บทนำทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป

จากทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษสู่สัมพัทธภาพทั่วไป

ในเดือนกันยายน 1905 อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์จัดพิมพ์ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษของตน ซึ่งทำให้กฎการเคลื่อนที่ของนิวตันเข้าได้กับไฟฟ้าพลศาสตร์ (อันตรกิริยาระหว่างวัตถุกับประจุไฟฟ้า) สัมพัทธภาพพิเศษนำกรอบใหม่มาให้วิชาฟิสิกส์ทั้งหมดโดยเสนอมโนทัศน์ใหม่ปริภูมิและเวลา ทฤษฎีฟิสิกส์ซึ่งเป็นที่ยอมรับกันในเวลานั้นบางทฤษฎีไม่ต้องกันกับกรอบนั้น ตัวอย่างสำคัญคือ ทฤษฎีความโน้มถ่วงของนิวตันซึ่งอธิบายความดึงดูดระหว่างกันระหว่างวัตถุอันเนื่องจากมวลของมัน
นักฟิสิกส์หลายคนรวมทั้งไอน์สไตน์ค้นหาทฤษฎีซึ่งจะทำให้กฎความโน้มถ่วงของนิวตันเข้าได้กับทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ มีเพียงทฤษฎีของไอน์สไตน์เท่านั้นที่ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าสอดคล้องกับการทดลองและการสังเกต เพื่อเข้าใจความคิดพื้นฐานของทฤษฎี ในการนี้การติดตามความคิดของไอน์สไตน์ระหว่างปี 1907 ถึง 1915 จะให้รายละเอียด ตั้งแต่การทดลองทางความคิดเบื้องต้นของเขาอันเกี่ยวข้องกับผู้สังเกตในการตกอิสระสู่ทฤษฎีความโน้มถ่วงเรขาคณิตสมบูรณ์ของเขา

หลักการสมมูล

บุคคลในลิฟต์ที่ตกอย่างอิสระประสบภาวะไร้น้ำหนัก วัตถุจะลอยอยู่โดยไร้การเคลื่อนไหวหรือเคลื่อนไหวด้วยความเร็วคงที่ เนื่องจากทุกสิ่งในลิฟต์ตกลงไปด้วยกัน จึงไม่สามารถสังเกตผลของความโน้มถ่วงได้ ด้วยวิธีนี้ประสบการณ์ของผู้สังเกตในการตกอย่างอิสระจึงแยกไม่ได้กับผู้สังเกตในอวกาศซึ่งอยู่ห่างจากแหล่งความโน้มถ่วงสำคัญใด ๆ ผู้สังเกตเหล่านั้นเป็นผู้สังเกตเฉื่อยที่ไอน์สไตน์อธิบายไว้ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษของเขา คือ ผู้สังเกตซึ่งแสงเดินทางเป็นเส้นตรงด้วยความเร็วคงที่
ไอน์สไตน์ตั้งสมมติฐานว่าประสบการณ์คล้ายกันของผู้สังเกตไร้น้ำหนักและผู้สังเกตเฉื่อยในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษเป็นตัวแทนของคุณสมบัติมูลฐานของความโน้มถ่วง และเขายกให้ข้อนี้เป็นหลักหมุดของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปของเขา โดยสรุปไว้ในหลักการสมมูลของเขา กล่าวโดยคร่าว ๆ คือ หลักการนี้ระบุว่าบุคคลในลิฟต์ที่ตกอย่างอิสระไม่สามารถบอกได้ว่าตนกำลังตกอย่างอิสระ ทุกการทดลองที่มีสิ่งแวดล้อมตกอย่างอิสระดังนี้ให้ผลลัพธ์เช่นเดียวกับผู้สังเกตขณะพักหรือกำลังเคลื่อนที่เป็นระเบียบในอวกาศที่อยู่ห่างจากแหล่งความโน้มถ่วงใด ๆ

