Ma trận (toán học)

Ma trận vuông

Ma trận vuông là ma trận có số hàng và số cột bằng nhau. Ma trận nxn còn gọi là ma trận vuông bậc n. Bất kỳ hai ma trận vuông có cùng bậc đều thực hiện được phép cộng và nhân với nhau. 
Các phần tử aᵢᵢ tạo thành đường chéo chính của ma trận vuông. Chúng nằm trên một đoạn thẳng tưởng tượng bắt đầu từ góc trên bên trái xuống góc dưới bên phải của ma trận.

Ma trận tam giác

Nếu mọi phần tử của A ở bên dưới đường chéo chính bằng 0, thì A được gọi là ma trận tam giác trên. Tương tự, nếu mọi phần tử của A ở bên trên đường chéo chính bằng 0, thì A được gọi là ma trận tam giác dưới. Nếu mọi phần tử nằm bên ngoài đường chéo chính đều bằng 0, thì A được gọi là ma trận chéo.

Ma trận đối xứng hoặc đối xứng lệch

Ma trận vuông A bằng với ma trận chuyển vị của nó, tức là 
A = Aᵀ, là ma trận đối xứng. Nếu A là bằng với phần trừ của chuyển vị của nó, i.e., 
A = −Aᵀ, thì A được gọi là ma trận đối xứng lệch (skew-symmetric matrix). Đối với ma trận phức, ma trận đối xứng thường được thay bằng khái niệm ma trận Hermite, mà thỏa mãn A∗ = A, với dấu sao ký hiệu cho liên hợp của ma trận chuyển vị, tức là lấy chuyển vị của A sau đó lấy liên hợp phức các phần tử của ma trận chuyển vị.
Theo định lý phổ (spectral theorem), ma trận đối xứng phần tử thực và ma trận Hermite phần tử phức có một cơ sở riêng; nghĩa là mỗi vectơ có thể biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính của các vectơ riêng. Trong cả hai trường hợp, mọi trị riêng của ma trận đều có giá trị thực. Định lý này có thể tổng quát hóa cho trường hợp ma trận vô hạn chiều, xem bên dưới.

Khía cạnh đại số trừu tượng và tổng quát hóa

Các nhà toán học đã tổng quát hóa ma trận theo một số cách khác nhau. Đại số trừu tượng sử dụng ma trận với các phần tử là những dạng tổng quát hơn như là trường hay thậm chí là vành, trong khi đại số tuyến tính mã hóa các tính chất của ma trận thành khái niệm các ánh xạ tuyến tính. Có thể coi ma trận với vô số hàng và cột. Sự mở rộng khác đó là tenxơ, mà có thể coi như những mảng nhiều chiều chứa các phần tử số, khi nó khác với vectơ ở chỗ vectơ là dãy các số, thì ma trận là mảng hai chiều chứa các số. Ma trận với những tính chất đòi hỏi nhất định có xu hướng tạo thành nhóm gọi là nhóm ma trận.

Ma trận với các phần tử mở rộng

Bài này viết chủ yếu về ma trận mà các phần tử là số thực hoặc số phức.Tuy nhiên có thể coi ma trận với phần tử tổng quát hơn số thực hoặc số phức. Bước đầu tiên trong việc tổng quát hóa, bất kỳ trường toán học nào, tức là các tập hợp có thể thực hiện được phép cộng, phép trừ, phép nhân và phép chia được xác định, có thể được sử dụng thay cho  hoặc , như số hữu tỉ hoặc trường hữu hạn. Ví dụ, lý thuyết mã hóa sử dụng ma trận trên các trường hữu hạn. Khi xét tới trị riêng, mà chúng là những nghiệm của một đa thức mà chỉ có thể tồn tại trong một trường lớn hơn trường của các phần tử của ma trận; chẳng hạn chúng có thể là phức trong trường hợp ma trận với các phần tử thực. Khả năng để giải thích lại các phần tử của ma trận như là các phần tử của một trường lớn hơn (ví dụ để coi một ma trận thực như là một ma trận phức khi các phần tử của nó đều là thực) sẽ cho phép mỗi ma trận vuông có một tập đầy đủ các giá trị riêng của nó. Nói cách khác ta chỉ có thể coi ma trận với các phần tử thuộc một trường đóng đại số, như , từ một tập hợp ngoài.
Tổng quát hơn, ngành đại số trừu tượng sử dụng nhiều khái niệm ma trận với các phần tử thuộc một vành R. Vành là những khái niệm tổng quát hơn khái niệm trường mà trong nó không nhất thiết phải có phép chia. Phép cộng và phép nhân ma trận cũng được mở rộng ra cho tính chất này. Tập hợp M(n, R) của mọi ma trận vuông n x n trên R là một vành gọi là vành ma trận, đẳng cấu vào vành tự đồng cấu của R-mô đun Rⁿ bên trái. Nếu vành R là giao hoán, nghĩa là phép nhân của nó có tính giao hoán, thì M(n, R) là một đại số kết hợp (associative algebra) không giao hoán unita (trừ khi n = 1) trên R. Định thức của ma trận vuông trên một vành giao hoán R vẫn xác định nhờ sử dụng công thức Leibniz; ma trận là khả nghịch nếu và chỉ nếu định thức của nó là khả nghịch trong R, được tổng quát lên đối với trường F, nơi mà mọi phần tử khác 0 là khả nghịch. Ma trận trên một siêu vành (superring) được gọi là siêu ma trận (supermatrix).
Ma trận không phải lúc nào cũng có toàn bộ các phần tử của nó thuộc về cùng một vành – hay thậm chí trong vành bất kỳ nào đó. Một trường hợp đặc biệt nhưng hay gặp đó là ma trận khối (block matrix), mà có thể coi là ma trận với phần tử chính là những ma trận. Những phần tử này không cần thiết phải là ma trận toàn phương, và do vậy không cần phải là thành viên của một vành thông thường bất kỳ; nhưng kích thước của chúng phải thỏa mãn một số điều kiện nhất định.

