Maxwell denklemleri

Elektrik ve manyetik alanlara göre denklemler

Bu denklemler içindeki elektromanyetizmayı anlatmak için, bu makalede yöney (vektör) hesabı dili kullanılmıştır. Aksi belirtilmedikçe, koyu renkle belirtilmiş semboller yöney miktarını ve yatık belirtilmiş semboller sayısal miktarını belirtmektedir. Denklemlerde, her biri genellikle zamana bağlı olan, bir yöney alanı olan elektriksel alan E, ve bir yöney alan olan manyetik alanı B olarak tanıtılmıştır. Bu alanların kaynakları yük yoğunluğu ρ ve akım yoğunluğu J olarak adlandırılan bölgesel yoğunluklar olarak belirtilen elektrik yükleri ve akımlarıdır. Diğer bir doğa kanunu olan Lorentz’in kuvvet kanunu, elektrik ve manyetik alanların yüklü parçacıklar ve akımlar üzerinde nasıl etki ettiğini açıklamaktadır. Bu kanunun diğer bir türü Maxwell’in asıl eşitliğinde bulunmaktadır.
Elektrik-manyetik alan denklemlerinde dört adet denklem bulunmaktadır. Bunlardan iki tanesi, eğer Gauss yasasında olan elektrik yüklerinden kaynaklanan elektrik alanları ve Gauss’un manyetizma yasasının manyetik tekkutuplularına bağlı olmadan alan çizgilerine yakın oluşan manyetik alan var ise, kaynağa göre uzay içinde bu alanların nasıl değiştiğini açıklamaktadır. Diğer iki tanesi de Faraday yasasındaki zamanla değişken manyetik alanların etrafında “dolaşan” elektrik alanları sırasında Maxwell doğrulaması ile olan Ampere yasasındaki elektrik akımı ve zamanla değişen elektrik alanları etrafında “dolaşan” manyetik alanın oluşturmuş olduğu kişisel kaynakların çevresinde alanların nasıl “dolandığını” açıklamaktadır.
Maxwell eşitliğinin kesinliği içerdiği büyüklüklerin ne kadar kesin tanımlandığına bağlıdır. Kurallar birim sistemine göre değişir, çünkü ışık hızı gibi boyutsuz çarpanlar tarafından emilerek çeşitli tanımları ve boyutları değişebilmektedir.

Türev ve tümlev denklemleri arasındaki ilişki

Denklemlerin türev ve tümlev denklemleri matematiksel eşitlikler olup, Gauss manyetizma kanunu ve Gauss kanunundaki yayılım kuramı (divergence teorem) ve Faraday yasası ile Ampere yasasındaki Kelvin-Stokes kuramından oluşmuştur. Hem türev hem tümlev denklemleri kullanışlıdır. Tümlev denklemleri sıkça akım ve yüklerin simetrik dağılımlarından oluşan alanların kolayca ve doğrudan hesaplanması için kullanılır. Buna karşılık, türev denklemleri, sonlu elemanlar çözümlemesindeki (analizindeki) gibi daha karmaşık (az simetrik) durumlardaki alanların hesaplanmasında daha doğal bir başlangıç noktasıdır.

Gauss yasası

Gauss yasası statik elektrik alanı ve statik elektrik alanını pozitif yükten negatif yüke doğru itilmesine neden olan elektrik yükleri arasındaki ilişkiyi tanımlamaktadır. Alan çizgisi tanımında, elektrik alan çizgileri sadece pozitif elektrik yüklerinde başlayıp, sadece negatif elektrik yüklerinde biterler. Kapalı bir alandan geçen alan çizgisi sayısını “hesaplamak”, boşluk (vakum geçirimlilikle) di-elektriksizliğinin tarafından bölünen yüzeyin çevrelediği toplam yükü (maddenin kutuplaşmasından dolayı bağıl olan yükü içeren) sağlamaktadır. Daha teknik olarak, herhangi bir farazi kapalı “Gaussian yüzeyi ”ne doğru oluşan elektrik akısı ile ilişkilidir.

