量子力學的數學表述

量子力学的数学表述（Mathematical formulation of quantum mechanics）是对量子力学进行严谨描述的数学表述体系。与20世纪初发展起来的旧量子论的数学形式不同，它使用了一些抽象的代数结构，如无穷维希尔伯特空间和这些空间上的算子。这些结构中有许多源于泛函分析。这一纯粹数学研究领域的发展过程既平行于又受影响于量子力学的需要。简而言之，物理可观察量的值，如能量和动量的值不再作为相空间上的函数值，而是作为本征值，或者更为精确地来说是希尔伯特空间中线性算子的谱值。
这一表述体系一直沿用至今。该体系的核心为“量子态”和“可观察量”这两个概念。对于原子尺度的系统来说，这两个概念与之前用来描述物理现实的模型大相径庭。虽然数学上允许对许多量的计算结果进行实验测量，但是实际上，在对于符合一定条件的两个物理量同时进行精确测量时，却存在一个理论性限制——不确定性原理。这一原理由维尔纳·海森堡通过思想实验首次阐明，且在该体系中以可观察量的不可交换性进行表述。
在量子力学作为一支独立理论形成之前，物理学中用到的数学理论主要是以微积分为源头、后来又添以微分几何与偏微分方程的数学分析。统计力学中还用到概率论。几何直观在这两个理论中扮演重要角色。相对论中的许多概念和方法也是基于几何理论。量子物理学中对于实验现象的一系列不同以往的理解在1895年到1915年间开始逐步形成。其中具有代表性的思想为波粒二象性。但在量子理论形成之前的10至15年中，物理学家仍然在经典物理学的框架内思考量子理论，所基于的数学结构也是完全相同的。其中具有代表性的例子是玻尔-索末菲量子化条件。这一原理完全建构于经典框架中的相空间。

旧量子论与量子力学的创立

1900年，马克斯·普朗克提出描述黑体辐射的普朗克公式。普朗克对于黑体的描述规避了经典物理学结果中的紫外灾变。他做出了这一假设，在物质与电磁辐射的相互作用中，能量的传递只能以一个个分立的单元的形式进行。这些小单元被称为量子，此外他还提出，量子包含的能量与辐射频率成正比。比例常数h后来为了纪念普朗克的功绩被命名为“普朗克常数”。1905年，阿尔伯特·爱因斯坦引用普朗克的假设，提出了“光子”这一概念，解释了光电效应的一系列实验现象。
这两个对于实验现象的理论解释与当时物理学的一些观念迥异。后来，玻尔等人基于这些假设，对于经典力学进行了改造，试图从第一性原理的角度上推导出原子的玻尔模型。他们假设，在一个力学系统相空间所能描述的所有可能的经典轨道中，物体只能在相空间中所围面积为普朗克常数整数倍的轨道上运动，即角动量量子化假设。后来这一假设进一步发展为玻尔-索末菲量子化条件。尽管玻尔的氢原子玻尔模型可以通过这一假设解释，但其却并不适用于氦原子等多电子原子。量子理论的数学表述在一段时期内仍前途未定。
1924年，路易·德布罗意提出了物质波假设，即波粒二象性不只对光子适用，对于电子以及其他物理系统也适用。量子力学的数学表述也于1925年至1930年获得突破性进展。埃尔温·薛定谔、维尔纳·海森堡、马克斯·玻恩以及帕斯库尔·约当为奠定量子力学的数学基础做出了突破性的工作。约翰·冯·诺伊曼、赫尔曼·外尔以及保罗·狄拉克也为其做出了基础性的贡献。基于不同方法的数学表述在后来得到了统一。对于量子理论的物理学解释也在海森堡发现不确定性原理以及尼尔斯·玻尔引入互补原理后得到统一。

新的量子理论

海森堡等人于1926年创立的矩阵力学是首个能够成功解释原子光谱量子化的理论。薛定谔也在同一年创立了波动力学。由于是采用当时物理学家已深为熟谙的微分方程表述的，波动力学更易理解，也更易计算并实现可视化。一年后，两种表述被发现是等价的。
薛定谔本人起初并没有提出量子力学中的概率性质，因为他认为电子波函数的模方应该解释为在空间中弥散的电荷密度。后来玻恩引入了波函数的概率解释，即某一位置的波函数的模方为一个粒子在该位置出现的概率。玻恩的解释迅速被玻尔接受。薛定谔所提出的方程与经典力学中的哈密顿-雅可比方程密切相关。量子力学与经典力学的对应在海森堡的矩阵力学中体现得更为明显。在博士学位论文中，狄拉克提出海森堡绘景中的算符方程与哈密顿力学中的动力学方程形式类似，正则量子化条件与泊松括号也存在一定的相似性。
更为准确地说，海森堡是在薛定谔之前创立矩阵力学的。这一表述是量子力学第一个有效的表述，是一个本质性的突破。海森堡的矩阵力学是基于无穷维矩阵的代数演算。这一表述与经典力学的数学表述方式大相径庭。不过，他的出发点是实验研究中所用到的“指标”，并且他也并没有意识到他的“指标方法”实际上就是矩阵方法。这一点后来是由玻恩阐明的。实际上在那个时代，线性代数并不像现在这样为物理学家所熟识。
尽管薛定谔在创立波动力学一年后自行证明了自己的方法与海森堡的方法的等价性，但证明两种方法相互调和并将它们抽象为希尔伯特空间中的运动的工作是由狄拉克完成的。他是在1930年发行的经典著作《量子力学原理》中阐明这一点的。他是量子力学的第三位也可能是最为重要的支柱性的人物。他在不久后发现了该理论的相对论推广。他还发展出量子力学的狄拉克符号，引入了希尔伯特空间中泛函分析使用到的一些的抽象概念，并发现了系统动力学第三种表述，相互作用绘景。他的工作极大地推广了量子力学理论。
基于这一思路的第一个完备数学表述体系现在被称为狄拉克-冯诺伊曼公理体系。这一理论体系现在一般认为是冯·诺伊曼在其1932年发行的专著《量子力学的数学基础》中提出的。尽管此前外尔已经在其1927年发表的论文著作中引入了希尔伯特空间（他自己将之称为“幺正空间”）。这一体系采用的方法是数学中基于线性算符的谱理论，而非大卫·希尔伯特在一个世代前所采用的二次型方法。尽管量子力学理论如今依然在发展，但所采用的数学表述的基本框架仍是基于冯·诺伊曼的工作的。换言之，目前有关量子力学诠释的探讨及其延伸话题大多是围绕着数学基础理论中共用假设的基础展开的。

