Liên tục trong không gian Tô pô

Dạng định nghĩa epsilon-delta được đề cập đầu tiên bởi Bernard Bolzano năm 1817. Định nghĩa liên tục ban đầu liên quan đến giới hạn được đưa ra bởi Augustin-Louis Cauchy. Cauchy định nghĩa liên tục của  như sau: Một sự tăng vô cùng nhỏ của biến độc lập  luôn luôn là một sự thay đổi tăng vô cùng nhỏ của . Cauchy định nghĩa trên một lượng vô cùng nhỏ của biến, định nghĩa của ông ta rất gần với định nghĩa của chúng ta sử dụng ngày nay.
Định nghĩa chính thức và phân biệt giữa liên tục điểm và liên tục đều được đưa ra đầu tiên bởi Bolzano vào năm 1830 nhưng điều đó không được công bố mãi đến năm 1930. Eduard Heine công bố lần đầu tiên định nghĩa liên tục đều năm 1872, nhưng dựa trên những ý tưởng từ bài giảng của Peter Gustav Lejeune Dirichlet năm 1854.

Hàm liên tục trên 
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }

Hàm từ một tập số thực vào một tập số thực có thể biểu diễn bằng đồ thị trong mặt phẳng tọa độ mà không có những lỗ hổng hoặc nhảy.
là một hàm được định nghĩa trên tập con của đường thẳng thực , tập con  gọi là miền xác định của .
Khoảng mở trên 
Khoảng đóng trên 
Ở đây  là số thực.

Định nghĩa liên tục theo giới hạn của hàm

Hàm  gọi là liên tục tại điểm  trên miền xác định nếu giới hạn của  khi  tiến dần về  tồn tại và bằng giá trị của . Ta viết:
hay chính là 3 điều kiện sau: 1 là  xác định tại , 2 là giới hạn bên vế trái là tồn tại, thứ 3 là giá trị của giới hạn phải bằng .
Hàm  là liên tục nếu liên tục tại mọi điểm trong miền xác định.

Định nghĩa theo giới hạn của dãy

Cho dãy  bất kì trên miền xác định hội tụ về , thì tương ứng dãy  hội tụ về

Định nghĩa liên tục theo delta-epsilon

Cho bất kì số thực , tồn tại số thực  sao cho với mọi  trong miền xác định của  với , giá trị của  thỏa
Liên tục của  tại  là với mọi , tồn tại  sao cho với mọi

Ví dụ

Hàm  liên tục trên miền xác định

Phản ví dụ

Ví dụ về hàm không liên tục với , lấy với mọi , khi đó không tồn tại  sao cho  vì

Định lý giá trị trung bình

Cho  là liên tục, giả sử  nằm giũa  và . Khi đó tồn tại ít nhất một  sao cho .
Ví dụ như một đứa trẻ từ khi 4 tuổi đến khi 8 tuổi, chiều cao tăng từ 1m đến 1.5m, khi đó sẽ có 1 thời điểm nào đó trong khoảng 4 tuổi đến 8 tuổi, đứa trẻ cao 1.2m

Định lý giá trị cực

Cho khoảng  (khoảng đóng và bị chặn) và  là liên tục, khi đó  có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên , hay tồn tại  sao cho  với mọi .

Định lý điểm cố định

Cho ,  liên tục, khi đó tồn tại ít nhất một  sao cho .

Quan hệ với tính khả tích và khả vi

Mọi hàm  khả vi đều liên tục, điều ngược lại không đúng.
Ví dụ hàm trị tuyệt đối
 là liên tục trên  nhưng không khả vi tại 0.
Đạo hàm  của hàm khả vi  không nhất thiết phải liên tục, nếu có đạo hàm liên tục thì ta gọi là khả vi liên tục. Tập các hàm này không gian hàm .
Xét tập các hàm
Trong đó  là tập con mở trong  sao cho hàm  khả vi liên tục đến bậc .
Tập các hàm này là không gian .
Mọi hàm
đều khả tích, điều ngược lạ không đúng, ví dụ như hàm

Liên tục đều

Giả sử  là tập con của  khi đó
liên tục đều trên  nếu với mọi  cho trước tồn tại  chỉ phụ thuộc vào  sao cho  thì
Ví dụ như hàm  và

Hội tụ của dãy hàm liên tục

Cho dãy 
các hàm liên tục sao cho
tồn tại với mọi , khi đó hàm  là giới hạn từng điểm của hãy , hàm  không nhất thiết liên tục cho dù  là liên tục.
Tuy nhiên nếu  liên tục, khi đó dãy  hội tụ đều

Định nghĩa

Liên tục trên không gian mê tric với định nghĩa:
Cho  và  là 2 không gian mê tric.
Ánh xạ  liên tục tại  nếu
hay với mọi  tâm tại  khi đó  tâm tại  sao cho
.

Liên tục Lipchitz

Cho hai không gian mêtric  và  với  là mêtric trên  và  là mêtric trên .
 là liên tục Lipchitz nếu tồn tại hằng số  sao cho với mọi

Ví dụ

Hàm  liên tục Lipchitz với .

Liên tục Holder

Cho hai không gian mêtric  và  với  là mêtric trên  và  là mêtric trên , với  là số thực.
 là liên tục Holder nếu tồn tại hằng số  sao cho với mọi

Ví dụ

là liên tục Holder với , nhưng không liên tục Lipchitz.

Liên tục Cauchy

Cho  và  là hai không gian mêtric,  là hàm từ  vào .
Hàm  là liên tục Cauchy nếu và chỉ nếu cho dãy Cauchy bất kì  trong , dãy  là dãy Cauchy trong .
Mọi hàm liên tục đều thì liên tục Cauchy, liên tục Cauchy là liên tục. Nếu  là không gian đầy đủ, thì mọi hàm liên tục trên  là liên tục Cauchy.

ví dụ

Trên đường thẳng thực  liên tục cũng chính là liên tục Cauchy.
Hàm  khi  và  khi  với mọi số hữu tỉ . Hàm này liên tục trên  nhưng không liên tục Cauchy

Liên tục trong không gian tô pô

Nghiên cứu về không gian Tô pô, ta có nhiều khái niệm khác nhau về quan hệ giữa các không gian tô pô với nhau và giữa các không gian con của chúng. Ta muốn xem xét hàm đưa một không gian tô pô vào không gian tô pô khác, Tính liên tục của là một trong những khái niệm cốt lõi của không gian tô pô, được mô tả trực quan tính sinh động trong không gian hình học.