Âm dương lịch

Ví dụ

Lịch Do Thái, Phật lịch, lịch Hindu, lịch Tây Tạng, lịch Trung Quốc (sử dụng một mình cho tới năm 1912 và sau đó được sử dụng song song cùng lịch Gregory) hay lịch Triều Tiên (sử dụng một mình tới năm 1894 và sau đó được sử dụng song song cùng lịch Gregory) là các loại âm dương lịch, cũng như lịch Nhật Bản tới năm 1873, lịch Tiền Hồi giáo, lịch La Mã cho tới năm 45 TCN (trên thực tế sớm hơn, do sự đồng bộ hóa với Mặt Trăng đã bị mất cũng như sự đồng bộ hóa với Mặt Trời), lịch Coligny của vùng Gaule thế kỷ 1 và lịch Babylon trong thiên niên kỷ 2 TCN. Các loại âm dương lịch Trung Quốc, Coligny và Do Thái ở mức độ nhiều hay ít là tuân theo năm chí tuyến trong khi Phật lịch và lịch Hindu là âm dương lịch tuân theo năm thiên văn. Vì thế ba loại lịch nhóm thứ nhất gợi ra ý tưởng về các mùa trong khi hai loại lịch của nhóm thứ hai gợi ra ý tưởng về vị trí khi trăng tròn ở giữa các chòm sao. Lịch Tây Tạng chịu ảnh hưởng của cả lịch Trung Quốc lẫn lịch Hindu.
Lịch Hồi giáo là âm lịch thuần túy mà không phải âm dương lịch do ngày tháng của nó không liên quan gì tới Mặt Trời. Lịch Julius và lịch Gregory là các loại dương lịch chứ không phải âm dương lịch, do ngày tháng của chúng không thể chỉ ra các pha của Mặt Trăng — tuy nhiên, dù không nhận thức thấy âm dương lịch, nhưng phần lớn những người theo Kitô giáo lại vô thức sử dụng âm dương lịch trong việc xác định lễ Phục Sinh.

Xác định tháng nhuận

Để xác định khi nào cần thêm vào tháng nhuận, một số lịch loại này dựa vào các quan sát trực tiếp trạng thái của thảm thực vật, trong khi những lịch khác lại so sánh hoàng kinh của Mặt Trời và pha Mặt Trăng.
Mặt khác, trong âm dương lịch theo số học, một lượng nguyên dương nhất định các tháng cần được sắp xếp khớp với một lượng nguyên dương nào đó các năm theo một quy tắc cố định nào đó. Để xây dựng lịch như thế, về nguyên lý, độ dài trung bình của năm chí tuyến được đem chia cho độ dài trung bình của tháng giao hội, sẽ đưa ra số lượng trung bình các tháng giao hội trong năm chí tuyến như sau:
12,368266......
Các phân số liên tục của giá trị thập phân này sẽ đưa ra các xấp xỉ tối ưu cho nó. Vì thế trong danh sách dưới đây, sau số lượng tháng giao hội được liệt kê trong tử số, các số nguyên gần đúng số năm chí tuyến được liệt kê trong mẫu số đã đầy đủ, như sau:
 12 /  1 = 12      (sai số = -0,368266... tháng giao hội/năm)
 25 /  2 = 12,5     (sai số = 0,131734... tháng giao hội/năm)
 37 /  3 = 12,333333... (sai số = 0,034933... tháng giao hội/năm)
 99 /  8 = 12,375    (sai số = 0,006734... tháng giao hội/năm)
136 / 11 = 12,363636... (sai số = -0,004630... tháng giao hội/năm)
235 / 19 = 12,368421... (sai số = 0,000155... tháng giao hội/năm)
4131 / 334 = 12,368263... (sai số = -0,000003... tháng giao hội/năm)
Tuy nhiên lưu ý rằng chẳng một lịch số học nào có độ dài năm trung bình chính xác bằng năm chí tuyến thật sự. Các loại lịch khác nhau có độ dài năm trung bình khác nhau và độ dài tháng trung bình khác nhau, vì thế khác biệt giữa các tháng trong lịch và Mặt Trăng là không tương đương với các giá trị nêu trên.
Chu kỳ 8 năm (99 tháng giao hội, bao gồm trong đó 3 tháng nhuận) được sử dụng trong lịch Athena cổ đại. Chu kỳ 8 năm cũng được dùng trong tính toán ngày Phục sinh (hay Computus) đầu thế kỷ 3 tại Roma và Alexandria.
Chu kỳ 19 năm (235 tháng giao hội, bao gồm trong đó 7 tháng nhuận) là chu kỳ Meton cổ đại, nó được sử dụng trong phần lớn các loại âm dương lịch số học.Nó là tổ hợp của hai chu kỳ 8 và 11 năm, và khi mà sai số của phép tính xấp xỉ trong chu kỳ 19 năm đạt tới 1 ngày, thì chu kỳ có thể được cắt xén thành 8 hoặc 11 năm, sau đó các chu kỳ 19 năm lại bắt đầu trở lại. Chu kỳ của Meton có số ngày là nguyên dương (6.940), mặc dù chu trình Meton thường có nghĩa là việc sử dụng nó không có số nguyên dương ngày. Nó được sửa lại để có năm trung bình là 365,25 ngày như là các giá trị trung bình của 4×19 năm chu kỳ Callippus (27.759 ngày, được sử dụng trong các tính toán ngày Phục sinh của lịch Julius).
Roma sử dụng chu kỳ 84 năm để tính toán ngày Phục sinh từ cuối thế kỷ 3 cho tới năm 457. Những người theo Kitô giáo tại Anh và Ireland cũng sử dụng chu kỳ 84 năm cho tới tận Hội nghị tôn giáo Whitby năm 664. Mỗi chu kỳ 84 năm là tương đương với một chu kỳ Callippus 4×19 năm (bao gồm 4×7 tháng nhuận) cộng một chu kỳ 8 năm (bao gồm 3 tháng nhuận) và vì thế có tổng cộng 1.039 tháng (trong đó có 31 tháng nhuận). Nó đưa ra con số trung bình là 12,3690476... tháng mỗi năm. Một chu kỳ có 30.681 ngày, vào khoảng 1,28 ngày ngắn hơn 1.039 tháng giao hội hay 0,66 ngày dài hơn 84 năm chí tuyến và 0,53 ngày ngắn hơn 84 năm thiên văn.
Xấp xỉ kế tiếp (sinh ra từ phân số thập phân liên tục) sau chu kỳ Meton (như chu kỳ 334 năm) là rất nhạy với các giá trị mà người ta chấp nhận cho tháng âm lịch (tháng giao hội) và năm, đặc biệt là năm. Cũng có các định nghĩa có thể khác cho năm do các phép xấp xỉ khác có thể có độ chính xác cao hơn. Ví dụ 4366/353 là chính xác hơn cho năm chí tuyến trong khi 1979/160 là chính xác hơn cho năm thiên văn.