Tiêu chuẩn ổn định Nyquist

Trong lý thuyết điều khiển tự động và lý thuyết ổn định, tiêu chuẩn ổn định Nyquist, được phát minh bởi kỹ sư điện người Thụy Điển-Mỹ Harry Nyquist tại Bell Telephone Laboratories vào năm 1932, là một kỹ thuật đồ họa để xác định sự ổn định của một hệ thống động lực. Bởi vì nó chỉ nhìn vào biểu đồ Nyquist của các hệ thống vòng hở, nó có thể được áp dụng mà không cần tính toán một cách rõ ràng các cực và zero của hoặc hệ thống vòng kín hoặc hệ thống vòng hở (mặc dù số lượng của mỗi loại kỳ dị ở mặt phẳng bên phải phải được biết). Kết quả là, nó có thể được áp dụng cho các hệ thống được xác định bởi các hàm không phải là hàm phân thức, chẳng hạn như hệ thống có độ trễ. Ngược lại với biểu đồ Bode, nó có thể xử lý các hàm truyền với các kỳ dị ở mặt phẳng bên phải. Ngoài ra, có một tổng quát hóa tự nhiên cho nhiều hệ thống phức tạp với nhiều đầu vào và nhiều đầu ra,chẳng hạn như các hệ thống điều khiển cho máy bay.
Tiêu chuẩn Nyquist được sử dụng rộng rãi trong kỹ thuật điện tử và kỹ thuật điều khiển tự động, cũng như các lĩnh vực khác, để thiết kế và phân tích các hệ thống với thông tin phản hồi. Trong khi Nyquist là một trong những kiểm tra sự ổn định tổng quát nhất, nó còn có nhiều hạn chế đối với các hệ thống tuyến tính, các hệ thống thời gian bất biến(LTI). Các hệ thống phi tuyến tính phải sử dụng tiêu chuẩn ổn địnhphức tạp hơn, chẳng hạn như Lyapunov hoặc tiêu chuẩn vòng tròn. Trong khi Nyquist là một kỹ thuật đồ họa, nó chỉ cung cấp một số lượng hạn chế trực quan để giải thích tại sao một hệ thống là ổn định hay không ổn định, hoặc làm thế nào để biến một hệ thống từ không ổn định sang ổn định. Các kỹ thuật như biểu đồ Bode, ít tổng quát, đôi khi lại là một công cụ thiết kế hữu ích hơn.

Cơ sở

Chúng ta xem xét một hệ thống có hàm truyền vòng hở (OLTF-open loop transfer function) là ; khi thay vào một vòng kín với vòng phản hồi âm , hàm truyền vòng kín (CLTF-closed loop transfer function) sẽ trở thành . Độ ổn định có thể được xác định bằng cách kiểm tra các nghiệm của đa thức , ví dụ sử dụng bảng Routh, nhưng phương pháp này hơi tẻ nhạt. Kết luận cũng có thể đạt được bằng cách kiểm tra OLTF, sử dụng biểu đồ Bode của nó hoặc, như ở đây, biểu đồ cực của OLTF sử dụng tiêu chuẩn Nyquist, như sau.
Bất kỳ hàm truyền trong miền Laplace nào   cũng có thể được diễn đạt thành tỉ số của hai đa thức: 
Các nghiệm của  được gọi là các zero của , và các nghiệm của  được gọi là các cực của . Các cực của  cũng được gọi là các nghiệm của "phương trình đặc tính" .
Độ ổn định của  được xác định bởi các giá trị của các cực của nó: để ổn định, các phần thực của mỗi cực phải là số âm. Nếu  được tạo bởi một vòng phản hồi đơn vị âm xung quanh hàm truyền vòng hở, thì các nghiệm của phương trình đặc tính cũng là zero của , hoặc đơn giản là nghiệm của .