量子力学的数学结构

对于一个物理学系统的描述基于以下三个基本要素：量子态、可观测量以及动力学表述（或者说时间演化规则），或者更普遍的来说是物理对称群。经典力学中，物理学系统直接在相空间中进行描述：相空间是一个辛流形，系统的状态是相空间中的一个点，可观测量是相空间上的实函数，时间演化规则由描述相空间辛变换的单参数群给出，物理对称性由辛变换实现。量子力学的描述则是：系统的状态构成一个希尔伯特空间，可观测量是状态空间的自共轭算符，时间演化规则由状态空间幺正变换的单参数群给出，物理对称性是由幺正变换实现的。

基本表述

以下几条对于量子力学的数学框架的总结部分源于狄拉克-冯诺伊曼公理体系。除了下面几条性质外，还需要考虑到系统的一些基本性质与原理，如下文提到的自旋及泡利不相容原理。

量子态

每个物理学系统的状态都与一个拓扑可分复希尔伯特空间有关，这个希尔伯特空间具有内积。H中的束（一维亚空间）与系统的量子态有关。换言之，物理学系统的状态可以利用H中长度为1的矢量等价类表述，两个矢量只有在相差一个相位因子时才能表示同一个态。可分性这一假设在诠释当状态经过有限次的测量可以确定时的情形中可以用到。一个量子态是射影希尔伯特空间中的一个“束”，而并非一个“矢量”。但在一些现实情景中，却并不强调这两个概念间的区别。这一点部分源于薛定谔方程的表述中涉及到的是希尔伯特空间“矢量”，并近而衍生出“态矢”这一并不严格的术语。
复合系统的状态空间是分系统状态空间的希尔伯特空间张量积。对于一个由可数的可分粒子组成的非相对论系统，其分系统就是单一的粒子。

对称性

依据维格纳定理，作用于状态空间的物理学对称性是幺正的或是反幺正的。超对称性的情况与之不同。

动力学绘景

依据所关注的问题不同，我们可以构造不同的动力学绘景。较为重要的绘景包括：薛定谔绘景、海森堡绘景以及相互作用绘景。

三种绘景的比较

海森堡绘景与经典物理学中的哈密顿力学的联系最为密切，例如海森堡方程中出现的对易子的性质与泊松括号的性质就存在类似之处。从教学的角度上来说，薛定谔绘景一般认为是三种绘景中最易于理解、可视化的。相互作用绘景常用于微扰理论，在量子场论及多体问题中特别常用。
通过物理系统的对称性的单参数群，还可以构造类似的绘景。时间可以由一个合适的表征酉群的参数取代，例如旋转角或是平移距离，而哈密顿量则可以由与对称性有关的守恒量取代，例如动量或者角动量。

表象

薛定谔方程的形式取决于海森堡正则对易关系所选定的表象。依据斯通-冯诺伊曼定理，所有不可约的有限维海森堡对易关系都是酉等价的。由此可以得到量子力学的相空间表述，即可以在相空间而不一定是希尔伯特空间中解决问题。这一方法与经典力学的直观联系更为密切，同时可以简化由经典力学到量子力学的量子化问题。
选定不同表象的结果在量子谐振子这个精确可解的系统中体现得尤为明显。在这一系统中，除了可以选定位置表象与动量表象以及相空间表象外，还可以选定量子数表象以及谐振子表象。这几种表象都是酉等价的。

作为算符的时间

在上文已经述及的框架中，时间一直作为其他变量变化所依靠的参数，但时间自身作为可观察量的量子力学表述也是存在的。在经典力学中，可以以任意一个非物理参数s来去描述粒子运动轨迹。在这样的情况中，时间t成为了系统额外的一个广义坐标。在量子力学中，系统在s中的平移可以由“哈密顿算符”H − E表述，其中E为能量算符，H为“一般”哈密顿算符。然而，由于s是一个非物理学参数，系统在s演化前后保持不变，所以物理状态空间是H − E的零空间。这需要用到结构希尔伯特空间以及范数的重正化。这一问题与约束系统的量子化及规范量子化理论有关。

相对态诠释

休·艾弗雷特三世曾提出测量问题的另一种诠释——相对态诠释。后世的物理学家一般称其为多世界诠释。