เศษส่วน

ในทางคณิตศาสตร์ เศษส่วน คือความสัมพันธ์ตามสัดส่วนระหว่างชิ้นส่วนของวัตถุหนึ่งเมื่อเทียบกับวัตถุทั้งหมด เศษส่วนประกอบด้วยตัวเศษ (numerator) หมายถึงจำนวนชิ้นส่วนของวัตถุที่มี และตัวส่วน (denominator) หมายถึงจำนวนชิ้นส่วนทั้งหมดของวัตถุนั้น ตัวอย่างเช่น  อ่านว่า เศษสามส่วนสี่ หรือ สามในสี่ หมายความว่า วัตถุสามชิ้นส่วนจากวัตถุทั้งหมดที่แบ่งออกเป็นสี่ส่วนเท่าๆ กัน นอกจากนั้น การแบ่งวัตถุสิ่งหนึ่งออกเป็นศูนย์ส่วนเท่า ๆ กันนั้นเป็นไปไม่ได้ ดังนั้น 0 จึงไม่สามารถเป็นตัวส่วนของเศษส่วนได้ (ดูเพิ่มที่ การหารด้วยศูนย์) 
เศษส่วนเป็นตัวอย่างชนิดหนึ่งของอัตราส่วน ซึ่งเศษส่วนแสดงความสัมพันธ์ระหว่างชิ้นส่วนย่อยต่อชิ้นส่วนทั้งหมด ในขณะที่อัตราส่วนพิจารณาจากปริมาณของสองวัตถุที่แตกต่างกัน (ดังนั้น  อาจไม่เท่ากับ 3 : 4) และเศษส่วนนั้นอาจเรียกได้ว่าเป็นผลหาร (quotient) ของจำนวน ซึ่งปริมาณที่แท้จริงสามารถคำนวณได้จากการหารตัวเศษด้วยตัวส่วน ตัวอย่างเช่น  คือการหารสามด้วยสี่ ได้ปริมาณเท่ากับ 0.75 ในทศนิยม หรือ 75% ในอัตราร้อยละ
การเขียนเศษส่วน ให้เขียนแยกออกจากกันด้วยเครื่องหมายทับหรือ ซอลิดัส (solidus) แล้ววางตัวเศษกับตัวส่วนในแนวเฉียง เช่น ¾ หรือคั่นด้วยเส้นแบ่งตามแนวนอนเรียกว่า วิงคิวลัม (vinculum) เช่น  ในบางกรณีอาจพบเศษส่วนที่ไม่มีเครื่องหมายคั่น อาทิ ³₄ บนป้ายจราจรในบางประเทศ

เศษส่วนสามัญ เศษส่วนแท้ และเศษเกิน

เศษส่วนสามัญ (vulgar/common fraction) คือจำนวนตรรกยะที่สามารถเขียนอยู่ในรูป a/b หรือ  โดยที่ a และ b ซึ่งเรียกว่า ตัวเศษ และ ตัวส่วน ตามลำดับ เป็นจำนวนเต็มทั้งคู่ ตัวเศษแสดงแทนจำนวนของส่วนแบ่ง และตัวส่วนซึ่งไม่เท่ากับศูนย์แสดงแทนการแบ่งส่วนจากทั้งมวล เช่น , {{เศษ|3|4กนั้นเศษส่วนสามัญยังแยกออกเป็นเศษส่วนแท้ (proper fraction) ซึ่งมีค่าของตัวเศษน้อยกว่าตัวส่วน ทำให้ปริมาณของเศษส่วนน้อยกว่า 1 เช่น  และเศษเกิน (improper fraction) คือเศษส่วนที่ค่าของตัวเศษมากกว่าหรือเท่ากับตัวส่วน เช่น ,

