Calabi-Yau Manifold

Tanımlar

Farklı yazarlar tarafından kullanılan bir Calabi-Yau manifoldunun birçok farklı eşit olmayan tanımı vardır. Bu bölümde daha yaygın tanımları ve aralarındaki ilişkiler özetlemektedir.
(Kompleks) boyut n bir Calabi-Yau, n-kat veya Calabi-Yau manifold bazen aşağıdaki eşdeğer koşullardan birini sağlayan bir kompakt n boyutlu Kähler manifold olarak tanımlanır:
Kurallı paket M önemsizdir.
M, hiçbir yerde kaybolmayan bir holomorfik n-şekline sahiptir.
M yapı grubu SU(n)'den U(n)'ye azaltılabilir.
M SU(n) 'de yer alan genel bir holonomi Kähler ölçüsüne sahiptir.
Bu koşullara göre birinci integral Chern sınıf c1 M(M)'de kaybolur, ancak tersi doğru değildir. Bu duruma basit örnekleri hyperelliptic yüzeyler, sonsuz oranlı karmaşık torosun karmaşık 2 boyutudur.
Kompakt n-boyutlu Kähler manifold M için aşağıdaki koşulların birbirine eşdeğerdir, ancak yukarıdaki koşullardan daha zayıf ve bazen bir Calabi-Yau manifold tanımı olarak kullanılmaktadır:
M ilk gerçek Chern sınıfı ortadan kaybolmuştur. M Ricci eğriliği kaybolan bir Kähler ölçüsüne sahiptir.
M SU(n)'de bulunan yerli holonomi bir Kähler ölçüsüne sahiptir.
M kurallı demetinin bir pozitif güçü önemsizdir.
M önemsiz kurallı paket olan bir sonlu kapağa sahiptir.
M bir torus ürün ve önemsiz kanonik paket ile basit bağlantılı manifold olan bir sonlu kapağa sahiptir.
Kompakt Kähler manifold sonra sadece bağlıysa, özellikle yukarıda zayıf tanım güçlü tanımına eşdeğerdir. Enriques yüzeyler, Ricci-düz ölçümleri sahip kompleks manifoldlara örnek vermektedir ama onların kanonik demetleri önemsiz değildir böylece Calabi-Yau manifoldu üzerinde, ikinci değil birinci tanıma göre polimerlerdir. Onların çift kapakları (aslında K3 yüzeylerde) her iki tanım için de Calabi-Yau manifoldları bulunmaktadır.
Yukardaki çeşitli özellikler arasındaki denklikleri kanıtlamanın en en zor kısmı ricci flat ölçüsünün varlığını kanıtlamaktır. Bundan Yau'nun Calabi hipotezinin kanıtı çıkmaktadır. Bunun da anlamı kaybolan ilk gerçek Chern sınıfı ile birlikte kompakt Kähler manifoldu ilk sınıftaki Kähler ölçüsüne sahiptir. Calabi örneğin metrik eşsiz olduğunu ortaya koymaktadır.
Çok farklı eşit olmayan bazen kullanılan Calabi-Yau manifold tanımı vardır ve diğerlerine göre takip ettikleri yollar farklıdır.
Ayrılmaz bir sınıf olarak ya da gerçek bir sınıf olarak birinci sınıf Chern yok olabilir.
Çoğu tanıma göre Calabi-Yau manifoldlar kompakt olduğu iddia edilir, ancak bazı tanımlar onların kompakt olmamasını sağlar. Kompakt olmayan manifoldlara genelleme olarak, farkın asimptotik olarak ortadan kalkması gerekir (ΩΛΩ-ωn/n!). Burada,  ω Kähler şekli g Kähler metriği ile ilişkilidir.(Gang Tian;Shing-Tung Yau 1990, 1991).Bazı tanımlamalar Calabi-Yau manifoldun temel grubuna kısıtlamalar koydu, örneğin ya sonlu olmalı ya da önemsiz olmalıdır. Herhangi sonlu kapağı olan Calabi-Yau manifoldu bir torus ürünü ve bağlı Calabi-Yau manifoldudur.
Bazı tanımların 0 < i < dim(M)  durumu için Hodge numaralarıyla hi,0 tanımlanan altgruplardan ziyade holonominin kesinlikle SU(n)'ye eşit olması gerekiyor. Abelian yüzeyleri SU(2)'den küçük olan holonomilerle birlikte bir Ricci flat metriğine sahiptir. Bazı tanımlara göre bu Calabi-Yau manifoldu değildir.
Çoğu tanımların bir Calabi-Yau manifoldu bir Riemann metrik olduğunu varsayalım, ancak bazı metrik olmaksızın onlara karmaşık manifoldlar gibi davranır.
Çoğu tanımların manifoldu olmayan tekil olduğunu varsayalım, ama bazı  tekilliklere izin verir. Chern sınıfı tekil en iyi tanımlanmış Calabi-Yau başarısız olsa da, kanonik paket ve kanonik sınıf tüm tekilliklere Gorenstein ise hala tanımlanmış olabilir ve böylece sorunsuz Calabi-Yau manifoldu tanımını genişletmek için kullanılabilir bir olasılıkla tekil Calabi-Yau çeşididir.

