Lịch sử toán học

Nguồn gốc

Rất lâu trước những văn tự cổ nhất, đã có những bức vẽ cho thấy một kiến thức về toán học và đo thời gian dựa trên sao trời. Ví dụ các nhà cổ sinh vật học đã khám phá ra các mảnh đất thổ hoàng trong một hang động ở Nam Phi được trang trí bởi các hình khắc hình học với thời gian khoảng 70.000 TCN. Cũng các di khảo tiền sử được tìm thấy ở châu Phi và Pháp, thời gian khoảng giữa 35000 TCN và 20000 TCN, cho thấy các cố gắng sơ khai nhằm định lượng thời gian.
Các bằng chứng còn tồn tại cho thấy việc đếm thời sơ khai chủ yếu là do phụ nữ, những người giữ các vật đánh dấu chu kì sinh học hàng tháng; ví dụ hai mươi tám, hai mươi chín, hoặc ba mươi vạch trên xương hoặc hòn đá, theo sau là một vạch cách biệt khác. Hơn nữa, các thợ săn đã có khái niệm về một, hai và nhiều cũng như không khi xem xét số bầy thú.
Xương Ishango được tìm thấy ở thượng nguồn sông Nil (phía bắc Cộng hòa Dân chủ Congo), thuộc thời kì 20.000 TCN. Bản dịch thông dụng nhất của hòn đá cho ta thấy nó là bằng chứng sớm nhất thể hiện một dãy các số nguyên tố và phép nhân Ai Cập cổ đại. Người Ai Cập vào thiên niên kỉ thứ 5 TCN đã vẽ các bức tranh về thiết kế hình học và không gian. Người ta đã khẳng định các hòn đá tế thần ở Anh và Scotland từ thiên niên kỉ thứ 3 TCN, bao gồm cả các ý tưởng hình học như hình tròn, hình elíp và bộ ba Pythagore trong thiết kế của nó.
Nền toán học sớm nhất từng biết trong Ấn Độ cổ đại nằm vào khoảng 3000 TCN - 2600 TCN ở nền văn minh thung lũng Indus (nền văn minh Harappan) của Bắc Ấn Độ và Pakistan, đã phát triển một hệ thống các đơn vị đo Thung lũng Indus cổ đại sử dụng hệ cơ số 10, một công nghệ gạch đáng ngạc nhiên sử dụng các tỉ lệ, các đường đi được đặt trên một góc vuông hoàn hảo, và một số các hình hình học và thiết kế, bao gồm hình hộp chữ nhật, thùng phi, hình nón, hình trụ và các bức vẽ các hình tròn và hình tam giác cắt nhau và đồng qui. Các dụng cụ toán học tìm được bao gồm một thước đo cơ số 10 với độ chia nhỏ và chính xác, một dụng cụ vỏ sò hoạt động như một chiếc com pa để đo góc trên mặt phẳng hoặc theo các bội của 40-360 độ, một dụng cụ vỏ sò để đo 8-12 phần của đường chân trời và bầu trời, và một dụng cụ để đo vị trí của các sao nhằm mục đích định hướng. Bản viết tay Indus vẫn chưa được giải nghĩa; do đó ta biết được rất ít về các dạng viết của toán học Harappan. Các bằng chứng khảo cổ đã làm các nhà sử học tin rằng nền văn minh này đã sử dụng hệ đếm cơ số 8 và đạt được các kiến thức về tỉ lệ giữa chu vi của đường tròn đối với bán kính của nó, do đó tính được số π.

Toán học châu Âu Trung cổ (khoảng 300-1400)

Mối quan tâm đến toán học của châu Âu Trung cổ là do nhiều lý do rất khác so với của các nhà toán học hiện đại. Một lý do đó là niềm tin rằng toán học là chìa khóa để hiểu được thứ bậc trong tự nhiên, thường được đánh giá trong cuộc đối thoại Timaeus của Plato và chuyến đi lớn mà Chúa đã "sắp xếp tất cả mọi thứ theo kích thước, số lượng, và cân nặng" (Wisdom 11:21).

