Ayar teorisi

Geçmişi

Bir gauge simetriye sahip ilk alan teorisi, 1864-65 yılında, Maxwell'in formülasyonu olan elektrodinamiktir. ( "Elektromanyetik Alan Bir Dinamik Teorisi"). Bu simetrinin önemi erken formülasyonlarda fark edilememiştir. Benzer şekilde fark edilemeyen, Hilbert'ın Einstein'ın alan denklemlerinden türettiiği genel koordinat dönüşümü altında eylem değişmezliğini varsaymıştı. Daha sonra Hermann Weyl, genel görelilik ve elektromanyetizma birleştirmek amacıyla, ayar (ya da "Gauge") değişikliği altında genel görelilikte yerel simetri olabileceğini tahmin etti. Kuantum mekaniğinin gelişiminden sonra Weyl, Vladimir Fock ve Fritz London karmaşık bir miktar ayar katsayısını değiştirerek gague değiştirilmiş oldu  ve U (1) gauge simetrisi olan faz değişikliği içine ölçekli dönüşüme döndü.  Bu olay  yüklü  kuantum mekaniksel parçacığın dalga fonksiyonu üzerinde elektromanyetik alan etkisi olarak açıklandı. Bu 1940'larda Pauli tarafından yaygınlaştırılan ilk tanınmış ayar teorisi, oldu.
1954 yılında, temel parçacık fiziğinde büyük bir karışıklığı bazı çözmek için çalışırken, Chen Ning Yang ve Robert Mills birlikte atom çekirdeklerindeki nükleonları tutan güçlü etkileşimi anlamak için model olarak değişmeyen gauge  teorileri tanıtıldı. (Ronald Shaw, Abdus Salam altında çalışan, bağımsız doktora tezi aynı kavramını tanıttı.) Elektromanyetizma göstergesi değişmezliği yaygınlaştırılması, onlar (non-değişmeli) SU (2) simetri grubunun eylem dayalı bir teori inşa etmek için proton ve nötronların izospin duble üzerinde çalıştı. Bu, kuantum elektrodinamik spinör alanları U (1) grubunun hareketine benzerdir. Parçacık fiziğindeki odak kuantize gauge teorilerini kullanarak oldu.
Bu fikir daha sonra kuantum alan teorisinin zayıf kuvvet uygulaması ve elektrozayıf teoride elektromanyetizma ile birleşmesine vesile oldu. Değişmez gauge teorileri asimptotik özgürlük olarak adlandırılan bir özellik ile  yeniden fark edildiğinde gauge teorileri daha da çekici hale geldi. Asimptotik serbestlik güçlü etkileşimlerin önemli bir özelliği olduğuna inanılıyordu. Bu güçkü kuvvetler için gauge teorisini aramaya taşvik etti. Şimdi kuantum renk teorisi olarak bilinen bu teori,  kuarkların renk üçlüsü SU (3) grubunun eylemi ile birlikte bir gauge teorisidir. Standart Model, gauge teorisi dilinde elektromanyetizma, zayıf etkileşimler ve güçlü etkileşimlerin açıklamasını birleştirir.
1970'li yıllarda, Michael Atiyah klasik Yang-Mills matematiksel denklemlerinin çözümlerinin çalışsmasına başladı. 1983 yılında, Atiyah'ın öğrencisi Simon Donaldson pürüzsüz 4-manifoldları türevlenebilir sınıflandırma ile  homeomorfizma kadar onların sınıflandırmadan çok farklı olduğunu göstermek için bütün çalışmasını bunun üzerine inşa etti. Michael Freedman Öklid 4-boyutlu uzayda üzerinde egzotik R⁴ Stürevlenebilir yapılarını sergilemek için Donaldson çalışmalarını kullandı.  Bu temel fizik başarılarından bağımsız, kendi iyiliği için gauge teorisi giderek artan ilgiye yol açtı. 1994 yılında, Edward Witten ve Nathan Seiberg bazı topolojik değişmezler (Seiberg-Witten değişmezler) hesaplanmasını etkin Süpersimetri dayalı gauge teorisinin tekniklerini icat etti. Gauge teorisinden matematiğe olan bu katkılar bu alanda yenilenmiş bir ilgiye yol açmıştır.
Fizikteki gauge teorilerinin önemi elektromanyetizmanın kuantum alan teorisi açıklamak için birleşik bir çerçeve, zayıf kuvvet ve güçlü  kuvvet sağlayan matematiksel biçimcilik gibi muazzam başarılara örnek olmuştur. Standart Model olarak bilinen bu teori,  doğanın dört temel kuvvetten üçüne ilişkin deneysel tahminleri açıklar. Sicim teorisi gibi modern teorilerin, yanı sıra genel görelilik, teorilerinin içinde bir şekilde gauge teorileri vardır.

