Hiện tượng vận chuyển

Sự lan truyền của các phân tử của một hỗn hợp ở trong chất lỏng hay chất khí từ nơi chúng đưa vào, trong điều kiện không có các dịch chuyển vĩ mô ở trong chất lỏng hay chất khí, được gọi là hiện tượng khuếch tán. Sự xuất hiện các lực ma sát giữa hai lớp chất lỏng hay chất khí chuyển động với các vận tốc khác nhau là biểu hiện của lực ma sát nội hay tính nhớt. Sự chuyển của năng lượng từ các miền nóng hơn sang các miền lạnh hơn, khi không có các sự dịch chuyển của chất lỏng hay chất khí hay các sự chảy đối lưu trong chúng được gọi là sự dẫn nhiệt. Cơ chế bên trong của ba hiện tượng đó là một - đó là chuyển động nhiệt hỗn loạn của các phân tử đã dẫn đến sự dịch chuyển của chúng. Các hiện tượng đó được gọi là các hiện tượng vận chuyển vì trong sự khuếch tán có sự vận chuyển chất của hỗn hợp, trong sự ma sát nội có sự vận chuyển xung lượng, còn trong sự dẫn nhiệt có sự vận chuyển nhiệt lượng.

Đoạn đường tự do của các phân tử

Đoạn đường tự do trung bình của các phân tử là khoảng cách trung bình mà phân tử đi qua giữa các va chạm kế tiếp của nó với các phân tử khác. Trong một đơn vị thời gian, phân tử được tách ra va chạm với tất cả các phân tử, mà tâm của chúng nằm trong hình trụ gẫy có bán kính bằng đường kính  của phân tử, còn độ dài của nó bằng vận tốc trung bình tương đối  của phân tử. Thể tích của hình trụ đó bằng , còn số các phân tử trong đó bằng . Vì trong mỗi va chạm, có đồng thời hai phân tử tham gia, nên tổng số các va chạm trong một đơn vị thể tích sau một đơn vị thời gian bằng .
Sau một đơn vị thời gian, phân tử va chạm  lần trên đoạn đường , do đó đoạn đường tự do trung bình bằng , hay vì  nên

Hiện tượng khuếch tán

Nếu trong chất khí có phân bố một hỗn hợp với nồng độ , thì khi gradient nồng độ , chuyển động hỗn loạn của các phân tử sẽ tạo điều kiện san bằng nồng độ dọc theo trục Ox.
Dòng các phân tử của hỗn hợp qua diện tích  đặt vuông góc với trục Ox theo chiều dương bằng , trong đó  là nồng độ của hỗn hợp ở bên trái diện tích,  là khoảng thời gian.
Dòng các phân tử của hỗn hợp qua cùng diện tích đó theo chiều âm bằng , trong đó  là nồng độ các phân tử của hỗn hợp ở bên phải diện tích.
Hệ số  trong các đẳng thức trên là do tính xác suất của chuyển động hỗn loạn của các phân tử.
Vì sự san bằng các nồng độ xảy ra do các va chạm của những phần tử nên các nồng độ  và  cần được coi là xác định trên các khoảng cách bằng độ dài của đoạn đường tự do  tính từ diện tích .
Dòng các phân tử của hỗn hợp qua một đơn vị diện tích trong một đơn vị thời gian bằng:
Tích  được gọi là hệ số khuếch tán.

Định luật Fick

Dòng các phân tử của hỗn hợp qua một đơn vị diện tích sau một đơn vị thời gian tỷ lệ thuận với gradient của nồng độ:
Dấu trừ chứng tỏ rằng, dòng khuếch tán hướng theo chiều giảm của nồng độ hỗn hợp.

Phương trình khuếch tán

Nếu nhân đẳng thức trên với khối lượng của phân tử, ta có thể tìm được định luật cơ bản Fick cho hiện tượng khuếch tán thông qua qua dòng chất khuếch tán  và nồng độ  của chất dưới dạng 
Dòng khuếch tán qua một mặt kín  sau khoảng thời gian  bằng:
, trong đó  là pháp tuyến ngoài với mặt.
Nếu là mật độ của nguồn chất của hỗn hợp, nghĩa là lượng chất được tạo thành sau một đơn vị thời gian trong một đơn vị thể tích do các phản ứng hóa học, thì trong thể tích  giới hạn bởi mặt  trong khoảng thời gian  sẽ xuất hiện khối lượng:
Các quá trình đã mô tả có kèm theo sự biến thiên của nồng độ hỗn hợp tại mỗi điểm, sau khoảng thời gian , độ biến thiên của lượng chất hỗn hợp trong toàn bộ thể tích  bằng:
Phương trình cân bằng khối lượng có dạng . Biến đổi tích phân mặt theo công thức:
Xét đến sự cân bằng các khối lượng, chúng ta thu được:
Từ đó ta suy ra được phương trình khuếch tán trong môi trường đứng yên:
Đó là phương trình vi phân với các đạo hàm riêng loại parabolic, tương tự với phương trình dẫn nhiệt.

