จำนวนจุดลอยตัว

ศูนย์มีเครื่องหมาย

ในมาตรฐาน IEEE 754 ค่าศูนย์มีเครื่องหมาย หมายความว่ามีทั้ง "บวกศูนย์" (+0) และ "ลบศูนย์" (−0) ในสภาวะแวดล้อมขณะทำงานส่วนใหญ่ ค่าบวกศูนย์โดยทั่วไปพิมพ์เป็น "0" และค่าลบศูนย์อาจพิมพ์เป็น "-0" จำนวนทั้งสองมีความเท่ากันในการเปรียบเทียบเชิงจำนวน แต่การดำเนินการบางอย่างกับ +0 และ −0 จะให้ผลลัพธ์ที่ต่างออกไป ตัวอย่างเช่น 1 / (−0) จะให้ผลเป็นค่าอนันต์ที่เป็นลบ ในขณะที่ 1 / (+0) จะให้ผลเป็นค่าอนันต์ที่เป็นบวก อย่างไรก็ตามการดำเนินการดังกล่าวจะเกิดขึ้นพร้อมกับสิ่งผิดปรกติ "การหารด้วยศูนย์" หรืออีกตัวอย่างหนึ่ง การดำเนินการ arccot สมมาตรมีเครื่องหมาย จะให้ผลลัพธ์ต่างกับสำหรับ +0 และ −0 โดยไม่มีสิ่งผิดปรกติ ความแตกต่างระหว่าง +0 และ −0 เป็นที่สังเกตได้มากที่สุดในการดำเนินการเชิงซ้อนที่ส่วนตัดแบรนช์ (branch cut)

จำนวนต่ำกว่าบรรทัดฐาน

จำนวนต่ำกว่าบรรทัดฐาน (subnormal number) เป็นจำนวนที่เติมในช่องว่างน้อยเกินเก็บ (underflow gap) ด้วยค่าซึ่งระยะห่างสัมบูรณ์ระหว่างจำนวนต่ำกว่าบรรทัดฐาน เหมือนกับจำนวนอื่นที่อยู่ติดกันนอกช่องว่างน้อยเกินเก็บนี้ สิ่งนี้เป็นการปรับปรุงการปฏิบัติแบบเก่าซึ่งให้ค่าเป็นศูนย์เท่านั้นภายในช่องว่างน้อยเกินเก็บ และผลลัพธ์ที่น้อยเกินเก็บถูกแทนที่ด้วยศูนย์ (ถูกปัดเศษทิ้งเป็นศูนย์)
ฮาร์ดแวร์จำนวนจุดลอยตัวสมัยใหม่สามารถจัดการจำนวนต่ำกว่าบรรทัดฐานเหล่านี้ได้ เช่นเดียวกับจำนวนบรรทัดฐาน และไม่ต้องการการจำลองจากซอฟต์แวร์

NaN

IEEE 754 ระบุค่าพิเศษอีกอย่างหนึ่งคือค่าที่ "ไม่ใช่จำนวน" (NaN) เพื่อคืนค่าเป็นผลลัพธ์สำหรับการดำเนินการที่ "ไม่สมเหตุสมผล" ตัวอย่างเช่น 0/0, ∞×0, sqrt(−1) เป็นต้น NaN แท้จริงแล้วมีสองชนิดคือ signaling และ quiet การใช้ signaling NaN ในการดำเนินการเลขคณิตใด ๆ (รวมทั้งการเปรียบเทียบเชิงจำนวน) ทำให้เกิดสิ่งผิดปรกติ "ไม่สมเหตุสมผล" ส่วนการใช้ quiet NaN จะได้ผลลัพธ์เป็น NaN เท่านั้นโดยไม่เกิดสิ่งผิดปรกติ
การแทนค่า NaN ที่กำหนดโดยมาตรฐาน มีบางบิตที่ไม่ระบุซึ่งอาจใช้เข้ารหัสชนิดของข้อผิดพลาดได้ แต่ก็ไม่มีมาตรฐานสำหรับการเข้ารหัสนี้ ในทางทฤษฎี signaling NaN สามารถใช้กับระบบขณะทำงาน (runtime system) เพื่อขยายจำนวนจุดลอยตัวด้วยค่าพิเศษอื่น โดยไม่ต้องชะลอการคำนวณกับจำนวนธรรมดา แม้ว่าการขยายเช่นนั้นดูเหมือนว่าไม่เป็นสิ่งปกติสามัญ

การดำเนินการเลขคณิตจุดลอยตัว

เพื่อความง่ายในการนำเสนอและการทำความเข้าใจ ตัวอย่างต่อไปนี้จะใช้เลขฐานสิบที่มีความเที่ยง 7 หลัก ตามที่ระบุไว้ใน IEEE 754 รูปแบบฐานสิบ 32 บิต หลักการพื้นฐานนั้นเหมือนกันในฐานหรือความเที่ยงใด ๆ เว้นแต่การทำให้เป็นบรรทัดฐานเป็นทางเลือกที่ไม่บังคับ (มันไม่ส่งผลต่อค่าเชิงจำนวนของผลลัพธ์) s ในที่นี้หมายถึงซิกนิฟิแคนด์และ e คือเลขชี้กำลัง

