โครงข่ายสามเหลี่ยมของรูปหลายเหลี่ยม

วิธีการตัดหู (Ear Clipping Method)

วิธีที่ได้รับความนิยมและง่ายในการเขียนวิธีหนึ่งคือการตัดสามเหลี่ยมที่เป็น “หู” สามเหลี่ยมที่เป็นหูคือสามเหลี่ยมที่มีด้าน 2 ด้านอยู่ที่ขอบของรูปหลายเหลี่ยมและด้านที่เหลืออยู่ในด้านในทั้งหมด ซึ่งวิธีนี้จะใช้ได้กับรูปหลายเหลี่ยมที่ไม่มีรูภายในเท่านั้น โดยรูปหลายเหลี่ยมเหล่านั้นที่มีมุมมากกว่า 4 มุมขึ้นไป จะมี 2 หูเป็นอย่างน้อย หลังจากตัดทิ้งไปแล้วก็จะได้รูปหลายเหลี่ยมใหม่ที่มีจุดยอดมากกว่าเท่ากับ 3 ให้ทำต่อไปเรื่อยๆจนหมดก็จะได้เซ็ทของสามเหลี่ยมทั้งหมด ซึ่งเวลาที่ใช้จะเป็น O(n^2) วิธีในการหาหูนั้นถูกค้นพบโดย Hossam ElGindy, Hazel EverettHazel Everett และ Godfried Toussaint โดยในการหาหูจะใช้เวลาเป็น O(n)

รหัสเทียม

กำหนดให้ GSP คือรูปหลายเหลี่ยมย่อยของ P ที่เกิดจากการลากเส้นทแยงมุมจากมุมหนึ่งไปสู่อีกมุมหนึ่งเพียงเส้นเดียว

Function FindAnEar (GSP, pi)
 if pi is an ear then
  return pi
  Find a vertex pj such that (pi, pj) is a diagonal of GSP.Let GSP' be the good sub-polygon of GSP formed by (pi, pj).
 Re-label the         vertices of GSP' so that pi = p0 and pj = pk-1 (or pj = p0 and pi = pk-1 as appropriate) where k is the number of vertices of GSP'.
  FindAnEar (GSP', floor (k/2))
End FindAnEar

วิธีรูปหลายเหลี่ยมทางเดียว (Monotone Polygons Method)

เราสามารถแบ่งรูปหลายเหลี่ยมให้กลายเป็นรูปหลายเหลี่ยมทางเดียวได้

1. แยกรูปหลายเหลี่ยมให้กลายเป็นสี่เหลี่ยมคางหมู

กำหนดให้ S คือเซ็ทของเส้นขอบของรูปหลายเหลี่ยมที่ไม่ใช่เส้นแนวนอนและไม่ตัดกัน ขั้นตอนวิธีแบบสุ่ม (อังกฤษ: Randomised Algorithm) จะถูกใช้เพื่อสร้างสี่เหลี่ยมคางหมูจากเส้นตรงใน S ซึ่งจะทำโดยจะดึงเส้นตรงใน S ออกมาทีละเส้นแบบสุ่มเพื่อสร้างเป็นสี่เหลี่ยมคางหมู วิธีนี้จะแบ่งรูปหลายเหลี่ยมเป็นสี่เหลี่ยมคางหมูจำนวนหนึ่งตัวสี่เหลี่ยมคางหมูนี้สามารถลดรุปเป็นสามเหลี่ยมได้ถ้ามีขอบด้านใดด้านหนึ่งมีความยาวด้านนอนเป็นศูนย์ สำหรับเงื่อนไขที่ว่าเส้นในเซ็ทจะต้องไม่เป็นเส้นนอนนั้นมีขึ้นเพื่อจำกัดจำนวนที่ต้องทำให้ลดน้อยลง แต่ก็ไม่ได้ส่งผลอะไรต่อผลลัพธ์ที่จะได้ ซึ่งจากที่ Siedal ได้พิสูจน์ไว้เราสรุปได้ว่าขั้นตอนนี้ใช้เวลาในการทำงานเป็น O (nlog n)

