時頻分析

历史

最早的时频分析方法应见于Alfréd Haar提出的哈尔小波转换(1909)，然而在当时因时频分析所需的运算量仍是个无法忽视的议题，因此并未广泛应用于讯号处理。而后更多的贡献来自于Dennis Gabor，像是小波前身Gabor atoms (1947)，以及加伯转换和改进型的短时距傅里叶变换。维格纳准机率分布(Ville 1948)也是一个重要的开端。
特别在1930年代及1940年代，早期的时频分析方法恰好与量子力学的发展一致，这反映了位置-动量平面及时域-频域平面的数学机制有些共通性，像是海森堡不确定性原理(量子力学)与加伯限制(时频分析)最终都得出了扭对称几何结构。

常见的时频分布函数

常见的时频分布函数有短时距傅里叶变换（包含加伯转换）、科恩分布函数（包含韦格纳分布）、改进型韦格纳分布 ，以及加伯-韦格纳分布（Gabor-Wigner distribution function）函数及S转换等。
而这些看似不同的时频分析函数，其数学公式的由来都有些相关性，若想对时频分析的了解更加透彻，应在学习时将它们一起理解，而非都视为单一函数，像是做1/4次傅里叶变换可以解读成傅里叶变换在时频分析平面上转90°，而这个旋转做了4次后就会回到原本的函数，只做2次时则会视反转的图形。

应用

在接下来即将介绍的应用中，我们除了需要时频分布函数，还需要搭配其他的运算才能达到目的，而著名的线性标准转换（Linear canonical transform）可以帮助我们。我们可以利用线性标准转换来任意的改变一个讯号在时频分布平面上面的形状和位置，像是水平以及垂直的移动、扩大、shearing（扭曲），以及旋转（用分数傅里叶变换，fractional Fourier transform, FRFT）等。由此可见，线性标准转换让我们对于时频分布的处理更灵活。
这边我们列举一些时频分布之应用的例子。

找出瞬间频率

瞬间频率的定义是，其中 是讯号的瞬时相位。我们可以直接由时频分布的图形中看出每个时刻的瞬时频率是多少，不过前提是这个时频分布的图形要够清晰，因此，我们经常选用韦格纳分布函数来做进一步的分析。

滤波器设计

滤波器的目的就是要移除我们不要的部分，并保留我们要的部分。在没有应用时频分布之前，我们只能分别在时域跟频域上面来做过滤的动作，如下所示。

像上面这样只能分别在时域或频域上过滤的方式，并不适合处理每一种讯号。如果讯号在时域上或在频域上有重叠的话，这时候使用时频分布函数来做分析过滤，并搭配线性完整转换的操作，就可以做出更有效且灵活的滤波器。让我们看看以下的例子。

而在滤波器设计的应用中，时频分布通常处理的讯号是由很多个项所组成的，因此若用韦格纳分布来做分析的话，将会产生cross-term的问题。或许加伯转换、加伯-韦格纳分布函数，亦或Cohen's class 分布函数会是比较好的选择。

讯号分解

讯号分解的概念就跟滤波器设计很类似。

取样定理

由 Nyquist-Shannon取样定理且经过一番推导，我们大致上可以说一个讯号经过取样后而不产生失真（aliasing）的最低取样点数，会和这讯号在时频平面上图形的面积相等（事实上，没有一个讯号在时频平面上的面积有限的，因此我们省略了一些精确度）。接下来，让我们看看传统取样定理跟结合了时频分析以后的取样定理之差异。

若浅绿色的部分是我们取样的涵盖范围，则我们可以很明显的看出使用时频分析后，所需取样的点数会比之前少了许多，因此加快了我们的运算。当我们使用韦格纳分布函数时，可能会产生cross-term；另一方面，若使用加伯转换做分析的话，又可能会因为清晰度不佳而让所需要取样的面积又变大了。因此，选用哪个函数要视讯号的情形而定，如果讯号是单一项组成的，那么就使用韦格纳分布函数；然而，如果讯号是由多项组成的，则用加伯转换、加伯-韦格纳分布函数，或是Cohen's class 分布函数。

调变与多工

传统上，调变（modulation）与 多工（multiplexing）都只有分别在时域及频域上下功夫，也就是尽量塞满时域及频域上的空间，这都是一维的操作。如果我们利用时频分布函数，就可以将调变与多工的触角延伸至二维的时频平面上，所要做的就是塞满整个时频平面，做最有效的利用。由以下例子可以让我们更了解。
由上例可知，使用韦格纳分布来分析会有严重的cross-term问题，这非常不利于调变与多工的作业，因此不能选择它来做这种应用。

电磁波的传递

应用时频分析的观念，我们可以将一个电磁波表示成一个2x1的矩阵。而当电磁波经过一段free-space时，著名的Fresnel diffraction就产生了。Fresnel diffraction可以用线性完整转换的参数矩阵来表达，其中z是电磁波在free-space中传递的距离，而则是波长。