การบวกและการลบ

วิธีการอย่างง่ายในการบวกจำนวนจุดลอยตัวคือ อันดับแรกต้องทำเลขชี้กำลังให้เหมือนกันเสียก่อน จากตัวอย่างต่อไปนี้ จำนวนที่สองถูกเลื่อนจุดฐานไปทางขวาสามหลัก จากนั้นจึงกระทำการบวกธรรมดา

  123456.7 = 1.234567 × 10^5
  101.7654 = 1.017654 × 10^2 = 0.001017654 × 10^5

  ดังนั้น
  123456.7 + 101.7654 = (1.234567 × 10^5) + (1.017654 × 10^2)
                      = (1.234567 × 10^5) + (0.001017654 × 10^5)
                      = (1.234567 + 0.001017654) × 10^5
                      =  1.235584654 × 10^5
โดยรายละเอียด

  e=5;  s=1.234567     (123456.7)
+ e=2;  s=1.017654     (101.7654)

  e=5;  s=1.234567
+ e=5;  s=0.001017654  (หลังจากเลื่อนจุดฐานแล้ว)
--------------------
  e=5;  s=1.235584654  (ผลบวกแท้จริง 123558.4654)
ผลบวกนี้เป็นค่าแท้จริงที่ถูกต้องแม่นยำ มันจะถูกปัดเศษให้เหลือเพียงเจ็ดหลัก แล้วทำให้เป็นบรรทัดฐานหากจำเป็น ดังนั้นผลลัพธ์สุดท้ายคือ

  e=5;  s=1.235585    (ผลลัพธ์สุดท้าย 123558.5)
สังเกตว่าสามหลักสุดท้ายจากการบวก (654) สูญเสียไปอย่างสำคัญ สิ่งนี้เรียกว่าค่าคาดเคลื่อนการปัดเศษ (round-off error) ในกรณีสุดขีด ผลบวกของจำนวนสองจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์อาจเท่ากับค่าเดิมของจำนวนใดจำนวนหนึ่ง

  e=5;  s=1.234567
+ e=-3; s=9.876543

  e=5;  s=1.234567
+ e=5;  s=0.00000009876543 (หลังจากเลื่อนจุดฐานแล้ว)
----------------------
  e=5;  s=1.23456709876543 (ผลบวกแท้จริง)
  e=5;  s=1.234567         (หลังจากปัดเศษ/ทำให้เป็นบรรทัดฐาน)
อีกตัวอย่างหนึ่งของปัญหาการสูญเสียนัยสำคัญ เกิดขึ้นในการลบสองจำนวนที่มีค่าใกล้เคียงกัน จากตัวอย่างนี้ e = 5; s = 1.234571 และ e = 5; s = 1.234567 เป็นการแทนค่าของจำนวนตรรกยะ 123457.1467 และ 123456.659 ตามลำดับ

  e=5;  s=1.234571
− e=5;  s=1.234567
----------------
  e=5;  s=0.000004
  e=−1; s=4.000000 (หลังจากปัดเศษ/ทำให้เป็นบรรทัดฐาน)
การแทนค่าที่ดีที่สุดของผลต่างนี้ควรเป็น e = −1; s = 4.877000 ซึ่งต่างจากผลลัพธ์ e = −1; s = 4.000000 อยู่มากกว่า 20% ในกรณีสุดขีด ผลลัพธ์สุดท้ายอาจกลายเป็นศูนย์แม้ว่าการคำนวณที่แท้จริงอาจได้ค่าหลายล้าน การสูญเสียนัยสำคัญเช่นนี้แสดงให้เห็นถึงความอันตรายในการสมมติว่า เลขโดดทุกหลักของผลลัพธ์ที่คำนวณได้ล้วนมีความหมาย การรับมือต่อผลสืบเนื่องของค่าคลาดเคลื่อนเหล่านี้เป็นหัวข้อศึกษาอันหนึ่งในการวิเคราะห์เชิงตัวเลข (numerical analysis) ดูเพิ่มที่ ปัญหาความแม่นยำ

การคูณและการหาร

การคูณกระทำได้โดยคูณซิกนิฟิแคนด์ทั้งสอง และบวกเลขชี้กำลังเข้าด้วยกัน ผลลัพธ์ที่ได้จะถูกปัดเศษและทำให้เป็นบรรทัดฐาน

  e=3;  s=4.734612
× e=5;  s=5.417242
-----------------------
  e=8;  s=25.648538980104 (ผลคูณแท้จริง)
  e=8;  s=25.64854        (หลังจากปัดเศษ)
  e=9;  s=2.564854        (หลังจากทำให้เป็นบรรทัดฐาน)
การหารก็กระทำด้วยวิธีที่คล้ายกันนี้ แต่ซับซ้อนมากกว่า
การคูณและการหารไม่เกิดปัญหาการสูญเสียหรือการดูดกลืนนัยสำคัญ แม้ว่าค่าคลาดเคลื่อนจำนวนน้อยอาจถูกสะสมในการดำเนินการที่กระทำซ้ำ ๆ ในทางปฏิบัติ แนวทางของการดำเนินการเหล่านี้ค่อนข้างซับซ้อนในตรรกะดิจิทัล ดูที่ขั้นตอนวิธีการคูณของบูทและการหารเชิงดิจิทัล สำหรับวิธีการที่รวดเร็วและง่าย ดูที่แบบแผนของฮอร์เนอร์