Kutupsal koordinat sistemi

Matematikte kutupsal koordinat sistemi veya polar koordinat sistemi, noktaların birer açı ve Kartezyen koordinat sistemindeki orijinin eşdeğeri olup "kutup" olarak bilinen bir merkez noktaya olan uzaklıklar ile tanımlandığı, iki boyutlu bir koordinat sistemidir. Kutupsal koordinat sistemi, matematik, fizik, mühendislik, denizcilik, robot teknolojisi gibi birçok alanda kullanılır. Bu sistem, iki nokta arasındaki ilişkinin açı ve uzaklık ile daha kolay ifade edilebildiği durumlar için özellikle kullanışlıdır. Kartezyen koordinat sisteminde, böyle bir ilişki ancak trigonometrik formüller ile bulunabilir. Kutupsal denklemler, çoğu eğri tipi için en kolay, bazıları içinse yegâne tanımlama yöntemidir.

Tarihçe

Antik Yunan uygarlığı'nda açı ve yarıçap kavramlarının kullanıldığı bilinmektedir.  (MÖ 190 - 120), her açı için kiriş uzunluklarını veren bir kiriş fonksiyonları tablosu oluşturmuştur ve yıldızların konumlarını belirlemek için kutupsal koordinatlar kullandığına ilişkin kaynaklar bulunmaktadır.
"Spiraller Üzerine" (On Spirals) adlı eserinde Arşimet, ünlü spiralini yarıçapın açıya bağlı olduğu bir fonksiyon olarak tanımlar. Bununla beraber, Yunan çalışmaları, koordinat sistemini tam olarak tanımlayamamıştır.
Kutupsal koordinatları resmî bir koordinat sisteminin parçası olarak ilk olarak kimin tanımladığına ilişkin farklı söylemler vardır. Konunun tarihçesi, Harvard profesörü Julian Lowell Coolidge'in "Kutupsal Koordinatların Kaynağı" (Origin of Polar Coordinates) adlı kitabında anlatılmıştır.Grégoire de Saint-Vincent ve Bonaventura Cavalieri yaklaşık aynı zamanda birbirinden bağımsız olarak kavramları oluşturmaya başlamıştır. Saint-Vincent, çalışmalarını 1625 yılında yazmış ve 1647 yılında yayınlamışken, Cavalieri de 1635 yılında kendi çalışmalarının ilk baskısını yapıp, 1653 yılında elden geçirilmiş bir sürümünü yayınlamıştır. Bir Arşimet spirali içindeki alanla ilgili bir problemin çözümünde kutupsal koordinat sisteminden ilk yararlanan Cavalieri olmuştur. Daha sonra Blaise Pascal, parabolik yayların uzunluğunu hesaplamak için kutupsal koordinatları kullanmıştır.
1671 yılında yazılmış ve 1736 yılında basılmış olan Method of Fluxions çalışmasıyla Isaac Newton, kutupsal koordinatlara bir düzlemdeki herhangi bir noktanın yerini saptama yöntemi olarak bakan ilk kişi olmuştur. Newton, kutupsal koordinatlar ve diğer dokuz koordinat sistemi arasındaki dönüşümleri incelemiştir. Acta eruditorum (1691) adlı çalışmasında Jacob Bernoulli, sırasıyla kutup ve kutupsal eksen olarak adlandırdığı bir nokta ve o noktanın üzerinde yer aldığı eksenden oluşan bir sistem kullanmıştır. Bu sistemde koordinatlar, kutba göre uzaklık ve kutup eksenine göre açı ile belirtilmiştir. Bernoulli'nin çalışması, bu koordinatlarla tanımlanmış eğrilerin eğim yarıçaplarını hesaplamaya kadar ilerlemiştir.
Gregorio Fontana'ya atfedilmiş olan kutupsal koordinatlar terimi, 18. yüzyıl İtalyan yazarları tarafından kullanılmıştır. Terimin İngilizce yayınlarda ilk yer alışı, George Peacock'ın Sylvestre François Lacroix'ya ait "Diferansiyel ve İntegral Hesaplamalar" (Differential and Integral Calculus) adlı kitabını çevirmesi ile 1816 yılında olmuştur.
Alexis Clairaut ve Leonhard Euler, kutupsal koordinat kavramının üç boyuta uyarlanmasında rol oynamışlardır.

