Archimedova axióma

Archimedova axióma(iné názvy: Eudoxova-Archimedova axióma,Eudoxova axióma, Archimedov výrok, Archimedov princíp, Archimedova vlastnosť [reálnych čísiel], axióma merateľnosti, Archimedova veta) bola pôvodne nasledujúca veta (axióma): Ak máme dve úsečky, z ktorých jedna je kratšia (X) a jedna dlhšia (Y), tak ak nanesieme (narysujeme) úsečku X dostatočne veľakrát za sebou, vždy dostaneme úsečku, ktorá je dlhšia než úsečka Y [veta 1]. Dnes sa táto veta často aplikuje aj na plochu, objem či všeobecne na usporiadané aritmetické a algebrické štruktúry (napr. na množiny prirodzených, celých, racionálnych a reálnych čísiel); v takom prípade znie všeobecne takto: Ak máme ľubovoľné dve (kladné) hodnoty (nejakej veličiny ), z ktorých jedna je menšia (A) a druhá väčšia (B), tak vždy platí A.n>B, pričom n je nejaké (aspoň jedno) prirodzené číslo [veta 2]. Táto veta platí (t. j. Archimedova axióma je splnená) napríklad pre množinu reálnych čísiel. Vlastnosť (niečoho) spĺňať Archimedovu axiómu, sa nazýva archimedovská vlastnosť (Archimedova vlastnosť) alebo archimedovská usporiadanosť; algebrická štruktúra (napr. grupa, pole) spĺňajúca Archimedovu axiómu sa teda volá archimedovská alebo archimedovsky usporiadaná.
Dá sa ukázať, že veta 2 vyplýva z nasledujúcej vety a je s ňou ekvivalentná: Množina všetkých prirodzených čísiel je zhora neohraničená resp. inak povedané (tu ako príklad pre množinu reálnych čísiel): Ku každému reálnemu číslu C existuje nejaké (aspoň jedno) prirodzené číslo n, ktoré je väčšie ako C [veta 3]. Aj táto veta sa niekedy takisto zvykne označovať ako Archimedova axióma (resp. vyššie uvedené synonymá), pričom ale v niektorých textoch sú použité rôzne názvy pre vetu 2 (či 1) a vetu 3 (napr. Archimedov princíp pre vetu 2 a Archimedova vlastnosť (reálnych čísiel) pre vetu 3; Archimedova axióma pre vetu 1 a Archimedova veta pre vetu 3; Archimedova vlastnosť (reálnych čísiel) pre vetu 2 a Eudoxova-Archimedova [veta] pre vetu 3). 
Z Archimedovej axiómy (t. j. z vety 2 či 3, ale aj 1) vyplýva, že v danej algebrickej štruktúre nie je žiaden nekonečne veľký či nekonečne malý prvok (t.j. napr. pre množinu reálnych čísiel platí, že neexistujú nekonečne malé alebo nekonečne veľké reálne čísla). 
Existuje aj Archimedova axióma v multiplikatívnom tvare (t.j. namiesto A.n=A+A+A... je Aⁿ=A.A.A…). K tomu pozri nižšie.

Archimedova axióma v multiplikatívnom tvare

Vieme, že za predpokladu  platí ,  a tak ďalej. Z toho je intuitívne zrejmé, že veľmi vysoké mocniny čísla  sú veľmi malé. To znamená, že pri ľubovoľne malom kladnom čísle  pre dosť veľké celé číslo  platí . Táto významná skutočnosť sa nazýva Archimedová vlastnosť a formálne ju zapisujeme nasledujúcou vetou: Nech , nech . Potom existuje také prirodzené číslo , že .

Dôkaz

Na dokázanie Archimedovej vlastnosti musíme najprv dokázať nasledujúcu vetu:
Nech . Potom postupnosť  je sumovateľná a platí:  .
Dôkaz je nasledovný:
V (Z) položme  pre každé celé , z čoho vyplýva, že postupnosť  je sumovateľná. Označme jej súčet s. Potom platí .
Urobme teraz substitúciu , pričom , . Keďže platí
 takže dostaneme . Teda , z čoho ihneď vyplýva
.
Keď sa teraz vrátime k dôkazu archimedovej postupnosti, tak podľa predchádzajúcej vety je číslo  súčtom postupnosti . Preto k ľubovolnému číslo  existuje také celé číslo , že
. Ak označíme , tak zrejme . Teda k takto zvolenému  existuje celé číslo , pre ktoré platí . To znamená, že existuje také celé , že .
Na druhej strane platí rovnosť . Teda z toho vypláva . Z toho už dostávame, že . Ak teda zvolíme , máme hľadané prirodzené číslo s vlastnosťou .