Nhóm Lie

Lịch sử ban đầu

Theo Hawkins, một sử gia toán học, Sophus Lie tự cho là mùa đông năm 1873–1874 là năm khai sinh lý thuyết nhóm liên tục của ông. Một số ý tưởng ban đầu của Lie được phát triển khi hợp tác chặt chẽ với Felix Klein. Lie khẳng định rằng các kết quả chính đã được chứng minh vào năm 1884. Tuy nhiên, trong suốt những năm 1870 tất cả các bài báo của ông (ngoại trừ các bài đầu tiên) được xuất bản trong các tạp chí bằng tiếng Na Uy, đã làm chậm đi sự công nhận của các công trình của ông trên toàn bộ châu Âu. Vào năm 1884 một nhà toán học trẻ người Đức, Friedrich Engel, đến làm việc với Lie để viết nên một luận án có hệ thống về lý thuyết nhóm liên tục của ông. Từ cố gắng này đã phát sinh ra bộ sách ba tập Theorie der Transformationsgruppen (Lý thuyết của các nhóm biến đổi), xuất bản năm 1888, 1890, và 1893.
Các ý tưởng của Lie không phải là đứng đơn độc so với phần còn lại của toán học. Thật ra, những nghiên cứu của ông về hình học của các phương trình vi phân được khởi nguồn từ các tác phẩm của Carl Gustav Jacobi, về lý thuyết phương trình vi phân riêng phần bậc 1 và các phương trình của cơ học cổ điển. Đa số các tác phẩm của Jacobi được xuất bản sau khi ông qua đời vào những năm 1860, đã được rất nhiều người chú ý ở Pháp và Đức. Ý tưởng ban đầu của Lie là phát triển một lý thuyết về các đối xứng của các phương trình vi phân để đạt đến những điều mà Evarist Galois đã làm được cho các phương trình đại số: nghĩa là, phân loại chúng theo lý thuyết nhóm. Các nguyên nhân khác để nghiên cứu các nhóm liên tục đến từ các ý tưởng của Bernhard Riemann, trên nền tảng của hình học, và các phát triển thêm của Klein. Do đó ba ý tưởng lớn của toán học trong thế kỉ 19 đã được tổng hợp lại bởi Lie để tạo ra lý thuyết mới của ông: ý tưởng của sự đối xứng, đã được làm mẫu bởi Galois thông qua khái niệm đại số của một nhóm; lý thuyết hình học và các lời giải tường minh (explicit) của các phương trình vi phân của cơ học, được tính ra bởi Poisson và Jacobi; các hiểu biết mới về hình học phát triển lên từ các công trình của Plücker, Möbius, Grassmann và những người khác, được dồn lại trong các tầm nhìn mang tính cách mạng của Riemann trong ngành này.
Mặc dù ngày nay Sophus Lie được công nhận một cách đúng đắn là người sáng lập ra lý thuyết về các nhóm liên tục, một bước phát triển lớn trong sự phát triển của lý thuyết cấu trúc, mà có nhiều ảnh hưởng lớn đến các phát triển sau này của toán học, được tạo ra bởi Wilhelm Killing, người vào năm 1888 xuất bản bài báo đầu tiên trong chuỗi bài báo nhan đề 
Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen (The composition of continuous finite transformation groups). Các công trình của Killing, sau này được tu chỉnh lại và tổng quát hóa bởi Elie Cartan, dẫn đến việc phân loại đại số Lie nửa đơn, lý thuyết của Cartan về các không gian đối xứng, và miêu tả của Hermann Weyl về biểu diễn của nhóm Lie compact và nửa đơn sử dụng highest weights.

Khái niệm về một nhóm Lie, và các khả năng phân loại

Các nhóm Lie có thể được xem như là họ của các phép đối xứng biến đổi một cách trơn tru. Ví dụ như là các phép quay xung quanh một trục cho trước. Điều cần phải được hiểu là bản chất của các phép biến đổi 'nhỏ' này, ở đây là các phép quay với các góc cực nhỏ, nối kết các phép biến đổi lân cận nhau. Cấu trúc toán học nắm bắt cấu trúc này được gọi là một đại số Lie (màLie gọi là "những nhóm cực nhỏ" ("infinitesimal groups"). Nó có thể được định nghĩa bởi vì các nhóm Lie là các đa tạp (manifold), và các không gian tiếp tuyến (tangent space)tại từng điểm cũng định nghĩa được.
Đại số Lie của bất kì một nhóm Lie compact nào (very roughly: one for which the symmetries form a bounded set) cũng có thể được phân tích ra được thành một tổng trực tiếp (direct sum) của một đại số Lie giao hoán và một số nhóm Lie đơn (simple Lie group) khác. Cấu trúc của một đại số Lie abelian là không có gì đáng nói; cái đáng để ý là tổng của các nhóm đơn. Do đó câu hỏi đặt ra là: Các đại số Lie đơn của một nhóm compact là gì? Câu trả lời là hầu hết nó thuộc về 4 gia đình vô hạn, các "đại số Lie cổ điển" Aₙ, Bₙ, Cₙ và Dₙ, và chúng có những mô tả khá đơn giản dưới dạng các phép đối xứng trong không gian Euclid. Nhưng cũng có chỉ 5 "đại số Lie ngoại lệ" không rơi vào bất kì các gia đình này. E₈ là gia đình lớn nhất trong các gia đình này.

Định nghĩa

Một nhóm Lie thực là một nhóm mà cũng là một đa tạp trơn (smooth manifold) hữu hạn chiều, mà trong đó các phép toán nhân và phép nghịch đảo là các biến đổi trơn.
Có một số khái niệm liên quan khá gần với khái niệm này. Một nhóm Lie phức được định nghĩa một cách tương tự sử dụng đa tạp phức hơn là các đa tạp thực (ví dụ: SL₂(C)), và tương tự người ta có thể định nghĩa được một  nhóm Lie p-adic trên các số p-adic. Một nhóm Lie vô hạn chiều được định nghĩa với một cách tương tự với việc cho phép đa tạp ẩn bên dưới định nghĩa được phép vô hạn chiều. Các nhóm ma trận hoặc là nhóm đại số nói một cách nôm na là các nhóm của các ma trận, (ví dụ, nhóm trực giao và nhóm symplectic) đưa ra các ví dụ thường gặp nhất của nhóm Lie.
Có thể định nghĩa tương tự nhiều nhóm Lie trên các trường hữu hạn, và những nhóm này đưa ra các ví dụ của các nhóm đơn hữu hạn. Người ta có thể thay đổi định nghĩa bằng cách sử dụng các đa tạp tô pô hay đa tạp giải tích (topological or analytic manifolds) thay vì các đa tạp trơn, nhưng hóa ra là các định nghĩa này không đưa ra thêm điều gì mới: Gleason, Montgomery và Zippin chứng minh trong những năm của thập kỉ 1950 rằng nếu  là một đa tạp topo với các phép toán trên nhóm liên tục, thì tồn tại chính xác một cấu trúc giải tích trên G để biến đổi nó thành một nhóm Lie (xem bài toán thứ năm của Hilbert và phỏng đoán Hilbert-Smith).
Ngôn ngữ của lý thuyết phạm trù cung cấp định nghĩa rõ ràng cho nhóm Lie: nhóm Lie là một đối tượng nhóm trong phạm trù các đa tạp trơn. Đây là tính chất quan trọng, do nó cho phép các nhà toán học tổng quát hóa khái niệm nhóm Lie thành siêu nhóm Lie.