Có thể điều khiển được

Trạng thái có thể điều khiển được

Trạng thái của một hệ thống xác định, là tập hợp các giá trị của tất cả các biến trạng thái của hệ thống (những biến được đặc trưng bởi phương trình động học), hoàn toàn mô tả hệ thống tại bất kỳ thời điểm nào. Đặc biệt, không có thông tin về quá khứ của một hệ thống là cần thiết để giúp ích cho việc dự đoán tương lai, nếu các trạng thái tại thời điểm hiện tại được biết đến và tất cả các giá trị hiện tại và tương lai của các biến điều khiển (những trạng thái này có thể được lựa chọn) đã biết.
Trạng thái hoàn toàn có thể điều khiển được (hoặc đơn giản có thể điều khiển được nếu không có bối cảnh khác được đưa ra) mô tả khả năng của một đầu vào bên ngoài (vector của các điều khiển biến) di chuyển trạng thái bên trong của một hệ thống từ bất kỳ trạng thái ban đầu nào tới bất kỳ trạng thái cuối cùng nào trong một khoảng thời gian hữu hạn.
Lưu ý rằng tính có thể điều khiển được không có nghĩa rằng khi một trạng thái được đạt đến, thì trạng thái đó có thể duy trì được, nhưng chỉ đơn thuần (hoặc bất kỳ) trạng thái đó có thể đạt được.

Ví dụ

Ví dụ, xem xét trường hợp khi  và  (tức là chỉ một đầu vào điều khiển). Do đó,  và  là các vector . Nếu  có rank 2 (full rank), và do đó  và  là độc lập tuyến tính và băng qua toàn bộ mặt phẳng. Nếu rank là 1, thì  và  đường thẳng và không trải dài trên mặt phẳng.
Giả sử rằng trạng thái ban đầu là zero.
Tại thời điểm : 
Tại thời điểm : 
Tại thời điểm  tất cả các trạng thái có thể đạt được đều nằm trên đường thẳng được tạo bởi vector . Tại thời điểm  tất cả các trạng thái có thể đạt được là kết hợp tuyến tính của  và . Nếu hệ thống là có thể điều khiển được và 2 vector trên có thể mở rộng trong toàn bộ mặt phẳng và có thể thực hiện trong thời điểm . Giả định này được thực hiện rằng trạng thái ban đầu là zero là chỉ đơn thuần làm cho việc khảo sát thuận tiện. Rõ ràng nếu tất cả các trạng thái có thể đạt được từ gốc thì bất kỳ trạng thái nào cũng có thể đạt được từ một trạng thái khác (chỉ đơn thuần là một sự dịch chuyển trong hệ tọa độ).
Ví dụ này đúng đối với tất cả các số dương , nhưng trường hợp  là dễ hình dung hơn cả.

Tính có thể điều khiển được dưới những hạn chế đầu vào

Trong các hệ thống với quyền điều khiển bị giới hạn, thường không còn có thể di chuyển bất kỳ trạng thái ban đầu nào tới bất kỳ trạng thái cuối cùng trong không gian con có thể điều khiển. Hiện tượng này là do các hạn chế về đầu vào có thể vốn có của hệ thống (ví dụ do bộ chấp hành bão hòa) hoặc được áp dụng trên hệ thống vì các lý do khác (ví dụ: lý do liên quan đến an toàn). Tính có thể điều khiển được của các hệ thống với những hạn chế đầu vào và trạng thái được nghiên cứu trong bối cảnh của tính có thể tiếp cận và lý thuyết khả thi.

Có thể điều khiển được trong khuôn khổ hành vi

Trong hướng tiếp cận lý thuyết hệ thống hành vi bởi Willems, các mô hình được coi là không trực tiếp xác định một cấu trúc đầu vào-đầu ra. Trong khuôn khổ này các hệ thống được mô tả bởi các quỹ đạo có thể chấp nhận một tập hợp các biến, một số trong đó có thể được hiểu như là đầu vào hoặc đầu ra.
Một hệ thống được định nghĩa là có thể điều khiển trong thiết lập này, nếu bất kỳ phần hành vi nào trong quá khứ (quỹ đạo của các biến bên ngoài) có thể được nối với bất kỳ quỹ đạo tương lai của hành vi đó theo cách thức mà kết nối đó được chứa trong hành vi đó, tức là một phần của hành vi của hệ thống có thể chấp nhận được.

Tính ổn định

Một khái niệm hơi yếu hơn so với tính có thể điều khiển được là độ ổn định-stabilizability. Một hệ thống được gọi là có thể ổn định được khi tất cả các biến trạng thái không thể điều khiển có thể được thực hiện để có động học ổn định. Vì vậy, mặc dù một số của các biến trạng thái không thể được điều khiển (được xác định bằng kiểm tra điều khiển ở trên) tất cả các biến trạng thái sẽ vẫn còn bị chặn trong hành vi của hệ thống.