Phép cộng

Phép cộng (thường được biểu thị bằng ký hiệu cộng "+") là một trong bốn phép toán cơ bản của số học; những phép tính khác là trừ, nhân và chia. Thực hiện phép cộng hai số nguyên là tìm tổng số của các giá trị đó. Ví dụ, trong bức tranh bên cạnh, có sự kết hợp của ba quả táo và hai quả táo với nhau, tạo ra tổng cộng năm quả táo. Quan sát này tương đương với biểu thức toán học "3 + 2 = 5" tức là "3 cộng 2 bằng 5".
Bên cạnh việc đếm, phép cộng cũng có thể được sử dụng trên các loại số khác, chẳng hạn như số nguyên, số thực và số phức. Đây là một phần của số học, một nhánh của toán học. Trong đại số, một lĩnh vực của toán học, phép cộng có thể được thực hiện trên các đối tượng trừu tượng như vector và ma trận.
Phép cộng có một số tính chất quan trọng. Nó là giao hoán, có nghĩa là thứ tự các phần tử trong phép tính không quan trọng, và kết hợp, có nghĩa là khi thực hiện phép cộng có nhiều hơn hai số, thứ tự thực hiện phép cộng không quan trọng. Lặp lại việc cộng 1 có kết quả tương tự việc đếm; cộng 0 có kết quả số không thay đổi. Ngoài ra nó cũng tuân theo các quy tắc khác có liên quan khi thực hiện các phép tính khác như trừ và nhân.
Thực hiện phép cộng là một trong những nhiệm vụ đơn giản nhất. Trẻ con ở độ tuổi tập đi có thể thực hiện các phép cộng với số nhỏ; nhiệm vụ cơ bản nhất, 1 + 1, có thể được thực hiện bởi trẻ sơ sinh từ năm tháng tuổi và thậm chí là một số thành viên của các loài động vật khác. Trong giáo dục tiểu học, học sinh được dạy để cộng số trong hệ thập phân, bắt đầu với các số có một chữ số và dần dần là các vấn đề có độ khó cao hơn. Các công cụ hỗ trợ cơ học trải dài từ bàn tính cổ xưa đến máy tính hiện đại, các nghiên cứu về việc thực hiện phép cộng hiệu quả nhất vẫn được tiếp tục cho đến ngày nay.

Giải thích

Toán học có thể được dùng để mô hình hóa nhiều quá trình vật lý. Ngay cả đối với trường hợp đơn giản là cộng số tự nhiên, có nhiều các giải thích khả dĩ và thậm chí nhiều biểu hiện trực quan.

Giao hoán

Phép cộng có tính giao hoán: người ta có thể thay đổi vị trí các đối tượng trong một phép cộng, và kết quả là như nhau. Một cách tượng trưng, nếu a và b là hai số bất kỳ, thì
Thực tế, tính giao hoán trong phép cộng là một phần của "quy tắc giao hoán". một số phép toán nhị nguyên khác cũng có tính giao hoán, ví dụ như phép nhân, nhưng nhiều phép toán khác thì không, ví dụ như phép trừ và phép chia.

Kết hợp

Phép cộng có tính kết hợp: khi cộng ba hay nhiều số, thứ tự thực hiện phép toán không quan trọng.
Ví dụ, biểu thức a + b + c nên được định nghĩa là (a + b) + c hay a + (b + c)? Cho rằng phép cộng có tính kết hợp, sự lựa chọn định nghĩa là không liên quan. Với ba số a, b và c bất kỳ, thì (a + b) + c = a + (b + c). Ví dụ: (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6 = 1 + 5 = 1 + (2 + 3)
Khi phép cộng được sử dụng cùng với các phép toán khác, thứ tự thực hiện phép toán trở nên quan trọng. Trong thứ tự thực hiện phép toán tiêu chuẩn, phép cộng có mức độ thấp hơn lũy thừa, căn bậc n, phép nhân và phép chia, nhưng được ưu tiên ngang với phép trừ.

Yếu tố nhận dạng

Khi cộng số không vào bất kỳ số nào, số lượng không thay đổi; không là phần tử đơn vị được cộng vào, còn được gọi là đơn vị cộng. Cho a bất kỳ,
Định luật này lần đầu tiên được xác định trong Brahmasphutasiddhanta của Brahmagupta năm 630, mặc dù nó được ông viết thành ba định luật riêng biệt, tùy thuộc vào việc a là âm, dương hay không, vào ông đã sử dụng các từ ngữ thay vì các ký hiệu đại số. Các nhà toán học Ấn Độ sau này đã tinh chỉnh khái niệm này; vào khoảng năm 830, Mahavira đã viết, "số không trở thành giống như những gì được thêm vào nó", tương ứng với tuyên bố đơn nguyên 0 + a = a.

