Çokdeğişirli normal dağılım

Yığmalı dağılım fonksiyonu

Genel bir tanımla,  olarak ifade edilen yığmalı dağılım fonksiyonu,  bir rassal vektörun,  vektörüne eşit veya bu vektör değerlerden daha az olduğu zaman karşıtı olarak bulunan bütün olasılıkların toplamini ifade eden bir fonksiyondur. Çokdeğişirli normal dağılım için bir cebirsel kapalı eşitlik şeklinde bir  ifadesi bulunmamaktadır. Ancak bu fonksiyonun sayısal değerlerini tahmin etmek için birkaç algoritma bulunmaktadır. Bu algoritma kullanışına bir örnek için verilen referenslarda MVNDST adlı algoritmaya bakınız. (  veya
 ).

Bir karşıt örneğin

İki rassal değişken olan X ve Y tek tek normal dağılım gösterseler bile bu iki rassal değişkenin bileşik olarak (X, Y) bir çoklunormal dağılım göstereceği anlamına gelmez. Buna basit bir örnekte eğer |X| > 1 ise Y=X olması ve eğer |X| < 1 ise Y = -X olmasıdır. Bu gerçek ikiden fazla sayıda rassal değişken içinde doğrudur.
Buna benzer bir karşıt örnegin için normal olarak dağılımlı olup ve korrelasyon olmaması bağımsızlık ifade etmez maddesine bakınız.

Normal dağılım gösterme ve bağımsızlık

Eğer X ve Y rassal değişkenleri tek tek normal dağılım gösterirlerse ve birbirlerinden istatistiksel olarak bağımsızlarsa, o halde bu iki rassal değişken bileşiği (yani rassal vektörü)
ikideğişirli normal dağılım gösterir veya diğer bir ifade ile ortaklaşa normal dağılımlılardır. Ancak ortaklaşa normal dağılım gösteren her iki rassal değişkenin birbirinden bağımsız olduğu gerçek değildir.

Korelasyonlar ve bağımsızlık

Genel olarak, rassal değişkenler birirleriyle çok yüksek derecede bağımlı olabilirler ama hiç korelasyon göstermiyebilirler. Ama, eğer bir rassal vektör çokdeğişirli normal dağılım gösterirse,o halde aralarında hiç korelasyon göstermeyen  iki veya daha fazla sayıda vektör parçası istatistiksel olarak birbirinden bağımsızdır. Bundan da şu sonuc çıkartılabilir: eğer vektörün herhangi iki veya daha fazla parçası ikişer ikişer bağımsızlık gösteriyorsa, bu parçalar birbirinden bağımsızdırlar.
Fakat ayrı ayrı olarak ve marjinal olarak, iki rassal değişken normal dağılım gösterirlerse ve aralarında hiç korelasyon bulunmazsa, o halde bu iki değişkenler birbirinden bağımsızdır. Normal dağılım gösteren iki rassal değişken, ortaklaşa normal dağılım göstermiyebilirler; yani bir parçası oldukları vektör bir çokdeğişkenli normal dağılım göstermiyebilir.İki korelasyon göstermeyen ama normal dağılım gösteren fakat bağımsız olmayan rassal değişken için örneğin normal dağılım gösterip hiç korelasyon göstermemek bağımsız olmak demek değildir maddesine bakınız.

Çokdeğişirli normallik sınamaları

Çokdeğişirli normallik sınamaları bir verilmiş veri seti için bir teorik çokdeğişirli normal dağılıma  benzerlik olup olmadığını sınamak için hazırlanmıştır. Bu sınamalarda sıfır hipotez veri setinin çokdeğişirli normal dağılıma benzerlik gösterdiğidir. Eğer sınama ile bulunan p-değeri yeter derece küçük ise (yani genellikle 0,05 veya 0,01den daha küçük ise), sıfır hipotez rededilir ve verinin çokludeğişirli normal dağılım göstermediği kabul edilir. Bu çokludeğişirli normallik sınamaları arasında popüler olan Cox-Small sınamasıdır: 
.
Smith ve Jain'in Friedman-Rafsky testini adaptasyonu için şu referansa bakın: