Ekwasyong diperensiyal

Ang isang tingiring tumbasan, ekwasyong diperensiyal, tumbasan ng pagkakaiba, o pagpapantay ng kaibahan (Ingles: differential equation) ay isang ekwasyon o pagpapantay na pangmatematika na kinasasangkutan ng mga baryable (mga "nagbabago") na katulad ng x o y, pati na ang antas na ikinapagbabago ng mga baryableng iyan. Natatangi ang mga ekwasyon ng pinagkadiperensiyahan sapagkat ang solusyon o kalunasan ng isang ekwasyong pangdiperensiya ay isa mismong tungkuling pangmatematika (punksiyon), sa halip na isang bilang.

Paliwanag

Ang isang ekwasyong diperensiyal ay isang ekwasyon ng matematika para sa isang hindi alam na punsiyon ng isa o maraming mga bariabulo na nag-uugnay sa mga halaga ng mismong punsiyon at mga deribatibo ng iba't ibang mga order. Ang mga ekwasyong diperensiyal ay gumagampan ng isang kilalang papel sa inhinyerya, pisika, ekonomika at iba pang mga disiplina. Ang mga ekwasyong dipeensiyal ay lumilitaw sa maraming mga sakop ng agham at teknolohiya na sa spesipiko ay kapag ang isang relasyong deterministiko na kinasasangkutan ng isang tuloy tuloy na nagbabagong mga kantidad(na minodelo ng mga  punsiyon) at mga rate ng pagbabago nito sa espasyo at/o panahon(na inihahayag bilang mga deribatibo) ay alam o pinostulado. Ang mga batas ng mosyon ni Newtoon ay pumapayag sa isa(sa ibinigay na posisyon, belosidad, akselerasyon at iba't ibang mga pwersa na umaasal sa katawan) na ihayag ang mga bariabulong ng dinamiko bilang ekwasyong diperensiyal para sa hindi alam na posisyon ng katawan bilang isang punsiyon ng panahon. Sa ilang mga kaso, ang ekwasyong diperensiyal na ito(na tinatawag na mga ekwasyon ng mosyon) ay maaaring malutas nang hayagan. Ang isang halimbawa ng pagmomodelo ng problemang sa tunay na daigdig gamit ang mga ekwasyong diperensiyal ang pagtukoy ng belosidad ng isang bola na bumabagsak sa hanging na nagsasaalang alang lamang ng grabidad at resistansiya ng hanging. Ang akselerasyon ng bola tungo sa lupa ang akselerasyon sanhi ng grabidad na binawasan ng deselerasyon sanhi ng resistansiya ng hangin. Ang grabidad ay itinuturing na konstante at ang resistansiya ng hangin ay maaaring imodelo bilang proporsiyonal sa belosidad ng bola. Ito ay nangangahulugang ang akselerasyon ng bola na isang deribatibo ng belosidad nito ay nakasalalay sa belosidad. Ang paghahanap ng belosidad bilang isang punsiyon ng panahon ay kinasasangkutan ng paglutas ng isang ekwasyong diperensiyal. Ang mga ekwasyong diperensiyal ay matematikong pinag-aaralan mula sa iba't ibang mga perspektibo na karamihang umuukol sa mga solusyon nito na hanay ng mga punsiyon na sumasapat sa ekwasyon. Ang tanging ang pinakasimpleng mga ekwasyong diperensiyal ang tumatanggap ng mga solusyong ibinigay ng mga hayagang pormula. Gayunpaman, ang ilang mga katangian ng mga solusyon ng isang ibinigay na ekwasyong diperensiyal ay maaaring matukoy nang hindi hahanapin ang eksaktong anyo ng mga ito. Kung isang sapat sa sariling pormula para sa solusyon ay hindi makukuha, ang solusyon ay maaaring numerikal na matantiya gamit ang mga kompyuter. Ang teoriya ng mga sistemang dinamikal ay nagbibigay diin sa analisis na kwalitatibo ng mga sistemang inilalarawan ng mga ekwasyong diperensiyal samantalang ang maraming mga pamamaraang numerikal ay pinaunlad upang matukoy ang mga oslusyon na may isang ibinigay na digri ng pagiging tumpak.

