希爾伯特-黃轉換

希尔伯特-黄转换（Hilbert-Huang Transform），由台湾中央研究院院士黄锷（Norden E. Huang）等人提出，将欲分析数据分解为本质模态函数（intrinsic mode functions, IMF），这样的分解流程称为经验模态分解(Empirical Mode Decomposition, EMD)的方法。然后将IMF作希尔伯特转换(Hilbert Transform)，正确地获得资料的瞬时频率。此方法处理对象乃针对非稳态与非线性讯号。与其他数学转换运算（如傅立叶变换）不同，希尔伯特-黄转换算是一种应用在数据资料上的算法，而非理论工具。

停止准则(Stopping Criterion)

为了确保经验模态分析法分解出的本质模态函数能够保留瞬时频率与瞬时振幅的物理意义，必须设定筛选的停止准则来决定筛选的次数，以避免次数过多，破坏其信号的物理性质。而大部分的判断准则建立在振幅及能量的判断上，以下将介绍几种不同的停止准则。
标准差准则:利用连续两次筛选结果的分量标准差(Standard Deviation, SD) 作为停止准则如下式所示，一般当标准差小于0.2到0.3间时，即停止筛选动作。
S数准则(S Number Criterion):订连续S次的筛选，当极值数目与跨零点数目相同时，即停止筛选动作。若S值够小，迭代的速度较快，但不能确保本质模态函数为严格对称；当S值越大时，所需的迭代过程不但越费时，且可能破坏瞬时频率和瞬时振幅所代表的物理意义。通常S值介于3到5之间为最佳的停止准则。
能量差异追踪法(Energy Different Tracking):假设原始讯号x(t)包含着有限个彼此不相关的正交分量xᵢ(t)
则原始讯号x(t)的总能量可以表示为
如果从经验模态分析法分解出的讯号本质模态函数c₁(t)正好就是正交分量x₁(t) ，则维持能量守恒；但如果c₁(t)并非与原始讯号x(t)正交，则总能量表示为
此时Eₜₒₜ ≠Eₓ ，会产生一个能量差异Eₑᵣᵣ 。若分量彼此间是正交的特性，表示所得到的本质模态函数不会有尺度混合的问题。实际上必然存在能量泄漏的现象，故本质模态函数分量间并非完全正交，所以只要假设一个够小的|Eₑᵣᵣ| 当作停止准则，所分解出来的IMF正交性越高，其讯号的完整性、瞬时振幅与瞬时频率特性也会比以标准差(SD)为停止准则来的好，可以降低不必要的振荡，尤其在初始边界的部分。
阈值准则:以两阈值θ₁和θ₂作为停止准则。先用上下包络线算出模态振福(mode amplitude)，其式为
再求出包络线均值m(t)与模态振幅的绝对比值，称之为估计函数(evaluation function,e(t) )：
当整体资料中规定的部分(1-α)达到e(t)<θ₁，而且其剩余部分达到e(t)<θ₂ ，则迭代停止。订定θ₁的目的是确保全域的小波动为均值使得本质模态函数不会产生不必要的振荡；而θ₂是考量到局部可能发生的间断性大偏离情况。典型的参数设定为α ≈ 0.05，θ₁ ≈ 0.05 ，θ₂ ≈ 10θ₁ 。

混模问题(Mode Mixing Problem)

在经验模态分解的过程中，会有混模问题产生，混模问题就是在同一个本质模态函数里会有不同尺度的讯号混杂，或者是同一尺度的讯号出现在不同的本质模态函数里。混模问题的发生是因为某些系统讯发生间断性讯号(intermittence)，间断性讯号会使经验模态分析法分解无法正确分解出同一尺度的讯号。混模会造成本质模态函数失去物理意义。此外，混模问题也可能使经验模态分解的算法不稳定，任何扰动都可能会产生新的本质模态函数。
有关于混模问题的解决，在2005年有人提出了以弦波辅助的遮罩方法(masking method)来解决混模问题，而在2009年黄锷等人提出了以噪声辅助的总体经验模态分解法(Ensemble Empirical Mode Decomposition)，利用加入白噪声(white noise)来解决混模问题。

IMF的统计特性(Statistical Significance of IMFs)

EMD能够将一个信号拆解成数个部分，但通常不能够将讯号与噪声彻底分开来，在每一个输出的轨道之中，或多或少都参杂着一些噪声。
由于自然中常见的噪声都是白噪音，借由混杂不同振幅程度的白噪音至原讯号，可以得到不同的曲线，借由设定不同的边界之后，再汇入EMD得到的各个IMF，便可以得知该IMF投射到这个信号-噪声座标图上的位置，借此作为权重各个IMF的有效性，分别出何者含有较多的目标讯息量，何者含有较多的噪声。此类方法用来分类各种IMF的有效性上有非常好的成效，唯一的缺点是由于必须要建构出一张信号-噪声座标图，会产生许多额外的运算量。而这样的缺点，在资料量非常大的时候，如果要得到一个够准确信号-噪声座标图，会造成系统稍大的负担。

