Monty Hall problemi

Kafa karışıklığının kaynakları

Monty Hall problemi ilk açıklandığı zaman insanların büyük çoğunluğu tüm kapıların eşit olasılıkta olduğunu ve kapı değiştirmenin önemli olmadığını düşünmekteydi (Mueser and Granberg, 1999). Yapılan bir çalışmada 228 denekten yalnızca %13'ü kapı değiştirmeyi seçti (Granberg and Brown, 1995:713). The Power of Logical Thinking isimli kitabında vos Savant (1996:15) bilişsel psikolog Massimo Piattelli-Palmarini'nin  "... tarihte diğer hiçbir istatistiksel bulmaca insanları kandırmaya bu kadar yaklaşmadı" ve "Nobel Ödüllü fizikçiler bile bu probleme sistematik şekilde yanlış cevap verir ve bunda ısrar eder. Ayrıca doğru yanıtı verenleri basılı bir eserle paylamaya hazırdırlar." sözleri ile bu durumu anlattı.
Problemin çoğu açıklaması, özellikle de Parade Magazine'deki, asıl yarışma programının kurallarına uymaz (Krauss and Wang, 2003:9) ve sunucunun davranışını ya da arabanın yerinin rastgele seçildiğini açıkça belirtmez (Granberg and Brown, 1995:712). Krauss ve Wang, insanların açıkça belirtilmiş olmasa da bazı noktalara ilişkin standart varsayımlarda bulunduğunu ileri sürdü (2003:10). Bu meseleler matematiksel açıdan önemli olsa da, bu etmenleri ele alırken dahi neredeyse tüm insanlar hâlâ, açılmamış iki kapının olasılığının eşit olduğunu ve dolayısıyla kapı değiştirmenin bir şeyi değiştirmeyeceğini düşünür (Mueser and Granberg, 1999). Bu "eşit olasılık" varsayımı, derin şekilde kökleşmiş bir sezgidir (Falk 1992:202). İnsanlar öyle olsa da olmasa da, olasılıkların o anda mevcut tüm bilinmeyenler arasında eşit şekilde dağıldığını güçlü biçimde düşünme eğilimindedir (Fox and Levav, 2004:637).
Monty Hall problemi açısından kökleşmiş bir diğer nokta ise, zaten bilinmekte olan bilgilerin ortaya çıkarılmasının olasılıkları etkilemeyeceğine duyulan inançtır (Falk 1992:207). Bu yöndeki sezgi, sunucunun bir kapıyı açmasının, yarışmacının en başta 1/3 olan arabayı bulma olasılığını değiştirmeyeceğini öne süren çözümlerin de temelini oluşturur. Tam problem için bu sezgi, seçimi değiştirmenin 2/3 olasılıkla kazandıracağı doğru sonucuna götürür; ancak, doğru yanıtın bu olmadığı kısmen değiştirilmiş problemlerde de götüreceği sonuç aynıdır (Falk 1992:207).
According to Morgan et al. (1991) "The distinction between the conditional and unconditional situations here seems to confound many."  That is, they, and some others, interpret the usual wording of the problem statement as asking about the conditional probability of winning given which door is opened by the host, as opposed to the overall or unconditional probability.
These are mathematically different questions and can have different answers depending on how the host chooses which door to open when the player's initial choice is the car (Morgan et al., 1991; Gillman 1992).  For example, if the host opens Door 3 whenever possible then the probability of winning by switching for players initially choosing Door 1 is 2/3 overall, but only 1/2 if the host opens Door 3.  In its usual form the problem statement does not specify this detail of the host's behavior, nor make clear whether a conditional or an unconditional answer is required, making the answer that switching wins the car with probability 2/3 equally vague.  Many commonly presented solutions address the unconditional probability, ignoring which door was chosen by the player and which door opened by the host; Morgan et al. call these "false solutions" (1991).  Others, such as Behrends (2008), conclude that "One must consider the matter with care to see that both analyses are correct."

Olasılık neden 1/2 değil?

Yarışmacının ilk turda arabalı kapıyı seçmesi için 3'te 1 şansı vardır. Sonra Monty Hall seçilmeyen iki kapıdan içinde keçi olduğunu bildiği birini rastgele olmayan şekilde açar. Eğer yarışmacı başlangıçta arabalı kapıyı seçmişse (başlangıçta şansı 1/3) geriye kalan kapıda bir keçi olacaktır. Eğer yarışmacı keçili kapıyı seçmişse (başlangıçtaki şansı 2/3) geri kalan kapıda bir araba olacaktır.
Buradaki kritik nokta Monty'nin bir kapıyı rastgele seçmediğidir - yarışmacı tercihini yaptığında Monty içinde keçi olduğunu bildiği bir kapıyı seçer. Bunun anlamı Monty'nin seçiminin, başlangıçta arabanın yarışmacının kapısının ardında olma olasılığını etkilemeyeceğidir. Yarışmacıya kapıyı değiştirip değiştirmeyeceği sorulduğunda, hala başlangıçta arabalı kapı seçilme olasılığı 3'te 1 ve keçili kapı seçilme olasılığı 3'te 2'dir. Ancak şimdi Monty diğer kapılardan birini açar ve açtığı kapıda araba bulunamaz, yani yarışmacının kapısında keçi bulunma olasılığı 3'te 2 ve kalan kapıda araba olma olaslığı da 3'te 2'dir.
Bu Monty'nin kapısını rastgele seçmesi ve arabayı açığa çıkarması ihtimalinin var olmasından farklı bir senaryodur. Bu durumda keçinin açığa çıkması, yarışmacının başlangıç seçimininin araba olması olasılığını 2'de 1'e yükseltecektir. Bu farklılık orijinal problemin, vos Savant'ın 2006 Kasım'ındaki köşesinde görülen değiştirilmiş versiyonu ile karşılaştırılması ile ispatlanabilir. Bu versiyonda Monty Hall hangi kapıda arabanın saklandığını unutur. Kapılardan birini rastgele seçer ve keçi açığa çıktığında rahatlar. Yarışmacıya kapısını değiştirip değiştirmeyeceği sorulduğunda vos Savant doğru bir şekilde yanıtlar "Eğer sunucu bilmiyorsa, değiştirmeniz ya da değiştirmemeniz hiçbir şey farkettirmez. Eğer sunucu biliyorsa değiştirin" (vos Savant, 2006).
Another way of looking at the situation is to consider that if the contestant chooses to switch then they are effectively getting to see what is behind 2 of the 3 doors, and will win if either one of them has the car. In this situation one of the unchosen doors will have the car 2/3 of the time and the other will have a goat 100% of the time. The fact that Monty Hall shows one of the doors has a goat before the contestant makes the switch is irrelevant, because one of the doors will always have a goat and Monty has chosen it deliberately. The contestant still gets to look behind 2 doors and win if either has the car, it is just confirmed that one of doors will have a goat first.

