Funksjon (matematikk)

Historie

Historien om begrepet funksjon i matematikken blir beskrevet av Ponte (1992). Som et matematisk ord ble «funksjon» først brukt av Gottfried Leibniz i 1694 for å beskrive kvantitet i forhold til en kurve. Funksjonene Leibniz betraktet blir i dag kalt deriverbare funksjoner, og det er den typen funksjoner som er best kjent for allmennheten. For denne typen funksjon kan man snakke om grenser og derivasjon; begge disse er en måling av utfallet eller forandringen i utfallet som er bestemt av det man setter inn eller forandringen i det man setter inn.  Slike funksjoner er sentrale for fagområdet matematisk analyse.
Ordet funksjon ble senere brukt av Leonhard Euler i midten av det 18. århundre for å beskrive et uttrykk eller en formel som inneholder forskjellige argumenter, f.eks. f(x) = sin(x) + x³.
I løpet av det 19. århundre, begynte matematikere å formalisere alle de forskjellige grenene av matematikk. Weierstrass hevdet at det er mer riktig å bygge matematisk analyse på aritmetikk enn på geometri, noe som favoriserte Eulers definisjon over Leibniz’.
I begynnelsen var ideen om «funksjon» begrenset. Joseph Fourier, for eksempel, hevdet at alle funksjoner har en Fourier-rekke, noe ingen matematikere i dag vil hevde. Ved å utvide definisjonen av en funksjon har matematikere vært i stand til å studere merkelige matematiske objekt, slik som ikke-deriverbare kontinuerlige funksjoner. Disse funksjonene ble først antatt bare å være av teoretisk interesse og ble kalt «monstre» til så sent som det 20. århundre. Men kraftige teknikker fra funksjonsanalyse har vist at disse funksjonene på noen måter er «vanligere» enn deriverbare funksjoner. Slike funksjoner har i ettertid blitt brukt for å modellere fysiske fenomener som brownske bevegelser. 
Mot slutten av det 19. århundret startet matematikere å formalisere all matematikk ved hjelp av mengdelære, og de søkte å definere alle matematiske objekter som mengder. Dirichlet og Lobachevsky ga uavhengig av hverandre, og nesten samtidig, den moderne definisjonen av funksjon. I denne definisjonen er en funksjon et særtilfelle av en relasjon. Spesielt er en funksjon en relasjon hvor hvert første element har et unikt andre element.
Hardy (1908:side 26–28) definerer en funksjon som en relasjon mellom to variabler x og y som at det «til noen verdier av x alltid korresponderer verdier av y» (org. sitat uten oversettelse: «to some values of x at any rate correspond values of y»).  Han verken krevde at funksjonen skulle dekke alle verdier av x eller forbinde hver verdi av x til  en enkel verdi av y. Denne brede definisjonen av en funksjon omfatter flere relasjoner enn den vanlige, samtidige matematikken betraktet.

Matematisk definisjon

Den uformelle ideen av en funksjon som en regel har blitt brukt siden gamle tider og er fremdeles brukt som definisjonen av en funksjon i en del innledende lærebøker i matematisk analyse. Et typisk eksempel på denne uformelle definisjonen, gitt av Tomas og Finney (1995), er at en funksjon er en regel som tildeler hvert element av en mengde D ett enkelt element av en mengde C. Denne uformelle definisjonen er tilstrekkelig for mange formål, men den støtter seg på det udefinerte begrepet «regel». På slutten av 1800-tallet kom spørsmålet om hva som utgjør en gyldig regel i definisjonen av en funksjon i forgrunnen. Konsensusen blant moderne matematikere er at ordet «regel» bør bli tolket i den mest generelle mening som er mulig: som et vilkårlig binært forhold.
Følgelig er det vanlig i avansert matematikk (se Bartle (2001) for et eksempel) å formelt definere en funksjon f fra en mengde D til en mengde C som å være en mengde  av ordnede par (x,y) i det kartesiske produkt . Det kreves for hver x i D at det er høyst ett par (x,y) i mengden . «Regelen» for funksjonen er: gitt x i D, hvis det er et par (x,y) i  da er f(x) = y, og ellers er ikke f(x) definert. Mengden av x som f er definert av kalles definisjonsmengden til f; hvis definisjonsmengden av f er alle elementene i D, kalles f total og notasjonen  blir brukt. Mengden C blir kalt verdiområdet til funksjonen; dette må bli spesifisert fordi det blir ikke fastsatt av . Mengden  kalles grafen til funksjonen.
I de fleste områdene i matematikken blir ordet funksjon brukt til å bety en total funksjon, skjønt ikke-totale funksjoner er viktige i funksjonsanalyse, matematisk logikk og kategoriteori
Variasjoner av denne formelle definisjonen er av og til mer tilpasset for spesifikke disipliner. I noen kontekster av kategoriteori blir mengden D kalt definisjonsmengden til f, selv om funksjonen f ikke er definert for hvert element i D. I mengdelæren er det vanlig å identifisere funksjonen f med dens graf ; denne identifikasjonen fjerner behovet for spesifisere D eller C i den formelle definisjonen.

Representasjoner av funksjoner

Vi har fire sentrale representasjonsformer for funksjoner og vil her nevne noen eksempler. For å se pedagogiske tilnærminger i forhold til representasjonsformene, se pedagogiske teorier lengre ned på siden.

Graf

Her kan man se hvordan forskjellige formler visualiseres gjennom grafer. Grafer tegnes som regel i et koordinatsystem.

Formel

Funksjoner blir ofte identifisert med matematiske uttrykk (formler) for funksjoner. Et eksempel kan være 2x+b

Eksempler på funksjoner

Her vil vi se på noen av de mest vanlige funksjonene og se kort om de. Under hver overskrift vil du få muligheter til å gå inn på sidene til de aktuelle funksjonene for mer informasjon. For en fullstendig oversikt over funksjonene, se Kategori:Funksjoner

Derivasjon

Den deriverte angir den momentane endringen til en funksjon. For reelle funksjoner av en variabel kalles denne verdien for funksjonens stigningstall. Stigningstallet er definert som stigningen til tangenten til funksjonen i det aktuelle punktet.
I bildet til høyre kan man se en rett linje gå igjennom et punkt i funksjonen. Linjens stigningstall vil også være punktets stigningstall.

Integrasjon

I kalkulus er integralet av en funksjon et utvidet begrep av en sum. Prosessen brukes vanligvis for å finne volum, masse, forskyvning, osv., når inndelingen eller endring per tid med respekt til en annen mengde er spesifisert.
I bildet til høyre kan vi se det merkede området under kurven som er et eksempel på integral.