Heometriya

Buod

Ang itinalang pag-unlad ng heometriya ay sumasaklaw sa higit sa dalawang millenia. Bahagyang nakapagtataka na ang mga persepsiyon kung ano ang bumubuo sa heometriya ay nag-ebolb sa loob ng mga panahon.

Heometriyang praktikal

Ang heometriya ay nagmula sa isang praktikal na agham na umuukol sa pagsu-survey, pagsukat, mga area at bolyum. Sa mga kilalang nagawa, ang isa ay makahahanap ng mga pormula para sa mga haba, area at bolyum gaya ng sa teoremang Pythagorean, sirkumperensiya at area ng disko, area ng tatsulok, bolyum ng isang silindro, spero at pyramid. Ang isang paraan ng pagkukwenta ng ilang mga hindi makukuhang distansiya o taas ay batay sa pagkakapareho ng mga pigurang heometriko ay itinuro kay Thales. Ang pag-unlad ng astronomiya ay tumungo sa paglitaw ng trigonometriya at trigonometriyang sperikal kasama ng tumutulong na mga pamamaraang komputasyonal.

Mga konstruksiyong heometriko

Ang mga klasikong heometro ay nagbigay ng espesyal na atensiyon sa pagtatayo ng mga obhektong heometriko na inilarawan sa ibang paraan. Sa klasiko, ang tanging mga instrumentong pinayagan sa mga konstruksiyong heometriko ang kompas at ruler. Gayundin, ang bawat konstruksiyon ay dapat kumpleto sa isang may hangganang bilang ng mga hakbang. Gayunpaman, ang ilang mga problema ay lumabas na mahirap o imposibleng malutas ng tanging mga paraang ito at ang mga malikhaing konstruksiyon gamit ang mga parabola at iba pang mga kurba gayundin din ang mga kasangkapang mekanikal ay natagpuan.

Mga bilang sa heometriya

Sa sinaunang Gresya, ang mga Pythagorran ay nagsaalang alang ng papel ng mga bilang sa heometriya. Gayunpaman, ang pagkakatuklas ng mga hindi komensurableng mga haba na sumalungat sa kanilang mga pananaw pilosopikal ay gumawa sa kanilang lumisan sa mga abstraktong bilang at pumabor sa mga konkretong kantidad na heometriko gaya ng haba at area ng mga pigura. Ang mga bilang ay muling ipinakilala sa heometriya sa anyo ng mga koordinado ni Descartes na nakatanto na ang pag-aaral ng mga hugis heometriko ay maaaring tumulong sa representasyong alhebraiko ng mga ito at siyang pinangalanan ng planong Cartesian. Ang heometriyang analitiko ay naglalapat ng mga pamamaraan ng alhebra sa mga tanong na heometriko na karaniwan sa pamamagitan ng pag-uugnay ng mga kurbang heometriko at mga ekwasyong alhebraiko. Ang mga ideyang ito ay gumampan ng isang mahalagang papel sa pagpapaunlad ng kalkulo noong ika-17 siglo at tumungo sa pagkakatuklas ng maraming mga bagong katangian ng mga kurbang plano. Ang modernong heometriyang alhebraiko ay nagsasaalang alang ng parehong mga tanong sa isang malawak na mas abstraktong lebel.

Heometriya ng posisyon

Kahit sa mga sinaunang panahon, ang mga heometro ay nagsaalang alang ng mga tanong ng relatibong posisyon o relasyong pang-espasyo ng mga pigura at hugis na heometriko. Ang ilang mga halimbawa ay ibinigay ng mga naka inskriba at nakasirkumskribang mga bilog ng mga poligon, mga linyang bumabagtas at tangent sa mga seksiyong koniko at mga konpigurasyong Pappus at Menelaus ng mga punto at linya. Sa Gitnang mga Panahon, ang bago at mas komplikadong mga tanong ng uring ito ay isinaalang alang:Ano ang maksimum na bilang ng mga spero na sabay na humihipo sa isang ibinigay na spero ng parehong radius?(problemang humahalik na bilang) Ano ang pinakasiksik na pagpapake ng spero ng magkatumbas na sukat sa espasyo?(konhekturang Kepler) Ang karamihan sa mga tanong na ito ay kinasasangkutan ng mga mahigpit na hugis heometrikal gaya ng mga linya o spero. Ang heometriyang prohektibo, konbeks at diskreto ang tatlong mga pang-ilalim na mga disiplina sa loob ng kasalukuyang heometriya na umuukol sa mga ito at mga kaugnay na tanong. Si Leonhard Euler sa kanyang pag-aaral ng mga problema tulad ng Mga Pitong Tulay ng Königsberg ay nagsaalang alang ng pinaka pundamental na mga katangian ng mga pigurang heometrika na batay lamang sa hugis na hindi nakasalalay sa mga katangiang metriko ng mga ito. Tinawag ni Euler ang bagong sangay na ito ng heometriya na geometria situs (heometriya ng lugar) na kilala na ngayon bilang topolihiya. Ito ay hindi nagtatangi sa pagitan ng mga obheto na maaaring tuloy tuloy na ideporma sa bawat isa. Gayunpaman, ang mga obhekto ay nagpapanatili ng ilang heometriya gaya ng sa kaso ng mga buhol na hiperboliko.

Heometriyang lagpas kay Euclid

Sa halos mga dalawang libong taon mula kay Euclid, bagaman ang saklaw ng mga tanong heometrikal na itinanong at sinagot ay hindi maiiwasang lumawig, ang basikong pagkaunawa ng espasyo ay nanatiling likas na pareho. Si Immanuel Kant ay nangatwirang may isa lamang absolutong heometriya na alam na totoong a prior ng isang panloob na pakultad ng isip: ang heometriyang Euclidean ay sintetiko a prior. Ang nananaig na pananaw na ito ay pinataob ng rebolusyonaryong pagkakatuklas ng heometriyang hindi Euclidean sa mga akda ni Gauss (na hindi kailanman naglimbag ng kanyang teoriya) gayundin nina Bolyai at Lobachevsky na nagpakitang ang ordinaryong espasyong Euclidean ang tanging isang posibilidad para sa pag-unlad ng heometriya. Ang isang malawak na pangitain ng paksa ng heometriya ay inihayag ni Riemann sa kanyang inaugurasyong pagtuturo noong 1867 na Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (Tungkol sa mga hipotesis kung saan ang heometriyay nakabatay) na inilimbag lamang pagkatapos ng kanyang kamatayan. Ang bagong ideya ni Riemann ng espasyo ay napatunayang mahalaga sa pangkalahatang relatibidad ni Albert Einstein at ang heometriyang Riemannian na nagsasaalang alang ng labis na pangkalahatang mga espasyo kung saan ang nosyon ng haba ay inilalarawan ay saligan ng modernong heometriya.

Dimensiyon

Kung saan ang tradisyonal na heometriya ay pumapayag sa mga dimensiyong 1(isang linya), 2(isang plano) at 3(ating daigdig na naunawaan bilang tatlong dimensiyonal na espasyo), ang mga matematiko ay gumamit ng mga mas mataas na dimensiyon sa loob ng halos 200 siglo. Ang dimensiyon ay sumailalim sa mga yugto ng pagiging anumang natural na bilang na n na  posibleng walang hangganan sa pagpapakilala ng espasyong Hilbert at anumang positibong real na bilang sa heometriyang praktal. Ang teoriyang dimensiyon ay isang ideyang teknikal na sa simula ay sa loob ng pangkalahatang topolohiya na tumatalakay sa mga depinisyon. Sang ayon sa karamihang mga ideyang matematikal, ang dimensiyon ay inilalarawan na ngayon imbis na isang intuisyon. Ang konektadong mga manipoldong topolohikal ay may isang mahusay na nilalarawang dimensiyon. Ito ang teorema ng inbariansa ng sakop kesa sa anumang a priori. Ang isyu ng dimensiyon ay mahalaga pa rin sa heometriya sa kawalan ng mga kompletong sagot sa mga klasikong tanong. Ang mga dimensiyong 3 ng espasyo at 4 ng espasyo-panahon ay mga espesyal na kaso sa topolohiyang heometriko. Ang dimensiyong 10 o 11 ay isang mahalagang bilang sa teoriya ng tali. Ang pagsasaliksik ay maaaring magdala ng isang nakasasapat na dahilang heometriko para sa kahalagahan mga dimensiyong 10 o 11.

Simetriya

Ang tema ng simetriya sa heometriya ay halos kasing tanda ng mismong agham ng heometriya. Ang mga hugis simetriko gaya ng bilog, mga regular na poligon at mga solidong platoniko ay humawak ng malalim na kahalagahan para sa maraming mga sinaunang pilosopo at inimbestighan sa detalye bago ang panahon ni Euclid. Ang mga paternong simetriko ay nangyayari sa kalikasan at artistikong iginuhit sa maraming mga anyo kabilang ang mga grapika ni M. C. Escher. Gayunpaman, hanggang sa ikalawang kalahati ng ika-19 siglo lamang nang ang nagpapaisang papel ng simetriya sa mga pundasyon ng heometriya ay nakilala. Ang programang Erlangen ni Felix Klein ay naghayag na sa isang napaka tumpak na kahulugan, ang simetriya na inihayag sa pamamagitan ng nosyon ng isang transpormasyong grupo ay tumutukoy sa kung ano ang heometriya. Ang simetriya sa klasikong heometriyang Euclidean ay kinakatawan ng mga kongruensa at mga matibay na mosyon samantalang ang heometriyang prohektibo na analogosong papel na ginamapanan ng mga kolineayasyon na mga transpormasyong heometriko na kumukuha ng mga linyang tuwid. Gayunpaman, sa mga bagong heometriya nina  Bolyai at Lobachevsky, Riemann, Clifford at Klein, at Sophus Lie na ang ideya ni Klein upang ilarawan ang heometriya sa pamaamgitan ng mga grupong simetriya nito ay napatunayang napakamaimpluwensiya (influential). Ang parehong mga simetriyang diskreto at tuloy tuloy ay gumagampan ng mga papel sa heometriya, ang una ay sa topolohiya at teoriyang grupong heometriko at ang huli ay sa teoriyang Lie at heometriyang Riemannian. Ang isang ibang uri ng simetriya ang prinsipyo ng dualidad sa heometriyang prohektibo kasama ng ibang mga larangan. Ang meta-phenomenon na ito ay halos mailalarawan bilang sumusunod: sa anumang teorema, ipalit ang punto sa plano, pagsanib sa pagtatagpo, nasa sa naglalaman at ikaw ay makakakuha ng magkatumbas na totoong teorema. Ang isang katulad at malapit na kaugnay na anyo ng dualidad ay umiiral sa pagitan ng isang espasyong bektor at espasyong dual nito.

Heometriyang Euclidean

Ang heometriyang Euclidean ay naging malapit na kaugnay ng heometriyang komputasyonal, grapikang kompyuter, heometriyang konbeks, heometriyang diskreto at ilang mga sakop ng kombinatorika. Ang momentum ay ibinigay sa karagdagang akda sa heometriyang Euclidean at ang mga grupong Euclidean ng kristalograpiya at sa akda ni H. S. M. Coxeter at maaaring makita sa mga teoriya ng nga grupong Coxeter at mga politopo. Ang teoriyang grupong heometriko ay isang lumalawig na sakop ng teoriya ng mas pangkalahatang mga grupong diskreto na humahango sa mga modelong heometriko at mga pamamaraang alhebraiko.

Heometriyang diperensiyal

Ang heometriyang diperensiyal ay naging ng tumataas na kahalagahan sa pisikang matematikal sanhi ng postulasyon ng pangkalahatang relatibidad ni Albert Einstein na ang uniberso ay naka-kurba. Ang kontemporaryong heometriyang diperensiyal ay likas na nangangahulugang ang mga espasyong isinasaalang alang nito ay mga manipoldong makinis ang istrakturang heometriko ay pinangangasiwaan ng isang metrikong Riemannian na tumutukoy sa kung paanong ang mga distansiya ay nasusukat malapit sa bawat punto at hindi ang mga bahaging a priori ng ilang pangkapaligirang patag na espasyong Euclidean.

Topolohiya at heometriya

Ang larangan ng topolohiya na nakakita ng malaking pag-unlad noong ika-20 siglo ay sa teknikal na kahulugan isang uri ng heometriyang transpormasyon kung saan ang mga transpormasyon ay mga homeomorpismo. Ito ay kadalasang inihahayag sa anyo ng dictum na 'ang topolohiya ay isang heometriyang gomang kumot'. Ang kontemporaryong topolohiyang heometriko at topolohiyang diperensiyal at mga partikular na pang-ilalim na larangan gaya ng teoriyang Morse ay mabibilang ng karamihang mga matematiko bilang bahagi ng heometriya. Ang topolohiyang alhebraiko at pangkalahatang topolohiya ay tumungo sa kanilang mga sariling landas.

Heometrikang alhebraiko

Ang larangan ng heometrikang alhebraiko ang modernong inkarnasyon ng heomeriyang Cartesian ng mga koordinado. Mula huli hanggang 1950 hanggang gitna nang 1970, ito ay sumailalim sa malaking mga pang pundasyong pag-unlad na malaking sanhi ng akda nina Jean-Pierre Serre at Alexander Grothendieck. Ito ay tumungo sa pagpapakilala ng mga skema at mas malaking pagbibigay diin sa mga pamamaraang topolohikal kabilang ang iba't ibang mga teoriyang cohomolohiya. Ang pag-aaral ng mababang dimensiyonal na mga bariedad na alhebraiko na mga kurbang alhebraiko, mga surpasyong alhebraiko at mga bariedad na alhebraiko ng dimensiyong 3 ay isinulong. Ang teoriyang basehang Gröbner at real na heometriyang alhebraiko ay kasama sa mga mas nilalapat na pang-ilalim na larangan ng modernong heometriyang alhebraiko. Ang heometriyang aritmetiko ay isang aktibong larangan na nagsasama ng heometriyang alhebraiko at teoriya ng bilang. Ang ibang mga direksiyon ng pagsasaliksik ay kinasasangkutan ng mga espasyong moduli at heometriyang kompleks. Ang mga pamamaraang alhebro-heometriko ay karaniwang inilalapat sa teoriya ng tali at teoriya ng brano.