ผลลัพธ์ในวิชาฟิสิกส์

ในปี 1907 ก่อนไอน์สไตน์คิดค้นทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปเสร็จสิ้นแปดปี กระนั้น เขาสามารถพยากรณ์แบบใหม่ที่ทดสอบได้ซึ่งอาศัยจุดตั้งต้นสำหรับพัฒนาทฤษฎีใหม่ของเขา คือ หลักการสมมูล
ผลใหม่อย่างแรก คือ การเลื่อนความถี่เชิงโน้มถ่วงของแสง พิจารณาผู้สังเกตสองคนบนยานจรวดที่มีความเร่ง บนยานดังกล่าวมีมโนทัศน์ธรรมชาติ "ขึ้น" และ "ลง" อยู่ โดยทิศทางที่ยานเร่งไปนั้นเรียก "ขึ้น" และวัตถุที่ไม่ถูกผูกยึดจะเร่งไปในทิศทางตรงข้าม หรือตก "ไปด้านล่าง" สันนิษฐานว่าผู้สังเกตคนหนึ่งอยู่ "สูงกว่า" อีกคนหนึ่ง เมื่อผู้สังเกตคนที่อยู่ต่ำกว่าส่งสัญญาณแสงแก่ผู้สังเกตที่อยู่สูงกว่า ความเร่งจะทำให้แสงเลื่อนไปทางแดงซึ่งตรงกับที่อาจคำนวณได้จากสัมพัทธภาพพิเศษ ผู้สังเกตคนที่สองจะวัดได้แสงความถี่ต่ำกว่าผู้สังเกตคนแรก ในทางกลับกัน แสงที่ส่งจากผู้สังเกตที่อยู่สูงกว่าจะเลื่อนไปทางน้ำเงิน คือ เลื่อนไปยังความถี่สูงขึ้น ไอน์สไตน์แย้งว่าการเลื่อนของความถี่ดังกล่าวจะต้องสังเกตได้ในสนามความโน้มถ่วงเช่นกัน ปรากฏการณ์ดังกล่าวพรรณนาในภาพด้านซ้ายมือ ซึ่งแสดงคลื่นแสงที่ค่อย ๆ เลื่อนไปทางแดงดังเช่นที่แสงประพฤติระหว่างเคลื่อนที่ขึ้นบนต่อความเร่งของความโน้มถ่วง ผลนี้มีการยืนยันในการทดลองแล้วดังอธิบายด้านล่าง
การเลื่อนความถี่จากความโน้มถ่วงนี้สมนัยกับการขยายขนาดของเวลาจากความโน้มถ่วง เนื่องจากผู้สังเกต "ที่อยู่สูงกว่า" วัดคลื่นแสงเดียวกันมีความถี่ต่ำกว่าผู้สังเกตที่อยู่ "ต่ำกว่า" เวลาจะต้องผ่านไปเร็วกว่าสำหรับผู้สังเกตที่อยู่สูงกว่าด้วย ฉะนั้น เวลาจึงผ่านไปช้ากว่าสำหรับผู้สังเกตที่อยู่ต่ำกว่าในสนามความโน้มถ่วง
สำคัญที่ต้องเน้นย้ำว่าสำหรับผู้สังเกตแต่ละคน ไม่มีการเปลี่ยนแปลงการไหลของเวลาที่สังเกตได้สำหรับเหตุการณ์หรือกระบวนการซึ่งเป็นขณะพักในกรอบอ้างอิงของผู้สังเกตนั้น ไข่ห้านาทีที่จับเวลาด้วยนาฬิกาของผู้สังเกตแต่ละคนจะมีเนื้ออย่างเดียวกัน เมื่อเวลาผ่านไปหนึ่งปีตามเวลาทั้งสองเรือน ผู้สังเกตทั้งสองจะมีอายุมากขึ้นตามเวลานั้นด้วย กล่าวสั้น ๆ คือ นาฬิกาแต่ละเรือนสอดคล้องอย่างไร้ที่ติกับกระบวนการทั้งหมดที่เกิดขึ้นในบริเวณใกล้เคียงของนาฬิกานั้น จะสามารถสังเกตว่าเวลาสำหรับผู้สังเกตที่อยู่ต่ำกว่าเดินช้ากว่าผู้สังเกตที่อยู่สูงกว่าเฉพาะเมื่อมีการเปรียบเทียบนาฬิการะหว่างผู้สังเกตหลายคนเท่านั้น ผลนี้เล็กน้อยมาก แต่ก็มีการยื่นยันแล้วในการทดลองหลายครั้ง ดังอธิบายด้านล่าง
ในทำนองเดียวกัน ไอน์สไตน์พยากรณ์การเบนแสงจากความโน้มถ่วง กล่าวคือ ในสนามความโน้มถ่วง แสงถูกเบนไปในทิศทางลง ในทางปริมาณ ผลเฉลยของไอน์สไตน์คลาดเคลื่อนไปสองเท่า การแปลงที่ถูกต้องต้องอาศัยสูตรที่มีความสมบูรณ์มากขึ้นจากทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป ไม่เพียงอาศัยเฉพาะหลักการสมมูล

ผลน้ำขึ้นลง

ความสมมูลระหว่างผลความโน้มถ่วงและความเฉื่อยไม่เป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีความโน้มถ่วงที่สมบูรณ์ เมื่อต้องใช้อธิบายความโน้มถ่วงใกล้ตำแหน่งของบุคคลบนผิวโลก สังเกตว่ากรอบอ้างอิงของบุคคลนั้นไม่ใช่การตกอย่างอิสระ ฉะนั้นจึงคาดว่าจะมีแรงเสียดทาน จะให้คำอธิบายที่เหมาะสม แต่กรอบอ้างอิงการตกอิสระบนฝั่งหนึ่งของโลกไม่สามารถอธิบายได้ว่าเหตุใดบุคคลที่อยู่ฝั่งตรงข้ามของโลกถูกแรงโน้มถ่วงดึงในทิศทางตรงกันข้าม
หากจะอธิบายให้ง่ายขึ้น แรงเดียวกันนี้ยังปรากฏในเทห์ฟ้าสองเทห์ซึ่งตกลงสู่ลงเคียงกัน ในกรอบอ้างอิงซึ่งเป็นการตกอิสระข้างเทห์ทั้งสองนี้ จะดูเหมือนว่าทั้งสองจะลอยอยู่โดยไร้น้ำหนัก แต่แท้จริงแล้วไม่ใช่ เทห์ทั้งสองนี้ไม่ได้ตกลงในทิศทางเดียวกันพอดี แต่ตกลงสู่จุดจุดหนึ่งในปริภูมิ กล่าวคือ ศูนย์กลางความโน้มถ่วงของโลก ผลทำให้การเคลื่อนที่ของเทห์แต่ละเทห์บางส่วนเคลื่อนที่เข้าหากัน ในสิ่งแวดล้อมขนาดเล็ก เช่น ลิฟต์ที่ตกอย่างอิสระ ความเร่งโดยสัมพัทธ์นี้มีค่าเล็กน้อยมาก แต่นักดิ่งพสุธาที่อยู่ฝั่งตรงข้ามของโลก ผลนี้จะมีค่ามาก ผลต่างของแรงดังนี้ยังมีส่วนให้เกิดน้ำขึ้นลงในมหาสมุทร ปรากฏการณ์นี้จึงได้ชื่อว่า "ผลน้ำขึ้นลง"
ความสมมูลระหว่างความเฉื่อยและควาามโน้มถ่วงไม่สามารถอธิบายผลน้ำขึ้นลงได้ ไม่สามารถความผันแปรในสนามความโน้มถ่วงนี้ หากจะอธิบายความผันแปรในสนามโน่มถ่วง จำเป็นต้องมีทฤษฎีซึ่งอธิบายวิธีที่สสาร (เช่น มวลใหญ่อย่างโลก) มีผลต่อสิ่งแวดล้อมเฉื่อยโดยรอบมวลนั้น

