Hàm chỉnh hình

Trong toán học, một hàm chỉnh hình là một hàm nhận giá trị phức của một hay nhiều biến phức mà tại mọi điểm trong tập xác định, nó khả vi phức trong một lân cận của điểm đó. Sự tồn tại của đạo hàm phức trong một lân cận là một điều kiện rất chặt, từ đó ta suy ra bất kì hàm chỉnh hình nào đều khả vi vô hạn và bằng chuỗi Taylor của nó cục bộ (hàm giải tích). Hàm chỉnh hình là đối tượng nghiên cứu chính trong giải tích phức.
Mặc dù cụm từ hàm giải tích thường được sử dụng thay cho "hàm chỉnh hình", nó được sử dụng theo nghĩa rộng hơn để chỉ bất kì hàm số nào (thực, phức hay những loại khác) có thể viết được dưới dạng một chuỗi lũy thừa hội tụ trên một lân cận của mỗi điểm trong tập xác định của hàm số đó. Một định lý quan trọng trong giải tích phức đó là mọi hàm chỉnh hình đều là hàm giải tích phức, và ngược lại.
Hàm chỉnh hình đôi khi còn được gọi là hàm chính quy. Một hàm chỉnh hình có tập xác định là toàn bộ mặt phẳng phức được gọi là một hàm nguyên. Cụm từ "chỉnh hình tại z₀" không chỉ có nghĩa là khả vi tại z₀, mà là khả vi tại mọi điểm trong một lân cận của nào đó z₀ trên mặt phẳng phức.

Thuật ngữ

Cụm từ "chỉnh hình" được đưa ra lần đầu bởi hai học sinh của Cauchy, Briot (1817–1882) và Bouquet (1819–1895), và có nguồn gốc từ tiếng Hy Lạp ὅλος (holos) nghĩa là "toàn bộ", và μορφή (morphē) nghĩa là "dạng" hay "hình dáng".
Ngày nay, cụm từ "hàm chỉnh hình" đôi khi còn được gọi là "hàm giải tích". Một kết quả quan trọng trong giải tích phức đó là mọi hàm chỉnh hình đều là giải tích phức, một điều không hoàn toàn hiển nhiên từ định nghĩa. Cụm từ "giải tích" được sử dụng khá phổ biến nhưng mang ý nghĩa rộng hơn.

Nhiều biến

Định nghĩa của hàm chỉnh hình mở rộng cho nhiều biến phức theo một cách tự nhiên. Ký hiệu D là một tập con mở của Cⁿ, và hàm số f: D → C. Hàm số f được gọi là giải tích tại điểm p trong D nếu tồn tại một lân cận mở của p mà trong đó f bằng với chuỗi lũy thừa hội tụ theo n biến phức.  Định nghĩa f là chỉnh hình khi và chỉ khi nó giải tích tại mọi điểm trong tập xác định của nó. Bổ đề Osgood cho ta (sử dụng công thức tích phân Cauchy nhiều biến), với hàm f liên tục, điều này tương đương với f chỉnh hình theo từng biến riêng biệt (nghĩa là nếu bất kỳ n − 1 ẩn được cố định, thì f là chỉnh hình theo biến còn lại). Định lý Hartogs khó hơn rất nhiều chứng minh rằng giả thiết liên tục là không cần thiết: f chỉnh hình khi và chỉ khi nó chỉnh hình theo từng biến riêng biệt.
Tổng quát hơn, một hàm nhiều biến phức bình phương khả tích trên mọi tập con compact của tập xác định là giải tích khi và chỉ khi nó thỏa mãn phương trình Cauchy–Riemann theo từng biến.
Hàm nhiều biến phức trong nhiều trường hợp phức tạp hơn so với hàm một biến phức. Ví dụ, vùng hội tụ của một chuỗi lũy thừa không nhất thiết là một quả cầu mở; những vùng này là các miền Reinhardt, ví dụ đơn giản nhất là một đa đĩa. Tuy nhiên, chúng có những điều kiện nhất định. Không như hàm một biến phức, tập xác định có thể mà trên đó tồn tại hàm chỉnh hình không thể được mở rộng ra tập xác định lớn hơn là rất ít. Một tập như thế được gọi là một miền chỉnh hình.

Mở rộng sang giải tích hàm

Khái niệm hàm chỉnh hình có thể được mở rộng sang không gian vô hạn chiều của giải tích hàm. Ví dụ, đạo hàm Fréchet hay Gateaux có thể được sử dụng để định nghĩa hàm chỉnh hình trên một không gian Banach trên trường số phức.