Lenart Küresi

Lenart küresi, Öklityen olmayan geometriler için özellikle de küresel geometri, küresel trigonometri ve projektif geometri için bir eğitim ve öğretim modelidir. Lenart küresi, küre üzerindeki çokgenleri (özellikle üçgenleri) ve kenar-açı arasındaki ilişkileri görselleştirmek için bir “küresel yazı tahtası” olarak adlandırılır. Küre, The Geometer’s Sketchpad, GeoGebra ve Spherical Easel gibi görselleştirme yazılımları gibi kullanılır. (Ayrıntı Bilgi İçin Dış Bağlantılar Küresel Easel Bilgi, bakınız Öklidyen olmayan geometri için interaktif geometri yazılımları listesi, ve birçok diğer interaktif Projektif geometri uygulamaları ve programları). Lenart küresinin egitim uygulamaları Geodesy, GIS, astronomi, geometri, ışın izleme (grafik), perspektif (grafiksel), trigonometri ve göksel navigasyonu içerir.

Tarih

Lenart küresi István Lénárt tarafından Macaristan’da 1990 lı yılların başında icat edilmiş ve kullanımı da 2003 yılında düzlemsel ve küresel geometriyi karşılaştıran kitabında anlatılmıştır.
Küresel trigonometri antik zamanlardan İkinci Dünya Savaşı sonlarına kadar önemli bir matematik konusu olmuş ve modern eğitim sisteminde ve (navigasyonda) GPS gibi daha algoritmik metotlar ile Haversine formülü, lineer cebir matris çarpımı ve Napier’in pentagonu da dahil olmak üzere yenilenmiştir. Lenart küresi Avrupa boyunca hala yaygın bir şekilde Öklityen olmayan geometrilerde ve GIS kurslarında kullanılır.

