Ramsey teorisi

Ramsey teoremi

n sayıda renk ve sonsuz sayıda noktamız olsun. Her iki nokta, bu n renkten birine boyanmış bir kenarla birleştirilmiş olsun. O zaman, bütün noktaları aynı renk kenarla birleştirilmiş sonsuz tane noktadan oluşan bir küme vardır.
Her insan bir nokta olarak gösterilsin. Eğer iki insan birbirini tanıyorsa, bu iki insanı birbirine kırmızı bir çizgiyle bağlayalım. Eğer iki insan birbirini tanımıyorsa, bu iki insanı da mavi bir çizgiyle bağlayalım. Her ikisi kırmızı ya da mavi çizgiyle birleştirilmiş sonsuz tane nokta elde edilir. Bu noktalar arasından, hep aynı renkle (ya hep kırmızıyla ya hep maviyle) birleştirilmiş sonsuz tane nokta bulunabilir.

Kanıt

Kanıt, iki aşamada gerçekleşir. Birinci aşamada , sonsuz tane  noktası alınır , her  kendisinden sonra gelen  noktalarıyla aynı renk çizgiyle (ya hep kırmızı, ya hep mavi çizgiyle) bağlanmıştır.  herhangi bir nokta olsun .  noktaları öyle seçilmeli ki,  noktası bu noktalarla hep aynı renk çizgiyle bağlanmış olsun.
 noktası, (kişileri simgeleyen) öbür noktalarla ya kırmızı ya da mavi bir çizgiyle bağlanmıştır. Sonsuz tane nokta olduğundan ve yalnızca iki tane bağlantı rengi olduğundan, ’ın aynı renk çizgiyle bağlandığı sonsuz tane nokta vardır. ’ın hep aynı renk çizgiyle bağlandığı sonsuz bir nokta kümesi alalım. Bu kümeye  diyelim. Demek ki, , ’ın noktalarıyla hep aynı renk çizgiyle bağlanmıştır.
 noktasından sonraki  noktalarını kümesinden seçelim. Böylece  noktası istenen koşulu sağlar.
’dan herhangi bir  noktası alalım.  noktası, ’ın öbür noktalarına ya kırmızı ya da mavi bir renkle bağlanmıştır. ’da sonsuz tane nokta olduğundan ve yalnızca iki rengimiz olduğundan,  kümesinde, ’in aynı renk çizgiyle bağlandığı sonsuz tane nokta vardır. Yani, ya {a∈:  noktası a’yla kırmızı bir çizgiyle bağlanmış} kümesi , ya da {a∈:  noktası a’yla mavi bir çizgiyle bağlanmış } kümesi sonsuzdur. Bu kümelerden sonsuz olanına  diyelim.Demek ki ,  , ’in noktalarıyla hep aynı renk çizgiyle bağlanmıştır.
 noktaları da  kümesinden seçilir ve böylece yukarıdaki koşul  için sağlanmış olur.
’den herhangi bir  noktası alalım.  noktası ’in öbür noktalarıyla ya kırmızı ya da mavi bir çizgiyle bağlanmıştır. ’de sonsuz nokta olduğundan ve yalnızca iki rengimiz olduğundan, ’de, ’in hep aynı renkle bağlandığı sonsuz tane nokta vardır. Bir başka deyişle, ya {a∈:  noktası a’yla kırmızı bir çizgiyle bağlanmış} kümesi, ya da {a∈:  noktası a’yla mavi bir çizgiyle bağlanmış} kümesi sonsuzdur. Bu kümelerden sonsuz olanına  diyelim. Demek ki, , ’nin noktalarıyla hep aynı renk çizgiyle bağlanmıştır.
 noktalarını ’de seçilir ve böylece yukarıdaki koşul  için sağlanmış olur.
’den herhangi bir  noktası alalım. Yukarıda yapılanları  ve  için yapalım. ’nin içinde, öyle bir sonsuz  kümesi bulalım ki, , ’ün her noktasıyla hep aynı renk çizgiyle bağlanmış olsun.Bunu böylece sonsuza kadar sürdürebiliriz. Demek ki, öyle noktaları bulunur ki, her nokta kendisinden sonra gelen noktalarla aynı renk çizgiyle bağlanmış olur.
Kanıtın birinci aşaması tamamlandı. İkinci aşama:
Seçilen  noktalarının her birine bir renk verilir. Eğer bir nokta kendisinden sonra gelen noktalarla hep kırmızı çizgiyle bağlanmışsa, o noktaya kırmızı nokta diyelim. Yoksa, o noktaya mavi nokta diyelim. Örneğin, eğer  noktası, kendisinden sonra gelen  noktalarıyla hep kırmızı bir çizgiyle bağlanmışsa,  noktası kırmızı noktadır. Eğer  noktası kendisinden sonra gelen  noktalarıyla hep mavi çizgiyle bağlanmışsa,  noktası mavi noktadır.
Sonsuz sayıda nokta olduğundan ve yalnızca iki renk olduğundan,  noktalarından sonsuz tanesi aynı renk noktadır. Bir başka deyişle, ya kırmızı noktalar kümesi ya da mavi noktalar kümesi sonsuzdur. Matematiksel olarak , ya {:  kırmızı bir nokta} ya da {:  mavi bir nokta} kümesi sonsuzdur. İki küme birden de sonsuz olabilir, ama en azından birinin sonsuz olduğunu biliyoruz. İki kümeden sonsuz olanını alalım. Öbür noktaları atalım. Noktaları yeniden adlandırarak, her noktanın aynı renk olduğunu varsayalım , hepsi kırmızı olsun. Demek ki,  noktalarının her birinin kırmızı olduğunu varsaydık. Bu kümeden iki nokta alalım:  ve . i, j’den daha küçük. , kırmızı bir nokta olsun.  noktası noktasıyla kırmızı bir çizgiyle bağlanır. Demek ki yukarıdaki sonsuz nokta birbirleriyle aynı renk çizgiyle (kırmızıyla) bağlanmıştır. Ramsey’in teoremi kanıtlanmış oldu.

Ramsey sayıları

Teorem: a ve b herhangi iki doğal sayı olsun.Öyle bir N vardır ki, eğer n≥N ise, kenarları A ve B renklerine boyanmış  tam çizgesinde ya tamamen A renkli bir  ya da tamamen B renkli bir  vardır.
Tanım: Eğer bir çizgenin bütün köşe noktaları birbiri ile yalnız ve ancak bir bağ yapıyorsa bunlara tam çizgeler denir ve köşe noktası sayısına göre adlandırılır. Örneğin  n köşesi olan tam çizgenin gösterimi için kullanılır.  çizgesi bir üçgen belirtir. Tanıma göre 6 kenarlı ve iki renkli bir düzenli tam çizge çizilirse iki renkten birinde mutlaka bir  bulunur.
Teoremde en küçük N sayısına Ramsey sayısı denir ve r(a,b) olarak yazılır.
Yukarıdaki örnek r(3,3)=6 olur.
Bazı r(a,b) sayılarını bulmak kolay ; r(1,b)=1 r(2,b)=b Ramsey sayıları için genel bir formül bilinmiyor. Ramsey sayılarının bulunması çizge kuramının sorularından biridir.
Erdös ve Szekeres’in teoremi r(a,b) sayılarına üstsınır getiriyor.
Teorem: a≥2 ve b≥2 iki tam sayıysa, r(a,b) ≤ r(a,b-1)+r(a-1,b-a*1) Eğer r(a,b-1) ve r(a-1,b) sayılarının ikisi de çiftse r(a,b) < r(a,b-1)+r(a-1,b).