Funktör

matematikte,funktör kategoriler arası göndermenin bir tipidir, Bu kategori teori içinde uygulamadır. Funktörler  kategoriler arası homomorfizmler olarak düşünülebilir.küçük kategorilerin kategorisi içinde, funktörler  daha genel olarak morfizmler olarak düşünülebilir.
cebrik topoloji içinde ilk elde edilen Funktörler idi, burada cebrik nesneler (temel grup gibi) topolojik uzaylara ilişkilenir, ve cebrik homomorfizmler sürekli göndermelere ilişkilendiriliyor. Günümüzde, funktörlerin  çeşitli kategorilerle ilişkileri modern matematik yoluyla kullanılıyor. Böylece funktörler  bölgeler içinde genel uygulanabilirliği bu matematik kategori teori ile birlikte  soyutlanabilir
funktör kelimesini filozof Rudolf Carnaptan matematikçiler ödünç almıştır, O   dilsel konular içinde kullaniliyor:fonksiyon kelimesine bakınız.

Zıt funktör

Her   funktör   zıt funktör uyarır burada   ve . ye zıt kategori ile tanımlanıyor,  gönderme nesneleri ve morfizmi  'ye özdeştir. devamla   ile rastlaşık olmayan bir  kategori olarak ve   benzeşiği  , için, 'den ayrılır örneğin,   ile ,oluştururken bir kullanma ya  veya dır.Unutmadan zıt kategori'nin özelliklerini takiple, .

Bifunktörler ve multifunktörler

Bir bifunktör (ayrıca bir ikili funktör olarak bilinir) iki bileşenli bir funktördür.Hom funktör bir doğal örneğidir ; o bir bileşenin içinde karşıtdeğişinti, diğeri içinde eşdeğişintidir.
Resmi olarak, bir bifunktör  bir funktör etki alanı  bir çarpım kategorisidir. Örneğin, bu tip'in  Hom funktörü Cᵒᵖ × C → Kümesi dir.
Bir multifunktör n değişkenlerine funktör kavramının   bir genellemesidir. Örneğin bir bifunktör n = 2 ile bir multifunktördür.

