集合论

集合论（英语：Set theory）或称集论，是研究集合（由一堆抽象对象构成的整体）的数学理论，包含集合和元素（或称为成员）、关系等最基本数学概念。在大多数现代数学的公式化中，都是在集合论的语言下谈论各种数学对象。集合论、命题逻辑与谓词逻辑共同构成了数学的公理化基础，以未定义的“集合”与“集合成员”等术语来形式化地建构数学对象。
现代集合论的研究是在1870年代由俄国数学家康托尔及德国数学家理察·戴德金的朴素集合论开始。在朴素集合论中，集合是当做一堆对象构成的整体之类的自证概念，没有有关集合的形式化定义。在发现朴素集合论会产生一些悖论后，二十世纪初期提出了许多公理化集合论，其中最著名的是包括选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论，简称ZFC。公理化集合论不直接定义集合和集合成员，而是先规范可以描述其性质的一些公理。
集合论常被视为数学基础之一，特别是ZFC 集合论。除了其基础的作用外，集合论也是数学理论中的一部分，当代的集合论研究有许多离散的主题，从实数线的结构到大基数的一致性等。

历史

现代集合论的研究开始于1870年代由康托尔及理察·戴德金提出的朴素集合论。一般数学主题的出现及发展都是由多名研究者的互动中产生的，但朴素集合论的开始是1874年康托尔的一篇论文《On a Characteristic Property of All Real Algebraic Numbers》。而在稍早的1873年12月7日，康托尔写信给戴德金，说他已能成功地证明实数的“集体”是不可数的了，这一天也因此成为了集合论的诞生日。
从公元前五世纪时，数学家们就在研究有关无穷的性质，最早期是希腊数学家芝诺和印度数学家，十九世纪时伯纳德·波尔查诺在此领域有相当的进展。现在对于无限的了解是从1867–71年康托尔在数论上的研究开始，1872年康托尔和理查德·戴德金的一次聚会影响了康托尔的理念，最后产生了1874年的论文。
当时的数学家对康托尔的研究有二种完全不同的反应：卡尔·魏尔斯特拉斯及理查德·戴德金支持康托尔的研究，而像利奥波德·克罗内克等结构主义者则持反对态度。康托尔的研究后来广为流传，原因是当中概念的实效性，例如集合之间的双射，康托尔对于实数较整数多的证明，以及由幂集所产生“无穷的无穷”的概念，等等。这些概念最后成为1898年《克莱因的百科全书》中的《Mengenlehre》（集合论）条目。
在1900年左右许多数学家发现朴素集合论会产生一些矛盾的情形，称为二律背反或是悖论，伯特兰·罗素和恩斯特·策梅洛均发现了最简单的悖论，也就是现在所称的罗素悖论：考虑“由所有不包含集合自身的集合所构成的集合”，记之为S。不管假设S 是或不是S 自身的元素，按照 S 的定义都会导致矛盾。罗素悖论也造成了第三次数学危机。
1899年时康托尔自己也提出一个会产生悖论的问题“一个由所有集合形成的集合，其基数为何？”因而产生康托尔悖论。罗素在1903年他所著的《数学原理》中也用此悖论来评论当时的欧陆数学。
不过上述的争论没有使数学家放弃集合论，恩斯特·策梅洛及亚伯拉罕·弗兰克尔分别在1908年和1922年的研究．最后产生了策梅洛-弗兰克尔集合论的许多公理。昂利·勒贝格等人在实分析上的研究用到集合论中的许多数学工具，后来集合论也成为近代数学的一部分。集合论已被视为是数学的基础理论，不过在一些领域中范畴论被认为是更适合的基础理论。

集合的本体论

若一个集合的所有元素都是集合，所有元素的元素都是集合……，此集合称为纯集合，例如只包括空集合的集合是一个非空的纯集合。在当代的集合论中，常常严格限制只考虑纯集合的冯·诺伊曼全集，许多公理集合论的系统也是为了纯集合的公理化。这様的限制有许多技术上的优点，因为基本上所有的数学概念都可以用纯集合来表示，上述的限制不影响相关的应用。冯·诺伊曼全集中的集合可以以累积层次（cumulative hierarchy）的方式整理，也就会依元素的深度、元素的元素的深度……来分类。层次中的每一个集合都会以超限递归的方式指定一个序数，称为集合的阶。纯集合X的阶定义为所有集合元素的阶的后继序数的最小上界。例如空集的阶定义为0，只包括空集的集合定义为1，针对每一个序数，集合按定义包含了所有阶数小于的纯集合，整个冯·诺伊曼全集用来表示。