Mga direksiyon ng pag-aaral

Ang pag-aaral ng mga ekwasyong diperensiyal ay isang malawak na larangan sa purong matematika at nilalapat na matematika, pisika, meteorolohiya at inhinyerya. Ang lahat ng mga disiplinang ito ay umuukol sa mga katangian ng mga ekwasyong diperensiyal ng iba't ibang mga uri. Ang purong matematika ay pumopokus sa pag-iral at pagiging walang katulad ng mga solusyon samantalang ang nilalapat na matematikaay nagbibigay diin sa mahigpit na pangangatwiran ng mga paraan para sa mga nagtatantiyang solusyon. Ang mga ekwasyong diperensiyal ay gumagampan ng isang mahalagang papel sa pagmomodelo ng halos bawat prosesong pisikal, teknikal o biolohikal mula sa galaw na pangkalawakan hanggang sa pagdidisenyo ng tulay hanggang sa mga interaksiyon ng mga neuron. Ang mga ekwasyong diperensiyal gaya ng mga ginagamit upang lutasin ang mga problemang tunay na buhay ay maaaring hindi kinakailangang direktang malulutas na ang ibig sabihin ay walang anyong sarado. Bagkus, ang mga solusyon ay maaaring tantiyahin gamit ang mga pamamaraang numerikal. Ang mga matematiko ay nag-aaral rin ng mga solusyong mahina(na umaasa sa mga deribatibong mahina) na mga uri ng mga solusyon na hindi kinakailangang diperensiyable kahit saan. Ang pagpapalawig na ito ay kadalasang kinakailangan para ang mga solusyon ay umiiral at ito ay nagreresulta rin sa mas pisikal na makatwirang mga katangian ng mga solusyon gaya ng posibleng presensiya ng pagkabiglas para sa mga ekwasyon ng uring hiperboliko. Ang pag-aaral ng pagiging matatag ng mga solusyon ng mga ekwasyong diperensiyal ay kilala bilang teoriya ng pagiging matatag.

Nomenklatura

Ang teoriya ng mga ekwasyong diperensiyal ay mahusay na maunlad at ang mga pamamaraang ginagamit upang pag-aralan ang mga ito ay malaking nagbabago sa uri ng ekwasyon.

Koneksiyon sa mga ekwasyong diperensiya

Ang teoriya ng mga ekwasyong diperensiyal ay malapit na kaugnay ng teoriya ng mga ekwasyong diperensiya kung saan ang mga koordinado ay kumukuha lamang mga halagang diskreto at ang relasyon ay kinasasangkutan ng mga halaga ng hindi alam na punsiyon o mga punsiyon at mga halaga sa malapit na mga koordinado. Maraming mga pamamaraan upang kwentahin ang mga solusyong numerikal ng mga ekwasyong diperensiyal o pag-aaral ng mga katangian ng mga ekwasyong diperensiyal ay kinasasangkutan ng aproksimasyon ng solusyon ng isang ekwasyong diperensiyal sa solusyon ng isang tumutugong ekwasyong diperensiya.

Unibersalidad ng deskripsiyong matematikal

Maraming mga batas pundamental ng pisika at kemika ay maaaring ipormula bilang mga ekwasyong diperensiyal. Sa biolohiya at ekonomika, ang mga ekwasyong diperensiyal ay ginagamit upang imodelo ang pag-aasal ng mga sistemang komplikado. Ang teoriyang matematiko ng mga ekwasyong diperensiyal ay unang pinaunlad kasama ng mga agham kung saan ang mga ekwasyon ay nagmula at ang mga resulta ay nakanap ng aplikasyon. Gayunpaman, ang iba't ibang mga problema na minsang nagmumula sa medyo natatanging mga larangang pang-agham ay maaaring magpalitaw ng katulad na mga ekwasyong diperensiyal. Sa tuwing ito ay nangyayari, ang teoriyang matematiko sa lokod ng mga ekwasyon ay maaaring makita bilang nagpapaisang prinsipyo sa likod ng iba't ibang mga phenomena. Bilang halimbawa, isaalang alang ang paglaganap ng liwanag at tunog sa atmospero at ng mga alon sa ibabaw ng isang tubigan. Ang lahat ng mga ito ay maaaring maglarawan ng parehong ikalawang order na ekwasyong parsiyal diperensiyal na ekwasyong alon na pumapayag sa ating isipin ang liwanag at tunog bilang mga anyo ng alon na labis na katulad ng mga pamilyar na alon ng tubig. Ang konduksiyon ng init na teoriya na pinaunlad ni Joseph Fourier ay pinangangasiwaan ng isa pang ikalawang order na ekwasyong parsiyal dipeensiyal na ekwasyon ng init. Lumalabas na maraming mga prosesong dipusyon bagaman tila iba ay nilalarawan ng parehong ekwasyon. Halimbawa, ang ekwasyong Black–Scholes sa pinansiya  ay kaugnay ng ekwasyon ng init.