Matematiksel model

Matematiksel model, bir sistemin matematiksel kavramlar ve dil kullanılarak tanımlanmasıdır. Matematiksel model geliştirme süreci, matematiksel modelleme olarak adlandırılır. Matematiksel modeller, doğa bilimlerinde (fizik, biyoloji, yer bilimi, meteoroloji gibi) ve mühendislik disiplinlerinde (bilgisayar bilimi, yapay zeka gibi) bunun yanı sıra sosyal bilimlerde (ekonomi, psikoloji, sosyoloji, siyaset bilim) kullanılır. Matematiksel modelleri daha çok fizikçiler, mühendisler, istatistikçiler, operasyon araştırma analistleri ve ekonomistler kullanır. Model, bir sistemi açıklamaya, farklı bileşenlerin etkilerini incelemeye ve bir davranış hakkında öngörüde bulunmaya için yardımcı olabiliyor.

Doğal Bilimlerdeki Önemi

Matematiksel modeller, özellikle fizikte, doğa bilimlerinde büyük önem taşır. Fiziksel teori neredeyse her zaman matematiksel modeller kullanılarak ifade edilir.
Tarih boyunca,  giderek daha doğru matematiksel modeller geliştirildi. Newton yasaları birçok günlük fenomeni doğru bir şekilde tanımlamaktadır, ancak belirli sınırlarda rölativite teorisi (İzafiyet Teorisi) ve kuantum mekaniği kullanılmalıdır; hatta bu durum bile tüm durumlara uygulanmaz ve daha fazla iyileştirmeye ihtiyaç duyar.
Daha az doğru modelleri uygun limitlerde elde etmek mümkündür, örneğin relativistik mekanik, Newton mekaniğini, ışık hızından çok daha düşük hızlarda azaltır. Kuantum sayıları yüksek olduğunda, Kuantum mekaniği klasik fiziği azaltır. Örneğin, tenis topunun de Broglie dalga boyu önemsiz derecede küçük, bu nedenle klasik fizik bu durumda kullanmak için iyi bir yaklaşımdır.
İşi basitleştirmek için fizikte idealleştirilmiş modeller kullanmak yaygın bir uygulamadır. Kütlesiz halatlar, nokta parçacıkları, ideal gazlar ve bir kutudaki parçacık fizikte kullanılan basitleştirilmiş basit modeller arasındadır. Fizik yasaları, Newton kanunları, Maxwell denklemleri ve Schrödinger denklemi gibi basit denklemler ile temsil edilir. Bu kanunlar, gerçek durumların matematiksel modellerini yapmak için temel oluşturmaktadır. Birçok gerçek durum çok karmaşıktır ve dolayısıyla bir bilgisayarda yaklaşık olarak modellenmiştir, hesaplama için hesaplanabilir bir model temel kanunlardan veya temel kanunlardan yapılan yaklaşık modellerden yapılır. Örneğin moleküller, Schrödinger denkleminin yaklaşık çözümleri olan moleküler yörünge modelleriyle modellenebilir. Mühendislikte fizik modelleri genellikle sonlu elemanlar analizi gibi matematiksel yöntemlerle üretilir.
Farklı matematiksel modeller, evrenin geometrisinin mutlak doğru tanımları olmayan farklı geometrileri kullanır. Özel görelilik ve genel görelilik Öklid olmayan geometrileri kullanan teorilerin örnekleriyken, Öklid geometrisi daha çok klasik fizikte kullanılır. Analizlerde, mühendisler, sistemin nasıl çalıştığına dair bir hipotez olarak sistemin tanımlayıcı bir modeli oluşturabilir veya öngörülemeyen bir olayın sistemin performansını nasıl etkilediğini tahmin etmeye çalışırlar.

Bazı Uygulamalar

Tarih öncesi zamanlardan bu yana, haritalar ve diagramlar gibi basit modeller kullanılmıştır. Mühendisler, çoğunlukla kontrol edilecek veya optimize edilecek bir sistemi analiz edince matematiksel bir model kullanırlar. Benzer şekilde, bir sistemin kontrolünde, mühendisler benzetimlerde farklı kontrol yaklaşımlarını deneyebilirler.
Bir matematiksel model genellikle bir sistemi bir değişken kümesiyle ve değişkenler arasında ilişkiler kuran bir dizi denklemi tanımlar. Değişkenler birçok çeşit olabilir; Gerçek veya tam sayı sayıları, boolean değerleri veya dizeleri. Değişkenler, sistemin bazı özelliklerini, örneğin, ölçülen sistem çıktılarını sinyal, zamanlama verileri, sayaçlar ve olay oluşumu (evet / hayır) şeklinde gösterir. Gerçek model, farklı değişkenler arasındaki ilişkileri tanımlayan işlevler dizisidir.

Yapı Taşları

İş ve mühendislikte, matematiksel modeller, belirli bir sonucu maksimize etmek için kullanılabilir. Göz önünde bulundurulan sistem bazı girdiler gerektirecektir. Girişleri çıkışlara bağlayan sistem de diğer değişkenlere bağlıdır: karar değişkenleri, durum değişkenleri, eksojen değişkenler ve rastgele değişkenler.
Karar değişkenleri bazen bağımsız değişkenler olarak bilinir. Dışsal değişkenler bazen parametreler veya sabitler olarak bilinir. Durum değişkenleri karar, girdi, rastgele ve dışsal değişkenlere bağımlı olduğundan, değişkenler birbirinden bağımsız değildir. Dahası, çıktı değişkenleri sistemin durumuna (durum değişkenleri tarafından gösterilir) bağlıdır.
Sistemin ve kullanıcılarının hedefleri ve kısıtlamaları çıktı değişkenleri veya durum değişkenlerinin fonksiyonları olarak gösterilebilir. Amaç fonksiyonları, model kullanıcısının perspektifine bağlı olacaktır. Bağlamına bağlı olarak, kullanıcıya ilginin bir ölçüsü olduğu için, bir amaç fonksiyonu bir performans endeksi olarak da bilinir.
Bir modelin sahip olabileceği nesnel işlevlerin ve kısıtlamaların sayısına ilişkin herhangi bir sınırlama olmamasına rağmen, modelin kullanılması ya da optimizasyonu, sayı arttıkça (hesaplama yoluyla) daha kapsayıcı hale gelir. Örneğin, iktisatçılar genellikle girdi-çıktı modellerini kullanırken doğrusal cebri uygularlar. Pek çok değişkeni olan karmaşık matematiksel modeller, bir sembolün çeşitli değişkenleri temsil ettiği vektörler kullanılarak birleştirilebilir.

Ön Bilgi

Matematiksel modelleme problemleri, sistem hakkında ne kadar öncül bilgi bulunduğuna göre genellikle kara kutu veya beyaz kutu modellerine sınıflandırılır. Bir kara kutu modeli, önceden bilgili bir bilgi bulunmayan bir sistemdir. Beyaz kutu modeli (cam kutu veya şeffaf kutu olarak da adlandırılır) gerekli tüm bilgilerin mevcut olduğu bir sistemdir. Pratik olarak tüm sistemler kara kutu ve beyaz kutu modelleri arasında bir yerdedir, bu nedenle bu kavram yalnızca hangi yaklaşımı almaya karar vermede sezgisel bir kılavuz olarak kullanışlıdır.
Genellikle, modeli daha doğru hale getirmek için olabildiğince fazla ön bilgi kullanmanız tercih edilir. Bu nedenle, beyaz kutu modelleri genellikle daha kolay kabul edilir, çünkü bilgileri doğru bir şekilde kullandıysanız, model doğru şekilde davranır. Genellikle bir öncü bilgi, farklı değişkenlerle ilgili işlev türlerini bilmek biçimindedir. Örneğin, bir ilacın bir insan sisteminde nasıl işlediğine dair bir model oluşturursak, kandaki ilacın miktarının genellikle katlanarak azalır bir fonksiyon olduğunu biliriz. Fakat yine de birkaç bilinmeyen parametrelere kalırız; İlaç ne kadar çabuk bozunur ve kandaki başlangıçtaki ilaç miktarı nedir? Bu örnek bu nedenle tamamen beyaz kutu modeli değildir. Bu parametreler, modeli kullanabilmek için bazı yollarla tahmin edilmelidir.
Kara kutu modellerinde, kişi, değişkenler arasındaki ilişkilerin işlevsel formunu ve bu işlevlerdeki sayısal parametreleri tahmin etmeye çalışır. Örneğin, önceden bir bilgi kullanarak, muhtemelen sistemi yeterince açıklayabilecek bir dizi işlevle sonuçlanabilirdik. önceden bir bilgi yoksa, tüm farklı modelleri kapsayacak şekilde işlevleri mümkün olduğunca genel olarak kullanmaya çalışacağız. Kara kutu modelleri için sıklıkla kullanılan bir yaklaşım, genellikle gelen veriler hakkında varsayımlar yapmayan sinir ağlarıdır. Alternatif olarak, doğrusal olmayan sistem tanımlamasının  bir parçası olarak geliştirilen NARMAX (Ekolojik girdileri olan Doğrusal Olmayan Otomatik Kayıt Defteri Hareketli Ortalama Modeli) algoritmaları, model terimlerini seçmek, model yapısını belirlemek ve bilinmeyen parametreleri korelasyon varlığında tahmin etmek için kullanılabilir. NARMAX modellerinin sinir ağlarıyla karşılaştırıldığında sağladığı avantaj, NARMAX'ın, altta yatan sürece ilişkin yazabildiği modeller ürettiği ve sinir ağlarının opak olduğu bir yaklaşım üretmesidir.

