千禧年大獎難題

缘起与公布

2000年5月24日，克雷数学研究所在巴黎的法兰西公学院召开了巴黎千年会议（Paris Millennium Event）。一百年前的1900年，德国数学家大卫·希尔伯特宣布了著名的希尔伯特的23个问题，地点正是在巴黎举行的第二届国际数学家大会。在二十世纪，对此一系列问题的研究极大地推动了数学的发展。出此考虑，克雷数学研究所决定邀请世界范围内有影响力的数学家参会，并在会上宣布二十一世纪需要解决的七大数学难题。在宣布这些问题前，当天的会议首先播放了1930年希尔伯特退休时演讲的录音，包括他的名言：“我们必须知道，我们必将知道。”随后，美国数学家约翰·泰特登台，依如下顺序宣布了七个问题中的三个：黎曼猜想、贝赫和斯维讷通-戴尔猜想和P/NP问题，并逐一做了简单介绍。在此之后是英国数学家迈克尔·阿蒂亚的演讲，他介绍了剩下的四个问题，分别是庞加莱猜想、霍奇猜想、杨-米尔斯存在性与质量间隙和纳维-斯托克斯存在性与光滑性。
这七大难题是由克雷数学研究所的科学顾问委员会（Scientific Advisory Board）在咨询其他顶尖数学家后共同选出的。这一小组有五位国际数学专家，领导者是美国数学家、哈佛大学教授亚瑟·贾菲，此外还包括解决了费马大定理的安德鲁·怀尔斯、法国数学家阿兰·科纳、数学物理学家爱德华·威滕，以及上述提及过的约翰·泰特和迈克尔·阿蒂亚。他们旨在记录当今数学家面对的最困难的问题，引起大众对数学研究的注意，强调为难题寻找答案的重要性。问题甄选完成后，克雷数学研究所董事会拨款七百万美元，为每个问题设立了一百万美元奖金，并写出了授奖规则。

奖励与规则

总计700万美元的奖金来源于从事投资基金美国商人兰登·克雷，作为业余数学爱好者，他于1999年创立了克雷数学研究所，随即捐出了这笔款项。克雷数学研究所董事会（Board of Directors）将这笔钱设立为千禧年难题的奖金，每个问题价值一百万美元。理论上只有该董事会有权授奖。董事会接受研究所科学顾问委员会（Scientific Advisory Board）对得奖人的推荐。
克雷数学研究所规定，任何解题并意在获奖的研究者，不应把答案直接呈交至研究所，而须先在具有国际声誉的、同行评审的数学出版物上发表完整解答。否则研究所的科学顾问委员会将评定发表方式是否合格。解答须在两年内被数学界广泛接受。若满足以上条件，科学顾问委员会将成立特别小组以评定获奖资格，该小组至少包含两位非委员会成员，其中至少一人会完整校验解答。特别的，对于P/NP问题和纳维-斯托克斯问题，证明或证否皆有获奖资格。至于其他几个问题，提出反例亦可获奖，但若原问题在重构后可以剔除特殊情况而不伤本质，提出者可能仅能获得一小笔奖金。此外，若多位数学家对题解做出关键贡献，可由多人分享奖金。

庞加莱猜想

在拓扑学的意义上，一个二维球面是紧致且单连通的。通俗地说，这意味着球面不会无限延伸，并且其上任意一个闭合的圈都可被收紧至一点。庞加莱猜想考虑的是更高维的情况：一个闭的三维空间，若其上的每条闭曲线都可以连续收缩到一个点，那么拓扑地看，这个空间是否就是球面。它的数学陈述为：一个单连通三维闭流形同胚于三维球面。这一猜想是三维流形的分类问题的核心。1962年，斯蒂芬·斯梅尔证明了庞加莱猜想在五维以上的等价结论，四维的情况则在二十年后被迈克尔·弗里德曼证明，但数学界始终对三维流形束手无策，而我们所处的宇宙是一个三维流形，更显现出问题的重要。
庞加莱猜想的官方陈述由约翰·米尔诺写出。
2003年，俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼在arXiv贴出了完整证明，先后有两篇文章，但文字简略且原创性极强，数学界经过近三年才完成校验。2006年，多组研究者先后发表论文阐释了佩雷尔曼的成果，并认定其无误。由于这一贡献，国际数学家大会决定授予佩雷尔曼菲尔兹奖，但他本人却拒绝领奖。2010年3月18日，千禧年大奖正式颁发给佩雷尔曼，但他又一次拒绝领奖，也包括克雷数学研究所的百万奖金。根据俄罗斯国际文传电讯社的消息，佩雷尔曼认为此奖不公，他相信哥伦比亚大学数学家理查德·哈密顿对这一问题的贡献丝毫不逊于自己。