Global Simetri

Fizikte, herhangi bir fiziksel durum için matematiksel açıklama, genellikle fazla serbestlik dereceleri ihtiva eder; aynı fiziksel durum ise, aynı zamanda birçok eşdeğer matematiksel yapılandırmalar için tarif edilir. Bu dönüşümler teorinin "simetrileri" bir grubu olduğu, ve fiziksel durumu bağımsız bir matematik yapılandırmaya ancak bu simetri grubu ile birbirine bağlı sınıflardaki konfigürasyonlarda karşılık gelir.
Bu fikir tüm fiziksel sistemi kapsar hiçbir tercih "eylemsizlik" koordinat sistemi vardır bir durumda çok daha soyut "koordinatların değişiklikler" benzer yerel yanı sıra küresel simetri içerecek şekilde genel olabilir. Bir gauge teorisi  modelin simetrileri ile birlikte tutarlı fiziksel tahminler yapmak için gerekli teknikler sete sahip  bir matematiksel modeldir.

Global Simetriye Örnek

Matematiksel konfigürasyonda meydana gelen miktarı sadece bir sayı değil de bir hız ya da bir dönme ekseni, bir vektör veya bir matris halinde düzenlenmiş sayıları da koordinat transformasyonu ile değiştirilebilir  olarak geometrik öneme sahip olduğunu  temsili  olarak görmek gerekir.

Lokal Simetriyi tanımlamak için lif demetlerinin kullanılması

Gauge teorilerinin çoğunda, uzay ve zamanda bireysel bir noktada soyut ölçü bazında olası dönüşümlerin kümesi sonlu boyutlu Lie grubudur. En basit şekliyle böyle bir grup karmaşık sayılar kullanımı yoluyla kuantum elektrodinamik (QED) modern formülasyonu görünen U (1) 'dir. Kuantum elektrodinamik genellikle ilk ve en basit fiziksel ölçü teorisi olarak kabul edilir. Belirli bir gauge teorisinin tüm yapılandırma için mümkün gauge dönüşümlerinin kümesi de bir grup oluşturmaktadır. Bu grupta  gauge grubunun teorisini oluşturmaktadır. Gauge grubunun bir elemanı (sonlu boyutlu) Lie grubu, örneğin her noktada fonksiyonun değerini ve türevlerinin göstergesi dönüşüm eylem üzerinde temsil ettiği için uzay-zamanın noktalarından bir düzgün değişen fonksiyonu tarafından değiştirilebilen bu nokta üzerindedir.
Uzay ve zaman içinde her noktada sabit bir parametre ile bir gauge dönüşümü geometrik koordinat sisteminindeki katı bir rotasyona benzerdir. Bu gauge temsilinin küresel simetrisini temsil eder. Sert bir dönüş durumunda olduğu gibi, bu gauge dönüşümü gerçekten yerel miktarı temsili ile aynı şekilde gauge bağımlı miktarının bir yol boyunca değişiklik oranını temsil eden ifadeleri etkiler. olan parametre sabit fonksiyon yerel simetri olarak adlandırılır olmayan bir göstergesi dönüşümü; Bir türev içeren ifadeler üzerindeki etkisi yok ifadelerden o niteliksel olarak farklı olduğunu. (Bu Coriolis etkisi üretebilir referans çerçevesi olmayan bir atalet değişimine benzer.)

Kuantum Alan Teorileri

Bu klasik süreklilik alan teorileri dışında, en yaygın olarak bilinen gauge teorileri, kuantum elektrodinamik ve temel parçacık fiziğinin Standart Modeli dahil kuantum alan teorisi vardır. En az eylem ilkesine göre "izin verilen" fiziksel durumları niteleyen bir gauge-kovaryantı eylem ayrılmaz.  Ancak, gauge dönüşümleri tarafından aşırı derecelerde sebest davranışlarından dolayı süreç (continuum) ve kuantum teorileri büyük farklılıklar göstermektedir. Süreç (continuum) teorileri ve basit kuantum alan teorilerinin çoğu  matematiksel düzenlemelerin yörüngelerini düşürmeden gauge reçetesini kullanırlar.
Daha sofistike olan kuantum alan teorileri özellikle değişme olmayan gauge gruplarını içerenler başta olmak üzere gauge simetrisine karışıklık teorisi teknikleriyle yok ederler  ve  ve karşı terimler BRST nicelemesinde bilindiği gibi  birbirlerini anormal bir şekilde iptal etmek için motive ederler. Bu endişeler bir anlamda son derece teknik olmakla birlikte, aynı zamanda yakından ölçümü, fiziksel bir durum bilgisine sınırları ve eksik belirtilen deneysel koşullar nedeniyle tam olarak anlaşılmamıştır. Matematiksel teknikler işlenebilir gauge teorilerini uygulamak için birçok alanda geliştirildi. Bunlara örnek  düşük boyutlu topoloji katı hal fiziği ve kristalografisi verilebilir.

