Phát biểu toán học của thuyết tương đối rộng

Khái niệm không thời gian

Bước quan trọng đầu tiên để hiểu đúng đắn thuyết tương đối rộng, và từ đó là cấu trúc toán học của nó, chính là sự từ bỏ ý tưởng của Galilei về một không gian tuyệt đối và thời gian tuyệt đối. Hơn thế, điều này đưa đến đề xuất cách mạng về sự từ bỏ ý nghĩ không gian và thời gian như là những thành phần của một phông nền cố định, một đối tượng mà mọi quá trình xảy ra trên nó. Từ đây, các nhà vật lý cần thiết phải coi không gian và thời gian là những yếu tố động lực trong các định luật của tự nhiên, và cũng vì thế mà những định luật này bị ảnh hưỏng sâu sắc bởi chúng. Ý tưởng cách mạng này nằm ở trung tâm của thuyết tương đối và là một trong những thành tựu khoa học có ảnh hưởng lớn nhất của mọi thời đại.
Việc từ bỏ ý tưởng về một không gian tuyệt đối và một thời gian tuyệt đối dẫn tới sự giới thiệu không tránh khỏi của một khái niệm mới, đó là không thời gian, một đối tượng bốn chiều đơn nhất , mà tuy nhiên, không nên chỉ coi nó như là một sân khấu cho tiến trình của một hệ vật lý xác định, mà nó còn là một trường động lực tham gia vào sự tiến triển của chính hệ vật lý đó. Những thành phần cơ bản của đối tượng trừu tượng này được gọi là sự kiện, một khái niệm dường như cũng trừu tượng nhưng không hẳn là vậy. Chúng ta chắc chắn đã quen với khái niệm "cái gì đó ở nơi nào đấy" vì nó trở thành một phần nhận thức của chúng ta về thế giới khi còn là đứa trẻ con. Tương tự, khái niệm sự kiện có thể đi kèm với ý tưởng về "cái gì đó xảy ra ở nơi nào đấy", chẳng hạn như photon từ Mặt Trời tới võng mạc của chúng ta lúc bình minh. Do đó, các nhà vật lý thích nghĩ về các sự kiện như là các "điểm"  trong không thời gian , và sự tồn tại của chúng như là các phần tử của không thời gian độc lập với cách chọn hệ tọa độ để định vị chúng tại một vị trí không gian cụ thể trong một thời gian cho trước. Các sự kiện do đó tự chúng là những phần tử của không thời gian, mà tính động lực được điều chỉnh bởi các định luật vật lý.
Với tư duy như thế, nhà vật lý nghĩ tới vấn đề các sự kiện liên hệ với nhau bằng cách nào. Nếu coi một sự kiện là "một cái gì đó xảy ra ở nơi nào đó", thì hai hay nhiều sự kiện có thể được liên hệ (vd, thông qua các định luật vật lý) và đưa vào thành "một dãy các sự kiện" rằng, trong trường hợp dãy được xếp thứ tự sử dụng thời gian như là một tham số, chúng thuộc về một tập hợp gọi là "tuyến thế giới" (worldline). Cũng trong trường hợp này, khá niệm trừu tượng về tuyến thế giới quả thực hiển nhiên giống với một cách giải thích quen thuộc khi chúng ta nghĩ tới tuyến đường trên một bản đồ (đoạn đường từ nhà tới nơi làm việc) như tuyến thế giới trong không thời gian miêu tả về chuyển động của chúng ta. Sự tài tình ở đây đó là trong khi tuyến đường trên bản đồ kết nối các điểm (không gian) khác nhau mà chúng ta chiếm chỗ tại những thời điểm khác nhau, thì tuyến thế giới kết nối các sự kiện khác nhau của không thời gian, tức là, những sự kiện mà chúng ta tham gia vào khi đi từ nhà đến nơi làm việc. Một hệ quả rõ ràng từ định nghĩa của tuyến thế giới ở trên đó là khi không có một không gian tuyệt đối và một thời gian tuyệt đối, bất kỳ sự lựa chọn theo thứ tự các sự kiện chỉ có thể là "tùy ý" (hoặc tương đối!) khi có thể thay thế bằng những sự kiện tương đương và khả dĩ trên cùng một tập hợp các sự kiện. Tuy nhiên, kết quả này không nên chỉ coi đó là một giới hạn, nhưng mà là một đặc điểm quan trọng trong bức tranh mới về không gian và thời gian, cái căn bản trong thuyết tương đối rộng. Nói chung khái niệm như tính đồng thời không bị mất nhưng phải được thể hiện một cách đúng đắn, và điều này được nhắc tới ở phần sau.

Không thời gian trong vật lý thiên văn

Không chỉ là một trong những phương trình đẹp của vật lý toán, phương trình trường Einstein phi tuyến có hệ quả quan trọng đó là chỉ một số ít các nghiệm chính xác được biết mà có liên quan tới vật lý thiên văn. Những nghiệm này thu được trong một số các điều kiện giới hạn và với những đối xứng đặc biệt, hoặc theo thời gian hoặc theo không gian hoặc là cả không gian và thời gian. Trong phần này đề cập tới một số nghiệm chính xác của phương trình trường Einstein, hai nghiệm liên quan tới lỗ đen và một nghiệm liên quan tới mô hình Vũ trụ. Hai nghiệm đầu tiên sẽ bỏ qua ảnh hưởng của hằng số vũ trụ trong khi nghiệm thứ ba sẽ đề cập tới nó.