应用

许多数学概念可以只用集合论的概念来准确定义。例如像图、流形、环和向量空间等数学结构都可以用满足特定公理性质的集合来定义。在数学领域中，等价关系及序关系无所不在，而数学关系的理论也可以用集合论来描述。
对许多数学理论而言，集合论也是很有发展性的基础系统。从集合论刊在《数学原理》的第一卷起，许多数学家声称大部分甚至全部的数学定理都可以用恰当设计的一些集合论公理来证明，其中可能会配合许多定义的加强，可能使用一阶逻辑或二阶逻辑。例如有关自然数或是实数的性质就可以用集合论来推导，每个数系都等同为某个由等价类组成的集合（从在某个无限集上的等价关系所得）。
集合论在数学分析、拓扑学、抽象代数及离散数学中的基础地位比较没有争议，数学家接受这些领域中的定理（或是比较基础的定理）可以由集合论中的公理及适当的定义推导出来。因为用集合论证明复杂理论的推导过程比一般的推导过程长很多，只有少量这种的证明被正式验证过。一个称为Metamath的验证计划，以ZFC集合论为起点，使用一阶逻辑来进行证明，包括了超过一万个定理证明的推导。

研究领域

集合论是数学的主要研究领域之一，其中也有许多和其他领域相关的子领域。

组合集合论

组合集合论也称为无限组合数学，将有限的组合数学延伸到无限集中。组合集合论包括基数算术的研究，以及拉姆齐定理的扩展，例如艾狄胥–拉多定理。

描述集合论

描述集合论是关于实直线或波兰空间上子集的研究。描述集合论是从对波莱尔层次中点集研究开始，后来延伸到更复杂的层次，像是射影层次及魏吉层次。波莱尔集中的许多性质可以建立在包括选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论上，但要证明更复杂的集合也符合这些性质的话，就需要有其他和决定性和大基数有关的公理。
有效描述集合论介于集合论和递归论之间，包括对浅体点集的研究，和超算术理论紧密相关。许多情形下，描述集合论的结果也可以用有效描述集合论来表示。有时，会先利用有效描述集合论来证明，再将其延伸（相对化），使其应用范围更广。
描述集合论的当代研究包括波莱尔等价关系及一些更复杂的可定义等价关系。描述集合论在许多数学领域的不变量研究都很重要。

模糊集

在康托尔定义的朴素集合论及后来发展的ZFC集合论中，一个对象和一个集合的关系只有二种：是成员或者不是成员。卢菲特·泽德在模糊集中放宽上述的限制，对象有对于集合的归属度（degree of membership），是一个介于0到1之间的数字。例如有关一个人对于“身材高大的人”集合的归属度不是简单的是或不是，而是一个数值，例如0.75。

力迫

保罗·寇恩的一些工作是寻找一个ZFC的模型，使得选择公理或连续统假设失效，在这过程中他发明了力迫。力迫法是一种扩张模型的方法，在集合论的某模型中加入一些额外的集合，来产生一个较大的模型，这样的模型会具有预期的性质（依赖于具体构造方式和原模型）。例如，在保罗·寇恩的构造中，他给原模型附加了额外的自然数子集，而没有更改原模型的任何基数。力迫也是利用有穷方法（finitistic method）证明相对一致性的二种方法中的一种，另一个方法是布尔值模型。

对集合论的异议

一开始，有些数学家反对将集合论当做数学基础，认为这只是一场含有“奇幻元素”的游戏。对集合论最常见的反对意见来自数学结构主义者（像是利奥波德·克罗内克），他们认为数学多少都和计算有些关系的，但朴素集合论却加入了非计算性的元素。
埃里特·比修普驳斥集合论是“上帝的数学，应该留给上帝”。而且，路德维希·维特根斯坦特别对无限的操作有疑问，这也和策梅罗-弗兰克尔集合论有关。维特根斯坦对于数学基础的观点曾被保罗·贝奈斯所批评，且被克里斯平·赖特等人密切研究过。
拓扑斯理论曾被认为是传统公理化集合论的另一种选择。拓朴斯理论可以被用来解释该集合论的各种替代方案，如数学结构主义、模糊集合论、有限集合论和可计算集合论等。