Ehrenfest Paradoksu

Paradoksun Gereksinimleri

Sabit açısal . hızıyla dönmekte olan bir R yarıçaplı bir disk hayal edin.
Referans çevçevesi diskin sabit kalan merkezine sabitlenmiştir. Sonrasında, diskin çevresinde herkangi bir noktanın görece hızının büyüklüğü ωR olacaktır. Dolayısıyla, çevre  faktöründe bir Lorentz-Kısalması’na uğrayacaktır. 
Ancak, yarıçap hareket yönüne dik olduğundan dolayı herhangi bir kısalmaya uğramayacaktır. Dolayısıyla
.
Bu paradoks oluşturan bir sonuçtur, çünkü Öklid-Geometrisine göre bu oran tam olarak π’ye olmalıdır.

Ehrenfest’in Savı

Ehrenfest dönmek üzere yapılmış ideal bir Born-BiçimiBozulmaz silindir varsaymıştır. Silindirin hiçbir şekilde esneyip uzamadığını veya büzülmediğini varsayarsak, yarıçapı sürekli aynı kalacaktır.  Fakat 2πR lik çevre boyunca yerleştirilen ölçüm çubukları durmakta olanlara kıyasla γ faktörünce daha küçük bir değere Lorentz-Kısalmış olacaktır. Bu şöyle bir paradoksa yol açmaktadır; biçimi bozulmaz ölçüm çubukları Lorentz-Kısalmasından dolayı birbirleriyle ayrılmak durumda kalacaktır. Ehrenfest tarafından ortaya koyulan bu uyuşmazlık Born-BiçimiBozulmaz silindirin parçalanacığını önermektedir.
Dolayısıyla, Ehrenfest Born-BiçimiBozulmazlığı genel olarak özel görelelikle uyumlu değildir dieyip reductio ad absurdum kullanarak bir iddia ortaya koymuştur. Özel göreleliğe göre bir cisim Born-BiçimiBozulmazlığını korurken dönmeyen bir duruma bükülemez fakat böyle bir cisim sıfırdan farklı sabit bir açısal hız elde ettiğinde özel görelelikle çelişmeden Born-BiçimiBozulmazlığını korur ve sonrasında (Einstein’in sonradan gösterdiği gibi) disk üzerindeki bir gözlemci yarıçapı . olarak ölçecektir.

Einstein ve Genel Görelelik

Genel göreleliği geliştirirken dönen disk ve dönen diskin biçimi bozulmazlık ile bağlantısı Einstein içinde önemli bir düşünce deneyiydi. Einstein  1912, 1916, 1917, 1922 yıllarındaki birkaç yayınında bu düşünce deneyinden bahsetmektedir ve bu düşünce deneyinden dönen çerçevedeki gözlemci için geometrinin Öklid-Dışı bir geometri olduğu sonucunu çıkarmıştır. Einstein söyle yazmıştır (1922);
s. 66ff: “K'  ın x'y' düzlemini merkez alan bir daire çizildiğini ve yarıçapını hayal edin. Daha da ilerisi hayal ederek, bize bir birine eşit çok sayıda biçimi bozulmaz çubuklar verildiğini varsayın. Biz bunların K'  a göre sabit duracak şekilde dış kenar çizgisi ve yarıçap boyunca ard arda konduğunu varsayalım. Eğer U dış kenar çizgisi boyunca bu çubukların sayısı olacak olursa, D yarıçap boyunca olanların sayısı, sonra, eğer K' K ye göre dönmüyor ise, biz şunu elde ederiz, . Fakat eğer K' dönerse biz farklı bir sonuç elde ederiz. Varsayalım K'deki belirli bir zaman olan t de biz bütün çubukların sonlarını belirledik. K ye göre dış kenar çizgisi boyunca olan bütün çubuklar Lorentz kısalmasına maruz kalacaklar fakat yarıçap boyunca olan çubuklar bu kısalmaya maruz kalmayacaklar. Dolayısıyla bu bize şunu gösterir; .
Buradan şöyle bir sonuç çıkmaktadır ki K' a göre biçimi bozulmaz nesnelerin düzen yasaları biçimi bozulmaz nesnelerin K e göre olan Öklid geometrisi ile uygunluk gösteren yasalarıyla uyuşmamaktadır. Eğer, daha da ileri gidersek ve aynı özelliklere sahip iki tane  (K' ile birlikte dönen) saatten birisini dış kenar çiezgisine birisine diğerini çember merkezine yerleştirirsek, K nin yorumu dış kenar çizgisinde olan saatin merkezdekine göre daha yavaş olduğu olacaktır. K'  için zamanı tamamen doğal olmayan yolla tanımlarsak, aynı durum K' dan yorumlandığında da olacaktır, yani K'  ın yasaları direkt olarak zamana bağlı hale geleceklerdir. Dolayısıyla, zaman ve mekan K'  a göre özel görelelikte eylemsiz sistemlere göre tanımlandığı gibi tanımlanamaycak. Fakat, eşitlik prensibine göre, K' da yer çekim alanı içeren haraketsiz bir sistem olarak varsayılmalıdır. Dolayısıyla burdan biz şu sonucu çıkarmaktayız ki; yer çekimi zaman-mekan sürekliliğinin metrik yasalarını etkileyen hatta belirlemektedir. Eğer ideal biçimi değişmeyen nesnelerin düzeni geometrik olarak ifade edilirse, yer çekim alanın varlığında geometri Öklid geometrisi olmayacaktır.”