Spektral yoğunluk

Spektral Yoğunluk

Güç spektrumunun   zaman serileri  bu sinyale sebep olan frekans bileşenlerinin dağılımını tanımlar. Fourier analizine göre herhangi  bir fiziksel sinyal, farklı frekanslara ayrışabilir ya da devamlı bir sıra boyunca frekans spektrumlarına dönüşebilir. Belirli bir sinyal veya herhangi bir sinyal çeşitlerinin (gürültü de dahil) istatistiksel ortalaması içerdiği frekans bileşenlerine göre analiz edilir.Buna da spektrum denir.
Sinyalin enerjisi bir sınırlı bir zaman aralığında yoğunlaştırıldığında özellikle de toplam enerjisini sınırlıysa bunun spektral enerji yoğunluğu ölçülebilir. Daha sık kullanılan ismiyle spektral güç yoğunluğu (kısaca güç spektrumu) sinyaller varolduğu sürece uygulanır veya belli bir zaman dilimi boyunca yüksek miktarda (özellikle heplama süresince) sınırsız zaman dilimi boyunca uygulanır. Spektral güç yoğunluğu (PSD) spektral enerji dağılımıyla ilgilidir ve her bir birim zamanda bulunabilir. Çünkü böyle bir sinyalin toplam enerjisi tüm zaman boyunca genelde sonsuzdur. Spektral bileşenlerin toplam gücünün (fiziksel süreç için) veya varyansın (istatistiksel süreç için) toplamı ya da integrasyonu, ‘nin zaman aralığındaki integrasyonundan elde edilecek değere eşdeğerdir, tıpkı Parseval Teorisi’nin belirttiği gibi.
Bir fiziksel sürecin spektrumu  , genellikle ’in doğasıyla ilgili gerekli bilgi taşır. Örnek olarak, bir müzikal enstrümanın perdesi (bir müzik parçasını oluşturan seslerden her birinin kalınlık veya incelik derecesi) spektral analiz yöntemiyle anında tespit edilebilir. Işık kaynağının rengi elektromanyetik dalgaların elektrik alanının   aşırı yüksek frekansta dalgalanmasıyla belirlenebilir. Fourier dönüşümündeki gibi zaman serilerinden spektrum elde etmek ve Fourier analizine dayalı genellemelerle elde edilir. Çoğu durumlarda zaman değerleri spesifik olarak kullanılmaz. Örneğin ışık ayrıştırıcı prizma, ışık spektrumu elde etmek için spektografide kullanılır veya bir ses iç kulağın işitsel algı reseptörleri (her biri belirli bir frekansa karşı duyarlıdır)  tarafından algılandığı zaman bu reseptörler boyunca bir etki oluşturur.
Fakat bu makale zaman serilerinin bilindiği (en az istatistiksel algı) veya doğrudan ölçülebilen durumlar üzerinde durmaktadır (herhangi bir bilgisayarın mikrofunu gibi). Güç spektrumu, fizik ve mühendislik branşlarında olduğu kadar  istatistiksel sinyal sürecinde ve istatistiksel çalışmada çok önemlidir. Tipik olarak bu süreç zamana bağlı bir işlemdir fakat uzamsal frekanslara ayrılmış uzamsal veriler tartışılabilir.

