Mann-Whitney U testi

Mann-Whitney U testi niceliksel ölçekli gözlemleri verilen iki örneklemin aynı dağılımdan gelip gelmediğini incelemek kullanılan bir parametrik olmayan istatistik testdir. Aynı zamanda Wilcoxon sıralama toplamı testi veya Wilcoxon-Mann-Whitney testi) olarak da bilinmektedir. Bu testi ilk defa eşit hacimli iki örneklem verileri için Wilcoxon (1945) ortaya atmıştır. Sonradan, Mann and Whitney (1947) tarafından  değişik büyüklükte iki örneklem problemleri analizleri için uygulanıp geliştirilmiştir.

Değişik sıfır hipotezler

Mann-Whitney U testi iki örneklem verilerini ele alıp bu verilerin aynı anakütleden mi yoksa değişik iki anakütleden mi geldiği sorununu inceler. Ama bu test için şeklan biraz değişik problem şartları ve on varsayımlar bulunması imkâni vardır.
Mann-Whitney testi için en geniş kullanışı için sıfır hipoteze veri olan iki örneklemin tek bir anakütleden geldiğidir ve bu nedenle bu anakütle tek bir eğilim gösterir veya dağılımlar aynene eşittir. Bu sınama için iki örneklemin istatistiksel olarak birbirinden bağımsız olması gerekir. Örneklem verileri için ölçme ölçeği en zayıf şekilde sırasal ölçekli ya da niceliksel olarak aralıklı ölçekli veya orantılı ölçekli olmalıdır. Bu varsayım yapılmasının nedeni hiç olmazsa iki gözelmin birbiriyle karşılaştırınca hangisinin daha büyük olduğunu bilmek mümkün olmasıdır. Bu şekilde parametrik olmayan istatistik sınamanın parametrik istatistik sınama analoğu iki ortalama arasındaki fark için t-sınamasıdır. Eğer bu t-sınaması için iki örneklem de sıralama şekilde sırasal ölçekli veri kullanılıyorsa Mann-Whitney testi ile parametrik ortalamalar arasındaki fark için t-sınaması arasinde nerede ise hiç fark olmayacaktır.
Mann-Whitney sınaması biraz değişik problem için ve değişik sıfır hipotez için de uygulanabilir. Bu şekildeki sıfır hipotez: bir anakütleden gelen örneklem veri ile ikinci anakütleden gelen bir başka veri arasındaki farkın 0,5 olmasıdır. Bu değişik hipotez sınaması için iki anakütlenin dağılımların bir sabit kayma haricinde aynı olduğu varsailimaktadır. Yani eğer  birinci anakütleden  anakütleden gelirse bu iki değişik örneklem değeri arasındaki ilişki şu olduğu  varsayılmaktadır.
Üçüncü bir şekilde problem uygulaması ve değişik anlamlı bir sıfır hipotez sınamanın Hodges-Lehman kestirimi olan iki anakütlenin merkezsel konum ölçüleri arasındaki farkın sıfır olmasıdır. Bu türlü iki-örneklemli problem için Hodges-Lehman kestirimi birinci ve ikinci orbeklem arasındaki her bir veri gözlem farkının medyanıdır. Bu şekilde problem belirlenmesi halinde birçok kişi Mann-Whitney sınamasının medyanlar arasındaki farkı sinadığını önermektedirler; ancak bu kesin olarak doğru değildir.
Her ne şekilde problem belirlenirse belirlensin genellikle Mann-Whitney sınaması için hipotezler şöyle kurulur. Verileri elde bulunan iki örneklemin iki değişik anakütle A ve anakütle Bden geldiği düşünülsün. Bu sınama için sıfır hipotez (yani H0) A ve B anakütlerinin aynı dağılım gösterdiğidir. Karşıt hipotez H1 ise yönlü hipotez olan A anakütlesinin B anakütlesinden türel (en:stochastic) olarak daha büyük olduğudur. H1 kabul edilirse A'dan elde edilen puanlar B'den elde edilen puanlardan 1/2 değerinde daha büyüktür. (Yani matematiksel biçimle eğer a A'dan ve b B'den birer gözlem iseler p(a>b>)>(1/2)). Diğer bir yönlü H1 hipotezi de (yani B'nin türel olarak A'dan daha büyük olması da) sınanabilir. Çok kere hangi yönlü karşıt hipotez seçileceği sorunda belirlenmemiştir. Bu halde hacmi daha büyük olan ya da örneklem hacimleri aynı ise ortalaması daha büyük olan örneklemin diğer örneklemden daha büyük olduğu H1 olarak kabul edilir.

Diğer sınamalara ilişki

U test iki bağımsız örneklem için ortalamalar farkı için Student'in t-testi ile çok benzer şartlar bulunduğu zaman kullanılır. Bunlardan hangi sınamanın ne zaman kullanılması gerektiği sorusu hemen ortaya çıkmaktadır. Eğer veriler sırasal ölçekli ise U' testi, eğer örneklem verileri aralıksal veya oransal ölçekli ise genel olarak t-testi tercih edilmelidir. Ancak aralıksal veya oransal ölçekli veriler halinde, eğer örneklem verileri içinde bir veya ikiden çok 'aykırı değer varsa veya eğer anakütle dağılımlarının normal olmaktan çok uzak ve örneklem hacimlerinin yeter derecede büyük olduğu biliniyor ise yine parametrik olmayan U testi tercih edilir.
Diğer taraftan bazı istatistikçiler, eğer iki örneklem birbirinden çok degişikse, U-testinin tercih edilmesi gerektiğini bildirirler. Ancak U-sınaması sıfır hipotez doğru ise iki örneklemin aynı dağılımdan geldiğini varsaymaktadır. Eğer iki örneklem değişik iki anakütle dağılımından gelmekte ise bu varsayıma göre hazırlanmış özel yaklaşımlı serbestlik dereceli t-testinın daha uygun sonuçlar vereceği ispat edilmiştir. Bu halde bazı istatistikçiler (örneğin Conover (1999)) verilerin sıralama düzenine koyulup sıralama numaraları için t-testi uygulanmasını tavsiye etmektedirler.
U-testi diğer bazı parametrik olmayan istatistik analiz yöntemleri ile ilişkili bulunmaktadır. Eğer veriler iki değer (0-1)-alan isimsel ölçekli iseler, U istatistiği ve Kendall sıralamalı korelasyon katsayısı teorik olarak aynıdır.
ρ adı verilen bir istatistik U istatistiği ile doğrusal olarak bağımlıdır. ρ
iki dağılım için birbirine ne kısımda çakışdıklarını ölçen bir parametrik olmayan istatistik olup 0 ile 1 arasında değişmektedir. Eğer ρ=0,5 ise iki dağılım tam olarak birbirleri ile çakışmaktadır. Uç değerlerde, yani ρ=0 veya ρ=1 olursa, iki dağılım birbirine hiç dokunmamaktadır. ρ değeri Unun n₁ × n₂ ile bölünmesi sonucu elde edilmektedir.