自然哲学的数学原理

概要

在《原理》的序言裡，牛頓寫道：
[...] 理性力學應當是一門定量研究任何力所引起的運動和產生任何運動的力的科學。[...]因此本書被命名為自然哲學的數學原理。因為自然哲學的一切難題中都涉及通過各種運動現象來研究自然的力，再通過這些自然力來解釋其他現象[...]
《原理》主要研究巨觀物體在不同條件下（例如不同的受力情況，在零阻尼或阻尼介質中），按照不同力學定律的運動情況，以此得出在自然界中真正的力學定律。《原理》嘗試著給出天體與普通物體在理想情況和實際情況下所遵守的運動定律。書中還討論了物體在多個引力作用下的複雜運動。本書第三章解釋了對行星與衛星運動的觀測結果，利用天文觀測數據印證了萬有引力的平方反比關係（在牛頓的時代看來達到了很高的精度），還推導出了當時已知的各大行星相對於地球或太陽的質量，確定了太陽相對於太陽系質心的緩慢移動，解釋了地球為扁球體的原因，解釋了由月球引力引起的赤道上兩分點的歲差，提出太陽和月球引力的變化和擾動是形成潮汐的原因，從理論上解釋了軌道扁長接近拋物線的彗星的一些特殊現象。也許是由於《原理》以簡潔的形式，系統地解釋了如此多的自然現象，即使在今天，它還被視作物理學的代名詞。牛頓提出的分析方法在今天被稱作綜合與分析法。
《原理》的序言中以修訂版和附錄的形式收錄了他在1684年所作De motu corporum in gyrum中的全部內容。
《原理》以「定義（約定）」和「公理或運動的定律定律」開篇，正文包括三卷：

第一卷 論物體的運動

全書第一卷「論物體的運動」（拉丁文：De motu corporum）研究物體在無阻尼環境中的運動。第一部分題為「論用於此後證明的最初比和最終比方法」，介紹了無窮小微積分幾何形式的數學闡述。
第二部分 (命題1-10)給出了向心力與面積率（現稱作「克卜勒第二定律」）的關係（命題1-3），推出了圓周運動中速度、曲率半徑與徑向力的關係(命題 4), 還提出物體在受到遵從平方反比定律的力作用下沿圓錐曲線軌道運動。
第三部分到第六部分(命題11-31)討論了物體沿圓錐曲線（例如橢圓）軌道的運動的性質及其與平方反比定律的關係。牛頓還在這一部分中提出了牛頓橢圓定理（引理28）。
第九部分（命題43-45）中牛頓證明，受向心力沿拱點改變的偏心軌道運動的物體，只要其遠地點與近地點連線方向不變，可說明物體受平方反比力。
第十一部分 （命題57-69）討論了「以向心力相互趨向的物體的運動」。這一部分主要關於這一理論在理解太陽系中的應用。牛頓還在這一章中（命題66）初步探討了三個巨觀物體在彼此間引力作用下的運動。這一問題後來被稱作「三體問題」。
第十二部分 （命題70-84）討論了「球體的引力」。這一部分中，牛頓證明了質量球對稱分布的球形物體對球外產生的引力相當於其所有質量集中於球心時產生的引力。這一結果使得平方反比定律能夠較準確地應用於對太陽系的計算中。

第二卷 論物體的運動

牛頓將原定收錄於第一部分中的一些主要討論物體在阻尼介質中運動的內容單獨分離出來構成第二卷。在第一卷中牛頓主要討論了物體在不同引力定律作用下的運動，在這一卷中他討論了物體在不同摩擦定律下的運動。第一部分討論了正比於物體速度的摩擦力，第2部分則研究了加入正比於速度平方的摩擦力後的結果。第二卷(第5部分)中牛頓還探討了靜止流體和可壓縮流體的性質。第6部分中牛頓討論了空氣阻力對單擺運動的影響，還介紹了他自己完成的一些相關實驗（在不同情況下觀察單擺的運動以研究空氣阻力的性質）。牛頓在這卷中對比了介質對不同形狀的物體的阻力，試圖由此推出介質中的音速，並描述了驗證實驗的結果。
第二卷經得起時間考驗的內容不如另兩卷那樣多。第二卷的寫作目的被認為是反駁笛卡爾的理論。笛卡爾認為行星的運動是由於受到宇宙間的巨大漩渦的帶動。在第二卷結尾處（命題53）牛頓指出漩渦理論是與天文觀測結果完全矛盾的。