เศษส่วนที่เทียบเท่ากัน

เศษส่วนที่เทียบเท่ากับอีกเศษส่วนหนึ่ง สามารถหาได้จากการคูณหรือการหารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยจำนวนที่เท่ากัน (ไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเต็ม) เนื่องจากจำนวน n ที่คูณหรือหารทั้งตัวเศษและตัวส่วน คือเศษส่วน  ที่มีค่าเท่ากับ 1 ดังนั้นปริมาณของเศษส่วนจึงไม่เปลี่ยนแปลง ตัวอย่างเช่น กำหนดเศษส่วน  เมื่อคูณด้วย 2 ทั้งตัวเศษและตัวส่วนจะได้ผลลัพธ์เป็น  ซึ่งยังคงมีปริมาณเท่ากับ  จึงกล่าวได้ว่า  เทียบเท่ากับ  เมื่อลองจินตนาการจะพบว่าสองในสี่ส่วนของเค้กหนึ่งก้อน ไม่แตกต่างจากการแบ่งเค้กครึ่งก้อน
การหารเศษส่วนด้วยจำนวนที่เท่ากัน (ซึ่งจะไม่ใช้ 0 เป็นตัวหาร) เป็นการตัดทอนหรือการลดรูปเศษส่วนให้มีตัวเลขน้อยลง สำหรับเศษส่วนที่ตัวเศษและตัวส่วนไม่มีตัวประกอบร่วมอื่นใดนอกจาก 1 กล่าวคือไม่มีตัวเลขอื่นนอกจาก 1 ที่สามารถหารแล้วได้เศษส่วนสามัญ เรียกว่า เศษส่วนอย่างต่ำ ตัวอย่างเช่น  เป็นเศษส่วนอย่างต่ำเพราะมีตัวประกอบร่วมเพียงตัวเดียวคือ 1 ในทางตรงข้าม  ไม่เป็นเศษส่วนอย่างต่ำเนื่องจากยังสามารถหารด้วย 3 ได้อีกเป็น 
นอกจากนั้นการเปรียบเทียบปริมาณของเศษส่วน หากไม่สามารถจินตนาการหรือวาดรูปได้ จำเป็นต้องสร้างเศษส่วนที่เทียบเท่าขึ้นมาใหม่โดยให้มีตัวส่วนเท่ากันก่อนจึงจะสามารถเปรียบเทียบได้ ซึ่งตัวส่วนดังกล่าวสามารถคำนวณได้จากการคูณตัวส่วนทั้งสอง หรือจากตัวคูณร่วมน้อย ตัวอย่างเช่น ถ้าต้องการเปรียบเทียบระหว่าง  กับ  ตัวส่วนสำหรับการเปรียบเทียบคือ ครน. ของ 4 กับ 18 มีค่าเท่ากับ 36 ดังนั้นจะได้เศษส่วนที่เทียบเท่าได้แก่  กับ  ตามลำดับ ทำให้ทราบได้ว่า  มีปริมาณมากกว่า

เศษส่วนซ้อน

เศษส่วนซ้อน หรือ เศษซ้อน (complex/compound fraction) คือเศษส่วนที่มีตัวเศษหรือตัวส่วนเป็นเศษส่วนอื่น ตัวอย่างเช่น  เป็นเศษส่วนซ้อน ในการลดรูปเศษส่วนซ้อนสามารถทำได้โดยการหารตัวเศษด้วยตัวส่วน เหมือนการหารธรรมดา ดังนั้น  จะมีค่าเท่ากับ  ÷  =  นอกจากนั้นตัวเศษหรือตัวส่วนสามารถเป็นนิพจน์ของเศษส่วนอื่นต่อๆ กันไปได้ อย่างเช่นเศษส่วนต่อเนื่อง (continued fraction)

ส่วนกลับและตัวส่วนที่ไม่ปรากฏ

ส่วนกลับของเศษส่วน (reciprocal/inverse) หมายถึงเศษส่วนอีกจำนวนหนึ่งที่มีตัวเศษและตัวส่วนสลับกัน เช่น ส่วนกลับของ  คือ  และเนื่องจากจำนวนใดๆ หารด้วย 1 จะได้จำนวนเดิม ดังนั้นจำนวนใดๆ จึงสามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนโดยมีตัวส่วนเท่ากับ 1 ตัวอย่างเช่น 17 เขียนให้เป็นเศษส่วนได้เป็น  ตัวเลข 1 นี้คือตัวส่วนที่ไม่ปรากฏ ดังนั้นจึงสามารถบอกได้ว่าเศษส่วนและจำนวนทุกจำนวน (ยกเว้น 0) สามารถมีส่วนกลับได้เสมอ จากตัวอย่าง ส่วนกลับของ 17 คือ