Boyut analizi

Boyut analizi fiziksel büyüklüklerin farklı çeşitlerinin karışımını içeren fiziksel durumları içeren ve sıklıkla fizik, kimya ve mühendislikte kullanılan kavramsal bir yöntemdir.Fizikçiler ve mühendisler tarafından türevli denklemlerin ve hesaplamaların olasılıklarının kontrolünde kullanılır.Ayrıca deneylerle veya kavramın daha karmaşık teorileriyle denenebilen karmaşık fiziksel durumlarla ilgili mantıklı hipotezler oluşturmak için de kullanılır.

Basit bir örnek

Yerçekimi kuvveti  dolayısıyla asılı kalan,  sabitli yaya bağlı  kütlesinin salınımının periyodu  nedir? Bu dört büyüklüğün boyutları şöyledir:  [T];  [M];  [M/T^2]; ve  [L/T^2].Buradan seçilen değişkenlerin kuvvetlerinin çarpımı olan boyutsuz tek bir sonuç elde ederiz,  = .Değişkenlerin kuvvetlerinin çarpımı olan bu boyutsuz sonuç bazen boyutsuz değişken grubu olarak adlandırılır, fakat bu grup, , matematiksel bir grup olmaktan çok bir "topluluk" anlamındadır.Sık sık boyutsuz sayılar olarak da adlandırılırlar.
'nin k, m, T, ile veya sadece g ile kuvvetlerinin çarpımlarını içeren başka boyutsuz çarpımların oluşturulamayacağına dikkat ediniz, çünkü g sadece L'yi içermektedir.Boyut analizi bazen bir problemdeki bazı büyüklüklerin alakasızlığı ile ilgili veya ek değişkenler ekleme ile ilgili güçlü ifadeleri açığa vurur.Problemi doğru şekilde tanımlamak için yeterli değişken seçtiysek, bu argümandan yola çıkarak yay üzerindeki kütlenin periyodunun g'den bağımsız olduğu sonucuna varabiliriz: Dünya'da ve Ay'da sonuç aynıdır.Problemimiz için kuvvetlerin çarpımının varlığını gösteren denklem eşdeğer bir yolla şöyle yazılabilir: , bir boyutsuz sabit  için.
Analizimizin durumun fiziksel tanımına ait olduğuna emin olduğumuz bir değişkeni reddetmesi ile karşılaştığımızda(burada g), reddedilen değişkenin durumla alakalı olduğunu ve bizim durumla alakalı başka değişkenleri, reddedilen değişkenle beraber bir kombinasyonla boyutsuz bir büyüklük oluşturabilecek, sildiğimiz ihtimalini düşünebiliriz.Ancak burada durum o şekilde değildir.
Sadece kuvetlerin bir boyutsuz çarpımını içeren problemlerde boyut analizi ile sonuca ulaştığımızda, burada olduğu gibi, bilinmeyen fonksiyon yoktur ve çözüm "tamam"dır denir.

Felsefi temel

Sonuç olarak, boyut analizi ve fiziksel eşitliklerin boyutsal olarak homojen olması gerekliliği fizik kanunlarının fiziksel büyüklükleri ölçmekde kullanılan birimlerden bağımsız olduğu fikrini yansıtır.Yani, örneğin, eğer SI sistemi, İngiliz birim sistemi, cgs sistemi veya herhangi başka bir uygun birim sistemi kullanıldığında F = ma denklemi doğrudur.Yönelimsel analiz ve fiziksel denklemlerin yönelimsel olarak homojen olması gerekliliği de fizik denkleminin kullanılan koordinat sisteminden bağımsız olmasını gerektirdiği fikrini yansıtır.

Boyutsuz sabitler

Poiseuille'in kanunundaki C ve yukarıda tartışılan yay problemi ile ilgili  gibi, ulaşılan sonuçlardan elde edilen boyutsuz sabitler temelde yatan fiziğin daha detaylı analizinden elde edilir ve sıklıkla bazı diferansiyel denklemlerin integre edilmesiyle bulunur.Boyut analizinin bu sabitlerle ilgili fazla söyleyebileceği bir şey yoktur fakat basamak birliği büyüklüğünü öğrenmekte kulanışlıdır.Bu gözlem bize bazen ilgilendiğimiz problemle ilgili çok zor hesaplamaları yapmakda izin verir ve böylece ölçüm yapacağımız veya önemli olup olmadığına karar vereceğimiz deneyleri daha verimli tasarlamamıza olanak sağlar.

Buckingham π teoremi

Buckingham π teoremi boyut analizinin temelini oluşturan bir yöntemdir.Bu teorem n adet değişken içeren her anlamlı fiziksel denklemin n − m boyutsuz parametreli denklemle yeniden yazılabileceğini söyler, burada m kullanılan temel boyutların sayısıdır.Dahası, ve daha önemlisi, teorem bu boyutsuz değişkenleri verilen değişkenlerden hesaplamak için bir yöntem sağlar.