Dôkaz (matematika)

Dôkaz je v matematike presvedčivá demonštrácia, že nejaké tvrdenie je za určitých predpokladov (axióm) nevyhnutne pravdivé. Matematický dôkaz musí byť založený výlučne na nespochybniteľných pravidlách rozumu (tie sú vyjadrené v matematickej logike vo forme logických axióm), nepripúšťa sa žiaden postup založený na názore, experimente, pozorovaní, intuícii či skúsenosti. Táto skutočnosť robí z matematického dôkazu najistejší známy spôsob overenia pravdivosti nejakého tvrdenia. Tvrdenie, ku ktorému je známy matematický dôkaz, sa nazýva matematická veta.

Princíp matematického dôkazu

Možno tvrdiť, že pojem rigorózneho matematického dôkazu je tým, čím sa matematika výrazne odlišuje od ostatných vedeckých disciplín . Matematický dôkaz je totiž na rozdiel od dôkazov v iných oblastiach ľudského konania (napr. v práve, prírodných vedách, atď.) aspoň principiálne nespochybniteľný . Nie je vylúčené, že sa podarí matematicky dokázať tvrdenie, ktoré v skutočnosti neplatí. Dôkaz tohto tvrdenia potom ale musí byť nevyhnutne chybný a táto chyba musí byť (po dostatočne dôkladnom preskúmaní) odhaliteľná. Zdrojom omylov pri matematickom dokazovaní teda nie je samotný pojem dôkazu, ale výhradne chybujúci ľudia.

Induktívne dokazovanie

Vo všetkých vedeckých disciplínach s výnimkou matematiky sú teórie posudzované podľa miery súladu s reálnym svetom a podľa toho, nakoľko presne dokážu vysvetľovať a predpovedať reálne javy. Nové teórie sú budované tak, aby zodpovedali experimentálne zisteným údajom. Ak sú s týmito dátami v súlade, sú vyhlásené za správne. Ak je za nejaký čas vyslovená hypotéza, o ktorej platnosti súčasná teória nie je schopná rozhodnúť, vykoná sa experiment, podľa výsledku ktorého sa táto hypotéza buď zavrhne, alebo zapracuje do uznávanej teórie. Ak sa neskôr objavia nové experimentálne dáta, ktoré sú v spore s existujúcou teóriou, je táto teória zavrhnutá a nahradená novou teóriou. Tento spôsob overovania hypotéz a budovanie teórií sa nazýva induktívny .
Príkladom induktívneho dôkazu môže byť spôsob zdôvodnenia tvrdenia „Zajtra ráno vyjde slnko“. Zo skúsenosti našej i našich predkov vieme, že slnko vyšlo už mnohotisíckrát. Naproti tomu nemáme žiadne správy o tom, že by nejaké ráno slnko nevyšlo. Navyše slnko poslednou dobou nevykazuje žiadne nezvyčajné správanie, ktoré by napovedalo tomu, že je s ním niečo inak, než kedykoľvek v zaznamenanej histórii. Na základe týchto skutočností teda usúdime, že za úplne zanedbateľnej možnosti omylu slnko zajtra ráno opäť vyjde.
Induktívne dokazovanie však môže byť veľmi zradné. Napríklad v klasickej mechanike je prijímané za pravdivé tvrdenie, známe ako druhý Newtonov pohybový zákon, ktoré tvrdí: „Ak na teleso pôsobí sila, potom sa teleso pohybuje so zrýchlením, ktoré je priamo úmerné pôsobiacej sile a nepriamo úmerné hmotnosti telesa“. Toto tvrdenie zodpovedalo až do druhej polovice 19. storočia všetkým vykonávaným experimentom, a bolo teda považované za pravdivé – induktívne dokázané. Po tom, čo na prelome 19. a 20. storočia niektoré experimenty preukázali, že pohyb svetla sa neriadi Newtonovými zákonmi, bolo toto tvrdenie spolu s celou klasickou mechanikou zavrhnuté a nahradené teóriou relativity. Podľa tejto teórie vyvoláva sila pôsobiaca na teleso pohybujúce sa rýchlosťou blízkou rýchlosti svetla len minimálne zrýchlenia a zvyšok vloženej energie spôsobuje zvýšenie hmotnosti telesa.
Z posledného príkladu je zrejmé, že induktívne dokázané tvrdenie nemôže byť nikdy považované za úplne nespochybniteľné. Žiadne, hoci sebeväčšie, množstvo experimentálnych údajov potvrdzujúcich toto tvrdenie totiž nemôže zaručiť, že nejaký v budúcnosti vykonaný experiment s ním nebude v spore.

Deduktívne dokazovanie

Naproti tomu deduktívny dôkaz je taký, v ktorom je dané tvrdenie dokázané zo stanovených predpokladov iba na základe logických úvah. Navyše tieto logické úvahy sú rozdelené do konečného množstva krokov, z ktorých v každom je odvodené len jediné tvrdenie bezprostredne vyplývajúce z predtým odvodených. Z týchto dôvodov je deduktívne dokázané tvrdenie pravdivé, ak sú pravdivé predpoklady, z ktorých bolo odvodené. Táto pravdivosť je navyše úplne nespochybniteľná, pretože dôkaz možno rozdeliť do konečne veľa krokov, z ktorých každý je len bezprostredným logickým dôsledkom skôr dokázaných tvrdení a ako taký teda nespochybniteľný.
Všetky druhy matematických dôkazov od samotných historických počiatkov tohto pojmu v starovekom Grécku až po súčasnosť, cez celú šírku najrôznejších dôkazových metód, sú dôkazy deduktívne .

