ขั้นตอนวิธีของเฮิร์ชเบิร์ก

คำอธิบาย

สำหรับสายอักขระ 2 สายคือ s1, s2 ซึ่งเป็นสายอักขระย่อยของสายอักขระที่ประกอบด้วยตัวอักษรเท่านั้น โดยสายอักขระย่อยไม่จำเป็นต้องติดกัน เช่น ee ese และ es เป็นสายอักขระย่อยของ “predecessor” และ “descendant” (ee สามารถเป็นสายอักขระย่อยได้ “predecessor”)
การเชื่อมต่อระหว่างลำดับย่อยร่วมยาวสุด (Longest common subsequence (lcs)) และระยะทางที่ถูกแก้ไข (edit distance) สามารถแสดงในรูปสมการได้ดังนี้ d(s1,s2)=|s1|+|s2|-2lcs(s1,s2) ซึ่ง d(s1,s2) คือระยะทางที่ถูกแก้ไขของราเวนสตีน (Levenshtein edit distance) ที่จะหาต้นทุนที่น้อยที่สุดในการแปลงสายอักขระหนึ่งไปเป็นอีกสายอักขระหนึ่ง โดยมีทั้งการแทรก การแทนที่ การลบ หรือ การกระทำที่ไม่มีผล เป็นต้น
ขั้นตอนวิธีของเฮิร์ชเบิร์กสามารถอธิบายการทำงานได้หลายวิธี เช่น ใช้ขั้นตอนวิธีแวงเกอร์ – ฟิชเชอร์ (Wanger – Fisher algorithm) ในการมาใช้สร้างขั้นตอนวิธีของเฮิร์ชเบิร์กแต่ในที่นี้เราจะอธิบายขั้นตอนวิธีของเฮิร์ชเบิร์ก โดยใช้การแบ่งแยกและเอาชนะ (divide and conquer) ของขั้นตอนวิธีของนีดเดิ้ลแมน – วันช์ (Needleman – Wunsch algorithm) โดยปกติแล้วขั้นตอนวิธีของเฮิร์ชเบิร์กนิยมใช้ในทางการคำนวณชีววิทยาเพื่อเปรียบเทียบของเหมือนของการเรียงตัวของ DNA และ โปรตีน

ข้อมูลขั้นตอนวิธี

ขั้นตอนวิธีของเฮิร์ชเบิร์กเป็นขั้นตอนวิธีที่ใช้ในการหาการจัดเรียงของลำดับสายอักขระที่ดีที่สุด สมมติว่าให้ x และ y เป็นสายอักขระซึ่ง n เป็นความยาวของสายอักขระ x และ m เป็นความยาวของสายอักขระ y เราสามารถใช้ขั้นตอนวิธีของนีดเดิ้ลแมน – วันช์ (Needleman – Wunsch algorithm) หาการจัดเรียงที่ดีที่สุดได้โดยใช้เวลา O(nm) และใช้เนื้อที่ O(nm) แต่หากเราใช้ขั้นตอนวิธีของเฮิร์ชเบิร์กซึ่งดีกว่าขั้นตอนวิธีของนีดเดิ้ลแมน – วันช์เราจะหาการจัดเรียงที่ดีที่สุดภายในเวลา O(nm) และใช้เนื้อที่เพียง O(min{n,m})

