Cách giải (lý thuyết trò chơi)

Định nghĩa chính thức

Coi \Gamma là nhóm tất cả các trò chơi, và đối với mỗi trò chơi G \in \Gamma, coi S_G là tập hợp các hồ sơ chiến lược của G. Một cách giải là một phần của tích \Pi_{G \in \Gamma}2^{S_G}; ví dụ, hàm F: \Gamma \rightarrow \bigcup\nolimits_{G \in \Gamma} 2^{S_G} sao cho F(G) \subseteq S_G đối với mọiG \in \Gamma.

Cân bằng Nash

Thế cân bằng Nash là một hồ sơ chiến lược (một hồ sơ chiến lược chỉ rõ từng chiến lược cho mỗi người chơi, ví dụ trong trò chơi Song đề tù nhân ở trên, hồ sơ chiến lược (Hợp tác, Bất hợp tác) chỉ ra Tù nhân 1 sẽ chọn Hợp tác và Tù nhân 2 sẽ chọn Bất hợp tác), trong đó mỗi chiến lược đều là phản ứng tốt nhất đối với những chiến lược khác được thực hiện. Một chiến lược của mỗi người chơi được coi là phản ứng tốt nhất đối với chiến lược của đối thủ, nếu không có chiến lược nào khác có thể thực hiện và thu được khoản lợi nhuận lớn hơn trong bất kì trường hợp nào sử dụng đến chiến lược mà đối thủ đã chọn.

Cân bằng Nash trong phân đoạn trò chơi hoàn hảo

Phân đoạn trò chơi hoàn hảo là một cách khái quát hóa quy nạp ngược. Quy nạp ngược dùng giả định rằng tất cả các diễn biến trò chơi trong tương lai đều hợp lý. Trong các thế cân bằng hoàn hảo của phân đoạn trò chơi, các diễn tiến trò chơi trong từng phân đoạn đều hợp lý (đặc biệt là thế cân bằng Nash). Quy nạp ngược chỉ có thể dùng để loại bỏ bớt (một số có giới hạn) các trò chơi diễn ra trong khoảng thời gian nhất định, và không áp dụng được với các trò chơi với thông tin không hoàn hảo. Trong những trường hợp này, có thể sử dụng phân đoạn trò chơi hoàn hảo. Những thế cân bằng Nash bị loại bỏ được nhắc đến ở ví dụ trên là những trường hợp phân đoạn trò chơi không hoàn hảo, bởi vì, chúng không phải là thế cân bằng Nash của phân đoạn trò chơi bắt đầu tại thời điểm công ty mới nổi tham gia thị trường.

Cân bằng Bayes hoàn hảo

Có nhiều lúc, phân đoạn trò chơi hoàn hảo không thể giới hạn được hết các kết quả phi lý. Ví dụ, vì phân đoạn trò chơi không thể cắt ngang một khối thông tin (information set), một trò chơi với thông tin không hoàn hảo có thể chỉ có một phân đoạn trò chơi duy nhất - là toàn bộ trò chơi - do đó không thể dùng phân đoạn trò chơi hoàn hảo để loại bỏ bất kì thế cân bằng Nash nào. Thế cân bằng Bayes hoàn hảo (Perfect Bayesian equilibrium - PBE) là cách miêu tả các chiến lược của người chơi và niềm tin về các nốt trong khối thông tin đã xảy ra trong diễn tiến trò chơi tại thời điểm đó. Một niềm tin về một nốt quyết định, là xác suất mà một người chơi nhất định nghĩ rằng nốt đó được hoặc sẽ được thực hiện (tức là, nốt đó thuộc về đường cân bằng). Để nói chi tiết hơn, có một cách suy luận trực giác về Cân bằng Bayes hoàn hảo, đó là, thế cân bằng này chỉ rõ các chiến lược phù hợp với người chơi, với điều kiện cho trước là niềm tin của người chơi đã được nói rõ, vầ niềm tin này hoàn toàn thống nhất với các chiến lược đã được nêu ra.
Trong trò chơi Bayes, một chiến lựoc sẽ xác định hành động mà người chơi thực hiện tại mọi khối thông tin thuộc quyền kiểm soát của người chơi đó. Phân đoạn trò chơi hoàn hảo không yêu cầu rõ rệt là niềm tin phải thống nhất với chiến lược. Do đó, Cân bằng Bayes hoàn hảo sẽ đạt điều kiện thống nhất khi xét theo niềm tin của người chơi. Điều này có nghĩa là, đối với mỗi niềm tin của người chơi tại một khối thông tin, không có chiến lược nào khác có thể đem lại lợi nhuận dự tính cao hơn cho người chơi đó. Không như những cách giải đã nói ở trên, không có chiến lược nào của người chơi là bị áp đảo hoàn toàn ngay từ đầu tại bất kì khối thông tin nào, ngay cả khi nó không rơi vào đường cân bằng. Do đó, trong Cân bằng Bayes hoàn hảo, người chơi không thể đe dọa thực hiện những chiến lược bị áp đảo hoàn toàn tại điểm đầu của khối thông tin nằm ngoài đường cân bằng.
Cụm từ "Bayes" trong tên Cân bằng Bayes hoàn hảo nhấn mạnh vào việc người chơi sẽ cập nhật niềm tin của mình theo Nguyên tắc Bayes. Họ tính toán xác suất với điều kiện cho trước là những diễn tiến đã xảy ra trước đó trong trò chơi

Quy nạp xuôi

Quy nạp xuôi được đặt tên như vậy bởi vì, cũng như quy nạp ngược giả định mọi diễn tiến trò chơi trong tương lai đều hợp lý, quy nạp xuôi giả định mọi diễn biến trò chơi trong quá khứ đều là hợp lý. Nếu một người chơi không biết kiểu người chơi của đối phương (ví dụ như: khi có thông tin không hoàn hảo và không cân xứng), người chơi đó có thể đặt ra niềm tin về kiểu người chơi của đối phương bằng cách quan sát hành động của đối phương trong quá khứ. Do đó, niềm tin do người chơi đó đặt ra về kiểu người chơi của đối thủ sẽ dựa vào diễn tiến trong quá khứ, tại đó coi như đối phương hành động theo lý trí. Một người chơi có thể đánh tin hiệu về kiểu người chơi của bản thân thông qua hành động mình thực hiện.
Kohlberg và Mertens (1986) đã giới thiệu cách giải Thế cân bằng tĩnh, một cách tinh giản thỏa mãn logic của Quy nạp xuôi. Người ta đã tìm ra một phản ví dụ, tại đó thế cân bằng tĩnh không thỏa mãn quy nạp ngược. Để giải quyết vấn đề này, Jean-François Mertens giới thiệu một khái niệm mà ngày nay các nhà nghiên cứu lý thyết trò chơi gọi tên là Thế cân bằng tĩnh Mertens, đây có thể là cách giải đầu tiên thỏa mãn cả quy nạp xuôi và quy nạp ngược.