Örnekler

En önemli temel gerçek, bir projektif alanda gömülü herhangi bir cebirsel çeşit bir Kahler manifoldudur, çünkü kısıtlanabilir bir cebirsel çeşit olan doğal Fubini-Study metrik projektif uzayı vardır.Tanım olarak, ω Kahler metrik cebirsel çeşitli X ise ve kanonik paket KX X  önemsiz ise o zaman X Calabi-Yau'dur. Ayrıca, = [ω] ∈H2 (X, R), Eugenio Calabi tarafından varsayılmıştır ve ST Yau tarafından kanıtlanan bir gerçektir (Calabi varsayım bakınız) örneğin [ω0], X benzersiz Kahler metrik ω vardır.
Bir kompleks boyutta, sadece kompakt örnekler tek parametre ailesini oluşturan Tori vardır. Bir torus üzerinde Ricci düz metrik, aslında düz bir metriktir böylece holonomi önemsiz grup SU(1)'dur. Bir tek boyutlu Calabi-Yau manifoldu  karmaşık eliptik eğridir, özellikle de cebirseldir.
İki karmaşık boyutta, K3 yüzeyler sadece kompakt basit bağlantılı Calabi-Yau manifoldu vermektedir. Basitçe bağlı olmayan örnekler abelian yüzeyler tarafından verilmektedir. Enriques yüzeyler ve hyperelliptic yüzeyler, gerçek cohomoloji grubunun bir elemanı olarak kaybolan ilk Chern sınıfına sahiptir, ancak integral cohomoloji grubunun elemanı olmayarak, böylece Ricci-düz metrik varlığı hakkındaki Yau teoremi hala onlar için de geçerlidir ama bazen Calabi-Yau manifoldu olarak kabul edilmez. Abelian yüzeyler bazen Calabi-Yau olma sınıflandırmasının dışındadır, çünkü izomorfik olan SU(2) yerine onların holonomisi (yine önemsiz grup) uygun bir alt grubu olan SU(2)'dur.
Yau (20 yıl önce yaptığı tahmini çok daha büyük bir sayıda da olsa) ailelerin sonlu sayıda olduğundan şüpheleniyor olmasına rağmen, üç karmaşık boyutta, olası Calabi-Yau Manifoldların sınıflandırılması açık bir sorundur. Üç boyutlu bir Calabi-Yau manifoldunun bir örneği, CP4 homojen koordinatlarla, CP4 olmayan bir tekil quintic üç yönlü homojen quintic polinom sıfır oluşan cebirsel çeşididir. Diğer bir örnek, quintic düzgün bir model olan Barth-Nieto'dir.Çeşitli Z5 eylemleri ile quintic bazı ayrık quotients da Calabi-Yau vardır ve literatürde çok ilgi aldık. Bunlardan biri, bir ayna simetrisi orijinal quintic ile ilgilidir.
Her pozitif tam sayı n için, karmaşık yansıtmalı uzay NKP + 1 homojen koordinatlar olmayan bir tekil homojen derece n + 2 polinomun sıfır seti kompakt Calabi-Yau n yönlüdür.N = 2 bir K3 yüzey elde ise durum, n = 1, eliptik bir eğri tanımlar.
Tüm hiper-Kähler manifoldu Calabi-Yau'dur.

