小波分析

小波的定义

wavelet是指小型波(在傅里叶分析里的弦波是大型波)，简单说来，小波(wavelet)是一个衰减迅速的振荡。
有几种定义小波（或者小波族）的方法:

缩放滤波器

小波完全通过缩放滤波器g——一个低通有限冲激响应（FIR）长度为2N和为1的滤波器——来定义。在双正交小波的情况，分解和重建的滤波器分别定义。
高通滤波器的分析作为低通的QMF来计算，而重建滤波器为分解的时间反转。例如Daubechies和Symlet小波。

缩放函数

小波由时域中的小波函数 (即母小波)和缩放函数 (也称为父小波)来定义。
小波函数实际上是带通滤波器，每一级缩放将带宽减半。这产生了一个问题，如果要覆盖整个谱需要无穷多的级。缩放函数滤掉变换的最低级并保证整个谱被覆盖到。详细解释请参看 。
对于有紧支撑的小波，可以视为有限长，并等价于缩放滤波器g。例如Meyer小波。

小波函数

小波只有时域表示，作为小波函数。例如墨西哥帽小波。

小波的分类

小波以continuous / discrete 来分，有 3 种:
1. 第一种输入为: continuous，输出为: continuous 
-> 称为Continuous Wavelet Transform 
2. 第二种输入为: continuous，输出为:discrete
-> 称为continuous wavelet transform with discrete coefficients
3. 第三种输入为: discrete，输出为:discrete
-> 称为Discrete Wavelet Transform

边缘侦测

小波变换亦常应用于影像的边缘侦测（edge detection），传统的影像边缘侦测采用二维差分运算子以侦测影像边缘，乃假设影像边缘上和边缘旁之影像灰阶值必然不同，当取微分时，在边缘上会呈现非常大梯度值，借由调整影像灰阶值的临界值参数可强化边缘，但二维小波变换则是一种效果较佳的影像边缘侦测方法，当取小波变换时，在影像边缘上亦会呈现非常大的梯度值。在电脑视觉或影像处理上经常使用动态轮廓或蛇行模式来侦测物体的边界或边缘。
在物体纹路及表面瑕疵检测上亦有其应用，由于小波变换有局部性处理的能力，对于小区域之瑕疵能有效凸显，其频率特性使得在处理瑕疵上不易受环境影响。相对于频率域之变换方法，小波变换处理速度快，因不须事先经过训练与繁复的数学计算，使得小波变换在速度处理上获得不错效果，其具有多解析(Multi-resolution)与多尺度(Multi-scale)能力，使得在处理纹路瑕疵上不会产生方块效应。小波变换不会变动影像物体的相对位置，且保留纹路与瑕疵的空间关系与影像大小。

音乐信号分析

小波变换亦可用在音乐信号上，像是乐器自动辨识的应用，第一种为先使用一维小波变换将声音信号分解为不同频率范围的各个频带，接着再对各个频带中撷取能量平均值以及能量标准差视为一维小波变换之特征向量。而第二种方法为先将声音信号转成频谱图并视为一张二维影像，对此频谱图做二维小波变换分解出各个频带，再对频带中撷取能量平均值和能量标准差做为二维小波的特征向量。最后，利用相邻近似法使用欧基里德距离来计算测试资料的特征向量和每一乐器的特征向量之距离，并取最小距离为辨识结果的乐器类别。
而小波变换也常用在音乐信号的压缩，由于人耳对声音各频带是有其感知力的，故有些频带人无法听见，有些频带人耳特别灵敏。利用离散小波变换来将音乐信号做高低频切割多次，就可以将原信号分成许多子频带(sub-band)，但传统离散小波变换计算架构，将波型分成高频与低频后，下一次的切割只对低频做切割，故没办法完全分割出与人耳感知频带相符合的子频带。于是更精细的计算架构被提出，称为离散小波包变换(discrete wavelet packet transform)，原理就是音乐信号被分成高频信号后，会再做分割。一段音乐信号就可以被分割成更贴近人耳25个频带的信号，这样的分割法更优于一般傅里叶分析所使用的滤波器，从这些子频带中，找出能够被屏蔽的信号，滤除之后，就可以将原本音乐信号档案大小压缩了。
在辨识音乐信号的乐谱上也有其应用，音乐信号由一个个音符组成，而每个音符以特定的节奏出现，通常是成群的谐音出现，若要分辨出一段信号最主要的频率为何，必须滤除其泛音才能判断，而由离散小波变换的多重分辨率分割就可以将泛音区隔在不同的子频带中，而且信号中的噪声也可以依同样方法被滤除。由于是要侦测transient 现象，基于要侦测什么样的信号就使用跟它很像的信号当作基底拆解它这个原则，故在选择小波基底时，就要选择较有突然剧烈变化的母小波，如此一来小波变换后的小波系数，能量就会聚集在原信号有剧烈变化之处了，由此方法可有效辨识音乐信号的音高(也就是频率)。
音乐信号简易压缩
原始音乐信号-> MDCT ->去除不重要的系数-> IMDCT -> 输出结果
MDCT: Modified Discrete Cosine Transform

