Maksima at minima

Depinisyong analitikal

Ang isang may halangang-real na punsiyong f na inilalarawan sa isang real na linya ay sinasabing may lokal (o relatibong) puntong maximum sa puntong x∗ kung may umiiral na isang ε > 0 kung saan ang f(x∗) ≥ f(x) sa tuwing ang |x − x∗| < ε. Ang halaga ng punsiyon sa puntong ito ay tinatawag na maximum ng punsiyon. Gayundin, ang isang punsiyon ay may lokal na puntong minimum sa x∗, kung ang f(x∗) ≤ f(x) sa tuwing ang |x − x∗| < ε. Ang halaga ng punsiyon sa puntong ito ay tinatawag na minimum ng punsiyon. 
Ang isang punsiyon ay may global (o absolutong) puntong maximum sax∗ kung ang f(x∗) ≥ f(x) para sa lahat ng x. Gayundin, ang isang punsiyon ay mayglobal (o absolutong) puntong minimum sa x∗ kung ang f(x∗) ≤ f(x) para sa lahat ng x. Ang mga puntong global na maximum at global na minumum ay kilala bilang arg max at arg min: ang argumento (input) kung saan ang maximum(o minimum) ay umiiral. 
Tinatakdaang mga sakop(Restricted domains): Maaaring may maxima at minima para isang punsiyon na ang sakop ay hindi kinabibilangan ng lahat ng mga real na bilang. Ang isang may halagang-real na punsiyon na ang sakop ay anumang hanay ay maaaring magkaroon ng global na maximum at minimum. Maaari ring ito ay mayroong mga puntong lokal na maxima at lokal na minima ngunit tanging sa mga punto ng hanay na sakop kung saan ang konseptong kapitbahayan(neighborhood) ay inilalarawan. Ang isang kapitbahayan ay gumagampan ng papel na hanay ng x upang ang |x − x∗| < ε. 
Ang isang tuloy tuloy na punsiyon(may halagang-real) sa isang siksik na hanay ay palaging kumukuha ng mga halagang maximum at minimum sa hanay na ito. Ang isang mahalagang halimbawa ay isang punsiyon na ang sakop ay isang sarado(at tinakdaan) na interbal ng mga real na bilang. Ang pag-aatas ng kapitbahayan(neigborhood) ay hindi nagsasama ng isang lokal na maximum o minimum sa dulongpunto ng isang interbal. Gayunpaman, ang isang dulongpunto ay maaaring isa pa ring global na maximum o minimum. Kaya ito ay hindi palaging totoo para sa mga may hangganang

Paghahanap ng maxima at minima ng isang punsiyon

Ang paghahanap ng global na maxima at minima ang pangunahing layunin ng optimisasyon. Kung ang isang punsiyon ay tuloy-tuloy(continuous) sa isang saradong interbal, kung gayon sa pamamagitan ng halagang ekstremang teorema(extreme value theorem), ang global maxima at minima ay umiiral. Sa karagdagan, ang isang global na maximum(o minimum) ay dapat isang lokal na maximum(o minimum) sa loob ng sakop o dapat dumadapo sa hangganan ng sakop. Kaya ang paraan ng paghahanap ng isang global na maximum(o minium) ay ang pagtingin sa lahat ng mga lokal na maxima(o minima) sa loob gayunin sa maxima(o minima) ng mga punto sa hangganan at kunin ang pinakamalaki(o pinakamaliit) na halaga. 
Ang lokal na extrema ay mahahanap sa pamamagitan ng Teorema ni Fermat na nagsasaad na ang mga ito ay dapat umiral sa mga puntong kritikal. Maaaring matukoy kung ang isang puntong kritikal ay isang lokal na maximum o lokal na minimum sa pamamagitan ng paggamit ng pagsubok ng unang deribatibo o pagsubok ng ikalawang deribatibo.
Para sa anumang punsiyon na inilalarawang piecewise, ang maxima(o minima) ay mahahanap sa pamamagitan ng paghahanap ng maximum(o minimum) ng bawat piraso nang magkahiwalay at titingnan ang pinakamalaki(o pinakamaliit) sa mga ito.