Kapıların sayısını artırmak

Aynı problemde kapıların sayısının üç yerine 1.000.000 olduğunu düşünmek, çözümü kavramayı kolaylaştırabilir (vos Savant 1990; Nesin 2009). Bu durumda ardında keçi olan 999.999 kapı ve ödül bulunan bir kapı olur. Yarışmacı bir kapıyı seçer. Daha sonra sunucu diğer 999.998 kapıyı açarak keçileri gösterir - sunucunun ilk kapıdan başlayarak 1.000.000 kapılık sırayı takip ettiğini, her birini açtığını, yalnızca yarışmacının seçtiği kapı ile başka bir kapıyı daha atladığını düşünelim. Ardından sunucu yarışmacıya açılmamış diğer kapıyı seçme şansı olduğunu söyler. Ortalama 1.000.000'da 999.999 olasılıkla diğer kapı ödüle açılır, zira 1.000.000'da 999.999 olasılıkla yarışmacının ilk seçtiği kapının ardında keçi vardır. Akılcı bir yarışmacı kapıyı değiştirmelidir. Sezgisel bakılırsa, yarışmacı, bir milyon kapı içinden doğru olanı seçmeyi başarma olasılığını sorgulamalıdır. Örnek, seçimi değiştirerek başarı sağlama olasılığının (1 eksi ilk seçimde doğru kapıyı seçme olasılığı) her sayıda kapı için eşit olduğunu ortaya koymak için de kullanılabilir. Ancak unutulmamalı ki, bu örnek, sunucunun ödülün nerede olduğunu bildiği varsayımına ve ödülü saklayan kapıyı açmaması gereğine dayanır. Eğer yarışmacı ilk seçiminde ödülü saklayan kapıyı bulmayı başarmışsa, sunucu açmayacağı diğer kapıyı rastgele seçer.
Bu örnek, sunucunun ödülün yerini bilmediği ve kapıları rastgele açtığı tam tersi bir durumu açıklamakta da kullanılabilir. 1.000.000'da 999.999 olasılıkla yarışmacı en başta yanlış kapıyı seçecektir, ödül diğer kapılardan birinin ardındadır. Eğer sunucu ödülün yerini bilmeksizin kapıları rastgele açıyorsa, aralarında yeni bir seçim yapılacak son iki kapıya (yarışmacının seçimi ile diğer kapı) gelmeden, büyük olasılıkla ödülü saklayan kapıyı açacaktır. Bu durum bir başka yarışma programı olan Deal or No Deal'a benzer. Bu programda yarışmacı numaralandırılmış bir çantayı seçer ve daha sonra diğerlerini her defasında bir tane olmak üzere açar.
Stibel ve diğerleri (2008) çalışan zihin talebinin Monty Hall problemi sırasında zorlandığını ve bunun, insanların seçimlerinin iki eşit olasılıklı seçeneğe dönüşerek çökmesine yol açtığını öne sürdü. Ayrıca seçeneklerin (kapıların) sayısının yedinin üzerine çıkmasının insanlardaki seçimi değiştirme eğilimini artırdığını; ancak, yine de çoğunluğun hâlâ başarı şansını hatalı olarak yarı yarıya gördüğünü ortaya koydu.

Pratik çözüm

Yapılan araştırmalara göre, keçi seçme ihtimaline aslında arabayı kazanma ihtimaline eşittir. İlk seçilen kapı keçi olması kaidesiyle her halükarda araba kazanılır. Bu da kazanma ihtimalinin 2/3 olduğunu ispatlar.

Simülasyon yoluyla çözüm

Seçimi değiştirme stratejisinin gerçekten ortalama üçte iki olasılıkla kazandıracağını ispatlamanın basit bir yolu da, yarışmayı oyun kartlarına uyarlamaktır (Gardner 1959b; vos Savant 1996:8). Alelâde bir desteden üç kart, üç kapıyı temsil eder. Maça ası gibi bir 'özel' kart arabayı saklayan kapıyı, iki kırmızı ikili gibi iki sıradan kart da, keçileri saklayan kapıları temsil eder.
Şu yöntem defalarca tekrarlanarak oyunun birçok devresi uyarlanabilir: Yarışmacının ilk seçimini temsil eden kart yarışmacının önünde ters şekilde durur. Daha sonra en az biri kırmızı ikili olan iki karta bakan sunucu, kırmızı ikili olan bir kartı açar. Eğer sunucunun elinde kalan kart Maça ası ise, bu, yarışmacının seçimini değiştirerek kazanacağı bir devredir. Eğer sunucunun elinde kalan kart kırmızı ikili ise, bu, yarışmacının ilk seçiminde ısrar ederek kazanacağı bir devredir.
Büyük sayılar yasasına göre bu deney, kazanma olasılığını yaklaşık olarak ortaya koyar ve deneyi yeterli defa tekrarlamak yalnızca yarışmacının seçimini değiştirerek üçte iki olasılıkla kazanacağını değil, bunun nedenini de gösterir. Yarışmacıya bir kart dağıtıldıktan sonra, değiştirmenin kazandırıp kazandırmayacağı zaten bellidir ve Maça ası, üçte iki olasılıkla sunucunun elindedir.
Bu ikna edici değilse, benzetme, kartlardan biri yarışmacıya verilmek ve kalan 51'i sunucuda kalmak üzere tüm bir desteyle de yapılabilir (Gardner 1959b; Adams 1990). Bu durumda Maça ası 52'de 51 olasılıkla sunucudadır ve kaç Maça ası olmayan kart açılırsa açılsın, onda kalmaya devam eder.
vos Savant'ın öne sürdüğü bir başka benzetmede, sunucu kapıları temsil eden üç kupadan birinin altında arabayı temsil eden bir madeni parayı ya da deniz kabuklarının altında bir bezelyeyi saklar.

