Diperensiyal na heometriya

Ang diperensiyal na heometriya ay isang disiplina sa matematika na gumagamit ng mga tekniko ng diperensiyal at integral na kalkulo gayundin ang linyar at multilinyar na alhebra upang pag-aralan ang mga problema sa heometriya. Simula noong huling yugto noong ikalabing siyam na siglo, ang diperensiyal na heometriya ay lumago sa larangang nauukol sa mas heneral na mga heometrikong straktura sa mga manipoldong diperensiyable. Ito ay malapit na nauugnay din sa diperensiyal na topolohiya at sa mga aspetong heometiko ng ng teoriya ng mga diperensiyal na ekwasyon. Ang patunay ni Grigori Perelman ng konhekturang Poincaré gamit ang mga tekniko ng daloy Ricci ay nagpakita ng kapangyarihan ng paraang diperensiyal heometriko sa mga katanungan sa topolohiya at nagbigay diin din ito ng mahalagang papel na ginagampanan sa mga paraang analitiko. Ang diperensiyal na heometriya ng mga surpasiyo ay sumasakop sa maraming mga mahahalagang ideya at tekniko na katangian ng larangang ito.

Heometriyang Riemannian

Ang heometriyang Riemannian ay nag-aaral ng mga manipoldong Riemannian, mga diperensiyableng manipoldo na inihahayag sa pamamagitan ng makinis na positibong depinidong metriko. Eto ay konsepto ng distantansiya sa mga espasyong tangent sa bawat punto. Ang heometriyang Riemannian ay nilalahat ang heometriyang Euclidean sa mga espasyo na hindi kinakailangang patag bagaman ang mga ito'y katumbas pa rin ng espasyong Euclidean sa bawat puntong inpinitesimal o sa unang order ng aproksimasyon. Ang iba't ibang mga konsepto ng haba gaya ng arkong haba ng mga kurba, area ng mga rehiyong plano at bolyum ng mga solido ay tumatanggap ng mga natural na analogo ng heometriyang Riemannian. Ang nosyon ng direksiyonal na deribatib ng isang punsiyon sa multibariabulong kalkulo ay pinalawig sa heometriyang Riemannian sa nosyon ng mga kobariantong deribatibo ng isang tensor. Maraming mga konsepto at tekniko ng analisis at diperensiyal na ekwasyon ay nilahat sa kinalalagyan ng mga manipoldong Riemannian. 
Ang nag-iingat ng distansiyang dipeomorpismo sa pagitan ng mga manipoldong Riemannian ay tinatawag na isometriya. Ang nosyong ito ay inilalarawan ng lokal o sa mga maliit na kapitbahay ng mga punto. Ang anumang dalawang regular na mga kurba ay isometriko sa lokal. Gayunpaman, ang Theorema Egregium ni Carl Friedrich Gauss ay nagpapakita na sa mga surpasiyo, ang eksistensiya ng mga lokal na isometriya ay nagtatakda ng malakas ng kompatibilidad na mga kondisyon sa mga metriko nito: ang mga kurbadang Gaussian sa kaakibat na mga punto ay dapat pareho. Sa mataas na dimensiyon, ang kurbadang tensor na Riemann ay isang mahalaga inbarianto sa mga punto na nauugnay sa isang manipoldong Riemannian na sumusukat kung paano kalapit ito sa pagiging patag. Ang isang mahalagang uri ng manipoldong Riemannian ang simetrikong mga espasyong Riemannian na ang kurbada ay hindi kinakailangang konstante. Ang mga ito ang pinakamalapit na analogo sa isang ordinaryong plano at espasyo na itinuturing sa Euclidean at hindi-Euclidean na heometriya.

Heometriyang Pseudo-Riemannian

Ang heometriyang Pseudo-Riemannian ay isang kaso kung saan ang metrikong tensor ay hindi kinakailangang positibo-depinido. Ang isang espesyal na kaso nito ang manipoldong Lorentzian na matematikal na basehan ng teoriyang pangkahalatan ng relatibidad ni Albert Einstein.

Heometriyang Simplektiko

Ang heometriyang simplektiko ang pag-aaral ng mga manipoldong simplektiko. Ang isang halos na manipoldong simplektiko ay isang diperensiyableng manipoldo na may makinis na nag-iibang hindi dehenerado simetrikong-lihis na anyong bilinyar sa bawat espasyong tangent o hindi deheneradong 2-anyong ω, na tinatawag na anyong simplektiko. Ang isang manipoldong simplektiko ay halos manipoldong simplektiko kung saan ang anyong simplektikong ω ay sarado: dω = 0.
Ang dipeomorpismo sa pagitan ng dalawang manipoldong simplektiko na nag-iingat sa anyong simplektiko ay tinatawag na simplektomorpismo. Ang hindi deheneradong simetrikong-libis na anyong bilinyar ay maaari lamang umiral sa even na mga dimensiyon na espasyong bektor kaya ang mga manipoldong simplektiko ay kinakailangang may even na dimensiyon. Sa dimensiyong 2, ang isang manipoldong simplektiko ay isa lamang surpasiyo na may anyong area at ang simplektomorpismo ay nag-iingat ng areang dipeomorpismo. Ang espasyong phase ng isang sistemang mekanikal ay isang manipoldong simplektiko at ang mga ito ay lumabas sa akda ni Lagrange sa analitikal na mekaniks at kalaunan ay sa pormulasyon nina Jacobi at Hamilton ng klasikong mekaniks. 
Sa pagsasalungat sa heometriyang Riemannian kung saan ang kurbada ay nagbibigay ng lokal na inbarianto ng mga manipoldong Riemannian, ang teorema ni Darboux's ay nagsasaad na ang lahat ng mga manipoldong simplektiko ay lokal na isomorpiko. Ang mga tanging inbarianto ng isang manipoldong simplektio ay global sa kalikasan at ang mga aspetong topolohikal ay malamang ang teoremang Poincaré-Birkhoff na kinonhektura ni Henri Poincaré at napatunayan ni  George Birkhoff noong 1912. Ito ay nag-aangkin na kung ang mapang nag-iingat ng area ng isang annulus ay pinipilipit ang bawat hangganang komponente sa kabaligtarang direksiyon, kung gayon ang mapa ay may kahit papaanong dalawang nakapirmeng punto.

Heometriyang CR

Ang heometriyang CR ang pag-aaral ng mga intrinsik na heometriya ng mga hangganan ng mga sakop sa mga manipoldong kompleks.

Topolohiyang diperensiyal

Ang topolohiyang diperensiyal ang pag-aaral ng (global) na mga inbariantong heometriko na walang metriko o anyong simplektiko. Ito ay nagsisimula mula sa mga natural na operasyon gaya ng deribatibong Lie ng natural na mga bigkis na bektor at diperensiyal ng mga anyong de Rham. Bukod sa Lie alhebroid ang Kourant alhebroid ay nagsimulang gumanap ng mas mahalagang papel.