Số

Chữ số

Số nên được phân biệt với chữ số, là các ký hiệu được sử dụng để đại diện cho số.  Người Ai Cập đã phát minh ra hệ thống chữ số được mã hóa đầu tiên, và người Hy Lạp theo sau bằng cách ánh xạ các số đếm của họ lên bảng chữ cái Ionia và Doric.  Chữ số La Mã, một hệ thống sử dụng kết hợp các chữ cái trong bảng chữ cái La Mã, vẫn chiếm ưu thế ở châu Âu cho đến khi hệ thống chữ số Ả Rập vượt trội vào khoảng cuối thế kỷ 14, và hệ thống chữ số Ả Rập vẫn là hệ thống phổ biến nhất để biểu thị các số trên thế giới hôm nay.  Chìa khóa cho tính hiệu quả của hệ thống là biểu tượng cho số 0, được các nhà toán học Ấn Độ cổ đại phát triển vào khoảng năm 500 sau Công nguyên.

Lần đầu tiên sử dụng số

Xương và các đồ vật cổ khác đã được phát hiện với các dấu cắt vào chúng mà nhiều người tin là dấu kiểm đếm.  Các dấu kiểm đếm này có thể đã được sử dụng để đếm thời gian trôi qua, chẳng hạn như số ngày, chu kỳ mặt trăng hoặc lưu giữ hồ sơ về số lượng, chẳng hạn như của vật nuôi.
Một hệ thống kiểm đếm không có khái niệm về giá trị vị trí (như trong ký hiệu thập phân hiện đại), điều này giới hạn việc biểu diễn số lớn.  Tuy nhiên, hệ thống kiểm đếm được coi là loại hệ thống số trừu tượng đầu tiên.
Hệ thống đầu tiên được biết đến với giá trị địa điểm là hệ đếm cơ số 60 ở vùng Lưỡng Hà (khoảng 3400 TCN) và hệ đếm cơ số 10 được biết đến sớm nhất   có niên đại 3100 TCN ở Ai Cập.

Số không

Tài liệu đầu tiên được biết đến đã sử dụng số 0 là tác phẩm Brāhmasphuṭasiddhānta năm 628, tác phẩm chính của nhà toán học Ấn Độ Brahmagupta.  Ông coi 0 là một số và thảo luận các phép tính liên quan đến nó, bao gồm cả phép chia.  Vào thời điểm này này (thế kỷ 7) khái niệm này rõ ràng đã đến Campuchia dưới dạng chữ số Khmer và tài liệu cho thấy ý tưởng này sau đó lan sang Trung Quốc và thế giới Hồi giáo. 
Tác phẩm Brahmasphuṭasiddhanta là cuốn sách đầu tiên đề cập đến số 0 dưới dạng số, do đó Brahmagupta thường được coi là tác giả đầu tiên hình thành khái niệm về số 0.  Ông đã đưa ra các quy tắc sử dụng số 0 với số âm và số dương, chẳng hạn như 'Số 0 cộng với số dương là số dương và số âm cộng với số 0 là số âm'.  Brahmasphutasiddhanta là văn bản được biết đến sớm nhất đã coi số 0 là số theo đúng nghĩa của nó, thay vì chỉ đơn giản là một chữ số giữ chỗ để biểu thị một số khác như được người Babylon đã quan niệm hoặc như một biểu tượng cho việc thiếu số lượng như Ptolemy và người La Mã đã làm.
Việc sử dụng số 0 như một số nên được phân biệt với việc sử dụng số này dưới dạng số giữ chỗ trong các hệ thống giá trị theo vị trí.  Nhiều văn bản cổ được sử dụng 0.  Các văn bản Babylon và Ai Cập đã sử dụng nó.  Người Ai Cập đã dùng từ nfr để biểu thị số dư là không trong kế toán kép.  Các văn bản Ấn Độ đã sử dụng một từ tiếng Phạn Shunye  hoặc shunya  để chỉ khái niệm về khoảng trống. Trong các văn bản toán học, từ này thường đề cập đến số không.  Trong một kiểu tương tự, Pāṇini (thế kỷ thứ 5 TCN) đã sử dụng toán tử null (zero) trong Ashtadhyayi, một ví dụ ban đầu về ngữ pháp đại số cho ngôn ngữ tiếng Phạn (cũng xem thêm êngala).
Có những cách sử dụng khác của số 0 trước Brahmagupta, mặc dù các tài liệu này không đầy đủ như trong Brahmasphutasiddhanta.
Hồ sơ cho thấy người Hy Lạp cổ đại dường như không chắc chắn về tình trạng của 0 như một con số: họ tự hỏi "làm thế nào 'không có gì' có thể là một cái gì đó?" dẫn đến một câu hỏi triết học thú vị, và vào thời Trung cổ, đã có các lập luận tôn giáo về bản chất và sự tồn tại của số 0 và chân không.  Những nghịch lý của Zeno of Elea phụ thuộc một phần vào sự giải thích không chắc chắn của  số 0.  (Người Hy Lạp cổ đại thậm chí đặt câu hỏi liệu 1 có phải là một số.)
Người Olmec ở miền trung nam México bắt đầu sử dụng biểu tượng cho số 0, khắc trên vỏ sò, ở Thế giới mới, có thể vào thế kỷ 4 TCN nhưng chắc chắn hơn là vào năm 40 TCN, đã trở thành một phần không thể thiếu của chữ số Maya và lịch Maya.  Số học Maya sử dụng cơ số 4 và cơ số 5 viết theo cơ số 20.  Sanchez năm 1961 báo cáo một bàn tính theo cơ số 4 và cơ số 5 dạng ngón tay.
Vào năm 130 sau Công nguyên, Ptolemy, chịu ảnh hưởng của Hipparchus và người Babylon, đã sử dụng một biểu tượng cho số  0 (một vòng tròn nhỏ có thanh ngang dài) trong một hệ thống số cơ số 60 bằng cách sử dụng các chữ cái Hy Lạp thay cho chữ số.  Bởi vì nó được sử dụng một mình, không chỉ là một vị trí giữ chỗ, số 0 Hy Lạp này là tài liệu đầu tiên sử dụng số 0 thực sự trong Thế giới cũ.  Trong các bản thảo Byzantine sau này của Syntaxis Mathematica (Almagest), số 0 Hy Lạp đã biến thành chữ Hy Lạp Omicron (nghĩa là 70).
Một số 0 có thực khác được sử dụng trong các bảng cùng với số La Mã vào năm 525 (được Dionysius Exiguus sử dụng lần đầu tiên), nhưng như một từ, nulla  có nghĩa là không có gì, không phải là một biểu tượng.  Khi phép chia có số dư  0, tác giả sử dụng chữ nihil, cũng có nghĩa là không có gì.  Những số không thời trung cổ đã được sử dụng bởi tất cả các người tính toán của thời trung cổ trong tương lai (máy tính của Phục Sinh).  Một cách sử dụng riêng biệt của số 0 bằng cách lấy chữ cái đầu, N, đã được Bede hoặc một đồng nghiệp sử dụng trong một bảng các chữ số La Mã vào khoảng năm 725, và đây là một biểu tượng số 0 thực sự.

