ภาวะเชิงการนับ

กรณีที่ 1: | A | = | B |

เซต A กับเซต B จะมีภาวะเชิงการนับเท่ากัน ถ้ามีฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (bijection) นั่นคือเป็นทั้งฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (injection) และทั้งฟังก์ชันทั่วถึง (surjection) จาก A ไป B อย่างน้อยหนึ่งฟังก์ชัน
ตัวอย่างเช่น กำหนดให้เซต E = {0, 2, 4, 6, …} เป็นเซตของจำนวนคู่ที่ไม่เป็นลบ และเซต N = {0, 1, 2, 3, …} เป็นเซตของจำนวนธรรมชาติ (ซึ่งรวม 0 เข้าไปด้วย) ภาวะเชิงการนับของ E จะเท่ากับภาวะเชิงการนับของ N เนื่องจากมีฟังก์ชัน f(n) = 2n เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งแบบทั่วถึงจาก N ไป E และในทางกลับกันก็มีฟังก์ชัน f(n) = n / 2 เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งแบบทั่วถึงจาก E ไป N ด้วย

กรณีที่ 2: | A | ≥ | B |

เซต A จะมีภาวะเชิงการนับมากกว่าหรือเท่ากับเซต B ถ้ามีฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (injection) จาก B ไป A อย่างน้อยหนึ่งฟังก์ชัน

กรณีที่ 3: | A | > | B |

เซต A จะมีภาวะเชิงการนับมากกว่าเซต B อย่างแท้จริง ถ้ามีฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (injection) จาก B ไป A อย่างน้อยหนึ่งฟังก์ชัน โดยที่ฟังก์ชันนั้นไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (non-bijection)
ตัวอย่างเช่น กำหนดให้เซต R เป็นเซตของจำนวนจริง และเซต N เป็นเซตของจำนวนธรรมชาติ เนื่องจากความสัมพันธ์โดยเซตย่อย i : N → R เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (จำนวนธรรมชาติใด ๆ ถือว่าเป็นจำนวนจริง) และสามารถแสดงได้ว่าความสัมพันธ์นี้ไม่ได้เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (ยังมีจำนวนจริงอีกมากที่ไม่ได้เป็นจำนวนธรรมชาติ) ดังนั้นภาวะเชิงการนับของ R จึงมากกว่าภาวะเชิงการนับของ N อย่างแท้จริง

