行列式

几何意义：二维和三维欧氏空间中的例子

行列式的一个自然的源起是n维平行体的体积。行列式的定义和n维平行体的体积有着本质上的关联。

基底的选择

在以上的行列式中，我们不加选择地将向量在所谓的正交基（即直角坐标系）下分解，实际上在不同的基底之下，行列式的值并不相同。这并不是说平行六面体的体积不唯一。恰恰相反，这说明体积的概念依赖于衡量空间的尺度，也就是基底的取法。用基底的变换可以看作线性映射对基底的作用，而不同基底下的行列式代表了基变换对“体积”的影响。可以证明，对于所有同定向的标准正交基，向量组的行列式的值在绝对值意义上是一样的。也就是说，如果我们选择的基底都是“单位长度”，并且两两正交，那么在这样的基之下，平行六面体的体积的绝对值是唯一的。

行列式与空间定向

以上二维和三维行列式的例子中，行列式被解释为向量形成的图形的面积或体积。面积或体积的定义是恒正的，而行列式是有正有负的，因此需要引入有向面积和有向体积的概念。负的面积或体积在物理学中可能难以理解，但在数学中，它们和有向角的概念类似，都是对空间镜面对称特性的一种刻画。如果行列式表示的是线性变换对体积的影响，那么行列式的正负就表示了空间的定向。
如上图中，左边的黄色骰子（可以看成有单位的有向体积的物体）在经过了线性变换后变成中间绿色的平行六面体，这时行列式为正，两者是同定向的，可以通过旋转和拉伸从一个变成另一个。而骰子和右边的红色平行六面体之间也是通过线性变换得到的，但是无论怎样旋转和拉伸，都无法使一个变成另一个，一定要通过镜面反射才行。这时两者之间的线性变换的行列式是负的。可以看出，线性变换可以分为两类，一类对应着正的行列式，保持空间的定向不变，另一类对应负的行列式，颠倒空间的定向。

一般域上的行列式：严格的定义

由二维及三维的例子，可以看到一般的行列式应该具有怎样的性质。在维欧几里得空间中，作为“平行多面体”的“体积”的概念的推广，行列式继承了“体积”函数的性质。首先，行列式需要是线性的，这可以由面积的性质类比得到。这里的线性是对于每一个向量来说的，因为当一个向量变为原来的倍时，“平行多面体”的“体积”也变为原来的倍。其次，当一个向量在其它向量组成的“超平面”上时，维“平行多面体”的“体积”是零（可以想像三维空间的例子）。也就是说，当向量线性相关时，行列式为零。在一般系数域上的线性空间中，行列式也正是由这样的特性所刻划的：

代数余子式

关于元素的代数余子式记作。。

行列式的计算

计算行列式的值是一个常见的问题。最简单的方法是按照定义计算或按照拉普拉斯公式进行递归运算。这样的算法需要计算次的加法，复杂度是指数函数。在实际的计算中只能用于计算阶数很小的行列式。注意到拉普拉斯公式的性质，如果一行或一列里面有很多个0，那么就可以把行列式按这一行或一列展开，这时数值为零的系数所对应的代数余子式就不必计算了，因为最后要乘以0，这样就可以简化计算。然而更加简便的算法是利用高斯消元法或LU分解法，把矩阵通过初等变换变成三角矩阵或三角矩阵的乘积来计算行列式的值。这些算法的复杂度都是级别，远远小于直接计算的复杂度。
如果一个算法可以在时间内算出矩阵乘法，那么可以构造出一种时间内的行列式求值算法。这说明求矩阵的行列式的值和矩阵的乘法有相同的复杂度。于是，通过分治算法或者其它的方法，可以达到比更好的结果。比如，存在复杂度的行列式求值算法。

行列式函数

由行列式的一般表达形式中可以看出，矩阵的行列式是关于其系数的多项式。因此行列式函数具有良好的光滑性质。

历史

行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，时间相差132年。

早期研究

1545年，卡当在著作《大术》（Ars Magna）中给出了一种解两个一次方程组的方法。他把这种方法称为“母法”（regula de modo）。这种方法和后来的克莱姆法则已经很相似了，但卡当并没有给出行列式的概念。
1683年，日本数学家关孝和在其著作《解伏题之法》中首次引进了行列式的概念。书中出现了、乃至的行列式，行列式被用来求解高次方程组。
1693年，德国数学家莱布尼茨开始使用指标数的系统集合来表示有三个未知数的三个一次方程组的系数。他从三个方程的系统中消去了两个未知量后得到一个行列式。这个行列式不等于零，就意味着有一组解同时满足三个方程。由于当时没有矩阵的概念，莱布尼茨将行列式中元素的位置用数对来表示：ij代表第i行第j列。莱布尼茨对行列式的研究成果中已经包括了行列式的展开和克莱姆法则，但这些结果在当时并不为人所知。