Öznel Bilgi

Bazen subjektif bilgileri bir matematik modeline dahil etmek yararlı olacaktır. Bu, sezgi, deneyim veya uzman görüşüne dayanarak veya matematiksel formun kolaylığına dayalı olarak yapılabilir. Bayezyen istatistikler, bu öznelliği sıkı bir analizle birleştirmek için teorik bir çerçeve oluşturmaktadır: önceden bir olasılık dağılımı (öznel olabilir) belirliyoruz ve daha sonra bu dağılımı ampirik verilere dayanılarak güncelleriz.
Böyle bir yaklaşıma ihtiyaç duyulacağının bir örneği, bir deneycinin bir parayı hafifçe büküp bir kez attığı bir durumdur ve sonra turanın gelip gelmediğini kayıt eder ve sonra bir sonraki atmada turanın gelme ihtimalini tahmin etme görevi verilir. Parayı büktükten sonra, paranın turalarından çıkacak doğru ihtimal bilinmez. Bu yüzden deneyci önceden dağıtımı kullanmak için bir karar vermelidir (belki de madalyonun şekline bakarak). Böyle bir öznel bilginin toplanması, olasılığın kesin bir tahmini için önemlidir.

Karmaşa/Karışıklık

Genel olarak, model karmaşıklığı, modelin basitliği ve doğruluğu arasındaki dengeyi içerir. Occam'ın bıçağı, özellikle modelleme ile ilgili bir prensiptir ve asıl fikri kabaca eşit prediktif güce sahip modeller arasında en basit olanıdır. Eklenen karmaşıklık genellikle bir modelin gerçekçiliğini geliştirir, ancak modelin anlaşılması ve analizi zorlaştırabilir ve ayrıca sayısal dengesizlik de dahil olmak üzere hesaplama problemleri ortaya çıkarabilir. Thomas Kuhn, bilim ilerledikçe, bir paradigma kayması radikal sadeleştirme öncesi açıklamaların daha karmaşık hale geldiğini savunuyor.
Örneğin, bir uçağın modelini belirlerken uçağın her bir mekanik parçasını modelimize yerleştirebiliriz ve böylece neredeyse beyaz kutuya sahip bir sistem modeli elde ederiz. Bununla birlikte, böylesine muazzam bir ayrıntı miktarı eklemenin hesaplama maliyeti böyle bir modelin kullanımını etkili bir şekilde engelleyecektir. Ayrıca, aşırı karmaşık bir sistem nedeniyle belirsizlik artacaktır, çünkü her ayrı bölüm modele bir miktar değişkenlik getirir. Bu nedenle, modeli mantıklı bir boyuta indirgemek için bazı yaklaşımlar yapmak genellikle uygundur. Mühendisler genellikle daha sağlam ve basit bir model elde etmek için bazı yaklaşımları kabul edebilirler. Örneğin, Newton'un klasik mekaniği, gerçek dünyanın yaklaşık modelidir. Yine de Newton'un modeli, sıradan yaşam koşullarının çoğu için, yani parçacık hızları ışık hızının çok altında olduğu sürece oldukça yeterlidir ve yalnızca makro parçacıkları inceleriz.

Eğitim

Saf beyaz kutu olmayan herhangi bir model, modelin tarif edilmek istenen sisteme uyması için kullanılabilecek bazı parametreleri içerir. Modelleme bir sinir ağı veya başka bir makine öğrenmesi ile yapılırsa, parametrelerin optimizasyonuna eğitim denirken model hiperparametrelerinin optimizasyonu ayar olarak adlandırılır ve çapraz doğrulama kullanılır. Açıkça verilen matematiksel fonksiyonlar yoluyla daha geleneksel modellemelerde, parametreler genellikle eğri uydurma ile belirlenir.

