Lý thuyết nhiễu loạn (cơ học lượng tử)

Trong cơ học lượng tử, lý thuyết nhiễu loạn là một tập hợp các sơ đồ gần đúng liên quan trực tiếp đến nhiễu loạn toán học để mô tả một hệ lượng tử phức tạp theo cách đơn giản hơn. Ý tưởng là bắt đầu với một hệ đơn giản với nghiệm toán học đã biết và thêm một "nhiễu loạn" bổ sung Hamiltonian thể hiện sự nhiễu loạn yếu cho cả hệ. Nếu nhiễu loạn không quá lớn, các đại lượng vật lý khác nhau liên quan đến hệ nhiễu loạn (ví dụ các mức năng lượng và trạng thái riêng) có thể được biểu thị dưới dạng như một sự "hiệu chỉnh" trong các hệ đơn giản. Những hiệu chỉnh này nhỏ so với giá trị của các đại lượng, có thể được tính bằng các phương pháp gần đúng như chuỗi tiệm cận. Do đó, hệ thống phức tạp có thể được nghiên cứu dựa trên những hiểu biết về hệ đơn giản. Trong thực tế, nó đang mô tả một hệ không thể giải chính xác bằng cách sử dụng một hệ đơn giản giải được chính xác.

Gần đúng Hamiltonian

Lý thuyết nhiễu loạn là một công cụ quan trọng để mô tả hệ lượng tử, vì rất khó khăn để tìm nghiệm chính xác cho phương trình Schrödinger với một Hamiltonian đơn giản. Hamiltonian mà chúng ta biết được nghiệm chính xác, như nguyên tử hidro, dao động tử điều hòa và hạt bị nhốt trong hộp, quá lý tưởng để mô tả đầy đủ hầu hết các hệ thống. Sử dụng lý thuyết nhiễu loạn, chúng ta có thể sử dụng các nghiệm đã biết của những Hamiltonian đơn giản này để tạo ra các nghiệm cho một loạt các hệ phức tạp hơn.

Áp dụng lý thuyết nhiễu loạn

Lý thuyết nhiễu loạn được áp dụng nếu bài toán hiện tại không thể giải được chính xác, nhưng có thể được hình thành bằng cách thêm một số hạng "nhỏ" vào mô tả toán học của bài toán có thể giải chính xác.
Ví dụ, bằng cách thêm một thế điện nhiễu loạn vào mô hình cơ học lượng tử của nguyên tử hidro, có thể tính được độ dịch trong các vạch quang phổ của hidro do sự hiện diện của điện trường (hiệu ứng Stark). Điều này chỉ gần đúng vì tổng thế Coulomb tuyến tính không ổn định (không có trạng thái liên kết thực sự) mặc dù thời gian xuyên hầm (tốc độ phân rã) rất dài. Sự không ổn định này xuất hiện như một sự mở rộng của các vạch phổ năng lượng, mà lý thuyết nhiễu loạn không thể tạo lại hoàn toàn.
Các biểu thức được tạo ra bởi lý thuyết nhiễu loạn không chính xác, nhưng chúng có thể dẫn đến những kết quả chính xác miễn là các tham số khai triển, gọi là α, rất nhỏ. Thông thường, các kết quả được biểu diễn theo chuỗi luỹ thừa hữu hạn theo α mà nó dường như hội tụ về các giá trị chính xác khi được lấy tổng đến bậc cao hơn. Tuy nhiên, sau bậc n ~ 1/α, các kết quả trở thành tệ hơn khi chuỗi  phân kì (là các chuỗi tiệm cận). Tồn tại các cách để chuyển đổi chúng thành chuỗi hội tụ, có thể được tính cho các tham số khai triển lớn, hiệu quả nhất bằng phương pháp biến phân.
Trong lý thuyết điện động lực học lượng tử (QED), trong đó tương tác electron-photon được xử lý một cách nhiễu loạn, việc tính toán moment từ của electron đưa ra các kết quả phù hợp với thí nghiệm đến mười một chữ số thập phân. Trong QED và các lý thuyết trường lượng tử khác, các kỹ thuật tính toán đặc biệt được gọi là giản đồ Feynman được sử dụng để lấy tổng một cách có hệ thống các số hạng chuỗi lũy thừa.