Manyetizma için Gauss yasası

Manyetizma için olan Gauss yasası elektrik yükleriyle kıyas edilebilen manyetik yükün (manyetik tek kutuplu da denilir) bulunmadığı ifade etmektedir. Bunun yerine, maddeye göre manyetik alan çift kutup denilen yapılardan oluşmuştur. Manyetik çift kutuplar en iyi akım döngüleri olarak tanımlanmaktadır, fakat net bir manyetik yüke sahip olmayan ayrılmaz bir şekilde birbirine bağlı olan pozitif ve negatif manyetik yüklere benzerler. Alan çizgilerine göre, bu eşitlik manyetik alan çizgilerinin ne başlayıp ne de bittiğini fakat döngü oluşturduğunu ya da sonsuzluğu ve geriye doğru genişlediğini belirtmektedir. Diğer bir deyişle, belirli bir hacim içine girmiş herhangi bir manyetik alan çizgisi o hacminin herhangi bir yerinden çıkmak zorundadır. Herhangi bir Gaussian yüzeyi boyunca toplam manyetik akının sıfır olduğu ya da manyetik alanın sarmal bobin gibi hareket eden yöneyli alanların eşdeğer teknik açıklamalarıdır.

Faraday yasası

Faraday yasası zamanla değişen manyetik alanların yapay elektrik alanlarını nasıl oluşturduğunu tanımlamaktadır. Bu dinamik indüksiyon elektrik alanı, durgun elektrik alanlarıyla birleştirilmediyse, manyetik alan gibi kapalı alan çizgilerine sahip olurlar. Elektromanyetik indüksiyonun bu yönü birçok elektrikli jeneratörünün çalışma prensibi olmaktadır, örneğin dönen bir mıknatıs çubuk dönme sırasında yakınındaki telde elektrik alanı oluşturabilen değişken bir manyetik alan oluşturur. (Not: Bu konuyla alakalı, Faraday yasasın olarak adlandırılan iki adet denklem vardır. Maxwell denkleminde kullanılan şekli her zaman geçerli olmasına rağmen Michael Faraday tarafından oluşturulan denklemden daha kısıtlı olmuştur.

Maxwell düzeltmeli Ampere yasası

Maxwell düzeltmeli Ampere yasası, manyetik alanın iki yoldan üretilebileceğini belirtmektedir: elektrik akımı yoluyla (bu gerçek “Ampere yasası ”dır) ve  elektrik alanını değiştirme yoluyla (bu “Maxwell düzeltmesi” kısmıdır)
Ampere yasasındaki Maxwell düzeltmesi bilhassa çok önemlidir. Bu düzeltme sadece manyetik alandaki değişimin elektrik alanının oluşmasına neden olmasını değil, elektrik alanındaki değişimin manyetik alanın oluşmasına neden olduğunu göstermektedir. Bu yüzden, bu denklemler kendini idame ettiren “elektromanyetik dalgalara” boşluk boyunca yolculuk etmelerine izin vermektedir. 
Akım ve yükler üzerinde yapılan çalışmalarından tahmin edilebilen elektromanyetik dalgalar için hesaplanan hız ışık hızıyla tam olarak eşleşmektedir; aslında ışık elektromanyetik yayılımın bir formudur (X-ray, radyo dalgaları gibi). Maxwell 1861 yılında elektromanyetik dalga ve ışığın arasında bir bağ olduğunu anlamış, böylelikle elektromanyetizma ve optik teorileri bir hale gelmiştir.

