David Hilbert

Cuộc đời

Hilbert được sinh ra ở Wehlau, gần Königsberg, Đông Prussia (ngày nay là Znamensk, gần Kaliningrad, Nga). Ông tốt nghiệp lyceum (phổ thông trung học) ở thành phố quê nhà và đăng ký vào Đại học Königsberg. Ông nhận bằng tiến sĩ năm 1885, với một luận văn, viết dưới sự hướng dẫn của Ferdinand von Lindemann, với tựa đề Über invariante Eigenschaften specieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunctionen ("Về các tính chất bất biến của các dạng nhị phân đặc biệt, đặc biệt là các hàm vòng"). Hermann Minkowski cũng là thí sinh tiến sĩ cùng một trường đại học vào thời gian đó, và ông và Hilbert trở thành bạn thân, và cả hai đã ảnh hưởng lẫn nhau ở nhiều thời điểm khác nhau trong sự nghiệp khoa học của họ.
Hilbert ở lại Đại học Königsberg như là một giáo sư từ 1886 đến năm 1895, khi, là kết quả của sự can thiệp của Felix Klein ông đạt được vị trí Trưởng khoa Toán tại Đại học Göttingen, vào thời gian đó là trung tâm nghiên cứu toán học tốt nhất thế giới và ông ở lại đó cho đến cuối đời.
Trong số 69 nghiên cứu sinh của ông ở Göttingen, nhiều người sau này trở thành các nhà toán học nổi tiếng (ngày hoàn thành luận án) như: Otto Blumenthal (1898), Felix Bernstein (1901), Hermann Weyl (1908), Richard Courant (1910), Erich Hecke (1910), Hugo Steinhaus (1911), và Wilhelm Ackermann (1925). Trong khoảng 1902 và 1939 Hilbert là biên tập tạp chí toán học hàng đầu lúc đó là Mathematische Annalen.
Hilbert chứng kiến chủ nghĩa phát xít thanh trừng nhiều thành viên quan trọng trong khoa của ông tại Đại học Göttingen năm 1933. Những người bị cáo buộc bao gồm Hermann Weyl, Emmy Noether và Edmund Landau. Một trong những người đã phải rời khỏi nước Đức, Paul Bernays, đã hợp tác với Hilbert trong logic toán học, và là đồng tác giả với ông cuốn sách quan trọng Grundlagen der Mathematik (mà cuối cùng xuất hiện trong hai tập xuất bản năm 1934 và 1939). Đây là một phần tiếp theo của cuốn sách Nguyên tắc toán học logic Hilbert-Ackermann từ năm 1928.

Hình thức hóa

Trở thành quy chuẩn vào giữa thế kỉ, danh sách các bài toán của Hilbert cũng là một dạng tuyên ngôn, mở ra con đường cho sự phát triển của trường phái hình thức hóa, một trong ba trường phái lớn của toán học trong thế kỉ 20. Theo những người thuộc trường phái hình thức hóa, toán học là một trò chơi với các ký hiệu bị làm mất đi ý nghĩa riêng theo những quy luật mang tính hình thức được đồng ý trước. Do vậy nó là một hoạt động độc lập của suy nghĩ. Tuy vậy vẫn có nhiều người nghi ngờ về quan điểm của chính Hilbert liệu là chỉ đơn giản như vậy theo những người theo chủ nghĩa hình thức.

