频率分析

频率分析在数学、物理学和信号处理中是一种分解函数、波形、或者信号的频率组成，以获取频谱的方法。
在密码学中，频率分析是指研究字母或者字母组合在文本中出现的频率。应用频率分析可以破解古典密码。
频率分析基于如下原理：在任何一种书面语言中，不同的字母或字母组合出现的频率各不相同。而且，对于以这种语言书写的任意一段文本，都具有大致相同的特征字母分布。比如，在英语中，字母E出现的频率很高，而X则出现得较少。类似地，ST、NG、TH，以及QU等双字母组合出现的频率非常高，NZ、QJ组合则极少。英语中出现频率最高的12个字母可以简记为“ETAOIN SHRDLU”。

简单替换密码的频率分析

在一个简单的替换密码中，明文中的每一个字母都被另一个字母替换,而且明文中相同的字母在转换为密文时总是被同一个字母所替换。比如，所有的e都会被替换成X.一个含有大量X的密文消息会向密码破译者暗示X替换e.

一个例子

现假设爱丽丝与鲍伯中的伊夫截获了一段密码（列于下方），它使用了一个简单替换密码进行加密：
LIVITCSWPIYVEWHEVSRIQMXLEYVEOIEWHRXEXIPFEMVEWHKVSTYLXZIXLIKIIXPIJVSZEYPERRGERIM
WQLMGLMXQERIWGPSRIHMXQEREKIETXMJTPRGEVEKEITREWHEXXLEXXMZITWAWSQWXSWEXTVEPMRXRSJ
GSTVRIEYVIEXCVMUIMWERGMIWXMJMGCSMWXSJOMIQXLIVIQIVIXQSVSTWHKPEGARCSXRWIEVSWIIBXV
IZMXFSJXLIKEGAEWHEPSWYSWIWIEVXLISXLIVXLIRGEPIRQIVIIBGIIHMWYPFLEVHEWHYPSRRFQMXLE
PPXLIECCIEVEWGISJKTVWMRLIHYSPHXLIQIMYLXSJXLIMWRIGXQEROIVFVIZEVAEKPIEWHXEAMWYEPP
XLMWYRMWXSGSWRMHIVEXMSWMGSTPHLEVHPFKPEZINTCMXIVJSVLMRSCMWMSWVIRCIGXMWYMX
在这个例子中，大写字母表示密文，小写字母则表示明文（或猜测在这样），而X~t用来代表一个关于：密文X 代表明文t的猜测。
伊夫可以使用频率分析，以下面的消息来帮助解决密文大意：单字母中I最为常见；XL是最为常见的双字母组；而XLI则为最为常见的三字母组，且密文中找不到D。根据英文的字母分布，e是最常见的单字母，th是最为常见的双字母组，而the则为最为常见的三字母组。因些她猜测X~t、L~h及I~e。第二个密文中最常见的字母是E；t是英文中第二常见的字母，因此应该是E~t，但由于已假设X~t，所以伊夫暂且假设E~a。姑且让这些假设进行解码，获得以下的（部分）已解密消息。
heVeTCSWPeYVaWHaVSReQMthaYVaOeaWHRtatePFaMVaWHKVSTYhtZetheKeetPeJVSZaYPaRRGaReM
WQhMGhMtQaReWGPSReHMtQaRaKeaTtMJTPRGaVaKaeTRaWHatthattMZeTWAWSQWtSWatTVaPMRtRSJ
GSTVReaYVeatCVMUeMWaRGMeWtMJMGCSMWtSJOMeQtheVeQeVetQSVSTWHKPaGARCStRWeaVSWeeBtV
eZMtFSJtheKaGAaWHaPSWYSWeWeaVtheStheVtheRGaPeRQeVeeBGeeHMWYPFhaVHaWHYPSRRFQMtha
PPtheaCCeaVaWGeSJKTVWMRheHYSPHtheQeMYhtSJtheMWReGtQaROeVFVeZaVAaKPeaWHtaAMWYaPP
thMWYRMWtSGSWRMHeVatMSWMGSTPHhaVHPFKPaZeNTCMteVJSVhMRSCMWMSWVeRCeGtMWYMt
使用这些初始的猜测，伊夫发现了某些规律，来让她可以确认其猜测，例如"that"。此外，其他规律则建议了进一步的猜测："Rtate"可能是"state"，即R~s。同样，"atthattMZe"可以是"atthattime"，写出M~i及Z~m。而且，"heVe"可能是"here"，给出V~r。再填入本来的密文，获得：
hereTCSWPeYraWHarSseQithaYraOeaWHstatePFairaWHKrSTYhtmetheKeetPeJrSmaYPassGasei
WQhiGhitQaseWGPSseHitQasaKeaTtiJTPsGaraKaeTsaWHatthattimeTWAWSQWtSWatTraPistsSJ
GSTrseaYreatCriUeiWasGieWtiJiGCSiWtSJOieQthereQeretQSrSTWHKPaGAsCStsWearSWeeBtr
emitFSJtheKaGAaWHaPSWYSWeWeartheStherthesGaPesQereeBGeeHiWYPFharHaWHYPSssFQitha
PPtheaCCearaWGeSJKTrWisheHYSPHtheQeiYhtSJtheiWseGtQasOerFremarAaKPeaWHtaAiWYaPP
thiWYsiWtSGSWsiHeratiSWiGSTPHharHPFKPameNTCiterJSrhisSCiWiSWresCeGtiWYit
反过来，这些猜测还建议一些例子（例如"remarA"可能是"remark"，即A~k）。接着，相对简单地就可推断出其余字母，最终产生明文：
hereuponlegrandarosewithagraveandstatelyairandbroughtmethebeetlefromaglasscasei
nwhichitwasencloseditwasabeautifulscarabaeusandatthattimeunknowntonaturalistsof
courseagreatprizeinascientificpointofviewthereweretworoundblackspotsnearoneextr
emityofthebackandalongoneneartheotherthescaleswereexceedinglyhardandglossywitha
lltheappearanceofburnishedgoldtheweightoftheinsectwasveryremarkableandtakingall
thingsintoconsiderationicouldhardlyblamejupiterforhisopinionrespectingit
到了此时，伊夫便可以加上空格及标点符号：
Hereupon Legrand arose, with a grave and stately air, and brought me the beetle
from a glass case in which it was enclosed. It was a beautiful scarabaeus, and, at
that time, unknown to naturalists—of course a great prize in a scientific point
of view. There were two round black spots near one extremity of the back, and a
long one near the other. The scales were exceedingly hard and glossy, with all the
appearance of burnished gold. The weight of the insect was very remarkable, and,
taking all things into consideration, I could hardly blame Jupiter for his opinion
respecting it.
其实这个例子是来自金甲虫，正好伊夫的猜测全部正确。这并非总是如此，个别明文中的统计资料变化可能意味着最初的猜测并不正确。这样可能就要做回溯法来更正错误或进一步推测。
明文中没有表现出预期的字母频率分布也有可能。越短的消息越会表现出其更多的变化。明文本来就是经过人为扭曲的文本，例如整篇明文没有了一些字母，通常会是最常见的“e”，这样就称为漏字文。

小说中的频率分析

柯南‧道尔所写的侦探小说《福尔摩斯‧归来记》中《跳舞的人》篇中，福尔摩斯就在墙上看到五个跳舞人的画，他从英语用语对答的常用性与英语使用频率最高的字母E猜出了其中一次跳舞人画所代表的字为Never，从而破解了字谜。
爱伦坡的《金甲虫》亦是一小说有密文的例子。