Diferenciálny a integrálny počet

História

Aj keď zvyčajne počiatky integrálneho počtu sledujeme od starovekých Grékov, existujú dôkazy, že už starovekí Egypťania mohli disponovať takýmto poznaním (pozri Moskovský matematický papyrus). Eudoxusovi sa obyčajne pripisuje metóda vyčerpávania (exhaustácie), ktorá umožňovala spočítať plochu geometrických útvarov a objem telies. Túto metódu ďalej úspešne rozvíjal Archimedes zo Syrakúz, ktorý objavil niekoľko heuristických metód pripomínajúcich moderné koncepty dnešných dní. Indický matematik Bhaskara (1114 – 1185) ukázal príklad toho, čo dnes poznáme ako diferenciálny koeficient a takisto podal základnú myšlienku dnešnej Rolleho vety. Indický matematik Madhava spolu s ostatnými matematikmi Keralskej školy v 14. storočí podnikli mnohé zaujímavé výlety do diferenciálneho a integrálneho počtu. Naozajstný zlom však nastal až v 17. storočí, kedy pôsobili Leibniz a Newton, ktorých dnes pokladáme za objaviteľov diferenciálneho a integrálneho počtu.
Dlhšiu dobu sa vedú nekonečné debaty, ktorý z tejto dvojice ako prvý prišiel s dôležitými myšlienkami celého infinitezimálneho počtu. Vyzerá to však tak, že úplnú pravdu sa už nikdy nedozvieme. Jeden z najdôležitejších Leibnizových príspevkov bola jeho matematická notácia. Leibniz často trávil dni vymýšľaním najvhodnejšieho symbolu pre svoju myšlienku. Najhorší dôsledok rozporu medzi Newtonom a Leibnizom bolo rozdelenie matematikov na dva tábory, čo značne zabrzdilo britskú analýzu v porovnaní s kontinentálnou na veľký čas. Newtonova terminológia a notácia bola jasne menej flexibilná a pohodlná ako Leibnizova, napriek tomu bola umelo udržiavaná vo Veľkej Británii až do 19. storočia, kedy práca spolku Analytical Society konečne vyvrcholila úspechom v podobe zavedenie Leibnizového značenia na britských ostrovoch. Časť historikov v súčasnosti zastáva názor, že Newton objavil počet skôr ako Leibniz, ale Leibniz ho publikoval skôr. Je však nesporné, že obaja objavili infinitezimálny počet nezávisle od seba a tak sa to aj berie.
Menšie zásluhy na rozvoji diferenciálneho a integrálneho počtu sa pripisujú aj Barrowovi, Descartovi, Fermatovi, Huygensovi a Wallisovi. Uvažuje sa aj o japonskom matematikovi Kowa Sekimovi, ktorý žil približne v čase Newtona a Leibniza. Seki rozpracoval zopár základných princípov integrálneho počtu, ale v tom čase nebol na Západe vôbec známy.

Základy

Rigorózne základy infinitezimálneho počtu sú založené na pojme funkcie a limity. Limity funkcií sú rozpracované v samostatnej teórii založenej na spojitej štruktúre reálnych čísel (kontinuum).
Moderné štúdium základov infinitezimálneho počtu poznáme ako reálnu analýzu. Zahŕňa v sebe plné definície a dôkazy viet diferenciálneho a integrálneho počtu. Takisto poskytuje rôzne zovšeobecnenia, ako napr. teória miery alebo teória distribúcie.

Aplikácie

Vývoj a použitie diferenciálneho a integrálneho počtu malo a má ďalekosiahle dôsledky na skoro všetky aspekty moderného bytia. Je prítomný takmer vo všetkých vedách, hlavne vo fyzike. Prakticky všetky moderné výdobytky, ako stavebné techniky, letectvo a iné technológie používajú infinitezimálny počet priamo vo svojich základoch. Veľa algebrických vzorcov, ktoré sú dnes používané v balistike, energetike a iných praktických vedách, boli odvodené prostredníctvom diferenciálneho a integrálneho počtu.
Úspech infinitezimálneho počtu sa preniesol časom na diferenciálne rovnice, vektorový počet, variačný počet, komplexnú analýzu a diferenciálnu topológiu.