Định lý Sylow

Trong toán học, đặc biệt là trong lĩnh vực lý thuyết nhóm hữu hạn, định lý Sylow là một nhóm các định lý được đặt tên theo nhà toán học Na Uy Ludwig Sylow vào năm 1872. Các định lý này đưa ra thông tin chi tiết về số nhóm con có cấp cố định được chứa trong một nhóm hữu hạn cho trước. Các định lý Sylow hình thành một phần cơ bản của lý thuyết nhóm hữu hạn và có ứng dụng rất quan trọng trong việc phân loại nhóm đơn hữu hạn.
Với một số nguyên tố p, một p-nhóm con Sylow của một nhóm G là một p-nhóm con cực đại của G, nói cách khác, một nhóm con của G là một p-nhóm (tức là cấp của mọi phần tử trong nhóm con này đều là một lũy thừa của p), và nó không phải là nhóm con thực sự của bất kì p-nhóm con nào khác của G. Tập hợp tất cả các p-nhóm con Sylow với một số nguyên tố p cho trước đôi khi được ký hiệu là .
Các định lý Sylow khẳng định một phần ngược lại với định lý Lagrange. Định lý Lagrange phát biểu rằng nếu H là một nhóm con của nhóm hữu hạn G thì cấp của |H| là một ước của cấp của |G|. Với một ước nguyên tố bất kì p của cấp của nhóm hữu hạn G, tồn tại một p-nhóm con Sylow của G. Cấp của p-nhóm con Sylow của một nhóm hữu hạn G bằng , với n là cấp của p trong cấp của G, và mỗi nhóm con bới cấp  đều là một p-nhóm con Sylow của G.

Các hệ quả

Các định lý Sylow chỉ ra rằng với mỗi số nguyên tố p, mọi p-nhóm con Sylow có cùng cấp là . Ngược lại, nếu một nhóm con có cấp  thì nó là p-nhóm con Sylow, và do đó đẳng cấu với mọi p-nhóm con Sylow khác. Theo điều kiện cực đại, nếu H là một p-nhóm con bất kì của G thì H là một nhóm con của một p-nhóm con Sylow nào đó.
Một hệ quả rất quan trọng của định lý 3 là điều kiện  tương đương với việc các p-nhóm con Sylow đều là nhóm con chuẩn tắc (tồn tại nhóm có nhóm con chuẩn tắc nhưng không có nhóm con Sylow, ví dụ như nhóm đối xứng ).

Các định lý Sylow cho nhóm vô hạn

Có một sự tương tự của các định lý Sylow cho các nhóm vô hạn. Ta xác định một p-nhóm con Sylow của một nhóm hữu hạn là một p-nhóm con cực đại và chứa mọi p-nhóm con khác của nhóm ban đầu trong nó. Nhóm con này tồn tại theo bổ đề Zorn.
Định lý: Nếu K là một p-nhóm con Sylow của nhóm vô hạn G, và  hữu hạn, khi đó mọi p-nhóm con Sylow đều liên hợp với K và , trong đó  ký hiệu lớp liên hợp của K.

Các ví dụ

Một minh họa đơn giản cho các nhóm con Sylow và các định lý Sylow là nhóm dihedral  của đa giác đều  cạnh. Với  lẻ, 2 là lũy thừa cao nhất của 2 chia hết cấp của nhóm, và vì vậy, các nhóm con cấp 2 là nhóm con Sylow. Chúng là các nhóm con sinh bởi một phép đối xứng trục, có tất cả  nhóm như thế và chúng liên hợp với nhau bởi các phép quay.
Ngược lại, nếu  chẵn thì 4 chia hết cấp của nhóm, và các nhóm con trên không còn là nhóm con Sylow. Trên thực tế, chúng chia thành hai lớp liên hợp, tùy theo trục đối xứng đi qua hai đỉnh hoặc hai cạnh. Chúng được liên hệ với nhau bởi một phép tự đẳng cấu ngoài, có thể được biểu diễn bởi một phép quay góc .

Nhóm cyclic

Tồn tại những số tự nhiên n sao cho mọi nhóm con với cấp n đều cyclic. Ta có thể chứng minh được rằng  là một số như thế bằng cách sử dụng các định lý Sylow: Giả sử G là một nhóm cấp  và  lần lượt là số các 3-nhóm con Sylow và 5-nhóm con Sylow. Ta có  và , suy ra  phải bằng 1, và do đó 3-nhóm con Sylow duy nhất này là nhóm con chuẩn tắc. Tương tự, ta cũng có duy nhất một 5-nhóm con Sylow chuẩn tắc. Vì 3 và 5 là hai số nguyên tố cùng nhau, giao của hai nhóm con Sylow này là tầm thường. Vì vậy, G phải là tích trực tiếp của hai nhóm con Sylow, cũng là hai nhóm con cyclic. Từ đó suy ra G phải là nhóm cyclic. Do đó, tồn tại duy nhất một nhóm cấp 15, là nhóm cyclic  (chính xác tới đẳng cấu).

Các nhóm với cấp nhỏ không phải là nhóm đơn

Trong mục này, ta sẽ khảo sát tính tồn tại của các nhóm đơn với cấp "nhỏ".
Nếu  là nhóm đơn và  thì  phải là ước của 10, và . Từ đó suy ra , vì  và nếu  thì  có nhóm con chuẩn tắc cấp 3 (là 3-nhóm con Sylow duy nhất của nó), vì vậy  không thể là nhóm đơn. Do đó,  có 10 nhóm con cấp 3 phân biệt, các nhóm con này đôi một có chung một phần tử duy nhất là  (phần tử đơn vị) và mỗi nhóm con chứa hai phần tử cấp 3. Suy ra  có ít nhất 20 phần tử cấp 3. Tương tự, ta có  và  chứa ít nhất  phần tử cấp 5. Như vậy thì tổng số phần tử cấp 3 và cấp 5 ít nhất là , điều này không thể xảy ra. Vì vậy không tồn tại nhóm đơn cấp 30.
Tiếp theo, ta xét nhóm  với cấp . Ta có  và . Do đó  và vì vậy,  không thể là nhóm đơn.
Mặt khác, xét nhóm  với , khi đó ta tìm được  và . Trên thực tế, nhóm đơn nhỏ nhất mà không phải là nhóm cyclic là , nhóm thay phiên trên 5 phần tử. Cấp của  bằng  và nó chứa 24 phép thế cấp 5 và 20 phép thế cấp 3.