Hình học

Hình học là một phân nhánh của Toán học liên quan đến các câu hỏi về hình dạng, kích thước, vị trí tương đối của các hình khối, và các tính chất của không gian. Hình học phát triển độc lập trong một số nền văn hóa cổ đại như một phần của kiến thức thực tiễn liên quan đến chiều dài, diện tích, và thể tích, với một phần các yếu tố của khoa học Toán học đến từ phương Tây như các định lý của Thales (thế kỷ VI TCN). Đến thế kỷ thứ III TCN, hình học đã được Euclid hệ thống hóa dưới một hình thức tiên đề mang tên ông – Hình học Euclid đã trở thành chuẩn mực cho nhiều thế kỷ sau đó. Archimedes phát triển các kỹ thuật rất khéo léo để tính diện tích và khối lượng, theo một cách nào đó đã áp dụng phép tính tích phân. Thiên văn học khi tính toán vị trí của các ngôi sao và hành tinh trên bản đồ thiên cầu và mô tả mối quan hệ giữa chuyển động của các thiên thể, đã trở thành một nguồn quan trọng cung cấp các bài toán hình học trong suốt 1500 năm tiếp theo. Trong thế giới cổ điển, cả hình học và thiên văn học đã được coi là một phần của quadrivium, một tập hợp con của bảy môn giáo dục khai phóng cần thiết cho mọi công dân phải nắm vững.
Việc giới thiệu hệ tọa độ của René Descartes và sự phát triển đồng thời của đại số đánh dấu một giai đoạn phát triển mới cho hình học, kể từ khi các hình hình học như các đường cong phẳng không thể được mô tả bằng giải tích theo dạng phương trình và hàm. Điều này đóng một vai trò quan trọng trong sự xuất hiện của vi tích phân vào thế kỷ XVII. Sau đó, lý thuyết của phối cảnh cho thấy rằng có nhiều yếu tố hình học hơn là chỉ các thuộc tính số liệu của các hình vẽ: phối cảnh đã trở thành nguồn gốc của hình học projective. Các đối tượng nghiên cứu của hình học đã được tiếp tục mở rộng bằng việc nghiên cứu các cấu trúc nội tại của các đối tượng hình học của Euler và Gauss,  điều này dẫn đến việc tạo ra các nhánh tô pô học và hình học vi phân.
Trong thời của Euclid, không sự phân biệt rõ ràng giữa không gian vật lý và không gian hình học. Kể từ khi phát hiện hình học phi Euclid vào thế kỷ 19, các khái niệm về không gian đã trải qua một sự thay đổi cơ bản và nêu lên câu hỏi: không gian hình học nào là thích hợp nhất với không gian vật lý. Với sự phát triển của toán học lý thuyết trong thế kỷ 20, 'không gian' (cho dù là 'điểm', 'đường', hoặc 'mặt phẳng') bị mất nội dung trực quan của nó, vì vậy người đọc phải phân biệt giữa không gian vật lý và không gian hình học (trong đó 'không gian', 'điểm', v.v... vẫn còn có ý nghĩa trực quan) và không gian trừu tượng. Hình học hiện đại xem xét không gian đa tạp - không gian có mức độ trừu tượng đáng kể hơn so với không gian Euclid quen thuộc. Những không gian trên có thể có sẵn các cấu trúc bổ sung nhằm cho phép đo chiều dài. Hình học hiện đại có nhiều mối quan hệ với 
vật lý như được minh họa bằng các liên kết giữa hình học giả Riemann và thuyết tương đối rộng. Một trong những lý thuyết vật lý mới nhất, lý thuyết dây, cũng rất gần gũi với hình học.
Trong khi bản chất thị giác của hình học làm cho nó dễ dàng tiếp cận hơn so với các môn toán học khác như đại số hay lý thuyết số, ngôn ngữ hình học cũng được sử dụng trong bối cảnh xa rời truyền thống nguồn gốc Euclide của nó (ví dụ như trong hình học fractal và hình học đại số).

Tổng quan

Sự phát triển của hình học ghi nhận được kéo dài hơn hai thiên niên kỷ. Bởi vậy, nhận thức hình học luôn tiến hóa dần qua các thời đại:

Hình học thực tiễn

Hình học có nguồn gốc là một khoa học thực tiễn liên quan đến khảo sát, đo đạc, diện tích, và khối lượng. Những thành tích đáng chú ý nhất trong giai đoạn đầu của hình học bao gồm các công thức về độ dài, diện tích và thể tích, như là định lý Pytago, chu vi hình tròn và diện tích hình tròn, diện tích tam giác, thể tích của hình trụ tròn, hình cầu và hình chóp. Một phương pháp tính toán các khoảng cách và chiều cao không thể tiếp cận dựa trên sự đồng dạng về hình học là định lý Thales. Sự phát triển của thiên văn học dẫn đến sự ra đời của lượng giác phẳng và lượng giác cầu, cùng với các kỹ thuật tính toán.

