Gramov-Schmidtov ortogonalizačný proces

Gramov-Schmidtov ortogonalizačný proces (iné názvy: Gramov-Schmidtov proces ortogonalizácie, Gramova-Schmidtova ortogonalizácia) je proces, ktorým z množiny lineárne nezávislých vektorov priestoru vytvárame jeho ortonormálnu bázu. Ortonormálna báza sa vyznačuje vlastnosťou, že jej vektory majú normovanú jednotkovú dĺžku a navzájom sú ortogonálne. Vektorový priestor dimenzie n môže byť všeobecne generovaný ľubovoľnou n-ticou lineárne nezávislých vektorov. Tieto však majú rôznu orientáciu a nejednotnú dĺžku (normu). Na odstránenie respektíve normalizáciu sa využíva práve spomínaný Gram-Schimdtov ortogonalizačný proces.

Postup ortogonalizácie

V prvom kroku Gramovho-Schmidtovho ortogonalizačného procesu sa pokladá za základ prvý vektor z množiny vektorov, ktoré normalizujeme. Podľa tohto vektora sa odvíja orientácia zvyšných. Ďalším krokom je samotná ortogonalizácia vektorov, a nakoniec normalizácia vektorov. Pre zjednodušenie výpočtov sa vektory normalizujú až na koniec procesu. Tento proces možno popísať ako rekurentný proces.

Vlastnosti a vzťahy

Nech  je vektorový priestor, ktorý je generovaný lineárne nezávislými vektormi . To, že vektory sú lineárne nezávislé znamená, že existuje len triviálna nulová kombinácia koeficientov , že systém  má riešenie. Hľadáme také vektory  s vlastnosťou
Odtiaľ vyplýva, že vektory musia byť ortogonálne a musia mať jednotkovú dĺžku. Tieto už budú priamo tvoriť bázu konkrétneho vektorového priestoru.

Ortogonalizácia

Najprv teda položíme . Postupujeme ďalšími vektormi, pričom sú dané rekurentným vzťahom
čo možno ekvivalentne prepísať do sumačného zápisu
Treba poznamenať vlastnosť , kde . Samotný ortogonalizačný proces využíva k ortogonalizácii operátor projekcie, ktorý je definovaný
Ortogonálnou projekciou vektora  na priestor generovaný vektorom  nazývame vektor  a platí . Týmto spôsobom sa nájde ortogonálna projekcia daného vektora. Vektor ortogonálny na priestor generovaný vektorom  je potom rozdiel . Platí teda, že skalárny súčin  je nulový.

Normalizácia

Ortogonalizované vektory sa následne normalizujú na spoločnú jednotkovú dĺžku. Po tomto, dostaneme výsledný ortonormálny vektor , preto môžeme písať
Ide o symbolický zápis súčinu každej zložky vektora  prevrátenou hodnotu normy tohto vektora. Odtiaľ
Pod normou vektora  sa chápe norma definovaná nasledovne

Príklad

Majme vektorový priestor  generovaný dvojicou lineárne nezávislých vektorov . Postupujeme najprv voľbou . Teraz od tohto vektora bude závisieť druhý. Použijeme vzťah pre ortogonalizáciu ďalších vektorov a dostávame rovnosť
Výsledný vektor je ortogonálny vektor k vektoru . Teraz ho treba znormalizovať. Vektory generujú obyčajný euklidovský dvojrozmerný priestor, stačí preto použiť euklidovskú normu
Výsledný ortonormálny vektor bázy bude mať tvar
Podobným spôsobom sa znormalizuje vektor , ktorého norma je  a odtiaľ
Ľahko možno skalárnym súčinom overiť, že vektory sú skutočne ortogonálne.

Použitie ortogonalizácie na iné priestory

Gram-Schmidtov proces sa však nemusí používať výlučne pre euklidovské priestory . Môže sa použiť taktiež na ortogonalizáciu funkcií v priestore funkcií so skalárnym súčinom
Pomocou ortogonalizačného procesu možno vytvoriť Legendrove polynómy, ktoré sú prvky priestoru funkcií so skalárnym súčinom