Phép biến đổi Laplace

Lịch sử

Từ năm 1744, Leonhard Euler đã đưa ra các tích phân
 và 
để giải các phương trình vi phân.
Joseph Louis Lagrange, người rất ngưỡng mộ Euler, khi nghiên cứu cách tính tích phân của hàm mật độ xác suất, ông đã đưa ra biểu thức tích phân
Những dạng tích phân này đã thu hút sự chú ý của Laplace vào năm 1782 khi ông tiếp tục công trình của Euler là sử dụng phép tính tích phân để giải các phương trình. Năm 1785, vượt ra khỏi giới hạn giải quyết các phương trình bằng phương pháp tích phân, ông đã bắt đưa ra các biến đổi mà sau này đã trở nên rất phổ biến. Ông sử dụng tích phân
- tương tự với biến đổi Mellin, để biến đổi phương trình sai phân để tìm ra lời giải cho phương trình biến đổi. Với cách tương tự như vậy, ông đã suy ra các tính chất của biến đổi Laplace.
Laplace cũng nhận ra rằng phương pháp của Joseph Fourier trong chuỗi Fourier để giải phương trình khuếch tán chỉ có thể áp dụng trong một vùng không gian giới hạn.

Định nghĩa

Phép biến đổi Laplace là cách tiếp cận miền tần số cho các tín hiệu thời gian liên tục bất kể hệ thống có ổn định hay không ổn định. Phép biến đổi Laplace của hàm số  f(t), được định nghĩa cho tất cả số thực t ≥ 0, là hàm số F(s), Đó là một biến đổi đơn phương được định nghĩa bởi:
Trong đó  là biến số phức cho bởi ,  là miền tần số và có đơn vị là nghịch đảo của giây (second) 
Giới hạn chỉ rõ thời điểm bắt đầu ngay trước khi , chúng ta dùng giới hạn thấp để lấy tận gốc hàm số  tại thời điểm .

Biến đổi Laplace hai phía

Một khi nói "biến đổi Laplace" mà không chú ý thêm gì, thường là ta nói đến biến đổi một phía. Biến đổi Laplace có thể được định nghĩa là biến đổi Laplace hai phía bằng cách mở rộng giới hạn của tích phân đến âm vô cực.
Nếu như vậy, biến đổi Laplace một phía đơn giản trở thành một trường hợp đặc biệt của biến đổi Laplace hai phía, xác định bằng cách lấy hàm đã chuyển đổi nhân với hàm bước nhảy Heaviside.

Biến đổi Borel

Dạng tích phân của biến đổi Borel có liên hệ với biến đổi Laplace; thật sự, có một số nhầm lẫn khi cho rằng chúng tương tự như nhau. Biến đổi Borel tổng quát tạo ra biến đổi Laplace cho những hàm không phải hàm mũ.

Mối quan hệ cơ bản

Từ biến đổi Laplace ban đầu có thể xem như là trường hợp đặc biệt của biến đổi hai bên, và từ biến đổi hai bên có thể xem như là tổng của hai biến đổi một bên, điểm khác biệt riêng của các biến đổi Laplace, Fourier, Mellin, Z ở trên là sự liên quan của từng biến đổi đối với biến đổi tích phân.

Trở kháng và sơ đồ mạch điện tương đương trong mạch miền s

Biến đổi Laplace được sử dụng để biến đổi các yếu tố mạch điện từ miền thời gian t sang mạch miền s
Mối quan hệ dòng áp trong miền s của các yếu tố mạch điện RLC
Chú ý: đối với điện trở R, mạch miền t và mạch miền s giống nhau. Riêng đối với cuộn cảm L và tụ điện C cần phải kể đến nguồn điều kiện ban đầu (dòng ban đầu đối với cuộn cảm và áp ban đầu đối với tụ điện)

Ứng dụng các tính chất và định lý của biến đổi Laplace

Biến đổi Laplace được sử dụng nhiều trong kỹ thuật và vật lý học. Việc tính toán được chuyển sang không gian Laplace nhằm chuyển phép nhân chập về phép nhân thông thường, khi đó ta có thể giải quyết vấn đề bằng phương pháp đại số.
Biến đổi Laplace còn được sử dụng để giải phương trình vi phân và được ứng dụng rộng rãi trong kỹ thuật điện (electrical engineering). Phương pháp sử dụng biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân được phát triển bởi kỹ sư người Anh Oliver Heaviside.
Những ví dụ dưới đây được sử dụng trong hệ đơn vị SI

Giải phương trình vi phân

Bài toán trong vật lý hạt nhân nguyên tử
Phương trình biểu diễn sự phân rã phóng xạ của một chất đồng vị phóng xạ
(1)
N=N(t): số nguyên tử còn lại không bị phân rã ở thời điểm t(s)
: hằng số phân rã
Ta sẽ sử dụng biến đổi Laplace để giải phương trình này
Từ (1) ta có
Thực hiện biến đổi Laplace cho cả hai vế của phương trình
Với 
Giải phương trình ta có
Cuối cùng ta thực hiện biến đổi ngược để chuyển về miền t

Tổng trở Z(s) của tụ điện và cuộn cảm

Ví dụ này dựa vào lý thuyết giải tích mạch điện (electrical circuit)
Quan hệ dòng áp của các phần tử RLC trong miền thời gian t
Với i(t) là lượng điện tích chạy qua các thành phần RLC trong một đơn vị thời gian và V(t) là điện áp giữa 2 đầu từng thành phần RLC, cũng là hàm theo thời gian t
Dùng biến đổi Laplace để chuyển sang miền s
Với , 
: dòng điện ban đầu chạy qua cuộn cảm L
: điện áp ban đầu qua tụ điện C
Tổng trở Z(s) được định nghĩa là tỷ số giữa áp V và dòng i khi điều kiện ban đầu bằng 0
Từ đây ta suy ra tổng trở của các thành phần RLC

Hàm truyền

Sự liên hệ giữa miền thời gian t và miền tần số được biểu diễn thông qua bảng sau:
Chú ý rằng ký hiệu * trong miền thời gian chính là phép nhân chập
Xét hệ tuyến tính bất biến theo thời gian với
 (1)
: sự trễ pha
Ta biến đổi (1)
Với : thời gian trễ của hệ và u(t) là hàm bước Heaviside.
Hàm truyền H(s) được suy ra bằng cách dùng biến đổi Laplace đối với hàm h(t)
với  là tần số cộng hưởng của hệ(rad/s)

Phương pháp khai triển thừa số riêng phần

Xét hệ tuyến tính bất biến với thời gian và hàm truyền
: biến đổi Laplace ngược của hàm truyền H(s)
Để thực hiện biến đổi Laplace ngược, ta bắt đầu khai triển H(s) bằng cách sử dụng phương pháp khai triển riêng phần
P, R là các hằng số chưa biết. Để tìm hằng số này ta dùng đồng nhất thức
Từ đây suy ra
và
Thay vào H(s) ta tìm được
Cuối cùng sử dụng tính chất và bảng biến đổi Laplace, ta thực hiện biến đổi Laplace ngược cho hàm H(s)