Số vô tỉ

Trong toán học, các số vô tỷ là tất cả các số thực không phải là số hữu tỷ, số sau là các số được xây dựng từ các tỷ số (hoặc phân số) của các số nguyên. Khi tỷ lệ độ dài của hai đoạn thẳng là một số vô tỷ, các đoạn thẳng này cũng được mô tả là không thể đo lường được, có nghĩa là chúng không chia sẻ "thước đo" chung, nghĩa là không có độ dài ("số đo") chung, dù là ngắn đến đâu, mà có thể được sử dụng để thể hiện độ dài của cả hai đoạn thẳng đã cho dưới dạng bội số nguyên của cùng một đoạn thẳng đơn vị chung.
Các ví dụ về số vô tỉ là tỷ lệ π của chu vi của vòng tròn với đường kính của nó, số Euler e, tỷ lệ vàng φ, và căn bậc hai của hai; trong thực tế, tất cả các căn bậc hai của số tự nhiên, trừ căn bậc hai của các số chính phương, đều là các số vô tỉ.
Có thể chỉ ra rằng các số vô tỷ, khi được biểu thị trong một hệ thống cơ số (ví dụ như số thập phân hoặc với bất kỳ cơ số tự nhiên nào khác), là các chuỗi không chấm dứt, cũng không lặp lại, nghĩa là không chứa một chuỗi các chữ số, mà có sự lặp lại ở phần đuôi của cách biểu diễn số. Ví dụ: biểu diễn thập phân của số π bắt đầu bằng 3.14159, nhưng không có số chữ số hữu hạn nào có thể đại diện chính xác cho số π, và cũng không có sự lặp lại. Việc chứng minh cho thấy việc mở rộng thập phân của số hữu tỷ phải chấm dứt hoặc lặp lại khác với chứng minh rằng việc mở rộng thập phân chấm dứt hoặc lặp lại phải là một số hữu tỷ, và mặc dù sơ cấp và không dài, cả hai chứng minh đều không đơn giản. Các nhà toán học thường không coi việc thể hiện thập phân là "chấm dứt hoặc lặp lại" là định nghĩa của khái niệm số hữu tỷ.
Số vô tỷ cũng có thể được xử lý thông qua các liên phân số không kết thúc.
Như một hệ quả của chứng minh của Cantor rằng các số thực là không thể đếm được và các số hữu tỷ có thể đếm được, theo đó hầu như tất cả các số thực là các số vô tỷ.

Biểu diễn thập phân

Có thể dùng biểu diễn thập phân (hay sự biểu diễn của một số trong hệ thập phân) của một số để định nghĩa số hữu tỉ và số vô tỉ.
Nếu như mọi số hữu tỉ đều có biểu diễn thập phân hoặc hữu hạn (số thập phân hữu hạn, ví dụ: ) hoặc vô hạn tuần hoàn (số thập phân vô hạn tuần hoàn, ví dụ: ) thì số vô tỉ có biểu diễn thập phân vô hạn nhưng không tuần hoàn (ví dụ: .)
Một số thực là số vô tỷ khi và chỉ khi biểu diễn liên phân số của nó là vô hạn.

Căn bậc ba của 2

Giả sử A =  là một số hữu tỉ.Có nghĩa là tồn tại m,n là số nguyên sao cho . Suy ra A là nghiệm hữu tỉ của phương trình:
;
Suy ra m là ước của 2, n là ước của 1. Tuy nhiên không có m nào là ước của 2 mà lũy thừa 3 bằng 2. Vậy A là vô tỉ.

Tỉ lệ vàng

Điểm I chia đoạn thẳng AB theo tỉ lệ vàng nếu A, I, B thẳng hàng và
 với Ai > IB
Tỉ số vàng là một số vô tỉ. Thật vậy, giả sử tỉ số này là một số hữu tỉ, thì nó có dạng phân số tối giản là , với x là chiều dài của cả đoạn và a là chiều dài của phần lớn. Suy ra, chiều dài của phần nhỏ là x − a. Và ta có:
Điều này có nghĩa là phân số tối giản  được rút gọn thành  - một sự vô lý. Sự vô lý này chứng tỏ việc thừa nhận tỉ số φ là số hữu tỉ là sai. Vậy φ là một số vô tỉ.

Chứng minh e là số vô-tỉ

Xem chứng minh ở bài số e.

Câu hỏi chưa có lời giải

Các số  và  là số vô tỉ hay không phải là số vô tỉ? Thực tế, chưa ai tìm ra được một cặp số nguyên khác Không m và n để khẳng định rằng  hoặc là số vô tỉ hoặc không phải là số vô tỉ.
Cũng chưa ai khẳng định được các số: , , , hằng số Catalan và hằng số Euler-Mascheroni γ có phải là số vô tỉ hay không.
Mặt khác, theo Công thức Euler thì eiπ + 1 = 0 nên eiπ = -1 lại là một số nguyên, tức là số hữu tỉ

Tập hợp số vô tỉ

Tập hợp số vô tỉ là tập hợp không đếm được (trong khi tập hợp số hữu tỉ là tập hợp đếm được và tập hơp số thực là tập hợp cả số vô tỉ và hữu tỉ.. Tập hợp số vô tỉ đại số, hay tập hợp số vô tỉ không siêu việt, là tập hợp đếm được. Tập hợp số vô tỉ dùng giá trị tuyệt đối làm độ đo khoảng cách là một không gian Metric không đầy đủ. Tuy nhiên, không gian Metric này đồng phôi với không gian Metric đầy đủ của tất cả các dãy số nguyên dương; với ánh xạ đồng phôi cho bởi liên phân số mở rộng. Điều đó được chứng minh bằng định lý Baire cho không gian các số vô tỉ. Trong khi, tập hợp các số thực với tính 
tô-pô thông thường là liên thông, thì không gian Barie, cùng với tính tô-pô như các số thực, được gọi là tô-pô thứ tự, lại hoàn toàn rời rạc: không có một ánh xạ nào đi từ số vô tỉ này đến độ dài của một số vô tỉ khác.