Fourier optiği

Fourier optik ilkeleri Uygulamaları

Fourier optiği,  klasik 4F işlemci ile optik bilgi işleme alanında kullanılır. 
Fourier dönüşümleri, lens özellikleri açısından da optiksel sinyal işleme uygulamalarında optik görüntü korelasyonu ve billgisyarlı hologram gibi sayısız uygulamaları vardır. 
Fourier optik teorisi enterforemetre, optik cımbızı, atom tuzakları ve kuantum hesaplamaları gibi birçok alanda kullanılır. Fourier optik konsepti mekansal frekans düzlemde ışığın yoğunluğunun fazını yeniden ayarlamak için kullanılır.

Nesne kesme ve Gibbs fenomeni

(2.1) denkleminde gösterilen dağınık şekilde modüle edilmiş elektrik alan, genellikle sadece sonlu ( genellikle dikdörtgen) x,y alanını işgal eder. Dikdörtgen alan genellikle iki boyutta bu iki boyutlu dikdörtgen alanın dışında sıfır kabul edilen  kare-üst süzgeci gibi davranır. Denklemin sağ tarafındaki Fourier dönüşüm katsayıları toplamak için parçalı integraller bu alanın sınırında kesilirler. Bu adım kesme yöntemi teorik hesaplamalarda, denklemin RHS düzlem dalga değerlerininde yanlışlık ortaya çıkmasına neden olabilir.
Bir işlev Fourier dönüşümü etki alanında kesildiği zaman, genişletililerek veya dalganma ile diğer Fourier dönüşüm etki alanında kullanılmaya başlanır. Havadar denklem, quadratik bir lens ile aydınlatılmış olan eksen düzleminde nokta dağılım fonksiyonu optikten mükemmel bir örnektir. Bu kaynak hatası genellikle Gibbs fenomeni olarak bilinir ve şeffaflığın merkezindeki çok küçük küsüratların yuvarlanması yoluyla veya sorunsuz çerçeve sınırlarında sıfırı kapsayan pencere fonksiyonlarının kullanımı yoluyla gidirebilir. Kıvrım teoremi yoluyla, herhangi bir şeffaf fonksiyonun Fourier dönüşümü olmayan tepe bölümü kesilmiş şeffaflık fonksiyonunun Green'in fonksiyonuna dönüşmüş veya impuls itki fonksiyonu olarak adlandırılan Fourier dönüşümüne eşittir. Dairesel lensin görüntüsü, Airy fonksiyonuyla evrimleşmiş nesne düzlem fonksiyonuna eşittir.

Fourier analizi ve işlevsel ayrışma

Giriş şeffalığı, x-y düzleminde yalnızca sınırlı bir alan işgal ettiği halde ( alan 1), dalga spektrumunu içeren düzlemsel dalgalar tüm x-y düzlemini işgal eder. Bu durumda da neden yalnızca uzunlamasına olan düzlem dalga fazının ( z konumunda düzlem 1den düzlem 2 ye doğru) düşünülmesi gerektiğidir. Tabii ki, eğer sınırlı sonlu açıklık sonsuzdan getirildiğinde yayılan düzlemsel dalga, her nasılsa lensinin , düzgün düzlemsel dalganın bütün lokasyonlarda (x,y) düzlemine çapraz olacağından doalyı eksik olacağını düşünmek verimli olacaktır.
Bu durum, beraberinde Fourier analizi için baskın bir sorunu da  beraberinde getirir. Sonlu bir destek üzerinden tanımlanan  giriş-düzlem fonksiyonu olduğunu, ve diğer fonksiyonalara yaklaştırılarak elde edildiği gibi. Bu inanılmaz derecede verimsiz bir hesaplama haline gelir ve neden dalgacıkların fonksiyonda neden sınırlı alanlarda tanımlanan gösterimlerinin fonksiyonda temsil edilmediğinin nedenidir. Bu nedenle, Tek seferde tüm görüntülerin frekans içeriğini almak yerine ( görüntünün sıfır değerine sahip olduğu x-y düzlemi içerisinde, tüm geri kalan frekans içeriği ile birlikte), sonuç için görüntünün farklı kısımlarının frekans içeriğini almak daha kolay olacaktır. Ne yazık ki, X-y düzleminde dalgacık, yayılan dalga fonksiyonun bilinen herhangi bir tipine karşılık gelmez, aynı şekilde (x-y düzlemi içerisinde) Fourier sinüzoidleri de  üç boyutlu düzlemsel dalga işlevlerine tekabül eder. Ancak, Fourier dönüşümünün birçok dalgacığı çok iyi bilinmekle birlikte, bazı yayılma alanlarında mümkün olduğunca gösterime sahiptirler.
Diğer bir yandan ise, Sinc fonksiyou be Airy fonksiyonları – dikdörtgensel ve küresel deliklerde tek nokta dağılım fonksiyonu gösteren fonksiyon değildirler ancak fonksiyonel ayrışma için kullanılan kardinal fonksiyonlardır [scoot 1990]-  yakınsak veya ıraksak küresel dalgalara tekabül ederler ve düzlemsel nesne fonksiyonunun yeni ayrışma fonksiyonu olarak uygulanbilirler. Bu temelde geleneksel ray optiği ile  sapma efektinin de eklenmesi ile aynı anlayış olacaktır. Bu durumda, Her nokta dağılım fonksiyonu 'yumuşak pikselin' bir türü olacaktır ve yumuşak pulslar içinde aynı yol izlenecektir.

