Elektron kuşağı yapısı

Neden bant ve bant aralıkları ortaya çıkar?

Tek, izole edilmiş atomun elektronları atomik orbitalleri doldurur. Her orbital ayrı enerji seviyeleri oluşturur. Birden çok atomun bir araya gelmesiyle molekül oluşur, ve atomların atomik orbitalleri de birleşerek her birinin ayrı enerji seviyeleri oluşturduğu, moleküler orbitali oluşturur. Birleşen atom sayısı arttıkça, moleküler orbitaller daha da genişler, ve moleküldeki enerji seviyeleri gittikçe artan bir yoğunluğa ulaşır. En sonunda atomların toplamından çok devasa bir molekül oluşur, ya da başka bir deyişle, bir katı. Bu devasa molekül için enerji seviyeler birbirine o kadar yakındır ki bir bütün oluşturuyorlar gibi düşünülebilir.
Bant boşlukları temelde, enerji bantlarının sonu olan genişliklerinin bir sonucu olarak, hiçbir bant tarafından kaplanmamış artık enerji aralıklarıdır. Bantların farklı genişlikleri vardır ve bu genişlikler atomik orbitallerin örtüşme derecesine bağlıdır. İki komşu bant enerji aralığını tamamen kaplayacak genişlikte olmayabilir. Örneğin çekirdek orbitalleri(1s elektronları gibi) ile ilişkili bantlar, komşu atomların örtüşmesinin çok küçük olması sebebiyle, çok dardırlar. Sonuç olarak çekirdek bantları arasında büyük bant aralıkları olmaya eğilimi vardır. Daha çok örtüşme yapan daha geniş orbitalli büyük bantlar, yüksek enerjide gittikçe daha da genişlerler ve bant boşluğu kalmaz.

Asimetri: kristal yapıda olmayan katılarda bant yapıları

Genelde elektronik bant yapıları kristal yapıdaki maddelerle özdeşleştirilse de, yarı kristal ve amorf katılar da bant yapısı gösterebilir. Fakat bu yapılarda kristalin basit simetri yapısı eksik olduğundan ve genelde kesin bir dağılma ilişkisine karar vermek mümkün olmadğı için, teorik olarak çalışmak daha zordur.  Sonuç olarak katıların bant yapısı ile ilgili varolan teorik çalışmaların hemen hemen hepsi kristal maddeler üzerine yoğunlaşır.

Hal yoğunluğu

Hal yoğunluğu fonksiyonu g(E) birim hacme, birim enerjiye, E civarındaki elektron enerjileri için, düşen elektronik hal sayısı olarak tanımlanır.
Hal yoğunluğu fonksiyonu bant teorisine dayalı hesaplamalar için önemlidir. Bu fonksiyon optik soğurum hesaplamaları için hem uyarılabilir elektron sayısını hem de bir elektron için son hal sayısını sağlar. Aynı zamanda elektriksel iletkenlik hesaplamalarında mobile state sayısını ve elektron saçılma hızlarını hesaplarken saçılmadan sonraki son hal sayılarını verir. 
Bant boşluğu içindeki enerjiler için, g(E) = 0.

KKR modeli

Bu yaklaşımın en basit formu örtüşmeyen kürelerin atomik pozisyonda toplanmasıdır(kek kalıbı olarak anılır). Bu bölgelerin içinde bir elektron tarafından deneyimlenen potansiyel, çekirdeğe göre küresel simetriye yakındır. Kalan ara bölgedeki görülen potansiyel yaklaşık olarak sabittir. Potansiyelin atom-merkezli küre ve ara bölge arasında sürekli olmasına zorlanır.
Korringa, Kohn ve Rostocker tarafından değişken uygulamalar önerilmiştir, ve sıklıkla bunşar KKR model olarak adlandırılır.