Uygulamalar

Glen Van Brummelen’den sonra(Reference 1 below, p. 129, stereografik projeksiyon)  küresel geometri artık tarihsel matematik haricinde, navigasyon, astronomi, coğrafya vb. alanların eski bilimsel ihtiyaçlarıyla ilgili olmamasına rağmen yine de simulasyon, oyun programlama, Autodesk Maya, kinematik, fizik motorları ve optik, fotoğrafçılık, sanat ve tıp gibi daha birçok farklı yeni alana bağlı olarak bir yeniden doğuş yaşamıştır.
2B’den 3B’ye geçiş (küresel bir şekilde) veya bunun tersi artık bilgisayar grafikleri, oyun motorları ve hatta GPU mimarisinde kendine yeni bir yuva bulan eski bir harita yapım tekniğidir. (although looking at spherical trigonometry in "reverse" by mapping spherical data onto planes – see Stereographic projection for details). Bu gelişmeler  Lenart küresinin ve analog araçların, küresel trigonometrinin ve sayısız diğer geometrik modelleme araçlarının devam eden geçerliliğini astronomi, navigasyon ve coğrafyadaki kendi birincil ve tarihsel değerlerinin de ötesinde etkilemiştir. Matematiksel olarak, bu yeni gelişmelerin çoğu daha eski ve geniş bir bakış açısı ile bir çatı altında toplanabilir. ;Bu bakış açısı, küresel projeksiyonlardaki birçok uygulamasıyla tanımlayıcı ve projektif geometrinin bölümleri altında toplanabilir.
Persperktif geometrinin tarihi uygulamaları fotometrik ölçüm gibi bazı modern astronomik küre-projeksiyon arenalarında yeniden ele alınmıştır. (özellikle perspektifin ters problemlerinde ve fotometrik sistemlerdeki küresel yokolma noktalarında) Çoğu Lenart küresi trigonometrik yüzey ile olduğu gibi GIS ve astronomi ile de birlikte gelir.
Layman’ın tabiriyle, bir küreyi bir düzleme yansıttığınızda veya tam tersi durumda, perspektifin önemi (yakınsaklık ve ufuk çizgileri gibi) gölgelerin konusu ile ilgili olmasından dolayı genelde çok ilginçtir.
Bu sebeple hareket gölgelendirme projeksiyon ve perspektif(matris çarpımı ya da küresel trigonometri) 3B modelleme referanslarında kapalıdır.Günümüzde, 3B’den 2B küre ve düzlemlere haritalama aynı zamanda birden çok perspektifi göz önünde bulundurmalıdır, örneğin; kamera ve görüntüleyici gibi. Bunlar örnekleme ile yürütülür. Perspektif basamaklama adı verilen bir teknik, gölge haritasının parametrik hale getirilmesi ile ilgilidir (istatistiksel örnekleme) ve projeksiyonun kameradan görüntüleyiciye çevrilmesinde kullanılabilir. İkisi de Lenart küresi üzerinde noktasal ışık kaynakları kullanır ve geometrik bir yazılım ile modelleme çeşitli örneklerin etkisini gösterebilir.
İstatistik öğretmenleri Lenart küresi gibi çeşitli araçları perspektifin etkilerini (gölge örneklemesi gibi) göstermek için kullanabilirler, sonrasında da daha derinlerde yatan trigonometri ve lineer cebiri kullanarak örtüşme için koordinatları hesaplarlar. Bu durumda persfektif Fourier Dönüşümlerinin perspektif fonksiyonu olur.(Ayrıca bakınız Nyquist–Shannon örnekleme teoremi ve Yumuşatma detayları için ilgili makaleler.)
Oyun programcıları Lenart küresinin trigonometrik haritalanmasından ve temeldeki küresel trigonometriden basitçe OpenGL derin sıkıştırma komutunu çağırarak, örneğin; otomatik olarak projektif matris yaratarak mesela 3B hareket gölgelendirme, kaçınabilirler.Bunun yanı sıra OpenGL komutunun temelinde, kompleks bir grup lineer cebir fonksiyonları yatar. Aslında, lineer cebir, vector ve tensör dizileri, matris cebiri ve diferansiyel denklemler yoluyla  projektif ve tanımlayıcı geometriyi 3B koordinatların çözümü ile direk matris çarpımını bypass ederek uygulanan ilk matematik metodlarından biridir. Bu daha yeni teknikler, ve onların Fourier tabanlı algoritmaları geleneksel tarihi yaklaşımlardan daha hızlı, daha tutarlı küresel üçgen çözümleri verebilir.(bakınız p. 241 ve diğer Chauvenet referansları).
Ama bu çarpımların kesinliği ile belirli teknik problemler (ör. Z koordinatları>1) küresel trigonometri tekrar dikkate alınarak tıpkı dördeylerin 19. Yüzyılda 4B bilgisayar grafikleri hesaplamalarında yeniden ele alınarak çözülmesi gibi, çözülebilir. (ayrıntılar için bakınız Bölüm 10 (p. 314 et al.) Lengyel referansında.)