จากความเร่งถึงเรขาคณิต

ในการสำรวจความสมมูลของความโน้มถ่วงและความเร่งตลอดจนบทบาทของแรงน้ำขึ้นลง ไอน์สไตน์ค้นพบแนวเทียบหลายอย่างกับเรขาคณิตผิว ตัวอย่างได้แก่การเปลี่ยนผ่านจากกรอบอ้างอิงเฉื่อย (ซึ่งอนุภาคอิสระวิ่งด้วยแรงเฉื่อยตามวิถีเส้นตรง ณ ความเร็วคงที่) ไปเป็นกรอบอ้างอิงหมุน (ซึ่งจำเป็นต้องคิดพจน์เพิ่มเติมที่สมนัยกับแรงเสียดทานเพื่ออธิบายการเคลื่อนที่ของอนุภาค) นี่เป็นแนวเทียบการเปลี่ยนผ่านจากระบบพิกัดคาร์ทีเซียน (ซึ่งเส้นพิกัดเป็นเส้นตรง) เป็นระบบพิกัดเชิงเส้นโค้ง (ซึ่งเส้นพิกัดไม่จำเป็นต้องเป็นเส้นตรง)
แนวเทียบที่ลึกกว่าเกี่ยวข้องกับแรงน้ำขึ้นลงทีมีคุณสมบัติของพื้นผิวเรียกความโค้ง สำหรับสนามความโน้มถ่วง การมีหรือไม่มีแรงน้ำขึ้นลงตัดสินว่าอิทธิพลของความโน้มถ่วงสามารถกำจัดได้ด้วยการเลือกกรอบอ้างอิงการตกอย่างอิสระหรือไม่ ในทำนองเดียวกัน การมีหรือไม่มีความโค้งตัดสินว่าพื้นผิวนั้นเทียบเท่ากับระนาบหนึ่งหรือไม่ ในฤดูร้อนปี 1912 ไอน์สไตน์ได้รับบันดาลใจจากแนวเทียบเหล่านี้ และค้นหาการบัญญัติความโน้มถ่วงแบบเรขาคณิต
วัตถุมูลฐานในวิชาเรขาคณิตซึ่งได้แก่ จุด เส้นตรง และสามเหลี่ยม เดิมนิยามในปริภูมิสามมิติหรือในผิวสองมิติ ในปี 1907 แฮร์มัน มิงค็อฟสกี อดีตศาตราจารย์คณิตศาสตร์ของไอน์สไตน์ที่พอลิเทคนิคกลางสวิส ริเริ่มการคิดค้นทางเรขาคณิตซึ่งทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษของไอน์สไตน์โดยที่เรขาคณิตนั้นไม่คิดเฉพาะปริภูมิเท่านั้นแต่คิดเวลาด้วย เอนทิตีพื้นฐานของเรขาคณิตใหม่นี้ คือ ปริภูมิ-เวลาสี่มิติ วงโคจรของเทห์ที่เคลื่อนที่เป็นเส้นโค้งในปริภูมิ-เวลา วงโคจรของเทห์ที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่โดยไม่เปลี่ยนทิศทางสมนัยกับเส้นตรง
สำหรับพื้นผิว การวางนัยทั่วไปจากเรขาคณิตของระนาบหรือพื้นผิวเรียบไปเป็นพื้นผิวโค้งโดยทั่วไปมีการอธิบายในต้นคริสต์ศตวรรษที่ 19 โดยคาร์ล ฟรีดริช เกาส์ คำบรรยายนี้มีการวางนัยทั่วไปไปยังปริภูมิที่มีมติสูงกว่าในรูปนัยนิยมทางคณิตศาสตร์ที่แบร์นฮาร์ท รีมันเผยแพร่ในคริสต์ทศวรรษ 1850 ด้วยความช่วยเหลือของเรขาคณิตแบบรีมัน ไอน์สไตน์บัญญัติคำบรรยายความโน้มถ่วงทางเรขาคณิตโดยที่ปริภูมิ-เวลาของมิงค็อฟสกีถูกแทนที่ด้วยปริภูมิ-เวลาโค้งบิดเบี้ยว เช่นเดียวกับที่พื้นผิวโค้งเป็นนัยทั่วไปของพื้นผิวระนาบธรรมดา มีการใช้ระนาบฝังตัว (Embedding Diagram) เพื่อพรรณนาปริภูมิ-เวลาโค้งในบริบทการศึกษา
หลังไอน์สไตน์ทราบความสมเหตุสมผลของแนวเทียบเรขาคณิตดังนี้แล้ว ไอน์สไตน์ยังต้องใช้เวลาอีกสามปีจึงค้นพบหินหลักมุมที่หายไปสำหรับทฤษฎีของเขา นั่นคือ สมการอธิบายว่าสสารมีอิทธิพลต่อความโค้งของปริภูมิ-เวลาอย่างไร หลังบัญญัติสมการที่ปัจจุบันเรียก สมการของไอน์สไตน์ (หรือจะกล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้นว่าสมการสนามของไอน์สไตน์) แล้ว เขานำเสนอทฤษฎีความโน้มถ่วงใหม่นี้ในสมัยประชุมหลายสมัยของวิทยาลัยวิทยาศาสตร์ปรัสเซียในปลายปี 1915 จนนำไปสู่การนำเสนอสุดท้ายของเขาในวันที่ 25 พฤศจิกายน 1915

