廣義相對論入門

廣義相對論是一種關於重力的理論，它在1907年到1915年由愛因斯坦完成。根據廣義相對論，物質之間的重力來自於時空的彎曲。
在廣義相對論出現之前的200多年間，牛頓萬有引力定律被廣泛接受，它成功地解釋了物質之間的重力作用。在牛頓的定律中，重力來自大質量物質之間的相互吸引。雖然牛頓也不知道這種力的本質，但它在描述運動時卻非常成功。
但是，實驗和觀測都顯示，愛因斯坦對重力的描述能夠解釋多個由牛頓定律無法解釋的現象，比如水星和其他行星軌道的反常的進動。廣義相對論還預言了一些關於重力的顯著效應，比如重力波和重力透鏡，還有重力場引發的時間膨脹。2016年2月11日，LIGO團隊於華盛頓舉行的一場記者會上共同宣布人類對於重力波的首個直接探測結果。所探測到的重力波來源於雙黑洞融合。
廣義相對論已經成為現代天體物理學的重要工具。它提供了現在理解黑洞（一個重力強大到使光都無法逃逸的空間區域）的基礎。其強大的重力也使一些天體（比如活動星系核和X射線雙星）發射出強烈的輻射。廣義相對論也是宇宙學的標準大爆炸模型的理論框架中的一部分。
然而，到現在仍然有大量的問題沒有解決，其中最根本的是廣義相對論如何和量子力學結合而產生一個完整一致的量子重力理論。

從狹義到廣義

1905年，阿爾伯特·愛因斯坦發表了他的狹義相對論，描述了物體在慣性參考系下的行為，使得牛頓運動定律能夠和電動力學（電荷載子之間的交互作用）相結合。狹義相對論為物理學製造了一個全新的框架，它完全改變了時間和空間的概念。然而，當時被廣泛接受的一些物理學理論與那個框架不兼容，其中最重要的是描述了物體之間由於質量而相互吸引的牛頓萬有引力定律。
那時候，包括愛因斯坦在內的一些物理學家，都在尋找一個能夠將牛頓的重力理論和狹義相對論相結合的新理論。但是眾多理論中，只有愛因斯坦的理論符合實驗和觀測的結果。為了理解理論的核心概念，最好方法是沿著愛因斯坦在1907年到1915年的思路，從他的思想實驗到重力的幾何理論來思考。

失重和慣性參考系

設想一個處在自由下落的電梯中的人，在下落過程中人處於失重狀態，他周圍的物體也將漂浮在空中，或者作勻速直線運動。然而，在太空中沒有重力的地方（即一個慣性參考系，慣性參考系裡的現象能夠用狹義相對論解釋），他周圍的物體也會是同樣的現象——靜止，或者勻速直線運動。顯然，一個觀察者不能區分自己是在自由下落的電梯中，還是在太空中沒有重力的地方。
處於失重狀態的觀察者和在慣性參考系中的觀察者所觀測到的現象是相同的，愛因斯坦認為這是重力的基本原理，並稱它為等效原理。這就是廣義相對論的基礎。粗略地講，這個原理規定一個自由下落的電梯中的觀察者無法說明他們正在自由下落，因為在這裡做的任何實驗都和在遠離所有重力場的太空中做的有相同的結果。

