群

历史

抽象群的现代概念是从多个数学领域发展出来的。群论的最初动机是为了求解高于4次的多项式方程。十九世纪法国数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦，扩展了保罗·鲁菲尼和约瑟夫·拉格朗日先前的工作，依据特定多项式方程的根（解）的对称群给出了对它的可解性的判别准则。这个伽罗瓦群的元素对应于根的特定排列。伽罗瓦的想法最初被同代人所拒绝，只在死后才出版。更一般的置换群由奥古斯丁·路易·柯西专门研究。阿瑟·凯莱的《On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θⁿ = 1》（1854年）给出有限群的第一个抽象定义。
几何是第二个系统性的使用群，特别是对称群的领域。这类群是菲利克斯·克莱因1872年的爱尔兰根纲领的一部分。在新型的几何如双曲几何和射影几何形成之后，克莱因利用群论以更连贯的方式来组织它们。索菲斯·李进一步发展了这些想法，在1884年创立了李群的研究。
对群论有贡献的第三个领域是数论。一些阿贝尔群结构在卡尔·弗里德里希·高斯的数论著作《算术研究》（1798年）中被隐含地用到，并被利奥波德·克罗内克更明显地用到。1847年，恩斯特·库默尔发展了描述用素数做约数分解的理想类群，使证明费马大定理的早期尝试达到了高潮。
把上述各种来源融合成一个群的统一理论是从卡米尔·若尔当的《Traité des substitutions et des équations algébriques》（1870年）开始的。瓦尔特·冯·迪克（1882年）给出了第一个抽象群的现代定义的陈述。在二十世纪，群在费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯和威廉·伯恩赛德的开拓性著作中获得了广泛的认识，他们研究有限群的表示理论，还有理查德·布劳尔的模表示论和Issai Schur的论文。赫尔曼·韦伊、埃利·嘉当和很多其他人推进了李群和更一般的局部紧群的理论。它的代数对应者——代数群的理论，由克劳德·舍瓦莱（从1930年代晚期开始）和后来阿尔曼德·波莱尔和雅克·蒂茨的重要著作奠基。
芝加哥大学于1960-61年举办的“群论年”活动促使群论家们以丹尼尔·格伦斯坦，约翰·格里格斯·汤普森和瓦尔特·法伊特为基础展开合作。在大量其他数学家的帮助下，他们完成了有限单群的分类。这项工程，不论是从证明长度来说还是从参与人数来说，其浩大程度超越了之前一切的数学成果。简化此证明的研究还在进行中。群论在当下仍是一个活跃的数学分支，并仍在对其他分支产生重大影响。

除法

在群中，可以进行除法：给定群G的元素a和b，G中存在方程x·a = b的唯一解x。实际上，把方程右乘以a⁻¹给出解x = x·a·a⁻¹ = b·a⁻¹。类似地，G中存在方程a·y = b的唯一解y，也就是y = a⁻¹·b。一般地说，x和y不一定相等。
这一结果的一个推论是“乘以某个群中的元素g”是一个双射。特别地，如果g是群G的一个元素，则有G到自身的双射，（称为由g引起的左平移）它将映射为。类似地，由g引起的右平移是一个G到自身的双射，它将映射为。如果G是阿贝尔群，由同一个元素引起的左平移和右平移是相同的。

子群

非正式的说，子群是包含在更大的群G内的一个群H。具体的说，G的单位元包含在H中，并且只要h₁和h₂在H中，则h₁·  h₂和h₁⁻¹也在其中，所以H的元素对于限制于H的G上的群运算确实形成了一个群。
在上面例子中，单位元和旋转构成了一个子群R = {id, r₁, r₂, r₃}
，在上面的群表中突出为红色：任何两个复合的旋转仍是一个旋转，并且旋转可以被相反方向上的旋转（它的逆元）所抵消。子群检验法是群G的子集H是子群的充分必要条件：对于所有元素g, h ∈ H，只需检查g⁻¹h ∈ H。了解子群族对于作为一个整体来理解群是重要的。
给定群G的任何子集S，由S所生成的子群是由S的元素和它们的逆元的乘积组成。它是包含S的G的最小子群。在上面介绍例子中，r₂和fᵥ所生成的子群由这两个元素本身、单位元id和
fₕ = fᵥ·r₂构成。这还是个群，因为结合这四个元素或它们的逆元（在这个特殊情况下，是这些相同的元素）中任何两个仍得到这个子群中的元素。

