Komplexné číslo

Komplexné čísla sú zovšeobecnením pojmu reálneho čísla. V obore reálnych čísel nemajú všetky polynomiálne rovnice riešenie. Ak sa číslo i definuje ako riešenie rovnice , potom všetky polynomiálne (algebrické) rovnice riešenie mať budú.

Reálne čísla

Reálne čísla sa nachádzajú v jednom rade usporiadané podľa veľkosti. Tento rad reálnych čísel sa nazýva číselná os. Číselná os má rozmedzie od mínus nekonečna až po plus nekonečno. Túto os je možné predstaviť si ako priamku, ktorá leží v rovine. Logicky tak vznikne možnosť, že aj v iných bodoch roviny okrem bodov tejto priamky je možné nájsť nejaké čísla.

Imaginárne čísla

V iných miestach roviny sa nachádzajú čísla, ktoré nazývame imaginárne čísla. Spolu so všetkými reálnymi číslami tvoria množinu všetkých komplexných čísel. Definoval ich nemecký matematik Gauss a podľa neho sa aj táto rovina čísel pomenovala Gaussova rovina. Túto rovinu rozdeľujú dve osi — už spomínaná číselná os, ktorá sa v grafoch stotožňuje s osou x (reálna os), a na ňu kolmú os y (imaginárna os). Obe tieto osi sa pretínajú v bode [0;0].

Zápis komplexných čísel

Komplexné čísla sa od reálnych líšia svojím zápisom. Kým na zápis reálneho čísla potrebujeme iba jedno reálne číslo, ktoré určuje jeho polohu na číselnej osi, na zápis komplexného čísla potrebujeme dve reálne čísla. Jedno určuje reálnu časť komplexného čísla — jeho priemet do osi x — a druhé jeho imaginárnu časť — jeho priemet do osi y. Komplexné číslo potom zapíšeme ako výraz a + b*i, kde a je jeho reálna časť, b je jeho imaginárna časť a i je jednotkový vektor v Gaussovej rovine v smere imaginárnej osi y. Podobne je číslo 1 jednotkovým vektorom v smere osi x. Na osi x je napríklad číslo 8 dané ako 8-násobok jednotkového vektora 1, t. j. 8 = 8*1. Tento jednotkový vektor však kvôli úspornosti nepíšeme. V druhom člene výrazu však musíme použiť písmeno i, keďže nejde o reálne číslo. Čiže zápis čísla uvedeného na obrázku bude: 3 + 4*i.

Algebrický tvar

Zápis komplexných čísel v tvare a + bi, kde a, b sú reálne čísla sa nazýva algebrický tvar komplexných čísel. Z obrázku vidieť, že každé komplexné číslo v rovine možno zaznačiť ako vektor so začiatkom v bode so súradnicami [0;0] a koncom v súradniciach daných zápisom tohto čísla, v tomto prípade [3;4].
Dve komplexné čísla sú rovnaké práve vtedy, ak vektory, ktoré ich predstavujú, sú rovnaké.

Použitie

Využívajú sa vo fyzike, elektronike alebo v 3D grafike. 
Vo fyzike sa využívajú tam, kde sa pracuje s vlnami, napr. elektromagnetické polia (Maxwellove rovnice), vlnové funkcie elektrónov, v aerodynamike alebo hydrodynamike.
Keď sa napr. v elektrotechnike pracuje so striedavými prúdmi a v obvode sú okrem odporov aj kondenzátory alebo cievky. Vtedy sa pri využití komplexných čísel počíta tak, akoby boli v obvode len odpory, čo výpočet zjednodušuje. Keby sa ten istý obvod počítal bez komplexných čísel, celý postup by sa skomplikoval.
V 3D grafike sa komplexné čísla používajú, keď sa počítajú aj lomy svetla na rozhraní priesvitných materiálov alebo na tenkých vrstvách (olej na vode). Takto sa vytvárajú aj bez rádiozity vysoko reálne obrázky.

Operácie s komplexnými číslami

S komplexnými číslami je možné vykonávať také isté operácie ako s reálnymi číslami, t. j. sčítavanie, odčítavanie, násobenie, delenie, umocňovanie alebo odmocňovanie. Všetky tieto operácie sú analogické operáciám s reálnymi číslami.

Hlavné funkcie

Majme komplexné číslo z = a + bi, potom:

reálna časť - 

imaginárna časť - 

uhol zvierajúci s reálnou osou (argument) -  (pre naše operácie v radiánoch)

absolútna hodnota - veľkosť komplexného čísla -