Hipotez testi

Olasılıklar

α : Hatalı karar, Hₒ doğru, biz onu yanlış diye reddediyoruz. (I. Tip Hata)
β : Hatalı karar, Hₒ yanlış, biz onu doğru diye kabul ediyoruz.
(1-α) : Doğru bir Hₒ hipotezini kabul etmemiz olasılığı olup buna testin güvenilirlik düzeyi denir.
(1-β) : Yanlış bir H₀ hipotezini reddetmemiz olasılığı olup buna testin gücü denir.
Hipotez testi yaparken, α ve β hatalarını en aza indirmek için örneklemdeki birim sayısını olabildiğince fazlalaştırmak gerekir. α hatası yapma olasılığı azalırsa β hatası yapma olasılığı artar. İki hatanın olasılığından biri azalırken diğeri artar. Aynı testte hem α hem de β hatası beraber yapılamaz. Hatasız bir test yapmak mümkün değildir. %100 doğru karar verilemez. Normal dağılım asimtotik olup x-ekseni ile kesişmediği için çok küçük de olsa bir risk söz konusudur.

Örnek

Bir alçı dolum makinesi μₒ=20 kg ortalama ağırlıklı alçı dolumu yaparken arıza yapar. Tamirci getirip tamir ettirilir. Acaba yine μₒ=20kglık dolum yapabilecek midir?
Deneme yapıp görmek gerekir.
40 torba basit örneklem yöntemine göre seçilip bu 40 alçı torbası ağırlıkları şöyle ölçülmüştür:
 = 19,8 kg,  = 20,5 kg,  = 21,2 kg,  = 18,9 kg, ... ,  = 20,8 kg
Örneklem ististikleri şöyle hesaplanmıştır:
n = 40 torba
Örneklem ortalaması :  = 21,4 kg
Örneklem standard sapması: σ = 3,2 kg
 = 
 -> 21,4±0,506 kg
Buradan sonra hipotez tesleri sürecine geçilir.

Hipotezler

Hₒ: Elimizdeki örneklem anakütle ortalaması "Mₒ = 20 kg" olan bir anakütleden çekilmiş bir rassal örneklem olup, örneklem ortalaması X- değeri anakütle ortalamasına eşit olarak kabul edilebilir. Aradaki 1,4 kg lık fark ise tesadüfe bağlanabilecek, önemli olmayan, anlam taşımayan çok küçük bir farktır. Dolayısıyla X- = Mo yazabiliriz. Yani elimizdeki örneklemin ait olduğu anakütle ortalamasını M ile gösteririz.
H₁: Bu örneklem "Mₒ = 20 kg" olan bir anakütleden çekilmiş bir rassal örneklem olamaz. Aradaki 1,4 kg lık fark tesadüfe bağlı değil, ayarlamanın yapılmamış olması nedeni ile gerçekleşmiştir. Bu kadarlık farkın tesadüfen ortaya çıkmış olması olasılığı çok küçüktür. Dolayısıyla dolum ayarı iyi olmadığı için istenenden daha hafif ya da daha ağır dolumlarla karşılaşmamız olasıdır. Bu örneklemin çekilmiş olduğu anakütle 20 kg olamaz. Örneklemimiz kendine ait başka bir anakütleden çekilmiş olmalıdır.

Örnekleme dağılımının belirlenmesi

Elimizdeki veriler tartma yoluyla elde edilmiş sürekli, nitelik, nicel bir değişkene aittir. Bu tip veriler genelde normal dağılım gösterirler. Yani örneklemimiz "normal dağılım" lı bir anakütleden çekilmiştir. Anakütle sonsuz büyüklüktedir. Seçim iadesiz seçimdir ve tamamen rassal bir süreçle yapılmıştır. Yani torbaların ağırlıkları birbirini etkilememiştir. n>30 olduğu için büyük bir örneklem ile çalışıyoruz. Aynı anakütleden n=40 birimli pek çok sayıda örneklem çekmiş olsak, bunların X- ortalama dağılımı bir normal dağılım olur. Bu ortalamaların ortalaması anakütle ortalamasını verir. "kg" biriminden kurtulmak için X- ortalama değerlerini standardize edersek, verilerimiz z değerlerine dönüşür ve dağılımımız bir standart normal dağılım olan z dağılımı na dönüşür.

Ret alanının belirlenmesi

Ret alanı demek; normal dağılım eğrisi altında seçtiğimiz güven alanı (Hₒ'ın kabul alanı) dışında kalan Hₒ'ın reddedilmesini sağlayan küçük alanlardır. Ret alanı çift yönlü olabilir. (eksi taraf, artı taraf) veya tek taraflı olabilir. (Yani ya sol tarafta ya da sağ tarafta) Bunun anlaşılması için H₁ hipotezine bakarız.

Karşılaştırma, sonuç ve yorum

Bir hipotez testinde; zₕ < zα ise; Hₒ kabul edilir. Bu elimizdeki X-in, M ye yakın kabul edilebilecek bir konumda (Hₒ'ın kabul alanında) bulunduğunu gösterir.
Eğer zₕ > zα ise; Hₒ reddedilir. Elimizdeki örneklemin, Mₒ ortalamalı bir anakütleden çekilmiş rassal bir örneklem olmayacağı çünkü böyle bir şeyin gerçekleşmesi olasılığının çok küçük (p<0,05 veya p<0,01) olduğu sonucuna ulaşılır.

Sonuç

zₕ = 2,74 > z0,05 = 1,96 --> Ho RET
Bu duruma göre: elimizdeki örneklemin ortalaması, ilgilendiğim anakütlenin ortalamasından çok uzağa düşen bir büyüklüktedir. O nedenle iki ortalama arasındaki farkı z değerine dönüştürdüğümde, bulduğum zₕ = 2,74 değeri de z0,05 = 1,96 nın ötesine düşmüştür. Yani %5'lik ret alanına düşmüştür. Bu durumda X- = Mₒ biçiminde ifade ettiğim ve oradan M=Mₒ düzeyine yükselttiğim Hₒ hipotezini kabul edemem. Demek ki, bu makine hatalı dolum yapmakta, ortalaması 20 kg olan dolumlar gerçekleştirememektedir. Aynı deneyi n=40 olan 100 örneklem ile tekrarlarsam, bunun 95inde gene aynı sonuçla karşılaşmayı beklerim. Belki yalnızca 5inde makinenin ayarı iyiymiş gibi hatalı bir sonuca ulaşabilirim.
Dolayısıyla; verdiğim kararın doğru olması olasılığı %95 iken hatalı olması olasılığı en fazla %5 tir.