平面图 (图论)

华格纳定理

在随后的1937年，德国数学家克劳斯·华格纳提出了类似的禁用定理，华格纳定理：
一个简单图是平面图当且仅当它不是K₅ 或 K3,3 的次图。
其中，一个图的次图是将它做有限多次的取子图(删除部分顶点和边)和做边收缩(将某边缩成一个顶点)所得到的图。

平面图和球面嵌入

说一个图是平面图，其实等价于说存在一个从空间到平面的连续的单射，能够将这个图投射到平面上。从这样的角度看来，平面图是空间的一部分在二维平面上的一个嵌入。然而，图在二维平面的嵌入和在球面的嵌入是等价的：
能够画在平面上的图，必然也能画在球面上，使得不同的边互不交叠，反之亦然。
证明是显而易见的：首先，如果一个图是平面图，那么将它画在一张纸上，并在“墨迹未干”之时将这张纸“拓印”在一个足够大的球面上（这样纸基本不会皱）。于是，就得到了一个画在球面上的同样的图。反过来，如果能把一个图画在球面上而没有交互重叠的边，那么，把球放在一个无限大平面上，并将球稍作滚动，使得球的最高点不在图的边或顶点上。然后，以最高点为中心，把球面（出了最高点）投影在平面上，那么，得到的平面图形和原来的图是一样的，而且没有交互重叠的边，所以原来的图也是平面图。
依此准则，空间中的各种凸多面体对应的图都是平面图，因为只要在多面体的内部找一个合适的球，然后将多面体的顶点和边都投影在这个球面上，就完成了相应的图在球面的嵌入（由于多面体是凸的，投影得到的图形的边之间不会交叠）。比如说，所有的正多面体对应的图都是平面图。

硬币图

一个硬币图的顶点是由许多圆的圆心组合而成，这些圆两两外切或外离，两顶点之间连边当且仅当以两顶点唯圆心的两圆外切。1936 年，保罗·克伯首次证明填装球定理：一个图是平面图当且仅当它是一个硬币图。
法里定理是填装球定理的一个直接推论，叙述是每个平面图都可以被画在平面上，使得各边对应到不相交的线段。事实上，只要考虑平面图对应到的硬币图，以圆心为顶点，以两相切的圆的圆心连线段为边，则所以得边是不会相交的。

极大平面图

一个简单图被称作是极大平面图如果他是平面图而且任加一条边再不相邻的顶点上都会得到非平面图。所以，极大平面图所有的面，包括外围面在内，都恰好被三条边包围，因此，极大平面图又被称为平面三角分割。所有极大平面图都是3-连通的。
一个包含v 点的极大平面图(v>2) 恰有3v-6 条边和2v-4 个面。
在原本一个大三角形的内部加一个点并与三点连上边，也就是将大三角形分割成三个小三角形。不断的重复上述步骤，所得到的图称为阿波罗尼奥斯网络，是极大平面图的其中一类。事实上，阿波罗尼奥斯网络是一个平面的3-树。
所有末梢环都是三角形的图称为绞窄图。因为平面图的导出环是一个面，所以末梢环也是。于是推得极大平面图是绞窄图。

外围平面图

外围平面图是一个平面图满足存在一个画在平面上的方法使得外围面的边界包含所有顶点，该画法被称为该图一个外围平面嵌入。外围平面图一定是平面图但反过来不一定成立，例如完全图K₄ 是平面图但并非外围平面图。库拉托夫斯基定理友在外围平面图上的版本：一个图是外围平面图当且仅当它并不包含一个是K₄或 K2,3 的分割的子图。事实上，该版本是下述事实的直接推论：图是外围平面图当且仅当在外面加一个顶点，连边到的所有顶点，所得到的图是平面图。
图的1-外围平面嵌入是一般的外围平面嵌入。对所有k>1，一个图的平面嵌入是k-外围平面嵌入当且仅当将他删掉外围面边界上的所有顶点会形成一个(k-1)-外围平面嵌入。一个图如果有一个k-外围平面嵌入则被称为是一个k-外围平面图。

不环绕嵌入图

所有图都可以被嵌入三维空间中使得各边不交叉，特别的，如果该图存在一个嵌入额外满足图中的两个互斥环对应到三维空间中的两个互不环绕的封闭曲线(环绕数为0)，则该图被称为是一个不环绕嵌入图。不环绕嵌入图可以被看做是平面图的三维空间版本，所以也有类似华格纳定理的禁用结果：一个简单图是平面图当且仅当它不是佩特森图族中所有的7 个图之一的次图。类似的，平面图和外围平面图分别对应到科兰·德·韦迪耶尔不变量小于等于2 和 3 的图，而环绕嵌入图对应到科兰·德·韦迪耶尔不变量小于等于4 的图。