เรขาคณิตกับความโน้มถ่วง

ทฤษฎีสัมพัทธภาพเชิงเรขาคณิตของไอน์สไตน์สรุปได้โดยถอดความจากจอห์น วีลเลอร์ (John Wheeler) ดังนี้ ปริภูมิ-เวลาบอกวิธีเคลื่อนที่แก่สสาร สสารบอกวิธีโค้งแก่ปริภูมิ-เวลา ความหมายของประโยคนี้มีการกล่าวถึงในสามส่วนนับจากนี้ ซึ่งสำรวจการเคลื่อนที่ของสิ่งที่เรียกอนุภาคทดสอบ ตรวจสอบว่าคุณสมบัติใดของสสารเป็นบ่อเกิดของความโน้มถ่วง และสุดท้ายนำเสนอสมการของไอน์สไตน์ ซึ่งโยงคุณสมบัติของสสารเหล่านี้เข้ากับความโค้งของปริภูมิ-เวลา

การพินิจสนามความโน้มถ่วง

ในการทำแผนที่อิทธิพลความโน้มถ่วงของเทห์ (body) จะมีประโยชน์หากคิดถึงสิ่งที่นักฟิสิกส์เรียกโพรบ (probe) หรืออนุภาคทดสอบ คือ อนุภาคที่ได้รับอิทธิพลจากความโน้มถ่วง แต่ยังเล็กและเบาจนไม่ต้องสนใจผลความโน้มถ่วงของมันเอง เมื่อปราศจากความโน้มถ่วงและแรงภายนอกอื่น อนุภาคทดสอบเคลื่อนเป็นเส้นตรงด้วยความเร็วคงที่ ในภาษาปริภูมิ-เวลา การเคลื่อนที่นี้เทียบเท่าการกล่าวว่าอนุภาคทดสอบเคลื่อนที่ตามเวิลด์ไลน์ (world line) ตรงในปริภูมิ-เวลา เมื่อมีความโน้มถ่วง ปริภูมิ-เวลาเป็นนอกแบบยูคลิดหรือมีความโค้ง และในปริภูมิ-เวลาโค้งอาจไม่มีเวิลด์ไลน์ตรงอยู่ แต่อนุภาคทดสอบเคลื่อนที่ตามแนวเรียก จีออเดสิก (geodesic) ที่ "ตรงเท่าที่เป็นไปได้" นั่นคือ แนวนี้ตามวิถีสั้นสุดระหว่างจุดเริ่มต้นและสิ้นสุด เมื่อพิจารณาความโค้งด้วย
อุปมาง่าย ๆ ดังนี้ ในวิชาภูมิมาตรศาสตร์ วิทยาศาสตร์การวัดขนาดและรูปทรงของโลก จีออเดสิก (geodesic, มาจากภาษากรีก "geo" แปลว่า โลก และ "daiein" แปลว่า แบ่ง) คือ เส้นทางสั้นสุดระหว่างสองจุดบนผิวโลก เส้นทางนี้โดยประมาณก็คือเซกเมนต์หนึ่งของวงกลมใหญ่ เช่น เส้นลองจิจูดหรือเส้นศูนย์สูตร แน่นอนว่าวิถีเหล่านี้มิใช่เส้นตรง เพราะเส้นต้องไปตามความโค้งของผิวโลก แต่เส้นเหล่านี้ตรงเท่าที่เป็นไปได้ในเงื่อนไขบังคับนี้
คุณสมบัติภูมิมาตรศาสตร์ต่างจากคุณสมบัติของเส้นตรง ตัวอย่างเช่น ในระนาบหนึ่ง เส้นขนานจะไม่มีทางมาบรรจบกัน แต่ไม่จริงสำหรับจีออเดสิกบนผิวโลก ตัวอย่างเช่น เส้นลองจิจูดขนานที่เส้นศูนย์สูตร แต่มีส่วนร่วมที่ขั้ว ทำนองเดียวกัน เวิลด์ไลน์ของอนุภาคทดสอบในการตกอย่างอิสระเป็นจีออเดสิกของปริภูมิ-เวลาหรือเป็นเส้นตรงที่สุดที่เป็นไปได้ในปริภูมิ-เวลา แต่ยังมีข้อแตกต่างสำคัญระหว่างทั้งสองและเส้นตรงจริง ๆ เท่านั้นที่สามารถวาดได้ในปริภูมิ-เวลาไร้ความโน้มถ่วงของสัมพัทธภาพพิเศษ ในสัมพัทธภาพพิเศษ จีออเดสิกขนานยังขนานกันอยู่ ในสนามความโน้มถ่วงที่มีผลน้ำขึ้นลง โดยทั่วไปข้อนี้จะไม่เป็นจริง ตัวอย่างเช่น หากวัตถุสองวัตถุที่ทีแรกอยู่ในภาวะพักโดยสัมพัทธ์ต่อกัน แต่แล้วถูกปล่อยในสนามความโน้มถ่วงของโลก วัตถุทั้งสองจะเคลื่อนเข้าหากันขณะที่ตกสู่ศูนย์กลางของโลก
วัตถุในชีวิตประจำวัน (คน รถยนต์ บ้านหรือแม้แต่ภูเขา) มีมวลน้อยนิดเมื่อเทียบกับดาวเคราะห์หรือเทห์ดาราศาสตร์อื่น เมื่อกล่าวถึงวัตถุในชีวิตประจำวัน กฎว่าด้วยพฤติกรรมของอนุภาคทดสอบเพียงพออธิบายสิ่งที่เกิด ที่สำคัญคือ ในการเบนอนุภาคทดสอบจากวิถีจีออเดสิกของมันจะต้องมีแรงภายนอกมากระทำ เก้าอี้ที่มีผู้นั่งอยู่มีแรงพุ่งขึ้นภายนอกมากระทำป้องกันมิให้บุคคลนั้นตกอิสระสู่ศูนย์กลางของโลกฉะนั้นจึงเป็นไปตามจีออเดสิก ซึ่งหากไม่มีสสารกั้นระหว่างเขากับศูนย์กลางของโลกเขาก็จะตกลงเบื้องล่าง ด้วยวิธีนี้ สัมพัทธภาพทั่วไปอธิบายประสบการณ์แรงโน้มถ่วงประจำวันบนผิวโลกว่ามิใช่เป็นแรงดึงลงของแรงโน้มถ่วง แต่เป็นการผลักขึ้นของแรงภายนอก แรงเหล่านี้เบนเทห์ทั้งหมดที่อยู่บนผิวโลกจากจีออเดสิกที่ควรเป็นตามปกติ สำหรับวัตถุสสารซึ่งต้องคิดอิทธิพลความโน้มถ่วงของมันด้วย กฎการเคลื่อนที่จะซับซ้อนกว่าของอนุภาคทดสอบอยู่บ้าง แต่ข้อที่ว่าปริภูมิ-เวลาบอกวิธีเคลื่อนที่แก่สสารยังเป็นจริงอยู่

