Trekant

Sidelengder og vinkler

Det eksisterer en rekke måter for å regne ut sidelengder og vinkler i en trekant.  Enklest er det i rettvinklede trekanter.  Forhold mellom sidelengder og vinkler danner grunnlaget for definisjon av trigonometriske funksjoner.

Halveringslinjesetningen

Halveringslinjesetningen sier at i en trekant ABC vil en linje gjennom C dele sidekanten AB i et forhold lik AC/BC hvis og bare hvis linjen halverer vinkelen C.

Tangeringssirkler

Enhver trekant har tre ytre tangeringssirkler, tre sirkler som hver for seg tangerer én sidekant og forlengelsen av de to andre.  Tangeringssirklene ligger utenfor trekanten.
Innsenteret til trekanten og sentrene i de tre tangeringssirklene danner sammen et såkalt ortosentrisk system.  Dette er et system av fire punkter, der ett av punktene er ortosenter i en trekant med hjørner i de tre andre punktene. Systemet er symmetrisk, slik at uansett hvilke tre punkt en velger for å definere trekanten, så er det fjerde punktet ortosenteret.

Figurer innskrevet i en trekant

En figur er innskrevet i en trekant dersom figuren har felles punkt med trekanten og ingen punkt som ligger utenfor trekanten.  Et innskrevet polygon skal ha alle hjørnene på trekantsidene.  Innsirkelen omtalt i avsnittet over er et eksempel på en figur innskrevet i en trekant.  Et klassisk problem i geometri forsøker å finne sidelengden i et kvadrat innskrevet i en gitt trekant.  
En innskrevet trekant definert ved at hjørnene ligger på tangeringspunktet mellom innsirkelen og trekanten kalles for kontakttrekanten.
En innellipse er en ellipse innskrevet i en trekant.  I Steiners innellipse ligger senterpunktet til innellipsen i trekantens tyngdepunkt og ellipsen tangerer midtpunktet på hver av de tre sidene. 
En medialtrekant er en innskrevet trekant som har hjørner på midtpunktene til de tre sidekantene i den opprinnelige trekanten. Begrepet mediantrekant blir brukt delvis synonymt med medialtrekant, delvis om en trekant der sidekantene er parallelle med og like lange som medianene i en annen trekant.

Euler-linjen

I en trekant som ikke er likesidet er den såkalte Euler-linjen en rett linje som går gjennom ortosenteret, omsenteret, tyngdepunktet, det såkalte Exeter-punktet og i tillegg senteret i nipunktsirkelen.  Den sveitsiske matematikeren Leonhard Euler viste i 1765 at de tre førstnevnte punktene ligger på én og samme rette linje.  I en likebeint trekant ligger også innsenteret på Euler-linjen.

Trekanter i ikke-euklidsk geometri

I ikke-euklidsk geometri gjelder ikke parallellaksiomet, og trekantegenskaper velkjente fra klassisk geometri trenger ikke lenger være tilstede.  Ikke-euklidsk geometri vil opptre i geometri for generelle flater, for eksempel andregradsflater.
Geometri på en kuleflate kalles sfærisk geometri, og en trekant kalles tilsvarende en sfærisk trekant.   I en sfærisk trekant er sidekantene sirkelbuer.  I en slik trekant vil vinkelsummen være større enn 180°.  Det er for eksempel mulig å definere en trekant der alle tre vinklene er lik 90°! Jordkloden er tilnærmet lik en kuleflate, og rettvinklede sfæriske trekanter spiller en viktig rolle i navigasjon.  
Sidelengdene i en sfærisk trekant måles vanligvis med vinkelmål, ikke lengeenheter.  En form for cosinussetningen gjelder også for sfæriske trekanter.  
I motsetning til en plan trekant, så vil en sfærisk trekant være entydig bestemt når de tre vinklene i trekanten er gitt.  En plan trekant er entydig bestem dersom en kjenner to sidelengder og de motstående vinklene, men dette er ikke tilfelle for en sfærisk trekant.
I hyperbolsk geometri vil det eksistere en trekant der vinkelsummen er mindre enn 180°.  Sidelengdene i et hyperbolsk triangel kan bli uendelig store, men arealet er alltid mindre enn π.

Trekanter i fagverk

Trekanter er mye brukt i ulike konstruksjoner, på grunn av formens evne til å ta imot trykk og strekk.  I et såkalt fagverk er trekanten et grunnleggende element.  Fagverk er et rammeverk brukt i brobygging, husbygging, tårn og heisekraner.

Triangulering i landmåling

Ved triangulering i landmåling bestemmes avstanden til et punkt ved hjelp av trekantgeometri.  Vinkelen til punktet fra begge endene av en grunnlinje måles.  Posisjonen til det tredje punktet kan så bestemmes fra en trekant med kjent grunnlinje og to kjente vinkler.

