Matematika

Ang matematika (Aleman: Mathematik, Pranses: mathématiques, Ingles: mathematics, Kastila, Portuges: matemática) ang pag-aaral ng kantidad, espasyo, estraktura at pagbabago. Ang mga matematiko na nag-aaral ng matematika ay naghahanap ng mga paterno (patterns) at isinasa-pormula ang mga bagong konhektura. Ang mga matematika ay lumulutas ng katotohonan o kamalian ng mga konhektura sa pamamagitan ng mga matematikal na pagpapatunay na mga argumentong sapat upang mahikayat ang ibang mga matematiko sa balidad nito. Ang pagsasaliksik na kinakailangan upang lumutas ng mga problemang matematikal ay maaaring tumagal ng mga taon o kahit mga siglo ng patuloy na pagsisiyasat. Gayunpaman, ang mga matematikal na pagpapatunay ay mas hindi pormal at nakakapagod kesa sa mga patunay sa matematikal na lohika. Simula ng pasimulang akda ni Guiseppe Peano, David Hilbert at iba pa sa mga aksiomatikong mga sistema sa huli ng ika-19 na siglo, naging kaugalian na tingnan ang pagsasaliksik matematikal na nagtatatag ng katotohanan sa pamamagitan ng mahigpit na deduksiyon mula sa angkop na napiling mga aksioma at depinisyon. Kapag ang mga matematikal na istrakturang ito ay mabuting mga modelo ng tunay na penomena, kung gayon ang pangangatwirang matematikal ay kalimitang makapagbibigay ng kabatiran o mga prediksiyon.
Sa pamamagitan ng paggamit ng abstraksiyon at lohikal na pangangatwiran, ang matematika ay nabuo mula sa pagbibilang, pagkukwenta, pagsukat at sa sistematikong pag-aaral ng mga hugis at mosyon ng mga pisikal na obhekto. Ang praktikal na matematika ay naging gawain ng tao mula pa sa pag-iral ng isinusulat na rekord. Ang mga mahigpit na argumento ay unang lumitaw sa Griyegong matematika na ang pinakilala dito ang Mga Elemento ni Euclid. Ang matematika ay nabuo sa relatibong mabagal na hakbang hanggang sa Renasimiyento nang ang mga matematikal na inobasyon na nakikipag-ugnayan sa mga bagong siyentipikong pagkakatuklas ay nagdulot ng mabilis na pagtaas sa bilis ng mga pagkakatuklas matematikal na nagpapatuloy sa kasalukuyang panahon.
Sinabi ni Galileo Galilei na "ang uniberso ay hindi mababasa hanggang sa matutunan natin ang wika at maging pamilyar sa mga karakter na isinulat dito. Ito ay isinulat sa wikang matematikal at ang mga letra ang tatsulok, bilog at iba pang mga heometrikal na pigura na kung wala ang mga ito ay hindi posible sa tao na maunawaan ang isang salita. Kung wala ng mga ito, ang isa ay pagala-gala sa isang madilim na labirinto". Tinawag ng matematikong si Benjamin Peirce ang matematika na "agham na humuhugot ng mga kinakailangang konklusyon". Sinaad naman ni David Hilbert tungkol sa matematika na "Hindi tayo nagsasalita rito ng pagiging arbitraryo sa anumang kahulugan. Bagkus, ito ay isang konseptwal na sistemang nag-aangkin ng panloob na pangangailangan na maaaring ganoon lamang at sa walang kahulugan na iba dito". Si Albert Einstein ay nagsaad naman na "sa saklaw na ang mga batas ng matematika ay tumutukoy sa realidad, ang mga ito ay hindi tiyak at sa saklaw na ang mga ito ay tiyak, ang mga ito ay hindi tumutukoy sa realidad". Sa mas kamakailan lamang, tinawag ni Marcus du Sautoy ang matematika na "ang reyna ng agham...ang pangunahing nagpapatakbong pwersa sa likod ng siyentipikong pagkakatuklas."
Ang matematika ay ginagamit sa buong mundo bilang mahalagang kasangkapan sa maraming mga larangan kabilang ang natural na agham, inhinyerya, medisina at mga panlipunang agham. Ang Nilalapat na matematika na sangay ng matematikang hinggil sa aplikasyon ng kaaalamang matematikal sa ibang mga larangan ay pumupukaw at gumagamit ng mga bagong pagkakatuklas matematikal at minsan ay nagdudulot ng pagkakabuo ng kabuuang bagong mga disiplinang matematikal gaya ng estadistika at teoriya ng laro. Ang mga matematiko ay nakikitungo sa purong matematika o matematika para sa sarili nitong kapakanan na walang aplikasyong iniisip. Walang maliwanag na linyang humihiwalay sa puro at nilalapat na matematika at ang mga praktikal na aplikasyon para sa naging purong matematika ay kalimitang tinutuklas.

