Cận trên đúng

Cận trên đúng của một tập các số thực

Trong giải tích, cận trên đúng hay cận trên nhỏ nhất của một tập các số thực S được ký hiệu là sup(S) và được định nghĩa là số thực nhỏ nhất mà lớn hơn hoặc bằng với mọi số trong S. Một tính chất quan trọng của tập số thực là tính đủ: mọi tập con không rỗng của tập số thực mà bị chặn trên thì có một cận trên đúng và cận trên đúng này cũng là một số thực.

Phần tử lớn nhất

Sự khác biệt giữa phần tử lớn nhất với cận trên đúng của một tập hợp là phần tử lớn nhất phải là một phần tử thuộc tập đó, còn cận trên đúng thì không cần. Lấy ví dụ, xét tập các số thực âm. Vì 0 không phải là số âm, tập này không có phần tử lớn nhất: với mọi phần tử của tập các số thực âm, luôn có phần tử lớn hơn. Cụ thể, với bất kỳ một số thực âm x, có một số thực âm x/2, lớn hơn x. Mặt khác, cận trên của tập các số thực âm rõ ràng là một tập con của tập số thực bao gồm tất cả các số thực lớn hơn hay bằng 0. Vậy, 0 là cận trên nhỏ nhất của tập số thực âm và do đó cận trên đúng là 0.
Nói chung, tình huống này xảy ra cho tất cả các tập con mà không có phần tử lớn nhất. Ngược lại, nếu một tập chứa phần tử lớn nhất thì nó cũng sẽ có cận trên đúng chính bằng phần tử lớn nhất đó.

Phần tử cực đại

Để có một ví dụ trong đó không có phần tử lớn nhất mà lại có một số phần tử cực đại, ta khảo sát tập gồm tất cả các tập con của tập số tự nhiên (gọi là tập lực lượng).Chúng ta dùng khái niệm bao hàm khá thông dụng để làm toán tử sắp, tức là chúng ta sẽ gọi một tập A lớn hơn tập B nếu A chứa tất cả các phần tử của tập B.Bây giờ, chúng ta xét tập S gồm tất cả các tập mà chứa nhiều nhất là mười số tự nhiên. Tập S có nhiều phần tử cực đại, tức là các phần tử mà trong đó không có phần tử nào lớn hơn nó. Thật vậy, mọi tập có mười phần tử đều là cực đại. Tuy nhiên, cận trên đúng (duy nhất và do đó là nhỏ nhất) của S là tập chứa tất cả các số tự nhiên. Người ta có thể tính cận trên nhỏ nhất của một phần tử của một tập lực lượng (tức là một tập hợp gồm các tập hợp) bằng cách đơn giản là lấy hợp của tất cả các phần tử của nó.

Cận trên cực tiểu

Cuối cùng, một tập có thể có nhiều cận trên cực tiểu nhưng lại không có một cận trên bé nhất (chú ý rằng các khái niệm "cực tiểu" và "nhỏ nhất" đang được dùng theo nghĩa chính xác toán học của chúng, chứ không phải theo nghĩa thông dụng hàng ngày). Các cận trên cực tiểu là những cận trên mà không có cận trên nào nhỏ hơn nó. Điều này không có nghĩa là mỗi cận trên cực tiểu sẽ nhỏ hơn mọi cận trên khác, chẳng qua là nó không lớn hơn các cận trên khác mà thôi. Sự khác nhau giữa "cực tiểu" and "nhỏ nhất" chỉ xảy ra trong trường hợp toán tử sắp đang xét là không phải là toán tử sắp toàn phần. Trong một tập được sắp toàn phần, giống như tập số thực đã nêu ở trên, hai khái niệm này là giống nhau.
Lấy ví dụ, giả sử S là tập gồm tất cả các tập con hữu hạn của các số tự nhiên và chúng ta xét một tập được sắp một phần sinh ra bằng cách ghép tất cả các tập của S với tập các số nguyênZ và tập các số thực dương R+, còn toán tử sắp thì chúng ta chọn toán tử bao hàm thông dụng mà đã trình bày ở trên. Khi đó rõ ràng cả Z và R+ đều lớn hơn tất cả các tập hữu hạn của các số tự nhiên. Nhưng, R+ không nhỏ hơn Z và Z cũng không nhỏ hơn R+: như vậy cả hai tập này đều là cận trên cực tiểu nhưng cả hai chẳng phải là cận trên đúng.

Tính chất cận-trên-nhỏ-nhất

Tính chất cận-trên-nhỏ-nhất  là một ví dụ về tính chất đủ mà rất đặc trưng cho tập các số thực. Đôi khi nó có được gọi là tính đủ Dedekind.
Nếu một tập được sắp S có tính chất là mọi tập con không rỗng của nó có một cận trên thì cũng có cận trên đúng thì S được gọi là có tính chất cận-trên-nhỏ-nhất. Như đã trình bày ở trên, tập R các số thực có tính chất cận-trên-nhỏ-nhất. Tương tự, tập Z các số nguyên cũng có tính chất cận-trên-nhỏ-nhất, nếu S là tập con không rỗng của Z và có một số n sao cho mọi phần tử s của S nhỏ hơn hay bằng n,khi đó có một cận trên nhỏ nhất u của S, đó là một cận trên của S và nhỏ hơn hay bằng mọi cận trên khác của S. Một tập được sắp tốt cũng có tính chất cận-trên-nhỏ-nhất.
Một ví dụ về một tập không có tính chất cận-trên-nhỏ-nhất là Q, tập số hữu tỉ. Giả sử S là tập các số hữu tỉ q sao cho q² < 2. Dễ thấy S có một cận trên (chẳng hạn là 6) nhưng không có cận trên nhỏ nhất trong Q. Giả sử p ∈ Q là một cận trên của S, tức p² > 2. Khi đó chọn q = (2p+2)/(p + 2) thì q cũng là cận trên của S, và q < p. (Để chứng minh điều này, cần lưu ý rằng q = p − (p² − 2)/(p + 2), và p² − 2 là một số dương.)
Có ‘tính chất cận-dưới-lớn-nhất’ tương ứng với ‘tính-chất-cận-trên-nhỏ-nhất’; một tập được sắp có tính chất cận-dưới-lớn-nhất khi và chỉ khi nó cũng có tính-chất-cận-trên-nhỏ-nhất; cận-trên-nhỏ-nhất của tập gồm các cận dưới của một tập là cận-dưới-lớn-nhất, và cận-dưới-lớn-nhất của tập gồm các cận trên của một tập là cận-trên-nhỏ-nhất của tập đó.
Nếu trong một tập được sắp từng phần P, mọi tập con bị chặn của nó đều có cận trên đúng, thì điều này cũng áp dụng được cho mọi tập X, trong không gian hàm chứa tất cả các hàm từ X đến P, trong đó quy định f ≤ g nếu và chỉ nếu f(x) ≤ g(x) với mọi x trong X. Lấy ví dụ, điều này áp dụng cho các hàm thực, và từ đó có thể khảo sát cho các trường hợp hàm đặc biệt, cho ống-n-thực và dãy các số thực.