Diskriminant

Diskriminant matematik biliminde bir cebirsel kavramdır. Gerçel  katsayılı ikinci derece polinom denklemler'in çözümü için kullanılır. İkinci dereceden büyük herhangi bir polinom'un köklerinin bulunması için de bu kavram, köklerin toplamı için gereken ifadenin ve köklerin çarpımı için gereken ifadenin bulunması suretiyle genişletilmiştir. Bu arada bir polinom için çoklu köklerin varlığı veya yokluğu için gereken koşul da diskriminant'in varlığı ve yokluğu ile bulunabilmektedir.
Diskriminant kavramı polinomların incelenmesinden daha başka matematik alanlarda da kullanılmaktadır. Bu kavramın kullanışı  konik kesitlerin ve genel olarak kuadratik şekillerin daha iyi anlaşılmasına izin vermektedir. Galois teorisi'nin kuadratik formlara veya sayılar sonlu uzantısı hakkındaki gelişmelerde de diskriminant  kavramı rol oynar. Matris sistemindeki determinant hesaplanmasının temelinde de diskriminant kavramı yatmaktadır.

Gerçel iki köklü tek  bilinmeyenli ikinci derecede polinom denklemin çözülmesi

Tek  bilinmeyenli ikinci derecede bir polinom denklem ele alalım ve denklemde  a, b ve c üç gerçel sayılı katsayı olsun ve a değeri 0 dan değişik olsun
denklemi ve a ≠ 0 olsun.
Bu tek bilinmeyenli ikinci derecede polinom denklemin diskriminantı şöyle tanımlanan Δ  (delta) sayısı ile ifade edilir:
Diskriminant'ın bilinmesi bu  tek bilinmeyenli ikinci derece polinomun çözülmesini sağlar:
a)  Δ  > 0  yani Δ pozitif ise, denklemin farklı iki gerçel kökü vardır. x₁ ve x₂ olarak ifade edilen bu iki kök şu formül kullanılarak bulunur:
b)  Δ  = 0 yani Δ sıfıra eşit ise, denklemin, değerleri birbirleriyle çakışan, yani birbirine eşit, iki gerçel kökü vardır:
c)  Δ  < 0 yani Δ negatif ise, denklemin gerçel kökü yoktur yani denklemin çözümü bulunamaz.

Kısaltılmış diskriminant

Bazen ikinci derecedeki polinom denklem şu şekilde yazılmaktadır:
Bu şekilde değişik bir diskriminant bilinir ve bu kısaltılmış diskriminant (Δ') şöyle tanımlanır:
Eğer bu denklemin kökleri varsa, şöyle bulunurlar:

Örnekler

a) İlk olarak şu örnek denklemin çözümünü arayalım:
Çözüm iki kök bulunmasını gerektirir. Bu iki kökün  x₁ ve x₂ olduğunu kabul edelim. Bu iki kökü, yani x₁ ve x₂ çözüm değerlerini bulmak için, şu  Δ  diskriminant ifadesi incelenir ve bu diskriminant değeri kuadratik denklem çözüm formülüne konulup şu iki gerçel kök bulunur::
b) İkinci örnek olarak verilen denklem şu olsun:
ve bunun diskriminant değeri sıfır olarak şöyle bulunur:
Bu demektir ki bu denklem çözümü birbirine eşit iki gerçel kök olur 
Bu birbirine çakışık iki kök değeri -3 olur.
c) Son olarak örnek denklem şu olsun:
Bu denklem işin  diskriminant Δ değeri şu olur:
yani Δ  negatiftir. Bu halde denklemin gerçel sayılarla kökleri bulunmamaktadır. Fakat bu halde kompleks kökleri bulunabilir. Diskriminantın kare kökü i√3  olur ve burada i  "sanal birim" operatörüdür. Bundan dolayı şu çözüm ortaya çıkar:
.

Herhangi bir derecede polinom

Bir polinom için kök değerini diskriminant yardımı ile çıkarma yöntemi ikiden büyük polinomlar için generalize edilmemiştir. Fakat polinomun diskriminantı kavramı yine de kullanışlıdır. Doğrusal cebir içinde bir endomorfizim minimal polinomunda çoklu köklerin mevcut bulunması endomorfizmin tabiatını değiştirir. Bu şekilde mevcudiyet diagonalleştirme operasyonu imkânsiz yapar. Bu açıklama rasyonel sayıları da içine aldığında, indirgenemeyen polinomların (yani faktorize edilemeyenler) çoklu köklerinin bulunmasi her türlü hal için imkansızdır. Bu hal tüm haller için gerçek değildir. Galois teorisi içinde yapılan bu ayrım önemlidir ve sonuçlar konfigürasyona bağlı olarak değişik olabilir.

Genel şekilde ifade

P dereceli polinom için genel diskriminant ifadesi şöyle tanımlanır:
ve bundan şu ortaya çıkar:

Diskriminant cebirsel tam sayılar halkası

Sayilar cebiri teorisi tanımı farklı görünen bir diskriminant kavramı kullanır.Bu kavram bir kuadratik formdaki determinanta karşıttır ve matamati halka A için kullanılır. Her diskriminantın her iki tanımı da birbiriyle çok yakın olarak bağlıdırlar.
Eğer A halkasını(tümüyle relatiflerden oluşan bir Z için) Z[a] ile eşit yapan bir cebirsel tam sayı a mevcutsa, a için minimal polinom Z içindeki katsayılari aynen içerir A'nın polinomlara gore tanımlanmış anlamı ile cebirsel sayı teorisine göre halkanın diskriminantı anlamı ile tamamına eşittir.