等效原理的推論

1907年，離愛因斯坦完成廣義相對論之前尚有8年，但他已經能夠根據他的新理論的初始論述——等效原理，作出大量可以驗證的預言。 
第一種新現像是光波的重力紅移。設想在一艘呈加速運動的宇宙飛船上的兩個觀察者。在這艘飛船裏，必定有一種自然區分「上」和「下」的方法：設定飛船加速度的方向是「上」，與之相反的物體掉落的方向是「下」。假定其中一個觀察者處在另一個觀察者的上方。當下方的觀察者向上方的觀察者發送了一段光波信號，加速度會使光波紅移，上方的觀察者將收到一段頻率偏低的光波信號。相反地​​，當上方的觀察者向下方的觀察者發送了一段光信號，加速度會使光波藍移，下方的觀察者將收到一段頻率偏高的光波信號。並且在已知發出頻率和接收頻率的情況下，可以通過狹義相對論計算出加速度。 根據等效原理，愛因斯坦認為這樣的紅移現像一定也可以在重力場中觀察到。如左圖所示光波在遠離重力場時的紅移，假設重力場的方向為豎直向下，則下方的觀察者收到的來自上方的光波信號頻率偏高，上方的觀察者收到的來自下方的光波信號頻率偏低。這個現像已經被實驗驗證，稍後會詳細說明。
重力時間膨脹對應於重力紅移現象。在一個豎直向下的重力場中，上方的觀察者（處於較高的重力勢）測量到的頻率更低，時間也流易得較快。相反地​​，更靠近重力場源的觀察者處於較低的重力勢，時間流易得較慢。極為簡明地說明其原因，使用原子鐘作為計量標準，測量兩個事件的時間間隔，假設這時間間隔為光波週期的n倍，當下方的觀察者向上方的觀察者發送了n個週期的光波信號，由於上方觀察者測量到光波頻率變低，光波週期變大，所以，上方觀察者測量到這時間間隔變大，注意到兩個觀察者所使用的原子鐘完全相同，因此可推斷上方觀察者的時間流易得較快。
值得強調的一點是，對於每一個觀察者自身的參考系，都不會觀察到時間的變慢。 「五分鐘」這個數值所表示的時間對於每一個觀察者都是一樣的；當時鐘顯示一年過去時，觀察者的年齡也確實增長了一歲；如果把兩個觀察者調換位置，他們都不會覺得時間流易有什麼差別。簡而言之，每個鐘對緊挨著它發生的事情的測量都是準確的。只有當這個鐘與處於不同地方的另一個觀察者的鐘比較時，才會發現靠近重力場的觀察者的時間流易得更慢。 
愛因斯坦還預言了光在重力場中會向下偏折。要解釋這個預言需要應用更加複雜的廣義相對論方程式，而不僅僅是等效原理。

潮汐現象

重力現象和慣性現象的等價關係並沒有構成完整的重力理論。當回到以地球表面的視角來解釋重力時，注意到地球表面參照系並沒有呈自由下落，因此，或許虛擬力能夠提供一個合理的解釋，但是在地球這邊的自由下落的參照系不能解釋在地球另一邊的人們會感受到呈相反方向的重力。
更基礎地表現這效應，假設兩個物體肩並肩地朝著地球自由下落，在一個自由下落的參照系中，兩個物體應該是漂浮著處於失重狀態，但事實並非如此。這兩個物體並非精確地朝向同一個方向；它們的方向是同一個點──地球的重心。所以，兩個物體實際上在相互靠近。在一個小環境中（比如一個自由下落的電梯），兩者之間相對運動的加速度是非常小的；但是對於地球兩邊的跳傘運動員來說，這個現象非常明顯。力在方向上的差別造成了海洋中的潮汐，所以這被稱為潮汐現象。
慣性和重力等價這概念並不能用來解釋潮汐現象——它不能解釋重力場的變化。 所以，需要找到一個理論來描述物質（比如地球這樣的大質量物質）如何影響它周圍的慣性環境。