3B Küresel Grafikler ve Harmonikler

Tıpkı gölge hareketlerinin bir küreye yansıtılmasının bilgisayar grafiklerindeki Lenart küresinin eğitimsel uygulamalarının önemli olduğu gibi, ışık kaynaklarının küreye projeksiyonu (ve hareket), dolaylı ışıklandırma, global aydınlatma, ön hesaplanmış parlaklık aktarımı, ambiyans emilimi vb. konuları genellikle 3B bilgisayar grafiklerine dahil olan diğer ilişkili uygulamalardır. Lenart küresi katmanları hem pozitif hem de negatif harmonic gösterimleri ve polar ve küresel koordinat hesaplamaları için kullanılabilirler.
Bu uygulamaların çoğu asıl olarak Laplace denklemi ve küresel trigonometrinin bu etkileri göstermek için birincil araç olduğu zamanlardaki (1780’ler) Laplace dönüşümüne dahil olmuştur. Bugün, Argand (1806) diyagramları da Lenart küresiyle beraber hızlı Fourier dönüşümlerini ve kompleks düzlemdeki küresel-harmonik algoritmaları keşfetmek için kullanılabilir. Teknik olarak bunlar küresel harmoniğin özel alanındaki Laplace dönüşüm denklemlerinin çözüm setlerinin açısal kısmını bulurlar.
Genellikle, Laplace ve Fourier dönüşümleri birbiriyle ve frekans çözümleyerek sinyal işlemleme ve projeksiyonu dahilinde, osilasyon ve zaman problemleri (ikisi de önemli küresel projeksiyon ve harmonic durumlara sahiptir) ile ilişkilidir. Kürede ve küresel harmonic teoreminin eklenmesiyle, kişi Laplace cosinus trigonometri tanım denkleminin sol tarafında polinomlar ve sağ tarafında da küresel harmanikler kullanır.
Sonra küresel y vektörlerini z eksenini gösterecek şekilde döndürür, x=y tayin eder ve Unsold teoremi ile (öncelikli olarak atomik küresel simetri ve solar/küresel hesaplamalar ile bilinir.) küreyi n=2 boyutta olacak şekilde yansıtıp genelleştirebiliriz, böylece daha yüksek boyutlar kürenin hacmine endekslenir. Bu teknikler küresel trigonometrinin 3B grafik uygulamalarını spectrum analizindeki, sinyal işlemlemedeki ve hızlı Fourier dönüşümlerindeki daha yeni uygulamalara genişletirler.
Bilgisayar grafiklerine ek olarak, projektif geometri 20. Yüzyılın başlarında teorik olarak bitmiş olmasına rağmen robotik ve yapay görme gibi alanlarda yeni analitik uygulamalar bulmaktadır. (bakınız Mundy ve Zisserman yapay görme ile ilgili dış bağlantılara.).

Küresel Tesselasyon ve Sonlu Analiz

Bilgisayar grafiklerinde çokgen veri setlerini yönetmek ve onları çeviri için uygun biçime sokmak için tesselasyon kullanılır. Özellikle gerçek-zamanlı çeviri için veriler üçgenlere tesselasyon edilir, örneğin DirectX 11 ve OpenGL ‘de.
Bilgisayar destekli dizaynda, inşa edilmiş dizayn yüz ve kenarlarla sınırlı olan analitik 3B yüzey ve kıvrımların 3B gövdenin sürekli sınırlarını oluşturduğu sınır gösterimli topolojik model tarafından sunulur. Rastgele 3B gövdeler çoğunlukla direk analiz için fazla karmaşıktır. Bu yüzden birbirine geçmiş küçük, analizi kolay 3B hacimler ağı ile – genellikle ya düzensiz dört yüzlü ya da düzensiz altı yüzlü yakınsanırlar.(tessele edilir) Bu ağ 3B grafiklerin (Lenart küresiyle ilgili durumlarda küreler, gezegenler, toplar, yıldızlar, vb. ) sonlu eleman analizi ve yaratılmasında (sentez veya modelleme)
Lenart küresi, küresel tesselasyon tekniklerinin modelleme ve gösteriminde, özellikle sonlu analiz problemlerine uygulandıklarında son derece kullanışlıdır. 3B grafik programlarını veya Phyton kod örneklerini kullanarak (Açık kaynak Python kod örnekleri vs. NURBS için sekizinci referans linkine bakınız), çok daha büyük sayıdaki çokgenler sonlu elemanların analizi ve obje ve özelliklerin kürede sentezlenmesi için küreye doğru ve küreden yansıtılabilirler; örnekteki istilaya uğramış asteroid gibi.Bu durumda,  Lenart küresi sonlu analiz ve kurgulamanın(teknik olarak: modelleme) son derece kompleks diferansiyel matematiğine sadeleştirme veya yakınsama kısayolu olarak tesselasyon (döşeme) için, özellikle hareketli objeler kullanışlıdır.