Bağlantı (matematik)

Bağlantıların tarihi araştırması

Tarihsel olarak,bağlantılar Riemann geometrisinde bir sonsuz bakış açısıyla incelenmiştir.Bağlantıların sonsuz çalışması Christoffel ile bir ölçüde başladı.Bu daha sonra Gregorio Ricci-Curbastro ve Tullio Levi-Civita Levi-Civita & Ricci 1900 tarafından daha kapsamlı ele alındı. Christoffel'in sonsuz anlamında bir bağlantıda bir parça içinde Paralel taşınımın bir kavramı için ayrıca izin verdiği gözlendi Levi-Civita'nın sonraki çalışması diferansiyel denklemlerin çözümleri  paralel yerdeğiştirmeler idi. Diferansiyel işlemcinin bir türü olarak bağlantıları konusunda odaklanmıştır. Yirminci yüzyıl ilerledikçe, Elie Cartan bağlantının yeni bir ifadesini geliştirdi. O Felix Klein'ın Erlangen programı geometrilerine Pfaffian sistemlerinin tekniklerini uygulamak için çalıştı.Eğrinin varlığı bağlantı ifadesi başka şekilde klasik bir Klein geometrinin sınırlarının izin verdiği müddetçe mevcut olacaktır : Bu araştırmalarda, o bağlantının belirli bir sonsuz küçük kavramının (bir Cartan bağlantı) bu geometrilere ve dahasına uygulanabilir olduğunu bulduk. ((Örneğin Cartan 1926 bak) ve (Cartan 1983).)(Örneğin Cartan 1926) ve Cartan 1983) Ayrıca Cartan Gaston Darboux kendi dinamiklerini kullanarak, sonsuz bağlantılar  sınıfının paralel taşınım ifadesini yaygınlaştırmayı başardı. Bu bağlantının teorisi bir başka önemli kavram kurdu: böyle bir bağlantı diferansiyel form'un belli bir türüdür.
Bağlantı teorisinde iki konu günümüze kadar süregelmiştir: diferansiyel işlemci olarak bir bağlantı ve bir diferansiyel formun bir bağlantısı gibi. 1950 yılında, Jean -Louis Koszul Koszul 1950 Koszul bağlantısı vasıtasıyla bir diferansiyel işlemcinin bir bağlantısı ile ilgili bir cebirsel çerçeveyi verdi.Hem de Koszul bağlantısı  Levi-Civita'nınkinden daha fazla genel oldu,ve nihayet ortadan kaldırmak için (ya da en azından gizlemek için) bağlantı formalizminden gelen garip Christoffel sembolleri ile sonuçlandırdı çünkü çalışmak daha kolay oldu.Eşlik eden paralel yerdeğiştirme operasyonlarında bağlantının terimleri içinde doğal cebirsel yorumlara vardı.
Etkin cebirsel kovaryant bir farklılaşma ve paralel öteleme arasında analitik yazışmayı dönüştürebilir başlangıç Koszul tanımı daha sonra, diferansiyel geometri topluluğunun çoğu tarafından kabul edildi.
Aynı yıl içinde, Charles Ehresmann Ehresmann 1950, Cartan'ın bir öğrencisi, ana demetin konuları içinde ve daha geneli, lif demeti bağlantısının üzerindeki bir diferansiyel form bağlantı üzerinde bir varyasyon sundu. Ehresmann bağlantılarının kesinlikle Cartan bağlantılarının bir genellemesi olmadığı konuşuluyordu. Cartan bağlantıları oldukça katı çünkü Cartan denklik yöntemi ile ilişkilerin manifoldunun temel diferansiyel topolojisi altında oldukça sıkı bir şekilde bağlı idi. Ehresmann bağlantıları yerine zaten böyle gösterge bağlantıları denebilecek çalışmaya uzak Cartan bağlantılarından harekete geçilmişti. Arasında Shiing-Shen Chern, gibi dönemin diğer geometricilerin temel çalışmalarını izlemek için sağlam bir çerçeve vardı. Bakış Ehresmann noktasında, bir ana demet içinde bir bağlantı demetinin toplam uzay üzerinde yatay ve dikey vektör alanlarının bir belirtimini oluşturmaktadır. Paralel ötelemenin ardından yatay ana demet bir eğriye tabanından bir eğrinin bir kaldırıcısıdır. Bu bakış açısının holonomi ile ilgili çalışmalarda özellikle değerli olduğu kanıtlanmıştır.