Vektörlerin eşdeğişken ve karşıtdeğişkeni

Resmi olmayan genel

fizikte alanlar konusunda,eşdeğişken sıfatı  sıklıkla  değişken için bir sinonim olarak resmi olmadan kullanılır. Örneğin, Schrödinger denkleminin  özel görelilik koordinat dönüşümleri altında yazılan formu tutmaz.Böylece, bir fizikçi Schrödinger denklemi eşdeğişken değil diyebilir. Buna karşılık, Klein-Gordon denklemi ve Dirac denklemi Bu koordinat dönüşümleri altında yazılı şeklini korur. Böylece, bir fizikçi bu denklemler eşdeğişken olduğunu söyleyebilirsiniz.
"Eşdeğişken"nin geneline rağmen,bu Klein-Gordon ve Dirac denklemleri değişmez olduğunu ve Schrödinger denkleminin değişmez olmadığını söylemek daha doğru olur. toplanırlık, belirsizliği kaldırmak için, değişmezliği değerlendirilir kılan dönüşüm gösterilmelidir.
Vektörlerinin bileşenleri karşıtdeğişken ve eşvektörler olanlar eşdeğişken olduğu için, vektörlerin kendileri de karşıtdeğişkin ve eşdeğişkin gibi eşvektörler olarak adlandırılır.
geri çekme - difeomorfizm altında karşıtdeğişkin ve eşvektörler - difeomorfizm altında eşdeğişkindir- Bu kullanım vektörleri beri ileri itme ancak yanıltıcı olabilir .
Bak Einstein gösterimi ayrıntıları için.

Tensör analizinde kullanım

Eşdeğişir ve zıtdeğişir arasındaki ayrım tensörler ile hesaplamalarda  özel önemli taşır, bunun için sıklıkla karışıkdeğişkin denir.Bunun anlamı hem eşdeğişkin ve hem de karşıtdeğişkin veya hem vektör ve hem de ikili vektör bileşenleri var.Bir tensörün değeri değişkin ve eşdeğişkin terimlerinin sayılarıdır, ve Einstein gösterimi içinde, eşdeğişkin bileşenlerin  alt indisler varken karşıtdeğişkin bileşenlerin  üst indisler vardır.  İkilik eşdeğişkin ve karşıtdeğişkin arasına müdahele edildiğinde bir vektör veya tensör nicelik  bileşenleri  modern diferansiyel geometri kullanıl rağmen tensör gösteriminde serbest-indeks metotları daha felsefidir.
Tensör analizinde, bir eşdeğişkin vektör çeşitleri more veya bir karşıtdeğişkin vektör karşılığına karşılıksızlıktır.Uzunluklar için bağıntılar, alanlar ve vektör uzayı içinde nesnelerin hacimleri  eşdeğişkin ve karşıtdeğişkin indisleri ile tensörlerin terimleri içinde verilebilir. Koordinatların basit açılması ve büzülmesi altında , karşılıklılık tamdır; karıştırılmış bir vektörün bileşenleri afin dönüşümü altında eşdeğişinken ve karşıtdeğişinken bağıntıları arasında gidiyor  
bir manifold üzerinde,tipik olacak bir tensor alanının iki türden çoğul indisler var.Yaygın olarak izlenen kural tarafından, eşdeğişken indisleri alt indisler olarak yazılıyor, oysa eşdeğişinken indisler alt indislerdir.Eğer manifold is donanım ile bir metrik, eşdeğişken ve karşıtdeğişken indisler birbirine çok yakından ilişki alır.Büzülme tarafından karşıtdeğişken indisler eşdeğişken indisler metrik tensör ile dönüşebilir.Terslik metrik tensörün tersinin (matris)  büzülmesi ile olasıdır. Genel olarak, böyle bir ilişki bir metrik tensörde uzay içinde böyle bir ilişki olmadığını unutmayın.Ayrıca, daha soyut bir bakış açısıyla, bir tensör ya da türün bileşenleri basitçe  "burada"  ve seçilen koordinatlar  üzerinde yalnızca hesaplanabilir kalıntılar böyle bağlı değerlerdir
Geometrik terimlerin içinde açıklama genel bir tensör karşıdeğişken indisleri gibi eşdeğişken indislerine sahip olmasıdır.Çünkü  bu hem tanjant demet hem de kotanjant demet içinde diri parçalar olarak var.
Bir karşıtdeğişinken vektörü tek bu  dönüşümü gibidir, burada  ifadesi   uygun zamanında bir parçacığın koordinatlarıdır.Bir eşdeğişinken vektörü    dönüşümleri gibidir, burada  bir skaler alandır.

Cebir ve geometri

Buradaki kategori teorisi içinde olanlar eşdeğişkin funktorlar ve karşıtdeğişkin funktorlardır.Bir vektör uzayının ikili uzayı bir karşıtdeğişkin  funktörün standart bir örneğidir.Çokludoğrusal cebirin bazı yapıları  'karışık' değişkindir, funktör olmaktan alıkoyan budur.
Geometride,aynı iç gönderme/dış gönderme ayrımı yapıların değişkenliğinin değerlendirilmesinde faydalıdır.Bir düzgün manifold M e bir tanjant vektör  başlangıçta  M  içine düzgün bir eğri gönderme ve  verilen bir P noktası aracılığıyla geçiyor. Bu bunun için M in düzgün göndermeleri  sırasıyla eşdeğişkindir.Bir karşıtdeğişkin vektör,veya 1-form,reel eksene M den bir düzgün göndermeyle yapılan P yakınındaki  aynı yoldur.Bu kotanjant demet içindedir, tanjant uzayının ikili uzayından inşa edilir sırasıyla dxᵢ  bileşenleri   tek- formun bir yerel taban  eşdeğişkini olacak; ama tek-formlar ve genel içinde diferansiyel formun geri çekme düzgün göndermeleri altında karşıtdeğişkindir,uygulama için bu çok önemlidir ; örneğin bir diferansiyel form  herhangi altmanifoldla sınırlı olabilirken,bu tanjant vektörler için aynı bir alan mantıklı değildir.
Eşdeğişkin ve karşıt-değişkin bileşenlerin dönüşümü koordinat dönüşümleri altında farklı yollar içindedir.Bir manifold üzerinde bir gönderimin  manifoldun kendisi üzerine bir koordinat dönüşümü dikkate alınarak ,bir tensörün eşdeğişkin indislerinin dönüşüm özellikleri  bir geri çekme ile ve karşıtdeğişken indislerinin dönüşüm özellikleri ise bir ileri itme ile veriliyor.