Teorya ng grupo

Ang Teoriya ng grupo o Teoriya ng pangkat (Ingles: group theory) ay sangay ng matematika na nag-aaral ng mga alhebraikong istraktura na kilala bilang grupo. Ang iba pang kilalang mga istraktura ay kinabibilangan ng mga singsing, hanay at mga espasyong bektor na maaaring makita bilang mga pangkat na karagdagang mga operasyon at mga aksioma. Ang mga grupo ay nakikita ng paulit ulit sa buong matematika. Ang mga linyar na alhebraikong grupo at grupong Lie ang dalawang mga sangay ng teoriyang grupo na nakaranas ng labis na mga pagsulong at naging mga paksang sakop sa kanilang mga sarili. Ang iba't ibang mga pisikal na sistema gaya ng mga kristal at atomong hydroheno ay maaaring imodelo ng mga symmetriyang grupo. Kaya ang teoriyang grupo at ang malapit na kaugnay na teoriya ng representasyon ay maraming mga aplikasyon sa pisika at kemika. Ang isa sa pinakamahalagang matematikal na nagawa sa ika-20 siglo ang pagtutulungang pagsisikap na humaba ng higit sa 10,000 mga pahinang journal at karamihan ay inilimbag sa pagitan ng 1960 at 1980 na humantong sa isang kompletong klasipikasyon ng may hangganang mga simpleng grupo.

Pangunahing mga klase ng mga grupo

Ang saklaw ng mga grupo na isinasaalang alan ay unti unting lumawak mula sa may hangganan(finite) na mga permutasyong grupo at mga espesyal na halimbawa ng grupong matrix hanggang sa abstraktong mga grupo na maaaring matukoy sa pamamagitan ng presentasyon ng mga henerador at mga relasyon.

Mga grupong permutasyon

Ang unang kalse ng mga grupo na sumailalim sa isang sistematikong pag-aaral ang mga grupong permutasyon. Sa ibinigay na anumang hanay na X at isang koleksiyon na G na biheksiyon ng X sa sarili nito(na kilala bilang mga permutasyon) na sarado sa ilalim ng mga komposisyon at mga inberso, ang G ay isang grupo na umaasal sa X. Kung ang X ay binubuo ng mga elementong n at ang G ay binubuo ng lahat ng mga permutasyon, ang G ang symmetrikong grupo na Sₙ. Sa pangkalahatan, ang anumang grupong permutasyon na G ay isang subgrupo ng symmetrikong grupo ng X. Ang simulang konstruksiyon sanhi ni Cayley ay nagpakita ng anumang grupo bilang isang grupong permutasyon, na umaasal sa sarili nito (X = G) sa pamamagitan ng kaliwang regular na representasyon.
Sa maraming mga kaso, ang istraktura ng isang grupong permutasyon ay maaaring pag-araln gamit ang mga katangian ng aksiyon nito sa tumutugong hanay. Halimbawa, sa paraang ito mapapatunayan na sa n ≥ 5, ang humahaliling grupong Aₙ ay simple, i.e. ito ay hindi tumatanggap ng anumang angkop na normal na subgrupo. Ang katotohanang ito ay gumagampan ng mahalagang papael sa imposibilidad ng paglutas ng isang pangkalahatang alhebraikong ekwasyon ng digring n ≥ 5 sa mga radikal.

Mga grupong matrix

Ang sumunod na mahalagang klase ng mga grupo ay ibinigay ng mga grupong matrix o mga linyar na grupo. Dito, ang G ay isang hanay na binubuo ng mababaliktad na mga matrix ng ibinigay na order na n sa ibabaw ng isang field na K na sarado sa ilalim ng mga produkto at inberso. Ang gayong grupo ay umaasal sa n-dimensiyonal na espasyong bektor na Kⁿ sa pamamagitan ng mga linyar na transpormasyon. Ang aksiyong ito ay gumagawa sa mga grupong matrix na konseptuwal na katulad ng mga grupong permutasyon at ang heometriya ng aksiyon ay maaaring gamitin upang itatag ang mga katangian ng grupong G.

Mga grupong transpormasyon

Ang mga grupong permutasyon at mga grupong matrix ang mga espesyal na kaso ng mga grupong transpormasyon: ang mga grupo na umaasal sa isang espasyong X na nag-iingat sa likas na istraktura nito. Sa kaso ng mga grupong permutasyon, ang X ay isang hanay; para sa mga grupong matrix, ang X ay isang espasyong bektor. Ang konsepto ng isang grupong transpormasyon ay malapit na kaugnay ng konsetp ng isang symmetriyang grupo: ang mga grupong transpormasyon ay kalimitang binubuo ng lahat ng mga transpormasyon na nag-iingat ng isang istraktura.
Ang teoriya ng mga grupong transpormasyon ay bumubuo ng isang tulay na nagdudugton sa teoriya ng grupo sa diperensiyal na heometriya. Ang mahabang linya ng pagsasaliksik na nagsimula kay Sophus Lie at Felix Kleim ay tumuturing sa mga aksiyong grupo sa mga manipoldo sa pamamagitan ng mga homeomorpismo o mga diffeomorpismo. Ang mga mismong grupo ay maaaring diskreto o tuloy tuloy.