Klasik elektromanyetizma

Tarihsel olarak, Gauge simetrisinin ilk örneğinin keşfi klasik elektromanyetizmadır. Elektrostatikte,  elektrik alan E ya da onun karşılığı elektrik potensiyel V .     bu hariç, elektrik alan ya da elektrik potensiyelden  birnin bilinmesi muhtemelen diğerinin bulunmasını sağlar.  elektrik alan uzayda bir noktadan diğerine potansiyel değişimlerle ilgilidir. Vektör hesabı açısından, elektrik alan potensiyelin negatif değişim derecesine eşittir..  Elektrostatikten elektromanyetizmaya genellersek, elimizde ikinci bir vektor potensiyeli A ile
Genel Gauge dönüşümü sadece  değildir.
Burada  f zamana ve pozisyona dayalı herhangi bir fonksiyondur.  Gauge dönüşümleri altında alanlar aynı kalır ve sonuç olarak Maxwell denklemleri hala geçerlidir. Buda Maxvell denklemlerinin gauge simetrisine sahip olduğunu söyler.

Skaler Gauge Teorisin Örneği

Aşağıdaki formüllerle sezgisel küresel simetri özelliklerinden başlayarak "motive" nasıl yerel gauge  değişmezliği gösterir ve başlangıçta olmayan etkileşim alanları arasındaki etkileşime nasıl yol açar. Aşağıdaki formüllerle örneklendirilmiştir.
n burada etkileşime girmeyen gerçek skaler alanlar, m burada kütleye eşittir. Sistem burada hareket halindedir. ve toplam hareket halindeki skaler alanlar
Lagrange(yoğunluğu) küçük sıkı bir şekilde yazılabilir.
Alanların vektörünün gösterimiyle
4 boyutun her birinde Terim olan   Einstein simgesi  kısmi türevidir. Dönüşümün altındaki değişmeyen Lagrange şimdi daha şeffaf oldu.
G  n-by-n ortogonal gruba ait olan sabit matrisdir.  türevi benzer biçimde  ve her iki nicelikte nokta çarpımının içindeki Lagrange belirdiği için Lagrange'nin korunuduğu görünür.
Bu bu özel Lagrangian küresel simetri karakterize ve simetri grup genellikle ölçü grubu denir; Matematiksel terim özellikle G-yapıların teorik olarak yapı grubudur. Bu arada, Noether teoremi dönüşümleri bu grup altında değişmezlik akımların korunmasına yol açtığını ima edilir.
Burada Tᵃ matrisleri SO(n) gruplarının jeneratörleridir. Her jeneratör için korunmuş bir akım vardır.
Şimdi Lagrangian lokal değişmeyen O(n) sahip olmalıdır. G matrisleri  x kordinatında uzayzaman fonksiyonun olmasına izin vermelidir.
Bu durumda  G=G(x) iken G matrisi geçemez.
Bu sorunu çözmek için yeni bir türev alırız.
Bu yeni türev eşdeğişken gauge türevi olarak adlandırılır ve bu forma sahiptir.
Burada g eşleşen sabit olarak adlandırılır ve etkileşimin gücünü tanımlamada önemlidir. Basit birkaç hesaplamadan sonra Gauge Alanı A(x) aşağıdaki gibi dönüşmek zorundadır.
Gauge alanı Lie cebirinin bir elementidir. Sonuç olarak aşağıdaki gibi genişletilebilir.
Son olarak şimdi elimizde lokal Gauge değişmeyen bir Lagrangian' ımız var.
Bu Lagrange ve özgün küresel gauge  değişmeyen Lagrangian arasındaki fark Lagrange Etileşimi olduğu görülür.
Bu terim sadece yerel gauge değişmezliği için talebin bir sonucu olarak n skaler alanlar arasındaki etkileşimleri tanıtır. Bununla birlikte, bu etkileşimin fiziksel olup tamamen rastgele hale getirmek için, arabulucu A (X) uzayda yayılması gerekir. Bununla başa çıkmak için bir sonraki aşama  teriminin Lagrangiana eklenmesidir. Elde edilen klasik alan teorisi kuantize sürümünde, kuantum gauge alanı A (x) gauge bozonları denir. Kuantum alan teorisinde  Lagrangian etkileşiminin yorumlanması skaler bozonların değişen gauge bozonlarıyla etkileşimidir.