Thời kì Trung cổ sơ khai (khoảng 300-1100)

Boethius (480–524) đã dành một nơi cho toán học trong môn học khi ông đưa ra khái niệm "quadrivium" (tiếng Latinh: bốn con đường) để chỉ các môn số học, hình học, thiên văn học, và âm nhạc. Ông viết De institutione arithmetica, dịch thoáng nghĩa từ tiếng Hy Lạp tiêu đề của cuốn Introduction to Arithmetic của Nicomachus; De institutione musica, cũng phát triển từ gốc Hy Lạp; và một loạt các đoạn lấy từ cuốn Cơ sở của Euclid. Công trình của ông mang tính lý thuyết hơn là thực hành, và là công trình nền tảng của toán học cho đến khi các công trình toán học của Hy Lạp và A Rập được phục hồi.

Toán học hiện đại sơ khai châu Âu

Ở châu Âu vào buổi bình minh của thời kì Phục Hưng, toán học vẫn còn bị hạn chế bởi các ký hiệu cồng kềnh sử dụng hệ ghi số La Mã và diễn đạt các quan hệ bằng từ ngữ, hơn là bằng ký hiệu: không có dấu cộng, không có dấu bằng, và không sử dụng x thay cho đại lượng chưa biết.
Vào thế kỉ 16 các nhà toán học châu Âu bắt đầu tạo nên những bước tiến mới mà không cần biết đến những nơi khác trên thế giới, tới mức như ngày nay. Bước tiến đầu tiên trong số đó là nghiệm tổng quát của phương trình bậc ba, thông thường được ghi công cho Scipione del Ferro vào khoảng 1510, nhưng xuất bản lần đầu tiên bởi Johannes Petreius ở Nürnberg trong cuốn Ars magna của Gerolamo Cardano, trong đó cũng có nghiệm tổng quát của phương trình bậc bốn từ học trò của Cardano Lodovico Ferrari.
Từ thời điểm này, toán học phát triển nhanh chóng, bổ trợ cho và lấy lợi ích từ các tiến bộ mới cùng thời của vật lý học. Quá trình này càng được thúc đẩy bởi những tiến bộ trong ngành in. Cuốn sách toán học sớm nhất được in là cuốn Theoricae nova planetarum của G. v. Peuerbach vào 1472, theo sau là một cuốn sách về số học thương mại Treviso Arithmetic năm 1478 và cuốn sách toán học thực sự của Euclid, cuốn Cơ sở được in và xuất bản bởi Ratdolt năm 1482.
Do nhu cầu cấp thiết về định hướng và vẽ bản đồ chính xác cho những khu vực rộng lớn, lượng giác đã phát triển thành một ngành lớn của toán học. Bartholomaeus Pitiscus là người đầu tiên sử dụng từ Trigonometria (lượng giác) trong cuốn sách cùng tên của ông vào năm 1595. Bảng sin và cosin của Regiomontanus được xuất bản vào 1533.
Đến cuối thế kỉ, nhờ có Johannes Müller von Königsberg (1436-1476) và François Viète (1540-1603), cùng với những người khác, mà toán học đã được viết bằng hệ ghi số Hindu-Arabic và theo một dạng mà không quá khác xa so với các ký hiệu sử dụng ngày nay.

