Không gian mêtric

Trong toán học, không gian mêtric là một tập hợp mà một khái niệm của khoảng cách (được gọi là mêtric) giữa các phần tử của tập hợp đã được định nghĩa.
Không gian mêtric gần gũi nhất với cách hiểu trực quan của con người là không gian Không gian Euclide 3 chiều. Khái niệm "mêtric" trong thực tế là sự tổng quát hóa của mêtric Euclide phát sinh từ 4 thuộc tính được biết đến lâu đời của khoảng cách Euclide. Không gian metric Euclide định nghĩa khoảng cách giữa 2 điểm bằng chiều dài theo đoạn thẳng nối chúng với nhau. Một không gian mêtric khác trong hình học Elíp và hình học hyperbolic, có khoảng cách trên quả cầu được đo bằng góc của một mêtric, và mô hình hyperboloid của hình học hyperbolic được dùng bởi thuyết tương đối hẹp với một không gian mêtric vận tốc.

Metric trên không gian hàm từ tập A bất kỳ vào không gian metric (X,d)

Xác định bởi .
Trong đó .

Metric trên không gian các hàm liên tục từ [a,b] vào R

Xác định bởi .
Trong đó  liên tục.

Định nghĩa

Lấy (X,d) là không gian metric, topo sinh bởi cơ sở các quả cầu mở  được gọi là topo sinh bởi metric (còn gọi là topo metric).

Định lý

Cho (X,d) là không gian metric, một tập  là mở trong topo sinh bởi metric d nếu và chỉ nếu với mỗi  tồn tại  sao cho .

Trong lý thuyết thông tin: sự sai lệch các đoạn mã và ký tự

Với lượng thông tin khổng lồ được truyền qua điện thoại, Internet hay từ vệ tinh ngoài không gian đến Trái Đất,... Điều này cực kỳ quan trọng nếu đảm bảo sự nguyên vẹn của thông tin khi nhận được.

Đối với trình tự ADN (DNA Sequence) và trong khoa học máy tính

Như đã trình bày ở mục trên: "khi so sánh các dãy ký tự có chiều dài khác nhau, hay các dãy ký tự có xu hướng thay thế, mất, chèn,... phức tạp hơn, như khoảng cách Levenshtein (Levenshtein distance) là một phương pháp có tác dụng và thích hợp hơn."
Ngoài ra, trong các thuật toán của bộ môn khoa học máy tính, khái niệm khoảng cách Levenshtein thể hiện khoảng cách khác biệt giữa 2 chuỗi ký tự. Khoảng cách này được đặt theo tên Vladimir Levenshtein, người đã đề ra khái niệm này vào năm 1965. Nó được sử dụng trong việc tính toán sự giống và khác nhau giữa 2 chuỗi, như chương trình kiểm tra lỗi chính tả của winword spellchecker.

Định nghĩa

Cho  là không gian metric, một tập con  gọi là chặn theo d nếu tồn tại  sao cho ; .
Nếu bản thân X bị chặn theo d thì nói d là metric bị chặn.

Định nghĩa

Cho  là không gian metric, một song ánh  được gọi là đẳng cấu đẳng cự (isometry) nếu ,  
Nếu  là một isometry thì có thể nói các không gian metric X,Y là đẳng cự (isometric)
.

Định nghĩa

Cho  là không gian topo, X là không gian mêtric hóa được (metrizable) nếu tồn tại một metric d trên X mà nó sinh ra topo trên X .
Ví dụ: 
Xét topo Euclid trên đường tròn  như một không gian con thừa hưởng topo Euclid trên mặt phẳng .
Topo này metric hóa được do:
Một cơ sở trên  có được bằng cách giao các quả cầu mở trong  với .
Xét metric trên  được xác định bằng cách đặt  (tính theo radian) là góc không âm nhỏ nhất sao cho đường tròn điểm p và q trùng nhau.
Với metric này, các quả cầu mở sẽ là những khoảng mở trên đường tròn nên cơ sở của các quả cầu mở cho topo trên  sinh ra bởi  có cùng cơ sở như topo Euclid trên .

Định lý 3.2.4

Nếu  là không gian topo metric hóa và Y đồng phôi với X thì Y cũng metric hóa được.

Định lý 3.2.5

Một không gian metric là compact nếu và chỉ nếu mọi dãy đều có dãy con hội tụ. Hay:
Cho  là không gian metric, ta nói  compact nếu và chỉ nếu mọi dãy  đều có dãy con  của  hội tụ trong .
Hơn nữa, nếu  là tập con compact trong  với  là không gian metric Euclide với topo Euclide thì  đóng và bị chặn.