Pergel ve çizgilik çizimleri

Pergel ve çizgilik çizimi, belli uzunlukta doğrular, belli büyüklükte açılar ve diğer geometrik şekilleri çizmek için sadece ideal bir çizgilik (işaretsiz cetvel, veya cetvel tahtası) ve pergel kullanılmasıdır.
Kullanılacak cetvelin sonsuz uzunlukta olduğu, üzerinde işaretleri olmadığı ve tek bir kenara sahip olduğu varsayılır, bu araç çizgilik olarak adlandırılır. Pergelin ise, sayfadan kaldırıldığı zaman kapandığı, yanı uzaklıkları doğrudan taşımak için kullanılamayacağı varsayılır. (Aslında bu önemsiz bir kısıtlamadır, çünkü pergel denklik teoremi ile bu amaca ulaşılabilir.)
Çizgilik ve pergel kullanılarak çizilebilcek her nokta, sadece pergel kullanılarak da elde edilebilir. Düzlem geometrisindeki bazı eski problemler bu kısıtlamayı getirirler.
Pergel ve çizgilik problemlerinin en meşhurlarından birkaçı, Pierre Wantzel tarafından, matematiksel alan teorisi kullanarak ispatlanmıştır. İmkansızlık kanıtlarına rağmen bazı kişiler bu  problemleri çözmek için uğraşmaya devam etmektedir. Bu problemlerin çoğu, başka geometrik dönüşümlere izin verilmesi hâlinde kolaylıkla çözülebilir: örneğin, Küpü iki katına çıkarma, geometrik inşaat yöntemleri ile mümkündür, ama sadece çizgilik ve pergelle yapılamaz.
Matematikçi Underwood Dudley, çizgilik ve pergel çizimi için sahte kanıtları ve diğer matematiksel saçmalıkları toplamayı kendine hobi edinmiştir.

Biçimsel kanıt

Bir şeyin imkansız olduğunu kanıtlamanın çeşitli yolları vardır. Güçlü bir kanıt, olabilirin sınırlarını belirleyip, bu problemleri çözmek için bu sınırı aşmak gerektiğini göstermektir. Çizilebilen şeylerin çoğu kesişim kuramı kapsamındadır.
Geometrimiz ile bir cebir arasında bir ilişki kurabiliriz: iki doğrudan oluşan bir Kartezyen koordinat sistemi içinde noktalar sıralı ikililer (vektörler) şeklinde gösterilebilir. Bu vektörler karmaşık sayılar olarak da yazılabilir.
Doğru ve çember denklemleri kullanarak, kesişimlerindeki noktaların bir F alanının kadratik uzantısı olduğu gösterilebilir.  Bu alan, doğru üzerindeki iki nokta, çemberin merkezi ve çemberin yarıçapından oluşur. Yani  biçimindedirler, burada x, y, ve k F'ye aittir.
Çizilebilir noktalar alanı, karekök fonksiyonu içinde kapalı olduğu için, rasyonel katsayılı karmaşık sayılar alanının kadratik uzantılarının sonlu bir dizisinden elde edilebilecek tüm noktaları içerir. Yukarıdaki paragraf gereği, çizilebilecek her bir noktanın, bir uzantılar dizisi ile elde edilebileceği gösterilebilir. Bu önermenin doğal bir sonucu, çizilebilir bir nokta için (ve dolayısyla herhangi uzunlukta bir doğru parçası için) en düşük polinomiyalin derecesinin 2'nin bir üssü olduğu bulunur. Özellikle, herhangi bir çizilebilir nokta, (veya uzunluk) cebirsel bir sayıdır, ama her cebirsel sayı (örneğin ³√2) çizilebilir değildir (yani, çizilebilir uzunluklar ile cebirsel sayılar arasındaki ilişki birebir değildir)

Yaklaşık çizimler

Pergel ve çizgilikle çizimi çok karmaşık veya imkansız olan şekiller için yaklaşık çizim yolları mevcuttur. Bu çizimler, amaçlanan çizimin yaklaştırımlarıdır. Bu tür çizimlerin örnekleri arasında, pi sayısının yaklaşık çizimi, çemberin yaklaşık karelenmesi, düzgün yedigenin yaklaşık çizimi ve düzgün dokuzgenin yaklaşık çizimi sayilabilir.

Sadece çizgilik veya sadece pergelle çizim

Mohr–Mascheroni teoremine göre, eğer bir şey çizgilik ve pergelle çizilebilirse, sadece pergelle de çizilebilir, eğer verilen ve elde edilecek bilgiler ayrık noktalardan oluşuyorsa (yani çizgi ve çember değil). Sadece çizgilik kullanarak karekök almak mümkün değildir, bu yüzden çizgilikle çizilemeyen bazı şeyler pergelle çizilebilir. Ama (Poncelet–Steiner teoremine göre) pergel ve çizgilik ile çizilebilen her şey, eğer bir çember ve merkezi verilirse, sadece bir çizgilik kullanılarak da çizilebilir.

