Moonshine teorisi

Kuantum kütleçekiminin konjektür ilişkisi

2007 yılında, Edward Witten, AdS/CFT birebir eşlemesinin ikililiğe yol açtığını önesürdü, (2+1)-boyutlu Anti-de Sitter uzayıdaki saf kuantum kütleçekimi ile uç holomorf  CFT'ler arasında. (2+1) boyuttaki saf yer çekiminin hiçbir yerel serbestlik derecesi olmamasına rağmen, kozmolojik sabit negatifken, BTZ karadelik çözümlerinin varlığından dolayı, teoride bir sabit olmayan içerik oluşuyor. Uç CFT'ler, G. Höhn tarafından üretilen, düşük enerjideki Virasoro birincil alanlarının azlığı ile ayırt ediliyorlar ve moonshine modülü sadece bir örnek.
Witten'nın varsayımı altında (Witten (2007)) mümkün olabilecek en büyük kozmolojik basit ile AdS'deki kütleçekimi, AdS/CTF ikili holomofik CFT'dir, merkezi yükü c=24'ken ve CFT'nın bölüm fonksiyonu tam olarak j-744'tür, mesela, moonshine modülünün derecelendirilmiş karakteri.  Frenkel-Lepowsky-Meurman varsayımı kabul edilerek, Moonshine modülü biricik holomorfik VOA ile 24 merkezi yükü ve j-744 karakteri vardır.  the Monster CFT'nın, mümkün olabilecek en büyük negatif kozmolojik sabit ile olan saf kütleçekimine, benzer olduğu sonucuna vardır, Edward Witten. Witten'nin önerisinin bir kısmı derki, Virasoro birincil alanları, karadelik oluşturan operatörlere eşittir, ve, uygunluğunu ölçekmek için, büyük-kütle limitinde, Bekenstein-Hawking kısmen-klasik entropisi, moonshine modülünde Virasoro'un birincil çarpan eşinin logaritması ile verilmiş olan kara delik kütlesinin uyumlu olduğunu buldu. Az-kütle üstünlüğü varken, bir kuantum düzeltmesi gerekti entropiye. En düşük enerji birinclik alanı log(196883) ~ 12.19'ı gösterirken, Beckenstein–Hawking tahmini hesabı 4π ~ 12.57'ı gösterdi.

Mathieu Moonshine

2010 yılında,  Tohru Eguchi, Hirosi Ooguri, ve Yuji Tachikawa, K3 yüzeyinin eliptik kısımının, N=(4.4)süper açıkorur cebir'nın karakterlerine parçalanabileceğini gösterdi. Öyle ki, süper Virasoro cebirinin çeşitliliğinin, Mathieu grup M24'nın indirgenemez temsillerinin basit kombinasyonları olduğu ortaya çıktı.  Bu gösterdi ki, Sigma modelinin K3 hedefiyle konformal alan teorisinin M24 simetrisini taşıdığını gösterdi. Buna rağmen, Mukai-Kondo sınıflandırmasıyla, herhangi bir K3 yüzeyinde simplektik otomorfizmalar tarafından, bu grubun hiçbir sadaketli eyleminin olmadığını görüldü. Gaberdiel–Hohenegger–Volpato'nın çalışmalarıyla, herhangi bir K3 sigma-model konformal alan teorsinde sadakatli eylemin olmadığı da görüldü. Bu yüzden, Hilbert uzayının temelinde olan bir eylemin dış görünüşünü hala açıklanamadı.
Daha önce bahsedilen McKay–Thompson serileriyle analoji yaparak, Cheng, hem çokluk fonksiyonlarının hem de M24'ün basit olmayan elemanlarının sınıflandırılmış izleri, sahte modüler formunu biçimlendireceğini, öne sürdü. 2012 yılında, Gannon, tüm ,ama ilk hariç, çeşitliliklerin, M24'ün temsillerinin negatif olmayan integral kombinasyonları olduğunu ispatladı ve Gaberdiel–Persson–Ronellenfitsch–Volpato, genelleştirilmiş moonshine fonksiyonlarının tüm analojileri hesapladılar ve Mathie moonshine'na dayandığını öne sürdüler, konformal alan teorisinin bazı analojilerinin.

Neden "monstrous moonshine"?

Monstrous moonshine terimi Conway tarafından icat edilmiştir. Conway'e, John Mckay 1970ların sonlarında, 'nın (196884 olarak adlandırılan) tam olarak Griess cebirinin boyutu olduğu söylendiğinde, Conway, bunun "moonshine" olduğunu söylemiştir.( delice ve aptalca bir fikir olması açısından). Böylelikle, bu terim sadece Monster gruplardan bashetmiyor, ayrıca  modüler fonksiyonlar teorisineden bahsetmiş oluyor.
Monster grupları, Jean-Pierre Serre, Andrew Ogg and John G. Thompson adlı matematikçiler tarafından 1970'lerde incelenmiştir. Hiperbolik yüzeyin bölüm gruplarını SL₂(R)'nın altgruplarıyla çalışmışlardır, özellikle, normalleştiren Γ₀(p)'nın Γ₀(p)'sını SL(2,R)'da incelemişlerdir.