Đa tạp

Đa tạp' tô pô  chiều là một không gian tô pô mà mỗi điểm có lân cận đồng phôi với tập con mở của , nói một cách khác, là không gian tôpô tách với mỗi điểm của nó có một lân cận đồng phôi với một tập mở trong không gian Euclide  chiều. Đa tạp chính là khái niệm toán học mở rộng của đường và mặt.

Đa tạp 1 chiều

- Đường thẳng thực 

- Đường tròn 

- Đường chiếu thực 

- Đường dài (long line)

Đa tạp 2 chiều

- Quả cầu 

- Mặt phẳng chiếu thực (real projective plane) 

- Mặt xuyến

- Mặt xuyến kép

- Dải Möbius

- Chai Klein

- Hình trụ 

- Klein bậc bốn (Klein quartic)

- Giống (genus)

Đa tạp 3 chiều

- Quả cầu 

- 

- Mặt xuyến 

- Quả cầu đồng đều Poincaré (Poincaré homology sphere)

- Đa tạp Whitehead

- Đạ tạp Weeks

- Khối xuyến

- Chai Klein rắn (Solid Klein bottle)

Đa tạp 4 chiều

- Ngoại lai (exotic), 

- Đa tạp

Đa tạp vô hạn chiều

- Đa tạp Hilbert

- Đa tạp Banach

- Đa tạp Fréchet

Định lý nhúng Whitney

- Trong toán học, đặc biệt trong Topo vi phân, có hai định lý nhúng Whitney, được đặt theo tên nhà toán học người Mỹ, Hassler Whitney (1907 – 1989).

- Định lý nhúng Whitney mạnh phát biểu rằng bất kì đa tạp  chiều thực trơn (cũng phải là Hausdorff và second-countable) có thể nhúng trơn trong không gian  thực , nếu . Đây là giới hạn tuyến tính nhất trong không gian Euclidean có chiều nhỏ nhất, mà tất cả đa tạp  chiều được nhúng trong đó. Vì những không gian xạ ảnh thực của chiều  không thể được nhúng vào không gian  thực nếu  là lũy thừa của 2 (có thể thấy từ lý luận lớp đặc trưng (characteristic class argument) của Whitney).

- Định lý nhúng Whitney yếu phát biểu rằng bất kỳ hàm liên tục từ đa tạp  chiều đến đa tạp  chiều có thể dự đoán bởi một phép nhúng miễn là . Whitney chứng minh tương tự rằng một ánh xạ có thể được dự đoán bởi một (immersion) phép nhúng miễn là . Kết quả cuối cùng này được gọi là định lý nhúng (immersion)Whitney yếu.

Định lý đa tạp ổn định

Đặt:

là 1 ánh xạ trơn với điểm hypebon cố định tại . Chúng ta ký hiệu  tập hợp ổn định và  tập hợp không ổn định của . Định lý [1][2][3] phát biểu rằng:

-  là một đa tạp trơn và không gian tiếp xúc của nó có cùng số chiều như không gian ổn định của khi tuyến tính hóa  tại .

-  là một đa tạp trơn và không gian tiếp xúc của nó có cùng số chiều như không gian không ổn định khi tuyến tính hóa  tại .

Theo đó,  là một đa tạp ổn định và  là một đa tạp không ổn định.

Định lý Birkhoff

- Nhà toán học người Mỹ, Garrett Birkhoff (1911 – 1996) đã chứng minh tương tự hai định nghĩa của đa tạp ở trên, một kết quả có ý nghĩa cơ bản với đại số phổ quát và được biết đến như định lý Birkhoff hoặc là định lý HSP. H, S, và P viết tắt cho những phép tính đóng của phép đồng hình, đại số con và tích số.

- Một lớp phương trình (equational class) ký hiệu Σ nào đó, là tập hợp của tất cả mô hình, theo ý nghĩa của lý thuyết mô hình, nó đã thỏa tập hợp phương trình E nào đó, (asserting equality between terms). Một mô hình thỏa những phương trình đó nếu chúng đúng trong mô hình cho mọi giá trị của biến. Những phương trình trong E sau đó được gọi là những đồng nhất thức của mô hình. Ví dụ của những đồng nhất thức đó là luật giao hoán, đại số giao hoán đặc trưng, và luật hút thu, dàn (lattices) đặc trưng.

- Dễ dàng thấy rằng lớp đại số thỏa tập hợp phương trình nào đó sẽ đóng trong phép toán HSP. Chứng minh ngược lại – các lớp đại số đóng trong phép toán HSP phải thuộc phương trình – sẽ khó hơn nhiều.