Ölçülme ölçeği

Matematik ve istatistik bilim dallarında, bir değişken için sayısal veri ölçülme ölçeği, o değişken içindeki nesneleri temsil eden sayısal değerlerin kapsadıkları bilgilerin özelliklerinin belirli bir şekilde sınıflandırmasıdır. İncelenen kavramlar Amerikan uygulamalı matematikçi Stanley Smith Stevens tarafından teklif edilip geliştirilmiştir. Stevens'in ölçekler kuramına göre bir değişken için sayısal veriler dört değişik şekilde ölçülme ölçeğine sahip olabilirler: isimsel, sırasal, aralıksal ve oransal. Bu değişik ölçeklere göre değişken verilerine, değişik matematik ve istatistiksel işlemlerin ve ölçümlerin değişik şekilde uygulanması gerekmektedir.

İsimsel ölçek

Bu tip ölçüm için her bir değişik nesneye veya kişiye bir kategori isiminin bir etiket gibi belirlenmesi gereklidir. Kategori isimlerini belirlemesi için yapılan ilk çalışma, iyice belirlenmiş bir yordam kullanıp benzerlikleri ve ayrımları ayırt ederek ölçümde kullanılacak her bir etiket isim kategorisini açıkça tarif etmek şeklinde olur. Sonra birbirlerine benzerliği iyice karakterize edilmiş her kategori ismi için bir sayı belirlenir. Bu işlemlerle kategorilere verilmiş olan sayı değerleri isimsel ölçekli sayı olarak adlandırılır. Kategori isimlerine verilen isimsel ölçekli sayı, kategorinin sanki hüviyet numarası olur. İsimsel ölçekli sayılar ve bunların ifade ettiği kategoriler şeklinde ölçülen değişkene isimsel değişken adı da verilir.
Kategori tanımlanması ve kategoriye sayısal isim belirlenmesi önemlidir, ama her bir sayısal isim verilmiş kategori için belirlenmiş sayının matematiksel önemi çok azdır. Çünkü verilen sayı değerleri ile çok sınırlı matematiksel işlem uygulanabilir. Bir kategori için verilen isimsel ölçekli sayılar, genel olarak kısa, nötr ve üniversel (yani kullanılan dile bağlı olmayan) bir ifade sağladıkları için ve sayıları çok kolay işleme koyan bilgisayarda bilgi depolanmasına ve tasnif işlemlerine yardımcı olmaları nedeni ile önem kazanırlar.
İsimsel ölçekli sayılar için tek anlamlı matematiksel işlem uygulaması eşitlik veya eşitsizliğin tayini şeklinde olabilir. Kategoriler için belirlenen herhangi iki isimsel ölçekli sayı için karşılaştırmalı daha küçük veya karşılaştırmalı daha büyük ilişkileri kurulamaz; toplama, çıkartma, çarpma ve bölme gibi aritmetik işlemler tümüyle anlamsızdır.
Sosyal araştırmalarda ve birçok işletme ile ilgili araştırmalarda (örneğin pazarlama veya iş gücü planlaması ve idaresi için) isimsel değişkenler arasında cinsiyet, medeni durum, doğum yeri, ailenin asılı, ırk, din veya mezhep, bilinen lisan, tutulan parti, tutulan spor takımı, son eğitim durumu vb. sayılabilir. Diğer önemli isimsel değişkenler: ikamet coğrafyası ile ilgili olarak ikamet edilen veya nüfusa kayıt il numarası; adres posta kodu; ev ve daire numaraları vb.; işletme ve ticaretle ilgili olarak: üretilen, depolanan, nakil edilen, satılan ve satın alınan mal tipi, mal cinsi ve mal markası vb. Bu liste istenirse çok genişletilebilir. Ölçüm ölçeği kavramını ortaya çıkartan ve geliştiren Amerikan psikolojist S.S.Stevens'in verdiği örnek, çocukların renk algılaması üzerine yaptığı araştırmada, değişik renklere verdiği isimsel sayılardır.
İsimsel ölçekli sayısal veriler için betimsel istatistik incelemesi olarak sadece merkezsel konum ölçüsü olarak modun kullanılması ve isimsel değişkenlere özel olan kategorik değişkenler için yayılım ölçüleri kullanılması mümkündür. İsimsel ölçekli verilere uygulanabilen çıkarımsal istatistik teknikleri için özel parametrik olmayan istatistik yöntemleri geliştirilmiştir. Ortalama, medyan, dörttebirlik vb. merkezsel konum ölçüleri veya standart sapma, varyans, değişim açıklığı ve daha az bilinen mutlak sapma ölçüleri kullanılması anlamsızdır. Bunlarla ilişkili kestirim ve parametrik sınama teknikleri de kullanılamaz.
İki kategoriden oluşan (evet/hayır veya sayısal olarak 0/1) isimsel değişkenlere uygulabilecek istatistiksel yöntemler üzerinde istatistikçiler arasında görüş ayrılılıkları bulunmakta ve bazı isimsel ölçekli verilere uygulanamıyacak işlem veya yöntemlerin bu iki kategorili isimsel değişkenler için anlamlı olabileceği iddia edilmektedir.

