控制理论

控制理论是工程学与数学的跨领域分支，主要处理在有输入信号的动力系统的行为。系统的外部输入称为“参考值”，系统中的一个或多个变量需随着参考值变化，控制器处理系统的输入，使系统输出得到预期的效果。
控制理论一般的目的是借由控制器的动作让系统稳定，也就是系统维持在设定值，而且不会在设定值附近晃动。
连续系统一般会用微分方程来表示。若微分方程是线性常系数，可以将微分方程取拉普拉斯转换，将其输入和输出之间的关系用传递函数表示。若微分方程为非线性，已找到其解，可以将非线性方程在此解附近进行线性化。若所得的线性化微分方程是常系数的，也可以用拉普拉斯转换得到传递函数。
传递函数也称为系统函数或网络函数，是一个数学表示法，用时间或是空间的频率来表示一个线性常系数系统中，输入和输出之间的关系。
控制理论中常用方块图来说明控制理论的内容。

范例

车辆的巡航定速系统是让车辆维持在由驾驶者设定的固定参考速度。此时控制器为巡航定速系统，车辆为受控体（plant），而系统是由控制器和车辆所组成，而控制变量是引擎节流阀的位置．会决定引擎可以产生的功率。
一种最单纯的作法是当驾驶者启动巡航定速系统时，固定引擎节流阀的位置。但是若驾驶者在平坦的路面启动巡航定速系统，车辆在上坡时速度会较慢，车辆在下坡时速度又会较快。这种的控制器称为开环控制器，因为没有去量测系统输出（车辆速度）并且影响控制变量（节流阀位置），因此此系统无法去针对车辆遇到的变化（像路面坡度的变动）去进行调整。
在闭环控制系统中，利用感测器量测系统输出（车辆速度），并将资料送入控制器中，控制器依资料调整控制变量（节流阀位置），来达到维持理想系统输出（使车辆速度和驾驶者设定的参考速度一致）。此时若车辆在上坡时，感测器会量到车辆的速度变慢，因此会调整节流阀位置，加大引擎输出功率，使马达加速。因为有量测车辆速度的回授，因此控制器可以配合车辆速度的变化进行动态调整。因此产生了控制系统中的“环”范式：控制变量影响系统输出，而再根据量测到的系统输出去调整控制变量。

历史

虽然许多控制系统在古代时就有了，但此领域较正式的分析是从离心式调速器的动态分析开始的，物理学家詹姆斯·马克士威在1868年为此撰写了论文《论调速器》（On Governors） ，其中描述了自激振荡的现象－由于系统时间延迟，使得系统过度补偿及不稳定的情形。因此也使得得许多科学家对此议题产生兴趣，其中马克士威的同学爱德华·约翰·罗斯将马克士威的研究结果抽象化，应用在一般的线性系统中，阿道夫·霍维茨在1877年也独立均分析微分方程的稳定性，其结果即为今日的罗斯-霍维茨定理。
动态系统控制的显著成就是载人的飞行，人类首次成功的载人飞行是由莱特兄弟在1903年12月17日达成的，其卓越之处不只是可以使机翼产生升力（这对当时的研究者是已知的），而是在于可以长时间控制其飞行。若要使飞行时间超过几秒钟，对飞机连续、可靠的控制是重要条件之一。
在二次大战时，控制系统是火控系统、导引系统及相关电子设备的重要组成之一。
有时会用机械的方式来增加系统的稳定性．例如船舶稳定器就是安装在船舶吃水线以下．横向张开的鳍片。现在的船舶有用陀螺仪控制的活动鳍片，可以调整攻角，抵抗风或浪作用在船上产生的横摇。
AIM-9响尾蛇导弹在导弹后方有一个小的控制表面，其外面是一个旋转的圆盘，称为陀螺舵或滚转安定翼。圆盘后的气流会以高速旋转，若导弹开始横摇，圆盘的陀螺力会使控制表面对正气流，减少横摇的影响。因此响尾蛇导弹用一个简单的机械组件代替一个可能非常复杂的控制系统。
太空竞赛也和精准的航天控制有关，而许多领域也越来越常用到控制理论，例如经济学。