Bağ Yükü ve Akımı

Elektrik alanı bir elektrik materyale uygulandığında, bu materyalin molekülleri mikroskobik elektrik dipolleri (çift kutup) oluşturarak karşılık verir – moleküllerin atomik çekirdekleri elektrik alanının yönünde ufak bir hareketlenme gösterirken,  elektronlar aynı hareketlenmeyi elektrik alanının tersi yönünde yaparlar. İçerilen bütün yükler ayrı moleküllerine bağlanmış olsa da, bu hareketlilik durumu “Makroskopik bağ yükü” üretir. Örneğin, eğer her bir molekül aynı tepkiyi verirse, figürde görüldüğü gibi, yükün bu ufak hareketlenmeleri birleşerek, materyalin bir kenarında bir kat pozitif bağ yükü üretirken, diğer kenarında da bir kat negatif bağ yükü üretir. Bağ yükünün en uygun tanımlaması materyalin polarizasyonu (P), bir birim hacmine düşen çift kutup momenti,  olarak yapılabilir.  Eğer P eşit dağılımlı (birlik) ise, yükün Makroskopik ayrılımı sadece P’nin girdiği ve ayrıldığı yüzeylerde üretilir. Düzensiz P dağılımlı ise, hacimde yük üretilir.
Benzer bir şekilde, bütün materyallerin oluşturduğu manyetik alan ile bileşenleri atom olan açısal momentum arasında ilişki vardır. Açısal hız mikroskobik döngü olan bağlantıyı öne sürer. Bu malzemenin dışında, mikroskobik döngü materyalin yüzeyindeki Makroskopik döngü farklı değildir. Özgün manyetik alan uzun mesafeler arası yol almasına rağmen, . Bu akıntı adlandırılıyor mıknatıslanma.
Bu karışık, granüllü yük ve akıntı sayesinde P M açısından Makroskopik ölçüde adlandırılır. P ve M ortalaması alınmış yüklerden ve büyük ölçüde sadece granüllü özgün atomlardan değil hatta etkili küçük çeşitli yükler çeşitli şekilde yerleştirilmiştir. Örneğin :Ortalaması hacme uygun  alınmış  manyetik  alan ölçeğini anlamak için önemsiz olan  ayrıntı Maxwell denklemleri bu ayrıntıları önemsenmemiştir.

Çözümler

Maxwell eşitliklerinde elektrik ve manyetik alanlarla ilgili ve giderleri ve akımları elektrikli olanlar için kısmi diferansiyel denklemler vardır. Genellikle, giderler ve akımlar kendilerini elektrik ve manyetik alanları üzerinden Lorentz kuvvet denklemine ve yapısal denklemlerine bağlıdır. Tüm bunlar birleştiğinde bir takım çözülmesi zor kısmi diferansiyel denklemleri çıkar. Aslında bu denklemlerin çözümleri klasik elektromanyetizma ve tüm sahada tüm farklı olguları kapsar. Herhangi bir diferansiyel denklemi gibi, sınır şartları ve başlangıç koşulları eşsiz bir çözüm için gerekli olanlardır. Örneğin, uzay zamanında hiçbir akım ve gider olmadığında bile Maxwell denklemleri ile çözümler mümkündür ama birçok çözüm bariz çözüm değildir E = B = 0. Diğer çözüm E=sabit, B=sabit, yine başka bir çözüm elektromanyetik uzay zamanı dalgalarına sahiptir. Bazı durumlarda, Maxwell denklemleri sonsuz boşluklar boyunca çözülür ve sınırlı denklemler sonsuzda kavuşmaz limit olarak verilmektedir. Diğer durumlarda, Maxwell denklemleri o bölgeye uygun sınır koşulları ile alanı sadece sınırlı bir bölge ile çözülüyor. Örneğin, sınır evrenin veya periodik sınır koşullarının dış dünyadan kalan küçük bir bölgeyi izole duvarları ile tarif ve temsil eden yapay bir emici sınır olurdu.
Jefimenko’nun denklemleri manyetik ve elektrik alanlarında yaratılan gider ve akım rahatsızlıklarının oluşturduğu Maxwell denklemlerine çözüm göstermiştir. Bu mevcut tek alanlar yükleri yoluyla oluşturulan olanlardır ve engelli çözelti olarak adlandırılan çözelti elde etmek için özel başlangıç şartlarını kabul edilmiştir. Yükleri ve akıntılar oluşturdukları alanların kendileri tarafından oluşturulduğu zaman Jefimenko’nun denklemleri pek işe yaramaz.
Diferansiyel denklemler için sayısal yöntemler tam bir çözüm imkânsız olduğunda Maxwell denklemlerinden yararlanılabilir. Bu yöntemler genellikle bir bilgisayar gerektirmez ve sonlu elemanlar yöntemi ve sonlu fark zaman alanı yöntemini içerir. 
Maxwell denklemleri altı bilinmeyenli olarak belirtilmiştir. Üç bileşen E ve B oluşur ve iki denklem için Gauss yasasınu, üç vektör bileşeni için Faraday ve ampere yasasından yararlanılmıştır.(giderleri ve akımları bilinmemektedir.) bu Maxwell denklemlerindeki sınırı belli fazlalıklarla ilgilidir. Sayısal algoritma iki Gauss yasalarında göz ardı etmek mümkün olmasına rağmen, kötü tahmin hesaplamaları bu yasaların ihlallerine neden olur. Bu ihlalleri karakterize kukla değişkenleri tanıtarak, dört denklem yine de sonucu belirtememiş. Oluşan denklemler hesabına göre dört yasaları almak daha doğru algoritmalara yol açabilir.