Súčin dvoch nepárnych čísel je nepárny

Ak vyskúšame niekoľko nízkych prirodzených čísel, zistíme, že pre ne tvrdenie platí: 1 · 1 = 1, 1 · 3 = 3, 3 · 1 = 3, 3 · 3 = 9, 3 · 5 = 15, …. Podobne by sme napríklad s použitím počítača mohli overiť, že tvrdenie platí pre všetky čísla menšie ako 1 000 000, ak by nám to nestačilo, mohli by sme túto hranicu zvýšiť ľubovoľne vysoko, napríklad na 10 ¹ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰ (číslo začínajúce jednotkou za ktorou nasleduje 1 000 000 núl), a vždy by sme zistili, že tvrdenie platí. Po určitej dobe takýchto zvyšovaní hranice by sme už mohli uznať, že sme vyskúšali dosť príkladov na to, aby sme si boli takmer stopercentne istí správnosťou nášho tvrdenia. Tým sme toto tvrdenie dokázali induktívne. Nikdy si však nemôžeme byť úplne istí, že nejaký kontrapríklad neleží tesne za číslom, na ktorom sme testovanie ukončili.
Naproti tomu deduktívny dôkaz je nasledujúci. Ak je m nepárne číslo, je m − 1 číslo párne, teda existuje celé číslo k také, že m − 1 = 2 · k. Za k totiž stačí zvoliť (m − 1) / 2, čo je celé číslo práve vďaka párnosti m − 1. Potom m = 2 · k + 1. Podobne zdôvodníme, že pre nepárne n existuje také celé číslo l, že n = 2 · l + 1. Potom súčin m · n sa rovná (2 · k + 1) · (2 · l + 1) = 4 · k · l + 2 · k + 2 · l + 1. Pretože 4 · k · l + 2 · k + 2 · l je zjavne párne, je m · n nepárne, čo sme chceli dokázať. Až teraz si môžeme byť stopercentne istí tým, že tvrdenie platí. Ak sú totiž dané dve nepárne čísla, platí pre ne každý jednotlivý krok dôkazu, a teda aj jeho záver.

Hypotéza prvočíselných dvojíc

Hypotéza prvočíselných dvojíc je zatiaľ (marec 2012) nedokázané tvrdenie z oblasti teórie čísel, podľa ktorého existuje nekonečne veľa prvočísel p takých, že aj p + 2 je prvočíslo. Dvojica takýchto čísel (p, p + 2) sa nazýva prvočíselná dvojica.
Najväčšia dosiaľ známa prvočíselná dvojica je (2003663613 · 2 ¹⁹⁵⁰⁰⁰ − 1; 2003663613 · 2 ¹⁹⁵⁰⁰⁰ + 1) , obe čísla tejto dvojice majú (v desiatkovej sústave) 58 711 cifier. Hoci sú známe takto veľké príklady prvočíselných dvojíc, nie je možné považovať hypotézu za deduktívne (matematicky) preukázanú, pretože je možné, že žiadna ďalšia väčšia prvočíselná dvojica už nikdy nájdená nebude – jednoducho preto, že neexistuje. Ale predpokladá sa (a treba dodať, že nielen kvôli tu naznačenému induktívnemu dôkazu), že tvrdenie platí. Jeho dôkaz tak zostáva jednou z najväčších výziev súčasnej teórie čísel .

Gödelove vety a hranice deduktívnych metód

Podľa Gödelových viet o neúplnosti existujú v každej dostatočne zložitej (natoľko, aby v nej išlo hovoriť o prirodzených číslach) matematickej teórii, ktorej axiómy možno efektívne vypísať, tvrdenia, ktoré v tejto teórii sa nedá ani dokázať, ani vyvrátiť (teória je takzvane neúplná). Medzi takéto teórie patria napríklad Peanova aritmetika alebo Zermelo-Fraenkelova teória množín.
Tieto vety teda hovoria, že deduktívny spôsob dokazovania je do značnej miery limitovaný. Nie je totiž možné deduktívne dokázať ani všetky tvrdenia, ktoré platia o tak jednoduchom a prístupnom odbore, akým sú prirodzené čísla.

Egypt a Babylonia

Od starých Egypťanov a Babylončanov nie sú dochované žiadne matematické dôkazy v dnešnom slova zmysle. Zachovalo sa veľa záznamov zachytávajúcich riešenie rôznych konkrétnych problémov a úloh. Predpokladá sa, že tieto problémy boli už natoľko abstraktné, a tieto riešenia tak elegantné, že v ich pozadí muselo stať hlboké porozumenie danej oblasti, implicitne zahŕňajúce dôkazy správnosti používaných metód .

Čína

V Číne 5. až 3. storočie pred Kr. sa okrem praktickej matematiky rozvíjala aj logika. Tej sa venovala najmä škola následníkov filozofa Mo Tiho, ktorej príslušníci sa zaoberali teóriou poznania a svoje tvrdenia logicky dokazovali. Jedným z najvýznamnejších následníkov Mo Tiho bol Kung-sun Lung žijúci v prvej polovici tretieho storočia pred naším letopočtom.
Logický dôkaz však nebol v Číne ďalej rozvíjaný. Mo Tiho učenie bolo totiž za vlády dynastie Chan úplne vytlačené konfucionizmom a neskorší čínski filozofi sa k nemu už nikdy nevrátili.