共轭

如果同一个群中的两个元素p和q 满足关系：p = x⁻¹qx，其中x也是同一个群中的元素，则称元素p和q 共轭。共轭关系是一个等价关系，即它满足三个性质：共轭是自反的、对称的和传递的。
在群中可以找到一个集合，这个集合中每一个元素都相互共轭，而在这个集合以外群的其他部分已经没有任何元素与他们具有共轭关系了。称这种集合为群中的一个共轭类。同一个群的两个类之间一定没有共同的元素。群中一个元素一定属于且仅属于一个类。如果群中没有元素与该元素共轭，则该元素自成一类。

例子和应用

群的例子和应用大量存在。起点是上面介绍过的整数的群Z带有加法作为群运算。如果把加法替代为乘法，就得到了乘法群。这些群是抽象代数中重要概念的前身。
群应用于很多数学领域中。数学对象的性质经常是通过将群关联与数学对象关联，并研究相应的群的性质来研究的。例如，儒勒·昂利·庞加莱通过引入基本群创立了现在所谓的代数拓扑。通过这种连接方式，拓扑性质比如临近和连续转换成了群的性质。例如，右侧的图像描绘了平面减去一个点的基本群的元素。这个群的元素给出为在这个区域内的环路。蓝色环路被认为是零同伦（因此是无关紧要的），因为它可以收缩为一个点。圆孔的存在防止了橙色环路被收缩。橙色环路（或任何环绕这个圆孔一次的其他环路）所生成的，去掉了一个点的平面的基本群是无限循环群。基本群以这种方式探测到了这个圆孔。
在更新近的应用中，影响已经被倒转过来，由群论背景来激发几何结构了。在类似的脉络下，几何群论采用了几何概念，比如在双曲群的研究中。其他一些大量应用群论的数学分支包括代数几何和数论。例如，典型群和Picard群在代数几何上有重要应用；参见
除了上述理论应用之外，还存在很多群的实践应用。密码学依赖于抽象群论方式和从计算群论中特别是实现于有限群上的时候所得到的算法知识的结合。群论的应用不限于数学；科学如物理、化学和计算机科学都受益于这个概念。

数

很多数系统，比如整数和有理数享有自然给予的群结构。在某些情况下比如对于有理数，加法和乘法运算二者都引发群结构。这种系统是叫做环和域的更一般的代数结构的前身。

整数

整数Z在加法下的群记为（Z, +），它在上面已经描述了。整数带有用乘法替代加法的运算，(Z, ·)不形成群。闭合、结合律和单位元公理满足，但逆元不存在：例如，
a = 2
是整数，但方程a·b = 1
的唯一解在这种情况下是b = 1/2，它是有理数而非整数。因此不是所有Z的元素都有（乘法）逆元。

有限群

一个群被称为有限群，如果它有有限个元素。元素的数目叫做群G的阶。一类重要的有限群是n次对称群SN，它是N个字母的排列的群。例如，在3个字母上的n次对称群S₃是由三个字母ABC的所有可能排列构成的群，就是说它包含元素ABC, ACB, ...,直到CBA，总共有6（或3的阶乘）个元素。这类群是基础性的，因为任何有限群都可以表达为n次对称群SN在适合的整数N下的子群（凯莱定理）。相似于上述正方形的对称的群，S₃还可以解释为等边三角形的对称的群。
在群G中的一个元素a的阶是最小的使得aⁿ = e的正整数n，这里的aⁿ表示，就是应用运算·于a的n个复本上。（如果·代表乘法则aⁿ对应于a的n次幂）。在无限群中，这个n可能不存在，在这种情况下a的阶被称为无限的。一个元素的阶等于这个元素生成的循环子群的阶。
更复杂的计数技术例如计数陪集，产生关于有限群的更精确陈述：拉格朗日定理声称有限群G的任何有限子群H的阶整除G的阶。西罗定理证明了它的部分逆命题。
上面讨论的二面体群是8阶有限群。r₁的阶为4，这是它生成的子群R（见上）的阶。反射元素fᵥ等的阶是2。如拉格朗日定理所述这两个阶都整除8。上面的群Fₚ×有阶p − 1。

