Mặt phẳng (toán học)

Hình học Euclide

Euclid đặt ra bước ngoặt quan trọng đầu tiên trong tư duy toán học, phương pháp tiên đề của hình học. Ông chọn lấy hữu hạn các thuật ngữ không thể định nghĩa (các khái niệm chung) và các định đề (hoặc các tiên đề) cơ bản mà ông đã sử dụng để chứng minh các mệnh đề hình học khác nhau. Mặc dù mặt phẳng theo ý nghĩa hiện đại không trực tiếp đưa ra một định nghĩa nào trong cuốn Cơ sở, nhưng nó có thể được coi là một phần của các khái niệm chung. Trong công trình của mình Euclid chưa bao giờ sử dụng các con số để đo chiều dài, góc, hay là diện tích. Do đó, mặt phẳng Euclide không hoàn toàn giống mặt phẳng Descartes.

Mặt phẳng trong không gian Euclide 3 chiều

Phần này chỉ quan tâm đến những mặt phẳng không gian ba chiều: đặc biệt là trong R³.

Biễu diễn một mặt phẳng qua ba điểm

Đặt p₁=(x₁, y₁, z₁), p₂=(x₂, y₂, z₂), và p₃=(x₃, y₃, z₃) là những điểm không thẳng hàng.

Mặt phẳng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học

Bên cạnh cấu trúc hình học quen thuộc, với các phép đẳng cấu có các đẳng cự cùng với tích trong thông thường, mặt phẳng có thể được xem ở các cấp độ trừu tượng khác nhau. Mỗi cấp độ trừu tượng tương ứng với một thể loại cụ thể.
Ở một thái cực, tất cả các khái niệm hình học và chuẩn đo hệ mét có thể bị bỏ khỏi mặt phẳng topo, mà có thể được coi như một tấm cao su vô hạn đồng luân tầm thường được lý tưởng hóa, song vẫn duy trì một khái niệm về khoảng cách, nhưng không tồn tại khoảng cách. Mặt phẳng topo có một khái niệm về đường thẳng tuyến tính, nhưng không có khái niệm về một đường thẳng. Mặt phẳng topo, hoặc sự tương đương với hình tròn mở của nó, là miền lân cận topo căn bản được sử dụng để xây dựng các bề mặt (hoặc các đa tạp 2 chiều) được xếp vào loại topo ít chiều. Các phép đẳng cấu của mặt phẳng topo đều là song ánh liên tục. Mặt phẳng topo chính là ngữ cảnh tự nhiên cho các nhánh của lý thuyết đồ thị mà giải quyết các đồ thị phẳng, và có các kết quả chẳng hạn như định lý bốn màu.
Mặt phẳng cũng có thể được xem như là không gian affine, mà phép đẳng cấu của nó là sự kết hợp của các phép tịnh tiến và bản đồ tuyến tính không suy biến. Từ quan điểm này suy ra không tồn tại khoảng cách, nhưng tính cộng tuyến và tỷ lệ khoảng cách trên bất kỳ đường thẳng nào đều được bảo toàn.
Hình học vi phân coi một mặt phẳng như một đa tạp thực 2 chiều, là một mặt phẳng topo được cung cấp kèm một cấu trúc vi phân. Một lần nữa trong trường hợp này, không có khái niệm về khoảng cách, nhưng hiện có một khái niệm về tính trơn của xạ ảnh, ví dụ như một đường thẳng khả vi hoặc trơn nhẵn (phụ thuộc vào loại cấu trúc vi phân được áp dụng). Các phép đẳng cấu trong trường hợp này là là song ánh với mức độ được chọn theo sự khả vi.
Theo hướng đối diện của sự trừu tượng, chúng ta có thể áp dụng một cấu trúc trường tương thích với mặt phẳng hình học, tạo ra những mặt phẳng phức và các lĩnh vực chính của giải tích phức. Các trường phức chỉ có hai phép đẳng cấu mà ly khai đường thẳng thực cố định, phép đồng nhất và phép liên hợp.
Theo cùng cách như trong các trường hợp thực tế, mặt phẳng cũng có thể được xem như là đa tạp phức đơn giản nhất, một chiều (trên trường số phức), đôi khi gọi là đường phức. Tuy nhiên, quan điểm này đối lập với trường hợp mặt phẳng như một đa tạp thực 2 chiều. Các phép đẳng cấu đều là song ánh bảo giác của mặt phẳng phức, nhưng khả năng chỉ là các xạ ảnh tương ứng với các thành phần của một phép nhân một số phức với một phép tịnh tiến.
Ngoài ra, hình học Euclide (trong đó độ cong bằng không ở khắp mọi nơi) không phải là hình học duy nhất mà mặt phẳng có thể có. Mặt phẳng có thể được cho một dạng hình học hình cầu bằng cách sử dụng phép chiếu lập thể. Điều này có thể coi như đặt một khối cầu trên mặt phẳng (giống như một quả bóng trên sàn nhà), loại bỏ điểm đầu, và chiếu hình cầu lên mặt phẳng từ điểm này). Đây là một trong các phép chiếu mà có thể được sử dụng trong việc tạo ra một bản đồ phẳng của một phần của bề mặt Trái đất. Các dạng hình học thu được có độ cong dương liên tục.
Ngoài ra, mặt phẳng cũng có thể được cung cấp một chuẩn đo hệ mét mà mang lại cho nó mặt phẳng hyperbol có độ cong âm không đổi. Khả năng thứ hai là tìm thấy một ứng dụng trong thuyết tương đối đặc biệt trong trường hợp đơn giản hoá, nơi có hai chiều không gian và một chiều thời gian. (Các mặt phẳng hyperbol là một siêu bề mặt loại thời gian trong không gian Minkowski ba chiều.)

Ghi chú về hình học tôpô và hình học vi phân

Sự mở rộng compac tại một điểm của mặt phẳng là đồng phôi với hình cầu (xem phép chiếu lập thể); hình tròn mở là đồng phôi với khối cầu có "cực Bắc" mất tích; thêm điểm đó bổ sung khối cầu (compact). Kết quả của sự mở rộng compac này là một đa tạp gọi tắt là khối cầu Riemann hay đường xạ ảnh phức. Phép chiếu từ mặt phẳng Euclide đến một quả cầu mà không có một điểm là một bản đồ vi đồng phôi và thậm chí bảo giác.
Mặt phẳng bản thân là đồng phôi (và vi đồng phôi) đến một hình tròn mở. Đối với mặt phẳng hyperbol thì vi đồng phôi là bảo giác, nhưng đối với các mặt phẳng Euclide không phải vậy.