Süperpozisyon prensibi (fizik)

Fourier analizi ve benzeri yöntemlerle İlişkisi

Lineer sistemde uyaranlar ve dönütler basit, sadeleştirilmiş daha genel bir biçimde yazılırsa hesaplamak çok daha kolaylaşır.
Örneğin; Fourier analizinde uyarıcılar birçok sinüzoidlerin süper pozisyonu olarak yazılabilir. Süperpozisyon prensibinden dolayı, bu sinüzoidlerin her biri ayrı ayrı analiz edilebilir ve bireysel dönütleri hesaplanabilir. (Dönütün kendisi aynı frekansla ama genellikle farklı dalga boyu ve fazıyla sinüzoidin kendisidir.) Süperpozisyon prensibine göre, orijinal uyarıcıya dönüt bireysel sinüzoidlerin dönütlerinin toplamına(ya da integraline) eşittir.
Diğer bir yaygın örnek ise; Green’in fonksiyon analizinde, uyaranlar birçok dürtü işlevlerinin süper pozisyonu olarak yazılabilir ve dönüt de dürtü dönütlerinin süper pozisyonu olarak yazılabilir.
Bilhassa Fourier analizi dalgalar için oldukça yaygın bir analizdir. Örneğin, elektromanyetik teoride, sıradan ışık düzlem dalgaların (sabit frekans, polarizasyon ve yön) süper pozisyonu olarak tanımlanır. Süperpozisyon prensibi uygulanabilir olduğu durumlarda (genellikle uygulanamaz; örneğin doğrusal olmayan optik), her bir ışık dalgasının davranışı düzlem dalgaların davranışlarının süper pozisyonu olarak anlamlandırılabilir.

Dalga süper pozisyonu

Dalgalar genellikle uzay ve zaman boyunca bazı parametrelerin varyasyonları olarak tanımlanır. Örneğin, su dalgasının yüksekliği, ses dalgasının basıncı ya da ışık dalgasının içindeki elektromanyetik alan. Bu parametrelerin değerleri dalganın genliği olarak adlandırılır ve dalganın kendisi genliğinin her noktada tanımlandığı fonksiyondur.
Dalgalı her sistemde, belirtilen her andaki dalga kaynağın fonksiyonudur ve sistemin ilk durumudur (örneğin, dış kuvvetler eğer varsa, dalgayı yaratır veya etkiler). Her durumda da (örneğin , klasik dalga denklemleri) denklem dalgayı lineer olarak tanımlar. Bu durumun doğru olduğu zamanlarda süperpozisyon prensibi uygulanabilir. Bu da demek oluyor ki aynı ortamda iki veya daha fazla çapraz dalga geçişi tarafından gerçekleşen net genlik ayrı ayrı üretilen dalgaların genliklerinin toplamına eşittir. Örneğin, birbirine doğru hareket eden iki dalga birbirlerini saptırmadan diğer tarafa geçerler.( Üstteki resme bakınız)

Dalga Girişim – Dalga Kırılma

Richard Feynman dalga süper pozisyonunun önemi için şöyle yazmıştır:
Hiç kimse dalga girişimi ve kırınımı arasındaki farkı tatmin edici bir şekilde açıklayamamıştır. Bu fark sadece görünümde bir soru olup aralarında belirli ve önemli bir fark yoktur. Söyleyerek verebileceğimiz en iyi cevap ise sadece birkaç kaynak varken örneğin iki karışan varsa sonuç genel olarak girişim, ancak daha fazla sayıda varsa kullanılan kelime kırınım sözcüğü daha sık olarak kullanılır.
Diğer yazarlar ise şöyle detaylandırmışlardır:
Farklılık kullanım ve toplanmadır. Eğer dalgalar üst üste tutarlı birkaç dalgadan meydana geliyorsa örneğin iki dalga, buna girişim denir. Diğer taraftan, eğer dalgalar küçük parçalar halinde üst üste meydana geliyorsa buna da kırınım denir. Bu farklılık iki olay arasındaki derece farkıdır ve süper pozisyon efektinin temel olarak belirleyici durumlarıdır.
Yine başka kaynaklar şöyle ele alır:
Young tarafından gözlendiği kadarıyla girişim saçakları çift yarık kırınım desenidir. Bu bölüm [Fraunhofer kırınımı] ,8. Bölümün devamı niteliğindedir. Diğer taraftan bazı gözlemciler Michelson girişim aracını kırınımın bir örneği olarak sayarlar. Kırınımın birkaç önemli kategorilerinden biri de dalga bölünmesine eş değer olabilen girişim aracıyla alakalıdır ve buna dayanarak Feynman’ın gözlemleri genlik bölünmesi ve dalga bölünmesi arasındaki farkı görmemizi sağlaması gibi bazı genişletilmiş zorlukları ifade eder.