Nguyên lý argument của Cauchy

Từ giải tích phức, đặc biệt nguyên lý argument, chúng ta biết rằng một đường bao  vẽ trong một mặt phẳng phức , bao quanh nhưng không vượt qua bất kỳ zero và cực nào của hàm , có thể được ánh xạ sang một mặt phẳng khác (mặt phẳng ) bởi hàm . Biểu đồ Nyquist của , trong đó đường bao  sẽ bao quanh điểm  của mặt phẳng    lần, trong đó . Với  và  lần lượt là số zero của  và cực của  bên trong đường bao . Lưu ý rằng chúng ta đếm các đường bao trong mặt phẳng  theo cùng nghĩa với đường bao  và các đường bao theo hướng ngược lại là các đường bao âm. Trong đó, chúng ta xem các đường bao theo chiều kim đồng hồ là âm và các đường bao ngược chiều kim đồng hồ là dương.
Thay vì nguyên lý argument của Cauchy, tài liệu gốc của Harry Nyquist vào năm 1932 sử dụng một cách tiếp cận ít thanh lịch hơn. Cách tiếp cận này đã giải thích ở đây là tương tự như phương pháp được sử dụng bởi Leroy MacColl (lý thuyết cơ bản của các cơ cấu servo năm 1945) hoặc bởi Hendrik Bode (Phân tích mạng và thiết kế bộ khuếch đại hồi tiếp năm 1945), cả hai người họ cũng làm việc cho Phòng thí nghiệm Bell. Cách tiếp cận này xuất hiện trong hầu hết các giáo trình hiện đại về lý thuyết điều khiển.

Tiêu chuẩn Nyquist cho các hệ thống với cực nằm trên trục ảo

Việc xem xét trên đã được tiến hành với một giả định rằng hàm truyền vòng hở  không có bất kỳ cực nào trên trục ảo (có nghĩa là các cực có dạng ). Đây là kết quả từ điều kiện của nguyên lý argument rằng các đường bao không thể đi qua bất kỳ cực nào của hàm ánh xạ. Trường hợp phổ biến nhất là những hệ thống với các máy (bộ) tích phân (cực ở zero).
Để có thể phân tích các hệ thống với các cực nằm trên trục ảo, Đường Bao Nyquist có thể được biến đổi để tránh việc đi qua điểm . Một cách để làm điều này là xây dựng một vòng cung bán nguyệt với đường kính  xung quanh , bắt đầu tại  và đi ngược  chiều tới . Một điều chỉnh như vậy ngụ ý rằng pha  đi dọc một cung có bán kính vô cùng bởi , trong đó  là bội số của cực trên trục ảo.

Đạo hàm toán học

Mục tiêu của chúng ta là, thông qua quá trình này, kiểm tra sự ổn định của hàm truyền của hệ thống phản hồi đơn vị của chúng ta với độ lợi k, được cho bởi
Đó là chúng ta cần phải kiểm tra phương trình trạng thái của hàm truyền trên, cho bởi 
có các zero nằm bên ngoài mặt phẳng bên trái (thường khởi tallaff OLHP).
Chúng ta giả định là có một đường bao theo chiều kim đồng hồ (nghĩa là theo chiều âm)   bao quanh mặt phẳng bên phải, với các vết lõm để tránh đi qua các zero hoặc cực của hàm . Nguyên lý argumentcủa Cauchy phát biểu rằng
Trong đó  là số zero của  bao quanh bởi đường bao và  là số cực của  bởi cùng đường bao. Sắp xếp lại, ta có, nghĩa là
Chúng ta cũng cần nhớ lại là  có cùng chính xác các cực của . Do đó, chúng ta có thể tìm thấy  bằng cách đếm các cực của  mà nằm trong đường bao đó, do đó, nằm trong mặt phẳng hở bên phải (ORHP).
Bây giờ ta sắp xếp lại tích phân ở trên bằng cách gom lại. Cho , ta có
Sau đó ta gom tiếp với . Ta có
Cần lưu ý là  cho ta ảnh của đường bao dưới , nghĩa là biểu đồ Nyquist mà ta có. Ta sẽ tối giảm tích phân trên tiếp
bằng cách áp dụng công thức tích phân Cauchy. Thật ra, ta thấy rằng tích phân trên tương ứngchính xác với số lần biểu đồ Nyquist bao quanh điểm  theo chiều kim đồng hồ. Do đó, ta có thể kết luật rằng
=(số lần biểu đồ Nyquist bao quanh -1/k theo chiều kim đồng hồ)+(số cực của G(s) trong ORHP
Do đó chúng ta thấy rằng  được định nghĩa ở trên tương ứng với một hệ thống phản hồi đơn vị ổn định, như đã tính toán ở trên, là bằng 0.