從加速度到幾何解釋

在探索等效原理和潮汐現象時，愛因斯坦發現了幾個和曲面幾何的類比。舉例來說，從慣性參考系（自由粒子在這種參照系中總是作等速直線運動）到旋轉參考系（在這種情況下必須引入虛擬力來解釋一些現象），這就類比於從直角坐標系到曲線坐標系（這種坐標系中坐標軸不需要是直線）的變化。
更深層的類比將潮汐力和曲面的曲率關聯在一起。對於重力場，潮汐力的存在與否決定了是否可以通過選擇一個自由下落的坐標系來消除重力的影響。相似地，曲率的存在與否決定了曲面是否等同於平面。1912年夏天，以這些類比為啟發點，愛因斯坦試圖尋找重力的幾何表述。
幾何的基本對象是點、線、三角形，它們通常被定義在三維空間裏或者二維曲面上。1907年，數學家赫爾曼·閔考斯基為狹義相對論創建了一種新的公式化的幾何，因為狹義相對論中的幾何不僅包括空間，還包括時間。這種新的幾何的基本實體是四維時空。移動物體的軌跡是四維時空中的曲線，物體在四維時空中的軌跡總是做勻速直線運動。
對於曲面，從平面幾何推廣到一般曲面幾何，早在19世紀前期，卡爾·高斯就已給出相關描述。波恩哈德·黎曼在1850年代提出黎曼幾何，將這描述推廣到更高維空間。擁有這數學利器，愛因斯坦表述出一種公式化幾何理論來解釋重力的物理行為，其中閔考斯基時空被彎曲時空所替代，就如同從平面到曲面的推廣。
在他意識到這個幾何類比的正確性之後，愛因斯坦又花費3年時間來尋找他的理論中仍舊缺失的角石：描述物質如何使時空彎曲的公式。在發現了愛因斯坦場方程式後，他於1915年下半年在普魯士科學院發表了關於重力的新理論。

重力和幾何

美國相對論研究的首席專家，約翰·惠勒解釋，愛因斯坦的重力的幾何理論可以這樣概述：時空告訴物質如何運動，物質告訴時空如何彎曲。這句話的意思將在接下來的章節解釋。下面我們將要研究測試粒子的運動，以調查物質的什麼屬性導致了重力，最後，介紹愛因斯坦的方程式——它將物質的屬性和時空的彎曲聯繫到一起。

探索重力場

為了理解一個物體的重力，我們需要先理解物理學家所說的探測器或者測試粒子：一個粒子被重力影響，但卻足夠小、足夠輕，因而我們可以忽視它自己的重力現象。在沒有其他作用力的情況下，一個測試粒子做勻速直線運動。在時空中，這意味著這個測試粒子正沿著時空中筆直的世界線移動。但是考慮了重力之後，時空就不再是歐幾里得幾何了，或者說是彎曲了。在這樣的時空中，筆直的世界線可能並不存在。相反，測試粒子沿著測地線運動。
在大地測量學（測量地球的尺寸和形狀的科學）中，測地線是連接地球表面兩點的最短距離。近似地，這條線是一個大圓上的弧，比如經線和赤道。這些路徑顯然不是直的，因為它們沿著地球的彎曲的表面延伸。
測地線的性質和直線是不一樣的。例如，在平面中，平行線沒有交點，但是地球表面的測地線卻有交點——在赤道處平行的經線在極點處相交。類似地，自由下落的測試粒子的世界線是時空中的測地線。它們和狹義相對論的沒有重力的時空中真正的直線之間有著決定性的區別。在狹義相對論中，平行線永遠保持平行，但在有潮汐現象的重力場中，通常是不正確的。例如，如果兩個物體剛開始是相對靜止的，然後墜落向地球的重力場，它們會一邊落向地球中心，一邊相互靠近。
與行星和其他天體相比，我們日常生活中見到的物體（人、汽車、房子，甚至山）的質量都非常小。所以我們完全可以用描述測試粒子的定律來描述關於這些物體在地球重力場中的現象。注意，為了將一個測試粒子從測地線上移開，必須施加一個額外的力。一個坐在椅子上的人正嘗試著沿著測地線運動，就是朝地球中心自由下落。但是椅子給他施加了一個額外的向上的力阻止他落下。這樣，廣義相對論解釋了我們日常生活中在地球表面感受到的重力並非由於地球給我們的向下的力，而是由於一個額外的支持力，這些力使地球上的物體沒有沿著它們的測地線運動，而是在地面保持靜止。對於那些質量很大而不能忽視它們的重力的物體，雖然它們的運動定律要比測試粒子複雜些，但是時空告訴物質如何運動這個定律仍然是正確的。