Açıklaması

Genlik olarak gösterilebilecek her sinyal zamana bağlı olarak değişir ve buna uygun bir frekans spectrumu vardır.Bunlar günlük hayattan aşina olduğumuz görülebilen ışık (renk olarak algılanan), müzikal notlar (perde olarak algılanan), radyo/televizyon (frekansları tarafından belirlenen veya bazen dalga boylarıyla) ve hatta Dünya’nın düzenli dönüşü bile olabilir. Bu sinyaller frekans spektrum formu olarak incelendiğinde alınan sinyallerin belirli yönleri veya sürecin altında yatan üretimle açıpa çıkarılırlar. Bazı durumlarda frekans spekturumunun içerdiği belirgin zirveleri sinüs dalga bileşenine karşılık gelebilir.Ek olarak bazı dalgalar harmonik hareketin temel zirvelerine karşılık gelebilir.Bu belirtmiş olduğu periyodik sinyal sinüs eğrisi şeklinde olmayabilir.Devamlı bir spektrum olduşka gelişmiş  dar frekans aralığı gösterebilir ki bu da rezonansa tekabül eder veya frekans aralıkları çeltik filtresinde üretildiği gibi çoğunlukla sıfır güç bulundururlar.
Fizikte, sinyal elektromanyetik bir dalga, akustik bir dalga veya bir mekanizmanın titreşimi gibi bir çeşit dalga olabilir. Bir sinyalin spektral güç yoğunluğu(PSD), gücü sinyal olarak frekans fonksiyonun birim başına frekansı olarak tanımlar. Spektral güç yoğunluğu hertz başına watt olarak ifade edilir(W/Hz).
Bir sinyal sadece voltaj cinsinden ifade edildiğinde bu durumda belirli bir şiddete bağlı herhangi özgün bir güç olmaz. Güç basit olarak sinyalin karesiyle hesaplanır. Çünkü bu her zaman sinyalin empedansa verdiği asıl verilen güçle orantılıdır. Belirtilmiş herhangi bir güç veya enerji olmamasına rağmen biri spektral güç yoğunluğu için birim olarak V² Hz⁻¹ (Voltajın karesi kere frekans) kullanırken diğeri spektral enerji yoğunluğu için V² s Hz⁻¹ (voltajın karesi kere süre(saniye) kere frekans) kullanır.
Bazen biri spektral şiddet yoğunluğuyla karşılaşabilir ki bu spektral güç yoğunluğunun kare köküne eşittir. Voltaj sinyalinin spektral şiddet yoğunluğunun birimi  V Hz-1/2(voltaj kere frekansın karekökü) olarak kullanılır. Eğer spektrumun şekli sabitse bu kullanışlıdır.Çünkü spektral şiddet yoğunluğundaki  (ASD)  çeşitlilikler sinyal seviyesindeki çeşitliliklerle doğru orantılı olacaktır.Fakat matematiksel olarak spektral güç yoğunluğu tercih edilir çünkü sadece bu durumda grafik altındaki alan asıl gücün bütünüyle frekans ya da belirtilmiş bant aralığında kullanıldığında anlamlı olur.
Rastgele yapılan titreşim analizlerinde spektral güç yoğunluğunın ivmelenmesi için sıklıkla ² Hz⁻¹ (yerçekimi ivmesinin karesi kere frekans) formülü kullanılır.
Matematiksel olarak sinyal veya bağımsız değişkenler için fiziksel boyutların kullanılmasına gerek yoktur. İlerleyen tartışmalarda x(t)'in anlamını belirtilmemiş kalacak.Fakat bağımsız değişken, zaman o olarak kabul edilecektir.

Tahmin Etme

Spektral yoğunluk tahmininin amacı bir dizi zaman örneklerinden rastgele sinyallerin spektral yoğunluklarının tahmin edilmesidir.Sinyal hakkında neyin bilindiğine bağlı olarak tahmin teknikleri parametrik ve parametrik olmayan istatistiksel yaklaşımlar içerir ve zaman alanı veya frekans alanı analizlerine dayalı olabilir. Örneğin yaygın bir parametrik teknik gözlemleri otogresif modele uyarlar. Otogresif, istatistik ve sinyal sürecinde sıradan bir sürecin tipinin gösterilmesidir. Örneğin,doğada kesin değişken zaman sürecini tanımlar. Yaygın parametrik olmayan teknik ise periodogramdır.
Spektral yoğunluk çoğu zaman Fourier değişken teknikleri kullanılarak tahmin edilir.Örneğin Welch metodu da bunlardan biridir. Welch metodu standart periodogram spektrum(tafy) tahmin metodunun geliştirilmiş halidir. Bu metot tahmini güç tayfındaki gürültüyü frekans netliğini düşürülmesiyle azaltır.Fakat diğer teknikler de(örneğin:maksimum entropi metodu) kullanılır.

Elektrik Mühendisliği

Bir sinyalin güç spektrumunun ve konseptinin kullanımı elektrik mühendisliğinde temeldir.  Özellikle elektronik iletişim sistemlerinde,  bunlar radyo iletişim,  radarlar ve bunlarla bağlantılı sistemlerdir.  Bunlara ek olarak bir de pasif uzaktan algılama teknolojisi vardır.  Elektronik araçlar olarak adlandırılan spektrum analizörleri sinyallerin güç spektrası(tayf)ını gözlemlemek ve ölçmek için kullanılırdı.
Spektrum analizörleri,  girilen sinyalin kısa zamanlı Fourier dönüşümlerinin değerini ölçer.  Eğer sinyal analiz edildiğinde sabit/durağan bir süreçteyse kısa zamanlı Fourier dönüşümü,  sinyalin spektral güç yoğunluğunun tahmini olarak en iyi değerde hesaplanmasını sağlar.