遮罩方法(Masking Method)

为一种弦波辅助的资料分析方法(sinusoidal assisted data analysis)，利用加减一个高于所有讯号频率的弦波，使得极值出现的速率一致(消除间断性特性)来解决混模问题。
主要流程为
步骤 1 :利用频谱分析方法找出频谱的组成
步骤 2 :加减一个高于频谱上最高频率的遮罩弦波讯号以消除间断性特性
步骤 3 :分别做经验模态分解得到良好的本质模态函数
步骤 4 :将其相加除以二来抵消遮罩讯号
遮罩方法有三个问题
1.没有针对相位做处理，使极值点出现错误。
2.遮罩的弦波讯号频率需要远小于取样频率。
3.只能针对比较简单的合成讯号做处理。

总体经验模态分解法(Ensemble Empirical Mode Decomposition)

针对混模问题，黄锷等人在2009年提出总体经验模态分析法(Ensemble Empirical Mode Decomposition, EEMD) 做为改善，总体经验模态分解法为一种噪声辅助的资料分析方法(noise-assisted data analysis)，首先对讯号加入白噪声(white noise)，再对讯号作经验模态分解，并重复做以上两个步骤若干次后得到若干组本质模态函数，最后将各自的本质模态函数取平均来抵销噪声造成的影响。
总体个数的选择：加入的白噪声造成的影响，根据已知的统计理论，其影响与总体个数的关系为
,其中N是总体个数，是加入噪声的大小，是最后误差的标准差，误差为输入讯号和对应的本质模态函数的差值。
噪声强度的选择：提出者建议以0.2倍原始资料的标准差当作噪声强度，另外当资料以高频讯号为主体时，噪声强度需要下降；当资料以低频讯号为主体时，噪声强度需要提高。
后处理：因为总体经验模态分解做完后所得到的本质模态函数并不是真的符合先前本质模态函数的定义，因此黄锷院士等人又提出了总体经验模态分解法的后处理(Post-processing)，其方法为做完总体经验模态分解法后，把所得到的本质模态函数再去各自做经验模态分解，其处理流程主要是把总体经验模态函数处理过的第一个得到的本质模态函数再经过经验模态分解分解成第一个真正的本质模态函数和第一个残差，再把总体经验模态函数处理过的第二个本质模态函数加上第一个残差做经验模态分解成第二个真正的本质模态函数和第二个残差，以此类推。
总体经验模态分解法虽然可以解决混模问题，但是运算复杂度比传统经验模态分解多了总体数量的倍数，难以运用在需要即时运算或是资料量大的讯号上。

应用

由前述可知，希尔伯特-黄转换与传统的傅立叶转换、小波转换（wavelet）、短时间傅立叶转换（short-time fourier transform, STFT）不同等建立在卷积（Convolution）上的讯号处理方式，希尔伯特-黄转换是一套基于差值所建立出来的讯号处理模式，在大多数的情况下，运算量会远小于上述基于旋积所延伸出来的讯号转换方式。
由于本质上的差异，透过希尔伯特-黄转换在各种应用上，皆有可能得到一种新的解读方式与成果，因此希尔伯特-黄转换被广泛到运用到各个领域之中：
1.ECG的分析：
由于ECG再测量时，常会有基准线(baseline)的偏移，因此使用希尔伯特-黄转换最后可以在EMD中，找到整体的趋势线，将之屏弃之后就能得到基准线校准之后的ECG信号。
除此之外，ECG经过希尔伯特-黄转换处理之后，可以有效的滤掉原本的高频噪声，使得相较于FFT之后的频谱，相较于直接转换的原讯号相比，在ECG相对应的峰值频率能够较为专一清楚。
2.太阳黑子的观测： 2015年1月21日 (三) 17:56 (UTC)
太阳黑子是观察太阳活动的一个重要依据，透过太阳黑子的观测，人们可以得知太阳目前的活跃程度，由于太阳黑子的多寡大小等，皆为不稳定、非线性的讯号，因此对于傅立叶变换来说，
可能会因为Windows Function的性质差异，使得反映出来当下的资料有所误差。而对于希尔伯特-黄转换来说，并不会造成太大的影响，因此希尔伯特-黄转换在太阳黑子的观测上能有较佳的结果。
3.语音辨识：
由于每个人的音色、说话习惯是截然不同的，透过希尔伯特-黄转换，能够将各种不同频率的泛音以及振幅有规律且有效的分离出来，对于语音辨识来说是非常好的转换工具。同时，除了作为区分人与人之间身份的特性之外，希尔伯特-黄转换之后的语音讯号，对于应用大量机器学习的语音相关技术来说，是一个分类清楚且特性明显的训练资料，能够进一步用来发展语意辨识等需要依靠大量资料，才能建构出有效模型的技术。此类特性为傅立叶转换难以比拟的。
4.建筑结构的检测：
希尔伯特-黄转换能将讯号拆解成许多种子讯号，透过比对结构检测产生的讯号，能清楚的找到异常的检测讯号，并进一步找出建筑结构有安全疑虑之处。
5.经济数据的预测：
希尔伯特-黄转换可以处理金融相关的趋势，找到短期中期长期的相关趋势。
6.影像处理：
希尔伯特-黄转换在改良EMD之后,在影像的融合与增强上，相较于原本的EMD快上一倍。
7.地震研究：
希尔伯特-黄转换用来处理地震表面波的散射并比对经过傅立叶转换后之后的地震信号，提供另一种角度研究并解析地震信号。
公元1999年时，台湾发生惨重的集集大地震，在事后比对由傅立叶转换所产生的频谱分析，发现在非静态、非线性的的表面信号之中，因为傅立叶转换本身线性的特性，使得低频信号被严重低估，同时产生大力的高频泛音。
由于地震讯号大多为非静态、非线性的，这样的特性透过希尔伯特-黄转换分析，可能可以得到重大的分析成果，透过分离并保真原有信号，可以得知高频讯号与低频讯号可能发别来自于不同的区域，借此研究地壳运动。
8.神经科学：
EEG运用希尔伯特-黄转换之后，将之与TMS做比对，找寻脑部对于输入信号的反应。
9.大气科学：

