Chứng minh toán học

Trong toán học, một chứng minh là một cách trình bày thuyết phục (sử dụng những chuẩn mực đã được chấp nhận trong lĩnh vực đó) rằng một phát biểu toán học là đúng đắn. Chứng minh có được từ lập luận suy diễn, chứ không phải là tranh luận kiểu quy nạp hoặc theo kinh nghiệm. Có nghĩa là, một chứng minh phải biểu diễn cho thấy một phát biểu là đúng với mọi trường hợp, không có ngoại lệ. Một mệnh đề chưa được chứng minh nhưng được chấp nhận đúng được gọi là một phỏng đoán.
Phát biểu đã được chứng minh thường được gọi là định lý. Một khi định lý đã được chứng minh, nó có thể được dùng làm nền tảng để chứng minh các phát biểu khác. Một định lý cũng có thể được gọi là bổ đề, đặc biệt nếu nó được dự định dùng làm bước đệm để chứng minh một định lý khác.

Lịch sử

Các tranh luận về sự hợp lý bằng cách sử dụng các vật dụng có sẵn như hình ảnh hay vật tương tự là tiền đề cho các chứng minh toán học chính xác. Sự phát triển của chứng minh toán học chủ yếu là sản phẩm của nền văn minh Hy Lạp. Thales (624–546 TCN) đã chứng minh một số định lý trong hình học. Eudoxus (408–355 TCN) và Theaetetus (417–369 TCN) đã công thức hóa các định lý nhưng không chứng minh. Aristoteles (384–322 TCN) nói rằng các định nghĩa cần được mô tả bằng những khái niệm đã biết. Euclid (300 TCN) đã bắt đầu từ những thuật ngữ chưa được định nghĩa là các tiên đề (các mệnh đề sử dụng những thuật ngữ chưa định nghĩa được giả thiết là hiển nhiên đúng, nguyên từ Hy Lạp là "axios" có nghĩa là "một thứ giá trị") và đã dùng những thứ này để chứng minh các định lý bằng luận lý suy diễn. Lý thuyết chứng minh hiện đại xem các chứng minh là những cấu trúc dữ liệu được định nghĩa một cách quy nạp. Người ta không còn giả thiết rằng các tiên đề lúc nào cũng "đúng đắn"; điều này cho phép các lý thuyết toán học được xây dựng song song nhau dựa trên những tập tiên đề khác nhau (Lý thuyết tập hợp tiên đề và Hình học phi Euclid là các ví dụ).

Chứng minh bằng chuyển vế

Chứng minh bằng chuyển vế sẽ hình thành kết luận "nếu p thì q" bằng cách chứng minh phát biểu tương phản tương đương "nếu không q thì không p".

Chứng minh bằng hình ảnh

Mặc dù không phải là một cách chứng minh chính quy, một cách biểu diễn hình ảnh cho một định lý toán học đôi khi được gọi là "chứng minh không cần lời". Hình ảnh bên phải là ví dụ của một chứng minh bằng hình ảnh cổ xưa định lý Pythagoras trong trường hợp tam giác (3, 4, 5).

Chứng minh hai cột

Một dạng cụ thể của chứng minh sử dụng hai cột song song thường dùng trong các lớp hình học cơ bản. Chứng minh được viết theo dạng một loạt hàng phân thành hai cột. Tại mỗi dòng, cột bên trái chứa các mệnh đề (hai đôi khi gọi là phát biểu), còn cột bên phải là lời giải thích ngắn gọn mệnh đề đó là gì, một tiên đề, giả thuyết, hay có được từ dòng trên (hoặc đôi khi chỉ gọi là "suy diễn").

Chứng minh với sự hỗ trợ của máy tính

Cho đến thế kỷ thứ 20 người ta đã giả thiết rằng, trên nguyên tắc, tất cả các chứng minh đều có thể được một nhà toán học giỏi xác nhận sự đúng đắn của nó. Tuy nhiên, ngày nay máy tính được dùng cả để chứng minh các định lý lẫn thực hiện các phép toán quá dài mà con người hoặc một nhóm người có thể kiểm tra nổi; cách chứng minh định lý bốn màu đầu tiên là một ví dụ về một cách chứng minh có sự hỗ trợ từ máy tính. Một số nhà toán học lo ngại rằng khả năng xảy ra lỗi trong một chương trình máy tính hoặc lỗi khi tính toán có thể khiến cho sự đúng đắn của các cách chứng minh bằng máy tính bị đặt dấu hỏi. Trên thực tế, cơ hội xảy ra lỗi để bác bỏ một chứng minh của máy tính có thể giảm thiểu bằng cách đưa vào sự trùng lặp và tự kiểm tra khi tính toán, và bằng cách phát triển nhiều cách tiếp cận và chương trình độc lập nhau.