Galois teorisi

Galois teorisi, n elemanın ornatlamasından doğan An alterne grubu, n > 4 olduğu zaman bir alt grup kabul etmeyen teorem.
Galois teorisinin önemi alan kuramı ve grup teorisi arasında bir köprü olmasıdır
Bu teori, Fransız matematikçi Evariste Galois tarafından bulunmuştur, cebirsel denklemlerin teorisinde geçer.
Matematikte, özellikle soyut cebirde, Evariste Galois adını taşıyan Galois teorisi, alan kuramı ve grup teorisi arasında bir bağlantı sağlar. Galois teorisini kullanılarak, alan teorisinde bazı sorunlar bir anlamda basit ve daha anlaşılır grup teorisine, indirgenebilir.
örneğin Kuantum alan kuramında gruplar vardır ve grup teorisiyle kuramın sorunları basit ve anlaşılabilir hale getirilebilir.
Başlangıçta, Galois verilen bir polinom denklemin çeşitli köklerinin birbiriyle nasıl ilişkili olduğunu açıklamak için permütasyon grupları kullanılır. Diğerleri arasında Richard Dedekind, Leopold Kronecker ve Emil Artin tarafından geliştirilen Galois teorisi, modern yaklaşımı, alan uzantılarının otomorfizmaları eğitimini içerir.
Galois Teoriden daha fazla soyut Galois bağlantılarının teorisi ile elde edilir.

Günümüzde Galois teorisi

Bu denklemin katsayılarını içine alan sayı sistemine denklemin tüm köklerini teker teker katarak sistemi büyüttüğümüzü düşünelim. Öte yandan tüm kökleri kendi arasında dönüştüren permütasyon grubu ve onun bazı kökleri sabit bırakan alt gruplarını düşünelim. Galois bu iki dünya arasında köprü kurar ve bir taraftaki kök bulma problemini, öbür tarafta bir grubun yapısını inceleme problemine dönüştürür. Görür ki, eğer bir tarafta kök bulunabiliyor ise öbür tarafta da grubun özel bir yapısı olması gerekir. Oysa bu özel yapının, derecesi dörtten büyük denklemelere karşılık gelen gruplarda, her zaman olmadığını tespit eder.
Sonuç olarak insanlığın iki bin yıldır aradığı kökler, basit cebirsel yöntemlerle bulunamaz. İşte Galois teorisinin basit bir özeti.

Galois teorisi için permutasyon grup yaklaşımı

Verilen bir polinomda,köklerin bazıları çeşitli cebrik denklemler ile bağlantılı olmalıdır. Örneğin, onun  köklerinin ikisi için A ve B dersek  bu A² + 5B³ = 7 olmalı. Galois teorisinin ana fikri   köklerin sırası değiştirilmesi sonrası elde edilen köklerden yine elde edilen böyle permutasyonları (veya düzenlemeler) ele almaktır Bir önemli koşul  cebirsel denklem katsayılarını kesirli sayılara kendimizi kısıtlamamız olmasıdır. ( ama bunun yerine katsayıları altında yatan o belirli alanı belirtmek gerekir aşağıdaki basit örneklerle, biz rasyonel sayılar alanına kendimizi kısıtlamış olacağız.)
bir permutasyon grubu formu ile birlikte bu permutasyonlara, ayrıca polinomun (kesirli sayılar üzerinde)Galois grubu denir. bu nokta gösterimine,aşağıdaki örneklerle dikkat edersek:

Alan teorisi ile modern yaklaşıklık

Modern yaklaşımda, bir alan uzantısı L/K  ile bir başlangıç (K üzerinde L okunur) ve L/K 'nın otomorfizm alanlarının grubu olarak inceler(burada örten halka homomorfizmleri  α: L → L böylece α(x) = x ,K  içinde tüm x için) Daha ileri açıklama ve örnekler için Galois grupları üzerinde yazılara bakınız.
iki yaklaşık arasında bağlantı  aşağıdaki gibidir. Soru içinde polinomalin katsayıları  K alanı tabanından seçilen olmalıdır L alanı üst  taban alanına soru içinde polinomun kökleri bitişimi ile elde edilen alan olmalı.  L/K'nın bir otomorfizmine yükseltmek için yukarda verilen  tanımlama olarak cebrik denklemler sırası ile köklerin herhangi permütasyonlarıdır ve tersidir
ilk örnek içinde yukarda, Q(√3)/Q,uzantı çalışmalarımız burada olacak Q kesirli sayılar'ın alanı dır ve Q(√3)  √3 ilişkisi ile  Q dan elde edilen alandır. İkinci örnek içinde, bizim Q(A,B,C,D)/Q uzantı çalşmalarımız olacak
Burada birkaç yaklaşık grup permütasyonları üzerinde modern yaklaşıklık için birkaç avantajdır
Bu Galois teorisinin temel teoremi'nin daha basit bir açıklama verir
Q  dışındaki tabanların alanlarını kullanımı matematiğin birçok alanı içinde önemlidir. örneğin,cebrik sayı teorisi, içinde  sık sık Galois teorisi  taban alanı olarak  sayı alanları   sonlu alanlar veya yerel alanlar kullanarak bunu yapar
daha kolay sonsuz uzantılar çalışması sağlar.  yine bu  örneğin birçoğu K, Q'nun bir  cebrik kapalılık  'olan K/Q nun Galois grubu olarak tanımlanmaktadır. Burada Q'nun  mutlak Galois grubu, sık sık anlatılan cebirsel sayılar teorisi içinde önemlidir
Ayrılamaz uzantıların değerlendirilmesi için izin verir. , her zaman aritmetik  karakteristik sıfır içinde gerçekleşir varsayılmıştır, çünkü  sorun  klasik çerçeve içinde ortaya çıkmaz ama sıfırsız karakteristik sayı teorisi içinde ve cebrik geometri içinde sıklıkla ortaya çıkar. Bu polinomların köklerini kovalayan üzerinde oldukça yapay güveni ortadan kaldırır. Yani, farklı polinomlar aynı uzantısı alanları verebilir ve modern bir yaklaşım, bu polinomların arasındaki bağlantıyı tanır.

Çözülebilir gruplar ve kökler ile çözümleri

Bileşim serisi içindeki tüm çarpan grupları  döngüsel ise, Galois grubu çözülebilir denir, ve alanları karşılayanın tüm ögeleri  yinelenen kök alma ile bulunabilir, taban öğeleri alanının çarpımlar, ve toplamlar(genellikle Q).
Galois Teorisinin büyük bir zaferinin her n > 4 için kanıtıdır, burada n derecenin polinomları olduğu için — Abel–Ruffini teoremi ile ilgili kökler çözülebilir değildir. Bu  n > 4 için neden olduğu bir basit simetrik grup Sₙ , döngüsel-olmayan, normal altgrup, yani alternatif grup  Aₙ içerir.
Grup teorisinde çözülebilir grup kavramı tek bir polinom olan Galois grubunun çözümlülük özelliğinde olup olmadığına bağlı olarak, radikallerin çözülebilir olup olmadığını belirlemeye olanak sağlar. Aslında, her bir alan uzantısı L/K Galois grubunun bir bileşim serisinde bir çarpan grubuna karşılık gelir.Kompozisyon serisinde bir faktör grup mertebesi n olan döngüsel olduğunu ve alan K zaten birim ilkel n-inci kökü içeren karşılık gelen alan uzantısı L/K ise, o zaman radikal bir uzantısı ve L nin  ögeleri ise  K nın bazı ögeleri n inci kök kullanılarak ifade edilebilir