Triangulering i datagrafikk

I datagrafikk kan triangler brukes til å beskrive legemer som skal visualiseres.  Legemet visualiseres så som en samling av trekanter.  Visualisering av trekanter kan gjøres svært raskt, og det eksisterer mange effektive algoritmer for beregninger som inngår.  Bruk av trekanter er et spesialtilfelle av polygonbasert visualisering.

Triangulering i elementmetoder

Endelig-elementmetoder er numeriske metoder for tilnærmet løsning av partielle differensialligninger.  Området der differensialligningene er definert kan trianguleres, og ligningene kan diskretiseres på den gitte trianguleringen.  Metodene bør være slik at dess mindre trekantene er, dess mer nøyaktig er den tilnærmede løsningen.    
Løsning av partielle differensialligninger med trekant-baserte endelig-element-metoder har svært mange anvendelsesområder innenfor teknikk og vitenskap, for eksempel i styrkeberegninger for konstruksjoner.

Ternærdiagram

Et ternærdiagram eller ternærplott er en grafisk framstilling i en likebeint trekant av forholdet mellom tre variable som alltid summerer seg til en konstant verdi.  En slik grafisk framstilling er vanlig for eksempel i kjemi og mineralogi, når det er behov for å studere en sammensetning av tre komponenter.  De tre variablene kan for eksempel være andelen av hvert stoff, og summen er 1 eller 100%.  
De tre variablene a, b og c skal alltid ha en fast sum K, slik at a + b + c = K.  Er to variable kjent, så er dermed den tredje også bestemt.  Siden systemet har to frihetsgrader, så kan sammenhengen framstilles i planet.  Langs en sidekant i trekanten er en av variablene lik null.

Historie

Geometri, inkludert studiet av trekanter, har dype røtter i matematikkens oldtid.  Ifølge historikeren Herodot ble geometrien født i Egypt, da man hadde behov for å måle opp jordbruksland som var blitt oversvømt av Nilen.

Egypt og Mesopotamia

Den berømte Rhind-papyrusen fra Egypt omkring 1650 f.Kr inneholder blant mye annet en metode for å beregne arealet av en likebeint trekant.  I bygging av pyramider var det behov for å bygge sidene med konstant stigningstall, og egypterne utviklet en primitiv form for trigonometri.  Det er blitt hevdet at egypterne kjente til Pythagoras' læresetning, men det finnes ikke direkte bevis for dette i etterlatte manuskript.
I en tavle med kileskrift fra Mesopotamia forekommer en rekke med tre og tre tall, som alle oppfyller Pythagoras' læresetning, såkalte pythagoreiske tripler  Tavlen går under navnet Plimpton 322 og er tidfestet til å være fra tidsperioden 1900 - 1600 f.Kr.   Det finnes ikke indikasjoner på at babylonerne kjente beviset for læresetningen.  Både babylonerne og egypterne brukte egenskaper til formlike trekanter.

Antikken fram til Euklid

Den greske filosofen Thales fra Milet levde omkring 600 f.Kr og blir tillagt å ha ført bevis for at vinklene ved grunnlinjen i en likebeint trekant er like.  Han skal også ha bevist at to trekanter med to parvis like store vinkler og to like sider er kongruente.  Thales arbeid er bare kjent indirekte, gjennom andres omtale.
Pythagoras var en gresk filosof, mystiker og matematiker i fra øya Samos, født ca. 580 f.Kr.  I Kroton i Italia grunnla han en skole der elevene måtte studere både matematikk, religion og filosofi.  Pythagoreerne var et fellesskap der renselse av sjelen skulle oppnås gjennom et strengt levesett og gjennom religiøse ritualer.  I ritualene inngikk elementer av både filosofi og matematikk.  
Antagelig fikk pythagoreerne kunnskap om det som i dag kalles for Pythagoras' læresetning fra Babylon.  I antikken ble Pythagoras gitt æren for å ha bevist denne læresetningen, men det finnes ikke direkte bevis på at dette var tilfelle.
Pythagoreerne rangerte aritmetikk over geometri, og bevegelsen fikk stor innflytelse på utvikling av matematikk i hundreårene som fulgte.  Trekantgeometri spilte likevel en viktig rolle i en rekke arbeid i fra denne perioden, ikke minst i studiet av proporsjoner.  Platon grunnla omkring 387 f.Kr et akademi i Athen, kjent for innskriften  «La ingen som er uvitende i geometri komme inn her».
Den greske matematikeren Euklid blir ofte kalt «geometriens far».  Han var virksom i Alexandria omkring tre hundre år før Kristus.  Fem manuskript er kjent fra Euklid, og i arbeidet Deling av figurer drøfter han et problem der en vilkårlig trekant skal deles i to av en linje parallell med grunnlinjen, slik at arealet av trekanten blir delt i nøyaktig to like deler.  Mest kjent er imidlertid Euklid for verket Elementene, der han som den første matematikeren bygger opp teorien fra et sett av aksiomer.  De første seks kapitlene er dedikert til plangeometri.  Her gir Euklid blant annet et bevis for Pythagoras' læresetning, og også for det «inverse» teoremet.  Senere har en rekke andre former for bevis blitt utledet.
I Elementene bok II, problem 13, gir Euklid også en form for cosinussetningen.  
Sammen med Euklid regnes Arkimedes og Apollonios fra Perge som de tre store matematikerne i perioden 300 - 200 f.Kr.  Apollonios er spesielt kjent for arbeid i geometri.  Teoremet som er oppkalt etter han er første gang beskrevet i verket Almagest, skrevet av Klaudios Ptolemaios omkring to hundre år etter Kristus.

Antikken etter Euklid

I studiet av geometri som fulgte Euklid vokste det også langsomt fram former for trigonometri - teori for sammenheng mellom trekantsider og vinkler.  Bidragene kom fra en rekke matematikere, men Hipparkus fra Nikea (ca. 180-ca. 125 f.Kr) har fått tilnavnet  «trigonometriens far», som den første som satte sammen en trigonometrisk tabell.  Den tidlige trigonometrien var i hovedsak knyttet til korder i en sirkel, ikke til trekanter.  Hipparkus var motivert av problem i astronomi, og også den videre utviklingen av trigonometri var i svært lang tid tett knyttet til astronomi, landmåling og navigasjon.  Først på 1600-tallet innså en at trigonometri kunne ha et langt videre bruksområde, for eksempel i fysikk. 
Heron levde som Euklid i Alexandria, men tre til fire hundre år senere, omkring 10-70 e.Kr.  Han var både ingeniør og matematiker, og som det siste er han mest kjent for formelen for å beregne arealet av en trekant fra sidelengdene.  Formelen opptrer for første gang i Herons arbeid Metrica, men var antageligvis kjent også før Herons tid.  Heron er den første som er kjent for å bruke piktogrammet Δ som symbol for en trekant i tekst.  
Blant matematikerne fra Alexandria var også Menelaos, som i verket Sphaerica studerte trekantgeometri på en kuleflate.  Dette er det eneste arbeidet som er bevart etter Menelaos, som levde omkring 100 e.Kr. 
Ptolemaios' verk Almagest er en svært viktig kilde til kunnskap om gresk geometri og trigonometri.  Verket er skrevet omkring 200.  Som Hipparkus var Ptolemaios motivert av astronomi.  
Også Pappos  (c. 290 - c. 350) var fra Alexandria, og han regnes som en av de siste store greske matematikerne.  I det mest kjente arbeidet Synagoge («Samling» ) gir han et bevis for en utvidet form for Pythagoras' læresetning, for en vilkårlig trekant.

Kina og India

Del eldste kinesiske matematiske skriftene indikerer at også kinesisk geometri er vokst fram fra praktiske problem i landmåling.  I verket Ni kapitler om den matematiske kunst (Jiǔzhāng Suànshù) omhandler det siste kapittelet geometri for rettvinklede trekanter.  Verket er ikke nøyaktig tidfestet, men er antagelig satt sammen før 200 f.Kr. Her forekommer det såkalte «Brukne-bambus-problemet»:  En rett bambusplante 10 enheter lang er brukket, slik at toppen av treet danner en hypotenus i en trekant og treffer bakken 3 enheter fra foten av treet.  Problemet er å bestemme høyden opp til bruddstedet, og løsningen krever bruk av Pythagoras' læresetning.  
Basert på gresk matematikk videreutviklet indiske matematikere trigonometri, og sinusfunksjonen ble introdusert i det indiske astronomiske verket Siddhanta fra omkring 400.