哈林图

哈林图是一个平面图，是将一个不包含度数为 2 的顶点的树的叶子由一个环连结起来所得到的图。等价的，哈林图是一个多面体图满足有一个面与其他所有的面都相邻。如同外围平面图，哈林图的树宽值也很低，因此哈林图相关的算法问题会比一般的平面图来的好处理许多。

其他相关的图

一个图是尖点图如果它可以删去某一个顶点之后变成平面图，一个图是k-尖点图如果如果它可以删去某k 个顶点之后变成平面图。
一个图是1-平面图如果它可以画在平面上使得每条边至多和所有其他边交叉一次，一个图是k-平面图如果它可以画在平面上使得每条边至多和所有其他边交叉k 次。
给定一个地图，满足上面的各个区域都是单连通且两两只在边界上有交集。将各个区域视为顶点，两区域的边界若有交集则连边，所获得的图称为地图图。如果在原地图上，至多三个区域有共同交集，则定义出来的地图图是平面图，但若存在四个以上的区域相交在同一个点上，在定义出来的地图图可能是非平面图。
一个图被称为环面图如果它可以被嵌入环面使得各边不交叉。更广义的来说，一个图的亏格被定义为所有该图可以嵌入而边不交叉的曲面中亏格的最小值。因此，平面图的亏格为0 而非平面的环面图的亏格为1。
一个向上平面图是可以被画在平面上的有向无环图，使得各个有向边都是斜向上的。并不是所有平面有向无环图都是向上平面图，事实上，决定任意给定有向图是否为向上平面图的难度是NP完全的。

平面图的数量估计

若将顶点标号，有 n 个顶点的平面图的数量的渐近式由给出，其中常数、；若不将顶点标号，有 n 个顶点的平面图的数量则界在和 之间。 
几乎所有的平面图的自同构数量随着顶点数的增加呈现指数增长。

其他性质与定义

四色定理叙述说任何平面图都可以被4-着色。
法里定理说所有简单平面图都从在一种平面嵌入法使得各边对应到互相不相交的线段，在平面上一个有n 点地集合被称为泛顶点集如果所有n 点的平面图都可将顶点对应到它们，而且边是互不相的直线。例如 4 个顶点的泛顶点集是所有满足其中一个点在另外三个点围成的三角形的内部。任何外围平面图可以被画在平面上满足所有顶点在给定的圆上面，所有边是互不相的直线且都落在圆里面。
一个平面图被称作是凸 的如果他可以被画在平面上，使得各个面，包括外围面，都是凸多边形。一个图是凸平面图当且仅当它是一个3-连通平面图的分割。
谢纳曼猜想 (现在是定理) 说所有平面图都可以表示成平面上一些线段的交集图。
平面图分离定理说给定任何包含n 个顶点的平面图，都可以借由移除至多个点来将原图分开成两个部分，并且各部分的顶点数不超过个。由此可推得平面图的树宽值和分支宽值至多 。
存在复杂度为O(n) 算法来判断两个n 点的平面图是否同构，参见图同构问题。

对偶图

设 G 是一个平版图，G 不见得是简单图，定义 G 的对偶图G* 如下述。在 G 中的每个面(包括外围面) 取一个点，作为 G* 的顶点，对于 G 中的每个边e，画一条G* 中的边e* 连接与e 相邻的两个面中的顶点，而且 e* 要穿过e。如果与e 相邻的两面是同一个，则对该面中的点画一个穿过e 的自环，如果 G 中两相邻面的交界包含多个边，则 G* 中的两点之间要连多条边，如右图。
此时对偶图G* 也是平版图，而且如果G 是连通的，则 G** 与 G 在球面上是拓朴等价的，换句话说，他们是相同的平面映射。如果 G 是多面体Γ 对应到的多面体图，则 G* 是 Γ* 对应到的多面体图，其中 Γ* 是 Γ 的对偶多面体。
对偶图的重要性在于，对偶图和原图的性质的关系往往是易于刻划的，因此，有时研究一个平版图(或平面图) 的对偶图的性质有助于对原图的了解。注意到，一个平版图的对偶图在拓朴等价下是唯一的，但一个平面图可能有多种平面嵌入的方式，因此可能会对应到多个不同的对偶图。