任意阶数的行列式

1730年，苏格兰数学家科林·麦克劳林在他的《论代数》中已经开始阐述行列式的理论，记载了用行列式解二元、三元和四元一次方程的方法，并给出了四元一次方程组的一般解的正确形式，尽管这本书直到麦克劳林逝世两年后（1748年）才得以出版。
1750年，瑞士的加布里尔·克莱姆首先在他的《代数曲线分析引论》给出了n元一次方程组求解的法则，用于确定经过五个点的一般二次曲线的系数，但并没有给出证明。其中行列式的计算十分复杂，因为是定义在奇置换和偶置换上的。
此后，关于行列式的研究逐渐增多。1764年，法国的艾蒂安·裴蜀的论文中关于行列式的计算方法的研究简化了克莱姆法则，给出了用结式来判别线性方程组的方法。同是法国人的亚历山德·西奥菲勒·范德蒙德（Alexandre-Théophile Vandermonde）则在1771年的论著中第一个将行列式和解方程理论分离，对行列式单独作出阐述。这是数学家们开始对行列式本身进行研究的开端。
1772年，皮埃尔-西蒙·拉普拉斯在论文《对积分和世界体系的探讨》中推广了范德蒙德著作里面将行列式展开为若干个较小的行列式之和的方法，发展出子式的概念。一年后，约瑟夫·拉格朗日发现了的行列式与空间中体积的联系。他发现：原点和空间中三个点所构成的四面体的体积，是它们的坐标所组成的行列式的六分之一。
行列式在大部分欧洲语言中被称为“determinant”（某些语言中词尾加e或o，或变成s），这个称呼最早是由卡尔·弗里德里希·高斯在他的《算术研究》中引入的。这个称呼的词根有“决定”意思，因为在高斯的使用中，行列式能够决定二次曲线的性质。在同一本著作中，高斯还叙述了一种通过系数之间加减来求解多元一次方程组的方法，也就是现在的高斯消元法。

行列式的现代概念

进入十九世纪后，行列式理论进一步得到发展和完善。奥古斯丁·路易·柯西在1812年首先将“determinant”一词用来表示十八世纪出现的行列式，此前高斯只不过将这个词限定在二次曲线所对应的系数行列式中。柯西也是最早将行列式排成方阵并将其元素用双重下标表示的数学家（垂直线记法是阿瑟·凯莱在1841年率先使用的）。柯西还证明了行列式的乘法定理（实际上是矩阵乘法），这个定理曾经在雅克·菲利普·玛利·比内（Jacque Philippe Marie Binet）的书中出现过，但没有证明。
十九世纪五十年代，凯莱和詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特将矩阵的概念引入数学研究中。行列式和矩阵之间的密切关系使得矩阵论蓬勃发展的同时也带来了许多关于行列式的新结果，例如阿达马不等式、正交行列式、对称行列式等等。
与此同时，行列式也被应用于各种领域中。高斯在二次曲线和二次型的研究中使用行列式作为二次曲线和二次型划归为标准型时的判别依据。之后，卡尔·魏尔斯特拉斯和西尔维斯特又完善了二次型理论，研究了-矩阵的行列式以及初等因子。行列式被用于多重函数的积分大约始于十九世纪三十年代。1832年至1833年间卡尔·雅可比发现了一些特殊结果，1839年，欧仁·查尔·卡塔兰（Eugène Charles Catalan）发现了所谓的雅可比行列式。1841年，雅可比发表了一篇关于函数行列式的论文，讨论函数的线性相关性与雅可比行列式的关系。

行列式与线性方程组

行列式的一个主要应用是解线性方程组。当线性方程组的方程个数与未知数个数相等时，方程组不一定总是有唯一解。对一个有n个方程和n个未知数的线性方程组，我们研究未知数系数所对应的行列式。这个线性方程组有唯一解当且仅当它对应的行列式不为零。这也是行列式概念出现的根源。
当线性方程组对应的行列式不为零时，由克莱姆法则，可以直接以行列式的形式写出方程组的解。但用克莱姆法则求解计算量巨大，因此并没有实际应用价值，一般用于理论上的推导。

行列式与多项式

早在高斯的时代，行列式就和多项式的研究联系在一起。行列式的一个应用是在所谓的“结式”上。结式是两个多项式和的西尔维斯特矩阵的行列式。两个多项式的结式等于0当且仅当它们有高于或等于一次的公因子多项式。结式还可以判断多项式是否有重根：如果多项式和它的微分多项式的结式不为零，那么这个多项式没有重根，否则有重根。
行列式在多项式逼近理论中也有出现。给定一组插值点，判别插值多项式的存在性需要看所谓的范德蒙矩阵，而由于范德蒙矩阵的行列式不为零，因此根据克莱姆法则，插值多项式唯一存在（次数小于插值点个数）。

行列式与多重积分

行列式体现了线性变换对于空间体积的作用，对于非线性的函数，其对体积的影响更为复杂，但对于足够“良好”的函数，在一个微小的范围内，比如说在空间中一点的附近，可以将函数的效果近似地用线性的变换来代替。由此，对于某些函数，也可以将它在某一点附近的作用效果用它在这一点上的偏导数构成的矩阵（称为雅可比矩阵）来表示。这类行列式被称为“雅可比行列式”，即是雅可比矩阵的行列式，只对连续可微的函数有定义。
在计算“体积”的多重积分中，雅可比行列式应用于换元积分的时候。积分的思想是将空间割成许多个微小的体积元，称为积分元素，再将每个体积元上的函数值乘以体积元的体积后相加。将一个积分元素换为另一个积分元素时，实际上作了一次对空间中体积的度量方式的改变：分划体积元的方式不同了。譬如在二维空间中，将直角坐标积分换为极坐标积分时，面积元素由方块区域变成扇形区域。因此，要测量这种体积度量方式的改变，可以将这种变换看成一个非线性的变换函数（实际上是一个微分同胚）：。而它在每一点的影响可以通过雅可比行列式来体现。