ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเกอเดล

ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเกอเดล (Gödel's incompleteness theorems) เป็นทฤษฎีตรรกะทางคณิตศาสตร์ ที่เกิดขึ้นในปี ค.ศ. 1931 โดย เคิร์ท เกอเดล (Kurt Gödel)
เคิร์ท เกอเดล ซึ่งในขณะนั้นเป็นนักคณิตศาสตร์อยู่ที่มหาวิทยาลัยเวียนนา ได้ตีพิมพ์เปเปอร์ชื่อ Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme (ต้นฉบับเป็นภาษาเยอรมัน หรือมีชื่อในภาษาอังกฤษว่า On Formally Undecidable Propositions in Principia Mathematica and Related Systems หรือ ว่าด้วยประพจน์ที่ตัดสินไม่ได้อย่างเป็นรูปนัยใน พรินซิเพีย แมเทเมทิกา และระบบอื่นที่เกี่ยวข้อง) ในเปเปอร์นี้ เกอเดลทำการพิสูจน์จนที่สุดแล้วได้ผลลัพธ์เป็นสองทฤษฎีบทที่น่าตื่นตะลึง ซึ่งในภายหลังทฤษฎีบททั้งสองถูกเรียกรวมกันว่าทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเกอเดล ทฤษฎีบทนี้นับว่าเป็นเป็นทฤษฎีบทสำคัญที่เข้าขั้นปฏิวัติวงการ ทั้งในด้านตรรกศาสตร์ ด้านคณิตศาสตร์ ด้านปรัชญา และด้านการแสวงหาความรู้ของมนุษยชาติ รวมทั้งทำให้เกิดบทวิเคราะห์ การตีความ และคำถามต่างๆ ตามมาขึ้นอีกมากมาย

