คาร์ล ไวเออร์ชตราส

ประวัติ

ไวเออร์ชตราสเป็นบุตรคนโตของวิลเฮ็ล์ม ไวเออร์ชตราส (Wilhelm Weierstrass) ซึ่งมีอาชีพเป็นเจ้าหน้าที่ศุลกากร กับเทโอโดรา ฟ็อนเดอร์ฟอสท์ (Theodora Vonderforst) หลังจากไวเออร์ชตราสเกิดไม่นานครอบครัวได้ย้ายไปเว็สเทิร์นค็อทเทิน (Westernkotten) ที่ซึ่งพี่น้องอีกสามคนของไวเออร์ชตราสเกิด ซึ่งได้แก่ เพเทอร์ (Peter) คลารา (Klara) และเอลีเซอ (Elise) แต่หลังจากเอลีเซอเกิดได้ไม่นาน มารดาก็เสียชีวิตและบิดาก็แต่งงานใหม่
ความสนใจทางคณิตศาสตร์ของไวเออร์ชตราสเกิดขึ้นในช่วงที่ไวเออร์ชตราสเรียนที่จิมเนเซียม Theodorianum ในพาเดอร์บอร์น (จิมเนเซียมคือโรงเรียนระดับเตรียมอุดมศึกษา) บิดาปรารถนาให้บุตรชายเรียนทางด้านกฎหมาย เศรษฐศาสตร์ และการเงินที่มหาวิทยาลัยบ็อนเพื่อที่จะได้เป็นข้าราชการ ไวเออร์ชตราสในขณะนั้นไม่ได้ใส่ใจกับการเรียนที่นี้เท่าไรนักเพราะขัดกับความสนใจในคณิตศาสตร์ของเขา ไวเออร์ชตราสจึงไม่สนใจในวิชาที่ต้องเรียนแต่กลับใช้เวลาในการวิจัยทางคณิตศาสตร์เป็นการส่วนตัว ส่งผลให้ไวเออร์ชตราสต้องออกจากมหาวิทยาลัยทั้งที่ไม่ได้สำเร็จการศึกษา ต่อมาภายหลัง ไวเออร์ชตราสจึงไปสมัครเรียนที่สถาบันมึนส์เทอร์ (ปัจจุบันคือมหาวิทยาลัยมึนส์เทอร์) อันเป็นสถาบันอุดมศึกษาที่มีชื่อเสียงทางด้านคณิตศาสตร์ โดยหันไปเรียนทางด้านคณิตศาสตร์แทน หลังจากสำเร็จการศึกษาจึงสมัครเป็นครูในโรงเรียนฝึกสอนในเมืองมึนส์เทอร์ แต่ก็ยังศึกษาวิจัยทางคณิตศาสตร์ในเวลาว่าง ในปี ค.ศ. 1843 ไวเออร์ชตราสสอนในด็อยทช์โครเนอในปรัสเซียตะวันออก และในปี ค.ศ. 1848 สอนใน Lyceum Hosianum ในเบรานส์แบร์ค นอกจากคณิตศาสตร์แล้ว ไวเออร์ชตราสยังต้องสอนฟิสิกส์ พฤกษศาสตร์ และกายบริหารด้วย
ไวเออร์ชตราสมีบทความวิจัยที่ได้รับการยอมรับอย่างแพร่หลาย จนกระทั่ง ในปี ค.ศ. 1855 มหาวิทยาลัยเคอนิชส์แบร์คมอบปริญญาดุษฎีบัณฑิตกิตติมศักดิ์ให้ และได้รับเชิญไปเป็นอาจารย์ประจำที่มหาวิทยาลัยเทคนิคเบอร์ลินซึ่งต่อมาจะเป็นที่ทำงานของไวเออร์ชตราสตลอดชีวิต
ไวเออร์ชตราสมีพรสวรรค์ทางด้านการสอนมาก และเตรียมการสอนมาเป็นอย่างดี เป็นอาจารย์ที่ลูกศิษย์ชื่นชอบ ในบรรดาลูกศิษย์ของไวเออร์ชตราส มีบุคคลที่ต่อมาเป็นนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงหลายคน อาทิ เกออร์ค คันทอร์, ออทโท เฮิลแดร์, แฮร์มัน มิงค็อฟสกี, ดาวิท ฮิลเบิร์ท, เอ็ทมุนท์ ฮุสเซิร์ล, โซเฟีย โควาเลฟสกายา, Gösta Mittag-Leffler, คาร์ล โยฮันเนิส โทเม เป็นต้น
ไวเออร์ชตราสมีผลงานในหลาย ๆ ด้าน อาทิ การวิเคราะห์เชิงจริง การวิเคราะห์เชิงซ้อน แคลคูลัสของการแปรผัน เรขาคณิตเชิงพีชคณิต เป็นต้น
ไวเออร์ชตราสเริ่มป่วยตั้งแต่ ค.ศ. 1850 แต่ยังสามารถตีพิมพ์ผลงานที่โดดเด่นได้และได้ชื่อเสียงมากมายจากงานเหล่านั้น จนในช่วงสามปีสุดท้ายของชีวิตไม่สามารถขยับตัวได้และเสียชีวิตด้วยโรคปอดบวมที่กรุงเบอร์ลิน รวมอายุได้ 81 ปี

