Số tự nhiên

Trong toán học, các số tự nhiên là các số 0, 1, 2, 3, 4, 5,... Nhìn chung, định nghĩa đầu thường được dùng trong lý thuyết số, trong khi định nghĩa sau được thích dùng hơn trong lý thuyết tập hợp và khoa học máy tính.
Trong tiêu chuẩn của ISO 80000-2 và tài liệu giáo khoa chuẩn của Việt Nam, số tự nhiên được định nghĩa theo kiểu là số nguyên không âm (0, 1, 2, 3, 4,...).
Số tự nhiên được dùng với hai mục đích chính: chúng có thể được dùng để đếm ("có ba quả táo trên bàn"), và có thể dùng để sắp xếp thứ bậc ("đây là thành phố lớn thứ ba trong cả nước").
Tập hợp số tự nhiên là nền tảng cơ bản để xây dựng nhiều tập hợp số khác: tập hợp số nguyên bao gồm phần tử đơn vị 0 và số đối của mỗi số tự nhiên khác 0; tập hợp số hữu tỉ gồm 0 và thương của 2 số nguyên bất kì khác 0; tập hợp số thực gồm các số hữu tỉ và giới hạn của dãy Cauchy của mỗi số hữu tỷ; tập số phức gồm số thực cùng đơn vị ảo i, vân vân.
Các tính chất của số tự nhiên liên hệ đến tính chia hết, chẳng hạn như sự phân bố của các số nguyên tố, được nghiên cứu trong ngành lý thuyết số. Các vấn đề liên quan đến sự đếm, chẳng hạn lý thuyết Ramsey, được nghiên cứu trong toán tổ hợp.

Lịch sử số tự nhiên và vai trò của số 0

Người ta cho rằng số tự nhiên bắt nguồn từ các từ dùng để đếm sự vật, và bắt đầu bằng số một.
Một bước tiến quan trọng đầu tiên là con người bắt đầu biết trừu tượng hóa việc biểu diễn các số bằng các chữ số. Điều này đã cho phép con người phát triển các hệ thống nhằm ghi lại các số lớn. Ví dụ, người Babylon phát triển một hệ thống giá trị theo vị trí rất hữu dụng mà chủ yếu dựa trên biểu diễn số ban đầu cho 1 và 10. Người Ai Cập cổ đại có một hệ thống chữ số với các chữ tượng hình để diễn tả 1, 10, và tất cả các lũy thừa của 10 cho đến một triệu. Một mẫu đá khắc thu được từ Karnak, xác định niên đại khoảng 1500 TCN, và hiện nay đang được lưu trữ tại viện Bảo tàng Louvre ở Paris, thể hiện số 276 như là 2 trăm, 7 chục và 6 đơn vị; và cũng thể hiện tương tự với số 4 622.
Một tiến bộ nữa trong việc trừu tượng hóa con số nhưng diễn ra trễ hơn nhiều: phát triển ý tưởng thể hiện số không như là một con số với biểu diễn số của riêng nó. Vào khoảng 700 TCN, những người Babylon đã dùng chữ số không trong hệ thống ký hiệu giá trị theo vị trí nhưng một điều khá lạ là mãi cho đến lúc nền văn hóa Babylon đến hồi suy tàn, người Babylon cũng chỉ biết dùng chữ số không ở giữa các con số (ví dụ: khi viết số 3605 họ biết đặt chữ số không vào giữa), và chữ số này vẫn chưa bao giờ được sử dụng để làm chữ số cuối cùng của một số (ví dụ: người Babylon thể hiện số 3600 và 60 như nhau - người Babylon dùng hệ cơ số 60 - để phân biệt đâu là 3600 và 60 họ phải kèm thêm một chú thích bằng lời ở dưới). Các nền văn minh Olmec và Maya đã dùng số không như là một con số riêng từ khoảng thế kỷ thứ 1 trước Công Nguyên (dường như được phát triển một cách độc lập), tuy nhiên việc sử dụng này đã không được phổ biến ra ngoài vùng Trung Mỹ. Khái niệm số không mà chúng ta hiện nay vẫn dùng xuất phát từ nhà toán học Ấn Độ Brahmagupta vào năm 628. Mặc dầu số không đã được dùng như một con số bởi tất cả các nhà tính toán thời Trung Cổ (dùng để tính ngày Phục Sinh) mà khởi đầu là Dionysius Exiguus vào năm 525, nhưng nhìn chung vẫn không có một chữ số La Mã nào được dành riêng để viết số không. Thay vì vậy, thời đó người ta dùng từ Latinh là nullae, có nghĩa là "không có gì" để chỉ số không.
Người ta thường xem các nhà triết học Hy Lạp Pythagore và Archimedes là những người đầu tiên đặt vấn đề nghiên cứu một cách hệ thống về các con số như là một thực thể trừu tượng. Tuy nhiên, cùng thời kỳ đó, một số nơi như Ấn Độ, Trung Quốc và Trung Mỹ cũng có những nghiên cứu độc lập tương tự.
Đến thế kỷ 19, một định nghĩa mang tính lý thuyết tập hợp của số tự nhiên đã xuất hiện và phát triển. Với kiểu định nghĩa như vậy, việc gộp cả số không (ứng với tập rỗng) vào trong số tự nhiên đã trở nên thuận tiện hơn. Ưu điểm này được các nhà lý thuyết tập hợp, nhà luận lý học và nhà khoa học máy tính sử dụng về sau. Các nhà toán học khác, chủ yếu là các nhà lý thuyết số, lại thích dùng định nghĩa cổ điển hơn và không gộp số không vào trong số tự nhiên.
Giáo sư toán học của Đại học Quốc gia Singapore Lam Lay Yong thì cho rằng người Trung Quốc biết đến sử dụng con số để đếm từ khoảng năm 475 TCN thông qua phát hiện việc sử dụng các bó que để làm phép tính thời kỳ này.

Định nghĩa hình thức

Trong lịch sử, quá trình đưa ra một định nghĩa toán học chính xác về số tự nhiên là một quá trình nhiều khó khăn. Các định đề Peano đưa ra những điều kiện tiên quyết cho một định nghĩa thành công về số tự nhiên. Một số phép xây dựng cho thấy rằng, với lý thuyết tập hợp đã biết, các mô hình của các định đề Peano chắc chắn tồn tại.

Các phép toán trên tập hợp số tự nhiên

Các phép toán trên tập hợp các số tự nhiên có thể định nghĩa nhờ phép đệ quy như sau

Tổng quát hóa

Với hai hướng sử dụng như đã nêu ở phần giới thiệu, số tự nhiên trước hết được tổng quát hóa theo hai hướng sử dụng này: số thứ tự được dùng để mô tả vị trí của một phần tử trong một dãy sắp thứ tự và bản số dùng để xác định kích thước của một tập hợp nào đó.
Trong trường hợp dãy hữu hạn hay tập hợp hữu hạn, cả hai cách sử dụng này thực chất là đồng nhất với nhau.