Cebirsel topoloji

Cebirsel topoloji, topolojik uzayları cebirsel gereç ve yöntemlerle inceleyen matematik dalı. Matematikte bir kümenin üzerine döşenecek yapı, yönelinen matematik dalını belirler. Bir kümeye bir ya da birkaç işlem konarak sayılar kuramı ya da cebir yapmaya başlanabilir. Kümenin üzerine bir topoloji koyaraksa topoloji ve, ayrıca uzunluk koyarsak, geometri yapmaya başlanır. Üzerine topoloji konmuş bir uzayı (örneğin herhangi boyutlu bir Öklit uzayı) incelemek için kimi cebirsel, aritmetik veya topolojik değişmezler tanımlanır; bunlar aracılığıyla topolojik uzayın özellikleri ayırdedilir. Örneğin tıkızlık, bağlantılılık, sayılabilirlik bu tür değişmezlerdir. Topolojik eşyapısal (birbirlerine homeomorfik) iki uzaydan biri bu değişmeze sahipse diğeri de buna sahip olmalıdır. Yani, eğer iki uzay için ayrı ayrı bakılan bir değişmez aynı değilse, bu iki uzay eşyapısal olmayacaktır. Yukarıda anılan en eski değişmezlerin hemen ardından inşa edilen  klasik değişmezler cebirsel olanlardır.

İnşa

Topolojik uzaylara cebirsel değişmezler inşasında amaç şudur: her bir  uzayı için  olarak gösterilecek bir cebirsel nesne  kurulacak. Ayrıca  uzayından  uzayına sürekli bir  gönderimi, uzaylara karşılık gelen bu yeni cebirsel nesneler arasında cebirsel yapıları gözeten ve   olarak gösterilecek gönderimler (morfizmalar) tarif edecek. Yani, topolojik kategoriden cebirsel kategorilere izleç(fonktör) inşa edilecek. Örneğin  bir grup/halka/cisim/modül olarak inşa edilmişse,  gönderimi grup/halka/cisim/modül homomorfizması olacak. Üstelik, inşa gereği, bu cebirsel nesneler ve gönderimler şu özellikleri sağlayacak:
(1)   ve  için 
   olacak. 

(1') Ya da 'nin cinsine göre   
olacak.
(2)   birim gönderimine karşılık gelen  , birim gönderim olacak.
Topolojik uzaylara karşılık gelen ve bu koşulları sağlayan bir  cebirsel nesnesi icat edilmiş olsun. Eğer , 'ten 'ye bir topolojik eşyapıysa, 'nin tersi vardır ( diyelim) ve  de bir eşyapıdır. Dolayısıyla topolojik eşyapının tanımı gereği  ve  olur. Yukarıdaki (1) ve (2) koşullarından,
 ve 

elde edilir. Birinci eşitlikten  örten ikinciden  birebir olmak zorunda kalır. Yani  bir cebirsel eşyapı olur.
Şunu göstermiş olduk: (1) ve (2) sağlandığı sürece eşyapısal topolojik uzayların cebirsel nesneleri (grup, halka vs.) de birbirlerine eşyapısal olacak.

Örnekler

Burada birkaç cebirsel topolojik değişmez inşası özetlenecek.

Temel grup

Topolojik uzaylara karşılık gelen en basit cebirsel değişmezdir. Bir  uzayı ve içinde bir  noktasına karşılık,  olarak gösterilen bir gruptur.
Öncelikle,  uzayında  sürekli bir eğri, [0,1] kapalı aralığından 'e giden sürekli bir gönderimdir.  ve  iki eğri olsun.  ile 'nin ucuca eklenmesiyle oluşan eğriyi  olarak gösterelim.  noktasından başlayan ve aynı noktada biten tüm eğrilerin kümesiniyse  ile gösterelim. Eğer herhangi iki eğriyi anlatan gönderimler birbirlerine homotopikse bu iki eğriye  denk eğriler diyeceğiz. Gösterilebilir ki bu ilişki   üzerinde gerçekten bir denklik bağıntısıdır. 
Böylece oluşturulan denklik sınıflarının kümesi üzerinde ucuca ekleme işlemi hala iyi tanımlıdır; yani eğer  eğrisi 'ye  eğrisi de 'ye homotopikse,  ile 
eğrileri de birbirine homotopiktir. Bu denklik sınıflarını eleman olarak ve ucuca eklemeyi de işlem olarak kabul eden cebirsel nesne, gösterilebilir ki bir gruptur.
 ve  verildiğinde böylece inşa edilen gruba 'in 'daki temel grubu denir ve 
 olarak gösterilir.
Örneğin gerçel sayı doğrusunun () herhangi bir noktasındaki temel grubu tırışka (aşikar) gruptur; yani tek elemanlı gruptur. Oysa çemberin () herhangi bir noktasındaki temel grubu  grubuna izomorfiktir. Dolayısıyla,  ile  birbirlerine topolojik eşyapısal olamazlar. Bunu daha önceden de biliyorduk; çünkü  kompakt değildir ama  kompakttır.
Yukarıdaki örneklerin aksine,  genelde değişmeli bir grup değildir. Daha genel olarak, verilen her grup icin temel grubu o grup olan bir uzay inşa etmek mümkündür.