Örnekler

Diyagram:C ve J kategorileri için,C içinde J tipinin  bir diyagramı  eşdeğişinti funktörüdür.
(Kategori teorik) presheaf:C ve J kategorileri için,bir C üzerinde J-presheaf bir karşıtdeğişinti funktörüdür.
Presheaves: Eğer X bir topolojik uzay,içerik altında Açık(X) bir kısmi sıralı küme X formu içinde açık kümeler ise her kısmi sıralı küme gibi,Açık(X) tek bir ok ekleme ile  U → V  ancak ve ancak küçük   bir  kategori oluşturur .Açık(X) üzerindeki karşıtdeğişken funktörlara X üzerinde presheaves denir.Örneğin U üzerinde gerçek-değerli sürekli fonksiyonların her açık kümesine atama ile ilişkisel cebir X üzerinde cebirin bir presheaf'ı elde edilir.
Sabit funktör: funktör C → D  X in D içindeki bir X  sabit nesneye C nin her nesneyi gönderir ve  C içindeki X üzerinde özdeş morfizme her morfizm. Böyle bir funktör  bir sabit veya elenme funktörüdür.
Endofunktör: Bu funktor kendine bir kategori göndermedir.
Özdeş funktör:C kategorisi,1C veya idC yazılır,kendis kendisine morfizmalar ve nesne gönderir.Özdeş funktör bir endofunktördür
Köşegen funktör: Diyagonal funktör  D funktörden  DC funktör kategorisine  tanımlanır bu  nesne de sabit funktöre D içinde her nesneyi gönderir.
Limit funktör:sabit bir indis kategori J için , eğer her funktor J→C bir limit var(örneğin eğer C tamsa), ise limit funktor Cᴶ→C her funktöre  atanan limittir.  Bu funktor varlığıdiyagonal funktöre, sağ-ek'in farkı ile ispat edilebilir ve  Freyd ek funktör teoremini yürütüyor. Bu seçim aksiyomunun bir uygun versiyonu gereklidir. Benzer sözler eşlimit funktör için geçerlidir  (bu eşdeğişintidir).
Kuvvet kümeleri: Kuvvet kümesi funktörü P : Küme → Küme kuvvet kümesine  her  küme göndermedir ve  görüntüye  gönderilen gönderime  her fonksiyondur. One can also consider the contravariant power set functor which sends  to the map which
sends  to its inverse image 
İkili vektor uzayı: Bu gönderme  her vektör uzayına atanan ikili uzaydır ve  her doğrusal haritaya ikilidir veya kendine  bir sabitlenmiş bir alan üzerinde tüm vektör uzaylarının kategorisinden devrik bir karşıtdeğişinti funktörüdür .
Temel grup:noktalı topolojik uzayın kategorisi düşünülür, yani  topolojik uzaylar ile ayırt edici noktaları. Nesne (X, x₀) çiftidir, burada X bir topolojik uzaydır ve x₀  X içinde bir noktadır. Bir morfizm (X, x₀) dan (Y, y₀)ya bir sürekli göndermef : X → Y ile f(x₀) = y₀ ile verilir.
topolojik her X uzayı ile ayırtedici nokta x₀dır, x₀ tabanında bir temel grup tanımlanabilir, ifadesi π₁(X, x₀). Bu homotopi  x₀ taban döngüsünün homotopi sınıfının  grupudur. Eğer  noktalı uzayının f : X → Y morfizmi, taban noktası ile Y içindeki yeterli bir döngüye f   ile  düzenlenebilir x₀ taban noktası ile X içinde bu her döngü ise işlem eşdeğer ilişki homotopisi ve  döngünün düzeni ile uyumludur, ve  π(X, x₀) dan π(Y, y₀) ya bir grup homomorfizmi veriliyor.Biz böylece grupların kategorisi noktalı topolojik uzaylar kategorisinden bir funktor elde ediyoruz.
(ayırt edici nokta olmadan) topolojik uzaylar kategorisinde, tek bir jenerik eğrilerin eşyerellik sınıfları düşünülüyor, ama onların bir bitiş noktası paylaşılmadığı sürece oluşamaz.Böylece bir temel grupun yerine temel grubumsu var, ve bu yapım funktöriyeldir.
sürekli fonksiyonların cebri:topolojik uzayın kategorisinden  (sürekli gönderme ile morfizmler olarak )gerçek ilişkisel cebirlerin kategorisine bir eşdeğişinti funktoru bu uzay üzerinde tüm gerçek-değerli sürekli funksiyonların  her  X topolojik uzayına atama ile verilen cebiri C(X) dır. Her sürekli gönderme f : X → Y bir cebir homomorfizmi uyarır C(f) : C(Y) → C(X) C(f)(φ) = φ o f kural ile her φ için  C(Y) içinde.
Tanjant ve kotanjant demetler: Gönderme bu tanjant demete her diferansiyellenebilir manifold gönderir ve vektor demetleri.
