Radyan

Tanım

Radyan, dairesel bir yay tarafından oluşturulan düzlem açıyı, yayın uzunluğu bölü yayın yarıçapı olarak açıklar. Bir radyan, bir dairenin yarıçapına eşit uzunlukta olan bir yayın bu dairenin merkezinde oluşturduğu açıdır. Daha genel olarak, böyle bir açının radyan cinsinden büyüklüğü yay uzunluğunun dairenin yarıçapına olan oranına eşittir. Yani θ = s /r, θ radyan cinsinden açı, s yay uzunluğu ve r yarıçaptır. Tersi durumda, kapalı yayın uzunluğu, yarıçap çarpı açının radyan cinsinden büyüklüğüne eşittir (yani s = rθ).
İki uzunluğun oranı itibarıyla radyan hiçbir birim sembolü gerektirmeyen bir "saf sayı" dır ve matematiksel yazıda sembolü "rad" sembolü hemen hemen her zaman ihmal edilir. Hiçbir sembol olmadığında bir açının biriminin radyan olduğu varsayılır ve derece birimi için ° sembolü kullanılır.
Tam bir devir 2π radyan’dır.
Tam bir devrin radyan cinsinden büyüklüğü (360 derece) tüm çevrenin uzunluğu bölü yarıçaptır (ya da 2πr /r veya 2π). Dolayısıyla 2π radyan 360 dereceye eşittir. Bu, bir radyanın 180/π dereceye eşit olduğu anlamına gelir.
Tarih Bir açının derecesine karşı radyan ölçü kavramını 1714 yılında Roger Cotes ortaya koymuştu.[1][2] Radyanı, isim dışında her yönden açıkladı ve açısal ölçü birimi olarak doğallığını fark etti. Açıları yay uzunluğuna göre ölçme fikri diğer matematikçiler tarafından halihazırda kullanılıyordu. Örneğin al-Kashi (c. 1400) birim olarak çap bölümlerini kullandı, burada bir çap bölümü 1/60 radyan idi ve ayrıca çap bölümünün altmışlı kesirlik alt birimlerini de kullandılar.[3] Radyan terimi basılı bir yayında ilk olarak 5 Haziran 1873 tarihinde Queen's College, Belfast ‘ta James Thomson (Lord Kelvin ‘in kardeşi) tarafından hazırlanan sınav sorularında kullanıldı. O, bu terimi 1871 ‘den beri kullanmaktaydı, bununla birlikte 1869 yılında, daha sonradan University of St Andrews’e giren Thomas Muir rad, radyal ve radyan terimleri arasında bocaladı. 1874 yılında Muir, James Thomson ile görüştükten sonra radyanı benimsedi. [4][5][6]

Boyutsal analiz

Radyan, ölçü birimi olmasına rağmen boyutsuz bir miktardır. Bu, daha önce verilen tanımda görülebilir: bir dairenin merkezinden uzanan ve radyan olarak ölçülen bir açı, kapalı yayın uzunluğunun dairenin yarıçap uzunluğuna olan oranına eşittir. Birimler birbirini götürdüğünden bu oran boyutsuzdur.
Polar ve küresel koordinatlar koordinatları iki ve üç boyutlu tanımlamak için radyanlar kullandığı halde birim, yarıçap koordinatından türetilmiştir, böylece açı ölçüsü hala boyutsuzdur.[7]

Fizikte kullanım

Radyan, açısal ölçümler gerektiğinde fizikte yaygın olarak kullanılır. Örneğin açısal hız, tipik olarak saniyede radyan (rad/s) cinsinden ölçülür. Saniyede bir devir, saniyede 2π radyana eşittir.
Benzer şekilde açısal ivme çoğu zaman saniye kare başına radyan (rad/s2) cinsinden ifade edilir.
Boyutsal analiz amacıyla, birimler sırasıyla s−1 ve s−2 dir.
Aynı şekilde, iki dalganın faz farkı da radyan cinsinden ölçülebilir. Örneğin, iki dalganın faz farkı (k·2π) radyan ise (k bir tam sayı) bunların fazda olduğu kabul edilir, bunun yanında eğer iki dalganın faz farkı (k·2π + π) ise (k bir tam sayı) bunların anti-fazda olduğu kabul edilir.

Radyan birimlerin katları

Metrik ön eklerde radyan kullanımı sınırlıdır ve matematikte hiç yoktur. bir mili-radyan (mrad) bir radyanın binde biridir ve bir mikroradyan (urad ya da μrad) bir radyanın milyonda biridir, yani 103 mrad = 106 urad = 1 rad. Bir dairede 2π × 1000 mili-radyan (≈ 6283.185 mrad) vardır. Böylece trigonometrik bir mili-radyan bir dairenin 1⁄6283 ‘ünün hemen altındadır. Bir dairenin açısal ölçümünün bu "gerçek" trigonometrik birimi (Stadiametrik) menzil bulucu kullanan teleskobik görüş üreticileri tarafından kullanılmaktadır. Lazer ışınlarının sapması da genellikle mili-radyan cinsinden ölçülür. Trigonometrik mili-radyanın (0.001 rad) (açısal) mil olarak bilinen bir yaklaştırması NATO ve diğer askeri kuruluşlar tarafından atış tekniği ve hedeflemede kullanılmaktadır. Her açısal mil bir dairenin 1⁄6400 ‘ünü temsil eder ve trigonometrik mili-radyandan 1-⅞% daha küçüktür. Genelde hedefleme işlerinde bulunan küçük açılar için hesaplamada 6400 sayısını kullanma kolaylığı, neden olduğu küçük matematiksel hatalardan ağır basar. Geçmişte diğer atış tekniği sistemlerinde 1⁄2000π’e farklı yaklaştırmalar kullanmıştır. Örneğin İsveç 1⁄6300 ‘i kullanmıştır ve SSCB 1⁄6000’i kullanmıştır. Mili-radyana dayalı olarak NATO mili 1000 m ‘lik bir menzilde kabaca 1 m ‘dir (bu kadar küçük açılarda eğrilik ihmal edilebilir).
Mikroradyan (μrad) ve nanoradyan (nrad) gibi küçük birimler astronomide kullanılır ve aynı zamanda lazerlerin ışın kalitesini ultra-düşük sapma ile ölçmek için de kullanılabilir. Benzer şekilde, mili- ‘den daha küçük önekler son derece küçük açıların ölçülmesinde potansiyel olarak kullanışlıdır.