Etimolohiya

Ang salitang "mathematics" ay nagmula sa Griyegong μάθημα (máthēma) na nangangahulugan sa sinaunang Griyegong na anong natutunan ng isa, anong malalaman ng isa, kaya ito ay isa ring pag-aaral at agham at sa modernong Griyego ay tanging aralin. 
Ang salitang máthēma ay nagmula sa μανθάνω (manthano) sa sinaunang Griyego at mula sa μαθαίνω (mathaino) sa modernong Griyego na parehong nangangahulugang matuto. 
Ang salitang "mathematics" sa Griyego ay nagkaroon ng mas malawak at mas teknikal na kahulugang "matematikal na pag-aaral" kahit sa mga panahong Klasiko. Ang pang-uri nito ay μαθηματικός (mathēmatikós) na nangangahulugang may kaugnayan sa pagkatuto o pagiging mapag-aral na gayundin ay karagdagang nangahulugang matematikal. Sa partikular, ang μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē), Latin: ars mathematica ay nangahulugang matematikal na sining. Sa Latin at sa Ingles hanggang mga 1700, ang terminong "mathematics" ay mas karaniwang nangangahulugang "astrolohiya(o minsan ay astronomiya) kesa sa "mathematics". Ang kahulugan ay unti unting nabago sa kasalukuyang kahulugang nito mula mga 1500 hanggang 1800. Ito ay nagresulta sa ilang mga mistranslasyon (maling pagsasalin). Ang isang partikular na notoryosong kaso nito ang babala ni San Augustino na ang mga Kristiyano ay mag-ingat sa mga "mathematici" na nangangahulugang mga astrologo na minsang maling pinapakahulugang kondemnasyon ng mga matematiko. 
Ang maliwanag na plural na anyo sa Ingles tulad ng anyong plural na Pranses na les mathématiques (at ang hindi mas karaniwang ginagamit na singular na deribatibong la mathématique) ay bumabalik sa Latin na neuter na plural na mathematica (Cicero) batay sa Griyegong plural naτα μαθηματικά (ta mathēmatiká) na ginamit ni Aristotle (384-322BCE) at tinatantiyang may kahulugang "lahat ng mga bagay na matematikal", bagaman maaaring ang Ingles ay humiram lamang ng pang-uring "mathematic(al)" at bumuo ng bagong pangngalang mathematics bilang paggaya sa paterno ng physics at metaphysics. Sa Ingles, ang pangngalang mathematics ay kumukuha ng singular na mga anyong pandiwa. Ito ay karaniwang pinaiikling "maths" o sa mga nag-iingles sa Hilagang Amerika na "math".
Samantalang ang Filipinong katumbas nito na sipnayan ay nagmula naman sa salitang (i)sip + (ha)nay + -an.

Kasaysayan

Ang ebolusyon ng matematika ay maaaring makita na palaging lumalagong sunod-sunod na abstraksiyon o sa alternatibo ay isang pagpapalawig ng bagay na pinag-aaralan. Ang unang abstraksiyon na pinagsasaluhan ng maraming mga hayop ay malamang sa mga bilang: ang kabatiran na ang isang kalipunan ng dalawang mansanas at isang kalipunan ng dalawang kahel ay mayroong karaniwan na kantidad ng mga kasapi nito. Sa karagdagan sa pagkilala kung paano bilangin ang mga pisikal na obhekto, ang mga prehistorikong tao ay nakakakilala rin kung paano bumilang ng mga abstraktong kantidad gaya ng panahon - mga araw, yugto ng panahon(seasons) at mga taon. Ang mga elementaryong aritmetika gaya ng adisyon, subtraksiyon, multiplikasyon at dibisyon ay natural na sumunod dito.
Dahil ang pagbibilang ay mas nauna sa pagsusulat, ang mga karagdagang hakbang ay kailangan sa pagtatala ng mga bilang gaya ng mga listahan o mga binuhol na taling tinatawag na quipu na ginamit ng mga Inca upang mag-imbak ng mga numerikal na datos. Ang mga sistemang numeral ay marami at iba iba na ang unang alam na isinulat na mga numeral ang nilikha ng mga Ehipsiyo sa Gitnang Kaharian ng Sinaunang Ehipto gaya ng papirong matematikal na Rhind.
Ang pinakaunang mga paggamit ng matematika ay sa pangangalakal, pagsukat ng lupain, pagpipinta, paghahabi ng mga paterno(pattern) at pagtatala ng panahon. Ang mas komplikadong matematika ay hindi lumitawa hanggang 3000 BC nang ang mga Babylonian at Ehipsiyo ay nagsimulang gumamit ng aritmetika, alhebra at heometriya para sa pagbubuwis at iba pang mga panalaping pagkukwenta, para sa mga pagtatayo ng mga gusali at para sa astronomiya. Ang sistematikong pag-aaral ng matematika sa sarili nito ay nagsimula sa Sinaunang Gresya sa pagitan ng 600 at 300 BCE.
Simula noon, ang matematika ay lubusan ng lumawig at nagkaroon ng mabungang pakipag-ugnayan sa pagitan ng matematika at agham sa kapakinabangan ng parehong ito. Ang mga matematikal na pagkakatuklas ay patuloy na ginagawa ngayon. Ayon kay Mikhail B. Sevryuk sa isyung Enero 2006 na Buletin ng Amerikanong Lipunang Matematikal, "ang bilang ng mga papel at aklat na isinama sa database ng Mathematical Reviews(Paggunitang Matematikal) simula 1940 na unang taon ng operasyon ng MR ay sa kasalukuyan higit na sa 1.9 milyon at higit sa 75,000 item ay idinadagdag sa database kada taon. Ang halos karamihan sa mga akda sa karagatang ito ay naglalaman ng bagong mga teoremang matematikal at mga pagpapatunay nito.