Kế tiếp

Trong ngữ cảnh của các số nguyên, việc cộng một cũng đóng một vai trò đặc biệt: với bất kỳ số nguyên a nào, số nguyên (a + 1) là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn a, còn được gọi là số kế tiếp của a. Ví dụ, 3 là số kế tiếp của 2 và 7 là số kế tiếp của 6. Vì tính kế tiếp này, giá trị của a + b cũng có thể được xem là số kế tiếp thứ b của a, tạo ra sự kế tiếp lặp lại. Ví dụ, 6 + 2 bằng 8, vì 8 là số kế tiếp của 7, là kế tiếp của 6, nên 8 là số kế tiếp thứ 2 của 6.

Đơn vị

Để cộng các số có đơn vị vật lý, chúng phải được thể hiện bằng các đơn vị giống nhau. Ví dụ, cộng 50 ml vào 150 ml bằng 200 ml. Tuy nhiên, nếu độ dài 5 feet được kéo dài thêm 2 inch thì tổng là 62 inch, vì 60 inch tương đương với 5 feet. Mặt khác, thường là vô nghĩa khi cố gắng cộng 3 met với 4 met vuông, vì các đơn vị đó không thể so sánh được.

Khả năng bẩm sinh

Các nghiên cứu về sự phát triển của toán học bắt đầu từ khoảng những năm 1980 đã khai thác hiện tượng thói quen: trẻ sơ sinh nhìn lâu hơn vào các tình huống bất ngờ. Trong một thí nghiệm của Karen Wynn vào nằm 1992 liên quan đến búp bê chuột Mickey bị điều khiển sau màn hình đã chứng minh rằng trẻ sơ sinh 5 tháng tuổi mong đợi 1 + 1 bằng 2 và chúng tương đối ngạc nhiên khi một tình huống vật lý dường như đã ngụ ý rằng 1 + 1 bằng 1 hoặc 3. Phát hiện này đã được xác nhận bởi nhiều phòng thí nghiệm sử dụng các phương pháp khác nhau. Một thí nghiệm khác năm 1992 với những đứa trẻ mới biết đi, từ 18 đến 35 tháng tuổi, đã nghiên cứu hành vi của chúng bằng cách cho chúng lấy những quả bóng bàn từ hộp; đứa trẻ nhỏ nhất trả lời tốt với số lượng nhỏ, trong khi những đứa trẻ lớn hơn có thể tính phép cộng có tổng lên tới 5.
Ngay cả một số động vật không phải người cũng thể hiện khả năng thực hiện phép cộng một cách hạn chế, đặc biệt là linh trưởng. Trong một thí nghiệm năm 1995 lặp lại thí nghiệm năm 1992 của Wynn (nhưng sử dụng cà tím thay vì búp bê), khỉ raveus và khi tamarin đã thực hiện tương tự như trẻ sơ sinh. Đáng kinh ngạc hơn, sau khi được dạy về ý nghĩa của các chữ số Ả Rập từ 0 đến 4, một con tinh tinh có thể tính tổng của hai chữ số mà không cần dạy thêm. Gần đây, voi châu Á đã thể hiện khả năng thực hiện các phép tính số học cơ bản.

