การบวก

การบวก (มักแทนด้วยเครื่องหมายบวก "+") คือหนึ่งในการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ของเลขคณิตมูลฐาน นอกจากการบวกยังมีการลบ การคูณ และการหาร การบวกจำนวนสองจำนวนคือผลรวมของปริมาณสองปริมาณรวมกัน ตัวอย่างเช่น ในภาพด้านขวาเป็นการรวมแอปเปิล 3 ผลกับแอปเปิล 2 ผลเข้าด้วยกัน หลายเป็นแอปเปิล 5 ผล ดังนั้นจึงเหมือนกับว่ามีแอปเปิล 5 ผล การกระทำเช่นนี้เทียบเท่ากับนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ว่า "3 + 2 = 5" หมายความว่า "3 บวก 2 เท่ากับ 5" เป็นต้น
นอกจากการนับผลไม้แล้ว การบวกสามารถใช้แทนการรวมวัตถุอื่น ๆ การบวกสามารถนิยามด้วยสมบัติที่เป็นนามธรรมมากขึ้น เช่น จำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะ จำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อน และวัตถุนามธรรมอื่น ๆ เช่น เวกเตอร์ และเมทริกซ์ ฯลฯ
ในเลขคณิตมีกฎของการบวกที่เกี่ยวกับเศษส่วน และจำนวนลบและจำนวนไม่เป็นลบ ถูกคิดค้นขึ้นใหม่ ในทางพีชคณิต การศึกษาการบวกนั้นเป็นไปในเชิงนามธรรมมากขึ้น
การบวกมีสมบัติที่สำคัญหลายประการ การบวกมีสมบัติการสลับที่ หมายความว่าลำดับไม่สำคัญ และมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ หมายความว่าเมื่อจำนวนหนึ่งบวกกับจำนวนมากกว่าสองจำนวน ลำดับในการบวกก่อนหลังนั้นไม่สำคัญ (ดู ผลรวม) การบวก 1 ซ้ำ ๆ มีความหมายเหมือนการนับ การบวกด้วย 0 จะไม่ทำให้จำนวนเปลี่ยนแปลง การบวกยังสามารถคล้อยตามกฎที่ทำนายได้ของการดำเนินการอื่น ๆ ได้แก่ การลบ และการคูณ
การกระทำการบวกเป็นหนึ่งในงานที่ง่ายที่สุด การบวกจำนวนน้อย ๆ สามารถเรียนรู้ได้ตั้งแต่วัยเด็กหัดเดิน เด็กทารกอายุห้าเดือน และแม้กระทั่งสัตว์บางชนิดก็สามารถคำนวณงานพื้นฐานที่สุดอย่าง 1 + 1 ได้ ในระดับประถมศึกษา นักเรียนจะได้เรียนรู้การบวกจำนวนในระบบเลขฐานสิบ โดยเริ่มต้นจากเลขหลักเดียว และพัฒนาการแก้ปัญหาที่ยากขึ้น เครื่องมือช่วยคำนวณการบวกก็แตกต่างกันไปตั้งแต่ลูกคิดโบราณจนไปถึงคอมพิวเตอร์สมัยใหม่ ซึ่งยังมีงานวิจัยเรื่องวิธีการบวกที่มีประสิทธิภาพมากที่สุดเรื่อยมาถึงทุกวันนี้

การแปลความหมาย

การบวกใช้สำหรับจำลองกระบวนการทางกายภาพได้อย่างนับไม่ถ้วน แม้แต่กรณีที่ง่ายที่สุดของการบวกจำนวนธรรมชาติ ก็มีการแปลความหมายที่เป็นไปได้มากมาย รวมไปถึงการนำเสนอด้วยภาพ

การเปลี่ยนหมู่

การบวกมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ หมายความว่าเมื่อบวกจำนวนสามจำนวนขึ้นไป ลำดับของการดำเนินการจะไม่สำคัญ
ตัวอย่างเช่น ควรนิยามนิพจน์ a + b + c ว่าหมายถึง (a + b) + c หรือ a + (b + c) ในเมื่อการบวกสามารถเปลี่ยนหมู่ได้ ดังนั้นตัวเลือกทั้งสองจึงไม่สำคัญ สำหรับจำนวนสามจำนวนใด ๆ a, b, c เป็นจริงว่า (a + b) + c = a + (b + c) ตัวอย่างเช่น (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6 = 1 + 5 = 1 + (2 + 3) 
เมื่อใช้การบวกร่วมกับการดำเนินการอื่น ๆ ลำดับของการดำเนินการจะเป็นสิ่งสำคัญ สำหรับลำดับมาตรฐานของการดำเนินการ การบวกจะสำคัญน้อยกว่าการยกกำลัง รากที่ n การคูณ และการหาร แต่สำคัญเท่ากับการลบ

ตัวตามหลัง

เมื่อกล่าวถึงจำนวนเต็ม การบวกด้วยหนึ่งยังมีบทบาทพิเศษ กล่าวคือ สำหรับจำนวนเต็ม a ใด ๆ แล้ว จำนวนเต็ม (a + 1) เป็นจำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่มากกว่า a เรียกว่าเป็นตัวตามหลังของ a ตัวอย่างเช่น 3 เป็นตัวตามหลังของ 2 และ 7 คือตัวตามหลังของ 6 เนื่องด้วยตัวตามหลังนี้ ค่าของ a + b ใด ๆ สามารถมองว่าเป็นตัวตามหลังลำดับที่ b ของ a ทำให้การบวกกลายเป็นการตามหลังแบบวนซ้ำ ตัวอย่างเช่น 6 + 2 คือ 8 เพราะ 8 เป็นตัวตามหลังของ 7 ซึ่งก็เป็นตัวตามหลังของ 6 อีกทีหนึ่ง ทำให้ 8 เป็นตัวตามหลังลำดับที่ 2 ของ 6

หน่วย

ในการบวกปริมาณทางกายภาพซึ่งมีหน่วยวัดกำกับอยู่ ปริมาณเหล่านั้นจะต้องอยู่ในหน่วยเดียวกัน ตัวอย่างเช่น ระยะความยาว 5 ฟุต หากถูกขยายออกไปอีก 2 นิ้ว ผลบวกของความยาวคือ 62 นิ้ว เนื่องจากความยาว 60 นิ้วมีความหมายเหมือนกับความยาว 5 ฟุต ในอีกทางหนึ่ง หน่วยที่ไม่สามารถเปรียบเทียบกันได้ก็จะไม่สามารถรวมกันได้ เช่นการบวกระยะทาง 3 เมตรกับพื้นที่ 4 ตารางเมตร การบวกเช่นนี้จะไร้ความหมาย การพิจารณาดังกล่าวนี้เป็นรากฐานของการวิเคราะห์เชิงมิติ (dimensional analysis)