Mga larangan

Ang matematika sa malawak na usapan ay maaaring hatiin sa pag-aaral ng kantidad(aritmetika), istraktura(alhebra), espasyo(heometriya) at pagbabago(analisis). Sa karagdagan sa mga pangunahing ito, mayroong din mga subdibisyon na inilalaan sa pagtuklas ng mga ugnayan mula sa puso ng matematika sa iba pang mga larangan: lohika, teoriya ng hanay(mga pundasyon), hanggang sa empirikal na matematika ng iba't ibang mga agham(nilalapat na matematika) at sa mas pinakakamakailan lamang sa mahigpit na pag-aaral ng kawalang katiyakan.

Nilalapat na matematika

Ang nilalapat na matematika ay humihinggil sa mga matematikal na mga paraan na karaniwang ginagamit sa agham, inhinyerya, ekonomiya, pagkukuwenta, negosyo at industriya. Kaya ang nilalapat na matematika ay isang matematikal na agham na may ginagawang espesyal na kaalaman. Ang terminong nilalapat na matematika ay naglalarawan sa propesyal na espesyalidad kung ang mga matematiko ay nag-aaral ng mga praktikal na problema. Bilang propesyon na nakapokus sa mga praktikal na problema, ang nilalapat na matematika ay pumopokus sa pormulasyon, pag-aaral at paggamit ng mga matematikal na modelo sa agham, inhinyerya, at iba pang mga sakop ng pagsasanay matematikal. 
Sa nakaraan, ang mga praktikal na aplikasyon nagtulak ng pagkakabuo ng mga matematikal na teoriya na naging paksa ng pag-aaral ng purong matematika kung saan ang matematika ay binubuo para sa sarili nitong kapakanan. Kaya ang gawain ng nilalapat na matematika ay mahalagang konektado sa pagsasaliksik sa purong matematika.

Estadistika at iba pang mga agham ng pagpapasya

Ang nilalapat na matematika ay may malaking pagsasanib sa disiplina ng estadistika na ang teoriya ay isinapormula sa matematika lalo sa sa teoriya ng probabilidad. Ang mga estadistiko ay lumilikha ng mga data(plural ng datos) na may kahulugan na may may randomang pagsasampol at isina-randomang mga eskperimento. Ang pagdidisenyo ng isang sampol o eksperimentong estadistikal ay tumutukoy sa analisis ng data bago ito gamitin. Kung isasaalang-alang ang mga data mula sa eksperimento at sampol o kung sinisiyasat ang data mula sa mga pag-aaral obserbasyonal, ang mga estadistiko ay umuunawa sa data gamit ang sining ng pagmomodelo at teoriya ng inperensiya na may pagpili ng model at estimasyon(pagtatantiya). Ang mga tinantiyang model at mga kinahinatnang prediksiyon ay dapat subukan sa mga bagong data.
Ang teoriyang estadistikal ay nag-aaral ng mga problema ng desisyon(pagpapasya) gaya ng pagpapaliit ng mga panganib(inaasahang kawalan) ng isang aksiyong estadistikal gaya ng paggamit ng pamamaraan halimbawa sa estimasyon ng parametro, pagsubok ng hipotesis at pagipili ng pinamahusay. Sa mga trasiyonal na sakop na ito ng estadistikang matematikal, ang isang estadistikal na pagpapasyang problema ay isinasa-pormula sa pamamagitan ng pagpapaliit ng obhektibong punsiyon gaya ng inaasahang kawalan o gastos sa ilalim ng mga spesipikong pagtatakda(constraint). Halimbawa, ang pagdidisenyo ng survey ay kalimitang sumasangkot sa pagpapaliit ng gastos ng pagtatantiya ng mean ng populasyon sa isang ibinigay ng lebel ng konpidensiya. Dahil sa paggamit nito ng optimisasyon, ang matematikal na teoriya ng estadistika ay nagsasalo ng pinatutungkulan sa ibang mga agham ng pagpapasya gaya ng pagsasalik ng mga operasyon, teoriyang kontrol at matematikal na ekonomika.