การนิยามการลู่เข้าเอกรูปของแคลคูลัส

ในสมัยก่อนหน้าไวเออร์ชตราส ยังมีข้อถกเถียงกันในเรื่องการนิยามเกี่ยวกับหลักมูลฐานในวิชาแคลคูลัสให้เหมาะสมและรัดกุม ซึ่งความกำกวมนี้ส่งผลให้การพิสูจน์ทฤษฎีบทในแคลคูลัสไม่สามารถทำได้อย่างรัดกุม ในต้นปี ค.ศ. 1817 แบร์นาร์ท บ็อลท์ซาโน ได้เสนอแนวคิดในการนิยามโดยใช้ลิมิตของฟังก์ชัน แต่ผลงานชิ้นนี้ยังไม่เป็นที่แพร่หลายจนกระทั่งอีกหนึ่งปีต่อมา แต่อย่างไรก็ดี ความไม่ชัดเจนถึงนิยามของลิมิตของฟังก์ชันและนิยามของความต่อเนื่องของฟังก์ชันก็ยังคงมีอยู่ จนในคริสต์ทศวรรษ 1820 โอกุสแต็ง-หลุยส์ โกชี (Augustin-Louis Cauchy) ได้เสนอนิยามใหม่เกี่ยวลิมิตที่อยู่ในรูปแบบของ  ((ε, δ) -definition of limit)

แต่นิยามนี้ก็ไม่สามารถแยกความแตกต่างระหว่างความต่อเนื่องที่จุดกับความต่อเนื่องเอกรูปบนช่วงได้ ทำให้โกชีได้ตีพิมพ์บทพิสูจน์ที่ผิดพลาดออกไป ในปี ค.ศ. 1821 ในผลงานชื่อ Cours d'analyse โดยกล่าวว่า ลิมิตของจุด (pointwise limit) ของลำดับของฟังก์ชันที่ต่อเนื่องเป็นจุด (pointwise continuous function) นั้นต่อเนื่องแบบจุด (pointwise continuous)   ต่อมา โฌแซ็ฟ ฟูรีเย และนีลส์ เฮนริก อาเบล ตรวจพบตัวอย่างที่ขัดแย้งในเรื่องอนุกรมฟูรีเย ซึ่งในที่สุด เพเทอร์ กุสทัฟ เลอเฌิน ดีรีเคล (Peter Gustav Lejeune Dirichlet) ก็พบว่าแท้จริงแล้วคำกล่าวที่ว่า การลู่เข้าแบบจุดควรจะเป็นการลู่เข้าแบบเอกรูปมากกว่า กล่าวคือ ลิมิตเอกรูป (uniform limit) ของฟังก์ชันที่ต่อเนื่องอย่างเป็นเอกรูป (uniformly continuous function) นั้นก็ยังคงต่อเนื่องอย่างเอกรูป (uniformly continuous)
คริสท็อฟ กูเดอร์มัน อาจารย์ที่ปรึกษาของไวเออร์ชตราส เล็งเห็นถึงความสำคัญในหลักการเกี่ยวกับการลู่เข้าอย่างเอกรูปเป็นคนแรก ในผลงานปี ค.ศ. 1838 ที่เกี่ยวกับฟังก์ชันอิลลิปติก กูเดอร์มันได้กล่าวถึงปัญหานี้แต่ไม่ได้ให้นิยามอย่างเป็นทางการแต่อย่างไร ในปี ค.ศ. 1839–1840 ไวเออร์ชตราสได้เข้าเรียนในวิชาฟังก์ชันอิลลิปติก จึงได้เริ่มสนใจเรื่องนี้ และตีพิมพ์ผลงานชื่อ Zur Theorie der Potenzreihen ในปี ค.ศ. 1841 และมีการบัญญัติศัพท์ใหม่คือ การลู่เข้าเอกรูป (อังกฤษ: uniformly convergent; เยอรมัน: gleichmäßige Konvergenz) ในงานชิ้นนี้ ไวเออร์ชตราสได้สร้างนิยามใหม่ขึ้นให้มีความรัดกุมมากกว่าเดิมและต่อมาได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวาง โดยที่ไวเออร์ชตราสได้ให้นิยามไว้ดังนี้
 ต่อเนื่องที่  ถ้า  โดยที่ 
โดยใช้นิยามนี้และแนวคิดเรื่องการลู่เข้าอย่างเอกรูป ไวเออร์ชตราสจึงสามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทที่ยังไม่ได้รับการพิสูจน์อย่างเช่นทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง (intermediate value theorem, บ็อลท์ซาโนได้พิสูจน์อย่างรัดกุมก่อนหน้านั้นไปแล้ว), ทฤษฎีบทบ็อลท์ซาโน–ไวเออร์ชตราส (Bolzano–Weierstrass theorem) และทฤษฎีบทไฮเนอ–บอแรล (Heine–Borel theorem)

แคลลูลัสของการแปรผัน

ผลงานจำนวนมากของไวเออร์ชตราสได้รับการสานต่อในการศึกษาแคลลูลัสของการแปรผันสมัยใหม่ หนึ่งในตัวอย่างที่สำคัญคือ ไวเออร์ชตราสได้เสนอเงื่อนไขจำเป็นสำหรับการมีอยู่ของ strong extrema และยังมีส่วนในการเสนอเงื่อนไขไวเออร์ชตราส–แอร์ทมัน (Weierstrass–Erdmann condition) ซึ่งเป็นเงื่อนไขที่ว่า อนุพันธ์ย่อย  ของ  จะต้องต่อเนื่องที่มุมใด ๆ