Ma trận rỗng

Ma trận rỗng được định nghĩa là ma trận với số hàng hoặc số cột (hoặc cả hai) bằng 0. Khái niệm ma trận rỗng giúp giải quyết với những ánh xạ có sự tham gia của không gian vectơ không (zero vector space). Ví dụ, nếu A là ma trận 3 x 0 và B là ma trận 0 x 3, thì AB là ma trận không 3 x 3 tương ứng với ánh xạ rỗng từ không gian 3 chiều V vào chính nó, trong khi BA là ma trận 0 x 0. Không có ký hiệu chung cho ma trận rỗng, nhưng hầu hết các hệ thống đại số máy tính cho phép tạo ra và thực hiện tính toán với chúng. Định thức của ma trận 0 x 0 định nghĩa bằng 1 khi xét tới tích rỗng (empty product) xuất hiện trong công thức Leibniz cho định thức bằng 1. Giá trị này cũng tương thích với thực tế rằng ánh xạ đồng nhất từ không gian hữu hạn chiều nào vào chính nó đều có định thức bằng 1, một kết quả thường được coi là một phần của đặc trưng hóa của định thức.

Lý thuyết đồ thị

Ma trận kề của một đồ thị hữu hạn là khái niệm cơ bản trong lý thuyết đồ thị. Nó biểu diễn hai đỉnh bất kỳ trong đồ thị có được nối với nhau bằng cạnh của đồ thị hay không. Ma trận chỉ chứa hai giá trị (1 và 0 có nghĩa lần lượt "có" và "không") được gọi là ma trận lôgic. Ma trận khoảng cách chứa thông tin về khoảng cách giữa các cạnh. Những khái niệm này được áp dụng cho các website kết nối bởi siêu liên kết hoặc các thành phố kết nối bằng những con đường vv, mà trong hầu hết các trường hợp (ngoại trừ mạng lưới liên kết rất dày đặc) ma trận thường là thưa, nghĩa là nó chỉ chứa vài phần tử khác 0. Do vậy, các thuật toán ma trận sửa đổi có thể áp dụng cho lý thuyết mạng.

Đối xứng và các biến đổi trong vật lý học

Các biến đổi tuyến tính và những đối xứng đi kèm đóng vai trò quan trọng trong vật lý hiện đại. Ví dụ, các hạt cơ bản trong lý thuyết trường lượng tử được phân loại nhờ những biểu diễn của nhóm Lorentz trong thuyết tương đối hẹp và, cụ thể hơn, bởi ứng xử của chúng dưới nhóm spin. Những biểu diễn tường minh bao gồm ma trận Pauli và ma trận gamma tổng quát hơn là phần tích phân của miêu tả vật lý đối với fermion, mà hoạt động như là spinor. Đối với ba loại quark nhẹ nhất, có thể biểu diễn chúng bằng nhóm unita đặc biệt SU(3); và các nhà vật lý sử dụng ma trận biểu diễn thuận tiện gọi là ma trận Gell-Mann khi tính toán liên quan, ma trận này cũng được sử dụng cho nhóm chuẩn SU(3) mà nó trở thành cơ sở cho lý thuyết miêu tả về tương tác mạnh, sắc động lực học lượng tử. Ma trận Cabibbo–Kobayashi–Maskawa, biểu diễn trạng thái cơ bản các quark khi tham gia vào tương tác yếu, nó không giống như ma trận Gell-Mann, nhưng có liên hệ tuyến tính với trạng thái cơ bản các quark xác định lên hạt tổ hợp với tính chất và khối lượng cụ thể.