Thế kỉ 17

Thế kỉ 17 chứng kiến sự bùng nổ chưa từng thấy của các ý tưởng toán học và khoa học trên toàn châu Âu.
Galileo, một người Italia, đã quan sát các Mặt Trăng của Sao Mộc trên quỹ đạo quanh hành tinh đó, sử dụng kính viễn vọng dựa trên một đồ chơi nhập khẩu từ Hà Lan.
Tycho Brahe, ở vương quốc Đan Mạch, đã thu thập một lượng lớn các dữ liệu toán học mô tả các vị trí của các hành tinh trên bầu trời. Học trò của ông, nhà toán học người Đức Johannes Kepler, bắt đầu làm việc với các dữ liệu này. Một phần bởi vì muốn giúp Kepler trong việc tính toán, John Napier, ở Scotland, là người đầu tiên nghiên cứu logarit tự nhiên. Kepler thành công trong việc lập công thức toán học các định luật của chuyển động hành tinh. Hình học giải tích được phát triển bởi René Descartes (1596-1650), một nhà toán học và triết học người Pháp, đã cho phép những quỹ đạo này có thể vẽ được trên đồ thị, trong hệ toạ độ Descartes. Xây dựng dựa trên những công trình đi trước bởi rất nhiều nhà toán học, Isaac Newton, người Anh, đã khám phá ra các định luật của vật lý để giải thích định luật Kepler, và cùng đưa đến một khái niệm bây giờ ta gọi là giải tích. Một cách độc lập, Gottfried Wilhelm Leibniz, ở Đức, đã phát triển giải tích và rất nhiều các ký hiệu giải tích vẫn còn được sử dụng cho đến ngày nay. Khoa học và toán học đã trở thành một nỗ lực quốc tế, nhanh chóng lan ra toàn thế giới.
Thêm vào ứng dụng của toán học đối với ngành thần học, toán học ứng dụng bắt đầu mở rộng ra các lĩnh vực mới khác, với các lá thư giữa Pierre de Fermat và Blaise Pascal. Pascal và Fermat đã đặt nền móng cho việc nghiên cứu lý thuyết xác suất và các định luật tổ hợp tương ứng trong các thảo luận của họ về trò đánh bạc. Pascal, với Sự đánh cuộc Pascal, đã cố gắng sử dụng lý thuyết xác suất mới của mình để tranh luận về một cuộc sống theo tôn giáo, thực tế là dù xác suất thành công có nhỏ đi nữa, phần lợi vẫn là vô cùng. Trong hoàn cảnh này, điều đó đã dự báo trước sự phát triển của lý thuyết thỏa dụng ở nửa sau thế kỉ 18-19