Grécko

Pojem deduktívneho matematického dôkazu má svoj pôvod v starovekom Grécku . Rovnako ako celá vtedajšia matematika, bol aj matematický dôkaz veľmi úzko spätý s geometriou. Najstaršie matematické dôkazy pochádzajú práve z tejto doby – zachovali sa v trinásťdielnom Euklidovom spise Základy.

Evidencia v platónskom poňatí geometrie

Matematický dôkaz, tak ako ho poznáme v dnešnej dobe, má svoje počiatky v gréckej geometrii, rozvíjanej pod vplyvom Platónovej filozofie. Ovplyvnení touto filozofiou, snažili sa vtedajší geometri odkrývať svet geometrických ideí a nazerať pravdu v ňom obsiahnutú. V tomto poňatí matematický dôkaz v dnešnom zmysle slova ešte neexistoval. Jedinou možnosťou, ako s úplnou istotou zistiť pravdu o geometrickom svete, bolo túto pravdu priamo nazerať – evidovať ju. Ak sa nejakému geometrovi podarilo evidovať platnosť napríklad Pytagorovej vety – t. j. na malú chvíľu skutočne zazrel, že súčet veľkostí obsahov dvoch štvorcov nad odvesnami pravouhlého trojuholníka je rovný veľkosti obsahu štvorca nad jeho preponou, bolo to vždy len na dobu, po ktorú trvalo jeho sústredenie. Hneď ako pozornosť poľavila, zrak, ktorým prezeral do sveta geometrických ideí, sa zahmlil a evidencia bola stratená. Aby si kedykoľvek znovu mohol túto evidenciu obnoviť a tiež aby rovnakú možnosť poskytol aj ostatným matematikom, spísal potom takýto geometer návod, ako by mal človek postupovať (t. j. do akých miest geometrického sveta sa pozerať), aby znovu pravdivosť Pytagorovej vety spozoroval. Takéto návody, z ktorých sa neskôr (v aristotelovskom poňatí geometrie) vyvinuli geometrické konštrukcie, boli najstaršími predchodcami matematických dôkazov.

Vznik matematického dôkazu

Platónske poňatie matematiky nebolo dlhodobo udržateľné. Ako totiž dochádzalo k rozvoju geometrie, boli novo evidované pravdy ukryté čoraz hlbšie vo svete geometrických ideí. Geometer, ktorý chcel danú pravdu evidovať, tak musel zakaždým vynaložiť veľké úsilie. Navyše pri takto náročných evidenciách bolo veľmi ťažké udržať si po celú dobu nazerania do geometrického sveta zrak úplne jasný a sústredený. Takáto evidencia bola potom dosiahnutá na zlomok sekundy, než sa všetko opäť rozplynulo do hmlistej neistoty, v ktorej geometer nevedel, či danú pravdu skutočne zazrel, alebo či to bolo len zdanie. Náročnosť evidencií zložitejších geometrických právd bola do určitej miery daná aj tým, že kedykoľvek chcel geometer použiť napríklad Pytagorovu vetu, musel ju najskôr znovu priviesť k evidencii v danom konkrétnom prípade. Z týchto dôvodov odstupovali niektorí geometri (pravdepodobne bez toho aby si to uvedomovali) od platónskeho spôsobu nazerania do sveta ideí a pomaly sa odhodlávali ku kroku, ktorý dal charakter celej matematike od ich doby až po súčasnosť. Týmto krokom bolo vpustenie rozumu do sveta matematiky. Ak totiž geometer už mnohokrát evidoval Pytagorovu vetu, mohol si byť úplne istý jej pravdivosťou. Ak ju teda potreboval neskôr použiť pre evidenciu inej pravdy, uvedomil si, že nie je nutné znova ju privádzať k evidencii v tomto konkrétnom prípade. Stačilo, že o jej platnosti vedel a tiež vedel, že ak by ju teraz evidoval, mohol by už evidovať aj pravdu, o ktorú mu išlo v tomto prípade. Táto rozumová úvaha teda nahradila sled evidencií. Bolo to nenápadné nahradenie – kedykoľvek by si totiž geometer prial, mohol si byť istý, že na základe tejto úvahy by danú pravdu k evidencii priviedol. Napriek tejto nenápadnosti ale išlo o zásadný krok. Geometrické pravdy už nemuseli byť len evidované, stačilo rozumovo zdôvodniť, že by (kedykoľvek si to bude niekto želať) evidované byť mohli. Tým sa zrodil matematický dôkaz.

Vplyv Aristotela

Aristotelov význam pre celú vtedajšiu aj budúcu európsku vedu je obrovský. Trvalé a nemenné geometrické idey boli pod jeho vplyvom nahradené výlučne predstavami geometrických objektov. Matematika (aj v tejto dobe ešte stále reprezentovaná takmer výlučne geometriou) prevádzkovaná v područí Aristotelovej filozofie a logiky už poznala logický dôkaz ako úvahy prebiehajúce v jazyku , t. j. bez akýchkoľvek evidencií (lebo idey, ktoré jediné je možné evidovať, už vo svete matematiky neboli). Dôležitou črtou dôkazu začína byť v tejto dobe jeho vzťah ku skutočným (predstaviteľným) objektom. Táto súvislosť sa dá najlepšie ukázať na vzťahu bezospornosti a uskutočniteľnosti. Bezosporné sú také myslené objekty, z ktorých vlastností nemožno vyvodiť logický spor (t. j. nemožno dokázať nejakú vlastnosť a súčasne jej negáciu). Uskutočniteľné sú naopak také objekty, ktoré je možné (aspoň v predstave) realizovať. Základné logické pravidlo stanovené Aristotelom hovorí, že žiadny objekt nemôže mať zároveň vlastnosť aj jej negáciu. Teda myslený objekt, ktorý je sporný, nemôže byť realizovateľný. Opačné tvrdenie, t. j. že bezosporný objekt je realizovateľný, v tej dobe za pravdivé uznávalo nebolo . Napríklad štyri navzájom kolmé úsečky síce nie sú dohromady v spore, ale kvôli obmedzeniam daným trojrozmerným priestorom ich nie je možné uskutočniť ani si ich predstaviť.
V tom čase sa tiež kryštalizovali základné druhy dôkazových postupov, známe ako klasické vzory logických dôkazov . Medzi tieto vzory patrí dôkaz priamy, nepriamy, rozborom prípadov a myslenou konštrukciou (pozri odsek Druhy matematických dôkazov).
Aristotelovské poňatie matematiky a matematického dôkazu je zachytené v Euklidových spisoch Základy, v ktorých sa tiež prvýkrát objavuje myšlienka axiomatickej výstavby matematiky vo forme Euklidových postulátov.

