Kayan nokta

Kayan noktalı sayılar gerçel sayıların bilgisayar ortamındaki gösterim şekillerinden biridir. Gerçek dünyada sayılar sonsuza kadar giderken, bilgisayar ortamında bilgisayar donanımının getirdiği sınırlamalardan dolayı bütün sayıların gösterilmesi mümkün değildir. Bununla birlikte gerçekte sonsuza kadar giden birtakım değerler bilgisayar ortamında ortamın kapasitesine bağlı olarak yaklaşık değerlerle temsil edilirler. Bu sınırlamaların etkisini en aza indiren, sayıların maksimum miktarda ve gerçeğe en yakın şekilde temsilini sağlayan sisteme "Kayan-Noktalı Sayılar" sistemi denir. Kayan-Noktalı sayılar sistemi, bir sayı ile 10'un herhangi bir kuvvetinin çarpımı şeklinde sıklıkla kullanılan bilimsel gösterime oldukça benzeyen bir notasyona sahiptir ve en sık kullanılan IEEE 754 standardına göre şekillendirilmiştir.
Bilinen gösterim şekillerinde n bitlik kapasiteyle gösterilebilecek sayı aralığı bellidir. İşaretsiz gösterimde; 0 ile 2ⁿ, bire tümleyen şeklindeki gösterimde; -2ⁿ⁻¹+1 ile 2ⁿ⁻¹, ikiye tümleyen gösteriminde ise; -2ⁿ⁻¹ ile 2ⁿ⁻¹ arasındaki sayıları göstermek mümkündür.
Bu gösterim şekillerinde çok büyük ve çok küçük değerlerin ifade edilmesi için çok miktarda bilgisayar donanımına ihtiyaç duyulmaktadır. Örneğin sabit noktalı gösterimde n bitlik alanda noktanın yeri bellirlenmiş ve x bit anlamlı kısım için, geri kalan (n-x) bit ise virgülden sonraki kısım için ayrılmıştır. Bu durumda 8 bitin 5 biti sayının tam kısmını, kalan 3 biti virgülden sonraki kısmını ifade ederse 10110,011, 11101,001, 11111,111 şeklindeki sayılar gösterilebilir. Kayan noktalı gösterimde ise eşit miktarda bilgisayar donanımı ile daha geniş aralıktaki sayılar üretilebilir. Yani 8 bitlik alanda 1,1101101, 10,101011, 11111,111 şeklinde virgülün herhangi bir aralığa gelerek oluşturacağı bütün kombinasyonları ifade etmek mümkündür.
Kayan noktalı sayılar tam sayı işlemlerden daha yavaştır. Bilgisayar performanslarının karşılaştırılmasında özellikle bilimsel bilgisayarlarda,kayan noktalı sayılar üzerindeki işlem hızı önemlidir. Ölçüm için FLOPS (floating point operation per second) kullanılır.

Gösterim

Bilimsel gösterimde sayılar, virgülün solunda 0'dan farklı bir basamak kalacak şekilde 10'un kuvvetiyle çarpım halinde gösterilir. Örneğin; 5647 ve 0.0003456 sayıları sırasıyla 5.647x10³ ve 3.456x10⁻⁴ şeklinde yazılır. Bu formatta 10'un kuvveti değiştikçe çarpan sayının tam sayı kısmını belirleyen nokta, kuvvetin değişme yönüne uygun olarak kaydırılır. Bu kaydırma işlemine olağanlaştıma (normalizasyon) denir. Kayan noktalı sayılar sistemi de bu temel prensibe dayalı bir sisteme sahiptir.
Kayan noktalı sayılar, ikilik düzendeki sayıların bilimsel gösterimle gösterilmesidir. Kayan noktalı sayılar işaret, anlamlı kısım ve üst(2'nin üssü şeklinde) olmak üzere üç kısımdan oluşur.
M x Bᴱ
Burada M kayan noktalı sayının mantis'i; B tabanı, E ise üssüdür. Kayan noktalı sayının gösteriminde anlamlı kısmın bitleri fazla olursa sayının duyarlılığı, üst bitleri fazla olursa gösterilebilecek sayı aralığı artar.
Bu modele göre 13 sayısını gösterelim;

13 sayısı, 13 = 13,0x10⁰ = 1,3x10¹ = 0,13x10² olarak ifade edilebilir.

