Kalkulong integral

Ang laguming tayahan o kalkulong integral (Ingles: integral calculus) ay isang sangay ng kalkulo na nag-aaral ng integrasyon  (pagsasama) at mga paggamit nito, katulad ng paghahanap ng mga bolyum, mga area, at mga solusyon sa mga ekwasyong diperensiyal. Ito ay nakatuon determinasyon o pag-alam (paghanap) ng mga integral. Bilang pag-aaral ng integrasyon at mga paggamit nito, ang mga paggamit na ito ay kinabibilangan ng pagkukwenta ng mga area na nahahangganan ng mga kurba, at mga bolyum na nahahangganan ng mga kalatagan o kaibabawan.

Kasaysayan

Ang unang nadokumentong sistematikong pamamaraang may kakayahang tumukoy ng mga integral ang paraan ng pag-ubos ng sinaunang Griyegong astronomong si Eudoxus(ca. 370 BCE). Ito ay naghangad na humanap ng mga area at bolyum sa pamamagitan ng paghahati ng mga ito sa walang hangganang mga hugis kung saan ang area at bolyum ay alam. Ang paraang ito ay karagdagang pinaunlad at ginamit ni Archimedes noong ika-3 siglo BCE at ginamit upang kwentahin ang mga parabola at ang pagtatantiya ng area ng isang bilog. Ang mga kaparehong paraan ay independiyenteng pinaunlad sa Tsina noong ika-3 siglo CE ni Liu Hui na gumamit nito upang hanapin ang area ng bilog. Ang paraang ito ay kalaunang ginamit noong ika-5 siglo CE ng Tsinong mag-amang matematikong sina Zu Chongzhi at Zu Geng upang hanapin ang bolyum ng isang spero. Ang sumunod na mahalagang mga pagsulong sa kalkulong integral ay hindi nagsimula hanggang sa ika-16 siglo. Sa panahong ito, ang akda ni Bonaventura Cavalieri sa kanyang paraan ng mga hindi mahahati at akda ni Pierre de Fermat ay nagsimulang maglatag ng mga pundasyon ng modernong kalkulo. Ang mga karagdagang hakbang ay nagawa noong simulang ika-17 siglo nina Barrow at Torricelli na nagbigay ng unang mga pagpapahiwatig ng isang ugnayan sa pagitan ng integrasyon at diperesiasyon. Si Barrow ay nagbigay ng unang patunay ng pundamental na teorema ng kalkulo. Nilahat ni Wallis ang paraan ni Cavalieri na kumwenta ng mga integral ng x sa isang pangkalahatang kapangyarihan kabilang ang mga negatibong kapangyarihan at mga praksiyonal na kapangyarihan. Ang pangunahing pagsulong sa integrasyon ay dumating noong ika-17 siglo sa independiyenteng pagkakatuklas ng pundamental na teorema ng kalkulo nina Isaac Newton at Gottfried Wilhelm Leibniz. Ang teoremang ito ay nagpapakita ng isang ugnayan sa pagitan ng integrasyon at diperensiasyon. Ang balangkas na ito ay kalaunang naging modernong kalkulo na ang notasyon para sa mga integral ay direktang hinango mula sa akda ni Leibniz. Bagaman sina Newton at Leibniz ay nagbigay ng isang sistematikong pakikitungo sa integrasyon, ang kanilang mga akda ay nagkukulang sa isang digri ng matematikal rigor. Inatake ni George Berkeley ang mga naglalahong inkrementong ginamit ni Newton na tinawag ang mga itong "mga multo ng naglahong mga kantidad". Ang kalkulo ay nagkamit ng isang mas matatag na saligan sa pagpapaunlad ng mga hangganan. Ang integrasyon ay unang rigorosong matematikal na pinormalisa ni Bernhard Riemann gamit ang mga hangganan. Si Henri Lebesgue ay nagpormula ng isang ibang depinisyon ng integral na itinatag sa teoriya ng sukat. Ang iba pang mga depinisyon ay iminungkahi rin.

Mga pormal na depinisyon

Maraming mga paraan ng pormal na paglalarawan ng integral. Ang mga pagkakaiba ay umiiral upang pakitunguhan ang iba't ibang mga espesyal na kaso na hindi maiintegrado sa ilalim ng ibang mga depinisyon ngunit minsan ay para sa mga dahilan pedagogikal. Ang pinakakaraniwang ginagamit na depinisyon ng integral ang mga integral na Riemann at integral na Lebesgue.

Pundamental na teorema ng kalkulo

Ang Pundamental na teorema ng kalkulo ay nagsasaad na ang diperentasyon at integrasyon ay mga inbersong operasyon. Kung ang isang tuloy tuloy na punsiyon ay in-integrado(integrated) muna at dineperensiya(differentiated), ang orihinal na punsiyon ay makukuha. Ang isang mahalagang kinahitnan nito na minsan tinatawag na ikalawang pundamental na teorema ng kalkulo' ay pumapayag na makwenta ang mga integral gamit ang antideribatibo ng punsiyong iintegraduhin.