量子力學入門

乌云

19世纪末，人们普遍认为，经典物理的宏伟框架似乎已经接近完成了，但对于一些新的实验发现，经典物理不能作出合理解释，因此，这种观念受到了挑战。在宏观尺度低速运动状态下，经典物理学理论有着完美的应用，但在解释大量微观粒子运动或物体以极高的速度运动时，经典理论遭受了巨大的困难。一种关于全局的观点认为，总的来说，从普通的观测中得到的结果受到了观测和理论预言的挑战（经典物理已经给不出可能的解释）。逐渐显露的景象是，宇宙表现出的行为倔强地违背着我们的常识。
在大尺度层面，相对论告诉我们对不同的观测者来说时间流逝的快慢并不相等。物质能转变为能量，反之亦然。两个以超过0.5倍光速的速度相向而行的物体无法以超过光的相对速度接近对方，时间历程会在接近大质量物体时变慢等等。事物并不是以我们的经验所习惯的方式运作着的。
在小尺度层面，奇异的现象更是无处不在。我们无法描述一个光子或电子从出发点到它被发现点之间的确定的位置或是运动轨迹。我们无法用日常的经验来判断一个粒子将在何处出现。它甚至会有一定的概率在一个封闭边界外出现。概率成为这个尺度上一切相互作用的关键因素。讨论任何原子尺度上的粒子的运动轨迹是没有意义的，因为如果我们要精确的测量粒子的位置，对其速度的测量的准确度就会降低，反之亦然。
在经典物理的时代，牛顿和他的追随者们相信光的本质是粒子，而另外一部分人（惠更斯等人）则认为光是在某种介质中传播的波。物理学家们并没有去寻找实验去证明某一方观点是否正确，而是设计了能够显示出光的频率等属于“波动性”的特征的实验，同时也有能显示出动量等“粒子性”特征的实验。而在此后的一些实验观测中，尺度较大的粒子，比如原子甚至是一些分子都显示出了“波动性”的特征。
1927年，尼尔斯·波尔这样写到：“如果有人没有被量子论所震惊的话，他就没有理解它。”

从乌云走向曙光

量子力学的基本问题源自17世纪对光的本质的研究以及19世纪初电和磁的本质被揭示出来。
1690年，惠更斯提出了光波动说用以解释干涉和折射现象，而艾萨克·牛顿坚信光微粒说，即光是由极其微小的粒子构成的，他把这种粒子叫作“光微粒”。
由于牛顿本人的高度权威，光微粒说在很长的一段时间占据着上风，1827年，托马斯·杨和奥古斯丁·菲涅耳用实验证明了光存在干涉现象，这是和“光微粒说”不相容的。随着光波动说的数学理论逐渐完善，到19世纪末，无论是实验还是理论上，牛顿的理论都失去了以往的地位。
不久之后的一些实验现象如光电效应，只能把光看作“一份一份”的或是将其量子化才能得到合理的解释。当光照射在金属表面，电子会离开初始位置逸出。这种现象的一些特点只能在光的能量不连续的假设下才能被合理解释。在一个光电设备（照相机的曝光表等）中，光照射在金属感应器表面使得电子逸出。增加光的强度（同一频率的光）能够让更多的电子逸出。而如果想要使电子的速度更快也就是动能更大，必须增加光的频率。因此，光强只决定了光电流的大小，也可以说是电路中电压的大小。这个现象和传统的波动模型相悖，因为传统模型是源自对声波和海洋波的研究，这个模型的结论是，振动源的初相位也就是强度大小决定了所产生波的能量大小。同时，如何让表现出光的粒子性和波动性的实验现象和谐共处的问题，也摆在了物理学家的面前。
1874年，乔治·强斯顿·史东尼首次提出了电荷的概念，它是带电体的基本量，不能再被拆分成更小的部分。电荷也就成为了第一个被量子化的物理量。
1873年，詹姆斯·克拉克·麦克斯韦给出了著名的麦克斯韦方程，在理论上证明振荡的电路能够产生电磁波，这使得纯粹的通过电磁测量手段来测量电磁波的速度成为了可能。而测量结果显示电磁波的速度非常的接近于光速。也就是说，光也是一种电磁波。亨里克·赫兹制作了一个能够产生低于可见光频率的电磁波（现在我们称之为微波）的仪器。早期研究的争议在于如何解释电磁辐射的本质，一些人认为这是因为其的粒子性，而另一些人宣称这是一种波动现象。在经典物理里，这两种思想是完全相悖的。
量子力学正式开始于马克斯·普朗克里程碑式的于1900年发表的关于黑体辐射的论文，在这篇论文里，第一次出现了量子假设。普朗克的工作让人们认识到，无论是光波动说还是光微粒说都不能单独地合理地说明电磁辐射现象。
1905年，爱因斯坦扩展了普朗克的量子假设，并用其成功的解释了光电效应现象。 波尔给出了他的原子模型，这个模型充分的吸收了普朗克的量子假设。这些工作和20世纪初的其他一些工作创立了“旧量子论”。
1924年，路易·德布罗意提出了物质波假设。此假设的提出成为了一个转折点，从那以后，一个更高级且更完整的量子力学逐渐出现了。在20年代中期对“新量子力学”或“新物理学”做出了重要贡献的物理学家还有，马克斯·波恩， 保罗·狄拉克， 维尔纳·海森堡， 沃尔夫冈·泡利，以及埃尔温·薛定谔。 
20世纪40代末到50年代初，朱利安·施温格、朝永振一郎、理查德·费曼和弗里曼·戴森合作或分别同时发展了量子电动力学，它研究的对象是电磁相互作用的量子性质（即光子的发射和吸收）、带电粒子的产生和湮没、带电粒子间的散射、带电粒子与光子间的散射等等。此后，穆雷·格尔曼发展了描述夸克胶子之间强相互作用的量子色动力学。