现代控制理论

经典控制理论以频域分析为主，而现代控制理论利用时域的状态空间表示法，将系统中的输入、输出及状态变量之间的关系用一阶的微分方程表示。为了抽象化输入、输出及状态变量的数量，这些变量一般会用向量来表示，而微分方程或代数方程（当系统是线性时）则会以矩阵形式表示。状态空间表示法也称为时域分析，提供一个方便且简洁的方式针对多重输入及输出的系统建模及分析，在有输入和输出时，也可以利用拉氏转换，将系统所有的资料包括在其中。现代控制理论不同于频域分析，可以分析非线性或不是零初始条件的系统。状态空间就是指座标轴为状态变量的空间，系统的状态可以表示为状态空间中的一个向量。

可控制性及可观测性

可控制性和可观测性分别是输入和状态，输出和状态之间的性质。是在分析控制系统，决定控制策略或判断是否可以使系统稳定时所需要的重要性质。
可控制性是指是可以用适当的控制信号作为输入，使特定状态变量的数值变成０，和利用输入调整状态变量的能力有关，若一个状态变量是不可控制的，表示没有输入可以调整这一个状态，若一系统中所有不可控制的状态变量，其动态特性都是稳定的，则此系统称为可稳定的（stabilizable）。可观测性是指可以用输出的量测及计算得到状态变量的值，若一个状态变量是不可观测的，表示无法确认此一状态是否稳定，也就无法用此状态来稳定整个系统。若一系统中所有不可控制的观测变量都是稳定的，则此系统称为可检测的（detectable）。
若以几何观点来看，若要控制系统中所有的状态，那些“不好”的状态都需是可控制且可观测的，才能确保闭环系统的良好特性。若系统中有一个状态不是可控制且可观测的，无法在闭环系统中调整其动态特性。若此状态的动态特性是不稳定的，此特性也会出现在闭环系统中，因此整个系统也是不稳定的。在状态空间转换到传递函数时，不可观测的的极点不会出现在传递函数中，因此在一些动力系统分析时，会选择使用状态空间表示法。
不可控制或不可观察的系统，可以用加入致动器或感测器的方式改善。

控制规格

在控制原理的基础下，已发展出许多不同的控制策略，从非常通用的（PID控制器），到针对特殊系统的控制，尤其是机器人或是航空器的巡航定速控制。
一个控制问题会有许多的规格，其中稳定性是必要条件的，不论系统开环稳定性如何，控制器需确保在闭环下是稳定的。性能不佳或是调整不当的控制器可能使系统变的不稳定，甚至可能比开环还要不稳定，这是应尽量要避免的。
有时会希望在闭环下有较快的动态特性，若是线性时不变系统，其稳定性及动态特性可以用传递函数极点的位置来表示，极点的实部越小，表示有更快的动态特性，一个稳定系统，其极点会符合的条件，但再加上动态特性的需求时，系统极点会符合的条件，其中为一个大于零的定值。
另一个常见的规格是对步阶扰动的抑制能力，在受控系统前加入积分器即可达到此一需求，其他种类扰动的抑制能力也可以透过其他的子系统才能达成。
其他“经典”的控制系统规格有些和闭环系统的时域响应有关：包括上升时间（控制系统在扰动后，输出第一次到达理想数值的时间）、峰值过冲（控制系统在扰动后，稳定之前，输出的最大值）、安定时间（控制系统输出维持在理想数值范围的时间）在扰动后，稳定之前，输出的最大值）、四分之一衰减响应（quarter-decay）或其他规格。频域规格一般会和系统的鲁棒性（鲁棒性）有关。
现在的性能指标也包括一些用积分量或其变体表示的追随误差，像绝对误差积分（IAE）、绝对时间误差积分（ITAE）、平方误差积分（IAE）、惯量中心（COI）等。