Nội ma sát hay tính nhớt

Nếu một lớp khí dịch chuyển đối với một lớp khác, nghĩa là gradient vận tốc theo hướng vuông góc với mặt của lớp khác không thì do sự dời chuyển của các phân tử từ lớp này sang lớp khác trong chuyển động hỗn loạn, sự vận xung lượng từ lớp này sang lớp khác sẽ được thực hiện.
Xung lượng được chuyển qua diện tích  ở trên mặt phân giới của các lớp theo một hướng bằng: , trong đó  là vận tốc dịch chuyển định hướng của chất khí ở trong lớp có các phân tử thoát qua đến những khoảng cách bằng đoạn đường tự do tính từ mặt  trên.
Xung lượng được chuyển qua theo chiều ngược lại bằng: , trong đó  là vận tốc dịch chuyển định hướng của chất khí đến những khoảng cách bằng đoạn đường tự do về phía kia của diện tích.
Độ biến thiên xung lượng của lớp bằng xung lực ma sát:
Lực ma sát tác dụng lên một đơn vị diện tích của mặt phân giới giữa các lớp lân cận bằng:
Tích số  được gọi là hệ số ma sát nội hay độ nhớt.
Lực ma sát nội khi các lớp trong chất khí chuyển động tỷ lệ thuận với gradient vận tốc:
Công thức Stokes (Gabriel Stokes, 1819 - 1903) đúng cho quả cầu bán kính  chuyển động với vận tốc  trong chất lỏng có độ nhớt , theo công thức này lực cản bằng:

Tính dẫn nhiệt

Cho một dòng nhiệt truyền qua chất khí đựng giữa các thành song song có các nhiệt độ  và  theo phương của trục Ox vuông góc với các thành. Các phân tử đi qua diện tích  vuông góc với trục mang theo chiều dương của trục một năng lượng bằng:
Năng lượng được mang theo chiều ngược lại bằng:
Ở đây  là số bậc tự do của các phân tử khí, còn  và  lần lượt là các giá trị nhiệt độ trong các mặt phẳng  và . Dòng nhiệt đi qua một đơn vị diện tích trong một đơn vị thời gian bằng:
Đại lượng  được gọi là hệ số dẫn nhiệt.

Định luật Fourier

Dòng nhiệt đi qua một đơn vị diện tích trong một đơn vị thời gian tỷ lệ thuận với gradient nhiệt độ:
Dấu trừ chủng tỏ rằng dòng nhiệt hướng từ lớp có nhiệt độ cao hơn sang lớp có nhiệt độ thấp hơn.

Phương trình dẫn nhiệt

Theo định luật Fourier, nhiệt lượng toàn phần đi qua mặt kín  trong khoảng thời gian  bằng:
Nếu  là mật độ của các nguồn nhiệt thì trong thể tích  sau khoảng thời gian , lượng nhiệt tỏa ra bằng:
Các quá trình nêu trên có kèm theo sự biến thiên nhiệt độ tại mỗi điểm của vật và độ biến thiên toàn phần của lượng nhiệt trong vật sau khoảng thời gian bằng:, trong đó  là nhiệt dung riêng, còn  là mật độ.
Nếu dùng phương trình cân bằng nhiệt  và biến đổi tích phân mặt theo công thức Ostrogradski:
, chúng ta sẽ thu được:
, từ đó suy ra phương trình dẫn nhiệt:
Đó là phương trình vi phân với các đạo hàm riêng loại parabolic. Đôí với môi trường đồng nhất  là một hằng số, phương trình sẽ đơn giản hơn và có dạng:
, trong đó  là toán tử Laplace, còn  là hệ số dẫn nhiệt, .
Nếu cho các điều kiện giới hạn vá các điều kiện ban đầu, chúng ta có thể chọn được nghiệm duy nhất của phương trình truyền nhiệt.