Định lý Pythagoras

Chứng minh của Pytago

Định lý Pytago đã được biết đến từ lâu trước thời của Pythagoras, nhưng ông được coi là người đầu tiên nêu ra chứng minh định lý này. Cách chứng minh của ông rất đơn giản, chỉ bằng cách sắp xếp lại hình vẽ.
Trong hai hình vuông lớn ở hình minh họa bên trái, mỗi hình vuông chứa bốn tam giác vuông bằng nhau, sự khác nhau giữa hai hình vuông này là các tam giác vuông được bố trí khác nhau. Do vậy, khoảng trắng bên trong mỗi hình vuông phải có diện tích bằng nhau. Dựa vào hình vẽ, hai vùng trắng có diện tích bằng nhau cho phép rút ra được kết luận của định lý Pytago, Q.E.D.
Về sau, trong tác phẩm của nhà triết học và toán học Hy Lạp Proclus đã dẫn lại chứng minh rất đơn giản của Pythagoras. Các đoạn dưới đây nêu ra một vài cách chứng minh khác, nhưng cách chứng minh ở trên thuộc về của Pythagoras.

Các chứng minh khác

Định lý này có thể coi là định lý có nhiều cách chứng minh nhất (luật tương hỗ bậc hai là một định lý khác có nhiều cách chứng minh); trong cuốn sách The Pythagorean Proposition nêu ra 370 cách chứng minh cho định lý Pytago.

Chứng minh của Einstein bằng phân tích lập luận

Albert Einstein lúc 11 tuổi đã đưa ra một chứng minh bằng cách phân chia mà không cần thiết phải di chuyển sắp xếp lại các hình. Thay vì sử dụng một hình vuông trên cạnh huyền và hai hình vuông trên hai cạnh kề, ông sử dụng một hình khác bao gồm cạnh huyền, và hai hình đồng dạng mà bao gồm một trong hai cạnh kề thay cho cạnh huyền. Trong chứng minh của Einstein, hình bao gồm cạnh huyền chính là tam giác vuông lớn ban đầu. Thực hiện phân chia tam giác này bằng cách hạ đường cao từ đỉnh của góc vuông xuống cạnh huyền, chia tam giác vuông thành hai tam giác vuông nhỏ hơn. Hai tam giác vuông này đồng dạng với tam giác vuông ban đầu, và có cạnh huyền là cạnh góc vuông của tam giác ban đầu, và tổng diện tích của chúng bằng diện tích tam giác ban đầu. Bởi vì tỉ số diện tích của một tam giác vuông với diện tích của một hình vuông dựng trên cạnh huyền của nó là bằng nhau đối với các tam giác đồng dạng, mối liên hệ giữa diện tích của ba tam giác cũng thỏa mãn cho các hình vuông dựng tương ứng trên các cạnh của hình vuông lớn.

Dựng đoạn thẳng vô ước

Một trong các hệ quả của định lý Pytago đó là cho phép dựng được các đoạn thẳng vô ước (incommensurable) (tỉ số của chúng không phải là một số hữu tỉ) bằng thước kẻ và compa. Định lý cho phép dựng các đoạn thẳng vô ước bởi vì cạnh huyền của tam giác vuông liên hệ với hai cạnh kề thông qua phép lấy căn bậc hai.
Hình bên phải cho thấy cách dựng những đoạn thẳng mà độ dài bằng căn bậc hai của một số nguyên dương bất kỳ. Mỗi tam giác có một cạnh (đánh dấu là "1") được chọn sao cho có độ dài bằng một đơn vị. Trong mỗi tam giác vuông, định lý Pytago cho phép liên hệ cạnh huyền với độ dài đơn vị của cạnh kề này. Nếu một cạnh huyền bằng căn bậc hai của một số nguyên dương không chính phương, nghĩa là nó có độ dài vô ước với chiều dài đơn vị, như √2, √3, √5 . Chi tiết, xem số vô tỉ bậc hai (quadratic irrational number).
Độ dài vô ước mâu thuẫn với khái niệm của trường phái Pythagoras về các số như là những số hoàn thiện. Trường phái này xét đến các tỷ số của các số nguyên với một đơn vị chung. Theo như một truyền thuyết, nhà triết học Hippasus của Metapontum (ca. 470 B.C.) đã bị ném xuống biển do biết đến sự tồn tại của số vô tỉ hay đoạn thẳng vô ước.