Tổ hợp tuyến tính của các trạng thái lượng tử

Mô hình đầu tiên về cơ học lượng tử (Heisenberg, 1925) biểu diễn các toán tử của lý thuyết bằng các ma trận vô hạn chiều tác dụng lên các trạng thái lượng tử. Lý thuyết này còn được gọi là cơ học ma trận. Một ví dụ cụ thể đó là ma trận mật độ đặc trưng cho trạng thái "trộn" của một hệ lượng tử như là tổ hợp tuyến tính của các trạng thái riêng thuần tuý và cơ bản.
Ví dụ khác về ma trận trở thành công cụ quan trọng cho miêu tả các thí nghiệm tán xạ là hoạt động trung tâm của vật lý hạt thực nghiệm: Những phản ứng va chạm xảy ra trong các máy gia tốc, nơi các hạt được cho va chạm đối đầu vào nhau trong một miền va chạm nhỏ, với kết quả sau va chạm sinh ra những hạt mới, có thể được miêu tả bằng tích vô hướng của trạng thái những hạt hình thành với tổ hợp tuyến tính của các hạt tham gia vào va chạm. Tổ hợp tuyến tính này cho bởi ma trận gọi là ma trận S, nó chứa mọi thông tin về các tương tác khả dĩ giữa những hạt tham gia vào va chạm.

Dao động riêng

Ứng dụng phổ biến của ma trận trong vật lý học là dùng để miêu tả hệ dao động điều hòa tuyến tính. Phương trình chuyển động của những hệ này có thể miêu tả theo dạng ma trận, với ma trận khối lượng nhân với một vectơ tọa độ sẽ cho số hạng động học, ma trận lực nhân với vectơ chuyển dời vị trí sẽ cho đặc trưng của tương tác. Cách tốt nhất để thu được nghiệm của hệ phương trình đó là xác định các vectơ riêng của hệ, hay các dao động riêng, bằng cách chéo hóa phương trình ma trận. Các kỹ thuật như thế này là quan trọng khi nghiên nghiên cứu nội động lực phân tử: các dao động bên trong của hệ chứa các nguyên tử thành phần liên kết với nhau. Chúng cũng cần thiết để miêu tả dao động cơ học, dao động trong mạch điện.

Quang hình học

Quang hình học sử dụng các ứng dụng của ma trận nhiều hơn. Trong lý thuyết xấp xỉ này, bản chất sóng của ánh sáng được bỏ qua. Mô hình kết quả trong đó tia sáng trở thành tia hình học. Nếu sự lệch của tia sáng bởi các quang cụ là nhỏ, tác dụng của một thấu kính hoặc dụng cụ phản xạ lên một tia sáng có thể được biểu diễn bằng tích của một vectơ hai thành phần với ma trận 2x2 gọi là ma trận chuyển tiếp tia (ray transfer matrix): các thành phần của vec tơ là độ dốc của tia sáng và khoảng cách của nó tới quang trục, trong khi ma trận mã hóa các tính chất của quang cụ. Thực sự có hai kiểu ma trận, trong đó ma trận khúc xạ miêu tả sự khúc xạ tại bề mặt thấu kính, và ma trận tịnh tiến miêu tả sự tịnh tiến của mặt phẳng tham chiếu tới mặt phẳng khúc xạ kề cận, nơi một ma trận khúc xạ khác được áp dụng.
Quang hệ, bao gồm tổ hợp các thấu kính và các dụng cụ phản xạ, được miêu tả đơn giản bằng ma trận từ tích các ma trận thành phần.

Điện tử học

Phương pháp phân tích dòng điện vòng (mesh analysis) truyền thống trong điện tử học dẫn tới việc tìm nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính mà có thể miêu tả bằng ma trận.
Hoạt động của nhiều linh kiện điện tử được miêu tả bằng ma trận. Nếu A là một vec tơ 2 chiều với các thành phần của nó là điện áp vào v₁ và dòng vào i₁, gọi B là một vec tơ 2 chiều với các thành phần của nó là điện áp ra v₂ và dòng ra i₂. Thì hoạt động của linh kiện điện tử được miêu tả bằng phương trình B = H • A, với H là ma trận 2 x 2 chứa một phần tử trở kháng (h₁₂), và một phần tử độ dẫn (admitance) (h₂₁) và hai đại lượng không thứ nguyên (h₁₁ và h₂₂). Việc tính toán mạch điện thu về việc nhân các ma trận.