Thế kỉ 19

Xuyên suốt thế kỉ 19 toán học nhanh chóng trở nên trừu tượng. Trong thế kỉ này đã sống một trong những nhà toán học vĩ đại nhất mọi thời đại, Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Không kể đến rất nhiều cống hiến cho khoa học, trong toán học lý thuyết ông đã làm nên các công trình có tính cách mạng về hàm số với biến phức trong hình học và về sự hội tụ của các chuỗi. Ông đã đưa ra chứng minh đầu tiên của định lý cơ bản của đại số và của luật tương hỗ bậc hai.
Thế kỉ này chứng kiến sự phát triển của hai dạng hình học phi Euclid, trong đó tiên đề về đường thẳng song song của hình học Euclid không còn đúng nữa. Trong hình học Euclid, cho một đường thẳng và một điểm không nằm trên đường thẳng đó, thì chỉ có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho và đi qua điểm đó mà thôi.
Nhà toán học Nga Nikolai Ivanovich Lobachevsky và đối thủ của ông, nhà toán học Hungary Janos Bolyai, độc lập với nhau sáng lập ra hình học hyperbolic, trong đó sự duy nhất của các đường thẳng song song không còn đúng nữa, mà qua một điểm ngoài đường thẳng có thể kẻ được vô số đường thẳng song song với đường thẳng đã cho. Trong hình học này tổng các góc của một tam giác có thể nhỏ hơn 180°. 
Hình học Elliptic đã được phát triển sau đó vào thế kỉ 19 bởi nhà toán học người Đức Bernhard Riemann; ở đây không thể tìm thấy đường thẳng song song và tổng các góc của một tam giác có thể lớn hơn 180°. Riemann cũng phát triển hình học Riemann, trong đó hợp nhất và tổng quát hóa cao độ ba loại hình học, và ông định nghĩa khái niệm một đa tạp, trong đó tổng quát hóa khái niệm về đường và mặt. Các khái niệm này rất quan trọng trong Thuyết tương đối của Albert Einstein.
Cũng trong thế kỉ 19 William Rowan Hamilton đã phát triển noncommutative algebra, nền móng của lý thuyết vòng.
Thêm vào những hướng mới trong toán học, các nền toán học cũ hơn được đưa vào các nền tảng logic mạnh hơn, đặc biệt là trong trường hợp của giải tích với các công trình của Augustin Louis Cauchy và Karl Weierstrass.
Một dạng đại số mới được phát triển vào thế kỉ 19 gọi là Đại số Boole, được phát minh bởi nhà toán học người Anh George Boole. Nó là một hệ chỉ gồm các số 0 và 1, một hệ mà ngày nay có những ứng dụng quan trọng trong khoa học máy tính.
Cũng lần đầu tiên, các giới hạn của toán học đã được khám phá. Niels Henrik Abel, một người Na Uy, và Évariste Galois, một người Pháp, đã chứng minh được rằng không có phương pháp đại số để giải phương trình đại số với bậc lớn hơn bốn. Các nhà toán học thế kỉ 19 khác áp dụng kết quả này trong chứng minh của họ rằng thước kẻ và compa là không đủ để chia ba một góc, để dựng cạnh của một hình lập phương mà thể tích của nó gấp đôi thể tích một hình lập phương cho trước, hay để dựng một hình vuông có diện tích bằng diện tích hình tròn cho trước (còn gọi là phép cầu phương hình tròn). Các nhà toán học đã tốn công vô ích để giải tất cả các bài toán này từ thời Hy Lạp cổ đại.
Các nghiên cứu của Abel và Galois về nghiệm của rất nhiều loại phương trình đa thức khác nhau đã đặt nền móng cho các phát triển sâu hơn về lý thuyết nhóm, và các lĩnh vực liên quan của đại số trừu tượng. Trong thế kỉ 20 các nhà vật lý va các nhà khoa học khác đã thấy lý thuyết nhóm là một cách lý tưởng để nghiên cứu symmetry.
Thế kỉ 19 cũng chứng kiến sự thành lập của các hội toán học đầu tiên: Hội toán học London vào năm 1865, Hội toán học Pháp vào năm 1872, Hội toán học Palermo vào năm 1884, Hội toán học Edinburgh vào năm 1864 và Hội toán học Mỹ vào năm 1888.
Trước thế kỉ 20, có rất ít các nhà toán học thật sự sáng tạo trên thế giới ở bất kì thời điểm nào. Phần lớn vì các nhà toán học hoặc sinh ra trong gia đình giàu có, như Napier, hoặc được hậu thuẫn bởi các nhân vật giàu có, như Gauss. Có rất ít người cảm thấy cuộc sống nghèo nàn dạy học ở trường đại học, như Fourier. Niels Henrik Abel, không thể nhận được một vị trí nào, đã chết với tài sản là sự suy dinh dưỡng.

Thế kỉ 21

Vào buổi bình minh của thế kỉ 21, rất nhiều nhà giáo dục đã bày tỏ quan ngại về một lớp người nghèo, không được học hành về toán học và khoa học. Trong khi đó toán học, khoa học, công trình sư và công nghệ đã cùng nhau tạo nên những tri thức, kết nối, và tài sản mà các triết gia cổ đại không dám mơ đến.
Năm 2005, Peter David Lax (1/5/1926, Viện Khoa học Toán Courant, Đại học New York) đã nghiên cứu thành công lý thuyết và ứng dụng của phương trình vi phân riêng phần cũng như tính toán nghiệm của chúng.
Vào giữa tháng 3 năm 2007, một đội các nhà nghiên cứu khắp Bắc Mĩ và châu Âu đã sử dụng các mạng máy tính để vẽ sơ đồ E8 thuộc nhóm Lie. Mặc dù ta chưa thể biết chính xác việc này có ứng dụng gì, nhưng khám phá này đánh dấu một mốc quan trọng về cả tinh thần hợp tác và công nghệ máy tính trong toán học hiện đại, khi xây dựng mô hình vật thể phức tạp nhất mà con người từng biết đến với 248 chiều, với dung lượng thể hiện lớn hơn cả bộ gen con người.

Các bài toán của Hilbert

23 bài toán được nhà toán học người Đức David Hilbert đưa ra trong Hội nghị Quốc tế về Toán học (International Congress of Mathematicians ICM) lần thứ hai năm 1900 tại Paris, trong đó một số đã được giải quyết trong thế kỷ 20.