แหล่งของความโน้มถ่วง

ในคำอธิบายความโน้มถ่วงของนิวตัน แรงโน้มถ่วงเกิดจากสสาร หรือจะกล่าวให้แม่นตรงกว่านั้น เกิดจากคุณสมบัติเฉพาะหนึ่งของวัตถุกายภาพ คือ มวล ในทฤษฎีของไอน์สไตน์และทฤษฎีความโน้มถ่วงที่สัมพันธ์กัน ความโค้งทุกจุดในปริภูมิ-เวลาก็เกิดจากว่ามีสสารอะไรอยู่ ซึ่งในที่นี้มวลเป็นคุณสมบัติสำคัญเช่นเดียวกันในการกำหนดอิทธิพลความโน้มถ่วงของสสาร แต่ในทฤษฎีความโน้มถ่วงสัมพัทธนิยม มวลไม่สามารถเป็นแหล่งของความโน้มถ่วงเพียงแหล่งเดียว สัมพัทธภาพโยงมวลกับพลังงาน และพลังงานกับโมเมนตัม
ความสมมูลระหว่างมวลกับพลังงาน ดังที่แสดงโดยสูตร E = mc² เป็นผลลัพธ์ที่โด่งดังที่สุดของสัมพัทธภาพพิเศษ ในสัมพัทธภาพ มวลและพลังงานเป็นวิธีการอธิบายปริมาณทางกายภาพหนึ่ง ๆ ที่ต่างกันสองวิธี หากระบบกายภาพหนึ่งมีพลังงาน ระบบนั้นจะมีมวลสมนัย และระบบกายภาพที่มีมวลก็จะมีพลังงานสมนัยด้วย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง คุณสมบัติทั้งหมดของเทห์ที่สัมพันธ์กับพลังงาน เช่น อุณหภูมิหรือพลังงานยึดเหนี่ยวของระบบ เช่น นิวเคลียสหรือโมเลกุล ประกอบเป็นมวลของเทห์นั้น ฉะนั้นจึงประพฤติตนเป็นแหล่งของความโน้มถ่วง
ในสัมพัทธภาพพิเศษ พลังงานมีความเชื่อมโยงใกล้ชิดกับโมเมนตัม ดังเช่นที่ปริภูมิและเวลาในทฤษฎีนั้นต่างเป็นส่วนหนึ่งของเอนทิตีครอบคลุมกว่าที่เรียก ปริภูมิ-เวลา พลังงานและโมเมนตัมเป็นเพียงส่วนหนึ่งในปริมาณสี่มิติรวมที่นักฟิสิกส์เรียก สี่โมเมนตัม (four-momentum) ผลคือ หากพลังงานเป็นแหล่งของความโน้มถ่วง โมเมนตัมก็เป็นแหล่งด้วย ข้อนี้เป็นจริงสำหรับปริมาณที่เกี่ยวข้องโดยตรงกับพลังงานและโมเมนตัม กล่าวคือ ความดันภายในและความตึง เมื่อคิดรวมกัน ในสัมพัทธภาพทั่วไป มวล พลังงาน โมเมนตัม ความดันและความตึงเป็นแหล่งของความโน้มถ่วง เป็นวิธีที่สสารบอกปริภูมิ-เวลาว่าจะโค้งอย่างไร ในการบัญญัติทางคณิตศาสตร์ของทฤษฎี ปริมาณเหล่านี้ทั้งหมดเป็นส่วนหนึ่งของปริมาณทางกายภาพครอบคลุมกว่าที่เรียก เทนเซอร์พลังงาน–โมเมนตัม (energy–momentum tensor)

การประยุกต์ทางฟิสิกส์ดาราศาสตร์

แบบจำลองที่ยึดสัมพัทธภาพทั่วไปมีบทบาทสำคัญในวิชาฟิสิกส์ดาราศาสตร์ ความสำเร็จของแบบจำลองเหล่านี้ยิ่งเป็นหลักฐานความถูกต้องของทฤษฎี

