Pi

Tên gọi

Ký hiệu được các nhà toán học sử dụng để biểu diễn tỉ số giữa chu vi của một đường tròn và đường kính của nó là chữ cái Hy Lạp π. Chữ cái này được biểu diễn bằng từ Latin pi. Không được nhầm lẫn ký tự in thường π (hoặc dưới dạng chữ không có nét chân chữ π) với ký tự in hoa Π (Π trong toán học dùng để biểu diễn một tích dãy số hay dãy hàm).
Nhà toán học đầu tiên dùng π với định nghĩa như trên là William Jones, trong cuốn "Synopsis Palmariorum Matheseos" (tạm dịch, Nhập môn Toán học mới) năm 1706. Cụ thể, ký tự π lần đầu tiên xuất hiện trong cụm từ "1/2 Periphery (π)" trong đoạn bàn về một đường tròn với bán kính bằng 1. Có thể ông đã chọn π bởi vì nó là chữ cái đầu tiên trong cách ký âm tiếng Hy lạp περιφέρεια của từ periphery (nghĩa là viền ngoài, cũng tức là chu vi). Jones viết rằng các phương trình của π được lấy từ "bản viết có sẵn của John Machin thiên tài", dẫn đến phỏng đoán rằng Machin có lẽ đã sử dụng ký tự Hy Lạp này trước Jones, tuy nhiên không có bằng chứng trực tiếp về điều này. Ngoài ra, ký tự π đã xuất hiện trước đó trong các ký hiệu hình học; chẳng hạn, vào năm 1631 William Oughtred đã dùng nó để biểu diễn nửa chu vi của hình tròn.
Sau khi Jones giới thiệu ký hiệu này năm 1706, nó đã không được các nhà toán học khác chấp nhận; thay vào đó họ thường dùng chữ cái c hoặc p. Điều này thay đổi khi Euler bắt đầu dùng nó năm 1736. Vì Euler thường xuyên trao đổi thư từ với những nhà toán học khác trên toàn châu Âu, việc sử dụng ký tự Hy Lạp này lan rộng nhanh chóng. Năm 1748, Euler sử dụng π trong cuốn sách rất phổ biến của ông, Introductio in analysin infinitorum (Dẫn nhập Giải tích vô hạn), trong đó ông viết: "để cho ngắn gọn chúng ta sẽ viết số này là π; nghĩa là, π bằng một nửa chu vi của đường tròn bán kính bằng 1". Cách ký hiệu này kể từ đó được chấp nhận rộng rãi ở phương Tây.

Tính chất

π là một số vô tỉ, có nghĩa là nó không thể được biểu diễn dưới dạng tỉ số của hai số nguyên, như 22/7 hay các phân số khác thường được dùng để xấp xỉ π. Vì π là số vô tỉ, biểu diễn thập phân của nó có số chữ số vô hạn, và nó không kết thúc ở dạng lặp lại vô hạn (vô hạn tuần hoàn) các chữ số. Có nhiều cách để chứng minh π là số vô tỉ; phương pháp thường dùng là sử dụng phép vi tích phân và phương pháp chứng minh bằng phản chứng. Mức độ xấp xỉ hóa π bằng số hữu tỉ (gọi là độ vô tỉ, hay hằng số Liouville-Roth) vẫn chưa được xác định chính xác; người ta ước lượng rằng độ vô tỉ của π lớn hơn e hoặc ln(2), nhưng nhỏ hơn số Liouville.
π là một số siêu việt, tức là nó không phải là nghiệm của bất cứ phương trình đại số với hệ số hữu tỉ nào, như . Tính chất siêu việt của π có hai hệ quả quan trọng: thứ nhất, π không thể được biểu diễn bằng tổ hợp các số hữu tỉ và căn bậc n như  hay . Thứ hai, vì không có số siêu việt nào có thể được xác định bằng phép dựng hình bằng thước kẻ và compa, nên không thể giải bài toán "cầu phương hình tròn". Nói cách khác, nếu chỉ sử dụng compa và thước kẻ thì không thể xây dựng một hình vuông mà diện tích của nó bằng diện tích của một hình tròn cho trước. Cầu phương hình tròn là một trong những bài toán hình học quan trọng trong thời cổ đại. Một số nhà toán học nghiệp dư thời hiện đại có lúc tuyên bố họ thành công dù điều này là không thể.
Các chữ số của π không có một quy luật rõ ràng nào và vượt qua những kiểm thử về tính ngẫu nhiên thống kê, trong đó có kiểm thử tính chuẩn tắc; một số vô hạn được gọi là 'chuẩn tắc' khi mọi dãy số khả dĩ (với độ dài bất kì) có tần suất xuất hiện là như nhau. Người ta vẫn chưa thể khẳng định hoặc bác bỏ giả thuyết rằng π là 'chuẩn tắc'. Kể từ khi máy vi tính ra đời, người ta đã tính được số π với số lượng chữ số lớn, đủ để thực hiện các phân tích thống kê. Yasumasa Kanada đã thực hiện các phân tích thống kê chi tiết về các chữ số thập phân của π, và thấy rằng chúng phù hợp với tính chuẩn tắc; chẳng hạn, tần suất xuất hiện các chữ số từ 0 tới 9 được sử dụng để kiểm tra ý nghĩa thống kê, và không tìm thấy bằng chứng về một hình mẫu nào. Bất chấp việc các chữ số của π đã vượt qua các bài kiểm tra về tính ngẫu nhiên, π dường như vẫn chứa những dãy số có vẻ có quy luật đối với những người không phải nhà toán học, như điểm Feynman, là một dãy sáu chữ số 9 liên tiếp bắt đầu từ vị trí thứ 762 trong biểu diễn thập phân của π.