Tam giác bất kỳ và các hình bình hành dựng trên các cạnh

Định lý diện tích Pappus là một cách mở rộng khác, áp dụng cho một tam giác bất kỳ, sử dụng các hình bình hành dựng trên ba cạnh của tam giác này (và hình vuông là trường hợp đặc biệt khi tam giác là tam giác vuông và hình bình hành trở thành hình vuông). Hình trên bên phải minh họa cách dựng các hình bình hành: Đầu tiên dựng hai hình bình hành bất kỳ trên hai cạnh của tam giác, sau đó dựng hình bình hành thứ ba (hai cạnh ngoài cùng của hai hình bình hành cắt nhau tại một điểm, và dựng hình bình hành thứ ba có cạnh bằng độ dài của mũi tên màu đen). Định lý phát biểu rằng diện tích của hình bình hành thứ ba bằng tổng diện tích của hai hình bình hành ban đầu. Sự thay thế hình vuông bằng các hình bình hành mang lại sự tương tự rất giống với định lý Pytago gốc. Định lý này mang tên nhà toán học Pappus của Alexandria sống ở thế kỷ IV của Công Nguyên.
Hình bên dưới chỉ ra cách chứng minh cho định lý này. Tập trung vào hình bình hành bên trái trước. Hình bình hành màu lục có cùng diện tích với phần hình bình hành màu lam do có chung cạnh đáy b và chiều cao h. Mặt khác, hình bình hành màu lục lại bằng chính hình bình hành thứ nhất ở trên, do chúng có chung cạnh đáy (là cạnh của tam giác) và chung chiều cao. Lặp lại lập luận trên cho hình bình hành thứ hai ở bên phải, sau đó cộng lại thu được điều phải chứng minh.

