Đại số máy tính

Trong toán học tính toán, đại số máy tính, còn được gọi là tính toán tượng trưng hoặc tính toán đại số, là một lĩnh vực khoa học đề cập đến việc nghiên cứu và phát triển các thuật toán và phần mềm để điều khiển các biểu thức toán học và các đối tượng toán học khác.  Mặc dù đại số máy tính có thể được coi là một trường con của điện toán khoa học, nhưng chúng thường được coi là các trường riêng biệt bởi vì điện toán khoa học thường dựa trên tính toán số với các số dấu phẩy động gần đúng, trong khi tính toán biểu tượng nhấn mạnh tính toán chính xác với các biểu thức chứa các biến không có giá trị nhất định và được thao tác như là các biểu tượng.
Các ứng dụng phần mềm thực hiện các phép tính tượng trưng được gọi là hệ thống đại số máy tính, với thuật ngữ hệ thống ám chỉ sự phức tạp của các ứng dụng chính bao gồm, ít nhất là một phương pháp biểu diễn dữ liệu toán học trong máy tính, ngôn ngữ lập trình người dùng (thường khác với ngôn ngữ được sử dụng để thực hiện), trình quản lý bộ nhớ chuyên dụng, giao diện người dùng cho đầu vào / đầu ra của các biểu thức toán học, một tập hợp lớn các thói quen để thực hiện các hoạt động thông thường, như đơn giản hóa các biểu thức, phân biệt bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, nhân tử đa thức, tích phân bất định, v.v..
Đại số máy tính được sử dụng rộng rãi để thử nghiệm trong toán học và thiết kế các công thức được sử dụng trong các chương trình số.  Nó cũng được sử dụng cho các tính toán khoa học hoàn chỉnh, khi các phương pháp số hoàn toàn thất bại, như trong mật mã khóa công khai, hoặc cho một số vấn đề phi tuyến tính.

Thuật ngữ

Một số tác giả phân biệt đại số máy tính với tính toán biểu tượng bằng cách sử dụng tên sau để chỉ các loại tính toán tượng trưng khác với tính toán với các công thức toán học.  Một số tác giả sử dụng tính toán tượng trưng cho khía cạnh khoa học máy tính và "đại số máy tính" cho khía cạnh toán học.  Trong một số ngôn ngữ, tên của trường không phải là bản dịch trực tiếp tên tiếng Anh của nó.  Thông thường, nó được gọi là calcul formel trong tiếng Pháp, có nghĩa là "tính toán chính thức".  Tên này phản ánh ràng buộc lĩnh vực này với phương pháp hình thức.
Trước đây, tính toán tượng trưng cũng được gọi là thao tác biểu tượng, thao tác đại số, xử lý biểu tượng, toán học tượng trưng hoặc đại số tượng trưng, nhưng các thuật ngữ này, cũng đề cập đến thao tác phi tính toán, không còn được sử dụng trong đại số máy tính.

Cộng đồng khoa học

Không có xã hội học được dành riêng cho đại số máy tính, nhưng chức năng này được đảm nhận bởi nhóm lợi ích đặc biệt của Hiệp hội Máy tính có tên SIGSAM (Nhóm quan tâm đặc biệt về Thao tác biểu tượng và đại số).
Có một số hội nghị thường niên về đại số máy tính, hàng đầu là ISSAC (Hội thảo quốc tế về tính toán tượng trưng và đại số), thường xuyên được SIGSAM tài trợ.Có một số tạp chí chuyên về đại số máy tính, trong đó tạp chí hàng đầu là Tạp chí tính toán tượng trưng được thành lập năm 1985 bởi Bruno Buchberger.  Ngoài ra còn có một số tạp chí khác thường xuyên xuất bản các bài báo về đại số máy tính.

Lịch sử

Vào đầu đại số máy tính, khoảng năm 1970, khi các thuật toán được biết đến từ lâu lần đầu tiên được đưa vào máy tính, chúng hóa ra rất kém hiệu quả.  Do đó, một phần lớn công việc của các nhà nghiên cứu trong lĩnh vực này bao gồm xem xét lại đại số cổ điển để làm cho nó hiệu quả và khám phá các thuật toán hiệu quả để thực hiện hiệu quả này.  Một ví dụ điển hình của loại công việc này là tính toán của các ước số chung lớn nhất đa thức, được yêu cầu để đơn giản hóa các phân số.  Đáng ngạc nhiên, thuật toán của Euclid cổ điển hóa ra không hiệu quả đối với đa thức trên các trường vô hạn, và do đó các thuật toán mới cần được phát triển.  Điều tương tự cũng đúng với các thuật toán cổ điển từ đại số tuyến tính.