เลนส์ความโน้มถ่วง

ด้วยแสงมีการเบนในสนามความโน้มถ่วง จึงเป็นไปได้ที่แสงของวัตถุที่ห่างไกลมาถึงผู้สังเกตในวิถีตั้งแต่สองวิถีขึ้นไป ตัวอ่ยางเช่น แสงของวัตถุที่อยู่ห่างไกลมากอย่างควาซาร์สามารถผ่านตาด้านหนึ่งของดาราจักรขนาดมหึมาและมีการเลี้ยวเบนเล็กน้อยเพื่อมาถึงผู้สังเกตบนโลก ขณะที่แสงผ่านด้านตรงข้ามของดาราจักรเดียวกันนั้นก็มีการเลี้ยวเบนเช่นกนั จึงมาถึงผู้สังเกตเดียวกันจากทิศทางต่างไปเล็กน้อย ผลคือ ผู้สังเกตคนนั้นจะเห็นวัตถุดาราศาสตร์หนึ่งในจุดสองจุดบนท้องฟ้า โฟกัสชนิดนี้ทราบกันดีว่าพบในเลนส์ตา ฉะนั้นผลจากความโน้มถ่วงนี้จึงเรียก เลนส์ความโน้มถ่วง
ดาราศาสตร์เชิงสังเกตการณ์ใช้ผลของเลนส์เป็นเครื่องมือสำคัญในการอนุมานคุณสมบัติของวัตถุเลนส์ แม้ในกรณีที่วัตถุนั้นไม่สามารถเห็นได้โดยตรง รูปทรงของภาพจากเลนส์ให้สารสนเทศเกี่ยวกับการกระจายมวลที่เป็นสาเหตุของการเบนแสง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เลนส์ความโน้มถ่วงเป็นทางหนึ่งในการวัดการกระจายของสสารมืด ซึ่งไม่มีแสงแต่สามารถสังเกตได้เฉพาะจากผลความโน้มถ่วงของมัน การประยุกต์ที่น่าสนใจเป็นพิเศษได้แก่การสังเกตขนาดใหญ่ ที่ที่มวลจากเลนส์แผ่ออกเป็นบริเวณกว้างสำคัญในเอกภพที่สังเกตได้ และสามารถใช้ให้ได้มาซึ่งสารสนเทศเกี่ยวกับคุณสมบัติขนาดใหญ่และวิวัฒนาการของจักรวาลนี้

คลื่นความโน้มถ่วง

คลื่นความโน้มถ่วง (gravitational wave) ซึ่งเป็นผลสืบเนื่องโดยตรงอย่างหนึ่งของทฤษฎีของไอน์สไตน์ เป็นการบิดเบี้ยวของเรขาคณิตที่ส่งผ่านด้วยความเร็วแสง และสามารถคิดเสมือนเป็นริ้วคลื่นในปริภูมิ-เวลาได้ ทั้งนี้ ไม่ควรสับสนกับคลื่นโน้มถ่วง (gravity wave) ของพลศาสตร์ของไหล ซึ่งเป็นมโนทัศน์อีกเรื่องหนึ่ง
ในเดือนกุมภาพันธ์ 2016 ทีมแอดแวนซ์ไลโกประกาศว่าสังเกตคลื่นคนวามโน้มถ่วงโดยตรงจากการรวมหลุมดำได้
สำหรับการสังเกตโดยอ้อม ผลของคลื่นความโน้มถ่วงพบได้ในการสังเกตระบบดาวฤกษ์คู่บางระบบ ดาวฤกษ์คู่ดังกล่าวโคจรรอบกัน และขณะที่โคจรรอบกันนั้นก็ค่อย ๆ เสียพลังงานโดยแผ่คลื่นความโน้มถ่วงออกมา สำหรับดาวฤกษ์ธรรมดาอย่างดวงอาทิตย์ การเสียพลังงานนี้จะเล็กน้อยเกินไปจนตรวจไม่พบ แต่การเสียพลังงานนี้สังเกตได้ในปี 1974 ในพัลซาร์คู่ชื่อ PSR1913+16 ในระบบดังกล่าว ดาวฤกษ์ที่โคจรรอบกันดวงหนึ่งเป็นพัลซาร์ จึงมีผลลัพธ์สองประการ คือ หนึ่ง พัลซาร์เป็นวัตถุหนาแน่นยิ่งยวดที่เรียก ดาวนิวตรอน ที่การปล่อยคลื่นความโน้มถ่วงมีความเข้มกว่าดาวฤกษ์ธรรมดา และสอง พัลซาร์แผ่ลำรังสีแม่เหล็กไฟฟ้าแคบ ๆ จากขั้วแม่เหล็กของมัน เมื่อพัลซาร์หมุน ลำรังสีจะกวาดผ่านโลก ซึ่งจะเห็นลำดังกล่าวเป็นชุดพัลส์วิทยุสม่ำเสมอดุจเรือในทะเลเห็นแสงกะพริบสม่ำเสมอจากแสงที่หมุนในประภาคาร รูปแบบพัลส์วิทยุที่สม่ำเสมอนี้ทำหน้าที่เสมือนเป็น "นาฬิกา" ที่แม่นยำสูง สามารถใช้กะเวลาคาบการโคจรของดาวฤกษ์คู่ได้ และมีการตอบสนองอย่างไวต่อการบิดเบี้ยวของปริภูมิ-เวลาในละแวกติดกับมัน
ผู้ค้นพบ PSR1913+16 รัสเซล ฮัลส์และโจเซฟ เทย์เลอร์ได้รับรางวัลโนเบลสาขาฟิสิกส์ในปี 1993 นับแต่นั้น มีการค้นพบพัลซาร์คู่อื่นอีกหลายระบบ การค้นพบที่มีประโยชน์สูงสุดได้แก่ระบบที่ดาวทั้งสองดวงเป็นพัลซาร์ เพราะจะให้การทดสอบที่แม่นยำของสัมพัทธภาพทั่วไป
ปัจจุบันมีเครื่องตรวจจับคลื่นความโน้มถ่วงบนพื้นดินจำนวนหนึ่งดำเนินการอยู่ และภารกิจปล่อยเครื่องตรวจจับบนอวกาศ ไลซา (LISA) กำลังอยู่ระหว่างการพัฒนา โดยมีภารกิจก่อนหน้า (ไลซาพาธไฟน์เดอร์) ซึ่งมีการปล่อยในปี 2015 การสังเกตคลื่นความโน้มถ่วงสามารถใช้เพื่อให้ได้สารสนเทศเกี่ยวกับวัตถุเนื้อแน่นอย่างดาวนิวตรอนและหลุมดำได้ และยังใช้เพื่อสอบหาสภาพของเอกภพช่วงแรกเศษเสี้ยววินาทีหลังบิกแบง

