最小平方頻譜分析法

最小平方频谱分析法（英语：Least-squares spectral analysis）是一种利用最小平方法寻找适配于资料点之最佳正弦曲线，以估算频谱的方法。其数学原理与科学界中最常用的傅立叶分析相似。一般而言，傅立叶分析会将间隔较长之讯号的长周期噪声放大，而最小平方频谱分析法则解决了这个问题。
最小平方频谱分析法也称为凡尼切克法（Vaníček method）、隆布法（Lomb method）或隆布—史卡构法（Lomb–Scargle method），分别取名自对其有所贡献的佩特·凡尼切克、尼可拉斯·隆布（Nicholas R. Lomb）以及杰佛瑞·史卡构（Jeffrey D. Scargle）。此外，麦可·科恩伯格（Michael Korenberg）、史考特·陈（Scott Chen）以及大卫·多诺霍等人也曾开发出与之关系密切的其它方法。

历史背景

长久以来，科学界对于傅立叶分析、周期图法与正弦曲线之最小平方拟合间的密切关联早有所知。然而，大多数以上述理论为基础开发的方法仅适用于取样间距相等的讯号。1963年，荷兰数学和计算机科学研究学会的弗里克·巴宁（Freek J. M. Barning）提出类似的方法处理了取样间距不同的讯号：先以周期图法分析（现又称为隆布法），再从所得的周期图中选取特定频率的正弦曲线并以最小平方法拟合之；这两段过程间则是透过匹配追踪连接，并以反拟合后处理（post-backfitting）以避免过适、或使用正交匹配追踪法。
新不伦瑞克大学的加拿大大地测量学家佩特·凡尼切克于1969年也提出了匹配追踪法，他称之为“连续频谱分析”，并称其所得的结果为“最小平方周期图”，且同时适用于取样间距相同或不同的讯号。他更于1971年将该方法一般化，使其能够分析出讯号中单一平均值以外的各种系统成分，包含可预测但大小未知的线性、二次方或指数趋势。
雪梨大学的尼可拉斯·隆布于1976年简化了凡尼切克法，并指出该方法与周期图法有相当密切的关连。后来，杰佛瑞·史卡构也定义了非等距取样讯号的周期图，并对其做了分析；他并发现，只要将该周期图稍作修改，便能够得到与隆布的最小平方拟合法完全相同的结果。
史卡构曾表示他的论文“并未提出一个新的测量方法，而是对现有最常用的方法——周期图法——在取样间距不相等时的可靠性以及效率进行研究”。他在论文中同时引用了最小平方弦波拟合以及周期图法分析，并指出该两种方法（在他所提出的修改之下）是完全相等的。
媒体对相关研究的发展则有如下的摘要：
“隆布提出了一项适用于非等距取样讯号，且完全不同的频谱分析法。它不仅减少了旧有方法的困难，更具备一些非常理想的性质。此方法乃是基于巴宁和凡尼切克早前的研究，并后为史卡构做了更详尽的阐述。”
1989年，皇后大学的麦可·科恩伯格开发了所谓的“快速正交搜寻法”（fast orthogonal search），以更迅速地找到一组频谱成分分析的近似最佳解；该方法与后来出现的正交匹配追踪法有许多相似之处。1994年，史丹佛大学的史考特·陈与大卫·多诺霍提出了“基底追踪法”（basis pursuit）；该方法借由将目标转化为线性规划问题，并使各项系数的L₁-距离最小化，以更快速地得到解答。

快速正交搜寻法

科恩伯格于1989年提出了如下的方法：先从一过完备的函数集合中选出一稀疏子集（以频谱分析而言即指弦波）用于拟合，称为快速正交搜寻法（fast orthogonal search）。数学上，快速正交搜寻是在缩小均方误差（MSER）时使用了一种略为修改过的楚列斯基分解法，并以稀疏矩阵之求逆方法实作。快速正交搜寻如同其它的最小平方频谱分析法，也能够避免离散傅立叶变换最主要的缺点，并且可以求得高准确度的潜在周期性，同时对于处理非等距取样讯号也相当有效。快速正交搜寻法同时也被应用于非线性系统鉴别（nonlinear system identification）等其它的问题。