Thời Cổ đại

Kim tự tháp Kheops ở Giza (xây dựng vào khoảng thời gian 2589-2566 tr.CN) được thiết kế với chu vi khoảng 1760 cubit (1 cubit bằng khoảng 0,5 mét) và chiều cao khoảng 280 cubit. Dựa vào tỉ lệ 1760/280 ≈ 6.2857, xấp xỉ bằng 2π ≈ 6.2832, một số nhà Ai Cập học kết luận rằng những nhà xây dựng kim tự tháp đã biết đến số π và chủ ý thiết kế kim tự tháp theo tỉ lệ đường tròn. Tuy nhiên nhiều người không đồng tình với ý kiến này và khẳng định mối quan hệ với số π đơn thuần là một sự trùng hợp, bởi không có bằng chứng cho thấy những người xây dựng kim tự tháp đã biết đến số π, và kích thước của kim tự tháp còn dựa trên nhiều yếu tố khác.
Những ước lượng sớm nhất về π được tìm thấy ở Ai Cập và Babylon có niên đại từ thiên niên kỉ thứ 2 trước Công nguyên, với sai số tương đối cùng vào cỡ một phần trăm. Ở Babylon, một tấm đất sét có niên đại khoảng 1900-1600 tr.CN đã ghi lại một phát biểu hình học, trong đó ám chỉ ước lượng số π bằng 25/8 = 3,1250. Ở Ai Cập, cuộn giấy Rhind, có niên đại khoảng 1650 tr.CN, bản sao của một văn bản có từ khoảng 1850 tr.CN, có ghi một công thức tính diện tích hình tròn, trong đó gán cho giá trị của π bằng (16/9)² ≈ 3,1605.
Ở Ấn Độ vào khoảng 600 năm trước Công nguyên, bộ Kinh Shulba (viết bằng tiếng Phạn với nhiều nội dung toán học) đã cho số π bằng (9785/5568)² ≈ 3,088. Vào năm 150 tr.CN hoặc sớm hơn, có tài liệu của Ấn Độ đánh giá π bằng  ≈ 3,1622.
Hai bài thơ trong Kinh thánh Hebrew (được viết giữa thế kỷ VIII và thế kỷ III tr.CN) mô tả một hồ nước dùng trong nghi lễ tại Đền Solomon có đường kính 10 cubit và chu vi 30 cubit, bài thơ ngụ ý rằng π bằng 3 nếu hồ có hình tròn. Học giả người Do Thái Rabbi Nehemiah giải thích sự sai khác nằm ở độ dày của hồ. Công trình về hình học của ông, Mishnat ha-Middot, viết vào khoảng năm 150 CN và coi π bằng 21/7.

