Dış cebir

Matematikte, vektörlerin dış çarpım veya kama çarpımı alanları, hacimleri ve onların yüksek boyutlu analoglarını incelemek için Öklid geometrisi kullanan bir cebirsel yapıdır. U tarafından gösterilen iki vektör u ve v nin dış çarpım u ∧ v, bir bivektor denilen ve dış kare vektörlerin orijinal uzayından farklı bir geometrik vektör uzayı adı verilen bir uzayda canlandırılmaktadır.Büyüklüğü, u ∧ v iki vektör ve üç boyutlu içinde aynı zamanda, iki vektörün çapraz çarpımı kullanılarak hesaplanabilir u ile v paralelkenar bölgesi olarak yorumlanabilir. Ayrıca, çapraz çarpım gibi, dış çarpım u ∧ v = −(v ∧ u), yani antikomutatif - tüm  u ve v vektörleri için bivektör görselleştirmenin bir yolu, aynı düzlemde yer alan aynı alana sahip ve sınırları-seçim saat yönünde ya da saat tersi yönünün aynı taraf yönlendirmesi ile(işaret fonksiyonu ile) paralelkenarların bir ailesi gibidir.Bu şekilde kabul olduğunda iki vektörün dış çarpımı 2 bıçaklı olarak adlandırılır. Daha genel olarak, vektörlerin herhangi bir k sayısının  dış çarpım olarak tanımlanabilir ve bazen bir k-bıçak olarak adlandırılır. Burada k-inci dış güç olarak bilinen bir geometrik uzay ''yaşamaktadır''.Oluşan k-bıçağının büyüklüğü, bu vektörler tarafından gerilmiş paralelotopun hacmini veren, üç boyutlu olarak vektörlerin skalar üç çarpımı büyüklüğü olarak, yüzleri verilen vektörler k boyutlu paralelyüz hacmidir. Hermann Grassmann sonrası dış cebir veya Grassmann cebiri  olan  dış çarpım ürünü cebirsel sistemdir.Dış cebir geometrik soruları cevaplamak için bir cebirsel ortam sağlar. Bıçaklar somut geometrik yoruma sahipken örneğin, dış cebir nesneleri net bir kurallar kümesine göre manipüle edilebilir.Dış cebir sadece k-bıçak olmayan nesneleri içerir, ancak k-bıçakların toplamı; Böyle bir toplam, bir k-vektör olarak adlandırılır.  k-bıçaklar, bu vektörlerin basit çarıpımları olduğu için, cebir elemanları basit olarak adlandırılır. Herhangi bir k-vektörünün sıralaması bir toplamı olan basit elemanlarının küçük sayısı olarak tanımlanır. Bu cebirin herhangi iki ögesini çarpmak mantıklı olur böylece dış çarpım, tam bir dış cebire kadar uzanır. Bu çarpım ile donatılmış, dış cebir ki herhangi bir  α, β, γ öğe için α ∧ (β ∧ γ) = (α ∧ β) ∧ γ  demektir birleşmeli cebir dir.k-vektörlerinin  k-çarpımları toplamı olduğu anlamına gelen, k-derecesi vardır. Farklı derecelerde ögeleri ile çarpılır olduğunda,  polinomların derece çarpımı kadar derece ekleyebilirsiniz. Bu dış cebirin bir kademeli cebir olduğu anlamına gelir.Kesin bir anlamda, bir genel kurulum olarak bilinirliği ile verilen, dış cebir vektörleri üzerinde bir alternatif çarpımı destekleyen en büyük cebir ve kolayca, tensörler gibi bilinen diğer nesneler açısından da tanımlanabilir.Dış cebirin tanımı sadece geometrik vektörleri alanlar için mantıklı değildir, ama bu tür vektör alanları ve fonksiyonlar gibi diğer vektör gibi nesneler içinde mantıklıdır. Tam bir genellik içinde,dış cebir değişmeli halka üzerinde modüller için tanımlanmış, ve soyut cebirin ilgi duyulan diğer yapılar içinde olabilir. Bu dış cebir, diferansiyel geometriyi kullanan alanlarda temel olan diferansiyel formların cebiri gibi görünen en önemli uygulamalardan birini bulur ki bu genel yapılarından biridir. Diferansiyel formlar sonsuz paralelkenarlar (ve daha yüksek-boyutlu cisimler) sonsuz-küçük bölgelerini temsil eder, ve böylece calculus'den çizgi integrallere genelleştirilerek bir şekilde yüzeyler ve yüksek boyutlu manifoldlar üzerinde entegre edilebilir matematiksel nesnelerdir.Dış cebirin  ayrıca cebirin kendisini uygun bir araç olarak oluşturan birçok cebirsel özellikleri vardır. Bir vektör alanı dış cebri birleşimli vektör uzaylarının lineer dönüşümleri ile belli bir şekilde uyumlu olduğu anlamına gelen, vektör uzaylar üzerinde funktorün  bir türüdür.Dış cebirin kendi dual uzayı da bir çarpıma sahiptir, yani bir bicebir örneklerinden biridir ve bu ikili çarpım dış çarpım ile uyumludur. Bu ikili cebir tam  V çoklu doğrusal formları alternatif cebir ve dış cebir ve çift iç çarpım ile arasında verilen eşleştirmedir.

Genellemeler

Değişmeli halka R ve 'R-modül M göz önüne alındığında, Bu tensör cebiri T(M) için uygun bir bölümü olarak, tıpkı yukarıdaki dış cebir Λ(M) gibi tanımlanabilir. Bu benzer evrensel özelliği karşılayacaktır.Λ(M) özelliklerinin çoğu, M in bir izdüşümsel modül olmasını gerektirir. Sonlu boyut kullanıldığında,  M özellikleri daha da  sonlu üreteç oluşturulur ve izdüşüm gerektirir.Birçok durumda bu genellemeler Bourbaki 1989 da bulunabilir.
Vektör demetlerinin dış cebiri sık sık geometri, topoloji ve de dikkate alınır.Serre-Swan teoremi ile sonlu boyutlu vektör demetleri ve sonlu üretilen yansıtmalı modüllerin dış cebir olanların dış cebir cebirsel özellikleri arasında önemli farklılıklar vardır. Daha genel dış cebiri modüllerinin demetleri için tanımlanabilir.