Fraksiyonel fourier dönüşümü

Matematikte, harmonik analiz alanında, kesirli Fourier dönüşümü (FRFT) Fourier dönüşümüne genelleştirilecek doğrusal dönüşümlerin bir ailesidir. Bu nedenle, -zaman ve frekans- arasında bir ara etki alanı için bir işlev dönüştürebilir - Fourier dönüşünde n'in bir tamsayı olması gerekmez n'inci kuvvet dönüşümü olarak da düşünülebilir. Onun uygulamaları faz geri alma ve örüntü tanıma için,filtre tasarımı ve sinyal analizi arasında değişir.
kesirli Fourier dönüşümü (FRFT) Fourier dönüşümüne genelleştirilecek lineer dönüşümlerin bir ailesidir.
FRFT  fraksiyonel konvolüsyon, korelasyon ve diğer işlemleri tanımına kullanılabilir, ve aynı zamanda lineer kanonik dönüşümler(LCT) içine daha fazla genelleştirilebilir,ve ayrıca Namias'ın.    Green fonksiyonu için çözümü yardımıyla faz uzayı rotasyonları için FRFT'nin bir erken tanımı Condon tarafından verildi,Hermit polinomları üzerinde Wiener'in    çalışması genelleştirildi
Bağımsız birkaç araştırma grubu tarafından 1993 civarında yeniden icat edilene kadar ancak yaygın olarak kabul edilmemiştir. O zamandan beri,fraksiyonel fourier boyutunda sınırlı bant kabul edilen sinyalleri için,Shannon örnekleme teoremine  olan ilgide büyük bir artış olmuştur.
"Kesirli Fourier dönüşümü" için tamamen farklı bir anlam frekansı alanı kesirli bir miktarda kaydırılarak ayrık bir Fourier dönüşümüne karşılık bir durumda  z-dönüşümü için aslında başka bir isim olarak ve özellikle Bailey ve Swartztrauber  tarafından tanıtıldı (bir doğrusal kesir tarafından giriş çarpılması) ve frekans noktalarının (örn. tayfı sadece küçük bir kısmı göz önünde bulundurarak) bir fraksiyonel kümesi de değerlendiriliyor. (Bu tür dönüşümler Bluestein FFT algoritması tarafından verimli bir şekilde değerlendirilebilir.) Bu terminoloji teknik edebiyatının en kullanım dışına çıkmış,yani,FRFT  tercih edilecek Bu makalenin geri kalanında FRFT olarak geçecek.Fourier dönüşümünün bir genelleştirmesi ile ilgili cıvıltı dönüşümünede ayrıca bakılmalıdır

İlgili dönüşümler

Yine benzer dönüşümler için ayrık Fourier dönüşümü veya ayrık fraksiyonal Fourier dönüşümü ile ilgili
Zeev Zalevsky tarafından tanımlanan fraksiyonel genellemeler vardır

Kesirli Fourier dönüşümünün Yorumlanması

Fourier dönüşümünün herzamanki kullanılan şekli bir zaman domeni sinyalinin bir frekans domeni sinyaline dönüşümüdür.Diğer taraftan,ters Fourier dönüşümü ise frekans domeni sinyalini zaman domeni sinyaline dönüştürür.Görünen o ki,Kesirli Fourier dönüşümü bir sinyale (ya zaman ya da frekans domeni) sürekli zaman ve frekans domenine dönüştürülebilir,zaman-frekans domeni içinde bu bir döngüdür. Lineer kanonik dönüşüm tarafından genelleştirilen bir bakış açısıdır,bu kesirli Fourier dönüşümü  genelleştirilerek dönme dışındada frekans-zaman domeni,doğrusal dönüşümlerini sağlar.
Bir örnek olarak aşağıda Şekil alalım:sinyal zaman domeninde dörtgen ise(aşağıda),frekans domeni içinde bir sinc fonksiyon alınacak. Ancak kesirli Fourier dikdörtgen sinyaline dönüştürme uygularsanız, dönüşüm çıkış zaman ve frekans arasındaki bir domen olacaktır.
Aslında, kesirli Fourier dönüşümü zaman frekans dağılımı üzerine bir dönme işlemdir.Yukarıdaki tanımından α = 0 için,burada kesirli Fourier Dönüşümü uyguladıktan sonra herhangi bir değişiklik olmayacak,ve bir Fourier dönüşümüne α = π/2 için, kesirli Fourier dönüşümü alınıyor.Burdaki zaman frekans dağılımını  π/2 ile döndürülür. α için diğer değer,α nın zaman frekans dağılımına göre kesirli Fourier dönüşümünün döngüsüdür.Aşağıdaki resim  αnın değişik değerleri ile birlikte kesirli Fourier'e dönüştüren sonuçları gösterir.

Uygulama

Fraksiyonel Fourier dönüşümü zaman frekans analizi ve DSP'de kullanılabilir. Bu gürültüyü filtrelemek için yararlıdır, ama zaman-frekans domeninde istenen sinyalin örtüşmemesi koşulu ile.Aşağıdaki örneği inceleyelim.Gürültüyü ortadan kaldırmak için doğrudan bir filtre uygulayamayız,ancak kesirli Fourier dönüşümü yardımıyla, öncelikle (istenilen sinyal ve gürültü dahil) sinyal döndürebiliriz. O halde sadece istenilen sinyali geçmesine izin verecek özel bir filtre uygulayabiliriz. Böylece gürültü tamamen kaldırılır. Sonra biz geri sinyale döndürmek için tekrar kesirli Fourier dönüşümünü kullanıyoruz ve istenilen sinyal alabiliyoruz.
Böylece, sadece zaman alanında  kesilme kullanılarak, veya  eşdeğeri frekans domenindeki alçak geçiren filtre'lerle, herhangi bir konveks küme zaman-frekans alanını kesebilirsiniz;kesirli Fourier kullanılarak zaman domeni veya frekans domeninde yöntemleri kullanılarak sadece eksene paralel dikdörtgenler dışındaki kesimin dönüşümüne izin verir.