เซตอนันต์

แนวความคิดดั้งเดิมที่ใช้กับเซตจำกัดพังทลายลงเมื่อพบกับเซตอนันต์ ในช่วงปลายคริสต์ศตวรรษที่ 19 เกออร์ก คันทอร์ กอทท์ลอบ เฟรเกอ ริชาร์ด เดเดคินด์ และอีกหลายท่านไม่ยอมรับมุมมองของกาลิเลโอ (ซึ่งสืบทอดมาจากยูคลิด) ที่ว่า สิ่งทั้งหมดทั้งมวลไม่สามารถมีขนาดเท่ากับสิ่งที่เป็นบางส่วน ตัวอย่างหนึ่งคือปฏิทรรศน์โรงแรมใหญ่ของฮิลเบิร์ต (Hilbert's paradox of the Grand Hotel)
เหตุผลของการไม่ยอมรับแนวคิดดังกล่าว เนื่องจากมีลักษณะเฉพาะหลายอย่างที่อาจทำให้เซต A ใหญ่กว่าเซต B หรือมีขนาดเท่ากับเซต B ซึ่งสมมูลกันในเซตจำกัด แต่จะไม่สมมูลกันในเซตอนันต์อีกต่อไป ลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกันอาจสามารถทำให้ผลออกมาต่างกันก็ได้ ตัวอย่างเช่น ลักษณะเฉพาะของขนาดที่เลือกโดยคันทอร์ เซตอนันต์ A จะใหญ่กว่าเซตอนันต์ B ในบางโอกาส ส่วนลักษณะเฉพาะอย่างอื่นสรุปว่า เซตอนันต์ A จะมีขนาดเท่ากับเซตอนันต์ B เสมอ ด้วยเหตุผลว่าเป็นอนันต์เหมือนกัน
สำหรับเซตจำกัด การนับก็ถือเป็นการสร้างความสัมพันธ์หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง ระหว่างเซตที่ถูกนับกับส่วนหนึ่งของจำนวนเต็มบวกโดยเริ่มจากหนึ่งเป็นต้นไป ดังนั้นจึงไม่มีรูปแบบที่เพียงพอเพื่อการนับเซตอนันต์ เพราะการนับจะให้ผลที่เป็นหนึ่งเดียวบนเซตจำกัด ในขณะที่เซตอนันต์จะถูกแทนที่ด้วยความสัมพันธ์หนึ่งต่อหนึ่งกับจำนวนเชิงอันดับที่ที่แตกต่างกันได้หลายแบบ ซึ่งขึ้นอยู่กับว่าเราจะนับ (หรือเรียงลำดับ) เซตนั้นอย่างไร
นอกจากนั้น ลักษณะเฉพาะของขนาดที่แตกต่างออกไปซึ่งใช้กับเซตอนันต์ จะทำให้เกิดการละเลย "กฎ" ต่าง ๆ ที่มีอยู่ในเซตจำกัด เช่นลักษณะเฉพาะของคันทอร์อันสงวนกฎไว้ว่า เซตหนึ่ง ๆ จะมีขนาดใหญ่กว่าเซตอื่นในบางโอกาส ได้ละเลยกฎการตัดสมาชิกออกจากเซตเพื่อทำให้ขนาดของเซตเล็กลง ในขณะที่ลักษณะเฉพาะแบบอื่น อาจสงวนกฎการตัดสมาชิกออกจากเซต แต่ละเลยกฎอย่างอื่นอีกก็ได้ ยิ่งไปกว่านั้น ลักษณะเฉพาะบางอย่างอาจไม่ได้ละเลยกฎ "โดยตรง" แต่ก็ไม่ได้รักษากฎนั้นไว้ "โดยตรง" เช่นกัน ขึ้นอยู่กับสัจพจน์ที่นำมาโต้แย้ง อาทิสัจพจน์การเลือกหรือสมมติฐานความต่อเนื่อง ซึ่งจะทำให้เกิดความเป็นไปได้สามข้อดังที่อธิบายไว้ข้างต้น ความเป็นไปได้แต่ละอย่างอาจละเลยกฎบางข้อ รักษากฎบางอย่าง ทำให้ไม่อาจตัดสินได้
ถ้าแนวคิดนี้ขยายไปถึงมัลติเซต กฎอย่างอื่นซึ่งใช้กับมัลติเซตจำกัดจะถูกละเลยมากยิ่งขึ้นไปอีก (สมมติว่าใช้แนวคิดของคันทอร์) เช่นกำหนดมัลติเซตอนันต์ A กับ B เมื่อ A ไม่ใหญ่กว่า B และ B ก็ไม่ใหญ่กว่า A แต่เราไม่สามารถสรุปได้ว่า A กับ B จะมีขนาดเท่ากัน แต่กฎนี้จะยังคงอยู่สำหรับมัลติเซตจำกัด กฎไตรวิภาคก็ถูกละเลยในกรณีที่เป็นมัลติเซตเช่นกัน
เดเดคินด์ได้นิยามเซตอนันต์ว่ามีขนาดอันหนึ่งที่เหมือนกัน โดยอย่างน้อยก็เท่ากับเซตย่อยแท้ของมันเอง สัญกรณ์อนันต์ในลักษณะนี้เรียกว่าเซตอนันต์เดเดคินด์ การนิยามนี้สามารถใช้งานได้กับสัจพจน์การเลือกในบางรูปแบบเท่านั้น อย่างไรก็ตาม นักคณิตศาสตร์บางท่านก็สรุปว่าแนวคิดนี้ใช้งานไม่ได้
คันทอร์ได้แนะนำจำนวนเชิงการนับที่สูงขึ้นไปกว่านั้น เพื่อแสดงให้เห็นว่าเซตอนันต์บางเซต มีขนาดใหญ่กว่าเซตอนันต์อื่น ซึ่งจำนวนที่น้อยที่สุดก็คือภาวะเชิงการนับของจำนวนธรรมชาติ (ℵ₀)