Dinamik sistem

Bu sayfa dinamik sistemlere dair genel bakış açılarını içerir ayrıntılı bilgi içindinamik Sistem(tanım) veya çalışmak amaçlı dinamik sistemler teorisine bakabilirsiniz.
Dinamik sistem geometrik uzay katmanındaki bir noktanın zamana bağlı durumunu tarif eder.Sarkaçlı bir saatin sarkacının salınımını,bir borudan geçen suyun hareketini ve her ilkbaharda bir göldeki balık sayısını(n değişimini/miktarını) anlatan matematiksel modeller buna bir örnektir.
Dinamik bir sistemin herhangi bir zaman aralığında/anında,reel sayılar ile (vektör ile)  gösterilen bir konumu vardır,bu konum uzayda(çokkatlı uzayda) uygun bir noktayla gösterilebilir.Sistemin durumunda meydana gelen ufak değişikliklere onu temsil eden rakamların değişikliği eşlik eder.Dinamik sistemlerdeki gelişim kanunu,dinamik bir sistemin şu anki durumunun gelecekteki geçireceği değişimleri açıklayan bir (şu anki durumun fonksiyonu)fonksiyonudur.Bu prensip rastgele sonuçlar üretmez,diğer bir deyişle sistemin şu anki durumunu takip edecek sadece tek bir gelecek durum vardır.

Tarihçe

Pek çok kişi dinamik sistemlerin kurucusu olarak Henri Poincaré'yi görür. Poincaré, "New Methods of Celestial Mechanics"(gök mekaniğinde yeni yöntemler) (1892–1899) ve "Lectures on Celestial Mechanics"(gök mekaniği üstüne dersler) (1905–1910) isimli iki adet monografi yayınladı.Bu kitaplarda üçlü sistemler(hareketleri) üstündeki çalışmalarının sonucunda elde ettiği yöntemleri hatasız bir şekilde uyguladı ve çözümleri üstünde daha detaylı çalışmalar yaptı(frekansları,yörüngelerin denklikleri,asimptotları vb).Bu kağıtlardaki çalışmalara göre(Poincare'in yineleme teorisini de içeriyorlardı)herhangi bir sistem yeterli bir zaman geçtikten sonra,yeterli ancak ölçülebilir zaman,ölçümün başladığı o ilk pozisyonuna çok yakın bir yere dönüyordu.
Aleksandr Lyapunov pek çok,önemli,yaklaşım yöntemleri geliştirdi.1899 yılında geliştirdiği bu yöntemleri,adi diferansiyel denklem kümelerinin kararlığının hesaplanmasını mümkün kılıyordu.Dinamik sistemler için modern  kararlılık teorisini üretmiştir.
1913 yılında, George David Birkhoff'un  Poincaré'nin "son geometrik teorisini,üçlü sistemdeki özel bir durum için,kanıtlaması ismini dünyaya tanıttı.1927 yılında,şimdi ergodik teorem olarak bilinen ve ortaya atmış olduğu en uzun ömürlü çalışması olan  Dynamical Systems i yayınladı.Ergodik hipotezden edilmiş fiziksel sezinin ve matematiksel hesaplamayla kombine olması,en azından prensipte,istatistiksel mekaniğin temel sorununun çözümünü oluşturuyordu.Ergodik teori aynı zamanda dinamikten esinlenmeler de içerir.
Stephen Smale 'in de büyük katkıları olmuştur.İlk katkısı at nalı haritası(ayrıntılı bilgi için bkz Horseshoe map)ile dinamik sistemlerde kayda değer çalışmalar yapmıştır.Ayrıca başkalarının pek çok kez baş vurduğu bir araştırma programı da yapmıştır.
1964 yılında Oleksandr Mykolaiovych Sharkovsky,kesintili(bkz discrete dynamical system)dinamik sistemlerin periyotları üstünde çalışması sonucu Sharkovsky teorisini geliştirmiştir.Teoremin çıkarımlarından birine göre,sayı doğrusundaki, kesintili bir dinamik sistem eğer üç adet periyot noktası barındırıyorsa diğer her periyotlarda da periyodik nokta bulundurmak zorundadır.

