Phương trình

Điều kiện xác định (ĐKXĐ)

Ta biết một đa thức có nghĩa khi nó không chia cho 0, căn bậc hai không âm (trên tập số thực) và ,.... do đó khi ta biến đổi một phương trình có thể thu được một phương trình có các nghiệm ngoại lai, ta vừa phải xét điều kiện xác định vừa phải xét xem nó có làm 2 vế phương trình cân bằng hay không. Do đó ĐKXĐ được hiểu là điều kiện để các biểu thức tổng phương trình có nghĩa dẫn đến phương trình có nghĩa.
giả sử ta có phương trình sau:  
nếu ta trừ cả hai vế với  là sai vì  chứa ĐKXĐ của phương trình vì nếu giải như vậy phương trình thu được nghiệm là 1, do không tồn tại phép chia cho không nên cách giải của ta sai, phương trình này vô nghiệm.

Nghiệm của phương trình

Nghiệm của phương trình là bộ  tương ứng sao khi ta thay vào phương trình thì ta có đó là một mệnh đề đúng hoặc đơn giản là làm cho chúng bằng nhau, chẳng hạn ta có phương trình , vậy nghiệm của phương trình là  vì nó làm cho 2 vế của phương trình bằng nhau. hoặc hiểu theo công thức tổng quát, phương trình  có  được gọi là nghiệm của phương trình khi và chỉ khi  và , điều này định nghĩa tương tự với các phương trình nhiều ẩn khác như.
Giải phương trình là tìm tập nghiệm của phương trình đó. Với tập nghiệm của phương trình là tất cả các nghiệm của phương trình. Kí hiệu: . Xuất phát từ chữ cái tiếng Anh là Set có nghĩa là tập, nhóm.
Người ta cũng chứng minh được một phương trình có thể có một nghiệm, như  thì có một nghiệm duy nhất là 1, hoặc cũng có thể có 2 nghiệm, như  thì có 2 nghiệm đối nhau là , hoặc vô nghiệm như  (Điều này xảy ra trên tập số thực) và có thể có vô số nghiệm như . Nhưng số nghiệm luôn luôn bé hơn hoặc bằng (khi trên tập số thực) và bằng (khi trên tập số phức) số bậc của phương trình. Đó là định lý cơ bản của Đại số, trong sách Giáo khoa Giải tích 12 có nói về điều này trong bài cuối cùng của chương Số phức.
Để giải các phương trình đều có các công thức nghiệm nhất định. Tuy nhiên người ta chứng minh được không có công thức nghiệm tổng quát cho các phương trình có số bậc cao hơn bậc 4. Hơn nữa công thức nghiệm của phương trình bậc 3 và 4 rất phức tạp nên không được đề cập đến trong chương trình Sách giáo khoa.
Xem thêm: Phương trình bậc bốn, Phương trình bậc n
Chúng ta hoàn toàn có thể biểu diễn một phương trình bất kì bằng minh họa hình học, với số giao điểm là số nghiệm của phương trình, nhưng ta không thể đếm hết số giao điểm các nghiệm và do đó phải có một số công thức hữu hạn về nghiệm của phương trình.
Biểu diễn tập nghiệm được dùng như biểu diễn hàm số, nhưng điểm khác giữa 2 khái niệm này là phương trình là một hàm hằng với y=0 khi nó là phương trình một ẩn.
2 phương trình được gọi là tương đương nhau khi chúng có cùng tập nghiệm, tức là sẽ có các phép biến đổi thuộc tính biến phương trình này thành phương trình kia.

Vai trò

Phương trình được coi như đóng vai trò đắc lực và sử dụng phổ biến nhất trong Toán học vì chỉ cần học xong chương trình cấp 2 ta đã có thể có kĩ năng giải phương trình bậc hai ứng dụng trong đời sống. Phương trình cũng là lý thuyết trọng tâm của Đại số và có thể nói không có phương trình thì không có Đại số. Nó cũng góp phần xây dựng các khái niệm khác như Hệ phương trình, bất phương trình,...