射影平面

在數學裡，投影平面（projective plane）是一個延伸平面概念的幾何結構。在普通的歐氏平面裡，兩條線通常會相交於一點，但有些線（即平行線）不會相交。投影平面可被認為是個具有額外的「無窮遠點」之一般平面，平行線會於該點相交。因此，在投影平面上的兩條線會相交於一個且僅一個點。
文藝復興時期的藝術家在發展透視投影的技術中，為此一數學課題奠定了基礎。投影平面的典型範例為實投影平面，亦稱為「擴展歐氏平面」。此一範例在代數幾何、拓撲學及投影幾何內都很重要，在各領域內的形式均略有不同，可標計為 PG(2, R)、RP² 或 P₂(R) 等符號。還有許多其他的投影平面，包括無限（如複投影平面）與有限（如法諾平面）之類型。
投影平面是二維投影空間，但並不是所有投影平面都可以嵌入三維投影空間內。投影平面是否能嵌入三維投影空間取決於該平面是否為笛沙格平面。

投影莫爾頓平面

以一般的坐標表示，所有莫爾頓平面的點都是歐氏平面上的點。要從歐氏平面造出莫爾頓平面，有些線須被重新定義。亦即，部分點組成的集合將會改變，但其他的線則會維持不變。重新定義所有具負斜率的線，使這些線上的點在負x坐標（y軸左邊）時維持原來的點，但在正x坐標（y軸右邊）時以具相同的y軸截點但為兩倍斜率之線上的點取代之，看起來就像是個「彎曲」的線。
莫爾頓平面有平行線，且為仿射平面。該平面可被投影化，如同前面的例子一般，以獲得「投影莫爾頓平面」。笛沙格定理不論是在莫爾頓平面或投影莫爾頓平面上都不是個有效的定理。

經典例子

實投影平面 RP² 為將 K 取為實數 R 時產生之投影平面。作為一封閉、不可定向的實二維流形，該平面常被當作拓撲學裡的一基本例子。
在此一建構中，考量 R³ 內球心在原點的一單位球面。每個在此一建構內三維的線會與球面相交於一對對極點。因為三維的線表示 RP² 內的一點，所以可取該球面上的對極點，得到 RP² 的相同模型。RP² 內的線在對極點的建構之下，則為該球面上的大圓（三維的平面與球面的相交）。上述描述給出橢圓幾何的標準模型。
複投影平面 CP² 則為將 K 取為複數 C 時產生之投影平面。該平面是個封閉複二維流形，且因此是個封閉、不可定向的實四維流形。該平面與在其他體上的投影平面均被當作代數幾何內的基本例子。
四元投影平面亦被視為一獨立的有趣課題。

有限體平面

由韋德伯恩小定理可知，有限除環必定可交換，且為一個體。因此，此一建構的有限例子亦被稱為「體平面」。取 K 為一具 q = pⁿ（其中 p 為質數）個元素的有限體，則會產生一個具 q² + q + 1 個點的投影平面。該體平面通常標記為 PG(2,q)，其中 PG 表示投影幾何，「2」為其維度，而 q 則為該平面的「階」（為任一線上的點之數量減一）。下面所討論的法諾平面即標記為 PG(2,2)。「有限的範例」一節中所舉的例子為投影平面 PG(2,3)。
法諾平面是由具2個元素的體所產生的投影平面，為最小的投影平面，僅具7個點及7條線。在右圖中，以小黑點表示7個點，並以6個線段與1圓圈表示7條線。不過，亦可等價地將小黑點視為「線」，並將線段與圓圈視為「點」。這為投影平面內對偶性的一個例子：若線與點互換，其結果仍為投影平面（見下文）。7個點的置換會將共線點（於同一線上的點）換成共線點，這稱之為該平面的直射變換或對稱性。一幾何的直射變換會形成一個在置換下的群，而對法諾平面來說，該群 (PΓL(3,2) = PGL(3,2)) 有168個元素。

笛沙格定理與笛沙格平面

笛沙格定理在投影平面上是普遍有效的，若且唯若該平面可由如上述在除環上的三維向量空間所建構。此類平面稱之為「笛沙格平面」，因吉拉德·笛沙格而得名。實（或複）投影平面與上述的三階投影平面均為笛沙格投影平面的例子。無法依此方法建構的投影平面則稱為非笛沙格平面，而上面的莫爾頓平面即為一例。PG(2,K) 的標記法僅適用於笛沙格平面。

子平面

投影平面的子平面是指該平面上點的子集，使其可組成具相同重合關係的投影平面。
理察·于貝爾·布魯克於1955年證明下列定理。令 Π 為 N 階有限投影平面，且具 M 階的純子平面 Π₀，則 N = M² 或 N ≥ M² + M。
當 N 為完全平方數時， 階的子平面稱之為「貝爾子平面」（Baer subplanes）。每個平面上的點均處於貝爾子平面的一條線上，且每條平面上的線均包含一個貝爾子平面上的點。
在有限笛沙格平面 PG(2,pⁿ) 裡，其子平面的階為有限體 GF(pⁿ) 子體的階，亦即為 pⁱ，其中 i 為 n 的因數。而在非笛沙格平面上，布魯克定理可給出與子平面的階有關的唯一訊息。該定理中不等式仍不知其為等式時的條件為何。是否在 N 階子平面裡存在一個 M 階子平面，使得 M² + M = N，這仍是個未解的問題。若此類子平面存在，則必為合數（非質數）階的投影平面。