Doğrusallıktan Kalkışlar

En gerçekçi fiziksel durumlarda, dalga yöneten denklem sadece yaklaşık doğrusaldır.
Bu durumlarda, süperpozisyon prensibi yaklaşık olarak tutar. Kural olarak, yaklaşımın doğruluğu dalganın genliğini küçültmeye eğilimlidir. Süperpozisyon prensibinin tam olarak uygulanamayacağının ortaya çıktığı durumların örneklerinde doğrusal olmayan optik ve doğrusal olmayan akustik başlıklarını inceleyiniz.

Kuantum Süper pozisyonu

Kuantum mekaniğinde, temel görev belirli dalgaların nasıl yayılıp nasıl davranışta bulunacağını hesaplamaktır. Bu dalga, dalga fonksiyonu olarak adlandırılır ve dalganın davranışını yöneten denklem Schrödinger’in dalga denklemi olarak adlandırılır. Dalga fonksiyonunun davranışını hesaplamak için ilk yaklaşım, başka belirli şekillerdeki dalga fonksiyonlarını-durağan durumlar, davranışları belirli olanlar- süper pozisyon (kuantum süper pozisyonu) şeklinde yazmaktır. Schrödinger’in dalga denklemi doğrusal olduğundan dolayı, orijinal dalganın davranışı süperpozisyon prensibi olarak bu yol ile hesaplanabilir.

Diğer örnek uygulamaları

•Elektrik mühendisliğinde, doğrusal devrede, giriş (zamanla değişen gerilim sinyalinin uygulandığı) çıkış ile (devre içinde her yerde akım veya gerilim) doğrusal dönüşüm ile bağlantılıdır. Böylece giriş sinyallerinin süper pozisyonu dönüt sinyallerinin süper pozisyonuna yol verecektir. Bu temelde Fourier analizinin kullanımı yaygındır. Diğerleri için, devre analizinde benzer teknikler için süper pozisyon teoremine bakınız.
•Fizikte, Maxwell denklemleri, yüklerin dağılımı ve akımlar elektrik ve manyetik alanla doğrusal dönüşümle bağlantılıdır. Böylece süperpozisyon prensibi, yük ve akım dağıtımından ortaya çıkan alanları hesaplamak için kullanılabilir. İlke fizikte ortaya çıkan diğer lineer diferansiyel denklemler için de kullanılabilir.
•Makine mühendisliğinde, etkiler doğrusal olduğu zaman( örneğin, yükler diğer yüklerin sonuçlarını etkilemediği zaman ve her bir yükün etkisi yapısal sistemin geometrisini değiştirmediği zaman) kiriş ve yapıların sapmalarını çözmek için kullanılır. Mod süperpozisyon prensibi yöntemi doğal frekansları ve mod şekillerini doğrusal yapıların dinamik tepkilerini nitelendirmek için kullanılır.
•Hidrojeolojide iki ya da daha fazla su kuyularının düşümlerinin ideal akifere pompalanması için kullanılır.
•İşlem kontrolünde, süperpozisyon prensibi model prediktif kontrol için kullanılır.
•Süperpozisyon prensibi bilinen çözümlerin doğrusal olmayan sistemlerinin doğrusallaştırma yapılarak analiz edilmesinde kullanılır.
•Müzikte kuramcı Joseph Schillinger, müzikal kompozisyonun Schillingeer sisteminde rithim teorisinin temel ilkesi olarak süperpozisyon prensibinin bir oluşumunu kullanmıştır.

Tarihi

Leon Brillouin’e göre, süperpozisyon prensibi ilk olarak 1753 te Daniel Bernoulli tarafından belirtildi. İlke Leonhard Euler tarafından reddedildi ve daha sonra Joseph Lagrange tarafından da reddedildi. Daha sonra kabul görmeye başladı ve Joseph Fourier tarafından çalışıldı.