2. แยกสี่เหลี่ยมคางหมูออกเป็นรูปหลายเหลี่ยมทางเดียว

รูปหลายเหลี่ยมทางเดียวคือรูปหลายเหลี่ยมที่มีสายโซ่ทางเดียวในแกน y 2 สาย รูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้จะถูกคำนวณจากการแบ่งรูปเป็นสี่เหลี่ยมคางหมูโดยการตรวจสอบว่ามุม 2 มุมหนึ่งๆของรูปหลายเหลี่ยมเดิมนั้นอยู่บนฝั่งเดียวกันหรือไม่ ขั้นตอนนี้ใช้เวลาเป็นเชิงเส้น O(n)

3. แยกรูปหลายเหลี่ยมทางเดียวเป็นสามเหลี่ยม

รูปหลายเหลี่ยมทางเดียวสามารถแยกเป็นสามเหลี่ยมได้โดยใช้ขั้นตอนวิธีเชิงละโมบ โดยให้ตัดมุมเว้าไปเรื่อยๆ ซึ่งในส่วนนี้จะใช้เวลาเป็น O(n)

รหัสเทียม

Input: Monotone polygon P
Output: Set of triangles
     
Sort the n vertices belonging to polygon P with respect to x-coordinate and store them in V.
Initialize sweep-line active list L
 L = a list with the first two points of V
WHILE V is not empty DO
 /* Extract the next vertex from V */
 p = MIN (V)
 IF (p is opposite to points in L) THEN
  WHILE |L| > 1 DO
   Output Triangle {First (L), Second (L),p}
   REMOVE (FIRST (L)) 
  Add p to L
 ELSE
  WHILE (Angle{Last (L), Previous (Last (L)), p}is convex .AND. |L| > 1) DO
   Output Triangle {last (L), Previous (last), p}
   REMOVE last (L) 
  /*  The angle is reflex or cardinality of L is 1 */
  Add p to L

ความซับซ้อนในการคำนวณ

โครงข่ายสามเหลี่ยมของรูปหลายเหลี่ยมนั้นเป็นปัญหาที่มีการคิดกันมานานแล้วว่าจะสามารถทำให้ได้ไวกว่า O(n log n) ได้หรือไม่ ในปี 1990 นั้น David G. Kirkpatrick,David G. Kirkpatrick, Robert E. Tarjan ได้ค้นพบขั้นตอนวิธีที่ใช้เวลาเพียง O(n log log n) สำหรับวิธีใช้ขั้นตอนวิธีแบบสุ่มนั้นเช่นขั้นตอนวิธีของ Seidel's or Clarkson et al.'s, ใช้เวลาเป็น O(n log* n) ซึ่งในความเป็นจริงแล้วแทบไม่ต่างอะไรกับ O(n) เลย
นอกจากวิธีการข้างต้นแล้ว Bernard Chazelle ยังได้แสดงให้เห็นว่าโครงข่ายสามเหลี่ยมของรูปหลายเหลี่ยมนั้นสามารถหาได้ด้วยเวลาเชิงเส้น แต่ขั้นตอนวิธีนั้นมีความซับซ้อนมาก ต่อมาในปี 1998 ขั้นตอนวิธีที่ใช้เวลาเฉลี่ยเป็น O(n) ก็ได้ถูกค้นพบและตีพิมพ์โดย Alexey V. Skvortsov และ Yuri L. Kostyuk โดยขั้นตอนวิธีนี้จะใช้หลักการของกำหนดการพลวัตในการจำรูปสามเหลี่ยม
ส่วนความซับซ้อนทางด้านเวลาของขั้นตอนวิธีในการหาโครงข่ายสามเหลี่ยมของรูปสามเหลี่ยมที่มีรูภายในนั้นจะใช้เวลาเป็น \Omega(n log n)