Rím

Rímska matematika všeobecne nebola nikdy rozvinutá a v podstate len prešľapovala na úrovni znalostí, ktorú jej zanechali Gréci. Pragmatická rímska spoločnosť uznávala len tú časť matematiky, ktorá sa hodila pre aplikácie v staviteľstve a vojenstve. Záujem o čistú matematiku vrátane pojmu matematického dôkazu bol v podstate nulový.

Stredovek

Matematika ako celok najmä v ranom stredoveku prežívala obdobie temna. Grécke poňatie matematiky a dôkazu bolo ďalej prevádzkované len v Byzantskej ríši. Tam sa od 8. storočia s týmto poňatím zoznamovali Arabi, hoci značný vplyv na arabskú matematiku mala aj matematika indická. V plnej sile sa arabská matematika prejavila v Al-Chorezmího diele Hisáb al-džabr wa-l-muqábala (arab. حساب الجبر و المقابلة‎) v ktorom boli položené základy algebry a s tým súvisiaceho nového druhu matematického dôkazu – dôkazu výpočtom. Tento nový druh dôkazu bol používaný aj neskôr talianskymi renesančnými matematikmi pri hľadaní všeobecných riešení algebraických rovníc.

Konštruktívne predbolzanovské poňatie

Pre poňatie matematického dôkazu v Európe v období od 16. do prvej polovice 19. storočia je najpodstatnejší pojem oboru, na ktorom bola vtedajšia matematika založená . Obor je také vymedzenie istej triedy uskutočniteľných objektov, že o každom objekte možno rozhodnúť (aspoň teoreticky), či do tohoto oboru patrí alebo nie. Príklady oborov môžu byť: obory prirodzených čísel, derivovateľných reálnych funkcií, ale aj také, pri ktorých nie je známe ako presne vyzerajú, alebo či nie sú dokonca prázdne, ako napríklad obor všetkých prvočíselných dvojíc väčších ako 10¹ ⁰⁰⁰ ⁰⁰⁰.
V tomto čase bol v matematike stále výrazne zrejmý Aristotelov vplyv – matematické objekty nemali trvalú existenciu ako platónske idey, bolo si ich možné len predstaviť alebo myslieť (uskutočniť ich v predstave resp. v myslení). V uskutočnení získavali tieto objekty svoje bytie, po ochabnutí pozornosti opäť prestávali existovať. Obor teda nebol považovaný za nejaký súbor trvalo existujúcich objektov, ale za isté vyznačenie tých objektov – existujúcich, už zaniknutých, zatiaľ nevytvorených aj takých, ktoré nikdy existovať nebudú – ktoré do tohto oboru patrí (a duálne aj tých, ktoré do neho nepatria). Dôkaz tvrdenia „Pre každý objekt z daného oboru platí …“ teda v tomto zmysle znamenal preukázanie tohto tvrdenia pre každý objekt (napríklad aj taký, ktorý nebude nikdy uskutočnený) tohto oboru. Toto poňatie sa zhoduje so súčasným chápaním výrazu „pre každé“. Na rozdiel od toho veta „Existuje objekt z daného oboru, pre ktorý platí …“ nie je v tomto poňatí tvrdením. Jej platnosť totiž nie je trvalá, pretože v obore tak, ako tu bol vysvetlený, istý objekt existuje práve vtedy, keď je uskutočnený v myslení nejakého človeka. Hneď ako myšlienka zanikne, prestáva taký objekt existovať, a teda platnosť tejto vety sa môže s časom meniť. Aby sme získali tvrdenie musíme si počínať prezieravejšie a formulovať príslušnú vetu takto: „Je uskutočniteľný objekt z daného odboru, pre ktorý platí …“. Takéto tvrdenia potom možno dokázať len jedným spôsobom, a to tak, že sa požadovaný objekt uskutoční – skonštruuje. Jediným spôsobom dokazovania existenčných tvrdení bol teda v tomto čase dôkaz konštrukciou. Rýdzo existenčný, nekonštruktívny dôkaz teda z vyššie spomínaných dôvodov používaný nebol a ani byť nemohol. Okrem konštruktívneho dôkazu sa za správny ešte stále považoval aj dôkaz opretý o geometrický názor, bez ktorého sa vtedy pri istých tvrdeniach (napr. Bolzanova veta) matematici neobišli.

