Fonksiyon

Örnekler

ve  iki küme olsun. 'nın her elemanını bir şekilde 'nin bir ve bir tek elemanıyla ilişkilendirilmiş olsun. (Koyu renkle yazılmış kelimeler önemlidir; ilerde bunların üstünde durulacaktır.) Mesela  (gerçel sayılar kümesi),  de -3'ten büyük gerçel sayılar kümesi olsun, yani  olsun. İlişkilendirme de şöyle yapılmalı: 'nın her elemanını (yani her gerçel sayıyı), o elemanın karesiyle ilişkilendirilmiş olsun. Böylece ilişkilendirmeyi bir formülle tanımlamış olduk. Bu örnekteki ilişkilendirmeyi  olarak yazarız, her sayı karesiyle ilişkilendirilmiştir, mesela -3 sayısı 9'la,  sayısı 2'yle ilişkilendirilmiştir. İşte 'dan 'ye giden fonksiyon böyle bir şeydir. Fonksiyon  sembolüyle ifade edilir. Verilen örnek için  yazılır.
 yaşamış ya da şu anda yaşayan insanlar kümesi olsun.  fonksiyonu her insanı annesine götürsün. Matematiksel olmasa da bu, 'dan 'ya giden bir fonksiyondur, çünkü her insanın bir annesi vardır. Ama her insanı kardeşine götüren bir fonksiyon yoktur çünkü bazı insanların kardeşi olmadığı gibi bazı insanların birden çok kardeşi vardır. Öte yandan, her insanı en büyük kardeşine götüren kural, kardeşi olan insanlar kümesinden  kümesine giden bir fonksiyondur.
'dan 'ye giden bir  fonksiyonu,  kümesinin her elemanını 'nin bir ve bir tek elemanına götüren/elemanıyla ilişkilendiren bir "kural"dır. (Burada biraz yalan var, ama pek önemli değil: Kuralın ne demek olduğunu söylemediğimiz gibi, bir fonksiyonun tanımlanması için herhangi bir kurala da aslında gerek yoktur! İlerde, yazının sonunda, fonksiyonun gerçek matematiksel tanımını verdiğimizde bu pembe yalana ihtiyacımız kalmayacak.)
Özet olarak, verilmiş bir  fonksiyonu, 'nın her elemanını bir şekilde 'nin bir ve bir tek elemanına götürür/elemanıyla ilişkilendirir.
Yukardaki örnekte, kural,  olarak verilmiştir. Ama bir fonksiyon bir formül ya da bir kuraldan öte bir şeydir. Bir fonksiyon, sadece bir kural değildir; bir fonksiyonu tanımlamak için, kural dışında, bir de ayrıca  ve  kümeleri de gerekmektedir. Formül ya da kural aynı kalsa bile  ve  kümeleri değişirse fonksiyon da değişir. Yukardaki örnek üzerinden gidelim:
Yukarda  R ve  almış ve fonksiyonu  kuralıyla tanımlanmıştı. Şimdi  yerine  alırsak ve formülü ve  kümesini aynı tutarsak, o zaman elde edilen  fonksiyonunu gene  ile göstermek yanlış olur, çünkü bu iki fonksiyon değişik fonksiyonlardır. 'den 'ye giden ve kare alma kuralıyla tanımlanan fonksiyonu mesela  ile gösterilebilir.
Bunun gibi,  kümesi değişirse, o zaman fonksiyon da değişir; mesela  ise, kare alma kuralı 'dan 'e giden bir fonksiyon tanımlar ve bu fonksiyon, yukardakilerle karışmasın diye,  ya da  ile değil, bir başka sembolle, mesela  ile gösterilir.
Aynı şekilde 'den 'e giden bir fonksiyon,  ya da  ile değil, mesela  ile gösterilmelidir.
Yukarda koyu renkle yazılı kelimeler şu nedenle önemlidir: Bir  fonksiyonu,  kümesinin her elemanını 'nin bir elemanına götürür, yani 'nın bazı elemanlarını unutmuş olamaz. Mesela, karekök alma kuralı, gerçel sayılar kümesi 'den 'ye giden bir fonksiyon tanımlamaz, çünkü negatif sayıların gerçel sayılarda karekökü yoktur. Ya da  (doğal sayılar kümesi) ise,  kuralı, 'dan 'ye giden bir fonksiyon tanımlamaz çünkü 'dir ve  olmasına karşın  sayısı 'de değildir. Öte yandan bu  kuralı, 'den tam sayılar kümesi 'ye giden bir fonksiyon tanımlar.
İkinci koyu renkli kısmın önemi ise şu şekildedir: Bir  fonksiyonu, 'nın her elemanını 'nin bir ve bir tek elemanına götürür, yani 'nın aynı elemanı 'nin iki ayrı elemanına gidemez. (Yukarda verilen kardeş misali hatırlanmalı.) Mesela  ise, 'nin bir  elemanını  denkleminin  çözümlerine götüremez, çünkü eğer  değilse, bu denklemin R'de iki değişik  çözümü vardır, nitekim  denkleminin çözümleri  ve 'tir. Burada, 'in 'e mi yoksa 'e mi gideceği belirtilmemiştir ve bu, bir fonksiyon yaratmada sorun teşkil eder. Bir  fonksiyonunda, 'nın her elemanını 'nin bir ve bir tek elemanına gitmelidir, iki ya da daha fazla elemana gidemez. (Birkaç yüzyıl önce bu tür fonksiyonlar kabul ediliyordu ama bugün bunlara fonksiyon denmiyor.)