P/NP问题

在理论计算机科学中，复杂度类P指所有可由确定型图灵机在多项式时间内解决的问题，类NP是所有可在多项式时间内验证解的正确性的问题。这里所谓“多项式时间”指的是求解算法运行时间至多是输入规模的多项式函数。粗略地说，P类问题是可以在计算机上快速求解的问题，而对NP问题则可快速确定某个可能的解是否正确。可以看出P类问题也是NP类问题，而两者是否完全相等便是P/NP问题，即是否所有NP类问题都是P类问题，拥有多项式时间的求解算法。P/NP不单是一个抽象的数学难题；若得以解决，它在运筹学和密码学等应用领域也将有重大影响，此外还被认为具有特别的哲学意义。
2001年一项针对100名数学和计算机科学家的调查结果是其中61人相信P≠NP，2012年调查者重复了这一问卷，结果是84%的受访人相信P≠NP，在可能的解决方法上，他们给出了组合数论、逻辑学和代数几何等答案。在研究方面，对P/NP问题的重大进展来自于1970年代斯蒂芬·库克和列奥尼德·列文的成果，他们证明存在这样一类问题，若能对任意一个NP问题找到多项式时间的求解算法，那么所有NP问题都是多项式时间可解的。他们将此类命题命名为NP-完全问题。而对P/NP难题最近一次引起大量讨论的尝试来自于惠普实验室的印度科学家维奈·迪奥莱里卡（Vinay Deolalikar），2010年8月他在网上贴出了一篇长达100页的论文，宣称证明了P≠NP，在计算机科学和数学界的一番讨论和校阅中，尼尔·伊莫尔曼等人发现了论文中的致命错误。
P/NP问题的官方陈述由斯蒂芬·库克写出。

霍奇猜想

数学的一大分支代数几何的中心研究对象是代数簇，简言之它是由代数方程产生的代数对象，是几何对象的推广，人们所熟知的任何几何对象（如圆）都是一个代数簇，但并非所有代数簇都是几何的、可以直观描绘的。在此一猜想中，代数几何学家关心的是非奇异射影代数簇，粗略而言它是一个光滑的多维曲面，由代数方程解定义产生。霍奇猜想所说的是在这种“形状完美”的代数簇上，本可能不是几何对象的霍奇闭链（Hodge cycle）却是由一种名为代数闭链的几何对象组成的。其严谨的数学表述为：在非奇异复射影代数簇上，任何一个霍奇闭链都可以表示为代数闭链类的有理线性组合。诚然，霍奇猜想中的数学名词可说是令人生畏，在七大千年难题中，它也被认为是对非专业人士而言最难理解的一个。然而霍奇猜想的证明将为代数几何、拓扑学和数学分析三个领域建立一种基本的联系，因此具有重大意义。
苏格兰数学家威廉·霍奇在1950年公布猜想后不久，唐纳德·斯宾塞和小平邦彦便为其中一种简单情况做出了证明。近年来的研究方向分为两支：美国数学家菲利普·格里菲斯等人尝试将这一猜想化约为霍奇类导出的多元可容正规函数（admissible normal function）的奇点（singularities）存在性问题，克莱尔·瓦赞则力图在算术簇上证明霍奇猜想。大体而言，霍奇猜想的证明仍然难见突破，它甚至被称为是一个漫无边际的猜测，暂时没有有力证据证据表明霍奇的直觉是正确的。
霍奇猜想的官方陈述由皮埃尔·德利涅写出。

杨-米尔斯存在性与质量间隙

在物理学中，杨-米尔斯理论是一种基于非阿贝尔群的量子规范理论。20世纪初，物理学家期待量子理论和经典场论两种思想可以融合。在这一方向上，最早出现的理论是英国物理学家保罗·狄拉克1927年创立的量子电动力学，简称QED，它提供了对电磁现象的量子描述，成为麦克斯韦理论的一个量子版本，能极为精确地解释电磁场和电磁力。自然而然的，物理学家期待后续的理论能将电磁现象与弱力和强力一道统一起来。1954年杨振宁和罗伯特·米尔斯提出了杨-米尔斯理论，它是对QED的进一步推广。在此基础上统一电磁力和强弱相互作用时，物理学家发现这一理论的“无质量性”成为症结所在。经典杨-米尔斯理论的核心是一组非线性偏微分方程，杨-米尔斯存在性与质量间隙难题旨在证明杨-米尔斯方程组有唯一解，并且该解满足“质量间隙”这一特征，其官方表述为：对任意紧致、单的规范群，四维欧几里得空间中的量子杨-米尔斯理论存在一个正的质量间隙。质量间隙问题是量子色动力学理解强相互作用的理论关键，关乎理论物理学的数学基础，其解决将意味着一个数学上完整的量子规范场论的产生。
这一问题的解决前景不甚乐观，爱德华·威滕也直言“（它）对现在而言实在是太难了。”物理学家普遍相信质量间隙的存在，但至今未能找到确凿的数学和物理学证明。
杨-米尔斯存在性与质量间隙问题的官方陈述由亚瑟·贾菲和爱德华·威滕写出。

贝赫和斯维讷通-戴尔猜想

在数论和代数几何中，由形如的等式定义、且没有奇点的曲线被称为椭圆曲线。椭圆曲线是数论研究的重要领域，例如安德鲁·怀尔斯对费马大定理的证明的关键便是椭圆曲线。它在密码学和数据传输上也均有应用。在此一问题上，数学家关心给定一椭圆曲线，其有多少个有理解，即有多少组有理数对满足椭圆曲线方程。这一问题与该曲线对应的哈瑟-韦伊L函数 密切相关。基于计算机的数值依据，数学家布莱恩·贝赫和彼得·斯维讷通-戴尔猜想，一椭圆曲线有无穷多有理解，当且仅当在时取0。
有大量的数值依据表明猜想的正确。而在1994年前该猜想是否有意义都不甚明确，当时的数学家并不知道是否存在一个合适的函数，使得对所有的都有一个答数，这一猜想直到1994年才作为谷山－志村定理一个特殊形式被解决。近年来此问题进展不多，特别是对于椭圆曲线秩大于1的情况，数学家所知甚少。
贝赫和斯维讷通-戴尔猜想的官方陈述由安德鲁·怀尔斯写出。