En az eylem ilkesi

En az eylem ilkesi diğer bi adıyla minimum eylem prensibi, mekanik sistemlerdeki eylem kavramına varyasyon prensipleri uygulandığında hareket denklemlerinin bulunması esasına dayanır. Görelilik teorisinde, göreli etkiler fiziksel olarak dahil oldukları için, klasik mekanik sistemlere göre farklı eylem fonksiyonları tanımlanmalıdır. Bu prensip, Newton, Lagrange ve Hamilton ve görelilik prensiplerini ve onlardan çıkartılan hareket denklemlerini türetmek için kullanılır. “En az” kavramı çözümlerde iki nokta arasındaki yollardan; çevre yollara göre değişimin en az olduğu yolu bulma problemi irdelendiği için kullanılır. Bu prensibin klasik mekanik ve elektromanyetik prensipleri kuantum mekaniğinin dolayısıyla da en az eylem ilkesinin sonuçlarına dayanır. En az eylem ilkesi ve varyasyon prensipleri, kuantum mekaniğini de geliştirmiş olan doğanın en kapsamlı temel davranış yasalarını içerir.
Bu prensip modern fiziğin ve matematiğin merkezinde yer almış ve görelilik teorisi, kuantum mekaniği ve kuantum alan teorisi gibi genel alanlarda etkin olarak kullanılmıştır. Ayrıca modern matematikte Morse teorisi ile ilişkili çalışmıştır. Maupertuis prensibi ve Hamilton prensibi de daha genel olan en az eylem ilkesinin birer alt örnekleridir.
Eylem prensibi matematiksel olarak geliştirilmesinden önce topoğrafi ve optik gibi alanlarda aslında gözlemleniyordu. Antik mısırda, ipler etkili şekilde gerilerek iki nokta arasındaki mesafeyi ölçmekte kullanılıyordu. Çünkü bu durumda ipler, potansiyel enerjilerini en aza indirgeyecek şekilde davranış gösteriyorlardı. Ayrıca, ışığın kırınımında da benzer davranış gözükmektedir. Işık, farklı indislere sahip ortamlar boyunca ilerlerken farklı hızlara sahip olur ve bu farklı hızlarla karşı bir noktaya gitmek istediğinde bunu mümkün olabilecek en kısa yoldan yapar. Bu basit prensibi, geometrik olarak ispatlarken rahatça görelilik esasları ve temel kuantum mekaniği davranışları gözlenebilir. Esasen, ışığın ve elektronların davranışları bu temel fiziksel yasanın ve genel ve uzay-zaman/eğrisel geometrinin prensiplerinin bir sonucudur. Geçmişte ise maddelerin yapmaları gereken işleri en kısa yoldan(değişkenden) yaptıkları temel Öklid geometrisi gibi matematiksel yapıları kullanarak gözlenip gösterilebiliyordu.
Genel olarak bilim insanları, 1744-1746 arasında, en az eylem ilkesinin ilk formülasyonunu Pierre Louis Maupertuis’e atfederler. Ancak Euler bu prensipten 1744'te çeşitli yayınlarında bahsetmiş ve Leibniz de bu tartışmalarda yer almıştır.
1932’de Paul Dirac aynı prensiplerin kuantum mekaniğindeki geçerliliğini ve etkilerini gözlemlemiştir.

Eklemeler

Euler bu konu üzerinde Reflexions sur quelques loix generales de la nature (1748) kitabında daha çok çalıştı ve eylemi "efor" olarak ifade etti. O zamanki tanımları şimdi potansiyel enerji olarak adlandırılabilecek tanımlarla eşdeğerdi. Dolayısıyla, Euler’in en az eylem ilkesi statikte çeşitli gövdelerden oluşan bir sistemin toplam potansiyel enerjisini en aza indirgeyecek şekilde dengeye geldiği gibi bir sonuç türetmede kullanılabilir.

Jacobi ve Morse

1842’de Carl Gustav Jacobi iki boyutlu, jeodezikler ve keseller üzerine çalışmış ve bu tip fonksiyonların maksimum ve minimumları üzerine düşünmüştür. Marston Morse tarafından da bu fikirler üzerine Morse teorisi geliştirilmiştir.

Gauss ve Hertz

Hertz’in en az kavislik ilkesi de Gauss’un harekette en az kısıt ilkesinin bir sonucudur.

En az eylem ilkesinin kapsamı

Richard Feynman’a göre, en az eylem ilkesi matematiksel olarak Newton’un 2. Yasasından daha spesifik ve çok daha kapsamlıdır. Çünkü sadece mekanik harekette değil neredeyse tüm fiziksel yasalarda geçerliliğini korur ve uygulanabilir. Ayrıca, Newton’un ikinci yasasından en az eylem ilkesi türetilebilir ancak tam tersi yapılamaz. Bunun yapılması için ancak Newton’un 1. Ve 3. Yasalarının da korunumsuz kuvvetlerin olmadığı ortamlarda türetilmeye dahil edilmesi gerekir.En az eylem ilkesi momentum’un ve enerjinin korunumunu da türetmede kullanılabilir. Elbette uzayda ve zamanda sistemin simetrisi bulunuyorsa bu mümkündür.
En az eylem ilkesindeki sorun, korunumsuz kuvvetlerin kullanımının dinamiğe katılmasındaki zorluklardır. Newton yasaları ise bu konuda daha güçlüdür ve eğer kuvvetler korunum sahibi ise rahatlıkla birbirlerinden 2 yasa da türetilebilir.