bu noktasal izlemeli konstrüksiyonlar tanjant uzayı verir,gerçek vektör uzaylarının kategorisine noktalı differensiyellenebilir manifoldların kategorisinden  bir eşdeğişinti funktörüdür. Aynı şekilde, kotanjant uzay  bir karşıtdeğişinti  funktörüdür,tanjant uzayının esas düzeni ile ikili uzayı yukarıda.
Grup hareketler/gösterimler: Her grup G bir kategori olarak düşünülebilir bir tekli nesne ile böyle morfizmler Gnin ögesidir. Bir funktor G den Kümeye ama özel olarak küme üzerinde Gnin bir grup hareketi değil ise , yani bir G-kümesidir. Bunun gibi, bir funktor G den vektor uzayının kategorisine, VectK, Gnin  bir doğrusal gösterimidir . Genelde, bir funktör G → C  Ckategorisi içinde bir nesne üzerinde Gnin bir "eylem"i olarak kabul edilebilir. Eğer C bir grup,ise bu hareket bir grup homomorfizmidir.
Lie cebiri:Her gerçek (karmaşık) Lie grupa atama ve gerçek (karmaşık) Lie cebiridir ve  bir funktör tanımlar.
Tensör çarpımları: Eğer C bir sabitlenmiş alan üzerinde vektör uzayının kategori ifadesi,ile morfizmler olarak doğrusal göndermeler, ise tensör çarpımı  bir funktör C × C → C tanımlar hem de bu bileşen eşdeğişintidir.
Unutkan funktorler:funktör U : Grp → Küme bu göndermeler kümelerin  altındaki kümeye bir grup ve bir   altındaki fonksiyona grup homomorfizmi bir funktördür. Bu gibi "unutkan" funktör  bazı yapılar,unutkan funktorlerle sonlanır.Diğer örnekler funktör Rng → Ab bu göndermele bir abeliyen grup altında yatan halkaya  katkıdır. Rng içinde morfizmler (halka homomorfizmleri)  Ab içinde morfizmler olur(değişmeli grup homomorfizmaları).
Serbest funktörler: unutkan funktörlerin zıt yönüne giden serbest funktörlerdir.Serbest funktör F : Küme → Grp  X ile üretilen serbest grupa her X kümesini gönderir. Fonksiyonlar grup homomorfizmleri ile serbest gruplar arasında verilen  gönderimdir.Kümelerin yapıları üzerinde temel birçok kategoriler için serbest yapılar var. Bakınız serbest nesne.
Homomorfizm gruplar: A, B abeliyen gruplarının  her çiftine  A dan B ye  tüm grup homomorfizmlerin Hom(A,B) oluşan abeliyen grup atanabilir.Bu bir funktör ve bunun  ilki içinde karşıtdeğişinti ve ikinci bileşen içinde  eşdeğişintidir,yani bu  bir  Abᵒᵖ × Ab → Ab funktördür.(burada Ab abeliyen grupların kategorisi ile ifade edilen grup homomorfizmleridir). Eğer f : A₁ → A₂ ve g : B₁ → B₂  Ab içinde morfizm ise  grup homomorfizmi Hom(f,g) : Hom(A₂,B₁) → Hom(A₁,B₂)φ g ∘ φ ∘ f ile verilir.  BakınızHom funktör.
Gösterimsel funktorler: Biz herhangi bir kategori C için önceki örneği genelleme yapabiliriz.Bir C içindeki nesnelerin her X, Y çiftine X dan Yye morfizmin  Hom(X,Y) kümesi atanabilir. Bu bir kümeye funktör tanımlar bu ikinci içinde karşıtdeğişinti ilk bileşen içinde eşdeğişintidir , yani o  bir funktör Cᵒᵖ × C → kümedir. Eğer f : X₁ → X₂ ve g : Y₁ → Y₂  Ciçinde morfizmdir, ise grup homomorfizmi Hom(f,g) : Hom(X₂,Y₁) → Hom(X₁,Y₂)φ  g ∘ φ ∘ f ile verilir.
Bu gibi funktörlere gösterimsel funktörler denir. Birçok çerçevenin önemli amacı belirli bir funktör gösterilemeyecek olup olmadığını belirlemektir.
tant goal in many settings is to determine whether a given functor is representable.

Diğer kategorik kavramlarla ilişkisi

Diyelimki C ve D kategoriler olsun.Fanktor kategori: Bir kategori nesnelerinin C → D formlarının tüm fanktorların bileşimidir. Bu kategoride morfizmler funktorların arasındaki doğal dönüşümleridir.Fanktorlar genellikle genel özelliklerine göre tanımlandığı gibidir; örnekleri tensör çarpımı, grupların veya vektör uzaylarının direkt toplamı ve direkt çarpımı , serbest gruplar ve modüllerin yapımı, direkt ve ters limitleridir
Yukarıdaki limit ve eşlimit kavramlarının  birkaç genellemesidir. Evrensel yapılar genellikle eşlenik funktor çiftlerine neden olmaktadır.

Bilgisayar uygulamaları

Fanktorlar bazen  fonksiyonel programlama içinde görünür. örneğin, Haskell dili Functor sınıf burada  fmap bazı yeni sınıf fonksiyonlara üzerinde varolan bir sınıf üzerinde (morfizmler) fonksiyonlar göndermesine kullanılan bir politipik fonksiyondur  .