Hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai là hàm số có dạng  trong đó  là các hằng số và . Và hệ số hoàn toàn có thể ở y. x,y lần lượt là các biến và hàm số này thể hiện sự phụ thuộc sâu sắc giữa x,y mà hàm số bậc nhất không làm được.
Công thức kể trên chỉ là công thức chuẩn mẫu, ta có thể có công thức sau:
 tức là hàm số bậc hai chỉ cần đạt 2 điều kiện là có bậc cao nhất của biến là 2 và có ít nhất 1 hệ số khác 0.
Trường hợp bivariate về biến x và y có dạng
khi đó nó cùng với hàm chuẩn mẫu tạo trên hệ trục tọa độ những hình cônic (parabol, elip, tròn hoặc hyperbol)

Nguồn gốc tên

Các tính từ bậc hai xuất phát từ tiếng Latin từ ' (" vuông ") function (hàm số). Một thuật ngữ như x ² được gọi là một hình vuông trong đại số bởi vì nó là diện tích của một hình vuông với cạnh x .
Nói chung, một tiền tố quadr (i) - chỉ ra số 4. Ví dụ là tứ giác và góc tọa độ. Quadratum là chữ Latinh cho vuông. nó cùng họ với từ quadrilateral tức là tứ giác.

Hệ số

Các hệ số của một đa thức thường được coi là số thực hoặc số phức. Riêng số phức có thể đề cập trong Giải tích phức và chúng luôn biểu diễn được trên hệ trục tọa độ.

Bậc của hàm

Khi sử dụng thuật ngữ "đa thức bậc hai", các tác giả đôi khi có nghĩa là "có độ chính xác 2", và đôi khi "có mức độ nhiều nhất là 2". Nếu mức độ ít hơn 2, điều này có thể được gọi là " trường hợp thoái hoá ". Thông thường bối cảnh sẽ xác định được cái nào trong số hai.
Trong tiếng Anh đôi khi từ "order" được sử dụng với nghĩa của "degree", ví dụ như trong tiếng Anh "phương trình bậc hai" cũng gọi là "the second order equation"

Các biến

Một đa thức bậc hai có thể liên quan đến một biến duy nhất x (trường hợp đơn biến), hoặc nhiều biến như x , y , và z (trường hợp đa biến). Trên thực tế để giảm độ phức tạp, người ta thường quy một hàm nhiều biến về các hàm 2 biến để dễ xét.

Biệt thức

Biệt thức thông thường 
Ngoài ra, với b = 2b' thì ta có biệt thức thu gọn:  . Khi đó

Độ chính xác của các nghiệm

Tương tự phương trình bậc hai, hàm số bậc hai mẫu chuẩn:  có 2 nghiệm  (nghiệm thực) hoặc
 (nghiệm phức)

Độ lớn của các nghiệm

Người ta cũng chứng minh được rằng môđun của nghiệm bậc 2 không lớn hơn  với  tức là tỉ lệ vàng.

Đồ thị hàm số đơn biến (một ẩn)

Giờ ta chỉ xét hàm số bậc hai mẫu chuẩn:  
Đồ thị của hàm số bậc 2 mẫu chuẩn luôn là một đường parabol trên hệ trục tọa độ.

Giới thiệu về đỉnh của hàm số bậc hai

Điểm đỉnh của một parabol là nơi mà nó quay. Do đó, nó còn được gọi là bước ngoặt . 
Nếu hàm bậc hai ở dạng đỉnh, đỉnh là ( h , k ) . Sử dụng phương pháp hoàn thiện hình vuông, người ta có thể biến dạng chuẩn dạng đỉnh ta có 
vậy h là trục đối xứng của parabol
Nếu ở  dạng thừa số  ta lấy trung bình của 2 nghiệm tức là  do đó toạ độ đỉnh khi đó là

Hình dạng

Một dạng cơ bản của hàm số này được học trong chương trình SGK Toán lớp 9 có dạng:  
Tập xác định: R
Đồ thị của hàm số này luôn đi qua gốc tọa độ và có
Đỉnh: 
Trục đối xứng: Oy
nếu a>0 thì đồ thị nằm ở trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị. Ta có thể chứng minh được điều này: vì a>0 và  nên y luôn không âm, hay parabol luôn nằm trên trục hoành.
nếu a<0 thì đồ thị nằm ở dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị. Lý luận như trên, ta có thể chứng minh được điều này.

Cách vẽ

Dựa trên một hàm số bất kì, ta có thể vẽ bằng các cách sau:
Cách 1: Giả sử ta có hàm , ta vẽ ít nhất 3 điểm x lấy giá trị dương để có một parabol có độ chính xác cao. Sau đó qua trục tung để vẽ 3 điểm nhận giá trị x âm tương ứng.
Cách 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, giả sử đã biết điểm  khác gốc tọa độ thuộc parabol. Gọi P là hình chiếu M lên Ox, lần lượt chia đoạn OP, PM thành n phần bằng nhau  và qua các điểm này kẻ những đường thẳng song song với Oy, nối chúng với O và đánh số thứ tự các đường thẳng và đoạn thẳng. Lấy giao điểm của các cặp đoạn thẳng có cùng đường thẳng và đoạn thẳng có cùng thứ tự. Nối chúng, ta thu được nửa parabol của hàm đã cho. Cuối cùng vẽ đối xứng nửa parabol này qua trục Oy.
Cách 3:Cách này chỉ dùng cho hàm 
Trên vở có kẻ dòng như vở học sinh, ta lấy khoảng cách giữa mỗi dòng là 1 đơn vị độ dài và vẽ các đường tròn đồng tâm, rồi kẻ các đường thẳng song song cắt các đường tròn đó và đánh dấu các giao điểm thực tế có một tập hợp các giao điểm khác giao điểm giữa đường tròn và các đường thẳng, tập hợp các điểm đó chính là trục tung Oy. Đánh dấu xong ta xóa các đường tròn, các đường thẳng và các số đánh dấu đi. Nối chúng, ta được một Parabol.

