Benford'un savı

Benford'un savı, birinci-tam sayı savı olarak da anılır. Buna göre birçok pratik gerçek hayat verileri kaynakları bir seri sayı listesi olarak verilirse en kullanılan ilk rakam (1/3 olasılıkla) 1'dir ve diğer ilk rakamlara gelince kullanılan tam sayıların değerlerinin olasılığı gittikçe azalma gösterir. Örneğin ilk sayının 9 olması olasılığı 1/20'den daha küçüktür. Bu ifadenin dayanağı, pratik gerçek dünya ölçümlerinin genellikle logaritma olarak dağıldığı ve bunun bir sonucu olarak genel olarak pratik gerçek dünyada ölçme suretiyle ele geçen değerlerin logaritmalarının dağılımının genel olarak tekdüze dağılım olduğudur.
Bu beklenmedik ve ilk bakışta pek mantıkî görünmeyen sonuç çok geniş alanda sayısal verilere uygulanabilmektedir. Örneğin elektrik kullanım faturaları, sokak adres numaraları, hisse senedi fiyatları listeleri, ölüm hadleri, nehir uzunlukları, fiziksel sabitler ve matematik sabit değerler ve (doğada çok olarak gözlemlenebilen) güç savları tarafından açıklanabilen süreçler Benford'un savına uyma göstermektedir. Daha şaşırtıcı ve daha mantıksal olmaktan ayrılan taraf, bu sonucun verilerin sayı bazının değiştirilmesi halinde bile, oranlar değişmesine rağmen geçerli olmasıdır.
Bu savın adı, bu savı 1938'de ortaya koyan fizikçi Frank Benford anılarak konulmuştur. Gerçekte, bu savın açıkladığı olaylar ilk defa 1881'de Simon Newcomb tarafından açıklanmıştır. 1946'da L.V.Furlan aynı savı Almanca açıklamıştır. Bu savın en ayrıntılı matematiksel açıklaması ve matematiksel ispatı 1988'de Theodore P. Hill yapılmıştır.

Uygulamalar ve sınırlamalar

1972'de Hal Varian hazırladığı bir yazıda bu savın bir ülke çapında planlama projesi için sunulan sosyo-ekonomik verilerin listesinde bir hilebazlık yapılıp yapılmadığı hakkında incelemeye baz olabileceğini iddia etmiştir. Bu açıklamaya göre uydurma istatistik yaratıcılarının kullandıkları tek sayılar bir tekdüze dağılıma yaklaşık olacaktır. Böylece kullanılan verilerin ilk rakamının frekans dağılımı ile Benford'un savına göre çıkartılan beklenen bir dağılımı karşılaştırılması herhangi bir uyuşmazlık gösteren veriyi ortaya çıkaracaktır. Sonuç olarak bu uyuşmazlık gösteren verinin uydurma olabileceği çok mümkün görülecektir; fakat bu istatisksel sonuç zayıf bir delil olduğu için mümkün hilebazlığın ispat edilmesi için daha ince ve detaylı inceleme gerekecektir.
Bu görüş benzeri bir çalışma J.Nye ve C.Moul (2007) tarafından uluslararası makroekonomik verilerin incelenmesi ile yapılmıştır. Bu çalışmada Dünya Bankası tarafından toplanan uluslararası gayrisafi millî hasıla istatistikleri incelenmiş ve çok büyük bir kısmının bu sava uygun olduğu görülmüştür. Ancak küçük bir sayıda ülkeler için, genellikle gelişmekte olan ülkeler için, gayrisafi milli hasıla istatistiklerinin bu sava uymadığı ortaya çıkmıştır. Bu sonuç asıl orijinal sayıların bürokratik ve politik karışım ile değiştirildiğine bir inanılabilir gösterge olduğu iddiasını ortaya çıkartmıştır.
Son zamanlarda Benford'un savının bu türde araştırma için diğer pratik kullanış alanları olacağı anlaşılmıştır. Bunlar arasında büyük firmaların fiyatlama stratejilerini tekelcilik yapmadıklarını savunmak için sundukları fiyat listeleri, yıllık ve diğer periyodik muhasebe hesapları sunuları, vergiden düşülebilen masraflar için sunulan veriler, hasar sigortası talepleri, yeni ilaçlar için kliniksel denemeler, seçim masraflari bildirileri, milli seçim sonucları gibi konularda incelemelerin yapılması mümkün görülmektedir ve hatta bu konu türünde bazı pratik araştırmalarin sonuçları bilimsel eser olarak yayınlanmıştır.
Ancak, bu tür uygulamaların sonuçlarını incelemek dikkat gerektirmektedir. Bir grup pratik gerçek hayat örneği bu sava uygunluk göstermeyebilir; çünkü kullanılan veri kategorisinin içindeki sayıların dağılımı rassal olarak dağılımın çarpık kuyruğunda bulunmuş olabilirler.

Tarih

Benford'un savının açıkladığı gerçeğin keşfedilmesi 1881'e kadar geri gider. O tarihte bir Amerikan astronomu olan Simon Newcomb astronomi hesapları yaparken kullandığı logaritma cetvellerini ihtiva eden kitapların başlangıcındaki sayfaların sonraki sayfalardan daha çok kullanılması dolayısı ile zarar gördüğünü gözlemlenmiştir. Bu çok kullanma belirtileri sırf sayfaların çok kullanılması şeklinde ise sadece sayfa uçlarında eski izleri görünmesi beklenmekteydi; halbuki herhangi bir sayfayı kullananların sayfanın içindeki sayı satırlarına da baktıklarını, satır takip ederken bıraktıkları parmak izleri görülmesi ile açıklanmıştır.
Ancak bu hikâyenin biraz abartıcı olduğu gerçektir. Çünkü logaritma cetveli kitapları sadece logaritma değerleri değil, antilogaritmaları ve çok kere üsler, kökler, sinuslar, kosinuslar ve benzeri trigonometri cetvelleri de ihtiva etmektedir. Bununla beraber, Newcombe'un yayımladığı makale birinci rakam dağılımları hakkında ilk açıklamayı ihtiva etmekte ve ikinci rakam dağılımı hakkında da bilgileri de kapsamaktadadır. Newcomb'un yazısında, N değerde herhangi bir sayının birinci rakamının log(N+1) değerde olacağı öne sürülmektedir.
Aynı gerçek 1938'de daha geniş alanlarda bulunan veri gruplarını inceleyen fizikçi Frank Benford tarafından da tekrar keşif edilmiştir. 1996'da Ted Hill bu sonucun karışık dağılımlara da uygulanabilineceğini ispat etmiştir.

Popüler kültürde kullanış

Benford'un savı Amerikan televizyon şirketi CBSin hazırladığı NUMB3RS adlı bir televizyon serisinin The Running Man (Koşan Adam) adlı bölümü için temel kurgu aleti olarak kullanılmıştır.