Bolzanov vplyv a nekonštruktívny dôkaz

Význam českého filozofa a matematika Bernarda Bolzana pre vývoj nielen poňatia matematického dôkazu, ale celej matematiky spočíva v nahradení oborov trvalo existujúcimi zoskupeniami objektov. Z týchto zoskupení sa neskôr vyvinul pojem množiny, ktorý sa stal ústredným pojmom matematiky 20. storočia. Poznamenajme na okraj, že pri nahradzovaní nekonečných oborov zoskupeniami sa Bolzano musel vysporiadať s problémom aktuálneho nekonečna (t. j. problémom, či reálne existuje nekonečné množstvo nejakých objektov). Tento problém dokázal vyriešiť iba použitím teológie, keď zdôvodnil, že aktuálne nekonečné množstvo sa nachádza v mysli kresťanského Boha .
Ak sú dané trvalo existujúce zoskupenia objektov, má už (na rozdiel od prípadu oborov) veta „Existuje objekt z daného zoskupenia, pre ktorý platí …“ trvalý charakter a je teda tvrdením. Toto tvrdenie je potom možné dokazovať dvoma spôsobmi. Prvou možnosťou je postupovať rovnako ako v prípade oborov, t. j. požadovaný objekt skonštruovať. Novú možnosťou, ktorá sa teraz ponúka, je preukázať samotnú existenciu žiadaného objektu bez nutnosti nejaký taký objekt zostrojovať. Tento nový druh dôkazu sa nazýva nekonštruktívny alebo tiež rýdzo existenčný. Typickým príkladom použitia nekonštruktívneho dôkazu je Cantorov dôkaz existencie transcendentných čísel, pri ktorom sa ukáže, že všetkých algebraických čísel je iba spočítateľne veľa (možno ich očíslovať prirodzenými číslami), zatiaľ čo všetkých reálnych čísel je nespočítateľne veľa (nemožno ich očíslovať). Pretože je teda reálnych čísel viac ako algebraických, musí aspoň jedno transcendentné existovať. Z tohoto dôkazu však nie je vôbec jasné, ako nejaké transcendentné číslo nájsť.
Už niektorí skorší filozofi a teológovia (Giordano Bruno, Rodrigo de Arriaga) zdôvodňovali s využitím predpokladu Božej existencie, že objekty, ktoré nie sú navzájom v logickom spore, musia byť uskutočniteľné (a to v Božej mysli) . Toto tvrdenie, ktoré je obrátením klasickej Aristotelovej poučky o neuskutočniteľnosti sporného, sa neskôr v matematike ujalo. Jeho formalizáciou v reči modernej matematickej logiky je tzv. Gödelova veta o úplnosti.

Vznik formálneho dôkazu

V dôsledku Bolzanovej práce sa do oblasti skúmania matematiky dostali aj také objekty, ktorých existencia je síce dokázateľná, ale nie je možné ich nijako skonštruovať. Príkladom takéhoto objektu je napríklad spojitá funkcia, ktorá nemá v žiadnom svojom bode deriváciu (dotyčnice ku grafu), objavená nezávisle najskôr Bolzanom a neskôr Weierstrassom. Voľne povedané, graf takejto funkcie je možné nakresliť jedným ťahom, ale v každom bode tohoto grafu je zlom, t. j. nie „hladký oblúčik“, ale „skok“. Ešte čudnejším príkladom môže byť Peanova krivka, čo je prostá spojitá krivka definovaná na intervale (0,1), ktorej obraz vypĺňa celý štvorec (0,1) × (0,1), alebo funkcia z reálnych do reálnych čísel, ktorá na každom intervale nadobúda všetky reálne hodnoty. Tieto a im podobné príklady úplne odporujú ľudskej intuícii – Charles Hermite o Bolzanovej-Weierstrassovej funkcii a ďalších podobných príkladoch dokonca vyhlásil: „Odvraciam sa s desom a hrôzou od tejto poľutovaniahodnej záplavy spojitých funkcií bez derivácie“ . Podstatnejšie pre ďalší vývoj matematického dôkazu je však reakcia Henriho Poincarého, ktorý sa v spise La valeur de la Science pýta „Ako nás môže intuícia v tomto prípade tak sklamať?“ 
Poincarého údiv je pochopiteľný, pretože objavením vyššie uvedených príkladov došlo k niečomu, čo dovtedy nemalo v matematike obdobu. Geometrický názor a intuície sa dostali do sporu s dokázateľnými tvrdeniami. Aby sa zabránilo spornosti celej matematiky, bolo nevyhnutné odmietnuť intuíciu a názor ako dôkazové prostriedky. Dôkazy mnohých základných tvrdení, najmä matematickej analýzy a geometrie, však boli v týchto časoch na názore založené, bolo teda nutné postaviť ich opäť na pevný základ. Týmto pevným základom sa stala axiomatická metóda používaná už v antickom Grécku Euklidom v jeho Základoch. Ale aj Euklides vychádzal (pravdepodobne bez toho aby si to uvedomoval) do značnej miery z intuície – o tom svedčí napríklad fakt, že zatiaľ čo Euklidových postulátov je len päť, David Hilbert vo svojej práci Grundlagen der Geometria (Základy geometrie) používa k axiomatizácii geometrie postulátov 21. Aj grécka axiomatická metóda sa teda ukázala ako nedostatočná a kým na nej mohla byť založená celá matematika, musela byť úplne očistená od intuície.
Miestom, kde sa v gréckom poňatí intuícia používala najčastejšie, bol matematický dôkaz. Hoci v geometrii boli za axiómy vyberané i mnohé z najbadateľnejších právd, aby sa tak použitie názoru obmedzilo na minimum, samotný spôsob logického odvodzovania dôsledkov z týchto axióm axiomatizovaný nebol a logický úsudok bol využívaný úplne voľne. Aby úplne vylúčili intuíciu (a tým aj všetku neistotu) z matematiky, museli teda matematici druhej polovice 19. storočia axiomatizovať samotný pojem matematického dôkazu. Zároveň s tým dochádzalo v dôsledku snahy o odstránenie nepresnosti vychádzajúcej z (intuitívneho) používania prirodzeného jazyka k formalizácii tohoto pojmu, t. j. nahradenie prirodzeného jazyka jazykom symbolickým. V prácach Davida Hilberta, Gottloba Frega a ďalších bol postupne vyvinutý formálny symbolický jazyk dostatočne bohatý, aby vyjadril všetky matematické tvrdenia, a pojem formálneho dôkazu, ktorý umožňoval dokazovať formálne zapísané tvrdenia (tzv. formuly) s použitím iba niekoľkých málo odvodzovacích pravidiel, nazývaných logické axiómy, t. j. bez najmenšieho vplyvu intuície či názoru. Matematický dôkaz sa tak stal jasne definovaným pojmom natoľko presným, že po nástupe modernej výpočtovej techniky mohla byť jej správnosť preverená dokonca len algoritmicky pracujúcim počítačom.