Etter antikken

Etter den greske storhetstiden lå det meste av geometri lenge nede, utenfor interesseområdet til vitenskapen.  Arabiske matematikere tok imidlertid vare på interessen for trigonometri og astronomi, og ble formidlere av både indiske, gresk og egen kunnskap til Europa.  Thābit ibn Quarra (826-901) ga flere alternative bevis for Pythagoras' læresetning og også en generalisering av læresetningen til generelle trekanter.  Perseren Nasir al-Din al-Tusi (1201-1274) var den første som behandlet trigonometri uavhengig av astronomi og skrev et systematisk fem-binds verk om plan- og sfæriske trigonometri.    
Leonardo Fibonacci (1170-1250) er kjent for å ha introdusert arabiske tall i vesten, i verket Liber Abaci.  Han utga i 1220 også boka Practica Geometriae, der han blant annet beviser at medianene i en trekant deler hverandre i forholdet 1:2.  Boka inneholder også en analog til Pythagoras' læresetning i tre dimensjoner.  
Boka De triangulis omnimodus («Om trekanter av alle slag»), av den tyske matematikeren, astronomen og biskopen Regiomontanus (1436-1476), var et av de første rene verkene om trigonometri i Europa. Boka ble utgitt i 1533, etter Regiomontanus' død, men verket er skrevet omkring 1464.  Arbeidet til Regiomontanus ble gjort kjent ikke minst på grunn av videreformidling av astronomen Nikolaus Kopernikus (1473-1543).  Georg Joachim Rheticus (1514-1574) var elev hos Kopernicus, og i tobindsverket Opus palatinum de triangulis fortsatte han arbeidet til Regiomontanus og Kopernikus: Her ble trigonometri for første gang knyttet til en rettvinklet trekant og ikke til en sirkelkorde.  
Først på 1600-tallet begynte interessen for geometri å ta seg opp for fullt i Europa.  René Descartes (1596-1650) innførte med verket La Géométrie analytisk geometri, en kombinasjon av geometri og algebra.  Arkitekten og ingeniøren Girard Desargues (1591-1661) arbeidet med problemer knyttet til perspektiv og kan regnes som en grunnlegger av projektiv geometri, studiet av geometriske egenskaper som er bevart under transformasjon av figurer.  Arbeidet ble ikke forstått og langt på vei neglisjert i samtiden.  Desargues' teorem gir vilkår for at to trekanter skal være i perspektiv og ble først publisert av Abraham Bosse etter Desargues' død.  Boss var en venn og elev av Desargues.   
Giovanni Ceva (1648-1734) var en italiensk professor i matematikk ved universitetet i Mantova.  Han var spesielt interessert i geometri og er i dag mest kjent for å bevise teoremet som bærer navnet hans.  Han gjenoppdaget og publiserte også det såkalte Menelaos' teorem for en trekant.
Bruk av bokstavene a, b og c for trekantlengdene og A, B og C for de motstående hjørnene ble introdusert av den sveitsiske matematikeren Leonhard Euler (1707-1783).  Han brukte også bokstavene r, R og s for henholdsvis radien i en innsirkel, radien i en omsirkel og semiperimeteren.  Formelen for radien i en omsirkel ble først utledet av Euler.
De to franskmennene Gaspard Monge (1746-1818) og Lazare Carnot (1753-1823) regnes som grunnleggere av moderne geometri.  Fransk var også Jean-Victor Poncelet (1788-1867) som  etter at arbeidet til Desargues var gått i glemmeboken kan sies å ha «gjenfødt» projektiv geometri. Sammen med Charles Brianchon (1785-1864) publiserte han i 1820-21 et artikkel som for første gang omtaler nipunktssirkelen.  Når sirkelen ofte blir gitt navn etter Karl Wilhelm Feuerbach (1800-1834), så
skyldes dette at Feuerbach publiserte mer omfattende teori i 1822.  Imidlertid beskrev også han bare seks av punktene knyttet til sirkelen.  Det såkalte Feuerbachs teorem knytter sammen nipunktssirkelen, innsirkelen og de tre ytre tangeringssirklene forbundet med en trekant, et resultat som er blitt karakterisert som «det vakreste teorem i elementær geometri som er blitt oppdaget siden Euklid».   Et alternativt bevis for dette teoremet ble gitt i 1842 av Olry Terquem (1782-1862), som også utvidet antall karakteristiske punkt knyttet til nipunktssirkelen fra seks til ni.    
Nipunktssirkelen ble uavhengig av andre arbeid også oppdaget av Jakob Steiner (1796-1863), som i tillegg har gitt navnet til «Steiners innellipse». Steiner var født i Sveits, men var utdannet og arbeidet i Tyskland.  Han regnes som en av de betydeligste matematikerne innenfor fagområdet geometri i moderne tid.  
Den tyske matematikeren Moritz Pasch (1843-1930) ga i 1882 ut Vorlesungen über neuere Geometrie, der han blant annet viser at Euklid implisitt brukte geometriske egenskaper som ikke var dekket av postulatene han ga.  Det som senere er blitt kalt Pasch' aksiom ble lansert for å komplettere Euklid.  Løst kan dette formuleres som at når en linje krysser en trekantside, så må linjen også krysse en av de andre to sidene i trekanten.  I 1899 publiserte David Hilbert (1862-1943) Grundlagen der Geometrie, der han bygger opp geometri aksiomatisk.  Aksiomene skal gi et moderne fundament for euklidsk geometri. Ett av aksiomene omhandler kongruens av trekanter.