微积分学

历史

现代微积分是在17世纪的欧洲由艾萨克·牛顿和戈特弗里德·莱布尼茨（相互独立，在同一时间首次出版）发展起来的，但其中的元素出现在古希腊，然后在中国和中东，再次在中世纪的欧洲和印度。

古代

在古代数学中，产生了一些引申出后来积分学的思想，但当时对该些思想的探讨方式并不严格、系统。埃及的莫斯克纸莎草手卷（c. 1820 BC）记载了对不同种类的体积和面积的计算，而这即是积分学的目标之一。不过它的公式只属简单指示，没有提及推导方法，有的公式也只是粗疏的估算。
积分的起源很早，古希腊时期欧多克索斯 （c. 408-355 BC）就曾用穷竭法来求面积与体积。阿基米德（c. 287-212 BC） 用内接正多边形的周长来穷尽圆周长，而求得圆周率的近似值；也用一连串的三角形来填充抛物线的图形，以求得其面积。这些都是穷尽法的古典例子。
中国的刘徽在公元三世纪也应用穷竭法求圆的面积。在公元五世纪，祖冲之采用祖暅原理计算出球体积，该原理后来也被称之为卡瓦列里原理。

基础

在微积分中，“基础”意味将一个概念从明确的公理和定义中严格地建构出来。早期微积分所使用的无穷小被认为是不严谨的，遭到了一些作者的严厉批评，特别是米歇尔·罗尔和乔治·贝克莱主教。贝克莱因在他1734年出版的《分析学家》（The Analyst）中将无穷小描述为“消失量之鬼”而著名。近代的一篇分析认为莱布尼茨版微积分比起贝克莱的经验主义批评还更严密。为微积分予以严谨基础，成为数学家们在牛顿、莱布尼茨之后几世纪的重要工作，直至今日仍在某程度上是研究的活跃领域。
一些数学家，包括科林·麦克劳林，试图证明使用无穷小是可靠的做法，但直到150多年之后才得以成功。奥古斯丁·路易·柯西和卡尔·魏尔斯特拉斯的工作，实现了对无穷小的记号的回避。微分和积分的基础终于被打下了。在柯西的著作中，可以看到一系列的基础进路尝试，包括通过无穷小来对连续进行定义，和在微分定义中一个不太精确的(ε, δ)-极限定义原型。而在魏尔斯特拉斯的著述中，对极限概念作了形式化，回避了无穷小的使用。继魏尔斯特拉斯之后，微积分就常以极限作为基础，而非无穷小了。波恩哈德·黎曼使用这些概念来对积分进行严格定义。在这一时期，微积分的概念也被推广到欧几里得空间和复平面。
在现代数学里，微积分基础被包含在实变函数论中，后者包括了对微积分理论的完全数学证明。微积分的范围也被大大拓宽了。昂利·勒贝格建立了测度论，以测度概念来定义绝大多数函数（除却特别病态的函数）上的积分。洛朗·施瓦茨引入了分布概念，可以用其取任意函数的导数。
极限不是对微积分基础唯一的严格进路。另一种方法是采用亚伯拉罕·鲁滨逊的非标准分析。罗宾逊在1960年左右所采取的进路袭承了牛顿——莱布尼茨的最初概念，借用数理逻辑的技术将实数系统扩大，得以将无穷小和无穷大数包含在内。所得出的数为超实数，可以用它们来对微积分法则作莱布尼茨式的推导。

重要性

早期的微积分概念来自于埃及、希腊、中国、印度、伊拉克、波斯、日本，但现代微积分来自于欧洲。17世纪时，艾萨克·牛顿与戈特弗里德·莱布尼茨在前人的基础上提出微积分的基本理论。微积分基本概念的产生是建立在求瞬间运动和曲线下面积这两个问题之上的。
微分应用包括对速度、加速度、曲线斜率、最优化等的计算。积分应用包括对面积、体积、弧长、质心、做功、压力的计算。更高级的应用包括幂级数和傅里叶级数等。
微积分也使人们更加精确地理解到空间、时间和运动的本质。多个世纪以来，数学家和哲学家都在争论除以零或无限多个数之和的相关悖论。这些问题在研究运动和面积时常常出现。古希腊哲学家埃利亚的芝诺便给出了好几个著名的悖论例子。微积分提供了工具，特别是极限和无穷级数，以解决该些悖论。

主要概念

微积分主要有三大类分支：极限、微分学、积分学。微积分的基本理论表明了微分和积分是互逆运算，牛顿和莱布尼茨发现了这个定理以后才引起了其他学者对于微积分学的狂热的研究，而这个发现也使得我们在微分和积分之间可以互相转换。这个基本理论也提供了一个用代数计算许多积分问题的方法，也就是用不定积分法取代极限运算法。该理论也可以解决一些微分方程的问题，解决未知数的积分。微分问题在科学领域无处不在。
微积分的基本概念还包括函数、无穷序列、无穷级数和连续等，运算方法主要有符号运算技巧，该技巧与初等代数和数学归纳法紧密相连。
微积分被延伸到微分方程、向量分析、变分法、复分析、时域微分和微分拓扑等领域。微积分的现代版本是实分析。