Giới thiệu

Dạng mẫu chuẩn được dạy đầy đủ trong Đại số 10
Dạng:                                         
Tập xác định: R, ()
Ta thực hiện các phép biến đổi tương đương:
khi đó nếu coi  và  thì ta có 
Do đó ta có thể quy về hàm số bậc hai rút gọn.
Do đó  thuộc đồ thị của hàm số và như vậy, tương đương hàm số bậc 2 rút gọn ta có:
Nếu     do đó  là điểm thấp nhất của đồ thị.
Nếu    do đó  là điểm cao nhất của đồ thị.
Như vậy điểm  đóng vai trò như điểm  trong parabol của đồ thị hàm

Đồ thị

Đồ thị của hàm mẫu chuẩn chỉ là kết quả của các phép biến hình hình học đồ thị của hàm số bậc hai thu gọn.
Đỉnh: I() với ==và =f()=f()==
Trục đối xứng: 
Trục này quay bề lõm lên trên nếu a>0, xuống dưới nếu a<0.
Chứng minh: Ta chứng minh đồ thị hàm số này suy ra từ đồ thị hàm số rút gọn qua 3 bước:
Bước 1: Chứng minh đồ thị của hàm 
Xét 2 hàm số 
Tại cùng một điểm  ta có 
Do đó nếu điểm  thuộc đồ thị của hàm  thì điểm sẽ thuộc đồ thị của hàm .
Bây giờ nếu ta dịch chuyển một điểm M song song trục tung một đoạn  đơn vị (lên trên nếu , xuống dưới nếu ) thì ta được điểm N.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bước 2: Đồ thị của hàm số 
Xét 2 hàm 
với X tùy ý ta có 
Tức là giá trị của hàm f(X) tại X bằng giá trị của hàm g(X) tại . Vậy với điểm  thuộc đồ thị của hàm số  thì điểm  thuộc đồ thị của hàm số .
Vậy nếu tịnh tiến M song song với trục hoành  đơn vị về bên trái nếu  và về bên phải nếu  thì được điểm N.
Do đó ta có điều phải chứng minh.
Bước 3:Đồ thị của hàm số 
ta có biến đổi như phần Giới thiệu:
áp dụng các kết quả từ Bước 1,2 với  ta thấy đồ thị là sự di chuyển sang trái hoặc phải tịnh tiến song song với trục hoành một khoảng  và lên trên hoặc xuống dưới tịnh tiến song song với trục tung một khoảng .
Vậy ta có điều phải chứng minh.

Cách vẽ

Bước 1:Xác định tọa độ đỉnh hoặc hoặc 
Bước 2: Vẽ trục đối xứng ()
Bước 3: Xác định tọa độ các giao điểm của parabol với trục tung  và trục hoành nếu có, sau đó xác định một số điểm thuộc đồ thị
Bước 4: Vẽ parabol và chú ý dấu của hệ số a để biết parabol quay hướng nào.

Biến thể của hàm bậc hai (hai biến)

Ở trên ta gặp dạng mẫu chuẩn, nếu với 2 biến x,y ta có:
Với A,B,C,D,E cố định và F biến thiên. Tại  thay đổi mô tả được tại đó giao điểm của mặt phẳng với một mặt phẳng z=0 khác. Nó có thể coi như một giao điểm khi cắt một mặt nón bằng một thiết diện.

Cực đại và cực tiểu của hàm

nếu  thì hàm không có giá trị cực đại hay cực tiểu mà như là một hình parabol hyperbolic
nếu  thì hàm có cực đại tại A<0 và cực tiểu tại A>0. và khi đó xảy ra tại (
nếu  và . Hàm cũng không có cực đại hay cực tiểu và nó giống một xilanh parabol.
nếu  và . Hàm cực đại và cực tiểu trên một đường có cực tiểu tại A>0 và cực đại tại A<0.

Các bài toán có nội dung quy về phương trình bậc hai

Một số công thức sau đây thể hiện sự phụ thuộc giữa 2 đại lượng mà có sự tham gia của phương trình bậc hai, chủ yếu là các công thức Vật lý:

Cơ học

Công thức tính quãng đường đi được của chuyển động thẳng biến đổi đều: 
Phương trình chuyển động thẳng biến đổi đều: 
công thức liên hệ giữa gia tốc, vận tốc, quãng đường đi được của chuyển động thẳng biến đổi đều:
quãng đường đi được của vật rơi tự do-Chuyển động thành phần theo trục Oy của vật rơi tự do trong hệ trục tọa độ: (khi chỉ ở trên Trái Đất)
Gia tốc hướng tâm:
Lực hướng tâm:
Tầm ném xa: 
Định luật vạn vật hấp dẫn:
Động năng của vật:
Thế năng đàn hồi:
Trong đó  là vận tốc tại thời điểm , à các tọa độ của vật,  là hằng số hấp dẫn,  là gia tốc trọng trường,  là vận tốc,  là thời gian,  là độ biến dạng của lò xo,  là gia tốc,  là tầm ném xa,  là động năng,  là lực,  là bán kính của các thiên thể/vật mà ở đây thường là các hành tinh. là tốc độ góc của chuyển động tròn đều.