Merkezi limit teoremi

Merkezi limit teoremi büyük bir sayıda olan bağımsız ve aynı dağılım gösteren rassal değişkenlerin (eğer sonlu varyans değerleri bulunuyorsa) aritmetik ortalamasının, yaklaşık olarak normal dağılım (yani Gauss dağılımı) göstereceğini ifade eden bir teoremdir. Matematiksel bir ifadeyle, bir merkezi limit teoremi olasılık kuramı içinde bulunan bir zayıf yakınsama sonucu setidir. Bunların hepsi, birçok bağımsız aynı dağılım gösteren rassal değişkenlerin herhangi bir toplam değerinin limitte belirli bir "çekim gücü gösteren dağılıma" göre dağılım gösterme eğiliminde olduğu gerçeğini önerir.
Pratik gerçekte birçok anakütle, sonlu varyans gösteren dağılımlar ortaya çıkardıkları için, bu teorem normal olasılık dağılımının önemini açığa çıkartır.
Bu teoreminin kapsamını genişletip sonuçlarını genelleştiren eklere göre (Lindeberg koşulu, Lyapunov koşulu, Gnedenko durumu ve Kolmogorov durumu) sonlu varyans gösterme için mutlaka aynı dağılım gerekmemektedir.

Limite yakınsama

Eğer üçüncü merkezsel moment E((X₁ − μ)³) bulunuyorsa ve sonlu ise, yukarıda açıklanan yakınsalaşma Berry-Eseen teoremi ile yakınsalaşma hızı asgari  1/n½ olur. Yakınsalaşma normali monotoniktir yani 'nin enformasyon entropisi bir normal dağılım entropisine monotonik olarak yakınsalaşır.
Bir dağılımın toplama ile "düzgünleştirilmesi" için grafikler orijinal olasılık dağılım fonksiyonu ve diğer üç (dağılım fonksiyonların konvolusyonu ile elde edilen) toplama için şu grafiklerde görülür:
Merkezi limit teoreminin bir grafiksel temsili bir anakütlenin rassal ortalamalarının grafiği ile gösterilebilir. Bir Aₙ alalım ve bu bir rassal örneklem için örneklem ortalaması ve her bir örneklemden tek bir rassal değişken de  Xₙ olsun:
Aₙ = (X₁ + ... + Xₙ) / n
1den verilen bir örneklem hacmine kadar Aₙ ifadesini bulalım:
A₁ = (X₁) / 1
A₂ = (X₁ + X₂)/ 2
A₃ = (X₁ + X₂ + X₃)/3
Merkezi limit teoremi için ortalamaları örneklem hacmi 90a kadar yani 30 nokta olarak gösterilmesi gerekir. Eğer Aₙ
Zₙ = (Aₙ − μ) / (σ / n½)
kullanılarak standartize edilirse, yukarıda verilen Zₙ değişkeninin aynısı ortaya çıkar ve bu bir standart normal dağılımına yakınsanır.
Merkezi Limit teoremi sonlu sayıda gözlemler için bir tahmin olarak kullanılması gerek bu sayılar normal dağılımın zirvesi etrafında toplanırsa iyi sonucdur; dağılımın kuyruklarında olan gözlemler için bu tahminin yeterince doğru olması için çok sayıda gözlem elde edilmesi gerekir.
Merkezi Limit Teoremi özellikle bağımsız ve aynen dağılım gösteren ayrık rassal değişkenler için uygulanır. Ayrık rassal değişken için bir toplama ile elde edilen değerde bir ayrık rassal değişkendir ve böylece bir seri ayrık rassal değişken için tek tek yığmalı olasılık dağılım fonksiyonu bir sürekli değişken için bir yığmalı olasılık dağılım fonksiyonua (yani normal dağılıma) yakınsalaşır.
Bu demektir ki eğer n sayıda bağımsız ve özdeş ayrık değişkenlerin toplamının gerçekleşmelerinin bir histogramını kurarsak, histogramı şekillendiren dikdörtgenlerin yukarı yüzlerinin merkezlerini birleştiren eğri, n'  değerine yakınsalaştıkça, bir Gauss-tipi çan eğrisine gittikçe benzemeye başlar. Basit sadece iki değer alan bir ayrık değişkeni içeren binom dağılımı gösterdiği simüle edilen bir halde bile bu merkezi limit teoremi uygulandığı görülebilir.

Lyapunov koşulu

Main: Lyapunov'un merkezsel limit teoremi.