İşaretli cetveller

Arşimet ve Pergeli Apollonius çizgilik (işaretsiz cetvel) yerine, üzeri işaretli cetvel kullanarak yapılabilecek çizimleri gösterdiler.  Bir doğru parçası, iki doğru (veya çember) ve bir noktadan başlayarak, bu yolla, verilen noktadan geçen ve her iki doğruyu kesen, ve kesim noktaları arasındaki uzaklığın verilen doğru parçasına eşit olan bir dogru çizmek mümkündür. Yunanlar buna neusis ("eğilim", "temayül", "sınırında olmak") adını vermiştir, çünkü çizilen doğru, noktaya temayül eder. İşaretli cetvelli çizimlerde, bulunacak bir uzaklığın verilen bir uzaklığa oranı eğer üçüncü veya dördüncü dereceden bir denklemin çözümü ise, bu uzaklık çizim yoluyla bulunabilir. Dolyısıyla, eğer işaretli cetvel ve neusis'e izin verilirse, açını üçe bölünmesi (bakınız Arşimet'in üçe bölme yöntemi) ve küpün iki katına çıkarılması mümkündür. ancak çemberin karelenmesi hâlâ imkansızdır. Bazi düzgün çokgenler, örneğin yedigen, bu yöntemle çizilebilir ve John H. Conway bunların bazılarının çizimini nasıl yapıldığını göstermiştir ancak 11-gen ve sonsuz sayıda başka düzgün çokgen hâlâ imkansızdır.
Eğer bir açıyı üçe bölücü sanal bir aracın olduğu varsayılır ve kullanımına izin verilirse, çizilebilecek tüm çokgenlerin bir listesi verilmiştir (bunların arasında yedigen, 13-gen, ve 19-gen vardır).  Bir açı-üçe-bölücüsü, çizgilik ve pergel kullanarak çizilebilecek  p-genlerin sayısının sonsuz olup olmadığı, p'nin asal sayı olması hâlinde, henüz cevabı bilinmeyen bir sorudur.

Uzantı alanı

İşaretli cetvele dayanan neusis yöntemi veya origami yöntemi, çizilebilir sayılar alanını genişletir. Bu genişlemiş alanda, karmaşık sayıların sadece karekökleri değil, küpkökleri de bulunur. Yukarıda bahsedilen, çizilebilir noktalara karşılık gelen aritmetik formüllerin bu genişlemiş alanda karşılıkları vardır, böylece formüllerde küpkökler de yer alır. Bu genişlemiş alanda çizilebilen yeni noktaların oluşturduğu alan genişlemesindeki noktaların derecesi, ikinin bir kuvveti ile üçün bir kuvvetinin çarpımıdır.

İkili sayı sistemiyle ilişki

Simon Plouffe, çizgilik ve pergel kullanarak bazı sayıların ikili sayı sistemindeki bitlerinin hesaplanmasının mümkün olduğunu göstermiştir.

Sanat

Felice Feliciano pergel ve çizgilik ile harf tasarımı yapan ilk kişi olmuştur. 1463'de, Roma yazıtlarındaki alfabeyi geomterik olarak yaratılabileceğini göstermiştir. Latin alfabesindeki aş harflerin bir kare ve çember kullanılarak çizilebildiğini gösteren yapıtı Vatikan Kütüphanesinde bulunmaktadır. Pergel ve çizgiliği tipografiye uygulayan diğer Rönesans sanatçıları arasında Francesco Torniello Francesco ve Luca Pacioli sayılabilir.
Luca Pacioli sanatta altın oranın kullanımı üzerine "De Divina Proportione" (İlahi Oran) adlı eserini yayımlamıştır (1509); altın oran pergel ve çizgilik ile elde edilebilen bir oranıdır.
Albrecht Dürer İtalya'da perspektif konusunu çalıştıktan sonra "Pergel ve Çizgilik ile Çizim Hakkında İnceleme" (Underweysung der Messung, mit dem Zirckel und Richtscheyt) adlı eseri yazmıştır. "Insan orantıları Hakkında Dört Kitap" (1532-1534) adlı eserinde geometrinin insan bedeninini çizimine uygulamıştır. Adem ve Havva adlı tablosundaki insan figürlerinin oranlarının estetik mükemelliğini sağlamak için pergel ve çizgilik kullandığını belirtmiştir.

Mimaride

Eflatun, diğer sanatlar arasında inşaat zenaatının yerinin ayrı olduğunu  belirtmiştir, çünkü kullanılan araçların (pergel, düzkenar, gönye, çekül ve ip-ve-kazik) ölçümlerde bilimsel bir doğruluğa olanak vermektedir.
Roma mimarisinde bazı yapılarını planlarının pergel ve çizgilik olmadan çizilememiş olduğu barizdir. Günümüze yazılı eseri kalmış ilk Romalı mimar, MÖ 1. yüzyılda yaşayan, De Architectura'nın yazarı Vitruvius'dır. Vitruvius, bu eserinin birinci cildinde, pergel ve düz çizgilerin doğru kullanımı sayısinde boş bir sahanın toprağının üzerine şekillerin çizilebildiğini belirtmiştir. Pergel ve çizgilik Orta Çağ mimarları tarafından da kullanılırdı. 13. yüzyıl Fransız mimarı Villard de Honnecourt'ın pergel ve çizgilik kullandığı bilinmektedir.
Günümüzde bilgisayar destekli tasarım programlarının yaygınlaşmadan evvel, teknik çizim için pergel ve çizgilik tekniklerinin temel bir yeri vardı.

Matematik eğitimi

Okullarda geometri kavramlarının pergel ve çizgilik çizimleri ile öğretilmesi gelenekseldir.