Gauge alanı için Yang-Mills Lagrangesi

Bir önceki bölümde geliştirilen bir klasik gauge teorisinin çizilen o resmi nerdeyse bitmek üzere.  Uzayzamanda ki gauge alan A(x) değerinin bulunması için sadece eşdeğişken türvelerin (D) tanımlanması kaldı.  Bu alanın manuel değerlerini belirlemek yerine, bu bize alan denklemlerinin çözümünü verilebilir. Dahası bu alan denkleme Lagrange yanı sıra yerel gauge değişmez olduğunu gerektiren, gauge alanı için  Lagrangian olası bir formu (geleneksel) şeklinde yazılır
               ile             
ve İzler vektör uzay alanları üzerinden atılıyor. Buna Yang-mills hareketi denir. Diğer gauge değişmez haretleri hala mevcuttur. Örneğin doğrusal olmayan elektrodinamik, Born-Infeld hareketi Chern-Simons model gibi.
Gauge teorisi için tamamlanmış Lagrangian aşağıdaki gibidir.

Elektrodinamiğe Örnek

Daha önceki bölümlerde geliştirilen biçimcilik basit bir uygulama olarak, sadece elektron alanı ile, elektrodinamik davayı düşünün.  Bare-bones hareketi elektrik alanın Dirac denklemini üretir.
Bu sistem için global simetri aşağıdaki gibidir.
Buradaki gauge grubu U(1)dir.  parçacık dönmeleriyle alanın faz açısının dönmeleri sabit θ ile belirlenir.  Bu sistemin lokalleşmesinin anlamı θ ile θ(x) yer değiştirmesidir. Yaklaşık eş değişken türevi
Olağan elektrik yüküyle e yükünü belirler ve elektromanyetizmanın 4-vektör potensiyeliyle  gauge alanını Langrangian etkileşimiyle sonuçlandırır.
Burada    olağan 4 vektör elektrik yoğunluğudur. Sonuç olarak gauge prensibi minimal eşleşme olarak adlandırılan elektromanyetik alanın elektrik alan üretmesi gözlenir.
Gauge alan  için Lagrangian eklenmesi diğer bir terimle elektrodinamik de aynı olan alan güç sensörü eklenmesiyle kuantum elektrodinamikteki başlangıc noktasını kullanarak Lagrangian elde edilir.

Matematiksel Formülleme

Gauge  teorileri genellikle diferansiyel geometrinin dilinde tartışılmıştır. Matematiksel olarak, bir gauge  bazı temel yığınların bir (yerel) bölümünde sadece bir seçimdir. Bir gauge dönüşümü sadece iki bölge arasındaki dönüşümdür.
Gauge teorisi bağlantıların çalışmasıyla (öncelikle yüksek enerjili fizikçiler tarafından çalışılmıştır.) hakim olmasına rağmen, bağlantı fikri genelde gauge teorisinin merkezi olmamıştır. Aslında, genel gauge teorisindeki bir sonuç gauge dönüşümlerinin  temsillerini afine etmektedir. Örneğin afin modülleri.  Bu temsiller belli özellikleri karşılayan jet paket bölümleri olarak sınıflandırılabilir. Bazı temsiller nokta tabanlı ( fizikçiler tarafından ilk tür gauge dönüşümleri için kullanılır)  eşdeğişkenli olarak dönüşürler.  Başka temsiller bağlantı formu ( fizikçiler tarafından ikinci tür gauge dönüşüm olarak adlandırılır.) şeklinde dönüşür. Diğer genel temsiller düz olmayan temsillerdir ancak bunlar çok karışıktır. Hala düz olmayan sigma modelleri düz olmayan bir şekilde dönüşür.
Eğer  taban alanı uzay ya da uzayzaman ve yapı grubu Lie grup olan ana P demeti varsa, P formlarının  bölümleri gauge dönüşüm gruplarınn homojen uzayının temelidir.
Bağlantılar (gauge  bağlantısı) temel demetleri tanımlar. Bu demetler her vektor demetinde birleşmiş  gevşek eşdeğişkenli türevlerdir. Eğer yerel bir çerçeve seçilmiş ise, eşdeğişkenli türev  A bağlantı formu ile temsil edilir. Lie cebiri 1-form değerini vermiştir bu fizikte Gauge potensiyeli olarak anılır. Açıkça gerçek değildir ancak çerçeve niceliğe bağlıdır. Eğrilik formu F lie cebiri tarafından 2 değer formuna atanmıştır. Bu bağlantı formlarıyla kurulmuştur.
Burada d dışşal türevdir.  dış cebiri temsiz eder.
Sonsuz derecede küçük  gauge  dönüşümleri Lie cebirini oluşturur. Lie cebri  pürüzsüz skaler değerde olmasıyla karakterize edilir. Sonsuz derecede küçük gauge döüşümleri altında
eğer   eşitliği  olursa    olur. Burada D eşdeğişken türevidir.
Ayrıca    Buradaki  eşdeğişkenli dönüşümlerdir.
Tüm gauge dönüşümleri  genel olarak sonsuz dercede küçük  gauge dönüşümleri tarafından oluşturulmuş olmayabilir. Baz manifoldu Lie grubu bu manifoldundan dönüşümlerin homotopi sınıf nontrivial şekilde sınır olmadan kompakt manifoldu olduğunda bir örnektir.
Yang-Mills hareketi şimdi bu formülle      verilir.   Formüldeki  * Hodge Dual simgeler ve integral diferansiyel geometri olarak tanımlanır.
Gauge değişmeyen niceliği Wilson döngüsüdür.  Bu döngü aşağıda görüldüğü üzere herhangi kapalı bir yol için  γ tanımlanır.
   Burada  χ karmaşık temsili ρ  karakteri ve  emredilen operatör yolunu temsil eder.