Počítačové dokazovanie

Historický vývoj doviedol matematický dôkaz do takého štádia presnosti, že jeho správnosť môže byť overená počítačom. V súčasnosti dokonca existujú tzv. systémy automatického dokazovania viet, čo sú počítačové programy schopné konštruovať dôkazy matematických tvrdení. Tieto programy sú síce často schopné dokazovať aj nie úplne triviálne vety, napriek tomu však sú stále ďaleko od štádia, kedy by ich bolo možné v praxi použiť. Medzi odbornou matematickou verejnosťou neexistuje jednoznačný názor na to, či je možné vyvinúť program, ktorý by mohol v matematickom dokazovaní konkurovať človeku.
Ďalším spôsobom zapojenia počítačov do oblasti dokazovania viet sú dôkazy riadené človekom, v ktorých je však počítač použitý ako pomocník v tých miestach dôkazu, kde nie je nevyhnutná invencia ani abstraktné myslenie. Najznámejším takýmto použitím počítača je dôkaz vety o štyroch farbách (pozri nižšie).
Poznamenajme, že možno dokázať matematické vety, podľa ktorých nemôže existovať žiaden počítačový program, ktorý by dokázal o každom tvrdení rozhodnúť, či je alebo nie je dokázateľné (pozri aj rozhodnuteľnosť).

Druhy matematických dôkazov

Matematický dôkaz býva obvykle vykonávaný (formulovaný) v prirodzenom jazyku, v tomto kontexte tiež zvanom metajazykom (napríklad Slovenčina je z tohto hľadiska metajazykom). Toto použitie prirodzeného jazyka, ktorý je často mnohoznačný, však vedie (zvlášť pri neskúsenosti jeho používateľov) k nepresnostiam a chybám. Použitie prirodzeného jazyka tiež vedie k mnohým paradoxom (pozri Russellov paradox, paradox klamára či paradox sto slov). Dôkaz vykonávaný v prirodzenom jazyku sa nazýva neformálny dôkaz. Snaha o odstránenie nepresností daných užívaním prirodzeného jazyka viedla na konci 19. a začiatku 20. storočia k vzniku matematickej logiky a k vytvoreniu pojmu formálneho dôkazu, v ktorom sa používanie prirodzeného jazyka úplne odstránilo (je nahradený jazykom formálnym). Kvôli náročnosti (najmä časovej) zostavovania formálnych dôkazov však i v súčasnej matematike jednoznačne dominuje dôkaz neformálny, ktorého nedostatky zvyčajne u skúseného užívateľa (matematika) nie sú zdrojom chýb.

Neformálny dôkaz

Neformálny dôkaz je dôkaz v prirodzenom jazyku, vychádzajúci z príslušných predpokladov a pravidiel rozumu. Z historických dôvodov sa rozlišuje niekoľko základných druhov (neformálnych) dôkazov.

Priamy dôkaz

Priamy dôkaz je postup, pri ktorom je dokazované tvrdenie odvodené priamou aplikáciou definícií, predpokladov a predtým dokázaných tvrdení, inak povedané tvrdenie je odvodené metódou „ak … potom … teda …“.

Nepriamy dôkaz

Nepriamy dôkaz je metóda slúžiaca k preukazovaniu tvrdení typu „ak A, potom B“, pri ktorej sa preukáže „ak nie B, potom nie A“. Má úzky vzťah k dôkazu sporom – každý nepriamy dôkaz môže byť ľahko prevedený na dôkaz sporom.

Dôkaz sporom

Dôkaz sporom (lat. reductio ad absurdum) sa zakladá na použití chybného predpokladu, ktorý je potom dovedený k sporu (je z neho odvodené zjavne nepravdivé tvrdenie). Ak sa tak stane, je preukázaná neplatnosť daného predpokladu a teda platnosť jeho opaku. Dôkaz sporom má blízko k nepriamemu dôkazu – každý nepriamy dôkaz môže byť ľahko prevedený na dôkaz sporom.

Dôkaz myslenou konštrukciou

Dôkaz myslenou konštrukciou je metódou dokazovania existenčných tvrdení „existuje X také, že …“, pri ktorej sa zostrojí (skonštruuje) objekt X, pre ktorý … platí. Tento druh dôkazu sa tiež niekedy nazýva dôkaz uvedením príkladu.