Học cộng khi còn nhỏ

Thông thường, kỹ năng mà trẻ em thành thạo đầu tiên là đếm. Khi đưa ra một vấn đề đòi hỏi phải kết hợp hai số hoặc ba số, trẻ nhỏ mô hình hóa tình huống bằng các vật thể, thường là ngón tay hoặc hình vẽ, sau đó đếm tống số. Khi đã có kinh nghiệm, những đứa trẻ sẽ học hoặc khám phá ra cách "đến ngược": yêu cầu tìm hai cộng ba, trẻ sẽ đếm bắt đầu từ ba mà bỏ qua hai, đếm "ba, bốn, năm" (thường đánh dấu bằng ngón tay) và kết thúc tại năm. Cách này có vẻ gần như là phổ quát; trẻ em có thể dễ dàng học được nó từ bạn bè hoặc giáo viên. Hầu hết là khám phá ra nó một cách độc lập. Với những kinh nghiệm sử dụng phép cộng, trẻ học được cách cộng nhanh hơn bằng cách khai thác tính giao hoán của phép cộng bằng cách đếm từ số lớn hơn, trong trường hợp này là bỏ qua ba và đếm "bốn, năm". Cuối cùng, trẻ em bắt đầu ghi nhớ một số phép toán nhất định, thông qua kinh nghiệm hoặc học thuộc lòng. Một khi một số sự kiện đã được ghi lại vào bộ nhớ, trẻ bắt đầu rút ra những sự thật chưa biết từ những điều đã biệt. Ví dụ, một đứa trẻ được yêu cầu cộng sáu và bảy có thể biết rằng 6 + 6 = 12 và vì vậy 6 + 7 là một số lớn hơn 1 đơn vị, là 13. Những sự kiện xuất phát như vậy có thể được tìm thấy rất nhanh và cuối cùng hầu hết học sinh tiểu học dựa vào một hỗn hợp các sự kiện đã được ghi nhớ và dẫn xuất để thực hiện phép cộng trôi chảy.
Các quốc gia khác nhau dạy trẻ biết bộ số và số học ở các độ tuổi khác nhau, nhiều quốc gia dạy phép cộng ở trường mầm non. Tuy nhiên, trên toàn thế giới, phép cộng được dạy vào cuối năm thứ nhất của trường tiểu học.

Thực hiện

Cách tính phép cộng cơ bản là viết các số có nhiều chữ số theo chiều dọc và cộng từng cột, bắt đầu từ phải sang trái. Nếu kết quả của một cột vượt quá 9, chữ số hàng chục sẽ được nhớ để cộng vào cột tiếp theo. Ví dụ: thực hiện phép cộng 27 + 59
7 + 9 = 16, viết 6 nhớ 1; 2 + 5 = 7, nhớ 1 là 8.
Một phương pháp khác bắt cộng từ số có nghĩa đầu tiên ở bên trái; phương pháp này làm cho việc tính toán trở nên vụng về, nhưng nó hiệu quả cho việc ước tính nhanh sơ bộ tổng. Có nhiều phương pháp thay thế.

Cộng số thập phân

Số thập phân có thể được cộng theo một quá trình đã được sửa đổi đơn giản của quá trình trên. Viết hai số thập phân trên nhau, sao cho dấu thập phân ở cùng một vị trí. Nếu cần thiết, người ta có thể thêm các số 0 ở cuối của một số thập phân ngắn hơn để làm cho nó có cùng độ dài với số thập phân dài hơn. Cuối cùng thực hiện phép cộng theo quy trình tương tự như trên, ngoại trừ việc đặt dấu thập phân ở chỗ chính xác trong kết quả/
Ví dụ, thực hiện phép cộng 45,1 + 4,34

Ký hiệu khoa học

Trong ký hiệu khoa học, các con số được viết dưới dạng , ở đây a là phần nghĩa và  là phần số mũ. Phép cộng yêu cầu hai số trong ký hiệu khoa học phải có phần số mũ giống nhau, để cho hai số có thể được cộng một cách đơn giản.
Ví dụ:

Phép cộng trong các hệ số khác

Phép cộng trong các hệ số khác rất giống với phép cộng thập phân. Ví dụ, cộng hai số trong hệ nhị phân, cộng hai số nhị phân có một chữ số tương đối đơn giản, sử dụng số nhớ:
, nhớ 1 (vì 1 + 1 = 2 = 0 + (1 x 2¹))
Cộng hai số "1" sẽ bằng một số "0" và nhớ "1" vào cột tiếp theo. Điều này tương tự với những gì xảy ra trong số thập phân khi các số có một chữ số được cộng lại với nhau; nếu kết quả bằng hoặc vượt giá trị của cơ số (10), chữ số bên trái được tăng lên một đơn vị:
, nhớ 1 (vì 5 + 5 = 10 = 0 + (1 x 10¹))
, nhớ 1 (vì 7 + 9 = 16 = 6 + (1 x 10¹))
Cách nhớ một số để cộng vào hàng tiếp theo được thực hiện tương tự như phép cộng trong hệ cơ số mười, ví dụ về số nhớ trong hệ nhị phân:
Trong ví dụ này có hai số được cộng với nhau là 1101₂ (13₁₀) và 10111₂ (23₁₀). Hàng trên cùng là các số nhớ. Cột thứ nhất bên phải, 1 + 1 = 10₂, viết 0 nhớ 1; cột thứ 2, 1+ 0 + 1 = 10₂, viết 0 nhớ 1; cột thứ 3, 1 + 1 + 1 = 11₂, viết 1 nhớ 1. Tiếp tục tính các cột còn lại ta được kết quả là 100100₂ (36₁₀).