Derivasjon

Innledning

Grunnbegrepet i differensialregning er den deriverte til en funksjon.
Med geometrisk terminologi kan den deriverte beskrives som en generalisering av stigningen til en funksjon. Det geometriske
begrepet stigning er opprinnelig bare definert for lineære funksjoner, altså hvis grafen er en rett linje. Den
deriverte til en vilkårlig funksjon  i et punkt  definerer man som stigningen til tangenten
til  i punktet .
Med aritmetisk terminologi angir den deriverte i et punkt  til en funksjon 
hvor stor den lineære andelen av endringen til  er når  endres med et
vilkårlig lite lite tall . For den eksakte formuleringen av dette, brukes begrepet
grenseverdi.

Den deriverte som en funksjon

Den deriverte til en funksjon  i punktet , betegnet som
, beskriver den lokale atferden til funksjonen i omegnen til  . 
Vanligvis er ikke  det eneste punktet hvor
 er deriverbar. Man kan da forsøke å tilordne til ethvert tall  i definisjonsmengden
til  den deriverte i dette punktet (altså ). 
På denne måten får man en ny funksjon , 
hvis definisjonsmengde er en delmengde av definisjonsmengden til  . 
Eksempelvis har kvadratfunksjonen  i et vilkårlig punkt
 den deriverte . 
Dermed er den tilhørende derivasjonsfunksjonen
 gitt ved .
Derivasjonsfunksjonen er normalt en annen enn den opprinnelige funksjonen; det eneste unntaket er eksponentialfunksjonen
og dens multipla.
Er den deriverte kontinuerlig, kalles  kontinuerlig deriverbar. Siden rommet av kontinuerlige
funksjonen betegnes  kalles rommet av kontinuerlig deriverbare funksjoner
.

Utregning av den deriverte

Utregningen av den deriverte til en funksjon kalles derivasjon; man sier at man deriverer funksjonen.
For å regne ut den deriverte til elementære funksjoner (for eksempel  og ) 
holder man seg til definisjonen angitt ovenfor, beregner eksplisitt en differansekvotient og lar så
 gå mot null. 
Riktignok fullfører en typisk matematikkbruker denne utregningen bare et par ganger i løpet av livet.
Deretter kjenner han eller hun den deriverte til de viktigste elementære funksjonene utenat, og slår opp
den deriverte til andre, ikke fullt så vanlige, funksjoner i en tabell.

Middelverdisetningen

En annen sentral sats i derivasjonsregning er middelverdisetningen som ble bevist av Cauchy.
La  være en funksjon som er kontinuerlig på et lukket intervall  (med ). 
Videre antar vi at  er deriverbar i det åpne intervallet . 
Da finnes minst ett punkt , slik at .

Deriverte av høyere orden

Hvis den deriverte til funksjonen  også er deriverbar, kan man definere den andrederiverte eller dobbeltderiverte til  som den deriverte til den førstederiverte.
Tilsvarende kan man definere den tredje og fjerde definerte, og så videre.
Den andrederiverte kan tolkes geometrisk som krumningen til grafen. Den har mange fysiske anvendelser.
For eksempel er den førstederiverte til en strekning  etter tiden  momentanhastigheten, mens den andrederiverte
er akselerasjonen. Fra fysikk kommer skrivemåten  som betegner den deriverte til en funksjon med hensyn på tiden.

Vannrette tangenter

Har en funksjon  med  sin største verdi i et punkt , 
gjelder det for alle  i dette intervallet at , 
og er  deriverbar i punktet , so må den deriverte være lik null i dette punktet: . 
Et tilsvarende utsagn gjelder hvis  har sin minste verdi i punktet .
Den geometriske beskrivelsen av denne Fermats sats er at tangenten til funksjonen i et lokalt ekstremalpunkt er parallell til -aksen, eller med andre ord vannrett.
For deriverbare funksjoner er det dermed en nødvendig betingelse for et ekstremalpunkt, at den deriverte i punktet er lik 0:
Omvendt kan man ikke slutte at et punkt er et ekstremalpunkt bare fordi den deriverte er null i det punktet; det kan for eksempel også være et såkalt sadelpunkt.

Drøfting

Ved hjelp av deriverte kan man også analysere andre egenskaper til en funksjon, som vendepunkter, sadelpunkter og konveksitet.
Dette kalles kurvedrøfting.

Andre anvendelser

Koblede hastigheter

Kompleks deriverbarhet

For deriverbarheten til funksjoner med komplekse argumenter, bruker vi
definisjonen med linearisering. Overraskende nok er betingelsen langt strengere her enn i det relle tilfellet.
For eksempel er absoluttverdifunksjonen ikke komplekst deriverbar i noe punkt.
Samtidig er en kompleks funksjon som er deriverbar i en omegn, automatisk vilkårlig mange ganger deriverbar.

Derivasjon av flerdimensjonale funksjoner

Til nå har vi bare betraktet funksjoner med én variabel. Funksjoner som avbilder vektorer på vektorer eller skalarer,
kan også ha deriverte. Riktignok er ikke tangenten til en slik funksjon entydig bestemt, da den kan ha flere forskjellige
retninger. Her behøves altså en generalisering av det tidligere derivasjonsbegrepet.