Phân phối chuẩn

Lịch sử

Abraham de Moivre là người đầu tiên đưa ra phân phối chuẩn trong bài báo năm 1734 (được in lại trong ấn bản lần 2 The Doctrine of Chances, 1738) khi muốn xấp xỉ một phân phối nhị thức với n lớn. Kết quả được mở rộng bởi Laplace trong cuốn sách Analytical Theory of Probabilities (1812), và bây giờ gọi là định lý Moivre-Laplace.
Laplace dùng phân phối chuẩn để phân tích sai số của các thử nghiệm. Phương pháp quan trọng bình phương tối thiểu được Legendre đưa ra năm 1805. Năm 1809, Gauss, người tuyên bố đã từng sử dụng phương pháp này từ năm 1794, đã chứng minh phương pháp này bằng cách giả thiết rằng các sai số có phân phối chuẩn.
Tên gọi "đường cong chuông" do Jouffret, người đầu tiên dùng thuật ngữ "bề mặt hình chuông" năm 1872 cho phân phối chuẩn hai chiều với các thành phần độc lập. Tên gọi "phân phối chuẩn" được tạo ra bởi Charles S. Peirce, Francis Galton và Wilhelm Lexis khoảng năm 1875.

Đặc tính của phân phối chuẩn

Có nhiều cách để thể hiện các đặc tính của một phân phối xác suất. Cách dễ thấy nhất là thông qua hàm mật độ xác suất (vẽ ở hình đầu tiên), nó cho biết khả năng xảy ra của mỗi giá trị của biến ngẫu nhiên. Hàm phân phối tích lũy cũng cho cùng thông tin, nhưng hình ảnh của nó thì thông tin chứa đựng không được dễ nhận thấy cho lắm (hình đi sau). Cách tương đương khi chỉ định một phân phối chuẩn là thông qua: mômen, ước lượng, hàm đặc trưng, hàm khởi tạo mômen, và hàm khởi tạo ước lượng và định lý Maxwell. Một số rất hữu ích về mặt lý thuyết, nhưng không trực quan. Xem phân phối xác suất.
Mọi ước lượng của phân phối chuẩn đều bằng 0, ngoại trừ hai cái đầu tiên.

Tích phân

Diện tích dưới đường cong phân phối chuẩn phải bằng 1. Tiếp theo là chứng minh: 
Đặt , Thì ta có .
để áp dùng biến đổi Hệ tọa độ cực, đặt  lại. Ta có với Ma trận Jacobi.
Mà Định thức Jacobi , Ta có . nên . 
Vậy , ta có

Khởi tạo biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn

Khi mô phỏng bằng máy tính, người ta thường khởi tạo các giá trị số có phân phối chuẩn.
Có nhiều cách và cách đơn giản nhất là chuyển ngược bằng hàm phân phối tích lũy chuẩn tắc.
Có nhiều phương pháp hiệu quả được dùng đến, một trong chúng là biến đổi Box-Muller.
Biến đổi Box-Muller nhận hai giá trị có phân phối đều làm đầu vào và ánh xạ chúng thành giá trị có phân phối chuẩn.
Phương pháp này đòi hỏi phải khởi tạo giá trị từ phân phối đều, và có nhiều phương pháp như vậy. Xem thêm khởi tạo số ngẫu nhiên.
Biến đổi Box-Muller là dựa vào: phân phối chi-bình phương với hai bậc tự do (xem tính chất 4 ở trên) là một biến ngẫu nhiên lũy thừa có thể khởi tạo dễ dàng.

Khả năng phân chia vô hạn

Phân phối chuẩn có khả năng phân chia vô hạn.

Độ ổn định

Phân phối chuẩn là phân phối xác suất ổn định.

Độ lệch chuẩn

Trong thực nghiệm, ta thường giả thiết rằng dữ liệu lấy từ tổng thể có dang phân phối xấp xỉ chuẩn. Nếu giả thiết này được kiểm chứng thì có khoảng 68% số giá trị nằm trong khoảng 1 độ lệch chuẩn so với trị trung bình, khoảng 95% số giá trị trong khoảng hai lần độ lệch chuẩn và khoảng 99.7% nằm trong khoảng 3 lần độ lệch chuẩn. Đó là "quy luật 68-95-99.7" hoặc quy tắc kinh nghiệm.

Điều khái quát gây ngạc nhiên

Đạo hàm của ước lượng hợp lý cực đại của ma trận hiệp phương sai của một phân phối đa biến chuẩn rất khó nhận ra. Nó liên quan đến định lý phổ và lý do có thể coi một đại lượng vô hướng như là vết của ma trận 1×1 hơn là chỉ một biến vô hướng. Xem thêm cách xác định các ma trận hiệp phương sai.