由于大气科学中，无论是气流、降雨等，多半皆为间歇性的讯号，并不会是一个稳定的连续信号，不过透过带宽较窄的IMF，使得最后得到的结果，可以呈现一个周期且有趋势的变化。例如：曾经有研究运用希尔伯特-黄转换以3至5年为周期分析后指出维吉尼亚（Virginia）的降雨与Southern Oscillation 指数的相关系数高达0.65。

总结以上，可以发现希尔伯特-黄转换与传统的频谱分析有极大的差异，希尔伯特-黄转换由于透过EMD来分析，使得其在预测趋势、分类资料（频率、时间）上，相较于传统的基于傅立叶转换所发展出来的信号技术，更能够让使用者从信号之中找到想要的趋势，因此在各个不同领域之中，都能或多或少看到希尔伯特-黄转换的应用。这些应用在传统信号处理领域是较为少见的，不过由于希尔伯特-黄转的建立方式的特性，使得他在统计上拥有极大的优点。

曲线选择

由上述可知，经验模态分解(EMD)是透过最大值重建讯号，并剔除之。因此，渐进的方式对于希尔伯特-黄转换来说，是一个非常重要的选择，不同的渐进选择会影响到希尔伯特-黄转换最后的结果。在大多数的情况之中，所选择的大多都是贝兹曲线，其能够有效产生出弦波，不过在某些极端例子中，例如脉冲波等，使用贝兹曲线作为希尔伯特-黄转换的渐进方式，会使得得出来的结果变得平滑而丧失了脉冲波的特性。因此针对输入信号选择适当的渐进方式，对于希尔伯特-黄转换是非常重要的课题。一般而言，越多阶（order）的曲线会得到较佳的渐进效果，不过同时的也会增加计算量。
同时，倘若没有设定结束递回的条件，任意一个讯号最后是否都能制造出有限组IMF，换言之，IMF的叠加是否可以收敛成任意一个讯号，这个问题在经过证明之后，发现是一个NP问题。

结论

傅立叶变换是将一个讯号分解成无限多个弦波来分析资料，但是希尔伯特-黄转换则是将一个讯号分解成数个近似于弦波的讯号（周期、振幅不固定）和一个趋势函数来做分析。
两者各有其优缺点，整理如下
优点：
1.避免复杂的数学运算
2.可分析频率会随时间变化的讯号
3.较适于分析气候、经济等具有趋势的资料
4.可以找出一个函数的趋势

缺点：
1.缺乏严谨的物理及数学上的意义
2.需要复杂的递回，运算时间反而比短时距傅立叶变换要长
3.希尔伯特转换未必能正确计算出本质模态函数之瞬时频率
4.无法使用快速傅立叶变换
5.只有在特例（组合较简单的资料）时使用希尔伯特-黄转换较快
传统上认为希尔伯特-黄转换是一套无用且精准度低的方式，同时在发展前期，受到Bedrosian theorem的限制，直到后续又许多改良方法之后，使得希尔伯特-黄转换的缺点得到改善。同时其善于处理非静态、非线性的特性使得希尔伯特-黄转换提供了另外一套分析工具，弥补了傅立叶转换先天上的系统限制。混合两种方式之后，相较于单用一种方式的信号，能够得到更多的资讯提供判读及分析。