Faz uzayı

Matematik ve Fizik'te, bir faz uzayı içinde bir sistemin tüm olası durumlarının temsil edildiği bir uzaydır, sistemin her olası durumuna karşılık faz uzayında bir tek nokta vardır. Mekanik sistemler için, faz uzayı genellikle konum ve momentum değişkenlerinin tüm olası değerlerinden oluşur. Konum ve momentum değişkenlerinin zamana göre değişiminin bir fonksiyonunun çizimi bazen bir faz diyagramı olarak adlandırılır. Bununla beraber, bu terim genellikle fiziki bilimlerde kimyasal bir sistemin termodinamik fazlarının dengesini ve birbirlerine dönüşümünü, basınçın, sıcaklıkın ve kompozisyonun bir fonksiyonu olarak gösteren bir diyagram için kullanılır.
Bir faz uzayında, her serbestlik derecesi veya sistem değişkeni çok boyutlu bir uzayda bir eksen olarak gösterilir. Sistemin olası her durumu için, veya sistem değişkenlerinin değerlerinin izin verilen kombinasyonları için, çok boyutlu uzayda bir nokta işaretlenir. Bu işaretli noktaların temsili, sistemin durumunun zamana göre ilerlemesiyle benzerdir. Sonunda, faz diyagramı sistemin olabileceği her durumu temsil eder ve diyagramın şekli, aksi halde açık seçik olmayacak, sistemin niteliklerini aydınlatır. Bir faz uzayı birçok boyuttan oluşabilir. Örneğin, birçok molekülden oluşan bir gaz x, y ve z konumlarındaki her bir parçacığın, konumu, hızı ve diğer başka özellikleri için ayrı bir boyut gerektirebilir.
Klasik mekanikte faz uzayının koordinatları genel koordinatlar qᵢ ve onların konjuge eşlenikleri pᵢ'dir. Bu uzaydaki sistemlerin istatistiksel grubunun hareketi klasik istatistik mekanik tarafından incelenmektedir. Böyle bir sistemdeki noktaların yerel yoğunluğu Liouville teoremine (Hamiltonian) uymaktadır ve böylece sabit olarak alınabilir. Klasik mekanikte bir örnek sistem bağlamında, sistemin verilen herhangi bir zamandaki faz uzayı koordinatları sistemin tüm dinamik değişkenlerinden oluşmaktadır. Bu yüzden, sistemin geçmişte veya gelecekteki durumunu hesap etmek, Hamilton'un veya Lagrange'ın hareket denkleminin integrasyonuyla mümkündür. Dahası, faz uzayında her bir noktanın kesinlikle bir yörüngede bulunması sebebiyle, hiçbir şekilde faz yörüngeleri kesişmez.
Örneğin tek bir parçacığın bir boyutta hareket ettiği basit sistemlerde, iki serbestlik derecesi kadar az serbestlik derecesi olabilir, (tipik olarak, konum ve hız), ve faz tasvirinin bir krokisi sistemin dinamiği ile ilgili niteliksel bilgi verebilir, diyagramda gösterilen Van der Pol osilatörünün sınır-döngüsü gibi.
Burada, yatay eksen konumu ve dikey eksende hızı verir. Sistem ilerledikçe, durumu faz diyagramındaki eksenlerden birini izler.
Kaos teorisinden klasik bir faz diyagramı örneği de "Lorenz attractor"ü ve "Mandelbrot set"idir.

Kuantum mekaniği

Kuantum mekaniğinde, faz uzayının p ve q koordinatları bir Hilbert uzayındaki hermitian opetaörlere dönüşürler, fakat alternatif olarak kendi klasik yorumlamalarını da kaybetmezler, bunların sağlanan fonksiyonları yeni cebirsel yollar oluştururlar(Moyal çarpımı, Groenewold'un 1946 yıldız çarpımı).
Her bir kuantum mekaniği observable'ı faz uzayında tek bir eşsiz fonksiyona veya dağılıma uyar ve Hermann Weyl tarafından belirtildiği (1927) ve John von Neumann (1931); Eugene Wigner (1932); H J Groenewold (1946) tarafından bunların büyük bir sentezinde belirtildiği gibi tersi de doğrudur.
José Enrique Moyal (1949) ile, bunlar kuantum mekaniğinin mantıksal otonom bir reformülasyonu olan faz-uzayı nicelemesini tamamlamıştır.Deformasyon nicelemesi ve geometrik niceleme bunun modern soyutlamalarındandır.