Định lý bất biến của miền xác định

Định lý bất biến miền (Invariance of domain) còn có tên gọi là Định lý Brouwer về tính bất biến của miền (domain), được chứng minh bởi nhà toán học Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966) vào năm 1912. Định lý này được phát biểu cho không gian  với tôpô Euclid (hiện nay đã có phát biểu cho các không gian khác). Từ "miền" (domain) (với nghĩa hiện nay không phổ biến) chỉ tập mở.

Chứng minh

Chứng minh dưới đây là chứng minh phổ biến của hiện nay, tuy vậy đây không phải mà chứng minh của Brouwer. Mọi chứng minh cho đến hiện tại của định lý này ít nhiều đều phải nhờ đến các kết quả của tôpô đại số.
Cho  là tập mở. Với mỗi , có một quả cầu đóng  tâm  sao cho , có biên là  và phần trong là . Ta sẽ chứng minh rằng  mở trong , suy ra  mở trong .
Tuy vậy, do có một sự “gần giống nhau” giữa  và , cùng với việc nhiều kết quả đã đạt được đối với mặt cầu , nên người ta thay việc chứng minh đối với  thành việc chứng minh đối với . Các mệnh đề về compắc hóa dưới đây cho thấy sự “gần giống nhau” đó. Chứng minh các mệnh đề này có thể xem trong [1].
Mệnh đề. Compắc hóa Alexandroff của một không gian Hausdorff compắc địa phương thì Hausdorff.
Do đó các compắc hóa Alexandroff của  và  đều Hausdorff.
Mệnh đề. Nếu  đồng phôi với  thì compắc hóa một-điểm Hausdorff (Hausdorff one-point compactification) của  đồng phôi với compắc hóa một-điểm Hausdorff của .
 Do đó vì , nên với  và  lần lượt là các compắc hóa một-điểm Hausdorff của  và , ta có .
 Với  là ánh xạ chứa trong. Ta lưu ý rằng cách xây dựng compắc hóa Alexandroff  của  cho thấy mọi tập mở trong  vẫn mở trong , tức  là ánh xạ mở. Nên với ,  mở trong    mở trong    mở trong .
 Ta thấy  là một đơn ánh, nên nếu với mọi  là đơn ánh liên tục, ta chứng minh được  mở trong  thì định lý bất biến miền được chứng minh.
Định lý. Cho  là một tập mở trong  và  là đơn ánh liên tục. Khi đó  cũng mở trong .
Chứng minh. Với mỗi , có một quả cầu đóng  tâm  sao cho , có biên là  và phần trong là . Ta sẽ chứng minh  mở trong . Chứng minh này cần kết quả quan trọng sau (chứng minh mệnh đề sau đây khá dài, ta có thể xem trong [2]).
Mệnh đề. Cho  là một ánh xạ liên tục sao cho . Khi đó . (Tổng quát của mệnh đề này là, cho  là một ánh xạ liên tục sao cho , khi đó , , với  là nhóm đồng điều rút gọn (reduced simplicial homology group) thứ  của . Định lý này có tên là định lý phân chia Jordan - Brouwer, xem trong [2] hoặc [3]).
Áp dụng cho . Do  là đơn ánh liên tục,  compắc và  Hausdorff nên  là một đồng phôi từ  sang , ta có . Suy ra theo mệnh đề trên, ta có . Ta có  là liên thông đường, bên cạnh đó  cũng liên thông đường do  liên thông đường. Vậy nên  chia  thành 2 thành phần liên thông đường rời nhau  và . Do  là compắc nên  cũng compắc, suy ra  đóng trong  (do  Hausdorff). Suy ra
mở trong . Do đó hai thành phần liên thông đường  và  cũng là hai thành phần liên thông của . Vậy nên chúng đều mở trong , nói riêng  mở trong , do đó  mở trong S^{n}. Ta có đpcm.

Hệ quả

Chứng minh. Giả sử có đồng phôi  và . Khi đó với mọi tập mở  ta có  mở trong . Do , xét ánh xạ chứa trong , ta thấy các phần tử của  sẽ được viết dưới dạng . Mặt khác do  là một đơn ánh liên tục nên , theo định lý bất biến miền, phải mở trong , điều này là không thể bởi  không có lân cận mở nào trong  chứa trong . Vậy .
Làm ngược lại với , ta có . Vậy  và  phải bằng nhau.
Định lý này có thể chứng minh ngắn gọn bằng cách dùng kết quả về các nhóm đồng điều .
Ý nghĩa trực quan. Định lý này cho thấy nếu xem phép đồng phôi, một cách trực quan, là phép co bóp kéo giãn mà không cắt hay dán, thì ta không thể kéo hay co bóp một "đường thẳng" , mặt phẳng  hay cả không gian  thành hai thứ còn lại.