Tensör

Tensörler, vektör, skaler büyüklükler ve diğer tensörler arasındaki doğrusal ilişkileri tanımlayan geometrik  nesnelerdir. Bu tür ilişkilerin temel örnekleri arasında nokta çarpım, çapraz çarpım ve doğrusal haritalar yer alıyor. Vektör ve skalerlerin kendileri de tensördür. Bir tensör sayısal değerlerin çok boyutlu bir dizisi olarak temsil edilebilir. Bir tensör'ün derecesi (aynı zamanda derece veya rankı) kendisini temsil için gerekli dizinin boyutluluk ya da buna eşdeğer dizinin bir parçası etiket için gerekli indislerin sayısıdır. Örneğin, doğrusal bir harita bir matris ve 2-boyutlu bir dizidir ve bu nedenle bir 2-derecede tensör tarafından temsil edilebilir. Bir vektör 1-boyutlu dizi olarak temsil edilir ve 1.dereceden tensör olarak kabul edilebilir. Skalerler tekil sayılardır ve böylece 0. dereceden tensör kabul edilirler.
Tensörler geometrik vektörler'in kümeleri arasındaki bağlantıyı temsil etmek içinde kullanılır.Örneğin,Cauchy gerilme tensörü T girişi olarak bir v yönü  alır ve T stresini üreten giriş ve çıkış böylece şekilde(sağ) gösterilmiştir , iki vektör arasında bir ilişkinin ifade edilmesi için bu vektör , normal yüzeyinde bulunur,tensörlerin kendisi koordinat sisteminin belirli bir seçiminden bağımsız olmalıdır.
Bir koordinat veya referans çerçevesi alınması ve bu taban'da tensör veya referans çerçevesi'ni temsil eden organize birçok boyutlu dizi sonuçlarına tensör uygulamasına "kovaryant" dönüşüm yasası denir.Bir tensörün koordinat bağımsızlığı daha sonra hesaplanmis başka bir koordinat sisteminde ilgili dizi  formunu alır.
Bu dönüşüm yasası bir geometrik veya fiziksel ortamda bir tensör kavramı içine yerleştirilmiş olarak düşünülmektedir ve dönüşüm yasasının kesin formunun tipini(veya değerliğini) belirler
Tensör bu tür esneklik, akışkanlar mekaniği ve genel görelilik gibi alanlarda fizik problemlerini formüle etmek,çözmek ve kısa ve öz bir matematiksel çerçeve sağlamak için  fizikte önemlidir. Tensörler ilkin  mutlak diferansiyel hesapin bir parçası olarak Bernhard Riemann veElwin Bruno Christoffel ve diğerleri ve daha önceki çalışmalara devamla Tullio Levi-Civita ve Gregorio Ricci-Curbastro tarafından düşünülmüştür.Kavram Riemann eğrilik tensörü'nün içinde bir manifold  şeklinde içsel diferansiyel geometri'sinin etkin alternatif formülasyonudur Matematikte tensör, çok boyutlu verinin simgelenebildiği geometrik bir nesnedir. Yönsüz nicel büyüklükler gibi,skaler de denilen sayısal bir ifade bulurken, çok boyutlu uzaylarda uzam için vektör denilen ve bir dizi sayısal büyüklükle ifade edilen bir nesne kullanılır. Vektör yerine iki boyutlu bir ifade kullanılırsa, bu da "matris" olarak adlandırılır.
Tensör, tüm bu nesnelerin genelleştirilmiş halidir ve çok boyutlu veri kümeleri için kullanılır. Nesnenin kaç boyutla ifade edildiğine de tensörün derecesi denilir. Bir skalerin derecesi sıfır, bir vektörün bir, bir matrisin ise ikidir.
Bilgisayar programlarında "dizi" olarak adlandırılan yapılar da tensörün çevrimiçi uygulamasıdır.
Tensörler semantik olarak lineer dönüşümlerle de eşleştirilirler.

Tanım

Tensörleri tanımlayan çeşitli yaklaşımlar vardır .Görünüşte farklı olmalarına rağmen , sadece  farklı düzeylerde soyutlama ve  farklı dilleri kullanarak aynı geometrik kavramını tanımlama yaklaşımlarıdır .