Thời kì của phép xấp xỉ đa giác

Thuật toán chặt chẽ đầu tiên được ghi chép để tính giá trị của π là một cách tiếp cận hình học sử dụng đa giác, được phát minh vào khoảng năm 250 tr. CN bởi nhà toán học người Hy Lạp Archimedes. Thuật toán đa giác của Archimedes thống trị suốt hơn 1000 năm, khiến cho π đôi khi được gọi là "hằng số Archimedes". Archimedes đã tính toán các giới hạn trên và dưới của π bằng cách vẽ hai đa giác đều có cùng số cạnh, một nội tiếp và một ngoại tiếp với cùng một hình tròn, sau đó từ từ tăng số cạnh lên gấp đôi cho đến khi đạt đến đa giác đều 96 cạnh. Bằng cách tính chu vi của các đa giác này, ông chứng minh rằng 223/71 < π < 22/7 (3,1408 < π < 3,1429). Có thể chính cận trên 22/7 của phép tính đã dẫn đến việc nhiều người cho rằng π bằng 22/7. Khoảng năm 150 CN, nhà khoa học Hy Lạp-La Mã Ptolemaeus, trong bộ Almagest của mình, đã đưa ra giá trị π bằng 3,1416, có lẽ là lấy lại kết quả tính toán của Archimedes hoặc của Apollonius xứ Pergaeus. Các nhà toán học, bằng cách sử dụng thuật toán đa giác, đã tính được tới chữ số thứ 39 của π vào năm 1630, một kỉ lục mà đến năm 1699 mới được phá vỡ khi chữ số thứ 71 được tính ra bằng phương pháp chuỗi vô hạn.
Ở Trung Hoa cổ đại, các giá trị của π bao gồm 3,1547 (khoảng năm thứ nhất của Công Nguyên),  (100 của Công Nguyên, xấp xỉ 3,1623) và 142/45 (thế kỷ thứ III, xấp xỉ 3,1556). Vào khoảng năm 265, nhà toán học triều Tào Ngụy tên là Lưu Huy đã phát minh ra thuật toán lặp dựa trên đa giác (thuật toán π Lưu Huy) và sử dụng nó với một đa giác 3072 cạnh để thu được giá trị của π bằng 3,1416. Cũng chính Lưu Huy sau đó đã phát triển một phương pháp nhanh hơn để tính π và thu được giá trị 3,14 với một đa giác 96 cạnh, bằng cách lợi dụng tính chất là hiệu diện tích các đa giác liên tiếp tạo nên một dãy cấp số nhân với hệ số 4. Vào khoảng năm 480, một nhà toán học Trung Quốc khác là Tổ Xung Chi đã tính toán ra π ≈ 355/113, sử dụng thuật toán Lưu Huy cho đa giác 12.288 cạnh. Với giá trị chính xác ở bảy chữ số thập phân đầu tiên, giá trị 3,141592920... là giá trị gần đúng chính xác nhất của π mà con người tính được trong suốt hơn 800 năm sau đó.
Trong khi đó, nhà thiên văn người Ấn Độ Aryabhata sử dụng giá trị 3,1416 trong sách Āryabhaṭīya của ông (499 của Công Nguyên). Fibonacci vào khoảng năm 1220 đã tính ra giá trị 3,1418 bằng một phương pháp đa giác khác với phương pháp của Archimedes. Văn hào người Ý Dante dường như đã sử dụng giá trị của π là  ≈ 3,14142.
Nhà thiên văn Ba Tư Jamshīd al-Kāshī đã tìm ra 16 chữ số vào năm 1424 bằng cách sử dụng đa giác có 3×2²⁸ cạnh, xác lập một kỉ lục thế giới mới tồn tại được khoảng 180 năm. Nhà toán học Pháp François Viète vào năm 1579 tính được 9 chữ số bằng một đa giác 3×2¹⁷ cạnh. Nhà toán học xứ Vlaanderen Adriaan van Roomen đạt tới chữ số 15 vào năm 1593. Năm 1596, nhà toán học người Hà Lan Ludolph van Ceulen đạt tới 20 chữ số, một kỉ lục được chính ông về sau nới rộng lên thành 35 chữ số (kết quả số π được gọi là "số Ludolph" trong tiếng Đức cho tới tận đầu thế kỷ XX). Khoa học gia người Hà Lan Willebrord Snellius đạt tới 34 chữ số vào năm 1621 và nhà thiên văn học người Áo Christoph Grienberger đạt tới 39 chữ số vào năm 1630, đến nay vẫn là kết quả chính xác nhất được tính thủ công bằng thuật toán sử dụng đa giác.

