Clifford cebiri

Matematikte, Clifford cebirleri birleşmeli cebirin bir tipidir.K-cebirleri olarak,bu gerçek sayılar, karmaşık sayılar, dördeyler ve birkaç birkaç öte-karmaşık sayı sistemlerinin genelleştirilimesidir. Clifford cebrinin teorisi karesel formlar ve ortogonal dönüşümlerin teorisi ile yakından bağlantılıdır. Clifford cebirlerinin  geometri, teorik fizik ve sayısal görüntü işleme alanlarının farklı önemli uygulamalarını içerir. İsmi ingiliz geometrici William Kingdon Clifford adına ithaf edilmişitir .
En bilindik Clifford cebri, veya ortogonal Clifford cebri, Riemannian Clifford cebri olarak da adlanırılır.

Dış cebirin bir nicemlemesi

Clifford cebri dış cebirler ile yakın ilişkilidir. Aslında, eğer Q = 0 ise Clifford cebri Cℓ(V, Q) sadece dışsal cebir Λ(V)dır. sıfırsız Q için burada bir kurallı doğrusal izomorfizm var. Λ(V) ve Cℓ(V, Q) arasında olduğunda temel alan K karakteristik iki bulunmamaktadır. Şöyle ki, bu  doğal izomorfik vektör uzaylar olarak, ama farklı çarpımlar (karakteristik ikinin durumu içinde, bu vektör uzayları olarak yine izomorfiktir, sadece doğal değildir) iledir.Ayrıcalıklı altuzay ile birlikte Clifford çarpımı kesinlikle daha zengin dışsal çarpımla  Q tarafından ekstra bilgi sağlamanın yapımında kullanılır
Daha kesin bir ifadeyle, Clifford cebri dışsal cebirin nicemlemesi (bkz. Kuantum grup) olarak düşünülebilir, aynı mantıkla Weyl cebride  simetrik cebirin  bir nicemlemesidir.
Weyl cebri ve Clifford cebri bir *-cebirin bir başka yapısını kabul eder, ve bir süper cebirin çift ve tek terimleri olarak birleştirilebilir,  CCR ve CAR cebirleri içinde tartışıldığı gibi .

Örnekler: Gerçek ve karmaşık Clifford cebri

Daha önemlisi Clifford cebirleri  böylece  gerçek ve karmaşık  vektör uzayları üzerinde  dejenere olmayan kuadratik formlar ile donanımlı vektör uzaylarıdır
Cℓₚ,q(R) ve Cℓₙ(C) cebirlerinin her bir çıkışı ,A veya A⊕A,için izomorfiktir, burada A , R, C, veya H dan giriş ile bir tam matris halkasıdır Bu  cebirlerin tam bir sınıflandırması için  Clifford cebrinin sınıflandırılmasına bakınız

Spin ve Pin grupları

Spin grup,Pin grup ve spinor
Bu bölümde varsayimimiz  V sonlu boyutludur ve bu çift dogrusal form tekil-olmayandir. (Eğer K  karakteristik 2 idiyse bu V 'nin boyutunun çift olduğunu vurgular.)
Pin grup PinV(K) 1 ± spinor normun elemanlarının Clifford grup Γ bir alt grubudur, ve benzer Spin grup SpinV(K) , PinV(K) içinde  Dickson değişmezi 0'ın ögelerinin altgrubudur
Karakteristik, 2 olmadığında,bu belirleyici 1 unsurlarıdır. genellikle Spin grup Pin grubunda indis 2 içinde vardır.
Clifford grubundan bir homomorfizmanın ortogonal grubu üzerine olduğunu önceki bölümden hatırlayın.Özel ortogonal grup  Γ⁰.nın görüntüsü olarak tanımlıyoruz  K karakteristik 2 yoksa.Bu belirleyici 1 ortogonal grubunun elemanlarının sadece bir grubudur.K karakteristiğe 2'ye sahip değilse ortogonal grubun tüm unsurlarının belirleyicisi 1 var, ve ortogonal grup Dickson değişmezi 0 elemanlarının kümesidir.
Ortogonal gruba Pin grubundan bir homomorfizm bulunmaktadır. The image consists of the elements of spinor norm 1 ∈ K*/K*². +1 ve−1,ögelerinin oluşturduğu çekirdek ve  K  2.derece olmadıkça karakteristik 2.var Benzer şekilde burada V  'nin özel bir ortogonal grubuna göre Spin grubundan bir homomorfizmdir.
yaygın durumda iken V gerçekler üzerinde pozitif ya da negatif kesin bir alandır, spin grubu,özel ortogonal grubunun üzerine eşleşir, ve eğer V nin  3 ten az boyutu var ise  basit bağlantıdır.Bundan başka, bu homomorfizmanın çekirdeği 1 ve -1den oluşur.Yani bu durumda spin grubu, Spin(n), SO(n) nin bir çift örtüğüdür. ancak dikkat edin, Spin grubun basit bağlılığı genel olarak doğru değildir: Eğer V   p ve q her ikisi için Rᵖ,q ,2 den az ise spin grup basit bağlı değildir. Bu durumda cebirsel grup Spinₚ,q basit gerçek değerli noktalarından olan grubu Spinₚ,q(R) basit bağlantılı olsa bile, bir cebirsel grup olarak bağlanır. Bu tamamen spin grupları hakkında en azından bir standart kitabın yazarların karıştırdığı, oldukça ince bir noktadır.

