Ekonomiks na pangmatematika

Modernong ekonomikang matematikal

Mula huli nang mga 1930, ang isang kalipunan ng mga bagong kasangkapang matematikal mula sa kalkulong diperensiyal at mga ekwasyong diperensiyal, mga hanay na konbeks at teoriya ng grapo ay ginamit upang isulong ang teoriyang ekonomiko sa paraang tulad ng mga bagong pamamaraang matematikal na mas unang nilapat sa pisika. Ang proseso ay kalaunang inilarawan bilang paglipat mula sa mekanika tungo sa aksiyomatika.

Kalkulong diperensiyal

Siniyasat ni Vilfredo Pareto ang mikroekonomika sa pamamagitan ng pagtatrato ng mga desisyon ng mga aktor na ekonomiko bilang mga pagtatangka sa pagbabago sa isang ibinigay na pamamahagi ng mga kalakal sa isa pang mas ninanais na pamamahagi. Ang mga hanay ng mga pamamahagi ay maari namang tratuhin bilang maiging Pareto (ang optimal na Pareto ay isang katumbas na termino) kapag walang mga palitan ay maaaring mangyari sa mga aktor na maaaring gumawa sa hindi bababa sa isang indibidwal na mas mabuti nang hindi gumagawa sa anumang isa pa mas masahol. Ang patunay ni Pareto ay karaniwang ay hinahalo sa ekwilibrium na Walrassian o inpormal na itinuro sa hipotesis na hindi makikitang kamay ni Adam Smith. Rather, Pareto's statement was the first formal assertion of what would be known as the first fundamental theorem of welfare economics. Ang modelong ito ay nagkukulang sa mga inekwalidad ng sumunod na henerasyo ng ekonomikang matematika. Sa isang mahalagang treatise na Foundations of Economic Analysis (1947), tinukoy ni Paul Samuelson ang isang karaniwang paradigm at istrakturang matematikal sa buong mga maraming larangan ng paksa na nagtatayo sa nakaraang akda ni  Alfred Marshall. Ang Foundations ay kumuha ng mga konseptong matemtikal mula sa pisika at inilipat ang mga ito sa mga problemang ekonomiko. Ang malawak na pananw na ito (halimbawa ang paghahambing ng prinsipyo ni Chatelier sa subastang Walrasian) ay nagpapatakbo ng pundamental na premisa ng ekonomikang matematika: ang mga sistema ng mga aktor na ekonomika ay maaaring imodelo at ang mga pag-aasal nito ay mailalarawan tulad ng ibang mga sistema. Ang pagpalawig na ito ay sumunod sa akda ng mga marhinalista sa nakaraang siglo at malaki itong pinalawaig. Pinakitunguhan ni Samuelson ang mga problema sa pamamagitan ng paglalapat ng maksimisasyon ng utilidad ng indibidwal sa ibabaw ng mga agregatong pangkat sa kompartaibong statika na naghahambing ng dalawang magkaibang mga estadong ekwilibirium pagkatapos ng pagbabagong eksohenoso sa isang bariabulo. Ito ang iba pang mga paraan sa aklat ay nagbigay ng pundasyon para sa ekonomikang matematikal noong ika-20 siglo.

Ekonomikang input-output

Noong 1936, itinayo ng ipinanganak sa Rusyang ekonomistang si Wassily Leontief ang kanyang modelo ng modelong input-output mula sa mga tablang 'material balance' na nilikha ng mga ekonomistang Soviet na kahit mismong sila ay sumunod sa mas naunang akda ng mga pisiokrata. Sa kanyang modelo na naglarawan ng isang sistema ng produksiyon at mga proseso ng pangangailangan (demand), inilaraan ni Leontief kung paanong ang mga pagbabago sa pangangailangansa isang sektor ekonomiko ay maiimpluwensiya sa produksiyon ng isa pa. Sa kasanayan, tinantiya ni Leontief ang mga koepisyente ng kanyang mga simpleng modelo upang sagutin ang mga interesanteng tanong na eknonomiko.  Sa ekonomikang produksiyon, ang "Leontief technologies" ay lumikha ng mga output gamit ang mga konstanteng proporsiyon ng mga input kahit pa hindi isaalang alang ang presyo ng mga input na nagpapaliit sa halaga ng mga modelo ni Leontief upang maunawaan ang mga ekonomiya ngunit pumapayag sa mga parametro nito na matantiyang relatibong madali. Salungat dito, ang modelong von Neumann ng isang lumalawig na eknomomiya ay pumapayag para sa pagpipilian ng mga pamamaraan ngunit ang mga koepisyente ay dapat tantiyahin para sa bawat teknolohiya.

Optimisasyong linyar

Ang pagpoprogramang linyar ay pinaunlad upang makatulong sa pamamahagi ng mga mapagkukunan sa mga negosyo sa mga industriya noong mga 1930 sa Rusya at noong mga 1940 sa Estados Unidos. Noong panahon ng Berlin airlift (1948), ang pagpoprogramang linyar ay ginamit upang planuhin ang paghahatid ng mga suplay upang maiwasan ang Berlin sa pagkagutom pagkatapos ng  paghaharang ng Soviet.

