Rassal değişken

Rassal değişken kavramının geliştirilmesi ile, sezgi yoluyla anlaşılan şans kavramı, soyutlaştırarak teorik matematik analiz alanına sokulmuş ve bu geliştirilen matematik kavram ile olasılık kuramı ve matematiksel istatistikin temeli kurulmuştur.
Son birkaç yüzyılda olasılıkla ilgili matematiksel fikirler geliştirilirken rassal değişkenlerlerle ilişkili teori ve kullanım matematik kuramı biçimlerine konulmuştur. Rassal değişkenleri modern matematik görüşle tam olarak anlamak için, daha yakın zamanlarda matematikçiler tarafından geliştirilmiş olan ölçüm kuramı hakkında geniş bilginin kazanılması gerekmektedir. Rassal değişken kavramı, bu kuram içinde tüm özellikleri ile arka planda kalmakla beraber, kuramın içeriğinde önemli bir yeri bulunmaktadır. Bununla beraber, rassal değişkenler kavramının matematiksel teoride değişik ileri seviyelerde fazla teori gerektirmeyen çok daha az ileri matematiksel bilgisi ile de anlaşılması mümkündür. Böylece rassal değişkenler hakkında temel bilgileri anlamak için sadece set kuramı ve değişkenler hesabının bilinmesi yeterli olmaktadır.
Geniş bir tanımlama ile, bir rassal değişken, değerleri rassal olan ve bu değerler için bir olasılık dağılımı saptamak imkânı olan bir sayıdır. Daha matematiksel biçimde, bir rassal değişken bir örneklem uzayından değişkenin mümkün değerlerinden oluşan ölçülebilir uzaya değişimi gösterir. Rassal değiskenlerin bu formel tanımlanması reel değerli sonuçlar veren deneyleri çok sıkı bir surette matematiksel ölçüm kuramı çerçevesi içine sokmakta ve reel değerli rassal değişkenler için dağılım fonksiyonu kurulmasına imkân sağlamaktadır.

Sezgisel tanımlama

Genellikle bir rassal değişken sayı şeklinde değerler alır. Ama bu her zaman doğru değildir; çünkü vektör, karmaşık sayılar, sıralamalar veya fonksiyonlardan oluşan rassal değişkenler bulunmaktadır. Eğer değişkenler reel-değerli iseler o zaman bir rassal değişken her ele alınıp incelendiği zaman değer değiştirebilen bir bilinmez sayı olarak düşünülebilir. Böylece bir rassal değişken bir rastgele sürecinin örnek uzayını bir sayı setine eşlemesini yapan bir fonksiyon olarak görülebilir. Bunu daha göze çarpar bir şekilde şu örneğinlerle gösterebiliriz:

Momentler

Bir rassal değişkenin olasılık dağılımı, çok kere pratikte anlanması ve uygulanması kolay olan küçük sayıda parametreler ile nitelendirilir. Örneğin, sadece "ortalama değer" olan λ değerini bilmek Poisson dağılımını bilmek için yeterlidir. Ortalama kavramı matematik teoride bir rassal değişkenin beklenen değeri olarak, yani E[X] olarak ifade edilir. Genellikle E[f(X)] ifadesi f(E[X]) ifadesine eşit değildir. "Ortalama değer" bilinince, bu ortalama değerin X tipik değerlerinden ne kadar fazla uzaklıkta olduğu sorusu hemen akla gelir ve bu soruya yanıt bu rassal değişkenin standart sapması ve varyansı ile bulunur.
Matematik kuramı içinde bu (genelleştirilmiş) momentler problemi olarak bilinmektedir: Bilinmekte olan bir sınıf rassal değişkenler olan X için, E[fᵢ(X)] ifadesindeki beklenen değerler ile rassal değişken Xin dağılımını tam olarak nitelendiren bir {fᵢ} fonksiyonlar koleksiyonu bulunması istenmektedir.

Rassal değişkenlerin birbirine eşitliliği

Rassal değişkenlerin birbirlerine eşitliliği kavramı birbirlerinden değişik anlamları olan çeşitli şekillerde açıklanabilir. Bu değişik şekiller şöyle sıralanabilir: iki rassal değişkenin eşitliliği; nerede ise kesinlikle eşitliği; ortalama olarak eşitliliği; dağılım içinde eşitliliği. Bu sıralama değişik eşitlilik kavramının tarifinin artan teorik sıkılığına göre (en çok bağlayıcı tanımdan en zayıf tanıma doğru) yapılmıştır. Bu değişik eşitlilik kavramların ayrıntılı tanımları aşağıda verilmektedir.

Yakınsalama

Matematik istatistik analizinin büyük bir kısmı bazı rassal değişkenler serilerinin yakınsalama sonuçlarının geliştirilmesinden oluşmuştur. Örneğin, büyük sayılar yasası ve merkezsel limit teoremi maddelerine bakın.
Bir rassal değişken serisi olan Xₙnin limitte bir rassal değişken olan X'e yakınsalaması değişik tanımlamalara göre değişmektedir; bunun için olasılık değişkenlerinin yakınsalaması maddesine bakın.