Dizi

Örnekler ve gösterim

Bir dizi rastgele sıralanmış ögeler listesi olarak düşünülebilir. Dizinin özellikleri kullanılarak, fonksiyonlar, uzaylar ve diğer matematik yapıları ile çalışmak için diziler, matematik disiplinlerinde kullanılabilir. Özellikle diziler, diferansiyel denklemler ve analizde önemli olan seriler için temel teşkil eder.
Diziyi belirtmenin birkaç yöntemi vardır. Bunların bazıları özel dizi türleri için çok kullanışlıdır. Diziyi belirtlenin bir yöntemi de, ögeleri listelemektir. Örneğin; ilk dört tek sayı dizisi (1,3,5,7) formundadır. Bu gösterim, sonsuz diziler için de kullanılabilir. Örneğin pozitif tek tam sayıların sonsuz dizisi, (1,3,5,7,...) formunda yazılabilir. Listeleme, sonsuz diziler için en kullanışlı yöntemdir. Burada bir örüntü kullanılır. Böylece ilk birkaç öge kolayca fark edilebilir. Diğer yöntemlerden örneklerden sonra bahsedilecektir.

Önemli örnekler

Birçok önemli tam sayı dizisi vardır. Asal sayılar, 1'den büyük fakat 1 ve kendilerinden başka bölenleri olmayan doğal sayılardır. Bunlar kendi sırasına göre dizilirse, (2,3,5,7,11,13,17,...) dizisi elde edilir. Asal sayılarla çalışmak, matematik ve özellikle sayılar teorisi için önemlidir.
Fibonacci dizisi, her sayının kendinden önceki sayı ile toplanması sonucu oluşan bir sayı dizisidir. İlk iki öge ya 0 ile 1 ya da 1 ile 1'dir. Böylece (0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,...) dizisi elde edilir.
Dizilere diğer önemli örnekleri, rasyonel sayılar, reel sayılar ve karmaşık sayılar verilebilir. (.9,.99,.999,.9999,...) dizisi 1'e yaklaşır. Her reel sayı, rasyonel sayılar dizisinin limiti olarak yazılabilir. Örneğin, (3,3.1,3.14,3.141,3.1415,...) dizisinin limiti, π olarak yazılabilir. Daha genel bir ifade ile herhangi bir reel sayı ondalıklar dizisinin limiti olarak yazılabilir. π için, (0.9,0.99,...) dizisinde olduğu gibi herhangi bir ondalık örüntüsü yoktur.

Tanım ve temel özellikler

Matematikte diziler çok farklı yöntemlerle (örn; tam dizi) gösterilebilir. Aşağıda sadece bazı gösterimlerden bahsedilmiştir.

Tanım

Bir dizi genellikle tanım kümesi sayılabilen toplam sıralı kümelerden oluşan bir fonksiyon olarak tanımlanabilir. Reel analizde bir dizi, N (veya ) doğal sayılarından R (veya ) reel sayılarına kadar olan alt kümedeki bir fonksiyondur. Başka bir ifade ile dizi, f(n) : N → R haritasıdır. Daha önce ifade edilen gösterimleri doğrulamak için, aₙ = f(n)   veya yalnızca aₙ : N → R yazılabilir.
Karmaşık analizde dizi, N doğal sayılarından  (veya ℂ veya ) karmaşık sayılarına kadar olan bir harita olarak tanımlanır. Topolojide dizi, genellikle doğal sayılar alt kümesinden topolojik uzayına kadar olan fonksiyonları tanımlar.

Sonlu ve sonsuz

Bir dizinin uzunluğu, dizideki terimlerin sayısı ile belirlenir.
n sonlu uzunluklu bir dizi, n demetli olarak da adlandırılır. Hiçbir ögesi olmayan ( ) boş dizi de bir sonlu dizidir. 
Normalde sonsuz dizi kavramı, bir yönde sonsuz olan bir diziyi ifade ederken; sonlu dizi,  diğer yönde birinci ögesi olan, fakat son ögesi olmayan bir dizidir. Her iki yönde de ya birinci ya da sonuncu ögesi olan sonsuz dizi, çift sonsuz dizi, veya iki yönlü sonsuz dizi olarak adlandırılır. Örneğin; tüm tam sayılardan oluşan bir kümedeki fonksiyonun dizisinin tüm ( …, −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8… ) çift tam sayıları, çift sonsuzdur. Bu dizi,   olarak ifade edilemez. Sonuçta, bir çift sonsuz dizi Z deki bir harita olarak tanımlanabilir.
Tek sonsuz dizi, R[N] doğal sayılarının yarıgrup halkasının; çift sonsuz dizi ise, R[Z] tam sayılarının Grup halkasının ögeleri  olarak ifade edilebilir. Bu görüş, dizilerin Cauchy çarpımında kullanılır.

Artma ve azalma

Bir dizinin her bir terimi, bir önceki terimden büyük eşitse, buna monotonik artma denir.  dizisinde tüm n ∈ N oluyorsa, dizi şöyle yazılabilir: aₙ ≤ aₙ₊₁  . Eğer peşpeşe gelen terimlerin her biri, önceki terimden büyükse (>), "dizi tam monotonik artıyor" denir. Eğer peşpeşe gelen terimlerin her biri, önceki terimden küçük eşit ise, "dizi monotonik azalıyor"  denir. Eğer peşpeşe gelen terimlerin her biri, önceki terimden küçükse "dizi tam monotonik azalıyor" denir. Eğer bir dizi ya artıyor ya da azalıyorsa, "dizi monotondur" denir. Bu monotonik fonksiyonun genel kavramının özel durumudur.
Azalmıyor ve artmıyor kavramları sırasıyla tam artıyor ve tam azalıyor kavramları ile karışmaması için, bunlar yerine sırasıyla artıyor ve azalıyor kavramları sıkça kullanılır.

Sınırlar

Eğer (aₙ) reel sayılar dizisi, blirli bir terimden sonraki tüm terimleri M reel sayısından daha küçük ise, "üstten sınırlı dizi" denir. Bunun anlamı, s, tüm n büyüktür N ve bazı M ve N çiftleri için, aₙ ≤ M  olur. Burada M, üst sınır olarak adlandırılır. Benzer şekilde, tüm n büyüktür n için bazı reel sayılar m, aₙ ≥ m olur. Buna "alttan sınırlı dizi" denir. Burada m alt sınır olarak adlandırılır.  Eğer dizi hem alttan sınırlı hem de üstten sınırlı ise diziye sınırlı denir.

Yakınsaklığın tanımı

aₙ ∈ R olursa ve  dizi formunda yazılabiliyorsa, bu diziyi N indis kümesi ile şöyle yazabiliriz: (aₙ). Bu diziler gerçel analizde sıkça kullanılır.