หลุมดำ

สัมพัทธภาพทั่วไปพยากรณ์ว่าเมื่อมวลกระจุกอยู่ในบริเวณปริภูมิที่มีเนื้อแน่นเพียงพอจะเกิดหลุมดำ หลุมดำเป็นบริเวณของปริภูมิที่ผลความโน้มถ่วงเข้มเสียจนแสงก็หนีออกมาไม่ได้ คิดกันว่าหลุมดำบางชนิดเป็นขั้นสุดท้ายในวิวัฒนาการของดาวฤกษ์ขนาดมหึมา อีกด้านหนึ่ง มีการสันนิษฐานว่าหลุมดำมวลยวดยิ่งที่มีมวลหลายล้านถึงหลายพันล้านเท่าของดวงอาทิตย์อยู่ในใจกลางของดาราจักรส่วนใหญ่ และมีบทบาทสำคัญในแบบจำลองปัจจุบันวิธีการก่อกำเนิดดาราจักรในช่วงหลายพันล้านปีที่ผ่านมา
สสารที่ตกลงสู่วัตถุเนื้อแน่นเป็นกลไกที่มีประสิทธิภาพที่สุดกลไกหนึ่งสำหรับการปลดปล่อยพลังงานในรูปการแผ่รังสี  และสสารที่ตกลงสู่หลุมดำเชื่อว่าเป็นตัวการให้เกิดปรากฏการณ์ทางดาราศาสตร์ที่สว่างที่สุดปรากฏการณ์หนึ่งเท่าที่จินตนาการได้ ตัวอย่างสิ่งที่น่าสนใจอย่างยิ่งโดดเด่นสำหรับนักดาราศาสตร์ได้แก่ควาซาร์และนิวเคลียสดาราจักรกัมมันต์ชนิดอื่น ภายใต้ภาวะที่ถูกต้อง สสารที่ตกลงสะสมอยู่รอบหลุมดำสามารถนำไปสู่การก่อกำเนิดเจ็ต (jet) ซึ่งเป็นลำสสารรวมปลิวออกสู่อวกาศด้วยความเร็วเกือบเท่าความเร็วแสง
มีคุณสมบัติหลายประการที่ทำให้หลุมดำเป็นบ่อเกิดของคลื่นความโน้มถ่วงที่มีโอกาสเป็นไปได้มากที่สุด เหตุผลหนึ่งคือหลุมดำเป็นวัตถุเนื้อแน่นที่สุดที่สามารถโคจรรอบกันและกันเป็นส่วนหนึ่งของระบบดาวคู่ได้ ผลคือ คลื่นความโน้มถ่วงที่ปลดปล่อยออกมาจากระบบดังกล่าวจะเข้มเป็นพิเศษ อีกเหตุผลหนึ่งสืบเนื่องจากสิ่งที่เรียกว่าทฤษฎีบทความเป็นได้อย่างเดียวของหลุมดำ คือเมื่อเวลาผ่านไปหลุมดำจะยังมีเฉพาะคุณลักษณะแตกต่างน้อยที่สุด (ทฤษฎีบทเหล่านี้ได้ชื่อว่า ทฤษฎี "ไร้ขน") โดยไม่ขึ้นอยู่กับรูปทรงเรขาคณิตตั้งต้น ตัวอย่างเช่น ในระยะยาว การยุบตัวของลูกบาศก์สสารในทางทฤษฎีจะไม่ส่งผลให้เกิดหลุมดำทรงลูกบาศก์ แต่หลุมดำที่เกิดขึ้นจากไม่แตกต่างกับหลุมดำที่เกิดจากการยุบตัวของมวลทรงกลม ในการเปลี่ยนผ่านรูปทรงกลม หลุมดำที่เกิดจากการยุบตัวของรูปทรงที่ซับซ้อนมากขึ้นจะปลดปล่อยคลื่นความโน้มถ่วง

จักรวาลวิทยา

ลักษณะสำคัญที่สุดอย่างหนึ่งของสัมพัทธภาพทั่วไปคือสามารถใช้ได้กับเอกภพทั้งหมด จุดสำคัญคือในมาตราส่วนใหญ่ เอกภพนี้ดูเหมือนสร้างอยู่บนเส้นตรงเรียบง่ายมาก ๆ คือ ทุกการสังเกตในปัจจุบันเสนอว่าโดยเฉลี่ยโครงสร้างของจักรวาลควรคงเดิมโดยประมาณ โดยไม่ขึ้นอยู่กับสถานที่ของผู้สังเกตหรือทิศทางของการสังเกต เอกภพเป็นเนื้อเดียวกันและไอโซทรอปี (ภาวะเอกรูป) โดยประมาณ เอกภพที่ง่ายโดยเปรียบเทียบนี้สามารถอธิบายได้ด้วยผลเฉลยง่ายของสมการของไอน์สไตน์ แบบจำลองจักรวาลวิทยาของเอกภพปัจจุบันได้มาจากการรวมผลเฉลยง่าย ๆ เหล่านี้กับสัมพัทธภาพทั่วไปโดยทฤษฎีที่อธิบายคุณสมบัติของปริมาณสสารของเอกภพ ได้แก่ อุณหพลศาสตร์ ฟิสิกส์นิวเคลียร์และฟิสิกส์อนุภาค ตามแบบจำลองเหล่านี้ เอกภพปัจจุบันแห่งนี้ถือกำเนิดจากภาวะอุณหภูมิสูงและหนาแน่นยิ่งยวด ที่เรียก บิกแบง ทีเมื่อประมาณ 14,000 ล้านปีก่อนและมีการขยายตัวนับแต่นั้น
สมการของไอน์สไตน์สามารถวางนัยทั่วไปได้โดยการเพิ่มพจน์ที่เรียก ค่าคงที่จักรวาลวิทยา เมื่อมีพจน์นี้อยู่ ปริภูมิว่างเองจะประพฤติตนเป็นแหล่งความโน้มถ่วงดึงดูด (หรือที่พบน้อยกว่า ผลัก) ไอน์สไตน์นำเสนอพจน์นี้ครั้งแรกในเอกสารบุกเบิกปี 1917 ว่าด้วยจักรวาลวิทยา โดยมีแรงจูงใจจำเพาะมาก คือ ความคิดจักรวาลวิทยาร่วมสมัยถือว่าเอกภาพเป็นสถิต และต้องอาศัยอีกพจน์หนึ่งเพื่อสร้างเอกภพแบบจำลองสถิติภายในกรอบของสัมพัทธภาพทั่วไป เมื่อชัดเจนว่าเอกภพไม่ใช่สถิต แต่กำลังขยายตัว ไอน์สไตน์จึงรีบทิ้งพจน์ใหม่นี้ นับแต่สิ้นสุดคริสต์ทศวรรษ 1990 อย่างไรก็ตาม หลักฐานดาราศาสตร์บ่งชี้ว่าการขยายตัวที่มีความเร่งนี้ต้องกันกับค่าคงที่จักรวาลวิทยา หรือเทียบเท่ากับพลังงานมืดชนิดที่จำเพาะและพบทั่วไป กำลังสะสมอย่างคงที่