Kalkış ve varış kümeleri

Bir  fonksiyonunda, 'ya tanım kümesi ya da kalkış kümesi denir. 'ye de değer kümesi ya da varış kümesi denir.

Fonksiyon eşitliği

ve  fonksiyonlarının birbirine eşit olması için, 1) tanım kümelerinin eşit olması, 2) değer kümelerinin eşit olması ve 3) tanım kümesindeki her  için  olması gerekmektedir. Bu üç şarttan biri eksikse fonksiyonlar eşit olmaz. (Genellikle liselerde sadece üçüncü şart üzerinde durulur.) Gene de eşitlikte en önemli şart (3) şartıdır. Ardından (1) şartı gelir. (2) şartının gözden kaçtığı olur.

Durağan (sabit) fonksiyonlar

ve  iki küme olsun ve  olsun. 'nın her elemanını 'nin bu  elemanına götüren fonksiyona sabit fonksiyon adı verilir.  değerini alan sabit fonksiyonu  olarak gösterirsek, o zaman  fonksiyonu, her  için  kuralıyla tanımlanır. Not:  ve  kümelerinin önemini ortaya çıkarmak istiyorsak,  yerine  yazmak gerekebilir. Bu fonksiyona "sabit  fonksiyonu" adı verilir.
Bileşke mümkün olduğunda 'dir. Ama 'dir.
Eğer  ya da 'nin tek bir elemanı varsa, o zaman 'dan 'ye giden her fonksiyon sabit olmak zorundadır.

Eğlencelik

Eğer  ve  ise, 'dan 'ye giden bir fonksiyon yoktur.
Eğer  ise,  hangi küme olursa olsun, 'dan 'ye giden bir ve bir tek fonksiyon vardır: boş fonksiyon. Pek de önemli olmayan bu olgu, birazdan, fonksiyonun matematiksel tanımı verdiğimizde bariz olacak.

Özdeşlik fonksiyonu

Eğer  bir kümeyse, her  için Id kuralıyla tanımlanan Id fonksiyonuna 'nın özdeşlik fonksiyonu adı verilir. Özdeşlik fonksiyonu bileşkenin sağdan ve soldan etkisiz elemanıdır.

Varış kümesini değiştirmek

Bir fonksiyonun varış kümesini de değiştirilebilir:  bir fonksiyon olsun. , 'nin görüntü kümesi 'yı altküme olarak içeren herhangi bir küme olsun. O zaman  tanım kümesini ve  kuralını değiştirmeden yeni bir  fonksiyonu elde edilebilir. Bu fonksiyon - daha önceki paragraftaki gibi - özel bir sembolle gösterilmez.