重力的來源

在牛頓萬有引力定律中，重力來自於物質。更精確地說，重力來自於物質的特定屬性：質量。在愛因斯坦的理論以及基於相對論的其他重力理論中，物質的存在導致了時空的彎曲。這裡，質量也是一個決定重力的重要屬性，但是在相對論中，質量不是重力的唯一來源。相對論將質量和能量聯繫起來，而能量和動量又聯繫在一起。
質量和能量的等價已經通過E=mc²表示出來，這也許是狹義相對論中最著名的公式。在相對論中，質量和能量是描述同一個物理量的兩種不同方法。如果一個物理系統有能量，那麼它也有與之等價的質量，反之亦然。一個物體的所有屬性都能聯繫到它的能量，比如溫度或者原子、分子等系統中的結合能。所以這些屬性又通過能量同質量聯繫在一起，綜合起來形成重力。
在狹義相對論中，能量和動量緊密聯繫在一起。就像時間和空間通過相對論聯繫在一起形成一個統一的整體，叫做時空；能量和動量聯繫在一起形成一個統一的四維的物理量，物理學家稱它為四維動量。於是，如果能量是重力的來源，那麼動量也是。對於那些直接聯繫到能量和動量的物理量，比如壓力和張力，也影響到重力。綜上所述，在廣義相對論中，質量、能量、動量、壓力、張力都是重力的來源。它們解釋了物質如何讓時空彎曲。在理論的數學方程式中，這些量都是但又只是一個範圍更廣的物理量的一部分，它叫做應力-能量張量。

愛因斯坦場方程式

愛因斯坦場方程式是廣義相對論的核心，它使用數學語言精確地描述了物質的性質和時空之間的聯繫。更具體地，它使用了黎曼幾何中的概念和方法。在黎曼幾何中，空間（或者時空）的幾何性質被一個叫做度量張量的量描述。度量張量將需要的資訊組織起來，並計算出彎曲的空間（或者時空）中角和距離的基本的幾何概念。
一個簡單的例子是像地球表面這樣的球面，球面上的任何一點可以表示成兩個坐標：地理學的經度和緯度。不像平面直角坐標系，球面上兩點之間的距離不僅和它們坐標的差有關，還和它們的位置有關，就像右圖：在赤道處（品紅色線段）的人向西移動30經度經過的路程大約是3300千米，但是在緯度是55度的地方（藍色線段）的人向西移動30經度經過的距離大約是1900千米。坐標不能提供足夠的資訊來描述球面上，或者說是任何更加複雜的空間（或者時空）的幾何。這些資訊正是度量張量所提供的。度量張量是定義在曲面（或者空間、時空）中的所有點的函數，並將坐標的差別與距離的差別聯繫起來。所有其他的和幾何相關的量，比如曲線的長度，或者兩條曲線相交的角度都能夠通過度量張量計算出來。
度量張量函數和它的變化率可以用來定義另一個幾何量：黎曼曲率張量，它描述了空間（或者時空）在每一點處如何彎曲。在廣義相對論中，度量張量和黎曼曲率張量是定義在時空中的每一點的量。就像我們已經提到的，時空中的物質定義了另一個量：能量-動量張量T，「時空告訴物質如何運動，物質告訴時空如何彎曲」的原理意味著這些量必須互相聯繫。愛因斯坦通過用黎曼曲率張量和度量張量來定義另一個量G來表示這種聯繫，這個量G現在被叫做愛因斯坦張量，它描述了時空彎曲的方式。於是，愛因斯坦場方程式可以表示成：
通過幾個常量，G（描述曲率）可以換算成T（描述物質的含量）。在這個方程式中的常數反映了不同的理論的結合：G是在牛頓的重力理論中就已經出現的重力常數；c是光速，狹義相對論的關鍵；π是圓周率，最基本的幾何常數之一。
方程式中的G和T 又各自被幾個關於時空中的坐標的函數決定，而這個方程式與這些函數是等同的。這些方程式的一個解描述了一個特定的時空，例如，史瓦西解描述了像恆星和黑洞等球形的不旋轉的大質量物體附近的時空，克爾解描述了旋轉的黑洞。還有其他的解能夠描述重力波，弗里德曼-勒梅特-羅伯遜-沃爾克解描述了膨脹的宇宙。最簡單的解是狹義相對論中平直的閔考斯基時空。

