Doğrusal denklem dizgesi

Genel şekil

n bilinmeyen değişkenli m sayıda doğrusal denklemden oluşan bir doğrusal denklen dizgesi genel olarak şöyle yazılabilir:
Burada  n-tane bilinmeyen değişkendir.  bu değişkenlerin katsayılarıdır. Her katsayının altında bulunan ilk sayı denklem sayısına ve ikincisi değişken tipinin sayısına tekabül eder; örneğin  üçüncü denklemdeki birinci değişken 'in katsayısıdır.  terimleri ise her denklem için sabit terimleri verir.
Çok kere katsayılar ve bilinmeyen değişkenler reel sayılardır. Fakat ileri matematikte bunlar karmaşık sayılar, tam sayılar, polinomlar ve hatta soyut cebirsel yapılar  bile olabilirler.

Geometrik yorum

İki değişkenden ( ve ) oluşan bir dizge için her bir denklem  ve  eksenli dikdörtgen kordinat sıstemi grafiği içinde bir doğru ile gösterilir. Bir çözüm dizgedeki tüm denklemleri tatmin etmesi gerektiği için, çözüm kümesi bu doğruların kesişme noktasıdır veya tek bir doğru ya tek bir nokta 
ya da boş küme olarak görülür.
Üç değişkenli bir dizge için her doğrusal denklem üç boyutlu bir uzayda bir düzlem olurlar ve çözüm kümesi bu düzlemlerin kesişmesidir. Böylece çözüm kümesi ya bir düzlem, ya tek bir doğru, ya tek bir nokta ya da boş küme olur.   
n sayıda değişken halinde, her bir doğrusal denklem bir n-boyutlu uzayda bir hiperdüzlem olarak ortaya çıkar. Çözüm kümesi bu hiperdüzlemlerin kesişmeleridir ve n-ye kadar herhangi bir boyutta düzlük olabilir.

Denklik

Aynı değişkenleri kullanan iki değişik doğrusal denklemler dizgesinin birbirleriye denk olması için ikinci dizgede bulunan denklemlerin her birinin, birinci dizgede bulunan denklemlerden cebir kullanılarak hesaplanıp elde edilebilmesi gerekir ve bunun aksinin de doğru olması gereklidir. Birbirine denk dizgeler değişken değerleri hakkında birbirine tıpatıp aynı bilgileri vermektedirler. Özellikle, eğer iki dizgenin tıpatıp aynı çözüm kümesi bulunuyorsa iki doğrusal denklemler dizgesi birbirlerine denktirler.

Doğrusal denklemler dizgesinin çözümü

Bir doğrusal denklem dizgesini çözümlemek için birkaç değişik denklem çözümleme  algoritması bulunur.

Sıra azaltma

a_ij katsayıları rasyonel sayılar, gercek sayılar ya da karmasik sayılar ya da herhangi bir cisimden gelen sayılar olmak uzere
a_11 x_1 + a_12 x_2 + ... + a_1n x_n  = b_1
a_m1 x_1 + a_m2 x_2 + ... + a_mn x_n  = b_m  denklem sistemi,
A m satir ve n sutundan olusan ve değerlerini (bir cisimden alan) bir matris, x n satirlik bir sutun vektoru, b (değerlerini ayni cisimden alan) m satirlik bir sutun vektoru olmak uzere
Ax = b
seklinde yazabiliriz.
Boyle bir sistemin cozumu, x_i degiskenlerinin hangi degerlerinin denklem sistemini sağladığını bulmak anlamina gelmektedir.
Gauss tipi indirgemede temel indirgeme islemleri uygulanir.
Temel satir indirgeme islemleri aşağıdakilerdir. Dikkat edelim ki bu islemler denklem sisteminin cozum kumesini degistirmezler.
Satir Ekleme
i. satirin herhangi k katini j. satira eklemek. Bu islemi k * Satir_i + Satir_j -> Satir_j, ya da Satir(k*i+j->j) ile gösterelim.
Not: bu islem A matrisini, I+ kE_ji matrisi ile soldan carpmaya karsilik gelmektedir. Burada I kosegen terimleri 1 olan m * m boyutundaki matrisi, E_ji, sadece j. satir ve i. sutundaki terimi 1 olan matrisi göstermektedir. Boylece incelenen doğrusal sistem Ax = b yerine (I+kE_ji)A x = (I+kE_ji)b doğrusal sistemi olmaktadır.
Satir Degistirme
i. satirla j. satiri yer degistirmek. Bu islemi Degistir(i,j) ile gösterelim.
Bu islem i ve j indeksleri haric diğer indekslerde sadece kosegen terimleri 1, diğer durumlarda (i,j) ve (j,i) terimleri 1 olan matris ile A matrisini soldan carpmak ile elde edilir. Boylece incelenen doğrusal sistem Ax = b yerine (I-E_ii-E_jj+E_ij+E_ji)A x = (I-E_ii-E_jj+E_ij+E_ji)b doğrusal sistemi olmaktadır.
Gauss-Jordan Indirgeme yontemi:
Serbest degisken kavrami:
Eger ilk sutun ( ya da herhangi bir j. sutun) sadece sifirlardan olusuyorsa o zaman ilk degisken (ya da j. degisken) aslında denklem sistemi tarafından kısıtlanmamaktadır. Yani bu degiskenin herhangi bir degeri alabilir. Herhangi degeri alabilen degiskenlere serbest degisken denir.
Sifir olmayan ilk sutundan baslamak uzere (bu sutun j_1. sutun olsun)
1. j_1. sutundaki ilk sifirdan farklı sayınn bulunduğu satiri (bu satir i_1. satir olsun) ilk satirla degistir.
Bu adimdan sonra olusan matrisin 1. satir ve j1. sutunundaki sifirdan farklı sayı A olsun. (Matristeki bu tip terimlere pivot ya da eksen terimleri denir. Cozumler bu  Ikinci satirdan baslamak uzere j1. sutunda sifir olmayan ilk terim B olsun ve bu terim i_2. satirda yer alsin.
2. Ilk satirin (-B/A) katini i_2. satira ekle. Boylece i_2. satirin j_1. terimi sifira donusecektir.
3. Bu islemi bitirdikten sonra j_1. sutunda hala incelenmemis satir varken bir sonraki satira gecerek 2. adimi tekrarla.
4. j_1. sutundaki islem bittikten sonra yukaridaki adımları degistirilmis A matrisinin j1 den büyük sutunları ve 1den büyük satırlarından olusan matrise uygula.
(Bundan sonraki adimda A matrisi yerine A >= j1, >=1 matrisine uygula.)
Bu islemlerin sonunda (j_1,1) (j_2,2) (j_k,k) pivot konumları olsun. En son sifirdan farklı satirdan baslayip yukari cikarak doğrusal sistemin cozumune ulasabiliriz.
Islemleri kolaylastirmak için j_v. sutunda v degerinden kucuk satirlardaki sifirdan farklı terimleri yukaridaki 2. adimdaki islemi kullanarak indirgeyebiliriz.
Ayrica pivot degerlerin 1 olmasi kosulunu da ekleyerek, bu cozum yontemine degisiklikler yapabiliriz.