Hình học tiên đề

Euclid sử dụng một phương pháp trừu tượng hơn trong tác phẩm Cơ sở của ông, một trong những tác phẩm có sức ảnh hưởng lớn nhất của nhân loại. Ông đã giới thiệu các tiên đề nhất định, thể hiện tính chất cơ bản hoặc hiển nhiên đúng của điểm, đường thẳng, và mặt phẳng. Ông tiến hành suy luận một cách chặt chẽ để rút ra các định lý khác bằng cách lý luận toán học. Tính năng đặc trưng của phương pháp tiếp cận của hình học Euclid là sự chặt chẽ của nó, và nó đã được biết đến như hình học tiên đề hoặc hình học tổng hợp. Vào đầu thế kỷ 19, việc khám phá hình học phi Euclid của Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792–1856), János Bolyai (1802–1860), Carl Friedrich Gauss (1777–1855) và những người khác dẫn đến một sự quan tâm trở lại trong phương pháp tiếp cận này, và trong thế kỷ 20, David Hilbert (1862–1943) đã áp dụng lý luận tiên đề nhằm cung cấp một nền tảng hiện đại của hình học.

Các số trong hình học

Trong thời Hy Lạp cổ đại trường phái Pythagoras đã đánh giá vai trò của các số trong hình học. Tuy nhiên, việc phát hiện chiều dài vô tỉ, vốn mâu thuẫn với quan điểm triết học của họ, làm cho họ từ bỏ con số trừu tượng và chuyển sang sử dụng tham số hình học cụ thể, chẳng hạn như độ dài và diện tích các hình. Các số đã được giới thiệu trở lại trong hình học dưới hình thức hệ tọa độ của Descartes, người đã nhận ra rằng việc nghiên cứu các hình dạng hình học có thể được hỗ trợ bằng các diễn đạt đại số của chúng, và hệ tọa độ Descartes đã được đặt theo tên ông. Hình học giải tích ứng dụng các phương pháp của đại số để giải quyết các bài toán hình học, bằng cách liên hệ các đường cong hình học với các phương trình đại số. Những ý tưởng này đóng một vai trò quan trọng trong sự phát triển của vi phân và tích phân trong thế kỷ XVII và đã dẫn đến việc phát hiện ra nhiều đặc tính mới của đường cong phẳng. Hình học đại số hiện đại xem xét những câu hỏi tương tự như trên ở một mức độ trừu tượng cao hơn.

Hình học vị trí

Ngay trong thời cổ đại, các nhà toán học đã giải các bài toán về vị trí tương đối hoặc mối quan hệ không gian của các hình hình học. Một số ví dụ được đưa ra bởi các đường tròn nội ngoại tiếp của đa giác, đường giao nhau và tiếp tuyến với đường conic,các cấu hình Pappus và Menelaus của các điểm và đường. Trong thời Trung cổ, những bài toán mới và phức tạp hơn được đặt ra: số lượng tối đa của hình cầu, đồng thời tiếp xúc với một hình cầu nhất định mà có cùng một bán kính? Việc lèn chặt hàng loạt hình cầu kích thước bằng nhau trong không gian sẽ tạo ra cái gì? Hầu hết các câu hỏi liên quan đến các khối hình học 'cố định', chẳng hạn như các đường hoặc mặt cầu. Hình học projective, tổ hợp lồi, và hình học rời rạc là ba phân nhánh trong hình học ngày nay để xử lý các bài toán trên.
Leonhard Euler, trong khi nghiên cứu bài toán bảy cây cầu ở Königsberg, đã xem xét các thuộc tính cơ bản nhất của hình học chỉ dựa vào hình dạng, độc lập với các thuộc tính số liệu của chúng. Euler gọi chi nhánh mới này của hình học là geometria situs (hình học vị trí), nhưng hiện nay nó được biết đến với tên là tô pô học. Tô pô học phát triển từ hình học, nhưng biến thành một ngành độc lập lớn. Nó không quan tâm đến sự khác biệt giữa đối tượng có thể liên tục bị biến dạng thành các hình khác nhau. Các đối tượng có thể vẫn giữ lại một số tính chất hình học, như trong trường hợp của nút thắt hyperbol.

