Vektör alanı

Yöney alan (vektör alanı), Öklid uzayının seçilen bir alt kümesinin her bir noktasında yöneyin belirlenmesidir. Düzlemdeki bir yöney alanı, her biri düzlemdeki bir noktaya ilişik, yönü ve büyüklüğü olan oklar topluluğu olarak düşünülebilir.
Yöney alanları genellikle modellemede kullanılır. Buna örnek olarak hareket eden bir akışkanın uzaydaki hızı ve yönü ya da manyetik kuvvet veya yer çekimi kuvveti gibi farklı noktalarda değişen kuvvetlerin gücü ve yönü verilebilir.
Diferansiyel ya da tümlev hesaplamasındaki elemanlar Yöney alanında doğal olarak genişler. 
Yöney alanı bir kuvveti gösterdiğinde, bu alanın tümlev çizgisi bir çizgi doğrultusunda ilerleyen kuvvetin yaptığı işi gösterir ve bu yoruma dayanarak enerjinin korumu hesaplamanın esas kuramı'nın özel bir vakası olarak karşımıza çıkar. 
Yöney alanları boşlukta hareket eden bir akış hızını temsil eden düşünülebilir ve bu fiziksel sezgi bizi uzaklaşma(akış hacminin değişim oranını temsil eden) gibi kıvrılma(akış dönüşünü temsil eder) gibi sapma kavramlarına götürür.
Koordinatlarda,n-boyutlu bir Öklid uzayında tanımlanmış bir Yöney alanı olarak düşünülebilir ve de bu alan alanın her noktasına reel sayıların n-tuple ile ilişkilendirilen bir Yöney değerli işlev olarak değerlendirilebilir.
Bu Yöney alanlarının koordinat sistemindeki gösterimi koordinat sistemine göre değişir ve bir koordinat sisteminden diğerine geçişlerde çok önemli bir değişim kanunu vardır.
Yöney alanları öklit uzayının açık alt kümeleri olarak tartışılır ancak aynı zamanda yüzeyler gibi (her noktasında yüzeye teğeti bir ok gibi düşünebiliriz yukarıdaki resim gibi) başka alt kümelerde anlam kazanır.
Daha genel olarak, Yöney alanları türevlenebilir manifoldlar(küçük ölçeklerde Öklid uzayına benzer ama büyük ölçeklerde daha komplike yapılar olan uzaylar) olarak tanımlanabilir. Bu ortamda, bir Yöney alanı manifoldun her noktasında teğet Yöneyi bize verir. Yöney alanları bir nevi gergi (gergi) alanlarıdır.

Manifoldlarda Yöney alanları

Türevlenebilir manifold M olarak verildiğinde, M’deki Yöney alanında Mdeki her bir noktadaki tanjant Yöneyünü gösterir.
Daha açık olarak F Yöney alanı M’den tanjant demetinin TM içine bir eşlemedir. Yöney alanı tanjant demetinin bir parçasıdır.
Manifold M pürüzsüz ya da analitik ise – koordinatın değişimi pürüzsüz(analitik)- analitik Yöney alanı kavramı anlam kazanır.
Bütün pürüzsüz Yöney alanlarının pürüzsüz manifoldda yan yana dizilimi  Γ(TM) ,  (a fraktur "X") ya da C∞(M,TM)olarak ifade edilir (özellikle Yöney alanlarını parça parça düşündüğümüzde).

Örnekler

Dünyadaki havanın hareketinin Yöney alanı Dünya yüzeyindeki noktalardaki bütün rüzgar hızı ve yönü olan Yöneylerle bağlantılıdır. Bu rüzgarı temsil eden oklar kullanılarak çizilebilir. Okun uzunluğu(büyüklüğü) rüzgarın hızını gösterir. Hava yüksek basınçlı alanlardan alçak basınçlı alanlara gitmeye meyilli olduğu için barometrik basınç haritasında ‘yüksek’ kaynak olarak rol oynar . Yüksel kaynak (barometrik basınç olarak) kaynak gibi davranır (oklar kaynaktan dışarısını gösterir) ve alçak kaynak (barometrik basınç bakımından) batmayı simgeler.
Hareket eden bir sıvının hız alanında hız Yöneyü sıvının her bir noktasıyla bağlantılıdır.
Akış çizgileri, streaklines ve pathlines Yöney alanlarında yapılabilen üç çizgi türüdür.
Streaklines: duman kullanılarak rüzgar tünellerinde
Streamlines veya fieldlines : belirli bir anda anlık alanını gösteren bir çizgi olarak.
Pathlines: verilen bir taneciğin izleyeceği yolu gösterir
Manyetik Alanlar : Alan çizgileri, küçük demir talaşı kullanılarak ortaya çıkabilmektedir.
Maxwell denklemleri sonuç olarak önceden verilen durumları kullanmamıza olanak verir. Öklid uzayında her bir nokta için kuvvetin büyüklüğü ve doğrultusu tespit edilen parçacığın sonuç Yöneyü elektromanyetik alanı verir
Herhangi büyük bir obje tarafından üretilen yerçekimi alanı da Yöney alanlarına örnektir.

Bir Yöney alanının indeksi

Bir Yöney alanının indeksi daima Yöney alanının izole edilmiş 0 etrafında nasıl davrandığıyla yapılır.  
0'ın yakınlarında ufak bir küre alın. Böylece başka 0'lar dahil olmamış olacaktır. Bu küreden birim küreye bir harita düşünürsek boyutları n-1 olacaktır ve de her bir Yöneyü kendi uzunluğuna bölerek birim Yöney haline getirmekle haritalama mümkün olabilecektir. 
Bu noktada Yöney alanının indeksi bu haritanın derecesi olacaktır. Yöney alanının toplam indeksi her bir 0 için endekslerin toplanması ile bulunacaktır.
İndeks tekil olmayan noktalar etrafında 0 değerini , kaynak etrafında +1 değerini ve eyer(saddle) etrafında -1 değerini almaktadır. 
iki boyutta indeks, sarma sayısına (winding number) eşit olacaktır. 
3 boyutlu uzayda sıradan bir küre için herhangi bir Yöney alanının indeksi iki olmalıdır bu da bizi tüylü top kuramına (hairy ball theorem) götürüyor. Bu kuram bize bu tip bütün Yöney alanlarının 0 olması gerektiğini söylüyor. Bu kuram Euler uzay karakteristiği ile alakalı olan Poincaré - Hopf kuramını genelleştiriyor.

Tüm Yöney Alanları

Yöney alan eğrileri her zaman için varolan bir akış içerisinde ise Yöney alanı tamamlanmış sayılır. Özellikle bir manifold üzerinde kompakt olarak desteklenen Yöney alanları tamamlanmıştır.
Eğer X M üzerinde tanımlanmış tam bir Yöney alanı ise, bir-parametre grubunun diffeomorphism'leri Xin sonsuza dek var olmasıyla beraber akışla oluşturulur.

F - İlişkililik

Belirli manifoldlar arasında verilen düzgün bir işlevda f. M ¬-> N, burada türev uyarılmış bir teğet demetleri haritasıdır.
f. TM -> TN. Verilen Yöney alanları V:M -> TM ve W:N -> TN.
Burada W, V ile F-işikilidir diyebiliriz tabi eğer verilen eşitlik
sağlarsa.