Dôkaz rozborom prípadov

Pri dôkaze rozborom prípadov dochádza k rozdeleniu skúmanej situácie na konečne veľa prípadov a preukázanie požadovaného tvrdenia pre každý z týchto prípadov zvlášť. Typickým príkladom sú geometrické dôkazy, kde sa napríklad pre platnosť všeobecnej vety o trojuholníku uvažujú tri prípady trojuholníka ostrouhlého, pravouhlého a tupouhlého. Iným príkladom sú dôkazy, v ktorých sa rozlišujú prípady, keď je dané číslo kladné, nulové alebo záporné.

Nekonštruktívny (existenčný) dôkaz

Nekonštruktívny dôkaz nejakého existenčného tvrdenia „existuje X také, že …“ je taký dôkaz, ktorý síce preukáže existenciu takéhoto X, ale nemožno z neho žiadnym spôsobom dostať ani jediný príklad objektu, ktorý by za X mohol byť zvolený. Tento druh dôkazu je dnes už väčšinou uznávaný za správny, ale v minulosti (najmä na prelome 19. a 20. storočia) mnohí významní matematici proti takémuto spôsobu dokazovania protestovali a tvrdenia dokázané týmto spôsobom neuznávali. V dnešnej dobe existuje v matematike samostatný smer, tzv. konštruktivizmus, ktorý sa snaží preukazovať všetky tvrdenia konštruktívne (pozri intuicionistická logika). Priekopníkmi na poli nekonštruktívnych dôkazov boli Georg Cantor (s dôkazom existencie transcendentných čísiel) a najmä David Hilbert. Problematika nekonštruktívnych dôkazov úzko súvisí s axiómou výberu a existenciou (bezospornosťou) aktuálneho nekonečna.

Geometrický dôkaz

Geometrický dôkaz je taký dôkaz, ktorý využíva metódy geometrie. Jeho názornosť je značnou mierou daná možnosťou geometrickej predstavy, presný geometrický dôkaz však nesmie byť na takomto nazrení založený. Geometrické dôkazy sú najčastejšie využívané v samotnej geometrii, ale veľmi často aj v matematickej analýze a teórii čísel.

Dôkaz výpočtom

Dôkaz výpočtom slúži na preukázanie tvrdenia, ktoré sú tvaru rovnosti, nerovnosti či nejakej sústavy predchádzajúcich dvoch. K požadovanému výsledku sa dospieva z predpokladov výpočtom, t. j. opakovanou aplikáciou základných aritmetických a algebrických pravidiel a rôznych odhadov. Prvé dôkazy výpočtom sa objavili pri riešení algebraických rovníc v diele perzského matematika Al-Chorezmího. V súčasnej dobe sa dôkaz výpočtom najviac uplatňuje v matematickej analýze, lineárne algebre, teórii pravdepodobnosti, numerickej matematike a príbuzných odboroch, kde tento postup tvorí hlavnú časť dôkazov mnohých tvrdení. V menšej miere je však využívaný snáď vo všetkých matematických disciplínach s výnimkou geometrie.

Formálny dôkaz

Formálny dôkaz je taký dôkaz, ktorý nie je vykonávaný v prirodzenom jazyku, ale v jazyku symbolickom – formálnom. Kvôli minimalizácii miery nepresnosti, ktorá býva pri neformálnom dôkaze vysoká, sú pre účely formálneho dôkazu všetky tvrdenia chápané ako konečné postupnosti znakov (tzv. formule, prípadne segmenty) a je zavedený systém pravidiel stanovujúci, ako sa dá s týmito postupnosťami zaobchádzať. Tento systém pravidiel sa nazýva logický kalkul. Dva najpoužívanejšie kalkuly sú hilbertovský a gentzenovský. Každý z týchto kalkulov pozostáva z logických axióm, ktoré vyjadrujú základné vlastnosti logických spojok a kvantifikátorov, a z odvodzovacích pravidiel, ktoré stanovujú, akým spôsobom možno z predpokladov odvodzovať ich dôsledky.

Gentzenovský kalkul

Gentzenovský kalkul sa od hilbertovského líši tým, že nie sú dokazované formule, ale tzv. sekventy, čo sú symboly v tvare , kde ,  sú konečné množiny formúl. Symbol  má význam „Ak platia všetky formule z A, potom platí aspoň jedna formula z B“. Za dôkaz formule  sa teda považuje dôkaz sekventu .

Dôkazy rôznych špeciálnych prípadov

Pravdepodobne už stredovekí arabskí matematici vedeli o platnosti veľkej Fermatovej vety pre prípad n = 3, ich dôkazy sa však nedochovali . Najstarší zachovaný dôkaz pre tento prípad pochádza od Leonharda Eulera.
Samotný Pierre de Fermat dokázal prípad n = 4 tak, že ku každému prípadnému riešeniu tejto rovnice zostrojil riešenia menšie. Tým získal nekonečnú klesajúcu postupnosť prirodzených čísel a teda spor.
Roku 1825 vyriešili Peter Dirichlet a Adrien-Marie Legendre prípad n = 5 a roku 1839 Gabriel Lame n = 7.
V roku 1847 dokázal Ernst Kummer Fermatovu vetu pre všetky regulárne prvočísla, medzi ktoré patria všetky prvočísla menšie ako 100 s výnimkou 2, 37, 59 a 67.