Công trình của Gödel

Hilbert và các nhà toán học tài năng làm việc cùng nhóm với ông đã dành hết tâm huyết cho dự án này. Cố gắng của ông để ủng hộ nền toán học được xây trên các tiên đề và các nguyên lý xác định trước, làm loại bỏ những bất định trong lý thuyết, tuy nhiên đã thất bại.
Gödel đã chứng minh rằng bất kì một hệ thống hình thức không chứa đựng mâu thuẫn nào, đủ phức tạp để chứa đụng ít nhất là số học, không thể chứng minh sự toàn vẹn của nó bằng các tiên đề của chính nó. Vào năm 1931 định lý bất toàn của Gödel đã cho thấy rằng chương trình vĩ đại của Hilbert là không thể như đã phát biểu. Điểm thứ hai không thể kết nối một cách hợp lý với điểm thứ nhất, miễn là hệ thống tiên đề thực sự là hữu hạn.
Dù sao đi nữa, định lý bất toàn không nói lên gì cả về việc biểu diễn sự toàn vẹn của toán học bằng một hệ thống hình thức hóa khác. Những thành tựu sau đó của lý thuyết chứng minh ít nhất là làm rõ thêm sự nhất quán khi nó liên hệ đến các lý thuyết nằm trong tầm quan tâm chung của các nhà toán học. Công trình của Hilbert đã khởi đầu cho logic trên hướng đi làm rõ này; sự cần thiết hiểu rõ công trình của Gödel sau này dẫn đến sự phát triển của lý thuyết đệ quy và sau đó là logic toán học như là một ngành độc lập trong thập kỉ 1930-1940. Cơ sở cho lý thuyết khoa học máy tính sau này, trong các công trình của Alonzo Church và Alan Turing cũng phát triển trục tiếp từ 'tranh luận' này.

Trường phái Göttingen

Trong các học trò của Hilbert, có Hermann Weyl, kiện tướng cờ vua Emanuel Lasker và Ernst Zermelo. John von Neumann là trợ lý của ông. Tại Đại học Göttingen, ông được bao quanh bởi một nhóm các nhà toán học quan trọng của thế kỉ 20, chẳng hạn như Emmy Noether và Alonzo Church.

Giải tích hàm

Vào khoảng 1909, Hilbert dành thời gian nghiên cứu phương trình vi phân và phương trình tích phân; các công trình của ông có những ảnh hưởng trực tiếp đến giải tích hàm hiện đại. Để tiến hành các nghiên cứu này, Hilbert giới thiệu khái niệm không gian Euclid vô hạn chiều, sau này gọi là không gian Hilbert. Các công trình của ông trong phần này của giải tích đã cung cấp những đóng góp quan trọng cho toán dùng trong vật lý cho hai mươi năm sau đó, mặc dù theo một hướng không dụ đoán trước. Sau này, Stefan Banach mở rộng khái niệm này, định nghĩa không gian Banach. Không gian Hilbert là một ý tưởng quan trọng trong lĩnh vực giải tích hàm phát triển xung quanh đó trong suốt thế kỉ 20.

