Hàm lượng giác

Lịch sử

Những nghiên cứu một cách hệ thống và việc lập bảng tính các hàm lượng giác được cho là thực hiện lần đầu bởi Hipparchus ở Nicaea (180-125 TCN), người đã lập bảng tính độ dài của các cung tròn (có giá trị bằng góc, A, nhân với bán kính, r) và chiều dài của dây cung tương ứng (2r sin(A/2)). Sau đó, Ptolemy (thế kỷ II) tiếp tục phát triển công trình trên trong quyển Almagest, tìm ra công thức cộng và trừ cho sin(A + B) và cos(A + B). Ptolemy cũng đã suy diễn ra được công thức nửa-góc sin(A/2)² = (1 − cos(A))/2, cho phép ông lập bảng tính với bất cứ độ chính xác cần thiết nào. Những bảng tính của Hipparchus và Ptolemy nay đã bị thất truyền.
Các phát triển về lượng giác tiếp theo diễn ra ở Ấn Độ, trong công trình Siddhantas (khoảng thế kỷ IV–V), định nghĩa hàm sin theo nửa góc và nửa dây cung. Quyển Siddhantas cũng chứa bảng tính hàm sin cổ nhất còn tồn tại đến nay (cùng với các giá trị 1 − cos), cho các góc có giá trị từ 0 đến 90 độ cách nhau 3.75 độ.
Công trình Ấn giáo này sau đó được dịch và phát triển thêm bởi người Ả Rập. Đến thế kỷ X, người Ả Rập đã dùng cả sáu hàm lượng giác cơ bản (trong tác phẩm Abu'l-Wefa), với các bảng tính hàm sin cho các góc cách nhau 0.25 độ, với độ chính xác đến 8 chữ số thập phân sau dấu phẩy, và bảng tính hàm tan.
Từ sin mà ngày nay ta dùng xuất phát từ chữ La tinh sinus ("vịnh" hay "gập"), dịch nhầm từ chữ Phạn jiva (hay jya). Jiva (vốn được đọc đầy đủ là ardha-jiva, "nửa-dây cung", trong quyển Aryabhatiya thế kỷ VI) được chuyển tự sang tiếng Ả Rập là jiba (جب), nhưng bị nhầm thành từ khác, jaib (جب) ("vịnh"), bởi các dịch giả ở châu Âu như Robert ở Chester và Gherardo ở Cremona trong quyển Toledo (thế kỷ XII). Sự nhầm lẫn này có thể là do jiba (جب) và jaib (جب) được viết giống nhau trong tiếng Ả Rập (nhiều nguyên âm bị thiếu trong bảng chữ cái Ả Rập).
Các công trình đầu tiên này về các hàm lượng giác đều được phát triển trong nghiên cứu thiên văn. Có lẽ quyển sách đầu tiên chỉ tập trung nghiên cứu về lượng giác là De triangulis omnimodus (1464) và Tabulae directionum của Regiomontanus (1436–1476). Quyển Tabulae directionum nói về hàm tang.
Quyển Opus palatinum de triangulis của Rheticus, một học trò của Copernicus, là quyển sách đầu tiên định nghĩa các hàm lượng giác bằng tam giác vuông thay vì dùng vòng tròn đơn vị, kèm theo bảng tính 6 hàm lượng giác cơ bản. Công trình này được hoàn thiện bởi học trò của Rheticus là Valentin Otho năm 1596.
Quyển Introductio in analysin infinitorum (1748) của Euler tập trung miêu tả cách tiếp cận giải tích đến các hàm lượng giác, định nghĩa chúng theo các chuỗi vô tận và giới thiệu "Công thức Euler" eⁱˣ = cos(x) + i sin(x). Euler đã dùng các ký hiệu viết tắt sin., cos., tang., cot., sec., và cosec. giống ngày nay.

Định nghĩa bằng vòng tròn đơn vị

Các hàm lượng giác cũng có thể được định nghĩa bằng vòng tròn đơn vị, một vòng tròn có bán kính bằng 1 và tâm trùng với tâm của hệ tọa độ. Định nghĩa dùng vòng tròn đơn vị thực ra cũng dựa vào tam giác vuông, nhưng chúng có thể định nghĩa cho các mọi góc là số thực, chứ không chỉ giới hạn giữa 0 và Pi/2 radian. Các góc lớn hơn 2π hay nhỏ hơn −2π quay vòng trên đường tròn.

Tính chất và ứng dụng

Các hàm lượng giác có vị trí quan trọng trong lượng giác học. Bên ngoài lượng giác học, tính tuần hoàn của chúng có ích cho việc mô phỏng các chuyển động sóng như sóng điện từ hay âm thanh. Mọi tín hiệu đều có thể được phân tích thành tổng (vô hạn) của các hàm sin và cos ứng với nhiều tần số; đây là ý tưởng chủ đạo của phân tích Fourier, dùng để giải quyết các bài toán điều kiện biên và phương trình đạo hàm riêng.
Các tính chất quan trọng nhất của các hàm lượng giác trong lượng giác học được thể hiện ở ba định lý: