Punsiyon (matematika)

Depinisyon

Ang isang tiyak na depinisyon ng isang punsiyon ay isang isinaayos na triple ng mga hanay na isinulat na  (X, Y, F)  kung saan ang X ang sakop o domain, ang Y ang codomain, at ang F ang hanayng mga isinaayos na pares (a, b). Sa bawat mga isinaayos na pares, ang unang elementong a ay mula sa sakop/domain, ang ikalawang elementong b ay mula sa codomain at ang isang kinakailangang kondisyon ay ang bawat elemento sa sakop/domain ang unang elemento sa eksaktong isang isinaayos na pares. Ang hanay ng lahat ng b ay tinatawag na imahe ng punsiyon at hindi kinakailangang maging buo ng codomain. Ang karamihan sa mga may-akda ay gumagamit ng salitang "range" upang ipakahulugang imahe samantalang ang iba ay gumagamit ng codomain upang pakahulugang range.
Ang notasyong f:X→Y ay nagpapakitang ang f ay isang punsiyn na may sako/domain na X at codomain na Y, at ang punsiyong f ay sinasabing mapa o associate/kaugnay na mga elemento Y.
Imbis na pag-usapan ang isang punsiyonh at tukuyin ang domain at codoamin sa depinisyon nito, normal na mas konbinyenteng pag-usapan ang mga punksiyon na may spesipikong domain at codomai na mga punsiyon ng isang ibinigay na uri at pagkatapos ay ilalarawan ng hanay ng mga isinaayos na pares  na F. Halimbawa, ang isang punsiyon mula sa mga real tungol sa real ay bibigyan ng hanay ng mga pares na  (x, 2x) kung saan ang x ay isang real.
Kung ang domain at codomain ay parehong mga hanay ng mga real na bilang gaya ng karaniwang kaso, sinasabi nating ang f ay isang may halagang real na punsiyon ng isang real na bariabulo at ang pag-aaral ng mga gayong punsiyon ay tinatawag na mga real na bariabulo. Kung ang domain at codomain ay parehong hanay ng mga kompleks na bilang, kung gayon, ating sasabihing ang f ay isang may halagang kompleks na punsiyon ng isang kompleks na bariabulo. Ang pag-aaral ng mga punsiyong ito ay tinatawag na mga kompleks na bariabulo. Sa karamihan ng mga sitwasyon, ang domain at codomain ay nauunawan mula sa konteksto at ang tanging ugnayan sa pagitan ng mga input at output ang ibinigay, ngunit kung ang f(x) = √x, kung gayon sa mga real na bariabulo, ang sakop/domain ay limitado sa hindi-negatibong mga bilang samantalang sa mga kompleks na bariabul, ang domain ang lahat ng mga kompleks na bilang.
Lalo na sa teoriya ng hanay, ang isang punsiyong f ay kalimitang inilalarawan bilang hanay ng mga isinaayos na pares. Ang domain ay simpleng ang hanay ng elemento na lumalabas bilang unang elemento ng pares at walang hayagang codomain na hiwalay mula sa imahe.
Ang isang punsiyon ay maaari ring tawaging mapa o pagmamapa/mapping. Gayunpaman, ang ilang mga may-akda ay gumagamit ng mga terminong "punsiyon" at "mapa" upang tukuyin ang iba't ibang uri ng mga punsiyon. Ang ibang mga spesipikong uri ng mga punsiyon ay kinabibilangan ng punsiyonal(Ingles: functional) at mga operador(Ingles: operator).
Ang isang spesipikong input sa isang punsiyon ay tinatawag na argumento ng punsiyon. Sa bawat argumentong halagang x, ang tumutugong walang katulad(unique) na y sa codomain ay tinatawag na halaga sa x, output ng ƒ para sa argumentong x o ang imahe ng x sa ilalim ng ƒ.  Ang imahe ng x ay maaaring isulat bilang ƒ(x) o bilang y.
Ang grapo ng punsiyon ang hanay nito ng mga isinaayos na pares na F. Ito ay isang abstraksiyon ng ideya ng grapo bilang larawan na nagpapakita ng punsiyon na binalangkas sa isang pares ng mga aksis na koordinado. Halimbawa, ang (3, 9), ang punto sa taas ng 3 sa horisontal na aksis sa kanan at 9 sa bertikal na aksis ay nakahimlay sa grapo ng .
Ang sakop/domain na X ay maaaring void ngunit kung ang X = ∅, kung gayon ang F = ∅. Ang codomain na Y ay maaari ring void, ngunit kung ang Y = ∅, kung gayon ang X = ∅ at ang F = ∅. Ang mga gayong walang lamang punsiyon ay hindi karaniwan ngunit ang teoriya ay nagsisiguro ng eksistensiya ng mga ito.
Ang hanay ng lahat ng mga punsiyong f:X→Y ay minsang tinutukoy ng iYX. Kung ang X ay inpinido(infinite) at mayroon higit sa isang elemnto sa Y, kung gayon mayroon hindi mabibilang na maraming mga punsiyon mula sa X tungo sa Y bagaman ang taning mabibilang marami sa mga ito ang maaaring ihayag ng isang pormula o algoritmo.
Sa mga ilang bahagi ng matematika, kabilang ang teoriya ng rekursiyon at punsiyonal na analisis, konbinyenteng pag-aralan ang mga parsiyal na punsiyon kung saan ang ilang mga halaga ng domain ay walang kaugnayan/association sa grapo, i.e. isang-halagang mga ugnayan. Halimbawa, ang punsiyon f upang ang f(x) = 1/x ay hindi naglalarawan ng isang halaga para sa x = 0, at kaya ay isa lamang parsiyal na punsiyon mula sa real na linya tungo sa real na linya. Ang terminong kabuuang punsiyon ay maaaring gamitin upang bigyang diin ang katotohanang ang bawat elemento ng domain ay lumilitaw bilang unang elemento ng isinaayos ng pares sa grapo. Sa ibang mga bahgai ng matematika, ang hindi-isang-halagang mga ugnayan ay katulad ding isinanib sa mga punsiyon. Ito ay tinatawag na mga maraming halagang punsiyon na may tumutugong terminong isang-halagang punsiyon para sa mga ordinaryong punsiyon.
Maraming mga operasyon sa teoriya ng hanay gaya ng kapangyarihang hanay ay may klase ng lahat ng mga hanay bilang domain ng mga ito at kaya  bagaman ang mga ito ay inpormal na inilalarawan bilang mga punsiyon, ang mga ito ay hindi nagkakasya sa set-teoretikal na depinisyon ibinalangkas sa itaas dahil ang klase ay hindi kinakailangang isang hanay.
Ang punsiyon ay isang espesyal na kaso ng mas pangkalahatang matematikal na konseptong relasyon(ugnayan) kung saan ang restrtiksiyon ang bawat elemento ng domain ay lumilitaw na unang elemento sa isa at tanging isang isinaayos na pares lamang inalis. Sa ibang salita, ang elemento ng domain ay maaaring hindi unang elemento ng anumang isiniaayos na pares o maaaring unang lemento ng dalawa o higit pang isinaayos na pares. Ang relasyon ay "may isang halaga" kapag kung ang elemento ng domain ang unang elemento, ito ay hindi unang elemento ng anumang ibang isinaayos na pares. Ang relasyon ay isang "kaliwang-kabuuan" o simpleng "kabuuan" kung ang bawat elemento ng domain ang unang elemento ng isang isinaayos na pares. Kaya ang punsiyon ay isang buon, may isang halagang relasyon.

Elementaryang mga punsiyon

Elementaryang mga punsiyon ay mga punsiyon na nilikha para sa mga pundamental na operasyon ng matematika gaya ng adisyon, substraksiyon, multiplikasyon at dibisyon.