Dựng hình

Hình học cổ điển đặc biệt quan tâm đến việc dựng một hình hình học đã được mô tả trong một số cách khác. Hình học cổ điển chỉ cho phép dựng hình sử dụng compa và thước kẻ. 
Ngoài ra, mỗi bài dựng hình phải được hoàn thành trong một số hữu hạn các bước. Tuy nhiên, một số bài dựng hình khó hoặc không thể giải quyết chỉ bằng các phương tiện này, và các  phép dựng hình sử dụng parabol và đường cong khác, cũng như các thiết bị cơ khí, đã được áp dụng.

Hình học hậu Euclid

Trong gần hai ngàn năm kể từ Euclid, trong khi phạm vi của các bài toán hình học đã được mở rộng rõ rệt, sự hiểu biết cơ bản về không gian vẫn là giống nhau. Immanuel Kant tranh luận rằng chỉ có một hình học tuyệt đối mà được tâm trí cho là đúng (a priori): hình học Euclid là sự tổng hợp và phát triển của cái được cho là đúng. Tư tưởng thống trịnày đã bị lật đổ bởi khám phá mang tính cách mạng của hình học phi Euclid với công trình nghiên cứu của Bolyai, Lobachevsky, và Gauss (Gauss không bao giờ công bố nghiên cứu này của ông). Ba nhà toán học trên đã chứng minh không gian Euclid chỉ là một khả năng cho sự phát triển của hình học. Một tầm nhìn rộng lớn hơn của hình học sau đó đã được Riemann phân tích trong bài giảng năm 1867 khi nhậm chức Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (Bàn về các giả thuyết mà hình học dựa vào) Bài luận này chỉ được xuất bản sau khi ông chết. Ý tưởng mới của Riemann về không gian tỏ ra rất quan trọng trong thuyết tương đối rộng của Einstein và hình học Riemann. Hình học Riemann xem xét không gian theo một cách rất chung chung, trong đó các khái niệm về chiều dài được định nghĩa. Đây là một hướng đi chính của hình học hiện đại.

Chiều không gian

Trong hình học cổ điển cho phép số chiều không gian là 1 (đường thẳng), 2 (mặt phẳng) và 3 (thế giới chúng ta đang sống được coi là không gian ba chiều), các nhà toán học đã sử dụng các chiều cao hơn trong hơn hai thế kỷ qua. Số chiều đã trải qua các giai đoạn là bất kỳ số tự nhiên n, có thể là vô hạn với sự ra đời của không gian Hilbert, và bất kỳ số thực dương nào trong hình học fractal. Lý thuyết về chiều là một lĩnh vực kỹ thuật, ban đầu nằm trong tô pô học nói chung, thảo luận về các định nghĩa; cùng với hầu hết các ý tưởng toán học, khái niệm chiều hiện nay được định nghĩa chứ không còn là cảm nhận trực giác. Kết nối đa tạp topo có số chiều được xác định rõ; đây là một định lý (bất biến của miền xác định) thay vì cái gì đó tự được coi là đúng.
Các vấn đề về chiều vẫn rất quan trọng đối với hình học, khi mà không có câu trả lời đầy đủ cho các bài toán cổ điển. Kích thước 3 của không gian và 4 của không-thời gian là các trường hợp đặc biệt trong tô pô hình học. Chiều 10 và 11 là con số quan trọng trong lý thuyết dây. Nghiên cứu có thể mang lại một lý do hình học thỏa đáng cho ý nghĩa của chiều 10 và 11.

Tính đối xứng

Mô hình đối xứng trong hình học có lịch sử lâu đời cũng gần như chính hình học. Các hình hình học như đường tròn, đa giác đều và các khối đa diện đều Platon có ý nghĩa sâu sắc đối với nhiều nhà triết học cổ đại và chúng đã được nghiên cứu chi tiết trước thời của Euclid. Mô hình đối xứng xảy ra trong tự nhiên và đã được mô phỏng nghệ thuật trong vô số các hình thức, bao gồm cả đồ họa của M. C. Escher. Tuy nhiên, chỉ đến nửa sau của thế kỷ 19, các vai trò thống nhất của tính đối xứng trong nền tảng của hình học mới được công nhận. Chương trình Erlangen của Felix Klein tuyên bố rằng, trong một ý nghĩa rất chính xác, đối xứng, thể hiện qua các khái niệm về một sự biến đổi nhóm, cho thấy hình học là gì. Sự đối xứng trong hình học Euclid cổ điển được thể hiện qua tính tương đẳng và chuyển động cứng nhắc, trong khi trong hình học xạ ảnh một vai trò tương tự được thực hiện bởi phép cộng tuyến, biến đổi hình học chuyển đường thẳng thành đường thẳng. Tuy nhiên trong hình học mới của Bolyai và Lobachevsky, Riemann, Clifford và Klein, và Sophus Lie rằng ý tưởng Klein 'xác định một hình học thông qua nhóm đối xứng của nó' đã có ảnh hưởng lớn nhất. Cả hai đối xứng rời rạc và liên tục đóng vai trò nổi bật trong hình học: đối xứng rời rạc có ý nghĩa trong tô pô học và trong lý thuyết nhóm hình học, còn đối xứng liên tục có ý nghĩa trong thuyết Lie và hình học Riemann.
Một loại khác của tính đối xứng là nguyên tắc của tính hai mặt trong hình học projective. Hiện tượng meta này có thể được mô tả đại khái như sau: trong bất kỳ định lý nào, đổi điểm thành mặt phẳng, gặp thành cắt, nằm trong thành có chứa, và bạn sẽ có được một định lý mới cũng đúng. Một hình thức tương tự và có liên quan chặt chẽ của tính hai mặt tồn tại giữa một không gian vectơ và không gian hai mặt của nó.

