Soyut matematik

En genel anlamda, soyut matematik, matematiğin soyut kavramlarını inceleyen bir kolu olarak adlandırılabilir. 18. yüzyıldan bu yana, soyut matematik matematiksel aktivitenin bir kategorisi olarak kabul edilmiştir. Bazen spekülatif matematik olarak da kategorize edildiği olur. Soyut matematik navigasyon, mühendislik, fizik, astronomi gibi çeşitli alanlarda kullanılmaktadır.
Soyut matematiğe dair en güçlü öngörülerden biri de soyut matematiğin ille de uygulamalı matematik olmak zorunda olmadığıdır; soyut şeylerleri onların içsel doğasını anlayarak çalışmak onların doğada nasıl apaçık biçimde nasıl olduğu ile ilgili olmak zorunda değildir. Soyut Matematik ve Uygulamalı Matematik arasındaki felsefi açı farkına rağmen pratikte birçok örtüşme noktalarının olduğu da aşikardır.
Gerçek dünyayı tanımlayan doğru modeller kurmak için Uygulamalı Matematikçiler genelde soyut kabul edilebilecek araç ve tekniklerden faydalanır. Bunun yanında, birçok Soyut Matematikçi soyut araştırmalarında onlara ilham veren doğal ve sosyal olgulardan faydalanırlar

Antik Yunan

Antik Yunan matematikçileri Soyut Matematik ile Uygulamalı Matematik arasında ilk ayrıma gidenlerdir. Platon günümüzde aritmetik olarak adlandırılan "logistic" ve günümüzde sayılar kuramı olarak adlandırılan "arithmetics" arasında bir ayırıma gider; Platon'a göre "logistic" (günümüzün aritmetiği) iş adamlarınca ve askerlerce bilinmeliydi çünkü ona göre "sayıların sanatını bilmeyenler askerlerin nasıl dizilmesi gerektiğini de bilemezlerdi.", ve aritmetik (günümüzün sayılar kuramı) filozoflarca bilinmeliydi; "çünkü onlar değişimin denizinden yükselerek, gerçek varlığı ele geçirenlerdir."  İskenderiylei Öklid, bir öğrencisi tarafından geometri ne işimize yarayacak diye sorunca kölesine öğrenciye para vermesini buyurur "çünkü bu adam öğrendiğinden illa ki bir kazanç elde etmek istiyor. " Book IV of Conics kitabındaki bazı teoremlerini gereksiz olduğunu söylenince şunları demiş yunan matematikçi Perda,
Biz sırf kendilerini gösterdikleri için onları kabul ederiz, tıpkı matematikteki birçok şeyi kabul ettiğimiz gibi.

19.Yüzyıl

O dönemde Soyut Matematiğin ayrı bir disiplin olarak ele alınması fikri ortaya çıkmış gibi gözüküyor. Gauss'un nesli belirgin bir biçimde soyut ve uygulamalı matematik alanları arasında ayrım yapmadı. Daha sonraki yıllarda uzmanlaşma ve profesyonelleşme (özellikle matematiksel analizdeki Weitrass yaklaşımı) ile alanlar arasındaki ayırım daha da belirginleşti..

20.yüzyıl

20.yy'ın başlarında matematikçiler, David Hilbert'in de güçlü etkisi ile, aksiyomatik metodu kullanmaya başladılar. Soyut Matematiğin mantıksal formülasyonu Bertrand Russel tarafından önerildi; niceleyenler yapısındaki önermeler daha makul görünüyordu, matematiğin büyük bir bölümü aksiyomatikleştirildikçe rigourous proof'un basit kriterlerine maruz kaldılar.
Gerçekte, bir aksiyomatik yapıda rigorous kanıt düşüncesine bir şeyler eklemez. Bir görüşe göre -Bourbaki grubunun tarafından tanımlanabilecek- soyut matematik kanıtlanmış olandır. Soyut Matematikçilik, eğitim ile ulaşılabilecek bir meslek olarak tanındı

Pürizm

Matematikçiler daima soyut matematik ile uygulamalı matematik fikirlerinde ayrıma düştüler. Bu tartışmaların en ünlü ve modern örneği G.H.Hardy’nin A Mathematician’a Apology’sinde bulunabilir.genellikle Hardy’nin uygulamalı matematiği çirkin ve sıkıcı bulduğu düşünülür. Hardy’ni resim ve şiirle karşılaştırdığı soyut matematiği tercih etse de, soyut matematik ve uygulamalı matematik arasındaki farkı söyle görüyor, uygulamalı matematik fiziksel dünyanın doğrularını ararken, soyut matematik fizikten bağımsız doğruları açıklar. Gerçek matematik olarak adlandırdığı ve estetik değeri olan matematik ile sıkıcı ve pratik değeri olan matematiği böyle ayırır.
Hardy, Einstein ve Dirac gibi bazı fizikçileri matematikçilerin arasında görüyor ama the Apology’i yazdığı zamanda, genel görelilik ve kuantum mekaniğini işlevsiz görüyordu ki bu görüş sadece sıkıcı matematiğin işe yarar olduğunu savunmasını da izin veriyordu. Dahası, kısa süre sonra  matrix teorisinin ve grup teorisinin fiziğe uygulanmayla, gerçek matematiğin de işe yarayabileceğini kabul etti.

Alt Cisim

Analiz fonksiyonların özellikleri ile ilgilidir. Süreklilik, limit, türev ve integral gibi kuramlarla uğraşır ve Newton ve Leibniz tarafından 17'inci yüzyılda tanıtılan ölçülemeyenlerin matematiği için sağlam temeller sunar. Gerçek analiz gerçek sayıların özelliklerini çalışır. Karmaşık analiz ise yukarda bahsedilen konulardan karmaşık sayıların özelliklerine kadar uzanır. İşlevsel analiz sonsuz boyutlu uzay vektörünün çalışmasıdır
Soyut cebir liseyi kapsayan formüller uygulamasıyla karıştırılmamalıdır. Kümeleri ve onunla tanımlanan ikili işlemleri çalışır.
Kümeler ve iki işlemler özelliklerine göre sınıflandırılabilirler. Örneğin, bir işlem kümesinin her üyesi için kimlik elemanı ve terlerini içeren bir dizi ilişki varsa küme ve işlem bir grup olarak görülür. Diğer yapılar halkaları alanları uzay vektörünü ve örgüleri içerir
Geometri uzay ve şekillerle ilgilenen alandır, özellikle uzayı etkileyen dönüşüm gruplarıyla. projectif geometri projectif  gerçek projectiv düzlemleri etkileyen dönüşüm gruplarıyla ilgilidir ama tersini geometri hacmi olan kompleks düzlemlere etkiyen tersinir  dönüşüm gruplarıyla ilgilidir. Geometri topolojiye genişletilebilir. Topoloji uzayın bağlı olduğu yollarla ilgilenir ve uzaklıkların ve açıların keskin ölçülerini göz ardı eder.
Sayı teorisi positif sayıların teorisidir. Bölünebilme ve ahenk gibi fikirlere dayanır. Temel teoremi her pozitif sayının asal bölenleri tektir. Bazı durumlarda, bu soyut matematiğe en çok uygulanabilen disiplindir. Örneğin, Goldbach hipotezi kolaylıkla ifade edilebilir.(fakat henüz ispatlanabilmiş veya çürütülebilmiş değil.) ve bazı durumlarda en az uygulanabilen disiplindir. Örneğin, Wiles’in fetmat eşitliğinin basit olmayan çözümleri olmadığı kanıtı otomorfik şekilleri anlamayı gerektirir