Aralıksal ölçek

Aralıksal ölçekli sayılar nesnelere tahsis edilince sırasal ölçekli sayıların tüm özelliklerin sahiptirler ama bunlara ek olarak aralıklı ölçekli sayılarda  ölçümlerdeki farklar her halde eşit olan aralıkları temsil etmektedir. Bu demektir ki, rastgele alınan bir çift nesne için yapılan ayrı ölçümler birbirleriyle karşılaştırılabilirler. Bu nedenle ortalama alma ve çıkartma gibi aritmetik operasyonlar anlamlıdır. Ancak toplama operasyonunun anlamı bulanıktır Çünkü bu ölçekte mutlak bir sıfır başlangıç noktası bulunmaz ve değişik nesneler için değişik keyfi orijin noktaları kullanma imkânı ve bu değişik orijinli ölçümlerin karıştırılma imkânı bulunur. Biçimsel matematik terminolojiye göre bu sayılar afin uzayı elemanlarıdır. Aralıksal ölçekli olarak ölçülen değişkenlere aralıksal değişkenler denilmektedir. Bazen aynı kavrama ölçülme birimleri anlamlı olduğu için ölçeklenmiş değişkenler denilmektedir ama bu kullanış tarzı tavsiye edilmemektedir.
Aralıksal ölçekli sayılar için iki sayı arasındaki oran anlamlı değildir. Onun için çarpma ve bölme işlemleri doğrudan doğruya tatbik edilemez. Ancak farkların orantıları anlamlıdır; örneğin  bir fark diğer bir farkdan 2 misli büyük olabilir.
Aralıksal ölçekli değişkenlere çok kullanılan örnekler şunlardır: Miladî, Hicrî, Çinli gibi çok değişik takvim şekli olduğu için  takvim tarihleri; yine santigrad, [fahrenhayt] vb kullanarak ısı ölçme.
Aralıksal ölçekli değişken verileri için merkezsel konum ölçüleri mod, medyan veya aritmetik ortalama olabilir. İstatistiksel yayılım ölçüsü sadece farklar ve ortalama almayı  
kapsayan açıklık, çeyrekler açıklığı veya (farkların oranı anlamlı olduğu için) standart sapma olabilir. Aralıksal ölçekli değişkenler için bölme işlemi anlamsız olduğu için student-tipi açıklık veya varyasyon katsayısı uygun ölçüler değildirler. Yine aralıksal ölçekli değişkenlerde başlangıç noktası keyfî olduğu için merkezsel momentler anlamsızdır.

