Toán học Hy Lạp

Toán học Hy Lạp là nền toán học được viết bằng tiếng Hy Lạp, phát triển từ thế kỷ 7 TCN đến thế kỷ 4 xoay quanh Đông Địa Trung Hải. Các nhà toán học Hy Lạp sống ở các thành phố mở rộng ở Đông Địa Trung Hải từ Ý đến Bắc Phi nhưng được thống nhất bằng văn hóa và ngôn ngữ . Toán học Hy Lạp không chỉ bó hẹp trong thời kỳ Hy Lạp cổ đại mà còn phát triển trong thời của Alexander Đại đế, từ thời kỳ đó trở đi nền toán học Hy Lạp được gọi là nền toán học Hy Lạp hóa. Bản thân từ toán học cũng xuất phát tiếng Hy Lạp: μάθημα (máthēma, có nghĩa là "lĩnh vực của sự chỉ dẫn".  Nghiên cứu toán học cho chính bản thân nó và cho cho những lý thuyết và bằng chứng toán học được tổng quát là chìa khóa thể hiện sự khác biệt giữa nền toán học Hy Lạp và nền toán học trước đó.

Nguồn gốc của toán học Hy Lạp

Nguồn gốc của một trong những nên toán học quan trọng nhất lịch sử không được ghi chép một cách chu đáo. Nền văn minh phát triển sớm nhất ở Hy Lạp và ở châu Âu là văn minh Minoa và văn minh Mycenaea, cả hai nền văn mình này đều phát triển hưng thịnh vào thiên niên kỷ 2 TCN. Trong khi các nền văn minh này bắt đầu viết và có thể là phát triển kỹ thuật bao gồm các quảng trường bốn câu chuyện với hệ thống thoát nước và mộ hình tổ ong, họ không để lại sau đó các văn bản toán học.
Mặc dù chứng cứ trực tiếp về nghiên cứu toán học là không có, về tổng thể nhiều người đã suy nghĩ rằng văn minh Babylon và văn minh Ai Cập cổ đại đã có ảnh hưởng đối với truyền thống non trẻ hơn của Hy Lạp. Giữa 800 TCN và 600 TCN, toán học Hy Lạp đi chậm so với văn học Hy Lạp về tổng thể. Có rất ít sự hiểu biết về nền toán học thời kỳ này, hầu hết các hiểu biết của chúng ta lại đến từ các tác giả sau đó bắt đầu từ giữa thế kỷ 4 TCN.

