Lý thuyết hệ thống tuyến tính thời gian bất biến

Lý thuyết thời gian bất biến tuyến tính, thường được gọi là lý thuyết hệ thống LTI, xuất phát từ toán ứng dụng và có các ứng dụng trực tiếp trong quang phổ học cộng hưởng từ hạt nhân, địa chấn học, mạch điện, xử lý tín hiệu, lý thuyết điều khiển, và các lĩnh vực kỹ thuật khác. Nó nghiên cứu đáp ứng của một hệ thống tuyến tính và thời gian bất biến đối với một tín hiệu đầu vào tùy ý. Quỹ đạo của các hệ thống này thường được đo lường và theo dõi khi chúng di chuyển theo thời gian (ví dụ như, một dạng sóng âm), nhưng trong các ứng dụng như xử lý hình ảnh và lý thuyết trường, các hệ thống LTI cũng có quỹ đạo theo chiều không gian. Do đó, các hệ thống này cũng được gọi là tuyến tính dịch chuyển bất biến để tạo cho lý thuyết này tính tổng quát nhất có thể. Trong trường hợp các hệ thống thời gian rời rạc nói chung (tức là, lấy mẫu), tuyến tính dịch chuyển bất biến là một thuật ngữ tương ứng. Một ví dụ tốt về hệ thống LTI là mạch điện mà được tạo thành từ điện trở, tụ điện và cuộn cảm.

Biến đổi Fourier và Laplace

Tính chất hàm mũ của hàm đặc trưng rất hữu ích cho việc phân tích và tìm hiểu các hệ thống LTI. Các biến đổi Laplace
chính la cách để có được các giá trị riêng từ đáp ứng xung. Đăch biệt là các tín hiệu theo hình sin chuẩn (nghĩa là các hàm mũ có dạng  trong đó  và ). Chúng thường được gọi là các hàm mũ phức ngay cả khi argument chỉ có phần ảo. Biến đổi Fourier  cho ta các giá trị riêng cho các tín hiệu thuần sin phức. Cả  và  đều được gọi là hàm hệ thống, đáp ứng hệ thống, hoặc hàm truyền.
Biến đổi Laplace thường được sử dụng trong bối cảnh của các tín hiệu một chiều, tức là tín hiệu là zero cho tất cả các giá trị của t ít hơn so với một số giá trị khác. Thông thường, "thời gian bắt đầu" này được thiết lập bằng zero, để thuận tiện và không mất tính tổng quát, với biến đổi tích phân được lấy từ zero đến vô cùng (các biến đổi chỉ ra ở trên cùng với giới hạn dưới của tích phân âm vô cùng được chính thức biết đến là biến đổi Laplace song phương).

Các thuộc tính quan trọng của hệ thống

Hai tính chất quan trọng nhất của một hệ thống là tính nhân quả và tính ổn định. Tính nhân quả là một điều cần thiết nếu biến độc lập là thời gian, nhưng không phải tất cả các hệ thống đều lấy thời gian là một biến độc lập. Ví dụ, một hệ thống xử lý hình ảnh tĩnh không cần phải có tính nhân quả. Các hệ thống phi nhân quả có thể được xây dựng và có thể hữu ích trong nhiều tình huống. Ngay cả các hệ thống không thực có thể được xây dựng và rất hữu ích trong nhiều trường hợp.

Tính nhân quả

Một hệ thống là nhân quả nếu đầu ra chỉ phụ thuộc vào hiện tại và quá khứ, mà không phụ thuọc đầu vào tương lai. Một điều kiện cần và đủ của quan hệ nhân quả là(đoạn này khó hiểu thế)
trong đó  là đáp ứng xung. Nói chung không thể  xác định tính nhân quả từ biến đổi Laplace, vì biến đổi nghịch đảo là không duy nhất. Khi một vùng hội tụ được xác định, thì tính nhân quả có thể được xác định.

Tính ôn định

Một hệ thống là ổn định giới hạn đầu vào, giới hạn đầu ra (ổn định BIBO) nếu, với mỗi đầu vào bị chặn, đầu ra là hữu hạn. Về mặt toán học, nếu mỗi đầu vào đáp ứng
sẽ dẫn tới một đầu ra thỏa mãn
(do đó, một giá trị tuyệt đối cực đại của  bao hàm giá trị tuyệt đối cực đại của ), thì hệ thống đó là ổn định. Một điều kiện cần và đủ là đáp ứng xung  phải nằm trong L¹ (có một chuẩn mực L¹ hữu hạn):
Trong miền tần số, vùng hội tụ phải chứa trục ảo  .
As an example, the ideal low-pass filter with impulse response equal to a sinc function is not BIBO stable, because the sinc function does not have a finite L¹ norm. Thus, for some bounded input, the output of the ideal low-pass filter is unbounded. In particular, if the input is zero for  and equal to a sinusoid at the cut-off frequency for , then the output will be unbounded for all times other than the zero crossings.

