Grup teorisi

Grup kuramı, simetrileri inceleyen matematik dalıdır. Simetri kuramı olarak da adlandırılabilir. Bir nesnenin simetrileri ile kast edilen, nesneye uygulandığında nesneye hiçbir etki olmamış gibi sonuç veren dönüşümlerdir. Her nesnenin en az bir simetrisi vardır: hiçbir şey yapmadan olduğu gibi bırakma dönüşümü. Bahsettiğimiz dönüşümlerin tersleri de vardır ve aradığımız özellikleri sağlarlar. Son olarak da dönüşümlerin art arda yapılması, birleşimli bir işlemdir. Bu üç koşula sırasıyla birim elemana sahip olma, elemenların tersi olma, ve grup işleminin birleşmeli olması denir. Bu kavramların matematikte soyutlanması, üzerinde tersinebilir ve bileşme özelliğine sahip ikili bir işlemin tanımlı olduğu kümeler ile yapılır. Daha detaylı açıklamak gerekirse, grup nesnesi bir küme G ve onun üzerinde tanımlı bir  işleminden oluşur. Bu operasyonun aşağıdaki şartları sağlaması gereklidir:
1) G'nin herhangi üç elemanı a,b,c için
eşitliği sağlanmalıdır,
2) G'nin öyle bir e elemanı vardır ki, G'deki herhangi bir a için
eşitliği sağlanır (yani e etkisiz elemandır), ve de e, G'de bu özelliği sağlayan tek elemandır,
3) G'deki her a elemanı için öyle bir b elemanı bulmak mümkündür ki
eşitliği sağlansın. Eğer bu eşitlik sağlanıyorsa b elemanına a elemanının tersi adı verilir.
Yukardaki tanımda dikkat edilmesi gereken bir nokta ise işlemimizin değişme özelliği olduğunu varsaymıyor oluşumuzdur. Yani bazı gruplarda öyle iki a ve b elemanı bulmak mümkündür ki  olsun. Öte yandan eğer bir grupta fazladan değişme özelliği de varsa o gruba "Abel grubu" veya "değişmeli grup" denir. Gruplar sonlu , sayılabilir sonsuz veya sayılamaz sonsuz sayıda eleman içerebilirler.

Kısa tarih

İlk başta Fransız matematikçi Evariste Galois tarafından cisimler teorisi'ndeki sonlu genişlemeleri açıklamak için tanımlanmışlardır. Bu konu daha sonraları Galois genişlemeleri adıyla anılmaya başlanmış ve bu alanda karşımıza çıkan gruplara da Galois grupları denmiştir. Galois grupları günümüzde hala daha Cebirsel geometri alanının temel uğraş alanları içersindedirler. Öte yandan gruplar saf matematikte hızla başka uygulama alanları bulmuşlar ve katı hal fiziği ve Oyunlar teorisi gibi uygulamalı alanlara da sıçramışlardır. 1980'li yıllarda tamamlanan sonlu grupların sınıflandırılması projesi modern matematiğin en büyük başarılarından biri olarak kabul edilir.

Gruplara bazı örnekler

1) Tam sayılar kümesi ve üzerindeki toplama işlemi, bir Abel grubudur.
2) 0'dan farklı rasyonel sayılar ve çarpma işlemi, bu da Abeldir.
3) Simetrik n grubu,  kümesinden kendi içersine birebir örten fonksiyonlardan oluşur. Eleman sayısı  dir ve Abel değildir. n sonsuz ise, bu grubun eleman sayısı da sonsuzdur.
4) Lie grupları, diferansiyel geometri alanının uğraş konularıdır. Lie gruplarının en temel örneği, genel doğrusal grup olarak adlandırılan ve   ile gösterilen,  doğrusal uzayanın birebir örten ve doğrusal dönüşümlerinin oluşturduğu gruptur.
5) n bir pozitif tam sayı ve G, 2n mertebeli bir grup olsun G’nin ( e, G’nin birimi ) a²=e olacak şekilde e’ den farklı bir a elemanı vardır.
6) Boş olmayan bir  kümesi verilsin.  tarafından üretilen serbest grup,  ile gösterilen ve elemanları  in elemanları tarafından oluşturulan sadeleşmiş kelimeler olan gruptur.  boş olmadığından  her zaman sonsuzdur.  ise  dir.  ise  değişmeli değildir.

Grupların Gösterim Kompleksleri

Grup gösterimleri kullanılarak, her gruba karşılık bir hücre kompleksi inşa edilir. Bu teknik, geometrik grup teorisinde sıklıkla kullanılır.   gibi bir gösterimin verildiğini kabul edelim.  ile tek noktası olan topolojik uzayı gösterelim.  kümesinin her elemanı için, 1-boyutlu bir kenar, bu tekil noktaya uç noktalarından yapıştırılsın. Oluşan uzayı  ile gösterelim.  kümesinin elemanları,  içinde birim elemana denk gelen kelimeler olduklarından, bu tür her kelimeye karşılık, 2-boyutlu bir disk, topolojik sınırı 1-boyutlu kenarlara denk gelecek  şekilde yapıştırılabilir. Oluşan 2-boyutlu  uzayı,  nin hücre kompleksi dir. Bu hücre kompleksinin temel grubu  nin kendisi olup, topolojik evrensel örtüsünün 1-boyutlu iskeleti  nin Cayley çizgesidir.
Örnek:  in gösterim kompleksi torustur.