在天體物理學中的應用

基於廣義相對論的模型在天體物理學中扮演著重要的角色，這些模型的成功也更加證明了廣義相對論的正確性。

重力透鏡

因為光在重力場中向下偏轉，一個遙遠物體的光線可能會有兩條甚至更多路線到達地球。比如，類星體的光線可以從重力透鏡星系的不同方向經偏轉後同時到達地球上的觀察者，此時觀察者將在天空中的不同位置看到同一個天體。這種聚焦現象在透鏡中很常見，因此由重力引起的類似現象就叫做重力透鏡。
觀測天文學使用重力透鏡現象來研究使重力透鏡現象發生的天體的性質，甚至當那個物體不能被直接觀察到時，重力透鏡現象導致的光線彎曲程度能夠幫助我們推斷那個天體的質量。重力透鏡現象還提供了一個尋找暗物質的方法：暗物質無法被觀測到，我們只能通過它造成的重力現象推斷它的存在。當產生透鏡作用的物質集中在可觀測宇宙的重要部分時，我們可以由此獲得關於宇宙的大量資訊及其演化過程。

重力波

重力波（不要與流體動力學中的重力波混淆）是廣義相對論的直接推論，它們在時空中以光速傳播，可被視為時空的漣漪。
重力波現象在對一些雙星的觀測中被間接地探測到。在雙星中，兩個恆星互相繞著旋轉，但它們旋轉時，會因為重力波而損失能量。對於像太陽這樣的單星來說，這種能量損失太小，不足以探測。1974年，重力波現象在對PSR B1913+16脈衝雙星的觀測中被首次探測。這個雙星系統由兩顆中子星組成，對它們而言重力波產生的現象要比單星大得多。同時，其中一顆中子星的電磁輻射掃過地球，因此又被稱為脈衝星。當脈衝星旋轉時，它們輻射出的電磁波會以有規則的脈衝的形式被觀測到，如同在航海中的船上觀測遠方燈塔上旋轉著的燈，燈光看上去仿佛在閃爍。這種脈衝就像是高度準確的時鐘，它可以用來衡量雙星的旋轉週期，並十分靈敏地反應鄰近天體造成的時空扭曲。
PSR B1913+16的發現者，拉塞爾·赫爾斯和約瑟夫·泰勒，獲得了1993年的諾貝爾物理學獎。從那以後，又有幾個其他的雙星被發現。其中最有價值的是那些兩顆恆星都是脈衝星的雙星，因為它們提供了對廣義相對論的最精確的測試。
對廣義相對論的主要研究目標就是找到重力波的直接證據。為此，大量地面的重力波探測器正在工作。而空間重力波探測器LISA也正在建造中，首先要完成的任務——LISA航向指示器在2015年升空。如果重力波被直接探測到了，通過分析數據可以獲取一些高密度天體的資訊，比如中子星和黑洞，也可以研究大爆炸後1秒以內的早期宇宙的狀態。
2016年2月11日，LIGO團隊於華盛頓舉行的一場記者會上共同宣布人類對於重力波的首個直接探測結果。所探測到的重力波來源於雙黑洞融合 , 自此之後 , 廣義相對論的正確性已被完整驗證。

黑洞

廣義相對論預言：當物質的質量集中在一個足夠小的空間裡，將會產生一個重力太過於強大以至於連光都無法逃逸的天體，叫做黑洞。一些類型的黑洞是大質量恆星演化的最終狀態。另外，質量達到上千萬或者幾十億倍太陽質量的超大質量黑洞則被認為是大多數星系的核心，如今它們在關於過去幾十億年間星系的形成過程的理論模型中扮演了重要的角色。
物質掉落向高密度的物體時會以輻射的形式釋放出大量能量，特別是當物質落入黑洞時，我們可能將會看到宇宙中所能夠想像到的最耀眼的現象。天文學家非常感興趣的例子是類星體和其他形式的活動星系核。掉落向黑洞的物體在黑洞周圍吸積可以形成噴流，噴流中的物質以接近光速的速度噴射出來。
黑洞的一些性質使得它最有希望幫助科學家找到重力波。其中一個原因是黑洞是雙星系統中可能存在的最緻密的天體，由這樣的系統造成的重力波特別強烈。另一個原因來自黑洞的無毛定理：隨著時間的流易，黑洞的性質始終只由最少的物理量決定。比如，一個假想的立方體形狀的物質的塌縮不會形成一個立方體的黑洞，事實上，它所形成的黑洞和球形物體形成的黑洞沒有明顯差別，但是仍然有一個很重要的區別：在立方體形狀的物質變成球形時將釋放出重力波。

