Topolojik kusur

Kozmoloji

Belirli büyük birleşim kuramı topolojik kusurların eski evrende oluştuğunu tahmin eder. Big Bang teorisine göre evren yoğun durum yoğunlaşmış madde sistemlerine çok benzer şekilde bir faz geçişi serisini tetikleyerek anlık bir sıcaklıktan soğumuştur.
Fiziksel kozmolojide, bir topolojik kusur sıklıkla maddenin bazı teoriler tarafından en eski evrende faz geçişlerinde oluştuğu tahmin edilen kararlı bir konfigürasyondur.

Simetri arızası

Simetri arızasının doğasına bağlı olarak Kibble-Zurek mekanizmasına göre erken evrende çeşitli çözümlerin oluştuğuna inanılmaktadır. İyi bilinen topolojik kusurlar manyetik monopoller, kozmik diziler, alan duvarları, skyrmionlar ve dokulardır.
Evrenin genişleyip soğumasından, fizik kurallarındaki simetriler ışık hızında yayılan bölgelerde bozulmaya başlamıştır; topolojik kusurlar farklı bölgeler birbiri ile temas ettiğinde oluşur. Bu kusurlarda madde yeni asimetrik faza geçiş tamamlandıktan sonra decam eden orijinal simetrik fazdadır.

Gözlem

Topolojik kusurlar (kozmolojik türün) aşırı derecede yüksek enerji olgularıdır ve Dünyadaki fizik deneylerinde üretilmeleri imkansız gibidir, ancak evrenin oluşumunda meydana gelen topolojik kusurlar teorik olarak gözlemlenebilir.
Herhangi bir topolojik kusur astronomlar tarafından henüz gözlenememiştir, halbuki belirli çeşitleri şu anki gözlemlerle uygun değildir; bilhassa eğer alan duvarları ve monopoller gözlemlenebilen evrende mevcut olsaydı astronomların gördüklerinden büyük sapmalara yol açarlardı. Bu gözlemler sonucu gözlemlenebilir evren içinde bu yapıların oluşumu oldukça kısıtlıdır ve özel şartlar gerektirir (bkz.enflasyon). Diğer taraftan kozmik serilerin yoğunlaşmış madde evreninin büyük ölçekli yapısının etrafında anlık yer çekimini sağladığı öne sürülmüştür. Dokular da benzer şekilde iyi huyludur. 2007’nin sonlarında kozmik mikrodalga arka planında soğuk bir nokta o yönde olan dokunun varlığına bir işaret olarak yorumlanmıştır.

Yoğun madde

Yoğun madde fiziğinde homotopi gruplarının teorisi düzenli sistemlerde kusurların tanım ve sınıflandırılmasına doğal bir düzenleme sağlar. Topolojik methodlar yoğun madde teorisinin birşok probleminde kullanılmaktadır. Poénaru ve Toulouse bir doğrunun karmaşıklık olmadan birbiri içinde olabilen sıvı kristallerdeki kusur şartlarını elde etmek için topolojik methodaları kullanmıştır. Bu topolojinin, süperakışkan helyum-3 ün A- fazındaki tuhaf hidrodinamik davranışının keşfine yol açan önemsiz olmayan bir uygulamasıydı.  

Sınıflandırma

Düzenli bir ortam  uzayın bölgedeki her noktaya bir sıra parametresi veren bir fonksiyon f(r) tarafından ifade edilen  bir bölge olarak tanımlanır ve düzen parametreli uzayın muhtemel değerleri düzen parametreli bir uzay oluşturur. Kusurların homotopi teorisi topolojik kusurların bir ortamdaki varlığı, kararlılığı ve sınıflandırmalarını tartışmak için o ortamın düzen parametreli uzayınının temel grubunu kullanır.
R nin bir ortam için düzen parametre uzayı olduğunu ve G nin R üzerindeki  dönüşümlerin bir Lie grubu olduğunu varsayalım. H nin de ortam için G nin bir simetri altgrubu olduğunu varsayalım . Böylelikle düzen parametre uzayı Lie grubu bölmesi olarak R=G/H şeklinde yazılabilir.
Eğer G  G/H için evrensel bir kapsam ise πi  i-th homotopi grubunu belirtecek şekilde  πₙ (G/H)=Pₙ₋₁ (H), olarak gösterilebilir.
Ortamdaki çeşitli türlerde kusurlar düzen parametreli uzayın çeşitli homotopi gruplarının birimleri tarafından karakterize edilebilir. Örneğin (3 boyutta) doğru kusurları π1 (R) elementlerinin yerine geçer ve sürekli olarak birbiri ile deforme olabilirler ve böylece kusurlar farklı eşlenik sınıflarına karşılık gelir.
Poénaru ve Toulouse geçit kusurlarının ancak ve ancak ayrık eşlenik π₁ (R) sınıflarının üyeleri olduğunda dolaşık hal alacaklarını göstermiştir.

Sabit kusurlar

Homotopi teorisi topolojik kusurların kararlılığıyla (sabit olmasıyla) derinden ilgilidir. Doğru bozulması durumunda , eğer kapalı yol sürekli olarak bir noktaya deforme olabiliyorsa kusur sabit değildir, diğer türlü ise sabittir.
Kozmoloji ve alan teorisindekinin aksine, yoğun maddedeki topolojik kusurlar deneysel olarak gözlemlenebilir. Ferro-manyetik maddeler alan duvarları tarafından ayrılan  manyetik hiza bölgelerine sahiptir. Nematik ve iki eksenli nematik sıvı kristalleri monopolleri, dizileri dokuları vs. içeren türlü kusurlar gösterirler. Kusurlar ayrıca biyokimyada özellikle protein katlama işleminde bulunabilir.