第三卷 論宇宙的系統

題為「論宇宙的系統」（拉丁文：De mundi systemate）的第三卷主要關於萬有引力（特別在天文學方面）的影響與意義。本卷以前兩卷中的命題為基礎，並將這些理論具體應用於解釋觀測到的太陽系天體的運動。Proposition 22和命題25-35中研究了月球運動軌道的特點，特別提到了月球軌道的潮汐演變。在本卷「天象」部分中，牛頓列出了他所引用的天文觀測的數據，並逐步推導出平方反比定率在太陽系天體運動中的體現。這一部分從討論木星衛星開始，然後逐步證明這一理論是普適的。在引理4和命題40中牛頓提出了彗星運動的理論，這一部分中的大多數數據來源於約翰·佛蘭斯蒂德和哈雷的觀測記錄。本卷中牛頓還嘗試著定量計算了太陽和月球引理對潮汐的影響，並提出了分點歲差的理論。本卷還包括了三維諧振子和在任意力下的運動。
本卷中牛頓明確提出他的了以太陽為中心的太陽系理論，早在17世紀80年代中期他就發現，太陽並不位於太陽系的質心處。牛頓認為，地球、太陽與所有行星的公共質心是宇宙的中心，（命題12, 系理），這一質心「靜止或作勻速直線運動」（命題11）。牛頓認為後者是不可能的因為「宇宙的中心也將是運動的，與假設矛盾。」牛頓估算了太陽與木星和太陽與土星的質量比（命題8，系理2），並指出這使得太陽略偏離上文所提到的質心「略小於太陽直徑的距離」（命題12）。
牛頓在《原理》中建立動力學時給出定義的順序對許多現代教科書影響深遠。牛頓先給出質量的定義：
物質之量，以其密度及體積聯合度之。倍大空間內倍密之空氣，其量加四倍[...]此項物質之量，以後我將以物體或質量名之，所由以知之者，則為各該物體之重量。
之後牛頓利用質量定義了動量和慣性定律（用質量代替了笛卡爾的「慣性力」概念）。然後動量的改變又可以用來定義力。牛頓當時定義力為動量的改變而非現在常用的動量隨時間的改變率。
牛頓定義時間與空間「與日常生活中的概念不同」，而是「絕對的」「真實的」時間：
我只需說明，此項兩平常是藉官覺來感知的，故不免發生某種偏見，而為免此項偏見起見，可適當的將其分別為絕對的與相對的，真的與貌似的，以及數學的與尋常的 [...] 故我們在人事方面，不用絕對的處所及運動而用相對的，這不能說不當；但在自然研究上，則必須由感官抽象出來。真正的靜止物體，可以用以作為處所及運動之標識者，事實上很可以沒有。
現代讀者們可能會發現，牛頓在《原理》中使用了一些未命名的現代動力學量。前兩卷的數學證明部分十分明晰，使得這些概念得以被接受。例如約翰·洛克曾詢問惠更斯能否相信書中的數學推導，得到了肯定的回答。
然而，牛頓提出的超距作用的引力在當時並沒有被廣泛接受。在筆記中，牛頓稱平方反比定率是由物質結構自然而然地地推出的。然而，在出版時這句話被刪掉了，代之以平方反比定率是與行星運動一致的表述而且牛頓沒有給出他的想法的來源。惠更斯和萊布尼茨發現這是與笛卡爾的以太觀念相矛盾的。牛頓則宣稱他的理論在數學上與實際觀測相吻合，所以必定是正確的，但仍拒絕給出引力本質的解釋。由於牛頓的理論跟實際天象吻合得如此之好，後來的物理學家們都接受了《原理》中所採用的數學物理方法。

