書中出現了、乃至的行列式，行列式被用來求解高次方程組。
1693年，德國數學家萊布尼茨開始使用指標數的系統集合來表示有三個未知數的三個一次方程組的係數。他從三個方程式的系統中消去了兩個未知量後得到一個行列式。這個行列式不等於零，就意味著有一組解同時滿足三個方程式。由於當時沒有矩陣的概念，萊布尼茨將行列式中元素的位置用數對來表示：ij代表第i行第j列。萊布尼茨對行列式的研究成果中已經包括了行列式的展開和克萊姆法則，但這些結果在當時並不為人所知。

任意階數的行列式

1730年，蘇格蘭數學家科林·麥克勞林在他的《論代數》中已經開始闡述行列式的理論，記載了用行列式解二元、三元和四元一次方程式的方法，並給出了四元一次方程組的一般解的正確形式，儘管這本書直到麥克勞林逝世兩年後（1748年）才得以出版。
1750年，瑞士的加布里爾·克萊姆首先在他的《代數曲線分析引論》給出了n元一次方程組求解的法則，用於確定經過五個點的一般二次曲線的係數，但並沒有給出證明。其中行列式的計算十分複雜，因為是定義在奇置換和偶置換上的。
此後，關於行列式的研究逐漸增多。1764年，法國的艾蒂安·貝祖的論文中關於行列式的計算方法的研究簡化了克萊姆法則，給出了用結式來判別線性方程組的方法。同是法國人的亞歷山德·西奧菲勒·范德蒙德（Alexandre-Théophile Vandermonde）則在1771年的論著中第一個將行列式和解方程式理論分離，對行列式單獨作出闡述。這是數學家們開始對行列式本身進行研究的開端。
1772年，皮埃爾-西蒙·拉普拉斯在論文《對積分和世界體系的探討》中推廣了范德蒙德著作裡面將行列式展開為若干個較小的行列式之和的方法，發展出子式的概念。一年後，約瑟夫·拉格朗日發現了的行列式與空間中體積的聯繫。他發現：原點和空間中三個點所構成的四面體的體積，是它們的坐標所組成的行列式的六分之一。
行列式在大部分歐洲語言中被稱為「determinant」（某些語言中詞尾加e或o，或變成s），這個稱呼最早是由卡爾·弗里德里希·高斯在他的《算術研究》中引入的。這個稱呼的詞根有「決定」意思，因為在高斯的使用中，行列式能夠決定二次曲線的性質。在同一本著作中，高斯還敘述了一種通過係數之間加減來求解多元一次方程組的方法，也就是現在的高斯消去法。

行列式的現代概念

進入十九世紀後，行列式理論進一步得到發展和完善。奧古斯丁·路易·柯西在1812年首先將「determinant」一詞用來表示十八世紀出現的行列式，此前高斯只不過將這個詞限定在二次曲線所對應的係數行列式中。柯西也是最早將行列式排成方陣並將其元素用雙重下標表示的數學家（垂直線記法是阿瑟·凱萊在1841年率先使用的）。柯西還證明了行列式的乘法定理（實際上是矩陣乘法），這個定理曾經在雅克·菲利普·瑪利·比內（Jacque Philippe Marie Binet）的書中出現過，但沒有證明。
十九世紀五十年代，凱萊和詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特將矩陣的概念引入數學研究中。行列式和矩陣之間的密切關係使得矩陣論蓬勃發展的同時也帶來了許多關於行列式的新結果，例如阿達馬不等式、正交行列式、對稱行列式等等。
與此同時，行列式也被應用於各種領域中。高斯在二次曲線和二次型的研究中使用行列式作為二次曲線和二次型劃歸為標準型時的判別依據。之後，卡爾·魏爾斯特拉斯和西爾維斯特又完善了二次型理論，研究了-矩陣的行列式以及初等因子。行列式被用於多重函數的積分大約始於十九世紀三十年代。1832年至1833年間卡爾·雅可比發現了一些特殊結果，1839年，歐仁·查爾·卡塔蘭（Eugène Charles Catalan）發現了所謂的雅可比行列式。1841年，雅可比發表了一篇關於函數行列式的論文，討論函數的線性相依性與雅可比行列式的關係。

行列式與線性方程組

行列式的一個主要應用是解線性方程組。當線性方程組的方程式個數與未知數個數相等時，方程組不一定總是有唯一解。對一個有n個方程式和n個未知數的線性方程組，我們研究未知數係數所對應的行列式。這個線性方程組有唯一解若且唯若它對應的行列式不為零。這也是行列式概念出現的根源。
當線性方程組對應的行列式不為零時，由克萊姆法則，可以直接以行列式的形式寫出方程組的解。但用克萊姆法則求解計算量巨大，因此並沒有實際應用價值，一般用於理論上的推導。

行列式與多項式

早在高斯的時代，行列式就和多項式的研究聯繫在一起。行列式的一個應用是在所謂的「結式」上。結式是兩個多項式和的西爾維斯特矩陣的行列式。兩個多項式的結式等於0若且唯若它們有高於或等於一次的公因子多項式。結式還可以判斷多項式是否有重根：如果多項式和它的微分多項式的結式不為零，那麼這個多項式沒有重根，否則有重根。
行列式在多項式逼近理論中也有出現。給定一組插值點，判別插值多項式的存在性需要看所謂的范德蒙矩陣，而由於范德蒙矩陣的行列式不為零，因此根據克萊姆法則，插值多項式唯一存在（次數小於插值點個數）。

行列式與多重積分

行列式體現了線性變換對於空間體積的作用，對於非線性的函數，其對體積的影響更為複雜，但對於足夠「良好」的函數，在一個微小的範圍內，比如說在空間中一點的附近，可以將函數的效果近似地用線性的變換來代替。由此，對於某些函數，也可以將它在某一點附近的作用效果用它在這一點上的偏導數構成的矩陣（稱為雅可比矩陣）來表示。這類行列式被稱為「雅可比行列式」，即是雅可比矩陣的行列式，只對連續可微的函數有定義。
在計算「體積」的多重積分中，雅可比行列式應用於換元積分的時候。積分的思想是將空間割成許多個微小的體積元，稱為積分元素，再將每個體積元上的函數值乘以體積元的體積後相加。將一個積分元素換為另一個積分元素時，實際上作了一次對空間中體積的度量方式的改變：分劃體積元的方式不同了。譬如在二維空間中，將直角坐標積分換為極坐標積分時，面積元素由方塊區域變成扇形區域。因此，要測量這種體積度量方式的改變，可以將這種變換看成一個非線性的變換函數（實際上是一個微分同胚）：。而它在每一點的影響可以通過雅可比行列式來體現。