Số âm

Khái niệm trừu tượng về số âm được công nhận sớm nhất là 100-50 TCN tại Trung Quốc.  Cửu chương toán thuật chứa các phương pháp để tìm diện tích của các hình; que màu đỏ đã được sử dụng để biểu thị hệ số dương, que màu đen cho các hệ số âm.  Tài liệu tham khảo đầu tiên trong một tác phẩm phương Tây là trong thế kỷ 3 sau công nguyên ở Hy Lạp. Diophantus đã đề cập đến phương trình tương đương với 4x + 20 = 0 (nghiệm là số âm) trong Arithmetica, nói rằng phương trình đã cho kết quả vô lý.
Trong những năm 600, số âm được sử dụng ở Ấn Độ để thể hiện các khoản nợ.  Tài liệu tham khảo trước đây của Diophantus đã được thảo luận rõ ràng hơn bởi nhà toán học Ấn Độ Brahmagupta trong tác phẩm Brāhmasphuṭasiddhānta năm 628, người đã sử dụng các số âm để tạo ra công thức phương trình bậc hai tổng quát mà vẫn còn được sử dụng cho đến ngày nay.  Tuy nhiên, vào thế kỷ 12 ở Ấn Độ, Bhaskara đưa ra các hệ số là số âm cho các phương trình bậc hai nhưng nói rằng giá trị âm "trong trường hợp này không được thực hiện, vì nó không đầy đủ; mọi người không tán thành các hệ số là số âm."
Các nhà toán học châu Âu, phần lớn, đã chống lại khái niệm số âm cho đến thế kỷ 17, mặc dù Fibonacci cho phép các nghiệm là số âm trong các bài toán tài chính, nơi chúng có thể được hiểu là các khoản nợ (chương 13 của Liber Abaci, 1202) và sau đó như là thua lỗ (theo Flos).  Đồng thời, người Trung Quốc đã chỉ ra các số âm bằng cách vẽ một nét chéo qua chữ số tận cùng bên phải nhất của chữ số dương tương ứng.  Việc sử dụng đầu tiên của số âm trong một tác phẩm châu Âu là của Nicolas Chuquet trong thế kỷ 15.  Ông đã sử dụng chúng như số mũ, nhưng gọi chúng là "số vô lý".
Gần hơn, vào thế kỷ 18, người ta thường bỏ qua mọi kết quả số âm được trả về bởi các phương trình với giả định rằng chúng là vô nghĩa, giống như René Descartes đã làm với các nghiệm số là số âm trong hệ tọa độ Descartes.

Biểu diễn số

Các số thực có thể được biểu diễn dưới dạng số thập phân hữu hạn, vô hạn tuần hoàn và không tuần hoàn. Còn các số phức có thể biểu diễn dưới dạng tổng có số hạng thứ nhất là một số thực và số hạng thứ hai là tích của một số thực với i.