Wilesov všeobecný dôkaz

Všeobecný prípad veľkej Fermatovej vety dokázal v roku 1995 Andrew Wiles potom, čo bola v jeho údajnom dôkazu z roku 1993 nájdená chyba. Dôkaz veľkej Fermatovej vety je výnimočný v mnohých ohľadoch. Jeho dĺžka je viac ako 100 strán tlačeného textu, vznikol sústavnou deväťročnou prácou jediného matematika, predovšetkým však v sebe prepája mnoho rôznych, niekedy aj dosť od seba vzdialených oblastí matematiky – teóriu diofantických rovníc, modulárne formy, algebraickú geometriu, Galoisovu teóriu a ďalšie. Vďaka tomu býva považovaný za významný krok smerom k naplneniu tzv. Langlandsovho programu prepojenie teórie čísel a teórie reprezentácií. Je zároveň vynikajúcou ukážkou toho, ako náročný môže byť dôkaz jednoducho formulovaného tvrdenia.

Veta o štyroch farbách

Veta o štyroch farbách hovorí, že na zafarbenie každej mapy v rovine tak, aby každé dve susedné územia mali odlišnú farbu, stačia maximálne štyri farby. Domnienku, že to tak je, vyslovil už v roku 1852 mladý matematik Francis Guthrie. V roku 1878 vošla táto domnienka vo všeobecnú známosť, keď Arthur Cayley požiadal všetkých účastníkov stretnutia Londýnskej matematickej spoločnosti, aby sa ju pokúsili dokázať. Domnienka však odolávala všetkým snahám o dôkaz ešte ďalších takmer sto rokov. Až v roku 1976 oznámili Kenneth Appel a Wolfgang Haken, že dôkaz našli.

Appelov a Hakenov dôkaz

Appelovi a Hakenovi sa podarilo redukovať celý problém štyroch farieb na konečné množstvo prípadov, ktoré bolo treba vyriešiť. Týchto prípadov však bolo toľko (presne 1936), že ich ručným preverovaním by jeden človek mohol stráviť celý svoj život bez toho, aby ich všetky vyriešil. Preto bolo preverenie týchto prípadov zadané počítaču, ktorý nad nimi strávil viac ako 1200 hodín strojového času. Toto použitie počítača pre dôkaz matematickej vety vyvolalo vo svojej dobe živú polemiku. Žiaden človek totiž nemohol už nikdy overiť správnosť dôkazu – bolo síce možné ručne prekontrolovať správnosť počítačového programu, ktorý jednotlivé prípady preveroval, to však nevylučovalo možnosť hardwarovej chyby, ktorá mohla celý dôkaz znehodnotiť. Na obranu počítačového dokazovania sa argumentovalo, že pri takýchto zložitých a dlhých dôkazoch je pravdepodobnosť hardvérovej chyby síce nenulová ale určite oveľa menšie ako pravdepodobnosť, že sa podobnej chyby dopustí človek. V súčasnej dobe je veta o štyroch farbách všeobecne považovaná za dokázanú a proti použitiu počítača v matematických dôkazoch už nie sú vznášané vážnejšie námietky.
Treba dodať, že Appel a Haken verili, že ich dôkaz je len prvým z radu, v ktorých budú podstatným spôsobom využité počítače . Dôkaz vety o štyroch farbách však v tomto zostal až do dnešnej doby prakticky osamotený a okrem niekoľkých prevažne triviálnych dôkazov týkajúcich sa víťazných stratégií v niektorých konečných hrách nebol už znova v matematickom dokazovaní podobným spôsobom počítač použitý.

Klasifikácia konečných jednoduchých grúp

Veta o klasifikácii konečných jednoduchých grúp hovorí, že každá konečná jednoduchá grupa patrí buď do jednej z 18 nekonečných skupín grúp alebo je jednou z 26 takzvaných sporadických grúp. Tým teda táto veta plne charakterizuje všetky konečné jednoduché grupy. Kvôli náročnosti jej dôkazu býva v angličtine nazývaná tiež Enormous theorem.

Dôkaz

Dôkaz tejto vety nebol nikdy uverejnený v celku. Pozostáva z viac ako 500 článkov od približne 100 autorov uverejnených v najrôznejších matematických časopisoch prevažne medzi rokmi 1955 a 1983. Odhaduje sa, že celková dĺžka dôkazu je 10 000 – 15 000 strán tlačeného textu . Takáto rozsiahlosť môže vyvolávať (podobne ako pri vete o štyroch farbách) pochybnosti o správnosti dôkazu. Žiaden matematik totiž pravdepodobne neprečítal tento dôkaz celý, a teda nikto na svete nemôže sám o sebe tvrdiť, že v ňom nie je chyba. Každá jednotlivá časť dôkazu publikovaná v priebehu takmer tridsiatich rokov však bola mnohými matematikmi prečítaná a uznaná za správnu. Preto je tento dôkaz všeobecne považovaný za správny, hoci žiaden konkrétny človek nikdy jeho správnosť nepreveril a veľmi pravdepodobne ani v budúcnosti neoverí.
Vzhľadom na neuveriteľnú dĺžku dôkazu je veľmi pravdepodobné, že obsahuje veľa drobných chýb a nepresností. Jeden z hlavných autorov dôkazu Michael Aschbacher k tomu povedal: „Pravdepodobnosť chyby v klasifikačnej vete je prakticky 1. Na druhú stranu pravdepodobnosť, že každá jedna z týchto chýb by nebola ľahko opraviteľná, je prakticky nulová a pretože dôkaz je konečný, pravdepodobnosť, že veta neplatí, je veľmi blízko nule. Ako čas ubieha a my máme príležitosť bližšie sa s dôkazom zoznamovať, naša dôvera v neho môže jedine rásť. “