Süper sicim teorisindeki uygulamalar

Calabi-Yau manifoldu süper sicim teorisinde önemlidir. En geleneksel süper sicim modellerinde, sicim teorisi on konjonktürel boyuttadır ve  biz dört boyutun farkındayız, Fiber altı boyut ile bir çeşit fibration taşınır. N-kat Calabi-Yau üzerinde kompaktlaştırılması önemlidir çünkü orijinal süpersimetri bazıları kırılmamış olarak bırakılmıştır. Daha doğrusu, flux yokluğunda, bir Calabi-Yau 3 kat üzerine kompaktifikasyonu (gerçek boyut 6) holonomi tam SU(3) ise orijinal Süpersimetri kırılmamış dörtte birini bırakır.
Daha genel olarak, holonomi SU (n) bir n-manifold üzerinde bir akış içermeyen kompaktlaştırma kırılmamış orijinal süpersimetri'yi 21-n'e bırakır, 2. tip süpergravite kompaklaştırması içinde 26-n supercharges'a veya 1. tip kompaklaştırmanın içinde 25-n'e karşılık gelir. Tozlar süpersimetri durumuna dahil edildiğinde yerine kompaktifikasyonu manifoldu genelleştirilmiş Calabi-Yau, Hitchin (2003) tarafından tanıtılan bir kavram olması anlamına gelir. Bu modeller, akı kısaltmalar olarak bilinir.
Esasen, Calabi-Yau manifoldu sicim teorisi altı "görünmeyen" mekansal boyutta yer gereksinimi karşılamak için henüz tespit edilmemiş olan bizim şu gözlemlenebilir uzunluklardan daha küçük olabilecek şekilleri vardır. Genellikle zarlar üzerindeki evren modellerinde meydana ekstra büyük boyutlar olarak bilinen Calabi-Yau büyüktür ama bir D-brane ile kesiştiği küçük bir alt kümesinin sınırlı olduğu popüler bir alternatif vardır.
Çeşitli Calabi-Yau dört kıvrımlarında F-teori kısaltmaları fizikçilere klasik çözümü çok sayıda bulmak için sicim teorisi resmi olarak bilinen bir yöntem sağlamaktadır.
Calabi-Yau alan her bir delik ile bağlantılı düşük enerjili dize titreşim desen grubudur. Sicim teorisi durumları bizim tanıdık temel parçacıklar düşük enerjili dize titreşimlere uygun olduğu için, birden fazla deliğin varlığı birden fazla grup, ya da ailenin dize desenlerine neden olur.Aşağıdaki deyim basitleştirilmiş olmasına rağmen, bu argümanın mantığını aktarıyor: Calabi-Yau'da üç delik varsa, titreşim deseni üç aile ve parçacıklar dolayısıyla üç aile deneysel olarak görülecektir.
Mantıken, dizeleri tüm boyutları ile titreşimde olduğu için, curled-up olanların şekli titreşimlerini ve gözlenen temel parçacıkların dolayısıyla özelliklerini etkileyecektir. Örneğin, Andrew Strominger Edward Witten parçacık kütlelerinin Calabi-Yau çeşitli delikleri ile kesişme şekilde bağlı olduğunu göstermiştir. Diğer bir deyişle, birbirine göre deliklerin konumları ve Calabi-Yau uzay maddeye belirli bir şekilde parçacıkların kitleleri etkilemesi Strominger ve Witten tarafından bulundu. Bu, tabii ki, tüm parçacık özellikleri için de geçerlidir.