總釋

總釋是1713年第二版《原理》出版時新加的總結性內容，在1726年出版第三版《原理》時又作了修訂。 
在「總釋」中，牛頓寫下了他的一句名言：「我不做假設。」（'Hypotheses non fingo'）,以此反擊第一版《原理》所遭致的批評。當時的人們認為牛頓提出的超距作用的萬有引力在科學中引入了不可知力。牛頓反對這些批評，並認為實際的觀測結果已經證明了萬有引力的存在但沒有顯示這些力的來源。而且他拒絕對這個力的起因提出假設，因為這樣的假設「在實驗科學中並沒有存在的意義」。他認為實驗科學應當「從現象推出具體結論並通過歸納法推廣到一般情況」。
牛頓還強調了他對笛卡爾行星運動的漩渦理論的批評，指出這與對那些軌道為扁長橢圓的彗星的觀測結果相矛盾因為這樣的話，彗星將「穿過天空的所有部分。」
在總釋中，牛頓還討論了他的世界觀。他認為存在一位上帝（類似智能設計論）。有研究指出牛頓「含蓄地表示支持一神論而反對'三位一體'的教義」，但並沒有在總釋中明確地討論這一問題。

科學革命的開端

1543年，尼古拉·哥白尼出版《天體運行論》一書，提出「日心說」，地球不再被認為是宇宙的中心。1609年，約翰內斯·克卜勒在著作《新天文學》中舉證說明行星沿以太陽為一個焦點的橢圓軌道運動，且行星與太陽的連線在相同的時間內掃過同樣的面積。在之後出版的《世界的和諧》中，他又添加了第三條定律，即行星公轉周期的平方與其軌道半長軸的三次方成正比。這三條定律被統稱為克卜勒三定律。
伽利略在他的著作《關於托勒密和哥白尼兩大世界體系的對話》（義大利語：Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo）中引入了慣性的概念，以此奠定了現代動力學的基礎。同時，伽利略的斜面實驗闡述了勻速運動物體與勻加速運動物體加速度、速度和位移與時間的關係。
笛卡爾於1644年在《哲學原理》中提出，物體通過某種聯繫相互作用。他假設存在某種物質以太作為世間萬物相互作用（包括光與重力）的載體與媒介。他還錯誤地解釋了圓周運動，這後來被認為是慣性定律導致的難題。這一問題於17世紀50年代被惠更斯所解決，他隨後就這一問題寫了一本專門的著述。

牛頓的角色

大學期間牛頓曾對上述著作進行了研究，並做了一本題為《若干哲學問題》（拉丁文：Quaestiones quaedam philosophicae）的手記。在此期間他創立了微積分的基礎，並進行了關於顏色的光學研究。他利用稜鏡證明了白光是由其他色光組合而成的，推翻了當時的主流理論並得到廣泛承認，這也導致了他與胡克的激烈爭論。許多論文和信件提到了他對微積分的研究，包括兩封與萊布尼茨的通信。他成為了英國皇家學會的成員和巴羅之後第二任盧卡斯教席教授。

牛頓早年對運動學的研究

17世紀60年代牛頓研究了碰撞中的運動學問題，推導出碰撞物體的質心做的是勻速運動。在現存的牛頓手稿中可以看到，牛頓還對行星的運動進行了研究。他在1669年的手稿中指出，做圓周運動的行星所受離心力與行星到圓心的距離平方成反比。在他1679年到1680年與胡克的通信中，牛頓採用了「向心力」的概念。「離心力」與「向心力」的觀點雖然有很大區別，但其平方反比定率的證明方法是相同的。在信件中牛頓還提到了把切向與徑向位移相結合，這是他在17世紀60年代提出的思路。同時基於笛卡爾在1644年的研究，牛頓還闡述了慣性與質量的正比關係。