Spinorlar

Bu durumda cebirsel grup Spinₚ,q(R) sadece gerçek değerli noktalarından olan grubu Spinp, q (R) basit bağlantılı olsa bile, bir cebirsel grup olarak bağlanır.Spinorlar Clifford cebri Cℓₚ,q(C), ile p+q=2n çift, burada 2ⁿ.boyutlu matris cebrinin karmaşık bir gösterimi var.Pinₚ,q(R)  grup için sınırlama ile aynı boyutun Pin grup bir karmaşık gösterimini alıyoruz, spin gösterimi denir. Eğer spin grup için bu sınırlı  Spinₚ,q(R) ise bu 2ⁿ⁻¹ boyutun iki yarı spin gösterimleri (veya Weyl gösterimleri)in toplamı olarak ayrıktırlar
Eğer p+q=2n+1 , tek ise Clifford cebri Cℓₚ,q(C), iki matris cebrinin bir toplamı ise, bunun her  2ⁿ,boyutlunun bir gösterimi var ve burada  Pin grup Pinₚ,q(R) nin ayrıca her iki gösterimleridir.spin grup Spinₚ,q(R) için sınır üzerinde bu olan izomorfiktir, böylece spin grup 2ⁿ boyutlunun bir karmaşık spinor gösterimi var
Daha geneli, spinor gruplar ve pin gruplar üzerinde herhangi alan Clifford cebri karşılığının yapısı üzerinde bağlı tam yapılar olan benzer gösterimler var: her ne zaman bir Clifford cebri bir faktörü olan bazı bölüm cebri üzerinde bir matris cebridir, bu bölme cebri üzerinde pin ve spin grupların bir karşılık gösterimini alıyoruz,gerçekler üzerinde örnekler için  spinorlerle ilgili makaleye bakın.

Diferansiyel geometri

Dışsal cebirin temel uygulamalarının biri burada diferansiyel geometri içinde  bir düzgün manifold üzerinde diferansiyel formların demet tanımı için kullanılıyor. Bir (pseudo-)Riemannian manifoldu durumunun,  uyarılmış bir doğal kuadratik form ile donanımı  tanjant uzaylar metrik iledir . Böylece, dışsal demet ile aynı analojide olan bir Clifford demeti ile tanımlanıyor.Riemannian geometride önemli uygulamaların numarası vardır Belki de daha önemlisi bir spin manifoldla bağlantıdır,ve bu spinor demet ilişkisi spinᶜ manifoldlarıdır.

Bilgisayarlı görme

Yenilerde, Clifford cebirleri eylem tanıma probleminin  ve bilgisayarlı görme içinde sınıflandırma uygulaması var. Rodriguez et al. bir Clifford gömmesinde video için (3D uzay-zaman hacmi) genelleştirilmiş geleneksel MACH ﬁltreleri önerdi, ve  optik akış gibi veri vektör değerlidir.Vektör değerli veri Clifford Fourier dönüşümü kullanılarak analiz edilir.Bu vektörler üzerinde tabanlı eylem filtreleri Clifford Fourier domeninde sentezlenir ve eylemlerin tanınması Clifford Korelasyonu kullanılarak yapılır. Yazarlar genellikle televizyon yayını klasik metrajlı film ve sporda gerçekleştirilen eylemleri tanımada Clifford gömme etkinliğini göstermektedir.