Uzak alan aralığı ve 2D2 / λ kriteri

Yukarıdaki şekilde, Merceklerin Fourier dönüşüm özelliklerini ve lenslerin nesne düzlem şeffaflığına yakın alanda olduğunu üstelik, lens nesne düzlem alanlarının düzlem dalgalarının üst üste görüntüsü  olarak kabul edildiği  ve her birinin z eksenin göre bir açıda ilerlediği örneklenmektedir. Bu açıdan, uzak kritlerli =2 D2 / λ  şeklinde zayıf bir şekilde tanımlanır. Burada D optik kaynaklarının maksimum doğrusal derecesi ve λ da dalgaboyunu temsil eder. (Scoot [1989]). Burada, D 10−2 m derecesinde ve dalgaboyu ise 10−6 m derecesindedir. Üstelik D/λ oranının değeride 104. tekabül eder.
Herhangi bir PSFnokta alanında objektif olduğundan dolayı, yerden lens üzerinde saha olayı denklem (2.2) de gösterildiği düzlemsel bir dalga gibi değil  bir küresel dalga olarak kabul edilebilir. Öte yandan, lens tüm giriş düzlemi şeffaflığındadır. Üstelik, denklem (2.1) doğru bir şekilde büyük, genişletilmiş kaynaktan doğan alanı temsil eder.

Bir düşük-geçiş filtresi olarak lens

Bir mercek temelde bir alçak geçiren düzlem dalga filtresidir. (bkz: düşük-geçiş filtresi). Lensin nesne düzlem ekseni üzerine konumlandırılmış küçük bir ışık kaynağı düşünün. Kaynağı da uzak alan yaklaşımdan dolayı oldukça küçük kabul edelim. Sonra, küçük kaynak tarafından yayılan alan kaynak dağılımı fourier dönüşümüne modüle edilen denklem (2.2)'deki gibi küresel bir dalga olacaktır. Daha sonra, lens, lensin kenar açısı içerisinde yer alır ve küresel dalga yalnızca bu bölümden geçer.Bu uzak-alan konusunda, yayılan küresel dalganın kesme değeri, küçük kaynağın dalga spektrumunun bölgesinin kesme değerine eşdeğerdir. Yani, lensin kenar açısı ötesinde kalan  ve küresel dalga düzlem bileşenlerini içeren bu alan, mercek tarafından yakalanan alan değildir ve görüntü düzlemi üzerinden transfer edilmez. Not: bu mantık yalnızca küçük kaynaklar için geçerlidir. Eğer bir nesne düzlem şeffaflık küçük kaynakları üzerindeki bir toplam olarak hayal edilirse, her biri bu şekilde kesilmiş spektrumlara sahip olacaktır ve tüm nesne düzlem şeffaflığı üzerindeki her bir nokta aynı etkiye mağruz kalacaktır.
Yüksek (uzaysal) frekans içeriğinin kaybı, bulanıklığa ve netlik kaybına neden olur. (bkz: nokta sıçrama fonksiyonu hakkında) . Bant genişliğini kesmek ise nokta kaynağa veya görüntü düzleminde bulanıklığa neden olur. Bant genişliği genişletilmiş veya sözleşmeli olduğunda, görüntü boyutu genellikle sözleşmeli veya buna göre genişletilmiş olur. Bu şekilde, Heisenberg'in prensibi ile zamana bağlı bant genişliği sabit kalır. ( Abbe sine koşulu).

Tutarlılık ve Fourier dönüşümü

varsayılan bir ejωt (mühendislik) zaman bağımlılığı olan, frekans alanında çalışırken, lazer ıışını frekans alanında delta fonksiyonuna bağımlı olarak kabul edilir. Farklı ( delta fonksiyonu) frekanslarda ışık, farklı açılarla püskürerek düzlemsel dalga spektrumu oluşturacak ve bunun sonucunda da,  düzlem dalga bileşenleri çıkış düzleminde farklı yerlerde odaklı olacaktır. Farklı frekanslarda, ışık birleştirmek için bazı özel sebepler hariç, lenslerin fourier dönüşüm özelliği en verimli şekilde çalışır.