宇宙學

廣義相對論的一個重要的觀點是：它對於整個宇宙都有效。關鍵在於，在大尺度下，我們的宇宙構造似乎非常簡單：目前所有的觀測均表明，平均而言，宇宙的每一個部分都幾乎是一樣的，無論觀察者的位置和觀測方向如何，宇宙都近似均勻性和各向同性。像這樣比較簡單的宇宙可以被愛因斯坦場方程式的非常簡單的解來解釋。現在的宇宙模型是通過結合廣義相對論和描述宇宙物質的總體屬性的熱力學、原子核物理學以及粒子物理學建立的。根據這些模型，我們現在的宇宙產生於大約140億年前的一種非常緻密、溫度極高的狀態（參見大爆炸），並且從那以後開始了膨脹。
愛因斯坦的場方程式可以通過增加一個宇宙常數來一般化。當宇宙常數存在時，真空本身具有相互吸引或者更不尋常的相互排斥的重力。愛因斯坦最初在他1917年關於宇宙學的論文中因為一個特定的目的提到這個方法：當時的宇宙學觀點認為宇宙是靜態的，在廣義相對論的框架內，必須增加一個宇宙常數才能構建一個靜態的宇宙。當他知道宇宙不是靜態的而是正在膨脹時，愛因斯坦馬上在相對論中去掉了宇宙常數。但是，從1998年到現在，越來越多的天文觀測證據表明，宇宙正在加速膨脹，這就意味著宇宙常數可能確實存在，或者，與之等價地，有著特定屬性的暗能量充滿了整個空間。

現代的研究

廣義相對論成功地為一些物理學模型提供了框架，這些模型解釋了很多令人印象深刻的現象。不過，現在仍然有很多懸而未決的有趣問題，在一些情況下，幾乎可以肯定廣義相對論是不完整的。
與其它描述基本交互作用的現代理論相比，廣義相對論是一個古典理論：它沒有包括量子物理的現象。對於量子化的廣義相對論的研究是現代物理學最基本的未解決的問題。現在雖然有一些量子重力理論的候選者，比如弦理論和圈量子重力論，但到目前還沒有一個完整的理論出現。人們一直希望量子重力理論能夠解決廣義相對論的另一個問題：時空中存在重力奇異點。這些奇異點是時空的邊界，在奇異點處的幾何是定義不明確的，使得廣義相對論在這裡失效。另外，現在有一個潘洛斯-霍金奇異點理論的理論預言如果廣義相對論不進行任何量子化，那麼這樣的奇異點一定存在。最有名的例子是宇宙模型中黑洞和宇宙開端的奇異點。
宇宙學也曾嘗試以其他的方式修改廣義相對論。在現代的宇宙模型中，宇宙中大部分的能量以一種還沒有被發現的形式存在，叫做暗能量和暗物質。有一些有爭議的觀點認為應該通過修改描述宇宙膨脹重力和動力學定律來除去這些神秘的暗物質和暗能量，比如改良牛頓力學。
越過了量子現象和宇宙學的挑戰之後，對廣義相對論的研究就又有可能取得進一步的成果：科學家將探索奇異點的本質和愛因斯坦場方程式的基本性質，甚至對於特定時空的計算機模擬也將誕生，比如正在合併的黑洞，而有關直接探測到重力波的研究和應用也在持續進行著。
在廣義相對論誕生突破一百年後，相關的研究比以往更活躍了。