导数

在运动学中，平均速度等于位移除以所花费的时间——在一小段间隔的时间内，除上其位移，等于这一小段时间内的速度，但是当这一小段间隔的时间趋于零，也就是瞬时速度时，则无法按照通常的除法计算，这时的速度为时间的导数，得用求导的方法计算。而引入导数概念前，一般会先引入函数的平均变化率的概念。函数在某点处的平均变化率是指函数在该点处的因变量的增量和自变量的增量的比值。一个函数的自变量趋近某一极限时，其平均变化率的极限即为导数。在速度问题上，距离是时间的因变量，随时间变化而变化；当时间趋于某一极限时，距离增量除以时间增量的极限即为距离对时间的导数。
导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率。

微积分基本定理

微积分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus）又称微积分基本公式，证实微分和积分互为逆运算。更精确地说，它将一个反导数的具体值与定积分联系起来。因为计算反导数通常比应用定积分定义更加简单，微积分基本公式为计算定积分提供了一个行之有效的方式。它也可以被理解为微分是积分逆运算的精确解释。
微积分基本公式：如果函数f在区间是连续的，函数F在区间(a, b)的导数是f，那么，
设 
                           
这成为日后数学分析硕果的重要基石。基本公式为计算定积分提供了简单的计算反导数的代数方法，而无须使用其极限定义来计算。它也是解微分方程的雏形。微分方程把一个未知函数与其导数相关连，而在科学的不同领域中，微分方程都很常见。

微积分的符号

微分学中的符号“”、“”等，是由莱布尼茨首先使用。其中的源自拉丁语中“差”（Differentia）的第一个字母。积分符号“”亦由莱布尼茨所创，它是拉丁语“总和”（Summa）的第一个字母s的伸长（和Σ有相同的意义）。

微积分学的应用

微积分学的发展与应用几乎影响了现代生活的所有领域。它与大部分科学分支关系密切，包括精算、计算机、统计、工业工程、商业管理、医药、护理、人口统计，特别是物理学；经济学亦经常会用到微积分学。几乎所有现代科学技术，如：机械、水利、土木、建筑、航空及航海等工业工程都以微积分学作为基本数学工具。微积分使得数学可以在（非常数）变化率和总改变之间互相转化，让我们可以在已知其中一者时求出另一者。
物理学大量应用微积分；古典力学、热传和电磁学都与微积分有密切联系。已知密度的物体质量、物体的转动惯量、物体在保守力场的总能量都可用微积分来计算。牛顿第二定律便是微积分在力学中的一个应用例子：它的最初陈述使用了“变化率”一词，而“变化率”即是指导数。陈述大意为：物体动量的变化率等于作用在物体上的力，而且朝同一方向。今天常用的表达方式是 ，它包括了微分，因为加速度是速度的导数，或是位置矢量的二阶导数。已知物体的加速度，我们就可以得出它的路径。
麦克斯韦尔的电磁学理论和爱因斯坦的广义相对论都应用了微分。化学使用微积分来计算反应速率，放射性衰退。生物学用微积分来计算种群动态，输入繁殖率和死亡率来模拟种群改变。
微积分可以与其他数学分支并用。例如，可与线性代数并用，来求得某区域中一组点的“最佳”线性近似。它也可以用在概率论中，来确定由给定密度函数所给出的连续随机变量之概率。在解析几何对函数图像的研究中，微积分可以用来求得最大值、最小值、斜率、凹度、拐点等。
格林公式将一个封闭曲线上的线积分，与一个边界为且平面区域为的双重积分联系起来。这一点被应用于求积仪这个工具，它用于量度在平面上的不规则图形面积。例如，它可以在设计住宅摆设时，计算不规则的花瓣床、游泳池所占的面积。
在医疗领域，微积分可以计算血管最优支角，将血流最大化。通过药物在体内的衰退规律，微积分可以推导出服药规律。
在经济学中，微积分可以通过计算边际成本和边际收益来确定最大利润。
微积分也被用于寻找方程的近似值；实践中，它是在各种应用里解微分方程、求根的标准做法。典型的方法有牛顿法、定点迭代法、线性近似等。比如：宇宙飞船利用一种欧拉方法的变体来求得零重力环境下的近似航线。

微积分学课程

在大学的理工科教学中，微积分是“高等数学”的主要内容之一。其教学法由学科创立一开始就受到人们重视。
在美国大学先修课程中，AP微积分AB、BC分别为对应大学一元微积分半年、全年课程。
在香港，微积分是新高中课程数学（延展部分）的一部分，这部分是选修的。
在台湾，高中数学分成“数学甲”与“数学乙”两种。数学甲是自然组数学，三年级下学期才有基础微积分课程；数学乙是社会组数学，仅有提到极限的概念而已。高职数学分成“数学A”、“数学B”、“数学C”与“数学S”四种，各四册。数学A是家政数学，并未列入；数学B商业数学，于第四册才有；数学C是工业工程数学，于第四册才有；数学S是影视数学，并未列入。