Yerel dinamikler

Dinamik sistemlerin niteliksel özellikleri koordinatlarda lineer değişimler olsa bile değişmez(bu açıklama bazen nitelik kavramının tanımı olarak görülür):vektör alanındaki yalnız bir nokta(v(x) = 0 olduğu nokta)lineer değişimler sonucu yine tek bir nokta olarak kalacaktır;periyodik yörünge,uzay katmanındaki bir döngü/düğümdür ve bu uzay katmanındaki lineer dönüşümler sonucu yine aynı döngü olarak kalacaktır.Dinamik sistemlerde uzay katmanındaki tek noktalar ve döngüsel yörüngelerin yakınları yeterince iyi anlaşılabilmektedir.Dinamik sistemler üstündeki kapsamlı çalışmalar gösteriyor ki;koordinatlardaki değişimi(değişimler spesifik olarak bilinmese de hesaplanabilir olduğu zaman) kullanarak dinamik sistemlerin analizleri çok daha kolay oluyor.

Düzenleme,idealleştirme

Uzay katmanının küçük parçacıklarının akışı çok basit formlara indirgenebilir.Eğer y v(y) ≠ 0 denkliğini sağlayan bir noktaysa,o halde ynin çevresindeki vektör alanının birbirine paralel ve aynı büyüklükte geçen vektörler olmasını sağlayacak bir koordinat değişikliği yapılabilir(bu değişiklik vardır).Bu düzenleme teoremi olarak bilinir.
Düzenleme teoremi der ki;tek noktalardan uzaktaki bir paketin içindeki noktanın dinamikleri bir doğruyu meydana getirir.Bu paket bazen başka paketlerle birleşerek büyüyebilir,ve bu çözüldüğünde,tüm uzay katmanı M için uzay integrallenebilirdir.Çoğu durumda bu paket tüm uzay katmanını dolduramaz.Vektör alanında tek noktalar olabilir(v(x) = 0 olduğunda)veya paketler bir noktaya yaklaşırken git gide küçülebilir.Bu genelin doldurulamayışı için daha sağlam bir neden,yörüngelerin paketten çıktıktan sonra(belki diğer paketlere uğradıktan sonra) yine aynı yerine dönmesi olabilir.Eğer yörünge bir döngüye girerse,bu vektör alanını düzenlemek tüm paketler için düzenlemek imkansız olur.

Birleşim/girişim Sonuçları

Birleşim denkleminin sonuçları olabilmesi,Jnin eigen değerlerine ve hnin derecesinin bir olmasına bağlıdır(lineer olması için).Jnin herhangi özel bir simetriye sahip olmasına gerek olmadığından,Jnin eigen değerleri karmaşık sayılar olabilir.jnin eigen değerleri birim çember üzerinde olmadığında,F üstündeki sabit x₀ noktaları sabit hiperbolik noktalar olarak adlandırılır ve eigen değerleri çember üzerinde olmasının yanı sıra karmaşık sayılar olurlarsa eliptik  olarak adlandırılır.
Hiperbolik olduğu durumda, Hartman–Grobman teoremi lineer haritadaki sabit J • x noktasının komşuluğunun devamlı olduğu fonksiyonu verecek olan şartları ortaya koyar.Hiperbolik durum aynı zamanda yapısal kararlılığa da sahiptir.Vektör alanındaki küçük değişiklikler Poincare haritasında sadece küçük değişiklikler yaratacak ve bu küçük değişiklikler Jnin eigen değerlerinde ufak değişiklikleri meydana getirecek(karmaşık sayılar düzleminde) ki bu yeni eigen değerlerinin görünümü yine hiperbolik bir şekle sahip olacak.
Kolmogorov–Arnold–Moser (KAM) teoremi eliptik noktanın komşuluğunun davranışını açıklar.

Geometrik tanım

Dinamik sistem bir değişkenler grubudur ,  birçok katlıyı gösterir(Banache  veya Öklid uzayındaki) ,  ise zamanın tanım kümesidir(pozitif gerçek sayılar tam sayılar vb ile gösterilebilir) ve f ise t → f ᵗ ile veya  f ᵗ gösterilen gelişim kuralı( iken)ve çokkatlının diferansiyelidir(ayrıntılı bilgi için bkz,diffeomorphism).Yani f zamana bağlı nin kendi katlarına bağlı değişiminin haritasıdır.Başka bir deyişle,f(t) bir diferansiyellenebilir morfizmadır( nin tanımlı olduğu her zaman,tdeğeri çin).

Çok boyutlu  genelleme

Dinamik sistemler tek bir bağımsız değişken üstüne kuruludur(genelde bu değişken zamandır).Daha genel sistem sınıfları çoklu bağımsız değişkenler üstüne kuruludur ve bu yüzden  çok boyutlu sistemler olarak adlandırılırlar.Bu tip sistemler matematiksel modelleme için kullanışlıdır , örneğin, görüntü işleme.