遥测影像分析

连续小波变换常应用于遥测影像分析上，如海底地形之解析，利用具有分析非均匀信号的高维连续小波变换理论作为遥测影像的分析工具，从中求取影像波浪谱，再从影像波浪谱中反算出观测区域的水深值。传统的研究多将海洋遥测影像假设为均匀(homogeneous)的海面影像，并采用被分析影像为均匀性前提所发展出的方法进行谱变换，其分析所得之影像谱实际上为整个遥测影像波数谱的平均值。然而自然界的信号常存在有非均匀的特性，近岸海域的波浪亦不例外。为能从分析非均匀影像信号中分析得到合理且准确的水深信息，可引入非均匀信号分析理论-小波变换。如高维小波变换理论可应用在分析海洋遥测影像之研究，藉以从中计算出底床地形的信息，透过小波变换的非定常信号的解析能力，可将整张遥测影像分解为不同的子影像，每一块子影像区域的波场理论上具有一定程度之均匀性，再进而从各子影像中求解水深值，藉以描绘出观测海域的水深信息。

生物医学信号分析

离散小波变换亦常应用在生医领域中，因为其具有较低的复杂度与较佳的时域-频域分析之特性，而被选择作为分析生医信号的方法。心电图 (Electrocardiography) 与脑波图 (Electroencephalography) 是两项常见的生医应用。在心电图方面，为了诊断心脏相关疾病，可使用离散小波变换去除原始信号中冗余的特征，并由重建的信号中侦测R-R区间。
一般而言，病患之心电图时常需要全天候的观察与分析，因此资料量相当庞大，此时便需要很大的储存空间来储存这些资料，因此有必要将心电图之资料加以压缩，才可有效减少所需之储存设备成本。信号的压缩可分为无失真(lossless)压缩和失真(lossy)压缩两种，若是依传统医学观念，或许应该使用无失真压缩，才可避免因信息不完整而造成误诊等医疗疏失，但由于传送信息之网络带宽有限且资料庞大，因此使用失真(lossy)压缩以达到更大的压缩效率已成必然，在增大压缩效率的同时，亦可保证其重建信号之可靠度，以避免不必要的医疗疏失便是一重要课题，小波变换便可达到此项目标。
而小波变换亦有去除不必要噪声之功用，以正确判读心电图，此方法称为小波系数临界法(wavelet coefficients thresholding)，信号经小波变换后，噪声会成为较小的信号(low scale)，因此将较小scale的信号去除，即可去除噪声，一般的做法为设立一临界值，将低于此临界值的信号舍弃，高于临界值的信号保留。而选择临界值的方式有两种，一种为硬式临界值(hard threshold)，其临界值为一常数，不随输入信号改变而改变，此法优点为设计简单，但得到的结果并不理想，若改由不同输入信号形成不同临界值，则称为软式临界值，将经小波变换后每一频带之变异数(variance)开根号后形成标准差，而后以标准差当作参数作为临界值，此法产生之临界值会因输入信号长度的不同而改变。
另一个小波变换在生医领域的应用则是应用在脑电图上，早期脑电图信号分析技术，普遍以傅里叶变换为主，近年来，小波变换技术逐渐被采用，其特性在对于未知信号的频率分布，在时间轴上可以得到很好的分辨率，适合应用于脑波的不稳定信号分析处理。再配合类神经网络非线性分辨能力，可有效分辨α波、β波。
亦有一个应用是在于脑电图中正常的背景信号与不正常的尖峰信号之区分，患有癫痫的病人其不正常的尖峰信号其形状会类似一个凸起的尖峰，故此信号壳称为尖峰信号(spike)，利用多重解析变换的小波变换(multi-resolution wavelet transform)可用来分析这类型态类似、但大小区间变异很大的癫痫信号。

历史

第一个小波变换是阿尔佛雷德·哈尔在 1909年提出来的哈尔小波(Haar wavelet)，但是当时小波的概念并不存在，直到1981年地球物理学家吉恩·莫莱特才提出小波的概念，且小波变换变成分析地震波的新工具。
之后在1984年吉恩·莫莱特和 物理学家亚历克斯·格罗斯曼发明了"wavelet"一词，并且对于连续小波变换和其各种应用有比较详尽的数学研究。
在1985年之前，大家所熟知的正交小波(orthogonal wavelet)只有Haar小波，然而数学家伊夫·梅耶尔在1985年建立了第二种正交小波，即Meyer小波。接着越来越多人投入这个领域并在1987年法国办了第一届国际研讨会。
1988年, 史蒂芬·马拉特和伊夫·梅耶尔提出了多分辨率的概念，同年(1988)，英格丽·多贝西建立了紧支撑正交小波(compact support orthogonal wavelet)。隔年(1989)史蒂芬·马拉特提出了快速小波变换。随着快速小波变换的发展，许多小波变换的应用得以实现。
除了先前许多卓越的数学家像是英格丽·多贝西，亚历克斯·格罗斯曼，史蒂芬·马拉特，伊夫·梅耶尔，罗纳德·德沃尔，罗纳德·科夫曼，维克多·魏克尔豪斯在小波理论上都有显著的贡献，之后直到现在也陆续有人提出了许多方法和应用。

小波变换，傅里叶变换，Gabor变换的比较

傅里叶变换具有局部性，Gabor变换没有具有局部性
小波变换具有局部性，并且可以改变参数来调整频谱的窗口和结构形状，进而做到"变焦"的作用.
因此小波分析可以达到多分辨率的效果