线性系统控制

针对MIMO的系统，极点的指定可以用开环系统的状态空间，再将极点放在指定位置，计算对应的回授矩阵。若在复杂的系统中，上述的程序需要用电脑辅助计算才能达到，而且不保证其鲁棒性。而且一般而言无法量到所有的系统状态，在极点指定的设计时需加入观测器（observer）的设计。

非线性系统控制

像机器人学及航天产业中的程序一般都有高度非线性的动态，在控制理论中有时可以用线性化的方式转换为线性系统，再依线性系统的方式控制。但有时需要用一些可以配合非线性系统使用的非线性控制理论，例如回授线性化、反推控制、滑动模式控制等。轨迹线性化控制一般利用李亚普诺夫稳定性的基础。微分几何用做为一数学工具，将许多广为人知的线性控制概念扩展到非线性控制中，但其中又有其微妙之处，因此变成一个更有挑战性的问题。

分散式系统

分散控制系统是指一个系统由多个控制器来控制。分散控制有几个好处，例如可以控制一个位在广大地理区域的系统，各控制器之间可以用通讯网络彼此交换资料，并协调彼此的行动。

主要控制策略

每一个控制系统首先都要保证其闭环特性的稳定性。线性系统可以用极点指定的方式达到。非线性系统一般会根据亚历山大·李亚普诺夫的理论，来确保系统的稳定性和内部动态无关。控制系统有许多不同的控制规格，是否可以符合所有控制规格则和考虑的系统模型及选择的控制策略有关。以下是一些主要控制策略的列表：
适应控制会在线识别程序中的参数，或修改控制器的增益，使系统有较佳的强性。适应控制最早在1950年代用在航天产业中，而且应用的非常成功。
分层控制系统是一种设备及控制软件皆依分层树方式规划的控制系统。当树中的连结用电脑网络来实现时，分层控制系统也可以视为是一种网络控制系统。
智能控制会使用许多人工智能的方法来控制动态系统，会用到的方式包括人工神经网络、贝叶斯概率、模糊逻辑、机器学习、进化计算及遗传算法等。
最优控制是一种特别的控制技术，控制器产生的控制信号需使某特定“成本指数”最佳化。以太空船为例，喷射引擎需在消耗油量最小的情形下将太空船带到期望的轨道。有二种最优控制的设计方式广泛的用在工业应用中，而且已证明这二个方式可以确闭环的稳定性。这二种方式分别是模式预测控制（MPC）及线性二次高斯控制（LQG）。第一个方式很明确的考虑系统中信号的限制条件，这是很多工业系统都有的重要特征，但其中的最佳控制只是作为满足所有限制的一个方式，不是最优化闭环系统中的实际性能指标。配合PID控制器的模式预测控制系统常用在程序控制中。
鲁棒控制明确的在控制器设计时考虑其不确定性。鲁棒控制的控制器可以克服分析用理想系统和实际系统之间的小误差。亨德里克·韦德·波德和其他早期提出的控制方式有一些鲁棒性。而1960到1970年代提出的状态空间法则较没有鲁棒性。现代控制中，由英国剑桥大学的 Duncan McFarlane 和Keith Glover提出的H∞环函数整形是一种鲁棒控制。鲁棒控制的目的是要在存在小的模型误差的情形下达到鲁棒性的性能以及稳定性。
随机控制是在模型有不确定性的情形下进行控制。在典型的统计控制问题中，会假设在模型及控制器中存在随机的噪声及扰动，控制器设计时需考虑这些随机的变异。
能量整型控制将控制器及受控系统视为是能量转换的元件，其控制策略是以能量保持的方式互连，以达到所需的特性。
自组织临界控制可定义为试图用自组织系统耗散能量的方式来影响流程。