İç içe kökler

İç içe sonsuz kökler

genel denklemi için:
 yandaki denklemde her iki tarafın n dereceden kökü alınırsa  şeklinde düzendi.
 denkleminde sol tarafta x ve sağ tarafta kökün içinde x vardır. Her ikisi de x tir. Sol taraftaki x kök içindeki kökün içine bir defa yazılırsa  olur.
İki defa yazılırsa  olur. Burada -x/a ve -b/a şeklinde bir tekrarlanma var.
Sol taraftaki x kök içindeki kökün sonsuz defa yazılırsa : şekilnde bir içe sonsuz kökler meydana gelir. İç içe sonsuz köklerin kaynağı buradan gelmektedir.
Bunun tersi de doğrudur. Birinci kökün içindeki -b/a nın çarpım durumunda olan köklü ifadeye  denilirse  elde edilir.
Çünkü :  içe içe sonsuz kökün her tarafın n ninci kuvveti alınırsa 
 şeklinde olur işleme devam edilirse  oldu sağ taraftaki ifade zaten x e eşitti.  ve ispat tamamlanmış olur.
Genel Sonuç :  dir.
Eğer denklem  şeklinde ise : Burada c sabit sayısı yoktur.
 şekline dönüşür. Sol taraftaki x kök içindeki x yerine bir defa yazılırsa  olur. İki defa yazılırsa  şeklinde olur. Burada içe içe kök içinde -b/a lar devam eder. Bu işlem sonsuz defa uygulanırsa iç içe sonsuz kökler meydana gelir.  şeklinde sonsuza gider. Bunun tersi de doğrudur.
Tersi için  denkleminin her iki tarafının n dereceden kuvveti yani üssü alınırsa  devam edilirse  bu denklemde ise sağ taraf x e eşitti.  yerine x yazılırsa  olur. Bu denklem düzenlenirse  denklemi elde edilir.  denkleminde  Şimdi iç içe köklü ifadelerin içindeki ikinci köklü ifadeye neden x denildiği ispatlandı.
Genel Sonuç 2 :  ve  olur.
Genel Sonuç 2 için ikinci yol:  bu ifadede c=0 alınırsa sonuç 2 : yine elde edilir. Çünkü c=0 olması durumunda  denkleminde artık sabit sayı olmaz.
 şeklinde olur.

Bölüm durumundaki iç içe sonsuz kökler

İspatlar dan sonra bir ispat daha
 şeklinde gösterilen iç içe kökler denir.  işlemin sonucuna m denilirse  şeklinde bir denkleme dönüşür. (Çünkü ikinci köklü ifadede sezgisel olarak m ye eşit oluyor.İspatı yukarıda yapıldı)  olur işleme devam edilirse  eşit olur. Her iki tarafın  dereceden kökü alınırsa  eşit olur.  eşitti. O zaman  eşitliğinde doğrudur.

İkinci dereceden denklemin iç içe köklerle ilişkisi

Yukarıda ispatlar yapıldı. Genel iç içe kökler oluşturuldu.
 denkleminde  eşitti.  alınması durumunda  denklemi ve  oluşur.
Sonuç olarak  eşittir.
İkinci dereceden denklemin bir kökü  dır. O zaman x ler aynı olduğundan eşitleme yapılır.  eşitliği yazılabilir. Burada dikkat edilmesi gereken nokta iç içe köklü ifadenin pozitif bir sonucu olması. Negatif sonuçlar çözüm kümesine alınamaz. (Bir ispat daha yapıldı.)
İkinci dereceden denklemde sabit sayı yok ise :
 şeklinde bir denklem oluşur. Yandaki denklem  denkleminin  için özel bir durumudur.  denkleminde  eşitti. Burada  için
 olur. x ler eşit olduğundan dolayı  eşitliği yazılabilir.

Sonuç 1

eşittir.
 ve  dönüşümleri yapılırsa:  işleme devam edilirse 
 eşitliğine dönüşür. Daha da düzenlisi her iki tarafı  ile çarpılırsa iç içe Karekökler genel sonucu  olur. Burada  olduğuna dikkat ediniz.

Sonuç 2

dönüşümü yapılırsa:  olur.

İç içe kökler

,
 şeklinde olan köklere iç içe kökler denir.
Kökler üssü ifadelerin kesirli biçimidir.
 şeklindeki ifade üssü sayıların bir özelliğidir. İç içe köklerde aynı şekildedir. Kök sembolü aslında kesirli üsler için özel bir parantezdir. Aslında aynılar.
En önemli özelliği :  bu ifade köklü ifadeleri ve üslü ifadeleri birbirine bağlayan bir eşitliktir. Bu özellikten yola çıkarak  şeklindeki ifadeyi üssü ifadeye çevirmek mümkün.
 burada ilk olarak  şeklinde olur. Devam edilirse  aynı şekilde  şeklinde olur. özelliği uygulanırsa  olur.
Sıra  ifadesinde  biçimine dönüşür. Bu da aynı şekilde  olur.Aynı özellik uygulanırsa  sonucuna ulaşılır.  ifadesi  formundada yazılabilir.

Sonuç

A-)  köklü ifadesi için  denilirse her iki tarafın karesi alınırsa  şekline dönüşür.
 ifadesinin her iki tarafının karekökü alınırsa  şeklinde olur.  denilmişti. O zaman  eşitliği olur.

Sonuç

B-)
 ise  denilirse her iki tarafın karesi alınırsa  şekline dönüşür.
 ifadesinin her iki tarafının karekökü alınırsa  şeklinde olur.  denilmişti. O zaman  eşitliği olur.

Sonuç

Not: Bu işlemler ispata dayalıdır. İçerisinde ezbere dayalı bir işlem yoktur. Tamamen mantık üzerinedir.