Lịch sử

Có tranh luận xung quanh liệu định lý Pytago được phát hiện ra một lần, hay phát hiện nhiều lần ở nhiều nơi, và ngày phát hiện đầu tiên là không xác định, cũng như thời điểm của chứng minh đầu tiên cho định lý. Theo nhà lịch sử toán học Joran Friberg, bằng chứng cho thấy các nhà toán học ở triều đại Babylon thứ nhất (khoảng thế kỷ XX đến thế kỷ XVI TCN) đã biết đến định lý Pytago, mà thời điểm này sớm hơn 1000 năm trước thời của Pythagoras. Cũng vì vậy mà nhà thống kê học Stephen Stigler đã đề xuất một định luật cho rằng không có một khám phá khoa học nào được đặt tên theo người đầu tiên khám phá ra nó (định luật đặt tên khám phá khoa học của Stigler). (hình ảnh bản chụp phiến sét chữ tượng hình của người Ai Cập cổ đại ghi lại chứng minh định lý Pytago do Viện bảo tồn di sản văn hóa Yale thực hiện đã được sử dụng rộng rãi nhất trong các phương tiện và sách báo.) Trong những nguồn khác, như ở cuốn sách của Leon Lederman và Dick Teresi, đề cập Pythagoras là người đã khám phá ra định lý, mặc dù Teresi sau đó phát biểu rằng người Babylon đã phát triển định lý "ít nhất mười lăm thế kỷ trước khi Pythagoras sinh ra." Có thể chia lịch sử liên quan đến định lý ra làm bốn phần: khám phá và hiểu biết về bộ ba số Pythagoras, hiểu biết về mối quan hệ giữa các cạnh của một tam giác vuông, hiểu biết về các mối quan hệ giữa các cạnh chung một góc trong tam giác, và các chứng minh định lý dựa trên phương pháp suy diễn từ hệ tiên đề.
Bartel Leendert van der Waerden (1903–1996) phỏng đoán rằng bộ ba Pytago được phát hiện bằng đại sốbởi các nhà toán học Babylon. Được viết vào khoảng 2000 và 1786 TCN, trong "cuộn giấy cói Berlin 6619" của Trung Vương quốc Ai Cập chứa một bài toán mà nghiệm cho bộ ba số Pytago 6:8:10, nhưng bài toán này không liên quan đến tam giác vuông. Phiến đất sét Lưỡng Hà Plimpton 322, viết trong giai đoạn 1790 và 1750 TCN trong thời kỳ vua Hammurabi cai trị, chứa nhiều đoạn miêu tả có liên hệ gần gũi với bộ ba số Pytago.
Ở Ấn Độ, trong đoạn kinh Sulba Sutra Baudhayana , thời điểm khoảng giữa thế kỷ VIII và V TCN, có chứa danh sách các bộ ba Pytago được khám phá ra bằng phương pháp đại số, một phát biểu về định lý Pytago, và một chứng minh bằng phương pháp hình học của định lý Pytago đối với trường hợp tam giác vuông cân. Đoạn kinh Sutra Sulba Apastamba (c. 600 BC) chứa đựng phương pháp chứng minh bằng số cho định lý Pytago đối với tam giác vuông bất kỳ, sử dụng cách tính diện tích hình. Van der Waerden tin rằng "nó chắc chắn dựa trên những truyền thống trước đó". Carl Boyer cho rằng định lý Pytago trong kinh Śulba-sũtram có thể bị ảnh hưởng từ toán học của người Lưỡng Hà cổ đại, nhưng không có bằng chứng thuyết phục ủng hộ hay bác bỏ giả thuyết này của ông.
Với nội dung đã được biết trước từ lâu, những các đoạn ghi chép lại còn lưu giữ được từ thế kỷ I TCN, quyển Chu bễ toán kinh (周髀算经) của Trung Hoa cổ đại, (đã được phương Tây dịch thành sách với nhan đề The Arithmetical Classic of the Gnomon and the Circular Paths of Heaven) đưa ra giải thích cho định lý Pytago với bộ ba số (3, 4, 5) cho các cạnh của tam giác vuông—ở Trung Quốc gọi là "định lý Gougu" (勾股定理). Trong triều đại nhà Hán (202 TCN đến 220 SCN), bộ ba Pythagoras xuất hiện trong Cửu chương toán thuật, cùng với đề cập về các tam giác vuông. Một số nhà lịch sử toán học tin rằng định lý này xuất hiện đầu tiên ở Trung Quốc, dưới một tên gọi khác là "định lý Cao Thương" (商高定理), đặt tên theo nhà toán học và thiên văn học sống thời nhà Chu, ông này cùng với Chu Công Đán, đã tập hợp các thư tịch cổ để viết lên Chu bễ toán kinh. Tác phẩm cũng được các bậc hậu bối (như Lưu Huy, Lý Thuần Phong) bổ sung và chỉnh lý dần.
Pythagoras, trong khoảng 569–475 TCN, đã sử dụng phương pháp đại số để lập ra các bộ ba số Pythagoras, theo như bình luận của Proclus về quyển cơ sở của Euclid. Tuy vậy, Proclus cho rằng thời điểm viết vào khoảng 410 và 485 AD. Theo Thomas L. Heath (1861–1940), không có một ghi chép cụ thể về sự tồn tại của định lý Pytago trong các văn tự còn lưu lại của Hy Lạp từ 5 thế kỷ sau thời của Pythagoras. Tuy nhiên, khi các sử gia Plutarchus và Cicero ghi nhận định lý có công lao của Pythagoras, họ đã viết như thể những đóng góp của ông được mặc nhiên công nhận và biết đến rộng rãi. "Whether this formula is rightly attributed to Pythagoras personally, [...] one can safely assume that it belongs to the very oldest period of Pythagorean mathematics." "Liệu công thức này có đáng thuộc về đóng góp cá nhân của Pythagoras, [...] có thể giả sử một cách an toàn rằng nó thuộc về giai đoạn của toán học Pytago từ rất lâu trước đó."
Vào khoảng năm 400 TCN, theo như Proclus, Plato đã đưa ra phương pháp tìm các bộ ba Pythagoras bằng cách kết hợp đại số và hình học. Khoảng năm 300 TCN, trong cuốn Cơ sở của Euclid đã ghi lại chứng minh bằng toán học cổ xưa nhất từng được biết đến cho định lý này.