Pagbagsak at pag-ahong diperensiyal

Ang akda ni von Neumann sa analisis na punsiyonal at topolohiya ay nagpasulong sa matematika at teoriyang ekonomiko. Ito ay nag-iwan rin ng matas na eknomikang matematikal na may ilang mga aplikasyong ng kalkulong diperensiyal. Sa partikular, ang mga teorista ng pangkalahatang ekwilibrium ay gumamit ng pangkalahatang topolohiya, heometriyang konbeks at matematikal na optimisasyon ng higit sa kalkulong diperensiyal dahil ang pakikitungo ng kalkulong diperensiyal ay nabigo sa pagpapatunay ng pag-iral ng isang ekwilibrium. Gayunpaman, ang pagbagsak ng kalkulong diperensiyal ay hindi dapat pasidhiin dahil ang ang kalkulong diperensiyal ay palaging ginagamit sa pagsasanay ng edukasyong lagpas kolehiyo at mga aplikasyon. Sa karagdagan, ang kalkulong diperensiyal ay bumalik sa pinakamataas na mga lebel ng ekonomikang matematika, teoriyang pangkalahatang ekwilibrium gaya ng sinasanay ng  "GET-set". Gayunpaman, noong mga 1960 at 1970, sina Gérard Debreu at Stephen Smale ay nanguna sa muling pagbuhay ng paggamit ng kalkulong diperensiyal sa ekonomikang matematika. Sa partikular, nagawa nilang mapatunayan ang pag-iral ng pangkalahatang ekwilibrium na kung saan ang mga mas naunang manunulat ay nabigo dahil sa kanilang nobelang matematika: ang kategoryang Baire mula sa pangkalahatang topolohiya at ang lemma ni Sard mula sa topolohiyang diperensiyal. Ang ibang mga ekonomistang nauugnay sa paggamit ng analisis na diperensiyal ay kinabibilangan nina Egbert Dierker, Andreu Mas-Colell, at Yves Balasko. Ang mga pagsulong na ito ay nagbago ng tradisyonal na salaysay ng ekonomikang matematikal kasunod ni von Neumann na nagdiwang ng pag-iwan sa kalkulong diperensiyal.

Batay sa ahenteng ekonomikang komputasyonal

Ang batay sa ahenteng ekonomikang komputasyonal (ACE) ay isang pinangalanang larangan na relatibong kamakailan lamang na may petsang mula mga 1990. Ito ay nag-aaral ng mga prosesong ekonomiko kabilang ang buong mga ekonomiya bilang mga sistemang dinamiko ng nag-uugnayang mga ahente sa paglipas ng panahon. Kaya ito ay nahuhulog sa paradigm ng mga sistemng adaptibong kompleks. Sa pagtugon sa mga modelong nakabatay sa ahente, ang mga ahente ay hindi mga tunay na tao kundi "mga obhektong komputasyonal na minodelo bilang nag-uugnayan ayon sa mga patakaran...na ang mga interaksiyong mikro-lebel ay lumilikha ng mga paternong umaahon." Ang mga patakaran ay pinormula upang hulaan ang pag-aasal at mga intraksiyong panlipunan batay sa mga gantimpala at impormasyon. Ang asumpsiyong teoretikal ng matematikal na optimisasyon ng mga ahenteng pamilihan ay pinalitan ng hindi mas restriktibong postulado ng mga ahenteng may tinakdaaang pagiging makatwiran na umaangkop sa mga pwersa ng pamilihan.  Ang mga modelong ACE ay naglalapat ng mga pamamarang numerikal sa batay sa kompyuter na mga simulasyon ng mga problemang dinamikong kompleks kung ang ang mas konbensiyonal na mga pamamaraan gaya ng pormulasyon ng teorema ay maaaring hindi makahanap ng handang paggamit. Sa pagsisimula mula sa isang tinukoy na mga inisyal na kondisyon, ang komputasyonal na sistemang ekonomiko ay minomodelo bilang nag-eebolb sa paglipas ng panahon habang ang mga ahenteng bumubuo dito ay paulit ulit na nakikipag-ugnayan sa bawat isa. Sa mga respetong ito, ang ACE ay inilirawan bilang isang pakikitungong baba-pataas na kulturang plato sa pag-aaral ng ekonomiya. Salungat sa ibang mga pamantayang mga pamamaraang pagmomodelo, ang mga pangyayaring ACE ay pinapatakbo lamang ng mga inisyal na kondisyon kahit pa ang ekwilibrium ay umiiral o mabilis na malulutas sa pagkukwenta. Gayunpaman, ang pagmomodelong ACE ay kinabibilangan ng pag-aangkop ng ahente, autonomiya at pagkatuto. Ito ay may pagkakatulad at sumasanib sa teoriya ng laro bilang isang paraang batay sa ahente para sa pagmomodelo ng mga interaksiyong panlipunan. Ang ibang mga dimensiyon ng pakikitungo ay kinabibilangan ng gayong mga paksang pamantayang ekonomiko gaya ng kompetisyon at kolaborasyo, istaktura ng pamilihan at organisasyong industriyal, mga gastos ng transaksiyon, ekonomikang kapakanan at disensiyong mekanismo, ekonomikang impormasyon, at makroekonomika. Ang paraang ito ay sinasabing nakikinabang mula sa patuloy na pagpapabuti sa mga pamamaraang pagmomodelo ng agham pangkompyuter at tumaas na mga kakayahan ng kompyuter. Ang mga isyu ay kinabibilangan ng mga karaniwan sa ekonomikang eksperimental sa pangkalahatan  and by comparison at pagpapaunlad ng isang karaniwang balangkas para sa balidasyong empirikal at paglutas ng mga bukas na taon sa pagmomodelong batay sa ahente. Ang huling layuning siyentipiko ng paraang ito ay inilarawan bilang "pagsubok sa mga natuklasang teoretikal laban sa tunay na daigdig na mga datos sa mga paraang papayag na ang mga teoriyang empirikal na sinuportahan ay magtitipon sa paglipas ng panahon na ang mga akda ng mananaliksik ay angkop na magtatayo sa akdang nauna na".