จุดเริ่มต้น

ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเกอเดลกล่าวถึงข้อจำกัดของวิธีการทางสัจพจน์ ซึ่งเป็นการใช้เหตุผลเชิงนิรนัยเพื่อพิสูจน์และแสวงหาความจริงทางคณิตศาสตร์ที่นับย้อนไปได้ถึงในสมัยกรีกโบราณ ตั้งแต่เมื่อครั้งที่ยุคลิดใช้วิธีการนี้เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบททางเรขาคณิตในหนังสืออีลีเมนท์ส วิธีการทางสัจพจน์เป็นวิธีที่สวยงามทางความคิด ดึงดูดใจใครหลายคน และก็เสมือนได้กลายเป็นวิธีการมาตรฐานในการแสวงหาความรู้ทางคณิตศาสตร์นับจากนั้นเป็นต้นมา
แต่เมื่อมีการค้นพบเรขาคณิตนอกแบบยูคลิดในช่วงศตวรรษที่ 19 ก็ก่อให้เกิดการเปลี่ยนแปลงกระบวนทัศน์ขนานใหญ่ ทำให้นักคณิตศาสตร์ทั้งหลายตระหนักว่าสัจพจน์นั้นไม่ใช่สิ่งที่ประจักษ์ชัดในตัวอีกต่อไป ส่งผลให้วงการคณิตศาสตร์พัฒนาไปในทางที่เป็นนามธรรมและเป็นรูปนัยมากขึ้น ที่เป็นนามธรรมก็เพราะนักคณิตศาสตร์มีอิสระในการเลือกสัจพจน์เพื่อที่จะสร้างสรรค์ระบบคณิตศาสตร์ใดๆ ก็ได้ขึ้นมา ส่วนที่เป็นรูปนัยก็เพราะนักคณิตศาสตร์ตระหนักว่าความจริงที่ได้มาจากการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์นั้นขึ้นอยู่กับการเลือกเลือกสร้างระบบ และระบบนี้ก็ดำเนินไปได้ด้วยตนเอง โดยที่ไม่จำเป็นต้องเกี่ยวข้องหรือต้องอ้างโยงถึงโลกภายนอก หรือต้องอาศัยการรับรู้หรือความเข้าใจของคนหนึ่งคนใด
จนในที่สุด ก็มีแนวคิดที่จะทำให้คณิตศาสตร์กลายเป็นระบบรูปนัยที่สมบูรณ์แบบ แนวคิดนี้เริ่มต้นขึ้นจากความปรารถนาของ ดาฟิด ฮิลแบร์ท ที่จะทำให้คณิตศาสตร์เป็นเรื่องของความแน่นอนตายตัวอย่างที่สุด ปราศจากความกำกวม หรือการตีความหมายใดๆ ทั้งสิ้น โดยสิ่งอื่นที่ไม่ได้อยู่ในระบบรูปนัย ฮิลแบร์ทจะไม่ถือว่าเป็นคณิตศาสตร์ แต่จะเรียกว่าเป็นอภิคณิตศาสตร์แทน ฮิลแบร์ทหวังว่าคณิตศาสตร์ในระบบรูปนัยจะให้ผลคือความจริงสัมบูรณ์ที่ปราศจากข้อโต้แย้ง ซึ่งเป็นอุดมคติสูงสุดของวิชาคณิตศาสตร์
แนวคิดของฮิลแบร์ทได้รับการต่อยอดจากบรรดานักคณิตศาสตร์หลายคน ในจำนวนนี้มีผลงานชิ้นเอกคือ พรินซิเพีย แมเทเมทิกา ซึ่งเป็นระบบรูปนัยที่พิสูจน์ความจริงทางเลขคณิต ที่สร้างขึ้นโดย เบอร์แทรนด์ รัสเซิลล์ และ อัลเฟรด ไวท์เฮด พรินซิเพีย แมเทเมทิกา ประกอบด้วยสัญลักษณ์ล้วนๆ เริ่มต้นขึ้นจากสัจพจน์ และดำเนินต่อไปด้วยกฎเกณฑ์ที่ตายตัว จนได้ทฤษฎีบทต่างๆ ขึ้นมา
คุณสมบัติสำคัญที่สุดของระบบรูปนัยคือความต้องกัน ซึ่งหมายความว่าในที่สุดแล้ว ระบบจะต้องไม่พิสูจน์จนได้ข้อขัดแย้งใดๆ เกิดขึ้น หรือพูดอย่างเป็นรูปนัยได้ว่า จะต้องไม่มีประพจน์ P ที่ทั้ง P และ \neg\,P สามารถพิสูจน์ได้ในระบบ
ถ้าปราศจากความต้องกันแล้ว ระบบคณิตศาสตร์ก็จะพังครืน เพราะเราจะไม่สามารถเชื่อใจความจริงทางคณิตศาสตร์ที่ระบบพิสูจน์มาได้อีกต่อไป รัสเซิลล์ได้ค้นพบความไม่ต้องกันนี้ในทฤษฎีเซตของคันทอร์ ในรูปแบบที่เรียกว่าปฏิทรรศน์ของรัสเซิลล์ ทำให้ทฤษฎีเซตดั้งเดิมต้องถูกปรับปรุงใหม่เพื่อกำจัดปฏิทรรศน์นี้ทิ้งไป
นอกจากความต้องกัน นักคณิตศาสตร์ยังหวังว่าระบบรูปนัยที่พัฒนาขึ้นจะมีความสมบูรณ์ นั่นคือทุกประพจน์ที่มีรูปแบบถูกต้องตามระบบ จะสามารถพิสูจน์ได้โดยระบบว่าประพจน์นี้จริงหรือเท็จประการใด
จนกระทั่งเกอเดลได้ค้นพบทฤษฏีบทความไม่สมบูรณ์ ซึ่งมีใจความคร่าวๆ ว่า ระบบรูปนัยใดๆ ก็ตามที่ซับซ้อนถึงขั้น พรินซิเพีย แมเทเมทิกา ถ้ามีความต้องกันแล้ว จะไม่มีความสมบูรณ์ รวมทั้งระบบรูปนัยนั้นจะไม่สามารถพิสูจน์ความต้องกันด้วยตัวของมันเองได้ ก็ทำให้วงการคณิตศาสตร์ตกตะลึงถึงขั้นช็อค เมื่อต้องรับรู้ว่าระบบคณิตศาสตร์ที่ได้พัฒนากันมาเนิ่นนานนั้นมีความไม่สมบูรณ์อยู่ในตัว ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเกอเดลจึงถือเป็นทฤษฎีบทที่ส่งผลกระทบที่รุนแรงลึกถึงรากฐานของคณิตศาสตร์เอง