İkilik sistemde düşünürsek: 13₁₀ = 1101₂x2⁰ = 110,1₂x2¹ = 11,01₂x2² = 1,101₂x2³ = 0,1101x2⁴
Son şekliyle ele alırsak, işaret biti 0, anlamlı kısım 11010000 ve üst 00101 olacaktır.
Aynı şekilde 65536₁₀ sayısını göstermek istersek: 65536₁₀ = 0,1₂x2¹⁷ yani işaret biti 0, anlamlı kısım 10000000 ve üst 10001 olacaktır.
Fakat bu modelde 0,25₁₀ sayısını göstermek istersek: 0,25₁₀ = 1,0x2⁻² olacağından üst için ayrı bir işaret biti kullanmak gerekmektedir. Bunun yerine saptırılmış üst yöntemini kullanmak daha verimli olmaktadır. Bu yöntemde, gerçek üst değerine sabit sapma değeri eklenerek saptırılmış üst elde edilir.

Örneğin bu modelde saptırma değeri olarak 16 seçilmiş olsun. Bu durumda üst değeri 16'dan büyük olan değerler pozitif üstleri, 16'dan küçük olan değerler için negatif üstleri gösterir. Böylece ilk örnek için saptırılmış üst 4+16=20 yani 10101₂ olacağından, 13 sayısının yeni gösterimi aşağıdaki gibi olacaktır.
Aynı şekilde 0,25₁₀ sayısı için işaret biti 0, anlamlı kısım 10000000₂, negatif üst için saptırılmış değer -2+16=14 yani 01110₂ olacaktır.

Olağanlaştırma

Kayan noktalı sayıları bu yöntemle ifade ederken karşılaşılan sorunlardan biri de sayıların benzersiz gösteriminin sağlanamamasıdır. Kayan nokta yöntemiyle gösterim yapılırken virgülün yeri ile birlikte üst değeri değiştiğinde aynı sayı birden farklı şekilde yazılabilir.
Şekilde gösterilen sayıların tümü aynı değere sahiptir, ancak gösterim farkından dolayı değişik şekillerde ifade edilebilmektedirler. Bu durum bilgisayarlar için verimli olmadığından sayıların eşsiz gösterimini sağlayan bir yöntem hayata geçirilmiştir. Bu yöntemde ikilik sistemdeki sayılar bilimsel gösterimdeki gibi, virgülün solunda sıfırdan farklı bir sayı kalana kadar kaydırılır ve o şekliyle ifade edilir. Bu işleme "olağanlaştırma (normalizasyon)" denir. Bu işlem sonunda her sayının benzersiz gösterimi sağlanırken, sayı 1 ve 0 lardan oluştuğu için virgülün solunda sıfırdan farkı olan değerin 1 olduğu bilindiğinden, anlamlı kısımın ifadesi için fazladan bir bit kazanılmış olur.

IEEE 754 standardı

Kayan noktalı sayıların her değişik aygıta uyumlu bir gösterime sahip olması için IEEE 754 standardı geliştirilmiştir. Bu standarda göre kayan noktalı sayıların gösterimi tek duyarlı (32 bit) ve çift duyarlı (64 bit) olmak üzere iki şekilde belirlenmiştir. Bu gösterimlerde sayılar olağanlaştırılmış ve üstler, üst değerini tutan bit sayısına göre saptırılmıştır. üst değerini tutan bit sayısı k ise, saptırma değeri 2ᵏ⁻¹-1 olarak belirlenmiştir.

Tek duyarlı gösterim

Tek duyarlı gösterime göre 32 bitin 1 biti işaret için, 8 biti üst için ve 23 biti de anlamlı kısmın gösterimi için kullanılmaktadır. Bu modele göre üst saptırma miktarı 127 olarak belirlenmiştir. Yani üst gösteriminde 127'den büyük sayılar pozitif, 127'den küçük sayılar negatif üstleri temsil eder.

Çift duyarlı gösterim

Çift duyarlı gösterimde ise 64 bitin 1 biti işaret, 11 biti üst ve 52 biti de anlamlı kısmı ifade etmek için kullanılır. Üst saptırma değeri 1023 olarak belirlenmiştir. Bu şekilde 1023'den büyük olan sayılar pozitif, küçük olan sayılar ise negatif üstleri göstermektedir.