การคำนวณระยะทางที่ถูกแก้ไขของราเวนสตีนด้วยปริภูมิเชิงเส้น

ระยะทางที่ถูกแก้ไข (Edit distance Edit(x,y)) คือ ต้นทุนที่น้อยที่สุดของการเปลี่ยนแปลงรูปจากสายอักขระหนึ่งเปลี่ยนเป็นอีกสายอักขระหนึ่ง ซึ่งโดยทั่วไปการเปลี่ยนแปลงสายอักขระจะมีดังนี้ การแทรก การแทนที่ การลบ และ การสลับตำแหน่ง เป็นต้น
โดยนิยามสัญลักษณ์ต่างๆดังนี้ Ins(a) คือ ต้นทุนในการแทรกสัญลักษณ์ a ลงสายอักขระ Sub(a,b) ต้นทุนครั้งของการแทนที่สัญลักษณ์ a ด้วยสัญลักษณ์ b ในสายอักขระ และ Del(a) ต้นทุนของการลบสัญลักษณ์ a ในสายอักขระซึ่งโดยทั่วไปแล้วต้นทุนของการเปลี่ยนแปลงต่างๆจะเป็นดังนี้ Ins(a) และ Del(a) ต้นทุนเท่ากับ 1 สำหรับทุกๆสัญลักษณ์ a ใดๆ รวมทั้ง Sub(a,a) เท่ากับ 0 และ Sub(a,b) เท่ากับ 1 ในกรณีที่สัญลักษณ์ a ไม่เท่ากับ b
ขั้นตอนวิธีของนีดเดิ้ลแมน – วันช์ (Needleman – Wunsch algorithm) จะคำนวณ Edit(Prefix[x,i],Prefix[y,j]) สำหรับทุกๆ i และ j ที่ซึ่ง Prefix[x,i] หมายถึง คำนำหน้า(prefix) ของสายอักขระ x ที่ความยาว i ขั้นตอนวิธีนี้ต้องใช้เวลา O(nm) และใช้เนื้อที่ O(nm) โดย n เท่ากับความยาวของสายอักขระ x และ m เท่ากับความยาวของสายอักขระ y

การจัดการขั้นตอนวิธี

เพื่อที่จะเข้าใจขั้นตอนวิธีของเฮิร์ชเบิร์กมันสำคัญมากที่จะต้องเข้าใจระยะทางที่ถูกแก้ไขสามารถคำนวณโดยใช้วิธีการปริภูมิเชิงเส้น (Linear space)
เราจะนิยามโปรแกรมย่อยไปข้างหน้า(Forward subprogram) ซึ่งคำนวณค่าของ Edit(Prefix[x,i],Prefix[y,j]) สำหรับทุกๆ i และ j คล้ายขั้นตอนวิธีของนีดเดิ้ลแมน – วันช์ และคืนค่า array{Edit(x,Prefix[y,j])}0 ≤ ⱼ ≤ ₘ อีกส่วนหนึ่งที่เราจะนิยามคือโปรแกรมย่อยถอยหลัง(Backward subprogram) ซึ่งคล้ายกับโปรแกรมย่อยไปข้างหน้าแต่จะทำโปรแกรมแบบพลวัติ (dynamic program) จะสลับทิศทางกัน โดยจะเริ่มจากซ้ายไปขวาและล่างขึ้นบนแทน ซึ่งโปรแกรมนี้จะคืนค่า array {Edit(x,Suffix[y,j])}0 ≤ ⱼ ≤ ₘ โดย Suffix[y,j] คือ คำเสริมท้าย(suffix) ของสายอักขระ y ของความยาว j
โปรแกรมย่อยไปข้างหน้า (Forward subprogram) และโปรแกรมย่อยถอยหลัง (Backward subprogram) จะคำนวณค่าในเมทริกซ์(matrix) โดยใช้ค่าที่ถูกคำนวณไว้ก่อนหน้านี้ แต่จะบันทึกช่องว่างโดยการลบค่าที่ไม่จำเป็นต้องใช้อีกต่อไประหว่างการทำงานของโปรแกรมย่อย (subprogram) แต่น่าเสียดายที่บางครั้งค่าที่ถูกลบไปอาจจะต้องนำมาใช้ในการคำนวณทีหลัง ขั้นตอนวิธีของเฮิร์ชเบิร์กจะใช้เวลาในการทำงานเป็น 2 เท่าของขั้นตอนวิธีของนีดเดิ้ลแมน – วันช์ (Needleman-Wunsch algorithm) แต่ก็ยังถือว่าอยู่ในเวลา O(nm)