Thời kỳ cổ điển

Theo truyền thống, các nhà sử học đánh dấu sự bắt đầu của thời kỳ toán học này với sự xuất hiện của Thales (624 TCN - 548 TCN). Rất ít điều được biết đến trong cuộc sống và công việc của ông, vì thế năm sinh và năm mất của ông được ấn định từ nhật thực vào năm 585 TCN, thời điểm mốc son trong sự nghiệp nghiên cứu của ông. Tuy vậy, tổng quát mà nói, nhiều người đồng ý Thales chính là một trong Bảy Hiền triết của Hy Lạp. Hai định lý toán học sớm nhất, định lý Thales và định lý mặt phẳng được truy cho Thales. Định lý cho rằng một góc được ghi trong hình bán nguyệt là một góc vuông có thể là điều mà Thales đã học được từ những người Babylon nhưng truyền thống lại gán cho Thales là người mô tả định lý này. Lý do ở đây là vì Thales thường được xét đến như là cha đẻ của sự tổ chức suy diễn trong toán học như là một nhà toán học đích thực đầu tiên. Thales cũng được cho là người sớm nhất được biết đến có những khám phá toán học cụ thể được cho là của ông. Mặc dù không được biết có phải Thales hay là một người khác đã giới thiệu toán học như một môn học của logic mà bây giờ ở đâu cũng có, có một điều được biết rằng 2000 năm trước Thales đã giới thiệu những cấu trúc logic và những ý tưởng về bằng chứng vào trong toán học.
Một nhân vật quan trọng khác trong sự phát triển của toán học Hy Lạp là Pythagoras (580 TCN - 500 TCN). Giống như Thales, Pythagoras cũng chu du đến Ai Cập và Babylon dưới sự lãnh đạo của Nebuchadnezzar, nhưng rồi sau đó trú ngụ tại Croton, Magna Graecia. Pythagoras đã thành lập một trường phái mang tên trường phái Pythagoras. Và từ xưa, theo thông lệ, con người bắt đàu gắn những cống hiến cho các học giả, Pythagoras cũng không phải là một trường hợp ngoại lệ, thậm chí còn tự làm điều đó. Aristotle đã từ chối việc gắn bất kỳ cái gì đặc biệt cho Pythagoras với vai trò cá nhân của Pythagoras và chỉ bàn luận những tác phẩm của trường phái Pythagoras như là một nhóm. Một trong những đặc tính quan trọng nhất của trường phái Pythagoras đó là tiếp tục theo đuổi các nghiên cứu triết học và toán học như là một nền tảng đạo đức cho cuộc sống. Thật vậy, nguồn gốc của từ triết học đến từ tiếng Hy Lạp, có nghĩa là "yêu mến sự khôn ngoan" và toán học có nghĩa là "cái được học hỏi" được cho là được diễn giải bởi những người Pythagoras. Từ tình yêu cho tri thức trở thành nhiều tiến bộ. Theo thông lệ, nhiều người cũng nói rằng trường phái Pythagoras đã khám phá ra hầu hết những thứ được nhắc đến trong Các yếu tố của Euclid.
Phân biệt công việc của Thales và Pythagoras với các nhà toán học trước họ và sau họ là khó khăn bởi vì không còn các tác phẩm nguyên gốc còn tồn tại, trừ, có thể, tác phẩm nói về mảng Thales, những thứ còn bị tranh chấp về mức độ tin cậy. Tuy nhiên nhiều nhà sử học như Hans-Joachim Waschkies và Carl Boyer đã tranh luận rằng phần nhiều của hiểu biết về toán học dược gắn cho Thales đã được phát triển sau đó, đặc biệt là các khía cạnh dựa vào khái niệm về góc khi mà ứng dụng của những tình trạng tổng quát có thể xuất hiện sớm hơn như các tìm kiếm về các các bản viết hợp lý của người Hy Lạp được viết trên các tấm.  Không có lý do rõ ràng lắm tại sao cả Thales và Pythagoras đều không được các tác phẩm đương thời ghi chép lại mà còn tồn tại. Bằng chứng duy nhất đến từ những truyền thống được ghi lại bằng bình luận của Proclus cho tác phẩm của Euclid được viết vào vài thế kỷ sau đó. Một vài tác phẩm sau này, như bình luận của Aristotle về trường phái Pythagoras, chỉ được biết đến từ một vài mảnh rất nhỏ còn tồn tại.
Thales được cho là đã sử dụng hình học để giải quyết các vấn đề như là tính chiều cao của các kim tự tháp dựa trên bóng của chúng trên mặt đát và khoảng cách của các con thuyền tính từ bến cảng. Ông được gắn vào việc bằng chứng đầu tiên của hai lý thuyết hình học. Pythagoras thì được gắn cho một cách rộng rãi về việc công nhận nền tảng toán học trong giai điệu và, theo như lời bình luận của Proclus được nhắc đến ở trên, Pythagoras đã khám phá ra lý thuyết về chất rắn thông thường được kết cấu và có tỷ lệ. Vài nhà toán học hiện đại đã đặt câu hỏi liệu Pythagoras có thực sự tạo nên cả năm chất rắn đó không, đồng thời còn đề xuất rằng sẽ hợp lý hơn ông ấy đã tạo ra ba trong số đó. Một vài nguồn cổ đại đã gán khám phá định lý Pythagoras cho Pythagoras trong khi một vài tài liệu khác đã tuyên bố đó chỉ là bằng chứng Pythagoras mới chỉ khám phá ra chứ chưa chứng minh. Các nhà sử học hiện đại tin rằng bản thân nguyên lý được tìm ra bởi ngươi Babylon và được chứng minh bởi họ. Trường phái Pythagoras đã xét số học và hình học như là nền tảng để hiểu biết tự nhiên của vũ trụ, chính vì thế hai môn nghiên cứu này đã trở thành trung tâm cho những ý tưởng tôn giáo và triết học của trường phái này. Họ được gán cho nhiều thành tựu toán họcnnhhư việc khám phá ra số vô tỷ. Các nhà sử học đã gắn họ với một vai trò lớn trong việc phát triển của toán học Hy Lạp (đặc biệt là ở số học và hình học) trở thành một hệ thống logic mạch lạc dựa trên sự phân định rõ ràng và những định lý được chứng minh được xét như là một phần xứng đáng cho nghiên cứu mà không liên quan đến các ứng dụng thực tế là mối quan tâm hàng đầu của Ai Cập và Babylon.

