Dizinin limiti

Tarihi

Yunan filozof Zeno of Elea limit işlemleri içeren paradoksları formüle etmesiyle meşhurdur.
Leukippos, Demokritos, Antifon, Eudoksos ve Arşimet bir alan ya da bir hacmi bulmak için yaklaşımlardan oluşan ve sonsuz dizi kullanan tüketme yöntemini geliştirdi. Arşimet sonsuz dizinin terimleri toplamakta, ki buna günümüzde geometrik seri diyoruz, başarılı oldu.
Newton şu eserlerinde serilerle uğraştı: Sonsuz serilerle analiz (1669'da yazıldı, el yazması olarak yayıldı, 1711'de basıldı), Diferansiyel kalkülüs ve sonsuz seriler yöntemi (1671'da yazıldı, 1736'da İngilizce çevirisi basıldı, Latince aslı ise çok sonra basıldı) ve Tractatus de Quadratura Curvarum (1693'de yazıldı, Optiks eserine ek olarak 1704'te basıldı). Sonraki eserinde, Newton (x+o)ⁿ binom açılımını ele aldı ve sonraları (o→0 kabulü ile) limit alarak doğrusallaştırdı.
18. yüzyılda, Euler gibi matematikçiler tam doğru anda durdurarak bazı ıraksak serileri toplamakta başarılı oldu; hesaplanabildiği sürece limitinin olup olmadığını umursamadılar. Yüzyılın sonunda, Lagrange, Théorie des fonctions analytiques (1797) adlı eserinde titizlik eksikliğinin kalkülüste daha fazla ilerlemenin önüne geçtiğini söyledi. Gauss, hipergeometrik seriler (1813) adlı çalışmasında bir serinin hangi şartlar altında bir limite yakınsadığını ilk kez titizlikle inceledi.
Limitin modern tanımı (her ε için öyle bir N indisi vardır ki ...) Bernhard Bolzano (Der binomische Lehrsatz, Prag 1816, o zamanlar çok az dikkat çekti) ve 1870'lerde Karl Weierstrass tarafından yapıldı.

Gerçel sayılar

Gerçel sayılarda, eğer dizideki sayılar başka bir sayıya değil de yalnızca 'ye yaklaşıyorsa  sayısı  dizisinin limitidir.

Sonsuz limitler

Her K için, bir N vardır öyle ki, her  için, ; öyle ki seçilen herhangi K için dizinin terimleri o K değerinden daha büyük ise,  dizisi sonsuza yaklaşıyor denilir ve  veya  şeklinde ifade edilir.  Benzer bir şekilde,  her K için, bir N vardır öyle ki, her  için,  ise . Eğer bir dizi sonsuza ya da eksi sonsuza yaklaşıyorsa, o dizi ıraksaktır. (Ancak, ıraksak bir dizi sonsuza ya da eksi sonsuza yaklaşmak zorunda değildir.)

Tanım

Tüm ε > 0 için, bir N vardır öyle ki, her  için,  ise (X, d) metrik uzayının bir x noktası (xₙ) dizisinin limitidir. Bu tanım  ve  iken gerçel sayılar için yapılmış tanım ile aynıdır.

Özellikler

Herhangi bir f sürekli fonksiyonu için, eğer  ise, . Aslında, bir f fonksiyonu sürekli ise ancak ve ancak uygulandığında dizilerin limitlerini değiştirmiyordur.
Eğer varsa dizilerin limitleri biriciktir, farklı noktaların belli bir pozitif uzaklık ile ayrılması gibi, bu uzaklığın yarısından az her  için, dizinin terimleri her iki noktadan  uzaklığı içerisinde olamaz.

Tanım

x'in her U komşuluğu için, bir N vardır öyle ki, her ,  ise (X, τ) topolojik uzayında bir x noktası, (xₙ) dizisinin limitidir. Eğer (X,d) metrik uzay ve  d tarafından üretilen bir topoloji ise bu tanım metrik uzay için yapılmış tanım ile aynıdır.
Bir T topolojik uzayında  noktalarının bir dizisinin limiti, özel bir fonksiyonun limitidir: bu fonksiyonun; tanım kümesi,  ile genişletilmiş gerçel sayılar kümesinin indüklenmiş topoloji uzayındaki  kümesidir, değer kümesi T, girdisi n - bu uzayda 'nın limit noktası olan - +∞'a yaklaşır.

Özellikler

Eğer X Hausdorff uzayı ise, dizilerin limitleri var oldukları yerde biriciklerdir. Bunun genel bir durum olması gerekmediğine dikkat edin. Özellikle, x ve y noktaları topolojik olarak benzer ise, x değerine yakınsayan herhangi bir dizi y değerine de yakınsamalıdır. Bunun tersi de geçerlidir.