Elektromanyetik Bir Çözüm İçin Formüller

Maxwell denklemleri olayların çeşitli açıklayan ve tahmin de olağanüstü başarılı iken, onlar için evrenin yasaları kesin değil sadece yaklaşıktır. Örnekler son derece güçlü alanları ve son derece kısa mesafeleri içerir. Ayrıca Maxwell denklemlerinin olanaksız olduğu tahmin edilmesine rağmen dünyada çeşitli görüngü oluşmuştur. Örnek olarak klasik olmayan ışık ve elektromanyetik alanın nicem engeli verilebilir. Son olarak, Maxwell denklemleri tam olarak sıfır olursa herhangi bir olağanüstü olaylar bireysel foton içeren durumlarda: örneğin fotoelektrik etti, Planc’s yasası, Duane-hunt yasası, tek foton ışık detektörü vb. açıklamak hem imkânsız ve zordur çünkü Maxwell denklemleri foton içermez. Tüm durumlarda en doğru tahminler için, Maxwell denklemleri ve nicem elektrodinamik yerini edilmiştir.

Değişimler

Elektromanyetik alanların bir klasik teorisi olarak bilinen Maxwell denklemlerinin popüler varyasyonları nispeten sınırlıdır çünkü standart denklemler oldukça iyi durumda durmaktadır.

Manyetik Tek Kutuplar

Maxwell denklemleri evrende elektrik yükünün olduğunu ama manyetik yükünün bulunmadığını varsayar. Gerçekte manyetik yük gözlenememiş ve var olmamıştır. Eğer bunlar var olmuş olsaydı Gauss ve Faraday kânununların değişmesi gerekebilirdi ve çıkan dört denklem elektrik ve manyetik alanların değişimi altında tamamen simetrik olacaktı.

Popüler Kültür

Maxwell denklemleri fizikçiler arasında popüler olan konulardan biridir. Bazı insanlar klasik fizik ve din arasında bir köprü kurar. Elektromanyetik denklemler ışık ile ilgilidir. Hıristiyan inancında İncil'in yaratılış kısmında (Genesis 01:03)  "Ve tanrı söyledi 'ışık olsun' ve ışık oluştu (And God said, “Let there be light,” and there was light. ) sözü geçtiği için bu denklemlerin Tanrı ile ilgili olduğu düşünülmektedir.
Resimde benzer bir t-shirt görüyoruz ve bu t-shirt Amerikan Sitcomun ‘After the Fire’ bölümünde ‘Alex’ tarafından giyilmiştir.