Kutupsal koordinatlar ile noktaların belirtilmesi

Tüm iki boyutlu koordinat sistemlerinde olduğu gibi, kutupsal koordinat sisteminde de iki koordinat vardır: r ("radyal koordinat" ya da "ışınsal koordinat") ve θ ("açısal koordinat", "kutupsal açı" ya da "yatay açı" ; bazen φ veya t ile gösterilir). r koordinatı, kutuptan olan ışınsal uzaklığı; θ koordinatı ise noktanın üzerinde bulunduğu ışının, bazen "kutupsal eksen" de denilen 0° ışınından saat yönünün tersi yönündeki açısını ifade eder. 0° ışını, Kartezyen koordinat sisteminde "pozitif x ekseni" olarak bilinir. olmakla beraber olmamaktadır
Örneğin, kutupsal koordinatları (3, 60°) olan bir nokta, kutupsal eksene 60° açı ile duran ışın üzerinde kutuptan 3 birim uzaklıkta bulunur. Koordinatları (-3, 240°) olan nokta da aynı yerde gösterilecektir çünkü bir negatif ışınsal uzaklık, karşıt ışın üzerinde pozitif uzaklık olarak ölçülür (240° − 180° = 60°).
Kutupsal koordinat sisteminin Kartezyen koordinat sisteminde bulunmayan bir önemli özelliği, belli bir noktanın sonsuz sayıda farklı koordinat ile belirtilebilmesidir. Genel olarak, n herhangi bir tam sayı olmak üzere, herhangi bir (r, θ) noktası (r, θ ± n×360°) veya (−r, θ ± (2n + 1)180°) olarak gösterilebilir.  Eğer bir noktanın r koordinatı 0 ise, o nokta θ koordinatından bağımsız olarak kutup üzerinde bulunur.

Radyan ölçüsünün kullanımı

Kutupsal sistemde açılar, genel olarak ya derece ya da radyan cinsinden ifade edilir ve bunun için de 2π rad = 360° dönüşümü kullanılır. Seçim çoğunlukla ihtiyaca bağlıdır. Denizcilik uygulamalarında derece ölçüsü kullanılırken, özellikle dönüş mekaniği gibi bazı fizik uygulamalarında ise dairenin çevresinin (c) yarıçapına (r) oranına dayanan radyan ölçüsü kullanılır (c = 2πr).

Diğer eğriler

Kutupsal koordinat sisteminin dairesel özelliği, birçok eğrinin Kartezyen biçimdense kutupsal bir denklemle çok daha kolay tanımlanmasını sağlar. Bu eğrilerin arasında lemniskatlar, ilmek eğrileri (limaçonlar) ve özel bir tip limaçon olan kardiyoidler vardır.

Calculus(analiz)

Kutupsal koordinatlar ile ifade edilmiş denklemlere kalkulus (diferansiyel ve integral hesaplamalar) uygulanabilir.

Üç boyut

Kutupsal koordinat sistemi, biri silindrik koordinat sistemi ve diğeri de küresel koordinat sistemi olmak üzere, iki farklı koordinat sistemi ile üç boyuta genişletilir. Her iki sistem de iki boyutlu kutupsal koordinatları bir alt küme olarak kullanır.

Robot bilimi

Hareket edebilen çoğu robot, seyir için kutupsal koordinat sistemini ya da onun biraz değiştirilmiş hâlini kullanır. Bu yapay zekâ için çok uygundur çünkü koordinat sisteminin merkezini (kutbunu) daima robotun o andaki konumu oluşturur. Dolayısıyla, robotun herhangi bir zamanda koordinat sisteminin neresinde olduğunu hesaplamasına gerek yoktur: tek gereken, hangi yönde ve ne kadar uzağa gideceğini belirlemesidir. Eğer robotlar kartezyen koordinat sistemini kulanarak yol alsalardı, hareket için gerekli uzaklık ve açı hesaplamaları için cebir ve trigonometri kullanmak gerekirdi. Oysa, kutupsal koordinat sistemindeki bir açı ile ifade edilen yön ile katedilmesi gereken uzaklık bilgisi, robotun tam istenen yere gitmesini sağlamak için yeterlidir.

Havacılık

Havalanan uçaklar, seyir için kutupsal koordinat sisteminin biraz değiştirilmiş bir çeşidini kullanırlar. Bu sistemde, genellikle "yön 360" (heading 360) olarak adlandırılan 0° ışını dikeydir ve açılar saatin tersi yönde değil, saat yönünde devam eder. Yön 360 manyetik kuzeye denk gelirken, 90, 180 ve 270 yönleri de sırasıyla manyetik doğu, güney ve batıya denk gelir. Dolayısıyla, örneğin doğuya doğru 5 deniz mili kadar yol alacak bir uçak, yön 90 üzerinde 5 birim katedecek demektir.

Arşimet spirali

Arşimet spiralinin gerçek dünyada pek çok uygulaması vardır.
Örneğin, Arşimet spirali şekilli ve birbirinin içine geçmiş aynı büyüklükteki iki sarmal, sıvı ya da gaz gibi akışkanları pompalamak ya da sıkıştırmak için kullanılan sarmal kompresörlerin temelini oluşturur. Sarmallardan biri sabit dururken, diğeri kendi çevresinde dönmemek üzere merkez dışı (eksantrik) bir dönüş hareketi yapar ve akışkanı iki sarmalın duvarları arasında sıkıştırarak ilerletir.
Gramofon plakların çok erken dönemlerinde, plak üzerindeki oluklar bir Arşimet spirali oluşturacak şekilde açılır ve bu şekilde, olukların birbirlerinden eş uzaklıkta durmaları sağlanarak, bir plağın üstüne en çok miktarda müzik kaydedilmeye çalışılırdı. Ancak sonraları, daha iyi ses kalitesi elde edebilmek için bu uygulamadan vazgeçilmiştir.