射影平面

在数学里，射影平面（projective plane）是一个延伸平面概念的几何结构。在普通的欧氏平面里，两条线通常会相交于一点，但有些线（即平行线）不会相交。射影平面可被认为是个具有额外的“无穷远点”之一般平面，平行线会于该点相交。因此，在射影平面上的两条线会相交于一个且仅一个点。
文艺复兴时期的艺术家在发展透视投影的技术中，为此一数学课题奠定了基础。射影平面的典型范例为实射影平面，亦称为“扩展欧氏平面”。此一范例在代数几何、拓扑学及射影几何内都很重要，在各领域内的形式均略有不同，可标计为PG(2, R)、RP² 或 P₂(R) 等符号。还有许多其他的射影平面，包括无限（如复射影平面）与有限（如法诺平面）之类型。
射影平面是二维射影空间，但并不是所有射影平面都可以嵌入三维射影空间内。射影平面是否能嵌入三维射影空间取决于该平面是否为笛沙格平面。

投影莫尔顿平面

以一般的坐标表示，所有莫尔顿平面的点都是欧氏平面上的点。要从欧氏平面造出莫尔顿平面，有些线须被重新定义。亦即，部分点组成的集合将会改变，但其他的线则会维持不变。重新定义所有具负斜率的线，使这些线上的点在负x坐标（y轴左边）时维持原来的点，但在正x坐标（y轴右边）时以具相同的y轴截点但为两倍斜率之线上的点取代之，看起来就像是个“弯曲”的线。
莫尔顿平面有平行线，且为仿射平面。该平面可被投影化，如同前面的例子一般，以获得“投影莫尔顿平面”。笛沙格定理不论是在莫尔顿平面或投影莫尔顿平面上都不是个有效的定理。

经典例子

实射影平面 RP² 为将K 取为实数 R 时产生之射影平面。作为一封闭、不可定向的实二维流形，该平面常被当作拓扑学里的一基本例子。
在此一建构中，考量 R³ 内球心在原点的一单位球面。每个在此一建构内三维的线会与球面相交于一对对极点。因为三维的线表示RP² 内的一点，所以可取该球面上的对极点，得到 RP² 的相同模型。RP² 内的线在对极点的建构之下，则为该球面上的大圆（三维的平面与球面的相交）。上述描述给出椭圆几何的标准模型。
复射影平面 CP² 则为将K 取为复数 C 时产生之射影平面。该平面是个封闭复二维流形，且因此是个封闭、不可定向的实四维流形。该平面与在其他体上的射影平面均被当作代数几何内的基本例子。
四元射影平面亦被视为一独立的有趣课题。

有限域平面

由韦德伯恩小定理可知，有限除环必定可交换，且为一个体。因此，此一建构的有限例子亦被称为“体平面”。取 K 为一具q = pⁿ（其中 p 为素数）个元素的有限域，则会产生一个具q² + q + 1 个点的射影平面。该体平面通常标记为PG(2,q)，其中 PG 表示射影几何，“2”为其维度，而 q 则为该平面的“阶”（为任一线上的点之数量减一）。下面所讨论的法诺平面即标记为PG(2,2)。“有限的范例”一节中所举的例子为射影平面PG(2,3)。
法诺平面是由具2个元素的体所产生的射影平面，为最小的射影平面，仅具7个点及7条线。在右图中，以小黑点表示7个点，并以6个线段与1圆圈表示7条线。不过，亦可等价地将小黑点视为“线”，并将线段与圆圈视为“点”。这为射影平面内对偶性的一个例子：若线与点互换，其结果仍为射影平面（见下文）。7个点的排列会将共线点（于同一线上的点）换成共线点，这称之为该平面的直射变换或对称性。一几何的直射变换会形成一个在排列下的群，而对法诺平面来说，该群(PΓL(3,2) = PGL(3,2)) 有168个元素。

笛沙格定理与笛沙格平面

笛沙格定理在射影平面上是普遍有效的，当且仅当该平面可由如上述在除环上的三维向量空间所建构。此类平面称之为“笛沙格平面”，因吉拉德·笛沙格而得名。实（或复）射影平面与上述的三阶射影平面均为笛沙格射影平面的例子。无法依此方法建构的射影平面则称为非笛沙格平面，而上面的莫尔顿平面即为一例。PG(2,K) 的标记法仅适用于笛沙格平面。