仿射平面

歐氏平面的投影化能產生實投影平面。相反的操作，從投影平面開始，移除一條線及所有與該線重合的點，可得到仿射平面。

直射變換

投影平面的直射變換是指該平面映射至該平面，使線映射至點，線映射至線，而會保留重合關係的的一對射；亦即，若 σ 為此一對射，且點 P 在線 m 上，則 Pσ is on mσ 在 mσ 上。
若 σ 是一投影平面的直射變換，點 P 若 P = Pσ，則稱 P 為 σ 的不動點；線 m 若 m = mσ，則稱 m 為 σ 的不動線。不動線上的點不一定為不動點，只是這些點在 σ 下的映射值會侷限於該線之上。一個直射變換的所有不動點與不動線會形成一個封閉結構，這些點與線組成的系統會符合投影平面定義的第一個與第二個條件，但不一定符合第三個條件。因此，任何一個直射變換的不動點與不動線結構會形成一個投影平面，亦或是一個退化平面。其不動結構會形成一個投影平面的直射變換，稱之為平面直射變換。

單應性

PG(2,K) 的單應性（或投影變換）是指該類投影平面的直射變換，使其為對應之向量空間的線性變換。使用齊次坐標，投影變換可表示成在 K 上可逆 3 × 3 矩陣，使得 y = M xᵀ，其中 x 與 y 為 K³ 上的點，且 M 為在 K 上可逆 3 × 3 矩陣。若兩個矩陣間，一個矩陣可透過乘上一常數純量變換成另一矩陣，則這兩個矩陣表示同一投影變換。因此，投影變換所組成的群是一般線性群除以純量矩陣的商群，稱之為投影線性群。
PG(2,K) 的另一種直射變換可由 K 的自同構導出，稱之為自同構直射變換。若 α 為 K 的自同構，則其直射變換由 (x₀,x₁,x₂) → (x₀α,x₁α,x₂α) 給定者，即為一自同構直射變換。投影幾何基本定理表示，所有 PG(2,K) 的直射變換均為投影變換或自同構直射變換。自同構直射變換為平面直射變換。

關聯

對偶變換為從投影平面 C = (P, L, I) 至其對偶平面 C* = (L, P, I*) ，並保留其重合關係的一映射。亦即，對偶變換 σ 會將點映射至線，線映射至點 (Pσ = L and Lσ = P) ，使得若一點 Q 位於一線 m 上（標記為 Q I m），則 Qσ I* mσ ⇔ mσ I Qσ。一對偶變換若為一同構，則稱之為關聯。若關聯存在，則該投影平面 C 為自對偶。
在除環 K 上的投影平面 PG(2,K) 裡，對偶亦可稱為互反（reciprocity）。此類平面均為自對偶。依據投影幾何基本定理，互反由 K 的一個自同構函數與一個直射變換所組成。若互反的自同構為恆等函數，則該互反亦稱為投影關聯。
兩階關聯（對合）亦稱為對極（polarity）。若一關聯 φ 不是對極，則 φ² 為一非平凡直射變換。

高維投影空間內的投影平面

投影平面可被視為「幾何」維度為2的投影幾何。高維投影幾何可透過類比於投影平面定義內的重合關係來定義。這些高維投影幾何比投影平面更容易「駕馭」，因為有額外的自由度讓笛沙格定理於高維幾何內可被幾何地證明。這意指，與該幾何相關之坐標「環」必定為除環 K，且投影幾何會同構於由向量空間 Kᵈ⁺¹ 建構而成的幾何，即 PG(d,K)。如同前述所給之建構一般，d 維投影空間 PG(d,K) 的點為 Kᵈ ⁺ ¹ 內通過原點的線，且 PG(d,K) 內的線會對應至 Kᵈ ⁺ ¹ 內通過原點的平面。實際上，每個 PG(d,K) 內的 i 維物件（其中 i < d）均可對應至 Kᵈ ⁺ ¹ 維向量空間內通過原點的 (i+1) 維向量子空間。投影空間可依序廣義化為格拉斯曼空間。
可證明，若笛沙格定理於維度大於2的投影空間內成立，則也必然於所有包含於該空間的平面內成立。因為存在不符合笛沙格定理的投影平面（非笛沙格平面），這些平面無法內嵌至高維投影空間內。只有由向量空間建構的平面 PG(2,K) 可出現於高維投影空間內。一些數學原則只在此類投影平面內有效，因此有些關於投影空間的陳述於幾何維度為2時，總是必須提及其例外。