Các hệ thống thời gian rời rạc

Hầu hết tất cả mọi thứ trong các hệ thống thời gian liên tục đều có một bản sao trong các hệ thống thời gian rời rạc.

Các hệ thống thời gian rời rạc từ các hệ thống thời gian liên tục

Trong nhiều trường hợp, một hệ thống thời gian rời rạc (DT-discrete time) thực sự là một phần của một hệ thống thời gian liên tục (CT-continuous time) lớn hơn. Ví dụ, một hệ thống ghi âm kỹ thuật số có một âm thanh analog, số hóa nó, có thể xử lý tín hiệu kỹ thuật số này, và phát lại một âm thanh analog tương tự cho mọi người nghe.
Về mặt hình thức, các tín hiệu DT được nghiên cứu hầu như luôn luôn là các phiên bản lấy mẫu đồng đều của tín hiệu CT. Nếu  là một tín hiệu CT, thì mộtbộ chuyển đổi từ analog sang kỹ thuật số sẽ chuyển đổi nó thành tín hiệu DT:
Trong đó T là chu kỳ lấy mẫuperiod. Việc giới hạn dải  tần số trong tín hiệu đầu vào để thể hiện chính xác trong tín hiệu DT là rất quan trọng, vì định lý lấy mẫu đảm bảo rằng không có thông tin về tín hiệu CT bị mất. Một tín hiệu DT có thể chỉ chứa một dải tần số bằng ; các tần số khác bịlàm méo (qui) về dải lấy mẫu.

Biếu đổi Z và biến đổi Fourier thời gian rời rạc

Thuộc tính riêng của hàm mũ là rất hữu ích cho cả việc phân tích và nghiên cứu sâu vào các hệ thống LTI. Biến đổi Z
chính là cách để lấy véc tơ riêng từ đáp ứng xung. Đặc biệt là đối với các tín hiệu thuần sin, nghĩa là hàm mũ có dạng , trong đó . Biểu thức này cũng có thể viết lại theo  với . Điều này thường được gọi là hàm mũ phức ngay cả khi argument chỉ toàn là phần ảo. Biến đổi Fourier thời gian rời rạc (DTFT)  cho các véc tơ rieng của hàm sin chuẩn. Cả  và  đều được gọi là hàm hệ thống, đáp ứng hệ thống, hoặc hàm truyền.
Biến đổi Z thường được sử dụng trong bối cảnh của các tín hiệu một chiều, tức là tín hiệu mà zero cho tất cả các giá trị của t nhỏ hơn so với một số giá trị. Thông thường, "thời gian bắt đầu" này được thiết lập bằng không, để thuận tiện và không mất tính tổng quát. Biến đổi Fourier được sử dụng để phân tích các tín hiệu trong phạm vi vô tận.
Do tính chất tích chập của cả hai biến đổi này, tích chập cung cấp đầu ra của hệ thống có thể được biến đổi thành một phép nhân trong miền biến đổi. Đó là,
Cũng như với biến đổi Laplace của hàm truyền trong phân tích hệ thống thời gian liên tục, biến đổi Z làm cho việc phân tích các hệ thống dễ dang hơn và hiểu sâu hơn về hành vi của chúng. Người ta có thể nhìn vào các mô đun hàm hệ thống |H(z)| để xem liệu đầu vào z^n được thông qua (cho qua) bởi hệ thống, hoặc bị từ chối hoặc bị suy giảm bởi hệ thống (không cho qua).

Các thuộc tính quan trọng của hệ thống

Các đặc tính đầu vào-đầu ra của hệ thống thời gian rời rạc LTI hoàn toàn được mô tả bởi đáp xung h[n]. Một số thuộc tính quan trọng nhất của một hệ thống là tính nhân quả và ổn định. Không giống như các hệ thống CT, các hệ thống phi nhân quả DT có thể được thực hiện. Làm cho một hệ thống FIR phi nhân quả thành nhân quả bằng cách thêm các trễ thì không quan trọng. Ta thậm chí có thể làm cho các hệ thống IIR phi nhân quả. Các hệ thống không ổn định có thể được xây dựng và có thể hữu ích trong nhiều tình huống. Ngay cả hệ thống không thực cũng có thể được xây dựng và rất hữu ích trong nhiều trường hợp.

Tính nhân quả

Một hệ thống LTI thời gian rời rạc là nhân quả nếu giá trị hiện tại của đầu ra chỉ phụ thuộc vào giá trị hiện tại và giá trị quá khứ của đầu vào.,  Một điều kiện cần và đủ cho tính nhân quả là
trong đó  là đáp ứng xung. Không thể tổng quát khi xác định quan hệ nhân quả từ biến đổi Z, vì biến đổi nghịch đảo là không duy nhất. Khi một vùng hội tụ được xác định, thì quan hệ nhân quả có thể được xác định.

Độ ổn định

Trong miền tần số,vùng hội tụ phải chứa vòng tròn đơn vị (nghĩa là, quỹ đạo nghiệm số phải thỏa mãn  với z là số phức).