Động lực tính toán số π

Đối với hầu hết các tính toán số liên quan tới π, một ít chữ số thôi đã cung cấp độ chính xác cần thiết. Chẳng hạn, theo Jörg Arndt và Christoph Haenel, 39 chữ số là đủ để thực hiện các tính toán vũ trụ học, bởi đây là độ chính xác cần thiết để tính thể tích vũ trụ hiện biết với độ chính xác cỡ một nguyên tử. Bất chấp điều này, nhiều người đã làm việc rất vất vả để tính toán π tới hàng nghìn, hàng triệu và nhiều hơn thế các chữ số. Nỗ lực này một phần có thể quy cho sự thúc ép con người phá vỡ các kỉ lục, và những thành tích như thế với π thường xuất hiện trên trang nhất báo chí trên khắp thế giới. Chúng cũng có những lợi ích thực tiễn, như là kiểm tra các siêu máy tính, kiểm tra các thuật toán giải tích số (bao gồm các thuật toán nhân chính xác cao); và trong địa hạt toán học thuần túy, chúng cung cấp dữ liệu để đánh giá tính ngẫu nhiên các chữ số của π.

Ghi nhớ các chữ số

Nhiều người đã cố gắng nhớ càng nhiều càng tốt các chữ số của π, một sự luyện tập được gọi là piphilology (kết hợp từ pi và philology tức ngữ văn học). Một kĩ thuật phổ biến là ghi nhớ một câu chuyện hay một bài thơ, trong đó độ dài các từ ứng với số các chữ số: từ thứ nhất có 3 chữ cái, từ thứ hai có 1, từ thứ ba có 4, thứ tư có 1, thứ năm có 4, và tiếp tục như vậy. Một trong những ví dụ sớm nhất về biện pháp hỗ trợ ghi nhớ này được đề xuất bởi nhà khoa học Anh James Hopwood Jeans: "How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics". Một bài thơ (tiếng Anh: poem) dùng cho việc ghi nhớ này đôi khi được gọi là một piem. Ngoài tiếng Anh, các bài thơ để ghi nhớ π cũng được sáng tác trong một số ngôn ngữ khác; như trong tiếng Việt, soạn giả Vô Biên trên diễn đàn khoahocnet từng giới thiệu bài "Pi trường Tân thanh" (lẩy Kiều để ghi nhớ 50 chữ số đầu tiên, với quy luật có sửa đổi một chút do đặc thù tiếng Việt.
Kỉ lục về ghi nhớ các chữ số của π, được xác nhận bởi Sách Kỷ lục Guinness, là 67 890 chữ số, được Lữ Siêu, một người Trung Quốc đọc thuộc lòng trong 24 giờ và 4 phút vào ngày 20 tháng 11 năm 2005. Năm 2006, một kĩ sư Nhật về hưu tên là Haraguchi Akira tuyên bố là đã đọc thuộc lòng 100 000 chữ số, nhưng tuyên bố này không được sách Kỷ lục Guinness kiểm chứng. Những người lập nên kỉ lục về ghi nhớ các chữ số của π thường không dựa vào các bài thơ, mà sử dụng các phương pháp khác, như nhớ các khuôn dạng số hay phương pháp loci (ghi nhớ bằng cách liên hệ số với vị trí).
Một vài tác giả sử dụng các chữ số của π để thiết lập nên một dạng hạn từ mới, trong đó độ dài từ yêu cầu phải biểu diễn các chữ số của π, trong tiếng Anh gọi là pilish. Truyện thơ ngắn Cadaeic Cadenza chứa 3835 chữ số đầu tiên của π theo cách này, và toàn bộ cuốn sách Not a Wake chứa 10 000 từ, mỗi từ biểu diễn một chữ số của π.

