Hamilton mekaniği

Hamilton mekaniği klasik mekaniğin tekrar formüle edilmesiyle geliştirilmiş ve Hamilton olmayan klasik mekanik ile aynı sonuçları öngörmüş bir teoridir. Teoriye daha soyut bir bakış açısı kazandıran Hamilton mekaniği klasik mekaniğe kıyasla farklı bir matematiksel formülasyon kullanmaktadır. Tarihi açıdan önemli bir çalışma olan Hamilton mekaniği ileriki yıllarda istatistiksel mekanik ve kuantum mekaniği konularının da geliştirilmesine önemli katkılarda bulunmuştur.
Hamilton mekaniği ilk olarak William Rowan Hamilton tarafından 1833 yılında, klasik mekanik Lagranjiyen mekaniği'nden itibaren ele alınarak tekrar formüle edilmiştir. Lagranjiyen mekaniği ise klasik mekaniğin önceki önemli formülasyonlarından birisidir ve Joseph Louis Lagrange tarafından 1788 yılında geliştirilmiştir.

Genel bakış

Hamilton mekaniğinde klasik bir sistem kanonik koordinatlar r = (q, p) ile ifade edilir. Koordinatdaki her bir bileşen qᵢ, pᵢ sistemin referans noktasını göstermektedir.
Sistemin zaman içindeki değişimi Hamilton denklemi tarafından özgün biçimde aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır;
ve denklem içerisindeki (q, p, t) Hamiltonyen'ı ifade etmektedir. Hamiltonyen genelde sistemin toplam enerjisine eşittir ancak bunun geçerli olmadığı durumlar da vardır. Kapalı bir sistemde Hamiltonyen H sistemin kinetik ve potansiyel enerjisinin toplamına eşittir.
Newton mekaniğinde, zamandaki değişim sistem içerisindeki her parçacığa etki eden toplam kuvvet hesaplanarak elde edilir ve Newton'ın ikinci yasası kullanılarak hem hızın hem de pozisyonun zaman içindeki değişimi hesaplanır. Buna karşın Hamilton mekaniğinde zamandaki değişim, sistemin Hamiltonyen'ı genel koordinatlarda hesaplandıktan sonra Hamilton denklemine yerleştirilerek elde edilir. Bu yöntem Lagranjiyen mekaniğinde kullanılan yöntem ile aynıdır. Aşağıda da gösterildi üzere, Hamiltonyen aslında q ve t değerlerinin sabit tutulup p 'yi iki değişkeli bir eleman olarak tanımlayan bir Lagranjiyen Legendre dönüşümüdür. Buna bağlı olarak her iki yaklaşım da aynı genelleştirilmiş momentum değerleri için aynı denklemleri verir. Lagranjiyen mekaniği yerine Hamilton mekaniği kullanılmasının temel nedeni ise Hamiltonyen sistemlerin simplektik (symplectic structure) yapısından kaynaklanmaktadır.
Hamilton mekaniği zıplayan bir top, bir sarkac veya salınım yapan bir yay gibi basit sistemlerin hareketini açıklamak için kullanılabilir. Bu basit sistemlerdeki enerji, kinetik enerji ve potansiyel enerji arasında zamanla değişime uğrayarak birbirine dönüşür. Buna ek olarak Hamilton mekaniğinin gücünün asıl görüldüğü nokta daha karmaşık dinamik sistemlerdir. Gezegenlerin yörünge hareketleri, gök mekaniği gibi alanlar buna birer örnektir. Sistemin hareket eksenlerindeki özgürlük arttıkça, sistemin zamana bağlı değişkelerinin hesaplanması zorlaşır. Çoğu durumda ise bu sistemler kaotik davranışlar gösterir.

Poisson cebir

Hamiltonyen sistemler farklı yöntemler ile genelleştirilebilirler. Simplektik manifold üzerinde bulunan düzgün (smooth) bir fonksiyonun cebirine basitçe bakmak yerine, Hamiltonyen mekaniği genel komütatif birimsel gerçek Poisson cebir (general commutative unital real Poisson algebra) üstüne formüle edilebilir. Bir durum Poisson cebirinde devamlı doğrusal (lineer) fonksiyonumsudur. Bu fonksiyonumsu bazı uygun topolojiler ile donatılmıştır ve barındırdığı her element A
için A² pozitif olmayan gerçel sayılar kümesi düşer.
İleri seviyedeki genelleştirmeler Nambu dinamikleri ile tanımlanmıştır.