Dãy Fibonacci

Lịch sử

Dãy số Fibonacci được Fibonacci, một nhà toán học người Ý, công bố vào năm 1202 trong cuốn sách Liber Abacci - Sách về toán đồ qua 2 bài toán: Bài toán con thỏ và bài toán số các "cụ tổ" của một ong đực.
Henry Dudeney (1857 - 1930) (là một nhà văn và nhà toán học người Anh) nghiên cứu ở bò sữa, cũng đạt kết quả tương tự.
Thế kỉ XIX, nhà toán học Edouard Lucas xuất bản một bộ sách bốn tập với chủ đề toán học giải trí, ông đã dùng tên Fibonacci để gọi dãy số kết quả của bài toán từ cuốn Liber Abaci – bài toán đã sinh ra dãy Fibonacci.

Những bài toán mở đầu

2 bài toán sau đây được trích từ sách Liber Abacci do Fibonacci viết vào năm 1202. Đây là những bài toán mẫu mực dẫn đến khảo sát dãy số Fibonacci.

Phương pháp tính số

Việc giải một hệ thức truy hồi tổng quát dựa trên việc giải phương trình đặc trưng của nó. Lấy ví dụ như, cho hệ thức truy hồi dạng aₙ = c₁aₙ₋₁+ c₂aₙ₋₂ +... +cₖaₙ₋ₖ              (1)
Khi đó nghiệm của hệ là r sẽ có dạng: rⁿ = c₁rⁿ⁻¹ + c₂rⁿ⁻² +c₃rⁿ⁻³ +...+cₖrⁿ⁻ᵏ
Giải phương trình trên ta được các nghiệm phân biệt r₁,r₂,....,rₙ₋₁.Đồng thời ta có aₙ=b₁r₁ⁿ +b₂r₂ⁿ +...+bₙ₋₁rₙ₋₁ⁿ   (2)
Do vậy giải hệ phương trình (2) với a₁,a₂,.., aₙ cho trước ta sẽ nhận được các giá trị b₁,b₂,...,bₙ₋₁, thay trở lại ta sẽ có phương trình tổng quát dành cho hệ thức truy hồi (1)

Mở rộng cho các số âm

Dùng Fₙ₋₂ = Fₙ - Fₙ₋₁, có thể mở rộng các số Fibonacci cho các chỉ số nguyên âm. Khi đó ta có:... -8, 5, -3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8,... và F₋ₙ = -(-1)ⁿFₙ.

Số nguyên tố Fibonacci

Một số các số Fibonacci cũng là các số nguyên tố như: 2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229,…. Chưa biết chắc rằng có vô hạn số nguyên tố Fibonacci không.

Thực vật

Dãy Fibonacci xuất hiện ở khắp nơi trong thiên nhiên. Những chiếc lá trên một nhành cây mọc cách nhau những khoảng tương ứng với dãy số Fibonacci.
Các số Fibonacci cũng xuất hiện trong các bông hoa hướng dương. Những nụ nhỏ sẽ kết thành hạt ở đầu bông hoa hướng dương được xếp thành hai tập các đường xoắn ốc: một tập cuộn theo chiều kim đồng hồ, còn tập kia cuộn ngược theo chiều kim đồng hồ. Số các đường xoắn ốc hướng thuận chiều kim đồng hồ thường là 34 còn ngược chiều kim đồng hồ là 55. Đôi khi các số này là 55 và 89, và thậm chí là 89 và 144. Tất cả các số này đều là các số Fibonacci kết tiếp nhau (tỷ số của chúng tiến tới tỷ số vàng).
Các số Fibonacci xuất hiện trong những bông hoa. Hầu hết các bông hoa có số cánh hoa là một trong các số: 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 hoặc 89. Hoa loa kèn có 3 cánh, hoa mao lương vàng có 5 cánh, hoa phi yến thường có 8 cánh, hoa cúc vạn thọ có 13 cánh, hoa cúc tây có 21 cánh, hoa cúc thường có 34, hoặc 55 hoặc 89 cánh.
Nếu quan sát các 'mắt' trên vỏ của một trái thơm già, bạn có thể may mắn tìm thấy được số mắt trên 2 đường vòng cung chéo trên vỏ trái thơm là 2 số Fibonacci nào đó, thí dụ 13 và 21.

Ứng dụng Số Fibonacci trong học từ vựng

Dãy Fibonacci 1,2,3,5,8,13,21,34...Là dãy số học từ vựng theo phương pháp lặp lại khoảng cách tốt nhất (Fibonacci is the best spaced repetition schedule).Việc học từ vựng sử dụng Fibonacci có thể giúp nhớ 50 từ vựng mỗi ngày, tức là hơn 18000 từ vựng mỗi năm. Đối với con người chinh phục ngôn ngữ gặp rào cản rất lớn về việc ghi nhớ từ mới, chìa khóa của vấn đề này là dãy số có sẵn trong tự nhiên Fibonacci.
https://www.youtube.com/watch?v=Cnb4Kp8OaS8