Giới hạn của một dãy

Lịch sử

Nhà triết học Hy Lap Zeno xứ Elea nổi tiếng với việc hình thành những nghịch lý về giới hạn.
Leucippus, Democritos, Antiphon, Eudoxus và Archimedes phát triển phương pháp vét cạn (method of exhaustion), dùng chuỗi vô hạn xấp xỉ để xác định một diện tích hay thể tích. Archimedes đã thành công trong việc tính tổng một dạng dãy số gọi là chuỗi hình học.
Newton sử dụng dãy số trong những công trình Giải tích dãy vô hạn (Analysis with infinite series, viết năm 1669, lưu hành qua bản viết tay, xuất bản năm 1711), Phương pháp thông lượng (Method of Fluxions, viết năm 1671, xuất bản bằng tiếng Anh năm 1736, bản gốc Latin xuất bản muộn hơn) và Tractatus de Quadratura Curvarum (viết năm 1693, xuất bản năm 1704 và là phụ lục cho Optiks). Trong những tác phẩm sau này, Newton nghiên cứu khai triển nhị thức của  rồi tuyến tính hóa bằng cách lấy giới hạn (cho ).
Đến thế kỷ 18, các nhà toán học như Euler thành công trong việc tính tổng của một số chuỗi phân kỳ bằng cách dừng đúng lúc; họ không quan tâm liệu giới hạn có tồn tại hay không, miễn là nó tính được. Cuối thể kỷ 18, Lagrange trong Théorie des fonctions analytiques (1797) cho rằng sự thiếu tính chặt chẽ ngăn chặn sự phát triển của giải tích. Gauss trong quá trình nghiên cứu những dãy siêu hình học (1813) lần đầu tiên xem xét một cách chặt chẽ dưới những điều kiện nào thì một dãy số hội tụ đến một giới hạn.
Định nghĩa hiện đại của giới hạn (định nghĩa ) được đưa ra bởi Bernard Bolzano (Der binomische Lehrsatz, Prague năm 1816, ít được chú ý tại thời điểm đó) và Karl Weierstrass trong những năm 1870.

Số thực

Đối với số thực, một số  là giới hạn của một dãy số  nếu những số trong dãy trở nên gần một cách tùy ý với  và không phải số nào khác.

Giới hạn vô cùng

Một dãy số  được gọi là tiến tới vô cùng, viết là  hay  nếu, với mọi , tồn tại  sao cho với mọi  thì ; tức là các số hạng của dãy dần lớn hơn bất kì  cố định nào. Tương tự,  nếu, với mọi , tồn tại  sao cho với mọi  thì . Nếu một dãy số tiến tới cộng hoặc trừ vô cùng thì nó phân kỳ (tuy nhiên, một chuỗi phân kỳ có thể không tiến tới cộng hay trừ vô cùng: ví dụ như dãy số ).

Định nghĩa

Một điểm  trong không gian metric  là giới hạn của dãy  nếu, với mọi , tồn tại  sao cho với mọi , . Định nghĩa này trỏ thành định nghĩa cho số thực khi  và .

Tính chất

Vói hàm số liên tục f bất kỳ, nếu  thì . Thực chất, hàm số f liên tục khi và chỉ khi nó bảo toàn giới hạn của dãy số.
Giới hạn của dãy số, nếu tồn tại, là duy nhất, do những điểm khác nhau cách nhau một khoảng dương. Nếu dãy số có hai giới hạn khác nhau, với  nhỏ hơn một nửa khoảng cách giữa chúng, các số hạng của dãy không thể cách mỗi giới hạn một khoảng đều bé hơn .

Định nghĩa

Một điểm  trong không gian tôpô  là giới hạn của dãy số (xₙ) nếu, với mọi lân cận  của , tồn tại  sao cho, với mọi , . Định nghĩa này trở thành định nghĩa cho không gian metric nếu  là một không gian metric và  là tôpô tạo ra bởi .
Giới hạn của một dãy các điểm  trong không gian tôpô  là một trường hợp đặc biệt của giới hạn của một hàm số: tập xác định là  trong không gian  với tôpô cảm sinh của tập số thực mở rộng, miền giá trị là , và đối số  tiến tới , ở đây là một điểm giới hạn của .

Tính chất

Nếu  là một không gian Hausdorff thì giới hạn của dãy số là duy nhất nếu chúng tồn tại. Tuy nhiên điều này không đúng trong tổng quát; cụ thể, nếu  và  là không thể phân biệt tôpô (tức chúng có cùng lân cận), bất kỳ chuỗi nào hội tụ đến  cũng phải hội tụ đến  và ngược lại.