子平面

射影平面的子平面是指该平面上点的子集，使其可组成具相同重合关系的射影平面。
理查德·于贝尔·布鲁克于1955年证明下列定理。令 Π 为 N 阶有限射影平面，且具M 阶的纯子平面Π₀，则 N = M² 或 N ≥ M² + M。
当 N 为完全平方数时， 阶的子平面称之为“贝尔子平面”（Baer subplanes）。每个平面上的点均处于贝尔子平面的一条线上，且每条平面上的线均包含一个贝尔子平面上的点。
在有限笛沙格平面PG(2,pⁿ) 里，其子平面的阶为有限域GF(pⁿ) 子域的阶，亦即为pⁱ，其中 i 为 n 的约数。而在非笛沙格平面上，布鲁克定理可给出与子平面的阶有关的唯一讯息。该定理中不等式仍不知其为等式时的条件为何。是否在N 阶子平面里存在一个M 阶子平面，使得 M² + M = N，这仍是个未解的问题。若此类子平面存在，则必为合数（非素数）阶的射影平面。

仿射平面

欧氏平面的投影化能产生实射影平面。相反的操作，从射影平面开始，移除一条线及所有与该线重合的点，可得到仿射平面。

直射变换

射影平面的直射变换是指该平面映射至该平面，使线映射至点，线映射至线，而会保留重合关系的的一双射；亦即，若 σ 为此一双射，且点P 在线 m 上，则 Pσ is on mσ 在 mσ 上。
若 σ 是一射影平面的直射变换，点 P 若 P = Pσ，则称P 为 σ 的不动点；线 m 若 m = mσ，则称m 为 σ 的不动线。不动线上的点不一定为不动点，只是这些点在σ 下的映射值会局限于该线之上。一个直射变换的所有不动点与不动线会形成一个封闭结构，这些点与线组成的系统会符合射影平面定义的第一个与第二个条件，但不一定符合第三个条件。因此，任何一个直射变换的不动点与不动线结构会形成一个射影平面，亦或是一个退化平面。其不动结构会形成一个射影平面的直射变换，称之为平面直射变换。

单应性

PG(2,K) 的单应性（或投影变换）是指该类射影平面的直射变换，使其为对应之向量空间的线性变换。使用齐次坐标，投影变换可表示成在K 上可逆3 × 3 矩阵，使得 y = M xᵀ，其中 x 与 y 为 K³ 上的点，且 M 为在K 上可逆3 × 3 矩阵。若两个矩阵间，一个矩阵可透过乘上一常数标量变换成另一矩阵，则这两个矩阵表示同一投影变换。因此，投影变换所组成的群是一般线性群除以标量矩阵的商群，称之为投影线性群。
PG(2,K) 的另一种直射变换可由K 的自同构导出，称之为自同构直射变换。若 α 为 K 的自同构，则其直射变换由(x₀,x₁,x₂) → (x₀α,x₁α,x₂α) 给定者，即为一自同构直射变换。射影几何基本定理表示，所有 PG(2,K) 的直射变换均为投影变换或自同构直射变换。自同构直射变换为平面直射变换。

关联

对偶变换为从射影平面C = (P, L, I) 至其对偶平面C* = (L, P, I*) ，并保留其重合关系的一映射。亦即，对偶变换σ 会将点映射至线，线映射至点(Pσ = L and Lσ = P) ，使得若一点Q 位于一线m 上（标记为Q I m），则 Qσ I* mσ ⇔ mσ I Qσ。一对偶变换若为一同构，则称之为关联。若关联存在，则该射影平面C 为自对偶。
在除环K 上的射影平面PG(2,K) 里，对偶亦可称为互反（reciprocity）。此类平面均为自对偶。依据射影几何基本定理，互反由K 的一个自同构函数与一个直射变换所组成。若互反的自同构为恒等函数，则该互反亦称为投影关联。
两阶关联（对合）亦称为对极（polarity）。若一关联φ 不是对极，则 φ² 为一非平凡直射变换。

高维射影空间内的射影平面

射影平面可被视为“几何”维度为2的射影几何。高维射影几何可透过类比于射影平面定义内的重合关系来定义。这些高维射影几何比射影平面更容易“驾驭”，因为有额外的自由度让笛沙格定理于高维几何内可被几何地证明。这意指，与该几何相关之坐标“环”必定为除环K，且射影几何会同构于由向量空间Kᵈ⁺¹ 建构而成的几何，即 PG(d,K)。如同前述所给之建构一般，d 维射影空间 PG(d,K) 的点为Kᵈ ⁺ ¹ 内通过原点的线，且 PG(d,K) 内的线会对应至Kᵈ ⁺ ¹ 内通过原点的平面。实际上，每个PG(d,K) 内的i 维对象（其中 i < d）均可对应至Kᵈ ⁺ ¹ 维向量空间内通过原点的(i+1) 维向量子空间。射影空间可依序广义化为格拉斯曼空间。
可证明，若笛沙格定理于维度大于2的射影空间内成立，则也必然于所有包含于该空间的平面内成立。因为存在不符合笛沙格定理的射影平面（非笛沙格平面），这些平面无法内嵌至高维射影空间内。只有由向量空间建构的平面PG(2,K) 可出现于高维射影空间内。一些数学原则只在此类射影平面内有效，因此有些关于射影空间的陈述于几何维度为2时，总是必须提及其例外。