Giải thuật Bresenham vẽ đoạn thẳng

Giải thuật vẽ đoạn thẳng của Bresenham (tiếng Anh: Bresenham's line algorithm) là giải thuật xác định các điểm raster hai chiều cần vẽ để nhận được xấp xỉ gần đúng của đoạn thẳng có hai đầu mút là 2 điểm cho trước. Đây là một trong những thuật toán cổ nhất trong đồ họa máy tính. Thuật toán này được Jack E. Bresenham thiết kế vào năm 1962 tại công ty IBM. Thuật toán được sử dụng rộng rãi, đặc biệt để vẽ đoạn thẳng trên màn hình máy tính. Nó chỉ sử dụng các lệnh cộng trừ số học và lệnh trên pixel, có chi phí rẻ và phù hợp với kiến trúc sơ khai của máy tính. Đây là một trong những giải thuật đồ họa máy tính phát triển sớm nhất. Sự mở rộng của giải thuật này là giải thuật vẽ các đường cong bậc 2.
Mặc dù các giải thuật khác như giải thuật Xiaolin Wu cũng thường được sử dụng trong đồ họa máy tính hiện đại vì có tính năng khử răng cưa (tiếng Anh: antialiasing), nhưng tốc độ và sự đơn giản của giải thuật Bresenham cho thấy nó vẫn còn quan trọng. Giải thuật được tích hợp lên phần cứng như plotter hay lên chip đồ họa của những card đồ họa hiện đại. Nó cũng được tìm thấy trong nhiều phần mềm thư viện đồ họa. Bởi vì giải thuật cực kì đơn giản, nên nó thường được thực hiện cả trong firmware lẫn trong phần cứng của card đồ họa hiện đại.
Ngày nay nhãn hiệu "Bresenham" được dùng cho cả họ giải thuật biến đổi hoặc mở rộng giải thuật Bresenham nguyên thủy. Xin hãy xem thêm phần tham khảo bên dưới.

Tổng quát hóa

Phiên bản ở trên chỉ điều khiển đường đi xuống về bên phải. Tất nhiên mong muốn của chúng ta là có thể vẽ được tất cả các đường. Trường hợp đầu tiên cho phép chúng ta vẽ các đường có hệ số gốc dốc xuống nhưng có đầu ở hướng đối diện. Việc này rất đơn giản nhờ việc tráo các điểm khởi tạo nếu x0 > x1. Việc khó hơn là cần xác định làm cách nào để có thể vẽ các đường đi lên. Để làm việc này, chúng ta sẽ kiểm tra y₀ ≥ y₁ có đúng không; nếu đúng vậy, chúng ta sẽ thay đổi bước y bởi -1 thay vì 1. Sau cùng, chúng ta vẫn cần phải tổng quát hóa giải thuật để có thể vẽ các đường trong mọi hướng. Cho đến lúc này, chúng ta chỉ có thể vẽ các đường có hệ số góc nhỏ hơn 1. Để có thể vẽ các đường có hệ số góc lớn hơn (đường dốc hơn), chúng ta tận dụng thực tế là một đường dốc có thể được phản xạ qua đường thẳng y=x để nhận được một đường có hệ số góc (độ dốc) nhỏ. Hiệu ứng này là tráo đổi các biến x và y khắp nơi, bao gồm luôn việc tráo đổi các tham số để plot (vẽ, chấm điểm). Mã chương trình có thể trông như sau:

 function line(x0, x1, y0, y1)
     boolean steep:= abs(y1 - y0) > abs(x1 - x0)
     if steep then
         swap(x0, y0)
         swap(x1, y1)
     if x0 > x1 then
         swap(x0, x1)
         swap(y0, y1)
     int deltax:= x1 - x0
     int deltay:= abs(y1 - y0)
     real error:= 0
     real deltaerr:= deltay / deltax
     int ystep
     int y:= y0
     if y0 < y1 then ystep:= 1 else ystep:= -1
     for x from x0 to x1
         if steep then plot(y,x) else plot(x,y)
         error:= error + deltaerr
         if error ≥ 0.5 then
             y:= y + ystep
             error:= error - 1.0
Bây giờ, hàm điều khiển tất cả các đường và thực hiện giải thuật Bresenham trọn vẹn.

Tối ưu hóa

Phương pháp này có vấn đề ở chỗ các máy tính hoạt động tương đối chậm trên các số thập phân như error và deltaerr; hơn nữa, các sai số có thể được tích lũy qua nhiều phép cộng số thực (floating-point addition). Làm việc với số nguyên vừa nhanh hơn vừa chính xác hơn. Thủ thuật chúng ta sử dụng đó là nhân tất cả các số thập phân ở trên với deltax, việc này cho phép chúng ta biểu diễn chúng như các số nguyên. Vấn đề duy nhất còn lại đó là hằng số 0.5— để giải quyết việc này, chúng ta thay đổi việc khởi tạo biến error, và hoán đổi nó cho một tối ưu hóa bổ sung. Chương trình mới sẽ như sau:

 function line(x0, x1, y0, y1)
     boolean steep:= abs(y1 - y0) > abs(x1 - x0)
     if steep then
         swap(x0, y0)
         swap(x1, y1)
     if x0 > x1 then
         swap(x0, x1)
         swap(y0, y1)
     int deltax:= x1 - x0
     int deltay:= abs(y1 - y0)
     int error:= deltax / 2
     int ystep
     int y:= y0
     if y0 < y1 then ystep:= 1 else ystep:= -1
     for x from x0 to x1
         if steep then plot(y,x) else plot(x,y)
         error:= error - deltay
         if error < 0 then
             y:= y + ystep
             error:= error + deltax

Đơn giản hóa

Có thể bỏ bớt hàm swap khi tính toán biến err ở cả hai hướng cùng lúc:

 function line(x0, y0, x1, y1)
  dx:= abs(x1-x0)
  dy:= abs(y1-y0) 
  if x0 < x1 then sx:= 1 else sx:= -1
  if y0 < y1 then sy:= 1 else sy:= -1
  err:= dx-dy

  loop
    setPixel(x0,y0)
    if x0 = x1 and y0 = y1 exit loop
    e2:= 2*err
    if e2 > -dy then 
      err:= err - dy
      x0:= x0 + sx
    end if
    if e2 <  dx then 
      err:= err + dx
      y0:= y0 + sy 
    end if
  end loop

Các giải thuật tương tự

Giải thuật Bresenham có thể được hiểu là biến đổi nhỏ của thuật toán DDA (dùng 0.5 là ngưỡng sai số thay cho 0, phép raster hóa đa giác không chồng chập cần 0).
Nguyên tắc sử dụng sai số tăng thay cho phép tính chia có các ứng dụng khác trong đồ họa. Có thể dùng kĩ thuật này để tính các tọa độ U, V trong quá trình quét raster của kết cấu đa giác ánh xạ (texture mapped polygon). Các lõi phần mềm dựng hình heightmap voxel thấy trong các trò chơi máy tính cũng đã sử dụng nguyên tắc này.
Bresenham cũng đã công bố giải thuật tính toán Run-Slice (trái ngược với Run-Length).
Một mở rộng của giải thuật Bresenham để điều khiển các đường có bề dày được tạo ra bởi Alan Murphy ở IBM.