รหัสเทียม

คำอธิบายระดับสูงของโปรแกรมย่อยไปข้างหน้า
 1 Forwards[x,y] is
 2  3 1. n = length(x); m = length(y)
 4 2. Edit[Prefix[0,0]] = 0;
 5 3. For all i from 1 to n:
 6        Edit[Prefix[x,i],Prefix[y,0]] = Edit[Prefix[x,i-1],Prefix[y,0]] + Del(x_i)
 7 4. For all j from 1 to m:
 8        A.  Edit[Prefix[x,0],Prefix[y,j]] = Edit[Prefix[x,0],Prefix[y,j-1]] + Ins(y_j)
 9        B.  For all i from 1 to n, execute the following steps:
10                i.  Edit[Prefix[x,i],Prefix[y,j]] = 
11                      min{Edit[Prefix[x,i-1],Prefix[y,j]] + Del(x_i),
12                          Edit[Prefix[x,i-1],Prefix[y,j-1]] + Sub(x_i,y_j),
13                          Edit[Prefix[x,i],Prefix[y,j-1]] + Ins(y_j)}
14                ii.  Erase Edit[Prefix[x,i-1],Prefix[y,j-1]]
15        C.  Erase Edit[Prefix[x,i-1],Prefix[y,j]]
16 5. RETURN Edit[x] %% an array of length m+1
คำอธิบายระดับสูงของโปรแกรมย่อยถอยหลัง
 1 Backwards[x,y] is
 2  3 1. n = length(x); m = length(y)
 4 2. For all i from 1 to n:
 5         Edit[Suffix[x,i],Suffix[y,0]] = 0
 6 3. For all j from 1 to m:
 7       A.  Edit[Suffix[x,0],Suffix[y,j]] = Edit[Suffix[x,n],Suffix[y,j-1]] + Ins(y_{m-j+1})
 8       B.  For all i from 1 to n:
 9                 i.  Edit[Suffix[x,i],Suffix[y,j]] = 
10                      min{Edit[Suffix[x,i-1],Suffix[y,j]] + Del(x_{n-i-1}),
11                          Edit[Suffix[x,i-1],Suffix[y,j-1]] + Sub(x_{n-i-1},y_{m-j+1}),
12                          Edit[Suffix[x,i],Suffix[y,j-1]] + Ins(y_{m-j+1})}
13                ii.  Erase Edit[Suffix[x,i-1],Suffix[y,j-1]]
14       C.  Erase Edit[Suffix[x,i-1],Suffix[y,j]]
15 4. RETURN Edit[x] %% an array of length m+1
คำอธิบายระดับสูงของขั้นตอนวิธีเฮิร์ชเบิร์ก :
 1 Hirschberg(x,y) is
 2  3 1. n = length(x); m = length(y)
 4 2. If n <= 1 or m <= 1:
 5        OUTPUT Alignment(x,y) using Needleman-Wunsch.
 6     Else:
 7       A.  mid = floor(n/2)
 8       B.  x_left = Prefix[x,mid]
 9       C.  x_right = Suffix[x,n-mid]
10       D.  Edit[x_left] = Forwards(x_left,y)  %% an array of length m+1
11       E.  Edit[x_right] = Backwards(x_right,y) %% an array of length m+1
12       F.  cut = ArgMin{Edit[x_left,Prefix[y,j]] + Edit[x_right,Suffix[y,m-j]]}  %% j ranges from 1 to m-1
13       G.  Hirschberg(x_left,Prefix[y,cut])
14       H.  Hirschberg(x_right,Suffix[y,m-cut])

ตัวอย่างประยุกต์ใช้งาน

ประโยชน์สำคัญอันหนึ่งของขั้นตอนวิธีนี้ คือ การหาการลำดับเรียงตัวของสาย DNA และสายโปรตีน ซึ่งมันเป็นวิธีที่มีประสิทธิภาพในการคำนวณลำดับย่อยร่วมยาวสุด (Longest cummon subsequence) ระหว่างกลุ่มข้อมูล 2 กลุ่มที่แตกต่างกัน

ความเห็นส่วนตัวของคนเขียน

ผู้ศึกษาขั้นตอนวิธีการของเฮิร์ชเบิร์ก เป็นขั้นตอนวิธีที่มีประโยชน์มากในการที่จะนำไปประยุกต์ใช้งาน เนื่องจากในโลกปัจจุบันเรามีข้อมูลจำนวนมากที่เป็นสายอักขระ ดังนั้นการที่เรามีขั้นตอนวิธีการที่ใช้เปรียบเทียบสายอักขระได้อย่างมีประสิทธิภาพ จะทำให้เราสามารถแก้ไขปัญหาหลายๆปัญหาที่เกี่ยวข้องกับสายอักขระได้อย่างมีประสิทธิภาพด้วยเช่นกัน

แหล่งเอกสารอ้างอิง

เอกสารการเรียนเรื่องการจัดเรียง