Yoğunluk-fonksiyonel teorisi

En son fizik literatüründe, elektronik yapıların ve bant grafiklerinin büyük çoğunluğu yoğunluk-fonksiyonel teorisi (YFT)-model değil teori olarak adlandırılır- kullanılarak hesaplanır.
YFT-hesaplamalı bantlar birçok durumda deneysel olarak ölçülmüş, örneğin açı-çözümlenmeli ışılyayım spektroskopisi(ARPES) ile, bantlarla uygunluk sağlar. Özellikle bantın şekli YFT ile genel olarak çok iyi üretilir. Ama aynı zamanda YFT bantlarında deney sonuçlarıyla karşılaştırıldığında sistematik hatalar vardır. YFT özellikle yalıtkan ve yarı iletkenlerdeki bant boşluklarını yaklaşık 30-40% kadar daha az tahmin eder.
Genel olarak YFT’nin sadece temel hal özelliklerini (örn. toplam enerji, atomik yapı vb.) tahmin eden bir teori olduğuna, ve uyarılmış hal özelliklerine bu teori belirlenemeyeceğine inanılır. Bu bir kavram yanılgısıdır. Bu Hohenburg-Kohn teoreminin temelidir. Ancak pratikte bir maddedeki temel halde uyarılmış hale geçen elektronların enerjilerini haritalayan bilinen bir işlevsel yoktur. Böylece, literatürde YFT bant grafiği olarak geçen aslında YFT Kohn-Sham enerjilerinin temsilidir (yani; hiç fiziksel yorumlaması olmayan, hayali etkileşimsiz bir sistemin enerjileri, Kohn-Sham sistemi). Kohn-Sham elektronik yapısı gerçekle, bir sistemin yalancı parçacıklı elektronik yapısı ile karıştırılmamalıdır.
Dolayısıyla, prensipte, YFT’ye dayalı Kohn-Sham bir bant teorisi değildir, yani bant grafikleri ve bantların hesaplanması için uygun bir teori değildir. Pratikte genelde zor olsa da, temelde zamana bağlı YFT gerçek bant yapısını hesaplamada kullanılabilir. Ünlü bir yaklaşım ise Hartree-Fock exact exchange’in bir kısmını içeren hibrit fonksiyonlarının kullanılmasıdır; bu, yarıiletkenlerde tahmin edilen bant boşluklarının önemli ölçüde gelişmesidir, fakat metallerde ve bant aralığı geniş maddelerde daha az güvenilir sonuçlar verir.

Green’in fonksiyon metotları ve ab inito GW yaklaşımı

Elektron- elektron etkileşimi çok kütleli etkisini içeren bantları hesaplamak için Green’in fonksiyon metodu denilen yola başvurulabilir. Hatta bir sistemin Green fonksiyonunu bilmek, sistemin hem temel (toplam enerji) hem de uyarılmış halinin gözlenebilmesini sağlar. Green foksiyonunun kutupları, katıların bantı, yalancı parçacık enerjileridir. Green fonksiyonu, sistemin kendi enejisi biliniyorsa Dyson denklemini çözerek hesaplanabilir. Katılar gibi gerçek sistemler için, kendi enejileri çok kompleks bir miktardır ve genellikle problemi çözmek için varsayımlara ihtiyaç vardır. Bu varsayımlardan biri GW yaklaşımıdır, öz enerjiyi Σ = GW matematiksel formunda alır; G Green fonksiyonu, W ise dinamik olarak gösterilen etkileşimdir. Bu yaklaşım bant grafikleri hesaplamasını (ve ayrıca spektral fonksiyonlar gibi ötesinde miktarlar) ele aldığında daha geçeri hale gelir ve aynı zamanda ab inito yolu ile tamamen formülize edilebilir. GW yaklaşımı yalıtkanların ve yarı iletkenlerin bant boşluklarını deneylerle uygun olarak sağlar ve böylece sistematik YFT yetersiz tahminini düzeltir.

Mott yalıtkanları

Kısmen serbest elektron yaklaşımı elektron bant yapısının çoğu özelliğini tanımlayabilse de, bu teorinin bir sonucu, her birim hücre için aynı sayıda elektron sayısını tahmin etmesidir. Eğer elektron sayıları tek ise, her birim hücrede bir çiftleşmemiş elektron bulunmasını bekleriz, ve böylece değerlik bandı tam olarak dolmamış olur ve maddeyi iletken yapar. Ancak CoO gibi maddeler, bu sonuca doğrudan zıt olarak, birim hücrelerinde tek sayıda elektron olmasına rağmen yalıtkandır. Bu tip maddeler Mott yalıtkanı olarak bilinir, ve bu çelişkiyi açıklamak için ek olarak elektron-elektron etkileşimlerinin de detaylandırılması gerekir. Hubbard modeli bu etkileşimleri dahil eden ortalama bir teoremdir.

Bant Grafikleri

Gerçek uzayda bant yapılarının Fermi seviyesine göre nasıl değiştiğini anlamak için, genel olarak bant grafiği çizilir. Bu grafikte dikey eksen enerjiyi, yatay eksen ise gerçek uzayı temsil eder. Yatay çizgiler enerji seviyelerini, bloklarsa eneji bantlarını gösterir. Yatay çizgiler eğimli ise, seviyenin veya bandın enerjisi uzaklıkla değişir. Grafiksel olarak, bu durum kristal sistemde bir elektrik alanın bulunduğunu gösterir. Bant grafikleri, birbirileriyle temas halindeyken farklı maddelerin birbirine karşı genel bant yapısı özelliklerini anlamada kullanışlıdır.