Lý thuyết tập hợp ngây thơ

Lý thuyết tập hợp Naïve là bất kỳ lý thuyết nào trong số các lý thuyết tập hợp được sử dụng trong cuộc thảo luận về nền tảng của toán học
. Không giống như các lý thuyết tập hợp tiên đề, được xác định bằng logic chính thức, lý thuyết tập hợp ngây thơ được định nghĩa không chính thức, bằng ngôn ngữ tự nhiên. Nó mô tả các khía cạnh của các bộ toán học quen thuộc trong toán học rời rạc (ví dụ biểu đồ Venn và lý luận tượng trưng về đại số Boolean của chúng), và đủ cho việc sử dụng hàng ngày các khái niệm lý thuyết tập hợp trong toán học đương đại.
Bộ có tầm quan trọng lớn trong toán học; trong các phương pháp điều trị chính thức hiện đại, hầu hết các đối tượng toán học (số, quan hệ, hàm, v.v.) được định nghĩa theo các tập hợp. Lý thuyết Naïve đặt ra đủ cho nhiều mục đích, đồng thời đóng vai trò là bước đệm hướng tới các phương pháp điều trị chính thức hơn.

Nghịch lý

Giả định rằng bất kỳ tài sản nào cũng có thể được sử dụng để tạo thành một tập hợp, mà không hạn chế, dẫn đến nghịch lý. Một ví dụ phổ biến là nghịch lý của Russell: không có tập hợp nào bao gồm "tất cả các tập hợp không chứa chính chúng". Do đó, các hệ thống nhất quán của lý thuyết tập hợp ngây thơ phải bao gồm một số hạn chế về các nguyên tắc có thể được sử dụng để hình thành các tập hợp.

Lý thuyết tiên đề

Lý thuyết tập hợp tiên đề đã được phát triển để đáp ứng những nỗ lực ban đầu này để hiểu các tập hợp, với mục tiêu xác định chính xác những hoạt động được phép và khi nào.

Đặt, thành viên và bình đẳng

Trong lý thuyết tập hợp ngây thơ, một tập hợp được mô tả là một tập hợp các đối tượng được xác định rõ. Các đối tượng này được gọi là các thành phần hoặc thành viên của tập hợp. Các đối tượng có thể là bất cứ thứ gì: số, người, các bộ khác, v.v. Ví dụ, 4 là thành viên của tập hợp tất cả các số nguyên chẵn. Rõ ràng, tập hợp các số chẵn là vô cùng lớn; không có yêu cầu rằng một bộ là hữu hạn.

Tập hợp thành viên

Nếu  x  là thành viên của tập hợp  A , thì người ta cũng nói rằng  x   'thuộc về'   A  hoặc  x  là trong  A . Điều này được ký hiệu là  x  ∈  A . Biểu tượng là một từ phái sinh từ chữ Hy Lạp viết thường epsilon, "ε", được giới thiệu bởi Giuseppe Peano vào năm 1889 và sẽ là chữ cái đầu tiên của từ ἐστί (có nghĩa là "là"). Biểu tượng thường được sử dụng để viết  x  ∉  A , có nghĩa là "x không nằm trong A".

Bình đẳng

Hai bộ  A  và  B  được định nghĩa là  'bằng nhau'  khi chúng có các phần tử chính xác giống nhau, nghĩa là, nếu mọi phần tử của  A  là một yếu tố của  B  và mọi yếu tố của  B  là một yếu tố của  A . (Xem tiên đề của tính mở rộng.) Do đó, một tập hợp hoàn toàn được xác định bởi các phần tử của nó; mô tả là không quan trọng. Ví dụ: tập hợp có các phần tử 2, 3 và 5 bằng với tập hợp của tất cả số nguyên tố s nhỏ hơn 6.Nếu các bộ  A  và  B  bằng nhau, thì bộ này được ký hiệu tượng trưng là  A  =  B  (như thường lệ).

Tập hợp trống

Tập trống, thường được ký hiệu là và đôi khi , là một tập hợp không có thành viên nào cả. Bởi vì một tập hợp được xác định hoàn toàn bởi các phần tử của nó, chỉ có thể có một tập hợp trống. (Xem tiên đề của tập hợp trống.) Mặc dù tập hợp trống không có thành viên, nó có thể là thành viên của các tập hợp khác. Do đó ≠ {}, vì cái trước không có thành viên và cái sau có một thành viên. Trong toán học, các tập hợp duy nhất mà người ta cần quan tâm có thể được xây dựng từ tập hợp trống một mình. (Halmos  ( 1974))