N sayıda kapı

D. L. Ferguson (Selvin 1975b'deki alıntıya göre 1975'te Selvin'e yazdığı bir mektubunda) orijinal oyunun bir N sayıda kapı şeklinde genelleştirilmişini önermektedir. Bu durumda sunucu p sayıda kaybeden kapıyı açar ve oyuncuya değiştirme fırsatını verir; bu şekilde değiştirmeyle kazanma olasılığı 
(N−1)/[N(N−p−1)] olur. Sunucu sadece bir kapıyı açmışsa bile oyuncunun değiştirmesi yine de yararına olur ancak N sayısı büyüdükçe avantaj da sıfıra yaklaşır (Granberg 1996:188). Diğer uç durumda sunucu bir kaybeden kapı dışında diğerlerinin tamamını açarsa, değiştirmeyle kazanma şansı 1'e yaklaşır.
Bapeswara Rao ve Rao (1992) farklı bir N sayıda kapı versiyonu önermektedir. Bu versiyonda sunucu oyuncunun seçiminden faklı bir kaybeden kapı açmaktadır. Sunucu, geriye yalnızca iki kapı kalana kadar her kapı açışında oyuncuya tercihini değiştirmesi için bir fırsat verir. Dört kapı ile yapılabilecek en uygun strateji önce kapıyı seçmek ardından sadece iki kapı kalınca tercihi değiştirmek olacaktır. N sayıda kapı ile bu stratejinin kazanma olasılığı (N−1)/N'dir ve bunun en uygunu olduğu iddia edilmektedir.

Quantum version

A quantum version of the paradox illustrates some points about the relation between classical or non-quantum information and quantum information, as encoded in the states of quantum mechanical systems. The formulation is loosely based on Quantum game theory. The three doors are replaced by a quantum system allowing three alternatives; opening a door and looking behind it is translated as making a particular measurement. The rules can be stated in this language, and once again the choice for the player is to stick with the initial choice, or change to another "orthogonal" option. The latter strategy turns out to double the chances, just as in the classical case. However, if the show host has not randomized the position of the prize in a fully quantum mechanical way, the player can do even better, and can sometimes even win the prize with certainty (Flitney and Abbott 2002, D'Ariano et al. 2002).

Problemin tarihi

Monty Hall problemine benzer birkaç olasılık bulmacasından en eskisi Bertrand'ın kutu paradoksudur. Bu 1889'da Joseph Bertrand tarafından Calcul des probabilités adlı kitabında ortaya atıldı (Barbeau 1993). Bu bulmacada üç kutu bulunur: bir kutu iki altın madeni para, bir kutu iki gümüş madeni para ve bir kutu da her birinden birer tane madeni para içerir. Bir kutunun rastgele seçilmesinin ve bir madeni paranın rastgele çekilmesinin ardından, çekilen paranın altın olması durumunda geriye kalan paranın altın olma olasılığı nedir. Monty Hall probleminde olduğu gibi burada da sezgisel yanıt 1/2'dir, halbuki olasılık 2/3'tür.
Martin Gardner'ın Scientific American'daki Mathematical Games köşesinde 1959'da yayınlanan üç mahkûm problemi (1959a, 1959b), Monty Hall probleminin izomorfudur. Problem, rastgele içlerinden biri gizlice seçilip affedilecek olan üç mahkûmu içerir. Mahkûmlardan biri, diğer mahkûmlardan idam edilecek olanın adını söylemesi için gardiyana yalvarır. Bu mahkûmun kendi kaderi hakkında hiçbir bilgiyi açığa çıkarmasa da kendi affedilme şansını 1/3'ten 1/2'ye çıkarır. The warden obliges, (secretly) flipping a coin to decide which name to provide if the prisoner who is asking is the one being pardoned. The question is whether knowing the warden's answer changes the prisoner's chances of being pardoned. This problem is equivalent to the Monty Hall problem; the prisoner asking the question still has a 1/3 chance of being pardoned but his unnamed cohort has a 2/3 chance.
Steve Selvin 1975'te American Statistician dergisine gönderdiği bir çift mektup ile Monty Hall problemini ortaya attı (1975a, 1975b). İlk mektup, 15 yıl sonra Parade dergisinde yayınlanan gösterime yakın bir problem içeriyordu. İkici mektup "Monty Hall problemi" teriminin ilk kullanımı gibi görünmektedir. Problem aslında yarışma programının bir ekstrapolasyonudur. Monty Hall heyecan yaratmak için yanlış bir kapıyı açar ve yarışmacıya, kapı değiştirme fırsatı yerine 100 $ gibi daha küçük bir ödül teklif eder. Monty Hall'ün Selvin'e yazdığı bir mektuba göre:

And if you ever get on my show, the rules hold fast for you—no trading boxes after the selection. (Hall 1975)
A version of the problem very similar to the one that appeared three years later in Parade was published in 1987 in the Puzzles section of The Journal of Economic Perspectives (Nalebuff 1987).
Phillip Martin's article in a 1989 issue of Bridge Today magazine titled "The Monty Hall Trap" (Martin 1989) presented Selvin's problem as an example of what Martin calls the probability trap of treating non-random information as if it were random, and relates this to concepts in the game of bridge.
A restated version of Selvin's problem appeared in Marilyn vos Savant's Ask Marilyn question-and-answer column of Parade in September 1990 (vos Savant 1990). Though vos Savant gave the correct answer that switching would win two-thirds of the time, she estimates the magazine received 10,000 letters including close to 1,000 signed by PhDs, many on letterheads of mathematics and science departments, declaring that her solution was wrong (Tierney 1991). Due to the overwhelming response, Parade published an unprecedented four columns on the problem (vos Savant 1996:xv).  As a result of the publicity the problem earned the alternative name Marilyn and the Goats.
In November 1990, an equally contentious discussion of vos Savant's article took place in Cecil Adams's column The Straight Dope (Adams 1990). Adams initially answered, incorrectly, that the chances for the two remaining doors must each be one in two. After a reader wrote in to correct the mathematics of Adams' analysis, Adams agreed that mathematically, he had been wrong, but said that the Parade version left critical constraints unstated, and without those constraints, the chances of winning by switching were not necessarily 2/3. Numerous readers, however, wrote in to claim that Adams had been "right the first time" and that the correct chances were one in two.
The Parade column and its response received considerable attention in the press, including a front page story in the New York Times (Tierney 1991) in which Monty Hall himself was interviewed. He appeared to understand the problem, giving the reporter a demonstration with car keys and explaining how actual game play on Let's Make a Deal differed from the rules of the puzzle.
Over 40 papers have been published about this problem in academic journals and the popular press (Mueser and Granberg 1999).  Barbeau 2000 contains a survey of the academic literature pertaining to the Monty Hall problem and other closely related problems.
The problem continues to resurface outside of academia. The syndicated NPR program Car Talk featured it as one of their weekly "Puzzlers," and the answer they featured was quite clearly explained as the correct one (Magliozzi and Magliozzi, 1998). An account of the Hungarian mathematician Paul Erdős's first encounter of the problem can be found in The Man Who Loved Only Numbers—like many others, he initially got it wrong. The problem is discussed, from the perspective of a boy with Asperger syndrome, in The Curious Incident of the Dog in the Night-time, a 2003 novel by Mark Haddon. The problem is also addressed in a lecture by the character Charlie Eppes in an episode of the CBS drama NUMB3RS (Episode 1.13) and in Derren Brown's 2006 book Tricks Of The Mind. Penn Jillette explained the Monty Hall Problem on the "Luck" episode of Bob Dylan's Theme Time Radio Hour radio series. The Monty Hall problem appears in the film 21 (Bloch 2008). Economist M. Keith Chen identified a potential flaw in hundreds of experiments related to cognitive dissonance that use an analysis with issues similar to those involved in the Monty Hall problem (Tierney 2008).