有限单群分类

数学家们常常为寻求一种数学对象的完备分类（或列表）而努力。在有限群的领域内，这个目标迅速引出了一系列困难而意义深远的数学问题。根据拉格朗日定理，p阶有限群（p为素数）必定是循环（阿贝尔）群Zₚ。p²阶群也被证明是阿贝尔群。但这一命题并不能推广到p³阶群，如上面的非阿贝尔群——8阶二面体群D₄所示，其中8 = 2³。可以利用计算机代数系统来给较小的群列表，但没有对一切有限群的分类。一个中间步骤是有限单群分类。如果一个非平凡群仅有的正规子群是平凡群和它自身，那么这个群叫做一个单群或简单群。若尔当-赫尔德定理说明单群可以作为建构有限群的“砖块”。有限单群列表是当代群论的一个主要成就。1998年的菲尔兹奖得主理查·伯切德斯成功地证明了所谓怪兽-胡言乱语猜想。该猜想指出了最大有限简单散在群——“怪兽群”与一种来自经典复分析和弦理论（一种被认为统一了对许多物理学现象的描述的理论）的对象模函数之间的惊人而深刻的联系。

带有额外结构的群

很多群同时是群和其他数学结构的例子。用范畴论的语言来说，它们是在范畴中的群对象，这意味着它们是带着模仿群公理的（叫做态射的）变换的对象（就是说其他数学结构的例子）。例如，所有群（如上面定义的）也是一个集合，所以群是在集合范畴中的群对象。

注释

  a:  《数学评论》列出了3,224篇2005年写的关于群论和它的应用的研究论文。
 
  b:  闭合公理已经由·是二元运算的条件所蕴含。因此有些作者省略这个公理。Lang 2002。
 
  c:  比如参见Lang (2002, 2005)和Herstein (1996, 1975)的书。
 
  d:  但是一个群不由它的子群的格所决定。参见Suzuki 1951。
 
  e:  群运算的这么规范的扩展是泛性质的实例。
 
  f:  例如，依据拉格朗日定理，如果G是有限的，则任何子群和任何商群的大小整除G的大小。
 
  g:  词同态演化自希腊语ὁμός—相同和μορφή—结构。
 
  h:  循环群的加法符号是t·a, t ∈ Z。
 
  i:  例子参见塞弗特－范坎彭定理。
 
  j:  一个例子是群的群上同调，它等于它的分类空间的单同调。
 
  k:  有乘法逆元的元素叫做可逆元，参见Lang 2002, §II.1, p. 84。
 
  l:  通过增加分数的从整数到有理数的转变推广为分式域。
 
  m:  用任何域F替代Q同样是真的。参见Lang 2005, §III.1, p. 86。
 
  n:  例如，域的乘法群的有限子群必然是循环群。参见Lang 2002, Theorem IV.1.9。模和单纯代数的挠概念是这个原理的另一个实例。
 
  o:  陈述的性质是素数的一个可能定义。参见素元。
 
  p:  例如，迪菲-赫尔曼密钥交换协议使用离散对数。
 
  q:  阶不超过2000的群是已知的。这些群在同构意义下约有490亿个。参见Besche, Eick & O'Brien 2001.
 
  r:  在单群和一般群分类之间的缺口在于扩张问题，一个很难一般性求解的问题。参见Aschbacher 2004, p. 737.
 
  s:  等价地说，一个非平凡群是单群当且仅当它仅有的商群是平凡群和自身。参见Michler 2006, Carter 1989.
 
  t:  更严格的说，所有群都是某个图的对称群，参见Frucht 1939。
 
  u:  更精确地说，monodromy作用在要考虑的微分方程的解的向量空间上。参见Kuga 1993, pp. 105–113。
 
  v:  例如参见史瓦西度规，这里的对称极大的减小了物理系统的复杂性。
 
  w:  例如，这是有限简单群的分类的关键。参见Aschbacher 2004。
 
  x:  例如，群作用在单模上的效果的Schur引理。更加复杂的例子是绝对伽罗瓦群作用在平展上同调上。
 
  y:  单射和满射分别对应于单同态和满同态。在传给对偶范畴的时候它们是可互换的。