Vật lý

Cho đến 1912, Hilbert hầu như là một nhà toán học thuần túy. Khi chuẩn bị ghé thăm từ Bonn, nơi đang đắm chìm trong nghiên cứu vật lý, nhà toán học bạn ông là Hermann Minkowski đùa rằng ông phải khử trùng 10 ngày trước khi có khả năng ghé thăm Hilbert. Thực ra, Minkowski dường như có trách nhiệm trong hầu hết các nghiên cứu về vật lý của Hilbert trước năm 1912, kể cả buổi hội thảo hợp tác giữa hai ông trong năm 1905.
Vào năm 1912, ba năm sau khi bạn qua đời, ông quay sang tập trung nghiên cứu môn này gần như là hầu hết thời gian. Ông bố trí để có một người đến giảng riêng về vật lý cho ông. Ông bắt đầu nghiên cứu Lý thuyết khí động và chuyến sang lý thuyết bức xạ và lý thuyết phân tử của vật chất. Ngay cả sau khi chiến tranh nổ ra vào năm 1914, ông tiếp tục các hội thảo và các lớp học nơi mà các công trình của Einstein và những người khác được theo dõi một cách cặn kẽ.
Hilbert mời Einstein đến Đại học Göttingen để giảng trong một tuần trong tháng 6 và 7 năm 1915 về lý thuyết tương đối và lý thuyết về trọng lực mà ông đang phát triển. Sự trao đổi các ý tưởng đã dẫn đến dạng cuối cùng của những phương trình về trường của thuyết tương đối, đó là phương trình trường Einstein và tác động Einstein-Hilbert. Mặc cho sự kiện là Einstein và Hilbert không bao giờ tranh nhau giữa công chúng, có một vài bàn cãi về sự khám phá các phương trình trường.
Thêm vào đó, các công trình của Hilbert dự đoán và giúp cho một số tiến triển trong toán học hóa cơ học lượng tử. Công trình của ông là một khía cạnh quan trọng của các công trình của Hermann Weyl và John von Neumann về sự tương đương toán học của cơ học ma trận của Werner Heisenberg và phương trình sóng của Erwin Schrödinger và khái niệm không gian Hilbert đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết lượng tử. Vào năm 1926 von Neuman chứng minh rằng nếu các trạng thái của nguyên tử được hiểu như là các vectơ trong không gian Hilbert, thì chúng sẽ tương ứng với cả lý thuyết phương trình sóng của Schrodinger và ma trận của Heisenberg.
Suốt cả quá trình đắm chìm trong vật lý, ông đã đặt sự chặt chẽ vào toán học trong vật lý. Trong khi phụ thuộc nhiều vào toán cao cấp, các nhà vật lý thường là không chính xác khi sử dụng chúng. Đối với một nhà toán học thuần túy như Hilbert, điều này ảnh hưởng đến sự trình bày và làm cho lý thuyết khó hiểu. Khi ông bắt đầu hiểu ra vật lý và các nhà vật lý sử dụng toán như thế nào, ông phát triển một lý thuyết toán chặt chẽ cho những gì mà ông khám phá ra, quan trọng nhất là trong ngành phương trình tích phân. Khi đồng nghiệp của ông là Richard Courant viết cuốn sách kinh điển Các phương pháp Toán Vật lý gồm luôn một số ý tưởng của Hilbert, ông thêm tên Hilbert vào như là đồng tác giả mặc dù Hilbert không đóng góp trực tiếp vào quá trình viết sách. Hilbert nói "Vật lý là quá khó cho các nhà vật lý", ngụ ý rằng các toán học cần thiết là vượt quá khả năng của họ; cuốn sách của Courant-Hilbert làm nó dễ dàng hơn cho họ.

Số học

Hilbert thống nhất ngành số học đại số (algebraic number theory) với tác phẩm năm 1897 Zahlbericht (dịch sát là "báo cáo về các con số"). Ông bác bỏ bài toán Waring theo nghĩa rộng. Ông sau đó xuất bản thêm một số kết quả; nhưng sự vượt lên của dạng modular Hilbert (Hilbert modular form) trong luận văn của một học sinh làm tên ông liên quan xa hơn trong một lãnh vục lớn.
Ông có một loạt các phỏng đoán về lý thuyết lớp và trường (class field theory). Những khái niệm này có nhiều ảnh hưởng lớn, và đóng góp của ông được thấy trong các tên Hilbert class field và ký hiệu Hilbert của lý thuyết class field địa phương. Các kết quả về chúng được chứng minh hầu hết cho đến hết năm 1930, sau khi các công trình xuyên phá của Teiji Takagi thiết lập tên tuổi ông như một trong những nhà toán học Nhật có tầm cỡ thế giới đầu tiên.
Hilbert không làm việc với các ngành trung tâm của giải tích số học (analytic number theory), nhưng tên của ông được biết đến qua phỏng đoán Hilbert-Pólya, vì những lý do mà không ai biết rõ.

Các đóng góp khác

Nghịch lý về Grand Hotel của Hilbert, một suy nghĩa về những tính chất kỳ lạ của các khái niệm vô hạn, thường được nói đến trong dân gian về những số đếm (cardinal number) vô hạn.