Thời kỳ Hy Lạp hóa và La Mã

Thời kỳ Hy Lạp hóa đã bắt đầu từ thế kỷ 4 TCN với các cuộc chinh phạt của Alexander Đại đế ở phía đông Địa Trung Hải, Ai Cập, Ba Tư , Trung Á và vài phần của Ấn Độ. Điều này đã dẫn lối cho sự mở rộng của tiếng Hy Lạp và văn hóa Hy Lạp trên các vùng đất này. Tiếng Hy Lạp đã trở thành ngôn ngữ của các học giả trong thế giới Hy Lạp hoá, và các nhà toán học Hy Lạp đã tiếp cận với toán học Ai Cập và toán học Babylon để tạo nên sự nổi lên của toán học Hy Lạp hóa. Toán học và thiên văn học Hy Lạp đã tiếp cận một bước phát triển mạnh mẽ dưới thời Hy Lạp hóa và La Mã. Đại diện của thời kỳ này là các học giả Hipparchus, Apollonius và Ptolemy, đánh dấu cho việc tạo nên những người máy tính analogue như máy Antikythera
Trọng tâm quan trọng nhất trong nghiên cứu thời kỳ nay là Alexandria của Ai Cập, nơi tạo ra sự chú ý cho các học giả trong thế giới Hy Lạp hóa. Hầu hết trong số họ là người Hy Lạp và người Ai Cập, ngoài ra còn là người Do Thái, người Ba Tư , người Phoenicia và thậm chí là người Ấn Độ.
Hầu hết các ghi chep toán học được viết trong tiếng Hy Lạp được tìm thấy tại Hy Lạp, Ai Cập, Anatolia, Lưỡng Hà và Sicilia.
Archimedes có thể đã sử dụng vô hạn như là giống tích phân thời hiện đại. Sử dụng một kỹ thuật dựa trên một hình mẫu về bằng chứng mâu thuẫn ông có thể trả lời cho các vấn đề ở một mức độ tùy ý của sự chính xác. Đồng thời ông cũng chỉ định các giới hạn với việc dựa vào các giải đáp đó. Kỹ thuật này được biết đến đó là giải pháp của sự kiệt sức, ông đã sử dụng nó để xấp xỉ giá trị của Pi. Trong tác phẩm Hình cầu của Parabola, Archimedes đã chứng minh vùng được bao quanh bởi một parabol và một đường thẳng là 4/3 lần diện tích của một tam giác có cùng cạnh đáy và độ cao. Ông cũng biểu diễn phương pháp cho vấn đề như là chuỗi hình học vô hạn có tổng bằng 4/3. Trong tác phẩm Người tính toán trên cát, Archimedes đã sắp xếp để tính toán số hạt cát mà vũ trụ có thể chứa. Trong công trình đó, ông đã thay đổi điểm cho rằng số hạt cát quá lớn để có thể đếm được. Từ đó ông nghĩ ra cách đếm dựa trên vạn, tức 10 nghìn.

Thành tựu

Toán học Hy Lạp đã tạo nên một giai đoạn lớn trong lịch sử toán học với nguyên gốc là tôn trọng hình học và ý tưởng của những bằng chứng chính thức. Toán học Hy Lạp đã cống hiến cho ý tưởng về lý thuyết số, phân tích toán học, toán học ứng dụng, và tiếp cận gần đến tích phân.
Euclid đã sưu tầm những hiểu biết toán học trong thời đại của mình trong Những yếu tố, một tác phẩm kinh điển về lý thuyết số tiểu học và hình học trong nhiều thế kỷ.
Công trình mang tính đặc trưng nhất của toán học Hy Lạp có thể là lý thuyết về đường conic, phát triển mạnh mẽ trong thời kỳ Hy Lạp hóa. Các phương pháp được sử dụng không rõ ràng chức năng là dành cho số học hay lượng giác.
Eudoxus đã phát triển một lý thuyết về số thực, nổi bật vì giống với lý thuyết hiện đại về sự cắt Dedekind được phát triển bởi Richard Dedekinds, người thực sự lất Eudoxus như là một nguồn cảm hứng.