Basıklık

Olasılık kuramı ve bir dereceye kadar istatistik bilim dallarında basıklık (İngilizce: kurtosis) kavramı 1905da K. Pearson tarafından ilk defa açıklanmıştır . Basıklık kavramı bir reel değerli rassal değişken için olasılık dağılımının, grafik gösteriminden tanımlanarak ortaya çıkarılan bir kavram olan, sivriliği veya basıklığı özelliğinin ölçümüdür. Basıklık kavramının ayrıntıları olasılık kuramı içinde geliştirilmiştir. Betimsel istatistik için bir veri setinin basıklık karakteri pek dikkate alınmayan bir özellik olarak görülmektedir. Buna bir neden parametrik çıkarımsal istatistik alanında basıklık hakkında hemen hemen hiçbir kestirim veya sınama bulunmamasındandır ve pratik istatistik kullanımda basıklık pek önemsiz bir karakter olarak görülmektedir. Belki de basıklık ölçüsünün elle hesaplanmasının hemen hemen imkânsızlığı buna bir neden olmuştur.

Terminoloji ve örneğinler

Eğer bir olasılık dağılımının veya veri setinin basıklık ölçüsü 0 (sıfır) değerde ise, bu çeşit veri seti veya olasılık dağılımına meso-basık (İngilizcesi 'meso-kurtic') adı verilir. Sıfır (0) basıklık ölçülü, yani meso-basık, en iyi bilinen olasılık dağılımı (parametreleri ne değerlerde olursa olsun) normal dağılımdır. Parametre değerlerine göre birkaç diğer olasılık dağılımi da meso-basık, yani 0 basıkliık ölçü değeri gösterirler. Örneğin, eğer  ise bir binom dağılım meso-basıktır.
'Basıklık' ölçüsü ve terminolojisi dağılım meso-basıklık karakteri göstermiyorsa bazen fikir karmaşıklığına yol açabilir.
Bir olasılık dağılımı veya bir veri seti için basıklık ölçüsü sıfırın üstünde pozitif (0 ile sonsuz arasında) olursa, bu türlü dağılıma lepto-basık adı verilir . Eğer bir olasılık dağılımı veya veri seti lepto-basık karakterli (yani pozitif basıklık ölçülü) ise, olasılık dağılım yoğunluk grafiği veya veri seti çokluluk grafiği, ortalama değerinde (normal dağılıma nazaran) daha sivri ve kuyrukları daha "şişman" olma görüntüsü verirler. Bu tip olasılık dağılımlarına şişman kuyruklu dağılım ve bazen de yüksek-Gauss tipi dağılım adı verilir. Laplace dağılımı ve logistik dağılım lepto-basık dağılımlara örnektirler. Basitce bir ifade ile bir dağılımın ortası sivri, kuyrukları şişman ise, lepto-basık olur ve pozitif basıklık ölçüsü gösterir.
Bir olasılık dağılmı veya bir veri seti için basıklık ölçüsü sıfırın altında, negatif 0 ile -2 arasında olursa, bu türlü dağılıma plati-basık adı verilebilir ref>İngilizce "plati-kurtic" ve plati- antik Yunanca'dan alınma. Ayrıca basıklık ölçüsünün en küçük değerinin -2 olmasına dikkat edilmelidir.</ref> En alt sınırda basıklık ölçüsü -2 olan bir olasılık dağılım örneği, parametre değeri p = ½ olan bir Bernoulli dağılımıdır. Bu çeşit negatif basıklık ölçüsü gösteren dağılımların grafikleri ortalama etrafında düşük ve yayvan ve kuyrukları kısa sıska görünümünde veya ortası basık yamaçları dik yokuş bir "masa dağı" görünüşünde olurlar. Ayrık veya sürekli tekdüze dağılım ve yükseltilmiş kosinus dağılımı plati-basıklık (yani negatik basıklık ölçüsü) gösteren dağılımlara örnektirler. Bu türlü dağılımlar bir normal dağılımın yoğunluk grafiğine nazaran hem ortasında ve hem de kuyruklarında daha alçak görünüşlü olduğu için, alçak-Gauss tipi adı da verilir.
Eğer yukarıda verilen 'basıklık' ölçüsü yüksek pozitif değer gösteriyorsa dağılımın yoğunluk grafiğinde sivri bir doruk ve şişman kuyrukları bulunur; diğer taraftan basıklık ölçüsü negatif ve düşük ise (yani -2ye yakın), doruk daha yuvarlanamıştır ve genişce yüksek omuzları bulunan bir "masa dağ" görünüşü almaktadır.

Anakütle basıklık kestirimcileri

Bir anakütleden bir altset olan örneklem verilirse, yukarıda verilmiş olan örneklem basıklık ölçüsü anakütle basıklık ölçüsünün yanlı kestirimi olur. Bilgisayar için hazırlanmış istastistik paketleri (SAS, Minitab, SPSS ve Excel) anakütle basıklık kestirimci değeri G için şu formülü kullanmaktadır:|-
|
|
|-
|
|
|-
|
|
|-
|
|
|-
|
|
|}
Burada k₄ dördüncü kümülant değerinin tek simetrik yanlı olmayan kestirimidir; k₂ anakütle varyansı için yanlı olmayan kestirim değeridir; m₄ ortalama etrafında dördüncü örneklem momentidir; 
m₂ örneklem varyansıdır; xᵢ iⁱⁿᶜⁱ değer, ve  örneklem ortalamasıdır.
Sadece BDMP istatistik paketi bu formülü kullanmakatadır.
Ne yazıktır ki bu  kendisi genellikle yanlı kestirimdir. Bu sadece bir normal dağılım için yanlı değildir çünkü o halde beklenen değeri sıfır olmaktadır.