经典量子论

量子力学始于对电磁波的谱系分析。我们最熟悉的电磁波就是可见光了。电磁波的频率（或波长）决定了它的能量，紫外线，X射线和伽玛射线具有比可见光更大的能量，而红外线，微波，无线电波的能量比可见光的小。电磁波在真空中以光速传播。从此以后，粒子通常是指基本粒子或亚原子粒子。

玻尔的原子模型

1887年，J·J·汤姆生领导的一个研究小组发现了一种带着一个单位负电荷且质量极小的基本粒子并把它命名为电子。通过金箔实验，物理学家认识到物质的内部几乎是真空的，原子核只占了原子很小的一部分。这个事实清楚之后，就可以很自然的假设负电子在轨道上环绕着原子核运动，就像太阳系的行星那样。但这种简单的类比的后果就是：根据经典电动力学，电子在运动时会不断向外辐射电磁波，失去能量的电子最终将会坠入原子核中。以此推论，电子大约只能存在百分之一微秒。因此，20世纪初困扰物理学家们最大的问题就是：电子是如何保持稳定轨道的？
1913年，为了解决这个问题，尼尔斯·玻尔假设了电子的轨道是量子化的（不连续）。这就是著名的玻尔原子模型。玻尔的基本假设是：电子只能占据原子核外的特定轨道这些轨道能够在对单一元素的原子的光谱分析后得出。

波粒二象性

玻尔指出了光微粒说和光波动说都不能独立的说明经实验观测到得光的特性。所有形式的电磁辐射都在一些实验中表现出波动性，却又在别的一些实验中表现出粒子性。以此为根据，玻尔阐明了对应原理，此原理针对一些相对应的概念，如波动性和粒子性，位置和动量等。
1924年，德布罗意从玻尔的发现中发展出了波粒二象性理论用以描述亚原子粒子同时具有的波和粒子性质的特性，并给出了数学表述。德布罗意推广了玻尔模型，一个绕着原子核旋转的电子能够被看作具有一些类似于波的性质。特别的是，只有环绕原子核形成驻波时，电子才能被观测到。“驻波”的波形无法前进，因此无法传播能量。它的一个典型例子是两端固定的一根弦，拨动两端固定张紧的弦使其振动，一开始需使弦的两端的振幅为零，使波经两固定端反射可干涉产生驻波。同时，弦的两固定端必为节点（也就是振幅为零的点）。当弦上产生驻波时，弦长L为半波长的正整数倍。而回到原子模型上，如果要使波动运动轨迹光滑衔接形成一个简单闭合曲线，波必须由波峰和波谷连续构成。而电子的轨道是圆周轨道，每一个电子就必须以它自己的驻波形式来占据特定轨道。