Oransal ölçek

Nesnelere bağlanan oransal ölçekli sayılar aralıksal ölçekli sayıların tüm özelliklerine sahiptirler ve bunlara ek olarak herhangi iki çift sayı arasında kurulan orantı da anlamlı olur. Bu nedenle çarpma ve bölme matematiksel işlemleri de anlamlıdır. Oransal ölçekli sayılar için  keyfî olmayan gerçek başlangıç sıfır noktası bulunur. Oransal ölçekli sayılarla ölçümü yapılan değişkenlere oransal değişkenler adı verilir.
Fizikle ilgili birçok miktarlar için, kütle, uzunluk, enerji vb, oransal ölçekli sayılar ile ölçümü yapılır. Fizik için kelvin bazında ölçülen mutlak sıfır (-273° santigrad Celsius'da) gerçek olarak başlangıç noktası olduğu için bilimsel alanda kullanılan bu şekil ölçum dolayısıyla ısı da oransal değişkendir. Halbuki pratikte normal olarak kullanılan santigrad veya fahranhayt birimleri ile ölçülen ısı değişkeni aralıksal değişken olur.
Sosyal bilimler alanında birçok değişken oransal ölçekte ölçülür; örneğin ankete cevap verenlerin için yaş, belli bir adreste ikamet dönemi, çalışma yerinde kaç yıldır bulunduğu vb.
Oransal ölçekli verilere bütün normal matematik işlemler uygulanabileceği için, tüm istatistiksel ölçüm, kestirim, sınama ve işlemler için, hiç kuşku yaratmadan, kullanılabilirler.
Oransal ölçekli bir değişken için, merkezsel konum ölçüleri sadece mod, medyan, aritmetik ortalama olmayıp  geometrik ortalama da kuşkusuz kullanılabilir. İstatistiksel yayılım ve sapma ölçüleri olan ve aralıksal ölçekli değişkenler için kullanılabilen çeşitli tipte açıklık ve varyans yahut standart sapma yanında oransal ölçekli istatistik veriler için orantı şeklinde uygulanan student-tipi açıklık veya varyasyon katsayısı da kuşkusuz kullanılabilir. Ayrıca başlagıç sıfır noktası gerçek oldugu için  orijin etrafındaki momentler de, aralıklı ölcekli değişkenler için biraz kuşkulu olarak kullanılırken, oransal ölçekli değişken verileri için hiç kuşkusuz kullanılabilirler.

Niceliksel ve kategorik sayılar

Birçok istatistikçiler aralıksal ölçekli sayılar ve oransal ölçekli sayılar arasındaki kavram farklarının istatistiksel özetleme, inceleme ve analiz için çok önemli olmadığını ve her ikisi için de çok önemli olan matematiksel işlemlerin uygun olduğunu iddia edip bu çeşit verilere niceliksel veriler adını vermektedirler. Bazı matematikçilere göre bu türlü ölçekli veriler gerçek ölçülme ile elde edilmişlerdir. Diğer taraftan daha zayıf önemde olan isimsel ölçekli ve sırasal ölçekli sayılar için kategorik veriler  adı verilmekte ve kategorik sayılar şeklinde olan veriler için (giriş, orta derecede ve hatta ileri derecede) istatistik ders kitaplarına girmeyen birçok istatistik işlemler, sınamalar ve analizler değişik, ayrı özel referans kitaplarında ele alınmaktadır. Örneğin ana istatistik kitaplarında önemli olarak açılanan yayılım ölçüleri sadece niceliksel veriler için verilmekte; kategorik veriler için geliştirilmiş konsentrasyon kavramına dayanan yayılım ölçülerinin ise ne istatistik kitaplarında ne de istatistik kompüter program paketlerinde isimleri hiç geçmemektedir. Kategorik veriler için yayılım maddesine bakın.
Diğer taraftan niceliksel veriler için öğrenilip kullanılması bilinen yayılım ölçüleri ve diğer istatistiksel işlemler (her hâlde anlamlı ve uygun ölçüler bilinmediği için) pratikte uygunsuz ve anlamsız olarak sırasal ölçekli ve isimsel ölçekli veriler için hiç kritik kabul edilmeden kullanılmaktadır.