Fourier serisi

Matematikte, Fourier serileri bir periyodik fonksiyonu basit dalgalı fonksiyonların (sinüs ve kosinüs) toplamına çevirir, bir diğer şekilde compleks üstel fonksiyonla, eⁱˣᵏᵒ li forma çevirir. Fourier serileri Fourier analizin bir koludur.  Fourier serileri,  Joseph Fourier (1768-1830) tarafından bir metal çubuk veya levhadaki ısı denklemlerinin çözümü için kullanılmıştır.
Bir ısı denklemi, parçalı bir diferansiyel denklemdir. Fourier'in bu çalışmasından evvel, bu tür ısı denklemlerine genel bir çözüm yoktu. Her ne kadar parçalı yaklaşımlar olsa da yeterli değildi çünkü bu yaklaşımlar ısı dağılımının basit denklemlere göre dağıldığını varsayaraktan probleme yaklaşıyordu. (Mesela: Eğer ısı kaynağı bir sinüs veya kosinüs denklemiyse...) Bu temel/basit çözümler  eigençözüm olarak adlandırılıyorlardı. Fourier'in düşüncesi basit denklemleri (sin ve cos) katsayılarla üst üste ekleyerek karmaşık ısı kaynağı kombinasyonları oluşturmaktı. Denklemlerin belli katsayılarla toplamı Fourier Serisi diye adlandırılır.
Her ne kadar ilkin bu yöntem ısı problemlerinin çözümü için uygulanmışsa da daha sonraları görülür ki çok geniş bir perspektifdeki fonksiyonlara aynı yöntem uygulanabilmektedir. Basit örmeklerin anlaşılması teorinin modern halinin kullanılmasıyla epey basitleşmiştir.
Fourier serileri elektrik mühendisliğinde, titreşim analizinde, akustiklerde, sinyal işlemesinde, resim işlemesinde, kuantum mekaniğinde ve ekonomi hesaplamaları gibi birçok alanda kullanılmaktadır.
Fourier serilerinin modern haline Joseph Fourier (1768-1830) getirmemişse de onun onuruna, trigonometrik serilerde yaptığı önemli buluşlar için, Fourier Serileri şeklinde adlandırılmıştır. İlk araştırmaları Leonhard Euler, Jean le Rond d'Alembert ve Daniel Bernoulli yapmışlardır. Fourier bu araştırma ve sonuçlarını ısı sorularına uygulamıştır ve ilk sonuçları Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides adıyla 1807de ve Théorie analytique de la chaleur adıyla 1822 de yayınlamıştır
Modern bir bakış açısıyla bakıldığında Fourier'in sonuçları informaldir. Çünkü o 19. yüzyılda bu sonuçları hesaplarken fonksiyon ve integraller gerekli kesinlik gereksinimlerini karşılamıyordu. Daha sonraları Dirichlet ve Riemann Fourier'in bu denklemlerini modern hesaplamalarıyla formalliğe ve kesinliğe kavuştururlar.

Tanım

Bu bölümde ƒ(x) gerçek değerli x'in fonksiyonudur. Bu fonksiyon genelde 2π ile periyodik alınır. Bir başka deyişle tüm x değerleri için: ƒ(x + 2π) = ƒ(x). Bu şekildeki fonksiyonları veya daha basit 2π ile periyodik olan fonksiyonları sonsuz toplam serileri şeklinde olan fonksiyonlar cinsinden yazacağız. İlkin, Fourier'in yukarıda yaptığı gibi, sonsuz sin ve cos toplam serilerini  [−π, π] aralığında yazacağız ve ardından farklı formulasyonları ve genellemeleri tartışacağız

Harmonik analizin doğuşu

Fourier'in zamanından beri Fourier serilerinin konseplerini tanımlamak ve anlamak için birçok farklı yaklaşım keşfedildi. Bu keşiflerin her biri asıl teoriyi destekler ve konunun farklı noktalarına vurgu yapacak mahiyetteydi. Fourier bu orijinal çalışmayı yaparken henüz bilinmeyen, keşfedilmeyen birçok matematiksel işlevi olan denklemle daha sonraları çok güçlü ve seçkin yaklaşımlar keşfedildi. Fourier asıl makalesinde sadece gerçek değerli Sinüs ve kosinüs denklemlerini kullanmıştı.
Bunların en önemlisi kompleks değerli üstel fonksiyonlar dır ve eⁱˣᵏᵒ şeklinde ifade edilirler. Aynı zamanda komleks harmonikler olarak adlandırılır ve harmonik analizin temelidir.
Fourier serileriyle ilgili birçok transform da farklı yaklaşımlara ve fikirlere genişletilecek şekilde keşfedilmiş ve kullanılmıştır. Bunlardan en önemlileri Fourier dönüşümü ve Z-dönüşümüdür.

Riemannyen manifoldlar

Domen bir grup değilse, o zaman hiçbir içsel tanımlanmış evrişim yoktur.X tıkız bir Riemann manifoldu ise o zaman Laplace-Beltrami işlemcisi bulunmaktadır.Laplace-Beltrami operatöre analoji baglantilar ile, bir X'te ısı denklemleri düşünebilirsiniz Sonra Riemann manifoldu X için Laplace operatörünün karşılık diferansiyel operatörü Fourier ısı denklemin, çözmeye çalışırken onun tabanından gelmesinden dolayı, doğal genellemeye esas olarak Laplace-Beltrami operatörü özçözümleri kullanılmaktır. Bu X bir Riemann manifoldu olup  L²(X) tipinin uzayı için genelleniyor , mekânlar için Fourier serilerini yaygınlaştırıyor.Fourier serileri benzer şekillerde [−π, π] durumunda yakınsar. Tipik bir örnek olarak, Fourier taban küresel harmonikleri oluşur ki bu durumda, her zamanki gibi metrik ile küre biçiminde X almaktır.