完整的量子论

1932年诺贝尔物理学奖获得者，维尔纳·海森堡在1925年建立起了完整的量子力学理论。

不确定性原理

1927年，海森堡利用他的矩阵力学和一些理想实验推导出了一个微观尺度下物质和能量的重要结论。他发现在测量粒子动量和位置的时候会导致h/4π的误差（两者误差相乘）。测量时位置的误差越小，动量的误差就会变得相当大。而h/4π就是这个误差的下限（也就是说两者误差的乘积大于等于h/4π）。这一结论最终被称作不确定性原理。
量子力学严格限制了测量处于运动状态的亚原子粒子时的精确度。观测者可以精确测量粒子的位置或是动量，但无法同时精确测量两者。这个限制意味着对其中一种属性的测量达到极高的精确度时，对另一种属性的测量的误差将会趋于无穷大。
海森堡在早期一个关于不确定原理的演讲里这样提到了玻尔模型：
“你大可以认为，电子的轨道并不是真正的轨道。实际上，在每一时刻电子总有一个属性是我们无法确定的，要嘛是动量，要嘛是它的位置，这是不确定关系得出的结论。只有接受了这种理念，我们才可能描述电子的轨道是什么，而它的确是这样的。”
不确定性原理给出的一个重要结论就是在某一时刻，我们不能确定电子在轨道上的确切位置，我们只能给出电子在某一位置出现的可能性。计算出电子可能出现的位置，给出可能出现的相关轨道，我们就可以给出一种和传统图景不同的原子描述——电子在原子核周围形成了电子云，它分布在原子核周围，在靠近原子核的一些区域，电子云拥有最大的密集度，这代表电子在这些区域出现的概率最大，在远离原子核的区域，电子云变得稀疏了，电子在这些区域出现的概率较小。数学上我们把这种点状云称为概率分布，这是它的一种较形象的表述方式。波尔的原子模型中每个轨道对应的量子数n就成为了n维球面，被描绘成环绕原子核的概率电子云。
如果一个电子的位置无法被测量出，我们就不能描述它处于哪一个特殊的位置了。我们能做的就是计算出电子在轨道上某些位置出现的机率。换句话说，量子力学只能给出发生某种可能的结果的机率。海森堡从不确定原理出发，继续思考观测电子的问题，得出的结论居然是微观粒子只在我们观察它的时候才存在！注意他针对的是粒子本身，而不是它们的轨道。尽管他所阐述的理论看上去是荒诞且强烈的违背着我们的直觉的，量子力学仍然只能从概率分布出发来计算给定轨道下电子的位置。
尽管海森堡的矩阵力学允许电子出现在无限多的位置，这并不意味着电子可以出现在空间中的每一个地方。有一些条件限制了电子，使其必须占据某些特定的概率分布描述的位置。波尔模型是通过电子的能级来描述电子行为的，矩阵力学和它是相容的。因此，一个电子所出现的n维球面对应着离原子核某一特定距离，而正是这个距离决定了电子的能量。正是这个条件制约了电子的位置。电子可能存在的位置的数目又被称为相空间中的相格数根据不确定原理，经典相空间不能被无限细分，因此在一个轨道上电子能占据的位置数就是有限的了。电子在原子里的位置取决于它的轨道，而一个轨道终止于原子核，并且离下一个轨道开始的位置很近。
自牛顿以来的经典物理学告诉我们，如果我们知道某一时刻行星和恒星的位置和运动状态，我们就能够预测它们在未来任何时刻运动状态。不确定原理则告诉我们这对于亚原子世界是不适用的。我们不能同时精确测量出微观粒子位置和动量，对于粒子未来的运动状态，我们只能给出一种概率分布，该分布只能告诉我们在未来它处在这种状态的可能性。
源自波粒二象性的不确定性原理的影响只在亚原子尺度时显现出来。尽管这些现象违背了我们的直觉，以不确定原理著称的量子力学仍然不断引领着科学技术的进步，如果没有它，我们也就不会拥有电子计算机，荧光灯以及医学影像设备。

波函数坍缩

对于单个电子而言，薛定谔的波动方程及其独特的波函数和海森堡的量子化的点粒子的概率分布一样在空间中散开，因为波本身就是分布很广的扰动而不是点粒子。因此，薛定谔的波动方程能够得到和不确定性原理相同的结果，因为位置的不确定性在波的扰动的定义中就表现出来了。只有海森堡的矩阵力学才需要定义不确定性，因为它是从粒子的观点出发的。薛定谔的波函数显示电子总是处于概率云中，在它像波一样展开的概率分布中。
马克斯·玻恩在1928年发现，薛定谔的波函数的平方（为了得到振幅的平方）是电子位置的概率分布。对于电子的位置可以直接测量而不会得到一个概率分布，是因为电子暂时失去了波的性质。没有了波的性质，薛定谔的关于电子的波的特性的预言也都失效了。对粒子的位置的测量使粒子失去了波的性质，以至于薛定谔的波动方程失效了。电子一经测量再也不能被波函数所描述，它的波长变得很短并且它与测量设备的粒子相互纠缠，这种现象就是所谓的坍缩。