การวิจัยสมัยใหม่

สัมพัทธภาพทั่วไปประสบความสำเร็จอย่างมากในการให้กรอบสำหรับแบบจำลองที่แม่นยำซึ่งอธิบายกลุ่มปรากฏการณ์ทางฟิสิกส์หลายอย่างน่าประทับใจ อีกด้านหนึ่ง ยังมีคำถามที่ยังไม่มีคำถามที่น่าสนใจหลายข้อ และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ตัวทฤษฎีโดยรวมเกือบแน่นอนว่าไม่เสร็จสมบูรณ์
สัมพัทธภาพทั่วไปเป็นทฤษฎีคลาสสิก หมายความว่า ทฤษฎีนี้ไม่รวมผลของฟิสิกส์ควอนตัม ทำให้แตกต่างจากทฤษฎีอันตรกิริยาพื้นฐานสมัยใหม่อื่นทั้งหมด การแสวงสัมพัทธภาพทั่วไปฉบับควอนตัมเป็นปัญหาที่ยังต้องการคำตอบมูลฐานที่สุดคำถามหนึ่งในวิชาฟิสิกส์ แม้มีผู้ท้าชิงที่มีแววอย่างทฤษฎีความโน้มถ่วงเชิงควอนตัม โดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีสตริงและความโน้มถ่วงเชิงควอนตัมวงวน แต่ในปัจจุบันยังไม่มีทฤษฎีที่ต้องกันและสมบูรณ์ มีผู้หวังมายาวนานว่าทฤษฎีความโน้มถ่วงเชิงควอนตัมจะกำจัดคุณลักษณะที่เป็นปัญหาอีกประการหนึ่งของสัมพัทธภาพทั่วไป ได้แก่ การมีภาวะเอกฐานของปริภูมิ-เวลา ภาวะเอกฐานเหล่านี้เป็นเขตแดน ("ขอบคม") ของปริภูมิ-เวลาซึ่ง ณ ที่นั้นเรขาคณิตจะนิยามไม่ชัดเจน โดยมีผลคือสัมพัทธภาพทั่วไปจะเสียอำนาจในการพยากรณ์ ยิ่งไปกว่านั้น ยังมีสิ่งที่เรียกทฤษฎีบทภาวะเอกฐานซึ่งพยากรณ์ว่าภาวะเอกฐานดังกล่าวจะต้องมีอยู่ในเอกภพหากจะยึดถือกฎสัมพัทธภาพทั่วไปโดยไม่มีการดัดแปรทางควอนตัมใด ๆ ตัวอย่างขึ้นชื่อที่สุด ได้แก่ ภาวะเอกฐานที่สัมพันธ์กับเอกภพจำลองซุ่งอธิบายหลุมดำและจุดเริ่มต้นของเอกภพ
มีความพยายามอื่นในการดัดแปรสัมพัทธภาพทั่วไปในบริบทจักรวาลวิทยา ในแบบจำลองจักรวาลวิทยาสมัยใหม่ พลังงานส่วนใหญ่ในเอกภพอยู่ในรูปที่ไม่เคยมีการตรวจพบโดยตรง เรียก พลังงานมืดและสสารมืด มีข้อเสนอซึ่งเป็นที่ถกเถียงกันหลายข้อเพื่อลบความจำเป็นพลังงานและสสารแบบที่อธิบายเข้าใจได้ยาก โดยการดัดแปรกฎที่ว่าด้วยความโน้มถ่วงและพลศาสตร์การขยายตัวของจักรวาล ตัวอย่างเช่น พลศาสตร์นิวตันแบบปรับปรุงใหม่
นอกจากความท้าทายของผลควอนตัมและจักรวาลวิทยาแล้ว การวิจัยเรื่องสัมพัทธภาพทั่วไปยังเต็มไปด้วยโอกาสสำหรับการสำรวจต่อไป นักสัมพัทธภาพทางคณิตศาสตร์สำรวจสภาพของภาวะเอกฐานและคุณสมบัติมูลฐานของสมการของไอน์สไตน์ และการจำลองคอมพิวเตอร์ที่ครอบคลุมมากขึ้นกว่าแต่ก่อนของปริภูมิ-เวลาจำเพาะ (เช่น ปริภูมิ-เวลาที่อธิบายหลุมดำที่กำลังรวมตัวกัน) ก็มีการดำเนินงานแล้ว ตั้งแต่กว่าเก้าสิบปีหลังมีการเผยแพร่ทฤษฎีนี้ครั้งแรก การวิจัยยิ่งมีความเคลื่อนไหวมากว่าที่เคย