Mocninová funkcia

Mocninová funkcia je typ elementárnej matematickej funkcie jednej premennej, v ktorej vystupuje len jeden člen s mocninou. Mocninová funkcia je špeciálnym prípadom polynomickej funkcie. Najznámejším príkladom mocninovej funkcie je špeciálny prípad kvadratickej funkcie. Podľa stupňa mocniny premennej sa rozlišujú mocninové funkcie rôznych druhov. V začiatkoch budovania matematickej teórie o funkciách boli predmetom skúmania práve mocninové funkcie, z ktorých bolo odvodené množstvo vlastností a vzťahov. K mocninovým funkciám sa neskôr pridružili aj ďalšie funkcie a spolu vytvorili skupinu pod názvom elementárne funkcie. Pomocou základných mocninových funkcií je možné modelovať veľmi veľa jednoduchých situácii a javov. Svoje opodstatnenie našli v samotnej matematike, vo fyzike, ekonómii a v mnohých ďalších oblastiach.
Krajne asymetrickým rozdelením/rozložením sa zaoberal napr. český geograf, demograf a štatistik Jaromír Korčák v dielach Deux types fondamentaux de distribution statistique (1938) alebo 
Přírodní dualita statistického rozložení (1941).

Definícia

Nech . Potom predpis
nazývame mocninová funkcia s reálnym mocniteľom. Ak  potom ide o mocninovú funkciu so záporným celočíselným mocniteľom. Ak  ide o mocninovú funkciu s kladným celočíselným mocniteľom alebo s prirodzeným mocniteľom.

Vlastnosti mocninových funkcií

Vlastnosti mocninových funkcií sú závislé od stupňa mocniny. Grafy tohto typu funkcií sú rôzne, čo závisí opäť od veľkosti a druhu mocniteľa. Napríklad parabola alebo hyperbola. Mocninové funkcie s kladným mocniteľom majú tú spoločnú vlastnosť, že všetky prechádzajú začiatkom sústavy súradníc. Ostatné vlastnosti sa navzájom líšia. Keďže vlastnosti závisia od mocniteľa, je lepšie obmedziť sa na funkcie s celočíselným párnym resp. nepárnym mocniteľom.

Definícia

Mocninovým radom rozumieme rad funkcií v tvare
respektíve
kde .

Polomer konvergencie mocninového radu

Ak mocninový rad konverguje v bode , potom absolútne konverguje pre všetky , pričom najväčšiu vzdialenosť bodu  od počiatku (píšeme ) nazývame polomerom konvergencie . Vždy platí, že . K určeniu polomeru konvergencie sa používajú klasické metódy pre konvergenciu nekonečných číselných radov. Ak je polomer konvergencie nenulový, potom je súčet mocninového radu spojitá funkcia v .

Odvodenie derivácie mocninovej funkcie

Všeobecné odvodenie sa uskutoční výpočtom vyššie uvedenej limity

Aplikácie mocninových funkcií

Pomocou mocninových funkcií je možné modelovať rôzne jednoduché situácie z bežného života. Príkladom môžu byť ekonomické aplikácie, fyzikálne aplikácie i aplikácie priamo v matematike.

Aplikácie vo fyzike

Jednoduchou, ale významnou fyzikálnou aplikáciou mocninových funkcií je opis dráhy telesa pri voľnom páde. Tento jav popisuje funkcia
kde  je gravitačná konštanta. Podľa druhu mocninovej funkcie ide o kvadratickú funkciu, kde ako premenná vystupuje čas - .

Aplikácie v matematike

V matematike by sa dala aplikácia hľadať pri výpočtoch obsahov a objemov. Aby vznikla funkcia jednej premennej, je možné opísať závislosť obsahu štvorca od veľkosti jeho strany. Tento jav sa dá popísať funkciou obsahu štvorca
Ide o kvadratickú funkciu, kde premenná je  a vyjadruje dĺžku strany štvorca. Iný príklad by bol na výpočet obsahu rovnoramenného pravouhlého trojuholníka. Táto funkcia je
Aplikácia kubickej funkcie by sa dala hľadať pri výpočte objemu kocky a táto funkcia potom vyzerá nasledovne
Podobne ako pri trojuholníku, z funkcie objemu kocky by sa dala vyjadriť funkcia objemu ihlana. Zovšeobecnením predchádzajúceho je možné zistiť, že všetky matematické vzorce pre výpočet nejakej kvantity, sú závislé od hodnôt, ktoré do vzťahu dosadzujeme. Všetky tieto predpisy sú teda funkcie a hodnoty, ktoré sa do nich dosadzujú, sú chápané ako premenné.

Aplikácie nepriamej úmernosti možno hľadať v praktických situáciách. Nepriama úmernosť vyjadruje taký vzťah dvoch veličín, že nárast jednej spôsobí pokles druhej a opačne. Všeobecne sa problémové úlohy nepriamej úmernosti riešia cez tzv. trojčlenku. Jednoduchý príklad objasňuje základný princíp nepriamej úmernosti: Auto prejde pri rýchlosti 100 km/h určitú vzdialenosť za 30 minút. Ako dlho by autu trvala rovnaká cesta, ale pri rýchlosti 120 km/h? Zostavením trojčlenky
Výpočtom danej rovnice dostávame výsledok, že auto prejde pri rýchlosti 120 km/h danú vzdialenosť za 25 minút. Na trojčlenku sa dá pozrieť aj všeobecnejšie. Ak by sme potrebovali opakovať ten istý algoritmus s inou rýchlosťou, potom treba zopakovať celý výpočet trojčlenky. Jednoduchým odvodením všeobecného vzťahu je možné vyhnúť sa počítaniu cez trojčlenku a chápať zápis ako funkciu:
Úpravami získame funkciu
kde za premennú  dosadzujeme konkrétnu rýchlosť a získame tak hodnotu , ktorá vyjadruje počítaný čas. Z matematického hľadiska ide o mocninovú funkciu - nepriamu úmernosť a číslo 3000 nazýva koeficient nepriamej úmernosti .