Çok boyutlu diziler olarak

Skaler tek bir numara ile tarif edilir ve belirli bir tabana göre verilen bir vektör  bir boyutun bir dizisi tarafından tanımlanıyor, bir taban ile ilgili herhangi bir tensör çok boyutlu bir dizi ile tarif edilmektedir.
Dizideki sayılar  tensörünün skaler bileşenleri ya da sadece bileşenleri olarak bilinir.Tensörün sembolik isminden sonra , altsimge ve üstsimge gibi ,dizide ifade edilen indisler konumları verilerek gösterilir .
Çoğu durumda , bir tensörün indisleri ya eşdeğişken veya karşıtdeğişkendir , sırasıyla alt simge veya üst simge ile belirlenmiştir
Benzersiz her bileşeni seçmek için gerekli indislerinin toplam sayısı dizinin boyutuna eşittir  ve tensörün sırası,derece veya seviyesi denir.Örneğin, bir 2 sıralı  T tensörün girişleri i ve j  ile ilgili vektör uzayının boyutuna 1'den çalışan indisleri Tᵢⱼ, Tᵢ ʲ,  Tⁱⱼ, veya Tⁱʲ, ifadesi olacaktır.
Taban ve ( yani bir ortonormal baz için ) onun ikili çakışığı , karşıtdeğişken ve eşdeğişken arasındaki fark  bildirdiğinden indisler o zaman göz ardı edilebilir; .Bu durum içindeTᵢⱼ veya Tⁱʲbirbirinin yerine kullanılabilir olabilir 
Siz sadece bir vektör değişim bileşenlerinin vektör uzay tabanını  değiştirmek gibi bir tensörün girişlerini de böyle bir dönüşüm yasası altında değiştirebilirsiniz . bir   taban değişimi karşı tensörün bileşenlerinin  nasıl yanıt detayı olacağı  bir dönüşüm yasası ile donatılmış her tensör  olarak geliyor . Bir vektörün bileşenlerinin yeni taban vektörleri   eski baz vektörler    cinsinden ifade edilir bazda bir değişime ( vektörlerin vektörlerin eşdeğişken ve karşıdeğişken'ine bakınız) , iki ayrı şekilde cevap verebilir.

Tensör hesabı

matematik'te, tensör hesabı  veya tensör analizi tensör alanları(uzay boyunca ve zaman'la değişen tensör) olarak adlandırılan daha genel matematiksel nesnelere vektör analizinin gelişmiş bir uzantısıdır.
Tensor hesabının gerçek-hayatta uygulamaları çoktur Fizik'te ve mühendislik'te stres analizi dahil, süreklilik mekaniği,elektromanyetizma (bakın elektromanyetik alanın matematiksel açıklamaları),ve genel görelilik)(bakın Genel görelilik matematiği)

Ricci hesabı

Ricci hesabı  modern şekilcilik ve tensor indisi için gösterimdir:iç ve dış çarpımlar ayrıştırılır, kovaryans ve kontravaryanslar, tensor bileşenlerinin toplam'ları  , simetri ve antisimetri, ve kısmi ve kovaryans türevler.

Einstein Toplam kuralı

Einstein Toplam kuralı  kapalı toplamını bırakıp dağıtarak toplama işaretleri ile yazılır,. Herhangi tekrarlanan indis sembol üzerinde toplanır: bir tensör ifade eden indis i  belirli bir dönem içinde iki kez kullanılırsa, bu terim tüm i için özetlenebilir olduğu anlamına gelir.. indislerin birkaç farklı çiftleri bu şekilde özetlenebilir.

Penrose grafiksel gösterimi

Penrose grafiksel gösterimi is şekiller ile tensörler için sembollerin yerini şematik bir gösterimdir,  ve doğrular ve eğriler yardımıyla indisleri.Bu taban ögelerin bağımsız olmasını ve indisleri için sembolleri gerektirir.

Soyut indis gösterimi

Soyut indis gösterimi is indisleri bundan böyle olarak sayısal düşünülen şekilde tensörler yazmak için bir yol, ama daha çok belirsizdir.Bu gösterim indis bağımsız gösteriminin taban-bağımsızlığını ve indislerin anlamlılığını ele verir.

Bileşen-bağımsız gösterimde

A Tensörlerin bileşen bağımsız çalışması tensör gösteriminin herhangi baza ihtiyaç duymadan kullanılacağını  vurguluyor, ve  vektör uzaylarının tensör çarpımı terimlerimin içindeki tanımdır.