Model Değerlendirmesi;

Modelleme sürecinin önemli bir kısmı verilen bir matematiksel modelin bir sistemi doğru bir şekilde açıklayıp açıklamadığının değerlendirilmesidir. Birkaç farklı değerlendirme tipini içerdiğinden bu soruya cevap vermek zor olabilir.

Ampirik Verilere Uyma

Genellikle, model değerlendirmesinde en kolay olan kısım, bir modelin deneysel ölçümlere veya diğer ampirik verilere uyup uymadığını kontrol etmesidir.Parametreli modellerde, bu uygunluğu test etmek için ortak bir yaklaşım, veriyi birbirinden bağımsız iki alt küme halinde bölmektir: eğitim verileri ve doğrulama verileri. Eğitim verileri, model parametrelerini tahmin etmek için kullanılır. Doğru bir model, bu veriler modelin parametrelerini ayarlamak için kullanılmamasına rağmen doğrulama verileriyle yakından eşleşir. Bu uygulama, istatistiklerde çapraz doğrulama olarak adlandırılır.
Gözlemlenen ve tahmin edilen veriler arasındaki mesafeleri ölçmek için bir metriğin tanımlanması, model uygunluğunu değerlendirmek için yararlı bir araçtır. İstatistikte, karar teorisi ve bazı ekonomik modellerde bir kayıp fonksiyonu benzer bir rol oynamaktadır.
Parametrelerin uygunluğunu test etmek oldukça basit olmakla birlikte, bir modelin genel matematiksel formunun geçerliliğini test etmek daha zor olabilir. Genel olarak istatistiksel modellerin diferansiyel denklemleri içeren modellerden daha iyi test edildiği daha matematiksel araçlar geliştirilmiştir. Parametrik olmayan istatistiklerden alınan araçlar, verilerin bilinen bir dağıtıma ne kadar uyduğunu değerlendirmek veya modelin matematiksel formuyla ilgili yalnızca en ufak varsayımlar yapan genel bir model bulmak için kullanılabilir.

Modelin Kapsamı

Bir modelin kapsamını değerlendirmek, diğer bir deyişle, modelin hangi durumlarda uygulanabileceğini belirlemek daha az açık olabilir. Model, bir veri kümesine dayanıyorsa, bilinen verilerin "tipik" veri kümesi olan hangi sistem veya durumları belirlemesi gerekir.
Modelin veri noktaları arasındaki sistemin özelliklerini iyi açıklayıp açıklamadığına soruya içevurum denir ve gözlemlenen verinin dışındaki olaylar veya veri noktaları için aynı soru dışa vurum olarak adlandırılır. Bir modelin kapsamının tipik sınırlamaları için bir örnek olarak, Newton klasik mekaniğini değerlendirirken, Newton'un ölçümlerini gelişmiş ekipman olmadan yapmış olduğuna dikkat edelim; bu nedenle ışık hızına yakın hızlarda hareket eden parçacıkların özelliklerini ölçemez.
Aynı şekilde, yalnızca makro parçacıklar hariç, küçük moleküllerin ve diğer küçük parçacıkların, hareketlerini ölçemedi. O halde modelinin sıradan yaşam fiziği için oldukça yeterli olmasına rağmen, modelinin bu alanlara iyi bir şekilde ekstrapolasyon yapmadığı şaşırtıcı değildir.

Felsefi Düşünceler

Birçok modelleme biçimi örtük olarak nedensellik hakkındaki iddiaları içerir. Bu genellikle diferansiyel denklemleri içeren modeller için geçerlidir (fakat her zaman geçerli değildir). Modelleme amacının dünyayı anlayışımızı arttırması olduğu için, bir modelin geçerliliği yalnızca ampirik gözlemlere uyma değil, aynı zamanda modelde orijinal olarak tanımlananların ötesinde durumlara veya verilere dışlama yeteneğine dayanır. Bunu, niteliksel ve niceliksel tahminler arasındaki fark olarak düşünebiliriz. Bir de, incelenen fenomenin doğrudan soruşturulmasıyla zaten bilinen şeyin ötesine geçen bazı bilgiler sağlayan bir modelin değersiz olduğunu iddia edebilir
Bu tür eleştirilere bir örnek, Optimal yemleme teorisinin matematiksel modellerinin, evrimin sağduyulu sonuçlarını ve ekolojinin diğer temel ilkelerini aşan bir fikir sunmadığı argümanıdır.