狄拉克波动方程

1928年，保罗·狄拉克推广了用于描述自旋电子的泡利方程而使之与狭义相对论相容。于是这个理论便能够处理速度接近光速的微观粒子的运动问题，比如在轨道上运动的电子。使用最简单的电磁相互作用理论，狄拉克算出了由电子自旋而产生的磁矩，他发现实验观测到的值和经典物理所想象的那种自旋所得出的值大了很多。他完全的解决了氢原子光谱的问题，并从他的理论中推导出了索末菲关于氢原子光谱精细结构的公式。
狄拉克方程有时会解出电子具有负能阶，于是他提出了一个新颖的假设：在动力学空间中存在着正电子。这最终导致了多粒子量子场论的诞生。1930年，狄拉克编写了关于量子力学的第一本现代意义上的教科书，书中整合了海森堡的矩阵力学，薛定谔的波动力学和他自己的量子变换理论，同时也使之与狭义相对论相适应。《量子力学原理》（The Principles of Quantum Mechanics）是公认的经典著作，直到今天也具有相当的参考价值。
直到现在，所有的量子理论主要都是集中在对氢原子光谱的研究上。根据旧量子论，每一种元素的原子的光谱都是独特的。由于电子和原子核不能被直接观测到，科学家们不可能直接去研究它们的行为。即使在今天，我们使用扫描式隧穿电子显微镜，也只能得到模糊不清的原子图像。迄今为止，对量子力学的实验验证还只是在对氦和氢原子的辐射光谱研究上，它的数学表述被用来解释和说明辐射光谱。因此，量子力学有时也被认为是一种数理物理学。

量子纠缠

泡利不相容原理指出在同一系统下的两个电子不可能处于同一状态。大自然抛弃了这种可能性，但却允许两个电子可以在上面“叠”有两种状态。回想波函数，穿过双狭缝并在一瞬间以叠加的其中一种状态呈现在显示屏幕上。没有什么是确定的，除非叠加的波“坍缩”，这时候就会有一个电子以符合概率的方式立即显示在某个地方，这个概率即波形叠加后的振幅的平方。上述情况已十分抽象难解了。关于光子的纠缠，在此有一个较为具体的思考方式，有两个光子在同一事件中叠加了两个相对立的状态，如下︰
可以试着在脑海中想像，把叠加的其中一个状态标记为蓝色，再把另一个状态标记为红色，在稍后会显现成紫色的状态。两个光子是在同一个原子事件中产生出来的。这两个光子可能是水晶吸收特定频率的光子并发射出频率为原始值之半的两个光子所激发而成的。因此这两个光子显现出“紫色”。如果有位实验者现在要作测定光子是红或蓝的实验，这个实验会把光子从原本具有“红”、“蓝”两个状态改变成只有其中一个状态。这个爱因斯坦曾经如此想像过的问题是，如果其中一个光子不断在实验室的镜子之间持续弹跳，而另一个光子已经移动到最近的星星的一半路程，当成对的其中一个光子显现出自身是红或是蓝的时候，就意味着那颗远在千里之遥的光子也必须失去“紫色”的状态。故每当检查光子的时候，光子就必定显现成相对于成对光子的另一个状态。
假设有某些物种带有雄性或雌性这两种性别特征的遗传潜力。它们会随着环境的变化转变成雄性或雌性。它们也许会一直保持着不确定的状态直到天气转变成严寒或酷暑。然后它们会显现出一种性别特征，以后天改变的方式、雄激素或雌激素等高阶系统锁定到那个性别状态。自然界中确实有符合上述情节的情况，不过现在要再想像如果有一对双胞胎出生，并且有一股自然之力禁止这对双胞胎显现出同一性别。之后如果双胞胎的其中一个到了南极，并转变成雌性，此时另一个双胞胎将无视当地气候直接转变成雄性。这样的世界相当难以解释。在南极洲的一只动物会影响到它那远在红木市的双胞胎兄弟这种事要怎么样才会发生？美国加州？心电感应？什么？要怎么样才能瞬间作出变化？即使是来自南极洲的无线电讯息都要花费一段时间。
为了证明量子力学是个不完备的理论，爱因斯坦从理论的预言开始着手，该理论预言，那些过去已经相互作用的两个或更多粒子，在之后的测量中，可以显示出很强的联系。他试图用经典的方法来解释这个看似的相互作用，即通过他们平常的过去，而不是幽灵般的超距作用。这个争论最终在一篇著名的论文中得到了解决，爱因斯坦，波多尔斯基和罗森（1935，Einstein-Podolsky-Rosen，简写为EPR）在这篇文章中提出了现在所谓的EPR悖论。在假设定域实在性的基础上，EPR试图从量子论的角度出发，解释一个粒子同时具有位置和动量两种属性，而对应的哥本哈根解释则认为只有其中之一实际存在且仅仅在被测量的时刻存在。EPR总结说量子论是不完整的，因为它没有考虑到自然世界中明显存在的物理属性（爱因斯坦，波多尔斯基和罗森，1935，已经是在物理杂志上被引用最多的爱因斯坦的文章）。同一年，埃尔温·薛定谔使用“缠结”这个词并且声称：“相对于把它称为量子动力学的特征之一，我更想称它为量子动力学的专有特征”。纠缠是否是一个真实的条件这个问题一直到现在仍然存在争议。贝尔不等式是对爱因斯坦声明最有力的挑战。

量子电动力学

量子电动力学是关于电磁力的量子理论。要理解它需要先理解电磁学。电磁学之所以被称作“电动力学”因为它描述了电和磁力之间的动力学作用。而电磁学又要从电荷开始讲起。
电荷是电场的源，也可以说是它产生了电场。电场是能够对空间中任意位置的任何带电粒子施加作用力的场。这些粒子包括电子，质子，甚至是夸克等等。当有力施加时，电荷开始运动，于是就产生了电流和磁场。而变化的磁场又导致了电流的产生（运动的电子）。这个电和磁相互作用的场被作为一个整体而成为电磁场。
描述带电粒子的相互作用，电流，电场，以及磁场的物理学理论就是电磁学。
1928年，保罗·狄拉克给出了关于电磁学的相对论性质的量子理论。这就是现代量子电动力学的原型，在这个理论里已经有了现代理论中的很多重要基础。但是，在这个理论中的计算中出现了无法消除无穷大的问题。这个问题最初被理论的创始人看做暂时的疑难并终将得到解决。而重整化方法的出现最终解决了这个问题，它也成为量子电动力学和其他一些物理学理论自我完善的重要工具。并且，在1940年代末，费曼图向人们展示了所有相互作用的图景。它展示出了电磁力的本质是带电粒子交换光子的相互作用。
量子电动力学所预测的一个例子是已经被实验证实的兰姆移位。由于电磁场的量子效应，一个原子或离子的能级会轻微的偏离没有量子效应时的位置。而表观上，光谱谱线会平移或分裂。
20世纪60年代，物理学家们意识到量子电动力学在高能状态将彻底失效。这也导致了粒子物理学标准模型的建立，它的出现解决了高能状态下的失效问题。标准模型使得电磁作用和弱相互作用相统一。这就是弱电作用理论。

诠释

毫无疑问，量子力学的威力是人类之前建立的任何一个理论无法匹敌的。它完美地解释了经典力学无法解释的物理现象，并成功地预言了后来的许多实验发现。量子力学还把大量的其他理论融入自己的体系中。量子力学（特别是量子电动力学被称为人类有史以来最精确的理论）在实验预测上的精确度超出了几乎其余所有科学理论。现代物理学的绝大多数基础理论，包括狭义相对论，都被量子力学纳入量子场论的范畴中。经典力学在人们生活中仍旧起作用，这是因为几乎所有的经典物理内容都可以被看做是量子物理和相对论的近似情况。经典物理仍能处理自然界的一种基本力——因质量而产生的万物之间相互吸引的万有引力的问题，广义相对论是成熟的并被广泛接受的引力理论。目前量子场论还没有真正的渗透到广义相对论中。将广义相对论和相对论性量子力学联合起来的终极理论被誉为当代理论物理学的圣杯。
尽管量子力学在预言和实用上取得了空前的成功，它的很多方面却一直在挑战着我们的直觉。量子力学所描述的微观物质的行为，和我们由日常经验所能想象的实在是相差甚远。
有趣的是，对应原理和埃伦费斯特定理预言了当一个系统尺度增大到一定程度时（使得普朗克常数可以忽略不计而趋于0），量子力学将会退化到经典力学（有一些例外，比如超流动性和超导性等等）。对于我们的日常生活来说，量子力学的效应完全可以忽略不计，经典描述已经足够了。但即便如此，物理学家们为了理解这个量子世界，已经做出了许多的量子力学诠释，从最正统的哥本哈根诠释到隐变量理论诠释再到多世界诠释等等。这些诠释已经超出了物理学的范围，也引起了更多人对它的关注。