Hình học fractal

Fractal là một thuật ngữ do nhà Toán học Mandelbrot đưa ra khi ông khảo sát những hình hoặc những hiện tượng trong thiên nhiên không có đặc trưng về độ dài. Mandelbrot là nhà toán học vĩ đại của thế kỷ 20. Ông nó rằng: "Các đám mây không phải là hình cầu, các ngọn núi không phải là hình nón". Theo ông Fractal là chỉ những đối tượng hình học có hình dáng gồ ghề, không trơn nhẵn trong thiên nhiên. Cụ thể hơn đó là những vật thể có tính đối xứng sắp xếp trong một phạm vi nhất định, có nghĩa là khi ta chia một vật thể fractal, với hình dáng gồ ghề, gãy góc ra thành những phần nhỏ thì nó vẫn có được đặc tính đối xứng trong một cấu trúc tưởng như hỗn đoạn. Hình dáng các đám mây, đường đi của các tia chớp là những ví dụ mà ta dễ nhìn thấy được.
Rất nhiều người, khi có dịp làm quen với hình học fractal đã nhanh chóng thích thú có khi đến say mê, bởi nhiều lý do:
Một là, hình học fractal ra đời và phát triển với nhiều ý tưởng mới lạ, độc đáo, gợi cho ta một cách nhìn thiên nhiên khác với cách nhìn quá quen thuộc do hình học Euclid đưa lại từ mấy nghìn năm nay.
Hai là, hình học fractal thường được xây dựng với quy tắc khá đơn giản, nhưng đưa đến những hình ảnh rất lạ mắt, rất đẹp.
Ba là, hình học fractal có nhiều ứng dụng phong phú, đa dạng, có khi rất bất ngờ vào rất nhiều lĩnh vực khác nhau, từ các ngành xây dựng, khai thác dầu khí, chế tạo dụng cụ chính xác… đến sinh lý học, ngôn ngữ học, âm nhạc.
Bốn là, hình học fractal là một ngành toán học cao cấp, hiện đại nhưng một số ý tưởng của nó, một số kết quả đơn giản của nó có thể trình bày thích hợp cho đông đảo người đọc.
Hình học Euclid được giới thiệu ở trường trung học với việc khảo sát các hình đa giác, hình tròn, hình đa diện, hình cầu, hình nón…Hơn hai nghìn năm qua hình học Euclid đã có tác dụng to lớn đối với nền văn minh nhân loại, từ việc đo đạc ruộng đất đến vẽ đồ án xây dựng nhà cửa, chế tạo vật dụng và máy móc, từ việc mô tả quỹ đạo của các hành tinh trong hệ mặt trời đến mô tả cấu trúc của nguyên tử. Tuy nhiên, qua hình học Euclid ta nhìn mọi vật dưới dạng "đều đặn", "trơn nhẵn". Với những hình dạng trong hình học Euclid ta không thể hình dung và mô tả được nhiều vật thể rất quen thuộc xung quanh như quả núi, bờ biển, đám mây, nhiều bộ phận trong cơ thể như mạch máu… là những vật cụ thể cực kỳ không đều đặn không trơn nhẵn mà rất xù xì, gồ ghề. Một ví dụ đơn giản: bờ biển đảo Phú Quốc dài bao nhiêu? Ta không thể có được câu trả lời. Nếu dùng cách đo hình học quen thuộc dù thước đo có nhỏ bao nhiêu đi nữa ta cũng đã bỏ qua những lồi lõm giữa hai đầu của thước đo ấy, nhất là chỗ bờ đá nhấp nhô. Và với thước đo càng nhỏ ta có chiều dài càng lớn và có thể là… vô cùng lớn.