Gauge Teorilerini Kuantumlama

Gauge teorileri herhangi kuantum alan teorisi için geçerli olan yöntemlerin uzmanlık ile kuantize olabilir. Ancak, gauge kısıtlamaları dayattığı inceliklerini nedeniyle diğer alan teorileri ortaya çıkmazsa çözülmesi gereken birçok teknik sorunlar var.Gauge teorileri zengin yapısı bazı hesaplamaların basitleştirilmesi sağlar. Örneğin, Farklı renormalizasyon sabitlerini Ward kimliklerine bağlamak gibi.

Yöntemler ve Amaçlar

Niceleme  ilk olarak  gauge  teorisinde kuantum elektrodinamik (QED) idi. İlk yöntemler  gauge yer sabitlemesi için geliştirildi ve daha sonra meşru kuantumlama için kullanıldı. Gupta-Bleuler yöntemi de bu sorunu ele almak geliştirilmiştir. Değişmeyen gauge teorileri artık çeşitli araçlarla tarafından ele alınır. Kuantumlamanın yöntemleri kuantumlama ile alakalı makalede bahsedilmektedir.
Teori tarafından izin verilen çeşitli işemler için kuantum genliklerinin hesaplanamaması kuantumlamanın ana noktası olmuştur. Teknik olarak vakum durumdaki belli korelasyon fonksiyonlarının hesaplamalarını azaltmak. Bu teorinin bir renormalizasyona içerir.
Teorinin çalışan eşleşmelerde yeteri kadar küçük olduğu zaman, bundan sonra gerekli tüm miktarlar pertürbasyon teoride hesaplanabilir. (Örneğin kanonik nicemleme gibi)Nicemleme şemaları bu tür hesaplamaları kolaylaştırmak için tasarlanmıştır. Nicemleme şemalarına pertürbatif nicemleme şemaları denebilir. Şu anda bu yöntemlerden bazıları gauge teorileri en hassas deneysel testlere öncülük ediyor.
Ancak, çoğu gauge teorilerinde çok fazla ilginç sorunlar bulunuyor. Niceleme şemaları bu problemlere uyum sağlıyor. sigara tedirgemesiz birçok ilginç soru vardır. (Örneğin kafes gauge teorisi gibi) bu sorunlara uygun niceleme  düzenleri olmayan pertürbatif niceleme şemaları denebilir.Hassas hesaplamalar genellikle mükemmel hesaplama gerektirir ve bu nedenle dğier şemalara göre daha az gelişmiştir.

Saf Gauge

Saf gauge,  yani bir sıfır gauge-dönüşümüdür. Saf gauge elde etmek için gauge dönüşümünü boş bir alan üzerinde uygulamak gerekir. Yani alan yapılandırmanın uzayda belirli bir "gauge  yörünge" sindedir.
Sonuç olarak,  değişmeli durumda . Saf gauge bütün f(x) için alan yapılandırmaları   olarak ayarlanır.