Lineárne zobrazenie

Lineárne zobrazenie (alebo tiež lineárny operátor) je abstraktný jav v algebre, ktorý možno chápať v istom zmysle ako funkciu. Lineárne zobrazenie priraďuje vektoru (vzoru) z vektorového priestoru, nový vektor (obraz) z iného resp. rovnakého vektorového priestoru. Každé lineárne zobrazenie možno určiť maticou zobrazenia. Pod pojmom lineárne zobrazenie sa však nechápe len zobrazovanie vektorov, reprezentujúcich súradnice v priestore, ale aj zobrazovanie mnohých iných abstraktných vektorov, napríklad polynómov. Príkladom jednoduchšieho lineárneho zobrazenia môže byť také, ktoré ku každému vektoru priradí jeho dvojnásobok. Oveľa abstraktnejším lineárnym zobrazením je také, ktoré k polynómu priradí jeho deriváciu. Pre názornú predstavu však pomáha obmedzenie na vektorové priestory \mathbb{R}^2 prípadne \mathbb{R}^3.

Definícia

Nech N,M sú vektorové priestory nad telesom K. Zobrazenie \varphi:N\to M sa nazýva lineárne zobrazenie, ak je splnené nasledovné:
\begin{array}{ll}(\textrm{i})&\varphi(\mathbf{x}+\mathbf{y})=\varphi(\mathbf{x})+\varphi(\mathbf{y})\\(\textrm{ii})&\varphi(\alpha\cdot\mathbf{x})=\alpha\cdot\varphi(\mathbf{x})\end{array}

Príklad

Zobrazenie \omega:\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}^2,\mathbf{x}\longrightarrow\mathbf{x}+k;\;k\geq 1 nie je lineárne. Dôkaz sa dá urobiť priamo z definície lineárneho zobrazenia. Treba dokázať rovnosť (i)
\omega(\mathbf{x}+\mathbf{y})=\mathbf{x}+\mathbf{y}+k
\omega(\mathbf{x})+\omega(\mathbf{y})=(\mathbf{x}+k)+(\mathbf{y}+k)=\mathbf{x}+\mathbf{y}+2k
Tu ale neplatí \omega(\mathbf{x}+\mathbf{y})\ne\omega(\mathbf{x})+\omega(\mathbf{y}), pretože \mathbf{x}+\mathbf{y}+k\ne\mathbf{x}+\mathbf{y}+2k. Dokazovať vlastnosť (ii) už nie je potrebné, keďže dané zobrazenie nie je lineárne.

Matica lineárneho zobrazenia

Lineárne zobrazenie môže byť reprezentované aj určitou maticou. Potom ak \varphi je lineárne zobrazenie, možno ho prepísať
\varphi(\mathbf{x})=\mathbf{A}\cdot\mathbf{x};\;\mathbf{A}=\Vert a_{ij}\Vert_{m,n}
Vektor \mathbf{x} je chápaný ako matica \mathbf{x}=\Vert x_{i}\Vert_{m,1}. Tieto matice môžeme násobiť, lebo počet stĺpcov matice \mathbf{A} je zhodný s počtom riadkov matice (vektoru) \mathbf{x}. Výsledkom lineárneho zobrazenia (súčinu matíc) bude vektor typu m,1. Maticu lineárneho zobrazenia je možné nájsť pomocou vlastnosti
\varphi(e_k)=\mathbf{A}\cdot e_k=a_k
kde vektor e_k je k-ty jednotkový vektor a a_k je obraz k-teho jednotkového vektora, čo je vlastne k-ty stĺpec matice zobrazenia.

Príklad

Nájdime maticu \mathbf{A} lineárneho zobrazenia \varphi, ktoré ku každému vektoru \mathbf{x}\in\mathbb{R}^2 priradí jeho \lambda-násobok. Najprv sa treba presvedčiť, že dané zobrazenie skutočne spĺňa vlastnosti lineárneho zobrazenia. Podobne ako v prvom príklade treba dokázať rovnosť (i).
\varphi(\mathbf{x}+\mathbf{y})=\lambda(\mathbf{x}+\mathbf{y})=\lambda\cdot\mathbf{x}+\lambda\cdot\mathbf{y}
\varphi(\mathbf{x})+\varphi(\mathbf{y})=(\lambda\cdot\mathbf{x})+(\lambda\cdot\mathbf{y})=\lambda\cdot\mathbf{x}+\lambda\cdot\mathbf{y}
Rovnosť teda platí. Teraz treba ešte dokázať vlastnosť (ii). Jednoduchým výpočtom
\varphi(\alpha\cdot\mathbf{x})=\lambda(\alpha\cdot\mathbf{x})=\alpha\cdot\lambda\cdot\mathbf{x}
\alpha\cdot\varphi(\mathbf{x})=\alpha(\lambda\cdot\mathbf{x})=\alpha\cdot\lambda\cdot\mathbf{x}
Po dokázaní vlastností lineárneho zobrazenia, môžeme hľadať maticu. Stačí zistiť kam sa zobrazia vektory \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2 ortonormálnej bázy priestoru \mathbb{R}^2, keďže ide o normované jednotkové vektory. Zo zadania je zrejmé, že vektor sa zobrazí na svoj \lambda-násobok, teda
\mathbf{e}_1=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)\;\stackrel{\varphi}{\longrightarrow}\;\lambda\cdot\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\lambda\\0\end{array}\right)
\mathbf{e}_2=\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)\;\stackrel{\varphi}{\longrightarrow}\;\lambda\cdot\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\\lambda\end{array}\right)
Matica tohto lineárneho zobrazenia je
\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}\lambda&0\\0&\lambda\end{array}\right)_{2\times2}
Súčinom tejto matice a ľubovoľného vektora priestoru \mathbb{R}^2 dostaneme požadovaný násobok zobrazovaného vektora. V tomto prípade je vzorom ľubovoľný vektor a jeho obraz podľa zobrazenia \varphi je jeho \lambda-násobok. Zobrazenia sa potom dá prepísať nasledovným spôsobom
\left(\begin{array}{cc}\lambda&0\\0&\lambda\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right)=\varphi(\mathbf{x})

Základná veta o lineárnych zobrazeniach

Nech \alpha_1, ... , \alpha_m je ľubovolná báza vektorového priestoru V(F) a nech \beta_1, ... , \beta_m sú ľubovolné vektory priestoru W(F). Potom existuje práve jedno lineárne zobrazenie \varphi:V(F)\to W(F) pre ktoré platí: \varphi(\alpha_1)=\beta_1 , \varphi(\alpha_2)=\beta_2 , ... , \varphi(\alpha_m)=\beta_m