Sistem transfer fonksiyonunun donanım uygulaması:4F korelatörü

4. bölümde sunulan optik transfer fonksiyonları teorisi biraz soyuttur. Ancak, sistem traser fonksiyonunu sadece  2 adet eş lens ve şeffaf bir düzlem ile uygulayan 4F korelatörü olarak çok iyi bilinen bir araç mevcuttur.En önemli uygulamalarından biri çapraz koleratör olarak bilinmesine rağmen, bu araç adının da ötesinde görüntü işleme operasyonlarını geniş bir yelpazede sunmaktadır. Figure de tipik bir 4F koleratörünün diyagramı gösterilmektedir. ( büyütmek için tıklayınız). Bu araç aynı zamanda düzlemsel dalga spektrumlarının, kuadratik lensler aracılığıyla fourier dönüşümleri ile elektrik alana entegre edilmiş halini anlamada da önemli rol oynamaktadır.
Bu cihaz, korelatör (x,y) etki alanında uzaysal frekansların çarpımının Fourier dönüşüm teorisine eşdeğer olduğunu bilinen evrişim teorisine dayanmaktadır.
Bir kez daha, bir düzlemsel dalga, korelatörün giriş düzlemine konumlandırılmış ve 2D fonksiyonunu içeren  ve soldan geldiği kabul edilir. Şeffaflık, düzlem dalgasına büyüklük ve faz açısından denklemin (2.1) sol tarafında olduğu gibi modüle edilir. Ve böylece, geçirgenliği Fourier dönüşümüne tekabül eden denklem (2.1)in sağ tarafından olduğu gibi  düzlem dalgaların spektrumu üretilir. Gösterildiği gibi, Bu spektrum daha sonra birinci lensin arkasında bir 'görüntü' odak uzaklığı olarak oluşturulur.
Işığın ideal,matematiksel nokta kaynağı, ilk lens giriş düzlem ekseni üzerine konumlandırılması durumunda, ilk lens çıkış düzleminde düzgün, homojen ve parallelleştirilmiş bir alan oluşacaktır. Ve bu alan Fourier dönüşüm alan maskesiyle çarpıldığı zaman ve ikinci lens tarafından fourier dönüşümü geçirdiği takdirde, çıkış düzlemi bizim Korelatör fonksiyonumuzdan başka bir şey değildir. (see Scott [1998]). Askeri uygulamalarda, bir tanlkı uçağı veya gemiyi çabucak tanımlamada kullanılabilir. Yukarıda bahseldiği gibi , korelasyon dürtü yanıtı, giriş görüntüsünü bulmaya çalıştığımızın bir resmidir. 4F koleratöründe, sistem transfer fonksiyonu, H(kx,ky) direkt olarak giriş fonksiyonun spektrumu olan F(kx,ky) ile, çıkış fonksiyonunda bir spektrum meydana getirmek için çarpılabilir. Bu da 1D zamansal sinyallerinin nasıl elektriksel sinyal sistemi ile kontrol edildiğini gösterir.

Fonksiyonel ayrışma geniş bağlamında Düzlem dalga spektrumu

Elektrik alanlar matematiksel olarak birçok farklı yoldan ifade edilebilir. Huygens-Fresnel veya Stratton -Chu nun görüşüne göre, elektrik alan, her biri Green's fonksiyonuna yol açan noktasal kaynakların süperpozisyonları olarak ifade edilebilir. Bu durumda toplam elektrik alan Green's fonksiyonu alanlarının toplamına eşit olacaktır. Bu bakış açısı birçok insan için bu işi yapmanın en doğal yolu gibi görünmektedir. Şüphesiz her birimiz, herhangi bir zamanda bir kağıda pergel ile Thomas Young'ın çift yarık deneyinde yaptığı gibi daireler çizmişizdir. Ancak, bu demek değildir ki, elektrik alan yalnızca bu şekilde gösterilir, aynı zamanda sinüzoidal düzlem dalgalarının çeşitli spektrumları olarak da ifade edilebilirler. Bune ek olarak, Frits Zernike, Zernike polinomlarına dayalı birim disk olarak tanımlanan başka bir işlevsel ayrıştırma önermiştir. Üçüncü dereceden Zernike polinomları normal lenslerin sapmasına tekabül eder. Ve hala bir diğer Sinc ve Airy fonksiyonlarına dayalı ve Whittaker-Shannon formülü ve Nyquist-Shannon teoreminde olduğu gibi başka bir fonksiyonel ayrışma yapılabilir.Bu işlevsel ayrışmaların her birinin farklı kullanım koşulları mevcuttur. Optikle uğraşan bir bilim adamı bu çeşitli temsil formlarını alanlarını ve özelliklerini niteliğine uygun bir şekildebildiği takdirde, zengin bir bakış açısına sahip olacaktır. Bu farklı yollar, ifade etmeler, birbiriyle çakışıyor ve çelişkili değildirler, hatta birbiriyle olan bağlantı ve ilişkileri keşfedildiği takdirde, dalga alanlarının doğası hakkında daha derin ve anlamlı bir fikir sahibi olunabilir.

Fonksiyonel ayrışma ve özfonksiyonlar

öz fonksiyon açılımları  ve fonksiyonel ayrışma ikiz konularının, kısaca bu vikipedi makalesinde birbirinden tamamen bağımsız olmadıkları açıklanmıştır. Belirli bir tanım alanında belirli lineer operatörler için tanımlanmış özfonksiyon açılımları, genellikle o çözüm aralığını içeren, sayılabilir sonsuz bir dizi fonksiyonlar verecektir. Tanım aralığının operatörüne ve boyutuna( şekil, ve sınır bağlılığı) bağlı olarak, prensipte birçok farklı türde fonksiyonel ayrışma mevcuttur.