光学

光也是一种电磁波，所以在光学上的应用就跟电磁波传递很类似。
如果电磁波通过一片球面透镜片或是经过一个碟型面的反射，则线性完整转换的参数矩阵可分别表示为 和  ，其中f是球面透镜的焦距，而R是碟型面的半径。
用 LCT 来分析光学系统的好处是只需要用到2x2的矩阵运算，避免了复杂的物理理论和数学积分，但只有在“近轴”的情形下才能准确得到。

讯号鉴别

以下两个讯号无法经由单纯的傅里叶分析分辨出来，它们的频谱都长得一样。

不过幸亏有时频分布函数，我们可以看出随时间改变之频率的起落，进而鉴别讯号。这个想法也可以应用至模式识别。

语音

语音讯号的特性就是它的频率随着时间剧烈变化。因为语音讯号所涵盖的资讯非常的多，所以相对的计算时间会是很重要的考量。
根据Nyquist criterion及人耳可听的的频率上限约为20000Hz这两个条件，因此语音信号的取样频率需为40000左右。
然而我们对于时频分析的输出在时间轴的分辨率要求往往不会到这么高，加上时频分析出来的结果为原本输入讯号维度的两倍，为减少运算时间，我们会降低输出的取样频率，如100Hz。

以短时距傅里叶变换为例
可改写为
其中为输入信号的取样间隔，
为输出信号的取样间隔
其中需满足下列条件
(1) N为一整数
(2)
(3)
令
其中

近岸高频测流雷达

运用无线电受到海面反射来的回波频谱来估算表层海流。原理包括了几种物理现象，布拉格散射、多普勒效应、深水波假设。
海洋的表面是粗糙的，其中包含了各种波长的波浪，当一个近岸的测站发射无线电波，电波碰撞到海面，因为布拉格散射，波浪波长为二分之一的无线电波长的波浪会造成强的回波。
若是打向一静止的粗糙面，回波讯号的频率应该与发射频率相符，但海面上的波浪是行进的，对于电波接收站而言，其所收到的讯号，是一个移动中的讯号来源，所以观察到的回波频率因为多普勒效应，回波讯号频率不再是原发射频率，而会发生在发射频率加上一偏移频率。
因为波浪没有特定的方向，可说是在海面往四面传递，对于无线电侧站位置而言，远离的波会造成负的偏移频率，即回波频率降低，反之，靠近测站的波浪会形成一偏移频率为正的回波。
其偏移频率的大小值与波速相关，波浪波速根据深水波的假设，波速是波长之函数，因为先前布拉格散射，当无线电波频率给定，其回波讯号主要是二分之一无线电波长的波浪，故此偏移频率可以估计出来。
由于表层海流载着海表面的波浪走，所以观测到的无线电频谱，和预测上的频谱会有所不同，而这中间不同的量可以来估算出表层海流。
通常无线电波站都有Ｘ, Y, Z轴三个方向的天线，借由三个方向的接收讯号，雷达可以分辨出回波的方位，借由到达回波在时间轴上可以分辨出回波的距离。
以下举一个虚构的例子来解说。
无线电测站发出一频率为Fc，也就是波长为的无线电波，因为1) 海表面有波长不一的波浪2) 因为布拉格散射，波长为的波浪会产生较大的回波能量3)这些波浪四面传递，且波浪波速在深水波假设中，可以近似成。
回波的产生源，波浪，因为以波浪波速移动，多普勒现象的缘故，回波讯号会有一个频率位移Δf，远离测站靠近测站的波浪分别造成Fc-Δf， Fc+Δf的回波（如虚线所示）。
假设又一个靠岸（流向测站）表层海流，海流带着波浪行进，其结果是离岸的浪减速，靠岸的流加速，其在频率域相当于右偏（频率增加）。借着观察回波频率极强值（实线）和无流情况推算出来的频率强值之间的差距，来推算出迳向上流速（远离或靠近测站方向上的流速）。

鲸豚研究

鲸豚的研究常常仰赖著研究者现场目视观察，由于人力物力有限，只能在小范围内，海况佳，日间的情况下来研究。鲸豚的一大习性是发声，透过被动地监听鲸豚，研究者可以更进一步的来研究。以海豚的声音为例，最粗浅地看至少有两种，即click 和 whistle。二种声音从时频图来看是一目了然，二种在时频图有截然不同的特性，click是短时间(50-150 μs)宽频的信号(65 – 100kHz)，whistle是频率调变的讯号（2 – 20kHz）。一般来说，click信号和海豚用来定位导航，猎食有关，而whistle和海豚的社交，沟通有关。也有可能同一时间发出两种声音。这当中许多学问，包含各种声音的功能，发声的机制，有待厘清。

资料压缩

资料的压缩包含图像、影像及语音的压缩，其中最广为利用的时频分析方法应为小波分析。以影像来说，是用二维离散的小波转换进行压缩，图一为二维离散小波转换的结构图，所得的四个结果分别为影像中的低频及不同范围的高频成分，为影像中的低频成分，为水平方向的边缘，为垂直方向的边缘，为图像中的角落。而保留低频成分，舍弃其他高频部分，再进行数次的二维离散的小波转换，可得粗略但很接近原图的缩图，以达到缩图的效果，每进行一次二维离散的小波转换可将资料量缩为原图的1/4倍左右，其中小波分析的影像压缩以JPEG 2000为主。