Nhiễu loạn lớn

Trong một số trường hợp, lý thuyết nhiễu loạn là một cách tiếp cận không hợp lệ để tiếp cận. Điều này xảy ra khi hệ của ta muốn mô tả không thể được mô tả bằng một nhiễu loạn nhỏ áp đặt trên một số hệ đơn giản. Chẳng hạn, trong sắc động lực học lượng tử, sự tương tác của các quark với trường gluon có thể được xử lý một cách nhiễu loạn ở năng lượng thấp vì hằng số coupling (tham số khai triển) trở nên quá lớn.

Trạng thái không đoạn nhiệt

Lý thuyết nhiễu loạn cũng không mô tả các trạng thái không được tạo ra một cách đoạn nhiệt từ "mô hình tự do", bao gồm các trạng thái liên kết và các hiện tượng tập thể khác nhau như soliton.  Ví dụ, hãy tưởng tượng rằng chúng ta có một hệ các hạt tự do (tức là không tương tác), với tương tác hút được đưa ra. Tùy thuộc vào hình thức tương tác, điều này có thể tạo ra một tập mới các trạng thái riêng tương ứng với các nhóm hạt liên kết với nhau. Một ví dụ về hiện tượng này có thể được tìm thấy trong tính siêu dẫn thông thường, trong đó lực hút của phonon được tạo thành giữa các electron dẫn đưa đến sự hình thành các cặp electron tương quan được biết đến là cặp Cooper. Khi phải đối mặt với các hệ như vậy, người ta thường chuyển sang các sơ đồ gần đúng khác, chẳng hạn như phương pháp biến phân và phương pháp gần đúng WKB. Điều này là do không có một hạt liên kết trong mô hình không nhiễu loạn và năng lượng của soliton thường tiến đến giá trị nghịch đảo của tham số khai triển. Tuy nhiên, nếu chúng ta "tích phân" theo các soliton, các hiệu chỉnh không nhiễu loạn trong trường hợp này sẽ rất nhỏ; bậc exp (1 / g) hoặc exp (1 / g ²) theo tham số nhiễu loạn g. Lý thuyết nhiễu loạn chỉ có thể tìm ra nghiệm "gần" với nghiệm không nhiễu loạn, ngay cả khi có các nghiệm khác mà khai triển nhiễu loạn không áp dụng tốt.

Tính toán khó

Bài toán các hệ không nhiễu loạn đã phần nào được cải thiện bởi sự ra đời của các máy tính hiện đại. Nó đã trở nên thiết thực để có được các nghiệm số không nhiễu loạn cho một số bài toán nhất định, sử dụng các phương pháp như lý thuyết phiếm hàm mật độ. Những tiến bộ này đã mang lại lợi ích đặc biệt cho lĩnh vực hóa học lượng tử. Máy tính cũng đã được sử dụng để thực hiện các tính toán lý thuyết nhiễu loạn đến độ chính xác cực cao, điều này đã chứng minh tầm quan trọng trong vật lý hạt để tạo ra kết quả lý thuyết có thể so sánh với thí nghiệm.

Lý thuyết nhiễu loạn độc lập thời gian

Lý thuyết nhiễu loạn độc lập thời gian là một trong hai loại lý thuyết nhiễu loạn, còn lại là nhiễu loạn phụ thuộc thời gian (xem phần tiếp theo). Trong lý thuyết nhiễu loạn độc lập thời gian, Hamiltonian nhiễu loạn là Hamiltonian dừng (nghĩa là không có sự phụ thuộc thời gian). Lý thuyết nhiễu loạn độc lập với thời gian đã được Erwin Schrödinger trình bày trong một bài báo năm 1926, ngay sau khi ông đưa ra các lý thuyết của mình trong cơ học sóng. Trong bài báo này, Schrödinger đã đề cập đến công trình trước đây của Lord Rayleigh, người đã nghiên cứu các dao động điều hòa của dây bị nhiễu loạn bởi tính không thuần nhất nhỏ. Đây là lý do tại sao lý thuyết nhiễu loạn này thường được gọi là lý thuyết nhiễu loạn Rayleigh-Schrödinger.