基底追踪法

陈与多诺霍提出的基底追踪法（basis pursuit）也是从一过完备的函数集合中选出一稀疏子集（其中可包含弦波或其它函数）用于拟合，惟此法定义能够使各项系数的L₁-距离得到最小化者即为最佳解。如此一来，频谱分析便可借此转化为已知的线性规划问题，并可利用现有的快速算法得到解答。

卡方法

大卫·帕尔默（David Palmer）提出的卡方法则能够找到任意数量之谐波的最佳拟合函数，提高了寻找非弦波谐和函数的自由度。这是一项基于快速傅立叶变换、对取样间距任意且标准误差不均的讯号进行加权最小平方分析的快速算法。实作此方法的源代码也已被公开。由于离散讯号往往不具有相等的取样间距，此方法先将讯号“栅格化”，即稀疏地在数个取样点间填入一串时间序列。所有时间轴上互相交会的栅格点之统计权重都将被设为零，亦即取样点之间的误差线为无穷大。

应用

最小平方频谱分析法最主要的用处是对未完整记录的讯号进行频谱分析，且不须对其窜改或掺入不存在的数据。
利用最小平方频谱分析法所得的频谱中之各强度量值即代表了某个频率或周期对于整个时间序列的变异数之贡献。一般而言，经由上述方法所定义的频谱强度可用于推算输出结果的显著水准状态。此外，凡尼切克法求得的频谱强度也可由分贝值表示。值得注意的是，凡尼切克频谱在统计上具有Β分布。
凡尼切克的最小平方频谱之反运算可由下述方法实现：若将正运算的过程表示为一矩阵的乘法，那么（当它为非奇异矩阵时）求取它的反矩阵或伪反矩阵便可进行反运算；当所选的基底弦波在取样点时皆彼此独立且其总数和取样点数量相等时，反运算所得的结果便会与原始的讯号相同。相对地，周期图法并不具有已知的反运算方法。

实作

最小平方频谱分析法可用一页以内的MATLAB程式码实作完成。简言之：
“欲求得最小平方频谱，我们必须计算个频谱值……可以借由次的最小平方法近似，每次求得一种不同频率（的频谱能量）。”
也就是说，对一所欲拟合之频率集合中的每个频率，将其对应的正弦（）和余弦函数（）于讯号的取样时间点取值，计算讯号与弦波之取样值的内积并给予适当的标准化；若是使用隆布—史卡构的周期图法，则在取内积之前先计算每个频率的时间延迟项使得该频率下的正弦与余弦成分能够彼此正交；最后，从振幅的内积值便可求得该两项弦波成分的频谱能量。若将这项程序套用于取样间距相等、且拟合弦波频率选为取样时间全长倒数之整数倍的讯号时，即相当于离散傅立叶变换。
上述即凡尼切克的原始方法，它在处理每个弦波成分时都将其视为彼此独立，即使在取样点时这些弦波有可能并不彼此正交。相对地，透过矩阵方程式求解、并将原始讯号的总变异数分割至指定的弦波频率之间的方法，也能够在一次考虑所有弦波成分（即不独立处理）的情况下求得频谱值。这种矩阵求解的最小平方法可直接透过MATLAB内建的反斜线运算子得到。
麦克·克雷默（Mike Craymer）解释道，相对于独立处理各成分的作法（以及隆布的周期图法），一次考虑所有成分的矩阵求解法无法拟合比取样点数量还多的基底（即正弦与余弦波），并指出：
“……如果所选的频率使得某些傅立叶成分（即三角函数）彼此间接近线性独立，则对于结果可能会有严重的影响，进而产生一个病态或近乎奇异的矩阵。若想避免产生这样的病态条件，则必须选取一组不同的频率来估计（例如等差频率）、或是直接忽略的相关性（即非对角线上的值）并分别估算各独立频率的最小平方反转换……”
相对地，隆布提出的方法便如同标准的周期图法，可使用任意多数或任意高密度的频率成分做为拟合用的基底；也就是说，这个方法可在频域下以任意的倍率进行过取样。
在傅立叶分析（例如傅立叶变换或离散傅立叶变换）中，用于拟合讯号的弦波皆为彼此正交，所以前述的独立投影内积法和一次计算的矩阵求解最小平方法并没有差异；也就是说，使用最小平方法将变异数分割至频率不同且彼此正交的弦波时即不须计算反矩阵。由于此类分析可用快速傅立叶变换的方法实作，当讯号完整且取样间距相等时，便不会使用相对耗时的最小平方频谱分析法。