後續修訂

牛頓之後又對《原理》進行了修改，出版了兩個版本：

1713年第二版

從17世紀90年代早期開始，牛頓就開始著手編寫《原理》的新版本。他這樣急切的部分原因是《原理》第一版出版後幾年就全部賣完了。 在1694年與弗拉姆斯蒂德的通信中，牛頓提到了他出版第二版的計劃。牛頓準備了一些帶有插頁的第一版《原理》，使他可以寫下他的注釋。這些帶插頁的《原理》現存兩本。直到1708年牛頓才完成他的修訂，原先考慮的兩個編輯中，Fatio de Duillier與牛頓斷了聯繫，而牛頓對David Gregory也不太滿意，後者更於1708年病逝。於是，牛頓認識到新版本的出版不能再有拖延了。 劍橋大學三一學院的院長理察·本特利說服了牛頓由他負責第二版《原理》的出版。1708年6月，本特利給牛頓寄了一份樣稿，同時表示希望牛頓能儘快完成修訂工作。Bentley似乎也認識到了編輯工作對他而言過於困難，於是在徵求牛頓的意見之後，他找來時任三一學院布盧米安天文學教授的羅傑·柯特斯協助進行編輯工作。同時出版和財務諸事宜仍由本特利負責。柯特斯1709年到1713年間的信件中提到，他同時受牛頓與本特利指揮，完成了一大部分新註解的校對工作。雖然有科特斯的大力協助，但由於牛頓與萊布尼茨（就發明微積分）的優先權之爭和牛頓在造幣廠任職時面臨的諸多問題，第二版《原理》直到1713年6月30日才得以出版。本特利只給牛頓送了6本樣書，沒有給科特斯任何報酬。牛頓也沒有對科特斯表示感謝。
除科特斯之外，菲爾曼·阿鮑齊特和戴維·格里高利都參與了第二版《原理》的編寫，但由於優先權之爭，牛頓沒有提及其中一些人的貢獻。

1726年第三版

在經驗豐富的出版商亨利·彭伯頓的運作下，第三版《原理》於1726年3月25日出版。他後來說，對他而言出版《原理》所獲得的名聲遠大於牛頓付給他的200畿尼。

註解版和其他版本

1739年至1742年間，兩個法國牧師Pères Thomas LeSeur和弗朗索瓦·雅基耶在讓 - 路易·科埃略的幫助下出版了一本第三版《原理》的注釋版。這一版本也被稱為「耶穌會注釋版」（兩位牧師常被誤認為是耶穌會成員）。這一版本廣泛流傳，19世紀時在蘇格蘭多次重印。
杜夏特勒侯爵夫人Gabrielle Emilie le Tonnelier de Breteuil把《原理》翻譯成了法語。與耶穌會注釋版不同，這一版本忠實翻譯了牛頓《原理》的序言與三章內容還附上了自己寫的一篇較為淺顯易懂的總結概要。在新添的一章里，她將微積分應用於書中理論的證明。這一版本目前仍被認為是《原理》的標準法語譯本。
《原理》有三個英譯本，均譯自第三版《原理》。牛頓研究者伯納德·科恩稱1729年Andrew Motte的版本「很好的保留了牛頓詞句的原意，對研究牛頓的觀念具有重大意義。忠於原著：簡明易懂，用詞考究。」但這一版本對現代讀者而言，由於其用詞、標點規範略有不同，存在一定閱讀困難。包括1934年現代英語版《原理》在內的許多版本都以這一版本為基礎。1934版《原理》的編輯是Florian Cajori，Cohen認為這一版本存在脫離原著的問題。
另一個《原理》的英譯本由I. Bernard Cohen與Anne Whitman於1999年合作完成，這一版本帶有方便讀者閱讀的引言與簡介。1996年William H. Donahue也出版了一種譯本，用作安納波利斯聖約翰學院的教材。這一版本力求忠實於拉丁文原著。