Trong văn hóa đại chúng

Có lẽ do π có định nghĩa đơn giản mà lại hiện diện ở khắp các lĩnh vực, nó được thể hiện trong văn hóa đại chúng nhiều hơn bất kì khái niệm toán học nào khác. Tại bảo tàng Palais de la Découverte ở Paris có một căn phòng hình tròn được gọi là "phòng pi" trên tường thể hiện 707 chữ cái của π, dưới dạng những ký tự làm bằng gỗ gắn vào trần vòm. Các chữ số này dựa trên tính toán năm 1853 của William Shanks có chứa một lỗi sai bắt đầu từ chữ số thứ 528. Lỗi này được phát hiện năm 1946 và được sửa lại vào năm 1949
Nhiều trường học ở nước Mỹ cử hành kỉ niệm Ngày số pi vào 14 tháng 3 (trong ngôn ngữ Anh-Mỹ, ngày này viết là 3/14). Ngày 9 tháng 3 năm 2009, Hạ viện Hoa Kỳ đã chính thức chọn ngày 14 tháng 3 hàng năm là ngày số Pi nhằm khuyến khích học sinh, giáo viên nghiên cứu toán học. π và chuỗi chữ số của nó thường được những người tự xem mình là "lập dị" sử dụng trong những trò đùa của nhóm những người ưa thích toán học và công nghệ. Một vài lời cổ vũ (trong thi đấu thể thao, văn nghệ...) của Học viện Công nghệ Massachusetts (MIT) cũng xuất hiện số "3,14159". Trong vụ bán đấu giá các tài liệu về bằng phát minh công nghệ có giá trị của tập đoàn Nortel năm 2010, Google đã liên tục đặt giá một cách khác thường dựa trên các hằng số toán học và khoa học, bao gồm π.
Những người ủng hộ một hằng số toán học mới là tau (τ), bằng 2 lần π, lập luận rằng một hằng số dựa trên tỉ số giữa chu vi đường tròn với bán kính của nó thay vì với đường kính sẽ có tính tự nhiên hơn và sẽ đơn giản hóa nhiều công thức. Trong khi những đề xuất của họ, như việc tổ chức kỉ niệm ngày 28 tháng 6 như "Ngày Tau" được tường thuật trên truyền thông, họ không được các sách vở khoa học phản ánh.
Trong tiểu thuyết "Contact", Carl Sagan đề xuất rằng Đấng Sáng tạo ra vũ trụ đã chôn giấu một thông điệp ẩn sâu trong các chữ số của π. Các chữ số của π cũng được đưa vào lời ca của bài hát "Pi" trong album Aerial của Kate Bush. Pi cũng được dùng để đặt tên cho một bài hát trong album "Horses and Grasses" phát hành năm 2005 của ban nhạc Mỹ Hard 'n Phirm.
Năm 1897, nhà toán học nghiệp dư Edwin J. Goodwin đã nỗ lực thuyết phục cơ quan lập pháp bang Indiana (Hoa Kỳ) thông qua Dự luật Indiana Pi, trong đó mô tả một phương pháp cầu phương hình tròn, và chứa những nội dung giả thiết những giá trị sai của π như 3,2. Dự luật này nổi danh như một nỗ lực thiết lập một chân lý khoa học bằng sắc lệnh lập pháp. Dự thảo đã được Hạ nghị viện Indiana thông qua, nhưng bị Thượng nghị viện bác bỏ.
Trong tập Midnight thuộc sêri Doctor Who, vị Tiến sĩ chạm trán với Thực thể Nửa đêm (Midnight Entity), kẻ nhập xác một số nhân vật. Nhân vật Sky Silvestry khi bị nhập xác đã bắt chước kiểu nói của Tiến sĩ bằng cách lặp lại khớp nhau số π tới 30 chữ số thập phân. Điều này đòi hỏi các diễn viên David Tennant và Leslie Sharp học chuỗi số để có thể nhắc lại nó.
Tiểu thuyết của Yann Martel xuất bản năm 2001, được dựng thành phim năm 2012 (Lý An đạo diễn) nói về nhân vật chính tên Pi có thể nhớ được rất nhiều chữ số thập phân của Pi.
Trong Thuyền trưởng Đơn Vị, một tác phẩm của nhà văn Liên Xô Vladimir Lyovshin, Pi là một nhân vật cùng đi với Số Không, thuyền trưởng Đơn Vị và Hoa Tiêu trong cuộc hải trình.